Ministero dell’Istruzione dell’’UniversitĂ e della Ricerca ESAME DI STATO DI ISTRUZIONE SECONDARIA SUPERIORE SECONDA PROVA SCRITTA - ESEMPIO Indirizzi: LI02 – SCIENTIFICO LI03 - SCIENTIFICO - OPZIONE SCIENZE APPLICATE LI15 – SCIENTIFICO – SEZIONE AD INDIRIZZO SPORTIVO Tema di: MATEMATICA Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 4 quesiti del questionario. PROBLEMA 1 Fissati due parametri reali đ?‘† > 0, đ?‘˜ > 0, considera la funzione: đ?‘“đ?‘˜ (đ?‘Ľ) =
đ?‘† 1 + đ?‘’ −đ?‘˜đ?‘Ľ
il cui grafico viene indicato con Γđ?‘˜ . La funzione đ?‘“đ?‘˜ (đ?‘Ľ) può essere adoperata per studiare la possibile evoluzione nel tempo di una popolazione che abbia capacitĂ di riprodursi, nell’ipotesi in cui la limitatezza delle risorse disponibili causi l’esistenza di una “soglia di sostenibilitĂ â€? al di sotto della quale la popolazione è costretta a mantenersi. 1. Dimostra che i valori assunti dalla funzione đ?‘“đ?‘˜ (đ?‘Ľ) si mantengono all’interno dell’intervallo aperto delimitato inferiormente dal valore 0 e superiormente dal valore S, dove quest’ultimo rappresenta tale soglia di sostenibilitĂ . 2. Osservando Γđ?‘˜ , individua la trasformazione geometrica da applicare a Γđ?‘˜ per farlo diventare il grafico di una funzione dispari, e determina l’espressione analitica di tale funzione. 3. Individua graficamente o analiticamente il valore della x corrispondente alla massima velocitĂ di crescita di una popolazione secondo il modello rappresentato dalla funzione đ?‘“đ?‘˜ (đ?‘Ľ) ; determina quindi, in funzione dei parametri S e k, il valore di tale velocitĂ massima. Dovendo effettuare lo studio di una coltura batterica in un ambiente a risorse limitate, puoi pensare, al fine di semplificare i calcoli, di approssimare la funzione đ?‘“đ?‘˜ (đ?‘Ľ) con una funzione come đ?‘”đ?‘˜ (đ?‘Ľ), il cui grafico è riportato nella figura seguente:
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