Issuu

Др Војислав Андрић дР Ђорђе Дугошија Вера Јоцковић др Владимир Мићић

ик е

ЗБИРКА

ЗАДАТАКА ИЗ MАТЕМАТИКЕ

за седми разред основне школе

За

во

за

уџ бе н

ик е

РЕЦЕНЗЕНТИ др Ариф Золић Пера Цветиновић Зорица Гњатовић

уџ бе н

УРЕДНИК Милољуб Албијанић ОДГОВОРНИ УРЕДНИК Слободанка Ружичић

за

ЗА ИЗДАВАЧА Милољуб Албијанић, директор и главни уредник

CIP – Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд

За

во

37.016:51(075.2)(076) ЗБИРКА задатака из математике : за седми разред основне школе / Војислав Андрић ... [и др.] ; [цртежи Слободан Благојевић]. – 2. изд. – Београд : Завод за уџбенике, 2011 (Београд : Публикум). – 114 стр. ; граф. прикази ; 27 cm Тираж 15.000. ISBN 978-86-17-17006-4 1. Андрић, Војислав, 1953– [аутор] COBISS.SR-ID 183051532

Министар просвете Републике Србије својим решењем број 650-02-00179/2009-06 од 07. 07. 2009. године, одобрио је ову збирку из математике за издавање и употребу у седмом разреду основне школе. ISBN 978-86-17-17006-4 © ЗАВОД ЗА УЏБЕНИКЕ, Београд (2009–2011) Ово дело не сме се умножавати и на било који начин репродуковати, ни у целини нити у деловима, без писменог одобрења издавача.

ПРЕДГОВОР Upoznavawe sveta matematiËkih tajni nije moguÊe samo paæqivim praÊewem izlagawa nastavnika i napisanog u uxbeniku. Savlaivawe matematiËkih sadræaja podrazumeva i redovno, samostalno i osmiπqeno uveæbavawe materije usvojene na Ëasovima matematike. Zato je ova zbirka tako sastavqena da omoguÊi uËenicima, u velikoj meri, samostalan rad u savlaivawu predvienog programskog sadræaja.

уџ бе н

ик е

U zbirci su zadaci dati po nastavnim temama. Naslovi tih tema su istovetni sa naslovima u uxbeniku. Zadaci nisu oznaËeni (jednom, dve ili viπe zvezdica) kako je to uobiËajeno u sliËnim zbirkama, jer smo smatrali da zvezdice i sliËni simboli demotiviπu uËenike i unapred ih obeshrabruju. Zadaci su dati u logiËnom sledu, od lakπih ka teæim, i omoguÊuju svakom uËeniku prirodan hod od zadataka prepoznavawa i reprodukcije sadræaja, do zadataka najveÊe sloæenosti. Zbirka sadræi oko 1000 zadataka u okviru sedam poglavqa ‡ tematskih celina, i za skoro sve dati su rezultati. Za sloæenije (neπto teæe) data su i reπewa zadataka odnosno uputstva za wihovo reπavawe.

за

Iza svake nastavne teme nalaze se primeri kontrolnih veæbi dati na tri nivoa pomoÊu kojih uËenici proveravaju svoja znawa. SliËnu namenu imaju i dati modeli za sva Ëetiri pismena zadatka.

За

во

UËenicima koji æele i mogu viπe, tj. onima kojima su i sloæeniji zadaci u ovoj zbirci laki za reπavawe, namewena je posebna zbirka zadataka. Osnovna svrha te zbirke jeste da pomogne uËenicima da svoja matematiËka znawa, usvojena na Ëasovima matematike proπire i prodube, a time i svoje matematiËke sposobnosti razviju. Pored toga moæe se koristiti za samostalan rad i dodatnu nastavu.

U Beogradu, 2009. Autori

Садржај Предговор12

РЕАЛНИ БРОЈЕВИ

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

за

во

РАЦИОНАЛНИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ

7 8 8 9 10 10 11 12

Питагорина теорема .................................................................................................... Теорема обрнута Питагориној ................................................................................ Примене Питагорине теореме на квадрат, правоугаоник и троугао . Примене Питагорине теореме на ромб, трапез и делтоид .................... Конструкције тачака на бројевној правој које одговарају квадратним коренима природних бројева ..........................................................

За

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

уџ бе н

ик е

1.1. Квадрат рационалног броја ....................................................................................... 1.2. Решавање једначине x2 = а ........................................................................................ 1.3. Квадратни корен............................................................................................................. 1.4. Постојање ирационалних бројева ............................................................................ 1.5. Реални бројеви и бројевна права ............................................................................... 1.6. Основна својства реалних бројева ........................................................................... 1.7. Операције са квадратним коренима – основна својства ............................ 1.8. Децимални запис реалног броја. Приближна вредност реалног броја ...

15 15 16 17 17

3.1. Степен чији је изложилац природан број ............................................................. 3.2. Множење степена једнаких основа ......................................................................... 3.3. Дељење степена једнаких основа ............................................................................ 3.4. Множење степена једнаких изложилаца .............................................................. 3.5. Дељење степена једнаких изложилаца ................................................................. 3.6. Степеновање степена ................................................................................................... 3.7. Примери операција са степенима ........................................................................... 3.8. Рационални алгебарски изрази. Бројеван вредност израза .......................... 3.9. Полиноми ............................................................................................................................... 3.10. Сабирање полинома ..................................................................................................... 3.11. Множење монома ......................................................................................................... 3.12. Множење полинома ..................................................................................................... 3.13. Квадрат збира и квадрат разлике ..................................................................... 3.14. Разлика квадрата .........................................................................................................

20 21 22 22 23 23 24 28 27 28 29 30 31 32

3.15. 3.16. 3.17. 3.18. 3.19.

3АВИСНЕ ВЕЛИЧИНЕ И ЊИХОВО ГРАФИЧКО ПРЕДСТАВЉАЊЕ

ик е

Многоугао – појам и врсте. Број дијагонала многоугла ............................... Збир углова многоугла ................................................................................................... Правилни многоуглови – појам и својства ......................................................... Конструкције правилних многоуглова................................................................... Обим и површина многоуглова ..................................................................................

за

5.1. Правоугли координатни систем у равни ............................................................ 5.2. Растојање тачака у координатној равни.......................................................... 5.3. Зависне величине и њихово представљање ........................................................ 5.4. Директно пропорционалне величине...................................................................... 5.5. Обрнуто пропорционалне величине ........................................................................ 5.6. Графици пропорционалних величина ...................................................................... 5.7. Односи и пропорције .......................................................................................................

во

КРУГ

СЛИЧНОСТ

39 40 41 43 43

47 49 49 51 53 55 56

Централни и периферијски угао круга ................................................................ Обим круга. Број Π ........................................................................................................ Дужина кружног лука .................................................................................................... Површина круга ................................................................................................................ Површина кружног исечка и кружног прстена .................................................

За

6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5.

32 33 34 35 36

МНОГОУГАО

уџ бе н

4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

Растављање полинома на чиниоце ...................................................................... Сложенији примери растављања полинома на чиниоце ........................... Примена полинома – једнакости и једначине................................................. Примена полинома – нједнакости и неједначине.......................................... Примене полинома ........................................................................................................

60 61 62 63 64

7.1. Размера дужи ..................................................................................................................... 68 7.2. Сличност троуглова ...................................................................................................... 70

РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА ................................................................................ 73

За во д за уџ бе н ик е

РЕАЛНИ БРОЈЕВИ

1.1. Квадрат рационалног броја 1. IzraËunaj kvadrat broja: 5 17 2 v) ‡ 1,42; g) 3 ; d) . b) - ; 3 5 3 2. IzraËunaj kvadrat broja i dobijeni broj predstavi u decimalnom zapisu: a)1,7;

5 3 2 ; b) - ; v) . 4 5 3 m , m ! Z, n ! N: 3. IzraËunaj kvadrat broja i dobijeni broj zapiπi u obliku n a) ‡ 1,2; b) 0,35; v) 2,12.

ик е

уџ бе н

4. Uveri se da su kvadrati navedenih parova suprotnih racionalnih brojeva jednaki: 3 3 4 4 i ; b) 3,16 i ‡3,16; v) - 2 i 2 . 7 7 5 5 5. IzraËunaj povrπinu kvadrata Ëija je duæina stranice: a) -

8 m; 25

b) 8,12 cm;

6. Popuni tabelu: ‡1,3

3 8

За

7. Popuni tabelu: x

-3

2,16

1 3

5,02

12 7

0,43

8 11

во

v) 1 dm 4 cm.

за

7 4

2 5

1 4

1 3

3 7

5 8

9 14

‡0,16

0,36

1,53

2,9

3,24

‡x x2 (‡x)2 8. Popuni tabelu: x

‡2,3

‡1,8

‡x x2 (‡x)2

9. IzraËunaj vrednosti izraza a2 + b2 i (a + b)2 ako je: 4 7 2 ; b) a = ‡ 1,7, b = ; v) a = 5,12, b = ‡ 3,6; g) a =- , b = ‡ 2,1. 5 8 3 2 2 2 10. IzraËunaj vrednosti izraza (a · b) i a · b ako je: a) a = 2,4, b =

5 5 3 4 a) a = ‡ 3,2, b =- ; b) a = , b = ; v) a = 1,6, b = ‡ 2,4; g) a =- , b = 2,4. 4 8 4 3

1.2. Решавање једначине x2 = a

ик е

1 2 3 8 9 10 11 12 18 19 , , , f, , , , , , f, , , 1. Napravi „tablicu mnoæewa“ brojeva 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 20 . ProËitaj iz we kvadrate navedenih brojeva i uveri se da je svaki od tih kva10 drata veÊi od prethodnog i mawi od sledeÊeg kvadrata.

уџ бе н

2. IzraËunaj kvadrate racionalnih brojeva i poreaj ih po veliËini: a) 0,17; 0,18; 0,19; 0,20; 0,21; 0,22; 0,23; b) ‡ 0,23; ‡ 0,22; ‡ 0, 21; ‡ 0,20; ‡ 0,19; ‡ 0,18; ‡ 0,17. UoËi vezu izmeu ta dva niza kvadrata. 3. Odredi skup svih racionalnih brojeva Ëiji je kvadrat: a)

4 ; 25

за

4. Odredi skup svih racionalnih brojeva Ëiji je kvadrat: a) 1,44;

16 ; 49

v) ‡36.

b) 2,89;

v) 4,41.

5. Reπi (u skupu racionalnih brojeva) jednaËinu: a) x2 = 3,24; b) x2 = ‡ 1,21; v) x2 = 5,29.

За

во

6. Reπi (u skupu racionalnih brojeva) jednaËinu: 121 36 9 2 2 a) x 2 = ; b) x = ; v) x =- . 16 169 49 7. Reπi (u skupu racionalnih brojeva) jednaËinu: a) 12 x2 = 75;

b) 80x2 = 45;

v) ‡ 4 x2 = 12.

8. IzraËunaj duæinu stranice kvadrata ako je wegova povrπina: 64 a) 2,25 m2; b) dm2. 81

1.3. Квадратни корен 9 36 16 225 361 ; b) ; v) ; g) ; d) . 64 121 289 169 144 1 17 19 46 ; v) 6 ; g) 3 . 2. IzraËunaj kvadratni koren broja: a) 2 ; b) 1 4 64 25 81 3. IzraËunaj kvadratni koren broja: a) 0,36; b) 1,69; v) 2,89; g) 3, 24. 1. IzraËunaj kvadratni koren broja: a)

4. IzraËunaj: a)

3, 12 2 ;

(- 2 , 9 ) 2 ;

7 2 m ; 19

3 2 m . 16

5. IzraËunaj vrednost izraza a + | a | ako je: a) a = ‡3,6;

b) a =

9 ; 25

v) a =-

16 ; 81

g) a = 12,69; d) a =- 1

3 . 7

6. Uveri se da vaæi: 1° za svaki pozitivan racionalan broj a je a + | a | = 2a; 2° za svaki negativan racionalan broj a je a + | a | = 0. 4 64 2 ; b) x = ; 81 169 ) x2 = 3,24; e) x2 = 2,89.

2 7. Odredi skup reπewa jednaËine: a) x =

225 ; 144

a 2 ako je:

ик е

361 ; d) x2 = 0,000324; 16 8. Odredi skup reπewa jednaËine x2 = a2 i broj 2 g) x =

2 v) x =

3 5 23 18 5 6 ; b) a =- ; v) a =- ; g) a = ; d) a =- 2 ; ) a =- 1 . 7 18 54 39 9 25 9. Popuni tabelu: a

11 15

‡2,4

6 17

1,38

3 8

-2

1 18

4,67

3 i b = 1,42 , izraËunaj: 25 b2 ;

(a - b) 2 ;

(a + 2b) 2 ;

(5a - 2b) 2 .

За

во

10. Ako je a =a2 ;

за

a2 |a| a+|a|

уџ бе н

a) a =

1.4. Постојање ирационалних бројева 1. Dokaæi da ne postoji racionalan broj Ëiji je kvadrat jednak 11. 2. Dokaæi da ne postoji racionalan broj Ëiji je kvadrat jednak 10. 3. Dokaæi da jednaËina x2 = 3 nema reπewa u skupu racionalnih brojeva. 4. Dokaæi da jednaËina x2 = 10 nema reπewa u skupu racionalnih brojeva. 5. Odredi na brojevnoj pravoj taËku A koja ima negativnu koordinatu i kvadrat mernog broja duæine duæi OA je 8. 6. Dokaæi da jednaËina x2 = p, gde je p bilo koji prost broj, nema reπewa u skupu racionalnih brojeva.

1.5. Реални бројеви и бројевна права 1. Nacrtaj duæ i podeli je na: a) tri jednaka dela; b) devet jednakih delova; v) dvanaest jednakih delova. 2. Duæ podeli na: a) pet jednakih delova; b) deset jednakih delova; v) petnaest jednakih delova.

уџ бе н

ик е

3. Na brojevnoj pravoj odredi taËku koja odgovara broju: 7 4 5 1 a) - ; b) ; v) ; g) - . 3 3 6 6 4. Na brojevnoj pravoj odredi taËku koja odgovara broju: 5 5 4 4 a) ; b) - ; v) ; g) - . 3 3 9 9 5. Nepaæwom su na brojevnoj pravoj izbrisane taËke koje odgovaraju brojevima 0 i 1, 1 1 a ostale su oznaËene taËke koje odgovaraju brojevima - i . „Rekonstruiπi“ tu 2 3 brojevnu pravu konstruiπuÊi taËke O(0) i I(1).

1.6. Основна својства реалних бројева 1. PrimewujuÊi svojstva realnih brojeva reπi jednaËinu:

за

a) x - 2 = 1 ; b) x + 5 = 5 ; v) x - 3 = 2 ; g) x - 3 = 1 - 2 ; d) x + 7 = 0 . 2. PrimewujuÊi svojstva realnih brojeva reπi jednaËinu: 5 $ x =- 4 ;

v) x 2 = 3 ;

g) x 7 =- 5 .

во

a) 3x = 2 ;

За

3. Dokaæi da za svaki racionalan broj koji je razliËit od nule i svaki iracionalan broj a vaæi: 1° r · a je iracionalan broj; 2° r : a je iracionalan broj; 3° a : r je iracionalan broj. 2 1 1 7 iracionalan. 2 ; v) 3 5 2 5. Dokaæi da je reciproËan broj proizvoda dva realna broja razliËita od nule jednak proizvodu reciproËnih brojeva ta dva broja. 4. Dokaæi da je broj: a) 2 3 + 1 ;

6. Reπi jednaËinu: a) x 3 = 3 ;

b) 5 -

b) 2x = 2 ;

7. Reπi jednaËinu: a) 2x 5 + 5 = 2 ; 8. Reπi jednaËinu: a) x (x +3) + 0;

10 . 5 v) 3x 2 + 2 = 2 + 2 .

v) 2x 3 = 3 2 ;

b) x 3 - 5 = 2 ;

b) (x ‡ 2)(x + 5) = 0;

g) x 5 =

v) ^x - 2 h^x + 3 h = 0 .

9. Odredi sve realne brojeve x za koje je: a) | x | = 3; b) | x | = 2 ; v) | x + 1 | = 1. 10. Predstavi na brojevnoj pravoj realne brojeve: 2+ 2; -

7 ; 1 - 2 ; - 2 2 ; 0, 5 ; 3; 2 2 + 1 i poreaj ih po veliËini. 5

11. Ako za realan broj x vaæi ‡1 < x < 1, onda je | x | < 1. Dokaæi. 12. Odredi sve realne brojeve x za koje vaæi: a) x + 2 1 5 ;

b) x - 3 2 2 ;

v) x + 2 1 7 .

13. Odredi sve realne brojeve x za koje vaæi: a) 2x < 6;

b) x 2 2 2 ;

v) 3x 1- 2 .

уџ бе н

ик е

14. Odredi sve realne brojeve x za koje vaæi: x 3 1 a) ‡3x < 6; b) 2 2 ; v) c - m x 1 . 5 3 5 1 3 5 1 15. Zadati su intervali: A = c - 2 , E; B = c - , 1 m; C = ;- 1, E; D = ; , 2 2 m. 3 2 3 3 Kojim od tih intervala pripada broj: 1 3 a) ‡2; b) - ; v) 0; g) 1; d) 2 ; ) ; e) 2 2 . 3 5 16. Nacrtaj brojevnu pravu i na woj oznaËi intervale: 1 3 5 1 a) c - 2 , E; b) c - , 1 m; v) ;- 1, E; g) ; , 2 2 m. 3 2 3 3 17. Ako za realne brojeve x vaæi - 1 G x 1 2 , onda je taËno: a) x ! ^- 1, 2 h; b) x ! ^- 1, 2 @; v) x ! 6- 1, 2 h; g) x ! 6- 1, 2 @.

за

Zaokruæi taËan odgovor.

18. Odredi sve realne brojeve x za koje vaæi:

a) 2x + 3 1 5 ; b) x 2 - 1 2 3 ; v) x 5 - 3 1 2 .

За

во

19. Odredi interval kojem pripada realan broj x ako za wega vaæi: a) 2 1 x + 3 G 5 ; b) - 2 G x + 1 1 3 ; v) - 3 G x 3 + 1 G 2 . Prikaæi ga na brojevnoj pravoj.

1.7. Операције с квадратним коренима – основна својства 1. Uveri se da je

25 = 144

25 5 = . 12 144

2. Dokaæi da za bilo koja dva pozitivna realna broja a i b vaæi 3. Uveri se da je: a) .

27 = 3 3 ; b)

112 = 4 7 ; v)

a = b

245 = 7 5 ; g)

a . b 1053 = 9 13

4. Izrazi kao proizvod prirodnog broja i korena prostih brojeva (jednog ili viπe) sledeÊe kvadratne korene: a) 333 ; b) 884 ; v) 3344 .

5. Proveri da li je: a)

68 = 2 17 ; b)

6. Uveri se da je: a)

1053 = 13 27 ; v) 289 17 = ; b) 27 3 3

1053 = 3 13 ; g) 128 8 2 ; v) = 243 9 3

7. IzraËunaj: a) 2 ^ 8 + 32 h; b) 3 ^ 27 + 243 h; v) gde je a pozitivan realan broj. 8. IzraËunaj vrednost izraza: a)

1053 = 9 13 . 125 5 5 . = 512 16 2

a 2 a 2 - ` j , g) 2

a 2 a2 + ` j , 2

1 1 ; b) 2 27 - 5 3 + . 2 3

8 -3 2 +

ик е

9. Uveri se da je ^ 2 + 1 h^ 2 - 1 h = 1 . KoristeÊi se time izrazi vrednost broja 1 , tako da se u imeniocu ne pojavquje kvadratni koren. 2 +1

уџ бе н

10. IzraËunaj: a) ^ 7 + 3 h^ 7 - 3 h; b) ^ 3 - 2 h^ 12 + 8 h .

за

1.8. Децимални запис реалног броја. Приближна вредност реалног броја 5 i napiπi tako odreeni wemu pri-

2. Oredi ceo deo i prve dve decimale broja bliæan broj.

7 i napiπi tako odreeni wemu pri-

во

1. Odredi ceo deo i prve dve decimale broja bliæan broj.

3. Odredi ceo deo i prve tri decimale broja pribliæan broj.

За

2 i napiπi tako odreeni wemu

4. Proceni greπku koju Ëiniπ ako napiπeπ: a) 2 . 1, 4 ; b) ) 2 . 1, 415 .

2 . 1, 5 ;

2 . 1, 41 ;

2 . 1, 42 ;

2 . 1, 414 ;

5. Proceni greπku koju Ëiniπ ako napiπeπ: a)

7 c 2, 6 ;

7 . 2, 7 ;

7 . 2, 64 ;

7 . 2, 65 .

6. Ako znaπ („proËitao“ si na xepnom raËunaru) da je 6 c 2, 449897f i treba ti (da bi jednostavnije raËunao) prilbiæna vrednost broja 6 na dve decimale, da li Êeπ uzeti da je 6 . 2, 44 ili 6 . 2, 45 ? Zaπto?

7. Za pribliænu vrednost realnog broja g = 9,80665... usvojili smo: a) g ≈ 9,8; b) g ≈ 9,80; v) g ≈ 9,81; g) g ≈ 9,806; d) g ≈ 9,807. Proceni greπku koju smo pri tome uËinili. (Ovaj Êeπ broj sresti u fizici.)

8. Brzina svetlosti u vakuumu izraæava se pomoÊu konstante c = 2,997028.... Proceni greπku koja se Ëini ako se uzme: a) c ≈ 3,0; b) c ≈ 2,9. (FiziËari, da bi pojednostavili raËun, predlaæu da se prihvati c ≈ 3,0.) 9. Uveri se da je realan broj, zadat decimalnim zapisom 0,0101101110111101... (broj jedinica izmeu dve nule poveÊava se za jedan) iracionalan. 10. Izmereno je da je pribliæna vrednost d* duæine fiskulturne sale u πkoli d = 21,84 m. Odredi interval kojem pripada duæina d te sale ako znaπ da je greπka uËiwena prilikom merewa:

ик е

a) mawa od 12 cm; b) mawa od 0,5%.

I ниво 1. Popuni tabelu -

‡4

3 4

0,4

x2 (‡x)2

во

2. Nai skup reπewa jednaËine x2 = a2 i broj

a 2 ako je: 1° a =

2 ; 5

2° a = ‡1,69.

b) 2x - 5 = 4 .

За

3. Reπi jednaËinu: a) x 2 - 3 = 5 ;

II ниво

3 4

за

уџ бе н

МОДЕЛ КОНТРОЛНЕ ВЕЖБЕ

3 2 2 2 2 1. Ako je a =- , b = 1,32, izraËunaj: 1° a ; 2° b ; 3° (a - b) ; 4° (b - 2a) . 5 2. Dokaæi da jednaËina x2 = 7 nema reπewa u skupu racionalnih brojeva. 3. Reπi jednaËinu: 1°

7 + x2 = 4 ;

2°

x2 + 1 = 3 .

III ниво 1. Popuni tabelu x

12 5

8 3

1,24

2 7

‡2,6

7 12

2,16

9 8

x2 |x| x‡|x| x+|x|

уџ бе н

ик е

2. Nepaæwom su na brojevnoj pravoj izbrisane taËke koje odgovaraju brojevima 0 i 1, 2 3 a ostale su oznaËene taËke A c - m i B c m. „Rekonstruiπi“ tu brojevnu pravu 3 5 konstruiπuÊi taËke O(0) i I(1). x 2 + 2x + 2 = 2 .

За

во

за

3. Reπi jednaËinu: a) (x ‡ 3)2 = 9; b)