Materialet er verna etter åndsverklova. Utan uttrykkjeleg samtykke er eksemplarframstilling, som utskrift og anna kopiering, berre tillaten når ho er heimla i lov (kopiering til privat bruk, sitat o.l.) eller i avtale med Kopinor (www.kopinor.no).
Utnytting i strid med lov eller avtale kan føre til erstatnings- og straffansvar.
Redaktør: Harald Øyen Kittang
Grafisk formgiving: Marit Jakobsen
Ombrekking: ord & form, Andreas Klæstad
Omslag: Basta Illustrasjon & Design, Victor Paiam
Nynorsk omsetjing: Jan Gausemel
Biletredaktør: Hege Rødaas Aspelund
Tekniske teikningar: Framnes Tekst & Bilde AS, Eirek Engmark
Grunnskrift: Frutiger LT Std 45 Light 10/14
Papir: 100 g G-print 1,0
Trykk og innbinding: Merkur Grafisk AS
ISBN 978-82-03-41399-5 www.aschehoug.no
Om Matematikk 1P
Matematikk 1P følgjer læreplanen i matematikk 1P (LK20) som gjeld frå august 2020, og består av lærebok og digitale ressursar på Aunivers.no
Læreboka
Vi presenterer matematikken på ein strukturert og forståeleg måte. Vi følgjer opp teori og døme med innlæringsoppgåver. I døma legg vi vekt på gode forklaringar og framgangsmåtar, også med GeoGebra, programmering og rekneark der det er relevant. I tillegg har vi UTFORSK-oppgåver, som får elevane til å gå i djupna og sjå samanhengar i faget, og SNAKK-oppgåver, som gir elevane høve til å kommunisere matematikk.
Undervegs finn du slike «lappar» med repetisjon og påminningar.
Kvart underkapittel inneheld differensierte oppgåver:
Raude oppgåver er eit naturleg framhald av innlæringsoppgåvene.
Blå oppgåver gir større utfordringar.
Til slutt i kvart kapittel finn du Blanda oppgåver, som gir både mengdetrening og djupnelæring.
Eksamensoppgåver som er gitt tidlegare, er lagde inn i alle kapitla der dei passar. På den måten kan elevane komme raskt i gang med å løyse eksamensoppgåver.
Oppgåver som bør løysast utan hjelpemiddel, er merkte med
Oppgåver som krev programmering, er merkte med
Digitale ressursar på Aunivers.no
Dei digitale ressursane har same kapittelinndeling som læreboka og inneheld mellom anna
og Excel
Som lærar får du i tillegg tilgang til
Vi håper at Matematikk 1P møter forventningane dine til eit komplett læreverk.
Vi set stor pris på kommentarar og innspel, så send oss gjerne ein e-post til matematikk1p@aschehoug.no.
Vi ønskjer deg lykke til med faget!
Helsing forfattarane
Inger Christin Borge
John Engeseth
Odd Heir
Tor Espen Kristensen
Håvard Moe
Tea Toft Norderhaug
Sigrid Melander Vie og redaktør Harald Øyen Kittang
Innhald
1 Praktisk rekning
1A Proporsjonalitet 8
1B Vegen om 1 19
1C Samansette einingar 26
1D Formlar 38
Blanda oppgåver 45
Samandrag 52
Kapitteltest 53
2 Utforsking og generalisering
2A Partal og oddetal 56
2B Figurtal 64
2C Talfølgjer 74
2D Fleire talmønster 80
Blanda oppgåver 83
Samandrag 90
Kapitteltest 91
3 Funksjonar
3A Funksjonsomgrepet 94
3B Lineære funksjonar 106
3C Lineære modellar 118
3D Frå målingar til modell 126
Blanda oppgåver 131
Samandrag 136
Kapitteltest 137
4 Prosent
4A Prosent og prosentpoeng 140
4B Prosentrekning 149
4C Promille 157
4D Vekstfaktor 162
4E Eksponentiell vekst 170
4F Modellering med eksponentialfunksjonar 182
Blanda oppgåver 194
Samandrag 206
Kapitteltest 207
5 Polynomfunksjonar
5A Andregradsfunksjonar 210
5B Vekstfart 222
5C Polynomfunksjonar av høgare grad 230
5D Modellering med polynomfunksjonar 234
Blanda oppgåver 240
Samandrag 248
Kapitteltest 249
6 Potensar og røter
6A Potensar 252
6B Store og små tal 264
6C Potensfunksjonar 274
6D Omvend proporsjonalitet 279
6E Røter og rotfunksjonar 286
Blanda oppgåver 295
Samandrag 304
Kapitteltest 305
Fasit 306
Register 326
Biletliste 328
Praktisk rekning 1
1A Proporsjonalitet 8
1B Vegen om 1 19
1C Samansette einingar 26
1D Formlar 38
Ole Magnus kan vere i alpinbakken anten på formiddagen eller på ettermiddagen.
Når får han mest att for pengane?
Formiddagskort 210 kr (09.30–12.00)
SKISENTER
Ettermiddagskort 410 kr (12.00–16.30)
Når du har jobba med dette kapittelet, vil du ikkje vere i tvil om kva du skal svare Ole Magnus.
y = 200x betyr
y = 200 · x
Proporsjonalitet
Ingrid har fått jobb ved sida av skulen og tener 200 kr per time.
Jobbar ho to timar, tener ho 400 kr.
Jobbar ho tre timar, tener ho 600 kr.
Jo fleire timar ho jobbar, desto meir tener ho.
Dersom arbeidstida blir dobla, aukar lønna til det dobbelte.
Dersom arbeidstida blir tredobla, aukar lønna til det tredobbelte.
Lønna til Ingrid er proporsjonal med arbeidstida.
Vi lèt y kr vere lønna når Ingrid jobbar x timar. Då er y = 200x Talet 200 kallar vi proporsjonalitetskonstanten
I dette tilfellet er proporsjonalitetskonstanten det same som timelønna.
Når to storleikar y og x er proporsjonale storleikar, kan vi skrive
y = ax
der a er eit fast tal som vi kallar proporsjonalitetskonstanten.
Origo er punktet (0 , 0).
Vi framstiller lønna til Ingrid grafisk. Grafen til y = 200x blir ei rett linje som går gjennom origo. Ingrid kan ikkje jobbe «minus timar», derfor teiknar vi linja for x-verdiar frå og med 0.
Av figuren ovanfor ser du til dømes at Ingrid tener 800 kr dersom ho jobbar fire timar.
Når x aukar med éin, aukar y med 200. Stigningstalet til linja er 200, og i dette tilfellet er stigningstalet det same som timelønna.
Ein formel gir oss samanhengen mellom to eller fleire storleikar.
Ei rett linje gjennom origo kan vi alltid skrive på forma y = ax, der a er stigningstalet. Stigningstalet fortel kor mykje y aukar eller minkar når x aukar med 1. Du vil lære meir om stigningstal i kapittel 3.
Ein graf som viser samanhengen mellom to proporsjonale storleikar, vil alltid vere ei rett linje gjennom origo.
Stigningstalet til linja er proporsjonalitetskonstanten.
Ingrid tener 200 kr per time. Vi skriv gjer ne at lønna er 200 kr/time.
Lèt vi y kr vere lønna når Ingrid jobbar x timar, er y gitt ved formelen y = 200x
DØME 1
I butikken kostar fiskekaker 120 kr per kg.
a Forklar at prisen er proporsjonal med vekta.
b La P kr vere prisen for x kg fiskekaker.
Skriv opp ein formel for P
a For 1 kg fiskekaker betaler vi 120 kr. For 2 kg fiskekaker betaler vi 120 kr ⋅ 2 = 240 kr, og for 3 kg betaler vi 120 kr ⋅ 3 = 360 kr.
Ei dobling av vekta fører til ei dobling av prisen, ei tredobling av vekta fører til ei tredobling av prisen.
Prisen er proporsjonal med vekta.
b Her er proporsjonalitetskonstanten det same som prisen per kg.
= 120x
1.1
SparBua sel juiceboksar på tilbod for 10 kr boksen.
a Forklar at det du må betale og talet på juiceboksar som du kjøper, er proporsjonale storleikar.
b La P kr vere prisen for x juiceboksar. Skriv opp ein formel for P.
1.2
SykkelOle sel energidrikk i to pakningar. Ei pakning med tre boksar kostar 45 kr, og ei pakning med seks boksar kostar 80 kr.
Forklar at det du må betale og talet på boksar, ikkje er proporsjonale storleikar.
1.3
Figuren nedanfor viser korleis lønna til Trond varierer med kor mange timar han jobbar.
(timar)
a Kva er timelønna til Trond?
b Kor mykje tener Trond dersom han jobbar 7 timar?
c Skriv opp ein formel som viser korleis lønna til Trond varierer med kor mange timar han jobbar.
I døme 1 såg vi at proporsjonalitetskonstanten er det same som prisen per kg for fiskekakene.
Dette ser vi også om vi deler med x på begge sider i formelen y = 120x
Då får vi y x 120 |
Forholdet mellom y og x er y x , som vi også kan skrive som y : x.
Dersom forholdet mellom to variable storleikar er konstant, er dei proporsjonale.
DØME 2
I grønsakdisken ligg det ulike posar med poteter. Tabellen viser vekta i kg og prisen i kr for posane.
Vekt i kg 1,52,55
Pris i kr 4270140
Er prisen proporsjonal med vekta?
Vi utvidar tabellen med ei rad og reknar ut forholdet mellom prisen og vekta for dei tre posane.
Vekt i kg 1,52,55
Pris i kr 4270140
Prisikr
Vektikg 282828
Vi ser at forholdet mellom prisen og vekta er det same for alle posane. Altså er prisen proporsjonal med vekta.
Proporsjonalitetskonstanten er 28.
Det vil seie at potetene kostar 28 kr/kg.
Når vi skal rekne ut 42 : 1,5, kan vi tenkje slik:
Vi kan tenkje på 1,5 kg poteter som 3 posar med 0,5 kg poteter.
Éin pose med 0,5 kg kostar 42 kr : 3 = 14 kr. 1,0 kg, 2 posar, kostar 2 ⋅ 14 kr = 28 kr.
Kva for nokre av situasjonane nedanfor kan handle om proporsjonalitet?
Kva for storleikar er i så fall proporsjonale?
SNAKK
1.4
Parkteateret sel smågodt i forskjellige posar. Tabellen viser kva dei ulike posane kostar.
Vekt i hg 1,52,54,0
Pris i kr 152540
a Vis at prisen og vekta er proporsjonale storleikar.
b Kva er proporsjonalitetskontanten, og kva fortel han oss her?
1.5
Vi tek for oss to typar vaskepulver, Superreint og Ultrareint.
Tabellane viser kva det kostar for dei ulike pakningane som finst av kvar type.
Superreint
Vekt i kg 0,50,81,2
Pris i kr 203248
Ultrareint
Vekt i kg 0,51,01,5
Pris i kr 224459
Undersøk for kvar av dei to typane om prisen og vekta er proporsjonale storleikar.
1.6 (Eksamen 1P våren 2016) x 2,57,5 y 50200
Vi har tabellen ovanfor. Her er x og y proporsjonale storleikar.
Skriv av tabellen ovanfor i svaret ditt. Gjer utrekningar, og fyll ut tabellen.
1.7
I butikken har dei to ulike pakningar med italiensk salat.
Den vesle pakninga veg 125 gram og kostar 26,50 kr.
Den store pakninga veg 200 gram og kostar 44,80 kr.
Undersøk om prisen er proporsjonal med vekta.
Overslag når vi gongar:
Vi byter ut det eine talet med eit større tal og det andre talet med eit mindre tal.
Er det nokre av grafane som viser samanhengen mellom proporsjonale storleikar? Grunngi svaret.
Overslagsrekning
Vi bruker overslagsrekning til å finne eit svar som er omtrent rett. Overslagrekning kan vi også bruke til å vurdere om svaret på ei utrekning kan vere rett.
I kiosken kostar epla 24,80 kr per kg. Omtrent kor mykje vil 2,15 kg eple koste?
Vi gjer eit overslag ved å byte ut tala med andre tal som det er lettare å rekne med i hovudet.
Vi byter ut 24,80 med 25 og 2,15 med 2.
25 2 = 50
2,15 kg eple kostar omtrent 50 kr.
1.9
Roy skal til Berlin og finn eit hotellrom til 95 euro per natt.
Omtrent kor mykje er dette i norske kroner når 1 euro kostar 11,80 kr?
1.10
kjem på 3900 danske kroner. Dei veit at hundre danske kroner kostar 159,80 norske kroner.
Omtrent kor mykje kjem rekninga på i norske kroner?
DØME 4
Overslag når vi deler:
Vi byter ut begge tala med eit større tal eller med eit mindre tal.
Etter at Liz har jobba 11 timar, har ho tent 2150 kr.
Finn timelønna til Liz ved å setje opp og løyse ei likning med a overslag
b CAS
a Kallar vi timelønna for x, kan vi finne svaret ved å løyse likninga
11 x = 2150
Vi deler med 11 på begge sider og får
x = 2150 : 11 ≈ 2000 : 10 = 200
Timelønna er omtrent 200 kr.
b Vi opnar CAS og skriv inn likninga 11x = 2150.
I knapperada ser du desse knappane:
Klikkar vi på NLøys-knappen , får vi ei tilnærma løysing, som eit desimaltal.
Klikkar vi på Løys-knappen , får vi ei eksakt løysing.
Liz tener 195,45 kr per time.
Merk!
I praktiske oppgåver er det naturleg å gi svaret som eit desimaltal, og vi bruker derfor som regel NLøys.
DØME 5
Ella tener 191,50 kr per time. Ho kan velje om ho vil jobbe 12 timar, 14 timar eller 16 timar neste veke.
a Set opp og løys ei likning som fortel kva ho må velje for at lønna neste veke skal bli større enn 2800 kr.
b Teikn grafen som viser korleis lønna varierer med kor mange timar ho jobbar, og bruk grafen til å finne kva ho må velje.
a Vi løyser likninga 191,50x = 2800.
Ho må velje vakta på 16 timar for at lønna neste veke skal bli større enn 2800 kr.
b Vi teiknar linjene y = 191,50x og y = 2800 i det same koordinatsystemet. Så bruker vi Skjering mellom to objekt til å finne skjeringspunktet mellom linjene.
Ho må velje vakta på 16 timar for at lønna neste veke skal bli større enn 2800 kr.
1.11
Sverre tener 177,50 kr per time. Kor mange heile timar må han jobbe for at lønna skal bli større enn 3500 kr?
a Finn eit omtrentleg svar ved å gjere eit overslag.
b Finn svaret ved å løyse ei likning med CAS.
c Finn svaret grafisk.
1.12
Ein pose med 5,2 kg poteter kostar 108 kr.
Du skal finne omtrent kva prisen per kg er.
a Korleis vil du byte ut tala her?
b Omtrent kva er prisen per kg?
1.13
Jeanette har spart 30 000 kr til sommarferien.
Ho reknar med 2300 kr i reiseutgifter, 1200 kr per dag til overnatting og mat og 600 kr per dag til diverse utgifter.
Kor mange dagar kan Jeanette maksimalt vere på ferie?
Finn svaret på ulike måtar.
UTFORSK
, 456)
Karl og Henrik studerer figuren ovanfor.
Karl: Korleis kan vi finne stigningstalet til linja?
Henrik: Linja går gjennom origo, då kan vi bruke det vi kan om proporsjonalitet og proporsjonalitetskonstanten.
Karl: Ja, men vi kan også bruke at stigningstalet til ei rett linje er konstant. Då kan vi finne stigningstalet ved å dele endringa i y-verdien på endringa i x-verdien.
a Bruk det siste som Karl seier, til å finne stigningstalet til linja.
b Kva meiner Karl med at «stigningstalet til ei rett linje er konstant»? Forklar dette.
c Henrik seier først at vi kan «bruke det vi kan om proporsjonalitet og proporsjonalitetskonstanten» til å finne stigningstalet. Vis korleis vi kan finne proporsjonalitetskonstanten ved å bruke punktet (30 , 456).
DØME 6
timelønn = 178.25
timar = 15.5
Olav har ein deltidsjobb og tener 178,25 kr per time. Lag eit program som reknar ut lønna når han jobbar 15,5 timar per veke. 1 2 3 4 5 6
b Kva trur du skjer dersom du endrar kommandoen round(lønn, 2) til round(lønn) i linje 6?
Gjer det, og køyr programmet.
1.15
Olav får tilbod om ei ny stilling i firmaet. Timelønna i den nye stillinga er 190,75 kr, og han skal jobbe 17 timar per veke.
Lag eit program som reknar ut og skriv ut den nye vekelønna.
1.16
Hos Larsen og Son er timelønna 204,50 kr.
Ei arbeidsveke er 37,5 timar.
Lag eit program som reknar ut og skriv ut vekelønna.
RAUDE OPPGÅVER
1.17 (Eksamen 1P våren 2022)
a Gi eit døme på to storleikar som er proporsjonale.
b Lag ei grafisk framstilling som viser samanhengen mellom dei to storleikane.
1.18
Lokalavisa har studentpris på abonnementet. Eit abonnement på tre månader kostar 825 kr, mens eit abonnement på tolv månader kostar 3120 kr.
Er prisen proporsjonal med lengda på abonnementet?
1.19
Nehna les ei bok. Etter tre dagar har ho lese 51 sider, etter fem dagar 85 sider.
a Forklar at dersom ho les med same tempo, så vil talet på sider ho har lese, vere proporsjonalt med kor mange dagar ho har lese.
b Boka er på 357 sider. Kor mange dagar vil ho bruke på boka dersom ho held fram med å lese i same tempo?
1.20
Energidrikken SuperSprek blir seld i ulike storleikar.
Vi ser at prisen for 300 mL er 28,50 kr.
Kva kostar dei to andre kartongane dersom pris og volum er proporsjonale storleikar?
BLÅ OPPGÅVER
1.21
Per les ei bok. Etter fire dagar har han lese 52 sider.
Etter seks dagar 26 sider til.
Boka er på 361 sider.
Kor mange sider vil han lese den siste dagen dersom han held fram i same tempo?
1.22
Hos Fjellrast hytteutleige kan du leige hytter med fire, seks eller tolv sengeplassar.
Hytteprisen per døgn er proporsjonal med talet på sengeplassar. Dersom fire personar leiger den minste hytta i to døgn, blir prisen 1200 kr.
Kva vil det koste for ein vennegjeng på 12 personar å leige den største hytta i éi veke?
SAMANDRAG
Proporsjonalitet
To variable storleikar (x og y) er proporsjonale dersom forholdet mellom dei er konstant, y x a | , der a er proporsjonalitetskonstanten.
Forhold
Forholdet mellom 2 og 5 er 2 5 eller 2 : 5.
Overslag når vi gongar
Vi byter ut det eine talet med eit større tal og det andre talet med eit mindre tal.
Einingar
Lengde
Volum
Overslag når vi deler
Vi byter ut begge tala med eit større tal eller med eit mindre tal.
Massetonnkg km kilo(k)hekto(h)deka(da)desi(d)centi(c)milli(m)
:10:10:10: :10:10:10:10:10 10
Areal
:10 :10 :10
dhmins 24 60 60
:60 :60 :24
Samansette einingar
Eininga m/s for fart er eit døme på ei samansett eining. Ho er sett saman av eininga for strekning, m, og eininga for tid, s.
Formlar
Ein formel gir oss samanhengen mellom to eller fleire storleikar. Døme: A gh 2 = ⋅ m³dm³cm³mm³
KAPITTELTEST
Oppgåve 1
Per køyrer elsykkel. Speedometeret viser 18 km/h. Kor mange m/s svarer det til?
Oppgåve 2
Lene kjøper flytande paracetamol til sonen sin. På pakka står det 24 mg/mL paracetamol. Kvar dose sonen tek, skal vere 10 mL. Han skal ta tre dosar kvart døgn.
Kor mange gram verkestoff paracetamol svarer denne døgndosen til?
Oppgåve 3
På Elvesvingen camping kostar det 650 kr å leige ei hytte eitt døgn. Kor mykje kostar det å leige ei hytte fem døgn dersom leigeprisen er proporsjonal med kor mange døgn du leiger hytta?
Oppgåve 4
Ola har laga eit program som skal rekne ut arealet av ein sirkel med radius 7,5 cm.
Programmet verkar ikkje. Kva for feil har Ola i programmet?
Oppgåve 5
Hygga gard sel eple.
Vekt i kg 2,546
Pris i kr 70108168
Undersøk om pris og vekt er proporsjonale storleikar.
Oppgåve 6
I 1973 vann hesten Secretariat løpet Belmont Stakes heile 31 hestelengder føre neste hest.
1 hestelengde 8 fot og 2 tommar
1 fot 30,48 cm
1 tomme 1 12 fot
a Vis at 1 hestelengde er 248,92 cm.
b Kor mange meter vann Secretariat med?
Vi reknar med at hestane spring med ein fart på 6 hestelengder per sekund.
c Kor mange kilometer i timen (km/h) svarer det til?
Oppgåve 7
Lise har fått lus på rosebusken sin.
Ho treng lusemiddel for å bli kvitt lusa.
I ein nettbutikk finn ho eit tilbod på lusemiddelet Super, som ho kan bruke.
Ei flaske med 250 mL Super kostar 300 kr.
På flaska står det:
a Kor mange liter ferdig utblanda lusemiddel får Lise av éi flaske Super?
b Kva blir prisen per liter ferdig lusemiddel?
2 Utforsking og generalisering
2A Partal og oddetal 56
2B Figurtal 64
2C Talfølgjer 74
2D Fleire talmønser 80
Kor mange kvadrat kan vi finne på eit sjakkbrett?
Ved første augekast vil nok mange seie at det er 64.
Men fire og fire av dei utgjer også eit kvadrat.
Det er 49 slike 2 × 2-kvadrat.
Kor mange 3 × 3-kvadrat er det?
Kor mange 4 × 4-kvadrat er det?
Ser du eit mønster?
Partal og oddetal
Dei positive partala er tala 2, 4, 6, …
Vi kan illustrere dei med figurar slik:
Det første partalet kan vi illustrere som eitt par.
Det andre partalet kan vi illustrere som to par.
Det tredje partalet kan vi illustrere som tre par.
Og slik held det fram.
Partalnr. 1:22 1
Partalnr. 2:42 2
Partalnr. 3:62 3
n n n Partalnr.:22=⋅
Dersom vi skriv p1 for partal nummer 1, p2 for partal nummer 2 og held fram slik, får vi at p1 = 2, p2 = 4, p3 = 6 osv.
Partal nummer n, pn, er gitt ved formelen pn 2 n ||
Dei positive oddetala er tala 1, 3, 5, …
Vi kan illustrere dei med desse figurane:
Vi ser at oddetal nummer n er éin mindre enn partal nummer n.
Oddetal nummer n, on, er gitt ved formelen on21 n = =− .
DØME 1
Merk!
Formlane pn 2 n | og on21 n =− gir alle moglege partal og oddetal dersom n kan vere eit vilkårleg heilt tal. For tal vi kan illustrere med figurar, må n vere eit positivt, heilt tal: 1, 2, 3, …
Vi skriv dei positive oddetala i stigande rekkjefølgje.
a Kva for eit oddetal står på plass nummer 17?
b Kva for eit nummer i rekkjefølgja er oddetalet 91?
a Vi set n lik 17 og reknar ut: o 217133 17 =⋅−=
Oddetal nummer 17 er 33.
b Vi set on lik 91 og løyser likninga.
Vi deler med 2 på begge sider av likninga.
91 er oddetal nummer 46.
2.1
Vi skriv dei positive oddetala i stigande rekkjefølgje.
a Kva for eit oddetal står på plass nummer 29?
b Kva for eit oddetal står på plass nummer 100?
c Kva for eit nummer i rekkjefølgja er oddetalet 401?
2.2
Vi skriv dei positive partala i stigande rekkjefølgje.
a Kva for eit partal står på plass nummer 17?
b Kva for eit partal står på plass nummer 54?
c Kva for eit nummer i rekkjefølgja er partalet 200?
DØME 2
Forklar kva programmet gjer.
n = 1
while n < 51: partal = 2*n print(partal) n = n + 1
partal = 0
while partal < 100: partal = partal + 2 print(partal)
a Programmet skriv ut dei 50 første partala. I linje 1 er n sett til å vere 1. I lykkja får variabelen partal verdien 2n (linje 4) og blir skriven ut (linje 5).
Så blir verdien av n auka med 1. Dette skjer så lenge n er mindre enn 51.
Tabellen nedanfor viser kva som skjer.
nn < 51?partal
1Ja2 1 = 2 n blir auka til 2
2Ja2 2 = 4 n blir auka til 3
3Ja2 ⋅ 3 = 6 n blir auka til 4
49Ja2 49 = 98 n blir auka til 50
50Ja2 ⋅ 50 = 100 n blir auka til 51
51Nei – –
b Programmet skriv ut det same som i oppgåve a. Vi gir variabelen partal verdien 0 og går inn i while-lykkja. For kvar runde i lykkja aukar verdien av partal med 2, og verdien blir skriven ut. Lykkja blir gjenteken så lenge partal < 100. Det siste partalet som blir skrive ut, er derfor 98 + 2 = 100.
partalpartal < 100?
0Ja partal blir auka til 2
2Ja partal blir auka til 4
4Ja partal blir auka til 6
96Ja partal blir auka til 98
98Ja partal blir auka til 100
100Nei–
DØME 3
range(10)
range(5, 10)
Viss vi oppgir eitt tal, så vil sekvensen starte på 0 og gå til (men ikkje med) talet som blir oppgitt.
range(2, 10, 2)
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
5,6,7,8,9
2,4,6,8
Viss vi oppgir to tal, så vil det første talet fortelje kvar sekvensen startar, og det andre kvar sekvensen sluttar. Det siste talet kjem ikkje med.
Viss vi oppgir tre tal, så vil det siste talet vere avstanden mellom tala.
Forklar kva programmet gjer. a 1 2 3 for n in range(1 , 51): oddetal = 2*n - 1 print(oddetal)
b 1 2 for oddetal in range(1, 100, 2): print(oddetal)
noddetal
12 1 1 = 1
22 ⋅ 2 1 = 3
32 3 1 = 5
492 ⋅ 49 1 = 97
502 50 1 = 99
a Programmet skriv ut dei 50 første oddetala. Vi lagar ei for-lykkje der n tek verdiane frå og med 1 til og med 50 (51 er ikkje med). Kvar gong lykkja køyrer, får variabelen oddetal verdien 2n - 1, og verdien blir skriven ut. Sjå tabellen til venstre.
b Programmet skriv ut det same som i oppgåve a. Her har vi også brukt ei for-lykkje. Denne lykkja har steglengde 2 og startar med at oddetal tek verdien 1, og går til og med verdien 99. Variabelen oddetal får altså verdiane 1, 3, 5, …, 97, 99.
Kvar gong lykkja køyrer, blir verdien av oddetal skriven ut.
2.3
Ines har laga programmet nedanfor. 1 2 3 4 5 6 n = 5 while n < 9: p = 2*n print(p) n = n + 1
a Skriv av og fyll ut resten av tabellen nedanfor. nn < 9? p 5Ja2 5 = 10 n blir auka til 6 6
b Kva for tal blir skrivne ut?
Theo har laga programmet nedanfor.
c Kva blir utskrifta i programmet til Theo?
2.4
Nicholai har laga programmet nedanfor. Det skal skrive ut partala frå og med 500 til og med 550. Programmet verkar ikkje slik det skal. Kva har han gjort feil?
1 2 for partal in range(500, 550, 2): print (partal)
2.5
Lag eit program som skriv ut oddetala mellom 1000 og 1200 med ei
a while-lykkje
b for-lykkje
DØME 4
Otto har laga dei fire første figurane i ein figurserie.
Han ønskjer å halde fram med mønsteret.
abcabac ()+=+
a Kor mange prikkar treng han til figur nummer 5?
b Kor mange prikkar vil figur nummer n ha?
a I figur nummer 1 er det 2 1 prikkar.
I figur nummer 2 er det 2 3 prikkar.
I figur nummer 3 er det 2 5 prikkar.
I figur nummer 4 er det 2 7 prikkar.
Vi kjenner att mønsteret som det dobbelte av etterfølgjande oddetal.
I figur nummer 5 vil det derfor vere 2 9 prikkar, altså 18 prikkar.
b Talet på prikkar i figur nummer n er det dobbelte av oddetal nummer n, altså o 2 n ∃ . Vi set opp uttrykket og gongar ut parentesen:
onn 22(21)42 n ⋅=⋅−=−
Vi kunne også ha rekna slik:
oonn n 2121 42 nn+=−+− =−
Talet på prikkar i figur nummer n er n 42 4 .
Merk!
Vi kan la f1 vere talet på prikkar i figur nummer 1, f2 vere talet på prikkar i figur nummer 2 og halde fram slik. Då vil formelen for talet på prikkar i figur nummer n vere fn42 n =−
2.6
Nedanfor ser du dei fire første figurane i ein figurserie.
Gå ut frå at mønsteret held fram.
a Skildre mønsteret med ord.
b Teikn figur nummer 5. Kor mange prikkar vil den femte figuren ha?
c Kor mange prikkar vil den tiande figuren ha?
d Kor mange prikkar vil figur nummer n ha?
2.7
Rumi, Sofi og Felix jobbar med ein figurserie, og dei tre første figurane er illustrerte nedanfor. Dei ønskjer å finne ein formel for kor mange prikkar det er i figur nummer n når mønsteret held fram.
Eg ser at figurane er eit partal pluss 2.
Eg ser at figurane er eit oddetal pluss 3.
a Ta utgangspunkt i formlane for partal og oddetal og utsegnene til Rumi og Sofi, og vis at dei begge vil komme fram til at figur nummer n består av 2n + 2 prikkar.
b Forklar kvifor påstanden til Felix er rett.
Eg ser at det er eit partal, og partal nummer n er 2n
Her startar vi jo med partal nummer 2, derfor må talet på prikkar i figur nummer n være
2 · (n + 1) = 2n + 2. Felix
Rumi
Sofi
RAUDE OPPGÅVER
2.8
Til høgre ser du dei fire første figurane i ein figurserie.
Gå ut frå at mønsteret held fram. La r1 vere talet på prikkar
i figur nummer 1, r2 vere talet på prikkar
i figur nummer 2 og så vidare.
a Bestem r5
b Lag ein formel for talet på prikkar rn i figur nummer n
2.9
Vibe har laga programmet til høgre.
Kva for tal blir skrivne ut?
BLÅ OPPGÅVER
2.10
«Summen av to oddetal blir alltid eit partal.»
a Lag figurar som støttar denne påstanden.
2.11
b Kva kan du seie om summen av eit partal og eit oddetal? Illustrer. Eg ser at figurane er det dobbelte av eit oddetal pluss 1.
Sigurd, Vegard og Marie jobbar med figurserien til høgre. Dei ønskjer å finne ein formel for kor mange prikkar det er i figur nummer n dersom mønsteret held fram.
Undersøk påstandane deira.
Set opp uttrykket for kor mange prikkar det er i figur nummer n med utgangspunkt i kvar utsegn.
2.12
Kva gjer programmet?
Eg ser at figurane er det dobbelte av eit partal pluss 1. Eg ser at figurane er eit oddetal pluss eit partal.
Gå systematisk til verks og køyr programmet for ulike verdiar av a. Kva for eit mønster oppdagar du?
Kvadratet av eit tal er talet gonga med seg sjølv.
nnn 2 ⋅=
Figurtal
Vi har sett at vi kan illustrere partal og oddetal som figurar som består av kvadrat, prikkar eller liknande. Det finst fleire grupper av tal som på tilsvarande måte er knytte til figurseriar med eit veksande geometrisk mønster.
Kvadrattal
Figuren nedanfor illustrerer dei fire første kvadrattala
Lèt vi kvadrattal nummer n vere K n , får vi
Vi seier at kvadrattal nummer n er kvadratet av n
1Figur 2
Figur 3
Figur 4
Tom har laga nokre figurar med perler ut frå eit bestemt mønster.
Han ønskjer å halde fram med å lage figurar med same mønster.
Vi lèt fn vere talet på perler i figur nummer n
a Kor mange perler er det i figur 5?
b Lag ein formel for talet på perler i figur n
a Vi kjenner att talet på perler i kvar figur som summen av to etterfølgjande kvadrattal.
f f 12 1 (1 1)
2 (2 1)
3 (3 1)
4 ( 4 1)
Talet på perler i figur nummer 5 blir derfor f 56253661 5 22 =+=+=
b Formelen for kor mange perler det er i figur nummer n, blir f nn(1) n 22 =++
2.13
Sjå på døme 5.
Bruk formelen til å bestemme kor mange perler Tom treng totalt for å lage figur nummer 10.
Kor mange perler vil det vere av kvar farge då?
2.14
Nedanfor ser du dei tre første figurane i ein figurserie. Gå ut frå at mønsteret held fram.
a Skildre mønsteret med ord.
b Teikn figur nummer 4. Kor mange prikkar har den fjerde figuren?
c Kor mange prikkar har den tiande figuren?
d Kor mange prikkar har figur nummer n?
Figur
2.15
Matheo lagar figurar av kvite og blå kvadrat.
Figur 1Figur 2
Figur 3
a Skriv av og fyll ut det som manglar i tabellen.
b Kor mange kvadrat er det til saman i figur nummer 10?
c Kor mange kvite kvadrat treng Matheo for å lage figuren som har 100 kvadrat totalt?
2.16
Figurane nedanfor illustrerer dei fire første kvadrattala.
a Skildre fargeleggingsmønsteret i figurane ovanfor. Kor mange kuler er det av kvar farge i dei ulike figurane?
b Bruk den fjerde figuren til å forklare at summen av dei fire første positive oddetala er 16.
c Bestem summen av dei 100 første positive oddetala.
d Lag ein formel for summen av dei n første positive oddetala.
Rektangeltal og trekanttal
DØME 6
Figuren illustrerer dei fire første rektangeltala R1, R2, R3 og R4
a Lag ein formel for rektangeltal nummer n, Rn
b Er 192 eit rektangeltal?
a Vi ser at breidda av kvart rektangel er den same som nummeret til rektangeltalet, mens lengda er éin større enn nummeret.
NummerRektangeltal
1 R 212 1 (1 1) 1 ==⋅=⋅+ 2 R 62 3 2 (2 1) 2 ==⋅=⋅+ 3 R 12 34 3 (3 1) 3 ==⋅=⋅+ 4 R 2045 4 ( 4 1) 4 ==⋅=⋅+
Vi får altså R nn n n (1) n 2 =⋅+=+
b Dersom 192 er eit rektangeltal, finst det eit positivt heiltal, n, slik at R 192 n | Vi løyser likninga i CAS. R1 = 2 R2 = 6 R3 = 12 R4 = 20
Ingen av løysingane er eit positivt heiltal, så 192 er ikkje eit rektangeltal.
2.17
Petter har laga programmet nedanfor.
1 2 3 for n in range(1, 4): r = n*(n + 1) print(r)
a Skriv av og fyll ut tabellen nedanfor.
nn*(n + 1)r
b Kva for tal blir skrivne ut?
2.18
Tala 1, 3, 6, 10, er trekanttala
a Ta utgangspunkt i figurane for rektangeltala, og lag figurar som illustrerer dei fire første trekanttala på ein slik måte at du kan grunngi kvifor dei har fått dette namnet. Kva samanheng er det mellom trekanttal og rektangeltal?
b Kva er det femte og det sjette trekanttalet?
c La Tn vere trekanttal nummer n. Vis at T nn(1) 2 n = ⋅+
d «Summen av to etterfølgjande trekanttal gir eit kvadrattal». Lag illustrasjonar som støttar denne påstanden.
2.19
Nedanfor ser du figurar som gir oss dei fire første hustala
a Følg same mønster, og teikn den femte figuren.
b Skriv opp dei sju første hustala.
c Kor mange prikkar treng du for å lage ein figur av det tiande hustalet?
d Kva samanheng er det mellom hustal, kvadrattal og trekanttal?
e Lag ein formel for kor mange prikkar det er i figur nummer n, Hn
f Er 176 eit hustal?
Fleire figurtal
2.20
Nedanfor ser du dei tre første figurane i ein figurserie.
Vi går ut frå at mønsteret held fram.
a Teikn den fjerde figuren. Kor mange prikkar har han?
b Kor mange prikkar har den tiande figuren?
c Kor mange prikkar vil figur nummer n ha?
2.21
Daisy leiker med perler og lagar figurane ovanfor.
a Følg same mønster som Daisy, og teikn figur nummer 5.
b La Fn vere talet på perler i figur nummer n. Lag ein formel for Fn
c Kva for eit nummer i figurserien har figuren med 77 perler?
d Finst det ein figur i figurserien med 167 perler?
DØME 7
Max jobbar med figurserien ovanfor. Han ønskjer å finne ut kor mange kuler han treng totalt for å lage dei ti første figurane. Han lagar programmet nedanfor. Forklar programmet.
1 2 3 4 5 6 7 summen = 0
for n in range(1 , 11): figur = n**2 + n summen = summen + figur
print(summen)
n**2 er n2.
Figur nummer n er bygd opp av kvadrattal nummer n og ein «hale» med n kuler. Figur nummer n har derfor n2 + n kuler.
Max startar med å definere variabelen summen og set han lik 0. Deretter lagar han ei for-lykkje der n tek verdiane frå og med 1 til og med 10. I linje 4 blir figur nummer n rekna ut for kvar verdi av n. I linje 5 blir verdien av summen oppdatert. Den nye verdien av summen blir den gamle verdien av summen pluss talet på kuler i figur n. Når lykkja køyrer dei ti rundane, blir talet på kuler i dei ti ulike figurane summert.
I linje 7 blir den siste verdien av summen skriven ut.
nn**2 + nfigursummen + figursummen
Utskrifta blir 440
Med tal:
2.22
a Max har 1200 kuler og ønskjer å byggje figurane i døme 7.
Han startar med figur 1, byggjer deretter figur nummer 2 og held fram slik. Ta utgangspunkt i programmet til Max, og undersøk kor mange av figurane han maksimalt kan byggje. Kor mange kuler får han til overs?
b Sam ønskjer å løyse oppgåve a ved å bruke rekneark. Han lagar eit rekneark som vist nedanfor. Ta utgangspunkt i oppsettet til Sam og løys oppgåva.
Med formlar:
2.23
Til venstre ser du dei tre første figurane i ein figurserie.
Dei neste figurane følgjer same mønster.
a Lag ein illustrasjon av den fjerde figuren.
b Skriv opp dei fem første tala som figurane representerer.
c Bestem summen av dei fem første tala.
d Kor mange kvadrat treng du for å lage dei 20 første figurane?
Astrid har 1500 små kvadrat. Ho startar med å byggje den første figuren, så den andre figuren, og slik held ho fram.
e Kor mange av figurane kan ho lage? Kor mange kvadrat blir til overs?
2.24 (Eksamen 1P hausten 2021)
Marius og Maria arbeider i ein daglegvarebutikk.
Dei skal stable boksar med erter.
Marius stablar boksane slik figur 1 viser.
På figur 1 har han laga eit tårn med fire etasjar.
a Kor mange boksar treng Marius for å lage eit tårn med 20 etasjar dersom han stablar boksane på denne måten?
Marius har 400 boksar.
b Kor mange etasjar vil det vere i det største tårnet han kan lage?
Maria vil stable boksane slik figur 2 viser.
På figur 2 har ho laga eit tårn med tre etasjar.
c Kor mange boksar treng Maria for å lage eit tårn med 20 etasjar dersom ho stablar boksane på denne måten?
Maria har 4000 boksar.
d Kor mange etasjar vil det vere i det største tårnet ho kan lage?
Figur 1 Figur 2
RAUDE OPPGÅVER
2.25
Figuren illustrerer dei fire første femkanttala, F1, F2, F3 og F4
a Finn det femte femkanttalet, F5
Ein formel for femkanttal
nummer n er F nn(31) 2 n = ⋅−
b Kontroller at formelen stemmer for dei fem første femkanttala.
c Er 96 eit femkanttal?
2.26
Figuren illustrerer dei tre første tala i ein figurserie. Dei neste figurane vil følgje det same mønsteret.
a Lag ein illustrasjon av det fjerde talet.
b Bestem eit uttrykk for talet på prikkar i figur n
c Kor mange prikkar treng vi for å lage figur nummer 20?
BLÅ OPPGÅVER
2.27 (Dømesett 1P hausten 2021)
Dei tre figurane er laga av fyrstikker
Figur 1 består av eitt lite kvadrat, figur 2 består av fire små kvadrat, og figur 3 består av ni små kvadrat.
Tenk deg at du har 10 000 fyrstikker
Du skal lage dei tre figurane og så halde fram med å lage figurar etter same mønster, éin i kvar storleik.
a Kor mange figurar kan du lage?
Figur 1Figur 2
b Kor mange fyrstikker har du att når du har laga den siste figuren?
2.28
Til høgre ser du figurar av dei fire første hustala. Stella har 500 kuler av kvar av dei to fargane og skal lage eit så stort hustal som mogleg. Kor mange kuler av kvar farge er til overs?
3
Figur
2.29
Mattis og Eivind skal lage eit program som skriv ut talet på kuler i kvar av dei 10 første figurane i figurserien til høgre.
Dei lagar kvart sitt program.
Mattis: 1 2 3 for i in range(1, 11): figur = i*4
Figur 1Figur 2Figur 3Figur 4
Eivind:
= 4
i in range(1, 11):
= figur + 4
a Forklar korleis dei to programma er bygde opp.
b Utvid programma slik at det totale talet på kuler som er brukt til dei ti første figurane, blir skrive ut.
2.30
Dei fire første femkanttala er F 1 1 | , F 5 2 | , F 12 3 | og F 22 4 | På figuren til høgre ser du ein illustrasjon av det fjerde femkanttalet.
a Gro påstår at figuren illustrerer dei fire første femkanttala. Kva trur du at ho meiner?
b Teikn av figuren og utvid til det femte femkanttalet.
Gro oppdagar at det fjerde femkanttalet er sett saman av tre trekanttal. Ho illustrerer dette ved å lage figuren med dei to hjelpelinjene.
c Skriv det fjerde femkanttalet som ein sum av trekanttal.
d Skriv F2 og F3 som summar av trekanttal.
e Kva samanheng har du oppdaga mellom trekanttal og femkanttal?
Skriv femkanttal nummer n, Fn, som ein sum av trekanttal.
Formelen for trekanttal nummer n er T nn(1) 2 n = +
f Bruk denne formelen og uttrykket for Fn til å finne formelen for femkanttal nummer n.
BLANDA OPPGÅVER
2.54
Figuren illustrerer dei fire første tala i ei talfølgje.
a Teikn det femte talet.
b Skriv opp dei seks første tala i talfølgja.
c La kn vere tal nummer n i talfølgja. Lag ein formel for kn
d Er 225 eit av tala i følgja?
2.55
Til høgre ser du tre figurar som er bygde opp etter eit bestemt mønster.
Figurane er bygde opp av små kvadrat.
Kor mange små kvadrat er det i
a figur nummer 4
b figur nummer n
2.56 (Eksamen 1P våren 2022)
1
3
2
Ovanfor ser du tre figurar. Figurane er sette saman av små klossar.
Roar vil halde fram med å lage figurar etter same mønster.
a Kor mange klossar treng han for å lage figur 5?
b Kor mange klossar treng han til saman for å lage dei 10 første figurane?
Roar har 10 000 klossar. Han vil starte med den minste figuren og lage éin figur i kvar storleik.
c Kor mange figurar kan han lage?
Kor mange klossar vil han ha att når han har laga figurane?
Figur 1 Figur 2 Figur 3
Figur
Figur
Figur
2.57
La n vere eit tal.
Ta for deg uttrykka 2n, 2n 5 og 2(n 5).
a Forklar kva kvart av uttrykka fortel.
b Kan du avgjere kva for eit uttrykk som har størst verdi utan å kjenne verdien av n?
2.58
Vi lèt a og b vere symbol for to tal. Lag eit uttrykk som skildrar
a eit tal som er tre mindre enn a
b eit tal som er ti gonger så stort som b
c eit tal som er dobbelt så stort som tre meir enn b
d forholdet mellom b og a
e forholdet mellom a og kvadratet av b
f produktet av a og b
g eit tal som er dobbelt så stort som produktet av a og b
2.59
Hanna har laga programmet nedanfor.
for n in range(1, 5):
produkt = tal*tal
print(produkt)
tal = 10**n + tal
a Køyr programmet. Kva reknar programmet ut? Kva for eit mønster oppdagar du?
b Vil mønsteret halde fram? Undersøk!
2.60
Herman jobbar med ein figurserie der figurane følgjer eit mønster.
Programmet nedanfor skriv ut kor mange kuler det er i kvar av dei fire første figurane.
for n in range(3, 7):
f = 2*n + 3
print(f)
Kva tal blir skrivne ut? Lag ein illustrasjon som viser korleis dei fire figurane kan sjå ut.
2.61
Filip skal organisere fest på klubbhuset og skal setje saman små bord til eit langbord. Rundt kvart av dei små borda er det plass til seks personar, to på kvar av langsidene og éin på kvar av kortsidene. Når han set saman langbord, kan det ikkje sitje nokon på kortsidene som står inntil eit anna bord.
Lag ein formel for kor mange personar P det er plass til rundt langbordet når Filip bruker x små bord.
2.62
Ta for deg figurserien nedanfor.
La talet på kvadrat i figur nummer n vere jn
a Bestem j1, j2, j3, j4 og j5
b Finn ein samanheng mellom jn og oddetala.
c Teikn ein ny figurserie som viser at desse tala er éin større enn kvadrattala.
2.63
Undersøk og formuler samanhengar mellom partal, rektangeltal og kvadrattal.
2.64
Rekn ut kvadratet av 2 og trekk frå kvadratet av 1. Kva for eit tal får du?
Gjer det same for 3 og 2 og deretter for 4 og 3.
Kva trur du 5422 4 blir?
Kva trur du 6522 4 blir?
Kva trur du 109 2 2 4 blir?
Rekn ut og kontroller
2.65
Biletet til høgre viser ein variant av Pascals trekant utgitt i 1303, altså lenge før Pascal levde.
Tala er skrivne med kinesiske bambustal.
Utforsk tala.
Korleis skriv du 1, 5, 6, 8, 10 og 20 med bambustal?
Skriv nokre fleire tal med bambustal.
2.66
Nikoline leiker seg med fyrstikker. Ho har laga figurane nedanfor.
Nikoline vil lage fleire figurar etter same mønster.
a Kor mange fyrstikker treng ho til å lage figur nummer 4?
b Lag eit program eller eit rekneark som gir ei oversikt over kor mange fyrstikker Nikoline treng til kvar av dei 25 første figurane.
c Kva samanheng er det mellom kor mange fyrstikker ho treng, og trekanttala?
Bruk dette til å lage ein formel for kor mange fyrstikker ho treng til figur nummer n
d Utvid programmet/reknearket frå oppgåve b slik at det også gir oversikt over den totale mengda med fyrstikker Nikoline må ha for å lage alle figurane opp til og med figur nummer 25.
2.67
Figuren nedanfor illustrerer dei fire første tala i ei talfølgje.
a Følg same mønster og teikn det femte talet i følgja.
b Skriv opp dei sju første tala i følgja.
c Finn ein formel for tal nummer n i følgja.
2.68
Ta for deg talfølgja som startar med 100, og der kvart tal er 20 mindre enn talet som står framanfor.
a Skriv opp dei fire første tala i følgja.
b Lag eit program som skriv ut dei ti første tala i følgja.
c Lag eit program som summerer dei ti første tala i følgja.
2.69
Said tener 190 kr per time før kl. 17.00 og 220 kr per time etter kl. 17.00.
Set opp ein formel for lønna L kr dersom han jobbar x timar før kl. 17.00 og y timar etter kl. 17.00.
2.70 (Eksamen 1P våren 2022)
Figuren viser ei lysgardin med små lyspærer.
Lyspærene heng på trådar. Den første tråden i ei lenkje har tre lyspærer, den neste har seks, og den tredje har ni. Dette mønsteret gjentek seg vidare.
Avstanden mellom kvar tråd er 10 cm.
Figuren viser altså ei gardin med lengde 80 cm.
Ei anna lysgardin av same type er éin meter lang.
a Kor mange trådar har denne lysgardina?
b Kor mange lyspærer er det på den siste tråden?
Tabellen viser kor mange lyspærer det er på lysgardiner med ulike lengder.
c Kor mange lyspærer er det på ei 15 meter lang lysgardin?
d Kva lengder, i heile meter, kan ei lysgardin ha om det skal vere ni lyspærer på den siste tråden?
2.71
Loreta har lært seg ein metode for å gonge tosifra heiltal med 5 som siste siffer med seg sjølv.
Nedanfor ser du notata hennar:
1 5 · 1 5 = 225
1 · (1 + 1) =
a Kva for ein metode har Loreta lært seg?
Kontroller at metoden fungerer for dei resterande tosifra tala som endar på 5.
b Fungerer metoden for tosifra heiltal som endar på andre siffer enn 5? Undersøk!
2.72
Helena kjøper bananar til 3 kr stykket, og Eskil kjøper eple til 4 kr stykket. Dei betaler like mykje.
a Kor mange bananar kan Helena ha kjøpt, og kor mange eple kan Eskil ha kjøpt?
Finn tre ulike løysingar.
b Sjå på svara dine på oppgåve a. Prøv å finne eit mønster, og skildre mønsteret.
2.73
a Rekn ut 7 ⋅ 7 + 6, 77 ⋅ 7 + 6 og 777 ⋅ 7 + 6.
Kva slags mønster oppdagar du?
b Kva trur du 7 777 777 ⋅ 7 + 6 blir?
Kontroller med eit digitalt verktøy.
2.74 (Eksamen 1P våren 2023)
Kari har brukt Non Stop og laga tre K-ar. Sjå ovanfor.
Tenk deg at ho skal halde fram med å lage K-ar etter same mønster.
a Beskriv mønsteret, og bestem kor mange Non Stop det vil vere i K4 og K5
Kari ønskjer å lage eit program som finn kor mange Non Stop ho treng for å lage kvar av dei 20 første K-ane. Ho ønskjer også å vite kor mange Non Stop ho treng til saman for å lage alle desse 20 K-ane.
b Lag eit program som Kari kan bruke. Du kan til dømes begynne slik det er vist nedanfor, men leggje inn formlar i staden for talet éin i linje 13 og 14, slik at den rette oversikta blir skriven ut.
# Startverdiar
nonstop_figur = 10 nonstop_totalt = 10
# Overskrift
print("Figurnummer Non Stop på figur Non Stop totalt") for figurnummer in range(1, 21):
# Skriver ut i tre kolonnar ved å bruke tabulatorar sep = "\t\t\t" print(figurnummer, nonstop_figur, nonstop_totalt, sep = "\t\t\t")
nonstop_figur = 1 nonstop_totalt = 1
c Kor mange Non Stop treng Kari til saman for å lage dei 20 første K-ane?
Kari har 2000 Non Stop. Ho vil starte med K1 og lage éin K i kvar storleik.
d Kor mange K-ar kan Kari lage?
2.75
a Skildre mønsteret i trekanten til høgre.
b Lag ei talfølgje der det første talet er talet i rad éin, det andre talet er summen av dei to tala i rad to, det tredje talet er summen av dei tre tala i rad tre og så vidare.
La y n vere tal nummer n i talfølgja frå oppgåve b.
c Lag ein formel for y n
2.76
Kva gjer programmet nedanfor?
a = 1156 for n in range(1, a + 1): if a == n**2: print("Ja") break else: n = n + 1 if n == a: print("Nei")
2.77
Eit palindrom er eit ord, ei setning eller eit tal som gir same resultat anten vi les frå høgre eller venstre.
Nokre døme: reker, Otto, Agnes i senga, 55, 474, 8008 og 12 521.
a Vis ved utrekning at 110, 111, 112 og 113 er palindromtal.
b Ser du ein samanheng mellom svaret i oppgåve a og Pascals trekant?
c Kva trur du 114 blir? Kontroller.
d Kva trur du 115 blir? Kontroller og kommenter.
e Skriv opp alle tosifra palindromtal. Forklar kvifor dei er delelege med 11.
f Kor mange tresifra palindromtal finst det? Kor mange av dei er delelege med 11?
g Kor mange firesifra palindromtal finst det? Undersøk om dei er delelege med 11.
Forklar kvifor / kvifor ikkje.
2.78
Fibonaccifølgja er 1, 1, 2, 3, 5, 8, …
a Skildre mønsteret i følgja.
b Lag eit program som skriv ut dei 20 første tala i talfølgja.
SAMANDRAG
Figurtal
Partal nummer n er n2 , pn 2 n |
Oddetal nummer n er n 21 4 , on21 n =−
Kvadrattal nummer n er n 2 , Kn n 2 |
Rektangeltal nummer n er nn(1)⋅+ , Rn n (1) n =⋅+
Trekanttal nummer n er nn(1) 2 ⋅+ , T nn(1) 2 n = ⋅+
Talfølgjer
Tal som står etter kvarandre i ei bestemt rekkjefølgje, kallar vi ei talfølgje
KAPITTELTEST
Oppgåve 1
Du skal i denne oppgåva ta for deg tala PPP123,,, ⊕ , der
12 3 21 123432 1
a Kva for eit mønster oppdagar du?
b Skriv opp P5 og P6
c Lag illustrasjonar og forklar kvifor mønsteret vil halde fram.
d Lag ein formel for tal nummer n, Pn
Oppgåve 2
William jobbar med figurserien nedanfor. Han byggjer først figur nummer 1, så figur nummer 2, og slik held han fram.
Oppgåve 3
Nedanfor ser du ein illustrasjon av dei fire første eiffeltala
a Kor mange små, kvite kvadrat treng William totalt for å lage dei 10 første figurane?
William har 500 kvite kvadrat og uavgrensa mengde med blå kvadrat.
b Kor mange figurar kan William byggje? Kor mange kvite kvadrat har han då til overs? Kor mange blå kvadrat bruker han totalt?
a Teikn dei to neste eiffeltala.
b Kor mange kuler er det i det tiande eiffeltalet?
La En vere eiffeltal nummer n
c Lag ein formel for En
d Undersøk om 333 er eit eiffeltal.
e Alexander har 1000 kuler. Kva er det største eiffeltalet han kan lage?
Oppgåve 4
Programmet nedanfor skriv ut kor mange kuler det er i kvar av dei fire første figurane i ein figurserie. 1 2 3 for n in range(1, 5): f = 2*n + 6 print(f)
Kva tal blir skrivne ut? Lag ein illustrasjon som viser korleis figurane kan sjå ut.
Håvard Moe har brei realfagleg utdanning og har skrive lærebøker i matematikk i mange år. Han er lærar ved Sandnessjøen videregående skole og underviser i matematikk, fysikk og kjemi.
Sigrid Melander Vie er utdanna sivilingeniør frå NTNU. Ho jobbar som lærar ved Rud videregående skole og underviser i matematikk og fysikk. Sigrid har skrive lærebøker i matematikk for vidaregåande skule i fleire år. Ho blei tildelt Holmboeprisen i 2025.
Tor Espen Kristensen har lang undervisningspraksis frå Stord vidaregåande skule og var leiar for eksamensnemnda for programfag i matematikk. Han var også med i arbeidet med læreplanen LK20 og har undervist i matematikk på alle nivå, frå grunnskule til universitet. Han blei tildelt Holmboeprisen i 2022.
Odd Heir har i ei årrekkje vore lærar, lærebokforfattar og kurshaldar i matematikk for vidaregåande skule. Han blei tildelt Holmboeprisen i 2009.
John Engeseth har har brei undervisningspraksis og underviser til dagleg ved Elvebakken videregående skole. Han har vore forfattar av matematikkbøker for vidaregåande skule i mange år.
Tea Toft Norderhaug har mastergrad i matematikk frå NTNU og har skrive lærebøker i matematikk for vidaregåande skule i fleire år. Ho er lærar ved Briskeby videregånde skole og Bjørknes privatskole og underviser i matematikk og kjemi.
Inger Christin Borge har doktorgrad innanfor algebra frå University of Oxford. Ho er tilsett ved Universitetet i Oslo der ho er førstelektor ved Matematisk institutt.
Matematikk 1P følgjer læreplanen i matematikk 1P (LK20) og består av lærebok og digitale ressursar på Aunivers.no
Læreboka
Regneregler
Læreboka inneheld teori, døme og innlæringsoppgåver og dessutan differensierte oppgåver til kvart underkapittel. I tillegg har vi UTFORSK-oppgåver, som får elevane til å gå i djupna og sjå samanhengar i faget, og SNAKK-oppgåver, som gir elevane høve til til å kommunisere matematikk. Tidlegare gitte eksamensoppgåver er lagde inn i alle kapitla der dei passar. Til slutt i kvart kapittel er det blanda oppgåver, samandrag og kapitteltest.
Aunivers.no inneheld mellom anna
• fullstendige løysingar av alle oppgåvene
• opplæringsressursar til GeoGebra, rekneark og programmering
