Alla rättigheter förbehållna. Ingen text- och datautvinning är tillåten.
Första upplagan
Kapitel 1
Rubrik
Övningsblad1.1 Negativa tal
1.2 Bråkräkning 1
1.3 Bråkräkning 2
1.4 Decimalsystemet
1.5 Potenser 1: Potenser med positiva heltalsexponenter
1.6 Potenser 2: Negativa exponenter och exponenten 0
1.7 Potenser 3: Mer om potenslagarna*
1.8 Potenser 4: Potenser med rationella exponenter
1.9 Grundpotensform och prefix
1.10 Prioriteringsregler
1.11 Repetitionsuppgifter Kapitel 1 Övningsbladen innehåller i regel uppgifter på en grundläggande nivå. Undantaget är övningsblad markerade med stjärna (*), som även innehåller svårare uppgifter.
Aktiviteter1.1 Luffarschack med negativa tal
1.2 Tärningsspel med bråk
1.3 Memory med tiopotenser och prefix
1.4 Memory med prioriteringsregler
1.5 Programmering: Gissa ett tal
1.6 Programmering: Kvadratrötter
Prov 1 Prov Kapitel 1 och 2
Kapitel 2
Rubrik
Övningsblad2.1 Förenkla uttryck
2.2 Multiplicera ihop och förenkla 1
2.3 Multiplicera ihop och förenkla 2
2.4 Multiplicera ihop och förenkla 3*
2.5 Faktorisera uttryck
2.6 Mer om ekvationer
2.7 Ekvationer med nämnare*
2.8 Potensekvationer
2.9 Olikheter
2.10 Formler i kalkylblad
2.11 Repetitionsuppgifter Kapitel 2 Övningsbladen innehåller i regel uppgifter på en grundläggande nivå. Undantaget är övningsblad markerade med stjärna (*), som även innehåller svårare uppgifter.
Aktiviteter2.1 Algebrakapplöpning
2.2 Skapa ekvationer
2.3 Gruppuppgift: Problemlösning med ekvationer
2.4 Korsord
2.5 Mönster
2.6 Polygontal
2.7 Grodfamiljer
2.8 Programmering: Fibonacci
Prov 1 Prov Kapitel 1 och 2
Kapitel 3
Rubrik
Övningsblad3.1 Procentomvandling
3.2 Procenträkning
3.3 Promille och ppm
3.4 Procentenheter
3.5 Förändringsfaktor
3.6 Upprepad procentuell förändring
3.7 Räntor och lån
3.8 Repetitionsuppgifter Kapitel 3 Övningsbladen innehåller i regel uppgifter på en grundläggande nivå. Undantaget är övningsblad markerade med stjärna (*), som även innehåller svårare uppgifter.
Aktiviteter3.1 Procenttävling
3.2 Memory med andelar
3.3 Tips för din grafritande räknare
3.4 Moms och pålägg
3.5 SMS-lån
3.6 Sparkapital
3.7 Programmering: Perfekta tal
Prov 2 Prov Kapitel 3 och 4
Kapitel 4
Rubrik
Övningsblad4.1 Koordinatsystem
4.2 Linjära samband
4.3 Räta linjens ekvation 1
4.4 Räta linjens ekvation 2
4.5 Räta linjens ekvation 3
4.6 Problemlösning med räta linjer*
4.7 Funktionsbegreppet 1
4.8 Funktionsbegreppet 2
4.9 Funktionsbegreppet 3*
4.10 Grafritande hjälpmedel
4.11 Potens- och exponentialfunktioner
4.12 Repetitionsuppgifter Kapitel 4
Övningsbladen innehåller i regel uppgifter på en grundläggande nivå. Undantaget är övningsblad markerade med stjärna (*), som även innehåller svårare uppgifter.
Aktiviteter4.1 Fjäderns förlängning
4.2 Para ihop
4.3 Räta linjer till attack
4.4 En linjär modell
4.5 The Frozen Code
4.6 Para ihop funktioner
Prov 2 Prov Kapitel 3 och 4
Kapitel 5
Rubrik
Övningsblad5.1 Statistiska undersökningar*
5.2 Korrelation och kausalitet
5.3 Den klassiska sannolikhetsdefinitionen
5.4 Tärningsdiagram
5.5 Sannolikhet för händelser i flera steg*
5.6 Sannolikhet och poker*
5.7 Komplementhändelse*
5.8 Repetitionsuppgifter Kapitel 5 Övningsbladen innehåller i regel uppgifter på en grundläggande nivå. Undantaget är övningsblad markerade med stjärna (*), som även innehåller svårare uppgifter.
Aktiviteter5.1 Sveriges användning av olja
5.2 Fickpengar
5.3 Chokladkulor
5.4 Monty Hall-problemet
5.5 Programmering: Slumpförsök med tärningar
Prov 3 Prov Kapitel 5 och 6
Kapitel 6
Rubrik
Övningsblad6.1 Trigonometri 1
6.2 Trigonometri 2*
6.3 Vektorer 1
6.4 Vektorer 2 – Vektorer i koordinatform
6.5 Repetitionsuppgifter Kapitel 6
Övningsbladen innehåller i regel uppgifter på en grundläggande nivå.
Undantaget är övningsblad markerade med stjärna (*), som även innehåller svårare uppgifter.
Aktiviteter6.1 Pythagoras sats
6.2 Geometri och astronomi
6.3 Programmering: Approximera π
Prov 3 Prov Kapitel 5 och 6
Räkneregler för negativa tal
Addition och subtraktion
Två olika tecken efter varandra ersätts med subtraktion.
a + (−b) = a − b t.ex. 6 + (−2) = 6 − 2 = 4
Två lika tecken efter varandra ersätts med addition
a − (−b) = a + b t.ex. 6 − (−2) = 6 + 2 = 8
Multiplikation
Två faktorer med olika tecken ger negativ produkt.
a ∙ (−b) = −(a ∙ b) t.ex. 6 ∙ (−2) = −12
Två faktorer med lika tecken ger positiv produkt.
(−a) ∙ (−b) = a ∙ b t.ex. (−6) ∙ (−2) = 12
1 Beräkna
a) 22 + (−12)
b) 4 + (−7)
c) −30 + (−20)
d) −22 + (−8)
2 Beräkna
a) 5 − (−7)
b) 10 − 2 − 14
c) −3 − (−10)
d) −15 − (−5)
e) 5 + (−8) − (−10)
3 Beräkna
a) (−4) ∙ (−5)
b) 3 ∙ (−11)
c) −40 −10
d) (−2) ∙ (−6) ∙ (−5)
e) −20 4
Division
Olika tecken på täljare och nämnare ger negativ kvot.
a b = a b = − ( a b ) t.ex. 6 −2 = −3
Samma tecken på täljare och nämnare ger positiv kvot.
a b = a b t.ex. −6 −2 = 3
4 Beräkna
a) 4 + (−7) − (−3)
b) (−2) ∙ (−5) + (−12)
c) 7 −7 − (−5)
d) −2 − 7 − (−10)
e) (−1) ∙ (−1) ∙ (−1) ∙ (−1) ∙ (−1)
5 Vilket tal saknas i parentesen?
a) 5 − ( ) = −23
b) −2 ∙ ( ) = 0
c) 5 − ( ) = 11
d) −11 − ( ) = 13
e) 32 ( ) = −4
6 Ge exempel på en addition där summan är
−6 och där
a) båda termerna är negativa
b) ena termen är positiv och den andra negativ
Negativa tal
1 a) 10
b) −3
c) −50
d) −30
2 a) 12
b) −6
c) 7
d) −10
e) 7
3 a) 20
b) −33
c) 4
d) −60
e) −5
4 a) 0
b) −2
c) 4
d) 1
e) −1
5 a) 28
b) 0
c) −6
d) −24
e) −8
6 a) T.ex. (−4) + (−2)
b) T.ex. 10 + (−16)
Potenser 1
Potenser med positiva heltalsexponenter
Potenslagar
Multiplikation av potenser med samma bas an ∙ am = an + m t.ex. 23 ∙ 25 = 23 + 5 = 28
Division av potenser med samma bas an am = an − m t.ex. 25 23 = 25 − 3 = 22
Potens av potens (an)m = an ∙ m t.ex. (25)3 = 25 ∙ 3 = 215
1 Förenkla med hjälp av potenslagarna.
Svara i potensform.
a) 52 ∙ 54
b) 23 ∙ 26 ∙ 27
c) 33 ∙ 3 ∙ 34
d) 1111 ∙ 112
e) (−8)3 ∙ (−8)4 ∙ (−8)10
2 Förenkla med hjälp av potenslagarna.
Svara i potensform.
a) (122)3
b) (113)4 ∙ 112
c) 6 ∙ (62)5
d) 23 ∙ (23)2
e) 10 ∙ (104)5 ∙ 107
3 Förenkla med hjälp av potenslagarna.
Svara i potensform.
a) 77 72 b) 416 410
c) 314 ∙ 32 311 d) (77)3 7
e) 514 52 ∙ 511 f) (−9)12 (−9)9
4 Förenkla med hjälp av potenslagarna.
a) (3x)2 b) (2y)3
c) (4xy)3 d) (3x)2 ∙ x3
Potens av produkt (a ∙ b)n = an ∙ bn t.ex. (2 ∙ 3)5 = 25 ∙ 35
Potens av kvot ( a b )n = an bn t.ex. ( 2 3 )5 = 25 35
5 Förenkla med hjälp av potenslagarna. Svara i bråkform.
a) ( 1 2 )3 b) ( 1 5 )2
c) ( x 3 )3 d) (4x)2 x3
e) (2x)4 ∙ (3x)2 (2x)6 f) ( x 2 )2 ∙ ( x 3 )2
6 Beräkna utan digitalt verktyg.
a) 72 + 72
b) (23)2 − 52
c) (2 − 5)2
d) 103 + 102 ∙ 102
e) 94 93 + 92
7 Beräkna utan digitalt verktyg.
a) 23 ∙ 24 och 23 + 24
b) (32)2 och 2 ∙ 32
c) 22 + 52 och 22 ∙ 52
d) (−4)2 och −42
e) 102 101 och 102 − 101
Potenser 1
1 a) 56
b) 216
c) 38 (33 ∙ 31 ∙ 34 = 33 + 1 + 4 = 38)
d) 1113
e) (−8)17
2 a) 126
b) 1114
c) 611
d) 29
e) 1028
3 a) 75
b) 46
c) 35
d) 720
e) 51
f) (−9)3
4 a) 9x2
b) 8y3
c) 64x3y3
d) 9x5
5 a) 1 8 b) 1 25
c) x3 27 d) 16 x
e) 9 4 f) x4 36
6 Observera att det inte finns några potenslagar för addition eller subtraktion av potenser.
a) 98 eftersom 72 + 72 = 49 + 49 = 98
b) 39 eftersom (23)2 − 52 = 26 − 52 = 64 − 25 = 39
2 Ange minst tre olika värden på x som löser olikheten i uppgift 1 a).
3 Lös olikheterna
a) −4x ≥ 16
b) −2(x + 3) < 0
c) 3(x + 7) + 17 > −(13 − 20x)
4 Vilket är det största heltalet som löser olikheten i uppgift 3 c)?
5 Hur många lösningar har
a) ekvationen 2x + 2 = 15
b) olikheten 2x + 2 > 15
6 a) Lös olikheterna 3x ≥ 24 och 3x > 24.
b) Liselott säger att alla värden på x som löser olikheten 3x ≥ 24 också löser olikheten 3x > 24. Har Liselott rätt? Motivera ditt svar.
7 Peter tränar inför Vasaloppet. Hittills i vinter har han åkt 38 km och han räknar med att i fortsättningen åka 15 km i veckan.
a) Ställ upp en ekvation som kan användas för att besvara frågan: ”Efter hur många veckor har Peter åkt totalt 200 km i vinter?”.
b) Ställ upp en olikhet som kan användas för att besvara frågan: ”Efter hur många veckor har Peter totalt åkt mer än 200 km i vinter?”.
c) Lös olikheten i b) och besvara frågan.
8 I en stad finns två dansstudior, A och B. I dansstudio A kostar det 110 kr per lektion och 250 kr i medlemsavgift. Dansstudio B har ingen medlemsavgift, men där kostar det 125 kr per lektion.
a) Vilken fråga kan du besvara genom att lösa olikheten 250 + 110x ≤ 1 900?
b) Lös olikheten och besvara frågan i a).
c) Ställ upp en olikhet som kan användas för att besvara frågan: ”Hur många danslektioner ska man ta för att den totala kostnaden för dansstudio A ska bli lägre än den totala kostnaden för dansstudio B?”.
d) Lös olikheten och besvara frågan i c).
Olikheter
1 a) x ≤ 7,5
b) x < −20
c) x > 7
2 T.ex. x = 7,5, x = 1 och x = −188
3 a) x ≤ −4
b) x > −3
c) x < 3
4 x = 2
5 a) En lösning (x = 6,5)
b) Oändligt många lösningar (x > 6,5, dvs. alla tal som är större än 6,5 löser olikheten)
6 a) x ≥ 8 respektive x > 8.
b) Liselott har fel. x = 8 löser den första olikheten men inte den andra. I övrigt har de precis samma lösningar.
7 a) 38 + 15x = 200
b) 38 + 15x > 200
c) Efter 11 veckor (x > 10,8)
8 a) Hur många lektioner kan man ta i dansstudio A om man vill betala högst 1 900 kronor?
b) Man kan ta högst 15 lektioner (x ≤ 15)
c) 250 + 110x < 125x
d) Minst 17 lektioner ( x > 50 3 ≈ 16,7 )
Förändringsfaktor
Förändringsfaktor
Förändringsfaktorn = Nya värdet Gamla värdet
Vid en minskning är förändringsfaktorn mindre än 1.
1 Vilken förändringsfaktor motsvarar
a) en ökning med 2 %
b) en minskning med 2 %
c) en ökning med 30 %
d) en minskning med 30 %
2 Bestäm förändringsfaktorn när ett värde
a) minskar från 80 kr till 50 kr
b) ökar från 1 200 kr till 1 400 kr
c) ökar från 500 kr till 2 500 kr
d) minskar från 980 kr till 353 kr
3 Ange för var och en av deluppgifterna i
uppgift 2 med hur många procent värdet har ökat eller minskat.
4 Ange den procentuella ökningen eller minskningen som svarar mot förändringsfaktorn
a) 1,03
b) 0,35
c) 0,87
d) 2,25
e) 7
5 En butiksägare vill beräkna det nya priset på en vara som i nuläget kostar x kronor. Vilket tal ska han multiplicera x med om han vill
a) sänka priset med 60 %
b) höja priset med 100 %
c) höja priset med 245 %
d) sänka priset med 5,3 %
Vid en ökning är förändringsfaktorn större än 1.
Om förändringsfaktorn är lika med 1, så betyder det att det inte har skett någon värdeförändring.
6 Antalet elever på en skola var ett år 780 stycken. Året därpå minskade antalet elever med 5 % för att nästa år öka med 10 %. Vilken av följande beräkningar ska du genomföra om du vill beräkna antalet elever på skolan efter förändringarna?
7 Vilken blir den totala procentuella förändringen om ett pris
a) först höjs med 20 % och sedan sänks med 10 %
b) först sänks med 50 % och sedan höjs med 50 %
c) höjs med 11 % och sedan höjs igen med 11 %.
8 Birger tycker att svaret i uppgift 7b är konstigt. Han tycker att om ett pris först sänks med 50 % och sedan höjs med 50 % så borde man komma tillbaka till ursprungspriset. Förklara för Birger varför det inte är så.
9 Lös följande problem genom att utgå från formeln Förändringsfaktorn = Nya värdet Gamla värdet och ställa upp en ekvation.
a) En butik hade utförsäljning och sålde alla kläder till nedsatt pris. En tröja som var nedsatt 15 % kostade 340 kr. Vad hade tröjan kostat före utförsäljningen?
b) Utsläppen av en farlig kemikalie ökade från år 2021 till 2022 med 30 %. År 2022 var utsläppen 30 ton per år. Hur stora var utsläppen år 2021?
Förändringsfaktor
1 a) 1,02
b) 0,98
c) 1,3
d) 0,7
2 a) 0,625
b) 1,17 (1,166…)
c) 5
d) 0,36
3 a) 37,5 % minskning
b) 17 % ökning
c) 400 % ökning
d) 64 % minskning
4 a) 3 % ökning
b) 65 % minskning
c) 13 % minskning
d) 125 % ökning
e) 600 % ökning
5 a) 0,4
b) 2
c) 3,45
d) 0,947
6 C 780 ∙ 0,95 ∙ 1,10
7 a) Ökning med 8 %
b) Sänkning med 25 %
c) Ökning med ca 23 %
8 Om du sänker ett pris på 100 kr med 50 % så blir det nya priset 50 kr. När du sedan höjer det nya priset med 50 %, så blir det nya värdet 75 kr. Anledningen till att vi inte kommer tillbaka till ursprungspriset är att sänkningen sker med 50 % av ursprungspriset (100 kr) medan höjningen sker med 50 % av det nya priset (50 kr). Sänkningen och höjningen är alltså lika stora mätt i procent, men inte mätt i kronor.
Total förändringsfaktor blir 0,5 · 1,5 = 0,75, dvs. minskning med 25 %.
9 a) 400 kr
b) 23 ton
Funktionsbegreppet 1
1 Lös uppgifterna med hjälp av tabellen.
x −1 0 1 2 3 4
f(x) 3,5 4 0 −1 2 5
Bestäm
a) f(2)
b) f(4)
c) f(−1)
För vilket värde på x är
d) f(x) = 4
e) f(x) = 0
2 Bestäm med hjälp av tabellen
x −2,5 −1 0 1 2,5 4
g(x) 6,25 1 0 1 6,25 16
a) g(−1)
b) g(0)
c) g(4)
Lös ekvationerna
d) g(x) = 16
e) g(x) = 6,25
3 I koordinatsystemet här nedanför visas grafen till y = f(x). Fyll i värdetabellen med hjälp av grafen. x f(x) −3 −1 0 2 3 5 y x 1 1 y = f(x)
4 Lös uppgifterna med hjälp av grafen. y x 1 1 y = f(x)
Bestäm
a) f(−2)
b) f(0)
c) f(3)
Lös ekvationerna
d) f(x) = 7
e) f(x) = −1
f) f(x) = 0
5 Graferna till funktionerna f och g visas i figuren här nedanför. Lös uppgifterna med hjälp av graferna.
y = f(x) y = g(x)
Bestäm
a) f(0)
b) f(2)
c) g(0)
y x 1 1
Lös ekvationerna
d) g(x) = 0
e) f(x) = 4
f) f(x) = g(x)
Funktionsbegreppet 1
1 a) f(2) = −1
b) f(4) = 5
c) f(−1) = 3,5
d) x = 0
e) x = 1
2 a) g(−1) = 1
b) g(0) = 0
c) g(4) = 16
d) x = 4
e) x = 2,5 och x = −2,5
(Observera att ekvationen har två lösningar)
3 x f(x) −3 −4 −1 −2 0 −1 2 1 3 2 5 4
4 a) f(−2) = 1
b) f(0) = −1
c) f(3) = 3
d) x = −4 och x = 4
e) x = 0
f) x ≈ −1,4 och x ≈ 1,4
5 a) f(0) = 5
b) f(2) = 1
c) g(0) = 3
d) x = −3
e) x = −1 och x = 1
f) x = −2 och x = 1
1 Bestäm följande värden med hjälp av figuren.
a) tan v
b) tan u
c) sin v d) sin u
e) cos v f) cos u
2 Bestäm vinklarna u och v i triangeln i uppgift 1. Svara med en decimals noggrannhet.
3 Bestäm tan 55,8° både med digitalt verktyg och med hjälp av figuren. Jämför sedan resultaten.
4 Bestäm x.
a) tan 30° = x 3
b) sin 45° = 11 x
c) cos 60° = 2x 15
5 Bestäm längden av sidorna x och y 10,0 38,7° (cm) x y
6 Bestäm vinkeln v om
a) tan v = 1,5
b) sin v = 0,5
c) cos v = 0,45
7 Från fönstret till ett radiotorn
ser man en räv under en vinkel av 72°. Radiotornets fönster är på en höjd av 138 m . Hur långt bort längs marken befinner sig räven från tornet?
8 Bestäm vinkeln u med en decimal. u 21 (cm)
9 Beräkna höjden och diagonalen i rektangeln. 110 (cm)
10 Undersök med hjälp av din räknare om tan 2v = 2 ∙ tan v genom att testa olika värden på v för 0⁰ < v < 180⁰. Vilken slutsats kan du dra?
11 Rita en rätvinklig triangel med en vinkel v så att tan v = 1 3
12 I en rätvinklig triangel är
sin v = motstående katet hypotenusan
Kan man rita en rätvinklig triangel så att sin v > 1? Motivera ditt svar.
Trigonometri 1
1 a) tan v = 4 7
b) tan u = 7 4
c) sin v = 4 √65
d) sin u = 7 √65
e) cos v = 7 √65
f) cos u = 4 √65
2 v = 29,7° och u = 60,3°
3 Med digitalt verktyg: tan 55,8° ≈ 1,47
Enligt figuren: tan 55,8° = 25 17 ≈ 1,47
4 a) x = 3 ∙ tan 30° ≈ 1,7
b) x = 11 sin 45° ≈ 15,6
c) x = 15 ∙ cos 60° 2 = 3,75
5 x = 8,0 cm, y = 12,8 cm
6 a) v ≈ 56,3°
b) v = 30°
c) v ≈ 63,3°
7 45 m
8 u = 49,0°
9 Höjden är 49 cm och diagonalen är 120 cm.
10 tan 2v ≠ 2 ∙ tan v
11 T.ex:
12 Nej, hypotenusan är alltid längre än var och en av kateterna, så kvoten motstående katet hypotenusan är alltid mindre än 1, dvs. sin v < 1. (cm) 3,0 9,0 v
Algebrakapplöpning
Syfte och centralt innehåll
Aktiviteten Algebrakapplöpning är en klassisk övning som på ett lekfullt sätt tränar eleverna i att beräkna värdet av ett uttryck.
Materiel
Varje grupp behöver en spelplan, utskriven på A4eller A3-papper. Eleverna behöver två spelpjäser vardera, till exempel färgade gem eller lappar, och två tärningar i olika färger. Har man inte tärningar i olika färger, kan eleverna slå vardera tärningen på ett rött respektive ett vitt papper.
Genomförande
Eleverna arbetar två och två eller tre och tre.
Den elev som börjar slår tärningarna. Värdet på den röda tärningen kallar vi för r och värdet på den vita tärningen kallar vi för v
I alla rutor, utom i hörnen, står algebraiska uttryck. Eleven ska flytta sin pjäs lika många steg som tärningen visar.
Om uttryckets värde är negativt backar pjäsen.
Om pjäsen hamnar på någon av rutorna i hörnen, måste den pjäsen flyttas tillbaka till Start.
I varje spelomgång flyttar spelaren en av sina pjäser. Spelaren väljer själv vilken pjäs som ska flyttas.
Den spelare som först får båda pjäserna i mål vinner.
Det kan vara bra att eleverna har papper och penna till hands för att kunna göra noteringar under spelets gång.
För att eleverna ska förstå reglerna kan man inleda spelet med att varje elev bara har en spelpjäs.
Utvidgning och variation
På aktivitetsstencilerna som följer hittar du tre olika spelplaner, som spelas med en, två respektive tre tärningar. På så sätt kan du enkelt variera spelets svårighetsgrad. Ytterligare en möjlighet är att låta en av tärningarna representera negativa tal.
Att lyfta fram
Efter att eleverna har spelat spelet kan man gemensamt diskutera vad eleverna har lärt sig och vilka strategier de har använt. Uttrycken på spelplanen ger också möjlighet att diskutera algebraiska förenklingar, t.ex. att 5 − (v + r) = 5 − v − r och att r 2 + r 2 = r. Man kan också uppmärksamma att talet (r − v)2 alltid är ett tal större än eller lika med 0.
Algebrakapplöpning 1
Arbeta två och två eller tre och tre. Ni behöver två spelpjäser per spelare och en tärning.
Den första spelaren slår tärningen.
Värdet på tärningen kallar vi för r
I alla rutor utom i hörnen står algebraiska uttryck. Spelaren ska flytta sin pjäs lika många steg som värdet av uttrycket visar.
Om uttryckets värde är negativt backar pjäsen.
Om pjäsen hamnar på någon av rutorna i hörnen måste den pjäsen flyttas tillbaka till Start.
I varje spelomgång flyttar spelaren en av sina pjäser. Spelaren väljer själv vilken pjäs som ska flyttas.
Den spelare som först får båda pjäserna i mål vinner.
Algebrakapplöpning 2
Arbeta två och två eller tre och tre. Ni behöver två spelpjäser per spelare och två tärningar i olika färger, t.ex. en röd och en vit tärning.
Den första spelaren slår båda tärningarna.
Värdet på den röda tärningen kallar vi för r och värdet på den vita tärningen kallar vi för v
I alla rutor utom i hörnen står algebraiska uttryck. Spelaren ska flytta sin pjäs lika många steg som värdet av uttrycket visar.
Om uttryckets värde är negativt backar pjäsen.
Om pjäsen hamnar på någon av rutorna i hörnen måste den pjäsen flyttas tillbaka till Start.
I varje spelomgång flyttar spelaren en av sina pjäser. Spelaren väljer själv vilken pjäs som ska flyttas.
Den spelare som först får båda pjäserna i mål vinner.
Syfte och centralt innehåll
I den här aktiviteten ska eleverna para ihop rätt graf, med rätt värdetabell, ekvation och beskrivning. Syftet är att eleverna ska se olika sätt att beskriva samma räta linje och göra kopplingar mellan de olika representationsformerna. Aktiviteten genomförs med fördel i grupp. Då får eleverna tala matematik och det blir naturligt att använda matematiska begrepp som riktningskoefficient, lutning, m-värde, ekvation och nollställe. Att befästa räta linjers egenskaper, och de begrepp som används för att beskriva räta linjer, är ett av de huvudsakliga syftena med den här aktiviteten.
Materiel
Stenciler med grafer, värdetabeller, ekvationer och beskrivningar. Eventuellt en sax för att klippa isär lapparna.
Genomförande
Dela in eleverna i par eller i grupper om ca tre elever. Ge eleverna bladen med grafer, ekvationer, värdetabeller och beskrivningar. Elevernas uppgift är att para ihop rätt graf, med rätt värdetabell, ekvation och beskrivning. Här kan man enkelt variera svårighetsgraden genom att variera antalet linjer som eleverna får ta ställning till. Man kan också variera svårighetsgraden genom att t.ex. ge eleverna ekvationer och värdetabeller men inga grafer eller beskrivningar. Aktiviteten sammanfattas med fördel i helklass där eleverna får motivera sina ställningstaganden.
Lösning
Graf Värdetabell EkvationBeskrivning
Graf A Värdetabell 2 y = 0,5x − 2 Linjen skär x-axeln för x = 4
Graf B Värdetabell 3 y = x + 1 Linjen har riktningskoefficient 1.
Graf C Värdetabell 6 y = −2x Sambandet mellan y och x är en proportionalitet.
Graf D Värdetabell 5 y = − x 3 + 20 Linjen beskriver temperaturen y °C hos ett bröd x minuter efter att brödet lades in i frysen.
Graf E Värdetabell 4 y = 20 − 0,2x Linjen går genom punkten med koordinaterna (100, 0).
Graf F Värdetabell 1 y = 50x + 250 Linjen beskriver kostnaden y kr för att hyra en borrmaskin i x dagar.
Utvidgning och variation
Det finns flera sätt att variera svårighetsgraden i aktiviteten. Ett sätt är att variera antalet linjer som eleverna får ta ställning till. Ett annat sätt är att låta eleverna ta ställning till endast ekvationer och värdetabeller eller endast grafer och beskrivningar. Vill man göra övningen svårare kan man inkludera någon eller några felaktiga ekvationer eller beskrivningar. Några förslag finns på en av de efterföljande stencilerna (se Förvillande ekvationer och Förvillande beskrivningar). Då måste eleverna anstränga sig mer för att övertyga sig om att de har parat ihop rätt. Ett par av de förvillande beskrivningarna kräver till exempel att eleverna gör beräkningar med räta linjens ekvation för att kunna para ihop beskrivningen med rätt graf. Vid en helklassdiskussion kan eleverna få motivera varför de valt en viss ekvation framför en annan.
Grafer
Geometri och
Den grekiske vetenskapsmannen Eratosthenes (född i nuvarande Libyen 236 f.Kr.) räknas som den förste som beräknade jordens omkrets. Med viss hjälp av de ungefär samtida grekiska vetenskapsmännen Anaxagoras och Aristarchos lyckades han också beräkna månens och solens diameter, samt avståndet mellan jorden och solen. Med hjälp av alla dessa beräkningar kunde han till slut också räkna ut solens diameter. Du ska nu få följa Erathostenes tankegångar och räkna ut solens diameter.
Jordens diameter
Erathostenes visste att vid middagstid den 21 juni nådde solens strålar till botten av en djup brunn i Syene. Vid samma tidpunkt stack han en pinne lodrätt ner i marken i Alexandria, 5 000 stadier (785 km) från Syene. Med hjälp av pinnens skugga beräknade han att solen bildade en vinkel mot staven som var 7,2°. Hur stor blev jordens omkrets och diameter enligt Eratosthenes?
7,2°
Månens diameter
Om man betraktar månen vid en månförmörkelse, så tar det 50 minuter från det att förmörkelsen börjar tills månen helt har försvunnit. Från det att förmörkelsen börjar tills det att månen börjar komma ut ur jordens skugga tar det 200 minuter. Beräkna månens diameter (du vet ju jordens diameter).
Avståndet till månen
När man vet månens diameter kan man beräkna avståndet till månen med hjälp av likformighet. Om man håller ut sin arm, så täcker pekfingertoppen precis månen. Förhållandet mellan fingertoppens bredd och månens diameter är alltså lika med förhållandet mellan armens längd (ca 100 cm) och avståndet till jorden. Beräkna avståndet till månen.
Avståndet till solen
När månen är halv bildar solen (S), jorden (J) och månen (M) en rätvinklig triangel. ∧JMS är rät. Aristarchos mätte ∧SJM och fann att den var 87°. Den riktiga vinkeln är i själva verket 89,85°. Beräkna med hjälp av trigonometri hur långt det är till solen enligt både Aristarchos värde på vinkeln och det verkliga värdet. J M S
Solens diameter
När månen skymmer solen, alltså vid en total solförmörkelse, sker detta på en väldigt liten del av jordytan. Vi kan betrakta detta som en punkt. Står man i punkten, så täcker månen precis solen. Med kunskap om avståndet mellan de tre himlakropparna och månens diameter bör du nu kunna räkna ut solens diameter.
Solen
Jorden
Idén till den här uppgiften kommer från Simon Singhs bok Big Bang.
Månen
Geometri och astronomi
Jordens diameter
Sträckan mellan Syene och Alexandria är 7,2 360 av hela jordens omkrets, som då blir
785 · 360 7,2 km ≈ 39 000 km.
Jordens diameter blir
39 000 π ≈ 12 400 km.
Månens diameter
Eftersom månförmörkelsen varar i 200 minuter och jordens diameter är 12 400 km, så kan vi räkna ut att månen rör sig med en hastighet som är ungefär 12 400 200 km/min.
Och eftersom det tar 50 minuter från det att förmörkelsen börjar tills det att månen är helt inne i jordens skugga, så kan vi beräkna månens diameter till
50 · 12 400 200 = 3 100 km.
Avståndet till månen
Grovt mätt så är avståndet från ögat till fingertoppen 100 cm och fingertoppens bredd ca 1 cm. Om avståndet till månen är x km ger likformighet oss att
1 · 10−5 km
3 100 km = 100 · 10−5 km x km
x ≈ 310 000 km
Avståndet till månen är enligt den här enkla beräkningen ungefär 310 000 km.
Avståndet till solen
Med Aristarchos mätvärde blir avståndet till solen ca 6 · 106 km. Använder man det verkliga värdet på vinkeln blir avståndet ca 1,2 · 108 km.
Solens diameter
Kallar vi solens diameter för d ger likformighet att d
3 100 = 1,2 · 108 310 000
d ≈ 1,2 · 106 km
Solens diameter är alltså ca 1,2 miljoner kilometer.
