https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
4.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
АС + ВС = 4,5 + 5,5 = 10 см = АВ.
Отже, точка С лежить на відрізку АВ.
2) ВС = 41 мм = 4,1 см
АС = 0,5 дм = 5 см
АВ = 9,6 см
Перевірка:
АС + ВС = 5 + 4,1 = 9,1 см, а АВ = 9,6 см.
Не дорівнює, отже точка С не
Відповідь:
1. Так, лежить.
2. Ні, не лежить.
6. Відстань між містами на карті становить 5 см.
туристам, якщо масштаб карти 1 : 300 000?
Масштаб 1 : 300 000 означає,
Знайдемо реальну відстань: 5 ⨯ 300000 = 1500000 см.
Переведемо в кілометри: 1500000 см : 100 = 15000 м : 1000 = 15 км.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
1) 6 м; 2) 5 м?
Маємо
1) Як відрізати 6 м:
Скласти
Від половини (4 м) відкласти ще
Разом: 4 м + 2 м = 6 м.
2) Як відрізати 5 м:
Скласти весь шматок навпіл → 4 м.
Залишок — теж 4 м.
Цей залишок поділити навпіл → 2 м.
Від 4 м додати половину з другого шматка (1 м із 2 м).
Отримаємо 4 м + 1 м = 5 м.
10. Зобразіть точками на площині
шматка (тобто 2 м).
Нехай BC = x, тоді AC = 4x.
З умови:
AC + BC = AB
4x + x = 10
5x = 10.
x = 2 км,
AC = 4x = 8 км.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
�������� = �������� + �������� = 600 + 200 = 800 м.
13. OC —
1)
Відповідь:
1) ∠АОС = 92° , ∠ВОС = 43°, ∠АОВ = 48°;
2) ∠АОС = 30°, ∠ВОС = 65°, ∠АОВ = 95°? Промінь �������� лежить
1) 1 хв; 2) 5 хв; 3) 10 хв?
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
даній прямій АВ.
Для того щоб провести пряму, паралельну
1. Намалюйте дані елементи: На
O, яка не лежить на прямій AB .
2. Перше перегинання (Побудова
означає, що ви повинні
���� + ���� = 50∘ ⟹���� = 25∘ .
інші (суміжні) = 180∘ 25∘ = 155∘ .
кути: 25∘ , 155∘ , 25∘ , 155∘ .
���� +2���� = 180∘ ⟹���� = 60∘ ,2���� = 120∘ .
1. 90∘ , 90∘ , 90∘ , 90∘ ;
2. 25∘ , 155∘ ,
1) 3 см, 5 см, 9 см; 2) 5 см, 4 см, 2 см? Для існування
1. 3+5=8 ≤ 9
2. 5+4=9>2,5+2=7>4,4+2=6>5
1) ні; 2) так
існування
1,5 см:
����4 =(����− 1.5)+(����− 1.5)+(����− 1.5)= ����− 4.5 ⟹ віднялось 4.5 см.
Відповідь:
1. ���� +9 (на 9 см більше);
2. 3���� (у 3 рази більше);
3. 2 3 ���� ;
4. ����− 4.5 (на 4,5 см менше).
34. Як зміниться довжина сторони рівностороннього
1) зменшити на 12 см;
2) збільшити в 6 разів? У рівносторонньому трикутнику
1. Якщо ���� зменшити
дорівнює: 1) 12 см; 2) 15 см?
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
1. якщо гіпотенуза = 12 см, бісектриса =6 см;
2.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
2.
3.
1) прямим; 2) гострим; 2) тупим?
1.
2.
3.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
1.
2.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
позначку по відрізку �������� (або �������� ), і
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
то
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
(інцентр) співпадає
трикутника, який ділить висоту у відношенні 2 ∶ 1, починаючи від вершини. Це означає, що радіус вписаного кола ���� становить одну третину висоти ℎ трикутника.
3. Обчислення радіуса вписаного кола: За умовою, висота, проведена до основи (а в рівносторонньому
висота), дорівнює 12 см. ℎ = 12 см.
3.
4.
a
12 +
+
b= 115 (23 + 30 + 35)= 27(см);
a=
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
Отже сторони: 30 см, 60 см, 60 см та 60 см.
Відповідь: 30 см, 60 см, 60 см, 60 см.
81. Чи може чотирикутник мати такі сторони:
1) 1 см, 2 см, 3 см, 4 см; 2) 18 см, 6 см, 5 см, 6 см?
1. 4<1+2+3;4<6; так, можуть; 2. 18 >6+5+6; ні, не можуть.
82. Чи може чотирикутник мати такі сторони: 2 см, 3 см, 5 см, 10 см?
10 =2+3+5; ні, не може.
83. За даними
чотирикутника.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
Нехай ���� =9; ���� =3���� = 27;
���� = ����− 8= 19;
���� = ����− 10 =9;
���� = ���� + ���� + ���� + ���� = 64.
Відповідь: 64 см
100.
сторони
Чи може периметр чотирикутника дорівнювати:
1) 90 см; 2) 72 см; 3) 115 см?
Нехай x - четверта сторона; P = 10 + 15 + 20 +x= 45 +x;
умова чотирикутника:
���� < 10 + 15 + 20 = 45
та ���� >0 ⇒ 0< ���� < 45 ⇒ 45 < ���� < 90;
���� = 90 ⇒���� = 45 - ні;
���� = 72 ⇒���� = 27 - так;
���� = 115 ⇒���� = 70 - ні.
Відповідь: 72 см.
101. Доведіть, що кожна діагональ чотирикутника
Нехай ABCD — чотирикутник, P = AB + BC + CD + DA.
Для діагоналі AC:
AC < AB + BC (△ABC), AC < AD + CD (△ACD).
Додаємо:
2AC < (AB + BC) + (AD + CD) = P ⇒ AC < ���� 2 .
Аналогічно для BD:
BD < AB + AD (△ABD), BD < BC + CD (△BCD)
⇒ 2BD < P ⇒ BD < ���� 2 .
Отже,
102.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
Нехай ABCD — чотирикутник.
трикутника
AC < AB + BC (△ABC), BD < AD + CD (△BCD).
Додаємо почленно:
AC + BD < (AB + BC) + (AD + CD) = AB + BC + CD + DA = P.
Отже, сума діагоналей чотирикутника менша від його периметра.
103. У чотирикутнику ABCD діагональ BD ділить
кути B і D навпіл.
Доведіть, що AB = CB і DA = DC.
∆ABD = ∆CBD (за II ознакою рівності трикутників); BD — спільна стopoнa; ∠ABD = ∠CBD; ∠ADB = ∠CDB (за умовою).
З рівності трикутників маємо: AB = СВ і AD = CD.
104. Доведіть, що в чотирикутнику ABCD діагоналі AC і BD — перпендикулярні, якщо
AB = CB і DA = DC.
AB = ВС; AD = CD (за умовою). BD — спільна сторона ∆ABD і ∆CBD.
Звідси ∆ABD = ∆CBD. З рівності трикутників маємо ∠ABD = ∠CBD. АС і BD
перетинаються в т. О.
∆АВО= ∆СВО (І ознака); АВ = СВ (за умовою); ∠ABD = ∠CBO (доведено вище); ВО — спільна сторона.
З рівності ∆АВО і ∆СВО: ∠AOB = ∠COB, але ∠AOB + ∠COB = 180° (суміжні кути).
Звідси ∠AOB = 90°, ∠COB = 90°. Тобто АС ⊥ BD.
105. Знайдіть кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам: 1) 1, 2, 3 і 4; 2) 4, 6, 12 і 14. 1) Нехай кути чотирикутника: х; 2х; 3x; 4х, тоді x + 2x + 3x + 4x = 360°; 10x = 360°; x = 360° : 10;
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
x = 36°;
∠1 = 36°; ∠2 = 2 ∙ 36° = 72°; ∠3 = 3 ∙ 36° = 108°; ∠4 = 4 ∙ 36° = 144°;
2) ∠1 = 4х; ∠2 = 6х; ∠3 = 12х; ∠4 = 14x; 4х + 6х + 12х + 14х = 360°; 36x = 360°; x = 360° : 36; x = 10°;
∠1 = 4 ∙ 10° = 40°; ∠2 = 6 ∙ 10°= 60°; ∠3 = 12 ∙ 10° = 120°; ∠4 = 14 ∙ 10° = 140°.
106. Знайдіть кути чотирикутника, якщо вони
пропорційні числам 1, 2, 4 і 5.
∠1 = х; ∠2 = 2х; ∠3 = 4х; ∠4 = 5х; х + 2х + 4х + 5х = 360°; 12х = 360°; x = 360° : 12; х = 30°;
∠1 = 30°; ∠2 = 2 ∙ 30° = 60°; ∠3 = 4 ∙ 30° = 120°; ∠4 = 5 ∙ 30° = 150°.
107.
1) тупих; 2) прямих; 3) гострих? 1)
180° – 38° = 142°; 180°– 158° = 22°; 180° – 44° = 136; 180° – 120° = 60°. 2) 49°; 145°;
= 720° – 360° = 360°.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
113. Чи існує чотирикутник,
1) 120°, 80°, 59° і 101°;
2) 49°, 98°, 68° і 125°?
1) 120° + 80° + 59° + 101° = 360°.
Отже, такий чотирикутник існує.
2) 49° + 98° + 68° + 125° = 340° ≠ 360°.
Отже, такого чотирикутника не існує.
114. Чи існує чотирикутник,
100° + 55° + 160° + 45° = 360°.
Отже, такий чотирикутник існує.
115. Знайдіть
Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°.
Сума всіх зовнішніх кутів чотирикутника дорівнює
Отже, сума зовнішніх кутів чотирикутника
чотирикутника.
116. За
Мал. 25
∠BAD = 180° – 70° = 110°;
∠CDA = 180° – 60° = 120°;
∠ABC + ∠DCB = 360° – (110° + 120°) = 130°;
∠NBA + ∠NAB = 1 2 ∠B + 1 2 ∠A = 1 2 (∠B + ∠A) = 1 2 ∙ 180° = 90°.
α = ∠BOC = 180° – (∠OBC + ∠OCB) = 180°– 65° = 115°. Мал. 26
∠BCD = 180° – 60° = 120°;
∠B + ∠D = 360° – (80° + 120°) = 160°;
100°, 55°, 160° і 45°?
α = 360° – (∠C + 1 2 (∠B + ∠D)) = 360° – (120° + 1 2 ∙ 160°) = 360° – 200° = 160°.
117. За
Мал. 27
∠C = (360° – 120°) : 3 = 80°;
α = 180° – 80° = 100°.
118. Діагональ
дорівнює 50 см.
Нехай ABCD — чотирикутник, а
Позначимо AC = x.
Тоді периметри трикутників:
PABC = AB + BC + AC = 30,
PADC = AD + DC + AC = 40.
Склавши їх:
(AB + BC + AC) + (AD + DC + AC) = 30 + 40 = 70.
Але AB + BC + AD + DC
Тому P + 2AC = 70.
За умовою P = 50, підставимо: 50 + 2AC = 70 ⇒ 2AC = 20 ⇒ AC = 10.
Відповідь: 10 см
AB < AO + OB, CD < CO +
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
Периметр за кресленням: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 см.
Масштаб 1 : 2000 ⇒ 1 см =20 м. Отже, реальний периметр 10 ∙ 20 = 200 м.
Стовпці через кожні 4 м: 200 4 = 50.
Оскільки довжини сторін 20, 40, 60, 80 м —
без «зсуву». Але останній стовпець співпадає
Відповідь: 49 стовпців. 123. Потрібно виготовити чотирикутну
50 – 1 = 49 стовпців.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 = 5 + 5 = 10.
3.
2,5
2,5 + 4 + 3 + 4 = 13,5.
2) Дві протилежні сторони
3) Протилежні сторони попарно
1) пряма; 2) промінь;
протилежну сторону. Визначенням
Мал. 37:
рівні, а на малюнку ∠28° ≠ ∠29°.
Мал. 38: Довжини
129. У
(х + 7х) • 2 = 48;
8х = 24; х = 3см; 7x = 7 • 3 = 21 (см).
Відповідь: 3 см; 21 см; 3 см; 21 см.
2) Нехай x см — одна сторона, тоді (х + 7) см —
сторона; (х + x + 7) • 2 = 8;
2х + 7 = 24;
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
2х = 17;
х = 8,5 (см);
х + 7 = 8,5 + 7 = 15,5 (см).
Відповідь: 8,5 см; 15,5 см; 8,5 см; 15,5 см.
133. Периметр
одна з його сторін на 3 см більша за іншу.
Нехай x см — одна сторона, тоді (х + 3) см — друга сторона;
Р = (х + x + 3) • 2; (2x + 3) • 2 = 32;
2х + З = 16;
2х = 13;
х = 6,5 (см);
х + 3 = 6,5 + 3 = 9,5 (см).
Відповідь: 6,5 см; 9,5 см; 6,5 см; 9,5 см.
134. За даними
Мал. 39: З ∆АВК, за
AB = 2AK = 4 см; CD = АВ = 4 см; AD = AK + КD = 2 + 4 = 6 см; ВC = AD = 6 см.
Мал. 40: З ∆ABК, у якому ∠AKB = 90°: ∠ABK
CD = AB = 10 см; AD = AK + KD = 5 + 5 = 10 cм; BC = AD
DC = AB = 6 см; ∠C = ∠A = 30°.
∆BDC: ВС = 2 • ВD = 2 •
DAB + ∠ABC = 180°.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
поясніть.
∠ADC = ∠ABC = α; ∠BAD = ∠BCD = β.
1) ∠ADC= 120°; ∠BAD=60°; 2) ∠ADC = ∠BAD = 90° (АВСD прямокутник).
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
∠A = 90° – 30° = 60° (з ∆АВМ);
∠C = ∠A = 60°; ∠B = ∠D = 180° – 60° = 120° (згідно властивостей паралелограма).
144. Знайдіть кути паралелограма, якщо:
1) один з його кутів на 50° менший від іншого;
2) сума двох його кутів дорівнює 120°.
1) Мова йде про сусідні кути. Нехай ∠1 = x, тоді ∠2 = x + 50°; Згідно властивості паралелограма про суму сусідніх кутів:
х + х + 50° = 180°;
2х = 130°;
х = 65°;
∠1 = ∠3 = 65°;
∠2 = ∠4 = 65° + 50° = 115°.
2) Дані кути не сусідні, а протилежні, бо
Тому ∠1 + ∠3 = 120°; ∠1 = ∠3 = 120° : 2 = 60°.
Тоді ∠2 = ∠4 = 180° – 60° = 120°.
145. Знайдіть кути паралелограма,
Нехай ∠1 = х, тоді ∠2 =
х + 3х = 180°; 4х = 180°; х = 45°;
∠1 = ∠3 = 45°;
∠2 = ∠4 = 3 • 45° = 135°.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
розрахунків застосуємо властивості
1) ОС = АО = 6 см; OD = OB = 3 cм;
2) АС = АО + ОС = 6 + 6 = 12 cм; BD = ВО + DO = 3 + 3 = 6 см;
3) AD = ВС = 8 см; DC = AB = 5 см.
149.
35°.
Згідно властивості
A = ∠C = 35°.
D = ∠B = 180 – 35 = 145° 150.
= CD = 3 см;
= AD = 6
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
Нехай ∠A = α, тоді ∠B = 180° – α.
∠BAK = α 2 ; ∠ABK = 1 2 (180° – α).
З ∆АВК:
∠AKB = 180° – (∠BAK + ∠ABK) = 180°– (α 2 + 1 2 (180° – α) = = 180° – (α 2 + 90° –α 2 ) = 90°.
Отже, ВК ⊥ АK, тобто бісектриси
перпендикулярні.
152. Доведіть, що бісектриси
то АВ = ВК =
∠BAK = ∠BKA. Оскільки ∆АВК —
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
∆АВК — рівнобедрений, бо ∠BAK = ∠KAD (АК — бісектриса), а ∠KAD = ∠BKA
(внутрішні різносторонні кути
АD і січній AK)
1. AB = 6 см, AD = 9 см. Якщо AB = 6 см, то ВК = 6 см; ВС = AD (протилежні сторони
паралелограма);
ВС = ВК + КС; 6 + КС = 9; КС = 9 – 6 = З (см).
2. AB = 4 см, тоді ВК = АВ = 4 см.
ВС = ВК + КС = 4 + 11 = 15 (см). AD = ВС (протилежні сторони паралелограма). AD = 15 (см).
155. У паралелограмі АВСD бісектриса кута
паралелограма, якщо АD = 14 см, ВK : K
Нехай ВК = 3х; КС = 4х, тоді ВК + КС =
3х + 4х = 14;
7х = 14;
х = 2 (см).
Тоді BK = 3 · 2 = 6 (см); КС = 4 · 2 = 8 (см).
∆АВК — рівнобедрений; AB = BK = 6 (см). P = (AB + ВС) · 2 = (6 + 14) · 2 = 40 (см).
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
Оскільки ∠NМA = ∠BCA, то ∠NМA = ∠BAC.
(AB = ВС, оскільки ∆АВС — рівнобедрений).
157. Із точки, узятої на основі
— рівнобедрений, тому ∠BCA = ∠BAC.
Оскільки ∠NМA = ∠BCA, то ∠NМA = ∠BAC. Звідси: ∆
PМNBK = МN + NB + ВК + КМ = AN + NB
PМNBK = 2АВ = 2 · 15 = 30 (см).
158. У паралелограмі
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
ОС = ОА (О середина діагоналі); ОЕ = OF (доведено
∠EOC = ∠FOA (вертикальні). З рівності трикутників: в) СЕ = АF.
перетинає сторони ВС і АD в точках
якщо ВЕ = 5 см, АF = 4 см.
ОС = ОА (О середина діагоналі). BO = OD (О — середина діагоналі BD).
∠CОЕ = ∠AOF (як вертикальні).
∠OCE = ∠OAF (як внутрішні різносторонні при BС ∥ AD і січній AC).
Звідси ∆CОЕ = ∆AOF (II ознака рівності трикутників). Тому OE = OF, AF = EC.
BE = 5 cм; AF = 4 cм, тому EC = 4 см.
BC = BE + EC = 5 + 4 = 9 (см).
AD = ВС (протилежні сторони паралелограма).
Отже, AD = 9 см, ВС = 9 см.
160. Знайдіть кути
як: 1) 4 : 5; 2) 3 : 7.
4х + 5х = 180°; 9х = 180°; х = 20°; ∠1 = 4 · 20° = 80°;
3 —
∠1; ∠3 = 80°; ∠2 = 5 · 20° = 100°;
∠2; ∠4 = 100°.
2)
=
3х + 7x = 180°; 10х = 180°; х = 18°;
∠1 = 3 · 18° = 54°; ∠3 —
∠1; ∠3 = 54°; ∠2 = 7 · 18° = 126°;
B
2 x = 1 3 (180° – x);
3x = 2(180° – x);
3х = 360° – 2x; 5x = 360°, x = 72° —
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
1. Нехай ∠1 = 2x, ∠2 = 3x. ∠1 і ∠2 нерівні, тому вони сусідні.
∠1 + ∠2 = 180°; 2x + 3x = 180°; 5х = 180°;
х = 180° : 5;
х = 36°;
∠1 = 2 · 36° = 72°;
∠2 = З · 36° = 108°;
∠3 — протилежний ∠1; ∠3 = 72°;
∠4 — протилежний ∠2; ∠4 = 108°.
2. Тупий
тоді 2x° — тупий кут.
х° + 2x° = 180°, 2x = 180°, x = 60°,
∠А = ∠С = 60°,
∠B = ∠D = 60° · 2 = 120°.
163.
Мал. 1 ∠D = 120°; ∠C = ∠A = 180° – 120° = 60°; ∠B = 120°; ∠CBK = 90° – 60° = 30°; ∠ABN = 90° – 60° = 30°; x = ∠NBK = 120° – (∠ABN + ∠CBK) = 120° – (30° + 30°) = 60°.
Мал. 2 ∠CBO = ∠ODA= 30° (внутрішні різносторонні
∥ AD і січній BD). З ∆ВОС; ∠BOC = 180° – (30° + 20°) = 130°. x = 180° – 130° = 50° (x і ∠BOC — суміжні).
164. На малюнку
x.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
NBKD: ∠B = 60°; ∠N = ∠K = 90°;
∠N + ∠B + ∠K + ∠D = 360°.
Тому ∠D = 360° – (∠N + ∠B + ∠K) = 360° – (90° + 60° + 90°) = 120°; x = 120°.
165. Доведіть, що кут
ABCD — паралелограм. BK ⊥ AD; BP ⊥ CD. ∠KBP —
Нехай ∠A = α —
У чотирикутнику BPDK:
∠K = 90°; ∠P = 90°; ∠D = 180° – α;
∠KBP = 360° – (∠K +
= 360° – (360° – α)° = 360° – 360° + α = α.
∠B = ∠D; ∠D = 84°; ∠D = ∠ADB + ∠BDC;
∠ADB = ∠D – ∠BDC = 84° – 68° = 16°;
∠BCD = ∠C = 180° – ∠B = 180° – 84° = 96°.
168.
ABCD — паралелограм. BD — діагональ; BD = AB; BD ⊥ AD.
∠B = 180° – 45° = 135°.
∠C = ∠A = 45°; ∠D = ∠B = 135°.
= (2х + 3х) · 2; (2х + 3х) · 2 = 48; 10х = 48; x = 4,8; AB = 2 · 4,8 = 9,6 (см);
=
· 4,8 = 14,4 (см). CD = AB = 9,6 (см); AD = ВС = 14,4 (см).
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
ABCD — паралелограм; ∠A = 60°; BK ⊥ AD; К — середина AD.
У ∆АВК висота ВК є медіаною, тому ∆ABD рівнобедрений; AB = BD; ∠BAD = ∠BDA = 60°, тоді ∠ABD = 180° – (60° + 60°) = 60°.
Отже, ∆АВD — рівносторонній. АВ = AD = BD.
У паралелограмі всі сторони рівні. Р = 4АВ; 4АВ = 24; АВ = 24 : 4 = 6 (см); BD = AB = 6 см.
171. Два кути паралелограма відносяться як 1 : 3. Знайдіть
паралелограма, проведеними з вершини:
1) тупого кута; 2) гострого кута.
Кути відносяться як 1 : 3. Отже, ці кути сусідні,
Нехай ∠A = x, ∠B = 3x.
∠A + ∠B = 180°;
х + 3 х = 180°; 4x = 180°;
х = 45°;
∠A = 45°; ∠B = 45° · 3 = 135°.
1) ВK ⊥ AD; ВD ⊥ CD; ∠KBD —
ВКА = 90°, ∠ВАК = 45°, тому ∠ABK = 45°. ∠C = ∠A = 45°.
∆СD
CBD = 45°. ∠KBD = ∠ABC – ∠ABK – ∠CBD = 135 ° – 45° – 45° = 45°.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
∠PAF — кут між
∠PBA = 180° – ∠ABC = 180° – 135° = 45° (як суміжні), тоді:
∠PAB = 90° – 45° = 45° (з прямокутного ∆АРВ).
Аналогічно ∠FAD = 45° (з прямокутного ∆AFD).
∠PAF = ∠PAB + ∠BAD + ∠DAF = 45° + 45° + 45° = 135°.
172. Один із кутів
дорівнює 5 см.
ABCD — паралелограм; PABCD = 50 см.
∆АОВ; ∆ВОС; ∆COD; ∆AOD. ∆AOB = ∆COD; ∆ВОС = ∆DOA (I ознака).
Тому Р∆BOC – P∆AOB = 5 см.
P∆BOD = ВО + ОС + BC; P∆AOB = ВO + AO + AB.
BO + OC + BC – BO – AO – AB = 5 cм.
=
ВС – АВ = 5.
+
Нехай AB = х см, тоді ВС = х + 5 (см).
РABCD = (AB + ВС) · 2, тобто (х + х + 5) · 2 = 50; 4x + 10 = 50;
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
4x = 40; x = 10;
АВ = CD = 10 (cм);
BC = AD = 10 + 5 = 15 (см).
174. За якої умови
лежить
ABCD — паралелограм. AK — бісектриса ∠A. DK — бісектриса ∠D.
К ∈ ВС. ∠BAK = ∠KAD, a ∠KAD = ∠BKA (внутрішні
AK).
Тому ∠BAK = ∠BKA.
∆ABK — рівнобедрений, AB = BK.
Аналогічно ∆KCD — рівнобедрений, тому КС = CD.
Оскільки AB = CD, то BK = КС.
Оскільки BK = АВ, то ВС = 2ВК = 2АВ.
Отже, бісектриси кутів
точці, що
6x = 42; x = 42 : 6; x = 7 (см).
AB = CD = 7 cм; BC = AD = 2 · 7 = 14 (cм).
1.
1. Як виготовити? Візьміть
кінці шарнірно (наприклад, заклепками),
2. Як користуватися?
Покладіть
планку на потрібну відстань.
першій.
3. На якій властивості ґрунтується?
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
ABCD — не паралелограм, бо ВС = AD, але вони не паралельні.
Або: ВС = AD, але AB ≠ CD.
180. Накресліть два рівні
відрізками так,
ВС ∥ АD; BС = АD = 4 см.
правильним.
KL 4 см 5,3 дм 1,5 см 0,3 дм
LM 6 см 3 дм 25 мм 5 см
KLMN – паралелограм Доповнимо таблицю
1: МN=4 см,LМ =6 см, NK =6 см;
2: KL =5,3 дм, NK =3 дм;
стовпець 3: МN= 15 мм, NK = 25 мм;
стовпець 4: KL =3 см,LМ =5 см.
1) АВ = 3 см, АD = 2 см; 2) ВС = 2,5 см, СD = 3,7 см. Які довжини
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
0,4дм =4см, 30мм =3см, 40мм =4см ⇒ �������� = �������� =3см, �������� = �������� =4см ⇒
паралелограм.
2) АВ + ВС = 7 см, ВС – СD = 3 см, АD = ВС = 5 см; BC = AD =5 см, CD = BC 3=2 см, AB =7 BC =2 см ⇒ AB = CD =2 см, BC = AD =5 см ⇒ ABCD – паралелограм.
3) АВ : ВС : СD : АD = 2 : 1 : 2 : 1.
AB ∶ CD =2 ∶ 2 ⇒ AB = CD, BC ∶ AD =1 ∶ 1 ⇒ BC = AD ⇒ ABCD – паралелограм.
Відповідь: у всіх випадках ABCD – паралелограм.
187. Доведіть, що чотирикутник АВСD — паралелограм, якщо:
1) АВ = 0,5 дм, ВС = 2,7 см, СD = 5 см, АD = 27 мм; 0,5 дм =5 см та �������� =5 см, �������� =2,7 см та �������� = 27 мм =2,7 см ⇒ �������� = �������� , �������� = �������� ⇒ ���������������� – паралелограм.
2) АВ – АD = 3 см, СD = 2ВС, АВ = СD = 6 см. �������� = �������� =6 см i �������� =2�������� ⇒ �������� =3 см; �������� �������� =3 см
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
1) AB ∥ CD, АВ = 3 см, СD = 30 мм;
АВ і CD — протилежні сторони чотирикутника ABCD. AB ∥ CD; АВ = 3 см; CD = 30 мм. Оскільки 3 см = 30 мм, то АВ = CD. Тоді ABCD — паралелограм, бо протилежні сторони АВ і CD паралельні і рівні.
2) AD = BC, ∠АВС = 120°, ∠ВАD = 60°.
∠АВС і ∠DAB
∠ABC + ∠DAB = 120° + 60° = 180°, то AD ∥
умовою АD = ВС,
Оскільки ABCD — паралелограм, тому AB = CD.
∠B = ∠D; ∠BEA = 180° – ∠AEC; ∠DFC = 180° – ∠AFC.
Оскільки ∠AEC = ∠AFC (за умовою), то ∠BEA = ∠DFC.
∠BAE = 180° – ∠B – ∠BEA; ∠DCF = 180° – ∠D – ∠DFC.
Оскільки ∠BEA = ∠DFC, ∠B = ∠D, тo ∠BAE = ∠DCF.
∆ABE = ∆CDF (за II ознакою рівності трикутників).
3 рівності трикутників: AE = CF, BE = DF, EC = BC – BE. AF = AD – FD.
Оскільки BC = AD (протилежні сторони паралелограма), BE = FD, то EC = AF.
У чотирикутнику AECF протилежні сторони рівні (АЕ = CF, EC = AF), тому AECF — паралелограм.
200. У піраміді SАВСD АВ = 4 см, ВС = 0,7 дм, DС = 40 мм, АD = 70 мм. Доведіть,
AB =4 см, CD = 40 мм =4 см;
ABCD – паралелограм. Відповідь: основа SABCD – паралелограм. 201. Доведіть, що
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
Звідси ∆МCK = ∠NAE. 3 рівності трикутників
= NE. У чотирикутнику EМKN: EМ = KN, МK = NE, тобто
Тому EМKN — паралелограм.
203. На сторонах паралелограма АВСD відкладено рівні відрізки AМ, DN, CP, BK, як показано на малюнку. Доведіть, що МNPK — паралелограм.
ABCD — паралелограм, тому ∠A = ∠C.
AB = CD (протилежні сторони).
BK = DN — за умовою, тому AB – BK = CD – DN або AK = CN. ∆AKМ = ∆CNP (за I ознакою рівності трикутників).
AK = CN, AМ = CO (за умовою). ∠A = ∠C.
3 рівності трикутників: KМ = PN. Аналогічно: ∆KBP = ∆NDМ. Звідси KP = МN.
У чотирикутника МNPK протилежні сторони рівні.
204. У паралелограмі
ABCD — паралелограм, тому BD = OD. ОМ = ON (за умовою).
Звідси: МBND — паралелограм, бо
207. МВND — паралелограм, ОА = ОС. Доведіть, що
МBND — паралелограм, тому ВО = OD.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
ABCD: ВС ∥ AD. Діагональ AC
паралельних ВС, AD і січній BD. BO = OD; ∠BOC = ∠DOA (вертикальні).
Звідси ∆ВОС = ∆DOA (II ознака).
З рівності трикутників: АО = CO.
У чотирикутника ABCD діагоналі перетинаються
Отже, ABCD — паралелограм.
211. АВСD — паралелограм, АМ = KС, BN = Р
ABCD — паралелограм, тому ОА = ОС; OB = OD.
За умовою AM = КС; BN = DP.
DP, aбо ON = OP. У чотирикутнику MNKP
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
MNKP
Отже, MNKP — паралелограм.
213. У чотирикутнику ABCD відомо, що AB = CD, ∠А + ∠D = 180°. Доведіть, що AD = BC.
Оскільки ∠DAB + ∠ADC = 180∘ , то прямі AB‖DC при січній AD ( як
односторонні кути).
AB = CD ⇒
Відповідь: AD = BC 214. У чотирикутнику
ВС ∥ AD;
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
ABCD — паралелограм. AB = CD; ВС = AD.
За умовою AK = СМ, звідси KB = МD. ВР= DE, звідси CP= EA. ∠A = ∠C, звідси ∠KAE = ∠МCP.
∠B = ∠D, звідси ∠KBP = ∠МDE. ∆KBP = ∆МDE (ДМ = KP; DE = BP; ∠EДМ = ∠KBP).
3 рівності трикутників KP = EМ. Аналогічно
= ∆МСР, тому КЕ = PМ. У чотирикутнику КРМЕ протилежні сторони рівні, тому КРМЕ — паралелограм. 216. На діагоналі АС паралелограма АВСD позначено точки K і М так, що ∠АKВ = ∠СМD. Доведіть, що KВDМ — паралелограм.
AB ∥ CD; АС — січна, тому ∠BAK = ∠DCM, за умовою ∠BKA = ∠CMD.
У ∆АВК: ∠ABK = 180° – ∠BAK – ∠BKA. У ∆CDM: ∠CDM – 180° – ∠DCM – ∠CMD.
Оскільки ∠BAK = ∠DCM і ∠BKA = ∠CMD, то ∠ABK = ∠CDM. ∆BAK = ∆DCM, бо AB = CD; ∠BAK = ∠DCM і ∠ABK = ∠CDM.
3 рівності трикутників: BK = MD. ∠BKM = 180° – ∠BKA; ∠DMK = 180° – ∠DMC
(суміжні кути).
Оскільки ∠BKA = ∠DMC (за умовою), то ∠BKM = ∠DMK, але ∠BKM і ∠DMK —
внутрішні різносторонні
чотирикутнику KBMD ВК = MD і ВК ∥ MD, тому KBMD паралелограм.
Через точку K внутрішньої
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
Нехай ABCD — паралелограм. Q, E, F, G — середини відповідно BC, CD, DA, AB.
Проведено перпендикуляри: NE ⟂ CD, KF ⟂ AD, LG ⟂ AB, MQ ⟂ BC. Точки перетину з
протилежними сторонами (або їх продовженнями) — N, K, L, M.
1. Оскільки AB ∥ CD, маємо NE ∥ LG і NE ⟂ AB, LG ⟂ AB. Разом з AB ∥ CD це дає, що
чотирикутник ENGL — прямокутник (сторони NE і LG паралельні, а кожна з них
перпендикулярна AB і CD). Тому EL = GN та EN = GL — протилежні сторони прямокутника рівні.
2. Аналогічно, бо BC ∥ AD і KF ⟂ AD, MQ ⟂ BC, маємо FK ∥ MQ, а FQMK —
прямокутник. Отже, FM = QK та FQ = MK.
3. Із середностей: GB = AG = 1/2·AB, DE = CE = 1/2·CD. Але AB = CD у паралелограма,
тому GB = DE.
4. З прямокутника ENGL: GN = EL. Тоді
NB = GB − GN = GB − EL = DE − EL = DL.
Отже, NB = DL.
5. З прямокутника FQMK: QK = FM. Із (3) маємо BQ = DF. Тоді
BK = BQ − QK = DF − FM = DM.
Отже, BK = DM.
6. У паралелограмі ∠B = ∠D
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
ABCD – чотирикутник. BD — діагональ.
AМ ⊥ BD; СР ⊥ BD; АМ = СР; ВК ⊥ AC; DZ ⊥ АС;
однієї прямої).
∥ DZ (як
BD — січна, тому ∠KBO = ∠ZDO (внутрішні різносторонні
DZ і січній BD).
∠BKO = ∠DZO = 90°; BK = DZ (за умовою). Звідси ∆ВКО = ∆DZO. З рівності трикутників: BO = OD.
Аналогічно: ∆АМО = ∆СРО. З рівності цих
чотирикутнику ABCD діагоналі точкою
Отже, ABCD — паралелограм.
220. Поясніть принцип
222.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
2) усі кути прямі?
Так – усі кути прямі ⇒ паралелограм із прямими кутами ⇒ прямокутник.
223. Чи
поясніть.
Прямокутник – частковий випадок
навпіл.
224.
прямокутником.
1) нерівні; 2) рівні?
Діагоналі
– правильно.
Відповідь: 1) Ні; 2) Так.
226.
1) нерівні;
2) рівні?
Рівні
Відповідь: 1) Ні; 2) Так. 227. ABCD —
1) AD і DC; 2) BD; 3) AO, OC, BO і OD.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
ABCD — прямокутник; ВС = 16 см; AB = 12 см.
1. AD = ВС; DC = AB (протилежні сторони прямокутника). AD = 16 см; СD = 12 см.
2. BD = AC = 20 см, діагоналі прямокутника рівні.
3. АО = ОС = 1 2АС = 10 см; ВО = 0D = 1 2 BD = 10 cм; діагоналі прямокутника
перетину діляться навпіл.
228. ABCD — прямокутник. За даними на малюнку знайдіть кути 1, 2 і 3.
∠2 = ∠4 = 36° (внутрішні різносторонні кути);
ВС ∥ AD, АС — січна; ∠1 = ∠3 = 90° – 36° = 44°.
Відповідь: 44°; 36°; 44°.
229. Знайдіть діагоналі
1) 12 см; 2) 6 см; 3) 18 мм.
У прямокутника діагоналі рівні.
1. d1 = d2 = 12 2 = 6 (см);
2. d1 = d2 = 6 2 = 3 (см);
3. d1 = d2 = 18 2 = 9 (см).
230. ABCD — прямокутник. За
1) його діагоналі; 2) суму його діагоналей.
1. АО = ОМ = 7 см; АС = BD = 14 см; 2. AC + BD = 14 cм.
231. О — точка
ABCD. Доведіть:
1) трикутники AOD, BOC, AOB і DOC — рівнобедрені; 2) ∆AOB = ∆DOC, ∆BOC = ∆AOD. Нехай ABCD — прямокутник; О — точка
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
1. ∆AOD; ∆ВОС; ∆АОВ; ∆DOC — рівнобедрені; АО = OB; ОВ = ОС; ОС = OD; АО = OD, сторони цих трикутників є половинами діагоналей, а діагоналі у прямокутника рівні.
2. ∆АОВ = ∆DOC; ∆BOC = ∆AOD (за трьома сторонами); AB = CD; ВС = AD (протилежні сторони прямокутника); ВО = OD; АО = ОС (діагоналі прямокутника в точці
перетину діляться навпіл).
232. На малюнках зображено
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
1. α + α + 60° = 90°; 2α = 30°; α = 15°;
∆AOD: ∠AOD = 180° – (α + α) = 180° – 30° = 150°;
∠AOB = 180° – 150° = 30°.
Відповідь: 30°.
2. ∆NPK: α + 2 α = 90°; 3 α = 90°; α = 30°;
∆NOP: NO = OP; ∆РОК: OP = OK; ∠P = ∠K = 60°; ∠POK = 60°.
Відповідь: 60°.
235. Знайдіть
У ∆EFQ ∠F + ∠Q = 90°; α 2 + α 2 = 90°;
α = 90°; α 2 = 45°; α = 90°.
Відповідь: 90°.
236. а і b
= (AB + AD) · 2 = (4 + 12) · 2 = 32 (см);
PABCD = (10 + 5) · 2 = 30 (см). Відповідь: 30 см. 238.
AB = 12 см; AD = 12 + 4 = 16 см; PABCD = (12 + 16) · 2 = 56 (см). 239.
1) АС = 2 см; 2) ВD = 7 см.
діагоналей.
Отже,
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
Висновок: KLMN — прямокутник.
242. Діагоналі паралелограма АВСD утворюють рівні трикутники
що АВСD — прямокутник.
Із рівності трикутників CAB і DBA випливає
внутрішні
CBA + ∠DAB = 180°.
Оскільки ці кути рівні,
DAB = 90°.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
Дано: ABCD — паралелограм.
∠A = 90°; ∠D + ∠A = 180°; AB ∥ DC, тоді ∠D = 90°.
CDA = ∆BDA (за II ознакою).
AD — спільна. DC = АВ; ∠D = ∠A.
З рівності трикутників маємо: BD = АС, що й треба було довести.
245. Висота прямокутного паралелепіпеда дорівнює 8 см, ширина — у 2
висоту, а довжина — на 16 см більша за ширину.
Знайдіть ширину й довжину прямокутного паралелепіпеда.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
3. d = 0,44 дм; ВС = 1 2 · 0,44 = 0,22 дм.
Відповідь: 2 см; 7 см; 0,22 дм.
248. Менша сторона
перетинаються під кутом 60° і: 1) а = 10 см; 2) а = 0,25 дм; 3) а = 7 мм.
1. а = 10 см; ∆АОВ — рівносторонній. OB = OA = AB = a; d = AC = 2a; BD = 20 cм;
2. а = 0,25 дм; d = АС = 2 · 0,25 = 0,5 дм;
3. а = 7 мм; d = АС = 2 · 7 = 14 (мм).
Відповідь: 20 мм; 0,5 дм; 14 мм.
249. Доведіть, що
ними дорівнює 60°. ABCD — прямокутник.
—
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
∠DAK = 90° – 36° = 54°; ∆DKC —
∠КCD = 90° – 54° = 36°.
2. ∠ACD = ∠BDC = 36°; ∠BDK = 54° – 36° – 18°. 251. Периметр
1. AD : DC = 2 : 3; AD = ВС = 2х; AB = CD = 3х; x — спільна міра відрізків.
(2х + 3х) · 2 = 48; 10х = 48; x = 4,8; AD = ВС = 9,6 см; АВ = CD = 14,4 см.
Відповідь: 9,6 см; 14,4 см.
2. МN = 10 см; МN = АВ = CD = 10 см;
AB = CD = P–2AB 2 = 48–20 2 = 14 (см);
Відповідь: 10 см; 14 см.
3. ОК = 4 см; ВС = AD = 2ОК = 2 · 4 = 8 (см). DC = АВ = (48 – 16) : 2 = 16 (см).
Відповідь: 8 см і 16 см.
252.
1) 12 см; 2) 8,6 см.
KN + PF = 1 2PABCD = 1 2 · 12 = 6 (см).
2) KN + PF = 1 2PABCD = 1 2 · 8,6 = 4,3 (см). Відповідь: 6 см; 4,3 см.
1) 3 см і 5 см; 2) 0,2 дм і 3 см. ABCD — прямокутник; AK — бісектриса ∠A.
1) m = 3 cм; n = 5 cм; ∠1 = ∠2; AK — бісектриса.
∠2 = ∠3, ВС ∥ AD, A
AB = ВК = m = 3 cм; AB = CD = 3 cм; BC = AD = m + n = 8 (см).
PABCD = (3 + 8) ∙ 2 = 22 (cм).
РABCD = 5 + 5 + 8 + 8 = 26 (cм).
2) m = 0,2 дм; n = 3 см; PABCD = 14 см; PABCD = 16 см.
Відповідь: 1) 26 см або 22 см; 2) 14 або 16 см. 254. Бісектриса
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
1) 15 см; 2) 3,8 дм.
AK — бісектриса кута BAD.
1) AB = 15 cм; ∠1 = ∠2; ∠2 = ∠3 ⇒ ∠1 = ∠3.
∆АВК — рівнобедрений.
AB = BK = 15 см; ВС = 2ВК = 30 см.
РABCD = (15 + 30) · 2 = 90 (cм).
2) PABCD = (3,8 + 7,6) · 2 = 22,8 (дм).
Відповідь: 90 см; 22,8 дм.
255. У паралелограмі
цей
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
∠A = ∠B = ∠C = ∠D.
∠A = ∠C, ∠B = ∠D ⇒ тому цей чотирикутник паралелограм.
∠A + ∠B = 180°; 2∠A = 180°; ∠A = 90°, отже ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°, тому ABCD — прямокутник, що й треба було довести.
258. Доведіть, що
ABCD — паралелограм. ∠A = ∠D;
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
цей паралелепіпед — прямокутний.
Паралелепіпед має
Але за умовою, усі грані мають прямі кути.
паралелограм з прямими кутами — це прямокутник.
Отже, усі грані паралелепіпеда — прямокутники. З цього випливає: - Протилежні грані — прямокутники, розташовані паралельно. - Сусідні грані — прямокутники, які
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
Мал. 1 а) Нехай АВ = DC = а; AD = ВС = b; ∆ABN — рівнобедрений; AB = BN = а; NC = b – с; МN = BN – NC = a – b + a = 2a – b;
б) нехай AB = CD = b; BC = AD = a; AB = BN = b; NC = a – b; МN = BN – NC = 2b – a;
Мал. 2 B) AB = CD = b; AD = BC = a; BМ = NC = b; AD = 2b або AD = b – 2a.
264. Через середину
2.
1. ∆АВС — прямокутний, рівнобедрений,
∆МBN: ∠B = ∠N = 45°; BМ = МN;
∆NKC: ∠C = ∠N = 45°; NK = КС; МNKA — прямокутник.
AМ = NK; N = AK.
Периметр прямокутника не
2. KC = NK; AC = AK + KC = 5 cм; P = 2AK + 2NK = 10 (см).
Відповідь: 10 см.
267. Доведіть, що
прямокутником. Доведіть.
Нехай AD = ВС, DС = AB. АС = BD;
∠ACD = ∠CAB (внутрішні різносторонні
DC ∥ AB; DC = AB; ABCD — паралелограм, у
Доведіть, що
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
∆ABC — прямокутний; ∠BCA = 90°; CO — медіана.
Доведемо, що СО = 1 2 АВ.
Проведемо BD ∥ АС; AD ∥ ВС; ABCD — паралелограм.
∠С + ∠A = 180°; ∠A = ∠C = 90°.
ABCD — прямокутник, діагоналі
ОВ = OА = OD = ОС; ОС = 1 2АВ,
1–й спосіб.
Якщо у чотирикутнику протилежні сторони
прямокутником.
3–
то він є прямокутником.
275. На малюнку
1. Поясніть, як
2. Чому відлік
3.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
використати метод побудови прямокутника
Послідовність дій:
наприклад,
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
279. Назвіть
1) рівні;
2) взаємно перпендикулярні;
3) ділять кути ромба навпіл?
1. Ні; 2. Так; 3. Так.
281. Чи правильно, що паралелограм є ромбом, якщо його діагоналі:
1) перетинаються під гострим кутом;
2) взаємно перпендикулярні?
1. Ні; 2. Так.
282. Чи правильно, що квадратом є
1) дві сусідні сторони нерівні; 2) усі сторони рівні?
1. Ні; 2. Так.
283. Чи має квадрат
1.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
ромба всі сторони рівні.
ВС = AD = 6 см: ∠COD = 90°; СО ⊥ OD.
288. ABCD — ромб. За
1) BC, AD, DC; 2) AC, BD.
1. ВC = AВ = 10 см; AD = 10 cм: DC = 10 cм; у
2. АС = 2АО = 16 см; BD = 2ВО = 12 см. 289.
∠1 =
2 = ∠3 = 25°.
2,4 дм;
2) 280 мм.
Р = 4а;
1) а = 2,4 : 4 = 0,6 (дм); 2) а = 280 : 4 = 70 (мм).
∆АОВ = ∆ВОС = ∆DOC = ∆AOD (за двома катетами). Діагоналі ромба
293.
∆АВС = ∆АОС (за трьома рівними
AB = ВС = AD = DC; AC — спільна.
294. ABCD
∠1 = ∠3 = ∠4 = 25°; ∠2 = 65°; ∠5 =
Нехай ABCD — ромб, AB = ВС – AD = BD.
∆ABD — рівносторонній.
Отже, ∠A = ∠ABD = ∠ADB = 60°; ∠A = ∠C = 60°; ∠B = ∠D = 120°.
Відповідь: 60°; 60°; 120°; 120°.
298. Знайдіть
1) 30°; 2) 15°; 3) 65°.
Нехай ABCD — ромб. BK ⊥ AD; BK — висота ромба.
1. ∠ABК = 30°; ∆ABK; ∠A = 60°; ∠С = ∠A = 60°; ∠B = ∠D = 120°;
2. ∠ABK = 15°; ∠A = 75°; ∠C = 75°; ∠B = ∠D = 105°;
3. ∠ABK = 65°; ∠A = ∠C = 25°; ∠В = ∠D = 155°.
Відповідь: 1) 60°; 60°; 120°; 120°; 2) 75°; 105°; 75°; 105°; 3) 25°; 155°; 25°; 155°.
299. За даними
1. α + α + 40° = 180°; 2α = 140°; α = 70°.
∠A = ∠C = 70°; ∠B = ∠D = 110°.
2. α + 4α = 90°; 5 α = 90°; α = 18°;
∠A = ∠C = 36°; ∠B = ∠D = 144°.
300. За
2α + α = 180°; 3α = 180°; α = 60°; ∠B = ∠D = 120°; ∠A = ∠C = 60°.
301. Кут
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
якщо:
1) d = 3,2 дм; 2) d = 45 мм.
Нехай ABCD — ромб. ∠A = 60°; BD = d.
1. d = 3,2 дм; P = 4 · 3,2 = 12,8 (дм);
2. d = 45 мм; P = 4 · 45 = 180 (мм).
Відповідь: 12,8 дм; 180 мм.
302. Кут ромба
Нехай ABCD — ромб. ∠A = 60°; BD = d. d = 10 cм; ∆ABD — рівносторонній;
∠A = ∠D = ∠В = 60°; AB = BD = AD = 10 cм;
PABCD = 40 cм.
Відповідь: 40 см.
303. У чотирикутнику
Нехай АВСD — квадрат. ОK ⊥ АВ; ОК = n.
1. n = 8 см; AD = 2n = 16 см; Ркв = 64 см; 2. n = 0,3 дм; а = 2n = 0,6 дм; Ркв = 4а = 2,4 дм.
Відповідь: 1) 64 см; 2) 2,4 дм.
307. Знайдіть периметр квадрата, якщо точка
сторони на 21 мм.
Нехай АВСD — квадрат. ОK ⊥ АВ; ОК = n.
а = 21 мм; а = 2n = 42 мм; Ркв = 4а = 42 · 4 = 168 мм.
Відповідь: 168 мм.
308. Дано паралелограм KLМN.
=
1
Відповідь: 96 см2 313.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
Відповідь: 726 см2 . 314. Доведіть, що чотирикутник,
Нехай ABCD — чотирикутник, AB = BC = CD = AD.
Проведемо діагональ BD.
∆ABD = ∆CBD (за трьома сторонами (BD — спільна сторона)).
Тому ∠1 = ∠2. Отже, DC ∥ АВ.
ABCD — паралелограм, у якого всі сторони рівні;
ABCD — ромб, що й треба було довести.
315. Паралелограм, діагоналі якого
Нехай ABCD — паралелограм, діагоналі
∆ABD = ∆CBD — рівнобедрені:
∠4 = ∠5; ∠3 = ∠5; DC = ВС; AD = AB.
У паралелограма
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
Нехай ABCD — ромб.
PABCD = 36 см; DK ⊥ AB; DK — висота ромба; а — сторона ромба.
Р = 4а; а = 36 : 4 = 9 (см).
∆ADK : AD = 9 cм; DK = 4,5 (cм).
DK = 1 2 AD. Отже, ∠A = 30° (катет, що лежить навпроти кута 30°).
∠A = ∠C = 30°; ∠D = ∠B = 150°.
Відповідь: 30°; 30°; 150°; 150°.
317. Доведіть, що висоти ромба рівні.
Нехай ABCD — ромб. ВМ і ВР — висоти; ВМ ⊥ AD; BP ⊥ CD.
∆АВМ = ∆СВР.
∠М = ∠P = 90°; AB = ВС; ∠A = ∠C.
3 рівності трикутників
1) кути ромба; 2) периметр ромба, якщо
= ВК.
1) ∆ADB— рівнобедрений; АК = КВ; DK ⊥ AB; ∠A = 60°; ∠ADC= 120°; ∠C = ∠A = 60°; ∠D = ∠B = 120°.
2) BD = 20cм; AD = BD; PABCD = 4AD = 4 · 20 = 80 (cм).
Відповідь: 1) 60°; 60°; 120°; 120°; 2) 80 см.
319. Знайдіть
вершини, дорівнює: 1) 35°; 2) 20°.
Нехай АВСD — ромб.
∠BDK — кут між
1. ∠BDK = 35°: ∆DBK = 55°; ∠ABC = 110°; ∠ADC = ∠ABC = 110°; ∠A = ∠C = 70°;
2. ∠BDK = 20°; ∠DBK = 70°; ∠ABC = 140°; ∠B = ∠D = 140°; ∠A = ∠C = 40°.
Відповідь: 1) 70°; 110°; 70°; 110°; 2) 40°; 140°; 40°; 140°.
320. Знайдіть
40°.
АВС
∠BDK = 40°; ∠DBA = 50°; ∠B = ∠D = 100°; ∠A = ∠C = 80°.
1 = 2х; ∠2 = 3х; 2х + 3x = 90°; 5х = 90°; х = 18°. ∠A = 4х = 72°; ∠A = ∠C; ∠B = ∠D = 6х = 108°; 2. ∠1 : ∠2 = 2 : 7; 2х + 7х = 90°; х = 10°, ∠A = ∠C = 40°; ∠B = ∠D = 140°. Відповідь: 1) 72°; 108°; 72°; 108°; 2) 40; 140°; 40°; 140°.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
як 1 : 2.
Нехай ABCD — ромб. ∠1 : ∠2 = 1 : 2;
х + 2х = 90°; 3х = 90°; х = 30°;
∠A = ∠C = 60°; ∠B = ∠D = 120°.
Відповідь: 60°; 120°; 60°; 120°.
323. У рівносторонній трикутник
1.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
РAМNK = АВ + АС = 8 + 8 = 16 см.
2. PAМNK = 29 + 29 = 58 мм;
3. PAМNK = 0,41 + 0,41 = 0,82 дм.
325. Ромб, у якого один кут прямий, — квадрат. Доведіть.
Hexaй AВCD — ромб, у якого ∠A = 90°, тоді ∠C = ∠A = 90°.
∠D = ∠B = 180° – 90° = 90°.
ромба всі кути прямі, тому ABCD — квадрат, що й треба було довести.
326. AN — бісектриса прямого кута A трикутника ABC; NМ і NK — перпендикуляри
катетів. Доведіть, що AМNK — квадрат.
Нехай
- AO = BO — бо
- ∠AOB = 90° — бо
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
- AO = AC 2 , BO = BD 2 ), а оскільки AC = BD, то AO = BO. Трикутник ∆AOB
фігури однакові.
Висновок: якщо діагоналі ромба
=
що AМCN — ромб.
Нехай ABCD — квадрат, діагональ – BD. BМ = DN. ∆AND = ∆CND = ∆АМВ = ∆СМВ.
1. BМ = ND; AB = BC = CD = AD;
2. ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = 45°.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
Нехай ABCD — ромб.
AМ ⊥ ВС; АР ⊥ DC; ∠МAP = 30°;
∠МAP = ∠ABC = 30°; ∠ABC = ∠ADC = 30°.
∠A + ∠B = 180°; ∠BAD = ∠BCD = 180° – 30° = 150°.
Відповідь: 30°; 30°; 150°; 150°.
332. Вершини
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
його сторін.
ON ⊥ DC; OP ⊥ ВС; ОМ ⊥ AB; OK ⊥ AD.
Точки К, О,
KP ⊥ ВС; МN ⊥ DC; KP ⊥ МN — висоти ромба ABCD. KP = NМ; KP і NМ — діагоналі чотирикутника KNPМ, отже, чотирикутник KNМP є
прямокутником. 335. Доведіть, що чотирикутник, вершини якого є серединами сторін
Нехай ABCD — квадрат.
P∆AOD = P∆DOC = P∆COD = P∆AOB
4P∆AOD – Pкв.ABCD = 20 см
P∆AOD = a + d, де а – сторона; d – діагональ.
4P∆AOD = 4a + 4d;
Pкв = 4а; 4a + 4d – 4a = 20 см; 4d = 20; d = 5 см
Відповідь: 5 см.
337. Чотирикутник,
2.
1.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
2.
3. Так. Якщо у чотирикутника
чотирикутник є квадратом.
343. Земельна
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
1. Ні; 2. Так; 3. Ні; 4. Ні; 5. Так.
1. Ні; 2. Так.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
2) 6.
Нехай задано відрізок AB.
Проведемо
пряму А6В.
оскільки 5 : 2 = 2,5 ≠ 2. 357. DE i EF
АВ. Знайдіть:
1) відрізок FC, якщо DE = 4 см; 2)
BD, якщо EF = 7 см.
2) BD = 1 2 AB = EF = 7 см
1) 8 см, 5 см, 7 см; 2) 30 мм, 40 мм, 50 мм.
1)
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
:
FE = 1
2 AB = 15 мм; ED = 1 2 BC = 20 мм; DF = 1 2 AC = 25 мм
359. Сторони трикутника дорівнюють
Нехай задано трикутник ABC, у якого AB = 9 см, BC = 10 см, AC = 14 см.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
1) 0,8 дм; 2) 100 мм.
P
∙ 2 = 2,4 ∙ 2 = 4,8 (дм).
2) P∆DEF = DE + EF + DF = 100 + 100 + 100 = 300 (мм)
P∆ABC = P∆DEF ∙ 2 = 300 ∙ 2 = 600 (мм
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
MN,
1) NP = 3 cм, MP = 5 см MN = 6 см.
AB = 2NP = 2 • 3 = 6 (cм);
ВС = 2МР = 2 • 5 = 10 (см);
АС = 2MN = 2 • 6 = 12 (см);
Р∆ABC = 6 + 10 + 12 = 28 (см);
2) NP = 7 cм, MP = 9 см MN = 12 см.
AB = 2NP = 2 • 7 = 14 (cм);
ВС = 2МР = 2 • 9 = 18 (см);
АС = 2MN = 2 • 12 = 24 (см);
P∆ABC = 14 + 18 + 24 = 56 (см);
3) NP = 8 cм, MP = 10 см MN = 12 см.
AB = 2NP = 2 • 8 = 16 (cм);
ВС = 2МР = 2 • 10 = 20 (см);
АС = 2MN = 2 • 12 = 24 (см);
Р∆ABC = 16 + 20 + 24 = 60 (см).
Відповідь: 1) 28 см; 2) 56 см; 3) 60 см.
366. Визначте вид
1) Усі середні лінії
2)
сусідніх сторін, дорівнюють:
1) 0,6 дм і 0,9 дм; 2) 100 мм і 14 см.
відповідно.
1) MN = 0,6 дм; MK = 0,9 дм; У ∆ADC: MN — середня
ABD:
2) MN = 100 мм; МК = 14 см; АС = 2MN = 200 мм; BD = 2МК = 28 см. 368. Знайдіть
АС = 2MN = 1,2 дм;
BD = 2МК = 1,8 дм;
Нехай ABCD — заданий паралелограм. N, M і K – середини сторін BC, AB та AD
відповідно. MN = 5 см; МК = 11 см. Знайти: діагоналі BD і AC.
У ∆ADC: MN — середня лінія; АС = 2MN = 10 см; У ∆ABD: МК — середня лінія; BD = 2МК = 22 см.
369. Точки E і F — середини
якщо EF = 4 см.
знайти 6AC. Оскільки точки E
AC = 2EF = 2 ∙ 4 = 8 см.
АВ1 = В1B2 = B2B3 = B3B4.
1) Якщо АB4 – B2B3 = 9 cм (довжина 3 відрізків), то AB3 = 9 cм;
2) Якщо AB4 – B1B3 = 8 см (довжина 2
B1B4 = 3 ∙ 4 = 12 см;
3) B1B4 – B1B2 = 10 cм (довжина 2 відрізків),
= 5 ∙ 4 = 20 cм.
374. Сторони трикутника дорівнюють а, b і c.
1) а = 8 см, b = 10 см, с = 12 см; 2) а = 0,5 дм, b = 12 см, с = 1,3 дм.
2) AB = а = 0,5 дм; BC = b = 1
1)
2)
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
= 2,5 см. P△АВС = 25 см. Знайти AB, BC і AC. Згідно теореми про середню лінію трикутника:
AC = 2DF = 2 ∙ 2,5 = 5 см. У рівнобедреного
P△АВС = AB + BC + AC = 2BC + AC 25 = 2BC + 5 ⇒ 2BC = 20 ⇒ BC = 10 см.
Відповідь: 5 см, 10 см, 10 см. 377.
= 5 см. P
=
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
Нехай О — середина відрізка AB.
BL ⊥ NM; ML ∥ KP.
ML = NB = КР = 4 см.
∆ABL: OP — середня лінія.
OP ∥ AL. BO = OA, за теоремою Фалеса ВР = PL.
ОР = 1 2 AL = 1 2 (8 + 4) = 6 (cм);
ОК = ОР – КР = 6 – 4 = 2 см.
Відповідь: 2 см.
379. Сторони трикутника відносяться як 3 : 4 : 5.
см; 2) 4,8 дм.
Нехай дано ∆АВС.
АВ : ВС : АС = 3 : 4 : 5. 1) Р∆ABC = 60 см; ∆MNP — трикутник, утворений
АВ = 3х; ВС = 4х; АС = 5х;
Р∆ABC = 12х; P∆MNP = 6x; 12x = 60;
х = 5;
АВ = 15 см; ВС = 20 см; АС = 25 см; МN = 1 2 AС = 12,5 см; NP = 1 2 BC = 10 см;
МР = 1 2АВ = 7,5 см.
Відповідь: 7,5 см; 12,5 см; 10 см.
2) P = 4,8 дм = 48 см; 12x = 48; x = 4 см;
AB = 12 см; ВС = 16 см; АС = 20 см; MN = 1 2 AC = 10 см;
NP = 1 2 BC = 8 см; MP = 1 2 AB = 6 см.
6 см; 8 см; 10 см. 380.
1) 48 см; 2) 2,4 дм.
Нехай дано ∆ABC, сторони ∆ABC: AB : ВС : AC = 7 : 8 : 9.
∆MNP — трикутник, утворений середніми лініями.
1) P∆MNP = 48 cм; P∆ABC = 2P∆MNP = 96 см;
AB = 7х; ВС = 8x; АС = 9х; 7х + 8х + 9х = 96; 24х = 96; x = 4;
AB = 28 см; ВС = 32 см; AС = 36 см; 2) Р = 4,8 дм; АВ = 1,4 дм; ВС = 1,6 дм; AС = 1,8 дм. 381. Доведіть,
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
1) ВС ∥ B1C1; AB ∥ A1С1; AB ∥ A1В1.
AB; ВС; АС — середні
∆A1B1С1
2) А1В1 = 2АВ = 12 см; B1C1 = 2ВС = 24 см; A1С1 = 2AС = 30 см;
3) Р∆A1B1C1 = 48 см;
P∆ABC = 1 2 P∆A1B1C1 = 1 2 • 48 = 24 (см).
383.
якщо AA1 = A1A2 = A2A3, то:
1) AB1 = B1B2 = B2B = AB : 3 = 12 : 3 = 4 см;
BC1 = C1C2 = C2C = BC : 3 = 18 : 3 = 6 см;
2) B1A = BC = 6 см; B2A2 = BC2 = 12 см; C2A2 = BB2 = 4 см; C1A1 = BB1 = 8 см.
384. Доведіть, що
дано: ∆АВС;
A1C1 = A1A = ���� 2 ; B1C = B1B =
2 ; AC1 = C1B = ���� 2; A1B1 = 1 2c; B1C1 = 1 2b; A1C1 = 1 2 a.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
Нехай дано паралелограм ABCD.
Розглянемо кут ∠ADВ: за теоремою Фалеса АМ = MD, отже, DK = KP.
Розглянемо кут ∠CBD: за теоремою Фалеса BN = NC, тоді BP = PK.
Отже, DK = KP = PB, що й треба було довести.
386. Знайдіть периметр чотирикутника, вершинами якого є середини
чотирикутника, якщо сума діагоналей чотирикутника
РМNРК = MN + NP + KP + KM
∆ABC; MN — середня лінія, MN = 1 2 AC;
∆ADC — середня лінія; KP = 1 2 AC;
∆ABD, MK — середня лінія, MK = 1 2 BD;
∆BDC; NP — середня лінія, NP = 1 2 BD.
PMNPC = 1 2 BD + 1 2 BD + 1 2 AC + 1 2 AC = BD + AC = S.
1) S = 25 см; PMNPK = 25 см; 2) S = 3,5 дм; PMNPK = 3,5 дм.
Відповідь: 1) 25 см; 2), 3,5 дм. 387. Знайдіть
1) 4 см і 6 см; 2) 24 см і 25 см.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
Нехай дано чотирикутник AВСD. АС і BD — діагоналі.
1) АС = 4 см; ВD = 6 см; MNPK — чотирикутник; М, N, Р, К — середини сторін чотирикутника ABCD.
∆АВС; MN — середня лінія ∆АВС;
MN = 1 2 AC = 2 см;
∆АDС; KP — середня лінія ∆АDС;
КР = 1 2АС = 2 см;
∆BDC: NP = 1 2 BD = 1 2 • 6 = 3 см;
∆ABD: MK = 1 2 BD = 1 2 • 6 = 3 см;
РMNPK = 2 + 3 + 2 + 3 = 10 (см).
2) АС = 24 см; ВD = 25 см;
РMNPK = 12 + 12 + 12,5 + 12,5 = 49 (см).
Відповідь: 1) 10 см; 2) 49 см.
388. Знайдіть
MN = PK = 1 2AC;
NK = MP = 1 2BD; AC = BD = d; PMNPK = 2d.
1) Р = 16см; 2) Р = 2,6 дм. 389.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
Нехай ABCD — прямокутник; М, N, Р, К — середини його сторін.
∆ADC: MN ∥ AC; MN = 1 2AC;
∆ABC: KP ∥ AC; KP = 1 2AC (властивість середньої лінії трикуника).
Oтже, MN ∥ KP; MN = KP.
Аналогічно NP ∥ MK; NP = MK
Якщо BD = AC, то MN = NP = PK = MK.
Отже, MNPK — ромб, що й треба було довести.
390. Доведіть, що середини сторін квадрата є вершинами квадрата.
ABCD — квадрат. М, N, Р, К — середини сторін.
MN ∥ BD; MN = 1 2BD; PK ∥ BD; PK = 1 2BD;
MN = PK; PM ∥ AC; РМ = 1 2АС;
KN ∥ АС: KN = 1 2AC;
KN = PM; AC = BD.
Отже, PM = MN = NK = PK. PMNK – ромб. ∆PDM = ∆NCM. ∠PMD = ∠NMC = 45°; ∠PMN = 90°, отже, ромб PMNK — квадрат.
391. Доведіть, що середини сторін ромба є вершинами прямокутника.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
Нехай ABCD — ромб. М, N, Р, К — середини
KP = MN = 1 2АС; PN = KM = 1 2BD;
KP ∥ AC; MN ∥ AC ⇒ KP ∥ MN; PN ∥ BD; KM ∥ BD ⇒ KM ∥ PN; BD ⊥ AC ⇒ PN ⊥ MN; KP ⊥ KM.
Отже, KPNM — прямокутник, що й треба
392. Як побудувати трикутник
Нехай М, N, P — середини сторін шуканого трикутника. Проведемо прямі,
393.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
OK : OB = 1 : 2; АО : ОМ = 2 : 1; СО : ON = 2 : 1, що
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
1) P∆ABC = 36 cм; АК = КР = BP; BN = NQ = QC; AM = MD = DC; AP = MN (як протилежні сторони паралелограма APMN) PB = QD (як протилежні сторони
PBQD)
MN + QD = AB
Аналогічно PD + KM = BC, PN + KQ = AC
Отже, MN + QD + PD + KM + PN + KQ = AB + BC + AC = P∆ABC = 36 см.
2) аналогічно.
398.
який відтинають
401.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
2.
1.
2.
3. Правильно.
трапеції.
409. Чи правильно, що
1. Неправильно.
2. Неправильно.
1. Неправильно.
2. Неправильно. 3.
4. Неправильно.
5. Правильно.
N трапеції MNKL.
1) CD = AB = З CM (за
паралельних прямих ML і NK та січній MN). Відповідь:
180°.
Мал. 171
∠B = 180° – ∠A = 180° – 50° = 130°; ∠D = 180° – ∠C = 180° – 140° = 40°.
Відповідь: ∠B = 130°; ∠D = 40°.
Мал. 172
∠B = 180° – ∠A = 180° – 90° = 90°;
∠C = 180° – ∠D = 180° – 46° = 134°.
Відповідь: ∠B = 90°; ∠C = 134°.
Мал. 173
∠B = 180° – ∠A = 180° – 40° = 140°;
∠C = 180° – ∠D = 180° – 36° = 144°.
Відповідь: ∠B = 140°; ∠C = 144°.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
416. ABCD — трапеція
AD i BC.
1) ∠A i ∠C, якщо ∠B = 110°, ∠D = 30°;
2) ∠A i ∠D, якщо ∠B = 125°, ∠C = 145°.
1) ∠A = 180° – ∠B = 180° – 110° = 70°; ∠C = 180° – ∠D = 180° – 30° = 150°; 2) ∠A = 180° – ∠B = 180° – 125° = 55°; ∠D = 180° – ∠C = 180° – 145° = 35°.
Відповідь: 1) ∠A = 70°, ∠C = 150; 2) ∠A = 45°, ∠D = 35°.
417. Основою піраміди
1) ∠А = 160°; 2) ∠А = 135°; 3) ∠А = 95°.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
ABCD
Відповідь: ABCD — трапеція. 422. На малюнку ABCD — рівнобічна трапеція
1) чотирикутник ABCK — паралелограм; 2) трикутник KCD — рівнобедрений.
1) BC ∥ AD, бо ABCD — трапеція
Оскільки ВС ∥ AD, СК ∥ AB,
2) ∠BAD = ∠CKD — як
∠
Оскільки ∠BAD = ∠CKD і ∠BAK = ∠CDK, то ∠CKD = ∠CDK, тобто ∆KCD — рівнобедрений.
423. MNKL — трапеція з основами ML і NK, NF || KL. Знайдіть:
1) основу ML, якщо MF = 5 см, NK = 2 см; 2) основу NK, якщо ML = 10 см, MF = 7 см.
1) ML = MF + FL = MF + NK = 5 + 2 = 7 cм;
2) NK = FL = ML – MF = 10 – 7 = 3 см
Відповідь: 1) 7 см; 2) 3 см.
424. BM і CK
DABM = DDCK.
∆АВМ = ∆DCK (за
425. Знайдіть
Мал.178
х+8
2 = 6;
х + 8 = 12;
х = 12 – 8;
х = 4 (см).
Відповідь: 4 см.
Мал.179
х = 4+10 2 ;
х = 7 (см).
Відповідь: 7 см.
Мал.180
х+5
5 = 10;
х + 5 = 20;
х = 20 – 5;
х = 15 (см).
Відповідь: 5 см.
426. Чи
Якщо NK = 4 см, ML = 8 см і EF —
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
х = NK+ML 2 = 4+11 2 = 7,5 (см), де x — середня
Відповідь: 4 см, 11 см, 7,5 см.
432. Знайдіть
1) с = 8 см, d = 12 см, m = 10 см;
2) с = d = m = 15 см.
PABCD = BC + AD + AB + CD = 2 • BC+AD 2 + c + d = 2m + c + d.
1) PABCD = 2m + c + d = 2 • 10 + 8 + 12 = 40 (см);
2) PABCD = 2m + c + d = 2 • 15 + 15 + 15 = 60 (см);
Відповідь: 1) 40 см; 2) 60 см.
433. У
PABCD = BC + AD + AB + CD = 2 •
2 + c + d = 2m + c + d.
PABCD = 2m + c + d = 2 • 14 + 17 + 17 = 28 + 34 = 62 (см).
Відповідь: 1) 62 см.
434. Два
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
2) СК = 10 – 6,2 = 3,8 (см) = 38 (мм).
Відповідь: 1) 2 см; 2) 38 мм.
437. Якщо
Нехай ∠A = ∠D, проведемо CE ∥ AB, тоді ∠A = ∠CKD — як
паралельних прямих AB і СE та січній АE. Оскільки ∠CED = ∠D , то ∆CED — рівнобедрений і СE = АВ. Оскільки АВСE —
то СE = AB. Враховуючи, що
AB = СE і СE = AD, то AB = CD, тобто трапеція ABCD — рівнобічна.
438.
Мал. 185
∠A = 90° – 32° = 58°,
∠B = 90° + 32° = 122°,
∠C = ∠B = 122°,
∠D = ∠A = 58°.
Відповідь: 58°, 122°, 122°, 58°.
Мал. 186
∠BCA = ∠CAD = 30° —
ВС та січній АС.
∠BAC = ∠BCA = 30° — як кути
∠BAC = ∠BAC + ∠CA = 30° + 30° = 60°.
∠D = ∠BAC = 60°;
∠B = ∠BCD = 180° – 60° = 120°.
Відповідь: 60°, 120°, 120°, 60°.
Мал. 187
∠D = ∠BAD = 2∠CAD.
Оскільки ∠D + ∠CAD = 9° і ∠D = 2∠CAD, то
∠D = 90° 2 1+2 = 60°,
∠BCD = 180° – ∠D = 180° – 60° = 120°,
∠B = ∠BCD = 120°,
∠BAD = ∠D = 60°.
Відповідь: 60°, 120°, 120°, 60°.
439. Доведіть,
∠A + ∠C = ∠A + ∠B = 180° (оскільки
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
∠B + ∠D = ∠B + ∠A = 180° (оскільки ∠D = ∠A i ∠A + ∠B = 180°).
∠С + ∠D = 180°; ∠A = ∠D; ∠C = ∠A + 40°.
Тоді ∠С + ∠А = 180°; ∠A + 40° + ∠А = 180°;
2∠А = 180° – 40°;
∠А = 70°; ∠D = 70°.
∠C = ∠A + 40°;
∠В = 180° – ∠А = 180° – 70° = 110°;
∠С = 110°.
Відповідь: ∠А = 70°, ∠В = 110°, ∠C = 110°, ∠D = 70°.
441. Протилежні кути
Нехай ∠A : ∠C = 1 : 4. Оскільки ∠A + ∠C = 180°
∠A = 180° • 1 1+4 = 36°,
∠C = 180° • 4 1+4 = 144°,
∠B = ∠C = 144°,
∠D = ∠A = 36°.
Відповідь: 36°, 144°, 144°, 36°.
442. Доведіть,
2)
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
1) ∆ABD = ∆DCA — за трьома сторонами: AD — спільна сторона, AB = DC — як
сторони рівнобічної трапеції, BD = СА (задача 307). Із рівності цих трикутників маємо ∠BDA = ∠CAD, тоді ∠ODA = ∠OAD. Отже, ∆AOD — рівнобедрений. Аналогічно ∆BOC — рівнобедрений, бо ∆ВСD = ∆СBА (ВС — спільна, CD = BA, BD = СА) і із
трикутників випливає, що ∠DBC = ∠ACB. 2) ∆AOB = ∆DOC — за трьома сторонами, оскільки AО = DO (бо ∆AOD — рівнобедрений), OB = ОС (оскільки ∆ВОС — рівнобедрений, AB = CD (як
Нехай у рівнобічній трапеції ABCD (AD ∥ BC), AD =
АВ = CD
K = 1 2 AВ = 1 2 • 4 = 2 (cм), MD = 1 2 CD = 1 2 • 4 = 2 (cм), тоді BC = KM = AD – AK – MD = 10 – 2 – 2 = 6 (см). Відповідь: 6 см.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
446. ABCD — рівнобічна
1) AK = MD = (AD – BC) : 2; 2) KD = AM = (AD + BC) : 2. 1) ∆ABK = ∆DCM —
1) ABCD — рівнобічна трапеція (AD ∥ BC, AB = CD),
BK ⊥ AD, CM ⊥ AD, AK = 4 см, KD = 8 см.
∆ABK = ∆DCM, тоді MD = AK = 4 см.
AD = AK + KD = 4 + 8 = 12 (см).
BC = AD – AK – MD = 12 – 4 – 4 = 4 (cм).
Відповідь: 4 см і 12 см.
2) ABCD — рівнобічна трапеція (AD ∥ BC, AB = CD),
BK ⊥ AD, CM ⊥ AD, AK = 2 см, KD = 7 см.
AD = AK + KD = 2 + 7 = 9 (cм).
∆ABK = ∆DCM, тоді BC = KM = AD – AK – MD = 9 – 2 – 2 = 5 (см).
Відповідь: 5 см, 9 см.
448. Доведіть,
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
1) 6 см і 8 см; 2) 62 мм і 10 см.
Нехай ABCD — рівнобічна трапеція, у якій AB = CD = BC, AD = b, BC = a, тоді ∆ABC —
рівнобедрений і PABCD = AB + ВС + CD + AD = a + a + a + b = 3a + b. 1) Якщо а = 6 см, b = 8 см, то PABCD = 3 • 6 + 8 = 26 (см); 2) якщо а = 62 мм = 6,2 см; b = 10 см, то PABCD = 3 • 6,2 + 10 = 18,6 + 10 = 28,6 (см).
Відповідь: 1) 26 см; 2) 28,6 см.
450. Доведіть теорему
(MN — середня лінія).
Мал.190
теоремою
МЕ = 1 2ВС, EN = 1 2AD, тодi MN =
Мал. 191
Проведемо
Мал.192
Проведемо EF ∥ AB, тоді ABEF —
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
ABCD — трапеція (BC ∥ AD), AD : BC = 7 : 3, AD – BC = 4,8 cм, MN — середня
трапеції.
Нехай AD = 7x см, ВС = 3х см, тоді 7х – 3х = 4,8; 4x = 4,8; x = 1,2.
Отже, AD = 7 • 1,2 = 8,4 (см);
ВС = 2 • 1,2 = 3,6 (см), тоді MN = AD+BC 2 = 8,4+3,6 2 = 12 2 = 6 (см).
Відповідь: 6 см.
452. Середня лінія трапеції
ABCD — трапеція (ВС ∥ AD), MN — середня
Нехай ME = x см, тоді NE = (х + 2) см, ВС = 2МЕ = 2х см, AD = 2NE = 2(х + 2) см.
Оскільки MN = AD+BC 2 , то 10 = 2(x+2)+ 2x 2 ;
10 = x + 2 + x;
2х + 2 = 10;
2x = 10 – 2;
2х = 8; x = 4.
Отже, AD = 2(x + 2) = 2 • (4 + 2) = 12 (см); BC = 2x = 2 • 4 = 8 (см).
Відповідь: 8 см і 12 см. 453. Доведіть,
MN = 10 см, NE – ME = 2 см.
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
ABCD — трапеція, АК = КС, BL = LD, ВС = а, KL = с.
Згідно з результатами задачі 453 маємо:
KL = AD−BC 2 , тоді c = AD−a 2 ,
AD – a = 2c; AD = 2с + а.
1) Якщо а = 6 см, с = 4 см, то AD = 2с + а = 2 • 4 + 6 = 14 (см).
2) Якщо a = 50 мм = 5 см, с = 2 см, то AD = 2с + а = 2 • 2 + 5 = 9 (см).
Відповідь: 1) 14 см; 2) 9 см. 455. Якщо
https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html
ABCD — трапеція (AD ∥ BC), AC = BC. Проведемо BK ⊥ AD і CM ⊥ AD. ∆ACM = ∆DBK (за гіпотенузою і катетом: АС = BD, СМ = ВК), тоді ∠CAM = ∠BDK. ∆ABD= ∆DCA (за двома сторонами і кутом між ними: BD = АС — за умовою, AD — спільна, ∠ADB = ∠DAC — за доведенням), тоді AB = DC, тобто ABCD — рівнобічна трапеція. Отже, якщо
