Getallenleer i Algebra Data en onzekerheid
Björn Carreyn
Filip Geeurickx
Roger Van Nieuwenhuyze
CARTOONS
Dave Vanroye
Hoe gebruik je VBTL?
Dit boek bevat zes hoofdstukken vol getallenleer, algebra, data en onzekerheid. Elk hoofdstuk is opgebouwd uit verschillende paragrafen met aan het einde een handige samenvatting. Bij de inhoudstafel van elk hoofdstuk kun je ook een QR-code vinden. Via die codes kun je extra filmpjes met uitleg bekijken.
Definities vind je op een rode achtergrond. Eigenschappen vind je op een groene achtergrond. Methodes, rekenregels en formules vind je op een zachtblauwe achtergrond.
Wiskunde is een eeuwenoude wetenschap. De geschiedenis van de wiskunde en de herkomst van bepaalde begrippen worden zachtpaars afgedrukt. Wiskunde kent veel links met andere vakken We tonen zo’n link in een paarsgekleurd kadertje.
1 2 * Na de samenvatting vind je een reeks oefeningen. Bij oefeningen die extra uitdagend zijn, zie je een sterretje naast het nummer. Bij sommige oefeningen moet je verder denken dan de net geziene leerstof. Je maakt dan gebruik van heuristieken. Deze oefeningen herken je aan de wiskunderugzak.
ICT is een ideaal hulpmiddel. Bij dit boek hoort een webpagina van GeoGebra, gevuld met heel wat digitale oefeningen en applets. Die vind je terug via www.polpo.be.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Herhalingsoefeningen
Vaardigheden
Na elk hoofdstuk wordt een wiskundige vaardigheid in de kijker gezet. Ook in het portfolioschriftje, dat bij dit boek hoort, kun je vaardigheden inoefenen.
Wat moet je kennen en kunnen?
Na de vaardigheden zie je een handig overzicht van wat je moet kennen en kunnen na het geziene hoofdstuk.
Wanneer je wiskunde studeert, maak je uiteraard heel wat oefeningen opnieuw en maak je oefeningen die je in de klas niet maakte. Elk hoofdstuk sluit af met een reeks herhalingsoefeningen Een ideale test voor jezelf om te zien of je de leerstof beheerst.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Welkom in de wetenschappelijke wereld van de wiskunde !
De basis van de getallenleer heb je vorig schooljaar geleerd. We bouwen verder met nog meer regelmaat en patronen en belanden zo bij algebra.
Een balansmethode om een vergelijking op te lossen ? Verschillende methodes om realistische vraagstukken uit te werken ? Je leert het allemaal in het tweede jaar.
Zoals je merkt aan het versnellingsapparaat van deze fiets is elk onderdeeltje belangrijk om vlot te kunnen schakelen. Gewoon de juiste versnelling kiezen en trappen maar !
Inhoud
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Getallenleer I Algebra I Data en onzekerheid
1
Rekenen met rationale getallen
1.1 Wat voorafging 9
1.2 Oplossingsmethodes voor vraagstukken 28
Extra’s 37
2
Machten
2.1 Machten met gehele exponenten 43
2.2 Wetenschappelijke schrijfwijze 62 Extra’s 71
3
Rekenen met algebraïsche uitdrukkingen
3.1 Eentermen en veeltermen 79
3.2 Som en verschil van algebraïsche uitdrukkingen 92
3.3 Product van algebraïsche uitdrukkingen 101
3.4 Merkwaardige producten 113
Extra’s 122
4
Data en onzekerheid
4.1 Gegevens voorstellen in een absolute frequentietabel 129
4.2 Data verwerken in tabellen en diagrammen 131
4.3 Centrummaten en spreidingsmaat 138
4.4 Een eigen onderzoek uitvoeren 142
5
Oplossingsmethodes voor vraagstukken
5.1 Vergelijkingen oplossen in q 165 5.2 Vraagstukken oplossen 180
189
6
Evenredigheden
6.1 Evenredigheden 195
6.2 Recht en omgekeerd evenredig 208
Rekenen met rationale getallen 1
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Wiskunde is een heel oude wetenschap. Eerst dachten we dat ze ontstond in het Mesopotamië van 5000 jaar geleden, maar we moeten nog 15000 jaar verder in de tijd.
Dit beentje van Ishango werd in 1960 in toenmalig Belgisch-Kongo opgegraven. Het is 10 centimeter lang, licht gebogen en heeft drie reeksen inkervingen. Wetenschappers zoeken nog naar de juiste betekenis ervan.
Was het een kalender, een toverstokje, een instrument om de visvangst te verdelen of gewoon het eerste wiskundige spelletje?
Meer dan 22000 jaar later is het aan jou om al je kennis van het eerste jaar even op te frissen.
© Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen
Rekenen met rationale getallen
1.1 Wat voorafging
1 Getalverzamelingen 9
2 Symbolen in de wiskunde 10
3 De optelling en de aftrekking 12
4 De vermenigvuldiging 13
5 De deling 14
6 De machtsverheffing 15
7 De vierkantsworteltrekking 16
8 De volgorde van de bewerkingen 17
9 Samenvatting 18
10 Oefeningen 19
1.2 Oplossingsmethodes voor vraagstukken
1 Hoofdbewerkingen 28
2 De regel van drie & de verhoudingstabel 29
3 Het gebruik van letters bij regelmaat 30
4 Vergelijkingen
5 Vraagstukken
6 Procentrekenen
7 Samenvatting
8 Oefeningen
Extra’s
Bekijk de instructievideo’s
1.1 Wat voorafging
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
1Getalverzamelingen
Vorig schooljaar leerde je rekenen met natuurlijke, gehele en rationale getallen. Je maakte ook kennis met getallen die niet tot Q behoren.
N is de verzameling van de natuurlijke getallen.
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Z is de verzameling van de gehele getallen
Z = { 0, 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4, …}
Q is de verzameling van de rationale getallen
In deze verzameling zitten : – alle gehele getallen ; – alle breuken ; – alle decimale getallen ; – alle onbegrensde decimale vormen met een periode.
Irrationale getallen (getallen die niet in Q zitten) hebben een onbegrensde decimale schrijfwijze zonder periode.
We stellen ze hiernaast voor in een handig overzicht.
2 Symbolen in de wiskunde
∈∉⊂⊄⟹⟺
Voorbeelden :
8 ∈ N
Voorbeelden :
N ⊂ Z
Voorbeelden :
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
5 6 ∈ Q
Betekenis :
8 is een element van de verzameling van de natuurlijke getallen.
π/ ∈ Q
Lees :
8 is een natuurlijk getal.
8 ∈ N
5 6 ∈ Q
Betekenis :
π/ ∈ Q
5 6 is een element van de verzameling van de rationale getallen.
Lees :
8 ∈ N
Betekenis :
Z ⊂ Q
Z ⊂ / N
De verzameling van de natuurlijke getallen is een deelverzameling van de verzameling van de gehele getallen.
Lees :
Alle natuurlijke getallen zijn gehele getallen.
a is een natuurlijk getal ⟹
a is een geheel getal
Betekenis : Als a een natuurlijk getal is, dan is a ook een geheel getal. (implicatie)
Z ⊂ Q
Lees : Elk natuurlijk getal is ook een geheel getal.
5 6 ∈ Q
π/ ∈ Q
Betekenis : p is geen element van de verzameling van de rationale getallen.
Lees : p is geen rationaal getal.
Z ⊂ / N
5 6 is een rationaal getal. N ⊂ Z
Betekenis :
De verzameling van de gehele getallen is een deelverzameling van de verzameling van de rationale getallen.
Lees :
N ⊂ Z
Z ⊂ Q
Alle gehele getallen zijn rationale getallen.
Z ⊂ / N
Betekenis : De verzameling van de gehele getallen is geen deelverzameling van de verzameling van de natuurlijke getallen.
Lees :
Niet alle gehele getallen zijn natuurlijke getallen.
a is een veelvoud van 2 ⟺ 2 is een deler van a
Betekenis : a is een veelvoud van 2 als en slechts als 2 een deler is van a (equivalentie)
Lees :
a is een veelvoud van 2 en 2 is een deler van a zijn gelijkwaardige uitspraken.
Taak : Welk symbool past tussenin? Kies uit de symbolen die hierboven uitgelegd zijn.
a –7… Z e N Q i a ∈ N a ∈ Z
b 15 5 … N f del 6 … del 12 j a > 0 … a is positief
c √9 Q g del 12 del 6 k2x = 6 x = 3 d √2 Q h4N …8N
Rekenen met rationale getallen
Symbolen in de wiskunde worden gebruikt om bepaalde relaties kort en makkelijk weer te geven. We herhalen enkele symbolen waarmee je vorig jaar kennismaakte.
∩∪\
Voorbeelden :
del 8 = { 1, 2, 4, 8}
del 10 = { 1, 2, 5, 10}
del 8 ∩ del 10 = { 1, 2}
Voorstelling : 1 . 2 5 . 10 4 8
del 8 del 10
del 8 ∩ del 10
Betekenis :
In de doorsnede zitten de getallen die een deler zijn van 8 en die ook een deler zijn van 10.
Algemeen :
Je bekomt de verzameling met hierin de elementen die behoren tot de ene en de andere verzameling.
Voorbeelden :
del 8 = { 1, 2, 4, 8}
del 10 = { 1, 2, 5, 10}
del 8 ∪ del 10 = { 1, 2, 4, 5, 8, 10}
Voorstelling : 1 2 5 10 . 4 . 8 . del 8 ∪ del 10 del 8 del 10
Betekenis :
In de unie zitten de getallen die een deler zijn van 8 of die een deler zijn van 10
Algemeen :
Je bekomt de verzameling met hierin de elementen die behoren tot de ene of de andere verzameling.
Voorbeelden :
del 8 = { 1, 2, 4, 8}
del 10 = { 1, 2, 5, 10}
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
del 8 \ del 10 = { 4, 8}
Voorstelling : 1 2 5 10 4 . 8 .
del
Betekenis :
In het verschil zitten de getallen die een deler zijn van 8, maar niet van 10.
Lees : Je bekomt de verzameling met hierin de elementen die behoren tot de eerste, maar niet tot de tweede verzameling.
We kunnen ook bewerkingen met meerdere verzamelingen uitvoeren. In het uitvoeren vullen we een klaverbladdiagram met de elementen van volgende verzamelingen.
Voorbeeld:
A = { x | x is een letter van het woord WISKUNDE}
B = { x | x is een letter van het woord NIET}
C = { x | x is een letter van het woord SAAI}
Merk op :
Eén van deze gebieden is leeg en wordt daarom gearceerd.
De lege verzameling noteer je als {} of ∅
Taak :
Noteer onderstaande verzamelingen door opsomming :
a A ∩ B ∩ C
b A ⧵ ( B ∪ C)
c ( B ∩ C) ⧵ A
3 De optelling en de aftrekking
Gehele en decimale getallen
Gehele en decimale getallen optellen
Als de twee getallen hetzelfde teken hebben :
1 Behoud het teken.
2 Tel de absolute waarden op.
Als de twee getallen een verschillend teken hebben :
1 Neem het teken van het getal met de grootste absolute waarde
2 Trek de absolute waarden van elkaar af (grootste – kleinste).
Voorbeelden :
15 + 39 = 54 –104 + ( –41) = –145
17 + ( –38,15) = –21,15 –85,02 + 27,19 = –57,83
Om het verschil te zoeken van twee getallen tel je bij het eerste getal het tegengestelde van het tweede getal op en pas je de rekenregel toe.
Voorbeelden :
18 ( 3)= 18 + 3 = 21 3,26 4,83 = 3,26 +( 4,83) = 8,09
5 ( 21)= 5 + 21 = 16
Breuken
Om verschillende breuken met elkaar op te tellen (of af te trekken), ga je als volgt te werk :
Breuken optellen en aftrekken
1 Vereenvoudig – indien mogelijk – elke breuk.
2 Maak de breuken gelijknamig.
3 Tel de tellers op (of trek de tellers van elkaar af) en behoud de noemer.
4 Vereenvoudig – indien mogelijk – het resultaat.
Voorbeelden :
8 14 + 12 36 = 4 7 + 1 3 = 12 21 + 7 21 = 19 21
Terminologie : term 2 7 + 1 7 = 3 7
4 De vermenigvuldiging
Gehele en decimale getallen
Gehele en decimale getallen vermenigvuldigen
1 Bepaal eerst het teken : – bij een oneven aantal mintekens in de opgave ; + bij een even aantal mintekens in de opgave.
2 Vermenigvuldig de absolute waarden.
Voorbeelden :
Breuken
Om breuken met elkaar te vermenigvuldigen, ga je als volgt te werk :
Breuken vermenigvuldigen
1 Bepaal het teken : – bij een oneven aantal mintekens in de opgave ; + bij een even aantal mintekens in de opgave.
2 Noteer een grote breukstreep.
3 Vermenigvuldig de tellers met elkaar zonder dit product uit te werken.
4 Vermenigvuldig de noemers met elkaar zonder dit product uit te werken.
5 Vereenvoudig.
6 Vermenigvuldig de resterende tellers met elkaar en de resterende noemers met elkaar. Voorbeeld
Terminologie : 2 5 1 3 = 2 15 factor factor product maalteken
5 De deling
Gehele en decimale getallen
Gehele en decimale getallen delen
1 Bepaal eerst het teken : – bij een oneven aantal mintekens in de opgave ; + bij een even aantal mintekens in de opgave.
2 Deel de absolute waarden.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Voorbeelden :
48 : ( –3) = –16 –18,75 : ( –7,5) = 2,5 –
100 : ( –10) = 10 3600 : ( –2) = –1800
1,44 : ( –1,2) = –1,2 –0,5 : 2,5 = –0,2
Breuken
Om breuken door elkaar te delen ga je als volgt te werk :
Breuken delen
1 Bepaal vooraf het teken : – bij een oneven aantal mintekens in de opgave ; + bij een even aantal mintekens in de opgave.
2 Vermenigvuldig de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk.
3 Pas de regel voor het vermenigvuldigen van breuken toe.
Voorbeeld : 24 14 : 6 5 = 24 14 · 5 6 = 2 ✄ 4 ✚✚ 24 5 ✚✚ 14 7 ✁ 6 1 = 2 5 7 · 1 = 10 7
Terminologie :
31,64:0,4 = 79,1
deeltaldelerquotiënt deelteken
6 De machtsverheffing
Vorig jaar leerde je al machten berekenen zoals 23 = 8.
Moeilijkere opgaven kon je met behulp van je rekenmachine berekenen.
machten
∀ a ∈ Q, ∀ n ∈ N \ { 0, 1} : a n = a a ·…· a (n factoren)
∀ a ∈ Q : a 1 = a
∀ a ∈ Q0 : a 0 = 1
Voorbeelden :
32 = 3 3 = 9
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
43 = 4 4 4 = 64
25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 106 = 1000000
Machten berekenen van een negatief getal
1 Bepaal het teken : – als de exponent een oneven getal is; het resultaat heeft dus het teken van het grondtal ; + als de exponent een even getal is.
2 Zoek de macht van de absolute waarde van dit getal.
Voorbeelden : ( –10)2 = 100 ( –2)3 = –8
Terminologie :
Bij 46 noemen we 4 het grondtal
6 de exponent 46 de macht
Opmerkingen : –
Je moet goed opletten voor de mintekens in de opgaven. Onthoud dat de exponent slaat op datgene wat er net voor staat. Als dat een haakje is, dan slaat de exponent op alles wat tussen de haakjes staat.
Voorbeelden :
–( –5)3 = –( –125) = 125
–( –2)4 = –( 16) = –16 –8 2 = –64 –
De eerste macht van een getal is altijd dat getal zelf.
Voorbeelden :
( 5,26)1 = 5,26
( –27,5)1 = –27,5
– De nulde macht van een getal verschillend van 0 is altijd 1.
Voorbeelden :
70 = 1
( –18)0 = 1
Het grondtal van een macht kan ook een breuk zijn. Let goed op waar de exponent bij hoort.
Voorbeelden :
3 4 2 = 3 4 3 4 = 9 16
32 4 = 3 3 4 = 9 4
3 4 2 = 3 4 3 4 = 9 16
3 4 1 = 3 4
3 4 0 = 1
Verderop in dit boek leer je heel wat rekenregels zodat je veel meer zult kunnen uitrekenen zonder rekenmachine.
7 De vierkantsworteltrekking
Voorbeelden :
√25 = 5omdat52 = 25 enomdathetresultaatpositiefmoetzijn.
9 16 = 3 4 omdat 3 4 2 = 9 16 enomdathetresultaatpositiefmoetzijn.
√0,36 = 0,6omdat (0,6)2 = 0,36 enomdathetresultaatpositiefmoetzijn.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Om de vierkantswortel van een niet-volkomen kwadraat, breuk of decimaal getal te berekenen, kun je je rekenmachine gebruiken. Om vlot uit het hoofd te kunnen rekenen is het zinvol om de eerste zestien volkomen kwadraten te herkennen. Leer ze daarom van boven naar onderen en van onderen naar boven uit het hoofd.
x 0123456789 101112131415
x 2 0149 162536496481100121144169196225
8 De volgorde van de bewerkingen
De volgorde van de bewerkingen.
1 Als er haakjes in de opgave staan, werk je die eerst uit. Komen er binnen deze haakjes opnieuw haakjes voor, dan start je in de binnenste haakjes.
2 Daarna bereken je alle machtsverheffingen en worteltrekkingen.
3 Dan bereken je de vermenigvuldigingen en delingen van links naar rechts.
4 Ten slotte reken je de optellingen en aftrekkingen uit, ook van links naar rechts.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Voorbeelden :
25:52 23 · √16
= 25:25 8 · 4
Taak : Controleer met de CAS van GeoGebra.
Volgorde van de bewerkingen
1 Werk de haakjes uit. Staan er in de opgaven verschillende soorten haakjes, dan werk je eerst de binnenste haakjes uit.
2 Bereken alle machtsverheffingen en worteltrekkingen.
3 Bereken de vermenigvuldigingen en delingen van links naar rechts.
4 Reken de optellingen en aftrekkingen van links naar rechts uit.
9Samenvatting
• Je kent de betekenis van natuurlijke, gehele en rationale getallen.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
• Je kent de betekenis van de symbolen ∈, ∉, ⊂, ⊄, ⟹ en ⟺.
∈ … is een element van …
∉ … is geen element van …
⊂ … is een deelverzameling van …
⊄ … is geen deelverzameling van …
⟹ als … dan …
⟺ … als en slechts als …
• Je kunt volgende symbolen gebruiken: ∪, ∩ en \.
A ∩ B(doorsnede) : de verzameling van de elementen die behoren tot A en tot B.
A ∪ B(unie) : de verzameling van de elementen die behoren tot A of tot B.
A \ B (verschil) : de verzameling van de elementen die behoren tot A en niet tot B.
• Je weet dat de lege verzameling voorgesteld wordt als {} of ∅.
• Je kunt rationale getallen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.
• Je kent de definitie van machten.
a n = a a ·…· a n factoren met n > 1
a 1 = a
a 0 = 1 a ≠ 0
• Je kunt een macht van een rationaal getal berekenen (ook met ICT).
• Je kunt de vierkantswortel van een rationaal getal berekenen (ook met ICT).
• Je kunt de volgorde van bewerkingen toepassen.
1 Haakjes.
2 Machtsverheffingen en worteltrekkingen van links naar rechts.
3 Vermenigvuldigingen en delingen van links naar rechts.
4 Optellingen en aftrekkingen van links naar rechts.
Staan er in de opgave verschillende soorten haakjes, dan werk je eerst de binnenste haakjes uit.
1 2 3 4
10Oefeningen
In welk gebied plaats je volgende getallen? Kies telkens één gebied: A, B, C of D.
a0 g –4
b 4 3 h √5
c 3,6 i 2,184 …
d4 j 4 3
e √9 k p f 3,66 l 4 2
Vul aan met de symbolen ∈, ∉, ⊂ of ⊄
a 3,5... Z
b 3,5... Q
c Z ... Q
d Z + Q+
e {2,4,6} ... N
f del24...del12
Plaats ⟹, ⟸ of ⟺ indien mogelijk.
a x ∈ del 16 x ∈ del 48
g7...del28 h 7...7N i3N ...6N j 8 4 Z k 8 4 Q0 l N0 ... Z +
b 3x + 2 = 5 … x = 1 f a is een deler van b … b is een veelvoud van a
c x ∈ Q x ∈ Z g a 2 = 100 a = 10
d a = b 2a = 2b h a | b a | 2b
Vul aan.
a N ∪ Z = g del 8 ∩ del 4 = b Z– ∪ Z+ = … h del 8 \ del 4 = …
c N ∩ Z = i del 8 ∪ del 4 = d N ∪ Z+
Noteer telkens in symbolen het gebied waar het getal 6 thuishoort.
Noteer telkens in symbolen het gebied waar het getal 1 thuishoort.
a X is de verzameling van even natuurlijke getallen
Y is de verzameling van delers van 12
b X is de verzameling van even veelvouden van 5
Y is de verzameling van delers van 30
c X = { 1, 4, 7, 10}
Y = { 0, 6, 12, 18,…}
d X = del 30
Y = del 20
e X = 3N
Y = 2N
f X = { x ∈ N : x < 10}
Y = { x ∈ N : x > 5}
g X is de verzameling van het aantal ogen dat je kunt gooien met een dobbelsteen
Y is de verzameling van het aantal ogen dat je kunt gooien met twee dobbelstenen
h X = { x ∈ Z : | x | = 6}
Y = N
Aan acht leerlingen werd gevraagd of ze met de fiets naar school komen, deelnemen aan de Kangoeroewedstrijd en lang haar hebben. Hun antwoorden werden in een klaverbladdiagram genoteerd.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Esraa .
A C Miel Roos Fay. Gerard Liv . Lore . Achraf
A is de verzameling van leerlingen die met de fiets naar school komen
B is de verzameling van leerlingen die deelnemen aan de Kangoeroewedstrijd
C is de verzameling van leerlingen met lang haar
Waar of vals ?
a Gerard, die lange haren heeft, komt niet met de fiets naar school.
b Miel neemt deel aan de Kangoeroewedstrijd, maar komt niet met de fiets naar school.
c Achraf neemt deel aan de Kangoeroewedstrijd, maar heeft geen lange haren en komt niet met de fiets naar school.
d Esraa komt met de fiets naar school en neemt niet deel aan de Kangoeroewedstrijd.
e Liv, die lange haren heeft, doet mee aan de Kangoeroewedstrijd.
f Fay, die lange haren heeft, komt met de fiets naar school en doet mee aan de Kangoeroewedstrijd.
g Fay en Liv hebben allebei lange haren en komen allebei met de fiets naar school.
Rekenen met rationale getallen
* 8 9
Zoek de uitvinder. In welk gebied zit elk gegeven? Noteer de letter die bij dit gebied hoort. De laatste letter krijg je alvast cadeau: N.
A = { x | x is een Belgische stripfiguur}
B = { x | x is een figuur die er niet menselijk uitziet}
X = { x | x is de naam van een Belgische provincie}
Y = { x | x is de naam van een Belgische stad}
C = { x | x is een is een figuur die een eigen museum heeft} Z = { x | x vind je terug in Wallonië}
a Kuifje c Antwerpen e Madame Tussaud g Namen
b Dinant d Luik f Marsupilami
Omschrijf telkens wat er thuishoort in het groen ingekleurde gebied.
a A is de verzameling van rode figuren
B is de verzameling van kubussen
C is de verzameling van ruimtefiguren met als volume 1m3
b A is de verzameling van alle even natuurlijke getallen
B is de verzameling van natuurlijke getallen groter dan –20
C is de verzameling van natuurlijke getallen kleiner dan 10
c A is de verzameling van alle inwoners van Gent
B is de verzameling van alle liefhebbers van geschiedenis
C is de verzameling van alle leerkrachten
d A is de verzameling van HORECA Vlaanderen
B is de verzameling van bedrijven uit West-Vlaanderen
C is de verzameling van alle vestigingen van Starbucks
e A is de verzameling van meisjesnamen die starten met L
B is de verzameling van meisjesnamen die eindigen met E
C is de verzameling van meisjesnamen met vier letters
Noteer in symbolen het gebied uit vorige oefening waar onderstaande elementen thuishoren.
a een rode bol met volume 1 m3 d Hawaiian Poké Bowl Antwerpen b 17 e LIESELORE
c leraar geschiedenis uit Aalst
Werk uit.
a 7 (+5)
b 4 +( 9)
c 6 3
d 5 + 7
e 3 ( 4)
f 13 ( 3)
Werk uit.
a5 +( 7) ( 3) (+5)+( 3)
b 5 ( 7)+( 9)
c25 +( 14) (+7) (+7) ( 9)
d 4 +( 3)+(+5)+(+7)+( 2)
e 4 +( 16) ( 2)+(+5)+( 1)
g 10 ( 20)
h189 +( 19)
i 6 6
j 13 + 4
k13 +( 6)
l13 29
m 2 8
n24 37
o17 ( 4)
p 425 + 125
q 425 ( 125)
r 88 22
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Werk uit.
a 4 6 5 3
b 5 12 + 51 36
c 8 6 + 4 8
d 2 5 8 5 e 9 15 + 3 9 f 9 16 3 16
Arthur schrijft in elke cirkel een getal zodat elk getal gelijk is aan de som van de 2 getallen in de aangrenzende cirkels. Hij vulde al 2 getallen in. Welk getal komt in de groene cirkel ? 1 ? 2
Rekenen met rationale getallen
Magische vierkanten.
Een magisch vierkant is een vierkant waarbij de som van elke rij, kolom en diagonaal gelijk is.
Vul volgende magische vierkanten aan. magische som 102
som 15 2
Werk uit.
a6 ( 5)
b 4 · ( 7)
c 3 8
d 7 · 5
e 0 ( 4) f 6 1 g 4 ( 1) h9 · ( 3) i 9 3
j 6 ( 10) k 11 7 l13 ( 10)
Werk uit.
a 2 11 22 5
b 1 3 · 1 4
c 5 6 4 d 3 8 9
e 7 5 ·
Een beetje magie…
Een magisch vierkant (of een tovervierkant) is een vierkant waarin de som van de getallen van elke horizontale rij, elke verticale rij en elke diagonale rij dezelfde is. Vijf eeuwen geleden was er een magisch vierkant te zien in een ets van de Duitse kunstenaar Dürer. De som is telkens 34. Hij verwerkte er meteen ook het jaartal 1514 in en zorgde voor enkele extra’s: de vier hoeken samen of de vier middelste vakken vormen 34 en als je het vierkant verdeelt in vier kleinere vierkanten, is ook daar de som steeds 34.
Bereken volgende gedurige producten.
a 3 · 4 · ( 2) · 1 · ( 3)
b 1 ( 1) ( 2) ( 2) 3 ( 3)
c 8 · ( 5) · ( 3) · 2 · ( 1)
Werk uit.
a 36: ( 4)
d7 · ( 5) · ( 3) · 4 · 0 · ( 6)
e2 ( 4) ( 2) 4 1
f 3 · ( 2) · ( 1) · 5 · ( 25)
h 22: ( 11)
b 25: ( 25) i 1:1
c 6:2
j96: ( 16)
d2: ( 2) k 144:12
e0: ( 4)
f 36: ( 12)
g36: ( 1)
l1000: ( 8)
m 1000: ( 25)
n360: ( 12)
Werk uit en herken door een regelmaat te ontdekken welk getal in het vijfde vakje komt.
Werk uit.
a 21 8 : 21 8
b 11 8 : 8 11
c 5 7 : 15 2
e
Rekenen met rationale getallen
Vul aan en ontdek de verborgen boodschap door de oplossingen te vervangen door de corresponderende letter van het alfabet (1 = A, 2 = B, …).
Bereik de eindmeet zonder fouten.
AANKOMST
Reken uit het hoofd uit.
a √144
b 42
c 2 3 2
d ( 2)2
e √64 f ( 4)2 g 22 3 h25 i √121 j 33 k117 l √10000 m 20 n 3 5 2
Reken uit met ICT.
a 676 361 b 178 114 111 191 57 222 382 89 c 111 625 : 37 25 d3,53 e11 0,2727... f √14,0625
Werk uit.
a 5 (7 2) 8
b 32 5 3 + √16
c 8 (5 3 + 6) 22
Werk uit.
a 7 8 4 3 + 1 12 3 4 b 2 9 4 3 + 7 9 2
Werk uit.
d (18 5) : (7 20)
e [15: ( 3) ( 7)] : ( 1) f40 2 +( 14:7)
g ( 21:3) 32 2: ( 6) h ( 14 + √25) :3 · 2 1
a 3 2 : 5 4 + 3 8 3 1 3 1 2 b 2 3 2 : 4 3 1 16 + 1 3 · 1 2 c4 6 5 : 4 14 3 4 1 2 d (0,2 + 0,8 1,25) :0,4 2,75 e1,6:6,4 (0,5 +
)
Rekenen met rationale getallen
Ingewikkelde berekeningen maak of controleer je het best met ICT.
Voorbeeld :
3 4 + 1 2 · 3 2 2 + 1 5 · 21 4 + 9 4
Methode 1 :
Controle met Photomath.
Met deze gratis app controleer je in eerste instantie je oplossing. Open de app. Trek een foto van deopgave. Controleer jouw oplossing. Foutje gemaakt? Tik dan op Toon oplossingen en je krijgt de tussenstappen tezien.
Methode 3 :
Controle met de CAS van GeoGebra 6.
Methode 2 :
Controle met Microsoft Math Solver.
Waaraanisdebreuk 77772 5555 2222 gelijk,alsjedezevereenvoudigt?
van ICT
WIZEXPERT 2023 probleem 1© Stichting Wiskunde Kangoeroe
”Ik ben een getal. Ik ben kleiner dan mijn helft en groter dan mijn dubbele. Als je me optelt bij mijn kwadraat, dan is de som 0. Welk getal ben ik?”
–2
WIZPROF 2022 probleem 7© Stichting Wiskunde Kangoeroe
1.2 Oplossingsmethodes voor vraagstukken
In deze paragraaf herhalen we de oplossingsmethodes die je vorig jaar aangeleerd kreeg.
1Hoofdbewerkingen
Yes, je mag op jeugdkamp! Net voor je vertrek gaf je moeder je nog wat zakgeld mee. De helft hiervan ging naar de drankjes ’s avonds. Bij de dropping kocht je ook nog twee appelkoeken en een flesje water in een winkeltje. Je betaalde hiervoor 3,10 euro. Voor de kaartjes die je opstuurde naar het thuisfront moest je 4,40 euro betalen.
Na het kamp had je nog 5 euro over, maar die mocht je van je moeder in je spaarpot stoppen. Hoeveel gaf ze jou als zakgeld mee ?
Oplossing :
Dit probleem kun je oplossen met hoofdbewerkingen. Als je weet dat de helft van je zakgeld naar drankjes ging, dan heb je nog steeds de andere helft over. Die wordt als volgt verdeeld :
€ 3,10 winkeltje
€ 4,40 kaartjes
+
€ 5,00 overschot
€ 12,50 totaal
Om het oorspronkelijke bedrag te kennen, moet je dit totaal verdubbelen.
Antwoord :
Je moeder gaf je € 25 zakgeld mee voor het kamp.
Taak :
Als drie wafels en twee pannenkoeken samen 6,60 euro kosten en vijf wafels en twee pannenkoeken samen 9 euro kosten, hoeveel kost dan één pannenkoek ?
2De regel van drie & de verhoudingstabel
WISKUNDE & WETENSCHAPPEN
Apollo 11 was de eerste ruimtemissie waarbij de mens voet op de maan zette. De missie werd gelanceerd in 1969. De Apollo 11 deed in totaal dertig omwentelingen rond onze maan.
Het duurde wel even voor die maan werd bereikt. De beginsnelheid was fenomenaal: 25000 km/h.
Zodra de raket in de ruimte was,deed ze iets meer dan 78 uur over een afstand van 384400 km. Wat was de gemiddelde snelheid van de Apollo 11 in de ruimte ?
Oplossing :
Met de regel van drie : In een verhoudingstabel :
uur ⟶ 4928,2 km : 78 : 78
Antwoord:
De gemiddelde snelheid in de ruimte was ongeveer 4928 km/h.
Taak :
a In elke verhoudingstabel is een fout geslopen. Verbeter die.
(IN KM) 3844004928,2 : 78 : 78
b Een schaalmodel van onze maan (straal 1737 km) heeft als straal 1 cm. Hoe groot is het schaalmodel van de aarde (6371 km) en onze zon (straal 696340 km) ?
3Het gebruik van letters bij regelmaat
De eigenaar van een feestzaal overweegt nieuwe tafels te kopen die naast elkaar opgesteld moeten worden. Hij twijfelt tussen vierkante en achthoekige tafels.
Hoeveel zitplaatsen bekom je als je van elk 10 tafels voorziet ?
Noteer ook de formule die het aantal zitplaatsen weergeeft in functie van het aantal tafels.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
OPSTELLING 1
Je merkt op de voorstelling dat elke tafel bovenaan en onderaan één stoel heeft. Helemaal links en helemaal rechts komt er telkens één stoel bij.
Woordformule : het aantal stoelen is gelijk aan het aantal tafels maal twee plus twee
Letterformule : s = 2 · t + 2
Oplossing : Bij 10 tafels wordt het aantal stoelen : 2 10 +
OPSTELLING 2
Je merkt op de voorstelling dat elke tafel zes stoelen heeft (drie boven en drie onder). Helemaal links en helemaal rechts komt er telkens één stoel bij.
Woordformule : het aantal stoelen is gelijk aan het aantal tafels maal zes plus twee
Letterformule : s = 6 t + 2
Oplossing : Bij 10 tafels wordt het aantal stoelen: 6 10 + 2 = 60 + 2 = 62
Taak :
Deze tafels kunnen zowel in de lengte als in de breedte tegen elkaar geschoven worden. Bepaal voor elke mogelijkheid de letterformule en het aantal stoelen bij tien tafels.
Rekenen met rationale getallen
4Vergelijkingen
Zodra in een gelijkheid als 2 + ( –5) = –3 een of meerdere getallen vervangen worden door een onbekende, spreken we van een vergelijking. Vorig schooljaar leerde je deze eenvoudige vergelijkingen op te lossen.
x + a = b
inbeideleden a aftrekken
x = b a
Merk op :
x a = b
inbeideleden a optellen
x = b + a
x a = b
beideleden delendoor a (= 0)
x = b a
Bij a x = b mag het getal a nooit 0 zijn. Kun je verklaren waarom ?
Voorbeelden :
x +( 5)= 13 x 5 = 13
x : a = b
beideleden vermenigvuldigen met a x = b a
Doordat je de distributieve eigenschap kent, kun je al een stap verder gaan. Je moet dan eerst de haakjes wegwerken en daarna de termen met x samenbrengen in één lid.
Voorbeelden :
2 · ( x + 4)= 6
2 x + 8 = 6
2 x = 6 8
2 x = 14
x =( 14) :2 x = 7 ( x 5)= 3 · (2 x + 4) x + 5 = 6 x + 12
Merk op :
Je kunt steeds je resultaat controleren met ICT of door de onbekende in de opgave te vervangen door de oplossing.
2 ( 7 + 4) ? = 6
2 ( 3) ! = 6 ( 1 5) ? = 3 (2 ( 1)+ 4) ( 6) ? = 3 ( 2 + 4) 6 ! = 3 2
Taak : Los volgende vergelijkingen op :
a x + 2 3 = 1
b 2 (2 x 3)= x + 6
5Vraagstukken
Bij sommige vraagstukken kun je het te zoeken getal vervangen door x . Je ‘vertaalt’ dan het vraagstuk naar een vergelijking. Dat noemen we mathematiseren. Het vraagstuk beantwoorden en controleren noemen we demathematiseren
Methode :
Het vraagstuk begrijpen :
1 Lees grondig het vraagstuk.
2 Wat je zoekt, stel je voor door x
Oplossing :
3 Vertaal het vraagstuk naar een vergelijking.
4 Los de vergelijking op.
Antwoord :
5 Formuleer het antwoord en controleer.
Voorbeeld :
Het hoofdkwartier van Apple in San Francisco is een groot cirkelvormig gebouw. Je kunt er als bezoeker niet zomaar binnen, maar je kunt wel rond het gebouw wandelen. Dat is een wandeling van 1,458 km. Bepaal de straal van de buitencirkel.
Keuze van de onbekende x : x is de straal van de buitencirkel.
Oplossing :
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Antwoord : De straal van de buitencirkel van het gebouw is ongeveer 232 meter.
Taak : Los dit vraagstuk op door het om te vormen naar een vergelijking. Een lieveheersbeestje besluit om te wandelen over alle ribben van een balk en legt 46 cm af. Hoe hoog is de balk als l = 5 cm en b = 2,5 cm ?
6Procentrekenen
Veel vraagstukken in verband met procentrekenen kun je terugbrengen tot een vergelijking. 17 % van 400 is gelijk aan 68
In een opgave met procenten is (zoals in bovenstaande zin) een van de gekleurde getallen het te zoeken getal. We stellen het te zoeken getal voor door x en zetten dan de opgave om in een vergelijking.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Hoeveel procent van 400 is gelijk aan 68 ?
x % van 400 is 68
x 100 · 400 = 68
x 400 = 68 100
x 400 = 6800
= 6800:400 x = 17
7Samenvatting
17% van een bepaald getal is 68. Zoek dat getal.
17% van x is 68
Hoeveel is 17% van 400 ?
17% van 400 is x
• Je kunt een probleem oplossen door gebruik te maken van : – hoofdbewerkingen ; – de regel van drie; – een verhoudingstabel.
• Je kunt vergelijkingen oplossen van de volgende vormen.
• Je kunt eenvoudige vraagstukken oplossen met behulp van een vergelijking.
Methode :
Het vraagstuk begrijpen :
1 Lees grondig het vraagstuk.
2 Wat je zoekt, stel je voor door x
Oplossing :
3 Vertaal het vraagstuk naar een vergelijking.
4 Los de vergelijking op.
Antwoord :
5 Formuleer het antwoord en controleer.
8 Oefeningen
Hoeveel zal het beeldje van de kunstenaar wegen ? 1 2 3 4
Het boekenpakket van Jack bestaat uit huurboeken, werkboeken en schriften.
Het pakket bestaat uit 1 2 huurboeken en 2 7 werkboeken.
Druk met een breuk uit hoeveel schriften er in het boekenpakket van Jack zitten.
Anke en Robbe zitten in het tweede secundair en plannen hun kerstvakantie. Ze willen graag op winterkamp in Oostenrijk.
Om de skiliften te mogen gebruiken gedurende een week betaalt een volwassene 135 euro.
Hoeveel moeten Anke en Robbe voor het gebruik van de skiliften betalen als zij maar 7 9 van het bedrag van een volwassene moeten betalen ?
Kwik is het enige metaal dat bij kamertemperatuur vloeibaar is. Al in 1500 voor Christus waren ze op de hoogte van de gevaren van dit giftige metaal. Eén liter kwik weegt 13,6 kg. Hoeveel weegt het potje kwik dat je leerkracht in de kast staan heeft? De inhoud van het potje is 20 cl. Het gewicht van het potje is te verwaarlozen.
Een kunstenaar heeft 500 cm3 koper nodig om een beeld te gieten.
Het soortelijk gewicht van koper is 8,96 gram per cm3
Rekenen met rationale getallen
Regelmaat bij lucifers. Vul telkens de tabel aan door figuur 4 te schetsen en alle gebruikte aantallen lucifers te noteren in de onderste rij. Noteer ook de letterformule die het aantal lucifers l weergeeft in functie van de figuur met nummer n .
FIGUUR NR. n 1
LUCIFERS
AANTAL GEBRUIKTE LUCIFERS l
AANTAL GEBRUIKTE LUCIFERS l c FIGUUR NR. n 1 2
LUCIFERS
AANTAL GEBRUIKTE LUCIFERS l
Los volgende vergelijkingen op.
a x +( 25)= 175 b
Los volgende vergelijkingen op.
a5 ( x 3)= 20
2 x + 6 = 4 x 2
Los volgende vraagstukken op met behulp van een vergelijking.
aAlsjeeengetalvermenigvuldigtmet 3 7 ,danbekomje 2 3 .Bepaalditgetal.
b De eigenaar van een manege kocht drie nieuwe paarden om op te leiden. De prijs van het tweede paard is 5 6 van de prijs van het eerste, maar evengoed 1 2 van de prijs van het derde paard.
Voor het derde paard betaalde hij 2500 euro. Bepaal de prijs van de andere paarden.
c Welk getal moet je van –6 aftrekken om –20 te krijgen ?
d Van de 328000 bezoekers aan het Natuurhistorisch Museum in Brussel waren er 3 keer meer bezoekers die individueel het museum bezochten dan in groep. Hoeveel museumbezoekers kwamen in groep naar dit museum ?
Reken uit.
a Hoeveel is 45% van 180 is ?
b Hoeveel is 12,5% van 640 ?
d Hoeveel procent is 80 van 500 ?
e Hoeveel procent is 300 van 200 ?
c Van welk getal is 300 gelijk aan 60% ? f Van welk getal is 450 gelijk aan 25% ?
WISKUNDE & AARDRIJKSKUNDE
De grootte van het aardoppervlak is ongeveer 510 miljoen km2. 70,9% van dit aardoppervlak bestaat uit water. 97,2% van dit water wordt gevormd door zeeën en oceanen.
a Hoeveel km2 van het aardoppervlak bestaat uit water ?
b Hoeveel km2 wordt ingenomen door zeeën en oceanen ?
Iemand koopt op een veiling een schilderij van 3000 euro. Hierbij moeten nog 18% veilingkosten en 4% volgrecht betaald worden. Hoeveel betaalt de koper van het schilderij ?
Mikeheefthonden,katten,koeienenkangoeroesalshuisdier.Hijheeft24huisdieren, 1 8 deeldaarvanishond, 3 4 deelisgeenkoeen 2 3 deelisgeenkat.
Hoeveel kangoeroes heeft Mike ?
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8
WIZPROF 2019 vraag 17© Stichting Wiskunde Kangoeroe
Tabita wil zes paprika’s kopen. Een paprika kost 1 euro. Vijf winkels hebben een uitzonderlijke aanbieding.
winkel 1 : ‘Eén paprika kopen, de tweede tegen halve prijs.’
winkel 2 : ‘Twee paprika’s kopen, de derde gratis.’
– winkel 3 : ‘Vijf paprika’s kopen, de zesde gratis.’
winkel 4 : ‘Op alle paprika’s 25% korting.’
– winkel 5 : ‘Bij aankoop van minstens 3 paprika’s, 30% korting!’
In welke winkel bespaart Tabita het meest op de aankoop van zes paprika’s ?
(A)winkel 1(B)winkel 2(C)winkel 3(D)winkel 4(E)winkel 5
JWO 2020 eerste ronde, vraag 5© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
Vaardigheden | Wiskundetaal bewerkingen
Vul onderstaande zinnen aan in wiskundetaal.
Voer vervolgens de instructies uit om letters te sprokkelen en vorm hiermee een woord.
a Als het product van twee factoren het dubbel is van de eerste factor, dan is de andere factor
b Bij 23 = 8 noem je 2 het
c Bij 5 6 = 30 noem je 5 een
d Bij 23 = 8 noem je 3 de
e Het resultaat van een optelling noemen we een …
f Als het aftrektal gelijk is aan de aftrekker, dan bekom je
g De nulde macht van een van nul verschillend getal is steeds
h Een ander woord voor tweede macht is ...
i Bij 3 + 5 = 8 noem je 3 een …
j Het resultaat van een aftrekking noemen we een ...
k Het resultaat van een vermenigvuldiging noemen we een ...
Instructies:
1.Neem de laatste letter van e.
2.Neem de zesde letter van h.
3.Neem de derde letter van c.
4.Neem de zesde letter van j.
5.Neem de laatste letter van k.
6.Neem de zevende letter van j.
7.Neem de eerste letter van b.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Tip: Hoofdstuk 2 wordt ...
Ik
Ik
Rekenen met rationale getallen
Ik
Ik
Ik ken de vier eigenschappen om een vergelijking op te lossen.
Ik kan een vraagstuk oplossen met behulp van een vergelijking.
Ik
Rekenen met rationale getallen
1 INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Werk uit.
a –7 + ( –16) h 144 25 = b –12 – 5 i 3,25 – ( –1,75)
c9 + ( –13) j 5 3 2 =
A = de verzameling van leerlingen met blauwe ogen.
B = de verzameling van leerlingen die groter zijn dan 1,60 m. Waar of niet waar ?
a Kwinten heeft blauwe ogen en is niet groter dan 1,60 m.
b Lise heeft blauwe ogen en is groter dan 1,60 m.
a In welk vlinderdiagram werd ( A ⧵ B) ∪ ( B ⧵ A) aangeduid ?
b In welk vlinderdiagram werd ( A ⧵ B) ∪ B aangeduid ?
Werk uit. Denk aan de volgorde van de bewerkingen.
Voor een actie voor een goed doel heeft een klas besloten om bij het eerstvolgende oudercontact zelfgemaakte icetea te verkopen. Per liter water is hiervoor 8 gram thee nodig, 250 g frambozen en 30 ml honing. Er worden 200 ouders verwacht. Hoeveel thee, frambozen en honing moeten ze voorzien als we ervan uitgaan dat de helft van de ouders een glas icetea (25 cl) zal kopen ?
Los volgende vergelijkingen op.
a x 2 3 = 1 c x : 5 4 = 1 3
b 3 x = 27 d 10 · ( x 50)= 240
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
In een klein symfonisch orkest bespeelt 35% van de 60 muzikanten een blaasinstrument. Hoeveel muzikanten zijn dat ?
7 / 2
Los dit vraagstuk op met behulp van een vergelijking.
James Cameron is een beroemde filmregisseur (van o.a. Titanic en Avatar) die ook een passie heeft voor de diepzee. In 2012 daalde hij in zijn eentje in deze kleine capsule (een bathyscaaf) naar de diepste plek op onze planeet : de Marianentrog. Toen op zijn instrumentenbord stond af te lezen dat hij zich op –6711 meter bevond, was er nog een bepaalde weg af te leggen. Hoeveel moest hij nog afdalen als je weet dat deze Marianentrog zich bevindt op –10 911 meter ? 5 / 2 6 / 4
8 / 2
