Problema 2 1) La funzione f è ovviamente continua su tutto R. Dal grafico (che presenta dei punti angolosi in punti
1
1 e in
3) si deduce che f è derivabile su tutto R tranne che nei
2 con intero relativo.
Il limite di f, per x , non esiste in quanto f è funzione periodica con oscillazioni di ampiezza costante. Il limite di confronto:
, per x , invece esiste per il criterio del
dove quest’ultima funzione è infinitesima.
Sarebbe facile scrivere le espressioni analitiche che definiscono la f e da qui dedurre quelle che definiscono le funzioni g e h, con i rispettivi grafici. Si può però più semplicemente procedere senza calcoli in base all’analisi sul grafico della funzione f . Si chiede di rappresentare il grafico della funzione derivata. Alcune considerazioni: la funzione f è costituita da segmenti di rette, quindi la sua derivata nei vari intervalli è costante e tale costante ha il valore del coefficiente angolare della retta alla quale il segmento appartiene. In particolare la funzione g nell’intervallo [0, 1) vale 1, nell’intervallo (1,3) vale – 1 e nell’intervallo (3,4] vale 1; ricordiamo che nei punti 1 e
3 non esiste la derivata prima. Di conseguenza il grafico di g è:
Per quanto riguarda il grafico di h che è una funzione integrale potremmo riferirci all’analisi dei grafici di f e di g, tenendo presente che il grafico di f è il grafico della derivata prima di h (basta ricordare il teorema di Torricelli Barrow per il calcolo integrale) e che il grafico di g è quello della derivata seconda di h. Se ne deduce che nell’intervallo [0,1] la funzione h è crescente e convessa; allo stesso modo nel punto 2 la funzione presenta un massimo assoluto (cresce in (1,2) e decresce in (2,3) ed è sempre concava); infine nell’intervallo (3,4) è decrescente e convessa. Si deducono anche i due punti di flesso in
1 e in
3. Il grafico di h è: