/ [А. П. Єршова, В. В. Голобородько, О. Ф. Крижановський, С. В. Єршов]. — Харків : Вид-во «Ранок», 2018. — 288 c. : іл.
ISBN 978-617-09-4359-0
ISBN 978-617-09-4359-0
ТОВ Видавництво «Ранок», 2018 Інтернет-підтримка Електронні матеріали до підручника розміщено на сайті interactive.ranok.com.ua
знайомить із
просторових форм, законами сприйняття і зображення тривимірних тіл — і завдяки цьому допомагає орієнтуватися в навколишньому світі. Архітектура, конструювання, будівництво неможливі без уміння відтворювати на кресленні уявні тривимірні об’єкти, їхні деталі та вузли. За статистикою, кожен
винахід людства здійснений із застосуванням геометрії, зокрема стереометрії, — за рахунок вибору оптимальної форми, вдалого розміщення тощо. Видатний архітектор ХХ ст. Ле Kорбюзьє не випадково назвав піраміду Хеопса «німим трактатом з геометрії», а саму геометрію — «граматикою архітектури». По-друге, стереометрія відкриває нові
сприяє розвитку логічного мислення. Ви вже звикли до того, що вивчення геометрії щоразу змушує звертатися до логіки, опановувати закономірності правильного мислення. Курс стереометрії в цьому розумінні
є винятком, адже, за влучним спостереженням видатних математиків, стереометрія є таким поєднанням живої уяви і строгої логіки, завдяки якому
організують і спрямовують одна одну. І, нарешті, стереометрія сама по
надзвичайно цікава. Чимало дивовижних просторових форм створено не людиною, а самою
розвитку стереометрії пов’язана з іменами відомих учених — Евкліда, Піфагора, Ейлера, Лобачевського, Декарта. Сподіваємося, що перше знайомство зі скарбами наукової думки, зібраними під обкладинкою цього підручника, подарує вам те вишукане задоволення, яке завжди відчуває людина, доторкаючись до Вічного.
Бажаємо
ними є задачі рівня Б
ріал і бажаєте виявити свої творчі здібності, на вас чекають
яким
тощо. У підручнику розміщено тестові завдання для самоперевірки
Розділ І
Інженер має споглядати простір, інакше він не буде здатний до розробки самостійних проектів… Вивчення геометрії якнайкраще розвиває просторове мислення.
Леон де Баньоль, французький математик
Першим етапом вивчення стереометрії є дослідження прямих і площин у просторі.
Так само, як і планіметрія, стереометрія розпочинається з низки основних положень (аксіом), які приймаються без доведення і слугують фундаментом для подальших міркувань і доведень.
Радимо звернути особливу увагу на розбіжності у формулюваннях окремих тверджень про одні й ті самі фігури на площині та в просторі.
Пам’ятний знак на честь заснування
міста Києва
аксіоми стереометрії
Стереометрія —
від грецького «стерео» — просторовий і «метріо» — вимірюю —
просторове вимірювання.
лінією (рис. 1). Площину прийнято
Площини зазвичай позначаються грецькими буквами α , β , γ і т. д. Окремо зазначимо, що в будь-якій площині справджуються всі твердження планіметрії. У зв’язку з цим виникає питання: чи всі твердження, які справджуються для фігур на площині, є правильними для них у просторі? Аби переконатися, що це не завжди так, розглянемо такі приклади. Нехай через
дану точку A необхідно провести найбільшу можливу кількість попарно перпендикулярних прямих. Очевидно, що на площині можна
провести лише дві такі прямі (рис. 2, а). Але якщо не обмежувати розв’язання задачі однією площиною, то через дану точку
провести принаймні три попарно перпендикулярні прямі (рис. 2, б ).
рівносторонні трикутники зі стороною, що дорівнює довжині сірника. Розв’язати таку задачу на площині неможливо. Але якщо «вийти
в простір» і скласти сірники у вигляді піраміди (рис. 3), ми отримаємо чотири шукані трикутники.
Отже, наведені приклади переконливо
доводять, що розв’язання задачі на площині і в просторі можуть суттєво відрізнятися, а розгляд стереометричних задач потребує знання додаткових закономірностей і співвідношень.
Очевидно також, що не завжди існує площина, яка містить усі елементи фігур,
Тетраедр — від грецького «тетра» — чотири і «едра» — грань
їх внутрішніми областями). Ці многокутники є гранями многогранника, а їхні сторони — ребрами многогранника. Призма є многогранником, дві грані якого — рівні n-кутники (основи призми), площини яких не мають спільних точок, а решта n граней (бічні грані) — паралелограми (рис. 4, а). Окремим випадком призми є паралелепіпед (рис. 4, б ), усі грані якого — паралелограми. Окремим випадком паралелепіпеда є прямокутний паралелепіпед (рис. 4, в), усі грані
многокутник (основа піраміди),
вершиною (вершиною піраміди
Ґрунтовне вивчення многогранників і тіл
обертання чекає вас надалі, але вже зараз ми будемо використовувати їх для вивчення окремих властивостей взаємного розміщення прямих і площин у просторі.
1.2. Основні аксіоми стереометрії
Включення площини до переліку основних геометричних фігур потребує введення нових аксіом, які описують властивості площини й особливості взаємного розміщення точок, прямих і площин у просторі. Сформулюємо чотири основні аксіоми стереометрії.
аксіома належності точок площині
Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, що не належать їй.
Дана аксіома стверджує, що для довільної площини в просторі можна вибрати будь-яку кількість точок цієї
точок поза нею. На рис. 6 точка A належить площині α (інакше кажуть, що точка A лежить у площині α або площина α проходить через точку A), а точка B не належить площині α . Коротко це
Рис. 8. До
Рис. 9. Ілюстрація
Рис. 10. Чотири вершини
точки N і S проходить єдине
NS, а в просторі таких кіл безліч
діани, які проходять через Північний і
полюси (рис. 7, а). Щойно сформульована аксіома унеможливлює такий випадок для прямих у просторі. Отже, пряма, проведена через будь-які дві точки простору, єдина (рис. 7, б ). аксіома проведення площини
Звернемось тепер до розгляду взаємного розміщення двох площин. Для цього розглянемо чотирикутну піраміду PABCD, основа якої — прямокутник ABCD (рис. 11, а), і спробуємо визначити, скільки спільних точок мають площини PAD і PBC. На перший погляд відповідь очевидна: одну — точку P. Але така відповідь неправильна.
Аби переконатися в цьому, прикладемо зігнутий
аркуш паперу до піраміди так, щоб одна його частина лежала на грані PAD, а інша — на грані PBC (рис. 11, б ). При такому моделюванні стає
зрозумілим, що всі точки прямої l перегину аркуша (у тому числі, й точка P) є спільними точками
площин PAD і PBC.
аксіома перетину площин
перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку.
Площини α і β , які мають спільну точку C і перетинаються по прямій c, яка містить цю точку, зображено на рис. 12. З даної аксіоми, зокрема, випливає, що площини α і β не мають
інших спільних точок, крім точок прямої c. У та-
кому випадку кажуть, що площини α і β перетинаються по прямій c, і записують так: αβ ∩ = c . Очевидно також, що коли точки C і D — спільні точки площин α і β , то дані площини перетинаються по прямій CD. Наочними прикладами
на рис. 15. Достатньо розглянути разом із цим рисунком будь-яку модель куба, аби переконатися, що:
• прямі DD1 і BC, які на рисунку «перетинаються», насправді не мають спільних точок;
• кут ABC, який видається тупим, є прямим, адже ABCD — квадрат;
• сума кутів AAB 1 і BAD не дорівнює, як у планіметрії, куту AAD 1 , більш того, усі ці кути прямі;
• «нерівні» відрізки CD і CC1 насправді рівні;
• точки E, F і H, які начебто належать одній прямій, насправді є вершинами трикутника;
• «паралельні» на рисунку прямі CD 1 і DK 1
насправді не є паралельними.
Зрозуміло, що під час розв’язування задач недостатня увага до цих «тонкощів» може призвести до помилок. Але в стереометрії існують рецепти їх уникнення. Один із них — використання моделей. Моделювати взаємне
у фізиці, теорію Дарвіна в біології, періодичний
система створена, учені вдосконалюють її, зокрема суто
змін. Але в XIX–ХХ ст. у ній були усунені певні недоліки,
теоретичних
видатним німецьким математиком Давидом
бертом (1862–1943). Але досліджувати інтерпретацію, або модель, яка відповідає геометричній теорії, буває дуже корисним. Отже, геометрії притаманна подвійність. З одного боку, вона вивчає абстрактні ідеальні поняття — точку, пряму, площину і
логічно з інших. Так, у XIX ст. було остаточно з’ясовано, що аксіому Евкліда про єдиність проведення через точку прямої, паралельної даній, неможливо одержати з інших аксіом. До речі, геометрію, що містить, зокрема, таке твердження, називають евклідовою. Саме її ви й вивчаєте в школі. Але існують інші абстрактні геометрії та їхні моделі. Зокрема, у геометрії Лобачевського (1792–1856) через точку, що не належить даній прямій, проходить безліч прямих, паралельних цій прямій (рис. 16). Геометрія Лобачевського не втратила своєї актуальності і посьогодні. Зокрема, її вже в наш час досліджувала Маріам Мірзахані — єдина в світі жінка, нагороджена медаллю Філдса, найпочеснішою нагородою для молодих математиків. По-третє, треба,
Насамкінець, по-четверте, бажано, щоб
М. Мірзахані
1
К 3. Перекладіть англійською (або іншою іноземною мовою) умову та власне розв’язання задачі 2. Порівняйте одержаний результат з перекладами інших учнів і з електронним перекладом. Зробіть висновки.
К
4. Перекладіть англійською (або іншою іноземною мовою) терміни «точка», «пряма», «площина», «належить до», «перетинаються». Перекладіть стереометричні аксіоми. Порівняйте одержаний результат з перекладами інших учнів.
5. Точки A, B і C не лежать на одній прямій. Чи збігаються площини α і ABC, якщо: а) A ∈α , B ∈α , C ∉α ; б) A ∈α , B ∈α , C ∈α ?
Розділ І. Вступ до стереометрії
6 • (задача-жарт). Три бджоли одночасно злетіли з однієї квітки. У якому випадку вони опиняться в одній площині?
7• . Через точки A, B і C проходять дві різні площини. Як розміщені дані точки? Відповідь обґрунтуйте.
8• . Чому мотоцикл із коляскою стоїть на дорозі стійко, а для мотоцикла без коляски потрібна додаткова підпора?
К 9. Останніми роками класичні електроннопроменеві монітори з опуклим екраном повсюдно замінюють плоскими рідкокристалічними моніторами. Користуючись додатковою літературою або мережею Інтернет, з’ясуйте, які монітори безпечніші для здоров’я. Обговоріть із друзями та подругами, яку шкоду для здоров’я людини спричиняє електромагнітне поле, джерелом якого є класичний монітор, і як цьому запобігти. Дізнайтеся в шкільного лікаря чи за допомогою мережі Інтернет, яку шкоду для очей може спричинити довге безперервне користування стаціонарним комп’ютером чи ноутбуком із
плоским рідкокристалічним монітором, як цьому запобігти. Організуйте обговорення в класі з цього питання.
10 • . Чому замкнені двері (рис. 17) нерухомі, а незамкнені двері можна відчинити?
11. Чи можуть дві різні площини мати лише одну спільну точку; лише дві спільні точки; безліч спільних точок?
12. Прочитайте твердження, записане за допомогою символів: «Якщо A ∈α , A ∈β , то αβ ∩ = c , Ac ∈ ». Чи правильне
14 • . Сконструюйте модель:
а) двох площин, що перетинаються; б) прямої, яка перетинає площину; в) трьох площин, що перетинаються по одній прямій.
15. Зобразіть на рисунку взаємне розміщення точок, прямих і площин за даними умовами: а) αβ ∩ = c , Ac ∈ ; б) αβ ∩ = a , γβ ∩ = b , αγ ∩ = c .
16. Зобразіть на рисунку взаємне розміщення точок, прямих і площин за даними умовами: а) α ∩ ABCBC() = ; б) αβ ∩ = c , βγ ∩ = c .
17. У тетраедрі PABC точка D — середина ребра AB (рис. 18). Змоделюйте переріз тетраедра площиною PDC і назвіть прямі перетину
площин: а) PDC і ABC; б) PDC і APB; в) PDC і PBC.
18. Змоделюйте переріз куба ABCDAB CD11 11
площиною BAC 1 і назвіть прямі перетину січної площини з площинами AAB 1 , DAB і BCC1 . Запишіть відповіді за допомогою символів.
A a Розв’язуємо задачі Рівень А
19 • . Точки A і B лежать у площині α ,
Розділ І. Вступ до стереометрії
Рівень Б
23. Площини ABC і DBC мають спільну точку K. Знайдіть довжину відрізка BC, якщо BK = 8 см, CK = 3 см.
24. Точки A, B і C — спільні точки двох різних площин. Знайдіть довжину відрізка AC, якщо AB BC == 4 см.
25. Площини α і β перетинаються по прямій c. Пряма a лежить у площині α і перетинає пряму с в точці A. Доведіть, що A ∈ β .
26. Паралелограм ABCD і трикутник ABK не лежать в одній площині. Визначте пряму перетину площин: а) KBC і AKC; б) AKC і ABD; в) AKD і ABC. Рівень В
27. Три площини попарно перетинаються. Доведіть, що коли дві прямі перетину цих площин перетинаються, то третя пряма проходить через точку їх перетину.
28. Площини α і β перетинаються по прямій c.
дані площини по прямих a і b відповідно. Доведіть, що коли прямі a і b перетинаються, то точка їх
29. Якщо одна з чотирьох точок
належить жодній площині, яка проходить через інші три точки, то таку
них точок. Доведіть.
30. Яка найбільша кількість прямих може утворитися в результаті попарного
аксіоми планіметрії;
трикутника. Задачі
Додаток 1 7 клас, § 18
31. Прямі a, b і c перетинаються в точці O. Знайдіть ∠ () ab , якщо ∠ () =° ac 60 , ∠ () =° bc 30 . Скільки розв’язків має задача на площині? Чи
32. Дано точки A, B, C і D, причому AB = 84 , см, BC = 46 , см, AC = 38 , см.
точки A, B і C
Найпростіші наслідки
2.1. Належність прямої площині
Безпосередньо з аксіом стереометрії випливає чимало властивостей взаємного розміщення точок, прямих і площин, які будуть встановлені в цьому параграфі. Розглянемо пряму а, усі точки якої належать даній площині α (рис. 19).
Означення
Пряма a належить площині α (або лежить у площині α ), якщо всі її точки належать даній прямій.
Коротко це записують так: a ⊂α . Запис a ⊂α означає, що пряма a не належить площині α . Звертаємо увагу на те, що
вують (докладніше про це йтиметься в п. 2.3).
Теорема (ознака належності прямої площині)
Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині. Доведення Нехай точки A1 і A
Рис.
щина
спільну точку. На рис. 21 пряма a перетинає площину α в точці A (записують так: aA ∩ α= ). Щойно доведену теорему на практиці застосовують, наприклад,
§ 2. Найпростіші наслідки з аксіом стереометрії
2.2.
в просторі
Згідно з аксіомою проведення площини, площина в просторі однозначно задається трьома точ-
ками, які не лежать на одній прямій. Розглянемо інші способи
Теорема (про проведення
мій a точки B і C і за аксіомою проведення площини проведемо
α через точки A, B і C. Оскільки за
точки прямої a належать площині α , то і вся пряма a належить цій площині, тобто площина α шукана. Доведемо, що така площина єдина. Справді, якщо існує інша площина, яка проходить через точку A і пряму a, то така площина містить
точки A, B і C, отже, вона за аксіомою проведення площини збігається
з площиною α . Теорему доведено.
Теорема (про проведення площини через дві
прямі, що перетинаються)
Через дві прямі, що перетинаються, можна
провести площину, і тільки одну. Доведення
Нехай прямі a і b перетинаються в точці C (рис. 25). Позначимо на цих прямих точки A і B, відмінні від C. Оскільки точки A, B і C не
Рис. 25. До доведення теореми про проведення площини через дві прямі, що перетинаються
(обґрунтуйте це самостійно), то за аксіомою проведення площини існує площина α , яка проходить через ці точки. За ознакою належності прямої площині прямі a і b належать площині α . Доведемо, що така площина єдина. Припустимо, що через прямі a і
як і площина α , містить точки A, B і C. Отже, вона за
2.3. Використання
символів
У процесі вивчення планіметрії ви вже використовували позначення для окремих геометричних фігур (кута, трикутника), а також відношень між фігурами (паралельності й перпендикулярності прямих, рівності й подібності трикутників тощо). З метою скорочення запису умов і розв’язань стереометричних задач і теорем додамо до вже відомих позначень низку символів, пов’язаних із множинами. Задля уникнення можливих помилок зміст цих символів необхідно обговорити окремо. Символ належності « ∈» в записі xX ∈ означає належність об’єкта (елемента) x множині X, яка складається з деяких об’єктів (елементів): наприклад, пряма є множиною точок, тому належність точки A прямій a позначається так: Aa ∈ . У випадку, коли елемент не належить множині, вживають символ ∉. Символ включення « ⊂ » порівняно із символом належності ∈ має дещо інший зміст: запис YX ⊂ означає, що певна множина Y є частиною (підмножиною) іншої множини X. Наприклад, пряма й площина є множинами точок простору: якщо пряма a лежить у площині α , то множина точок прямої a є частиною (підмножиною) мно-
жини точок площини α , тому записують a ⊂α (а не a ∈α ). У випадку, коли одна множина не є частиною іншої, вживають символ ⊂ .
Діаграма на рис. 27, а ілюструє описані
особливості вживання таких символів.
Символ перерізу (спільної частини) множин « ∩ » теж має свою специфіку: запис XY ∩
означає множину спільних елементів множин X і Y (рис. 27, б ). Наприклад, запис a ∩ α означає
2.4.
де — «порожня множина» — множина, яка не містить жодного елемента).
Для скорочення запису геометричних тверджень використовують також символи слідування й рівносильності, запозичені з математичної логіки.
Символ слідування « ⇒ » в записі MN ⇒ означає, що з твердження M випливає твердження N. Наприклад, ознаку належності прямої площині в символьному вигляді можна записати* так: Aa Aa AA a 1212 ∈∈ ∈∈ () ⇒⊂ ,,,αα α . Символ рівносильності « ⇔ » в записі MN ⇔ означає,
§ 2. Найпростіші наслідки з аксіом стереометрії
Побудуємо тепер точку перетину прямої MN із площиною основи ABC. Для цього визначимо пряму перетину грані AA1B1B, у якій лежить пряма MN, з площиною ABC — це пряма AB. Побудуємо точку E — точку перетину прямих MN і AB (рис. 28, б ), яка і є
прямої MN з площиною основи ABC. Аналогічно побудуємо точку F — точку перетину прямої NK з площиною ABC, яка є точкою перетину прямих NK і BC. Пряма EF (рис. 28, в) — слід січної площини MNK на площині основи ABC.
Як бачимо, ця пряма перетинає ребра AD і CD в точках G і T відповідно.
Отже, відрізок GT — сторона шуканого перерізу.
Оскільки точки M і G належать грані AA1D1D, а точки T і K — гра-
ні CC1D1D, то залишається провести відрізки MG і TK та отримати шука-
ний переріз — п’ятикутник MNKTG (рис. 28, г).
Як бачимо, найбільш «тонким» моментом застосування методу
Запитання і задачі
Обговорюємо теорію
33• . Дано куб ABCDA 1B1C1D1 (рис. 29). Назвіть: а) площини, в яких лежить пряма BC11; б) точки, які лежать у площинах DD C1 і DAA1 ; в) точки перетину прямої KM з площиною ABC та прямої DK з площиною AB C11 1 ; г) прямі перетину площин ABC і ADD1 , BBD 1 і AB C11 1 , BBD 1 і CC D 11 .
34. Під час теслярських робіт для перевірки якості поверхні дошки (бруска) до неї прикладають вивірену на прямизну лінійку. На чому ґрунтується така перевірка? Чи можлива зворотна операція — за допомогою добре обробленої поверхні бруска перевірити прямизну лінійки?
35. Під час столярських робіт для перевірки, чи лежать кінці чотирьох ніжок стільця в одній площині, до цих кінців прикріпляють навхрест дві нитки. На чому ґрунтується така перевірка?
36 • . Поясніть принцип конструкції розкладного столу-книжки (рис. 30). Яку теорему стереометрії застосовано?
37. Чи правильно, що коли три з чотирьох точок лежать на одній прямій, то через чотири
картон
42• . Виріжте з картону паралелограм. Прикладаючи його
столу, дослідіть, чи
площині належать: а) лише дві з його вершин; б) сторона
наються. Пофарбуйте ці площини двома різними кольорами.
лінію перетину площин. Засобами програми поверніть рисунок у найбільш сприятливе для його розуміння положення. Надішліть отриманий результат однокласнику чи однокласниці електронною поштою.
46 • . Точка A належить площині α , а точка
AB?
47• . Кінці відрізка AB належать площині β . Доведіть, що середина даного відрізка
48. Якщо прямі AB і CD
в одній площині, то прямі AC і BD також не лежать в одній площині. Доведіть.
49. Дві прямі перетинаються в точці O. Доведіть, що всі прямі, які перетинають обидві дані прямі й не проходять через точку O, лежать в одній площині.
50. Точка A не належить прямій a. Доведіть, що всі прямі, які проходять через точку A і перетинають пряму a, лежать в одній площині.
51. Доведіть, що через будь-яку пряму можна провести дві різні площини.
52. Кожна
54
55
через: а) ребро AB і середину ребра PC; б) вершину P і висоту
Рівень Б
56. Вершина D паралелограма ABCD лежить у площині α . Прямі BA і BC
перетинають площину α в точках E і F відповідно (рис. 33). Чи правильно, що точки E, D і F не лежать на одній прямій? Відповідь обґрунтуйте.
57. Дві сусідні вершини й точка перетину діагоналей паралелограма лежать у площині α . Доведіть, що ре-
шта вершин паралелограма також лежать у площині α .
58. У трикутнику ABC вершини A і B та середина
60. Пряма a лежить у площині α . Пряма b перетинає площину α в точці C, яка не належить прямій a. Доведіть, що прямі a і b не перетинаються.
61. У тетраедрі PABC точки A1 , B1 і C1 лежать на ребрах PA, PB і PC відповідно (рис. 34). Побудуйте точку перетину: а) прямої BA11 з площиною ABC; б) прямої BC11 з площиною ABC. К
62. Розв’яжіть задачу 61 засобами графічного редактора Geogebra, DG чи іншого. Порівняйте розв’язання, записане вами в зошиті, і отримане програмними засобами. Як ви вважаєте, яким способом зручніше побудувати відповідні точки? Аргументуйте свою позицію.
63. Квадрати ABCD і ABCD11 не лежать в одній площині. Точки M і N — середини відрізків CB і AD1 відповідно. Побудуйте точку перетину:
а) прямої DM з площиною ABC1 ;
б) прямої CN 1 з площиною ABC.
64. Зобразіть переріз тетраедра PABC площиною, яка проходить через:
а) пряму BC і середину ребра PA;
б) прямі AB11 і BC11, де A1 , B1 і C1 — середини ребер PA, PB і PC
відповідно.
65. Зобразіть переріз куба ABCDAB CD11 11 площиною, яка проходить через:
а) пряму BD і точку C1 ; б) прямі AC1 і AC 1 .
66. Побудуйте переріз даного куба площиною MNK (рис. 35, а–г).
67.
(рис. 36, а–в
68. У трикутнику ABC через
ника, якщо OB = 5 см, BC = 8 см.
69. Дві вершини трикутника належать площині
лежить: а) центр кола, вписаного в трикутник; б) центр кола, описаного
трикутника? Проведіть дослідження. 70. Середини сторін трикутника
α
що сторони даного трикутника належать площині α .
71. Якщо будь-які дві з n прямих n > () 2 перетинаються і всі точки їх попарних перетинів різні, то всі дані прямі лежать в одній площині. Доведіть.
72. Зобразіть переріз тетраедра PABC площиною, яка проходить через пряму KM і точку N (рис. 37). К 73. В налаштуваннях програми Geogebra, DG чи іншого
74.
75.
76.
що через
77. Кінці відрізка AB належать двом площинам, які перетинаються по прямій a, що не проходить через точки
і В. Доведіть, що існує
площина, яка проходить через пряму а, така, що точки
по різні боки від цієї площини. Повторення перед вивченням § 3 Теоретичний
Задачі
78. Пряма, паралельна стороні AC трикутника ABC, перетинає сторони AB і BC в точках A1 і C1 відповідно. Знайдіть AC, якщо AC116 = см, BA AA 1131 :: = .
79. На площині проведено прямі a, b і c, причому ab , bc . Як розміщені прямі a і c? Чи зміниться відповідь, якщо дані прямі
в одній площині? Висловте припущення.
1. Закінчіть речення так, щоб утворилося правильне твердження. Через дві точки простору
А єдину пряму. В єдиний промінь. Б єдину площину. Г єдиний відрізок.
2. Точки A, B, C і D
3.
Підсумки
Аксіоми стереометрії
Аксіома належності точок площині
Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, що не належать їй A B α
Аксіома проведення площини
Через три точки, що не належать одній прямій, можна провести
Аксіома проведення прямої в просторі
Через будь-які дві точки простору можна провести пряму, і тільки одну
Ознака належності прямої площині
Якщо дві точки прямої належать площині, то
вся пряма належить цій площині
Теорема про проведення площини
через пряму і точку
Через пряму і точку, яка не лежить на ній, можна провести площину, і тільки одну
Теорема про проведення площини через дві прямі, що перетинаються
Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину, і тільки одну
1.
2.
3.
історичнА ДоВіДкА
Стереометрія як розділ геометрії зароджувалася й розвивалася разом із планіметрією. Останні три книги «Начал» Евкліда присвячені саме геометрії в просторі. З тих самих часів наукові основи стереометрії майже не змінювалися, але аксіоматика й методика її викладання значно вдосконалювалися. Відкриття російським геометром М. І. Лобачевським неевклідової геометрії дало відчутний поштовх до осучаснення і систематизації евклідових аксіом. Визначних результатів у цьому досягли німецькі ма-
тематики: у 1892 р. М. Паш (1843–1930) розробив так звані аксіоми порядку, пов’язані з логічним обґрунтуванням поняття «лежати між»; ще раніше Г. Кантор (1845–1918) і Р. Дедекінд (1831–1916) дослідили групу аксіом неперервності, а класична робота Д. Гільберта (1862–1943) «Основи геометрії» (1899) узагальнила напрацювання
XVII–XIX ст. Цікаво, що доволі часто Гільберт довіряв читати замість себе
ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ
Щоб найкраще зрозуміти
метод проведення переконливих доведень, потрібно лише
продемонструвати той, який застосовується в геометрії.
Блез Паскаль, видатний французький вчений
У цьому розділі розглядатимуться паралельні об’єкти у просторі. Ви дізнаєтеся, що паралельними бувають не тільки прямі, а й площи-
ни; що прямі, які не перетинаються, у просторі можуть бути як паралельними (належати одній площині), так
і мимобіжними (не належати одній
площині). Взагалі, вивчати просторову геометрію порівняно з «плоскою»
хоч і складніше, але дуже цікаво.
Пам’ятник Т. Г. Шевченку.
м. Харків
Теорема (про проведення площини
через дві паралельні прямі)
Через дві паралельні прямі можна провести
площину, і тільки одну.
Доведення
Нехай дано паралельні прямі a i b. Через
них за означенням можна провести площину. Позначимо її α . Доведемо методом від супротивного, що така площина єдина.
Припустимо, що існує площина β , відмінна від α , яка містить дані прямі. Позначимо на
прямій a точки A і B, а на прямій b — точку C (рис. 41). Оскільки ab , точки A, B і C не належать одній прямій. Кожна з площин α і β містить обидві дані прямі, тобто проходить через точки A, B і C. Але це суперечить аксіомі проведення площини, за якою через точки A, B і C можна провести єдину площину. Отже, площина, проведена через a i b, єдина.
Таким чином, із вивчених аксіом і теорем випливають такі чотири способи проведення
площини в просторі:
• через три точки, що не належать одній прямій; • через пряму і
що перетинаються;
через дві паралельні прямі. Задача
Розділ ІІ. Паралельність прямих і площин у просторі
Крім паралельних прямих і прямих, що перетинаються, у просторі існують також пари прямих, через які неможливо провести площину. Такими, наприклад, є прямі, що містять ребра PA і BC тетраедра PABC (рис. 43,
що мимобіжні прямі не паралельні й не перетинаються, хоча на «плоскому» рисунку вони можуть виглядати і як паралельні (прямі PM і AN на рис. 43, а), і як такі, що перетинаються (прямі PA і BC на рис. 43, а). Наочне уявлення про мимобіжні прямі дають дві дороги, одна з яких проходить під естакадою, а друга — по естакаді (рис. 44), або 3D-лабіринт (рис. 45).
мають спільну точку (перетинаються)
мають спільних точок (паралельні)
3.2.
прямих
У процесі доведення теорем і розв’язування задач на обґрунтування взаємного розміщення
прямих у просторі користуватися лише означеннями не завжди буває зручно. Доведемо ознаки, за якими можна встановити, чи є дані прямі паралельними або мимобіжними.
Теорема (ознака паралельності прямих)
Дві прямі, паралельні третій, паралельні
собою: ab bc ac , () ⇒
Доведення
Нехай дано прямі a, b і c, причому ab , bc . Доведемо, що ac . Випадок, коли прямі a, b, c лежать в одній площині, було розглянуто в курсі планіметрії. Припустимо, що прямі a, b і c не лежать в одній площині. Нехай паралельні прямі a і b лежать в площині α , паралельні прямі b і c — в площині β (рис. 46).
пряма c) лежить в одній площині
Нагадаємо, що твердження ab bc ac , () ⇒ означає транзитивність відношення паралельності прямих у просторі, тому доведену теорему інакше називають теоремою про транзитивність відношення паралельності для прямих. Ознака паралельності прямих використовується
Нехай точки K, L, M і
Доведення
Нехай дано прямі a і b та площину α , a ⊂α , bB ∩ α= , Ba ∉ (рис. 48). Доведемо методом від супротивного, що прямі a і b мимобіжні.
Припустимо, що прямі a і b не є мимобіж-
ними, тоді через дані прямі можна провести деяку площину β . Ця площина міститиме пряму a і точку B. А оскільки через пряму і точку поза
нею можна провести єдину площину, то площи-
на β збігається з площиною α . Тоді пряма b має лежати в площині α , що суперечить умові.
Отже, наше припущення хибне: прямі a і b не
лежать в одній площині, тобто є мимобіжними. Теорему доведено.
Іноді зручно користуватися іншою ознакою мимобіжних прямих: якщо точки A, B, C
і D не лежать в одній площині, то прямі AB і CD, AC і BD, AD і BC мимобіжні. Доведіть це самостійно.
Задача
Площини α і β перетинаються по прямій c. Точ-
ка A лежить у площині α , точка B — у площині β , причому жодна з цих точок не належить прямій c Доведіть, що прямі c і AB мимобіжні.
Розв’язання
Спочатку покажемо, що пряма AB перетинає площину β в точці B (рис. 49). Справді, якщо AB ⊂β , то A ∈β ,
48. До доведення ознаки мимобіжних прямих
дано пряму a і точку A, Aa ∉ . За теоремою про проведення площини через пряму і точку проведемо через пряму a і точку A площину α (рис. 50). У цій площині за теоремою планіметрії існує єдина
точку
збігаються, тобто c ⊂α .
практиці доведене твердження
совується, наприклад, в конструкції деяких видів телевізійних антен (рис. 52).
3.4. Протилежні й
У стереометрії, як і у планіметрії, паралельність прямих часто доводять методом від супротивного. У планіметрії відповідне доведення
звичай розпочиналося так: «Припустимо, що дані прямі не паралельні; тоді вони перетинаються». У стереометрії
прямих таке міркування не є правильним.
виникає
більш ретельно дослідити відношення між твердженнями за значенням істинності.
Два твердження називають суперечними, якщо вони не можуть одночасно справджуватися і не можуть бути одночасно хибними. Наприклад, суперечними є твердження «прямі a і b паралельні» і «прямі a і b не паралельні»: якщо одне з них справджується, то інше обов’язково хибне, і навпаки.
Суперечні твердження не слід плутати з протилежними. Два твердження є протилежними, якщо вони
істинними, але можуть бути одночасно хибними. Зокрема, для прямих у просторі протилежними є твердження
тинаються або є мимобіжними. Наведемо приклади суперечних і
тверджень
розділів математики і повсякденного життя. Твердження «число x додатне x > () 0 » і «число x від’ємне x < () 0 » протилежні, адже у випадку x = 0 обидва вони хибні. Суперечним твердженню x > 0 буде твердження x 0 , тобто «число x недодатне». А ось ще один приклад: протилежними є твердження «ця дівчина — білявка» і «ця дівчина — брюнетка». Одночасно білявкою і брюнеткою дівчина бути не може, але якщо вона руденька, то обидва ці твердження хибні. Суперечними в цьому випадку є твердження «ця дівчина — білявка» і «ця дівчина — не білявка».
К
Обговорюємо теорію
80 • . Чи правильно, що:
а) дві прямі, які не є паралельними, мають спільну точку;
б) дві прямі, які не є мимобіжними, лежать в одній площині; в) дві прямі, які лежать в одній площині, паралельні; г) дві паралельні прямі лежать в одній площині?
81. Перекладіть англійською (або іншою іноземною мовою) терміни «паралельні прямі», «мимобіжні прямі» та найголовніші факти § 3. К
82. Перекладіть англійською (або іншою іноземною мовою) умову та власне розв’язання завдання 80. Обговоріть одержаний переклад з однокласниками й однокласницями.
83• . Дано куб ABCDAB CD11 11 (рис. 53).
Визначте взаємне розміщення прямих: а) CD і BD 1 ; г) AD 1 і BC 1 ; б) AB і CD11 ; д) AC 1 і AC1. в) AC і DD1 ;
84. Дано куб ABCDAB CD11 11 (рис. 53). Назвіть
а) паралельними прямій AB11 ; б) такими, що
мою CC1 ; в)
BC.
85. Чи може кожна з двох мимобіжних прямих бути паралельною деякій третій прямій; перетинатися з деякою третьою прямою?
86. Прямі a і b паралельні. Пряма a лежить у площині α . Чи може пряма b перетинати цю площину? Відповідь обґрунтуйте.
87. На рис. 54 AA BB CC 11 1 . Чи лежать
точки A1 , B1 і C1 на одній прямій? Чи зміниться відповідь у випадку, коли існує пряма l, яка перетинає всі дані прямі?
88. Наведіть приклад твердження про взаємне розміщення прямих, яке: а) справджується і на площині, і в просторі; б) справджується на площині, але не справджується в просторі.
89. Визначте, якими є дані твердження: суперечними чи протилежними.
а) «Точки A, B і C лежать на одній прямій» і «Точки A, B і C не лежать на одній прямій»;
б) «Прямі a і b не лежать в одній площині» і «Прямі a і b паралельні»;
в) «Прямі a і b лежать в одній площині» і «Прямі a і b мимобіжні».
Моделюємо
90 • . Уявіть лінії перетину стін, підлоги й стелі класної кімнати як прямі та вкажіть: а) три паралельні прямі, які не лежать в одній площині; б) дві мимобіжні прямі; в) дві прямі, що перетинаються,
з другою.
91• . Сконструюйте моделі просторових фігур,
ми 3D-моделювання таким чином,
паралельними. Потім поверніть рисунок таким чином, щоб
уявлялась парою прямих, що перетинаються. Насамкінець, поверніть рисунок таким чином, щоб обидві пари прямих
умові задачі. Зробіть висновки з проведеного моделювання. A a Розв’язуємо задачі
Рівень А
95• . Визначте, яким може бути взаємне розміщення прямих a і c, якщо: а) прямі a і b перетинаються, а прямі b і c паралельні; б) прямі a і b паралельні, а прямі b і c мимобіжні.
Зробіть відповідні рисунки.
96. Дано мимобіжні прямі a і b та точку O, яка не належить жодній із них. Доведіть, що через точку O
дві прямі, кожна з яких перетинала
прямі a і b.
97• . Прямі AB і CD мимобіжні. Доведіть, що прямі AD і BC також мимобіжні.
98. Пряма a лежить
і проходить через точку B площини α . Доведіть, що пряма b також лежить у площині α .
99. Точки A, B, C і D не лежать в одній площині. Доведіть, що пряма, яка проходить через середини відрізків BC і CD, паралельна прямій, яка проходить через середини відрізків BA і AD. 100. Паралелограми ABCD і AB CD11 не лежать в одній площині. Доведіть, що ABBA11 — паралелограм.
Рівень Б
101. Дано прямі a, b, a1 і b1 , причому aa1 , bb1 . Визначте взаємне розміщення прямих a і b, якщо прямі a1 і b1 : а) паралельні; б) мимобіжні.
102. Прямі m і n мимобіжні. Точки A і B належать прямій m, а точки C і D — прямій n. Чи можуть відрізки AC і BD мати спільну середину? Відповідь обґрунтуйте.
103. Паралелограми ABCD і ABEF не лежать в одній площині. Доведіть рівність трикутників CBE і DAF.
104. Ромб AMND і трапеція ABCD з основою BC не лежать в одній площині.
а) Визначте взаємне розміщення прямих MN і BC. б) Знайдіть площу ромба, якщо MN = 5 см, BC = 3 см, а висота ромба дорівнює середній лінії трапеції.
105. Трапеції ABCD і AB CD11 мають спільну основу AD і не лежать
в одній площині, причому BC BC ≠ 11. а) Доведіть, що чотирикутник BB CC11 — трапеція. б) Знайдіть основи трьох даних трапецій, якщо їхні середні лінії
дорівнюють 7 см, 8 см і 9 см.
106. Площина α проходить через кінець A відрізка AB. Через кінець B
і точку C даного відрізка проведено паралельні прямі, які перетинають
площину α в точках B1 і C1 відповідно. Знайдіть:
а) BB1 , якщо CC16 = см, AC AB :: = 34 ;
б) AB, якщо CC14 = см, BB16 = см, AC = 8 см;
в) CC1 , якщо BB112 = см, AC = 16 см, CB = 8 см.
107. Дано площину α і відрізок AB. Через кінці відрізка і його середину С проведено паралельні прямі, які перетинають площину α в точках A1 , B1 і C1 відповідно.
а) Доведіть, що точки A1 , B1 і C1 лежать на одній прямій.
б) Знайдіть CC1 , якщо AA16 = см, BB110 = см.
Розгляньте два випадки — коли від-
різок AB перетинає площину α і коли
не перетинає.
108. Пряма m не лежить у площині трикутника ABC (рис. 55). Визначте взаємне розміщення прямих DD1 і FF1.
109. Точка P не лежить у площині чотирикутника ABCD, точка K — середина відрізка PA. Доведіть, що прямі PB і KD мимобіжні.
1 F1 F C
Рис. 55
Розділ ІІ. Паралельність прямих і площин у просторі
Рівень В
110. Доведіть, що відрізки, які сполучають середини мимобіжних ребер тетраедра, перетинаються в одній точці й діляться цією точкою навпіл.
111. Точка P не належить площині квадрата ABCD. Доведіть, що пряма, яка проходить через точки перетину медіан трикутників PAB і PCD, паралельна прямим BC і AD.
112. Паралелограм ABCD і площина α не мають спільних точок (рис. 56). Через вершини паралелограма проведено паралельні прямі, які перетинають площину α в точках A1 , B1 , C1 і D1 відповідно. Знайдіть довжину відрізка DD1 , якщо: а) AA17 = см, BB16 = см, CC1 11 = см; б) AA a 1 = , BB b 1 = , CC c 1 = . 113. Вершина D паралелограма ABCD лежить у площині α .
точки A, B і C проведено паралельні прямі, які перетинають площину α в точках A1 , B1 і C1 відповідно. Знайдіть довжину відрізка BB1 , якщо: а) AA13 = см, CC113 = см; б) AA a 1 = , CC c 1 = .
Повторення перед вивченням § 4
Теоретичний матеріал
ознаки подібності трикутників;
теорема Фалеса. Задачі
8 клас, § 11
8 клас, § 6
114. Пряма, паралельна стороні AC трикутника ABC, перетинає сторони AB і BC в точках A1 і C1 відповідно. Знайдіть BC
Паралельність
прямої
4.1.
Ознака паралельності прямої
і площини
З ознаки належності прямої площині випли-
ває, що пряма, яка не належить даній площині, не може мати з площиною більше однієї спільної
точки. У випадку, коли пряма і площина мають
одну спільну точку, вони перетинаються. Розглянемо випадок, коли пряма і площина не мають спільних точок.
Означення Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок.
На рис. 57 пряма a паралельна площині α . Коротко це позначають так: a α .
Розглядають також відрізки (промені), паралельні площині, тобто відрізки (промені), які лежать на прямих, паралельних цій площині.
α a Рис. 57. Паралельність прямої і площини § 4
Взаємне розміщення прямої і площини в просторі можна відобразити за допомогою такої схеми. Пряма і площина не мають спільних
спільні точки
Рис. 58. До доведення
паралельності.
Теорема (ознака паралельності прямої і площини)
Рис. 59. Приклади прямої, паралельної
Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій цієї
то вона паралельна і самій площині: ab ab a ⊂⊂ () ⇒ αα α ,, .
Доведення Нехай пряма a не належить
(рис. 58). Проведемо через паралельні прямі a і b площину β .
α
по прямій b. Якби
і пряма a мали спільну точку, то вона належала би прямій b. Це неможливо, оскільки ab за умовою. Отже, пряма a і площина α паралельні. Наочне уявлення про паралельність прямої і площини дають лінії електропередач, прокладені паралельно поверхні Землі (рис. 59, а
4.2. Властивості прямої, паралельної
площині
Теорема (властивість прямої, паралельної
Якщо пряма паралельна площині, то
паралельна даній прямій.
Доведення
Нехай пряма a паралельна площині α , точка A належить площині α (рис. 61). Згідно
з теоремою про проведення площини через пряму і точку проведемо через пряму a і точку A площину β . Тоді площини α і β мають спільну
точку A, отже, перетинаються по прямій b, яка проходить через цю точку. Таким чином, пря-
мі a і b лежать в одній площині β . Крім того, вони не мають спільних точок, оскільки пряма a паралельна площині α , а пряма b лежить у цій площині. Отже, за означенням
Опорна задача (про пряму, паралельну двом площинам, що перетинаються) Якщо пряма паралельна кожній із двох площин, що перетинаються, то
117•. Відрізок AB і площина γ не мають спільних точок. Чи правильно, що:
а) відрізок AB паралельний площині γ ; б) пряма AB паралельна площині γ ?
118. Пряма a паралельна площині α . Чи правильно, що пряма a паралельна будь-якій прямій площини α ? Чи правильно, що в площині α існує пряма, паралельна прямій a?
119. Чи можна вважати правильним таке формулювання ознаки паралельності прямої і площини: «Пряма, паралельна якій-небудь прямій даної площини, паралельна й самій площині»? Відповідь обґрунтуйте.
120. Перекладіть англійською (чи іншою іноземною мовою) основні факти § 4. Проконсультуйтесь зі вчителем іноземної мови щодо правильності перекладу.
К
121. Перекладіть англійською (чи іншою іноземною мовою) умову та власне розв’язання задачі 119. Обговоріть розв’язання з однокласниками й однокласницями в чаті на будь-якій відповідній платформі в мережі Інтернет.
122. У тетраедрі PABC (рис. 65) проведено переріз KLMN, паралельний прямій PB. Яким є взаємне розміщення прямих PB і KL, PB і MN? Відповідь обґрунтуйте.
Розділ ІІ. Паралельність прямих і площин у просторі а б в Рис. 66
123. На рис. 66, а–в побудовано перерізи тетраедра площинами. Чи є на даному рисунку помилки? Якщо є, у чому вони полягають?
124. Сторона BC трикутника ABC паралельна площині α , яка містить вершину A. Площини ABC і α перетинаються по прямій l (рис. 67). Чи є мимобіжними прямі BC i l? Відповідь обґрунтуйте.
Моделюємо
125
паперу трапецію ABCD (рис. 68). Розріжте рисунок по відрізках
так, щоб площина трапеції і площина аркуша не збігалися.
129 • . Сконструюйте модель, яка відображає умову: «Площина, що не збігається з площиною трикутника, проходить через середини двох його сторін». Як розміщені сторони трикутника відносно даної площини?
Відповідь обґрунтуйте. A a
Рівень А
130 • . Пряма a паралельна площині α , а пряма b перетинає пряму a. Яким може бути взаємне розміщення прямої b і площини α ?
131• . Основа BC трапеції ABCD паралельна площині β , яка містить
точку A. Доведіть, що: а) основа AD даної трапеції лежить у площині β ; б) середня лінія даної трапеції паралельна площині β .
132• . Вершини B і C паралелограма ABCD належать площині α , яка не збігається з площиною паралелограма. Доведіть, що пряма AD паралельна площині α .
133. Доведіть, що через точку, яка не належить даній площині, можна провести пряму, паралельну даній площині.
134. Площини α і β перетинаються по прямій c. Пряма a паралельна прямій c і не належить жодній із площин α і β . Доведіть, що a α і a β .
135. Площина, паралельна стороні AC трикутника ABC, перетинає сторони AB і BC в точках A1 і C1 відповідно.
а) Доведіть подібність трикутників ABC і ABC11 . б) Знайдіть сторону AC, якщо AC114 = см, BA BA 123 :: = .
136. Вершина C трикутника ABC не належить площині α , яка містить сторону AB. На сторонах CA і CB позначено точки A1 і B1 відповідно, причому CA CA CB CB 1135 ::: == . а) Доведіть, що пряма AB11 паралельна площині α . б) Знайдіть довжину відрізка AB11 , якщо AB = 25 см.
Рівень Б
137. Пряма a не лежить у площині α . Доведіть, що коли пряма a і площина α паралельні тій самій прямій b, то вони паралельні між собою.
138. Доведіть, що площина, яка перетинає одну з двох паралельних прямих, перетинає і другу пряму.
Розділ ІІ. Паралельність прямих і площин у просторі
139. «Якщо пряма паралельна лінії перетину двох площин, то вона паралельна кожній із даних площин». Скоригуйте дане твердження так, щоб воно справджувалося, і доведіть скориговане твердження.
140. Пряма а паралельна площині α . Через точку B площини α проведено пряму b, паралельну а. Доведіть, що b ⊂α .
141. Прочитайте і доведіть твердження: ab ab cb a ∩ ,, ,, ⊂⊂ = () ⇒ () αβ αβ αβ .
142. Якщо дві площини, які перетинаються по прямій c, перетинають третю площину γ по паралельних прямих, то c γ . Доведіть.
143. Доведіть, що через дану точку простору C можна провести пряму, яка перетинає кожну з двох мимобіжних прямих a і b (рис. 69).
144. Зобразіть переріз трикутної піраміди PABC площиною, яка проходить через середини ребер PB і BC паралельно ребру AB. Визначте вид многокутника, що утворився.
145. Зобразіть переріз куба ABCDAB CD11 11 площиною, яка проходить через середини ребер AB і BC паралельно ребру BB1 . К
146. Використовуючи графічний редактор Geogebra, DG чи інший, налаштований для використання англійською (чи іншою іноземною мовою), розвяжіть задачу 145. Зробіть презентацію, яка б відтворювала всі кроки побудови.
147. Площина α паралельна стороні AC трикутника ABC і проходить через середину сторони AB. Доведіть, що площина
середину сторони BC.
148. Опишіть побудову:
149. Опишіть побудову: а) прямої, паралельної кожній із двох даних площин, що перетинаються; б) площини, паралельної кожній із двох даних прямих, що перетинаються.
150. Якщо три площини, які не мають спільної прямої, попарно перетинаються, то прямі їх перетину або паралельні, або перетинаються в одній точці. Доведіть.
151. Доведіть, що в тетраедрі PABC пряма, яка проходить через точки перетину медіан трикутників PAB і PBC, паралельна площині ABC.
152. Точка M не лежить у площині паралелограма ABCD. Побудуйте
лінію перетину площин MBC і MAD.
Повторення перед вивченням § 5 Теоретичний матеріал • ознаки рівності трикутників;
• ознаки подібності трикутників.
Задачі
7 клас, § 8, 10, 13
8 клас, § 11
153. Сторони трикутника дорівнюють 4 см, 5 см і 7 см. Знайдіть сторони трикутника, подібного даному, якщо його периметр дорівнює 48 см. К
154. Точки A, B і C не належать площині α . Чи перетинається площина α з площиною, яка містить дані точки? Розгляньте всі можливі випадки, висловте припущення. Змоделюйте відповідні ситуації засобами програми Geogebra чи іншого графічного редактора з підтримкою 3D-моделювання.
Паралельність площин
Доведення
Нехай прямі a1 і a2 площини α , які перетинаються в точці A, відповідно паралельні прямим b1 і b2 площини β (рис. 71). Доведемо, що αβ .
Припустимо, що площини α і β не паралельні. Тоді за аксіомою перетину площин вони мають спільну пряму c. За озна-
кою паралельності прямої і площини прямі a1 і a2 паралельні площині β . З цього випливає, що дані прямі не перетинаються
з прямою c, яка належить площині β . Тоді
прямі a1 і c, а також a2 і c лежать в одній
площині α і не перетинаються, тобто ac 1 , ac 2 . Ми отримали суперечність, оскільки
через точку A не можуть проходити дві
прямі, паралельні c. Звідси випливає, що наше припущення хибне, тобто αβ . Тео-
рему доведено.
Ознаку паралельності площин можна
сформулювати ще і в такий спосіб:
паралельні другій площині, то ці площини паралельні.
Справді, у процесі доведення озна-
ки паралельності площин ми показали, що
кожна з прямих a1 і a2 паралельна площині β , а вже звідси отримали висновок теореми.
З ознаки паралельності площин випливає, що площини протилежних
Рис. 73. Побудова
Опорна задача (про існування і єдиність площини, паралельної даній площині) Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і тільки одну. Доведіть.
Розв’язання Існування. Нехай точка A не
щині α (рис. 73). Проведемо в площині
прямі b 1 і b2 , відповідно паралельні прямим a 1 і a 2 .
Нехай дано мимобіжні прямі a і b (рис. 75). Через довільну точку прямої a
b — пря-
му b 1 , паралельну a
Площина α , проведена через прямі a
ною площині β , яка проходить через прямі b і b 1 . Доведемо
щини.
1)
і не перетинаються, адже точка їх перетину була б спільною точкою площин α і β , що суперечило б умові. Отже, за означенням паралельних прямих ab . 2) Нехай паралельні прямі l1 і l2 перетинають
в точках A1 , B1 і A2 , B2 відповідно (рис. 76, б ). Доведемо, що AB AB 1122 = . Чотирикутник AB AB 1122 — паралелограм, оскільки AB AB 1122 за умовою, а площина, визначена паралельними прямими l1 і l2 , перетинає дані площини по паралельних прямих AA12 і BB12 відповідно.
Тоді AB AB 1122 = як протилежні сторони паралелограма.
Задача Через точку
отже, AB AB PA PA PB PB k 11 11
PA C 11 , PBC і PB C 11 . Оскільки ці
і PA B 11 спільні сторони, то коефіцієнт
AB AB BC BC AC AC k 11 11 11 == = , тобто трикутники ABC і AB C11 1 подібні за трьома сторонами.
Дана задача має цікаве узагальнення: переріз піраміди площиною, паралельною площині основи, є многокутником, подібним основі піраміди.
Запитання і задачі
Обговорюємо теорію
155• . Площини α і β паралельні. Чи правильно, що:
К 156. Перекладіть англійською (або іншою іноземною мовою) терміни «паралельні площини», «пряма належить площині», «пряма паралельна площині», «існування», «єдиність». Перекладіть умову та власне розв’язання задачі 155. У форумі на будь-якій Інтернет-платформі створіть тему щодо обговорення даної задачі. Залучіть до обговорення своїх друзів та подруг.
157• . Дано куб ABCDAB CD11 11 (рис. 78). На-
паралельну:
AA B 11 ; б) площині BCC1 ; в) площині EFH, де E, F і H
середини ребер AB, BB1 і BC відповідно.
Розділ ІІ. Паралельність прямих і площин у просторі
158• . Чи є правильними твердження: а) якщо пряма площини α паралельна прямій площини β , то αβ ; б) якщо дві прямі площини α паралельні двом прямим площини β , то αβ ?
Якщо відповідь не є ствердною, наведіть
контрприклади.
159. Чи можна провести паралельні площини через основи трапеції; через бічні сторони трапеції?
160. Для перевірки горизонтальності підлоги (вертикальності стін) використовують переносний рівень — ватерпас (рис. 79). Чому його прикладають по прямих, що перетинаються, а не по паралельних прямих?
161. Площини α і β паралельні. Пряма a лежить у площині α , а пряма b — у площині β . Яким може бути взаємне розміщення прямих a і b?
К
162. Однією з найрозповсюдженіших у наш час моделей паралельних площин є стекла в сучасних металопластикових вікнах.
У склопакеті може бути 2, 3, 4, 5 та більше стекол. Чим більше стекол, тим більше шарів сухого повітря між ними, які й сприяють збереженню тепла в оселі. Дізнайтесь
з мережі Інтернет, скільки коштів можна
заощадити на опаленні, замінивши звичайні вікна у вашій класній кімнаті, оселі склопакетами. З якою кількістю стекол
б) якщо лінії перетину двох площин третьою паралельні, то дані площини паралельні?
У випадку негативної відповіді наведіть контрприклади.
164. На рис. 80, а, б побудовано перерізи куба площинами. Чи є на даному рисунку помилки? У чому вони полягають?
Моделюємо
165• . Змоделюйте дві паралельні площини і проведіть у кожній із них по дві прямі, що перетинаються. Чи обов’язково серед проведених прямих є паралельні? Сформулюйте твердження, обернене до ознаки
паралельності площин. Чи справджується воно?
166 • . Виготовте модель куба з пластиліну і розріжте її так, щоб площина перерізу перетинала чотири паралельних ребра куба.
167
відрізків, паралельні?
168• . Сконструюйте моделі взаємного
описаного в символьному вигляді:
а) αγ ∩ = a , βγ ∩ = b , αβ ; б) αβ ∩ = a , βγ ∩ = b , αγ .
A a Розв’язуємо задачі Рівень А
169 • . Площини α і β паралельні, пряма a лежить у площині α . Доведіть, що пряма a паралельна площині β .
170. Пряма b перетинає площину β в точці B. Площина α проходить через пряму b. Чи можуть
паралельними? Відповідь обґрунтуйте.
171. Паралелограми ABCD і ABCD11
173.
174.
175. Площини α і β перетинаються. Доведіть, що будь-яка третя площина перетинає хоча б одну з площин α і β .
176. Через пряму a, паралельну площині α , проведіть площину β , паралельну α .
177. Через дану точку проведіть площину, паралельну кожній із двох прямих, що перетинаються. У якому випадку така побудова неможлива?
178. Дві паралельні площини перетинають сторону OA кута AOB в точках A1 і A2 , а сторону OB — в точках B1 і B2 відповідно. Знайдіть: а) AB11 , якщо AB2224 = см, OA AA 11221 :: = ; б) OB1 і BB12 , якщо OB215 = см, OA OA 1223 :: = .
179. Точки A1 , B1 і C1 — середини ребер PA, PB і PC тетраедра PABC. Знайдіть площу трикутника ABC, якщо площа трикутника AB C11 1 дорівнює 16 см2.
вершини паралелограма проведено паралельні прямі, які перетинають β . Доведіть, що ці прямі перетинають площину β у вершинах іншого
у точках A1 і A2 ,
Б
183 (опорна).
184. Пряма паралельна одній із двох паралельних площин. Доведіть, що дана пряма паралельна другій площині або належить їй.
185. Дано куб ABCDAB CD11 11 . Доведіть паралельність площин AB C1 і ADC11 .
186. Визначте, чи паралельна площина γ площині трапеції, якщо площина γ паралельна: а) основам даної трапеції; б) діагоналям даної трапеції.
187. Кожна з двох площин паралельна прямим a і b. Чи будуть дані площини паралельними? У якому випадку? Виконайте відповідні
побудови засобами програми Geogebra або іншого графічного редактора з підтримкою 3D-моделювання.
188. Точка A не належить площині α . Доведіть, що всі прямі, які проходять через точку A і паралельні площині α , лежать в одній площині. Як розміщена ця площина відносно площини α ?
189. Через точку O, яка не належить жодній із паралельних площин α і β , проведено пряму, яка перетинає дані площини в точках A1 і B1 відповідно (рис. 81). Доведіть, що відношення OA OB 11 : не залежить від вибору прямої.
190. Розв’яжіть попередню задачу за умови, що точка O лежить між площинами α і β .
191. За даними рис. 82, а, б зобразіть переріз куба площиною
Розділ ІІ. Паралельність прямих і площин у просторі
Рівень В
193. Доведіть, що в умовах ознаки паралельності площин прямі a1 і a2 не можуть належати площині β .
194. Площина паралельна двом діагоналям правильного шестикутника. Чи обов’язково вона паралельна площині шестикутника?
195 (опорна). Відношення відрізків, які відтинають на прямій три паралельні площини, не залежить від вибору прямої (теорема Фалеса в просторі). Доведіть.
196. Мимобіжні прямі a і b перетинають три паралельні площини в точках A1 , A2 , A3 і B1 , B2 , B3 відповідно. Знайдіть довжини
ків AA13 і BB13 , якщо AA BB 1223 = , AA239 = см, BB1216 = см.
197. Мимобіжні прямі a і b паралельні площині γ . Через
що
точки C в площині γ .
198. Опишіть
7 клас, § 19, 21
8 клас, § 10
9 клас, § 10, 11
6
6.1. Паралельне проекціювання.
Зображення просторових
на площині
Зобразити тривимірний об’єкт на двовимірному (плоскому) кресленні з абсолютною точністю неможливо. Але за допомогою плоского рисунка можна отримати достатньо чітке уявлення про окремі властивості
кими рисунками ми й користувалися до цього часу. На підставі вивчених закономірностей
фігур на площині способом паралельного проекціювання. Оберемо довільну площину π (її називають
площиною проекції) і пряму l, яка перетинає цю площину. Пряма l задає напрям проекціювання. Через довільну точку A фігури F проведемо пряму, паралельну l (рис. 83). Тоді точка ′ A
Рис. 83. Паралельне проекціювання
Рис. 84. Тінь як
6.2.
розглянемо
1. Паралельною проекцією
усі
відрізків однієї прямої. Оскільки паралельні прямі AA ′ , BB′ і CC′ лежать в одній площині, то в цій площині за теоремою про пропорційні відрізки
AB BC AB BC = ′′ ′′ (рис. 87).
Випадок, коли дані відрізки лежать на паралельних прямих, розгляньте самостійно
помогою рис. 88. З цього твердження, зокрема, випливає:
1) рівні відрізки,
паралельних
2) проекцією середини відрізка
Рис. 87. Паралельне проекціювання відрізків
Рис. 88. Паралельне поекціювання відрізків, які лежать на паралельних прямих
89
A B C Рис.
§ 6. Паралельне проекціювання. Зображення плоских і просторових фігур у стереометрії
лельному проектуванні не завжди зберігається. На рис. 91 зображено паралельну проекцію рівностороннього трикутника. Рівність сторін і кутів, яку не збережено на рисунку, можна показати традиційним способом — за допомогою рисочок і дужок.
Паралельною проекцією паралелограма є паралелограм.
Справді, оскільки паралельність прямих і рівність відрізків паралельних прямих у про-
екції зберігаються, чотирикутник, який є паралельною проекцією паралелограма, також буде паралелограмом (рис. 92). Але зазначимо, що в загальному випадку специфічні властивості прямокутника, ромба, квадрата під час проекціювання не зберігаються, тобто, наприклад, проекція прямокутника або ромба може бути довільним паралелограмом, і навпаки, проекцією довільного паралелограма може
є трапеція.
Очевидно, що проекції паралельних сторін трапеції є паралельними відрізками, а проекції
непаралельних сторін — непаралельними. Але паралельна проекція не завжди зберігає властивості трапеції, яка проектується. На рис. 93 зображено паралельну проекцію рівнобічної трапеції ABCD: рівність бічних сторін і кутів при основі, яку втрачено під час проекціювання,
сформульовані для паралельних проекцій, справджуються і для зображень. Як бачимо, зображення просторових фігур на площині «перекручує» вигляд фігур і
мірою ускладнює їх вивчення порівняно з фігура ми на площині. Але те, що заважає науці, може допомагати мистецтву. У сучасному живописі існує навіть окремий напрям — імпосибілізм (від англійського impossible — неможливий). Його прихильники, порушуючи правила паралельного проекціювання (які вони, безумовно, добре вивчили), зображають неможливі об’єкти, які не існують у реальності. Придивіться уважно до гравюр голландського художника Моріца Ешера «Бельведер» (рис. 98) та «Водоспад» (рис. 99), до «неможливих фігур» шведського художника Оскара Рутерсварда (рис. 100) і спробуйте пояснити, у чому полягає неможливість існування зображених об’єктів.
6.3. Паралельне перенесення
Рис. 101. Паралельне
102. До
6.4.
Для побудови перерізу многогранника
статньо побудувати всі точки перетину січної площини з ребрами даного многогранника, після чого сполучити відрізками кожні дві побудовані точки, які належать одній грані.
Очевидно, що коли многогранник має n граней, то кількість сторін многокутника, який є перерізом даного многогранника, не перевищує n.
Наприклад, перерізом паралелепіпеда (який має 6 граней) може бути лише трикутник, чотирикутник, п’ятикутник або шестикутник. На рис. 103
перерізом куба є шестикутник ABCDEF.
Застосуємо відомий вам метод слідів у поєднанні з використанням властивостей паралельних
площин для розв’язання вже розглянутої в
задачі. Задача Побудуйте переріз
за їхні межі. Задача Побудуйте переріз чотирикутної
203. Яким може бути взаємне розміщення двох прямих у
якщо їхніми проекціями є:
а) дві точки;
б) пряма й точка поза нею;
в) пряма й точка на ній?
204. Чи можуть:
а) проекції двох рівних відрізків бути нерівними;
б) проекції двох нерівних відрізків бути рівними;
в) проекції двох паралельних відрізків бути непаралельними;
г) проекції двох непаралельних відрізків бути паралельними? К
205. Перекладіть англійською (або іншою іноземною мовою) основні терміни та факти § 6.
206. У якому випадку паралельна проекція
даному многокутнику?
207. Трикутник ′′ ′ AB C є паралельною проекцією трикутника ABC. Чи правильно, що:
трикутника ABC; б) медіани трикутника ′′ ′ AB C є проекціями медіан трикутника ABC; в) висоти трикутника
AB C
проекціями висот трикутника ABC?
208. Опишіть умови, за яких паралельною проекцією трикутника є: а) відрізок; б) трикутник, що дорівнює даному.
209. Чи може паралельна проекція паралелограма бути: а) квадратом; б) трапецією; в) чотирикутником зі сторонами 4 см, 5 см, 6 см і 7 см; г) чотирикутником з кутами 60°, 120°, 60°, 120°?
210. Чи існує паралельне перенесення, яке переводить: а) одну з двох мимобіжних прямих в другу;
211.
Моделюємо
212
паралельні; б) перетинаються; в) мимобіжні.
213• . За допомогою
дослідіть, яким може бути взаємне розміщення двох прямих, якщо їхніми проекціями є: а) паралельні прямі; б) прямі, що перетинаються.
214. Виріжте з цупкого паперу модель паралелограма ABCD і перегніть її по діагоналі BD. Задайте напрям проекціювання так, щоб проекцією трикутника ABD на площину CBD був: а) трикутник CBD; б) відрізок BD.
215. Виготовте модель просторового чотирикутника. За допомогою цієї
на площину.
216. Як розміщені
а) одна точка; б) дві точки; в) три точки однієї прямої? Для кожного випадку виконайте рисунок.
217. Точки ′ A і ′B — паралельні проек-
Розділ ІІ. Паралельність прямих і площин у просторі
219 • . Дано паралельну проекцію трикутника. Побудуйте проекції його медіан.
220. Дано точки ′ A , ′B і ′O — проекції двох сусідніх вершин і точки перетину діагоналей паралелограма. Побудуйте проекцію решти вершин.
221. Дано паралельну проекцію кола з центром O і хордою AB (рис. 108). Побудуйте проекцію діаметра кола, перпендикулярного до даної хорди.
222. Трикутник ′′ ′ AB C — проекція рівностороннього трикутника (рис. 109). Побудуйте проекцію перпендикуляра, проведеного з точки ′ M до сторони ′′AC .
Рівень Б
223. Трикутник ′′ ′ AB C і відрізок ′′BD — паралельні проекції трикутника ABC і його бісектриси BD. Чи правильно, що: а) ′′BD — бісектриса трикутника ′′ ′ AB C ; б) AB BC AD DC :: = ′′ ′′? Відповіді обґрунтуйте.
224. Дано паралельну проекцію трикутника і двох його висот. Побудуйте проекцію центра кола, описаного навколо трикутника.
225. Дано паралельну проекцію ромба, гострий кут якого дорівнює 60°. Побудуйте
226.
227.
§ 6. Паралельне проекціювання. Зображення плоских і просторових фігур у стереометрії
228. Точки ′ A ′B і ′C — проекції точок A, B і C на площину α (рис. 110). Зобразіть пряму перетину площин ABC і α . К
229. Розв’яжіть задачу 228 засобами програми Geogebra, DG чи іншого графічного редактора. Змоделюйте ситуацію, у якій ця задача не має
розв’язання. Як розміщені в цій ситуації площини АВС і a?
230. Унаслідок паралельного перенесення площина α переходить у площину ′ α . Площина β перетинає площини α і ′ α по прямих c і ′ c відповідно. Доведіть, що cc ′ .
231. Унаслідок паралельного перенесення точки A і B
у точки ′ A і ′B відповідно. Доведіть, що точки A, B, ′ A і ′B лежать
в одній площині.
232. (Опорна). Дано пряму, непаралельну площині проекції. Точка перетину
прямої з площиною проекції. Доведіть.
Рівень В
233. Доведіть, що внаслідок паралельного проекціювання: а) три точки, що
ватися в три точки, що належать одній прямій; б) дві прямі, що перетинаються, не можуть проектуватися в дві паралельні прямі.
234. Побудуйте проекцію правильного шестикутника за даними проекціями трьох його послідовних вершин.
235. Точки A, B і O — паралельні проекції двох вершин і центра
10 клас, § 3
кут між прямими на площині. Задачі
239. Прямі a, b і c лежать
7 клас, § 6
кут між прямими a і c, якщо ∠ () =° ab 55 , ∠ () =° bc 35 ? Чи зміниться відповідь, якщо дані
площині?
240. Дано мимобіжні прямі a і b. Через точки прямої a провели
паралельні b. Чи рівні кути, які
прямі утворюють із прямою a? Відповідь обґрунтуйте.
3. Дано куб ABCDAB CD11 11 (рис. 111). Серед
даних пар прямих виберіть пару мимобіжних
прямих.
А BC 1 і AD 1
Б BD 1 і AC 1
В BC і DD1
Г AD і BD 1
4. Точки M і N не належать площині паралелограма ABCD (рис. 112). Серед даних умов виберіть
ту, за якої ABMCDN() () .
А BM CN =
Б AM DN
В AM MB ⊥
Г MN AD =
5. Серед даних фігур виберіть ту, яка може бути
паралельною проекцією трапеції. А
6. Дано трикутник ABC, у якому AB = 15 см, BC = 12 см, AC = 9 см. На стороні AB взято точку M, причому AM MB :: = 12 . Через точку M проведено площину, яка паралельна стороні AC і перетинає сторону BC у точці N. Знайдіть площу чотирикутника AMNC (рис. 113). А 18
Перетинаються Дві прямі в просторі називаються такими, що перетинаються, якщо вони лежать в одній площині і мають єдину спільну точку
Паралельні Дві прямі в просторі паралельні, якщо вони лежать в одній
прямі, паралель-
Означення Пряма й площина називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок a
площині, паралельна якій-небудь прямій цієї площини, то вона паралельна і самій площині a b α Властивість Якщо пряма паралельна площині, то через будь-яку точку даної
Означення
Дві площини
називаються
паралельними, якщо вони не
мають спільних
точок
Ознака
Якщо дві прямі однієї площини, які перетинаються, відповідно паралельні двом прямим другої площини, то ці площини паралельні α β a1 a2 b1 b2
Властивості
Якщо дві площини паралельні, то: 1) прямі, по яких вони перетинаються з третьою площиною, паралельні; 2) відрізки паралельних прямих, що містяться між ними, рівні
3. Назвіть чотири способи проведення площини в просторі.
4. Назвіть випадки взаємного розміщення прямої і площини.
5. Дайте означення паралельних прямої і площини. Сформулюйте ознаку паралельності прямої і площини.
6. Сформулюйте властивість прямої, паралельної
Додаткові задачі до розділу ІІ
241. Дано паралельні прямі a і b та точку C, яка не лежить у площині даних прямих. Як побудувати пряму, яка проходить через точку C і паралельна прямим a і b?
242. На двох непаралельних площинах позначено по точці (дані точки не лежать на прямій перетину площин). Як провести через ці точки паралельні прямі, що лежать у даних площинах? К
243. Проведіть опитування серед своїх однокласників та однокласниць, хто з них має штатив для тримання смартфону (рис. 114). Зробіть за допомогою такого штати-
Рис. 114
ва селфі-фото свого класу чи групи. Що спільного в конструкції таких штативів? Який стереометричний факт використано в цій конструкції? Знайдіть відповідні фото в мережі Інтернет.
244. Через бічну сторону AB трапеції ABCD проведено площину α , яка не містить точки C і D. Доведіть, що пряма CD перетинає площину α , і знайдіть відстань від точки A до точки їх перетину, якщо AD = 8 см,
BC = 6 см, AB = 3 см.
245. Пряма a паралельна площині α . Чи правильно, що: а) будь-яка пряма, яка перетинає пряму a, перетинає площину α ; б) будь-яка площина, яка перетинає пряму a, перетинає площину α ?
246. Паралельні прямі a і b перетинають площину α в точках A1 і B1 , а площину β — у точках A2 і B2 відповідно, причому AA BB 1212 = . Чи правильно, що αβ ?
247. Через сторони AB і CD плоского чотирикутника ABCD проведено паралельні площини. Доведіть, що коли AB CD = , то чотирикутник ABCD — паралелограм. К
248. Розбийтеся на міні-команди й організуйте гру-дебати «Плоскі предмети. За і проти». В аргументації можна використовувати геометричні факти, міркування щодо функціональності, дизайну, легкості у відтворенні таких предметів тощо. За
співрозмовниками та співрозмовницями.
К 252. Одним із прикладів застосування
чином такі панелі сприяють
люють
стінам? Висловіть припущення
друзями та подругами. Порівняйте умови різних банків щодо кредитування утеплення будівлі панелями. Які банки пропонують найбільш вигідні умови? Проконсультуйтесь із цього питання з батьками.
К 253. В офісному приміщенні виконуються ремонтні роботи, в ході яких знадобилося визначити, чи паралельні одна одній протилежні стіни кімнати. На підлогу поклали рейку перпендикулярно до плінтуса однієї стіни (рис. 115). Виявилося, що ця рейка не є перпендикулярною до плінтуса протилежної стіни. Було зроблено висновок, що ці стіни не є паралельними. Чи можна обґрунтувати цей висновок, спираючись на положення геометрії? Відповідь поясніть.
К
254. Екран для мультимедійного проектора зазвичай натягують між двома паралельними металевими рейками (рис. 116). При цьому поверхня екрану є плоскою. Поясніть, чому рейки
255.
256. Дано паралельну проекцію
257. Дано паралельну проекцію
зображення правильного трикутника,
258. Знайдіть у мережі Інтернет презентації, пов’язані з еліпсом та іншими перерізами конуса, використанням властивостей еліпса в законах Кеплера. Організуйте обмін знайденими матеріалами.
Задачі підвищеної складності
259. Дано тетраедр ABCD. Точки A, B, C, D не лежать в одній площині. Точки M, N, K лежать на відрізках AD, BD, CD відповідно.
Точка E лежить усередині трикутника ABC. Побудуйте точку перетину
прямої DE з площиною MNK.
260. Точки A, B, C, D не лежать в одній площині. Точки E, F, G лежать на відрізках AD, CD, BC відповідно, причому AE ED CF FD CG GB == . Доведіть,
що площина EFG перетинає відрізок AB в деякій точці H, і визначте вид чотирикутника EFGH.
261. Побудуйте переріз даного многогранника січною площиною α , якщо:
а)
ABCA BC11 1 — призма (рис. 117, а), DBBC∈() 11 , D ∈α , E ∈α , α CK ;
262. Доведіть, що: а) дві прямі паралельні тоді й тільки тоді, коли будь-яка площина, що перетинає одну з них, перетинає й другу; б) дві площини паралельні тоді й тільки тоді, коли будь-яка пряма, що перетинає одну з них, перетинає й другу.
263. Дано: a ⊂α , M ∈α , Ma ∉ , Ka ∉ . Побудуйте площину β , яка паралельна прямій а і проходить через точки М і K, якщо K ∉α . Скільки існує таких площин? Чи можливо побудувати таку площину за умови, що K ∈α ?
264. У паралелепіпеді ABCDAB CD11 11 точка L — середина ребра DD1 , точка K
точку
265. Дано трикутну призму ABCA BC11 1 . Точка
паралельну площині BBK 1 . Зобразіть
266.
269. Доведіть, що зображенням рівностороннього трикутника може бути будь-який трикутник, і навпаки, зображенням будь-якого трикутника може бути рівносторонній трикутник. На підставі доведеного твердження обґрунтуйте, що оскільки в правильному трикутнику медіани перетинаються в одній точці та діляться цією точкою у відношенні 21 : , починаючи від
трикутник.
270. Дано куб ABCDA1B1C1D1 та точки P, Q, R на ребрах AA1, A1D1, A1B1 відповідно. Точки M, N, K
усередині многокутників PQR, B1C1 D 1QR , CC1 D 1 D відповідно. Побудуйте переріз многогранника ABCDPQD1C1B1R (куба зі «спилом») площиною MNK.
271. Дано паралельну проекцію рівнобічної трапеції, в яку можна вписати
до вписаного кола.
272. Дано паралельну проекцію рівнобедреного
так, що дві вершини квадрата
катетах.
273. Дано паралельну проекцію правильного шестикутника ABCDEF.
Побудуйте проекцію: а) бісектриси кута ABD; б) бісектриси кута між відрізками AC і BE.
274. Дано паралельну проекцію кола та точки A цього кола. Побудуйте зображення правильного шестикутника, описаного навколо цього кола, для якого точка A є точкою дотику до однієї зі сторін.
275. На ребрах SA, SB, SC трикутної піраміди SABC позначено точки A1, B1 , C1 відповідно. Відомо, що AB AB X ∩ 11 = , BC BC Y ∩ 11 = , AC AC Z ∩ 11 = . Доведіть, що точки X, Y, Z належать одній прямій.
276. На площині дано три
прямих a, b і c та точки M, N, P (рис. 118). Побудуйте трикутник так,
у живописі та технічних кресленнях застосовується також
Розділ ІІІ
Розділ ІІІ
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ
основних відомостей про взаємне розміщення просторових фігур перейдемо до визначення відстаней і кутів між ними. Особливу роль у цьому процесі відіграє поняття перпендикулярності прямих і площин. У повсякденному
ніжки стола перпендикулярні до підлоги, цвях вбивають
два ребра куба (рис. 119), які мають спільний кінець, перпендикулярні. Діагоналі грані куба AB1 і AB 1 також перетинаються під прямим кутом, кут між відрізками AB1 і BB 1
Доведення
Нехай площина, в якій лежать прямі a1 і b1 , не збігається з площиною, в якій лежать прямі a2 і b2 (рис. 120).
Паралельне перенесення, яке переводить точку O1 в точку O2 , переводить пряму a1 в паралельну пряму, яка проходить через точку O2 , тобто в пряму a2 . Аналогічно пряма b1 у результаті та-
кого перенесення переходить у пряму b2 . Оскільки паралельне перенесення зберігає величини кутів, то менший із кутів між прямими a1 і b1 дорівнює меншому з кутів між прямими a2 і b2 , тобто
∠ ( ) =∠ ( ) ab ab 1122 . Випадок, коли дані прямі лежать в одній площині, розглядається аналогічно.
Наслідок (ознака перпендикулярності прямих)
Рис. 120.
прямі a і b мимобіжні (рис. 121). Проведемо через довільну точку
a
і b1 , відповідно паралельні даним прямим a і b. Градусну міру кута між цими прямими можна прийняти за градусну міру кута між мимобіжними прямими a і b.
Обґрунтуємо коректність такого підходу до введення поняття кута між мимобіжними прямими, тобто покажемо, що
Рис. 121. До означення
Рис. 122.
Запитання і задачі
Обговорюємо теорію
277• . Кут між прямими a і b дорівнює α . Чи правильно, що:
а) прямі a і b перетинаються; б) прямі a і b мимобіжні; в) α 90° ?
278• . Дано куб ABCDAB CD11 11 (рис. 124). Назвіть: а) дві прямі, що перетинаються під пря-
мим кутом;
б) дві мимобіжні перпендикулярні прямі; в) дві прямі, що перетинаються під кутом 45°; г) дві мимобіжні прямі, кут між якими дорівнює 45° .
279. Скільки прямих, перпендикулярних до прямої a, можна провести на площині через дану точку прямої a? Чи зміниться відповідь, якщо дану задачу розв’язати не на площині, а в просторі?
280. Дві прямі відповідно паралельні двом бічним сторонам рівнобедреного трикутника. Чи правильно, що кут між даними прямими
дорівнює одному з кутів трикутника? Чи зміниться відповідь, якщо замість бічних сторін розглянути
сторону й основу трикутника? К 281. Перекладіть англійською (чи іншою іноземною мовою) умову та власне розв’язання задачі 280. Обговоріть виконання завдання із сусідом чи сусідкою по парті.
Моделюємо
282• . На площині справджується твердження «Дві прямі, перпендику-
Розділ ІІІ. Перпендикулярність прямих і площин у просторі
A a Розв’язуємо задачі
Рівень А
284. Дано куб ABCDAB CD11 11 (рис. 125). Знайдіть кут між прямими:
а) AD і CC1 ; в) DA1 і DC1 ;
б) AC11 і CD; г) BC11 і AD.
285. Дано куб ABCDAB CD11 11 . Заповніть таблицю:
BC 1 і BC1
BD і AD11
BC 1 і AD 1
AC і BC 1
286. Прямі OA, OB і OC попарно перпендикулярні. Знайдіть довжину відрізка:
а) BC, якщо AB = 17 см, AC = 25 см, OB = 8 см; б) AB, якщо OC = 10 см, AC = 55 см, BC = 261 см.
287. Прямі OA, OB і OC попарно перпендикулярні. Знайдіть площу трикутника ABC, якщо OA OB OC == = 4 см. Рівень Б
288. Прямі a, b і c паралельні одній і тій самій площині. Яким може бути кут між прямими a і c, якщо: а) ∠ () =° ab 80 , ∠ () =° bc 50 ; б) ∠ () =° ab 30 , ∠ () =° bc 20 ?
289. Усі ребра тетраедра PABC дорівнюють a (рис. 126). Точки D і E — середини ребер BC і PA відповідно.
DE.
що DE PA ⊥ і DE BC ⊥ . Знайдіть
290. У тетраедрі PABC ∠= ABC α . Знайдіть кут між прямою, яка проходить через середини ребер AB і AC, і прямою, яка проходить через середини ребер PA і PB. Скільки розв’язків має задача?
291. Дано куб. Знайдіть: а) кут між мимобіжними діагоналями двох суміжних граней; б) синус кута між діагоналлю куба і діагоналлю його основи, які виходять з однієї вершини; в) синус кута між діагоналлю куба і бічним ребром.
292. Сторони основи прямокутного паралелепіпеда відносяться як 13 : . Знайдіть кут між мимобіжними діагоналями основ паралелепіпеда.
Рівень В
293. Точки A, B, C і D не лежать в одній площині. Знайдіть кут між
прямими AC і BD, якщо відстань між серединами відрізків AB і CD дорівнює відстані між серединами відрізків AD і BC.
294. Точки A, B, C і D не лежать в одній площині. Знайдіть кут між
прямими AC і BD, якщо AC = 16 , BD = 10 , а відстань між серединами
відрізків AD і BC дорівнює 7.
295. Дано куб. Знайдіть кут між його діагоналлю та діагоналлю його
грані за умови, що вказані відрізки належать мимобіжним прямим.
Повторення перед вивченням § 8
Теоретичний матеріал
• існування і єдиність перпендикуляра до прямої;
• рівнобедрений трикутник. Задачі
7 клас, § 9
7 клас, § 11
296. Відрізок BD — висота і медіана трикутника
Перпендикулярність
Рис. 127. Кути
Рис. 128. Пряма a перпендикулярна до площини a Рис. 129. Корабельна щогла
якби пряма не перетинала площину, то вона або лежала б у цій площині, або була б паралельною їй. Але, як відомо,
Доведення Нехай пряма a перпендикулярна до прямих b і c, які лежать у площині α і перетинаються. Доведемо, що a ⊥α .
Розглянемо спочатку випадок, коли прямі b і c проходять через точку O перетину прямої a і площини α (рис. 130, а). За означенням прямої, перпендикулярної до площини, треба показати, що пряма a перпендикулярна до довільної прямої l площини α . Проведемо через точку O пряму m, паралельну l (якщо Ol ∈ , то замість прямої m можна розглядати саму пряму l). Нехай деяка пряма площини α перетинає прямі b, c і m у точках B, C і M відповідно. На прямій a відкладемо по різні боки від точки O рівні відрізки OA1 і OA2 . Трикутник ABA12 рівнобедрений
є трикут-
AA12 , оскільки його медіана BO є висотою.
ник ACA12 . Звідси маємо BABA 12 = , CACA 12 = . Тоді трикутники ABC 1 і ABC 2 рівні за трьома сторонами. З рівності цих трикутників випливає, що ∠= ∠ ABMA BM 12 , таким чином, ABMA BM 12 = за двома сторонами і кутом між ними. З рівності сторін AM AM12 = випливає, що трикутник AMA12 рівнобедрений з основою AA12 . Тоді його медіана MO є також висотою, тобто ma ⊥ , а за означенням кута між мимобіжними прямими la ⊥ . Оскільки l — довільна пряма площини
Рис. 131. Пряма a
перпендикулярна до двох прямих
площини a, але не
перпендикулярна до цієї
al 1 ⊥
до l, тобто a ⊥α
площини (рис. 131). Доведена
зонтальних рейок (рис. 132, а); новорічну ялинку
на підпору в формі хрестовини так, щоб стовбур ялинки
кулярним до кожної з
дві прямі, що перетинаються, задають єдину площину, така підпора є стійкою.
8.2. Побудова перпендикулярних
і площини
точки зору логічної строгості міркувань,
важливою умовою коректності означення будь-якої фігури є обґрунтування того, що дана фігура існує. Для перпендикулярних прямої і площини таке обґрунтування зводиться до побудови площини, перпендикулярної до даної прямої, і прямої, перпендикулярної до даної площини. a c b O γ
Рис. 134.
Побудова площини, перпендикулярної до даної прямої
що побудована площина єдина. Припустимо, що через точку O проходить
на від γ і перпендикулярна до прямої a (рис. 135). Тоді деяка площина, що містить пряму a, перетинає площи-
Рис. 136.
Рис. 137.
точка O належить площині α (рис. 136). Проведемо в даній площині через точку O прямі b і c та
площини, які проходять через точку O і перпендикулярні до прямих b і c відповідно. Пряма a, по якій перетинаються ці площини,
перпендикулярна до площини α . Площина, проведена через прямі
137). Тоді в побудованій площині через точку O проходять дві
Отже, побудована пряма a єдина.
Аналогічне твердження для випадку,
далі.
1) «Алюміній, мідь, цинк, срібло, платина проводять електричний струм. Отже, усі метали проводять електричний струм».
2) «Алюміній, мідь, цинк, срібло, платина — тверді тіла. Отже, усі метали — тверді тіла».
В обох випадках з окремих прикладів учень робив загальний висновок. Але в першому випадку цей висновок правильний, а в другому — ні (адже ртуть є металом і водночас рідиною).
У процесі розв’язування геометричних задач ми маємо спиратися лише на правильні твердження. Отже, у геометрії застосовувати індуктивні міркування можна лише тоді, коли вони підкріплені відповідними геометричними доведеннями. Означення перпендикулярності прямої і площини в задачах, навпаки, застосовується для переходу від загального випадку до окремого: якщо
пряма a перпендикулярна до
то вона перпендикулярна
щини. Такий
го («якщо всі, то деякі») є дедукцією
герой романів А. Конана Дойла Шерлок
називав свій метод розслідування злочинів дедуктивним, адже дедукція є переходом від достовірних умов
достовірних висновків. Дедуктивні міркування завжди дають істинні висновки. Наприклад, знаючи, що всі кути правильного
шестикутника ABCDEF рівні між собою, ми можемо без додаткових обґрунтувань стверджувати, що ∠= ∠ AD або ∠= ∠ CE . У стереометричних задачах, пов’язаних із перпендикулярністю прямих і площин, міркування часто здійснюються за схемою «окреме → загальне
Розділ ІІІ. Перпендикулярність прямих і площин у просторі
Запитання і задачі
298• . Дано куб ABCDAB CD11 11 (рис. 138). Назвіть: а) дві прямі, перпендикулярні до площини ABC; б) усі ребра, що належать прямим, перпендикулярним до площини CC D 11 ; в) площину, перпендикулярну до прямої BD; г) дві площини, перпендикулярні до прямої AD11 .
299 • . Точки A, B і O лежать на прямій, перпендикулярній до площини α , а точки O, C і D належать площині α . Серед кутів ACO, BOD і AOB назвіть прямі.
300 • . Чи правильно, що пряма a перпендикулярна до площини α , якщо ця пряма перпендикулярна до:
а) деякої прямої площини
двох прямих площини α ; г) двох прямих площини α , що перетинаються?
К
301. Перекладіть англійською (чи іншою іноземною мовою) основні терміни та факти § 8.
302• . Пряма a не лежить у площині паралелограма ABCD.
тверджень оберіть правильні: а) якщо aABC ⊥ () , то aAC ⊥ ; б) якщо aAC ⊥ , то aABC ⊥ () ; в) якщо aBC ⊥ і aAD ⊥ , то aABC ⊥ () ; г) якщо aBC ⊥ і aAB ⊥ , то aABC ⊥ () .
303• . Пряма a і площина α не перпендикулярні. Визначте, чи є правильним
306 • . Розкрийте підручник і
а) пряма MA була перпендикулярною
308• . Виготовте модель для дослідження геометричної ситуації: «Пря-
ма CD перпендикулярна до площини прямокутного трикутника ABC з гіпотенузою AB». За допомогою моделі визначте, чи перпендикулярні: а) пряма BC і площина ADC; б) пряма AC і площина BDC;
в) пряма AB і площина BDC. К 309. За допомогою програми Geogebra або іншого графічного редактора з підтримкою 3D-графіки змоделюйте пряму, перпендикулярну до площини. Спробуйте на базі даної конфігурації зробити цікавий дизайнерський міні-проект. A a Розв’язуємо
А 310 • . Дано куб ABCDAB CD11 11 (рис. 138). Доведіть перпендикулярність: а) прямої AD і площини CCD 1 ; б) прямих AC і BB1 .
Розділ ІІІ. Перпендикулярність прямих і площин у просторі
311• . Пряма MB перпендикулярна до сторін AB
і BC квадрата ABCD (рис. 139). Доведіть перпендикулярність:
а) прямих MB і AC;
б) прямої AB і площини MBC;
в) прямої AD і площини MAB.
312• . Діагоналі ромба ABCD перетинаються
в точці O. Пряма MO перпендикулярна до прямих AC і BD (рис. 140). Доведіть перпендикулярність:
а) прямих MO і AB;
б) прямої AC і площини BMD.
313. Через сторону AC трикутника ABC проведено площину, перпендикулярну до сторони BC. Визначте вид трикутника і знайдіть довжину сторони AB, якщо AC = 4 см, ∠= ° B 30 .
314. Пряма MO перпендикулярна до площини кола з центром O. Знайдіть відстань від точки M до точки кола B, якщо довжина
дорівнює 14 π см, а MO = 24 см.
315 (опорна). Дві площини, перпендикулярні до однієї й тієї самої прямої, паралельні. Доведіть.
316 (опорна). Пряма, перпендикулярна до однієї з двох паралельних площин, перпендикулярна і до другої площини. Доведіть.
317. Пряма DA перпендикулярна до площини трикутника ABC, у якому ∠= ° B 90 (рис. 141). Доведіть, що пряма CB перпендикулярна до: а) площини BDA; б) прямої BD.
318. Діагоналі ромба ABCD перетинаються в точці O. Пряма MC перпендикулярна до площини ромба (рис. 142). Доведіть, що MO BD ⊥ .
Рівень Б
319. Кожне ребро тетраедра PABC дорівнює a. Зобразіть переріз тетраедра площиною, яка перпендикулярна до ребра PA і проходить через його середину. Знайдіть площу перерізу.
320. Зобразіть переріз куба з ребром a площиною, яка перпендикулярна до ребра куба і проходить через його середину. Знайдіть площу перерізу.
321. Точка M не лежить у площині паралелограма ABCD, діагоналі якого перетинаються в точці O, причому MA MC = , MB MD = . Доведіть, що пряма MO перпендикулярна до площини паралелограма.
322. Через вершину прямого кута B трикутника ABC проведено пряму DB, перпендикулярну до сторін AB і BC. Точка M — середина сторони AC. Знайдіть DM, якщо AB = 6 см, BC = 8 см, BD = 12 см.
323. У трикутнику ABC AB = 13 см, BC = 14 см, AC = 15 см, AD — висота. Пряма AM перпендикулярна до площини трикутника. Знайдіть довжину відрізка MA, якщо MD = 15 см.
324. Площина α , перпендикулярна до катета AB прямокутного трикутника ABC, перетинає відрізок AB в точці B1 , а гіпотенузу AC — у точці C1 . Знайдіть довжину відрізка BC11, якщо AB = 15 см, AB16 = см, AC = 25 см.
325. У трикутнику ABC AB BC == 35 см. Площина, перпендикулярна до медіани BD, ділить її на відрізки 24 см і 4 см, починаючи від вершини B. Знайдіть відстань між точками перетину даної площини зі сторонами AB і BC.
326. Площина α і пряма b, яка не
до прямої a. Доведіть, що b α .
327. Пряма а і площина α перпендикулярні до прямої b. Доведіть, що коли пряма а і площина α мають спільну точку, то пряма а лежить у площині α .
328. Пряма MA перпендикулярна до площини паралелограма ABCD, MD CD ⊥ . Доведіть, що ABCD — прямокутник.
329. Пряма MC перпендикулярна до площини паралелограма ABCD, MA BD ⊥ . Доведіть, що ABCD — ромб. Рівень В
330. Визначте, яку фігуру утворюють усі
які проходять через точку A прямої a і перпендикулярні
331. Пряма MA перпендикулярна до площини прямокутника ABCD. Знайдіть довжину відрізка MA, якщо MB b = , MC c = , MD d = .
Розділ ІІІ. Перпендикулярність прямих і площин у просторі
332 (опорна).
відрізка
AB
333. Пряма BM перпендикулярна до площини трикутника ABC, точка D — середина сторони AC, MD AC ⊥ . Знайдіть кут ABC, якщо ∠= ° BAC 70 .
334. Пряма BM перпендикулярна до площини трикутника ABC, MC AC ⊥ . Знайдіть довжину відрізка MC, якщо BM = 6 см, AB = 17 AB = 17 см, AC = 15 см.
Повторення перед вивченням § 9 Теоретичний
• описане коло трикутника;
• описане коло многокутника;
• перпендикуляр і похила;
7 клас, § 23
9 клас, § 18
8 клас, § 13
• паралельність прямої і площини.
Задачі
10 клас, § 4
335. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника зі сторонами 53 см і 2 см та кутом між ними 30° .
336. Із точки A до прямої a проведено похилі AB і AC. Знайдіть
вжину відрізка BC, якщо AB = 30 см, AC = 25 см,
відносяться як 71:8 .
Перпендикуляр
до площини
9.1.
Властивості прямих, перпендикулярних до площини
Теорема (про паралельні прямі, перпендикулярні до площини)
Доведення
Проведемо в площині α прямі a і b, що перетинаються (рис. 143). Оскільки l1 ⊥α , то пря-
ма l1 перпендикулярна до кожної з прямих a і b за означенням прямої, перпендикулярної до площини. Тоді пряма l2 , паралельна l1 , також перпендикулярна до прямих a і b. Отже, за ознакою перпендикулярності прямої і площини l2 ⊥α . Наслідок
Через будь-яку точку простору можна провести пряму, перпендикулярну до даної площини,
Розділ ІІІ. Перпендикулярність прямих і площин у просторі
Теорема (про прямі, перпендикулярні
Дві прямі, перпендикулярні до однієї площини, є паралельними: aa aa 12 12 ⊥⊥ () ⇒ αα , . Доведення
Припустимо, що прямі a1 і a2 не паралельні. Тоді проведемо через деяку точку M прямої a1 пряму a, паралельну a2 (рис. 145). За попередньою теоремою a ⊥α . Нехай прямі a і a1 перетинають
до площини α , точка C — основа похилої AC. Відрізок BC, який сполучає основи перпендикуляра і похилої, є проекцією* похилої AC на площину α . Сформулюємо властивості перпендикуляра, похилих і проекцій. Нехай з однієї точки до площини проведено перпендикуляр і похилі. Тоді:
1) будь-яка похила більша за перпендикуляр і більша за свою проекцію на дану площину (рис. 147, а);
2) рівні похилі мають рівні проекції, і навпаки: якщо проекції
похилі (рис. 147, б );
3) більша похила має більшу проекцію, і навпаки: з
(рис. 147, в).
Усі ці властивості випливають із теореми Піфагора (обґрунтуйте їх самостійно).
Зазначимо, що, на відміну від площини, де
з даної точки до прямої можна провести лише
дві рівні похилі (рис. 148, а), у просторі з точки до площини можна провести безліч рівних похилих (рис. 148, б ). Неважко довести, що основи цих похилих утворюють
Опорна задача (про точку, рівновіддалену від усіх вершин многокутника)
Якщо точка поза площиною многокутника рівновіддалена від усіх його вершин, то основою перпендикуляра, проведеного з даної точки до
площини многокутника, є центр кола, описаного
навколо многокутника. Доведіть.
Розв’язання Проведемо доведення для трикутника (для інших многокутників доведення аналогічне).
Нехай точка P не лежить у площині трикутника ABC, PAPBPC == (рис. 149). Проведемо з точки P перпендикуляр PO до площини ABC. Відрізки OA, OB і OC — проекції похилих PA, PB і PC відповідно на площину ABC . Оскільки рівні
OAOBOC == .
точка O
ABC
їхнього спільного перпендикуляра. Схожий
метрії.
Означення
Відстанню
Відстанню від точки до площини називають також і сам цей перпендикуляр. Під
Рис. 152.
Рис. 153. Відстань
даної площини. Справді, нехай
a паралельна площині α , AA1 і BB1
проведені з двох довільних точок прямої a до площини α (рис. 152). Оскільки AA1 ⊥α , BB1 ⊥α , то AA BB 11. Площина, яка проходить через ці паралельні прямі, перетинає площину α по прямій AB11 , яка за властивістю прямої, паралельної площині, паралельна прямій
Узагалі рівновіддаленість точок однієї з паралельних прямих (площин) від іншої є властивістю, яка має широке практичне застосування, зокрема в будівництві: дах або міжповерхові перекриття будівлі часто спираються на вертикальні колони однакової висоти (рис. 154). Рис. 154. Колонада у м. Карлові Вари (Чехія)
Запитання і задачі
Обговорюємо теорію
337• . Сторона AB паралелограма ABCD перпендикулярна до площини α . Як розміщена пряма CD відносно площини α ? Відповідь обґрунтуйте.
338• . Сторони AB і CD чотирикутника ABCD перпендикулярні до площини α . Визначте вид даного чотирикутника, якщо сторони AD і BC не рівні між собою. К
339. Перекладіть англійською (чи іншою іноземною мовою) основні факти § 9.
340. Точка B лежить у площині β , відрізки AB і CB — перпендикуляри до площини β . а) Яким є взаємне розміщення прямої AC і площини β ? б) Чи лежать точки A, B і C на одній прямій? Яким може бути їх взаємне розміщення, якщо AB CB > ?
347. З точки A до площини α проведено перпендикуляр AB і похилу AC. Знайдіть: а) AC, якщо AB BC == 22 см; б) AB і AC, якщо BC = 12 см, ∠= ° BAC 30 ; в) AB і BC, якщо AB BC :: = 34 , AC = 15 см.
348. З точки до площини
якої
8 см. Знайдіть:
§ 9. Перпендикуляр до площини
350. Точка, віддалена від усіх вершин правильного трикутника на 5 см, розміщена на відстані 4 см від площини трикутника. Знайдіть периметр даного трикутника.
351. Сторони прямокутника дорівнюють 12 см і 16 см. Точка простору віддалена від усіх вершин прямокутника на 26 см. Знайдіть відстань від даної точки до площини прямокутника.
352. Точка простору віддалена від площини квадрата на 12 см і рівновіддалена від усіх його вершин. Знайдіть відстані від даної точки до вершин квадрата, якщо його площа дорівнює 50 см2.
353. Точки A і B лежать по один бік від площини α . Доведіть, що
354.
355.
356. Відрізки завдовжки 41 см і 50 см упираються
якщо проекція
30
357.
відрізків відносяться як 1315 : , а проекції даних відрізків на одну з площин
дорівнюють 5 см і 9 см.
Рівень Б
358. Дано прямі a, b, c, d і площину α , причому a ⊥α , b ⊂α , c ⊂α
Розділ ІІІ. Перпендикулярність прямих і площин у просторі
360. Від верхнього кінця вертикального стовпа заввишки 13 м до даху будинку заввишки 6 м необхідно протягнути провід. Відстань між стовпом і будинком становить 24 м. Скільки метрів проводу знадобиться, якщо вважати, що він не провисає?
361. Відрізок AB перетинає площину α в точці C. Знайдіть його довжину, якщо проекції відрізків AC і CB на площину α дорівнюють 4 см і 8 см відповідно, а відстань від точки B до площини α на 3 см більша, ніж від точки A.
362. Доведіть, що відстань від середини
ретинає
363. З точки до
364.
365.
становить
ки 19 см. Знайдіть
366. З точки, віддаленої від площини на 24 см, проведено дві похилі завдовжки 26 см і 40 см. Знайдіть
хилих, якщо відстань між їхніми основами дорівнює 38 см.
367 (опорна). Якщо через центр кола, описаного навколо многокутника,
369.
рівнює 48 см, а бічна сторона 40 см.
370. Периметр прямокутника дорівнює 28 см, а площа 48 см2. Точка простору віддалена від площини прямокутника на 12 см. Знайдіть відстані від даної точки до вершин прямокутника, якщо ці відстані рівні.
371. Точка простору віддалена від площини прямокутника на 8 см і від кожної з його вершин на 17 см. Знайдіть площу прямокутника, якщо його сторони відносяться як 34 : .
372. Площина, проведена через вершину прямого кута трикутника, паралельна його гіпотенузі. Знайдіть довжину гіпотенузи трикутника, якщо його катети відносяться як 34 : , а їхні проекції на дану площину дорівнюють 9 см і 16 см.
373. Вершини трикутника ABC рівновіддалені від площини α і лежать по один бік від неї. Доведіть, що ABC () α .
374. Два відрізки, сума яких дорівнює 28 см, упираються кінцями у дві паралельні площини. Знайдіть відстань між
Рівень В
375. З точки до площини
дві рівні взаємно перпендикулярні похилі. Знайдіть кут, який утворює кожна з похилих із перпендикуляром до площини, якщо кут між проекціями похилих дорівнює 120° .
376. З точки M до площини проведено перпендикуляр MA та похилі MB і MC, причому MA AB AC 2 =⋅ .
що ∠= ∠ MBAAMC . 377. Більша основа, бічна сторона й діагональ рівнобічної трапеції дорівнюють 10 см, 6 см і 8 см відповідно. Точка простору віддалена від кожної з вершин трапеції на 13 см. Знайдіть відстань від даної точки до площини трапеції.
378. Сторона трикутника
381. Вершини
і
до площини α .
382. Три послідовні вершини ромба віддалені від площини, яка не перетинає сторін ромба, на відстані d, d + 1 і d + 2 . Доведіть, що одна з діагоналей ромба паралельна
383. Знайдіть геометричне місце точок, рівновіддалених
ралельних: а) прямих; б) площин.
384. Точка A не лежить у
площини α
385. Знайдіть
7 клас, § 23
8 клас, § 8; 9 клас, § 18
Теорема про три перпендикуляри та її застосування
10.1. Теорема про три перпендикуляри
Одним із важливих етапів розв’язування стереометричних задач є побудова й обґрунтування відстаней від точок до прямих і площин. Теоретичним підґрунтям для багатьох таких побудов є теорема про три перпендикуляри — одна з центральних теорем стереометрії.
Теорема (про три перпендикуляри)
Пряма, проведена на площині перпендикулярно до проекції похилої
площину, перпендикулярна до цієї похилої, і навпаки: якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до її проекції на
дану площину.
Доведення
Нехай AB ⊥α , BC — проекція похилої AC
на площину α , пряма a лежить у площині α (рис. 158). Доведемо перше твердження теореми.
Оскільки AB ⊥α і a ⊂α , то aAB ⊥ . Крім того, aBC ⊥ за умовою. За ознакою перпендикуляр-
ності прямої і площини пряма a перпендикулярна
до площини ABC, звідки aAC ⊥ , що й треба було
довести.
Для оберненого твердження маємо: aAB ⊥ (оскільки AB ⊥α і a ⊂α ) і aAC ⊥ (за умовою),
B C a α
Рис.
Рис.
допомогою
теореми про три
перпендикуляри
Розв’язання
Проведемо MD AC ⊥ ; MD — відстань від точки M до
прямої AC . Оскільки MB ABC ⊥ (), то відрізок BD — проекція похилої MD на площину ABC . Тоді за теоремою
про три перпендикуляри BD AC ⊥ , отже, BD — висота рівнобедреного трикутника ABC, проведена до основи, яка також є його медіаною, тобто AD DC == 5 см.
Із трикутника ABD ( ∠= ° D 90 , AB = 13 см, AD = 5 см) за теоремою Піфагора BD = 12 см. Із трикутника MBD ( ∠= ° B 90 , MB = 9 см, BD = 12 см) за теоремою Піфа-
гора MD = 15 см.
Відповідь: 15 см.
10.2. Властивість точки, рівновіддаленої
основою перпендикуляра, проведеного з даної точки до площини многокутника, є
P перпендикуляр PO до площини ABC . Відрізки OK, OM і ON — проекції похилих PK, PM і PN на площину ABC . Оскільки за побудовою PK AB
⊥ , OM BC ⊥ , ON AC ⊥ . Крім того, OK OM ON == як проекції рівних похилих. Отже, точка O
площини ABC рівновіддалена від сторін трикутника
Рис. 162
Розв’язання
1. Проведемо MH AD ⊥ ; MH — відстань від точки M до сторони AD. За умовою задачі MH = 15 см.
2. Відрізок BH — проекція похилої MH на площину ABC . Оскільки MB ABC ⊥ () , MH AD ⊥ , то за теоремою про три перпендикуляри BH AD ⊥ . Отже, BH — висота ромба ABCD.
3. Розглянемо ромб ABCD (рис. 162, б ). У ньому SADB ABCD = 2 sin , тобто AD S B = sin . Отже,
AD == ° 96 3 120 83 sin (см).
4. Оскільки SADBH ABCD =⋅ , то BH S AD ABCD = , тобто
BH == 96 3 83 12 (см).
5. Оскільки MB ABC ⊥ () , то MB BH ⊥ . Тоді з трикутника MBH (рис. 162, в), де ∠= ° B 90 , MH = 15 см, BH = 12 см, за теоремою Піфагора MB = 9 см. Відповідь: 9 см.
Отже, на першому етапі розв’язання було обґрунтовано геометричний зміст даних задачі, на другому — за допомогою теореми про три перпендикуляри з’ясовано розміщення відрізка BH у ромбі. Три останні етапи розв’язання являють собою планіметричні фрагменти, на які «розпалася» дана стереометрична
Розділ ІІІ. Перпендикулярність прямих і площин у просторі
К
389. Викладіть основні факти § 10 англійською (чи будь-якою іншою іноземною мовою).
390 • . Дано куб ABCDAB CD11 11 (рис. 163). Укажіть і обґрунтуйте відстань:
а) від точки B1 до прямої CD; б) від точки C до прямої AD11 ; в) від точки D1 до прямої AC; г) від точки A1 до прямої BD.
391. На рис. 164, а–г MA ABC ⊥ (). За даними рисунка обґрунтуйте відстань від точки M до прямої BC.
392. На рис. 165, а, б MA ABC ⊥ () . За даними рисунка
відстань від точки A до прямої BC.
393. З точки M до площини α
Моделюємо
394• . Змоделюйте контрприклади для спростування тверджень: а) будь-яка пряма, перпендикулярна до похилої, лежить у площині, до якої проведена дана похила; б) будь-яка пряма, перпендикулярна до
проекції даної похилої на дану площину, перпендикулярна і до самої похилої.
395• . На рис. 167 AB BC = , AD DC = , MB ABC ⊥ (). За даним рисунком виготовте модель. Користуючись цією моделлю, визначте вид трикутника AMC.
A a Розв’язуємо задачі
Рівень А
Рис. 167
396. У трикутнику ABC ∠= ° B 90 . Відрізок MC — перпендикуляр до площини трикутника. Знайдіть відстань від точки M до прямої AB, якщо: а) AC = 17 см, AB = 15 см, MC = 6 см; б) AC = 52 см, ∠= ° A 45 , ∠= ° MBC 60 .
397. На рис. 167 MB ABC ⊥ () , MD AC ⊥ , AD DC = . За даним рисунком доведіть теорему про три перпендикуляри для випадку, коли пряма АС, проведена в площині AВC, проходить через основу похилої MD.
398. За даними рис. 165, б доведіть, що коли ABCD — паралелограм, то він є прямокутником.
399. Точка простору віддалена від кожної сторони квадрата на 13 см. Знайдіть відстань від даної точки до площини квадрата, якщо його периметр дорівнює 40 см.
400. Точка, віддалена від кожної сторони квадрата на 10 см, розміщена
401. Відрізок MA — перпендикуляр до площини трикутника ABC. Відрізок MD — відстань від точки M до сторони BC, причому точка C лежить на відрізку DB. Доведіть, що трикутник ABC тупокутний,
402.
403.
Рівень Б
404.
ни завдовжки 15 см. Знайдіть відстань від вершини цього перпендикуляра до меншої сторони трикутника.
405. У трикутнику ABC AB BC = , ∠= ° B 120 . Відрізок MA завдовжки 8 см — перпендикуляр до площини трикутника. Знайдіть площу трикутника, якщо відстань від точки M до сторони BC становить 10 см.
406. У трикутнику ABC ∠= ° B 90 , BC = 15 см, AC = 25 см. Через середину катета AB проведено перпендикуляр до площини трикутника завдовжки 8 см. Знайдіть відстані
409.
410. Катети прямокутного
411.
Рівень В
413 (опорна). Якщо точка поза площиною
рівновіддалена від його сторін, то основа перпендикуляра, проведеного
до площини кута, належить його бісектрисі. Доведіть.
414. З точки до площини трикутника зі сторонами 15 см, 21 см і 24 см проведено перпендикуляр, основа якого належить більшій стороні трикутника. Знайдіть довжину цього перпендикуляра, якщо дана точка віддалена від кожної з двох інших сторін трикутника на 10 см.
415. Точка простору віддалена на 15 см від катетів прямокутного трикутника, довжини яких становлять 21 см і 28 см. Знайдіть довжину перпендикуляра, проведеного з даної точки до площини трикутника, якщо основа цього перпендикуляра належить гіпотенузі.
416. Основи рівнобічної трапеції
трапеції на 10 см.
Повторення перед вивченням § 11
Теоретичний матеріал
• розв’язування прямокутних трикутників;
• кути між прямими
8 клас, § 21 10 клас, § 8 10 клас, § 3
418. У трикутнику ABC ∠= ° B 90 , ∠= A α , AC c = . Знайдіть висоту трикутника,
і a утворюють з прямою AC кути ϕ і ϕ1 відповідно. Із прямокутних трикутників ACB і ACD
знаходимо: sin ϕ= AB AC , sin ϕ1 = AD AC . Оскільки
AB AD < , то sinsin ϕϕ < 1 . Для гострих кутів ϕ і ϕ1 з цього випливає, що ϕϕ < 1 . А це й треба було показати.
Для вимірювання кутів між прямою і площиною на місцевості використовують екліметр (рис. 170). Він являє собою металеву коробку із закріпленою на ній трубкою для візування. Усередині коробки навколо осі під дією сили тяжіння рухається диск із поділками, які показують
значення шуканого кута.
Для обґрунтування кута між прямою (похилою) і площиною необхідно вказати:
1) перпендикуляр, проведений із точки даної прямої (похилої) до даної площини; 2) проекцію даної прямої (похилої) на дану площину.
Задача
Під кутом ϕ до площини α проведено похилу.
Знайдіть градусну міру кута ϕ , якщо проекція
11.2.
рис.
§ 11. Кути між прямими і площинами
Справді, нехай AO B 11 1 і AO B 22 2 — лінійні
кути двогранного кута (рис. 175). Паралельне перенесення, яке переводить точку O1 в точку O2 ,
переводить кут AO B 11 1 у кут AO B 22 2 . Оскільки
під час паралельного перенесення величини кутів
зберігаються, то ∠= ∠ AO BA OB 111222 . Це дозволяє
дати таке означення.
Означення
Градусною
За доведеним градусна міра двогранного кута не залежить від вибору лінійного
0° до 180
(випадки, коли грані двогранного кута збігаються або належать одній площині, зазвичай не розглядаються). Як і серед кутів
на площині, серед двогранних кутів розрізняють гострі (менші від 90°), прямі (ті, що дорівнюють 90°) і тупі (більші
Отже, для обґрунтування градусної міри двогранного кута необхідно побудувати
лінійний кут, тобто вказати на гранях даного двогранного кута два промені зі спільним початком, перпендикулярні
§ 11. Кути між прямими і площинами
Ураховуючи означення лінійного кута дво-
гранного кута, можна стверджувати, що кут між
площинами, які перетинаються, дорівнює куту між
прямими, по яких третя площина, перпендикулярна
до лінії перетину даних площин, перетинає ці площини. Інакше кажучи, кут між площинами α і β дорівнює куту між прямими a і b, які лежать у даних площинах і перпендикулярні до прямої їх перетину (рис. 177).
Звідси, зокрема, випливає, що кут між площинами не перевищує 90° .
420 • . Точка A не належить площині α . Скільки прямих, нахилених
площини α під кутом 60°, можна провести через точку A?
421• . Кут між прямою і площиною дорівнює 50°.
422• . Кут між прямою і площиною дорівнює
зарядки ви виконували на уроці фізичної культури.
Зробіть нахили у такий спосіб, щоб зігнута частина тулуба утворила з площиною підлоги кут, якомога ближчий до прямого. Влаштуйте мінізмагання з нахилів.
424• . Дано куб ABCDAB CD11 11 (рис. 178). Назвіть кут між: а) прямою DB 1 і площиною
Розділ ІІІ. Перпендикулярність прямих і площин у просторі
К 426. Якщо ви багато часу проводите за комп’ютером, важливо правильно налаштувати своє робоче місце. При цьому слід звернути увагу як на поставу, так і на кут нахилу монітора до лінії погляду. Розгляньте схему правильного положення учня (учениці) за комп’ютером (рис. 179). Кути між якими просторови-
ми об’єктами в ній ураховуються? Як саме? Правильно налаштуйте своє робоче місце за комп’ютером.
427. Визначте градусну міру кута між ребром двогранного кута і прямою, яка лежить у площині лінійного
двогранного кута.
428• . Дано куб ABCDAB CD11 11 (див. рис. 178). Назвіть ребро та лінійний
двогранного кута з гранями:
а) ABC і BBC 1 ; б) ABD 1 і ABD; в) BAC 1 і ACD.
429. Один із двогранних кутів, утворених у результаті
площин, дорівнює 150°. Знайдіть
430. За даними рис. 180 знайдіть кут між площинами: а) AOC і AOB; б) AOC і BOC; в) AOB і BOC.
A a Розв’язуємо задачі
Рівень А
433• . За рис. 171 знайдіть: а) довжину похилої AC, якщо вона утворює з площиною α кут 30°, а її проекція BC дорівнює 33 см; б) довжину перпендикуляра AB, якщо кут між похилою AC і площиною α дорівнює ϕ , AC l = .
434 • . Знайдіть довжину ескалатора в торгівельному центрі, якщо відстань між поверхами дорівнює 10 м, а кут нахилу ескалатора до підлоги становить 35° .
435. Необхідно зробити наскрізний отвір у бетонній стіні завтовшки 10 см. Чи можна це зробити, якщо довжина свердла становить 25 см і воно входить у стіну під кутом 30° до площини стіни?
436. Дано куб ABCDAB CD11 11. Знайдіть кут нахилу: а) прямої CB 1 до площини ABC; б) прямої AD до площини AA C 11. 437. З точки A до площини проведено перпендикуляр AB і похилі AC та AD. Знайдіть:
а) кут нахилу прямої AD до даної площини, якщо AC = 62 см, AD = 12 см, а пряма AC утворює з даною площиною кут 45°; б) довжину похилої AC, якщо AD = 63 см, а похилі AC і AD утворюють із даною площиною кути 45° і 60° відповідно.
438. Для кожного з випадків, поданих на рис. 181, а–в, побудуйте лінійний кут двогранного кута з гранями ABC і ABD та обґрунтуйте правильність побудови.
СD ⊥ (ABD)
181
— квадрат, ABDF — прямокутник
Розділ ІІІ. Перпендикулярність прямих і площин у просторі
439. Для кожного з випадків, поданих на рис. 182, а, б, побудуйте лінійний кут двогранного кута з гранями ABC і ABD та обґрунтуйте правильність побудови.
440. На одній із граней двогранного кута позначено точку. Знайдіть відстань від даної точки: а) до ребра кута, якщо ця точка віддалена від другої грані на 82 см, а градусна міра двогранного кута дорівнює 45°;
б) до другої грані кута, якщо ця точка віддалена від ребра кута на 12 см, а градусна міра двогранного кута дорівнює 30° .
441. Знайдіть величину гострого двогранного кута, якщо пряма, яка паралельна ребру і належить одній із граней кута, віддалена від ребра і від другої
12 см і 63 см відповідно.
442. На одній із граней
іншої
кута, якщо перша точка віддалена від нього на 10 см.
443. Кожна з половин прочиненого вікна утворює зі стіною двогранний кут 120 ° . Який
§ 11. Кути між прямими і площинами
446. Відрізок MB — перпендикуляр до площини правильного трикутника ABC, MB AB = , точка D — середина сторони AC (рис. 183). Заповніть таблицю кутів між прямими і площинами.
Пряма Площина Кут, що вимірюється
MA ABC
MD ABC
AC MBD
AB MBD
BC MBA
AM MBD
447. Відрізок MB — перпендикуляр
Величина кута
квадрата ABCD, діагоналі якого перетинаються в точці O, MB AB = (рис. 184). Заповніть таблицю кутів між прямими і площинами.
Пряма Площина
MC ABC
MD ABC
MO ABC
AD MBD
CD MBC
AM MBD
що вимірюється
Величина кута
448. За рис.
452. Гіпотенуза прямокутного трикутника
30° і 45° відповідно.
у площині α . Знайдіть кути нахилу катетів до даної площини, якщо вершина прямого кута
150 см2.
453. Промені OA, OB і OC
сектриса кута BOC.
454. Площина γ перетинає
якщо
даними прямими становить 13 см. 456. За рис. 181, б знайдіть
площинами ABC і
= 43 см, AB = 42 см. 457. За рис. 182, а знайдіть відстань від точки D до прямої CF, якщо AD = 5 см, AB = 8 см, а
нює 60° .
Рівень В
458. З точки до площини проведено дві рівні похилі,
якими дорівнює 60°. Визначте кути, які утворюють ці похилі з даною площиною, якщо кут між
461. Точки A і B, які лежать у різних гранях двогранного кута, віддалені від його ребра на 5 см і 8 см відповідно. Знайдіть величину даного кута, якщо відстань між даними точками становить 25 см, а між їхніми проекціями на ребро кута — 24 см.
462. З точок A і B, які лежать у різних гранях двогранного кута, проведено перпендикуляри AC і BD до його ребра. Знайдіть довжину відрізка AB, якщо CD AC BD == = 5 см, а градусна міра двогранного кута становить 120° .
463. Два рівнобедрені трикутники, площини яких утворюють кут 30° , мають спільну основу. Знайдіть її довжину, якщо бічна сторона першого трикутника дорівнює 221 см, а основою перпендикуляра, проведеного з вершини першого трикутника до площини другого, є
464 (опорна). Пряма, перпендикулярна до ребра двогранного кута,
467.
10 клас, § 8 10 клас, § 9
Рис.
Перпендикулярні
площини
Доведення
Нехай пряма a площини α перпендикулярна до площини β (рис. 187). Тоді дана пряма
перетинає площину β в деякій точці C, яка належить прямій c перетину даних площин.
Проведемо в площині β пряму b, яка перпендикулярна до прямої c і проходить через точку C. Оскільки a ⊥β , b ⊂β , то кут між прямими a і b дорівнює 90°. Але за побудовою кут між прямими a і b є лінійним кутом двогранного кута, утвореного при перетині площин α і β . Отже, площини α і β перпендикулярні, що й треба було довести. Чому площина дверей, навішених на петлі (рис. 188), завжди залишається перпендикулярною до площини підлоги? Відповідь випливає зі щойно доведеної теореми: тому що пряма, на якій закріплено петлі, перпендикулярна до площини підлоги. Отже, маємо наочний приклад застосування ознаки перпендикулярності
дови площини, перпендикулярної до даної: через довільну
Рис. 187.
Рис. 188.
Рис. 189
Рис. 190. До
доведення теореми про перпендикуляр до лінії перетину перпендикулярних площин
точку C пряму b, перпендикулярну до c. Тоді кут між прямими a і
Отже, за ознакою перпендикулярності прямої і площини
Доведення
Через довільну точку C прямої c проведемо в площині α пряму CA, перпендикулярну до лінії
перетину площин α і γ , а в площині β — пряму CB, перпендикулярну до лінії перетину площин β і γ (рис. 191). Оскільки за умовою кожна з площин α і β перпендикулярна до γ , то за
попередньою теоремою CA ⊥γ , CB ⊥γ . Оскільки через точку C проходить єдина пряма, перпендикулярна до γ , то прямі CA, CB і пряма c перетину даних площин збігаються, отже, c ⊥γ .
Доведені теореми описують способи побудо-
ви прямих, перпендикулярних до площини.
Задача
Відрізок AB завдовжки 25 см упирається кінцями
в перпендикулярні площини α і β (рис. 192). Точ-
ка A віддалена від площини β на 15 см, а точка B від площини α — на 7 см. Знайдіть проекції
на кожну з даних площин.
Розділ ІІІ. Перпендикулярність прямих і площин у просторі
Запитання і задачі
468• . Дано куб ABCDAB CD11 11 (рис. 193). Визначте, чи перпендикулярні площини:
а) ABC і CDD1;
б) AAC 1 і BBD 1 ; в) ABC1 і AB C11 .
469 • . Пряма a перпендикулярна до площини α . Чи можна через дану пряму провести площину, яка перетинає площину α під кутом 60°? Відповідь обґрунтуйте.
470 • . Площини α і β перпендикулярні. Чи правильно, що: а) будь-яка пряма площини α перпендикулярна до площини β ; б) у площині α існують прямі, перпендикулярні до площини β ? 471• . Чи правильно, що: а) через дану точку площини можна провести єдину площину,
A a Розв’язуємо задачі
Рівень А
477• . Пряма MA перпендикулярна до площини трикутника ABC. Доведіть перпендикулярність площин AMB і ABC.
478• . Пряма MD перпендикулярна до площини прямокутника ABCD. Доведіть перпендикулярність площин: а) MDA і ABC; б) MDA і MDC.
479. Площини α і β перпендикулярні. Пряма b не лежить у площині β і перпендикулярна до площини α . Доведіть, що b β .
480. На рис. 194 AB ⊥α , AC CD ⊥ . Доведіть перпендикулярність пло-
щин ABC і ACD.
481 (опорна). Площина, перпендикулярна до однієї з двох паралельних площин, перпендикулярна і до другої площини. Доведіть. К
482. Наведіть приклади використання результату задачі 481 із власного досвіду.
483. Кінці відрізка завдовжки 6 см належать двом перпендикулярним площинам і віддалені від
прямої перетину цих площин на 3 см і 32 см відповідно (див. рис. 192). Знайдіть кути, які утворює відрізок із даними площинами.
484. З точок A і B, які лежать у двох перпендикулярних площинах, проведено перпендикуляри AC і BD до прямої перетину даних площин (рис. 192). Знайдіть довжину: а) відрізка AB, якщо AC = 9 см, CD = 12 см, BD = 8 см; б) відрізка CD, якщо AB = 41 см, AC = 24 см, BD = 9 см; в) відрізків AC і BD, якщо AB = 25 см, AD = 20 см, BC = 369 см. 485. Кінці відрізка завдовжки 12 см належать двом перпендикулярним площинам. Знайдіть відстані від кінців відрізка до кожної з площин, якщо даний
Розділ ІІІ. Перпендикулярність прямих і площин у просторі
487. Площини трикутників ABC і ADC перпендикулярні, AC = 12 см. Знайдіть довжину відрізка BD, якщо: а) AB BC == 10 см, AD DC = , ∠= ° ADC 90 ; б) трикутники ABC і ADC рівносторонні.
488. Площини квадратів ABCD і AB CD11 зі стороною 10 см перпендикулярні. Знайдіть відстань: а) від точки B до прямої BC11; б) від точки C1 до прямої AB. Рівень Б
489. Доведіть, що всі прямі, які перпендикулярні до площини α і перетинають дану пряму a, лежать в одній площині. Як розміщена ця площина відносно площини α ?
490. За даними рис. 196 доведіть перпендикулярність площин BDM і ADC.
491. Точка P рівновіддалена від усіх вершин прямокутника ABCD. Доведіть перпендикулярність площин APC і ABC.
492. Точка P рівновіддалена від усіх сторін ромба ABCD. Доведіть перпендикулярність площин APC і BPD.
493. Зобразіть переріз куба ABCDAB CD11 11 площиною, яка проходить: а) через ребро AA1 і перпендикулярна до площини BDD1 ; б) через ребро CD11 і перпендикулярна до площини ADC 1 . К
494. Розв’яжіть задачу 493, використовуючи програми Geogebra, DG чи інший графічний редактор. Які теоретичні факти
495. Відрізок AB лежить в одній із двох взаємно
площин і не перетинає другу. Точки A і B віддалені від прямої l перетину даних площин на
Рівень В
499 (опорна). Якщо пряма, проведена через точку
з
взаємно перпендикулярних площин, перпендикулярна до другої площини, то вона лежить у першій площині. Доведіть.
500. Знайдіть геометричне місце точок, рівновіддалених від двох прямих, що перетинаються.
501. Знайдіть геометричне місце прямих, які проходять через вершину даного кута й утворюють рівні кути з його сторонами.
502. Відрізок лежить в одній із двох перпендикулярних площин і не перетинає другу. Кінці відрізка віддалені від прямої
площин на 5 см і 27 см. Перший із них
у другій площині й паралельна прямій перетину даних площин. Знайдіть відстань
до прямої l.
503. Прямокутник ABCD зі сторонами 15 см і 20 см перегнули по
діагоналі AC так, що площини ABC і ADC стали перпендикулярними. Знайдіть відстань між вершинами B і D.
504. Точка P рівновіддалена від сторін правильного трикутника ABC
з периметром 63 см. З даної точки
перпендикуляр PO
завдовжки 22 см до площини трикутника. Обґрунтуйте й обчисліть відстань від точки O до площини APB.
505. Рівнобедрені трикутники ABC і DBC мають спільну основу завдовжки 30 см, AD DBC ⊥ () , AD DC == 25 см. Обґрунтуйте й обчисліть відстань від точки D до площини ABC.
Повторення перед
10 клас, § 3, 7
10 клас, § 6
506.
Ортогональне
Ортогональний — від грецького «ортогон» (прямий кут) — прямо кутний
усіх її точок на дану площину. Ортогональне проекціювання
Рис. 197. Ортогональне проекціювання
Рис. 198. Ортогональне проекціювання в кресленні
Доведення
Спочатку розглянемо випадок проекцію-
вання трикутника на площину α , яка містить одну
з його сторін. Нехай BB1 ⊥α , трикутник AB C1 —
ортогональна проекція трикутника ABC на площину α (рис. 199, а). Проведемо BH AC ⊥ . Оскільки BH 1 — проекція похилої BH на площину α , то
за теоремою про три перпендикуляри BH AC 1 ⊥ ;
отже, ∠ BHB1 — кут між площинами трикутника
і його проекції. За умовою ∠= BHB1 ϕ .
Із трикутника BB H 1 ∠= ° ( ) B190 BH BH 1 = BH BH 1 = cos ϕ .
Отже, SB HACBHAC AB C1 1 2 1 12 =⋅ =⋅ ⋅= cos ϕ
=⋅ SABC cos ϕ , тобто для даного випадку теорему доведено.
Теорема справджується і тоді, коли площина проекції паралельна площині α . Дійсно, у цьому випадку coscos ϕ= = 01, SS AB CABC1 = , а проекції фігури на дві паралельні площини суміщаються паралельним перенесенням, тобто є рівними.
У загальному випадку даний трикутник (і взагалі будь-який многокутник) можна розбити на скінченну кількість трикутників, кожний із яких має сторону, паралельну площині про-
екції, — для чотирикутника ABCD це показано на рис. 199, б (опишіть самостійно спосіб такого
поділу для довільного многокутника).
Якщо площі отриманих трикутників дорів-
нюють S1 , S2 , …, Sk , то їхні проекції мають площі S1 ⋅ cos ϕ , S2 ⋅ cos ϕ , …, Sk ⋅ cos ϕ відповідно. Таким чином, SS SSk пр =⋅ +⋅ ++ ⋅= 12 coscos...cos ϕϕ ϕ =+ ++ () ⋅= SS SS k 12...coscos ϕϕ .
Рис. 199. До доведення формули площі ортогональної проекції многокутника
SABCD =⋅ = 63 3183 (см2); у випадку, коли AD = 6 см, SAB CD11 36 = см2. Оскільки 36 18 3 > ,
Покажемо, що дві мимобіжні прямі мають спільний перпендикуляр, і тільки один.
Проведемо через дані мимобіжні прямі a і b
паралельні площини α і β відповідно (рис. 201).
Площина γ , що містить прямі, які перпендикулярні до площини α і перетинають пряму a, пер-
пендикулярна до площин α і β і перетинає пло-
щину β по прямій a1 — ортогональній проекції
прямої a на площину β . З точки B перетину пря-
мих a1 і b проведемо в площині γ перпендику-
ляр AB до прямої a. Тоді AB ⊥α , отже, унаслідок
паралельності площин α і β AB ⊥β, звідки AB b ⊥ . Таким чином, відрізок AB — спільний перпен-
дикуляр до площин α і β — є також спільним
перпендикуляром до прямих a і b. Доведемо єдиність такого перпендикуляра.
Припустимо, що AB11 — інший спільний пер-
пендикуляр прямих a і b. Проведемо через точ-
ку A1 у площині α пряму b1 , паралельну b. Тоді
AB11 ⊥α за ознакою перпендикулярності прямої і площини. Прямі AB і AB11 перпендикулярні
до площини α , отже, AB AB11 . Площина цих
паралельних прямих міститиме дані прямі a і b, що суперечить означенню мимобіжних прямих. Отже, наше припущення хибне, тобто відрізок AB — єдиний спільний
1)
2)
3)
проекцією прямої a є точка A перетину цієї прямої з площиною
,
прямої b — деяка пряма b1 площини β , а шукана відстань дорівнює відстані від точки A до прямої b1 (обґрунтуйте це самостійно). Задача
екції прямих AD1 і CD 1 на площину ABC . Проекцією
прямої AD1 на площину ABC є точка A, а проекцією
прямої CD 1 — пряма BD. Отже, шукана відстань дорівнює відстані від точки A до прямої BD, тобто висоті AH
прямокутного трикутника ABD ∠= ° () A 90 .
теоремою Піфагора BD = 25 см, то AH AB AD BD = ⋅ , AH == ⋅ 15 20 25 12 (см).
Відповідь: 12 см.
13.3. Відстань від точки
Розглянемо загальний підхід до визначення
відстаней між фігурами в просторі. Вивчаючи відстані між точками, прямими й площинами, ми щоразу зазначали, що відрізок, який зображає
означувану відстань, є найкоротшим шляхом від точки до фігури (або між точками
відстані
ротшим шляхом.
Узагальнимо цю ідею на рівні означень.
Означення
Точка
X фігури F справджується
205. Визначення
206. Визначення
точки C (рис. 205, б ). Аналогічно,
точки цього
(рис. 206, а, б ) або півплощини (рис. 207, а, б ) Нагадаємо, що зазвичай ми будемо розглядати такі
Поняття найближчої точки дає можливість цікавого узагальнення теореми про три перпендикуляри. Якщо в цій теоремі замість прямої розглядати довільну фігуру F даної площини α , AO ⊥α (рис. 208), то, оскільки менша похила має
меншу проекцію, з умови OB OX маємо AB AX . Ці міркування є основою доведення такого твер-
дження.
Теорема (про найближчу точку) Якщо фігура F
, точка A не лежить у площині α , AO — перпендикуляр до площини α , то точка фігури F
Аналогічно введемо загальне поняття відстані між фігурами. Уявімо, що необхідно прийняти рішення про будівництво мосту через річку (рис. 209). Очевидно, що з точки зору зменшення вартості проекту і терміну проведення робіт міст варто
Рис. 209.
Рис. 210.
508• .
ґрунтуйте.
509 • . Довжина ортогональної проекції відрізка AB на площину α дорівнює довжині
514
ортогональна
517.
518.
Рівень
Б
519. Трикутник AB C11 1 — ортогональна проекція трикутника ABC
на площину α , а трикутник AB C 22 2 — ортогональна проекція трикут-
ника AB C11 1 на площину ABC. Знайдіть кут між площинами ABC і α , якщо:
а) площа трикутника AB C 22 2 становить 0,75 площі трикутника ABC; б) площа трикутника ABC вдвічі
ника AB C 22 2 .
520. Кут між площиною многокутника і
проекції
522.
523.
12 см, 39 см
524. Ортогональною
525.
Рівень В
528. Ортогональною проекцією рівнобічної трапеції з висотою 12 см та основами 4 см і 9 см на площину, паралельну основам трапеції, є чотирикутник, у який можна вписати коло. Знайдіть кут між площинами трапеції та її проекції.
529. Ортогональною проекцією правильного трикутника на площину, що містить одну з його вершин, є рівнобедрений прямокутний трикутник. Знайдіть кут між площинами трикутників.
530. Точки A і B належать двом перпендикулярним площинам і віддалені від прямої їхнього перетину c на 30 см і 40 см відповідно. Знайдіть відстань між прямими AB і c.
531. Відрізки AB = 13 см і CD = 15 см лежать у двох паралельних площинах, причому AC — спільний перпендикуляр до мимо-
біжних прямих AB і CD (рис. 213). Знайдіть відстань між прямими AC і BD, якщо AC = 48 см, BD = 50 см.
532. Площини рівних прямокутників ABCD і ABCD11 взаємно перпендикулярні. Знайдіть відстань між прямими AB і CD1 , якщо BC a = .
533. Пряма l паралельна площині α . Знайдіть геометричне місце точок М площини α , таких, що будь-яка пряма, що проходить через М і перетинає l, утворює з площиною α та прямою l рівні кути.
Повторення перед вивченням § 14 Теоретичний матеріал
•
1.
AAD 1 Б ACA1 В ACB 1 Г CAD
2. За даними рис. 215 знайдіть довжину відрізка
4. На рис. 217 ABCD — ромб, MC ABC ⊥ ().
Назвіть відрізок, який зображує відстань
від точки M до прямої BD. А MB
MO
MD
MC
5. Рівнобедрені трикутники ABC і DBC
мають спільну основу BC (рис. 218). На-
звіть лінійний кут двогранного кута з ребром BC.
А ABD В ADM
AMD
ACD
6. Квадрат ABCD і рівносторонній трикут-
ник ABE не належать одній площині. Точка перетину
к ути між ПрЯмими В Просторі
Кутом між прямими, що перетинаються, називається найменший із кутів, що утворилися в результаті перетину даних прямих
Кут між паралельними прямими дорівнює нулю
Теорема про кути між відповідно паралельними прямими Кут між прямими, що перетинаються, дорівнює куту між прямими, які перетинаються і відповідно паралельні даним
Кутом між мимобіжними прямими називається кут між прямими, що перетинаються, паралельними даним мимобіжним прямим
Ознака перпендикулярності прямих
Якщо дві прямі, що перетинаються, відповідно паралельні двом
перпендикулярним прямим, то вони також перпендикулярні
ПерПенДикулЯрність ПрЯмої і Площини
Означення Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до будьякої прямої, що лежить у даній площині
Ознака перпендикулярності прямої і площини Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині й перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини
розділу
Властивості
Теорема про паралельні прямі,
перпендикулярні до площини
Якщо одна з двох паралельних
прямих перпендикулярна до
площини, то друга пряма також перпендикулярна до даної
площини
Теорема про прямі, перпендикулярні до однієї площини
Дві прямі, перпендикулярні до однієї
площини, є пара лельними
ПерПендикуляр, Похила, Проекція
Властивості
перпендикуляра і похилих, проведених з однієї точки
Будь-яка похила більша
за перпендикуляр і більша
AB — перпендикуляр;
AС — похила;
BС — п роекція АС на a
за свою проекцію на дану
площину
Рівні похилі мають рівні
проекції, і на-
впаки: якщо
проекції двох
похилих рівні, то рівні й самі
похилі
Більша похила має більшу
проекцію, і навпаки: з двох похилих більша та, яка має більшу проекцію
Відстанню від точки до площини, яка не містить цю точку, називається довжина перпендикуляра, проведеного з даної точки до даної площини
Відстанню від прямої до паралельної їй площини
називається відстань від будь-якої точки даної прямої
до даної площини
Відстанню між двома паралельними площинами називається відстань від будь-якої точки однієї площи-
ни до другої площини (довжина їхнього спільного перпендикуляра)
Відстанню між мимобіжними прямими називається
довжина їхнього спільного перпендикуляра (відрізка
з кінцями на даних прямих, перпендикулярного до
кожної з них)
Якщо основа перпендикуляра MC,
проведеного з точки M до пря-
мої AB, є точкою відрізка AB, то
відстань від точки M до відріз-
ка AB дорівнює MC. Якщо ж точ-
ка C розміщена на прямій AB поза
відрізком AB, відстанню від точ-
ки M до відрізка AB є відстань від
точки M до кінця даного відрізка, найближчого до точки
Точка, рівновіддалена
від вершин многокутника
Якщо точка поза площиною многокутника рівновіддалена від усіх
його вершин, то основою перпендикуляра, проведеного з даної точки до площини многокутника, є центр
кола, описаного навколо многокутника
Точка, рівновіддалена
розділу
від сторін многокутника
Якщо точка поза площиною многокутника рівновіддалена від усіх його сторін, то основою перпендикуляра, проведеного з даної точки до площини многокутника, є центр кола,
Означення Ознака Властивості
Дві площини називаються перпендикулярними (взаємно перпендикулярними), якщо кут між ними дорівнює 90°
Ознака перпендикулярності площин Якщо одна з двох площин проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні
Теорема про перпендикуляр до лінії перетину перпендикулярних площин Якщо пряма в одній із двох перпендикулярних площин перпендикулярна до лінії їхнього перетину,
Контрольні запитання до розділу ІІІ
1. Дайте означення кута між прямими в просторі
взаємного розміщення прямих.
2. Дайте означення прямої, перпендикулярної до площини. Сформулюйте ознаку перпендикулярності прямої і площини.
3. Сформулюйте властивості прямих, перпендикулярних до площини.
4. Дайте означення відстаней від точки до прямої, від прямої до паралельної площини, між паралельними площинами.
5. Сформулюйте теорему при три перпендикуляри.
6. Дайте означення кута між прямою і площиною.
7. Дайте означення двогранного кута і його градусної міри. Зобразіть на рисунку двогранний кут і лінійний кут двогранного кута.
8. Дайте означення кута між площинами.
9. Дайте означення перпендикулярних площин.
10. Сформулюйте властивості перпендикулярних площин.
11. Опишіть
536. Відрізок DA — перпендикуляр до площини трикутника ABC, у якому ∠= ° B 90 . а) Назвіть площини,
537.
Розділ ІІІ. Перпендикулярність прямих і площин у просторі
539. Рівнобедрений прямокутний трикутник ABC ∠= ° () C 90 перегнули по висоті CH так, що площини трикутників ABH і CBH стали перпендикулярними. Знайдіть кут ACB.
540. Дано куб ABCDAB CD11 11. Доведіть перпендикулярність прямої AC1 і площини ABD 1 .
541. Маленька дівчинка бажає взяти книжку з верхньої полиці. Для цього вона поставила драбину під кутом 60° до підлоги. Довжина драбини становить 1,5 м, висота дівчинки з піднятими руками дорівнює
1 м 30 см. Біля стіни одна на одній стоять
8 полиць заввишки 35 см кожна. Чи вдасться дівчинці зробити задумане?
542. Похила утворює з площиною α кут
45°. У площині α через основу похилої проведено пряму a під кутом 45° до проекції похилої. Знайдіть кут
і прямою a.
543. Два відрізки впираються кінцями у дві паралельні площини. Довжини відрізків відносяться як 13 : , а градусні міри кутів, які вони утворюють з даними площинами, — як 21 : . Знайдіть ці кути. К
544. З’ясуйте, які властивості й ознаки перпендикулярних площин використовуються в будівництві, меблевому виробництві, дизайні. Зробіть презентацію за цією темою. 545. На риболовецькому судні отримали радіограму з пошукового літака про те, що літак перебуває над косяком риби на висоті h (рис. 219). З корабля визначають кут піднесення a літака. Обчисліть, на якій
547 (опорна). Кут між площинами дорівнює куту між перпендикулярами до цих
площин. Доведіть.
548. У правильному тетраедрі PABC знайдіть двогранний кут із ребром AB.
549. Туристи розвели багаття і поставили триногу, щоб підвісити казанок. Висота ка-
занка з ручкою 25 см, висота вогню в багатті 20 см, ніжки триноги завдовжки 80 см, їхні основи розташовані у вершинах рівностороннього трикутника зі стороною 60 см. Якою має бути довжина ланцюжка, щоб казанок висів точно над вогнем? К 550. У процесі досліджень виявилося, що рідкокристалічні телевізори з плоским екраном завдають значно меншу шкоду здоров’ю, ніж електронно-променеві. Але для зменшення навантаження на очі важливо правильно підібрати розміри телевізора залежно від відстані між екраном і глядачем. Скориставшись мережею Інтернет, знайдіть відповідність між розмірами екрана телевізора та рекомендованою відстанню до нього. Перевірте, чи відповідає розташування телевізора у вас вдома цим рекомендаціям. Зробіть висновки. За необхідності обговоріть їх із батьками.
К
551. З’ясуйте, яким має бути кут нахилу тулуба людини, що пересувається на лижах, до
землі та кут нахилу її палиць для правильного та здорового способу катання на лижах. За
можливості влаштуйте лижний похід. Перевірте, чи всі зрозуміли, які саме кути треба контролювати під час пересування на лижах. К 552. Для людей з порушенням опорно-рухового апарату на входах до будинків часто влаштовують пандуси. При цьому замість
Задачі підвищеної складності
553. Три площини попарно перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли прямі їхнього перетину також попарно перпендикулярні. Доведіть.
554. У кубі ABCDAB CD11 11 з ребром а точки P, Q і R — середини відрізків BC11, BC і CD відповідно. Знайдіть відстань між площинами BB D 11 і PQR. 555. Точка М рівновіддалена від усіх сторін правильного шестикутника ABCDEF зі стороною а. За умови, що відстань від точки М до площини АВС дорівнює а, знайдіть: а) кут між прямою АМ і площиною АВС; б) кут між площинами АВС і AMF; в) кут між
557.
558.
мобіжними прямими AD 1 і DC 1 .
559. Дано рівнобічну трапецію,
ви — 4 см та 9 см. Ортогональною
коло. Визначте кут між площиною трапеції та площиною її проекції.
560. Ортогональною проекцією квадрата
561.
562.
історичнА ДоВіДкА
Питання про перпендикулярність прямих
і площин було частково висвітлене Евклідом у ХІ книзі «Начал». Однак наведене ним доведення ознаки перпендикулярності прямої і площи-
ни було значно складнішим, ніж запропоновані в ХІХ ст. доведення французьких математиків Оґюстена-Луї Коші (1789–1857) та Адрієна-Марі Лежандра (1752–1833). Доведення Коші увійшло в більшість сучасних підручників геометрії. Теорему про три перпендикуляри було відкрито вченими Сходу: її
Цікаві напрацювання щодо викладання основ стереометрії належать українським ученим та методистам. Зокрема, професор Київського університету Михайло Єгорович Ващенко-Захарченко (1825–1912) створив один із перших перекладів «Начал»
ром одного з перших вітчизняних підручників з елементарної геометрії, багатьох робіт з історії математики, одним із фундаторів Київського математичного товариства, завдяки якому зародилася славетна Київська школа викладання математики. Саме пропозиції українських математиків М. Є. Ващенка-Захарченка, А. П. Кисельова, В. Ф. Кагана, викладені на початку ХХ ст., докорінно змінили підходи до викладання математики в Російській імперії.
Київ. Вид на університет (фотографія 1890–1900-х рр., опублікована в 1905 р.).
М. Є. Ващенко-Захарченко
Розділ ІV
Розділ ІV
КООРДИНАТИ,
КООРДИНАТИ,
Математика може відкрити певну послідовність навіть у хаосі. Гертруда Стайн, американська письменниця
З координатами, векторами й геометричними перетвореннями
ви знайомі з курсу планіметрії. На прикладах із фізики та інформатики ви мали змогу переконатися, що ці геометричні поняття відіграють важливу роль математичного підґрунтя для досліджень в інших науках. Просторова геометрія відкриває нові можливості застосування вже відомих вам методів — векторного, координатного,
в повітрі не лише вперед-назад і праворуч-ліворуч, але й уверх-униз. Отже, розглянемо три взаємно перпендику-
§ 14. Декартові координати в просторі
ляри AA x, AA y і AA z до осей Ox, Oy і Oz відповідно (рис. 223). Тоді координати x, y, z точок A x, A y і A z
на осях Ox, Oy і Oz відповідно є координатами точки A в даній системі координат. Коротко це
записують так: Ax yz;; () , де x — абсциса, y — ордината, z — апліката точки A.
Визначення координат точки A можна проводити й інакше. Наприклад, для отримання
координати A x проведемо перпендикуляр AA 0
до площини Oxy, а потім із точки A0 проведемо перпендикуляр A0 A x до осі Ox (рис. 223). Тоді внаслідок теореми про три перпендикуляри AA Ox x ⊥ , тобто отримана таким чином координата A x збігається з визначеною раніше і є абсцисою точки A (аналогічні міркування для ординати й аплікати проведіть самостійно). Значення координат точки A можна також отримати, провівши через дану точку три площини, паралельні координатним площинам Oyz, Oxz і Oxy (рис. 223). У цьому випадку точки A x, A y і A z є точками перетину проведених площин із координатними осями (поясніть чому).
Отже, у прямокутній декартовій системі координат кожній точці простору ставиться у відповідність єдина впорядкована трійка чисел xy z ;; (), і навпаки: будь-якій трійці чисел xy z ;; () відповідає єдина точка простору.
Очевидно, що коли точка належить одній із координатних площин, певна її координата
дорівнює нулю. Так, на рис. 224 точка M належить площині Oxy і має координати 210 ;; () , а точка N площини Oyz — координати 023 ;; ().
Рис. 223. Визначення координат точки в просторі K y O z N 1 2 1 2 –3 M x 2 –1
Рис. 224. Точки, що мають одну або декілька нульових координат
Відповідно точки, що належать координатним осям, мають дві нульові координати: наприклад, координати точки K осі Oz такі: 002 ;; () . Очевидно також, що всі три координати початку координат нульові: O 000 ;; () . Умови, за яких та чи інша координата точки дорівнює нулю, дослідіть самостійно. y x O z A A x A y A z A0
формулами: x xx = + 12 2 , y yy = + 12 2 , z zz = + 12 2 ,
де Ax yz11 1 ;; () і Bx yz22 2 ;; () — кінці відрізка, Cx yz;; () — сере
Доведення
Проведемо з точок A, B і C перпендикуляри на площину Oxy. Основами цих перпендикулярів є точки Ax y 0110 ;; (), Bx y 0220 ;; () і Cx y 00 ;; ()
відповідно. Розглянемо випадок, коли точки A0, B0 і C0 не збігаються (рис. 226). Оскільки проведені до однієї площини перпендикуляри паралельні й лежать в одній площині, а точка C — середина відрізка AB, то за теоремою Фалеса точка C0 — середина відрізка A0B0. За формулами координат
середини відрізка на площині маємо: x xx = + 12 2 , y yy = + 12 2 . У випадку, коли точки A0 і B0, а отже,
і C0 збігаються, ці формули
(перевірте це самостійно).
Рис. 226. До доведення формул координат середини відрізка
Розділ ІV. Координати, вектори та геометричні перетворення в просторі
Теорема (формула відстані
Відстань між точками Ax yz11 1 ;; () і Bx yz22 2 ;; ()
Доведення Розглянемо спочатку випадок, коли відрізок AB не паралельний площині Oxy (рис. 227).
Проведемо з точок A і B перпендикуляри AA0 i BB0 на площину Oxy, AA BB 00 . Зрозуміло, що точки A 0 i B 0 мають координати (x1; y1; 0) і (x2; y2; 0) відповідно. За формулою відстані між точками на площиніBH AB xx yy == () +−() 0012 2 12 2 . Площина, яка проходить через точку B паралельно Oxy, перетинає пряму AA0 в деякій точці H, причому BH AB = 00 як протилежні сторони утвореного паралелограма.
Задача
що чотирикутник
D 0; 7; 6 () є паралелограмом. Розв’язання
відрізка BD маємо:
відрізки AC і BD мають спільну
під час розв’язування аналогічної задачі в курсі планіметрії
й інший спосіб — доводили попарну рівність протилежних сторін даного чотирикутника. Але в просторі цей спосіб неприйнятний, адже з рівностей AB CD = і AD BC = не випливає, що точки A, B, C і D лежать в одній площині. Справді, чотирикутник ABCD може виявитися просторовим (на рис. 228 такий чотирикутник отримано переги-
Прирівнявши ці вирази, отримаємо 13 25 1 22 +−() =+ + ()zz , звідки z =−2. Отже,
шукана точка C 0; 0; 2 ()
Відповідь: 0; 0; 2 ()
Обговорюємо теорію
564• . Дано точки A () 104 ;; , B 700 ;; () , C 032 ;; () , D 170 ;; () , E 050 ;; () , F 006 ;; () . Визначте, які з даних точок належать:
а) площині Oxy; в) осі Oz;
б) площині Oyz; г) осі Oy.
565• . Визначте розміщення в прямокутній декартовій системі
нат точки простору, в якої:
а) ордината дорівнює нулю; б) апліката дорівнює нулю;
в) абсциса й апліката дорівнюють нулю; г) абсциса й ордината дорівнюють нулю. К
566. Перекладіть англійською (чи іншою іноземною мовою) основні
567
Моделюємо
569 • . За зразком, поданим на рис. 224, зобразіть у прямокутній декартовій системі координат точки A 132 ;; () , B 121 ;; () , C () 310 ;; , D 014 ;; (). Які з даних точок належать координатним площинам?
570 • . Сконструюйте з цупкого паперу модель куба. Прийнявши одну з його вершин за початок координат, а ребра, що виходять із цієї вершини, за одиничні відрізки координатних осей (див. рис. 223), визначте координати решти вершин куба. К 571. Використовуючи програму Geogebra або інший графічний редактор із підтримкою 3D-моделювання, змоделюйте відрізок, його середину. Перевірте формули довжини відрізка та координат середини відрізка для змодельованої ситуації. A a Розв’язуємо задачі
Рівень А
572• . Дано точку A () 134 ;; . Знайдіть
основ перпендикулярів, проведених із даної точки: а) до координатних площин; б) до осей координат.
573• . Заповніть таблицю за зразком:
Розміщення точки
Координати точки
Площина Oxy xy;;0 ()
Площина Oxz
Розміщення точки
Вісь Ox
Вісь Oy
Площина Oyz Вісь Oz
Координати точки
574 • . Знайдіть відстані від точки A 6815 ;; () до координатних площин. 575 (опорна). Координатні площини Oxy, Oxz і Oyz попарно перпендикулярні. Доведіть.
576. Дано точки A 234 ;; () , B 174 ;; () , C () 104 ;; . Яка координатна площина паралельна площині ABC? Відповідь обґрунтуйте.
577. Дано точки A () 302 ;; , B 502 ;; () . Яка координатна вісь паралельна прямій AB? Відповідь обґрунтуйте.
Розділ ІV. Координати, вектори та геометричні перетворення в просторі
578. Дано паралелограм ABCD. Знайдіть координати вершини D, якщо A () 131 ;; , B 613 ;; () , C 066 ;; () .
579. Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами A 402 ;; (), B 123 ;; () , C () 326 ;; , D 001 ;; () є паралелограмом.
580. Знайдіть відстань між точками A і B, якщо: а) A () 120 ;; , B 132 ;; () ; б) A 641 ;; (), B 211 ;; () ; в) A 826 ;; () , B () 416 ;; .
581. Яка з точок: A () 224 ;; або B 034 ;; () — розташована ближче до початку координат?
582. Доведіть, що трикутник ABC рівносторонній, якщо A 713 ;; (), B 083 ;; () , C 014 ;; () .
583. На осі ординат знайдіть точку, рівновіддалену від точок M 213 ;; () і N 125 ;; () .
Рівень Б
584. На рис. 229 ребро куба дорівнює 22 . Визначте координати вершин куба.
585. Дано точки Ma bc;; () і Na bc;; () , де a ≠ 0 , b ≠ 0 , c ≠ 0 . Які координатні площини паралельні прямій MN? Які координатні площини перпендикулярні до прямої MN?
586. Дано точку A () 243 ;; . Яке співвідношення виконується для координат точки B, якщо пряма AB: а) паралельна площині Oyz; б) перпендикулярна до площини Oyz?
587. Середина відрізка MN належить осі ординат. Знайдіть a і b, якщо: а) Ma;; () 13 , Nb () 29;; ; б) Ma b () ;;34 , Na b −+ () 172 ;; .
588. Точка A лежить на осі аплікат, а точка B — у площині Oxy. Знайдіть координати цих точок, якщо середина відрізка AB має координати () 431 ;; .
589. На відрізку AB позначено точку M так, що AM MB :: = 13 . Знайдіть координати: а) точки M, якщо A () 740 ;; , B 508 ;; (); б) точки B, якщо A 296 ;; () , M 164 ;; ().
590. Знайдіть довжину медіани BD трикутника ABC, якщо A () 153 ;; , B 025 ;; () , C 535 ;; () .
591. Доведіть, що трикутник із вершинами A () 263 ;; , B 225 ;; (), C 041 ;; () прямокутний, і назвіть його гіпотенузу.
592. На координатній площині Oyz знайдіть точку, рівновіддалену від точок 022 ;; (), () 246 ;; і () 424 ;; .
593. Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами A 012 ;; (), B 240 ;; (), C () 234 ;; , D () 422 ;; є ромбом.
594. Дано точки A 100 ;; () , Bx;;02 (), C 122 ;; (). При яких значеннях x трикутник ABC є рівностороннім?
Рівень В
595. Відстані від точки M до координатних площин Oxy, Oyz і Oxz дорівнюють 5, 6 і 7 відповідно. Знайдіть координати точки M. Скільки розв’язків має задача?
596. Відстані від точки M до координатних осей дорівнюють 16, 19 і 21. Знайдіть відстань від даної точки до початку координат.
597. Відрізок, що сполучає точку M із початком координат O, має довжину 1. Знайдіть координати точки M, якщо пряма OM утворює з осями абсцис і ординат кути, що дорівнюють 60°. Скільки розв’язків має задача?
598. Серединами сторін трикутника є точки 133 ;; () , 631 ;; () і 212 ;; () . Знайдіть координати вершин трикутника.
599. Доведіть, що точки A 231 ;; () , B 036 ;; (), C 6151 ;;5 () лежать на одній прямій. Яка з даних точок лежить між двома іншими?
600 (опорна). Якщо точка Cc cc12 3 ;; () ділить відрізок з кінцями Aa aa12 3 ;; () і Bb bb12 3 ;; () у відношенні AC CB mn:: = , то ca b ii i n mn m mn =+ ++ , де i = 12 3 ,, . Доведіть.
601. У трикутнику ABC проведено бісектрису BD. Знайдіть координати точки D, якщо AB = 6, BC = 12 , A () 612 ;; , C 351 ;; () .
602. На стороні AC трикутника ABC позначено точку D. Знайдіть її координати, якщо A () 1172 ;; , C 516 ;; () , а площі трикутників ABD і ABC відносяться як 78 : .
Розділ ІV. Координати, вектори та геометричні перетворення в просторі
603 (опорна). Точка перетину медіан трикутника ABC з вершинами Aa aa12 3 ;; () , Bb bb12 3 ;; () і Cc cc12 3 ;; () має координати ab ca bc ab c 11 12 22 33 3 33 3 ++ ++ ++
;; . Доведіть.
604. Точка М — точка перетину медіан трикутника АВС. Знайдіть координати точки А, якщо В(3; 1; 2), С(2; 3; 1), М(2; 2; 2).
605. Знайдіть радіус кола, вписаного в трикутник ABC, якщо A 011 ;; (), B 192127 ;; () , C () 5315 ;; .
606. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника ABC, якщо A 225 ;; () , B () 263 ;; , C 041 ;; () .
607. Дано точки A () 123 ;; і B 231 ;; () . Знайдіть на осі аплікат усі точки C такі, щоб трикутник ABC був прямокутним.
608. Знайдіть кути й площу трикутника з вершинами () 113 ;; , 311 ;; (), 113 ;; ().
Повторення перед вивченням § 15 Теоретичний матеріал
• геометричні перетворення на площині
Задачі
9 клас, § 9–11
609. На площині дано трикутник ABC з вершинами A 11 ; () , B 35 ; () , C 51 ; () . Знайдіть координати вершин трикутника ′′ ′ AB C , симетричного трикутнику ABC відносно початку координат. Виконайте рисунок.
610. Побудуйте трикутник AB1C, у який переходить рівнобедрений трикутник ABC внаслідок симетрії відносно прямої, що містить основу AC. Знайдіть відстань BB1, якщо AC = 6 см, а площа даного трикутника дорівнює 12 см2.
Переміщення
15.1. Властивості переміщень
у просторі
Нагадаємо, що переміщенням (рухом) на площині ми називали геометричне перетворення, яке зберігає відстані між точками. Так само означають переміщення і в просторі, причому всі властивості переміщень, відомі з курсу планіметрії, у стереометрії зберігаються: унаслідок переміщення прямі переходять у прямі, промені — у промені, відрізки — у відрізки, і кути між променями не змінюються. Аналогічно до планіметричного випадку можемо дослідити й перетворення подібності в просторі. При цих перетвореннях відстані між точками можуть не зберігатися, як при переміщеннях. Але тоді вони змінюються в одну й ту саму кількість разів.
Так само як і на площині, у просторі дві фігури називаються рівними, якщо вони суміщаються переміщенням, а подібними — якщо вони суміщаються перетворенням подібності.
Подібність просторових фігур знаходить
численні застосування на практиці. Наприклад, архітектори й будівельники, проектуючи розміщення новобудов на місцевості, подають замовникам пропозиції у вигляді макетів об’єктів, що будуються (рис. 230).
Розглянемо властивість переміщення у просторі: переміщення переводить площину
в площину. Справді, нехай точки A, B і C, які
232. Центральна
відносно точки O, якщо точка O
середина відрізка XX′ (рис. 232, а); точка O називається центром симетрії; • точки X і X′ називаються симетричними відносно прямої l, якщо ця пряма перпендикулярна до відрізка XX′ і
Означення
Точки X і X′ називаються симетричними відносно площини α , якщо ця
дикулярна до відрізка XX′ і проходить через його середину. Точки площини α вважаються симетричними самі до себе.
При цьому площина α називається площиною симетрії. Очевидно, що точкою, симетричною точці X′
відносно площини α , є точка X.
Означення
фігури F у фігуру F′,
При цьому фігури F і F ′ називаються симетричними відносно площини α (рис. 234).
Наочно уявити симетрію відносно площини можна за допомогою плоского дзеркала. Будь-який об’єкт і його зображення симетричні відносно площини дзеркала. Тому симетрію відносно площини
інакше називають дзеркальною симетрією.
Якщо перетворення симетрії відносно площини α переводить фігуру F у себе, то така фігура називається симетричною відносно площини α , а сама площина α — площиною симетрії фігури F. Наприклад, площиною симетрії
Розділ ІV. Координати, вектори та геометричні перетворення в просторі
Елемент симетрії
Площина Oxy xy z ;; ()
Площина Oxz xy z ;; ()
Площина Oyz () xy z ;;
Точка O () xy z ;;
Вісь Ox xy z ;; ()
Вісь Oy () xy z ;;
Вісь Oz () xy z ;;
точки A і B
симетрії відносно площини α переходять у точки A′ і B ′ відповідно. Уведемо систему координат так, щоб площина Oxy збігалася з α (рис. 236). Оскільки точки, симетричні відносно площини Oxy, мають однакові абсциси й ординати, але протилежні аплікати, то
Рис. 237. Симетричні форми в природі
Різноманітні види просторової симетрії ми спостерігаємо в живій і неживій природі, мистецтві, техніці тощо. В основі будови живих форм лежить принцип симетрії, причому природа гармонійно поєднує різні види симетрій із майже математичною строгістю (рис. 237).
Довершену симетричну форму мають природні многогранники — кристали (рис. 238). Фізики стверджують, що симетрія є фундаментальною властивістю природи, з якою пов’язані закони збереження енергії та
Рис. 239. Храм
15.3.
Паралельне перенесення в
просторі
Паралельне перенесення в просторі є різновидом паралельного проекціювання для випадку, коли площина фігури, що проектується, паралельна площині проекції (або збігається з нею). Нагадаємо, що співнапрямленими променями ми називали:
1) два промені однієї прямої, один із яких є частиною іншого (такими є промені AC і BC на рис. 242, а);
2) два паралельні промені, які лежать у площині по один бік від прямої, що проходить через їхні початкові точки (такими є промені AB і CD на рис. 242, б ).
Означення паралельного перенесення в стереометрії нічим не відрізняється від планіметричного. Паралельним перенесенням фігури F у напрямі променя OA на відстань a називається перетворення фігури F у фігуру F ′, унаслідок якого
кожна точка X фігури F переходить у точку X′ фігури F ′ так, що промені XX′ і OA співнапрямлені і XX a ′= (рис. 243).
Теорема (основна властивість паралельного перенесення в просторі)
Паралельне перенесення в просторі є переміщенням.
Доведення
Нехай унаслідок
Розділ ІV. Координати, вектори та геометричні перетворення в просторі
B, A′ і B ′
Про орієнтацію
поверхні та випадки
неорієнтованих
поверхонь ви можете
дізнатися
за посиланням,
звернувшися
до інтернет-підтримки
підручника.
прямій (рис. 244, б ), маємо: ′′ = ′ ′ = ′ ′ = AB AB AA AB BB AB .
Перевірте самостійно, що для інших випадків розміщення точок A, B, A′ і B ′
Наслідок 1 Паралельне
Наслідок 2
Паралельне
Задача
Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами A () 21 0 ;; , B 43 2 ;; () , C 63 4 ;; () , D 07 6 ;; () є паралелограмом.
Розв’язання
Покажемо, що паралельне перенесення, яке переводить точку B в точку C, переводить точку A в точку D (рис. 247). Спочатку знайдемо формули цього
перенесення. Підставивши в загальні формули паралельного перенесення координати точок B і C, одержимо рівняння, з яких визначимо a, b і с : 64=+ a ; 33 =− + b ; −= + 42 c . Звідси a = 2 ; b = 6 ; c =−6
Отже, шукане перенесення задається формулами xx ′= + 2 , yy ′= + 6 , zz ′= 6 Підставивши в отримані формули координати точок A і D, маємо правильні рівності: 02 2 =− + , 71 6 =+ , −=60 6 .
Оскільки за умовою ABCD — чотирикутник, його
вершини не лежать на одній прямій. Отже, за властивістю паралельного перенесення в чотирикутнику ABCD дві сторони паралельні й рівні, тобто ABCD — паралелограм.
Розділ ІV. Координати, вектори та геометричні перетворення в просторі
613. Перекладіть англійською (чи іншою іноземною мовою) умову та власне розв’язання задачі 612. Обміняйтесь зошитами із сусідом чи сусідкою по парті для взаємної перевірки правильності розв’язання.
614. Чи має площину симетрії відрізок; пряма; двогранний кут?
615. Серед даних просторових фігур (рис. 248) назвіть ті, які мають: а) центр симетрії; б) вісь симетрії; в) площину симетрії.
616. Дано паралелограм, який не є ані прямокутником, ані ромбом.
617. Чи збігаються множини осей симетрії кола
поворот.
619 • . Чи існує паралельне перенесення, яке переводить:
К
Моделюємо
622• . Виріжте з пінопласту дві фігури, симетричні відносно площини α (рис. 249). Чи можна в механізмі, який має такі деталі, замінити одну з них симетричною?
623• . Сконструюйте фігуру, яка складається з куба ABCDA1B1C1D1 та фігури, отриманої
з даного куба внаслідок паралельного перенесення в напрямі променя AD1 на відстань, що дорівнює половині відрізка AD1.
624. Використовуючи програму Geogebra чи інший графічний редактор із підтримкою 3D-моделювання, навчіться відображати точку відносно даної площини.
A a Розв’язуємо
Рівень А
Рис. 249
625• . У кубі ABCDA 1B1C1D1 діагоналі основи ABCD перетинаються в точці O. Визначте:
а) точку, симетричну точці B відносно площини ACC1;
б) пряму, симетричну прямій AB відносно точки O; в) площину, симетричну площині BCC1 відносно точки O; г) пряму, симетричну прямій CC1 відносно площини BDD1; д) площину, симетричну площині ADD1 відносно прямої B1D1. 626• . Нарисуйте зображення куба ABCDA 1 B1C1 D 1. Побудуйте фігуру, симетричну даному кубу відносно: а) точки C1; б) прямої BD; в) площини A1 AD. 627• . Дано точки A 421 ;; (), B () 352 ;; , C 716 ;; () . Назвіть координати точок, симетричних даним точками відносно: а) початку координат; б) площини Oyz; в) осі аплікат. К
628. Змоделюйте умову та розв’язання задачі 627, використовуючи програму Geogebra чи інший
629. Знайдіть координати точок, симетричних точці M 5127;; () відносно: а) точки N () 102 ;; ; б) площини Oxz; в) осі абсцис.
630. Точки A і B симетричні
M
B
на 1.
631. Точки A 021 ;; () і B 405 ;; () симетричні відносно точки C. Знайдіть координати точки, симетричної точці C відносно точки A.
632. Нарисуйте зображення куба ABCDA1B1C1D1. Побудуйте фігуру, у яку переходить даний куб унаслідок паралельного перенесення, що переводить: а) вершину C у вершину B; б) вершину A у вершину C1.
633. Паралельне перенесення задане формулами xx ′= 1 ,
′= + 4 , zz ′= 2 . Знайдіть координати точки: а) у яку переходить точка A 810 ;; () ; б) яка переходить у точку B () 123 ;; .
634. Чи існує паралельне перенесення, унаслідок якого точка M 016 ;; () переходить у точку ′ () M 114 ;; , а точка N 122 ;; () — у початок координат?
635. Унаслідок паралельного перенесення в напрямі променя AB площина α переходить у себе. Доведіть, що пряма
636.
Унаслідок паралельного перенесення пряма a переходить у пряму a′. Доведіть, що ′ ⊥ a α .
Рівень Б
637. Нарисуйте зображення куба ABCDA1B1C1D1. Побудуйте фігуру, у яку переходить даний куб унаслідок симетрії відносно: а) середини ребра C1D1; б) прямої AC.
638. Дано точки A 023 ;; () і B 801 ;; () . Знайдіть точку, симетричну середині відрізка AB відносно: а) точки () 123 ;; ; б) площини Oxz; в) осі
639. Точка M 315 ;; ()
точку ′ () O 514 ;; . 640. Дано
641. Унаслідок симетрії відносно площини α площина β переходить у площину ′ β . Доведіть, що: а) коли βα , то ′ βα ; б) коли αβ ⊥ , то ′ β збігається з β .
642. Три вершини паралелограма ABCD мають координати A 019 ;; (), B 384 ;; () , C 291 ;; () . Унаслідок паралельного перенесення вершина D переходить у точку 225 ;; () . У яку точку переходить центр симетрії паралелограма?
643. Дано паралелограм ABCD. За допомогою геометричних перетворень знайдіть координати: а) вершини A, якщо B () 120 ;; , C 341 ;; () , D 224 ;; () ; б) вершин C і D, якщо A () 513 ;; , B 041 ;; () , а точка O () 302 ;; — точка перетину діагоналей.
Рівень В
644. Усі ребра тетраедра PABC рівні між собою. Точки E і F — середини ребер PA і BC відповідно. Доведіть, що пряма EF — вісь симетрії тетраедра.
645. У прямокутній системі координат точку M симетрично відобразили відносно площини Oxy,
координат, а отриману
що точка
205 § 15. Переміщення в просторі
Рис.
A B С D K
E M F N Рис.
Означення
координатами вектора AB з початком у
Ax yz11 1 ;; () і кінцем у точці Bx yz22 2 ;; () називають числа ax x 12 1 =− , ay y 22 1 =− , az z 32 1 =− .
Відповідно довжина (модуль) вектора
AB aa a 12 3 ;; () обчислюється за формулою AB aa a =+ + 1 2 2 2 3 2 .
Нульовий вектор має нульові координати, і його довжина дорівнює нулю: 00 = .
Як і на площині, у просторі рівні вектори мають рівні координати, і навпаки: якщо у векторів відповідні координати рівні, то ці вектори рівні. Нагадаємо, що в просторі, як і на площині, ненульові вектори, які лежать на одній прямій або на паралельних прямих, називають колінеарними. Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору. У свою чергу, серед колінеарних векторів розрізняють співнапрямлені й протилежно напрямлені. Якщо промені AB і CD співнапрямлені, то ненульові вектори AB і CD також співнапрямлені (пишуть AB CD ↑↑ ); якщо промені AB і CD
протилежно напрямлені, то вектори AB і CD
протилежно напрямлені (пишуть AB CD ↑↓ ). На рис. 252 зображено куб ABCDA1B1C1D1. На цьо-
му рисунку вектори AM і CC1 співнапрямлені, а вектори AM і DD 1 протилежно напрямлені. Протилежно напрямлені вектори, довжини яких рівні, називають протилежними. На рис. 252 та-
кими є, наприклад, вектори CC1 і DD 1 (пишуть CC DD11 =− ).
Рис. 252. Співнапрямлені та протилежно напрямлені вектори
Відповідь: C 00 3 ;; () , D 54 0 ;; ()
1) ab ba+=+
2) ab ca bc + () += ++() ;
3) aa += 0 ;
Для дій із неколінеарними векторами
в геометричній формі в просторі, як і на площині, можна користуватися правилом трикутника (рис. 253, а) і правилом паралелограма (рис. 253, б ). Правила додавання двох колінеар-
них векторів ілюструє рис. 253, в, г.
Узагальненням правила трикутника для додавання декількох векторів є правило многокутника (рис. 254, а). Особливість його застосування в просторі полягає в тому, що вектори-доданки не обов’язково належать одній площині (тобто многокутник, який утворюється в процесі побудови вектора-суми, може бути просторовим). Наприклад, на рис. 254, б у тетраедрі PABC маємо векторну рівність AB BP PC AC ++ = .
Опишемо ще одне правило, яким зручно користуватися для додавання трьох векторів у просторі. Нехай вектори-доданки a , b і c при відкладанні їх від спільного початку O не лежать в одній площині. Побудуємо паралелепіпед так, щоб відрізки OA, OB і OC, які зображають вектори-доданки, були його ребрами (рис. 255). Тоді, використовуючи правило паралелограма, маємо OAOBOE += , OEOCOD += . Отже, ab cOD ++ = , тобто вектор-сума зображається діагоналлю паралелепіпеда, побудованого на векторах-доданках. Це правило додавання векторів є просторовим аналогом правила паралелограма і називається правилом паралелепіпеда. Добутком вектора aa aa 123 ;; ()
Рис. 254. Додавання
1) ka ak = ;
2) km ak ma () = () ;
3) ka 00 0 == ;
4) km akama + () =+ ;
5) ka bkakb + () =+ .
aa aa 123 ;; () .
km ak ma km ak ma + () =+() + () + () () 123 ;; =+() ka ma ka 1122 ;; km ak ma + () + () () 123 ;; =+ ++ () ka ma ka ma ka ma 112233 ;; = () ka ka ka 123 ;; + () ma 12;; ak ma + () () ;;3 ++ () ka ma ;;33 = () ka ka ka 123 ;; + () =+ ma ma ma ka ma 123 ;; .
Рис. 255. Додавання
При цьому за умови, що дані вектори не мають нульових координат, зручно використовувати про-
співвідношення
У просторі, як і на площині, необхідною і достатньою умовою належності точок A, B і C одній прямій є колінеарність векторів AB і AC . Розглянемо ще одну векторну умову належності точок A, B і C одній прямій.
точки A, B і C
рів, відомі з курсу планіметрії, у просторі зберігаються. Для будь-яких векторів a , b і c та числа k: 1) ab ba ⋅= ⋅ ; 2) ka bk ab () ⋅= ⋅⋅(); 3) ab ca cb c + () ⋅= ⋅+ ⋅ . Доведення тверджень 1–3 є цілком аналогічним до випадку на площині. Доведемо, наприклад, твердження 3. Нехай дано вектори aa aa 123 ;; () , bb bb 123 ;; () та cc cc 123 ;; () . Тоді, за означенням скалярного добутку, маємо: ab ca aa bb b + () ⋅= () + () 123123 ;;;; () () =+() cc ca ba 123112 ;;;; ab ca aa bb b + () ⋅= () + () 123123 ;;;; () ⋅ () =+ ++ () cc ca ba ba b 123112233 ;;;; ⋅ () =+() ⋅+ cc ca bc 123111 ;; a ab22 + () () =+ ++ () cc ca ba ba b 123112233 ;;;; () =+() ⋅+ cc ca bc 123111 ;; a ab ca bc ac ac ac 2223331122 + () ⋅+ + () ⋅= ⋅+ ⋅+ () () =+() ⋅+ cc ca bc 123111 ;; a ab ca bc ac ac ac bc bc b 22233311223311223 + () ⋅+ + () ⋅= ⋅+ ⋅+ ⋅ () +⋅ +⋅+⋅ c ca cb c 3 () =⋅ +⋅ ac ac ac bc bc b 11223311223 ⋅+ ⋅+ () +⋅ +⋅+⋅ c ca cb c 3 () =⋅ +⋅ .
B b a C A
AB і AC називають кут BAC, а
довільними ненульовими векторами a і b — кут
векторами, що дорівнюють даним векторам і мають спільний початок (рис. 256).
Так само як і на площині, у просторі доводять, що скалярний добуток
Задача
Доведіть за допомогою векторів, що пряма, перпендикулярна до двох сторін трикутника, перпендикулярна і до третьої його сторони.
Розв’язання
Нехай пряма MN перпендикулярна до сторін
AB і BC трикутника ABC (рис. 257). Доведемо, що
MN AC ⊥ . За властивістю перпендикулярних векторів MN AB MN BC ⋅= ⋅= 0 . Оскільки AC AB BC =+ , то MN AC MN AB BC MN AB MN ⋅= ⋅+() =⋅ + ⋅= BC 0 MN AC MN AB BC MN AB MN ⋅= ⋅+() =⋅ + ⋅= BC 0 . Отже, за
ознакою перпендикулярності
MN і AC , а отже,
Властивості векторів широко
часто доводиться розглядати
векторні величини — силу, швидкість, переміщення тощо. Наприклад, електричний струм, напрям якого задано вектором n , утворює магнітне поле, яке в кожній точці простору характеризується вектором магнітної індукції B (рис. 258). На тіло, занурене в рідину, діють одночасно сила тяжіння і виштовхувальна сила Архімеда (рис. 259). На тіло, що рухається по похилій площині, діють сили тяжіння, тертя та реакції опори (рис. 260).
Розділ ІV. Координати, вектори та геометричні перетворення в просторі
Запитання і задачі
649 • . Дано вектор AB ab c ;; () . Назвіть координати вектора BA .
650 • . У кубі ABCDA1B1C1D1 точки M і N
CC1 відповідно (рис. 261). Назвіть вектори з початком і кінцем у точках, позначених на рисунку, які:
1
а) дорівнюють вектору AM ; б) співнапрямлені з вектором CN , але не
в) протилежно напрямлені з вектором MN ; г) протилежні вектору BC ; д) колінеарні вектору AB11 .
651. Відомо, що AB CD = . Яким може бути взаємне розміщення:
а) прямих AC і BD; б) точки D і площини, яка проходить через точки A, B і C; в) прямої AB і площини, яка проходить через точки C і D?
652. Дано куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 261). Укажіть вектор із початком і кінцем у вершинах куба, що дорівнює: а) AB BC11 + ; г) CD CB CC ++ 1 ; б) AD AB + 11 ; д) AB BC DD ++ 11 1 . в) BA BC 1 + ;
653. Подайте вектори AC11 і NM у вигляді різниці двох векторів, початки і кінці яких збігаються з точками, позначеними на рис. 261.
654. На рис. 262 точки D, E, F і M — середини ребер тетраедра PABC. Визначте число k з векторної рівності:
а) AC kDC = ; в) ED kPC = ;
б) PF kBP = ; г) AB kMD = .
655. Кут між векторами AB і CD дорівнює ϕ .
Знайдіть кут між векторами:
а) AB і DC ; в) BA і DC .
б) BA і CD ;
656. За рис. 261 знайдіть кут між векторами: а) AB і AD ; в) CD 1 і BA 1 ; д) CA і CB1 . б) BB 1 і BC 1 ; г) AD і AB 1 ;
657. Назвіть декілька пар векторів, скалярний добуток яких дорівнює нулю, а початок і кінець збігаються з точками, позначеними на рис. 261. К
658. Перекладіть англійською (чи іншою іноземною мовою) основні терміни § 16: «вектор», «довжина та напрям вектора», «сума та різниця векторів», «добуток вектора на число», «скалярний добуток векторів», «кут між векторами».
Моделюємо
659 • . Виготовте з дроту модель паралелепіпеда. Продемонструйте застосування правила паралелепіпеда для додавання трьох векторів.
660 • . Виготовте модель біпіраміди, усі ребра якої дорівнюють одне одному (рис. 263). На підставі правила многокутника запишіть суму векторів, які зображаються ребрами біпіраміди, так, щоб кожне ребро входило до суми рівно один раз, а сама сума дорівнювала
нульовому вектору. Чи можна скласти таку нульову суму для трикутної піраміди?
A a Розв’язуємо задачі*
Рівень А
661• . Знайдіть координати й довжину вектора AB , якщо: а) A () 402 ;; , B () 142 ;; ; в) A 370 ;; () , B () 241 ;; . б) A 614 ;; (), B 017 ;; () ;
662. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник ABCD — паралелограм, якщо A 417 ;; () , B () 236 ;; , C () 151 ;; , D 512 ;; () .
663. Знайдіть значення m,
am() 42 ;;
am m384 ;; ()
664. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Укажіть вектор із
у вершинах куба, який дорівнює:
а) AA BD11 + ; г) DA CC AB ++11 1 ; б) BC BA 1 ; д) AB AD11 + ; в) AB AD CC11 ++ ; е) DA AB BB 11 1 −+ .
665. Дано трикутну призму ABCA1B1C1. Укажіть вектор із початком і кінцем у вершинах призми, який дорівнює:
а) AC BB CB 11++ ; в) CB BA BB AC 11 1 ++ + .
б) BA CC11 ;
666. Дано вектори a 231 ;; () , b () 802 ;; , c 421 ;; () . Знайдіть координати вектора: а) ac + 2 ; б) 3ab ; в) 053 , bc .
667. Знайдіть координати й довжини векторів ab + і ab , якщо a 014 ;; () , b 222 ;; () .
668. Доведіть, що вектори a і b колінеарні, якщо:
а) a () 396 ;; , b 132 ;; () ;
б) a 023 ;; (), b 0812 ;; ();
в) a 102520 ;; () , b () 143528 ;; .
669. Чи колінеарні вектори AB і CD , якщо A 830 ;; (), B () 123 ;; , C 064 ;; () , D 911 ;; () ?
670. Знайдіть скалярний добуток векторів a і b , якщо:
а) a () 321 ;; , b 142 ;; () ;
б) a = 3 , b = 4 , ∠ () =° ab,120 ; в) ∠ () =° ab,90 .
671. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 дорівнює 1. Знайдіть скалярний добуток:
а) CB CC ⋅ 1 ; г) BC DA ⋅ 11 ; б) AB AD 1 ⋅ ; д) AB DC 11 ⋅ .
в) BA BB 11 ;
672. Дано вектори a 412 ;; () і bm () 18;; . При якому значенні m:
а) ab⋅= 6 ; б) ab⋅= 8; в) ab ⊥ ?
673. Дано вектори a () 121 ;; , b 311 ;; (), c () 510 ;; . Серед даних векторів виберіть пару векторів, кут між якими є: а) тупим; б) прямим.
674. Кут між векторами a і b дорівнює 120° , ab⋅= 9 . Знайдіть довжини цих векторів, якщо вектор a вдвічі довший за b . Рівень Б
675. Знайдіть координати кінців вектора AB () 913 ;; , якщо його початок лежить на осі ординат, а кінець — у площині Oxz.
676. За допомогою
грама ABCD, якщо B 813 ;; (), C () 201 ;; , D () 345 ;; .
677. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Знайдіть
який задовольняє рівність:
а) BA AB BC aC ABD ++ ++ = 11 11 1 ;
б) BA aBBBCBD++ += 1 .
678. Дано паралелограм ABCD, O —
що OA OC OB OD += + .
A паралело-
679. Дано паралелепіпед ABCDA1B1C1D1, O — довільна точка простору. Доведіть, що OB OD OD OB += + 11 .
680. Точки M і N — середини ребер PA і BC тетраедра PABC, точка O — середина відрізка MN. Доведіть, що OP OA OB OC +++ = 0 .
681. Дано паралелепіпед ABCDA1B1C1D1. Доведіть, що AC BD BC112 += .
682. Чи може дорівнювати нульовому вектору сума трьох векторів, довжини яких дорівнюють: а) 1, 4 і 6; б) 2, 9 і 7; в) 5, 6 і 8? Визначте закономірності й узагальніть отримані результати.
683. До точки M 124 ;; () прикладені сили F1250 ;; () і F2132 () ;; (рис. 264). Знайдіть точку, у яку переходить точка M під дією рівнодійної цих сил. К
684. Пригадайте,
685. Знайдіть координати векторів a і b , якщо ab+= () 421 ;; , ab−= () 443 ;; .
686. Діагоналі куба ABCDA1B1C1D1 перетинаються в точці O. Знайдіть значення k, при якому:
а) BA kDC 11 = ;
б) DA AB kDO 11 1 += ;
в) AA AB AD kC O11 ++ = .
687. Чи лежать точки A, B і C на одній прямій, якщо:
а) A 610 ;; () , B 053 ;; () , C 411 ;; ();
б) A () 311 ;; , B () 145 ;; , C 024 ;; () ;
в) A () 732 ;; , B () 12149 ;; , C 3191 ;;2 () ?
У випадку ствердної відповіді визначте, яка з даних точок
двома іншими.
688. Вершини чотирикутника ABCD мають координати A 402 ;; () , B 520 ;; () , C () 326 ;; , D 001 ;; () . Доведіть, що ABCD — трапеція.
689. Дано точки A 021 ;; () , B 012 ;; () , C 122 ;; () . Знайдіть кут ABC.
690. Кут між векторами a і b дорівнює 60 ° , a = 4 , b = 3 .
Знайдіть: а) ab b () ⋅ ; б) 23ab a + () ⋅ ; в) ab () 2 2 .
Рівень В
691. Дано тетраедр PABC. Побудуйте точку M, яка задовольняє векторну рівність PA PB PC PM ++ −= 0 .
692. Точки K, M і N — середини сторін трикутника ABC, точка O — довільна точка простору. Доведіть, що OK OM ON OA OB OC ++ =+ + .
693. Відрізки, що сполучають середини протилежних сторін чотирикутника ABCD, перетинаються в точці M, точка O
простору. Доведіть, що OM OA OB OC OD =+ ++ () 1 4 .
694. Пряма АВ перетинає
якщо A 387 ;; () , B () 127 ;; .
695. Знайдіть координати точки перетину
якщо A 267 ;; () , B () 131 ;; .
AB
696. Дано точки A 235 ;; () , B 327 ;; () , C 6113 ;; () , D 5011 ;; () . Чи правильно, що чотирикутник ABCD є паралелограмом?
697. Дано точки A 327 ;; () , B 549 ;; () , C 1383 ;; () , D 0126;; () .
Доведіть, що пряма AB перпендикулярна до площини BCD.
698. Дано точки A 232 ;; () , B 613 ;; () , C 951 ;; (), D 572 ;; () . Доведіть, що чотирикутник ABCD є прямокутником.
699. Кут між векторами a і b дорівнює 60°. Кожен із даних векторів перпендикулярний до вектора c . Знайдіть ab c ++ , якщо ab c == = 1.
700. Вектори a , b і c — одиничні взаємно перпендикулярні вектори.
Знайдіть кути, які утворює вектор 2 ab c −+ з кожним із даних векторів.
701 (опорна). Гомотетією з центром O
зивається таке перетворення фігури F у
′ F ,
якому кожна точка X фігури F
′ X фігури ′ F так, що OX kOX ′ = .
10 клас, § 1, 2
9 клас, § 8, 17
AC += , то чотирикутник ABCD є паралелограмом.
координатний і векторний методи розв’язування стереометричних
компланарні — від латинського «ком» — разом і «планум» — площина — розміщені в одній площині, спільноплощинні.
. Очевидно, що будь-які два вектори компланарні. Компланарними
дження
Опорна задача (ознака компланарності трьох векторів)
Якщо вектор c можна розкласти за векторами a і b , тобто подати у вигляді cman b =+ ,
де m і n — деякі числа, то вектори a , b і c
компланарні. Доведіть.
Розв’язання
Якщо вектори a і b колінеарні, то компланарність
векторів a , b і c очевидна.
Нехай вектори a і b не колінеарні. Відкладе-
мо від довільної точки простору O вектори OA a =
і OB b = (рис. 266). Очевидно, що ці вектори, як
і прямі OA і OB, лежать в одній площині. У тій самій площині лежать вектори OA mOA 1 = і OB nOB 1 = , а отже, і їхня сума — вектор OC mOAnOB=+ , який дорівнює вектору c . Таким чином, вектори OA a = , OB b = і OC c = лежать в одній площині, тобто вектори a , b і c компланарні.
Зауважимо, що отримане векторне співвід-
ношення OC mOAn OB =+ можна розглядати як умову належності точки O площині ABC. Нагадаємо: у 9 класі було доведено, що на
площині для будь-якого вектора c існує єдине подання у вигляді
Розділ ІV. Координати, вектори та геометричні перетворення в просторі
Рис. 267. До доведення теореми про розкладання вектора за трьома
некомпланарними векторами
§ 17. Координатний і векторний методи розв’язування стереометричних задач
Покажемо, що ця рівність має місце лише
за умов mm−=10 , nn−=10 , pp−=10 . Справді, якщо, наприклад, pp−≠10 , то отримаємо ca b mm pp nn pp =− 1 1 1 1 . Звідки за ознакою компланарності векторів випливає, що вектори a , b і c компланарні, але це суперечить умові теореми. Отже, наше припущення хибне, тобто mm = 1 , nn = 1 , pp = 1, і отримане розкладання єдине. Доведена теорема має широке практичне застосування. Наприклад, деякі космічні кораблі (рис. 268) мають три блоки двигунів, які дозволяють рухатися вздовж трьох некомпланарних векторів. Керуючи їх взаємодією, корабель у просторі можна спрямувати в будь-якому напрямку.
Зазначимо також зв’язок доведеної теореми з правилом паралелепіпеда. На рис. 269 діагональ DB1 паралелепіпеда ABCDA 1 B1C1 D1 зображає суму трьох векторів: DB da bc 1 == ++ .
Ця теорема застосовується також і в пря-
мокутній системі координат: вектор aa aa 123 ;; () часто розкладають за одиничними векторами e 1100 ;; (), e 2010 ;; () та e 3001 ;; (), співнапрямленими з осями координат — такі вектори називають координатними векторами або ортами (рис. 270).
Неважко довести, що коефіцієнти такого розкладання дорівнюють координатам вектора a , тобто aa ea ea e =+ + 112233 .
Рис. 268. Космічний корабель «Space Shuttle»
Рис. 269. Розкладання вектора за правилом паралелепіпеда y x O z e1 e2 e3
Рис. 270. Координатні вектори
1) сформулювати задачу «мовою
2) перетворити складені рівності, користуючись відомими векторними співвідношеннями;
3) перекласти отримані результати на «мову геометрії».
Для подання геометричних співвідношень «мовою векторів» і навпаки узагальнимо деякі отримані раніше результати в наведеній нижче таблиці.
8
AC CB = або
OCOAOB =+() 1 2 ,
де O — деяка точка
Координатний
Розглянемо спочатку приклад застосування векторного методу для доведення вже відомого стереометричного факту.
Задача
Доведіть за допомогою векторів ознаку перпендикулярності прямої і площини: якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині й перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини.
Розв’язання
Нехай MN AB ⊥ , MN AC ⊥ (рис. 273). Доведемо, що MN ABC ⊥ () .
За означенням перпендикулярності прямої і площини необхідно довести, що пряма MN перпендикулярна до будь-якої прямої площини ABC . Нехай DE — деяка пряма площини ABC . Доведемо, що MN DE ⊥ , тобто MN DE ⋅= 0 .
Оскільки вектори AB і AC не колінеарні, то будь-який вектор площини ABC можна розкласти за цими векторами, тобто існують числа m і n такі, що DE mABn AC =+ . Отже, MN DE MN mABn AC mM NABn M ⋅= + () =⋅ + N NAC mABn AC mM NABn M + () =⋅ + N NAC . За умовою задачі MN AB ⊥ , MN AC ⊥ , отже, MN AB MN AC ⋅= ⋅= 0 , звідки MN DE ⋅= 0 . Таким чином, пряма MN перпендикулярна до будь-якої прямої площини ABC, тобто за означенням MN ABC ⊥ ()
2) перетворити алгебраїчні вирази, користуючись відомими співвідношеннями та формулами;
3) перекласти отриманий результат «мовою геометрії». Зазвичай на першому етапі розв’язування систему координат вибирають так, щоб якнайбільше координат
Запитання і задачі
704 • . На рис. 275 зображено куб ABCDA1B1C1D1.
Визначте, чи компланарні вектори:
а) AB 1 , AA 1 і AB11 ;
б) BD 1 , DD 1 і AA 1 ;
в) AB11 , DC1 і AD11 ;
г) AB1 , AD 1 і AC .
705• . Дано тетраедр PABC (рис. 276). Назвіть вектор із початком і кінцем у вершинах тетра-
едра, який разом із двома даними векторами
складає трійку некомпланарних векторів (у кожному випадку наведіть усі можливі варіанти
відповіді):
а) PA , AC , … ; в) PC , AB , … . б) BC , BP , … ;
706. Чи компланарні будь-які три колінеарні
вектори? Чи завжди колінеарні будь-які три компланарні вектори?
707. Вектори a , b і c лежать на трьох попарно мимобіжних прямих. Чи можуть дані вектори бути компланарними? Наведіть приклад.
708. Вектори a , b і c некомпланарні. Чи компланарні вектори: а) a , b і 2a ; в) 3a , 2b і 4c ? б) a , c і ac + ;
709. Вектори
710.
711. Знайдіть коефіцієнти m, n і p в розкладанні amenepe =+ + 123 , де e 1 , e 2 , e 3 — координатні вектори, якщо: а) a 531 ;; () ; б) a () 703 ;; ; в) ae = 1.
Моделюємо
712• . На моделі куба зафіксуйте
вектори, зображувані мимобіжними ребрами. Укажіть ребро, яке має зображати третій вектор так, щоб три зафіксовані вектори були некомпланарними. Чи можна вказати третє ребро таке, щоб три зафіксовані
спільним початком.
з даних векторів компланарні. A a Розв’язуємо задачі
Рівень А
714• . Дано паралелепіпед ABCDA 1 B1C1 D1. Розкладіть за векторами
aAB = , bAD = і cAA = 1 вектор:
а) AC1 ; б) AC11 ; в) BD 1 .
715• . Точки D і E — середини ребер AB і PC тетраедра PABC відповідно. Розкладіть вектор:
а) AP за векторами AD , BC і CE ; б) BE за векторами AB , AC і PC .
716. На тіло діють три сили, зображувані некомпланарними векторами. Доведіть, що рівнодійна цих сил не може дорівнювати нулю.
717. На тіло, розміщене в початку координат,
718. Вектори a , b і c некомпланарні. Чи колінеарні вектори: а) da bc =+ + і ea bc =+ ; б) da bc =− + 32 і ea bc =− +− 963 ?
719. Відрізок MA — перпендикуляр до
кут між прямими AB1 і A1D. Рівень Б
721. У кубі ABCDA1B1C1D1 точки K і M — середини ребер B1C1 і CD відповідно. Розкладіть за векторами aAB = , bAD = і cAA = 1 вектор: а) AK ; б) MB1 ; в) KM .
722. Точки D і E — середини ребер AB і PC тетраедра PABC. Доведіть, що ED CA PB =+() 1 2 . Чи компланарні вектори ED , CA і PB ?
723. Медіани грані ABC тетраедра PABC перетинаються в точці O.
Розкладіть вектор PA за векторами PB , PC і PO .
724. Вектори a , b і c некомпланарні. Доведіть, що вектори ab + , bc + і ac + некомпланарні.
725. У тетраедрі PABC медіани грані ABC перетинаються в точці O.
Доведіть, що PO PA PB PC <+ + () 1 3 .
726. У тетраедрі PABC PA BC ⊥ , PB AC ⊥ . Доведіть, що PC AB ⊥ . 727. Доведіть, що коли в тетраедрі PABC PC AB ⊥ , то AC PB PA BC 22 22+=+ AC PB PA BC 22 22+=+ . Чи буде правильним обернене твердження?
728. Промені OA, OB і OC взаємно перпендикулярні. Знайдіть кут між бісектрисами кутів AOC і AOB. Рівень В 729 (опорна). Для того щоб
OD mOAn OB mn OC =+ +−() 1 , де O — деяка точка простору, m і n — числа. Доведіть.
Розділ ІV. Координати, вектори та геометричні перетворення в просторі
730. Доведіть, що діагональ AC1 паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 проходить через точки перетину медіан трикутників A1BD і CB1D1 і ділиться ними на три рівні частини (рис. 277).
731. Відомо, що OK OA OB OC =+ + 333 , причому вектори OA , OB і OC некомпланарні. У якому відношенні площина ABC ділить відрізок OK, рахуючи від точки O?
732. Середньою лінією тетраедра називають відрізок, що сполучає середини двох його мимобіжних ребер, а медіаною тетраедра — відрізок, що сполучає його вершину з точкою перетину
протилежної грані. Доведіть, що: а) середні
навпіл; б) медіани тетраедра
Рівняння
18.1. Рівняння площини в просторі
Нагадаємо, що рівнянням фігури F на площині називається рівняння, яке задовольняють
координати будь-якої точки фігури F і не задо-
вольняють координати жодної точки, яка не належить фігурі F. Так само означають і рівняння фігури в просторі; але, на відміну від площини, де рівняння фігури містить дві змінні x і y, у просторі рівняння фігури є рівнянням із трьома змінними x, y і z.
Виведемо рівняння площини, прямої і сфери в просторі.
Для виведення рівняння площини розглянемо в прямокутній системі координат площину α (рис. 278) і визначимо властивість, за допомогою якої можна описати належність довільної точки даній площині. Нехай ненульовий вектор nA BC;; () перпендикулярний до α (тобто належить прямій, перпендикулярній до даної площини,— такий вектор називають вектором нормалі або нормаллю до площини α ), а точ-
ка Mx yz 0000 ;; () належить даній площині.
Оскільки n ⊥α , то вектор n перпендикулярний до будь-якого вектора площини α . Тому
якщо Mx yz;; () — довільна точка площини α , то nM M ⊥ 0 , тобто nM M ⋅= 0 0. Більш того, якщо вектори n і MM 0 перпендикулярні, то, оскільки
площина, що проходить через точку M0 перпендикулярно до вектора n , єдина, маємо
O z nA BC;; () a M0 M
zz
Ax xB yy Cz z () +−() +−() = 00 0 0 .
розкриття
Ax By Cz Ax By Cz ++ +−() = 00 0 0 .
Позначивши числовий вираз у дужках через D, одержуємо шукане рівняння, причому оскільки n ≠ 0 , то числа A, B і C не дорівнюють нулю одночасно. Покажемо тепер, що будь-яке рівняння вигляду Ax By Cz D ++ += 0 задає в просторі площину. Справді, нехай xy z 000 ;; () — один із розв’язків даного рівняння. Тоді Ax By Cz D 00 0 0 ++ += . Віднімаючи
координати цієї точки
рівняння, маємо: 32 31 21 0 () += D , 70 += D , D =−7 . Отже, рівняння 33 27 0 xy z −= шукане.
Відповідь: 33 27 0 xy z −= .
Cz D ++ = 0 паралельна
Ox (рис. 279, б ); • якщо два з коефіцієнтів A, B і C дорівнюють нулю, а D ≠ 0, площина паралельна одній із координатних площин: наприклад, за умов A = 0 і B = 0 вектор нормалі nC 00;; ()
, а площина Cz D += 0 паралельна площині Oxy (рис. 279, в);
• якщо два з коефіцієнтів
рівнянням площини Oyz (рис. 279, г). Пропонуємо вам самостійно
18.2.
у прямокутній декартовій
координат у просторі
Для дослідження взаємного розміщення площин у просторі ми будемо пов’язувати з ними певні прямі. Отже, спочатку знайдемо рівняння прямої у тривимірній прямокутній декартовій системі координат.
Нехай у просторі дано пряму k (рис. 280). Виберемо ненульовий вектор pl mn;; (), який паралельний даній прямій або належить їй (такий вектор називають напрямним вектором прямої k), і зафіксуємо точку Mx yz 0000 ;; (), яка належить даній прямій. Маємо: довільна точка простору Mx yz;; () належатиме прямій k тоді й тільки тоді, коли вектори p і MM 0 колінеарні, тобто існує число t таке, що MM tp 0 = . Подамо цю векторну рівність у координатній формі.
Розділ ІV. Координати, вектори та геометричні перетворення в просторі
Зауважимо, що відповідь у цій задачі може мати й інший вигляд: зокрема, в чисельниках дробів можна використати координати точки B, а як напрямний вектор розглядати
будь-який ненульовий вектор, колінеарний AB (наприклад, вектор BA ).
Узагалі, якщо пряма в просторі задана
двома точками Mx yz 0000 ;; () і Mx yz 1111 ;; (),
то MM xx yy zz 01101010 () ;; — напрямний вектор прямої, а у
канонічні рівняння прямої M0M1 мають вигляд
Проаналізуємо тепер окремі
ного розміщення двох площин у
но, що коли nA BC;; () — вектор нормалі до площини α , то всі ненульові вектори, колінеарні n , також є векторами нормалі
го випливає, що дві площини, задані рівняннями Ax By Cz D 11110 ++ += і Ax
Нехай Mx yz;; () —
точка сфери з радіусом R і центром Oa bc;; () (рис. 282). Від-
Наслідок Сфера радіуса R
xy zR 22 22 ++ = .
що
рівняннями,
із центром у точці Oa bc;; () задається нерівністю xa yb zc R () +−() +−() 2222 (переконайтеся в цьому самостійно). Задача
736. Назвіть координати
n 624 ;; () ? Чи можна записати рівняння даної площини у вигляді 62450 xy z −+ += ?
737. Площина
xy z −+ += 410 ;
738. Назвіть центр і радіус сфери,
а) xy z () ++() +−() = 1326 224 2 ;
xy z 2228 ++ = . б) xy z + () ++ () = 5612 21 22 ;
Моделюємо
К 739. Використовуючи програму Geogebra
інший графічний редактор із підтримкою 3D-моделювання, побудуйте зображення сфери із центром у точці 211 ;; () і радіусом 3.
К 740. За допомогою графічного редактора змоделюйте площину, яка проходить через точки з координатами 120 ;; () , 210 ;; () , 021 ;; () . З’ясуйте, чи проходить ця площина через початок координат. A a Розв’язуємо задачі*
Рівень А
741. Запишіть рівняння площини, яка: а) проходить через точку C перпендикулярно до вектора AB , якщо A 123 ;; () , B 504 ;; () , C 213 ;; () ; б) проходить через початок координат O перпендикулярно до вектора OM , якщо M 712 ;; () .
742. Запишіть рівняння площини, яка перпендикулярна до відрізка AB і проходить через його середину, якщо A () 610 ;; , B 438 ;; () .
743. Запишіть рівняння прямої з напрямним вектором p 143 ;; () , яка проходить через точку M 111 ;; () .
744. Запишіть рівняння прямої AB, якщо A 403 ;; (), B 112 ;; ().
745. Доведіть, що: а) прямі xy
паралельні; б) площини 290 xy
746. Доведіть, що:
Рівень Б
748 (опорна). Площина, яка перетинає осі координат у точках a;;00 () , 00 ;; b () і 00;; c () , де a ≠ 0 , b ≠ 0 , c ≠ 0 , задається рівнян-
ням x a y b z c ++ = 1 (рівняння площини у відрізках на осях). Доведіть.
749. Запишіть рівняння площини, яка проходить через точки:
а) A 300 ;; () , B 020 ;; () , C 001 ;; () ; б) A 123 ;; () , B 432 ;; (), C 701 ;; () .
750. Запишіть рівняння площини, яка паралельна площині xy z −+ −= 2340 і проходить через точку M () 113 ;; .
751. Одна з граней паралелепіпеда лежить у площині 340 xy z += . Запишіть рівняння площини, яка містить протилежну грань, якщо одна з вершин паралелепіпеда має координати 312 ;; () .
752. Запишіть рівняння прямої, яка проходить через точку M 112 ;; () і паралельна прямій xy z −+ == 3 4 1 6 5 5 .
753. Знайдіть координати точки перетину прямої xy z −+
і площини xy z ++ −=50 .
754. Запишіть рівняння прямої, яка проходить через початок координат і ділить навпіл відрізок AB, якщо A () 215 ;; , B 631 ;; () .
755 (опорна). Кут ϕ між прямою
щиною з вектором нормалі n визначається
756. Знайдіть кут між: а) площинами xy z +− += 240 і xz = 50 ; б) прямими xy z −+ + == 3 8 1 2 5 1 і xy z 1 4 2 6 4 == + ; в) площиною xz = 30 і прямою
757. Знайдіть значення a і b, при яких: а) пряма xy z +− == 8 3 1 21 і площина ax by z ++ += 270 перпендикулярні; б) площини ax by z +− −=30 і 26250 xy z += паралельні.
758. Запишіть рівняння сфери:
а) з діаметром AB, якщо A () 320 ;; , B 122 ;; () ;
б) з центром O () 234 ;; , яка дотикається до площини Oxy;
центр
xx yy zz 222246100 −+ ++− += , а радіус дорівнює діаметру цієї сфери.
759. Запишіть рівняння сфери:
а) з радіусом MN, якщо M 012 ;; (), N () 156 ;; ; б) з центром O () 341 ;; , яка дотикається до осі аплікат. Рівень В
760. Знайдіть геометричне місце точок простору, рівновіддалених від початку координат і точки M 846 ;; ().
761. Запишіть рівняння площини, яка
B 1025 ;; ()
§ 18. Рівняння фігур у просторі
767. Усі вершини куба належать сфері. За допомогою координатного методу доведіть, що сума квадратів відстаней від точки сфери, описаної навколо куба, до вершин куба не залежить від вибору точки.
768. Дано піраміду PABC, ребра якої PA a = , PB b = і PC c = попарно перпендикулярні. За допомогою координатного методу знайдіть відстань від точки P до площини ABC () .
769. Дано куб ABCDAB CD11 11 з ребром а. За допомогою координатного методу знайдіть:
а) кут та відстань між прямими AD 1 і DC 1 ; б) кут між площинами AB D 11 () і AC D 11 () ;
в) кут між прямою AB1 і площиною AD C1 () ;
г) відстань між площинами ABD 1 ()і CB D 11 () .
Тестове завдання для самоперевірки № 4
1. На рис. 283 AB ⊥α , a ⊂α , AO OB = . Серед даних тверджень виберіть неправильне.
А Точки A і B симетричні відносно точки O.
Б Точки A і B симетричні відносно прямої a. В Точки A і B симетричні відносно площини α .
Г Паралельне перенесення на вектор AB переводить
Розділ ІV. Координати, вектори та геометричні перетворення в просторі
3. Знайдіть координати середини відрізка з кінцями M () 714 ;; і N () 130 ;; .
А () 414 ;; В () 422 ;;
Б () 412 ;; Г () 322 ;;
4. Дано куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 285). Унаслідок паралельного перенесення відрізок A1B переходить у відрізок D1C. Назвіть площину, у яку внаслідок такого перенесення переходить площина AA1B1.
А DB1B В AA1C1
Б DCC1 Г ABC
285
5. Площина α є площиною симетрії трикутника ABC, який не лежить у даній площині. Серед даних тверджень виберіть неправильне.
А ABC () ⊥α .
Б Трикутник ABC рівнобедрений.
В Трикутник ABC має центр симетрії.
Г Трикутник ABC має вісь симетрії.
6. Дано куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 285). Знайдіть AB BC DD 11 1 +− .
А AC 1 В BD 1
Б BD 1 Г AC1
Онлайн-тестування № 4
Ненульові вектори називаються колінеарними, якщо вони
на паралельних прямих. Вектори AB і CD співнапрямлені. Вектори AB
aa aa 123 ;; () обчислюється за формулою a aaa=+ + 1 2 2 2 3 2 A B F E C D AB CD ↑↑ , AB EF ↑↓ a aa+−() = 0 aa+−() = 0
Додавання векторів
Сумою векторів aa aa 123 ;; () і bb bb 123 ;; () називається вектор cc cc 123 ;; ()
з координатами ca b 11 1 =+ , ca b 22 2 =+ , ca b 33 3 =+ , тобто
aa ab bb ab a 123123112 ;;;;;() + () =+ + b ba b 233 ; + ()
Побудова суми векторів
Правило
трикутника a
b
+c
Віднімання векторів
Різницею векторів aa aa 123 ;; () і bb bb 123 ;; () називається такий
cc cc 123 ;; () , який у сумі з вектором b дає вектор a , тобто bc a += :
aa ab bb ab a 123123112 ;;;;;() () =− b ba b 233 ; () Побудова різниці векторів
вається вектор ka ka ka 123 ;; () , який позначають ka або ak : ka ka = . Якщо a і b — колінеарні вектори, то існує число k таке, що bka = , і навпаки: якщо для ненульових векторів a і b справджу-
aa
скалярним квадратом вектора a : a aaa a 2 1 2 2 2 3 22 =+ += .
: cos, ∠ () = ab ab ab
1.
Контрольні запитання до розділу ІV
2.
3.
4. Опишіть перетворення подібності й гомотетію в просторі.
5. Які поняття й властивості, пов’язані з векторами, у стереометрії збігаються з планіметричними? Дайте відповідні означення, запишіть формули.
6. Які поняття й властивості, пов’язані з векторами, у стереометрії відрізняються від планіметричних? Дайте відповідні означення, запишіть формули.
7. Які вектори називаються компланарними? Сформулюйте і доведіть теорему про розкладання вектора
торами.
8. Доведіть рівняння площини
системі координат.
9. Опишіть застосування рівняння площини.
10. Доведіть рівняння сфери в декартовій системі координат. Додаткові
770. Знайдіть відстань від точки A () 413 ;; до точок, симетричних їй відносно: а) координатних площин; в) осей координат. б) початку координат;
771. Вектори a () 714 ;; і b () 142 ;; відкладені від спільного початку. Знайдіть відстань між
772. Унаслідок переміщення точка Ax yz;; () переходить у точку B. Наведіть приклад такого переміщення, якщо: а) Bx yz () ;; ; в) By xz;; () . б) Bx yz;; () ;
773. Доведіть, що дві площини, симетричні відносно точки, через яку вони не проходять, паралельні.
К
774. Основа чотирикутної піраміди PABCD — квадрат ABCD, а всі бічні ребра рівні. Унаслідок симетрії відносно площини основи точка P переходить у точку P1 (рис. 286). Доведіть, що:
а) PA PB PC PD PP ++ += 21 ; б) PB BP DB −= 1 .
775. Вектори ab + 2 і ab 3 колінеарні. Доведіть, що вектори a і b колінеарні.
776. Дано точки A () 403 ;; і B 148 ;; () . Під яким кутом відрізок AB видно з початку координат?
777. Доведіть, що точки A () 121 ;; , B 542 ;; (), C 117 ;; () є вершинами рівнобедреного трикутника.
778. Визначте вид чотирикутника ABCD, якщо A 111 ;; () , B () 313 ;; , C () 753 ;; , D () 791 ;; .
779. Промені OA, OB і OC попарно перпендикулярні. Доведіть векторним методом, що трикутник ABC гострокутний.
780. Розбийтеся на невеличкі команди. Влаштуйте змагання з пошуку в мережі Інтернет фактів про застосування координат, векторів та переміщень у просторі. Кожній команді дозволяється використовувати лише один технічний пристрій (комп’ютер, ноутбук, смартфон, планшет і т. д.).
К
781. Знайдіть у мережі Інтернет навчальні відеороліки з теми «Координати та вектори». Розповсюдьте посилання на відповідні ресурси серед своїх однокласників та однокласниць. Задачі
782.
783.
785. У трикутній призмі ABCA1B1C1 точки K, M і N належать бічним ребрам AA1, BB1 і CC1 відповідно. Доведіть, що точки перетину медіан трикутників ABC, A1B1C1 і KMN лежать на одній прямій.
786. Усі ребра тетраедра PABC дорівнюють a. Знайдіть векторним методом кут і відстань між AB і PC.
787. Дано куб ABCDAB CD11 11 з ребром a. Знайдіть векторним методом відстань і кут між прямими: а) AC і BD 1 ; б) AD 1 і DC 1 .
788. У тетраедрі PABC точка O — точка перетину медіан
791. Дано тетраедр PABC; b1 , b 2, b 3 — бісектриси кутів BPC, CPA, APB відповідно. Доведіть, що за умови bb12 ⊥ кожна з бісектрис b1 , b 2 перпендикулярна до b 3.
792. Знайдіть кількість розв’язків рівняння xy zx yz a () ++ ++ () += 11 222222 за умови: а) a = 1 ; б) a = 2 ; в) a = 2.
карта (1596–1660) і П’єра Ферма (1601–1665). Ферма на початку XVII століття займався відновленням утрачених робіт давньогрецьких учених,
лонія Перзького, і, вийшовши за межі
Додатки
Додаток 1. Про аксіоми стереометрії
ночасно з геометрією на площині.
як просторові предмети, що
«планум» (площина), виник
від грецького кореня «стереос» (простір). Однак у процесі
просторових тіл з’ясувалося, що саме
підґрунтям стереометрії.
пряму, і тільки одну. A B C
A B C
AC = AB + BC
A B
III.
IV.
A C B a α β
O B AOB = 180° A C B O
V. Пряма розбиває площину на дві півплощини. Якщо кінці відрізка належать одній півплощині, то відрізок не перетинає пряму. Якщо кінці відрізка належать різним півплощинам, то відрізок перетинає пряму.
VІ. Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180°. Якщо промінь ділить кут на два кути, то градусна міра даного кута дорівнює сумі градусних мір двох отриманих кутів.
відкласти в
півплощину кут із заданою градусною мірою, меншою за 180° , і тільки один.
VІII. Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює
S1 S2
S1 = S2 Х. Рівні многокутники мають рівні
S1 S2 S3
S = S1 + S2 + S3
S 1 1
S = 1 кв. од.
і стереометрії. Насамперед, розширимо
1.
прямій.
2. Через три точки,
і тільки одну.
3. Яка б не була площина, існують точки
і точки, що не належать їй.
4. У будь-якій площині виконується планіметрія, тобто всі планіметричні аксіоми і теореми.
5. Через будь-які дві точки простору
одну.
6. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони
7.
З аксіом 1 і 5 випливає, що через будь-яку точку простору
можна провести пряму, а для будь-якої прямої існують точки, які їй не належать. Також із цих аксіом випливає, що в просторі існує
принаймні одна пряма.
З аксіом 1 і 2 випливає, що в просторі існує принаймні одна
площина.
З аксіом 1 і 3 випливає, що не всі точки простору містяться в одній площині, а тим більше — на одній прямій. Так само і на
площині — з аксіоми про те, що для будь-якої прямої існують точки, що їй не належать, випливає, що не всі точки площини лежать на одній прямій.
За відповідною теоремою, доведеною в п. 2.2, через пряму і точку, що не належить даній прямій, можна провести площину. За аксіомами планіметрії на даній прямій існують точки площини. Отже, і в просторі, як і на площині, для будь-якої прямої існують точки, що належать даній прямій, і точки, що не належать їй. Звернемо особливу увагу на аксіому 4, згідно з якою в кожній площині виконуються всі аксіоми і теореми планіметрії. У зв’язку з цим зазначимо
для тривимірного простору взагалі. Ось чому, наприклад, аксіома 5
наслідком відповідної аксіоми планіметрії. Більш того, окремі теореми планіметрії справедливі й для фігур у просторі — до таких належать, зокрема, ознаки рівності й подібності трикутників, які справджуються для трикутників, що не лежать в одній площині (подаємо цей факт без доведення).
Узагалі, проблема відповідності окремих понять і фактів на
площині й у просторі цікавила вчених ще починаючи з Лобачевського, який свого часу запропонував не розділяти планіметрію та стереометрію, а викладати їх паралельно. Такий підхід не втратив свого значення й сьогодні. Далі ми застосуємо
проходить безліч площин.
розглянуті задачі свідчать про те, що формулювання й способи доведення деяких геометричних фактів на площині й у просторі аналогічні. Але така аналогія в деяких ситуаціях може порушуватися: інколи твердження, яке в планіметрії є аксіомою, допомагає сформулювати аналогічний стереометричний факт, але в просторі він уже потребує дове-
дення. Найчастіше це доведення ґрунтується саме на відповідній аксіомі планіметрії: наприклад, у площині через точку поза даною прямою можна провести не більше від однієї
прямої, паралельної даній (аксіома Евкліда),
а в просторі цей факт є частиною теореми (див.
п. 3.3), доведення якої зводиться зрештою до
застосування аксіоми Евкліда.
Наведемо ще одну подібну аналогію.
За аксіомою планіметрії кожна пряма розбиває площину на дві частини — півплощини, причому якщо кінці відрізка належать одній півплощині, то
точки X1 і X2 фігури F1, які не збігаються з точкою A.
та точку A можна провести не менше від
площини. Якщо ця площина не має спільних точок з α , то відрізок XX12 , який належить площині AX X 12 , не перетинає
Аналогічно доводиться, що коли точки Y1
і Y2 належать фігурі F2 , то відрізок YY12 не перетинає α (рис. 290, б ), а коли XF ∈ 1 , YF ∈ 2 , то відрізок XY перетинає α (рис. 290, в). Доведіть ці твердження самостійно.
І нарешті, наведемо ще дві задачі на площині й у просторі, розв’язування яких ґрунтується
відповідно на щойно розглянутій аксіомі про півплощини й теоремі про півпростори.
Задача 2.1
На площині пряма, яка не містить вершини трикутника і перетинає одну з його сторін,
Розв’язання
Нехай у площині α дано трикутник
і пряму a, яка не містить точок A, B і C та
відрізок AB. За аксіомою
ни β і γ (рис. 291).
Нехай B ∈β , A ∈γ . Оскільки точка C не належить прямій a, то або C ∈β , або C ∈γ .
AB, AC і BC
є трикутником.
У випадку, коли AF ∈ 2 , CF ∈ 1 (рис. 292, б ), площина α перетинає відрізки PA, PB, CA і CB, але не перетинає відрізки AB і PC . Отже, переріз тетраедра площиною є чотирикутником.
Означення
Геометричним місцем точок (скорочено ГМТ ), які задовольняють певну умову, в просторі називається фігура, що складається з усіх точок простору, які задовольняють цю умову.
Для доведення того, що фігура F є геометричним місцем точок, які задовольняють умову P, треба довести два твердження:
1) якщо точка X належить фігурі F, то вона
задовольняє умову P;
2) якщо точка Y задовольняє умову P, то вона належить фігурі F. Очевидно, що замість другого твердження можна доводити таке:
′2 ) якщо точка Y не належить фігурі F, то вона
не задовольняє умову P.
Нагадаємо три геометричних місця точок на
площині, які використовуються найчастіше, та наведемо їх просторові аналоги.
1) Геометричним місцем точок площини, які
розміщені на заданій відстані R від даної
точки O цієї площини, є коло з центром O та радіусом R (рис. 293, а).
У просторі геометричним місцем точок, які розміщені на заданій відстані R від даної точки O, є сфера з центром O та радіусом R (рис. 293, б ). Цей факт безпосередньо випливає з означення сфери.
2) Геометричним
Рис. 293. Геометричне місце точок, віддалених
Рис. 294. Геометричне місце точок площини, рівновіддалених від
Нехай точка C — середина відрізка AB. За доведеним у п. 8.2 існує єдина
, яка проходить через точку C і перпендикулярна до AB. Доведемо, що α є шуканим ГМТ.
Очевидно, що точка C площини α належить шуканому ГМТ. Розглянемо довільну точку X, яка належить площині α і не збігається з C (рис. 295, а). Тоді за означенням перпендикулярності прямої та площини AB CX ⊥ . Отже, у трикутнику AXB медіана XC є
тою. Це означає, що трикутник AXB рівнобедрений з основою AB, отже, AX XB = , тобто точка X рівновіддалена від A і B. Оскільки X
точка площини α , то всі точки площини α належать шуканому ГМТ. Доведемо методом від супротивного, що, крім точок площини α , інших точок, рівновіддалених від A і B, у просторі немає. Дійсно, нехай деяка точка Y, рівновіддалена від A і B, не належить площині α (рис. 295, б ). Тоді YC — медіана рівнобедреного трикутника
3) Геометричним місцем точок площини, що лежать усередині кута й рівновіддалені від його сторін, є бісектриса цього кута (рис. 296). Просторові аналоги цього твердження можна отримати двома способами — або розв’язати цілком аналогічну задачу в просторі, або ще й замінити кут на площині на двогранний кут у просторі.
Теорема (про геометричне місце точок простору, рівновіддалених
Геометричним місцем точок простору, рівновіддалених від сторін
площини даного кута.
Доведення Нехай у площині α дано кут ∠ () ab , з вершиною C, промінь l — його бісектриса (рис. 297, а). Проведемо через точку C пряму c, перпендикулярну до площини α , а через c і l
проведемо площину β . Оскільки c ⊥α , c ⊂β , то за ознакою перпендикулярності площин βα ⊥ . Розглянемо півплощину ′ β площини β , яка містить l і обмежена прямою c. Доведемо, що ′ β є шуканим ГМТ.
З відповідної теореми планіметрії випливає, що всі точки променя l належать шуканому ГМТ. Розглянемо довільну точку X півплощини ′ β , яка не належить променю l (рис. 297, б ).
* Тут і далі домовимось,
Доведемо, що точка X рівновіддалена від променів a і b. Проведемо у півплощині ′ β перпендикуляр XT до l. Оскільки βα ⊥ , то за властивістю перпендикулярних площин XT ⊥α . Нехай TA і TB — перпендикуляри, проведені в площині α до прямих a і b відповідно. Тоді за теоремою про три перпендикуляри XA a ⊥ , XB b ⊥ . Отже, XA і XB — відстані від точки X до a і b відповідно. За властивістю бісектриси кута на площині TA TB = . Тоді XA XB = , оскільки ці відрізки є похилими до площини α , які мають рівні проекції. Отже, будь-яка точка X півплощини ′ β рівно-
Розглянемо бісектор даного кута γ і пря-
му d його перетину з площиною променів a і b.
Оскільки за ознакою перпендикулярності прямої і площини пряма c перпендикулярна до площини
променів a і b, то cd ⊥ (рис. 298, б ).
Тоді кут між a і d є лінійним кутом двогранного кута з гранями α і γ , а кут між променями b і d — лінійним кутом двогранного кута
з гранями β і γ . За означенням бісектора вони рівні, отже, промінь прямої d — бісектриса кута між a і b, яка лежить у площині γ . Таким чином, бісектор можна провести через ребро двогранного кута та бісектрису будьякого його лінійного кута.
Теорема (про геометричне місце точок простору, рівновіддалених від граней
Геометричним місцем точок, рівновіддалених від
кута.
Доведення
Нехай дано двогранний кут із гранями α і β та ребром c; γ — його бісектор (рис. 299, а).
Оскільки пряма c є спільною для площин α і β , то всі точки прямої c можна вважати рівновіддаленими від α і β . Доведемо, що довільна точка X площини γ , яка не належить прямій c, рівновіддалена від α і β . Нехай A, B і C — основи перпендикулярів, проведених із точки X
жать у площині ACB, перпендикулярній
YN, YM і YD до
про три перпендикуляри ND c ⊥ , MD c ⊥ . Отже, YN, YM і YD лежать у площині NDM, перпендикулярній до прямої c, причому YN YM = . Отже, у площині NDM точка Y рівновіддалена від DM і DN, а тому DY — бісектриса кута NDM, який за означенням є лінійним кутом
DY ⊂γ , а зокрема, Y ∈γ .
що точка C
γ , яка не збігається з точкою C (рис. 302, б ). Якщо D — точка перетину променя AX з площиною β , то прямі CX і BD лежать в одній площині BAD і не мають спільних точок, оскільки γβ , CX ⊂γ ,
β . Якщо точки Y і C
серединою відрізка
з кінцями на α і β , а отже, за результатами, отриманими в попередній задачі, Y ∈γ
Нескладно
Додатки
прямій l, так і в
перпендикулярно до ребра AS і ділить його
(рис. 305). Оскільки пряма AS не лежить у
ABC і не паралельна цій площині, то пряма l і площина α перетинаються в деякій точці O. Точка O рівновіддалена від вершин S, A, B, C
Знайдена точка O є центром сфери, яка проходить через усі вершини
OS OA OB OC R == == = ... , де R — радіус сфери.
На завершення пропонуємо
1. У просторі знайдіть
2. У просторі знайдіть геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних площин, що перетинаються.
3. Три прямі попарно мимобіжні. Доведіть, що існує безліч прямих, які перетинають усі три дані прямі.
4. Три прямі попарно мимобіжні. Доведіть, що існує єдиний паралелепіпед, три ребра якого лежать на даних прямих.
5. Знайдіть геометричне місце точок, рівновіддалених від граней піраміди, основа якої — правильний многокутник, а
ребра рівні.
Розділ І
21. 6. 22. 4. 23. 11 см або 5 см. 24. 8 см. 26. а) KC; б) AC; в) AD. 30. 3; 6; nn ( )1 2 .
31. 90° або 30°; ні. 68. 24 см2. 78. 8 см. тестове завдання для самоперевірки № 1. 1. А. 2. Г. 3. Г. 4. Б. 5. В. 6. Б.
Розділ ІІ
95. а) Мимобіжні або перетинаються; б) мимобіжні або перетинаються.
101. а) ab ; б) мимобіжні або перетинаються. 102. Ні. 104. а) MN BC ; б) 20 см2. 105. б) 6 см, 8 см, 10 см. 106. а) 8 см; б) 12 см; в) 8 см. 107. Якщо не перетинає — 8 см, якщо перетинає — 2 см. 109. Мимобіжні. 110. Вказівка. Указані відрізки, узяті попарно, є діагоналями трьох паралелограмів. 112. а) 12 см; б) ac b +− . Вказівка. Знайдіть довжину відрізка OO1 . 113. а) 16 см; б) ac + . Вказівка. Через
точку O перетину діагоналей паралелограма проведіть пряму OO1 , паралельну даним прямим OO O 11 ∩ α= ( ) і знайдіть довжину відрізка OO1 . 114. 9 см. 130. Паралельні або перетинаються. 135. б) 6 см. 136. б) 15 см. 139. Вказівка. До даного твердження слід додати «або лежить в одній із них». 143. Вказівка. Доведіть від супротивного, що пряма a перетинає площину β , а пряма b — площину α . 144. Паралелограм. 152. Пряма, яка проходить через точку M і паралельна сторонам BC і AD. 153. 12 см, 15 см і 21 см.
177. Коли дана точка лежить у площині даних прямих. 178. а) 16 см; б) 10 см і 5 см. 179. 64 см2. 181. 12 см. 186. а) Ні; б) так. 187. Якщо прямі a і b перетинаються. 188. Паралельна α . 189. Вказівка. Проведіть через точку О довільну пряму, яка перетинає α і β , і доведіть подібність трикутників, що утворилися (див. рис. 81). 194. Ні. 196. 21 см і 28 см або 3 см і 4 см. Вказівка. Розгляньте різні випадки взаємного розміщення на прямій точок A1 , A2 і A3 . 197. Вказівка. Проведіть через прямі a і b площини, паралельні γ . 198. Якщо ab M ∩ = , то шуканою є пряма CM; якщо ab , то шукана пряма проходить через точку C паралельно прямим a і b. 217. 9 см. 218. 18 см. 220. Вказівка. Побудуйте точки, симетричні точкам ′ A і ′B відносно точки ′ O . 221. Вказівка. Шуканий
242. Паралельно лінії перетину даних площин. 244. 12 см. 245. а) Ні; б) так. 246. Ні. 250. Вказівка. Основа шуканої
бісектриси ділить зображення третьої сторони у відношенні 23 : . 253. Вказівка. Проведіть довільну площину, яка не проходить через дану точку, і побудуйте в цій площині коло. Шукані прямі проходять через дану точку й три точки кола (рис. 306). 260. Паралелограм. 263. Одна; неможливо.
266. Вказівка. Одна з діагоналей квадрата ділить навпіл будь-яку хорду, паралельну другій діагоналі. Отже, зображення двох перпендикулярних діаметрів кола (спряжені діаметри еліпса) мають таку саму властивість. 267. ab c ++ 3 . 268. 43 см. Вказівка. Доведіть, що центр описаного кола
ділить висоту трикутника, проведену до основи, у відношенні 72:5 , починаючи від основи трикутника. 269. Вказівка.
Нехай ABC — зображення даного трикутника, AB C1 — зображення правильного трикутника, BABC 1 ∉() (рис. 307).
Унаслідок паралельного проекціювання в напрямку BB 1 медіани трикутника AB C1 перейдуть у медіани трикутника ABC, а точка перетину Z1 медіан трикутника AB C1 — у точку перетину Z медіан трикутника ABC.
а) 90
320. a 2 . 322. 13 см. 323. 9 см. 324. 8 см. 325. 36 см. 328. Вказівка. Доведіть, що
CD MAD ⊥ () . 329. Вказівка. Доведіть, що BD MAC ⊥ () . 330. Площину, яка перпен-
дикулярна до a і проходить через точку A. 331. bd c 22 2 +− . 332. Вказівка. З довільної точки прямої a проведіть пряму c, перпендикулярну до b. Площина прямих a і c перпендикулярна до b. 333. 40° . Вказівка. Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений з основою AC. 334. 10 см. Вказівка. Доведіть, що ∠= ° ACB 90 . 335. 7 см. 336. 11 см або 25 см. 347. а) 4 см; б) 123 см, 24 см; в) 9 см, 12 см. 348. а) 42 см; б) 4 см. 349. 8 см. 350. 93 см. 351. 24 см. 352. 13 см. 354. 05 , d . 355. 8 см. 356. 9 см. 357. 12 см. 358. a і d або b і c. 359. 8,5 см. Вказівка. Урахуйте, що перша сторінка тому 1 є найближчою до тому 2. 360. 25 м. 361. 15 см. 363. 6 см. 364. 25 см. 365. 13 см. 366. 120° . 368. 12 см. 369. 65 см. 370. 13 см. 371. 432 см2. 372. 25 см.
374. 12 см. 375. arcsin 6 3 . 377. 12 см. Вказівка. Доведіть, що основа шуканого перпендикуляра є серединою більшої основи трапеції. 378. 10 см. 379. 1152 см2. 380. 216 см2 або 18319 см2. 381. 6 см. 383. а) Площина, паралельна даним прямим і рівновіддалена від них; б) площина, паралельна даним площинам і рівновіддалена від них. 384. Площина, паралельна α і рівновіддалена від A і α . 385. Площина, паралельна даним площинам і рівновіддалена від них. 386. 12 см. 387. 6 см. 396. а) 10 см; б) 10 см. 399. 12 см. 400. 144 см2. 401. C. 402. C. 404. 25 см. 405. 123 см2. 406. 10 см, 241 см. 407. 3 см. 409. 16 см. 410. 5 см. 411. 200 см2. 412. 16 см. 414. 5 см. 415. 9 см. 416. 5 см. 417. 8 см. 418. 1 2 2 c sin α . 433. а) 6 см; б) l sin ϕ .
434. ≈ 1743 , м. 435. Так. 436. а) 45°; б) 45° . 437. а) 30°; б) 92 см. 440. а) 16 см; б) 6 см. 441. 60° . 442. 25 см. 443. 60° . 444. Ні. 445. Ні.
446. Пряма
448. 61 см. 449. 5 см. 451. 37 см. 452. 30° і arcsin 2 3 . 454. 19 см. 455. 60° .
456. 45° . 457. 7 см. 458. 45° . 459. 45° . 460. Вказівка. Знайдіть точку перетину F
мої AB з ребром кута; шукана точка є
прямих FC і a. 461. 60° . 462. 10 см. 463. 12 см. 465. 26 см. Вказівка. Нехай MA = 1 см, MB = 22 см, MC — шукана відстань. Тоді чотирикутник MACB є вписаним у коло, ∠= ° AMB 120 , MC — діаметр кола, який можна знайти з трикутника AMB за допомогою теореми синусів. 466. Ні; так. 467. 30°, 90° . 483. 30°, 45° . 484. а) 17 см; б) 32 см; в) 16 см і 15 см. 485. 62 см, 63 см. 486. б) 30 см. 487. а) 10 см; б) 66 см. 488. а) 102 см; б) 102 см. 495. 13 см. 496. 16 см і 30 см. 497. 6 см. 498. 10 см. 500. Дві площини, які проходять через бісектриси кутів, утворених даними прямими, і перпендикулярні до площини даних прямих. 501. Площина, яка перпендикулярна до площини даного кута і проходить
через його бісектрису. 502. 20 см. 503. 337 см. 504. 22 3 см. Вказівка. Нехай D — середина сторони AB. Доведіть перпендикулярність площин APB і POD. 505. 12 см. Вказівка. Нехай M — середина сторони BC. Доведіть перпендикулярність площин ABC
на з точок A і C1 рівновіддалена від вершин трикутника ABD 1 . 541. Так. Вказівка: долоні дівчинки опиняться вище 7-ї полиці. 542. 60 ° . 543. 60 °, 30 ° .
545. h tg α . 546. ha + tg β . 548. arccos 1 3 . 549. ≈ 27 см. 554. a 2 4 . 555. а) 45°;
точок A1 і D, точка L — проекція точок B1 і C, DL 1 — проекція DC 1 , KM DL ⊥ 1 , KМ — шукана відстань. Розділ ІV
576. Oxy. 577. Ox. 578. D () 788 ;; . 580. а) 3; б) 5; в) 17. 581. A. 583. 080 ;; () . 586. а) By z () 2;; , де y, z такі, що точки A і B не збігаються; б) Bx;; () 43 , де x ≠−2 . 587. а) a = 2, b = 3; б) a = 2; b = 1 . 588. A 002 ;; () , B () 860 ;; . 589. а) M () 432 ;; ; б) B () 232 ;; . 590. 11. 591. AB. 592. 023 ;; () . 594. –1; 3. 595. 8 розв’язків: ±± ± () 675 ;; . 596. 23. 597. 8 розв’язків: M ±± ±
685. a 031 ;; () , b 412 ;; () . 686. а) –1; б) 2; в) –2. 687. а) C лежить між A і B; б) не
лежать; в) A лежить між B і C. 689. 60° . 690. а) –3; б) 50; в) 28. 691. Вказівка. До-
будуйте даний тетраедр до паралелепіпеда. 694. C 130 ;; () . Вказівка. Скористайтеся
колінеарністю векторів AC і BC . 696. Ні. 699. 2. Вказівка. Знайдіть ab c ++ () 2 або
знайдіть ab + і застосуйте теорему Піфагора. 700. 45°, 120°, 60° . 702. AC ab=+ 2 3 2 3 . 709. Так, якщо вектори b і c колінеарні. 714. в) −+ab c . 715. а) 22 AD BC CE ++ ; б) AC AB PC 1 2 . 717. 3 Н. 718. а) Ні; б) так. 720. 60° . 721. а) ab c ++ 05 , ; б) 05 , ab c −+ ; в) −+0505 ,,ab c . 722. Так. Вказівка. Скористайтеся тим, що ED EC CD EP PD =+ =+ . 723. 3PO PB PC . Вказівка.
діан трикутника. 724. Вказівка. Скористайтеся
компланарності векторів. 725. Вказівка.
AB , BC і AC за векторами
PA , PB і PC . 728. 60
так, щоб дані промені
730. Вказівка. Скористайтеся правилом
752. xy z == 1 4 1 6 2 5 . 753. (1; –1; 5). 754. xy z 213 == . 756. а) 30 °; б) 90 °; в) 60 ° . 757. а) a = 6 , b =−4 ; б) a = 1 , b =−3 . 758. а) xy z + () ++ () = 119 222 ; б) xy z + () +−() +−() = 2341 226 2 ; в) xy z () ++() +−() = 1231 226 2 . 759. а) xy z + () +−() ++() = 1568 221 2 xy z +−() ++() = 1568 221 2 або xy z 2221281+−() +−() = . б) xy z + () +−() +−() = 3412 225 2 . 760. Площина 423290 xy z −+ −= . 761. xy+− = 260 . 762. 171316100 xy z −= . 763. а) збігаються; б) паралельні; в) перетинаються в точці (4; 4; 3); г) мимобіжні. 765. Сфера
xy z () ++() +−() = 3561 2221 2 без точок A та B . 766. 23 3 . 768. abc ab bc ac 22 22 22 ++ .
769. а) 60°, a 3 ; б) arccos 1 3 ; в) arcsin 2 3 ; г) 3 3 . тестове завдання для самоперевірки №
за векторами OA , OB і OC . 782. C () 120 ;; ; точка C. 784. Дві або три. 786. 90°; a 2 2 . Вказівка. Розгляньте вектор LK , перпендикулярний
вказані вектори за векторами aPA = , bPB = , cPC = . 224. а) a 6 6 ; 90°; б) a 3 3 ; 60° .
788. 12 : . Вказівка. Розкладіть вектор PS xPO=⋅ за векторами aPM = , bPN = , cPK = . Скористайтеся результатом задачі 729 для точок M, N, K, S та знайдіть x. 790. Вказівка. Застосуйте властивості скалярного добутку векторів. 791. Вказівка. Застосуйте векторний критерій перпендикулярності прямих. 792. а) Жодного; б) безліч; в) безліч. Вказівка. Розгляньте відстані від точки Mx yz;; () до точок A 100 ;; () і B 010 ;; () .
Аксіоми стереометрії 9–11
Бісектор двогранного кута 268
Вектор 206
Вектори рівні 206
—
компланарні 220
Віднімання векторів 208
Відстань у просторі
—
від прямої до паралельної
їй площини 120
— від точки до відрізка 162
— від точки до
півплощини 162
— від точки до площини 119
—
від точки до променя 162
— від точки до фігури 161
—
між паралельними
площинами
— між мимобіжними
прямими 158
—
між фігурами 163
Вісь абсцис 182
— аплікат 182
— ординат 182
Властивості
—
паралельних площин 63
— паралельного
проекціювання 72–73
— перпендикуляра, похилих і проекцій 117
— прямої, паралельної
площині 53
Геометричне місце точок (ГМТ) 277
Градусна міра двогранного
кута 149 Д
Добуток вектора на число 220 Додавання векторів 219
Еліпс 80
Координати вектора 218
— точки 193
Координатні площини 193
Кут
—
двогранний 148
— лінійний двогранного
кута 148
—
між векторами 223
— між мимобіжними
прямими 107
— між площинами, що
перетинаються 150
— між прямими, що
перетинаються 105
— між прямою
і площиною 146 М
Метод векторний 236
— координат 238
— слідів 26, 84
Многогранник 8
Ознака
—
мимобіжних прямих 42 —
належності прямої
площині 19
—
—
паралельності площин 60
паралельності прямих 41 —
паралельності прямої
і площини 52
—
перпендикулярності
площин 148
—
перпендикулярності
прямих 99
—
перпендикулярності прямої
і площини 105
Паралельне перенесення
в просторі 199
—
проекціювання 71
Паралельні проекції плоских
фігур 74–75
Переріз многогранника 11
Перпендикуляр до площини 116
Піраміда 8
Площина симетрії 195
Площини паралельні 60
—
перпендикулярні 148
Похила до площини 116
Призма 8
Проекціювання
ортогональне 156
—
паралельне 71
Проекція похилої на
площину 117
Пряма, паралельна площині 51
—
перпендикулярна до площини 104
Прямі мимобіжні 40
— паралельні 38
—
перпендикулярні 100
— що перетинаються 38
Прямокутна декартова система
координат 182 Р
Рівняння площини
в просторі 234 — сфери 240
Січна площина 12 Симетрія відносно площини (дзеркальна) 195
—
відносно прямої (осьова) 194
відносно точки (центральна) 194
Скалярний добуток векторів 211
Спільний перпендикуляр до двох
мимобіжних прямих 159 Т
Теорема про ГМТ простору,
— рівновіддалених від граней двогранного кута 269
— рівновіддалених від двох даних точок 266
— рівновіддалених від сторін даного кута 267
Ф
Формула відстані між точками в просторі 186 — площі ортогональної проекції многокутника 156 Формули координат середини відрізка в просторі 185
Навчальний рік Стан
на початку року
1
2 3 4 5
Н. В.
В оформленні підручника використані зображення, розміщені в мережі Інтернет для вільного використання
ТОВ Видавництво «Ранок», вул. Кібальчича, 27, к. 135, Харків, 61071. Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 5215 від 22.09.2016. Адреса редакції: вул. Космічна, 21а, Харків, 61145. E-mail: office@ranok.com.ua. Тел. (057) 719-48-65, тел./факс (057) 719-58-67. Надруковано у ПП «Юнісофт», вул. Морозова,
61036.
O y z Aa aa 123 ;; () Cc cc 123 ;; () Bb bb 123 ;; () x ax yz 111 ;; ()
AB ba ba ba =−() +−() +−() 11 2 22 2 33
AB ba ba ba 112233 () ;;
ax yz 111 ;; ()
bx yz 222 ;; () ab xx yy zz += ++ + () 121212 ;; ab xx yy zz −= () 121212 ;; λλ λλ ax yz 111 ;; ()
xx yy zz ⋅= ++ 121212
ab ab
∠ () cos;
bx yz 222 ;; () ab xx yy zz += ++ + () 121212 ;; ab xx yy zz −= () 121212 ;; O y z x R C O y z x
Ca bc;; () xa yb zc R () +−() +−() = 2222 Ax By Cz D ++ += 0
• багаторівнева побудова навчального матеріалу
• авторська система усних, графічних та письмових вправ
• тематичне узагальнення і систематизація матеріалу
• доступність викладення, зручність користування
Особливості підручника: Інтернет-підтримка
• здійснити інтерактивне онлайн-тестування за кожною темою
• отримати додаткову інформацію
• ознайомитися з темами навчальних проектів, повідомлень і рефератів та джерелами інформації
