ISAAC-fysica 6 is een methode fysica voor het zesde jaar D-finaliteit van het secundair onderwijs voor de wetenschappelijke richtingen met 2 uur fysica en de wiskundige richtingen met 1 uur fysica. De wetenschappelijke richtingen met 2 uur fysica moeten meer leerstof zien, deze extra leerstof wordt aangeduid met een specifiek icoon (zie Legende pictogrammen). De methode kenmerkt zich door de sterke didactische aanpak en cursorische leerlijn. Met ISAACfysica verwerf je betrouwbare feitelijke kennis. Aan de hand van vele concrete voorbeelden uit de hedendaagse leefwereld en de duidelijke structuur draagt ISAAC bij tot een gemotiveerd en efficiënt leerproces.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Opbouw en aanpak
ISAAC-fysica 6 - Trillingen en golven bestaat uit drie delen. In die delen wordt de leerstof aangebracht via een gevarieerd aanbod aan thema’s.
3 delen
Doorheen het leerboek vind je het diabolomodel van die Keure terug.
1Intro
Tijdens het ISAAC-moment , intro, maak je kennis met het thema. Nieuwsgierigheid en verwondering staan hierbij centraal.
2Midden
Tijdens de instructieweken verwerk je de leerstof via impressie en verwondering, instructie en inoefening. Elk deel wordt afgesloten met een onderdeel 'Verder oefenen?' waar de leerstof van dat deel ingeoefend wordt. Daarna volgt ook telkens een studiewijzer zodat de leerlingen weten wat ze moeten kennen en kunnen na elk deel.
Volgende onderwerpen komen aan bod:
• Trillingen
• Golven
• Fenomenen en toepassingen
3Outro
De laatste lessen van het leerboek zijn voorbehouden voor de transferopdracht of de
ISAAC-actie . Dat is een concrete en functionele opdracht die het leerboek afsluit.
Oefeningen
Elk deel wordt afgesloten met een reeks 'Verder oefenen?'. Daar kan de leerstof van dat deel ingeoefend worden via een reeks oefeningen van verschillende niveaus. De oefeningen werden opgedeeld in drie rubrieken:
• Begrijpen
Deze oefeningen helpen je om de leerstof beter onder de knie te krijgen en te begrijpen.
• Toepassen
Dit zijn concrete toepassingen uit het dagelijkse leven waarbij je leerstof verwerkt door ze toe te passen in een context. Deze oefeningen kregen een moeilijkheidsgraad: makkelijk gemiddeld moeilijk
• Analyseren
Bij deze oefeningen ga je verder op zoek naar verbanden en relaties gerelateerd aan het onderwerp. Hier vallen vaak experimenten onder of uitgebreide oefeningen in een bepaalde context.
ISAAC digitaal
Doorheen het boek vind je QR-codes. Via die QR-codes kom je bij heel wat extra bronnenmateriaal.
Op Polpo vind je de uitgewerkte versie van het ISAAC-moment en de ISAAC-actie die in het leerboek opgenomen zijn. Daarnaast worden er ook extra ISAAC-momenten en -acties aangeboden.
Legende pictogrammen
Deze pictogrammen vind je in het leerboek.
doe de test
vastzettingskader
verwijskader
tip
besluit
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
uitbreiding wetenschappen
online experiment
Dit icoon duidt een experiment volgens de wetenschappelijke methode aan.
Dit duidt een vastzettingskader aan. Hier worden belangrijke en te kennen theorie/ formules in samengebald.
Een verwijskader verwijst naar een module of leerboek waar bepaalde theorie reeds gegeven werd of gegeven zal worden.
Dit lampje geeft een tip weer of geeft wat extra informatie.
Een besluitkader omvat een besluit of een conclusie, vaak na een experiment volgens de wetenschappelijke methode.
Een wist-je-dat is een leuk en interessant weetje, vaak komt hier ook wat extra informatie bij de theorie aan bod.
Dit icoon duidt leerstof aan die te kennen is in de wetenschappelijke richtingen met 2 uur fysica, maar niet in de wiskundige richtingen met 1 uur fysica. Deze leerstof kan natuurlijk wel optioneel aan bod komen in deze richtingen.
Dit icoon verwijst naar een experiment op Polpo waarmee aan de STEM-doelen gewerkt kan worden.
ISAAC-moment
Golvend door het leven
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Trillingen en golven kennen heel wat toepassingen in ons dagelijks leven. Je komt er – misschien onbewust – dagelijks mee in aanraking. Meer zelf, zonder golven zouden we niet kunnen communiceren, we zouden zelfs niet kunnen leven!
Ken jij een aantal toepassingen van trillingen en golven? Som er een aantal op, bespreek deze met je medeleerlingen en beargumenteer waarom jij denkt dat jouw toepassingen gebruik maken van golven.
Baseer je eventueel op onderstaande afbeeldingen om je te inspireren.
In dit leerboek leren we alle ins en outs van trillingen en golven en komen we heel wat toepassingen tegen.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Inhoud
3.1De enkelvoudige harmonische trilling 14
3.1.1Harmonische trilling als loodrechte projectie van een ECB 18
3.1.2Faseverschil, trillingen in fase en in tegenfase 20
3.1.3Snelheid en versnelling 22
3.1.4Krachten 24
3.1.5De eigenfrequentie van het trillend systeem 26
3.1.6Differentiaalvergelijking van een harmonische trilling 27
3.1.7Voorbeelden van harmonisch trillende systemen 28
3.1.8Energie bij de harmonische trilling 35
3.2De gedempte harmonische trilling
1Inleiding
In de natuur en ook in ons dagelijks leven komen heel wat trillingen voor. Denk bijvoorbeeld aan aardbevingen, speelgoed met veren, drilboren, een trillende stemvork, een trillende springplank in een zwembad, een tikkende metronoom, een elektrische tandenborstel …
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Bewegingen waarbij een systeem heen en weer schommelt rond een evenwichtspunt noemen we trillingen. Dergelijke bewegingen kunnen periodiek of niet-periodiek zijn.
De periodiciteit is duidelijk zichtbaar als we de trilling weergeven in een y(t)-grafiek, zoals onderstaande hartslag weergegeven in een EKG, de trilling van een aardbeving weergegeven in een seismogram of de toon van een stemvork.
hartslag weergegeven in een EKG
trilling van een aardbeving weergegeven in een seismogram
y
trilling van een stemvork y
t (s)
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
In een y(t)-grafiek wordt de uitwijking van de trilling voorgesteld in functie van de tijd.
t (ms)
In het eerste en laatste voorbeeld (hartslag en stemvork) herhalen de trillingen zich in de tijd. Het zijn dus periodieke bewegingen. Het deel van de beweging dat zich steeds herhaalt, wordt een cyclus genoemd.
2Periode en frequentie
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Deperiode geeft aan hoelang het duurt voordat de beweging zich herhaalt. De periode T is dus de tijd waarin een cyclus doorlopen wordt.
In het geval van een trilling wordt dat dan:
De periode T is de duur van één volledige trillingsbeweging.
De periode kunnen we aflezen in de y(t)-grafiek.
We kunnen ook de frequentie van een trilling bepalen. Het aantal keer dat de beweging zich herhaalt in een tijdseenheid bepaalt de frequentie. Ze geeft dus aan hoe snel een trilling plaatsvindt. Met andere woorden: hoe hoger de frequentie, hoe sneller de trillingen elkaar opvolgen.
De frequentie f is het aantal trillingen per tijdseenheid.
frequentie f hertz Hz
De eenheid van frequentie, hertz, is vernoemd naar de Duitse natuurkundige Heinrich Hertz (1857 – 1894).
Eén hertz is dus één cyclus per seconde:
1 = 1 s n = 1 s
Het verband tussen de frequentie f en de periode T wordt gegeven door: = 1
In het dagelijks leven worden vaak andere (geen SI) eenheden gebruikt om de frequentie van periodieke bewegingen te beschrijven. We geven enkele voorbeelden:
bpm of beats per minute (aantal tellen per minuut): dit wordt gebruikt als maat voor de hartslag of als maat voor het tempo van muziek rpm of rotation per minute (aantal toeren per minuut): dit wordt bijvoorbeeld gebruikt om het aantal toeren per minuut van een wasmachine aan te duiden
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
3Harmonische trillingen
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Een trilling wordt veroorzaakt door een verstoring van een stabiele evenwichtssituatie. Het trillend object zal dan heen en weer bewegen rondom deze evenwichtspositie. De harmonische trilling is de meest eenvoudige soort trilling.
We onderscheiden enkelvoudige harmonische trillingen en samengestelde harmonische trillingen.
Een stemvork trilt enkelvoudig harmonisch. De grafiek hierboven geeft bijvoorbeeld de trilling van de stemvork weer in functie van de tijd. We kunnen op deze manier de trilling visueel voorstellen. Als je een stemvork aanslaat, kan je de trilling zelfs horen.
Trillende voorwerpen brengen vaak de omringende lucht aan het trillen, met geluid als gevolg. We bespreken geluid uitgebreid verder in dit leerboek.
• hebben een complexer verloop, ze zijn immers samenstellingen van twee of meer enkelvoudige trillingen; veel periodieke signalen zijn geen zuivere sinussen en zijn dus niet enkelvoudig harmonisch = +
• Voorbeeld
Elektronische muziekinstrumenten, zoals een synthesizer, produceren klanken door sinusfuncties op te tellen en te manipuleren.
3.1De enkelvoudige harmonische trilling
We bestuderen nu de enkelvoudige harmonische trilling in detail.
Bekijken we het beeld van een enkelvoudige harmonische trilling in functie van de tijd in een y(t)grafiek, dan zien we een sinusoïde verschijnen.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Bij een enkelvoudige harmonische trilling is de trilling sinusvormig.
Voorbeeld
De geluidstrilling voortgebracht door een aangeslagen stemvork is enkelvoudig harmonisch.
Meestal wordt de enkelvoudige harmonische trilling kortweg harmonische trilling genoemd. Wij gaan dat in dit deel, waarin we vooral de enkelvoudige harmonische trilling bespreken, ook doen.
We kunnen dus al stellen dat voor een systeem dat een harmonische trilling uitvoert, de trillingsvergelijking te schrijven is als een sinusfunctie, met als vorm:
y(t)= ⋅ sin( ⋅ t + )+
Dit is ons functievoorschrift.
Dit is dus een goed model voor de harmonische trilling. We bekijken vervolgens met welke grootheden de a, b, c en d in de functie overeenkomen.
Evenwichtspunt
d is de positie van het evenwichtspunt. We gaan de y-as zo kiezen dat de oorsprong ervan samenvalt met het evenwichtspunt, in dat geval is d gelijk aan nul.
Ons model wordt dan:
y(t)= sin( t + )
y(t) geeft zo de uitwijking ten opzichte van het evenwichtspunt weer:
d = 0
Amplitude
De grootte van ( ⋅ + ) varieert tussen –1 en +1.
• Als sin( t + )= 1, dan is de uitwijking y ten opzichte van het evenwichtspunt maximaal, positief en gelijk aan +a.
• Als sin( ⋅ t + )= 1, dan is de uitwijking y ten opzichte van het evenwichtspunt maximaal, negatief en gelijk aan –a
a is dus de maximale uitwijking ten opzichte van het evenwichtspunt, we noemen a de amplitude. We noteren deze amplitude als A:
a = A
Pulsatie
De uitwijking y bereikt haar positief maximum als sin( t + )= 1. Stel dat t1 de eerste keer is dat dit gebeurt, we hebben dan:
sin( t1 + )= 1 ⋅ t1
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Stel nu dat de uitwijking y haar positief maximum voor de tweede keer bereikt op t2, we krijgen dan:
sin( t2 + )= 1
⋅ t2 + = π 2 + 2 ⋅ π t2 = π 2 + 2 π
Na het tijdsverloop t2 – t1 herhaalt de trilling zich, dit is dus gelijk aan de periode van de trilling. We hebben dan: = t2 t1 = π 2 + 2 π π 2
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
We zien dus dat b gelinkt is aan de periode van de trilling. We noteren b als ω en noemen dit de pulsatie van de trilling:
Beginfase
c noemen we de beginfase. We noteren dit als ϕ0. De beginfase bepaalt de positie en ook de snelheid en versnelling op het tijdstip t = 0s. Er zijn hier oneindig veel mogelijkheden, we geven hieronder vier bijzondere mogelijkheden:
Als ϕ0 = 0, dan bevindt het systeem zich op t = 0 s in de oorsprong en beweegt het in de positieve zin van de y-as.
Als 0 = π 2 , dan bevindt het systeem zich op t = 0 s in het positief maximum en beweegt het in de negatieve zin van de y-as.
Als 0 = π , dan bevindt het systeem zich op t = 0s in de oorsprong en beweegt het in de negatieve zin van de y-as.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Als = dus ook bij = = , dan bevindt het systeem zich op t = 0 s in het negatief maximum en beweegt het in de positieve zin van de y-as.
Op een ander tijdstip t is de fase:
= ⋅ t + 0
De trillingsvergelijking voor een harmonische trilling wordt dus gegeven door: ( )= ( + )=
Algemeen kunnen we een harmonische trilling dus als volgt definiëren.
Een systeem voert een harmonische trilling uit als zijn bewegingsvergelijking te schrijven is als een sinusfunctie:
y(t)= ⋅ sin( ⋅ t + 0 ) waarbij:
t = het tijdstip (s) y = de uitwijking ten opzichte van de evenwichtspositie op het tijdstip t (m)
A = de amplitude van de trilling = de grootte van de maximale uitwijking ten opzichte van de evenwichtspositie (m)
ω = de pulsatie = ⋅ ⋅ = ⋅
ϕ0 = de beginfase, dus de fase op t = 0 s (rad)
= ⋅ t + 0 = de fase op tijdstip t (rad)
Dergelijke bewegingsvergelijkingen worden ook wel trillingsfuncties, trillingsvergelijkingen, bewegingsfuncties ... genoemd.
3.1.1Harmonische trilling als loodrechte projectie van een ECB
We kunnen een harmonische trilling definiëren als de loodrechte projectie op een rechte van een punt dat een eenparig cirkelvormige beweging (ECB) uitvoert.
De ECB wordt uitvoerig besproken in het leerboek Kracht en verandering van beweging.
We beschouwen hierbij een punt dat een ECB met straal r uitvoert. Het punt heeft tijdens deze beweging een hoeksnelheid gelijk aan:
De cirkel, dus een hoek 2 ⋅ π , wordt namelijk doorlopen in een periode T
De loodrechte projectie van dat punt op een rechte geeft een op- en neergaande beweging.
Als we de y(t)-grafiek tekenen van deze op- en neergaande projectie, dan zien we weer een sinusfunctie verschijnen. Dit bevestigt dat we op deze manier een enkelvoudig harmonisch trillend punt krijgen.
Bekijken we dit even wiskundig, dan zien we dat de opstaande rechthoekszijde van de rechthoekige driehoek in de cirkel overeenkomt met de uitwijking van het enkelvoudig harmonisch trillend punt.
Eenvoudige driehoeksmeetkunde geeft ons dan:
y = sin = sin( t)
s n i m nm m i n m nis i in = sin 2 ⋅ π ⋅ t
We vinden zo de bewegingsvergelijking van een enkelvoudig harmonisch trillend punt met beginfase nul terug.
We zien hier ook dat de pulsatie van de harmonische trilling gelijk is aan de hoeksnelheid van de ECB.
De beginfase van de harmonische trilling hoeft natuurlijk niet noodzakelijk nul te zijn. In dat geval start de ECB in een ander punt dan y = 0 op de cirkel. Een voorbeeld hiervan wordt weergegeven in onderstaande grafiek.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Via de QR-code kan je met behulp van een applet het verband tussen de ECB en de harmonische trilling nader bestuderen.
We zien in deze applet bijvoorbeeld duidelijk dat de beginfase ϕ0 gelijk is aan de hoek tussen de positievector van het roterend punt en de horizontale op t = 0 s.
3.1.2Faseverschil, trillingen in fase en in tegenfase
Beschouwen we twee trillingen (met dezelfde pulsatie) met volgende trillingsfuncties:
( )= ⋅ ( ⋅ + )= ⋅
( )= ( + )=
dan kunnen we het faseverschil als volgt definiëren.
Het faseverschil van de tweede trilling ten opzichte van de eerste wordt bepaald door:
Δϕ = ϕ2 – ϕ1
met: = ⋅ + = ⋅ +
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
We bekijken dit even naderbij.
Volgende trillingen trillen met dezelfde pulsatie ω:
( )= ⋅ ( ⋅ + )= ⋅ ( )= ⋅ ( ⋅ + )= ⋅
Het faseverschil tussen de twee trillingen is:
+ ( + ) = In fase
Als het faseverschil gelijk is aan: = 2 π ( )
dan zijn de twee trillingen in fase.
Beide trillingen gaan op hetzelfde moment door de evenwichtspositie en bewegen in dezelfde zin van de y-as.
Ze bereiken dus op hetzelfde moment hun positief maximum en hun negatief maximum.
⋅ 2 ⋅ π ( ) ( ) ( )
Twee harmonische trillingen met dezelfde pulsatie zijn in fase als hun faseverschil gelijk is aan:
In tegenfase
Als het faseverschil gelijk is aan:
=(2 + 1) π ( )
dan zijn de twee trillingen in tegenfase
Beide trillingen gaan op hetzelfde moment door de evenwichtspositie, maar doen dat in een tegengestelde zin. Op het moment dat de ene trilling haar positief maximum bereikt, bereikt de andere trilling haar negatief maximum.
) ( )
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Twee harmonische trillingen met dezelfde pulsatie zijn in tegenfase als hun faseverschil gelijk is aan:
=(2 ⋅ + 1) ⋅ π ( )
WIST-JE-DAT
Hoofdtelefoons met ‘noise cancelling’ kunnen ongewenste omgevingsgeluiden onderdrukken door optellingen van trillingen in tegenfase. De hoofdtelefoon meet en analyseert hierbij het omgevingsgeluid, waarop een microfoon in de hoofdtelefoon een geluid in tegenfase produceert, zodat beide trillingen elkaar opheffen. We bespreken dit principe uitgebreid in het stuk over interferentie in het tweede deel van dit leerboek (p.83).
3.1.3Snelheid en versnelling
Bekijken we de harmonische trilling met functievoorschrift:
y(t)= ⋅ sin( ⋅ t + 0 )
dan kunnen we het functievoorschrift voor de snelheid en de versnelling bepalen door y(t)= ⋅ sin( ⋅ t + 0 ) af te leiden.
Voor de snelheid vinden we:
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
(t)= y(t) t = t ( ⋅ sin( ⋅ t + 0 ))
= s( t + 0 )
En voor de versnelling vinden we:
(t)= (t) t = 2 y(t) t2 = t ( ⋅ ⋅ s( ⋅ t + 0 ))
= ⋅ 2 ⋅ sin( ⋅ t + 0 ) = 2 y
De snelheid en de versnelling variëren dus ook harmonisch.
De snelheid van een harmonisch trillend punt voldoet aan de snelheidsfunctie:
(t)= ⋅ ⋅ s( ⋅ t + 0 )
De versnelling van een harmonisch trillend punt voldoet aan de versnellingsfunctie:
(t)= ⋅ 2 ⋅ sin( ⋅ t + 0 ) = 2 ⋅ y
Opmerking 1
De maximale snelheid en versnelling zijn: = ⋅ = ⋅
Opmerking 2
De formule voor de snelheid heeft een cosinus in plaats van een sinus, wat aangeeft dat de snelheid 90° in fase ‘voorloopt’. We kunnen de cosinus namelijk schrijven als:
s( t + 0 )= sin t + 0 + π 2
Het faseverschil met de uitwijking bedraagt dus:
= 0,2 0,1
= 0 + π 2 0 = π 2
De snelheid is dus maximaal in grootte als het systeem zich in de evenwichtstoestand bevindt. De snelheid is nul als het systeem zich in het positief of negatief maximum bevindt.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Opmerking 3
De formule voor de versnelling heeft een minteken voor de sinus staan. Dit geeft aan dat de versnelling in tegenfase is met de uitwijking. We kunnen de sinus in de formule voor de versnelling namelijk schrijven als:
sin( t + 0 )= sin( t + 0 + π)
Het faseverschil met de uitwijking bedraagt dus:
= 0,2 0,1
= 0 + π 0
= π
De versnelling is dus maximaal in grootte als het systeem zich in het positief of negatief maximum bevindt. De versnelling is nul als het systeem zich in de evenwichtstoestand bevindt.
Opmerking 4
Als de beginfase ϕ0 = 0, krijgen we volgende grafische voorstellingen. Deze geven een duidelijk beeld van de evolutie van de uitwijking, snelheid en versnelling in functie van de tijd.
Weergegeven op één grafiek geeft dit:
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
3.1.4Krachten
In het leerboek Kracht en verandering van beweging worden de wetten van Newton uitvoerig bestudeerd.
Volgens de tweede wet van Newton is:
De grootte van de kracht kunnen we dan berekenen met de formule:
F = m ⋅ a
In het geval van een harmonische trilling krijgen we dus:
2 ⋅ y(t) = 2 sin( t + 0 )
De grootte van de kracht varieert dus ook harmonisch, ze doet dit met een maximale waarde gelijk aan:
De kracht is, net zoals de versnelling, steeds in tegenfase met de uitwijking (ook hier staat er immers een – voor de sinusfunctie).
De kracht is dus, net als de versnelling, maximaal in grootte als het systeem zich in het positief of negatief maximum bevindt. De kracht is nul als het systeem zich in de evenwichtstoestand bevindt. Als de beginfase 0 rad is, krijgen we volgende voorstelling, die we kunnen laten aansluiten bij de grafische voorstellingen op p. 23.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
De kracht die inwerkt op een harmonisch trillend punt voldoet aan:
)= ⋅ ⋅ ⋅ ( ⋅ + )
⋅ ⋅ ( )
De constante m ⋅ ω2 wordt de elasticiteitsconstante ε genoemd, we krijgen dus: F(t) =
y(t)
Dit is een typische uitdrukking voor een elastische kracht.
De kracht is dus:
• tegengesteld aan de uitwijking; het is een terugroepende kracht, ze wil de trilling namelijk terugbrengen naar de evenwichtsstand
• recht evenredig met de uitwijking; hoe verder van de evenwichtsstand, hoe groter de kracht
We kunnen een harmonische trilling dan ook als volgt definiëren.
Een harmonische trilling is een verstoring van een stabiele evenwichtssituatie, de trilling is sinusvormig en kracht en uitwijking zijn recht evenredig met elkaar: F(t) =
y(t)
3.1.5De eigenfrequentie van het trillend systeem
Uit de elasticiteitsconstante kunnen we de periode van de trilling halen:
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
De periode van de harmonische trilling wordt gegeven door:
Hieruit blijkt dat de periode van de harmonische trilling enkel afhankelijk is van:
• de massa
• de elasticiteitsconstante
De periode hangt dus niet af van de amplitude van het systeem. Ongeacht de uitwijking van het systeem, of deze nu groot of klein is, de tijd om één volledige bewegingscyclus uit te voeren blijft constant. Bij een grotere amplitude wordt de uitwijking van het systeem natuurlijk groter en moet het systeem dus een grotere afstand afleggen, maar ook de kracht wordt groter (kracht en uitwijking zijn namelijk recht evenredig), deze twee houden elkaar in evenwicht.
De frequentie waarmee het harmonisch systeem trilt, noemt de eigenfrequentie van het systeem. Ook deze eigenfrequentie is onafhankelijk van de amplitude van de harmonische trilling:
De eigenfrequentie van het harmonisch trillend systeem is enkel afhankelijk van:
• de massa
• de elasticiteitsconstante
Bij een harmonische trilling zijn zowel de periode als de frequentie onafhankelijk van de amplitude van de trilling.
3.1.6Differentiaalvergelijking van een harmonische trilling
Vertrekkende van wat we nu weten, kunnen we op een vrij eenvoudige manier de bewegingsvergelijking voor een harmonische trilling opstellen.
We weten ondertussen dat:
F(t) = –ε ⋅ y(t)
Volgens de tweede wet van Newton hebben we dus:
(t)= y(t)
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
2 y(t)
⋅ 2 y(t)
t2 = ⋅ y(t)
t2 + y(t)= 0
2 y(t)
t2 + y(t)= 0
Deze vergelijking beschrijft de beweging van een harmonisch trillend systeem.
Deze vergelijking is een differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking heeft een functie als oplossing (en niet één of meerdere getallen zoals bij een algebraïsche vergelijking) en bevat naast die functie één of meerdere afgeleiden ervan. Het is een wiskundige vergelijking die de relatie weergeeft tussen een onbekende functie en zijn afgeleide(n).
De oplossing van deze vergelijking is dus y(t). We zien bovendien dat de tweede afgeleide van de oplossing van deze differentiaalvergelijking aan zichzelf gelijk moet zijn, op een constante na.
We kijken of het model dat we gevonden hebben voor onze harmonische trilling hieraan voldoet.
We hebben:
y(t)= sin( t + 0 )
Dit geeft ons dan:
y(t)
t = s( t + 0 )
2 y(t) t2 = 2 sin( t + 0 ) = 2 ⋅ y(t)
Dus:
2 ⋅ y(t)+ ⋅ y(t)= 0
We zien dus dat ons model past in deze differentiaalvergelijking en vinden dat:
2 = = 2 π = 1 = 1 2 π = 1 2 ⋅ π ⋅
We vinden zo opnieuw de formule voor de eigenfrequentie van de harmonische trilling terug en we zien dat ons model een oplossing is van deze differentiaalvergelijking.
3.1.7Voorbeelden van harmonisch trillende systemen
Heel wat systemen voeren een harmonische trilling uit rond hun evenwichtsstand. Denk maar aan een stemvork die trilt, een speelgoedje dat op en neer beweegt aan een veer, een lat die je laat op en neer trillen aan de zijkant van je bank, de slinger in een slingeruurwerk, een metronoom, een kind op een schommel …
We bekijken eerst het voorbeeld van het speelgoedje aan een veer, we bekijken dus het massa-veersysteem naderbij.
Het massa-veersysteem
Een typisch voorbeeld van een harmonische trilling is een zogenaamd massa-veersysteem dat bestaat uit een massa die wrijvingsloos op en neer beweegt aan een veer, zoals hieronder weergegeven.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
De massa beweegt heen en weer rondom een evenwichtspositie (0). In elke andere positie is de veer ofwel uitgerekt, ofwel ingedrukt.
De afstand van het midden van de massa tot deze evenwichtspositie noemen we de uitwijking(y). De maximale uitwijking die de massa tijdens de beweging kan hebben, noemen we de amplitude(A).
Stellen we deze beweging voor in functie van de tijd in een y(t)-grafiek, dan krijgen we onderstaande grafiek. We trekken hierbij de massa eerst naar beneden tot in zijn uiterste stand en laten hem dan los.
s y m
0 n i s si i
Het massa-veersysteem is dus duidelijk een enkelvoudige harmonische trilling.
We bekijken nu even welke krachten inwerken op het massa-veersysteem. n i s i n n s m im i i in y m
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
In toestand A is de veer onbelast, dus niet uitgerekt.
In toestand B werd een massa aan de veer gehangen, de veer is daardoor uitgerekt en bevindt zich in de evenwichtspositie.
De massa m is in rust. Er werken twee krachten op de massa:
• de zwaartekracht #–
• de veerkracht #–
Beide krachten zijn in grootte gelijk aan elkaar.
In toestand C werd de massa naar beneden getrokken tot onder de evenwichtspositie en daar losgelaten. Het massa-veersysteem heeft dan zijn maximale uitwijking. Er werken op dat moment twee krachten op de massa:
• de zwaartekracht #–
• de veerkracht #–
Deze krachten resulteren in een resulterende kracht #–. Deze resulterende kracht is hierbij de terugroepende kracht die de massa terug naar zijn evenwichtsstand zal trachten te brengen. De massa keert dus terug naar de evenwichtspositie en passeert deze wegens de eerste wet van Newton. De massa beweegt verder naar boven tot hij opnieuw zijn maximale uitwijking bereikt, waarna hij naar beneden begint te bewegen.
Na het loslaten zal de massa dus rond haar evenwichtspositie trillen. Tijdens deze beweging zal de grootte van de veerkracht #–voortdurend veranderen, aangezien de vervorming (uitwijking) van de veer ook voortdurend verandert.
De zwaartekracht #–is constant, dus zal ook de grootte van de resulterende kracht #–voortdurend veranderen.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Deze resulterende kracht is maximaal in grootte in de uiterste standen en nul in de evenwichtspositie.
Bovendien is ze altijd tegengesteld aan de uitwijking en in grootte recht evenredig met de uitwijking (ze wordt immers veroorzaakt door de extra vervorming van de veer ten opzichte van haar evenwichtspositie), dus: #–(t)= ⋅ #–y (t)
met:
k = de veerconstante = de elasticiteitsconstante (ε) bij een veer
Uit de tweede wet van Newton volgt dus:
(t)= y(t)
(t)= y(t)
⋅ (t)+ ⋅ y(t)= 0
2 y(t) t2 + y(t)= 0
2 y(t) t2 + ⋅ y(t)= 0
Voor het massa-veersysteem geldt dus de differentiaalvergelijking:
2 y(t) t2 + y(t)= 0 met als oplossing:
y(t)= ⋅ sin( ⋅ t + 0 )
Dit is de trillingsfunctie van het massa-veersysteem. Als we deze invullen in onze differentiaalvergelijking, dan vinden we:
De frequentie en periode van de trilling worden dus gegeven door:
Bij de trilling van een massa-veersysteem is immers ε = k, de veerconstante van de veer.
Het massa-veersysteem met veerconstante k voert een harmonische trilling uit met een periode gelijk aan:
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Uit de formule voor de periode zien we duidelijk dat:
• T afhankelijk is van de massa; hoe groter de massa, hoe groter de periode
• T afhankelijk is van de veerconstante; hoe groter de veerconstante, hoe kleiner de periode; bij een stijve veer is de periode kleiner dan bij een soepele veer
• T onafhankelijk is van de amplitude
• T onafhankelijk is van de tijd
Via de QR-code kan je een applet openen waarmee je het massa-veersysteem kan bestuderen.
De massa wordt hier bij de start vanuit zijn hoogste punt losgelaten. De uitwijking y wordt als s op de verticale as aangeduid. Bekijk de harmonische trilling, druk op pauze en klik vervolgens snelheid, versnelling of kracht aan om deze weer te geven.
Je kan met behulp van de applet ook het effect van de massa aan de veer, de veerconstante en de amplitude op de periode van de harmonische trilling van het massa-veersysteem testen.
Opmerking
Dergelijk massa-veersysteem wordt ook vaak voorgesteld door een massa aan een veer die wrijvingsloos heen en weer beweegt over een horizontaal oppervlak, zoals in volgende figuur weergegeven.
Een tweede systeem dat we nader bestuderen, is de slinger.
De slinger
Een slinger slingert harmonisch bij kleine uitwijkingen. We bekijken in dat geval de krachten die inwerken op het systeem. We verwaarlozen hierbij de wrijving.
We beschouwen daarvoor een massa aan een touw (met een verwaarloosbare massa) en we laten deze massa heen en weer slingeren. De uitwijking van de massa ten opzichte van zijn evenwichtspositie stellen we voor door s (booglengte). We bekijken de slinger op het moment dat deze een hoek θ met de verticale maakt.
Op de massa werkt natuurlijk de zwaartekracht #–, maar ook de spankracht in het touw #–s .
De zwaartekracht ontbinden we in twee componenten, een eerste component volgens de richting van het touw #–en een tweede component loodrecht op deze richting, volgens de bewegingsrichting van de massa, #–
We hebben:
en #–s zijn even groot, maar hebben een tegengestelde zin en heffen elkaar dus op. De resulterende kracht die op de massa inwerkt, is dus #–Deze is volgens de raaklijn aan de baan van de slingerbeweging naar het evenwichtspunt gericht.
Voor deze terugroepende resulterende kracht gebruiken we nu de tweede wet van Newton, wat ons volgende vergelijking geeft:
⋅ =
2 (t) t2 = sin
2 (t) t2 = sin n
Voor kleine hoeken is bij benadering sin = waardoor:
2 (t) t2 =
Bovendien weten we uit de wiskunde dat voor een cirkelboog geldt dat:
met:
l = de lengte van de slinger
De bewegingsvergelijking wordt dus:
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Waarbij: (t)= sin( t + 0 )
Als we dat uitwerken, krijgen we dus:
waaruit volgt dat:
Een slinger met lengte l voert bij kleine uitwijkingen een harmonische trilling uit met een periode gelijk aan:
Uit de formule voor de periode zien we duidelijk dat:
• T afhankelijk is van de lengte van de slinger; hoe groter de lengte, hoe groter de periode
• T afhankelijk is van de zwaarteveldsterkte; hoe groter g, hoe kleiner T
• T onafhankelijk is van de amplitude
• T onafhankelijk is van de massa
• T onafhankelijk is van de tijd
De periode en dus ook de frequentie van de slingerbeweging zijn onafhankelijk van de uitwijking en de massa.
De periode en dus ook de frequentie van de slingerbeweging zijn wel afhankelijk van de lengte van de slinger en van de zwaarteveldsterkte.
WIST-JE-DAT
Wet van het isochronisme
We hebben heel wat te danken aan de Italiaanse natuurkundige Galileo Galilei. Hij legde immers de grondslagen voor de experimentele natuurkunde en de dynamica van Isaac Newton.
Volgens de legende zou hij in de kathedraal van Pisa een hangende lamp heen en weer hebben zien slingeren, waarop hij slingers is beginnen bestuderen, pendules zoals hij ze noemde. In 1583 vond hij de wet van het isochronisme die zegt dat de periode van de slinger onafhankelijk is van de amplitude. De naam isochronisme is afkomstig uit het Oudgrieks: isos (ἴσος) = gelijk en chronos (χρόνος) = tijd.
Later ontdekte Galileo Galilei bovendien dat de slingertijd niet beïnvloed wordt door de massa van de slinger, maar wel door de lengte van de draad waaraan de slinger is opgehangen. Hoe korter de slinger, hoe sneller de slingerbeweging.
Galilei schreef uiteindelijk: “Elke slinger heeft zijn eigen, door de natuur gegeven slingertijd. Deze hangt niet af van de massa die eraan hangt of van de beginhoek. De slingertijd hangt alleen af van de lengte van de slinger.”
Huygens bevestigde later de stelling van Galilei, maar voegde er wel aan toe dat ze enkel geldig is voor kleine uitwijkingen. Het was ook Christiaan Huygens die op het idee kwam om de slinger te gebruiken in een klok. De slingerklok was daarmee geboren.
De slingerende lamp waarmee Galilei het isochronisme ontdekte, kan je nog steeds bekijken in de kathedraal van Pisa.
De slinger van Foucault
Een slinger die toch wel het vermelden waard is, is de slinger van Foucault. De slinger is vernoemd naar de Franse natuurkundige Jean Bernard Léon Foucault. Hij voerde in 1851 een historische proef uit in het Panthéon in Parijs. Door een zware bol aan een lang touw te laten slingeren onder de koepel van het Panthéon toonde hij ontegensprekelijk aan dat de aarde om haar as draait. Om de aardrotatie aan te tonen moest de bol een grote periode hebben en dus traag slingeren. Foucault maakte daarom een heel lange slinger. Onder de slinger werd een ronde zandbak aangebracht waarin de slinger een spoor trok. Op deze manier kon de beweging van de slinger vastgelegd worden. Als de aarde niet zou roteren, dan zou de slinger in één vlak blijven slingeren en een rechtlijnig spoor geven. De aarde roteert echter, waardoor de slinger een steeds veranderend spoor maakte in het zand. De slinger lijkt voor ons rond te draaien. In werkelijkheid beweegt de slinger ten opzichte van ‘vaste’ sterren in het universum in één vlak, maar aangezien wij met de aarde meedraaien, lijkt het alsof het de slinger is die ronddraait. Aan de polen is dit effect maximaal, terwijl op de evenaar dit effect nul is. Wil je dit eens visualiseren, bekijk dan de filmpjes via de QR-code. De beweging van de slinger van Foucault is een voorbeeld van het corioliseffect. Via de QR-code vind je hier ook meer informatie over.
We bespraken arbeid en energie al uitgebreid in het vierde jaar, in de module Energieomzettingen
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Je kan de theorie rond arbeid en energie herhalen via de QR-code.
Bij een harmonische trilling worden verschillende energievormen voortdurend in elkaar omgezet.
Bekijken we als voorbeeld een massa-veersysteem, dan zien we dat tijdens de beweging veerenergie en kinetische energie in elkaar omgezet worden.
Totale energie
Kinetische energie en veerenergie worden voortdurend in elkaar omgezet.
De totale energie blijft hierbij, in ideale omstandigheden (zonder wrijving), constant.
We berekenen even deze totale energie:
We zien dat de totale energie onafhankelijk is van de tijd, deze is dus constant en is enkel afhankelijk van de massa, amplitude en frequentie van het harmonisch trillend systeem.
In de applet, die je via de QR-code kan openen, is goed te zien hoe de verschillende energievormen voortdurend in elkaar omgezet worden. Klik hiervoor de onderste keuzemogelijkheid ‘energie’ aan.
Opmerking
Het massa-veersysteem bezit ook zwaarte-energie, als we echter het systeem bestuderen vanaf de evenwichtspositie van de veer met de massa eraan, dan wordt deze zwaarte-energie geëlimineerd en moeten we dus enkel nog rekening houden met de veerenergie (gemeten vanaf de evenwichtspositie van het massa-veersysteem) en de kinetische energie.
Formule voor de maximale snelheid
In de uiterste standen is de snelheid nul, dus ook de kinetische energie is daar nul. De veerenergie is daar wel maximaal, de veer is daar maximaal uitgerekt of ingedrukt. De uitwijking is daar immers gelijk aan de amplitude en is dus maximaal. De totale energie in de uiterste stand is:
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
In de evenwichtsstand is de uitwijking dan weer nul, de veerenergie is daar dus nul. De snelheid is daar echter maximaal. In dat punt is er dus geen veerenergie, maar een maximale kinetische energie. De totale energie in de evenwichtsstand is:
Vertrekkende van deze twee formules volgt dan uit de wet van behoud van energie dat:
De maximale snelheid bij de harmonische trilling van een massa-veersysteem wordt dus gegeven door:
Bovendien weten we ondertussen ook dat de periode van het massa-veersysteem gegeven wordt door:
Hieruit kunnen we dus volgend verband tussen de periode en de maximale snelheid afleiden:
3.2De gedempte harmonische trilling
Het model van de harmonische trilling houdt geen rekening met energieverlies ten gevolge van wrijvings- en weerstandskrachten. Aangezien deze in werkelijkheid meestal een aanzienlijke rol spelen, moet ons model aangepast worden als we hiermee rekening willen houden.
Het model van de gedempte harmonische trilling is dan ook een meer realistisch model dan het vorige model voor een ‘theoretische’ harmonische trilling.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
In het model dat we hier introduceren, wordt een eenvoudige benadering van de wrijvingskracht in rekening gebracht. De wrijvingskracht wordt hierbij recht evenredig met de snelheid verondersteld. De evenredigheidsconstante noteren we als λ: = met:
λ = de dempingsconstante =
Het minteken toont aan dat de zin van de wrijvingskracht tegengesteld is aan de zin van de snelheid.
We zagen al dat de terugroepende kracht bij een harmonische trilling gegeven wordt door:
FHT = –ε ⋅ y
Daarnaast werkt nu ook voorgaande wrijvingskracht op het harmonisch trillend systeem. De resulterende kracht wordt dus: = = + = y
2 y t2 = y y t
Dit geeft ons dan opnieuw een differentiaalvergelijking:
2 y t2 + y t + y = 0
met als oplossing:
y(t)= 0 ⋅ t 2 ⋅ sin( ⋅ t + 0 )
met:
A0 = de beginamplitude (m)
λ = de dempingsconstante
m = de massa (kg)
ω = de pulsatie
ϕ0 = de beginfase (rad)
Bekijken we de y(t)-grafiek voor deze gedempte trilling, dan ziet die er als volgt uit.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
De amplitude is bij een gedempte trilling tijdsafhankelijk. Dit wordt in de y(t)-grafiek voorgesteld door de rode curves:
y(t)= 0 ⋅ t 2 m i ⋅ sin( ⋅ t + 0 )
Hoe groter de dempingsconstante λ, hoe groter de demping, dus hoe sneller de amplitude afneemt.
Als de dempingsconstante λ klein is, is de periode bij benadering gelijk aan die van de ongedempte trilling:
3.3De gedwongen harmonische trilling
Tot nu toe behandelden we enkel ongedwongen trillingen. Bij een ongedwongen trilling kan een systeem, nadat het uit zijn evenwichtstoestand gebracht werd, vrij heen en weer bewegen. De trilling is daardoor ongedwongen.
Dit is bijvoorbeeld het geval bij het massaveersysteem waar de massa naar beneden getrokken wordt en daarna wordt losgelaten.
In realiteit zal de amplitude van zo'n ongedwongen trilling na verloop van tijd afnemen, de trilling wordt immers gedempt door wrijvings- en weerstandskrachten.
Het energieverlies bij een gedempte harmonische trilling kan dan opgevangen worden door een uitwendige kracht die het systeem in beweging houdt.
De trilling wordt zo continu aangedreven. We spreken in dat geval van een gedwongen trilling. Een herkenbare gedwongen trilling is een kind op een schommel waarbij we telkens een duwtje geven als de schommel zich in een uiterste stand bevindt.
We weten ondertussen ook dat een harmonisch trillend systeem trilt met een periode T die enkel afhankelijk is van de massa en elasticiteitsconstante (of veerconstante bij een veer):
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Deze periode is dus typisch voor het harmonisch trillend systeem. Zo heeft elk harmonisch trillend systeem zijn eigen vaste trillingstijd Teigen en dus ook zijn eigen vaste trillingsfrequentie feigen, zijn eigenfrequentie:
i n = 1 i n
De kracht die bij een gedwongen trilling op het systeem wordt uitgeoefend, wordt vaak ook periodiek in de tijd veronderstelt. We noemen de frequentie van deze uitwendige kracht de aandrijffrequentie fd
Aan het systeem wordt dan een periodieke trilling opgelegd en na een tijdje zal het systeem harmonisch trillen met een frequentie gelijk aan deze aandrijffrequentie. De amplitude blijft dan constant en de trilling is niet langer gedempt. Het energieverlies ten gevolge van de wrijving wordt dan gecompenseerd door de uitwendige kracht.
Als de aandrijffrequentie van de uitwendige kracht nu gelijk is aan de eigenfrequentie van het harmonisch trillend systeem, dan wordt de amplitude van de harmonische trilling erg groot. We noemen dat effect resonantie. De energieoverdracht op het harmonisch trillend systeem is dan maximaal.
Resonantie treedt op als de aandrijffrequentie van de uitwendige kracht gelijk is aan de eigenfrequentie van het harmonisch trillend systeem. De amplitude van de harmonische trilling wordt dan erg groot en de energieoverdracht op het harmonisch trillend systeem is maximaal.
Via de QR-code vind je een filmpje waarin resonantie uitgelegd en gedemonstreerd wordt.
Als twee systemen dezelfde eigenfrequentie hebben, kunnen ze elkaar aan het trillen brengen. Ook dat effect is resonantie.
Zo brengen twee stemvorken met dezelfde eigenfrequentie elkaar aan het trillen. Als de linker stemvork aangeslagen wordt, dan begint de rechter stemvork vanzelf te trillen. Met twee stemvorken met een verschillende eigenfrequentie lukt dit niet.
stemvork A stemvork B
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
geluidsgolven
Stemvork A wordt aangeslagen en trilt met zijn eigenfrequentie
Stemvork B begint te trillen met dezelfde frequentie (resonantie)
Bekijk via de QR-code een filmpje hiervan.
Bij een slinger bepaalt de lengte van de slinger zijn eigenfrequentie (op een bepaalde plaats op aarde). Twee slingers met dezelfde lengte kunnen elkaar dus ook aan het slingeren brengen. Bekijk ook dit via de QR-code.
WIST-JE-DAT
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Resonantie komen we in het dagelijks leven vaker tegen dan je denkt.
Om een kind op een schommel maximaal heen en weer te laten schommelen weten we natuurlijk allemaal dat we op het juiste moment een duwtje moeten geven, namelijk als de schommel in zijn uiterste stand is. De frequentie waarmee je duwt, moet immers gelijk zijn aan de frequentie van de schommel.
Maar er is meer.
Soldaten mogen tegenwoordig niet meer in marspas over een brug marcheren. Bij een frequentie van de pas die gelijk is aan de eigenfrequentie van de brug, zou de brug immers in resonantie kunnen komen en instorten. Zeker geen overbodig regeltje dus.
De regel zou er gekomen zijn nadat in 1831 een detachement van 74 soldaten over een hangbrug in Engeland marcheerde. Terwijl ze vrolijk marsmuziek floten, liepen de soldaten perfect volgens het ritme van de muziek. De brug begon te resoneren en stortte in. Zes soldaten raakten hierbij zwaargewond. Na dit incident mochten soldaten enkel nog uit de maat over een brug lopen.
Maar ook in 1850 stortte een hangbrug in, dit keer in Frankrijk en opnieuw met militairen. De brug was al in beweging gekomen door hevige wind ten gevolge van een storm, maar de militairen moesten er toch overheen. Ze wisten dat ze niet in de maat mochten lopen, maar omdat ze allemaal hun evenwicht probeerden te houden op de wiebelende brug, begonnen ze op de een of andere manier toch de resonantie te versterken. De brug stortte in en 487 mensen vielen in het water, 226 mensen overleefden dit niet. Frankrijk verbood in de 20 jaar daarna de bouw van nieuwe hangbruggen en de veiligheidseisen werden veel strenger.
In 1940 zouden windstoten aan de bron gelegen hebben van het instorten van de Tacoma Narrows Bridge (Washington). Windstoten met een frequentie gelijk aan de eigenfrequentie van de brug zouden de brug in resonantie gebracht hebben, waarna de brug na ongeveer vijf minuten instortte. Wel is er onder wetenschappers enige discussie over het feit of dit verhaal wel zou kloppen.
Bekijk het wiebelen en de instorting van de Tacoma Narrows Bridge via de QR-code.
Ook ons lichaam is gevoelig voor trillingen. Elk lichaamsdeel heeft zo een bepaalde eigenfrequentie. Als de ogen van helikopterpiloten in resonantie gaan omdat de motor dezelfde frequentie heeft als de eigenfrequentie van hun ogen, vermindert het gezichtsvermogen van de piloten aanzienlijk. Om dit, en dus ook ongevallen, te vermijden worden de stoelen van de piloten op schokdempers gemonteerd. Deze elimineren de trilling van de motor.
4Verder oefenen?
Begrijpen
De bewegingsvergelijking van een harmonische trilling is:
y(t)= 9,00 ⋅ sin(21 ⋅ π ⋅ t) mm
Geef de amplitude van deze trilling.
Als een slingerklok voorloopt, hoe kan je die dan bijregelen? Leg uit.
Fie speelt twee tonen op haar blokfluit. De tweede toon heeft een grotere frequentie. Is de periode groter of kleiner geworden? Leg uit.
Leg met je eigen woorden uit wat resonantie is. Geef twee voorbeelden waarbij resonantie een rol speelt.
Een massa hangt aan een veer en trilt verticaal op en neer.
Hoe verandert de periode van deze trilling in functie van de massa? Noteer.
Hoe verandert de periode van deze trilling in functie van de amplitude van de trilling? Noteer.
Hoe verandert de periode van deze trilling in functie van de veerconstante? Noteer.
Hoe verandert de periode van deze trilling in functie van de valversnelling g? Noteer.
Een massa slingert heen en weer aan een touw met lengte l.
Hoe verandert de periode van de slinger in functie van de massa? Noteer.
Hoe verandert de periode van de slinger in functie van de lengte van het touw? Noteer.
Hoe verandert de periode van de slinger in functie van de amplitude van de trilling? Noteer.
Hoe verandert de periode van de slinger in functie van de valversnelling g? Noteer.
Een massa beweegt op en neer aan een veer.
Wanneer is zijn snelheid het grootst? Noteer.
Wanneer is zijn snelheid het kleinst? Noteer.
Een massa beweegt op en neer aan een veer.
Wanneer is zijn versnelling maximaal? Noteer.
Wanneer is zijn versnelling minimaal? Noteer.
Wat is het faseverschil tussen deze harmonische trillingen? Noteer.
Als je een aantal stemvorken hebt, kan je volgend experiment proberen.
Plaats twee identieke stemvorken naast elkaar. Sla de ene stemvork aan. Wat gebeurt er? Leg uit waarom. Herhaal het proefje met twee verschillende stemvorken. Wat gebeurt er? Leg uit waarom.
Bekijk het filmpje via de QR-code. In dit filmpje is duidelijk te zien hoe een brug in Volgograd (Rusland) trilt. Hoe noemt dit fenomeen? Wat ligt volgens jou aan de oorzaak? Bespreek.
De formule voor de periode van een gedempte harmonische trilling is:
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
We zien dat de dempingsconstante de periode beïnvloedt. Leg uit welk effect een grotere of kleinere dempingsconstante heeft op de periode.
Voor een massa-veersysteem dat een harmonische trilling uitvoert, werden deze twee grafieken opgesteld.
Welke grootheid ontbreekt op de plaats van het vraagteken? Duid het juiste antwoord aan:
De veerenergie van het massa-veersysteem.
De kinetische energie van het massa-veersysteem.
De versnelling van het massa-veersysteem.
De snelheid van het massa-veersysteem.
Welke van onderstaande grafieken geeft het correcte verloop van de versnelling van een harmonisch trillend systeem weer in functie van de tijd? Op t = 0 s bevindt het systeem zich in zijn evenwichtspositie en beweegt naar beneden. Noteer.
Schrijf de bewegingsvergelijking voor een harmonische trilling. Verklaar alle gebruikte grootheden.
Beschouw onderstaande harmonische trilling van een massa-veersysteem.
Duid het (de) juiste antwoord(en) aan. Na 12 s kunnen we over deze harmonische trilling zeggen dat:
zijn kinetische energie maximaal is. zijn veerenergie maximaal is. zijn versnelling maximaal is. zijn snelheid maximaal is.
Een massa trilt harmonisch met periode T aan een veer en bevindt zich in zijn uiterste stand. Zijn uitwijking is dus gelijk aan de amplitude. Na hoeveel tijd bereikt hij een uitwijking die gelijk is aan de helft van de amplitude? Duid het juiste antwoord aan (geef de snelste mogelijkheid).
Je hebt misschien al eens meegemaakt dat je fiets hevig begon te trillen bij het rijden over een hobbelige weg. Je kan hiervan schrikken, maar wat doe je dan eigenlijk het best? Helpt het om langzamer te rijden of moet je juist sneller beginnen rijden? Wat ligt aan de oorzaak van dit plotse heftige trillen? Verklaar je antwoord.
Geef de vergelijking die de uitwijking van een harmonisch trillend systeem weergeeft. Benoem alle gebruikte grootheden.
Zijn volgende harmonische trillingen enkelvoudig of samengesteld? Noteer.
Je hebt misschien wel een hoofdtelefoon met ‘noise cancelling’. Wat is het fysisch principe waarop deze gebaseerd is? Leg uit.
Wat is het verband tussen een harmonische trilling en een ECB? Leg uit.
Op een harmonisch trillend systeem werkt een terugroepende kracht. Waarom spreekt men van een terugroepende kracht? Leg uit aan de hand van de vergelijking van de kracht.
De bewegingsvergelijking van een harmonische trilling is: y(t)= 0, ⋅ sin ( ⋅ π ⋅ t)
Hoe groot is de amplitude van deze harmonische trilling? Noteer.
Welke afstand legt een systeem dat een harmonische trilling met amplitude A uitvoert af in één periode? Noteer.
Wanneer zijn twee harmonische trillingen in fase? Noteer.
Wanneer zijn twee harmonische trillingen in tegenfase? Noteer.
Een massa-veersysteem trilt harmonisch. In welke posities is de snelheid van het systeem maximaal? Noteer.
Een massa-veersysteem trilt harmonisch. In welke posities is de versnelling van het systeem maximaal? Noteer.
Toepassen
Safaa heeft een wieg gekocht die heel zachtjes op en neer trilt. De veerconstante van de veer waaraan de wieg is opgehangen, bedraagt 1, m . De massa van de wieg is 13,0 kg. Ze legt haar baby (massa = 3,5 kg) in de wieg en laat de wieg op en neer trillen.
Bereken de periode en de frequentie van de trilling.
Safaa heeft in een tijdschrift gelezen dat baby’s sneller in slaap vallen als de trilfrequentie kleiner is. Hoe kan ze hiervoor zorgen? Leg uit.
Een harmonisch trillend punt maakt een volledige op- en neergaande beweging in 0,8 s. De y(t)-grafiek van de harmonische trilling ziet er als volgt uit.
Geef de bewegingsvergelijking van deze harmonische trilling.
Aan een veer hangt een massa. Men laat het massa-veersysteem trillen met een frequentie van 6,0 Hz en een amplitude van 1,4 cm. Bereken de maximumsnelheid van de massa.
De bewegingsvergelijking van een harmonische trilling is:
y(t)= 0,0 00 sin( ,00 t)
Wat is de uitwijking van dit harmonisch trillend systeem na 3,0 s? Bereken.
De bewegingsvergelijking van een harmonische trilling is:
y(t)= 6 ⋅ ( ⋅ t)
Wat is de periode van deze harmonische trilling? Bereken. Wat is de fase van deze trilling na 2,00 s? Bereken.
Uit een luidspreker komt een toon van 2060 Hz. Bereken de periode van deze toon.
Een stemvork trilt 800 keer in vier seconden. Bereken de frequentie en de periode van deze trilling.
Een boom waait 30 keer heen en weer per minuut. Bereken de periode en de frequentie.
Je hart klopt gemiddeld 72 keer per minuut. Bepaal de frequentie en periode van jouw hartslag.
Een basketbalspeler dribbelt met een frequentie van 1,57 Hz. Als de speler negen keer dribbelt, hoelang doet hij er dan over? Bereken.
Bepaal de frequentie en de periode van de seconden-, minuten- en urenwijzer van een uurwerk.
Bepaal de frequentie en de periode van onderstaande trilling.
(ms) y (cm)
5 10 15 20
Een harmonische trilling met T = 1,2s en A = 3,0cm heeft reeds 0,9 seconden getrild sinds ze in positieve zin de evenwichtsstand is gepasseerd. Bereken de uitwijking, snelheid en versnelling op dat moment.
Een massa-veersysteem voert een harmonische trilling uit met volgende y(t)-grafiek.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Aan de veer bevindt zich een massa van 9,0g
Bereken aan de hand van deze gegevens de veerconstante van de veer. Bereken de maximale snelheid van het massa-veersysteem.
Geef de bewegingsvergelijking van een harmonische trilling met amplitude 3,0 cm en frequentie 2,5Hz. Op tijdstip t = 0s beweegt het systeem bovendien in positieve zin door zijn evenwichtspunt.
De bewegingsvergelijking van een harmonische trilling is: y(t)= 0, sin ( π t)
Hoe groot is de pulsatie van deze harmonische trilling? Bereken.
Een massa m trilt harmonisch aan een veer met een periode T
Duid het juiste antwoord aan. Een massa 2 m trilt harmonisch aan dezelfde veer met een periode:
Johan bevestigt drie identieke veren naast elkaar aan statieven. Aan elke veer hangt hij een andere massa: m1 = 100g, m2 = 200g, m3 = 300g.
Hij trekt elk van de massa’s om beurt uit hun evenwichtspositie zodat ze harmonisch beginnen trillen.
Wat kan je zeggen over de periode van de trillingen bij de drie massa’s? Duid het juiste antwoord aan.
Die is het kleinst voor m1
Die is het kleinst voor m2
Die is het kleinst voor m3.
Die is voor de drie massa’s gelijk.
Marie bevestigt drie identieke veren naast elkaar aan statieven. Aan elke veer hangt ze een andere massa: m1 = 100g, m2 = 200g, m3 = 300g.
Ze trekt elk van de massa’s om beurt uit hun evenwichtspositie zodat ze harmonisch beginnen trillen.
Wat kan je zeggen over de frequentie van de trillingen bij de drie massa’s? Duid het juiste antwoord aan.
Die is het kleinst voor m1
Die is het kleinst voor m2
Die is het kleinst voor m3.
Die is voor de drie massa’s gelijk.
De bewegingsvergelijking van een harmonische trilling is: y(t)= 0,1 sin (2 π t + 1,2 )
Hoe groot is de periode van deze harmonische trilling? Bereken.
Een luidspreker produceert een toon van 2080 Hz. Bereken de periode van deze toon in milliseconden.
Bereken de periode en frequentie van een boom die twee keer heen en weer waait in 5,0 seconden.
Een massa van 2,0 kg hangt aan een veer en beschrijft een harmonische trilling met amplitude 20,3 cm en periode 3,2 s.
Bereken de frequentie van deze trilling. Bereken de veerconstante van de veer.
Een massa van 800 g hangt aan een veer. Mina trekt de massa 4,5 cm naar beneden en laat los. Het massa-veersysteem trilt harmonisch met een periode van 1,0 s. Bepaal de maximale versnelling, de snelheid van de massa op het moment dat die door de evenwichtsstand gaat en de veerconstante van de veer.
De bewegingsvergelijking van een harmonische trilling wordt gegeven door:
y(t)= ,0 sin( ,0 t) in m
Bepaal de periode.
Bepaal de uitwijking op het moment dat de fase is.
Hoe groot is de uitwijking na ? Bereken.
Door een massa m aan een veer te hangen rekt de veer 2,0cm uit. Het massa-veersysteem is nu in evenwicht. Door de massa iets naar beneden te trekken en los te laten begint het massa-veersysteem te trillen. Bereken de frequentie van deze trilling.
Toon aan dat de maximale snelheid bij een harmonische trilling kan berekend worden aan de hand van onderstaande formule:
Je mag hierbij vertrekken van de formule (hoe we aan deze formule kwamen, vind je terug op p. 36):
Vanop een hoogte van 14cm wordt een voorwerp losgelaten. Het voorwerp is aan een niet-uitgerekte veer met veerconstante 0 m bevestigd. Het voorwerp trilt vervolgens harmonisch. De uitwijking in functie van de tijd is in onderstaande grafiek weergegeven.
Bepaal de massa van het voorwerp en de periode van de trilling.
Ibrahim wil een massa-veersysteem aan het trillen brengen door zijn hand (waarmee hij de veer+massa bovenaan vasthoudt) op en neer te bewegen. De veer heeft een veerconstante van 0 m en aan de veer hangt een massa van 30 gram. Met welke frequentie moet hij zijn hand op en neer bewegen om de veer in resonantie te krijgen? Bereken.
Teken het y(t)-diagram van een harmonisch trillend voorwerp met een frequentie van 4,5Hz, een amplitude van 2,5cm en beginfase nul.
Teken een y(t)-grafiek van een harmonisch trillend systeem met een frequentie van 3,5Hz, een amplitude van 2,1cm en beginfase nul.
Een massieve bol met een massa van 1,2 kg hangt aan een veer. Men rekt de veer 6,0cm uit en laat ze los. De bol trilt één keer op en neer per seconde.
Bereken de veerconstante van de veer.
Bereken de maximale snelheid van de bol tijdens het trillen.
In welke positie bevindt de bol zich op dat moment? Noteer.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Geef de vergelijkingen die de snelheid en de versnelling van een harmonisch trillend systeem weergeven.
Leid deze vergelijkingen af uit de vergelijking voor de uitwijking.
Een student hangt 500 g aan een veer, rekt de veer vervolgens 5,0 cm uit en laat los. Het massa-veersysteem trilt nu eenmaal heen en weer per seconde. Bereken: de veerconstante van de veer;
zijn maximale versnelling; zijn maximale snelheid.
Noteer wanneer deze maximale versnelling en snelheid bereikt worden.
Een kolibrie is een heel bijzonder vogeltje. Hij wordt wel eens de helikopter onder de vogels genoemd, omdat hij tijdens het vliegen stil kan hangen. De kolibrie kan zelfs recht naar boven of beneden vliegen.
Een mannetjeskolibrie vliegt tijdens een duikvlucht het snelst. Hij vliegt dan in één seconde net zo ver als 385 keer zijn eigen lichaamslengte. Dat is wel 100 kilometer per uur! Tijdens het vliegen beweegt hij zijn vleugels erg snel op en neer. Hierdoor is zelfs een zoemend geluid te horen met een frequentie van 55 Hz
Hoelang duurt één op- en neergaande beweging van zijn vleugels? Bereken.
Als de beweging met een camera - die 1000 beelden per seconde maakt - gefilmd wordt, hoeveel frames zijn er dan nodig om één op- en neergaande beweging van de vleugels vast te leggen? Bereken.
Je wil graag resonantie krijgen in een massa-veersysteem met een veer met veerconstante 0 m en een massa van 30g. Bereken met welke frequentie je jouw hand op en neer moet bewegen om resonantie waar te nemen.
Een student vergelijkt twee massa-veersystemen. Het eerste massa-veersysteem trilt met amplitude A en periode T. Het tweede massa-veersysteem trilt met amplitude 2 A en periode 2 ⋅ T.
Vergelijk de maximale snelheid van beide massa-veersystemen met elkaar.
Vergelijk de maximale versnelling van beide massa-veersystemen met elkaar.
Vergelijk de totale energie van beide massa-veersystemen met elkaar.
Imani vindt een bijzondere wieg op een rommelmarkt. De wieg van 13,8 kg hangt namelijk aan een veer met een veerconstante van 1,2 m .
Bereken hoeveel de veer uitgerekt is als er geen baby in de wieg ligt.
Bereken hoeveel de veer extra uitrekt als Imani haar baby van 3,2 kg in de wieg legt.
Hoe moeten we een slingeruurwerk voor op de maan maken? De zwaarteveldsterkte is daar zes keer kleiner dan hier op aarde. Leg uit en maak de berekeningen.
Een harmonische trilling heeft een periode van 0,50s en een amplitude van 3,0cm. Bereken de uitwijking, snelheid en versnelling 1 20 seconde nadat het trillingspunt in positieve zin door het evenwichtspunt gegaan is.
Hoe groot is de uitwijking, snelheid en versnelling van een harmonische trilling met T = 0,50 s en A = 3,0cm op het moment dat zijn fase rad is? Bereken.
Bij een gedempte harmonische trilling van een massa van 0,500 kg bedraagt de dempingsconstante 1, s , de beginamplitude 6,0 cm en de periode 400 ms. Bereken de uitwijking en amplitude na 3,0 s. Geef het functievoorschrift.
Vul de uitdrukking voor de gedempte harmonische trilling in in de differentiaalvergelijking zodat je de uitdrukking voor de pulsatie van een gedempte harmonische trilling bekomt:
Werk de formule voor de pulsatie bij de gedempte harmonische trilling uit, zodat je de formule voor de periode bij de gedempte harmonische trilling bekomt.
Als we een slingerklok zouden meenemen naar de maan, zou die daar dan juist lopen? Leg uit.
Wat zou daar de periode zijn van de slinger? De zwaarteveldsterkte is ongeveer zes keer kleiner op de maan dan op aarde. Bereken.
Welke lengte moeten we de slinger geven opdat de klok wel juist zou lopen? Bereken.
Een speelgoedboot dobbert op en neer in bad. Zijn uitwijking als functie van de tijd is op onderstaande grafiek te zien. De beginfase bedraagt π 6
Bepaal de amplitude, frequentie en periode.
Bepaal:
• de snelheid na 3,0s
• de versnelling na 1,0s
• de fase na 2,0s
• de maximale snelheid
• de maximale versnelling
Teken het y(t)-diagram voor dezelfde trilling, maar met beginfase ⋅ π 6
Wat is de periode van een trillend systeem dat een versnelling van 2,00 m s2 heeft op het ogenblik dat de uitwijking 8,00 cm is? Bereken.
Een zeer lichte veer rekt 15,0 cm uit als we er 120 g aan hangen. We trekken de massa nu nog 12,0 cm naar beneden en laten dan los. Wat is de versnelling (in absolute waarde) van de massa als die een uitwijking van 5,0 cm heeft? Bereken.
Een lichte verticaal opgehangen schroefveer is al met 500 g belast. Als we er nog 700 g bij hangen, wordt de veer 14,0 cm langer. We hangen er tenslotte nog 0,800 kg extra bij en laten het massa-veersysteem vervolgens op en neer trillen. Wat is de periode van de trilling? Bereken.
Een systeem voert een harmonische trilling uit met amplitude 5,0 cm en heeft een snelheid van 0 m s op het ogenblik dat zijn uitwijking 3,0 cm bedraagt. Bepaal de periode.
Een slingerklok tikt met 125 tikken per minuut. Bereken de lengte van de slinger.
Een slingerklok wordt verplaatst van een plaats waar = 9, 10 m s2 is naar een plaats waar = 9, 1 m s2 is. Welk effect heeft dit op de klok? Leg uit aan de hand van berekeningen.
Een massa van 6,0 kg voert onderstaande harmonische trilling uit:
y(t)= ,0 m sin π t 2s + π
Bepaal de frequentie van deze harmonische trilling.
Wanneer gaat de massa door het evenwichtspunt? Bereken.
Bereken de kinetische energie als de uitwijking 1,0 cm bedraagt.
Een voorwerp trilt op en neer aan een veer. De periode van de trilling is 0,60 s, de amplitude 10 cm en de massa van het voorwerp bedraagt 0,35 kg.
Teken het y(t)-diagram voor deze harmonische trilling.
Noteer de positiefunctie voor deze harmonische trilling.
Bereken de veerconstante.
Bereken de snelheid van het harmonisch trillend voorwerp op t = 0,95 s.
Vertraagt of versnelt het voorwerp op dat moment? Leg uit.
Mamadou rijdt met de auto over een hobbelig wegdek. De hobbels in het wegdek liggen op 10,0 m van elkaar. De auto heeft een eigenfrequentie van 1,4 Hz.
Als hij met een bepaalde snelheid rijdt, komt de vering van de auto in resonantie. Bij welke snelheid is dat? Bereken.
Bereken de veerconstante van de auto als je weet dat de auto een massa van 1,2 ⋅ 103 kg heeft.
Als Mamadou vier vrienden meeneemt in de auto, neemt hij de resonantie dan bij een hogere of lagere snelheid waar? Leg uit.
56 57 a b c d
In onderstaande grafiek worden drie harmonische trillingen weergegeven. Ze beschrijven de uitwijking van drie verschillende massa-veersystemen.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
58
Trilling 1 voldoet aan de vergelijking: y(t)= 6 π t
Noteer de trillingsfuncties voor de andere twee trillingen.
De uitwijking van een harmonische trilling wordt in onderstaand y(t)-diagram weergegeven.
m
2,0 ,0
Bepaal de uitwijking op t = 0 s, t = 0,3 s en t = 1,5 s.
Bepaal de periode, frequentie, beginfase en amplitude.
Geef de vergelijking die de uitwijking weergeeft. Wat gebeurt er op tijdstip A? Leg uit.
Bij een trilling neemt de trillingsenergie elke periode met 6,0% af. Als je weet dat de trilling op t = 0s een amplitude van 4,0cm en een periode van 3,5s heeft, hoe groot is dan de amplitude na 21 s? Bereken.
Analyseren
De harmonische trilling als loodrechte projectie van een ECB
In deze oefening bestudeer je de harmonische trilling als de loodrechte projectie van een ECB op een rechte.
Het effect van de hoeksnelheid (pulsatie) en de straal van de cirkel bij de ECB kan je bekijken in de applet via de QR-code. Daarnaast wordt ook de link met het massa-veersysteem geïllustreerd.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Welk effect heeft de grootte van de straal van de cirkel op de harmonische trilling? Bespreek.
Wat gebeurt er als de straal verdubbelt? Noteer.
Welke effect heeft de grootte van de hoeksnelheid van de ECB op de harmonische trilling? Bespreek.
Wat gebeurt er als de hoeksnelheid verdubbelt? Noteer.
Gedwongen trillingen
Open de applet via de QR-code. In de grafiek wordt de amplitude in functie van de pulsatie weergegeven. Druk op start en bekijk de trilling. Tracht nu, door de massa aan te passen, het massa-veersysteem in resonantie te brengen (je zou natuurlijk ook de veerconstante kunnen aanpassen of beide).
Bij welke massa lukt dat? Noteer.
Bekijk nu opnieuw de trilling. Beschrijf wat je ziet.
Resonantie
We zagen in de theorie al dat twee identieke stemvorken elkaar aan het trillen kunnen brengen. Probeer dit nu met twee verschillende stemvorken. Wat neem je waar? Leg uit. In de theorie zagen we ook dat twee slingers met dezelfde lengte elkaar in beweging brengen. Probeer dit nu met twee slingers met een verschillende lengte. Wat neem je waar? Leg uit.
Als je een lat deels op de rand van je tafel legt, dan kan je die op en neer laten trillen.
Denk na over welke factoren een invloed op deze trilling hebben.
Bedenk een experiment waarbij je de invloed van één van deze factoren onderzoekt.
De elasticiteitsconstante van een elastiek
Een fysicaleraar geeft aan zijn leerlingen een dikke elastiek en zegt dat ze de elasticiteitsconstante van de elastiek moeten bepalen.
De leerlingen hebben in een eerder experiment al de veerconstante van een veer bepaald en besluiten op dezelfde manier te werk te gaan. Ze meten de uitrekking van de elastiek voor verschillende uitgeoefende krachten. Dit resulteert in volgende grafiek.
20,0 2 ,0 0,0
0,0 ( ,0 22,0)
0, 1,0 1, 2,0 2, ,0 , ,0 10,0 1 ,0
Bepaal aan de hand van deze grafiek de elasticiteitsconstante van de elastiek.
Vervolgens krijgen de leerlingen de opdracht om de massa lucht in een opgeblazen ballon te bepalen. Ze moeten daarvoor de ballon op en neer laten trillen aan de elastiek. De leraar geeft de leerlingen wel nog een tip, hij laat de leerlingen een massa (m = 127 g) onderaan de ballon plakken om hem zwaarder te laten worden.
De leerlingen gaan aan de slag en tellen 116 trillingen per minuut. De massa van de elastiek en de ballon mogen ze van de leerkracht verwaarlozen.
Maak hun berekeningen, bepaal de massa lucht in de ballon.
Laat je inspireren door dit experiment en voer zelf een gelijkaardig experiment uit.
Practicum: slingerproef
In dit practicum onderzoek je welke factoren van invloed zijn op de slingertijd van een slinger.
Onderzoek de invloed van de massa, van de lengte van het touw en van de amplitude.
BENODIGDHEDEN statief touw van 200 cm gewichten (bijvoorbeeld met massa 10 x 50 g)
meetlat rolmeter
stopwatch of chronometer
PROEFOPSTELLING
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
In een vrachtwagen wordt de chauffeursstoel steeds op veren gemonteerd. Dit om te vermijden dat de chauffeur te veel last krijgt van de trillingen die veroorzaakt worden door de motor van de vrachtwagen. Deze trillingen zouden immers schade aan de rug van de vrachtwagenchauffeur kunnen veroorzaken.
Bij het kiezen van het veersysteem moet wel nagedacht worden. Als we de trillingsamplitude van de stoel op veren ten opzichte van de amplitude van de trilling van de vrachtwagen (VW) bekijken, dan zien we dat die verhouding verandert in functie van de frequentie van de motor.
Onderstaande grafiek geeft dit weer.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Bij 0,50 Hz is in de grafiek een piek te zien. Benoem en verklaar dit fenomeen. Het veersysteem is duidelijk niet bij alle frequenties nuttig. Bij welke frequenties vergroot het veersysteem het trillen van de stoel? En bij welke frequenties verkleint het trillen van de stoel? Noteer.
Bereken de massa die de stoel het best kan hebben, als je weet dat de chauffeur een massa van 95 kg heeft. De veerconstante van de veer in de stoel is = ⋅ Mag de massa van de stoel ook groter of kleiner zijn? Leg uit.
Leg een A4-blad met ruitjes in de lengte voor je.
Teken een cirkel met straal 5 cm op 1 cm van de linkerpaginarand.
Teken een assenstelsel op 1 cm rechts van de cirkel, zoals op onderstaande figuur.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Maak van de horizontale as een t-as. Neem een schaal waarbij de periode overeenkomt met 8 cm.
Verdeel de cirkel in 16 gelijke delen. Projecteer elk van de verdeelpunten op de y-as.
Teken een y(t)-diagram voor de harmonische trilling. Ga ervan uit dat de harmonische trilling start in het evenwichtspunt en het harmonisch trillend systeem dan naar boven beweegt.
Maak op een analoge manier een v(t)-diagram (vertrek hierbij van de snelheidsvectoren bij een ECB, rakend aan de cirkel).
Maak op een analoge manier een a(t)-diagram (vertrek hierbij van de versnellingsvectoren bij een ECB).
In de formule voor de periode van een slinger staat de zwaarteveldsterkte g
Romee heeft het lumineuze idee om die formule te gebruiken om de zwaarteveldsterkte experimenteel te bepalen. Ze bedenkt een experiment en gaat aan de slag.
Bedenk, net zoals Romee, een experiment om met behulp van een slinger g te bepalen. Vergelijk jouw experimenteel verkregen waarde met de werkelijke waarde van g op jouw locatie. Zoek deze op op het internet.
Je krijgt de opdracht om zonder balans de massa van een voorwerp te bepalen. Je krijgt hiervoor een veer, verschillende ijkmassa’s (een zevental), een statief, een meetlat en een chronometer ter beschikking.
Bedenk een experiment om de massa van het voorwerp nauwkeurig te bepalen.
De veerconstante van een veer kan op een statische en op een dynamische manier bepaald worden.
De statische bepaling van de veerconstante is gebaseerd op de uitrekking van de veer bij belasting.
De dynamische bepaling is gebaseerd op de trilfrequentie van de veer bij een harmonische trilling.
Bedenk twee experimenten waarbij je de veerconstante bepaalt (statisch en dynamisch). Vergelijk de resultaten uit beide metingen met elkaar.
Bereken de lengte van een secondeslinger voor jouw klaslokaal = 9, 1 m s2
Maak een slinger van die lengte en test jouw resultaat.
Een groep leerlingen krijgt de opdracht om een vraagstuk rond harmonische trillingen voor hun medeleerlingen te bedenken. Het team van Yarno heeft een lumineus idee. Ze maken een slinger van 1,8 m lang en laten die heen en weer slingeren. Ze nemen een foto van de slinger op het moment dat ze die loslaten (zie figuur hiernaast).
De enige informatie die ze nog aan hun medeleerlingen geven, is dat de slinger na 0,67 s door de evenwichtspositie gaat.
De opdracht die ze bedenken is:
Geef de vergelijking die de uitwijking van de slinger weergeeft. Geef de maximale uitwijking van de slinger.
Welk antwoord moeten de medeleerlingen geven? Noteer.
De leerlingen krijgen geen 10/10 van de leerkracht. Heb jij een idee waarom?
Waterstofjodide (HI) is een molecule waarin een waterstofatoom gebonden is aan een jodiumatoom. Het jodiumatoom is hierbij veel zwaarder dan het waterstofatoom.
De afstand tussen H en I wordt voortdurend groter en kleiner, de binding zorgt immers voor een terugroepende kracht die, bij benadering, een harmonische trilling geeft.
Gezien het massaverschil tussen beide atomen veronderstellen we dat het jodiumatoom niet beweegt en beschouwen we de trilling van het waterstofatoom ten opzichte van zijn evenwichtspositie. We zien dan dat de trilling gebeurt met een frequentie van 6,92 ⋅ 1013 Hz en dat de evenwichtsafstand tussen beide atomen 1,609 10–10 m bedraagt.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Bereken de elasticiteitsconstante ε voor deze harmonische trilling. Zoek hiervoor de massa van het waterstofatoom op op het internet.
De trillingsenergie van het waterstofatoom bedraagt op een bepaald moment 6,0 ⋅ 10–20 J. Bereken de maximale snelheid van het waterstofatoom.
Bereken de maximale afstand tussen de atomen tijdens de trilbeweging.
Als je dit systeem nader bestudeert, kan je vaststellen dat het waterstofatoom zich langer rond de maximale uitwijking bevindt dan rond de evenwichtspositie. Beredeneer hoe dat komt.
STUDIEWIJZER
Ik weet dat bewegingen waarbij een systeem periodiek heen en weer schommelt rond een evenwichtspunt, trillingen genoemd worden.
paginanummer
p. 9-13
Ik weet dat er enkelvoudige en samengestelde harmonische trillingen bestaan en ik kan kort het verschil tussen beide bespreken. p. 13
Ik kan de uitwijking, de evenwichtspositie/evenwichtslijn, de amplitude, de periode, de frequentie en de (begin)fase van een harmonische trilling bespreken.
p. 11-12, p. 14-17
Ik kan de harmonische trilling analyseren en kwantificeren aan de hand van de bewegingsvergelijking. p. 14-17, p. 42-53
Ik kan de begrippen pulsatie, fase, beginfase en faseverschil uitleggen. p. 14-17, p. 20-21
Ik kan een grafische voorstelling van een harmonische trilling bespreken met behulp van de formule y(t)= ⋅ sin( ⋅ t + 0 )
Ik kan aan de hand van de bewegingsvergelijking of aan de hand van de y(t)-grafiek de amplitude, uitwijking, periode, frequentie, beginfase, fase en pulsatie van de harmonische trilling bepalen en kwantificeren.
Ik kan de harmonische trilling als een loodrechte projectie van een ECB bespreken.
Ik weet dat de kracht die op een harmonisch trillend systeem werkt, een terugroepende elastische kracht is.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
p. 14-17, p. 42-53
p. 14-17, p. 42-53
p. 18-19
p. 24-25
Ik kan de formule voor de elastische kracht op een harmonisch trillend systeem afleiden met behulp van de tweede wet van Newton. p. 24-25
Ik kan het massa-veersysteem bespreken als voorbeeld van een harmonische trilling. p. 28-31
Ik kan de formule voor de periode van een massa aan een veer afleiden. Ik kan hierbij de eigenfrequentie bespreken, deze is eigen aan een bepaald harmonisch trillend systeem en onafhankelijk van de amplitude van de trilling.
p. 26, p. 30-31
Ik kan gedempte trillingen bespreken. p. 37-38
Ik kan gedwongen trillingen bespreken. p. 39-41
Ik kan resonantie in de context van gedwongen trillingen uitleggen. Ik kan hierbij de link leggen naar de eigenfrequentie van een harmonisch trillend systeem. p. 39-41
Ik kan de snelheid, de versnelling, de kracht en de energie van een harmonisch trillend systeem kwantificeren. p. 22-25, p. 35-36
Ik kan berekenen dat de totale energie van, bijvoorbeeld, een massa-veersysteem constant is (in afwezigheid van wrijvingskrachten). p. 35-36
Ik kan de slinger (met kleine uitwijkingen) bespreken als voorbeeld van een harmonische trilling.p. 32-34
Ik kan de formule voor de periode van een slinger afleiden. Ik kan hierbij de eigenfrequentie bespreken, deze is eigen aan een bepaald harmonisch trillend systeem en onafhankelijk van de amplitude van de trilling. p. 32-33
Ik kan de harmonische trilling onderzoeken in een laboproef. p. 54-59
