УДК 512*кл8(075.3) А45
Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ Міністерства освіти і науки України від 21.02.2025 № 347)
Підручник розроблено за модельною навчальною програмою «Алгебра. 7–9 класи» для закладів загальної середньої освіти (авторський колектив програми: М. І. Бурда, Н. А. Тарасенкова, Д. В. Васильєва)
Авторський колектив підручника: Н. А. Тарасенкова, І. А. Акуленко, О. А. Данько, О. М. Коломієць, І. М. Богатирьова, З. О. Сердюк
E-додаток
Тарасенкова Н. А., Акуленко І. А., Данько
ISBN 978-966-991-413-2
© Тарасенкова Н. А., Акуленко І. А., Данько О. А., Коломієць О. М., Богатирьова І. М., Сердюк З. О., 2025 © УОВЦ «Оріон», 2025
туються в багатьох
фізиці, хімії, біології, економіці, комп’ютерних технологіях та інженерії. У 7 класі ви навчилися перетворювати числові вирази та вирази зі змінними; доводити тотожності; виконувати дії з одночленами та многочленами; дізналися, що таке функція; навчилися будувати графіки функцій і досліджувати їхні властивості; розв’язувати деякі рівняння та їх системи. Тепер ви продовжите удосконалювати свої вміння рахувати, міркувати, порівнювати, робити висновки. Для цього потрібно наполегливо й відповідально працювати на уроках, а також самостійно працювати вдома. А
у цьому допоможе. Як успішно
вчаючи теорію, особливу
формулювання, які потрібно зрозуміти, запам’ятати і вміти застосовувати під час розв’язування задач. Курсивом виділено терміни (наукові назви) понять. Перевірити, як засвоєно матеріал параграфа, і повторити його допоможуть запитання рубрики «Пригадайте головне», які є після кожного параграфа. А після кожного розділу вміщено контрольні запитання і тестові завдання, за якими можна перевірити, як засвоєно тему. Задачі підручника мають чотири рівні
позначено штрихом ('). Це підготовчі вправи для тих,
складності. Якщо не зможете відразу їх розв’язати, не засмучуйтесь, а виявіть терпіння і наполегливість. Радість від розв’язання складної задачі буде вам нагородою.
Номери завдань для домашньої роботи виділено рожевим кольором.
Скориставшись рубрикою «Дізнайтеся більше», ви зможете поглибити й розширити свої знання.
У підручнику використовуються спеціальні позначки (піктограми). Вони допоможуть краще зорієнтуватися в навчальному матеріалі.
1.
1) 2,71 · 9,2 + 9,2 · 3,29; 4) 5223 211192; 7575 −+−
2) 15,68 · 3,1 – 13,58 · 3,1; 5) 21 624; 34
3) 3 285,7; 14 ⋅⋅ 6) 5181 17727. 133133 ⋅+⋅
2. Знайдіть значення виразу:
1) –32 + 43 – 54 + 102; 3) 342452 0,41,21; 23 ⋅+⋅ 2) –29 – (–2)8 + 27; 4) (–204 : ((–4)2)2) : 52.
3. Розташуйте числа в порядку
рядків: «Я єсть народ, якого Правди сила ніким звойована
знову розцвіла». (–0,7)3 – А; (–6)30 – А; –77 – П; (–0,3)8 – О; 1,64 – И;
5. Подайте вираз як многочлен стандартного вигляду:
1) 6x– (x + 4)(4 – x); 3) 0,5(–y – 2)(y + 2); 2) (x + 5)2 + 21x; 4) (–a – 5)(5 – a) · 0,2a.
Укажіть степінь одержаного многочлена.
6. Розкладіть многочлен на множники:
1) 3a2 – 3b2; 9) a2 – b2 + a + b;
2) 9x3 – x; 10) z2 – 4z + 4 – 16z2;
3) y6 – y2; 11) c3 + 125; 4) 8z3 – 2z; 12) 27a3 – 8.
5) n2 + 10n + 25;
6) 4m2 – 28m + 49;
7) 0,25 + 0,81x2 – 0,9x;
8) –60xy + 45y+ 20x2y;
7. Доведіть тотожність:
1) 10a – (3a – 9b) = 7a + 9b;
2) (0,5c + d) – 2(0,5d – 0,3c) = 1,1c;
3) 9m + 1 = 4(m + n) – 5(n – m) + (n +1);
4) 10a – 2(3a –2b) = (2a + b) – (–2a – 3b).
8. У школі три восьмі класи. Відомо, що у 8-А класі навчається на 10 % учнів більше, ніж у 8-Б, а число учнів у 8-Б класі відноситься до числа учнів у 8-В класі як 3,5 до 4. Складіть вираз для обчислення загальної кількості восьмикласників, якщо: 1) у 8-А класі навчається х учнів; 2) у 8-Б класі навчається а учнів; 3) у 8-В класі навчається b учнів.
9. Одна сторона прямокутника дорівнює a см, а інша — на 3 см менша. Знайдіть сторону і площу квадрата, периметр якого дорівнює периметру даного прямокутника.
10. Одна сторона прямокутника дорівнює a см, а інша — на 3 см менша.
13.
14. Марійка пішла на курси вивчення
х уроків англійської мови?
15. На малюнку 1 зображено графік деякої функції. Скориставшись графіком, знайдіть:
1) значення y, якщо x = –4; –1; 1; 6; 7;
2) значення x, за якого y = –3; 3) три значення аргументу, за яких значення функції додатне;
4) три значення аргументу, за яких значення функції від’ємне.
Чи належать графіку цієї функції точки з координатами: (0; 2); (2; 0); (–3; 5,5); (–5; –3)?
16. З’ясуйте, чи
функції: 1) у = –3; 2) у = x + 3; 3) у = –2x + 4; 4) у = 0,5x. 18. Побудуйте графік функції: 1) y = 2; 2) y = 1 3 x; 3) y = –4x + 3; 4) y = 5x – 10. Мал. 1 Y O 1 1 X
функції у =
2 – 6х + 9 точка: 1) А(3; 0); 2) В(–3; 18); 3) С(4; 1); 4) D(1,5; 2,25).
19. Замініть * таким числом, щоб утворилось правильне
твердження:
1) пряма у = 1 3 х + 4 проходить через точ-
ку (*; 2);
2) пряма у = 4х– 3 відтинає на осі ординат відрізок завдовжки * од.;
3) пряма у = 0,5х– 4 відтинає на осі абсцис відрізок завдовжки * од.;
4) пряма у = 2х + 3 паралельна прямій у = *х + 1. 20. Знайдіть точки перетину графіка функції
з осями координат і побудуйте графік цієї функції. Якої довжини відрізки
Якої довжини відрізки відтинає
ця пряма? Якого виду трикутник
22. Графік функції y = kx проходить через точку A (a; b). Знайдіть значення k, якщо: 1) a = –1, b = –2; 2) a = –0,2, b = 1; 3) a = 3, b = 0,6.
23. Графік функції y = ax – 1 проходить через точку B (–1; 2 5 ). Знайдіть значення a.
24. Графік функції y = ax + b проходить через точки A (–1; –7) і B (0; –2). Знайдіть значення a і b.
25. Знайдіть корінь рівняння: 1) 7 – 3x – 3 = 10 – 4x; 2) 5 + 12y – 7у = 5(y +1); 3) –1,2х + 5 = 3(–0,4х + 1); 4) 1,5у – 4 = 5 + 0,9у.
26. Чи є рівносильними рівняння:
1) 9x – 1 = 8x + 7 і 9x – 8x = 1 + 7; 2) 5 – 5a = –5a + 5 і 0a = 0; 3) 2(x + 1) = 3(2 – x) і 2x + 3x = 4?
27. Розв’яжіть графічно
1) 2, 2 1; xy xy +=
2) 37, 3 5; xy xy −=−
28.
1) 59, 3 5; xy xy −=
3) 25, 0,52,5; xy xy
4) 240, 2 431. xy xy
3) () 256, 4318; xy xyx
30. Три фірми виготовили 125 деталей. Кількість деталей, виготовлених першою і другою фірмами, відноситься як 6 : 5, а третя виготовила на 19 деталей менше від другої. Скільки деталей виготовила кожна фірма?
31. Мама наварила 10 л малинового варення. У неї є банки по 0,5 л і 0,75 л. Скільки банок їй потрібно взяти, щоб розфасувати все варення, за умови, що банки заповнені вщерть?
33.
течії, загалом подолавши 50 км. Наступного дня маршрут змінився. Спочатку
проти течії річки, а потім пів години за течією, і загалом вони подолали 20 км. Знайдіть власну швидкість човна і швидкість течії річки.
35. За 3 год за течією річки і 1 год проти течії моторний човен «Львів» проходить 82 км, а за 1 год за течією і 2 год проти течії — 54 км. Знайдіть власну швидкість човна і швидкість течії річки.
36. Басейн має форму прямокутника. Одна з його сторін на 5 м менша за іншу. Уздовж бортів басейну прокладено доріжку із 94 плиток розмірами 1х1 м. Якими є розміри басейну?
ЕЛЕМЕНТИ СТОХАСТИКИ
37. Виконуючи домашнє завдання з алгебри, 8 % учнівства 8 класу не змогли розв’язати задачу, 36 % отримали неправильну відповідь, а решта 14 дітей розв’язали задачу
правильно.
1. Скільки дітей навчається у 8 класі?
2. Скільки дітей отримали неправильну відповідь?
3. Яке відсоткове відношення кількості дітей, які не змогли розв’язати задачу, до кількості дітей, які правильно розв’язали її?
38. За перший день турист
придбати костюми. Щоб правильно
костюмів, Людмила Миколаївна — керівниця гуртка — записала зріст акторів: 160 см, 161 см, 163 см, 166 см, 156 см, 164 см, 160 см, 164 см, 164 см, 166 см. Складіть частотну таблицю для цієї вибірки. З’ясуйте, який середній зріст акторів драматичного гуртка.
42. Провели опитування учнів і учениць 8-го класу щодо кількості
Одержали такі дані: 1; 2; 0; 1; 3; 5; 4; 0; 5; 3; 1; 2; 2; 6; 3; 1; 5; 4; 2; 0. Упорядкуйте
чення вибірки.
43. Заступник директора складає розклад
можна скласти, якщо в понеділок перші два уроки — алгебра, а інші три уроки — українська мова, фізкультура і географія?
44. Скільки трицифрових чисел можна скласти
цифр 4, 5 і 9, якщо: 1) усі цифри числа — різні; 2) цифри в числі можуть повторюватися?
45. Олексій, Микита та Олеся купили квитки в кінотеатр на п’яте, шосте і сьоме місця десятого ряду.
1. Скількома способами
46. Для сніданку мама купила Олі й Дмитрові йогурт із трьома різними
наповнювачами: вишневим, полуничним та абрикосовим.
1. Скільки існує способів скуштувати один йогурт на сніданок, якщо Оля й Дмитро візьмуть йогурти з різними наповнювачами?
2. Яка ймовірність того, що Олі дістанеться йогурт із полуницею?
47. На стовпчастій діаграмі (мал. 2) показано кількість відвідувачів кав’ярні протягом тижня. У який день тижня кількість відвідувачів була найближчою до середнього значення за ці сім днів?
48. Канали соцмереж — це вже не просто спосіб спілкування. На платформах користувачі ведуть сторінки, щоб проявити власну позицію. Вони активно коментують публікації, висловлюють думку щодо всього, що відбувається у світі. За даними досліджень 2022 року комунікаційного агентства Plusone, сервісу YouTube віддають перевагу 23 млн українських користувачів, Facebook — 15,6 млн, Instagram — 13,2 млн, TikTok — 12 млн.
1. Побудуйте за цими даними стовпчасту діаграму.
2. На скільки відсотків більше користувачів Instagram, ніж користувачів TikTok?
49. Проведіть у своєму
про раціональні вирази та їх види;
що таке раціональний дріб та яка його основна властивість;
як виконувати дії з раціональними дробами;
про способи розв’язування раціональних рівнянь;
що таке степінь із цілим показником та які його властивості;
як виконувати дії першого, другого і третього ступенів
про функцію
як застосувати вивчений матеріал на
Ситуація. Сергій розповідав
Марині, як він їздив на екскурсію до
Шевченківського національного за-
повідника, що в Каневі. Швидкість руху його автобуса
Марина поцікавилася,
Значення виразу знайти
0.
Для виразу (2 + a) : (b – 4) число 4 є недопустимим значенням змінної b. Усі інші значення змінних а і b є допустимими для цього виразу.
Запам’ятайте!
Усі значення змінної, допустимі для даного виразу, утворюють область допустимих значень (ОДЗ) змінної цього виразу.
Коротко записують так: ОДЗ змінної: b ≠ 4.
Щоб знайти ОДЗ змінної раціонального виразу, треба: 1) прирівняти до нуля всі дільники, що
2) знайти розв’язки одержаних рівнянь; 3)
()() + −−+ y xxy 21 52425 , визначимо, за яких значень змінної
знаменники дробів дорівнюють нулю. Розв’яжемо рівняння: 5 – x = 0, (2 – 4x)(2y + 5) = 0. Отримані значення х = 5, х = 0,5, y = –2,5 — недопустимі для даного виразу. Тому ОДЗ змінної виразу: х ≠ 5, х ≠ 0,5, y ≠ –2,5.
1. Якщо раціональний вираз містить більш
Розв’язання
1. Визначаємо ОДЗ кожної зі змінних:
х – 1 ≠ 0, тому х ≠ 1; у — будь-яке число.
2. Надаємо змінним х і у цілих значень від –0,5 до 1,5, допустимих для цих змінних: х набуває лише значення 0, y набуває значень 0 і 1.
3. Виконуємо обчислення:
якщо х
якщо х = 0 і у = 1, то
деяких значень змінних, потрібно:
1) визначити ОДЗ кожної змінної
2) підставити у вираз
вання;
3) обчислити значення кожного з одержаних числових виразів.
4. Тотожно рівні вирази Із курсу алгебри 7 класу ви знаєте, що в результаті тотожних перетворень цілих виразів (зведення подібних доданків, застосування формул скороченого множення тощо) отримуємо тотожнорівні
Словничок
qr.orioncentr.com.ua/cIKDl
УкраїнськаАнглійська/ English Німецька/ Deutsch
Français раціональний вираз rational function rationale Funktion (f) expression rationnelle
Пригадайте головне
1. Який вираз називається раціональним? Наведіть приклади.
2. Який раціональний вираз є цілим; дробовим?
3. Які значення змінних є недопустимими для дробового виразу?
4. Що таке область допустимих значень змінної виразу?
5. Поясніть, як обчислити значення раціонального виразу для заданих значень змінних.
6. Які вирази називають тотожно рівними?
7. Що називають тотожним перетворенням виразу?
8. Що потрібно
виразів?
54'.
55°. Дано
56°.
для x ≠ 3 має зміст
1) 15 3 x x + ; 3) 2 3 x x ; 5) (3):(3) xx−+ ; 2) 3 3
58°. Визначте
1) 21 2 x x + ; 4) 5 5 y y + ; 2) 31 3 c c ; 5) ()() 221:1bb−+ ; 3) 52 55 b b + ; 6) (c + 4)(4 – с).
59°. Визначте
1) 23 1 x x + ; 2) 32 2 a a + ; 3) 3 ; 1 c c + + 4) 7 7 y y + ; 5) () 2 (7):1 aa −+ .
60°. Дано вирази: 1) 1 * a a ; 3) 2 2* a a + ; 5) () () 2 2:3*aa ; 2)
62°.
63°.
64°.
1) 2 2 ac ac + ; 6) ()2 3 3 1 ac ac + ; 2) 2 3 4 ba ab ; 7) ()2 5 25(1) bc bc ; 3) 3 (3):4xyxy + ; 8) ()2 7 32(2) ac ac −+ ; 4) 2 2(1)(1) ac ac−+ ; 9) 5 6(41)(14) c bc ; 5) ( ) 2 2:(3)(4) xyxy ; 10) ( ) 2:(34)(53) cddc .
69. Визначте ОДЗ кожної змінної виразу: 1) 2 21 4 a a + ; 4) 2 2 21 a aa−+ ; 2) 2 32 9 b b ; 5) () 2 3 469 b bb−+ ; 3) () 2 3:16 xyx ; 6) (5 – х2) : (25 + 10х2 + х4).
1) 23 7 bc bc ; 3) 6 (38)(26) xy xx−+ ; 2) ()2 3:(2) abab ; 4) ( ) 2 3:816 yyy−+ . 71.
2 , 1 m m + якщо: 1) m = 0; 2) 1 ; 3 m = 3) m = –0,2; 4) m = 1,5.
72.
()3:4xx , якщо: 1) x = 0; 2) x = 4; 3) x = –0,5; 4) 2 3 x =− ; 5) x = 1,5.
73. Знайдіть значення виразу 5 4 4 x x , якщо: 1) x = 1; 2) x = 2; 3) 1 3 x =− ; 4) x = –1.
74. Знайдіть значення виразу 5 2 y y , якщо: 1) y = 0; 2) y = 2; 3) y = –1,5; 4) 4 5 y =− .
75. Автомобіль рухається зі швидкістю x км/год і проїжджає відстань (2x + 40) км. Складіть вираз для знаходження часу руху автомобіля (у годинах). Знайдіть його значення, якщо: 1) x = 50 км/год; 2) x = 60 км/год; 3) x = 80 км/год; 4) x = 100 км/год.
76. Одна сторона прямокутника дорівнює 4b см, а число, що виражає його площу, на 1 більше за число, яке виражає довжину подвоєної цієї сторони. Складіть вираз для знаходження іншої сторони прямокутника (у сантиметрах). Знайдіть його значення, якщо: 1) b = 1 см; 2) b = 3 см; 3) b = 2 дм; 4) b = 5 см 5 мм.
77. Експрес-контроль на уроці зайняв 5 хв, а самоперевірка — на х хв більше. Яку частину уроку тривалістю y хв зайняли експрес-контроль та самоперевірка? Складіть вираз і знайдіть його значення, якщо: 1) х = 3 хв, y = 35 хв; 2) х = 7 хв, y = 40 хв.
78. Відомо, що за деяких значень х і у значення виразу х – у дорівнює 2,5. Якого значення за тих
1) 4 xy ; 2) 512:(44) yx ; 3) 32 553 yx + ?
1) 6 cd + ; 2) 12:(33) cd ; 3) 15 226 dc + ?
84. Дід Андрій хоче зробити два однакові вулики, що мають форму прямокутного паралелепіпеда. Загалом у діда Андрія є S м2 дощок.
1. Якою має бути висота вулика, якщо ширина та довжина його основи дорівнюють a см і b см відповідно?
2. Знайдіть висоту вулика, якщо відомо, що a = 50 см, b = 90 см, S = 6 м2. Відповідь
у сантиметрах.
3. Дізнайтеся
Ситуація. Оксана відвідує заняття ансамблю народного танцю «Черкащанка». Перші t хв заняття займає розминка, потім на 10 хв довше триває розтяжка. Після неї х хв танцюристи відпрацьовують елементи хореографічних постановок. Останні 5 хв заняття підводять підсумки. Сергій знайшов, яку частину заняття відведено для розминки й розтяжки, і подав результат у вигляді виразу. Як міркував Сергій?
нують на ОДЗ їхніх змінних;
наведіть приклади);
якщо чисельник і знаменник раціонального
чисельник
і знаменник
на їхній
множник
Таке перетворення раціонального
Задача 3
Розв’язання
Згортаємо чисельник:
Розкладаємо знаменник
множники:
Cкорочуємо даний дріб на співмножник (а + 3) ≠ 0: (
Задача
Розв’язання
Розкладаємо чисельник даного
дробу на множники способом
групування:
Застосовуємо
на співмножник (а + 2) ≠ 0: (a + 2)(a2 + 9) a + 2 = a2 + 9. Чи завжди можна
1.
2.
3.
85'. Наведіть приклад раціонального дробу.
86'. Чи правильно, що раціональним дробом є вираз: 1) 2 23aa++ ; 2) 4 3 a ; 3) 2 1 1 a b ; 4) () 2 2:4 x ?
87°. Домножте чисельник і знаменник дробу 1 2 x на: 1) x; 2) 5; 3) x2; 4) 2x3; 5) 8; 6) x + 1. Запишіть одержаний дріб.
88°. Домножте чисельник і
1) 6; 2) x; 3) x2; 4) 3x3; 5) 12x; 6) x – 1. Запишіть одержаний дріб.
89°. Поділіть чисельник і
1) 6; 2) 2x; 3) 3y; 4) 6xy; 5) 3xy3; 6) 2xy2 . Запишіть одержаний дріб.
90°. Поділіть чисельник і знаменник
91°. Чи правильно виконано скорочення
94°. Скоротіть дріб:
95°. Скоротіть
101°.
102.
104.
Задача 2 До якого спільного знаменника (СЗ) можна
множники?
Розв’язання
1. Знаходимо коефіцієнт СЗ даних дробів: НСК (4; 6) = 12.
2. Визначаємо буквені множники спільного знаменника. Візьмемо множник, що має
Візьмемо спільний множник зі змінною y, а саме y.
3. Записуємо СЗ даних дробів: 12x2у.
4. Знаходимо додатковий множник
5. Знаходимо додатковий
1)
4) знайти додатковий множник
2) () 21 = Q c mtt
ву) до складних моделей хімічних реакцій. В економічній
попиту на товар або його
115°. Зведіть дріб 1 x до знаменника:
1) 3x; 2) 5x; 3) x2; 4) 2x2; 5) 5x3; 6) 6x4 .
116°. Зведіть дріб 1 2a до знаменника:
1) 4a; 4) 6a2; 2) 8a; 5) 10a3; 3) 2a2; 6) 14a4 .
117°. Зведіть дріб 1 3b до знаменника: 1) 9b; 2) 18b; 3) 3b2; 4) 6b2; 5) 15b3; 6) 21b4 .
118°. Зведіть дріб: 1) 1 ab до знаменника: 2ab; a2b; ab2; 3a3b; –2a2b2; 3abc; 2) 2 xy xy до знаменника: 4xy; 8x2y; 6xy2; –12x3y2; 8axy; 3) 2 2mn mn до знаменника: m2n2; 2
.
119°. Зведіть дріб: 1) 1 ab + до знаменника
2) 5x xy
127.
1. Додавання і віднімання раціональних дробів з однаковими знаменниками
Ситуація. Марина й Петро допомагали бабусі висадити овочі на городі (мал. 4). Щоб визначити, яку частину городу вони засадили овочами, Марина й Петро склали такі вирази:
Як перевірити, чи рівні ці вирази?
Можна додати дроби з однаковими знаменниками у виразі Марини.
Додавання/віднімання раціональних дробів з однаковими знаменниками виконують так само, як додають/віднімають звичайні дроби — знаменник залишають тим самим, а чисельники додають/віднімають (табл. 6).
Таблиця6
()( ()()(() ) ) acbcxacbc cab xac cabcab bcbx cab −−+ + + = = ++ + +
()( ()()(() ) ) acbcxacbc cab xac cabcab bcbx cab + + = = ++ +
Раціональні дроби можна
на ОДЗ їхніх змінних.
Щоб знайти суму/різницю
з однаковими знаменниками, треба:
1) спільний знаменник записати в знаменнику суми/ різниці;
2) додати/відняти чисельники і результат записати в чисельнику суми/різниці.
ABAB CCC ±
Правила додавання (віднімання) раціональних дробів зберігається для трьох
никами.
Наприклад:
Скориставшись цим
на початку параграфа.
Треба знайти суму двох дробів 2 3 5y і 4 15y
Шукаємо спільний
знаменник (СЗ) даних дробів
Шукаємо додаткові множники
Виконуємо додавання
визначаємо коефіцієнт СЗ: НСК (5; 15) = 15
визначаємо буквений множник СЗ: НСК (y2; y) = y2, отже, СЗ даних дробів 15y2
для першого дробу: 15y2 : 5y2 = 3
для другого дробу: 15y2 : 15y = y
Щоб знайти суму/різницю
із різними знаменниками, треба:
1) звести дані дроби до спільного знаменника;
2)
різниці;
3) знайти додатковий множник для кожного дробу;
4) знайти нові чисельники даних дробів;
5) додати/відняти нові чисельники й результат записати в чисельнику суми/різниці.
німання
Для молодих математиків (до 40 років) найвищою міжнародною нагородою в галузі математики є премія Філдса. Фонд для присудження премії (та золотої Медалі Філдса)
заснував канадський математик Джон Чарлз Філдс. Уперше премію було вручено в 1936 р. двом математикам Ларе Альфорсу (Фінляндія) та Джессі Дугласу (США); вона становила 15 000 доларів. У 1990 р. Медаль Філдса одержав Володимир Гершонович Дрінфельд (народився 14 лютого 1954 р. в м. Харків) видатний український та американський математик, член-кореспондент НАН України (1992). У 2022 році за свій розв’язок задачі пакування куль
qr.orioncentr.com.ua/wyNPt
addition and subtraction of rational fractions Addition und Subtraktion von rationalen Brüchen addition et soustraction de fractions rationnelles
2. Скоротіть дріб: ; xy xy + 515 ; 5 ab a 2 2 ; 4 n n 2 1 . 21 x xx−+
3. Укажіть пари дробів, сума яких є цілим числом: 1 ; 3 14 ; 5 13 ; 2 4 ; 6 10 ; 4 2 . 10
4. Знайдіть ОДЗ змінних виразу: (2x – 5)2 : (x + 4)2; (y – 2)(y + 2) : y(y – 5).
Розв’яжіть задачі
135'. Потрібно додати дроби 3 2 y x і 6 y x .
1. Яким буде знаменник одержаного в сумі дробу: а) 6x; б) 12x; в) 2x?
2. Яким буде чисельник одержаного в сумі дробу: а) 4y; б) 10y; в) 16y?
3. Назвіть дріб, який є результатом додавання даних дробів.
136'. Чи правильно, що сумою дробів 5 1 x і () 3 21 x є дріб: 1)
137'. Потрібно відняти дроби
1. Яким буде знаменник одержаного в сумі дробу: а) 3y; б) 27y; в) 9y?
2. Яким буде чисельник одержаного в сумі дробу: а) 17; б) 13; в) 39?
1) 27 55xx + ; 3) 17 ; 66cc + 2) 82 33aa + ; 4) 23 ; 22 xx xx +
140°. Знайдіть суму
1) 123 ; 77xx 5) 49 ; 22 cc cc++
2) 117 ; 55aa 6) 314 ; 22 xx aa++ 3) 135 ; 99cc 7) 417 ; 11 aa dd 4) 139 ; 11 yy yy 8) 22 1318 . 11 aa bb
1 8ab і 11 ; 8ab 3) 2 12 5 xy ab
2) 4 5 y ac і 4 ; 5 y ac 4) 9a ab + і 4 ; a ab
1) 29 ; 55yy 3) 22 98 ; 11 bb aa 5) 68 ; 11 cc aa++ 2) 23 ; 44 aa aa++ 4) 55 95 ; 44 acac xx 6) 133 . 11 aa xx++ 145°. Знайдіть різницю , 99 ab cc
1) a = 5с2 , b = 4с2; 3) a = 15ас2 , b = 6ас2 . 2) a = 7с, b = –10с;
146°. Спростіть вираз:
1) 5 ; 55 x xx + ++ 3) 1112 ; 66 c cc + + ++ 5) 312 ; 11 yy yy + ++
2) 102 ; 55 x xx 4) 22 ; 22 xx xx −+ + 6) 415 . 11 cc cc +
147°. Спростіть вираз:
1) 2 9 ; 33 x xx++ 6) 2 44 ; 22 cc cc + 2) 2 25 ; 55 x xx 7) 62 ; 33 x xx + 3) 2 36 ; 66 c cc++ 8) 2 4 ; 22 y yy + 4) 22 7 ; 4949 x xx 9) + + 2 34 ; 11 c cc 5) 2 12 ; 11 yy yy + + ++ 10) () () () + + 2 22 51 10 . 11 cc cc
148°. Спростіть вираз: 1) 1 ; 11 a aa + ++ 5) 22 8 ; 6464 a aa + 2) 42 ; 22 y yy 6) −+ 2 51 ; 22 c cc 3) 314 ; 11 bb bb + 7) + 2 121 ; 333333 n nn 4) 2 16 ; 44 y yy ++ 8) −+−− 2 22 42 . 4444 yyy yyyy
149°. Спростіть вираз
1) 22 1 11 a aa + , якщо a = 0,9; 2) 22 2 44 y yy , якщо y = –1,8.
150°. Спростіть вираз: 1) 23 ; 510xx + 3) 57 ; 129cc + 2) 55 ; 36aa + 4) 32 ; 23(2) xx xx + ++
5) 2 ; 5(1)1 yy yy + ++ 8) 135 ; 159cc
6) 32 ; 2(1)3(1) cc cc + 9) 24 ; 25(2) aa xx++
7) 15 ; 612xx 10) 6 . 3(1)1 cc yy
151°. Знайдіть суму дробів:
1) 2 3ab і 3 ; 12ab 4) 3 5() a ab + і 6 ; 25() a ab +
2) 5 36 y ac і 4 ; 9 y ac 5) 4 3() y ac і 7 ; 15() y ac
3) 2 4 x ab і 2 3 ; 14 x ab 6) 3 8(2) x ab і 5 . 6(2) x ab
152°. Знайдіть різницю дробів: 1) 1 4ab і 11 ; 8ab 3) 2 13 15
2 3 ; 25 x b 5) 5 6() c ac + і 12 ; c ac + 2) 4 5 y ac і 22 ; 35 y ac 4) 9a ab і 4 ; 5() a ab 6) () 2 9 81 x a + і () 2 . 201 x a +
153°. Спростіть вираз:
1) 13 ; 816yy + 3) () 2 2 24 ; 3 33 bb aa + + + 5) 25 ; 3(2)4(2) cc aa 2) 25 ; 14(1) aa aa + 4) 22 2 ; 721 acac xx 6) 32 . 10(1)15(1) cc xx++
154°. Спростіть вираз: 1) 2 3 131 ; 5 10 x xx + 3) 537 ; 5(5) x xxx + ++ 5) 41 ; 331 yy yy + ++ 2) 223 12 ; 46xyxy 4) 1012 ; (5)5 x xxx 6) 3 2 425 . 1 (1) cc ccc +
155°. Спростіть вираз: 1) 2 22 ; 3 9 x xx + 4) 2 510 ; 7 49 x xx + 2) 2 44 ; 5 25 x xx
3) 2 22 ; 6 36 c cc + +
5) 2 212 ; 1 1 y yy + + 6) 2 44 . 2 4 c cc
156°. Спростіть вираз та
1) 2 1 1 1 a aa + + , якщо 2 ; 3 a = 2) 2 263 2 4 y yy + , якщо y = –3. 157°. Спростіть вираз
значення: 1) 2 77 3 9 a aa + + , якщо a = 2; 2) 2 82 4 16 y yy + , якщо y = –2.
158. Спростіть вираз: 1) 123 ; 333 xxx ++ 3) 2 ; 2323 xyyx xyxy 2) 23232222 ; 55 abba abab 4) 2332222 . 33 xyyx xyxy
159. Виконайте дії: 1) 33 ; ab abab + ++ 6) 3333 ; ab abab + ++ 2) 33 ; qp pqpq 7) 3333 ; cb bcbc 3) 333 2 ; xxy xyxy ++ 8) 33 11 ; 88 x xx + + ++ 4) 3 27 ; 33 x xx 9) 22 3333 ; abab abab + ++ 5) 3 8 ; 22 a aa 10) 22 3333 . cbcb bcbc + +
160. Виконайте дії: 1) 231 ; 555 yyy −+− ++ 4) 3333 ; xy xyxy + ++ 2) 33 ; ac acac 5) 22 3333 ; xyxy xyxy + ++ 3) 3 64 ; 44 a aa 6) 22 3333 . yxyx xyxy + +
161. Спростіть вираз:
1) () () 22 22 2 ; abab abab + + ++ 5) () () 3 22 125 ; 55 x xx 2) () () 33 22 ; qp pqpq 6) () () ++ + ++ 2 33 341 ; 22 xx xx
3) () () 22 22 22 ; xy xyxy ++ 7) () () 22 32142612 ; 33 xx xx 4) () () 22 22 4 ; 22 xy xyyx 8) ()() () ()() + + + −+−+ 2 42 8 . 4343 xyxy xyxy
162. Спростіть вираз: 1) () () 3 22 1 ; 11 x xx 2) () () 22 22 33 . ab abab ++
163. Спростіть вираз: 1) 31223 ; 263 xxx +− 3) 22 ; 2332 xyyx xyyxyx 2) 22 2323 ; 55 abba abab 4) 223 35 . 2135 yxxy xyxy
164. Спростіть вираз: 1) 22 ; yy yxxyxx −+ 4) 22 11 ; 1 tt ttt −+ 2) 222 4 ; xxy xyxyy + 5) () 2 2 ; 3 3 aa aa + 3) 3312 ; 33 aa aaa −+ −+ +− 6) ()22 121 . 1 1 1 b bbb + +− +
165. Виконайте дії: 1) 423313 ; 152535 yyy −+− ++ 3) 22 11 ; 1 tt ttt −+ 2) 22 ; yx xyxxyy + 4) 22 42 . 93 ttt −+
166. Подайте у вигляді
1) + 1 x x ; 3) + 2 1 4x x ; 5) 42 2 a a a ; 2) + 3 3x x ; 4) 2 7 y y ; 6) 9 7 b b b ;
167.
168.
177*. Спростіть вираз: 1) 111 ; ()()()()()() xyxzyzyxzxzy ++ 2) 111 . (1)(1)(2)(2)(3) xxxxxx ++ +++++
178*. Спростіть вираз: 1111 ... . (1)(1)(2)(2)(3)(99)(100) xxxxxxxx +++ +++++++ 179.
ДО СТЕПЕНЯ З НАТУРАЛЬНИМ
1. Множення раціональних дробів
Ситуація. Ірина пояснювала своєму молодшому братові, як помножити звичайні дроби. Для цього потрібно перемножити чисельники і знаменники даних дробів відповідно. Денис замислився, чи діє таке правило для множення раціональних дробів.
Порівняймо їх (табл.
добуток чисельників і знаменників дробів відповідно
його «Геометрії» (1637 р.), правда,
му запису на
(1676 р.), трактування яких до
qr.orioncentr.com.ua/bMeQL
multiplication des fractions rationnelles
2. Із формули
; 2 ab Sh + =⋅ 2 ; 2 ab y c = 2 2() . ab y c =
3. Оберіть пари дробів,
яких дорівнює 1: 1 3; 2 2 ; x y 2 ; 7 ; ab ab + 2 (2)(2) ; 10 xx xx −+ 2 2(10) ; 28 xx x ; ab ab + . 2 y x
1) 10 ; 3 x y 2) 10 ; 9 x y 3) 6 ; 15 xy 4) 25 33 x y + + ? 182'. Чи правильно, що 3 3
183°. Виконайте множення: 1) ; 85 xa ⋅ 6) 3 ; 44 xb yc
11) 310 ; 59 ba yb
2) 34 ; yc ⋅ 7) 32 ; 56 xa yc ⋅ 12) 2 32 . 53 xa ab ⋅ 3) ; 22 xa yc
4) 53 ; ax by
8) 154 ; 165 ax by
9) 2 24 ; 35 xy yb
5) 32 ; 75 xa yb ⋅ 10) 314 ; 75 xa yx
184°. Виконайте множення: 1) 5 ; 3 y a ⋅ 2) 5 ; 63 xy ab ⋅ 3) 3 24 ; 3 5 xy
1) 1 3 x + і ()2 6 ; 1 x + 3) 21 8 a + і 16 ; 24a + 2) 55 7 y і 21 ; 1 y 4) 1 5 b і ()2 20 ; 1 b
5) 36 14 y і 35 ; 21 y 6) 13 12 x і 16 . 62 x
186°. Знайдіть добуток дробів: 1) 3 4 y + і ()2 20 ; 3 y + 2) 32 15 x + і 25 . 69x +
187°. Спростіть вираз: 1) ; 8 x x ⋅ 3) 2 3 6 2;ab b ⋅ 5) 4 6 12; 15 x x ⋅ 2) 5 6; y ⋅ 4) () 2 3 14; 7 y y ⋅− 6) 3 4 5 4. 18 y y −⋅
188°. Виконайте множення виразів: 1) х – 3 і 11 ; 3 x 5) 3а + 1 і 5 ; 26a + 2) 3х + 2 і 2 ; 23x + 6) ах
ab і 3 . 26 a
189°. Спростіть вираз:
1) 2 2 18; 9a ⋅ 3) () 3 2 24; 15 x x ⋅− 5) 4 (312);
1) 2 2 ; 6 x
4) 3 2
197°. До якого степеня
198°.
1) 1 6 квадрата; 2) 2 9 квадрата; 3) 11 36 квадрата?
199°. Сторона квадрата
5xy. Чому дорівнює площа: 1) 1 15 квадрата; 2) 2 25 квадрата; 3) 0,15 квадрата?
200°.
202.
203.
204.
205.
де a0 ціле число, а решта aі є натуральними числами.
Ланцюгові дроби знаходили своє застосування ще в античні часи, зокрема для розв’язування лінійних рівнянь із двома змінними. Вони фактично були застосовані італійським математиком Бомбеллі в 1572 році для обчислення значень квадратних коренів.
Ланцюгові дроби можуть бути скінченними і нескінченними. Число можна подати як
відповідно до якого середня тривалість року лише на 1 с буде
справжню. За григоріанський календарем,
Словничок qr.orioncentr.com.ua/giG4a
раціональних дробів dividing rational fractions Division rationalen Brücher division des fractions rationnelles
1. Обчисліть: 36 :; 77 25 :; 58 85 :; 258 7 :5; 15 1 4:. 2
2. Обчисліть: 1 1:5; 6 35 9:; 59 73 1:3. 1111
3.
1 ; ab 2 2 ; x y (x + 1); 2 21 . 5 x x +
211'. Чи правильно, що часткою дробів 2 3 x і 3 2y є дріб:
1) x y ; 2) 4 9 xy ; 3) 9 4xy ; 4) y x ?
212°. Виконайте ділення:
1) 11 : ab ; 6) 15 :; 39xyx
2) 22 : xy ; 7) 12 :; 515xxy
3) 11 :; 22xy 8) 714 :; 24aba
4) 12 :; 2xy 9) 612 :; 525 xy 11) 321 :; 840 x yxy
5) 22 :; 35 xy 10) 728 :; 39ab 12) 963 :. 216abb
213°. Виконайте ділення:
1) 22 11 :; abab 3) 4834 :; 53 xx 5) 515322 :; 28 xyxy
2) 3 12 :; xyy 4) 322 39 :; 24abab 6) 42 2 416 :. 9 3 xx yy
214°. Виконайте ділення:
1) 63 :; 52 xy 3) 13 :; 535aab 5) 3322 11 :; abab 2) 15 :; 312xx 4) 714 :; 25 aa b 6) 618245 :. 735 xyxy
215°. Знайдіть частку дробів: 1) 1 3 x + і 1 ; 15 x + 5) 36 14 y і 21 ; 42 y
2) 55 7 y і 1 ; 28 y 6) 13 18 x і 93 . 42 x
3) 21 8 a + і 42 ; 16 a +
4) 1 5 b і ()2 1 ; 25 b
216°. Знайдіть частку дробів: 1) 3 4 y + і 3 ; 36 y + 2) 31 15 x + і 39 ; 35 x + 3) 25 10 y і 156 . 50 y
217°. Виконайте ділення: 1) :; 5 x x 6) 3 :3; y y 2) 12 :6; y 7) 2 2 5 :; 2 x x 3) 2 2 3 3 :; 4 x x y 8) 2 2 6 :3; b b 4) 3 2 2 6 :3; a a b 9) 3 :(); 7 y y 11) 6 :(12); 7 x x 5) 5 :; x x 10) 3 24 :(4); 25 x x 12) 2 3 5 4:. 16 y y
218°. Виконайте ділення: 1) 3 (3):; 9 x x 3) 1 (22):; 8 x x 5) 2 (2):; 2 x axa a +
219°. Виконайте ділення:
:18; 2 a 3) () 2 3 36 :24; 5 x x 5) 4 (312):; 3 b b 2) 2 14 :28; 3 b b 4) 42 (2):; 3 a a + + 6) () 2 41 4:. a aa a
220°. Периметр рівностороннього трикутника дорівнює P. Знайдіть сторону трикутника, якщо: 1) P = 9a; 2) P = 15a; 3) P = 51a; 4) P = 66a.
221°. Периметр
якщо: 1) P = 8b; 2) P = 9b; 3) P = 36b; 4) P = 52b.
224°. Ірина купила х пачок морозива, а Микола —
2 пачки більше, заплативши втричі
У скільки разів ціна морозива, що купив Микола, більша за ціну морозива, купленого Іриною? Складіть вираз для розв’язування задачі та спростіть його.
225°. Запишіть замість * такий
Запам’ятайте!
Рівняння називається раціональним, якщо обидві його частини — раціональні вирази.
Раціональні рівняння так само, як і раціональні вирази, поділяють на цілі
раціональних
Раціональні
2. Цілі раціональні рівняння
Задача 1 Розв’яжіть рівняння: ()()130.xxx−+=
Розв’язання
даного рівняння одержуємо: x = 0, або x – 1 = 0, або x + 3 = 0, звідси x = 0, або x = 1, або x = –3. Отже, коренями рівняння є числа: –3, 0 і 1.
Щоб розв’язати ціле раціональне рівняння виду Р(х) ·… · Q(x) = 0, де Р(х),…, Q(x) — деякі многочлени:
1) прирівняйте кожний множник до нуля: Р(х) = 0,…, Q(x) = 0; 2) розв’яжіть
Раціональне рівняння називається дробовим раціо-
У парі рівнянь () 5 0 xx x = і ()50 xx −= множина коренів
другого рівняння включає в себе множину коренів першого рівняння. Тому говорять, що друге рівняння є рівнянням-наслідком для першого рівняння. Корінь 0 рівняння ()50 xx −=
є стороннімкоренем для рівняння () 5 0 xx x = . Сторонні корені рівняння можуть з’являтися внаслідок нетотожних перетворень рівнянь, зокрема коли відбувається «розширення» ОДЗ змінних.
Як розв’язати дробове раціональне рівняння?
Щоб розв’язати дробове раціональне рівняння, треба:
1) визначити ОДЗ змінної рівняння;
2) звести рівняння до вигляду () 0 () Px Qx = , де Р(х) і Q(x) —
деякі многочлени;
3) розв’язати рівняння-наслідок Р(х) = 0;
4) перевірити, чи належать знайдені корені до ОДЗ змінної початкового рівняння.
Задача 2 Розв’яжіть рівняння
1. Знаходимо ОДЗ змінної рівняння: х — будь-яке число, крім –1 і
2. Переносимо дріб із
3. Зводимо
4. Прирівнюємо
ємо рівняння-наслідок:
5. Розв’язуємо рівняння-наслідок:
6. Перевіряємо, чи
змінної рівняння: число
Відомо, що стародавні вчені володіли деякими загальними прийомами розв’язування задач із невідомими величинами. Проте в жодному папірусі давніх єгиптян чи на глиняній табличці з Вавилону, у давніших грецьких артефактах не надано опису цих прийомів. Винятком є «Арифметика» давньогрецького математика Діофанта Александрійського (III ст.), що містить збірку задач на складання рівнянь із систематичним описом їх розв’язування. Проте першим посібником із розв’язування задач, який набув широкої популярності, стала
праця багдадського вченого IX ст. Мухаммеда бен Муси аль-Хорезмі «Книга про відновлення та протиставлення», відома під назвою «Алгебра». Ця праця аль-Хорезмі стала початком становлення науки про розв’язування рівнянь. У його книзі невідомі величини та всі дії, що супроводжували розв’язування, описувалися словесно. Такий стиль викладу, характерний для раннього етапу розвитку алгебри, вчені назвали риторичним. І лише в XVI ст. французький математик Франсуа Вієт першим серед вчених увів буквені позначення для коефіцієнтів рівнянь і невідомих величин. А традицією позначати невідомі величини останніми буквами латинського алфавіту (x, y або z) ми завдячуємо співвітчизнику Вієта відомому французькому
ку Рене Декарту.
1. Які рівняння називаються раціональними?
2. За якої умови добуток дорівнює нулю?
3. Які рівняння називаються дробовими раціональними?
4. Які рівняння називають рівносильними?
5. Що таке рівняння-наслідок?
6. За якої умови дріб дорівнює нулю?
7. Як розв’язати рівняння, застосувавши основну
порції?
Усне тренування
1.
дробовим раціональним: 1) 0,01х – 1 = 5; 3) 3 0; 3 xx xx −= 2) 2 3485; xx−=+ 4)
порції 3 : y xc = 1) 3y = xc; 2) 3x = yc; 3) 3c = xy; 4) 3 + c = x + y?
237°. Розв’яжіть рівняння: 1) (4)0;xx −= 6) 2 50;xx+= 2) (13)0;xx−= 7) 2 40; x −= 3) (1)(4)0; xx+−= 8) 2 5020. x −= 4) (2)(51)0; xx+−= 5) 2 60;xx−=
238°. Розв’яжіть рівняння: 1) x(6 – 2x) = 0; 3) (5 – х)(х – 4) = 0; 2) х2 + 7х = 0; 4) 2х2 – 72 = 0.
239°. Визначте ОДЗ змінної x рівняння:
2) (х – 2)(х – 6) = 5; 4)
240°. Визначте ОДЗ змінної x рівняння:
242°. Розв’яжіть
245°.
246°.
247°. Застосуйте
рівняння: 1) 25 ; 7 x = 7) 15 ; 26 x x + = 13)
; 1632 x −= 10) 38 ; 39 x x = 16) 34 ; 29 x x
5) 13 ; 4 x x = 11) 3 ; 35 x x = + 17) 12 ; 23 x x = + 6) 22 ; 23 x x = 12) 6 ; 211 x x
1) 28 ; 321 x = 3) 4 ; 45 x x = + 5) 23 ; 14 x x = + 2) 25 ; 48 x x = 4) 33 ; 55 x x = 6) 237 . 38 x x =
3) 4 0 1 x x = і 4 – х = 0; 6) 1 2,2 5 x = і 11? x =
250. Запишіть рівняння, яке є рівносильним даному рівнянню:
1) 2 2; 5 x = 3) 24 35(2)(1); xx−=− 2) 1 1; 1 x x = + 4) 117 . 5315 xx −=
251. Для кожної пари рівнянь визначте, чи є друге рівняння наслідком першого:
1) 1,10; 33 xx =+= 3) 11 1,0; x xx == 2) 663,30; 2121 xx =−= 4) 21212 1, 0? 22 xxx xx −−+ = =
252. Розв’яжіть рівняння: 1) 3 1 0; 1 x
253. Розв’яжіть рівняння: 1) 3 1 0; 1 x x + = + 2) 3 4 0; 64 x x = 3) 2 33 0; 44 x x = + 4) 2 218 0.
254. Розв’яжіть рівняння: 1) 2 2 3 2 221; 32 xx xx x + +−=− + 2) 222 6366 ; 6272212 xxx xxxxx +−− =+ −−+ 3) 2 464 ; 44 16 xx xxx + −= +− 4) 241 . 31(3)(1) x xxxx −= ++++
255. Розв’яжіть рівняння:
257.
на 2, а до знаменника додати 3, то одержимо число 2 1 3 . Знайдіть
258.
знаменника. Якщо чисельник збільшити на 15, а знаменник
259. Знайдіть координати точок перетину графіків функцій:
x xa + дорівнює –1, якщо x = 10. Знайдіть значення цього виразу, якщо x = 3.
261*. Визначте, за яких значень параметра a рівняння 31 2 1 x a x + =− + має корені.
262*. Визначте, за яких значень
263*. ЗадачаБезу
1. Як компактно записати
велике число
Ситуація. На уроці фізики Сергій дізнався, що під час дослідження навколишнього світу досить часто оперують величинами, числові значення яких містять велику кількість нулів. Наприклад:
400 000 000 м це відстань від Землі до Місяця,
25 000 000 000 000 000 000 шт. кількість молекул у кубічному сантиметрі повітря.
Чи можна такі числа записати компактніше? Так.
Для запису чисел з великою кількістю нулів
його запису зазвичай використовують степені з основою 10, наприклад:
400 000 000 м = 4 · 108 м;
25 000 000 000 000 000 000 шт. = 25 · 1018 шт.
2. Як компактно записати мале число
Чи можна
Ви знаєте, що цілі числа утворюють натуральні числа, протилежні до них числа й число 0. Отже, у степенів із цілими показниками показники можуть бути й натуральними числами, і цілими від’ємними числами, і числом 0.
Перші два випадки ви докладно вивчили. Визначимо степінь із показником
Усне тренування
1. Обчисліть: 1) 0,01 · 0,0001: (–100) · 10 000 000; 2) 0,0001 : 0,01 · 10 000 : 1 000 000.
2. Обчисліть: 1) (32 + 42 + 52) : 102; 2) (21 + 22 + 23 + 24) · 25.
Яка з формул є
267'. Чи є правильною рівність: 1) 20 = 2; 2) 20 = 1; 3) 20 = 0?
268'. Якими даними потрібно
таблиці 14?
1) 1 ; 3 3) 1 ; 10 5) 1 ; 22 7) 1 ; 451 9) 1 ; x 11) 1 ; c 2) 1 ; 8 4) 1 ; 17 6) 1 ; 100 8) 1 ; m 10) 1 ; p 12) 1 . k
1) 1 ; 4 2) 1 ; 25 3) 1 ; 345 4) 1 ; 1000 5) 1 ; b 6) 1 . y
2: 1) 8; 2) 1; 3) 2; 4) 1 ; 2 5) 1 ; 4 6) 1 ; 16 7) 1 ; 32 8) 1 . 64
Запишіть числа
279°. Подайте степінь як дріб:
1) 4–1; 2) 7–1; 3) 2–1; 4) 21–1; 5) 20–1; 6) 123–1.
280°. Подайте степінь як дріб:
1) 10–1; 2) 3–1; 3) 18–1; 4) 321–1.
281°. Подайте степінь як дріб:
1) 4–4; 4) 5–7; 7) 21–5; 10) 80–13; 2) 7–3; 5) 10–9; 8) 45–7; 11) 90–20; 3) 2–5; 6) 11–3; 9) 54–9; 12) 100–10.
282°. Подайте степінь як дріб:
1) 10–3; 2) 3–3; 3) 8–9; 4) 12–10; 5) 20–1; 6) 25–7.
283°. Подайте степінь як дріб:
1) а–8; 3) m–5; 5) b–11; 7) р–20; 9) z–31; 2) с–3; 4) n–8; 6) х–15; 8) у–21; 10) t–55 .
284°. Подайте степінь як дріб:
1) а–4; 3) m–12; 5) b–80; 2) с–9; 4) n–56; 6) х–100 .
285°. Знайдіть а–1, якщо а дорівнює:
1) 2; 3) 10; 5) 25; 7) 100; 2) –3; 4) 15; 6) –40; 8) –1000.
286°. Знайдіть m–1, якщо m дорівнює:
1) 4; 2) 6; 3) –5; 4) 3; 5) 20; 6) 1000.
287°. Знайдіть а–2, якщо а дорівнює:
1) 2; 3) 10; 5) 1 ; 5 7) 1 ; 10 9) 1 ; 100 2) 5; 4) 1 ; 2 6) 1 ; 6 8) 1 ; 10 10) 1 . 100
288°. Запишіть
290°. Обчисліть:
1) 1–2; 3) 10; 5) 30; 7) 1,70; 2) 1–15; 4) 1–100; 6) 10000; 8)
291°. Обчисліть:
Обчисліть:
293°. Порівняйте значення виразів: 1) 44 і 40; 3) 5–5 і 5 1 ; 5 5) 5 1 8 і 85; 2) (–4)3 і 40; 4) 3–4 і 100; 6) 3–2 і 09.
294°. Порівняйте значення виразів: 1) 55 і 50; 3) 3–5 і 5 1 3 ; 2) (–7)5 і 70; 4) 9–6 і 1000.
295°. Додатним чи
1) (–8)0; 3)
0 1 3 ; 5) (–11)–6; 7)
6 3 ; 5 2) 100; 4) (–3)5; 6) (–4)4; 8)
2 1 ? 6
296°. Додатним
1) 2–5; 2) 80; 3)
6 1 ; 4 4) (–3)3?
297. Знайдіть а–2, якщо а дорівнює:
1) 2 1; 3 3) 1 2; 5 5) 0,2; 7) 1,2; 2) 1 2; 2 4) 1 3; 8 6) 0,05; 8) –1,2.
298. Обчисліть: 1) 2–6; 4) 0,1–2; 7) (–3)–3; 10) (–1,5)–3; 2) (–1,1)–2; 5) 0,5–3; 8) 3–3; 11)
2 1 1; 4 3) (–4)–2; 6) (–2)–5; 9) (–0,2)–3; 12)
3 1 . 6
299. Обчисліть: 1) 0,4–3; 3) (–0,1) –2; 5)
2 1 1; 3 2) 0,1–4; 4) (–0,1)–5; 6)
4 1 . 3
300. Запишіть як добуток степенів чисел: 1) 2 3 ; 5 4) ⋅ 35 6 ; 911 7) ⋅ 4 58 10 ; 1112 2) 2 3 7 ; 23 5) ⋅ 2 331 3 ; 1416 8) ⋅ ⋅ 721 910 96 . 57 3) ⋅ 21 322 4 ; 89 6) ⋅ 53 31 89 ; 5
301. Запишіть як добуток степенів чисел: 1) 7 2 ; 9 2) 8 6 ; 8 3) ⋅ 27 10 1315 ; 11 4) ⋅⋅ 8916 1 . 358
302.
303. Обчисліть: 1) () ⋅+ 1 0 591,5; 3)
304. Обчисліть: 1)
2 1 1 311,2; 2 2)
30 21 12 50,5 . 43
305*. Обчисліть: 1) 1–1 + (–1)2 + 1–3 + (–1)4 +…+ 1–19 + (–1)20; 2) (–1)–1 + (–1)–2 +… + (–1)–20.
306*. За якого цілого значення n виконується нерівність: 1) (–7)–2 < 3n < 0,5–3; 2) 0,2–2 ≤ 5–2n ≤ 6252?
307.
1. Властивості степенів з однаковими основами Ситуація
Поміркуємо.
від числа 10, і числа 10 у відповідному степені.
Наприклад: 5 972 600 000 000 000 000 000 000 кг = 5,9726 · 1024 кг —
кулі, 0,000000002 м = 2 · 10–9 м — діаметр спіралі ДНК.
Запам’ятайте! У цілій частині числа, записаного в стандартному вигляді, стоїть тільки одна цифра.
Стандартним виглядом числа називають такий його запис: a · 10n, де 1 ≤ a < 10, n — ціле число. Число n називають порядкомчисла.
Задача 3 Запишіть у стандартному вигляді число: 1) 125; 2) 0,08; 3) 34,6 · 105.
Розв’язання
1) 125 = 1,25 · 102; 2) 0,08 = 8 · 10–2; 3) 34,6 · 105 = 3,46 · 106.
Виконуючи дії з числами, записаними в стандартному вигляді, використовуйте властивості степенів.
Задача 4 Знайдіть суму, різницю, добуток і частку чисел: 1) 2,5 · 10–3 і 2 · 10–3; 2) 4,2 · 104 і 7 · 103. Розв’язання 1.
4,2 · 104 + 7 · 103 = = 4,2 · 104 + 0,7 · 104 = = (4,2 + 0,7) · 104 = = 4,9 · 104. 4,2 · 104 – 7 · 103 = = 4,2 · 104 – 0,7 · 104 = = (4,2 – 0,7) · 104 = = 3,5 · 104.
4,2 · 104 · 7 · 103 = = (4,2 · 7) · (104 · 103) = = 29,4 · 107 = = 2,94 · 108. 4,2 · 104 : (7 · 103) = =
4 3 4,210 710 = = 0,6 · 101 = 6 · 100.
1. Сформулюйте
2. Сформулюйте
3.
4. Яка властивість
й рівними показниками?
5. Сформулюйте властивість частки степенів із різними основами й рівними показниками.
6. Як записати число в стандартному вигляді?
тренування
1. Подайте як степінь з основою 2: 1) 8 · 16; 2) 32 · 4 · 16; 3) 8 · 2 · 64.
2. Подайте як степінь: 1) х15: х4 · х3; 3) (х10х5)3 : (х10)2; 2) (х15)3 : (хх3)2; 4) (х5 х4 х6)2 : х2 .
3. Обчисліть: 1) (0,2)3 · 53; 2) (25)2 : 52; 3) 3 3 27 ; 9 4) ⋅ 5 55 32 . 82
Розв’яжіть задачі
309'. Яка з формул є правильною: 1) аn · аm = аn – m; 3) аn · аm = аn + m; 2) аn · аm = 2аnm; 4) аn · аm = аnm?
310'. Яка з формул є правильною:
1) аn + аm = аm + аn; 3) аn + аm = аn · аm; 2) аn + аm = аn : аm; 4) аn + аm = аnm?
311'. Яка з формул є правильною:
1) аn : аm = а(n – m); 3) аn : аm = аn : m; 2) = :; nmm aa n 4) аn : аm = аn – m?
312'. Яка з формул є
1) аn – m = аn – аm; 3) аn – m = аn : аm? 2) аn – m = аn : m;
313'.
1) (аm)n = аmn; 3) (аm)n = аm + n; 2) (аm)n = аm–n; 4) (аm)n = аmаn?
314'. Яка з формул є правильною:
1) аn · bn = (аb)2n; 3) аn · bn = аn + bn; 2) аn · bn = аbn; 4) аn · bn = (аb)n?
315'. Яка з формул є правильною: 1) = ; n n aa bb 2) = ; nn n aa bb 3) =−() ; n n n aab b 4) = ? nn n aa bb
316'. Яке із чисел записане в стандартному вигляді: 1) 1 · 102; 3) 1,09 · 113; 5) 3,1 · 10–22; 2) 2,3 · 104; 4) 2,5 · 105; 6) 51 · 108?
317°. Яка з рівностей є правильною:
1) 5–3 · 52 = 25–6; 3) 5–3 · 52 = 51; 2) 5–3 · 52 = 5–6; 4) 5–3 · 52 = 5–1?
318°. Обчисліть:
1) 2–4 · 2–2; 4) 24 · 22; 7) 25 · 2–11 · 20; 2) 24 · 2–2; 5) 28 · 2–3; 8) 2 · 213 · 2–16; 3) 2–4 · 22; 6) 2–7 · 23; 9) 2 · 2–5 · 26 · 20.
319°. Обчисліть:
1) 10–5 · 10–1; 3) 10–3 · 105; 5) 1035 · 10–9 · 10–25; 2) 103 · 10–5; 4) 107 · 10–6 · 100; 6) 100 · 10–12 · 106 · 106 · 10.
320°. Спростіть вираз:
1) а–4 · а–8; 5) а–5 · а5; 9) а0 · а3 · а–10; 2) а4 · а–8; 6) а–12 · а6 · а–1; 10) а–8 · а9 · а–3 · а2; 3) а–4 · а8; 7) а5 · а–6 · а–9; 11) а–15 · а9 · а
321°. Спростіть вираз: 1) х–3 · х–10; 3) х–3 · х10; 5) х0 · х · х–1; 2) х3
степенів: 1) 10–1 + m; 3) 8–4 + m; 5) 5–р + 1 + (–n); 2) 9–1 + (–р); 4) 6–m + n; 6) 10–2 + 3n .
1) 6–4 + х; 3) 12–8 + n; 2) 27 + (–х); 4) 3–р + (–n) .
1) 3–8 : 32 = 1–6; 3) 3–8 : 32 = 3–6; 2) 3–8 : 32 = 3–4; 4) 3–8 : 32 = 3–10?
325°. Обчисліть:
326°. Обчисліть:
327°. Спростіть вираз:
328°. Спростіть вираз:
329°. Запишіть
330°. Запишіть як степінь з основою 7: 1) ⋅ 74 9 77 ; 7 3) ⋅ 112 4 77 ; 7 5) ⋅ ⋅ 85 48 77 ; 77 2) ⋅ 811 10 77 ; 7 4) ⋅ ⋅ 312 108 77 ; 77 6) ⋅ ⋅ 1615 98 77 . 77
331°. Запишіть як степінь з основою 8: 1) ⋅ 2 8 88 ; 8 3) ⋅ 412 3 88 ; 8 5) ⋅ ⋅ 82 5 88 ; 88 2) ⋅ 515 10 88 ; 8 4) ⋅ ⋅ 104 1512 88 ; 88 6)
⋅ 613 73 88 . 88 332°. Спростіть вираз: 1) а–25 : а–12 · а–12; 2) а40 · а–30 : а10; 3) а–32 : а2 : а–14; 6) а · а–5: а–4 : а8; 4) а0 · а : а–9 · а11; 7) m6 : m–13 · m–7; 5) а : а–7 · а–1 : а5; 8) m–9 : m2 · m–2 : m9 .
333°. Яка з рівностей є правильною: 1) (4–3)5 = 4–8; 3) (4–2)–5 = 47; 2) (4–3)5 = 4–15; 4) (4–2)–5 = 410?
334°. Запишіть як степінь:
1) (5–5)10; 7) (а–6)0; 13) (а2)–2; 2) (4–11)–4; 8) (а0)5; 14) (а–10)9; 3) (36)–7; 9) (а6)–5; 15) (а–7)–5; 4) (7–4)0; 10) (а–6)5; 16) (а11)–2; 5) ((–1)–5)–10; 11) (а–6)–5; 17) (а–5)–20; 6) (0,759)–3; 12) (а–5)5; 18) (а5)–20.
335°. Запишіть як степінь:
1) (2–1)8; 4) (10–8)0; 7) (х11)–4; 2) (3–15)–2; 5) (х–9)0; 8) (х–8)–4; 3) (315)–2; 6) (х0)9; 9) (х–3)3.
336°. Запишіть як степінь:
1) 4–3 · 2–3; 8) х–5 : у–5; 2) 6–1 · 3–1; 9) 5 5 ; m n
3) 4–3 : 2–3; 10) р–6 · m–6 · n–6; 4) 6–1 : 3–1; 11) а–1 · b–1 · с–1; 5) 5–9 · 2–9 · 8–9; 12) 3–4 · m–4 · n–4; 6) 1–4 · 4–4 · 3–4; 13)
337°. Запишіть як степінь:
1) 7–7 · 10–7; 3) 15–10 · 3–10; 5) z–3 · x–3 · y–3; 2) 7–7 : 10–7; 4) 15–10 : 3–10; 6) 77 7 . ac x
338°. Запишіть як степінь з основою 30: 1) 3–5 · 10–5; 4) 2–3 · 3–3 · 5–3; 7) 15–4 · 4–4: 2–4; 2) 6–9 · 5–9; 5) 60–1 : 2–1; 8) 40–11 : 4–11 · 3–11; 3) 2–6 · 15–6; 6) 900–2 : 30–2; 9) 120–3 : 4–3 · 170.
339°. Запишіть як степінь з основою 12: 1) 2–2 · 6–2; 3) 2–4 · 2–4 · 3–4; 5) 5–15 · 24–15 : 10–15; 2) 3–10 · 4–10; 4) 36–1 : 3–1; 6) 8–4 · 3–4 · 0,5–4.
340°. Знайдіть х:
1) (–2 · 9)–4 = х · 9–4; 4) =
4 4 4 22 ; 5 x
2) (7 · 10)–3 = 7–3 · х; 5) =
9 9 11 ; 7 x
3) (5 · 8 · 12)–1 = х · 8–1 · 12–1; 6) =
7 7 7 1 1. 3 3 x
341°. Знайдіть х:
1) (4 · 5)–3 = х · 5–3; 3) (2 · 3 · 4)–2 = х · 2–2 · 4–2; 2) (2 · 15)–6 = 15–6 · х; 4) =
342°. Запишіть у стандартному
6 6 6 3 . 8 8 x
число: 1) 22; 9) 11,04; 17) 2300,02 · 10–1; 2) 31; 10) 0,333; 18) 118,8 · 1010; 3) 1008; 11) 20,407; 19) 0,32 · 102; 4) 700; 12) 0,0000012; 20) 0,00051 · 103; 5) 976; 13) 54 · 102; 21) 5072 · 106; 6) 17 000; 14) 54 · 10–2; 22) 0,0074 · 10–2; 7) 0,005; 15) 335 000 · 103; 23) 0,003 · 1010; 8) 0,45; 16) 87 500 · 10–4; 24) 0,00008 · 103.
343°. Запишіть у стандартному вигляді число: 1) 37; 6) 13,005; 11) 11 500 · 103; 2) 19; 7) 0,065; 12) 43 000 · 10–3; 3) 207; 8) 0,000075; 13) 0,00027 · 10–2; 4) 0,02; 9) 91 · 103; 14) 0,00011 · 103; 5) 0,38; 10) 482 · 10–5; 15) 0,305 · 10–2.
344°. Порівняйте числа: 1) 8 · 10–5 і 1,1 · 10–5; 3) 3,1 · 10–2 і 1,2 · 10–2; 2) 2,5 · 108 і 3 · 108; 4) 4,1 · 1010 і 2 · 1010; 5) 1,8 · 10–15 і 1,5 · 10–15; 6) 1,25 · 109 і 4 · 109.
345°. Порівняйте числа: 1) 5 · 10–7 і 1,2 · 10–7; 2) 3,1 · 104 і 3 · 104.
346. Запишіть як степінь з основою 0,1: 1) 0,01; 2) 1; 3) 10; 4) 100; 5) 1000; 6) 10 000.
347. Запишіть як степінь з основою 1 3 : 1) 1 3 ; 2) 1 9 ; 3) 1 81 ; 4) 1; 5) 3; 6) 27.
348. Обчисліть:
1) () ( )
1 1 1 1 5; 6)
2) () ( )0 1 2 9; 7)
3) () ( )
1254 1; 23
6 71 1 :72; 7
2 1 2 1 3; 8) ()
4) () ( )
2 1 2 1 0,5; 9)
5) ⋅
⋅
5 4 5 1,2:; 6
4 1 1 30,75:; 2
3 1 1 3; 3 10) ⋅+⋅ 0331 280,50,20,001.
349. Обчисліть:
1) () ()
1 1 1 1; 3)
5 4 1 4; 4 2) () ( ) 1 1 1 2; 4)
1235 2. 25
350. Запишіть як степінь: 1) (а–8)n : (аn)–1; 5) (а–15а–4)3 : (а10а3)–2; 2) (аm)–n · (аn)р; 6) (а15 а–4)3 · (а–10 а3)2; 3) (а–15: а4)–3 · (а10: а3)–2; 7) (а–2 + n)–n · аn(1– n) : (–а)–2n; 4) (а–15а4)3 : (а10а–3)–2; 8) (а –n)n · а–(2 + n)(2 – n) : а–4 .
351. Знайдіть х, якщо:
1) а–1b24 = а5b–8 · х; 4) 1,921 = (1,9–3)–х; 2) а–1b–1 = х : аb; 5) (4,5)–20 = (4,5–х)5. 3) а–7b26 = х : b–16;
352. Знайдіть х, якщо: 1) а2b–14 = а–14b · х; 3) 3–36 = (3–х)9; 2) b–50 = а–100b100 : х; 4) 6–14 = (6х)2.
353. Подайте вираз 5–12 як степінь з основою: 1) 5–2; 2) 54; 3) 53; 4) 5–4.
354. Подайте вираз а–12 як добуток двох степенів, один з яких дорівнює: 1) а2; 2) а–6; 3) а4; 4) а–3; 5) а–4; 6) а6 .
355. Подайте вираз m24 як добуток двох степенів, один з яких дорівнює: 1) m2; 2) m–6; 3) m12; 4) m–4 .
356. Запишіть як степінь з основою 2: 1) 8–5 · 47; 3) (2–5)3 · (42)–3; 5) 0,5–25 : (4–1)3; 2) 645 · 16–2; 4) (165)9 · (8–2)7; 6) 0,25–6 : 3230.
357. Винесіть за дужки 2–5: 1) 2–6 + 27; 2) 2 – 2–5 + 210; 3) 2–3 + 23 – 2–15 + 215.
358. Винесіть за дужки 3–4: 1) 3–12 + 312; 2) 3 + 3–4 + 34; 3) 3–5 + 35 – 3–1 + 3.
359. Знайдіть х. Подайте відповідь у вигляді степеня. 1) (0,1–8 : 254 · 12,50)–1 = х · 25; 8) 24–13 = х · 2–26 · 3–13; 2) (7 · 9)–12 = (21–4)3 · х; 9) 64–4 · 412 · 16–2 ·х = 4–12 · 165; 3) (–2 · 15)–2 = 25–1 · х; 10) ⋅ = 53 2 279 ; 81 x 4) 100–14 = 5–28 · х; 11) () =
7) (0,4 · 3)–8 · 0,058 = х · 6–8; 14) 3
361. Порівняйте числа:
1) 3 · 10–6 і 1,2 · 10–4; 3) 0,48 · 10–7 і 1,2 · 10–9; 2) 0,18 · 106 і 0,2 · 105; 4) 65,5 · 107 і 0,5 · 108.
Знайдіть суму, добуток і частку поданих чисел. Результат дії подайте в стандартному вигляді.
362. Порівняйте числа: 1) 6 · 10–8 і 1,2 · 10–9; 3) 0,63 · 10–11 і 2,1 · 10–10; 2) 0,16 · 104 і 0,2 · 106; 4) 5,5 · 1022 і 11 · 1020.
Знайдіть суму, добуток і частку поданих чисел. Результат дії подайте в стандартному вигляді.
363*. Обчисліть:
364*.
365*.
(
3) () ( ) ⋅⋅ 10 5 371 ; xxx 6)
2 4 1 331220 ; abab
2112 :. aa ab bb
367. Довжина орбіти супутника, що рухається зі швидкістю 7,91 · 103 м/с навколо Землі, дорівнює 2 414 000 км. Запишіть числом у стандартному вигляді:
1) довжину орбіти супутника; 2) час, потрібний супутнику, щоб облетіти навколо Землі.
368. Заповніть таблицю 16. Запропонуйте власний мініпроєкт за відомостями, наведеними
Земля 5,9726 · 1024
Сонце1,9891 · 1027
Протон
1. Піднесення раціонального
виразу до степеня з цілим показником
Ситуація. Діти проводили дослідження індексу маси тіла (ІМТ) дорослих
1.
2. Інші властивості степенів із цілим показником
Запам’ятайте!
Задача 2 Спростіть
Розв’язання
Першийспосіб.
Спростимо вираз у дужках:
Піднесемо його до даного
степеня:
Другийспосіб.
Вираз у дужках піднесемо до даного степеня:
Запам’ятайте!
ціле число, то:
3. Способи перетворення раціональних виразів
Під час перетворення раціо-
нальних виразів, що містять цілі показники, користуються
формулами скороченого множення.
Задача 3 Спростіть вираз: 1) (х–3 – 2)2; 2) (х–3 –
Розв’язання
1) у–5 – ху5 + 5 = у–1(у–5 – (–1) – ху5 – (–1) + 5 : у–1) = = у–1(у–4 – ху6 + 5у);
2)
Дізнайтеся
математичних знань в Україні. У його доробку є понад 200 друкованих праць. Вони присвячені математичній підготовці учнів, олімпіадам з математики, аналізу науково-популярної літератури з математики і кібернетики, застосуванням математики, питанням історії математики, математичним іграм і головоломкам. Основні з них: «Дорогами Унікурсалії», «Визначні математичні задачі», «Колумби математики», «Математична мозаїка», «Математичні софізми і парадокси», «Математика служить людині», «Добрий день, Архімеде!» та інші. На сторінках збірника науково-популярних статей «У світі математики» він опублікував
цікавих і актуальних статей, зокрема
1. Знайдіть значення виразу:
1) 88326 : (–9) · (–13 · 2 + 26); 2) –2346 · (14 – 244 + 230) + 678; 3) 5,5 · 2,5 : 0,25 – 525 : (–5).
Розв’яжіть
369'. Чи правильно, що (х –
370'. Чи правильно, що
376°.
1) (x – y)–2; 6)
2) (10 + m)–4; 7)
3) (x2 – 1)–6; 8)
4) (a – c)–8; 9)
2) (x3 + y)–7;
386°. Спростіть вираз:
1) −⋅− 22 (1)(1); yy 7) 62 83:; mm aa
2) −⋅− 53 ()(); abab 8) + + 18 2 9 22 4(1) :; (1) ac ca
3) −⋅− 46 ()(); xyxy 9) 255 73 ()() . () xyyxy yxyy ⋅⋅
4) + + 2 3 (4) ; (4) y y
5) + + 2 4 (1) ; (1) c c
6) ⋅+ +⋅ 53 5 () ; () xxy xyx
387°. Спростіть вираз:
1) +⋅+33 ()(); mnmn 5) + +⋅⋅− 2 2 3 () ()(); () ab abab ab
2) +⋅+85 (5)(5); aa 6) + ⋅ + 30 01 (2) ; (1) xx yx
3) + + 1 2 () ; () pm pm 7) + ⋅ + 415 10 8 (5) ; (5) yy yy 4)
15 ; mm nn 8) ++ ⋅ + 13
388°. Піднесіть до степеня вираз: 1) (2х
++ + 1 1 (5); 5 x x
+− + 1 2 (2); 2 a a
+++()0 1 (); abab
() 1 1 (2)2; xxx
++−() 1 1 (5)5. bb
394°. Спростіть вираз:
1) 2 2 1 ; y y
4) ++ + 1 7 (7); 7 nn n
2) ++ + 1 9 (10); 10 a a 5) +−+10 ()(); mnmn
3) +++11 (4)4(4); aaa 6) +−−11 (4)(4). xx
395°. Запишіть як квадрат двочлена:
1) у–2 – 4у–1 + 4;
2) х–2 – 2(ху)–1 + у–2;
3) а–4 – 10а–2 + 25; 4) 4m–2 – 12m–1n–1 + 9n–2;
5) а–2с–4 – 2а–1с–2 + 1;
6) 9а–2b–2 – 6а–1b–2c–1 + c–2b–2 .
396°. Розкладіть на множники:
1) y–2 – 4; 5) n–4 – m6;
2) x–2 – y2; 6) a–2 – (4 + a)–2;
3) a2d–2 – b–2; 7) (х–2 + y–2)2 – (х–2 – y–2)2; 4) n–4 – m–4; 8) (2 + m–2)2 – (2 – m–2)2.
397°. Розкладіть на множники:
1) x–2 – 25; 4) x–8 – (1 + x–4)2; 2) a–2 – b2; 5) (n–2 – m–2)2 – (m–2 + n–2)–2; 3) n–2 – m–2; 6) (x–2 + 2)2 – (3x–2 – 4)2.
398. Запишіть
показником, та спростіть його: 1) а + а–1; 3) х–2 – x–3; 5) 1 1 ; 1 m 2) х + x–2; 4) y–3 + 4y–5; 6) + 1 1 . aa
5) ⋅ 4 5 2 2 0,1; x xy y
22 ()(); xyxy +−−
() ( ) ++ 1 1 1 11; a
−+−1222 ()(1). aaa
404. Спростіть вираз:
1) −+() + 2 1 93 3 a a a ; 3) −−+ + 3 31 ()(); x xyxy xy 2) 1 () p mmp mp ; 4) +− 2 1 ()pmp mp .
405. Винесіть за дужки у–2:
1) у–8 + у–4; 4) 2у + 4у–1; 7) 2у–3 + 4х–2; 2) у–10 – у2; 5) у–2 – у2 + у–3; 8) у2х–2 – 5; 3) у4 + 8у–4; 6) ху–9 + 9у–2; 9) −++16 3 6 3. xyy y
406. Винесіть за дужки а–4: 1) а–12 + а–10; 3) а–4 – а4 + а–6; 5) + 1 5 5 3; a a 2) а–7 – а3; 4) 7а–14 + 6; 6) ++ 3 11 4. aa
407. Дано вираз: х–4 + х–3
1) х; 2) х6; 3) х–1; 4) х
за дужки: 1) а; 2) а3; 3) а–1; 4) а–5 .
409. Спростіть вираз:
412. Обчисліть х
–2,
413.
415*.
1. Особливості задання
функції k x y=
Ситуація. Максим вирішив визначити час, який потрібно, щоб дістатися з Полтави до Черкас залежно від швидкості руху. За складеним маршрутом відстань між містами дорівнювала 260 км. Позначивши
швидкість руху автомобіля через х
числа, крім нуля.
Коротко записуємо: D (у): х — будь-яке число, крім нуля, або х ≠ 0.
Чи може значення функції = k y x дорівнювати нулю? Ні, оскільки k ≠ 0
означенням.
Формулу = k y x перепишемо у вигляді k x y = . Вираз k y
втрачає зміст, якщо y = 0.
Отже, область значень функції = k y x містить усі числа, крім нуля.
Коротко записуємо: Е (у): у — будь-яке число, крім нуля, або у ≠ 0.
В
оберненої пропорційності:
Графік функції = k y x – гіпербола.
у = 0 не належать
графіку функції = k y x .
Якщо k > 0 (мал. 6), то для додатних значень аргументу значення функції також додатні (ця
ординатній чверті), а для
чення функції
ній чверті).
1) А (1; 9); 2) В (2; –4,5)?
Розв’язання
1. Для точки А (1; 9) маємо: ≠− 9 9 1 . Отже, графік
4. Властивості функції k x y=
Виокремимо властивості
функції = k y x , спираючись на її
графік. Розглянемо два випад-
ки: k > 0 і k < 0. k > 0 (мал. 6) k < 0 (мал. 7)
1. D (у): х — будь-яке число, крім нуля, або х ≠ 0.
2. Е (у): у — будь-яке число, крім нуля, або у ≠ 0.
3. Точок перетину з осями
координат немає.
4. Функція набуває: додатних
значень, якщо х > 0; від’ємних
значень, якщо х < 0.
5. Функція спадає як
1. D (у): х — будь-яке число, крім нуля, або х ≠ 0.
2. Е (у): у — будь-яке число, крім нуля, або у ≠ 0.
3. Точок перетину з осями
координат немає.
4. Функція набуває: додатних значень, якщо х < 0; від’ємних
значень, якщо х > 0.
5. Функція зростає як для додатних значень х, так і для від’ємних.
(табл. 18).
Таблиця18
х –8–4–2–11248 у(х)–1–2–4–88421 На координатній
тами (–8; –1), (–4; –2), (–2; –4), (–1; –8), (1; 8), (2; 4), (4; 2), (8; 1) (мал. 9). З’єднаємо
графік функції = 8 y x (мал. 10).
Мал. 9
10
Мал. 11
Задача 3 Розв’яжіть графічно рівняння = 1 x x .
Розв’язання Будуємо прямокутну систему координат (мал. 12).
Будуємо графік функції y = x:
У тій самій системі координат будуємо графік функції = 1 y x :
Знаходимо абсциси точок перетину графіків:
Це пряма, що проходить через точки (1; 1), (0; 0).
Це гіпербола, що проходить через точки (–1; –1), (–2; –0,5), (2; 0,5), (1; 1).
Пряма й гіпербола перетинаються в точках з абсцисами 1 і –1. Мал. 12
Вченням
ці лінії називають конічними перерізами.
ЕліпсПараболаГіпербола
Усне тренування
1. Розв’яжіть рівняння:
1) (x – 10)(x + 10)= 0; 4) x2 – 5x = 0; 2) (x – 1)(x + 2)= 0; 5) x2 + 6x = 0; 3) (x – 3)(x + 4)(x – 5)(x + 6)= 0; 6) 2x2 – 6х = 0.
2. Обчисліть:
1) ⋅⋅ 8915 31618 ; 3) ⋅⋅⋅⋅ 14375 375410 ;
2) ⋅⋅ 125521 774516 ; 4) ⋅⋅⋅⋅ 12932125 35365183 .
Розв’яжіть задачі 419'. Яке із тверджень є правильним:
область
2) область визначення
3) область визначення функції = k y x — усі числа, крім
нуля;
4) гіпербола не перетинає осей координат;
5) гіпербола перетинає вісь абсцис у двох точках;
6) гіпербола = 10 y x розміщена в
чвертях?
420'. Яке із тверджень є правильним:
1) функція = 6 y x набуває додатних значень, якщо
421°.
422°. Яка
423°.
424°. Назвіть коефіцієнт k
= k y x , якщо: 1) = 3 y x ; 2) =−
425°.
1) A (2; 2); 4) D (0; 4); 7) P (0; 0); 2) B (–2; –2); 5) M (4; 2); 8) R (–1; 4); 3) C (4; 4); 6) N (–8; –2); 9) S (8; 0,5)?
429°. Чи належить графіку функції = 10 y x точка:
1) А (1; –10); 3) C (0; 0); 5) M (10; 1); 2) В (2; 5); 4) D (–1; –10); 6) N (–10; –10)?
430°. Чи належить графіку функції = 12 y x точка:
1) K (–1; 12); 2) L (1; 12); 3) M (2; 6); 4) N (–4; –8)?
431°. Яка з точок M (–2; 1), N (1; 2), P (2; –1), R (–2; 0) належить графіку функції =− 2 y x ?
432°. Назвіть координати будь-яких трьох точок, що належать гіперболі: 1) = 5 ; y x 3) = 18 ; y x 5) = 25 ; y x 7) =− 10 ; y x 2)
433°. Назвіть координати будь-яких
гіперболі:
1) 15 y x = ; 2) 30 y x =− .
434°. Знайдіть
ходить через точку:
1) А (1; –10); 6) P (5; –10); 2) B (2; 8); 7) Н (–12; –3); 3) С (–9; –3); 8) R (–6; 3).
4) M (–2; 1); 5) N (9; 1);
435°.
через точку: 1) А (–1; 1); 3) С (–4; –5); 2) B (3; 7); 4) D (7; 2).
436°. У яких координатних
= k y x , якщо:
1) k = 2; 3) k = 15; 5) k = 0,9; 7) k = –42; 2) k = –7; 4) k = –11; 6) k = 1,6; 8) k = –0,25?
437°. У яких
= k y x , якщо:
1) k = 1; 3) k = 25; 5) k = –2,6; 2) k = –9; 4) k = –18; 6) k = 6,5?
438°. Функцію
439°. Функцію
х –4–2–1124
442°. Побудуйте графік функції: 1) = 2 ; y x 2) =− 2 ; y x 3) = 12 ; y x 4) =− 5 . y x
443°. Побудуйте графік функції: 1) =− 9 ; y x 2) = 9 ; y x 3) = 10 . y x
444. Якщо точка (x; у) належить графіку функції = k y x , то й точка (–x; –у) належить графіку функції = k y x . Доведіть.
445. Який коефіцієнт k функції = k y x :
1) = 1 ; 5 y x 3) = 4 ; 9 y x 5) =− 1 ; 0,2 y x 7) 2xy = 14; 2) =− 1 ; 7 y x 4) = 5 ; 6 y x 6) xy = –8; 8) 4xy = –24?
446. Знайдіть значення k, якщо графік функції = k y x проходить через точку:
1) А (0,5; –10); 5) 2 ;15; 5 M
2) B (0,1; 100); 6) 31;1; 42 N
3) С (–6; 0,05); 7) 1 2;35; 7 P
4) D (1,5; 0,02); 8) 1 1;1,75. 3 H
447. Знайдіть значення k, якщо графік функції = k y x проходить через точку: 1) А (2; –0,001); 2) 1 2;6; 3 B 3) С (0,5; 1,8).
448. На малюнках 17–20
функції = k y x . Знайдіть значення k.
Мал. 17
18
Мал. 19
20 449. На малюнку 21 зображено графік функції = k y x . Скориставшись графіком, знайдіть: 1) значення y, якщо x = –1; 2; –5; 10; 2) значення x, якщо y = 10; 5; –2; 3) за яких значень аргументу
Мал. 21 Мал. 22
450. На малюнку 22 зображено графік функції = k y x . Скориставшись графіком, знайдіть:
1) значення y, якщо x = –1; 2; –4;
2) значення x, якщо y = 8; –2; 1;
3) за яких значень аргументу значення функції додатні;
4) за яких значень аргументу значення функції
від’ємні;
5) значення аргументу, за яких функція зростає;
6) значення аргументу, за яких функція спадає;
7) коефіцієнт k.
451. Дано функцію:
1) = 1 ; y x 3) = 0,5 ; y x 5) = 0,01 ; y x 7) = 3 ; 7 y x 2) =− 13 ; y x 4) = 5 ; 4 y x 6) =− 1 ; 9 y x 8) = 1 . 0,1 y x
Знайдіть:
1) область визначення функції;
2) область значень функції;
3) коефіцієнт k;
4) значення y, якщо x = –1; 1; 10;
5) значення x, якщо y = 1; –1; –2;
6) за яких значень аргументу значення
7)
значення
452. Дано функцію:
1) =− 1 ; y x 2) =− 25 ; y x 3) = 0,2 ; y x 4) = 8 . 3 y x
Знайдіть:
1) область визначення функції;
2) область значень функції;
3) коефіцієнт k;
4) значення y, якщо x = –1; 1; –10;
5) значення x, якщо y = 1; 10; –2;
6) за яких значень аргументу значення функції додатні;
7) за яких значень аргументу значення функції від’ємні;
8) значення аргументу, за яких функція зростає;
9) значення аргументу, за яких функція спадає.
453. Побудуйте графік функції
програми: 1) = 1 ; 4 y x 2) =− 2 ; 3 y x 3) = 0,5 ; y x 4) ху = –4. Скориставшись графіком, знайдіть
за яких
454. Побудуйте графік функції
програми:
ху = –6. Скориставшись графіком, знайдіть значення аргументу, за яких значення функції: а) є додатними; б) є від’ємними.
455. Порівняйте значення функції = 2 y x (не обчислюючи їх) для поданих значень аргументу: 1) x = 3 і х = 5; 4) x = –5 і х = –3; 2) x = 6 і х = 10; 5) x = –1 і х = –10; 3) x = 3,5 і х = 4; 6) x = –2 і х = 5.
456. Порівняйте значення функції =− 1 y x (не обчислюючи
для поданих значень аргументу: 1) x = 9 і х = 10; 3) x = –5 і х = 5; 2) x = –2 і х = –4; 4) x = –12 і х = 5.
457. В одній системі координат побудуйте графіки функцій:
1) = 4 y x і у = 2; 2) =− 2 y x і у = –2; 3) = 9 y x і у = х.
Чи перетинаються побудовані графіки? Якщо так, то знайдіть координати точок їх перетину.
458. В одній системі координат
графіки функцій: 1) = 3 y x і у = 3; 2) = 4 y x і у = х; 3) = 12 y x і у = 2 + 2х.
Чи перетинаються побудовані графіки? Якщо так, то знайдіть координати точок їх перетину.
459. Задайте формулою функцію,
460. Задайте формулою функцію,
одержаної функції.
461. Задайте формулою функцію, якщо її графік є гіперболою, що проходить через точки, абсциси яких дорівнюють частці числа 9 і відповідних
Мал. 23 Мал. 24
25
400 км.
1. Запишіть функцію, що описує залежність часу, за який автомобіль
відстань між цими містами, від швидкості автомобіля.
2. Визначте час, якщо швидкість автомобіля дорівнює 80 км/год; 100 км/год.
3. Визначте швидкість автомобіля, якщо на дорогу він витратив 5 год; 4 год.
4. Побудуйте графік одержаної функції, узявши за одиничний відрізок на осі абсцис — 20 км/год, а на осі ординат — 1 год.
467. Дачні ділянки мають форму прямокутника із площею 500 м2, х — довжина ділянки, у — її ширина. 1. Визначте ширину ділянки, якщо її довжина дорівнює 50 м; 25 м.
2. Визначте довжину ділянки, якщо її ширина дорівнює 10 м; 20 м.
3. Запишіть функцію, що описує
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
1. Який вираз називається раціональним?
2. Що таке область допустимих значень змінної виразу?
3. Що таке раціональний дріб?
4. Сформулюйте основну властивість раціонального дробу.
5. Сформулюйте правило додавання (віднімання) двох раціональних дробів з однаковими знаменниками; із різними знаменниками.
6. Сформулюйте правило множення (ділення) двох раціональних дробів.
7. Як піднести раціональний дріб до степеня з натуральним показником?
8. Які рівняння називають раціональними; дробовими раціональними?
9. За якої умови добуток дорівнює нулю? Дріб дорівнює нулю?
10. Як розв’язати рівняння, застосувавши основну властивість пропорції?
11. Як визначають степінь
показником 0?
12. Сформулюйте властивість добутку степенів з рівними основами; з різними основами й рівними показниками.
13. Сформулюйте властивість частки степенів з рівними основами; з різними основами й рівними показниками.
14. Яка властивість піднесення степеня до степеня?
15. Як записати число в стандартному вигляді?
16. Сформулюйте властивості піднесення раціональних виразів до степеня з цілим від’ємним показником; із показником 0; із цілим показником.
17. Яка область визначення функції = k y x ?
18. Яка область значень функції = k y x ?
19. Що є графіком функції = k y x ?
20. У яких чвертях лежить гіпербола,
22. За
1°.
2°.
3°.
4.
1°.
. (2)(1) a aa
2°. Спростіть
3°. Виконайте
1°. Спростіть вираз а–8 : а–2 . А. а–10 . Б. а4 . В. а–4 . Г. а–6 .
2°. Запишіть число 21,3 ·
А. 213 · 10–5. В. 2,13 · 10–3. Б. 2,13 · 10–5. Г. 0,213 · 10–6.
3°. Яка з точок належить графіку
= 8 ? y x А. А (1; –8). Б. В (2; 6). В. C (8; 0). Г. D (4; 2).
Обчисліть:
5*.
У розділі дізнаєтесь:
що таке множина та підмножина;
які є числові множини;
що таке квадратний корінь із числа та арифметичний квадрат-
ний корінь із числа;
які властивості квадратних коренів;
що таке ірраціональний вираз та як перетворювати такі вирази;
які властивості функцій
як застосувати вивчений
12.
1. Функція y = x2 ,
її область визначення та область значень Ситуація.
Максим розглядав батути. Усі батути мали форму квадрата, але різні розміри (зі стороною від 1 м до 4 м). Хлопчик вирішив знайти площу кожного батута. Він позначив довжину сторони батута через
y = x2
Оскільки для будь-якого х вираз x2 ≥ 0, то y ≥ 0. Тому область значень функції y = x2 містить усі
числа. Коротко записують: Е (у): у — будь-яке невід’ємне число, або y ≥ 0.
2. Графік функції y = x2 На малюнку 26 зображено графік функції y = x2. Його побудовано за допомогою комп’ютерної програми. Одержану лінію називають параболою. Парабола має дві вітки, що виходять з однієї точки — вершинипараболи. На малюн-
ку 26 це точка з координатами (0; 0).
Оскільки х — будь-яке число, а значення функції y = x2 є невід’ємними, то парабола розміщена в першій і другій
координатних чвертях.
Мал. 26
Задача 1 Чи проходить графік функції y = x2 через точку: 1) А (5; 25); 2) В (6; 12)?
Розв’язання
1. Підставимо координати точ-
ки А(5; 25) у формулу y = x2:
Отже, графік функції y = x2
2. Підставимо координати точ-
ки В(6; 12) у формулу y = x2:
Отже, графік функції
25 = 52.
3. Властивості функції y = x2
Виокремимо властивості функції y = x2, спираючись на її графік (мал. 26).
1. D (у): х — будь-яке число.
2. Е (у): у — будь-яке невід’ємне число, або у ≥ 0.
3. Точка (0; 0) — точка перетину з осями координат. Це вершина параболи.
4. Функція набуває додатних значень для будь-якого х, крім нуля.
5. Функція зростає, якщо х ≥ 0, і спадає, якщо х ≤ 0.
4. Побудова графіка функції y = x2
ти
Як і
На координатній площині позначимо точки з координатами (–3; 9), (–2; 4), (–1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9) (мал. 28). З’єднаємо їх плавною лінією, спираючись на властивості функції. Одержимо графік функції y = x2 (мал. 29).
Мал. 28 Мал. 29
Побудова графіка функції y = x2 допомагає графічно розв’язувати рівняння та їх системи. Розглянемо приклад.
Задача 2 Розв’яжіть графічно систему рівнянь 2 2, . yx yx =+
Розв’язання
1. Будуємо графік функції y = x + 2:
будуємо пряму, що проходить через точки (1; 3), (0; 2) (мал. 30).
2. У тій самій системі координат будуємо графік функції y = x2: будуємо параболу (мал. 30).
3. Визначаємо координати точок перетину графіків:
пряма й парабола
перетинаються у двох точках із координатами (–1; 1) і (2; 4).
Мал. 30 Отже, пари чисел (–1; 1) і (2; 4) — розв’язки
рівнянь.
Дізнайтеся більше
ракети. Якщо супутнику надати швидкість 7,9 км/с, то він буде рухатися круговою орбітою. Якщо швидкість більша за 7,9 км/с, але менша від 11,2 км/с, то супутник буде рухатись еліптичною орбітою. Розвиваючи швидкість 11,2 км/с (друга космічна швидкість), тіло починає рухатися параболою і стає супутником Сонця. Якщо ж швидкість
(мал. 34).
Мал. 34
УкраїнськаАнглійська/ English
Deutsch
Français параболаparabolaParabel (f)parabole
Пригадайте головне
1. Яка область визначення функції y = x2?
2. Яка область значень функції y = x2?
3. Що є графіком функції y = x2?
4. У яких координатних чвертях лежить парабола y = x2?
5. За яких значень аргументу функція y = x2 зростає; спадає?
Усне тренування
1. Обчисліть: 1) (1515 : 15 – 11) : 15 · 21; 2) 1515 : (105 – 64:16) · 15 + 5.
2. Обчисліть:
1) 51 12; 63
2) 11 8; 124
5)
469°.
1) у = 92; 3) y = x2; 5) у = x; 2) 1 ; y x = 4) 2 1 ; y x = 6) у = x2x?
470°. Функцію задано формулою y = x2. Накресліть у зошиті таблицю 24 і заповніть її. Таблиця24
–10–6–5–115610
471°. Функцію задано формулою y = x2. Накресліть у
таблицю 25 і заповніть її.
Таблиця25 х –20–8–606820
472°. Чи правильно, що графік функції y = x2 проходить
через точку:
1) A (4; 2); 3) C (4; 16); 5) M (10; 100); 7) P (0; 0); 2) B (–2; 4); 4) D (0; 4); 6) N (–8; 16); 8) R (–1; 1)?
473°. Чи правильно, що графік функції y = x2 проходить
через точку: 1) A (1; 1); 3) C (2; 4); 2) B (–2; –4); 4) D (4; 8)?
474°. Які з точок A (3; 9), B (–3; –9), C (9; –3), D (9; 3), M (–5; 25), N (5; 10), P (7; 49), R (6; –36) належать графіку функції y = x2?
475°. Чи належить графіку функції y = x2 точка: 1) А (1; –10); 3) C (–8; –64); 5) M (9; 81); 2) В (8; 64); 4) D (–2; 6); 6) N (–10; –10)?
476°. Чи належить графіку функції y = x2 точка: 1) K (1; –1); 3) M (–6; 12); 2) L (6; 36); 4) N (–7; 49)?
477°. На малюнку 35 зображено графік функції y = x2 . Скориставшись графіком, знайдіть:
1) значення y, якщо x = 0; –1; 3;
2) значення x, якщо y = 1; 9;
3) значення аргументу, за яких значення функції невід’ємні;
4) значення аргументу, за яких функція зростає.
478°. На малюнку 35 зображено графік функції y = x2. Скориставшись графіком, знайдіть:
1) значення y, якщо x = 1; –2; –3; 2) значення x, якщо y = 0; 4;
3) значення аргументу, за яких значення функції додатні; 4) значення аргументу, за яких функція спадає.
479°. Якщо точка (x; у) належить графіку функції y = x2 , то й точка (–x; у) належить графіку функції y = x2 . Доведіть.
480°. Побудуйте в одній системі координат
1) y = x2 і y = 1; 5) y = x2 і y = –2x; 2) y = x2 і y = –1; 6) y = x2 і y = 2x;
3) y = x2 і y = –2; 7) 1 y x = і у = х2 . 4) y = x2 і y = 4;
481°. Побудуйте
1) y = x2 і y = 9; 3) y = x2 і y = x; 2) y = x2 і y = –3; 4) y = x2 і y = 3x.
482°. Розв’яжіть графічно
483°. Розв’яжіть графічно систему рівнянь: 1) 2 23, ; yx yx =−
484°. Розв’яжіть графічно рівняння: 1) x2 = 4; 2) x2 = 16; 3) x2 = 0; 4) x2 + 5 = 0.
485°. Розв’яжіть графічно рівняння: 1) x2 = 1; 3) x2 = 9; 2) x2 = –1; 4) 4 + x2 = 0.
486. Знайдіть такі точки графіка функції y = x2,
абсциса: 1) дорівнює ординаті; 2) утричі менша від ординати.
487. Знайдіть такі точки графіка
488. Порівняйте значення функції y = x2 (не обчислюючи їх) для поданих значень аргументу:
1) x = 3 і х = 5; 5) x = –4 і х = –2; 2) x = 56 і х = 72; 6) x = –3 і х = –6; 3) x = 2,7 і х = 2; 7) x = –2,4 і х = –2; 4) x = 0,7 і х = 1,2; 8) x = –10 і х = –8.
489. Порівняйте значення функції y = x2 (не обчислюючи їх) для поданих значень аргументу: 1) x = 9 і х = 15; 3) x = –7 і х = –6; 2) x = 32 і х = 64; 4) x = –24,5 і х = –25.
490. Розв’яжіть графічно рівняння: 1) x2 = x – 5; 3) x2 = х – 2; 5) 4х – 3 = x2; 2) х–x2 = 0; 4) х – 6 = x2; 6) 2 1 . x x =−
491. Розв’яжіть графічно рівняння: 1) х2 + x = 0; 3) x2 = –х – 7; 2) –2х + 3 = x2; 4) 2 8 . x x =
малюнках 36–39.
Мал. 36 Мал. 37 Мал. 38 Мал. 39
496. На міліметровому папері побудуйте параболу y = x2 .
За одиничний відрізок прийміть 1 см.
Знайдіть наближені значення функції для абсцис: –4,6; –3,5; –3,1; –1,8; 1,5; 2,3; 3,1; 3,8; 4,2.
497. Земельні наділи мають форму квадрата зі стороною х.
1. Задайте формулою залежність площі ділянки від довжини її сторони.
2. Побудуйте графік залежності площі ділянки від довжини її сторони.
3. Задайте формулою залежність периметра ділянки від довжини її сторони.
4. Побудуйте графік залежності периметра ділянки від довжини її сторони.
5. Визначте площу ділянки, якщо довжина її сторони дорівнює 15 м; 25 м.
6. Визначте довжину сторони ділянки, якщо її площа дорівнює 100 м2; 400 м2.
7. Визначте довжину сторони ділянки, якщо число, що виражає її площу, дорівнює числу, що виражає периметр ділянки.
§ 13. АРИФМЕТИЧНИЙ КВАДРАТНИЙ
1. Квадратний корінь із числа а Ситуація. Кімната Марини, площа якої 9 м2, має форму квадрата. Марина визначала розміри кімнати і міркувала так: «Треба знайти число, квадрат якого дорівнює 9».
х2 ≥ 0 для будь-якого х. Наведені міркування підказують, що рівняння х2 = а (а ≥ 0) має два корені, які є протилежними числами. Наприклад, коренями рівняння х2 = 9 є
ренями
числом.
«арифметичний
У виразі a число a називають
у виразах 9 і
відповідно числа 9 і 0.
1. Оскільки 39 = і
2,66. >
4. Властивості арифметичного квадратного кореня
З означення арифметичного
квадратного кореня випливають такі властивості:
1. 0 a ≥ , якщо а ≥ 0.
2. ( ) 2 aa = , якщо а ≥ 0.
3. 2 aa = , якщо a — будь-яке число.
4. abab ⋅=⋅ , якщо а ≥ 0 і b ≥ 0.
5. , aa b b = якщо а ≥ 0 і b > 0.
самостійно.
Задача 2
Знайдіть значення виразу: 1) 10016; ⋅ 2) 225.
Розв’язання
1. 100161001610440. ⋅=⋅=⋅=
2. 2252595315. =⋅=⋅=
Для обчислення 225 також можна скористатися таблицею квадратів
Внесіть
Розв’язання
1.
Наприклад,
Розв’язання
1. Підкореневі вирази
2.
число 3 є
із числа 27, бо 33 = 27; число –3 є кубічним коренем із числа –27, бо (–3)3 = –27; число 0 є
3 5 є
із від’ємного
Пригадайте головне
1.
2.
3.
4.
5. Як порівнюють арифметичні квадратні корені?
6. Сформулюйте властивості арифметичного квадратного кореня.
7. Як внести множник під знак кореня?
8. Як винести множник з-під знака кореня?
9. Що називають кубічним коренем із числа а?
Усне тренування
1. Запишіть як степінь з основою 3: 1) 9–3 · 35; 2) 272 · 81–4; 3) (3–6)8 · (9–1)–2; 4) (81–2)3 · (27–3)–4.
2. Серед чисел 6, –11, 2 6 , 0,8, –10,2, 2 1 9 , 32 8 , 0, 4,6, –5,05 оберіть: 1) натуральні; 2) цілі; 3) раціональні.
Розв’яжіть задачі
498'. Чи правильно, що: 1) 2 і –2 є квадратними коренями з числа 4; 2) 5 і –5 є квадратними коренями з числа 10; 3) 1 2 і 1 2 є квадратними коренями з числа 1 4 ; 4) 0 є квадратним коренем із числа 0?
499'. Чи правильно, що: 1) –2 є арифметичним квадратним коренем із числа 4; 2) 2 є арифметичним квадратним коренем із числа 4; 3) 5 є арифметичним квадратним коренем із числа 10?
500'. Назвіть підкореневий вираз арифметичного
1) 5; 2) 0; 3) 3,1; 4) 1 ; 16 5) ; m 6) . x
числа: 1) 42; =− 2) 93; = 3) 366; = 4) 648? =−
502'. Чи правильно порівняли арифметичні квадратні корені: 1) 35; < 3) 65; < 2) 72; < 4) 1011? >
Відповідь поясніть.
503'. Чи правильно, що для a > 0:
1) 0; a < 2) 0; a = 3) 3 0; a ≤ 4) 3 0; a > 5) 0? a ≥
504'. Чи є правильним твердження:
1) значення виразу a існує, якщо а ≥ 0;
2) значення виразу 3 a існує, якщо а > 0;
3) значення виразу a існує, якщо а < 0;
4) значення виразу 3 a існує, якщо а < 0?
505'. Чи правильно, що для додатного числа а: 1) ()2 0; a < 2) ()2 0; a = 3) ()2 ;aa =− 4) ()2 ? aa =
506'. Яка з формул є правильною
1) ;aa = 2) 2;aa = 3) ()2 ;aa = 4) 2 ? aa =
507'. Яка з рівностей є правильною для додатних чисел х і у: 1) ; xyxy ⋅=+ 3) ; xx yy = 2) ; xyxy ⋅=⋅ 4) ? x xy y =−
508'. Яка з рівностей є правильною для будь-якого а: 1) ;aa = 3) 2 ;aa = 2) 2 ; aa =
509°. Чи існує
із числа: 1) –1; 2) 2; 3) –36; 4) 40? Відповідь поясніть.
510°. Чи існує квадратний корінь із числа: 1) 3; 2) –9; 3) –16?
511°. Знайдіть усі квадратні корені з числа: 1) 16; 3) 49; 5) 169; 7) 256; 2) 25; 4) 121; 6) 196; 8) 400;
9) 0,16; 13) 1,69; 17) 1 ; 16 21) 1 ; 169
10) 0,25; 14) 1,96; 18) 1 ; 25 22) 1 ; 196
11) 0,49; 15) 2,56; 19) 1 ; 49 23) 1 ; 256
12) 1,21; 16) 0,04; 20) 1 ; 121 24) 1 . 400
512°. Знайдіть усі
1) 81; 4) 225; 7) 1,44; 10) 1 ; 100
2) 100; 5) 0,81; 8) 2,25; 11) 1 ; 144
3) 144; 6) 0,01; 9) 1 ; 81 12) 1 . 225
513°. Якими даними
таблицю 26?
а 162536496481100121144169225625 a
514°. Чи має зміст вираз:
1) 7; 3) 0; 5) 2 5; 7) 5 ; 4 2) 5; 4) ()2 8; 6) 33;−+
515°. Чи є правильним твердження:
1) якщо 22 = 4, то 42; =
2) якщо (–2)2 = 4, то 42; =−
3) якщо (–5)2 = 25, то 255; =
4) якщо 82 = 64, то 648? =
Відповідь поясніть.
516°. Чи є правильним твердження:
1) якщо 102 = 100, то 10010; =
2) якщо (–3)2 = 9, то 93? =−
Відповідь поясніть.
517°. Знайдіть арифметичний квадратний корінь із числа: 1) 0,01; 3) 0,64; 5) 0,49; 7) 0,0001; 2) 0,04; 4) 0,36; 6) 0,0016; 8) 0,0004.
518°. Знайдіть арифметичний квадратний корінь із числа: 1) 0,09; 3) 0,25; 5) 0,0036; 2) 0,16; 4) 0,0049; 6) 0,0169.
519°. Обчисліть:
1) 1 ; 4 3) 16 ; 25 5) 49 ; 64 7) 9 ; 16 2) 1 ; 16 4) 9 ; 100 6) 49 ; 100 8) 49 . 81
520°. Обчисліть:
1) 1 ; 9 2) 1 ; 25 3) 25 ; 49 4) 36 ; 100 5) 25 ; 64 6) 81 . 100
521°. Знайдіть значення виразу:
1) 2581; 5) 259; ⋅ 2) 259; + 6) 36:464; + 3) 4909; ++ 7) 100:239; +⋅ 4) 49; ⋅ 8) 1008549. ⋅−⋅
522°. Знайдіть значення виразу:
1) 49; + 5) 1004; ⋅ 2) 464; 6) 081416; ⋅+ 3) 16:42; + 7) 42316; ⋅+⋅ 4) 464; ⋅ 8) 362:9. ⋅
523°. Порівняйте числа: 1) 5 і 0; 5) 21 і 7; 9) 99 і 10; 2) 0 і 15 ; 6) 9 і 90; 10) 62 і 8; 3) 100 і –10; 7) 17 і 4; 11) 6 і 39; 4) –4 і 2; 8) 3 і 8; 12) 12 і 4.
524°. Порівняйте числа: 1) 6 і 0; 4) 35 і 37; 7) 6 і 33; 2) 0 і 0,01; 5) 74 і 9; 8) 101 і 10; 3) –5 і 26; 6) 6 і 38; 9) 101 і 99 .
525°. Чи є правильною рівність:
1) ()2 816; = 2) ()2 55; = 3) ()2 1010; =− 4) ()2 93? =
526°. Обчисліть:
1) ()2 4; 4) ()2 9; 7) ()2 0,99; 10) 2 1 ; 8
2) ()2 3; 5) ()2 10; 8) ()2 1,1; 11) 2 21 ; 50
3) ()2 3; 6) ()2 0,2; 9) 2 2 ; 5
527°. Обчисліть: 1) ()2 2; 3) ()2 0; 5) ()2 5,7; 2) ()2 2; 4) ()2 0,7; 6) 2 1 . 7
528°. Обчисліть: 1) 361; ⋅ 6) 100169; ⋅⋅ 2) 94; ⋅ 7) 4100100; ⋅⋅ 3) 254; ⋅ 8) 64254; ⋅⋅ 4) 814; ⋅ 9) 164925; ⋅⋅ 5) 819; ⋅ 10) 6416100. ⋅⋅
529°. Обчисліть: 1) 41; ⋅ 3) 25100; ⋅ 5) 64364; ⋅⋅ 2) 964; ⋅ 4) 164; ⋅ 6) 100125. ⋅⋅
530°. Знайдіть значення виразу: 1) 22; ⋅ 4) 28; ⋅ 7) 5102; ⋅⋅ 2) 2020; ⋅ 5) 327; ⋅ 8) 7148; ⋅⋅ 3) 0,50,5; ⋅ 6) 0,0545; ⋅ 9) 80100,02. ⋅⋅
531°. Знайдіть значення виразу: 1) 77; ⋅ 3) 322; ⋅ 5) 5357; ⋅⋅ 2) 0,033; ⋅ 4) 312; ⋅ 6) 0,3150,5. ⋅⋅
532°. Знайдіть значення виразу:
1) 12 ; 3 3) 125 ; 5 5) 72 ; 2 7) 44 ; 11 2) 50 ; 2 4) 24 ; 6 6) 200 ; 2 8) 60 . 15
533°. Знайдіть значення виразу: 1) 18 ; 2 2) 27 ; 3 3) 45 ; 5 4) 54 ; 6 5) 99 . 11
534°. Обчисліть: 1) 2 4; 3) 2 0; 5) 2 1,3; 7) ()2 0,3; 2) ()2 4; 4) ()2 90; 6) 2 9,9; 8) 2 1 . 6
535°. Обчисліть: 1) 2 3; 2) ()2 3; 3) 2 11; 4) ()2 5,4; 5) 2 3 1. 4
536°. Внесіть множник під знак кореня:
1) 22; 4) 53; 7) 27; 10) 310; 2) 42; 5) 35; 8) 37; 11) 311; 3) 23; 6) 56; 9) 210; 12) 213.
537°. Внесіть множник під знак кореня: 1) 32; 3) 25; 5) 710; 2) 43; 4) 36; 6) 215.
538°. Винесіть множник з-під знака кореня: 1) 8; 9) 20; 2) 32; 10) 125; 3) 72; 11) 250; 4) 162; 12) 500; 5) 12; 13) 300; 6) 45; 14) 80; 7) 75; 15) 180; 8) 128; 16) 405.
539°. Винесіть множник з-під знака кореня: 1) 18; 3) 98; 5) 200; 7) 48; 2) 50; 4) 28; 6) 27; 8) 108.
540°. Чи правильно додали арифметичні квадратні корені:
1) 5510; += 2) 55210; += 3) 5525? +=
541°. Спростіть вираз: 1) 22; + 2) 733;
3) 652535; +− 6) 8152151015; +− 4) 911211; 7) 47377; −+ 5) 321421; 8) 1010510210. +−
542°. Спростіть вираз: 1) 1010; + 3) 102320233023; 2) 77;−+ 4) 8224252. −−+
543°. Спростіть вираз:
1) () 10105; 11) () () 5656; +− 2) () 221; + 12) () () 2323; +− 3) ()1812; + 13) () () 5252; +−
4) () 323;−+ 14) () () 13151315; +−
5) () () 2223; +− 15) ()2 21; + 6) () () 5253; +− 16) ()2 521; 7) () () 3131; +− 17) ()2 31; + 8) () () 23221; +− 18) ()2 36; +
9) () () 103103; +− 19) ()2 105;
10) () () 6464; +− 20) ()2 237. +
544°. Спростіть вираз:
1) () 331; + 5) () () 5151; +− 2) () 565; + 6) () () 21112111; +−
3) () () 8122; +− 7) ()2 21;
4) () () 154154; +− 8) ()2 52.
545°. Спростіть вираз:
1) 3 27; 3) 3 64; 5) 3 1; 7) 3 27000; 2) 3 8; 4) 3 1000; 6) 3 0,008; 8) 3 0,064.
546°. Спростіть вираз:
1) 3 27; 3) 3 125; 5) 3 1; 2) 3 8; 4) 3 1000000; 6) 3 0,125.
547. Обчисліть, скориставшись таблицею квадратів: 1) 16900; 6) 7840000; 11) 0,0441; 2) 409600; 7) 152100; 12) 0,3721; 3) 202500; 8) 56250000; 13) 0,009604; 4) 57600; 9) 1,44; 14) 29,16; 5) 129600; 10) 0,0144; 15) 0,000625.
548. Обчисліть, скориставшись таблицею
1) 52900; 4) 12250000; 7) 0,007396; 2) 168100; 5) 0,0196; 8) 0,00000729; 3) 688900; 6) 1,96; 9) 0,005625.
549. Обчисліть: 1) 7 2; 9 3) 21 4; 25 5) 1 2; 4 7) 1 6; 4 2) 9 1; 16 4) 13 1; 36 6) 19 1; 81 8) 1 3. 16
550. Обчисліть: 1) 1 12; 4 3) 32 1; 49 2) 4 5; 9 4) 1 7. 9
551. Порівняйте числа:
1) 43 і 7; 5) 52 і 7; 9) 20,01 і 0,09; 2) 28 і 26; 6) 23 і 32; 10) 4 9 і 0,25;
3) 35 і 7; 7) 56 і 65; 11) 9 1 16 і 2; 4) 32 і 18; 8) 142 і 87; 12) 1 0,01 і 105.
552. Порівняйте числа:
1) 52 і 7; 4) 1011 і 1110; 7) 1 4 і 0,25; 2) 45 і 9; 5) 67 і 76; 8) 1 2 4 і 5; 3) 42 і 32; 6) 40,25 і 0,49; 9) 4,5 і 23 .
553. Між якими двома послідовними цілими числами на координатній прямій розміщується число:
1) 2; 4) 10; 7) 33; 10) 27; 2) 6; 5) 14; 8) 55; 11) 21,1; 3) 5; 6) 21; 9) 26; 12) 30,3?
554. Між якими двома послідовними цілими числами
1) 3; 3) 15; 5) 36; 7) 21,2; 2) 7; 4) 23; 6) 52; 8) 50,1?
555. Обчисліть:
1) ()2 32; 3) ()2 55; 5) ()2 35; 7) 2 3 ; 2
2) ()2 23; 4) ()2 22; 6) ()2 20,4; 8) 2 1 . 2
556. Обчисліть:
1) ()2 53; 2) ()2 107; 3) ()2 20,5; 4) 2 11 . 5
557. Знайдіть значення виразу:
1) 2 1412,96; 7 ⋅+ 4) 12 2231; 119 ⋅⋅
2) 7 021,44; 9 ⋅− 5) 3 10:30,01; 5 ⋅
3) 1 0356; 2 +⋅ 6) 481435 . 310 ⋅ +
558. Знайдіть значення виразу:
1) 1 0,111,820; 44 ⋅+⋅ 3) 44 30,751; 15 5 ⋅⋅
2) 1 0:53,84; 3 ⋅ 4) 2000,9 . 0,021,6 +
559. Спростіть вираз:
1) ( ) 1028,95,29; 5) 22 3712; 2) () 1 7232; 8 + 6) () () 22 101101; ++−
3) ( ) ( ) 1,30,51,30,5; +− 7) () () 22 6262; +−−
4) 22 6516; 8) () () 22 2323. ++−
560. Спростіть вираз:
1) ( ) 0,90,10,4; + 3) 22 2610; 2) ( ) 1 200,8; 5 + 4) () () 22 211211. ++−
561. Спростіть вираз:
1) ()2 23; 6) ()2 76; 2) ()2 21; 7) ()2 1523; 3) ()2 35; 8) ()2 335; 4) ()2 310; 9) () () 22 1818; −++
5) ()2 23; 10) () () 22 1737. −−+
562. Спростіть вираз:
1) ()2 523; 3) ()2 812; 2) ()2 32; 4) () () 22 1212. −++
563. Внесіть множник під знак кореня:
1) 0,13; 4) 80,2; 7) 2 2; 3 10) 21 ; 35
2) 30,1; 5) 2,42; 8) 4 0,2; 5 11) 11 ; 33
3) 1,15; 6) 1 10; 2 9) 12 ; 43 12) 21 1. 76
564. Внесіть множник під знак кореня:
1) 0,32; 3) 1 6; 2 5) 70,1; 2) 50,2; 4) 2 15; 3 6) 1 3. 2
565. Винесіть множник з-під знака кореня: 1) 0,03; 3) 1,69; 5) 8 ; 15 7) 2 2; 7 2) 0,08; 4) 22,5; 6) 45 ; 49 8) 11 1. 13
566. Винесіть множник з-під знака кореня:
1) 0,05; 3) 28,9; 5) 7 ; 36 2) 0,121; 4) 3 ; 20 6) 4 3. 15
567. Розкладіть на множники: 1) 1272; + 4) 31111; 7) 1533045; ++ 2) 45227; 5) 2714; 8) 51050200; −+ 3) 22; + 6) 366;−+ 9) 121827.
568. Розкладіть на множники: 1) 303; 3) 55; + 5) 36; + 2) 17334; + 4) 1010; 6) 1215342. −+
569. Спростіть вираз: 1) 454,5 ; 101 6) 4,4122,11 ; 12,1 −+ 2) 4822 ; 61 + + 7) 1,4423,63 0,47,5; 320,3 ++ + 3) 327 ; 0,123 + 8) 22 ; 526526 + +− 4) 2252625 ; 169 + 9) 511 ; 153 + 5) 0,30,6 ; 12 10) 11 . 827827 + +−
570. Спростіть вираз: 1) 243 ; 221 3) 0,8127 ; 0,273 + + 2) 86 ; 32 + + 4) 55 . 233233 + +−
571. Спростіть вираз: 1) 228; + 4) 3104090; −+ 2) 51227; 5) 122748; ++ 3) 52045; ++ 6) 9,80,2452,45. −+
572. Спростіть вираз: 1) 728; + 2) 62454. ++
573*. Доведіть, що: 1) 23231; +⋅−= 4) 21211; −⋅+= 2) 4154151; +⋅−= 5) 5265261; +⋅−= 3) 3223221; +⋅−= 6) 7437431. +⋅−=
574*. Спростіть вираз: 1) 1465; 2) 827; 3) 223; + 4) 743.
575*. Доведіть, що: 1) 42342323; ++−= 2) 6426424. ++−=
576*. Порівняйте числа: 1) 43 і 34; 3) 25 і 43; 2) 45 і 32; 4) 12 + і 22.
Проявіть компетентність
577. Підлога кімнати має форму квадрата з площею 36 м2.
1. Які розміри кімнати?
2. Скільки метрів багета знадобиться, щоб оздобити всі стики стелі зі стінами в кімнаті?
1. Що таке множина
Ситуація. Марина вирішила ви-
писати свої оцінки за жовтень, але ніяк не могла придумати, як краще
подати ці дані. Як можна подати ці дані? Скориставшись поняттям множини та правилом її запису.
Поняття «множина» належить до первинних понять математики. Воно не має точного означення. Такими поняттями
«точка».
об’єктів, які
утворювала
8 до 12, тоді множину В її
записати так: В = {8; 9; 10; 11; 12}.
цій множині п’ять елементів: 8; 9; 10; 11; 12.
множини?
Для цього використовують спеціальні знаки: ∈ — означає «належить»; ∉ — означає «не належить». Коротко записують так: а ∈ А, d ∉ А.
Множину можна задати переліком її елементів. У такий спосіб задано, наприклад, множину А = {а; b; c}.
Множину також можна задати, описавши її характеристичні властивості. Наприклад: С — множина місяців року; М = {x | x — цифра десяткової системи числення}.
Множину, яка не містить жодного елемента, називають порожньоюмножиною. Для її позначення використовують спеціальний знак: .
3. Підмножина
Розглянемо
4. Раціональні числа. Ірраціональні числа
У 5 класі ви вивчали числа, які використовують
би, — натуральні числа. Усі натуральні числа утворюють множинунатуральнихчисел. Отже, кожне натуральне число є елементом множини натуральних чисел.
Множину натуральних чисел позначають буквою N: N = {1; 2; 3; 4;…}.
У 6 класі ви вивчали й інші числові множини — множину цілих чисел і множину раціональних чисел.
Множинуцілихчисел утворюють натуральні числа,
Множина натуральних чисел є підмножиною множини цілих чисел:
множинураціональнихчисел. Будь-яке раціональне число
подати як нескоротний дріб, у якому чисельник є
числом, а знаменник — натуральним числом:
Множина цілих
Зауважимо, що скінченний десятковий
як нескінченний
0: 1 4 = 0,25 = 0,2500000… = 0,25(0).
Кожне раціональне число можна подати як нескінченний періодичний десятковий дріб. І навпаки, кожний нескінченний періодичний
нальним числом.
Задача 1 Запишіть як нескінченний періодичний
1. 5 = 5,0000… = 5,(0), період
2. 1 0,20,20000...0,2(0) 5 == = , період дробу — число 0.
3.
4. 1 0,142857142857142857...0,(142857) 7 = = , період дробу — число 142857.
Числа, які не можна подати
Ні. Наприклад, число 10010 = є раціональним числом, більше того, є натуральним числом.
5. Дійсні числа
Запам’ятайте!
множина раціональних чисел
нальних чисел, називається множиною
сних чисел.
Множина раціональних чисел є підмножиною дійсних чисел: Q ⊂ R.
Множина ірраціональних чисел є підмножиною
чисел: І ⊂ R.
Кожне дійсне число є
ірраціональним числом.
раціональним числом,
Співвідношення між натуральними, цілими, раціональними, ірраціональними
малюнку 40.
Задача 2
Серед чисел 0, 19 , 0,09, 12, 81 укажіть числа:
1) натуральні;
2) цілі;
3) раціональні;
4) ірраціональні;
5) дійсні.
Розв’язання
1. Натуральними є числа 12 і 81 , оскільки 819. =
2. Цілими є числа 12, 81 і 0.
3. Раціональними є числа 0, 0,09, 12, 81 .
4. Ірраціональним є число 19 .
5. Дійсними є всі дані числа: 0, 19 , 0,09, 12, 81 .
Кожне натуральне число є і цілим числом, і раціональним числом, і дійсним числом;
кожне ціле число є як раціональним числом, так і
дійсним числом;
кожне ірраціональне число є дійсним числом;
не кожне дійсне число є раціональним числом;
не кожне дійсне число є ірраціональним числом.
Для дійсних чисел виконуються ті самі властивості додавання та множення, що й для раціональних чисел.
Задача 3
Порівняйте числа: 1) 2,34 і 2,(3); 2) 1,(41) і 2 .
Розв’язання
1. Подамо даний періодичний дріб у розгорнутому вигляді: Порівняємо дроби порозрядно: Отже, 2,(3) = 2,333… 2,34 > 2,333… 2,34 > 2,(3).
2. Подамо перший періодичний дріб у розгорнутому вигляді: Подамо
Отже, 1,(41) = 1,4141… 21,4142... = 1,4141… < 1,4142… 1,(41)2. <
Інакше можна сказати, що існує взаємнооднозначна відповідність між множиною точок координатної прямої та множиною дійсних чисел.
Між будь-якими двома цілими числами міститься нескінченна кількість як раціональних чисел, так і ірраціональних чисел, а отже, дійсних чисел.
Дізнайтеся більше
1. Терміни «раціональне число» та «ірраціональне число» походять від латинського слова ratio розум (буквальний переклад: «раціональне число розумне число», «ірраціональне число нерозумне число»).
2. Число π число, яке дорівнює
до довжини його діаметра. Про це число пишуть картини, знімають фільми, його «грають» на музичних інструментах, йому присвячують вірші та свята, його шукають і
у священних текстах, установлюють рекорди щодо його запам’ятовування. Так, китаєць Лю Прат установив рекорд із запам’ятовування послідовності цифр числа π. Протягом 24 год 4 хв Лю Прат назвав 67 890
коми, не допустивши жодної помилки. У світі святкують міжнародний день числа «Пі» 14 березня. Святкування починається рівно о 1 год 59 хв 26 с. Таким чином, дата (згідно із західною традицією, спочатку записують місяць, а потім день: 03.14) і час початку святкування відповідають першим знакам числа π 3,1415926.
Цікаво, що
(3.14.1879).
Вважають, що встановлення
1. Поясніть, що таке множина; підмножина. Наведіть приклади.
2. Як позначають множину натуральних
3.
1. Обчисліть:
1) 0,25 · 16 · 0,125 · 8; 2) 120 012 : 12 – 110 110 : 11.
2. Розставте у виразі знаки дій «+», «–», «:»,
та дужки так, щоб отримати правильну рівність:
1) 24 22 23 22 21 = 8; 2) 25 24 23 22 21 = 18; 3) 25 24 23 22 21 = 22.
Розв’яжіть задачі
578'. Назвіть елементи:
1) множини днів тижня;
2) множини планет Сонячної системи;
3) множини парних натуральних чисел, які
числа 10.
579'. Чи правильно, що:
1) множина днів тижня є підмножиною множини днів місяця;
2) множина, що складається із Землі та Місяця, є підмножиною множини планет Сонячної системи;
3) множина одноцифрових натуральних чисел є підмножиною
580'. Чи правильно, що дане число є елементом множини раціональних чисел:
1) 5; 3) 2 ; 5) 5,111…; 7) –5,1; 2) 0; 4) 9 ; 6) 4 7 ; 8) 3?
581'. Чи правильно, що
є
ірраціональних чисел: 1) 5; 3) 2; 5) 5,111…; 7) –5,1; 2) 0; 4) 9; 6) 4 7 ; 8) 3?
582°. Наведіть приклад множини та її
584°. Дано множину А = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Яка із заданих множин є підмножиною множини А: 1) В = {1; 5; 10}; 3) D = {10; 20}; 5) M = {6; 7; 8; 9}; 2) С = {2; 4; 6}; 4) E = {3}; 6) N = {1}?
585°. Дано множину М = {3; 6; 9; 12; 15}. Яка із заданих множин є підмножиною множини М: А = {3; 9; 27}, В = {6; 15}, С = {3; 30}?
586°. Запишіть усі підмножини множини: 1) А = {10; 20; 30}; 3) С = {–2; –1; 0; 1; 2}; 2) В = {100; 1000; 10000}; 4) M = { ; ; };
587°. Укажіть період числа: 1) 4,1111…; 6) –34; 2) 2,35; 7) 100,1; 3) 0,3535353…; 8) 99; 4) 5,7777…; 9) 9,010101…; 5) 2,123123123…; 10) 0,445566445566….
Запишіть дане число як періодичний дріб.
588°. Укажіть період числа:
1) 8; 3) 1,554444…; 2) 2,2222…; 4) 0,4235235235….
Запишіть дане число як періодичний дріб.
589°. Запишіть як нескінченний
десятковий дріб число: 1) 2,(8); 5) 21,88(9); 2) 19,(3); 6) 4,5(0); 3) 1,3(25); 7) 21,(0); 4) 5,9(87); 8) 5,101(12).
590°. Запишіть як нескінченний
десятковий дріб число: 1) 3,(4); 2) 5,5(12); 3) 7,54(0); 4) 6,(0).
591°. Запишіть як
число: 1) 1 ; 2 3) 5 ; 6 5) 5 ; 11 2) 3 ; 8 4) 1 ; 13 6) 2 1. 7
592°. Запишіть
1) 1 ; 3 2) 2 ; 5 3) 7 ; 9 4) 1 ; 15 5) 3 . 14
593°. Чи є правильним твердження:
1) 1 9 — дійсне число;
2) 5 — раціональне число;
3) –11 — дійсне число;
4) 2 7 — ірраціональне число;
5) –11 — раціональне число;
6) 5 — ціле число;
7) 2,4444… — ірраціональне число;
8) 1,55555… — дійсне число;
9) 7 — раціональне число;
10) π — ціле число;
11) π — дійсне число;
12) 121 — натуральне число?
594°. Чи є правильним твердження:
1) 2 3 — дійсне число;
2) –11 — дійсне число;
3) 5 — раціональне число;
4) 1 5 — ірраціональне число?
595°. Чи є правильним твердження: 1) 5 ∈ N; 6) –5 ∈ N; 11) 1 5 ∈ N; 16) 5 ∈ N; 2) 5 ∈ ℤ; 7) –5 ∈ ℤ; 12) 1 5 ∈ ℤ; 17) 5 ∈ ℤ; 3) 5 ∈ Q; 8) –5 ∈ Q; 13) 1 5 ∈ Q; 18) 5 ∈ Q; 4) 5 ∈ І; 9) –5 ∈ І; 14) 1 5 ∈ І; 19) 5 ∈ І; 5) 5 ∈ R; 10) –5 ∈ R; 15) 1 5 ∈ R; 20) 5 ∈ R?
596°. Чи є правильним твердження: 1) 2 ∈ N; 3) 2 ∈ Q; 5) 2 ∈ R; 2) –2 ∈ ℤ; 4) 1 8 ∈ І; 6) 16 ∈ N?
597°. Серед чисел –0,(4), 1, 9 3 , 0, 1 2 , 4, 3 5 , 1,0333…, 9,
6 , 6 оберіть числа:
1) натуральні; 2) цілі;
3) раціональні; 4) ірраціональні.
598°. Серед чисел 12 6 , –3,(9), 0, 25 , 7,8888…, –5, 2 , 1 3 , 8 , 22, 17 2
оберіть числа: 1) натуральні;
2) цілі; 3) раціональні; 4) ірраціональні; 5) дійсні.
599°. Наведіть приклад числа, яке:
1) є дійсним, але не є раціональним;
2) є раціональним, але не є цілим; 3) є від’ємним ірраціональним.
600°. Наведіть приклад числа, яке:
1) є дійсним, але не є ірраціональним;
2) є раціональним, але не є натуральним.
601°. Визначте, скільки між числами –7 і –4 міститься чисел: 1) натуральних; 4) ірраціональних; 2) цілих; 5) дійсних.
3) раціональних;
602°. Порівняйте числа: 1) 4,105 і 5,01; 5) 10 і 9,(9); 2) 3,056 і 3,0(5); 6) 4,3(4) і 4,4(3); 3) 5,1412 і 5,(14); 7) 0,0(5) і 1,00(5); 4) 3,056 і 3,0(6); 8) 3,056 і 3,0(5).
603°. Порівняйте числа: 1) 15 і 15,(1); 2) 5,342 і 5,333…; 3) 0,165 і 0,16(5); 4) 2,999… і 2,(10).
604°. Чи є підмножиною множини ℤ дана множина: 1) А = {1; 2; 3}; 2) С = {0}; 3) D = {–1; 1}; 4) В = {х | х — парне
605. Чи є підмножиною множини І дана множина:
1) А = {1; 2 ; 3}; 3) С = {х | х — раціональне число};
2) В = { 3 }; 4) М = {х | х — дійсне число}?
606. Чи є правильним твердження: 1) N ⊂ І; 2) І ⊂ Q; 3) Q ⊂ ℤ; 4) Q ⊂ R; 5) R ⊂ І; 6) Q ⊂ І?
607. Дано множини: А = {–5; –4; –3; –2; –1; 0}, В = {0; 1; 2; 3; 4; 5}, С = {–4; –2; 2; 4}, D = {0}. Запишіть множину:
1) M, для якої М ⊂ А і М ⊂ С; 2) Р, для якої А ⊂ Р і В ⊂ Р;
3) N, для якої N ⊂ А і N ⊂ В; 4) H, для якої А ⊂ Н, В ⊂ Н і D ⊂ Н.
608. Порівняйте числа:
1) 0,(8) і 3 ; 8 3) 0,(18) і 1 ;
і
609. Порівняйте числа:
1) 0,0(6) і 1 ; 16 2) 0,(45) і 5 ; 11 3) 0,1(4) і 1 ; 7 4) 0,(7) і
610*. Значення виразу 1741521072
є ірраціональним числом. Доведіть.
611*. За яких значень х значення виразу 5 x є ірраціональним числом, якщо x — ціле невід’ємне число?
612*. Визначте, як відносяться до діаметра кола периметри вписаного в
1. Що таке ірраціональний вираз
Ситуація. Сергій побудував фрактал (мал. 41) і вивів формулу для обчис-
лення площі цієї фігури:
S = a2 + 4b2 + 12с2 ,
де а сторона квадрата 1, b сторона квадрата 2,
с сторона квадрата 3.
З неї Сергій вирішив вивести формулу для обчислення сторони а квадрата 1 й отримав вираз: 22 412.=−− aSbc
Вирази, що містять
ірраціональним? Так.
корені з чисел, числових виразів чи виразів зі змінними, є різновидом ірраціональнихвиразів.
Наприклад, 4 2,129,2, 1 x x +⋅− + — ірраціональні вирази. З іншими видами ірраціональних виразів ви ознайомитеся в наступних класах.
2. Допустимі й недопустимі значення змінної ірраціонального виразу
має зміст; якщо х = –5, то
з від’ємного числа;
якщо х = –1, то 4444
втрачає зміст, оскільки на нуль
3.
діяти, щоб перетворювати ірраціональні вирази? Спираючись на їхні
1
множники вираз: 1) 3; aba 2) ;aab + 3) х2 – 3; 4) х – 4, якщо x > 0. Розв’язання
1. Винесемо за дужки a . Тоді: () 3 3.aab ba −=−
2. Скористаємося формулою ()2 aa = . Тоді: () () () 2 11. aaa ababbba aa +=+=+⋅=+
3. Скористаємося формулою ()2 aa = та формулою різниці квадратів. Тоді: () () () 2 22 3. 3
4. Скористаємося
на основні властивості. Задача 2 Внесіть множник під
1. Якщо а
Під час внесення множника під знак кореня необхідно враховувати, яким саме є цей множник: додатним, від’ємним чи таким, що дорівнює нулю.
Як діяти, щоб винести множник з-під знака кореня?
Спираючись
Задача 3
Винесіть множник з-під знака кореня: 1) 2 2y , якщо у > 0; 2) 2 2y , якщо у < 0; 3) 43 xy .
Розв’язання
1. Скористаємося властивістю: 2 yy = . Оскільки
2. Скористаємося
3. Оскільки підкореневий вираз
значить, у ≥ 0. Звідси:
Під час винесення множника з-під знака кореня необхідно враховувати, яким саме є цей множник: додатним, від’ємним чи таким, що дорівнює нулю.
5. Ірраціональність у знаменнику дробу
таке ірраціональністьузнаменнику дробу?
Задача
Звільніться
1)
Розв’язання
1.
Задача 5 Розв’яжіть рівняння:
1) (х + 2)2 = 9; 3) 23; x += 5) ()320.xx++=
2) (х + 2)2 = 3; 4) 23; x +=−
Розв’язання
1. Рівняння виду х2 = а (а ≥ 0) має два корені, які є протилежними числами. Тоді: (х + 2)2 = 9, х + 2 = 3 або х + 2 = –3, х = 1 або х = –5.
Отже, коренями рівняння є числа 1 і –5.
2. Рівняння виду х2 = а (а ≥ 0) має два корені, які є проти-
лежними числами. Тоді: (х + 2)2 = 3, 2 3 x += або 2 3 x += , 32 x =− або 32.
Отже, коренями рівняння є числа
два числа можна подати разом: 32.±−
3. За означенням арифметичного квадратного кореня маємо: 23 x + = , x + 2 = 9, x = 7.
Справді, 723 += . Отже, коренем рівняння є число 7.
4. Квадратний корінь не може набувати від’ємних значень, тому рівняння 2 3 x + = не має коренів.
5. Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. ()320,xx++= x + 3 = 0 або 20, x += х = –3 або х + 2 = 0, х = –2. Якщо х = –3, то вираз 2 x + втрачає зміст,
враховувати, що не всі значення змінних є допустимими; будь-які перетворення ірраціональних виразів здійснюємо на ОДЗ їхніх змінних; знайдені корені необхідно перевірити
на їх належність до ОДЗ змінних даного рівняння,
становкою в дане рівняння.
Пригадайте
1. Наведіть приклад ірраціонального виразу.
2. Наведіть приклад значення змінної, яке є недопустимим для обраного вами ірраціонального виразу.
3. За якої умови має зміст вираз ; A 1 ? A
4. Які властивості арифметичного квадратного кореня справджуються для ірраціональних виразів?
5. Які вирази називають взаємно спряженими?
6. Поясніть, як внести множник під знак кореня.
7. Поясніть, як винести множник з-під знака кореня.
8. Наведіть приклад дробу, що містить ірраціональність у знаменнику.
9. Поясніть, як звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу.
1 A , якщо: 1) А < 0; 2) А = 0; 3) А > 0; 4) А ≤ 0; 5) А ≥ 0?
618'. Чи є правильним співвідношення: 1) 0; A < 2) 0; A = 3) 0; A > 4) 0? A ≥
619'. Чи правильно, що: 1) ()2 0; A < 2) ()2 0; A = 3) ()2 ;AA =− 4) ()2 ;AA =
5) 2 ; AA = 6) ()2 ; AA−= 7) 2 ;AA = 8) ()2 ? AA−=−
Чи правильно, що: 1) ;ABAB ⋅=⋅ 4) ; AA BB =
Чи має зміст вираз:
1) 2 x , якщо х = 0; 10) 81 x , якщо х = 0; 2) 3 x + , якщо х = –3; 11) 72x , якщо х = 4; 3) 1 x , якщо х = 2; 12) 2 3 x , якщо х = –1?
4) 4x , якщо х = –5;
5) 2x , якщо х = 4;
6) x , якщо х = 3;
7) 9x , якщо х = –1; 8) 510 x , якщо х = 1; 9) 24 x + , якщо х = –1;
622°. Чи має зміст вираз:
1) 1 x + , якщо х = –1; 4) 6x , якщо х = 0;
2) 8 x , якщо х = 7; 5) 10x , якщо х = 2; 3) 20 x , якщо х = –21; 6) 153x , якщо х = 4?
623°. Чи має зміст вираз 1 8 x −+ , якщо:
1) х = –10; 5) х = 1; 2) х = –6; 6) х = 8; 3) х = –1,2; 7) х = 10; 4) х = 0; 8) х = 20?
624°. Чи має зміст вираз 1 3 x + , якщо:
1) х = –5; 3) х = 0; 5) х = 10; 2) х = –3; 4) х = 3; 6) х = –0,1?
625°. Який із
1) 7; x 4) 213; x 7) ()2 10 ; 10 x x + 2) 2; x 5) 590 ; 2 x −+ 8) 1 ; 20 x x +
626°. Який із
якщо х = 5:
1) 1; x 3) 217; x 5) 2 5 ; 1 x x 2) 5; x 4) 5 ; 330 x −+ 6) 2 ? 2 x xx
627°. Спростіть вираз:
1) ()2 3; x 3) ()2 27; x 5) 2 5 ; 5 x
2) ()2 9; x + 4) ( )2 2 4; x 6) 2 4 . 16 x x +
628°. Спростіть вираз:
1) ()2 5; x 2) ()2 1012; x + 3) ( )2 2 ; xx + 4) 2 . 7 x x +
629°. Розкрийте дужки та спростіть вираз:
1) ()15; pp 8) () () ; aaaa +− 2) () 25;nn + 9) () () 55; mnmn +−
3) () 3; ac + 10) ()2 1; x +
4) () () 72;nn+− 11) ()2 4; a
5) () () 22; xyxy +− 12) ()2 3; m +
6) () () 11;aa+− 13) ()2 2;xy
7) () () ; xyyx +− 14) ()2 . xz +
630°. Розкрийте дужки
1) ()6; nn + 5) ()2 2; y
2) () () 36;aa+−
3) () () 88;yy+−
6) ()2 1; a
7) ()2 ; yz
4) () () 3232; xyxy +− 8) ()2 10. y +
631°. Розкладіть на множники:
1) 2;aaa
2) 25; xxx +
3) 9; mnm
4) 4;xyx +
5) 615; aaa
6) 12 ; nmnnn
7) 2 2; ppppp +− 13) х – 25, якщо х ≥ 0; 8) 2; mnmpnmnn −+ 14) х – 100, якщо х ≥ 0; 9) 2; xx + 15) х2 – 5; 10) ;mm 16) х2 – 10; 11) ; nmmn 17) х – 2, якщо х ≥ 0; 12) 22; yyx 18) х – 30, якщо х ≥ 0.
632°. Розкладіть на множники:
1) 3; xxx 6) х – 36, якщо х ≥ 0; 2) ; aaca + 7) х2 – 7; 3) 2;aa + 8) х2 – 3; 4) 55; aa 9) х – 26, якщо х ≥ 0; 5) 46; pmmp 10) х – 11, якщо х ≥ 0.
633°. Спростіть вираз: 1) ; mn m 2) ; y xy 3) 5 ; 45 d d 4) . cd ad
634°. Спростіть вираз:
1) 2 ; 2 ap a 2) . mn am
635°. Спростіть вираз:
1) ; mnn mn 8) 22 ; xy xy + + 15) 2 5 ; 5 a a +
2) ; xyy xx 9) 88 ; 22 xy xy + + 16) 2 10 ; 10 m m
3) 55 ; 4545 db db + + 10) 33 ; 2727 ab ab 17) 7 ; 7 x x
4) ; cdcb adab + + 11) 1 ; 1 x x + 18) 6 ; 6 a a +
5) ; x xx 12) 4 ; 2 y y + 19) 11 ; 11 m m +
6) 5 ; aa a + 13) 5 ; 25 m m 20) ; mn nmmn + 7) 2 ; m mm 14) 2 3 ; 3 x x 21) . mn mnnmnm ++
636°. Спростіть вираз: 1) 2 ; y yy + 4) ; 1 mnm n + + 7) 2 7 ; 7 n n
2) ; 3 c cc 5) 2 ; 2 mpp maa + + 8) 19 . 19 x x +
3) 1212 ; 33 mn mn 6) 25 ; 5 y y + 637°. Внесіть множник
1) 2; x 2) 5; y 3) 6; a 9) 5 mm ; 4) 2xy , якщо х > 0; 10) 2 3; yx 5) 2xy , якщо х < 0; 11) 4 2; ac 6) 3 3an , якщо а < 0; 12) mmn , якщо m > 0; 7) 3 3an , якщо а > 0; 13) mmn , якщо m < 0; 8) 2 mm , якщо m < 0; 14) 3 2xyz , якщо x < 0, y > 0.
638°. Внесіть множник
1) 5; c 3) 2, mn якщо m > 0, n > 0; 2) ca , якщо с < 0; 4) 3, mn якщо m < 0, n > 0.
639°. Винесіть множник з-під знака кореня:
1) 2 2x , якщо х > 0; 7) 22 5xy , якщо х < 0, у > 0;
2) 2 3a , якщо а < 0; 8) 22 50xy , якщо х > 0, у ≥ 0;
3) 2 8m , якщо m > 0; 9) 22 50xy , якщо х < 0, у < 0;
4) 2 ab , якщо а < 0; 10) 4 18xy ;
5) 2 ab , якщо а > 0; 11) 84 ; xyz
6) 22 5xy , якщо х > 0, у < 0; 12) 2016 . abc
640°. Винесіть множник з-під знака кореня:
1) 2 7 y , якщо у > 0;
2) 2 7 y , якщо у < 0;
3) 22 12ab , якщо а < 0, b > 0;
4) 22 12ab , якщо а > 0, b < 0;
5) 22 12ab , якщо а > 0, b > 0;
6) 22 12ab , якщо а < 0, b < 0; 7) 8 27; mn 8) 420 32. xy
641°. Звільніться
1) 1 ; 5 4) 10 ; 10 7) 1 ; m 10) 1 ; mn
2) 1 ; 8 5) 14 ; 7 8) 2 ; n 11) 1 ; 1 x
3) 4 ; 35 6) 2 ; 11 9) ; y y 12) 1 . 5 m +
642°.
1) 1 ; 3 3) 17 ; 17 5) ; 2 a b 7) 1 ; 2 y 2) 5 ; 15 4) 1 ; x 6) 2 ; z z 8) 1 . 81 x +
643°. Спростіть вираз: 1) 34 ; cc 3) 21 ; 88 xx ++ 2) 52 ; pp 4) 168 . 1 11 x xx −+
644°. Спростіть вираз: 1) 21 ; aa + 2) 43 . 11xx++
645°. Розв’яжіть рівняння:
1) х2 = 1; 6) х2 = 15; 11) х2 = –1; 2) х2 = 36; 7) х2 – 64 = 0; 12) х2 = –29; 3) х2 = 0; 8) 2х2 – 42 = 0; 13) х2 = –62; 4) 3х2 = 9; 9) х2 – 81 = 0; 14) х2 = –100; 5) х2 = 11; 10) х2 – 17 = 0; 15) х2 + 13 = 0; 16) х2 + 40 = 0; 17) 0,1x2 + 1,6 = 0; 18) 2 160. 4 x −=
646°. Розв’яжіть рівняння:
1) х2 = 49; 3) 4х2 = 8; 5) х2 – 9 = 0; 7) х2 = –3; 2) х2 = 64; 4) х2 = 7; 6) х2 – 5 = 0; 8) х2 + 12 = 0.
647°. Розв’яжіть рівняння:
1) 2; x = 4) 290; x −−= 7) 340; x ++= 2) 10; x = 5) 127; x −= 8) 390; x += 3) 260; x −= 6) 213; x +=− 9) 2960. x −++=
648°. Розв’яжіть рівняння:
1) 5; x = 3) 278; x += 5) 3030; x +=− 2) 40; x −= 4) 120; x −−= 6) 0. x =
649. Чи за будь-яких
1) 2 ; x 3) ()2 7; x 5) 1 ; x 7) ; 41 x x + 2) ()2 5; x −+ 4) 2 69;xx−+ 6) 5 ; 12 x 8) 3 ? 3 x x +
650. Чи за будь-яких
1) 2 ; x 3) 1 ; 10 x +
2) ()2 1; x 4) 1 ? 1 x x +
Якщо так, то вкажіть кілька таких значень змінної та обчисліть відповідні значення виразу.
651. Спростіть вираз:
1) () () 22 33;xx++−
2) () () 22 5252;aa+−−
3) () () 22 212; yy+−−
4) () () ()2 444;xxx +−−−+
5) () () () 2 ; mnmnmn +−+−
6) () () ()2 . xyxyxy +−−−−
652. Спростіть вираз:
1) () () 22 22;aa++−
2) () () () 2 . yxyxyx −−+−
653. Спростіть вираз: 1) 11 ; 1 aa + 4) 12 ; 3322mnmn + ++ 2) 11 ; 2 xx + 5) 11 ; 2222aa++ 3) 11 ; xyxy +− 6) . 11 xx xx+−
654. Спростіть вираз: 1) 55 ; 55aa+− 3) 111 ; 11 11 mm
2) 1 ; 25 5 m mm 4) 5 . 5 5 pp pp + +
655. Спростіть вираз: 1) 33 ; 33 aa aa +− −+ 3) 11 ; 11 xx xx +− + −+ 2) ; mpmp mppm +− + −+ 4) 24 . 4 2 mnmn mnmn ++
656. Спростіть вираз: 1) 22 ; 22 nn nn −+ +− 2) . xyxy yxxy +− + −+
657. Спростіть вираз: 1) 3 1 455 ; aa bb ⋅ 4) 56 27 12 ; 3 xy yx ⋅ 2) 3 1 455 :; aa bb 5) 5 24 8 1; 9 17 xyxy zz ⋅⋅ 3) 56 27 12 :; 3 xy yx 6) 334 4546 . abcd cdaca ⋅⋅
658. Спростіть вираз: 1) 33 55 32 ; 2 cc aa ⋅ 2) 33 55 32 :. 2 cc aa
659. Внесіть множник під знак кореня: 1) ; xx 4) 22 ; mnnm 2) 2 3; yx 5) ; nmmn +− 3) 323abab , якщо a < 0; 6) 2 34. pmp +
660. Внесіть множник під знак кореня: 1) 3;aa 2) 42 ; pccp 3) ; acac 4) . xyx
1) 2 8; n 3) 83 0,01; ab 5) 4 63 ; p mn 2) 487 18; xyz 4) 3 10 8 ; 125 x
1) 2 54; x 2) 25 0,4; xy 3) 5 12 12 ; 49 x y 4) 12 10 . p mn
663. Звільніться
1) 1 ; 12 3) 4 ; 75 5) 2 ; 112 7) 1 ; 2 x 2) 7 ; 23 + 4) 7 ; 103 + 6) 3 ; 52 + 8) 1 . yx +
664. Звільніться
1) 1 ; 15 + 3) 2 ; 53 5) 1 ; 1 m + 2) 3 ; 72 4) 3 ; 85 + 6) 1 . ac
665. Розв’яжіть рівняння:
1) (х + 1)2 = 64; 6) (х – 9)2 – 3 = 0;
2) (х – 3)2 = 5; 7) (х + 5)2 – 5 = 0; 3) (х – 10)2 = 0; 8) (х – 10)2 + 320 = 0; 4) (х + 12)2 – 36 = 0; 9) (х + 8)2 + 8 = 0; 5) (х + 9)2 – 81 = 0; 10) –(x – 10)2 – 10 = 0.
666. Розв’яжіть рівняння:
1) (х + 2)2 = 4; 4) (х + 4)2 – 3 = 0;
2) (х – 9)2 = 100; 5) (х – 7)2 – 11 = 0;
3) (х – 25)2 = 0; 6) (х + 7)2 + 49 = 0.
667. Розв’яжіть рівняння:
1) (2х + 1)(х + 1) – 3х = 4х2; 2) (х + 1)(х – 1) = 2х2; 3) (5х + 1)(х + 2) – 6х2 – 11х = 0; 4) (–х + 5)(х + 4) = х (х + 1).
668. Розв’яжіть рівняння: 1) (3х + 1)(х – 3) + 8х = 2х2; 2) (х + 2)(х – 2) – 3х2 = 0; 3) (2х + 1)(х + 3) = х(х + 7).
669. Розв’яжіть рівняння: 1) 29;xx+= 4) 25160; xx−= 2) 954; xx−= 5) 35340;xx+−++= 3) 499; xx−= 6) 1318.xx+++=
670. Розв’яжіть рівняння: 1) 3210; xx+= 3) 16250; xx−= 2) 36;xx−= 4) 575120.xx+−++=
671. Розв’яжіть рівняння:
1) () () 112; xxx −+=−
2) () () 335; xxx −+=−
3) () () () () 2245;xxxx +−=−+
4) () () () () 2727465; xxxx −+=−+
5) ()2 526; xx −=+ 6) ()2 228. xx −=+
672. Розв’яжіть рівняння:
1) () () 222; xxx −+=−
2) () () () () 5576;xxxx +−=−+
3) ()2 1530.xx−−=−
673. Розв’яжіть рівняння:
1) ()120;xx+−= 5) () () 110;xx+−=
2) ()110;xx−−= 6) () () 110;xx−−=
3) 100; xx −= 7) ()100; xx −=
4) 40; xx += 8) 20. xx =
674. Розв’яжіть рівняння:
1) ()330;xx+−= 3) ()20; xx −=
2) ()330;xx−+= 4) 10. xx −=
675*. Спростіть вираз:
1) ()2 1 x , якщо х > 2; 5) 2 69xx−+ , якщо х > 9; 2) ()2 12 x + , якщо х > 20; 6) 2 21xx−+ , якщо х > 5; 3) ()2 8 x , якщо х < 0; 7) 2 816xx−+ , якщо х < 0; 4) ()2 2 8 x + ; 8) 2 44xx++ , якщо х < –4. 676*. Спростіть вираз:
1) () () 2 42;xx 2) 321025. xxx ++
677*. Спростіть вираз:
3) 2 2 2 11 ; 11 xx x xx ++−
678*. Обчисліть:
1) 111 ... ; 12232425 +++ +++ 2) 111 ... ; 122399100 +++ +++ 3) 111 ...
1) 1 ; 132 +− 3) 1 ; 3710 +− 2) 1 ; 235 ++ 4) 1 . 236 ++
680*. За яких значень а рівняння
розв’язків: 1) (х + 24)2 = а; 3) (х – 9)2 + 7 = а; 2) (х – 14)2 = а; 4) (х + 2)2 + 9 = а?
681*. За яких значень а рівняння
1) (х + 17)2 = а; 3) (х – 9)2 = а – 5; 2) (х – 3)2 = а + 1; 4) (х + 32)2 + 4 = а2?
682*. Для всіх
1) (х + 8)2 = а; 4) (х + 9)2 + 1 = а; 2) (х – 12)2 = а; 5) х2 + 4х + 4 = а; 3) (х – 25)2 = а + 4; 6) х2 + 6х + 9 = а.
683*.
1. Як задати функцію
Ситуація. Катерина записала формулу для знаходження сторони а
квадрата за його площею: = aS .
А далі міркувала так. Зі зміною площі
квадрата відповідно змінюється й
довжина його сторони, тому площа
квадрата S є незалежною змінною, а довжина а сторони квадрата залежною змінною. Оскільки кожному значенню S відповідає єдине значення а, то формула задає функціональну залежність.
Якою є область визначення функції yx = ?
Поміркуємо.
Функцію yx = задає вираз x , який втрачає зміст, якщо х < 0. Тому областю визначення функції yx = є множина невід’ємних чисел.
Коротко записуємо: D (у): х — будь-яке невід’ємне число, або x ≥ 0.
Якою є область значень функції yx = ?
Поміркуємо.
Оскільки для будь-якого х ≥ 0 вираз x набуває невід’ємних значень, то y ≥ 0. Тому областю значень функції
натній чверті.
4. Властивості функції Які властивості має функція yx = ? Проаналізуємо її графік (мал. 42).
Властивості функції yx = :
1. D (у): х — будь-яке невід’ємне число, або x ≥ 0.
2. Е (у): у — будь-яке невід’ємне число, або у ≥ 0.
3. (0; 0) — точка перетину графіка з осями координат.
4. Функція набуває додатних значень для будь-яких значень
Крок 3. Побудовані
(мал. 44).
Мал. 43 Мал. 44
Задача 1 Чи проходить графік функції yx = через точку:
1) А (16; 4); 2) В (4; –2)?
Розв’язання
1. Підставимо координати точки А (16; 4) у формулу yx = . Маємо: 416 = .
Отже, графік функції yx = проходить через точку А.
2. Спосіб1. Підставимо координати точки В (4; –2) у формулу yx = . Маємо: 242−≠= .
Отже, графік функції yx = не проходить через точку В. Спосіб2. Точка В (4; –2) лежить у IV координатній чверті, а графік функції yx = — у І координатній чверті. Отже, графік функції yx = не
з’ясувати, чи проходить
Визначимо
Словничок
УкраїнськаАнглійська/ English
qr.orioncentr.com.ua/RQYO6
Deutsch
Français
квадратний корінь square rootQuadratwurzel (f) racine carrée
1. Яка область визначення функції = yx ?
2. Яка область значень функції = yx ?
3. Що є графіком функції = yx ?
4. Як розміщується в системі координат графік функції = yx ?
5. Назвіть властивості функції = yx .
Усне тренування
1. Обчисліть: 1) 0,22 – 1,22; 2) 4 · 1,52 · 160; 3) (8 + 22 · 0,25)2; 4) (3,12 – 1,92)3.
2. Знайдіть середнє
чисел: 1) 9,6 і 2,4; 3) 0,2 і 1 4; 5 2) 22,3, 12,5 і 18,2; 4) 6,21, 5 1, 7 3,79 і 2 3. 7
686°. Функцію задано формулою yx = . Накресліть у зошиті таблицю 29 та заповніть її.
01,211,962,893,614,848,419
687°. Функцію задано формулою yx = . Накресліть у зошиті таблицю 30 і заповніть її. Таблиця30 х 11,442,253,246,259,6120,25 у
688°. Чи правильно, що графік функції yx = проходить
через точку:
1) A (4; 2); 3) C (6,25; 5); 5) M (1,44; –1,2); 2) B (0; 0); 4) D (0; 4); 6) N (–9; 3)?
689°. Чи правильно, що графік функції yx =
через точку:
1) A (16; 4); 2) B (1; 1); 3) C (2,25; –1,5); 4) D (–4; 2)?
690°. Чи належить графіку функції yx = точка:
1) А (1; 1); 2) В (81; 9); 3) C (100; 10); 4) D (25; –5); 5) M (0,01; 0,1); 6) N (0,3; 0,09)?
691°. Чи належить графіку функції yx = точка:
1) K (0; 0); 3) M (49; 7); 2) L (36; –6); 4) N (0,04; 0,2)?
692°. На малюнку 46 зображено
1) x = 1,5; 2; 5; 2) y = 1,5; 2,5; 2,7.
Мал. 46
693°. На малюнку 46 зображено графік функції yx = . За
графіком знайдіть:
1) значення y, якщо x = 1,5; 2; 5; 2) значення x, якщо y = 1,5; 2,5; 2,7.
694°. Чи перетинає графік функції yx = пряма:
1) х = 4; 2) х = –9; 3) x = 49; 4) у = 5; 5) y = –4; 6) y = 3?
Якщо так, то вкажіть координати точки перетину.
695°. Чи перетинає графік функції yx = , зображений
малюнку 46, пряма:
1) х = 1; 2) x = –1; 3) y = 2; 4) y = –1?
Якщо так, то вкажіть координати точки перетину.
696°. Побудуйте в одній системі координат графі-
ки функцій: 1) yx = і y = 1; 2) yx = і y = 0.
Скориставшись графіками функцій, знайдіть координати точок їх перетину, якщо це можливо.
697°. Побудуйте в одній системі
графіки функцій: 1) yx = і y = 4; 2) yx = і у = –3. Скориставшись
дорівнює 27.
705. Знайдіть такі точки графіка функції yx = , у яких абсциса на 12 більша, ніж ордината.
706. Чи можна знайти
707. Назвіть найменше та
1) 4 ≤ х ≤ 25; 2) 0 ≤ х ≤ 80; 3) 6 ≤ х ≤ 20; 4) 9 ≤ х ≤ 22. 708.
yx = , яке є натуральним
якщо: 1) 1 ≤ х ≤ 36; 2) 5 ≤ х ≤ 28.
709. Розмістіть
1) 1,3,1,5,0,8,1; 3) 1212 3,3,3,3; 3745
2) 2,5,3,2,4,8; 4) 3 10,100,102,100,5. 4
710. Розмістіть у
числа: 1) 4,1,2,3,8,4,5; 2) 2314 2,2,2,2. 5427
711. Розв’яжіть
1) ; 3 x x = 2) 2 ; xx = 3) 1 ; x x = 4) . 2 x x =
712. Розв’яжіть графічно рівняння: 1) 26;xx=− 2) 8 . x x =
713*. Побудуйте
714*. Скільки розв’язків має рівняння в залежності
параметра а:
715. Сергійко проводив експерименти щодо вільного падіння м’ячика. Швидкість вільного падіння тіла задається формулою 2 vgH = , де v — швидкість; Н — висота; g — прискорення вільного падіння (g ≈ 9,8 м/с2).
1. М’ячик падає з висоти 1 м. З якою швидкістю він упаде на землю?
2. У скільки разів збільшиться
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
1. Поясніть, що таке множина; підмножина. Наведіть приклади.
2. Які числа називають ірраціональними; дійсними?
3. Як позначають множину натуральних чисел; цілих чисел; раціональних чисел; ірраціональних чисел; дійсних чисел?
4. Як пов’язані між собою раціональні, ірраціональні та дійсні числа?
5. Сформулюйте означення квадратного кореня з числа a.
6. Що називають арифметичним квадратним коренем із числа а?
7. Як називають дію знаходження
8.
9.
запропонованих відповідей правильну. Для виконання тестового завдання потрібно 10–15 хв.
1°. Яким є число 16 ? 23
А. Дійсним числом. Б. Раціональним числом. В. Цілим числом. Г. Натуральним числом.
2°. Розв’яжіть рівняння х2 = 25.
А. 5. Б. 25. В. 25, –25. Г. 5; –5.
3°. Яка з точок належить графіку функції = yx ?
А. А (4; 2). Б. В (2; 4). В. C (1; 0). Г. D (–4; 2).
4. Звільніться від ірраціональності
які рівняння називаються квадратними;
як розв’язувати квадратні рівняння;
про теорему Вієта та її застосування;
що таке квадратний тричлен;
як розкласти квадратний тричлен на множники;
як розв’язувати рівняння, що зводяться до квадратних;
що таке математична модель прикладної задачі;
як розв’язувати прикладні задачі методом математичного
моделювання;
як застосовувати вивчений матеріал на практиці
1. Що таке квадратне рівняння
Ситуація. Поряд із будинком,
де мешкає Василь, розташований міський парк прямокутної форми, площа якого 270 000 м2 Довжина парку на 150 м більша за його ширину. За вказівкою тренера, Василь на ранковій пробіжці має пробігати не
менш ніж 2 км.
Чи виконає Василь
рівняння:
Отже, необхідно розв’язати це рівняння. Таке рівняння є квадратним.
Запам’ятайте!
Квадратним рівнянням називається рівняння виду ax2 + bx + c = 0, де x змінна, a, b і с деякі числа, причому а ≠ 0.
Чому накладають умову, що а ≠ 0? Інакше рівняння не є квадратним.
Справді, якщо а = 0, то рівняння 0 · x2 + bx + c = 0 набуває вигляду: bx + c = 0. А це — лінійне рівняння.
Числа a, b і с називають коефіцієнтамиквадратного рівняння. Число a — це перший коефіцієнт, b — другий коефіцієнт, с — вільний член.
Наприклад, у рівнянні х2 + 150х – 270 000 = 0 коефіцієнти такі: a = 1, b = 150, с = –270 000.
Чи можуть коефіцієнти b і с у квадратно-
називають неповнимиквадратнимирівняннями. Наведемо приклади
Зведене квадратне рівняння
2. Розв’язування квадратних рівнянь способом виділення квадрата двочлена
Пригадайте, щоб розв’язати рівняння (x – 1)2 = 4, необхідно розглянути два випадки: х – 1 = 2 або х – 1 = –2.
Тобто в лівій частині квадратного рівняння варто виділитиквадратдвочлена: (x ± m)2 = x2 ± 2xm + m2 .
Тоді зможемо розв’язати рівняння. Розглянемо, як це робити, на прикладі рівняння із ситуації.
Задача 1 Розв’яжіть рівняння х2 + 150х – 270 000 = 0. Розв’язання
1. Перенесемо вільний член –270 000 у праву частину рівняння: х2 + 150х = 270 000.
2. Подамо другий доданок 150х як подвоєний добуток двох множників: х2 + 2 · 75 · х = 270 000. Число 75 — другий член шуканого двочлена.
3. Доповнимо ліву частину рівняння до повного квадрата двочлена. Для цього до обох частин рівняння додамо 752: х2 + 150х + 752 = = 270000 + 752
4. Згорнемо ліву частину рівняння у квадрат двочлена, а
5. Подамо праву
(х + 75)2 = 275625
Повертаємося до умови ситуації
розв’язки.
числом, то шукана ширина дорівнює 450 м. Тоді довжина парку: 450 + 150 = 600 (м). Периметр парку дорівнює (450 + 600) · 2 = 2100 (м), або 2 км 100 м. Отже, Василь виконає завдання тренера під час ранкової пробіжки, якщо оббігатиме парк уздовж огорожі.
Щоб застосувати спосіб виділення квадрата двочлена, спочатку подайте квадратне рівняння у вигляді: (х ± m)2 = n, де m і n — деякі числа.
Cпосіб виділення квадрата двочлена легше застосовувати до зведеного квадратного рівняння. Задача 2 Розв’яжіть рівняння:
1. Утворимо зведене квадратне рівняння:
2. Перенесемо вільний член рівняння у
частину:
3. Подамо другий доданок як подвоєний добуток двох множників:
4. Доповнимо ліву частину рівняння до повного квадрата двочлена:
5. Згорнемо ліву частину рівняння
7.
Чи завжди рівняння (х ± m)2 = n має розв’язки?
Ні.
Якщо n — від’ємне число, то розв’язків немає.
Залежно від значення n квадратне рівняння вигляду (х ± m)2 = n: має розв’язки, якщо n ≥ 0; не має розв’язків, якщо n < 0.
Дізнайтеся більше
Уже в другому тисячолітті
вилоні
могою геометричних побудов. Методи, які не пов’язані з геометрією, уперше запропонував Діофант Александрійський у III ст. У своїх книгах «Арифметика» вчений навів приклади розв’язування неповних квадратних рівнянь. Задачі, які розв’язують за допомогою квадратних рівнянь, трапляються в трактаті з астрономії «Аріабхаттіам», що написав індійський астроном і математик Аріабхата в 499 р. н. е. Правило знаходження коренів рівняння, зведеного до вигляду ax2 + bx = c, уперше сформулював індійський вчений Брахмагупта (близько 598 р.). Це правило за своєю суттю збігається із сучасним.
qr.orioncentr.com.ua/prhsB
рівняння quadratic equation quadratische Gleichung (f) équation quadratique
Пригадайте головне
1. Що таке квадратне рівняння? Наведіть приклади.
2. Які назви мають коефіцієнти квадратного рівняння?
3. У чому полягає сутність способу виділення квадрата двочлена для розв’язування квадратного рівняння?
Усне тренування
1. Розв’яжіть рівняння: х2 = 25; х2 = 0,625; х2 = –25; (х– 5)2 = 25.
2. Подайте вираз у вигляді
множників: 6х; 12y; 0,4xy; 25ab; mn 3 17 ; xy 8 21 .
Розв’яжіть задачі
716'. Чи правильно, що квадратним є рівняння виду: 1) 0x2 + bx + c = 0; 3) ax2 + 0x + c = 0; 2) ax2 + bx + 0 = 0; 4) ax2 + 0x + 0 = 0?
717'. У рівнянні ax2 + bx + c = 0 назвіть: 1) перший коефіцієнт; 3) вільний член. 2) другий коефіцієнт;
718'. Чи має корені рівняння: 1) (х + m)2 = 3; 2) (х + m)2 = –4; 3) (х + m)2 = 0?
719°. Яке з даних рівнянь є квадратним:
1) 4х2 + 7х – 3 = 0; 3) 2х3 + х + 4 = 0; 5) х2 + 5х = 0; 2) х2 – 5х + 3 = 0; 4) 4х2 – 16 = 0; 6) 8х + 16 = 0?
720°. Назвіть коефіцієнти квадратного рівняння:
1) 6х2 + 5х – 1 = 0; 3) 2х2 – 12 = 0; 5) 6х2 = 0; 2) х2 + х – 6 = 0; 4) х2 + 2х = 0; 6) 5 + х2 – 6х = 0. Чи є серед цих рівнянь
рівняння?
721°.
1) a = 3, b = 2, с = 4; 2) a = 1, b = –3, с = 2; 3) a = 2, b = 0, с = –8; 4) a = –1, b = –2, с = 5; 5) a = 1, b = –7, с = 0; 6) a = 4, b = 8, с = 0.
Чи є серед цих рівнянь зведені
рівняння? Назвіть їх.
722°. Запишіть квадратне рівняння
коефіцієнтами: 1) a = 1, b = –4, с = –5; 2) a = 9, b = 6, с = –8.
723°. Петро стверджує, що для того, щоб квадратне рівняння 4х2 – 5х + 1 = 0 стало зведеним,
частини цього рівняння поділити на 4. А Сергій заперечує це. Він говорить, що достатньо обидві
рацію?
724°. Перетворіть квадратне рівняння на зведене:
1) 2х2 + 17х – 9 = 0; 3) 3х2 + 10х + 8 = 0; 2) –8х2 + 10х – 3 = 0; 4) –9х2 – 24х + 20 = 0.
725°. Перетворіть квадратне рівняння на зведене:
1) 4х2 + 4х – 15 = 0; 2) –5х2 + 8х – 3 = 0.
726°. Зведіть рівняння до вигляду ax2 + bx + c = 0: 1) (х + 1)(х – 2) = 4; 4) 4х2 – 5 = 2х(1 + 3х); 2) 8х = (х – 4)(х + 4); 5) (х + 3)2 – 6 = 8 + 10х; 3) (х + 2)2 – 13 = 3(х – 1); 6) 4(х + 8) = (х – 4)(х + 2).
727°. Зведіть рівняння до вигляду ax2 + bx + c = 0: 1) (х – 4)(х + 1) = х – 7; 3) 2(3х – 1) = (3х – 1)2 – 1; 2) 7х2 – 3 = х(х – 11) + 1; 4) 4(х – 2)(х + 2) + 5 = 7(х – 2).
728°. Яке додатне число потрібно підставити замість n, щоб у лівій частині рівняння одержати квадрат суми
квадрат різниці: 1) х2 + 2х + n = 0; 4) х2 – 8х + n = 0; 2) х2 – 4х + n = 0; 5) х2 + 5х + n = 0; 3) х2 + 12х + n = 0; 6) х2 – 9х + n = 0?
729°. Яке додатне число
замість n, щоб
1) х2 + 6х + n = 0; 3) х2 + 7х + n = 0; 2) х2 – 10х + n = 0; 4) х2 – 3х + n = 0?
730°. Розв’яжіть рівняння:
1) (х + 7)2 = 49; 4) (х + 4)2 = 1; 2) (х – 3)2 = 16; 5) (х + 2)2 = 0; 3) (х – 5)2 = 36; 6) (х – 1)2 = –25.
731°. Розв’яжіть рівняння:
1) (х + 2)2 = 64; 2) (х – 6)2 = 0; 3) (х + 3)2 = –9.
732. Розв’яжіть способом виділення квадрата двочлена зведене квадратне рівняння:
1) х2 + 2х – 8 = 0; 4) х2 – 8х + 15 = 0; 2) х2 – 4х + 3 = 0; 5) х2 – 6х – 16 = 0; 3) х2 + 12х + 35 = 0; 6) х2 – 10х + 25 = 0.
733. Розв’яжіть способом виділення квадрата двочлена зведене квадратне рівняння: 1) х2 + 10х + 24 = 0; 2) х2 + 2х – 8 = 0; 3) х2 – 8х + 16 = 0.
734. Розв’яжіть способом виділення квадрата
рівняння: 1) х2 + 3х – 4 = 0; 4) 2х2 – 9х + 10 = 0; 2) х2 – 5х + 4 = 0; 5) 3х2 – 5х + 2 = 0; 3) х2 + х – 6 = 0; 6) 5х2
740*. Доведіть, що якщо число 1 4 є коренем рівняння
ах2 + bх + c = 0, то число 4 є коренем рівняння cх2 + + bх + а = 0.
741*. За якого значення параметра р:
1) рівняння х2 + рх – 35 = 0 має корінь, що дорівнює 5; 2) рівняння рх2 – 11х + 6 = 0 має корінь, що дорівнює 3?
742. Поряд з будинком, де мешкає Тетянка, установили спортивний майданчик прямокутної форми, площа якого 112 м2. 1. Обчисліть розміри майданчика, якщо його довжина на
6 м більша за ширину.
2. Навколо майданчика облаштовано доріжку завширшки 0,5 м, яку закладено плиткою розмірами 0,5 × 0,5 м. Скільки плиток потрібно придбати для облаштування цієї доріжки?
3. Спортивний майданчик разом із доріжкою обнесли секційним парканом. Висота секції паркану дорівнює 2,5 м, а ширина — 2 м. Обчисліть вартість матеріалу для паркану, якщо одна секція коштує 250 грн. 4. Запропонуйте власний мініпроєкт за сюжетом задачі. Проявіть
Порівняємо способи міркування Петра і Галини (табл. 32). Таблиця32
Перенесемо
вільний член
у праву частину рівняння
Поділимо
обидві частини рівняння
на перший
коефіцієнт
Виділимо
квадрат
частині рівняння
Це
Поміркуємо. Права частина рівняння
умови a ≠ 0, то знак дробу визначає
2. Формула
Розглянемо три випадки: 1) D > 0; 2) D = 0; 3) D < 0. 1. Нехай D > 0.
Маємо рівняння:
Перетворимо праву
2. Нехай D = 0.
Рівняння набуває вигляду:
b x a 2 0. 2
Можливий єдиний випадок: 0. 2 b x a +=
Висновок:
3. Нехай D < 0.
Маємо рівняння:
Проаналізуємо одержане
рівняння має корінь . 2 b x a =−
bD x aa 2 2 2 4 , D < 0, 4а2 > 0
рівняння: ліва частина рівняння набуває невід’ємних значень, а права — лише від’ємних.
Висновок:
Запам’ятайте!
Задача 1 Розв’яжіть рівняння: х2 – 5х + 6 = 0.
Розв’язання
Знайдемо дискримінант: ()2 2 45416Dbac=−=−−⋅⋅= 2524. 0 1, D =−= >
Застосуємо формулу коренів квадратного
рівняння: 1,2 (5)1 ; 221 bD x a −±−−± == ⋅ 12 5151 3, 2. 22 xx +−
Отже, рівняння має 2 корені: х1 = 3, х2 = 2.
Задача 2 Розв’яжіть рівняння: 2х2 – 6х – 3 = 0.
Розв’язання У рівнянні 2х2 – 6х – 3 = 0: a = 2, b = –6, c = –3.
224(6)42(3)362460,Dbac=−=−−⋅⋅−=+= D > 0 — два різні корені.
bD x a 1,2 (6)6062152(315)315 ; 222442 +− = = xx 12 315315 22,.
Отже, ± = x1,2 315 . 2 Задача 3 Розв’яжіть рівняння: 9х2 + 6х + 1 = 0. Розв’язання У рівнянні 9х2 + 6х + 1 = 0: a = 9, b = 6, c = 1.
224(6)49136360,Dbac=−=−⋅⋅=−= D = 0 — два рівні корені. −±−± ===−=−=− ⋅⋅ bD x a 1,2 60661 . 22929183
Отже, =− x1,2 1 . 3
Задача 4 Розв’яжіть рівняння: 3х2 + 4х + 3 = 0.
Розв’язання У рівнянні 3х2 + 4х + 3 = 0: a = 3, b = 4, c = 3. 2244433163620,Dbac=−=−⋅⋅=−=−
D < 0 — коренів немає.
Отже, дане рівняння не має коренів.
Зверніть увагу:
залежно від значення дискримінанта квадратне рівняння:
має два різні корені, якщо D > 0; має два рівні корені, якщо D = 0; не має коренів, якщо D < 0. Дізнайтеся
1. Термін дискримінант (від лат. discrimino «розбираю», «розрізняю») увів Сильвестр.
форми» використовувалося
3. Для неповних квадратних рівнянь (ax2 + c = 0, ax2 + bx = 0, ax2 = 0) зручнішими є інші способи розв’язування.
Задача 6 Розв’яжіть рівняння: 1) 5x2 – 20 = 0; 2) 3x2 + 18x = 0; 3) 7x2 = 0.
Розв’язання 1) 5x2 – 20 = 0.
Поділимо обидві частини рівняння на 5: x2 – 4 = 0.
Розкладемо ліву частину рівняння на
множники за формулою різниці квадратів:(x – 2)(x + 2) = 0.
Скористаємося властивістю рівності
добутку нулю: х – 2 = 0
x + 2 = 0.
Отже, х1 = 2 і х2 = –2.
2) 3x2 + 18x = 0.
Розкладемо ліву частину рівняння на множники, винісши змінну х за дужки: х(3x + 18) = 0.
Скористаємося властивістю рівності
добутку нулю: х = 0 або 3x + 18 = 0.
Отже, х1 = 0 і х2 = –6.
3) 7x2 = 0.
Утворюємо рівносильне рівняння: x2 = 0. Отже, х1 = х2 = 0.
qr.orioncentr.com.ua/RogpF
УкраїнськаАнглійська/ English Німецька/ Deutsch Французька/
рівняння discriminant of a quadratic equation Diskriminante der quadratischen Gleichung le discriminant d’une équation quadratique
Усне тренування
1. Обчисліть: 152; 112; 132; 0,42; 1,62; 0,122.
2. Скільки коренів має рівняння: x2 = 25; x2 = –0,25; x2 = 5; 2x2 = 0; x2 = a2?
3. Подайте (якщо це можливо) у вигляді квадрата числа: 121; 2,25; 0,0001; 1,69; –2,56.
Розв’яжіть задачі
743'. За якою формулою визначають дискримінант рівняння ax2 + bx + c = 0: 1) D = b2 + 4ac; 3) D = –b2 – 4ac; 2) D = b2 – ac; 4) D = b2 – 4ac?
744'. За якою формулою визначають корені рівняння ax2 + + bx + c = 0: 1) ± = bD x a 1,2 ; 2 3) −± = bD x a 1,2 ; 2 2) ± = bD x a 2 1,2 ; 2 4) 1,2 ? bD x a −± =
745'. Скільки коренів має квадратне рівняння, якщо його дискримінант дорівнює: 1) 16; 2) 0; 3) –25?
746'. Які з чисел 0; 1; –1; –0,5; 0,2; 2 є коренями квадратного рівняння: 1) х2 – х – 2 = 0; 2) 2х2 + х = 0?
747°. Знайдіть значення виразу b2 – 4ac, якщо: 1) a = 1, b = 4, c = –5; 3) a = 5, b = 6, c = 1; 2) a = 1, b = –7, c = 10; 4) a = 3, b = –5, c = –2.
748°. Знайдіть значення виразу b2 – 4ac, якщо: 1) a = 1, b = –6, c = 8; 2) a = 2, b = 1, c = –6.
749°. Як
х2 – 10х + 16 = 0: 1) =−⋅⋅− D 2 1041(16); 3) =−−⋅⋅− D 2 (10)41(16); 2) =−⋅⋅ D 2 104116; 4) =−−⋅⋅ D 2 (10)4116?
750°. Для якого з даних квадратних рівнянь дискримінант обчислюють так: =−⋅⋅− D 2 541(6)?
1) х2 – 5х – 6 = 0; 3) х2 + 5х – 6 = 0; 2) х2 + 6х – 5 = 0; 4) х2 – 5х + 6 = 0. Скільки коренів має це рівняння?
751°. Визначте кількість коренів квадратного рівняння за його дискримінантом: 1) =−⋅⋅ D 2 4413; 3) =−⋅⋅− D 2 841(4); 2) =−−⋅⋅ D 2 (6)433; 4) =−−⋅⋅ D 2 (3)425.
752°. Визначте кількість коренів квадратного рівняння за його дискримінантом: 1) =−⋅⋅ D 2 6415; 3) =−⋅⋅ D 2 5426; 2) =−−⋅⋅− D 2 (3)42(5); 4) =−−⋅⋅ D 2 (6)419.
753°. Назвіть коефіцієнти квадратного рівняння та складіть
вираз для знаходження дискримінанта:
1) х2 + 5х + 6 = 0; 2) х2 + 5х – 6 = 0;
3) х2 – 3х + 4 = 0;
4) х2 – 3х – 4 = 0;
5) 2х2 + 6х – 1 = 0;
6) 2х2 – 6х + 1 = 0.
Скільки коренів має рівняння?
754°. Назвіть коефіцієнти квадратного рівняння та складіть
вираз для знаходження дискримінанта:
1) х2 + 4х – 5 = 0; 3) 4х2 – 4х + 1 = 0; 2) х2 + 4х + 5 = 0; 4) 4х2 – 4х – 1 = 0.
Скільки коренів має рівняння?
755°. Розв’яжіть квадратне рівняння: 1) х2 + 4х – 5 = 0; 9) х2 – 7х – 8 = 0; 2) х2 – 6х – 16 = 0; 10) х2 + 6х + 3 = 0; 3) х2 + 2х – 8 = 0; 11) х2 + х – 2 = 0; 4) х2 – 8х + 16 = 0; 12) х2 + 25х + 100 = 0; 5) х2 + 8х + 7 = 0; 13) х2 – 6х – 7 = 0; 6) х2 – 4х + 8 = 0; 14) х2 + 15х + 26 = 0; 7) х2 + х – 12 = 0; 15) х2 – 3х + 2 = 0; 8) х2 – 2х – 15 = 0; 16) х2 – 10х + 25 = 0.
756°. Розв’яжіть квадратне рівняння:
1) х2 + 4х – 12 = 0; 5) х2 – 5х + 4 = 0;
2) х2 – 3х – 10 = 0; 6) х2 + 6х + 8 = 0;
3) х2 – 6х + 9 = 0; 7) х2 – х – 6 = 0; 4) х2 + 5х + 8 = 0; 8) х2 – 7х + 10 = 0.
757°. Розв’яжіть квадратне рівняння:
1) 2х2 – х – 6 = 0; 12) –4х2 + 7х – 3 = 0; 2) 9х2 – 6х – 8 = 0; 13) 9х2 + 48х + 64 = 0;
3) 5х2 + 7х – 6 = 0; 14) –3х2 + 19х – 6 = 0;
4) 4х2 – 8х + 3 = 0; 15) 2х2 – 11х + 5 = 0;
5) –4х2 – 11х + 3 = 0; 16) –4х2 + 4х – 1 = 0.
6) 5х2 + 14х – 3 = 0; 7) –6х2 – х + 1 = 0; 8) 2х2 – 5х + 3 = 0; 9) 2х2 – 9х + 10 = 0; 10) –25х2 + 10х + 3 = 0; 11) 16х2 + 56х + 45 = 0;
758°. Розв’яжіть квадратне рівняння:
1) 2х2 + 3х – 5 = 0; 5) 5х2 + 6х + 1 = 0;
2) 9х2 – 8х – 1 = 0; 6) –4х2 + 28х – 49 = 0; 3) –2х2 + х + 10 = 0; 7) 2х2 – 5х – 3 = 0; 4) 3х2 + 5х – 2 = 0; 8) –2х2 + 3х – 1 = 0.
759. Розв’яжіть рівняння:
1) 7х = 3х2 + 4; 6) z – 3z2 = –2; 11) 13z – 3z2 = 14; 2) 6у – 1 = 5у2; 7) 4х2 = 2 – 7х; 12) 2х2 = 9х – 10; 3) z2 – 90 = z; 8) 4y2 = 33 + y; 13) 81y2 + 1 = 18y; 4) 5х2 = 8х – 3; 9) 9х2 + 25 = 30х; 14) 6z – 3 = z2; 5) 5 = 6y – y2; 10) y2 = 11y – 18; 15) 18 – y2 = 5y + 18.
760. Розв’яжіть рівняння:
1) 2х2 = 7х + 30; 3) z2 – 5 = 2z; 5) 5y = 1 – 14y2; 2) 3y = 2y2 – 5; 4) 30 – х = х2; 6) 4х2 + 7 = 7 – 12х.
761. Розв’яжіть рівняння:
1) х(х – 1) = 72; 5) 2y(y + 3) = (3 + y)2; 2) 2у(у + 2) – 3 = 9у; 6) (z + 4)2 + (z – 4)2 = 36; 3) (2z – 3)(2 – 3z) = –4; 4) (x + 5)2 = 4(x + 10); 7) (x + 2)(x + 1) = 4(x2 – 22); 8) (y + 2)2 – 10 = 6(y + 3).
762. Розв’яжіть рівняння: 1) х(х + 1) = 56; 3) 4(3 – 2z) = (z – 3)2; 2) (y – 2)(2y – 1) = 5; 4) (x + 6)(x – 2) = 2(x – 2).
763. Розв’яжіть рівняння: 1) ++ = xxx 2 37 ; 24 3) +−− −= yyyy 22 613 ; 264 2) + −= xxx 2 25 ; 536 4) −=− yyy y (7)4 4. 33
764. Розв’яжіть рівняння: 1) = xx 2 42 ; 53 2) ++ −= yyyy 2 (1)232 . 4520
765. В одноколовому шаховому турнірі було
766.
767.
ту населення цього міста?
768. За яких значень змінної х:
1) значення добутків (–х – 1)(х – 4) і х(4х – 11) рівні; 2) значення тричлена х2 – 4,6х + 2,4 дорівнює 0; 3) значення двочленів х2 – 2х і 28 – 5х рівні.
769*. Доберіть таке раціональне число n, для якого рівняння х2 – 2х + n = 0:
1) має два різні корені; 2) не має коренів; 3) має два рівні корені.
770*. Доберіть таке раціональне число n, для якого рівняння nх2 + 3х + 2 = 0: 1) має два різні корені; 2) не має коренів; 3) має
1) х2 + 2х + n = 0; 3) nх2 – 2х + 1 = 0; 2) х2 – 4х + 4n = 0; 4) х2 + 3nх + 2n2 = 0.
772*. За якого значення параметра р ліва частина рівняння 4х2 + 8х + р = 0 є квадратом суми?
773*. Доведіть, що один із коренів рівняння nх2 – (n + m)х + + m = 0 дорівнює 1.
774. Іван Петрович розпочав будівництво будинку на ділянці землі, що має форму прямокутника. Одна сторона ділянки на 16 м менша від іншої, а її площа дорівнює 720 м2. Допоможіть Івану Петровичу здійснити необхідні розрахунки.
1. Знайдіть сторони і периметр ділянки.
2. Для початку будівництва ділянка була огороджена металевими секціями з розмірами 2 × 2 м. Скільки таких секцій
3. Для придбання металевих секцій
1. Співвідношення між
коренями та коефіцієнтами
зведеного квадратного рівняння
Ситуація. Андрій навчився розв’язувати квадратні рівняння і вирішив виписати корені кожного з рівнянь, суму коренів і добуток коренів. Ці дані він записав у таблицю (табл. 34). Таблиця34
Квадратне рівняння
квадратного рівняння
коренів
x2 – 11x + 28 = 04; 7 11 28 x2 – 3x – 28 = 0–4; 7 3 –28 x2 – x – 12 = 0–3; 4 1 –12 x2 + 11x + 30 = 0–5;–6–1130 Андрій дещо замислився і запитав у вчительки:
Доведемо це твердження.
Задача 1 Розв’яжіть рівняння: х2 – 5х + 6 = 0.
Розв’язання
За теоремою Вієта: х1 + х2 = 5, х1 · х2 = 6.
Знаходимо пари дільників
числа 6: –6 і –1, –3 і –2, 6 і 1, 3 і 2.
Обираємо пару дільників,
сума яких дорівнює числу 5:3 і 2. Отже, х1 = 3, х2 = 2.
Задача 2 Один із коренів рівняння х2 + pх + 28 = 0 дорівнює 4. Знайдіть другий
Якщо для деяких чисел k i l виконуються рівності
+=− klp і ⋅= klq , +=− b kl a і ⋅= klc a ,
то k i l є коренями
зведеного
квадратного
рівняння ++=xpxq 2 0;
незведеного
квадратного рівняння ax2 + bx + c = 0.
Задача 3 Запишіть зведене квадратне рівняння, коренями якого є числа –4 і 1.
Розв’язання
Знаходимо суму коренів: x1 + x2 = –4 + 1 = –3.
Знаходимо добуток коренів: x1 · x2 = –4 · 1 = –4.
Записуємо коефіцієнти зведеного
квадратного рівняння x2 + px + q = 0: p = 3, q = –4.
Шукане рівняння:
2. Існують різні способи розв’язування квадратних рівнянь. Розглянемо один із
них графічний. Його суть полягає в тому, що для зведеного квадратного рівняння х2 + px + q = 0 одержують рівносильне рівняння x2 = –px – q та будують графіки двох відповідних функцій: y = x2 і y = –px – q в одній системі координат. Графіком функції y = x2 є парабола, вершина якої розміщена в початку координат, графіком функції y = –px – q є пряма. Абсциси точок перетину графіків є коренями рівняння (мал. 47).
УкраїнськаАнглійська/ English Німецька/
Мал. 47
(m) théorème de Viète
1.
776'. Яке співвідношення є
дратного рівняння x2 + px + q = 0:
1) ⋅= xxp 12 ; 3) ⋅= xxq 12 ; 2) ⋅=− xxp 12 ; 4) ⋅=− xxq 12 ?
зведеного
777'. Яке співвідношення є правильним для рівняння ax2 + bx + c = 0:
1) += b xx a 12 ; 3) +=− xxb 12 ;
2) += c xx a 12 ; 4) +=− b xx a 12 ?
778°. Не розв’язуючи рівняння х2 – 6х + 8 = 0, назвіть:
1) суму його коренів; 2) добуток його коренів; 3) знаки його коренів.
779°. Не розв’язуючи рівняння х2 + 4х – 5 = 0, назвіть:
1) суму його коренів; 3) знаки його коренів. 2) добуток його коренів;
780°. Якими можуть бути знаки коренів квадратного рівняння, якщо їхній добуток: 1) додатне число; 2) від’ємне число?
781°. Один із коренів рівняння дорівнює 2. Не розв’язуючи рівняння, назвіть інший корінь рівняння: 1) х2 – 5х + 6 = 0; 2) х2 + 2х – 8 = 0.
782°. Один із коренів рівняння дорівнює 6. Не розв’язуючи рівняння, назвіть
10 = 0: 1) 1 і –10; 2) –2 і 5; 3)
786°. Не розв’язуючи
787°. Скориставшись теоремою
рівняння:
1) х2 + 3х – 4 = 0; 2) х2 – 6х – 16 = 0; 3) х2 + 7х – 30 = 0; 4) х2 – 10х + 16 = 0; 5) х2 – 12х + 11 = 0; 6) х2 – 9х + 8 = 0; 11) х2 + х – 2 = 0; 7) х2 + х – 12 = 0; 12) х2 + 25х + 100 = 0;
8) х2 – 15х + 26 = 0; 13) х2 – 9х – 10 = 0; 9) х2 + 5х + 4 = 0; 14) х2 + 8х + 7 = 0; 10) х2 + 6х + 5 = 0; 15) х2 – 3х + 2 = 0.
788°. Скориставшись теоремою Вієта, розв’яжіть квадратне рівняння: 1) х2 + 8х – 9 = 0; 5) х2 – 5х – 14 = 0; 2) х2 – 3х – 10 = 0; 6) х2 + 6х + 8 = 0; 3) х2 – 9х + 20 = 0; 7) х2 – х – 20 = 0; 4) х2 + 9х + 8 = 0; 8) х2 – 7х + 10 = 0.
789°. Не обчислюючи коренів рівняння x2 + 13x + 22 = 0, знайдіть: 1) + xx12 ; 2) ⋅ xx12 .
790°. Не обчислюючи коренів рівняння 25x2 + 40x – 4 = 0, знайдіть: 1) + xx12 ; 2) ⋅ xx12 .
791°. Не обчислюючи
793°.
794.
795.
796.
797. Один із коренів рівняння х2 + 12х +
q.
798. Корені х1 і х2 квадратного рівняння x2 – 9x + q = 0 задо-
коренів рівняння −−=xx 2 33120 , знайдіть: 1) + xx 22 12 ; 2) + xx12 11 ; 3) + xx xx 21 12 ;
, знайдіть: 1) + xx 22 12 ; 2) + xx12 11 ; 3) + xx xx 21 12 ; 4) + xx 33 12 .
802*. Рівняння x2 + px + q = 0 з цілими коефіцієнтами p і q має корінь + 13 . Знайдіть інший корінь рівняння. 803*. За яких значень параметра n сума коренів квадратного рівняння ( ) ++−+= xnnxn 226510
806. На дитячому майданчику
установили нову дитячу
гірку — споруду з гладким
похилим спуском і драбин-
кою, яка дозволяє підніматися на верхню площадку, щоб потім спускатися вниз.
Площадка для спуску розташована на висоті 1,5 м.
1. Розрахуйте довжину похилого спуску, якщо він на пів метра довший за його проєкцію.
2. Скільки метрів проїхав за день Василько, якщо він спустився 18 разів? А кілометрів?
3. Знайдіть площу поверхні спуску, якщо його ширина — 70 см.
4. Розрахуйте довжину драбинки, якщо вона на 90 см довша за її проєкцію.
5. Розрахуйте висоту сходинок, якщо встановлено
7 сходинок і перша розміщується на висоті 30 см від поверхні землі.
РОЗКЛАДАННЯ КВАДРАТНОГО
1. Квадратний тричлен Ситуація. Олеся виконувала вправи на визначення
Запам’ятайте!
Квадратним
Числа a, b і с
ють такі значення
2 + bx + c
Підставимо суму
Отже, тотожність доведено.
x1 = x2.
Розклад квадратного тричлена на
Застосовуємо формулу:
Вносимо множник 2 у
другі дужки:
Отже, 2x2 + 3x – 2 = (х + 2)(2х – 1).
3. Застосування розкладання квадратного тричлена на множники
Задача 2 Скоротіть дріб:
Розв’язання
Знаходимо корені тричлена
Словничок qr.orioncentr.com.ua/BwXVH
УкраїнськаАнглійська/ English Німецька/ Deutsch Французька/ Français
розкла-
дання на множники factorizationFaktorzerlegung (f) factorisation
Пригадайте головне
1. Який многочлен називають квадратним тричленом?
2. Які числа називають коефіцієнтами квадратного тричлена?
3. Що таке корені квадратного тричлена?
4. Запишіть формулу розкладання квадратного тричлена на
множники.
Усне тренування Обчисліть зручним способом: 1) 36 + 182; 132 – 39; 125 · 7 – 7 · 25;
2) 262 – 162; 1052 – 52; 262 – 2 · 26 · 6 + 62.
Розв’яжіть задачі
807'. Чи є квадратним тричленом даний многочлен: 1) х2 – 4х + 3; 2) –2х2 + х – 3; 3) 2х3 – 2х2 + 2?
808'. Чи правильно записано формулу розкладання квадратного тричлена на лінійні множники: 1) ax2 + bx + c = а(х + х1)(х + х2); 2) ax2 + bx + c = (х – х1)(х – х2); 3) ax2 + bx + c = а(х – х1)(х – х2)?
809'.
1) 25; 2) 0; 3) –16; 4) 20? 810°.
1) а = 1, х1 = 3, х2 = 5; 3) а = 2, х1 = 3, х2 = –3; 2) а = 1, х1 = –2, х2 = 4; 4) а = –3, х1 = 1, 2 1 . 3 x =
811°. Запишіть розклад деякого
лінійні множники, якщо:
1) а = 1, х1 = 4, х2 = 6; 2) а = 5, = x1 2 , 5 х2 = –5. 812°. Розкладіть на лінійні
1) х2 – 3х – 10; 6) х2 – 6х – 7; 2) х2 – 10х + 24; 7) х2 + 4х + 4; 3) –х2 + 16х – 15; 8) –х2 + 10х – 25. 4) х2 – 2х – 15; 5) –х2 + 4х – 3; 813°. Розкладіть на лінійні
1) х2 + 3х + 2; 3) х2 – 5х – 24; 2) –х2 – 8х + 9; 4) x2 + 6x + 9.
814. Розкладіть на лінійні
квадратний тричлен: 1) 2х2 – 5х + 3; 5) –9х2 + 12х – 4; 2) 5х2 + 4х – 1; 6) 3x2 – 8x + 5; 3) –3х2 – х + 14; 7) 4х2 – 4х + 1; 4) 6x2 – 5x + 1; 8) –2х2 + 3х + 2.
815. Розкладіть на лінійні множники квадратний тричлен: 1) 3х2 + 5х – 2; 3) 9х2 + 6х + 1; 2) –2х2 + х + 15; 4) –5x2 + 6x – 1.
816. За яких значень a: 1) розклад квадратного тричлена х2 + ax – 51 на множники містить множник (х – 17);
2) розклад квадратного тричлена 2х2 – 5х + a на множники містить множник (2х + 3)?
817. За яких значень b: 1) розклад квадратного тричлена х2 + bx – 51
множники містить множник (х – 3);
2) розклад квадратного тричлена 5х2 + 3x + b на множники містить множник (5х – 2)?
818. Скоротіть дріб: 1) +− x xx 2 31 ; 321 3) +− x xx 2 2 16 ; 12 2) xx x 2 253 ; 618
819.
820.
821.
823.
824. Спростіть вираз:
825.
830. У збірнику «Юний шашкіст»
надрукували 190 партій кругового турніру із шашок «Золота шашка», який проводився серед учнів міста. У турнірі кожний учасник зустрічався з кожним по одному разу.
1. Скільки було учасників турніру?
2. Скільки команд брало участь у турнірі, якщо до складу команди входили три хлопці й одна дівчина?
3. Турнір проходив 5 днів. Скільки партій було зіграно кожного дня?
4. На шашковій дошці є діагоналі, найдовшою
яких є діагональ, що
1. Цілі раціональні рівняння, що зводяться до квадратних
Ситуація. Катя й Олег грали в математичне лото. Каті потрібно було вибрати серед запропонованих рівнянь рівняння з найбільшим коренем х = 1, а Олегу рівняння з найменшим коренем х = 1. Катя вибрала рівняння:
квадратних
3. Знайдемо корені
рівняння Р(х) = 0.
Задача 1 За яких значень змінної значення виразу (х + 1)2 на 4 більше за значення виразу 0,5(х + 1)2 – 2? Розв’язання
1. Складемо рівняння:(х + 1)2 – 4 = 0,5(х + 1)2 – 2.
2. Розкриємо дужки:
2 + 2х + 1 – 4 = 0,5х2 + х + + 0,5 – 2.
3. Перенесемо всі доданки у ліву частину рівняння і зведемо подібні доданки: 0,5х2 + х – 1,5 = 0 або х2 + 2х – 3 = 0.
4. Знайдемо корені цього рівняння: х1 = –3 і х2 = 1.
2. Дробові раціональні рівняння, що зводяться до квадратних
Д
Px Qx
Розв’язання
1. Визначаємо ОДЗ змінної: х — будь-яке число, крім ±1.
2. Зводимо рівняння до вигляду
3. Розв’язуємо
4. Робимо перевірку знайдених коренів
ОДЗ змінної початкового рівняння.
–6 входить до ОДЗ змінної початкового рівняння, тому –6 є коренем даного рівняння. Число 1 не входить до ОДЗ
рівняння, тому 1 не є коренем даного рівняння.
5. Записуємо відповідь: х = –6.
1) визначити ОДЗ змінної рівняння;
2) звести рівняння до вигляду = Px Qx () 0 () , де Р(х) — квадратний тричлен;
3) розв’язати квадратне рівняння Р(х
Запишемо рівняння так: () −+=xx 2 22540 . Тобто воно
стане квадратним рівнянням відносно х2 .
Можна сказати, що дане рівняння — «двічі» квадратне. Такі рівняння називають біквадратними.
Запам’ятайте!
Рівняння виду ax4 + bx2 + c = 0, де x — змінна, a, b і с — деякі числа, причому а ≠ 0, називається біквадратним.
Для розв’язування біквадратних рівнянь використовують уведення нової змінної, або спосібзамінизмінної.
3 Розв’яжіть рівняння
Розв’язання x4 – 5x2 + 4 = 0 () −+=xx 2 22540 .
Уведемо нову змінну:
Знайдемо
t = х2 (t ≥ 0). t2 – 5t + 4 = 0
Задача 4 Розв’яжіть рівняння: ()() +−+−=xxxx 2225266.
Розв’язання
У рівнянні вираз х2 + 2х повторюється двічі (він є і в перших дужках, і в других). Тому виконуємо заміну t = х2 + 2х (t — будь-яке число).
Одержимо допоміжне рівняння зі змінною t: (t – 5)(t– 6) = 6; t2 – 11t + 24 = 0; t1 = 3 і t2 = 8.
Повернемося до змінної х: х2 + 2х = 3 або х2 + 2х = 8.
Розв’яжемо одержані квадратні рівняння:
бами:
розв’язування рівнянь
1) визначити ОДЗ змінної початкового рівняння;
2) для виразу, що повторюється, увести
жати допоміжне рівняння;
3) розв’язати допоміжне рівняння;
4) повернутися до початкової
5)
потреби зробити перевірку
належність
Для розв’язування квадратних рівнянь, що містять «незручні коефіцієнти»,
«перекидання»: Розв’яжіть рівняння: ax2 + bx + c = 0. Розв’яжіть рівняння: 12х2 + 5х – 2 = 0.
Помножимо обидві частини рівняння на коефіцієнт а: a2x2 + abx + ac = 0.
Уведемо нову змінну t = ax та одержимо допоміжне рівняння: t2 + bt + аc = 0.
Помножимо обидві частини рівняння на 12: 144х2 + 60х – 24 = 0.
Уведемо заміну t = 12x і одержимо рівняння t2 + 5t – 24 = 0.
Розв’яжемо допоміжне рівняння.
теоремою Вієта: t1 = 3 і t2 = –8.
Повернемося до змінної початкового рівняння. 12x = 3 або 12x = –8; 1 1 4 = x , 2 2 . 3 =− x
Словничок qr.orioncentr.com.ua/W6QGr
УкраїнськаАнглійська/ English
Deutsch Французька/ Français
метод заміни змінної method of substitution Substitutionmethode (f) méthode de changement de variables
1. Поясніть, як розв’язують цілі
2.
3.
4.
Розв’яжіть задачі
831'. Яким буде наступний крок у розв’язуванні рівняння: x (х + 1) = 10?
832'. Яким буде наступний крок у розв’язуванні рівняння: += x x 4 5 ?
833'. Яким буде наступний крок у розв’язуванні рівняння: ()()−+−−= xx 2 13140?
834'. Які з рівнянь є біквадратними рівняннями: 1) х4 – 3х2 – 4 = 0; 3) х4 + 2х2 – 8 = 0; 2) х4 – 2х3 + 2 = 0; 4) 2х4 – 2х + 2 = 0?
835'. Для рівняння a4x4 + a2x2 + c = 0 назвіть: 1) очікувану заміну; 2) допоміжне рівняння.
836°. Розв’яжіть рівняння:
1) −= xx(1)12;
2) +=−−xxx 9(1)1;
3) ++=+xxx 22 (4)31; 4) −++= xxx 22 (1)(1)5; 5) ++−=+ xxx 22 (3)(3)9(1); 6) −+=− xxx 2 (32)114(21).
837°. Розв’яжіть рівняння:
1) −+= xxx 2(5)5; 3) −++=+ xxx 22 (2)(2)37; 2) −+=+xxx 22 (21)537; 4) −−=−xxx 2 (23)4(4).
838°. Знайдіть усі значення змінної х, за яких: 1) значення виразу (х – 5)(х + 5) на 4 менше, ніж значення виразу 14(х – 5); 2) значення суми виразів (х + 4)2 і х + 6 дорівнює 22; 3)
2) значення виразів 3(х + 1)2 і 2(3 – х) дорівнюють один одному.
840°. Розв’яжіть рівняння:
1) = xx xx 2 56 ; 33 5) = xx xx 2 318 ; 66
2) = xx xx 2 152 ; 55 6) = xx xx 2 187 ; 22 3) + = xx xx 2 86 ; 11 7) = xx xx 2 52 ; 224 4) = xx xx 2 30 ; 55 8) + = ++ xx xx 2 53 . 881
841°. Розв’яжіть рівняння:
1) = xx xx 2 310 ; 22 2) 2 2012 . 1010 xx xx +− =
842°. Розв’яжіть рівняння:
1) +− = +− xx xx 2 2 56 0; 23 3) −+ = xx xx 2 2 252
843°. Розв’яжіть рівняння: 1) +− = +− xx xx 2 2 215 0; 12 2) +− = + xx xx 2 2 232 0. 2
844°. Розв’яжіть рівняння: 1) = x x 2 4 4; 1 3) += xx 2 2815;
Розв’яжіть рівняння:
846°. За якого
2,5?
847°.
3,5?
848°. Розв’яжіть рівняння:
1) х4 – 10х2 + 9 = 0; 8) х4 + 5х2 + 4 = 0.
2) х4 – х2 – 12 = 0;
3) х4 – 3х2 – 4 = 0;
4) х4 – 8х2 – 9 = 0;
5) х4 – 5х2 + 6 = 0;
6) х4 + 2х2 – 8 = 0;
7) х4 – 20х2 + 64 = 0;
849°. Розв’яжіть рівняння:
1) х4 + х2 – 20 = 0; 3) х4 – 5х2 + 4 = 0; 2) х4 – 9х2 + 20 = 0; 4) х4 + 11х2 + 18 = 0.
850. Розв’яжіть рівняння:
1) 4х4 – 37х2 + 9 = 0; 3) 2х4 – 5х2 + 2 = 0; 2) 9х4 – 32х2 – 16 = 0; 4) 16х4 – 8х2 + 1 = 0.
851. Розв’яжіть рівняння: 1) 3х4 – 5х2 + 2 = 0; 2) 16х4 – 25х2 + 9 = 0.
852. Розв’яжіть рівняння: 1) ()() −+−=xxxx 2 2256; 2)
2 66 211150; 3) + −⋅+= + xx xx 10 1210; 10 4) −+ +=− +− xx xx 35 2. 53
853. Розв’яжіть рівняння: 1) ()()+−+=− xx 2 22112135; 2) 2 1212 5 320.xx xx ++
854. Розв’яжіть рівняння: 1) −= xx 1081; 3 3) += +−xx 115 ; 338 2) + −= ++ x xxx 361 ; 22 4) +− += −+ xx xx 3310 . 333
855. Розв’яжіть рівняння:
1) + += x xxx 447 ; 33 2) −+ += +− xx xx 225 . 222
856. Знайдіть усі значення змінної х, за яких: 1) значення виразів + + x x 1 51 і + x x 2 дорівнюють одне одному; 2) значення суми дробів + x x 22 3 і + x x 3 3 дорівнює 5.
857. Знайдіть усі значення змінної х, за яких значення
858. Розв’яжіть рівняння:
859. Розв’яжіть рівняння:
860. Розв’яжіть рівняння:
1) ()−−−+= хх 4 2 15(1)40 ; 2) (х2 + х)2 – 4(х2 + х) + 4 = 0; 3) (х2 + 2х + 1)(х2 + 2х) = 12; 4) (х2 + 4х + 2)(х2 + 4х – 1) = 10.
861. Розв’яжіть рівняння: 1) ()+++−= хх 4 2 58(5)90 ; 2) (х2 – 4х + 4)(х2 – 4х) + 3 = 0.
862*. Знайдіть найбільший корінь рівняння: 1) ()+−++= xx 2 518130; 2) −= + xxx 2 421 . 525 10
863*. Розв’яжіть рівняння:
1) () −++=xnxn 4222990; 2) 11 . xn nx +=+
864*. Розв’яжіть рівняння: 1) += ++− x xxxx 23 54(1)1 ; 2 248 2) 2 6 . 1 1 x x =
865. У Наталчиній кімнаті повісили дзеркало прямокутної форми, яке вправлене в раму (мал. 49). Периметр зовнішнього контура дзеркала, враховуючи раму, дорівнює 3,2 м, а площа всієї поверхні — 0,6 м2.
1. Знайдіть довжини сторін зовнішнього контура дзеркала.
2. Знайдіть довжини сторін дзеркальної поверхні, якщо рама, у яку вправлене дзеркало, має ширину з усіх чотирьох сторін по 8 см.
3. Знайдіть площу дзеркальної поверхні дзеркала.
4. Знайдіть площу поверхні рами.
Мал. 49
5. Рама складається із двох частин — внутрішньої та зовнішньої (мал. 49). Знайдіть відношення площ
поверхонь цих частин, якщо вони мають однакову ширину.
1. Квадратне рівняння як математична модель прикладної задачі
Чи можна знайти, скільки зараз рядів у глядацькій залі кінотеатру? Так.
Для цього перекладемо умову й вимогу задачі мовою математики, тобто складемо математичну модель задачі.
Математична модель — це опис деякої реальної ситуації або процесу засобами математики. Запам’ятайте!
Аналітична модель: вираз або запис за діями; рівняння
або система рівнянь
Мішанамодель: візуальне тлумачення виразу, рівняння, системи рівнянь Математичні моделі сюжетної задачі
Графічна модель: малюнок, схема або графік
Складання математичної моделі задачі називають математичниммоделюванням. Розв’язування задачі методом математичного моделювання містить чотириетапи (табл. 36). Таблиця36
етап Аналіз ситуації
етап
Побудова
математичної моделі
ІV
етап
Складання
відповіді
до задачі
в термінах її сюжету Якщо х = 22, то
ремонту: == x 300300 15. 220
Якщо х = 12, то нині в
рядів.
ремонту: == x 300300 30. 210 Загалом одержуємо, що
2.
Розв’язання
1. Аналізтасистематизаціяданих (табл. 37).
2. Побудоваматематичноїмоделі.
відстань, дорівнює x 18035 год. Решту відстані, тобто 35 км,
автобус подолав зі швидкістю (х + 10) км/год за + x 35 10 год.
Час x 180 більший за час + + xx 1803535 10 на 5 хв, тобто на 1 12
год. Отже, складаємо рівняння:
3. Роботазматематичноюмоделлю.
Розв’язуємо рівняння.
ОДЗ змінної: х ≠ 0, х ≠ –10.
х1 = 60, х2 = –70.
4. Складаннявідповідідозадачі.
Значення х = –70 не задовольняє умову задачі. Отже, шукана швидкість автобуса за розкладом дорівнює 60 км/год. Для складання рівняння необхідно порівнювати величини одного й того самого найменування — відстань із відстанню, швидкість зі швидкістю, час із часом, вартість із вартістю, кількість із кількістю тощо.
3. Задачі на спільну роботу Для
1.
труба? ?
труби
2. Побудоваматематичноїмоделі. Нехай час заповнення резервуара через першу трубу
цього резервуара через
4(6)4(6)0, 424460, 2240. х1 = 6, х2 = –4.
4. Складаннявідповідідозадачі.
Значення х = –4 не задовольняє умову задачі, оскільки час роботи не може бути від’ємним числом. Отже, час заповнення резервуара через першу трубу становить 6 хв.
4. Задачі геометричного змісту
Для розв’язування задач гео-
метричного змісту також застосовують квадратні рівняння або рівняння, що зводяться до квадратних.
Задача 3 Периметр прямокутника дорівнює 34 см, а його діагональ — 13 см. Знайдіть сторони прямокутника.
Розв’язання
1. Аналізтасистематиза-
ціяданих (мал. 50).
І сторона—?
ІІ сторона—?
Діагональ—13 см
Периметр—34 см
2. Побудоваматематичноїмоделі.
Нехай х см —
прямокутника. Оскільки периметр
його сторона дорівнює (17 – х) см.
Діагональ ділить прямокутник
2х2 – 34х + 120 = 0 | : 2, х2 – 17х + 60 = 0. х1 = 12, х2 = 5.
4. Складаннявідповідідозадачі.
Якщо х = 12, то довжина іншої сторони становить: 17 – х = 17 – 12 = 5 (см). Якщо х = 5, то довжина іншої сторони становить: 17 – х = 17 – 5 = 12 (см).
Отже, довжини сторін прямокутника дорівнюють 5 см і 12 см.
Якщо в задачі необхідно знайти пару чисел a і b, то таких пар може бути дві: a і b та b і a. Якщо за умовою задачі неважливо, у якому
давнину, коли геометрія була розвинена більше, ніж алгебра, одним зі способів розв’язування квадратних рівнянь був геометричний спосіб. Наведемо приклад розв’язування квадратного рівняння x2 + 10х = 39, запропонованого аль-Хорезмі (787 – бл. 850). В оригіналі ця задача формулюється так: «Квадрат і десять коренів дорівнюють 39».
Розв’язання Побудуємо квадрат зі стороною х. Площа такого квадрата дорівнює
x2 + 10x,
що
можна знаходити лише додатні корені квадратного рівняння.
Словничок qr.orioncentr.com.ua/KFoHS
УкраїнськаАнглійська/ English
Deutsch Французька/ Français
математична модель mathematical model mathematisches Modell (n) modèle mathématique
1. Що таке математична модель?
2. Що таке математичне моделювання?
3. Назвіть етапи математичного моделювання.
Усне тренування
1. Не розв’язуючи рівнянь, знайдіть ті, які мають корені: х2 – 10х – 11 = 0; 5х2 – 6х + 1 = 0; х2 = 0.
2. Розв’яжіть неповні квадратні рівняння: х2 – 16 = 0; 12х2 – 24 = 0; х2 – х = 0.
3. За якого значення m рівняння має один корінь: х2 + 2х – m = 0; x2 + mx + 9 = 0; mx2 + 4x + 1 = 0?
4. Складіть квадратне рівняння, корені якого дорівнюють: 1 і –1; 0 і 3; 1 і 2; –2 і 3.
1) число; 3) схема; 2) рівняння; 4) система рівнянь?
867°. Одне із чисел у 5 разів більше за інше. Чи правильно подано цю умову за допомогою змінної х:
1) перше число — 5, друге — х;
2) перше число — 5х, друге — х;
3) перше число — (х + 5), друге — х;
4) перше число — 5х, друге — 5?
868°. Одне із чисел на 2 більше за інше. Чи правильно подано цю умову за допомогою змінної х:
1) перше число — (х + 2), друге — 2;
2) перше число — 2х, друге — х;
3) перше число — (х + 2), друге — х;
4) перше число — 2, друге — х?
869°. Сума двох чисел дорівнює 15. Чи правильно подано цю умову за допомогою змінної х:
1) перше число — х, друге — 15;
2) перше число — х, друге — 15х;
3) перше число — х, друге — (х + 15);
4) перше число — х, друге — (15 – х)?
870°. Добуток двох чисел дорівнює 72. Знайдіть ці числа, якщо: 1) одне із чисел на 1 більше за інше; 2) одне із чисел у
2 рази менше від іншого.
871°. Добуток двох
якщо: 1) одне із
Знайдіть ці числа, якщо: 1) їх сума дорівнює 12; 2) їх
якщо: 1) їх сума дорівнює 18; 2)
875°. Швидкість течії річки — 2 км/год. Складіть рівність для визначення часу руху катера, який проплив:
1) 40 км за течією річки, якщо власна швидкість катера — v км/год;
2) s км проти течії річки, якщо власна швидкість катера — 20 км/год.
876°. Складіть рівність для визначення швидкості руху:
1) автобуса, який проїхав 120 км за t год;
2) велосипедиста, який проїхав відстань s км за 0,5 год.
877°. Складіть рівність для визначення продуктивності праці за такими даними:
1) труба заповнює басейн за 3 год;
2) бригада будівників виконує завдання за 15 днів;
3) трактор оре поле за 2 дні;
4) програміст виконує завдання за 5 год.
878°. Знайдіть два послідовні
яких дорівнює 240.
879°. Знайдіть два послідовні
числа, добуток яких
880°.
882°.
480 км.
883°. Із Львова до Києва одночасно виїхали автобус й автомобіль. Швидкість автомобіля на 30 км/год більша за швидкість автобуса, тому він прибув до Києва на 3 год раніше. Знайдіть швидкість автобуса й автомобіля, якщо відстань між містами дорівнює 540 км.
884°. Моторний човен проплив проти течії річки 24 км і повернувся до пункту відправлення, витративши на зворотний шлях на 2 год менше. Знайдіть швидкість човна, якщо швидкість течії дорівнює 1 км/год.
885°. Катер проплив 18 км за течією річки та 20 км проти течії, витративши на весь шлях 2 год. Знайдіть швидкість течії, якщо швидкість катера дорівнює 20 км/год.
886°. Замовлення на 110 деталей перший робітник
887°.
виготовляє перший робітник, якщо другий робітник за 1 год виготовляє на 1 деталь
888°. Петрик
890°. Діагональ прямокутника
дорівнює 13 см, а одна зі
сторін на 7 см більша за
іншу. Яке з рівнянь відповідає умові задачі, якщо
меншу сторону позначити
через х?
1) х2 + (х + 13)2 = 49; 3) х2 + (х – 7)2 = 169; 2) х2 + (х + 7)2 = 169; 4) х2 + (х + 7)2 = 13.
Знайдіть сторони прямокутника, його площу і периметр.
891°. Знайдіть катети прямокутного трикутника, якщо їх сума дорівнює 23 см, а площа даного трикутника
дорівнює 60 см2.
892°. Знайдіть катети прямокутного трикутника, якщо їх сума дорівнює 14 см, а площа даного трикутника — 24 см2.
893°. Площа прямокутника, одна зі сторін якого
більша за іншу, дорівнює 60 см2. Знайдіть сторони та периметр прямокутника.
894°. Площа прямокутника, одна
більша за іншу, дорівнює 54 см2. Знайдіть сторони та периметр прямокутника.
895. Знайдіть два послідовні
дратів яких дорівнює 313.
896. Знайдіть два послідовні
числа, сума
897.
900.
Щоб встигнути прибути в зазначений час, вони збільшили швидкість на 1 км/год. З якою швидкістю рухались учні 8-А класу до привалу?
901. Мотоцикліст виїхав зі сталою швидкістю з Миколаєва до Херсона, відстань між якими дорівнює 70 км. Наступного дня він відправився назад зі швидкістю, на 5 км/год більшою, ніж напередодні. У дорозі він зробив зупинку на 20 хв, тому на зворотний шлях витратив стільки само часу, скільки на шлях із Миколаєва до Херсона. Знайдіть швидкість мотоцикліста на шляху з Миколаєва до Херсона.
902. Із пункту А до пункту В, відстань між якими 105 км, одночасно виїхали автомобіліст і мотоцикліст. Відомо, що за годину автомобіліст проїжджає на 40 км більше, ніж мотоцикліст. Визначте швидкість мотоцикліста, якщо відомо, що він прибув до пункту В на 2 год пізніше від автомобіліста.
903. Товарний поїзд було затримано в дорозі на 18 хв. Щоб надолужити цей час, решту відстані завдовжки 60 км поїзд проїхав, збільшивши швидкість на 10 км/год. Знайдіть початкову швидкість товарного поїзда.
904. Поїзд мав проїхати 840 км за певний час. Але на середині шляху його було затримано на 30 хв через технічну несправність. Щоб прибути вчасно, машиністові довелося збільшити швидкість
906.
907.
течією річки і 4 км озером, витративши на весь шлях 1 год. Знайдіть швидкість катера, якщо швидкість течії річки дорівнює 4 км/год. 908. Баржа о 10 год вийшла з пункту А до пункту В, розташованого на відстані 15 км від пункту А. Простоявши в пункті В 1 год 20 хв, баржа вирушила назад і повернулася до пункту А о 16 год. Визначте швидкість течії річки, якщо
витрачає на 6 год менше, ніж другий робітник на виготовлення 550 таких самих деталей. Відомо, що перший робітник за 1 год виготовляє на 3 деталі більше, ніж другий. Скільки деталей
робітник?
913. Перша труба за 1 хв пропускає
об’ємом 500 л?
914. Плиточник має укласти 175 м2 плитки. Якщо щодня він буде укладати на 10 м2 більше, ніж повинен, то закінчить роботу на 2 дні раніше. Скільки квадратних метрів плитки за день має укладати плиточник?
915. Кравчиня має пошити 60 суконь. Якщо щодня вона буде шити на 2 сукні більше, ніж заплановано, то закінчить роботу на 5 днів раніше. Скільки суконь за день має шити кравчиня за планом?
916. Два промислові фільтри, працюючи одночасно, очищують цистерну води за 30 хв. Визначте, за скільки хвилин другий фільтр очистить цистерну води, працюючи окремо, якщо відомо, що він зробить це
917. Якщо два принтери працюють одночасно, то витрата паперу становить 1 пачку за 12 хв. Визначте, за скільки хвилин буде витрачено пачку паперу на першому принтері, якщо це відбудеться на 10 хв швидше, ніж на другому.
918. Периметр прямокутника дорівнює 34 см, а площа — 60 см2. Знайдіть діагональ прямокутника.
919. Периметр прямокутника дорівнює 28 см, а площа — 48 см2. Знайдіть діагональ прямокутника.
920. Знайдіть довжини сторін
922*. Знайдіть трицифрове число, цифри якого,
зворотному порядку, дадуть число, яке на 198 менше від даного числа. Відомо, що сума цифр числа дорівнює 12, а сума їх квадратів — 74.
923*. Знайдіть два числа, якщо їх сума, різниця та добуток відносяться як 5 : 3 : 4.
924*. Ігор і Богдан зможуть пофарбувати паркан у бабусі в селі за 9 год, Богдан і Василь — за 12 год, а Василь та Ігор — за 18 год. За скільки годин хлопці пофарбують паркан, якщо будуть працювати втрьох?
925*. Петрик
то він спускається донизу за 42 с. За скільки секунд він спуститься донизу, крокуючи ескалатором, який рухається?
927. Тетянка й Наталка полюбляють спілкуватися за допомогою смс-повідомлень. Повідомлення із 24 слів Тетянка набирає на 2 хв швидше, ніж Наталка.
1. Скільки слів набирає за 1 хв Наталка, якщо Тетянка за 1 хв набирає на 2 слова більше, ніж Наталка?
2. Скільки слів набирає за 1 хв Тетянка?
3. Дівчатка
1. Що таке квадратне рівняння? Наведіть приклади.
2. Що називають дискримінантом квадратного рівняння?
3. Скільки коренів може мати квадратне рівняння?
4. Запишіть формулу коренів квадратного рівняння.
5. Сформулюйте теорему Вієта для зведеного квадратного рівняння.
6. Який многочлен називають квадратним тричленом?
7. Що таке корені квадратного тричлена?
8. Запишіть формулу розкладання квадратного тричлена на
множники.
9. Поясніть, як розв’язують цілі раціональні рівняння, що зводяться до квадратних.
10. Поясніть, як розв’язують дробові раціональні рівняння.
11. Поясніть, як розв’язують рівняння способом заміни змінної.
12. Які рівняння називаються біквадратними?
13. Поясніть, як розв’язують біквадратні рівняння.
14. Що таке математична модель?
15. Назвіть етапи математичного моделювання.
Уважно прочитайте задачі і знайдіть серед запропонованих відповідей правильну. Для виконання кожного тесту потрібно 10–15 хв. № 1
1°. Розв’яжіть рівняння (х – 9)2 = 0.
А. ±9. В. 3.
Б. ±3. Г. 9.
2°. Розв’яжіть рівняння (х + 5)2 = 16.
А. 1; 9. В. 11; 21.
Б. –1; –9. Г. –11; –21.
3°. Розв’яжіть квадратне рівняння 3х2 + х – 4 = 0.
А. 3; –4. В. –1; 4 3 .
Б. –3; 4. Г. 1; 4 3 .
4. Розв’яжіть за теоремою Вієта квадратне рівняння
х2 + 6х – 40 = 0.
А. 5; –8.
Б. –5; 8.
В. 4; –10.
Г. –4; 10.
5*. Розв’яжіть відносно змінної х рівняння х2 + 4х + m = 0.
А. ±− m 4 .
В. −± m 2 .
Б. ±− m 24 . Г. −±− m 24 .
№ 2
1°. Розкладіть на лінійні множники квадратний тричлен
х2 + 4х – 5.
А. (x – 1)(x – 5).
Б. (x + 1)(x – 5).
В. (x – 1)(x + 5).
Г. (x + 1)(x + 5).
2°. Розв’яжіть рівняння ()+=xx 28 .
А. –8; 1.
Б. 8; –1.
В. –2; 4.
Г. 2; –4.
3°. Скоротіть дріб + +− x xx 2 5 310 .
А. + x 1 5 . Б. x 1 5 . В. x 1 2 . Г. + x 1 2 .
4. Розв’яжіть
А. 2; –3.
Б. –2; 3.
В. 2.
Г. –3.
5*. За 4
про різновиди відсоткових розрахунків;
про моду й середнє значення вибірки;
про частотні таблиці й діаграми для систематизації даних спостережень;
про різні комбінаторні задачі
1. Знаходження відсотка числа і числа за його відсотком
Ситуація. Із 350 учнів школи 80 % займаються в спортивних секціях, 5 % із них займаються в шаховому гуртку. Який відсоток учнів школи відвідують шаховий гурток?
Як
Тоді в шаховому гуртку займаються 280 · 0,05 = 14 учнів,
2 Під час реалізації товару на 2750 грн фермер одержав 10 % прибутку.
Розв’язання
Спосіб 1. Оскільки собівартість товару становить 100 %, а 2750 грн — 110 %, тоді маємо 2750 : 1,1 = 2500 (грн) — собівартість товару.
Спосіб 2. Нехай собівартість товару — х грн, тоді прибуток становить 0,1х грн.
Маємо х + 0,1х = 2750, х = 2500.
Отже, собівартість товару становить 2500 грн.
Розв’язання
Спосіб 1 (за допомогою пропорції).
Час перегляду збільшився на 5,2 – 4 = 1,2 (год).
Складаємо скорочений запис задачі: 4 год — 100 % 1,2 год — х %.
Складаємо пропорцію: = х 4100 1,2 , звідси х = 30 %.
Записуємо відповідь: збільшився на 30 %.
Спосіб 2 (за правилом знаходження відсоткової зміни).
Оскільки цього тижня час перегляду телепередач збільшився на 1,2 год проти 4
вираз ⋅=⋅= 5,241,2100%100%30% 44 .
Словничок
qr.orioncentr.com.ua/Nqdq5
УкраїнськаАнглійська/ English Німецька/ Deutsch Французька/ Français
концентрація розчину the concentration of a solution die Konzentration der Lösung la concentration de la solution
Пригадайте головне
1. Як знайти відсоток числа?
2. Як знайти число за його відсотком?
3. Як знайти зміну величини у відсотках?
4. Як знайти відсотковий вміст речовини в розчині? Усне тренування
1. Обчисліть : 12 % числа 40; 4 % числа 0,5; 75 % числа 7 15 .
2. Знайдіть число, якщо: його 8 % — це число 24; його 21 % — це число 105; його 45 % — це число 6 25 .
Розв’яжіть задачі
928'. Знайдіть число a, що становить n відсотків числа b.
929'. Знайдіть число b, що cтановить n відсотків числа a.
930'. Скільки відсотків число a становить від числа b?
931'. На скільки відсотків число a більше за число b?
932°. Потрібно відремонтувати дві ділянки траси. Першого тижня відремонтували 75 % першої ділянки і 40 % другої ділянки. Загалом відремонтували
933°.
1) 75х + 40(30 – х) = 19; 2) 0,4х + 0,75(30 – х) = 19; 3) 0,75х + 0,4(30 – х) = 19; 4) 0,75х + 0,4(19 – х) = 30.
934°. До сплаву міді з цинком
936°.
додали ілюстрації до творів. Скільки сторінок
937°. Після зниження ціни на 15 % сукня стала коштувати 2125 грн. Знайдіть
938°. Фірма платить рекламному агентству 5 % вартості замовлення. На яку суму агент повинен взяти
939°. На склад привезли
941°.
942°.
943°.
944°.
945°. Скільки
1) −⋅+⋅ 9143 23 14354 від 17,4 + (– 8,4) : 5 1 7 ;
2) 63,45 : 4,7 + 9,35 – (–4,5)2 від
946°. Скільки відсотків становить: 1) +⋅⋅
1930,40,6 255 від (–0,7 + 2,3) : 2 3 ; 2) (2,7 – 2,9) · (–4,5) від ⋅+−−()2 5 9,69,063,4 16 ? 947°. Є два сплави міді й
949°.
950°.
2 % солі?
951. Турист подорожує до озера велосипедом. Він проїхав 30 %
ще 30 % тієї відстані, що залишилась, і зупинився. Скільки
952. 30 % тиражу
953.
955.
956.
958.
959.
960. Ціну
збільшили на 10 %. На скільки відсотків потрібно зменшити отриману ціну, щоб вона стала дорівнювати початковій?
961. Ціну товару збільшили на 150 %. На скільки відсотків потрібно зменшити отриману ціну, щоб вона стала дорівнювати початковій ціні?
962. До сплаву золота та срібла, який містив 80 г золота, додали 200 г срібла, після чого відсотковий вміст срібла у сплаві збільшився на 20 %. Скільки грамів срібла містив початковий сплав?
963. До розчину, що містить 18 г солі, додали 600 г води, після чого концентрація розчину зменшилась на 4 %. Чому дорівнює початкова маса розчину?
964. До сплаву олова та свинцю, що містив 360 г свинцю, додали 3 кг олова, після чого відсотковий вміст свинцю зменшився на 50 %. Скільки кілограмів олова в новому сплаві?
965*. У школі 28 % дівчаток і 16 % хлопців займаються в спортивних секціях. Скільки всього відсотків учнів школи займаються у спортивних секціях, якщо дівчат і хлопців у школі однакова кількість?
966*. У спортивній секції займаються 12 % усіх хлопчиків,
968*.
зросла на 5 %?
969°. Відповідно до підрахунків Нацкомісії
заплатити 725,76 грн.
1. Після заміни лампочок на світлодіодні та за розумного використання
приладів сім’я заощадила 15 %. Скільки гривень сім’я буде платити за спожиту електроенергію тепер?
2. На скільки відсотків більше (менше) заплатила
ваша родина за спожиту електроенергію минулого місяця? Проявіть компетентність
1. Середнє значення і мода вибірки
Ситуація. Богдан виписав свої бали за тему «Квадратні рівняння»: 9, 8, 10, 10, 9, 10,10, 8, 7, 9.
Обсягвибірки: n = 10. Головним орієнтиром
Отже, оцінка за тему становить 9 балів.
Середнім значенням (або середнім арифметичним) вибірки називають частку від ділення
вибірки — це значення вибірки, яке трапляється у варіаційному ряді найчастіше.
Моду вибірки позначають так: Мо. У розглянутій
числа
Розв’язання
Утворимо варіаційний ряд: 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4.
Середнє значення вибірки: ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ = = х 0216273441 1,8. 20
Мода вибірки Мо = 2.
Незважаючи на те, що середнє значення не дорівнює 2, мода свідчить про наближення середнього значення до 2, адже саме 2 год найчастіше витрачали
точніше розібратися
цях. Наприклад, дані задачі 1 можна подати у вигляді таблиці 41. Таблиця41
Мал. 52
Мал. 53
Задача
1. Скільки всього учнів відпочивало в
таборі?
2. Який середній вік учасників табору?
3. Яка мода цього ряду даних? На що вона вказує?
Розв’язання
1. Загальна кількість учнів дорівнює сумі: 9 + 20 + 36 + 27 + 12 = 104.
2. Середній вік учасників
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ =≈ 9132014361527161217 15,12515 104 (років).
3. Мо = 15. Отже, в таборі найбільше було
УкраїнськаАнглійська/ English
Deutsch Французька/ Français мода вибірки mode of a sample Modestichprobe (f) mode d’une série statistique
1. Що називають варіаційним рядом?
2. Як знайти середнє значення вибірки?
3. Як знайти моду вибірки?
4. Які є способи подання даних?
Усне тренування
1. Розв’яжіть рівняння: 4 x = ; 62 x −= ; 240 x += ; −−= x 432 .
2. Які з тверджень є правильними:
1 ∈ R; –13 ∈ ℤ; 7 ∈ Q; 2,3 ∈ ℤ; 9 ∈ N; 0 ∈ ℤ?
задачі 970'. Наведіть приклад вибірки, мода якої дорівнює 10. 971'. Чи правильно, що середнє
середнє арифметичне
973°. Для кожного ряду чисел
знайдіть обсяг, середнє
значення та моду:
1) 18; 12; 20; 18; 2; 10; 2) 2,5; –4,3; 4,3; 6,2; 7,1; 7,1; –7,1; 3) – 2 ; 1 + 2 ; 2 ; 0; 2 + 1; 2; 5; –7.
974°. Для кожного ряду чисел знайдіть обсяг, середнє
чення та моду: 1) 8; 12; 20; 8; 20; 12; 20; 2) – 3 ; 1 + 3 ; 3 ; 0; 1 – 3 ; 5; 0.
975°. Упродовж тижня радіо
телефонних дзвінків у студію. Отримали ряд даних: 26; 35; 22; 38; 35; 42; 40. Знайдіть середню кількість дзвінків за день та моду отриманих даних.
976°. Доставка японської кухні Sushi фіксувала кількість замовлень упродовж тижня. Отримали ряд даних: 28, 39, 39, 48, 62, 53, 67. Знайдіть середню кількість замовлень за день та моду отриманих даних.
977°. У таблиці 43 наведено
981°. За якого значення х мода ряду чисел 11,5; 12,4; 13,8; 14; х дорівнює 12,4?
982°. За якого значення х мода ряду чисел 8,5; 2,6; 3,5; 4,8; х дорівнює 3,5?
983°. На круговій діаграмі (мал. 55) показано результати опитування учнів школи на тему «Яким видом транспорту ви добираєтесь до школи?». Скільки учнів взяли участь в опитуванні, якщо 54 учні йдуть до школи пішки?
Мал. 55 Мал. 56
984°. На круговій діаграмі (мал. 56) показано результати
відсотків усіх опитаних вважать улюбленою порою
985°. На телеканалі «Суспільне
дження
15 %, кінофільми та серіали — 50 %, спортивні програми — 7 %, науково-пізнавальні
значення та моду ряду. Побудуйте стовпчасту та
гову діаграми.
987. Середнє арифметичне вибірки з 16 елементів дорівнює 12,5. До цієї вибірки дописали число 27,8. Знайдіть середнє арифметичне нової вибірки.
988. Середнє арифметичне вибірки з 12 елементів дорівнює 9,4. Із цієї вибірки видалили число 13,8. Знайдіть середнє арифметичне нової вибірки.
989. Результати дослідження записали в частотну таблицю (табл. 45), але пропустили одне число. Чи можна його відновити, якщо середнє арифметичне вибірки дорівнює 20,88? Знайдіть це число.
Таблиця45 Елемент 51220242832 Частота 255 43
990. Результати дослідження
(табл. 46), але пропустили одне число. Чи можна його відновити, якщо
1. Скільки працівників взяло участь в опитуванні?
2. Скільки гривень у середньому отримує один працівник на цьому підприємстві?
3. Яка заробітна плата найбільш популярна на цьому підприємстві?
4. На скільки відсотків середня заробітна плата робітників менша від найбільш популярної заробітної плати?
992. (НМТ 2024). На діаграмі (мал. 58) наведено інформацію про продаж смартфонів протягом п’яти місяців. На скільки відсотків середня кількість проданих смартфонів
1. Скільки всього медалей вибороли спортсмени з 2000 по 2020 рік на Олімпійських іграх?
2. Скільки медалей у середньому виборювали спортсмени за Олімпіаду?
3. Знайдіть моду отриманих даних. На що вказує знайдене числове значення?
4. Доповніть діаграму даними за 2024 рік. Як змінилось середнє значення отриманих медалей (у відсотках)?
994*. Упродовж семестру вчитель поставить Ірині тематичні оцінки за 6 тем. Середня оцінка за перші чотири теми дорівнює 7,8. Яку найбільшу оцінку за семестр може отримати Ірина?
995*. Кожне число варіаційного ряду збільшили на 5. Як змінилося його: 1) середнє значення; 2) мода?
996*. Запишіть ряд чисел, що складається з шести елементів, у якому середнє арифметичне дорівнює моді.
Проявіть
997. За тему з алгебри Микола отримав шість п’ятірок, чотири вісімки і
десятки. Мама й тато вважають, що він заслуговує на оцінку «5», а Микола вважає, що йому поставлять оцінку «7». Аргументуйте точку зору кожного члена родини. Які статистичні дослідження вони провели? А яку б оцінку ви поставили Миколі?
1. Правила додавання і множення для комбінаторних задач
Яке правило комбінаторики можна застосувати для вибору одного чергового?
Правило додавання.
Справді, хлопця можна обрати 13 способами, а дівчину — 15 способами. Тоді, за правилом додавання, або дівчину, або хлопця можна обрати 13 + 15 = 28 способами.
Запам’ятайте!
Правило додавання
Якщо деякий елемент
вибрати з даної сукупності елементів n способами, а елемент B можна вибрати m способами, то
Яке правило комбінаторики можна застосувати
Правило множення.
Справді, першого чергового
вибрати 28 способами, а другого — 27 способами.
ня, пару чергових
Розв’язання
Першого учасника естафети можна обрати шістьма способами.
Другим може бути один із п’яти спортсменів, що залишились.
Третім — один із чотирьох спортсменів, що залишились.
Четвертого вже можна обрати трьома способами.
Отже, всіх можливих варіантів: 6 · 5 · 4 · 3 = 360.
Під час розв’язування задачі ми використали правило множення.
Задача 2 Скільки трицифрових
варіантів,
ватися.
Отже, одержуємо 3 · 4 · 4 = 48 трицифрових чисел, які можна скласти із заданих цифр.
зміниться результат
задачі, якщо додати умову, що всі цифри числа — різні? Поміркуємо.
Третю цифру можна обрати двома способами, оскільки залишилися дві вільні цифри.
Зрештою одержуємо 3 · 3 · 2 = 18 трицифрових чисел, які можна скласти із заданих цифр так, щоб цифри в числі не повторювалися.
Першою цифрою числа не може бути нуль!
2. Розв’язування комбінаторних задач
Чи будь-які задачі є комбінаторними?
Справді, комбінаторними називають задачі, у яких йдеться про підрахунок певної кількості варіантів
бінування.
Для розв’язування комбінаторних задач використовують відомі вам правиладодавання
шуканих способів
можна виписати методом
кані способи й не загубити
проміжні результати
можливихваріантів
Спосіб 2. Застосуємо правило множення.
Першим словом шуканого
із трьох варіантів.
Другим словом — два варіанти, що залишилися.
На третє місце залишилось розмістити одне слово.
Отже, отримали 3 · 2 · 1 = 6 можливих варіантів комбінування слів.
Задача 5 Скільки п’ятицифрових чисел можна утворити із цифр, що мають однакову парність?
Розв’язання
Загалом існує 10 цифр, серед них п’ять
1, 3, 5, 7, 9, і п’ять парних: 0, 2, 4, 6, 8. Числа можуть складатися з непарних цифр або з парних цифр.
Кількість п’ятицифрових чисел, що складаються з непарних цифр (цифри можуть повторюватись), дорівнює 5 · 5 × × 5 · 5 · 5 = 55 = 3125, оскільки кожну цифру ми можемо вибрати одним із п’яти способів.
Кількість п’ятицифрових чисел, що складаються
дорівнює 4 · 5 · 5 × × 5 · 5 = 4 · 54 = 2500, оскільки першою цифрою не може
нерозшифрованих абеток і харків’янин Юрій Кнорозов (1922–1999), відомий світові як дешифрувальник писемності народу мая (мал. 61). Практично не виходячи з кабінету п’ять років, Кнорозов таки зробив те, що до нього не вдавалося нікому. Він розробив власний варіант дешифрування писемності долини Інду. У Бразилії вченого вшановують як національного героя. Мал. 61 Пригадайте
1. Поясніть, які задачі називають комбінаторними.
2. Сформулюйте правило додавання для комбінаторних задач.
3.
Усне тренування
1. Розв’яжіть усно рівняння:
задач.
1) х2 – 4 = 0; 2) х2 – 4х+ 4 = 0; 3) х2 + 3х – 4 = 0.
2. Вкажіть кількість коренів рівняння:
1) х2 = –4; 3) 5х + 1 = 5(х + 0,2);
2) += х 40 ; 4) х2 – 4х + 20 = 0.
Розв’яжіть задачі
998'. Для якого правила комбінаторики справедливе твердження: «Якщо елемент a можна вибрати n способами, а елемент b—m способами, то пару a і b можна обрати m·n способами»?
999'. Якщо елемент a можна вибрати n способами, а елемент b—m способами, то скількома способами
1002°. На учнівську наукову
1) одну тему; 2) дві теми (одну з
1003°. У коробці 12 різних кульок, серед яких 7 синіх і 5 жовтих. Скільки існує способів вийняти: 1) одну кульку; 2) одну синю й одну жовту кульку?
1004°. У кондитерському відділі супермаркету було 8 різних видів тортів та 15 видів цукерок у коробках. Скількома способами покупець може вибрати: 1) або торт, або коробку цукерок; 2) торт і коробку цукерок?
1005°. Самостійна робота з математики містить одне рівняння й одну задачу. Скільки варіантів самостійної роботи з математики можна скласти із семи рівнянь і п’яти задач?
1006°. У кав’ярні є 8 різних видів напоїв та 6 видів тістечок. Скількома способами
собі один напій із тістечком?
1007°. Скільки трицифрових чисел можна скласти
2, 3, 6, 9, якщо:
1) усі цифри числа різні; 2) цифри в числі можуть повторюватися?
1008°. Скільки двоцифрових чисел можна скласти із цифр 3, 4, 5, якщо:
1) усі цифри числа різні; 2) цифри в числі можуть повторюватися?
1009°. Скільки існує:
1) двоцифрових чисел; 2)
1010°. Скількома
1011°. Скількома способами можна
1012°. Скількома способами можуть бути розподілені 1, 2 і 3 місця за умови, що в змаганнях беруть участь 8 команд?
1013°. Скількома способами можуть розміститися четверо спортсменів на лаві перед гімнастичним снарядом?
1014°. Скількома способами можна скласти список із п’яти дітей?
1015°. Монету підкидають тричі. Скільки різних послідовностей випадання герба та числа можна отримати?
1016°. Монету підкидають чотири рази. Скільки різних послідовностей випадання герба та числа можна отримати?
1017. Із цифр 2, 4, 5, 6, 8 склали
всі можливі п’ятицифрові
числа без повторення
цифр. Скільки серед них
таких, запис яких:
1) розпочинається цифрою 6; 2) непарних; 3) розпочинається із 46; 4) не розпочинається цифрою 8?
1018. Із цифр 1, 3, 4, 7 склали всі можливі чотирицифрові числа без повторення цифр. Скільки серед них таких, запис яких: 1) розпочинається цифрою 7; 2) парних; 3) розпочинається із 13; 4) не розпочинається цифрою 1?
1020. Скільки трицифрових чисел
утворити із цифр 2, 5 і 6, якщо цифри числа різні
число є: 1) парним; 2) непарним; 3) кратним числу 5?
1021. Скільки існує трицифрових чисел, що діляться на 5?
1022. Скільки трицифрових чисел можна утворити із цифр 7, 2, 1 і 0, якщо цифри числа можуть повторюватися
й число є: 1) парним; 2) непарним; 3) кратним числу 5?
1023. Скільки трицифрових чисел можна утворити із цифр
2, 3, 6 і 0, якщо цифри числа можуть повторюватися й число є: 1) парним; 2) кратним числу 10?
1024. Скільки чотирицифрових чисел можна утворити з парних цифр, якщо:
1) усі цифри числа різні;
2) цифри в числі можуть повторюватися?
1025. Скільки трицифрових чисел можна утворити з непарних цифр, якщо:
1) усі цифри числа різні;
2) цифри в числі можуть повторюватися?
1026. Щоб набрати чотирицифровий пін-код, потрібно дві секунди. Скільки секунд знадобиться для того, щоб набрати всі можливі коди? Відомо, що всі цифри пінкоду різні.
1027. Скільки різних трикутників можна утворити з відрізків завдовжки 4 см, 5 см і 6 см? Скільки серед них рівносторонніх, рівнобедрених і різносторонніх трикутників?
1028. Сума цифр натурального числа є парним числом. Скільки таких двоцифрових чисел
1031*. Скільки трицифрових чисел, кратних числу 3, можна скласти із цифр 1, 2, 3, 5 і 8? Розв’яжіть задачу, якщо: 1) усі цифри числа різні; 2) цифри числа можуть повторюватися.
1032*. Скільки натуральних дільників має число: 1) ⋅ 2625 ; 2) ⋅⋅ 53 978 ?
1033*. Скільки існує трицифрових чисел, у записі яких: 1) є цифра 9; 2) немає цифри 9?
Проявіть компетентність
1034. Із Києва до Одеси можна дістатися потягом, автобусом або автомобілем. Скількома способами можна дістатися з Києва
й повернутися назад, якщо для подорожі: 1) можна скористатися тільки різними видами транспорту; 2) види транспорту
однаковими? 1035. Петро забув код до вхідних дверей, який складається із чотирьох різних цифр. Він пам’ятає, що остання цифра є парною, а першою є цифра 9. Скільки способів комбінування цифр йому доведеться перебрати, щоб відкрити двері?
1. Основні поняття теорії ймовірностей
Ситуація. Оксана й Сашко часто грають у гру
Кидання кубика — це випробування, а його наслідки
можна передбачити.
Такий експеримент (випробування) називають випадковим або стохастичним.
Будь-яка випадкова подія відбувається (чи не відбувається) внаслідок проведення деякого експерименту.
Подія, що може відбутися чи не відбутися під час здійснення випробування, називається випадковою подією або (коротко) подією. Запам’ятайте!
Приклади випробувань і
в таблиці 47.
Підкидання грального
кубика
Футбольний матч «Динамо» — «Шахтар»
Розв’язування квадратних
рівнянь під час підготовки
до контрольної роботи
очок від 1
Переміг «Шахтар»
з рахунком 2 : 1
Усі рівняння розв’язані
правильно
журнал Учитель виставив учневі оцінку «13 балів»
за 12-бальною системою
Подію, яка внаслідок даного випробування не може відбутися, називають неможливою. Запам’ятайте!
«Поява кількості очок від 1 до 6 на верхній грані кубика» — достовірна подія.
«Учитель виставив учневі оцінку «13 балів» за 12-бальною системою оцінювання — неможлива подія.
Під час кидання грального кубика можлива одна із шести різних подій, кожна з яких характеризується певною кількістю очок. Усі ці події рівноможливі і несумісні (жодні дві не можуть відбутися одночасно,
2. Подія В — «утворили непарне трицифрове число з різними цифрами». Усього із цих цифр можна утворити трицифрових чисел 3 · 2 · 1 = 6, тобто n = 6.
Із них непарних чисел — 4, тобто m = 4.
Ймовірність події В: () 42 . 63 PBm n ===
Проаналізуємо результати, отримані в задачі 2:
Сума ймовірностей усіх рівноможливих подій
бування дорівнює 1.
Задача 3 У випадковому експерименті монету кидають тричі. Яка ймовірність того, що «герб» випаде всі три рази?
Розв’язання
Подія А — «герб» випаде три рази.
Під час кидання монет можливі такі
ГГГ, ГГЦ, ГЦГ, ЦГГ, ГЦЦ, ЦГЦ, ЦЦГ,
рівняння й
із
з цього переліку?
Розв’язання
Подія «А» — «написати
Гра в кубики була найпопулярнішою
азартною грою до кінця середньовіччя. Саме слово «азарт» походить від арабського слова «аль-зар», що перекладається як «гральний кубик». Найбільш ранньою книжкою з теорії ймовірностей є «Книга про гру в кубики» Джероламо Кардано (1501–1576). Вона була опублікована в 1663 р. У ній розглянуто цікавий парадокс гральних кубиків. Під час кидання двох гральних
можна отримати двома способами: 9 = 3 +
= 5 + 5. Якщо ж гральних кубиків
що «дев’ятка»
qr.orioncentr.com.ua/WG0zV
Розв’яжіть задачі
1036'. Які елементарні події можна отримати внаслідок проведення випробування: 1) монету підкидають два рази; 2) у слові «родина» навмання вибирають одну букву; 3) зі скриньки, у якій лежать білі й чорні кульки, виймають дві кульки?
1037'. Наведіть приклад:
1) випадкової події; 2) неможливої події; 3) достовірної події.
1038'. Визначте, якими — випадковими, неможливими чи достовірними — є події: 1) у результаті підкидання грального кубика
непарна кількість очок;
2) завтра буде дощ;
3) навмання вибраному учневі восьмого класу 18 років;
4) вибране навмання двоцифрове число є парним;
5) якщо сьогодні понеділок, то мене викличуть до дошки;
6) у результаті збільшення температури повітря вода перетворилась на лід.
1039°. Максим загадав двоцифрове число. Якою є подія:
1) це число парне;
2) це число менше від десяти;
3) це число містить однакові цифри;
4) це число має дільником число 1?
1040°. Запишіть слово «стохастика». Якою є подія:
1) у слові є літера «а»;
2) із букв цього слова
1043°. У Ярини є 8
1044°.
того, що Оксанка витерла: 1) цифру 4; 3) непарну цифру; 2) парну цифру; 4) цифру 8?
1045°. У спортивних змаганнях з гімнастики беруть участь 20 спортсменів: 5 — з України, 7 — із Польщі, 4 — з Молдови і решта — з Німеччини. Порядок виступу спортсменів визначається жеребкуванням. Яка ймовірність того, що:
1) першим виступатиме гімнаст із України; 2) останнім виступатиме спортсмен із Німеччини; 3) першим виступатиме спортсмен із Франції?
1046°. У коробці лежить 15 різних кульок, серед яких 7 синіх і 8 жовтих. Яка ймовірність вийняти з коробки:
1) одну синю кульку; 2) або синю, або жовту кульку; 3) чорну кульку?
1047°. Туристична фірма запропонувала дітям відвідати один із шести музеїв або один із трьох замків. Яка ймовірність того, що діти відвідають: 1) один музей; 2) або музей, або замок; 3) парк?
1048°. Гральний кубик кидають один раз. Підрахуйте ймовірність події:
1) «випадає 3 очки»; 2) «випадає 5 очок»; 3) «випадає парне число очок»; 4) «випадає число очок, що менше за 3».
1049°. Монету підкидають два
1) парне число;
2) число, менше від десяти;
3) число, що ділиться на 10;
4) число, що складається з однакових цифр?
1051°. У скриньку помістили кульки, що занумеровані двоцифровими числами, причому використали всі двоцифрові числа. Яка ймовірність того, що на навмання витягнутій кульці написане:
1) непарне число; 2) число, більше 20 і менше від 45; 3) число, що є квадратом іншого цілого числа? 1052. Із п’яти предметів — історія, фізика, алгебра, географія і фізкультура — навмання склали розклад. Яка ймовірність того, що:
1) першим уроком буде фізика;
2) останнім уроком буде фізкультура;
3) першим уроком буде алгебра, а другим — географія?
1053. Із цифр 4, 6, 5 випадковим чином утворили трицифрове число з різними цифрами. Яка ймовірність того, що воно є:
1) непарним; 2) числом, у якого перша цифра 4;
3) числом, більшим за 600; 4) числом, що ділиться на 3?
1054. Із цифр 1, 2, 5 випадковим чином утворили трицифрове число з різними цифрами. Яка ймовірність того, що воно є: 1) парним; 2) числом, що ділиться на 5; 3) числом, меншим за 100; 4) числом, у якого друга цифра 2?
1055. Із цифр 4, 7, 0 випадковим чином утворили трицифрове число. Цифри в числі можуть повторюватись. Яка ймовірність того, що воно є: 1) непарним; 2) числом, що ділиться на 10; 3) числом, більшим за 500? Український освітянський видавничий центр «
1056. Із цифр 3, 8, 0 випадковим чином утворили трицифрове число. Цифри в числі можуть повторюватись. Яка ймовірність того, що воно є:
1) парним; 2) числом, що ділиться на 5; 3) числом, меншим за 400?
1057. У класі навчається 28 учнів. Ймовірність того, що навмання обраний учень виявиться хлопцем, дорівнює 3 4 . Скільки дівчат у цьому класі?
1058. У коробці 30 цукерок з білого і чорного шоколаду. Ймовірність витягнути навмання цукерку з чорного шоколаду дорівнює 0,6. Скільки
1059. У випадковому експерименті монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що: 1) «герб» випаде лише один раз; 2) «цифра» випаде хоча б
1060. У випадковому експерименті
ють двічі. Знайдіть ймовірність того, що: 1) на обох кубиках випаде однакова кількість
1061. Для участі в конференції випадковим чином вибирають
— 30 учнів?
1062. До школи мама підготувала Андрійкові
1064*.
компетентність
1065. (НМТ – 2024). Місця в літаку розташовані у 20 рядів, у кожному ряду є
3 місця, розділені проходом, ліворуч і праворуч від проходу (мал. 62). Комп’ютерна програма випадковим чином обирає місце для пасажира. Визначте ймовірність того, що пасажирові дістанеться місце в першому або останньому ряду.
ПЕРЕВІРТЕ,
Мал. 62
1. Як знайти відсоток числа?
2. Як знайти число за його відсотком?
3. Як знайти зміну величини у відсотках?
4. Як знайти відсотковий вміст речовини в розчині?
5. Що називають варіаційним рядом?
6. Як знайти середнє значення вибірки?
7. Як знайти моду вибірки?
8. Які є способи подання даних?
9. Поясніть,
10.
1°.
А. На 10 %. Б. На 15 %. В. На 20 %. Г. На 25 %.
2°. На діаграмі (мал. 63) відображено інформацію про кількість придбаних футболок різного розміру для спортивної команди. Знайдіть моду отриманих даних.
Мал. 63
А. 15. Б. 12. В. 10. Г. 8.
3°. Трикутник, квадрат і круг зафарбували випадковим чином
різні фігури зафарбували в різні кольори. Яка ймовірність того, що круг буде зеленого кольору? А. 1 3 . Б. 1 7 . В. 3 7 . Г. 1 210 .
4. Скільки
1.
6.
7.
8.
15. Спростіть вираз:
1) а – 10 : а – 6 · а – 5; 2) а – 10 : а 6 · а – 5; 3) а – 10 : а – 6 : а – 5;
4) а – 10 · а – 6 · а – 5; 5) а 0 : а – 8 · а – 12; 6) а 0 : (а – 8 · а – 12);
7) (а–4)– 3 : (а3)4; 9) (а–10а40)–3 : (а10а–30)0; 8) (а–4)– 3 · (а3)4; 10) (а–10а40)0 : (а10а–30)0.
16. Запишіть у вигляді степеня з основою 3: 1) 9–5 · 37; 3) (9–2)3 · (274) –1; 5) 27–20 : (9–10)3; 2) 272 · 9–7; 4) (812) –9 · (9–2) –3; 6) 81–5 : 320.
17. Запишіть як степінь: 1) 2–3 · 3–3; 3) 35–3 : 7–3; 2) 10–2 · 5–2; 4) 132–1 : 11–1.
18. Запишіть у стандартному вигляді число: 1) 90; 3) 3003; 5) 0,75; 7) 50 · 102; 9) 524 · 103; 2) 112; 4) 0,07; 6) 142,01; 8) 34 · 10 – 3; 10) 65,8 · 105.
19. Чи належить графіку функції 4 y x = точка:
1) А (1; –4); 2) В (2; 2); 3) C (0; 4); 4) M (0,1; 40)?
20. Знайдіть значення k, якщо графік функції k y x = проходить через точку:
1) А (–2; 4); 2) B (5; 0,2); 3) С (–0,1; 6); 4) D 1 ;2,8 4
3. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА
21. Чи належить графіку функції y = x2 точка: 1) А (1; –1); 4) D (3; 6); 2) В (2; 4); 5) M (0,5; 0,25); 3) C (–0,1; 0,01); 6) N (–1; –1)?
22. Побудуйте в одній системі
.
функцій: 1) y = x2 і y = 9; 2) 1 y x =− і y = x2 .
23. Оберіть серед чисел 4 2 , –1,(3), 0, 16 , 25 0,01, –100, 1,6 , 1 25,;8: 7 1) натуральні; 2) цілі; 3) раціональні; 4) ірраціональні; 5) дійсні.
24. Порівняйте числа: 1) 1 3 і 0,34; 2) 2 1 5 і 2 ; 3) 8,344 і 8,(34); 4) 3 і 1,5.
25. Запишіть у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу число: 1) 5 6 ; 2) 7 9 ; 3) 3 10 ; 4) 2 3 .
26. Знайдіть сторону квадрата, якщо його площа дорівнює: 1) 25 см2; 2) 225 см2; 3) 1,44 м2; 4) 0,09 м2; 5) 7 1 9 см2.
27. Знайдіть значення виразу: 1) 1 4 · ()2 10 ; 3) ()2 3 + (3)2 ; 2) 35 · 1 20 ; 4) 0 · 1 2 4 · 2,64 .
28. Внесіть множник під знак кореня: 1) 82 ; 3) 0,53 ; 5) 4 хх , якщо х — від’ємне; 2) 0,12 ; 4) 4 х ; 6) 2 хуху , якщо х — додатне.
29. Винесіть множник з-під знака кореня: 1) 0,4 ; 2) 2,5 ; 3) 8 а ; 4) 4 0,01у ; 5) 22 ху , якщо х — від’ємне, у — додатне; 6) 3 ух , якщо х — додатне.
30. Розв’яжіть рівняння: 1) х2 = 81; 3) х2 – 21 = 0; 5) (х – 0,5)2 = 1; 2) 4х2 = 36; 4) х2 + 17 = 0; 6) (х – 8,1)2 + 81 = 0.
31. Розв’яжіть рівняння: 1) х = 6; 3) 111 х −+ = 0; 2) х = 12; 4) 5 х = 6. Український
32.
33. Спростіть вираз:
34. Спростіть вираз:
35.
1
36. Розв’яжіть квадратне рівняння: 1) х2 + 8х – 9 = 0; 3) х2 – 6х + 9 = 0; 2) х2 – 6х – 7 = 0; 4) х2 + 6х + 5 = 0.
37. Знайдіть корені рівняння: 1) 10х = 3х2 + 3; 3) 9х2 + 4 = 12х; 2) 9у + 2 = 5у2; 4) 4y2 = 20y – 25.
39.
1) х2 + 14х – 15 = 0; 3) х2 – 6х – 40 = 0; 2) х2 – 9х – 10 = 0; 4) х2 + 2х – 3 = 0.
1) 3 і –2; 2) –4 і 1; 3) 3 і 1 3 ; 4) –2 і 0.
2) х2 + 2х – 35; 4) –6x2 + 17x – 5.
43. Скоротіть дріб: 1) 2 1 352 x xx + ++ ; 3) 2 6175
71 xx x + , якщо х = –28; 2) 2 6112 16 xx x + , якщо х = –0,5.
45. Побудуйте графік функції:
46. Розв’яжіть рівняння: 1) 5х(х – 4) + 1 = х2 – 16х; 3) 2x(x – 2) = x2 + 2(x – 4); 2) (y – 1)(y + 3) = у + 3; 4) (x + 4)(x – 2) + 4 = x.
47. Розв’яжіть рівняння:
48. Розв’яжіть рівняння: 1) х4 – 26х2 + 25 = 0; 3) х4 – 40х2 + 144 = 0; 2) х4 +х2 – 2 = 0; 4) 9х4 + 8х2 – 1 = 0.
49. Розв’яжіть рівняння: 1) ()() 2 2298970xx−−−+= ; 2) (x2 – 3)2 + 5(x2 – 3) – 6 = 0.
50. Добуток двох чисел дорівнює 90. Знайдіть ці числа, якщо:
1) одне із них на 9 більше за інше; 2) одне із них у 10 разів менше від іншого.
51. Знайдіть два послідовні натуральні числа, добуток яких дорівнює 380.
52. Із Хмельницького до Івано-Франківська одночасно виїхали автобус і автомобіль. Швидкість автомобіля на 20 км/год більша за швидкість автобуса, тому він прибув до пункту В на 1 год раніше. Знайдіть швидкість автобуса й автомобіля, якщо відстань між Хмельницьким та Івано-Франківськом становить 240 км.
53. Відстань від Кропивницького до Житомира, завдовжки 400 км, пасажирський потяг проїхав на годину швидше, ніж товарний. Знайдіть швидкість руху кожного потяга, якщо пасажирський за годину проїжджає на 20 км більше.
54. Катер проплив 24 км за течією річки й повернувся назад, витративши на весь шлях 3 год 20 хв. Знайдіть швидкість катера, якщо швидкість течії річки дорівнює 3 км/год.
55. Довжина
Знайдіть розміри земельної ділянки.
56. Довжина ділянки землі прямокутної форми в 5 разів більша за її ширину.
59. Бак було наповнено
60. Сливи під час сушіння втрачають 75 % своєї маси. Сушені сливи містять 16 % води. Скільки відсотків
містять свіжі сливи?
61. На шкільних змаганнях зі стрибків у довжину серед хлопців були зафіксовані результати: 178 см, 182 см, 170 см, 168 см, 150 см, 175 см, 185 см, 182 см, 168 см, 158 см. Знайдіть середнє значення та моду отриманих даних.
62. Середнє арифметичне вибірки із 6 елементів дорівнює 18,5. Після видалення із цієї вибірки одного
середнє арифметичне нової вибірки стало дорівнювати 14. Знайдіть видалене число.
63.
лась таблиця (табл. 1) і відповідь: «Середнє значення дорівнює 10».
1. Відновіть запис у таблиці.
2. Знайдіть моду отриманих даних.
64. Результати дослідження
таблицю (табл. 2).
Таблиця2 Елемент01356 Частота82х 3х – 1 6 х + 5 Знайдіть х, якщо
66. Із цифр 1, 5, 7, 8 склали
які:
1) починаються цифрою 1;
2) парних;
3) починаються з 51;
4) не починаються цифрою
67. У новому шестиповерховому офісному
но розмістити шість фірм.
цих фірм?
68. Скількома способами шістьох
команди можна розставити на ігровому майданчику? Скількома способами можна розставити гравців, якщо капітан став на подачу м’яча?
69. Визначте, якими є події: випадковими, неможливими чи достовірними:
1) у результаті підкидання грального кубика випаде кількість очок, більша за 6;
2) завтра буде сніг;
3) з коробки, у якій є 10 білих і чорних кульок, вийняли білу кульку;
4) мій найкращий друг народився 31 квітня;
Ситуація 1. Туристична агенція організовує подорожі до країн світу. Для популяризації нового туристичного об’єкта необхідно створити рекламний туристичний буклет.
Роль. Ви працівник туристичної агенції, і одне з ваших завдань —розробити рекламу для туристів.
Продукт: туристичний буклет (презентація, відео тощо).
Виконання проєкту
Крок 1. Об’єднайтеся в групи. Розшифруйте назви країн, у яких розміщені туристичні об’єкти.
1. Розташуйте результати дій у порядку збільшення:
1)
4) обчисліть:
1)
2)
3)
4)
5)
(Catedral Metropolitana Nossa Senhora Aparecida).
1) відкрийте сервіс Geogebra (графічний калькулятор);
2) скопіюйте картинку і вставте її у Geogebra (скористайтеся клавішами Ctrl+C(V);
3) використовуючи інструмент Переміщення, рухайте точки А і В так, щоб рисунок розмістився в необхідному положенні і абрис малюнка потрапив у
натні чверті;
4) задайте функцію () k fxb x =+ ;
5) рухаючи повзунки (слайдери) та змінюючи за потреби малюнок (зменшуючи/збільшуючи або повертаючи), доберіть значення параметрів k і b так, щоб гіпербола максимально наближалася до абрису споруди. Крок 4. Опишіть властивості отриманої вами функції () k fxb x =+ за поданим планом:
1) назвіть коефіцієнти k і b;
2) назвіть область визначення і область значень функції;
3) знайдіть значення аргументу, за яких значення функції додатні; від’ємні;
4) знайдіть значення аргументу, за яких функція зростає; спадає;
5) скориставшись графіком, знайдіть: а) значення y, якщо x = –1; 2; –5; 10; б) значення x, якщо y = 10; 5; –2. Крок 5. Підготовка туристичного буклету.
Математичнаскладова. Зробіть фото зображення екрана сервісу Geogebra із побудованою гіперболою. Історичнаскладова. Знайдіть відомості про: початок і кінець будівництва, символіку будівлі, місце її розташування, історичні відомості про місце розташування, цікаві факти з історії будівництва. Архітектурнаскладова
Вирази. Тотожності. Одночлени і многочлени
1. 1) 55,2; 2) 6,51; 3) 34,2; 4) 8; 5) 154; 6) 2 146 3 . 2. 1) –470; 2) –640; 3) 18,5; 4) –25. 3. Павло Тичина. 4. 1) 0,8x15y3z ; 2) –12x12y29 . 5. 1) x2 + 6x – 16; 2) x2 + 31x + 25; 3) –0,5y2 – 2y – 2; 4) 0,2a3 – 0,5a.
6. 1) 3(a – b)(a + b); 2) x(3x – 1)(3x + 1); 3) y2(y2 – 1)(y2 + 1); 4) 2z(2z – 1)(2z + 1); 5) (n + 5)2; 6) (2m – 7)2; 7) (0,9x – 0,5)2; 8) 5y(2x – 3)2; 9) (a + b)(a – b + 1); 10) (–3z – 2)(5z – 2) ; 11) (c + 5) × × (c2 – 5c + 25) ; 12) (3a – 2)(9a2 + 6a + 4). 8. 1) 73 2 77 x ; 2) 17 3 70 a ; 3) 2,8375b. 9. a – 1,5; (a – 1,5)2. 10. P = 4a – 6; S = a2 – 3a. 11. 58 і 54. 12. 20.
Функції
13. у = 15 + 5х. 14. у = 10 + 20х. 16. 1) так; 2) ні; 3) так; 4) так. 19. 1) 6; 2) 3; 3) 8; 4) 2. 20. (0; –4); (8; 0), прямокутний трикутник. Графік зображено на малюнку 1. 21. (0; 3); (6; 0), прямокутний трикутник. Графік зображено на малюнку 2. Y O 1 18 X –4
Мал. 1 Мал. 2
22. 1) 2; 2) –5; 3) 0,2. 23. a = –0,6. 24. b = –2; a = 5. Лінійні рівняння
25. 1) 6; 2) будь-яке число; 3) коренів немає; 4) 15. 26. 1) так; 2) так; 3) так. 27. 1) (1; 1); 2) (–1; 2); 3) безліч розв’язків; 4) розв’язків немає. 28. 1) (2; 1); 2) (1; –2); 3) (2; –2); 4) (–4; 2).
29. 10 пакетів по 500 г і 40 пакетів по 250 г. 30. 54 дрони, 45 дронів і 26 дронів. 32. 500 тис. грн і 450 тис. грн. 33. 20 років і 25 років. 34. 15 км/год, 5 км/год. 35. 19 км/год і 3 км/год. 36. 25 м і 20 м. Елементи стохастики
37. 1) 25 учнів; 2) 9 учнів; 3) 700 %. 38. 1) 50 км; 2) 18,5 км; 3) ≈ 27 %. 39. 0,3 л. 40. 125 г. 41. 162,4 см. 42. 2,5. 43. 6. 44. 1) 6; 2) 27. 45. 1) 6; 2) 1 3 ; 3) 0. 46. 1) 6; 2) 1 3 . 48. 2) на 10 %.
§ 1. Раціональні вирази. Види раціональних виразів
55. 1) Так; 2) ні; 3) так; 4) так; 5) ні. 56. 3) Так. 57. 1) Ні; 2) ні; 3) так; 4) так; 5) ні; 6) так. 58. 1) x ≠ 2; 2) с ≠ 3; 3) b ≠ 1; 4) y ≠ –5; 5) b— будь-яке число. 59. 1) x ≠ –1; 2) a ≠ 2; 3) c ≠ –1; 4) y ≠ –7; 5) a— будь-яке число. 60. 1) 2; 3) 4; 4) –4; 5) 6; 6) 10. 61. 1) 3; 2) 3; 3) 9; 4) 6; 5) 15. 63. 1) Ні; 2) ні; 3) ні; 4) так. 66. 1) Ні; 2) ні; 3) ні; 4) так. 67. 1) Ні; 2) ні; 3) ні; 4) так. 68. 1) a ≠ 0, c ≠ 0; 3) х ≠ 0, y ≠ 0; 4) a ≠ 1, c ≠ –1; 5) х ≠ 3, y ≠ 4; 6) a ≠ –1, c ≠ 0; 9) b ≠ 0,25, c ≠ 0,25; 10) 12 1;1 33 dc≠≠ . 69. 1) a ≠ –2 і a ≠ 2; 2) b ≠ –3 і b ≠ 3; 3) x ≠ –4 і x ≠ 4; 4) a ≠ 1; 5) b ≠ 3; 6) x– будь-яке число. 70. 1) b ≠ 0, c ≠ 0; 2) a ≠ 2, b ≠ 0; 3) y — будь-яке число 2 2;3; 3 xx≠≠− ; 4) y ≠ 4. 71. 1) 0; 3) 1 3 ; 4) 1,2. 72. 1) 0; 2) не можна визначити; 3) 3 7 ; 4) –0,6; 5) 1,8. 73. 1) Не можна визначити; 2) 5; 3) 5 48 ; 4) –0,625.
74. 1) 0; 2) не можна визначити; 3) –15; 4) 1 3. 3 75. 1) 2,8 год; 2) 2 год 40 хв; 3) 2 год 30 хв. 76. 1) 2,25 см; 2) 1 2 12 см; 3) 1 2 80 см.
77. (10 + х) : y; 1) 13 35 ; 2) 17 40 . 78. 1) 1,6; 2) 6,2; 3) 32 75 . 79. 1) 5; 2) 1 3 3 ; 3) 5 12 . 81. 2) n ≠ 3 і n ≠ –3; 3) n ≠ –0,5 і n ≠ 0,5; 5) n ≠ –6 і n ≠ 0. 82. 1) 5 9 ; 2) 0,4; 3) 1,3. 83. 1) x ≠ 2 і x ≠ 4; 2) x ≠ 9 і x ≠ 12.
91. Ні. . 5 xy 92. 1) Так, 1 ; 2x 2) так, 3y2; 3) ні; 4) так, 3 16 5 a ; 5) ні.
1) 3; 3) 1,5; 5) –3; 7) ; a b 8) 2 3 a b . 98. 1) 312 ; 2 xy x 3) ; 2 xy c 5)
3) 4x. 102. 1) 1 ; x x 3) 3 ; 2 ab 5) () 5 . aab b + 103. 1) 1 ; x x 3) () () 4 . 4 aab bab + 104. 1) ; xy xy 3) 5 . a b 105. 1) 2 2
3,3,
2) 2 4 y y ; 0,6. 157. 1) 2 21 , 9 a 4,2. 158. 1) x – 2; 3) 1. 159. 1) 22 ; aabb −+ 3) 22 ; xxyy −+ 6) 22 1 ; aabb −+ 8)
aa
1)
3) () 1 . 1 tt
.
3) ()2 2 3 9 b b + ; 4) 2 3 x x . 170. 1)
; 4) –6y. 188. 1) 11; 2) –2; 3) –5; 4) 12; 5) 2,5; 6) 2a; 8) –1,5b. 189. 1) 2 4 ; a
1) ; b a 3) ; y x 5) 5 ; 3 x y 7) 3 ; 2 y 9) 5 ; 2 x y 11) 2 5 . 7 x 213. 1) ; b a 2) 2 2 y x ; 3) 3 10x
3) 1; 5) –9. 216. 1) 9; 2) 7 9 ; 3)
9) 3 ; 7 11) 2 1 . 14x 218. 1) 9; 2) 3; 3) 16; 4) 2
;
63
;
4 5 ; 2
1)
;
2) a(a – b). 231. 1) (x2 + y2)(x – y); 2) ()() xy xyab ++ . 232.1) 1; 2) (m – n)2.
§ 7. Раціональні рівняння
237. 1) 0 або 4; 3) –1 або 4; 5) 0 або 6; 7) –2 або 2. 238. 1) 0 або 3; 3) 4 або 5. 239. 1) x — будь-яке число; 2) x — будь-яке число; 3) x — будь-яке число; 5) x — будь-яке число, крім 0 і 2; 6) x — будь-яке число. 240. 1) x — будь-яке число; 3) x — будь-яке число, крім –5 і 4. 241. 1) 0; 2) 3; 3) 2; 4) –3; 5) 0; 6) –1 або 1; 7) 0; 8) 5. 242. 1) коренів немає; 3) коренів немає; 5) коренів немає; 6) коренів немає. 243. 1) 0; 2) 4; 3) коренів немає; 4) коренів немає. 244. 1) коренів немає; 2) коренів немає; 3) коренів немає; 4) коренів немає; 5) –1; 6) –2; 7) –4; 8) 4. 245. 1) коренів немає; 2) 3. 246. 1) Ні; 3) ні; 5) ні. 247. 1) 2,8; 3) –4,5; 5) 4; 7) 1,5; 9) 4,2; 11) 4,5; 13) 2; 15) 2 ; 3 17) 7. 248. 1) 1,75; 3) 16; 5) 11. 249. 1) Так; 3) так; 4) ні; 5) ні. 251. 1) Ні; 3) так. 252. 1) коренів немає; 3) 2; 4) коренів немає; 5) 0; –3. 253. 1) коренів немає; 2) коренів немає; 3) 1; 4) –3. 254. 1) 2; 2) –0,5; 3) 4; 4) –3. 255. 1) –3; 2) 2,75; 3) –3,6; 4) –2,5.
256. 10 км/год, 40 км/год. 257. 5 . 3 258. 7 . 9 259. 1) (0; 0), (–3; –2,25).
260. 2 . 9 261. а ≠ 5. 262. а = –0,5 і а = –2. 263. 40 пістолів або
60 пістолів. § 8. Що таке степінь із цілим
269. 1) 3–1; 3) 10–1; 4) 17–1; 11) с–1 . 270. 1) 4–1; 3) 345–1; 6) у–1 .
271. 1) 6–2; 3) 11–7; 4) 5–5; 7) 44–22; 9) х–4; 13) п–15; 15) с–120 . 272. 1) 5–7; 2) 18–3; 3) 22–7; 4) b–2; 5) у–9; 6) t –14 . 275. 1) 23; 2) 20; 5) 2–2; 8) 2–6. 277. 1) 33; 2) 30; 5) 3–2; 6) 3–4. 281. 3) 5 1 2 ; 5) 9 1 10 ; 7) 5
; 12) 10 1 100 . 282. 1) 3 1 10 ; 5) 1 20 ; 6) 7 1 25 . 284. 1) 4 1 а ; 2) 9 1 c ; 3) 12 1 т ; 4) 56 1 n ; 5) 80 1 b ;
298. 1) 1 64 ; 3) 1 16 ; 4) 100; 10) 8 27 ; 11) 16 25 . 299. 1) 15,625; 2) 10 000; 3) 100; 4) –100 000; 5) 9 16 ; 6) 81. 301. 1) 2 · 9–7; 2) 6 · 8–8; 4) 3–8 · 5–9 · 8–16. 303. 1) 2 5 3 ; 2) 50,75. 304. 1) 1 1 9 ; 2) 114. 305. 1) 20; 2) 0. § 9. Властивості
318. 1) 1 64 ; 2) 4; 3) 1 4 . 319. 2) 0,01; 3) 100; 4) 10; 5) 10.
320. 1) а–12; 2) а–4; 3) а4; 4) а 12; 5) 1; 11) а 8 . 321. 1) х –13; 2) х –7; 3) х7; 4) х13; 5) 1; 6) х20 . 322. 1) 10–1 · 10т; 3) 8–4 · 8m . 323. 1) 6–4 · 6х; 2) 27 · 2–х; 3) 12–8 · 12п; 4) 3–р · 3–п . 325. 5) 256; 7) 1; 9) 64; 10) 16. 326. 1) 32; 3) 2; 5) 1. 327. 1) а 12; 2) а–4; 3) а7; 4) а–13; 6) а2; 8) а12 . 328. 1) т 12; 2) т–8; 4) т–20 . 330. 1) 76; 2) 7–7; 3) 715; 6) 7–2. 331. 1) 87; 2) 8 20; 3) 85; 4) 8–9; 5) 8–6; 6) 83. 332. 1) а–25; 2) 1; 3) а–20; 4) а21; 5) а2; 6) а–8; 7) т12; 8) т–22 . 334. 1) 5–50; 2) 444; 4) 70; 9) а–30; 12) а–25; 16) а–22 . 335. 1) 2–8; 2) 330; 3) 3–30; 4) 100; 5) х0; 6) х0; 7) х–44; 8) х32 . 336. 1) 8–3; 2) 18–1; 3) 2–3; 4) 2–1; 5) 80–9; 6) 12–4; 7) (ba)–12; 8) 5 x y
; 9)
; 10) (pmn)–6; 11) (abc)–1; 12) (3тп)–4; 13) 5 xy
; 14) 1 3
; 16)
5) (zху)– 3; 6) 7 ac x
. 337. 1) 70–7; 2) 0,7–7; 3) 45–10; 4) 5–10;
; 15) 2 xy zh
. 339. 1) 12–2; 2) 12–10; 3) 12–4; 4) 12–1; 5) 12–15; 6) 12–4. 341. 1) 1 64 ; 2) 1 64 ; 3) 1 9 ; 4) 3. 342. 1) 2,2 · 10; 5) 9,76 · 102; 7) 5 · 10–3; 10) 3,33 · 10–1; 15) 3,35 · 108; 17) 2,30002 · 102; 22) 7,4 · 10–5. 343. 1) 3,7 · 101; 2) 1,9 · 101; 3) 2,07 · 102; 4) 2 · 10–2; 5) 3,8 · 10–1; 6) 1,3005 · 10; 7) 6,5 · 10–2; 8) 7,5 · 10–5; 9) 9,1 · 104; 10) 4,82 · 10–3; 11) 1,15 · 107; 12) 4,3 · 101; 13) 2,7 · 10–6; 14) 1,1 · 10–1. 345. 1) 5 · 10 –7 > 1,2 · 10–7; 6,2 · 10–7, 3,8 · 10–7, 6 · 10–14; 2) 3,1 · 10 4 > 3 · 104; 6,1 ·
351. 1) 632xab = ; 4) 7. 352. 1) 1615ab ; 3) 4. 353. 1) (5)26 . 355. 1) т2 · т 22 . 356. 1) 2–1; 3) 2–27. 357. 1) 2–5(2–1 + 212); 3) 2–5(22 + 28 – 2–10+ 220). 358. 1) 3–4(3–8 + 316); 2) 3–4(35 + 1 + 38); 3) 3–4(3–1 + 39 – 33+ 35). 360. 1) 12–12; 2) 1; 4) 510; 5) 0,64; 6) 250002. 362. 1) 6 · 10–8 > 1,2 · 10–9, 6,12 · 10–8, 7,2 · 10–17, 5 · 101; 2) 0,2 · 106 > 0,16 · 104, 2,016 · 105, 3,2 · 108, 8 · 10–3; 3) 2,1 · 10–10 > 0,63 · 10–11, 2,163 · 10–10, 1,323 · 10–21, 3 · 10–2; 4) 5,5 · 1022 > 11 · 1020, 5,61 · 1022, 6,05 · 1043, 5 · 101. 363. 1) 0,25.
8) (п + 4т)9. 389. 1) 2,5х–8у 3; 2) т 21п6; 4) 1518 1 8 ba . 391. 1) ()225 ab ; 2) 2,25; 3) 1; 4) 1 8 ; 5) 1; 6) х. 394. 1) 0; 2) 10 10 а + ; 3) 1; 4) 1; 6) 2 2 16 х х . 395. 1) (у–1– 2)2; 3) (а–2 – 5)2; 4) (2т–1– 3п –1)2. 397. 1) (x–1 – 5)(x–1 + 5); 2) (a –1 – b)(a –1+ b). 399. 1) 3 2 1 a a + ; 2) 2 21 x x + 402. 1) 3а3с– 2; 2) 0,25b32с14 .
403. 1) a – b; 4) –a – 2; 10) 1 1 х + . 404. 1) a – 3. 405. 1) у–2(у –6 + у –2); 4) у–2(2у 3 + 4у); 6) у–2(ху –7 + 9). 406. 1) а–4(а–8 + а–6); 2) а–4(а–3 – а7); 4) а–4(7а–10 + 6а4). 408. 1) а(а3 + а2+ а–4+ а–5); 2) а3(а +1+ а–6+ а–7); 4) а–5(а9 + а8 + а2 + а). 410. 2) 22 тп тп ; 3) х–4; 4) 2 п
. 411. 1) 23; 2) 3; 3) 2. 412. 1) 7; 2) 83. 414. 2) 4 19 . 415. 2) 0,25. 417. 1) ()() 3 14хх++ ; 2) 22аb ab + .
§ 11. Функція k x y=
419. 3), 4). 423. 1) 1; 2) –4; 3) 4; 4) 10; 5) –12; 6) –25; 7) 28; 8) 100. 424. 1) 3; 2) –3. 426. 1) х — будь-яке число, крім нуля; у — будь-яке число, крім нуля. 430. 1) Ні; 2) так; 3) так; 4) ні. 431. M, P. 434. 1) –10; 2) 16; 3) 27; 4) –2; 5) 9; 6) –50; 7) 36; 8) –18.
435. 1) –1; 2) 21; 3) 20; 4) 14. 445. 1) 1 5 ; 3) 4 9 ; 5) –5; 6) –8; 7) 7.
447. 1) –0,002; 2) –14; 3) 0,9. 452. 1. Для функції 1 y x =− :
1) х — будь-яке число, крім нуля; 2) у — будь-яке число, крім нуля; 3) –1; 4) 1, –1, 0,1; 6) х < 0; 7) х > 0; 8) х < 0 і х > 0; 9) не існує таких
значень аргументу. 3. Для функції 0,2 y x = : 1) х — будь-яке число, крім нуля; 2) у — будь-яке число, крім нуля; 3) 0,2; 4) –0,2, 0,2, –0,02; 5) 0,2, 0,02, –0,1; 6) х > 0; 7) х < 0; 8) не існує таких значень
аргументу; 9) х < 0 і х > 0. 457. 1) (2; 2); 2) (1; –2). 458. 2) (–2; –2), (2; 2); 3) (2; 6) і (–3; –4). 460. 4 y x = . 462. 1) –6, 1; 2) –1, 2; 3) 1, 3; 4) 1, –9. 465. 5 y x = (мал. 23); (мал. 24).
§ 12. Функція y = x2 471. х –20–8–606820 у 400643603664400
473. 1) Так; 2) ні; 3) так; 4) ні. 476. 1) Ні; 2) так; 3) ні; 4) так. 477. 1) 0; 1; 9; 2) 1, –1; 3, –3; 3) х — будь-яке число; 4) х ≥ 0. 478. 1) 1; 4; 9; 2) 0; 2, –2; 3) х < 0 і х > 0; 4) х ≤ 0. 481. 1) (–3; 9) і (3; 9); 2) графіки не перетинаються; 3) (0; 0) і (1; 1). 483. 1) Не має розв’язків; 2) (2; 4) і (3; 9). 484. 1) –2 і 2; 2) –4 і 4; 3) 0; 4) не має розв’язків. 485. 1) –1 і 1; 2) не має розв’язків; 3) –3 і 3. 486. 1) (0; 0), (1; 1). 491. 1) –1 і 0; 2) 1 і –3; 3) не має розв’язків.
494. (мал. 36), (мал. 37),
(мал. 39). § 13. Арифметичний квадратний корінь
510. 1) Так; 2) ні; 3) ні. 512. 1) –9; 9; 8) –1,5; 1,5. 518. 1) 0,3; 2) 0,4; 3) 0,5; 4) 0,07; 5) 0,06; 6) 0,13. 520. 1) 1 3 ; 3) 5 7 ; 6) 9 10 .
523. 1) 50 > ; 3)10010 >− ; 4)42 −< ; 5) 217 >− ; 12) 124 < . 524. 1) 60−< ; 2) 00,01; < 3) 526;−< 4) 3537; >−
5) 749 < ; 6) 638; < 7) 633; > 8) 10110 > . 526. 1) 4; 2) 3; 4) 9; 5) 10; 6) 0,2; 7) 0,99; 9) 2 5 ; 10) 1 8 . 527. 1) 2; 2) 2; 3) 0; 4) 0,7; 5) 5,7;
6) 1 7 . 528. 1) 6; 2) 6; 3) 10; 4) 18; 6) 120; 8) 80; 9) 140; 10) 320. 531. 1) 7; 2) 0,3; 3) 8; 4) 6; 5) 35; 6) 1,5. 533. 1) 3; 2) 3; 3) 3; 4) 3; 5) 3. 534. 1) 4; 2) 4; 3) 0; 4) 90. 535. 1) 3; 2) 3; 3) 11; 4) 5,4. 536. 1) 8 ; 2) 32 ; 3) 12 ; 4) 75 ; 8) 63 ; 9) 40 ; 10) 90 ; 11) 99 . 537. 1) 18 ; 2) 48 ; 3) 20 ; 4) 54 . 538. 1) 22 ; 2) 42 ; 3) 62 ; 4) 92 ; 5) 23 ; 6) 35 . 539. 1) 32 ; 2) 52 ; 3) 72 ; 4) 27 ; 5) 102 ; 6) 33 . 541. 1) 22 ; 2) 63 ; 3) 55 ; 5) 21 ; 6) 0; 7) 27 ; 8) 1310 . 542. 1) 210 ; 2) 0; 3) 4023 ; 4) 82 . 543. 1) 10510 ; 2) 22 + ; 6) 15 ; 7) 2; 9) 1; 10) –10; 11) –31; 14) –2; 20) 19421 + . 544. 1) 33 + ; 2) 655 + ; 4) –1; 5) 4; 6) 10. 546. 1) –3; 2) –2; 3) 5; 4) 100. 549. 1) 2 1 3 ; 5) 1 1 2 ; 8) 3 1 4 . 550. 1) 3,5; 2) 1 2 3 ; 3) 2 1 7 ; 4) 2 2 3 . 551. 1) 437 < ; 2) 2826 > ; 4) 3218 = ; 11) 9 12 16 < . 552. 1) 527 > ; 2) 459 < ; 3) 4232 = ; 1 7)0,25 4 = . 553. 1) 1 i 2; 2) –3 і –2; 3) 2 і 3. 554. 1) 1 і 2; 2) –3 і –2; 3) 3 і 4; 4) 4 і 5. 556. 1) 75; 2) 700; 3) 2; 4) 11 25 . 560. 1) 0,9; 2) 2,4; 3) 24; 4) 30. 562. 1) 523 ; 2) 23 ; 3) 128 ; 4) 22 . 564. 1) 0,18 ; 2) 5 ; 3) 1,5 . 566. 1) 0,15 ; 3) 170,1 . 568. 1) () 3101 ; 3) ()515 + ;
5) ()3123 + . 570. 1) 3 ; 2) 2 . 572. 1) 37 ; 2) 66 . 574. 1) 35 ; 2) 71 ; 3) 21 + ; 4) 23 .
§ 14. Множина та її елементи. Числові множини
587. 1) 4,(1); 2) 2,35(0); 3) 0,(35); 5) 2,(123). 588. 1) 8,(0); 3) 2,(2); 3) 1,55(4); 4) 0,4(235). 589. 1) 2,888…; 2) 19,333…. ; 3) 1,3252525…; 4) 5,9878787…; 5) 21,88999…; 6) 4,5000…; 7) 21,000…; 8) 5,101121212…. 590. 1) 3,444…; 2) 5,5121212…; 3) 7,54000…. 593. 1) Так; 2) так; 3) так; 4) ні; 5) так; 6) так; 7) ні; 8) так; 12) так. 594. 1) Так; 2) так; 3) ні; 4) ні. 596. 1) Так; 2) так; 4) ні; 6) ні. 597. 1) 1, 4, 9; 2) 1, 9 3 , 0, 4, 9; 3) –0,(4), 1, 9 3 , 0, 1 2 ; 4, 3 5 ,
1,0333…, 9; 4) 6 , – 6 . 598. 3) 12 6 , –3,(9), 0, 25 , 7,8888…, –5, 1 3 , 22. 606. 1) Ні; 2) ні; 3) ні; 4) так. 609. 1) 1 0,0(6); 16 > 2) () 5 0,45; 11 = 3) 1 0,1(4); 7 > 4) () 7 0,7. 9 = § 15. Перетворення ірраціональних виразів
621. 1) Ні; 2) так; 3) так; 4) ні; 5) так; 6) ні; 7) так; 8) ні; 9) так. 622. 1) Так; 2) ні; 3) так. 627. 1) x – 3. 628. 1) 5x ; 2) 1012 x + .
629. 1) 15 pp ; 5) 232 xxyy ; 6) 1 a . 630. 1) 6 nn + ; 2) 318aa ; 3) 64 y ; 5) 44уy−+ ; 8) 21010yy++ . 631. 1) () 12 aa ; 3) () 9 mn ; 5) ()325aa ; 9) () 2 xx + ; 13) (5)(5) xx−+ ; 16) () ()1010xx−+ ; 17) () ()22xx−+ .
633. 3) 1 3 ; 4) c a . 634. 1) p ; 2) . n a 636. 1) 2 1 y + ; 3) 2; 7) 7 n + .
637. 1) 4x ; 3) 36a ; 4) 2 4xy ; 5) 2 4xy ; 8) 4 m ; 9) 7 m .
638. 1) 25c ; 2) 2 ac ; 3) 22 2nm ; 4) 22 3nm . 640. 1) 7 y ; 2) 7 y ; 3) 23 ab ; 4) 23 ab ; 5) 23 ab ; 6) 23 ab . 642. 1) 3 3 ; 2) 15 3 ; 4) x x ; 5) 2 2 ab b ; 6) 2 z ; 7) 2 2 y y ; 8) 81 81 x x + + . 645. 1) 1 x =± ; 2) 6 x =± ; 3) 0 x = ; 4) 3 x =± ; 7) 8 x =± ; 9) 9 x =± ; 10) 17 x =± ; 11) не
13)
12)
16) не
розв’язків; 17) не має розв’язків. 646. 1) 7 x =± ; 2) 8 x =± ; 4) 7 x =± ; 5) 3 x =± ; 7) не має розв’язків; 8) не має розв’язків. 648. 1) х = 25; 2) х = 16; 3) х = 9; 4) х = 5; 5) не має розв’язків; 6) х = 0. 650. 1) х — будь-яке число; 2) х — будь-яке число; 3) х > –10; 4) х > –1. 651. 1) 2x + 18; 2) 202а . 652. 1) 2a + 8; 2) 22хху . 653. 1 1) aa ; 2 3) y xy . 654. 10 1) 5 a . 656. 1) 8 4 n n . 658. 1) 4. 659. 1) – 3 x ; 2) 4 9yx ; 3) 49ab ; 5) 22 nmmn−+− .
660. 1) 3 3a ; 3) ()3 ac . 661. 1) 22 п ; 3) 4 0,1abb ; 6) ()2 2 3 1 n mm + .
662. 1) 36 x ; 3) 2 6 23 7 xx y . 663. 1) 12 ; 3) 2(75) + ; 6) 52 ; 7) 2 2 2 x x + . 664. 1) 15 4 −+ ; 2) 72 + ; 6) ac ac + . 665. 1) –9, 7; 3) 10; 4) –18, 0; 8) не має розв’язків. 666. 1) –4, 0; 3) 25; 4) 34±− ; 6) не має розв’язків. 667. 1) 1 2 ± ; 2) не має розв’язків; 3) 2 ± .
668. 1) 3 ± ; 2) не має розв’язків. 669. 1) 9; 2) 1; 3) не має розв’язків; 4) 0; 5) –2; 6) 3. 670. 1) 4; 3) 0; 4) –1. 671. 1) 1,5; 2) 4; 3) 256; 6) 0. 672. 1) 2. 673. 1) 2; 2) 1; 3) 10; 4) –4; 0; 7) 0; 100. 674. 1) 3; 2) –3; 3; 3) 0; 4; 4) 1. 677. 1) у ; 4) xy xy + . 678. 1) 4; 4) 52 2 . 680. 1) a < 0; 3) a < 7. 681. 1) a = 0; 2) a = –1; 4) a = ±2. 683. 1) 0; 2) 0; 3) 1. § 16. Функція 687.
х 11,442,253,246,259,6120,25 у 11,21,51,82,53,14,5 689. 1) Так; 2) так; 3) ні; 4) ні. 691. 1) Так; 2) ні; 3) так; 4) так. 695. 1) (1; 1); 2) ні; 3) (4; 2); 4) ні. 696. 1) (1; 1); 2) (0; 0). 697. 1) (16; 4); 2) графіки не перетинаються. 699. 1) (4; 2); 2) (1; 1). 701. 1) 62 > ; 2) 2,52,7 < ; 3) 54,4 > ; 4) 39. = 710. 1) 3,8 ; 2; 4,1 ; 4,5 ; 2) 2 2 5 , 1 2 2 , 4 2 7 , 3 2 4 . 712. 1) 4; 2) 4.
§ 17. Квадратні рівняння
726. 1) x2 – x – 6 = 0; 2) x2 – 8x – 16 = 0; 3) x2 + x – 6 = 0; 4) 2x2 + 2x + 5 = 0; 5) x2 – 4x – 5 = 0; 6) x2 – 6x – 40 = 0. 727. 1) x2 – 4x + 3 = 0; 2) 6x2 + 11x – 4 = 0; 3) 9x2 – 12x + 2 = 0; 4) 4x2 – 7x + 3 = 0. 728. 1) 1; 2) 4; 3) 36; 4) 16; 5) 6,25; 6) 20,25. 729. 1) 9; 2) 25; 3) 12,25; 4) 2,25. 730. 1) 0 і –14; 2) 7 і –1; 3) 11 і –1; 4) –3 і –5; 5) –2 і –2; 6) коренів немає. 731. 1) 6 і –10; 2) 6 і 6; 3) коренів немає. 732. 1) 2 і –4; 2) 1 і 3; 3) –5 і –7; 4) 3 і 5; 5) –2 і 8; 6) 5 і 5. 733. 1) –6 і –4; 2) 2 і –4; 3) 4 і 4. 734. 1) 1 і –4; 2) 1 і 4; 3) 2 і –3; 4) 2 і 2,5; 5) 2 і 1 ; 3 6) –3 і 1 5 . 735. 1) 2 і –7; 2) 5 і –2; 3) 1 і 1 . 2
736. b = 19, 2 1 3 x =− 737. c = 3, 2 3 4 x = . 740. Вказівка: знайдіть корені кожного з рівнянь та порівняйте їх. 741. 1) 2; 2) 3. 742. 1) 8 м, 14 м; 2) 92 плитки; 3) 6000 грн. § 18. Формула коренів квадратного рівняння
747. 1) 36; 2) 9; 3) 16; 4) 49. 748. 1) 4; 2) 49. 752. 1) два різні корені; 2) два різні корені; 3) немає коренів; 4) два рівні корені. 755. 1) –5 і 1; 2) –2 і 8; 3) 2 і –4; 4) 4 і 4; 5) –1 і –7; 6) коренів немає; 7) 3 і –4; 8) –3 і 5; 9) –1 і 8; 10) 36;−± 11) 1 і –2; 12) –5 і –20; 13) –1 і 7; 14) –2 і –13; 15) 1 і 2; 16) 5 і 5. 756. 1) 2 і –6; 2) –2 і 5; 3) 3 і 3; 4) коренів немає; 5) 1 і 4; 6) –2 і –4; 7) –2 і 3; 8) 2 і 5. 757. 1) 2 і –1,5; 2) 1 1 3 і 2 ; 3 3) –2 і 0,6; 4) 1,5 і 0,5; 5) –3 і 1 ; 4 6) –3 і 1 ; 5 7) 1 3 і 1 ; 2 8) 1,5 і 1; 9) 2 і 2,5; 10) 0,6 і –0,2; 11) 1 1 4 і 1 2; 4 12) 1 і 3 ; 4 13) 2 2 3 і 2 2; 3 14) 6 і 1 ; 3 15) 5 і 0,5; 16) 0,5 і 0,5. 758. 1) 1 і –2,5; 2) 1 і 1 ; 9 3) 2,5 і –2; 4) 1 3 і –2; 5) –1 і 1 ; 5 6) 3,5 і 3,5; 7)
–2,5; 2) –1 і 2,5; 3) 16; ± 4) 5 і –6; 5) 1 7 і 1 ; 2 6) 0 і –3. 761. 1) 9 і –8; 2) 3 і –0,5; 3) 2 і 1 ; 6 4) 326;−± 5) 3 і –3; 6) 2; ± 7) –5 і 6; 8) 6 і –4. 762. 1) 7 і –8; 2) –0,5 і 3; 3) 1 і –3; 4) 2 і –4. 763. 1) 1 і –3,5; 2) 5 і 5 ; 6 3) 3 4 і –3; 4) 8 і 1. 764. 1) 2 і 1 ; 3 2) –2 і 1 1. 3 765. 15 учасників. 766. 7 міст. 768. 2 % 769. 1) 769 5 ± ; 2) 4 і 0,6; 3) –7 і 4.
770. 1) n < 1; 2) n > 1; 3) n = 1. 772. 4. 773. Вказівка: розв’яжіть рівняння з буквеними коефіцієнтами. 774. 1) сторони ділянки 36 м і 20 м; периметр ділянки 112 м; 2) 56 секцій. § 19. Теорема Вієта
787. 1) –4 і 1; 2) –2 і 8; 3) 3 і –10; 4) 2 і 8; 5) 1 і 11; 6) 1 і 8; 7) 3
і –4; 8) 13 і 2; 9) –1 і –4; 10) –1 і –5; 11) 1 і –2; 12) –5 і –20; 13) –1 і 10; 14) –1 і –7; 15) 1 і 2. 788. 1) –9 і 1; 2) –2 і 5; 3) 4 і 5; 4) –1 і –8; 5) –2
і 7; 6) –2 і –4; 7) 5 і –4; 8) 2 і 5. 789. 1) –13; 2) 22. 790. 1) 3 1; 5 2) 4 . 25 791. 1) 2 2; 3 2) 5 1. 9 794. 11 і –14. 795. –14 і 12. 796. 13 і –39. 797. –7 і 35. 798. 6, 3 і 18. 799. 3, 6, –9 або –3, –6, 9. 800. 1) 51; 2) 3 ; 4 3) 1 4; 4 4) 1893. 801. 1) 10; 2) 2 ; 4 3) –2,5; 4) 142. 802. 13. 803. –1 804. –1 і 0,6. 805. 2.
§ 20. Квадратний тричлен. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники
812. 1) (х – 5)(х + 2); 2) (х – 6)(х – 4); 3) –(х – 1)(х – 15); 4) (х + 3) × × (х – 5); 5) –(х – 1)(х – 3); 6) (х + 1)(х – 7); 7) (х + 2)2; 8) –(х – 5)2. 813. 1) (х + 1)(х + 2); 2) –(х + 9)(х – 1); 3) (х + 3)(х – 8); 4) (х + 3)2. 814. 1) (2х – 3)(х – 1); 2) (5х – 1)(х + 1); 3) –(3х + 7)(х – 2); 4) (2х – 1) ×
× (3х – 1); 5) –(3х – 2)2; 6) (3х – 5)(х – 1); 7) (2х – 1)2; 8) –(2x + 1) ×
× (х – 2). 815. 1) (3х – 1)(х + 2); 2) –(2х + 5)(х – 3); 3) (3х + 1)2; 4) –(5x – 1)(х – 1). 816. 1) a = –14; 2) a = –12. 817. 1) b = 14; 2) b = –2. 818. 1) 1 1 x + ; 2) 21 6 x + ; 3) 4 3 x x ; 4) 8 x x ; 5) 2 3 x x + ; 6) 8 9 x x + . 819. 1) 4 6 x ; 2) 31 x x ; 3) 56 2 x x + + . 820. 1) мал. 3; 2) мал. 4.
Мал. 3
821. 1) мал. 5.
Мал. 4
Мал. 5
822. 1) 1,8; 2) –1,75. 823. 1) 1,4; 2) 3,4. 824. 1) 1 5 х ; 2) 1 x . 825. 1 2 x + . 826. ± 10. 827. 4. 828. –6. 829. 1) (nх – 2)(х + 1); 2) (х – m – n)(х + n). 830. 1) 20; 2) 5; 3) 38. § 21. Рівняння, які зводяться до квадратних
836. 1) –3 і 4; 2) –1 і 1 ; 9 3) 1,5 і –5; 4) 2 і 0,5; 5) 3 і 1,5; 6) 5 і 3. 837. 1) 5 і 0,5; 2) 2 і –3; 3) 0,5 і 1; 4) 1 і 2 1. 3 838. 1) 7; 2) 0 і –9; 3) –1 і 2 1 3 ; 4) –4 і 1. 839. 1) –7 і 3; 2) –3 і 1 3 . 840. 1) 2; 2) –3; 3) –2 і –4; 4) –6; 5) 3 і –6; 6) –9; 7) 0,5; 8) 1 і 0,6. 841. 1) –5; 2) 2.
842. 1) –6; 2) 2; 3) 0,5; 4) 2 . 3 843. 1) –5; 2) 0,5. 844. 1) 0 і 4; 2) –2 і 5; 3) 2 3 і 4 ; 5 4) 4 і –5; 5) –1 і 2,5; 6) 2. 845. 1) –1і 4; 2) 16 і 4; 3) –3. 846. 0,5. 847. 0,5. 848. 1) ±1 і ±3; 2) ±2; 3) ±2; 4) ±3; 5) 2 ± і 3; ± 6) 2; ± 7) ±2 і ±4. 849. 1) ±2; 2) ±2 і 5; ± 3) ±1 і ±2; 4) коренів немає. 850. 1) ±3 і 1 ; 2 ± 2) ±2 ; 3) 2 ± і 2 ; 2 ± 4) 1 2 ± . 851. 1) ±1 і 2 ; 3 ±
2) ±1 і 3 . 4 ± 852. 1) 15 2 ± ; 2) 3 і 4; 3) 5 і –2; 4) –1. 853. 1) ±2 і 6; ± 2) –20 і –6. 854. 1) 8 і –3; 2) 6; 3) 4 1; 5 4) коренів немає. 855. 1) 4; 2) ±6. 856. 1) 1 і –0,5; 2) 6 і –5. 857. 4 і –3. 858. 1) 0 і 4 ; 2) 26; ± 3) 1; 4) 1; 5) –6 ; 6) –1. 859. 1) 0; 2) 1 2 3 і –2. 860. 1) –1; 0; 2 і 3; 2) –2 і 1; 3) –3 і 1; 4) –4 і 27−± . 861. 1) –4 і –6; 2) 1; 3 і 23 ± . 862. 1) 0; 2) 20. 863. 1) ±3 і ±n; 2) n і 1 n . 864. 1) 5; 2) 3 і –2. 865. 1) 0,6 м і 1 м; 2) 0,44 м і 0,84 м; 3) ≈ 0,4 м2. § 22. Розв’язування задач за допомогою квадратних рівнянь
870. 1) 8 і 9 або –9 і –8; 2) 6 і 12 або –6 і –12. 871. 1) 8 і 6 або –6 і –8; 2) 4 і 12 або –4 і –12. 872. 1) 8 і 4; 2) 2 і 16 або –2 і –16.
873. 1) 3 і 15; 2) 5 і 9 або –5 і –9. 878. 15 і 16. 879. 11 і 12. 880. 3 4 або 5 . 8 881. 1 . 4 882. 60 км/год і 80 км/год. 883. 60 км/год і 90 км/год.
884. 5 км/год. 885. 4 км/год. 886. 10 дет. 887. 12 дет. 888. 5 год. 889. 5 год. 891. 8 см і 15 см. 892. 6 см і 8 см. 893. 5 см, 12 см і 34 см. 894. 6 см, 9 см і 30 см. 895. 12 і 13. 896. 13 і 14. 897. 12. 898. 22. 899. 4 км/год. 900. 4 км/год. 901. 30 км/год. 902. 30 км/год. 903. 40 км/год. 904. 21 год 30 хв 905. 60 км/год. 906. 15 км/год. 907. 16 км/год. 908. 2 км/год. 909. 5 км/год. 910. 25 дет. 911. 7 дет. 912. 10 л. 913. 25 л. 914. 25 м2 915. 4. 916. 75 хв. 917. 30 хв. 918. 13 см. 919. 10 см. 920. 3 м і 4 м. 921. 15 і 9. 922. 381 і 705. 923. 4 і 1. 924. 8 год. 925. У 2 рази; 4 л. 926. 56 с. 927. 1) 4; 2) 6; 3) одночасно.
935. 1740 грн. 936. 434 ст. 937. 2500 грн. 938. 20000 грн. 939. 17 м. 940. 265 кг. 941. 18 %. 942. 48 %. 943. На 25 %. 944. На 35 %. 945. 1) 12 %; 2) 130 %. 946. 1) 25 %; 2) 180 %. 947. 35%. 948. 68%. 949. 250 г. 950. 60 кг. 951. 49 %. 952. 80 000 екз. 953. 20 і 16. 954. 24 і 25. 955. 3,75 кг. 956. 1,6 кг. 957. 42 г. 958. 40 г. 959. На 28 68% 29 960. На 1 9% 11 . 961. На 60 %. 962. 120 г. 963. 300 г. 964. 3,24 кг. 965. 22 %. 966. 10,4 % 967. 1 кг і 7 кг. 968. На 20 %.
24.
975. 34; 35. 976. 48; 39. 977. 20; 19. 978. 8,4; 9. 979. 12,3. 980. 6,6. 983. 300 учнів. 984. 23 %. 987. 13,4. 988. 9. 989. 6. 990. 6. 991. 1) 100; 2) 14 680 грн; 3) 16 000 грн; 4) на 8,25 %. 992. На 25 %. 993. 1) 116; 2) 19 мед., 3) 19 і 22. 994. 9. § 25. Комбінаторні задачі
1000. 12. 1001. 32. 1002. 1) 14; 2) 48. 1003. 1) 12; 2) 35. 1004. 1) 23; 2) 120. 1005. 35. 1006. 48. 1007. 1) 24; 2) 64. 1008. 1) 6; 2) 9. 1009. 1) 90; 2) 81; 3) 3; 4) 12. 1010. 90. 1011. 90. 1012. 336. 1013. 24. 1014. 120. 1015. 8. 1016. 16. 1017. 1) 24; 2) 24; 3) 6; 4) 96. 1018. 1) 6; 2) 6; 3) 2; 4) 18. 1019. 1) 3; 2) 3; 3) 2. 1020. 1) 4; 2) 2; 3) 2. 1021. 180. 1022. 1) 24; 2) 24; 3) 12. 1023. 1) 36; 2) 12. 1024. 1) 96; 2) 500. 1025. 1) 60; 2) 125. 1026. 10 080 с. 1027. 27; 3; 18; 6. 1028. 45. 1029. 120. Вказівка: порахуйте кількість одноцифрових, двоцифрових, трицифрових і чотирицифрових. 1030. 90. 1031. 1) 24; 2) 47. 1032. 1) 18; 2) 48. 1033. 1) 252; 2) 648. 1034. 1) 6; 2) 9. 1035. 280. § 26. Ймовірність
1041. 5 9 . 1042. 3 5 . 1043. 3 7 . 1044. 1) 1 6 ; 2) 1 2 ; 3) 1 2 ; 4) 0. 1045. 1) 1 4 ; 2) 1 5 ; 3) 0. 1046. 1) 7 15 ; 2) 1; 3) 0. 1047. 1) 2 3 ; 2) 1; 3) 0. 1048. 1) 1 6 ; 2) 1 6 ; 3) 1 2 ; 4) 1 3 . 1049. 1) 1 4 ; 2) 3 4 . 1050. 1) 1 2 ; 2) 0; 3) 1 10 ; 4) 1 10 . 1051. 1) 1 2 ; 2) 4 15 ; 3) 1 15 . 1052. 1) 0,2; 2) 0,2; 3) 0,05. 1053. 1) 1 3 ; 2) 1 3 ; 3) 1 3 ; 4) 1. 1054. 1) 1 3 ; 2) 1 3 ; 3) 0; 4) 1 3 . 1055. 1) 1 3 ;
2) 1 3 ; 3) 1 2 . 1056. 1) 2 3 ; 2) 1 3 ; 3) 1 2 . 1057. 7. 1058 12. 1059. 1) 3 8 ;
2) 7 8 . 1060. 1) 1 6 ; 2) 1 18 . 1061. 1 750 . 1062. 1 15 1063. 1) 0,1; 2) 0,4; 3) 0,5; 4) 0,5. 1064. 21 120 . 1065. 1 10 .
Розділ 2. Раціональні вирази
1. 1) x — будь-яке число; 2) y — будь-яке число, крім –3 і 0; 3) a — будь-яке число, крім –2 і –1; 4) x — будь-яке число, крім –1, y — будь-яке число, крім 0,5. 5) a — будь-яке число, крім 1 3 , b — будь-яке число, крім 0,25, c — будь-яке число, крім 0; 6) x — будь-яке число, крім 0, y — будь-яке число, крім 1,5, z — будь-яке число, крім 2,6. 2. 1) –0,5; 2) –4
0; 3) 1. 3. 1) ; 2 x x 2) 1 ; x x 3) 4 ; a a 4) a – 3. 4. 1) x + 1; 2)
2) –x2 . 8. 1) () 1 ; 44 x 2)
10. 1) 18; 2) ± 4. 11. 3 . 4 12. 1)
1) –1; 2) ()2 . 2 bca bc
13. 1) 11 2xy ; 2) 13 ; npm 3) 3322 . bdac 14. 1) 1 80 ; 2) 1,5; 3) 5; 4) 64. 15. 1) а–9; 2) а–21; 3) а; 4) а–21; 10) 1. 16. 1) 3–3; 2) 3–8; 3) 3–24. 18. 1) 9 · 101; 2) 1,12 · 102; 4) 7 · 10–2. 19. 1) Ні; 2) так; 3) ні. 20. 1) –8; 2) 1; 3) –0,6; 4) 0,625.
Розділ 3. Квадратні корені. Дійсні числа
21. 1) Ні; 2) так; 3) так; 4) ні; 5) так; 6) ні. 25. 1) 0,8(3); 2) 0,(7); 4) 0,(6). 26. 1) 5 см; 2) 15 см; 3) 1,2 м; 5) 1 1 3 см. 27. 1) 5; 2) 1,5; 3) 6; 4) 0. 28. 1) 128 ; 2) 0,02 ; 3) 0,75 ; 4) 16х . 29. 1) 20,1 ; 2) 50,1 ; 3) 4 a . 30. 1) х = ± 9; 2) х = ± 3; 3) х = 21 ± ; 5) х = 1,5, х = –0,5. 31. 1) 36; 2) 144; 4) 41. 32. 1) 5 5 . 33. 2) 2; 3) 126 . 35. 1) 7 7 ; 2) x x ; 3) 22 2 + ; 4) 116 + .
Розділ 4. Квадратні рівняння 36. 1) 1 і – 9; 2) 7 і –1; 3) 3 і 3; 4) –1 і –5. 37. 1) 3 і 1 3 ; 2) 2 і –0,2; 3) 2 3 ; 4) 2,5. 38. 1) –15 і 1; 2) 10 і –1; 3) 10 і –4; 4) 1 і –3. 40. –21; 18. 41. 2 3 і –2. 42. 1) (х – 4)(х – 3); 2) (х – 5)(х + 7); 3) (3x + 2)(х + 1); 4) –(3x –1)(2х – 5). 44. 1) –29; 2) 2,5. 46. 1) 0,5 і 0,5; 2) 2 і –3; 3) 4 і 2; 4) –1 і
2,4. 48. 1) ±5 і ±1; 2) ±1; 3) ±6 і ±2; 4) 1 3 ± . 49. 1) ± 4 і 10 ± ; 2) ± 2.
50. 1) 6 і 15 або –6 і –15; 2) 3 і 30 або –3 і –30. 51. 19 і 20. 52. 60 км/год і 80 км/год. 53. 80 км/год і 100 км/год. 54. 15 км/год. 55. 8 м і 48 м. 56. 3 м і 15 м.
Розділ 5. Елементи стохастики 57. 1050 грн. 58. 125 г. 59. 45 %. 60. 79 %. 61. 171,6 см; 182. 62. 41. 63. 1) 22; 2) 4. 64. 3. 66. 1) 6; 2) 6; 3) 2; 4) 18. 67. 720. 68. 720; 120. 70. 1 3 .
1. 1. МЕКСИКА; 2)
3. Гіпербола.
ПРЕДМЕТНИЙ
Вираз ірраціональний 178
–
підкореневий 147
– –
– –
дробовий 14
цілий 14
вирази взаємно спряжені 181
– тотожно рівні 16
– – – на спільній ОДЗ їхніх
змінних 17
виразу значення 14
– перетворення тотожне 17
властивість раціонального дробу
основна 26
властивості арифметичного
квадратного кореня 148
– степенів з однаковими
основами 88
– – із різними основами
й рівними показниками 89
Гіпербола 115
гіперболи вітки 116
Дріб десятковий нескінченний
неперіодичний 168
– – – періодичний 167
– – скінченний 167
– нескоротний 28
– раціональний 24
дробу скорочення 27
– співмножник 27
Змінної значення допустиме 15 – – недопустиме 15
знаменник спільний 35
Кореня квадратного
добування 147
корінь квадратний 146
– – арифметичний 147
– сторонній 70
корінь кубічний 151
Множина 165
– порожня 166
– чисел дійсних 169
– – ірраціональних 168
– – натуральних 167
– – раціональних 167
множини елементи 165
модель математична 258
моделювання математичне 258
– математичного етапи 259
Область допустимих значень змінної 15
означення степеня з цілим
від’ємним показником 79
– – – показником 0 80
Парабола 135
параболи вершина 136
– вітка 200
– вітки 136
підмножина 166
правило ділення раціональних дробів 61
–
додавання/віднімання раціональних дробів
з однаковими знаменниками 42
–
додавання/віднімання раціональних дробів із різними знаменниками 43
–
зведення раціонального дробу
до нового знаменника 34
– –
двох раціональних дробів
до спільного знаменника 36
– множення раціональних
дробів 53
– піднесення раціонального
дробу до степеня з натуральним
показником n 54
Радикал 147
рівняння біквадратне 249
– дробове раціональне 69
– квадратне 210 – –
зведене 210 – –
неповне 210 – –
повне 210
– квадратного дискримінант 219
–
–
коефіцієнти 210
–
корінь сторонній 70
–
раціональне 68
– рівносильні 69
рівняння-наслідок 70
С
посіб виділення квадрата
двочлена 211
– заміни змінної 249
Теорема Вієта 229
– – для повного квадратного рівняння 231
–
про розкладання квадратного тричлена на лінійні множники 238
твердження, обернене
до теореми Вієта для зведеного квадратного рівняння 232
– – – – – – повного квадратного рівняння 232
тричлен квадратний 238
тричлена квадратного
коефіцієнти 238
– – корені 238
Формула коренів квадратного рівняння 220
– розкладання квадратного тричлена на лінійні множники 238
функція k y x = 114
– = yx 198
– y = x2 135
Числа порядок 50
– стандартний вигляд 90
число ірраціональне 168
§ 3.
§ 4.
§ 5. Множення
§ 6.
§ 7.
Навчальневидання
ТАРАСЕНКОВА
Головна редакторка І.В.Красуцька
Редакторка І.В.Луценко
Головна художниця І.П.Медведовська Технічний редактор Е.А.Авраменко Художня редакторка К.В.Берсенєва Коректорка Ю.О.Твердохліб Комп’ютерна графіка О.І.Дядика
Презентації та інтерактивні вправи І.А.Акуленко
В оформленні підручника використано фото з вільних джерел мережі «Інтернет», фотобанку Shatterstock
Бренди та ресурси зображуються лише з освітньою метою та не є закликом до їх купівлі/відвідування
Формат 60×90 1/16. Ум. друк. арк. 22 + 0,25 форзац. Обл.вид. арк. 19,8 + 0,35 форзац.
