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Problema 1 1) La
è una funzione concava e quindi la “ruota” quadrata rimane interamente al di
sopra della curva. Osserviamo inoltre che la curva ammette un asse di simmetria, che in questo caso è l’asse delle (si tratta di una funzione pari). Per calcolare il valore di , è necessario risolvere l’equazione: √2
0
2
ricavando l’equazione di secondo grado in
:
2√2
1
0
da cui si ottiene:
ln √2 Quindi
ln √2
ln √2
1
1
ln √2
1
1 .
2) Si calcolano i valori che la derivata prima della funzione ln √2
1 e
ln √2
assume nei punti
1 . Poiché: 2
si ottiene che
ln √2
1
1. ln √2
Per la simmetria della funzione rispetto all’asse delle , si ha
1
1.
Dunque è rispettata la condizione di ortogonalità. Si calcola l’integrale √
√
1
2
1
√ √
2
√
2
2
2
2
2
3) Per la similitudine dei triangoli rettangoli ACL e ALM si ha l’uguaglianza di angoli la cui tangente trigonometrica è ′ del centro C è data da Per il teorema di Pitagora:
.
. Dunque
′
. L’ordinata