Historik: Så var det förr –matematik och studenten 1960 166
4.3 Omfångsrika problemsituationer 258
Pólyas problemlösningsteknik 260
Båglängder 268
Repetitionsuppgifter 274
Svar, ledtrådar och lösningar 279
Register 334
Inledande aktivitet
HITTAR DU MÖNSTRET?
1 Ett heltal a är delbart med ett heltal d om det finns ett heltal k sådant att a = kd.
Talet 6 delas av de positiva heltalen 1, 2, 3 och 6.
Ange alla positiva heltal som delar a) 8 b) 11 c) 12 d) 30
2 Sant eller falskt?
Påstående P: Alla tal som är delbara med 3 och 4 är också delbara med 12.
Påstående Q: Alla tal som är delbara med 2 och 6 är också delbara med 12.
3 Följande tal är givna
A 521 B 2 013 C 1 038
D 110 007 E 12 345 F 7 226
G 2 157 H 1 532 I 222
a) 521 har siffersumman 5 + 2 + 1 = 8 Beräkna siffersumman för övriga tal.
b) Kontrollera med digitalt verktyg vilka av talen som är delbara med 3.
Ser du något samband mellan delbarhet med 3 och siffersumman?
1.1 Matematiska bevis
Definition, sats och bevis
bevis Att genomföra ett matematiskt bevis innebär att presentera en övertygande argumentation för att ett matematiskt resultat eller påstående ska accepteras som sant. Det gör man genom en följd av logiska resonemang utifrån olika förutsättningar, som till exempel definitioner och redan bevisade påståenden.
påstående Ett matematiskt påstående kan vara sant eller falskt. Det kan t.ex. vara ett påstående om egenskaper som följer av en definition eller om en ekvations lösning. Några påståenden:
ekvationen
(2 x – 5)(4x + 3) = 0 saknar heltalslösning.
Kommentar:
talet 21 är delbart med 7.
siffran 5 har samma värde i talen 15 och 52.
Det första påståendet är sant. Lösningen är x 1 = 2,5 och x 2 = –3 4
Det andra påståendet är sant eftersom 21 = 3 ∙ 7.
Det tredje påståendet är falskt. Värdet på siffran 5 är 5 respektive 50.
definition En definition av ett matematiskt begrepp, objekt eller en idé är en precis beskrivning av begreppet/objektet/idén.
Exempel på definitioner är:
en lösning till en ekvation p (x ) = 0 är ett tal x = a sådant att p (a) = 0.
heltalet a är delbart med heltalet d om det finns ett heltal k sådant att a = kd
ett positionssystem är ett talsystem där en siffras värde beror av dess plats i representationen av ett tal.
En definition är alltså en beskrivning och därför inget man bevisar.
axiom Grundläggande påståenden som accepteras utan bevis kallas axiom Exempel på axiom är ”Om a = b så är b = a.” och ”Om a = c och b = c så är a = b.”
sats En sats i en matematisk teori är ett viktigt påstående som har bevisats med hjälp av definitioner, axiom och redan bevisade satser. Exempel på matematiska satser är Pythagoras sats och sinussatsen.
Exempel 1
Påstående:
Det finns positiva heltal a och b sådana att 2 ab = a 2
Vi ska bevisa att det finns sådana heltal.
Det räcker som bevis att hitta ett enda exempel.
Bevis:
Eftersom faktorn 2 ingår i 2 ab vet vi att 2 ab är ett jämnt tal.
Vi väljer ett värde på a som ger att a 2 är ett jämnt tal.
Vi väljer a = 6 som insatt i ekvationen 2 ab = a 2 ger 2 ∙ 6 ∙ b = 36 b = 3
Vi har funnit två positiva heltal a = 6 och b = 3
sådana att 2 ab = a 2
V.S.B.
Exempel 2
Påstående:
Om sin v är ett rationellt tal så är även sin v 2 ett rationellt tal.
Ett rationellt tal kan skrivas a /b, där a och b är heltal och b ≠ 0.
Vi misstänker att påståendet är falskt.
motexempel
motbevisa För att motbevisa ett påstående som säger att något alltid ska gälla räcker det att hitta ett motexempel, dvs. ett enda exempel för vilket påståendet är falskt.
Motbevis:
Vi väljer v = 90°. Då är sin v = sin 90° = 1 vilket är ett rationellt tal.
sin v 2 = sin 45° = 1 2 vilket inte är ett rationellt tal.
Påståendet är alltså falskt.
1101 Bevisa följande påstående:
Om basen i en rektangel ökar med 10 % och höjden minskar med 10 % så minskar arean.
Bevis:
Anta att den ursprungliga rektangeln har basen b och höjden h. Arean A1 = bh
Efter ändringarna har rektangeln basen 1,1b och höjden 0,9h
Arean A 2 = 1,1b ∙ 0,9h = 0,99bh som är mindre än arean A1 = bh.
V.S.B.
vilket skulle Bevisas
1102 Bevisa att
(a – b)3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab2 – b3
Vi vill visa att VL = (a – b)3 är lika med HL = a 3 – 3a 2 b + 3ab2 – b3
VL = (a – b)3 = (a – b)(a – b)2 = = (a – b)(
2 – 2 ab + b2 ) =
V.S.B.
1
1103 Bevisa följande påståenden A – D.
A Talet 42 är delbart med 14.
B Ekvationen 6 x – 20 = x har roten x = 4.
C Om sidorna i en rektangel fördubblas, blir arean fyra gånger så stor.
D Det finns heltal a, b och c sådana att a 2 + b2 = c2
1104 Avgör om följande alternativ A – E är ett sant påstående, ett falskt påstående eller inget påstående.
A Alla jämna tal är delbara med 2.
B 2 x(x – 7)
C (1 + a)2 ≥ 0 för alla reella tal a.
D Produkten av 8 och 9 är 64.
E Det finns heltal a och b (a, b ≠ 0) sådana att summan a + b är större än produkten ab
1105 Visa med ett motexempel att följande påstående är falskt:
”Summan av fyra olika heltal är alltid delbar med 2.”
1106 Vad är en rektangel? Skriv en definition.
Kvadreringsregeln
Parentesmultiplikation
1107 Definition: Ett primtal är ett positivt heltal större än 1 som enbart är delbart med 1 och sig självt.
Visa med ett motexempel att påståendet ”Talet 51 är ett primtal.” är falskt.
1108 Bevisa följande påståenden A – C.
A (a + b)2 = a 2 + 2 ab + b2
B (a + b)(a – b) = a 2 – b2
C Om x = 2, så är x4 < x 3 + 5 x
1109 Bevisa eller motbevisa påståendena
A och B
A Om den ena faktorn i en produkt ökar med 20 % och den andra faktorn minskar med 20 % så ökar produkten med 4 %.
B Om täljaren ökar med 20 % och nämnaren minskar med 20 %, så ökar kvoten med 50 %.
1110 Definition:
Ett kvadrattal är ett tal som är kvadraten på ett heltal.
Bevisa att det finns tvåsiffriga heltal, x, sådana att 4x + 12 är ett kvadrattal.
Direkta bevis
Vi har i kurs 1–4 presenterat ett stort antal matematiska satser. Vissa satser har vi endast motiverat med hjälp av exempel, andra har vi bevisat.
direkt bevis En vanlig form av bevis är ett direkt bevis. Om vi vill bevisa ett påstående med ett direkt bevis startar vi med en eller flera utgångspunkter. Via ett logiskt resonemang, i ett eller flera steg, kommer vi fram till en slutsats om påståendet.
Exempel 1 Visa att n 3 – n är ett jämnt tal om n är ett positivt heltal större än 1. n 3 – n = n(n 2 – 1) = n(n + 1)(n – 1)
Konjugatregeln
Eftersom minst ett av tre tal i följden n – 1, n , n + 1 är jämnt måste n3 – n = n(n + 1)(n – 1) vara delbart med 2 och därmed ett jämnt tal.
V.S.V.
Påståendet i Exempel 1 måste vara sant för alla värden n > 1 för att vara sant. Det skulle räcka att hitta ett enda motexempel, ett tal n, som gör att påståendet inte stämmer, för att visa att påståendet är falskt.
Se Exempel 2 i föregående avsnitt.
Implikation och ekvivalens
Ett påstående kan innehålla de logiska symbolerna ⇒, ⇐ och ⇔. Vi repeterar dem här.
implikationspil implikation ekvivalens
Den enkelriktade pilen, ⇒ eller ⇐, är en implikationspil
P ⇒ Q utläses ”P medför Q ” eller ”Om P gäller, så gäller även Q ”.
ekvivalenspil Den dubbelriktade pilen, ⇔, är en ekvivalenspil
P ⇔ Q utläses ”P är ekvivalent med Q ” eller ”P om och endast om Q ”.
En ekvivalens innebär att P ⇒ Q och P ⇐ Q , dvs. ”P medför Q och Q medför P.”
Exempel 2 Är påståendet x = 3 ⇔ x 2 – 3 x = 0 sant eller falskt?
Ekvationen x 2 – 3 x = 0 kan skrivas x(x – 3) = 0.
x 2 – 3 x = 0 har två rötter x = 0 och x = 3.
1. Gäller implikationen x = 3 ⇒ x 2 – 3 x = 0?
Svaret är ja eftersom om x = 3, så gäller x 2 – 3 x = 0.
2. Gäller implikationen x = 3 ⇐ x 2 – 3 x = 0?
Svaret är nej eftersom en av ekvationens rötter är x = 0.
Därmed har vi ett motexempel till påståendet att x = 3 är enda roten.
Implikationen från höger till vänster ⇐ är alltså falsk. Det innebär att påståendet x = 3 ⇔ x 2 – 3 x = 0 är falskt.
Följande gäller:
x = 3 ⇒ x 2 – 3 x
x = 0 eller x = 3 ⇔ x 2 – 3 x = 0
1111
Följande påståenden är ekvivalenser eller implikationer.
Placera rätt pil, ⇒, ⇐ eller ⇔ i rutan. Motivera ditt svar.
a) x = 4 x 2 = 16 b) 2 x + 3 = 9 x = 3
a) x = 4 ⇒ x 2 = 16
Motivering: x = 4 medför att x 2 = 16 men omvändningen gäller inte. En av ekvationens rötter är x = –4 och är ett motexempel.
b) 2 x + 3 = 9 ⇔ x = 3
Motivering: 2 x + 3 = 9 medför att x = 3. Omvändningen gäller också eftersom ekvationen 2 x + 3 = 9 har en enda rot x = 3.
1112
Bevisa följande påstående:
Om x 1 och x 2 är rötter till ekvationen x 2 + px + q = 0
så är p = –(x 1 + x2 ) och q = x 1 x 2
Bevis:
Att x 1 och x 2 är rötter till ekvationen x 2 + px + q = 0 betyder enligt faktorsatsen att vi kan skriva ekvationen (x – x 1 )(x – x 2 ) = 0
Vi utvecklar vänster led:
(x – x 1 )(x – x 2 ) = x 2 – x 1 x – x 2 x + x 1 x
Vi jämför med x 2 + px + q vilket ger
p = –(x 1 + x 2) och q = x 1 x 2
V.S.B.
1113 Påstående: Produkten av ett jämnt tal och ett udda tal är ett jämnt tal.
a) Bevisa påståendet med ett direkt bevis.
b) Gäller omvändning till påståendet?
a) Bevis:
Ett jämnt tal kan skrivas 2m, där m är ett heltal.
Ett udda tal kan skrivas 2n + 1, där n är heltal.
Produkten 2m ∙ (2n + 1) är ett jämnt tal eftersom det innehåller faktorn 2.
V.S.B.
b) Omvändningen till påståendet är:
Om produkten av två tal är jämn, så är en faktor jämn och en udda.
För att visa att detta inte gäller räcker det att hitta ett motexempel, t.ex. 8 = 2 ∙ 4.
Nej, omvändningen till påståendet gäller inte. Vi har inte en ekvivalens.
1114 Följande påståenden är ekvivalenser eller implikationer.
Placera rätt pil, ⇒, ⇐ eller ⇔ i rutan. Motivera ditt svar.
a) Kim bor i Malmö. Kim bor i Sverige.
b) Triangeln är likbent. Triangelns vinklar är lika stora.
c) x – 1 = 9 8 – 2 x = x – 7
d) x > 0 x 2 > 0
e) n är udda n = 2k + 1, k heltal
f) y = x + 2 y ¢ = 1
g) lg x = 2 x = 100
1115 P: 3 x + 7 = x + 1
Q: x = –3
a) Visa att P ⇒ Q
b) Visa att Q ⇒ P
c) Gäller ekvivalensen P ⇔ Q?
1116 Om n är ett heltal, så är 2n jämnt och 2n + 1 udda.
Bevisa att
a) summan av ett udda tal och ett jämnt tal är udda
b) produkten av två udda heltal är udda.
1117 Bevisa följande påstående eller presentera ett motexempel:
a) Kvadraten på ett jämnt tal är delbar med 4.
b) Kvoten av två jämna heltal är jämnt.
1118 Visa att sin (A + B) = 1
1119 Triangeltalen är 1, 3, 6, 10, 15, …
16 10 3
Kvadrattalen är 1, 4, 9, 16, 25, …
19 16 4
a) Skriv ett uttryck för det n:te triangeltalet och ett för det n:te kvadrattalet.
b) Bilda summan av två på varandra följande triangeltal. Formulera en slutsats.
c) Bevisa din slutsats.
1120 Pythagoras sats lyder:
”Om en triangel är rätvinklig så är
summan av kateternas kvadrater, a 2 + b2 , lika med hypotenusan i kvadrat, c2 .”
Låt C vara den räta vinkeln och ta hjälp av cosinussatsen
c2 = a 2 + b2 – 2 ab cos C för att bevisa
a) Pythagoras sats
b) omvändningen till Pythagoras sats.
1121 Bevisa att två på varandra följande jämna tal har en produkt som är delbar med 8. 3
1122 Lili påstår att n 2 + 7n + 12 är ett jämnt tal för alla heltal n.
Bevisa att hon har rätt eller visa med ett motexempel att hon har fel.
1123 Bevisa att n 3 – n är delbart med 3 för alla heltal n ≥ 0.
Programmering
Collatz förmodan
Världen är full av olösta matematiska problem. En del problem är avancerade och en del problem är oväntat enkla att lösa men svåra att bevisa. Ett sådant problem är Collatz förmodan, som även kallas Collatz problem eller 3n + 1-problemet:
”Man kommer alltid till talet 1 om man genomför följande steg:
1. Utgå från ett positivt heltal n.
2. a) Om n är jämnt, dividera det med 2.
b) Om n inte är jämnt, multiplicera det med 3 och addera sedan 1.
3. Upprepa steg 2 tills du kommer till talet 1.”
Ingen har ännu kunnat bevisa att påståendet stämmer, även om man hittills inte heller hittat ett motbevis.
Vi kan skriva ett program som testar om ett heltal n ger resultatet 1 enligt Collatz förmodan.
1 FÖRSTÅ
Vi vill kunna fråga användaren om vilket heltal som ska testas och sedan genomföra steg 1–3 ovan tills resultatet blir 1.
2 PLANERA
A Resultat
När programmet har körts vill vi att det skriver ut följande resultat:
Resultatet blev 1
B Lösning
Vi använder en formel där nästa tal ni + 1 ges av
n =
Om vi matar in talet n = 26, vill vi att vårt program i tur och ordning skriver ut: 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
C Variabler
Programmet ska använda följande variabel:
• n för det positiva heltalet
D Algoritm
Programmet ska skrivas i följande ordning:
• Läs in det positiva heltalet och spara det i variabeln n.
• Så länge n inte är talet 1, upprepa följande:
◦ Om n är delbart med 2, dividera det med 2 och spara resultatet i n.
◦ Annars, multiplicera talet med 3 och addera sedan 1, spara resultatet i n.
• När n = 1, skriv ut att resultatet blev 1.
Aktivitet
3 GENOMFÖRA – KODA
Rubrik Special
I programspråket Python3 skriver vi programmet så här: n = int(input("Vilket heltal, n, vill du börja med?")) while n != 1: print(n) if n % 2 == 0: n = n/2
else:
n = 3*n + 1
print("Resultatet blev", n)
4 TESTA OCH VÄRDERA
Programmet körs tills vi fått resultatet 1. Vi vet dock inte hur många gånger slingan behöver upprepas. Programmet har heller inget sätt att säga till om vi inte får resultatet 1 vilket gör att programmet aldrig kommer kunna motbevisa förmodan om det skulle visa sig vara fel.
KOMMUNIKATION
Lös följande uppgifter med hjälp av programmering. Syftet är att du ska utveckla din problemlösningsförmåga och därför är det lämpligt att du följer alla stegen i strategin.
1 Skriv programmet i exemplet. Kör det och kontrollera att det fungerar.
2 Lägg till kod så att programmet skriver ut hur många gånger det upprepar while-slingan.
Collatz-trädet visar hur talen ”grenar” sig.
3 a) Lägg till kod så att programmet stoppas efter 100 körningar. Om resultatet inte blivit 1 ska programmet skriva ut förklarande text.
b) Vilket är det minsta positiva heltal, n, som kräver mer än 100 körningar?
4 Ett Mersennetal är ett heltal som kan skrivas på formen 2 n – 1, där n är ett positivt heltal. Ett Mersenneprimtal är ett Mersennetal som är ett primtal.
En förmodan har formulerats så här:
”Ett Mersennetal med ett Mersennetal som exponent är ett primtal.”
Skriv ett program som testar förmodan för olika Mersenneprimtal. Stämmer förmodan?
Summan av en geometrisk talföljd
Geometriska talföljder kan användas för att beskriva olika situationer inom t.ex. naturvetenskap, ekonomi och samhällsvetenskap. Vi fokuserar här på naturvetenskapliga tillämpningar och börjar med att presentera och bevisa en formel för summan av en geometrisk talföljd.
Summan av en geometrisk talföljd vi löser ut s n
summan av en geometrisk talföljd med n element, där a1 är det första elementet och kvoten är k
s n = a k k n 1 1 1 (k ≠ 1)
Bevis:
Summan av n element i en geometrisk talföljd med det första elementet a1 och kvoten k kan skrivas
s
Vi multiplicerar båda leden med k:
ks n = a1k + a1k 2 + a1k 3 +
(1)
Vi ser att talföljderna (1) och (2) endast skiljer sig i första och
sista termen. Vi subtraherar ekvation (2) med ekvation (1).
ks n s n = a1k n a1
s n(k – 1) = a1(k n 1)
s n = a k k n 1 1 1
V.S.B.
Exempel 1 Vi beräknar den geometriska summan
50 + 50 1,1 + 50 1,12 + … + 50 1,112
Den första termen a1 = 50, kvoten k = 1,1 och antal termer n = 13.
Vi använder formeln ovan.
s13 = 1550 11 1 11 1 13 , , = 1 226,13… ≈ 1 226
Exempel 2
En patient får var fjärde timme medicin i form av en tablett med 100 mg av en verksam substans. När 4 timmar har gått finns det fortfarande 75 % av den verksamma substansen kvar i patientens blod.
Anta att medicineringen fortsätter på detta sätt.
Hur stor mängd av den verksamma substansen har patienten i blodet direkt efter
a) 3 tabletter b) 10 tabletter?
a) Efter 3 tabletter är mängden verksam substans M summan av det som finns kvar av alla tre tabletterna.
Den tredje tabletten: 100 mg (allt finns kvar)
Den andra tabletten: 100 · 0,75 mg (75 % av 100 mg)
Den första tabletten: 100 · 0,752 mg (75 % av 100 · 0,75 mg)
3:e tab. 2:a tab. 1:a tab
M ≈ 230
Svar: Efter 3 tabletter finns 230 mg i blodet.
b) Efter 10 tabletter är mängden M summan av den tionde, sista tabletten och det som finns kvar av de övriga nio tabletterna.
M = 100 + 100 ∙ 0,75 + 100 ∙ 0,752 + … + 100 ∙ 0,758 + 100 ∙ 0,759 10:e tab. 9:e tab. 8:e tab. 2:a tab. 1:a tab. Vi beräknar M med formeln för en geometrisk summa
2 Niklas har fått en öroninfektion. Var sjätte timme får han antibiotika i form av en tablett på 200 mg.
När han efter sex timmar får en ny tablett på 200 mg, återstår 40 % av den gamla dosen i blodet.
Vilken mängd antibiotika har Niklas i blodet direkt efter att han tagit a) 4 tabletter b) 8 tabletter?
3 I ett kärnkraftverk frigörs energi när atomkärnor delas. En neutron som träffar kärnan av en uranatom delar den i två mindre, samtidigt som tre nya neutroner frigörs som kan dela andra urankärnor.
5 En gummiboll släpps från höjden 6,5 m.
För varje studs når den 70 % av den tidigare höjden.
Bestäm den sträcka som bollen har tillryggalagt när den träffar marken för tionde gången.
6 Veterinären Elsa behandlar en sjuk häst.
Första dagen får hästen 10 g av en viss medicin, sedan halveras dosen varje dag.
Hur mycket medicin bör Elsa skriva ut recept på, om hela behandlingen omfattar en vecka?
1:a generationen 2:a generationen
Hur många kärnor kan maximalt delas av de hundra första generationerna neutroner?
4 Det berättas att schackspelets uppfinnare som belöning ville ha ett riskorn för den första av de 64 rutorna på brädet. För var och en av de andra rutorna ville han ha dubbelt så mycket som för den föregående.
Är det möjligt att skaffa denna belöning?
Jämför belöningens vikt med årsproduktionen av ris i världen idag.
Anta att 1 000 riskorn väger ca 30 g och att världsproduktionen av ris är ungefär 600 miljoner ton/år. Motivera ditt svar.
7 En patient tar varje morgon medicin i form av en tablett på 20 mg. För varje dygn utsöndrar kroppen 50 % av den ursprungliga mängden.
Hur stor mängd av medicinen har patienten i kroppen efter lång behandling?
Motivera ditt svar.
8 Ett företag planerar att, med början nästa år, minska sina utsläpp av ett miljöfarligt ämne med 5 % varje år.
Efter hur många år kommer summan av företagets årliga utsläpp att vara tio gånger så stor som när utsläppen började minska? Lös uppgiften algebraiskt.
Historik
Fibonaccis talföljd
Leonardo Fibonacci eller Leonardo från Pisa (1170–1250) brukar räknas som medeltidens störste matematiker.
Under sin uppväxt i Nordafrika och under sina resor lärde Fibonacci sig de indiska (arabiska) siffrorna och såg de stora fördelar de gav för matematiken. År 1202 skrev han den berömda boken Liber Abaci (boken om räkning), som gjorde honom berömd och bidrog till att de krångliga romerska siffrorna allt mer övergavs.
Fibonacci har gett namn åt talföljden 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … där varje tal är summan av de två föregående.
Talföljden beskrevs i Indien redan på 200-talet f.kr. Fibonacci använde talföljden för att beskriva hur antalet kaninpar ökar varje månad, om man räknar med att ett kaninpar ger upphov till ett nytt kaninpar varje månad (förutom den första månaden) samt att inga kaniner dör.
Talföljden har genom åren fascinerat många människor, då den dyker upp på de mest oväntade ställen.
I spiralmönster hos t.ex. snäckor, kottar och i många blommor hittar vi tal ur Fibonaccis talföljd.
snittet =
Kvoten mellan ett tal och föregående i Fibonaccis talföljd närmar sig Gyllene snittet.
Pascals kända triangel gömmer också Fibbonaccis talföljd.
1 I texten ovan ser vi de 12 första elementen i Fibonaccis talföljd.
a) Beräkna de 13:e och 14:e elementen.
b) Ange en rekursionsformel för talföljden.
2 Visa hur Fibonacci kunde koppla talföljden till kaninernas fortplantning.
Starta med ett kaninpar och notera sedan för några månader hur många kaninpar du har, om de ökar enligt texten ovan. Rita figur.
3 Beräkna kvoterna 13/8, 21/13, 34/21 och 55/34 och jämför med Gyllene snittet.
4 Studera Pascals triangel.
a) Om vi räknar från toppen så har triangeln fem horisontella rader. Hur bör den 6:e raden se ut?
b) Ritar vi om triangeln kan vi få:
Studera de nya diagonalerna, vad ser du?
Programmering
Mängder och programmering
I Python kallas en mängd för set (det engelska ordet för mängd).
För att skapa en mängd används klammerparentes { }. Kodraden mangd = {2, 4, 6} skapar mängden {2, 4, 6}.
Kommandot set() skapar en tom mängd.
Mängdoperationerna union, snitt och differens skrivs så här:
A | B #Unionen mellan mängderna A och B
A & B #Snittet mellan mängderna A och B
A – B #Differensen mellan mängderna A och B
1 Vilken av mängderna, skapade av följande kodrader, kommer att innehålla flest element?
A = {2, 5, 1, 3}
B = {2, 3, 2, 3, 2, 3}
C = {56, 1240, 52}
2 Vad kommer följande program att skriva ut på rad
a) 4 b) 5 c) 6?
s = {1, 2, 3, 4, 5, 6} p = {2, 4, 6, 8, 10} print(s|p) print(s&p) print(s-p)
3 Beskriv vad följande program gör och vad det kommer att skriva ut. from math import *
s = {1, 2, 3, 4, 5, 6} p = {2, 4, 6, 8, 10} m = set() for i in s: if i in p: m.add(i)
print(m)
För att lägga till element i en mängd används .add(). För att ta bort ett element används .remove().
Koden
A = {1, 2, 3, 4}
A.add(5)
A.remove(3)
print(A)
kommer att skriva ut mängden {1, 2, 4, 5}.
För att ta reda på antal element i en mängd används len(A)
Koden
B = {3, 6, 9, 12} print(len(B)) kommer att skriva ut 4.
4 För att t.ex. bestämma det minsta positiva tal som är kongruent med 5 modulo 3 kan vi i skriva
5 % 3
Detta kommer att ge oss 2.
a) Beskriv vad följande program gör och vad det kommer att skriva ut. from math import * m = set() for i in range(1,51): if i % 3 == 0: m.add(i) print (len(m))
b) Skriv ett program som sorterar alla jämna tal under 100 i en mängd A och alla udda tal under 100 i en mängd B
5 Skriv ett program som skapar en mängd med alla primtal under 1000.
Avgör om påståendena är sanna eller falska. Syftet är att utveckla förmågan att föra ett matematiskt resonemang. Motivera därför svaren med beräkningar och förklaringar. Arbeta gärna i par eller grupp.
1 Antalet permutationer för ett givet urval är alltid större än antalet kombinationer.
2 A ∩ B och A ∪ B kan aldrig vara lika i ett Venndiagram.
3 I en grupp om 28 personer är det säkert att minst tre av personer fyller år i samma månad.
4 7 3 betyder antalet sätt man kan välja tre element av sju med hänsyn till i vilken ordning de väljs.
5 I en skål ligger fem kulor, 2 gula och 3 blå. Sannolikheten att få 2 gula kulor om man slumpmässigt tar 2 kulor utan att titta är lika stor som sannolikheten att få 3 blå om man tar 3 kulor.
6 n(n – 1)! kan skrivas n!
7 100 51 har samma värde som 100 49
8 Om 80 % av medlemmarna i en motionsförening går på gym och 70 % går på gruppträning, så går hälften av medlemmarna på både gym och gruppträning.
9 Om |A ∪ B| = 18, |A ∩ B| = 7 och |B \ A| = 5 så gäller |A \ B| = 11.
10 6 personer kan sätta sig på 6! sätt kring ett runt bord med 6 platser.
11 Du tar slumpvis kulor ur skålen.
Du måste ta fler kulor för att vara säker på att få två av samma färg än två av olika färg.
12 Utvecklingen av (a + b)n ger efter förenkling bland annat termerna nbn och (n – 1)a n – 1
Multiplikationsprincipen
Sammanfattning 2
Ett första val kan göras på p sätt och ett andra val kan göras på q sätt. De två valen kan göras efter varandra på p · q sätt.
Additionsprincipen
Ett första val kan göras på p sätt och ett andra val kan göras på q sätt. Om antingen det första eller det andra valet ska göras kan det göras på p + q sätt.
Sannolikheter
Sannolikheten P för en händelse H om alla utfall är lika sannolika beräknas
P(H ) = Antalet gynnsamma utfall öjliga utfall
Permutationer
Ett ordnat urval utan upprepning kallas en permutation
Antalet permutationer av n element är n! (n-fakultet).
Exempel:
5 personer kan bilda en kö på 5! olika sätt. 5! = 5
4
3
2
1 = 120
Antalet permutationer av k element ur n givna element är
P(n, k) = n nk ! ()!
Exempel:
3 personer av 8 kan väljas med hänsyn till ordningen på P(8, 3) = 8 83 ! ()! olika sätt.
P(8, 3) = 8 5 ! ! = 8 · 7 · 6 = 336
Kombinationer
Ett oordnat urval utan upprepning kallas en kombination.
Antalet kombinationer av k element ur n givna element är
n k = n kn k ! !( )!
Exempel:
3 personer av 8 kan väljas utan hänsyn till ordningen på 8 3 olika sätt.
(a + b)n = = n 0 an + n 1 an – 1b + … + n k an – k bk + … + n n bn
Talen n k kallas binomialkoefficienter.
Pascals formel
n k = n k 1 + n k 1 1 1 ≤ k ≤ n – 1
Lådprincipen
Om n + 1 föremål ska placeras i n lådor, så måste åtminstone en låda innehålla två eller fler av föremålen.
Om n · k + 1 föremål ska placeras i n lådor, så måste åtminstone en låda innehålla k + 1 eller fler av föremålen.
Mängder
En mängd är en samling objekt (element).
Mängdoperationer och Venndiagram
1 Snittet A ∩ B = {x | x ∈ A och x ∈ B}
2 Unionen A ∪ B = {x | x ∈ A och/eller x ∈ B}
3 Mängddifferensen A \ B = {x | x ∈ A och x ∉ B}
4 Komplementmängden till A
∁ A = AC = {x | x ∈ G och x ∉ A}
Där G är grundmängden.
En mängd kan beskrivas på olika sätt:
ℤ är mängden av de hela talen.
ℤ = {..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
ℤ = {x | x är ett heltal}
A ⊆ B betyder att A är en delmängd av B
Grundmängden G är den mängd som innehåller alla element som kan komma i fråga i en viss situation.
Den tomma mängden 0 saknar element och är en delmängd av varje mängd.
En mängd med n element har totalt 2 n delmängder.
Antal element i mängder
Antalet element i en mängd A kallas mängdens kardinalitet och betecknas |A|.
För två mängder A och B gäller
|A ∪ B| = |A| + |B| – |A ∩ B|
Exempel:
Mängden A innehåller 17 element, mängden B innehåller 12 element och snittet till mängderna A och B innehåller 10 element, dvs.
|A| = 17 |B| = 12 och |A ∩ B| = 10
Då är antalet element i unionen
|A ∪ B| = 17 + 12 – 10 = 19
Vi inkluderar (tar med) elementen i A och B och exkluderar (tar bort) elementen i A ∩ B.
Kan du det här?
Delkapitel BEGREPP
2.1 Kombinatorik
Multiplikationsprincipen
Additionsprincipen
Permutation
Kombination
"n över k" n k
n-fakultet n!
2.2 Binomialsatsen och lådprincipen
Binomialsatsen och binomialkoefficient
Lådprincipen
2.3 Mängdlära Mängd och element
Grundmängd, tom mängd och delmängd
Snittet, unionen, mängddifferensen och komplement
Kardinalitet
Venndiagram
PROCEDUR
• beräkna antalet permutationer respektive kombinationer för olika urval
• beräkna sannolikheten vid likformig sannolikhetsfördelning
• lösa kombinatoriska problem.
• beräkna koefficienter till ett binom med hjälp av binomialsatsen
• använda lådprincipen.
• kunna beskriva en mängd på olika sätt
• beräkna antalet delmängder av en given mängd
• avgöra vilka element som tillhör snittet, unionen, mängddifferensen och komplementet
• bestämma antal element i mängd
• använda principen om inklusion och exklusion för enklare tillämpningar.
2.1 Kombinatorik
Testa dig själv 2
1 Isik kommer ihåg att första siffran i hans fyrsiffriga pinkod är 2.
Hur många möjliga pinkoder finns det om
a) alla siffror i pinkoden är olika
b) alla siffror kan förekomma på de resterande tre platserna?
2 På en musikfestival finns tre scener med olika artister hela kvällen.
Alla scenerna har konserter vid samma fem tidpunkter under kvällen.
På hur många sätt kan man välja fem konserter?
3 Beräkna
a) 4! · 2! c) C(5, 2)
b) P(5, 2) d) 101 99
4 På en arbetsplats ingår alla åtta anställda i en utlottning av tre vinster. Varje person kan bara få en vinst.
På hur många sätt kan vinsterna fördelas om
a) alla vinster är likadana
b) det finns en 1:a, en 2:a och en 3:e vinst?
5 Klas ska köpa läsk och snacks till en fest. Han ska välja tre av fem läsksorter och två sorters snacks av popcorn, chips, ostbågar eller nötter.
På hur många olika sätt kan han välja sitt inköp?
2.2 Binomialsatsen och lådprincipen
6 Utveckla
a) (1 + a)6 b) (2 x – y)5
7 I en skål ligger tre röda och sju gröna äpplen.
Hur många måste du slumpvis ta för att säkert få två av
a) samma färg b) olika färg?
2.3 Mängdlära
8 Sant eller falskt? Motivera dina svar.
a) 7 ∈ {x | x primtal och x < 10}
b) {1, 2, 3} ⊆ {1, 2}
c) Mängden {4, 6} har fyra delmängder.
d) {x | x 2 + 9 = 0 och x ∈ R} = 0 ?
9 Låt A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5, 6} och
C = {5, 6, 7}.
Grundmängden:
G = {x | 0 < x < 10 och x ∈ ℤ}.
Bestäm
a) A ∩ B
b) B ∪ C
c) ∁ B \ C
d) (A ∪ B) ∩ C
10 Beskriv med mängdsymboler det färgade området.
a)
b)
11 I en friidrottsförening tävlar 150 ungdomar i minst en av grenarna löpning, längdhopp och tresteg.
85 av dem tävlar i löpning. 7 tävlar i både längdhopp och tresteg, men inte i löpning.
Hur många av ungdomarna tävlar endast i antingen tresteg eller längdhopp?
B
B
Utan digitala verktyg 1
Blandade övningar 2
1 Låt A = {a, b, c}, B = {b, c, d, e, f} och
C = {a, c, d, g}.
Bestäm
a) A ∪ B d) B ∩ C
b) B \ C e) A ∩ B ∩ C
c) A ∩ C f) |A ∪ B ∪ C|
2 Beskriv med symboler den färgade delen av Venndiagrammet. a) b)
6 I en låda med åtta nya batterier har det hamnat två gamla som ska slängas. Du tar tre batterier ur lådan.
Hur många sådana urval
a) är möjliga
b) innehåller bara nya batterier
c) innehåller minst ett gammalt batteri?
7 Utveckla
a) n 3 c) n n 2
b) n 1 2 d) n n 1 1
8 Hur många permutationer finns av de fyra symbolerna, om de ska placeras på rad?
3 I ett jaktlag jagar alla antingen älg eller rådjur och 4 personer jagar båda djuren.
Det är 7 personer som jagar älg och 6 som jagar rådjur.
Hur många ingår i jaktlaget?
4 I skolkafeterian kan man köpa ett mellanmål för 50 kr. Man får då antingen en dryck och en smörgås eller en dryck, en yoghurt och en frukt.
Det finns te, kaffe eller saft, tre olika smörgåsar, fyra yoghurtsmaker och äpple eller banan att välja på.
På hur många sätt kan man välja sitt mellanmål för 50 kr?
5 I en godispåse ligger 10 röda, 10 gröna och 10 gula karameller av samma typ. Du tar, utan att titta, karameller ur påsen.
Hur många måste du ta för att vara säker på att få minst 5 av samma färg?
a) ✚ ♥ ✸ ▼ c) ✚ ♥ ✚ ♥
b) ✚ ♥ ✚ ✸ d) ✸ ▼ ✸ ✸
9 Varför är alla fakulteter utom 1! jämna tal?
3
10 Visa att
a) m 2 = 2 m 2 + m 1
b) 2n n = 2 21 1 n n för alla n ≥ 1.
11 A och B är mängder.
a) Beskriv innebörden av mängddifferensen ( A ∪ B) \ ( A ∩ B) med ord.
b) Vad innebär ( A ∪ B) \ ( A ∩ B) = 0 ?
12 Går det att hitta mängder A , B och C som uppfyller
A ∪ C = B ∪ C och A \ C = B \ C och A ≠ B ?
Med digitala verktyg 1
13 En träningsgrupp i fotboll består av 20 utespelare och en målvakt.
På hur många sätt kan ett 11-mannalag väljas ut om man inte tar hänsyn till att de tio utespelarna helst vill spela på vissa positioner?
14 Beräkna och beskriv vad du beräknat.
a) 19 6 b) P(19, 6) c) C(19, 6)
15 En undersökning inför en friluftsdag, i årskurs 4, visar elevernas val.
65 % vill åka skidor
55 % vill åka skridskor
25 % vill åka både + skidor och skridskor.
a) Rita ett Venndiagram som presenterar undersökningen.
b) Hur många procent av eleverna vill varken åka skidor eller skridskor?
16 a) Visa att 9 3 = 9 6
b) Beskriv en vardaglig situation där 9 3 och 9 6 är lika.
17 Utveckla
a) (3 x 2 – y3)2 c) (x – y)4
b) (a + 2 b)3 d) (z2 + 3u)5
18 Utveckla och förenkla uttrycket.
xh x h 6 6
19 Joel ska lyssna på fem ljudböcker. Det finns 35 böcker som han är intresserad av.
Han påstår att det finns nästan 39 miljoner sätt att välja ut fem böcker. Stämmer det?
20 G = {alla trianglar}
A = {likbenta trianglar}
a) Var bör de liksidiga trianglarna finnas?
b) Var bör de rätvinkliga trianglarna finnas?
c) Vilka trianglar är det färgade området?
Motivera dina svar.
21 Människans DNA består av en 1,5 m lång spiral med miljarder baspar (”stegpinnar”) med beteckningarna AT, TA, CG och GC. Bokstäverna A, T, C och G står för adenin, tymin, cytosin och guanin. I DNA-spiralen finns ca 30 000 gener insprängda.
Ordningen mellan basparen, tagna i grupper om tre, talar om vilket protein som ska byggas. Så ger t.ex. sekvensen TAC TTG TTT CAC ett visst protein.
a) Hur många”ord” med tre bokstäver kan skrivas med det genetiska alfabetet A, T, C och G?
b) Hur många av orden med tre bokstäver innehåller exakt ett A?
c) En gen som beskriver hur ett visst protein ska byggas innehåller 200 ord med tre bokstäver. På hur många sätt kan en sådan gen vara uppbyggd?
22 En familj på fem personer cyklar efter varandra på en smal landsväg.
a) På hur många sätt kan familjemedlemmarna placera sig?
b) På hur många sätt kan de placera sig om det yngsta barnet ska cykla näst först eller i mitten?
FÖRDJUPNING OCH OMFÅNGSRIKA PROBLEM 4
Med fördjupade kunskaper om derivator och integraler samt hjälpmedel som numeriska metoder, digitala verktyg och programmering har du mycket goda förutsättningar att ta dig an omfångsrika matematiska problem.
Centralt innehåll
• Omfångsrika problemsituationer som är relevanta för karaktärsämnena, inklusive problem som fördjupar kunskaper om derivata och integraler.
• Problemlösning som omfattar begrepp och metoder i kursen.
• Tillämpning, formulering och utvärdering av matematiska modeller i realistiska situationer.
• Användning av digitala verktyg, även symbolhanterande, för att effektivisera beräkningar och komplettera metoder.
• Användning av programmering som verktyg vid problemlösning och vid tillämpning av numeriska metoder.
• Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria.
Med andra ord
I kapitlets första del får du möjlighet att fördjupa dina kunskaper om derivator och integraler. Här finns även avsnitt med anknytning till numeriska metoder, differentialekvationer och programmering.
I hela kapitlet, men främst i den sista delen, ligger fokus på problemlösning och omfångsrika problemsituationer.
Problemen kan du lösa t.ex. med hjälp av derivator, integraler och numeriska metoder.
Kapitlets uppbyggnad
Kapitlets första två delar innehåller fördjupning om derivator och integraler, ofta med fokus på numeriska metoder.
Precis som i tidigare kapitel finns i de två inledande avsnitten exempel, lösta uppgifter och övningsuppgifter i tre nivåer. Till övningsuppgifterna finns svar och ibland även ledtrådar och lösningar.
Det är inte nödvändigt att studera samtliga avsnitt i detta kapitel. Du kan beroende på intresse och tid välja några utvalda avsnitt.
I kapitlets avslutande del ges förslag på ett antal mer omfattande uppgifter med vars hjälp du främst kan utveckla din problemlösnings- och moduleringsförmåga.
Dessa uppgifter är mer öppna och mer tidskrävande än bokens vanliga uppgifter.
4.3 Omfångsrika problemsituationer
I denna avslutande del ges förslag på ett antal mer omfattande uppgifter med vars hjälp du främst kan utveckla din problemlösnings- och modelleringsförmåga. Uppgifterna är mer öppna och mer tidskrävande än bokens vanliga uppgifter.
Uppgifterna kan i princip genomföras och redovisas på ett sätt som svarar mot samtliga betygsnivåer. Att ge svar, ledtrådar eller lösningar i facit skulle strida mot uppgifternas syfte.
Redovisningen av ett omfattande problem bör innehålla:
1 Problemformulering
Här visar du att du har förstått vad uppgiften innebär. Du beskriver klart och tydligt med egna ord vad problemet innebär.
2 Metoder och beräkningar
Här redovisar du, med hjälp av matematiska termer och symboler, din lösning av problemet med förklaringar, tabeller, diagram och bevis.
3 Diskussion av resultatet
Här diskuterar och värderar du din metod och kontrollerar att ditt resultat är rimligt. Du kan även ge förslag på hur ditt arbete kan fortsättas eller generaliseras.
1 Keramikern
Karin arbetar som keramiker. Hon tillverkar n krukor om dagen. Till varje kruka går det åt en enhet krukmakarlera.
Förutom materialkostnaden har hon följande kostnader för leran:
◗ En engångskostnad på m kronor för varje leverans.
◗ En lagerhållningskostnad på k kr/dag för varje enhet lera som finns i lagret.
a) Låt n = 5, m = 3 000, och k = 10.
Hur ofta ska hon beställa för att minimera kostnaden för leran?
b) Låt n = 10, m = 4 000, och k = 8.
Hur ofta ska hon beställa för att minimera kostnaden för leran?
c) Variera n, m och k. Försök att hitta ett samband som beskriver hur variablernas värde påverkar hur ofta hon ska beställa.
2 Upptäck sambandet
En kvadrat i första kvadranten delas i två områden A och B av grafen till potensfunktionen y = x p, där p > 0.
a) Beräkna förhållandet mellan areorna av områdena A och B för några olika värden på p, t.ex. p = 1 2 , 1, 3 2 , 2 och 3.
b) Formulera och bevisa en sats om hur areaförhållandet beror av p.
c) Gäller satsen om kvadraten utvidgas till en rektangel med bredden a och höjden a p ? x y 1 1 A B y = x p
och omFångsrika problem
3
Hur långt ser du?
Anta att du står så att dina ögon befinner sig h m över havsytans nivå.
Hur lång sträcka d m, kan du då se?
Bestäm k för en approximativ formel d = k h
R v d h R
Undersök också hur stort fel, uttryckt i procent, som denna formel ger för några olika värden på h.
4 Fördubbling
Hur lång tid tar det för ett kapital att fördubblas?
En tumregel för detta lyder:
Fördubblingstiden T ≈ A p , där A är en heltalskonstant och p % är räntesatsen.
Beräkna fördubblingstiden T med en decimal för en serie värden på p, t.ex. p = 2, 4, 6, 8, ... , 18 genom att räkna exakt och bestäm sedan ett lämpligt värde på A.
Försök därefter att motivera ditt värde på A på annat sätt.
5 Hur många rötter?
Andragradsekvationen x 2 + px + q = 0 kan ha noll, en eller två olika rötter, beroende på hur vi väljer koefficienterna p och q.
På liknande sätt beror antalet rötter till följande ekvationer på hur vi väljer konstanterna a, b respektive c.
a) 3 x 4 + 4 x 3 – 36 x 2 – a = 0
b) e x = bx 2
c) cos x = cx
Hur beror antalet rötter av konstanten a, b respektive c ? Utred det med så generella metoder som möjligt.
6 Glasstrutarna
Utgå från en cirkulär skiva av papp.
a) Klipp bort en sektor med vinkeln v och forma en kon av den kvarvarande delen. Vilken vinkel v ger maximal volym hos konen?
b) Forma nu en kon av både den kvarvarande sektorn och den bortklippta.
Bestäm vinkeln v så att den sammanlagda volymen av de båda konerna blir så stor som möjligt.
c) Tillverka de båda konerna som ger maximal volym av en tunn pappskiva med radien 10 cm.
7 Med jeep in i öknen
En jeep kan sammanlagt ta 200 liter bensin i tanken och i lösa dunkar. Jeepen kommer
2,5 km på 1 liter bensin.
Anta att du ska färdas 1 000 km in i öknen och att bränsle bara finns vid startpunkten och vid målet. Vill du klara färden måste du först placera ut bensin i depåer längs färdvägen.
Hur mycket bränsle går det åt och var ska dunkarna placeras ut?
Finn en lösning på problemet, gärna en som är så ”bra” som möjligt! v v
REPETITIONSUPPGIFTER
Kapitel 1
BEVIS OCH TALTEORI
Repetitionsuppgifterna är identiska med bokens lösta exempel. För svar och lösningar se kapitlets exempel.
1101
Bevisa följande påstående:
Om basen i en rektangel ökar med 10 % och höjden minskar med 10 % så minskar arean.
1102
Bevisa att (a – b)3 = a 3 – 3 a 2 b + 3 ab2 – b3
1111
Följande påståenden är ekvivalenser eller implikationer.
Placera rätt pil, ⇒, ⇐ eller ⇔ i rutan. Motivera ditt svar.
a) x = 4 x 2 = 16
b) 2 x + 3 = 9 x = 3
1112
Bevisa följande påstående:
Om x 1 och x 2 är rötter till ekvationen x 2 + px + q = 0 så är p = –(x 1 + x2 ) och q = x 1 x 2 .
1113
Påstående: Produkten av ett jämnt tal och ett udda tal är ett jämnt tal.
a) Bevisa påståendet med ett direkt bevis.
b) Gäller omvändning till påståendet?
1201
Visa att om 3|a och 3|b så medför det att 3|(a + b).
1202
a) Dela upp talet 42 i primtalsfaktorer.
b) Vilka positiva tal är 42 delbart med (utöver 1 och 42)?
1217
Visa att ett positivt, tresiffrigt heltal där siffersumman är delbar med 3 också är delbart med 3.
1218
Dela upp talet 15 732 i primtalsfaktorer.
1231
a) Bestäm den största gemensamma faktorn till 126 och 231, dvs. bestäm SGF(126, 231).
b) Förkorta bråket 126 231 så långt som möjligt.
c) Bestäm minsta gemensamma multipel till 126 och 231, dvs. bestäm MGM(126, 231).
d) Beräkna 1 126 + 1 231
1232
Från en busstation avgår med start kl. 07.00 bussar på linje A var 12:e minut och på linje B var 42:e minut.
Vad är klockan nästa gång bussar från linje A och B avgår samtidigt från busstationen?
1301
a) Förklara betydelsen av 34 ≡ 19 (mod 5).
b) Visa att 32 ≡ 15 (mod 6).
1302
Är talen 346 och 134 kongruenta modulo 4?
1303
Ange två möjliga värden för x om x ≡ 25 (mod 7).
1313
Beräkna modulärt, dvs. skriv på formen a (mod c) där 0 ≤ a < c. a) 14 + 36 + 80 (mod 7) b) 61 ∙ 17 (mod 3) c) 133 (mod 11)
1314
Visa att ett fyrsiffrigt heltal är delbart med 3 om siffersumman i talet är delbart med 3.
1315
Bevisa regeln för modulär addition:
Om a1 ≡ b1 (mod c) och a 2 ≡ b2 (mod c) så gäller a1 + a 2 ≡ b1 + b2 (mod c)
1316
Visa att 47 n – 1 är delbart med 8 för alla positiva och jämna heltal n
1337
Skriv talen med basen 10.
a) 101011två b) 6504 åtta
1338
Skriv talet 13tio i det binära talsystemet.
1349
a) Skriv 4C3sexton med basen 10.
b) Skriv talet 94tio med basen 16.
1350
Skriv talet 41fem med basen tre.
1351
Skriv talet 1010110 två i basen åtta.
1401
En talföljd skrivs a n = 12 + 5n, där n = 1, 2, 3, …
a) Ange de tre första talen i talföljden.
b) Undersök om talet 137 ingår i talföljden.
1402
Beskriv talföljden 1, 3, 5, 7, 9, … med en explicit formel.
1403
Vi utgår från den geometriska
talföljden 20, 60, 180, …, 393 660.
a) Beräkna det åttonde talet.
b) Hur många element finns det i talföljden?
1420
Bestäm de fyra första talen i talföljden som definieras av a n + 1 = 2 a n + 1 och a1 = 3
1421
En talföljd definieras av a1 = 1, a 2 = 1 och a n + 2 = a n + 3 a n + 1
Visa att det fjärde och femte elementet är primtal.
Kapitel 1
1103 A Lösning:
42 är delbart med 14 om det finns ett heltal k sådant att 42 = k · 14
42 = 3 · 14
V.S.B.
B Lösning:
x = 4 ger
VL = 6 ∙ 4 – 20 = 24 – 20 = 4
HL = 4
VL = HL
Alltså har ekvationen roten x = 4.
V.S.B.
C Lösning: Från början:
Basen b och höjden h
Arean A1 = bh
Efter förändring:
Basen 2 b och höjden 2 h
Arean A 2 = 2 b · 2 h = 4 bh
A 2 = 4 A1, dvs. arean blir fyra gånger så stor.
V.S.B.
D Lösning: Det räcker med att hitta ett exempel.
a 2 + b2 = c2 och
a = 3, b = 4, c = 5 ger
VL = 32 + 42 = 25
HL = 52 = 25
VL = HL
V.S.B.
1104 A Sant påstående.
B Inget påstående eftersom det varken är sant eller falskt.
C Sant påstående.
D Falskt påstående.
E Sant påstående.
Lösning: Det räcker att hitta ett exempel.
a = 1 och b = 2 ger
a + b = 1 + 2 = 3 och ab = 1 ∙ 2 = 2
SVAR
1105 Lösning:
T.ex. har talen 1, 2, 4 och 6 summan 1 + 2 + 4 + 6 = 13 som inte är delbart med 2.
1106 En rektangel är en fyrhörning med parvis parallella sidor, där alla vinklar är räta.
1107 Lösning:
51 = 3 ∙ 17
51 är alltså delbart med både 3 och 17.
1108 A Lösning: VL = = (a + b)2 = (a + b)(a + b) = = a 2 + ab + ba + b2 = = a 2 + 2 ab +
V.S.B.
B Lösning: VL = (a + b)(a – b) =
V.S.B.
C Lösning:
VL = 2 4 = 16
HL = 23 + 5 ∙ 2 = 8 + 10 = 18
VL < HL
V.S.B.
1109 A Påståendet är falskt.
Lösning: Kalla faktorerna a och b
Deras produkt från början är då ab.
Om a ökar med 20 % och b minskar med 20 % blir den nya produkten
1,2 a ∙ 0,8 b = 0,96 ab Produkten har alltså minskat med 4 %.
Påståendet är motbevisat.
B Påståendet är sant.
Lösning:
Från början: Täljaren a och nämnaren b.
Kvoten = a b
Efter förändring:
Täljaren 1,2a och nämnaren 0,8b
Kvoten = 12 08 , , a b = 1,5 a b
Kvoten har ökat med 50 %.
V.S.B.
1110 Lösning:
Det räcker att visa att det finns ett tvåsiffrigt tal som påståendet stämmer för.
Prövning ger:
x = 10 ger 4 · x + 12 = 52.
Ej ett kvadrattal.
x = 11 ger 4 · x + 12 = 56.
Ej ett kvadrattal.
x = 12 ger 4 · x + 12 = 60.
Ej ett kvadrattal.
x = 13 ger 4 · x + 12 = 64.
Ett kvadrattal (64 = 82).
V.S.B.
1114 a) ⇒
Motivering:
Om Kim bor i Malmö medför det att Kim bor i Sverige. Om Kim bor i Sverige behöver det inte medföra att Kim bor i Malmö.
b) ⇐
Motivering: En likbent triangel har minst två men inte säkert tre vinklar som är lika stora.
En triangel där vinklarna är lika stora är alltid likbent.
c) Varken eller.
Motivering:
Ekvationen x – 1 = 9 har roten x = 10.
Ekvationen 8 – 2 x = x – 7 har roten x = 5.
Lena Alfredsson • Sanna Bodemyr
Hans Heikne • Mathilda Lennermo Selin
Matematik 5000 5
för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2021 – med större fokus på digitala verktyg.
Matematik 5000+ är en omarbetning och uppdatering av Matematik 5000. Läromedlet erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning och lyfter fram allt centralt innehåll och samtliga förmågor i ämnesplanen. I kombination med en tydlig progression ger det eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik.
Digitala verktyg i teori, övningar och aktiviteter
Utvecklande och utmanande uppgifter på alla nivåer
Aktivitet, Tema och Historik bidrar till en varierad undervisning
Problemlösning med programmering i alla kapitel
Kapitelavslutning som grundligt befäster begrepp och procedurer
