9789127471795

7000 Matematik

Vux Nivå

Varje kapitel har följande innehåll och struktur

KAPITELSTART

Centralt innehåll Med andra ord

Inledande aktivitet

TEORI OCH LÖSTA UPPGIFTER

Koordinatsystem

För att beskriva läget eller positionen av en punkt i ett plan behövs två koordinataxlar, en x-axel och en y-axel.

2327 Faktorisera genom att bryta ut en gemensam faktor. a) 2 x + 6

a) 2 x + 6 = 2 · x + 2 · 3 = 2(x + 3) 2 är en gemensam faktor.

REPETITIONSUPPGIFTER

2327

Faktorisera genom att bryta ut en gemensam faktor.

a) 2 x + 6

ÖVNINGSUPPGIFTER

3404 För funktionen f gäller att f(x) = 4 x – 3

Beräkna

a) f(2) b) f(0) c) f(–3)

1112 Addera talen 237 och 387 och dividera därefter summan med produkten av 12 och 13. Vilket svar får du?

2247 Lös ekvationen x 2 = x + 2 med digitalt verktyg och visa med prövning att lösningen är korrekt.

I början av varje kapitel presenteras de delar av kursens Centrala innehåll som ingår i kapitlet. En kort och förenklad beskrivning av detta ges i Med andra ord.

Den inledande aktiviteten är tänkt som en start på kapitlets första lektion.

Teorin är skriven så att du ska kunna upptäcka och förstå matematiken.

Det viktigaste i teorin belyses med en eller flera lösta uppgifter. I dessa finns ofta en förklarande text.

I slutet av boken finns repetitionsuppgifter. De är identiska med bokens lösta uppgifter.

Övningsuppgifterna i boken är indelade efter tre svårighetsgrader som är markerade med 1 2 3 Dessa är inte kopplade till betygsstegen.

Uppgifter utan ram ska du kunna lösa utan räknare, alltså i huvudet eller med papper och penna.

Uppgifter med streckad ram får du lösa med funktionsräknare, alltså med en "vanlig" räknare.

Uppgifter med heldragen ram får du lösa med avancerad räknare, t.ex. grafräknare eller ekvationslösande verktyg.

3535 Minskningen var 14 % per år.

Ledtråd: Lös ekvationen 2 500 · x3 = 1 600 x är en förändringsfaktor.

I slutet av boken finns svar till alla uppgifter. Till en del uppgifter finns även en motivering, ledtråd eller lösning.

VARIATION I UNDERVISNINGEN

Aktivitet

Historik

Algebra genom tiderna

KAPITELSLUT

Sammanfattning 4

Kan du det här?

Blandade övningar 1–4 BEGREPP

Testa dig själv 4

Blandade övningar 4

För att variera undervisningen och för att utveckla dina matematiska förmågor varvas bokens teoriavsnitt med olika aktiviteter. Till vissa aktiviteter behöver du digitala verktyg som t.ex. GeoGebra, Excel eller liknande.

Teman i denna bok har teori och uppgifter som främst är kopplade till ekonomi, samhälle och estetiska ämnen. Det finns även några teman med uppgifter från högskoleprov.

I historiken med tillhörande uppgifter sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.

Sant eller falskt är en aktivitet som är tänkt att genomföras i par eller grupp. Här får du träna din resonemangs- och kommunikationsförmåga.

Här finns en kort sammanfattning av kapitlets viktigaste innehåll.

Kan du det här? är en lista med viktiga begrepp och procedurer som du behöver kunna.

Testa dig själv innehåller uppgifter som testar kapitlets viktigaste begrepp och procedurer.

Blandade övningar finns i två varianter. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.

Innehåll

1. Aritmetik och algebra 8

Inledande aktivitet: Lägga tal 9

1.1 Repetition av räkneregler 10

Prioriteringsregler 10

Negativa tal 13

1.2 Repetition av bråk och decimaltal 17

Tal i bråkform 17

Aktivitet: Minsta gemensamma nämnare (MGN) och primtal 21

Addition och subtraktion av tal i bråkform 22

Historik: Historiska bråk 24

Multiplikation och division av tal i bråkform 25

Tema: Aritmetik 28

Tal i decimalform och avrundning 29

Aktivitet: Värdet av ett algebraiskt uttryck 33

1.3 Uttryck och ekvationer 34

Algebraiska uttryck 34

Aktivitet: Vilka uttryck är lika? 38

Linjära ekvationer 39

Aktivitet: Ekvationsbilder 43

Ekvationer med flera variabeltermer 44

Historik: Algebra genom tiderna 48

1.4 Mer om uttryck och ekvationer 49

Multiplicera in i parenteser 49

Uttryck och ekvationer med parenteser 52

Uttryck, ekvationer och bråk 55

Tillämpningar och problemlösning 59

1.5 Procent och förändringsfaktor 64

Repetition av procentberäkningar 64

Tema: Gyllene snittet 68

Förändringsfaktor 70

Tema: Moms 74

Procentuella förändringar och jämförelser 76

Procentuella förändringar i flera steg 79

Aktivitet: Sant eller falskt? 83

Sammanfattning 1 84

Kan du det här? 86

Testa dig själv 1 87

Blandade övningar 1 88

2. Potenser och formler 92

Inledande aktivitet: Vika papper 93

2.1 Potenser 94

Potenslagar 94

Exponenten noll och negativa exponenter 98

Mer om potenser och potenslagar 102

2.2 Potensekvationer 104

Kvadratrötter och ekvationen x 2 = a 104

Tema: Potenser 108

Potensekvationen xn = a 109

Ekvationslösning med digitalt verktyg 113

2.3 Uttryck och formler 115

Multiplikation av uttryck 115

Aktivitet: Multiplicera in och bryta ut 119

Faktorisera 120

Använda och tolka formler 123

Aktivitet: Det är inte bara svaret som räknas 127

Lösa ut ur formler 128

Tema: Algebra 130

2.4 Mönster och generella samband 131

Formler för omkrets, area och volym 131

Upptäcka och beskriva mönster 135

Upptäcka och uttrycka generella samband 138

Aktivitet: Sant eller falskt? 143

Sammanfattning 2 144

Kan du det här? 146

Testa dig själv 2 147

Blandade övningar 2 148

Blandade övningar 1–2 151

3. Funktioner 154

Inledande aktivitet: Hitta regeln 155

3.1 Grafer och funktioner 156

Koordinatsystem 156

Historik: René Descartes 156

Funktion – Formel, värdetabell och graf 160

Aktivitet: Graf, formel, tabell och beskrivning 164

Rita grafer med digitala verktyg 166

Linjära samband 168

Aktivitet: Räta linjer med grafritande verktyg 172

3.2 Räta linjens ekvation 173

Avläsa k-värde och m-värde 173

Beräkna k-värdet och rita linjer 178

Bestäm räta linjens ekvation 182

Parallella linjer 185

Olika former för räta linjens ekvation 187

3.3 Olikheter 190

Intervall 190

Linjära olikheter 193

Tema: Olikheter 196

3.4 Funktionsbegreppet 197

Skrivsättet f(x) 197

Tema: Funktioner 201

Grafisk lösning av ekvationer och olikheter 202

Aktivitet: Tårtljus 206

Definitionsmängd och värdemängd 207

3.5 Olika typer av funktioner 210

Linjära funktioner 210

Aktivitet: Exponentialfunktioner y = C · ax 214

Exponentialfunktioner 215

Potensfunktioner 219

Aktivitet: Para ihop formel och graf 224

Matematiska modeller

– egenskaper och begränsningar 225

Aktivitet: Sant eller falskt? 231

Sammanfattning 3 232

Kan du det här? 234

Testa dig själv 3 235

Blandade övningar 3 236

Blandade övningar 1–3 240

4. Sannolikhet och statistik 244

Inledande aktivitet: Hur stor är chansen? 245

4.1 Repetition av sannolikhet 246

Sannolikheten för en händelse 246

Sannolikhet och relativ frekvens 250

4.2 Slumpförsök i flera steg 252

Försök med två föremål 252

Träddiagram 255

Aktivitet: Lika eller olika färg? 259

Beroende händelser 260

Aktivitet: Byta eller inte byta? 262

Komplementhändelse 263

Historik: Tärningsspel och sannolikhetens födelse 265

Tema: Sannolikhet 266

4.3 Matematik och ekonomi 267

Repetition av procent och procentenheter 267

Index 269

Lån, ränta och amortering 274

Tema: Vinst, förlust och vinstmarginal 277

En introduktion till kalkylprogram 278

Lån, ränta och amortering

med kalkylprogram 280

Tema: Krediter och avgifter 284

4.4 Statistik 288

Stickprov och urvalsmetoder 288

Signifikans och felkällor 292

Aktivitet: Ett modellförsök

av en väljarundersökning 297

Aktivitet: Finns det några samband i clementiner? 298

Korrelation och kausalitet 299

Tema: Statistik med Gapminder 304

Aktivitet: Sant eller falskt? 305

Sammanfattning 4 306

Kan du det här? 308

Testa dig själv 4 309

Blandade övningar 4 310

Blandade övningar 1–4 312

5. Trigonometri och vektorer 316

Inledande aktivitet: Tangens för en vinkel 317

5.1 Trigonometri (Valbart i nivå 1a) 318

Beräkna sträckor med tangens 318

Beräkna vinklar med tangens 321

Sinus och cosinus 323

Sträckor och vinklar i koordinatsystem 327

5.2 Vektorer (Valbart i nivå 1a) 330

Vad är en vektor? 330

Aktivitet: Vektorer med digitala verktyg 334

Beräkningar med vektorer 335

Vektorer i koordinatform 338

Tema: Krafter och hastigheter 341

Aktivitet: Sant eller falskt? 344

Sammanfattning 5 345

Kan du det här? 346

Testa dig själv 5 347

Blandade övningar 5 348

Programmering:

En problemlösningsstrategi med programmering 350

Reaktionssträcka 351

Procentuella förändringar 353

Ekvationslösning 355

Funktion, graf och area 357

Pythagoreiska tripplar 359

Kasta fyra tärningar 361

Blandade övningar 1–2, nivå 1a 363

Blandade övningar 3, nivå 1a 367

Blandade övningar 1–3, nivå 1a 370

Repetitionsuppgifter 373

Svar, ledtrådar och lösningar 382

Register 452

ARITMETIK OCH ALGEBRA

Aritmetik kallas ibland ”läran om talen”. Ordet kommer från grekiskans arithmos och betyder just tal.

Algebra, som lite förenklat kan beskrivas som bokstavsräkning, är en mycket viktig del av matematiken. Ordet algebra kommer från det arabiska ordet al-jabr som finns i titeln på en lärobok av en persisk matematiker, al-Khwarizmi, som levde för ca 1 200 år sedan.

Centralt innehåll

• Hantering av algebraiska uttryck.

• Begreppen förändringsfaktor och beräkningar av förändringar i flera steg.

• Metoder för att lösa linjära ekvationer.

• Problemlösning med särskild utgångspunkt i utbildningens karaktär, privatekonomi och samhällsliv.

Med andra ord

I början av kapitlet får du repetera viktiga räkneregler. Det gäller t.ex. i vilken ordning du ska räkna vid beräkningar med flera olika räknesätt och hur du räknar med negativa tal, bråktal och tal i decimalform.

I fortsättningen av kapitlet får du repetera och lära dig mer om hur du kan ställa upp och hantera uttryck och ekvationer.

För att beräkna förändringar i procent får du lär dig att använda förändringsfaktor, ett begrepp som kommer att återkomma många gånger under kursens gång.

Inledande aktivitet

LÄGGA TAL

Arbeta tillsammans två och två.

Använd fyra papperslappar och skriv siffrorna 2, 5, 1 och 7 på dem.

2 7 1 5

1 Med hjälp av lapparna kan du lägga olika fyrsiffriga tal. Lägg dem så att du får

a) ett så stort tal som möjligt

b) ett så litet tal som möjligt

c) ett tal så nära 5 000 som möjligt

d) ett tal så nära 6 000 som möjligt

e) ett tal så nära 1 400 som möjligt.

2 Välj bland lapparna och lägg dem så att summan + blir så

a) liten som möjligt

b) stor som möjligt

c) nära 60 som möjligt.

3 Välj bland lapparna och lägg dem så att produkten ∙ blir så

a) liten som möjligt

b) stor som möjligt

c) nära 100 som möjligt.

4 Multiplikation beräknas före addition.

Välj bland lapparna och lägg dem så att + ∙ blir så

a) liten som möjligt

b) stor som möjligt

c) nära 20 som möjligt.

5 Använd en räknare för att få ett svar.

Utgå från svaret och förklara i vilken ordning beräkningarna är gjorda?

a) 5 + 3 · 2

b) 12 – 6/3

c) (5 + 3) · 2

d) 2 · 52

e) (2 · 5)2

1.3 Uttryck och ekvationer

Algebraiska uttryck

Exempel 1 På en trafikskola är kostnaden för teoridelen och andra avgifter sammanlagt 3 500 kr. Varje körlektion kostar 700 kr.

Vi beräknar den totala kostnaden för olika antal lektioner:

Antal lektioner Kostnaden för körkort (kr)

10 3 500 + 700 ∙ 10 = 10 500

15 3 500 + 700 ∙ 15 = 14 000

25 3 500 + 700 ∙ 25 = 21 000 x 3 500 + 700 ∙ x

Vi kan beskriva kostnaden med ett algebraiskt uttryck,

3 500 + 700 · x, där x är antalet körlektioner.

Den totala kostnaden för att ta körkort om man tar 12 körlektioner är 11 900 kr. uttryckets värde algebraiskt uttryck

variabel Bokstaven x är en variabel som kan stå för olika tal, i detta fall något av talen 0, 1, 2, 3 osv.

konstant 3 500 är en konstant. En konstant är ett tal eller en bokstav vars värde inte ändras.

Vi beräknar uttryckets värde för x = 12 och tolkar resultatet.

3 500 + 700 · 12 = 11 900

Tolkning:

Exempel 2 William arbetar 3 timmar och hans timlön är 150 kr. Totalt tjänar han 150 + 150 + 150 = 3 · 150 = 450 kr

Om timlönen är a kr tjänar han på 3 timmar i kronor:

a + a + a = 3 · a = 3a

3 · a skrivs oftast 3a.

När vi skriver ett uttryck enklare, t.ex. 3a istället för a + a + a, kallas det att förenkla.

förenkla 3y − y = 3y − 1y

1301 Vilket värde har uttrycken

a) 3 x + 5 när x = 4 b) 5a – 2 b när a = 4 och b = –3?

a) x = 4 ger

3 · 4 + 5 = 12 + 5 = 17

b) a = 4 och b = –3 ger

5 · 4 – 2 · (–3) = 20 + 6 = 26

1302 Förenkla uttrycken.

a) 3y – y b) 4 x – 1 – x + 6

a) 3y – y = 2 y

b) 4x – 1 – x + 6 = 3 x + 5

Vi förenklar variabeltermerna för sig och konstanttermerna för sig.

Svar: a) 2 y b) 3 x + 5

1303 Algot tjänar x kr i timmen.

Skriv ett uttryck för Elsas timlön i kronor om hon tjänar

a) 5 kr mer än Algot

b) hälften så mycket som Algot

c) 5 kr mindre än dubbelt så mycket som Algot.

a) x + 5

b) x 2 eller 0,5 x eller 1 2 x

c) 2 x – 5

1304 En januarimorgon började det snöa och det fortsatte hela dagen.

Snötäckets tjocklek (i centimeter) var vid en specifik tid 20 + 2 x , där x är tiden räknat från klockan 12.00.

Beräkna och tolka uttryckets värde om x = 4.

Vi sätter in 4 i stället för x i uttrycket.

20 + 2 x = 20 + 2 ∙ 4 = 20 + 8 = 28

x = 4 motsvarar kl. (12 + 4) = kl. 16.

Svar: Klockan 16.00 är snötäckets tjocklek 28 cm.

1305 Förenkla uttrycken.

a) x + x + x c) – b + 5b

b) 4z + 7z d) 9n – 8n

1306 Förenkla uttrycken.

a) 4 x + 3 x + 6 – 2 c) 3 x – 1 – x + 4

b) 5a + 10 – 3a – 9 d) 6 a + 3 – a – 8

1307

Om man hyr en skylift i x dagar kostar det (800 + 700 x) kr.

Vad kostar det att hyra skyliften i

a) 2 dagar

b) en vecka?

1308 Bestäm värdet av uttrycken.

a) 4 – 2 a om a = 3,5

b) 421 5 a + om a = 6

c) 160 – 0,14y om y = 100

d) 6y – 4 om y = –3

e) 140 – y om y = –8

1309 Wilmer ska förenkla 4 x – x.

Han svarar felaktigt 4.

a) Hur kan han ha tänkt?

b) Ange rätt svar och förklara hur man kan tänka.

1310 Beräkna värdet för uttrycket

3 x + 4 – 2 x – 6 om x = 3

a) före förenkling

b) efter förenkling.

c) Jämför och kommentera svaren i a) och b).

1311 Linnea har x kr.

Skriv ett uttryck för hur mycket

pengar hon har i kronor om hon

a) får 50 kr

b) ger bort 20 kr

c) får dubbelt så mycket som hon har.

1312 Beräkna uttryckets värde om

a = 2 och b = 3.

a) ab2 c) (a + b)2

b) (ab)2 d) ab + b3

1313 Ture fiskar lax. Den första fisken han får är

x m lång. Skriv ett uttryck för längden på nästa fisk om den är

a) 0,5 m längre

b) en och en halv gånger så lång

c) är 75 cm kortare

d) nästan dubbelt så lång, det fattas 0,1 m.

1314 I en idrottsklubb finns sammanlagt 86 juniorer och seniorer.

Skriv ett uttryck för antalet juniorer om antalet seniorer är x

1315 En summa pengar, a kr, halveras.

Vilka av följande uttryck beskriver detta?

a 2 1 2a 1 2 a 2 a 0,5a

1316 Trafikskolan i det inledande exemplet har en konkurrent som tar 4 500 kr i fast avgifter och 550 kr/körlektion.

a) Ställ upp ett uttryck för hur mycket det kostar att ta x lektioner.

b) När är konkurrenten billigare än trafikskolan i det inledande exemplet?

Pröva dig fram.

Ö VNINGSK ÖR

1317 En bil bromsar in. Hastigheten i km/h efter t sekunder kan beräknas med uttrycket 72 – 8 t.

Beräkna och tolka uttryckets värde då a) t = 0 b) t = 4,0

1318 I en vedugn stiger temperaturen med konstant hastighet. Ugnens temperatur i grader Celsius kan beräknas med uttrycket 100 + 3 x , där x är antalet minuter efter kl. 09.00.

Beräkna och tolka uttryckets värde om a) x = 25 b) x = – 20

1319 Beräkna värdet av 4 ab – 2 a 2 om

a) a = –1 och b = 3

b) a = 0,3 och b = 0,5

1320 Beräkna uttryckens värde när

x = –6 och y = –2

a) 5 x – y + 3 c) xy y +

b) x y + x d) 5 x – (2 y + 3)

1321 Beräkna uttryckens värde för

x = 2 3 och y = 3 5

a) 2 x – 4/y b) 3 x 2 – 5 y 2

1322 Vilket uttryck har störst värde om x = –1?

A x 3 – x 2 + x B xx x x 32 1

1323 Livia påstår att värdet av uttrycket a 5 alltid är större än värdet av a4 Stämmer det?

Motivera med exempel.

exponenten noll

Exponenten noll och negativa exponenter

I föregående avsnitt arbetade vi enbart med positiva exponenter. Nu ska vi definiera potenser med exponenten noll och negativ exponent.

Vad menas med 3 0?

Vi utgår från 3 3 2 2 och räknar på två olika sätt:

3

3 2 2 = 32 – 2 = 3 0

3

3 2 2 = 1

Då måste 3 0 = 1.

Definition negativ exponent

Definition

enligt potenslag 2.

täljare och nämnare är lika.

För alla baser a gäller följande definition:

a 0 = 1

Vad menas med 3 – 2 ?

Vi utgår från 3 3 2 4 och räknar på två olika sätt:

3 3 2 4 = 32 – 4 = 3 – 2

enligt potenslag 2.

3 3 2 4 = 33 3333 = 1 32

Då måste 3 – 2 = 1 32

Vi skriver potenserna i faktorform.

För alla baser a gäller följande definition:

a –x = 1 a x

Observera att 3 – 2 inte är ett negativt tal.

3 – 2 = 1 32 = 1 9 ≈ 0,11

3 – 2 är alltså ett litet positivt tal.

Potenslagarna från föregående avsnitt gäller för potenser även då exponenterna är negativa tal.

tiopotenser Potenser med basen 10 kallas tiopotenser.

Tiopotens Värde Med ord

10 6 1 000 000 miljon

10 5 100 000 hundratusen

10 4 10 000 tiotusen

10 3 1 000 tusen

10 2 100 hundra 101 10 tio

10 0 1 ett

10 –1 0,1 tiondel

10 –2 0,01 hundradel

10 – 3 0,001 tusendel

10 – 4 0,000 1 tiotusendel

10 – 5 0,000 01 hundratusendel

10 – 6 0,000 001 miljondel

Tiopotenser med positiv exponent har ett värde större än 1.

Tiopotenser med negativ exponent har ett värde mellan 0 och 1.

Små och stora tal skrivs ofta med hjälp av tiopotenser, t.ex: 7 800 000 = 7,8 miljoner = 7,8 · 1

Grundpotensform

talet a ∙ 10n är skrivet i grundpotensform om n är ett heltal och a är ett tal som är större eller lika med 1 och mindre än 10.

2129 Skriv talen i bråkform.

2130 Skriv som en potens med basen 3. a) 33 35 b) 37 · 3 – 3 · 3 0 c) (3 –2)3 ·

3 0 = 1

2131 Skriv utan potenser.

a) 6 · 10 4 c) 5 · 10 –4

b) 6,2 · 10 4 d) 5,8 · 10 –4

a) 6 · 10 4 = 6 · 10 000 = 60 000

b) 6,2 · 10 4 = 6,2 · 10 000 = 62 000

c) 5 · 10 –4 = 5 · 0,000 1 = 0,000 5

d) 5,8 · 10 –4 = 5,8 · 0,000 1 = 0,000 58

2132 Beräkna 108 2 · 102 · 3 · 104 108 2 · 102 · 3 · 104 = 108 2 · 3 · 102 + 4 = 108 6 · 106 = 6 · 10 6 – 8 = 6 · 10 –2

Svar: 6 · 10 –2

2133 Skriv som en potens av 4.

a) 43 45 b) 4 –2 · 4 7 c) 4 45

2134 Skriv talen som en tiopotens.

a) 1 000 c) 0,001

b) 10 000 000 d) 0,000 01

2135 Skriv talen i bråkform.

a) 10 –2 b) 3 –2 c) 5 –1 d) 2 –3

2136 Beräkna

a) 52 + 51 + 5 0 b) 7 2 · 7 0

2137 Skriv utan potenser.

a) 4,5 · 10 6 c) 2 · 10 –6 b) 5,3 · 10 3 d) 5,1 · 10 –3

2141 Beräkna a) 3 · 10–5 9 · 102 b) 2 · 108 4 · 103 3 105 1

2138 Teo påstår att 10 –6 är ett negativt tal eftersom exponenten är negativ.

Robin säger att det är ett tal mellan

0 och 1.

Har någon av dem rätt? Motivera.

2139 Skriv som en potens av 5.

a) 57 ∙ 5 –3 c) 53 / 5 –4

b) (53)–2 d) (5 –4)–3

2140 Avståndet mellan jorden och solen

är 1,5 ∙ 1011 m. Till stjärnan Sirius

är det 540 000 gånger så långt.

Beräkna avståndet till Sirius.

2142 Vilka potenser har samma värde? 3 0 4 –2 2 –4 15 (–4)2 01 2 4

2143 Vilket värde har x?

a) 2 x ∙ 212 = 29 c) 10 106 x = 10 –5

b) (32) x = 3 –14 d) 10 10 3 x = 10 5

2144 Skriv talen i storleksordning, med det minsta talet först.

2149 Talet a = 4 · 10 6 . Vilket tal är

a) hälften så stort som a

b) a upphöjt till 2

c) 4 gånger så stort som a?

2150 Förenkla och svara i enklaste form.

a) 3–1 · 2 3–2 · 22 c) –4 –2 – 2 –3 b) 5–1 · 40 4–1 · 5 d) 2–2 + 2–1

2151 Beräkna a) + + +

2145 Beräkna och svara i grundpotensform. a) 4 ∙ 1012 ∙ 5 ∙ 10 –7 b) (3 ∙ 10 6 )2

2146 Beräkna och svara i grundpotensform. a) 210 210 3 3 3 2 b) 35 · (104)2 5 · 10–3 · 10

Kontrollera med räknare.

2147 Vad menar vi med 3 0?

Jimmy svarar:

”Det är noll treor, alltså blir det 0.”

Zoreh svarar:

”3:an har ingen exponent, därför blir det 3.”

Förklara varför båda har fel.

2148 Ett år var Sveriges bruttonationalprodukt (BNP) 5,020 · 1012 kr.

Samma år hade ett svenskt företag en omsättning som motsvarade 1,63 % av BNP.

Hur stor var omsättningen?

Svara i grundpotensform.

2152 Bestäm x om 52 – 3 x = 1/25

2153 Förenkla a) a b 2 5 3

b) 5 2 4 3 2 ab a a b

2154 Samir ska motivera definitionerna av 5 0 och 5 –x . Slutför hans resonemang, om han börjar med multiplikationsregeln så här: a) 5 0 ∙ 5x = b) 5x ∙ 5 –x =

Aktivitet

Graf, formel, tabell och beskrivning

I den här aktiviteten ska du koppla samman grafer, formler, värdetabeller och funktionsbeskrivningar. Syftet är att du ska utveckla din förmåga att växla mellan de olika sätten att representera en funktion.

Materiel: En kopia av rutorna på uppslaget. Kopieringsunderlag finns i lärarhandledningen.

Arbeta i par eller grupp.

Varje rad i tabellen nedan och på nästa sida innehåller fyra rutor:

1 En graf 3 En värdetabell

2 En formel 4 En funktionsbeskrivning

Tabellen är inte korrekt ordnad radvis.

Placera den graf, formel, tabell och beskrivning som representerar samma funktion på en rad.

Graf Formel Värdetabell Funktionsbeskrivning 1 x y 1 y = x 2 x y –1 –6

–3

6 y är dubbla x 1 x y 1 y = 3 x – 3 x y –1 –0,5 0 0 1 0,5 2 1 3 1,5 y är ett mindre än dubbla x 1 x y 1 y = 3 – x x y –1 4

y är tre gånger så mycket som x minus tre

y är tre minskat med x 1 x y 1 y = 2 x x y –1 2

y är kvadraten på x

Olikheter

Följande uppgifter är hämtade från tidigare högskoleprov.

Du får inte använda räknare.

Ett av alternativen A – D är korrekt. Vilket?

1 x och y är positiva heltal sådana att

0 < x < y < 10

Hur många olika värden kan x anta?

A 1 B 2 C 8 D 9

2 Vilket svarsförslag ger alla lösningar till olikheten 3 – 2 x < 1?

A x < 1 B x > 1 C x < 2 D x > 2

3 0 < x < 1 < y

Vilket svarsförslag är alltid mindre än 1?

A x / y B xy C y – x D y / x 2

4 Vad gäller för x och y om 6 procent av x är

lika med 5 procent av y, där både x och y är

större än noll?

A x > y C x = y

B x < y D 5 x = 6y

5 Vilket svarsalternativ är korrekt?

A 1/2 < 2/5 < 3/4 C 3/4 < 5/6 < 7/11

B 2/5 < 1/2 < 3/4 D 3/5 < 1/2 < 3/4

6 Vad måste gälla för b om a + b > a – 2 b?

A b > 0 C b > a

B b < 0 D b < a

7 x, y och z är heltal sådana att

x < 0 y > 0 z > 0

Vilket svarsförslag är korrekt?

A xz > x2

B x – y = 0

C xz > yz

D z > x/y

HÖGSKOLEPROV

Du får en inledande information följt av två kvantiteter.

Vilket av följande alternativ stämmer?

A I är större än II

B II är större än I

C I är lika med II

D informationen är otillräcklig

8 5 – x < 2 y – 3 > 1

Kvantitet I: x

Kvantitet II: y

9 x < 0

Kvantitet I: –7 4 x

Kvantitet II: –3 2 x

10 –4 ≤ x ≤ –3

–5 ≤ y ≤ –2

Kvantitet I: Minsta möjliga värdet av xy

Kvantitet II: 6

11 30 < 3 x – 6 < 63

Kvantitet I: x

Kvantitet II: 10

12 x(1 – x) > 0

Kvantitet I: x

Kvantitet II: x 2

13 y < z och x < m < y och z < n < w

Kvantitet I: m

Kvantitet II: n

Sant eller falskt?

Avgör om påståendena är sanna eller falska. Syftet är att utveckla förmågan att föra ett matematiskt resonemang. Motivera därför svaren med beräkningar och förklaringar. Arbeta gärna i par eller grupp.

1 Alla punkter på y-axeln har x-värdet noll.

2 En rät linje genom origo har m-värdet noll.

3 Den räta linjen y = 3 x + 2 går genom punkterna (2, 8) och (–2, –8).

4 En rät linje som stiger kan ha ett k-värde som är mindre än 1.

5 En rät linje som skär den positiva x-axeln och den positiva y-axeln har ett positivt k-värde.

6 Punkterna (–2, 1), (0, 2) och (4, 4) ligger på en rät linje.

7 För funktionen y = 5 x + 3 gäller att om x ökar med 1 så ökar y med 3.

8 Talet 4 ligger på intervallet 4 < x < 10.

9 Grafen till funktionen y = 300 + 20 x skär x-axeln i punkten (15, 0).

10 Det minsta heltal som uppfyller olikheten 3 – x < x – 2 är x = 3.

11 Om f (x) = 5 x 2 så är f(2) = 100.

12 Om f (x) = 3 x + 2 så är f(2) > 3 ∙ f (0).

13 En funktions definitionsmängd kan vara större än värdemängden.

14 Linjerna y = 0,5 x + 1 och y = –x 2 är parallella.

15 För funktionen y = 100 x 2 gäller att om x ökar med 1, ökar y med 100.

16 Exponentialfunktionen y = 20 ∙ 0,5x kan aldrig bli mindre än noll.

Koordinatsystem

Sammanfattning 3

Punkten (5, –2) har koordinaterna x = 5 och y = –2.

Funktionsbegreppet

Om sambandet mellan två variabler x och y är sådant att varje x-värde ger ett (och bara ett) y-värde, så är y en funktion av x En funktion kan beskrivas med en formel, en tabell eller en graf.

Skrivsättet y = f (x )

Vi utgår från funktionen f( x) = 4x – 25

◗ f(15) är funktionsvärdet ( y-värdet) då x = 15 f(15) = 4 ∙ 15 – 25 = 60 – 25 = 35

◗ Lösningen till ekvationen f( x) = 15 är x-värdet då funktionsvärdet ( y-värdet) är 15

f(x) = 15

4x – 25 = 15

4x = 40 x = 10

Rita en graf till funktionen f ( x ) = 5 – 2x

Utan digitalt verktyg måste vi göra en värdetabell.

Vi väljer några x-värden och beräknar y-värdena. Sedan placerar vi punkterna i ett koordinatsystem och sammanbinder punkterna till en graf.

Värdetabell Graf

x y = f ( x )

0 5 – 2 · 0 = 5

1 5 – 2 · 1 = 3

2 5 – 2 · 2 = 1

3 5 – 2 · 3 = –1

Med digitalt verktyg kan vi rita grafen genom att skriva in formeln y = 5 – 2 x eller f ( x) = 5 – 2 x.

f : y = 5 2x

Linjära funktioner

En funktion vars graf är en rät linje kallas en linjär funktion. Den kan beskrivas med räta linjens ekvation y = kx + m, där m ä r y-värdet där linjen skär y-axeln och k anger linjens lutning.

Ibland kan k-värdet avläsas i grafen.

Annars kan det beräknas med hjälp av två punkter (x 1, y1) och (x 2 , y2) på grafen.

Formeln för k

k = skillnaden i -led skillnaden i -led y x = y x = yy xx 21 21 (x2 ≠ x1 )

Linjen stiger om k > 0.

Linjen faller om k < 0.

Exempel:

= 1

m = –1

k = 2 y ”stiger” med 2 för varje x

k = –1 y ”faller” med 1 för varje x.

En linje som går genom origo (m = 0) kallas en proportionalitet och skrivs y = kx.

Parallella linjer har samma k-värde.

Att ställa upp ekvationen för en linje

En linje har k = 3 och går genom punkten (–2, 1).

y = kx + m och k = 3 ger

y = 3 x + m

x = –2 och y = 1 ger

1 = 3 ∙ (–2) + m

m = 7

Linjens ekvation är y = 3 x + 7 x y 1 1 y = –x + 1 y = 2x – 1

Olika former för räta linjens ekvation

k-form y = kx + m

allmän form ax + by + c = 0

Man måste lösa ut y för att bestämma k- och m-värde om linjen anges i allmän form.

Olikheter

För att jämföra tal och uttryck används följande tecken:

= (lika med) ≠ (inte lika med)

< (mindre än) ≤ (mindre än eller lika med)

> (större än) ≥ (större än eller lika med)

Intervall

Intervallet –2 < x ≤ 3 kan markeras på följande sätt.

–3 –2 –1 01 23 45 x

–2 ingår inte i intervallet, vilket markeras med en öppen ring.

3 ingår i intervallet, vilket markeras med en fylld ring.

Linjära olikheter

När man löser en linjär olikhet gäller, med ett viktigt undantag, samma regler som vid lösning av linjära ekvationer.

Undantag: Då båda leden multipliceras eller divideras med ett negativt tal måste olikhetstecknet vändas.

Exempel: 6 – 2 x > 20 –2 x > 14 x < –7

Definitions- och värdemängd

Definitionsmängden är de tillåtna värdena på den oberoende variabeln, ofta x.

Värdemängden är de värden, ofta y, som alla värden i definitionsmängden ger.

Grafisk lösning av ekvationer och olikheter

Figuren visar grafen till funktionerna

y = f(x) och y = g(x)

Ekvationen f(x) = g(x) har lösningen x = 2.

Olikheten f(x) > g(x) har lösningen x > 2.

Exponentialfunktioner

Funktionen y = C ∙ a x, där C och a är konstanter (a > 0, a ≠ 1), kallas exponentialfunktioner.

C ger skärningen med y-axeln (”startvärdet”). a kan ses som en förändringsfaktor.

växer. a

Potensfunktioner

Funktionen y = C x a, där C och a är konstanter, är en potensfunktion.

Exempel på potensfunktioner är

y = x 2 , y = x och y = 1 x

Matematiska modeller

Om en förändring är konstant ökande eller minskande, använder vi en linjär modell.

Om förändringen i procent är konstant är en exponentiell modell lämplig.

Matematiska modeller gäller ibland i begränsade intervall. En modell gäller t.ex. inte utanför funktionens definitions- och värdemängd.

Delkapitel BEGREPP

3.1 Grafer och funktioner

Kan du det här?

Koordinater, koordinatsystem och origo

Formel, värdetabell och graf

Funktion

Linjär funktion

3.2 Räta linjens ekvation m-värde och k-värde

Lutning och riktningskoefficient

Räta linjens ekvation, k-form, allmän form (Ej i 1a)

Parallella linjer (Ej i 1a)

3.3 Olikheter Olikhet (Ej i 1a)

Intervall (Ej i 1a)

3.4 Funktionsbegreppet Skrivsättet f ( x)

Definitionsmängd (Ej i 1a)

Värdemängd (Ej i 1a)

3.5 Olika typer av funktioner Linjär funktion

Exponentialfunktion

Potensfunktion (Ej i 1a)

Matematisk modell

PROCEDUR

• pricka in och avläsa punkter i ett koordinatsystem

• tolka grafer som beskriver realistiska situationer

• från en funktionsformel göra en värdetabell och rita en graf hand och med digitalt verktyg

• bestämma funktionsvärden med hjälp av formel, tabell, graf och digitalt verktyg.

• avläsa k- och m-värde ur en graf

• beräkna k- och m-värde från två punkter (Ej i 1a)

• ange k- och m-värde för linjer skriva på olika former (Ej i 1a)

• avgöra om en punkt ligger på en linje. (Ej i 1a)

• tolka, skriva och lösa linjära olikheter (Ej i 1a)

• tolka och skriva ett intervall. (Ej i 1a)

• använda skrivsättet f ( x) vid beräkningar med formler och vid avläsningar i grafer

• grafiska och digitala metoder för att lösa ekvationer av typen f ( x) = a

• lösa olikheter av typen f ( x) < a med olika metoder. (Ej i 1a)

• tolka och beräkna k- och m-värden för linjära funktioner

• beskriva skillnaden och likheter mellan olika linjära och exponentiella funktioner

• ställa upp och använda matematiska modeller i realistiska situationer samt utvärdera deras begränsningar.

Testa dig själv 3

3.1 Grafer och funktioner

1 Utgå från y = 2 x – 3.

a) Gör en värdetabell för x = –2, –1, 0, 1 respektive 2.

b) Rita grafen för hand.

c) Vilket värde har y då x = –10?

d) Vilket värde har x då y = 99?

2 Grafen beskriver kostnaden för att hyra en clown till ett barnkalas.

3.4 Funktionsbegreppet

7 För funktionen f gäller att f ( x ) = 160 – 5 x. Förklara vad det är för skillnad mellan f (10) och ”x då f ( x ) = 10”

8 Figuren visar grafen till funktionen y = f ( x). Vilken lösning har

a) f ( x) = 0

b) f ( x) > 1

c) f ( x) < 0

d) f ( x) = 5 – x?

3.5 Olika typer av funktioner

9 Bensintanken i Malins bil rymmer 60 liter. Bilen drar 0,75 liter bensin per mil.

a) Skriv en funktion för volymen bensin, y liter, som finns kvar i tanken när hon kört x mil efter fulltankningen.

Beskriv kostnaden med en formel och förklara vad den betyder.

3.2 Räta linjens ekvation

3 Vilka av linjerna är parallella?

A y + x = 5 C y – x = 2

B y = 4 + x D y = 3 – x

4 Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkterna (3, –4) och (–1, 8).

5 Bestäm linjernas ekvationer.

3.3 Olikheter

6 a) Lös olikheten 3 x + 5 < –15 – x.

b) Vilka av följande x-värden ingår i lösningen?

5 2 –1 –5 –8 –10 1 1 000 2 000 4 000 3 000 23 4 5h Tid kr Kostnad x y 1 1 a) b)

b) Bestäm funktionens definitionsmängd och värdemängd.

10 Exponentialfunktionen y = 250 ∙ 0,977 x beskriver hur mycket som återstår av 250 mg radioaktivt cesium efter x år.

a) Beräkna mängden cesium efter 20 år.

b) Med hur många procent minskar mängden cesium varje år?

c) Efter hur lång tid återstår 50 %?

Lös uppgiften både grafiskt och med ett ekvationslösande verktyg.

11 Elias tappar sin mobiltelefon från en hög bro. En modell för den sträcka s meter som mobilen faller på tiden t sekunder kan beskrivas med potensfunktionen s = 4,9 ∙ t2

a) Hur långt faller mobilen på 1,5 s?

b) Hur lång tid tar det för den att falla 75 m?

c) Vilka begränsningar har modellen?

Blandade övningar 3 nivå 1a finns på sidorna 367–369.

Blandade övningar 3

Utan digitala verktyg 1

1 Utgå från funktionen y = 40 ∙ 0,8 x

Med hur många procent minskar y-värdet

då x-värdet ökar med 1?

2 Figurerna visar fyra grafer y = ax + b

För vilken eller vilka grafer gäller att a) a > 0 b) b < 0

3 För funktionen f gäller att f(x) = 7 – 2 x

a) Bestäm f(–3).

b) Lös ekvationen f(x) = 4.

c) Bestäm a så att f(a) = –1.

4 Vilket är det minsta heltal som ingår i lösningen till olikheten 2 – x ≤ x – 7?

5 En rät linje går genom punkterna (2, 1) och (4, 5).

a) Bestäm linjens ekvation y = kx + m.

b) Linjen går även genom en punkt P med y-koordinaten 15. Bestäm x-koordinaten för punkten P.

6 Grafen visar den sträcka y m som en bil kör på tiden x s.

a) Skriv en formel för hur sträckan beror av tiden.

b) Vilken lösning har olikheten y > 100?

7 Hur kan man se på en graf som beskrivs av sambandet y = k x + m att

a) k = 0 b) m = 0?

Förklara.

8 Funktionen f definieras genom grafen i figuren.

a) Bestäm f(0)

b) Bestäm x så att f(x) = 0

c) Avgör om linjen i figuren går genom punkten (20, –16). Motivera.

9 Funktionen y = 5 000 – 400 x beskriver hur många meter Lina har kvar till mål när hon sprungit x varv på en löparbana.

000

000

000 y 46 8 10 12 14 x

a) Hur många meter springer Lina?

b) Hur många varv springer hon totalt?

c) Ange funktionens definitions- och värdemängd.

10 x 0 2 4

f (x ) 2 4 6

Tabellen beskriver en funktion.

a) Bestäm x så att f(x) = 4

b) Är det sant att f(4) = 2 ∙ f(2)? y x 1 1 y = f(x)

11 Studera funktionerna nedan.

f(x) = 3 000 – 200 x h(x) = 150 x + 200

g(x) = 3 000 ∙ 1,07 x c(x) = 200 ∙ 0,95 x

Välj två av funktionerna som är lika på något sätt och beskriv vad funktionerna har gemensamt.

Upprepa detta för två andra funktioner.

12 För en funktion gäller f ( x) = 2 x – 3 och definitionsmängden är – 3 < x ≤ 4.

Vilken är funktionens värdemängd?

13 Skriv ekvationen för den linje L1 som går genom punkten (1, 2) och som aldrig skär den linje L2 som har ekvationen y = –3 x + 8.

14 För funktionen f gäller att

f(x) = 2 3 x + m

Bestäm m så att f(3) = 3 f(2).

15 En rät linje har ekvationen 3 x + y − 12 = 0. Linjen bildar tillsammans med koordinataxlarna en triangel.

Beräkna triangelns area.

16 Beskriv det färgade området med tre olikheter. 5

10 15 5 10 15 x y

I koordinatsystemet visas tre räta linjer. Linjerna är grafer till funktionerna

f(x), g(x) och h(x).

Det gäller att f(0) > g(0) > h(0).

a) För vilket x gäller att f(x) = g(x)?

b) Bestäm f(100) + h(100).

c) Lös ekvationen f(x) + g(x) + h(x) = 0

d) Bestäm h(a) då h(a + 1) = 3.

e) För vilka x gäller att g(x) < 0 och h(x) < 0?

Vilken funktion är ritad i figuren?

I y = 1 x II y = 1

Motivera ditt val.

x

19 Ge exempel på två olika funktioner f ( x) där f ( f (1)) = 4.

20 För en funktion gäller att f(0) = 4 och f(2) = 8

Bestäm f(1) om funktionen är

a) linjär b) exponentiell. y x 1 1

Aktivitet

Finns det några samband i clementiner?

I den här aktiviteten är det bra om ni är flera som hjälps åt med undersökningen. Syftet är att du ska förstå begreppet korrelation.

Materiel: 20 –25 clementiner och en eller flera vågar.

Arbeta i par eller grupp.

1 Väg en clementin och notera vikten. Skala clementinen och notera skalets vikt.

Räkna antalet klyftor.

2 Undersök alla clementinerna på samma sätt som i uppgift 1 och skriv upp resultaten i en tabell, t.ex. en lik den här:

Nr Clementin vikt (g) Skal vikt (g) Antal klyftor

1 2 3

3 a) Rita ett diagram med clementinens vikt på x-axeln och skalets vikt på y-axeln. Pricka in värdena.

b) Rita ett diagram med clementinens vikt på x-axeln och antalet klyftor på y-axeln. Pricka in värdena.

Du kan göra diagrammen med ett digitalt verktyg om du vill.

4 Studera diagrammen.

a) Finns det något samband mellan hela clementinens vikt och skalets vikt?

b) Finns det något samband mellan hela clementinens vikt och antalet klyftor?

Programmering

Funktion, graf och area

Skriv ett program som beräknar det gröna områdets area.

1 FÖRSTÅ

Det gröna området består av sex rektanglar som alla har samma bas, men olika höjd. Basen är 1 m och höjden y m är beroende av läget x m i den punkt där grafen skär rektangelns hörn. Till exempel har den högsta rektangeln höjden y = 0,2 ∙ 6 2 .

Hela områdets area fås genom att summera rektanglarnas areor.

2 PLANERA

A Resultat

När vi kör programmet vill vi att det skriver ut följande resultat:

Det gröna området har arean m^2. där områdets area ska stå istället för strecket.

B Lösning

Rektanglarnas areor fås genom:

Area = Bas · Höjd

där basen är 1 m för alla rektanglar och höjden y m är beroende av läget x m.

Rektangel Bas (m) x (m) Höjd, y (m) Bas · y = Area (m2) A 1 1 0,2 · 12 = 0,2 1 · 0,2 = 0,2 B 1 2 0,2 · 22 = 0,8 1 · 0,8 = 0,8

1

C Variabler

Programmet ska använda följande variabler:

• bas för basen i meter

• x för läget i meter

• y för höjden i meter

• area för arean i kvadratmeter.

D Algoritm

Vi sammanfattar hur programmet steg för steg ska lösa uppgiften.

• Spara värdet 0 i variabeln area

• Spara värdet 1 i variabeln bas.

• Låt x variera från 1 till 6.

• För varje värde på x: beräkna värdet på höjden och spara i variabeln y samt beräkna värdet på arean och addera till den totala arean.

• Skriv ut det gröna områdets area.

3 GENOMFÖRA − KODA

I programspråket Python3 skriver vi programmet så här: area = 0 bas = 1

for x in range(1, 7): # x varierar från 1 till 6 y = 0.2 * x ** 2 # beräknar höjden för varje x area = area + bas * y # arean beräknas och läggs till den totala arean print("Det gröna området har arean", area, "m^2.")

4 TESTA OCH VÄRDERA

Programmet kan beräkna det gröna områdets area.

Lös följande uppgifter med hjälp av programmering. Syftet är att du ska utveckla din problemlösningsförmåga och därför är det lämpligt att du följer alla stegen i strategin.

1 Skriv programmet i exemplet. Kör det och kontrollera att det fungerar.

2 Ändra i programmet i uppgift 1 så att det istället beräknar arean för 100 rektanglar med basen 1 m.

3 Hur många rektanglar med basen 1 m krävs för att arean ska vara minst 11 000 m 2?

Pröva dig fram med hjälp av programmet i uppgift 1 eller skriv ett nytt program som kan ta reda på svaret.

4 Skriv program som beräknar det blå och det röda områdets areor.

Blandade övningar kapitel 1−2, kurs 1a

Utan digitala verktyg

1 Vilket värde har uttrycket 3a – b om

a = 2 o ch b = 10?

2 Förenkla uttrycket 4(x + 5) + 3 x – 12 så långt som möjligt.

3 Lös ekvationen 7,5 = 2 x – 3,5.

4 Jasmine, Jennifer och Julia har alla löst samma ekvation, men de har fått olika svar.

2 ( x – 5) = 15 2 ( x – 5) = 15 2 ( x – 5) = 15

2 x – 10 = 15 2 x – 5 = 15 x – 5 = 7,5

2 x = 5 2 x = 20 x = 12,5 x = 2,5 x = 10

Jasmine Jennifer Julia

a) Vems lösning är rätt?

b) Vilka fel gör de andra? (NP)

5 Hur skriver man ett uttryck som är

a) 20 mindre än a

b) 20 mer än halva a

c) 20 % av a?

6 Lös ekvationerna.

a) 8(x + 5) = 42 – 2 x

b) 2 3 x – 1 = 4

7 Förenkla uttrycket

222 2 xxx ++

8 Lös ut b ur formeln a = 5 – b

9 Vilket värde har uttrycket 3 x y om

x = 0,6 och y = 0,2?

10 Ida, Thea och Meja är alla tre år äldre än Kevin. Tillsammans är de fyra vännerna 73 år.

a) Skriv en ekvation till denna situation.

b) Lös ekvationen och bestäm hur gamla de är.

11 John påstår att den enda faktor som kan brytas ut ur uttrycket 12 ab + 18b är talet 6.

Visa att han har fel.

12 Vilket är sambandet mellan a och b?

a 10 15 25 50

b 2 3 5 10

13 Vilket eller vilka påståenden A – D är korrekta om x ∙ y = 4?

A Både x och y kan vara negativa tal.

B Om x = 0,2 så är y = 200.

C y = x 4

D y är alltid mindre än x

14 Skriv text till en uppgift som kan lösas med hjälp av ekvationen

x + (x + 5) = 13

15 Utveckla och förenkla (x – 3)(x – 7).

Kapitel 1

1103 a) 23 c) 16

b) 43 d) 0

1104 a) 29 c) 32

b) 18 d) 64

1105 Subtraktion

1106 a) 1 c) 11

b) 6 d) 4

1107 a) 66

b) 22

Lösning: (8 – 4)2 + 3 · 2 = 4 2 + 3 · 2 = = 16 + 6 = 22

c) 19

d) 19

Ledtråd: Beräkna potensen först.

1108 a) 59

b) Hon ska beräkna täljaren och nämnaren innan divisionen utförs. Det gör hon inte.

c) 6

Lösning:

Metod 1

Beräkna täljaren och nämnaren innan divisionen utförs.

42 18 28 + + = 60 10 = 6

Metod 2

Skriv parenteser runt täljaren respektive nämnaren.

42 18 28 + + = (42 + 18)/(2 + 8) = 6

1109 a) 5 b) 42 c) 578

1110 a) 45

b) Eric använder likhetstecknen på ett felaktigt sätt.

c) 2 · 52 – 5 = 2 · 25 – 5 = = 50 – 5 = 45

1111 a) 2 · 32 = 2 · 9 = 18

b) (2 · 3)2 = 6 2 = 36

1112 4

Lösning: (237 + 387)/(12 · 13) = 4

1113 a) 13

b) 11

Lösning: (8 – 2)2 /3 – 1 = 6 2 /3 – 1 = = 36/3 – 1 = 12 – 1 = 11

c) 1

1114 a) 5 b) 5

1115 a) T.ex. (2 · 32 + 3) · 4 = 84

b) 42, 84 och 96

1116 a) 28

b) 13

c) 28

1117 a) 680

Ledtråd: Lägg till 40.

b) 656

c) 600

d) 697

1118 a) 361, 362, 363 osv.

Ledtråd: a 10 är större än 36.

b) 39, 38, 37… 3, 2, 1 c) 41, 42, 43 osv.

d) 119, 118, 117… 3, 2, 1

1119 Talet är 4.

1122 a) 3 °C b) –6 °C 1123 –4

1124 a) –2 d) –6 b) –8 e) –6 c) 2 f) –10

1125 a) 50 kr c) –650 kr b) –250 kr d) –100 kr

1126 a) 5 + (–2) = 5 – 2 = 3

b) –5 + (–2) = –5 – 2 = –7

c) 5 + (–7) = 5 – 7 = –2

d) 8 – (–2) = 8 + 2 = 10

e) –9 – (–5) = –9 + 5 = –4

f) –4 – (–6) = –4 + 6 = 2

1127 –12 ska minskas med 5.

Resultatet blir –17.

Kalle tänker nog:

Två minustecken intill varandra kan ersättas med ett plustecken.

Minustecknen står inte intill varandra.

–12 – 5 innebär att vi utgår från –12 och minskar talet med 5.

Resultatet blir ett ännu mindre tal, –17.

1128 a) –63

b) –32

c) 12

d) 0

e) 4

Lösning: (–2)2 = (–2) · (–2) = 4

f) –8

Lösning: (–2) · (–2) · (–2) = = 4 · (–2) = –8

1129 a) –7 c) 9

b) –9 d) –3

1130 a) –17

b) –4

c) –6

Ledtråd: Skriv om uttrycket. Ersätt – ( – ) med + d) 7

e) –18 f) –1

1131 a) –3 c) 6

b) 8 d) –2

1132 a) 2 c) –36 b) –9 d) 32

1133 a) –3

Lösning: 20 5 41 = 15 5 = –3

b) 4

c) –1

Lösning: 45 45 () () = 45 45 = 1 1 = –1

d) 3

e) –2

f) 11

1134 a) –10

b) –20

Lösning: 10 + (–5) · 6 = 10 + (–30) = = 10 – 30 = –20

c) 11

d) –20

1135 a) –16

b) –18

Lösning: 12 – (–18) = 12 + 18 = 30

c) 19

d) –40

Lösning: –15 – (–40) = −15 + 40 = 25

1136 a) T.ex:

3 000 + (–1 000) = 2 000

b) T.ex: 1 000 + (– 3 000) = –2 000

c) T.ex: –500 + (–1 500) = –2 000

1137 a) 5

Lösning: Summan av de två talen dividerat med 2 ger medelvärdet.

37 2 + = 10 2 = 5

b) 2

c) 1

d) –5

e) –2,5 f) –14

1138 a) Nej.

Förklaring: Summan av två negativa tal är alltid negativ, t.ex. –10 + (–10) = –20

b) Ja.

Förklaring: T.ex. –25 – (–5) = –20

1139 a) –3

Lösning: 14 – 32 – 4 · 2 = 14 – 9 – 8 = = –3

b) 31

Lösning: 14 + (–3)2 – 4 · (–2) = = 14 + 9 + 8 = 31

c) –11

Lösning: 14 – (–3)2 – 4 · (–2)2 = = 14 – 9 – 4 · 4 = = 14 – 9 – 16 = –11

d) 15

Lösning: 14 + (–3)2 + (–2)3 = = 14 + 9 + (–8) = = 14 + 9 – 8 = 15

1140 Värdet ändras från 2 till –10.

1141 a) 40 c) 30

b) –7 d) –5

1142 a) –2 och –4 ger största produkten (8).

b) 3 och –4 ger minsta produkten (–12).

1143 Talet är –5.

1204 a) 1 8 b) 7 8 c) 3 5

1205 a) 1 4 av figuren är färgad.

Lösning: 2 av 8 lika stora delar är färgade.

2 8 = 2 8 2 2 / / = 1 4

b) 3 4 av figuren är ofärgad.

1206 Han har 1 5 av resan kvar.

1207 a) 8 18

Lösning: 4 9 = 4 9 2 2 ⋅ = 8 18

b) 15 18

c) 12 18

1208 Nej.

Motivering: Täljaren och nämnaren har minskat men bråkets värde är detsamma.

1209 T.ex. 2 8 och 3 12

1210 a) 5 10 24 48 och 33 66 är lika med 1 2

Ledtråd: Täljaren ska vara hälften så stor som nämnaren.

b) 20 50 6 15 och 8 20 är lika med 2 5

Ledtråd: Förkorta så långt det går.

1211 a) d

b) n

c) e

Ledtråd: 1/5 ska placeras vid bokstaven c.

d) i

1212 a) 3 5 är större än 2 5

Motivering: Båda bråken består av femtedelar.

Antalet delar, 3, är mer än 2.

b) 1 3 är större än 1 4

Motivering: Tredjedelar är större än fjärdedelar.

c) 2 5 är större än 2 6

Motivering: Femtedelar är större än sjättedelar.

Antalet delar är 2 i båda bråken.

Vux Nivå

7000 Matematik 1abc

för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2025.

Matematik 7000 nivå 1abc Vux riktar sig till dig som ska läsa Matematik nivå 1a, 1b eller 1c inom vuxenutbildningen.

Matematik 7000 är ett modernt och heltäckande läromedel anpassat till den nya gymnasieskolan Gy25. Med bokens tydliga progression får eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik.

I Matematik 7000 hittar du:

digitala verktyg i teori, övningar och aktiviteter utvecklande och utmanande uppgifter på alla svårighetsgrader aktiviteter, teman och historik som bidrar till en varierad undervisning kapitelavslutning med testa dig själv och blandade övningar utförligt facit med många lösningar och ledtrådar elevwebb och digital lärarhandledning.