h-8-hm-bu by sloven

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

АС + ВС = 4,5 + 5,5 = 10 см = АВ.

Отже, точка С лежить на відрізку АВ.

2) ВС = 41 мм = 4,1 см

АС = 0,5 дм = 5 см

АВ = 9,6 см

Перевірка:

АС + ВС = 5 + 4,1 = 9,1 см, а АВ = 9,6 см.

Не дорівнює, отже точка С не

Відповідь:

1. Так, лежить.

2. Ні, не лежить.

6. Відстань між містами на карті становить 5 см.

туристам, якщо масштаб карти 1 : 300 000?

Масштаб 1 : 300 000 означає,

Знайдемо реальну відстань: 5 ⨯ 300000 = 1500000 см.

Переведемо в кілометри: 1500000 см : 100 = 15000 м : 1000 = 15 км.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) 6 м; 2) 5 м?

Маємо

1) Як відрізати 6 м:

Скласти

Від половини (4 м) відкласти ще

Разом: 4 м + 2 м = 6 м.

2) Як відрізати 5 м:

Скласти весь шматок навпіл → 4 м.

Залишок — теж 4 м.

Цей залишок поділити навпіл → 2 м.

Від 4 м додати половину з другого шматка (1 м із 2 м).

Отримаємо 4 м + 1 м = 5 м.

10. Зобразіть точками на площині

шматка (тобто 2 м).

Нехай BC = x, тоді AC = 4x.

З умови:

AC + BC = AB

4x + x = 10

5x = 10.

x = 2 км,

AC = 4x = 8 км.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

�� = �� + �� = 600 + 200 = 800 м.

13. OC —

Відповідь:

1) ∠АОС = 92° , ∠ВОС = 43°, ∠АОВ = 48°;

2) ∠АОС = 30°, ∠ВОС = 65°, ∠АОВ = 95°? Промінь �� лежить

1) 1 хв; 2) 5 хв; 3) 10 хв?

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

даній прямій АВ.

Для того щоб провести пряму, паралельну

Намалюйте

O, яка не лежить на прямій AB .

2. Перше перегинання (Побудова

означає, що ви повинні

�� + �� = 50∘ ⟹�� = 25∘ .

інші (суміжні) = 180∘ 25∘ = 155∘ .

кути: 25∘ , 155∘ , 25∘ , 155∘ .

�� +2�� = 180∘ ⟹�� = 60∘ ,2�� = 120∘ .

1. 90∘ , 90∘ , 90∘ , 90∘ ;

2. 25∘ , 155∘ ,

1) 3 см, 5 см, 9 см; 2) 5 см, 4 см, 2 см? Для існування

1. 3+5=8 ≤ 9

2. 5+4=9>2,5+2=7>4,4+2=6>5

1) ні; 2) так

1,5 см:

��4 =(��− 1.5)+(��− 1.5)+(��− 1.5)= ��− 4.5 ⟹ віднялось 4.5 см.

Відповідь:

1. �� +9 (на 9 см більше);

2. 3�� (у 3 рази більше);

3. 2 3 �� ;

4. ��− 4.5 (на 4,5 см менше).

34. Як зміниться довжина сторони рівностороннього

1) зменшити на 12 см;

2) збільшити в 6 разів? У рівносторонньому трикутнику

1. Якщо �� зменшити

дорівнює: 1) 12 см; 2) 15 см?

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1. якщо гіпотенуза = 12 см, бісектриса =6 см;

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) прямим; 2) гострим; 2) тупим?

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

нульову позначку по відрізку �� (або �� ), і

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

(інцентр) співпадає

трикутника, який ділить висоту у відношенні 2 ∶ 1, починаючи від вершини. Це означає, що радіус вписаного кола �� становить одну третину висоти ℎ трикутника.

3. Обчислення радіуса вписаного кола: За умовою, висота, проведена до основи (а в рівносторонньому

висота), дорівнює 12 см. ℎ = 12 см.

12 +

b= 115 (23 + 30 + 35)= 27(см);

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Отже сторони: 30 см, 60 см, 60 см та 60 см.

Відповідь: 30 см, 60 см, 60 см, 60 см.

81. Чи може чотирикутник мати такі сторони:

1) 1 см, 2 см, 3 см, 4 см; 2) 18 см, 6 см, 5 см, 6 см?

1. 4<1+2+3;4<6; так, можуть; 2. 18 >6+5+6; ні, не можуть.

82. Чи може чотирикутник мати такі сторони: 2 см, 3 см, 5 см, 10 см?

10 =2+3+5; ні, не може.

83. За даними

чотирикутника.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай �� =9; �� =3�� = 27;

�� = ��− 8= 19;

�� = ��− 10 =9;

�� = �� + �� + �� + �� = 64.

Відповідь: 64 см

100.

сторони

Чи може периметр чотирикутника дорівнювати:

1) 90 см; 2) 72 см; 3) 115 см?

Нехай x - четверта сторона; P = 10 + 15 + 20 +x= 45 +x;

умова чотирикутника:

�� < 10 + 15 + 20 = 45

та �� >0 ⇒ 0< �� < 45 ⇒ 45 < �� < 90;

�� = 90 ⇒�� = 45 - ні;

�� = 72 ⇒�� = 27 - так;

�� = 115 ⇒�� = 70 - ні.

Відповідь: 72 см.

101. Доведіть, що кожна діагональ чотирикутника

Нехай ABCD — чотирикутник, P = AB + BC + CD + DA.

Для діагоналі AC:

AC < AB + BC (△ABC), AC < AD + CD (△ACD).

Додаємо:

2AC < (AB + BC) + (AD + CD) = P ⇒ AC < �� 2 .

Аналогічно для BD:

BD < AB + AD (△ABD), BD < BC + CD (△BCD)

⇒ 2BD < P ⇒ BD < �� 2 .

Отже,

102.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай ABCD — чотирикутник.

трикутника

AC < AB + BC (△ABC), BD < AD + CD (△BCD).

Додаємо почленно:

AC + BD < (AB + BC) + (AD + CD) = AB + BC + CD + DA = P.

Отже, сума діагоналей чотирикутника менша від його периметра.

103. У чотирикутнику ABCD діагональ BD ділить

кути B і D навпіл.

Доведіть, що AB = CB і DA = DC.

∆ABD = ∆CBD (за II ознакою рівності трикутників); BD — спільна стopoнa; ∠ABD = ∠CBD; ∠ADB = ∠CDB (за умовою).

З рівності трикутників маємо: AB = СВ і AD = CD.

104. Доведіть, що в чотирикутнику ABCD діагоналі AC і BD — перпендикулярні, якщо

AB = CB і DA = DC.

AB = ВС; AD = CD (за умовою). BD — спільна сторона ∆ABD і ∆CBD.

Звідси ∆ABD = ∆CBD. З рівності трикутників маємо ∠ABD = ∠CBD. АС і BD

перетинаються в т. О.

∆АВО= ∆СВО (І ознака); АВ = СВ (за умовою); ∠ABD = ∠CBO (доведено вище); ВО — спільна сторона.

З рівності ∆АВО і ∆СВО: ∠AOB = ∠COB, але ∠AOB + ∠COB = 180° (суміжні кути).

Звідси ∠AOB = 90°, ∠COB = 90°. Тобто АС ⊥ BD.

105. Знайдіть кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам: 1) 1, 2, 3 і 4; 2) 4, 6, 12 і 14. 1) Нехай кути чотирикутника: х; 2х; 3x; 4х, тоді x + 2x + 3x + 4x = 360°; 10x = 360°; x = 360° : 10;

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

x = 36°;

∠1 = 36°; ∠2 = 2 ∙ 36° = 72°; ∠3 = 3 ∙ 36° = 108°; ∠4 = 4 ∙ 36° = 144°;

2) ∠1 = 4х; ∠2 = 6х; ∠3 = 12х; ∠4 = 14x; 4х + 6х + 12х + 14х = 360°; 36x = 360°; x = 360° : 36; x = 10°;

∠1 = 4 ∙ 10° = 40°; ∠2 = 6 ∙ 10°= 60°; ∠3 = 12 ∙ 10° = 120°; ∠4 = 14 ∙ 10° = 140°.

106. Знайдіть кути чотирикутника, якщо вони

пропорційні числам 1, 2, 4 і 5.

∠1 = х; ∠2 = 2х; ∠3 = 4х; ∠4 = 5х; х + 2х + 4х + 5х = 360°; 12х = 360°; x = 360° : 12; х = 30°;

∠1 = 30°; ∠2 = 2 ∙ 30° = 60°; ∠3 = 4 ∙ 30° = 120°; ∠4 = 5 ∙ 30° = 150°.

107.

1) тупих; 2) прямих; 3) гострих? 1)

180° – 38° = 142°; 180°– 158° = 22°; 180° – 44° = 136; 180° – 120° = 60°. 2) 49°; 145°;

= 720° – 360° = 360°.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

113. Чи існує чотирикутник,

1) 120°, 80°, 59° і 101°;

2) 49°, 98°, 68° і 125°?

1) 120° + 80° + 59° + 101° = 360°.

Отже, такий чотирикутник існує.

2) 49° + 98° + 68° + 125° = 340° ≠ 360°.

Отже, такого чотирикутника не існує.

114. Чи існує чотирикутник,

100° + 55° + 160° + 45° = 360°.

Отже, такий чотирикутник існує.

115. Знайдіть

Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°.

Сума всіх зовнішніх кутів чотирикутника дорівнює

Отже, сума зовнішніх кутів чотирикутника

чотирикутника.

116. За

Мал. 25

∠BAD = 180° – 70° = 110°;

∠CDA = 180° – 60° = 120°;

∠ABC + ∠DCB = 360° – (110° + 120°) = 130°;

∠NBA + ∠NAB = 1 2 ∠B + 1 2 ∠A = 1 2 (∠B + ∠A) = 1 2 ∙ 180° = 90°.

α = ∠BOC = 180° – (∠OBC + ∠OCB) = 180°– 65° = 115°. Мал. 26

∠BCD = 180° – 60° = 120°;

∠B + ∠D = 360° – (80° + 120°) = 160°;

100°, 55°, 160° і 45°?

α = 360° – (∠C + 1 2 (∠B + ∠D)) = 360° – (120° + 1 2 ∙ 160°) = 360° – 200° = 160°.

117. За

Мал. 27

∠C = (360° – 120°) : 3 = 80°;

α = 180° – 80° = 100°.

118. Діагональ

дорівнює 50 см.

Нехай ABCD — чотирикутник, а

Позначимо AC = x.

Тоді периметри трикутників:

PABC = AB + BC + AC = 30,

PADC = AD + DC + AC = 40.

Склавши їх:

(AB + BC + AC) + (AD + DC + AC) = 30 + 40 = 70.

Але AB + BC + AD + DC

Тому P + 2AC = 70.

За умовою P = 50, підставимо: 50 + 2AC = 70 ⇒ 2AC = 20 ⇒ AC = 10.

Відповідь: 10 см

AB < AO + OB, CD < CO +

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Периметр за кресленням: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 см.

Масштаб 1 : 2000 ⇒ 1 см =20 м. Отже, реальний периметр 10 ∙ 20 = 200 м.

Стовпці через кожні 4 м: 200 4 = 50.

Оскільки довжини сторін 20, 40, 60, 80 м —

без «зсуву». Але останній стовпець співпадає

Відповідь: 49 стовпців. 123. Потрібно виготовити чотирикутну

50 – 1 = 49 стовпців.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 = 5 + 5 = 10.

2,5

2,5 + 4 + 3 + 4 = 13,5.

2) Дві протилежні сторони

3) Протилежні сторони попарно

1) пряма; 2) промінь;

протилежну сторону. Визначенням

Мал. 37:

а на малюнку ∠28° ≠ ∠29°.

Мал. 38: Довжини

129. У

(х + 7х) ∙ 2 = 48;

8х = 24; х = 3см; 7x = 7 3 = 21 (см).

Відповідь: 3 см; 21 см; 3 см; 21 см.

2) Нехай x см — одна сторона, тоді (х + 7) см —

сторона; (х + x + 7) ∙ 2 = 8;

2х + 7 = 24;

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2х = 17;

х = 8,5 (см);

х + 7 = 8,5 + 7 = 15,5 (см).

Відповідь: 8,5 см; 15,5 см; 8,5 см; 15,5 см.

133. Периметр

одна з його сторін на 3 см більша за іншу.

Нехай x см — одна сторона, тоді (х + 3) см — друга сторона;

Р = (х + x + 3) ∙ 2; (2x + 3) ∙ 2 = 32;

2х + З = 16;

2х = 13;

х = 6,5 (см);

х + 3 = 6,5 + 3 = 9,5 (см).

Відповідь: 6,5 см; 9,5 см; 6,5 см; 9,5 см.

134. За даними

Мал. 39: З ∆АВК, за

AB = 2AK = 4 см; CD = АВ = 4 см; AD = AK + КD = 2 + 4 = 6 см; ВC = AD = 6 см.

Мал. 40: З ∆ABК, у якому ∠AKB = 90°: ∠

CD = AB = 10 см; AD = AK + KD = 5 + 5 = 10 cм; BC = AD = 10 cм. 135.

DC = AB = 6 см;

C = ∠A = 30°.

∆BDC: ВС = 2 ∙

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

поясніть.

∠ADC = ∠ABC = α; ∠BAD = ∠BCD = β.

1) ∠ADC= 120°; ∠BAD=60°; 2) ∠ADC = ∠BAD = 90° (АВСD прямокутник).

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

∠A = 90° – 30° = 60° (з ∆АВМ);

∠C = ∠A = 60°; ∠B = ∠D = 180° – 60° = 120° (згідно властивостей паралелограма).

144. Знайдіть кути паралелограма, якщо:

1) один з його кутів на 50° менший від іншого;

2) сума двох його кутів дорівнює 120°.

1) Мова йде про сусідні кути. Нехай ∠1 = x, тоді ∠2 = x + 50°; Згідно властивості паралелограма про суму сусідніх кутів:

х + х + 50° = 180°;

2х = 130°;

х = 65°;

∠1 = ∠3 = 65°;

∠2 = ∠4 = 65° + 50° = 115°.

2) Дані кути не сусідні, а протилежні, бо

Тому ∠1 + ∠3 = 120°; ∠1 = ∠3 = 120° : 2 = 60°.

Тоді ∠2 = ∠4 = 180° – 60° = 120°.

145. Знайдіть кути паралелограма,

∠1 = х, тоді ∠2 = 3х.

х + 3х = 180°; 4х = 180°; х = 45°;

∠1 = ∠3 = 45°;

∠2 = ∠4 = 3 ∙ 45° = 135°.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

розрахунків застосуємо властивості

1) ОС = АО = 6 см; OD = OB = 3 cм;

2) АС = АО + ОС = 6 + 6 = 12 cм; BD = ВО + DO = 3 + 3 = 6 см;

3) AD = ВС = 8 см; DC = AB = 5 см.

149.

35°.

Згідно властивості

A = ∠C = 35°.

D = ∠B = 180 – 35 = 145°

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

∠BAK = α 2 ; ∠ABK = 1 2 (180° – α).

З ∆АВК:

∠AKB = 180° – (∠BAK + ∠ABK) = 180°– (α 2 + 1 2 (180° – α) = = 180° – (α 2 + 90° –α 2 ) = 90°.

Отже, ВК ⊥ АK, тобто бісектриси кутів, прилеглих

перпендикулярні.

152. Доведіть, що бісектриси двох протилежних

ABCD — паралелограм. АK, ВK —

1) а = 14 см, b = 7 см; 2) а = 2 см, b = 3 см.

+ b. ∆АВК — рівнобедрений,

∠BAK = ∠KAD (АК — бісектриса), а ∠KAD = ∠BKA (внутрішні різносторонні кути при паралельних ВС, АС і січній AK). Звідси ∠BAK = ∠BKA. Оскільки ∆АВК —

рівнобедрений, то АВ = ВК = а. Р = (AB + ВС) · 2 = (а + а + b) · 2 = (2а + b) · 2 = 4а + 2b.

1. Якщо а = 14 см, b = 17 см, то Р = 4a + 2b = 4 · 14 + 2 · 7 = 70 (cм);

2. Якщо а = 2 см; b = З см, то Р = 4а + 2b = 4 · 2 + 2 · 3 = 14 (см). 154. У паралелограмі АВСD

1) ВK і KС, якщо АВ = 6 см, АD = 9 см; 2) АD, якщо АВ = 4 см, KС = 11 см.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

∠BAK = ∠KAD (АК

KAD = ∠BKA (внутрішні

AK)

1. AB = 6 см, AD = 9 см. Якщо AB = 6 см, то ВК = 6 см; ВС = AD (протилежні сторони паралелограма);

ВС = ВК + КС; 6 + КС = 9; КС = 9 – 6 = З (см).

2. AB = 4 см, тоді ВК = АВ = 4 см.

ВС = ВК + КС = 4 + 11 = 15 (см). AD = ВС (протилежні сторони паралелограма). AD = 15 (см).

155. У паралелограмі АВСD бісектриса кута А перетинає сторону

периметр паралелограма, якщо АD = 14 см, ВK : KС = 3 : 4.

Нехай ВК = 3х; КС = 4х, тоді ВК + КС = ВС,

3х + 4х = 14;

7х = 14;

х = 2 (см).

Тоді BK = 3 · 2 = 6 (см); КС = 4 · 2 = 8 (см).

∆АВК — рівнобедрений; AB = BK = 6 (см).

P = (AB + ВС) · 2 = (6 + 14) · 2 = 40 (см).

156. Із точки М, узятої

ВС = AD = 14 см, тому

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

МN ∥ ВС (за умовою); АС — січна. Тому ∠NМA = ∠BCA (відповідні кути).

∆АВС — рівнобедрений, тому ∠BCA = ∠BAC.

Оскільки ∠NМA = ∠BCA, то ∠NМA = ∠BAC.

Звідси: ∆ANМ — рівнобедрений, тому AN = NМ.

Аналогічно ∆МКС — рівнобедрений, тому МК = КС.

PМNBK = МN + NB + ВК + КМ = AN + NB + ВК + КС = АВ + ВС= 2АВ

(AB = ВС, оскільки ∆АВС — рівнобедрений).

PМNBK = 2АВ = 2 · 15 = 30 (см).

158. У паралелограмі АВСD через точку О

= AF.

= OD (О — середина діагоналі BD). ∠ВОЕ = ∠DOF (вертикальні).

∠OBE = ∠ODF (внутрішні різносторонні при ВС ∥ AD і січній BD).

Звідси ∆ВОЕ = ∆DOF (II ознака рівності трикутників).

З рівності трикутників маємо:

а) OE = OF;

б) BE = DF. ∆СОЕ= ∆AOF (І ознака рівності трикутників).

ОС = ОА (О середина діагоналі); ОЕ = OF (доведено в пункті а);

∠EOC = ∠FOA (вертикальні).

З рівності трикутників:

СЕ = АF.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

ОС = ОА (О середина діагоналі). BO = OD (О — середина діагоналі BD).

∠CОЕ = ∠AOF (як вертикальні).

∠OCE = ∠OAF (як внутрішні різносторонні при BС ∥ AD і січній AC).

Звідси ∆CОЕ = ∆AOF (II ознака рівності трикутників). Тому OE = OF, AF = EC.

BE = 5 cм; AF = 4 cм, тому EC = 4 см.

BC = BE + EC = 5 + 4 = 9 (см).

AD = ВС (протилежні сторони паралелограма).

Отже, AD = 9 см, ВС = 9 см.

160. Знайдіть кути паралелограма, якщо два

1) 4 : 5; 2) 3 : 7.

1) Позначимо кут ∠1 = 4x, тоді ∠2 =

4х + 5х = 180°; 9х = 180°; х = 20°;

∠1 = 4 · 20° = 80°;

∠3 —

протилежний ∠1; ∠3 = 80°;

∠2 = 5 · 20° = 100°;

∠4 —

∠2; ∠4 = 100°.

2) Позначимо кут ∠1 = 3x, тоді ∠

3х + 7x = 180°; 10х = 180°; х = 18°;

∠1 = 3 · 18° = 54°; ∠3 —

2 = 7 · 18° = 126°;

∠1; ∠3 = 54°;

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

х° + 8x° = 180°, 9x° = 180°, x = 20°; ∠А = ∠

= 20° —

∠B = ∠D = 180° – 20° = 160° — тупі кути.

2) Половина

2 x = 1 3 (180° – x); 3x

1 = 2x, ∠2 = 3x.

5х = 180°;

х = 180° : 5;

х = 36°;

∠1 = 2 · 36° = 72°;

2 = З · 36° = 108°;

х° + 2x° = 180°, 2x = 180°, x = 60°,

3 = 72°;

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

∠А = ∠С = 60°, ∠B = ∠D = 60° · 2 = 120°.

163. На малюнках зображено

Мал. 1 ∠D = 120°; ∠C = ∠A = 180° – 120° = 60°; ∠B = 120°; ∠CBK = 90° – 60° = 30°; ∠ABN = 90° – 60° = 30°; x = ∠NBK = 120° – (∠ABN + ∠CBK) = 120° – (30° + 30°) = 60°.

Мал. 2 ∠CBO = ∠ODA= 30° (внутрішні різносторонні при ВС ∥ AD і січній BD).

З ∆ВОС; ∠BOC = 180° – (30° + 20°) = 130°. x = 180° – 130° = 50° (x і ∠BOC — суміжні).

164. На

У чотирикутнику NBKD: ∠B = 60°; ∠N = ∠K = 90°;

∠N + ∠B + ∠K + ∠D = 360°. Тому ∠D = 360° – (∠N + ∠B + ∠K) = 360° – (90° + 60° + 90°) = 120°; x = 120°.

165. Доведіть,

(180° – a) = α.

1) Якщо α = 35°, то ∠B = ∠D = 180° – α = 180° – 35° =

∠A = ∠C = 35°;

2) Якщо α = 45°, то ∠B = ∠D = 180° – α = 180° – 45° = 135°; ∠A = ∠C = α = 45°;

3) Якщо α = 89°, тo ∠B = ∠D = 180° – α = 180° – 89° = 91°;

∠A = ∠C = α = 89.

∠B = ∠D; ∠D = 84°; ∠D = ∠ADB + ∠BDC; ∠ADB = ∠D – ∠BDC = 84° – 68° = 16°;

∠B = 180° – 45° = 135°.

∠C = ∠A = 45°; ∠D = ∠B = 135°.

169.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

ABCD

Нехай АВ = 2x, ВС = 3x. Тоді

Р = (2х + 3х) · 2; (2х + 3х) · 2 = 48; 10х = 48; x = 4,8;

AB = 2 · 4,8 = 9,6 (см); ВС = З · 4,8 = 14,4 (см).

CD = AB = 9,6 (см); AD = ВС = 14,4 (см).

170. У

ABCD — паралелограм; ∠A = 60°; BK ⊥ AD; К — середина AD. У ∆АВК

∠BAD = ∠BDA = 60°, тоді ∠ABD = 180° – (60° + 60°) = 60°.

Отже, ∆АВD — рівносторонній. АВ = AD = BD.

паралелограмі всі сторони рівні. Р = 4АВ; 4АВ = 24; АВ = 24 : 4 = 6 (см); BD = AB = 6 см.

171. Два кути паралелограма відносяться як

паралелограма, проведеними з вершини: 1) тупого кута; 2) гострого кута. Кути

З прямокутного ∆АВК:

∠ВКА = 90°, ∠ВАК = 45°, тому ∠ABK = 45°. ∠C = ∠A = 45°.

ВС, AF ⊥ CD.

∠PAF —

∠PBA = 180° – ∠ABC = 180° – 135° = 45° (як суміжні),

∠PAB = 90° – 45° = 45° (з прямокутного

∠PAF = ∠PAB + ∠BAD + ∠DAF = 45° + 45° + 45° = 135°.

ABCD — паралелограм; PABCD = 50 см. BD і АС розбили паралелограм

∆АОВ; ∆ВОС; ∆COD; ∆AOD.

∆AOB = ∆COD; ∆ВОС = ∆DOA (I ознака).

Тому Р∆BOC – P∆AOB = 5 см.

P∆BOD = ВО + ОС + BC;

P∆AOB = ВO + AO + AB.

BO + OC + BC – BO – AO – AB = 5 cм.

Оскільки ОС = АО, то ВО + ОС + ВС – ВО –

ВС – АВ = 5.

Нехай AB = х см, тоді ВС = х + 5 (см).

РABCD = (AB + ВС) · 2, тобто (х + х + 5) · 2 = 50;

4x + 10 = 50;

4x = 40;

x = 10;

АВ = CD = 10 (cм);

BC = AD = 10 + 5 = 15 (см). 174.

–

ABCD — паралелограм. AK — бісектриса ∠A. DK

∠D. К ∈ ВС. ∠BAK = ∠KAD, a ∠KAD

AK).

Тому ∠BAK = ∠BKA. ∆ABK — рівнобедрений, AB = BK. Аналогічно ∆KCD —

AB = CD, то BK = КС.

BK = АВ, то

= 2ВК = 2АВ.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Якщо

Нехай AB = x, тоді ВС = 2х. Р = (х + 2х) · 2 = 6x,

Тому 6x = 42; x = 42 : 6; x = 7 (см).

AB = CD = 7 cм; BC = AD = 2 · 7 = 14 (cм).

176.

за умовою Р = 42 см.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

ABCD: ВС = AD, але ABCD — не паралелограм.

2. Не є паралелограмом.

3. Є паралелограмом.

Або: ВС = AD, але AB ≠ CD. 180. Накресліть

ВС ∥ АD; BС = АD = 4 см.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

∠BDA = ∠CBD (за умовою). Ці кути є внутрішні

січній BD. Оскільки кути рівні, то ВС ∥ AD. ∠BAC = ∠CDA (за умовою),

внутрішні різносторонні при

то AB ∥ CD. У чотирикутнику ABCD: AB ∥ CD; ВС ∥ AD, томy ABCD — паралелограм. 183. За даними на малюнку доведіть, що чотирикутник

скористалися? ∠BAC = ∠DCA; ∠BCA = ∠DAC; AC — спільна сторона ∆ABC і ∆CDA. Звідси, ∆ABC = ∆CDA (II ознака рівності трикутників).

KL 4 см 5,3 дм 1,5 см 0,3 дм

LM 6 см 3 дм 25 мм 5 см

MN 4 см 5,3 дм 1,5 см 0,3

KLMN – паралелограм

таблицю так, щоб у

стовпець 1: МN=4 см,LМ =6 см, NK =6

2: KL =5,3 дм, NK =3 дм;

3: МN= 15 мм, NK = 25 мм;

4: KL =3 см,LМ =5 см.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2) BC =2,5 см, CD =3,7 см ⇒ AD = BC =2,5 см, AB = CD =3,7 см

Відповідь: BC =2 см, CD =3 см; AD =2,5 см, AB =3,7 см 186. Доведіть, що чотирикутник АВСD — паралелограм, якщо:

1) АВ = 3 см, ВС = 0,4 дм, СD = 30 мм, АD = 40 мм; 0,4дм =4см, 30мм =3см, 40мм =4см ⇒ �� = �� =3см, �� = �� =4см ⇒ �� ⟶

паралелограм.

2) АВ + ВС = 7 см, ВС – СD = 3 см, АD = ВС = 5 см; BC = AD =5 см, CD = BC 3=2 см, AB =7 BC =2 см ⇒

=2 см,

= AD =5 см ⇒ ABCD – паралелограм.

3) АВ : ВС : СD : АD = 2 : 1 : 2 : 1.

AB ∶ CD =2 ∶ 2 ⇒ AB = CD, BC ∶ AD =1 ∶ 1 ⇒ BC = AD ⇒ ABCD –

Відповідь: у всіх випадках ABCD – паралелограм.

187. Доведіть, що чотирикутник АВСD — паралелограм, якщо:

1) АВ = 0,5 дм, ВС = 2,7 см, СD = 5 см, АD = 27 мм; 0,5 дм =5 см та �� =5

�� ⇒ �� – паралелограм.

2) АВ – АD = 3 см, СD = 2ВС, АВ = СD = 6 см. �� = �� =6 см i �� =2�� ⇒ �� =3 см; �� =3

= АD. Знайдіть:

1) AB, якщо CD = 4 см; AB = CD і BC = AD ⇒ ABCD – паралелограм

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2) МN, якщо KР = 5 см. Якщо у чотирикутнику

1) ∠K = 35°, тоді ∠М = 35°, бо ∠М = ∠K (протилежні сторони

2) МN = KP (протилежні сторони паралелограма). Якщо KP = 5 см, то МN = 5 см.

1) AB ∥ CD, АВ = 3 см, СD = 30 мм; shkola.in.ua

сторони цього чотирикутника

АВСD —

Паралельними мають бути протилежні сторони: AB‖CD та BC∥AD Відповідь: AB‖CD; BC‖AD. 192. Доведіть, що чотирикутник АВСD — паралелограм, якщо:

1) AD ∥ BC, АD = 0,5 дм, ВС = 50 мм; 0,5 дм =5 см, 50 мм =5 см ⇒ AD = BC ⇒ ABCD – паралелограм

2) AB ∥ CD, АВ = 2 см, СD = 0,02 м; CD =0,02 м =2 см ⇒ AB = CD ⇒ ABCD – паралелограм

3) AB = CD, ∠ВАD = 45°, ∠АDС = 135°. AB = CD, ∠BAD + ∠ADC = 180∘ ⇒ AD‖BC ⇒ одна пара сторін рівна та

паралельна ⇒ ABCD – паралелограм Відповідь: у всіх випадках ABCD – паралелограм. 193. Доведіть, що чотирикутник АВСD — паралелограм, якщо:

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

АВ і CD —

3 см = 30 мм, то АВ = CD. Тоді ABCD —

АВ і CD паралельні і рівні.

2) AD = BC, ∠

і ∠DAB —

∠ABC + ∠DAB = 120° + 60° = 180°, то AD ∥

D = ВС, тому ABCD — паралелограм. 194.

2) LO =3,5 см ⇒ NO =3,5 см; МO=1,9 см ⇒ KO =1,9 см

паралелограм. Доведіть.

чотирикутнику ABCD:

1) 20°, 60°, 110°; Чотирикутник,

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

∠BAE = 180° – ∠B – ∠BEA; ∠DCF = 180° – ∠D – ∠DFC.

Оскільки ∠BEA = ∠DFC, ∠B = ∠D, тo ∠BAE = ∠DCF.

∆ABE = ∆CDF (за II ознакою рівності трикутників).

3 рівності трикутників: AE = CF, BE = DF, EC = BC – BE. AF = AD – FD.

Оскільки BC = AD (протилежні сторони паралелограма), BE = FD, то EC = AF.

У чотирикутнику AECF протилежні сторони рівні (АЕ = CF, EC = AF), тому AECF — паралелограм.

200. У піраміді SАВСD АВ = 4 см, ВС = 0,7 дм, DС = 40 мм, АD = 70 мм. Доведіть, що основа піраміди — паралелограм.

AB =4 см, CD = 40 мм =4 см;

BC =0,7 дм =7 см, AD = 70 мм =7 см ⇒ AB = CD і BC = AD ⇒

ABCD – паралелограм.

Відповідь: основа SABCD – паралелограм.

201. Доведіть, що основою піраміди SАВСD

DС = 6,5 см.

AB ∥ DC, 65 мм =6,5 см ⇒ AB = DC ⇒ одна пара протилежних сторін рівна та

паралельна ⇒ ABCD – паралелограм.

Відповідь: основа SABCD – паралелограм.

202. На сторонах АВ, ВС, СD і А



https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

ABCD — паралелограм, тому ∠A = ∠C.

AB = CD (протилежні сторони).

BK = DN — за умовою, тому AB – BK = CD – DN або AK = CN.

∆AKМ = ∆CNP (за I ознакою рівності трикутників).

AK = CN, AМ = CO (за умовою). ∠A = ∠C.

3 рівності трикутників: KМ = PN.

Аналогічно: ∆KBP = ∆NDМ. Звідси KP = МN. У чотирикутника МNPK протилежні сторони рівні. Тому МNPK — паралелограм.

204. У паралелограмі АВСD точка М — середина сторони АD, а N — середина сторони ВС. Доведіть, що ВNDМ — паралелограм.

ABCD — паралелограм, тому ВС ∥ AD.

Оскільки BN лежить на ВС, AМ на AD, то BN ∥ МD. BN = 1 2BC; МD = 1 2 AD.

Оскільки ВС = AD, то BN = МD.

BNДМ — паралелограм, бо BN = МD і BN ∥ МD. 205. АВСD — паралелограм, AE = CF. Доведіть, що відрізки CE і AF рівні

АE = CF (за умовою); AE ∥ CF, бо лежать на паралельних АВ і CD, оскільки ABCD паралелограм.

Звідси АEСF — паралелограм, тому СE ∥ AF, СЕ = AF (як протилежні сторони паралелограма).

206. АВСD — паралелограм, ОМ = ОN.

що МВND — паралелограм.

— паралелограм, тому BD = OD. ОМ = ON (за умовою).

МBND —

навпіл. 207. МВND — паралелограм, ОА = ОС. Доведіть, що

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

ABCD: ВС ∥ AD. Діагональ AC

OD.

ВС ∥ AD; BD — січна, тому ∠CBO = ∠ADO як внутрішні різносторонні кути при паралельних ВС, AD і січній BD.

BO = OD; ∠BOC = ∠DOA (вертикальні).

Звідси ∆ВОС = ∆DOA (II ознака).

З рівності трикутників: АО = CO.

У чотирикутника ABCD діагоналі перетинаються

Отже, ABCD — паралелограм.

211. АВСD — паралелограм, АМ = KС, BN = РD. Доведіть, що МР = NK

ABCD — паралелограм, тому ОА = ОС; OB = OD.

За умовою AM = КС; BN = DP. Тоді ОА – АМ = ОС –

DP, aбо ON = OP.

чотирикутнику MNKP діагоналі точкою

Отже, MNKP — паралелограм, тому

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

ВС.

чотирикутнику ABCD АВ ∥ CD; ВС ∥ AD, тому ABCD — паралелограм. Звідси ВС = AD; АВ = CD. Тобто протилежні сторони рівні.

відповідно точки K, P, М і E так, що AK = BP = СМ = DE. Доведіть, що

KPМE — паралелограм. ABCD — паралелограм. AB = CD; ВС = AD.

умовою AK = СМ, звідси KB = МD. ВР= DE,

МDE. ∆KBP = ∆МDE (ДМ = KP; DE = BP; ∠EДМ = ∠KBP). 3 рівності трикутників KP = EМ. Аналогічно ∆КАЕ = ∆МСР, тому КЕ = PМ.

чотирикутнику

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Оскільки ∠BAK = ∠DCM і ∠BKA = ∠CMD, то ∠ABK = ∠CDM.

∆BAK = ∆DCM, бо AB = CD; ∠BAK = ∠DCM і ∠ABK = ∠CDM.

3 рівності трикутників: BK = MD. ∠BKM = 180° – ∠BKA; ∠DMK = 180° – ∠DMC (суміжні кути).

Оскільки ∠BKA = ∠DMC (за умовою), то ∠BKM = ∠DMK, але ∠BKM і ∠DMK —

внутрішні різносторонні при прямих BK, DM і січній AC. У чотирикутнику KBMD ВК = MD і ВК ∥ MD, тому KBMD паралелограм. 217. Через точку K

Точка К — точка

Через точку D проведемо DP ∥ ВС; DM ∥

KD = BK.

Тоді BPDM — паралелог–рам; BD —

теж діагональ паралелограма BPDM, тому

РМ — шукана пряма.

218. До сторін паралелограма проведено серединні

ABCD — паралелограм.

сторонами (або їх

через т. К і KP = KM.

— N, K, L, M. 1. Оскільки AB ∥ CD, маємо NE ∥ LG і NE ⟂ AB, LG ⟂ AB. Разом з AB ∥ CD це дає, що

ENGL — прямокутник (сторони NE і LG паралельні, а

AB і CD). Тому EL = GN та EN = GL — протилежні сторони

рівні.

2. Аналогічно, бо BC ∥ AD і KF ⟂ AD, MQ ⟂ BC, маємо FK ∥ MQ, а FQMK —

Отже, FM = QK та FQ = MK.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

3. Із середностей: GB = AG = 1/2·AB, DE = CE = 1/2·CD. Але AB = CD у

тому GB = DE.

4. З прямокутника ENGL: GN = EL. Тоді

NB = GB − GN = GB − EL = DE − EL = DL.

Отже, NB = DL.

5. З прямокутника FQMK: QK = FM. Із (3) маємо BQ = DF. Тоді

BK = BQ − QK = DF − FM = DM.

Отже, BK = DM.

6. У паралелограмі ∠B = ∠D (протилежні кути рівні). Тому трикутники NBK і LDM рівні за двома сторонами і кутом між ними (NB = DL, BK = DM, ∠B = ∠D). Звідси NK = LM.

7. Аналогічно з трикутників KCL та NMA випливає LK = MN (відповідні сторони

ABCD – чотирикутник. BD — діагональ.

AМ ⊥ BD; СР ⊥

однієї прямої).

BD — січна, тому ∠KBO = ∠ZDO (внутрішні

DZ і січній BD).

∠BKO = ∠DZO = 90°; BK = DZ (за

трикутників: BO = OD.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) нерівні;

Якщо

неправильно.

2) рівні?

Рівні діагоналі в паралелограмі - це прямокутник ⇒ правильно.

Відповідь: 1) Ні; 2) Так.

227. ABCD — прямокутник. За даними на малюнку знайдіть:

1) AD і DC; 2) BD; 3) AO, OC, BO і OD.

ABCD — прямокутник; ВС = 16 см; AB = 12 см.

1. AD = ВС; DC = AB (протилежні сторони прямокутника). AD = 16 см; СD = 12 см.

2. BD = AC = 20 см, діагоналі прямокутника рівні.

3. АО = ОС = 1 2АС = 10 см; ВО = 0D = 1 2 BD = 10 cм; діагоналі прямокутника

перетину діляться навпіл.

228. ABCD — прямокутник.

∠2 = ∠4 = 36° (внутрішні

ВС ∥ AD, АС — січна; ∠1 = ∠3 = 90° – 36° = 44°.

Відповідь: 44°; 36°; 44°.

229. Знайдіть діагоналі прямокутника,

1) 12 см; 2) 6 см; 3) 18 мм. У прямокутника діагоналі рівні.

1. d1 = d2 = 12 2 = 6 (см);

2. d1 = d2 = 6 2 = 3 (см);

3. d1 = d2 = 18 2 = 9 (см).

230. ABCD — прямокутник.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1. АО = ОМ = 7 см; АС = BD = 14 см; 2. AC + BD = 14 cм.

231. О — точка перетину діагоналей прямокутника ABCD. Доведіть: 1) трикутники AOD, BOC, AOB і DOC — рівнобедрені; 2) ∆AOB = ∆DOC, ∆BOC = ∆AOD. Нехай ABCD — прямокутник; О — точка перетину діагоналей прямокутника.

1. ∆AOD; ∆ВОС; ∆АОВ; ∆DOC — рівнобедрені; АО = OB; ОВ = ОС; ОС = OD; АО = OD, сторони цих трикутників є половинами діагоналей, а діагоналі у прямокутника рівні.

2. ∆АОВ = ∆DOC; ∆BOC = ∆AOD (за трьома сторонами); AB = CD; ВС = AD (протилежні сторони прямокутника); ВО = OD; АО =

перетину діляться навпіл). 232. На малюнках зображено прямокутники.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1. α + α + 60° = 90°; 2α = 30°; α = 15°;

∆AOD: ∠AOD = 180° – (α + α) = 180° – 30° = 150°;

∠AOB = 180° – 150° = 30°.

Відповідь: 30°.

2. ∆NPK: α + 2 α = 90°; 3 α = 90°; α = 30°;

∆NOP: NO = OP; ∆РОК: OP = OK; ∠P = ∠K = 60°; ∠POK = 60°.

Відповідь: 60°.

235. Знайдіть градусну

У ∆EFQ ∠F + ∠Q = 90°; α 2 + α 2 = 90°;

α = 90°; α 2 = 45°; α = 90°.

Відповідь: 90°.

236. а і b — сторони

PABCD = (AB + AD) · 2 = (4 + 12) · 2 = 32 (см);

32 см.

2. AB = 10 см; AD = 10 : 2 = 5 см;

PABCD = (10 + 5) · 2 = 30 (см).

Відповідь: 30 см.

238. Одна сторона

AB = 12 см; AD = 12 + 4 = 16 см; PABCD = (12 + 16) · 2 = 56 (см).

239.

1) АС = 2 см; 2) ВD = 7 см.

прямокутник?

Оскільки в прямокутнику

AC =2 см ⇒ BD =2 см; BD =7 см ⇒ AC =7 см

Відповідь: BD =2 см; AC =7 см.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

АВСD — прямокутник. Із рівності трикутників CAB і DBA випливає

вершини відповідно (C ↔ D, A ↔ B, B ↔ A), то маємо:

∠CBA = ∠DAB.

У паралелограмі ABCD сторони AD і CB паралельні.

внутрішні односторонні при перетині паралельних

∠CBA + ∠DAB = 180°.

Оскільки ці кути рівні, то

∠DAB = 90°.

Якщо в паралелограмі

243. Доведіть, що

Дано: ABCD — паралелограм.

∠CBA і ∠DAB —

AD і CB січною AB. Отже,

∠A = 90°; ∠A + ∠D= 180°; AB ∥ DC; ∠D = 90°; ∠D = ∠B = 90°; ∠A = ∠C = 90° (протилежні

рівні).

Отже, у даного

Дано: ABCD — паралелограм.

∠A = 90°; ∠D + ∠A = 180°; AB ∥ DC, тоді ∠D = 90°. CDA = ∆BDA (за II ознакою).

прямокутного паралелепіпеда дорівнює 18 см, ширина — у 3 рази

висоту, а довжина — у 4 рази більша за ширину.

Знайдіть ширину й довжину прямокутного паралелепіпеда.

Ширина = 18 3 =6 см

Довжина =6×4= 24 см

Відповідь: Ширина — 6 см,

сторону

якщо: 1) d = 4 см; 2) d = 14 мм; 3) d = 0,44 дм.

∆АВС: ВС — катет, що лежить навпроти

1. d = 4 см; ВС = 1 2АС = 2 см;

2. d = 14 мм; ВC = 1 2 · 14 = 7 мм;

3. d = 0,44 дм; ВС = 1 2 · 0,44 = 0,22 дм. Відповідь: 2 см; 7 см; 0,22 дм. 248. Менша сторона

вони перетинаються

кутом 60° і: 1) а = 10 см; 2) а = 0,25 дм; 3) а = 7 мм.

1. а = 10 см; ∆АОВ — рівносторонній. OB = OA = AB = a; d = AC = 2a; BD = 20 cм; 2. а = 0,25 дм; d = АС = 2 · 0,25 = 0,5 дм;

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

3. а = 7 мм; d = АС = 2 · 7 = 14 (мм).

Відповідь: 20 мм; 0,5 дм; 14 мм.

249. Доведіть, що коли

ABCD — прямокутник. ВС = 1 2 АС.

∆СОВ — рівносторонній, ОС = ОВ = ВС, тому

довести.

250. Перпендикуляр, проведений

—

2x +

1. AD : DC = 2 : 3; AD = ВС = 2х; AB = CD = 3х;

(2х + 3х) · 2 = 48; 10х = 48; x = 4,8; AD = ВС = 9,6 см; АВ = CD = 14,4 см.

9,6 см; 14,4 см.

2. МN = 10 см; МN =

= CD = 10 см;

AB = CD = P–2AB 2 = 48–20 2 = 14 (см);

Відповідь: 10 см; 14 см.

3. ОК = 4 см; ВС = AD = 2ОК = 2 · 4 = 8 (см). DC = АВ = (48 – 16) : 2 = 16 (см).

Відповідь: 8 см і 16 см.

252. Знайдіть суму

периметр дорівнює: 1) 12 см; 2) 8,6 см.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) m = 3 cм; n = 5 cм; ∠1 = ∠2; AK — бісектриса.

∠2 = ∠3, ВС ∥ AD, AК — січна, отже ∠1 = ∠3, тоді ∆ABK — рівнобедрений,

AB = ВК = m = 3 cм; AB = CD = 3 cм; BC = AD = m + n = 8 (см).

PABCD = (3 + 8) ∙ 2 = 22 (cм).

РABCD = 5 + 5 + 8 + 8 = 26 (cм).

2) m = 0,2 дм; n = 3 см;

PABCD = 14 см; PABCD = 16 см.

Відповідь: 1) 26 см або 22 см; 2) 14 або 16 см.

254. Бісектриса

Знайдіть

1) 15 см; 2) 3,8 дм.

AK — бісектриса кута BAD.

1) AB = 15 cм; ∠1 = ∠2; ∠2 =

∆АВК — рівнобедрений.

AB = BK = 15 см; ВС = 2ВК = 30 см.

РABCD = (15 + 30) · 2 = 90 (cм).

2) PABCD = (3,8 + 7,6) · 2 = 22,8 (дм).

Відповідь: 90 см; 22,8 дм.

255.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

∠A + ∠D = 180°; ∠A = ∠D = ∠C = ∠B = 90°.

Отже, цей паралелограм — прямокутник.

256. Якщо в паралелограмі сума

ABCD — паралелограм. ∠A + ∠C = 180°, але ∠A =

+ ∠D > 180°,

C, тому ∠A = ∠C = 90°; ∠A + ∠D = 180°; ∠D = 180° – ∠A = 180° – 90° =

ABCD

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Р∆ABD – Р∆AОВ – P∆AOB = 12 см;

Р∆ABD = АD + DO + OB + AB;

∆AOB = АО + OB + AB;

P∆BAD – P∆AOB = AD; AD = 12 cм; AD = BC = 12 cм; DC = AB = (50,2 – 24) : 2 = 13,1 (cм).

Відповідь: 12 см; 12 см; 13,1 см; 13,1 см. 263. У прямокутнику ABCD зі сторонами AB = a і BC = b

Мал. 1 а) Нехай АВ = DC = а; AD = ВС = b; ∆ABN — рівнобедрений; AB = BN = а; NC = b

МN = BN – NC = a – b + a = 2a – b; б) нехай AB = CD = b; BC = AD = a; AB = BN = b; NC = a – b; МN = BN – NC = 2b – a;

Мал. 2 B) AB = CD = b; AD = BC = a; BМ = NC = b; AD = 2b або AD = b – 2a. 264. Через

∆МBN: ∠B = ∠N = 45°; BМ = МN; ∆NKC: ∠C = ∠N = 45°; NK = КС; МNKA —

AМ = NK; N = AK.

Периметр прямокутника

2. KC = NK; AC = AK + KC = 5 cм; P = 2AK + 2NK = 10 (см).

Відповідь: 10 см.

267. Доведіть, що

ABCD — чотирикутник. AC = BD; АО = ОС; DO = OB.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

ABCD — чотирикутник. DO = OB; AO = OC; ∠A = 90°. Якщо

DC ∥ AB; AD ∥ ВС; ∠A + ∠D = 180°; ∠D = 180° – ∠A = 180° – 90° = 90°; ∠D + ∠C = 180°; ∠C = 90°; ∠A = ∠C = 90°; ∠D = ∠B = 90°.

Якщо у

269. Чотирикутник, у якому протилежні сторони

Нехай AD = ВС, DС = AB. АС = BD; ∆ABD = ∆CBD (за трьома сторонами);

∠ACD = ∠CAB (внутрішні різносторонні кути); DC ∥ AB; DC = AB; ABCD — паралелограм, у якого діагоналі рівні, отже, ABCD — прямокутник. 270. Доведіть, що чотирикутник, у якому діагоналі

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

∆ABC — прямокутний; ∠BCA = 90°; CO — медіана.

Доведемо, що СО = 1 2 АВ.

Проведемо BD ∥ АС; AD ∥ ВС; ABCD — паралелограм.

∠С + ∠A = 180°; ∠A = ∠C = 90°.

ABCD — прямокутник, діагоналі прямокутника

ОВ = OА = OD = ОС; ОС = 1 2АВ, що й треба

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Якщо діагоналі цього паралелограма рівні,

прямокутником.

3–й спосіб.

Якщо у паралелограма

4. Поясніть, як виготовити

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2) взаємно перпендикулярні?

1. Ні; 2. Так.

282. Чи правильно, що квадратом є прямокутник, у якому: 1) дві сусідні сторони нерівні; 2) усі сторони рівні?

1. Ні; 2. Так.

283. Чи має квадрат усі властивості прямокутника? Відповідь поясніть. Так,

Прямокутник – це паралелограм, у якого всі кути прямі (по 90∘ ).

Квадрат –

Оскільки квадрат за означенням є прямокутником (бо

автоматично успадковує всі властивості прямокутника.

284. Чи має квадрат усі властивості ромба? Відповідь поясніть. Так, квадрат має всі властивості ромба. Ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні.

Квадрат – це окремий випадок ромба, у якого до

властивості ромба.

285. Чи правильно, що у квадраті:

1) протилежні сторони рівні й паралельні; 2) сусідні сторони рівні та взаємно перпендикулярні;

3) протилежні кути рівні; 4) усі кути рівні?

1. Так; 2. Так; 3. Так; 4. Так.

286. Чи правильно, що діагоналі квадрата:

1) рівні;

2) взаємно перпендикулярні;

3) ділять кути навпіл;

4) точкою перетину діляться навпіл?

1. Так; 2. Так; 3. Так; 4. Так.

287. Чи правильно вказано

поясніть.

288. ABCD

1) BC, AD, DC; 2) AC, BD.

рівні.

1. ВC = AВ = 10 см; AD = 10 cм: DC = 10 cм; у ромба

сторони рівні; 2. АС = 2АО = 16 см; BD = 2ВО = 12 см.

289. ABCD

ромб.

∠1 = ∠2 = ∠3 = 25°. Діагональ

290. Знайдіть сторону ромба, якщо

1) 2,4 дм; 2) 280 мм.

Р = 4а;

1) а = 2,4 : 4 = 0,6 (дм); 2) а = 280 : 4 = 70 (мм).

291. Периметр

Відповідь: 3 см.

292. Доведіть, що діагоналі

294.

∠1 = ∠3 = ∠4 = 25°;

∠2 = 65°;

∠5 = 90°.

295.

дорівнює: 1) 36°; 2) 54°. 1) 18° і 72°; 2) 27° і 63°;

296. Знайдіть

дорівнює 60°.

30° і 60°.

297. Знайдіть

298.

1) 30°; 2) 15°; 3) 65°.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай ABCD — ромб. BK ⊥ AD; BK — висота ромба.

1. ∠ABК = 30°; ∆ABK; ∠A = 60°; ∠С = ∠A = 60°; ∠B = ∠D = 120°;

2. ∠ABK = 15°; ∠A = 75°; ∠C = 75°; ∠B = ∠D = 105°;

3. ∠ABK = 65°; ∠A = ∠C = 25°; ∠В = ∠D = 155°.

Відповідь: 1) 60°; 60°; 120°; 120°; 2) 75°; 105°; 75°; 105°; 3) 25°; 155°; 25°; 155°.

299. За даними на малюнках знайдіть кути ромба.

1. α + α + 40° = 180°; 2α = 140°; α = 70°.

∠A = ∠C = 70°; ∠B = ∠D = 110°.

2. α + 4α = 90°; 5 α = 90°; α = 18°; ∠A = ∠C = 36°; ∠B = ∠D = 144°.

300. За даними на малюнку

2α + α = 180°; 3α = 180°; α = 60°;

∠B = ∠D = 120°; ∠A = ∠C = 60°.

301. Кут

якщо:

1) d = 3,2 дм; 2) d = 45 мм.

Нехай ABCD — ромб. ∠A = 60°; BD = d.

1. d = 3,2 дм; P = 4 · 3,2 = 12,8 (дм); 2. d = 45 мм; P = 4 · 45 = 180 (мм).

Відповідь: 12,8 дм; 180 мм.

302. Кут

Нехай ABCD — ромб. ∠A = 60°; BD = d. d = 10 cм; ∆ABD — рівносторонній;

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1. Сторони квадрата AB = ВС = CD = AD = 5 cм; 2. діагоналі квадрата АС = BD = 7 см;

3. ∠1 = ∠4 = ∠3 = 45°, ∠2 = 90°.

306. Знайдіть периметр квадрата, якщо точка пере тину його діагоналей віддалена від сторони на: 1) 8 см; 2) 0,3 дм.

Нехай АВСD — квадрат. ОK ⊥ АВ; ОК = n.

1. n = 8 см; AD = 2n = 16 см; Ркв = 64 см; 2. n = 0,3 дм; а = 2n = 0,6 дм; Ркв = 4а = 2,4 дм.

Відповідь: 1) 64 см; 2) 2,4 дм.

307.

сторони на 21 мм.

Нехай АВСD — квадрат.

= 21

а = 2n = 42

= 4а = 42 · 4 = 168 мм.

Відповідь: 726 см2

314.

Нехай ABCD — чотирикутник, AB = BC = CD = AD.

Проведемо діагональ BD.

∆ABD = ∆CBD (за трьома сторонами (BD — спільна сторона)).

Тому ∠1 = ∠2. Отже, DC ∥ АВ.

ABCD — паралелограм, у якого всі сторони рівні; ABCD — ромб, що й треба було довести. 315. Паралелограм, діагоналі якого

— ромб.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай ABCD — ромб.

PABCD = 36 см; DK ⊥ AB; DK — висота ромба; а —

Р = 4а; а = 36 : 4 = 9 (см).

∆ADK : AD = 9 cм; DK = 4,5 (cм).

DK = 1 2 AD. Отже, ∠A = 30° (катет, що лежить навпроти кута 30°).

∠A = ∠C = 30°; ∠D = ∠B = 150°.

Відповідь: 30°; 30°; 150°; 150°.

317. Доведіть, що висоти ромба рівні.

Нехай ABCD — ромб. ВМ і ВР — висоти;

ВМ ⊥ AD; BP ⊥ CD.

∆АВМ = ∆СВР.

∠М = ∠P = 90°; AB = ВС; ∠A = ∠C.

3 рівності трикутників ВМ = BP, що

318. Висота ромба, проведена

Знайдіть:

1) кути ромба; 2) периметр ромба, якщо

Нехай дано ABCD — ромб, DK ⊥ АВ; АК = ВК.

1) ∆ADB— рівнобедрений; АК = КВ; DK ⊥ AB; ∠A = 60°; ∠ADC= 120°; ∠C = ∠A = 60°; ∠D = ∠B = 120°.

2) BD = 20cм; AD = BD; PABCD = 4AD = 4 · 20 = 80 (cм).

Відповідь: 1) 60°; 60°; 120°; 120°; 2) 80 см.

319. Знайдіть

вершини, дорівнює: 1) 35°; 2) 20°.

20 см.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай АВСD — ромб.

∠BDK —

1. ∠BDK = 35°: ∆DBK = 55°; ∠ABC = 110°; ∠ADC = ∠ABC = 110°; ∠A = ∠C = 70°;

2. ∠BDK = 20°; ∠DBK = 70°; ∠ABC = 140°; ∠B = ∠D = 140°; ∠A = ∠C = 40°.

Відповідь: 1) 70°; 110°; 70°; 110°; 2) 40°; 140°; 40°; 140°.

320. Знайдіть кути ромба, якщо

однієї вершини, дорівнює 40°.

Нехай АВСD — ромб.

∠BDK — кут між висотою і

∠BDK = 40°; ∠DBA = 50°; ∠B = ∠D = 100°; ∠A = ∠C = 80°.

Відповідь: 80°; 100°; 80°; 100°.

321. Знайдіть

як: 1) 2 : 3; 2) 2 : 7.

Нехай ABCD — ромб.

1. ∠1; ∠2 = 2 : 3.

∆АВО — прямокутний, ∠ВОА = 90°; х — спільна міра кутів, тоді

∠1 = 2х; ∠2 = 3х; 2х + 3x = 90°; 5х = 90°; х = 18°.

∠A = 4х = 72°; ∠A = ∠C; ∠B = ∠D = 6х = 108°; 2. ∠1 : ∠2 = 2 : 7; 2х + 7х = 90°; х = 10°, ∠A = ∠C = 40°; ∠B = ∠D = 140°.

Відповідь: 1) 72°; 108°; 72°; 108°; 2) 40; 140°; 40°; 140°.

322. Знайдіть

як 1 : 2.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай ABCD — ромб. ∠1 : ∠2 = 1 : 2;

х + 2х = 90°; 3х = 90°; х = 30°;

∠A = ∠C = 60°; ∠B = ∠D = 120°.

Відповідь: 60°; 120°; 60°; 120°.

323. У рівносторонній трикутник

1. Нехай у рівносторонній ∆АВС вписано ромб AEFK. ∠A — спільний. Р∆ABC = 24 см; AB = ВС = АС = 8 (см).

2. ∆KFC — рівносторонній. FK = КС; АК = 1 2 · 8 = 4 см; PABCD = 4 х 4 = 16(см).

3. ВE = AE = 4 см; АK = KС = 4 см; BF = FC = 4 cм.

324. У рівнобедрений прямокутний трикутник

Нехай AN — бісектриса прямого

NМ і NK — перпендикуляри до катетів.

∆AМN — прямокутний рівнобедрений; ∠1 = ∠2 = 450; AМ = МN.

Отже, AМNK — квадрат, що й треба було

1. Властивості ромба: - Усі сторони рівні. - Діагоналі перетинаються

AC = BD

3. Розглянемо трикутник, утворений

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай ABCD — квадрат, діагональ – BD.

BМ = DN. ∆AND = ∆CND = ∆АМВ = ∆СМВ.

1. BМ = ND; AB = BC = CD = AD; 2. ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = 45°.

З рівності трикутників маємо: AМ = МC = CN = AN. МN ⊥ AC. Отже, AМCN — ромб, що й треба було довести. 329. Чи правильні твердження: 1) паралелограм, діагоналі якого взаємно перпендикулярні й рівні, — квадрат; 2) чотирикутник, усі сторони якого рівні й один із

3) чотирикутник, діагоналі якого

1) Ні; 2) так; 3) ні. 330. Доведіть, що

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай ABCD — ромб. Від двох

AP; NC = CK.

BD і AC — діагоналі ромба; ∠BOD = 90°;

Нехай ABCD — прямокутник. М, N, Р, К — середини сторін прямокутника.

Проведемо діагоналі АС і BD; АС = BD.

∆АВС: МN — середня лінія; МN ∥ АС; МN = 1 2AC;

∆ADC: KP – середня лінія; KP ∥ AC; КР = 1 2АС. Отже, МN ∥ NP; МN = KP. Аналогічно

МК ∥ NP; МК = NP. Якщо АС = BD, тоді МN = КР = МК = NP. Тому МNPK — ромб, що й

треба було довести.

Нехай ABCD — квадрат.

P∆AOD = P∆DOC = P∆COD = P∆AOB.

4P∆AOD – Pкв.ABCD = 20 см.

P∆AOD = a + d, де

4P∆AOD = 4a + 4d; Pкв = 4а; 4a + 4d – 4a = 20 см; 4d = 20; d = 5 см. Відповідь: 5 см. 337. Чотирикутник,

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай АВСD — прямокутник.

BK, AN, CK, DN — бісектриси кутів; бісектриси двох пар сусідніх

прямокутника перетинаються під прямим кутом.

∆CPD — рівнобедрений прямокутник. ∠C = ∠D = 45°. ∠СРD = 90°; ∠NPK = 90°.

МNPK – квадрат, NP = РК; МN = МК, що й треба було довести. 339. Швачка викроїла з тканини чотирикутник,

1. Чи є правильною

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2. Ні. Рівність діагоналей властива не тільки

трапеції.

3. Так. Якщо у чотирикутника всі сторони рівні (що

(що робить його прямокутником,

чотирикутник є квадратом.

343. Земельна ділянка, яка має форму

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1. Ні; 2. Так; 3. Ні; 4. Ні; 5. Так.

346. Чи правильно, що

1. Ні; 2. Так.

347. Чи правильно, що середня лінія трикутника:

1) перетинає третю сторону трикутника; 2) паралельна третій

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

оскільки 5 : 2 = 2,5 ≠ 2.

1) відрізок FC, якщо DE = 4 см; 2) відрізок BD, якщо EF = 7 см.

1) FC = 1 2 BC = DE = 4 см;

2) BD = 1 2 AB = EF = 7 см.

358. Знайдіть

1) 8 см, 5 см, 7 см; 2) 30 мм, 40 мм, 50 мм.

трикутник ABC, у якого AB =

FE = 1 2AB = 2,5 см; ED = 1 2BC = 3,5 см; DF = 1 2 AC = 4 см.

Нехай

1) 0,8 дм; 2) 100 мм.

1) P∆DEF = DE + EF + DF = 0,8 + 0,8 + 0,8 = 2,4 (дм).

P∆ABC = P∆DEF ∙ 2 = 2,4 ∙ 2 = 4,8 (дм).

2) P∆DEF = DE + EF + DF = 100 + 100 + 100 = 300 (мм).

P∆ABC = P∆DEF ∙ 2 = 300

2 = 600 (мм).

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

AB = 2NP = 2 ∙ 3 = 6 (cм);

ВС = 2МР = 2 ∙ 5 = 10 (см);

АС = 2MN = 2 ∙ 6 = 12 (см);

Р∆ABC = 6 + 10 + 12 = 28 (см);

2) NP = 7 cм, MP = 9 см MN = 12 см.

AB = 2NP = 2 ∙ 7 = 14 (cм);

ВС = 2МР = 2 ∙ 9 = 18 (см);

АС = 2MN = 2 ∙ 12 = 24 (см);

P∆ABC = 14 + 18 + 24 = 56 (см);

3) NP = 8 cм, MP = 10 см MN = 12 см.

AB = 2NP = 2 ∙ 8 = 16 (cм);

ВС = 2МР = 2 ∙ 10 = 20 (см);

АС = 2MN = 2 12 = 24 (см);

Р∆ABC = 16 + 20 + 24 = 60 (см).

Відповідь: 1) 28 см; 2) 56 см; 3) 60 см.

366. Визначте вид трикутника, якщо:

1) усі

2) Дві

сусідніх сторін, дорівнюють:

1) 0,6 дм і 0,9 дм; 2) 100 мм і 14 см.

відповідно.

1) MN = 0,6 дм; MK = 0,9 дм; У ∆ADC: MN — середня

АС = 2MN = 1,2 дм; У ∆ABD: МК — середня лінія; BD = 2МК = 1,8 дм; 2) MN = 100 мм; МК = 14 см; АС = 2MN = 200 мм; BD = 2МК = 28 см. 368. Знайдіть

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

ADC:

ABD:

якщо EF = 4 см.

одного квадрата,

знайти 6AC. Оскільки точки E і F – середини ребер

ACD.

AC = 2EF = 2 ∙ 4 = 8 см. Тоді,

6AC = 6 ∙ 8 = 48 см. Відповідь: 48 см.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

АВ1 = В1B2 = B2B3 = B3B4.

1) Якщо АB4 – B2B3 = 9 cм (довжина 3 відрізків), то AB3 = 9 cм;

2) Якщо AB4 – B1B3 = 8 см (довжина 2 відрізків), то один відрізок рівний 8 : 2 = 4 см, тоді B1B4 = 3 ∙ 4 = 12 см;

3) B1B4 – B1B2 = 10 cм (довжина 2 відрізків), один відрізок рівний 10 : 2 = 5 см, тоді AB4 = 5 ∙ 4 = 20 cм.

374. Сторони трикутника дорівнюють а, b і c.

сторони іншого трикутника, вершини якого є серединами сторін даного трикутника, якщо: 1) а = 8 см, b = 10 см, с = 12 см; 2) а = 0,5 дм, b = 12 см, с = 1,3 дм.

1) AB = а = 8 см; BC = b = 10 см; AC = с = 12 см;

PN = 1 2 AB = 4 см; МР = 1 2 BC = 5 см; MN = 1 2 AC = 6 см.

2) AB = а = 0,5 дм; BC = b = 1,2 дм; AC = с = 1,3 дм;

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

= 2,5 см. P△АВС = 25 см. Знайти AB, BC і AC. Згідно теореми про середню лінію трикутника:

AC = 2DF = 2 ∙ 2,5 = 5 см. У рівнобедреного

АВС = AB + BC + AC = 2BC + AC 25 = 2BC + 5 ⇒ 2BC = 20 ⇒ BC = 10 см.

Відповідь: 5 см, 10 см, 10 см. 377.

= 5 см. P△

= 40 см. Знайти AB, BC і

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай О — середина відрізка AB.

BL ⊥ NM; ML ∥ KP.

ML = NB = КР = 4 см.

∆ABL: OP — середня лінія.

OP ∥ AL. BO = OA, за теоремою Фалеса ВР = PL.

ОР = 1 2 AL = 1 2 (8 + 4) = 6 (cм);

ОК = ОР – КР = 6 – 4 = 2 см.

Відповідь: 2 см.

379. Сторони трикутника відносяться як 3 : 4 : 5.

середніми лініями даного

см; 2) 4,8 дм.

Нехай дано ∆АВС.

АВ : ВС : АС = 3 : 4 : 5. 1) Р∆ABC = 60 см; ∆MNP — трикутник, утворений

АВ = 3х; ВС = 4х; АС = 5х;

Р∆ABC = 12х; P∆MNP = 6x; 12x = 60;

х = 5;

АВ = 15 см; ВС = 20 см; АС = 25 см; МN = 1 2 AС = 12,5 см; NP = 1 2 BC = 10 см;

МР = 1 2АВ = 7,5 см.

Відповідь: 7,5 см; 12,5 см; 10 см.

2) P = 4,8 дм = 48 см; 12x = 48; x = 4 см;

AB = 12 см; ВС = 16 см; АС = 20 см; MN = 1 2 AC = 10 см;

NP = 1 2 BC = 8 см; MP = 1 2 AB = 6 см.

6 см; 8 см; 10 см. 380.

1) 48 см; 2) 2,4 дм.

Нехай дано ∆ABC, сторони ∆ABC: AB : ВС : AC = 7 : 8 : 9.

∆MNP — трикутник, утворений середніми лініями.

1) P∆MNP = 48 cм; P∆ABC = 2P∆MNP = 96 см;

AB = 7х; ВС = 8x; АС = 9х; 7х + 8х + 9х = 96; 24х = 96; x = 4;

AB = 28 см; ВС = 32 см; AС = 36 см; 2) Р = 4,8 дм; АВ = 1,4 дм; ВС = 1,6 дм; AС = 1,8 дм. 381. Доведіть,

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) ВС ∥ B1C1; AB ∥ A1С1; AB ∥ A1В1.

AB; ВС; АС — середні

∆A1B1С1

2) А1В1 = 2АВ = 12 см; B1C1 = 2ВС = 24 см; A1С1 = 2AС = 30 см;

3) Р∆A1B1C1 = 48 см; P∆ABC = 1 2 P∆A1B1C1 = 1 2 ∙ 48 = 24 (см).

383.

Згідно теореми

якщо AA1 = A1A2 = A2A3,

1) AB1 = B1B2 = B2B = AB : 3 = 12 : 3 = 4 см;

BC1 = C1C2 = C2C = BC : 3 = 18 : 3 = 6 см;

2) B1A = BC = 6 см; B2A2 = BC2 = 12 см; C2A2 = BB2 = 4 см; C1A1 = BB1 = 8 см.

384. Доведіть, що

дано: ∆АВС;

A1C1 = A1A = �� 2 ; B1C = B1B = �� 2 ; AC1 = C1B = �� 2; A1B1 = 1 2c; B1C1 = 1 2b; A1C1 = 1 2 a.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай дано паралелограм ABCD.

Розглянемо кут ∠ADВ: за теоремою Фалеса АМ = MD, отже, DK = KP.

Розглянемо кут ∠CBD: за теоремою Фалеса BN = NC, тоді BP = PK.

Отже, DK = KP = PB, що й треба було довести.

386. Знайдіть периметр чотирикутника, вершинами якого є середини

чотирикутника, якщо сума діагоналей чотирикутника

Нехай ABCD — чотирикутник,

N, Р, К — середини сторін

РМNРК = MN + NP + KP + KM.

∆ABC; MN — середня лінія, MN = 1 2AC;

∆ADC — середня лінія; KP = 1 2AC;

∆ABD, MK — середня лінія, MK = 1 2BD;

∆BDC; NP — середня лінія, NP = 1 2 BD.

PMNPC = 1 2 BD + 1 2 BD + 1 2 AC + 1 2 AC = BD + AC = S.

1) S = 25 см; PMNPK = 25 см; 2) S = 3,5 дм; PMNPK = 3,5 дм.

Відповідь: 1) 25 см; 2), 3,5 дм. 387. Знайдіть

1) 4 см і 6 см; 2) 24 см і 25 см.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай дано чотирикутник AВСD. АС і BD — діагоналі.

1) АС = 4 см; ВD = 6 см; MNPK — чотирикутник;

М, N, Р, К — середини сторін чотирикутника ABCD.

∆АВС; MN — середня лінія ∆АВС;

MN = 1 2 AC = 2 см;

∆АDС; KP — середня лінія ∆АDС;

КР = 1 2АС = 2 см;

∆BDC: NP = 1 2 BD = 1 2 ∙ 6 = 3 см;

∆ABD: MK = 1 2 BD = 1 2 ∙ 6 = 3 см;

РMNPK = 2 + 3 + 2 + 3 = 10 (см).

2) АС = 24 см; ВD = 25 см;

РMNPK = 12 + 12 + 12,5 + 12,5 = 49 (см).

Відповідь: 1) 10 см; 2) 49 см.

388. Знайдіть периметр

Нехай ABCD — квадрат. AC — діагональ; AC = d. MNKP —

MN = PK = 1 2AC;

NK = MP = 1 2BD; AC = BD = d; PMNPK = 2d.

1) Р = 16см; 2) Р = 2,6 дм.

389. Доведіть, що

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай ABCD — прямокутник; М, N, Р, К — середини його сторін.

∆ADC: MN ∥ AC; MN = 1 2AC;

∆ABC: KP ∥ AC; KP = 1 2AC (властивість середньої лінії трикуника).

Oтже, MN ∥ KP; MN = KP.

Аналогічно NP ∥ MK; NP = MK.

Якщо BD = AC, то MN = NP = PK = MK.

Отже, MNPK — ромб, що й треба було довести.

390. Доведіть, що середини сторін квадрата є вершинами квадрата.

ABCD — квадрат. М, N, Р, К — середини сторін.

MN ∥ BD; MN = 1 2BD;

PK ∥ BD; PK = 1 2BD;

MN = PK; PM ∥ AC; РМ = 1 2АС;

KN ∥ АС: KN = 1 2AC;

KN = PM; AC = BD.

Отже, PM = MN = NK = PK. PMNK – ромб. ∆PDM = ∆NCM. ∠PMD = ∠NMC = 45°; ∠PMN = 90°, отже, ромб PMNK — квадрат.

391. Доведіть, що середини сторін ромба є вершинами прямокутника.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай ABCD — ромб. М, N, Р, К — середини

KP = MN = 1 2АС; PN = KM = 1 2BD;

KP ∥ AC; MN ∥ AC ⇒ KP ∥ MN; PN ∥ BD; KM ∥ BD ⇒ KM ∥ PN; BD ⊥ AC ⇒ PN ⊥ MN; KP ⊥ KM.

Отже, KPNM — прямокутник, що й треба

392. Як побудувати трикутник

Нехай М, N, P — середини сторін шуканого трикутника. Проведемо прямі,

393.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

OK : OB = 1 : 2; АО : ОМ = 2 : 1; СО : ON = 2 : 1, що

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) P∆ABC = 36 cм; АК = КР = BP; BN = NQ = QC; AM = MD = DC; AP = MN (як протилежні сторони паралелограма APMN) PB = QD (як протилежні сторони

PBQD) MN + QD = AB

Аналогічно PD + KM = BC, PN + KQ = AC

Отже, MN + QD + PD + KM + PN + KQ = AB + BC + AC = P∆ABC = 36 см.

2) аналогічно.

398.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Кроки побудови:

1. Кладемо AB на рядки так, щоб A і B лежали на

2. Розміщуємо AB під кутом, A — на нижньому рядку, B — на 9-му рядку вище.

3. C — перший перетин AB з рядком зошита.

4. Циркулем відкладаємо AC на відрізок AB 9 разів.

Пояснення

1. Чому AC = ¹⁄₉ AB?

Кладемо відрізок AB на аркуш

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Отже: �� =4 ⋅ ��1 ��1 403. На малюнку

1. Поясніть вимірювання. 2. Чи обов’язково

1. Хід вимірювання Оскільки до пункту A підійти

Крок 2. Знаходять N — середину BC (вимірюють BC

Крок 3. Візуванням по лінії CA знаходять точку M — середину CA

визирають на A і відзначають середину

Крок 4. Вимірюють відрізок MN.

Крок 5.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

5) паралельна основам?

1. Неправильно.

2. Неправильно.

3. Правильно. Середня

4. Неправильно.

5. Правильно. Середня лінія трапеції паралельна основам. 411. Які з наведених

на 2;

2) суму основ поділити на 2;

3) різницю основ поділити на 2.

1. Неправильно.

2. Правильно. Довжина середньої лінії дорівнює

3. Неправильно.

412. На малюнку зображено трапецію

1) основи трапеції;

2) бічні сторони трапеції;

3) кути, прилеглі до основи;

4) кути, прилеглі до бічної сторони.

1) AD i

дорівнює 180°. 415.

ABCD.

Мал. 171

∠B = 180° – ∠A = 180° – 50° = 130°;

∠D = 180° – ∠C = 180° – 140° = 40°.

Відповідь: ∠B = 130°; ∠D = 40°.

Мал. 172

∠B = 180° – ∠A = 180° – 90° = 90°;

∠C = 180° – ∠D = 180° – 46° = 134°.

Відповідь: ∠B = 90°; ∠C = 134°.

Мал. 173

∠B = 180° – ∠A = 180° – 40° = 140°;

∠C = 180° – ∠D = 180° – 36° = 144°.

Відповідь: ∠B = 140°; ∠C = 144°.

416. ABCD — трапеція

AD i BC.

1) ∠A i ∠C, якщо ∠B = 110°, ∠D = 30°; 2) ∠A i ∠D, якщо ∠B = 125°, ∠C = 145°.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) ∠A = 180° – ∠B = 180° – 110° = 70°; ∠C = 180° – ∠D = 180° – 30° = 150°;

2) ∠A = 180° – ∠B = 180° – 125° = 55°; ∠D = 180° – ∠C = 180° – 145° = 35°.

Відповідь: 1) ∠A = 70°, ∠C = 150; 2) ∠A = 45°, ∠D = 35°.

417. Основою піраміди є трапеція АВСD (АВ || СD). Знайдіть ∠D цієї трапеції, якщо: 1) ∠А = 160°; 2) ∠А = 135°; 3) ∠А = 95°.

419.

1) ML = MF + FL = MF + NK = 5 + 2 = 7 cм; 2) NK = FL = ML – MF = 10 – 7 = 3 см

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

425. Знайдіть х

Мал.178

х+8

2 = 6;

х + 8 = 12;

х = 12 – 8;

х = 4 (см).

Відповідь: 4 см.

Мал.179

х = 4+10 2 ; х = 7 (см).

Відповідь: 7 см.

Мал.180

х+5

5 = 10;

х + 5 = 20;

х = 20 – 5;

х = 15 (см).

Відповідь: 5 см.

426.

поясніть. Якщо NK = 4 см, ML =

EF = NK+ML 2 = 4+8 2 = 6 (см).

ВС = AD – 2AF = FD – AF = 12 – 4 = 8 (см);

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

NK = FE = 4 cм; ML = MF + FE + EL = 2 + 4 + 5 = 11 cм;

х = NK+ML 2 = 4+11 2 = 7,5 (см), де x — середня лінія трапеції.

Відповідь: 4 см, 11 см, 7,5 см.

432. Знайдіть периметр трапеції

1) с = 8 см, d = 12 см, m = 10 см; 2) с = d = m = 15 см.

PABCD = BC + AD + AB + CD =

1) PABCD = 2m + c + d = 2 ∙ 10 + 8 + 12 = 40 (см);

2) PABCD = 2m + c + d = 2 15 + 15 + 15 = 60 (см);

Відповідь: 1) 40 см; 2) 60 см.

433. У рівнобічній трапеції

трапеції.

PABCD = BC + AD + AB +

PABCD = 2m + c + d = 2 ∙ 14 + 17 + 17 = 28 + 34 = 62 (см). Відповідь: 1)

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай ∠D = 45°, BC = a, AD = b, CD ⊥ AD, тоді ∆CKD —

CK = KD = AD – AK = AD – BC.

1) СК = 8 – 6 = 2 (см); 2) СК = 10 – 6,2 = 3,8 (см) = 38 (мм).

Відповідь: 1) 2 см; 2) 38 мм.

437. Якщо

Нехай

паралельних прямих AB і СE та січній АE.

рівнобедрений і СE = АВ. Оскільки АВСE —

AB = СE і СE = AD, то AB = CD, тобто трапеція ABCD —

438. За даними

CED =

Мал. 185

∠A = 90° – 32° = 58°,

∠B = 90° + 32° = 122°,

∠C = ∠B = 122°,

∠D = ∠A = 58°.

Відповідь: 58°, 122°, 122°, 58°.

Мал. 186

∠BCA = ∠CAD = 30° —

та січній АС.

∠BAC = ∠BCA = 30° — як

∠BAC = ∠BAC + ∠CA = 30° + 30° = 60°.

∠D = ∠BAC = 60°;

∠B = ∠BCD = 180° – 60° = 120°.

Відповідь: 60°, 120°, 120°, 60°.

Мал. 187

∠D = ∠BAD = 2∠CAD.

Оскільки ∠D + ∠CAD = 9° і ∠D = 2∠CAD, то

∠D = 90° ∙ 2 1+2 = 60°,

∠BCD = 180° – ∠D = 180° – 60° = 120°,

рівнобедрений

D , то ∆CED

E = AB.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

∠B = ∠BCD = 120°,

∠BAD = ∠D = 60°.

Відповідь: 60°, 120°, 120°, 60°.

439. Доведіть, що

∠A + ∠C = ∠A + ∠B = 180° (оскільки

∠B + ∠D = ∠B +

∠С + ∠D = 180°;

– 40°;

∠А = 70°; ∠D = 70°.

∠C = ∠A + 40°;

∠В = 180° – ∠А = 180° – 70° = 110°;

∠С = 110°.

Відповідь: ∠А = 70°, ∠В = 110°, ∠C = 110°, ∠D = 70°.

441. Протилежні кути

Нехай ∠A : ∠C = 1 : 4. Оскільки ∠A + ∠C = 180° і ∠

∠A = 180° 1 1+4 = 36°,

∠C = 180° ∙ 4

1+4 = 144°,

∠B = ∠C = 144°,

∠D = ∠A = 36°.

Відповідь: 36°, 144°, 144°, 36°. 442.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

∆ADC = ∆DAB (за двома сторонами і кутом

спільна сторона CD = ВА

умовою, ∠BAD = ∠CDA). Із рівності цих трикутників випливає що АС = BD. Отже, діагоналі рівнобічної трапеції рівні.

443. ABCD — рівнобічна трапеція, AD || BC, AC i BD — діагоналі, О — точка

Доведіть:

1) DBOC i DAOD — рівнобедрені; 2) DAOB = DDOC.

1) ∆ABD = ∆DCA — за трьома сторонами: AD — спільна сторона, AB = DC — як

сторони рівнобічної трапеції, BD = СА (задача 307). Із рівності цих трикутників маємо

∠BDA = ∠CAD, тоді ∠ODA = ∠OAD. Отже, ∆AOD — рівнобедрений. Аналогічно ∆BOC — рівнобедрений, бо ∆ВСD = ∆СBА (ВС — спільна, CD = BA, BD = СА) і із рівності

трикутників випливає, що ∠DBC = ∠ACB.

2) ∆AOB = ∆DOC — за трьома сторонами, о скільки AО = DO (бо ∆AOD — рівнобедрений), OB = ОС (оскільки ∆ВОС — рівнобедрений, AB = CD (як

трапеції).

444. У рівнобічній трапеції

— 60°.

Нехай у рівнобічній трапеції ABCD (AD ∥ BC), AD = 10 см, АВ = CD = 4 см, ∠A = ∠D = 60°.

Проведемо BK ⊥ AD, CM ⊥

АK = 1 2 AВ = 1 2 ∙ 4 = 2 (cм), MD = 1 2 CD = 1 2 4 = 2 (cм), тоді BC = KM = AD – AK – MD = 10 – 2 – 2 = 6 (см). Відповідь: 6 см. 445.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

у рівнобічній трапеції ABCD (AD ∥ ВС), AD = 49 см, ВС = 15 см, ∠A = ∠D = 60°.

Проведемо BK ⊥ AD, CM ⊥ AD.

∆ABK = ∆DCM — за гіпотенузою і гострим кутом (AB = CD, ∠A = ∠D = 60°), тоді

AK = MD = AB−BC 2 = 49−15 2 = 17 (cм).

Із прямокутного трикутника АВK (∠K = 90°, ∠ABK = 30°) маємо

AB = 2АК = 2 ∙ 17 = 34 см.

Оскільки трапеція ABCD — рівнобічна, то CD = АВ = 34 см.

Відповідь: 34 см.

446. ABCD — рівнобічна трапеція, AD || BC, BK i CM — висоти. Доведіть:

1) AK = MD = (AD – BC) : 2; 2) KD = AM = (AD + BC) : 2.

1) ∆ABK = ∆DCM — за гіпотенузою і

рівнобічної трапеції, ∠A = ∠D — як

АК = МD = AD−KM 2 = AD−BC 2 .

(AB = DC — як

2) Оскільки АК = MD, то АК + KD = MD + KM або AM = KD, тоді

AM = KD = AK + KM = AD−BC 2 + BC = AD−BC+2BC

кута, ділить основу

1) ABCD — рівнобічна трапеція (AD ∥ BC, AB = CD),

BK ⊥ AD, CM ⊥ AD, AK = 4 см, KD = 8 см.

∆ABK = ∆DCM, тоді MD = AK = 4 см.

AD = AK + KD = 4 + 8 = 12 (см).

BC = AD – AK – MD = 12 – 4 – 4 = 4 (cм).

Відповідь: 4 см і 12 см.

2) ABCD — рівнобічна трапеція (AD ∥ BC, AB = CD),

BK ⊥ AD, CM ⊥ AD, AK = 2 см, KD = 7 см.

AD = AK + KD = 2 + 7 = 9 (cм).

∆ABK = ∆DCM, тоді BC = KM = AD – AK – MD = 9 – 2 – 2 = 5 (см).

Відповідь: 5 см, 9 см.

448. Доведіть, що

—

рівнобедрений і PABCD = AB + ВС + CD + AD = a + a + a + b = 3a + b.

1) Якщо а = 6 см, b = 8 см, то PABCD = 3 ∙ 6 + 8 = 26 (см); 2) якщо а = 62 мм = 6,2 см; b = 10 см, то PABCD = 3

6,2 + 10 = 18,6 + 10 = 28,6 (см).

Відповідь: 1) 26 см; 2) 28,6 см.

450. Доведіть теорему

(MN — середня лінія).

Мал.190

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

MN = 1 2 (ВЕ + AF) = 1 2 (BC + CE + AD – FD) = 1 2 (BC + CE + AD – CE) = 1 2 (BC + AD).

451. Основи трапеції

трапеції.

7 : 3,

4,8

ABCD — трапеція (BC ∥ AD), AD : BC = 7 : 3, AD – BC = 4,8 cм, MN — середня лінія

трапеції.

Нехай AD = 7x см, ВС = 3х см, тоді 7х – 3х = 4,8; 4x = 4,8; x = 1,2.

Отже, AD = 7 ∙ 1,2 = 8,4 (см);

ВС = 2 ∙ 1,2 = 3,6 (см), тоді MN = AD+BC 2 = 8,4+3,6 2 = 12 2 = 6 (см).

Відповідь: 6 см.

452. Середня лінія трапеції

ABCD — трапеція (ВС ∥ AD), MN — середня

Нехай ME = x см, тоді NE = (х + 2) см,

ВС = 2МЕ = 2х см, AD = 2NE = 2(х + 2) см.

Оскільки MN = AD+BC 2 , то 10 = 2(x+2)+ 2x 2 ; 10 = x + 2 + x;

2х + 2 = 10; 2x = 10 – 2; 2х = 8; x = 4.

Отже, AD = 2(x + 2) = 2 ∙ (4 + 2) = 12 (см); BC = 2x = 2 ∙ 4 = 8 (см).

Відповідь: 8 см і 12 см.

453. Доведіть, що

трапеції, MN = 10 см, NE – ME = 2 см.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

ABCD — трапеція, АК = КС, BL = LD, ВС = а, KL = с.

Згідно з результатами задачі 453 маємо: KL = AD−BC 2 , тоді c = AD−a 2 , AD – a = 2c; AD = 2с + а.

1) Якщо а = 6 см, с = 4 см, то AD = 2с + а = 2 ∙ 4 + 6 = 14 (см).

2) Якщо a = 50 мм = 5 см, с = 2 см, то AD = 2с + а = 2 ∙ 2 + 5 = 9 (см).

Відповідь: 1) 14 см; 2) 9 см.

455. Якщо бісектриси

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

ABCD — трапеція (AD ∥ ВС), АВ = CD = 24 см. MN — середня лінія трапеції, ME = 8 см, EN = 20 см, тоді ВС = 2МЕ = 2 8 = 16 (см), AD = 2EN = 2 х 20 = 40 (см).

Проведемо СК ⊥ AD, тоді KD = AD−BC 2 = 40−16 2 = 12 (см).

Оскільки в прямокутному трикутник CKD KD = 1 2CD (12 = 1 2 ∙ 24), то

∠KCD = 30°, а ∠CDK = 60°.

Отже, ∠D = ∠A = 60°, ∠B = ∠C = 180° – 60° = 120°.

Відповідь: 60°, 120°, 120°, 60°.

457. Якщо діагоналі трапеції рівні, то трапеція — рівнобічна. Доведіть.

ABCD — трапеція (AD ∥ BC), AC = BC. Проведемо BK ⊥ AD і CM ⊥ AD. ∆ACM = ∆DBK (за гіпотенузою і катетом: АС = BD, СМ = ВК), тоді ∠CAM = ∠BDK. ∆ABD= ∆DCA (за

двома сторонами і кутом між ними: BD = АС — за умовою, AD — спільна, ∠ADB = ∠DAC — за доведенням), тоді AB = DC, тобто ABCD

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

ABCD — трапеція (AD ∥ ВС), AB = CD, MN — середня лінія.

Проведемо BK ⊥ AD, CN ⊥ AD, тоді CN = AN і BK = KD (задача

трикутника AOD маємо ∠AOD = 180° –

1) ABCD — трапеція

∠COD = 60°. Відповідь: 60°.

x+2x 2 = 18, тоді 1,5x = 18; x = 12. Отже, ВС = 12 см, AD = 2 ∙ 12 =24 (см). Відповідь: 12 см і 24 см.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

ABCD — трапеція (ВС ∥ AD), AB ⊥ AD, ∆ACD

CK ⊥ AD, тоді

дорівнює BC+AD

Оскільки BC ∥ AD (як

BCDM.

BC = MD.

то ми зможемо визначити:

BC = MD = NL; BN = CL = NM = LD. 2. Позначимо точку

AB = ME, BM = AE; CD = MF, MC = FD. 466.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

472. Чи

Тому:

1. Не перетинають коло — ні.

2. Перетинають коло — так.

473. Чи правильно, що вписаний кут вимірюється: Вписаний кут дорівнює

Тому:

1. Дугою — ні.

2. Половиною дуги — так. 474. Проведіть

Мал.221 ∪ALB = 90°.

∪ALB = 180°. Відповідь: 180°.

476.

∪AMB = 60°.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Відповідь: 60°.

477. Скільки

1) 1 2 кола; 2) 1 3 кола; 3) 2 3 кола?

1) 1 2 ∙ 360° = 180°; 2) 1 3 ∙ 360° = 120°;

3) 2 3 ∙ 360° = 240°.

Відповідь: 1) 180°; 2) 120°; 3) 240°.

478. Один із двох

відповідні дуги, якщо:1) α = 30°; 2) α = 62°; 3) α = 100°?

1) Якщо α = 30°, то ∪АВ = 30° або ∪AB = 360° – 30° = 330°;

2) якщо α = 62°, то ∪AB = 62° або ∪АВ = 360° – 62° = 298°;

3) якщо α = 100°, то ∪AB = 100° або ∪АВ = 360° – 100° = 260°.

Відповідь: 1) 30° і 330°; 2) 62° і 298°; 3) 100° і 260°.

479. За даними

1) ∪ACB = ∪AC + ∪BC = 25° + 45° = 70°;

2) ∪AMB = ∪AM + ∪MB = 180° + 30° = 210°.

Відповідь: 1) 70°; 2) 210°.

480. На півколі

Знайдіть хорду CD, якщо радіус

1) 12 см; 2) 0,2 дм; 3) 39 мм.

i D так, що ∪AC = 59°, ∪BD = 61°.

∪CD = 180° – ∪AC – ∪BD = 180° – 59° – 61° = 60°. ∆OCD — рівносторонній, тоді CD = ОС = OD = OA = OB.

1) Якщо АО = 12 cм, то CD = 12 см; 2) якщо АО = 0,2 дм, то CD = 0,2 дм; 3) якщо АО = 39 мм, то CD = 39 мм.

Відповідь: 1) 12 см; 2) 0,2 дм; 3) 39 мм.

481.

Оскільки ∪AB = ∪CD, тоді ∪AB + ∪ВС = ∪CD + ∪ВС.

Звідси ∪AC = ∪BD, тоді ∠AOC = ∠BOD.

482.

BCD

що ∠АОВ = ∠COD.

Оскільки ∪ABC = ∪BCD, тоді ∪ABC – ∪BC = ∪BCD – ∪BC.

Звідси ∪AB = ∪CD, тоді ∠AOB = ∠COD.

483. За

Мал.227

α = 1 2 ∪AC = 1 2 ∙ 120° =

Мал.228

∠AD = 2∠ABD = 2 ∙ 25° = 50°; α = 1 2 ∪AD = 1 2 50° – 25°.

Відповідь: 25°.

Мал.229

α = 1 2 ∪AC = 1 2 ∙ 180° = 90°.

Відповідь: 90°.

484.

1) Мал.230

∪AC = 2∠ABC = 2 ∙ 35° = 70°; 2) Мал.231

∪AC = ∠AOC = 40°; ∠ABC = 1 2 ∪AC = 1 2 ∙ 40° = 20°.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Відповідь: 1) 70°; 2) 20°.

485.

200°.

1) 1 2 ∙ 52° = 26°;

2) 1 2 126° = 63°;

3) 1 2 200° = 100°.

Відповідь: 1) 26°; 2) 63°; 3) 100°.

486. Знайдіть

110°.

1) 16° ∙ 2 = 32°; 2) 32° ∙ 2 = 64°;

3) 110° ∙ 2 = 220°.

Відповідь: 1) 32°; 2) 64°; 3) 220°.

487.

2) ∪MK = 30° ∙ 2 = 60°; x° = 360° – 60° – 160° = 140°; 3) ∪EQ = 60° ∙ 2 = 120°; x° = 360° – 50° – 120° = 190°.

Відповідь: 1) 70°; 2) 140°; 3) 190°.

488. Точки

відносяться як: 1) 1 : 1 : 1; 2) 1 : 2 : 2.

AB; ∪BC : AC = m : n : k, тоді

AB = 360° m m+n+k ; ∪BC = 360° n m+n+k ; ∪AC = 360° k m+n+k ;

B = 1 2 ∪AC = 180° k m+n+k ;

C = 1 2 ∪AB = 180° ∙ m m+n+k .

1) ∠А = 180° 1 1+1+1 = 60°;

B = 180° 1

= 60°;

2) ∠А = 180° 2 1+2+2 = 72°;

∠B = 180° ∙ 2

1+2+2 = 72°;

∠C = 180° ∙ 1

1+2+2 = 36°;

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Відповідь: 1) 60°, 60°, 60°; 2) 72°, 72°, 36°.

489.

міри дуг відносяться як 1 : 2 : 3.

∪AB; ∪BC : AC = m : n : k, тоді

∪AB = 360° m m+n+k ; ∪BC = 360° n m+n+k ; ∪AC = 360° k m+n+k ;

Тоді ∠А = 1 2 ∪BC = 180° n m+n+k ;

∠B = 1 2 ∪AC = 180° k m+n+k ;

∠C = 1 2 ∪AB = 180° ∙ m m+n+k .

∠А = 180° 3 1+2+3 = 90°;

∠B = 180° 3

1+2+3 = 90°;

∠C = 180° ∙ 1 1+2+3 = 30°.

Відповідь: 60°, 90°, 30°.

490. Навколо трикутника

якщо:

1) ∠А = 30°, ∠В = 90°; 2) ∠В = 110°, ∠С = 28°.

1) ∠A = 30°, тоді ∪BC = 2 30°= 60°;

∠B = 90°, тоді ∪AC = 2 ∙ 90° = 180°;

∪AB = 360° – 60° – 180° = 120°;

2) ∠B = 110°, тоді ∪AC = 2 ∙ 110° = 220°;

∠C = 28°, тоді ∪AB = 2 28° = 56°;

∪BC = 360° – 220° – 56° = 84°.

Відповідь: 1) 120°, 60°, 180°; 2) 56°, 84°, 220°.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

∠

= 65°, ∠С = 35°.

∠A = 65°, тоді ∪BC = 2 ∙ 65° = 135°;

∠C = 35°, тоді ∪AB = 2 ∙ 35° = 70°;

∪AC = 360° – 130° – 70° = 160°;

Відповідь: 1) 70°, 130°, 160°.

492. Знайдіть

1) 64°; 2) 144°.

AB = BC; ∪AB = ∪BC

1) ∠A = ∠C = 1 2 ∪AB = 1 2 ∙ 64° = 32°;

∠B = 180° – 2∠A = 180° – 64° = 116°;

2) ∠A = ∠C = 1 2 ∪AB = 1 2 ∙ 144° = 72°; ∠B = 180° – 2∠A = 180° – 144° = 36°. Відповідь: 1) 32°, 32°, 116°; 2) 72°, 72°, 36°.

493. Знайдіть

120°.

AB = BC; ∪AB = ∪BC

∠A = ∠C = 1 2 ∪AB = 1 2 ∙ 120° = 60°;

∠B = 180° – 2∠A = 180° – 120° = 60°;

Відповідь: 60°, 60°, 60°.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай ∪AB = ∪CD, тоді ∠AOB = ∠COD. ∆AOB = ∆COD за двома сторонами і кутом між ними (АО = СО — як радіуси, BО = DO — як радіуси, ∠AOB = ∠COD — як центральні кути, що спираються на рівні

рівності трикутників маємо AB = CD. Отже, у колі рівні дуги стягуються

хордами.

495. У колі рівні

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай AF = BF, CD — діаметр, OF — медіана рівнобедреного трикутника АОВ, тоді OF — бісектриса трикутника АОВ, отже, ∠AOF = ∠BOF. Оскільки ∠AOF = ∠BOF, то ∪AD = ∪ВD, тоді ∪AC = ∪СВ = 180° – ∪AD. Отже, діаметр, проведений через середину хорди, яка не проходить через центр, ділить навпіл дуги, що їх стягує хорда.

Дано:

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Тоді ∠РВT = 1 2 ∪РAT = 1 2 · 135° = 67°30';

∠PAT = 1 2 ∪РВT = 1 2 · 225° = 112°30'.

Оскільки ∪РAT : ∪РВТ = 2 : 7, то ∪РBТ = 360° · 7 2+7 = 280°, тоді

∠РАT = 1 2 ∪РBT = 1 2 · 280° = 140°;

∠PBT = 1 2 ∪РAT = 1 2 · 80° = 40°.

Відповідь: 1) 67°30' і 112°30'; 2) 140° і 40°.

502. Доведіть, що коли хорди АВ і ВС утворюють

Нехай ∠ABC = 30°, тоді ∪AC = 60°, ∠AOC = ∪AC = 60°.

∆АОС – рівносторонній, оскільки

АС = АO = CO. Отже, хорда

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

∠ACB + ∠ADB = 1 2 ∪ADB + 1 2 ∪ACB = 1 2(∪ADB + ∪ACB) = 1 2 · 360° = 180°. Отже, сума вписаних

дорівнює 180°.

506. За

1) ∪BCA = 160°, тоді ∪AB = 360° – 160° = 200°, α = 1 2 ∪AB = 1 2 · 200° = 100°.

2) ∠MKN = 120°, тоді ∪MN = 2 · ∠MKN = 2 · 120° = 240°, ∪MKN = 360° – ∪MN = 360° –240° = 120°; α = ∪MKN = 120°.

3) ∠EPF = 35°, тоді ∪ELF = 2∠EPF = 2 · 35° = 70°, ∪EPF = 360° – ∪ELF = 360° – 70° =

290°; α = 1 2 ∪EPF = 1 2 · 290° = 145°.

Відповідь: 1) 100°; 2) 120°; 3) 145°.

507. Центральний

1) n = 35°; 2) n = 45°.

∠AOC = ∠ABC + n°. Оскільки

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай ∪AMB : ∪ANB = m : n, тоді ∪AMB =

1) Якщо m = 1, n = 3, тоді ∠CAB = 180° · 1 1+3 = 45°.

2) Якщо m = 2, n = 7, тоді ∠CAB =

Відповідь: 1) 45°; 2) 40°. 512.

1) ∠ABC = 1 2(∪AС – ∪AD) = 1 2· (150° – 50°) = 1 2 · 100° = 50°.

2) ∠ABC = 1 2((360° – ∪AC) – ∪AC) = 1 2((360° –

– 100°) = = 1 2 · (260° – 100°) = 1 2 · 160° = 80°.

Відповідь: 1) 50°, 2) 80°. 515.

Нехай

МA ⊥ ОА, MC ⊥ ОС, NK ⊥ OB. ∠AMC = 1 2 (∪АС

40°, 60°, 80°. 516.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

522.

523.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) ∠C = 180° – ∠A = 180° – 95° = 85°; ∠B = 180° – ∠D = 180° – 80° = 100°.

2) ∠N = 180° – ∠P = 180° – 60° = 120°; x + x + 30 = 180; 2x + 30 = 180; 2x = 150; x = 75.

Отже, ∠M = 75°, ∠K = 75° + 30° = 105°.

3) ∠F = ∠Q = 90° (оскільки це вписані кути, що спираються на діаметр РЕ).

∠E = 2 · 30° = 60°; ∠P = 180° – ∠E = 180° – 60° = 120°.

Відповідь: 1) 85°, 100°; 2) 120°, 75°, 105°; 3) 90°, 120°, 90°, 60°. 527. Чи можна описати коло навколо чотирикутника ABCD, якщо кути A, B, C і D

відповідно дорівнюють:

1) 90°, 90°, 110°, 120°; 2) 70°, 130°, 110°, 50°?

Навколо чотирикутника ABCD коло описати:

1) не можна, бо 90° + 110° ≠ 180°;

2) можна, бо 70° + 110° = 130° + 50° = 180°.

Відповідь: 1) ні; 2) так. 528. Чи можна описати коло

відповідно дорівнюють:

1) 85°, 130°, 95°; 2) 60°, 100°, 119°?

Навколо чотирикутника ABCD коло описати:

1) можна, якщо ∠D = 50° і не

2) не можна, бо 60° + 119° ≠ 180°.

якщо

Відповідь: 1) так, якщо ∠S = 50°; 2) Hi. 529. У трикутнику ABC

Доведіть, що навколо

180°,

1) ∠B1KC1 = 180° – ∠A = 180° – 55° = 125°; 2) ∠B1KC1 = 180° – ∠A = 180° – 72° = 108°; 3) ∠B1KC1 = 180° – ∠A = 180° – 60° = 120°. Відповідь: 1) 125°; 2) 108°; 3) 120°. 530.

1) прямокутника;

2) квадрата;

3) ромба? Відповідь

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) Нехай AD і ВС — діаметри кола з центром

∠DСА = 90° — як

ABDC — паралелограм (бо діагоналі

ABDC — прямокутник.

2) Прямокутник ABDC буде квадратом за умови, якщо AD ⊥ ВС. 533. За

1) x = AD = (AB + CD) – BC = = (7 + 8) – 5 = 10 (cм).

2) х + x + 4 = 5 + 5; 2x + 4 = 10; 2х = 6; x = 3, тоді EF = 3 см, PQ = 3 + 4 = 7 см.

3) х + 2х = 5 + 5;

Зх = 10; х = 31 3,

Тоді LM = 31 3 см; KN = 31 3 · 2 = 62 3 см.

Відповідь: 1) 10 см; 2) 3 см і 7 см; 3) 31 3см, 62 3 см.

1) 2 см, 3 см, 5 см, 4 см; 2) 7 см, 4 см, 3 см, 5 см?

= 3

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Відповідь: 1) так; 2) ні.

535. Знайдіть

1) 20 см; 2) 3,2 дм.

Оскільки

сумі

1) Р = 2 · 20 см = 40 см; 2) P = 2 · 3,2 дм = 6,4 дм.

Відповідь: 1) 40 см; 2) 6,4 дм.

536. Знайдіть периметр описаного чотирикутника, три сторони якого,

дорівнюють:

1) 12 см, 16 см, 28 см; 2) 10 см, 14 см, 16 см.

Оскільки периметр Р описаного чотирикутника

протилежних сторін, то:

1) P = 2 · (12 + 28) = 80 cм;

2) Р = 2 · (10 + 16) = 52 см.

Відповідь: 1) 80 см; 2) 52 см.

537. Доведіть,

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Відповідь: 1) ні; 2) так; 3) так.

539. Знайдіть кут D чотирикутника ABCD,

відносяться як: 1) 2 : 3 : 4; 2) 1 : 2 : 2.

Нехай ∠A = mx°, ∠B = nх°, ∠C = kx°.

Враховуючи, що ∠A + ∠C = ∠B + ∠D,

маємо ∠D = ∠A + ∠C – ∠B = mmх° + kx° – nх° = (m + k – n)х°.

Оскільки ∠A + ∠C = 180°, то mx° + nx° = 180°,

тоді х° = 180° m+k і ∠D = (m + k – n) ·

m = 2, n = 3, k = 4, то

1) Якщо b = 10 см, то R = 10 см.

2) Якщо b = 2,3 дм, то R = 2,3 дм.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

відносяться як:

1) 2 : 4 : 5 : 3; 2) 5 : 7 : 8 : 9?

Відповідь поясніть.

1) Нехай ∠A = 2x°, ∠B = 4x°,

∠C = 5х°, ∠D = 3x°,

тоді ∠A + ∠C = 7x° = ∠B + ∠D, отже, навколо чотирикутника можна

2) Нехай ∠A = 5х°, ∠B = 7х°,

∠C = 8x°, ∠D = 9х°,

тоді ∠A + ∠C = 5х° + 8x° = 13x°,

∠B + ∠D = 7х° + 9х° = 16х° і ∠A + ∠C

можна описати коло.

Відповідь: 1) так; 2) ні. 542. Доведіть:

1) будь-яка трапеція,

1) Нехай ABCD — трапеція, вписана в коло.

Оскільки ВС ∥ AD, то ∪AB = ∪CD, тоді AB = CD.

Отже, трапеція ABCD — рівнобічна.

2) Нехай ABCD — паралелограм, вписаний в коло.

Оскільки ∠A + ∠C = 180° і ∠A = ∠C, то ∠A = ∠C = 180° 2 = 90°.

Аналогічно ∠B = ∠D = 180° 2 = 90°.

Отже, ABCD — прямокутник.

543. Доведіть, що будь який ромб, вписаний у коло, — квадрат.

Нехай ABCD — ромб, вписаний в коло.

Оскільки ∠A + ∠C = 180° і ∠A = ∠C,

то ∠A = ∠C = 180° 2 = 90°.

Аналогічно ∠B = ∠D = 180° 2 = 90°.

Отже, ABCD — квадрат.

544. Доведіть, що

вершині С.

Нехай ABCD — вписаний чотирикутник,

тоді ∠A + ∠C = 180°.

Звідси ∠A = 180° – ∠C.

З іншого боку, ∠DCF + ∠C = 180°

Тоді ∠DCF = 180° – ∠C.

Отже, ∠A = ∠DCF.

545. Чи можна вписати коло в

1) 2, 2, 3, 3;

2) 2, 5, 3, 4? 1)

числам:

2х + 3х

1) 42

2) 56 см. Нехай ABCD — трапеція.

: АВ : AD = 2 : 7 : 12,

ВС = 2х, АВ = 7x, AD = 12x.

трапеція описана, то ВС + AD = АВ + CD, тоді CD = ВС + AD – AB = 2х + 12х – 7х = 7х.

1) За умовою 2х + 12x + 7х + 7х = 42, тоді 28x = 42; х = 42 28; х = 1,5.

Отже, AB = 7 · 1,5 = 10,5 (мм);

ВС = 2 · 1,5 = 3 (мм);

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

CD = 7 · 1,5 = 10,5 (мм); AD = 12 · 1,5 = 18 (мм).

2) За умовою 2х + 12х + 7х + 7х = 56, тоді 28x = 56; x = 2.

Отже, АВ = 7 · 2 = 14 (см);

BС = 2 · 2 = 4 (см);

CD = 7 · 2 = 14 (см); AD = 12 · 2 = 24 (см).

Відповідь: 1) 10,5 мм; 3 мм; 10,5 мм; 18 мм; 2) 14 см; 4 см; 14 см; 24 см. 549. Складіть формулу та знайдіть середню лінію описаної трапеції, якщо її периметр

дорівнює:

1) 16 см; 2) 200 мм.

ABCD — трапеція, MN — середня лінія трапеції.

PABCD = P, Р = АВ + BC + CD + AD;

AD+ BC

2 = MN, AD + BC = 2MN.

Оскільки трапеція описана, то AD + ВС = AB + CD, тоді P = AD + BC + AD + ВС = 2(AD + ВС);

Р = 2 · 2MN; Р = 5МN, тоді MN = P 4 .

1) Якщо Р = 16 см, то MN = 16 4 = 4 (см); 2) Якщо Р = 200мм, то MN = 200 4 = 50 (мм).

Відповідь: 1) 4 см; 2) 50 мм. 550. Кут описаної рівнобічної

MN = 40 см.

трапеції. ABCD — трапеція, ∠ABC = 150°, MN —

BK ⊥ AD,

∠ABK = 150° – 90° = 60°,

BAK = 30°.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2BK = BC+ AD 2 ; 2BK = MN;

BK = MN 2 = 40 2 = 20 (см).

Відповідь: 20 см. 551. Кут описаної рівнобічної

радіус вписаного кола.

ABCD — трапеція, ∠ВАК = 30°, MN — середня лінія, MN = 20 см.

Проведемо BK ⊥ AD, ∠BAK = 30°. Із

маємо AB = 2ВК. Оскільки трапеція рівнобедрена і вписана, то 2АВ = ВС + AD; 4ВК = ВС + AD; 2BK = BC+ AD 2 ; 2BK = MN; BK = MN 2 = 20 2 = 10 (см).

Оскільки r = 1 2 BK i BK = 10 cм, тo r = 1 2 · 10 = 5 (см).

Відповідь: 5 см.

552. Як побудувати квадрат: 1)

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

∠DCK — зовнішній кут

∠DCM = ∠MCK, ∠BAM = ∠DAM.

Оскільки ∠A + ∠C = 180°,

тоді ∠C = 180° – ∠A,

∠DCK= 180° – (180° – ∠A) = ∠A.

Розглянемо чотирикутник ABCN.

У нього ∠BAM + ∠BCM = 1 2 ∠A + ∠BCD + 1 2 ∠A = ∠A + ∠BCD = 180°,

тоді ∠ABC + ∠AMC = 360° – 180° = 180°.

Чотирикутник ABCM — вписаний у коло, отже, точка М належить колу. 556. Із точки Р перетину взаємно перпендикулярних

чотирикутник PLCM

PMDN — вписаний

PDM =

PNM; чотирикутник АKPN — вписаний у

чотирикутник KLMN.

KLM + ∠KNM = ∠KLP + ∠PDC

∠KLM + ∠KNM = 180°,

чотирикутник KLMN —

KAP = ∠KNP.

∠NKL + ∠NML = 180°.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

АВ = ВС, КМ ∥ АВ, АM = 1 2 KM.

Оскільки AM = 1 2КМ, тоді AM < KM, BK < AB (бо ВК — частина ВС, а ВС = AB).

Оскільки AM < KM, BK < AB, то AM + BK < KM + AB.

Оскільки суми

Відповідь: не можна.

558. Якщо

ABCD — трапеція,

лінія.

Доведемо, що MN = АВ.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Висновок: криниця

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Діагональ

гіпотенузи (властивість прямокутного трикутника).

Отже, менша сторона прямокутника дорівнює 10 : 2 = 5 см.

Відповідь: Б. 5 см.

Розв’язання:

Периметр ромба P = 4a (властивість ромба: усі сторони

Опустимо висоту ромба на сторону.

a = 24 : 4 = 6 см.

гіпотенуза дорівнює стороні ромба 6 см, а катет (висота) дорівнює 3 см.

Оскільки катет дорівнює половині

Відповідь: В. 30°.

5. Бісектриса кута

Розв’язання:

BC = BK + KC = 12 см + 8 см = 20 см. AK — бісектриса кута A, тому ∠BAK = ∠KAD (визначення бісектриси).

AD ∥ BC (властивість паралелограма) і K належить BC, то ∠KAD = ∠AKB (як внутрішні

BAK = ∠AKB, тому △ABK рівнобедрений і AB = BK = 12 см (властивість

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Відповідь: Б. 75°.

2. Точки М і N —

якщо МN = 4 см.

середньої лінії).

Тоді MN ∥ AC і MN = 1 2 AC (властивість

Отже, AC = 2MN = 2 · 4 = 8 см. Відповідь: А. 8 см.

описаного чотирикутника).

Отже, якщо сума двох

протилежних сторін також дорівнює

Тому периметр чотирикутника: 10 + 10 = 20 см.

Відповідь: Б. 20 см.

4. Кути А, В і С вписаного чотирикутника

Розв’язання:

У вписаному чотирикутнику сума

вписаного чотирикутника).

Нехай ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3, тоді

∠A = x, ∠B = 2x, ∠C = 3x. Оскільки ∠A і ∠C — протилежні, маємо ∠A + ∠C = 180° ⇒ x + 3x = 180° ⇒

Тоді ∠B = 2x = 90°.

B і D —

тому

B + ∠D = 180° ⇒ 90° + ∠D = 180° ⇒ ∠D = 90°.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Розв’язання:

Дано: ABCD — рівнобічна трапеція, BC ∥ AD, BC = 5 см, AD = 12 см, AB = CD.

Діагональ AC — бісектриса кута A, тобто ∠BAC = ∠CAD (визначення бісектриси).

Оскільки BC ∥ AD, то ∠CAD = ∠BCA (як внутрішні різносторонні кути при паралельних

прямих і січній AC).

Тоді з ∠BAC = ∠CAD маємо ∠BAC = ∠BCA.

Отже, △ABC рівнобедрений, тому AB = BC (властивість рівнобедреного трикутника).

Звідси AB = 5 см.

Але трапеція рівнобічна, тому AB = CD (властивість рівнобічної трапеції),

CD = 5 см.

Периметр: P = AD + BC + AB + CD = 12 + 5 + 5 + 5 = 27 см.

Відповідь: Г. 27 см.

1) усі кути рівні;

Ні, у подібних

2) відповідні кути рівні;

Так, відповідні кути рівні.

3) усі сторони рівні;

Ні, усі сторони не обов’язково рівні.

4) відповідні сторони рівні;

відповідні

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

M, B ↔ L, C ↔ K.

1) △АВС ∼ △KLM; △ABC ∼ △KLM — ні (тут A ↔ K, а має бути A ↔ M).

2) △АВС ∼ △LKM;

△ABC ∼ △LKM — ні (тут A ↔ L, а має бути A ↔ M).

3) △АВС ∼ △MLK?

△ABC ∼ △MLK — так (тут A ↔ M, B ↔ L, C ↔ K).

566. Чи правильно зроблено висновок із

△АВС ∼ △KLM: Для запису △ABC ∼ △KLM відповідність вершин така: A ↔ K, B

сторони: AB ↔ KL, BC ↔ LM, AC ↔ KM.

1) AB KM = BC KL = AC LM; Ні

2) AB KL = BC LM = AC KM ?

Так

567. Чи може коефіцієнт подібності

1. –2 — ні (k > 0).

2. 0 — ні (k ≠ 0).

3. 3 — так.

4. 1 — так.

5. 1 5 — так.

6. 6 5 — так.

568. На малюнках

2) АВС і MKC.

Знайдіть

Мал.1

∆ABC – ∆KLM;

AB KL = B�� LM = AC KM;

9 6,75 = 10 7,5 = 17 12,75 = k; k = 10 7,5 = 100 75 = 4 3;

Мал.2

∆ABC – ∆MKC;

AB MK = B�� KC = AC MC;

4 2 = 5 2,5 = 6 3 = k; k = 4 2 = 2; k = 2.

1) K�� AB = …;

2) AC KC = …; 3) BC DC = …?

1) K�� AB = CK CA;

2) AC KC = BC DC;

3) BC DC = AB

1) ∠А = 30°, ∠В1 = 60°;

∠A1 = ∠A = 30°; ∠B = ∠B1 = 60°;

∠C = 180° – (30° + 60°) = 90°;

∠C = ∠C1 = 90°;

2) ∠В = 110°, ∠С1 = 25°.

∠B1 = ∠B = 110°; ∠C = ∠C1 = 25°;

∠A = 180° – (∠B + ∠C) = 180° – (110° + 25°) = 45°;

∠A1 = ∠A = 45°.

573. ΔАВС ∼ А1В1С1. Знайдіть

∠C = ∠B1 = 50°; ∠C1 = ∠C = 50°; ∠B = ∠B1 = 50°;

∠A = 180° – (50° + 50°) = 80°; ∠A1 = ∠A = 80°.

574. Чи

1) 1,2 см, 1,3 см, 2,2 см і 24 мм, 26 мм, 44 мм; Так.

24 мм = 2,4 см; 26 мм = 2,6 см; 44 мм = 4,4 см.

2) 5 мм, 50 см, 50 см і 5 см, 50 мм, 50 мм?

Ні.

1 = 50°.

5 мм = 0,5 см, тому перший набір: 0,5 см, 50 см, 50 см, а другий: 5 см, 5 см, 5 см.

Спільного коефіцієнта

575. Чи можуть сторони

немає.

трикутників

3 дм, 4 дм, 5 дм і 9 м, 12 м, 15 м? 9 м = 90 дм; 12 м = 120 дм; 15 м = 150 дм. 90 3 = 120 4 = 150 3 .

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

A1 B1 = BC B1 C1 ; AB

A1 B1 = AC

A1 C1 ;

В1С1 = A1 B1 BC AB = 200 37 40 = 18 (см);

АС = AB·A1 C1 A1 B1 = 40·65 200 = 13 (см).

577. △АВС ∼ △А1В1С1. Знайдіть сторони АВ і А1С1, якщо: ВС = 13 см, АС = 14 см, В1С1 = 4,5 дм, А1В1 = 3,9 дм.

B1C1 = 4,5 дм = 45 см, A1B1 = 3,9 дм = 39 см (переведення одиниць)

За подібністю трикутників:

A1 B1 = BC B1 C1

AB = A1 B1 ⋅ BC B1 C1 = 39 ⋅ 13 45 = 169 15 см

Також: AC

A1 C1 = BC B1 C1

A1 C1 = AC ⋅ B1 C1 BC = 14 ⋅ 45 13 = 630 13 см

Відповідь: AB =169 15 см, A1C1 = 630 13 см.

578. Пряма, що

трикутник, паралельна

B1C1 перетинає сторони

2) MN ∥ AB.

∼ ∆KLM (k = 1 2);

1) P∆ABC = 6 + 4 + 7,1 = 17,1; Р∆LKM = 7,2 + 4,8 + 8,52 = 20,52; P∆KLM : P∆ABC = 20,52 : 17,1 = 1,2.

2). P∆ABC = 7 + 5 + 5,9 = 17,9; P∆TQP = 4,72 + 5,6 + 4 = 14,32; P∆TQP : P∆ABC = 14,32 : 17,9 = 0.8.

3) Р∆ABC = 4 + 5 + 6 = 15;

Р∆MKC = 2 + 2 ,5 + 3 = 7,5;

Р∆ABC : Р∆MKC = 15 : 6,5 = 2. 584. Обчисліть

Р∆ABC = 9 + 10 + 17 = 36;

P∆KLM = 12,75 + 6,75 + 7,5 = 27;

Р∆KLM : P∆ABC = 27 : 36 = 0,75.

585. a, b, c

2) 45 : 4 = 11,25

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

7x = 7 · 5 3 = 35 3 = 11 2 3 (см).

Отже, сторони подібного трикутника:

5 см; 8 1 3 см; 11 2 3 см.

588. Сторони трикутника відносяться як 2 : 3 : 4.

трикутника, у якого

Нехай сторони подібного трикутника

Найбільша сторона 4k = 12, отже k = 3.

Тоді сторони: 6 см, 9 см, 12 см.

Відповідь: 6 см, 9 см, 12 см. 589. Якщо трикутник

АВС, то трикутники

593.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

= 12

6 см; 2,5 см; 6 см.

Отже, третя сторона дорівнює 6 см. 595. Два рівнобедрені трикутники подібні з коефіцієнтом k = 2,5. В

сторони дорівнюють 6 см і 15 см. Знайдіть третю

трикутника. a = 6 см — основа; b = 15 см

трикутника із сторонами 6 см; 6 см і 15 см не існує. Тому третя сторона

коефіцієнтом k = 2,5 дорівнює 15 · 2,5 = 37,5 см. 596. Визначте

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) a = 4 см, b = 6 см, c = 6 см; 2) a = 8 см, b = 5 см, c = 6 см?

∆AOD – ∆BOC.

AO BO = AD BC ;

6+ x x = 6 4;

6х = 24 + 4х;

2x = 24; x = 12 (см).

2) AO BO = AD BC ;

6+ x x = 8 5; 8x = 30 + 5х; 3х = 30;

х = 10 (см).

599.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

AB = C1B1.

Нехай AВ = x, тоді С1В1 = хk.

A1B1 = 2B1C1 = 2х (катет,

k= AB A1 B1 = x 2x = 1 2 .

603. У рівнобедреному

1) n = 2, Р = 50 см, k = 1,5; 2) n = 3, Р = 35 см, k = 0,75.

1) Нехай АС = x см, тоді АВ = ВС = 2х. x + 2x + 2x = 50; 5х = 50; x = 10; АС = 10 см; AB = BC = 20 см.

∆А1В1С1 – ∆АВС, k = 1,5; А1В1 = В1С1 = 20 · 1,5 = 30 (см); A1С1 = 10 · 1,5 = 15 (см).

2) Нехай AС = х см; АВ = ВС = х см. х + 3х + 3х = 35; 7х = 35; х = 5 (см). AС = 5 см; АВ = ВС = З · 5 = 15 (см).

∆А1В1С1 – ∆АВС, k = 0,75; A1С1 = 0,75 x АС = 0,75 · 5 = 3,75 (см);

А1В1 = В1С1 = 0,75 · АВ = 0,75 · 15 = 11,25 (см). 604.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай у △ABC точки M, N, P — середини сторін AB, BC, CA відповідно.

Позначимо R — радіус кола,

через точки M, N, P.

MN ∥ AC, NP ∥ AB, PM ∥ BC, тому MN, NP, PM

Звідси:

MN = AC 2 , NP = A�� 2 , PM = BC 2 .

P△MNP = MN + NP + PM

P△MNP = A�� +�� +�� 2 = ��△ABC

15 км = 1 500 000 см.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Масштаб: 6 см : 1 500 000 см = 1 : 250 000.

Найменша відстань на карті 4 см.

4 см · 250 000 = 1 000 000 см = 10 км.

3. Яка відстань між іншими населеними пунктами? Інша відстань на карті 5 см.

5 см · 250 000 = 1 250 000 см = 12,5 км.

Відповідь: 1) 1 : 250 000; 2) 10 км; 3) 12,5 км. 609.

18 см і 20 см, прикладемо

Відомо: у трикутнику AED

см, CD = 20 см.

BC ∥ AD, причому BC = 15 см, AD = 25 см, AB = 18

Оскільки BC ∥ AD, то △EBC і △EAD подібні, тому

BC : AD = EB : EA = EC : ED.

Маємо

BC : AD = 15 : 25 = 3 : 5,

отже

EB : EA = 3 : 5, тобто EB = 3 5 EA.

Тоді

AB = EA − EB = EA − 3 5 EA = 2 5EA,

EA = 5 2 AB = 5 2 ·18 = 45 см.

Аналогічно

EC : ED = 3 : 5, тобто EC = 3 5ED,

тоді

CD = ED − EC = ED − 3 5 ED = 2 5ED,

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

звідси

ED = 5 2 CD = 5 2 ·20 = 50 см.

Отже, утворений

AD = 25 см, AE = 45 см, DE = 50 см.

Відповідь: 25 см, 45 см, 50 см.

3 · 40 = 120 см.

см,

Коефіцієнт подібності 1 2, тому сторони наступного трикутника: 20 см, периметр 60 см.

Ще меншого: 10 см, периметр 30 см.

Усього тасьми: 120 + 60 + 30 = 210 см = 2,1 м. 2,5 м > 2,1 м, отже вистачить.

Відповідь: так, 2,5 м вистачить (потрібно 2,1 м).

2. Потрібно: (кількість ялинок) · 2,1 м.

Кількість ялинок

ялинки 40 см з

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) АО : ОВ = 3 : 5.

2) AО : ОВ = 4 : 2.

614.

AО : ОВ = 4 : 3.

615. Точка

якщо:

1) РМ : МН = 5 : 2;

РМ > МН.

2) РМ : МН = 3 : 7?

МН > РМ.

616. Точка Н

PN : NM = 4 : 3. Оскільки 4 > 3, то

1) �� ∶ 2 3 = 2 : 3;

2) ВM = 5 см, МА = 1 см; �� = 5 1 = 5 : 1.

619.

CA ∥ DM (за умовою)

Паралельні

що

(узагальнена теорема Фалеса)

Отже, BM : MA = BD : DC

BM : MA = 4 : 2 = 2 : 1

Відповідь: BM : MA = 2 : 1.

620. Яку

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

∆АВС – ∆DHC (за двома кутами: ∠C — спільний, ∠Н = ∠B).

623. Відрізок АВ

відрізків АМ і ВМ, якщо:

1) d = 10 см, m = 2, n = 3; 2) d = 16 см, m = 3, n = 1.

AB : BM = m : n; AB = d.

1) 10 : (2 + 3 )= 2 (см) — довжина 1 частини;

AM = 2 · 2 = 4 (cм);

MB = 2 · 3 = 6 (см); 2) 16 : (3 + 1) = 4 (см) — довжина 1 частини;

CH = 3 · 4 = 12 (см);

HD = 4 · 4 = 16 (см).

624. Відрізок СD завдовжки 14 см точка

СН і НD.

14 : (3 + 4) = 2 (см) — довжина 1 частини;

AM = 2 · 3 = 6 (см);

MB = 2 · 4 = 8 (см). 625.

1) 1 : 2; 2) 5 : 7. 1) AM = 4 клітинки; MB = 8 клітинок; AM; MB = 1 : 2; 2) AM = 5 клітинок; MB = 7 клітинок; AM : MB = 5 : 7.

626.

2 : 3.

ML = 4 клітинки; LN = 6 клітинки; ML : LN = 2 : 3.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

з двох.

Відповідь: точка B ділить AC у відношенні 1 : 2 (AB : BC = 1 : 2).

630. Визначте, чи пропорційні відрізки а, b, c і d, довжини яких відповідно

1) 5 см, 6 см, 10 см і 18,5 см;

Перевіримо пропорційність: a : b = c : d

5 : 6 = 10 : 18,5

Перевірка через добутки:

5 · 18,5 = 92,5

6 · 10 = 60

Оскільки 92,5 ≠ 60, пропорція не виконується.

Відповідь: відрізки не є пропорційними.

2) 7 см, 4 см, 2,1 см і 1,1 см.

Перевіримо пропорційність:

7 : 4 = 2,1 : 1,1

Перевірка через добутки:

7 · 1,1 = 7,7

4 · 2,1 = 8,4

Оскільки 7,7 ≠ 8,4, пропорція не виконується.

Відповідь:

631. Чи є пропорційними

634.

1) d = 78 см, a = 2 5, b = 0,8, c = 3 4;

2) d = 50 см, а = 0,25, b = 3 4, с = 0,4.

1) 78 2 5 +0,8+3 4 · 2 5 = 78 1,95 · 0,4 = 16 (см); 78

1,95 · 0,8 = 32 (см);

1,95 · 0,75 = 30 (см).

16 см; 32 см; 30 см. 2) 50 0,25+ 3 5 +0,4 = 50 0,25+0,6+0,4 = 50 1,25 = 40.

40 · 0,25 = 10 см; 40 · 3 5 = 24 см; 40 · 0,4 = 16 см.

10 см; 24 см; 16 см. 639. На

1) d = 5 см, m = 3, n = 2; 2) d = 16 см, m = 5, n = 1. AN : BN = m : n.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

m− n · m — довжина відрізка AN; �� m− n · n — довжина відрізка BN.

1) 5 3− 2 · 3 = 15 см — довжина AN; 5

3− 2 · 2 = 10 см — довжина BN;

2) АN = 16 5 1 · 5 = 20 см; BN = 16 5 1 · 1= 4 см.

640. На малюнку AB || DC || KL, AD : DK : KF = 2 : 3 : 2. Знайдіть довжини відрізків BC, СL, LF, DС і KL, якщо:

1) AB = 70 мм, FС = 40 мм;

2) AB = 21 см, FС = 15 см.

1) AD : DK : KF = 2 : 3 : 2.

Тоді BC : CL : LF = 2 : 3 : 2.

BC = 2x; CL = 3x; LF = 2x;

FC = CL + LF = 3x + 2x = 5x;

FC = 40 мм; 5x = 40; x = 8 (мм).

Тоді ВС = 2 · 8 = 16 (мм);

CL = 3 · 8 = 24 (мм);

LF = 2 · 8 = 16 (мм).

BF = 2x + 3x + 2х = 7x = 7 · 8 = 56 (мм); CF = CL + LF = 24 + 16 = 40 (мм).

�� = �� ; 70 �� = 56 40 ;

CD = 70 · 40 56 = 100 2 = 50 (см); �� = �� ; 50 �� = 40 16 ; KL = 50 · 16 40 ; �� = 20 (мм).

2) BC = 2x; CL = 3x; LF = 2x;

FC = 15 cм (за умовою);

FC = FL + LC = 5x; 5x = 15; x = 3 (cм).

ВC = 2 · 3 = 6 (cм);

CL = 3 · 3 = 9 (cм);

LF = 2 · 3 = 6 (cм);

ВF = 6 + 9 + 6 = 21 (cм).

�� = �� ;

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

DC = �� · CF �� = 21 · 15 21 = 15 (см);

= �� ; K

641. На

· LF �� = 15 · 6 15 = 6 (см).

1) a = 2,5 см, b = 4 см, c = 2 см, MP = 12,5 см; 2) a = 10 см, b = 16 см, c = 8 см, MP = 50 см.

NK = ��

· b= 12,5 2,5+4+2 · 4 = 25 17 · 4 = 100 17 (см);

· c= 12,5 2,5+4+2 · 2 = 25 17 · 2 = 50 17 (см).

2) MN = �� +��+�� · а = 50 10+16+8 ·

точками

2) АО, якщо AC : AH = 3 11 : 0,6, ВО = 12 дм. 1) �� = �� ; AH = �� · AC �� = 12 · 10 8 = 15 (см);

1) Якщо AD ∥ MN,

то MA : AO = ND : DO. MO = 6 cм;

ОA = a = 2см; MAт = 6 – 2 = 4 см.

Отже, ND : DO = 4 : 2 = 2 : 1; ND = 2x; OD = x; 2x + x = 9; 3x = 9; x = 9 : 3; x = 3 (см); DN = 2 · 3 = 6 (см).

2) MA : AO = ND : DO; MO = 10 см; AO = а = 4 cм; MA = 10 – 4 = 6 (см);

DN : DO = 6 : 4 = 3 : 2; DN = 3x; DO = 2x; 3x + 2x = 14; 5x = 14; x = 2,8.

Тоді DN = 3 · 2,8 = 8,4 (cм);

DO = 2 · 2,8 = 5,6 (см).

644. Через точку

1) АР : РВ = 5 : 6, ВС = 22 см;

2) АР : РВ = 4 : 3, ВС = 2,8 дм.

РО ∥ АС, тому

1) CO : BO = AP : PB = 5 : 6; CO = 5x; BO = 6x; BC = 5x + 6x = 11х; 11x = 22; x = 22 : 11; x = 2.

Тоді CO = 5 · 2 = 10 (см); BO = 6 · 2 = 12 (см).

2) CO : BO = AP : PB = 4 : 3; CO = 4х; ВО = 3х;

СО + ВО = СВ;

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

4х + 3х = 2,8; 7x = 2,8; х = 0,4;

СО = 4 · 0,4 = 1,6 (дм);

ВО = З · 0,4 = 1,2 (дм) = 12 (см).

645. Точка

дм; 2) АС = 124 мм.

BD = DP = PK = КС.

Тоді BD : BP : BK : BC = FD : EP : MK : AC = 1 : 2 : 3 : 4; FD = 1 4AC; EP = 2 4 AC = 1 2AC; MK = 3 4 AC.

1) FD = 1 4 · 1,6 = 0,4 (дм) = 4 (см); EР = 1 2 · 1,6 = 0,8 (дм) = 8 (см); MK = 3 4 · 1,6 = 1,2 (дм) = 12 (см);

2) FD = �� 4 = 124 4 = 31 (мм) = 3,1 (см);

ЕР = �� 2 = 124 2 = 62 (мм) = 6,2 (см); MK = 3 4 · 124 = 93 (мм) = 9,3 (см).

647. Як

1) а = 6 см;

2) а = 10 см.

AM = 6 5 · 2 = 2,4 (см);

МВ = 6 5 · 3 = 3,6 (см).

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) Нехай ВТ = х (см), тоді АТ = 6 + x (см).

��

�� = 4 3 ; 6+�� = 4 3 ;

4х = 3х + 18; х = 18.

ВТ = 18 (см);

МТ = МВ + ВT = 3,6 + 18 = 21,6 (см).

2) АМ = 10 5 · 2 = 4 (см);

МВ = 10 5 · 3 = 6 (см).

ВТ = x см; АТ = 10 + x; 10+��

�� = 4 3 ; 4x = 3x + 30; x = 30 (см);

МТ = МВ + ВТ = 6 + 30 = 36 (см).

653. За даними на малюнку доведіть:

1) а : с = b : d;

2) а : с = (а + b) : (с + d);

3) c : a = (b – a) : (d – c).

узагальненою теоремою Фалеса: a : c = b : d. (відповідні відрізки)

1. a : c = b : d. (за узагальненою теоремою Фалеса)

2. (a + b) : (c + d) = a : c. (властивість пропорції: додавання відповідних членів)

3. (b − a) : (d − c) = a : c. (властивість пропорції: віднімання відповідних членів) Отже, c : a = (d − c) : (b − a). (обернена пропорція)

з рисунка випливає пропорція c : a = (d − c) : (b − a); ймовірно в умові помилка. 654. На малюнку AB || CD. 1.

: OD = OB :

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) ∆АОВ ∼ ∆DOC (за двома кутами); ∠AOB = ∠DOC (вертикальні);

∠BAO = ∠CDO (внутрішні різносторонні

З подібності трикутників: АО : OD = ОВ : ОС.

BA ∥ CD і січній AD).

2) Нехай AО = x см, тоді OD = 10 – х (см).

Тоді = �� 10 – �� = 5 3 ; 3х = 50 – 5x; 8x = 50; x = 6,25; AO = 6,25 (см); OD = 10 – 6,25 = 3,75 (см).

655. Відрізок MN має кінці на сторонах AB і AC трикутника ABC і паралельний стороні

ВС. Доведіть, що медіана АА1 ділить

∆АМО ∼ ∆ABA1 (за двома кутами); ∠MAO = ∠BAA1 (спільний кут); ∠AMO = ∠ABA1 (відповідні

трикутників: АА1 : АО = BA1 : МО.

Аналогічно: ∆АА1С ∼ ∆AON, звідси АА1 : АО = А1С : ON.

Оскільки АА1 : АО = ВА1 : МО і АА1 : АО = А1

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) а = 7 см, b = 10 см; 2) а = 10 см, b = 14 см.

Проведемо PO ∥ MN. Тоді MNPO — паралелограм.

∆OPZ — трикутник; QB = 1 3OZ; FK = 2 3OZ; OZ = MZ – NP = b – a.

AQ = CF = a; AB = a + 1 3 (b – a); СК = а + 2 3 (b – а).

1) Якщо а = 7 см, b = 10 см, то AB = 7 + 1 3 · (10 –7) = 8 (см);

CK = 7 + 2 3 · (10 – 7) = 9 (см).

2) Якщо а = 10 см; b = 14 см, то АВ = 10 + 1 3 (14 – 10) = 10 + 11 3 = 111 3 (см);

CK = 10 + 2 3 · (14 – 10) = 10 + 22 3 = 122 3 (см).

658. Основи трапеції

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

25 − 15 = 10 хв

Відповідь: 10 хв.

661. Знайдіть

N і СА = 4 м, СМ = 5 м, МN = 35 м.

Дано: AM ∥ BN, CA = 4 м, CM = 5 м, MN = 35 м.

1. CN = CM + MN = 5 м + 35 м = 40 м.

2. △CAM ∼ △CBN (за двома кутами: ∠ACM = ∠BCN (спільний кут), ∠AMC = ∠BNC (як

відповідні при AM ∥ BN)).

3. CA : CB = CM : CN (відповідні сторони подібних трикутників).

4. 4 : CB = 5 : 40 ⇒ CB = 4 · 40 : 5 = 32 м.

5. AB = CB − CA = 32 м − 4 м = 28 м.

Відповідь: 28 м.

662. Тінь від башти дорівнює 24 м, а

має тінь завдовжки 80 см.

Відомо:

тінь башти 24 м

висота шеста 1,2 м

тінь шеста 80 см = 0,8 м

Знайти - висоту башти

Розв’язання:

h : 24 = 1,2 : 0,8

h = 24 · 1,2 : 0,8 = 36 м

Відповідь: 36 м.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

∆CRQ ∼ ∆САВ (∠C — спільний, ∠Q = ∠B).

∆CRQ ∼ ∆QPB (∠RCQ = ∠PQB; ∠CQR = ∠QBP).

∆ACB ∼ ∆PQB (∠B — спільний, ∠A = ∠P).

670. На малюнку знайдіть подібні трикутники. Поясніть, чому вони подібні.

∠1 = ∠2, тому MN ∥ AB (∠1 і ∠2 — внутрішні

180° − (52° + 28°) = 100°, 180° − (28° + 100°) = 52°.

4) 45° і 100°

180° − (45° + 100°) = 35°, 180° − (90° + 45°) = 45°.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) ∠А = ∠В1 = 60°, АВ = 2 см, А1С1 = 6 см;

∠A = ∠A1 (з подібності трикутників);

∠A = ∠B1 (за умовою).

Звідси ∠A1 = ∠B1 = 60°,

тому ∠C1 = 60°.

Отже, ∠A = ∠B = ∠C = 60°.

Трикутники рівносторонні.

AB = ВС = AC = 2 см;

A1В1 = В1C1 = A1С1 = 6 см.

2) ∠B = ∠C = 60°, А1В1 = 2 см, АС = 4 см.

∠B = ∠C = 60°, тому ∠A = 60°.

Звідси ∠A1 = ∠B1 = ∠С1.

Трикутники рівносторонні.

А1В1 = В1С1 = А1С1 = 2 см; AВ = ВС = АС = 4 см.

676. △АВС ∼ △А1В1С1. Знайдіть

= ∠C = 60°, ВС = 9 см, А1В1 = 3 см.

∠В = ∠C = 60°, тому ∠A = 60°.

∆АВС — рівносторонній, тому ∆A1B1C1 — рівносторонній.

AB = ВС = AC = 9 см; A1B1 = B1C1 = A1C1 = 3 cм.

677. Рівнобедрені трикутники подібні,

678.

1) α = 43°, β = 68°30′;

2) α = 105°, β = 38°30′?

1) У рівнобедреного

180° 43° 2 = 68°30′

683.

1) α = 42°, β = 48°; 2) α = 35°30′, β = 54°30′?

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

BC AD = BO DO = CO AO = a b . Якщо BC = b; AD = a, то BO DO = CO AO = b

1) а = 32 мм, b = 64 мм, с = 51 мм; 2) а = 0,3 дм, b = 0,5 дм, с = 0,8 дм. У трапеції ABCD маємо BC ∥ AD,

1) ∠BCO = ∠DAO (як внутрішні різносторонні

∠BOC = ∠AOD (як вертикальні)

△BCO ∼ △ADO (за двома кутами) Звідси відношення відповідних сторін:

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

P△AOD =0,5+0,5+0,5=1,5 дм Відповідь: 0,9 дм; 1,5 дм.

CO AO = BC AD = 3 8 ;

CO = AC 3+8 · 3= 7 11 · 3= 21 11 =1 10 11 (см);

P∆BOC = 3 + 1 10 11 + 1 10 11 = 5 20 11 = 6 9 11 (см);

AO = AC – OC = 7 – 1 10 11 = 5 1 11 (см);

P∆AOD = 8 + 5 1 11 + 5 1 11 = 18 2 11 (см). 689.

. ∆OAB ∼ ∆ODC (за

AO = CO BO = DC AB .

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Отже, △BSC ∼ △KSP за двома кутами. 691.

BKPC.

2) меншу сторону трапеції BKPC,

BSC ∼ △KSP за двома кутами (див. задачу 690).

1) У трикутнику BSC:

SB = SC = BC = m ⇒ PBSC = 3m. Для подібних трикутників: KP BC = PKSP PBSC .

Підставляємо: KP m = p 3m ⇒ KP = p 3 .

2) Сторони трапеції: BK, KP, PC, CB.

подібності:

SB = KP BC = p 3m .

Тоді:

SK=m ⋅ p 3m = p 3 ,

BK =SB − SK=m − p 3 .

Так само:

PC =m p 3 .

Периметр трапеції: P = BK + KP + PC + BC = = �m p 3� + p 3 + �m p 3� +m= 3m p 3

Звідси: p 3 = 3m −P⇒ p=3(3m −P).

Менша сторона трапеції — це KP, отже: KP = p 3 = 3m −P.

Відповідь:

1. KP = �� 3 ;

2. менша сторона

(KP = 3m - P).

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) ∆AСВ ∼ ∆MCN (за двома кутами).

∠C — спільний, ∠A = ∠M — за умовою.

∆AСВ ∼ ∆МКВ (за двома кутами);

∠A = ∠M — за умовою; ∠B —спільний.

2) ∆AСВ ∼ ∆AMN (за двома кутами);

∠A — спільний; ∠C = ∠M — за умовою.

693. Доведіть подібність трикутників,

∆АСB ∼ ∆NCM (за двома кутами);

∠C — спільний, ∠B = ∠М — за умовою.

694. Доведіть, що трикутники

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

AB = LM BC = KM AC ; 15 5 = LM 7 = KM 3 .

Звідси LM = 21 см; КМ = 9 см.

2) ∆АВС ∼ ∆KLM. AВ = 6 см;

ВС = 8 см; АС = 4 см; KL = 4,5 см.

AB = LM BC = KM AC ; 4,5 6 = LM 8 = KM 4 .

Звідси LM = 4,5 8 6 = 6 см;

КM = 4·4,5 6 = 3 (см).

696. У трикутниках KLM і АВС: ∠K = ∠А, ∠В = ∠L, KL = m, LM = m + 2, KM = m – 2,

АВ = nm. Знайдіть сторони трикутників, якщо m = 8 см, n = 2.

∆АВС ∼ ∆KLM. KL = 8 см; LM = 10 см; KM = 6 см; AB = 16 см.

AB = LM BC = KM AC ; 8 16 = 10 BC = 6 AC .

Звідси BC = 6 · 10 8 = 20 см;

AC = 16 · 6 8 = 12 (см).

697. Висоти АЕ і СD трикутника

їхня сума дорівнює 18 см, АН = 8 см,

СН = 4 см.

AE + CD = 18 см; АН = 8 см; СH = 4 см.

∆CEH ∼ ∆ADH (за двома кутами);

∠CEH = ∠АDH = 90°.

∠EHC = ∠DHA (вертикальнi).

З подібності трикутників:

AH = EH HD ; 4 8 = EH HD .

Нехай EH = х, тоді HD = 2х.

ЕА = х + 8 (cм); CD = 4 + 2х (см).

За умовою ЕА + CD = 18 см.

Отже x + 8 + 4 + 2x = 18;

Зх = 6; х = 2. EH = 2 см;

HD = 2 · 2 = 4 см;

АE = AH + EH = 8 + 2 = 10 cм;

CD = СH + HD = 4 + 4 = 8 см.

698.

= 1 2КР, тоді КО = 2КО = 2 · P 9 = 2P 9 . 699. У трикутнику зі сторонами

трапецію з периметром

1) а = 30 см, b = 20 см, c = 15 см, Р = 63 см; 2) а = b = c = 18 см, Р = 50 см.

1) BKMC —трапеція; KM ∥ BC, тоді ∆АКМ ∼ ∆АСВ.

AC AK = AB AM = CB KM ; 15 AK = 20 AM = 30 KM,

або 3 AK = 4 AM = 6 KM .

Нехай AK = x, тоді AM = 4AK 3 = 11 3x; KM = 2x.

Звідси CK = 15 – x; MB = 20 – 11 3 x.

PCKMB = 2x + 15 – x + 20 – 11 3x + 30, а за умовою 63 см.

Отже, 2x + 15 – x + 20 – 11 3x + 30 = 63; –1

3 x = –2; x = 6.

Тоді KM = 2 · 6 = 12 (см).

2) ∆AKM ∼ ∆ACB.

��

�� = �� = �� .

Оскільки AC = AB = CB, то AK = AM = KM.

Нехай AK = AM = KМ = x,

тоді CK = 18 – x; MB = 18 –x.

PCKMB = 50 см;

то 18 – х + х + 18 – x + 18 = 50; –x = –4; x = 4.

Отже, KM = 4 см.

700. Доведіть,

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

в) МР ∥ АС; ∆ВМР ∼ ∆BAC (за двома кутами: ∠BMP = ∠BAC, ∠B — спільний).

г) MZ ∥ ВС; ∆AMZ ∼ ∆АВС (за двома кутами: ∠A — спільний, ∠AZM = ∠ACB).

Отже, задача має 4 розв’язки.

2) ∆АВС — рівнобедрений, М ∈ AB.

а) Проведемо MN ∥ АС; ∆BMN ∼ ∆BAC (за двома кутами: ∠B — спільний, ∠BMN = ∠BAC).

б) Проведемо MD ∥ ВС.

∆AMD ∼ ∆АВС (за двома кутами: ∠A — спільний, ∠ADM = ∠ACB).

в) Проведемо МР таким чином, щоб ∠AMP = ∠C ( P ∈ АС).

∆АМР ∼ ∆АСВ (за двома кутами: ∠A — спільний, ∠AMP = ∠ACB).

Отже, задача має 3 розв’язки.

3) ∆АВС — рівносторонній. М ∈ AB.

а) Проведемо MN ∥ AC.

∆BMN ∼ ∆BAC (за двома кутами: ∠B — спільний, ∠BMN = ∠BAC).

б) Проведемо МК ∥ ВС.

∆АМК ∼ ∆AВС (за двома кутами: ∠A

∆АВС — рівнобедрений,

ВК ⊥ AC; К — середина АС;

АК = 1 2 АС = 1 2 а.

∆АОK = ∆AOM (прямокутні); АО — спільна

одного кола).

Звідси AM = a 2,

тоді МВ = AB – AM = b –a 2 = 2b− a 2 . MN — відстань

ВК перетинає MN в т. Р. Р — середина MN; MN

MP = d 2 ; ∆MВР ∼ ∆АВК.

AK MP = AB MB, або a 2 MP = b 2b a 2 .

Звідси MP · b = a 2 · 2b− a 2 ;

MP = a(2b− a) 4b ; d 2 = a(2b− a) 4b ; d = 2a(2b− a) 4b ; d = a(2b− a) 2b .

1) a = 6 cм; b = 10 см.

d= 6·(2 10− 6)

2·10 = 6 · 14 2·10 =4,2 (см).

2) a = 10 cм; b = 13 cм.

d= 10 (2 13−10)

2·13 = 10 · 16 26 =6 2 13 (см).

703. Доведіть,

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) ∆АВС — рівнобедрений;

АС = 12 см; AB = 10 см;

ВК ⊥ АС; К — середина АС; О — центр вписаного кола. OK = ON = r; ON ⊥ AB.

∆АВК і ∆OBN — прямокутні.

∠B – спільний, тому ∆АВК ∼ ∆OBN. AK ON = AB OB, або OB ON = AB AK = 10 6 = 5 3 .

Висота ВК поділилась т. О у відношенні 5 : З (починаючи

2) АС = 10 см; AB = 13 см.

Аналогічно: OB ON = AB AK = 13 5 .

Точка

Доведіть,

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

∆АВС ∼ ∆А1В1С1.

ВK i В1К1, – відповідні бісектриси.

Оскільки ∠B = ∠B1, то 1 2 ∠B = 1 2 ∠В1.

Тобто ∠ABK = ∠A1B1K1; ∠A = ∠A1 (з

Звідси ∆АВК – ∆A1B1K1 (за двома кутами).

Тоді BK B1 K1 = AB A1 B1 .

Але AB A1 C1 = AC A1 C1 (з подібності ∆АВС і

B1 K1 = AB A1 B1 , а AB A1 C1 = AC A1 C1

Звідси BK B1 K1 = AC A1 C1 , тобто

проведені.

708. Трикутники А1В1С

трикутників,

СМ = С1М1 + 4; CM C1 M1 =1,5; C1 M1 +4 C1 M1 =1,5; 4 C1 M1 =0,5;

С1М1 = 4 : 0,5; С1М1 = 8 (см), тоді CM = С1М1 + 4 = 8 + 4 = 12 см. 709.

+ AD = 2n = 2 · 24 = 48 см. CO AO = BC AD (з

Отже CO AO = BC AD ; ВС = 48 – AD; 48 – AD AD = 1 3 ;

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

AD – 1= 1 3 ; 48 AD = 4 3 ;

AD = 144 4 = 36 (см);

ВС = 48 – 36 = 12 (см).

710. Діагоналі

ABCD — трапеція; n — середня лінія; ВС + AD = 2n = 2 · 24 = 48 см.

OD = BC AD = 3 5 ;

ВС = 48 – АD;

48− AD

AD = 3 5 ; 48 AD =1+ 3 5 ; 48 AD = 3 5 ; AD = 30 см;

ВС = 48 – 30 = 18 см. 711.

точки

АD. Доведіть, що ML AB = MN CD =1.

∆CLM ∼ ∆CBA (∠B = ∠L = 90°, ∠C – спільний).

трикутників: ML AN = CM AC . (І) ∆AMN ∼ ∆ACD (∠N = ∠D = 90°, ∠A — спільний).

трикутників: MN CD = AM AC . (II).

(І) і (II): ML AB + MN CD = CM AC + AM AC = CM + AM AC = AC AC =1.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

O1K ⊥ MN; O2N ⊥ MN.

∆МКО1 ∼ ∆MNO2 (∠M — спільний,

K = ∠N = 90°).

NO2

KO2 = O2 M

O2 M або R2 R1 = R2 +2R1 +AM R1 +AM ;

R1R2 + R2AM = R1R2 + 2R1 2 + R1AM;

R1AM = 2R12; AM = 2R1 2 R2 – R1 ;

O1M = R1 + AM = R1 + 2R1 2 R2 – R1 ;

O1M = R2 + 2R1 + AM = R2 + 2R1 + 2R1 2 R2 – R1 ;

R1 = 4 см; R2 = 6 см;

О1М = 4 + 2 · 42 6 – 4 = 20 (см);

О2М = 6 + 2 · 4 + 2 · 42 6 – 4 = 30 (см).

713. Два

O1K ⊥ MN; O2N ⊥ MN.

∆МКО1 ∼ ∆MNO2 (∠M — спільний, ∠K = ∠N = 90°).

NO2 KO2 = O2 M O2 M або R2 R1 = R2 +2R1 +AM R1 +AM ; R1R2 + R2AM = R1R2 + 2R1 2 + R1AM; R1AM = 2R12; AM = 2R1 2 R2 – R1 ;

O1M = R1 + AM = R1 + 2R1 2 R2 – R1 ;

O1M = R2 + 2R1 + AM = R2 + 2R1 + 2R1 2 R2 – R1 ; R1 = 3 см; R2 = 6 см; О1М = 3 + 2 · 32 6 – 3 = 9 (см); О2М = 6 + 2 · 3 + 2 · 32 6 – 3 = 18 (см). 714.

Розв’язання:

Кут ∠A утворений сторонами AB і AC.

Кут ∠A1 утворений сторонами A1B1 і A1C1.

Оскільки

AB ⟂ A1B1 і AC ⟂ A1C1,

то кут між AB і AC дорівнює куту між A1B1 і A1C1.

Отже,

∠A = ∠A1.

Аналогічно:

∠B = ∠B1,

∠C = ∠C1.

Маємо рівність трьох відповідних

ABC ∼ △A1B1C1.

Висновок:

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) АВ = 3 см;

2) АВ = 4 см;

3) АВ = 5 см.

∆AOB ∼ KOL (k = 4); LK = 1 4 AB = 1 4 a.

1) a = 3 см; LK = 3 4 (см);

2) а = 4 см; LK = 1 4 · 4 = 1 (см);

3) а = 5 см; LK = 1 4 · 5 = 5 4 = 11 4 (см).

717. Доведіть, що висоти трикутника

AK ⊥ BC; AK = ha : BH ⊥ AC; BH = hb.

∆AKC ∼ ∆BHC (прямокутні, ∠

Тоді AN BK = AC BC ; ha hb = b a , або ha : hb = 1 a ∶ 1 b . Аналогічно:

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

36 – 12 = 24 —

2) x; x + 10 — висоти.

x ��+10 = 2 3 ; 3x = 2x + 20; x = 20 — одна з

20 + 10 = 30 —

Проведемо діаметр BD. ∠ВАС = ∠BDC (вписані

∠BMA = 90° (ВМ ⊥

∼ ∆DBC (за двома кутами).

Тоді AB BD = BM BC aбо

c 2R = hb a .

Звідси hb = ac 2R .

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

рівності (І): ОМ = AO·KM NK .

З рівності (IІ): ОN = BO KA BK .

рівності (IIІ): BK · KN = MK · KA.

OM · ON = AO KM NK · BO KA BK = AO · BO · KM KA NK BK .

Оскільки BK · KN = MK · KA, то KM·KA NK·BK = 1.

Отже, OM · ON = AO · OB · 1 = R · R = R2

Тобто OM · ON = R2

721. У трикутник АВС

Тоді ∆АВС ∼ ∆ALK (∠B =

З подібності: BC LK = AC AK, або BC LK = AC AC–KC . Нехай x — сторона ромба,

Звідси a x = b b−x ; ab – ax = bx; bx + ax = аb; х(b + а) = аb; х = ab a+b .

Отже, сторона ромба може

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

з позначкою 1;

3) можна провести тільки

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

0,8 1300 = 12 �� ⇒�� = 12 ∙ 1300 0,8 = 19500 см = 195 м Відповідь: 195 м. 726. У

На стороні AC позначаю довільну точку M.

Через M проводжу пряму MN, паралельну AB; вона перетинає BC у точці N. Через точку N проводжу пряму NK, паралельну AC. Через точку M проводжу пряму MK, паралельну BC.

Прямі NK і MK перетинаються в точці K.

Тоді:

MN ∥ AB, MK ∥ BC, NK ∥ AC.

Отже, у трикутників MNK і ABC відповідні

тому відповідні кути рівні.

За першою ознакою подібності:

△MNK ∼ △ABC.

Вимірюю сторони MN, MK, NK

Через довільну точку

прямих (AB і MN, BC і MK, AC і NK).

За узагальненою теоремою

AB = k·MN, BC = k·MK, AC = k·NK.

MNK.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

там: 160 · 0,02625 = 4,2 м.

Позначка: 186,5 + 4,2 = 190,7 м.

4. На відстані 120 м від початку підйому: підйом 120 · 0,02625 = 3,15 м.

Позначка: 186,5 + 3,15 = 189,65 м.

728. Із селища виходять три

1) південно західному; 2) південному; 3) південно східному.

Якою б дорогою не йшов пішохід

сталим.

Нехай з точки O виходять три промені:

OB — південний,

OC — південно-східний.

Візьмемо на одному промені, наприклад

Із точки P опустимо перпендикуляри: PH ⟂ OA, PK ⟂ OC.

Із точки Q опустимо перпендикуляри: QH1 ⟂ OA, QK1 ⟂ OC.

Розглянемо

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

трикутник? Подібний трикутник

ними такий самий 50°.

Тобто для будь-якого k > 0: - сторони: 5k см і 8k см, - кут між ними: 50°.

Приклади: - k = 2 → 10 см і 16 см, кут 50°; - k = 0,5 → 2,5 см і 4 см, кут 50°; - k = 3 → 15 см і 24 см, кут 50°.

735.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Подібні трикутники тут такі: △CMN і △CAB.

Чому вони подібні:

1. Точки M і N лежать відповідно на сторонах CA і CB.

Q). Отже,

4. Тоді ∠CMN = ∠CAB (як відповідні при MN ∥ AB) і

MN ∥ AB),

5. Отже, △CMN і △CAB подібні

Відповідь: △CMN ∼ △CAB, бо MN ∥ AB, тому

737. У трикутниках KLM

CNM = ∠CBA (як

1) ВА = 10 см, ВС = 12 см, АМ = 5 см, СР = 6 см;

BM = BA − AM = 10 − 5 = 5 см

BP = BC − CP = 12 − 6 = 6 см

BM : BA = 5 : 10 = 1 : 2

BP : BC = 6 : 12 = 1 : 2

Отже, BM : BA = BP : BC ⇒ MP ∥ AC ⇒ △BMP ∼ △BAC.

Відповідь: так, подібні.

2) ВА = 22 см, ВС = 16 см, АМ = 11 см, СР = 10 см?

BM = BA − AM = 22 − 11 = 11 см

BP = BC − CP = 16 − 10 = 6 см

BM : BA = 11 : 22 = 1 : 2

BP : BC = 6 : 16 = 3 : 8

1 : 2 ≠ 3 : 8 ⇒ MP не ∥ AC ⇒ △BMP і

1) так; 2) ні.

AB = ON BC = NM CA = �� .

Отже, ∆OMN ∼ ∆BAC (за трьома сторонами).

742. На

MO CB = �� CA ≠ MN AB , тобто 6 3 = 8 4 ≠ 12 5 .

Отже, ∆MON не подібний ∆ВСА.

743. Трикутник

трикутник?

> 0): 5k см, 6k см, 9k см.

Приклади:

k = 2 → 10 см, 12 см, 18 см

k = 0,5 → 2,5 см, 3 см, 4,5 см

k = 3 → 15 см, 18 см, 27 см

744. Які

12 см, 15 см, 21 см; 16 см, 20 см, 30 см? 12 8 = 15 10 = 21 14

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

звідси m = 56 17 8 = 119 (см);

n = 56 15 8 = 105 (см).

746.

9, звідси m = 30 см; n = 45 см.

3) 25 мм = 2,5 см, 0,6 дм = 6 см

Порівняємо

1. 1 : 24

2. 5 : 12

3. 2,5 : 6 = 5 : 12

Отже, подібні

Основа рівнобедреного

1) а = 18 см, b = 12 см, с = 6 см; 2) а = 25 см, b = 14 см, с = 28 см.

1) n – бічна сторона

трикутника. Тоді c b = �� a ; 6 12 = �� 18 ; звідси n = 9 (см);

Р = 6 + 9 + 9 = 24 (см).

2) c b = �� a ; 28 14 = �� 25 ; n = 50 (см); P = 50 + 50 + 28 = 128 (см).

751. Основа

c b = �� a ; 12 8 = �� 5 ; n = 60 8 = 7,5 (см); P = 7,5 + 7,5 + 12 = 27 (см).

752.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) а = 24 мм, m = 2, n = 3; 2) а = 1,5 дм, m = 5, n = 3. b — бічна сторона

1) а : b = m : n; 24 b = 2 3 ; b = 36 (мм).

2) а : b = m : n; 1,5 b = 5 3, звідси b = 0,9 (дм).

753. Периметри двох тупокутних

трикутника. а : b = m : n; 12 b = 3 4 ; b = 1 (см).

754. У

1) Р∆АВС = 16 + 63 + 65 = 144 (см).

∆АКР ∼ ∆АВС:

P∆AKP = 1 3 P∆ABC = 1 3 · (16 + 63 + 65) = 48 (см).

= 2 3 · (16 + 63 + 65) = 96 (см).

P∆ABC = 7 + 24 + 25 = 56 (см).

P∆AKP = 1 3 P∆ABC = 1 3 · 56 = 182 3 (cм).

P∆AMT = 2 3 P∆АВС = 2 3 · 56 = 371 3 (cм).

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

AB ⊥ MO; CD ⊥ MO; PO ⊥ MO ⇒ OP ∥ DC ∥ AB.

P∆MOP = 8 + 15 + 17 = 40 (см).

P∆MBA = 1 3 P∆MOP = 1 3 · 40 = 131 3 (см).

P∆MDC = 2 3 P∆MOP = 2 3 · 40 = 262 3 (см). 756. У

і АDО, якщо:

1) с = 42 мм, m = 8, n = 13; 2) с = 0,8 дм, m = 5, n = 3.

Ймовірно

підручника, потрібно взяти АD – ВC = 4 мм а не см!

Розглянемо трикутники BCO і DOA.

∠BOC = ∠DOA (вертикальні).

∠BCO = ∠DAO (відповідні при AD ∥ BC).

Отже, △BCO ∼ △DOA), тому AD BC = AO OC = DO OB .

1) З подібності: AD BC = 13 8 .

Нехай BC = �� , тоді AD = �� +4. Маємо: �� +4 �� = 13 8 ,

13�� =8�� + 32,

5�� = 32,

�� =6,4 мм.

Отже,

BC = 6,4 мм, AD = 10,4 мм.

Оскільки AO : OC = 13 : 8 і AO + OC = 42,

OC = 42 13 +8 ⋅ 8= 16 мм,

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

AO = 42 13 +8 ⋅ 13 = 26 мм.

Аналогічно: OB = 16 мм, DO = 26 мм.

Периметри:

P△BCO =6,4+ 16 + 16 = 38,4 мм,

P△AOD = 10,4+ 26 + 26 = 62,4 мм. 2)

BC = 5 3 .

Нехай BC =3�� , AD =5�� . Тоді: 5��− 3�� =4, �� =2.

Отже,

BC = 6 см, AD = 10 см.

AO : OC = 5 : 3, AO + OC = 8:

AO = 5 см, OC = 3 см; DO = 5 см, OB = 3 см.

Периметри:

P△BCO =6+3+3= 12 см, P△AOD = 10 +5+5= 20 см.

Відповідь:

1. 6,4 мм, 10,4 мм, 38,4 мм, 62,4 мм; 2. 6 см, 10 см, 12 см, 20 см. 757. У рівнобічній

1) с = 5 см, n = 3; 2) с = 6 см, n = 3 4

AB = nc c =n;

AC = nc 2n c 2 =n;

∆KLM ∼ ∆ABC (k = n).

1) AB = 5 cм; BC = 7 cм; AC = 3 см.

KL = 5 · 3 = 15 см;

LM = ВС · 3 = 7 · 3 = 21 см;

KM = АС · 3 = 3 · 3 = 9 см.

2) АВ = 6 см; ВС = 8 см; АС = 4 см.

KL = 6 · 3 4 = 4,5 см;

LM = 8 · 3 4 = 6 см;

КМ = 4 · 3 4 = 3 см.

760. У трикутниках

= ра – 2р.

TO = pa a =p; BE TM = pa 2p a 2 =p;

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай △ ABC ∼△ KLM (відповідність вершин: (A ↔ K,B ↔ L,C ↔M).

BD і LN — медіани, проведені відповідно до сторін AC і KM (тобто D — середина AC, N —

середина KM).

Оскільки трикутники подібні, існує коефіцієнт

AB KL = BC LM = AC KM =k,

∠A = ∠K, ∠C = ∠M.

1. Бо D — середина AC, маємо AD = AC 2 . Аналогічно

Отже, AD KN = AC/2 KM/2 = AC KM =k.

2. Розглянемо трикутники ABD і KLN.

Маємо:

∠BAD = ∠K (бо D ∈ AC),

а також

AB KL =k, AD KN =k.

Отже, за

△ ABD ∼△ KLN. Звідси

BD LN = AB KL =k.

3. Аналогічно, розглянувши △ CBD і △ MLN,

LN = BC LM =k.

763. Сторони

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

причому KL : MN = 1 5 : 0,25, KМ = 3 см.

Якщо KL ∥ MN, тo ∆AKL ∼ ∆AMN, тоді AK AM = KL MN .

Нехай AK = x, тоді x x+3 = 1 5 0,25 ;

0,25x = 0,2x + 0,6; 0,05x = 0,6; x = 12.

Отже, щоб KL ∥ MN треба, щоб AK = 12 см. 764. Висота

1) m = 5, n = 9; 2) m = 3, n = 5?

1) BK ⊥ AC; AK : КС = 5 :

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Центром кола, описаного навколо ∆CMB є середина ВС, т. Н лежить

∆СВМ і ∆ВСН прямокутні із спільною гіпотенузою ВС.

∠BCM = ∠BHM (вписані кути, що спираються на спільну хорду ВМ; ∠BOC = ∠МОН —

вертикальні). Отже, ∆МОН ∼ ∆ВОС.

Нехай ∠ВСМ = ∠BHM = х, тоді ∠MBC = 90° – x (з ∆МВС), але ∠ABC = ∠MBC.

∠BHA = 90° (ВH ⊥ AС; ∠BHM = х), тоді ∠AHM = 90° – x.

У ∆АВС і ∆АНМ: ∠A — спільний; ∠ABC = ∠AHM; ∠ABC = ∠AHM.

Тоді ∆АВС ∼ ∆АНМ. 766. Медіана АА1 трикутника

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

BE AD = BK KD = KE AK = 1 2 (за умовою

Звідси АК : КЕ = 2; BK : KD = 1 2 . 768. Висота

1) m = 1, n = 2; 2) m = 1, n = 1?

CK ⊥ AD. ∆ABM = ∆DCK.

Тоді АM = DK, ВС = МК.

∆АОМ ∼

(за

Тоді AM : ВС = AО : ОС = m : n.

1) АМ : ВС = 1 : 2; AM = 1x; BC = 2x.

Тоді MD = 2х + х = Зх; AM : MD = 1x : 3x = 1 : 3.

2) АМ : ВС = 1 : 1; AM = 1x; ВС = 1x.

769. Чи будуть подібними два прямокутні

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

КN ∥ АВ; МР ∥ ВС.

Звідси МВNО — паралелограм, тому MB = NO = 1 2d (d — діагональ прямокутника).

AM ∥ KN; MN ∥ AC, тому AMNK — паралелограм.

Звідси AM = d.

AM : MB = d : 1 2 d = 2 : 1.

Аналогічно CN : NB = 2 : 1.

773.

∆ACD ∼ ∆KHD. Звідси AD KD = AC KH =2.

Тоді АК = KD; AK

Звідси

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

КО = AN· BK BA = (a− b)·1x 1x+ mx = a− b 1+ m ;

KP = KO + OP = a− b 1+ m + b = a− b+ b+ bm 1+ m = a+ bm 1+ m .

2) O — точка перетину діагоналей, MN ∥ AD; О ∈ MN.

∆ВОС ∼ ∆DOA (за двома кутами).

Звідси BO OD = b a = CO AO .

Нехай ВО = bx; OD = ах; BD = bx + ax; CO = bx; OA = ax.

∆BMO ∼ ∆BAD.

AD = BO BD ;

MO = BO· AD BD = bx· a bx+ ax = ba b+ a ;

∆CNO ∼ ∆CDA. CO CA = ON AD ; ON = CO· AD CA = bx· a bx+ ax = ba b+ a ; MN = 2ba b+ a .

3) ABCD — трапеція. О — точка перетину продовження AB і DC.

а ∥ AD; О ∈ а.

Р — точка перетину а з DB; К — точка перетину а

∆ОВА ∼ ∆OAD. OD OC = AD BC ; OD OC = a b . Нехай ОD = ах; OС = bх.

CD = ax – bx = (а – b)x. ∆ОСK ∼ ∆DСА. Звідси OK AD = OC CD . Тоді ОК = AD · OC CD = a · bx (a−b)x = ab a−b;

РО = ab a−b . Тоді РК = 2ab a−b .

∆COP ∼ ∆CAD.

Звідси AD OP = AC OC = AO+OC OC = AO OC +1;

OP = AD AO OC +1 .

∆BOK ∼ ∆BDA.

Звідси AD KO = BD BO = BO+OD BO = OD BO +1;

OK = AD OD BO +1

Оскільки AO OC = OD BO

2) ABCD — трапеція. BC : AD = m : n.

∆ODN ∼ ∆CBN. Тоді ON CN = n 2m .

∆OMN ∼ ∆OBC. Тоді MN BC = ON OC . MN m = n n+ 2m ; MN = nm 2m +n

Якщо m = 2, n = 3,

то MN = 2 · 3 2 · 2+3 = 6 7 .

4) сума протилежних

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

ВН ⊥ АС; ВМ = МС. АК : КМ = 3 : 1.

Проведемо MF ⊥ AC, тоді ∆BHC ∼ ∆MFC,

звідси BC MC = HC FC ; 2= HC FC ; HC = 2FC; HF = FC.

∆AMF ∼ ∆AKH,

звідси AK KM = AH HF ; 3 1 = AH HF ; AH = 3FH.

Звідси AH HC = 3FH 2FH = 3 2 .

779. Медіана ВМ ділить

вершини. У якому

AH ⊥ BC; AM = MC; AK : KH = 3 : 1.

Проведемо HF ∥ BM,

тоді AM MF = AK KH = 3 1 ; AM = 3MF.

Тоді FC = 2MF. ∆CFH ∼ ∆CMB.

CH BH = CF MF = 2MF MF =2.

CH = 2BH.

MG ⊥ BC. Тоді HG = GC = BH, ∆BKH ∼ ∆BMG.

BK KM = BH HG =1. 780.

3 : 1,

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2) Оскільки AO = BO = 52 см і OD = OC = 88

Нехай пряма TE перетинає AB у точці P. Треба

відрізок справді дорівнює 1 3AB, і другу частину

1. Маємо AE = EK, отже E — середина відрізка AK.

2. Побудовано T на промені KB так, що KB = BT. Отже B — середина

3. У трикутнику AKT точки E і B — середини

сторін AK і KT. Тому

EB є середньою лінією трикутника AKT, звідси EB ∥ AT.

4. Розглянемо трикутники △PBE і △PAT.

∠PBE = ∠PAT (як внутрішні різносторонні

PEB = ∠PTA) (як внутрішні

Отже, △PBE ∼ △PAT (за двома кутами)

PB PA = BE AT .

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Чи правильно, що:

1) KО : ОK1 = 2 : 1;

2) L1О : LО = 2 : 1;

Ні. На медіані LL1

O до середини сторони K1.

отримаємо 1 : 2, а не 2 : 1.

3) ОM : M1О = 2 : 1?

Так. На медіані MM1

M1.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

7) ВC = ВА · АH; — ні

8) ВC2 = АС · ВА; — ні

9) ВC2 = ВH · ВА? — так 788. Медіани трикутника

1) 9 см, 12 см і 15 см; 2) 6 см, 6 см і 3 см; 3) 45 см, 45 см і 45 см. Знайдіть

2:1,

= 2 3 медіани, тому

2) 4 ∙ 1,5 = 6 см, 4

3) 8 ∙ 1,5 = 12

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) CD = x; AD = 20 – х; 20−x x = 10 15 ; 10x = 300 – 15х; 15х = 300; x = 12; CD = 12 (см); AD = 20 – 12 = 8 (см).

2) AB BC = AD DC ⇒ DC = BC · AD BC = 18 · 14 21 = 12 см. AC = AD + DC = 14 + 12 = 26 (cм).

Мал.1:

1) AB = 16 + 9 = 25;

2) AC = √16 · 25 = 4 · 5 = 20; CB = √9 · 25 = 3 · 5 = 15;

3) CK = √16 · 9 = 4 · 3 = 12.

Мал.2:

1) KN = 25 + 144 = 169;

2) KM = √25 · 169 = 5 · 13 = 65; NM = √144 · 169 = 12 · 13 = 156;

3) MH = √25 · 144 = 5 · 12 = 60.

796. У трикутнику PRQ знайдіть:

1) гіпотенузу; 2) катети; 3) висоту, проведену

1) PQ = 225 + 64 = 289;

2) RP = √225 · 289 = 15 · 17 = 255; RQ = √64 · 289 = 8 · 17 = 136;

3) RT = √225 · 64 = 15 · 8 = 120.

797. За

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

AB — діаметр, C — точка кола, CK ⟂ AB

1) AK = 1 см; KB = 16 см.

ΔACB — прямокутний.

CK = √AK ⋅ KB = √1 ⋅ 16 =4 (см).

2) AK = 0,5 см; KB = 8 см;

CK = �0,5 ⋅ 8 =2 (см).

799. Перпендикуляр,

і 4 см. Знайдіть

CK = √AK ⋅ KB = √4 ⋅ 9 =6 (см).

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

AM : AB = AO : AA1.

Але AO : AA1 = 2 : 3 (бо AO = 2 частини, OA1 = 1 частина, разом AA1 = 3 частини).

Отже:

AM : AB = 2 : 3.

Тобто M ділить AB у відношенні:

AM : MB = 2 : 1.

Аналогічно:

AN : NC = 2 : 1.

Відповідь: пряма

801.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2. У паралелограмі MNDE маємо:

DE ∥ MN і DE = MN.

Отже, DE ∥ AC і DE = 1 2 AC.

3. Розглянемо трикутники ODE і OAC.

Вони подібні за двома кутами (бо DE ∥ AC).

Коефіцієнт подібності: k = DE AC = 1 2 .

4. З подібності маємо: ��E

OA = 1 2, тобто OE = 1 2 OA.

Отже:

OE — одна частина, OA — дві частини.

5. Але відомо, що точка O ділить медіану AN у відношенні 2 : 1, рахуючи

тобто: AO : ON = 2 : 1.

Оскільки OE = 1 2 OA, то точка E

Тому: AE : EN = 1 : 2.

6. Аналогічно доводиться, що:

CD : DM = 1 : 2.

Відповідь: точки E і D

трикутника.

803. Чи

частин.

що АK є

1) АВ = 12 см, AC = 16 см, ВK = 6 см, СK = 8 см; 2) АВ = 5 см, AC =15 см, ВK = 4 см, СK = 16 см?

Розв’язання:

AK — бісектриса ⇔ BK : CK = AB : AC.

1) BK : CK = 6 : 8 = 3 : 4, а AB : AC = 12 : 16 = 3 : 4 ⇒ так, AK — бісектриса.

2) BK : CK = 4 : 16 = 1 : 4, а AB : AC = 5 : 15 = 1 : 3

Відповідь: 1) так; 2) ні. 804. Сторони трикутника

Розв’язання:

Найбільша сторона

8 : 12 = 2 :

5x = 15 x = 3.

відношенні

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

сторін: a : b = 3 : 5.

Нехай a = 3x, b = 5x. Тоді: a + b = 3x + 5x = 8x = 60 ⇒ x = 7,5.

Отже: a = 3x = 22,5 см, b = 5x = 37,5 см.

Відповідь: 22,5 см і 37,5 см. 806. Сторони прямокутника

прямокутника ділить

Розв’язання:

У прямокутнику з сторонами 6 і 8 візьмемо △ABC,

∠A = 90° (кут прямокутника),

AB = 6, AC = 8,

BC = 10 (діагональ).

Нехай AK — бісектриса ∠A і вона

властивістю бісектриси трикутника:

BK : KC = AB : AC = 6 : 8 = 3 : 4.

Тоді діагональ BC = 10 ділиться

BK = 10 · 3

3+4 = 30 7 =4 2 7 см, KC = 10 · 4

3+4 = 40 7 =5 5 7 см.

+ AD) / 2 = (6 + 12) / 2 = 9

2. AB + CD = EF + 1 = 10

3. Опустимо

AD. AK = (AD − BC) / 2 = (12 − 6) / 2 = 3.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

ABK.

BO : OK = AB : AK = 5 : 3.

Відповідь: BO : OK = 5 : 3.

808. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 12 см, бічна сторона

висота, проведена до основи, — 8 см.

трикутника до його бічної сторони.

ΔABC — рівнобедрений, BK ⟂ AC.

ΔBKC — прямокутний, KC = 1 2 AC = a 2;

KM ⟂ BC.

ΔKMC ∼ ΔBKC (∠C — спільний, ∠KMC = ∠BKC = 90°).

трикутників: KM BK = KC BC;

KM c = a 2 b ; KM = ac 2b.

KM = 12 ⋅8

2⋅10 =4,8 (см).

809. Чому

до основи, — 24 см?

KM = 14 ⋅24

2⋅25 =6,72 (см).

810. Діагоналі ромба

1) а = 25 см, d1 = 30 см, d2 = 40 см; 2) а = 169 мм, d1 = 130 мм, d2 = 312 мм.

MN проходить через т. O. MN ⟂ AK; MN = AK. ON = 1 2 MN; ON = 1 2 h; h = 2ON.

. ON = 1 2 d1 ⋅ 1 2 d2 a = d1 d2 4a ; h= 2ON = d1 d2 2a

1. h = 30⋅40 2⋅25 = 30⋅40 50 = 120 5 = 24 (см);

2. h = 130⋅312 2⋅169 = 10⋅312 2⋅13 = 10⋅24 2 = 120 (мм).

811. За даними на малюнках

—

1) △АСM і △DВM; ΔACM ∼ ΔDBM (за двома кутами: ∠AMC = ∠DMB — вертикальні;

кути, що спираються на одну

2) △ADM і △СВM;

3) △АBC і △АCM.

∠ACD = ∠ABD (вписані

(вертикальні).

ΔAMC ∼ ΔDMB. Звідси AM DM = MC MB або AM · MB = CM · DM.

813.

ΔBCM ∼ ΔDAM (за

KM : BM = AM : KM.

7. Звідси: KM2 = AM · BM. Доведено.

Дано: △ABC прямокутний, ∠C = 90°, AC = b, BC = a, AB = c. CH ⟂ AB, CH = h (H —

основа висоти).

Довести: (ab)2 = (ch)2.

Доведення:

1. △ACH ∼ △ABC (за двома кутами: ∠AHC = 90° = ∠ACB, ∠CAH = ∠CAB).

Звідси: AC : AB = CH : BC, тобто b : c = h : a ⇒ ah = bc.

2. △BCH ∼ △ABC (за двома кутами: ∠BHC = 90° = ∠ACB, ∠CBH = ∠CBA).

Звідси: BC : AB = CH : AC, тобто a : c = h : b ⇒ bh = ac.

3. Із будь-якої

ab = ch.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

У трапеції ABCD ∠A + ∠D = 90°.

З т. B проведемо BN ∥ CD.

BCDN — паралелограм.

CD = BN; ΔBKM = ΔCMD.

Тоді у ΔABM: ∠A + ∠N = 90°.

Звідси ∠ABN = 90°.

ΔABN — прямокутний, BK — висота,

тоді BK2 = AK · KN (висота — середнє пропорційне

Оскільки KN = MD (з рівності ΔBKN і ΔCMD), то BK2 = AK · MD

середнє пропорційне між

O1A ⟂ AC; O2B ⟂ AC; O3C ⟂ AC; O1A = r; O2B = x; O3C = R.

O1D ⟂ O2B; O2F ⟂ O3C. ΔO1O2D ∼ ΔO2O3F.

O1 O2 O2 O3 = O2 D O3 F ; r+x R+x = x r R − x ; rR + Rx − rx − x2 = Rx − Rr + x2 − xr; 2Rr = 2x2; x2 = Rr; x = √R ⋅ r.

1) Довести: △ADB ∼ △ACB

∠ADB і ∠ACB спираються на одну хорду AB ⇒ ∠ADB = ∠ACB.

∠ABD і ∠ADС спираються на одну хорду AD ⇒ ∠ABD = ∠ACD.

Отже, у △ADB і △ACB є дві пари рівних

2) Довести: △BAC ∼ △BDC

∠BAC і ∠BDC спираються на одну хорду BC ⇒ ∠BAC = ∠BDC

∠BCA і ∠BDA спираються на одну хорду BA ⇒ ∠BCA = ∠BDA.

Отже, у △BAC і △BDC є дві пари рівних кутів

3) ΔADK ∼ ΔACB (за двома кутами).

∠DAK = ∠CBA (за умовою).

∠ADB = ∠ACB (спираються на одну дугу AB), тому ∠ADK = ∠ABC.

4) ΔACB ∼ ΔADK, тоді AC AD = BC DK .

Звідси AC · DK = BC · AD. (I)

З подібності ΔAKB і ΔADC: AB AC = KB DC .

Звідси AC · KB = AB · DC. (II)

Додамо почленно рівності (I) і (II). Маємо:

AC · DK + AC · KB = BC · AD + AB · DC;

AC · (DK + KB) = BC · AD + AB · DC;

AC · BD = AB · DC + BC · AD.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

∠A = 60°, ∠B на 20° менший, тобто ∠B = 60° − 20° = 40°.

Знайдемо ∠C у △ABC:

∠C = 180° − (∠A + ∠B) = 180° − (60° + 40°) = 80°.

Оскільки △A1B1C1 ∼ △ABC, то відповідні

∠C1 = ∠C = 80°.

Відповідь: Б. 80°.

2. У трикутниках KLM і DEF: ∠K = ∠D = 90°, ∠M = ∠F = 30°, DF = 5KM. Чому

DE, якщо KL = 10 см?

1. △KLM ∼ △DEF (за двома кутами). Відповідність

K ↔ D, M ↔ F, L ↔ E. Тоді відповідні сторони: KM ↔ DF, KL ↔ DE.

2. Коефіцієнт подібності: DF : KM = 5 : 1 ⇒ k = 5.

DE = k·KL = 5·10 = 50 см.

трапеції (AD ∥ BC)

AO : OC = AD : BC.

Тому:

AO : OC = 3 : 2, а AO + OC = AC = 30.

Нехай AO = 3x, OC = 2x. Тоді:

3x + 2x = 30

5x = 30

x = 6.

Отже:

AO = 18 см,

OC = 12 см.

Відповідь: Г. 18 см і 12 см.

точки H

Відповідь поясніть.

Правильно, бо 32 + 42 = 52. Неправильно, бо 32 + 42 ≠ 62 . 826. На малюнку AD і DC —

є правильним:

1) AB = BC; — неправильно; 2) AB > BC; — неправильно; 3) AB < BC? — правильно.

�� = √92 + 122 = 15 (см).

3. Якщо a = 8 см, b = 8√3 см, то

�� = �82 +(8√3)2 = 16 (см).

828. Знайдіть

дорівнюють: 1) 13 см і 12 см; 2) 17 м

= �� 2 −�� 2

1. Якщо c = 13 см, b = 12 см, то

�� = √132 122 =5 (см).

2. Якщо c = 17 м, b = 15 м, то

�� = √172 152 =8 (м).

3. Якщо c = 15d, b = 9d, то

�� = �(15��)2 (9��)2 = 12��. 829. a, b —

за таблицею.

= �� 2 + �� 2 ; �� = �� 2 −�� 2

a2 + b2 = d2.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

AB = BC = CD = AD = 2√2 см.

AC = √AB 2 + BC 2 = √2AB 2 = �2·(2√2)2 = √2·8 =4 (см)

833. Знайдіть

1) 1 см; 2) 4√2 см; 3) a.

AC = BC, тоді

AB = �AC 2 + BC 2 = �2AC 2

1. Якщо AC = 1 см, то

AB = √2 ·1 = √2 (см).

2. Якщо AC = 4√2 см, то

AB = �2·(4√2)2 =8 (см).

3. Якщо AC = a, то

AB = √2a2 =a√2 (см).

834. Знайдіть катети

1) 2 см; 2) 8 см; 3) m.

AC = BC, тоді AB2 = AC2 + BC2 або AB2 = 2AC2, тоді

AC 2 = AB 2 2 ; AC = AB √2 .

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1. Якщо AB = √2 см, то

AC = √2 √2 =1 (см).

2. Якщо AB = 8 см, то

AC = 8 √2 = 8√2 2 =4√2 (см).

3. Якщо AB = m, то

AC = m √2 = m√2 2 .

1) √3 см; 2) 10 см; 3) a.

AB = BC = AC, BD ⟂ AC, тоді BD = �AB 2 AD2 =

1. Якщо AB = √3 см, то

BD = √3 √3 2 =1,5 (см).

2. Якщо

AB = BC, BD ⟂ AC, тоді AD = DC і з ΔABD

BD = �AB 2 AD2 = �AB 2 �AC 2 �2

1. Якщо AB = 26 см, AC = 20 см, то

BD = √262 102 = 24 (см).

2. Якщо AB = 17 см, AC = 16 см, то

BD = √172 82 = 15 (см).

3. Якщо AB = 13 см, AC = 10 см, то

BD = √132 52 = 12 (см).

837. Через точку

AB — 16 см.

1. OB = √AO2 AB 2 = √172 82 = 15 (см).

2. AO = √OB 2 +BA2 = √122 +162 = 20 (см). 838. Знайдіть

1. AC = 6 см, BD = 8 см, тоді AO = 1 2· 6 = 3 (см);

BO = 1 2 · 8 = 4 (см);

AB = √AO2 +BO2 = √32 +42 =5 (см).

2. AC = 18 см, BD = 24 см, тоді AO = 1 2 · 18 = 9 (см); BO = 1 2 · 24 = 12 (см);

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

AB = √AO2 +BO2 = √92 +122 = 15 (см).

3. AC = 12 см, BD = 16 см, тоді

AO = 1 2 · 12 = 6 (см); BO = 1 2 · 16 = 8 (см);

AB = √AO2 +BO2 = √62 +82 = 10 (см).

839. Доведіть, що коли a — сторона ромба, d1 і d2 —

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Дано:діагональ d = 13 см, довжина a = 4 см, ширина b = 3 см.

Знайти: висоту c.

Розв’язання:

Для прямокутного паралелепіпеда (див. задачу 840):

d2 = a2 + b2 + c2.

Підставимо значення:

132 = 42 + 32 + c2

169 = 16 + 9 + c2

169 = 25 + c2

c2 = 144

c = 12 (см).

Відповідь: 12 см.

842. Основою

Оскільки основа — квадрат, то

SB = SC, а SM

Тоді:

BM = BC : 2 = 16 : 2 = 8 (см).

Розглянемо

За теоремою

SB2 = SM2 + BM2

SB2 = 152 + 82

SB2 = 225 + 64

SB2 = 289

SB = 17 (см).

Відповідь: 17

Розглянемо одну грань. Нехай у трикутнику ABC:

AB = BC = CA = m,

AM — висота (M — середина BC).

Тоді:

BM = BC : 2 = m : 2.

Розглянемо прямокутний трикутник ∠AMB = 90°.

За теоремою Піфагора:

844. Із точки A

3) перпендикуляр AB, якщо похила

1. BC = 24 см, AB = 10 см, тоді

AC = √AB 2 +BC 2 = √242 +102 = 26 (см);

2. AB = 8√3 см, AC = 16 см, тоді

BC = √AC 2 −AB 2 =

3. AC = 17 см, BC = 8 см, тоді AB = √AC 2 BC 2 = √172 82 = 15 (см).

У трикутнику △OBC маємо ∠OBC = 90°, тому: OC2 = OB2 + BC2.

1) OC = √OB 2 +BC 2 = √32 +42 = √9+ 16 = √25 =5 (см). 2) BC = √OC 2 OB 2 = √132 122 = √169 144 = √25 =5 (см). 3) OB = √OC 2 BC 2 = √252 72 = √625 49 = √576 = 24 (см). 846.

= √122 +52 = 13 (см). 848.

1) b = 5 см; 2) b = 7 см. c2 = (c − 1)2 + b2; c2 = c2 − 2c + 1 + b2;

2c = b2 + 1; c = b2 +1 2 .

1. b = 5 см; c = 26 2 = 13 см; a = √c 2 b 2 = 12 (см).

2. b = 7 см; c = 25 см; a = 24 см. 849.

AB = 3x; AC = 4x; BC = c.

За теоремою Піфагора AB2 + AC2 = BC2; (3x)2 + (4x)2 = c2; 9x2 + 16x2 = c2; 25x2 = c2.

x = � c 2 25 = c 5.

1. c = 25 см; x = 5; AB = 15 см, AC = 20 см.

2. c = 20 см, x = 4, AB = 12 см, AC = 16 см.

850.

сторони трикутника.

AB : AC = m : n; AB = mx; AC = nx;

BC = �(mx)2 +(nx)2 = �m2 (m2 +n2 ) = �� (m2 +n2

P = AB + BC + AC = mx + nx + ��

P = 36 см, m = 3, n = 4, 3x + 4x + 5x = 36; x = 3; AB = 9 см, AC = 12 см, BC = 15 см.

851. Знайдіть сторони прямокутного трикутника, якщо

катети відносяться як 15 : 8.

Нехай катети дорівнюють: a = 15x, b = 8x.

Тоді гіпотенуза: c = �a2 +b 2 = �(15x)2 + (8x)2 = �225x 2 + 64x 2 = �289x 2 = 17x.

Периметр:

P = a + b + c = 15x + 8x + 17x = 40x.

За умовою: 40x = 80 ⇒ x = 2.

Тоді: a = 15 ∙ 2 = 30 см, b = 8 ∙ 2 = 16 см, c = 17 ∙ 2 = 34 см.

Відповідь: 16 см, 30 см, 34 см. 852.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) m = 5, n = 6, h = 12 см; 2) m = 17, n = 16, h = 15 см.

AB = BC;

AB : AC = m : n; BD = h; BD ⟂ AC; AB = mx; AC = nx;

AD = AC 2 = n 2 ��

Розглянемо ΔABD: ∠ADB = 90°; AB2 = AD2 + BD2; m2 x 2 = n2 4 x 2 +h2 + hnx.

1. m = 5; n = 6; h = 12 см; 25x 2 = 36 4 x 2 + 144 + 72x; x = 8; AB = 40 см; AC = 48 см.

2. m = 17; n = 16; h = 15 см; 289x2 = 64x2 + 225; x = 1; AB = 17 см; AC = 16 см.

853. Одна з діагоналей паралелограма

якщо сторони

ABCD — паралелограм, AB ⟂ BD.

1. AD = 15 см, AB = 9 см;

BD = √AD2 AB 2 = √152 92 = 12 (см); BO = 1 2 BD = 1 2 · 12 = 6 (см).

Із ΔABO:

AO = √AB 2 +BO2 = √92 +62 = √117 =3√13 (см)

Тоді AC = 2AO = 6√13 (см).

2. AD = 25 см; AB = 7 см.

Із ΔABD:

BD = √AD2 AB 2 = √252 72 = 24 (см),

Тоді BO = 1 2 BD = 1 2 · 24 = 12 (см).

1) 15 см і

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

AO = √72 +122 = √193 (см),

тоді AC = 2√193 (см).

854. Основи прямокутної

сторону, якщо:

1) а = 4 см, b = 12 см, h = 6 см; 2) а = 35 см, b = 15 см, h = 21 см.

AD ∥ BC; AB ⟂ AD; CH ⟂ AD, тоді DH = AD − BC; CK = h.

1. BC = 4 см; AD = 12 см; CK = 6 см.

Із ΔCHD:

CD = �(AD − BC)2 +CH 2 = �(12 4)2 +62 = √82 +62 = 10 (см)

2. BC = 15 см; AD = 35 см; CK = 21 см.

Із ΔCHD:

CD = �(AD BC)2 +CH 2 = �(35 15)2 +212 = 29 (см) 855. Доведіть, що

основ.

Розглянемо ΔABD — прямокутний (∠BAD = 90°). BD2 = AB2 + AD2. Розглянемо прямокутний ΔABC: ∠ABC = 90°; AC2 = AB2 + BC2. AC і BD —

трапеції ABCD. BD2 − AC2 = (AB2 + AD2) − (AB2 + BC2) = AB2 + AD2 − AB2 − BC2 = AD2 − BC2 , що

треба було довести.

856. За

1. AB = CD = 10 см; AD = BC + 2AK = 24 см; BC = 12 см ⇒ AK = 6 см.

x= √AB 2 −AK 2 = √100 − 36 =8 (см).

2. KD = AD BC 2 = 14 8 2 =3 (см);

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

CK = 4 см.

x= √KC 2 +KD2 = √9+ 16 =5 (см).

857. За

ABCD.

AK = √AB 2 −BK 2 = √152 −122 =9 (см).

x = BC = AD − 2AK = 32 – 2 · 9 = 14 (см).

858. Основи

якщо: 1) а = 6 см, b = 18 см, h = 16 см; 2) а = 16 см, b = 8 см, h = 5 см.

AB = CD; BC ∥ AD; AD = BC + 2AK = q + 2AK = b; AK = b a 2 ;

= �h2 +KD2 = �h2 +

1. a = 6 см; b = 18 см; h = 16 см;

2. b = 16 см; a = 18 см; h = 5 см;

1) а = 2 см, b = 18 см, r = 3 см; 2) а = 32 см, b = 18 см, r = 12 см.

AB = CD. h = 2r = d;

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

AN = AD BC 2 = b a 2 ;

AB = �AN 2 +BN 2 = ��b − a 2 � 2 + (2r)2

1. a = 2 см; b = 18 см; r = 3 см;

AB = ��18 2 2 �2 + (2·3)2 = √64 + 36 = 10 (см)

2. b = 32 см; a = 18 см; r = 12 см;

AB = ��32 18 2 �2 + (2· 12)2 = √49 + 576 = 25 (см)

860.

ABCD — ромб, BH ⟂ AD, AH = b, HD = c, тоді AB = b + c.

Із ΔABH:

BH = �AB 2 AH 2 = �(b+c)2 b 2 .

1. Якщо b = 6 см, c = 4 см, то

BH = √102 62 =8 (см),

тоді r = 1 2 BH = 1 2 · 8 = 4 (см).

2. Якщо b = 5 см, c = 8 см, то

BH = √132 −52 = 12 (см),

тоді r = 1 2 BH = 1 2 · 12 = 6 (см).

861. У колі радіусом

хордами, якщо: OB = OD = r, AB ∥ CD, KL ⟂ AB, KL ⟂ CD.

1. r = 25 см, AB = 48 см, CD = 40 см.

Із ΔOBK:

OK = √OB 2 KB 2 = √252 242 =7 (см).

Із ΔOLD:

OL = √OD2 LD2 = √252 202 = 15 (см).

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Тоді: 1 випадок — KL = OL − OK = 15 − 7 = 8 (см);

2 випадок — KL = OL + OK = 15 + 7 = 22 (см).

2. r = 65 см, AB = 120 см, CD = 32 см.

Із ΔOBK:

O�� = √OB 2 KB 2 = √652 602 = 25 (см).

Із ΔOLD:

O�� = √OD2 LD2 = √652 162 = 63 (см).

Тоді: 1 випадок — KL = OL − OK = 63 − 25 = 38 (см);

випадок — KL = OL + OK = 63 + 25 = 88 (см).

862. Два кола радіусами 2 см і 8 см

OO1 = B1B; OB1BO1 —

OA ⟂ AB; O1B ⟂ AB; OA ∥ O1B; O1B = OB1 = 2

1. ∠ACD = 30°, тоді AC = 2AD = 2 · 5 = 10 (см).

2. ∠ACD = 45° ⇒ ∠CAD = 45° і ΔCAD — рівнобедрений.

C�� = √��D2 + CD2 = √52 +52 = √25 ·2 =5√2 (см).

864. Із

CB = √132 122

1. CD = CB + BD = 5 + 16 = 21 (см); 2. CD = BD − BC = 21 − 5 = 16 (см).

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

AB = 10 см, BC = 17 см, AD : DC = 2 : 5.

Нехай AD = 2x см; DC = 5x см, тоді 102 − (2x)2 = 172 − (5x)2; 100 − 4x2 = 289 − 25x2; 21x2 = 189; x2 = 9; x = 3.

1. Тоді AD = 2 ·3 = 6; DC = 5 · 3 = 15 (см).

2. B�� = √�� 2 AD2 = √102 62 =8 (см).

866. Якщо дві

рівні між собою. Доведіть.

ΔABD = ΔACD (AD — спільна, BD = DC, ∠BDA = ∠CDA =

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

CH = n; CM = m, тоді AB = 2CM = 2m;

HM = √CM 2 CH 2 = √m2 n2 .

1. Якщо m = 25 см, n = 24 см, тоді AB = 2 · 25 = 50 (см);

HM = √252 242 =7 (см).

Із ΔACH

AC = √HC 2 + AH 2 = �242 +(25 − 7)2 = 30 (см)

BC = √AB 2 AC 2 = √502 302 = 40 (см).

P = 30 + 40 + 50 = 120 (см).

2. Якщо m = 17 см, n = 15 см, тоді AB = 2 · 17 = 34 (см);

HM = √172 152 =8 (см).

Тоді AH = 17 − 8 = 9 (см); HB = 8 + 17 = 25 (см).

Із ΔACH:

AC = √92 + 152 = √306 = 3√34 (см).

Із ΔBCH:

BC = √152 + 252 = √850 = 5√34 (см).

P = 34 + 5√34 +3√34 = 34 + 8√34 (см).

869. У прямокутному

катета на n см більша.

якщо: 1) b = 60, n = 12; 2) b = 35, n = 14.

AC = b; AB + BC = AC + n; AB + BC = b + n.

1. Якщо b = 60, n = 12, тоді AB + BC = 72, BC = 72 − AB. AB2 = AC2 + BC2, AB2 = 602 + (72 − AB)2; AB2 = 3600 + 5184 − 144AB + AB2; 144AB = 8784; AB = 61.

BC = 72 − 61 = 11.

2. Якщо b = 35, n = 14, тоді AB + BC = 49, BC = 49 − AB; AB2 = AC2 + BC2, AB2 = 352 + (49 − AB)2; AB2 = 1225 + 2401 − 98AB + AB2; 98AB = 3626; AB = 37. BC = 49 − 37 = 12.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) с = 60 см, h = 12 см, m = 13 см; 2) с = 42 см, h = 12 см, m = 13 см.

CH ⟂ AB, CH = h, AM = MB,

CM = m, AM = MB = c 2 . Із ΔCHM:

m2 h

; AH = AM + MH = c 2 + √n2 h2 ; BH = c 2 −√m2 h2 .

ΔACH:

1. Якщо c = 60 см, h = 12 см,

2. Якщо c = 42 см, h = 12 см, m = 13 см, тоді

1) 10 см, 10 см, 12 см; 2) 7 см, 15 см, 20 см.

1. AB = BC = 10 см, AC = 12 см, BD ⟂ AC, AK ⟂ BC, AD = DC = 1 2 AC = 1 2 ·12 = 6 (см).

Із ΔABD:

BD = √AB 2 AD2 = √102 62 =8 (см).

Нехай BK = x, тоді 102 − x2 = 122 − (10 − x)2;

100 − x2 = 144 − 100 + 20x − x2; 20x = 56; x = 2,8.

AK = √AB 2 BK 2 = √100 7,84 = √92,16 = 9,6 (см).

CL = AK = 9,6 см.

2. BC = 7 см, AB = 15 см, AC = 20 см.

AK = x, KC = 20 − x, тоді AB2 − AK2 = BC2 − KC2;

152 − x2 = 72 − (20 − x)2;

225 − x2 = 49 − 400 + 40x − x2; 40x = 576; x = 14,4.

BK = √AB 2 AK 2 = �152 14,42 =4,2 (см)

BH = y; тоді HC = 7 − y; AB2 − BH2 = AC2 − HC2; 152 − y2 = 202 − (7 − y)2; 225 − y2 = 400 − 49 + 14y − y2; 14y = −126; y = −9;

AH = √AB 2 BH 2 = √152 92 = √225 81 = 12 (см)

BL = z, тоді AL = 15 − z; BC2 − BL2 = AC2 − AL2; 72 − z2 = 202 − (15 − z)2; 49 − z2 = 400 − 225 + 30z − z2; 30z = −126; z = −4,2;

LC = √BC 2 BL2 = �72 4,22 =5,6 (см)

872. Доведіть,

CM = BN; AN = DM.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

ΔNBD: BD2 = BN2 + ND2 = BN2 + (AD − AN)2 .

ΔACM: AC2 = CM2 + AM2 = BN2 + (AD + AN)2.

BN2 = AB2 − AN2;

AC2 + BD2 = BN2 + (AD + AN)2 + BN2 + (AD − AN)2 = = AB2 − AN2 + AD2 + 2AD · AN + AN2 + AB2 − AN2 + AD2 − 2AD · AN + AN2 = = AB2 + AD2 + AB2 + AD2 = 2AB2 + 2AD2, що й треба було довести.

873. Доведіть, що

d1 і d2 —

сторони, то d21 + d22 = c2 + d2 + 2ab.

ΔKBD: BD2 = BK2 + KD2 = (AB2 + AK2) = (AD − AK)2 + d12

ΔACL: AC2 = AL2 + CL2 = (AD − LD)2 + (CD2 − LD)2 = d22. d12 + d22 = (c2 − AK2 + b2 − 2b·AK + AK2) + ((b2 − 2b · LD + LD2 + d2 − LD2) = = c2 + b2 − 2b · AK + b2 − 2b · LD + d2 = c2 + d2 − 2b(AL + LD) + 2b2 = = c2 + d2 − 2b(b − a) + 2b2 = c2 + d2 − 2b2 + 2ab + 2b2 = c2 + d2 + 2ab.

874. Доведіть,

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

OA ⊥ AB, O1B ⊥ AB за властивістю

OA = r, O1B = R. Проведемо OC ∥ AB, AВСО — прямокутник

OC = AB, CB = OA = r, тоді O1C = R – r. У ∆OCO1 (∠C = 90°)

OC2 = OO21 – O1C2,

OO1 = OD + DO1 = r + R.

Тоді OC2 = (r + R)2 – (R – r)2 = r2 + 2rR + R2 – R2 + 2rR – r2 = = 4rR = 2r · 2R = 2OA · 2O1B= d1d2, де d1 — діаметр кола радіуса OA, d2 — діаметр кола радіуса O1B. Отже, AB2 = d1d2, тобто відрізок зовнішньої спільної дотичної двох кіл, що лежить між точками дотику,

середнє пропорційне між діаметрами цих кіл. 876. Відстань між центрами кіл радіусами 6 см і 2 см дорівнює 10 см. Знайдіть

Дано: кола K1(O; 10 см), K2(O1; 2 см); OO1 = 10 см.

Знайти: AB.

Розв’язання:

△OCA ~ △O1CB (за двома кутами);

k = OA O1 B = 6 2 = 3.

Нехай OC = x см, тоді CO1 = (10 − x) см.

OC �� O1 = �� 10 −�� ; �� 10 �� =3;

x = 30 − 3x

x + 3x = 30

4x = 30

x = 7,5

Отже, OC = 7,5 см, CO1 = 10 − 7,5 = 2,5 см.

У △OAB (∠A = 90°):

OC2 = OA2 + AC2

AC = √�� 2 ��2 = �7,52 62 = �56,25 36 = �20,25 =4,5 (см).

�� = 3, отже CB = AC : 3 = 4,5 : 3 = 1,5 (см).

AB = AC + CB = 4,5 + 1,5 = 6 (см).

Відповідь: 6 см.

877. (Задача

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

DC ⟂ AB.

Проведемо BE ∥ CD ⇒ BE ⟂ AB.

∠ABE = 90° і є вписаним кутом, тому AE — діаметр кола.

ΔAEC: ∠ACE = 90°, бо спирається на діаметр. AE2 = AC2 + CE2.

◡BD = ◡EC (як розташовані між BE ∥ CD) ⇒ DB = EC.

ΔDBM: ∠DMB = 90°; DB2 = DM2 + MB2.

ΔAMC: ∠AMC = 90°; AC2 = AM2 + MC2.

Тоді DB2 + AC2 = MD2 + MB2 + MA2 + MC2 = EC2 + AC2 = AE2 = d2

878. На малюнку показано, як застосували теорему Піфагора, щоб

A і B, розділеними

Дано: AM = 7 м, BN = 3 м, CB = 15 м.

AB.

AC = AM − CM = 7 − 3 = 4 (м).

△ABC (∠C = 90°): AB2 = AC2 + CB2

AB = �� 2 + �� 2 = �42 + 152 = √241 ≈ 15,5(м). Відповідь: 15,5 м.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Дано: ABCD прямокутник; AC = 116 м, AD = 84 м.

Знайти: PABCD.

Розв’язання:

△ADC (∠D = 90°):

AC2 = AD2 + CD2

PABCD = 2(AD + CD) = 2(84 + 80) = 2 · 164 = 328 (м).

Відповідь: 328 м.

881. 1.

Дано: △ABC (∠C = 90°); BC = 6 м. Знайти:

1. AB, якщо AC = 2,5 м;

2. AC, якщо AB = 9 м. Розв’язання:

1. △ABC (∠C = 90°):

AB 2 =BC 2 +AC 2

AB = �BC 2 +AC 2 = �62 +2,5

2. △ABC (∠C = 90°): AB 2 =BC 2 +AC 2

AC = �AB 2 − BC 2 = �92 − 62 = √

Дано: АВ = 10 футів; ОD = ОD1; CD = 1 фут. Знайти: OC. Розв’язання:

D1C = AO = 1 2 AB = 1 2 ∙ 10 = 5 футів.

Нехай глибина копанки OC = х футів, тоді довжина очеретини OD = OC + CD = (x + 1) футів.

D1O = (x + 1) футів.

∆D1CO (∠C = 90°): D1O2 = OC2 + D1C2; (x + 1)2 = x2 + 52; x2 + 2x + 1 = x2 + 25; 2x = 24; x = 12 (футів) – глибина копанки.

Відповідь: 12 футів. § 16.

12 13; б) 13 5 ; в) 5 13; 3) sin β

1. tg β = 12 5 (б);

2. cos β = 5 13 (в);

3. sin β = 12 13 (б). 885.

1) синус кута зменшується; 2) синус кута збільшується;

3) косинус кута зменшується; 4) косинус кута збільшується; 5) тангенс кута зменшується; 6) тангенс кута збільшується?

1) Ні;

2) т ак;

3) так;

4) ні; 5) ні;

6) так.

887. Чи є

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) Ні; 2) т ак; 3) ні; 4) так; 5) так; 6) ні. 888. Накресліть

1) 1; 2) 0,9; 3) 2?

1. так; 2. т ак; 3. ні. 891. Чи може тангенс

1) 1; 2) 4; 3) 0,8?

1. так; 2. т ак; 3. т ак.

892. Знайдіть

1) 2 sin 30°; 2) 4 cos 60°; 3) √3 tg 30°; 4) 6 sin 45°; 5) 2 cos 30°; 6) 8 tg 45°.

1. 2 sin 30° = 2 · 1 2 = 1;

2. 4 cos 60° = 4 · 1 2 = 2;

3. √3 tg 30° = √3 · 1 √3 = 1.

893. Знайдіть

1) 4 sin 60°; 2) 2 cos 45°; 3) 3tg 60°.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) 2 √3; 2) √2; 3) 3.

894. Знайдіть значення виразу:

1) tg 30° · tg 60°; 2) √2 cos 45° ⋅ tg 45°; 3) 2sin 30° + √3 cos 30°; 4) 6cos 60° − √3 tg 30°. 1. tg 30° · tg 60° = 1 √3 · √3 =1;

2. 8 cos 60° · sin 30° = 8 · 1 2 · 1 2 =2;

3. 2 sin 30° + √3 cos 30° = 2· 1 2 + √3 ·

4. 6 cos 60° − √3tg30∘ = 6·

895. Знайдіть значення

міра кута a, якщо:

1) sin α = √2 2 ; 2) cos α = √3 2 ; 3) tg α = √3 3 .

1) 45°; 2) 30°; 3) 30°.

898. Запишіть у порядку збільшення:

1) sin 15°, sin 46°, sin 75°, sin 10°, sin 11°; 2) tg 37°, tg 87°, tg 66°, tg 17°, tg 48°. 1. sin 10°; sin 11°; sin 15°; sin 46°; sin 75° 2. tg 17°; tg 37°; tg 48°; tg 66°; tg 87°.

899. Запишіть у порядку збільшення: cos 50°, cos 34°, cos 20°, cos 72°, cos 25°. cos 72°; cos 50°; cos 34°; cos 25°; cos 20°; 900. За даними, наведеними на малюнках, знайдіть х.

�� = 4sin 30∘ =4· 1 2 =2 (см) �� = 8cos 60∘ =8· 1 2 =4 (см)

3. AC = BC tg45∘ = 9 1 =9 (см).

1) косинуси даних кутів на синуси: cos 20°, cos 35°, cos 50°; 2) синуси

sin 10°, sin 65°, sin 85°. 1) cos20° = sin(90° – 20°) = sin70°; cos35° = sin(90° – 35°) = sin55°; cos50° = sin(90° – 50°) = sin40°; 2) sin10° = cos(90° – 10°) = cos80°; sin65° = cos(90° – 65°) = cos25°; sin85° = cos(90° – 85°) = cos5°.

906.

cos α = sin (90° – α), sin α = cos (90° –

cos 40°, cos 74°; 2) синуси

sin 55°, sin 25°.

1) cos40° = sin(90° – 40°) = sin50°; cos74° = sin(90° – 74°) = sin16°.

2) sin55° = cos(90° – 10°) = cos80°; sin25° = cos(90° – 25°) = cos35°.

907.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) 2 cos (90° – α) – sin α; 2) sin α + cos (90° – α);

3) 3 cos α – 2 sin (90° – α); 4) 3 sin (90° – α) – 4 cos α.

1. 2 cos(90° − α) − sin α = 2 sin α − sin α = sin α; 2. sin α + cos(90° − α) = sin α + sin α = 2 sin α;

3. 3 cos α − 2 sin(90° − α) = 3 cos α − 2 cos α = cos α.

908. Спростіть вираз:

1) sin (90° – α) – cos α; 2) cos α – 2 sin (90° – α).

1) sin(90° – α) – cosα = cosα – cosα = 0.

2) cosα – 2sin(90° – α) = cosα – 2cosα = –cosα.

909. Побудуйте кут:

1) синус якого дорівнює: а) 3 5; б) 0,3;

2) косинус якого дорівнює: а) 5 6; б) 0,6;

3) тангенс якого дорівнює: а) 2; б) 4 7 .

1. а) sin ∠A = 3 5 .

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) с = 12 см, sin A = 1 4;

2) с = 20 см, sin A = 2 5;

3) с = 18 см, sin A = 2 3;

4) с = 8 см, sin A = 3 4

1. a = c sin ∠A = 12 · 1 4 = 3 (см);

2. a = c sin ∠A = 20 · 2 5 = 8 (см);

3. a = c sin ∠A = 18 · 2 3 = 12 (см);

4. a = c sin ∠A = 8 · 3 4 = 6 (см).

914. Знайдіть катет

1) с = 6 см, cos A = 1 3;

2) с = 14 см, cos A = 2 7 .

1. b = c cos ∠A = 6 · 1 3 = 2 (см);

2. b = c cos ∠A = 14 · 2 7 = 4 (см).

915. Знайдіть

1) ВС = 16 см, cos B = 1 8;

2) ВС = 12 см, cos B = 3 4 ;

3) ВС = 5 см, cos B = 0,5;

4) ВС = 7 см, cos A = 0,7.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2. BC = AC tg ∠A = 12 · 4 = 48;

3. BC = AC tg ∠A = 11 · 1,5 = 16,5.

918. Знайдіть невідомі сторони

1) AB = c, ∠B = β;

2) BC = a, ∠A = α; 3) AC = b, ∠B = β.

1. У ΔABC ∠C = 90°; AC = c sin β; BC = c cos β.

2. У ΔABC ∠C = 90°; BA = a sin α ; AC = a tg α .

3. У ΔABC ∠C = 90°; AB = b sin β ; BC = b tg β.

919. Скориставшись калькулятором, знайдіть:

1) sin α, cos α, tg α, якщо α дорівнює: 43°; 22°; 35°; 58°20′; 64°13′; 2) кут α, якщо: sin α дорівнює: 0,642; 0,771; 0,910; 0,640; 0,712; cos α дорівнює: 0,342; 0,962; 0,087; 0,914; 0,809; tg α дорівнює: 0,178; 0,269; 0,035; 0,447; 0,532.

1. sin 43° 6′ ≈ 0,683; sin 22° 25′ ≈ 0,381; sin 35° 48′ = 0,585; sin 58° 20′ = 0,851; cos 43° 6′ = 0,730; cos 22° 25′ = 0,925; cos 35° 48′ = 0,811; cos 58° 20′ ≈ 0,525; tg 43° 6′ ≈ 0,936; tg 22° 25′ = 0,412; tg 35° 48′ = 0,721; tg 58° 20′ ≈ 1,619; sin 64° 13′ ≈ 0,900; sin 39° 21′ = 0,634; sin 54° 12′ = 0,811; sin 83° 18′ ≈ 0,993; cos 64° 13′ ≈ 0,435; cos 39° 21′ = 0,773; cos 54° 12′ = 0,585; cos 83° 18′ = 0,117; tg 64° 13′ = 2,069; tg 39° 21′ = 0,820; tg 54° 12′ = 1,387; tg 83° 18′ = 8,513;

2. sin α = 0,642, α = 39,9°; sin α = 0,771, α = 50,4°; sin α = 0,910, α = 65,5°; sin α = 0,640, α = 39,8°; sin α = 0,712, α = 45,4°; sin α = 0,750, α ≈ 48,6°; sin α = 0,515, α = 31°; sin α = 0,892, α = 63,1°; cos α = 0,342, α = 70°;

(∠C = 90°), якщо:

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

cos α = 0,962, α = 15,8°;

cos α = 0,087, α = 85°;

cos α = 0,914, α = 23,8°;

cos α = 0,809, α = 36°;

cos α = 0,602, α = 53°;

cos α = 0,915, α = 23,8°;

cos α = 0,839, α = 33°;

tg α = 0,178, α = 10,1°;

tg α = 0,269, α = 15,1°;

tg α = 0,035, α = 2°;

tg α = 0,447, α ≈ 24,1°;

tg α = 0,532, α = 28°;

tg α = 0,934, α = 43°;

tg α = 0,781, α = 38°; tg α = 0,578, α = 30°.

920. Скориставшись калькулятором, знайдіть:

1) sin α, cos α, tg α, якщо a дорівнює: 39°; 54°12′; 2) кут α, якщо: sin α дорівнює: 0,750; 0,515; cos α дорівнює: 0,602; 0,915; tg α дорівнює: 0,934; 0,781.

1) Якщо α = 39°, то:

sin α = 0,629; cos α = 0,777; tg α = 0,809;

Якщо α = 54°12′, то:

sin α = 0,811; cos α = 0,585; tg α = 1,387;

2) Якщо sin α = 0,750, то α = 48°35′;

Якщо sin α = 0,515, то α = 31°;

Якщо cos α = 0,602, то α = 52°59′;

Якщо cos α = 0,915, то α = 23°48′;

Якщо tg α = 0,934, то α = 43°3′;

Якщо tg α = 0,781, то α = 37°59′.

921. За таблицями (додатки 1, 2) знайдіть:

1) sin 20°, sin 75°, sin 33°, sin 85°; 2) cos 6°, cos 67°, cos 51°, cos 24°; 3) tg 65°, tg 1°, tg 73°, tg 19°. 1) 0,342; 0,966; 0,545; 0,996; 2) 0,994; 0,391; 0,629; 0,913; 3) 2,14; 0,017; 3,27; 0,344.

922. За таблицями (додатки 1, 2) знайдіть: 1) sin 53°, sin 2°; 2) cos 62°, cos 13°; 3) tg 10°, tg 16°. 1) 0,799; 0,035; 2) 0,469; 0,974; 3) 0,176; 0,287.

923. За таблицями (додатки 1, 2) знайдіть

α, якщо: 1) sin α = 0,999; sin α = 0,017; sin α = 0,574; 2) cos α = 0,766; cos α = 0,966; cos α = 0,225; 3) tg α = 0,900; tg α = 0,344; tg α = 0,781.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) 88°, 1°, 35°; 2) 40°, 15°, 77°; 3) 42°, 19°, 38°. 924. За таблицями (додатки 1,

1) sin α = 0,588; 2) cos α = 0,731; 3) tg α = 0,839. 1) 36°; 2) 43°; 3) 40°. 925. У прямокутному

1) sin A, cos A, tg A; 2) sin B, cos B, tg B.

AC = 18 мм, BC = 24 мм, AB = √AC 2 + BC 2 = √182 + 242 = 30 (мм).

1. sin ∠A = BC AB = 24 30 =0,8;

cos ∠A = AC AB = 18 30 =0,6; tg ∠A = BC AC = 24 18 =1,3;

2. sin ∠β = AC AB = 18 30 =0,6;

cos ∠β = BC AB = 24 30 =0,8;

tg ∠β = AC BC = 18 24 =0,75; 926. Із точки A

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) 2cos 60° · tg 45° · tg 60°; 2) 3tg2 60° – 4cos2 30°.

Дано: △ABC (∠C = 90°), BC = 9√3 см, ∠B = 60°, BK — бісектриса.

Знайти: BK.

Розв’язання:

∠KBC = 1 2 ∠B= 1 2 · 60° = 30°.

У △KBC (∠C = 90°):

cos∠KBC = BC BK

BK = BC cos∠KBC = 9√3 cos30° = 9

Відповідь: 18 см.

932. Бічна сторона рівнобедреного

Знайдіть:

1) основу трикутника; 2) висоту, проведену до основи; 3) висоту, проведену до бічної сторони.

Дано: △ABC; ∠A = 30°; AB = BC = 10 см.

Знайти: 1. AC; 2. BD; 3. DM. Розв’язання:

1. △ADB (∠D = 90°):

cosA = AD AB AD = AB · cosA = 10 · cos30° = 10 ·

AC =2· AD =2·5√3 = 10√3(см)

2. △ADB (∠D = 90°): sinA = BD AB

BD = AB · sinA = 10 · sin30° = 10 · 1 2 =5(см).

3. △ADM (∠M = 90°):

sinA = DM AD

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

DM = AD · sinA =5√3 · sin30° =5√3 · 1 2 =2,5√3(см).

Відповідь: 1) 10√3 см; 2) 5 см; 3) 2,5√3 см.

933. Знайдіть

8 см, а кут трикутника: 1) 30°; 2) 45°.

У △ABC ∠C = 90°, CM – медіана, яка проведена до гіпотенузи, CM = 8 см.

Медіана CM дорівнює половині гіпотенузи,

У △ABC ∠C = 90°;

AC = ABcos 30∘ = 16 · √3 2 =8√3 (см);

BC = ABsin 30∘ = 16 · 1 2 =8 (см).

AB = 2CM, AB = 2 · 8 = 16 (см).

934. За даними, наведеними на малюнках, знайдіть

1. У △ABC ∠A = 90°;

AC = 4 tg 60° = 4√3 (см).

У △ACD ∠D = 90°;

AD = AC sin 30∘ =4√3 · 1 2 =2√3 (см);

CD = ACcos 30∘ =4√3 · √3 2 =6 (см).

см, BK = AD.

BK ⟂ DC, тому ABKD –

У △BKC ∠K = 30°; BC = 8 см, тоді

KC = BC ∙ cos60∘ =8· 1 2 =4 (см);

CD = DK + KC =6+4= 10 (см).

935.

AD і CD.

у якого AB = DK = 6

BO = ABsin 30∘ =4· 1 2 =2 (см); AO = ABsin 30

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

AB = AO sin 60∘ = 6√3 2 √3 = 12 (см);

BO = AO tg60∘ = 6√3 √3 =6 (см).

ABO

O = 90°; AO = OC = 6√3 (см); ∠ABO = 60°.

Оскільки BO = 1 2 BD, то BD = 2BO = 2 · 6 = 12 (см).

938. Діагональ паралелограма дорівнює 12 см і

1) У △ACD ∠C = 90°, бо AC ⟂ CD за умовою.

AD = AC si n30∘ = 12 2 1 = 24 (см);

CD = AC tg30∘ = 12·3

AB = CD = 12√3 (см)

AD = BC = 24 (см).

2) △ACD (∠C = 90°): ∠

AD =

Відповідь: 1) 12√

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) 30°; 2) 60°.

Якщо в ромб вписано коло, то

ромба.

BF ⟂ AD.

У △ABF ∠F = 90°;

1) Якщо гострий кут дорівнює 30°, то:

BF = AB sin 30° = 16 · 1 2 = 8 (см).

Якщо BF = 8 см, то діаметр вписаного кола

r = 8 : 2 = 4 (см).

2) Якщо гострий кут дорівнює 60°, то:

BF = AB sin 60° = 16 · √3 2 = 8√3 (см).

Якщо BF = 8√3 см, то діаметр вписаного

r = 8√3 : 2 = 4√3 (см).

Відповідь: 1) 4 см; 2) 4√3 см. 941.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) похилі; 2) проєкції

1) У △ABC ∠B = 90°;

AC = AB sin 45∘ = 5·2 √2 =5√2 (см);

CB = ABtg45∘ = 5 1 =5 (см).

2) У △ABD ∠B = 90°;

AD = AB sin 30∘ = 5·2 1 = 10 (см);

BD = AB tg30∘ = 5 3 √3 =5√3 (см).

943.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1. sin ∠A = BC AB = 24 30 =0,8;

cos ∠A = AC AB = 18 30 =0,6; tg ∠A = BC AC = 24 18 =1,3;

2. sin ∠β = AC AB = 18 30 =0,6;

cos ∠β = BC AB = 24 30 =0,8;

tg ∠β = AC BC = 18 24 =0,75; 945. Побудуйте прямокутний трикутник ACB (∠C = 90°), у якому: 1) sin A = 0,4; 2) tg A = 1 3 .

1. sin ∠A = 0,4= 2 5 .

відрізок CB, довжина якого

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

трикутника, проведена

У ΔABD ∠D = 90°,

AB = BD sin α = h sin α ;

AB = BD tg α = h tg α ;

тоді AC = 2AD = 2h tg α .

Відповідь: 1. h sin α ; 2. 2h tg α . 951. Основа рівнобедреного трикутника

1) висоту, проведену до основи; 2) бічну сторону трикутника.

AB = BC, AC =

Тому AD = DC = α 2 ; ∠ABD = ∠CBD = α 2 ;

У ΔABD ∠D = 90°; BD = AD tg α 2 = a 2tgα 2 ;

AB = AD sin α 2 = a 2sin α 2 . Відповідь: 1. a 2tgα 2 ; 2. a 2sinα 2 . 952. За

є медіаною, то AD = DC.

Мал. 1

У ΔABC ∠A = 90°; AC = AB + tg α = a tg α.

У ΔACD ∠C = 90°; AD = AC sin β = a tg α sin β ;

CD = AC tg β = a tg α tg β .

Мал. 2

У ΔABC ∠B = 90°;

AD = AC cos β = a cos β sin α .

DC = AC sin β = a sin β sin α .

1. ΔABC ∠C = 90°; AC = BC tg

AD = AC cos

DC = AC sin ∠CAD = a tg α sin

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

BF — висота паралелограма, проведена до більшої сторони, а BN — висота, яка проведена до меншої сторони. Оскільки AD > DC, то BF < BN і тому BF = 12 см, BN = 18 см. Якщо BF ⟂ AD, то BF ⟂ BC, тому ∠FBC = 90°, звідки ∠NBC = 90° − 30° = 60°. У

△BCN ∠N = 90°;

BC = BN cos 60∘ ; BC = 18·2 1 = 36 (см);

AD = BC = 36 см; ∠C = 90° − 60° = 30°;

У △ABF ∠F = 90°; ∠A = ∠C = 30° — протилежні

AB = BF sin 30∘ ; AB = 12 2 1 = 24(см);

AB = CD = 24 см.

964. Дві

паралелограма, тому

Дано: △ABC — описаний навколо

Знайти: AB, BC, AC.

Розв’язання:

Центр вписаного кола є точкою

△AOK (∠K = 90°): ∠OAK = 1 2 ∠A = �� 2 .

tg∠OAK = OK AK , тому AK = OK tg∠OAK = r tg(α/2) ; AP = AK = r tg(α/2) .

△BKO (∠K = 90°): KB = r tg(β/2) ; BM = KB = r tg(β/2)

△CMO (∠M = 90°): MC = r tg(γ/2) ; PC = MC = r tg(γ/2) .

AB = AK + KB =

BC = BM + MC = r

AC = AP + PC =

AD = b + 2c sin α.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Проведемо висоти BF і CN, які розбивають

ΔABF = ΔDCN, у яких AF = ND.

У ΔABF ∠F = 90°; AF = AB sin α = c sin α.

Оскільки AD = NM = c sin α, AD = a;

FN = BC = AD − 2AF;

BC = FN = a − 2c sin α. 968. У

дорівнює b. Знайдіть:

1) бічну сторону трапеції; 2) більшу основу трапеції.

трапеції ABCD

У прямокутнику BCLK BC = b = KL. ΔABK = ΔDCL і AK = LD. У ΔABK ∠K = 90°;

Дано: AD = 20 м; tg А = 0,8. Знайти: BC.

Розв’язання

∆ABD – рівнобедрений, тоді BC є медіаною і висотою.

АС = 1 2 AD = 1 2 ∙ 20 = 10 (м).

∆АСВ (∠C = 90°): tgA = BC AC .

BC = AC ∙ tg A = 10 ∙ 0,8 = 8 (м).

Відповідь: 8 м.

970. Ширина

рівнобічна трапеція, дорівнює 60

10 м, а кут укосу — 60°?

рівнобічній трапеції ABCD проведемо

BC = FN = 60 м, AF =

У △ABF ∠F = 90°; �� = BF tg60∘ ; AF = 10 √3 (м); AF = ND = 10 √3 (м).

AD = 2AF + FN = 2 10 √3 + 60 = 20√3 3 + 60 ≈ 71,5

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

973.

1) одну сторону;

2) дві сторони;

3) один гострий кут; 4) одну сторону і прямий кут; 5) одну сторону і гострий кут?

1) Ні; 2) т ак; 3) ні; 4) ні; 5) так.

974. Чи правильно

трикутник:

1) за кутами; 2) за катетами;

3) за гіпотенузою;

4) за гіпотенузою і катетом; 5) за гіпотенузою та прямим кутом;

6) за гіпотенузою й гострим кутом;

7) за катетом і прямим кутом;

8) за катетом і гострим кутом?

1) Ні; 2) т ак; 3) ні; 4) так;

5) ні; 6) так; 7) ні; 8) так.

975. За даними, наведеними на малюнках,

1) x = 7 cos 40° = 7 · 0,766 = 5,362 (см); y = 7 sin 40° = 7 · 0,643 = 4,501 (см).

2) x = 9 tg 56° ≈ 9 · 1,483 = 13,347 (см); �� = 9 cos 56∘ ≈ 9 0,559 ≈ 16,1 (см).

976. За даними, наведеними на малюнках, знайдіть кути α і β.

cos α = 5 8 = 0,625, α = 51°, тоді β = 90° − 51° = 39°. cos β = 8 10 = 0,8, β = 37°, тоді α = 90° − 37° = 53°.

977. У прямокутному трикутнику АВС (∠С = 90°) знайдіть: 1) ВС, якщо АВ = 5 см, ∠А = 55°; 2) АВ, якщо АC = 7 см, ∠В = 41°;

3. AC = BC tg ∠B = 6 tg 38° = 6 · 0,781 = 4,686 (см).

1. AB = 9 см, ∠

2. AB = 10 см, ∠B = 54°.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2) sin�� = �� ;

�� = �� ⋅ sin�� = 14 ⋅ sin65°= 14 ⋅ 0,906 = 12,68 (см)

Відповідь: 1) 5,92 см; 2) 12,68 см.

980. Знайдіть

1) АВ = 12 см, ВС = 9 см;

2) АВ = 10 см, АС = 6 см; 3) АС = 8 см, ВС = 16 см.

Дано: ∆АВС (∠C = 90°).

Знайти: ∠А.

Розв’язання

1) �� = 12 см; �� =9 см.

sin�� = �� = 9 12 = 3 4 =0,75; ∠�� = 48°36′

2) �� = 10 см; �� =6 см.

cos�� = �� = 6 10 = 3 5 =0,6; ∠�� = 53°6′

3) �� =8 см; �� = 16 см.

tg�� = �� = 16 8 =2; ∠�� = 64°

Відповідь: 1) 48°36′ ; 2) 53°6′ ; 64°. 981. У прямокутному трикутнику

Дано: △ �� (∠�� = 90°); �� = 14 см; �� = 20 см.

1) ∠�� ; 2) ∠��.

1) cos�� = �� = 14 20 = 7 10 =0,7; ∠�� = 45°34′

(∠С = 90°), якщо:

2) sin�� = �� = 14 20 = 7 10 =0,7; ∠�� = 44°26′

Відповідь: 45°34′ ; 44°26′ .

982. У

Дано: △ �� (∠�� = 90°); �� =0,2�� .

Знайти: ∠��; ∠�� .

Розв'язання

sin�� = �� = 0,2�� =0,2; ∠�� = 11°32′

cos�� = �� = 0,2�� =0,2; ∠�� = 78°28′

Відповідь: 11°32′ ; 78°28′ . 983. Знайдіть кут

дорівнюють: 1) 6 см і 8 см; 2) 18 см і 20 см.

Дано: �� — прямокутник; �� — діагональ.

Знайти: ∠�� .

Розв'язання

1) �� =6 см; �� =8 см.

�� (∠�� = 90°): tg∠�� = �� = 6 8 = 3 4 =0,75; ∠�� = 36°54′

2) �� = 18 см; �� = 20 см.

�� (∠�� = 90°): tg∠�� = 18 20 = 9 10 =0,9; ∠�� = 41°59′ Відповідь: 1) 36°54′ ; 2) 41°59′ 984.

Дано: �� — прямокутник; �� =7 см; �� = 14 см.

Знайти: ∠��

Розв'язання

△ �� (∠�� = 90°): tg∠�� = �� = 7 14 = 1 2 ;

= 26°36′

26°36′

дотичними, якщо: 1) АВ = 60 см; 2) АВ = 50 см. Дано: коло �� (��; �� = 45 см); �� і �� — дотичні; 1)

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Дано: коло �� (��; �� = 30 см); �� , �� — дотичні; �� = 30 см.

Знайти: ∠�� .

Розв'язання

За властивістю дотичної: ��⟂�� .

△ �� (∠�� = 90°). �� = �� = 30 см, тоді △ �� — рівнобедрений;

∠�� = ∠�� = 90° 2 = 45°

∠�� =2 ⋅∠�� =2 ⋅ 45°= 90°

Відповідь: 90°.

987. Знайдіть невідомі

даними:

1) за двома катетами:

а) а = 20, b = 21;

б) а = 9, b = 12;

в) а = 24, b = 18;

г) а = 23,5, b = 40,2; 1) за двома катетами. Дано: △ �� (∠�� = 90°); �� = �� , �� = �� .

�� ; ∠��; ∠�� . а) �� = 20, �� = 21.

�� = �� = 20 21 =0,9524; ∠�� = 43°36

= 90° −∠�� = 90° 43°36′ = 46°24′

�� = 29; �� = 43°36′ ; �� = 46°24′ б) �� =9, �� = 12.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

tg�� = �� = 9 12 = 3 4 ; ∠�� = 36°52′

∠�� = 90° −∠�� = 90° 36°52′ = 53°8′

Відповідь: �� = 15; �� = 36°52′ ; �� = 53°8′ .

в) �� = 24, �� = 18.

△ �� — єгипетський з коефіцієнтом 6; �� =5 ⋅ 6= 30.

tg�� = �� = 24 18 = 4 3 ≈ 1,333; ∠�� = 53°4′

∠�� = 90° −∠�� = 90° − 53°4′ = 36°56′

Відповідь: �� = 30; �� = 53°4′ ; �� = 36°56′ .

г) �� = 23,5, �� = 40,2. �� = �� 2 + �� 2 = �23,52 + 40,22 = �552,25 + 1616,04 = �2168,29 ≈ 46,56

tg�� = �� = 23,5 40,2 =0,5846; ∠�� = 30°19′

∠�� = 90° −∠�� = 90° 30°19′ = 59°41′

Відповідь: �� = 46,46; �� = 30°19′ ; �� = 59°41′ . 2) за гіпотенузою та катетом:

с = 17, а = 15;

с = 20, а = 16;

с = 65, а = 56;

с = 2,93, b = 2,85.

Дано: △ �� (∠�� = 90°); �� = �� ; �� = �� .

�� ; ∠��; ∠�� а) �� = 17, �� =

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

�� = �� 2 −�� 2 = �652 562 = √4225 3136 = √1089 = 33

sin�� = �� = 56 65 =0,8615; ∠�� = 59°29′

∠�� = 90° −∠�� = 90° 59°29′ = 30°31′

Відповідь: �� = 33; �� = 59°29′ ; �� = 30°31′ г) �� =2,93, �� =2,85. �� = �� 2 −�� 2 = �2, 932 2, 852 = �8,5849 8,1225 = �0,4624 ≈ 0,68 cos�� = �� = 2,85 2,93 ≈ 0,9727; ∠�� = 13°25′

∠�� = 90° −∠�� = 90° 13°25′ = 76°35′

Відповідь: �� =0,68; �� = 13°25′ ; �� = 76°35′ . 988. Знайдіть

кутом:

с = 8, ∠А = 70°; б) с = 82, ∠А = 42°; в) с = 18,2, ∠А = 32°; г) с = 4,67, ∠А = 65°;

Дано: △ �� (∠�� = 90°); �� = �� ; ∠�� = �� Знайти: �� , �� , ∠�� .

а) �� =8; ∠�� = 70°

∠�� = 90° −∠�� = 90° − 70°= 20° �� = ��⋅ cos�� =8 ⋅ cos70°=8 ⋅ 0,342 =2,74 �� = ��⋅ sin�� =8 ⋅ sin70°=8 ⋅ 0,940 =7,52 Відповідь: �� =2,74; �� =7,52; �� = 20°

б) �� = 82; ∠�� = 42°.

= 90° −∠�� = 90° 42°= 48° �� = ��⋅ cos�� = 82 ⋅ cos42° = 82 ⋅ 0,743 = 60,93

= ��⋅ sin�� = 82 ⋅ sin42°= 82 ⋅ 0,669 = 54,86

�� = 60,93; �� = 54,86; �� = 48°.

�� = 18,2; ∠�� = 32° ∠�� = 90° −∠�� = 90° − 32°= 58° �� = ��⋅ cos�� = 18,2 ⋅ cos32°= 18,2 ⋅ 0,848 = 15,43 �� = ��⋅ sin�� = 18,2 ⋅ sin32°= 18,2 ⋅ 0,530 =9,65 Відповідь: �� = 15,43; �� =9,65; �� = 58°

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

г) �� =4,67; ∠�� = 65°.

∠�� = 90° −∠�� = 90° 65°= 25°

�� = ��⋅ cos�� =4,67 ⋅ cos65°=4,67 ⋅ 0,423 =1,98

�� = ��⋅ sin�� =4,67 ⋅ sin65°=4,67 ⋅ 0,906 =4,23

Відповідь: �� =1,98; �� =4,23; �� = 25°.

2) за катетом і прилеглим кутом:

а) а = 12, ∠А = 32°;

б) а = 18, ∠А = 17°;

в) а = 12, ∠А = 53°;

г) а = 3,71, ∠А = 19°.

2) за катетом і прилеглим кутом.

Дано: △ �� (∠�� = 90°); �� = �� ; ∠�� = �� .

Знайти: �� , �� , ∠��.

Розв'язання

а) �� = 12; ∠�� = 32°.

∠�� = 90° −∠�� = 90° 32°= 58° �� = �� cos�� = 12 cos32° = 12 0,848 = 14,15 �� = ��⋅ tg�� = 12 ⋅ tg32°= 12 ⋅ 0,625 =7,5

Відповідь: �� = 14,15; �� =7,5; �� = 58°. б) �� = 18; ∠�� = 17°.

∠�� = 90° −∠�� = 90° 17°= 73° �� = �� cos�� = 18 cos17° = 18 0,956 = 18,83 �� = ��⋅ tg�� = 18 ⋅ tg17°= 18 ⋅

�� = 12; ∠�� = 53°.

= 90° −∠�� = 90° 53°= 37°

= ��⋅ tg�� = 12 ⋅ tg53°= 12 ⋅ 1,33 = 15,96

�� = 19,94; �� = 15,96; �� = 37°

�� =3,71; ∠�� = 19°.

= 90° −∠�� = 90° 19°= 71°

= 3,71 0,946 =3,92

= ��⋅ tg�� =3,71 ⋅ tg19°= 3,71 ⋅ 0,344 =1,28

�� =3,92; �� =1,28; �� = 71°.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Відповідь: 20,23 см; 14,7 см.

Дано:

Знайти: 1) �� ; 2) �� . Розв’язання 1.

Відповідь: 1) 6,71 см; 2) 8,19 см. 992. Основа рівнобедреного трикутника

сторони, — 21 см. Знайдіть: 1) бічну сторону трикутника; 2) кут між бічними сторонами трикутника.

Дано: △ �� (∠�� = 90∘ ); ∠�� = 27∘ ; �� = 21 см; �� — висота.

Знайти: 1) �� ; 2) �� ; 3) �� , �� . Розв’язання

Дано: �� — ромб; ∠�� = 22∘ ; �� =7,5 см; �� — висота.

Знайти: ��

Розв’язання

Відповідь: 2,81 см.

996. Сторони

паралелограма.

0,5878 =4,7 (см). Відповідь: 2,94; 4,7 см. 997. Сторона

sin∠�� =

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

. �� = �� ⋅ sin

= 64,5 ⋅ sin14∘ = 64,5 ⋅ 0,2419 = 15,6 (см); �� =2 ⋅ �� =2 ⋅ 15,6 = 31,2 (см).

Відповідь: 125,18 см; 31,2 см. 998. У трапеції

Дано: �� — трапеція; ∠�� = 16∘ , ∠�� =

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

�� = �� =2,3 (см); �� = �� (�� + �� )=8 (2,3 +2,3)=3,4 (см); �� = �� = 3,4 (см).

Відповідь: 3,4 см.

1001. Знайдіть

Дано: △ABC; AB = BC; ∠A = ∠C = 49°54'; AC − AB = 10,8 см

Знайти: PABC

�� = 1 2 ��

Нехай �� = �� см, тоді �� =(�� + 10,8) см,

0,6441 = �� + 10,8 2��

1,2882�� = �� + 10,8 1,2882��−�� = 10,8

0,2882�� = 10,8 �� = 37,47

Отже, �� = 37,47 см, �� = 37,47 + 10,8= 48,27 см. �� = �� + �� + �� = 37,47 + 37,47 + 48,27 = 123,21 (см)

Відповідь: �� ≈ 123,21 см. 1002.

Дано:

61∘ . 1003.

Дано:

Розв’язання

Дано: △ �� (∠�� = 90∘ ); �� = 35 м; ∠�� = 64∘ .

Знайти: �� .

Розв’язання

△ �� (∠�� = 90∘ ): tg �� = �� ; �� = �� ⋅ tg �� = 35 ⋅ tg 64∘ = 35 ⋅ 2,050 = 71,75 (м).

Відповідь: 71,75 м. 1009. За

У △ �� ∠�� = 90∘ ; tg �� = �� ;

Відповідь: 129,1 м.

а висота — 12 см.

А. 22 см.

Б. 14 см.

В. 13 см.

Г. 15 см. В

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1014. Чи

Мал.464 А, В, С, D, E, F, G — вершини; AB, ВС, CD, DE, EF, FG, AG — сторони; ∠A, ∠B, ∠C, ∠D, ∠E, ∠F, ∠G — кути.

Мал.465 A1, A2, A3, A4, A5 — вершини; A1A2, A2А3, А3A4, A4A5 — сторони; ∠A1, ∠A2, ∠A3, ∠A4, ∠A5 — кути.

1015. Чи правильно, що на

поясніть.

1)90°(n – 1); 2)180°(n + 2); 3)180°(n – 2)?

1) Ні; 2) ні; 3) так.

1019.

1) L; 2) P; 3) K.

1) ∠KLN і ∠MLT; 2) ∠APK і ∠APC; 3) ∠OKF і ∠OKP.

1020.

1) середини всіх його сторін; 2) усі вершини?

1) Ні; 2) т ак.

1021.

1) усі

діагоналі; 2) усі його сторони?

1) Ні; 2) т ак.

1022. Знайдіть

1) n = 7; 2) n = 10; 3) n = 9.

1) 14 см; 2) 20 см; 3) 18 см.

1023. Які

1. AC, AB, AE; 2. CA, CE, CF; 3. FB, FC, FD.

1) 5; 2) 5.

1025. Чому дорівнює сума кутів: 1) п’ятикутника; 2) дев’ятикутника?

1) n = 5; 180° ∙ (n – 2) = 180° ∙ 3 = 540°; 2) n = 9; 180° ∙ (n – 2) = 180° ∙ 7 = 1260°.

1026. Чому дорівнює сума кутів сімнадцятикутника? n = 17; 180° ∙ (n – 2) = 180° ∙ 15 = 2700°.

1027. Скільки вершин у n кутника, якщо

1) 1440° = 180°(n – 2); 1440° = 180°n – 360°; n = 10; 2) 1080° = 180°(n – 2); 1080° = 180°n – 360°; n = 8. 1028. Скільки вершин у n

1620°? 1620° = 180°(n – 2); 1620° = 180°n – 360°; n = 11.

1029.

1) 90° ∙ n = 180°(n – 2); 90° ∙ n = 180° ∙ n – 360°; n = 4; 2) 144° ∙ n = 180°(n – 2); 36° ∙ n = 360°; n = 10. 1030. Скільки

156° ∙ n = 180°(n – 2); 24° ∙ n = 360°; n = 15. 1031. За даними

1) n° + 2n° + 4n° + 5n° + 6n° = 540°; 18n = 540°; n = 30°; ∠A = 30°; ∠B = 60°; ∠C = 120°; ∠D = 150°; ∠M = 180.

1) 90°; 2) 144°?

156°?

2) n° – 30° + n° – 10° + n° + n° + n° + 30° = 540°; 5n° = 540° + 10°; n = 110°;

∠A = 80°; ∠B = 100°; ∠C = 110°; ∠D = 110°; ∠M = 140°.

3) n° – 20° + n° – 10° + n° + n° – 30° + n° = 540°; 5n° = 600°; n = 120°;

∠A = 100°; ∠B = 110°; ∠C = 120°; D = 90°; ∠M = 120°.

4) n° + 5n° + 7n° + 9n° + 5n° = 540°; 27n° = 540°; n = 20°;

∠A = 20°; ∠B = 100°; ∠C = 140°; ∠D = 180°; ∠M = 100°.

1032.

1) 90°; 2) 156°.

1) 180° – 90° = 90°; 2) 180° – 156° = 24°.

1033.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

180° – 144° = 36°.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

6 : 7 : 8 : 11. Р = 136,4 см. П’ята сторона (6х – 15,6).

6x + 7x + 8x + 11х + (6х – 15,6) = 136,4; 32х + 6х – 15,6 = 136,4; 38x = 152; х = 4. 6 ∙ 4 – 15,6 = 8,4 см.

PABCDEF = AB + BC + CD + DE + EF + AF.

n = 10; 10 ∙(10−3) 2 = 35; 2) сімнадцятикутнику.

n = 17; 17 (17−3) 2 = 119; 1043.

1) 100°, 90°, 120°, 116°, 113°; 2) 110°, 100°, 118°, 112°, 101°?

1) 100° + 90° + 120° + 116° + 113° ≠ 180° ∙ (5 – 2). Ні, не існує.

2) 110° + 100° + 118° + 112° + 101° ≠ 540°. Нi, не існує.

1044. Чи можна побудувати

Ні, не можна. 1045. Три

1) по 80°; 2) по 90°.

1) 240° + 150°(n – 3) = 180°(n – 2); 240° + 150°n – 450° = 180° – 360°; 30n = 150°; n

2) 270° + 150°(n – 3) = 180°(n – 2); 270° + 150°n – 450° = 180°n – 360°; n – 6. 1046.

1) 6 : 5 : 4 : 2 : 1;

2) 8 : 7 : 5 : 4 : 3.

1048. Доведіть,

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1049.

1) 60°; 2) 40°?

1) 360° : 60° = 6; 2) 360° : 40° = 9.

1050. За якою формулою

1054.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) S = 2а;

2) S = а + 2;

3) S = а : 2;

4) S = а2?

1) Ні; 2) ні; 3) ні; 4) так.

1062. Чи

1) S = 2(а + b);

2) S = 2аb;

3) S = а2b2;

4) S = аb?

1) Ні; 2) ні; 3) ні; 4) так. 1063.

1) S = а + b;

2) S = аb;

3) S = 1 2 a2b2;

4) S = 1 2 ab?

1) Ні; 2) ні; 3) ні; 4) так. 1064. Знайдіть

мал.1. 1) S = 6 кв. од.;

2) S = 6 кв. од.;

3) S = 6 кв. од.;

4) S = 6 кв. од.;

мал.2. 1) S = 9 кв. од.;

2) S = 9 кв. од.;

3) S = 9 кв од.;

4) S = 9 кв. од.; 1065. Знайдіть

— 1 клітинка).

S∆ABC = 12 + 39 + 45 = 96 (см2).

S∆ABC = 90 + 25 + 45 = 160 (см2).

1) 16 см2;

2) 9 см2;

3) 121 см2 . 1) 4 см; 2) 3 см; 3) 11 см.

1071.

1) 25 см2; 2) 49 см2?

1) 5 см; 2) 7 см.

1072. За

1) 2 2 = 4 (см2); 2) 2 ∙ 4 = 8 (см2). 1073.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2 ∙ 1 = 2 (см2).

1074. Як зміниться

збільшити у 3 рази;

2) зменшити в 4 рази;

3) збільшити на 50 %?

1) Збільшиться у 3 рази;

2) зменшиться в 4 рази;

3) збільшиться у 1,5 рази.

1075. Як зміниться площа

1) збільшити у 3 рази;

2) зменшити в 4 рази;

3) збільшити на 50 %?

1) Збільшиться в 9 разів;

2) зменшиться в 16 разів;

3) збільшиться в 2,25 раза. 1076.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Дано: �� = �� ; �� =2 см; �� =9 см; ��: �� =1:2.

Знайти: �� ; �� . �� = �� ⋅ �� =2 ⋅ 9= 18 (см2 );

Нехай �� = �� см; �� =2�� см.

�� = �� ⋅ �� ; �� ⋅ 2�� = 18; 2�� 2 = 18; �� 2 =9; �� =3; �� =3 см; �� =2 ⋅ 3=6 (см).

Відповідь: 3 см; 6 см.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1. �� =6 см; �� =9 см; �� = 36 см2 ; �� = 36:9=4 см;

=6 ⋅ 4= 24 (см); ��пр. =(4+9) ⋅ 2= 26 (см).

2. �� =6 см; �� =2 см; �� = �� 2 = 36 см2 ; �� = 36:2= 18 см;

= 24 см; ��пр. =(18 +2) ⋅ 2= 40 (см).

1) 24 см і 26 см; 2) 24 см і 40 см.

20 см.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2. �� =8 см; �� =6 см; �� = 15 см; △ �� (

100 = √125 =5√5 (см). �� =5√5 см; ��п п =2(

⋅ 6+6 ⋅ 5√5 +8 ⋅ 5√5)=2(48 + 30√5 + 40√5)=2 ⋅ (48 + 70√5)

Відповідь: 1) 192 см2 ; 2) 2 ⋅ (48 + 70√5) см2 1086. Діагональ куба дорівнює d.

1) d = 9 см; 2) d = 6 см. Дано: куб ��1 �� = ��

1. �� =9 см;

ребро

якщо:

1) с = 16 см, d = 56 см2; 2) с = 12 см, d = 105 см2 .

1) с = 16 cм; d = 56 см2; a — сторона I квадрата; (a + 4) — сторона II квадрата. (a + 4)2 – a2 = 56; a2 + 8a + 16 – a2 = 56; 8a = 56 – 16; 8а = 40; a = 5; 5 + 4 = 9.

S1кв = a2 = 52 = 25 (см2);

S2кв = 92 = 18 (см2).

2) c = 12 cм; d = 105 cм2; a — сторона I квадрата; (a + 3) — сторона II

(a + 3)2 – а2 = 105; a2 + 6а + 9 – a2 = 105; 6a = 96; а = 16; 16 + 3 = 19. S1кв = 162 = 256 (см2); S2кв = 192 = 361 (см2). 1090. Ширина

1) с = 2 см, S = 96 см2; 2) с = 3 см, S = 564 см2 .

1) с = 2 см; S = 96 см2; OK = 2 см; DC = AB = y + 4; МК = NP = х + 4; (х + 4)(y + 4 ) – ху = 96; ху + 4у + 4x + 16 – ху = 96; 4х + 4у = 80; х + у = 20;

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

PABCD = 56 см; РMNPK = 40 см.

2) с = 3 см; S = 564 см2;

PABCD = 200 см; PMNPK = 176 см. 1091. Площа

1092.

2(�� + ��) ; �� 2(�� + ��).

1093. Який

1) (a + b)c = ac + bc;

2) (a – b)c = ac – bc;

3) (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd?

а > 0; b > 0; c > 0.

1) (a + b) ∙ с = ac + bc.

Площа прямокутника

сторонами а і с та b і с;

2) (a – b) ∙ c = ac – bc;

площа прямокутника

3) (а + b)(с + d) = ac + bc + ad + bd.

а і с; b

1) а = 3 см, b = 4 см, d = 1 см; 2) а = 6 см, b = 8 см, d = 2 см.

1) а = 3 см; b = 4 см; d = 1 см; OK = OM = OP = d = 1 см; 2) a = 6 см; b = 8 см; d = 2 см; OK = ОМ = OP = d = 2 cм. 1095.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Дано: �� — прямокутник; ∠�� = 46∘ ; �� = 545 см2

Знайти: �� , �� .

Розв’язання �� = �� , тоді △ �� — рівнобедрений.

= ∠�� =(180∘ 46∘ ):2= 67∘ . �� = �� ⋅ ��

= √1286,2 ≈ 35,9 (см); �� = 35,9 см; �� = 545 35,9 ≈ 15,2 см.

Відповідь: 35,9 см; 15,2 см. 1099. Якщо точки

АС2 – 2АВ · ВС.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

д. = 1000 ∙ 2500 = 2500000 (см2) = 250 м2 .

Відповідь: 250 м2 .

1106. Прямокутний

a = 9 м; b = 4 м.

Розв’язання

S = ab; S = 9 ∙ 4 = 36 (м2) – лінолеуму;

S1 = 2 ∙ 8 = 16 (м2) – у

S2 = 4 ∙ 5 = 20 (м2) – у

S1 + S2 = 16 + 20 = 36 (м2).

Відповідь: так. 1107.

1. 14 ∙ 2,5 = 35 (м2) — площа стін

2. 1,2 ∙ 1,5 = 1,8 (м2) — площа вікна

3. 2,05 ∙ 0,9 = 1,845 (м2) — площа дверей

4. 35 – (1,8 + 1,845) = 31,355 (м2) — загальна

5. 10,5 ∙ 0,6 = 6,3 (м2) — площа

6. 31,355 : 6,3 ≈ 4,98 ≈ 5 (рулонів)

Відповідь: 5 рулонів. 1108. Проведіть

розмірами 20 ∙ 30 см

Виконаємо розрахунки

1,6 · 1,8 · 2,5. Тоді:

3. 17 : 0,06 = 283,3 ≈ 284 (плитки) Відповідь: 284

3. 12 : 0,2691

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

3) S = 2d2; shkola.in.ua

2. Пряма пропорційність. Оскільки товщина і щільність

Ні (мал. 1); так (мал. 2).

1) S = d1 + d2;

2) S = d1d2;

3) S = 2d1d2;

4) S = 1 2d1d2?

1) Ні; 2) ні; 3) ні; 4) так.

1) S = 2d;

2) S = d2;

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

4) S = 1 2 d2?

1) Ні; 2) ні; 3) ні; 4) так.

1115. За

Sпар.ABCD = DH · BC = 5 · 9 = 45 (см2);

Sпар.ABCD = DH · AD = 6 · 7 = 42 (см2).

1117. У

паралелограма, якщо:

ABCD

1) CD = 60 см, ВН = 50 см; 2) CD = 25 см, ВН = 40 см.

1) Sпар. = CD · ВН = 60 · 50 = 3000 (см2);

2) Sпар = 25 · 100 = 2500 (см2).

1118. У

ABCD

паралелограма, якщо AB = 25 см, СМ = 100 см. Sпар = 25 · 40 = 1000 (см2).

1119. До сторони a

1) a = 10 см, hа = 0,8a; 2) a = 2 дм, hа = 0,75a.

1) Sпар.ABCD = аha = 10 · 8 = 80 (см2);

2) Sпар.ABCD = аha = 2 · 0,75 · 2 = 300 (см2).

1120.

1,2hb

Sпар.ABCD = аha = 5 · 1,2 · 5 = 30 (см2).

1121. Площа

проведену до цієї сторони, якщо:

1) S = 60 см2, a = 15 см;

2) S = 175 см2 , a = 35 см;

3) S = 75 см2, a = 25 см;

4) S = 96 см2, a = 12 см.

= ��ℎ; ℎ = �� .

1. ℎ = 60 15 =4 (см);

2. ℎ = 175 35 =5 (см);

3. ℎ = 75 25 =3 (см).

Відповідь: 1) 4 см; 2) 5 см; 3) 3 см

1122. Площа

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

S = dh; h = �� .

1) h = 56 : 7 = 8 (см);

2) h = 90 : 18 = 5 (см).

1125. Площа

завдовжки 6 см.

S = dh; h = �� .

h = 24 : 6 = 4 (см).

1126. Сторони паралелограма дорівнюють a і b,

a, дорівнює hа. Знайдіть висоту, проведену до сторони b, якщо: 1) a = 6 см, b = 3,6 см, hа = 2,4 см; 2) a = 18 мм, b = 9 мм, hа = 6 мм.

S = aha : S = bhb.

1) S = 6 ∙ 2,4 = 14, (cм2); hb = 14,4 : 3,5 = 4 (см); 2) S = 18 ∙ 6 = 108 (мм2); hb = 108 : 9 = 12 (мм).

1127. Сторони

S = aha : S = bhb.

S = 30 ∙ 25 = 750 (см2); hb = 750 : 50 = 15 (см).

1128.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2; 2) Sp. = 120 см2

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) 10 мм і 15 мм; 2) 20 мм і 25 мм.

1. �� = 10 мм; �� = 15 мм; ��

1. �� =9 см; �� = 24 см; �� = 72 см2 ; ��п. = �� ⋅ �� ; �� = 72 9 =8 (см); �� = 72 24 =3 (см).

2. �� = 6 4 =1,5 (дм); �� = 6 1 =6 (дм).

1) S = 56 см2, m = 4 см, n = 3,5 см; 2) S = 36 см2, m = 2 см, n = 3 см.

�� — паралелограм. �� = �� ; ��⟂�� ; �� = �� ;

��⟂�� ; �� = �� ;

ℎ1 =2�� =2��; ℎ2 =2�� =2�� .

1. �� = �� ℎ1 = 56 2⋅4 =7 (см); �� = 56 2⋅3,5 =8 (см);

�� =(7+8) ⋅ 2= 30 (см)

2. �� = 36 2⋅2 =9 (см); �� = 36 2⋅3 =6 (см);

�� =(9+6) ⋅ 2= 30 (см). 1143. У

1) Р = 64 см, m = n = 4 см; 2) Р = 63 см, m = 4 см, n = 5 см.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

�� = �� ; ��⟂�� ; �� = �� ;

��⟂�� ; �� = �� ;

ℎ1 =2�� =2 ⋅ 4=8 см; ℎ2 =2�� =2 ⋅ 4=8 см; ��

пар. = ℎ1 ⋅ �� = ℎ2 ⋅ �� ;

1. �� = �� ; �� = 32 −�� ;

8�� =(32 −�� ) ⋅ 8;

8�� = 256 8�� ;

16�� = 256; �� = 16 см; ��пар. =8 ⋅ 16 = 128 (см2 ).

2. �� = 63 см; �� + �� = 63 2 ;

ℎ1 =8 см; ℎ2 = 10 см; �� = �� ; �� = 63 2 −�� ;

8�� =(63 2 −�� ) ⋅ 10;

8�� = 315 10�� ;

18�� = 315; �� = 17,5;

=8 ⋅ 17,5= 140 (см2 ).

Доведіть,

ABCD — паралелограм. РК

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

ABCD — квадрат, описаний навколо кола.

AB = ВС = CD = AD = x; S1 = x2 .

MNPK – квадрат, вписаний в коло; МP — діагональ. MP = x;

S2 = �� 2 2 ; S2 : S1 = 1 2 : 1 = 1 : 2.

Відповідь: 1 : 2.

1150. Висоти паралелограма відносяться як 2 : 3, його

гострий кут — 30°. Знайдіть площу паралелограма.

Нехай ABCD — паралелограм; BK і BF — висоти; BK : BF = 2 : 3; PABCD = 40 см.

∆АВК; AB = 4x; ∠A = 30°; BK = 3x; BF = 2x; ∠A = 30°; AB = DC = 6x; BC = AD = (40 – 12x) : 2 = 20 = 6x.

Рівняння: 6x 2х = Зх(20 – 6х); 12х = 60 – 18x; 30x = 60; x = 2; BK = 3 ∙ 2 = 6 (см); AD = 20 – 6 = 12 (см); Sпар. = 6 ∙ 12 = 48 (см2).

Відповідь: 48 см2 . 1151. Кут

дано ромб ABCD. DK ⊥ AB; DF ⊥ ВС.

Sp. = 2S∆DKF.

KDF = 60°.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Sp. = AB ∙ DK; ∆DKF — рівносторонній.

S∆DKF = �� 2 √3 4 .

ромба

чотирикутника KLMN.

ΔM1NM = ΔK1KL. ΔKNN1 = AL1ML.

SABCD = 1 2 SKLMN ∙ SABCD = SCMK1B + SBK1L = SAKN1 + SABL1N1 = SKM1DA + SM1ND = SMDCL + SCL1M.

SABCD = S1 + S2 + S3 + S4; S1 = S2 = S3 = S4 = SKLMN = 5SABCD.

Відповідь: �� KLMN = 1 5 =0,2.

1153. Довільну

1) МК

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

ABCD — паралелограм.

BD ⊥ AB. BD = AB = a; Sпaр. = AB ∙ BD = a2 . 1155. Радіус кола, вписаного

Знайдіть площу ромба, якщо: 1) m = 1,8 см, n = 3,2 см; 2) m = 4 см, n = 9 см.

1. Нехай �� — ромб. ��⟂�� ; �� = �� — радіус кола,

а) △ �� — прямокутний. �� 2 = �� ⋅ �� =1,8 ⋅ 3,2; �� = √1,8 ⋅ 3,2 =2,4; ℎ =2�� =4,8; ��⟂�� ; �� = ℎ; б) �� = ��⋅ℎ = �� ⋅ �� ;

=(1,8+3,2) ⋅ 4,8= 24 (см2 ).

2. �� = √4 ⋅ 9 = √36 =6 (см); ℎ = 12 см;

=(4+9) ⋅ 12 = 156 (см2 ).

1) 24 см2 ; 2) 156 см2 .

SMNPK = 1 2 SABCD

Дано: ABCD – паралелограм; AD = 250 м; ВН = 100

Sполя = a ∙ h = 250 ∙ 100 = 25000 (м2);

Sпутівця = 5 ∙ 100 = 500 (м2);

= 25000 – 500 = 24500 (м2).

Відповідь: 24500 м2 . 1159. Ділянку,

b = 5 м –

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

3. AH ⟂ BC; AC ⟂ AB; AB ⟂ AC. 1162.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

5) SΔABC = AB · AC;

6) SΔABC = 1 2 BC ⋅ AC?

Відповідь поясніть.

1) Ні; 2) т ак; 3) ні; 4) ні; 5) ні; 6) ні. 1163.

1) S∆ABC = 1 2 ∙ 5 ∙ 4 = 10 (кв. од.);

2) S∆ABC = 1 2 ∙ 20 ∙ 21 = 210 (кв. од.).

1164. За

S∆ABC = 1 2 ∙ 5 ∙ (12 + 5) = 42,5 (кв. од.). 1165. У

1) АC = 6 см, ВН = 5 cм; 2) АC = 25 см, ВН = 100 см.

1) АС = 6 см; BH = 5 см; S∆ABC = 1 2 AC ∙ BH = 1 2 ∙ 6 ∙ 5 = 15 (см2);

2) S∆ABC =

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

3) S = 75 см2, h = 7,5 см. S = 1 2ah; a = 2�� ℎ .

1) a = 2 72 12 = 12 (см);

2) a = 2 155 10 = 31 (см);

3) a = 2 ∙ 75 7,5 = 20 (см).

1170. Площа трикутника

�� .

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Проведемо СК ⊥ АВ; S∆AMC = 1 2 AM ∙ CK; S∆MBC = 1 2 MB ∙ CK, але MB = AN, тому S∆AMC = S∆MBC 1179. Доведіть, що трикутники

Дано: ВМ = МА. Довести: SAMC = SBMC.

Доведення

Проведемо висоту CD. SAMC = 1 2 AM ∙ CD; SBMC = 1 2 BM ∙ CD; ⇒ SAMC = SBMC. AM = BM – за умовою. 1180. У трикутнику проведено

обґрунтуйте.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Довести: SABC = 1 2Пр.

Доведення

∆АОС: OK = r – висота. SAOC = 1 2 AC ∙ r.

∆АОB: OM = r – висота. SAOB = 1 2 AB ∙ r.

∆BОС: OF = r – висота. SBOC = 1 2 BC ∙ r.

SABC = SAOC + SAOB + SBOC =

SABC = 1 2 Pr. 1185. У

a 17 см 13 см 7 см 13 см

b 28 см 20 см 15 см 37 см

c 39 см 21 см 20 см 40 см

p 42 27 21 46

r 5 см 14 3 см 2 см 16 3 см

S 210 126 42 240

Р = а + b + c; S = 1 2 P ∙ r.

1) р = 42 см, S = 210 см2; 2) р = 27 см, S = 126 см2; 3) р = 21 см, S = 42 см2; 4) р = 45 см, S = 240 см2 . 1186. У

∆АВС (∠С = 90°); АС = 4 см; ВС = 3 см.

SABC = 1 2 AC ∙ BC = 1 2 ∙ 4 ∙ 3 = 6 (см2).

PABC = AB + BC + AC = 5 + 3 + 4 = 12 (см).

SABC = 1 2 P r; 2S = Pr; r = 2�� = 2 6 12 = 12 12 = 1 (см).

Відповідь: 1 см.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Дано: SABCD – піраміда; ABCD – квадрат; SB = 15 см; SM = 12 см.

Знайти: Sб.n.; Sn.n.

Розв’язання SM є висотою і медіаною ∆BSC ∆SMB (∠M = 90°) – єгипетський

ВМ = 3 ∙ 3 = 9 (см). ВС = 2 ∙ ВМ = 2 ∙ 9 = 18 (см).

SBSC = 1 2 BC ∙ SM = 1 2 ∙ 18 ∙ 12 = 108 (см2).

Sб.n. = 4 ∙ SBSC = 4 ∙ 108 = 432 (см2).

SABCD = BC2 = 182 = 324 (см2);

Sn.n. = Sб.n. + SABCD

Sn.n. = 432 + 324 = 756 (см2).

Відповідь: 756 см2 . 1188. Знайдіть

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) m = 5, n = 6, h = 12 см; 2) m = 17, n = 16, h = 15 см.

Дано: ∆АВС; АВ = ВС. АВ : АС = m : n; BD = h

Знайти: SABC

Розв’язання

1) m = 5; n = 6; h = 12 см; AB : AC = 5 : 6; BD = 12 см.

Нехай АВ = 5х см, тоді АС = 6х см. BD – висота

AD = 1 2 AC = 1 2 ∙ 6x = 3x (см);

∆ADB (∠D = 90°):

AB2 = BD2 + AD2; (5x)2 = 122 + (3x)2; 25x2 – 9x2 = 144; 16x2 = 144; x2 = 9; x = 3;

AC = 6 ∙ 3 = 18 (см).

SABC = 1 2 AC ∙ BD = 1 2 ∙ 18 ∙ 12 = 108 (см2).

2) m = 17; n = 16; h = 15 см.

АВ : АС = 17 : 16; BD = 15 см.

Нехай АВ = 17 х см, тоді АС = 16х см.

BD – висота і медіана ∆АВС.

AD = 1 2 AC = 1 2 ∙ 16x = 8x (см).

∆ADB (∠D = 90°): AB2 = BD2 + AD2; (17x)2 = 152 + (8x)2; 289x2 = 225 + 64x2; 289x2 – 64x2 = 225; 225x2 = 225; x2 = 1; x = 1;

AC = 16 ∙ 16 (см).

SABC = 1 2 AC ∙ BD = 1 2 ∙ 16 ∙ 15 = 120 (см2).

Відповідь: 1) 108 см2; 2) 120 см2 . 1190. У рівнобедреному

Дано: ∆АВС; АВ = ВС;

АС : АВ = 10 : 13; BD = 25 cм.

Знайти: SABC.

Розв’язання

Нехай АС = 10х см, тоді АВ = 13х см.

BD = 1 2 АС = 1 2 ∙ 10х = 5х (см).

∆ADB (∠D = 90°): AB2 = BD2 + AD2; (13x)2 = 242 + (5x)2; 169x2 – 25x2 = 576; 144x2 – 576; x2 = 4; x = 2;

AC = 10 ∙ 2 = 20 (см).

SABC = 1 2 AC ∙ BD = 1 2 ∙ 20 ∙ 24 = 240 (см2).

Відповідь: 240 см2 . 1191. Середня лінія трикутника дорівнює

h. Знайдіть площу трикутника, якщо:

1) q + h = 12,5 см, q – h = 0,5 см; 2) q + h = 23 см, h – q = 17 см.

Нехай

△ �� , �� середня

�� = �� ;

; ��⟂��; �� = ℎ ; 1) �� + ℎ = 12,5; �� ℎ =0,5; 2�� = 13; �� =6,5; ℎ = 12,5 6,5=6. ��△�� = 1 2 ��

2) �� + ℎ = 23; �� −ℎ = 17; 2ℎ = 40; ℎ = 20; �� = 23 20; �� =3;

��△�� = 1 2 ⋅ 40 ⋅ 3= 60 (см2 ).

Відповідь: 1) 39 см2 ; 2) 60 см2 .

1192.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

B1K1 = M1N1 ∙ A1C1 = m ∙ h.

Отже, S∆ABC = S∆A1B1C1, що й треба

катетів:

1) 25 см, 3 : 4; 3) 25,5 см, 8 : 15; 2) 5 см, 7 : 24; 4) 82 см, 9 : 40.

Дано: ∆АВС (∠С = 90°).

Знайти: SABC.

Розв’язання

1) АВ = 25 см; АС : ВС = 3 : 4.

Нехай АС = 3х см, тоді ВС = 4х см.

∆АВС (∠С = 90°):

АВ2 = АС2 + ВС2; 252 = (3х)2 + (4х)2;

9х2 + 16х2 = 625;

25х2 = 625;

х2 = 25; х = 5;

АС = 3 ∙ 5 = 15 см;

ВС = 4 ∙ 5 = 20 (см).

SABC = 1 2 AC ∙ BC = 1 2 ∙ 15 ∙ 20 = 150 (cм2).

2) АВ = 5 см; АС : ВС = 7 : 24.

Нехай АС = 7х см, тоді ВС = 24х см.

∆АВС (∠С = 90°):

АВ2 = АС2 + ВС2;

52 = (7х)2 + (24х)2;

49х2 + 576х2 = 25;

625х2 = 25;

x2 = 1 25; x = 1 5 .

AC = 7 ∙ 1 5 = 7 5 (см);

ВС = 24 ∙ 1 5 = 24 5 (см).

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

SABC = 1 2 AC BC = 1 2 7 5 24 5 = 168 50 = 3,36 (см2).

3) АВ = 25,5 см; АС : ВС = 8 : 15

Нехай АС = 8х см, тоді ВС = 15х см.

∆АВС (∠С = 90°): АВ2 = АС2 + ВС2;

25,52 = (8х)2 + (15х)2;

64х2 + 225х2 = 650,25;

289х2 = 650,25;

х2 = 2,25; х = 1,5.

АС = 8 ∙ 1,5 = 12 (см);

ВС = 15 ∙ 1,5 = 22,5 (см).

SABC = 1 2 AC ∙ BC = 1 2 ∙ 12 ∙ 22,5 = 135 (см2).

4) АВ = 82 см; АС : ВС = 9 : 40.

Нехай АС = 9х см, тоді ВС = 40х см.

∆АВС (∠С = 90°):

АВ2 = АС2 + ВС2; 822 = (9х)2 + (40х)2;

81х2 + 1600х2 = 6724; 1681х2 = 6724;

х2 = 4; х = 2.

АС = 9 2 = 18 (см);

ВС = 40 ∙ 2 = 80 (см).

SABC = 1 2 AC ∙ BC = 1 2 ∙ 18 ∙ 80 = 720 (см2).

1) 39 см; 2) 26 см.

SABC.

(∠С = 90°): АВ2 = АС2 + ВС2; 392 = (5х)2 + (12х)2; 25х2 + 144х2 = 1521; 169х2 = 1521;

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

х2 = 9; х = 3.

АС = 5 ∙ 3 = 15 (см); ВС = 12 ∙ 3 = 36 (см).

SABC = 1 2 AC ∙ DC = 1 2 ∙ 15 ∙ 36 = 270 (см2).

2) АВ = 26 см.

Нехай АС = 5х см, тоді ВС = 12х см.

∆АВС (∠С = 90°): АВ2 = АС2 + ВС2; 262 = (5х)2 + (12х)2;

25х2 + 144х2 = 676;

169х2 = 676;

х2 = 4; х = 2.

АС = 5 2 = 10 (см); ВС = 12 2 = 24 (см).

SABC = 1 2 AC ∙ BC = 1 2 ∙ 10 ∙ 24 = 120 (cм2).

Відповідь: 1) 270 см2; 2) 120 см2 1195. Площа прямокутного трикутника

катети, якщо:

1) S = 720 см2, m = 9, n = 40;

2) S = 1320 см2, m = 11, n = 9,6.

Нехай дано прямокутний ∆АВС. ВС :

= m : n.

1) S = 720 см2; m = 9; n = 40; ВС = 9х; n = 40х;

S∆ = AC ∙ BC 2 ; S∆ = 9�� ∙ 40x 2 ;

9х ∙ 20х = 720;

х2 = 4; х = 2;

ВС = 18 см; n = 80 см.

2) ВС = 11х; АС = 9,6x; 11�� 9,6x 2 = 1320; x2 = 25; x = 5;

ВС = 55 см; АС = 48 см. 1196. Знайдіть

1) 4 см і 9 см; 2) 1 см і 16 см.

Нехай ∆АВС

CK ⊥ AB.

1) CK2 = BK ∙ AK; CK2 = 4 ∙ 9 = 36; CK = 6 cм;

S∆ABC = 1 2 CK ∙ AB = 1 2 ∙ 6 ∙ (4 + 9 ) = 39 (см2).

2) CK2 = 1 ∙ 16 = 16; СК = 4 см;

S∆ABC = 1 2 ∙ 4 ∙ (1 + 16) = 34 (см2).

1197. Знайдіть площу

дорівнює: 1) 8 см; 2) 12 см.

1) Нехай дано ∆АВС, АВ

1) �� =7 см; �� =2 см; �� =5 см; �� = 1 2 �� ;

�� = 10 см; �� = ��+�� 2 ; �� = �� ; �� = 14 �� ;

�� + �� = 14 (см);

�� 2 +(14 −�� )2 = 100;

�� 2 + 196 28�� + �� 2 = 100;

�� 2 − 14�� + 48 =0;

��1 =6; ��2 =8; �� =6 см; �� =8 см;

= 1 2 �� ⋅ �� = 1 2 ⋅ 6 ⋅ 8= 24 (см2 ).

2) �� = 17 см; �� = 4 см; �� = 13 см; �� = 26 см; �� + �� = 34 см; �� = �� ; �� = 34 −�� ;

�� 2 +(34 −�� )2 = 676;

�� 2 + 1156 68�� + �� 2 676 =0; 2�� 2 68�� + 480 =0;

�� 2 34�� + 240 =0; ��1 = 24; ��2 = 10; �� = 24 см; �� = 10 см;

AВСD — паралелограм. DK ⊥ АС, DK = 4 cм; AC = 16 см; AB = 12 см.

1) DF ⊥ AB; DF — відстань від т. D

AB. S∆DAC = 1 2 KD ∙ AC = 1 2 ∙ 16 ∙ 4 = 32 (см2); SABCD = 64 cм2; Sпар. = AB ∙ FD; FD = 64 12 = 16 3 (см).

2) Відстань між прямими AB і CD є FD = 16 3 (см).

3) ОM ⊥ CD; OM = 1 2 FD = 8 3 (см). Відповідь: 1) 16 3 см; 2) 16 3 см; 3) 8 3 см; 1203. Доведіть, що

АВС (∠C = 90°) обчислюють за формулою: S = 1 2 b ⋅ c ⋅ sin A = 1 2 a ⋅ c ⋅ sin B

1206.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Дано: ∆АВС; MPSK – прямокутник; PS = AC; PM = 1 2BD;

Доведення

SBLP = SARP; SBLO = SCXO; ⇒ ∆ABC і MPSK

SARXC = SMPSK 1207.

Дано: ∆АВС, □MPSK, MK = AC; PH = 1 2 BD.

Довести:

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Дано:

Знайти: SABC

Розв’язання

SABC = SACM = �� ∙ �� 2 ;

AM = 1; S∆ = �� 2 .

SABCD = �� + ��

2 ∙ CK;

SABCD = 8 + 14

2 ∙ 4 = 44 (кв.од).

Відповідь: 44 кв.од 1222. У трапеції

трапеції, якщо:

1) АВ = 60 см, CD = 36 см, СН = 50 см; 2) АВ = 25 см, CD = 55 см, СН = 100 см.

Дано: ABCD – трапеція, СН – висота.

Знайти: SABCD.

Розв'язання

1) АВ = 60 см, CD = 36 см, СН = 50 см.

SABCD = �� + �� 2 ∙ CH;

SABCD = 36 + 60

2 50 = 2400 (см2).

2) AB = 25 см, CD = 55 см, СН = 100 см.

SABCD = �� + ��

2 ∙ CH;

SABCD = 25 + 55 2 ∙ 100 = 4000 (см2).

Відповідь: 1) 2400 см2; 2) 4000 см2 . 1223. У трапеції ABCD з основами AB = 25 см і CD = 45 см проведено висоту СН = 40 см. Знайдіть площу трапеції.

Дано: ABCD – трапеція, АВ = 25 см; CD = 45 см; СН = 40 см – висота.

Знайти: SABCD.

Розв'язання

SABCD = �� + �� 2 ∙ CH;

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

SABCD = 25 + 45 2 ∙ 40 = 1400 (см2).

Відповідь: 1400 см2 .

1224. Основи

1) a = 10 см, b = 0,8a, h = a; 2) a = 2 дм, b = 0,75a, h = 0,5a.

S = �� +

1) S = 10 + 0,8 10 2 ∙ 10 = 90 (см2);

2) S = 2 + 0,75 ∙ 2 2 ∙ 0,5 ∙ 2 = 1,75 (см2).

1225. Основи

5 см, a = 1,2b, h = a.

S = �� + �� 2 ∙ h.

S = 5 + 1,2 5 2 ∙ 1,2

1226.

Sтр = �� + �� 2 ∙ h; a + b = 2�� ℎ . a + b = 2 ∙ 90 15 = 12 (см).

1228. Площа

1) S = 60 см2, q = 15 см; 2) S = 175 см2, q = 35 см.

1) Sтp = 60 cм2; q = 15 cм; Sтр. = q ∙ h; q – середня лінія; h = ��тр �� ; h = 60 15 = 4 (см);

2) h = 175 35 = 5 (см)

1229. Площа трапеції

Sтр. = q ∙ h; q – середня

h = ��тр

; h = 75 25 = 3 (см).

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1233. Площа

основи трапеції, якщо:

1) S = 36 см2, h = 2 см, m = 4, n = 5;

2) S = 150 см2, h = 5 см, m = 2, n = 3.

1) S = 36 см2; h = 2 см; m : n = 4 : 5; m = 4x; n = 5x;

36 = 4�� + 5�� 2 ∙ 2;

36 = 9x; x = 4;

m = 16 см; n = 20 см; 2) m = 2х; n = Зx; 1

50 = 2�� + 3��

2 ∙ 5;

60 = 5х; x = 12; m = 36 см; n = 24 см.

1234.

m : n = 1 : 2; 90 = �� + 2�� 2 ∙ 6;

30 = 3х; х = 10;

n = 20 см; m = 10 см.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Знайти: �� . Розв’язання

1) �� = 24 см; �� = 12 см; �� = 10 см. �� = 1 2 (�� )= 1 2 (24 12)= 1 2 ⋅ 12 =6 (см). △ �� (∠�� = 90∘ ) — єгипетський з

2. �� =6 см; �� = 10 см, тоді �� =4 ⋅ 2=8 (см). �� = �� + �� 2 ⋅

Відповідь: 1) 144 см

1) �� = �� = 17; ℎ = 15; △ �� =△ �� ;

�� = �� ; �� = √172 152 = √64 =8;

�� = �� = �� ;

17 + �� + 17 +8 +8+ �� = 120;

2�� = 120 34 16;

2�� = 70; �� = 35; �� = 35 см; �� = 51 см; ��тр. = �� + �� 2 ⋅ℎ (см2 ). ��тр. = 35 + 51 2 ⋅ 15 = 645 (см2 ).

2) �� = 58 см; �� = 15 см; �� = 13 см; ℎ = 12 см

△ �� : �� = √225 144 = √81 =9 (см);

△ �� : �� = √169 144 = √25 =5 (см).

�� = �� = �� ; 2�� + 15 + 13 +9+5= 58;

2�� = 58 28 14; 2�� = 16; �� =8; �� =8 см; �� = 9+5+8= 22 см; ��тр. = 8+ 22 2 ⋅ 12 = 180 (см2 ).

Відповідь: 1) 645 см2 ; 2) 180 см2 . 1239.

Відповідь: 18(3+ √3) см2 . 1240. У

основою кут 45°. Знайдіть

1) a = 2 см, b = 5 см; 2) a = 5 см, b = 3 см.

Нехай АВСD — прямокутна трапеція; AB ⊥ AD; AB ⊥ ВС; ∠CDA = 45°.

1) а = 2 см; b = 5 см. Проведемо CK ⊥ AD. KD = AD – BC = 5 – 2 = 3 (см).

∆CKD — прямокутний, ∠KDC = ∠KCD = 45°; CK = KD = 3 (cм);

Sтр. = �� + �� 2 ∙ CK = 2 + 5 2 ∙ 3 = 10,5 (см2).

2) а = 5 cм; b = 3 см; KD = 5 – 3 = 2 (см); CK = KD = 2 (см);

Sтр. = 5 + 3 2 ∙ 2 = 8 (см2).

1241. У прямокутній трапеції

трапеції дорівнює 135°.

прямокутну трапецію. AD = DC = 2cм; ∠DCB = 135°. 1)

KCB = ∠КВС = 45°; СК = DA = 2 см; AB = АК + KB = 2 + 2 = 4 (см); Sтр. = �� + �� 2 ∙ CK = 2 + 4 2 ∙ 2 = 6 (cм2).

2) AD = DC = 3 cм; ∆CBK; KB = 3 cм; AB = 3 + 3 = 6 (cм); Sтр. = 3 + 6 2 ∙ 3 = 13,5 (cм2).

1) a = 2 см; 2) a

1242.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Відповідь: 45°.

1243. У

трапеції, якщо:

1) a + 2b = 3,3 см, a – b = 1,8 см, d = 4 см; 2) 3a + 2b = 44 см, a – 2b = 4 см, d = 12 см. Нехай дано ��

1) �� +2�� =3,3 см; �� = 1,8 см; �� =4 см;

+2�� =3,3; ��−�� =1,8; 3�� =1,5; �� =0,5; �� =1,8+0,5=2,3;

тр. = �� + �� 2 ⋅ℎ; (см2 ).

= 2,3+0,5 2 ⋅ 4=5,6 (см2 ).

2) 3�� + 2�� = 44 см

��⟂�� ; ��⟂�� ; �� =

1) Нехай ABCD — трапеція; CM ∥ A B; AM : MD = 1 : 2. AM = x; MD = 2x; CK ⊥ MD; CK = З cм;

S∆MCD = 1 2MD ∙ CK; 6 = 1 2 ∙ 2x ∙ 3; 12 = 6x; x = 2; AM = 2 см; MD = 4 cм; AD = AM + MD = 6 cм; BC = AM = 2 см.

2) CM ∥ AB; AM : MD = 2 : 1. AM = 2x; MD = x;

S∆MCD = 1 2MD ∙ CK; 6 = 1 2x ∙ 3; x = 4; AM = 8 cм; MD = 5 см; AD = 12 cм; BC = AM = 8 см

Відповідь: 1) 6 см і 2 см; 2) 12 см і 8 см. 1245.

з рівними площами.

дано ABCD — трапеція. ВС = 4 см; СМ ∥ AB; Sпар.АBCM = S∆MCD; ВС = AM = 4 см; Sпар. = h ∙ 4; S∆CMD = h MD 2 ; h ∙ 4 = MD 2 ∙ h; MD = 8 см; AD = AM + MD = 4 + 8 = 12 (см). Відповідь: AD = 12 см. 1246. Доведіть,

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Sтр. = B�� + �� 2 ∙ MN = AB + �� 2 ∙ MN,

тоді AB + CD = BC + AD = P 2 ; MN = h;

Sтр. = 1 2 (BC + AD)h; S = Ph 4 ; h = 4�� ; OM = r = 1

AB + CD =

+ AD.

(

∘ ):

— 2 см?

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Sтр = �� + 16 2 ∙ 2 = x + 16; x — менша основа, 0 < x < 16; 16 < S < 32.

Відповідь: від 16 до 32 см.

1253. Відрізок, паралельний

Нехай дано ABCD — трапеція; ВС = a; AD = b;

MN ∥ BC; MN ∥ AD.

SMBCN = SAMND. MN = 2��

Відповідь: 2��

1254.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай дано трапецію ABCD, BD ⊥ AC; MK — відрізок, що сполучає середини основ.

PN — середня лінія трапеції. Доведемо, що МК = PN.

∆ВОС — прямокутний, МО — медіана; ВМ = МС = МО; МО = 1 2 ВС.

∆AOD — прямокутний; OK = AK = KD; OK = 1 2AD; MO + OK = 1 2 (BC + AD); MK = 1 2 (BC + AD); PN = 1 2 (BC + AD).

Отже, MK = PN, що й треба було

. 1259.

Дано:

15 = 30 + 120 + 24 + 112,5 + 60 = 346,5 (кв.од). Sд. = 346,5 ∙ 1000 = 346500 кв.од. Відповідь: 346500

1262.

: 1000?

��реальна = ��план ⋅�� 2 де k = 1000 — знаменник масштабу.

1 см2 на плані = 10002 см2 = 100 м2 у реальності

4. Підсумувати ��ділянки = (��1 + ��2 + ��3 ) ⋅ 100 м2 /см2

Дано: ABCD – рівнобічна трапеція; ВС = 20 см; AD = 16 см; DH = 10 см; скло – 30 × 24 см.

Чи вистачить скла?

Розв'язання

SABCD = B�� + �� 2 ∙ DH;

SABCD = 20 + 16 2 ∙ 10 = 180 (см2).

4 180 = 720 (см2) – площа 4–х вставок.

S□ = 30 ∙ 24 = 720 (см2).

Відповідь: не вистачить, оскільки не можна розмістити

розмірів. ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

1. Знайдіть суму кутів шестикутника.

А. 60°.

Б. 120°.

В. 540°.

Г. 720°.

S = 180° · (n − 2);

S = 180° · (6 − 2) = 180° · 4 = 720°.

Відповідь: Г.

2. Квадрат і

сторін прямокутника —

А. 6 см.

Б. 9 см.

В. 20 см.

Г. 36 см.

Pкв = 24 см; aкв = 24 4 = 6 см;

Sкв = 62 = 36 см2; Sпр = S

AB = BC; SΔ = 4800 см2;

AB = 100 см; AK і CF — висоти;

SΔABC = 1 2 ah; h = 2�� = 4800 100 = 48 (см);

FC = AK = 48 см.

Відповідь: Б.

Знайдіть

60 см2 . А. 45 см2 . Б. 56 см2 В. 75 см2 . Г. 88 см2 . ABCD — т рапеція. CD = 7 см;

DK ⟂ AB; DK = 8 см; SΔABC = 60 см2 .

Sтр.ABCD = SΔADC + SΔABC

SΔADC = 1 2 DC · DK = 7 · 8 2 = 28 (см2).

Sтр.ABCD = 60 + 28 = 88 (см2).

А. 90 см2 . Б. 135 см2 . В. 180 см2 .

Г. 54 см2 .

ромб ABCD. AC і BD —

AC ⟂ BD; AC = 40 см; BD = 9 см; AK : KC = 3 : 2.

AK = 3x; KC = 2x; 3x + 2x = 40; 5x = 40; x = 8.

AK = 24 см; KC = 16 см; BO = 1 2 BD = 1 2 · 9 = 4,5 (см);

SΔABK = 1 2 AK · BO = 1 2 · 16 · 4,5 = 54 (см2).

Відповідь: 54 см2 .

1283. Точки E і F —

1) ΔADE = ΔCBF; 2) DE || FB.

Нехай ABCD — паралелограм, BE = AE; CF = FD. 1) ΔADE

1285.

ABCD — паралелограм. AB = 3 см, BC = 5 см. AM і BN — бісектриси. DC ∥ AB; ∠1 = ∠2.

ΔADM — рівнобедрений, AD = DM = 5 см; CM = DM – DC = 5 − 3 = 2 (см). ΔBCN — рівнобедрений, BC = CN = 5 см; DN = CN − CD = 5 − 3 = 2 (см). MN = MC + CD + DN = 2 + 3 + 2 = 7 (см).

Відповідь: 7 см

1286. Діагоналі паралелограма

∥ AC і KP; NP ∥ DB ∥

—

PMNPK = 2d1 + 2d2 Відповідь: 2d1 + 2d2.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай дано паралелограм ABCD. ∠B = 120°. BK — бісектриса, AK = 24 см, KD = 16 см. ΔABK — рівнобедрений, ∠1 = ∠3; AB = AK = 24 см; BC = AD = 24 + 16 = 40 (см).

За властивістю бісектриси трикутника

AF : FC = AB : BC = 24 : 40 = 3 : 5.

Відповідь: 3 : 5.

1288.

Нехай ABCD — паралелограм. AB : AD = 7 : 11.

BD = 24 см, AC = 28 см.

AB = 7x; AD = 11x; ((7x)2 + (11x)2) · 2 = 242 + 282; 340x2 = 576 + 784; 340x2 = 1360; x2 = 4; x = 2. AB = 14 см; AD = 11 см. PABCD = (14 + 22) · 2 = 72 (см).

Відповідь: 72 см. 1290. Сторони

Нехай ABCD — паралелограм. AB = CD = 10 см; BC = AD = 15 см; AC − BD = 2 см; BD = x; AC = x + 2; x2 + (x + 2)2 = 102 · 2 + 152 · 2; x2 + x2 + 4x + 4 − 200 − 450 = 0; 2x2 + 4x − 646 = 0; D = 1296;

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

x1 = 17; x2 = −19.

BD = 17 см, AC = 19 см.

Відповідь: 17 см і 19 см. 1291. У прямокутнику

Нехай дано: ABCD — прямокутник.

∠DAC : ∠CAB = 2 : 3.

2x + 3x = 90°; 5x = 90°; x = 18°.

∠DAC = 36°; ∠BAC = 54°.

ΔABO — рівнобедрений, AO = BO; ∠A = ∠B = 54°.

∠AOB = 180° − (54° + 54°) = 180° − 108° = 72°.

Відповідь: 72°.

1292. Знайдіть

Нехай ABCD — ромб.

Sр = a2 sin150° = a2 · 1 2 = ��2 2 ;

Sр = ah; ��3 2 = ah; h = �� 2 .

Відповідь: �� 2

1293. Доведіть, що

ABCD — ромб; BF і BK —

BK = BF,

ABCD — ромб; PABCD = 16 см; BK ⟂ AB; BK = 2 см. AB — сторона ромба; AB = 16 : 4 = 4 (см).

ΔABK: sin∠A = BK AB = 2 4 = 1 2; ∠A = 30°.

Відповідь: 30°.

1295. Діагональ ромба

ABCD — ромб, AC — діагональ. P

2x + d + 2x + d = 4x + 15; 2d = 15; d = 7,5.

Відповідь: 7,5 см.

1296.

2 (DO + OC + OB + OA) + AD + DC + BC + AB = 20 = AD + DC + BC + AB. 4d = 20; d = 5 (см).

Відповідь: 5 см.

1297. Доведіть,

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай ABCD — рівнобічна трапеція.

AC — діагональ.

Доведемо, що AC2 = AD2 + DC ∙ AB.

Нехай CK = h; DC = x; FK = y; AF = KB = x.

ΔACK — прямокутний.

За теоремою Піфагора: AC2 = CK2 + AK2 = = h2 + (x + y)2 = h2 + x2 + 2xy + y2 = h2 + x2 + 2xy + y2 = = BC2 + y(2x + y) = BC2 + DC ∙ AB, що й треба було довести.

1298. Менша основа рівнобічної трапеції дорівнює бічній стороні, а діагональ

перпендикулярна до бічної сторони. Знайдіть кути трапеції. Нехай ABCD — т рапеція. BC = AB = CD; AC ⟂ CD; ∠BAC = ∠BCA = x ΔABC — рівнобедрений. ∠CAD = ∠ACB = x.

ΔACD: x + 2x = 90°; 3x = 90°; x = 30°.

∠A = ∠D = 90°; ∠B = ∠C = 120°.

Відповідь: 60°; 60°; 120°; 120°. 1299. У

Нехай ABCD —

трапеція, AD і BC — основи, ∠DAB — гострий, ∠ADC — тупий. BK ⊥ AD, CM ⊥ AD, AK і DM —

Проведемо AN ⊥ BC, AK = NB (ANBK — прямокутник)

NC ⊥ AM; NA ⊥ CN, CM ⊥ AD, тоді NСMA — прямокутник.

NC = AM — як протилежні сторони. NC = NB + BC = AK + BC, AM = AD + DM, отже, AK + BC = AD + DM

BC − AD = DM − BC,

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

AB = 4 см, тоді BC = 1 2 AB

BC = 2 см, CM = BC = 2 см,

AO = AM,

OB = AB AO ; AO OB = 2,5 1,5 =1,62. 1301.

1304.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

MNP

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

AB і AC — дотичні, OB = OC = 6 см; AO = 10 см; OB ⟂ AB; AO2 = AB2 + OB2; AB2 = 100 − 36; AB2 = 64; AB = 8 см. ΔABO.

BO2 = AO · FO; FO = 36 10 = 3,6 (см).

ΔBFO: BF2 = BO2 − FO2 = 36 − 12,96 = 23,04; BF = 4,8 (см).

BC = BF + FC = 4,8 ∙ 2 = 9,6 (см).

Відповідь: 9,6 см 1310. Трикутник

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай ABCD — рівнобічна трапеція.

AD = BC; DC = 3 см; AB = 5 см; AD = BC = 7 см.

DF ⟂ AB; CK ⟂ AB.

З ΔDCBK: CK2 = 72 − 12 = 49 − 1 = 48;

CK = √48.

ΔACK: AC2 = CK2 + AK2 = 48 + 16 = 64;

AC = 8 (см).

Відповідь: 8 см.

1312. Довжини

значення синуса

медіаною.

AC = 7 см; BC = 24

AB2 = BC2 + AC2 = 576 + 49 = 625; AB = 25; sin ∠CMA = 0,53; cos ∠CMA = 0,84; BM = MA = CM = 12,5 (см).

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

AB = CD = 10 см; BC = 9 см; AD = 21 см; BK і CF — висоти.

AK = FD = (21 − 9) : 2 = 6 (см); BK2 = AB2 − AK2 = 64; BK = 8 см.

1. sin ∠BAK = �� = 0,8;

2. MN — середня лінія, BD — діагональ; ∠BPM — кут між

лінією;

sin ∠BPM = 8 17 .

ΔBKD : ∠BPM = ∠BDA; sin ∠BPM = �� .

KD = 9 + 6 = 15 (см).

ΔBKD: BD2 = BK2 + KD2 = 64 + 225 = 289; BD = 17;

sin ∠BPM = 8 17 .

1314.

якщо:

1) a – b = 17 см, c = 25 см;

2) c – a = 1 см, c – b = 50 см; 3) c + a = 49 см, c + b = 50 см.

1. a − b = 17 см; c = 25 см; b = x; a = x + 17; c = 25; x2 + (x + 17)2 = 625; x2 + x2 + 34x + 289 − 625 = 0; 2x2 + 34x − 336 = 0; x2 + 17x − 168 = 0; x = 7; b = 7 см; a = 24 см; sin ∠B = �� ; sin ∠B = 0,28; cos ∠B = 0,96; cos ∠B = �� ;

2. c − a = 1; c = 50; c = x; a = x − 1; b = x − 50; c2 = a2 + b2; x2 = x2 − 2x + 1 + x2 − 100x + 2500; x2 − 102x + 2501 = 0; D = 10 404 − 10 004 = 400;

x1 = 102 + 20 2 = 61; x2 = 102 20 2 = 41; c = 61 см; a = 60 см; b = 11 см; sin ∠B = 11 61; cos ∠B = 60 61;

3. c + a = 49 см; c + b = 50 см; c = x; a = 49 − x; b = 50 − x; c2 = a2 + b2; x2 = 2401 − 98x + x2 + 2500 − 100x + x2; x2 − 198x + 4901 = 0; D = 39 204 − 19 604 = 19 600;

x1 = 198 + 140 2 = 169; x2 = 198 140 2 = 29;

c = 29 см; a = 20 см; b = 21 см; sin ∠A = 20 29 ; cos ∠A = 1 29 .

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

BO = 3 см; AB = 2 см; AK і AF — дотичні до

AO = AB + OB = 2 + 3 = 5 (см).

AK = AF = 4 см.

cos ∠KAO = AK �� = 4 5 ; cos ∠KAF = 0,28.

1316. Радіус

AO = OB = R; ∠AOB = n°.

ΔAOB — рівнобедрений.

AK = R sin n° 2 ; AB = 2AK = 2R sin n° 2 .

OK ⟂ AK; OF ⟂ AF; OK = OF = 3 см;

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Прямокутник ABCD; AC — діагональ;

AC = 32,5 см; ∠BAC : ∠CAD = 4 : 11.

4x + 11x = 90°; 15x = 90°; x = 6°.

∠BAC = 24°; ∠CAD = 66°.

ΔABC: AB = AC cos 24°; AB = 32,5 · 0,9135 = 29,6 (см).

ΔACD: AD = AC cos 66°; AD = 32,5 · 0,4067 = 13,2 (см).

PABCD = (AB + AD) · 2 = (29,6 + 13,2) · 2 = 85,6 (см). 1319.

AB ⟂ AC; AB = 38,5 см; AC = 21,3 см; AM — діаметр.

BC2 = AB2 + AC2;

BC2 = 1935,94; BC = 43,9 см; AM = BC. ΔBAM — прямокутний; cos ∠BAM = 38,5 43,9 ; ∠BAM = 61°.

cos ∠MAC = 21,3 43,9 ; ∠MAC = 29°.

Відповідь: 29°; 61°.

1320. Знайдіть

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

ΔABC — рівнобедрений. ∠ABC = 47°12′.

AB + AC = 59,4 см; AK = C = x; AB = 59,4 − 2x; ∠ABK = 23°42′.

sin ∠ABK = A��

AB = x 59,4 2x ;

0,4019 = x 59,4 2x ;

0,4019 · (59,4 − 2x) = x; x = 13,2 см.

Відповідь: AC = 26,4 см; AB = BC = 33 см. 1321. Два кола радіусами 3 см і 12 см дотикаються зовнішньо. Знайдіть кут між спільними зовнішніми дотичними цих кіл.

O2B = R1 = 12 см; O1D = R2 = 3 см; O2B ⟂ AB; O1D ⟂ AB.

ΔADO1 ~ ΔABO2; AO1 = x; O1O2 = 15 см; AO2 = x + 15.

AO1

O1 D = AO2 O2 B ; x 3 = x+15 12 ; x = 5.

sin ∠DAO1 = DO1 AO1 = 3 5 =0,6;

∠DAO1 = 36°52′; ∠BAC = 73°44′.

Відповідь: 73°44′.

1322. Раніше циркуль

практично.

AOB = ∆BOC =

COD = ∆DOE = ∆EOF

2 ∙ (120° + 7x + 9x) = 720°;

2 ∙ (120° + 16x) = 720°; 32x = 480°; x = 15°.

Отже, 7·15° = 105°, 9·15° = 135°.

Відповідь: 105°, 105°, 135°, 135°, 120°, 120°

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай ABCD — прямокутник.

AB : AD = 8 : 15; AC = 34 см; AC2 = AB2 + AD2; (8x)2 + (15x)2 = 342; 64x2 + 225x2 = 1156; 289x2 = 1156; x2 = 4; x = 2; AB = 16 см; AD = 30 см; SABCD = 16 · 30 = 480 (см2).

Відповідь: 480 см2

1325. У паралелограмі

Нехай ABCD — паралелограм. AB = CD = 10 см; ∠A = 30°;

BC = AD = (56 − 20) : 2 = 36 : 2 = 18 (см).

Sпар.ABCD = AB · AD · sin 30°.

Sпар.ABCD = 10 · 18 · 1 2 = 90 (см2).

Відповідь: 90 см2 1326.

см.

Нехай ABCD — ромб.

AB = BC = CD = AD = 4 см; r = 1,5 см; BK = h = 2r = 2 · 1,5 = 3 (см); Sр = AD · BK = 4 · 3 = 12 (см2).

Відповідь: 12 см2 . 1327.

ΔABC; BK ⟂ AC; BK = 4 см; AK : KC = 1 : 8.

AK = x; KC = 8x;

SΔABK = 4 · x 2 = 2x;

SΔPDC = 1 2 SΔABC = 9x.

SΔABC = 18x; SΔKBPD = 9x − 2x = 7x;

SΔBKC = 7x + 9x = 16x; PD ∥ BK ⇒ ΔPDC ~ ΔBKC.

��ΔPDC

��ΔBKC = �� 2 ;

��ΔPDC

��ΔBKC = 16 9 ;

�� = 4 3 ⇒ PD = 3 (см).

Відповідь: 3 см. 1328. Довжини

Найбільша сторона ΔABC — BC;

SΔABC = 1 2 · 6h1

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

ABCD — трапеція; BC ∥ AD; BC = x; BK = 3x; AD = 6x; Sтр = BC + AD 2 · BK.

168 = x + 6x 2 · 3x; 21�� 2 2 = 168; x2 = 16; x = 4; BC = 4 см; AD = 24 см Відповідь: 4 см і 24 см. 1330. У трапеції ABCD через

діагоналі BD (M ∈ AB, N ∈ AD). Чи

1) DM; 2) BN? Відповідь

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

4. Будуємо BC ∥ AD, BC = AD. Отримаємо

ABCD шуканий паралелограм. 1.

4. Будуємо AO і CO = OA. ABCD шуканий паралелограм. 1337. Побудуйте ромб: 1)

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

ΔBOC = ΔDOC = ΔDOA = ΔBOA.

BC ∥ AD, BC = AD.

2. Будуємо BC ∥ AD, BC = AD.

ABCD — шуканий квадрат. Будуємо

ABCD — шуканий квадрат. 1344. Побудуйте прямокутник:

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Щоб побудувати трапецію, як і

(наприклад, ∆KCD), а потім добудуйте його до трапеції. 1347. Побудуйте трапецію за основами a i b (a > b) та діагоналями d1 i d2. Дано:

Побудувати: трапецію ABCD так, щоб AD = a, BC = b, AC = d1, BD = d2.

Аналіз

В трапеції ABCD AD = a, BC = b. Проведемо через

діагоналі BD.

Вона перетинає

∆АСЕ: AC = d1; СЕ = BD = d2 АЕ = AD +

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

3. Побудуємо шуканий трикутник.

1) найбільшою медіаною; 2) найменшою висотою.

1. АВ : ВС : АС = p : n : k 1) Побудуємо

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Найменша