SprÄkutvecklande lÀrarhandledning
till Matematik Gamma
Maria Engmark
Carolina ĂystilĂ€
Eva Norén
SprÄkutvecklande lÀrarhandledning
till Matematik Gamma
MED KOPIERINGSUNDERLAG
TILL ELEVERNA
Maria Engmark
Carolina ĂystilĂ€
Eva Norén
LIBER
ISBN 978-91-47-16090-7
© 2025 Maria Engmark, Carolina ĂystilĂ€, Eva NorĂ©n och Liber AB. Text och datautvinning ej tillĂ„ten.
FörlÀggare: Anna Karlberg
Projektledare: Emilie SzakĂ l
Produktionsspecialist: Maria Tholander
Redaktör: Birgitta Fröberg
Formgivning och omslag: Lotta Rennéus och Eva Jerkeman
Bildredaktör: Mikael Myrnerts
Första upplagan 1
Repro: Repro 8 AB, Stockholm
Tryck: People Printing, Kina 2025
KOPIERINGSFĂRBUD
Detta verk Àr skyddat av upphovsrÀttslagen. Kopiering, utöver lÀrares och elevers begrÀnsade rÀtt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, Àr förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrÀttsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet.
IntrÄng i upphovsrÀttshavarens rÀttigheter enligt upphovsrÀttslagen kan medföra straff (böter eller fÀngelse), skadestÄnd och beslag/förstöring av olovligt framstÀllt material. SÄvÀl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. LÀs mer pÄ www.bonuscopyright.se.
Undantag Kopiering Ă€r tillĂ„ten av de sidor som Ă€r markerade âKopiering tillĂ„tenâ. SĂ„dan kopiering fĂ„r endast ske till eleverna pĂ„ den egna skolan. Kopiorna fĂ„r inte pĂ„ nĂ„got sĂ€tt spridas utanför den egna skolans verksamhet. Det innebĂ€r bl.a. att kopiorna endast fĂ„r göras digitalt tillgĂ€ngliga i skolans slutna nĂ€tverk. UpphovsrĂ€ttshavarens ideella upphovsrĂ€tt enligt upphovsrĂ€ttslagen och kĂ€llangivelser i övrigt ska respekteras pĂ„ sĂ€tt som anges i BONUS-avtalet.
Liber AB, 113 98 Stockholm www.liber.se/kundservice www.liber.se
BILDFĂRTECKNING
Illustrationer
Björn Magnusson: faktateckningar s. 5(2), 9, 27, 30, 33, 48, 49, 50, 53, 54, 55, 56, 65(2), 78, 79, 89, 90, 91, 99, 100, 104, 105, 108
Johan Unenge: s. 18, 21, 24, 65(1), 70, 71
Fotografier
Bulatovych/Shutterstock 25 (1)
Donaldytong 25 (2)
AlbertImages/Shutterstock 29
Mulevich/Shutterstock 31
Smit/Shutterstock 32
JK Jeffrey/Shutterstock 33
Kuri Bash/Shutterstock 39 (1)
Narong Khueankaew/Shutterstock 39 (2)
Pixel-Shot/Shutterstock 40
Riksbanken 41
ISEN STOCKER/Shutterstock 42 (1)
Lev Levin/Shutterstock 42 (2)
Svetlana Foote 43
lapandr/Shutterstock 57, 59
David Gail Caballero/Shutterstock 67
Alexander Varbenov/Shutterstock 68
cjml87/Shutterstock 92
Aninka Bongers-Sutherland/Shutterstock 93 (1)
Sheila Fitzgerald/Shutterstock 93 (2)
Woodan/Shutterstock 95
Ryzhkov Serhii/Shutterstock 96 (1)
photomaster/Shutterstock 96 (2)
Eric Isselee/Shutterstock 96 (3)
InnehÄll
DEL 1
SprÄk- och kunskapsutvecklande undervisning i matematik ⹠4
Inledning âą 4
Bakgrund âą 6
SprÄk- och kunskapsutvecklande undervisning ⹠8
Samarbete kring undervisning i matematik âaktionsforskning âą 9
Konkreta exempel att anvÀnda i praktiken ⹠11
DEL 2
Undervisning i problemlösning ⹠15
ARBETSBLAD/KOPIERINGSUNDERLAG
STRATEGI 1 Rita en bild âą 17
STRATEGI 2 Gissa och pröva ⹠37
STRATEGI 3 Hitta mönster ⹠47
STRATEGI 4 Steg för steg ⹠52
STRATEGI 5 Arbeta bakifrÄn ⹠65
STRATEGI 6 TĂ€nk logiskt âą 75
STRATEGI 7 AnvÀnd ekvation ⹠81
STRATEGI 8 Rita ett diagram âą 98
FyrfĂ€ltare â begrepp âą 110
FyrfĂ€ltare â textuppgift/problem âą 111
DEL 1 SprÄk- och kunskapsutvecklande undervisning i matematik
Inledning
Det finns tre grundlÀggande principer för sprÄk- och kunskapsutvecklande undervisning i matematik, och uppgifterna i den hÀr lÀrarhandledningen knyter an till dessa. En av de tre principerna Àr att kontexten/sammanhanget i uppgifterna ska vara vÀlkÀnt, det vill sÀga att namn, innehÄll och platser i uppgifterna Àr relevanta för (de flesta av) eleverna. Uppgifterna i denna handledning Àr kontextualiserade, men Àr samtidigt ganska lika uppgifterna i Gamma sÄ att eleverna ska kÀnna igen formuleringarna. Principerna för sprÄk- och kunskapsutvecklande undervisning ligger nÀra de strategier som vi undervisar om, med utgÄngspunkt i lÀroböckerna. Som exempel kan nÀmnas att bÄde strategin att rita en bild och att gissa och pröva leder till ett elevaktivt arbete, vilket Àr den andra principen: en aktiv sprÄkanvÀndning som Àr bÄde muntlig och skriftlig.
I början av varje kapitel i grundböckerna finns det begrepp som alltid lyfts fram och som eleverna arbetar med pĂ„ olika sĂ€tt, i par, grupp eller enskilt, nĂ€r arbetet med ett kapitel börjar. Detta sĂ€tt att arbeta tar tid. Att eleverna arbetar med uppgifter som inte finns i lĂ€roboken tar ocksĂ„ tid. Vi har under alla Ă„r skapat egna uppgifter vid sidan av uppgifterna i böckerna; denna lĂ€rarhandledning Ă€r ett resultat av detta arbete. Elever som studerar matematik pĂ„ sitt andrasprĂ„k (svenska) behöver aktivt anvĂ€nda sprĂ„ket bĂ„de muntligt och skriftligt. Eleverna kan ocksĂ„ anvĂ€nda sitt modersmĂ„l nĂ€r de resonerar med nĂ„gon som talar samma sprĂ„k eller nĂ€r eleven âtĂ€nkerâ och arbetar pĂ„ egen hand. Risken att svenskan inte utvecklas Ă€r minimal eftersom det finns en underliggande sprĂ„kbehĂ€rskning som gynnar utveckling av samtliga sprĂ„k man behĂ€rskar. SĂ„ lĂ€nge sprĂ„ket aktivt anvĂ€nds utvecklas det. Om eleverna arbetar för mycket med matematikuppgifter pĂ„ egen hand under tystnad Ă€r risken att sĂ„vĂ€l sprĂ„k som kunnande i matematik inte utvecklas optimalt.
Första sprÄk
Andra sprÄk
Underliggande sprÄkbehÀrskning
Det Àr lÀttare att lÀra sig förstÄ ett begrepp pÄ svenska om man kan relatera till det pÄ sitt modersmÄl. MÄnga matematiska vardagsord och erfarenheter Àr inbÀddade i elevernas modersmÄl. Eftersom mÄlet Àr att eleverna ska utveckla sitt matematiska kunnande Àr en positiv instÀllning till att dessa tas i bruk av eleverna gynnsamt för deras lÀrande i matematik.
Vad gÀller sprÄklig stöttning, som Àr den tredje principen, kan den vara bÄde lÄng- och kortsiktig. Kortsiktig stöttning uppstÄr nÀr lÀraren stöttar eleverna under pÄgÄende lektioner. LÄngsiktig stöttning Àr planerad. Den hÀr lÀrarhandledningen bygger till stor del pÄ vÄrt arbete med lÄngsiktig, planerad stöttning i matematikundervisningen. Textuppgifter och problemlösning Àr en utmaning för alla elever, elever behöver ta sig an utmaningar för att utvecklas. För att klara det behöver de stöttning.
Förutom lÄngsiktig stöttning behöver elever som lÀr matematik pÄ sitt andrasprÄk utmanas. HÀr utgÄr vi frÄn Vygotskijs idéer om den nÀrmaste utvecklingszonen (ZPD, zone of proximal development) dÀr elever stöttas idag för att klara sig pÄ egen hand lÀngre fram. I arbetet med text- och problemlösningsuppgifter har vi utgÄtt frÄn att dessa Àr utmanande för eleverna. VÄr utgÄngspunkt Àr bland annat följande:
01.2 Utmaning, stöttning, bild enligt förlaga
STOR UTMANING
Utvecklingszon, ZPD
MYCKET STĂTTNING
LÀrande och förmÄgor utvecklas
Trygghetszon
För lÄga krav, för lÀtt
Frustrationszon
För höga krav, för svÄrt
UttrÄkningszon
Lite intresse och motivation
LITEN UTMANING
LITE STĂTTNING
Hur graden av utmaning respektive stöttning pÄverkar nyanlÀndas möte med skolans Àmnen i ett sprÄkdidaktiskt perspektiv. Ur Axelsson, M. (2015).
MetasprÄklig kunskap pÄ ett förstasprÄk gynnar Àven det andra sprÄket och tvÀrtom. (Cummins, 2000).
PÄ samma sÀtt talar Jim Cummins om kognitiva utmaningar. Om elever arbetar med stora utmaningar och inte fÄr stöttning för att klara av att lösa uppgifter skapas frustration och oro hos eleverna. Det kan leda till att de ger upp. Kraven som stÀlls upplevs som för höga och utan stöttning finns ingen möjlighet att klara uppgifterna. Om bÄde utmaningen och stöttningen Àr lÄga kan eleverna utveckla ett ointresse för matematiken, eftersom de kan bli uttrÄkade. Om eleverna erbjuds mycket stöttning men uppgifterna Àr för lÀtta, kan eleverna hamna i en trygghetszon, dÀr varken lÀrande eller sprÄk utvecklas. I ett klassrum dÀr uppgifterna innebÀr en stor utmaning för eleverna, men dÀr ocksÄ stöttningen Àr omfattande, har eleverna störst möjlighet att utvecklas. Det betyder dock inte att eleverna stÀndigt ska arbeta med utmanande uppgifter, exempelvis kan lÀxor dÀr eleverna ska trÀna pÄ vissa moment i matematiken ligga inom en trygghetszon.
Bakgrund
Samarbetet mellan oss lĂ€rare, Maria Engmark och Carolina ĂystilĂ€, började 2014, dĂ„ vi arbetade som lĂ€rare i varsin Ă„rskurs 4. I vĂ„ra klasser mĂ€rkte vi att majoriteten av vĂ„ra elever hade mycket svĂ„rt att förstĂ„ textoch problemlösningsuppgifter i matematik och att mĂ„nga av dem gav upp sĂ„ fort de sĂ„g text i en uppgift. De visade inte att de ville försöka förstĂ„ och pĂ„börja en lösning. Vi kom i kontakt med forskaren Eva NorĂ©n Ă„r 2017 genom vĂ„rt gemensamma intresse för sprĂ„kets roll i matematiken. Vi funderade mycket pĂ„ varför de andrasprĂ„kselever som vi undervisade klarade av rutinuppgifter men inte textuppgifter. NĂ€r det var dags att sĂ€tta betyg i Ă„rskurs 6 diskuterade vi ifall det var elevernas sprĂ„kliga kunskaper eller deras matematiska kunskaper vi egentligen bedömde.
Tillsammans granskade vi uppgifterna i vÄrt matematiklÀromedel och förde diskussioner kring vilka ord, begrepp och formuleringar som kunde vara ett hinder i de textuppgifter som vÄra andrasprÄkselever mötte. Vi förstÄr att lÀromedel via innehÄll och illustrationer försöker möta elevernas verklighet för att sÀtta matematiken i ett för eleven kÀnt sammanhang, men vi mÀrkte att vÄra elevers verklighet kunde vara en helt annan.
InnehÄllet i textuppgifter Àr inte alltid relevant för eleverna, vilket Àr en av anledningarna till att vi startade vÄrt samarbete.
Samarbetet har lett till att vi inser vikten av att arbeta tillsammans eftersom undervisningen dÄ uppnÄr högre kvalitet. Det aktiva arbetet mellan lÀrare och forskare har genererat kompetensutveckling för alla tre, med mÄnga roliga och lÀrorika tillfÀllen. Vi lÀrare erhöll 2017 ett Gudrun Malmer-stipendium. Det gav oss möjlighet att dyka djupare in i hur vÄr undervisning kunde utvecklas. NÄgra Är senare fick vi möjlighet att delta i Stockholm Teaching and Learning Study (STLS). Vi genomförde dÄ ett aktionsforskningsprojekt som har presenterats pÄ sÄvÀl LÀrarnas Forskningskonferens (LFK) i Stockholm, som pÄ en internationell arbetskonferens i Dortmund 2019. à r 2023 presenterade vi vÄrt arbete pÄ den internationella konferensen Commission for the Study and Improvement of Mathematics Teaching (CIEAEM) i Malmö. Vi har ocksÄ
presenterat vÄrt arbete pÄ matematikbiennalen nÄgra gÄnger och har hÄllit ett antal förelÀsningar om matematikundervisning och sprÄk. Vi har dÄ blivit inbjudna till att tala, bÄde vi lÀrare pÄ egen hand och tillsammans med Eva Norén.
I den hÀr lÀrarhandledningen har vi fÄtt möjlighet att producera det stödmaterial som vi sjÀlva har saknat i arbetet med lÀromedlet Matematik Alfa, Beta och Gamma. NÀr vi har arbetat med temasidorna och problemlösning i Alfa, Beta och Gamma, har vi sökt efter liknande uppgifter för att kunna erbjuda eleverna fler uppgifter av samma sort. Vi anser att uppgifterna som finns i boken inte har rÀckt till för vÄra elever för att de ska ges möjlighet att befÀsta förstÄelsen av uppgiftstyperna. Vi har Àven lagt ner mycket tid pÄ att kopiera, klippa och klistra för att förenkla design och layout, som ibland har försvÄrat förstÄelsen för eleverna. Nu har vi skapat det material vi sjÀlva har saknat, och hoppas att detta ska underlÀtta för lÀrarna i arbetet med textuppgifter och problemlösning. Under vÄrt arbete har vi betonat att eleverna ska vara aktiva och anvÀnda sprÄket bÄde muntligt och skriftligt, och till det behöver eleverna tid. Vi har ocksÄ erfarit att Àven elever med svenska som modersmÄl har nytta av vÄrt arbetssÀtt. Det handlar ibland ocksÄ om elevers uthÄllighet och ork att anta utmaningar i matematikundervisningen.
Hinder inom matematiken har visat sig pÄ olika sÀtt i vÄra klassrum. Det kan handla om kontext/sammanhang eller Àmnesspecifikt sprÄk. VÄra elever kan vara födda i Sverige men tala andra sprÄk i hemmet; de lyssnar och ser mycket pÄ medier med engelskt tal och möter dÀrför det svenska formella sprÄket endast i skolan och i undervisningen. DÀrför behöver lÀrare i matematik uppmÀrksamma det genrespecifika sprÄket, med dess formuleringar pÄ svenska, som inom matematiken kan vara svÄra att uppfatta. MÄnga vardagsord som barn lÀr sig tidigt i livet och som senare anvÀnds i matematiken, sÄsom yngre, flera, mÄnga, större och högre, kan eleverna ofta pÄ sitt modersmÄl, men kanske inte pÄ svenska.
Vi har upplevt att elever som lĂ€r pĂ„ sitt andrasprĂ„k (svenska), ofta plockar ut nĂ„gra ord ur texten, som plus eller minus, och âgörâ nĂ„got med siffrorna. De undviker helt enkelt att ta tag i texter!
SprÄk- och kunskapsutvecklande undervisning
Som nÀmnts i inledningen finns det tre grundlÀggande principer för sprÄk- och kunskapsutvecklande undervisning. NÀr det handlar om undervisning i matematik behöver:
1. matematikinnehÄllet göras begripligt genom att det sÀtts i ett sammanhang som eleverna kan relatera till,
2. undervisningen frÀmja aktiv sprÄkanvÀndning bÄde muntligt och skriftligt,
3. sÄvÀl varierad som lÄngsiktig sprÄklig stöttning erbjudas.
Det första temat i Alfa (Ă„k 4) Ă€r KolmĂ„rden. I klassrumspraktiken har det visat sig att om inga eller fĂ„ elever i klassen har varit pĂ„ KolmĂ„rden sĂ„ kan uppgifterna som hör till temat vara svĂ„ra att lösa. Det handlar om att matematikinnehĂ„llet inte Ă€r satt i ett sammanhang som eleverna kan relatera till (se punkt 1 ovan). Detta hindrar inte att eleverna kan arbeta med uppgifterna, men lĂ€raren behöver lĂ€gga tid pĂ„ att förbereda eleverna och introducera dem till sammanhanget â KolmĂ„rden. Stöttning handlar sĂ„ledes inte bara om sprĂ„klig stöttning, utan ocksĂ„ om kultur, vanor och traditioner, men ocksĂ„ om matematikinnehĂ„ll.
Det innebÀr oftast en stor utmaning att arbeta med textuppgifter för elever som lÀr sig matematik pÄ sitt andrasprÄk. NÀr utmaningarna Àr stora behöver eleverna rikligt med sprÄklig stöttning. Om stöttningen i en sÄdan situation uteblir kan eleverna hamna i en zon dÀr de blir frustrerade eftersom uppgiften Àr för svÄr att klara utan sprÄklig stöttning. NÀr eleverna blir frustrerade visar de kanske inte det, men resultatet Àr att de inte kommer vidare med att lösa uppgifterna pÄ egen hand. Ibland kan en hel klass bli stökig i en sÄdan situation. Stöttning som planerats i förvÀg ges av en lÀrare, men lÀraren kan ocksÄ planera genom att para ihop elever sÄ att de kan ge varandra stöttning. Det kan vara tvÄ elever som arbetar tillsammans, dÀr den ena behÀrskar svenska pÄ en avancerad skolsprÄksnivÄ, medan den andra kanske Àr stark i matematik. Det Àr en balansgÄng för lÀraren att planera stöttning eftersom det Àr betydelsefullt att hela klassen gÄr framÄt, samtidigt som eleverna fÄr stöttning pÄ olika nivÄer.
Andreas Ryve uttrycker i en intervju för SVT (1 april, 2025, VÀstmanland/ nyheter) att aktiv och rik matematikundervisning krÀver att eleverna engagerar sig och Àr kommunikativt aktiva: det kan jÀmföras med att om man gÄr till gymmet och bara stÄr och tittar sÄ hÀnder det ingenting med ens kroppsliga vÀlbefinnande. SÄ ser vi pÄ vÄr matematikundervisning: eleverna ska vara aktiva bÄde muntligt och skriftligt. De ska ges lÄngsiktig sprÄklig stöttning och textuppgifterna ska vara relevanta och utmanande för dem. Vartefter eleverna blir mer förtrogna med textuppgifter klarar de att lösa dem pÄ egen hand, Àven om uppgifterna kan upplevas som utmanande.
Samarbete kring undervisning i matematik â aktionsforskning
VÄrt samarbete knyter an till aktionsforskning. Det innebÀr att vi, lÀrare och forskare, tillsammans har formulerat en mÄlbild för undervisningen. Den övergripande mÄlbilden har varit och Àr fortfarande att de flersprÄkiga eleverna ska klara av att lösa textuppgifter pÄ egen hand.
MÄlbilden kan ocksÄ beskrivas som en förestÀlld situation, en önskvÀrd situation i matematikklassrummet. I det gemensamma arbetet har vi anvÀnt en modell för aktionsforskning som skapades av Ole Skovsmose och Marcelo Borba (2004).
undervisning â arrangerad situation
01.3 aktionsforskningsmodell
nuvarande situation förestÀlld situation mÄlbild
Aktionsforskningsmodell enligt Skovsmose och Borba (2004). I teorin hÄlls hörnen isÀr. I verkligheten kan de vara aktiva samtidigt eftersom lÀrare i sin undervisning ofta utgÄr frÄn vad de tidigare har undervisat om, men ocksÄ siktar mot mÄlen.
Vi har analyserat och utgĂ„tt frĂ„n den nuvarande situationen. Vi lĂ€rare har dĂ€refter planerat för en sprĂ„k- och kunskapsutvecklande undervisning och sedan genomfört den. LĂ€rare och forskare har tillsammans analyserat undervisningen, den arrangerade situationen, genom att belysa praktiken samt studera elevernas arbete under lektionstid och till slut analysera deras slutprodukter. Detta arbete har pĂ„gĂ„tt under flera Ă„r, i Ă„tta olika klasser frĂ„n Ă„rskurs 4 till 7. Det Ă€r en stĂ€ndig process och det tar tid att nĂ„ den förestĂ€llda situationen (mĂ„lbilden). Men för varje analys av nuvarande situation som leder till planering av undervisningen, kommer den förestĂ€llda situationen/mĂ„let nĂ€rmare. Den förestĂ€llda situationen kan förĂ€ndras och till exempel handla om att eleverna ska lyckas lösa textuppgifterna pĂ„ det nationella provet i Ă„rskurs 6. HĂ€r har vi sett att eleverna anvĂ€nder sĂ„dana strategier som de har undervisats om och trĂ€nat pĂ„. Den förestĂ€llda situationen kan ocksĂ„ vara att elever med samma sprĂ„kbakgrund ibland ska kunna arbeta tillsammans och anvĂ€nda sitt gemensamma sprĂ„k, om de behöver, för att lösa matematikuppgifter med text (Engmark, NorĂ©n & ĂystilĂ€, 2024). Att arbeta utifrĂ„n den hĂ€r modellen har gjort att vi har kunnat fokusera pĂ„ det som vi har funnit
SprĂ„kutvecklande arbetssĂ€tt i matematik â för en mer begriplig och inkluderande undervisning
Denna sprÄkutvecklande lÀrarhandledning till Gamma Àr ett komplement till lÀrarguiden i Matematik Gamma.
Den ger dig bÄde den teoretiska bakgrunden och de praktiska verktygen för att arbeta sprÄkutvecklande i matematik.
LÀrarhandledningen innehÄller:
⹠en introduktion till varför och hur sprÄket kan bli en nyckel för att förstÄ matematiska problem,
⹠fÀrdiga arbetsblad som bryter ned textuppgifterna frÄn temasidorna i mindre steg,
⹠stöd genom ord- och begreppstrÀning,
⹠stöd i att befÀsta och kÀnna igen uppgifter och strategier
⹠uppgifter pÄ olika nivÄer
⹠fÀrdiga svarsrutor
âą elevexempel
âą liknande uppgifter/test
Alltid med fokus pÄ begriplighet, sammanhang och elevaktivitet.
Denna handledning hjÀlper dig som lÀrare att skapa en undervisning dÀr bÄde sprÄket och matematiken utvecklas parallellt.
MED KOPIERINGSUNDERLAG TILL ELEVERNA
