Issuu

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) CA, AD, CD.

2) CA, CB, CD, AB, AD, BD.

3) CA, CB, CE, CD, AB, AE, AD, BE, BD, ED.

1) DA, AF, DF;

DA, DB, DF, AB, AF, BF

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Мал. 5 - гострокутний;

мал. 6 - прямокутний;

мал. 7 - тупокутний;

мал. 8 - гострокутний;

мал. 9 - прямокутний;

мал. 10 - тупокутний.

18. На аркуші

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) Мал. 11 - коло;

Мал. 12 - круг;

Мал. 13 - круговий сектор.

2) Мал. 11: точка О – центр кола;

Мал. 12: точка О – центр круга;

Мал. 13: точка О – центр сектора.

3) Мал. 11: відрізок ОА – радіус кола;

Мал. 12: відрізок ОА – радіус круга;

Мал. 13: відрізок ОА – радіус сектора.

20. Наведіть приклади об'єктів

сектора.

1) Кільце; 2) кришка пляшки; 3) шматок піци.

21. Дано

вершин, ребер, граней; 2) ребер,

прямокутниками; 4) граней, що є

Мал. 14 - прямокутний паралелепіпед; 1) 8; 12; 6; 2) 24; 3) 6.

Мал. 15 - куб; 1) 8; 12; 6; 4) 6.

Мал. 16 - чотирикутна піраміда; 1) 5; 8; 5; 5) 4.

Мал. 17 - трикутна піраміда; 1) 4; 6; 4; 5) 4.

22. Наведіть

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

AC =8 5=3 см.

1) �� +2�� =6; 3x =6;

x=2 см - відрізок АС;

2 ⋅ 2 = 4 см - відрізок СВ.

2) 2�� +3�� = 15; 5x = 15; x = 3 см;

2 ⋅ 3=6 см - відрізок АС; 3 ⋅ 3=9 см - відрізок СВ.

3) 3�� +5�� = 24;

8�� = 24; x = 3 см;

3 ⋅ 3 = 9 см - відрізок

4) 4x + 3x = 28; 7x = 28; x=4 см;

4 ⋅ 4= 16 см - відрізок АС;

3 ⋅ 4= 12 см -

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1. Нехай довжина AC = x.

2. За умовою, CB на 2 см довший:

CB = x + 2

3. Також сказано, що CB = 7: x + 2 = 7 ⇒ x = 5

4. Тоді:

AC = 5, CB = 7

5. Загальна довжина відрізка:

AB = AC + CB = 5 + 7 = 12 (см)

Відповідь:

AB = 12 см.

26. Промінь OB - внутрішній

1) кута AOC, якщо ∠AOB = 40∘ і ∠�� = 25∘ ; ∠�� = 40∘ + 25∘

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

3) 16 − 12 =4 (см) - настільки

4) 16 100%;

4 − x%;

�� =(4 ⋅ 100) ∶ 16 = 25%

36. Знайдіть довжину кола, у якого: 1) R =4 см; 2) D =5 см; 3) R = 3 см; 4) D =7 см.

L=2 ⋅��⋅ r;L= ��⋅ D;

1) L=2 ⋅ 3,14 ⋅ 4= 25,12(см);

2) L=3,14 ⋅ 5= 15,7(см);

3) �� =2 ⋅ 3,14 ⋅ 3= 18,84(см); 4) �� =3,14 ⋅ 7= 21,98(см).

37. Знайдіть площу круга, у якого: 1) D = 10 см; 2) R=4 см; 3)

S= �� r 2 .

1) 3,14 ⋅ 52 = 78,5(см2 );

2) 3,14 ⋅ 42 = 50,24(см2 );

3) 3,14 ⋅ 32 = 28,26(см2 );

4) 3,14 ⋅ 22 = 12,56(см2 );

38. Круг

3,14 ⋅ 62 = 113,04(см2 );

3,14 ⋅ 12 = 37,68(см).

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

�� ∙ (�� + 10); ��) 20 ⋅ 3 ⋅ 20 ⋅ (20 + 10)= 36000 см3 = 36 (дм3

сантиметрах.

1) 24 : 12 = 2 (дм) – довжина ребра.

2) 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8 дм3 = 8000 см3 .

сантиметрах.

1) 24 ∶ 12 =2(

2) 2 ⋅ 2 ⋅ 2=8дм3 = 8000см3 .

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Промені: AP, AR, AQ iAS; доповняльні

AP; AQ, AS і AR.

52.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

C і D. Запишіть: 1) промені; 2) доповняльні промені.

Утворилися

1) точка B;

K і C; 7) точки D і B.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Промені: AB, AC, BA, BK.

66.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Доповняльні

в т. А, B, C і D.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

AN = MN – MA;

AN = AM + MN = 3 см + 1 см = 4 см;

= AN – MN = 4 см – 1 см = 3 см.

95.

ОА = 2,4 см.

немає), АD(внутрішня точка С), АВ(внутрішні точки

1) 3,5 см = 35 мм, АВ < CD;

2) 0,5 дм = 5 см = 50 мм, АВ = CD.

АВ = 43 мм, СD = 30 мм; АВ > CD.

Відрізки AC, CD, DB, AD, CB.

5 відрізків.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

2) 0,3 дм = 3 см, 20 мм = 2 см; MN = MK + KN, 3 = 2 + KN; KN = 3 – 2 = 1 (см);

3) 40 мм = 4 см;

MN = MK + KN, 4 = 1,5 + KN; KN = 4 – 1,5 = 2,5 (см).

103. Яка довжина відрізка PQ на малюнку? Відповідь поясніть.

PQ = PT + TQ = 0,3 дм + 30 мм = 3 см + 3 см = 6 см.

104. Точка

її.

1) АС = АВ + ВС;

АС = 5,5 см + 45 мм = 5,5 см + 4,5 см = 10 см;

2) АС = АВ + ВС,

6,7 = АВ + 2,4,

АВ = 6,7 – 2,4 = 4,3 (см);

3) 2,2 дм = 22 см;

АС = АВ + ВС, 22 = 16 + ВС;

ВС = 22 – 16 = 6 (см).

AC 10 см 6,7 см 2,2 дм

AB 5,5 см 4,3 см 16 см

BC 45 мм 2,4

рис. OX = AB, OY = BC, OZ = AC.

SM = CM = 0,5 см.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

BC ˃ AB.

113. Відрізки AC, BD і KL мають довжини: 1) 3 см, 20 мм, 0,3 дм; 2) 0,01 дм, 10см, 1 мм;

3) 4,2 мм, 0,42 дм, 0,42 см. Порівняйте дані відрізки.

1) 3 cм = 30 мм, 0,3 дм = 30 мм.

Отже, АС = KL > BD;

2) 0,01 дм = 1 мм, 10 см = 100 мм.

Отже, АС = KL < BD;

3) 0,42 дм = 42 мм, 0,42 см = 4,2 мм.

Отже, AC = KL < BD.

114. Відрізки AC, BD і KL мають довжини

відрізки.

AC =3,5 см; BD = 37 мм; KL =0,3 дм.

�� = ��; �� < ��; �� > �� .

115. Точка O — середина

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Якщо С – середина відрізка АВ,

то АС = СВ = 1 2 АВ = 1 2 · 8 = 4 (см).

Якщо О – середина відрізка АС,

то АО = ОС = 1 2 АС = 1 2 · 4 = 2(см).

ОВ = ОС + СВ = 6 (см).

Відповідь: 2 см, 6 см.

117. 3найдiть невiдомi

MN = 3x + 5 = 14;

3x = 14 – 5;

3x = 9;

x = 3 (см).

МА = 3 см, АВ = 3 см, CN = 3 см.

118. 3найдiть невiдомi вiдстанi

BD = 2x = 10; x = 10 : 2; x = 5 см.

BC = 5 см, СD = 5 см.

119. Вiртуальнi

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

126.

A, B, C, D так, щоб

Існує шість відрізків: АВ, AD, AC, BD, BC, CD.

127. На вiдрiзку

вiдрiзкiв АС i

якщо: 1) а = 8 см.

Нехай ВС = х см, тоді АС = 3х см. АВ = АС + ВС.

Рівняння: 8 = х + + 3х; 8 = 4х; х = 2. Отже, ВС = 2 см, АС = 3 · 2 = 6 (см).

Відповідь: 6 см, 2 см.

128. На малюнку AB = 2 ВС. За якої умови AB = CD?

АВ = CD, якщо ВС = BD.

130.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

АВ.

131. Точки M, N, K лежать на одній прямій. Відомо, що MN = 14 см, NK = 16 см.

1) Якщо точка N лежить між точками М і К, то MN + NK = MK; MK = 14 + 16 = 30 (cм);

2) якщо точка М лежить між точками К та N, то MK + MN = NK; KM + 14 = 16; MK = 16 – 14 = 2 (см);

3) якщо точка К лежить між точками М і N, то

AN = NC = 40 : 2 = 20 (мм);

AN = AK + + KN; 20 = 15 + KN; KN = 20 – 15 = 5 (мм).

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

АВ = 18 см, точка

відрізка АС,

тому AN = NC = 1 2 AC,

точка М – середина відрізка СВ, тому СМ = МВ = 1 2 СВ.

Тоді NM = CM = 1 2 AC + 1 2 CB = = 1 2(AC + CB) = 1 2 AB = 1 2 · 18 = 9 (см).

Відповідь: 9 см.

135. Відрізок завдовжки

серединами цих відрізків.

Нехай AB = m, точка С ділить

точка N – середина відрізка АС,

тому AN = NC = 1 2AC,

точка М – середина

СВ, тому СМ = МВ = 1 2 СВ.

Тоді NM = NC + CM = 1 2 AC + 1 2 CB = = 1 2(AC + CB) = 1 2 AB = �� 2 Відповідь:

L= 144 см.

Знайти: a.

L= 12a

a=D: 12;

a= 144: 12 = 12(см)

Відповідь: 12 см.

138. У

Дано: куб; L= 48 см.

Знайти: а.

L= 12a;a=L: 12;

a= 48: 12 =4(см)

Відповідь: 4 см.

ребра піраміди.

Дано: 4-кута піраміда;

всі ребра рівні;

L= 56 см.

Знайти: а.

L= 8a;a=L ∶ 8; a= 56 ∶ 8=7(см)

Відповідь: 7 см,

140. У трикутній

довжину ребра піраміди.

Дано: 3-кутна піраміда; всі ребра

Знайти: а.

L= 6a;a=L ∶ 6;

a= 30 ∶ 6=5(см).

Відповідь: 5 см.

AK : KD, KC, KM, KB, DC, DM, DB, CM, CB, MB;

AD : DC, DM, DB, CM, CB, MB;

KD : DC, DM, DB, CM, CB, MB;

DC : CM, CB, MB;

утвориться 1 + 2 + … + (n – 1) + n + (n

AB = BC. CK = KD, DL = LF, FN = NM.

AM = AB + BN + NM; 24 = AB + 20 + NM;

AB + NM = 24 – 20 = 4 (см), тому BC + FN = 4 (см).

AM = AB + BC + CF + FN + NM; 24 = 4 + 4 + CF; CF = 24 – 8 = 16 (см).

KL = KD + DL = 1 2 CD + 1 2 DF = = 1 2(CD + DF) = 1 2 CF = 1 2 · 16 = 8 (см).

Відповідь: 8 см.

= 8

якщо а = 14 см.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) Розглянемо випадки.

а) Шукана точка лежить ліворуч

Тоді 2АХ = ХВ; 2АХ = ХА + АВ; 2АХ = ХА + 9; АХ = 9 (см);

б) шукана точка лежит між точками А та В.

Тоді 2АХ = ХВ; АВ = АХ + ХВ; АВ = АХ + 2АХ; АВ = 3АХ; 9 = 3АХ; АХ = 3(см);

в) шукана точка лежить праворуч від точки В.

Випадок неможливий,бо АХ = АВ + ВХ, звідки АХ > ВХ, а за умовою АХ < ВХ;

2) розглянемо випадки.

АХ + ВХ = АХ + АХ + АВ = 2АХ + АВ = 24Х + 8,

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Якщо ХВ – ХА = 2 см, то АВ – ХА – ХА = 2; 14 – 2ХА = 2; 2ХА = 12; ХА = 6 (см).

Якщо ХА – ХВ = 2 см, то ХА – (АВ – ХА) = 2; 2ХА – АВ = 2; 2ХА – 14 = 2; 2ХА = 16; ХА = 8 (см);

= АВ + ХВ = АВ = 14 см.

–

= СК + КЖ;

480 = СК + 140;

СК = 480 – 140 = 340 (км).

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Рівні відрізки на предметах довкілля.

1) холодильник: 6 ⋅ 2= 12 (пар);

2) мікрохвильовка: 12 +2= 14 (пар);

3) комод: 12 +2= 14 (пар);

4) колонка: 6 ⋅ 2= 12 (пар). §3. Кути та їх вимірювання

150. Назвіть кути на малюнку.

SAP, його сторони – AS та АР, вершина

151.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

161.

3) з вершиною C? 1) Чотири кути: ∠DAE, ∠EAC, ∠CAB, ∠BAD; 2) два кути: ∠ABN, ∠CBK; 3) шість кутів: ∠FCB, ∠ACM, ∠FCM, ∠MCB, ∠BCA, ∠ACF.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

165.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

∠AOС = ∠AOВ + ∠BOC = 95° + 25° = 120°.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Утворилися кути: ∠АВМ, ∠ABN, ∠ABC, ∠MBN, ∠MBC, ∠NBC.

172. 3найдiть невiдомий кут на малюнках.

Мал. 97; 180° – (15° + 15°) = 150.

Мал. 98; (180° – 120°) : 2 = 30.

173. Яка

180° : 3 = 60°.

174. Порiвняйте кути α i β, якщо: 1) α = 55°; β = 90°; α < β. 2) α = 90°; β = 107°; α < β. 3) α = 125°; β = 125°; α = β. 4) α = 165°; β = 89°; α > β.

175. Порiвняйте

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

прямим? тупим?

1) ∠АОВ = ∠АОС + ∠ВОС = 2∠АОС = 2 · 36° = 72°; 2) ∠АОВ = ∠АОС + ∠ВОС; 174° = 2∠ВОС; ∠ВОС = 174° : 2 = 87°; 3) ∠АОВ = ∠АОС + ∠ВОС = 2∠ВОС = 2 · 65° = 130°; 4) ∠АОВ = ∠АОС + ∠ВОС; 82° = 2∠АОС; ∠АОС = 82° : 2 = 41°.

179. ОВ - бiсектриса кута АОС. 3найдiть

Мал.100

Грань ABC: ∠ABC, ∠BCA, ∠CAB.

ABS: ∠ABS, ∠BSA, ∠SAB.

BCS: ∠BCS, ∠CSA, ∠SBC. Грань ACS: ∠ACS, ∠CSA, ∠SAC. 181.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

кутів.

α = β + γ.

1) 90 = 2n + n;

3n = 90; n = 30, 2n = 2 · 30° = 60.

Отже, β = 60°, γ = 30°;

3) 120 = n + (n + 40); 120 = 2n + 40; 2n = 80; n = 40; n + 40 = 40 + 40 = 80.

Отже, β = 40°, γ = 80°;

2) n = 50 + �� 2 ; �� 2 = 50; n = 100. Отже, α = 100°, γ = 50°;

4) n = �� 3 + 120;

3n = n + 360; 2n = 360; 2n = 360; n = 180; �� 3 = 180 3 = 60. Отже, α = 180°, β = 60°.

α 90° 100° 120° 180°

β 60° 50° 40° 60°

γ 30° 50° 80° 120° 183.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

50° більший за ∠BOC.

1) Нехай ∠ВОС = х°,

Рівняння: 62 = х – 20 + х;

2х = 82; х = 41.

Отже, ∠ВОС = 41°;

2) нехай

∠АОВ = ∠АОС + ∠ВОС.

Рівняння: 80 = х + 50 + х;

2х = 30; х = 15.

Отже, ∠ВОС = 15°.

Тоді ∠

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

186.

∠NOM = 60°,

187.

як 1 : 5.

Нехай ∠NOK = x°, тоді ∠КОМ = 5х°.

Рівняння: х + 5х = 60; 6х = 60; х = 10.

Отже, ∠NOK = 10°,

∠KOM = 5x = 5 · 10° = 50°.

Відповідь: 10°, 50°.

AOB

OC i OD.

1) кут СОD, якщо ∠AOC = 60°, ∠BOD = 70°; 2) кут AOC, якщо ∠COD = 41°,

∠BOD = 69°; 3) кут СОD, якщо ∠AOD= 110°, ∠BOC = 130°.

1) ∠АОВ = ∠AOD + ∠BOD;

180° = ∠AOD + 70°;

∠AOD = 180° – 70° = 110°;

∠AOD = ∠AOC + ∠COD;

110° = 60° + ∠COD;

∠COD = 110° – 60° = 50°;

2) а) нехай ОС міститься між ОА і OD,

тоді ∠АОВ = ∠AOD + ∠BOD;

180° = ∠AOD + 69°;

∠AOD = 180° – 69° = 111°;

∠AOD = ∠AOC + + ∠COD; 111° = ∠AOC + 41°;

∠AOC = 111° – 41° = 70°;

б) нехай ОС міститься між OD і ОВ, тоді ∠АОВ = ∠AOD + ∠BOD; 180° = ∠AOD + 69°;

∠AOD = 180° – 69° = 111°;

∠AOC = ∠AOD + ∠DOC = 111° + 41 = 152°;

3) ∠AOB = ∠AOD + ∠BOD; 180° = 110° + ∠BOD; ∠BOD = 70°.

∠BOC = ∠COD + ∠BOD; 130° = ∠COD + 70°;

∠COD = 60°.

188. Від променя OA в

∠AOC = 31°, ∠AOD = 46°, ∠AOB = 85°. Знайдіть: 1) ∠BOD; 2) ∠BOC; 3) ∠COD.

1) ∠BOA = ∠BOD + ∠AOD; 85° = ∠BOD + 46°; ∠BOD = 39°;

2) ∠BOA = ∠BOC + ∠AOC; 85° = ∠BOC + 31°; ∠BOD = 54°; 3) ∠AOD = ∠AOC + ∠COD; 46° = 31° + ∠COD; ∠COD = 15°.

1) Ні; 2) так; 3) ні.

На малюнках ∠AOC = ∠BOD.

191. OC

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

192. ∠DOB = ∠AOF, ∠DOC = ∠COF.

193.

BOC,

COF = ∠COA + ∠AOF,

∠DOB + ∠BOC = ∠COA + ∠AOF.

∠DOB = ∠AOF,

1) ∠ВОС = ∠COD = ∠DOA = 90° : 3 = 30°;

∠BON = ∠NOC = 30° : 2 = 15°,

∠DOM = ∠MOA = 30° : 2 = 15°.

∠NOM = ∠NOC + ∠COD + ∠DOM = = 15° + 30° + 15° = 60°;

2) ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 180°: 3 = 60°;

∠BON = ∠NOC = 60°: 2 = = 30°,

∠DOM = ∠MOA = 60° : 2 = 30°.

∠NOM = ∠NOC + ∠COD + ∠DOM = = 30° + 60° + 30° = 120°.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

∠AOB = ∠AOC + ∠COB; 90° = 30° + ∠COB; ∠COB = 60°. Оскільки

дорівнює 90°. 4 · 90° = 360°.

197. 3найдiть суму

∠АОВ = ∠AOD + ∠DOB = 80° + 33° = 113°;

AOB = ∠AOC + ∠COB; 113° = ∠AOC + 55°;

AOC = 113° – 55° = 58°.

Відповідь: 58°.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

2) ∠АОВ = ∠АОС + ∠СОВ; 180° = 120° + ∠СОВ; ∠СОВ = 60°; ∠АОВ = ∠AOD + ∠DOB; 180° = 140° + ∠DOB; ∠DOB = 40°; ∠COD = ∠COB + ∠DOB = 40° + 60° = 100°. 200.

∠АОК =

АОВ = ∠АОС + ∠СОВ; 120° = 80° + ∠

СОВ = 40°. ∠КОВ = ∠КОС + ∠СОВ; 60° = ∠КОС + 40°; ∠КОС = 20°. Відповідь: 20°. 201. Промені, що

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

А. AB = 90 см. Б. AB < 10 см. В. AB > 30 см. Г. AB = 60 мм.

Розв’язок:

AB = AD + DC + CB = 30 + 30 + 30 = 90 мм = 9 см.

Відповідь: Б. AB < 10 см.

2. За даними

А. ∠AOB = 90°. Б. ∠AOB = 56°. В. ∠AOB > 90°.

Оскільки AM > MB, то AM MB > 1. Відповідь: В. �� > 1. 5.

AOC = 0,5∠COB.

Розв’язок:

точку O та промені OA, OB, OC.

Нехай ∠AOC = x, тоді ∠COB = 2x (бо

AOC = 0,5

COB). Тепер подивимось на розташування:

AOC +∠COB = ∠AOB = 180°. Отже, x + 2x = 180° ⇒ 3x = 180° ⇒ x=60

Тоді, ∠AOC = 60°, ∠COB = 2 ∙ 60° = 120

Відповідь: Г. 60° і

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Кути AOD та СОВ не є суміжними, бо не мають спільної сторони; Кути ТКО та OKL не є суміжними, бо в них немає сторін, які були б доповняльними променями.

210. На малюнку назвiть: 1) розгорнутий кут; 2) промiнь, що проходить мiж сторонами

1) ∠АВС; 2) BD; 3) ∠АBD; ∠CBD.

211.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC;

180° = ∠ABD + 41°;

∠ABD = 180° – 41° = 139°;

2) ∠STK = ∠STO;

180° = 105° + ∠OTK;

∠OTK = 180° – 105° = 75°.

215. На

∠ODC = ∠ODE + ∠EDC;

180° = ∠ODE + 80°;

∠ODE = 180° – 80° = 100°;

216. Знайдіть кут, суміжний із

1) Нехай х° – величина кута, суміжного з даним.

Тоді: 180 = х + 137;

х = 180 – 137; х = 43.

Отже, кут, суміжний з кутом 137°, дорівнює

2) нехай х° – величина кута, суміжного

Тоді: 180 = х + 54;

х = 180 – 54; х = 126.

Отже, кут, суміжнй з кутом 54°, дорівнює 126°;

3) нехай х° – величина кута, суміжного

Тоді: 180 = х + 162;

х = 180 – 162; х = 18.

Отже, кут, суміжний з кутом

Тоді: 180 = х + 23;

х = 180 – 23; х = 157.

Отже, кут, суміжний

1) 180° – 37° = 143°; 2) 180° – 154° = 26°.

218.

β −

α −

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

α 10° 160° 30° 140° 50° 120° 70° 100°

β 170° 20° 150° 40° 130° 60° 110° 80°

α, α < 90° 160° 120° 80° 40°

β, α > 90° 140° 100° 60° 20°

α − β, β < 90° 140° 100° 60° 20°

β −

α, β > 90° 160° 120° 80° 40°

219. За даними, наведеними

1) Рівняння: α + α + 20° = 180° – 20°;

2α = 160°; α = 160° : 2;

α = 80°.

Отже, ∠XOY = 80°,

∠YOZ = α + 20° = 80° + 20° = 100°;

2) рівняння: β + β – 78° = 180°;

2 β = 180° + 78°;

2 β = 258°; β = 258° : 2; β = 129°.

Отже, ∠ОАК = 129°,

∠ТАК = β – 78° = 129°– 78° = 51°.

220. 3а даними,

180° = ɣ + 54° + ɣ = 2ɣ + 54°;

2ɣ = 126°;

ɣ = 63° – ∠DBC;

180° – 63° = 117° – ∠ABD. 221.

х + х + 30 = 180; 2х = 180 – 30; 2х = 150; х = 150 : 2; х = 75.

75°,

+ 30° = 75° + 30° = 105°;

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Рівняння: х + х + 56 = 180;

2х = 180 – 56; 2х = 124;

х = 124 : 2; х = 62.

Отже, гострий кут дорівнює 62°, тупий кут – х + 56° = 62° + 56° = 118°;

3) нехай гострий кут дорівнює х°, тоді суміжний

Рівняння: х + х + 42 = 180;

2х = 180 – 42; 2х = 138; х = 138 : 2; х = 69.

Отже, гострий кут дорівнює 69°, тупий кут – х + 42° = 69° + 42° = 111°.

222. 3найдiть сумiжнi кути, якщо

1) 180° = х + х – 24°; 180° = 2х – 24°;

2х = 204°;

х = 102° – І кут;

2) 102° – 24° = 78° – ІІ кут.

223. За даними,

1) Рівняння: α + 3α = 180°;

4α = 180°; α = 180° : 4; α = 45°.

Отже, ∠ВАК = 45°,

∠ОАК = 3α = 3 · 45° = 135°;

2) рівняння: β + β 2 = 180°;

3β 2 = 180°; 3β = 360°;

β = 360° : 3; β = 120°.

Отже, ∠AYX = 120°,

∠XYB = β : 2 = 120° : 2 = 60°.

224. 3а даними, наведеними

1) 180° = ɣ + 5ɣ = 6ɣ;

ɣ = 180° : 6;

ɣ = 30° – ∠SOC; 2) 5 · 30° = 150° – ∠COD.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Рівняння: х + 4х = 180; 5х = 180; х = 180 : 5; х = 36.

Отже, гострий кут дорівнює 36°, тупий кут – 4х = 4 · 36° = 144°;

Рівняння: х + 2х = 180;

3х = 180; х = 180 : 3; х = 60.

Отже, гострий кут дорівнює 60°,

тупий кут – 2х = 2 · 60° = 120°;

3) нехай гострий кут дорівнює х°, тоді суміжний

Рівняння: х + 8х = 180;

9х = 180; х = 180 : 9; х = 20.

Отже, гострий кут дорівнює 20°,

тупий кут – 8х = 8 · 20° = 160°.

226. 3найдiть сумiжнi кути, якщо один

1) 180° = х + 3х = 4х;

х = 180° : 4; х = 45° – ∠1; 2) 3 · 45° = 135° – ∠2.

227. Проведіть пряму AВ.

130°; 4) 50°.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) 180° : 3 = 60°; 180° - 60° = 120°;

2) 180° : 2 = 90°; 180° - 90° = 90°;

3) 180° : 6 = 30°; 180° - 30° = 150°;

4) 180° : 10 = 18°; 180° - 18° = 162°.

232. 3найдiть сумiжнi

180° : 4 = 45°; 180° - 45° = 135°.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) 30°; 2) 105°; 3) 67°; 4) 0°.

Рівняння: х + х + 30 = 180; 2х = 180 – 30; 2х = 150; х = 150 : 2; х = 75.

Отже, один кут дорівнює 75°,

а суміжний з ним кут – х + 30° = 75° + 30° = 105°;

2) нехай один кут дорівнює х°, тоді суміжний

Рівняння: х + х + 105 = 180; 2х = 180 – 105; 2х = 75; х = 75 : 2; х = 37,5.

Отже, один кут дорівнює 37°30’,

а суміжний з ним кут – х + 105° = 37°30’ + 105° = 142°30’;

3) нехай один кут дорівнює х°, тоді суміжний з

Рівняння: х + х + 67 = 180;

2х = 180 – 67; 2х = 113;

х = 113 : 2; х = 56,5.

Отже, один кут дорівнює 56°30’,

а суміжний з ним кут – х + 67° = 56°30’ + 67° = 123°30’;

4) оскільки суміжні кути рівні, то величина

242. 3найдiть сумiжнi кути, якщо їx рiзниця дорiвнюе 60°.

1) 180° = х + х + 60°; 180° = 2х + 60°;

2х = 120°; х = 60° - 1 кут; 2) 60° + 60° = 120° - 2 кут.

243. Знайдіть суміжні кути, якщо

1) Нехай один кут дорівнює х°,

Рівняння: х + 9х = 180;

10х = 180; х = 180 : 10; х = 18.

Отже, один кут дорівнює 18°,

а суміжний з ним кут – 9х = 9 · 18° = 162°;

2) нехай один кут дорівнює х°,

Рівняння: х + 11х = 180; 12х = 180; х = 180 : 12; х = 15.

Отже, один кут дорівнює 15°, а суміжний

(х + 30)°.

1) 180° = х + 2х; 180° = 3х; х = 60° - 1

2) 2 · 60° = 120° - 2

– 11х = 11 · 15° = 165°;

(х + 105)°.

(х + 67)°.

180° : 2 = 90°.

9х°.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Рівняння: х + 9х = 180; 10х = 180; х = 180 : 10; х = 18.

Отже, один кут дорівнює 18°,

а суміжний з ним кут – 9х = 9 · 18° = 162°;

2) нехай один кут дорівнює х°, тоді суміжний

Рівняння: х + 11х = 180; 12х = 180; х = 180 : 12; х = 15.

Отже, один кут дорівнює 15°,

а суміжний з ним кут – 11х = 11 · 15° = 165°;

дорівнює 11х°.

3) оскільки суміжні кути рівні, то величина кожного з них дорівнює 180° : 2 = 90°;

4) нехай один кут дорівнює х°, тоді суміжний з ним кут дорівнює 17х°.

Рівняння: х + 17х = 180; 18х = 180; х = 180 : 18; х = 10.

Отже, один кут дорівнює 10°, а суміжний з ним кут – 17х = 17 · 10° = 170°;

246. 3найдiть сумiжнi

60° - 1 кут; 2) 2 · 60° = 120° - 2 кут.

247. Знайдіть суміжні

Рівняння: х + 1 3х = 180;

3х + х = 540; 4х = 540; х = 540 : 4; х = 135.

Отже, один

Рівняння: х + 3 2х = 180; х + 1,5х = 180; 2,5х = 180; х = 180 : 2,5; х = 72. Отже,

135°,

Рівняння: х + 4 5х = 180; 5х + 4х = 900; 9х = 900; х = 900 : 9; х = 100.

72°,

Рівняння: х + 7 8х = 180;

8х + 7х = 1440; 15х = 1440;

х = 1440 : 15; х = 96.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Отже, один кут дорівнює 96°, а суміжний з ним кут –7 8 х = 7 8 · 96° = 84°.

248. 3найдiть сумiжнi кути, якщо один iз

становить вiд iншого 0,5. 1) 180° = х + 0,5х; 180° = 1,5х; х = 120° - 1 кут; 2) 0,5 · 120° = 60° - 2 кут.

249. Знайдіть суміжні кути, якщо

іншого: 1) 20 % ; 2) 60 %; 3) 80%; 4) 25%.

1) нехай один кут дорівнює x°, тоді суміжний

Рівняння: x + 0,2x = 180; x = 180; 1,2x = 180; x = 180 : 1,2; x = 150.

Отже, один кут дорівнює 150°,

а суміжний з ним кут – 0,2x = 0,2 · 150° = 30°;

2) нехай один кут дорівнює x°, тоді суміжний

Рівняння: x + 0,6x = 180; 1,6x = 180; x = 180 : 1,6; x = 112,5.

Отже, один кут дорівнює 112°30',

а суміжний з ним кут – 0,6x = 0,6 · 150°30' = 60°30';

3) нехай один кут дорівнює x°, тоді суміжний

Рівняння: x + 0,8x = 180; 1,8x = 180; x = 180 : 1,8; x = 100.

Отже, один кут дорівнює 100°,

суміжний з ним кут – 0,8x = 0,8 · 100° = 80°;

4) нехай один кут дорівнює x°,

Рівняння: x + 0,25x = 180; 1,25x = 180; x = 180 : 1,25; x = 144.

Отже, один кут дорівнює 144°, а суміжний з ним кут – 0,25x = 0,25 · 144° = 36°.

250. 3найдiть сумiжнi

1) 180° = х + 0,5х; 180° = 1,5х;

х = 120° - 1 кут; 2) 0,5 · 120° = 60° - 2 кут.

251. Бісектриси

дорівнює 0,2x°.

дорівнює 0,6x°.

0,8x°.

0,25x°.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Якщо OD – бісектриса кута COB, то ∠COD + ∠DOB = 2∠COD = 2α. Тоді суміжний з

кутом COB кут AOC дорівнює ∠AOC дорівнює 180° – ∠COB = 180° – 2α.

1) якщо α = 15°, то один із двох суміжних кутів дорівнює

2 · 15° = 30°, а інший 180° –30° = 150°;

2) якщо α = 75°, то один із двох суміжних кутів

2 · 75° = 150°, а інший 180° –150° = 30°;

3) якщо α = 60°, то один із

2 · 60° = 120°, а інший 180° – 120° = 60°;

4) якщо α = 45°, то один із двох суміжних

2 · 45° = 90°, а інший 180° – 90° = 90°.

253.

∠COВ = 2 · ∠

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

180° – 30° ≤ 180° –β ≤ 180° – 20°; 150° ≤ α ≤ 160°;

2) 120° ≤ β ≤ 130°; –130° ≤ –β ≤ –120°;

180° – 130° ≤ 180° –β ≤ 180° – 120°; 50° ≤ α ≤ 60°;

3) 38° ≤ β ≤ 45°; –45° ≤ –β ≤ –38°;

180° – 45° ≤ 180° –β ≤ 180° – 38°; 135° ≤ α ≤ 142°; 4) 175° ≤ β ≤ 179°; –179° ≤ –β ≤ –175°; 180° – 179° ≤ 180° –β ≤ 180° – 175°; 1° ≤ α ≤ 5°.

257. Знайдіть

4) 123°. Нехай

(α – β) = α + β – α + β = 2β. Отже, різниця

дорівнює подвоєному одному куту.

1) Якщо різниця менша за суму на 20°,

то 2β = 20°; β = 20° : 2; β = 10°,

а інший – 180° – 10° = 170°;

2) якщо різниця менша за суму на 105°, то 2β = 105°; β = 105° : 2; β = 52°30',

а інший – 180° – 52°30' = 127°30';

3) якщо різниця менша за суму на 49°, то 2β = 49°; β = 49° : 2; β = 24°30',

а інший – 180° – 24°30' = 155°30';

4) якщо різниця менша за суму на 123°, то 2β = 123°; β = 123° : 2; β = 61°30',

а інший – 180° – 61°30' = 118°30';

258.

4 : 5; 4) 5 : 6.

1) α− β

180° = 2 3 ;

α – β = 120°; α = β + 120°.

(β + 120°) +

= 180°; 2β = 60°; β = 30°. Тоді α = 180° – β = 180° – 30° = 150°;

2) α− β

180° = 3 4 ;

α – β = 135°; α = β + 135°.

(β + 135°) + β = 180°; 2β = 45°; β = 22°30'. Тоді α = 180° – β = 180° – 22°30' = 157°30';

3) α− β

180° = 4 5 ;

α – β = 144°; α = β + 144°.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

За властивістю суміжних кутів (β + 144°) + β = 180°; 2β = 36°; β = 18°.

Тоді α = 180° – β = 180° – 18° = 162°;

4) α− β 180° = 5 6 ;

α – β = 150°; α = β + 150°.

За властивістю суміжних кутів (β + 150°) + β = 180°; 2β = 30°; β = 15°.

Тоді α = 180° – β = 180° – 15° = 165°.

259. Знайдіть суміжні

середнє арифметичне цих кутів; 3) 25 % суми

кутів.

1) Нехай один із суміжних кутів дорівнює х°,

тоді інший – 180° – x°,

а їх різниця x° – (180° – x°) = 2x° – 180°.

Рівняння: x – (2x – 180) = 30; x – 2x + 180 = 30; –x = –150; x = 150.

Отже, один із суміжних кутів дорівнює 150°, а інший 180° – х° = 180° – 150° = 30°;

2) Середнє арифметична двох суміжних кутів дорівнює

α + β

2 = 180° 2 = 90°,

тому один з кутів дорівнює 90° + 30° = 120°,

а інший – 180° – 120° = 60°;

3) 25% суми суміжних кутів дорівнює 0,25 · 180° = 45°.

Тоді один з кутів дорівнює 45° + 30° = 75°,

а інший – 180° – 75° = 105°;

4) Нехай один із суміжних кутів дорівнює x°, тоді інший 180° – x°, їх різниця – x° – (180° – x°) = 2x° – 180°,

а потроєна піврізниця –3(2x°−180°) 2 . Рівняння: І випадок. x –3(2x°−180°) 2 = 30;

2x – 3(2x – 180) = 60; 2x – 6x + 540 = 60;

–4x = –480; x = 120.

Отже, один із суміжних

(180 – x) –3(2x°−180°) 2 = 30;

360 – 2x – 3(2x – 180) = 60; 360 – 2x – 6x + 540 = 60; –8x = –840; x = 105.

Отже, один із

інший 180° – x° = 180° – 105° = 75° 260.

3) 120°; 4) 300°?

1) 80°; 2)

1) Тоді

2) тоді

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

суміжний кут дорівнює 80° : 2 = 40°,

180° – 40° = 140°;

суміжний

дорівнює 220° : 2 = 110°,

180° – 110° = 70°;

3) тоді один суміжний кут дорівнює 120° : 2 = 60°,

шуканий 180° – 60° = 120°;

4) тоді один суміжний кут дорівнює 300° : 2 = 150°,

шуканий 180° – 150° = 30°.

Кути AOB і BOC — суміжні.

∠NOC = ∠BON.

∠AOM = 180° – (∠MON + ∠NOC) = = 180° – (90° + ∠NOC) = 90° – ∠NOC.

∠MOB = ∠MON – ∠BON = = 90° – ∠BON = 90° – ∠NOC.

Отже, ∠AOM = ∠MOB,

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

напрямку. Азимут:

1) Київ–Чернігів дорівнює 21°;

2) Київ–Полтава дорівнює 105°;

3) Київ–Сімферополь дорівнює 155°;

4) Київ–Одеса дорівнює 180°;

5) Київ–Вінниця дорівнює 230°;

6) Київ–Житомир дорівнює 265°;

7) Київ–Тернопіль дорівнює 255°;

8) Київ–Луцьк дорівнює 278°.

1) 40° : 2 = 20°;

2) 208° : 2 = 104°.

278. 3апишiть

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

рис.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

283. За

∠BOD = ∠COA = 72° (як вертикальні), ∠DOA = 180° – ∠BOD = 180° – 72° = 108° (як суміжні). ∠DOB = ∠COA = 108° (як вертикальні).

284. Дві прямі перетинаються під кутом

прямі, якщо: 1) α = 40°; 2) α = 12°; 3) α = 25°; 4) α = 17°.

∠AOB = ∠COD = α° (як вертикальні),

∠AOD = 180° – ∠AOB = 180 – α (як суміжні).

∠AOD = ∠BOC = 180° – α (як вертикальні).

1) Якщо α = 40°, то ∠AOB = ∠COD = 40°,

∠AOD = ∠BOC = 180° – α = 180° – 40° = 140°.

Відповідь: 140°, 40°, 140°.

2) якщо α = 12°, то ∠AOB = ∠COD = 12°,

∠AOD = ∠BOC = 180° – α = 180° – 12° = 168°.

Відповідь: 168°, 12°, 168°.

3) якщо α = 25°, то ∠AOB = ∠COD = 25°,

∠AOD = ∠BOC = 180° – α = 180° – 25° = 155°.

Відповідь: 155°, 25°, 155°.

4) якщо α = 17°, то ∠AOB = ∠COD = 17°,

∠AOD = ∠BOC = 180° – α = 180° – 17° = 163°.

Відповідь: 163°, 17°, 163°.

285. Двi

прямi, якщо β = 64°.

∠DOC = ∠AOB = 64°;

∠AOD = 180° - ∠AOB = 180° - 64° = 116°;

∠BOC = ∠AOD = 116°.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1. Різниця 14° Нехай

x + (x + 14) = 180

2x + 14 = 180

2x = 166

x = 83

x + 14 = 97

Відповідь: два

2. Різниця 56°

Нехай менший кут — x°, більший

x + (x + 56) = 180

2x + 56 = 180

2x = 124

x = 62

x + 56 = 118

Відповідь:

3. Різниця 38°

Нехай менший

x + (x + 38) = 180

2x + 38 = 180

2x = 142

x = 71

x + 38 = 109

Відповідь:

4. Різниця 70°

x + (x + 70) = 180

2x + 70 = 180

2x = 110

x = 55

x + 70 = 125

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) 180° = х + х + 40; 2х = 140°; х = 70° - 3 та 2 кути; 2) 70° + 40° = 110° - 1 та 4 кути.

288. При

iншого: 1) у 3 рази; 2) у 4 рази; 3) у 5 разiв; 4) у 8 разiв. Знайдiть чотири кути, що утворюють данi прямi.

1) 180° = х + 3х; х = 45° ∠3, ∠2; 45° · 3 = 135° ∠1, ∠4;

2) 180° = х + 4х; х = 36° ∠3, ∠2; 36° · 4 = 144° ∠1, ∠4;

3) 180° = х + 5х; х = 30° ∠3, ∠2; 30° · 5 = 150° ∠1, ∠4;

4) 180° = х + 8х; х = 20° ∠3, ∠2;

20° · 8 = 160° ∠1, ∠4

289. При перетинi

180° = х + 2х; х = 60° ∠3, ∠2; 60° · 2 = 120° ∠1, ∠4.

90° : 3 = 30°. 292.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

β = 180° – 74° = 106°.

301. Дві прямі

становить: 1) 102°; 2) 320°; 3) 238°; 4) 182°?

1) Оскільки

102° : 2 = 51°.

180° – 51° = 129°. Відповідь: 51°, 129°, 51°, 129°;

дорівнює

320° : 2 = 160°.

Тоді суміжні

180° – 160° = 20°.

Відповідь: 160°, 20°, 160°, 20°; 3)

238° : 2 = 119°.

Тоді

180° – 119° = 61°.

Відповідь: 119°, 61°, 119°, 61°;

182° : 2 = 91°.

Тоді

180° – 91° = 89°.

Відповідь: 91°, 89°, 91°, 89°. 302.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) 29°; 2) 115°; 3) 107°; 4) 53°.

0°, то це суміжні кути і менший кут дорівнює

(180° – 29°) : 2 = 75°30'.

Тоді суміжний з ним кут дорівнює

180° – 75°30' = 104°30'.

Відповідь: 75°30', 104°30', 75°30', 104°30';

2) оскільки різниця двох кутів не дорівнює 0°, то це суміжні кути і менший кут дорівнює

(180° – 115°) : 2 = 32°30'.

Тоді суміжний з ним кут дорівнює

180° – 32°30' = 147°30'.

Відповідь: 32°30', 147°30', 32°30', 147°30';

3) оскільки різниця

суміжні кути і менший кут дорівнює (180° – 107°) : 2 = 36°30'.

Тоді суміжний з ним кут

180° – 36°30' = 143°30'.

Відповідь: 36°30', 143°30', 36°30', 143°30';

4) оскільки

(180° – 52°) : 2 = 63°30'. Тоді суміжний

180° – 63°30' = 116°30'.

Відповідь: 63°30', 116°30', 63°30', 116°30'.

304.

∠1 - ∠3 = 49°.

Тоді: ∠2 = ∠3 = (180° – 49°) : 2 = 65°30';

∠1 = ∠4 = 180° – 65°30' = 114°30'.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

дорівнює: 1) 9; 2) 11; 3) 5; 4) 17.

Рівняння: x + 9x = 180; 10x = 180; x = 180 : 10; x = 18.

Отже, один кут дорівнює 18°,

а суміжний з ним кут – 9x = 9 · 18° = 162°.

Відповідь: 18°, 162°, 18°, 162°;

2) нехай менший з кутів дорівнює x°, тоді суміжний

Рівняння: x + 11x = 180; 12x = 180; x = 180 : 12; x = 15.

Отже, один кут дорівнює 15°,

а суміжний з ним кут – 11x = 11 · 15° = 165°.

Відповідь: 15°, 165°, 15°, 165°;

3) нехай менший з кутів дорівнює x°, тоді суміжний

Рівняння: x + 5x = 180; 6x = 180; x = 180 : 6; x = 30.

Отже, один кут дорівнює 30°,

суміжний з ним кут – 5x = 5 · 30° = 150°.

Відповідь: 30°, 150°, 30°, 150°;

4) нехай менший

Рівняння: x + 17x = 180; 18x = 180; x = 180 : 18; x = 10.

Отже, один кут дорівнює 10°, а суміжний з ним кут – 17x = 17 · 10° = 170°.

Відповідь: 10°, 170°, 10°, 170°.

306. 3найдiть

x + 8x = 180; 9x = 180; x = 180 : 9; x = 20.

11x°.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4 (за означенням бісектриси).

∠PON = ∠AOB як вертикальні.

∠1 = ∠4 як половини рівних кутів.

∠POA і ∠АОВ – суміжні,

тому ∠РОА + ∠АОВ = 180°,

або ∠РОА + 3 + 4 = 180°,

звідки ∠POA + ∠3 + ∠1 = 180°.

Отже кут DOC – розгорнутий.

308. Знайдіть

2) від 111° до 120°; 3) від 24° до 249°.

1) Оскільки

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) 7 6 · 180° – 180° = 1 6 · 180° = 30°.

Отже, кут між прямими дорівнює 30°; 2) 16 9 · 180° – 180° = 7 9 · 180° = 140°.

Оскільки

кут, суміжний із кутом 140°, тобто 180° – 140° = 40°;

3) 0,25(5 · 180°) – 180° = 225° – 180° = 45°.

Отже, кут між прямими дорівнює 45°;

4) нерівні із утворених кутів є суміжними, тому

180° : 2 = 90°.

Тому 8 3 · 90° – 180° = 240° – 180° = 60°.

Отже, кут між прямими = 60°.

311.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Тоді ∠AOE = ∠EOD = 1 2 ∠AOD,

∠MOA = ∠MOC = 1 2 ∠AOC.

∠MOE = ∠MOA + ∠AOE = 1 2 ∠AOC + 1 2 ∠AOD= = 1 2 (∠AOC + ∠AOD) = 1 2 · 180° = 90°.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

COB – ∠BOT = 90° – α.

1) Якщо α = 30°, то ∠СОТ = 90° – α = 90° – 30° = 60°; 2) якщо α

– 44° = 46°;

4) якщо α = 79°, то ∠СОТ = 90° – α = 90° – 79° = 11°. 326. Перпендикулярнi

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) РА = 6; 2) ВА = 8.

1) РВ = 5; 2) 12.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) АВ = 6, ВС = 3, ОА = 2.

Тоді АС = АВ – ВС = 6 – 3 = 3;

ОВ = АВ + ОА = 6 + 2 = 8;

ОС = ОВ – ВС = 8 – 3 = 5;

2) АВ = АС + СВ = 1 + 2 = 3;

ОА = ОС – АС = 4 – 1 = 3;

ОВ = ОА + АВ = 3 + 3 = 6;

3) ВС = ВА – СА = 5 – 1 = 4;

ОА = ОВ – АВ = 8 – 5 = 3;

ОС = ОВ – ВС = 8 – 4 = 4.

331. Проведіть

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) α = 180° : 3 = 60°; β = α : 2 = 30°.

Тоді α + β = 60° + 30° = 90°. Отже, b ⊥ c;

2) β = 90° – 50° = 40°; β = 4 5 α,

звідки α = 5 4 β = 5 4 · 40° = 50°.

Тоді α + β = 50° + 40° = 90°. Отже, b ⊥ c. 334. Через точку

прямi а i с

прямi b i с, якщо а =

α + β = 90°.

α = 5β; 5β – β = 60°; 4β = 60°; β = 15°; α = 5 · 15° = 75°. Тоді α + β = 75° + 15° = 90°. Отже, b

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) ∠KCM = ∠АОВ = 75°; 2) ∠KCM = ∠АОВ = 160°; 3) ∠KCM = ∠

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

оскільки точка Р – середина

Так як ОТ = 7 см, то ОР = ТР = 1 2 ОТ = 1 2 · 7 = 3,5 (см).

ОК = ОР + РК = 3,5 + 2 = 5,5 (см);

ТК = ТР – РК = 3,5 – 2 = 1,5 (см).

Відповідь: 5,5 см; 1,5 см.

6 і 9 см.

1) MN = OM + ON = 6 + 9 = 15 (см); 2) нехай К – середина відрізка MN, тоді KN = KM = 1 2 MN = 1 2 · 15 = 7,5 (см); ОК = МК – МО = 7,5 – 6 = 1,5 (см).

1) MN = ON – OM = 9 – 6 = 3 (см);

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

2) нехай К – середина

MN, тоді KN = KM = 1 2 MN = 1 2 · 3 = 1,5 (см);

OK = OM + MK = 6 + 1,5 = 7,5 (см).

Відповідь: 1) 15 см або 3см; 2) 1,5 см або 7,5 см. 343. Через точку

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) CD; CE; DE; AB; 2) CD; CE; DE.

365.

MN.

1) MN∥AB, NM∥AB

2) AB∥MN, AC∥MN, BC∥MN.

Побудуйте ∠MON = α

Мал. 1: 1) внутрішні односторонні; 2)

різносторонні.

Мал. 2: 1) суміжні; 2) суміжні; 3) внутрішні

369. На малюнку зображено

3 i

4; 3) ∠2 i ∠4. 1) внутрішні різносторонні; 2) внутрішні різносторонні; 3) внутрішні односторонні. 370. Перемалюйте

1; 2) мал. 2; 3) мал. 3.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

∠1 = 180° – 104° = 76°;

∠2 = 104°; ∠3 = 76°;

∠4 = 180° – 114° = 66°;

∠5 = 114°; ∠6 = 66°.

373.

1) Нехай ∠4 = 45°, ∠6 = 50°,

3 + ∠4 = 180° як суміжні;

∠3 = 180° – ∠4 = 180° – 45° = 135°;

∠5 + ∠6 = 180° як суміжні;

∠5 = 180° – ∠6 = 180° – 50° = 130°.

Отже, внутрішні односторонні кути: 45° і 130°, 135° і 50°;

2) нехай ∠2 = ∠6 = 60°,

тоді ∠4 = ∠2 = 60° як вертикальні.

Тоді ∠3 + + ∠4 = 180° як суміжні;

∠3 = 180° – ∠4 = 180° – 60° = 120°;

∠5 + + ∠6 = 180° як суміжні;

∠5 = 180° – ∠6 = 180° – 60° = 120°.

Отже, внутрішні односторонні кути: 60° і 120°, 60° і 120°;

3) нехай ∠3 = ∠5 = 110°.

Тоді ∠3 + ∠4 = 180° як суміжні;

∠4 = 180° – ∠3 = 180° – 110° = 70°;

∠5 + ∠6 = 180° як суміжні;

∠6 = 180° – ∠5 = 180° – 110° = 70°. Отже, внутрішні

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) ∠1 = 180° – 60° = 120°;

∠2 = 180° – 90° = 90°.

2) ∠1 = 180° – 90° = 90°;

∠2 = 180° – 60° = 120°;

∠3 = 90°; ∠4 = 60°.

375. Доведіть,

1) AD∥BC, AB∥DC; 2) CM∥DN, AF∥BG, DL∥BK; 3) DF∥CB, AK∥DC.

377. На малюнку AB||DC і AD||BC. Запишіть: 1) паралельні

променів.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) AB∥DC; AD∥BC; 2) CL∥BK; DF∥CG.

378.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

звідки ∠2 = 180° – ∠1 = 180° – 127° = 53°,

∠4 = ∠2 = 53° як вертикальні;

∠8 = ∠6 = 43° як вертикальні,

∠5 + ∠6 = 180° як суміжні,

звідки ∠5 = 180° – ∠6 = 180° – 43° = 137°,

∠7 = ∠5 = 137° як вертикальні;

2) нехай ∠3 = 165°, ∠6 = 15.

Тоді ∠1 = ∠3 = 165° як вертикальні,

∠1 + ∠2 = 180° як суміжні,

звідки ∠2 = 180° – ∠1 = 180° – 165° = 15°,

∠4 = ∠2 = 15° як вертикальні;

∠8 = ∠6 = 15° як вертикальні,

∠5 + ∠6 = 180° як суміжні,

звідки ∠5 = 180° – ∠6 = 180° – 15° = 165°,

∠7 = ∠5 = 165° як вертикальні;

3) нехай ∠3 = 95°, ∠6 = 95.

Тоді ∠1 = ∠3 = 95° як вертикальні,

∠1 + ∠2 = 180° як суміжні,

звідки ∠2 = 180° – ∠1 = 180° – 95° = 85°,

∠4 = ∠2 = 85° як вертикальні;

∠8 = ∠6 = 95° як вертикальні,

∠5 + ∠6 = 180° як суміжні,

звідки ∠5 = 180° – ∠6 = 180° – 95° = 85°,

∠7 = ∠5 = 85° як вертикальні.

382. Внутрішні односторонні

∠3 = 180° – 95° = 85°;

∠4 = 95°;

∠5 = 180° – 95° = 85°;

∠6 = 180° – 105° = 75°;

∠7 = 105°;

∠8 = 75°.

383.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Нехай, наприклад, ∠4 = ∠6 = α.

Тоді ∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 = α як вертикальні,

∠4 + ∠3 = 180° як суміжні,

звідки ∠3 = 180° – ∠4 = 180° – α,

∠5 + ∠6 = 180° як суміжні,

звідки ∠5 = 180° – ∠6 = 180° – α.

Тоді ∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7 = 180° – α.

1) Якщо α = 30°, то ∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 = 30°,

∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7 = 180° – α = 180° – 30° = 150°;

2) якщо α = 150°, то ∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 = 150°,

∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7 = 180° – α = 180° – 150° = 30°;

3) якщо α = 80°30', то ∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 = 80°30',

∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7 = 180° – α = 180° – 80°30' = 99°30'.

384. При

α = 99°30',

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

398.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

+ 102° = 232° ≠ 180°;

87° = 124° ≠ 180°.

399. Обґрунтуйте,

81° = 162° ≠ 180°;

400. Чи

Побудуйте ці прямі.

1) так, якщо а = 90°; β = 90°;

2) так, якщо а = 180° : 3 = 60°; β = 60° · 2 = 120°;

3) ні, бо а + β = 150° ≠ 180°;

4) так, бо а + β = 120° + 60° = 180°,

та а - β = 120° – 60° = 60°.

401. Чи

односторонні

1) а = 180° : 6 = 30°, β = 5 · 30° = 150°; а + β = 30° + 150° = 180°; 2) ні, бо а + β = 150° ≠ 180°.

402.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

410.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Проводжу довільну

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

інший – 2x = 2 · 75° = 150°.

75° + 150° = 225°

Складемо рівняння: 3х – х = 90; 2х = 90; х = 45° - І кут; 3 · 45 = 135° - ІІ кут.

45° + 135° = 180°. Отже, прямі паралельні.

419. Внутрішні односторонні

паралельні

1) Нехай ∠1 = х°, тоді ∠2 = 3x°.

Рівняння: 3x – x = 40; 2x = 40; x = 20. Отже,

паралельними, якщо

180° : 20° + 60° = 80° ≠ 180°.

2) нехай ∠1 = х°, тоді ∠2 = 3x°.

Рівняння: 3x – x = 80; 2x = 80; x = 40.

40°,

а інший – 3х = 3 · 40° = 120°.

Прямі

180° : 40° + 120° = 160° ≠ 180°.

3) нехай ∠1 = х°, тоді ∠2 = 3x°.

Рівняння: 3x – x = 100; 2x = 100; x = 50.

50°,

інший – 3х = 3 · 50° = 150°.

1 = х°, тоді ∠2 = 3x°.

3x – x = 90; 2x = 90; x = 45.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

паралельні;

4) α + β = 90°. Прямі можуть

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Нехай, BD – бісектриса кута CBM звідки,

∠CBD = ∠DBM = 1 2 ∠CBM; ∠CBN = 2∠CBD;

CD – бісектриса кута BCN,

звідки ∠NCD = ∠DCB = 1 2 ∠BCN; ∠BCK = 2∠BCD.

За умовою, ∠DBC + ∠DCB = 90°.

Тоді сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює:

∠CBM + ∠BCN = 2∠CBD + 2∠BCD = = 2(∠CBD + ∠BCD) = 2 · 90° = 180°. оскільки

дорівнює 180°, то а ∥ b. 426.

+ β = 270°.

Щоб прямі

180°: α + β = 180°. Тоді α + α + β = 270°; α + 180° = 270°; α = 90°.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

80°.

Рівняння (мал. 263): α + α + 20° = 180°; 2α = = 160°; α = 80°.

Отже, один кут дорівнює 80°,

а інший – α + 20° = 80° + 20 = 100°.

Рівняння (мал. 264): β + 3β = 180°; 4β = 180°; β = 45°.

Отже, один кут кут дорівнює 45°,

а інший – 3β = 3 · 45° = 135°.

440. За даними

β + 5β = 180°; 6β = 180°; β = 30°.

Отже, один кут кут дорівнює 30°, а інший – 5β = 5 · 30° = 150°.

441. Знайдіть

х + 5х = 180; 6х = 180; х = 30.

х + 2х = 180; 3х = 180; х = 60.

60°,

2х = 2 · 60° = 120°.

1) х + 5х = 180;

6х = 180; х = 30° –

2) 5 · 30° = 150°

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) 107° : 2 = 53°30’; 2) 94° : 2 = 47°;

3) 132° : 2 = 66°; 4) 43° : 2 = 21°30’.

444.

становить: 1) 120°; 2) 90°?

1) 120° : 2 = 60°; 2) 90° : 2 = 45°.

445.

1) 137° : 2 = 68°30’;

2) 54° : 2 = 27°;

3) 162° : 2 = 81°; 4) 23° : 2 = 11°30’.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) 108° : 2 = 54°; 2) 30° : 2 = 15°;

448. Чи

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

180°.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

= 180° – 2х°.

1) 180 – 2х = 30;

2х = 180 – 30; 2х = 150; х = 75.

Отже, один кут дорівнює 75°,

а інший – 180° – х = 180° – 75° = 105°;

2) 180 – 2х = 105;

2х = 180 – 105; 2х = 75; х = 37,5.

Отже, один кут дорівнює 37°30’,

а інший – 180° – х = 180° – 37°30’ = 142°30’;

3) 180 – 2х = 67;

2х = 180 – 67; 2х = 113; х = 56,5.

Отже, один кут дорівнює 56°30’,

а інший – 180° – х = 180° – 56°30’ = 123°30’;

4) 180 – 2х = 0; 2х = 180; х = 90.

Отже, один кут дорівнює 90°,

а інший – 180° – х = 180° – 90° = 90°.

456. Знайдіть

внутрішніх односторонніх кутів дорівнює: 1) 9; 2) 1. Якщо

дорівнює 180°.

1) Нехай один з кутів дорівнює х°, тоді інший – 9х°.

Рівняння: х + 9х = 180; 10х = 180; х = 18.

Отже, один кут дорівнює 18°,

а інший – 9х = 9 · 18° = 162°;

2) нехай один з кутів дорівнює х°, тоді інший – теж х°.

Рівняння: х + х = 180;

2х = 180; х = 90.

Отже, один кут дорівнює 90°, а інший – х = 90°.

457. Знайдіть кути

відносяться, як: 1) 1 : 9; 2) 11 : 1; 3) 1 : 1; 4) 1 : 17. Якщо

180°. 1)

х + 9х = 180; 10х = 180; х = 18. Отже,

18°,

15°,

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

458.

Якщо паралельні прямі

4х = 540; х = 135.

135°,

5х = 360; х = 72.

72°,

459. Знайдіть

Якщо

= 180; х = 150.

Отже, один кут дорівнює 150°,

а інший – 0,2х = 0,2 · 150° = 30°;

2) нехай один з кутів дорівнює

х = 112,5.

Отже, один кут дорівнює 112°30’,

інший – 0,6х = 0,6 · 112°30’ = 67°30’;

+ 0,5х =

х + 0,6х = 180; 1,6х =

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

465.

Нехай BM ∥ CN,

кута BCN, звідки ∠NCD = ∠DCB = 1 2 ∠BCN. ∠CBD + ∠BCD = 180° : 2 = 90°.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) Рівняння: 2β = 20°; β = 10°.

Тоді α = 180° – β = 180° – 10° = 170°.

Отже, один кут дорівнює 10°, інший – 170°;

2) рівняння: 2β = 105°; β = 52°30’.

Тоді α = 180° – β = 180° – 52°30’ = 127°30’.

Отже, один кут дорівнює 52°30’, інший – 127°30’;

3) рівняння: 2β = 49°; β = 24°30’.

Тоді α = 180° – β = 180° – 24°30’ = 155°30’.

Отже, один кут дорівнює 24°30’, інший – 155°30’; 4) рівняння: 2β = 123°; β = 61°30’.

Тоді α = 180° – β = 180° – 61°30’ = 155°30’.

Отже, один кут дорівнює 61°30’, інший – 118°30’.

468. Знайдіть

1) Оскільки α− β 180° = 2 3 , то α – β = 120°; α = 120° + β.

Рівняння: 120° + β + β = 180°; 2β = 60°; β = 30°.

Тоді α = 120° + β = 120° + 30° = 150°.

Отже, один кут

150°, інший – 30°;

2) Оскільки α− β 180° = 3 4 , то α – β = 135°; α = 135° + β.

Рівняння: 135° + β + β = 180°; 2β = 45°; β = 22°30’.

Тоді α = 135° + β = = 135° + 22°30’ = 157°30’.

Отже, один кут дорівнює 157°30’, інший – 22°30’;

3) Оскільки α− β 180° = 4 5 , то α – β = 144°; α = 144° + β.

Рівняння: 144° + β + β = 180°; 2β = 36°; β = 18°.

Тоді α = 144° + β = = 144° + 18° = 162°.

Отже, один кут дорівнює 162°, інший – 18°; 4) Оскільки α− β 180° = 5 6 , то α – β = 150°; α = 150° + β.

Рівняння: 150° + β + β = 180°; 2β = 30°; β = 15°.

Тоді α = 150° + β = = 150° + 15° = 165°.

Отже, один

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

180°, то 25% суми – 0,25 · · 180° = 45°.

Тоді один з кутів дорівнює 45° + 30° = 75°,

а інший – 180° – 75° = 105°;

а) α –3(α− β)

2 = 30°; 2α – 3α + 3β = 60°; 3β – α = 60°; α = 3β – 60°. Оскільки α + β = 180°,

то 3β – 60° + β = 180°; 4β = 240°; β = 60°.

Тоді один з кутів дорівнює 60°,

а інший – 180° – 60° = 120°;

б) β –3(α− β)

2 = 30°; 2β – 3α + 3β = 60°;

5β – 3α = 60°; 5β = 60° + 3α.

Оскільки α + β = 180°,

то α + 12° + 0,6α = 180°; 1,6α = 168°; α = 105°.

Тоді один з кутів дорівнює 105°,

а інший – 180° – 105° = 75°.

470. Доведіть, що

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

у сумі 180°: x + (x − 100°) = 180°.

2x − 100° = 180° ⇒ 2x = 280° ⇒ x = 140°.

менший кут: 140° − 100° = 40°.

В. 140° і 40°.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

125°.

55°, 55°, 125°, 125°.

Відповідь: Г. 125°, 55°, 125°. 3.

односторонні кути у сумі дають 180°;

- внутрішні різносторонні кути рівні;

- відповідні кути рівні;

- зовнішні односторонні теж мають давати 180°, але 40° + 40° ≠ 180°.

Перевіряємо кожен варіант: А. 130° + 90° = 220° ≠ 180° → не паралельні.

Б. 40° + 40° = 80° ≠ 180° → не паралельні.

В. внутрішні різносторонні 80° і 80° → рівні, отже прямі паралельні.

Г. 53° ≠ 127° → відповідні не рівні → не паралельні.

Відповідь: В.

4. Паралельні прямі із січною утворюють внутрішні різносторонні

Для паралельних

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

�� = 180∘ 150∘ = 30∘ .

Отже, кути: 30° і 150°.

Відповідь: Б. 30° і 150°.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) Ні; 2) Так.

481. Заданими

1) АМВ; AMC; KBN; KNA.

2) CKA.

3) CKB; BKA.

483. Накресліть

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) Ні, сторона PQ лежить проти кута R; 2) так, бо r = PQ; 3) ні, між сторонами PR і QR лежить кут R. 485. Накресліть

Сторони: DE, EF, DF; кути: F, D, E. Див. рис. 486. Накресліть трикутник і

1) ∠B, CD; ∠D, BC; ∠C,

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Так, бо 4 + 3 = 7; 7 > 6.

489. Чи може трикутник мати такі сторони: 1) 2 см, 3 см, 4 см; 2) 2 см, 3 см, 5 см; 3) 2 см, 3 см, 6 см; 4) 6 см, 7 см, 13 см; 5) 6 см, 7 см, 8 см; 6) 5 см, 12 см, 13 см?

1) Так, 2 + 3 = 5 см, 5 см > 4 см;

2) ні, 2 + 3 = 5 см, 5 см = 5 см;

3) ні, 2 + 3 = 5 см, 5 см < 6 см;

4) ні, 6 + 7 = 13 см, 13 см = 13 см;

5) так, 6 + 7 = 13 см, 13 см > 8 см;

6) так, 5 + 12 = 17 см, 17 см > 13 см.

490. Чи може трикутник

такі сторони: 1) 3 см, 4 см, 5 см; 2) 10 см, 10 см, 21 см?

1) так, 3 + 4 = 7 см, 7 см > 5 см;

2) ні, 10 + 10 = 20 см, 20 см < 21 см. 491. Проведіть

4) гострокутний; 2) рівнобедрений; 5)

3) різносторонній; 6) тупокутний.

1) FBC; 2) AFB i FBC; 3) ABC, ABD, FBD, BDC; 4) FBC; 5) ADB, FDB, BDC, ABC; 6) AFB.

492.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Див. рис. АВС – рівносторонній, DEF – рівнобедрений, NML – різносторонній, QWR –

гострокутний, XYZ – прямокутний, KTS – тупокутний.

493. Визначте вид трикутника, якщо його сторони

1) 3 см, 5 см, 7 см; 2) 0,3 дм, 30 мм, 3 см; 3) 0,06 дм, 0,1 см, 6 мм.

1) Трикутник різносторонній; 2) трикутник рівносторонній, бо 0,3 дм = 3 см = 30 мм;

3) трикутник рівнобедрений, бо 0,06 дм = 6 мм.

494. Визначте вид трикутника, якщо його

1) 6 см, 7 см, 8 см; 2) 0,1 дм, 10 мм, 1 см; 3) 0,2 дм, 0,2 дм, 3 см.

1) різносторонній;

2) рівносторонній;

3) рівнобедрений.

495. Назвіть

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) P = a + b + c = 12 + 16 + 18 = 45 (см);

2) с = 70 – (20 + 21) = 70 – 41 = 29 (см);

3) b = 40 – (8 + 17) = 40 – 25 = 15 (см);

4) а = 31 – (8 + 14) = 31 – 22 = 9 (см).

498. Знайдіть

якщо: 1) a = 14 см, b = 12 см; 2) а = 16 см, b = 17 см; 3) а = 8 см, b = 5 см.

1) P = a + 2b = 14 + 2 · 12 = 14 + 24 = 38 (cм);

2) Р = a + 2b = 16 + 2 · 17 = 16 + 34 = 50 (см);

3) Р = a + 2b = 8 + 2 · 5 = 8 + 10 = 18 (cм).

499.

см; 2) 45 см; 3) 72 см.

1) 36 : 3 = 12 (см);

2) 45 : 3 = 15 (см);

3) 72 : 3 = 24 (см).

500. Визначте

1) Прямокутний; 2) тупокутний;

3) тупокутний.

501. Який вид трикутника,

1) Прямокутний;

2) тупокутний;

3) тупокутний.

502. Побудуйте:

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) KL, KM – катети; LM – гіпотенуза; 2) LK, LM – катети; KM – гіпотенуза.

506. Побудуйте різносторінній трикутник. За

Див. рис. AM, BL, CN – медіани, О – точка їх

507.

508. У трикутнику ABC проведено медіани AK, BМ і CN. Яка довжина

AN, BN, AM, CM, BK, CK9, якщо: 1) AB = 5 см, BC = 7 см, AC = 8 см; 2) AB = 20 см, BC = AC = 22 см; 3) AB = BC = 10 см, AC = 16 см; 4) AB = BC = AC = 27 см?

1) AN = BN = 1 2 AB = 1 2 · 5 = 2,5 (см), АМ = СМ = 1 2 АС = 1 2 · 8 = 4 (см), ВК = СК = 1 2 ВС = 1 2 · 7 = 3,5 (см);

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

2) AN = BN = 1 2 AB = 1 2 · 20 = 10 (cм),

АМ = СМ = 1 2 АС = 1 2 · 22 = 11 (cм),

ВК = СК = 1 2 ВС = 1 2 · 22 = 11 (см);

3) AN = BN = 1 2 AB = 1 2 · 10 = 5 (cм),

АМ = СМ = 1 2 АС = 1 2 · 16 = 8 (см),

ВК = СК = 1 2 ВС = 1 2 · 10 = 5 (см);

4) AN = BN = 1 2 AB = 1 2 · 27 = 13,5 (см),

АМ = СМ = 1 2 АС = 1 2 · 27 = 13,5 (см),

ВК = СК = 1 2 ВС = 1 2 · 27 = 13,5 (см).

509. У трикутнику DEF

DM, FM, EK, FK, якщо DE = 6 см, EF = 5 см, DF = 6 см?

DN = 6 : 2 = 3 см, EN = 6 : 2 = 3 см,

DM = 6 : 2 = 3 см, FM = 6 : 2 = 3 см, EK = 5 : 2 = 2,5 см, FK = 5 : 2 = 2,5 см.

510. Побудуйте

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

∠EDK = 30° : 2 = 15°,

∠FDK = 30° : 2 = 15°,

∠DFN = 100° : 2 = 50°,

∠EFN = 100° : 2 = 50°,

∠DEM = 50° : 2 = 25°,

∠FEM = 50° : 2 = 25°.

515.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

518.

1) 70 – 36 = 34 (мм) – сума довжин двох інших сторін;

34 мм < 36 мм. Не існує.

2) 70 – 35 = 35 (мм) – сума довжин двох інших сторін;

35 мм = 35 мм. Не існує.

3) 70 – 34 = 36 (мм) – сума довжин двох інших сторін;

36 мм > 34 мм. Існує.

умовою

1) 50 – 24 =

1) 14 – (4 + 7) = 3 (см) –

сторона; 3 + 4 = 7 (см); 7 см = 7 см. Ні, не може.

2) 21 – (4 + 7) = 10 (см) – третя сторона; 4 + 7 = 11 (см); 11 см > 10 см. Так, може.

3) 31 – (4 + 7) = 20 (см) третя сторона;

4 + 7 = 11 (см); 11 см > 20 см. Так, може. 522. Дві

1) 12 – (3 + 4) = 5 (см) – третя сторона;

3 + 4 = 7 (см); 7 см > 5 см. Так, може.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

2) 14 – (3 + 4) = 7 (см) – третя сторона; 3 + 4 = 7 (см); 7 см = 7 см. Ні, не може.

3) 16 – (3 + 4) = 9 (см) – третя сторона; 3 + 4 = 7 (см); 7 см < 9 см. Ні, не може.

523. Чи можуть сторони трикутника

3, 5, 9?

1) Сторони трикутника не можуть

дорівнювати k см, 2k см і 3k см, де k – деяку число,

3k см, 4k см і 5k см, де k – деяке число, бо 5k < 3k +

3k см, 5k см і

виконується. 524.

см, тому трикутник рівносторонній; 2) якщо сторони трикутника

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

a + 2b.

1) a = P – 2b = 23 – 2 · 6 = 23 – 12 = 11 (см);

2) b = P−a 2 = 23−3 2 = 20 2 = 10 (см);

3) нехай основа дорівнює х см, тоді бічна сторона – (х – 2) cм. Рівняння: 23 = х + 2(х – 2); 23 = х + 2х – 4; 3х = 27; х = 9. Отже, основа дорівнює 9 см, бічна сторона – х – 2 = 9 – 2 = 7 (см).

528. Периметр рівнобедреного

2 см. Знайдіть периметр трикутника.

Третя сторона дорівнює 14 + 2 = 16 (см).

периметр дорівнює 10 + 14 + 16 = 40 (см).

Відповідь: 40 см.

530.

3х = 30; х = 10.

Отже, перша сторона

2х = 2 · 10 = 20 (см), друга – 10 см.

Відповідь: 20 см, 10 см. 531. У рівнобедреному трикутнику

n = 4, P = 63 см.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

периметр – P = a + 2an = a(1 + 2n), звідки a = P 1+2n .

1) Якщо n = 2, P = 50 см, то а = P 1+2n = 50 1 + 2 · 2 = 10 (cм),

b = na = 2 · 10 = 20 (см);

2) якщо n = 3, P = 35 см, то а = P 1+2n = 35 1 + 2 · 3 = 5 (cм),

b = na = 3 · 5 = 15 (см);

3) якщо n = 4, P = 63 см, то а = P 1+2n = 63

b = na = 4 · 7 = 28 (см);

· 4 = 7 (cм),

Відповідь: 1) 10 см, 20 см, 20 см; 2) 5 см, 15 см, 15 см; 3) 7 см, 28 см, 28 см.

533. Одна сторона трикутника дорівнює 7 см, друга сторона у 2 рази більша

третя —

4 см

сторона трикутника дорівнює 2 · 7 = 14 (см),

а третя – 14 – 4 = 10 (см).

Тоді периметр трикутника дорівнює :

Р = 7 + 14 + 10 = 31 (см).

Відповідь: 31 см.

534. Трикутник, периметр якого дорівнює 15 см, поділяється медіаною на два трикутники з периметрами 11

Р∆АВС = АВ + ВС + АС; Р∆ABD = AB + BD + AD; P∆BDC = BD + DC + BC.

Оскільки P∆ABD + P∆BDC = P∆ABC + 2BD, то 14 + 11 = 15 + 2BD; 2BD = 10; BD = 5 (см).

Відповідь: 5 см.

535. Доведіть,

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Нехай у рівнобедреному

Тоді Р∆ABD = AB + BD + AD = BC + BD + DC = P∆BDC.

Отже, P∆ABD = P∆BDC.

536. Основа

то AD = DC = 1 2 AC =

P∆ABD = AB + BD + AD; 30 = 13 + BD + 5; BD = 30 – 18; BD = 12 (см).

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Отже, трикутник прямокутний;

трикутника дорівнює 2 · 54° = 108°.

Отже, трикутник тупокутний; 4) якщо

дорівнює 2 · 54° = 108°.

Отже, трикутник тупокутний.

539.

а сума

Нехай a, b і c – сторони трикутника.

Тоді a + b = 20 см, b + c = 22 см, а + с = 28 см.

Додамо почастинно всі три рівності:

a + b + b + c + a + c = 20 + 22 + 28;

2a + 2b + 2c = 70; 2(a + b + c) = 70; 2P = 70; P = 35 (cм).

Відповідь: 35 см.

540. Накресліть довільний трикутник.

малюнку утворилося: 1) 3 трикутники; 2) 5 трикутників.

Див. рис. Утворилися трикутники: 1) ABC, NBD, MDC; 2) ABC, AON, ADB, MOD, MNB.

541.

Нехай BD – медіана, тому AD = DC, P∆ABD = P∆BDC.

P∆ABD = AB + BD + AD,

P∆BDC = BC + BD + DC,

звідки AB + BD + AD = BC + BD + DC; AB + AD = BC + DC; AB = BC.

. PCDB = a + BD + DC, PADC = b + DA + DC, звідки PADC – PCDB = b + DA +

Отже, PADC – PCDB = (b – a)(1 + �� (��2 –��2 ) ��2 +��2 ).

1) Якщо а = 6 см, b = 8 см, с = 10 см,

то: PADC – PCDB = (b – a)(1 + �� (��+��) ��2 +��2 ) = = (8 – 6)(1 + 10(8+6) 36+64 ) = 2 · 2,4 = 4,8 (см);

2) якщо а = 7 см, b = 24 см, с = 25 см, то:

PADC – PCDB = (b – a)(1 + �� (��+��) ��2 +��2 ) = = (24 – 7)(1 + 25(24+7) 49+576 ) = 17 · 2,24 = 38,08 (см);

3) якщо а = 5 см, b = 12 см, с = 13 см, то:

PADC – PCDB = (b – a)(1 + �� (��+��) ��2 +��2 ) = = (12 – 5)(1 + 13(12+5) 25+144 ) = 7 · 30 13 = 210 13 = 162 13 (см).

1) 7 см; 2)

2) 90° + 55° + 35° = 180°.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

+ 41° + 76° = 180°.

На мал. 1: ∠А + ∠В + С = 180°; ∠В = 180° –

553. Знайдіть

1) 180° – (20° + 40°) = 180° – 60° = 120°; 2) 180° – (100° + 30°) = 180° – 130° = 50°; 3) 180° – (80° + 60°) = 180° – 140° = 40°.

554.

70° і 50°.

1) 180° – (45° + 45°) = 180° – 90° = 90°; 2) 180° – (70° + 50°) = 180° – 120° = 60°.

555. Чи

41°?

1) Не можуть, бо 70° + 51° + 58° = 179° ≠ 180°;

2) можуть, бо 42° + 89° + 49° = 180°;

3) не

бо 65° + 75° + 41° = 181° ≠ 180°.

1) 60° + 61° + 59° = 180°; Так.

2) 52° + 79° + 48° = 179°; Ні.

557. За

1) Рівняння: 30° + n° + n° + 30 = 180°; 2n° = 120°; n° = 60°; n° + 30° = 60° + 30° = 90°;

1) 60°, 61°, 59°; 2) 52°, 79°, 48°?

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

2) рівняння: n° + 2n° + 72° = 180°; 3n° = 108°; n° = 36°; 2n° = 2 · 36° = 72°;

3) рівняння: 120° + n° + 30° + n° = 180°; 2n° = 30°; n° = 15°; n° + 30° = 15° + 30° = 45°.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) 180° - (90° + 30°) = 60°; 2) 180° - (90° + 41°) = 49°.

564. Якого виду трикутник, якщо

80° і 40°?

1) Третій кут трикутника дорівнює

180° – (40° + 50°) = 180° – 90° = 90°, тому трикутник прямокутний;

2) третій кут трикутника дорівнює

180° – (25° + 35°) = 180° – 60° = 120°, тому трикутник тупокутний;

3) третій кут трикутника дорівнює

180° – (80° + 40°) = 180° – 120° = 60°, тому трикутник гострокутний.

565. Якого виду трикутник, якщо два

180° - (30° + 60°) = 90°. Прямокутний.

566. Якщо два трикутники мають

Доведіть. Нехай АВС і MNK – два задані трикутники,

30°

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Відповідь: 140°.

572.

1) 180° – ∠А = 180° – 57° = 123°;

1) ∠С = 180° – (∠А + ∠В) = 180° – (35° +

BCD = ∠A + ∠B = 35° + 55° = 90°;

– 90° = 90°;

2) ∠A = 180° – (∠B + ∠C) = 180° – (45° + 45°) = 180° – 90° = 90°;

∠BCD = ∠A + ∠B = 90° + 45° = 135°;

3) ∠B = 180° – (∠A + ∠C) = 180° – (20° + 65°) = 180° – 85° = 95°; ∠BCD = ∠A + ∠B = 20° + 95° = 115°;

4) ∠BCD = ∠A + ∠B; ∠A = ∠BCD – ∠B = 60° – 30° = 30°; ∠C = 180° – (∠A + ∠B) = 180° – (30° + 30°) = 180° – 60° = 120°.

k°, 2k° і 3k° –

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

другий – 2k° = 2 · 30° = 60°, третій – 3k° = 3 · 30° = = 90°;

2) нехай 4k°, 5k° і 6k° – градусні

4k + 5k + 6k = 180; 15k = 180; k = 12.

Отже, перший кут дорівнює 4k° = 4 · 12° = 48°,

другий – 5k° = 5 · 12° = 60°, третій – 6k° = 6 · 12° = 72°;

3) нехай 5k°, 5k° і 8k° – градусні

5k + 5k + 8k = 180; 18k = 180; k = 10.

Отже, перший кут дорівнює 5k° = 5 · 10° = 50°,

другий – 5k° = 5 · 10° = 50°,

третій – 8k° = 8 · 10° = 80°.

575. Знайдіть

Нехай 2k°, 2k° і 5k° –

5k = 180; 9k = 180; k = 20.

Отже, перший кут дорівнює 2k° = 2 · 20° = 40°, другий – 2k° = 2 · 20° = 40°,

третій – 5k° = 5 · 20° = 100°.

576. Якого

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

2k° = 2 · 18° = 36°,

– 3k° = 3 · 18° = 54°.

579. Знайдіть

1) х + 5х + 90 = 180; 6х = 90; х = 15° - І гострий

2) 15 · 5 = 75° - ІІ гострий кут.

580.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

∠ADB = 180° – (∠A + ∠ABD) = 180° – (70° + 25°) = 180° – 95° = 85°,

∠СDB = 180° – (∠C + ∠DBC) = 180° – (60° + 25°) = 180° – 85° = 95°.

Отже, кути трикутника ABD дорівнюють 70°, 25° і 85°, а кути трикутника CBD – 60°, 25° і 95°.

Відповідь: 70°, 25° і 85°; 60°, 25° і 95°.

583. У трикутнику ABC ∠A = ∠C = 45°. Бісектриса BD ділить трикутник на

трикутники ABD і CBD. Знайдіть

Якщо BD – бісектриса кута В, то

∠ABD = ∠CBD = 180° (∠C+ ∠A) 2 =

∠ADB = 180° – (∠A + ∠ABD) = 180° – (45° + 45°) = 180° – 90° = 90°,

∠СDB = 180° – (∠C + ∠DBC) = 180° – (45° + 45°) = 180° – 90° = 90°.

Отже, кути трикутника ABD дорівнюють

Відповідь: 45°, 45° і 90°; 45°, 45° і 90°. 584. Знайдіть

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

∠ABD = ∠CBD = 90° : 2 = 45°. З прямокутного

∠BCD = 90° – ∠CBD = 90° – 45° = 45°. Отже, ∠DBA = ∠BCD

589. Висота трикутника

Знайдіть кути трикутника.

∠A = 90° – ∠ABD = 90° – 30° = 60°;

∠C = 90° – ∠СBD = 90° – 40° = 50°;

∠B = 30° + 40° = 70°.

Відповідь: 60°, 70°, 50°.

590. BD — висота трикутника

∠ABD = 90° – ∠BAD = 90° – 75° =

15°,

35°.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

= 75°. Відповідь: 15°, 75°.

593. Знайдіть

1) З мал. 1 одержимо: ∠1 = 180° – 140° = 40°, ∠2 = 180° – 70° = 110°, ∠3 = 180° – (40° + 110°) = 30°;

2) з мал. 2 одержимо: ∠3 = 180° – 120° = 60°,

∠2 = 120° – 50° = 70°,

∠1 = 180° – 70°) = 110°.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) 40°; 2) 55°; 3) 30°.

Якщо зовнішній кут

100° = 80°.

1) Тоді третій кут трикутника дорівнює

180° – (80° + 40°) = 180° – 120° = 60°.

Відповідь: 40°, 80°, 60°;

2) тоді третій кут трикутника дорівнює

180° – (80° + 55°) = 180° – 135° = 45°.

Відповідь: 55°, 80°, 45°;

3) тоді третій кут трикутника дорівнює

180° – (80° + 30°) = 180° – 110° = 70°.

Відповідь: 30°, 80°, 70°.

595. Знайдіть

1) 120°; 2) 132°; 3) 144°.

1) Якщо зовнішній кут

120° = 60°, тоді

Відповідь: 60°, 30°;

2) якщо

Відповідь: 48°, 42°;

Відповідь: 36°, 54°; 596.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Якщо AL

дорівнює 60°.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Якщо BL – бісектриса кута В, то ∠ABL = ∠CBL, якщо СК –

Тоді ∠ОВС + ∠ОСВ = 180° – 128° = 52°;

АВС + ∠АСВ = 2 · 52° = 104°.

трикутника АВС одержимо:

∠А = 180° – (∠АВС + ∠АСВ) = 180° – 104° = 76°.

Відповідь: 76°.

603. У трикутнику ABC ∠В = 110°, ∠C = 50°, AD —

CAD = 2∠BAD.

∠DBA = 180° – ∠CBA = 180° – 110° = 70°, тоді ∠BAD = 90° – ∠DBA = 90° – 70° = 20°.

∠CDA = 90° – ∠C = 90° – 50° = 40°.

Отже, ∠CAD = 2∠BAD.

604. У трикутнику

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

2) ∠С = 180° – (∠А + ∠В) = 180° – (40° + 60°) = 80°.

З трикутника СВН маємо:

∠СВН = 90° – ∠С = 90° – 80°= 10°.

Якщо BL – бісектриса кута В,

то ∠ABL = ∠CBL = 60° : 2 = 30°.

∠HBL = ∠CBL – ∠CBH = 30° – 10° = 20°.

Відповідь: 20°;

605.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

618.

1) Так;

2) так;

3) так, бо вони рівні; 4) ні, можна сумістити,

619. Побудуйте за

Див. рис.

620.

1) Ні, бо АС ≠ А1С1; 2) Ні, бо АD ≠ А1D1.

625. Чи можуть бути рівними трикутники: 1) рівнобедрений і рівносторонній; 2) різносторонній

1) Так, бо АF = А1F1 і АЕ = А1Е1. 626. Радіуси двох кіл рівні.

кола?

Так, бо точки обох кіл однаково віддалені

627. Сторони квадратів ABCD і

Так, сумістяться, оскільки

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

631. ∆АВС = ∆A1B1C1.

дм, AC = 20 см.

Оскільки ∆АВС = ∆А1В1С1, то РАВС = РА1В1С1 = АВ + ВС + АС.

Маємо: РА1В1С1 = 13 + 21 + 20 = 54 (см).

632. Периметри двох трикутників рівні. Чи будуть рівними

рівні. Наприклад, трикутники

сторонами 3 см, 4 см і 6 см та 5 см,

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

2 ∆ABD = ∆CBD

CВD, DB – спільна сторона;

646. ∆ABC = ∆KLM = ∆DEF. Заповніть таблицю.

647. У трикутників ABC і DEF: ∠A = ∠E, AB = 20

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) Оскільки CO = OD, AO = OB ∠COA = ∠DOB як

то ∆АОС =

за двома сторонами та кутом між ними.

2) Оскільки CO = OD, AO = OB ∠COA = ∠DOА як

то ∆АОD = ∆BOC за двома сторонами та кутом між ними.

650. У трикутників ABC і А1В1С1 АВ = A1B1,

Оскільки AD = A1D1, AC

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

654. Знайдіть на малюнках рівні трикутники.

= ∆CDО за стороною та

ВОА = ∠DOC як вертикальні, АО = ОС.

655. ∆АВС = ∆DEF = ∆PMN. Заповніть таблицю.

656. Визначте невідомий

DСО,

AB =

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Оскільки AB = DP, ∠A = ∠D, ∠B = ∠P, то ∆ABC = ∆DPM за стороною та двома

прилеглими до неї кутами.

Тоді: 1) AB = DP = 6,2 см;

2) ∠D = ∠A = 54°;

3) ∠B = ∠P = 46°39’;

4) PM = BC = 85 мм.

661. Дано: AO = OC, ∠OCB = ∠OAD. Доведіть: ∆COB = ∆AOD.

Оскільки АО = ОС, ∠ОСВ = ∠OAD, ∠BOC = ∠DOA як вертикальні,

662. Дано: AD

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Оскільки

трикутників ABD і ACD, то ∆ABD = ∆ACD за стороною та двома прилеглими до неї кутами.

664.

що

CD. Оскільки АО = ОС, ВО = OD, ∠AOB = ∠COD як вертикальні, то ∆АОВ = ∆COD за

та кутом між ними, звідки ∠АВО

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) Оскільки ОА = ОС, OD = OB, ∠

2) ∆OAD = ∆OCB.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

673. Дано: BO = OD, AB ∥ DC. Доведіть: ∆АОВ = ∆COD.

Оскільки BO = OD, ∠BAO = ∠DCO як внутрішні різносторонні

прямих АВ і CD та січній AC, ∠ABO = ∠CDO як внутрішні різносторонні

паралельних прямих АВ і CD та січній BD, то

прилеглими до неї кутами. 674. На малюнку AO = OC, ∠OCD = ∠OAB. Знайдіть: 1) AB, якщо CD = 10 см; 2) BD, якщо OD = 3 см.

1) Оскільки АО = OD, ∠OCD = ∠OAB, ∠DOC = ∠BOA як вертикальні, то ∆COD = ∆AOB

та двома прилеглими

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

687.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

= OD.

AO = OD, BO =

= OD, ∠A = ∠D, ∠AOM = ∠DON як

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Оскільки ОА = ОС, OD = OB як Суми рівних

OAD і OCB,

= AB, ∠MCD = ∠MAB як кути, суміжні

трикутниками, то ∆CDM = ∆ABM за стороною і двома прилеглими до неї кутами. У рівних трикутників відповідні елементи рівні, тому DM = BM. Оскільки DM = BM, OD = OB як сума рівних

∠CDM = ∠ABM, то ∆ODM = ∆OBM

що ∠DOM = ∠BOM, тому

690. Доведіть рівність

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

по прямій.

Встановлюють віхи на прямій АЕ у точках A, C й Е так, щоб AC = CE, аналогічно

прямій BD у точках B, C й D так, щоб BC = CD. Тоді відстань

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

KD = DF, KE = EF; ∠KDE = ∠FDE, ∠DKE = ∠DFE, ∠KED = ∠FED = 90°.

696. Чи

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) 6 см; 2) 7 см; 3) 8 см.

Бісектриса, проведена до основи, є

тому KN = NL.

1) KN = NL = KL : 2 = 6 : 2 = 3 (см);

2) KN = NL = KL : 2 = 7 : 2 = 3,5 (см);

3) KN = NL = KL : 2 = 8 : 2 = 5 (см).

700. У ∆АВС (AC = BC) проведена

= 0,7дм; 2) BO = 25 мм?

Бісектриса, проведена

AB = 2АО = 2ВО.

1) АВ = 2АО = 2 · 0,7 = 1,4 (дм); 2) АВ = 2ВО = 2 · 25 = 50 (мм).

701.

DFA = ∠EFA. Чи є

= FE

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

2) АВ = АС, ВН = НС;

3) АВ = ВС, АН = НС;

1) DF = EF,

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

2) DE = DF, EM = MF; ∠E = ∠F, ∠EMD = ∠FMD, ∠EDM = ∠FDM;

3) DE = FE, DM = MF; ∠D = ∠F, ∠DME = ∠FME, ∠DEM = ∠FEM.

1) Якщо β = 72°,

2) якщо β = 90°,

3) якщо β = 120°,

2) 40°; 3) 80°. Скільки

2 =

20°, 80°, 80°;

180° – 2 · 20° = 180° – 40° = 140°.

Відповідь: 20°, 20°, 140; 2)

дорівнюють по 180°− 40° 2 = 140° 2 = 70°.

Відповідь: 40°, 70°, 70;

– 2 · 40° = 180° – 80°

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

180°− 90° 2 = 90° 2 = 45°.

Відповідь: 90°, 45°, 45°;

180°− 120° 2 = 60° 2 = 30°.

Відповідь: 120°, 30°, 30°.

180°− 140° 2 = 40° 2 = 20°.

Відповідь: 140°, 20°, 20°.

710. Знайдіть

2) 100°.

180° - 2 · 80° = 20°. Відповідь: 80°, 50°, 50°; 20°, 80°, 80°.

2) Оскільки

180°− 100° 2 = 80° 2 = 40°.

Відповідь: 100°, 40°, 40°. 711.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

719. Чи є рівнобедреним трикутник ABC, якщо: 1) ∠A = 70°, ∠B = 80°; 2) ∠B = 36°, ∠C = 36°; 3) ∠A = 45°, ∠C = 45°? Відповідь

1) 180° - (70° + 80°) = 180° - 150° = 30°; Ні, бо всі кути різні.

2) Так, бо кути при основі рівні ∠B = ∠C;

3) 180° - (45° + 45°) = 180° - 90° = 90°; прямокутний рівнобедрений.

720. Чи є рівнобедреним трикутник KLM, якщо ∠K = 30°, ∠M = 30°? Відповідь обґрунтуйте.

Так, бо кути при основі рівні ∠К = ∠М.

721. Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений, якщо: 1) ∠A = 90°, ∠B = 45°; 2) ∠B = 36°, ∠C = 72°; 3) ∠A = 80°, ∠C = 50°.

1) Оскільки ∠А = 90°, ∠В = 45°, то

∠С = 180° – (∠А + ∠В) = 180° – (90° + 45°) = 180° – 135° = 45°.

Так як ∠В = ∠С = 45°, то трикутник АВС –

2) оскільки ∠В = 36°, ∠С = 72°, то

∠А = 180° – (∠В + ∠С) = 180° – (36° + 72°) = 180° – 108° = 72°.

Так як ∠А = ∠С = 72°, то трикутник

3) оскільки ∠А = 80°, ∠С = 50°, то

∠В = 180° – (∠А + ∠С) = 180° – (80° + 50°) = 180° – 130° = 50°.

Так як

= ∠С = 50°, то трикутник АВС

722. Доведіть, що трикутник KLM рівнобедрений, якщо ∠K = 40°, ∠L = 70°.

Оскільки ∠К = 40°, ∠L = 70°, то

∠M = 180° – (∠K + ∠L) = 180°

∠L = 180° – (∠K + ∠M) = 180° – (90° + 45°) = 180° – 135° = 45°,

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

2) нехай у трикутнику АВС BD ⊥ AC, BD – бісектриса,

∠ABD = CBD. Оскільки ∠ABD = ∠CBD, BD – спільна сторона трикутників ABD і CBD, ∠ADB = ∠CDB = 90°, то ∆ABD = ∆CBD за стороною і двома

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Рівняння: x + x + 3х = 180; 5x = 180°; x = 36°. Отже,

Відповідь: 36°, 36°, 108°.

Рівняння: x + 2x + 3х = 180; 5x = 180°; x = 36°.

Отже, кут при вершині дорівнює по 36°,

Відповідь: 36°, 72°, 72°.

730. Кут при основі рівнобедреного трикутника

Знайдіть кути трикутника, якщо: 1) n° = 30°; 2) n° = 60°.

Нехай кут при вершині рівнобедреного трикутника

x + n°.

Рівняння: x + x + n + x + n = 180°;

3х + 2n = 180°; 3х = 180° – 2n; 180°− 2n 3

1) Якщо n° = 30, то х =

Тоді х + n° = 40° + 30° = 70°.

Отже, кут

Відповідь: 40°, 70°, 70°;

2) Якщо n° = 60, то х = 180°− 2n 3 = 180°− 2 · 60° 3 = 60° 3 = 20°.

Тоді х + n° = 20° + 60° = 80°.

Отже, кут

Відповідь: 20°, 80°, 80°.

731.

50°, 65°, 65°;

x + 15°.

x + x + x + 15° = 180°;

+ 15° = 180°; 3х = 165°; x = 55°.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Рівняння: х + 2х + 2х = 180°; 5х = 180°; х = 36°.

Отже, кут

36°, а кути при основі – по 2х = 2 · 36° = 72°.

Відповідь: 36°, 72°, 72°;

вершині 2x.

Рівняння x + x + 2x = 180°; 4х = 180°; х = 45°.

Отже, кути при основі дорівнюють по 45°, а кут при вершині – 2х = 2 · 45° = 90°.

Відповідь: 90°, 45°, 55°.

732.

зовнішній кут у три

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

2) якщо α = 50°, то ∠КАС = 50° : 2 = 25°;

3) якщо α = 120°, то ∠

734. У рівнобедреному

= 120° : 2 = 60°.

1) якщо β = 25°, то

= ∠С = 90° – 25° = 65°; ∠В = 2 · 25° = 50°;

2) якщо β = 30°, то ∠А = ∠С = 90° – 30° = 60°;

∠В = 2 · 30° = 60°;

3) якщо β = 60°, то ∠А = ∠С = 90° – 60° = 30°;

∠В = 2 · 60° = 120°.

735. Доведіть, що

Трикутник ABD – рівнобедрений,

почастинно

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

DN = NM = MD. Отже, трикутник DMN

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

FAC, ∠FAD = ∠CAD = α.

Тоді ∠С + ∠В = 2α; 2∠С = 2α; ∠С = α.

Оскільки ∠DAC

то AD ∥ BC.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Нехай ∠АВС = х, тоді ∠ВАС = ∠ВСА = 2х.

Рівняння: х + 2х + 2х = 180°; х = 36°.

Тому ∠В = 36°, ∠А = ∠С = 2 · 36° = 72°.

Оскільки AD – бісектриса кута А,

то ∠BAD = ∠CAD = 72° : 2 = 36°.

Тому трикутник ABD – рівнобедрений (∠ABD = ∠BAD = 36°), звідки BD = AD.

У трикутнику ACD ∠DAC = 36°, ∠DCA = 72°, тоді ∠ADC = 180° – (36° + 72°, отже

рівнобедрений, AD = AC.

З рівностей BD = AD і AD = AC маємо, що BD = AC.

748. На малюнку AB = CD, ∆AOC — рівнобедрений. Доведіть, що ∆АВD = ∆CDB.

Оскільки трикутник АОС – рівнобедрений, то ∠ОАС = ∠ОСА.

Так як АВ = CD, АС – спільна сторона трикутників

і CDA, ∠BAC = ∠DCA, то ∆АВС = ∆CDA за двома сторонами та кутом

У рівних трикутників відповідні елементи рівні, тому ∠DAC = ∠BCA, AD =

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

січній ОС.

Тоді ∠NCO = ∠OCA = ∠CON,

= ON.

Оскільки AM = MO, ON = NC, то AM + NC = MO + ON = MN. Отже, АМ + NC = MN. 751. Доведіть,

1) Доведемо, що

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

756.

757.

Мал. 1: оскільки АО = OD, BO = CO, AB = DC, то

мал. 2: оскільки AB = CD, AD = CB, AC

то ∆АВС = ∆CDA за трьома сторонами;

мал. 3: оскільки BC = DC, AB = AD, AC

= ∆DOC

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

трьома сторонами;

2: оскільки АВ = CD, BC = DA, BD – спільна сторона

= ∆CDB за трьома сторонами;

759. Доведіть, що рівні трикутники

АВ

АВ = CD, BC = DA, AC – спільна

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Оскільки AN = CM, AM = CN, AC – спільна сторона трикутників ANC і CMA, то ∆ANC = ∆CMA за трьома сторонами. У рівних трикутників

AOD і COD, ∠AOD =

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) оскільки AB = CD, BC = AD, AC – спільна

2) оскільки AB = CD, BC = AD, AC –

тому ∠ABC = ∠CDA. Так як ВЕ й DF – бісектриси кутів B і D, то ∠ABE = ∠CDF = ∠CBE = ∠ADF.

Оскільки AB = CD, ∠BAE = ∠DCF, ∠ABE = ∠CDF, то ∆ABE = ∆CDF за

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Мал. 1: AC = DH, ∠C = ∠H, тому ∆CAB = ∆HDQ як

гострим кутом;

мал. 2: ∠CAD = ∠ACB, AC – спільна сторона трикутників

∆CDA як прямокутні трикутники

мал. 3: AO = DC, BO = OC, тому ∆BAO = ∆ODC

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

2) якщо ∠C = ∠F = 90°, ∠A = ∠D, AC = DF, то ∆CAB = ∆FDE і ∠B = ∠E, AB = DE, BC = EF;

3) якщо ∠C = ∠D = 90°, ∠A = ∠F, AC = DF, то ∆CAB = ∆DFE і ∠B = ∠E, AB = FE, BC = ED;

4) якщо ∠C = ∠F = 90°, AC = DF, AB = DE, то ∆CAB = ∆DFE і ∠A = ∠F, ∠B = ∠E, BC = ED.

779. Знайдіть

трикутників ABC і DEF, якщо: 1)

∠A = ∠D = 90°, AB = DE, AC = DF; 2) ∠B = ∠E = 90°, ∠C = ∠F, AC = DF; 3) ∠B = ∠F = 90°, ∠C = ∠E, AC = DE; 4) ∠C= ∠F = 90°, AC = DF, AB = DE.

1) якщо ∠А = ∠D = 90°, AB = DE, AC = DF, то ∆АВС = ∆DEF і ∠B = ∠E, ∠C = ∠F, BC = EF;

2) якщо ∠B = ∠E = 90°, ∠C = ∠F, AC = DF, то ∆BCA = ∆EFD і ∠F = ∠D, AB = DE, BC = EF;

3) якщо ∠B = ∠F = 90°, ∠C = ∠E, AC = DE,

то ∆BCA = ∆FED і ∠A = ∠D, AB = DF, BC = FE;

4) якщо ∠C = ∠F = 90°, AC = DF, AB = DE,

то

∆CAB = ∆FDE і ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, BC = EF.

780.

AC ⊥ CD, BD ⊥ CD.

1) 5 см; 2) 0,15 дм; 3) 100 мм.

AC = BD, – CD

тому AD = BC. Тоді: 1) AD = 5 см; 2) AD = 0,15 дм; 3) AD = 100 мм.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

AB = CD, BD

тому AD = BC.

Тоді 1) AD = 2,5 см; 2) AD = 50 мм; 3) AD = 0,4 дм. 782. Відрізки AB, KO і BO

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

∠DAB. Тоді ∠АСВ = ∠ADB = 180° 2∠DAB 2 = 90° – ∠DAB. Одержимо:

1) якщо ∠DAB = 10°, то ∠CAB = 10°, ∠ACB = ∠ADB = 90° – ∠

= 70°; 3) якщо ∠DAB = 30°, то ∠CAB = 30°, ∠ACB = ∠ADB = 90° – ∠DAB = 90° – 30° = 60°. 793. З точки M

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

800. Катет, протилежний куту 60°, дорівнює 14 см. Знайдіть

до гіпотенузи. З трикутника ВАС

AD = 1 2 AB = 1 2 · 14 = 7 (см).

Відповідь: 7 см.

801. У прямокутному трикутнику до

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

АСВ маємо: ∠А = 90° – 60° = 30°, тому AB = 2BC = 2 · · 6 = 12 (см). З

трикутника CDB одержимо: ∠DCB = 90° – 60° = 30°, тому DB = 1 2 BC = 1 2 · 6 = 3 (см).

Тоді AD = AB – DB = 12 – 3 = 9 (см).

Відповідь: 3 см 9 см.

803. Знайдіть AB, AD, CD і BD, якщо AC = a, BC = b, ∠ABC = 30°.

З трикутника ABC маємо: AB = 2AC = 2a, бо гіпотенуза прямокутного трикутника удвічі більша за катет, який лежить проти кута 30° і ∠А = 90° –30° = 60°. З трикутника ACD одержимо: ∠DCA = 90°

трикутника

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Якщо BC = 8 см, а CD = 4 см, то ∠DCB = 30°, ∠B = 60°. З прямокутного трикутника

∠А = 90° – ∠В = 90° – 60°=30°.

Відповідь: 30°, 60°, 90°.

806. У рівнобедреному трикутнику

= DC = 1 2 BC = 1 2 · 12 = 6 (см).

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

тоді MC = 1 2 DC = 1 2 · 6 = 3 (см).

АМ = AC – MC = 12 – 3 = 9 (см).

Відповідь: 9 см.

808. Кут,

Тоді АС = 2AD = 2 · 9 = 18 (см).

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Якщо ∠C = 60°, то ∠В = 90° – 60° = 30°. Нехай AC = x см, тоді BC = 2x см.

Рівняння; x + 2x = 45;

3х = 45; x = 15.

Отже, AC = 15 см, BC = 2x = 2 · 15 = 30 (см).

Відповідь: 30 см.

811. Один із

Оскільки АМ = MC = BM, то трикутник AMC – рівнобедрений, тому ∠

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Розв’язання: Сума кутів трикутника дорівнює 180°. Тоді третій кут дорівнює: 180° − 80° − 25° = 75°.

Відповідь: Г. 75°.

2. Зовнішній кут трикутника,

співвідношення правильне?

Відомо, що зовнішній кут трикутника дорівнює сумі

із ним.

Отже, α + β = 120°.

Відповідь: В. α + β = 120°.

4. У трикутників PQR і KLM: PR = KM,

PQ = 3 см, QR = 5 см, PR = 7 см?

За умовою маємо: PR = KM,

∠P = ∠K,

∠R = ∠M.

Отже, △PQR = △KLM

кути).

Тоді відповідні сторони

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

2AB + AC = 2KL + KM.

Підставляємо AC = KM ⇒ 2AB = 2KL ⇒ AB = KL.

Отже, AB = KL, BC = LM (бо BC = AB, KL = LM), і AC = KM, тому △ABC = △KLM (за трьома сторонами).

Тоді відповідні кути рівні, зокрема ∠A = ∠K

У △KLM: KL = LM ⇒ ∠K = ∠M (кути при основі рівнобедреного трикутника).

Нехай ∠M = x, тоді ∠K = x, а ∠L = x + 15°.

x + x + (x + 15°) = 180°

3x = 165°

x = 55°.

Отже, ∠A = ∠K = 55°.

Відповідь: Б. 65°.

6. У трикутнику DEF медіани DK і FM рівні, причому KE = ME. Яке із співвідношень

правильне?

K — середина EF (бо DK — медіана) ⇒ KE = KF.

M — середина DE (бо FM — медіана) ⇒ ME = MD.

За умовою KE = ME ⇒ KF = MD ⇒ EF/2 = DE/2 ⇒ EF = DE.

Отже, △DEF рівнобедрений (DE = EF).

Розглянемо трикутники △DMF і △DKF.

1. FM = DK (за умовою, медіани рівні).

2. DM = ME і KF = KE (за умовою KE = ME ⇒ DM = KF)

3. DF — спільна сторона для обох трикутників.

Отже, DM = KF, FM = DK, DF = DF.

Тому △DMF = △DKF

Звідси випливає рівність відповідних кутів:

∠DMF = ∠DKF.

Відповідь: А. ∠DMF = ∠DKF.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

816. Які

1) KB, KN, NC, CB, LD; 2) KB, NC, LD;

3) OC, OD, OB, ON, OL, OK.

817.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Потрібно

820.

см.

1) d = 2r; d = 2 · 6,5 = 13 (см);

2) d = 2r; d = 2 · 2,6 = 5,2 (см);

3) d = 2r; d = 2 · m = 2m (см);

4) d = 2r; d = 2 · 2n = 4n (см).

821. Знайдіть

1) r = d 2 ; r = 4,2 : 2 = 2,1 (см);

2) r = d 2 ; r = 8,2 : 2 = 4,1 (см);

3) r = d 2 ; r = а : 2 = 0,5а (см);

4) r = d 2 ; r = 2а : 2 = а (см).

822. Скільки

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

823. Круг із центром O

1) Оскільки 10 см > 2 см, точка A знаходиться поза кругом.

2) Оскільки 2 см = 2 см, точка A знаходиться на колі.

3) Оскільки 0,9 см < 2 см. Точка A знаходиться всередині круга.

4) Оскільки 3 см > 2 см, точка A знаходиться поза кругом. 824.

1) OB = 2 см; 2) OB = 3 см; 3) OB = 4 см?

2) Оскільки OB = R (3 см = 3 см), точка B

3) Оскільки OB > R (4 см > 3 см), точка B

825.

4) 4 см? Відповідь поясніть. Хорда не

Тому: 1) може; 2) може; 3) не може; 4) може.

826. Діаметр кола дорівнює

1) CD = 0,5 · 2 = 1 (дм);

2) CD = 30 · 2 = 60 (мм);

3) CD = 4,5 · 2 = 9 (см);

4) CD = 0,07 · 2 = 0,14 (дм).

830. Діаметр

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) оскільки 2 см = 0,2 дм, то AB ⊥ CD, якщо CD не є діаметром кола;

2) оскільки 30 мм ≠ 0,3 см, то AB не перпендикулярний до CD;

3) оскільки 40 см = 4 дм, то AB ⊥ CD, якщо CD не є діаметром кола; 4) оскільки 26 см ≠ 0,26 дм, то AB не перпендикулярний до CD. 833. Діаметр CD ділить хорду AB на відрізки 0,5 дм і 5 см. Чи можна стверджувати,

AB ⊥ CD? Відповідь поясніть. АР = 0,5 дм = 5 см; РВ

2) O1O2 = R – r.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) 4 + 6 = 10 см; 2) 1 + 6 = 7 см; 3) 5 + 4 = 9 см; 4) 9 + 5 = 14 см.

3) 5 : 2 – 4 : 2 = 0,5 см; 4) 9 : 2 – 5 : 2 = 2 см.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

851. AB і CD —

AD = 2 см, CD = 6 см; 2) AD = 1 см, CD = 4 см; 3) AD = 3 см, CD = 5 см. Яку закономірність помітили?

Оскільки

за двома сторонами і кутом між ними.

У рівних трикутників відповідні сторони рівні, тому AD = BC. PBOC = OB + OC + CB.

1) PBOC = 6 : 2 + 6 : 2 + 2 = 8 (см).

2) PBOC = 4 : 2 + 4 : 2 + 1 = 5 (см).

3) PBOC = 5 : 2 + 5 : 2 + 3 = 8 (см).

852. AВ і CD — діаметри

AD = 3

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

= 180° – 110° = 70°.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

і дотичною, якщо: 1) ∠AOB = 70°; 2) хорда

55°.

= 70°,

Тоді ∠NAB = 90° – 55° = 35°;

2) якщо AB = AO, то трикутник

90° – 60° = 30°.

1) 35°; 2) 30°; 859.

∠BAO = 30°. AO = 8 см.

= (180°

: 2

4 см.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

тому AB = ОВ = R, AC = OC = R. Отже, AB = AC = R. Відповідь: AB = AC = R. 864.

CАO = 90° : 2 = 45°.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

трикутників

= AC. Так як трикутник ABC –рівнобедрений, ∠ВАС = 60°, ∠ABC = ∠АСВ = (180° – 60°) : 2 = 120° : 2 = 60°, то трикутник ABC – рівносторонній.

Тоді AB = BC = AC. Отже, BC = AB = 4 см; 2) оскільки АВ = ВС = АС (див. п. 1), то ВС = (АВ + АС) : 2 = 10 : : 2 = 5 (см).

Відповідь: 1) 4 см; 2) 5 см. 866. Кола з

1) ∠AOO1 = ∠BOO1; 2 ) ∠OAB= ∠OBA; 3) AB ⊥ OO1.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Зовнішній дотик ОО1 = (r + R) = (ОА + О1А):

1) (х + 2х) = 18; 3х = 18; х = 6 см; r = 6 см;

R = 2 · 6 = 12 см;

2) (4х + 5х) = 18; 9х = 18; х = 2 см; r = 4 · 2 = 8 см;

R = 5 · 2 = 10 см;

3) (7х + 2х) = 18; 9х = 18; х = 2 см; r = 7 · 2 = 14 см;

R = 2 · 2 = 14 см;

4) (5х + х) = 18; 6х = 18; х = 3 см; r = 5 · 3 = 15 см; R = 1 · 3 = 3 см.

Внутрішній дотик ОО1 = (r – R):

1) (2х – х) = 18; х = 18; r = 18 см;

R = 2 · 18 = 36 см;

2) (5х – 4х) = 18; х = 18; r = 4 · 18 = 72 см;

R = 5 · 18 = 90 см;

3) (7х – 2х) = 18; 5х = 18; х = 3,6 см; r = 2 · 3,6 = 7,2 см;

R = 7 · 3,6 = 25,2 см;

4) (5х – х) = 18; 4х = 18; х = 4,5 см; r = 4,5 см;

R = 5 · 4,5 = 22,5 см.

868. Кола з центрами O і O1

випадки. Зовнішній дотик ОО1 = (r + R) = (ОА + О1А): (3х + 2х) = 10; 5х = 10; х = 2 см; r = 2 · 2 = 4 см; R = 3 · 2 = 6 см.

Внутрішній дотик ОО1 = (r – R): (3х

r = 3 · 10 = 30 см; R = 2 · 10 = 20 см.

Оскільки AB = BC = ОС = ОВ = ОА, то трикутники

АВО = ∠ОBC = 60°, звідки ∠ABC = ∠АВО + ∠ОВС = 60° + 60° = 120°.

Відповідь: 120°.

871. З точки кола

AC = 2ОМ = 2 · 30 = 60 (см), AB = 2ON = 2 · 10 = 20 (cм).

20 см, 60 см.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

ОК, ОВ = OD = R, то ∆OMB = ∆OKD як прямокутні

гіпотенузою.

У рівних трикутників відповідні сторони рівні, тому MB = KD.

Перпендикуляри OM та СD ділять хорди AB та СD навпіл, тому AМ = MB і CK =KD, тому AB = CD.

Оскільки SM = SK і АМ = CK, то SA = SC.

Аналогічно можна показати, що SB = = SD.

876. На малюнку: AB, CD, MN —

AB ∥ CD. Доведіть, що ∠MON = 90°.

∠ANM + ∠NMC = 180° як сума

AB і CD та січній NM. NO – бісектриса

ANM, MO

ONM + ∠OMN = 1 2 ∠ANM + 1 2 ∠NMC =

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Оскільки В і C – точки дотику, то ОВ ⊥ AB, ОС ⊥ AC.

Оскільки ОВ = ОС як радіуси, ОА – спільна сторона трикутників АВО й АСО, то ∆АВО = ∆АСО як прямокутні трикутники за катетом і гіпотенузою.

У рівних трикутників відповідні

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) а = 2 см; 2) а = 36 мм; 3) а = 9 дм.

1) R = а 2 = 2 2 = 1 (см);

2) R = а 2 = 36 2 = 18 (мм);

3) R = а 2 = 9 2 = 4,5 (дм).

930. Гіпотенуза прямокутного трикутника

Гіпотенуза

5 : 2 = 2,5 см.

931. Навколо прямокутного

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

- бісектриса ∠A, тоді ∠A =2 ⋅ ∠OAC =2 ⋅ 30∘ = 60∘ . СО - бісектриса ∠C, тоді ∠C =2 ⋅ ∠OCB = 2 - 40∘ = 80∘

т. про суму кутів трикутника: ∠B = 180∘ (∠A + ∠C)= 180∘ (60∘ + 80∘ ) = 40∘ .

Відповідь: 60∘ ; 40∘ ; 80∘ . 942.

BK , якщо BL =3 см.

2) △ �� =△ �� (за гіпотенузою і катетом),

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Дано: △ DEF - описаний

DМ - 7 см. K, L, М - точки дотику.

Знайти: DK.

ΔKOD = ΔМOD (за

трикутників DK =7 см.

Відповідь: 7 см. 944. Рівнобедрений

O, точки A, B, C - точки дотику.

дотику.

Знайти:

1) CF , якщо BF =5 см

CF =5 см.

2) �� , якщо �� =5 см

3) AE , якщо BE =4 см.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Дано: △ ABC - рівносторонній. D, E, F

DOB =△ EOB (за

�� = �� як

Відповідь: 4 см.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) 2 см і 4 см; 2) 11 см i 22 см.

Дано: △ ABC - рівносторонній; BD висота.

Знайти: BD, якщо:

1) r=2 смiR =4 см. �� = �� + �� = �� + �� =4+2=6(СМ). 2) r= 11 смiR = 22 см. �� = �� + �� = �� + �� = 22 + 11 = 33(��)

Відповідь: 1) 6 см ; 2) 33 см . 949.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

BL = BK =4 см.

Маємо: LC = BC − BL = 12 − 4=8(см).

Тоді МC= LC =8 см i

AC =AМ + МC=8+8= 16(см).

Отже, PABC = AB + BC + AC = 12 + 12 + 16 = 40(см). 960.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

М = AK = 5xсм.

BL = BK = 7xсм.

Маємо: �� = �� = 12��− 7�� =5�� (см).

Тоді �� = �� = 5x см.

AC =AМ + МC.

Рівняння: 10 = 5x + 5x;

10x = 10;

x=1.

Тоді AB = BC = 12 ⋅ 1= 12(см)

Отже, PABC = AB + BC + AC = 12 + 12 + 10 = 34 (см).

Відповідь: 34 см

962.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) Якщо м =4 см,n=6 см,r=2 см,

�� =2(4+6+2)=2 ⋅ 12 = 24 СМ:

2) якщо м =3 см,n= 10 см,r=2 см,

�� =2(3+ 10 +2)=2 ⋅ 15 = 30 см;

3) якщо м =5 см,n= 12 см,r=3 см,

РAВС =2(5+ 12 +3)=2 ⋅ 20 = 40 см;

4) якщо м =4 см,n= 21 см,r=3 см,

ABC =2(4+ 21 +3)=2 ⋅ 28 = 56 см.

1) Рівняння: 24 = (3 + 4 + 5) x; 12x = 24; x=2. Тоді AB = kx =5 ∙ 2= 10(см), BC = мx=3 ∙ 2=6(см), AC = nx =4 ∙ 2=8(см).

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Тоді r= �� + �� 2 = 6+8 10 2 =2 см;

2) рівняння:

12 = (8+ 15 + 17)x; 40x = 12;

x=0,3.

Тоді AB = kx = 17 ⋅ 0,3=5,1(дм),

�� = �� =8 ⋅ 0,3 =2,4(дм),

�� = �� = 15.

0,3=4,5( дм ).

Тоді r= �� + �� 2 = 2,4 + 4,

3) рівняння:

0,6= (5+ 12 + 13)x; 30x =0,6;x=0,02.

Тоді AB = kx = 13 ⋅ 0,02 =0,26(м),

BC = мx=5 ⋅ 0,02 =0,1(м),

AC = nx = 12 ⋅ 0,02 =0,24(м).

Тоді

967. Із

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

= (�� + �� ) + �� + �� = = (�� + �� ) + �� + �� =

=(�� + ��)+(�� + МB ) = SB+ KB. Оскільки трикутник

то SB=SA= KB = CK. Тому �� + �� = �� + �� = �� = �� .

971. До

+ �� + �� )= ��1 + ��2 + ��3 972.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

сторонами: 1) 2 см, 3 см, 4 см; 2) 3 см, 3 см, 3 см; 3) 2,5 см, 6 см, 6,5

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

4. Промінь AD

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

2. З точок В і С описуємо два

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

правильне?

А. ∠OAB = ∠OAC. Б. ∠A = ∠B. В. BC = R. Г. OC

Тобто OA = OB = OC = R. Отже, OC = R.

Відповідь:

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

∠OAK = 90°.

Відповідь: Г

утворився рівносторонній трикутник AOM. Яке із співвідношень правильне?

А. AC = 10 см. Б. CN = 2,5 см. В. ∠NAM = 90°. Г. ∠CON = 60°.

Розв'язання:

Трикутник AOM рівносторонній, OA = OM = 5 см (радіуси), і AM = 5 см. Усі кути рівностороннього трикутника = 60°, тому ∠AOM = 60°.

∠CON = ∠AOM = 60° (як вертикальні кути).

Відповідь: Г

4. Рівнобедрений трикутник ABC описаний

А. 25°. Б. 40°. В. 50°. Г. 80°. Розв'язання:

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

прямокутному трикутнику середина гіпотенузи є центром описаного кола.

OA = OC = R

BO — медіана в △ABC

△BHC ∼ △ABC (прямокутні, C — спільний), ∠CBH = ∠A

∠OBH = ∠A (за умовою)

∠CBH = ∠OBH, тобто BH — бісектриса ∠OBC BH — бісектриса і висота в △OBC ⇒ BH — медіана, OH = OC/2 = R/2

AH = OA + OH = R + R/2 = 1,5R

Відповідь: В

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) АВ = 10 см = 100 мм, BC = 0,55 дм = 55 мм; AB = AC + CB; 100 = 45 + 55.

Отже, точка С лежить на відрізку AB.

2) АС = 0,5 дм = 50 мм, AB = 9,6 см = 96 мм; AB = AC + CB; 96 ≠ 50 + 41.

Отже, точка С не лежить на відрізку AB.

5. Чи можуть точки A, В, C лежати на одній прямій, якщо: 1) AB = 3,7 см, BC = 42 мм; AC = 0,8 дм; 2) AC = 90 мм, BC = 3,8 см, AB = 0,52 дм?

1) AB = 3,7 см = 37 мм, AC = 0,8 дм = 80 мм, 80 ≠ 37 + 42. Отже, точки A, В і C не лежать на одній прямій.

2) BC = 3,8 см = 38 мм, AB = 0,52 дм = 52 мм, 90 = 38 + 52. Отже, точки A, В і C

на одній прямій.

6. Точки А, В, C i D послідовно розміщені

Нехай точка К – середина

AB = = CD. Доведіть, що

BC = BN + NC = BN + AM + MB + BN = 2BN + 2MB = 2(MB + BN) = 2MN.

A, В

1) AC = AB + BC = 6 + 10 = 16(см);

2) AC = BC – AB = 10 – 6 = 4(см).

1) AB = OA – OB = 8 – 4 = 4 (см);

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

2) якщо M – середина AB,

то AM = BM = AB : 2 = 4 : 2 = 2 (см).

Тоді OM = ОВ + BM = 4 + 2 = 6 (см);

ІІ випадок.

1) AB = ОА + ОВ = 8 + 4 = 12 (см);

2) якщо М – середина AB,

то AМ = BM = AB : 2 = 12 : 2 = 6 (см).

Тоді OM = ОА – АМ = 8 – 6 = 2 (см). 10.

№ 1 і № 3 – 4

= 5 – 4 = 1 (км);

ДТ = ПД + ПТ = 5 + 4 = 9 (км).

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Див. рис.

15.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

навпіл, її довжина становитиме 1 м. Після цього достатньо

кута AOB, якщо: 1) ∠AOC = 92°, ∠BOC = 43°, ∠AOB = 49°; 2) ∠AOC= 30°, ∠BOC = 65°, ∠AOB = 95°?

Якщо промінь ОС проходить між сторонами кута АОВ,

АОС + ∠СОВ = ∠АОВ.

1) 92° + 43° = 135° ≠ 49° – не проходить; 2) 30° + 65° = 95°, 95° = 95° – проходить.

24.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) Може утворитися

37.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Аксіомами є твердженням 1), 3) і 5).

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) збільшити на 3 см; 2) збільшити у 3 рази; 3) зменшите в 1,5 раза; 4) зменшите на 1,5 см?

Нехай задано трикутник ABC.

РАВС = AB + AC + BC.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

∠A = 180° – 2α, ∠B = 180° – 2β;

∠C = 180° – ∠A – ∠B = 180° – (180° – 2α) –

(180° – 2β) = 2α – 2β – 180°.

З рівності ∠DCK = ∠C складаємо рівняння: 180° – α – β = 2α – 2β – 180°; 3α + 3β = 360°; α + β = 120°.

Отже, ∠C = 180° – 120° = 60°.

65. Крокви

горизонту?

кути

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

∠DAC = 180° – (∠CAB + ∠DAM) = = 180° – (35° + 74°) = 180° – 109° = 71°.

Bідповідь: 71°.

68.

властивістю прямокутного

лежить проти кута 30°, тому BD = 2АВ. Оскільки ∠ADB = 30°, то ∠BDC = = 180° – 30° = 150°.

Tоді ∠DBC = 180° – (∠C + ∠BDC) = = 180° – (15° + 150°) = 180° – 165° = 15°,

трикутник BDC –

75.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Оскільки AB = BC, ВХ – спільна сторона трикутників

> PBCX. Oбернене твердження: якщо периметр

трикутника BCX, то відрізок AX більший

PBCX.

PABX = AB + BX + AX, PBCX = BC + BX + CX.

Oскільки AB = BC, BX – спільна сторона

2) PABX – PBCX = (AB + BX + AX) – (BC + BX + CX) = (AB – BC) + (BX – BX) + (AX – CX) = AX – CX = 2;

3) PABX – PBCX = m; (AB + BX + AX) – (BC + BX + CX) = m; (AB – BC)+ (BX – BX) + (AX – CX) = m; AX – CX = m.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

Oскільки трикутник ABC – прямокутний і рівнобедрений, то ∠C = ∠A = 45°. Bисота BD

трикутника ABC, проведена з його вершини, є одночасно медіаною бісектрисою, тому ∠CBD = ∠ABD = 45°. Отже, трикутник BCD – рівнобедрений (∠DCB = ∠DBC = 45°),

звідки BD = DC = 28 : 2 = 14 (см).

Відповідь: 14 см.

82. На гіпотенузі рівнобедреного прямокутного трикутника

відрізок AM = AB. Через точку M

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

прямокутного трикутника DAE з кутом 30° маємо: AD = 2DE = 2 · 10 = 20 (см).

У прямокутному трикутнику DFE ∠DEF = 30°,

бо ∠ADE = 60°. DE = 10 см,

тоді FD = 1 2 DE = 1 2 · 10 = 5 (см).

Tоді AF = AD – FD = 20 – 5 = 15 (см).

прямокутного трикутника AFM FM = 1 2 AF = 1 2 · 15 = 7,5 (см).

Bідповідь: 7,5 см.

84. Бісектриси двох

1) Нехай а ∥ b, BD – бісектриса кута CBM,

звідки ∠CBD = ∠DBM = 1 2 ∠CBM;

∠CBM = 2∠CBD; CD – бісектриса кута BCN,

звідки ∠NCD = ∠DCB = 1 2 ∠BCN; ∠BCN = 2∠BCD.

Tоді ∠CBM + ∠BCN = 180°;

2∠CBD + 2∠BCD = 180°;

2(∠CBD + ∠BCD) = 180°;

∠CBD + ∠BCD = 90°. З трикутника BCD ∠BDC = 180° – 90° = 90°,

собою; 2) Hехай

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

2) нехай ∠MBL = 15°. Oскільки

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

1) нехай ∠С = 40°, тоді ∠А = 90° – ∠C = 50°. Оскільки BL –

∠ABL = ∠LBC = 45°. Tоді з

AHB ∠ABH = 90° – ∠A = 90° – 50° = 40°,

∠HBL = ∠ABL – ∠ABH = 45° – 40° = 5°.

Bідповідь: 5°;

2) нехай ∠C = 40°, тоді ∠А = 90° – ∠C = 50°. Oскільки BL –

∠ABL = ∠LBC = 45°. У прямокутному трикутнику

дорівнює її половині, тому трикутник BMC –

∠LBM

Bідповідь: 5°.

3) нехай ∠C = 40°, тоді

= 50° – 40° = 10°. Відповідь:

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

дорівнюватимуть

(180° –40°) : 2 = 140° : 2 = 70°,

= 110°;

2) ∠DBC = 180° – ∠ABC = 180° – 40° = 140°, ∠A = ∠C = (180° – 40°) : 2 = 70°, ∠BCE = 180° – ∠BCA = 180° – 70° = 110°.

DBC, то ∠DBF = ∠FBC = 140° : 2 = 70°; так як CF –

= ∠FCE = 110° : 2 = 55°. З трикутника BFC ∠F = 180° – (∠B + ∠C) = = 180° – (70° + 55°) = 180° – 125° = 55°;

3_1) якщо

по (180° – α) : 2 = 90° –α 2

Hехай АN ∥ CB. ∠NAB = ∠ABC як

AN і CB та січній AB. ∠MAN = ∠ACB як

прямих AN і CB та січні MC. ∠MAN = ∠BAN, бо AN

ACB = ∠ABC тоді трикутник

1) Oскільки

= K1B1

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

= ∆A1B1C1,

∆LCM = ∆L1C1M1 і

BL = B1L1,

= ∆A1K1M1;

як KL = K1L1, LM = L1M1, KM = K1M1, то ∆KLM = K1L1M1 за трьома сторонами;

2) якщо точки K і K1, L і L1, M і M1

∆KMB = ∆K1M1B1, ∆KBL = ∆K1B1L1,

= ∆A1C1L1,

= ∆K1A1M1, ∆KAL = ∆K1A1L1,

= ∆M1C1L1.

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

дві медіани AM і CN, то

∆ANC = ∆BNC = ∆AMC = ∆AMB і ∆ANO = ∆CMO, усього

трикутників;

3) якщо провести три медіани BK, AM і CN, то одержимо такі рівні трикутники ∆ANC =

∆BNC = ∆AMC = = ∆AMB = ∆BKA = ∆BKC (15 пар), інші

∆BOM = ∆COM = ∆COK = ∆AOK = ∆AON (15 пар), рівні

(3 пари), 15 + 15 + 3 = 33 (пари)

трикутники ∆BON = =

https://shkola.in.ua/2437-hdz-heometriia-7-klas-burda-2015.html

За умовою, BM = МЕ, АМ = MC, CN = NF, BN = NA. Oскільки CN = NF, BN = NA, ∠FNA = ∠CNB, то ∆FNA = ∆CNB за двома сторонами та кутом між ними звідки ∠FAN = ∠NBC; так як BM = ME, AM = MC, ∠BMC = ∠EMA, то ∆AME = ∆CMB за двома сторонами та

кутом між ними, звідки ∠MAE = ∠MCB. Tоді ∠FAN + ∠NAM + ∠MAE = ∠NBC + ∠NAM + ∠MCB = 180° як сума кутів трикутника. Oскільки сума

розгорнутий

У рівнобедреному

трикутник NBM – рівнобедрений,

трикутників ABC і NBM кут B – спільний, то ∠BNM = ∠BAC. Отже, оскільки AB є січною для прямих NM і AC