PROBLEMA 2 1 a) Tracciamo il grafico della funzione ′ , supponendo generalmente derivabile due volte. ∞. Dal grafico di deduciamo 0 Sempre dal grafico di relativamente all’arco , deduciamo che è crescente (ha quindi derivata prima non negativa: ′ 0 ovvero la funzione di cui stiamo cercando il grafico è non negativa nell’intervallo in ′ ′ 0 e quindi la nostra funzione questione) e concava; ha quindi derivata seconda non positiva: ′ risulterà decrescente. 1 0, in quanto il punto è massimo relativo per il grafico di . Consideriamo adesso il grafico di relativamente all’arco e ragioniamo come sopra. La funzione è decrescente: ′ 0 e quindi la nostra funzione sarà non positiva. La funzione è anche concava: ′ 0 e quindi la nostra funzione ′ sarà una funzione decrescente. Per gli archi e si ragiona in modo analogo. Per 8, la funzione è data da 2 8 , equazione della retta passante per i punti e , e quindi 2. risulta Un grafico qualitativo di ′, che non riesce a tener conto degli eventuali suoi punti di flesso, è il seguente:
Per quanto riguarda i valori di ′ nei due punti richiesti, dalle informazioni sulle rette tangenti al grafico di nei punti e , abbiamo
3
2,
5
.
1 b) Per tracciare il grafico della funzione integrale, cominciamo con l’osservare che 0 0 e che è sicuramente positiva per 5. 0, segue che è una funzione crescente; da Cominciamo adesso a considerare l’arco . Da 0 1. 0, segue che è una funzione convessa. In particolare risulta 0 0, segue che è una funzione Consideriamo adesso l’arco e ragioniamo in modo analogo. Da crescente; da 0, segue che è una funzione concava. In particolare il valore 5 è dato 5 0. dall’area della regione delimitata dall’arco ovvero da 11; 5 Ragionando in modo del tutto simile per gli archi , e per 8, si ricava il seguente grafico qualitativo.