Milan O. Raspopovi}
FIZIKA ZA PRVI RAZRED GIMNAZIJE
1.
SADR@AJ Kako u~iti fiziku? .......................................... 6
Veza izme|u brzine i ugaone brzine ................ 44 Ugaono ubrzawe .................................................... 45 Veza tangencijalnog i ugaonog ubrzawa ....... 45
1. UVOD ................................................................. 7
Ravnomerno kru`no kretawe ....................... 46
Fizika kao nauka o prirodi .......................... 7
Period i frekvencija ........................................ 46 Centripetalno (normalno) ubrzawe ............ 47
Predgovor ............................................................ 5
Predmet fizike .................................................... 8 Zadatak fizike ..................................................... 8 Metode prou~avawa u fizici ........................... 8 Fizi~ke veli~ine ................................................ 10 Osnovne i izvedene veli~ine ............................ 11 Fizi~ki zakoni ................................................... 12
Vektori i osnovne operacije sa vektorima ................................................ 13 Skalarne i vektorske fizi~ke veli~ine ........................................... 13 Operacije sa vektorima .................................... 16
Rezime ................................................................ 20 Pitawa i zadaci ................................................ 20
2. KINEMATIKA ........................................... 21 Mehani~ko kretawe ........................................... Relativnost kretawa ...................................... Referentni sistem ........................................... Vektor polo`aja ................................................
21 22 22 24
Pravolinijsko i krivolinijsko kretawe .. 24 Putawa i put ...................................................... 24 Ravnomerno i neravnomerno kretawe .............26 Pomeraj .................................................................. 26
Brzina i ubrzawe tela .................................. 28 Sredwa vrednost brzine ................................... Trenutna brzina ................................................. Klasi~an zakon slagawa (sabirawa) brzina ................................................................ Sredwe ubrzawe ................................................... Trenutno ubrzawe .............................................. Normalna (radijalna) i tangencijalna komponenta ubrzawa .....................................
30 31 32 34 35 36
Ravnomerno-promenqivo pravolinijsko kretawe ......................................................... 37
Translaciono i rotaciono kretawe .......... 50 Rotaciono kretawe tela oko nepokretne ose ............................................... Ugaoni pomeraj i opisani ugao ........................ Vektorska priroda ugaonog pomeraja ............ Ugaona brzina ...................................................... Ugaono ubrzawe .................................................... Analogija translacionog i rotacionog kretawa ............................................................
51 52 53 53 54 54
Rezime ................................................................ 56 Pitawa i zadaci ................................................ 61
3. DINAMIKA TRANSLACIONOG KRETAWA ..................................................... 65 Uzajamno delovawe (interakcija) tela. Sila ......................................................... 66 Sila ........................................................................ 67 Masa tela ............................................................. 68 Impuls tela ......................................................... 70
Prvi Wutnov zakon (Zakon inercije) ....... 71 Drugi Wutnov zakon ....................................... 72 Osnovna jedna~ina dinamike ............................ 74
Tre}i Wutnov zakon (Zakon akcije i reakcije) ................................................... 75 Inercijalni referentni sistem (sistem referencije) .................................... Galilejev princip relativnosti kretawa ............................................................ Neinercijalni referentni sistemi. Sila inercije .................................................. Inercijalna sila (sila inercije) ................... Dinamika kru`nog kretawa. Centripetalna sila .................................... Centrifugalna sila ..........................................
76 77 79 80 82 83
Pre|eni put pri kretawu tela sa stalnim ubrzawem ........................................................... 39 Zavisnost brzine od puta ................................ 41
Skalarni i vektorski proizvod vektora .... 84
Kretawe materijalne ta~ke po kru`noj putawi ........................................................... 42
Skalarni proizvod vektora ............................ 84 Vektroski proizvod dva vektora.................... 85
Ugaoni pomeraj i opisani ugao ........................ 42 Ugaona brzina ...................................................... 43
Rezime ................................................................ 86 Pitawa i zadaci ................................................ 90
3
4. DINAMIKA ROTACIONOG KRETAWA KRUTOG TELA ............................................. 91 Moment Moment Moment Moment
sile ........................................................ inercije ................................................ impulsa tela ....................................... impulsa materijalne ta~ke ............
91 93 96 97
Osnovni zakon dinamike rotacije ........................... 97 Analogija izme|u veli~ina i relacija dinamike translacionog i rotacionog kretawa ............ 98
Rezime ......................................................................... 98 Pitawa i zadaci .............................................. 100
Rezime ....................................................................... 146 Pitawa i zadaci .............................................. 148
7. ZAKONI ODR@AWA ....................................... 155 Mehani~ki rad ........................................................ 155
5. RAVNOTE@A TELA .......................................... 101
Kineti~ka energija ................................................ 157
Uvod ........................................................................... 101
Rad i kineti~ka energija ...................................... 159
Ravnote`a materijalne ta~ke ............................... 102 Slagawe dve paralelne sile istih smerova ........................................................ 104 Slagawe dve paralelne sile suprotnih smerova ................................................ 106 Ravnote`a krutog tela ........................................... 107 Vrste ravnote`e ....................................................... 108 Poluga ............................................................................ 111
Snaga .......................................................................... 159
Kineti~ka energija rotacije ................................. 158
Potencijalna energija .......................................... 161
Sila trewa mirovawa ............................................... 113 Sila trewa klizawa i kotrqawa ......................... 114 Otpor vazduha i grani~na brzina .......................... 117
Konzervativne sile ................................................... 161 Potencijalna energija gravitacione sile ............................................................................ 163 Potencijalna energija tela na velikom rastojawu od Zemqe ............................. 164 Potencijal gravitacionog poqa (Zemqe) ..................................................................... 166 Potencijalna energija pri elasti~nim deformacijama ....................................................... 167
Rezime ....................................................................... 118
Zakoni odr`awa u mehanici ........................... 170
Trewe. Sila trewa ................................................. 113
Pitawa i zadaci .............................................. 119
Izolovan sistem ...........................................................171
6. GRAVITACIJA .................................................. 121
Zakon odr`awa impulsa ........................................172
Keplerovi zakoni .................................................. 122 Wutnov zakon gravitacije .................................... 124
4
Vertikalni hitac nani`e ...................................... 136 Slobodan pad ................................................................ 137 Vertikalni hitac navi{e ...................................... 138 Horizontalni hitac ................................................ 139 Kosi hitac ................................................................... 141 Beste`insko stawe ................................................... 143
Primeri primene zakona odr`awa impulsa ..................................................................... 174 Reaktivno kretawe ................................................... 175
Gravitaciona sila u blizini Zemqine povr{ine ................................................................. 127 Zemqina te`a ............................................................. 128 Ubrzawe slobodnog pada ............................................ 129 Te`ina tela ................................................................. 129 Masa i te`ina tela .................................................. 130
Zakon odr`awa momenta impulsa ...................... 176
Gravitaciono poqe ................................................ 131
Rezime ....................................................................... 183
Ja~ina gravitacionog poqa ..................................... 132 Ja~ina gravitacionog poqa materijalne ta~ke ............................................... 132
Pitawa i zadaci .............................................. 186
Kretawe tela u poqu Zemqine te`e ...................................................................... 136
Registar imena .........................................................190
Zakon odr`awa energije u mehanici ................. 177 Analogija izme|u energijskih veli~ina translacionog i rotacionog kretawa ......... 179 Kosmi~ke brzine .............................................. 180
Zakqu~ak ...................................................................189 Registar pojmova .................................................... 191
KINEMATIKA
RAVNOMERNO KRU@NO KRETAWE v2
v3 0
Sl. 2.32. Ravnomerno kru`no kretawe (v = const i ω = const)
Mo`e se navesti mnogo primera ravnomernog kru`nog kretawa. Kuglica vezana za kanap koji dr`imo u ruci i ravnomerno vrtimo iznad glave, kre}e se ravnomerno po kru`nici. Kretawe vrha kazaqke sata, Meseca oko Zemqe, Zemqe oko Sunca... kretawa su koja se pribli`no mogu posmatrati kao ravnomerno kru`no kretawe. Ravnomerno kru`no kretawe je kretawe tela (materijalne ta~ke) po kru`nici brzinom stalnog intenziteta (sl. 2.32). Kod ravnomerno kru`nog kretawa konstantna je i ugaona brzina (ω = const). Intenzitet brzine materijalne ta~ke pri ravnomernom kru`nom kretawu jednak je koli~niku pre|enog puta (du`ine kru`nog luka) i vremena kretawa:
Odgovaraju}a ugaona brzina jednaka je koli~niku opisanog ugla i proteklog vremena kretawa: θ
PERIOD I FREKVENCIJA Ravnomerno kru`no kretawe je tipi~an primer periodi~nog kretawa – ponavqa se na isti na~in u odre|enim vremenskim intervalima. Taj interval vremena naziva se period obrtawa. Period je vreme za koje materijalna ta~ka obi|e kru`nicu, to jest napravi jedan obrtaj. Obi~no se obele`ava sa T. Izra`ava se u jedinicama vremena. U toku perioda T materijalna ta~ka obi|e kru`nicu, to jest za to vreme pre|e put jednak obimu kru`nice. Stoga je pri ravnomerno kru`nom kretawu intenzitet brzine tela: a period kru`nog kretawa: = gde je: r – polupre~nik kru`nice. Osim perioda (T), ravnomerno kru`no kretawe karakteri{e veli~ina koja se naziva u~estanost (frekvencija). Obi~no se obele`ava sa f (ili ν). U~estanost je jednaka recipro~noj vrednosti perioda:
46
ν Frekvencija pokazuje koliko ima perioda u jedinici vremena, odnosno koliko puta u toku jedne sekunde telo obi|e kru`nicu. Jedinica frekvencije (u~estanosti) je herc (Hz). –
Za vreme jednog perioda materijalna ta~ka opi{e pun ugao pa je wena ugaona brzina: ν.
CENTRIPETALNO (NORMALNO) UBRZAWE Linijska (periferijska) i ugaona brzina materijalne ta~ke pri ravnomernom kru`nom kretawu imaju konstantne vrednosti, odnosno tangencijalno i ugaono ubrzawe jednako je nuli. Me|utim, neprekidno se mewa pravac brzine, pa postoji normalno ubrzawe materijalne ta~ke. Pokazali smo da normalno ubrzawe ima pravac normale na tangentu na putawi i smer ka centru krivine putawe. Kod kru`nog kretawa normalno ubrzawe materijalne ta~ke usmereno je du` polupre~nika ka centru kruga, pa se zato naziva i radijalno, a ~esto i centripetalno ubrzawe. Pretpostavimo da se u trenutku tA telo (materijalna ta~ka) nalazi u polo`aju
A sa brzinom vA . U momentu tB telo je dospelo u polo`aj B i ima brzinu vB (sl. 2.33). Po{to su vA i vB slobodni vektori, oni se mogu preme{tati pod uslovom da wihovi intenziteti i pravci ostanu nepromeweni. Pomerawem vektora vA u ta~ku B, nalazimo razliku izme|u ta dva vektora ( v ). Vektori vA i vB imaju pravac tangente u ta~kama A i B kru`nice pa su zato normalni na odgovaraju}e polupre~nike kru`nice. Stoga je ugao θ izme|u tih polupre~nika jednak uglu izme|u pravaca vektora vA i vB . Intenziteti brzina vA i vB su jednaki (brzina kretawa tela je stalnog intenziteta, mewa se samo wen pravac). Na osnovu toga, ravnokraki trougao OAB koji grade polupre~nici date kru`nice i odgovaraju}i pomeraj , sli~an je ravnokrakom trouglu koji ~ine vA, vB i v (vA = vB = v, po{to je kretawe ravnomerno, a uglovi izme|u jednakih krakova u oba trougla jednaki).
A
vA
θ
B
vA θ
vB
v
Sl. 2.33. Brzina kod ravnomerno kru`nog kretawa mewa pravac i smer
47
KINEMATIKA
Na osnovu sli~nosti trouglova va`i: . Odavde je intenzitet vektora promene brzine:
=
.
Deqewem leve i desne sredine sa Δt nalazi se:
Smawewem intervala vremena Δt, ta~ke A i B su sve bli`e jedna drugoj, intenzitet pomeraja sve mawe se razlikuje od puta (luka) Δs, a sredwe ubrzawe Δv as= sve je pribli`nije trenutnom ubrzawu ac. Δt Upisali smo indeks „c”. Mogli smo ravnopravno uzeti indekse „n” i „r” jer se koriste sva tri naziva: centripetalno, normalno i radijalno ubrzawe. U grani~nom slu~aju intenzitet pomeraja Δr postaje jednak putu Δs, a sredwe ubrzawe postaje jednako trenutnom. Stoga je trenutno ubrzawe: c
v
Δs Kako je kretawe ravnomerno, koli~nik je jednak intenzitetu brzine tela Δt (ta~ke):
a
,
a O
pa se zamenom u navedenom izrazu dobija: a c
Sl. 2.34. Brzina i ubrzawe ravnomerno kru`nog kretawa
48
Dakle, intenzitet ubrzawa pri ravnomerno kru`nom kretawu srazmeran je kvadratu brzine tela (materijalne ta~ke), a obrnuto srazmeran polupre~niku kru`ne putawe. Intenzitet centripetalnog ubrzawa pri ravnomerno kru`nom kretawu se ne mewa u toku kretawa, ali mu se mewa pravac od ta~ke do ta~ke na putawi, tako da uvek ima pravac polupre~nika, {to se i zapa`a na slici 2.34. Intenzitet centripetalnog ubrzawa povezan je sa veli~inama: brzinom, periodom i frekvencijom.
Ranije smo ustanovili da je v = ωr (veza linijske, periferijske i ugaone brzine). Zamenom u izrazu centripetalnog ubrzawa: c
;
c
ν
Koordinate polo`aja tela koje se kre}e ravnomerno po kru`nici posle vremena koje odgovara periodu, ponavqaju vrednosti. To se odnosi i na intenzitete i pravce brzine i ubrzawa. Mnogobrojni su primeri kru`nog kretawa. Ve{ta~ki sateliti oko Zemqe pribli`no se kre}u po kru`noj putawi. Pribli`no se po kru`noj putawi kre}e Mesec oko Zemqe, kao i planete oko Sunca. Kru`no se kre}u i deli}i to~kova oko osovine, deli}i gramofonskog diska, kazaqke ~asovnika itd.
Sl. 2.35. Primer kru`nog kretawa planeta oko Sunca
PRIMER Materijalna ta~ka kre}e se u ravni x0y po kru`noj putawi polupre~nika 15 cm. Pri tome obi|e kru`nicu 2,5 puta za 4 s. Odredite put, sredwu vrednost brzine i intenzitet pomeraja. Materijalna ta~ka po~iwe kretawe iz polo`aja 1.
RE[EWE: Pri jednom obrtaju materijalna ta~ka pre|e put jednak obimu kruga, a nakon 2,5 obrtaja pre|eni put je: s = 2,5 · 2πr = 2,355 m.
y
y
Sredwa vrednost brzine: s
2,355 m 0,589 m s . 4s
2 0
x
0
1 x
Intenzitet pomeraja materijalne ta~ke nakon 2,5 obrtaja (polo`aj 2) jednak je: 30 cm.
49
KINEMATIKA
TRANSLACIONO I ROTACIONO KRETAWE Prilikom prou~avawa mehani~kog kretawa tela nismo obra}ali pa`wu na dimenzije i oblik tela. Ustanovili smo da se telo mo`e poistovetiti sa materijalnom ta~kom kada wegove dimenzije mogu da se zanemare u odnosu na du`inu puta koju prelazi. Na primer, Zemqa na pribli`no kru`noj putawi (pre~nika oko 300 â‹… 106 km) oko Sunca mo`e da se poistoveti sa materijalnom ta~kom po{to se wen pre~nik mo`e zanemariti u odnosu na pre~nik wene putawe. Postoje i drugi slu~ajevi kada se telo mo`e poistovetiti sa materijalnom ta~kom. To se mo`e u~initi kada svi deli}i (~estice) tela vr{e istovetno kretawe: kre}u se paralelnim putawama, imaju jednake brzine i ubrzawa. Takvo kretawe se naziva translaciono kretawe (sl. 2.36).
Sl. 2.36. Translaciono kretawe Translaciono se kre}u, na primer, liftovi, vozovi, automobili, brodovi... na pravolinijskom putu. Pri translatornom kretawu, linije za koje se vezuju kretawa pojedinih ~estica tela ne mewaju me|usobne polo`aje, uvek ostaju me|usobno paralelne. Ako postoji kretawe ijedne ~estice tela koja ne ispuwava taj uslov, kretawe nije translatorno. Kretawe u toku kojega se svi delovi (~estice) tela kre}u po me|usobno paralelnim linijama i imaju jednake brzine i ubrzawa, naziva se translaciono kretawe. Po{to se pri translacionom kretawu sve ta~ke tela kre}u na istovetan na~in, dovoqno je poznavati kretawe bilo koje ta~ke da bi se dobila potpuna slika kretawa ostalih ta~aka tela. To daje za pravo da se kretawe tela kao celine zameni kretawem bilo koje wegove ~estice (deli}a), {to se pokazuje veoma pogodnim. Pri translacionom kretawu nije potrebno pratiti kretawe svih ~estica (deli}a) tela. Dovoqno je uzeti samo jedan deli} (materijalnu ta~ku) tela koji }e reprezentovati kretawe tela kao celine. Drugi osnovni oblik mehani~kog kretawa tela je rotaciono kretawe.
50
ROTACIONO KRETAWE TELA OKO NEPOKRETNE OSE Kretawe kazaqki ~asovnika, propelera, raznih to~kova, gramofonskih plo~a (sl. 2.37) predstavqa rotaciono kretawe. Kretawe pri kome se ~estice (deli}i) tela kre}u po koncentri~nim kru`nicama, koje se nalaze u me|usobno paralelnim ravnima, a centri tih kru`nica le`e na osi rotacije, naziva se rotaciono kretawe. Najjednostavniji oblik rotacionog kretawa je rotacija tela oko nepokretne, fiksirane ose. Razmatrawe rotacionog kretawa ograni~i}emo na kruto telo i wegovu rotaciju oko nepokretne (fiksirane) ose. Telo koje pri kretawu ne mewa oblik, odnosno ~iji svi deli}i u toku kretawa ostaju u istim me|usobnim polo`ajima, naziva se kruto telo. Rotaciono kretawe ne mo`e da se opisuje veli~inama koje karakteri{u translatorno kretawe (put, brzina, ubrzawe). Zato je neophodno uvesti nove veli~ine. Kada telo rotira oko utvr|ene ose, razne ta~ke tog tela za isto vreme prelaze razli~ite puteve. Deli}i (ta~ke) najudaqeniji od ose rotacije prelaze najdu`i put, dok je put ta~aka (deli}a) na osi jednak nuli (sl. 2.38). To se odnosi i na pomeraje raznih ta~aka tela. Me|utim, sve ta~ke tela za isto vreme opisuju iste uglove i sve imaju jednake ugaone pomeraje. Zato ove veli~ine karakteri{u rotaciju celog tela. Po{to razne ta~ke tela za isto vreme prelaze razli~ite puteve, one imaju razli~ite linijske brzine. Ali sve ta~ke tela za isto vreme opisuju jednake uglove Sl. 2.38. Kada telo i zato imaju iste ugaone brzine. rotira oko nepokretne ose, razne ta~ke (deli}i) tog tela za isto vreme prelaze razli~ite puteve, a opisuju jednake uglove
Sl. 2.37. Primeri rotacionog kretawa
51
KINEMATIKA
Ugaona brzina je, dakle, veli~ina kojom se mo`e opisivati rotaciono kretawe tela kao celine. Za sve ta~ke rotacionog tela iste su i promene ugaone brzine za isto vreme, odnosno sve ta~ke (deli}i) tela imaju jednako ugaono ubrzawe. Prema tome, promenqivo rotaciono kretawe tela opisuje se i ugaonim ubrzawem. Prilikom prou~avawa kru`nog kretawa materijalne ta~ke upoznali smo definicije ugaonog pomeraja, ugaone brzine i ugaonog ubrzawa. Sada }emo potpunije upoznati ove veli~ine, koje se koriste i za opisivawe rotacionog kretawa tela.
UGAONI POMERAJ I OPISANI UGAO Kada telo rotira oko fiksirane ose, svaki deli} (ta~ka) tela kre}e se po kru`nici ~iji je centar na osi rotacije. Polo`aj ta~ke A mo`e da se odredi pomo}u radijus-vektora koji spaja centar kru`ne putawe sa ta~kom A (sl. 2.39a). Opisani ugao defini{e se u odnosu na neki stalan pravac, na primer, u odnosu na x-osu (sl. 2.39b). a)
b) A’, t2 O
A A
O
O
Δθ
A, t1 x
Sl. 2.39 Neka je u trenutku t1 data ta~ka u polo`aju A, a u trenutku t2 u polo`aju A’. Tada je wen radijus-vektor, u vremenskom intervalu Δt = t2 – t1, napravio ugaoni pomeraj Δθ. Ugaoni pomeraj je ugao izme|u po~etnog i krajweg radijus-vektora proizvoqne ta~ke (deli}a) tela. Ukupni ugao koji opi{e radijus-vektor proizvoqne ta~ke tela nezavisno od toga da li se tokom kretawa mewa smer rotacije jeste opisani ugao. Sli~no tome, pre|eni put kod translacionog kretawa je ukupna du`ina putawe, bez obzira na to da li je telo mewalo smer kretawa u toku vremena.
52
VEKTORSKA PRIRODA UGAONOG POMERAJA Ugaoni pomeraj je vektorska veli~ina, kao {to je vektorska veli~ina i pomeraj pri translacionom kretawu. Puna definicija ugaonog pomeraja za rotaciju tela oko nepokretne ose sadr`i: – intenzitet jednak uglu (u radijanima) izme|u po~etnog i krajweg radijus-vektora proizvoqne ta~ke tela; – pravac ose rotacije; – smer odre|en pravilom desne ruke. Δθ Δθ Δθ 2
r Δθ 1
a)
b)
Sl. 2.40 Pravilo desne ruke glasi: ako se prsti desne ruke postave tako da obuhvataju osu rotacije, a da se smer savijenih prstiju poklapa sa smerom rotacije tela, onda ispru`eni palac pokazuje smer ugaonog pomeraja (sl. 2.40a). Smer ugaonog pomeraja mo`e da se odredi i pravilom desnog zavrtwa: ugaoni pomeraj ima smer u kojem bi napredovao desni zavrtaw kada bi se obrtao u smeru rotacije tela (sl. 2.40b).
UGAONA BRZINA Pri razmatrawu kretawa materijalne ta~ke po kru`noj putawi definisali smo sredwu vrednost ugaone brzine i trenutnu ugaonu brzinu, pri ~emu smo uzeli u Δθ kada obzir samo intenzitet ugaone brzine Sada }emo je definisati kao vektorsku veli~inu: Δθ Iz definicije sledi da ugaona brzina ima isti pravac i smer kao ugaoni pomeraj. Po{to ugaona brzina ima stalan pravac (pravac nepokretne ose rotacije), ona se opravdano mo`e izraziti preko wenog intenziteta, tj. skalarno: Δθ Jedinica ugaone brzine je radijan u sekundi rad . s
53
KINEMATIKA
UGAONO UBRZAWE Kod promenqivog kru`nog kretawa materijalne ta~ke ugaono ubrzawe smo definisali skalarno. To se odnosi i na sredwe i trenutno ugaono ubrzawe. Ovom prilikom, za opisivawe promenqivog rotacionog kretawa uze}emo u obzir wegovu vektorsku prirodu. Sredwe ugaono ubrzawe je koli~nik promene ugaone brzine i vremenskog intervala u toku kojeg se ta promena desila. Dakle:
– –
s=
gde su:
i
– ugaone brzine u trenucima t1 i t2.
Trenutno ugaono ubrzawe (ili samo: ugaono ubrzawe):
Iz definicije sledi da ugaono ubrzawe ima isti pravac kao i promena ugaone brzine, odnosno pravac ose rotacije. Ako je smer ugaonog ubrzawa isti kao i smer ugaone brzine, telo rotira ubrzano. U slu~aju da je ugaono ubrzawe suprotnog smera od ugaone brzine, rotacija tela je usporena. Intenzitet ugaonog (trenutnog) ubrzawa je:
– – Kada se pretpostavi da je t1 = 0 i ω1 = 0 i iskqu~i indeks 2, dobija se izraz za intenzitet ugaonog ubrzawa: Jedinica ugaonog ubrzawa je radijan u sekundi na kvadrat rad2 . s
ANALOGIJA TRANSLACIONOG I ROTACIONOG KRETAWA Upoznali smo veli~ine kojima se opisuje rotaciono kretawe tela. Nije te{ko uo~iti wihovu analogiju sa veli~inama koje karakteri{u translaciono kretawe. Sve ta~ke tela pri translacionom kretawu prelaze jednake puteve i imaju iste pomeraje; sve ta~ke tela koje rotira za isto vreme opisuju jednake uglove i imaju iste ugaone pomeraje. Stoga se mo`e smatrati da su, u odre|enom smislu, opisani ugao i ugaoni pomeraj kod rotacionog kretawa veli~ine analogne pre|enom putu i pomeraju kod translacionog kretawa.
54
Ugaona brzina rotacionog kretawa odre|ena je preko ugaonog pomeraja na analogan na~in kao {to se brzina translacionog kretawa defini{e preko pomeraja tela. Prema tome, ugaona brzina rotacionog kretawa je analogna brzini translacionog kretawa. Iz analogije brzine rotacionog i brzine translacionog kretawa proisti~e i analogija odgovaraju}ih ubrzawa. Tabela 2 KINEMATIKA TRANSLACIONO KRETAWE
ROTACIONO KRETAWE
put (s)
opisani ugao (θ)
pomeraj (
)
brzina
ugaoni pomeraj ( Δθ ) ugaona brzina
Δθ ubrzawe
ugaono ubrzawe
U navedenoj tabeli dat je pregled analognih veli~ina za opisivawe translacionog i rotacionog kretawa. Ustanovili smo analogiju izme|u veli~ina koje opisuju translaciono kretawe i veli~ina koje karakteri{u rotaciono kretawe tela oko nepokretne ose. U tom smislu mo`e da se napravi i analogija izme|u odgovaraju}ih zakona kretawa.
TRANSLACIONO KRETAWE
ROTACIONO KRETAWE OKO NEPOKRETNE OSE
Ravnomerno pravolinijsko kretawe (v = const). Put: s = vt.
Ravnomerno rotaciono (ω = const). Opisani ugao:
Ravnomerno ubrzano pravolinijsko kretawe (a = const). Brzina:
Ravnomerno ubrzano rotaciono kretawe (α = const). Ugaona brzina:
v = v0 + at,
kre ta we
θ = ωt.
ω = ω0 + αt,
55
4. DINAMIKA ROTACIONOG KRETAWA KRUTOG TELA MOMENT SILE Kada smo opisivali kretawe usled delovawa sile ili vi{e sila, obi~no smo telo posmatrali kao materijalnu ta~ku. Pri tome nismo obra}ali pa`wu na dimenzije, oblik i strukturu tela. Ustanovili smo da se telo mo`e poistovetiti sa materijalnom ta~kom kada se wegove dimenzije mogu zanemariti u odnosu na pre|eni put. Telo se mo`e identifikovati sa materijalnom ta~kom (deli}em) i kada svi delovi (ta~ke) za isto vreme prelaze jednake du`ine puta, imaju istu brzinu i ubrzawe. U tom slu~aju svaka materijalna ta~ka (deli}) mo`e da predstavqa kretawe tela kao celine. Telo se mo`e poistovetiti sa materijalnom ta~kom samo kada se telo kre}e translaciono. U slu~aju rotacionog kretawa to se ne mo`e u~initi (gubi fizi~ki smisao). Na slici 4.1, pod a) prikazano je telo na koje se deluje silom F u ta~ki A du` wegove ose. U tom slu~aju telo }e se kretati translaciono. Ako se istom silom u ta~ki A deluje normalno na osu, telo se ne}e kretati translaciono. Postoji samo jedan pravac du` kojeg mo`e da se deluje na telo u ta~ki A da bi se ono kretalo translaciono. To se odnosi i na sve ostale ta~ke (deli}e) tela. Na slici 4.1 pod b) na telo deluju sile ~iji se produ`eni pravci presecaju u ta~ki T (te`i{te tela) i one mogu da uzrokuju translaciono kretawe tela. Delovawe sila ~iji se pravci ne presecaju u ta~ki T (te`i{te tela) izaziva obrtawe tela. Pravci delovawa sila koje uzrokuju translaciono kretawe presecaju se u jednoj ta~ki, koja se naziva te`i{te tela. Svaka sila odgovaraju}eg intenziteta ~iji pravac ne prolazi kroz te`i{te tela (npr. pravac delovawa sile trewa), mo`e da uzrokuje prevrtawe ili obrtawe tela. Kada smo kretawe tela poistovetili sa kretawem materijalne ta~ke, pretpostavqeno je da pravac sile (ili rezultante vi{e sila) prolazi kroz te`i{te tela. U tom slu~aju te`i{te tela „zamewuje� realno telo. Obrtawe tela razmotrili smo jo{ u osnovnoj {koli, na jednostavnim primerima (klackalica, prosta poluga, terazije, kantar). Za opisivawe obrtawa tela tada smo uveli veli~inu – moment sile: proizvod intenziteta sile i kraka sile. Krak sile je najmawe (normalno) rastojawe od ose rotacije do pravca delovawa sile. Tada smo upoznali i uslove ravnote`e poluge. Upoznali smo osnovne kinemati~ke veli~ine koje karakteri{u (opisuju) rotaciono kretawe tela: ugaoni pomeraj, ugaona brzina, ugaono ubrzawe.
a) A
A
Sl. 4.1.
91
DINAMIKA ROTACIONOG KRETAWA KRUTOG TELA
-
X
R
&
Sl. 4.2. Moment sile
Sada }emo razmotriti osnovne dinami~ke zakone rotacionog (obrtnog) kretawa krutog tela. Pod krutim telom podrazumevamo telo kod kojeg rastojawa izme|u wegovih ~estica (deli}a) ostaju stalna (nepromewena) i u toku delovawa sile (sila). Ova definicija mo`e da se primeni u praksi i tehnici kada su deformacije realnih tela zanemarqivo male. Kod translatornog kretawa telo dobija ubrzawe du` pravca delovawa sile. Pravac delovawa sile (ili rezultante sila), a time i pravac kretawa tela, kod translacionog kretawa nisu ograni~eni (mogu biti proizvoqni). Da bi telo koje mo`e da se obr}e samo oko nepokretne ose ubrzano rotiralo, sila ne mo`e da deluje du` bilo kojeg ve} samo du` odre|enog pravca. Posmatra}emo specijalan slu~aj rotacije tela oko ose ~iji je polo`aj fiksiran u prostoru (nepokretna osa). Sila F deluje na spoqa{wi obod to~ka homogenog sastava normalno na radijus r (sl. 4.2). Veli~ina koja karakteri{e rotaciju to~ka naziva se moment sile. Obi~no se ozna~ava sa M . Intenzitet momenta sile u ovom posebnom slu~aju je: M = r F. Intenzitet momenta sile jednak je proizvodu intenziteta sile i najmaweg rastojawa od ose rotacije do napadne ta~ke sile. U op{tem slu~aju sila F nije normalna na radijus r , ali se mo`e rastaviti na dve komponente: jednu paralelnu radijusu r (u wegovom produ`etku) Fp i drugu normalnu na wega Fn (sl. 4.3). Paralelna komponenta sile mo`e samo translaciono da pomera osovinu ili da je deformi{e, ali ne uti~e na rotaciju tela. Moment ove komponente je nula, pa je intenzitet momenta sile F jednak samo momentu wene normalne komponente Fn: M = r Fn. U skladu sa definicijom intenziteta vektora koji je jednak vektorskom proizvodu druga dva vektora, vidimo da se moment sile mo`e smatrati vektorskim proizvodom vektora r i F :
Sl. 4.3. Odre|ivawe momenta sile
= Na slici 4.3 geometrijski je prikazan moment sile kao vektorski proizvod. Intenzitet momenta sile odre|en je formulom: M = r Fn, gde je: r – intenzitet radijus-vektora napadne ta~ke sile, Fn – je intenzitet komponente sile koja je normalna na radijus r ; pravac momenta sile M je normalan na ravan definisanu vektorima r i F, a smer se odre|uje pravilom desnog zavrtwa.
92
Jedinica momenta sile je wutn puta metar (Nm). Razmotri}emo primer prikazan na slici 4.4. Vrata su u~vr{}ena {arkama kroz koje prolazi osa oko koje se ona obr}u. Osa je vertikalna. Na ivicu vrata se deluje silom F tako da pravac sile i radijus r zaklapaju ugao od 90 Nepokretna osa prolazi kroz {arke na vratima. Sila koja deluje na vrata paralelno s osom rotacije ne mo`e da ubrzava kretawe vrata oko ose, kao ni sila koja deluje na vrata bo~no, u pravcu normale na osu rotacije. Jedino sila F (ili komponenta neke druge sile) ~iji je pravac normalan na ravan vrata, na nekom rastojawu (r ) od ose rotacije mo`e da mewa ugaonu brzinu, odnosno da ubrzava rotaciju vrata. Rotaciju vrata izaziva dejstvo momenta sile, koji na razli~itim rastojawima od ose rotacije uzrokuje razli~ita ugaona ubrzawa vrata. Zbog toga za opisivawe obrtnog kretawa nije dovoqno poznavati samo silu koja uslovqava to kretawe ve} je neophodno poznavati i moment sile ( M ). Znamo da moment sile zavisi od intenziteta sile i du`ine kraka. Jedan isti moment sile mo`e da bude ostvaren mawom Sl. 4.4. Razli~iti momenti sile silom, ali sa du`im krakom i sa silom ve}eg intenziteta sa krakom mawe du`ine. Devoj~ica sa slike 4.4 koristi mawu silu mi{i}a (F2) ali na ve}em rastojawu (r2) od ose rotacije. De~ak deluje na vrata silom mi{i}a (F1) na kra}em rastojawu (r1).
MOMENT INERCIJE Masa je mera inertnosti tela kod translacionog kretawa. Analogno tome, mera inertnosti kod rotacionog kretawa je moment inercije. [ta se mo`e re}i o inertnosti tela koja rotiraju oko fiksirane ose rotacije (ili ~iju rotaciju treba izazvati ili zaustaviti)? Odgovor }emo potra`iti u ogledu, sli~no kao {to je i Al definicija za masu utvr|ena na osnovu eksperimenata izvedenih u okviru prou~avawa translacionog kretawa. Posmatra}emo dva diska, jedan aluminijumski, a drugi gvozdeni istih dimenzija (sl. 4.5). Treba delovati silom na periferiju jednog i drugog diska da bi oba rotirala jednakim ugaonim brzinama.
Fe
Sl. 4.5. Rotacija oko fiksirane ose
93
DINAMIKA ROTACIONOG KRETAWA KRUTOG TELA
Nije te{ko zakqu~iti da }e za rotaciju diska od aluminijuma biti potrebna sila maweg intenziteta. To zna~i da je gvozdeni disk inertniji (tromiji), tj. da ima ve}u masu. Ako diskovi imaju jednake mase, lak{e je zavrteti mawi, gvozdeni disk. Sada je ovaj disk mawe trom, mawe inertan; disk od aluminijuma je inertniji. Sli~an ogled mo`e da se izvede sa diskom i prstenom. Kada se na disk i prsten istih masa i jednakih polupre~nika deluje istim tangencijalnim silama, sporije }e rotirati prsten, {to zna~i da je inertniji nego disk. Na osnovu ovih i sli~nih ogleda mo`e se zakqu~iti da inertnost tela ne zavisi samo od mase nego i od wenog rasporeda u odnosu na osu rotacije. Stoga se za opisivawe inertnosti tela pri rotacionom kretawu uvodi nova veli~ina (analogna masi). Ta veli~ina je moment inercije. Moment inercije je mera inertnosti tela pri rotacionom kretawu. Moment inercije razmatra}emo na primeru to~ka homogenog sastava, koji rotira oko svoje ose simetrije (sl. 4.6). Posmatrani to~ak izdeli}emo na deli}e sa masama: m1, m2, m3... mn. Na svaki taj deli} (materijalnu ta~ku) deluju odgovaraju}i momenti sila koji uslovqavaju obrtawe (rotaciju) to~ka. Intenzitet momenta sile koji deluje na deli} (~esticu) mase m1, iznosi: M1 = F1 · r1 = m1ar1, gde je: a – intenzitet tangencijalnog ubrzawa ~estice, koji je s intenzitetom ugaonog ubrzawa povezan relacijom: a = αr1. Zamenom dobijamo: M1 = m1r12α.
Sl. 4.6. Odre|ivawe momenta inercije
Izraz m1r 2 predstavqa moment inercije materijalne ta~ke (~estice deli}a) u odnosu na osu rotacije, koji }emo ozna~iti sa I1 (I1 = m1r12). U op{tem slu~aju, moment inercije materijalne ta~ke u odnosu na neku osu (slika 4.7): I = mr 2.
F m r O
Moment inercije materijalne ta~ke u odnosu na neku osu jednak je proizvodu wene mase i kvadrata wenog rastojawa od te ose rotacije. Ukupni moment inercije tela (~estice) dobija se sabirawem momenata inercije svih deli}a (~estica) u odnosu na izabranu osu rotacije: n
I = m1r12 + m2r12 + ... + mnrn2 =
Sl. 4.7. Moment inercije materijalne ta~ke u odnosu na centar kru`nice O
94
r
2
Moment inercije homogenog to~ka (prstena), koji rotira oko ose simetrije jednak je proizvodu wegove mase i polupre~nika na kvadrat. Moment inercije karakteri{e inertnost tela (to~ka) koji se obr}e (rotira). Jedinica momenta inercije je kilogram puta metar na kvadrat (kg m2).
U op{tem slu~aju, odre|ivawe momenta inercije nije jednostavno. Kod tela nepravilnog geometrijskog oblika i nehomogenog sastava izra~unavawe momenta inercije je slo`en matemati~ki zadatak. Zato se ~esto moment inercije odre|uje samo eksperimentalno. Me|utim, i za tela pravilnog geometrijskog oblika i homogenog sastava moment inercije nema istu vrednost u odnosu na razli~ite ose rotacije. Za takva tela najjednostavnije je izra~unati moment inercije u odnosu na osu koja prolazi kroz te`i{te tela. U tabeli su navedene formule momenta inercije za neka tela. Na osnovu definicije momenta inercije, intenzitet momenta sile je: M=Iď Ą Intenzitete momenta sile jednak je proizvodu momenta inercije i intenziteta ugaonog ubrzawa tela koje rotira.
TELO
NA^IN ROTACIJE
MOMENT INERCIJE
Dve identi~ne kuglice spojene lakim {tapom
I = 2mR2
R
Obru~ ili tanak prsten
R
Disk (cilindar)
R
I = mR2
I=
I=
Kugla R
I=
Tanka {ipka
1 2
2 5
1 3
mR2
mR2
mL2
L
I=
Tanka {ipka L
1 12
mL2
95
DINAMIKA ROTACIONOG KRETAWA KRUTOG TELA
MOMENT IMPULSA TELA Op{ti zakon dinamike tela koje se kre}e pravolinijski (translaciono), zapisuje se (skalarno) u obliku:
– Treba na}i odgovaraju}u relaciju u dinamici rotacije tela oko utvr|ene ose. Najjednostavnije je po}i od formule za intenzitet momenta sile u kojoj figuri{e moment inercije: M = Iα gde je
–
α
Kombinacijom sa prethodnim izrazom, dobija se:
–
–
(2)
U formulama (1) i (2) sila i moment sile su analogne veli~ine, pa sledi da je impulsu kod translacionog kretawa analogna veli~ina I, moment impulsa. Obi~no se ozna~ava sa L. Na osnovu toga, formula (2) mo`e da se napi{e u obliku:
=
–
=
Moment impulsa tela koje rotira oko fiksirane ose jednak je proizvodu momenta inercije i ugaone brzine tela:
Jedinica momenta impulsa je: kilogram puta metar na kvadrat u sekundi kg
m2 s
Vidi se da su impuls i moment impulsa analogne veli~ine ne samo po svojoj „ulozi” u formulama (1) i (2) nego i po definicijama: impuls je proizvod mase i brzine tela ( ), a moment impulsa je proizvod momenta inercije i ugaone brzine (
96
).
MOMENT IMPULSA MATERIJALNE TA^KE Intenzitet momenta impulsa materijalne ta~ke mase m koja se kre}e po kru`noj putawi polupre~nika r je: L = I = mr 2 Kako je r = v, dobija se: L = mvr, odnosno: L = pr. Intenzitet momenta impulsa materijalne ta~ke koja se kre}e po kru`noj putawi jednak je proizvodu intenziteta wenog impulsa i polupre~nika putawe. Vektor momenta impulsa materijalne ta~ke kod kru`nog kretawa je L = r p.
O
m v
Sl. 4.8. Moment impulsa materijalne ta~ke u odnosu na centar kru`nice
Moment impulsa je vektorska veli~ina ~iji se pravac i smer poklapaju sa pravcem i smerom ugaone brzine (sl. 4.8):
OSNOVNI ZAKON DINAMIKE ROTACIJE Ranije smo ustanovili da je osnovni Zakon dinamike translacionog kretawa (Drugi Wutnov zakon):
Osnovni zakon dinamike rotacije je:
Koli~nik promene momenta impulsa i vremenskog intervala u kome se ta promena desila (brzina promene momenta impulsa) jednak je momentu sile koja deluje na telo. Kod rotacije oko fiksirane ose moment sile i moment impulsa imaju pravce ose rotacije. S obzirom na to, Zakon dinamike rotacije mo`e da se zapi{e i u skalarnom obliku:
97
DINAMIKA ROTACIONOG KRETAWA KRUTOG TELA
ANALOGIJA IZME\U VELI^INA I RELACIJA DINAMIKE TRANSLACIONOG I ROTACIONOG KRETAWA Kada uporedimo veli~ine i relacije koje karakteri{u kretawe materijalne ta~ke (ili tela koje se kre}e translaciono) s odgovaraju}im veli~inama i wihovim relacijama koje opisuju rotaciju tela oko odre|ene ose, zapazi}emo da me|u wima postoji analogija. Pri razmatrawu rotacije tela oko ose u vi{e navrata obra}ali smo pa`wu na ovu analogiju. Uporedne veli~ine i relacije za translaciju i rotaciju date su u tabeli. TRANSLACIONO KRETAWE Oznaka Veli~ina (formula)
OBRTNO (ROTACIONO) KRETAWE Oznaka Veli~ina (formula)
put
s
opisani ugao
brzina
v
ugaona brzina
ubrzawe
a
masa
m
ugaono ubrzawe moment inercije
sila impuls osnovna jedna~ina dinamike
θ
α
I
moment sile
=
moment impulsa osnovna jedna~ina dinamike
REZIME • Moment sile je proizvod intenziteta sile i kraka sile. Krak sile je najmawe (normalno) rastojawe od ose rotacije do pravca delovawa sile. • Pod krutim telom podrazumevamo telo kod kojeg rastojawa izme|u wegovih ~estica (deli}a) ostaju stalna (nepromewena) i u toku delovawa sile (sila). Ova definicija mo`e da se primeni u praksi i tehnici kada su deformacije realnih tela zanemarqivo male.
98
• Intenzitet momenta sile je: M = r F. Intenzitet momenta sile jednak je proizvodu intenziteta sile i najmaweg rastojawa od ose rotacije do napadne ta~ke sile. • Moment inercije je mera inertnosti tela pri rotacionom kretawu. • Moment inercije materijalne ta~ke u odnosu na neku osu: I = mr 2. Moment inercije materijalne ta~ke u odnosu na neku osu jednak je proizvodu wene mase i kvadrata wenog rastojawa od te ose rotacije. • Moment inercije homogenog to~ka (prstena), koji rotira oko ose simetrije jednak je proizvodu wegove mase i polupre~nika na kvadrat. • Intenzitet momenta sile je: M=I Intenzitete momenta sile jednak je proizvodu momenta inercije i intenziteta ugaonog ubrzawa tela koje rotira. • Moment impulsa tela koje rotira oko fiksirane ose jednak je proizvodu momenta inercije i ugaone brzine tela:
Jedinica momenta impulsa je: kilogram puta metar na kvadrat u sekundi m2 kg s • Intenzitet momenta impulsa materijalne ta~ke koja se kre}e po kru`noj putawi jednak je proizvodu intenziteta wenog impulsa i polupre~nika putawe. L = pr. • Osnovni zakon dinamike rotacije je:
Koli~nik promene momenta impulsa i vremenskog intervala u kome se ta promena desila (brzina promene momenta impulsa) jednak je momentu sile koja deluje na telo.
99
DINAMIKA ROTACIONOG KRETAWA KRUTOG TELA
?
PITAWA I ZADACI 1*. Telo rotira oko nepokretne ose. Da li su tada uvek isti pravac i smer: a) momenta sile i ugaone brzine; b) momenta sile i ugaonog ubrzawa; v) momenta impulsa i ugaone brzine i g) momenta impulsa i ugaonog ubrzawa? 2. Da li se telo uvek kre}e u pravcu i smeru sile koja na wega deluje? Ilustrujte primerom. 3. Kako se defini{e moment inercije materijalne ta~ke (~estice)? 4. Da li moment inercije tela u odnosu na razne ose rotacije ima iste vrednosti? 5. Da li su jednaki momenti inercije gvozdene kugle i gvozdene {ipke ako one imaju iste mase? 6. Od ~ega zavisi moment sile i kako se defini{e ova veli~ina? 7. Kako glasi Zakon dinamike rotacije ~vrstog tela? 8. Koje su veli~ine i relacije u dinamici translacije analogne veli~inama i wihovim izrazima u dinamici rotacije?
PRIMER Odrediti moment impulsa Zemqe pri kretawu oko Sunca; masa Zemqe je m = 5,98 ¡ 10 24 kg, a polupre~nik putawe 1,5 ¡ 1011 m.
gde Zamenom brojnih vrednosti, nalazi se: kg
100
m2 s