MATEMATIKA
za II razred sredwe {kole
број 601-04-51/129 од 11. априла 1991. године.
CIP – Каталогизација у публикацији
Народна библиотека Србије, Београд
37.016:51(075.3)
МАТЕМАТИКА : за II разред средње школе : програми са 4 часа
наставе математике недељно / Градимир Војводић ... [и др.] ; [цртежи Љиљана Петровић]. - 15. изд. - Београд : Завод за уџбенике, 2014 (Београд : Colorgrafx). - 257 стр. : граф. прикази ; 24 cm
Тираж 2.500.
ISBN 978-86-17-18585-3
1. Војводић, Градимир [аутор], 1947COBISS.SR-ID 209111564
ISBN: 978-86-17-18585-3
САДРЖАЈ
1.СТЕПЕНОВАЊЕИКОРЕНОВАЊЕ
1.1.Степенсацелимизложиоцем.........................
1.2.Функција
1.3.Појам n-тогкорена...............................
1.4.Степенсрационалнимизложиоцем......................
1.5.Комплекснибројевииосновнеоперацијесањима.............
2.КВАДРАТНАЈЕДНАЧИНАИКВАДРАТНАФУНКЦИЈА
2.1.Првазнањаоквадратнимједначинама....................
2.2.Вијетовеформуле.Налажењекоренаквадратнеједначине......... 55
2.3.Некислучајевисистемадвеквадратнеједначинесадвенепознате.... 62
2.4.Дискриминанта.Дискусијакоренаквадратнеједначине..........
2.5.Проблемидругогстепенасаједномнепознатом...............
2.6.Квадратнафункција...............................
2.7.Квадратненеједначине.............................
2.8.Графичкорешавањесистема y = ax
2.9.Јошопримениквадратнеједначине......................
3.ТРИГОНОМЕТРИЈА
3.1.Угао........................................
3.1.1.Мерењеугла,радијан...........................
3.1.2.Уопштењепојмаугла...........................
3.2.Тригонометријскефункцијепроизвољногугла...............
3.2.1.Тригонометријскикруг..........................
3.2.2.Косинусисинуспроизвољногугла...................
3.2.3.Тангенсикотангенспроизвољногугла.................
3.2.4.Графициосновнихтригонометријскихфункција...........
3.2.5.Некиосновнитригонометријскиидентитети.............
3.2.6.Функција
3.3.Адиционеформуле...............................
3.3.1.Формулезаsin
3.3.2.Формулезаtg
3.3.3.Тригонометријскефункциједвострукогугла.............
3.3.4.Тригонометријскефункцијеполовинеугла..............
3.4.Тригонометријскеједначине.......................... 182
3.4.1.Једначинаsin x = m 183
3.4.2.Једначинаcos x = m ...........................
3.4.3.Једначинеtg x = m иctg x =
3.4.4.Једначина a sin x + b cos x = c (a =0,b =0).............. 190
3.5.Тригонометријскенеједначине......................... 195
3.3.3.Тригонометријскефункциједвострукогугла............. 169
3.3.4.Тригонометријскефункцијеполовинеугла.............. 173
3.3.5.Трансформацијазбираиразликетригонометријскихфункцијау производ.................................. 177
3.4.Тригонометријскеједначине.......................... 182
3.4.1.Једначинаsin
3.4.2.Једначинаcos
3.4.3.Једначинеtg
3.4.4.Једначина
3.5.Тригонометријскенеједначине.........................
4.РЕШАВАЊЕТРОУГЛАИПРИМЕНЕТРИГОНОМЕТРИЈЕ
4.1.Синуснатеорема.................................
4.2.Применасинуснетеореме...........................
4.3.Косинуснатеорема............................... 207
4.4.Применакосинуснетеореме.......................... 209
4.5.Некеприменетригонометрије......................... 212
5.ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНАИЛОГАРИТАМСКАФУНКЦИЈА 218
5.1.Степенсареалнимекспонентом........................ 218
5.2.Експоненцијалнафункција........................... 221
5.2.1.Особинеекспоненцијалнефункције.................. 221
5.2.2.Графикекспоненцијалнефункције................... 222
5.3.Експоненцијалнеједначинеинеједначине.................. 227
5.3.1.Експоненцијалнеједначине....................... 227
5.3.2.Експоненцијалненеједначине...................... 228
5.4.Логаритамињеговасвојства.......................... 230
5.5.Оинверзнимфункцијама............................ 235
5.6.Логаритамскафункција............................. 237
5.7.Декаднилогаритми............................... 244
5.8.Применадекаднихлогаритама......................... 250
5.9.*Изоморфизамструктура (R+ , ·) и (R, +).Логаритамскаскала...... 255
ПРEДГOВOР
Уџбеникјенаписанпремапрограмуматематикезадругиразред,запрограме M1, M12 и M13.
Собзиромназначајматематикеуобразовањуучениканаведенихпрограма,уУџбеникусенаводивећибројпримеракојитребадаомогућепотпуније
ченизвездицом (∗) итребалобиихобрадитибарсаученицимакојисевише интересујузаматематику.
Излагањенијестрогоаксиоматско,алиипоредтогасадрживећибројдоказанихставова.Крајдоказаозначенјеквадратићем(✷).
Текстовисуусаглашени,аписалисуихпопоглављимаследећимредоследом:1.1–1.4–РадивојеДеспотовић,1.5и2–ГрадимирВојводић,3.и4–ВојиславПетровићи5–БранимирШешеља.
Сличнокаоштосесвереалневеличинемогупредставитипомоћубесконачнеправе,областреалних иимагинарнихвеличинаможесепредставитипомоћубесконачнеравни,гдесвакатачкаодређена својомапсцисом
Уосновнојшколијеобрађенстепенчијијеизложилацприроданброј,
ствапољареалнихбројева (R, +, ·).Настављамосаизучавањемоперација –посебномножењаизкогасеизводистепеновањеикореновање.
1.1.СТЕПЕНСАЦЕЛИМИЗЛОЖИОЦЕМ
а)Степенчијијеизложилацприроданбројдефинишесенаследећиначин: n-тистепен реалногброја a уознаци an јесте: a 1 = a,an+1 = an · a, (n ∈ N),
гдеје a основа, n изложилац(експонент) и an степен.Познатасуосновна својствастепеначијијеизложилацприроданброј:
(1) am · an = am+n m,n ∈ N (множењестепенаједнакихоснова)
(2) (am)n = am n m,n ∈ N (степеновањестепена)
(3) anbn =(a · b)n n ∈ N (множењестепенаједнакихизложилаца) иузизвеснаограничења:
(4) am : an = am n m,n ∈ N, m>n, a =0 (дељењестепенаједнаких основа)
(5) am : bm = ( a b )m m ∈ N, b =0
Пример1. Израчунати:
а) 81 ; ) ( 2 3 )3 ;в) (22)3 ; г) 43 47 ;
д) ( 5)4 · (3)4;ђ) 56 :52;е) 123 :( 6)3 .
Доказатидаје
Решење. Тре адоказатидаје рој:
дељив( езостатка)са 26460=2
8 дељиво( езостатка)са26460.
Првикорак.Напишесенајпре A =271958 (108878 101528).Какоје 27195=3 · 5 · 72 · 37,следидајетај ројдељивса 5 · 72.Сдругестране,разлика умалимзаградамадељивајеса:
(јерјеразликаосмихстепенадва
Пример5. Упроститиизраз:
Решење. Најпретре
разу,паће ити:
Пример6. Користећиформулу
патирезултатипомножили.
Пример7. Израчунати (
Пример8. Израчунати: а) x 7 : x 5 ,x =0; ) x 9 : x 9 ,x =0;в) x 6 :
Решење. а) x 7 : x 5 = x 7 5 = x 2; ) x 9 : x 9 = x 9 9;в) x 6 : x 8 = x 6 8 . Резултатипод )ив)представљајустепенекојидосаданисуразматрани,паје потре нопроширитипојамстепенаинастепенечијијеизложилаццеонегативан роји рој0. )Претходнипримерупућуједаседефинише:за
Пример9. Израчунати:
6
(
(√
Једнакости(1),(2),(3),(4)и(5)важеикадасу m и n цели ројеви,стимштосада заједнакост(4)нијепотре ноограничење m>n.О разложитисвакуоднаведених једнакостикадасу m и n цели ројеви.О ратитипажњукадаје m =0,односно n =0 Какваондамора итиосновастепена?
Пример10. Израчунати:
а) x 3 · x 5 , x =0; ) (a 2)3 , a =0;
в) y 7 : y 10 , y =0; г) x 2 y 2 , x =0, y =0; д) a 3 : b 3 , a =0, b =0; ђ) x 8 : x 8 , x =0
Решење. а) x 3 x 5 = x 3+5 = x 2; ) (a 2)3 = a 6 = 1 a6 , a =0; в) y 7 : y 10 = y 7 10 = y 3 = 1 y3 , y =0;
г) x 2 · y 2 =(xy) 2 = 1 (xy)2 , x =0, y =0;
д) a 3 : b 3 = ( a b ) 3 = ( b a )3 , a =0, b =0; ђ) x 8 : x 8 = x 8 8 = x 0 =1, x =0.
Пример11. Извршитиназначенеоперацијеуизразу: ( 3a 1x2 5b 2y3 ) 2 ( 10ax 3 9by 2 ) 3 ,x =0,y =0,a =0,b =0
Решење. ( 3a 1x2 5b 2y3 ) 2 · ( 10ax 3 9by 2 ) 3 = ( 5b 2y3 3a 1x2 )2 · ( 9by 2 10ax 3 )3 = 25b 4y6 9a 2x4 729b3y 6
Пример12.
Пример13. Датеразломкеудецималномзаписутрансформисатиуо ичнеразломке:
а) 0, 53; ) 2, 8012;в) 0, 00008.
Решење.
а) 0, 53= 5 10 + 3 102 = 53 102 ; ) 2, 18012=2+ 8012 104 ;в) 0, 00008= 8 105 .
Применомстепенасацело ројнимизложиоцем(даклеинегативним)свакидецималнизаписсеможезаписатипомоћупроизводастепена роја10и ројаједнаког 1иливећегодњегаамањегод10.
0, 53=53 · 10 2 =5, 3 · 10 1 ; 2, 8012=28012 · 10 4 =2, 8012 · 100 ; 7300=73 · 102 =7, 3 · 103 ; 5, 237=5237 · 10 3 =5, 237 · 100 ;
Навестинекевелике,односномале ројевекојисезаписујупомоћустепена роја10.
Наводесебездоказанекеважненеједнакостизастепене.
(1)Акосу a и b реалнибројеви, a> 0, b 0 и n ∈N тада a>b ⇒ an >bn .
(2)Акосу a и b реалнибројеви, a> 0, b> 0 и n ∈ N тада a>b ⇒ a n <b n
(3)Акоје a реалниброј, a> 1 и m,n ∈ Z тада m>n ⇒ am >an
Пример15. Одредитикојијеоддатихстепенавећи: 224 или 316 .
Решење. Сходнопримеру2 иће:
224 =23·8 =(23)8 =88 ;
316 =32 8 =(32)8 =98 .
Какоје 8 < 9,следи 88
Пример16. Датисустепени 125 2 и ( 1 36 )3 .Показатидајепрвистепенвећиод другог.
Решење. 125 2 =(53) 2 =5 6 , ( 1 36 )3 = 1 363
Применомсвојства(3)до ијаседаје: 3 13 > 3 14,пајезаиста: ( 1 3 )13 > 9 7 .
1. Степенсцелимнегативнимизложиоцемприкажиуобликуразломка: а) 11 3;б) 7 4;в) x 1 , x =0;г) a 30 , a =0;д) 10 5
2. Датиразломакприкажикаостепенсцелимнегативнимизложиоцем: а) 1 103 ;б) 1 76 ;в) 1 x9 , x =0;г) 1 10000 ;д) 1 64 .
3. Прикажиуобликуразломкаизразе: а) 5a 3;б) m 5 y 2;в) 4xy 6;г) 3(xy)) 5 ; д) a 3b 1;ђ) 7xz 4;e) 6(a + b) 5;ж) 12a 1(b c) 5
Усвакомпримеруназначиограничењезапроменљиве.
4. Користећи негативанизложилац,прикажиуобликупроизводаразломке: а) 5 x3 ;б) m n ;в) 3x7 y4 ;г) x3 5y7 ;д) 1 a2b2 ; ђ) x y2z4 ;е) 3 x (y 2)5 ;ж) a 4 a +4 ;з) (x + y)4 3(x y)5 Усваком примеруназначиограничењезапроменљиве.
5. Свакиодбројева: a)81,27,9,3,1, 1 3 , 1 9 , 1 27 заменистепеномсаосновом3; б) 1 216 , 1 36 , 1 6 ,1,6,36,216,1296 заменистепеномсаосновом6; в)10;0,1;0,001;0,00001;0,0000001заменистепеномсаосновом10.
6. Израчунај: а) 10 3;б) ( 5)0;в) ( 1)357 +( 1) 375 ; г) (( 1 2 ) 2 + ( 3 4 ) 3) 3 ;д) ( 1 1 3 ) 2 + ( 3 4 )2 ( 1)3 + ( 3 5 ) 1 .
7. Израчунај: а) 105 : 55;б) 86 :46;в) 213 : ( 1 7 ) 3 ;г) 0, 43 :0, 043 ; д) 0, 0022 : 0, 000062;ђ) ( 2 3 )4 · ( 4 3 ) 3 .
8. Извршиназначенеоперације: а) (a 2)53 ;б) ( a)37 ;в) (xny 3n)2n;г) (x 4) 2(x 2)2 :(x 2)2 .
9. Упоредиследећебројевеповеличини(одмањихкавећим): 2 2 , 22 , 20 , ( 2)2 , 20 , 02 , 2 2 .
10. Којиодследећихизразаимајусмисла:
,
11. Објаснизашто сенуламожестепеноватисамопозитивнимизложиоцем.
12. Проверитачностследећихнеједнакости: а) (( 1) 1) 1 > 0;б) (( 1) 1( 1) 1) 1 > 0
13. Одредивредностизраза:
Упростиизразе:
б) (a 6b8)3 · ( ab12 c4 ) 3 , a =0, b =0, c =0; в) ( b3 a2 ) 4 :(a 2b4) 3 , z =0, b =0;
15.* Одредиколичнике(за n ∈ N): а) ( an)4n :( an)2n+1;б) (( a)n)2n :( a 3)2n+1 .
16.* Акоје a> 0 и n ∈ N,одредидалије x> 0 илије x< 0 за: а) x =(a)n;б) x =( a)2n;в) x =( a)2n+1;г) x =( a)2n+3 .
17.* Решипретходнизадатакакоје a< 0.
18.* Закоје a> 0 сутачнеформуле: а) a 2 >a;б) a 2 = a;в) a 2 <a; г) an+1 >an , n ∈ N;д) an+1 <an , n ∈ N?
19. Одредивредностизраза:
5 4 56;б) 34 3 3;в) 1012 10 7 10 8;г) 214 :216 ; д) 8 5 :8 7;ђ) (3 5) 1;е) 3 4 (3 2) 4
20. Израчунај: а) 16 2 83;б) 9 5 274;в) 200 :20 3;г) 125 6 :25 7 ; д) 2 23 4 7 · 4 8 ;ђ) 4 2 8 7 2 24 ;е) 3 12 98 ( 3)4 ;ж) ( 5) 4 2514 1256 .
21.* Одредивредностпроменљиве n ∈ Z такодазамакоје x =0 будуистините једнакости: а) xn · x 9 = x 5;б) x 5 : xn = x 5;в) (x 4)n = x 8 ; г) (xn) 6 = x 6;д) x 3 · xn = x 10;ђ) xn : x 3 = x 4 .
22.* Напишибројустандардномоблику: а) 9000000000;б) 37920000000;в) 420730000000;г) 0, 06; д) 0, 0017;ђ) 0, 000063;е) 2 1 80 · 10 7;ж) 1 9 · 10 9;з) 1 700000 .
23. Напишидецималнезаписеследећихбројева: а) 27 · 103;б) 3, 5 · 10 4;в) 2, 2 · 10 3;г) 17 · 10 2 , д) 3 10 8;ђ) 405 10 1;е) 88 106
24.
Напишиустандардномобликубројокојемсеговориуисказу: а)површинаЗемљеизноси510083000 km2 ; б)масаЗемљеједнакаје6000000000000000000000 t; в)човековорганизамимавишеод100000000000000ћелија; г)масаатомаводоникаједнакаје0,0000000000000000000000017 g; д)растојањеод1 km светлостувакуумупређеза 1 300000 секунди.
1.2.Функција y = x n (n ∈ N)ињенграфик
25. ОдредирастојањеодСунцадоПлутонаакојепознатодајеоно40путавећенего растојањеодСунцадоЗемље(растојањеодСунцадоЗемљеједнакоје 1, 495 108 km).
26. Покажидајеупољу (R, +, ) број x n (x =0, n ∈ N) инверзан елементзаброј xn (x n сезове реципрочан бројза xn).
1.2.ФУНКЦИЈА y = xn (n ∈ N)ИЊЕНГРАФИК
Овдећеседетаљнијеиспитатифункција y = xn самоза n 4,анаосновутогаиндукцијомзакључитиоосновнимсвојствима функције y = xn за n парноиза n непарно.
Формулафункције y = xn,гдеје n ∈ N, указуједајеовафункција дефинисаназасве
реалневредности x,јеризраз xn имасмисла засвереалне x.
За n =1 функција y = x јепроученау
првомразредуињенграфикјеправалинија(сл.1).Тадасупроученаосновнасвојства функције y = x,којаћемопоновити:
1.графикуприпадакоординатнипочетак,односноброј0јенулафункције;
2.графикприпадапрвомитрећемквадранту;
3.графикјесиметричануодносунакоординатнипочетак;
4.функцијарастеначитавомскупу R,односноиз x1 <x2 ⇒ f (x1) <f (x2);
5.скупвредностифункцијепредстављаскупреалнихбројева.
n =2 је y = x 2 , x ∈ R.Графиковефункцијебићенацртанприближно помоћутаблице: x
2.графикприпадапрвомидругомквадранту;
3.графикфункцијејесиметричануодносуна y-осу;
4.функцијаопаданаскупу R ,јерза x1 <x2 < 0 ⇒ f (x1) >f (x2); функцијарастенаскупу R+,јерза 0 <x<x2 ⇒ f (x1) <f (x2);
5.скупвредностифункцијепредстављаскупненегативнихреалнихвредности.
За n =3 је y = x 3 , x ∈ R.Графиковефункцијетакођећемонацртати приближнопомоћутаблице:
Саслике3сеуочавада:
1.графикуфункцијеприпадакоординатнипочетак,односнодајеброј0 нулафункције;
2.графикприпадапрвомитрећемквадранту;
3.графикјесиметричануодносунакоординатнипочетак;
4.функцијарастеначитавомскупу R,односноиз: x1 <x2 ⇒ f (x1) <f (x2);
5.скупвредностифункцијепредстављаскупреалнихбројева.
За n =4 је y = x 4 , x ∈ R.Графикиовефункцијебићенацртанприближно помоћутаблице:
Саслике4уочаваседа:
1.графикуфункцијеприпадакоординатнипочетак,односнодајеброј0 нулафункције;
2.графикприпадапрвомидругомквадранту;
3.графикфункцијесиметричанјеуодносуна y-осу;
4.функцијаопаданаскупу R ,јерза
функцијарастенаскупу R+,јерза
5.скупвредностифункцијепредстављаскупненегативнихреалнихвредности.
Упоређивањемнаведенихсвојставауочаваседасеонаразликујусамоу зависностидалије n ∈ N парноилинепарно.Обједињавањемтихсвојстава утврдићесе(бездоказа)својствафункције y = xn иособинењеногграфика замакојиприродниброј n.
1) xn =0 ⇔ x =0.Зато графикуфункције y = xn припадакоординатнипочетак,односноброј0јенулафункције; 2)a)Акоје x =0 и n непаранброј,онда xn запозитивно x имапозитивне вредности,азанегативно x иманегативневредности.Зато график функције y = xn занепарно n припадапрвомитрећемквадранту.
b)Акоје x =0 и n паранброј,ондаје xn > 0.Зато графикфункције y = xn запарно n припадапрвомидругомквадранту.
3)a)Акоје n непаранброј (n =2k 1, k ∈ N),супротнимвредностима независнопроменљиве x = a и x = a одговарајусупротневредностифункције a 2k 1 и a 2k 1.Прематоме, графикфункције y = xn занепарно n имацентарсиметрије,итокоординатнипочетак
б)акоје n паранброј (n =2k, k ∈ N),супротнимвредностиманезависнопроменљиве x = a и x = a одговарајуједнакевредности функције ( a)2k = a 2k и (a)2k = a 2k.Прематоме, графикфункције y = xn запарно n имаосусиметрије,ито y-осу.
4)a) Занепарно n функција y = xn јерастућа.
б) Запарно n функција y = xn опаданаскупунегативнихбројева R ирастенаскупупозитивнихбројева R+ .
5)a) Скупвредностифункције y = xn занепарно n јестескупреалних бројева.
б) Скупвредностифункције y = xn запарно n јестескупненегативнихреалнихбројева.
Пример18. Испитатисвојствафункције y = x 7 инавестисвојствањеногграфика.
Решење. 1.Акоје x =0,ондаје x 7 =0.Затографикуфункције y = x 7 припада координатнипочетак,односно рој0јенулафункције.
2.Акоје x> 0,ондаје x 7 > 0,аакоје x< 0,ондаје x 7 < 0.Затографикфункције y = x 7 припадапрвомитрећемквадранту.
3.Супротнимвредностиманезависнопроменљиве x = a и x = a одговарају супротневредностифункције y = a 7 и y = a 7.Прематоме,графикфункције y = x 7 имакаоцентарсиметријекоординатнипочетак(симетричнетачкесу:( a, a 7)и (a, a 7)).
4.Функција y = x 7 јерастућа.
5.Скупвредностифункције y = x 7 јескупреалних ројева. Пример19. Испитатисвојствафункције y = x 6 инавестисвојствањеногграфика.
1.2.Функција y = x n (n ∈ N)ињенграфик
Решење. 1.Акоје x = 0,ондаје x 6 =0.Затографикуфункције y = x 6 припада координатнипочетак,односно рој0јенулафункције.
2.Акоје x> 0,ондаје x 6 > 0,аакоје x< 0,ондаје x 6 > 0.Затографикфункције y = x 6 припадапрвомидругомквадранту.
3.Супротнимвредностиманезависнопроменљиве x = a и x = a одговарају једнакевредностифункције y =( a)6 = a 6 и y = a 6.Прематоме,графикфункције y = x 6 јесиметричануодносуна y-осу.
4.За x< 0 функција y = x 6 опада,аза x> 0 функција y = x 6 расте.
5.Скупвредностифункције y = x 6 јескупненегативнихреалних ројева.
ЗАДАЦИ
27. Датајефункција f (x)= x 14.Нерачунајући,упореди: а) f (3) и f ( 3);б) f (5) и f (0);в) f ( 8) и f (0); г) f ( 6) и f (8);д) f ( 3) и f ( 1);ђ) f (4) и f (7)
28. Датајефункција h(x)= x 27.Нерачунајући,упореди: а) h(4) и h( 4);б) h( 10) и h(0);в) h(12) и h(0); г) h( 28) и h(45);д) h( 5) и h( 2);ђ) h(7) и h(9).
29. Проверидалиследећетачкеприпадајуграфикуфункције y = x 8 :
A(2;256); B( 2;256); C( 3; 6561).
30. Проверидалиследећетачкеприпадајуграфикуфункције y = x 9 :
A(2;512); B( 2;512); C( 3;19683)
31. Користећисвојстваграфикафункције y = x 8,упоредивредностистепена: а) 78 и 98;б) 0, 48 и 0, 38 ; в) 0, 98 и1; г) ( 6)8 и ( 7)8;д) ( 1 3 )8 и ( 1 4 )8 ;ђ) ( 1)8 и ( 1, 14)8 .
32. Користећисвојстваграфикафункције y = x 5,упоредивредностистепена: а) 35 и 45;б) 0, 65 и 0, 75 ; в) 0, 725 и1; г) ( 4)5 и ( 5)5;д) ( 1 3 )5 и ( 1 4 )5 ;ђ) ( 0, 9)5 и ( 1)5
33.* Датесуфункције f (x)= x 40 и g(x)= x 35.Познатоједаје f (a)=80, g(b)=121. Одреди f ( a) и g( b).
34. Одреди n акојепознатодаграфикфункције y = xn пролазикрозтачку: а) A(3;27);б) B(4, 5;20, 25);в) C( 2;16);г) D( 3; 243)
35.* Објаснизаштосуистинитенеједнакости: а) 7100 > 6100 ; б) 0, 64100 < 0, 65100;в) 1, 7328 < 1, 8328 ; г) ( 2 3 )328 > ( 3 5 )328 ;д) (2 1 4 )34 > (2 1 5 )34
1.3.ПОЈАМ
n-ТОГКОРЕНА
а) Поновимокакосеодређујестраницаквадратакадајепознатањегова површина,односнокакосеодређујеивицакоцкекадајепознатањеназапремина.
Некајеповршинаквадрата36 cm 2.Одредитињеговустраницу.Задатак сесводинарешавањеједначине x 2 =36,чијејеједнорешењеброј6јерје 62 =36.Квадратнаједначина x 2 =36 имајошједнорешењеатојеброј 6, јерје ( 6)2 =36,алиторешењенеможебитистраницаквадрата(зашто?).
Некајезапреминакоцке125 cm3.Одредитињенуивицу.Задатаксесводи нарешавањеједначине y 3 =125,чијејеједнорешењеброј5,јерје 53 =125.
Решењанаведенихпроблемапишусеуоблику: x = √36 i y = 3 √125
итосечита: x једруги(квадратни)корениз36и y јетрећи(кубни)корениз
125.Уобаслучајаодређенјебројчијиједругистепен,односнотрећистепен једнакдатојвредностиповршине,односнозапремине.Заслучајдругогкорена изложилацсенепише.
Израчунавање,например 4 √16,непоистовећујесесарешавањемједначине x 4 =16.Наиме, 4 √16 јеброј2,докјескупрешењаједначине x 4 =16 у скупу R датса {−2, 2}.Збогтешкоћаурачунањусакоренимаограничавамо сенаненегативнепоткореневеличинеиненегативневредностикорена.
б)Посматрајмосадаједначину:
Упретходномодељкубилојеречиографикуинекимособинамафункције y = xn (n 4),аупрвомразредуографикуфункције y = a.Применомтих функцијаутврдићесеколикоикаквихкорена(решења)имаједначина(1).
Акоје n непаранприроданброј,права y = a играфикфункције y = xn секусесамоуједнојтачки(сл.5, y = x 3 и y =3, y = 2 и y =0).Затоза непарно n ибилокоје a ∈ R једначина(1)имајединственорешење,ито:за a> 0 решењејепозитиванброј,за a =0 онојеједнаконулииза a< 0 решење једначинејенегативанброј.
Акоје n паранприроданброј,ондаза a> 0 једначина(1)имадварешења којасусупротнибројеви,јерсеправа y = a играфикфункције y = xn (сл.6, y = x 4 и y =2)секуудветачкесиметричнеуодносуна y-осу.За a =0 једначина(1)имајединственорешењеједнаконули(сл.6, y = x 4 и y =0), за a< 0 једначина(1)немареалнихрешења:права y = a играфикфункције y = xn (сл.6, y = x 4 и y = 1)немајузаједничкихтачака.Једначина xn = a (a ∈ R+ ∪{0}, n ∈ N)имау R+ ∪{0} самоједнорешење.Овајзакључаксе усвајабезстрогогдоказа.
Ненегативнорешење(корен)једначине
називасе n-тикорениз a.
Кажеседаје n-тикоренизненегативногброја a
је n-тистепенједнакброју a
и 1n =1.Посебноиздефиницијеследи
Ознака n √a читасе:,,n-тикорениз a једнакоје x“.Број n називасеизложиоцемкорена,број a поткорениизразилирадиканд,аброј x сеназивакорен. Ненегативанброј
4 √0=0,јерје 04 = 0, √81=9,јерје 92 = 81(√92 =9), 6 √729=3 јерје 3
Очигледно,засвевредности a закојеизраз n √a имасмисла,важиједнакост ( n √a)n = a.О јаснити.
Пример22. Израчунатиназначеникорен:
Решење.
Пример23. Одредитиускупу R решењаједначина 1) x 4 =12,2) y 3 =9 и3) z 5 =58 сатачношћуод0,001,користећикалкулатор.
4 √12 и 4 √12 или ± 4 √12 ≈±1
в)Основнасвојства n-тогкорена.–Заидентичнетрансформацијекоренапотребнојенајпреупознатињеговаосновнасвојства.Ранијесмоупознали једносвојствоквадратногкоренакојеилуструјемонапримерима:
семожеуопштити:
n-тикоренимааналогнасвојстваиза n> 2.Онасеизражавају помоћуследећедветеореме,одкојихћеседругадоказати.
Можесе писатидаје:
Исказатитеореме1и2речима,каоињиховеобрнутетеореме.
Доказатитеорему2.Вредностизраза
b> 0 свакиодизразаимасмислаибројилациманенегативнувредноста
именилацпозитивнувредност.Осимтога, n-тистепенколичника:
односноједнакјепоткоренојвеличини
Пример29. Датаједијагоналаправоугаоника
a =56. Одредитидругустраницу.
Решење.
Пример30. Израчунати:а)
Пример31. Одредитивредностизраза
Дабисеупозналаидругасвојства n-тогкорена,требапосматратиследећи пример.
Пример32. Упоредитивредностизраза
Решење.
Закључујеседасувредностидатихизразаједнаке,односнодаје:
1.3.Појам n-тогкорена 25
Пример33. Израчунатисатачношћу0,01вредностиследећихизраза:
а) √ 3 √25; ) 7 √ 5 √4;в) 4 √ 6 √1000.
Решење. а) √ 3 √25= 6 √25 ≈ 1, 71; ) 7 √ 5 √4= 35√4 ≈ 1, 04; в) 4 √ 6 √1000= 24√103 = 8 √10 ≈ 1, 33.
Напомена. При лижневредности6,35.и8.коренаиздатих ројеваупретходномпримерурачунатесукалкулатором.
Теорема4. Акоје a 0,ондаје mp√amp = n √am , m,n,p ∈ N.
Доказ. Изпретходнетеоремеследи:
Пример34. Упроститиизразе:
а) 3 √5√5; ) 6 √128x8 , x 0.
Решење. а)Акосечинилац5коренујеквадратнимкореном,до
1.3.Појам n-тогкорена 27
Заслучајкадаје n паранброј,односно n =2k, k ∈ N,парнистепенсваког реалногбројајененегативанброј,паза a ∈ R ,односно a< 0 непостоји b ∈ R,такодаје b2k = a.Дакле,за a< 0 израз 2k √a немасмислаускупу R.
Заслучајкадаје n непаранброј,односно n =2k +1, k ∈ N и a ∈ R
постојијединственреаланброј b,такодаје: b2k+1 = a, односно b = 2k+1√a (видисл.5икоментарузњу).Например, 3 √ 8= 2,јерје ( 2)3 = 8 или 5 √ 243= 3,јерје ( 3)5 = 243. Акоје n непаранброји a< 0,тадаје n √
Прирачунањусакоренимачијијерадиканднегативанморасебитиобазрив,јернаведенасвојствазакорененеважеувек.Например,једнакост
применомтеореме4напрвичинилацдатогизраза,учинилабисепогрешка
(објаснитезашто).Уочилисмодаједнакост n √an = a важизасве a ∈ R акоје n непаранброј.Посебнобитребалообратитипажњунаслучајевекаоштоје например √( 5)2.Собзиромнадефиницију n-тогкорена,уовомпримеру резултатнеможебити 5,већ +5,односно √( 5)2 = √25=5.То значида сенебисмелауовомслучајуприменититеорема4иписати √( 5)2 = 5 јер јетоусупротностисадефиницијом n-тогкорена.Затоје √( 5)2 = |− 5| и такође
Решење.
Пример46. Разломке
Решење.
Пример47. Рационалисатиимениоцеразломака:
Пример48.
Пример50. Рационалисатиимениоцеразломака:
38. Израчунај:
39. Одредивредностизраза: а) 7√100;б) 6 3 √27; в) 0, 2 3 √1000;г) 5 4 √81;
3 √ 8+ 5 √32;ђ) 4 √625 3 √ 125;
40. Одредивредностстепена: а) (√17)2 ;б) ( 4 √21)4 ;в) ( 3 √10)3 ;г) ( 5 √ 8) 5;д) (5 4 √3)4 ; ђ) ( 5 3 √4)3 ;е) ( 10√19)10 ;ж) ( 9 √7)9 ;з) (15 3 √ 2) 3 .
41. Закојевредности x имајусмислаизрази: а) 4 √x;б) 3 √x;в) 6 √ x;г) 8 √x 2 ?
42. Закојевредности x суистинитеједнакости:
43. Решиједначине:
44. Одредивредностизраза:
45. Израчунај:
50. Поткоренеизразеприкажиуобликупроизводатакодасенекичиниоцимогукореновати,пазатимизвршикореновање:
51. Чиниоцеиспредзнакакоренаприкажиуобликупоткореногизраза,пазатимизвршиодговарајућестепеновањеимножење:
52. Упростиизразе:
53. Упростиизразе:
54. Упоредиизразе:
55. Рационалишиимениоцеследећихразломака:
57. Представиизразеуобликуразломакасаприроднимимениоцем:
58. Израчунајсатачношћудо0,001вредностследећихизраза(користећикалкулатор):
1.4.СТЕПЕНСРАЦИОНАЛНИМИЗЛОЖИОЦЕМ
а)Упозналисмостепенечијијеизложилаццеоброј.Можесепоставити питањедалиимајусмислаистепеничијијеизложилацрационаланброј r ∈ Q.Даљаразматрањадајуодговорнатопитање.
Дабиизрази 3 1 2 и 3 3 2 имализначење,морасепроширитипојамстепена. Притомећебитикоришћенпојам n-тогкорена,узослањањенаследећадва услова.
1.Основносвојствостепена aman = am+n којеважизацелебројеве m и n морасеочуватиизаизложиоце r ∈ Q
2.Вредностстепена ar,гдеје a> 0,морабитипозитиванбројзамакоји разломак r (везасааритметичкимкореном).
Какавсмисаоимаизраз 3 1 2 ?Наосновууслова1)можесеписатидаје
n =1,ондајестепенсацелимизложиоцем.
Пример52. Премаовојдефиницијиследи:
степенесрационалнимизложиоцем.Тозначидаза
бројеве p и q важи:
Доказ. Довести 2 5 и 1 4 назаједничкиименилац.Тадаје:
Какоје a
иће:
Акосевратинастепенсрационалнимизложиоцем,ондаје:
Прематоме,следидаје
Тосеможеуопштитизамакоје
Наосновуовогсвојстваза
жиоцем.Доказатито.
Пример54. Поделитистепене
Решење.
Пример55. Израчунативредностизраза:
Пример56. Упоредити
Решење.
Наосновунапомене2из:
односно, иће:
Решење. (a 1 4 6)2 12a 1 4 (a 1 4 1) =
одаклејеза a =9 вредностдатогизраза27.
Пример59. Скратитиразломак
Решење. x 3 4 9x 1 4 x 1 2 +3x
.
Пример60. Акосу x и y позитивнеоснове,поједноставитиизразе:
Решење.
((x 1 2 )3 1) = x + x 1 2 +1 x 1 2 +1
Пример61. Упроститиизраз:
Решење.
Пример62. Упроститиизраз: b 1 6 √a3b 3 √a3b 3 √b2√a3b2 (2a2
Решење. b 1 6 a 3 2 b 1 2 ab 1 3 b 2 3 a 3 2 b (2a2 ab b2)a 3 2 b 2 3 : ( 3a3 (a b)(2a + b) ab a b ) = a 3 2 b 2 3 (a b) (a b)(2a + b)a 3 2 b 2 3 : 3a3 ab(2a + b) (a b)(2a + b) = 1 2a + b · (a b)(2a + b) a(3a2 2ab b2) = 1 2a + b · (a b)(2a + b) a(3a + b)(a b) = 1 2a + b · 2a + b a(3a + b) = 1 a(3a + b) .
Пример63. Одредитивредностизраза: 9b 4 3 a 3 2 b2 √a 3 2 b 2 +6a 3 4 b 1 3 +9b 4 3 · b2 a 3 4 3b 5 3 за a =3√7,b =4.
59. Степенесрационалнимизложиоцемпретвориукорене:
.
,
60. Израчунајнадведецималевредностизраза: а) 186 1 2 ;б) 4, 7 1 2 ;в) 0, 750,5;г) 5 1 2 +3 1 2 ; д) 726 1 4 ;ђ) 0, 735 1 5 ;е) 7 1 3 2 1 3
61. Аритметичкекоренеприкажикаостепенесрационалнимизложиоцем: а) √5;б) 3 √1282;в) 6 √ 1 17 ;г) 1 4 √5 3 ; д) √0, 6;ђ) 5 √863;е) 10√3 7 .
62. Израчунај: а) 1000 1 3 ;б) 16 1 4 ;в) 3, 61 1 2 ;г) 64 1 3 ;д) 81 3 4 ; ђ) 8 1 13 ;е) 0, 25 3 2 ;ж) (3 3 8 ) 2 3 ;з) 0, 01 2,5 .
63. Одредивредностстепена: а) 32 1 5 ; 243 1 5 ; 64 1 6 ;б) 729 2 3 ; 16 3 4 ; 81 2 3 ;в) 16 1 4 ; 32 2 5 ; 36 1,5 ; г) ( 1 16 ) 0,25 ; ( 8 125 ) 5 3 ; ( 16 81 )0,75 ; ( 49 64 ) 1,5
64. Датеизразепредставиуобликустепенасрационалнимизложиоцемакојеоснова из R+:
x 0,8 y 3 y 5,2;ђ) (y 3 2 ) 4 15 ;е) x 0,25 x 3 4 (x 1 2 )0,5
65. Израчунај вредностизраза:
66. Упростиизразеакосуосновестепенаиз R+: а)
67. Израчунај вредностизраза:
68. Израчунај вредностизраза:
а) (256 81) 1 4 ;б) (256 81) 1 4 ;в) (0, 01 1 36 ) 1 2 ; г) ( 1 8 · 125 1) 1 3 ;д)
69. Извршимножење срационалнимизложиоцимаприреалнимпозитивнимосновама: а) x 2 3 x 7 3 ;б) a 5 2 a 1 2 a 3 2 ;в) 3a 1 2 5a 2 3 ; г) 3a 1 4 b 1 3 0, 75a 1 4 b3;д) (a 3 2 a 1 2 )(a 3 2 + a 1 2 )
70. Извршиназначенодељењереалнимпозитивнимосновама: а) x 4 3 x 2 3 ;б) 10a 3 4 : (5a 1 4 );в) 4 3 x 1 2 y 5 6 : (4x 1 2 y 1 3 ); г) (5a 5 6 6a 1 3 ) : ( 2a 1 12 );д) (12x 3 5 10a 1 5 ) : ( 4a 1 10 )
71. Извршиназначеностепеновањеприреалнимпозитивнимосновама: а) (x 3 4 ) 2 7 ;б) (a 5 3 ) 3 10 ;в) (y 5 2 ) 3 ;г) (a 3 4 · b 1 3 ) 4 ;
72. Упростиизразеакосуосновестепенаиз R+: а) ( 4 x 1 2 ) 1 6
73. Датеизразепредставиуобликуквадратаакоје a ∈ R+: a
74. Датеизразепредставиуобликукубаакоје x ∈ R+: x 6 ; x 18 ; x 5 ;
75. Знајућидаје 2 1 2 ≈ 1, 41,одреди: а) 2 3 2 ;б) 2 5 2 ;в) 2 1 2 ;г) 2 7 2
76. Акоје x ∈ R+ и y ∈ R+,изрази x помоћу y: а) y = x 2 3 ;б) y = x 5 7 ;в) y = x 4 3 ; г) y = x 0,75;д) y =9x 4 5 ;ђ) y = 1 4 x 2 3
77. Представиизразуобликуалгебарскогзбиразареалнепозитивнеоснове: а) x 1 2 y 1 2 (x 1 2 + y 1 2 );б) c 1 3 d 1 3 (c 1 3 d 1 3 );в) (x 2 3 1)(x 1 3 +2); г) (a 3 4 +2)(a 1 4 3);д) (a 1 3 b 1 3 )2 ;ђ) ((x 1 4 y 1 4 )(x 1 4 +y 1 4 ))2 .
78. Скратиразломкеприреалнимпозитивнимосновама: а) x y x 1 2 y 1 2 ;б) x 2x 1 2 y 1 2 + y x y ;в) x 1 2 3 x 9 ; г) a 1 3 a 1 2 a 1 2 a 1 3 ;д) x0,6 + y0,9 x0,
1.5.КОМПЛЕКСНИБРОЈЕВИИОСНОВНЕОПЕРАЦИЈЕСА ЊИМА
Подсетимосенапуткојимсмодошлиодприроднихбројевадореалних бројева.ЕлементискупаприроднихбројеваNсубројеви 1, 2, 3,..., гдесепрет-
(N, +, ·)
задовољава,каоштосезна,различитеалгебарскезаконе:
гдесу x,y,z макојиприроднибројеви.Такођеистицанесуиразличитеправилностирелацијемањеилиједнакоозначенеса наскупу N.
Структура (N, +, ·) имаиизвесненедостатке.Тако,операција + немаобратнуоперацију,јерједначинаоблика: x + a = b,
гдесу a,b ∈ N,немаувекрешењеускупу N.Такваје,например, x +1=1 или x +7=4.Збогтогнедостаткаструктураприроднихбројевасепроширујеуструктуруцелихбројева.Уновојструктури,,препознају“сеприродни бројевиизањих(сматрајућиихсадакаобројевеизскупацелихбројева Z) сеоперацијесабирањаимножењаобављајуна,,стариначин“.Новаструктура целихбројева (Z, +, ) (притомоперацијесабирањаимножењаозначенесу каоионеуструктури (N, +, ·))задовољавајуразличитеправилностикаошто суонезаприроднебројевеинекедруге,например:
x +0= x,x +( x)=0,x · 0=0, ( x) · ( y)= x · y
итд.Целибројевинемајунекеособинеприроднихбројева.Такоскупцелих бројеванеманајмањиелеменаткаоштогаимаскупприроднихбројева.
Проширењемструктуре (N, +, ·) уструктуру (Z, +, ·) операција +
обратнуоперацију.Међутим,операцијамножењаниу (N, +, ) ниу (Z, +, ) немаобратнуоперацију.Такоједначина:
2 · x =3
немарешењениу N ниу Z.Радиотклањањатогнедостаткаструктурацелихбројевапроширујеседоструктурерационалнихбројева.Притомширењуструктурарационалнихбројевазадовољаваправилностиструктурецелих бројева,алиинекедруге.Такозаброј x изскупарационалнихбројева
1.5.Комплексни ројевииосновнеоперацијесањима 43
структуру (R, +, · , ) –тзв.уређенопољереалнихбројевасасвојствомпотпуности.
Једначина x 2 +1=0
(инесамоона)немарешењеускупуреалнихбројева.(Наиме,непостојиреаланброј x чијиквадратсабрансабројем1дајенулу.Заистаиз x 2 0 и 1 > 0 добијасе x 2 +1 > 0.)Проширујесезатоструктурареалнихбројева (R, +, ) до структуреукојојједначина x 2 +1=0 имарешење.Наимеутојновојструктури,тзв. структурикомплекснихбројева,захтеваседапостојиелеменаткоји ћесеозначитиса i,такавдаважи i2 +1=0.Такавелеменат i називасе имагинарнајединица.Нопођиморедом.
Уређенпар (a,b) реалнихбројева a и b зовесекомплексанброј.Скупсвих комплекснихбројеваозначавасеса C.Дакле C = {(a,b)|a,b ∈ R}.Задва комплекснаброја (a,b) и (c,d) кажеседасу једнака ипишусе (a,b)=(c,d) акоисамоако a = c и b = d. Збиромкомплекснихбројева (a,b) и (c,d)
називасекомплексанброј (a + c,b + d) (гдеје a + c, b + d сабирањереалних бројева).Таоперацијасабирањакомплекснихбројеваозначавасетакођеса + изаписује:
(a,b)+(c,d)=(a + c,b + d)
Тако:
(1, 2)+(3, 1)=(1+3, 2 1)=(4, 1).
Израчунатисада (3, 1)+(1, 2).Добијасеопет (4, 1).Показатидајесабирање комплекснихбројевакомутативно.Важи:
(a,b)+(c,d)=(a + c,b + d)
=(c + a,d + b)
=(c,d)+(a,b)
(искористилисмокомутативностзасабирањереалнихбројева).Дакле: (a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b).
Сличносепоказуједаважииасоцијативнизакон:
((a,b)+(c,d))+(e,f )=(a,b)+((c,d)+(e,f ))
Проверитиасоцијативностзаследећатриброја: (1, 2), ( 1, 0), (4, 5).
Комплексанброј (0, 0) називасенулајерзамакојикомплексанброј (a,b) важи:
(a,b)+(0, 0)=(a,b),
штосенепосреднопроверава.
Елеменат ( a, b) је супротан за (a,b) јер: (a,b)+( a, b)=(a a,b b)=(0, 0)
Дакле: (a,b)=( a, b).
Пример64. Израчунатиразликудвакомплексна
Производ комплекснихбројева (a,b) и (c,d) јекомплексанброј (ac bd,ad + bc).Даклемножењекомплекснихбројевасводисенамножење,одузимањеисабирањереалнихбројева.Операцијамножењакомплексних бројеваозначавасетакођеса · изаписује: (a,b) · (c,d)=(ac bd,ad + bc).
Пример65.
Имножењекомплекснихбројевазадовољаваразличитеправилности.Бићенаведененекеодњих.Тако: (a,b) · (1, 0)=(a · 1 b · 0,a · 0+ b · 1), =(a,b),
тј.: (a,b) · (1, 0)=(a,b)
Такођеважи(проверитесами)и: (0,b) (1, 0)=(0,b)
Свакомкомплексномброју (a, 0) можесеобостраноједнозначнопридружитиреаланброј a.Уместо (a, 0) писаћесеједноставно
(a, 0) и (b, 0) одговаразбирипроизводреалнихбројева
(a, 0) · (b, 0)=(ab, 0).
1.5.Комплексни ројевииосновнеоперацијесањима 45
Тоговоридасеускупу {(a, 0)|a ∈ R} сабирањеимножењекомплекснихбројевапоистовећујусасабирањемимножењемреалнихбројева.
Посебноместоимакомплексанброј (0, 1).Елеменат (0, 1) називасе имагинарнајединица иозначаваса i.Онимаособину: i2 =(0, 1) · (0, 1)=( 1, 0), односно: i2 = 1.
Даклеускупу C једначина x 2 +1=0 имарешење.Такоје (0, 1) такође решењеједначине x 2 +1=0.Наимеважи: (0, 1) · (0, 1)=( 1, 0)= 1
Сауведеномознаком i за (0, 1) комплекснибројевимогусеписатиина следећиначин: (a,b)=(a, 0)+(0,b)=(a, 0)+(b, 0) · (0, 1)= a + bi.
Обичносекомплексанброј a + bi
означаваса z,тј. z = a + bi.Тојетзв. алгебарскиобликкомплексногброја.Реалниброј a називасереалнидеокомплексногброја z иозначавасеса a = Re z,ареалниброј b називасе имагинарнидео комплексногброја z иозначавасеса b = Im z.Такоза z =2+3i је Re z =2,а Im z =3.
Пример66. Закомплексни
Re
=1+
Некасудатадвакомплекснаброја z1 = a + bi и z2 = c + di.Тада z1 = z2 акоисамоакоје a = c и b = d
Пример67. Некаје z1 =10+(n 4)i,а z2 =2m +3i.Тадаиз z1 = z2 следи 10=2m и n 4=3.Даклеакоје m =5 и n =7,тадвакомплексна ројасуједнака. Сабирањедвакомплекснаброја a + bi и c + di садагласи: (a + bi)+(c + di)=(a + c)+(b + d)i.
Пример68. Са рати: а) (2 3i)+( 1+2i)=(2 1)+( 3+2)i =1 i; ) (7+5i) (2 3i)=5+8i.
Множењекомплекснихбројева a + bi и c + di датојесадаса: (a + bi) · (c + di)=(ac bd)+(bc + ad)i.
Дорезултатамножењадолазисетакоштосебројеви a + bi и c + di множе каообичнибиномиипритомсекористичињеницадаје i2 = 1.Дакле,биће: (a + bi) · (c + di)=(a + bi)c +(a + bi)di = ac + bci + adi + bdi2 =(ac bd)+(bc + ad)i.
Пример69. Помножити: а) ( 3 4i) (5 i)=( 3) 5 4 5 i 3( i) 4i( i) = 15 20i +3i +4i2 = 19 17i; ) i2 = 1; i3 = i2 i = i; i4 = i i = i2 =1.
Коњугованикомплексниброј z датогкомплексногброја z = a + bi је
број a bi,којисеод z разликујеузнакуимагинарногдела.
Пример70. Коњуговани рој 3 √2i је рој 3+ √2i.
Какоје:
товажиследећаформула: a 2 + b2 =(a + bi)(a bi).
Некаје c + di =0 (тј.
анаосновупретходноги:
Накрају
Закључујеседасабирањеимножењекомплекснихбројевазадовољаваистезаконе(*)каоштоихзадовољавасабирањеимножењереалнихбројева. Структуракојазадовољавасвеформуле(*)називасепоље.Дакле,и (C, +, ·) и (R, +, ·) јесупоља.Притомсеможе,,препознати“поље (R, +, ·) упољу (C, +, ·). Сетимоседасмокомплексномброју (a, 0) придружилиреаланброј a.Такопољереалнихбројевајесадржаноупољукомплекснихбројева.Другимречима, пољекомплекснихбројевајезаистапроширењереалнихбројеваитотаквода уњемуједначина x 2 +1=0 имарешење.
Напомена. (C, +, ·) нијеуређенопоље.Претпоставимодапостојирелација ,,мање“наC.Тадакакоје i =0,тоје i> 0 или i< 0.Из i> 0 следи 1= i i> 0,односно 1 > 0.Акопак i< 0,ондаје i> 0.Одавдеседо ија 1=( i)( i)= i2 > 0. Итакоопет 1 > 0.
ЗАДАЦИ
79. Проверидалисудатикомплекснибројевирешењадатихједначина: а) x 2 +9=0; 3i, 3i; б) x 2 +3=0; √3 i, √3 i; в) x 2 +8=0; 2√2 i, 2√2 i.
80. Одреди реалнииимагинарнидеодатихкомплекснихбројева: а) 6 7i;б) 2 (√3 1)i;в) 2 1 7 ;г) m 3+7i (m јереаланброј).
81. Закојећевредности m и n битиједнакикомплекснибројеви: а) (3n, 8) и (9, 4n);б) √3+2i и 1 n 1 m i; в) (m +2)+(n 4)i и7?
82. Израчунај: а) (2)3;б) ( 2)3;в) i21 i17 + i36 i42;г) i135 + i235 .
83. Израчунај: а) (6, 2)+(4, 3);б) ( 3, 2) ( 3, 2); в) (4√7 6√8 i) ( √28+2i); г) (2 i)+ ( 4 3 7 2 i)
84. Нађисупротанбројзакомплексанброј: а) (2, √3 i);б) ( 1, 7);в) 1 2 1 3 i;г) 1 √2 i
85. Израчунај: а) (0, 3) (7, 4);б) ( 2, 5) (1, 4); в) (1 i)(2 3i);г) (1+ i)2;д) (7 5i)3 .
86. Одредикоњугованбројкомплексномброју: а) 6 i;б) 3+5i;в) (2 i) (3+4i);г) (1 i)3 .
87. Израчунај: а) 1 1+3i ; б) 6 2+3i ; в) i 1+ i ;г) 1 i 2+3i ; д) ( 1 i z + i )2 ;ђ) 1 √3 i √2+ √3 i ;е) 1+ i i .
88. Напримерукомплекснихбројева 1+ i, 2 i, 3+2i провериасоцијативности дистрибутивностзасабирањеимножењекомплекснихбројева.
Алгебраједарежљива:честодајевише негоштосеодњетражи.
Даламбер(1717–1783)
Уразвојуматематикеистакнутоместозаузимапроблемрешавањаједначиневишегстепенасаједномпроменљивом.Уовомпоглављућебитипроученаквадратнаједначинаиквадратнафункција.
2.1.ПРВАЗНАЊАОКВАДРАТНИМЈЕДНАЧИНАМА (а)Општиобликквадратнеједначинејеформулаоблика: ax 2 + bx + c =0. (1)
Коефицијенти a,b,c суелементипољареалнихиликомплекснихбројева ипритомеје a =0.Основнизадатакзадатуквадратнуједначину(1)јесте одређивањењеног решења (или корена).Решење(иликорен)квадратнеједначинејетаквабројнавредност
aα
Левастранаједначине(1),тј.израз ax 2 +bx+
рој1?
Квадратнаједначинаиквадратнафункција
Пример2. Кодквадратногтринома 7x 2 +5x 6 квадратничланје 7x 2,линеарни чланје 5x,асло одни 6.
Пример3. Квадратнитриноми 3x 2 +4x и 8x 2 5 i и 4x 2 сунепотпуни.Неколикопримераћепоказатикадасудваполиномаједнака,какосеса ирају,одузимајуи множе.Такосекажедајеквадратнитрином ax 2 + bx + c једнакквадратномтриному a1x 2 + b1x + c1 акоисамоакоје
Пример4. а)Квадратнитрином 2x 2 +5x 6 једнакјеполиному 5x 6+2x 2 јерсуимједнакикоефицијентиузистестепененепознате x. Написатиполином 5x 6+2x 2 усређеномо
лику,тј.поопадајућимстепенима непознате x.
)З ирквадратнихтринома 2
јерје:
Посматрајмоквадратнитрином P2(x)= ax 2 + bx + c.Некаје α
број.Тадасеброј P2(α)= aα 2 + bα + c добијензаменомнепознате
са
у квадратномтриному P2(x) назива вредностквадратногтринома.
Пример5. Наћивредностквадратногтринома P2(x)=2x 2 5x 3 за x =1 Биће P2(1)=2 12 5 1 3= 7.Нађитесами P2(3), P2( 4), P2(2i).
(б)Коренквадратногтринома P2(x) јетаквавредност α непознате x за коју P2(α)=0.Такојеброј3икоренза 2x 2 5x 3 изпримера5.
Дакле,коренквадратогтринома ax 2 +bx+c јекоренквадратнеједначине ax 2 + bx + c =0.Основнипроблемзасвакуједначину,паизаквадратну,јесте одређивањескупањенихрешења(корена). Пример6.
2.1.Првазнањаоквадратнимједначинама 51
Поновити дељењеполиномаполиномом.Поделитиполином 2x 2 3x +5
полиномом x 2.Биће: (2x 2 3x +5):(x 2)=2x +1 ±2x 2 ∓ 4x x +5 ±x ∓ 2 7.
Такоседеобом 2x 2 3x +5 са x 2 добијаколичник 2x +1 иостатак7.Дакле, важи: 2x 2 3x +5=(2x +1)(x 2)+7.
Акоседелиполином ax 2 +bx+c полиномом x α,добијасекаоколичник полиномпрвогстепена ex+d иостатак r којијеилинулаилиполиномстепена 0(тј.бројразличитоднуле)паважи:
ax 2 + bx + c =(ex + d)(x α)+ r. (3)
Притомесуколичник ex + d иостатак r јединствени.
Показаћемопрводасуколичникиостатакјединствени.Претпоставити дапостојијошједанколичник e1x + d1
ијошједаностатак r1,тј.даважи: ax 2 + bx + c =(e1x + d1)(x α)+ r1.
Изпретходнеформулеиформуле(3)добијасе: (ex + d)(x α)+ r =(e1x + d1)(x α)+ r1,
односно:
Акобибило ex + d = e1x + d1,салевестранебисеналазиополиномчијије степенвећиилиједнакброју1,асадеснестранеполиномстепена0илиброј 0.Дакле, ex + d = e1x + d1,атадаи r = r1.
Доколичникаиостаткадолазисесличнокаоиунаведеномпримеру.Наиме,аналогнодељењусаостаткомдвацелабројадобијасе: (ax 2 + bx + c):(x α)= ax +(αa + b) ±ax 2 ∓ aαx (αa + b)x + c ± (αa + b)x ∓ α(αa + b) α 2 a + αb + c.
Овдејеколичник ax+αa+b,аостатак r = aα 2+bα+c.Акосестави αa+b = d, добијасе:
Уколикојеостатак r =0,кажеседајеквадратнитрином ax 2 + bx + c дељив са x α.
Пример7. Део омквадратногтринома x 2 +3x 6 полиномом x 2 до ијасе количник x +5 иостатак4.Доколичникаиостаткасеможедоћиметодомназваном методанеодређенихкоефицијената.Премаформули(3) иће: x 2 +3x 6=(ex + d)(x 2)+ r.
Наконмножењаисређивањадеснестранепретходнаформулаћебити: x 2 +3x 6= ex 2 +( 2e + d)x + r 2d.
Изједначавањемкоефицијенатаузистестепененепознате x добијасе: 1= e, 3= 2e + d, 6= r 2d,
односно: e =1,d =5,r =4.
Коначноје: x 2 +3x 6=(x +5)(x 2)+4.
Пример8. Полином x 2 +3x 10 дељивјеса x 2 (Количникје x +5,аостатак 0,тј.важи x 2 +3x 6=(x +5)(x 2).Провери.)
Вратимосеформули(4),тј.: ax 2 + bx + c =(ax + d)(x α)+ r. (5)
Доостатка r можеседоћиибездељења.Какоформула(5)важизасве x, тоонаважииза x = α.Такојеондаза x = α: aα 2 + bα + c =(aα + d)(α α)+ r, тј. r = aα 2 + bα + c.Дакле,остатакдељењаполинома ax 2 + bx +
2.1.Првазнањаоквадратнимједначинама 53
Пример9б)доводидоследећегтврђења.
Теорема1. Број α јекоренквадратногтриномаакоисамоакојеквадратнитриномдељивса x α.
Доказ. Некаје α коренквадратногтринома P2(x)= ax 2 + bx + c,тј. aα 2 + bα + c =0.Тадаважи: P2(x)= P2(x) 0=(ax 2 + bx + c) (aα 2 + bα + c) = a(x 2 α 2)+ b(
Дакле, P2(x) једељивса x α.
Некајесада P2(x) дељивса x α.Тадаје: ax 2 + bx + c =(x α)(ax + d),
за
.
Значи, α јекоренполинома ax 2 + bx + c. ✷ (г)Полином x 2 3x +2 једељивса x 1;тадаважи: x 2 3x +2=(x 1)(x 2)
Дакле,једанкорентринома x 2 3x +2 јеброј1.
Какојепроизвод (x 1)(x 2) једнакнулиакоисамоакојетачнабар једнаодформула x 1=0, x 2=0.Издругеједначинедобијасе x =2.Број 2такођејекоренквадратногтринома x 2 3x +2.Провери.Такосубројеви1 и2решењаквадратнеједначине x 2 3x +2=0.
Некајесада
је r =0,добијасеиз
Квадратнаједначинаиквадратнафункција
долазиседојошједногкоренаквадратногтриномаито x = d a .Акосекорен
α
означиса x1,акорен d a са x2,закључујеседаважи: ax 2 + bx + c = a(x x1)(x x2). (7)
(Приметимода је x2 = d a = ax1 + b a ).
Пример10. Једанкоренједначине 3x 2 5x 2=0 је2.Затоје: 3x 2 5x 2=(x 2)(3x + d)
Радећисличнокаоупримеру8(покушајте!)долазиседо: 3x 2 5x 2=3(x 2) (x + 1 3 ) .
Једначина 3x 2 5x 2 =0 имазначидвакорена x =2 и x = 1 3 .
Показаћемосададаквадратнитрином P2(x)= ax 2 + bx + c немавише
оддвакорена x1 и x2.
Претпостависедапостојијошједанкорен x3 различитод x1 и x2.Тада
важи P2(x3)= ax 2 3 + bx3 + c =0.Алипрема(7)бићеи ax 2 3 + bx3 + c = = a(x3 x1)(x3 x2).Такоседобија (x3 x1)(x3 x2)=0.Овдеје x3 x1 =0 или x3 x2 =0,паје x3 = x1 или x3 = x2,штојесупротнонашојпретпоставци.
ЗАДАЦИ
1. Нађизбириразликуквадратнихтринома: а) 2x 2 6x +(1 2i) и x 2 +(i +1)+2i; б) 7x 2 +6x +3i и ix2 + ix + i; в) x 2 ( 5 i)x (3 i) и 2x 2 (6+ i)x +1
2. а)Некаје P2(x)=3x 2 +5x 2.Одреди: P2(0), P2 ( 1 2 )
б)Некаје P2(x) = x 2 (1 i)x 2.Одреди P2(i), P2(6), P2(1+ i).
3. а)Подели x 2 8x +12 са x 6 инађиостатакдељења. б)Подели 2x 2 5x +8 са x 3 инађиостатакдељења.
4. Одредиреалнебројеве a и b такодаполином (3a + b)x 2 +(a 3b)x +2
полиному x 2 +2x +2.
5. а)Раставиполином x 2 5x +6 кадмујеједанкорен2. б)Раставиполином x 2 8x +7 кадмујеједанкорен7.
в)Раставиполином 3x 2 +4x 7 кадмујеједанкорен1.
будеједнак
2.2.Вијетовеформуле.Налажењекоренаквадратнеједначине 55
6. Одредиостатакдељења:
2.2.ВИЈЕТОВЕФОРМУЛЕ.НАЛАЖЕЊЕКОРЕНАКВАДРАТНЕ
Акосе (x 2) помножиса (x 3),добићесе (x 2)(x 3)= x 2 (2+3)x+2·3.
Такоје: x 2 5x +6= x 2 (2+3)x +2 3.
Коефицијентитринома x 2 5x +6 могусеприказатипомоћузбираипроизводакорена2и3. ( 5= (2+3), 6=2 · 3)
Сличноважииуопштемслучају.
Некаједатквадратнитрином ax 2 + bx + c инекасудатињеговикорени x1 и x2.Тада,каоштосезна,важи: ax 2 + bx +
Акосесадапомножеполиноми
ходнеформуле,пасерезултатсредипостепенимапроменљиве
односно:
Изједнакостиовадватриномадобијасе:
помоћусиметричнихфункција
Посматрајмосистем(2)и(4)двелинеарнеједначинесадвенепознате x1, x2,тј.:
Сабирањемједначинадобијасе:
2.2.Вијетовеформуле.Налажењекоренаквадратнеједначине 57
Непосредносепроверава(заменомуквадратнојједначини)далису x1 и x2 решењаквадратнеједначине ax 2 + bx + c =0.Такоседобијарешење једначине ax 2 + bx + c =0.Дакле,(1)можесезаписатиса:
b2 4ac a иприменитиистипоступак.Опет иседо илорешењеквадратнеједначине(Зашто?Погледајтемалопређашњипоступак.),ито:
Напомена. Уместоформуле(4)можесеузети: x1 x2 =
Какогласиуовомслучајуформула(7)?
Пример12. Применомформула(5)и(6)одредитирешењеквадратнеједначине
Скупрешењаје {1, 7
Пример14. Решењаједначине
Акоселеваидеснастранаквадратнеједначине
са a,поштоје a =0,добићесеједначина:
Једначина(8) јетзв. нормални обликквадратнеједначине.Вијетовеформулеутомслучајугласе:
Једначина(8)гласи:
ањенарешењајесу:
(Овеформулесеобичнокористекадаје
Пример15.
СанеколикопримерабићеилустрованенекеприменеВијетовихформула.
Пример16. Саставитиквадратнуједначинучијисукорени
јестетраженаједначина.
Пример17. З ирдва ројаје 1 20 ањиховпроизводје 3 5 .Којисуто
Решење.
(Зашто?Видиформуле(9)и(10).)
Решењанаведенеједначинесу
2.2.Вијетовеформуле.Налажењекоренаквадратнеједначине 59
Пример19. Акоједначина
Какоје:
тојетраженаједначина:
односно:
(в)Непотпунеквадратнеједначине(таквесунапример x 2 =0, 3x 2 +2x =0, 3x 2 +12=0 такођесемогурешаватиприменомформула(5)и (6).Међутим,овеједначинесемогуједноставнијерешаватирастављањемна линеарнечиниоце:
а)Уочимонепотпунуједначину ax 2 =0.Онајееквивалентнаједначини x 2 =0,тј.обеимајуистискупрешењаииступроменљиву.
Какоје x 2 =0 ⇔ x =0 ∨ x =0,тоје x1 = x2 =0 искупрешењаје једночлан: {0}
б)Непотпунаједначина ax 2 + bx =0 сводисена (ax + b) · x =0,одакле сенепосреднодобијајурешења x1 =0 и x2 = b a .
в)Решењанепотпунеједначине ax 2 + c =0 добијајусеиз x 2 = c a и износе x1 =
x1 =0 и x2 = 2 3 .
Пример21. Једначина 3x 2 +12=0 еквивалентнајеједначини 3(x 2 +4)=0,а оваследећој: 3(x +2i)(x 2i)=0.Решењасу,дакле:
којисупотомразвилиАбел(Abel1802–1829)иГалоа(Galois1811–1832).Тако-
ђеједоказано(тзв.теоријаГалоа)дасекорениједначинечијијестепенвећиод четиринемогуизразитипомоћуконачногбројасабирања,одузимања,множења,дељења,степеновањаикореновањакоефицијенатаједначине,осимкадасу упитањунекиспецијалнислучајевиједначинавишегстепена.
Овдећебитиописанједанједноставанпоступакрешавањаискључиво квадратнеједначине.ТајпоступакпотичеодиндијскогматематичараБаскара(Bhaskar)из XII века.
Некаједатаквадратнаједначина:
Првосеподелиса
Затимсе,додајућииодузимајућилевојидеснојстранипретходнеформуле
односно:
Отудаје:
Оваразликаквадратадаје:
2.2.Вијетовеформуле.Налажењекоренаквадратнеједначине 61
НапоменимодасујошматематичаристареГрчкезналидарешенекеквадратнеједначине.СтариГрцисуихрешавалигеометријски(ЕуклидуIIIиХипарху II векупренашеере)ирачунски(Херону II иДиофанту IV векупре нашеере).Међутим,онисупризнавализарешењасаморационалнебројеве.
Напоменимојошдасвакаједначинаоблика: anxn + an 1xn 1 + ··· + a1x + a0 =0,an
имарешење(корен)ускупукомплекснихбројева C.
ЗАДАЦИ
7. Решиследећеједначине: а) x 2 =4 3x;б) 8(2 5x)=25x 2;в) x(x 6)=13; г) x(2 3x)= x 2 +7x 4;д) (x 1)(x 2)=3;ђ) (x 2)(x 3)= x; е) 3x +2 3 = x 7 2x +1 ;ж) 2x 4 3x +6 =100x
8. Реши следећеједначине:
а) (5x +2)(3x +1) (4x 5)(4x +5)=37;
б) x 2 2√3x +1=0;в) x 2 6ix 5=0;
г) x 2 x +1=0;д) 2x 2 + |3x +4| =0.
9. Решиследећеједначине:
а) (a 2 b2)x 2 2a 2bx + a 2b2 =0; б) (a b)x 2 2(a 2 + b2)x +(a + b)(a 2 b2)=0
10. Напишиједначинучијисукорени: а) 3, 10;б) 5 6 ,0;в) 2+3i, 2 3i; г) 1+ √2, 1 √2;д) a + b a b , a b a + b .
11. Акосу x1 и x2 корени квадратнеједначине,далисусиметричнефункције: а) x1 3x2;б) x 3 1 + x 3 2 ;в) (mx1 n)(mx2 n)?
12. Одредидвабројачијијезбир 31 68 ,апроизвод 15 68
13. Одреди m такодазбирквадратакоренаједначине x 2 (m +1)x + m =0 буде једнак10.
14. Једанкоренједначине x 2 + bx 20=0 износи4.Нађи b
15. Уједначини x 2 8x + c =0 одреди c акојеједанкореновеједначине 2.
16. Напишиједначинучијисукорениза7већиодкоренаједначине: 5x 2 2x 3=0
17. Напишиједначинучијисукорениза n већиодкоренаједначине: x 2 2nx 3n 2 =0
Уовомодељкурешаваће
(а)Системодједнелинеарнеиједнеквадратнеједначинесадвенепознате јесистемоблика:
Поступакрешавањаовогсистемабићеприказаннанеколикопримера.
Користисеметодзамене.Изпрвеједначинеизразићесе x преко y: x =1+ y.
Акосесадатавредностуврстиудругуједначину,добијасе: (1+ y)2
или:
одаклеје:
Садасеможеизједначине
за x,итоза:
2.3.Некислучајевисистемадвеквадратнеједначинесадвенепознате 63
аза: y2 =2 √7 x2 =1+2 √7=3 √7.
Дакле,скупрешењаје {(3+ √7, 2+ √7), (3 √7, 2 √7)}
Пример23. Решењесистема: x +2y =7 xy =6
јесте {(3, 2), (4, 3/2)}.Дорешењаседолазиследећимпоступком:изпрвеједначине првосеналазидаје x =7 2y,азатимсетаизрачунатавредностза x уврстиудругу једначину: (7 2y) · y =6,
или:
одаклеје:
Акосеовевредностисадазаменеулинеарнојједначини x =7 2y,добиће сетраженипаровирешења.Нађитеих.
(б)Другаприменарешавањасистемадвеквадратнеједначинесадвенепознатекористисезаодређивањеквадратногкоренакомплексногброја,2 као изарешавањеквадратнихједначинаскомплекснимкоефицијентима.
Честојеизраз √b2 4ac (уформуламазакоренеквадратнеједначине)
облика √u + iv (u,v ∈ R).Показаћемодаје
u + iv комплексанброј x + iy, гдесу x,y ∈ R.Претпоставићеседаје:
наквадратдобијасе:
Изједначавањемпосебнореалнихипосебноимагинарнихделоваовадва
Акосесадаквадрирајутеједначинепасесаберу,долазиседо:
Изформуле(5)долазиседо:
(Какосу x, y ∈ R,неможебити x
Посматрајмосадасистемоддвеједначине:
(Прваједначинаусистему(7)јепрваједначинаизсистема(4),адругаједначинаједатаса(6).)
Решавајућисистем(7)каосистемдвелинеарнеједначинесадвенепознате x 2 и y 2 добијасе:
Однађенихвредностиза x и y узимајусеподве,итоонекојезадовољавају једначину 2xy = v изсистема(4).Такодобијеневредностиза
уврстеу(3).
Пример24. Некаједатаквадратнаједначина:
претходномпоступку
су:
2.3.Некислучајевисистемадвеквадратнеједначинесадвенепознате 65 x2 = i (2+3i) 2 = 1 2i.
(в)Треће,посматраћемоследећуједначину: ax 4 + bx2 + c =0,a =0.
Такваједначинасезове биквадратна.Дорешењатеједначинедолазисе наследећиначин.Акосе x 2 означиса y (тј. x 2 = y),добијасеједначина ay 2 + by + c =0.Садасеналажењерешењаједначине ax 4 + bx2 + c =0 сводина налажењерешењасистема: ay 2
Некасу y1 и y2 решењапрвеједначинетогсистема.Издругеједначинетог системаследи: x 2 = y1,и x 2 = y2.Односно, x1 = √y1, x2 = √y1, x3 = √y2, x4 = √y2,штосу ирешењабиквадратнеједначине.
Решитибиквадратнуједначину 2x
Решењапрвеједначинеовогсистемасу: y1 = 1 2 , y2 = 3.Издругеједначи-
нетогсистемапроизлази
биквадратнеједначине,атосу:
ЗАДАЦИ
18. Решиследећисистемједначина:
x =8 y, x y =15;
2(x 3)=6(x y), x y =4;
19. Решисистем: a) x 2 + y 2 =4a 2 , x + y =2a;
x 2 +4y 2 =29, 8x 2 y 2 =43.
20. Решиједначине: а) x 4 13x 2 +36=0; б) x 4 17x 2 +16=0,
x 4 17x 2 +12=0, г) x 4 +32x 2 369=0.
21. Решиједначине: а) x 2 (5 i)x +18+ i =0;б) x 2 (3+ i)x +4+3i =0; в) 2x 2 (1+ i)x + i =0;г) ix2 + ix +1=0
2.4.ДИСКРИМИНАНТА.ДИСКУСИЈАКОРЕНАКВАДРАТНЕ ЈЕДНАЧИНЕ
(а)Уовомодељкубићепосматранаквадратнаједначина: ax 2 + bx + c =0, (1)
чијикоефицијенти a =0, b,c јесуреалнибројеви.Решењаквадратнеједначине(1)могубити:различитиреалнибројеви(видипример13.из1.2),једнаки реалнибројеви(пример14.из1.2)илипаркоњугованихкомплекснихбројева (пример15.из1.2).Каквићебитикорени,зависићеодвредностипоткорене величинеуформулама:
2.4.Дискриминанта.Дискусијакоренаквадратнеједначине 67
Пример25. Корениједначине 6x 2 + x 15=0 јесуразличитиреални ројеви јерје b2 4ac =361 > 0.(Нађитекорене.)
Услучајудаје D =0 решењасуреалнибројеви,итообаједнакаса b 2a . Тадасекажејошидаједначинаима двоструко решење.
Пример26. Једначина 4x 2 12x +9=0 имадвострукорешење: x1 = x2 = 3 2 јерје D =0
И,на крају,акоје D< 0,решењаквадратнеједначинејесукоњуговани комплекснибројеви.
Пример27. Једначина x 2 +3x+15=0 имакоренекојисукоњугованокомплексни ројевијерје D = 51 < 0
(б)Честојепотребнобезрешавањаједначине(1)утврдитикаквогсузнака њенарешења,тј.далисувећаилимањаоднуле.
Некајесадазаквадратнуједначину(1)дискриминанта D 0.Тадасена основувредностикоефицијената a,b,c ∈ R иВијетовихформуламогуодредитизнацирешења.Разликујесетрислучаја:
(I) акоје c a = x1 · x2 > 0,решења x1 и x2 суистогзнака(обавећаили обамањаоднуле);
(Ia) акојеи b a = x1 + x2 > 0 обарешења супозитивна.Такозаједначину x 2 3x +2=0 решењасупозитивнајерје c a = 2 1 > 0 и b a =3 > 0;
(Iб)акоје b a = x1 + x2 < 0,обарешењасунегативна;
(II) акоје c a = x1 · x2 < 0 решењасусупротногзнака,причему:
(IIa) акоје b a = x1 + x2 > 0,позитивно решењеимапоапсолутној вредностивећувредност,а
(IIб)акоје b a = x1 + x2 < 0,негативно решењеимапоапсолутној вредностивећувредност.Такозаједначину x 2 + x 2=0,чијису корени 1, 2,биће c a = 2 < 0 и b a = 1 < 0,а |− 2| > 1;
(IIв) акоје b a = x1 + x2 =0,решењаимајусупротневредности;
вредност b a .
Пример28. Одредитизнакерешењаједначине
следидасурешењасупротнихзнакова,аиз
решењепоапсолутнојвредностивећеоднегативног.(Решењасу2и 1 2 .)
Пример29. Закојевредностипараметара
имапозитивнекорене?Уовомслучајутре
,тј.даје:
Решењеовогсистеманеједначинаје:
ауједносутоивредностипараметара k закојеједначина 2x 2 3x+(k 1)=0
имапозитивнарешења.
ЗАДАЦИ
22. Одредизнаковекоренанерешавајућиједначине: а) 40x 2 57x +20=0;б) x 2 x 12=0;в) x 2 +8x +20=0; г) 12x 2 +7x +1=0;д) (x 1)(x 2)=3;ђ) (2x 1)(3x +4)=0; е) (x 2)(x 3)=(x 4)(x 5);ж) x(x +3)= x 7.
23. Датајеједначина: 8(x 2 1)=(m 2)x m.
Одреди m такодакорениједначинебуду: а)једнаки, б)истипоапсолутнојвредности,асупротногзнака.
24. Одреди m такодаједначина mx 2 (2m +3)x + m +5=0, (m =0)
имакоњугованокомплекснарешења.
Запроблем(задатак)секажедаједругогстепенаакосесводинарешавање квадратнеједначине.Поступакрешавањаобичнообухвата:
– изборпроменљиве(непознатувеличину),
– постављањеједначине,
– решавањеједначине,
– дискусијурешења.
Дискусијарешењасеспроводиуциљупроверавањадалионаимасмисла запостављенпроблем,каоиуслучајудасузадатиподациопштибројеви.
Неколикопримераћеилустроватипоступакрешавањапроблема.
Пример30. Производдва ројаувећанзањиховз ирдаје рој999.Којисуто ројевиакосезнадајепрвиза15већиоддругог?
Акосемањибројозначиса x,већије x +15,аодговарајућаједначина
гласи: x(x +15)+ x +(x +15)=999,
или: x 2 +17x 984=0.
Решењаовеједначинесу24и 41.Којерешењеодговарапостављеном проблему?(Провери.)
Пример31. Наћидва ројакадасезнадајењиховаразлика12,ањиховпроизвод 35.
Решење. Некасу x и y тражени ројеви,тј. x y =12 и x y = 35.Акосесада ставида y ′ = y,претходнисистемпостаје: x + y ′ =12, x · y ′ =35, аједначиначијисукорени x и y ′ гласи x 2 12x +35=0.(Зашто?)Корениове једначинесу5и7.Можесеузетидаје x =5 и y ′ =7,штоондадаје x =5, y = 7, или x =7 а y ′ =5,штодаје x =7, y = 5. Пример32. Сумуод48000динаратре
Квадратнаједначинаиквадратнафункција
Дакле, иће: 48000 x 3 = 48000 x +800,
или: 60 x 3 = 60 x +1.
Послемножењаса x(x 3) исређивањадо
x 2 3x 180=0.
Решењаовеједначинесу15и 12.Задатакзадовољавасамопозитивнорешење.
Пример33. Оковртао ликаправоугаоника,чијесудимензије40mи30m,треапоставитистазукојајесвудаједнакоширока,такодањенаповршина уде296m2 Коликајеширинастазе?
Некајеса x означенаширинастазе.Тадасе(видислику1)до ијадаје: (40+2x)(30+2x) 30 40=296,
или: x
мопозитивнорешење.
Пример34.
2.5.Про
Какоје x 2 1 + x 2 2 =(x1 + x2)2 2
иса:
одаклеје:
(Знате
лизаштосеузимасамопозитиванкорен?)
СадсеприменомВијетовихформуласаставиједначиначијасурешења x1 и x2 (x1 + x2 = √c2 +4P , x1x2 =2P ).
Такоседобијаједначина:
Дабинашзадатакимаорешења,потребноједасукоренидобијенеједначинереалниипозитивни.Онисуреални(види1.4)акоје D = c 2 4P 0, односно P c2 4 .Коренисупозитивни(види1.4)јерсуи x
.
Пример35. Некаједатадуждужине1.Зањусекажедајеподељенау златном односу кадасецелапремасвомвећемделуодносикаотајдеопремамањем.Колики сутиделови?
Означитивећидеодужиса x. Тадаје: 1: x = x :(1 x),
односно: x 2 + x 1=0
Решењекојезадовољаваусловезадаткаје √5 1 2 .
Сл.2
Наосновутогаможесеилењиромишестаромконструисатитачкакоја
ЗАДАЦИ
25. Сумуод1200динаратребаразделитимеђувишеособа.Кадабибило6особамање, свакобидобиопо10динаравише.Коликијебројособа?
26. Једанрадникзавршиобипосао10данаранијенегодругирадник,аобаоварадниказаједнозавршилибиистипосаоза12дана.Заколикоданабиспоријирадник самобавиопосао?
27. Половинубазенанапуниједнацев,другуполовинудруга,аобецевисубилеотворене25сати.Дасуцевибилеотворенеистовремено,базенбисенапуниоза12 сати.Заколикобичасованапунилабазенсвакацевпосебно?
28. Кадабибициклиставозио4kmнасатбрже,путод240kmпрешаоби3сатараније. Коликајењеговабрзина?
29. Једнакатетапраовоуглогтроуглавећајеоддругеза14 cm,докповршинатроугла износи240 cm 2.Нађињеговобим.
30. Којиправилнимногоугаоима90дијагонала?
31. Дијагоналаправоугаоникаизноси13 cm.Акоседужинаправоугаоникаповећа за4 cm ашириназа7 cm,дијагоналаћесеповећатиза7 cm.Одредистранице правоугаоника.
2.6.КВАДРАТНАФУНКЦИЈА
Подсетимосесаданаједаноднајважнијихпојмоваматематике,појампресликавања(функције).Каоштознамо,под пресликавањем (функцијом)непразногскупа A унепразанскуп B
подразумевасесвакидоговор,пропис, закон f покојемсесвакомелементу x скупа A додељујетачноједанелемент y скупа B.Дакле, f јесвакиподскупДекартовогпроизводаскупова A и B (тј. f ⊆ A · B)којизадовољавауслов:засваки x ∈ A постојитачноједан y ∈ B, такода (x,y) ∈ f.Топресликавање f од A у B сезаписујеиса f : A → B.
Некаје f : A → B инекаје (x,y) ∈ f.Тадасеобичнопише y = f (x) Елемент x називасеоригинал(променљива),а y његоваслика.Скуп A назива се домен,аскуп B кодомен пресликавања f .Скупуређенихпароваоблика {(x,f (x))|x ∈ A} називасе графикфункције.
Посебнапажњабићепосвећенаонимфункцијама f кодкојихсускупови A-домени B-кодоменнепразниподскуповискупареалнихбројева
Утакоуведеномкоординатномсистемуграфикфункцијеприказанјескуповиматачака–геометријскимликовима(напримерправалинија).
Пример36. Посматрајмолинеарнуфункцију y = x 2 (доменикодоменсу реални ројеви).Каоштознамо,овафункцијазанулуима рој2,тј.за x =2 је y = 0,затим,онајерастућаиза x =0 је y = 2.Њенграфикјеправалинија.(Види слику3 .)
Упрвомразредусмофункцију y = x 2 представилиприближнимграфикомукоординатномсистему xOy.Посматрајмосадафункцију y = x 2.Њен приближниграфикприказанјенаслици4а.Објаснитеукомодносујеграфик функције y = x 2 играфикфункције y = x 2 .
Такођепосматрајмофункцију
искицирајмоњенграфиккористећитаблицувредностифункцијезанекевредностипроменљиве x:
Објаснитеукомодносујеграфикфункције
Сл.4
(б) Нулефункције (1)суонереалневредностипроменљиве x закојеје вредностфункције(1)једнаканули.Нулеквадратнефункције f (x)= ax 2 + bx + c су,дакле,реалникорениквадратнеједначине ax 2 + bx + c =0,аона имареалнеквадратнекоренекадаједискриминанта: b2 4ac 0.(Види1.4.)
Акоје b2 4ac> 0,нулесудваразличитареалнаброја x1 и x2.Тибројеви
сеприказујуукоординатномсистему xOy каоапсцисе x1 и x2 тачакакојеприпадају графикуквадратнефункције.
Акоје b2 4ac =0,функцијаимаједнунулу (x1 = x2) којајепредстављена тачкомна x-оси(саапсцисом x1).
Акоје b2 4ac< 0,функцијанема реалнихнула,тј.њенграфикнемазаједничкихтачакаса x-осом.
(в) Пресекса 0y-осом.За x =0 квадратнафункција f (x)= ax 2 + bx + c
имавредност f (0)= c.Укоординатномсистему xOy тоћебититачка P (0,c)
наоси Oy.Татачкаје,дакле,награфикуквадратнефункције.
Пример37. Нулеквадратнефункције y = x 2 8x +7 су x1 =1 и x2 =7,а
пресекса Oy-осомјетачка P (0, 7).(Провери.)
г) Екстремневредности.Посматрајмопоновоквадратнуфункцију y = x 2 8x +7.Њененулесубројевикојиодговарајутачкама (1, 0) и (7, 0),а пресекса Oy-осомје P (0, 7).Израчунатизајошнекевредностипроменљиве x вредностфункције y =
2 8x
.Такоза x =2 је y = 5,за x =3 y = 8, за x =4 y = 9,за x =5 y = 8 итд.
Таблицомјетоприказанонаследећиначин:
Садасеукоординатномсистему xOy интерпретирататаблицавредности функцијезанекевредностипроменљиве x спајањемтачакакривомлинијом.
Такоседобијаприближанграфикквадратнефункције.(Видислику6а.)
Квадратнаједначинаиквадратнафункција
дакле, (m,f (m)).Функција f имана A максимумутачки n ∈ A,акоје f (n) f (x),засвако x ∈ A.Координатемаксимумасу,дакле, (n,f (n)).Ординате максимумаиминимуманазивајусеекстремневредностифункцијена A.Тако језафункцију y = x 2 +8x 7 екстремнавредност 9 утачки x =4
Показаћемосададаквадратнафункцијаимаминимум,односномаксимум.Некаједатаквадратнафункција: y = ax 2 + bx + c,a
Какозасвако x важи(провери):
квадратна функција(2)можесенаписатиутакозваном канонскомоблику
2.6.Квадратнафункција
Разликоваће седваслучаја: (d1) a> 0 и (d2) a< 0.
(d1) За a> 0 израз
променљиве x из R,аза x = b 2a иманајмању вредносткојајеједнаканули. Такојевредностизраза:
Дакле,квадратнафункција
минималнувредност y =
Пример39. Квадратнафункција y =
Квадратнаједначинаиквадратнафункција
Тачка T сакоординатама
зовесе теме.(Теметакођеприпадаграфикуквадратнефункције.)
Следећипримерилустроваћеједнузначајнуприменуекстремнихвредности.
Пример41. Одсвихправоугаоникао има O =20 mодредитионајкојиима највећуповршину.Некајеса x означенадужинаправоугаоника.Ондајеширина 10 x.Прематоме,површина y је: y = x(10 x),
Со зиромдаје a = 1 < 0,функцијаимамаксимумза:
којиизноси y = 4ac b2 4a = 4 · ( 1) · 0 (10)2 4(
=25.Значи,тражениправоугаоник јеквадрат.(Премаусловузадаткадоменфункције y = x 2 +10x нијецеоскуп R. Којискупједомен?)
(д) Интервалирастаиопадања.Посматрајмопоновофункцију f (x)= x 2 8x +7 којаимаминимумза x =4 (видислику6а).Узетимакојадваброја мањаод4(например 1 и2)иизрачунативредностфункцијезатакоодабране бројеве (f ( 1)=16,f (2)= 5).Можесеуочитидаје 1 < 2 < 4 идаје f ( 1)=16 > 5= f (2).Дакле,уочавасе(напримерима)дазавредности
променљиве x мањеод4важи:ако u<v< 4,онда f (v) >f (u).(Тоћекасније битиидоказано.)Уовомслучајусекажедафункција f (x)= x 2 8x+7 опада за x< 4 (атосусвиреалнибројевимањиод4).
Такође,лакојеуочитидаиз 4 <u<v следи f (u) <f (v).(Израчунатии упоредити f (5), f (6); f (6) и f (7).)Уовомслучајусекажедафункција f (x)= x 2 8x +7 растеза x> 4 (тј.засвереалнебројеве x већеод4).
Посматрајмоскупсвихреалнихбројеваизмеђудвадатареалнаброја s и t,тј.скуп {x ∈ R|s<x<t}.Тајскупзовесе отворенинтервал
са (s,t).Тако(1,3)означавасвереалнебројевевећеод1амањеод3.Кажеседа функција f расте наотвореноминтервалу
Пример42. Квадратнафункција y = x 2 8x +7 наинтервалу (−∞, 4)3 (тосу свиреални ројевимањиод4)опада.Некаје u<v< 4.Ондаје: u + v< 8.Какоје f (u)=(u 4)2 9 и f (v)=(v 4)2 9,тоје: f (v) f (u)=(v 4)2 (u 4)2 =((v 4) (u 4))((v 4)+(u 4))= =(v u)(v + u 8).
Какоје v u> 0 (зашто?),а v + u 8 < 0,тоје f (v) f (u) < 0,тј. f (v) <f (u). Дакле,надинтервалом (−∞, 4) функција y = x 2 8x +7 опада.
Квадратнафункција y = x 2 8x +7 растенаинтервалу (4, ∞).Некајесада 4 <u<v.
Даљеје: f (v) f (u)=(v 4)2 (u 4)2 =(v u)(v + u 8)
Какоје 4 <u<v,тоје v u> 0 и v + u 8 > 0,тејеи (v u)(v + u 8) > 0
Дакле: f (v) f (u) > 0,
иконачно: f (u) <f (v),
тј.функција y = x 2 8x +7 растенадинтервалом (4, ∞).
Заквадратнуфункцију y = ax 2 + bx + c важитеорема2.
Теорема2. (I).Акоје a> 0,наинтервалу (−∞, b 2a ) квадратнафунк-
цијаопада,анаинтервалу ( b 2a , ∞) расте.
(II)Акоје a< 0,наинтервалу (−∞, b 2a ) квадратнафункцијарасте,а наинтервалу ( b 2a , ∞) опада.
Квадратнаједначинаиквадратнафункција
Какосутачненеједнакости: v u> 0,v + u + b a < 0,
тоје f (v) f (u) < 0 односно f (v) <f (u).Дакле,надинтервалом (−∞, b 2a )
функцијајеопадајућа.
Насличанначинседоказуједајеквадратнафункција y = ax 2 + bx + c растућакаоиуслучају(II). ✷
(ђ)Графикквадратнефункције.Посматрајмопоновофункцију y = x 2 8x +7.Таблицањенихвредностизанекевредностипроменљиве x јеследећа:
(5)
Функција y = x 2 8x +7 иманулеза x =1 и x =7.Њенпресекса y-осомјеутачки P (0, 7),атемејојјеутачки T (4, 9).Онаопадауинтервалу (−∞, 4),арастеуинтервалу (4, ∞).
Приказатитачкамаукоординатномсистему xOy поновотаблицуњених вредности(5).
Акосеспојететачкедобићесеприближниграфикквадратнефункције.Кривакојусмоприближноскицирали,називасепарабола.Уопште,графикквадратне функцијејекривалинијакојасезове парабола.Тачка T зовесе теме параболе.
Нацртајтесамифункцију y = x 2 +8x 7.
(е) Симетричносттачакаграфика квадратнефункције.Поновоуочимоквадратнуфункцију y = x 2 8x +7 итаблицуњенихвредности(5).Изњесеможе приметитидазанекевредности x функција f (x)= x 2 8x +7 имаистувредност.Такоје f (1)= f (7), f (2)= f (6), f (3)= f (5).Апсцисетачакаовихвредностипроменљиве x симетричнесууодносу натачкучијајеапсциса4,атојеапсциса теменапараболе(погледајтеслику7).Доказатидаважи f (4 t)= f (4+ t) за t ∈ R.
Какоје f (x) =(x 4)2 9,тоје f (4 t)=(4 t 4)2 9= t2 9 и f (4+ t)=(4+ t 4)2 9= t2 9,паје f (4+ t)= f (4 t).
Уочимосаданаграфикуфункцијетачкесакоординатама (4 t,f (4 t))
и (4+ t,f (4+ t)).Тетачкесусиметричнеједнанадругууодносунаправу s
којапролазикрозтемеквадратнефункцијеипаралелнајеоси Oy.Таправа s
називасе оса параболе.Такосунаслици7тачке A, M , P , B симетричне тачкама A1, M1, P1, B1 уодносунаправу s.
Уочимосадаквадратнуфункцију y = ax 2 + bx + c.Тадаважитеорема3.
Теорема3. Графикквадратнефункцијесиметричанјеуодносунаправу којасадржитеме,апаралелнајесаосом Oy.
Доказ. Тре апоказатидаћетачке:
чијесуапсцисесиметричнеуодносунаапсцисутемена
,иматиисте ординатетедаважиза
A · B< 0 ⇔ (A> 0 ∧ B< 0) ∨ (A< 0 ∧ B > 0).
Удаљемрадуоненећебитипосебноистицане.
1.случај (D< 0).Какоје
.Даље, како је:
тојеизраз:
паквадратнафункцијауовомслучају (D< 0) имаистизнаккаоикоефицијент a засве x ∈ R.
Пример43. Уочимо y = x 2 +
функцијајезасве x ∈
Одредититемеиинтервалерастаиопадања.
2.случај (D =0).Уовомслучајуквадратнафункцијаје y = a (x +
2 . (Зашто?Погледајте(6).)Какоје (x + b 2a )2 > 0 засве x = b 2a ,
знакквадратнефункцијеза x = b 2a једнакјезнакукоефицијента a.
Пример45. Функција y =3x 2 јепозитивназасве x =0.Њенграфикједатна слици10.
(Одредитикоординатетеменаиинтервалерастаиопадања.)
Пример46. Функција y = x 2 негативнајезасве x =0
Сл.11
Квадратнаједначинаиквадратнафункција
3.случај (D > 0).Посматрајмопоновоквадратнуфункцију y = x 2 8x+ 7 иприкажимојеуоблику: y =(x 1)(x 7).Знаковефункцијезависиод знакаумножака (x 1) и (x 7).Акоје x< 1,ондаје x< 7,пајепроизвод (x 1)(x 7) > 0.Значиакоје x< 1,функцијајепозитивна(видислику7).
Онајетакођепозитивнаиза x> 7.Наиме,акоје x> 7,ондаје x> 1.Такоје x 7 > 0 и x 1 > 0 иконачно (x 1)(x 7) > 0.
Сл.12
Међутим,акоје 1 <x< 7,ондаје x 1 > 0,а x 7 < 0 паје (x 1)(x 7) < 0.Дакле,заоне x закојеје 1 <x< 7 функцијаиманегативнувредност. (Налазисеисподосе Oy.Видислику7.)
Проучимосадазнакквадратнефункције y = ax 2 + bx + c за D = b2 4ac> 0.Квадратнафункција y = ax 2 + bx + c можесеприказатиуоблику: y = a(x x1)(x x2), (7)
гдесу x1 и x2 корениквадратнеједначине ax 2 + bx + c =0.Некајенапример x1 <x2.Тадазнакфункције(7)зависиодзнакасвихумножакау(7),тј.од a, (x x1) и (x x2).Акоје x<x1,ондајеи x<x2,пајепроизвод (x x1)(x x2)
позитиван.(Зашто?Далису x x1 и x x2 негативни?)
Такође,акоје x>x2,ондајеи x>x1,паважи x x1 > 0 и x x2 > 0.
Даклебиће (x x1)(x x2) > 0.
Међутим,акоје x1 <x<x2,ондаје x x1 > 0,а x x2 < 0,паје (x x1)(x x2) < 0.
Дакле,акоје D> 0,знакквадратнефункције y = ax 2 + bx + c имазнак коефицијента a,осимзаоневредности x којесуизмеђу x1 и x2.
Пример47. Квадратнафункција y = 2x 2 +5x +3
2.6.Квадратнафункција
јенегативназа x ∈ (−∞, 1 2 ) ∪ (3, ∞),апозитивназа x ∈ ( 1 3 , 3).Њенграфик јеприказаннаслици12.
Дакле,следећесумогућностизаграфикквадратнефункције:
Квадратнаједначинаиквадратнафункција
Пример48. Функција y = x 2 4x + 3 (уканонскомо лику y =(x 2)2 1)има
нуле x1 =1 и x2 =3,апресексаосом Oy је P (0, 3).Иматемеу T (2, 1).Функција
опадауинтервалу (−∞, 2),арастеуинтервалу (2, ∞).Квадратнафункција y = x 2 4x +3 јепозитивназа x ∈ (−∞, 1) ∪ (3, ∞),анегативназа x ∈ (1, 3).Њенграфикје приказаннаслици14.
Сл.14
Пример49. Датајеквадратнафункција y =(m 2)x 2 +(1 3m)x +5m 3,
гдеје m реалан ројразличитод2.Одредите m такодафункцијаимаекстремнувредностза x =1,затимдетаљнопроучитеграфиктакодо ијенефункције.Занађено m утврдитедалијетајекстреммаксимумилиминимум.Какоквадратнафункцијаима
екстремза x = b 2a ,тојеуовомслучају 1= 1 3m 2(m 2) .Одавдеје m = 3,афунк-
цијаје y = 5x 2 +10x 18.Какоје a = 5 < 0,функцијаимамаксимум.(Сами испитајтефункцију y = 5x 2 +10x 18.)
Додатак.Посматрајмоквадратнуфункцију y = ax 2 за a> 0.Њенграфик јепараболасатеменомукоординатномпочеткуањенаосаје Oy-оса.Уочити на Oy-осиитачку F сакоординатама F (0, 1 4a ) иправулинију d датулинеарномфункцијом y = 1 4a (видисл.15).
Уочитисадапроизвољнутачку M (x,y) награфикупараболе y = ax 2 . Видећеседајетачка M једнакоудаљенаод F (жиже)иправе d (директрисе), односно |MN | = |MF |.Какоје |MN | = ax 2 + 1 4a и |MF | = √x2 + (ax2 1 4a )2 ,
следидасудужи |MN | и |MF | једнаке.(Приметитедаје:
Сличноразматрањеважиизаграфикквадратнефункције y = ax 2+bx+c Напомена. Многипрактичнипро лемиизразнихнаукасводесенапроучавањеодговарајућеквадратнефункције.Такосе,например,пређенипут y равномерно успореногкретањасауспорењем a ипочетном рзином v0 завреме x израчунавапо формули: y = v0x 1 2 ax 2
Интересантноједасемогупроучитиособинефункције y = ax 2++bx+c полазећиодособинафункције f (x)= x 2.Тајпоступаксеможеилустровати напримеруфункције y = x 2+6x 8 илиуканонскомоблику y = (x 3)2+ 1.Посматратипрвофункције f (x)= x 2 и g(x)=(x 3)2.(Видислику16.)
За x ∈ R важи f (x)= x 2 = g(x +3).(Проверитезанеколикоразличитих вредностипроменљиве x.)Уочититачкуприказануукоординатномсистему са (α,α 2).Татачкаприпадаграфикуфункције f (x)= x 2.(Зашто?)Посматра-
Квадратнаједначинаиквадратнафункција
f (x) завекторуравничијајепочетнатачка (0, 0),акрајња (3, 0).Посматрати функцију h(x)= (x 3)2.Какојеза x ∈ R h(x)= g(x),тојеграфикфункције h(x) симетричануодносуна x-осуграфикуфункције g(x).(Проверите
занеколикоразличитихвредностипроменљиве x.Видитеслику16.)Накрају, какоје y = h(x)+1 тачкеграфикафункције y = x 2 +6x 8,добијајусе транслацијомтачакаграфикафункције h(x) завекторуравни,чијајепочетна тачка (0, 0),акрајња (0, 1).(Видислику17.)
Сл.17
Применомобликафункције f (x)= x 2
ције y = x 2 +6x 8,алитакавпоступакјезнатносложенијинегопоступак којисмопрвоупознали.Увођењемтранслацијекоординатногсистемапретходноописанипоступаксезнатноскраћује.(Отомећетеучитиунаредном разреду.)
ЗАДАЦИ
32. Напишиследећеквадратнефункцијеуканонскомоблику: а) y =2x 2 +3x +5;б) y = x 2 +7x 4;в) y = 2x 2 +5x +8; г) y =(x 1)(x 2);д) y =(x 2)(x 3) (x 3)(4 x).
33. Одрединуле,екстремневредностиикоординатетеменаследећихквадратнихфункција: а) y = 1 4 (x 3)2 4;б) y = x 2 +3x +4; в) y = x 2 6x; г) y =3x 2 +4x +5;д) y =(x 2)(x 3);ђ) y = x 2 (x 1)(2x 3).
34. Управоуглитроугаочијесукатете70cmи100cmуписанјеправоугаоникчиједве суседнестраницележенакатетамааједнотеменахипотенузи.Одредивеличине страницаправоугаоникаакоонтребадаиманајвећуповршину.
35. Одредиинтерваленакојимафункцијарасте,односноопада: а) y =2x 2 5x +3;б) y = x 2 + x;в) y = (x 3 2 )2 ; г) y = x 2 +2x 3;д) y =(x 1)(x 3).
36. Одредизнакквадратнефункције: а) y =25x 2 40x +16;б) y = x 2 10x +9;в) y = 4x 2 +7x +8; г) y = x 2 + x +1;д) y =2(x 3)(x 1)+(2 3x)(x 4)
37. Датајеквадратнафункција: y =(m 2)x 2 +(1 3m)x +5m 3, m =2.Одреди m такодатачка A(2, 3) припадаграфику,затимнађиекстремтефункције.
38. Детаљноиспитајквадратнефункције(нађинуле,пресекса Oy-осом,екстремне вредности,интервалераста–опадањаизнак,азатимнацртајграфик). а) y = x 2 +2x 3;б) y =12x 2 17x +16;в) y = (x 2)2 ; г) y = 3 (x + 2 5 )2 7;д) y =(2x 3)(x 4); ђ) y = (x 2)(x 3) (x 1)(2 x). 2.7.КВАДРАТНЕНЕЈЕДНАЧИНЕ
Упознаћемопоступакналажењаскупарешењаквадратнихнеједначина облика: ax 2 + bx + c> 0, (1)
или: ax 2 + bx + x< 0, (2)
где су a,b,c ∈ R и a =0.
Решењенекенеједначинесаједномнепознатомјебројнавредносттенепознате(променљиве)којаувршћенауместонепознатеунеједначину,овупреводиутачнунумеричкунеједнакост.Такојеједнорешењенеједначине 2x 3 > 0
број2,аскупрешењајескупсвихреалнихбројевавећиход 3 2 .
Налажењерешења,односноскупарешењанеједначинаоблика(1)и(2) сводисенаодређивањезнакаодговарајућеквадратнефункције y = ax 2 + bx + c (види1.6(ж)).
Пример50. Скупрешењанеједначине x 2 4x +3 < 0 јеинтервал (1, 3),анеједначине x 2 4x +3 > 0 јескуп (−∞, 1) ∪ (3, ∞).(Нацртајтеграфикфункције y = x 2 4x +3 иодредитезнак.)
Пример51. Датајеквадратнаједначина mx 2 2(m 2)x +1=0(m =0).
Одредитивредностиза m такодакоренитеједначинебудуреалнииразличити.Знамодасукорениквадратнеједначинереалнииразличитикадаје дискриминантаједначиневећаоднуле.Унашемслучајуједискриминанта: D =( 2(m 2))2 4 · m · 1=4(m 2 5m +4)
Дакле,какоје D> 0,добијасенеједначина: m 2 5m +4 > 0.
Одредитизнакквадратнефункције y = m 2 5m +4.Какојењенадискриминанта D =( 5)2 4 · 4=9,тоћеквадратнафункција y = m 2 5m +4
иматиреалнеразличитенуле(m1 =1, m2 =4),штозначидаће m 2 5m +4 битипозитиванза m ∈ (−∞, 1) ∪ (4, ∞).Решењедатогпримераје m ∈ (−∞, 1) ∪ (4, ∞)\{0}.
Графикквадратнефункције m 2 5m +4 приказанјенаслици18.
Дорешења,односноскупарешењанеједначинаоблика(1)и(2)можесе доћиисвођењемлевогделаформуле(1)(односно(2))уобликпроизвода a(x x1)(x x2),гдесу x1 и x2 корениквадратногтринома.Одлучујућуулогу удаљемрадуимајутврђењакојаважеупољуреалнихбројева:
Пример52. Скупрешењанеједначине
важи:
(x> 1 ∧ x> 2) ∨ (x< 1 ∧ x< 2)
⇔ x< 1 ∨ x> 2.
Пример53. Скупрешењанеједначине
јестеинтервал ( 10, 2).Заиста,важи: 2x 4 3x +6 > 1 ⇔ 2x 4 3x +6 1 > 0 ⇔ x 10 3
x> 10 ∧ x< 2 (Упримерукористимо: A B > 0 ⇔ (A> 0 ∧ B> 0) ∨ (A< 0 ∧ B< 0).)
Напомена. Описанипоступакможесеприменитинанеједначинекојесемогу приказатикаопроизводдваиливишечинилацакаквисунапример (x 1)(x 2)(x 3) < 0, (2x 3)(x 2 + x +1) < 0 ислично.
ЗАДАЦИ
39. Решиследећенеједначине: а) x 2 > 9;б) 4x 2 5x< 0;в) x 2 5x +6 < 0;
г) x 2 4x +5 < 0;д) 2x 2 x 10 < 0;ђ) 5x 2 19x +4 < 0; е) x 2 +6x +15 < 0;ж) x 2 +6x +7 > 0;з) 2x2 1 4x +5 < 0; и) 3x +2 3 < x 7 2x +1 ;ј) (2x 3)(x 2 4x + 3) > 0
40. Коликувредносттребадаима m дазабилокојереално x важи: а) x 2 4x + m> 15;б) x 2 4x + m< 15 ?
41. Уједначини: (m +1)x 2 +(m +4)x +2m 1=0, (m = 1)
одреди m такодарешењаједначинебуду: а)реалнаиразличита; б)реалнаиједнака.
2.8.ГРАФИЧКОРЕШАВАЊЕСИСТЕМА y = ax 2 + bx + c и y = mx + n
Ограничићемосенарешавањесистемаоблика: y = mx + n, y = ax 2 + bx + c. (1)
Уистомкоординатномсистемуприкажусеобаграфикадатогсистема. Акографициимајузаједничкетачке(секусе),координатетихтачакапредстављајуреалнарешењасистема(1),аакопакграфицинемајузаједничкихтачака, датисистем(1)немареалнарешења.
Пример54. Решењесистема: y = x 1, y = x 2 5x +4
је {(1, 0), (5, 4)}.
Графикфункције y = x 1 јеправа,аграфикфункције y = x 2 5x +4
јепарабола.(Видислику19.)
Координатезаједничкихтачака A и B заобаграфикасутраженарешења. Честосеквадратнаједначина ax 2 + bx + c =0 решаваграфички.Заналажењерешења(корена)полазисеодједначине: x 2 = b a x c a ,
којајееквивалентнаполазној.(Зашто?)
Конструисатиграфикефункција y = x 2 и y = b a x c a уистомкоординатномсистему.Апсцисезаједничкихтачакапараболеиправе(уколикопостоје) суреалникорениполазнеквадратнеједначине.
Пример55. Реалникорениквадратнеједначине x 2 x 2=0 су x1 = 1 и x2 =2.Доњихседолазиакосепосматраеквивалентнаједначина x 2 = x +2.Затим сескицирајуграфицизаквадратнуфункцију y = x 2 илинеарнуфункцију y = x +2 иодредесезаједничкетачкеграфика(слика20).
Квадратнаједначинаиквадратнафункција
Пример56. Једначина x 2 x+2=0 немареалнихрешењајерграфициза y = x 2
иза y = x 2 немајузаједничкихтачака(слика21).
ЗАДАЦИ
42. Решисистеме: a) y 2x +2=0, x 2 y +2x 3=0; б) y x 1=0, 2x 2 5y + x 1=0
43. Решисистеме: a) 3x 2 4y =36, 2x +3y =17; б) x 2 1= y, x +1= y.
44. Решисистеме: a) x 2 =8y, 4y x 12=0; б) (x 1)(x 2)=3(2y 1), 7y 4(x +1)=0
45. Одредиграфичкиреалнекоренеједначине(уколикоихима): 1 4 x 2 x +1=0.
46. Одредиграфичкиреалнекоренеједначине(уколикоихима): 4x 2 12x +7=0.
47. Одредиграфичкиреалнекоренеједначине(уколикоихима): 12x 2 +17x 16=0.
2.9.ЈОШОПРИМЕНИКВАДРАТНЕЈЕДНАЧИНЕ (а)Једначинеоблика
супримеритзв.
Пример57. Одредитирешењаједначине √x +6= x.Каковажи:
√x +6= x ⇔ x +6= x 2 ∧ x 0
⇔ x 2 x 6=0 ∧ x 0
⇔ (x =3 ∨ x = 2) ∧ x 0
(применаформуле(1))
(решавањеједначине x 2 x 6=0)
⇔ (x =3 ∧ x 0) ∨ (x = 2 ∧ x 0) (користећитаутологију p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r))
⇔ (x =3 ∧ x 0)
(јерје x = 2 ∧ x 0 ⇔⊥, p ∨⊥⇔ p)
⇔ x =3 (јерје x =3 ⇒ x 0).
Пример58. Решитиједначину √4x2 7=2x 7.Садаседо ијаследећиси-
стем: 2x 7 0, 4x 2 7=(2x 7)2 (каои 4x 2 7 0),односно x 7 2 и x =2.
Дакле,скупрешењагорњеједначинејепразан.
Пример59. Решитиједначину √4x +1+ √x +2= √x +3.Првоседолазидо једначине (4x +1)+2√4x +1 √x +2+(x +2) = x +3,тј. √4
Посматрајмоједначинусанепознатом x облика: a (f (x))2 + b (f (x))+ c =0
Увођењемсмене f (x)= t добијасеследећисистем,којијееквивалентанполазнојједначини:
Квадратнаједначинаиквадратнафункција
Корениквадратнеједначине t2 2t 8=0 су t1 =4, t2 = 2.Такосе добија: (t 4=0 ∨ t +2=0) ∧ x 2 3x = t,
аодавде: x 2 3x =4 ∨ x 2 3x = 2.
Прваодовихједначинаимарешења:4; 1,адруга:1;2.Даклеполазна једначинаимачетирирешења.Тосубројеви:4; 1;1;2.
Пример61. Решитиједначину: (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)=8
Множећи (x 1) са (x 4) и (x 2) са (x 3) добијасе: (x 2 5x +4) (x 2 5x +6)=8,
односно: (x 2 5x +4) (x 2 5x +4+2)=8.
Акосеуведесмена x 2 5x +4= t,добићесеследећисистем: t(t +2)=4 ∧ x 2 5x +4= t.
Какосурешењаквадратнеједначине t2 +2t 8=0 бројеви 4;2,полазна једначинаеквивалентнајеса: x 2 5x +4= 4 ∨ x 2 5x +4=2
Решавањемпретходнихквадратнихједначинадолазиседорешењаполазнеједначине.(Нађитеих!)
Напомена. Акоје f (x)= x 2,ондајеједначина
иквадратнаједначина.
Симетричнаједначина
Акоје n непаранприроданброј,једноодрешењасиметричнеједначинеје
1.Такосиметричнаједначина:
имаједнорешење 1.
Зарешавањесиметричнеједначинепотребнојеувестиследећусмену:
Решавање симетричнеједначинебићеилустрованосапарпримера. Пример62. Решитиследећусиметричнуједначину:
Квадратнаједначинаиквадратнафункција
односноса: 2x 2 5x +2=0 ∨ 3x 2 10x +3=0.
Решењапретходнихквадратнихједначинасу:
штосуи решењаполазнеједначине.
Пример63. Решитисиметричнуједначинунепарногстепена:
Знаседаје x = 1 једноњенорешење.
Количникполинома
је 6x 4 35x 3 +62x 2 35x +6 (проверите),пасеполазнаједначинаможе приказатиуоблику: (x +1)(6x 4
Даклесиметричнаједначинанепарногстепенасводисенасиметричнуједначинупарногстепена.Решењаполазнеједначинесу,дакле,бројеви: 1;2; 1 2 ;3; 1 3 .
ЗАДАЦИ
48. Решиједначину: а) √6 2x = x +1;в) √x +1+ √x +6=5;
50. Решиједначину:
52. Решиједначину: x 2 +5x +4 5√x2 +5x +28=0
53. Решиједначине:
а) 2(x 2 +2)2 +3(x 2 +2)=3;
б) (x √2)4 +3(x √2)2 +1=0; в) (x 3)(x +5)(x 5)(x +7)=0; г) (x 2 16x)2 2(x 2 16x) 63=0.
54. Решиједначине:
а) x 4 +2x 3 6x 2 +2x +1=0;
б) 3x 4 +3x 2 16x 2 +3x +3=0;
в) x 3 +21x 2 +21x +1=0; г) 6x 3 19x 2 +19x 6=0
ТРИГОНОМЕТРИЈА
Математиканашихданапосталаје производнаснагадруштва.
Б.В.Гнеденко, савременисовјетскиматематичар
3.1.УГАО
3.1.1.Мерењеугла,радијан
Досадајекаојединицазамерењеуглакоришћенискључивостепен (10 = 1 360 пунугао).Степеномсемогумеритинесамоугловивећикружнилукови.Уочисецентралниугаокојиодговарадатомкружномлукуињеговамера израженаустепенимапоистовећујесесмеромкружноглука.Акосепокуша обрнуто,дасецентралниугаомеридужиномкружноглука,наилазисенатешкоће.Једномистомцентралномуглуодговаранеограниченомногокружних луковаразличитедужине,којисвиимајуистумеруустепенима(слика1).Тада сејављадилемадужинукојегкружноглукаузетизамерузаједничкогцентралногугла α.Збогтогасеопредељујезалук A0B0 чијијеполупречникједнак1.
Јединицамереуовомслучајујелукчијаједужинаједнака1,тј.једнака полупречнику.Тајкружнилуксезове радијан.
Угаокојиодговаралукуодједноградијанаимаистиназив– радијан.Радијансекористиикаојединицазамерењеуглова.Угаоимаоноликорадијана коликоихимаодговарајућикружнилукполупречника1.
Утврдитисадавезуизмеђујединицазамерењеуглова,степенаирадијана.Лукполупречника1којиодговараравномуглу(углуод
Наслици2јепредстављенугаоод
Уколикојемераугладатаурадијанима,уобичајеноједасепоредмерног
в) 1, 35=1, 35 180◦ π ≈ 77, 35◦ =77◦26′ ; г) 5π 12 = 5π 12 · 180◦ π =75◦ .
ЗАДАЦИ
1. Изразиурадијанимауглове: а) 15◦;б) 45◦;в) 60◦;г) 90◦;д) 120◦ ; ђ) 135◦;е) 150◦;ж) 20◦35′;з) 52◦13′27′′ .
2. Изразиустепенимауглове: а) π 18 ;б) π 12 ;в) π 4 ;г) 7π 12 ;д) 3;ђ) 2, 31.
3. Изразиустепенимаугаокојијенапоредануглу α акоје: а) α = 5π 6 ;б) α = 11π 12 ;в) 5π 18 ;г) 0, 3π.
4. Изразиурадијанима:
a)угловеједнакокрако-правоуглогтроугла; б)угаоправилногпетоугла;
в)угаоправилногдесетоугла.
3.1.2.Уопштењепојмаугла
Стандарднадефиницијапокојојугаочинедвеполуправесазаједничким почеткомнијепогодназаоперацијесабирањаиодузимањауглова.Подоперацијамасабирањаиодузимањаугловаподразумевасесабирањеиодузимање
смеру,оријентисанугаоје
оријентисанихуглова.Свакомреалномбројупридружујесеоријентисанугао чијајерадијанскамераједнакатомброју.
Пример3. Одредитиосновнеугловезаследећеоријентисанеуглове:
Пример4. Датисуоријентисаниуглови
тиосновнеугловеза:
основниугаоје 285
основниугаоје 30
Подугломизмеђудвавектора
мевамоследеће.Аковекториимајузаједничкипочетак,ондајетоугаоизмеђуполуправакојеони одређују.Упротивномтојеугаоизмеђувектора
пример,акоје ABCD квадратчијеседијагоналесекуутачки S (сл.6),тадаје: ( # « AB, # « AC)= # « AB # « AC = π 4 =45◦ ( # « BA, « BD)= # « BA # « BD = π 4 = 45◦ ( # « AB, # « BC)= # « AB # « BC = π 2 =90◦ ( # « AS, « AC)= # « AS # « AC =0=0◦ ( # « SA, # « SC)= # « SA # « SC = π =180◦
ЗАДАЦИ
5. Акоје O центарописанекружницеокоједнакостраничног △ABC (темена A,B и C следеупозитивномсмеру),одредиалгебарскевредностиуглова: а) ABC;б) ACB;в) OAB;г) OCB; д) COB;ђ) AOB;е) COA.
6. Изразиурадијанимаосновниугаозаугао: а)
7. Изразиустепенимаосновниугаозаугао: а) 3π;б) π 10 ;в) 11π 8 ;г) 9π 2 ;д) π 18 .
8. Акоје α = π 6 , β = 225◦ , γ = 3π 2 ,одредиосновниугаоза: а) α + β + γ;б) α β γ;в) α +2β 3γ;г) 2α β γ.
9. Акоје O центаркружницеописанеокоједнакостраничног △ABC (A , B, C следе упозитивномсмеру),одредиуглове:
а) ( # « AB, # « AC);б) ( # « AB, # « CB);в) ( # « OA, # « OB); г) ( # « OA, # « OB);д) ( # « OA, # « OC);ђ) ( # « AO, # « BC); е) ( # « OA, # « BC);ж) ( # « AC, # « BO).
10. Акоје ABCDEF правиланшестоугао(теменаследеупозитивномсмеру),одреди следећеуглове: а) ( # « AB, # « AC);б) ( # « BA, # « AC);в) ( # « AB, # « AD); г) ( # « BA, # « AD);д) ( # « AB, # « AE);ђ) ( # « AB, # « BC); е) ( # « AC, # « BE);ж) ( # « AB, # « CE);з) ( # « CA, # « FE).
11. Одредиалгебарскувредносторијентисаногуглакојиобразујумалаивеликаказаљкачасовникаакојеначасовнику: а)5h;б)11h;в)12h30min;г)3h25min;д)6h35min;ђ)10h35min.
12. Начасовникујетачно12.Којиугаоопишевелика,акојималаказаљкадопрвог тренуткаукојемјеалгебарскавредносторијентисаногуглаизмеђувеликеимале казаљкеједнака: а) 0◦;б) 180◦;в) 90◦;г) 90◦
3.2.ТРИГОНОМЕТРИЈСКЕФУНКЦИЈЕПРОИЗВОЉНОГУГЛА
3.2.1.Тригонометријскикруг
Тригонометријскефункцијеоштрогугладефинишусе,каоштосезна, прекоодносастраницаправоуглогтроугла.Задефиницијутригонометријских функцијапроизвољногугла(несамооштрогвећивећегодоштрог,аистотако инула,односнонегативногугла)користисетзв.тригонометријскикруг.
Тригонометријскикруг јекругполупречника1чијијецентарукоординатномпочетку.
Тачка A сакоординатама (1, 0) којаприпадатригонометријскомкругузовесепочетнатачка(сл.7).Натригонометријскомкругупосматратиразличителуковекојисвипочињуутачки A.Луккојисеобилазиупозитивномсмеру (смерусупротномкретањуказаљкечасовника)почевшиизтачке A зваћемо позитиванлук.
Акојесмеробиласканегативан,лукјенегативан.Мераовакодефинисанихоријентисанихлуковапредстављенајењиховомдужиномсазнаком + за позитивнеизнаком занегативнелукове.Наслици8приказанојенеколико позитивнихинегативнихлукова.Са φ јеозначенањиховамера.
Наовајначинсесвакоморијентисаномлукудодељујеједанреаланброји, обрнуто,свакомреалномбројуможедаседоделиједаноријентисанилук.Ти бројевису,уствари,мереоријентисанихлукова.Собзиромдајеобимтригонометријскогкругаједнак 2π,реалнимбројевимавећимод 2π иреалним бројевимамањимод 2π одговарајулуковивећиодпуногкруга(сл.8).
Сл.7
ралука AM једнакајерадијанскојмериугла ( # « OA, # « OM ).Вектор # « OM зовесе радијусвектор угла.
Сл.9
Пример5. Представитинатригонометријскомкругуоријентисанеуглове: а) α =135◦;б) β =270◦;в) γ = 45◦;г) δ =390◦ .
Решење. Погледајмослике10(а),(б),(в),(г).
Сл.10
3.2.Тригонометријскефункцијепроизвољногугла 109
Заоријентисанугао α = ( # « OA, # « OM ) кажеседајеуIквадрантуакокрак OM лежиупрвомквадранту.СличноседефинишеугаоизII,IIIиIVквадранта.Ако 0 α< 2π,биће:
изIквадрантаза 0 <α< π 2 ;
изIIквадрантаза π 2 <α<π;
изIIIквадрантаза π<α< 3π 2 ;
изIVквадрантаза 3π 2 <α< 2π
Углови 0, π 2 ,π и 3π 2 суграничнииузимаседанисуниуједномквадранту.
Услучајудајеугаовећиод 2π илидајенегативан,његовположајуодносуна квадрантеодређенјеположајемњеговогосновногугла.
Пример6. Укојемквадрантујеугао: а) α =750◦;б) β =1240◦;в) γ =
Решење. а) 750◦ =30
; в) 130◦ =230◦ +( 1) 360◦ ; γ јеуIIIквадранту; г) 450◦ =270◦ +( 2) 360◦ ; δ јеграничниугао.
ЗАДАЦИ
13. Представинатригонометријскомкругуоријентисанугао: а) α =60◦;б) β =150◦;в) γ =300◦;г) δ = 225◦ .
14. Представинатригонометријскомкругуоријентисаниугао: а) α = π 4 ;б) β = 2π 3 ;в) γ = 5π 6 ;д) δ = π
15. Укојемквадрантујеоријентисанугао: а) α =800◦;б) β = 25π 3 ;в) γ = 800◦;г) δ = 17π 2 ?
16. Телосеналазиутачки A (почетнојтачки)тригонометријскогкругаипочињедасе крећетригонометријскимкругомупозитивномсмерубрзином2m/s.Акојеполупречниктригонометријскогкруга1m,укојемћесеквадрантунаћителонакон: а)2s; б)4s; в)100s; г)3min; д)2h?
17. Изистекружнебициклистичкестазестартујубициклиста A којисекрећебрзином10km/hибициклиста B којисекрећебрзином8km/h.Акојеполупречник стазе1km,послеколиковременаћесебициклистисрестиакосекрећу: a)уразличитимсмеровима;б)уистомсмеру? (Уовомслучајусемисликадаћебициклиста A првипутстићибициклисту B).
18. Изистетачкебициклистичкестазечијијеполупречник1kmкрећууразличитим смеровимабициклисти A и B.Брзинабициклисте A је15km/h,абициклисте B 10km/h.Коликопутаћесесрестиакосенепрекиднокрећу2часа?
3.2.2.Косинусисинуспроизвољногугла Дефиниција
Задефиницијукосинусаисинусапроизвољногуглабићекоришћенуправоописанитригонометријскикруг.
Некаје α = ( « OA, # « OM ) произвољан оријентисанугаокојемодговараоријентисанлук AM .Акосу (x0,y0) координате тачке M ,косинусисинусугла α дефинишусекао: cos α = x0, sin α = y0 (слика11).Изоведефиницијеследидакосинусисинусугламогудабудуипозитивниинегативниинула.
Пример7. Наћиcos α иsin α акоје:
а) α =0; α = π 2 ;в) α = π;г) α = 3π 2 ;
д) α = 3π 4 ;ђ)
Решење. a)Тачка M сепоклапасатачком A(1, 0) –слика12,пајеcos 0=1 и sin 0=0.
б) M сепоклапаса B(0, 1) –слика12,пајеcos π 2 =0,sin π 2 =1.
в) M сепоклапаса A′( 1, 0) –слика12,пајеcos π = 1,sin π =0
г) M сепоклапаса B′(0, 1) –слика12,пајеcos 3π 2 =0,sin 3π 2 = 1.
д)Троугао OMM1 јеједнакокрако-правоугли–слика13,ииз OM =1 следи:
Сл.11
Издефиницијеследидајеcos α позитиванакоје α уIиIVквадранту,анегативанакоје α уIIиIIIквадранту.Сличнојеsin α
уIиIIквадрантуи негативанза α уIIIиIVквадранту.Тојешематскипредстављенонаслици16.
Напомена. Акоје
Конструкцијауглачијијекосинус(синус)дат
Упретходномпоглављупоказанојекакосепомоћутригонометријског круганалазикосинус(синус)датогугла α.Садаћебитиразматранобрнут проблем.Наиме,задатиреаланброј m
α,такавдаје cos α = m (sin α = m).Овдећебитипоказанокакосепосредствомтригонометријскогкругатражениугао α конструише.
Најпретребауочитидаиздефиницијекосинусаисинусаследи 1 cos α 1 и 1 sin α 1 засвакиугао α.Стогаза m> 1 и m< 1
непостојиугаочијијекосинус,односносинус,једнак m.Затоостајеслучај 1 m 1.
Садаћебитипоказанокакосеконструишеугао α,комејеcos = m.У тусврхутребауочититачку M1(m, 0) иконструисатиправу x = m.(Права x = m јепаралелнаса y-осомисадржитачку M1.)Пресечнетачкетригонометријскогкругаиправе x = m обележитиса M и M ′ (слика18).Некаје α = ( # « OA, # « OM ) и α ′ = ( # « OA, # « OM ′).Какосукоординатетачака M и M ′ редом (m,y0) и (m, y0),тоје: cos α = cos α ′ = m. Изконструкцијеследидаза |m| < 1 наинтервалу (0, 2π) увекпостоједва угла α и α ′,таквадајеcos α = cos α ′ = m.(Отворенинтервал (a,b) чинесви реалнибројеви x,таквидаје a<x<b.Сличноседефинишуполуотворени
Сл.18
За m =1 тачке M1, M и M ′ сепоклапајусапочетномтачком A(1, 0) тако даскупрешењаједначинеcos α =1 чинеуглови 2kπ (k =0, ±1, ±2,...). Основниугаоје0.
За m = 1 тачке M1, M и M ′ сепоклапајусатачком A′( 1, 0) иуглови типа (2k +1)π чинескупрешењаједначинеcos α = 1.
Конструкцијаугла α,таквогдајеsin α = m, 1 m 1,изводисена сличанначин(слика19).
Сл.19
Крозтачку M2(0
Пример8.
Решење.
3.2.Тригонометријскефункцијепроизвољногугла 115
1)IIквадрант.Некаје β = ( # « OA, # « OM ) угаоIIквадрантаинекасу (x0,y0) координатетачке M (x0 < 0, y0 > 0).Обележити са M ′ тачкусиметричнутачки M уодносу на y-осу(слика21).Тачка M ′ припадаIквадрантуињенекоординатесу ( x0,y0).Ако сеса α обележиугао ( # « OM, # « OA′),збогсиметријеје ( # « OA, # « OM )= α.Отудаје:
cos β = x0 = ( x0)= cos α; sin β = y0 = sin α.
Собзиромнатодаје β = π α,добијајусе формуле
(π α)=
)= sin α
засвакиугао α, 0 α π 2 .
Например:
2) III квадрант.Некасу (x0,y0), x0 < 0, y0 < 0,координатетачке M ,гдеје # « OM радијусвекторугла β = ( # « OA, # « OM ) изIIIквадранта.Обележимо са M ′ тачкусиметричнусатачком M у односунакоординатнипочетак O (слика22).Тачка M ′ лежиу I квадрантуи имакоординате ( x0, y0).Акосеса α означиугао ( # « OA′ , # « OM ),збогсиметрије је ( # « OA, # « OM ′)= α.Стогаје:
cos β = x0 = ( x0)= cos α, sin β = y0 = ( y0)= sin α.
Сл.21
Какоје β = π + α,следеформуле:
засвакиугао α, 0 α π 2 .
Например:
3)IVквадрант.Некаје β = ( # « OA, # « OM )
угаоIVквадрантаинекасу (x0,y0), x0 > 0, y0 < 0,координатетачке M .Обележитиса M ′ тачкусиметричнутачки M уодносуна x-осу(слика23).Тачка M ′ припада I квадрантуиимакоординате (x0, y0).Акосе са α обележиугао ( # « OM, # « OA),збогсиметријеје ( # « OA, # « OM ′)= α.Изтогаследи: cos β = x0 = cos α, sin β = y0 = ( y0)= sin α.
Какоје β =2π α,следеформуле: cos(2π α)= cos α sin(2π α)= sin α (3)
засвакиугао α, 0 α π 2 . Например:
3.2.Тригонометријскефункцијепроизвољногугла 117
4)Негативниугао.Некаје # « OM радијусвекторнегативногугла α.Означитиса M ′ тачкусиметричнутачки M уодносуна x-осу.Наслици24приказанојенеколикоразличитихслучајева.
Сл.24
Акосу (x0, y0) координатетачке M ,тадасу (x0, y0) координатетачке M ′.Збогсиметријеје ( # « OA, # « OM ′)= α,одаклеследиформула:
засвакиугао α. Например: cos ( π 6 ) = cos π 6 = √3 2 , cos( 74◦)= cos 74◦ ≈ 0, 27564, cos ( 2π 3 ) =
Решење.
г)Према(4)биће:
Периодичносткосинусаисинуса
Ранијејевећустановљенодајеcos(α+2kπ)= cos α иsin(α+2kπ)= sin α засвакиугао α исвакицеоброј k.Уопште,акозанекуфункцију f постоји реаланброј T различитод0,такодазасвако x издоменафункције f, x + T такођеприпададомену f иважи f (x + T )= f (x),
кажеседајефункција f периодична. T јепериодод f.Најмањипозитивни период,уколикопостоји,називасе основнипериод. Теорема1. Основнипериодфункцијаcos x иsin x је T =2π.
Доказ. Какоугловима x и x +2π одговараистиположајрадијус-вектора # « OM ,тојеочигледноcos(x +2π)= cos x засвакиугао x. Тозначидаје 2π периододcos x.Дабисепоказалодајетоосновнипериод, довољноједасепокажедазасвако T , 0 <T< 2π постојибарједанугао x0, такавдајеcos(x0 + T ) = cos x0.Конкретносеможеузетидаје x0 =0.Тадаје cos 0=1 иcos(0+ T )= cos T< 1 за 0 <T< 2π.Прематоме, T
одcos x.Заsin x доказјесличан.За x0 семожеузети π 2 . ✷
3.2.Тригонометријскефункцијепроизвољногугла 119
Теорема1омогућавадасекосинусисинусуглачијајеапсолутнавредност већаод 2π сведунакосинусисинусодговарајућегуглаизинтервала [0, 2π), односноинтервала ( 2π, 0]
Пример10. Израчунати:
а)cos 780◦;б)sin 1170◦;в)cos( 405◦);
г)sin 25π;д)cos 31π 2 ;ђ)sin ( 13π 6 ).
Решење. КористећипериодичностисвођењенаIквадрантдобијасе:
1170◦ = sin(90◦ +3
25π = sin(π +12 · 2π)=
( 13π 6 ) = sin ( π 6 2π) =
ЗАДАЦИ
19. Натригонометријскомкругупредставиугао α инађиcos α иsin α акоје: а) α =120◦;б) α =225◦;в) α = 30◦
20. Натригонометријскомкругупредставиугао β инађиcos β иsin β акоје: а) β = 3π 4 ;б) β = 5π 6 ;в) β = π 3 .
21. Одредизнак: а)sin 5π 6 ;б)sin 1;в)cos 3π 4 ;г)cos 0, 2;д)sin( 2);ђ)cos( 3).
22. Одредизнак: а)sin 178◦;б)cos 359◦;в)sin 210◦ ; г)cos 300◦;д)sin 288◦;ђ)cos( 91◦).
23. Одредизнакизраза: а)sin 100◦ · cos 300◦ ; б)sin 190◦ · sin 200◦ ; в)cos 170◦ cos( 20◦);г)sin 320◦ cos 320◦
24. Укојемквадрантусеналазиугао α акоје: а)sin α> 0 и cos α> 0;б)sin α< 0 и cos α< 0; в)sin α> 0 и cos α< 0;г)sin α< 0 и cos α> 0?
25. Израчунај:
а)sin 390◦;б)cos 420; в)sin 540◦ ; г)cos 7π 3 ;д)sin 15π 4 ;ђ)cos 19π 4 .
26. Израчунај:
а)cos( 720◦);б)cos( 780◦);в)sin( 405◦);
г)sin ( 9π 4 );д)cos ( 13π 3 );ђ)sin ( 17π 6 )
27. Конструишиугао α такавдаје:
а)cos α = √2 2 ; б)sin α = 1 2 , 0 <α< π 2 ; в)cos α = 1 3 ,
28. Изразиустепенимасвеуглове α такведаје: а)sin α = 1;б)cos
29. Нађивредностизраза:
30. Одредисвеуглове α, 0 <α< 2π такведаје: а)sin α = cos α;б)sin α = cos α.
3.2.3.Тангенсикотангенспроизвољногугла Тангенсикотангенспроизвољногугла α дефинишусепрекоформула: tg α = sin α cos α (cos α =0); (5) ctg α = cos α sin α (sin α =0) (6) Изоведефиницијеследидајеtg α дефинисанза α = π 2 + kπ (k ∈ Z),а ctg α за α = kπ (k ∈ Z).Такођеиздефиницијеследи: tg α = 1 ctg α (ctg α =0) ctg α = 1 tg α (tg α =0). (6′)
Наосновузнакаcos α иsin α (сл.16)идефиницијетангенсаикотангенса добијасешемазазнакtg α иctg α (сл.25).
Пример11. Наћиtg α акоје: а) α
Решење. Премаформули(5)биће:
Сл.25
Пример12. Наћиctg α акоје:
Решење. Наосновуформуле(6)следи:
Заб)иг)сукоришћенеформуле(1)и(2).
Сл.26
Вредностtg α запроизвољанугао α издоменатангенсаможесегеометријскиинтерпретиратинаследећиначин. Уочимоправу x =1 (слика26).Таправа,којаочигледнопролазикрозтачку A ипаралелнајеса y-осом,зовесетангенснаоса.Акоје # « OM радијусвекторугла α, α = π 2 + kπ (k =0, ±1, ±2,...) обележитиса N тачкупресекаправе OM и тангенснеосе.Некасу (1,y0) координатетачке N .Тадаје: tg α = y0. (*)
Показаћемодајетотачно.Узетипрводаје 0 <α< π 2 .Обележитиса M1 нормалнупројекцијутачке M на x-осу.Тадаје |OM1| = cos α и |MM1| = sin α.Зашто?Сдругестране,изсличноститроуглова OAN и OM1M је: |AN | |OA| = |MM1| |OM1| ,
одакле,собзиромдаје |AN | = y0 и |OA| =1,следи: y0 = sin α cos α = tg α.
Насличанначинсепоказуједа(*)важиикадајеугао α изнекогдругогквадранта.Наслици27приказанисутангенсиугловаII,IIIиIVквадранта. Сл.27
Геометријскаинтерпретацијакотангенсајеследећа.Права y =1 којапролазикрозтачку B(0, 1) ипаралелнајеса x-осомзовесекотангенснаоса(слика29).Обележитиса L пресечнутачкуправе OM ( # « OM –радијусвекторугла α)икотангенснеосе.Акосу (x0, 1) координатетачке L,биће:
ctg α = x0.
Доказјесличанкаоза(*).
Наслици30представљенисукотангенсиуглова II,III и IV квадранта.
Сл.30
Ниједефинисан ctg α за α = kπ (k =0, ±1, ±2,...).Тачније,за α → kπ +0, ctg α → +∞,аза α → kπ 0, ctg α →−∞ (слика31).
Сл.31
3.2.Тригонометријскефункцијепроизвољногугла 125
Конструкцијауглачијијетангенс(котангенс)дат
Конструкцијаугла α којизадовољаваусловtg α = m,гдеје m датиреалан број,изводисенаследећиначин.Натангенснојосиуочисетачка N (1,m) иса M сеозначитачкапресекаправе ON итригонометријскогкруга(слика32).
Сл.32
Тражениугао α је ( # « OA, # « OM ).Заиста,наоснову(*)јеtg α = m.Осим угла α,иугао α ′ = ( # « OA, # « OM ′),гдеје M ′ другатачкапресекаправе ON са тригонометријскимкругом,задовољавапостављениуслов.Такозасвакиреаланброј m увекпостоједваугла α и α ′ изинтервала [0, 2π) којизадовољавају условtg α = tg α ′ = m.Онисемеђусобноразликујуза π, α ′ = α + π.Акопосматрамоускупусвеоријентисанеуглове,ондапостављениусловзадовољава бесконачномногоугловачијајеопштаформула α + kπ (k =0, ±1, ±2,...).
Сл.33
Угао α,такавдајеctg α = n,гдеје n
сличанначинузпомоћкотангенснеосе(слика33).Притомезасвеугловетипа α + kπ (k =0, ±1, ±2,...) важиctg(α + kπ)= n.
Пример13. Конструисатиугао
Решење. Насликама34(а),(б),(в),(г)приказанисутражениуглови
припадајуинтервалу (0, 2π).
3.2.Тригонометријскефункцијепроизвољногугла 127
Израчунавањетангенсаикотангенсапроизвољногугла,свођењена I квадрант,периодичност
ФормулекојимасетангенсикотангенспроизвољногуглаизражавајупрекоугловаIквадрантаизводесеизформула(1),(2),(3),(4),(5),(6).
1) II квадрант
Отудаважеформуле:
2) III квадрант.Некаје β = π + α,
3.2.Тригонометријскефункцијепроизвољногугла 129 ctg( α)= ctg α (14)
засвакиугао α издоменафункција.
Такоје:
tg ( π 4 ) = tg π 4 = 1, tg( 120◦)= tg(120◦)= tg(180◦ 60◦)= tg 60◦ = √3, tg( 72◦)= tg(72◦) ≈−3, 0777, ctg ( π 3 ) = ctg π 3 = √3 3 ,
ctg( 150◦)= ctg 150◦ = ctg(180◦ 30◦)= ctg 30◦ = √3, ctg( 89◦)= ctg 89◦ ≈−0, 017455.
Кодконструкцијеугла α којизадовољаварелацију tg α = m,односно ctg α = n (n –датиреаланброј),виделисмодајеtg(α + kπ)= tg α иctg(α + kπ)= ctg α засвако k =0, ±1, ±2,...
Изтогаследидасуитангенсикотангенспериодичнефункције.Штосетичеосновногпериода,вредиследеће тврђење.
Теорема2. Основнипериодфункцијаtg x иctg x је T = π.
Доказ. Издефиницијетангенсалакосевидидајеtg(x+π)= tg x засваки угао x издоменафункције.Показатидазасвако T , 0 <T<π,постојиугао x0,такавдајеtg(x0 + T ) = tg x0.Утусврхуузимасе x0 =0.Тадајеtg 0=0,а tg T =0 за 0 <T<π.Прематомеtg 0 = tg(0+ T ),штозначидаје π најмањи позитиванпериод,тј.основнипериодфункцијеtg x. Заctg x доказјесличан. ✷
Применомтеореме2иформулаиз1),2),3)4)могусеједноставноодредититангенсикотангенссвакогуглакојиприпададоменутихфункција.
Пример14. Израчунати:
а)tg 150◦;б)ctg 225◦;в)tg 300◦;г)ctg( 60◦); д)tg 750◦;е)ctg 930◦;е)tg( 1110◦);ж)ctg( 780◦).
Решење.
( 60◦)= ctg 60◦ = √3 3 ,
31. Натригонометријскомкругупредставиугао α инађиtg α иctg α акоје: а) α =135◦;б) α =240◦;в) α = 30◦
32. Натригонометријскомкругупредставиугао β инађиtg β иctg β акоје: а) β = 2π 3 ;б) β = 5π 4 ;в) β = π 3 .
33. Одредизнак: а)tg 175◦;б)tg 269◦;в)tg( 95◦); г)tg 1;д)tg 0, 2;ђ)tg( 2).
34. Одредизнак: а)ctg 359◦;б)ctg 200◦;в)ctg( 182◦); г)ctg 1;д)ctg 1, 5;ђ)ctg( 2).
35. Одредизнакизраза: а)tg 190◦ tg 200◦ ; б)tg 172◦ ctg 181◦ ;
в)sin 100◦ tg 190◦ ; г)cos 320◦ ctg 17◦ ; д)sin( 100◦) · ctg( 30◦);ђ)cos( 40◦) · ctg( 50◦).
36. Комквадрантуприпадаугао α акоје:
а)sin α> 0 и tg α> 0;
б)sin α> 0 и tg α< 0;
в)cos α> 0 и tg α< 0;
г)cos α< 0 и ctg α> 0;
д)sin α< 0 и ctg α< 0?
37. Израчунај: а)tg 390◦;б)tg 540◦;в)tg( 810◦); г)tg 7π 3 ; д)tg 17π 4 ;ђ)tg ( 35π 6 ).
38. Израчунај: а)ctg 450◦ ; б)ctg 750◦;в)ctg( 1110◦); г)ctg 11π 3 ;д)ctg 23π 4 ;ђ)ctg ( 33π 6 ).
39. Конструишиугао α такавдаје: а)tg α =3;б)tg α = 2 3 ;в)ctg α = 5 2 ;
3.2.Тригонометријскефункцијепроизвољногугла 131
40. Изразиустепенимасвеуглове α такведаје: a)tg α =1;б)tg α = √3;в)tg α = √3 3 ; г)ctg α = 1;д)ctg α =0;ђ)ctg α = √3.
41. Нађивредностизраза: а)
42. Одредисвеуглове
3.2.4.Графициосновнихтригонометријскихфункција Графикјевеомапогодносредствозапредстављањетокафункције,тј.променевредностифункцијеузависностиодпроменеаргумента.
Овдећебитиизложенокакосенаосновупојединихособинаприближно цртајуграфицифункција y = cos x, y = sin x, y = tg x и y = ctg x.
Графикфункције y = cos x
Зацртањеграфикафункције y = cos x користићесеследећеособинекосинуса(видипоглавље2.2.2):
a)функцијаједефинисаназасвако x;
б)скупвредностифункцијејезатворенинтервал [ 1, 1],тј. 1 cos x 1 засвако x,изчегаследидајефункцијаcos x ограничена; в)нулефункцијесу x = π 2 и x =
обаслучаја x ∈ [0, 2π]; д)за x ∈ [0,π] cos x опада,аза x ∈
добијапомерањемдобијеногделауправцу x-осезасвемогућевектореинтензитета 2kπ (k =0, 1, 2,...).Нацртасеприближнографикфункције y = cos x надинтервалом [0, 2π].Радивећепрецизностиодредићесеконструктивнокосинусивишеугловаизтогаинтервала.
Утусврхуизделисетригонометријскикругна12једнакихлукова(свакипо π 6 )тачкама M0, M1, M2,. ..,M11 (слика35).
Садасеукоординатнисистем унесутачке C0,C1,C2,...,C11 чијесуапсцисередомједнакемерамаоријентисанихлукова AM 0, AM 1, AM 2,..., AM 11,тј. 0, π 6 , 2π 6 ,..., 11π 6 , ачијесуординатеједнакеапсцисама тачака M0,M1,M2,...,M11.Такосу
координатетачака C0,C1,C2,...,C11 редом (0, cos 0), ( π 6 , cos π 6 ) , ( 2π 6 , cos 2π 6 ) ,...,
Сл.35
Спајањемтачака C1,C1,...,C11 иимајућиувидув),г),д)добијасекрива којапредстављаграфикфункције y = cos x надинтервалом [0, 2π] –слика36. Комплетанграфикседобијапомерањемовекриведуж x-осезасвевекторе
интензитета 2kπ (k =0, 1, 2,...).Тојеједнабесконачнакривачијијеједан
3.2.Тригонометријскефункцијепроизвољногугла
Саграфика семогуочитатисвиважнијиелементитокафункције y = cos x:
1–доменфункције (−∞, +∞);
2–функцијајепериодичнасаосновнимпериодом 2π;
3–графикјесиметричануодносуна y-осу,cos( x)= cos x засвако x, тј.cos x је парна функција;
4–графиксеналазиизмеђупаралелнихправа y = 1 и y =1.Тозначи дајефункција y = cos x ограничена, 1 cos x 1.Њенкодоменје [ 1, 1];
5–графиксече x-осуутачкама x = π 2 + kπ (k =0, ±1, ±2,...) итосу нулефункције y = cos x;
6–за x =2kπ (k =0, ±1, ±2,...) функцијаимамаксималневредности ионеизносеcos 2kπ =1.За x =(2k +1)π; (k =0, ±1, ±2,...) функцијаимаминималневредности,cos(2k +1)π = 1.
7– cos x опадауинтервалимаоблика [2kπ, (2k+1)π](k =0, ±1, ±2,...), арастеуинтервалимаоблика [(2k+1)π, (2k+2)π](k =0, ±1, ±2,...);
8–за x ∈( π 2 +2kπ, π 2 +2kπ) јеcos x> 0,аза x ∈( π 2 +2kπ, 3
2 +2kπ) јеcos x< 0(k = 0, ±1, ±2,...).
1 sin x 1;
в)нулефункције y = sin x за x ∈ [0, 2π) су x =0 и x = π; г) sin x јепозитиванза 0 <x<π,анегативанза π<x< 2π;
д)када x растеод0до π 2 ,sin x расте;када x растеод π 2 до 3π 2 ,sin x опада; када x растеод 3π 2 до 2π,sin x поноворасте;
ђ) sin x јепериодичнафункцијасаосновнимпериодом 2π. Опетјезбогпериодичностидовољнодасенацртадеографиканадинтервалом [0, 2π].Радипрецизностиодредићесесинусивишеугловаизтогинтервала.
Каоикодцртањаграфика y = cos x,тачке M0,M1,...,M11 делетригонометријскикругна12једнакихделова(свакипо π 6 ).Укоординатнисистемунетитачке S0,S1,...,S11 чијесуапсцисеједнакемерамаоријентисаних лукова AM0,AM1,...,AM11,ачијесуординатеједнакеординатаматачака M0,M1,...,M11 редом.Тозначидасукоординатетачака S0,S1,...,S11 ре-
дом (0, sin 0), (π 6 , sin π 6) ,..., (11π 6 , sin 11π 6 ),Спајањемтачака S0,S1,...,S11
добијаседеографикафункције y = sin x надинтервалом [0, 2π] –слика38. Сл.38
Остатакграфикадобијасетранслацијамаовогделадуж x-осезасвевектореинтензитета 2kπ (k =0, 1, 2,...).Такоседобијаједнабесконачнакрива, графикфункције y = sin x,којасезове синусоида (сл.39).
Саграфикасезапажајуособинефункције y = sin x. 1–доменфункције (−∞, +∞);
2–функцијајепериодичнасаосновнимпериодом 2π; 3–графикјецентралносиметричануодносунакоординатнипочетак 0, sin( x)= sin x,тјsin x је непарна функција;
4–графиксеналазиизмеђупаралелнихправа y = 1 и y =1,изчега следиограниченост 1 sin x 1;
5–графиксече x-осуутачкама: x = kπ (k =0, ±1, ±2,...),којепредстављајунулефункције;
6–за x = π 2 +2kπ (k =0, ±1, ±2,...) sin x имамаксималневредности,sin ( π 2 +2kπ) =1,аза
,sin
имаминималне вредности,sin ( π 2 +2kπ) = 1(k =0, ±1, ±2,...);
7– sin x растеуинтервалима [ π 2 +2kπ, π 2 +2kπ],аопадауинтервалима [ π 2 +2kπ, 3π 2 +2kπ] (k =0, ±1, ±2,...);
8– sin x> 0 за x ∈ (2kπ, (2kπ +1)π) иsin x<
x
((2
1)π, 2kπ) (k =0, ±1, ±2,...).
Помоћуграфикаможеседоћидоједневажневезеизмеђуcos x иsin x Наиме,акосенацртајуграфициобефункције(слика40),видиседасегра-
гуменатаза π 2 ,пауместоcos x бићеcos (x π 2 ).Такоседобијаформула: cos (x π 2 ) = sin x.
Обрнуто,померањемграфикаsin x улевоза π 2 ,онпрелазиуграфикcos x,тј. важиједнакост: sin (x + π 2 ) = cos x.
Пример15. Коришћењемграфикафункција y = cos x и y = sin x нацртати графикефункција: а) y = cos x +1;б) y = sin x 1;в) y = cos x;г) y = sin x +2;
д) y = | cos x|;ђ) y = | sin x|− 1;е) y = | sin x 1|
Решење. а)Какојезасвакувредностаргументавредностфункцијеcos x +1 за 1већаодвредностифункцијеcos x,графикcos x +1 добијасепомерањемграфика cos x упозитивномсмеру y-осеза1.
Сл.41
б)Сличнокаоа),слика42.
Сл.42
3.2.Тригонометријскефункцијепроизвољногугла 137
в)Вредностифункција y = cos x и y = cos x разликујусесамоузнаку.То значидасуимграфицисиметричниуодносуна x-осу(сл.43).
Сл.43
г)Комбинацијаа)ив),слика44.
Сл.44
д)Какоје | cos x| = { cos x zacos x 0 cos x zacos x 0 ,тосенаоснову8)параграф2.2.4 графици | cos x| иcos x поклапајунаинтервалима [ π 2 +2kπ, π 2 +2kπ],гдејеcos x 0,асиметричниуодносуна x-осунаосталиминтервалима, [ π 2 +2kπ, 3π 2 +2kπ], (k =0, ±1, ±2,...),гдејеcos x 0.Такоседобијаграфик | cos x|,слика45.
Сл.45
Сл.46
Решење. ђ)Комбинацијад)иб),слика46.
е)Слика47.
д)сталнорасте.
Сл.47
3.2.Тригонометријскефункцијепроизвољногугла 139
Какојеtg x периодичнафункцијасаосновнимпериодом π,довољноје нацртатиграфикнаинтервалу [ π 2 , π 2 ].Остатакседобијатранслацијама дуж x-осеза kπ (k =0, ±1, ±2,...).
Опеттреба,радивећепрецизности,користититригонометријскикруг. Тачке M0,M1,M2,...,M6 делеполукругнашестједнакихделова(слика48).
Апсцисетачака T0, T1, T2, T4, T5 једнакесумерамаоријентисанихлукова AM 0, AM 1, AM 2, AM 4, AM 5,аординатеординатаматачака N0, N1, N2, N4, N5
Прематоме,координатетачака T0, T1, T2, T4, T5 су
(0, tg 0), ( π
Спајањемтачака T0,T1,T2,T4,T5 добијаседеографикафункције y = tg x над
јеситуацијакада x → π 2 0.Тадајеtg x → +∞ иправа x = π 2 јетакође асимptота.
Комплетанграфикдобијасетранслацијамаграфикасаслике48управцу x-осеза kπ (k =0, ±1, ±2,...) исастојисеизбесконачномногоподударних кривих.Једандеотогаграфикаприказанјенаслици49.Графикфункцијеtg x називасе тангенсоида.
Следећеособинефункције y = tg x очитавајусесаграфика.
1)Функцијаједефинисаназасвако
R\{ π 2 + kπ| k =0, ±1, ±2,... }.
2) Праве x = π 2 + kπ (k =0, ±1, ±2,...) сувертикалнеасимptоте.
3) tg x јепериодичнафункцијасаосновнимпериодом π.
4)Графикјецентралносиметричануодносунакоординатнипочетак 0, tg( x)= tg x,тј.tg x је непарна функција.
5) tg x јенеограниченафункцијаињенкодоменје (−∞, +∞).
6)Нулефункцијесу x = kπ (k =0, ±1, ±2,...).
3.2.Тригонометријскефункцијепроизвољногугла 141
7)Неманимаксималнихниминималнихвредности.
8) tg x сталнорасте.
9) tg x> 0 за x ∈ (kπ, π 2 + kπ),аtg x< 0 за x ∈ ( π 2 + kπ,kπ) (k = 0, ±1, ±2,...).
Графикфункције y = ctg x наинтервалу (0,π) добијасенасличанначин коришћењемтригонометријскогкругаикотангенснеосе(сл.50).
Сл.50
Координатетачака C0,C1,C2,C4,C5 суредом
Собзиромдајеиctg x периодичнафункцијасаосновнимпериодом
Следећеособинефункције y = ctg x следесаграфика.
1)Функцијаједефинисаназасвако x = kπ (k =0, ±1, ±2,...),тј.њен доменје R\{kπ| k =0, ±1, ±2,...}.
2)Праве x = kπ (k =0, ±1, ±2,...) сувертикалнеасимптоте.
Сл.51
3) ctg x јепериодичнафункцијасаосновнимпериодом π
4)Графикјецентралносиметричануодносунакоординатнипочетак O, ctg( x)= ctg x,тј.ctg x је непарна функција.
5) ctg x јенеограниченафункцијаињенкодоменје (−∞, +∞)
6)Нулефункцијесу x = π 2 + kπ (k =0, ±1, ±2, ...).
7)Неманимаксималнихниминималнихвредности.
8) ctg x сталноопада.
Пример16.
функција: а) y = tg x +1;б) y = ctg x 1;в) y = tg x; г) y = ctg x +1;д) y = | tg x|.
а)Наслици52.
Сл.52
б)Наслици53. Сл.53
в)Наслици54.
Сл.54
г)Наслици55.
Сл.55
3.2.Тригонометријскефункцијепроизвољногугла 145
д)Наслици56.
Сл.56
ЗАДАЦИ
43. Користећиграфикфункције y = cos x нацртајграфикфункција: а) y = cos x 1;б) y = cos x +1;в) y = | cos x|− 1; г) y = cos( x);д) y = cos (x π 4 );ђ) y = cos (x + π 4 ).
44. Користећиграфикфункције y = sin x нацртајграфикфункција: а) y = sin x +2;б) y = sin x 1;в) y = | sin x|; г) y = sin( x);д) y = sin (x π 3 );ђ) y = sin (x + π 3 )
45. Помоћуграфикафункције y = tg x нацртајграфикфункција: а) y = tg x 2;б) y = tg x +1;в) y = | tg x|− 1; г) y = tg x;д) y = tg (x π 2 );ђ) y = tg (x + π 2 )
46. Помоћуграфикафункције y = ctg x нацртајграфикфункција: а) y = ctg x +2;б) y = ctg x +1;в) y = | ctg x|.
47. Помоћуграфикафункција y = tg x и y = ctg x покажидаважеследећерелације: ctg x = tg (x + π 2 ) tg x = ctg (x π 2 )
48. Нацртајграфикеследећихфункција:
а) y = cos ( π 4 x);б) y = 1 2 | cos x|;
в) y = sin ( π 3 x);г) y =2(sin x 1);
д) y = tg ( π 2 x);ђ) y = 1 2 tg x; е) y = ctg ( π 2 x);ж) y = 2 3 | ctg x|.
49. Испитајобластдефинисаностифункције:
а) y = √sin x;б) y = √ cos x;в) y = √sin x + √cos x;
г) y = √tg x;д) y = √ ctg x
3.2.5.Некиосновни тригонометријскиидентитети Основнетригонометријскефункцијеcos x,sin x,tg x иctg x имајуједну значајнуособину,атоједасепомоћусвакеодњихмогупредставитиостале трифункције.Тоомогућавадасеразличитиизразиукојимаучествујутригонометријскефункцијеупрошћавајуилитрансформишууобликкојијепогоданзаодређенеоперације(логаритмовање,интеграљењеисл.).
Релацијекојеследеиспуњенесузасвакиугао α издоменафункцијакоје уњимаучествујуи,прематоме,представљајуидентитете.Собзиромнатода уњимаучествујуискључивотригонометријскефункцијеиконстанте,тосу тригонометријскиидентитети.
Акоје
следи:
3.2.Тригонометријскефункцијепроизвољногугла 147
изнакје Учвршћујућиуформуле(5)и(6)заtg α иctg α добијасе: tg α = ±√1 cos2 α
Пример18. Изразимоsin α,cos α иctg α прекоtg α Решење. Из(6')одмахседобија:
Даље,акоселеваидеснастранаформуле(15)поделисаcos2 α,добијасе:
односно:
Замењујућиовоу(15)добијасе:
Изборзнака + или зависиодугла α,какојетообјашњенопримеру17.
Насличанначинсеможепоказатидасеипрекоsin
могуизразитипреосталетриосновнетригонометријскефункције.Натајначинседобија следећатаблица:
Усвакојодколонасудатепреосталетрифункцијеизраженепреко базичне функцијекојајеузаглављу.
Пример19. Акосезнадаје π 2 <α<π,одреди:
а)sin α акојеcos α = 0, 6;
б)cos α акојеsin α = 1 3 ;
в)tg α акојеcos α = 15 17 ;
г)sin α акојеctg α = 2
Решење. Собзиромнатодаугао α лежиуIIквадранту,тојеsin α> 0,cos α< 0, tg α< 0 иctg α< 0.Користећигорњутабелудобијасе:
Тригонометријскиидентитетисенајвишекористезатрансформисањесложенихтригонометријскихизразарадињиховогупрошћавањаилидовођења напогоданобликуциљурешењаконкретногпроблема.Уследећимпримеримабићеилустрованенекеизмноштватаквихтрансформација.
Пример20. Упроститиизразе:
в)Извршитиназначенеоперацијеузаградама.Притомећесекориститирезултат( )иформула(15):
Пример21. Далипостојиугао α такавдаје: а)sin α =0, 5,acos α =0, 25; ) 2 sin α +5 cos α =8; в) 2 sin α +5 cos α =7?
Решење. a)Непостоји.Наосновуидентитета(15)засвакиугао α јеsin2 α + cos 2 α =1.Међутим,унашемслучајује 0, 52 +0, 252 =0, 25+0, 0625=0, 3125 =1. )Непостоји.Какојеsin α 1 иcos α 1 засвако α,изразналевојстранине може итивећиод7,докдеснастранавреди8.
в)Непостоји.Со зиромнатодајеsin α 1иcos α 1 засвако α,изразналевој странивреди7самозаsin α =1 иcos α =1.Међутим,такавугаонепостоји.Акоје занекиугао Φ,sin Φ=1, ићеcos Φ=0,аакојеcos Φ=1, ићеsin Φ=0.(О јасни).
Пример22. Одредитиsin
иcos
Решење. Издатеформулеследи:
Замењујућиовоу(15)до ијасе:
ЗАДАЦИ
50. Далипостојиугао α такавдаје:
51. Користећитаблицеприроднихвредноститригонометријскихфункцијаученикје нашаодазанекиугао
начиниогрешку.
52. Одредивредностиосталетритригонометријскефункцијеугла α акоје:
53. Нађивредностипреосталихтригонометријскихфункцијаугла β акосезнадаје: а)sin β = 40 41 и π 2 <β<π;б)cos β = 4 5 и 3π 2 <β< 2π; в)tg β =1 и π< β< 3π 2 ;г)ctg β =0 и 0 <β π 2 .
54. Одредиsin α иcos α акоје: а) 3 sin α +4 cos α =5;б)sin α + cos α = √2.
55. Одредиугао α (0 <α< π 2 ) акоје 3 sin α =2 cos 2 α.
56. Далипостојиугао α такавдајеsin α + cos α =1?
57. Упростиизразе: а) 1 cos 2 α;б) 2 sin2 α cos 2 α;в) (1 sin α)(1+ sin α); г) 1 1 cos2 α ;д) (sin α + cos α)2 +(sin α cos α)2 .
58. Докажиидентитете: а) (2+ sin α)(2 sin α)+(2+ cos α)(2 cos α)=7; б)ctg α + sin α 1+ cos α = 1 sin α ; в) 1 2 sin α cos α sin α cos α = sin α cos α; г) 1 sin2 α 1 cos2 α = 1 tg2 α ;
3.2.Тригонометријскефункцијепроизвољногугла 151
д)cos2 α sin2 α ctg2 α tg2 α = sin2 α cos 2 α.
59. Докажидаследећиизразинезависеодпроменљиве x:
а) 1+2 sin x cos x (sin x + cos x)2 ;
б) sin2 x cos2 x +1 sin2 x ;
в) 1+ sin x cos x · 1 sin x cos x ;
г) 1 4 sin2 x cos2 x (sin x + cos x)2 +2 sin x cos x;
д) 3(cos 4 x + sin4 x) 2(cos6 x + sin6 x).
60. Упростиизразе:
а)tg( α) cos α + sin α;б)cos2 α tg2( α)+1; в)ctg( α) sin α cos α ;г) 1 tg( α) sin α + cos( α) .
61. Покажидајеразломак sin x + tg x cos x + ctg x позитиванзасвакидопустивиугао x
62. Акојеsin α + cos α =0, 8,коликојеsin α cos α?
63. Акојеtg α + ctg α =2, 3,нађиtg2 α + ctg2 α.
64. Акоје:
A = a cos α cos β b sin α cos β + c sin β;
B = a cos α sin β b sin α sin β c cos β;
C = a sin α + β cos α,
докажидаје A2 + B2 + C2 = a 2 + b2 + c 2 .
3.2.6.Функција y = a sin(bx + c)
Тригонометријскефункцијетипа y =2 sin x, y =5 sin 2x, y = sin(2x 3) исл.појављујусеуфизицикодтзв.хармонијскихосцилација.Збогвелике важностињимаћебитипосвећеновајодељак.
Свеовефункцијемогусеобухватитиизразом y = a sin(bx + c),гдесу a, b и c реалнибројеви,причемује a =0 и b> 0.Например,зафункцију y = sin(x +2) је a =1, b =1, c =2,докјеза y =2 sin 3x, a =2, b =3, c =0.
y =2 sin(5 2x) јетакођеобухваћенајерје: 2 sin(5 2x)= 2 sin(2x 5).
функцијеsin x једнак 2π,тозначидасевредностизраза a sin(bx + c) понављаприпромениаргумената bx + c за 2π.Дакле,акосеса T означиосновни период,биће: b(x + T )+ c = bx + c +2π.
Одавдеје T = 2π b .
Основнипериодфункције y = a sin(bx + c), a =0, b> 0, je T = 2π b
Запазимодаосновнипериоднезависиод c.Садаћебитиразмотренонеколикоспецијалнихслучајевакојићеомогућитидасе,полазећиодграфика функције y = sin x,дођедографикафункције y = a sin(bx + c) уопштем случају.
1) a =1,b =1,y = sin(x + c)
Уодељку2.2.4виделисмодасеграфикфункције y = sin (x + π 2 ) добијапомерањемграфикафункције y = sin x за π 2 унегативномсмеру x-осе.Међутим,
можесепоказатидаважииопштијетврђење.
Теорема3. Графикфункције y = f (x + c) можеседобитипомерањем графикафункције y = f (x) за c управцу x-осе(сл.57).
Наосновутеореме3можесе,полазећиодграфикафункције y = sin x, конструисатиграфикфункције y = sin(x + c) засвакиреаланброј c.
Сл.57
Пример23. Нацртатиграфикефункција: a) y = sin (x + π 4 );б) y = sin (x π 4 )
Решење. (а) c = π 4 > 0 ипомерањејеулевоза π 4 (сл.58).
Сл.58
Сл.59
2) a =1, c =0, y = sin bx.
Основнипериодфункције y = sin bx је,каоштојенапочеткупоглављаутврђено, 2π b .Затоједовољнонацртатидеографиканадинтервалом [0, 2π b ],азатимга транслиратидуж x-осезасвемогућевекторедужине k · 2π b (k =0, 1, 2,...).Нулефункцијеsin bx надинтервалом
Сл.60
Решење. а) b =2 иосновнипериодје
одsin x радиупоређења.
3.2.Тригонометријскефункцијепроизвољногугла 155
a)упозитивномсмеруза c b ,акоје c< 0,јерјепопретпоставци b> 0;
б)унегативномсмеруза c b ,акоје c> 0.Дакле,конструкцијаграфикафункције y = sin(bx + c), b> 0, c =0 састојисеиздвакорака.Најпресенацртаграфик функције y = sin bx,азатимсепомеридуж x-осеза c b сходноа)иб).
Пример25. Нацртатиграфикфункције: а) y = sin (2x π 2 );б) y = sin ( x 2 +
Решење. а) b =2, c =
4) b =1, c =0; y = a sin x. Вредностфункције y = a sin x,заодређенувредностаргумента
a> 0 и a< 0 приказанисунаслици65.
Сл.65
Пример26. Нацртајмографикефункција:
а) y = 2 sin x;б) y = 1 2 sin x
Решење. а)Наслици66.
Сл.66
б)Наслици67.
Сл.67
Садасеможенацртатиграфикфункције y = a sin(bx + c), a =0, b> 0 уопштем случају.Тосепоступноурадиу4корака.
1.корак. Конструишесеграфикфункције y = sin x.
2.корак. Користећи2)конструишесеграфикфункције y = sin bx
3.корак. Наоснову3)конструишесеграфикфункције y = sin(bx + c). 4.корак. Наоснову4)конструишесеграфикфункције y = a sin(bx + c)
Пример27. Конструисатиграфикефункција: а)
Све4фазеприказанесунаслици68.
Сл.69
Сумирајућисвештојереченоотокуфункције
, можесерећиследеће:
1)дефинисанајезасвако x,тј.доменје (−∞, +∞);
2)периодичнајесаосновнимпериодом 2π b ;
3)уопштемслучаунитијепарнанитијенепарна; 4)ограниченаје, |a sin(bx + c)| < |
| ињенкодоменјезатворенинтервал [ a,a] за a> 0,односно [a, a] за a< 0;
5)нулефункцијесу:
6)за a> 0
достижесвојемаксималневредностикојеизносе
којеизносе a
7)За a> 0 функцијарастенаинтервалима
аопаданаинтервалима
За a< 0 јео рнуто.
8)За a> 0, a
анегативаннаинтервалима
За a< 0 јео рнуто.
Запараметре a, b и c познатисуследећиназивикојипотичуизтеоријепростих хармонијскихосцилација.
Број |a| зовесеамплитудаипредстављамаксималнорастојањетачкеграфикаод x-осе.
Број b зовесе фреквенција или учестаност ипоказујеколикосецелихталаса графиканалазинаинтервалу [0, 2π]
Број c зовесе почетнафаза.
ЗАДАЦИ
65. Одредиосновнипериодфункција: а) y = sin 3x;б) y = sin x 3 ;в) y = sin 2x; г) y = sin 3x 4 ;д) y = sin(2x 5);ђ) y = 2 sin(3x +4).
66. Одрединулефункција: а) y = sin 3x; б) y = sin x 3 ; в) y = sin (2x π 4 );г) y = sin (3x + π 2 ).
67. Нацртајграфикефункција: а) y = sin (x + π 4 );б) y = sin (x π 3 ); в) y = sin (x π 2 ) +1;г) y = sin (x π 6 ) 2; д) y = sin (x + π 4 )
68. Нацртајграфикефункција:
а) y = sin 3x;б) y = sin x 3 ;в) y = sin 3x 1;
г) y = sin 2x 3 +1;д) y = | sin 2x|.
69. Нацртајграфикефункција:
а) y =2 sin ( 4x 3 + π 3 );б) y = 1 3 sin(2x 1);
в) y =2 sin (2x π 4 ) +1;г) y = 2 sin (x π 2 ) .
3.3.АДИЦИОНЕФОРМУЛЕ
Адиционеформулепоказујукакосетригонометријскефункцијезбираи разликеугловаприказујупомоћуосновнихтригонометријскихфункција.
3.3.1.Формулеза sin(α ± β) и cos(α ± β)
Одредићемопрвоформулузаcos(α β).Требаузетидаје α β 0 иобе-
лежитиса M и N тачкетригонометријскогугла,такведаје ( # « OA, # « OM )= α, ( # « OA, # « ON )= β (сл.70).Тадаје ( # « ON, # « OM )= α β.Какосукоордина-
тетачака M и N редом (cos α, sin α) и (cos β, sin β),замернибројдужи MN важи |MN |2 =(cos α cos β)2 +(sin α sin β)2 .
Ротирати садакоординатнисистем xOy окотачке O заугао β.Оса x ће
доћиуновположај x1 којисадржи
праву ON ,докћеоса y доћиуполо-
жај y1,нормаланна x1 (сл.70).Координатетачака M и N уновомкоординатномсистему x1Oy1 су (cos(α β), sin(α β)) и (1, 0),редом.Замерни
бројдужи MN уновимкоординатамабиће: |MN |2 =(1 cos(α β))2+(sin(α β) 0)2 .
Какомернибројдужинезависиод изборакоординатногсистема,следи: (cos α cos β)2 +(sin α sin β)2 =(1 cos(α β))2 +(sin(α β) 0)2 .
3.3.Адиционеформуле 161
Развијајућиизразеналевојидеснојстраниикористећиидентитетcos2 x + sin2 x =1 добијасеформула: cos(α β)= cos α cos β + sin α sin β (1)
Уколикоје α β < 0,тадасепосматраугао β α којијесадапозитиванина сличанначин,коришћењемчињеницедајеcos(β α)= cos(α β),изводи сеформула(1).
Формулазаcos(α + β) сесадаможеизвестииз(1): cos(α + β)= cos(α ( β))= cos α cos( β)+ sin α sin( β)= = cos α cos β sin α sin β.
(Коришћенесуформулеcos( x)= cos x иsin( x)= sin x.)
Такоје: cos(α + β)=
Пример28. Безупотребетаблицаизрачунати: а)cos 105◦;б)cos 15◦ .
Решење. а)Премаформули(2)биће: cos 105◦ = cos(60◦
б)Коришћењемформуле(1)добијасе:
а)Применомформуле(1):
Пример30. Упроститиизразе: a)cos(60◦ α)+ cos(60◦ + α); б)cos(α + β)+ sin α sin β cos(α β) sin α sin β .
Решење. Уобаслучајакористисеиформула(1)иформула(2).
a)cos(60◦ α)+ cos(60◦ + α)= cos 60◦ · cos α + sin 60◦ · sin α + cos 60◦ cos α sin 60◦ sin α =2 cos 60◦ cos α =2 1 2 cos α = cos α;
б) cos(α + β)+ sin α · sin β cos(α β) sin α sin β = cos α · cos β sin α · sin β + sin α · sin β cos α cos β + sin α sin β sin α sin β = cos α cos β cos α · cos β =1.
Пример31. α,β и γ суугловитроугла,причемусу α и β оштрииsin α = 4 5 , sin β = 5 13 .Одредитиcos γ.Штасеможерећиовеличиниугла γ?
Решење. Какоје γ =180◦ (α + β),тојепрема(1):
Наосновуформуле(2)добијасе:
= (
Углови α и β суоштри,одаклеследидајеcos
Заменомовогаугорњемизразудобијасеконачно:
Изформуле(1),собзиромнатодајеcos
Коришћењемоведвеформулеи(1)изводисеадиционаформулазасинусзбираиразликеуглова:
Пример32. Безупотребетаблицаизрачунати: а)sin 75◦;б)sin 15◦
Решење. а)Премаформули(3)биће:
б)Наосновуформуле(4)следи:
Пример34. Упроститиизраз:
а)sin(30◦ + α)+ sin(30◦ α);б) sin(α + β) cos α · sin β sin(α β)+ cos α sin β .
Решење. a)sin(30◦ + α)+ sin(30◦ α) =
б) sin(α + β) cos α · cos β sin(α β)+ cos α sin β =
Пример35. Акосу α,β и γ угловиједногтроугла,иакојеcos
γ.
Решење. Собзиромнатодасу α,β и γ угловитроугла,тоје γ =180◦ (α + β) Отудајеsin γ = sin(180◦ (α + β))= sin(α + β).(Видиформулу(1)).Такоје: sin γ = sin(α + β)= sin α · cos β + cos α · sin β,
паостаједасеизрачунајуsin α иsin β.Какојеcos α = 1 3 > 0 и 0 <α<π, α је
оштаругао (0 <α< π 2 ) (објаснити)ипрематомејеsin α> 0.Изистогразлогајеи sin β> 0.Садасеsin α иsin β израчунавапомоћуформуле(15):
Замењујућиугорњуформулудобијасе:
70. Израчунајбезупотребетаблица:
71. Докажиидентитете:
а)sin(α + β)+ sin(α β)=2 sin α · cos β; б)cos(α β) cos(α + β)=2 sin α sin β;
в)sin(α + β) sin(α β)= sin2 α sin2 β;
г)cos(α + β) cos(α β)= cos 2 α sin2 β
72. Упростиизразе: а)sin
73. Покажидаследећиизразинезависеод
75.
суоштри углови).
76. Израчунајcos(α β + γ) акојеcos α = 1 3 ,cos β = 1 4 ,cos γ =
углови).
3.3.2.Формулеза tg(α ± β) и ctg(α ± β)
Запредстављањефункцијеtg(α + β) прекоtg α иtg β користићесеформуле(5),(2),(3).Отудаје: tg(α + β)= sin(α + β) cos(α + β)
cos β sin α sin β
Деобомимениоцаибројиоцаразломкасаcos α · cos β добијасе: tg(α + β)= sin α cos α + sin β cos β 1 sin α cos α sin β cos β .
Примењујућијошједанпутформулу(5)добијасе: tg(α + β)= tg α + tg β 1 tg α · tg β . (5)
Оваформулаважизасвако α = k · π 2 , β = k · π 2 и α + β = k · π 2 (k ∈ Z).
Наистиначиндобијасеформулазаtg(α β):
Оваформулаважиза
Пример 36. Безупотребетаблицаизрачунати:
а)tg 75◦;б)tg 15◦ .
Решење. а)Наоснову(5)биће:
б)Премаформули(6)следи:
3.3.Адиционеформуле 167
Пример38. Четвороуглови ABCD, BEFC и EGHF наслици71суквадрати. Доказатидаје α + β + γ =90◦ .
Сл.71
Решење. Собзиромнатодаје β =45◦,довољнојепоказатидаје β + γ =45◦
Утусврхутребазапазитидаје:
Отудаје,наосновуформуле(5):
Какосу β и γ оштриуглови,следидаје β + γ =45◦ .
Формулезаctg(α + β) иctg(α β) изводесенасличанначинкао(5)и(6).
Наиме,наконтрансформације: ctg(α + β)= cos(α + β) sin(α + β) =
именилацибројилацпоследњегразломкасеподелисаsin α sin β.Такосе добија: ctg(α + β)=
+
Наистиначиндобијасеформула: ctg(α β)= ctg α · ctg β +1 ctg β ctg α , (8)
којаважиза α = kπ, β = kπ и α β = kπ (k ∈ Z).
Пример39. Безупотребетаблицаизрачунати: а)ctg 105◦ ; б)ctg 15◦ .
Решење. а)Применомформуле(7)добијасе:
б)Наосновуформуле(8)следи:
3.3.Адиционеформуле 169
81. Упростиизразtg(α + β) tg(α β) tg(α + β)+ tg(α β) .
82. Израчунајtg(α + β + γ)акојеtg α =1,tg β =2 иtg γ =3
83. Израчунајtg(α β + γ)акојеtg α = 1,tg β =1 иtg γ =2.
84. Докажиидентитет: tg(α + β) tg α tg β = tg(α + β) tg α tg β
85. Докажидаиз α + β + γ =0 следи: tg α + tg β + tg γ = tg α tg β tg γ.
86. Докажидаиз α + β + γ = π 2 следи: ctg α + ctg β + ctg γ = ctg α · ctg β · ctg γ.
87. Докажидаједнакост: tg(45◦ + α)= cos α + sin α cos α sin α .
важизасвакиугао α, α = π 4 + kπ.
3.3.3.Тригонометријскефункциједвострукогугла
Применомадиционихформулатригонометријскефункциједвоструког угламогусеизразитипрекофункцијаосновногугла.Затоједовољноуформулама(3),(2),(5),(7)ставити
Решење. Какоје α
Одавдеје:
Садаћесезаа),б)в)иг)користитиредомформуле(9),(10),(11)и(12).
Резултатиизв)иг)моглисуседобитииизформула:
г)cos2 7π 12 sin2 7π 12 = cos (2 7π 12 ) = cos 7π 6 = cos (π + π 6 ) = cos π 6 = √3 2 , (формула(10)и(11));
Пример43. Доказатиидентитете:
Решење. а) 1 (sin α cos α)2 =1
Примењенјеидентитетsin
и(13).
Примењенјеидентитетsin2 α + cos 2 α =1 и(14).
в)ctg α sin 2α = cos α sin α 2 sin α cos α = cos α 2 sin2 α cos α sin
Коришћенисуидентитетиcos2 α + sin2 α =1,(9)и(10).
г) (tg α + ctg α) sin 2α = ( sin α cos α + cos α sin α ) · 2 sin α · cos α = = sin2 α + cos2 α sin α · cos α · 2 sin α · cos α =2.
Пример44. Изразитиsin 3α помоћуsin α.
Решење. Користићесеформуле(3),(9),(10)иидентитетcos2 α + sin2 α =1. sin 3α = sin(2α + α)= sin 2α · cos α + cos 2α · sin α =2 sin α · cos α · cos α +(cos 2 α sin2 α) sin α =2 sin α · cos 2 α + sin α · cos 2 α sin3 α =3 sin α cos 2 α sin3 α =3 sin α(1 sin2 α) sin3 α =3 sin α 4 sin3 α.
ЗАДАЦИ
88. Скратиразломак:
а) sin 40◦ sin 20◦ ;б) cos 80◦ cos 40◦ + sin 40◦ ;в) sin 100◦ sin 50◦ ;г)cos 36◦ + sin2 18◦ cos 18◦ .
89. Упростиизразе:
а) sin 2α sin α ;б) cos 2α cos α sin α ;в)cos 2β + sin2 β;г) sin β 2 cos2 β 2 .
90. Акојеsin α = 5 13 и α угаоизIIквадранта,одреди: а)sin 2α;б)cos 2α;в)tg 2α;г)ctg 2α.
91. Акојеtg α = 3 4 и 180◦ <α< 270◦ ,одреди: а)sin 2α;б)cos 2α;в)tg 2α;г)ctg 2α
92. Акоcos α = 0, 6 и α угаоизIIIквадранта,одреди: а)sin 2α;б)cos 2α;в)tg 2α;г)ctg 2α.
93. Упростиизразе: а) 2 sin 20◦ cos 20◦;б)cos2 π 10 sin2 π 10 ; в)sin π α 2 cos π α 2 ;г) 2
94. Акојеcos α = 7 √50 иtg β = 1 3 , 0 <α< π 2 ,
Докажи.
95. Представиcos 3α каофункцијуодcos α
96. Представиtg 3α каофункцијуодtg α
97. Докажиидентитет:
98. Докажиидентитет: 1+ sin 2α sin α + cos α = √2 cos ( π 4 α).
99. Израчунајsin 2α акојеsin α cos α = p
100. Израчунај 1+5 sin 2α 3 cos 2α акојеtg α = 2. 101. Израчунајcos 2α акоје 2 ctg2 α +7 ctg α +3=0 иакоје: а) 3π 2 <α< 7π 4 ;б) 7π 4 <α< 2π.
102. Израчунајsin 2α акоје 2 tg2 α 7 tg α +3=0 иакоје: а) π<α< 5π 4 ;б) 5π 4 <α< 3π 2
3.3.Адиционеформуле 173
103. Акојеtg α = 3,израчунај: 2 sin 2α 3 cos 2α 4 sin 2α +5 cos 2α .
104. Акосуtg α иtg β корениквадратнеједначине
105. Докажиидентитете:
106.
3.3.4.Тригонометријскефункцијеполовинеугла
Адиционетеоремеинекитригонометријскиидентитетиомогућавајудасе
Требапоћиодпознатогидентитета(15)написаногуоблику:
иодговарајућеформуле(10):
Акосесаберуоведвеједнакости,добијасе:
(Знакиспредкореназависиодугла
+,аакојеуIIилиIIIквадрантузнакје .)
(14)
Из(13)и(14)директносеизводи,собзиромнатодаје:
Знакиспредкоренасеузимапремаквадрантуукојемсеналазиугао α 2 и премазнакуодговарајућефункцијезатајугао.
Пример45.
Пример 46. Акојеsin α =
Решење. Одредитинајпреcos α.Собзиромнатодаје
следидајеcos α< 0.Отудаје:
π<α<
тангенсјенегативан.Стогаје:
Пример47.
1 5 .Добијасе:
атосу:
Какојесистемсиметричан(немењасеаконепознатезаменеместа)постоједве могућности.Прваје:
Израчунајcos
Покажидаје:
111. Скратиразломке:
Докажиидентитет:
3.3.5.Трансформацијазбираиразликетригонометријскихфункцијау производ
Трансформисањезбираилиразликетригонометријскихфункцијаупроизводјеважнаоперацијајерсепомоћуњедобијаизразпогоданзалогаритмовање.И,обрнуто,претварањепроизводаузбирјеметодакојасечестокористи прирешавањуинтеграла.
Акосесаберуследећедвеадиционеформуле: sin(x + y)= sin x · cos
Акосе,пак,другаодузмеодпрве,биће: sin(x + y) sin(x y)=2 cos x · sin y. (
∗)и(∗∗)добијасе:
Формуле(17)и(18)показујукакосезбир,односноразликасинусапретварау производ.
Пример48. Представитиуобликупроизвода: а)sin
Решење. Користећи(21)и(22)добијасе:
Насличанначинизформула:
добијајусесабирањем,односноодузимањем:
Најзад,сменом x + y = α, x y = β добијајусеформулезапретварањезбира иразликекосинусаупроизвод:
Пример50. Доказатидаје:
Решење. а)Какојеcos
(Коришћенајејоширелацијаcos( x)= cos x.)
б)Сличнокаоуа)је:
(Коришћенајерелацијаsin( x)= sin x.)
Пример51. Представитиуобликупроизвода:
Сличносепоступауб),в),г)д)иђ).
3.3.Адиционеформуле
Решење. а)Наоснову(21)следи:
б)Наоснову(22)следи:
в)Применом(23)добијасе:
г)Применом(24)добијасе:
ЗАДАЦИ
113. Трансформишиупроизвод:
а)sin 12◦ + sin 20◦;б)sin 52◦ sin 32◦ ; в)cos π 10 cos π 20 ;г)cos 40◦ + cos 50◦ .
114. Трансформишиупроизвод:
а)sin 15◦ + cos 65◦;б)cos 50◦ + sin 80◦ ; в)cos 40◦ sin 16◦;г)sin 50◦ cos 50◦ .
115. Докажидаје:
а)tg α + tg β = sin(α + β) cos α · cos β ;б)tg α tg β = sin(α β) cos α · cos β ; в)ctg α + ctg β = sin(α + β) sin α · sin β ;г)ctg α ctg β = sin(α β) sin α · sin β .
116. Трансформишиуизразепогоднезалогаритмовање: а)tg 2α + tg α;б)tg 3α tg α; в)tg 4π 5 tg 3π 5 ;г)ctg 2α + tg 4α.
117. Представиуобликупроизвода: а)sin2 x sin y;б)cos2 x cos y; в)sin x cos y;г)cos x sin y
118. Представиуобликупроизвода:
а)sin α √2 2 ;б) 1+2 cos α; в) √3 2 + cos α;г) √3 2 cos α.
119. Израчунајбезупотребетаблица:
а)cos 68◦ cos 22◦ sin 68◦ sin 22◦ ;б) sin 130◦ + sin 110◦ cos 130◦ + cos 110◦ .
120. Трансформишиупроизводизразе:
а)sin α + sin 2α + sin 3α + sin 4α; б)cos α + cos 3α + cos 5α + cos 7α
121. Докажидаје:
а)sin 10◦ + sin 50◦ cos 20◦ =0; б)cos 85◦ + cos 35◦ cos 25◦ =0
122. Докажидаје: а) sin α + sin 5α cos α + cos 5α = tg 3α;б) sin 2α + sin 6α cos 2α + cos 6α = tg 4α;
в)cos 2α cos 4α cos 2α + cos 4α = tg 3α tg α.
3.4.ТРИГОНОМЕТРИЈСКЕЈЕДНАЧИНЕ
Тригонометријскеједначинесудатеупоглављу2.2.2,гдесуодређивани свиугловичијијекосинус,синус,тангенс,односнокотангенсунапреддатреаланброј.Тригонометријскеједначинеседефинишунаследећиначин.
Тригонометријскеједначинесуједначинеукојимасунепознатеаргументитригонометријскихфункција.
Можебитиједаниливишенепознатих.Овдећемосебавитиискључиво тригонометријскимједначинамасаједномнепознатом.Евонеколикопримера таквихједначина:
Решититригонометријскуједначину
3.4.Тригонометријскеједначине
3.4.1.Једначина sin x = m
Собзиромнатодаје 1 sin x 1 засвако x,оваједначинаимарешења самоза 1 m 1
За 1 <m< 1 постоједвауглаизинтервала [0, 2π] чијијесинусједнак m. За 0 m< 1 једанодтихугловајеуIадругиуIIквадранту(сл.72).Њихов збирје π,паакосеса α означиугаоизIквадранта,ондаје π α угаоизII квадранта.Збогпериодичностифункцијеsin x изовогаследидасурешења једначинеsin x
Сл.73
АкосеонајизIIIквадрантаозначиса
гдеје 0 α< π 2 ,sin( α)= m и k ∈ Z
Пример
3.4.Тригонометријскеједначине
Наслици74јеприказанографичкорешењеза 0 <m< 1.Решењасу x0,x1,x2,...
Значидаза |m| > 1 права y = m немазаједничкихтачакасасинусоидоми једначинаsin x = m,каоштојевећранијеустановљено,немарешења.
Једначинатипа: a sin2 x + b sin x + c =0(a =0)
сводисенаконсменеsin x = t наквадратнуједначину: at2 + bt + c =0
Акосукорени t1 и t2 реални,сварешењатригонометријскеједначинедобијају секаоунијарешењаједначина: sin x = t1, sin x = t2,
којесерешавајунапоказаниначин.
Пример55. Решитиједначину:
Сл.74
3.4.2.Једначина cos x = m
Каоједначинаsin x = m,иоваједначинаимарешењасамоза 1 m 1. За 1 <m< 1 постоједвауглаизинтервала [0, 2π] чијијекосинусједнак m.
Акоје 0 m< 1,угловисуу I и IV квадранту.Обележитиса α угаоиз I квадрантатакодаје cos α = m.Тадаје α одговарајућиугаоиз IV квадранта(сл.75).Собзиромнапериодичностфункције cos x,сварешењаједначине cos x = m (0 m< 1) датасуса: x = α +2kπ, x = α +2kπ, (3)
гдеје 0
конструктивно.
са:
Пример57. Решитиједначину:
Решење. Какојеcos
наоснову(3).
За m = 1 постојиједначинаcos
аза m =1 једначинаcos x =1 чијасурешења: x =2kπ (k ∈ Z).
Једначинаcos x = m можесерешаватииграфичкинаистиначинкаоиједначина sin x = m
Једначинатипа: a cos 2 x + b cos x + c =0(a =0)
решавасесменомcos x = t,сличнокаоједначина a sin2 x + b sin x + c =0.
Пример58. Решитиједначину: 2 cos 2 x 7 cos x +3=0
Решење. Наконсменеcos x = t добијасеквадратнаједначина 2t2 7t +3=0, чијасурешења t1 =3 и t2 = 1 2 .Отудаје:
Прваједначинанемарешења(зашто?),доксурешењадруге:
Тосууједноисварешењапостављенеједначине.
3.4.3.Једначине tg x = m и ctg x = m
Заразликуодпретходнедве,једначинаtg x = m имарешењазасваки реалниброј m.
Засвако m, m ∈ (−∞, +∞) постојитачноједанугаонаинтервалу
3.4.Тригонометријскеједначине 189
Пример59. Решитиједначину:
а)tg x =1,б)tg x = √3 3 .
Решење. а)Собзиромдајеtg π 4 =1,тосусварешењадатеједначине: x =
наоснову(4).
б)Какојеtg
Графичкорешавањеједначинеtg x = m приказанојенаслици78.
Сл.78
Сасликесевидидаправа y = m сечетангенсоидузасвакиреаланброј m. Једначинатипа: a tg2 x + b tg x + c =0(a =0)
решавасесменомtg x = t.
Пример60. Решитиједначину: tg2 x 3 tg x +2=0.
Решење. Наконсменеtg x = t добијасеквадратнаједначина t2 3t +2=0 чија
сурешења t1 =1 и t2 =2.Такопостоједвеједначинеtg x =1 иtg x =2.Решењапрве су x =45◦ + k · 180◦ ,арешењадругесу x ≈ 63◦27′ + k · 180◦.Прематоме,решења постављенеједначинесу: x =45◦ + k · 180◦ ,
Једначинаctg x = n имарешењазасвакиреаланброј n.Наинтервалу (0,π) постојитачноједанугао α такавдајеctg α = n (сл.79).Збогпериодичностисварешења једначинеctg x = n датасуса: x = α + kπ, (5)
гдеје 0 <α<π,ctg α = n и k ∈ Z.Угао α сеналазиизтаблица.Једначинаctg x = n графичкисерешаванаистиначинкаоиједначинаtg x = m
Сл.79
Најзад,једначинатипа: a ctg2 x + b ctg x + c =0(a =0)
решавасесменомctg x = t.
3.4.4.Једначина a sin x + b cos x = c (a =0,b =0)
Најпретребалевустрануједначинетрансформисатиуоблик: a sin x + b cos x = √a2 + b2 ( a √a2 + b2 · sin x + b √a2 + b2 · cos x) .
односно:
Решавањеовеједначинејепознатои,каоштосезна,онаимарешењаза:
Пример61. Решитиједначине:
Решење. а)Какоје
једначинаимарешења.
односно: x = π 2 +(2k +1)π, x = π 6 +2kπ. (k ∈ Z)
Тосуистовременоирешењапостављенеједначине.
б)Какоје
,једначинанемарешења.
Евонеколикопримераразличитихтригонометријскихједначинаиразличитих методазарешавање.
Пример62. Решитиједначине:
а)sin 2x =0;б)sin 2x =1;в)sin 2x = 1 2 ;
г)cos 2x = 1;д)cos 2x =0;ђ)cos
одаклеје: x = π 12 + kπ, x = 5π 12 + kπ. (k ∈ Z)
г)Какоје
(
Z); ђ)Наоснову(3)следи: 2x = 2π 3 +2kπ, 2x = 2π 3 +2kπ, (k ∈ Z)
одаклеје: x = π 3 + kπ, x = π 3 + kπ. (k ∈ Z)
Пример63. Решитиједначине:
а) √2 sin2 x + cos x =0;
б)cos4 x sin4 x =0.
Решење. а)Трансформисатипрвоједначинууоблик
користећиидентитетcos2 x + sin2 x =1.Затимизвршитисменуcos
квадратнаједначина
Добијајусеједначине:
Прванемарешења(зашто?),доксурешењадруге:
Тосуистовременоисварешењазадатеједначине. б)Датаједначинајееквивалентнаса:
Пример64. Решитиједначине:
а)sin x + √3 cos x =1;б) 3 sin x +4 cos x =6
Решење. а)Једначинаимарешењајерје
ψ
Изтогаследидасурешењапостављенеједначине: x = π 6 +2kπ, x = π 2 +2kπ. (k ∈ Z)
б)Немарешењајерје
ЗАДАЦИ
123. Решиједначине:
а)sin x = √3;б)sin x = √3 2 ;
в)sin 2x = 1 2 ;г)sin 3x =1;
д)sin (x + π 3 ) =0;ђ)sin (2x + π 2 ) = 1.
124. Решиједначине:
а)cos x = √3 2 ;б)cos x = √5 2 ;
в)cos 2x = √2 2 ;г)cos 5x =0;
д)cos (x + π 4 ) =1;ђ)cos (2x π 6 ) =0.
125. Решиједначине:
а)tg x = √3;б)tg x = √3 3 ;
в)tg 2x = 1;г)tg 3x =0;
д)tg (x π 6 ) = √3;ђ)tg (3x π 3 ) =1.
126. Решиједначине:
а)ctg x = √3;б)ctg x =1;
в)ctg 3x =1; г)ctg 5x =0;
д)ctg (x π 2 ) =1;ђ)ctg (2x π 3 ) =0.
127. Решиједначине:
а) 2 sin2 x + sin x =0;б)sin x = sin 2x;
в)cos x cos 2x =1;г) 2 cos 2 x + sin x 1=0;
д)tg2 x 3 tg x +1=0.
128. Далиследећеједначинеимајурешења:
а)sin x cos x =2;б)cos x tg x =2; в) tg x sin 3x =0;г)cos(cos x)= 1 2 ?
129. Решиједначине:
а)sin x + cos x =0;б)sin x = cos x.
130. Решиједначине: а)sin |x| =1;б) | sin x| =1;в)tg |x| =1;г) | tg x| =1.
131. Решиједначине:
а) √3 sin x cos x = √2;б)sin x + √3 cos x = √2; в) √3 cos 4x + sin 4x = √2
3.5.Тригонометријскенеједначине
132. Решиједначине:
3.5.ТРИГОНОМЕТРИЈСКЕНЕЈЕДНАЧИНЕ
Тригонометријскенеједначине сунеједначинеукојимасенепознатејављајуискључивокаоаргументитригонометријскихфункција.
Садаћебитиразмотренесамонекенајједноставнијетригонометријскенеједначинесаједномнепознатом.
Пример65. Одредитисварешењанеједначинеcos x>
Решење. Заналажењерешењадатенеједначинекористићесетригонометријски круг.Некасу #
(сл.80).Какоје
Акосесвакомодугловаизинтервала
угла, 2kπ (k =0, ±1, ±2,...),добићесеопетугаочијијекосинусвећиод
снити.)Такоседобијаданеједначинуcos
Свиониприпадајуједнојунијиотворенихинтервала,ито:
Датанеједначинаможедасерешииграфички.Нацртатиграфикфункција y = cos x и
Сл.81
На
неприпадајушрафиранојобласти,штоповлачиданикрајње тачкеинтервалана x-осинеприпадајускупурешења.
Пример66. Решитинеједначинуtg x 1
Решење. Уочитинатангенснојоситачку N1 којаодговараброју 1 (сл.82).Сви углови x закојеправа OM
Графичкорешењеистенеједначинедатојенаслици83,причемусурешења,по-
Решење. Какојефункцијаsin z позитивназа 2kπ<z< (2k +1)π (k ∈ Z),
види2.2.4,тосурешењадатенеједначине: 2kπ< 2x< (2k +1)π,
односно: kπ<x< (2k +1)π 2 (k ∈ Z)
Наслици84датојеграфичкорешење.
Сл.84
Пример68. Решитинеједначину (sin x +1) · (2 cos x 1) > 0.
Решење. Какојепроизводдвафакторапозитиванкадасуобаистогзнака,то имадвемогућности:
а)sin
Прванеједначинајезадовољеназасвако x:
x 1.Решењадругенеједначинесу(сличнокаоупримеру65):
3.5.Тригонометријскенеједначине 199
Какојеsin x 1,прванеједначинанемарешења,аодатлеследиданиуслучају б)немарешења.
Прематоме,сварешењанеједначине (sin x +1)(2 cos x 1) > 0 сводесена решењаслучајаа)итосу: π 3 +2kπ<x< π 3 +2kπ.
ЗАДАЦИ
133. Решинеједначине: а)sin x> 1 2 ;б)sin x √2; в)sin x 1 2 ;г)sin x< √3 2 .
134. Решинеједначине: а)cos x< √2 2 ;б)cos x 1; в)cos x 0;г)cos x > 1 2
135. Решинеједначине: а)tg x> 1;б)tg x √3; в)tg x √3 3 ;г)tg x 0
136. Решинеједначине: а)sin 2x 1;б)cos 2x 1 2 > 0; в)tg 2x 1;г)ctg 2x> √3.
137. Решинеједначине:
а) 4 sin2 x 2 > 0; б)tg2 x 1 0; в) (sin x +2)(2 cos x +1) < 0;г) (sin x 1)(tg x √3) > 0.
РЕШАВАЊЕТРОУГЛАИПРИМЕНЕ
ТРИГОНОМЕТРИЈЕ
Најплодотворнијезадаткематематиципостављапракса.
Д.А.Граве(1863–1939)
Акосуод6основнихелеменататроугла(3страницеи3угла)позната3, стимдајемеђуњимабарједнастраница,остала3елементасемогуодредити.Поступакналажењапреостала3непознатаелементапознатјеподименом решавањетроугла.
РешавањеправоуглогтроуглаобрађенојеуоквируградиваIразреда.Ов-
Одизузетногзначајазарешавањепроизвољногтроугласутзв.синуснаи
4.1.СИНУСНАТЕОРЕМА
Некаје ABC произвољантроугаочијесустраницеиугловиобележени
(сл.1)Узетипрводаје
Слично,изтроуглова ABA1 и ACA1 следи: |AA1| = ha = c sin β = b sin γ, (**)
односно:
Из(1)и(2)очигледноследирелација:
Некајесада △ABC тупоугли.Напримернекаје α> 90◦ (сл.2).
Наосновуранијихознакаизправоуглихтроуглова ACC1 и BCC1 следи: |CC1| = hc = b sin α1 = a sin β, (4)
гдеје α1 спољашњиугаокодтемена A Какоје α1 =180◦ α,тоје sin α1 = = sin(180◦ α)= sin α ирелација(4) јееквивалентнаса(*).Релација(**)остаје уважности.(Зашто?)Такосеопетдобија релација(3).
Сл.2
Најзадуслучајуправоуглогтроугларелација(3)јеочигледнозадовољена. (Провери.)
Тимеједоказанатзв. синуснатеорема
Сл.1
Решавањетроуглаиприменетригонометрије
Обележитиса C′ тачкудијаметралносупротнутемену A.Какоје ACB
оштар,тачке C и C′ леженаистомлуку AB.Наосновутеоремеопериферијскимугловимаследидаје AC′B ∼ = ACB = γ.Сдругестране, ABC је периферијскиугаонадпречником AC′ =2r кружнице k икаотакавјеправ; ABC =90◦.Изправоуглогтроуглатадаследи: sin γ = |AB| |AC′| = c 2r ,
односно c sin γ =2r.Кадасетозамениу(3),добијасе:
Отудаследиследећетврђење.
Теорема2. Односдужинестраницеисинусанаспрамногуглатроуглаје константаниједнакдужинипречникакружницеописанеокотроугла.
Пример1. Одредитиодносестраница
а)
б)
Решење. Наосновусинуснетеоремебиће:
4.2.Применасинуснетеореме
(Заsin 75◦ видипример32.a,страна163),
4.2.ПРИМЕНАСИНУСНЕТЕОРЕМЕ
Синуснатеоремасекористизарешавањетроуглауследећадвакарактеристичнаслучаја.
1) Познатасуједнастраницаидваугла.Изпланиметријејепознатода јеуовомслучајутроугаоједнозначноодређен.Некасупознатистраница a и углови α и β.
Првосеодредиугао γ, γ =180
азатимпомоћусинуснетеореместранице
Тимејетроугаорешен.
Пример2. Решититроугао ABC акојепознато: а) a =3, α =60◦ , γ =45◦;б)
Решење. а)Одредитипрво β
Садајенаосновусинуснетеореме:
2. Познатесудвестраницеиугаонаспрамједнеодњих.Познатојеиз планиметриједатроугаосазадатимдвемастраницамаиугломнаспрамједнеодњихнеморабитиодређен,аунекимслучајевимаинепостоји.Ради илустрацијетребасеподсетитикакосеконструише △ABC акосудати,на пример, a, b и α.Најпресеконструишедуж |AC| = b,азатимсеконструише полуправа AM таквадаје MAC =
k са центромутачки C полупречника a.Пресеккружнице k иполуправе AM даје теме B троугла ABC (сл.4).
Унаведенојконструкцијијединипроблемимогунастатиупоследњемко-
4.2.Применасинуснетеореме
Садаћебитиизвршенакомплетнаанализаовогслучајаузкоришћењесинуснетеоремеитригонометријскихфункција.Дакле,датису a, b,α итребада сеодреде β, γ и c. Најпресеодредиугао
Коришћењемпоновосинуснетеоремедобијасестраница c:
Каоштосевиди,наконодређивањаугла β осталиелементитроугласуједнозначноодређени.Затотребадетаљноиспитатиизраз b sin α a азаразличите вредности a, b и α.
a) a b.Тадаје α β (зашто?)и β јеоштаругао.(Зашто?)Какоје b a < 1
иsin α< 1,тојеsin β = b sin α a < 1,папостојисамоједанугао β којизадовољаваједнакост(1).Значи,за a>b задатакимајединствено решење.
б) a<b.Садаје α оштаругао.(Зашто?)Бићеразмотренаследећатри случаја.
б1) b sin α a > 1.Тадајеsin β = b sin α a > 1,штојенемогуће.Тозначи
даза b sin α a > 1,односно b sin α >a,задатакнемарешења.
б2) b sin α a =1.Тадајеsin β = b sin α a =1, β =90◦ итроугаоје
правоугли.Задатакимајединственорешење.
б3) b sin α a < 1.Садајеsin β = b sin α a < 1 ипостоједваугла β,један оштаридругитуп.Њиховзбирје 180◦.(Зашто?)Засвакиодтих угловапостојипоједнорешењеза γ и c.Уовомслучајузадатак имадварешења.
Пример3. Решити △ABC акоједато: а) a =10,b =8, α =48◦ ;
б) a = 10√3 2 , b =10, α =30◦ ;
в) a =20, b =80, α = 30◦
Решење.
Прематоме,елементитроугла
постоједваугла
Задатакимадварешења. 1)
илипомоћуПитагоринетеореме:
4.3.Косинуснатеорема 207
Пример4. Уједномтренуткуавион A севидиизместа B и C (|BC|)=300 m)
подугловима β =31◦50′ и γ =27◦20′.Коликојеутомтренуткурастојањеавионаод места B и C иколикајевисина h авиона?
Сл.5
Решење. Какоје β = α+γ,гдеје α унутрашњиугао(сл.5)троугла ABC,излази α = β γ =31◦50′ 27◦20′ =4◦30′ Наосновусинуснетеоремеследи: |AB| = |BC| sin γ sin α = 300 sin 27◦20′ sin 4◦
h важи: h |AB| = sin β ⇒ h = |AB| sin β ≈ 1756 sin 31◦50′ ≈ 926 m
4.3.КОСИНУСНАТЕОРЕМА
Некаје ABC произвољантроугаоинекаје ha = |AA1| висинаповучена изтемена A.Размотритиследећихпетслучајева.
1) γ< 90◦ и β< 90◦ (сл.6).Тадајетачка A1 између B и C.
Какоје |BA1| = a −|CA1| (јерје A1 између B и C)и |
из(3)следи:
односно:
2) γ =90◦.Тадајеcos γ =0 иформула(4)сесводинаПитагоринутеорему.
3) γ> 90◦.Уовомслучајује C између A1 и B (сл.7).
Једнакости(1),(2)и(3)идаљеваже.Садаје |BA1| = a + |CA1| и |CA1| = b cos γ1,гдеје γ1 спољашњиугаокодтемена C.Какоје γ1 =180◦ γ,тоје cos γ1 = cos γ,паиз(3)следи: c 2 b2 =(a + b( cos γ))2 (b · ( cos γ))2 =(a b cos γ)2 b2 cos 2 γ.
одаклесеопетдобија(4).
4) β =90◦.Садаје A1 = B, ha = |AB| = c, |BA1| =0, |CA1| = a, cos γ = a b .
ПоПитагоринојтеоремије: c 2 = b2 a 2 = a 2 + b2 2ab · a b ,
односно:
атојеформула(4).
5) β> 90◦.Садајетачка B између C и A1 (сл8).
Једнакости(1),(2),(3)остајууважности.Какоје |BA1| = |CA1|−a икако је (|CA1|− a)2 =(a −|CA1|2)2,тосеиз(1),(2)и(3)изводиформула(4)на истиначинкаоуслучају1).
Насличанначинседоказуједаважеиследећедвеформуле:
Такоједоказаноследећетврђење.
Теорема3. Квадратједнестраницетроуглаједнакјезбируквадратадруге двестраницеумањензадвострукипроизводтихстраницаикосинусањима захваћеногугла.
Овотврђењејепознатокаокосинуснатеорема.
Пример5. Утроуглу ABC је a =2, b =4 и γ =120◦.Одредитистраницу c.
Решење. Применомкосинуснетеоремедобијасе: c 2 = a 2 + b2 2ab cos γ =2
)
, тј. c = √28=2√7.
Пример6. Акојеу △ABCa =3, b =4, c =6,угаоје γ туп.Доказати.
Решење. Премакосинуснојтеоремиследи:
4.4.ПРИМЕНАКОСИНУСНЕТЕОРЕМЕ
Прирешавањутроуглакосинуснатеоремасепримењујеуследећадвакарактеристичнаслучаја.
1) Познатесудвестраницеињимазахваћенугао.Некасутостранице a и b иугао γ.
Првосепомоћукосинуснетеоремеодредистраница c:
стимдаједовољнонаћидваугла,доксетрећиналазиизвезе α + β + γ = =180◦ .
Другамогућностједасе α одредиизпрвеједнакости,дасезатим
помоћусинуснетеоремеинајзадодреди γ као 180◦ (α
Решење.
Акосесаберуоведвеједнакости,добијасе:
Стогаизпоследњерелацијеследи:
односно:
Насличанначинседобија:
1. Решитроугаоакојепознато:
2. Решитроугаоакојепознато:
3. Решитроугаоакојепознато:
4. Решитроугаоакојепознато: а) a =44, b =48, 3, c =48, 6; б) a =9, 9, b =10, 1, c =15, 8;
a =18, b =14, 5, c =16, 3;
a =0, 77, b =0, 8, c =1, 2.
5. Решитроугаоакојепознато α,β и ha
6. Акоје a =2k 1, b = k2 1, c = k2 k +1 (k –природанброј),тадаје γ =60◦ .
Докажи.
7. Одредистраницу c △ABC акоје a =2√3, b =3, α =2β.
8. Одредиуглове △ABC акоје a : b =11:8, α =2β.
9. Безупотребетаблицаодредистранице △ABC акоје: а) a b =5, c =7, γ =60◦ ; б) b + c =20
10.
4.5.НЕКЕПРИМЕНЕТРИГОНОМЕТРИЈЕ
4.5.Некеприменетригонометрије 213
зауглове ABC и ABD добијасе:
Сабирањемоведвеједнакостидобијасе:
Какојеcos(180◦ α)= cos α,изпоследњерелацијеследи:
односно:
Пример11. Дужинестраницатроугласутриузастопнанепарнаброја,аједан угаотроуглаје 120◦.Одредитистраницеиугловетроугла.
Решење. Некасустранице a =2n +1, b =2n +3, c =2n +5.Какотроугао
можедаиманајвишеједантупугао,следидајеугаоод 120◦ највећиугаотроугла. Каотакавонлежинаспрамнајвећестранице c.Дакле, γ =120◦.Премакосинусној теоремиследи:
сеналазипомоћусинуснетеореме:
Пример12. Доказатидајеповршиначетвороуглауписаногукружницуједнака 1 2 (ab + cd) sin α,гдесу a, b,c и
Решење. Површинатроугла ABC можесеизразитиуоблику: P = 1 2 |AB|·|AC| sin CAB. Утусврхутребауочитивисину CC1.Разликујусетрислучаја: а) CAB< 90
јерјеsin 90◦ =1
в) CAB> 90◦.Садасутачке C1 и B саразнихстранатачке A направој AB и C1AC =180◦ CAB.Изправоуглог △AC1C следи: |CC1| = |AC| sin C1AC = |AC| sin(180◦ CAB) = |AC| sin BAC (sin(180◦ x)= sin x).
Такојеопет P = 1 2 |AB|·|CC1| = 1 2 |AB|·|AC| sin CAB.
Натајначинједоказанадатаформулаиможесерешаватипостављенизадатак. Некаје KLMN четвороугаоуписанукружницуококогаје |KL| = a, |LM | = b, |MN | = c, |NK| = d, KLM = α (сл.10).Какоје MNK =180◦ α (зашто?)и
какоје P = P1 + P2,(P –површиначетвороугла KLMN , P1 –површина △KLM , P2 –површина △MNK),тојенаосновуизведенеформуле:
Пример13. Дабисемоглаодредитиширинареке,уочесенаједнојобалинепосредноузрекуобјекти A и B,надругојобалиобјект C
d = |AB| иуглови α = CAB и β = ABC (сл.11). Одредитиширинурекенаспрамобјекта C
4.5.Некеприменетригонометрије 215
гдеје γ = BCA =180◦ (α + β).Отудаје: |CC1| = d sin β sin α sin γ = d sin(α + β) sin α sin γ
(Коришћенајеформулаsin(180◦ x)= sin x.)
Заменомбројнихвредностидобијасе: |CC1| = 400 · sin 30◦ sin 45◦ sin 75◦ ≈ 146, 4.
Ширинарекенаспрам C је146,4m.
Пример14. Двабродаимајурадио-станицедометаодпо200миља.Одпристаништа A једанјеудаљен175миљауправцусевер– 26◦42′ –исток,адруги167миљау правцусевер– 46◦25′ –запад.Далитибродовимогудаодржавајувезупрекорадиостаница?
Решење. Некасу B1 и B2 бродовичијијеположајуодносунапристаниште A датнаслици12,гдеје
правацсевера.
Бродовимогудаодржавајувезупрекосвојихрадио-станицауколикоје
Резултујућасилаје
Пример16. Светлоснизракпаданастакленуплан-паралелнуплочудебљине d =4 cm,преламасе,излазиизплочеинастављаправцемкојијепаралелансапрвобитним.Коликијепаралелнипомаксветлосногзракаакојеупадниугао α =30◦ а индекспреламањастакла n =1, 8?
Решење. Светлоснизрак ℓ погађагорњуповршинуплочеутачки A,ломисеи утачки B надоњојповршиниизлазиупрвобитнусредину,настављајућидасекреће правцемпаралелнимсапрвобитним(сл.14).Обележитиса A1 подножјенормалеиз тачке A надоњуповршинуплочеиса C подножјенормалеиз B напрвобитниправац зрака. |BC| представљапаралелнипомакзрака.Означитијошса β угаопреламања, β = A1AB
Уочитидаје BAC = α β и |AA1| = d. Изправоуглихтроуглова ACB и AA1B следи: |BC| = |AB| sin BAC = |AB| sin(α β), |AB| = |AA1| cos A1AB = d cos β ,
одаклеје: |BC| = d sin(α β) cos β
Премазаконуопреламањусветлостибиће
Паралелнипомаксветлосногзракаје1cm.
ЗАДАЦИ
11. Одредиугловепаралелограмачијесустранице7и8,аједнадијагонала13.
12. Паралелограмсесастојиоддватроуглачијесустранице a =3, b =5, c =7, такодајестраница c заједничка.Одредиуглове,другудијагоналуиповршину паралелограма.
13. Обимпаралелограмаје22,површинаје 12√3,аједанугаоје 60◦.Одредистраницеидијагоналепаралелограма.
14. Суседнестраницепаралелограмасу a =8, b =5,ањимазахваћенугаоизноси 60◦.Одредиугаоизмеђудијагонала.
15. Одредиугловетрапезачијесуосновице a =13 и b =5 ичијисукраци c =7 и d =3.
16. Ивицеосновепризмесу a =7, b =8,ањимазахваћенугаоизноси 120◦.Израчунајзапреминупризмеакојењенабочнаивица c =12 нагнутапремаравни основеподугломод 80◦ .
17. Раванпресеккосекружнекупекојисадржинајдужуинајкраћуизводницујетро-
18.
Свакиодносизмеђуматематичкихвеличина одговараодносуизмеђуреалнихствари.
5.1.СТЕПЕНСАРЕАЛНИМЕКСПОНЕНТОМ Степенреалногбројадефинисанјепостепено.Изложилацјепрвоприро-
Затимједефинисаностепеновањецелимбројем:
Степеновањеразломљенимекспонентомдефинисанојесамозапозитив-
Притомсетребаприсетитидајезасвакиреаланброј
Знатедајеброј
Знајућидаје,например,
(4, 65553 )5) исличнозаосталестепене,закључујемодаје: 4, 72769 ...< 3√2 < 4, 73289
Акојепотребно,можесеодредитиивишедецимала,пасепоказуједаје 3√2 =4, 7288 ..., даклеједанирационаланброј.
Постојањереалногброја 3√2
накојијеуказано,бићеприхваћенозасада бездоказа,каоиодговарајућеопштеразматрање.
Акоје a позитиван,а b произвољанреаланброј,ондастепен a b одређује тачноједанпозитиванреаланброј.
Тосеможерећиинештопрецизније.
Акосурационалнибројеви b1,b2,...,апроксимацијеброја b,онда a b
симирамоса a b1 , a b2 .
Пример1. а) 2√3 =3, 321 ..., јерје
сно:
б)Проверитидаје 10π =1385, 45 узимајућинеколикоапроксимацијаброја π =3, 14159265
Својствакојаимајустепенисарационалнимизложиоцимапреносесеи настепенекодкојихјеекспонентреаланброј.Дакле,акосу a и b позитивни,а p и q произвољниреалнибројеви,ондаважи: ap · aq = ap+q (производстепенаистихоснова), (a b)p = ap bp (степенпроизвода), ( a b )p = ap bp (степенколичника), (ap)q = ap q (степенстепена).
Такоје:
а)Упоредирелацијом
б)Поређајурастућинизбројеве: 2π,2, π 2 , 2π, 2+ π, 2 π ,
Знајућидаје
5.2.ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНАФУНКЦИЈА
Какозадатуоснову a> 0 сваки реаланекспонент
вредностстепена a b (незаборавитидајевредностстепена
2),тоједнакост:
дефинишефункцију R → R.Тојеекспоненцијалнафункција,јерјеаргумент (независнопроменљива) x експонентстепенаоснове a.
Пример3. Експоненцијалнефункцијесу,например:
Основа a јесвудаконстантанпозитиванброј.Тојеразумљиво,јерјеистепеновањепроизвољнимреалнимбројемдефинисаносамозапозитивнуоснову.
Експоненцијалнафункцијасеможезаписиватиикаоскупуређенихпарова:
(Овајскупсезовеи график јерсвакиодтихуређенихпароваодговаратачкиу координатномсистему xOy.)
Акојеоснова a број1,долазиседоконстантнефункције f (x)=1x једнаке функцији g(x)=1.Нацртајтесамињенграфик.Каквулинијуонпредочава?
5.2.1.Особинеекспоненцијалнефункције
Доменфункције f (x)= ax , a> 0 јевећодређен.Какосезнадатајстепен постојиза свако x изскупа R,доменекспоненцијалнефункцијејецеоскуп реалнихбројева.
Степен ax нијенуланизаједно x,тј.једначина ax =0 немарешења.Дакле, експоненцијалнафункција неманула.
Објаснитизаштојеовафункција увекпозитивна,тј.заштојетачнареченица (∀x ∈ R)(ax > 0).Требапосматратирационалневредностиаргумента x.
Удаљојанализисвојставаекспоненцијалнефункцијебићеразликовани случајеви a> 1 и a< 1.Конкретнипримерису: f1(x)=2x и f2(x)= ( 1 2 )x .
Експоненцијалнаилогаритамскафункција
Функција f1(x)=2x је растућа уцеломдомену.Тозначидаиз x1 <x2
следи 2x1 < 2x2 .Утосеможеуверитиузимајућиразневредностиаргумента (x1 и x2).
Доказатиопштиобликовогтврђењаза рационалне аргументе.
Теорема1. Акоје x1 <x2, x1,x2 ∈ Q,ондаза a> 1 важи ax1 <ax2 .
Доказ. Формула ax1 <ax2 еквивалентнајеса ax2 x1 > 1 (објасните),аова неједнакосттачнајезбогпретпоставке x1 <x2,односнозбог x2 x1 > 0. ✷
Удоказујекоришћеноследећесвојствостепенасарационалнимизложиоцем: a p q > 1, акоје p q > 0 и a> 1.
Евоскицедоказаиовогсвојства: a) a p q =1 (јерје a> 1,односно ap =1q =1);
б)акобибило a p q < 1,билоби ap < 1,штоза a> 1 и p ∈ Z нијемогуће (образложите).
Тврђењенаведеноутеореми1тачнојеизапроизвољнереалнебројеве x1 и x2,алиједоказсложенији,панећебитинаведен.
Функција f2(x)= ( 1 2 )x је
( 1 2 )x1 > ( 1 2 )x2 .Утосеможеуверитипомоћуконкретнихбројнихвредностиаргумената.
Дакле,функција f (x)= ax јеуцеломдомену(засвако x из R):
(i) за a> 1 растућафункција (вредностјојсеповећавасапорастомаргумента x);
(ii) за a< 1 опадајућафункција (сапорастомаргументањенасевредност смањује).
Јошједносвојство:Будућидаје a 0 =1,експоненцијалнојфункцији(каква годбилаоснова a из R+)припадапар
5.2.2.Графикекспоненцијалнефункције
5.2.Експоненцијалнафункција
којимаодговарајутаблицењиховихвредностизанеколиковредностиаргумента x (напримерза
Акосеуистојфункцији x неограниченосмањује,тафункција тежинули јеррастојањетачаканаграфикуоднегативногдела x-осепостајесвемање(али секриваи x-осаникаднедодирну).Збоговогсвојстваправа y =0 (x-оса)зове се
Експоненцијалнаилогаритамскафункција
Садасеуистомкоординатномсистемускицирајуфункције f1(x)=2x и f2(x)= ( 1 2 )x (илимакоједвефункцијеоблика ax и ( 1 2 )x ,слика4).
Запажаседасуоне симетричне уодносуна y-осу.Вредностједнезапроизвољно x једнакајевредностидругеза x.Топостајесасвимјаснокадасе функцијеупоређујууоблику 2x и 2 x (односно ax и a x).
Скициратиграфикфункције f (x)=5x па,угледајућисенањега,нацртати играфикфункције g(x)= ( 1 5 )x .
Наслици5приказанисуграфицитриекспоненцијалнефункције.Закључитиизтогакакорастефункција y = ax , a> 1 акосеосноваповећа,односно смањи.
Извршитиистуанализунаграфициманеколикофункцијаоблика ax , 0 <a< 1.
Пример4. Експоненцијалнафункцијаописујеекспоненцијалнирасткојисејављауразнимситуацијама.Познатајелегендапокојојјепроналазачшаха,поимену
Експоненцијалнасвојстваимајуинекесложенијефункције.Већјеуочена
Пример5. Датесуфункције:
f1(x)=3x,f2(x)= 3x i f3(x)=3x +1.
Укаквомсумеђусобномодносуњиховиграфици?Којаправајеасимптотафункције f2,акојафункције f3?
ЗАДАЦИ
6. Којесуодследећихфункцијаекспоненцијалне? f1(x)=5x ; f2(x)= x 5 ; f3(x)= x 5x ; f4(x)=5+5x; f5(x)= √5x; f6(x)=(√3) x ; f7 = {(x,π x)(x ∈ R}
7. Одреди f (5), f ( 3), f ( x), f (f (0)) акоје: а) f (x)=7x;б) f (x)=5 x;в) f (x)=(0, 2)2x .
8. Којесуодследећихфункцијарастуће,акојеопадајуће: f1(x)=27 x ; f2(x)=5, 5x ; f3(x)= ( √2 2 )x ; f4(x)= ( π 2 )x ?
9.
Скицирајуистомкоординатномсистемуследећепаровефункција:
а) f (x)=4x и g(x)= ( 1 4 )x б) f (x)=5x и g(x)= ( 1 5 )x ;
в) f (x)= ( 2 3 )x и g(x)= ( 3 2 )x
10. а)Помоћуграфикафункције f1(x)=2x скицирајграфикефункција f2(x)=2x +5
и f3(x)= 2x .
б)Скицирајграфикфункције f4(x)=2x+2 иупоредигасаграфикомфункције f1 иза).
11.* Одредиасимптотеследећихфункција: а) f (x)= ( 3 2 )x 2;б) f (x)=1 2x;в) f (x)=2 3x +0, 5.
12. Крозкојутачкуна y-осипролазеграфицифункција: а) f (x)=73x;б) f (x)=51 2x ; в) f (x)=3 · 5x 1;г) f (x)=5 · 103x+5 11?
13.* Скицирајграфикефункција: а) f (x)=3|x|;б) f (x)= |2x 2|.
Одредиобластиукојиматефункцијерасту,односноопадају.
14.* Какавтребадабудеброј b падафункција f (x)= x 2 + b иманулу?Закључак изведипосматрајућиграфик.
15.* Прикажиграфичкиекспоненцијалнуфункцијунадскупомбројевакојипредстављајузрнапшениценапрвачетирипољашаховскетаблеизпричеупримеру4.
16.* Скицирајграфичкифункцију: f (x)= { x +1, за x< 0 2x , за x 0.
17.* Одрединулефункције: f (x)=
18.* Упоредирелацијом
5m > 5n;б) 1, 7m < 1, 7n;в) 0, 9m < 0, 9n .
19.* Акоје a ∈ R+,унесиознакурелације < или >,такодадобијештачнуреченицу: а) a 7 <a9 ⇒ a 1; б) a 1 2 >a 3 4 ⇒ a 1 (претходнопрепишизадатак).
20.* Измеђукојихцелихбројевајеброј x акоје:
5x =38;б) 10x =5;в) ( 1 2 )x = 3 5 ?
5.3.Експоненцијалнеједначинеинеједначине
5.3.ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНЕЈЕДНАЧИНЕИНЕЈЕДНАЧИНЕ
5.3.1.Експоненцијалнеједначине
Донулефункције
Пример6. Експоненцијалнеједначинесу,например:
Једначина(1)серешавасвођењемнастепенеистихоснова:
Акосуједнакистепениистихоснова(различитиход1),једнакисуимиекспоненти.Отудасерешењедобијаизједначине: x =3.
Општиобликоваквихекспоненцијалнихједначинаје: ax = b,a,b ∈ R,a =1.
Бићерешаванезасадасамоонекојесесводенастепенеистихоснова.
Пример7. Решитиследећеједначине.
а) 9 1 x =3
Једначинасерешаватакоштосесводинастепенесаосновом3:
б) √a = a 3 x ax (a ∈ R+\{1}). Једначинасепишеуоблику:
Решењасу x1 = 2 и x2 = 3 2 .
решавасесвођењемнаеквивалентну,састепенимаистеосновенаследећиначин:
Одавдеје x = 1.
г)Понекадседорешењаекспоненцијалнеједначинедолазипогодномсменом.
Једначина:
еквивалентнајесаследећом:
Решењаовепоследњесу t1 =3 и t2 = 4,пасе,собзиромнасмену,добијаједначина: 3x =3,
изкојеседобијарешење x =1.
Другорешењеквадратнеједначинесенеузимауобзир(зашто?).
д) 2x =7
Оваједначинанеможесерешитисвођењемнастепенеистихоснова.Поступак зарешавањетаквихједначинабићеизложенунареднимодељцима.
5.3.2.Експоненцијалненеједначине
Уосновирешавањаједноставнијихекспоненцијалнихнеједначинасусвојстваекспоненцијалнефункције,њенрастодносноопадање. а)Решитинеједначину: 23x > 2x+5 .
Будућидаекспоненцијалнафункцијасаосновомвећомод1растесапо-
5.3.Експоненцијалнеједначинеинеједначине
добијаскупрешењапочетне,експоненцијалненеједначине:
Одговарајућаекспоненцијалнафункцијаопадасапорастомекспонената,паје почетнанеједначинаеквивалентнасаследећом: 2x +3 < 5.
Одавдеје 2x< 2,односно x< 1.
Скупрешењапочетненеједначинеје: {x ∈ R|x< 1}.
ЗАДАЦИ
21. Решиједначине:
а) 5x =125;б) 3x = 1 81 ;в) 2 x = √4; г) 16x =2;д) 125x = 1 5 ;ђ) ( 3 5 )x = 25 9 .
22. Акоје a ∈ R+\{1} решиједначине: а) ax 9 = 1 ax 9 ;б) 3 √ax = a 3x+2 2 .
23. Решиједначине: а) (0, 125)x 0,5 2√2 =8 (0, 25)1 x ; б) 100 · 102x 1 =1000 3 4 ; в) 4 √56 x = 3 √5x+2; г) ( 1 2 )x · ( 2 3 )x+1 · ( 3 4 )x+2 =6.
24.* Увођењемсмене 9 1 x = y решиједначину: 3 x √81 10 x √9+3=0
25.* Решиједначине: а) 21 3x 5x+2 =9 3x+2 5x+3; б) 2x+1 +2x+2 2x =10; в) 4x 2x +2+4=0; г) 3 9x 3x +1 3x = 1
26.*
27.* Решинеједначине:
5.4.ЛОГАРИТАМ ИЊЕГОВАСВОЈСТВА
Експоненцијалнаједначина 10x =100 имаједнорешење(x =2).Непознатаизједначине 10x =5 неможесеодредитисвођењемнастепенеистих основа.Ипак,можесепоказатидајезаовуједначинурешењетачноједанреалан(прецизније:ирационалан)број.
Евонеколикоапроксимацијатогрешења: 100,5 < 5 < 101 , односно 3, 162 ...< 5 < 101 ,
паје: 0, 5 <x< 1: 100,6 < 5 < 100,8 , или, 3, 981 ...< 5 < 6, 309 ...,
паје: 0, 6 <x< 0, 8.
Какоје 100,7 =5, 011 ...,закључујесе: 100,6 < 5 < 100,7,односно: 0, 6 <x< 0, 7 (тачније, x =0, 69897 ).
Уопште,доказујеседаједначина: ax = b,a ∈ R+\{1},b ∈ R+
увекиматачноједнорешење,реаланброј c.Кажеседаје c логаритамброја b заоснову a акоисамоакоје ac = b ипише: c = loga b.
Речлогаритамјенасталаодгрчкихречиlogos = односиarithom = број. СанаглимразвојемастрономијеиморепловствалогаритмисусепочелипримењиватитокомXVиXVIвекаунумеричкимпрорачунима.
Дакле,логаритам c некогброја b јеекспоненткојимсестепенујеоснова a дабиседобиотајброј b.Број b сезовеи нумерус логаритма,азаосновукојаје истопозитивнаалииразличитаод1кажесеидаје база логаритма.
Пример8. а)log10 100=2,јерје 102 =100; б)log2 256=8,јерје 28 =256;
в)log3 1 27 = 3 (објасните).
5.4.Логаритамињеговасвојства 231
Поновитекојасетрипоступкакористеприодређивањусвакеодтривеличинеуједнакости ac = b; a,b> 0, a =1
Решењепочетнеједначине 10x =5.Такоје log10 5= x,односно x = 0, 69897 ... Тајбројјеирационаланкаоивећинаонихочијемизрачунавању ћесенештокаснијеговорити.
Основнасвојствалогаритамапроизилазенепосредноиздефиниције.Бићенавођенаредом.
(I) aloga b = b
Оваједнакостјеочигледна:логаритамјеуправонаведениекспонент.
Пример9.
а) 6log6 36 =36,јерјеlog6 36=2,а 62 =36;б)слично, 10log10 1000 =1000.
(II)loga ac = c
Заиста,акојеloga ac = x,ондаје ax = ac паје x = c.(Незаборавите даоснова a нијеброј1.)
Пример10. а)log7 72 =2;б)log0,1 0, 1√2 = √2.Објаснити.
Логаритамједефинисансамозапозитивнебројеве(нумерусе),али онсамможебитинегативан.
Пример11. а)log2 1 2 = 1;б)log 1 4 64= 3
(III)loga 1=0,јерје a 0 =1 засвакиброј a различитоднуле.
(IV)loga(b1 b2)= loga b1 + loga b2 (b
(Логаритампроизводаједнакјезбирулогаритамачинилаца.)
Некајеlog
Тадаје: loga(b1 · b2)= loga
. (УизвођењусмоискористилиисвојствоII.)
Пример12. Применитидатеједнакостикакобиселогаритмикојиследе свелиназбирједноставнијих: а)log2 160= log2(25 · 5)=5+ log2 5; б)log3 3xy = log3 3+ log3 x + log3 y =1+ log3 x + log3 y. јерјеloga a =1.
(V)log
Експоненцијалнаилогаритамскафункција
(Логаритамколичникадвабројаједнакјеразлицињиховихлогаритама.)
ДоказатиовосвојствопоузорунадоказсвојстваIV.
Пример13. Применитипоследњеправило:
а)log10 x 100 = log10 x log10 100= log10 x 2; б)loga π 2 = loga π loga 2
(VI)loga br = r loga b (b> 0)
(Логаритамстепенаједнакјепроизводуекспонентаилогаритмаоснове.)
Заиста,некајеloga b = c,односно ac = b.Наконстепеновањаобе странеса r добијасе: acr = br одаклеје loga br = cr = r loga b.
Пример14. Наосновупоследњегправилаје: а)loga x 7 =7 loga x.
Напомена.Ознакаосновепонекадсеузаписивањулогаритамаизостављаакосе знакојијебројтаосноваилиакосеподразумевадасерадисталносаистомосновом.
Такосепоследњаформуламожебележитииуоблику log x 7 =7 log x,
јертаједнакостважизапроизвољнуоснову.
б)log
Требаиматинаумуданепостојиправилокојелогаритамзбираповезујесалогаритмимасабирака.(Сличноважиизалогаритамразлике.)
Пример15. Трансформисатиузбирследећелогаритме: a)loga(3(x + y)z)= loga 3+ loga(x + y)+ loga z; б)loga
(
4
=8 loga |x|− loga 2+ 1 5 (4 loga |x 5|− loga(x 2 +1)), узуслов x =5,јерупротивномизразloga |x 5|
5.4.Логаритамињеговасвојства 233
Пример16. Израчунати: log10 7+3 log10 2+ log10 125 (log10 14+ log10 5)
Применомгорњихправиладобијасе:
Понекадјепотребнологаритамсаједномбазом(основом)изразитипомоћулогаритмасанекомдругомбазом.Тадасепоступанаследећиначин.Полазисеодлогаритмасабазом a(a> 0, a =1),означеногса x: x = loga c. (Нумерусјепроизвољанброј c> 0.)
Подефиницијилогаритмасадаје ax = c.Оваједнакостповлачиследећуако јеноваосноваброј b: logb ax = logb c
(логаритмиједнакихбројевасуједнаки).Даљеје: x logb a = logb c,
пајенајзад:
Наосновупоследњеформулеје:
Доказатидајеloga b = 1 logb a .
ЗАДАЦИ
Одредиlog
. 29. Коликоје: а)log 1 2 4 1 3 ;б)log0,25 4 √23;в)log0,008 3 √25 5 ?
30. Израчунај: а) alog8 2 ; б) 0, 3log0,3 5;в) 24 log2 11;г) 3log3 5+5 .
31. Нађи: а)логаритамброја 5 √9 заоснове(базе) 3; 81; 1 9 ; 1 81 ; б)логаритмебројева1;5;25;0,04;0,008;забазу0,2.
32.
Нађибројчијилогаритам: а)заоснову2износи3; б)заоснову3износи2; в)заоснову225износи 1 2
33. Решиједначине: а)log7 x =3;б)log5 x = 2 3 ;в)log 1 2 x =4; г)log0,7(x 3)= 2; д)log2 1 x 1+ x =1
34. Одредиосновулогаритмаакоје: а)loga 25=2;б)loga 81=4;в)loga 1 64 = 3; г)loga 0, 0081=4;д)loga 4, 84= 2
35. Закоје x имајусмисласледећиизрази: а)loga(3 7x);б)loga(x 2 + x 6);в)loga 8 x 3+ x ?
36. Користећиправилазалогаритампроизвода,количникаистепена,одредилогаритмеследећихизраза(логаритмујих)инаведиусловеподкојимасетоусваком појединачномслучајуможеучинити.
а) 3ab;б) xy 6 ;в) x2 y2 u2 + v2 ;г) 1 pq ;д) x 3 y 7;ђ) 3x√x2 y2; е)
2π√P 3a2 · 3
37. Свакиодследећихизразасвединаједанлогаритам: а)loga x +2 loga y loga π; б) 3 logx a 5 logx b 7 logx c; в)loga(p + q)+ loga(p q) (loga p + loga q); г)loga 7+ loga √5 1 2 loga 113 ; д) 1 2 loga(x + y) 2 3 (loga x + loga y); ђ)logx a + 1 3 (logx b + 1 4 (logx c + 1 5 logx(d + e))).
38. Користећиформулузапрелазизбазеубазуизрази: а)log3 25 убази5;б)log10 101 убази2.
39.* Одреди x такодабуде: logx(5x 2) · log5 x =3.
Изсамедефиницијефункције(поновитије)закључујеседаинверзнуфункцијуимасамобијекција,дакле 1 1 и на пресликавање.Притом,акоје f бијекција A на B,инверзнафункцијауознаци f 1 пресликава B на A такода важи: f 1(b)= a акоисамоакоје f (a)= b.(Погледајтеислику7.)
Сл.7 Сл.8
Пример17. Акоје A =[1, 2, 3], B =[2, 4, 8] и f бијекција A на B таквадаје f (1)=2, f (2)=4, f (3)=8,онда f 1 пресликава B на A такодаје f 1(2)=1, f 1(4)=2, f 1(8)=3 (сл.8).
Овафункцијаможесеописатииформулом.Којом?
Линеарнафункција y = ax + b јебијекција R → R,паимаинверзну функцију.Доњеседолазипросторешавајућигорњуједначинупо x: x = 1 a y b a .
Независнопроменљивауовојновојформулије y.Уобичајеноје(збогскицирањаграфика,например)дааргументбудеозначенистокаоикодпочетне функције(даклеса x).Затојезалинеарнуфункцију f (x)= ax + b инверзна функција: f 1(x)= 1 a x b a , којајеистолинеарна.
Пример18. Акоје
последњуформулу:изједнакости
y = x (симетралуугла xOy).
Експоненцијалнаилогаритамскафункција
Последњизакључакважиуопште:графицифункцијеињојинверзне(акоовапостоји)симетричнисууодносунаправу y = x (сл.10).
Овоћебитиобразложенона примерулинеарнефункције y =
ax + b ињојинверзне y = 1 a x b a . Акотачка A(m,n) припадаграфикупрвефункције,тачнајеједнакост m = an + b (објасните).
Алитадајеи n = 1 a m b a ,патачка B(n, m) припадаграфикуинверзнефункције.
Одредитикоординатетачака A, B и C. Сл.10
Наведенаразматрањаосиметричностиграфикафункцијеињојинверзне проверитинафункцији f (x)=3x 2,итонаследећиначин: – одредитиинверзнуфункцију
5.6.Логаритамскафункција 237
Инверзнафункцијаинверзнефункцијејепочетнафункција.Например, инверзнафункцијаза y = 1 a x b a јепочетналинеарнафункција y = ax + b Проверити.
ЗАДАЦИ
40. Одредиинверзнефункцијезаследећапресликавања: а) f (x)=2x;б) f (x)= 3x;в) f (x)=0, 2x +0, 3; г) f (x)=1 2x;д) f (p)=5p;ђ) f (v)= 1 4 v 1 5
41. Уистомкоординатномсистемунацртајграфикефункција f (x) и f 1(x) акоје: а) f (x)=3x +1; б) f (x)= 2x +5;в) f (x)=0, 7x.
42. Одредиинверзнуфункцијуиобразложирезултатграфичкиакоје: а) f (x)= x;б) f (x)= x +1;в) f (x)= x; г) f (x)=5 (овафункцијанемаинверзну).
43.* Докажидајетачка B(n,m) симетричнауодносунаправу y = x сатачком A(m,n).
44. Задатуфункцију f (x) одредиинверзну,скицирајобеукоординатномсистемуи одредитачкукојајесамасебисиметричнаакоје: a) f (x)= 0, 7x +0, 4;б) f (x)=2x + 1 2 .
45. Датесуфункције: f (x)=3x 2, g(x)= 1 4 x +4 и h(x)=5x.
Одредизасвакуодовихфункцијакоординатетачака A, B, C и D акосуапсцисередом 2,0,1,и3,атачкеприпадајуграфицима.Нађиинверзнефункцијеи одредикоординатетачака A1, B1, C1 и D1 симетричнихуодносунаправу y = x сатачкама A, B, C и D,акојеприпадајуграфицимаинверзнихфункција.
46.* Ималифункција f (x)= x 2 инверзну?
47.* Какавјеодговорнапитањеизпретходногзадаткаакоседодауслов x 0?Нацртајодговарајућиграфик.
5.6.ЛОГАРИТАМСКАФУНКЦИЈА
Доменекспоненцијалнефункције f (x)= ax , a> 0 јецеоскупреалних бројева.Осимтога,тафункцијаје
Експоненцијалнаилогаритамскафункција
Својство 1 1 (инјективност)последицајетврђењада:свакорастућепресликавањејеинјективно.
Заиста,акоиз x1 <x2 следи f (x1) <f (x2),штозначидаје f растућа функција,очигледнојетачнои: x1 = x2 ⇒ f (x1) = f (x2) (инјективност).
Истоважиизаопадајућуфункцију(уобаслучајанацеломдомену).Будући да ax сталнорастеилисталноопада(одчегатозависи?),закључујеседајета функцијаинјективна.
Даље, ax пресликава R на R+ (сирјективност).Тозначидајесвако y из R+ сликанеког x из R.Тражено x јеуправоloga y,аконстатованојевећдатај бројпостојизасвако y> 0.
Самграфикекспоненцијалнефункције(сл.11)јаснопредочава(алине доказује)постојањетачноједногброја x засвако y. Будући,дакле,дајебијекција b,експоненцијалнафункцијаимаинверзну: за y = ax , a> 0, a =1,је x = loga y.Затоје: f (x)= loga x,a> 0,a =1
инверзнафункцијаекспоненцијалнеизовесе логаритамскафункција.
Пример19. Функција f (x)= log2 x инверзнајеза
5.6.Логаритамскафункција 239
Пример20. Функција f (x)= log2 x инверзнајеекспоненцијалној g(x)=2x,па суграфицисиметричнипремаправој y = x.
Одредитикоординатетачака A, B, C (слика12).
Сл.12
Следиопштислучај: f (x)= loga x,a> 0,a =1
Сл.13
I.Доменлогаритамскефункцијејескуппозитивнихреалнихбројева R+ . II. Нула овефункцијејеброј1јерје loga 1=0.
III.Акоје a> 1,логаритамскафункција расте начитавомдомену:акоје y1 = loga x1, y2 = log
Основастепенајевећаод1паизаекспонентеважи
Експоненцијалнаилогаритамскафункција
Испитатисада знак логаритамскефункције.Треба,дакле,дасеодредеинтервалидоменаукојимајефункцијапозитивна,односнонегативна.
Акоје a> 1 (сл.14),ондаје:
loga x< 0, за 0 <x< 1, loga x> 0, за x> 1.
(Разумесе,за x =1 логаритамскафункцијаједнакајенули.)
Образложитиоворазматрањепомоћудефиницијелогаритма(тј.сводећи логаритамнаекспонент).
Сл.14
Сл.15
Акојеосновапозитивнаимањаодједан (0 <a< 1) (сл.15),ондаје: loga x> 0, за 0 <x< 1, loga x< 0, за x> 1.
Означитигорњеинтервалеидиректно,напримерза a> 1,loga x< 0 ако x ∈ (0, 1) итд.
Права y =0 (дакле x-оса)асимптотајеекспоненцијалнефункције.Ињенаинверзнафункција,логаритамска,имазато асимптоту.Тоје y-оса,тј.права x =0.Графиклогаритамскефункцијеприближавасетојправојкадасе x смањује(кадатежи нули),алисекриваиправаникаднесусрећу. Којојсеграни y-осеприближаваграфиклогаритамскефункције(када
Пример22. Укоординатномсистемускициранисуграфицитрилогаритамске функцијезаразличитеосновевећеодједан(сл.16).Закључитикакоповећањеоснове утиченаприродурасталогаритамскефункције.
Извршитисличнуанализунаграфицимафункција:
Полазећиодфункције f (x) већјеувишенавратаиспитиванафункција–f (x) и f (x)+ C, C ∈ R (константа).
Функцију f (x)= loga x нетребапосебноразматрати,јерјетовећучињено.Објаснитиокојојфункцијијереч.
Евопримеразаонајдругиоблик, f (x)+ C.
Пример23. Функција f (x)= log2 x 4 приказанајеграфиком(сл.17).Одредитињенунулу.
Какосеграфикфункцијеlog2 x можеискориститизацртањеграфикаове функције?
Јошнекисложенијиоблицилогаритамскефункцијеједноставносеиспитујуузпомоћосновногобликаloga x.
Погледатипримерузслику18.
Пример24. Доменфункције: f (x)= log2( x)
јескупсвихнегативнихреалнихбројева (R ) јерје x> 0
Експоненцијалнаилогаритамскафункција
Одредитинулуовефункције,каоиосталекарактеристикекојесуикод другихфункцијаиспитиване.
Којафункцијајеинверзнаовој?
Изпоследњегпримеразакључитикаквусиметријупредочавајуграфици функцијаloga x иloga( x).
Логаритамскафункцијајебијекција R+ → R (јерјеинверзнаекспоненцијалнојфункцији,бијекцији R → R+).Тозначи:
a)изloga x1 = loga x2 следи x1 = x2 (логаритамје инјекција);
б)свакиреаланброј y јестелогаритам(задатуоснову)некогпозитивног реалногброја x,или: (∀y ∈ R)(∃x ∈ R+)(y = loga x) (логаритамје сурјекција.)
Какотребаизменитипоследњуформулупадаонаописује оба наведена својствалогаритамскефункције?
Овеособинеомогућујудасеодредиброј(илиизраз)чијијелогаритам познат.
Знаседа,акојеloga x = b,ондаје x = a b.Заброј x секажедаје антилогаритам броја b.Доантилогаритмасечестодолазипутемједначина: loga A(x)= loga B,
одаклеје,собзиромнаинјективностлогаритамскефункције(својство a), A(x)= B.
Пример25. Одредити x акоје: logp x = 1 2 logp a + logp b + 2 3 logp c 3 logp d.
Примењујусе(алисадауобрнутомсмеру)правилазалогаритампроизвода,количникаистепена:
Одавдеје:
Навестиусловеподкојимарешењеимасмисла.
ЗАДАЦИ
48. Уистомкоординатномсистемускицирајфункције f (x) и g(x) акоје: а) f (x)= ( 4 3 )x и g(x)= log 3 4 x;
б) f (x)=4x ; и g(x)= log4 x;
в) f (x) =0, 3x и g(x)= log0,3 x;
г) f (x)= ( 1 10 )x и g(x)= log10 x;
д) f (x)= ( 3 5 )x и g(x)= log 3 5 x.
49. Одредидоменфункција:
а) f (x)= loga(3x 7);б) f (x)= loga( 7x);
в) f (x)= loga(3 5x);г) f (x)= loga((5x 3)(2 x));
д) f (x)= loga 3 x 2x 7 ;ђ) f (x)= loga(x 2 9).
50. Одрединулефункцијаизпретходногзадатка.
51. Нацртајграфиксвакеодследећихфункцијаполазећиодосновногграфикалогаритамскефункцијеистеоснове:
а) f (x)=1+ log3 x;б) f (x)=2 log0,3 x;в) f (x)=3 log2 x; г) f (x)= 5+ log10 x;д) f (x)= log0,6( x);ђ) f (x)= log2(x +4)
52.* Којаодследећихфункцијарасте,акојаопадаучитавомдомену: f1(x)= loga( x), a> 1; f2(x)= loga x, a> 1; f3(x)= loga( x), 0 <a< 1; f4(x)= loga x, 0 <a< 1; f5(x)= loga( x), a> 1; f6(x)= loga( x), 0 <a< 1?
53.* Закојувредностаргумента x је f (x) > 0,односно f (x) < 0 акоје: а) f (x)= log 3 4 (x +3);б) f (x)= log 3 4 x?
54.* Одредиинверзнуфункцију f 1(x) акоје: а) f (x)= log5(x +3);б) f (x)= log 1 6 (x 7)
55.* Одредискуповерешењанеједначина: а)log5(x 7) > 0;б)log2(3 x) < 0;
в)log10(x +3) 1;г)log3 x 7 x < 3.
56.* Утврдитачностследећихисказа:
а)log7 2, 5 log2,5 7 > 0;б) log8 1 2 log3 45 < 0
57.* Решиједначине(претходнонаведиусловеподкојимаонеимајусмисла):
а)log x =2 log 4+ 1 3 log 27 1 2 log 64;
б)log 2= log(x 5) 3 log 3;
в)log(x 3) log 6 =2 log 3+ log(x +2);
г)log 3+ 1 2 log 4+ log(5x 1)= log(x +2)+ log 23
Објаснизаштосуунаведенимједначинамаизостављенеоснове.
5.7.ДЕКАДНИЛОГАРИТМИ
Занепосреднеприменелогаритамаилогаритамскихфункцијакорисноје располагативредностималогаритамаштовише(позитивних)реалнихбројева,свезаунапредодабрануоснову.
Једнаоднајчешћеупотребљаванихосновајестеброј10,пасеодговарајућилогаритам (log10 x) зове декаднилогаритам.Основниразлогзаизборове основејестенашуобичајенидекаднисистемзаписивањабројева.Затосевредностинекихдекаднихлогаритамамогуодмаходредити.
Закључитизаштоје: log10 1=0, log10 10=1, log10 100=2, log10 105 =5, log10 1 10 = 1, log10 1 1000 = 3, log10 √10= 1 2 .
5.7.Декаднилогаритми 245
Доказзато:некаје r ∈ R+ и r нијеоблика 10k.Акобиlog10 r биорационаланброј,даклеlog10 r = p q ,билоби: 10 p q = r, односно 10p = rq , штонијемогућесобзиромнапретпоставкуда r нијестепенброја10.Зато, log10 r неможебитирационаланброј.
Овајдоказспроведенјелогичкимпоступкомкојисезовеконтрапозиција иописујесетаутологијом: (p ⇒
Одредитизаовајслучајисказе p и q.
Дакле,декаднилогаритмисууглавномирационалнибројеви.Збогтогасе радсањимасводинарачунањеприближнимбројевима.(Заменомосновене бибилопромене.Опетбибилосуочавањасапретежноирационалнимбројевима.)
Основалогаритманајчешћесеизостављауправокоддекаднихлогаритама.Затоћесеиовдеубудућеписати:
Уочитисадапроизвољанреаланброј r.Стандардниобликдецималногзаписаомогућуједасеонзапишекаопроизвод p · 10k,гдеје k цеоброј,а p
између1и10.Такоје 55=5, 5 · 10; 172, 3=1, 723 · 102 ; 0, 013=1, 3 · 10 2 ; 3, 14=3, 14 · 100 итд.
Дакле,зареаланброј r је r = p · 10k,пајеlog r = log p + log 10k ,односно log r = k + log p
Пример27. Наосновупоследњихразматрањајеlog 28= log 2, 8·10= log 2, 8+ log 10=(log 2, 8)+1=1+ log 2, 8.
Сличноје:
log 156, 7=2+ log 1, 567
log 0, 0013= 3+ log 1, 3
log 9978, 256=3+ log 9, 978256
log 0, 5= 1+ log 5.
k + log p
Садаћесепроценитиколикиможебитибројlog p којисејављакаосабиракугорњимједнакостима.Нетребазаборавитидаје 1 <p< 10 (p може битиибројједан,алијетајслучајразмотреннапочеткуодељка).
Какојезаоснову10логаритамскафункцијарастућа,аlog 1=0 иlog 10= 1,тојезбогlog 1 < log p< log 10: 0 < log p< 1.
Сл.19
Експоненцијалнаилогаритамскафункција
(Погледајтеслику19.)
Итако,једнакостlog r = k + log p значидаседекаднилогаритамреалног броја r можеизразитикаозбирцелогброја k илогаритмаброја p (1 <p< 10), причемујетајлогаритамбројизмеђунулеиједан.
Цеоброј k је карактеристика,абројlog p мантиса логаритмаброја r.
Пример28. Поштоје: 93, 2=9, 32 101 , односноlog 93, 2=1+ log 9, 32,
карактеристикадекадноглогаритмаброја93,2је1амантисаlog 9, 32.
Слично: log 0, 05= 2+ log 5, пајекарактеристикалогаритмаброја0,05број 2,амантисаlog 5. log r = k + log p
карактеристикамантиса
Размотритисададекаднелогаритмебројевакојисеразликујусамопоположајудецималногзареза.
Пример29.
0, 0314=3, 14 · 10 2 ; log 0, 0314= 2+ log 3, 14
0, 314=3, 14 10 1 ; log 0, 314= 1+ log 3, 14
3, 14=3, 14 · 100 ; log 3, 14=0+ log 3, 14
31, 4=3, 14 · 101 ; log 31, 4=1+ log 3, 14
314=3, 14 102 ; log 314=2+ log 3, 14
3140=3, 14 · 103 ; log 3140=3+ log 3, 14 итд.
k + log p
5.7.Декаднилогаритми
Овајпример,каоипретходноразматрање,наводинаследећезакључке: I Бројевикојисеудецималномзаписуразликујусамопоположајудецималногзарезаимајуистумантису (пример29).
IIa) Карактеристикалогаритмабројавећегодједанјезаједанмања одбројацелихместаудекадномзаписутогброја.
Пример30.
log 35, 4 –карактеристика1
log 617 –карактеристика2
log 7, 285 –карактеристика0итд.
IIб) Карактеристикалогаритмапозитивногбројамањегодједанје негативнаипоапсолутнојвредностиједнакабројунулакојеу децималномзаписутогбројапретходепрвојцифриразличитој однуле
Пример31. log 0, 00075= 4+ log 7, 5; карактеристика 4 log 0, 2= 1+ log 2; каракеристика 1 log 0, 055= 2+ log 5, 5; карактеристика 2 итд.
ТврђењаI,IIа)иIIб)образложенасубројнимпримерима.Онаседоказују помоћуједнакости:
r = p · 10k , односно log r = k + log p, 1 p< 10
Безобзираокомпозитивномброју r серади,можесеодредитикарактеристикањеговоглогаритма.
Одредитикарактеристикеследећихлогаритама: log 0, 305; log 80, 07; log 506;log 123;log 0, 0001010;log 5505;log 123, 4;log 1, 234;log π.
Карактеристикадајесамоцеламестаудецималномзаписубројаlog r.Децималнаместадесноодзарезаодређујењеговамантиса.Какојеонаирационаланброј(осим,каоштосезна,кадаје r облика 10k , k ∈ Q),можесесамоприближноодредити.Затосекористе логаритамскетаблице
неприближнимвредностимамантисасаодређеномтачношћу.Већспоменуте таблицепоШлемлихуиМајценудајумантисесатачношћуодпетдецимала
Првелогаритамскетаблицесаставилису,независноједаноддругог,шкот-
Употребутаблицаданассускороупотпуностипотиснулиелектронски рачунарикојимасесложенирачуниизводебржеипрецизније.
Ипак,логаритамскихтаблицасејошнеодричемо.Примерикојиследебићеобразлаганиупоредокоришћењемтаблицаиџепнограчунара(користићемотермин калкулатор)накомепостојитастерзаизрачунавањедекадноглогаритма(означенсаlogилиlg)итастеркојиодговараекспоненцијалнојфункцији 10x .
Детаљнаупутствазакоришћењетаблицадатасууњиховомуводу.Раније стевећнаучилидаихкориститезаизрачунавањевредноститригонометријскихфункција.Овдетаупутстванећебитипонављана,већћебитиобразлаганакрозпримере.
Пример32. а)одредитиlog 917, 4.
Логаритамчетвороцифреногброја(безобзиранаположајдецималногзареза) налазисенепосредноизтаблицапоштосепретходноодредикарактеристика(број 2): log 917, 4=2, 96256.
(Калкулатордајебољуапроксимацију: log 917, 4=2, 9625587.)
Напомена.Будућидасуовосвеприближневредности,једнакостисхватамоу смислуукомесеиначеодређујуирационалнибројеви.Дакле,горњаједнакостзначи: log 917, 4 ≈ 2, 625587, илиlog 917, 4=2, 9625586 ...
б)Одредитиlog 0, 0017905.
Карактеристикајеброј 2,амантисасеодређујепомоћу
17905.Зато јепотребновршитипоправку: 0, 25285 (мантисазапрвечетирицифре) 12 5 (поправкауколони25јеброј12,5) 0, 25297 5
Таблицедајупетпоузданихдецимала.Затоје: log 0, 017905=0, 25297 2= 1, 74703.
Пазите,резултат није 2, 25297,већ 2+0, 25297,штонијеисто.
Калкулатордајеследећуапроксимацију: log 0, 017905= 1, 7470257.
Одредитисадаузпомоћлогаритамскихтаблица,односнокалкулатора,неколико бројевачијисулогаритмидати(треба,дакле,дасеантилогаритмујудатевредности).
Пример33. а)Коликоје a акојеlog a =3, 02458?Решењеједначинеочитоје број 103,02458 ипомоћутастера 10x (за x =3, 02458)накалкулаторуодмахседобија резултат: a =1058, 2298 (тоје,разумесе,приближнавредност).
5.7.Декаднилогаритми 249
Употребатаблицасводисенаследећеразматрање.Карактеристикаовог логаритмаје3,патраженибројима четирицеламеста.Најближа(мања)мантисаје 0, 02449,штодајецифре1058,аузпоправкууколони 41 добијасецифра2иразлика 9 8, 2=0, 8.Такоседолазидоноверазлике,броја8,односно доцифре2.Коначно:
a =1058, 22.
(Овајбројкаоштосевиди,нијезаокругљеннадведецимале.Тотребаучинити узимајућиуобзирвредносткојаједобијенапомоћукалкулатора.)
б)Одредити x изједначине: log x = 3, 32982
Приближнавреднострешења(узпомоћкалкулатора)јеброј 10 3,32982,односно x =0, 0004679206.
Узпомоћлогаритамскихтаблицарадисеовако: log x = 3, 32982+4 4
(мантисаморабитибројизмеђу0и1,отудаоватрансформација),односно: log x =0, 67018 4.
Мантисаутаблицамадајепрвечетирицифре4679.Уколони10поправка3,0 дајецифру3.Дакле,узимајућиуобзирикарактеристику(број 4),долазисе доприближногрешења: x =0, 00046793.
Уследећемодељкубићеуказанонабројнепримередекаднихлогаритама узкоришћењетаблица,односнокалкулатора.
ЗАДАЦИ
58. Израчунајбезкоришћењатаблицаиликалкулатораследећедекаднелогаритме: а)log 3 √10;б)log 1 100 ; в)log 1000√2;г)log(100)log √10 100
59. Напишиуоблику k + log p, k ∈ Z, 1 p< 10 следећелогаритме: а)log 278, 56;б)log 0, 0505;в)log 2, 708;г)log 3333; д)log 0, 00008;ђ)log 0, 12345;е)log 40;ж)log 53, 2 102
60. Кадајеlog 7, 614=0, 88161,одреди: log 7614; log 761, 4; log 76, 14; log 0, 7614; log 761400; log 0, 0007614
61. Акосуследећибројевивредностидекаднихлогаритама,напишиихуоблику збиранегативнекарактеристикеипозитивнемантисе: а) 3, 72546;б) 2, 31017;в) 4, 01239; г) 1, 73220;д) 0, 25032;ђ) 0, 01101
62. Кадјеlog 2=0, 30103,log 3=0, 47712,log 7=0, 84510,одредилогаритмепреосталихбројеваизмеђу1и10.
63. Одредибројцелихместа,односнобројнуладопрвецифреразличитеоднулеу декадномразвојуброја x акоњеговлогаритамизносиприближно: а) 3, 45128;б) 0, 23550 1;в) 0, 27715; г) 3, 14145;д) 1, 33491;ђ) 0, 25098 3.
64. Помоћулогаритамскихтаблицанађилогаритмеследећихбројева: а) 92, 76; 0, 9276; 9, 276; 0, 0009276; б) 359, 4; 35, 947; 0, 359478; 359, 04; в) 1123, 8; 112370; 0, 11237; 112379; г) 0, 0008; 0, 70007; 6, 0066; 1, 0101
65. Одредибројчијиједекаднилогаритам: а) 3, 30103; 0, 047712; 2, 15126; 4, 77112; 0, 00007; б) 0, 35411 2; 1+0, 43905; 0, 01901 4; в) 2, 11905; 3, 12105; 2, 55407; 0, 07708
66. Израчунајlog π заокругљујући π на:
а)дведецимале;б)тридецимале;в)четиридецимале; (π =3, 14159265 ...).
5.8.ПРИМЕНАДЕКАДНИХЛОГАРИТАМА
Општасвојствалогаритама(свођењелогаритмапроизводаназбирлогаритамаисличнозаколичник,односностепен)знатнопоједностављујурешењеразнихнумеричкихпроблема.Посебносудекаднилогаритмибилизначајниуразвојуделатностикојезависеодсложенихнумеричкихпрорачуна(грађевинарство,астрономија,поморство,геодезија).
Неколикопримераћеуказатинатепримене.Уздоговорсанаставником, појединепрорачунеможетевршитипомоћутаблица,односнокористећикалкулатор.
Пример34. Израчунати 13, 70,4 .
Калкулаторсатастеромзаизрачунавањестепена yx дајерезултат2,8489723 (или,акојењеговапрецизностмања,број2,84897).
Наћитувредностпомоћутаблица: акоје a =13, 70,4,ондаје log a =0, 4 · log 13, 7.
Карактеристикаовоглогаритмаје1,амантиса(137уколони0)износи0,13672. Затоје: log a =0, 4 · 1, 13672, односно
5.8.Применадекаднихлогаритама 251
log a =0, 45688 (наконизвршенепоправке).
(Дакле, a =100,454688.)
Карактеристика0дајеједноцеломесто,мантиса0,45469(петдецимала)
цифре2848,аисправкацифру9.Такојенаконовогантилогаритмовања: a =2, 8489
Пример35. Израчунати x акоје:
Решење.
Користесетаблице:
Одавдеје:
(Акосе x израчунакалкулатором,непосредноизформуле(1)добијасевредност 38396944.Овојебољаапроксимацијајерседоњедошлонепосредно,безлогаритмовањаиантилогаритмовања.)
Образложити,узимајућиуобзирпоузданецифре,заштојезавредност(2)правилнијеписати 3, 8385 · 107 уместо3838600.
Пример36. Решитиједначину 2x =3.
Логаритмиједнакихвредностисуједнаки.Затојеизгорњихједнакости: log 2x = log 3,
x log 2= log 3,
Експоненцијалнаилогаритамскафункција
(Калкулаторвећизформуле(3)дајерезултат: x =1, 5849625.)
Дабисеприменилелогаритамскетаблице,логаритмујесеформула(4): log x = log 47712 log 30103, log x =4, 67863 4, 47861, log x =0, 20002.
Одавдеје x =1, 5849
Акојепотребнорачунатисанегативнимбројевима(азањих,каоштосе зна,логаритамниједефинисан)радисенаследећиначин.
Пример37. Одредити x изједнакости: x = 3, 7 · 4
Број x јепозитиван: x =3, 7 · 4 √256, 3
Садасепримењујеуобичајенипоступак: log( x)= log 3, 7+ 1 4 log 256, 3.
Наставитисарадом.(Непосредниммножењем,односнокореновањемкалкулаторомдобијасерезултат– x =14, 804334.)
Евосадаигеометријскихпрорачунапрекокојихседолазидопрактичних применадекаднихлогаритама.
Пример38. Израчунатизапреминукоцкеакојењенаповршина 17 25 128 cm 2
Решење. Каоштосезна,површинакоцкерачунасеформулом: P =6a 2 , азапреминаје V = a 3 .
Потребноје,дакле,дасеизповршинеодредистраница:
5.8.Применадекаднихлогаритама 253
Најзад,из V = a 3 добијасе:
V =1, 69289263 , односно: V =4, 85164 cm3 .
Одредитииовувредностпомоћулогаритамскихтаблица.
Нисусамодекаднилогаритмиширокопримењиваниуразнимпрорачунима.За основулогаритмаузимасеиједанирационалниброј,означенса e,ачијајевредност приближно 2, 71828
Уобичајеноједасетакавлогаритамзове природни логаритам иозначавасаln(латински logaritmusnaturalis значиприроднилогаритам).
Дакле,ln x = loge x
Уинформатицисекористиилогаритамсаосновом2(бинарнилогаритам).
Акосенепоседујутаблицетихлогаритама,користисевећпоменутиначинпреласканадекадни.
Акојеlog2 x = z,ондаје 2z = x,паселогаритмовањем(декадним)добија: z log10 2= log10 x,
одаклеје,кадасеизрази z ипоновоунесебинарнилогаритам: log2 x = log10 x log10 2
Известиједнакост: ln x = log x log e
Пример39. Израчунатиlog2 379
Решење. log2 379= log 379 log 2 = 2, 57864 0, 30103 =8, 56605.
Евоипримеракојинијечистоматематички,аукомесепрорачунможе известипомоћудекаднихлогаритама.
Пример40. Одредитидужину d секундногклатнаизформулезапериодосциловања. T =2π√ d g .
(Радисеоматематичкомклатнукодкогаполовинапериода T износитачноједнусекунду.Са g јеозначеноубрзањеЗемљинетеже: g =9, 81 m/s2.)
Изформулеје: d = g ( T 2π )2 ,
паје: d =9, 81 · ( 2 2π )2 .
Наставитисарачунањем.(Резултат: d =0, 99396 m.)
ЗАДАЦИ
67. Израчунај: а) 7 √285, 4;б) 0, 235 9, 82 313;в) 1, 2035 14, 58 ; г) 3, 24 5 √17, 08 11√5, 67 ;д) (1+ 25, 6 3, 48 ) 7
68. Одреди x акоје: а) x = 4 √7+ 3 √2, 3078;б)
в) x = 7 √256 3 √32, 8;г) x = (1, 00817 · 11√3, 14+0, 83); д) x = ( 4 √2253 +128 1 5 ) 3 5 ;ђ) x =
15, 07 3 4 +17, 8089 √0, 7 11 2 .
69. Израчунај: 7 √ 3, 153 28, 072 · 5 √0, 0192 3 √ 25 378
70. ДалисутачнеједнакостикојејејошАрхимед(IIIвекпрен.е.)поставио: а) √9082, 321 < 3013 3 4 ;б) 3 10 71 < 6336 2017 · 1 4 ?
71. Нађиприближнувредностнепознате x изједначине: а) 5x =7;б) 257, 3x =12, 5;в) 5x =6x+3
72. Нађивредностизраза 4 3 R3 π акоје r =2, 519.
73. Израчунајвредностброја π изједнакости: π = 5419351 1725033 .
74. Израчунајповршинуквадратачијијеобим
76. Одредизапреминуправилногтетраедраакојењеговаивица
77.
5.9.*Изоморфизамструктура (R+ , ·) и (R, +).логаритамскаскала 255
78. Одредиивицуправилногоктаедрачијајезапремина: V =0, 5 dm3
79. Ирационаланброј e =2, 71828
апроксимирасебројевима: (1+ 1 n )n ,n =1, 2, 3,.
Одредиприближневредностиброја e изовеформуле,узимајућиза n редомбројеве1,10,100,1000.
80. Акосесаln x означиloge x,израчунај: а)ln e;б)ln 2;в)ln 10;г)ln π;д)ln 1000; (заброј e узмивредност 2, 718,аза π апроксимацију3,1416).
5.9.*ИЗОМОРФИЗАМСТРУКТУРА (R+ , ·) и (R, +). ЛОГАРИТАМСКАСКАЛА
УвишенавратајеспомињанодајелогаритамскафункцијабијекцијаR+ → R.Тоначидајесвакиреаланброј y логаритамтачноједногпозитивногброја x.Дакле,функција
увекистомосновом).
Сл.20
Познатојесвојствокојелогаритампроизводаповезујесалогаритмима
Експоненцијалнаилогаритамскафункција
Пример41. За f (x)= log x,је: f (10 · 2)= f (10)+ f (2).
Заиста, f (10 2)= f (20)= log 20, a f (10)+ f (2)= log 10+ log 2= log 20.
Образоватинеколикооваквихједнакостиполазећиодформуле(2).
Штаговориформула(1)? Множење позитивнихреалнихбројевапосредствомлогаритамскефункцијесводисенасабирањесвих(несамопозитивних) реалнихбројева.
Пример42. Идаљепосматратифункцију f (x)= log x.
Једнакост: f (0, 5 · 0, 2)= f (0, 5)+ f (0, 2)
написатизамењујући f логаритмомипроверитијезаосновудесет.
Скуп R+ уодносунамножењејеједнаалгебарскаструктураозначена обичноса (R+ , ·) –уређенипар:скуп,операцијанањему.Истотакојеи (R, +) једнаалгебарскаструктура.
Пример43. Алгебарскеструктуреспомињанесуиуздругескуповебројевакад годсунањимапосматранеоперације(обичносабирањаилимножења,илиобе).Алгебарскеструктуресутако (N, +), (N, ·), (Z, +, ·), (Q, +), (R, +, ·).Навестипоименце свакуодовихструктура.(Например (N, +) јескупприроднихбројевауодносуна сабирањеитд.)
Логаритамскафункцијаје,дакле,бијекцијакојаповезујеалгебарскеструктуре (R+ , ·) и (R, +).
Својство(1)указујенаистоветносткојулогаритамуспостављаизмеђуте двеструктуре:производудвабројаизпрве,овафункцијапридружујезбир њиховихсликаудругојструктури(погледајтеислику21).
Кажеседајебијекција f (f (x)= log x) изоморфизам између (R+ , ·) и (R, +).Тедвеструктуресу,дакле, изоморфне.
Пример44. Уструктури (R+ , ) постоји неутрални елеменатуодносунапосматрануоперацију–множење.Тоје,каоштосезна,бројједан: a 1= a, засвакиброј
уредник Драган Ракичевић
Лектор Росанда Вучићевић
Графички уредник Милан Бјелановић
Александар Радовановић
Дизајн и прелом Жељко Хрчек
Корице мр Бранислав Николић
Коректор Милева Радосављевић
Обим: 16,25 штампарских табака Формат: 16,5×23,5 cm
Rукопис предат у штампу 2014. године. Штампање завршено 2014. године.
Рукопис у штампу августа 2014. године. Штампање завршено августа 2014. године.
Штампа
Штампа Colorgrafx, Београд
