Antwoord: Marijke kan zich op 12 verschillende manieren kleden als ze de keuze heeft tussen 4 verschillende kleedjes en 3 verschillende pulls en een kleedje en een pull zal dragen.
formule Om het aantal mogelijke combinaties te bepalen, kan je gebruik maken van de productregel :
# ( A x B ) = #A · #B
Voorbeeld 2
Mats mag voor Sinterklaas een speelgoedauto en een legodoos kiezen. Hij heeft de keuze uit 2 speelgoedauto’s en uit 4 legodozen. Op hoeveel manieren kan Mats een speelgoedauto en een legodoos kiezen?
We tekenen een boomdiagram:
a1d1 a1d2 a1d3 a1d4 a2d1 a2d2 a2d3 a2d4
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
C = AxB #C = #A #B
8 = 2 4
Antwoord: Mats kan op 8 verschillende manieren een auto en een legodoos kiezen als hij de keuze heeft uit 2 verschillende auto’s en 4 verschillende legodozen.
Algemeen
Het aantal mogelijke uitkomsten bij het tekenen van een boomdiagram is gelijk aan het product van de keuzemogelijkheden op de verschillende vertakkingen.
voor 1e keuze:k1 mogelijkheden
voor 2e keuze:k2 mogelijkheden
voor ne keuze: kn mogelijkheden
Aantal mogelijke uitkomsten = k1 · k2 · … · kn
Verwerkingsopdrachten
5 6
Op een sportdag kunnen de leerlingen in de voormiddag fietsen of zwemmen. In de namiddag is er keuze uit 4 balsporten. Op hoeveel verschillende manieren kan een leerling zijn sportdag samenstellen? Los op met behulp van een boomdiagram.
Op een populaire webshop wil Finn een smartphone kopen. Hoeveel keuzes heeft hij hier?
Kies het model.
iPhone 13 Pro Max Welk model past het best bij jou?
iPhone 13 Pro
Kies de uitvoering.
Kies de capaciteit
Op een bank zijn 3 zitplaatsen mogelijk.
IIIIII
Op hoeveel verschillende manieren kunnen Anke, Matteo en Kemir plaatsnemen?
Vervolledig onderstaand boomdiagram en plaats er passende namen bij.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
8
Op hoeveel manieren kunnen 7 personen plaatsnemen op een bank met 7 plaatsen?
3 De somregel
In een sportieve klas zijn 18 leerlingen aangesloten bij een voetbalclub of bij een volleybalclub. Sommigen zijn aangesloten bij beide clubs.
12 leerlingen zijn aangesloten bij een voetbalclub. 10 leerlingen zijn aangesloten bij een volleybalclub.
voetbal
volleybal
Merk op Er is geen info over het aantal leerlingen in de klas. Het gaat hier enkel over de leerlingen uit een klas die aangesloten zijn bij een voetbal- of volleybalclub.
12 + 10 = 22 > 18
Er moeten dus zeker leerlingen dubbel geteld zijn. Dat zijn er 22 - 18 = 4.
Deze leerlingen zijn lid van beide clubs.
We kunnen dus volgende aantallen plaatsen in de passende gebieden. We noemen de verzamelingen A en B. A 8 4 6
#(A ∪ B) = 18
#A = 8 + 4 = 12
#B = 4 + 6 = 10
Ergeldt:
#(A ∪ B) = #A + #B #(A ∩ B) 18 = 10 + 12 4
formule De somregel :
# ( A ∪ B ) = #A + #B - # ( A ∩ B )
B A is de verzameling van alle leerlingen die aangesloten zijn bij een voetbalclub.
B is de verzameling van alle leerlingen die aangesloten zijn bij een volleybalclub.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Bijzonder geval:
A B A en B zijn disjuncte verzamelingen
Als A ∩ B = ∅ dan is:
#( A ∪ B) = #A + #B
Als een gebied leeg is, dan arceer je dit.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Voorbeeld
A = { harten heer, klaveren drie}
B = { schoppen aas, ruiten dame, schoppen zeven}
#( A ∪ B) = 5
#A = 2
#B = 3
In dit geval is #( A ∪ B) = #A + #B omdat A ∩ B = ∅
Merk op
#( A ∪ B) = #A + #B - #( A ∩ B) is algemeen geldig.
Als A ∩ B = ∅ dan is #( A ∩ B) = 0
Verwerkingsopdrachten
In een gemeente zijn er 2 supermarkten: supermarkt A en supermarkt B. Aan 20 mensen werd gevraagd naar welke van deze twee supermarkten hun voorkeur uitgaat. Men kan ook kiezen voor beide supermarkten.
12 mensen kozen voor supermarkt A. 16 mensen kozen voor supermarkt B.
a)Teken een passend venndiagram en plaats de juiste aantallen in de verschillende gebieden.
b)Hoeveel mensen kozen voor supermarkt A, maar niet voor supermarkt B?
c)Hoeveel mensen kozen zowel voor supermarkt A als voor supermarkt B?
Ga bij het vorig voorbeeld na of de algemene somregel geldt.
In een klas zitten 22 leerlingen. 16 leerlingen hebben een abonnement op Apple Music en 11 leerlingen hebben een abonnement op Netflix. 7 leerlingen hebben een abonnement op beide diensten. a)Maak een venndiagram.
b)Hoeveel leerlingen hebben geen Apple Music?
c)Hoeveel leerlingen hebben Apple Music of Netflix?
d)Hoeveel leerlingen hebben noch Apple Music noch Netflix?
e)Hoeveel leerlingen hebben hoogstens één van deze twee onlinediensten?
f) Hoeveel leerlingen hebben alleen Netflix?
Verzin een verhaal bij dit venndiagram.
4 De complementregel
U is de verzameling van alle natuurlijke getallen die bestaan uit drie cijfers.
Geen enkel getal begint met de 0 vooraan. In totaal zijn er zo 9 · 10 · 10 = 900 getallen mogelijk. Hoeveel van die getallen bevat minstens één 5?
A is de verzameling van de natuurlijke getallen die bestaan uit 3 cijfers waarvan minstens één 5. bv. 589, 575, 555, 951, 255, …
A = U\Aisdeverzamelingvandenatuurlijkegetallendiebestaanuit3cijfersengéén5bevatten. bv.436,122,378,499,…
1e cijfer
geen 0, geen 5
8 mogelijkheden
2e cijfer
geen 5 9 mogelijkheden
3e cijfer geen 5 9 mogelijkheden
Totaal aantal mogelijke natuurlijke getallen die bestaan uit 3 cijfers en die géén 5 bevatten:
8 · 9 · 9 = 648
Antwoord: Het aantal getallen die bestaan uit 3 cijfers (geen 0 vooraan) en die minstens één 5 bevat is 900 - 648 = 252.
We gebruiken in dit geval de complementregel om het antwoord te vinden omdat de berekening eenvoudiger is.
formule De complementregel : #A = #(U\A) = #U #A
Verwerkingsopdracht
We gooien drie verschillende dobbelstenen op. Hoeveel uitkomsten bevatten minstens één 4? 13
8, 9
Signaaloefeningen
a)Kleur A⧹B.
A ∩ B.
Kleur A = U\A.
A ∪ B.
Op hoeveel verschillende manieren kan je een menu samenstellen als je telkens uit de 3 gangen een keuze moet maken? Los dit op met behulp van een boomdiagram. 1 >>> Verder oefenen: D1 t.e.m. D5
In een restaurant kan je kiezen uit: - 3 voorgerechten - 4 hoofdgerechten
- 2 nagerechten
2 >>> Verder oefenen: D6 t.e.m. D14
5
Uit een keuze van 12 voetbalploegen moet een top 3 worden samengesteld. Op hoeveel manieren kan dit gebeuren?
Hoeveel verschillende getallen van 4 cijfers kan je vormen als het eerste cijfer geen 0 mag zijn?
6
Hoeveel verschillende getallen van 4 cijfers kan je vormen als het eerste cijfer een 8 moet zijn en het laatste cijfer een 9?
Een klas bevat 20 leerlingen. 8 leerlingen spelen in een voetbalploeg en 5 leerlingen zijn lid van een basketbalclub. Er zijn 2 leerlingen die voetbal en basketbal spelen.
a)Teken een passend venndiagram.
b)Hoeveel leerlingen spelen geen basketbal?
c)Hoeveel leerlingen spelen voetbal of basketbal?
Een klas telt 22 leerlingen: 10 meisjes en 12 jongens. 7 leerlingen gaan met de fiets naar school: 2 meisjes en 5 jongens.
U is de verzameling van alle leerlingen van de klas.
M is de verzameling van alle meisjes van de klas.
F is de verzameling van alle leerlingen die met de fiets naar school komen.
a)Plaatsdeaantallenindepassendegebieden.
b)Bepaal#(F ∩ M)
c)Bepaal#(F\M) en#F.
d)Bepaal#(F ∪ M)
e)Ganaofdesomregelklopt.
U M F
U is de verzameling van alle natuurlijke getallen met vier cijfers. Geen enkel getal begint met 0. Hoeveel van die getallen bevatten minstens één 6?
Hoeveel natuurlijke getallen met vier cijfers kan je maken met 1, 2, 3, 4, 5 waar het cijfer 3 minstens één keer voorkomt?
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Terminologie uit de verzamelingenleer
Differentiatietraject
d)Bepaal#(A ∪ B) 1 2 3 4 5
U is de verzameling van alle natuurlijke getallen. A is de verzameling van de natuurlijke getallen kleiner dan 6.
B is de verzameling van de natuurlijke getallen x die voldoen aan 3 < x < 11.
a)Maak een passend venndiagram.
b)Bepaal A ∩ B, A⧹B en A ∪ B.
U is de verzameling van alle driehoeken.
A is de verzameling van alle gelijkbenige driehoeken.
B is de verzameling van alle gelijkzijdige driehoeken.
a)Teken een passend venndiagram door in elk gebied minstens één figuur te tekenen.
b)Arceer de lege gebieden.
c)Bepaal A,A ∩ BenA\B.
U is de verzameling van alle natuurlijke getallen kleiner dan 25.
A = {0,7,8,11,13,21,24}
B = {0,8,13,18,20,23}
a)Tekeneenpassendvenndiagram.
b)Bepaal A.
c)BepaalB\A.
d)BepaalA ∩ BenA ∪ B.
U is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten bij het opgooien van een eerlijke dobbelsteen.
A is de verzameling van het even aantal gegooide ogen.
B is de verzameling van het aantal gegooide ogen kleiner dan 5.
a)Tekeneenpassendvenndiagram.
b)BepaalA ∩ B.
c)Bepaal B.
d)BepaalA\B.
e)OmschrijfA ∪ Binwoorden.
f)Omschrijf Ainwoorden.
U is de verzameling van de natuurlijke getallen.
A is de verzameling van de delers van 8.
B is de verzameling van de delers van 12.
a)Tekeneenpassendvenndiagram.
b)BepaalA ∩ B.
c)Bepaal B.
7 8 9 10 11 12
Voetbalclub Rapide heeft:
- rode, blauwe en witte T-shirts
- groene, gele en witte broekjes
- zwarte en gele kousen
Alle spelers beschikken tevens over 2 paar voetbalschoenen.
Op hoeveel verschillende manieren kan een volledige uitrusting worden samengesteld? Los op met behulp van een boomdiagram.
De code van een inbraakalarm bestaat uit 4 cijfers. Hoeveel mogelijkheden moet men maximaal uitproberen om zeker het alarm uit te schakelen? Op het klavier staan 10 cijfers.
Servaas heeft 2 verschillende spellen van telkens 52 kaarten. Uit het eerste spel wil hij een rode kaart trekken en uit het tweede spel een schoppen. Hoeveel combinaties zijn er mogelijk?
Op hoeveel verschillende manieren kunnen 5 studenten plaatsnemen in een lokaal met 8 plaatsen?
Gegeven zijn de cijfers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9.
a)Hoeveel getallen van twee verschillende cijfers kan je hiermee vormen?
b)Hoeveel van deze getallen zijn oneven?
Het wachtwoord van de school bestaat uit 8 karakters en bestaat uit cijfers en letters. Het bevat minstens 1 cijfer en minstens 1 hoofdletter. Hoeveel mogelijke wachtwoorden zijn er?
Nina gooit met 3 verschillende dobbelstenen: een groene, een rode en een zwarte.
a)Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er?
b)Op hoeveel manieren kan Nina in totaal 6 ogen gooien?
c)Op hoeveel manieren kan Nina in totaal 9 ogen gooien?
Je gooit 3 muntstukken op. K betekent kop en M betekent munt.
a)Stel een boomdiagram op. Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er?
b)In hoeveel gevallen is er precies tweemaal kop?
c)In hoeveel gevallen is er hoogstens tweemaal munt?
Korneel wil een nieuwe smartphone kopen. Hij beslist om langs te gaan in 3 winkels.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
In winkel A kan hij kiezen uit 3 types smartphone.
In winkel B kan hij kiezen uit 4 andere types.
In winkel C kan hij kiezen uit 2 hoesjes om zijn smartphone veilig op te bergen.
Op hoeveel verschillende manieren kan Korneel zijn keuze maken als hij één smartphone en één hoesje kiest?
In een school met 400 leerlingen spelen 72 leerlingen tennis, 30 leerlingen beoefenen atletiek en 8 leerlingen beoefenen beide sporttakken.
a)Stel deze situatie voor met een venndiagram.
b)Hoeveel leerlingen beoefenen geen van beide sporttakken?
c)Hoeveel leerlingen doen niet aan atletiek?
d)Hoeveel leerlingen beoefenen atletiek, maar spelen geen tennis?
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
In een gemeente zijn er 2 padelclubs: padelclub A en padelclub B. Aan 40 liefhebbers van padel werd gevraagd welke sportclub hun voorkeur geniet. Men kon ook beide sportclubs als voorkeur opgeven.
28 personen verkozen padelclub A. 22 personen verkozen padelclub B. 6 personen verkozen geen van beide clubs.
U: verzameling van de 40 liefhebbers
A: personen die padelclub A verkozen
B: personen die padelclub B verkozen
a) Stel de situatie voor in een venndiagram. Plaats de aantallen in de verschillende gebieden.
b) Bepaal #A, #B, en #( A ∪ B) en #( A ∩ B) .
c) Klopt de somregel? Controleer!
d) Bepaal # A
B
e) Omschrijf in woorden: A⧹B en U⧹B.
In de klas 4 Maatschappij & Welzijn zitten 25 leerlingen.
U is de verzameling van alle leerlingen in de klas.
A is de verzameling van de leerlingen die in de grote vakantie naar Spanje op reis geweest zijn.
B is de verzameling van de leerlingen die in de grote vakantie naar Frankrijk op reis geweest zijn.
12 leerlingen zijn naar Spanje geweest.
16 leerlingen zijn naar Frankrijk geweest.
7 leerlingen zijn noch naar Spanje, noch naar Frankrijk op reis geweest.
Hoeveel letters uit het alfabet komen niet voor in het woord ‘wiskunde’?
20 21 22 23
Hoeveel woorden van 4 verschillende letters (met en zonder betekenis) kan men maken met het woord ‘wiskunde’ zodat er minstens één klinker in voorkomt?
Bij het merken van een product moeten getallen gevormd worden met 4 cijfers gebruik makend van de cijfers 3, 8, 9, 7 en 5. Het getal 8 moet minstens één keer voorkomen. Hoeveel mogelijkheden zijn er?
Een beveiligingscode bestaat uit 4 karakters die elk een cijfer of een letter kunnen zijn, bv. C13B.
a) Hoeveel codes zijn er zo te maken?
b) Hoeveel codes bevatten minstens één 8?
We beschouwen alle getallen met 3 cijfers (een 0 vooraan is niet toegelaten).
a)Hoeveel van deze getallen zijn niet deelbaar door 5?
b)Hoeveel van deze getallen eindigen niet op een 0?
Computationeel denken
Toepassingen telproblemen
Toepassing 1: de complementregel
a)Wat doet deze code?
b)Wijzig de code voor de situatie waarbij #U = 52 en #A = 29.
c)Wijzig de code zodat de gebruiker #U en #A zelf kan invullen.
d)Wijzig de code zodat een melding verschijnt als de gebruiker een groter getal invult voor #A dan voor #U. Maak gebruik van een if-functie.
Toepassing 2: een uitdaging
a)Wat betekent de code range(10,100)?
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
b)Wat betekent i%4==0?
c)Wijzig de code voor de volgende situatie:
Alle getallen bestaande uit drie cijfers kleiner dan 500. De verzameling A bevat van deze getallen alle getallen die deelbaar zijn door 6. Hoeveel elementen behoren tot het complement van A?
Toepassing 3: de productregel
In deze code wordt gebruik gemaakt van arrays.
In elke array zitten de elementen die voldoen aan de omschrijving van de variabele.
a)Hoeveel T-shirts zijn er?
b)Hoeveel broeken zijn er?
c)Wat doet de code len(tshirts)?
d)Hoeveel lijnen uitvoer verkrijg je?
e)Voeg een T-shirt toe. Hoeveel lijnen uitvoer krijg je nu?
Toepassing 4: de somregel
a)Waarom staat er in de eerste drie regels int()?
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
b)Waarom wordt er een if-functie gebruikt?
c)Waarom zit er in deze if-functie een or?
d)Geef een voorbeeld van een goede invoer en maak het bijhorende vlinderdiagram.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
e)Geef een voorbeeld van een slechte invoer en leg uit welke lijnen code worden uitgevoerd.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Studiewijzer
Differentiatietraject Doelen
Ik ken de terminologie uit de verzamelingenleer en kan deze correct toepassen. 12 34 5
Ik ken de productregel en kan deze regel correct toepassen.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
678910 11 121314
Ik ken de somregel en kan deze correct toepassen. 15 16 17 18
Ik ken de complementregel en kan deze correct toepassen. 1920 21 22 23
Doelstellingen pagina in module pagina in vademecum
Ik ken de terminologie uit de verzamelingenleer en kan deze correct toepassen.
Stel dit grafisch voor en leg het verband met de woorden 'en', 'of', 'zonder' en 'niet'. verwerking: 1, 2, 3, 4 signaal : 1 differentiatie: 1 t.e.m. 5
Ik ken de productregel en kan deze regel correct toepassen.
Een van de uitdagingen bij het oplossen van telproblemen zit in het maken van een goede grafische voorstelling van het probleem. Maak gebruik van een boomdiagram als je het aantal combinaties moet bepalen zodat je de oplossing makkelijk kan aflezen.
Maak gebruik van verzamelingen om de somregel te visualiseren. verwerking: 9, 10, 11, 12 signaal: 6, 7 differentiatie: 15 t.e.m. 18
Ik ken de complementregel en kan deze correct toepassen.
Soms is het makkelijker en sneller om het complement van een uitkomst te berekenen dan de uitkomst zelf. Dan maak je gebruik van de complementregel. verwerking: 13 signaal: 8, 9 differentiatie: 19 t.e.m. 23
4
9
13
17
Auteurs Philip Bogaert, Björn Carreyn en Roger Van Nieuwenhuyze
Eerste druk 2024 - SO 2024/0226 - Bestelnummer 94 606 0128 (module 02 van 11)
ISBN 978 90 4864 975 4 - KB D/2024/0147/208 - NUR 128/129 - Thema YPMF
Illustrator Jona Jamart - Design en lay-out die Keure
Verantwoordelijke uitgever die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge
