02 Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen
wat je al kunt
–een eerstegraadsvergelijking in één onbekende oplossen
–de (algemene) vergelijking van een rechte herkennen
–een rechte tekenen m.b.v. de vergelijking van deze rechte –coördinaten van een punt aflezen
–een probleem oplossen m.b.v. een vergelijking
wat je leert in deze module
–de grafische betekenis van een stelsel van eerstegraadsvergelijkingen
–een stelsel van eerstegraadsvergelijkingen grafisch oplossen
–een stelsel van eerstegraadsvergelijkingen algebraïsch oplossen
–bij een probleem een passend stelsel van eerstegraadsvergelijkingen opstellen
–een probleem oplossen m.b.v. een stelsel van eerstegraadsvergelijkingen
Inhoud
Instap
1Wat is een stelsel?
2Grafische oplossingsmethode
3Algebraïsche oplossingsmethodes
4Problemen oplossen
Signaaloefeningen
Differentiatietraject
Studiewijzer
in de kijker
Je kan een probleem herschrijven tot een stelsel.
wiskundetaal
–stelsel –oplossingenverzameling V –strijdig stelsel –onbepaald stelsel –bepaald stelsel – {} – ∅ –gelijkstellingsmethode –substitutiemethode –combinatiemethode
Instap
Opdracht 1
Larissa spaart voor een nieuwe smartphone. In haar spaarpot zitten briefjes van € 5,00 en € 10,00. Ze telt 30 briefjes.
Larissa heeft nu een bedrag van € 240,00 gespaard.
Hoeveel briefjes van € 5,00 en hoeveel van € 10,00 zitten er in haar spaarpot?
Los dit probleem op aan de hand van de volgende stappen.
1)Keuze van de onbekende:
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
• aantal briefjes van € 5,00:
• aantal briefjes van € 10,00:
2)Opstellen van een vergelijking:
3)Oplossen van de vergelijking:
4)Antwoord:
Larissa heeft nu briefjes van € 5,00 en briefjes van € 10,00.
5)Controle: Controleer je antwoord.
Zijn er in totaal 30 briefjes? Is het totaalbedrag € 240,00?
Opdracht 2
Noteer elke opgave korter door gebruik te maken van letters.
a)Een rechthoek met een lengte l en breedte b heeft een oppervlakte van 24 cm2.
b)De som van twee getallen is 20.
c)Een rechthoek met een lengte l en breedte b heeft een omtrek van 12 cm.
d)Het product van twee getallen is 91.
e)Het verschil van twee getallen is 4.
f) Twee getallen verhouden zich als 3 tot 4.
Opdracht 3
Teken de volgende rechten p en q in het assenstelsel.
Duid hun snijpunt in het groen aan.
p ↔ 2x + 3y - 2 = 0
q ↔ x - y + 4 = 0
q
Om de rechten p en q gemakkelijk te tekenen, kan je eerst • enkele punten bepalen.
OF• de vergelijking van de rechten schrijven in de vorm y = ax + b.
1 Wat is een stelsel?
Het probleem uit de instap ( opdracht 1) kan ook anders opgelost worden. We maken hierbij gebruik van twee onbekenden.
Larissa spaart voor een nieuwe smartphone. In haar spaarpot zitten briefjes van € 5,00 en € 10,00. Ze telt 30 briefjes. Larissa heeft nu een bedrag van € 240,00 gespaard. Hoeveel briefjes van € 5,00 en hoeveel van € 10,00 zitten er in haar spaarpot?
Oplossing
1)Keuze van de onbekenden: • aantal briefjes van € 5,00: x • aantal briefjes van € 10,00: y
2)Opstellen van de vergelijkingen:
“Ze telt 30 briefjes.”
“Larissa heeft nu € 240,00 gespaard.”
+ y = 30
+ 10y = 240
De samenvoeging van deze beide vergelijkingen levert een stelsel op. In deze module komen stelsels van twee vergelijkingen van de eerste graad in twee onbekenden aan bod. We noteren een stelsel door een accolade vooraan te plaatsen. notatie
x + y
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
3)Oplossen van het stelsel:
Bij elke vergelijking van het stelsel horen er oneindig veel oplossingen.
De oplossing van het stelsel moet een oplossing zijn voor de eerste en voor de tweede vergelijking. Enkel het koppel (12, 18) behoort tot beide oplossingenverzamelingen.
De oplossingenverzameling van het stelsel is dus:
V = {(12,18)}
Verder in deze module leer je hoe je een stelsel moet oplossen.
4)Antwoord:
Larissa heeft nu 12 briefjes van € 5,00 en 18 briefjes van € 10,00.
5)Controle: Controleer je antwoord.
Zijn er in totaal 30 briefjes?Is het totaalbedrag € 240,00?
12 + 18 = 30 en 5 · 12 + 10 · 18 = 240
Algemeen
Een stelsel van twee vergelijkingen van de eerste graad in twee onbekenden stellen we als volgt voor: notatie
ux + vy + w = 0
u x + v y + w = 0 met u, v, w, u , v en w ∈ u en v niettegelijkertijd0; u en v niettegelijkertijd0
Een oplossing van het stelsel is een koppel reële getallen ( x, y) dat voldoet aan beide vergelijkingen. De oplossingenverzameling van een stelsel is dus de doorsnede van de oplossingenverzamelingen van de afzonderlijke vergelijkingen.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Verwerkingsopdrachten
1 2
Schrijf elke vergelijking in de vorm ux + vy + w = 0.
Noteer bij elke vergelijking drie mogelijke oplossingen.
ux + vy + w = 0
3 oplossingen:1) 2) 3)
Noteer het volgende probleem als een stelsel.
(Let op, je moet het probleem dus niet oplossen!)
De omtrek van een rechthoek is 40 m. De lengte is 4 m minder dan het dubbele van de breedte. Bereken de lengte en de breedte van deze rechthoek.
Oplossing:
1)Keuze van de onbekenden • : x • : y
2)Opstellen van de twee vergelijkingen van het stelsel:
2 Grafische oplossingsmethode
Een stelsel bevat twee vergelijkingen van de eerste graad in twee onbekenden. Elke vergelijking is te herleiden naar de vorm ux + vy + w = 0 (met u en v niet tegelijkertijd 0). Beide vergelijkingen zijn dus vergelijkingen van rechten.
x + y = 30 → rechte a
5x + 10y = 240 → rechte b
Dit stelsel bevat dus twee vergelijkingen van rechten. We kunnen deze rechten tekenen in een assenstelsel. rechte a rechte b
2 30 28 0 20 24 14
Er is precies één punt dat op beide rechten ligt, namelijk het snijpunt S van beide rechten. De coördinaat van dit punt S voldoet aan beide vergelijkingen van het stelsel. De oplossingenverzameling V van het stelsel is ( 12, 18) of V = {(12,18)}
We kunnen dit ook met ICT nagaan. We tekenen eerst de 2 rechten en bepalen nadien hun snijpunt.
Merk op
• Twee rechten snijden elkaar niet altijd. Afhankelijk van de onderlinge ligging van twee rechten, krijgt het stelsel een andere benaming en bevat de oplossingenverzameling niet steeds precies één koppel.
3x + y + 1 = 0
3x y + 1 = 0
De rechten snijden elkaar. Er is precies één snijpunt.
De rechten hebben een verschillende richtingscoëfficiënt.
Er is precies één oplossing.
Dit is een bepaald stelsel.
De rechten zijn evenwijdig. Er zijn geen snijpunten.
De rechten hebben dezelfde richtingscoëfficiënt.
Er is geen oplossing.
V = {} of V = ∅
Dit is een strijdig stelsel.
De rechten vallen samen. Ze hebben alle punten gemeenschappelijk.
De rechten hebben dezelfde richtingscoëfficiënt.
Er zijn oneindig veel oplossingen.
Dit is een onbepaald stelsel.
• Bij de grafische oplossingsmethode kan je de coördinaat van het snijpunt niet altijd nauwkeurig aflezen. Je kan hierbij natuurlijk gebruik maken van een grafisch rekentoestel of een wiskundig tekenprogramma. In het volgende onderdeel leer je ook de oplossing van een stelsel berekenen zonder de rechten eerst te tekenen.
• Niet alle algemene vergelijkingen van rechten zijn grafieken van eerstegraadsfuncties.
Voorbeeld 1
y + 3 = 0 → rechte a evenwijdigmetde x-as
2x + y 1 = 0 → rechte b
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Voorbeeld 2
3x 2y 4 = 0 → rechte c x 2 = 0 → rechte d evenwijdigmetde y-as
Met ICT krijg je deze grafiek:
Los de volgende stelsels grafisch op. Bepaal telkens de oplossingenverzameling.
a) y = 3x + 1 y = 4x + 1
rechte a xy
rechte b xy
V = Controleer je antwoord met ICT.
b) 3x + 2y 6 = 0
3x 2y 18 = 0
rechte a xy
rechte b
V = Controleer je antwoord met ICT.
c) x + 6y 2 = 0
2x + 5y + 3 = 0
rechte a xy
rechte b xy
V =
Controleer je antwoord met ICT.
d) 5x y + 2 = 0
5x y + 4 = 0
rechte a xy
rechte b xy
V =
Controleer je antwoord met ICT.
Los de volgende stelsels grafisch op. Gebruik hierbij ICT. Bepaal de oplossingenverzameling.
a)
3x + 2y 11 = 0
2x + y 1 = 0
b) x + 3 = 0 y 2 = 0
Verbind de stelsels met de juiste benaming en het juiste aantal oplossingen.
3x + 5y = 2
6x + 10y = 4
2x 3y = 4
4x 6y = 4
x + 2y = 2
2x 4y = 4
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Het stelsel is bepaald. •• Het stelsel heeft oneindig veel oplossingen.
Het stelsel is strijdig. •• Het stelsel heeft precies één oplossing.
Het stelsel is onbepaald.
Het stelsel heeft geen oplossingen.
3 Algebraïsche oplossingsmethodes
Met een algebraïsche oplossingsmethode bereken je de oplossing van het stelsel zonder dat je de rechten moet tekenen.
De oplossing van het stelsel is onafhankelijk van de gekozen oplossingsmethode.
3.1 De gelijkstellingsmethode
Hoe los je een stelsel op door middel van de gelijkstellingsmethode?
methodeSTAP 1: Vorm beide vergelijkingen om naar dezelfde onbekende.
STAP 2: Stel beide uitdrukkingen aan elkaar gelijk.
STAP 3: Los de verkregen vergelijking op.
STAP 4: Vervang de gevonden onbekende in één van de twee vergelijkingen en bereken zo de andere onbekende.
Voorbeeld1
x + y 30 = 0
5x + 10y 240 = 0
x = y + 30
5x = 10y + 240
x = y + 30
x = 2y + 48
y + 30 = 2y + 48
x = 2y + 48
y = 18
x = 2y + 48 ⇔
y = 18
x = 36 + 48 ⇔
y = 18
x = 12
V = {(12,18)}
Voorbeeld2
y + 1 = 0 3x + y 9 = 0
= x + 1
= {(2,3)}
Merk op
• Deze methode is gemakkelijk te gebruiken als er één onbekende in beide vergelijkingen met coëfficiënt 1 of -1 voorkomt.
• Deze methode leunt dicht aan bij de grafische oplossingsmethode. Als je in beide vergelijkingen y voorop plaatst, dan zie je de vergelijkingen van de rechten staan.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
• Vervang in het stelsel één van de vergelijkingen (of beide) door een evenwaardige vergelijking. Twee vergelijkingen zijn gelijkwaardig als ze dezelfde oplossing hebben.
3.2De combinatiemethode
Hoe los je een stelsel op door middel van de combinatiemethode? methodeSTAP 1: Vermenigvuldig beide vergelijkingen met een verschillend getal (dat niet nul is), zodat één van de onbekenden tegengestelde coëfficiënten hebben.
STAP 2: Tel de vergelijkingen lid aan lid op.
STAP 3: Los de verkregen vergelijking op.
STAP 4: Vervang de gevonden onbekende in één van de twee vergelijkingen en bereken zo de andere onbekende.
Voorbeeld1
x y = 3
3x + 2y = 1 ⋅ ( 3) 1 ⇔
3x + 3y = 9
3x + 2y = 1
5y = 10
3x + 2y = 1
y = 2
3x 4 = 1
= 2 3x = 3
y = 2
= 1
V = {(1, 2)}
Voorbeeld3
x + y 30 = 0
5x + 10y 240 = 0 ( 5) 1
5x 5y + 150 = 0
5x + 10y 240 = 0
5y 90 = 0
⇔
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
5x + 10y 240 = 0
⇔ y = 18
5x + 180 240 = 0
⇔ y = 18
5x = 60 ⇔ y = 18
x = 12
V = {(12,18)}
Merk op
Voorbeeld2 x + 2y = 13 3x + 4y = 9 ⋅ ( 2) 1
x = 7 y = 3 V = {( 7, 3)}
Voorbeeld4
x y + 1 = 0
x + y 9 = 0
4x 8 = 0
y + 1 = 0
)}
• Je kan de stappen 1 tot en met 3 herhalen om zo de andere onbekende te zoeken. Als je een rekenfout maakte bij de eerste onbekende, kan je nog steeds de andere onbekende correct berekenen.
• Als er breuken in de opgave staan, kan je de noemers gemakkelijk wegwerken door de volledige vergelijking met eenzelfde getal (verschillend van nul) te vermenigvuldigen.
3.3De substitutiemethode
Hoe los je een stelsel op door middel van de substitutiemethode? methodeSTAP 1: Vorm één van de vergelijkingen om naar x of y
STAP 2: Vervang deze onbekende in de andere vergelijking.
STAP 3: Los de verkregen vergelijking op.
STAP 4: Vervang de gevonden onbekende in één van de twee vergelijkingen en bereken zo de andere onbekende.
Voorbeeld1
x y = 3 → y = x 3
3x + 2y = 1
⇔ y = x 3
3x + 2(x 3) = 1
⇔ y = x 3
3x + 2x 6 = 1
⇔ y = x 3
5x = 5
⇔ y = x 3 x = 1
⇔ y = 2 x = 1
V = {(1, 2)}
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Voorbeeld3
x + y 30 = 0 → y = x + 30
5x + 10y 240 = 0
⇔ y = x + 30
5x + 10( x + 30) 240 = 0 ⇔ y = x + 30
5x 10x + 300 240 = 0 ⇔ y = x + 30
5x = 60 ⇔ y = x + 30
x = 12
⇔ y = 18
x = 12
V = {(12,18)}
Merk op
• Substitutie betekent vervanging.
Voorbeeld2
x + 2y = 13 → x = 2y 13 3x + 4y = 9
x = 2y 13 3( 2y 13) + 4y = 9
x = 2y 13
y + 39 + 4y = 9
x = 2y 13 10y = 30
= 2y 13
= 3
= 6 13
= 3
= 7
= 3 V = {( 7, 3)}
Voorbeeld4
x y + 1 = 0 → x = y 1 3x + y 9 = 0
x = y 1 3(y 1) + y 9 = 0
x = y 1 3y 3 + y 9 = 0
x = y 1 4y = 12
x = y 1 y = 3
x = 3 1 y = 3
x = 2 y = 3 V = {(2,3)}
• Gebruik de omgevormde vergelijking om de gevonden onbekende in te vullen. Zo vind je heel snel de ontbrekende onbekende.
• Deze methode is gemakkelijk te gebruiken als er een onbekende met coëfficiënt 1 of -1 in de opgave voorkomt.
Verwerkingsopdrachten
Los de volgende stelsels op met de gelijkstellingsmethode. Bepaal telkens de oplossingenverzameling.
a) y = 2x + 8 3x + y = 18
x + 4y = 8 x 2y = 6
Los de volgende stelsels op met de combinatiemethode.
Bepaal telkens de oplossingenverzameling. a) x + 2y = 12 3x 4y = 4
Noteer de volgende stelsels zonder breuken in de opgave. (Je moet de stelsels niet oplossen.)
Los de volgende stelsels op met de substitutiemethode.
Bepaal telkens de oplossingenverzameling. a) 2y = 4 x + 5y = 10
4 Problemen oplossen
Hoe los je een probleem op met een stelsel?
methodeSTAP 1: Gebruik twee letters (meestal x en y) om de onbekenden voor te stellen. Vermeld je keuze van de onbekenden.
STAP 2: Stel twee vergelijkingen bij het probleem op. Je krijgt nu een stelsel.
STAP 3: Los het stelsel op (met een algebraïsche oplossingsmethode).
STAP 4: Formuleer een antwoord.
STAP 5: Controleer je antwoord.
Voorbeeld
De omtrek van een rechthoek is 40 m. De lengte is 4 m minder dan het dubbele van de breedte. Bereken de lengte en de breedte van deze rechthoek.
Oplossing
1)Keuze van de onbekenden: • De lengte: x • De breedte: y
2)Twee vergelijkingen opstellen. Je krijgt een stelsel.
• “De omtrek van een rechthoek is 40 m.” →
• “De lengte is 4 m minder dan het dubbele van de breedte.”
3)Los het stelsel op.
2x + 2y = 40
x = 2y 4 ⟺ x + y = 20 x = 2y 4
Kies een algebraïsche oplossingsmethode om het stelsel op te lossen.
Met de gelijkstellingsmethode:
x = y + 20
x = 2y 4
2y 4 = y + 20
⇔
⇔
x = 2y 4
3y = 24
x = 2y 4
⇔ y = 8
x = 16 4
⇔ y = 8
x = 12
V = {(12,8)}
Met de combinatiemethode: x + y = 20
)}
4)Antwoord: De lengte van de rechthoek is 12 m en de breedte is 8 m.
5)Controle: 2(12 + 8)= 40
12 = 2 8 4
2(x + y)= 40 x = 2y 4
2(x + y)= 40 x = 2y 4
2(x + y)= 40 x = 2y 4
Met de substitutiemethode:
x + y = 20
x = 2y 4 ⇔
2y 4 + y = 20
x = 2y 4
3y = 24
⇔
x = 2y 4
⇔ y = 8
x = 12
V = {(12,8)}
Stel een passend stelsel op bij elk van de volgende opgaven. Vermeld duidelijk je keuze van de onbekenden. (Je moet het stelsel niet oplossen.)
a)Twee getallen waarvan de som 162 is en het verschil 88.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
b)Twee getallen waarvan de som 245 is en het quotiënt 6.
c)Een eerste getal is drie meer dan het dubbel van een tweede getal. Het dubbel van het eerste getal is twaalf keer kleiner dan het vijfvoud van het tweede getal.
d)Mama Katrien was 5 jaar geleden driemaal zo oud als haar zoon Wolf. Over vijf jaar is Katrien dubbel zo oud als haar zoon Wolf.
Los de volgende problemen op met een stelsel.
Noteer je tussenstappen en volg het stappenplan.
a)Vader Kristof is vijfmaal zo oud als zijn dochter Lena. Vijf jaar geleden was de leeftijd van Lena een negende van die van Kristof (op dat moment). Hoe oud zijn ze nu?
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
b)Een bedrag van € 265,00 wordt verdeeld in briefjes van € 10,00 en € 5,00. Hoeveel briefjes zijn er van elk als er in totaal 41 briefjes zijn?
Voor een concert in het Antwerps Sportpaleis zijn er twee soorten toegangskaarten. Een staanplaats kost 22 euro en een zitplaats kost 30 euro. Er werden in totaal 16400 kaarten verkocht.
Dit bracht 453440 euro op.
Omkring het stelsel waarmee je kunt berekenen hoeveel staanplaatsen en hoeveel zitplaatsen er verkocht werden.
a) x + y = 453440
22x + 30y = 16400
b) 22x + 30x = 16400y y = 453440 x
c) x + y = 16400
22x + 30y = 453440
d) y = 16400 + x
30y = 453440 + 22x
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
In een chemisch laboratorium worden twee oplossingen gemengd om een nieuwe oplossing te creëren. De eerste oplossing bevat 10% zout en de tweede oplossing bevat 25% zout. Je wilt een eindoplossing van 15 liter maken die 20% zout bevat. Hoeveel liter moet je nemen van elke oplossing?
Signaaloefeningen
Stel een passend stelsel op bij de volgende problemen. Vermeld duidelijk je keuze van onbekenden. Je moet de problemen niet oplossen.
a)Op een school komen er dubbel zoveel leerlingen met de fiets als met de bus. Er zijn 120 leerlingen die op een andere manier naar school komen. De school telt in totaal 960 leerlingen. Hoeveel leerlingen komen er met de fiets naar school?
Onbekenden benoemen:
Stelsel:
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
b)De leeftijd van Karel is 2 jaar minder dan het viervoud van de leeftijd van zijn dochter Isabel. Over 20 jaar zal Karel dubbel zo oud zijn als Isabel (op dat moment). Hoe oud zijn ze beide nu?
Onbekenden benoemen:
Stelsel:
c)De omtrek van een rechthoek is 30 meter. De lengte is 3 meter langer dan het dubbele van de breedte. Bereken de lengte en de breedte van die rechthoek.
Onbekenden benoemen:
Stelsel: d)Voor een theatervoorstelling van ‘Les Misérables’ in de stadsschouwburg zijn er plaatsen van 35 euro en van 30 euro. Tijdens een voorstelling komen er 1200 toeschouwers opdagen. De ontvangsten bedragen 38250 euro. Hoeveel toeschouwers betaalden 35 euro en hoeveel betaalden er 30 euro?
Onbekenden benoemen:
Stelsel:
>>> Verder oefenen: D1 t.e.m. D3
Noteer een stelsel dat aan de gegeven voorwaarde voldoet.
a) (2,3) iseenoplossing. b) (0,0) iseenoplossing. c)Hetstelselisstrijdig.
Los de volgende stelsels grafisch op.
a) x + y = 3 4x y = 2
rechte a xy
rechte b xy
V =
b) 3x = 6 x y = 1
rechte b xy
Los het stelsel op met de gelijkstellingsmethode.
2x + y = 1
x y = 2
Los het stelsel op met de combinatiemethode.
4x 3y = 5
2x + y = 6
Los het stelsel op met de substitutiemethode.
x + 2y = 6
5x + y = 0
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Los het stelsel op met een algebraïsche methode naar keuze.
2x + 3y = 12
x + 4y = 5
Los het volgend probleem op met behulp van een stelsel.
Als Merel één kaart geeft aan Arend, dan heeft ze er dubbel zoveel als Arend. Als Arend drie kaarten aan Merel geeft, dan heeft ze er viermaal zoveel als Arend.
Hoeveel kaarten hebben Arend en Merel elk?
Wat is een stelsel?
Differentiatietraject
Schrijf elke vergelijking in de vorm ux + vy + w = 0
Noteer bij elke vergelijking drie mogelijke oplossingen.
oplossingen:1)
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Stel een passend stelsel op bij de volgende problemen.
Vermeld ook duidelijk je keuze van onbekenden.
Je moet het stelsel niet oplossen.
a)Een erfenis wordt verdeeld onder enkele erfgenamen.
Krijgt iedere erfgenaam € 15000,00, dan is er € 15000,00 tekort.
Krijgt iedere erfgenaam € 10000,00, dan is er € 10000,00 over.
Bepaal het aantal erfgenamen en het totale bedrag van de erfenis.
b)In een cocktailbar mengt men twee drankjes tot een lekkere cocktail.
Bij een verhouding van 3 tot 4 kost één liter van de cocktail 35 euro.
Bij een verhouding van 1 tot 3 kost één liter van deze cocktail 40 euro.
Hoeveel kost één liter van elke soort?
c)De omtrek van een rechthoek is 80 meter. De lengte is 4 meter meer dan het dubbele van de breedte. Bereken de lengte en de breedte van deze rechthoek.
Stel een passend stelsel op bij de volgende problemen.
Vermeld ook duidelijk je keuze van onbekenden.
Je moet het stelsel niet oplossen.
a)Sam wil zijn verzameling stickers aan zijn vrienden uitdelen. Geeft hij aan elke vriend 5 stickers, dan heeft hij er 2 te kort. Als hij aan iedereen 4 stickers geeft, dan heeft hij 6 stickers over.
Hoeveel stickers en hoeveel vrienden heeft Sam?
b)De leeftijd van vader is 4 minder dan het viervoud van de leeftijd van zijn zoon. Over 20 jaar zal vader 2 jaar ouder zijn dan het dubbel van de leeftijd van zijn zoon (op dat moment).
Hoe oud zijn beide nu?
c)Op een optreden zijn er 1200 toeschouwers. Voor een zitplaats betaal je 10 euro, voor een staanplaats betaal je 8 euro. In de kassa telt men 10640 euro. Hoeveel tickets voor een zitplaats en hoeveel voor een staanplaats werden er verkocht?
Verbind wat bij elkaar hoort.
5
Leid uit de figuur de oplossing af van de volgende stelsels.
Verbind.
3x + 4y = 6
9x + 12y + 18 = 0
x + 4y = 5
2y 1 = 10
5x 2y = 3
2x + 5y + 3 = 0
3x 4y = 7
6x 8y = 14
Noteer een stelsel dat aan de gegeven voorwaarde voldoet.
a)(-1, -1) is een oplossing.
b)(5, -2) is een oplossing.
c)Het stelsel is onbepaald.
Los de volgende stelsels grafisch op.
a) 3x 5y = 0
12x + y = 0
b) 5x + 2y = 17
y = 3x 8
c)
1 2 x + y = 1
3x + 2y = 2
d) y = 3x + 1
2x y + 4 = 0
Los de volgende stelsels grafisch op.
a) 4x + 2y = 8
4x 2y = 0
b) 0,5x + 0,5y = 1,5 x 0,5y = 0
c) x + 2y = 5
x + 2y = 5 6 7 8 9
2x + 3y = 3
d) 2x 4y = 10
• Eén oplossing
• Geen oplossing
• Oneindig veel oplossingen
Algebraïsche oplossingsmethodes
11 12
⇔
Noteer een waarde voor a zodat het stelsel geen oplossingen heeft.
a) x + y = 6
ax + y = 2
b) 4x + 8y = a
x + 2y = 5
Noteer een waarde voor a zodat het stelsel oneindig veel oplossingen heeft.
a) x + y = 6
ax y = 6
b) 3x + 6y = a
x + 2y = 5
Zet wat bij elkaar hoort in dezelfde kleur.
2x + 3y = 10 x + y = 3
2x + 3y = 10
2x + 2y = 6
Zorg ervoor dat één van de onbekenden tegengestelde coëfficiënten hebben en tel de vergelijkingen lid aan lid op. x + y = 6 2x y = 4
x = 6 y 2 ⋅ (6 y) y = 4
Grafische methode Los één van de vergelijkingen op naar x of y en vervang deze onbekende in de andere vergelijking.
Combinatiemethode
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Gelijkstellingsmethode Teken de rechten in een assenstelsel en zoek de coördinaat van het snijpunt van deze rechten.
Vorm de vergelijkingen om naar dezelfde onbekende en stel beide uitdrukkingen aan elkaar gelijk.
x 3y = 5
2x + 4y = 6
⇔ x = 5 + 3y
x = 3 2y
Substitutiemethode
Los de volgende stelsels op met een algebraïsche methode. Tussen haakjes staat de methode die je best gebruikt.
a) y = 2x 8
y = 2x 12 (gelijkstellingsmethode)
b) 4x 3y = 5
2x + y = 6 (combinatiemethode)
c) x + 2y = 6
5x + y = 0 (substitutiemethode)
Los de volgende stelsels op met een algebraïsche methode.
a) 2x 5y = 8 x + 2y = 6
b) x y + 1 = 0
3x + y = 9
c) x y = 3
3x + 2y + 1 = 0
Los de volgende stelsels op met een algebraïsche methode. a) x + 3y = 6 5x 3y = 6
Los de volgende stelsels op met een algebraïsche methode.
3y = 12
+ 4y = 8
Los de volgende stelsels op met een algebraïsche methode. a) x + 4y = 6 x 3y = 8
Los de volgende stelsels op met een algebraïsche methode. a) 10x + 2y = 12
Gevraagd: de coördinaten van de hoekpunten A, B en C. 19 20 21 22 23
Los de volgende stelsels op met een algebraïsche methode.
a) 9 + 5y = 4x 11x = 20 + 9y
b) x 2y = 4 x = 6y 4
Los de volgende stelsels op met een algebraïsche methode.
Los de volgende stelsels op met ICT.
Los de volgende stelsels op met ICT.
a) 3(x + 1) (x + y)= 9 2(x + 3)+ 3(y 1)= 12
Gegeven: driehoek ABC met
AB ↔ x + 2y = 11
BC ↔ -x + 4y = 1
AC ↔ 2x + y = 7
Voor een buitenconcert wordt een rechthoekige zone afgebakend met 300 meter lint. De lengte is 30 meter meer dan het dubbele van de breedte. Bereken de lengte en de breedte van de zone.
x y
Twee thermometers registreren temperaturen tijdens een wetenschappelijke proef. De ene thermometer geeft 3°C meer aan dan de andere. Samen geven ze in totaal 45°C aan. Wat is de temperatuur die elke thermometer aangeeft?
Los de volgende problemen op met behulp van stelsels.
a)Twee zuuroplossingen worden met elkaar gemengd zodat er 16 liter is met een zuurconcentratie van 30%. De eerste zuuroplossing heeft een concentratie van 40%, de andere heeft een concentratie van 20%. Hoeveel liter wordt er van elke oplossing gebruikt?
b)Een boot legt in 2 uur 30 km af als het met de stroom mee vaart. Het duurt echter 4 uur als het tegen de stroom in vaart. Bepaal de snelheid van het stromend water en de snelheid van de boot bij stil water.
c)Voor een festival zijn er twee soorten kaarten. Koop je 6 gewone kaarten en 2 vipkaarten, dan betaal je 1200 euro. Koop je 4 gewone kaarten en 4 vipkaarten, dan betaal je 1600 euro. Bepaal de prijs van de kaarten. Een toegangskaart voor de 100-dagenfuif kost € 3 in voorverkoop en € 5 de avond zelf. Er zijn 484 betalende personen aanwezig. De voorverkoop van de toegangskaarten bracht € 1071 op. Hoeveel kaarten werden de avond zelf verkocht?
Je hebt een totaal aantal van 250 munten, bestaande uit stukken van € 0,10 en € 0,20. De totale waarde is € 40. Hoeveel van elk type munt heb je?
De organisatie van de reddersfuif wil de winst verdelen aan alle medewerkers. Als ze aan elk € 25 geven, dan is er € 50 over. Als iedereen € 30 krijgt, dan is er € 100 te weinig. Hoeveel medewerkers waren er en hoe groot was de winst?
Een nieuwe voetbal kost 30 euro. Ward zou de voetbal kunnen kopen als Imane hem de helft van haar bezit gaf. Imane zou hem kunnen kopen als Ward haar een derde van zijn bezit gaf. Hoeveel euro bezit elk?
Ben was vier jaar geleden dubbel zo oud als Chloë nu is. Binnen 8 jaar zal Ben drie keer zo oud zijn als Chloë vier jaar geleden was. Hoe oud zijn Ben en Chloë?
Los de volgende problemen op met behulp van stelsels.
a)In een spaarpot zitten 30 muntstukken, een aantal van 10 eurocent en een aantal van 20 eurocent. In totaal zit er 4,30 euro in de spaarpot. Bepaal het aantal stukken van 10 eurocent.
b)Lune belegde 30000 euro. Ze spreidde de beleggingen over twee formules. De eerste formule bracht haar een winst op van 8%, de tweede formule bracht 2% op. In totaal heeft ze een opbrengst van 1650 euro. Hoeveel euro belegde ze in de eerste formule?
c)In een experiment moeten dieren op een strikt dieet worden gehouden. Elk dier moet 20 gram eiwit en 6 gram vet krijgen. Een laborant kan twee voedermixen kopen: mix A heeft 10% eiwit en 6% vet; mix B heeft 20% eiwit en 2% vet. Hoeveel gram van elk mengsel moet worden gebruikt om het juiste dieet voor één dier te verkrijgen?
Een stuk bouwgrond van 3480 m2 wordt zo verdeeld dat een derde van het eerste stuk 150 m2 groter is dan de helft van het tweede stuk. Bereken de oppervlakte van beide stukken bouwgrond.
35
Voor een trouwfeest worden stoelen en tafels klaargezet. Plaatst men aan elke tafel 6 stoelen, dan zijn er 3 stoelen over. Wil men aan elke tafel 7 stoelen plaatsen, dan heeft men er 9 te kort. Hoeveel stoelen zijn er als het aantal tafels onveranderd blijft?
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
De leeftijden van 2 personen verhouden zich als 2 en 3. Zes jaar geleden was de verhouding 5 tot 8. Hoe oud is elke persoon?
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Studiewijzer
Differentiatietraject
Ik kan een passend stelsel opstellen bij een gegeven situatie.
Ik kan een stelsel grafisch oplossen.
Ik kan een stelsel van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden algebraïsch oplossen.
Ik kan een probleem oplossen door gebruik te maken van een stelsel.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Doelstellingen pagina in module pagina in vademecum
Ik kan een passend stelsel opstellen bij een gegeven situatie.
Lees aandachtig de opgave. Noteer wat jij kiest als de twee onbekenden. verwerking: 1, 2 signaal : 1 differentiatie: 1 t.e.m. 3
Ik kan een stelsel grafisch oplossen.
Een stelsel stelt twee rechten voor. De coördinaat van de punten die behoren tot beide rechten zijn de oplossing van het stelsel. verwerking: 3, 4, 5 signaal: 2, 3 differentiatie: 4 t.e.m. 11
Ik kan een stelsel van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden algebraïsch oplossen.
Werk net en overzichtelijk. Zorg dat je werkwijze gemakkelijk te volgen is. verwerking: 6, 7, 8, 9 signaal: 4, 5, 6, 7 differentiatie: 12 t.e.m. 23
Ik kan een probleem oplossen door gebruik te maken van een stelsel.
Je combineert nu de vorige doelstellingen. Noteer ook het antwoord op het probleem. Controleer je antwoord door in te vullen. verwerking: 10, 11, 12, 13 signaal : 8 differentiatie: 24 t.e.m. 35
4
6
11
16
Auteurs Philip Bogaert, Björn Carreyn en Roger Van Nieuwenhuyze
Eerste druk 2024 - SO 2024/0222 - Bestelnummer 94 606 0118 (module 02 van 17)
ISBN 978 90 4864 971 6 - KB D/2024/0147/204 - NUR 126/128/129 - Thema YPMF
Illustrator Jona Jamart - Design en lay-out die Keure
Verantwoordelijke uitgever die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge
RPR 0405 108 325 - © Copyright die Keure, Brugge