1. Nella funzione f (x) si deve annullare il denominatore per x = 3 e x = −3 (asintoti verticali). Dunque d = −9. Inoltre gli zeri x = 0 e x = 12/5 impongono che il polinomio p(x) sia del tipo p(x) = kx(x−12/5). L’asintoto orizzontale y = 5 impone che sia k = 5. Di conseguenza f (x)) =
5x2 − 12x x− 9
Annullando la derivata prima f 0 (x) si ottengono i valori x = 3/2 e x = 6 corrispondenti rispettivamente a un massimo e a un minimo relativi. 2. La funzione g(x) si annulla per x = 0. Per x > 0 è sempre positiva e per x < 0 si ha sempre g(x) < 0 in quanto le potenze in g(x) sono dispari. g(x) x2019 = lim =0 x x→∞ 1, 1 x→∞ 1, 1x lim
Perché le potenze sono infiniti di ordine inferiore agli esponenziali che hanno base maggiore di 1. 3. Detti x e y rispettivamente il lato del quadrato di base e l’altezza del parallelepipedo retto, il problema consiste nel minimizzare la funzione f (x, y) = 8x + 4y sotto la condizione 2x2 + 4xy = S (S > 0). Ricavata y dalla condizione e sostituita nella f (x, y) si ottiene la funzione g(x) =
6x2 + S x
p che ha un minimo per x = S/6 come si verifica annullando g 0 (x). √ 4. La condizione P A = 2 P B si traduce nell’equazione p √ p (x − 2)2 + y 2 + (z + 1)2 = 2 (x + 2)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 Elevando al quadrato e semplificando si ottiene l’equazione x2 + y 2 + z 2 + 12x − 8y − 6z + 13 = 0 che rappresenta una sfera di centro C(−6, 4, 3). Si verifica che le coordinate T (−10, 8, 7) soddisfano l’equazione della sfera. L’equazione del piano tangente in T ha come coefficienti i parametri direttori del raggio CT : 4, −4, −4. Dunque il piano tangente ha equazione 4(x + 10) − 4(y − 8) − 4(z − 7) = 0 5. (a) Considerando i dadi distinguibili, i casi possibili sono 64 . La somma non supera 5 se escono tutti ’1’ oppure tre ’1’ e un ’2’. Il secondo caso può verificarsi in quattro modi a seconda del dado in cui esce il ’2’. I casi favorevoli sono perciò cinque. La probabilità richiesta è quindi 5/64 . (b) Il prodotto è multiplo di tre se almeno un esito è multiplo di tre. La probabilità che un esito sia multiplo di tre è 2/6 = 1/3. Calcoliamo la probabilità che almeno un esito sia multiplo di tre come 1 − P (nessun esito è multiplo di 3) = 1 − (2/3)4 . (c) Il massimo è quattro se è minore o uguale a quattro ma non minore o uguale a tre. La probabilità che il massimo sia minore o uguale a x è la probabilità che tutti gli esiti siano minori o uguale a x, perciò (x/6)4 . La probabilità richiesta è dunque pari a (4/6)4 − (3/6)4 = (2/3)4 − (1/2)4 .
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