Problema 2 1) La funzione f è ovviamente continua su tutto R. Dal grafico (che presenta dei punti angolosi in punti
1
1 e in
3) si deduce che f è derivabile su tutto R tranne che nei
2 con intero relativo.
Il limite di f, per x , non esiste in quanto f è funzione periodica con oscillazioni di ampiezza costante. Il limite di confronto:
, per x , invece esiste per il criterio del
dove quest’ultima funzione è infinitesima.
Sarebbe facile scrivere le espressioni analitiche che definiscono la f e da qui dedurre quelle che definiscono le funzioni g e h, con i rispettivi grafici. Si può però più semplicemente procedere senza calcoli in base all’analisi sul grafico della funzione f . Si chiede di rappresentare il grafico della funzione derivata. Alcune considerazioni: la funzione f è costituita da segmenti di rette, quindi la sua derivata nei vari intervalli è costante e tale costante ha il valore del coefficiente angolare della retta alla quale il segmento appartiene. In particolare la funzione g nell’intervallo [0, 1) vale 1, nell’intervallo (1,3) vale – 1 e nell’intervallo (3,4] vale 1; ricordiamo che nei punti 1 e
3 non esiste la derivata prima. Di conseguenza il grafico di g è:
Per quanto riguarda il grafico di h che è una funzione integrale potremmo riferirci all’analisi dei grafici di f e di g, tenendo presente che il grafico di f è il grafico della derivata prima di h (basta ricordare il teorema di Torricelli Barrow per il calcolo integrale) e che il grafico di g è quello della derivata seconda di h. Se ne deduce che nell’intervallo [0,1] la funzione h è crescente e convessa; allo stesso modo nel punto 2 la funzione presenta un massimo assoluto (cresce in (1,2) e decresce in (2,3) ed è sempre concava); infine nell’intervallo (3,4) è decrescente e convessa. Si deducono anche i due punti di flesso in
1 e in
3. Il grafico di h è:
2) Il periodo della funzione s è dato da . Perché risulti uguale a 4 occorre che sia
.
Dal grafico si vede che effettivamente il quadrato di lato 1 viene suddiviso dai diagrammi di f e s in tre parti distinte: il grafico di s sta sempre non al di sotto di quello della retta
come si deduce dal calcolo di ′ 0 e ′ 1 .
Le probabilità richieste sono date da un rapporto tra aree (dove l’area del quadrato unitario – “tutti i casi possibili” – vale ovviamente 1). In particolare, la probabilità che il punto preso a caso cada nella regione inferiore vale . La probabilità che il punto preso a caso cada nella regione intermedia è data da
sin
. Infine, la
probabilità che il punto preso a caso cada nella regione superiore è data dalla differenza tra l’area del quadrato unitario e la precedente area, ovvero da: 1 3) Il precedente grafico, relativo ora alle funzioni
e , diventa:
.
Essendo sempre
, la probabilità che il punto preso a caso cada nella regione
inferiore è ora minore della probabilità che il punto preso a caso cada nella regione inferiore del grafico precedente. La nuova area intermedia ′ si ottiene come differenza tra l’area sottesa da e quella sottesa da
, mentre la precedente (che abbiamo calcolato) valeva
. Dedurre
qualcosa da un confronto grafico non è possibile. Procediamo con i calcoli: sin
2
1
cos 2
Confrontando le misure delle due aree, si trova che
3
1 6
. Di conseguenza, la
probabilità che il punto cada ora nella regione intermedia risulterà maggiore della probabilità che il punto cada nella regione intermedia del grafico precedente. Infine, essendo sempre
, la probabilità che il punto cada nella regione superiore
è ora maggiore della probabilità che il punto cada nella regione superiore del grafico precedente. 4) Utilizzando la formula per il volume dei solidi di rotazione rispetto all’asse 2 si ottiene: fine
2 .
2
2
. Con facili calcoli si ottiene alla