PROBLEMA 1 1. Fissiamo il riferimento come consigliato: origine degli assi, 0,1 . Poiché la larghezza del serbatoio è 2 , la curva profilo intersecherà in 1,0 l’asse delle ascisse. Per la simmetria della figura, possiamo limitarci a studiare le funzioni nell’intervallo 0,1 . cos
Scartiamo la funzione
perché ′ 0
0 e in è assente il punto angoloso.
Scartiamo la funzione 6 9 4 1 perché il passaggio per 1,0 implica 1 e 36 18 cambia di segno nell’intervallo 0,1 . Quindi il profilo del serbatoio non è convesso " come suggerito dalla figura (per altro, calcolando il volume, risulterebbe in questo caso inferiore al voluto). 1
La funzione "
0
è tale che
1
1 e
1
0 come richiesto; inoltre
0
0 e
0 per ∈ 0,1 , e la funzione è concava.
La scelta cadrà quindi sulla funzione . 2. Calcoliamo ora il volume del serbatoio che ha forma cilindrica con generatrici perpendicolari al piano A ∙ 8
Se A è l’area della base, si ha
13, dove A 1
Quindi, deve essere:
In conclusione,
.
2 1
1
soddisfatta per
0
10° ossia
5 e la funzione cercata è data da:
5,67. 1
.
∙ 100 la percentuale di riempimento, con
3. Sia il livello del gasolio, e
.
5.
Siccome ragioniamo sugli interi deve essere Infine, dovrà anche essere
.
.
La differenza tra il livello del gasolio segnata e la percentuale contenuta è espressa da: . La massima differenza si ha in corrispondenza per i valori di per cui è ′ caso l’errore assoluto in percentuale è 100 ∙ Infine osserviamo che
100 ∙ ∙
; più precisamente
0 ossia
≅ 0,7; in tal
≅ 11,6%
≅ 0,597 come osservato
dall’amministratore. La differenza riscontrata tra l’indice lineare e l’indice percentuale di riempimento è dovuto al fatto che il livello del gasolio, a parità di flusso, aumenta più rapidamente alla fine, o anche, pensando al principio di Cavalieri, al fatto che le sezioni orizzontali sono decrescenti e non costanti.