Språkutvecklande lärarhandledning
till Matematik Gamma
Maria Engmark
Carolina Öystilä
Eva Norén
Språkutvecklande lärarhandledning
till Matematik Gamma
MED KOPIERINGSUNDERLAG
TILL ELEVERNA
Maria Engmark
Carolina Öystilä
Eva Norén
LIBER
ISBN 978-91-47-16090-7
© 2025 Maria Engmark, Carolina Öystilä, Eva Norén och Liber AB. Text och datautvinning ej tillåten.
Förläggare: Anna Karlberg
Projektledare: Emilie Szakàl
Produktionsspecialist: Maria Tholander
Redaktör: Birgitta Fröberg
Formgivning och omslag: Lotta Rennéus och Eva Jerkeman
Bildredaktör: Mikael Myrnerts
Första upplagan 1
Repro: Repro 8 AB, Stockholm
Tryck: People Printing, Kina 2025
KOPIERINGSFÖRBUD
Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet.
Intrång i upphovsrättshavarens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se.
Undantag Kopiering är tillåten av de sidor som är markerade ”Kopiering tillåten”. Sådan kopiering får endast ske till eleverna på den egna skolan. Kopiorna får inte på något sätt spridas utanför den egna skolans verksamhet. Det innebär bl.a. att kopiorna endast får göras digitalt tillgängliga i skolans slutna nätverk. Upphovsrättshavarens ideella upphovsrätt enligt upphovsrättslagen och källangivelser i övrigt ska respekteras på sätt som anges i BONUS-avtalet.
Liber AB, 113 98 Stockholm www.liber.se/kundservice www.liber.se
BILDFÖRTECKNING
Illustrationer
Björn Magnusson: faktateckningar s. 5(2), 9, 27, 30, 33, 48, 49, 50, 53, 54, 55, 56, 65(2), 78, 79, 89, 90, 91, 99, 100, 104, 105, 108
Johan Unenge: s. 18, 21, 24, 65(1), 70, 71
Fotografier
Bulatovych/Shutterstock 25 (1)
Donaldytong 25 (2)
AlbertImages/Shutterstock 29
Mulevich/Shutterstock 31
Smit/Shutterstock 32
JK Jeffrey/Shutterstock 33
Kuri Bash/Shutterstock 39 (1)
Narong Khueankaew/Shutterstock 39 (2)
Pixel-Shot/Shutterstock 40
Riksbanken 41
ISEN STOCKER/Shutterstock 42 (1)
Lev Levin/Shutterstock 42 (2)
Svetlana Foote 43
lapandr/Shutterstock 57, 59
David Gail Caballero/Shutterstock 67
Alexander Varbenov/Shutterstock 68
cjml87/Shutterstock 92
Aninka Bongers-Sutherland/Shutterstock 93 (1)
Sheila Fitzgerald/Shutterstock 93 (2)
Woodan/Shutterstock 95
Ryzhkov Serhii/Shutterstock 96 (1)
photomaster/Shutterstock 96 (2)
Eric Isselee/Shutterstock 96 (3)
Innehåll
DEL 1
Språk- och kunskapsutvecklande undervisning i matematik • 4
Inledning • 4
Bakgrund • 6
Språk- och kunskapsutvecklande undervisning • 8
Samarbete kring undervisning i matematik –aktionsforskning • 9
Konkreta exempel att använda i praktiken • 11
DEL 2
Undervisning i problemlösning • 15
ARBETSBLAD/KOPIERINGSUNDERLAG
STRATEGI 1 Rita en bild • 17
STRATEGI 2 Gissa och pröva • 37
STRATEGI 3 Hitta mönster • 47
STRATEGI 4 Steg för steg • 52
STRATEGI 5 Arbeta bakifrån • 65
STRATEGI 6 Tänk logiskt • 75
STRATEGI 7 Använd ekvation • 81
STRATEGI 8 Rita ett diagram • 98
Fyrfältare – begrepp • 110
Fyrfältare – textuppgift/problem • 111
DEL 1 Språk- och kunskapsutvecklande undervisning i matematik
Inledning
Det finns tre grundläggande principer för språk- och kunskapsutvecklande undervisning i matematik, och uppgifterna i den här lärarhandledningen knyter an till dessa. En av de tre principerna är att kontexten/sammanhanget i uppgifterna ska vara välkänt, det vill säga att namn, innehåll och platser i uppgifterna är relevanta för (de flesta av) eleverna. Uppgifterna i denna handledning är kontextualiserade, men är samtidigt ganska lika uppgifterna i Gamma så att eleverna ska känna igen formuleringarna. Principerna för språk- och kunskapsutvecklande undervisning ligger nära de strategier som vi undervisar om, med utgångspunkt i läroböckerna. Som exempel kan nämnas att både strategin att rita en bild och att gissa och pröva leder till ett elevaktivt arbete, vilket är den andra principen: en aktiv språkanvändning som är både muntlig och skriftlig.
I början av varje kapitel i grundböckerna finns det begrepp som alltid lyfts fram och som eleverna arbetar med på olika sätt, i par, grupp eller enskilt, när arbetet med ett kapitel börjar. Detta sätt att arbeta tar tid. Att eleverna arbetar med uppgifter som inte finns i läroboken tar också tid. Vi har under alla år skapat egna uppgifter vid sidan av uppgifterna i böckerna; denna lärarhandledning är ett resultat av detta arbete. Elever som studerar matematik på sitt andraspråk (svenska) behöver aktivt använda språket både muntligt och skriftligt. Eleverna kan också använda sitt modersmål när de resonerar med någon som talar samma språk eller när eleven ”tänker” och arbetar på egen hand. Risken att svenskan inte utvecklas är minimal eftersom det finns en underliggande språkbehärskning som gynnar utveckling av samtliga språk man behärskar. Så länge språket aktivt används utvecklas det. Om eleverna arbetar för mycket med matematikuppgifter på egen hand under tystnad är risken att såväl språk som kunnande i matematik inte utvecklas optimalt.
Första språk
Andra språk
Underliggande språkbehärskning
Det är lättare att lära sig förstå ett begrepp på svenska om man kan relatera till det på sitt modersmål. Många matematiska vardagsord och erfarenheter är inbäddade i elevernas modersmål. Eftersom målet är att eleverna ska utveckla sitt matematiska kunnande är en positiv inställning till att dessa tas i bruk av eleverna gynnsamt för deras lärande i matematik.
Vad gäller språklig stöttning, som är den tredje principen, kan den vara både lång- och kortsiktig. Kortsiktig stöttning uppstår när läraren stöttar eleverna under pågående lektioner. Långsiktig stöttning är planerad. Den här lärarhandledningen bygger till stor del på vårt arbete med långsiktig, planerad stöttning i matematikundervisningen. Textuppgifter och problemlösning är en utmaning för alla elever, elever behöver ta sig an utmaningar för att utvecklas. För att klara det behöver de stöttning.
Förutom långsiktig stöttning behöver elever som lär matematik på sitt andraspråk utmanas. Här utgår vi från Vygotskijs idéer om den närmaste utvecklingszonen (ZPD, zone of proximal development) där elever stöttas idag för att klara sig på egen hand längre fram. I arbetet med text- och problemlösningsuppgifter har vi utgått från att dessa är utmanande för eleverna. Vår utgångspunkt är bland annat följande:
01.2 Utmaning, stöttning, bild enligt förlaga
STOR UTMANING
Utvecklingszon, ZPD
MYCKET STÖTTNING
Lärande och förmågor utvecklas
Trygghetszon
För låga krav, för lätt
Frustrationszon
För höga krav, för svårt
Uttråkningszon
Lite intresse och motivation
LITEN UTMANING
LITE STÖTTNING
Hur graden av utmaning respektive stöttning påverkar nyanländas möte med skolans ämnen i ett språkdidaktiskt perspektiv. Ur Axelsson, M. (2015).
Metaspråklig kunskap på ett förstaspråk gynnar även det andra språket och tvärtom. (Cummins, 2000).
På samma sätt talar Jim Cummins om kognitiva utmaningar. Om elever arbetar med stora utmaningar och inte får stöttning för att klara av att lösa uppgifter skapas frustration och oro hos eleverna. Det kan leda till att de ger upp. Kraven som ställs upplevs som för höga och utan stöttning finns ingen möjlighet att klara uppgifterna. Om både utmaningen och stöttningen är låga kan eleverna utveckla ett ointresse för matematiken, eftersom de kan bli uttråkade. Om eleverna erbjuds mycket stöttning men uppgifterna är för lätta, kan eleverna hamna i en trygghetszon, där varken lärande eller språk utvecklas. I ett klassrum där uppgifterna innebär en stor utmaning för eleverna, men där också stöttningen är omfattande, har eleverna störst möjlighet att utvecklas. Det betyder dock inte att eleverna ständigt ska arbeta med utmanande uppgifter, exempelvis kan läxor där eleverna ska träna på vissa moment i matematiken ligga inom en trygghetszon.
Bakgrund
Samarbetet mellan oss lärare, Maria Engmark och Carolina Öystilä, började 2014, då vi arbetade som lärare i varsin årskurs 4. I våra klasser märkte vi att majoriteten av våra elever hade mycket svårt att förstå textoch problemlösningsuppgifter i matematik och att många av dem gav upp så fort de såg text i en uppgift. De visade inte att de ville försöka förstå och påbörja en lösning. Vi kom i kontakt med forskaren Eva Norén år 2017 genom vårt gemensamma intresse för språkets roll i matematiken. Vi funderade mycket på varför de andraspråkselever som vi undervisade klarade av rutinuppgifter men inte textuppgifter. När det var dags att sätta betyg i årskurs 6 diskuterade vi ifall det var elevernas språkliga kunskaper eller deras matematiska kunskaper vi egentligen bedömde.
Tillsammans granskade vi uppgifterna i vårt matematikläromedel och förde diskussioner kring vilka ord, begrepp och formuleringar som kunde vara ett hinder i de textuppgifter som våra andraspråkselever mötte. Vi förstår att läromedel via innehåll och illustrationer försöker möta elevernas verklighet för att sätta matematiken i ett för eleven känt sammanhang, men vi märkte att våra elevers verklighet kunde vara en helt annan.
Innehållet i textuppgifter är inte alltid relevant för eleverna, vilket är en av anledningarna till att vi startade vårt samarbete.
Samarbetet har lett till att vi inser vikten av att arbeta tillsammans eftersom undervisningen då uppnår högre kvalitet. Det aktiva arbetet mellan lärare och forskare har genererat kompetensutveckling för alla tre, med många roliga och lärorika tillfällen. Vi lärare erhöll 2017 ett Gudrun Malmer-stipendium. Det gav oss möjlighet att dyka djupare in i hur vår undervisning kunde utvecklas. Några år senare fick vi möjlighet att delta i Stockholm Teaching and Learning Study (STLS). Vi genomförde då ett aktionsforskningsprojekt som har presenterats på såväl Lärarnas Forskningskonferens (LFK) i Stockholm, som på en internationell arbetskonferens i Dortmund 2019. År 2023 presenterade vi vårt arbete på den internationella konferensen Commission for the Study and Improvement of Mathematics Teaching (CIEAEM) i Malmö. Vi har också
presenterat vårt arbete på matematikbiennalen några gånger och har hållit ett antal föreläsningar om matematikundervisning och språk. Vi har då blivit inbjudna till att tala, både vi lärare på egen hand och tillsammans med Eva Norén.
I den här lärarhandledningen har vi fått möjlighet att producera det stödmaterial som vi själva har saknat i arbetet med läromedlet Matematik Alfa, Beta och Gamma. När vi har arbetat med temasidorna och problemlösning i Alfa, Beta och Gamma, har vi sökt efter liknande uppgifter för att kunna erbjuda eleverna fler uppgifter av samma sort. Vi anser att uppgifterna som finns i boken inte har räckt till för våra elever för att de ska ges möjlighet att befästa förståelsen av uppgiftstyperna. Vi har även lagt ner mycket tid på att kopiera, klippa och klistra för att förenkla design och layout, som ibland har försvårat förståelsen för eleverna. Nu har vi skapat det material vi själva har saknat, och hoppas att detta ska underlätta för lärarna i arbetet med textuppgifter och problemlösning. Under vårt arbete har vi betonat att eleverna ska vara aktiva och använda språket både muntligt och skriftligt, och till det behöver eleverna tid. Vi har också erfarit att även elever med svenska som modersmål har nytta av vårt arbetssätt. Det handlar ibland också om elevers uthållighet och ork att anta utmaningar i matematikundervisningen.
Hinder inom matematiken har visat sig på olika sätt i våra klassrum. Det kan handla om kontext/sammanhang eller ämnesspecifikt språk. Våra elever kan vara födda i Sverige men tala andra språk i hemmet; de lyssnar och ser mycket på medier med engelskt tal och möter därför det svenska formella språket endast i skolan och i undervisningen. Därför behöver lärare i matematik uppmärksamma det genrespecifika språket, med dess formuleringar på svenska, som inom matematiken kan vara svåra att uppfatta. Många vardagsord som barn lär sig tidigt i livet och som senare används i matematiken, såsom yngre, flera, många, större och högre, kan eleverna ofta på sitt modersmål, men kanske inte på svenska.
Vi har upplevt att elever som lär på sitt andraspråk (svenska), ofta plockar ut några ord ur texten, som plus eller minus, och ”gör” något med siffrorna. De undviker helt enkelt att ta tag i texter!
Språk- och kunskapsutvecklande undervisning
Som nämnts i inledningen finns det tre grundläggande principer för språk- och kunskapsutvecklande undervisning. När det handlar om undervisning i matematik behöver:
1. matematikinnehållet göras begripligt genom att det sätts i ett sammanhang som eleverna kan relatera till,
2. undervisningen främja aktiv språkanvändning både muntligt och skriftligt,
3. såväl varierad som långsiktig språklig stöttning erbjudas.
Det första temat i Alfa (åk 4) är Kolmården. I klassrumspraktiken har det visat sig att om inga eller få elever i klassen har varit på Kolmården så kan uppgifterna som hör till temat vara svåra att lösa. Det handlar om att matematikinnehållet inte är satt i ett sammanhang som eleverna kan relatera till (se punkt 1 ovan). Detta hindrar inte att eleverna kan arbeta med uppgifterna, men läraren behöver lägga tid på att förbereda eleverna och introducera dem till sammanhanget – Kolmården. Stöttning handlar således inte bara om språklig stöttning, utan också om kultur, vanor och traditioner, men också om matematikinnehåll.
Det innebär oftast en stor utmaning att arbeta med textuppgifter för elever som lär sig matematik på sitt andraspråk. När utmaningarna är stora behöver eleverna rikligt med språklig stöttning. Om stöttningen i en sådan situation uteblir kan eleverna hamna i en zon där de blir frustrerade eftersom uppgiften är för svår att klara utan språklig stöttning. När eleverna blir frustrerade visar de kanske inte det, men resultatet är att de inte kommer vidare med att lösa uppgifterna på egen hand. Ibland kan en hel klass bli stökig i en sådan situation. Stöttning som planerats i förväg ges av en lärare, men läraren kan också planera genom att para ihop elever så att de kan ge varandra stöttning. Det kan vara två elever som arbetar tillsammans, där den ena behärskar svenska på en avancerad skolspråksnivå, medan den andra kanske är stark i matematik. Det är en balansgång för läraren att planera stöttning eftersom det är betydelsefullt att hela klassen går framåt, samtidigt som eleverna får stöttning på olika nivåer.
Andreas Ryve uttrycker i en intervju för SVT (1 april, 2025, Västmanland/ nyheter) att aktiv och rik matematikundervisning kräver att eleverna engagerar sig och är kommunikativt aktiva: det kan jämföras med att om man går till gymmet och bara står och tittar så händer det ingenting med ens kroppsliga välbefinnande. Så ser vi på vår matematikundervisning: eleverna ska vara aktiva både muntligt och skriftligt. De ska ges långsiktig språklig stöttning och textuppgifterna ska vara relevanta och utmanande för dem. Vartefter eleverna blir mer förtrogna med textuppgifter klarar de att lösa dem på egen hand, även om uppgifterna kan upplevas som utmanande.
Samarbete kring undervisning i matematik – aktionsforskning
Vårt samarbete knyter an till aktionsforskning. Det innebär att vi, lärare och forskare, tillsammans har formulerat en målbild för undervisningen. Den övergripande målbilden har varit och är fortfarande att de flerspråkiga eleverna ska klara av att lösa textuppgifter på egen hand.
Målbilden kan också beskrivas som en föreställd situation, en önskvärd situation i matematikklassrummet. I det gemensamma arbetet har vi använt en modell för aktionsforskning som skapades av Ole Skovsmose och Marcelo Borba (2004).
undervisning – arrangerad situation
01.3 aktionsforskningsmodell
nuvarande situation föreställd situation målbild
Aktionsforskningsmodell enligt Skovsmose och Borba (2004). I teorin hålls hörnen isär. I verkligheten kan de vara aktiva samtidigt eftersom lärare i sin undervisning ofta utgår från vad de tidigare har undervisat om, men också siktar mot målen.
Vi har analyserat och utgått från den nuvarande situationen. Vi lärare har därefter planerat för en språk- och kunskapsutvecklande undervisning och sedan genomfört den. Lärare och forskare har tillsammans analyserat undervisningen, den arrangerade situationen, genom att belysa praktiken samt studera elevernas arbete under lektionstid och till slut analysera deras slutprodukter. Detta arbete har pågått under flera år, i åtta olika klasser från årskurs 4 till 7. Det är en ständig process och det tar tid att nå den föreställda situationen (målbilden). Men för varje analys av nuvarande situation som leder till planering av undervisningen, kommer den föreställda situationen/målet närmare. Den föreställda situationen kan förändras och till exempel handla om att eleverna ska lyckas lösa textuppgifterna på det nationella provet i årskurs 6. Här har vi sett att eleverna använder sådana strategier som de har undervisats om och tränat på. Den föreställda situationen kan också vara att elever med samma språkbakgrund ibland ska kunna arbeta tillsammans och använda sitt gemensamma språk, om de behöver, för att lösa matematikuppgifter med text (Engmark, Norén & Öystilä, 2024). Att arbeta utifrån den här modellen har gjort att vi har kunnat fokusera på det som vi har funnit
Språkutvecklande arbetssätt i matematik – för en mer begriplig och inkluderande undervisning
Denna språkutvecklande lärarhandledning till Gamma är ett komplement till lärarguiden i Matematik Gamma.
Den ger dig både den teoretiska bakgrunden och de praktiska verktygen för att arbeta språkutvecklande i matematik.
Lärarhandledningen innehåller:
• en introduktion till varför och hur språket kan bli en nyckel för att förstå matematiska problem,
• färdiga arbetsblad som bryter ned textuppgifterna från temasidorna i mindre steg,
• stöd genom ord- och begreppsträning,
• stöd i att befästa och känna igen uppgifter och strategier
• uppgifter på olika nivåer
• färdiga svarsrutor
• elevexempel
• liknande uppgifter/test
Alltid med fokus på begriplighet, sammanhang och elevaktivitet.
Denna handledning hjälper dig som lärare att skapa en undervisning där både språket och matematiken utvecklas parallellt.
MED KOPIERINGSUNDERLAG TILL ELEVERNA
