Математика са збирком задатака за 1. разред гимназије - 21078 by Zavod za udžbenike

MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA

za I razred gimnazije

Рецензенти

Арсеновић, редовни

Редактор

37.016:51(075.3)

КЕЧКИЋ, Јован Д., 1945-2001

Математика са збирком задатака : за I разред гимназије / Јован Д. Кечкић. - 2. изд. - Београд : Завод за уџбенике, 2022 (Београд : “Дунав”). - VIII, 270 стр. : граф. прикази, табеле ; 24 cm

Тираж 1.200. - Напомене уз текст. - Регистар.

ISBN 978-86-17-20725-8

COBISS.SR-ID 69100041

1992–2022

ПРЕДГОВОР

Овајуџбеникјеписанпопрограмунаведеномнастр.265,тј.позаједничкомпрограмуза сватритипагимназије(М1,М2,М3)изаонесредњешколе(М12,М13,М14)укојимајефонд часоваматематикеупрвомразреду4часанедељно.

Одсвихважећихпрограмаматематикезасредњешколе,којииначенисудобри1 ,овипрограмизапрвиразредубедљивосунајгори.Товрлодобрознајупрофесорикојисебезуспешно трудедаихреализујусасамочетиричасанедељно,тестоганемапотребедаотомевишеговорим.

Излагањегеометриједрукчијејеодизлагањаосталогградива,јертонамећусамисадржаји.Излагање,,негеометрије“течекаоприча,самалодоказанихтврђењаисамногопримераи задатакапомоћукојихсеувежбаватехникарачунања,тј.поступцикакосе,например,испитује далијенекаисказнаформулатаутологија,какосерешавајусистемилинеарнихједначина,како седелеполиноми,какосерешаваправоуглитроугао,итд.Насупроттоме,излагањегеометрије одвијасепрековеликогбројадоказанихтврђењанакојасекаснијечестопозива,пасустога инумерисана.Наравно,имаитудостарешенихпримераимногозадатака,стимштотреба иматинаумудасуугеометријипримериизадацитакорећиистоштоитеореме,доктоније случајсапримеримаизадацимаиз,,негеометрије“.

Уџбеникјенамењенпрвенственопрофесоримаматематикеиученицимакојинамеравају дастудирајуматематикуилинекуодприроднихилитехничкихнаука.Међутим,начинизлагањабитребалодаодговараионимученицимакојинисупосебнозаинтересованизаматематику икојиуџбениксамоповременокористе.

Књигасадржипреко300примера(великувећинучинерешенизадаци),преко200питања искоро1000задатаказавежбузакојесурезултатидатинакрају,штозначидајекњигаистовременоиуџбеникизбирказадатака.Задаткејевећимделомодабрала,саставилаирешила професорСлободанкаКечкић.

Додацисеодносенаматеријукојанијеексплицитнопоменутаупрограму,аликојанеизлазиваноквиравећпређеногградива.Прематоме,тасематеријаможеслободнозаобићи,али сенадамдаћебарнекиодтихнеобавезнихтекстовабитиинтересантнибарнекимчитаоцима. Кадсеодбијустраницепосвећененеобавезнимдодацима,затимпитањимаизадацима (формулацијеирезултати)ијошнекимдопунскимтекстовима,излазида,,уџбеничкидео“ове књиге(заједносарешенимпримерима)износиоко167,штоје,чинимисе,сасвимразумно. Захваљујемрецензентима,професоруСветозаруМилићуипрофесоруЕугенуВедралуна пажљивомикритичкомчитањурукописа.Наосновуњиховихкоментараисаветатекстјена вишеместабољеизложенилипоправљен;видетииНапоменунастр.177.

САДРЖАЈ

ПРЕДГОВОР iii

СМАТРАМОПОЗНАТИМ vii

1.ЛОГИКАИСКУПОВИ

1.Некипојмовиматематичкелогике.......................

1.1 Операције са исказима

1.2 Исказне формуле. Таутологије

1.3 Квантификатори

2.Некиопштипојмовивезанизаскупове....................

. Кратак подсетник

1.2

2.3

2.4

3.Односизмеђурационалнихиреалнихбројева................

3.1

3.2

3.3

4.Пропорционалност................................

4.1

4.2

5.Додатак:Нештодетаљнијеореалнимбројевима...............

Садржај v

5.1 Увод

5.2 Децимални записи рационалних

5.3. Аксиома супремума

3.ЕЛЕМЕНТАРНАГЕОМЕТРИЈА

1.Тачке,правеиравни...............................

1.1 Увод

1.2

1.3. Распоред тачака

1.4. Паралелност

2.Подударност....................................

2.1 Подударност дужи

1.3 Безуов став. Факторизација полинома 189

1.4 Полиноми и рационални изрази по више променљивих 195

2.Полиномнеирационалнефункције...................... 200

2.1. Основни појмови .

2.2. График линеарне функције

2.3 Неке функције чији су графици састављени из делова правих линија 207

3.Линеарнеједначинеинеједначине.......................

3.1 Неки општи појмови

3.2

3.3

3.4

5.УВОДУТРИГОНОМЕТРИЈУ

1.Тригонометријскефункцијеоштрогугла....................

везе

1.2. Неке особине тригонометријских функција

1.3 Вредности тригонометријских функција

2.Некеприменетригонометријскихфункција..................

примене .

6.БЕЛЕШКАОТЕРМИНОЛОГИЈИ

7.РЕЗУЛТАТИ 257 Логикаискупови................................. 257 Реалнибројеви................................... 258 Елементарнагеометрија............................. 259 Полиноми..................................... 261 Уводутригонометрију..............................

8. ПРОГРАМИ

9. СЛИЧНОСТ

АЗБУЧНИК ПОЈМОВА

СМАТРАМОПОЗНАТИМ

Учениципрвогразредасредњешколевећсуосамгодинаучилиматематику истеклинеказнања.Многеученицимавећпознатечињеницебићепоновљенеу овомуџбенику(додушеупрецизнијемоблику),алисенашеизлагањеипакнеодвијабаш,,одпочетка“.Посебноистичемонекепојмовеитврђењакојасматрамо колико–толикопознатим.

1.Претпостављамодајеинтуитиванпојамскупасвакомепознат.Сматрамода скупсадржисвојеелементеидајењимапотпуноодређен.Скупчијисуелементи a, b, c,... означавамо: {a,b,c,...}.Скупкојисачињавајусвиелементикојиимају некуособину P означавамо: {x | x имаособину P }.

Пример1. Скупчијисуелементибројеви2,4,7,11означавамо: {2, 4, 7, 11}.Скупчији суелементисвибројевикојисувећиод2означавамо: {x |x> 2}

Запис a ∈ A означавадаелемент a припадаскупу A,тј.даскуп A садржи

елемент a.Запис a / ∈ A означавадаелемент a неприпадаскупу A,тј.даскуп A не садржиелемент a.

Сматрамодасудваскупаједнакаакоимајуједнакеелементе.

Пример2. Имамо: {1, 2, 3, 4} = {1, 1, 2, 3, 3, 4} = {1, 2, 3, 3, 3, 4, 4}

2. Сматрамодајепознатоштасуприроднибројевииштасуцелибројеви. СкупсвихприроднихбројеваувекозначавамословомN,аскупсвихцелихбројева словом Z;дакле, N = {1, 2, 3,...}, Z = {0, 1, 1, 2, 2, 3, 3,...}

Даље,сматрамодајепознатоштасурационалнибројеви(разломци).Тосу свибројевиоблика m n ,гдесу

Q;дакле,

viii

Пример3. Тврђење

stranaviii

Сматрамопознатим

Акојe n природанброј,ондаје n +1 >n

краћезаписујемонаједанодследећихначина:

(i) Засвако n ∈ N важи n +1 >n;

(ii) Ако n ∈ N,ондаје n +1 >n;

(iii) Акоје n ∈ N,ондаје n +1 >n.

Међутим,тадасезапис n ∈ N којисепојављујеусвимовимреченицамачитаразличито; наиме,горњереченицечитаморедомовако:

(i) Засвако n из N важи: n +1 јевећеод n; (ii) Ако n припада N,ондаје n +1 већеод n; (iii) Акоје n елементскупa N,ондаје n +1 већеод n

4. Наводимоидвечињеницеизгеометријекојећекаснијебити(поново)доказане.

(i) Ако су тачке A, B, C, D, E приказане на сл. 1

праве BD и CE паралелне, онда сматрамо познатим

ЛОГИКАИСКУПОВИ

1.НЕКИПОЈМОВИМАТЕМАТИЧКЕЛОГИКЕ

1.1.Операцијесаисказима Уматематицинајчешћерадимосаисказима,тј.сареченицамакојеимајуодређену истинитоснувредност.Акојеисказ p тачан,кажемодаимавредност ⊤ и пишемо v(p)= ⊤,аакојенетачанкажемодаимавредност ⊥ ипишемо v(p)= ⊥ Симболи ⊤ и ⊥ читајусе те и не-те.

Пример1. Реченица,,Број 2 јемањиодброја 4“јетачанисказ.Реченица,,Број 2 садржисе (безостатка)уброју 3“нијетачанисказ.Реченице,,Плавабојајенајлепша“или,,Коликоимаш година?“немајуистинитоснувредност,дакленисуискази.

Акосу p и q искази,одњихправимоновеисказенаследећиначин. (i),,Није p“је негација исказа p;означавамоје ¬p; (ii),,p и q“је конјункција исказа p и q;означавамоје p ∧ q; (iii),,p или q“је дисјункција исказа p и q;означавамоје p ∨ q; (iv),,Ако p,онда q“је импликација исказа p и q;означавамоје p ⇒ q; (v),,Ако p онда q иако q онда p“је еквиваленција исказа p и q;означавамоје p ⇔ q

Узависностиодистинитоснихвредностиисказа p и q,дефинишемоистинитосневредностињиховенегације,конјункције,дисјункције,импликацијеиеквиваленцијепомоћуследећихтаблица: p ¬p ⊤ ⊥ ⊥⊤ p qp ∧ qp ∨ qp ⇒ qp ⇔ q ⊤ ⊤⊤⊤⊤⊤

⊤⊥⊥⊤⊥⊥

Пример2. Акоје v(p)= ⊤, v(q)= ⊥,наосновуоветаблицевидимодаје v(¬p)= ⊥, v(p ∧ q)= ⊥, v(p ∨ q)= ⊤, v(p ⇒ q)= ⊥, v(q ⇒ p)= ⊤, v(p ⇔ q)= ⊥,итд. Искажимогорњетаблицеиречима: (i)Исказ ¬p имасупротнувредностодисказа p; (ii)Исказ p ∧ q јетачансамокадсуобаисказа p, q тачни;

Логикаискупови

(iii)Исказ p ∨ q јенетачансамокадсуобаисказа p, q нетачни; (iv)Исказ p ⇒ q јенетачансамокадје p тачан,a q нетачанисказ; (v)Исказ p ⇔ q јетачансамокадобаисказа p, q имајуистувредност(оба тачнаилиобанетачна).

Пример3. Реченица,,АкојеБеограднајвећиграднасвету,онјевећиодПариза“јетачан исказ.Тајисказјеимпликација p ⇒ q следећихисказа:

p:Београдјенајвећиграднасвету, q:БеоградјевећиградодПариза.

Обаисказа p и q сунетачна,пајењиховаимпликацијатачанисказ.

Акоје v(p ⇒ q)= ⊤,ондакажемо: p je довољан условза q,или q је потребан условза p

Акоје v(p ⇔ q)= ⊤ ондаје p потребанидовољан условза q

Пример4. Дабиприроданброј n биодељивбројем 6 довољноједабудедељивса12,а

потребноједабудедељивса2,јерсуследећеимпликацијетачне: n једељивса12 ⇒ n једељивса 6; n једељивса 6 ⇒ n једељивса 2. Дабиприроданброј n биодељивса 6 потребнојеидовољнодабудедељивиса2иса3, јерважиследећаеквиваленција n једељивса2и n једељивса3 ⇔ n једељивса6.

Питања

1. Шта

5. Некаје n природанбројинекасу p, q, r следећиискази: p: n једељивса 4; q : n 2; r: 2n једељивса 4 Далијенекиодисказа p, q, r потребан,довољан,односнопотребанидовољанусловза исказ,,n јепаранброј“?

6. Некасу p, q, r искази: p:Троугаојеједнакостраничан; q:Збирдвестраницеутроуглувећијеодтреће; r:Утроуглупостоједваисамодваједнакаугла.

1. Некипојмовиматематичкелогике 3

Далијенекиодисказа p, q, r потребан,довољан,односнопотребанидовољанусловза

исказ,,Троугаојеједнакокрак“?

Засвакиодследећихисказаодредитиподвапотребна,двадовољнаидвапотребнаидовољна услова:

7. Природанброј n дељивјебројем 10; 8. Троугаојеправоугли;

9. Број m n јепаран(где m,n ∈ N); 10. Четвороугаојеправоугаоник.

1.2.Исказнеформуле.Таутологије

Описноговорећи,исказнаформулајеформулаукојојучествујузаграде,знациоперација ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔ ислова p, q, r, којаназивамоисказнаслова.Међутим, приликомграђењаисказнихформуламорасеводитирачунаонекимправилима. Пример1. Обазаписа (p ∧ q) ⇒¬r и (p ∧ q)¬⇒ r формиранасуодистихзнакова,алипрвијестеисказнаформула,адругиније. Исказнеформуле суформулекојесеобразујујединоприменомследећихправила: (i) ⊤, ⊥ иисказнасловасуисказнеформуле; (ii)Акосу A и B исказнеформуле,тадасу (¬A), (A ∧ B), (A ∨ B), (A ⇒ B), (A ⇔ B) такођеисказнеформуле.

Радиједноставнијегписањауводимоинекаправилаобрисањузаграда:не пишемоспољнезаграде,иузимамодазнаци ∧, ∨ ,,јачевезују“одзнакова ⇒, ⇔,а дазнак ¬ ,,везујенајјаче“.

Пример2. Уместо ((p ∧ q) ⇒ r) краћепишемо p ∧ q ⇒ r.Сдругестране,уформули p ∧ (q ⇒ r) неможемодаизоставимозаграде. Пример3. Уместо (p ⇔ (q ∨ r)) пишемо p ⇔ q ∨ r

Означимоса F исказнуформулу (p ⇒ q)∨q укојојучествујудваисказнаслова p и q.Претпоставимодаје v(p)= v(q)= ⊤.Тада,акоуформули F заменимо p и q симболима ⊤, ⊤,добијамо (⊤⇒⊤) ∨⊤. (1)

Међутим,какоје: ⊤⇒⊤ = ⊤,(1)можемозаменитиса ⊤∨⊤,атоје,каошто знамо,једнако ⊤.Краће, (⊤⇒⊤) ∨⊤ = ⊤∨⊤ = ⊤

итакосмодобилиистинитоснувредностформуле F кадаје v(p)= v(q)= ⊤.

Дакле:акоје v(p)= ⊤, v(q)= ⊤,ондаје v(F )= ⊤

Некајесада v(p)= ⊤, v(q)= ⊥.Замењујућислова p и q редомса ⊤ и ⊥ у

формули F ,добијамо (⊤⇒⊥) ∨⊥,идаље (⊤⇒⊥) ∨⊥ = ⊥∨⊥ = ⊥.

Дакле:акоје v(p)= ⊤, v(q)= ⊥,ондаје v(F )= ⊥.

Прематоме,истинитоснавредностисказнеформулезависиодвредностиисказнихсловакојауњојучествују.Истинитосневредностиисказнеформулепрегледносеприказујупомоћутаблице.Например,загорњуформулу F имамоследећутаблицуукојојје,скраћењаради,уместо v(p),

p ⇒ q),итд.краћеписано p, q, p ⇒ q,итд.

Пример4. Некаје F формула (p ⇒ (q

r)) ⇔ (¬p ∧¬q ⇒ r).Истинитоснатаблицате формулегласи: pqr ¬p ¬qq ∨ rp ⇒ (q ∨ r) ¬p ∧¬q ¬p ∧¬q ⇒ rF ⊤⊤ ⊤⊥⊥⊤⊤⊥⊤⊤

⊤⊤⊥⊥⊥⊤⊤⊥⊤⊤ ⊤⊥⊤⊥⊤⊤⊤⊥⊤⊤ ⊤⊥⊥⊥⊤⊥⊥⊥⊤⊥

⊥⊤⊤⊤⊥⊤⊤⊥⊤⊤ ⊥⊤⊥⊤⊥⊤⊤⊥⊤⊤

⊥⊥⊤⊤⊤⊤⊤⊤⊤⊤

⊥⊥⊥⊤⊤⊥⊤⊤⊥⊥

Исказнаформулакојазасвевредностисвојихисказнихсловаувекимавредност ⊤ називасе

Собзиромдасутаутологијеформулекојеувекимајувредност ⊤,њимасуизраженилогичкизаконимишљења.Стогатаутологијеимајуважнеприменеуматематичкомзакључивању(доказивању).Отомећебитивишеречикасније. Наводимонеколиковажнијихтаутологија,сауобичајенимименима.Већиброј такођеважнихтаутологијадатјеузадацима.

1. p ∨¬p (искључењетрећег);

2. ¬(p ∧¬p) (непротивречност);

3. ¬(¬p) ⇔ p (двојнанегација);

4. (p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q (модуспоненс1);

5. p ⇔ (¬p ⇒⊥) (свођењенаапсурд2);

6. (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒¬p) (контрапозиција).

1Основнозначењелатинскеречиmodusјеначин,докглаголponoимамногозначења,например: поставити,наместити,подићи,саградити,одредити,тврдити,изложити,итд.Дакле,modusponensје рецимоначинпостављања,начинодређивања,начинтврђења,итд,алисетајтерминникаднепреводи.

1. Некипојмовиматематичкелогике

Доказујемо,,закон“контрапозиције,тј.доказујемодајеовапоследњаформула таутологија.Тојформулиодговаратаблица

наосновукојевидимодабезобзиранавредностслова p, q,таформулаувекима вредност ⊤. Акосу A и B исказнеформулеиакоје A ⇒ B таутологија,тадаје B логичка последица формуле A.Тозначидаакоје A тачно,ондаи B морабититачно.

Даље,акоје A ⇔ B таутологија,тадасуформуле A и B логичкиеквивалентне (увекимајуистувредност),пасеуместодоказивањаформуле A можедоказати (њојеквивалентна)формула B.

Пример5. Наосновугоренаведенетаутологије6видимодаседоказимпликације p ⇒ q можезаменитидоказомимпликације ¬q ⇒¬p,штосечестоичини.Такође,наосновутаутологије5видимодасеуместодоказадајетврђење p тачно,можедоказатидаизнегацијетврђења p излази,каопоследица,нетачанзакључак.

Питања

1. Заштосуформуле (p ∧ q) ⇒¬r, ¬p ∨ q

исказнеформуле,азашто (p ∧ q)¬⇒ r, ∨p ⇒∧q

нисуисказнеформуле?

2. Штајетаутологија?Навестипримереформулакојејесуиформулакојенисутаутологије.

Задаци

Акосу p, q, r исказнаслова,доказатидасуследећеформулетаутологије:

1. p ∨⊤⇔⊤; 2. p ∧⊤⇔ p; 3. p ⇒ p ∨ q;

4. p ∨⊥⇔ p; 5. p ∧⊥⇔⊥; 6. p ∧ q ⇒ p;

7. (p ⇒⊤) ⇔⊤; 8. (⊥⇒ p) ⇔⊤; 9. (p ⇒⊥) ⇔¬p;

10. (p ⇒ q) ⇔ (¬p ∨ q); 11. (p ⇒ q) ⇔¬(p ∧¬q);

12. ¬(p ∨ q) ⇔¬p ∧¬q; 13. ¬(p ∧ q) ⇔¬p ∨¬q;

14. ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r); 15. ((p ⇔ q) ∧ (q ⇔ r)) ⇒ (p ⇔ r);

16. p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r; 17. p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r;

18. p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r); 19. p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r); 20. (p ⇒ q) ⇒ (p ⇔ p ∧ q). Напомена. Наосновутаутологија10и11видимодасеимпликацијаможезаменитинегацијомидисјункцијом,односнонегацијомиконјункцијом.Таутологије12и13сутзв.

1.3.

егзистенцијални квантификатор (неки, бар један,

итд). Према томе, (∀x ∈ S)A(x) значи да свако x ∈ S има својство A, и то без обзира да ли је скуп S коначан или бесконачан. Ову последњу реченицу можемо дапротумачимоинаследећиначин.Засвако x важи:ако x ∈ S онда x имасвојство A, тј. (∀x)(x ∈ S ⇒ A

Постоји x такво да x ∈ S и да x има својство A, тј. (∃x)(x ∈

реченица

2. Некиопштипојмовивезанизаскупове 7

2.НЕКИ ОПШТИПОЈМОВИВЕЗАНИЗАСКУПОВЕ

2.1.Кратакподсетник

Украткосеподсећамонекихпознатихпојмоваувезисаскуповима. Празанскуп,уознаци ∅,јескупкојинесадржиниједанелемент.Онсеможе дефинисатинаследећиначин: ∅ = {x | x = x}.

Скупови A и B су једнаки,штопишемо A = B,акоимајуистеелементе.Скуп A је подскуп скупа B,штопишемо A ⊂ B,акојесвакиелементскупа A такођеи елементскупа B.Другимречима, A = B ⇔ (∀a)(a ∈ A ⇔ a ∈ B); A ⊂ B ⇔ (∀a)(a ∈ A ⇒ a ∈ B)

Очигледноважи: A = B ⇒ A ⊂ B.

Пример1. Наосновуовихдефиницијаимамо: {1,

{1, 2, 1, 2}⊂{1, 2, 3}; {1, 2} = {1, 2}.Засвакискуп A важи ∅⊂ A Пример2. Акосу A, B, C скупови,тачнесуследећеформуле: (i) A = A;(ii) A = B ⇒ B = A; (iii) A = B ∧

= C

A = C; (iv) A ⊂ A;(

Акосу A и B датискупови,ондасуњихов пресек

разлика A \ B дефинисаниса: A

Акоје A ⊂ B,тадасеразлика B \ A назива комплемент скупа A уодносунаскуп

B иозначавасе CB A.Специјално,акопретпоставимодасусвискуповисакојима радимоподскуповиједногодређеногскупа S,тадаразлику S \ A,тј. CS A зовемо просто комплемент скупа A иозначавамоје CA

Насл.1,2,3,4шрафираниделовипредстављајуредомскупове A ∩ B, A ∪ B, A \ B, CB A

Акоје A ∩ B = ∅,ондакажемодасускупови A и B дисјунктни Такође,акоје A ∩ B =

,ондакажемодасускупови A, B и C дисјунктниисличнодефинишемодисјунктнескупове

Пример5. Акосу A, B, C скупови,тачнесуследећеформуле:

Примерарадидоказујемо(i)и(xiii).Имамо

Уовомдоказукористилисмосетаутологијом

⇔⊥∨ (x ∈ A ∧ x ∈ B)

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B

⇔ x ∈ A ∩ B.

Уовомдоказукористилисмосеследећимтаутологијама: ¬(p ∧ q) ⇔¬p ∨¬q, p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r), p ∧¬p ⇔⊥, ⊥∨ p ⇔ p

Скупсвихподскуповаскупа A називасепартитивнискупскупа A иозначава

се PA

Пример6. Некаје A = {a}, B = {a,b}.Скуп A имадваподскупа;тосу ∅ и A.Скуп B имачетириподскупа;тосу ∅, {a}, {b}, B.Стогаје PA = {∅,A}, PB = {∅, {a}, {b},B}

Каоштознамо, {a,b} = {b,a}.Акоускупу {a,b} хоћемодаистакнеморедослед,тј.даозначимокојијеелементпрви,акојидруги,ондаговоримоо уређеном пару ипишемо (a,b).Тадаје (a,b) =(b,a),осимакоје a = b.Карактеристично својствоуређеногпараописанојееквиваленцијом: (a,b)=(c,d) ⇔ a = c ∧ b = d, којомсеизражавадајеуређенпар (a,b) једнакуређеномпару (c,d) акоисамоако јепрвиелементпара (a,b) једнакпрвомелементупара (c,d) идругиједнакдругом. Насличанначинсеуводииуређенатројка,уређеначетворка,уређена n-торка; наиме (a1,a2,...,an)=(b1,b2,...,bn) ⇔ a1 = b1 ∧ a2 = b2 ∧···∧ an = bn Напомена1.

2. Некиопштипојмовивезанизаскупове 9

Пример7. Координатетачакауравни Oxy сууређенипарови.Например,тачка (2, 1) различитајеодтачке (1, 2).Нацртатиоветачке.

Декартовпроизводнепразнихскупова A и B,уознаци A×B jeскупсвихуређенихпароваукојимапрвакомпонентаприпадаскупу A,адругаскупу B;другим речима, A × B = {(a,b) |

Узто,подефиницијије A ×∅ = ∅× B = ∅

Пример8. Некаје A = {1, 2},

}, B × A = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)};дакле, A × B = B × A

Декартовпроизвод A × A означавамо A2;дакле, A2 = {(a,b) | a,b ∈ A}.Слично, An дефинишемокаоскупсвихуређених n-торкиелеменатаскупа A,тј. An = {(a1,a2,...,an) | a1,a2,...,an ∈ A}

Напомена2. Ознака a, b ∈ A јескраћеницаза: a ∈ A ∧ b ∈ A.Слично,уместо a1 ∈ A ∧ a2 ∈ A ∧···∧ an ∈ A краћепишемо a1

Пример9. Акоје A = {a,b},тадаје A

= {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b)}, A3 = {(a,a,a), (a,a,b), (a,b,a), (a,b,b), (b,a,a), (b,a,b), (b,b,a), (b,b,b)}

Питања

1. Далипостојиподскуппразногскупа?

2. Штајеунија,пресек,односноразликадваскупа?

3. Штајепартитивнискупдатогскупа?

4. Којајеразликаизмеђудвочланогскупа {x,y} иуређеногпара (x,y)?

5. ШтајеДекартовпроизводдваскупа A и B?Заскуп A,какоседефинишескуп An ,где n ∈ N?

Задаци

1. Некаје A = {∅}.Далије A празанскуп?

2. Некаје A = {x | 3x =6}.Далије A =2?

3. Некаје A = {0, 1}.Којисуодследећихисказатачни,акојинетачни: (i) {0}∈ A;(ii) ∅∈ A;(iii) {0}⊂ A;(iv) 0 ∈ A;(v) 0 ⊂ A

4. Далисуследећеједнакоститачне: (i) {a,a,a, 1} = {a, 1};(ii) {a,b} = {b,a};(iii) {{a},b} = {b,a}?

5. Доказатиеквиваленције:

(i) {a} = {b}⇔ a = b; (ii) x ∈{a,b}⇔ x = a ∨ x = b; (iii) {a,b} = {c,d}⇔ (a = c ∧ b = d) ∨ (a = d ∧ b = c)

6. Некаје A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7, 9}, D = {3, 4, 5}, E = {3, 5} инекаје F = {A,B,C,D,E}.Далипостоји X ∈ F такодаје: (i) X ∪ B = ∅; (ii) X ⊂ D ∧¬(X ⊂ B); (iii) X ⊂ A ∧¬(X ⊂ C); (iv) X ⊂ C ∧¬(X ⊂ A)?

7. Доказатиформуле(ii),(iii),(vi)и(ix)изПримера5,стр.8.

Логикаискупови

Акосу A, B, C скупови,доказатиследећеједнакости(тзв.скуповнеидентитете):

8. A ∪ (B ∩ A)= A;

9. A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C);

10. A \ (B ∪ C)=(A \ B) ∪ (A \ C);

11. (A ∪ B) \ C =(A \ C) ∪ (B \ C)

Акосу A, B, C, D скупови,доказатиследећеимпликације:

12. A ⊂ B ∧ C ⊂ D ⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ D;

13. A ⊂ B ∧ A ⊂ C ⇒ A ⊂ B ∩ C;

14. Одредитипартитивнискупскупа {a, {b,c}}.

15. Акоје A = {a,b}, B = {2, 3}, C = {3, 4},формиратискупове:

A × (B ∪ C), (A × B) ∪ (A × C), A × (B ∩ C), (A × B) ∩ (A × C).

16. Акоје A = {1, 2}, B = {3, 4}, C = {a},формиратискупове: A × (B × C) и (A × B) × C.Далије A × (B × C)=(A × B) × C?

17. Акоје A = {3},образоватискупове A2 , A3 и A4

18. Доказатиимпликацију: A × B = B × A ⇒ A = B ∨ A = ∅∨ B = ∅

19. Доказатиједнакост: A × (B ∩ C)=(A × B) ∩ (A × C)

20. Коједодатнедефиницијетребаувестидабиједнакости A3 = A × (A × A), A3 =(A × A) × A билетачне?

2.2.Релације

Пођимоодједноставногпримера.Некаје A следећискупприроднихброје-

ва: {1, 2, 3, 4}.Тадаје A2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}.Уочимоподскупове ρ1, ρ2, ρ3 skupa A2

којисудефинисанипомоћуједнакости: ρ1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}; ρ2 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}; ρ3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}

Карактеристичнозаскуп ρ1 јетодаонсадржионеисамоонеелементескупа A2 кодкојихјепрвакомпонента једнака другој.Скуп ρ2 садржионеисамоонеелементескупа A2 кодкојихјепрвакомпонента мања оддруге.Скуп ρ3 садржионе исамоонеелементескупа A2 кодкојихсепрвакомпонента садржи удругој.Зато кажемодаскуп ρ1 дефинишерелацију једнакости,скуп ρ2 релацију битимањи,а скуп ρ3 релацију сесадржи Уопште,билокојиподскуп ρ скупа A2 називасе бинарнарелација скупа A Ако a, b ∈

2. Некиопштипојмовивезанизаскупове 11

Пример2. Акоје A = {1, 2, 3},тадајебинарнарелација тогскупадефинисанаса: = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3)},

јерсуутомскупусадржанитачноониуређенипаровиелеменатаиз A кодкојихјепрвакомпонентавећаилиједнакадругој.

Слично, релацијадужине n скупа A јебилокојиподскупскупа An.Релација

дужине 2 истојештоибинарнарелација.

Напомена1. Какосу ∅ и An подскуповискупа An,ионидефинишурелацијескупа A

Кажемодаје ∅ празна,a An пуна релацијаскупа An

Пример3. Ускупусвихприроднихбројева N дефинишеморелацију ρ дужине 3:бројеви x, y, z суурелацији ρ акоисамоакоје x 2 + y 2 = z 2,тј. ρ = {(x,y,z) | x 2 + y 2 = z 2}. Например,бројеви 3, 4, 5 суурелацији ρ,јерје 32 +42 =52,бројеви 4, 3, 5 сутакође урелацији ρ,јерје 42 +32 =52,абројеви 5, 3, 4 нисуурелацији ρ,јер 52 +32 =42.Узгред речено,ако (x,y,z) ∈ ρ ондасе,изочигледнихразлога, (x,y,z) зовеПитагоринатројка.

Пример4. УскупуNрелациједужине 1 суподскуповискупаN.Подскуп P скупаNодређенса P = {2n | n ∈ N} дефинишерелацију битипаранброј

Удаљемизлагањунајчешћекористимобинарнерелације,пакадубудућекажемопросторелација,подразумевамодајеречорелацијидужине 2. Дефинишемосадајошнекепојмовеувезисарелацијама.Акоје ρ релација (дужине 2)скупа A,иакосу a, b, c произвољниелементискупа A,зарелацију ρ

кажемодаје:

(i) рефлексивна,акоје aρa;

(ii) симетрична,аковажи: aρb ⇒ bρa;

(iii) антисиметрична,аковажи: aρb ∧ bρa ⇒ a = b;

(iv) транзитивна,аковажи: aρb ∧ bρc ⇒ aρc

Релацијакојајерефлексивна,симетричнаитранзитивнаназивасе релација еквиваленције,арелацијакојајерефлексивна,антисиметричнаитранзитивнаназивасе релацијапоретка скупа A

Пример5. Ускупусвихприроднихбројева N знамоштасурелацијеједнакост(=),мање (<),мањеилиједнако( ),веће(>),већеилиједнако( ),сесадржи(|). Релација = јерелацијаеквиваленције,атакођеирелацијапоретка,јерзасвеприродне бројеве a, b, c важи: a

Релација < нијерефлексивна,јерневажи a<a.Тарелацијанијенисиметрична,јер импликација a<b ⇒ b<a нијетачна.Онајестеантисиметрична,јерисказ a<b ∧ b<a има

вредност ⊥,a ⊥⇒ p јетачанисказ,безобзиранатачностисказа p.Тарелацијајетранзитивна, јерјеимпликација a<b ∧ b<c ⇒ a<c тачна.Сличноважиизарелацију > Релације , , | сурелацијепореткаускупу N

Бинарнарелација ρ коначногскупа A можесепрегледноприказатипомоћу таблице.Например,акоје A = {a,b,c},тадајетаблицом (1) ρabc

Логикаискупови

дефинисанабинарнарелација ρ.Наиме,изтаблицечитамодаје aρa тачно,адаје aρc нетачно;тј.да a јестеурелацији ρ са a,алида a нијеурелацији ρ са c.Другим речима,таблицом(1)дефинисанајеследећарелацијаскупа A,тј.следећиподскуп скупа A2 : ρ = {(a,a), (a,b), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b)}

Напомена2. Акосу A и B непразнискупови,тадасебилокојиподскупскупа A × B

назива(бинарна)релацијаскупова A и B

Питања

1. Шта је бинарна релација, а шта релација дужине 2 скупа A?

2. Шта је релација дужине n скупа A?

3. Дефинисати рефлексивну, симетричну, асиметричну, односно транзитивну релацију скупа A

4. Дефинисати релацију еквиваленције, односно поретка скупа A

5. Да ли може да постоји бинарна релација скупа A која је и симетрична и антисиметрична?

Задаци

1. Написатирелације = (једнако), < (мање)и (већеилиједнако)скупа {1, 2, 3, 4, 5} помоћутаблица.

2. Ускупу N бинарнарелација α дефинисанајенаследећиначин: xαy ⇔ x = y ∧ y =2x 1 Одредитиподскупскупа N2 којиодговаратојрелацији.

3. Доказатидајебинарнарелација ρ скупа N,дефинсанаса xρy ⇔ x = y ∧ x = y +1 празнарелација.

4. Ускупусвихцелихбројева Z дефинишеморелацију ∼ наследећиначин: x ∼ y ⇔ 3 се садржиу x y.Далије ∼ релацијаеквиваленцијескупа Z?

5. Ускупусвихцелихбројева Z дефинишеморелацију ∼ наследећиначин: x ∼ y ⇔ x и y имајуистиостатакпридеобибројем 3.Доказатидаје ∼ релацијаеквиваленцијескупа Z

6. Некаје A непразанскуп.Далије ⊂ релацијапореткаускупу PA?

7. Некаје S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} инекајебинарнарелација ρ скупа S дефинисанаса: ρ = {(1, 3), (1, 4), (1, 7), (1, 5), (2, 4), (2, 7), (3, 5), (4, 7), (6, 8)}. Далије ρ транзитивнарелација?

8. Некаје A = {1, 2, 5}, B = {3, 4} инекаје S = A ∪ B.Бинарнурелацију ∼ скупа S дефинишемонаследећиначин: x ∼ y ⇔ x и y припадајутачноједномодскупова A, B Доказатидаје ∼ релацијаеквиваленцијескупа S

9. Некаје A = {1, 2, 5, 6}, B = {3, 4}, C = {7, 8}, D = {9} инекаје S = A ∪

2.Некиопштипојмовивезанизаскупове

Нека је S = {a,b,c,d,e} инекајерелација ρ дефинисанапомоћутаблице: ρabcde

a ⊤⊥ ⊤⊥⊤ b ⊥⊤⊥⊤⊥ c ⊤⊥⊤⊥⊤ d ⊥⊤⊥⊤⊥ e ⊤⊥⊤⊥⊤

Доказатиследећатврђења:

10. Ако је Cx = {t | t ∈ S ∧ tρx}, тада је C

11. xρy ⇔ x и y припадају тачно једном од скупова {a, c, e}, {b, d}.

12. Релација ρ је релација еквиваленције скупа S

13. Нека је S = {1, 2, 3, 4}, и нека су α, β, γ релације скупа S дефинисане са: α = {(1, 1), (2, 2), (3, 1), (1, 3), (4, 4), (3, 3)}; β = {(1, 1), (2, 3), (3, 4), (1, 3), (1, 4), (2, 4)}; γ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1)}

Испитати да ли су релације α, β, γ рефлексивне, симетричне, асиметричне, односно транзитивне.

14. Релација ρ дефинисана је са

ρabcd

a ⊤⊤ ⊤⊤

b ⊥⊤⊤⊤

c ⊥⊥⊤⊤ d ⊥⊥⊥⊤

Доказатидаје ρ релацијапореткаскупа {a,b,c,d}.

15. Некаје S = {a,b,c}.Попунитипразнаместаутаблицама ρabc a ·⊤ b c ⊥·· σa bc a ·⊤ b ··⊤ c такода ρ будерелацијаеквиваленције,а σ релацијапореткаскупа S.

2.3.Функције(пресликавања)иоперације Некасу A и B непразнискупови.Акопостојиправило(закон,пропис,договор)којимсе сваком елементу x ∈ A додељује тачноједан елемент y ∈ B,кажемо даједефинисана функција (пресликавање)којапресликаваскуп A ускуп B.Елемент x ∈ A називасе оригинал,ањемудодељенелемент y ∈ B називасе слика (оригинала x). Акофункцијукојапресликаваскуп A ускуп B означимословом f ,ондасе сликаоригинала x ∈ A означава f (x).Дабисмоозначилидафункција f пресликаваскуп A ускуп B пишемо f : A → B.Скуп A називаседомен,аскуп B кодомен функције f Овојебиоописпојмафункције.Дајемосадастриктнудефиницијуовогважногпојма.

Логикаискупови

Пресликавање,илифункција,скупа A ускуп B јеподскуп f скупа A × B који имаследећедвеособине:

(i)скупсвихпрвихкомпонентискупа f јескуп A;

(ii) (x,y) ∈ f ∧ (x,z) ∈ f ⇒ y = z

Уместо (x,y) ∈ f ,пишемо y = f (x).

Напомена1. Услов(i)обезбеђуједасвакиоригинал(тј.свакиелементскупа A)имасвоју слику,ауслов(ii)даједаноригиналнеможеиматидверазличитеслике. Пример1. Некаје A = {1, 2, 3, 4}, B = {a,b,c}.Тадаје A × B = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c), (4,a), (4,b), (4,c)}.Некасу f1, f2, f3, f4 подскуповискупа A × B дефинисаниса: f1 = {(1,a), (1,b), (2,c), (3,a), (4,b)}; f2 = {(1,a), (2,a), (3,a), (4,a)}; f3 = {(1,a), (2,b), (3,c)}; f4 = {(1,a), (2,b), (3,b), (4,c)}

Подскупови f2 и f4 супресликавањаскупа A ускуп B,аподскупови f1 и f3 нису. Заиста,заподскуп f1 нијеиспуњенуслов(ii),јеримамо: (1,a) ∈ f1 ∧ (1,b) ∈ f1,тј. f1(1)= a ∧ f1(1)= b,али a = b,штобизначилодаоригинал 1 имадверазличитеслике a и b.Заподскуп f3 нијеиспуњенуслов(i),јерјескупсвихпрвихкомпонентискупа f3 једнак {1, 2, 3},атонијескуп A;другимречимаоригинал 4 немаслику,тј. f3(4) непостоји.Сдруге стране,лакосепроверавадаподскупови f2 и f4 задовољавајуобауслова(i)и(ii). Напомена2. Каоштојеранијеречено(видетиНапомену2,стр.12)билокојиподскуп скупа A × B јерелацијатихскупова.Дакле,функција f којапресликава A у B јерелација скупова A и B којаиспуњаваидодатнеуслове(i)и(ii)горњедефиниције.

Дефиницијафункцијеобезбеђуједаједаноригиналиматачноједнуслику. Међутим,допуштеноједарецимодваоригиналаимајуистуслику.Заиста,упретходномпримеруфункција f2 јетаквадасвиоригиналиимајуистуслику;тојетзв. константнафункција.

Акоразличитиоригинали x1, x2 ∈ A

имајуразличитеслике f (x1), f (x2) ∈ B, ондакажемодаје f пресликавање 1 1,илидаје f инјективно пресликавање,или краћедаје f инјекција.Дакле,функција f : A → B je 1 1 акозасвако x1, x2 ∈ A важи x1 = x2 ⇒ f (x1) = f (x2), или,еквивалентно3 f (x1)= f (x2) ⇒ x1 = x2

Пример2. Функције f2 и f4 изПримера1нису 1 1

Нека f : A → B.Скупсвихсликаелеменатаиз A називасе домет4 функције f иозначавасе f (A).Дакле, f (A)= {f (x) | x ∈ A}

Акоје f (A)= B,ондакажемодаје f пресликавањескупа A на скуп B,илида је f сурјективно пресликавање,иликраћедаје f сурјекција. Запресликавањекојејеинјективноисурјективнокажемодаје

2. Некиопштипојмовивезанизаскупове 15

Пример4. Некаје A = {1, 2, 3}, B = {a,b,c,d}, C = {α,β,γ} инекаје f1 = {(1,a), (2,b), (3,b)}; f2 = {(1,a), (2,b), (3,c)}; f3 = {(a,α), (b,β), (c,γ), (d,γ)}; f4 = {(α, 1), (β, 2), (γ, 3)}

Тада: (i) f1 није 1 1 пресликавањескупа A ускуп B; f1(A)= {a,b}̸= B; (ii) f2 је 1 1 пресликавањескупа A ускуп B; f2(A)= {a,b,c}̸= B; (iii) f3 јепресликавање B на C,алиније 1 1; f3(B)= C;

(iv) f4 je 1 1 пресликавањескупа C наскуп A; f4(C)= A Преформулисатиовезакључке(i) (iv)користећиуместо 1 1 ина,терминеинјекција, сурјекцијаибијекција.

Напомена3. УНапомени2поменулисмодајефункција f : A → B једнапосебнарелацијаскупова A и B.Сдругестране,појамрелацијаможеседефинисатипомоћупојмафункција

Рецимо,бинарнарелација ρ скупа A

можеседефинисатикаопресликавањескупа A2 у скуп {a,b},тј. ρ : A2 →{a,b}.

Акотопресликавањенијесурјективно,тадаје ρ илипразнаилипунарелацијаскупа A Проверитиовотврђење.

Упримеримакојесмодосадаразматрали,функцију f : A → B смоексплицитноисписивали,тј.исписивалисмосвеелементескупа f (⊂ A×B).Тојемогућ-

нокадсу A и B коначнискупови.Међутим,иакојепојамфункциједефинисанза произвољненепразнескупове A и B,мићемосебавитиуглавном реалнимфункцијама,тј.функцијамачијиједоменнекиподскупскупасвихреалних5 бројева R, докјекодоменскуп R

Пример5. Функцију f : R → R

дефинишемонаследећиначин:оригиналу x ∈ R додељујемослику 3x 1 ∈ R.Рецимо,оригинал 0 имаслику 1,оригинал 1 имаслику 2,итд. Дакле,оригинал x имаслику f (x),гдеје f (x)=3x 1.

Пример6. Функцију f : R → R дефинишемонаследећиначин:реалномброју x додељујемоњеговквадрат x 2.Например,бројеви 1 и 1 имајуистуслику 1,број 0 имаслику 0, бројеви √2 и √2 имајуслику 2,итд.

Кодреалнихфункцијадовољноједанаведемоформулукојапрописујеушта сепресликаваоригинал x,тј.данаведемоштаје f (x).Наосновутеформулеодређујемодомен A функције f :тојемаксималниподскупскупа R накомејеизраз f (x) дефинисан,тј.накомесетајизразможеизрачунати.Кодоменјеувек R,стим штоможемо,аконамјепотребно,даодредимоидомет f (A) функције f .

Пример7. ФункцијуизПримера6краткодефинишемо: f (x)= x 2.Доменје R,јерза свако x ∈ R постојиодговарајућаслика x 2.Кодоменје R,алиједомет f (R) скупсвихненегативнихреалнихбројева.

Пример8. Домен A функције f (x)= 1 x je R \{0},јерзасвако x =0 постојислика 1 x Кодоменје,каоиувек,скуп R,докје f (A)= A = R \{0},јернепостоји x ∈ A такводаје f (x)=0

5О реалнимбројевимаговоримоуследећојглави

16 Логикаискупови

Функције f : A → B и g : C → D

суједнакеакоисамоакоје: A = C,B = D и f (x)= g(x)

засвако x ∈ A(= C).

Описноречено,двефункцијесуједнакеакоимајуистедомене,истекодоменеи акоје,,законпридруживања“исти.

Пример9. Функције f : R → R и g : R → R+ 0 ,гдеје f (x)= g(x)= x 2 нисуједнаке,јер имкодоменинисуисти.Онеимајуиразличитеособине.Например,функција g јесурјекција, афункција f није.

Наводимонакрајујошипојамоперације.Операција(бинарна)скупа A јепресликавањескупа A2 ускуп A.Операција,дакле,свакомуређеномпаруелемената из A додељујетачнопоједанновиелементскупа A.

Пример10. Сабирањеимножењесуоперацијескупа N.Заиста,сабирањејеоперација којасвакомуређеномпару (x,y) природнихбројевадодељујетачноједанприроданброј x + y, амножењејеоперацијакојасвакомуређеномпару (x,y) додељујеброј xy

Пример11. ОдузимањенијеоперацијаскупаN.Наиме,занекеуређенепаровеприродних бројевапостојињиховаразлика,азанекене.Например,уређеномпару (7, 5) додељујемоброј 7 5(=2),докзауређенпар (5, 7) разлика 5 7 ниједефинисананаскупу N.Међутим, одузимањејестеоперацијаускупусвихцелихбројева Z,јерјетада 5 7= 2 ∈ Z. Услучајукадје A коначанскуп,операцијаскупа A можепрегледнодаседефинишепомоћутаблице.Например,акоје A = {a,b,c,d} тадајетаблицом ∗ abcd aa bcd bdcba cccba dadbc

дефинисанаоперација ∗ : A2 → A.Наиме,изтетаблицечитамо,рецимо:

Маладигресија.Писацдајесебималонеуобичајенуслободудаусредуџбеникаискажеједносвојеличномишљењекоје,наравно,никогнеобавезује. Ученикпрвогразреданебитребалодасенепотребнооптерећујеучењемнапамет,тј.бубањем,приличноапстрактнихдефиницијакојесунаведенеупретходнимодељцима.Започетак,довољноједаученикстекненекуопшту,интуитивну представуотомештајерелација,штајефункција,аштаоперација,идаможеда ихразликује.Груборечено,тусеотприликерадиотриврсте,,прописа“.

Познаватинекурелацијускупа A значизнатизабилокојадваелементаиз A далијесуилинисуунеком прописаном односу.

Пример. Засвакадваприроднабројазнамодалијеједанодњихмањиилинијемањиод другог.Затокажемодаје

strana17

2.Некиопштипојмовивезанизаскупове 17

Пример. Прописгласи:природномброју x придружујемоброј x 2 + x 1.Рецимоброју

1 придружујемоброј 12 +1 1,тј. 1,броју 2 придружујемоброј 22 +2 1,тј.број 5,итд.Тиме једефинисанафункција f (x)= x 2 + x 1

којапресликаваскуп N ускуп N

Познаватинекуоперацијускупа A значизнатипропискакосеоддваелемента скупа A правитрећи.

Пример. Засвакадвацелаброја x, y знамоштајењиховаразлика,тј.број x y.Зато кажемодајеодузимањеоперацијаскупа Z

Каковремебудеодмицало,овићесепојмовипостепенослегати,јерћеученик токомдаљегучењаматематике,хтеонехтео,сталнобарататисањима.

Питања

1. Описидефиницијафункције.

2. Акосу A и B непразнискупови,којајеразликаизмеђубинарнерелацијескупова A и B ифункцијекојапресликава A у B?

3. Штасудомен,кодоменидометфункције?

4. Некаје A = {a1,a2}, B = {b1,b2},гдеје a1 = a2, b1 = b2.Далипостоји: (i)функција f : A → B таквадаје f (a1)= b1, f (a1)= b2; (ii)функција g : A → B таквадаје g(a1)= b1, g(a2)= b1?

5. Штаје 1 1 пресликавањескупа A ускуп B?Кадкажемодаје f инјективнопресликавањескупа A ускуп B?

6. Кадкажемодаје f пресликавањескупа A наскуп B?Кадкажемодаје f : A → B бијекција?

7. Какосебинарнарелацијаскупа A можедефинисатипомоћупојмафункције?

8. Штајебинарнаоперацијаскупа A?

Задаци

Некаје A = {a1,a2}, B = {b1,b2,b3},гдесуелементи

различити.

1. Одредитисвапресликавањаскупа A ускуп B.Коликоихима?

2. Одредитисвапресликавањаскупа B ускуп A.Коликоихима?

3. Далимеђусвимпресликавањимаскупа A ускуп B има 1 1 пресликавањаидалиима пресликавањана?Одредитиих,уколикопостоје.

4. Далимеђусвимпресликавањимаскупа B ускуп A имасурјективних,односноинјективнихпресликавања?Одредитиих,уколикопостоје.

5. Далипостојибијективнопресликавањескупа A наскуп B,односноскупа B наскуп A?

6. Некаскуп A има m елеменатаинекаскуп B има n елемената.Доказатиследећатврђења: (i)Акоје m>n,непостоји 1 1 пресликавањескупа A ускуп B; (ii)Акоје m<n,непостојипресликавањескупа A наскуп B; (iii)Бијективнопресликавањескупа A наскуп B постојиакоисамоакоје m = n

7. Некасу f и g следећиподскуповискупа N2 : f = {(x,x 2) | x ∈ N},g = {(x 2 ,x) | x ∈ N} Далису f и g пресликавањаскупа N ускуп N?

8. Нека су N и Z скупови свих природних, односно свих

су функције f1 : N → N и f2 : Z → Z дефинисане

f1(x) = x + 3, f2(x) = x + 3

(i ) Да ли су функције f1 и f2 једнаке?

(ii) Да ли су функције f1 и f2 1 1 пресликавања?

(iii) Да ли су функције f1 и f2 пресликавања на?

9. Нека је пресликавање f скупа N у скуп Z дефинисано са: f (x)= 1 2 x, акоје x паранброј f (x)= 1 2 (x 1), акоје x непаранброј.

Акоје m датицеоброј,далипостојиприроданброј n такавдаје f (n)= m?Уколико постоји,одредитига.Далије f бијекција?

10. Некајепресликавање g скупа Z ускуп N дефинисаноса: g(x)=2x, акоје x> 0, g(x)=1 2x, акоје x 0.

Акоје n датиприроданброј,далипостојицеоброј m такавдаје g(m)= n?Уколико постоји,одредитига.Далије g бијекција?

11. Некајефункција f : N → Z дефинисанакаоуЗадатку9,афункција g : Z → N каоу Задатку10.Некаје: f (n)= m, g(m)= p.Доказатиједнакости:(i) p = n;(ii) f (p)= m.

12. Некајеускупу S,гдеје S = {a,b,c},операцијадефинисанапомоћутаблице ∗ abc aa bc bbca ccab

(i)Израчунати: (a ∗ a) ∗ b, (a ∗ b) ∗ c, b ∗ (c ∗ (a ∗ b)) (ii)Дализасвако x, y ∈ S важиједнакост: x ∗ y = y ∗ x? (iii)Дализасвако x, y, z ∈ S важиједнакост: x ∗ (y ∗ z)=(x ∗ y) ∗ z?

13. Одредитисвебинарнеоперациједвочланогскупа {a,b},иодредитиколикоихима.

14. Некаје A = {0, 1, 2, 3, 4} инекасуоперације ∗ и ◦ скупа A дефинисаненаследећиначин:

ако x, y ∈ A,онда:

x ∗ y јеостатакпридеобиброја x + y бројем 5; x ◦ y јеостатакпридеобиброја xy бројем 5. Формиратитаблицезадатеоперације ∗ и ◦.Користећисетаблицамадоказатиследећа тврђења: (i)засвако x ∈ A постоји x1 ∈ A такодаје x ∗ x1 =0; (ii)засвако x ∈ A \{0} постоји x2 ∈ A такодаје x ◦ x2 =1 15. Некаје A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} инекасуоперације ∗

2.Некиопштипојмовивезанизаскупове 19

2.4.Примерипребројавањаконачнихскупова

инекаје (1)

случаја. (i ) Скупови A и B су

елемената. Тада је A ∪ B = {a1, a2, , am, b1, b2, , bn} и сви елементи скупа A ∪ B су међусобно различити. Стога скуп A ∪ B има m + n елемената, тј. c(A ∪ B) = m + n. Другим речима, у овом случају важи једнакост

(2) c(A ∪ B)= c(A)+ c(B) Напомена1. Слично,акосу A1, A2, , Ak међусобнодисјунктнискупови,тадаважи

(3) c(A1 ∪ A2 ∪···∪ Ak)= c(A1)+ c(A2)+ + c(Ak) (ii)Некаскупови A и B имајутачноједанзаједничкиелемент c,тј.некаје

Тадаје

A = {a1,a2,...,am 1,c},B = {b1,b2,...,bn 1,c}

A ∪ B = {a1,a2,...,am 1,c,b1,b2,...,bn 1,c} = {a1,a2,...,am 1,b1,b2,...,bn 1,c} = {a1,a2,...,am 1}∪{b1,b2,...,bn 1}∪{c},

причемусутригорњаскупадисјунктна,паје

c(A ∪ B)=(m 1)+(n 1)+1= m + n 1

Слично,ако A и B имајутачно p заједничкихелемената c1, c2, , cp,тј.акоје A = {a1,a2,...,am p,c1,c2,...,cp},B = {b1,b2,...,bn p,c1,c2,...,cp}

тадаје

,...,c

} = {a1,a2,...,am p,b1,b2,...,bn p,c1,c2,...,cp} = {a1,a2,...,am p}∪{b1,b2,...,bn p}∪{c1,c2,...,cp},

причемусутригорњаскупадисјунктна,паје (4) c(A ∪ B)=(m p)+(n p)+ p = m + n p. Приметимодаје,уовомслучају, A ∩ B = {c1,c2,...,cp},идаје c(A ∩ B)= p.Како је c(A)= m, c(B)= n,једнакост(4)можедасенапишеуоблику (5) c(A ∪ B)= c(A)+ c(B) c(A ∩ B) Напомена2. Једнакост(5)обухватакаоспецијаланслучајједнакост(2).Заиста,акосу скупови A и B дисјунктни,тадаје A ∩ B = ∅,тј. c(A ∩ B)=0,пасе(2)добијаиз(5). :

Логикаискупови

Пример1. Бацамодвекоцкицезаигру.Наколиконачинасеможедобити 7 или 11?

Нека (a,b) oзначавадајепрвакоцкицапоказалаброј a,адругаброј b.Тадасеброј 7 добија наједанодследећихначина: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1),аброј 11 наједанодследећих

начина: (5, 6), (6, 5).Директнимпребројавањемналазимодасеброј 7 можедобитина 6,аброј 11 надваначина.Стогасе 7 или 11 можедобитина 6+2,тј.на 8 начина.

Пример2. Укутијисеналази 100 листићанакојимасуредомисписаниприроднибројеви од 1 do 100.Извлачимоједанлистић.Наколиконачинасеможеизвућилистићнакомејеброј дељивса 7 илиса 15 илиса 23?

Некасу A, B, C скуповилистићанакојимасуредомбројевидељивиса 7, 15,односно 23 Бројелеменатаскупа A ∪ B ∪ C представљаодговорнапостављенопитање.

Скуп A садржилистићенакојимасубројеви: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98,скуп B листићенакојимасубројеви: 15, 30, 45, 60, 75, 90,аскуп C листићенакојимасу бројеви: 23, 46, 69, 92.Директнимпребројавањемналазимо: c(A)=14, c(B)=6, c(C)=4. Какосускупови A, B, C дисјунктни,закључујемо: c(A ∪ B ∪ C)= c(A)+ c(B)+ c(C)=14+6+4=24

Пример3. Бацамокоцкицузаигру.Наколиконачинаћекоцкицапоказатибројдељивса 2 илиса 3?

Коцкицаможедапокажеједанодбројева 1, 2, 3, 4, 5, 6.Некаскуп A сачињавајубројеви

дељивиса 2,аскуп B бројевидељивиса 3.Тадаодговорнапостављенопитањегласи: c(A ∪ B)

Какоје A = {2, 4, 6}, B = {3, 6},имамо A ∩ B = {6},paje c(A)=3, c(B)=2, c(A ∩ B)=1, и c(A ∪ B)= c(A)+ c(B) c(A ∩ B)=3+2 1=4

Некасускупови A и B датиса(1).Коликоелеменатаимаскуп A×B,тј.колико

је c(A × B)?

Дасеподсетимо,скуп A × B јескупсвихуређенихпарова (a,b),где a ∈ A и b ∈ B

Некаје m =1,тј.некаје A = {a1}, B = {b1,b2,...,bn}.Свиуређенипарови чијајепрвакомпонента a1,адругаприпадаскупу B су: (a1,b1), (a1,b2),..., (a1,bn)

Постојидакле n tаквихуређенихпарова.

Некаје m =2,тј.некаје A = {a1,a2}, B = {b1,b2,...,bn}.Свиуређени паровичијајепрвакомпонента a1 или a2,адругаприпадаскупу B су: (a1,b1), (a1,b2),..., (a1,bn), (a2,b1), (a2,b2),..., (a2,bn)

Постојидакле n + n,тј. 2n таквихуређенихпарова. Уопште,некасускупови A и B дефинисаниса(1).Свиуређенипаровичијаје првакомпонентаелементскупа A,адругаелементскупа B су: (a1,b1), (a1,b2),..., (a1,bn), (a2,b1), (a2,b2),..., (a2,bn), ... (am,b1), (am,b2),..., (am,bn)

2. Некиопштипојмовивезанизаскупове 21

Постојидакле n + n + + n m пута ,тј. mn

таквихпарова.Прематоме, c(A × B)= mn,

илисобзиромдаје c(A)= m, c(B)= n,

(6) c(A × B)= c(A)c(B)

Напомена3. Слично,ако A1 × A2 ×···× Ak означаваскупсвихуређених k-торки (a1,a2,...,ak),где a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, , ak ∈ Ak,тадаје (7) c(A1 × A2 ×···× Ak)= c(A1)c(A2) c(A

Једнакости(2)и(3)честосеназивају принципзбира,доксеједнакости(6)и(7)називају принциппроизвода.

Пример4. Одместа P доместа Q водедваразличитапута,аодместа Q доместа R водетриразличита пута.Коликоразличитихпутеваводеодместа P доместа R?

Означимопутевеодместа P доместа Q са a1, a2

). Сл. 5

апутевеодместа Q доместа R са b1, b2, b3,иставимо A = {a1,a2}, B = {b1,b2,b3}.Одместа P доместа R можесестићинаједанодследећих

начина:

првосеидепутем a1,азатимпутем b1;

првосеидепутем a1,азатимпутем b2;

првосеидепутем a2,азатимпутем b3.

Дакле,бројразличитихпутевакојиводеодместа P доместа R једнакјебројусвихуређенихпарова (a,b),где a ∈ A, b ∈ B,тј.једнакјеброју c(A × B).Какоје c(A)=2, c(B)=3, закључујемодаје c(A × B)= c(A)c(B)=2 · 3=6

Општије,акоодместа P доместа Q води m различитихпутева,иакоодместа Q доместа R води n различитихпутева,тадаодместа P доместа R води mn различитихпутева.

Пример5. Некаје F (p,q,r) исказнаформулаукојојучествујуисказнаслова p, q, r,при чемусвакоодтихсловаможедаимаистинитоснувредност ⊤ или ⊥.Дабисесаставилатаблицаистинитостизаформулу F (p,q,r),коликоизраза F (p,q,r),где p, q, r ∈{⊤, ⊥} треба израчунати?

Дабисесаставилатаблицаистинитостизаформулу F (p,q,r) требаизрачунативредностисвихизраза F (⊤, ⊤, ⊤), F (⊤, ⊤, ⊥), , F (⊥, ⊥, ⊥).Тихизразаимаистотоликоколико иуређенихтројкисастављениходелемената ⊤, ⊥.Акоje A = {⊤, ⊥},скупсвихуређених тројкисастављениходелеменатаскупа A јестескуп A3.Стогаје c(A3)= c(A × A × A)= c(A)c(A)c(A)=2 · 2 · 2=8

Уопште,акоје F (p1,p2,...,pn) исказнаформулаукојојучествује n исказнихслова p1, p2, , pn,тадаприликомсастављањатаблицеистинитостизатуформулутребаизрачунати 2n израза F (p1,p2,...,pn),где p1, p2, , pn ∈{⊤, ⊥}

Пример6. Акоje c(A)=4,коликоје c(PA)?

Акоје c(A)=4,тозначидаје A четворочланискуп,паможемодаставимо: A = {a,b,c,d}, гдесуелементи a, b, c, d међусобноразличити.СкупPA је,каоштознамо,скупсвихподскупова скупа A

Логикаискупови

Некаје S некиподскупскупа A,тј.нека S ∈ PA.Тадазасвакиелементскупа A постоји тачноједнаодследећедвемогућности:илитајелементприпадаскупу S илимунеприпада. Евонеколикопримера.

(i)Акоје S1 = {a,d},тада

(ii)Акоје S2 = ∅,тада a / ∈ S1,

)Акоје

(iv)Акоје S4 = A,тада a

Наведенимподскуповима S1, S2, S3, S4 скупа A можемодапридружимопоједнууређену четворкусастављенуоделеменатаскупа {П, Н},гдеПзначиприпада,аНзначинеприпада,на следећиначин:

скупу S1 придружујемочетворку (П, Н, Н, П);

скупу S2 придружујемочетворку (Н, Н, Н, Н);

скупу S3 придружујемочетворку (Н, П, П, П);

скупу S4 придружујемочетворку (П, П, П, П) Јаснодајесвакиподскупскупа A

одређујетачноједнууређенучетворкусастављенуод

елеменатаскупа D,гдеје D = {П, Н}.Тозначидајебројсвихподскуповаскупа A једнакброју свихуређенихчетворкисастављениходелеменатаскупа D,тј.бројусвихелеменатаскупа D4

Дакле, c(PA)= c(D4)= c(D)c(D)c(D)c(D)=2 2 2 2=24 =16.

Уопште,акоје c(A)= n,тадаје c(PA)=2n .

Пример7. Уједномресторануприпремљенојетриврстесупа,четириврстеглавногјела, петврстисалатаидвеврстеколача.Заручакјеобавезнопоручитиглавнојелоијошдвадруга јела:супуиколач,супуисалатуилисалатуиколач.Наколикоразличитихначинаможедасе поручиручак?

Акосеручаксастојиодсупе,главногјелаиколача,наосновупринципапроизводапостоји 3 4 2,тј. 24 могућнихпоруџбина.Акосеручаксастојиодсупе,главногјелаисалате,онда постоји 3 4 5,тј. 60 могућнихпоруџбина.Најзад,акосеручаксастојиодглавногјела,салате иколача,тадапостоји 4 5 2,тј. 40 могућнихпоруџбина.

Укупно,дакле,наосновупринципазбира,има 24+60+40,тј. 124 различитаначинада сепоручиручак.

Пример8. Одредитиброј m-точланихподскуповаседмочланогскупа A

Некаје A = {a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7}.Јединиподскупскупа A којиима 0 елеменатаје празанскуп ∅.Јединиподскупскупа A којиима 7 елеменатајесамскуп A

Означимоса Pm скупсвих m-точланихподскуповаскупа A.Тадаје P0 = {∅}, P7 = {A}, паје c(P0)= c(P7)=1

Свимогућиједночланиподскуповискупа A су: {a1}, {a2}, , {a7},паје P1 = {{a1}, {a2},..., {a7}};дакле, c(P1)=7.

Свешесточланеподскуповескупа A такођеможемолакодаиспишемо.Међутим,приметимоследеће.Шесточланиподскупскупа A добијасетакоштосеизскупа A изоставиједан елемент.Дакле,свишесточланиподскуповискупа A су:

тј.имамо

иочигледноје c(P6)= c(P1)=7.

2. Некиопштипојмовивезанизаскупове

изоставедвањеговаелемента,тј.такоштосеодскупа A одузмеједанњеговдвочланискуп. Прематоме,акоје

P2 = {B1,B2,...,Bk},

ондаје

иочигледно: c(P5)= c(P2)

P5 = {A \ B1,A \ B2,...,A \ Bk},

Слично,четворочланиподскупскупа A добијасетакоштосеизскупа A изоставетри његоваелемента,тј.такоштосеодскупа A одузмеједанњеговтрочланиподскуп.Дакле,ако су C1, C2, , Cp свитрочланиподкуповискупа A,тј.акоје P3 = {C1,C2,...,Cp},

ондаје P4 = {A \ C1,A \ C2,...,A \ Cp},

иочигледно: c(P4)= c(P3)

Остајенамдаклејошдаодредимобројсвихдвочланихибројсвихтрочланихподскупова скупа A

Дабисмоодредилибројсвихдвочланихподскуповаскупа A,пођимооделемента a1 ∈ A

инапишимосведвочланеподскуповескупа A укојимасепојављује a1.Тосу: {a1,a2}, {a1,a3}, {a1,a4}, {a1,a5}, {a1,a6}, {a1,a7}

и,каоштовидимо,имамошесттаквихподскупова. Истотако,акопођемооделемента a2 ∈ A

инапишемосведвочланеподскуповескупа A укојимасепојављује a2,налазимо: {a2,a1}, {a2,a3}, {a2,a4}, {a2,a5}, {a2,a6}, {a2,a7},

паопетдобијамошестдвочланихподскуповаскупа A Уопште,засвакиелементскупа A постојишестдвочланихподскуповаскупа A којиматај елементприпада.Какоскуп A има 7 елемената,напрвипогледизгледадапостоји 7 6,тј. 42 двочланаподскупаскупа A.Међутим,имамо: {a1,a2} = {a2,a1},затим {a1,a3} = {a3,a1}, итд,штозначидасесвакидвочланиподскуппојавиодвапута.Стогајеукупанбројдвочланих подскуповаскупа A једнак 42 2 , тј. 21.Прематоме, c(P2)= c(P5)=21

Одређујемосадабројсвихтрочланихподскуповаскупа A.Пођимооделемента a1 инапишимосветрочланеподскуповескупа A укојимасепојављује a1.Toсу6 : {a1,a2,a3}, {a1,a2,a4}, {a1,a2,a5}, {a1,a2,a6}, {a1,a2,a7}, {a1,a3,a4}, {a1,a3,a5}, {a1,a3,a6}, {a1,a3,a7}, {a1,a4,a5}, {a1,a4,a6}, {a1,a4,a7},

{a1,a5,a6}, {a1,a5,a7},

{a1,a6,a7}

Директнимбројањемналазимодаима 15 оваквихподскупова.Истотоликоподскуповадобијамополазећиоделемента a2,затим a3, ,инајзадод a7 Дакле,наовајначиндобијамоукупно 15 7,тј. 105 трочланихподскуповаскупа A.Међутим,свакитрочланискупбројанјепотрипута;например,подскуп {a1,a3,a4} појављујесе кадсепођеод a1,затимод a3,атакођеикадсепођеод a4.Прематоме, c(P3)= 105 3 = 35. Закључак: c(P0)= c(P7)=1; c(P1)= c(P6)=7; c(P2)= c(P5)=21; c(P3)= c(P4)= 35. 6Ови скуповинисуслучајнонаведениовакокакојесу.Упрвомредусуонитрочланискупови

strana24

Логикаискупови

Приметимоузгреддаје c(PA)= c(P0)+ c(P1)+ c(P2)+ + c(P7)=1+7+21+35+ 35+21+7+1=2 (1+7+21+35)=2 64=128=27,штојеусагласностисапоследњом реченицомПримера6,стр.21.

Напомена4.

Мождаћенекомчитаоцубитиинтересантнодаприметидасубројеви c(P0), c(P1), c(P2), , c(P7) израчунатиуовомпримерууправокоефицијенти,итотимредом,у развоју (a + b)7;видетистр.46.Tонаравнонијеслучајно,иотомећебитивишеречиуIV

разреду.

Задаци

1. Некаје A = {a,b,c,d},гдесуелементи a, b, c, d међусобноразличити.Одредити: (i)бројсвихпресликавањаскупа A ускуп A; (ii)бројсвих 1 1 пресликавањаскупа A ускуп A; (iii)бројсвихпресликавањаскупа A наскуп A;

(iv)бројсвихбијекцијаскупа A

2. Акоје c(A)= m, c(B)= n,oдредитибројсвихбинарнихрелацијаскупова A и B

3. ДесетаутобусасаобраћаналинијиБеоград Крагујевац.Наколиконачинаможечовек даодеизБеоградадоКрагујевца,идасевратиназад,алинеистимаутобусом?

4. Трипутникастижууградукомеимачетирихотела.Наколиконачинамогупутницида сесместеподусловомдасусвиуразличитимхотелима?

5. Четириособеулазеупросторијуукојојимашестстолица.Наколикоразличитихначина могутеособедаседну?

6. Наколиконачинасеможераспоредити:(i)четириразличитекњиге;(ii)седамразличитихкњига?

7. Кошаркашкуекипусачињава 12 играча,одкојихсу 5 уигриичинетзв.поставу,доксу осталинаклупи.Наколиконачинасеможеобразоватипостава?

8. Једнугрупуљудисачињавајудеветженаишестмушкараца.Наколиконачинасеизте групеможеизабрати:(i)једнаженаиједанмушкарац;(ii)триженеидвамушкарца.

9. Доказатида n-тоугао(тј.многоугаоса n темена)има 1 2 n(n 3) дијагонала.Проверити (цртањемидиректнимбројањем)за n =4, 5, 6, 7

10. Натикетуспортскепрогнозејесписакпароваклубовакојииграјуутакмице.Прогноза сесастојиутомедасесвакомпару(тј.свакојутакмици)доделитачноједанодбројева 0 (исходутакмиценерешен), 1 (победадомаћегклуба)или 2 (победагостујућегклуба).На коликоначинаможедасепопунитикетнакометребапрогнозиратиисход n утакмица?

11. Коликоиматроцифренихбројева:(i)чијесуцифре 1, 2, 3;(ii)чијесуцифре 5, 6, 7;(iii) чијесуцифре 0, 2, 7?

12. Коликоимачетвороцифренихбројева:(i)чијесуцифре 2, 3, 6, 7;(ii)чијесуцифре 0, 1, 3, 5,причемусууобаслучајасвецифреразличите?

13. Коликоиманепарнихпетоцифренихбројевачијесусвецифремеђусобноразличите?

14. Некаје A = {1, 2,..., 10}.Наколиконачинасемогуизабратитриразличитаелемента скупа A такодањиховзбирбудепаранброј?

15. Коликоимапетоцифренихбројева(саразличитимцифрама)написанихпомоћуцифара 1, 2, 3, 4, 5,укојимаје:(i)цифра2непосредноизацифре 1;(ii)цифра 1 увекпоредцифре 2?

3. Додатак 25

3.ДОДАТАК

3.1.Производфункција.Инверзнафункција Некасуфункције f : N → N и g : N → N дефинисанеса: (1) f (x)= x +1,g(x)= x 2

Речима:функцијом f природанброј x пресликавасеуприроданброј x +1 којије за 1 већиод x,афункцијом g природанброј x пресликавасеусвојквадрат x 2.На пример, f (5)=6, g(5)=25, f (27)=28, g(27)=272 =27 27=729,итд.

Нека x ∈ N.Израчунајмовредностиизраза f (g(x)) и g(f (x)).Наоснову(1)

имамо: f (g(x))= f (x 2) jeр g(x)= x 2 = x 2 +1 jeр f (x 2)= x 2 +1 g(f (x))= g(x +1) jeр f (x)= x +1 =(x +1)2 jeр g(x +1)=(x +1)2 = x 2 +2x +1

Овимизразимадефинисанесудвеновефункције h и k којепресликавајускуп N у

скуп N;наиме,функција h дефинисанаса h(x)= f (g(x))= x 2 +1

којапресликаваприроданброј x уприроданброј x 2 +1 ифункција k дефинисана са k(x)= g(f (x))= x 2 +2x +1

којаприроданброј x пресликавауприроданброј x 2 +2x +1 Кажемодајефункција h производ или композиција функција f и g,илидаје

добијена слагањем функција f и g ипишемо: h = f ◦ g иликраће h = fg.Такође, кажемодајефункција k производфункција g и f ,илидаједобијенаслагањем

Уопште,некасу A, B и C непра-

знискуповиинека g : A → B, f : B → C.Зафункцију h : A → C дефинисануса (2) h(x)= f (g(x))(x ∈ A)

кажемодајепроизводфункција f и g илидаједобијенаслагањемфункција f и g.Пишемо: h = f ◦ g иликраће h = fg

функција g и f ипишемо: k = g ◦ f иликраће k = gf Сл. 6

Функцијом g елемент x ∈ A пресликанјеуелемент y ∈ B,афункцијом f пресликанјетајелемент y ∈ B уелемент z ∈ C.Дакле, y = g(x), z = f (y), одакледобијамо z = f (g(x))

Функцијом h елемент x ∈ A

z ∈ C;дакле, z = h(x) Видетисл.6.

Логикаискупови

Пример1. Некасускупови A, B, C дефинисаниса A = {a,b,c},B = {1, 2, 3, 4},C = {α,β}, причемупретпостављамодасу a, b, c,атакођеи α, β међусобноразличитиелементи.Некасу функције f : B → C и g : A → B дефинисанепомоћуједнакости: f (1)= f (2)= f (3)= α,f (4)= β g(a)=1,g(b)=2,g(c)=4, штосепрегледнијезаписујетакоштосеисподсвакогоригиналанапишењеговаслика: (3) f = (1234 αααβ) ,g = (abc 124)

Одредимопресликавање h : A → C дефинисаноса h = f ◦ g,односно h(x)= f (g(x)),где x ∈ A.

Елемент a ∈ A функцијом g пресликавасеуелемент g(a),тј.уелемент 1 ∈ B,азатимсе

елемент 1 ∈ B функцијом f пресликавауелемент f (1),тј.уелемент α.Дакле,елемент a ∈ A

пресликанјефункцијом h уелемент α ∈ C,тј. h(a)= α

Даље,елемент b ∈ A пресликавасефункцијом f уелемент 2 ∈ B,азатимсетајелемент

2 ∈ B пресликавафункцијом f уелемент α ∈ C.Дакле,елемент b ∈ A пресликанјефункцијом h уелемент α ∈ C;тј. h(b)= α Најзад,елемент c ∈ A пресликавасефункцијом g уелемент 4 ∈ B,азатимсетајелемент

4 ∈ B пресликавафункцијом f уелемент β ∈ C;дакле, h(c)= β.Прематоме, h = (abc ααβ) .

Упретходномпримеруималисмофункције f и g дефинисанеса(3)иондасмо

одредилињиховпроизвод fg.Приметимодапроизвод gf неможеуовомслучају даседефинише,јерако x ∈ B,онда f (x) ∈ C,афункција g ниједефинисанана скупу C;даклеизраз g(f (x)) ниједефинисан,тј.непостоји.

Сдругестране,обефункције f и g

дефинисанеса(1)пресликавају N у N,па смомоглидаобразујемообапроизвода fg и gf ,аликаоштосмовидели,типроизводинисуједнаки.Дакле,уопштемслучају, fg = gf ,тј.комутативнизаконне важизапроизводфункција.

Напомена1.

Требаобратитипажњунатодакадасеелемент x пресликавафункцијом fg,ондасепрвопримењујефункција g,азатимфункција f;значипрвосепримењује,,десна“ функцијаупроизводу fg

Ако f : A → A,тадасеможеформиратипроизвод ff ,тј.можесеизрачунати израз f (f (x)) засвако x ∈ A.Функцију ff означавамо f 2.Слично, f 3 = f 2f , f 4 = f 3f ,итд.

Пример2. Зафункције f и g дефинисанеса(1)којепресликавају N у N имамо: f 2(x)= x +2,g 2(x)= x 4 , иуопште,засвако n ∈ N важи: f n(x)= x + n,g n(x)= x 2n

Запроизводфункцијаважиасоцијативнизакон.Наиме,акосу A, B, C, D непразнискуповииако f : C → D, g : B → C, h : A → B,тадаје f ◦ (g ◦ h)=(f ◦ g) ◦ h, иликраће f (gh)=(fg)h.

3. Додатак 27

Пример3. Некаје A = {a,b,c,d}, B = {α,β,γ,δ}, C = {p,q,r,s}, D = {1, 2, 3, 4} и

некасуфункције f : C → D, g : B → C и h : A → B дефинисанеса: f = (pqrs 2143) ,g = (αβγδ prsq) ,f = (abcd δγβα)

Тада g ◦ h : A → C, f ◦ g : B → D,причемује g ◦ h = (abcd qsrp) ,f ◦ g = (αβγδ 2431)

Даље, f ◦ (g ◦ h): A → D, (f ◦ g) ◦ h : A → D и f ◦ (g ◦ h)= (abcd 1342) , (f ◦ g) ◦ h = (abcd 1342) ,

павидимодаје f ◦ (g ◦ h)=(f ◦ g) ◦ h

Нека f : A → A,гдеје A непразанскуп.Акозанеко a ∈ A важиједнакост f (a)= a,ондакажемодаје a непокретнатачка пресликавања f Идентичнопресликавање i скупа A јепресликавањеприкомејесвакатачканепокретна,тј.за свако x ∈ A важи: i(x)= x

Пример4. Некаје N0 = N ∪{0}.Пресликавање f : N0 → N0 дефинисаноса f (x)= x 2

имадвенепокретнетачке: 0 и 1,јерje f (0)=02 =0, f (1)=12 =1

Пресликавање g : N0 → N0 дефинисаноса g(x)= x 3 3x 2 +3x иматринепокретне тачке: 0, 1 и 2.Проверити.

Некаје A = {a,b,c,d}, B = {α,β,γ,δ},причемусматрамодасусвиелементискупа A исвиелементискупа B

међусобноразличити.Функција f : A → B дефинисанаса f = Åabcd δβγαã

јесте 1 1 пресликавањескупа A наскуп B (тј. f јебијекција).Томфункцијомсе елемент a пресликавауелемент

f одређенајетачно једнафункција g : B → A,наиме

којарадиуправообратно:елемент

Једноставносепроверавадаје

штозначидаје fg идентичнопресликавањескупа B,адаје gf идентичнопресликавањескупа A

Кажемодајефункција g инверзнафункција функције f иозначавамоје: f 1 Уопште,некасу A и B непразнискуповиинекаје f : A → B бијекција.То значи: (i)засвако X ∈ B постојиоригинал x ∈ A такавдаје f (x)= X (јерје f пресликавањена); (ii)тај x ∈ A,такавдаје f (x)= X,јејединствен(јерје f пресликавање 1 1).

Дакле,акоје f бијекција(тј. 1 1

Логикаискупови

пресликавањескупа A наскуп B),тадаза свакиелемент X ∈ B постојитачноједанелемент x ∈ A такавдаје f (x)= X

Другимречима,задатуфункцију f : A → B (којаје 1 1 ина)постојитачноједна функција,којуозначавамо f 1,дефинисананаследећиначин: f 1(X)= x (X ∈ B)

гдеје x онајјединствениелементскупа A такавдаје f (x)= X;дакле, (4) f 1(X)= x ⇔ f (x)= X (x ∈ A,X ∈ B)

Функција f 1 називасе инверзнафункција функције f .

Томожемоиовакодасхватимо.Кадафункција f пресликаелемент x ∈ A у

елемент X ∈ B,ондаинверзнафункција f 1 враћаназаделемент X ∈ B уелемент x ∈ A;видетисл.7.

Другимречима,засвако x ∈ A

(5) f 1(f (x))= x;

видетисл.8.Такођезасвако x ∈ B

(6) f (f 1(X))= X;

видетисл.9.

Слике7,8,9су,уствари,једнаистаслика;разликајесамоуознакама:насл.8 елемент X сасл.7означенје f (x),анасл.9елемент x сасл.7означенје f 1(X). Наосновуеквиваленције(4)закључујемодаакоје f 1 : B → A инверзна

функцијафункције f : A → B,ондаје f инверзнафункцијафункције f 1.Због

тогакажемодасу f и f 1 инверзнефункције(једнадругој).

Пример5. Функција f : N → N дефинисанаса(1)нијепресликавањена,јерзаприродан

број 1 непостојиприроданброј n такавдаје f (n)=1.Стогатафункцијанемаинверзну функцију.Међутим,функција F : N0 → N дефинисанаса F (x)= x +1(x ∈ N0)

јесте 1 1 пресликавањескупа N0 наскуп N,папостојињенаинверзнафункција F 1 : N → N0.Притомеје

3. Додатак 29

Пример6. Некасу A, B, C трочланискупови: A = {a,b,c}, B = {α,β,γ}, C = {1, 2, 3}

инекасуфункције f : B → C и g : A → B дефинисанеса: f = (αβγ 231) g = (abc βαγ)

Тадајефункција fg : A → C одређенаса fg = (abc 321) ,

штоселакопроверава.Функције f, g и fg субијекције,папостојењиховеинверзнефункције f 1 : C → A, g 1 : B → A, (fg) 1 : C → A,причему: f 1 = (123 γαβ) g 1 = (αβγ bac) (fg) 1 = (123 cba) Сл. 10

Како g 1 : B → A, f 1 : C → B,можемообразоватињиховпроизвод g 1f 1 идобијамо g 1f 1 = (123 cba) ,

одаклезакључујемо: (7) (fg) 1 = g 1f 1

Напомена3. Акосу A, B, C производнинепразнискуповииакосу f : B → C и g : A → B бијекције,тадајеједнакост(7)тачна.Графичкиприказтеједнакостидатјенасл.10. Питања

1. Какоседефинишепроизводфункција?

2. Акосу A, B, C, D датинепразнискуповииако f : A → B и g : C → D,подкојим условомпостоји:(i)производ fg;(ii)производ gf ?

3. Акофункције f, g, h пресликавајускуп A усамогсебе,далисуједнакости fg = gf, f (gh)=(fg)h тачне?

4. Какоседефинишеинверзнафункцијадатефункције f?

5. Далисвакафункција f : A → B,гдесу A и B датинепразнискупови,имаинверзну функцију?

6. Заштојеприликомдефинисањаинверзнефункциједатефункције f неопходнопретпоставитидаје f бијекција?

Задаци

Логикаискупови

1. Некаје A = {1, 2, 3, 4} инекасуфункције f, g, h : A → A дефинисанеса: f = Å1234 2141ã ,g = Å1234 2341ã ,h = Å1234 2323ã

Одредитифункције fg, fh, g 2h, fgh

2. НекасунаскупусвихприроднихбројеваNдефинисанефункције f и g наследећиначин: f (x)= x +1, засвако x ∈ N; g(1)=1,g(x)= x 1, засвако x ∈ N \{1}

Одредитифункције fg, gf и g 2

3. Некасуфункције f, g : N → N дефинисанеса: f (x)=9x +6, g(x)=5x +3,засвако x ∈ N.Доказатидаје fg = gf

4. Нека a,b,c,d ∈ N инекасуфункције f, g : N → N дефинисанеса: f (x)= ax + b,g(x)= cx + d, (x ∈ N)

Подкојимусловомћеједнакост fg = gf бититачна?

5. Којеодфункција f, g, h изЗадатка1имајуинверзнефункције?Одредитиихуколико постоје.

6. Некасу f и g дефинисанекаоуЗадатку2.Којеодфункција f, g, fg, gf имајуинверзну функцију?Одредититеинверзнефункцијеуслучајукадпостоје.

7. Акоје f бијекцијаскупа A,доказатидаје ff 1 = f 1f. Некаје A = {a,b,c},гдесуелементи a, b, c међусобноразличити,некаје: f1 = Åabc abcã ,f2 = Åabc acbã ,f3 = Åabc bacã , f4 = Åabc bcaã ,f5 = Åabc cabã ,f6 = Åabc cbaã

инекаје S = {f1,f2,f3,f4,f5,f6}

8. Доказатидаскуп S сачињавајусвебијекцијескупа A

9. Ако fi, fj ∈ S,доказатида fi ◦ fj ∈ S засвако i, j =1, 2,..., 6

10. Направититаблицузаоперацију ◦ скупа S.

11. Доказатидазасвако i =1, 2,..., 6 важи: f1fi = fif1 = fi

12. ПомоћутаблицеизЗадатка10,одредитиинверзнефункцијефункција f1, f2, , f6

3.2.Примериприменетаутологијаудоказивању Приликомдоказивањаматематичкихтврђењачестосекористетаутологије (тј.законимишљења),стимштосетизакониуглавномнеистичупосебно,јер немапотребедасеточини.Уовомодељку,међутим,урадићемонеколикопримера укојимаћемојасноистаћикојисузаконимишљењакоришћени. Пример1. Акојеприроданброј

strana31

3.Додатак 31

Пример2. Рационаланбројјебројоблика m n ,гдесу m и n целибројевии n =0.При томеувекможемопретпоставитидајеједанодбројева m, n непаран,јеракосуи m и n парни бројеви,тадапослескраћивањаса 2 (оноликопутаколикојепотребно)доћићемодоразломка p q који јеједнакразломку m n ,алигдејебарједанодбројева p, q непаран.Рецимо, 8 12 =

, итд.

Бројкојинијерационаланназивасеирационаланброј.Наосновузаконадвојненегације,сличнокаоупретходномпримеру,закључујемодасуследећиисказиеквивалентни: ,,Број x нијеирационалан“и,,Број x јерационалан“

Пример3. Акоје m непаранброј,ондаје m 2 такођенепаранброј.

Свинепарнибројевису: 1, 3, 5, 7, .Заброј 1 наведенотврђењејетачно,јерје 12 =1,па је 12 непаранброј.Билокојидругинепаранбројможедасенапишеуоблику 2k +1,где k ∈ N Акоје m =2k +1,тадаје m 2 =(2k +1)2 =4

2 +4k +1=2(2k2 +2k)+1 илиако ставимо: p =2k2 +2k,тадаје m 2 =2p +1,где p ∈ N,одаклеизлазидаје m 2 непаранброј. Дакле,акосуискази p и q одређениса: p: m јенепаранброј, q: m 2 јенепаранброј, доказалисмотврђење: p ⇒ q.Наосновузаконаконтрапозициједоказанотврђењееквивалентнојесатврђењем: ¬q ⇒¬p,тј.сатврђењем: Ако m 2 нијенепаранброј,онда m нијенепаранброј, иликраће(видетиПример1)

Акоје m 2 паранброј,ондаје m такођепаранброј.

Пример4. Сагласимоседапостојитачноједанпозитиванброј x чијијеквадратједнак броју 2.Тајбројозначавамо √2.Доказаћемодајеисказ p,гдеје p: √2 нијерационаланброј тачанисказ.

Пођимоодисказа ¬p којигласи: √2

јестерационаланброј.Одатлеизлази(Пример2)да постојеприроднибројеви m и n,одкојихјебарједаннепаран,таквидаје √2= m n

Изједнакости √2= m n ,тј. m = √2n,послеквадрирањадобијамо (1) m 2 =2n 2 , штозначидаје m 2 паранброј.Стогаје(Пример3)и m паранброј,пасе m моженаписатиу облику: m =2k,где k ∈ N.Акоу(1)ставимо m =2k,добијамо 4k2 =2n 2 ,одаклеизлази 2k2 = n 2,штозначидаје n 2 паранброј,одаклеизлазидајеи n паранброј. Дакле,полазећиодпретпоставкедаје √2 рационаланбројдобилисмоследећепоследице: √2= m n и m јенепаранили n јенепаран (2) m јепарани n јепаран. (3) Међутим,исказ(3)еквивалентанјесанегацијомисказа(2).Заиста, ¬(2) ⇔¬(m јенепаран ∨ n јенепаран) ⇔¬(m јенепаран) ∧¬(n јенепаран)(Задатак12,стр.5) ⇔ m јепаран ∧ n јепаран ⇔ (3)

Логикаискупови

Другимречима,доказалисмо: ¬p ⇒ (2) ∧¬(2),тј.наоснову законанепротивречности: ¬p ⇒⊥.Стога,наоснову законасвођењанаапсурд,тј.таутологије p ⇔ (¬p ⇒⊥) закључујемодасмодоказалитачностисказа p.

Пример5. Требадоказатидаизтврђења A излазикаопоследицатврђење B.Уместотога, пођесеодпретпоставкедасутврђења A и ¬B тачна,пасеизњихизведенекинетачанзакључак, итојекрајдоказа.

Примеритаквихдоказасурецимодоказтврђења(Т5),стр.87,тврђења(УСУ),стр.98и многидруги.

Дакле,уместоимпликације A ⇒ B

доказујесеимпликација A ∧¬B ⇒⊥.Tојетакође последицасвођењанаапсурд.Наиме,акоје p исказ A ⇒ B,тадаје ¬p исказ ¬(A ⇒ B). Међутим, ¬(A ⇒ B) ⇔¬(¬A ∨ B)(Задатак10,стр.5) ⇔¬(¬A) ∧¬B (Задатак12,стр.5) ⇔ A ∧¬B (Двојнанегација)

Дакле,акоутаутологијизасвођењенаапсурд p ⇔ (¬p

ставимо A ⇒ B уместо p,добијамо (A ⇒ B) ⇔ (A ∧¬B ⇒⊥), ивидимодаседоказимпликације A ⇒ B можезаменитидоказомимпликације A ∧¬B ⇒⊥ Тосеуматематицичестоичини.

Напомена1.

Евојошједногобјашњењазаштосеуместоимпликације A ⇒ B можедоказатиимпликација A ∧¬B ⇒⊥.Формула (4) (A ∧¬B ⇒⊥) ⇒ (A ⇒ B) јетаутологија,штоселакопроверава.Прематоме,акоутаутологијизамодуспоненс: (p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q

уместо p ставимо A∧¬B ⇒⊥,ауместо q ставимо A ⇒ B,видимодаиздоказанеимпликације A ∧¬B ⇒⊥ итаутологије(4)излазикаопоследицаимпликација A ⇒ B

Пример6. Акоје a реаланброј,знамоштаје a 2 , a 3 , .Такођезнамодаје (a m)n = a mn , где m, n ∈ N.Претпоставимозатренутакдазнамо7 штаје a b ,гдесу a и b позитивнибројевии даједнакост (a b)c = a bc важизапозитивнебројеве a, b, c

Узтепретпоставкедоказујемоследећетврђење:

(T)Постоје ирационални бројеви a и b таквидаје a b рационалан број. НаосновуПримера4,знамодаје √2 ирационаланброј.Наосновузаконаискључењатрећегзакључујемо: Број √2 √2 је рационалан,илијеброј √2 √

)једоказано,јерсеможеузети: a = b = √2 (ii) Некајеброј √2 √2 ирационалан.Тадаје

2 рационаланброј,тврђење(T)једоказано,јерможемоузети:

Пример7. Овајпоследњипримернијеизматематике.Упосветиспева Лучамикрокозма Његошкаже: Акоистоксунцесв’јетлорађа, 7О томећебитиречиуIIразреду.

3. Додатак 33

акобићевриулучесјајне, акоземљапривиђењеније, душаљудскајестебесамртна...

Овдесусажетоизреченетриимпликације;задржаћемосесамонапрвојкојупишемоуоблику8 : (5)

Сунцеизлазинаистоку ⇒ Људскадушајебесмртна.

НећеЊегошбашсасвимотворенодакажештамисли;онсамокажедајеимпликација(5)тачна. Али,онзнадаћесесвакосложитисатимдајеисказ (6)

Сунцеизлазинаистоку тачан.Стогаиз(6)и(5),наосновутаутологијезамодуспоненс (p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q излази, каозакључак,управоонамисаокојујеЊегошихтеодапренесечитаоцу:Душаљудскајесте бесамртна.

3.3.Украткооизлагањуматематике

Основнаодликаматематикеједоказивање,тј.извођењеизпознатихтврђењановихтврђења.Међутим,уматематицисенемогудоказатисватврђења,нити семогудефинисатисвипојмовисакојимасеради.Стогасеизлагањематематике одвијанаследећиначин.

Извеснипојмовисенедефинишу,већсеузимајуза полазнепојмове.Такођесе извеснатврђењаотимполазнимпојмовиманедоказују,већседоговорносматрају тачним;тосу аксиоме.Затимсеизаксиомаизводе,тј.доказујуноватврђењакоја сеназивају теореме или ставови

Напомена1. Већјереченодасенеможесведефинисатинидоказати.Измеђуосталог, досадасмопомињалипојамматематика(којинећемодефинисати9),затимпојамтврђење,под којим,груборечено,подразумевамонекуафирмативнуреченицу10

Објаснимомалоближештаједоказ. Доказ јеконачаннизтврђења,причему јесвакичлантогнизааксиомаилиседобијаизпретходнихтврђењапомоћунеког правилаизвођења(којејеилипоследицааксиомаилијенекилогичкизакон).

Напомена2. Приликомизлагањаматематикеподразумевајусесвојстваједнакости,паје једноодправилаизвођењазамењивањенекогобјектањемуједнакимобјектом.Наиме,акоје T (a) тврђењеукомеучествујенекиобјекат a иакоје a = b,ондасматрамодасутврђења T (a) и T (b) еквивалентна.

Радилакшегизражавањаизлагањематематикепрожетојеиразним дефиницијама.Описноречено,дефиницијамасеуводеновеознаке,симболи,термини, итд.дабисеизбеглачестапонављањаилидабисеизлагањепоједноставило.При томе,услучајутзв. коректне дефиницијеновоуведенитермин(симбол,ознака)

8Овим јенаравноуништеналепотапесниковогјезика,алијемисаоочувана. 9Математичаризнајудасепојамматематиканеможедефинисати.Стогасуњихове,,дефиниције“ математикеустваримањеиливишеуспелиафоризми.Рецимо,Б.Раселкаже:Математикасеможедефинисатикаопредметкодкоганикаднезнамоштајетоочемуговоримо,нитидалијеоноштокажемо

морабитиотклоњив,штозначидасесвакареченицаукојојсетајтерминпојављујеможеисказатиибезњега.Даље,дефиницијанесмедабудекреативна,тј. помоћуњесенемогудоказатитеоремекојесебезњенебимогледоказати. Пример1. Угеометријисеуводидефиниција:Скупсвихтачакауравникојесеналазена једнакомрастојањуодједнеодређенетачкеназивасекруг. Овомдефиницијомуведенјеновтермин круг.Тајтерминможедасеизоставиизсваке реченицеукојојсепојављује.Например,акоуреченици(теореми):,,Двакругамогуимати највишедвезаједничкетачке“изоставимотермин круг долазимодооваквереченице:,,Скуп свихтачакауравнинаједнакомрастојањуодједнеодређенетачкеискупсвихтачакауравни

Овакосеотприликеизлажематематикакаонаучнадисциплина.Уџбеничко излагањематематикејенештодрукчије.Наиме,иакосеиууџбеникудржимошеме:

излагањејеслободније,тј.мањејестрого.Рецимо,некидоказисускраћени,неки самонаговештени,некиизостављени,имаипозивањана,,очигледност“,појамкоји уматематициниједефинисан,итд.

Поредтога,ууџбеникусеналазеизадаци.Тосузахтевидаученик(читалац) наосновудотадаизложенематерије,самосталнодокаженоветеореме(одкојих некемогубитисасвимједноставне,анекеозбиљне).Заиста,свакитачнорешензадатакможесепреформулисатитакодадобијеобликтеореме(иаконапрвипоглед томожданеизгледатако).

Пример2. УЗадатку12,стр.18дефинисанајеоперација ∗ скупа {a,b,c} датомтаблицом. Тражиседасеизрачунаизраз: (a ∗ a) ∗ b

Користећиседатомтаблицомдобијамо: (a ∗ a) ∗ b = a ∗ b = b.Тимеје,уствари,доказана следећа(додушебезначајна)теорема: Акојеоперација ∗ скупа {a,b,c} дефинисанатаблицомнастр.18,ондајеједнакост (a ∗ a) ∗ b = b тачна.

1.ПРЕДСТАВЉАЊЕБРОЈЕВАТАЧКАМАПРАВЕ

1.1.Рационалнибројеви

Особинерационалнихбројеваирачунањесањимабилисуглавнипредмет проучавањатокомпретходногшколовања.Притоме,почелосеодскупаприроднихбројеваNкојијекаснијепроширендоскупацелихбројеваZ(комепоредприроднихбројеваприпадаиброј 0 исвинегативницелибројеви),аовајдоскупарационалнихбројеваQ(комепоредсвихцелихбројеваприпадајуисви,,разломци“). Дакле,

N = {1, 2,... }, Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... }, Q = { m n m,n ∈ Z; n = 0}

Напомена1. Скупсвихприроднихбројевакомеједодатиброј 0 означавамо N0.Дакле, N0 = {0}∪ N = {0, 1, 2,... }

Негативном броју 1 додељујемо

тачку A′ 1 праве p којајесиметричнатачки A1 уодносунатачку O,броју 2 тач-

Рационалнебројевеможемоида,,цртамо“.Некаје p правалинијанакојојсу (сасвимпроизвољно)означенедветачке O и A1.Броју 0 придружујемотачку O, аброју 1 тачку A1 којасеналазидесноодтачке O.Броју 2 додељујемотачку A2 праве p симетричнутачки O уодносуна A1,броју 3 тачку A3 симетричнутачки A1 уодносуна A2,итд.Натајначинброју 0 исвакомприродномброју n додељена јепоједнатачкаправе p Сл.1

ку A′ 2 која је симетрична тачки A2 у односу на тачку O, итд. Тако смо сваком

целом броју придружили по једну тачку праве p. Видети сл.

36 Реалнибројеви

у тачки N1

којупридружујемоброју 1 n

Тачку N2 праве p којајесиметричнатачки

O уодносунатачку N1 придружујемоброју 2 n,итд.Уопште,акоје m> 0,тачка Nm

којаодговараброју m n добијасетакоштоседуж ON1 пренесе m 1 путадесноод

тачке N1.Насл.2приказанајеконструкцијатачке M којаодговараброју 11 8 .

Тимесмосвакомпозитивномрационалномброју r доделилипоједнутачку праве p.Некаје M тачкакојанаправој p одговарапозитивномрационалномброју r.Таданегативномрационалномброју r одговаратачка M ′ праве p којајесиметричнатачки M уодносунатачку O

Собзиромдасвакомрационалномбројуодговара,наописаниначин,тачно једнатачкаправе p,тетачкенеморамодаобележавамословима,већбројевима којепредстављају.Такосеупраксинајчешћеиради;видетисл.3.Такоозначена права p називасе нумеричкаправа1 .

Приметимодасенанумеричкојправојјасновиди поредак рационалнихбројева:мањибројналазисе лево одвећегброја.

Јасноједананумеричкојправојимавишетачаканегоштоимацелихбројева. Например,измеђутачака O и A1

(односноизмеђутачака 0 и 1)постојибесконачномноготачакакојенеодговарајуниједномцеломброју.Садакадсмоисвакомрационалномбројудоделилипоједнутачкуправе p,тадајетај,,празанпростор“измеђутачака O и A1 приличнопопуњентачкамакојеодговарајубројевима 1 2 , 1 3 , 1 4 , ..., 2 3 , 2 5 , 2 7 , којихимабесконачномного.Ипак,каоштоћемовидети, нумеричкаправа p идаљеимавишетачаканегоштоимарационалнихбројева.

Питање

1. Како,,цртамо“рационалнебројевенанумеричкојправој?

Задаци

1. Написатипетпозитивнихипетнегативнихрационалнихбројеваиприказатиихнанумеричкојправој.

2. Написатитрипарасупротнихрационалнихбројеваиприказатиихнанумеричкојправој.

3. Написатишестрационалнихбројевакојисеналазеизмеђубројева 2 и 7 иприказатиих нанумеричкојправој.

4. Написатитрирационалнабројавећаод 5 амањаод 4 иприказатиихнанумеричкој правој.

1. Представљањебројеватачкамаправе 37

5. Измеђукојихсуседнихцелихбројевасеналазерационалнибројеви: 38 3 , 38 7 , 8 23 , 54 17 ? Приказатиихнанумеричкојправој.

6. Конструисатинанумеричкојправојследећебројеве: 5 2 , 17 5 , 29 4 , 33 5

7. Некатачка A нумеричкеправеодговарапозитивномрационалномброју r.Одредити

тачке B, C, D нумеричкеправекојеодговарајубројевима 2r, 1 2 r, 3 5 r

8. Некатачке A и B

нумеричкеправеодговарајурационалнимбројевима r и s.Одредити

тачке C и D нумеричкеправекојеодговарајубројевима r + s и r s.(Разликовати случајевекадасу r и s позитивни,негативниилинула.)

1.2.Омерењудужи.Појаваирационалнихбројева Постојиједанопштипринципмерењаразнихвеличина:дужина,површина, запремина.Например,акохоћемодамеримодужинедужи,поступакјеследећи. Једнуодређену(произвољну)дужпрогласимозајединичну,иондаутврђујемоколикосепутатадужилињениделови(рецимоњенетрећине,петине,десетине, итд.)садржеудужикојумеримо.

Прематоме,акокажемодадуж OA1

нанумеричкојправој p имадужину 1,и

акотачка P праве p одговарапозитивномрационалномброју r,ондадужинадужи OP износи r

Пример1. Какоодређујемодужинудатедужи MN?Датудужпомоћушестарапренесемо нанумеричкуправу(накојојједефинисанајединичнадуж OA1),такодасетачка M пренесе утачку O,атачка N унекутачку P праве p таквудасудужинедужи MN и OP једнаке.Ако рационалномброју r одговаратачка P ,ондатајбројпредстављадужинудужи OP ,пастогаи дужи MN.Видетисл.4.

Важнанапомена. Дуж MN јегеометријскилик,ањенадужинајепозитиванброј.Због тогадужинудужи MN требаозначитинекимдругимсимболом,рецимо |MN |,или d(MN ), итд.Међутим,данебисмокомпликовалиознакемитонећемочинити.Дакле,каднапишемо, например, MN =5,јасноједахоћемодакажемодаједужинадужи MN једнака 5,јердуж, геометријскилик,неможедабудеједнакаброју.Сматрамодатакомоцијауозначавањунеможе дадоведедозабуне.

Изложенипоступакмерењаомогућаванамдаодредимодужине многих,али неи свих дужи. Пример2.

OB2 = OA2 1 + A1B2 =12 +12 =2

.Кругсацентромутачки O иполупречником OB сече

праву p утачки K (сл.5).Татачканеодговараниједномрационалномброју.

Наиме,какоје OB2 =2,имамо OK2 =2

,пакадбипостојаорационаланброј r коме одговаратачка K,моралобидабуде r 2 =2.Међутим,каоштознамо(видетиПример4,стр. 31)такаврационаланбројнепостоји.

НаосновуПримера2закључујемодапостојидуж OK чијадужинанијеједнаканиједномрационалномброју.Природнатежња,захтевдаседужинасваке дужиможеизразитинекимбројемдоводидопроширивањаскупарационалних бројева Q.

Наиме,акоједуж OP нанумеричкојправој p таквадатачка P неодговарани једномрационалномброју,ондакажемодапостоји ирацоналан бројкометатачка одговара.

Напомена1. Каоштознамо,позитиванирационаланброј x такавдаје x 2 =2 означава се √2. Уопште,акоје a> 0 иако n ∈ N тада n √a означавапозитиванброј x саособином: x n = a

Напомена2. Наравно,акотачка P неодговараниједномрационалномброју,ондани тачка P ′ ,симетричнатачки P уодносуна O такођенеодговараниједномрационалномброју.Утомслучају,акотачка P одговараирационалномброју i,ондасматрамода P ′ одговара ирационалномброју i

Скупсвихрационалнихиирационалнихбројевасачињаваскупсвих реалних бројева R.

Увођењемирационалних,даклеиреалнихбројевауспостављенаје 1 1 кореспонденцијаизмеђуелеменатаскупа R итачаканумеричкеправе p:свакомреалномбројуодговараједнатачкаправе p иобратно,свакојтачкиправе p одговара једанреаланброј.Увезисатим,тачкенумеричкеправепоистовећујемосареалнимбројевима,пауместо,,тачка P којаодговарареалномброју r“простокажемо ,,тачка r“.

Питања

1. Далисвакадужимадужинукојајеједнаканекомрационалномброју?

2. Какоуводимоирационалнебројеве?

3. Штасуреалнибројеви?

4. Далисвакадужимадужинукојајеједнаканекомреалномброју?

5. Далипостоји 1 1 кореспонденцијаизмеђусвихтачаканумеричкеправеи:(i)свих елеменатаскупа Q;(ii)свихелеменатаскупа R?

Задаци

1. Приказатинанумеричкојправојирационалнебројеве √2, √3, 1 2 √5, 2 3 √7

2. Некатачка A нумеричкеправеодговараирационалномброју a.Конструисатитачке B и C нумеричкеправекојеодговарајубројевима 2a, 1 3 a Далисутибројевирационални илиирационални?

3. Измеђукојадвацелабројасеналазеирационалнибројеви √54, √151, √903?

4. Написатитриирационалнабројакојисеналазеизмеђуприроднихбројева 2 и 3 иприказатиихнанумеричкојправој.

2.Основнеособинереалнихбројева 39

2.ОСНОВНЕОСОБИНЕРЕАЛНИХБРОЈЕВА

2.1.Пољерационалнихипољереалнихбројева Акосу m, n, p, q целибројевии n =0, q =0,таданамједобропознатокако сеизрачунавајузбир,разлика,производиколичникрационалнихбројева: m n + p q = mq + np nq , m n p q = mq np nq , m n p q = mp nq , m n : p q = mq np , (p =0)

Измеђуосталогуочавамо:акосу x и y

рационалнибројеви,тадасу x + y, x y, xy и x y такођерационалнибројеви2.Кажемоидајескупрационалнихбројева Q

затворенуодносунаоперацијесабирање,одузимање,множење,адајескупQ\{0}

затворениуодносунадељење.

Пример1. Скуп N jезатворенуодносунасабирањеимножење,алинијеуодносуна одузимањеидељење.Скуп Z језатворенуодносунасабирање,одузимањеимножење,алине иуодносунадељење.

Наводимоосновнеалгебарскезаконекојиважезарационалнебројевеина основукојихсмосањимадосадарадили,,,рачунали“.Ако x, y, z ∈ Q,тада (A1) x +(y + z)=(x + y)+ z;(A2) x(yz)=(xy)z;

(A3) x + y = y + x; (A4) xy = yx;

(A5) x +0= x; (A6) x 1= x;

(A7) x +( x)=0; (A8) x 1 x =1;

(A9) x(y + z)= xy + xz

Кажемо да скуп

(Q, +, ) поље. Напомена 1. Закони (A1), (A2) називају

S дефинисане две операције +и да за сваки елемент x ∈ S,постојиелемент x ∈ S,идазасвако x ∈ S, x =0,постојиелемент 1 x .Ако засве x, y,

z ∈ S важеједнакости(A1) (A9),кажемодајеструктура (S, +, ) поље.

Полазећиодзакона(A1) (A9)које(узпретпоставку 0 =1)зовемо аксиоме поља,можемодадокажеморазнасвојстварационалнихбројевакојасунам,од раније,добропозната.Наводимонекаодњих. (i) ( x)= x;(ii) (x + y)=( x)+( y);(iii) x 0=0; (iv) ( x)y = xy;(v) x( y)= xy; (vi) ( x)( y)= xy; (vii)Постојисамоједанелемент 0 такодаважи(A5); (viii)Постојисамоједанелемент 1 такодаважи(A6); (ix) x + y = x + z ⇒ y = z; (x) x =0 ∧ xy = xz ⇒ y = z;

2Каоштознамо,уместо x y честопишемо xy

40 Реални бројеви

(xi)Засвако x постојисамоједанелемент x такавдаважи(A7);

(xii)Засвако x =0 постојисамоједанелемент 1 x такав даважи(A8).Уместо x 1 y или x y пишемо x : y (y =0);

(xiii) xy =0 ⇔ x =0 ∨ y =0

У следећим примерима доказујемо, и то стриктно, формуле (i), (iii), (ix) и (xiii). То чинимо само зато да бисмо илустровали како се, из аксиома поља, могу изводити разне последице. Наравно, у пракси нема потребе ни смисла изводити тако стриктне доказе. Пример2. Доказједнакости(i).Имамо

( x)= ( x)+0

= ( x)+(x +( x))

= ( x)+(( x)+ x)

=( ( x)+( x))+ x

=(( x)+( ( x))) + x

=0+ x

наоснову(A5)

наоснову(A7)

наоснову(A3)

наоснову(A1)

наоснову(A3)

наоснову(A7) = x +0

наоснову(A3) = x

Пример3. Доказједнакости(iii).Имамо

x 0 = x 0+0

= x 0+(x 0+( (x 0)))

=(x 0+ x 0)+( (x 0))

= x(0+0)+( (x 0))

= x 0+( (x 0))

наоснову(A5)

наоснову(A7)

наоснову(A1)

наоснову(A9)

наоснову(A5) =0

Пример4. Доказформуле(ix).Имамо

x + y = x + z ⇒ ( x)+(x + y)=( x) +(x + z)

⇒ (( x) + x)+ y =(( x)+ x)+ z

⇒ (x +( x))+ y =(x +( x))+ z

⇒ 0+ y =0+ z

⇒ y +0= z +0

наоснову(A7)

наоснову(A1)

наоснову(A3)

наоснову(A7)

наоснову(A3) ⇒ y = z

наоснову(A5)

Пример5. Доказформуле(xiii).Некаје xy = 0.Акоје x =0,импликација (1) xy =0 ⇒ x =0 ∨ y =0

јетачна(јерпостаје ⊤⇒⊤∨ y =0).Акоје x =0,тадапостоји 1 x иимамо

xy = 0 ⇒ 1 x (xy)= 1 x 0

⇒ ( 1 x x) y = 1 x 0

⇒ y (x 1 x ) = 1 x 0

наоснову(A2)

наоснову(A4)

2.Основнеособинереалнихбројева 41

⇒ y 1= 1 x 0

⇒ y = 1 x 0

⇒ y =0

наоснову(A8)

наоснову(A6)

наосновудоказанеједнакости(iii), иимпликација(1)опетјетачна,јерпостаје ⊤⇒⊥∨⊤.

Обратно,акоје x =0 ∨ y =0 тачно,тозначидајебарједнаодједнакости x =0, y =0 тачна.Акоје x =0,тадаје xy =0 · y = y · 0=0,наоснову(A4)идоказанеједнакости(iii). Акоје y =0,тадаје xy = x 0=0,наосновутврђења(iii).Дакле,импликација x =0 ∨ y = 0 ⇒ xy =0

јетачна,штозаједносаимпликацијом(1)обезбеђујетачностеквиваленције(xiii).

Прелазимосаданареалнебројеве.Претпостављамодасеоперације + и скупаQмогупренети,дефинисатиинаскупуRитотакодајеструктура (R, +, ) поље. Другимречима,уводимо претпоставку дазареалнебројеветакођеважезакони (A1) (A9),падаклеисвепоследицетихзакона,нпр.својства(i) (xiii)наведена настр.39.

Напомена3. ОзначимосаIскупсвихирационалнихбројева.ТадајеR = Q∪I,Q∩I = ∅. СобзиромдајеI ⊂ R,уведенапретпоставкадасеоперације + и могудефинисатинаскупуR, причемуважезакони(A1) (A9)значидаисаирационалнимбројевимарачунамоистокао сарационалним.Међутим,приметимода,заразликуодскупова Q и R,скуп I нијезатворен у односу на операције + и ·

Питања

1. Написатиформулезазбир,разлику,производиколичникрационалнихбројева m n ,(n = 0); p q (q =0).

2. Штазначидајескуп Q затворенуодносунаоперацијесабирање,одузимање,множење, адајескуп Q \{0} затворенуодносунадељење?

3. Далијескуп N затворенуодносунаоперацијесабирање,одузимањеидељење?

4. Далијескуп Z затворенуодносунаоперацијеодузимањеидељење?

5. Написатиаксиомепоља.

6. Наосновучегакажемодајеструктура (R, +, ) поље?

Задаци

1. Заштоструктуре (N, +, ), (N0, +, ), (Z, +, ) нисупоља?

2. Доказатиједнакости(ii),(iv),(v),(vi)састр.39.итостриктно,онакокакојечињеноу Примерима2,3,4и5.

3. Стриктномприменомаксиомапоља(A1) (A9),коракпокорак,израчунативредност израза 2 3 + 1 3 ( 6 5 (1+ 2 3 ) 6 5 )

4. Израчунативредностизраза a + b c a b + c ,акоје a = 7 2 , b = 4 3 , c = 12 5

5. Акоје a = 2b = 1 2 , x = 2, y = 3 5 ,израчунативредностизраза a b x(y 2) 2a + b y(x +1)

6. Ако је a =2+ √3, b =2 √3,израчунати a + b, a b, ab, a b .

42 Реалнибројеви

7. Ако x, y, a ∈ Q и √a / ∈ Q, израчунатизбир,разлику,производиколичникбројева x + y√a и x y√a

8. Доказатидасубројеви √3 и √5 ирационални.

9. Ако a, b ∈ Q,далијеброј a + b√2 рационаланилиирационалан?

10. Ако a, b, c, d ∈ Q,доказатиеквиваленцију: a + b√2 = c + d√2 ⇔ a = c ∧ b = d

11. Ако a, b, c, d ∈ Q,кадаћеброј a + b√2 c + d√2 битирационалан,акадирационалан?

12. Ако a ∈ Q, b ∈ I(= R \ Q),доказатида a + b ∈ I, a b ∈ I, ab ∈ I

13. Акосубројеви a и b ирационалнииакојењиховзбир a + b рационаланброј,доказати дајењиховаразлика a b ирационаланброј.

14. Акосубројеви a и b ирационалнииакојењиховпроизвод ab рационаланброј,далије њиховколичникирационаланброј?

15. Далипостојеирационалнибројеви a и b таквида: (i) a + b ∈ Q, a b ∈ Q;(ii) ab ∈ Q, a b ∈ Q?

16. Акоје S = {a + b√2 | a, b ∈ Q},доказатидаје (S, +, ) поље.

2.2.Уређењепољарационалнихиреалнихбројева УскупуцелихбројеваZрелацију,,мање“,уознаци <,дефинишемонаследећи начин.Цеоброј x мањијеодцелогброја y акопостојиприроданброј n такавдаје x + n = y.Другимречима, x<y ⇔ (∃n ∈ N)(x + n = y).

Слично,релацију,,мањеилиједнако“,уознаци ,дефинишемопомоћуеквиваленције

(1) x y ⇔ (∃n ∈ N0)(x + n = y)

Пример1. Имамо: x<y ⇔ x y ∧ x = y; x y ⇔ x<y ∨ x = y.

Једноставносепроверавадајерелација једнарелацијапоретка(видетистр. 11),тј.дазасвако x, y, z ∈ Z важи:

(A10) x x;

(A11) x y ∧ y x ⇒ x = y;

(A12) x y ∧ y z ⇒ x z.

Напомена1. Уместо x<y пишемои y>x,ауместо x y пишемои y x,чимесу уведенерелације,,веће“и,,већеилиједнако“.Имамо y>x ⇔ y x ∧ y = x.

Полазећиоддефиниције(1)можеседоказатидазапроизвољнецелебројеве x, y, z важеиследећизакони:

(A13) x y ∨ y x;

(A14) x y ⇒ x + z y + z;

2.Основнеособинереалнихбројева 43

(A15) 0 x ∧ 0 y ⇒ 0 xy

Примераради,доказујемоимпликацију(A14).Акоje x y,ондапостоји n ∈ N0 такодаје x + n = y.Стогаје x + z + n = y + z,где n ∈ N0,штонаоснову(1)

значидаје x + z y + z.

Каоштознамо,билокојирационаланбројможедасепредставиуоблику m n , где m ∈ Z и n ∈ N.Упоређивањерационалнихбројеваутомобликувршисе помоћуеквиваленције

Пример2. Дабисмоупоредилирационалнебројеве 2 3 , 3 8 ,напишимоихуоблику 2 3

односно 8 3 .С обзиромдаје ( 2) 8 ( 3) 3,закључујемодаје 2 3 3 8 . Дакле,ускупу Q дефинисалисморелацију,,мањеилиједнако“уознаци , помоћуодговарајућерелацијекојајеранијебиладефинисанау(ужем)скупуцелих бројева Z.Једноставносепроверавадаиускупу Q важесвизакони(A10) (A15). Кажемодајеструктура (Q, +, , ) уређенопоље.

Релације <, , > дефинишемоускупу Q

помоћуеквиваленција (2) x<y ⇔ x y ∧ x = y; x y ⇔ y x; x>y ⇔ y<x.

Наводимонекамање-вишеочигледнатврђењакојаважеууређеномпољурационалнихбројева.

(i)Засвакадварационалнаброја x, y имамо:или x<y или x = y или x>y;

(ii)Акоје x y и z> 0,тадаје xz yz;

(iii)Акоje x y и z< 0,тадаје xz yz;

(iv)Релације x y, 0 y x, x y 0, y x суеквивалентне;

(v) x> 0 ∧ y> 0 ⇒ xy> 0; x> 0 ∧ y< 0 ⇒ xy< 0;

(vi) xy> 0 ⇒ (x> 0 ∧ y> 0) ∨ (x< 0 ∧ y< 0)3 ;

(vii)Ако n ∈ N и x> 0,тадаје nx x x n

Доказујемоследећеважносвојстворационалнихбројева. Архимедоватеорема. Нека x, y ∈ Q.Акоје x> 0,тадапостојиприродан број k такавдаје y<kx.

Доказ. Акоје y 0,тврђењејетривијално,јерможемоузетидаје k =1 Претпоставимостогадаје y> 0,иставимо x = m n , y = p q ,где m, n, p, q ∈ N.Нека је k = np +1.Тадаје kx =(np +1) m n = mp + m n >mp p p q = y итврђење је доказано.

3Ова еквиваленцијасечесто,,чита“наследећиначин:Акојепроизводдвабројапозитиван,онда сутибројевиистогзнака.

СобзиромдаууређеномпољурационалнихбројеваважиАрхимедоватеорема,кажемодајепољерационалнихбројева Архимедовопоље

Претпоставимосададасерелација можедефинисатиинапољуреалних бројева R итотакодаважезакони(A10) (A15),атакођеиАрхимедоватеорема. Другимречима,уводимопретпоставкудајеипољереалнихбројеватакођеАрхимедовопоље.

Напомена2. Помоћурелације уводимо,ускупуR,релације <, , > науобичајенначин, тј.помоћуеквиваленција(2).

Питања

1. Какоседефинишерелација (мањеилиједнако):(i)ускупу Z;(ii)ускупу Q?

2. Написатиаксиомеуређеногпоља.

3. Архимедоватеоремаууређеномпољу (Q, +, · , ).

4. Наосновучегакажемодајеструктура (R, +, , ) уређеноАрхимедовопоље?

Задаци

1. Којесуодследећихформулатачне:(i) 12 13 < 20 21 ; (ii) 12

2. Упоредитиследећебројевеповеличини: 54

3. Кадаје:(i) x> x;(ii) x x;(iii) x< 3x;(iv) 1 2 x x?

4. Акоје 0 x y 3 2 , доказатидаје

5. Акоje a< 0 и 2ab>a,каквоморабити b?

6. Акоje b> 0 и 6ab 3a(a + b) > 3a(b 1),каквоморабити a?

7. Подкојимусловимасуимпликације:(i)

8. Подкојимусловомје (1+ x)(1+ y) < 1+ x + y?

9. Ако a<b,доказатидаје a< a + b 2 < b Укоординатномсистему Oxy шрафиратионеобластикојесуодређенеследећимнеједнакостима:

10. xy> 0; 11. (x 1)(y 2) 0; 12. (3 x)(y 1) < 0

2.3.Некеједнакостиинеједнакости Собзиромдаскуп R,истокаоискуп Q,чинипољеуодносунасабирањеи множење,сареалнимбројевима,,рачунамо“наистиначинкаоисарационалним бројевима.Изводимонекеједнакостикојетребазнатинапамет. 1. Запроизвољнереалнебројеве a, b важеједнакости: a 2 b2 =(a b)(a + b), (1)

2. Основнеособинереалнихбројева

(2)

Овеједнакостидоказујемотакоштоизмножимоњиховедеснестранеиуверимо седасуједнакелевим.Примераради,доказујемоједнакост(2).Имамо (

Напомена1. Уовомдоказукористилисмоособине(A1),(A2),(A3),(A4),(A5),(A7),и (A9),затимдоговорда x y значи x +( y),инајзадособину(iv)настр.39.Наравно,сатим особинамасмосеираније,,сродили“,панемапотребедапосебноистичемокадјекојаодњих примењена.

Напомена2. Собзиромдаједнакости(1),(2)и(3)важеза све реалнебројеве a, b,онесе називају идентитети на R

Пример1. Доказатиједнакости(1)и(3).

Пример2. Ако a, b ∈ R тадаје a 4

Пример3. Израчунати 99992.Уместомножењаброја 9999 бројем 9999,штонијетешко, алиједосадно,можемодапоступимоовако.Какоје 99992 12 =(9999 1)(9999+1)= 9998 10000=99980000,закључујемодаје 99992 =1+99980000=99980001

2. Запроизвољнереалнебројеве a, b важеједнакости (a + b)2 = a 2 +2ab + b2 , (a + b)3 = a 3 +3a 2b +3ab2 + b3 , (4) (a b)2 = a

(5)

Доказеопетизводимонепосредниммножењем.Например, (

)

Напомена3. Акоуједнакостима(4)уместо

ивидимодасуједнакости(

севеомачестокористе. Напомена4. Акодругуједнакосту(

итд.Погледајмомалобољеструктуруједнакости(4),(6)и(7).Напрвомместууочавамодакад сеизоставекоефицијентиизнак +,ондаседобијаоваквашема: (a + b)2 :

Наосновутоганаслућујемодаћесеоваправилностнаставити,падаћесеуформулиза (a+b)n , n ∈ N,појавитиследећичланови:

Аштаседешавасакоефицијентимаузовечланове?Акоихопетпредставимоуобликушеме, имамо (a +

Уочимокакосеправиовашема.Свакаврстапочињеизавршавасебројем 1.Осталибројеви уврстидобијајусесабирањемсуседноглевогидесногбројаизпретходневрсте.Рецимо,учетвртојврстивидимодаје 5=1+4, 10=4+6, 10=6+4, 5=4+1.Наосновутогзапажања

можемошемудапродужимоиданапишемојошнекеврсте:

(a + b)6 :1615201561

(a + b)7 :172135352171

итд.Овакоформиранашеманазивасе Паскаловтроугао.Применимојенаизрачунавање (a + b)7.Имамо (

Формулузаизраз (a b)7 добијамотакоштоупретходнојједнакостиуместо b ставимо b: (a b)7 = a 7

Пример5. Имамо: (2x 3y)5 =(2x)5 5(2x)4(3

3. Ако a ∈ R тадаје a 2 0,причемуједнакостнаступасамоуслучајукадје a =0;чимје a> 0 ондаје a 2 > 0.Изовеједноставнечињеницемогудасеизведу разненеједнакостикојенисутоликоочигледне. Пример6. Забилокојадвареалнаброја x, y важинеједнакост (8) x 2 + y 2 2xy, причемуједнакостнаступасамокадје x = y

Заиста,имамо (x y)2 0,стимштоједнакостнаступасамокадје x y =0,тј. x = y Међутим,знамодаје (x y)2 = x 2 2xy + y 2.Дакле, x 2 2xy + y 2 0,штојееквивалентно са(8).

Пример7. Засвако x ∈ R важи x 2 + x +1 > 0

2. Основнеособинереалнихбројева

Заиста,собзиромдаје

Стогазакључујемо:Акоје

Некасу

(9)

причемуједнакостнаступаакоисамоакоје a = b.Неједнакост(9)јенеједнакостизмеђу геометријскеиаритметичкесрединедваброја.

Пример10. Некасу x, y, z позитивнибројеви.Тадаје,очигледно, (10) (x y)2 +(y z)2 +(z x)2 0, стимштоједнакосту(10)можеданаступисамоакоје x = y = z.Неједнакост(10)еквивалентнајеса

тј. x

Какоје x + y + z> 0,последњунеједнакостможемодапомножимоса x + y

односно

Акоуведемосмену:

(11)

и тојенеједнакостизмеђугеометријскеиаритметичкесрединетрипозитивнаброја.Једнакост можеданаступиу(11)самоакоје a = b = c Напомена5. Уопште,акосу a1, a2, , an ненегативнибројеви,тадаје n √a1a2 ..an њи-

хова геометријска,а 1 n (a1 + a2 + + an) њихова аритметичкасредина.Важинеједнакост (12) n √a1a2 ..an 1 n (a1 + a2 + + an) Изовенеједнакостимогудасеизведуразнедругенеједнакости.Рецимо,ако x, y, z> 0 иакоу неједнакост(12)za n =3 ставимо a = x y , b = y z , c = z x добијамо 3 … x y y z z x 1 3 Å x y + y z + z x ã , тј. 3 x 2 z + y 2 x + z 2 y xyz

дакле, x 2 z + y 2 x + z 2 y 3xyz.

48 Реалнибројеви

Питања

1. Разликаквадрата,збириразликакубовадвареалнаброја.

2. Формулеза (a + b)n ,где n ∈ N и n 7.Паскаловтроугао.

3. Неједнакостизмеђугеометријскеиаритметичкесредине n позитивнихбројева.Доказ за n =2

Задаци Израчунати:

1. ( 1 x +2)2 ; 2. ( 1 3 x y)2 ; 3. ( 1 3 xy 1)3 ;

4. (1 √5)5 ;

10. Ако је a 2 = bc,одредити a, b, c ∈ R такодаје b2 bc +

11. Акоје 2s = a + b + c,доказатидаје s 2

Доказатидазасвако x ∈ R важи:

12. (1+ x)2 1+2x; 13. x 2 +2x +5 > 0; 14. x 2 +6x +3 > 3x; 15. (1+2x)4 2x 3 + x 2 ; 16. (x 4)(x 3)(x 2)(x 1)+1=(x 2 5x +5)2

17. Акоje a> 0, b> 0,доказатидаје a b + b a 2

18. Ако je x> 3,доказатидаје (1+ x)3 1+3x

19. Закојереалнебројеве x важинеједнакост x + 1 x 2?

20. Ако је a, b, c> 0,доказатидаје ab(a + b)+ bc(b + c)+ ca(c + a) 6abc.

21. Акоje a + b> 0,доказатидаје a 3 + b3

22. Акоје a 0, b 0, c 0,доказатидаје (a +

23. Акоje 0 <a<b,доказатидаје a<

24. Доказатиидентитет: (ac

25. Доказатидајенеједнакост

тачназасвереалнебројеве x, y.

2.4.Интервали,ограниченискупови,максимумиминимум,цеодеоброја Уовомодељкууводимонеколиковажнихпојмовакојићесечестокористити.

2. Основнеособинереалнихбројева 49

(2)

Уводимотакођеиследећеознаке4 : (a, +∞)= {x | a<x};[a, +∞)= {x | a x}; (−∞,b)= {x | x<b};(−∞,b]= {x | x b}

Специјално,скуп (0, +∞) јестескупсвих позитивних реалнихбројева;означа-

вамога R+.Скуп [0, +∞) јестескупсвих ненегативних реалнихбројева;означавамога R+ 0 .Понекадсескупсвихреалнихбројева R пишеуобликуинтервала (−∞, +∞).Дакле, R+ =(0, +∞)= {x | 0 <x}; R+ 0 =[0

Пример1. Имамо: (1, 20)∩(0, 2)=(1, 2); (−∞, 1)∩(0, 4)=(0, 1); (1, 2]∪(2, 5)=(1, 5); (1, 2) ∩ N = ∅; [1, 2] ∩ N = {1, 2}; (

Некаје S некиподскупскупа R.Акопостојиреаланброј M такавдазасвако x ∈ S важи x M ,ондакажемодајескуп S ограниченодозго.Слично,акопостоји реаланброј m такавдазасвако x ∈ S важи x m,ондакажемодајескуп S ограниченодоздо.Број M јегорњеограничењеили мајоранта,аброј m једоње ограничењеили миноранта скупа S.

Заскуп S ⊂ R

којијеограничениодозгоиодоздокажемопростодаје ограничен

Пример2. СкупNјеограниченодоздо(рецимобројем 2),анијеограниченодозго.Скуп Z \ N0 јеограниченодозго(рецимобројем 5),анијеограниченодоздо.

Пример3. Интервали(1)суограничени,аинтервали(2)нисуограниченискуповибројева.

Пример4. Акоје M мајорантаскупа S,ондајеисвакиброј P такавдаје M P такође мајорантаскупа S

Акосу a1 и a2 реалнибројевитадаје,ускладуса(A13), a1 a2 или a2 a1 Онајодбројева a1, a2 којијевећиилиједнакоддругогназивасе максимум бројева a1, a2 иозначавасе max{a1,a2}.Онајодбројевакојијемањиилиједнакоддругог називасе минимум бројева a1, a2 иозначавасе min{a1,a2}

Пример5. Имамо:max{2, 5} =5;min{2, 5} =2;min{−2, 5} = 5;max{−3, 1} = 1;min{3, 1} = 1;max{−2, 1} = 1;min{2, 1} =1;max{

{3, 3} =3; max{a1,a2} = min{−a1, a2}

Пример6. Важеследећееквиваленције: min{a1,a2} = a2 ⇔ a

; a1 = a2 ∧ max{a1,a2} = a

Слично,онајодбројева a1, a2, , an

којијевећиилиједнакодсвихосталихозначавасе max{a1,a2,...,an},аонајкојијемањиилиједнакодсвихосталих означавасе min{a1,a2,...,an}.Другимречима,тачнесунеједнакости min{a1,a2,...,an} ak max{a1,a2,...,an} (k =1, 2,...,n)

Пример7. max{0, 1, 2, 3} =0;min{0, 1, 2, 3} = 3 4Симбол +∞ читамо,,плусбесконачно“,асимбол −∞ читамо,,минусбесконачно“

strana50

50 Реалнибројеви

Уопште,некаје S известанскупреалнихбројева,тј.некаје S ⊂ R.Акоускупу S постојиелемент M којијевећиилиједнакодсвихосталихелеменататогскупа,ондасе M назива максимум скупа S иозначава max S.Аналогноседефинише min S.Другимречима,појмовиmax S иmin S дефинишусепомоћуеквиваленција M = max S ⇔ M ∈ S ∧ (∀x ∈ S)(x M ); M = min S ⇔ M ∈ S ∧ (

Пример8. Акоје S скупсвихтроцифренихприроднихбројевакојисудељивибројем 3, тадајеmin S =102,max S =999.

Пример9. Имамо:minN =1,min N0 =0,докmaxN иmaxN0 непостоје.

Пример10. Акоје S ⊂ Z иакојескуп S ограниченодозго,тадапостојиmax S,аакоје ограниченодоздотадапостојиmin S.Например,некаје S скупсвихцелихбројева x таквих

даје 22 7 < x< 85 4 Тадајеmin S = 3,max S =21

Пример11. Акоје S ⊂ Qиакојескуп S ограниченодозго,таданеморадапостојиmax S, исличноакојескуп S ограниченодоздо,таданеморадапостојиmin S.Например,некаје S скупсвихпозитивнихрационалнихбројева.Тајскупјеограниченодоздо,рецимобројем 0,али min S непостоји.Заиста,претпоставимодапостојиmin S,тј.дапостојинајмањипозитиван рационаланбројиозначимогасловом m.Како m ∈ S,имамо m> 0,памножећинеједнакост 0 < 1 2 < 1 позитивнимбројем m добијамо

рационаланбројмањиоднајмањегпозитивнограционалногброја m,штојенемогућно.

Пример12. Некасу a и b реалнибројевиинекаје a<b.Свиинтервали (a,b), [a,b), (a,b], [a,b] суограниченискупови.Међутим, min(a,b) непостоји;

max(a,b) непостоји; min[a,b)= a; max[a,b) непостоји; min(a,b] непостоји;

max(a,b]= b; min[a,b]= a;

Интуитивнојејасно5 дазасвакиреалан број x постојитачноједанцеоброј m такав даје(видетисл.6)

(3) m x<m +1

max[a,b]= b. Сл. 6

Јединственицеоброј m закојиважи(3)називасе цеодео броја x иозначавасе [x]

Пример13. Ако m ∈ Z,тада [m]= m

Пример14. Имамо [5]=5, [ 1 2 ] = 0, [ 1 2 ] = 1,

Питања

1. Интервалиреалнихбројева.

2. Ограниченодозгоилиодоздоскуп.Мајорантаиминоранта. 5

2. Основнеособинереалнихбројева 51

3. Минимумимаксимумскупа.Далисвакиограничениодозгоскупимамаксимум?

4. Цеодеореалногброја.

Задаци

1. Написатиуобликуинтерваласвереалнебројевекојисеналазе:(i)измеђубројева 7 и 23;(ii)измеђубројева 5 4 и √2; (iii)измеђуилисуједнакибројевима 13 2 и 40 Приказатитеинтерваленанумеричкојправој.

2. Коминтервалуприпадајусвиреалнибројевичијијеквадратмањиодброја 3?

3. Коликопарнихбројеваимауинтервалу: (i) (13, 233);(ii) [13, 233);(iii) (13, 233];(iv) [13, 233]?

4. Коликоприроднихбројевадељивихса 7 имауинтервалу: (i) (15, 1054);(ii) [15, 1054);(iii) (15, 1054];(iv) [15, 1054]?

5. Одредити:(i) ( 2, 3) ∪ (1, 3];(ii) ( 2, 3) ∩ [1, 3];(iii) ( 5, 4) ∪ ( 2, 5); (iv) ( 5, 4) ∩ (2, 5);(v) ( 7, 2) ∪ (2, 7);(vi) ( 7, 2] ∪ (2, 7);(vii) ( 7, 2] ∪ [2, 7)

6. Одредитиунију,пресекиразликеинтервала: (i) [ 1, 1) и (0, 2);(ii) [ 3+ √3, 3 + √3) и ( 2, 5); (iii) [1 1 2 √2, 1 + 1 2 √2] и (0, 4)

7. Ако I означаваскупсвихирационалнихбројева,одредити:(i) N ∪ Q;(ii) N0 ∩ Q;(iii) N0 ∩ R+ 0 ;(iv) R \ I;(v) Q \ R+ 0 ;(vi) Z ∩ Q;(vii) Z ∩ R+ 0 ;(viii) Q ∩ I;(ix) I ∩ R;(x) I ∩ R+ 0

8. Акоje x 3 иакоје (x 1)(y 2) 0,коминтервалуприпада y?

9. Којисуодследећихскуповаограничениодозго,односноодоздо:(i) ( 9, +∞); (ii) [3, +∞);(iii) (−∞, 2);(iv) ( 100, 100);(v) (−∞, 7]∪(2, +∞);(vi) (−∞, 7)∩[2, +∞). Навестинекемајоранте,односноминорантетихскупова,уколикопостоје.

10. Одредитиминимумимаксимумскупова {−2, 3}, {−8, 2}, {5, 2, 4, 3}, R+ ∩ N, R ∩ N0, Z \ N0,уколикопостоје.

11. Одредитиминимумимаксимумскупасвихнепарнихдвоцифренихбројева.

12. Одредитиминимумимаксимумскупа:(i)свихцелихбројевакојисуизмеђу 53 7 и 74 5 ; (ii) скупасвихприроднихбројевакојисуизмеђу 53 7 и 74 5

13. Некаје S = {4x 2 +12x +10 | x ∈ R}.Одредити min S

14. Ако x, y ∈ R,доказатидајеmin{x,y} x + y 2 max{x, y} стимштоједнакостнаступа акоисамоакоје x = y

15. Одредитицеодеоследећихбројева: 2 3 ; 15 2 ; 5, 4; 0, 13; 2 ( 1

18.

19. Нека

20. Одредитисвереалнебројеве x закојеважи: [ x]= [x]

21. Доказатинеједнакост: [2x] 2[x]+1.

22. Доказатиследећатврђења: (i) x> 0 ⇒ [x]2 x 2;(ii) x< 0 ⇒ [x]2 x 2

23. Акоје x> 0,доказатидаје: (x +[x])2 +(x [x])2 4x 2,азатимизвестиодговарајућу формулуза x< 0

2.5.Апсолутнавредностизнакреалногброја Зареаланброј x,његоваапсолутнавредностилимодуо,дефинишесепомоћу једнакости |x| = ® x,x 0 x,x< 0 .

Пример1. Наосновуоведефиницијеимамо: |3| =3, |− 4| =4, |0| =0, |− a| = |a|,

итд.Дакле,можесерећидаапсолутнавредност,,брише“негативанзнак.Јасноједазабилокоји реаланброј x важи: 0 |x|, x |x|, x |x| Сл. 7

Пример2. Функција f (x)= |x| пресликавареалнебројевеуненегативнереалнебројеве. Њендоменједакле R,адомет R+.Графиковефункцијеприказанјенасл.7.

Свакиреаланбројразличитод 0 имасвој знак:позитивнибројевизнак +,а негативнизнак .Стимувези,зареаланброј x дефинишемоизраз sgn x (читасе сигнум)помоћуједнакости sgn x

Пример3. Имамо:sgn 3=1,sgn( 4)= 1,sgn 0=0 Пример4. Доменфункције f (x)= sgn x јескупреалнихбројева R,ањендометјетрочланискуп {−1, 0, 1}.Графиковефункцијеприказанјенасл.8. Свакиреаланброј x одређенјесвојомапсолутномвредношћуисвојимзнаком,причемуважи: (1) x = |x| sgn x.

2. Основнеособинереалнихбројева 53

Заиста,акоје x> 0,тадаје |x| = x, sgn x =1

иједнакост(1)постаје x = x 1,што јетачно.Акоје x =0,тадаје |x| = sgn x =0

иједнакост(1)постаје 0=0 0,што јетачно.Најзад,акоје x< 0,тадаје |x| = x, sgn x = 1,иједнакост(1)гласи x =( x) ( 1),штојетачно. Пример5. Забилокојадвареалнаброја x, t важи: x sgn t |x|.Заиста,какоsgn t ∈ {−1, 0, 1},ованеједнакостможедаимаједанодследећихоблика: x |x|, 0 |x|, x |x|,а свесутенеједнакоститачне;видетиПример1.

Интересантноједасуиапсолутнавредностизнаксагласнисаоперацијом множењe,усмислудазасвакадвареалнаброја x, y важеједнакости: (i) sgn(xy)=(sgn x)(sgn y);(ii) |xy| = |x||y|.

Заиста,акојебарједанодбројева x, y једнак 0,једнакост(i)јетачна.Акоје x> 0, y> 0,тадаje xy> 0,па(i)постаје: 1=1 1;акоје x> 0, y< 0,тада је xy< 0,па(i)постаје: 1=1 ( 1);акоје x< 0, y> 0,тадаје xy< 0 и(i) постаје: 1=( 1) 1;акоје x< 0, y< 0,тадаје xy> 0 иједнакост(i)постаје: 1=( 1) ( 1).Дакле,једнакост(i)увекјетачна. Доказујемосадаједнакост(ii).Имамо

|xy| = xy sgn(xy)= xy(sgn x)(sgn y)=(x sgn x)(y sgn y)= |x||y|.

Аналогнеједнакостиневажезаизразе sgn(x + y) и |x + y|.Ипак,забилокоја

двареалнаброја x, y тачнајеследећанеједнакосткојасевеомачестокористи: (2) |x + y| |x| + |y|

Заиста,имамо |x + y| =(x + y) sgn(x + y)= x sgn(x + y)+ y sgn(x + y) |x| + |y|,

причемусмоискористилиПример5(уз t = x + y).

Пример6. Забилокојадвареалнаброја x, y важинеједнакост |x|−|y| |x y|.Заиста, имамо |x| = |x y + y| = |(x y)+ y| |x y| + |y|,

одаклеодмахдобијамо |x|−|y| |x y|.

Питања

1. Апсолутнавредностизнакреалногброја.

2. Какојереаланбројодређенсвојомапсолутномвредношћуизнаком?

3. Сагласностапсолутневредностиизнакасаоперацијоммножења.

4. Нека x, y ∈ R.Написатитачнуформулуукојојучествујуизрази |x|, |x+y|, |y| ирелација

Задаци

1. Акоје f (x)= 2x 1 x + 3 ,израчунати f ( 15), f ( 1 7 ), f (0), f ( 5 3 ), f (157)

2. Доказатиеквиваленцију: x<y ⇔ sgn(x y)= 1

Решитиследећеједначинепо x,тј.одредитисвереалнебројеве x закојеважи:

3. |x| = x; 4. |x| = x; 5. sgn x = x;

6. |x| = sgn x; 7. sgn(x +3)=1; 8. |x| =5

Решитиследећеједначинепо x:

9. |x 3| =5; 10. 2x + 1 2 = 5 3 ;

ито:(i)ускупу N;(ii)ускупу Z;(iii)ускупу R

12. Ако a, x ∈ R,доказатиеквиваленцију: |x| a ⇔−a x a

13. Ако a, x ∈ R,доказатиеквиваленцију: |x| >a ⇔ x< a ∨ x>a

14. Ако a, b ∈ R,доказатиједнакости: a + b + |b a| =2 max{a,b},a + b −|b a| =2

15. Ако a ∈ R,доказатиједнакост: (x + |x|)2 +(x

16. Ако x ∈ R,доказатидаје sgn(x 1)= sgn(x 3 1).

17. Доказатидазасвако x ∈ R важи: [ x]= [x] sgn x.(ВидетиЗадатак19,стр.51).

18. Ако x ∈ R,доказатидаје sgn(x 4 1)= sgn(x 2 1)

19. Ако x, y, z ∈ R,доказатинеједнакост: |x + y + z| |x| + |y| + |z|

20. Ако x, y ∈ R,доказатинеједнакост |x|−|y| |x y|.

3.ОДНОСИЗМЕЂУРАЦИОНАЛНИХИРЕАЛНИХБРОЈЕВА 3.1.Апроксимацијереалнихбројеварационалнимбројевима Интуитивнојејаснодасурационалнибројевимногогушћераспоређенина нумеричкојправојнегоштосуто,например,целибројеви.Рецимо,уинтервалу (1, 2) непостојиниједанцеоброј.Насупроттоме,тачнојеследећетврђење. Свакиинтервал (a,b) где a, b ∈ R,садржибарједанрационаланброј.

Доказ. Некаје h = b a> 0.НаосновуАрхимедоветеоремепостојиприроданброј n закојиважи n> 1 h , тј. h> 1 n . Некаје m цеодеоброја na,тј.некаје m =[

.Тадаje6 m na<m +1,тј. (1)

Међутим,из m n a 0

strana55

3.Односизмеђурационалнихиреалнихбројева 55

одинтервала (a,r), (r,b) постојипоједанрационаланброј,рецимо r1 ∈ (a,r), r2 ∈ (r,b).Затим,усвакомодинтервала (a,r1), (r1,r), (r,r2), (r2,b) постојипоједанрационаланброј,итд. Собзиромдаизмеђусвакадвареалнабројапостојибесконачномногорационалнихбројева, кажемодајескуп Q свудагуст ускупу R

Следећетврђењеближеописујеодносизмеђуирационалнихирационалних бројева.

Некаје x ирационаланбројинекаје ε позитиванброј.Тадапостојерационалнибројеви a

d1 < 10(x c) < d1 + 1, тј.

ε 1 10 .Заирационаланброј

(x c d1

) постојицеоброј d2 такавдаје d2 < 102 (x c d1 10 ) <d2 +1, тј. c + d1 10 + d2

Акоје ε > 1 102 ,тадаје(3)тачноакоузмемо a =

2 ,јерje b a = 1 102 <ε идоказјезавршен.

Настављајућиовајпоступак,видимодаакоје

,тадапостојецелибројеви c, d1, d2, ... , dn таквидаје (6) c + d1 10 +

паје(3)тачноакоставимо

, јерјетада b a = 1 10n <ε С обзиромдазасвакипозитиванброј ε постоји

Доказанотврђењејевеомаважно.Наосновуњегазакључујемодасесваки ирационаланбројможе апроксимирати рационалнимбројемитосапроизвољномтачношћу.Заиста,безобзираколикоје ε малипозитиванброј(аможемоузетидајевеома,веомамали)увекпостојирационаланброј a такавдаје x a<ε,па кад x апроксимирамоса a,штопишемо x ≈ a,чинимогрешкукојанијевећаод ε. Напомена2. Ако

Нијетешкопоказатидасвицелибројеви d1, d2, , dn из(6)припадајускупу {0, 1,..., 9} Например,кадаброј d1 небиприпадаотомскупу,ималибисмо d1 10 или d1 1.Кадаби било d1 10 ондабисмонаосновулевенеједнакостиу(5)имали x>c + d1 10 c + 10 10 = c + 1, штојеусупротностисадесномнеједнакостиу(4).Истотако,кадабибило d1 1,ондаиз десненеједнакостиу(5)добијамо x<c + d1 + 1 10 c + 1 +1 10 = c, штојеусупротностиса левомнеједнакостиу(4). Прематоме,рационаланброј c+ d1 10 + d2 102

којисепојављујеу(6)имадецимални

запис c,d1d2 ...dn.Некаје r1 = c,d1,r2 = c,d1d2,...,rn = c,d1d2 ...dn,...

Тадаје r1 r2 rn < <x,причемујеразлика x rn свемањаимања штоје n веће.Другимречима,акојеирационаланброј x апроксимиранрационалнимбројем c,d1d2 ...dn,онјејошбољеапроксимиранрационалнимбројем c,d1d2 ...dndn+1.Наоснову тоганаслућујемодасеирационаланброј x можепредставитибесконачнимдецималнимзаписом: x = c,d1d2 ...dn .ОовомећебитивишеречиуДодатку;видетистр.69.

Питања

1. Заштокажемодајескуп Q свудагустускупу R?

2. Далисесвакиреаланбројможеапроксимиратирационалнимбројем?Коликатачност можедасепостигне?

Задаци

1. Написатирационалнебројеве 3 2 , 15 2 , 273 11 у децималномоблику.

2. Наћинајвећиброј a инајмањиброј b такодаважи a< 5, 43 <b,причему: (i) a, b ∈ Z; (ii) a и b имајупоједнудецималу; (iii) a и b имајуподведецимале;(iv) a и b имајупотридецимале.

3. Нека a, b ∈ Q инекаје 1 <a< √2 < b< 2.Одредити a и b такодаимају: (i)поједнудецималу;(ii)подведецимале;(iii)потридецимале.

4. Одредитинајвећиприроданброј m инајмањиприроданброј n такодаје: (i) √3 ∈ Ä m 7 , n 7 ä; (ii) √3 ∈ Ä m 13 , n 13 ä

5. Наћинајвећиприроданброј m инајмањиприроданброј n такодаје m 2 100 < π< n 2 100 .

3. Односизмеђурационалнихиреалнихбројева 57

3.2.Приближнибројеви,грешке,заокругљивање Децималнизаписреалногбројаимаоблик

,где c ∈ Z,доксу d1, d2, ...

цифре,тј.елементискупа {0, 1,..., 9}.Притоме,бројдецимала d1, d2, неморадабудеконачан.

Пример1. Рационаланброј 8115 999 имадецималнизапис 8, 123123123 гдесегрупа 123 понављанеограниченомногопута.

Међутим,чакикадјебројдецималаконачан,онможедабудевеомавелики, пастоганеподесанзапрактичнуупотребу.

Пример2. Бројдецималаброја 15, 3127810987165 јеконачан,али(прилично)велики. Унекимприменамадовољнојеуместотогбројаузетиброј 15, 3;акојепотребанпрецизнији рачун,ондаможемоузети 15, 31,илијошпрецизније 15, 313,итд.

Уопште,упраксисекористе приближневредности бројева.Приликомрада саприближнимвредностимаодосновневажностијепроценаучињенегрешке,јер намонадајенеопходнусигурностураду.Наиме,теоријскигледано,билокојиброј семожеузетизаприближнувреднострецимоброја π,алићеучињенагрешкајасно показатикојесуапроксимацијеподесне,акојенису.Рецимо,акоузмемо π ≈ 100, учињенагрешкајевећаод 96,пасобзиромдаје 3, 141 <π< 3, 142,јасноједата апроксимацијаниједобра.Ниапроксимација π 4 ≈ 100 нијебашпрецизна,алије далекобољаодпретходне,јерјесадаучињенагрешкамањаод 3 Штаједобраапроксимација,аштаније,зависи,усуштини,одпроблемакоји серазматра.Усвакомслучају,акојеброј x апроксимиранбројевима x1 и x2,тј. x ≈ x1, (1) x ≈ x2, (2)

причемује |x x1| < |x x2|,ондакажемодајеапроксимација(1)бољаодапроксимације(2).

Пример3. Апроксимација (3) 15, 3127 ≈

бољајеодапроксимације (4)

јерје

дакле,

Уапроксимацијама(3)и(4)моглисмодаодредимоапсолутнугрешку,јерсмо зналитачанброј 15, 3127.Међутим,упракси(рецимоприликоммерења)обично незнамотачанброј x,пастоганеможемодазнамонитачнувредностапсолутне грешке.Стогасетрудимодаизвршимопроценуапсолутнегрешке,тј.даустановимодаапсолутнагрешканијевећаоднекогпозитивногброја ε којисеназива границаапсолутнегрешке Акоje

0, 01,паје ε =0, 01.Например,акоузмемо x ∗ =1, 41, имамо √

Релативнагрешка

а сличнокао ε дефинишесеграницарелативнегрешке r.Очигледноје r = ε x∗

Приближнебројеве 15, 313 и 15, 3 тачногброја 15, 3127 уПримеру3добили смотзв.заокругљивањем.Уопште,заокруглитинекибројна n децималазначисмањити,свестибројдецималауњеговомдецималномзаписуна n Пример6. Кадајеброј 15, 3127 заокругљеннаброј 15, 313,бројдецималајесмањенса четиринатри;број15,3127заокругљенјенатридецимале.

Број x чијиједецималнизапис c,d1d2 ...dn 1dndn+1 ,где c ∈ Z, d1, d2, , ∈{0, 1,..., 9},заокругљујемона n децималаудвакорака. Првикорак. Одбацимосвецифрепочевод dn+1 панадаље.Такоуместоброја c,d1d2 ...dn 1dndn+1 добијамоприближанброј c,d1d2 ...dn 1dn,алисамо привремено,јерозадржанимцифрама d1, d2, , dn 1, dn тектребадаразмишљамо(удругомкораку).

Пример7. Упрвомкоракузакругљивањанапетдецимала,добијамо,например, 3, 87126481 ≈ 3, 87126;3, 87126809 ≈ 3, 87126;3, 87126501 ≈ 3, 87126; алићеудругомкоракудоћидокорекцијаприближнихбројеванадеснимстранамагорњих релација.

Дакле,упрвомкоракуброј

c,d1d2 ...dn 1d

3. Односизмеђурационалнихиреалнихбројева

Други корак. (i)Акоје dn+1 < 5,тадазаприближанбројброја x узимамо c,d1d2 ...dn 1dn;дакле,ништанемењамо.

(ii)Акоје dn+1 > 5,ондазаприближанбројброја x узимамо: (5) c,d1d2 ...dn 1dn +0, 00 01 n децимала

(iii)Акоје dn+1 =5 иакојебарједнаодцифара dn+1, dn+2, различитаод 0,ондазаприближанбројброја x опетузимамо(5).

(iv)Акоје dn+1 =5 иакосусвецифре dn+1, dn+2, ... једнаке 0,ондазаприближанбројброја x узимамо:

(iv1)број c,d1d2 ...dn 1dn акоје dn парно;

(iv2)број(5)акојe dn непарно.

Напомена2. Акоје dn < 9,ондасезбир(5)израчунаватакоштосе dn простоувећаза 1 Пример8. Заокругљујућибројнапетдецималадобијамо:

(i) 3, 87126481 ≈ 3, 87126

(шестацифра 4 мањајеод 5);

(ii) 3, 87126809 ≈ 3, 87127 (шестацифра 8 већајеод 5; петуцифру 6 увећамоза 1);

3, 87129864 ≈ 3, 87129+0, 00001=3, 87130

(iii) 3, 87126501 ≈ 3, 87127

(iv) 3, 871265 ≈ 3, 87126

3, 871275 ≈ 3, 87128

3, 871295 ≈ 3, 87129+0, 00001=3, 87130.

(шестацифра 8 већајеод 5; петацифраје 9);

(шестацифраје 5,асвецифре послењенису 0, папетуцифру 6 увећамоза 1);

(шестацифраје 5,свецифре послењесу 0, апетацифра 6 јепарна);

(шестацифраје 5,свецифре

послењесу 0, апетацифра 7 јенепарна);

Наведена,,правила“заокругљивањанаправљенасутакодаакоје x ∗ приближанбројброја x добијензаокругљивањемна n децимала,ондаучињенагрешка нијевећаод 1 2 10 n ; другимречима

(6) |x x ∗| < 1 2 10n

Пример9. Проверићемоовотврђењенанекимприближнимбројевимадобијенимзаокругљивањемнапетдецималаупретходномпримеру.Имамо |3, 87126481 3, 87126| =0, 00000481 < 0, 000005; |3, 87126809 3, 87127| =0, 00000191 < 0, 000005; |3, 871295 3, 87130| =0, 000005

60 Реалнибројеви

Пример10. Некаје 15, 23678 приближанбројброја x причемујеграницаапсолутнегрешке 0, 00032.Тадаje |x 15, 23678| 0, 00032 < 0, 0005,пасупрветридецималеприближног

броја 15, 23678 (дакле,цифре 2, 3 и 6)сигурне.

Питања

1. Штазначидајеједнаапроксимацијабољаоддруге?

2. Апсолутнаирелативнагрешкаапроксимације.

3. Какосезакругљујубројевина n децимала?

4. Кадкажемодасупрвих n децималанекогбројасигурне?

Задаци

1. Тачнавредностброја x нијепозната,алисезнада x ∈ î 68 100 , 72 100 ó. Акосезаприближну вредностброја x узмеаритметичкасрединакрајеваинтервала,наћиграницуапсолутне грешке.

2. Наћибардвеапроксимацијеброја 0, 537291 такодаапсолутнагрешкабудемањаод 0, 01

3. Укојимграницамаможедабудебројчијајеприближнавредност 2, 517,аапсолутна грешканијевећаод 0, 03?

4. Заокруглитидатебројевенаједну,две,три,четириипетдецимала: (i) 3, 5042781;(ii) 21, 0847550;(iii) 7, 980508;(iv) 0, 273545

5. Акоуместо √23 напишемо 4, 8,коликајеграницаапсолутнегрешкеикојесудецимале сигурне?

6. Наћиприближневредностибројева √6, √37, √101 такодапрветридецималебудусигурне.Одредитиграницеапсолутнихгрешака.

7. Написатибројеве 75, 236 ± 0, 084 и 17, 365 ± 0, 002 помоћуприближнихвредностиу којимасусведецималесигурне.

8. Одредитибројсигурнихдецималаприближногброја 2, 37521 акојеграницарелативне грешке 0, 01

3.3.Операцијесаприближнимбројевима

Уовомодељкуразматраћемоследећепитање:Акосу x ∗ и y ∗ приближневредности(тачних)бројева x и y,сатачношћудо ε1,односно ε2,коликасегрешкачини кадасе:

(i)број x ∗ + y ∗ узмекаоприближнавредностброја x + y;

(ii)број x ∗ y ∗ узмекаоприближнавредностброја x y; (iii)број x ∗ y ∗ узмекаоприближнавредностброја xy;

(iv)број x∗ y∗ узмекаоприближнавредностброја x y ?

(i) Сабирањеприближнихбројева. Некасу

3. Односизмеђурационалнихиреалнихбројева 61

Тада,послесабирања,добијамо

гдејестављено

Другимречима,границаапсолутнегрешкезбираједнакајезбируграницаапсолутнихгрешакасабирака.

Напомена1. Овајрезултатсе,безтешкоће,преносинаслучајзбира n приближнихбројева.

Пример1. Акоје x =2, 51 ± 0, 02, y =6, 03 ± 0, 01,наћиприближнувредностзбира x + y,такодаурезултатусведецималебудусигурне. Акоставимо x ∗ =2, 51, y ∗ =6, 03, ε1 =0, 02, ε2

, 51+6, 03 ± (0, 02+0, 01) =8, 54 ± 0, 03

Какограницаапсолутнегрешкедобијеногрезултатаизноси 0, 03,икакоје 0, 03 < 0, 05= 1 2 10

закључујемодајепрвадецималасигурна.Стогаприближнувредностзбира x+y заокругљујемо напрвојдецимали.Добијасеброј 8, 5.Дакле, x + y =8, 5 ± 0, 05

(ii) Одузимањеприближнихбројева. Некаје x ∗ приближнавредностброја x сатачношћудо ε1 инекаје y ∗ приближнавредностброја y сатачношћудо ε2,тј. некаје

(1)

(2)

(3)

пакадсаберемо(1)и(3)добијамо

гдејестављено

62 Реалнибројеви = 9, 2658 3, 623 ± (0, 003+0, 001) =5, 6428 ± 0, 004

Границаапсолутнегрешкеизноси

накостиидобијамо

гдејестављено (5)

Формулом(5)одређенајеграницаапсолутнегрешкепроизводадваприближнаброја.

Пример3. Акоје x =0, 00125 ± 0, 00001, y =0, 0009 ± 0, 00005,наћиприближну вредностпроизвода xy,такодаурезултатусведецималебудусигурне.

Акоставимо x ∗ =0, 00125, y ∗ =0, 0009, ε1 =0, 00001, ε2 =0, 00005,тадаје x ∗ y ∗ =0, 000001125 ε = x ∗ ε2 + y ∗ ε1 =0, 00125 · 0, 00005+0, 0009 · 0, 00001 =0, 0000000625+0, 000000009 =0, 0000000715 < 0, 0000005

Добијенирезултатпоказуједасупрвих 6 децималауприближномброју

3. Односизмеђурационалнихиреалнихбројева

памножећи(6)и(8)налазимо

Каоиуслучајупроизвода,акопретпоставимодасу

једноставнијиоблик

Формулом(9)одређенајеграницаапсолутнегрешкеколичникадваприближнаброја.

Пример4. Акоје x =8, 35±0, 005, y =3, 4±0, 05,наћиприближнувредностколичника x y такодаурезултатусведецималебудусигурне.

Акоставимо x ∗ =8, 35, y ∗ =3, 4, ε1 =0, 005

Задаци

Одредитиприближнувредностзбира,разлике,производаиколичникабројева x и y,такодау резултатусведецималебудусигурне:

1. x =0, 12 ± 0, 01, y =0, 76 ± 0, 01;

2. x =0, 1004 ± 0, 00002, y =0, 0012 ± 0, 00006;

3. x =72, 16 ± 0, 005, y =21, 05 ± 0, 01;

4. x =0, 00125 ± 0, 0001, y =0, 0009 ± 0, 00005

5. Акоје x =0, 735 ± 0, 001, y =0, 730 ± 0, 001,израчунативредностизраза y(x y),тако даурезултатусведецималебудусигурне.

6. Наћиобимтроуглаакосудужинењеговихстраница 12, 6 ± 0, 05, 13, 25 ± 0, 005, 11, 75 ± 0, 005

7. Некајеполупречниккругаједнак 7, 2 ± 0, 1.Одредитиграницуапсолутнегрешкеза површинуовогкругаакосеузмедаје π =3, 14

4.ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ

4.1.Размереипропорције

Акосу a и b реалнибројевии b =0,тадасењиховколичникчестоназива размера бројева a и b;тоје,дакле,број a b , тј. a : b.

Некасу

костразмера (1) a

називасе пропорцијадужине n 1

Напомена1. Чимсенапишеколичник(односноразмера) a b ондасеобавезнопретпостављадаје b =0,јериначенаписаниизразнемасмисла.Отојчињеницитребаводитирачуна, алинемапотребедасепретерујесањенимсталнимистицањем,јерсеподразумева. Напомена2. Дужинапропорцијеједнакајебројупојављивањазнака = у(1).Пропорција

дужине 1,даклеједнакостоблика a1 : b1 = a2 : b2 зовесе простапропорција. Пропорција(1)честосепишеуоблику

леваидеснастранаоваконаписанепропорцијеназивајусеразмере. Доказујемонекатврђењаувезисапропорцијама. 1. Акоje a1 b

4. Пропорционалност 65

одаклеизлази(2).

Пример1. Израчунати

Наосновудоказаногтврђења,из(3)излази (y +3)+3(2y

2(y + 3) (2y 1)

штосесводина

Овдејепримењенотврђење1.гдејестављено:

Заиста,акоставимо

чимејетврђењедоказано.

Пример2. Акоје (4)

израчунатиразмеру x : y : z

Наосновутврђења2.свакиодразломакакојисепојављујеу(4)једнакјезбирусвихњеговихбројилацаподељензбиромсвихњеговихименилаца(

изразу

Прематоме,имамо

овихједнакости,примењујућиопеттврђење2.(

Прематоме,

јерје t =0 Пример3. Акоје

(x+y) (y+z)+(z+x)=0, тј. x =0.

Задаци

1. Акоје a : x = x : b,где a, b, x ∈ R+,доказатидаје x геометријскасрединабројева a и b

2. Којибројтребадодатиобемачлановимаразмере 5:37,дабионапостала 1:3?

3. Акоje x : y =3:4,одредитиразмеру (7x 4y):(3x + y).

4. Акоје a b = c d = e f , доказатидаје

5. Акоје y x z = y + x z = x y , одредитиразмеру x : y : z

6. Акојe 2x + y z 3 = 3x + y 2z 2 = x + y + z 6 , oдредитиразмеру x : y : z

4.2.Применеразмераипропорцијанапроблеме,,изживота“ Рачунсаразмерамаипропорцијамачестосекористиупракси,алиодтога нетребаправитинекупосебнутеорију.Требаједноставноводитирачунаоправилимарачунањаипримењивати,,здравразум“.Пренегоштоурадимонеколико примера,напомињемодаакосу a и b датиреалнибројевиразличитиоднуле,онда сезабројеве x и y,такведаје x : a = y : b кажедасу директнопропорционални,а услучајудаје x : a = b : y,ондасекажедасу обрнутопропорционални.

Пример1. Настоваришту 15 kgбетонскоггвожђакошта 72 динара.Заизливањебетонскеплочепотребноје 200 метараарматуре.Акометарарматуреиматежину 0, 6 kg,коликоће коштатигвожђезаплочу?

Јасноједа 200 метараарматуреиматежину 200 0, 6 kg,тј.120kg.Ако120kgкошта x динара,онда1kgкошта x 120 динара.Сдругестране,знамода 15 kgгвожђакошта 72 динара, па1kgкошта 72 15 динара.Стогаје x 120 = 72 15 , тј. x = 120 72 15 = 576.Тежинаиценагвожђасу директнопропорционални.

Пример2. Мешајућишљунак,цементиводу,четирирадникасуза 6 часованаправили бетонпотребанзаизливањеплочеизПримера1.Закојевремебиседамрадниканаправили истуколичинубетона?

strana67

4. Пропорционалност 67

Ако 4 радниканаправебетонза 6 часова,једанрадникбибетоннаправиоза 4 6 часова. Сдругестране,ако 7 радниканаправебетонза x часова,једанрадникбиганаправиоза 7x часова.Стогаје 4 6=7x,тј. x = 4 6 7 = 24 7 Дакле,седамрадникабибетоннаправили занештовишеод 3 часаи 25 минута.Бројрадникаивремепотребнозаправљењебетонасу обрнутопропорционални.

Пример3. Литарвинакошта 7 динара,алитарсоде 2 динара.Укојојразмеритребапомешативиноисодудабилитаршприцеракоштао 5 динара?

Акопомешамо a литаравинаи b литарасоде,добићемо a + b литарашприцера.Јасноједа a литаравинакошта 7a динара,да b литарасодекошта 2b динараида a + b литарашприцера кошта 5(a + b) динара.Стогаје 7a +2b =5(a + b),тј. 2a =3b,тј. a : b =3:2.Тозначида

виноисодутребапомешатиуодносу 3:2 Пример4. Човекјетестаментомоставиосумуод 1100000 динарадасеподелиизмеђу његовадвасина,његовеженеипријатељакојимујесвојевременопозајмиопочетникапитал помоћукогајезарадиотоликиновац,итонаследећиначин.Синовидобијајуједнакеделове. Деловикоједобијаједансиниженасууразмери 3:2,аделовикоједобијаженаипријатељсу

уодносу 5:2.Коликојекодобионоваца?

Означимоса a, b, c, d деловекоједобијајуредом:првисин,другисин,женаипријатељ. Тадаје a : b =1:1; b : c =3:2; c : d =5:2, тј. a : b =15:15,b : c =15:10,c : d =10:4

одаклеје a : b : c : d =15:15:10:4, тј. a 15 = b 15 = c 10 = d 4

Међутим, a 15 = b 15 = c 10 = d 4 = a + b + c + d 15 +15+10+4 = 1100000 44 = 25000,

паје

a = b =15 · 25000=375000,c =10 · 25000=250000,d =4 · 25000=100000. Прематоме,синовисунаследилипо 375000,жена 250000,апријатељ 100000 динара.

Усвакодневномживотучестосерачунасапроцентима.Један проценат,у ознаци 1%,броја a јеброј 1 100 a. Уопште, x проценатаброја a јеброј x 100 a.

Пример5. ЦенабензинауСрбијије 5 динараполитру.УградуБеоградууведенајепосебнатаксаод 3%наценесвихпроизвода.КоликокоштабензинуБеограду?

Како 3%од 5 износи 3 100 5 тј. 15 100 , ценабензинауБеоградуизноси 5+ 15 100 динарапо литру,тј. 5, 15 динараполитру.

Пример6. Послепоскупљењаод 16%,кошуљакошта 435 динара.Коликајебилацена кошуљепрепоскупљења? Акојеценакошуљепрепоскупљењабила x динара,послепоскупљењаод 16%онајепо-

стала x + 16 100 x динара.Дакле, x + 16 100 x = 435, тј. 116 100 x = 435, одаклеизлази x = 435 100 116 = 435 25 29 = 15 25=375

Пример7. Месингјелегуракојасесастојисамоодбакраицинка.Бронзајелегуракојасадржи 80%бакра, 4%цинкаи 16%калаја.Извеснаколичинамесингаиизвеснаколичина бронзепретопљенесуиодњихјеначињенановалегураукојојима 74%бакра, 16%цинкаи 10%калаја.Коликопроценатабакрасадржимесинг?

Никаквапосебна,,теорија“нијепотребнадабисерешиоовајнештосложенијизадатак. Довољнојеприменитионоштосеобичнозове,,здравразум“.

Претпоставимодаумесингуима a%бакра,пастога (100 a)%цинка.Тозначида 1 kg

месингасадржи a 100 kg бакраи 100 a 100 kg цинка.

Сдругестране,датоједабронзасадржи 80%бакра, 4%цинкаи 16%калаја.Тозначида 1 kgбронзесадржи 80 100 kg бакра, 4 100 kg цинкаи 16 100 kg калаја.

Претпоставимодауновојлегуриима b%месингаи (100 b)%бронзе.Тозначида 1 kg

новелегуреима b 100 kg месингаи 100 b 100 kg бронзе.

Како 1 kgмесингасадржи a 100 kg бакраи 100 a 100 kg цинка,онда b 100 kg месингасадржи b 100 a 100 kg бакраи b 100 100 a 100 kg цинка.Слично, 100 b 100 kg бронзесадржи 100 b 100 80 100 kg

бакра, 100 b 100 4 100 kg цинкаи 100 b 100 16 100 kg калаја.

Прематоме, 1 kgновелегуреима: b 100 · a 100 + 100 b 100 · 80 100 kg бакра, b 100 · 100 a 100 + 100 b 100 4 100 kg цинка, 100 b 100 16 100 kg калаја.Сдругестране,знамодауновојлегуриима

74%бакра, 16%цинкаи 10%калаја,штозначида 1 kgновелегуреима: 74 100 kg бакра, 16 100 kg цинкаи 10 100 kg калаја. Одатледобијамоследећеједнакости: b 100 a 100 + 100 b

;

Из последњеодовихједнакостидобијамо 16(100 b)=1000, тј.

, одаклеизлази: 16b =600,тј. b = 75 2

Стогапрваједнакостпостаје 75

, одакле,послемножењаса 2 100 100 добијамо 75a +125 80=14800, тј. 75a =14800 10000, одаклеизлази: a = 4800 75 = 64.

Прематоме,умесингуима 64%бакраи 36%цинка.

Задаци

1. Ценанекогпроизводаје x динара.Послепоскупљењаод 20% тајпроизводкошта

5. Додатак:Нештодетаљнијеореалнимбројевима 69

3. Прометизвеснепродавницеу 1997.годинибиојеза 15%већинегоу 1996.За 1998.годинупланирасепрометод 347760 динара,штојеза 8% вишенегоу 1997.години.Колики јепрометбиоу 1996.години?

4. Двеврстевинапомешанесууодносу 2:7 итоммешавиномјенапуњенбалон A.Затим сувинапомешанауодносу 1:5 итоммешавиномјенапуњенбалон B.Коликолитара требаузетиизбалона A,аколикоизбалона B дабиседобиламешавинакојасадржи 2 литрапрвеврстевинаи 9 литарадруге?

5. Бројстановниканекедржавеувећаосеупериодуод 1981.до 1991.годинеза 15, 9%.Ако сеутомпериодуградскостановништвоувећалоза 18%,асеоскоза 4%,одредитиоднос градскогстановништвапремасеоскомстановништву 1981.године.

6. Једансудпунјестопроцентнесирћетнекиселине.Изсудајеодливено 9 литаракиселине, ауместоњеусудјесипанавода.Послемешањаопетјеодливено 9 литаратемешавине, ауместоњеусудјесипанавода.Акотада,посленовогмешања,односкиселинеиводе усудуизноси 8:3,коликолитаратечностиможедастанеутајсуд?

7. Уједнојдржавипотрошњакафејепетпутавећаодпотрошњечаја.Акосепотрошњакафеповећаза a%,ачајаза b%,укупнапотрошњатадванапиткаповећасеза x%.Обратно, акосепотрошњакафеповећаза b%,ачајаза a%,укупнапотрошњаповећаћесеза y% Акоје x : y =7:3,одредитиразмеру a : b

8. Једанчовекконзумира 20 векнихлебамесечно.Акосењеговаплатаповећаза 5%,ахлеб поскупиза 10%,онћеимати 84 динарамесечновишенегораније.Акосењеговаплата умањиза 5%,ахлебпојевтиниза 20%,онћеимати 62 динарамањенегораније.Колика јеплататогчовекаиколикокоштавекнахлеба?

5.ДОДАТАК:НЕШТОДЕТАЉНИЈЕОРЕАЛНИМБРОЈЕВИМА

5.1.Увод

Погледајмомалобољекакосмоувелиреалнебројеве.Првосмо закључили да акохоћемодасвакојтачкинумеричкеправеодговараједанброј(илиеквивалентно,дасвакадужимасвојудужину)ондаскупурационалнихбројева Q морамода додамо,,нове“бројеве,итакосмодошли,описно,доскупаирационалнихбројева. Унијаскупарационалнихискупаирационалнихбројевајестескупсвихреалних бројева R

Затимсмо,наосновуранијестеченихзнања, констатовали дарационални бројевичинепољеуодносунаоперацијесабирањаимножења,тј.даважезакони(A1)–(A9).Ондасмо претпоставили даизареалнебројевеважезаконипоља (A1)–(A9).

Даље, констатовали смодарационалнибројевичинеуређенопоље,тј.да поредзакона(A1)–(A9)ускупуQважеизакони(A10)–(A15).Ондасмоопет претпоставили даиускупуRважесвизакони(A1)–(A15),тј.дареалнибројевитакође чинеуређенопоље.

Најзад, доказали смодаускупу Q важиАрхимедоватеорема,азатимсмо претпоставили даонаважииускупу R

Другимречима,испададасвепознатеособинескупарационалнихбројевасамоприписујемоиширемскупуреалнихбројева,панекоможесправомдасепита

70 Реалнибројеви

ималиуопштенекеразликеизмеђурационалнихиреалнихбројева(осимшто реалнихбројеваимавишенегорационалних).Одвемасуштинскимразликама измеђурационалнихиреалнихбројеваговоримоуовомДодатку.

5.2.Децималнизаписирационалнихиреалнихбројева

Каоштознамо,бројевезаписујемопомоћудесетсимбола,тзв. цифара.Означимоса Cf скупсвихцифара,тј.ставимо

Cf = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Подсетимосе,узпомоћпримера,штазначепојединизаписи.

Пример1. Запис 5082 означаваприроданбројкојиима 2 јединице, 8 десетица, 0 стотина и 5 хиљада,тј.

5082=5 1000+0

Пример2. Запис 0, 235 означава(рационалан)бројкојиима 0 јединицаи 2 десетих, 3 стотихи 5 хиљадитихделовајединице,тј. 0, 235=0 1+2 1

Пример3. Запис 751, 2034 означавабројкојиима 7 стотина, 5 десетица,једнујединицу, и 2 десетих, 0 стотих, 3 хиљадитихи 4 десетохиљадитихделовајединице,тј. 751, 2034=7 100+5 10+1 1+2

Уопште,ако c0, c1, ... , cm, d1, d2, ... , dn

представљаброј cm 10m + cm 1 10m 1 +

За свакиреаланброј x дефинисалисмо(видетистр.50)његовцеодео [x].То јецеобројзакојиважи (1) [x

Изнеједнакости(1)добијамо (2)

паакоставимо δ(x)= x [x],тј. (3)

, ондаје,наоснову(2), (4)

иједнакост(3)казуједасвакиреаланброј x

говогцелогдела [x] ињеговогтзв.

δ(

),причемуважи(4). Пример4. Имамо 751, 2034=[751, 2034]+ δ(751, 2034)=751+0, 2034

5. Додатак:Нештодетаљнијеореалнимбројевима 71

Удаљемтекстуразматрамодецималнеделовереалнихбројева,штонаоснову (4)значидаразматрамобројевеизинтервала [0, 1) Узмимо,каопример,број 0, 125.Имамо 0, 125=1 1

Уопште,ако d1, d2, , dn ∈ Cf ,ондаје

(5) 0,d1d2 ...dn = d1d2 ...dn 10n ,

с тим,штојеунекимслучајевимамогућно,,скратити“разломакнадеснојстрани једнакости(5),каоштосморазломак 125 1000 скратилиидобили 1 8 .

Прематоме,свакибројчијиједецималнизапис 0,d1d2 ...dn,где d1, d2, ... , dn ∈ Cf ,можедасеизразиуоблику p q ,

p<q.Другимречима,такви бројевисурационални.

Даливажииобратнотврђење?Пођимоодразломка 1 8 Тадапримењујући познатипоступакдељења(којинеобразлажемо)добијамо

Деобасеовдезавршавајерсеброј 8 садржибезостаткауброју 40,идобилисмо, подругипут,једнакост 1 8 = 0, 125

Узмимосадаразломак 2 3 Акоизвршимодељење,добијамо

ивидимодаседеобанеможеокончати,јерсталноброј 20 делимобројем 3 истално добијамоостатак 2.Стогапишемо (6) 2 3 = 0, 666

гдетритачкеозначавајудаређањушестица немакраја.Макакоовоизгледало природно,ипаксенаједнакости(6)требамалодужезадржати,итоуправозбог онетритачке.

72 Реалнибројеви

Наравно,знамоштазначи 0, 6,штазначи 0, 66,штазначи 0, 666 итд.Заиста, (7)0, 6=1 ·

Али штазначи 0, 666...?наоснову(7)намећесе,каоприродна,следећа,,једнакост“ (8)

гдесадасимбол ... накрајуформуле(8)означавадајеречозбирукојииманеограничено(бесконачно)многосабирака.Међутим,одмахмогудасепоставебар дваважнапитања:

(i)Далисабесконачнимзбировимасмемодарадимокаосаконачним(тј.да лисмемодапримењујемозаконеуређеногпоља)?

(ii)Далиће,,збир“надеснојстраниформуле(8)заистабитикаоштоби,на основу(6)и(8),требалодабуде?

Увезисатим,уводимоследећупретпоставку.

Претпоставка1. Сабесконачнимзбировимаоблика (9) d1

где d1,d2,...,dn,... ∈ Cf ,смемодарадимокаосаобичним(коначним)збировима.

Користећисеовомпретпоставкомизрачунавамозбирнадеснојстраниформуле(8).Имамо (10)6 ·

гдејестављено (11) S =1+ 1 10 +

11),послемножењаобестранеса

одаклеизлази: 9S =10,тј. S = 10 9 Стогаје,наоснову(10),

заистасмодошлидоочекиваногрезултата.

Претпоставка1устваризначидаисаобјектимаоблика 0,d1d2 ...dn ,где d1, d2, ... , dn, ···∈ Cf ,смемодарадимокаоисабројевимакојиимајуконачан бројдецимала.Имајућитоувиду,можемобржедапокажемодаје 0, 666 = 2 3 Наиме,акоје x =0, 666 ..., ондаје 10x =6, 666 =6+0, 666 =6+ x, одаклеизлази 9x =6,тј. x = 6 9 = 2 3

5. Додатак:Нештодетаљнијеореалнимбројевима

У запису 0, 666 цифра 6 понављасебесконачномногопута.Уопште,ако a1, a2, , a

гдесегрупацифара

ланброј.Заиста,из(12),послемножењаса

а тојерационаланброј(збирдваразломка).

Задецималнизапис(12)укомесенекагрупацифаранеограниченопонавља кажемодаје периодичан

Пример5. Некаје x =0, 23718718718 гдесегрупа 718 понављабесконачномного пута.Тадаје 100x =23, 718718718 =23+0, 718718718

Акоставимо y =0, 718718718 имамо 1000y =718, 718718 =718+0, 718718 =718+ y, одаклеизлази

можемосматратидаиутомслучајуимамопериодичанзапис,стимштосегрупа којусачињаваброј 0 понављабесконачномногопута.

Прематоме,важиследећетврђење:Акоједецималнизаписпериодичан,ондаонпредстављаједанрационаланброј.Важииобратнотврђење.Наиме,сваки рационаланбројимапериодичандецималнизапис.

Заиста,нека p, q ∈ N инекаје p<q8.Претпоставимодарационаланброј p q

немаконачандецималнизапис.Тадапридеобиброја p бројем q свакиостатакморабитиразличитод 0,паћесвиостацибитибројевиизмеђу 1 и q 1,такодаима највише q 1 могућностизавредностостатка.Тозначидаћесепосленајвише q деобанекиостатак k појавитиподругипут.Алитадаћесеинаредниостаципојавитиподругипутитоистимредомкојимсусејављалипрепоновногпојављивања броја k

Пример6. Напишимоброј

и даљећесведасепонавља.Дакле,

Дакле,наосновуПретпоставке1доказалисмодајебројрационаланакои самоакоимапериодичандецималнизапис;другимречима,даизразоблика 0,a

где a1, a2, , am, b1, b2, , bn ∈ Cf ,заистапредстављаједанрационаланбројиз интервала [0, 1).Уводимосадајошједнупретпоставку. Претпоставка2. Свакиизразоблика (13) 0,d1d2 ...dndn+1 (d1,d

strana75

5. Додатак:Нештодетаљнијеореалнимбројевима 75

Пример7. Бројеви x, y, z одређениса x =0, 01001000100001

(бројнуласеповећавазаједан) y =0, 02002000200002

(бројнуласеповећавазаједан) z =0, 10110111011110

(бројјединицасеповећавазаједан) суирационални.НаосновуПретпоставке1сањимаможемодарадимокаоисаконачнимдецималнимзаписима.Тако,например,имамо x + y =0, 03003000300003 x + z =0, 111111

ивидимодајеброј x + y ирационалан,докјеброј x + z рационалан;наиме x + z = 1 9

Напомена1. Устриктнозаснованојструктуриреалнихбројеваобеуведенепретпоставке могудаседокажу,алитојемалотежипосао.Поменимосамо,увезисаПретпоставком1,да ,,бесконачнизбирови“нисунималонаивнииданеопрезанприступтаквимзбировимаможеда доведедоразнихглупости.Рецимо,некаје (14) S

2 +23

4 + Очигледноје S> 0.Из(14),послемножењаса 2,добијамо 2S =22 +23 +24 + = S 2, одаклеизлази: S = 2!

Стварјеутомештосабесконачнимзбиромнадеснојстраниформуле(14)несмемода радимокаосаконачнимзбировима.

Образложењезаштосабесконачнимзбиромоблика(9)можемо,асабесконачнимзбиром (14)неможемодарадимокаосаконачнимзбировимаможеседатитекузпомоћпојмаграничне вредности(атоћедоћинаредкасније,уIIIразреду).

Накрају,дарезимирамо:

(i)Свакиреаланброј x можедасенапишеуоблику [x]+δ(x),гдеје [x] цеодео броја x,азањеговдецималнидео δ(x) важи 0 δ(x) < 1,тј. δ(x) ∈ [0, 1).

(ii)Свакиреаланбројизинтервала [0, 1) имадецималнизаписоблика 0,d1d2 ...dn ... ,где d1, d2, ···∈ Cf .

(iii)Свакиреаланбројможедасеприкажеуоблику (15) c,d1d2 ...dn (c ∈ Z; d1,d2, ···∈ Cf )

(iv)Број(15)jерационаланакоисамоакојењеговдецималнидеопериодичан(тујеукљученислучајкадјеконачан).

(v)Број(15)јеирационаланакоисамоакоњеговдецималнидеонијепериодичан(никоначан).

5.3.Аксиомасупремума

Описујемојошједнубитнуразликуизмеђуструктура (Q, +, , ) и (R, +, , ). Појмовеограниченодозгоскуп,мајорантаимаксимумскупаувелисмораније (видетистр.49).Акојенекискуп S ограниченодозго,ондајескупњеговихмајорантибесконачан(видетиПример4,стр.49).Акопостоји најмања мајоранта σ скупа S,ондакажемодаје σ супремум скупа S

76 Реалнибројеви

Пример1. Овимпримеромилуструјеморазликуизмеђумаксимумаисупремумаскупа.

Некаје S = {x | x ∈ Q,x< 1}.Тадаmax S непостоји,јернепостојинајвећирационалан бројкојијемањиод 1.Али,супремумскупа S постојииимамоsup S =1.Заиста,скуп S је ограниченодозгоињеговемајорантесусвибројевикојисувећиилиједнакиод 1.Најмања одтихмајорантијеброј 1,пајетосупремумскупа S.Приметимо,међутим,дауовомслучају sup S / ∈ S

Нека A ⊂ R.Акосвакинепразаниограниченодозгоподскуп S скупа A има својсупремум којиприпадаскупу A,ондакажемодаскуп A задовољавааксиому супремума.

Пример2. Свакиконачанподскуп A скупаRзадовољавааксиомусупремума.Заиста,ако је A

коначанскуп,ондајесвакињеговнепразанподскуп S такођеконачан,пајеsup S највећи елементскупа S,којинаравноприпадаскупу S,пастогаискупу A;дакле,sup S = max S ∈ A.

Пример3. Скупсвихприроднихбројева N задовољавааксиомусупремума.Наиме,ако је S подскупскупаN

којијеограниченодозго,ондајескуп S коначан,паје,каоиупретходном примеру,sup S = max S ∈ N

Пример4. Скупсвихцелихбројева Z

задовољавааксиомусупремума.

Сдругестране,скуп Q незадовољавааксиомусупремума.Наиме,акоје S = {r | r ∈ Q,r 2 < 2},ондаје S подскупскупа Q којинијепразан(јер 1 ∈ S)и ограниченјеодозго(например,бројем 2),алиможедаседокажеданепостоји најмањи рационаланброј σ такавдазасве x ∈ S важи x σ

Већсмоприхватилидасуобеструктуре (Q, +, , ) и (R, +, , ) уређенапоља.Битнаразликаизмеђутихструктурајестеутомештозаструктуруреалних бројеваусвајамокаотачноиследећетврђење:

(A16)Скупреалнихбројева R задовољавааксиомусупремума.

Пример5. Некаје S = {r | r ∈ Q,r 2 < 2}.Каоштосмовећнавели,ускупу Q непостоји sup S.Међутим,ускупу R постојиsup S.Тојеирационалниброј √2 и онприпада R.

Свеусвему,структуруреалнихбројева (R, +, , ) уводимопомоћуследећих аксиома:

1.Структура (R, +, · , ) јеуређенопоље.

2.Свакинепразан,ограниченодозгоподскупскупа R имаускупу R својсупремум.

Другимречима,структурареалнихбројевајескуп R укомесудефинисане операције + и ирелација такодаважеаксиоме(A1)–(A16). Напомена1. Ранијесмо,настр.44,претпоставилидаАрхимедоватеоремаважиууређеномпољуреалнихбројева.Садавишенемапотребедасеуводитаквапретпоставка,јерсе Архимедоватеоремаможе,узпомоћаксиомесупремума,доказати.НаводимодоказАрхимедоветеоремекоја(дасеподсетимо)гласи:

Нека x, y ∈ R.Акоје x> 0,тадапостојиприроданброј n такавдаје nx>y

Пођимоодсупротнепретпоставке,наимедазасвако n ∈ N важи nx y.Тозначидаје y једнамајорантаскупа S = {nx | n ∈ N},панаосновуаксиомесупремумапостоји σ = sup S. Собзиромдаи (n +1)x ∈ S,закључујемодаје nx =(n +1)x x σ x.Међутим,како je x> 0,имамо σ x<σ,атозначидапостојимајоранта σ x скупа S којајемањаод супремуматогскупа,штојенемогућно.Прематоме,нијетачнодазасвако n ∈ Nважи nx y Другимречима,постоји n ∈ N такводаје nx>y

ЕЛЕМЕНТАРНАГЕОМЕТРИЈА

1. ТАЧКЕ, ПРАВЕ И РАВНИ

1.1. Увод

Елементарнугеометријуизлажемоускладусаопштимпринципимаизодељка

3.3,стр.33икојихсмосе,упретходнојглави,држалиприликомизлагањареалних бројева. Имајући

1.2.Везеизмеђутачака,правихиравни Напрвомместусматрамодасецелапричаодвијау

Елементарнагеометрија

,аравнималимгрчкимсловима α, β, γ, .Билокојискуптачакапростора E називасе геометријскилик или фигура

Затачкекојеприпадајуједнојправојкажемодасу колинеарне,азатачкекоје припадајуједнојравникажемодасу компланарне Евонекихтврђењазакојадоговорносматрамодасутачна(тј.дасуаксиоме).

(A1)Свакаправасадржинајмањедверазличитетачке.

(A2)Засвакедверазличитетачкепостојиједнаисамоједнаправакојаих садржи.

(A3)Свакаравансадржинајмањетринеколинеарнетачке.

(A4)Засвакетринеколинеарнетачкепостојиједнаисамоједнараванкојаих садржи.

(A5)Акодветачкенекеправеприпадајуједнојравни,тадаитаправаприпада тојравни.

(A6)Акодверавниимајуједнузаједничкутачку,тадаонеимајунајмањејош једнузаједничкутачку.

(A7)Постојечетиринекомпланарнетачке.

Овимаксиомамауспостављенесувезеизмеђутачака,правихиравни,ионе сеназивају аксиомевезе или припадања.Изтихаксиомаизводесекаопоследице рецимоследећатврђења.

(T1)Акосу A, B, C неколинеарнетачке,онесумеђусобноразличите.

(T2)Засвакуправупостојинајмањеједнатачкакојајојнеприпада.

(T3)Акотачка A неприпадаправој p,постојиједнаисамоједнараванкоја садржитачку A иправу p

(T4)Постојебардверазличитеправе.

(T5)Дверазличитеправеимајунајвишеједнузаједничкутачку.

(T6)Акодвеправеимајусамоједнузаједничкутачку,тадапостојиједнаи самоједнараванкојасадржитеправе.

(T7)Акосу A, B, C, D четиринекомпланарнетачке,ондасусвакетриодњих неколинеарне.

(T8)Засвакураванпостојинајмањеједнатачкакојајојнеприпада.

(T9)Постојеправекојенеприпадајуједнојравни.

(T10)Засвакураванпостојиправакојасањомимаједнуисамоједнузаједничкутачку.

(T11)Постојебардверазличитеравни.

(T12)Акодверазличитеравниимајуједнузаједничкутачку,тадатеравни имајуједнуисамоједнузаједничкуправу.

Дајемодоказезачетириоднаведенихдванаесттврђења сматрамодасу осталаочигледна.

Доказза(T3).Према(A1)направој

1. Тачке,правеиравни 79

којаихсадржи.Дакле, B, C ∈ α,панаоснову(A5)важи p ⊂ α Кадабипостојала ираван β(= α) којојприпадаправа p итачка A,тадабитринеколинеарнетачке A, B, C припадаледвемаразличитимравнима,штојеуконтрадикцијиса(A4). Доказза(T6).Некасу a и b правекојеимајузаједничкутачку C.Према(A1) направој a постојитачка A(= C) анаправој b постојитачка B(= C).Тачке A, B, C сутринеколинеарнетачкеидоказсенастављакаоупретходномслучају. Доказза(T7).Претпоставимодасу,например, A, B, C колинеарнетачке, тј.дапостојиправа p којојприпадају.Ако D ∈ p,тадасусветачке A, B, C, D колинеарне.Ако D ∈ p,таданаоснову(T3)постојираванкојасадржиправу p и тачку D.Дакле,уобаслучајадолазимодоконтрадикције. Доказза(T12).Некаје A заједничкатачкаравни α и β.Наоснову(A6)постоји јошједназаједничкатачка B(= A) тихравни.Наоснову(A2)постојитачноједна

права p којојприпадајутачке A и B.Како A ∈ α, B ∈ α,наоснову(A5)закључујемо

да p ⊂ α исличнода p ⊂ β.Тачкеправе p јединесузаједничкетачкеравни α и β, јеркадбипостојалатачка S ванправе p којаприпадаиравни α иравни β,тадаби наоснову(T3)било α = β,супротнопретпоставци. Уводимосаданекеуобичајенеипознатетермине.Акодвеправеимајузаједничкутачку,кажемодасе секу утојтачки.Акоправаираванимајузаједничку тачку,кажемодаправа сече или продире раванутојтачки.Акодверавниимају заједничкуправу,кажемодасе секу

потојправој.

Аконепостојираванкојојприпадајудверазличитеправе a и b,ондакажемо дасу a и b мимоилазне праве.

Собзиромна(A2)кажемодајеправа одређена садверазличитетачке.Слично,собзиромна(A4),(T3)и(T6)кажемодајераванодређенаса:(i)тринеколинеарнетачке;(ii)правомитачкомизвантеправе;(iii)двемаправамакојесе

секу.

Уместо,,праваодређенатачкама A и B“краћекажемо,,права AB“.Слично,кад кажемораван ABC мислимонараванодређенутачкама A, B, C. Питања

1. Штасуколинеарне,аштакомпланарнетачке?Далипостојенеколинеарнеинекомпланарнетачке?

2. Акотачка A неприпадаправој p,далипостојираванкојојприпадаитачка A иправа p?Коликоиматаквихравни?

3. Далипостојечетиритачке A, B, C, D,такведасуоненекомпланарне,доксутачке B, C, D колинеарне?

4. Кадкажемо:(i)даседвеправесеку;(ii)дасеправаиравансеку;(iii)даправапродире раван?

5. Штасумимоилазнеправе?

6. Чимејеодређенараван?

7. Акосу A, B, C тачке,штаје,,права AB“,ашта,,раван ABC“?

Задаци

1. Коликонајвишеправиходређујескуподседамразличитихтачака?

2. Коликонајвишеправиходређујескуподседамразличитихтачакаодкојихсутриколинеарне?

3. Датојепетразличитихтачака,одкојихникојечетиринисукомпланарне.Коликоравни онеодређују?

4. Датесутринеколинеарнетачкеидвеправекојесесеку.Коликонајвишеравнионеодређују?

5. Датесучетиринекомпланарнетачкеидвеправекојесесеку.Коликонајвишеравнионе одређују?

6. Датојешесттачакаодкојихсутриколинеарне.Коликонајвишеравнионеодређују?

7. Датесудвемимоилазнеправеишесттачакаодкојихсучетириколинеарне.Колико највишеравнионеодређују?

8. Уколиконајвишеразличитихтачакасеможесећишестразличитихправих?

9. Доказатидадверазличитеправеимајунајвишеједнузаједничкутачку.

10. Датојепетправих.Акосесвакедвесеку,доказатидасвеприпадајуједнојравни,илисе свесекууистојтачки.

11. Некасеправе a и b секуутачки A инекаје α раванодређенатимправама.Некаје s правакојасечеправе a и b.Далиправа s припадаравни α ако:(i) A ∈ s;(ii) A / ∈ s?

12. Датесуправе a и b којесесекуутачки S иодређујураван α иправа c којасаравни α имазаједничкутачку P = S.Одредитиправу p којасечеправе a, b, c.Коликорешења имазадатакикојискупсачињавајусвеоваквеправе p?

1.3.Распоредтачака

Затримеђусобноразличитеколинеарнетачке A, B, C сматрамодасууодређеномраспореду,тј.дајеједнаодњих између другедве.Например,насл.1тачка B јеизмеђутачака P и Q,атакођеизмеђутачака Q и P ,штопишемо P B Q, односно Q B P .Кажемоидасутачке P и Q саразнихстрана тачке B.Насл.1 тачке A и P сусаистестранетачке B,тачке P , B, Q сусаистестранетачке A,итд. Такођеје A P B, A P Q.

2 Напомена1. Измеђујерелацијадужине 3 ускупутачакапростора.Заиста,забилокоју уређенутројку (A,B,C) илиje A B C,штозначидасутачкеурелацијиизмеђу,илиније A B C,штозначидатетачкенисуутојрелацији.

strana81

1. Тачке,правеиравни 81

Следећеаксиоме,тзв. аксиомераспореда,ближеописујусвојстварелацијеизмеђу.

(A8)Акоје A B C,тадасу A, B, C тримеђусобноразличитеколинеарне тачке.

(A9)Акоје A B C,таданије A C B.

(A10)Акосу A и B дверазличитетачкеправе p,тадапостојитачка C ∈ p таква даје A B C

(A11)Затриразличите1 колинеарнетачкеважиједнаодрелација: A B C, A C B или C A B

(A12)Некасу A, B, C тринеколинеарнетачке,некаје B P C инекаје p(= BC) правауравни ABC таквада P ∈ p, A ∈ p.Тадаправа p сече

праву AC утачки Q такодаје A Q C илисечеправу AB утачки R такодаје A R B;сл.2.

Напомена2. Аксиома(A12)простозначидаакоправа p сечестраницу BC троугла ABC инепролазикрозтеме A,ондаонасечеилистраницу AB илистраницу AC.Онасеназива Пашовааксиома.

Наосновуовихаксиомаизводесеразнатврђењаувезисараспоредомтачака. Тасутврђењауглавномочигледна.Еводвапримера.

1.Акосу A, B дветачке,таданаправој AB постојитачка C таквадаје A C B

2.Акоје A C D и C D B,тадаје A C B и A D B.

Користећисепојмомизмеђудефинишемонекеодранијепознатегеометријскеликове.

Некасу A и B дветачке.Скуптачакакојисачињавајутачке A и B исветачке измеђуњихназивасе дуж иозначавасе AB или BA.Тачке A и B су крајњетачке или крајеви дужи. Некаје a праваи O тачкакојајојприпада.Скуптачакакојисачињавајутачка O исветачкеправе a којесусаистестранетачке O називасе полуправа. Јасноједасвакатачка O некеправе a одређуједвеполуправе Op и Oq којима је O заједничкатачкаичијесутачкесаразнихстранатачке O.Притомеје a = Op ∪ Oq;сл.3.

Некаједатараван α,права a ⊂ α итачке A, B ∈ α,али A / ∈ a, B / ∈ a.Ако постоји C ∈ α такодаје A C B,кажемодасутачке A и B саразнихстрана праве a,аакотакватачканепостоји,ондасу A и B саистестране праве a

Полураван сапочетном(граничном)правом a јескупсвихтачакаправе a и свихтачакаједнеравникојесусаистестранеправе a. Јасноједасвакаправа a некеравни α одређуједвеполуравникојимаје a заједничкаграничнаправаичијесутачкесаразнихстранаправе a.Раван α јеунија тихполуравни.

Занекискуптачака,тј.загеометријскуфигуру F кажемодаје конвексна ако засвакедветачке A, B ∈F дуж AB ⊂F.Акоовајусловнијеиспуњен,кажемода јефигура F конкавна.Насл.4приказанјеједанконвексаниједанконкаванлик.

1У будућекадкажемодветачке,тритачке,двеправе,итд.подразумевамодасуразличите.

Елементарнагеометрија

3 Сл. 4

Пример1. Права,раван,дуж,полуправаиполуравансуконвексниликови.

Пример2. Акосу F и G конвекснефигуре,тадаје F∩G такођеконвекснафигура.Заиста,

ако A, B ∈F∩G,тада A, B ∈F и A, B ∈G.Какосу F и G попретпоставциконвексниликови закључујемодазадуж AB важи: AB ⊂F и AB ⊂G,пастога AB ⊂F∩G

Некасу Op и Oq двеполуправесазаједничкомпочетномтачком O којеприпадајуизвеснојравни α.Унијатихполуправихназивасе угаоналинија иозначава се pOq или qOp.Полуправе Op и Oq су краци,атачка O је теме теугаонелиније; сл.5.

Сл. 5

Сл. 6

Напомена3. Акополуправе Op и Oq неприпадајуједнојправој,онданеморамодапретпоставимодаонеприпадајуједнојравни,јерсамалинија pOq одређујетачноједнураван. Очигледноједаугаоналинија pOq делираван α надвадисјунктнадела(при чемусамалинијанеприпаданиједномодњих).Тискуповитачакасу угаонеобласти одређенеугаономлинијом pOq.Насл.6приказанајеугаоналинија pOq идве угаонеобласти;једнајешрафирана,адругајетачкаста. Унијаугаонелиније pOq иједнеоддвеугаонеобластиодређенеовомлинијом називасе угао иозначава < ) pOq.Полуправе Op и Oq су краци,атачка O je теме тог угла.Прематоме,насл.6приказанасуидваугла:једанчиниугаоналинија pOq и шрафиранидеоравни,адругилинија pOq итачкастидеоравни.Каоштовидимо, једанодтихугловајеконвексан(сл.7)адругиконкаван(сл.8). Данебисмошрафиралиилитачкиралиделоверавниуводимоцртањеједноставнијихслика.Такоугловесасл.7и8цртамокаонасл.9и10.

1. Тачке,правеиравни 83

Сл. 7 Сл. 8 Сл. 9 Сл. 10

Напомена4. Акоје P билокојатачкакрака Op,a Q

билокојатачкакрака Oq тадасеугао < ) pOq означаваи < ) POQ

Удаљемтекступодугломподразумевамоконвексанугао,осимакониједрукчијеречено. Сл. 11 Сл. 12

Насл.7 10прећутносмопретпоставилидакраци Op и Oq неприпадају једнојправој.Акотедвеполуправеприпадајуједнојправој a,аправа a припада равни α,тадајењиховаунијауправоправа a којаделираван α надвеполуравни. Обаугла < ) pOq суконвекснаитосутзв. опружениуглови;сл.11. Напомена5. Ускладусаранијимдоговором,чимсмореклидвеполуправе Op и Oq,оне суразличите.Међутим,можемоговоритииоуглу < ) pOp когаодређујеунијадвеистеполуправе Op,тј.самаполуправа Op.Једнаодугаонихобластијетадапразанскупкојојодговаратзв.нула угао.Другаобластјескупсвихтачакаравникојенеприпадајуполуправој Op ињојодговара тзв. пунугао;сл.12.

Некаполуправа Or припадаобластиугла < ) pOq.Зауглове < ) pOr и < ) rOq који немајузаједничкихтачакаосимкрака Or кажемодасу суседни (сл.13).Специјално,суседниуглови < ) pOr и < ) rOq чијисукраци Op и Oq различитеполуправеједне истеправезовусе напоредни углови(сл.14).

Дваугла < ) pOq и < ) rOs чијисукраци Op и Or различитеполуправеједнеправе,акраци Oq и Os различитеполуправенекедругеправезовусе унакрсниуглови (сл.15).Очигледноједасуиуглови < ) qOr и < ) sOp такођеунакрсни.

Некаје A1, A2, ... , An+1 (n 3)коначанскуптачаканекеравнипричему никојетриузастопнетачкенисуколинеарне.Унијадужи A1A2, A2A3, ... , AnAn+1

Елементарнагеометрија

изломљеналинија.Онаје отворена акоје An+1 = A1,а затворена акоје An+1 = A1,укомслучајусматрамодасуитачке An, A1, A2 триузастопнетачке,алинију

означавамо A1A2 ...An.

Некаје A1A2 ...An затворенаизломљеналинија.Акодужи A1A2, A2A3, , AnA1 немајузаједничкихтачакаосимсвојихкрајева,таквалинијасеназива многоугаоналинија.

Очигледноједамногоугаоналинијаделираванна дведисјунктнеобласти(при чемусамалинијанеприпаданиједнојнидругој).Једнаодтихобластије унутрашња,адруга спољашња.Интуитивнојејаснодајешрафиранаобластприказананасл. 16унутрашњаобластмногоугаонелиније A1A2 ...A8.Иначе,карактеристичнозатачке унутрашњеобластијеследеће.Тачка O припадаунутрашњојобластимногоугаонелиније A1A2 ...An акобилокојаполуправа Op којанесадржи ниједнуодтачака A1, A2, , An сечетулинијуунепарномбројутачака;видетитачку O иполуправе Op1, Op2, Op3 насл.16.

Напомена6. Насупроттоме,акотачка O припадаспољашњојобластинекемногоугаоне линије,ондабилокојаполуправа Op којанесадржиниједнуодтачака A1, A2, ... , An сечету линијуупарномбројутачакаилинемасањомниједнузаједничкутачку.Проверити,рецимо насл.16.

Унијамногоугаонелиније A1A2 ...An ињенеунутрашњеобластиназивасе

многоугаонаповрш иистосеозначавакаоилинија,тј. A1A2 ...An.

Тачке A1A2 ...An су темена,адужи A1A2, A2A3, , AnA1 су странице многоугаонелинијеилиповрши A1A2 ...An.Многоугаонулинију,односноповрш,са n теменазовемо n-тоугаона линија,односноповрш.Тако,например,говоримоо троугаонојлинији,четвороугаонојповрши,итд. Наосновупретходногизлагањајаснојеследеће:акоједатамногоугаоналинија A1A2 ...An,ондајепотпуноодређенаимногоугаонаповрш A1A2 ...An.Обратно,акоједатамногоугаонаповрш A1A2 ...An ондајепотпуноодређенаимногоугаоналинија A1A2 ...An.Тонамомогућуједадозволимосебиизвеснукомоцију уизражавању:убудуће,кадакажемо многоугао A1A2 ...An томожедабудебило многоугаоналинија A1A2 ...An,биломногоугаонаповрш A1A2 ...An.Изсамог проблемакојисеразматравидиседалијеречолинијиилиоповрши.Стогаћемо

Сл.

1. Тачке,правеиравни 85

Например,акосу A, B, C тринеколинеарнетачкеикадузпомоћлењиранацртамодужи AB, BC и CA обичнокажемодасмоконструисалитроугао ABC.Притомејејаснодасмо конструисалитроугаонулинију ABC.Сдругестране,кадкажемодасмоизрачуналиповршину троугла ABC,јасноједајеречотроугаонојповрши,јер(поприродиилипоаксиоми)ипак нисмотоликебудаледаизрачунавамоповршинулиније!

Некасу AB и BC двесуседнестраниценекогмногоугла.Онеодређујудваугла < ) ABC.ТачноједанодњихимаособинудауњеговојобластипостојитачкаОтаква дадуж OB припадаунутрашњојобластимногоуглаитајугаосезовеунутрашњи угаокодтемена B.Видетисл.17.

Пример3. Акојемногоугаонаповршконвексна,свиунутрашњиугловисуконвексни;сл. 18.Акојетаповршконкавна,барједанунутрашњиугаојеконкаван;сл.19.

Некасу AB и BC двесуседнестраниценекогконвексногмногоуглаинека је < ) ABC унутрашњиугаотогмногоуглакодтемена B.Постоједвауглакојасу напореднасауглом < ) ABC.Заиста,акосу D и E произвољнетачкетакведаје

A B D и E B C ондасу,насл.20,углови < ) ABE и < ) CBD напореднисауглом < ) ABC.Билокојиодтадваугланазивасе спољашњи угаомногоуглакојиодговара

темену B,илиспољашњиугаокодтемена B.Очигледноједасуспољашњиуглови којиодговарајуједномтеменумногоуглаунакрсни. Дијагонала многоуглаједужчијесукрајњетачкедванесуседнатемена.

Питања

1. Кадкажемодасутачке A и B:(i)саразнихстранатачке C;(ii)саразнихстранаправе p?

2. Дефиницијадужи,полуправеиполуравни.

3. Кадкажемодајегеометријскафигураконвексна?

4. Дефиницијаугаонелиније,угаонеобластииугла.

5. Штасусуседни,напореднииунакрсниуглови?Штајеопруженугао,нулаугао,пунугао?

6. Штајеспољашњиугаомногоугла?Далисетајпојамдефинишезасвакимногоугао?

Задаци

1. Некасу A, B, C, D четиритачкетакведаје A B C и A C D.Коликоразличитих дужииколикоразличитихполуправиходређујуоветачке?

2. Датесутриразличитеправекојесесеку,алинеуједнојтачки.Коликоразличитихполуравнионеодређују?Штајеограниченискуптачакакојиприпадатримаодтихполуравни?Доказатидајетајскупконвексанлик.

3. Доказатидаунутрашњетачкестраница AB, BC, AC троугла ABC неприпадајуједној правој.

4. Датесудвеполуправе Op и Oq сазаједничкомпочетномтачком O.Нека A, B ∈ Op и нека C, D ∈ Oq,причемује O A B и O C D.Доказатидапостојитачка S таква даје A S D и B S C

5. Скупутачака {O,A,B,C,D,S} изпретходногзадаткапридружитијошједнутачкутако дановискуподређујешесттројкиколинеарнихтачакаиниједнучетворкуколинеарних тачака.Коликорешењаимазадатак?

6. Датесудвеправекојесесеку.Коликопарованапореднихугловаонеодређују?Колико опруженихугловаодређујутеправе?Штачинискупзаједничкихтачакадвејуполуравнисаразличитимграничнимправама,аштаскуптачакаравникојенеприпадајуни једнојодовихполуравни?

7. Доказатиследећетврђење:Акосечитавмногоугаоналазисаједнеистестранеправе којасадржиједнуњеговустраницу,ондајетајмногоугаоконвексан.

8. Датјеконвексан 13-тоугао.Коликоимадијагонала?

9. Коликостраницаимамногоугаокојиима 119 дијагонала?

10. Акосеједноммногоуглубројстраницаповећаза 2,бројњеговихдијагоналаповећанје за 17.Коликостраницаиматајмногоугао?

11. Акосебројдијагоналанекогмногоуглаумањиза 7,добијаседвострукибројдијагонала многоуглакојиимачетиристраницемањеодполазногмногоугла.Коликостраницаима тајмногоугао?

1.4.Паралелност

Усвајамоследећуаксиому.

(A13)Засвакуправу a итачку A којајојне припада,уравни α одређенојправом a итачком A постојиједнаисамоједнаправа b која садржитачку A икојанесечеправу a;сл.21.

Заправе a и b кажемодасу паралелне,у ознаци a ∥ b,акоприпадајуједнојравниинемајузаједничкихтачакаилиакоје a = b.

Сл. 21

Напомена1. Аксиома(A13)називасе аксиомапаралелности.Макакотврђењеизраженотомаксиомомизгледалоочигледно,упрвојполовини19.векарускиматематичарН.И. Лобачевскизасноваојеновугеометријуукојојуместо(A13)важиследећетврђење:уравни одређенојправом a итачком A којајојнеприпадапостоједвеправекојесадржетачку A инемајузаједничкихтачакасаправом a.ПојаватеновегеометријеЛобачевскогмногојеутицала наопштеразумевањематематике.Геометријаукојојважи(A13),даклегеометријакојомсеми бавимо,називасе еуклидскагеометрија,јерсејошуЕуклидовимелементима(писанимоко 300.годинепреХриста)појављујетотврђење.

Изводимонекепоследицеаксиомепаралелности. (T1)Двепаралелнеправеодређујутачноједнураван. Доказ.Некасу a и b двепаралелнеправе.Наосновудефиницијеонеприпадају једнојравни α инемајузаједничкутачку.Ако B ∈ b,собзиромда a и b

1. Тачке,правеиравни 87

заједничкихтачака, B / ∈ a,папостојираван β одређенаправом a итачком B Међутим,права a итачка B припадајуиравни α,паје β = α

Заправу a кажемодајепаралелнаравни α,уознаци a ∥ α,акојојприпадаили акосањомнемазаједничкихтачака. (T2)Права b јепаралелнаравни α акоисамоакоуравни α постојиправа a паралелнаправој b Сл. 22

Доказ. Некаје b ∥ α.Ако b ∈ α, можемоузети a = b.Акоправа b не припадаравни α,тадаправа b итачка A ∈ α одређујураван β(= α).Некаје a = α ∩ β.Очигледноједаправе a и b припадајуравни β.Међутим, тедвеправенемајузаједничкихтачака,јербињиховазаједничкатачкабилазаједничкатачкаправе b иравни α, супротнопретпоставци.Дакле, a ∥ b

Обратно,претпоставимодауравни α постојиправа a таквадаје a ∥ b.

Ако b ⊂ α,тадаподефиницији b ∥ α.Акоправа b неприпадаравни α тадаправе a и b одређујураван β(= α).Акоправа b имазаједничкутачкусаравни α,ондата тачкаприпадапресечнојправојравни α и β,тј.правој a,штојеусупротностиса претпоставком a ∥ b.Дакле, b ∥ α (T3)Некасу a и b паралелнеправекојеприпадајуредомравнима α и β.Ако серавни α и β секупоправој c,тадајеправа c паралелнаправама a и b. Доказ. Какоје a ∥ b и b ⊂ β,наоснову(T2)имамо a ∥ β.Стогаправе a и c немогуиматизаједничкихтачака,јер c ⊂ β.Собзиромдасуправе a и c уистој равни α иданемајузаједничкихтачака,имамо: a ∥ c.Сличноседоказујеи b ∥ c. Напомена2. Релацијапаралелностијеједнарелацијаеквиваленцијеускупуправих.Наиме,тачнасуследећатврђења:(i) a ∥ a;(ii) a ∥

Дверавни α и β су паралелне,уознаци α ∥ β,аконемајузаједничкихтачака. Такођеузимамодаје α ∥ α (T4)Равни α и β супаралелнеакоисамоакоуравни α постојеправе a и b које сесекуипаралелнесуравни β Доказ. Некаје α ∥ β, α = β инекасу a и b двеправеравни α којесесеку.

Праве a и b саравни β немајузаједничкихтачака,паје a ∥ β и b ∥ β. Обратно,некасу a и b праверавни α којесесекуутачки A инекасупаралелне равни β.Претпоставимодаравни α и β нисупаралелне,већдаимајупресечну

праву c.Собзиромдаправа c итачка A припадајуравни α,барједнаодправих a, b сечеправу c,јернаоснову(A13)постојисамоједнаправакојасадржитачку A и несечеправу c.Међутим,акоправа a сечеправу c,ондатаправапродирераван β, супротнопретпоставци a ∥ β,исличноважизаправу b.Дакле,равни α и β немају пресечнуправу,тј. α ∥ β (T5)Акосудвепаралелнеравни α и β пресеченетрећомравни γ,тадасуи пресечнеправепаралелне.

жетврђења:(

Питање

1. Акојеправа a паралелнаравни α,далитаправаитараванмогуиматизаједничкетачке?

Задаци

1. Коликонајвишеравниодређујескуподтрипаралелнеправекојенеприпадајуједној равниичетиринекомпланарнетачке?

2. Датесутринеколинеарнетачкеитриправеодкојихсудвемимоилазнеатрећајеса једномодњихпаралелнаадругусече.Коликонајвишеравнијеодређеноовимтачкама иправама?

3. Некасу α и β двепаралелнеравни.Доказатидајесвакаправаравни α паралелнаравни β.

4. Датесучетириравни

Доказатидасупресечнеправеравни

5. Објаснитиконструкцијуправекојасадржидатутачку P ипаралелнаједвемадатим равнима.

6. Датесумимоилазнеправе p и q.Објаснитиконструкцијупаралелнихравни α и β тако да p ⊂ α и q ⊂ β.Доказатидапостојисамоједанпартаквихравни.

7. Права a итачка B ванњеодређујураван α.Акоправа b садржитачку B инеприпада равни α,доказатидасуправе a и b мимоилазне.

8. Датесудвемимоилазнеправе a и b итачка P ванњих.Укомслучајупостојиправакоја садржитачку P исечеправе a и b,аукомне?

9. Датесуправе a1, a2, ... , an причемусесвакедвесеку.Доказатидасвеправеприпадају једнојравниилисесекууједнојтачкианеморајубитиуистојравни.

10. Објаснитиконструкцијубесконачномногомимоилазнихправих.(Замислитикружно степеништесацентралнимстубом).

2.ПОДУДАРНОСТ

2.1.Подударностдужи

Сматрамодазнамокадасудведужи AB и CD подударне или једнаке,што означавамо AB ∼ = CD или AB = CD;тоотприликезначидаседуж CD може преместититакодасепоклописадужи AB,атопрактичнозначидатедведужи имајуистудужину2.Појам подударностдужи нећемодефинисати,тј.узећемода јетоосновнипојам,асвојстварелацијеподударноописујемоследећимаксиомама.

2Свеовојесамоинтуитивнапредстава.Нисмодефинисалипремештање,поклапање,нисмодефинисалидужину,алиипак,,знамо“штатеречизначе.

2. Подударност 89

(A14) Засвакудуж AB важи AB = AB

(A15)Засвакедведужи AB и CD важи AB = CD ⇒ CD = AB

(A16)Засвакетридужи AB, CD и EF важи: AB = CD ∧ CD = EF ⇒ AB = EF

(A17)Засвакудуж AB исвакуполуправу Cp постојитачноједнатачка D ∈ Cp таквадаје AB = CD;сл.23.

(A18)Некаје A B C и A′ B′ C′,причемује AB = A′B′ и BC = B′C′ Тадаје AC = A′C′;сл.24.

(A19)Некасу A, B, C тринеколинеарнетачкеинекасу A′ , B′ дветачкена граничнојправој a некеполуравни aα такведаважи AB = A′B′.Тадауполуравни aα постојитачноједнатачка C′ таквадаје AC = A′C′ и BC = B′C′;сл.25. Аксиоме(A14),(A15)и(A16)значедајеподударностједнарелацијаеквиваленцијеускупудужи.Наосновуаксиомаподударностиизводисеследећеочигледнотврђење.

(T)Акосу A, B, C тритачкеправе a,и A′ , B′ дветачкеправе a ′ такведаје

AB = A′B′,ондапостојитачноједнатачка C′ таквадаје AC = A′C′ и BC = B′C′ Притоме, C′ ∈ a ′ ираспоредтачака A′ , B′ , C′ направој a ′ јеаналоганраспореду тачака A, B, C направој a.Видетисл.26. Сл. 26

Користећисепојмомподударностидужипрецизирамојошнеке(одраније познате)појмове.

Акоје S тачкадужи AB таквадаје AS = SB,кажемодаје S средиште дужи AB.Очигледноједасвакадужиматачноједносредиште. Некасу AB и CD дведужиинекапостојитачка E таквадаје C E D и AB = CE.Тадакажемодаједуж CD већа оддужи AB,илидаједуж AB мања од дужи CD,штоозначавамо CD>AB или AB<CD;сл.27. Некасу AB, CD и EF тридужи.Аконадужи EF постојитачка G таквадаје

AB = EG и CD = GF ,ондакажемодаједуж EF збир дужи AB и CD ипишемо EF = AB + CD;сл.28.Утомслучајутакођекажемодаједуж AB разлика дужи

Елементарнагеометрија

Сл. 27 Сл. 28

EF и CD,атакођеидаједуж CD разлика дужи EF и AB,штопишемо: AB =

EF CD и CD = EF AB.

Акоје AB = CD,тадаје AB + CD = AB + AB,итајзбирозначавамо 2AB

Уопште,акоје CD = AB + AB + + AB,гденадеснојстраниовеједнакости

имамо n сабирака,кажемодаједуж CD производ природногброја n идужи AB

ипишемо CD = nAB.Утомслучајузадуж AB кажемодаје n-ти део дужи CD и

пишемо AB = 1 n CD

Пример1. Акоје S средиштедужи AB,тадаје AS = SB = 1 2 AB.

Акосу OA и OB двеједнакедужисазаједничкимкрајем O,кажемодасутачке A и B једнакоудаљене одтачке O.Скупсвихтачаканекеравни α којесуједнако удаљенеодтачке O ∈ α називасе кружналинија иликраће круг,чијије центар (средиште)тачка O.

Билокојадужчијијеједанкрајцентаркругаадругисеналазинакругуназива сеполупречниккруга.Пречниккругаједужчијисукрајевинакругуакојојприпада центаркруга.Дужчијисукрајевимакоједветачкекруганазивасететива,аправа којојтетиваприпаданазивасе сечица круга.Правауравникругакојасањимима самоједнузаједничкутачкуназивасетангентакруга,атазаједничкатачканазива се додирнатачка.

Акосечицакруга k сечекругутачкама A и B,тимтачкамасуодређенадва кружналука AB круга k

Скуптачакасвихполупречникакруга,осимонихкојеприпадајукругу,назива се унутрашњост круга,аскуптачакакојенисуниуунутрашњостикруганитина њемуназивасе спољашњост круга.

Скупсвихтачакакругаињеговеунутрашњостиназивасе

strana91

2. Подударност 91

Насл.29приказанјекруг k чијијецентартачка O.Дужи OA, OB, OC су полупречници,адуж AC јепречниккруга k.Дуж AB јететива,аправа AB је сечицакруга k.Права t јетангентакруга k којагадодирујеутачки A.Насл.30

приказанјекружниисечак AOB.

Питања

1. Далијеподударностдужирелацијаеквиваленције?Наосновучега?

2. Кадкажемодаједуж AB мања(већа)оддужи CD?

3. Какоседефинишузбириразликадужи?

4. Акоје AB дужиакоје n природанброј,штасу nAB и 1 n AB?

5. Штајеунутрашњост,аштаспољашњосткруга?

6. Штајецентралниугаокруга?

Задаци

1. Доказатидајекружнаповршконвекснафигура.

2. Доказатидајепресекдвакружнадискаконвекснафигура.

3. Доказатидајекружниисечакконвекснафигура.

4. Некаје A B C инекасу k1 и k2

кружнеповршисацентромутачки A иполупречником AB,односно AC.Доказатида k2 \ k1 нијеконвексанлик.

5. Некаје A B C,причемује 2BC = AB.Доказатидакругчијијецентартачка B и којисадржитачку C,садржиисредиштедужи AB

2.2.Подударностгеометријскихликова

Каоштоимамоинтуитивнупредставуотомештасуподударнедужи,исто такоотприликезнамоштасуподударнигеометријскиликови.Описноречено,лик F1 јеподударансаликом F2 акоселик F2 можепреместититакодасепоклописа

ликом F1

Садаћемоовуинтуитивнупредставупрецизиратипомоћупојмаизометријскогпресликавања. Изометријскопресликавање f простора E је 1 1 пресликавањескупа E наскуп E саособиномдазасвакедветачке X, Y ∈ E важи: XY = f (X)f (Y ). Напомена1. Штазначиовадефиниција?Пресликавањем f тачка X пресликавасеутачку f (X) којућемоозначити X′ ,атачка Y сепресликаваутачку f (Y ) којућемоозначити Y ′ Пресликавање f јеизометријскоакозабилокоједветачке X, Y важи:дуж XY јеподударна (једнака)дужи X′Y ′.Топрактичнозначидаприизометријскомпресликавањудужинеостају непромењене.

Напомена2. Уместоизометријскопресликавањечестосекаже изометријскатрансформација иликратко изометрија3

Изометријомсеполуправапресликавауполуправу,правауправу,угаоуугао, многоугаоумногоугао,итд.Примерарадидоказујемоследећетврђење.

(T1) Изометријомпростора E

Елементарнагеометрија

правасепресликавауправу.

Доказ. Некаје f изометријскопресликавањепростора E инекаје a некаправа.Дветачке A ∈ a, B ∈ a пресликавајусеутачке f (A) и f (B) којећемоозначити A′ ,односно B′.Некаје C произвољнатачкаправе a,различитаодтачака A и B. Онасепресликаваутачку f (C),тј. C′,причемује AC = A′C′ и BC = B′C′.На основутврђења(T),стр.89,тачка C′ припадаправој a ′ одређенојтачкама A′ и B′ и распоредтачака A′ , B′ , C′ аналоганјераспоредутачака A, B, C.Прематоме,било којатачкаправе a пресликавасеутачкуправе a ′ .

Следећатритврђењаосновнасузадаљирад.

(T2)Акосу A и B дветачкенекеправе a иакосу A′ и B′ дветачкетеистеправе такведаје AB = A′B′,тадапостојитачноједнаизометрија f којапресликава

праву a насамусебе,причемује f (A)= A′ , f (B)= B′

(T3)Акосу A, B и C тринеколинеарнетачкенекеравни α иакосу A′ , B′ и C′ тачкетеистеравнитакведаје AB = A′B′ , BC = B′C′ , AC = A′C′ ,тада постојитачноједнаизометрија f којапресликавараван α насамусебе,причему је f (A)= A′ , f (B)= B′ , f (C)= C′ (T4)Акосу A, B, C и D четиринекомпланарнетачкепростора E иакосу A′ , B′ , C′ и D′ тачкетогистогпросторатакведаје AB = A′B′ , AC = A′C′ , AD = A′D′ , BC = B′C′ , BD = B′D′ , CD = C′D′,тадапостојитачноједнаизометрија f којапресликавапростор E насамогсебе,причемује f (A)= A′ , f (B)= B′ , f (C)= C′ , f (D)= D′ Примераради,доказујемотврђење(T2).Какосу A и B различитетачкеи

AB = A′B′ ,и A′ , B′ суразличитетачке.Каоштознамо,засвакутачку X ∈ a постојитачноједнатачка X′ ∈ a таквадаје AX = A′X′ , BX = B′X′.Означимо са f пресликавањекојетачку X пресликаваутачку X′,тј.некаје f (X)= X′ ,и докажимодаје f изометрија.

Некасу X и Y билокоједветачкеправе a инекаје f (X)= X′ , f (Y )= Y ′ .

Тадаје AX = A′X′ , BX = B′X′ , AY = A′Y ′ , BY = B′Y ′.Акотачке A, B, X, Y имајураспоредкаонасл.31,ондаињиховесликеимајуаналоганраспоред,и имамо:

XY = XB + BY = BX + BY,X′Y ′ = X′B′ + B′Y ′ = B′X′ + B′Y ′ , панаосновуједнакости BX = B′X′ , BY = B′Y ′ закључујемо: XY = X′Y ′ .

Сл. 31

Сл. 32

Акојераспоредкаонасл.32,тадаје XY = AY AX, X′Y ′ = A′Y ′ A′X′ , панаосновуједнакости AY = A′Y ′ , AX = A′X′,закључујемо: XY = X′Y ′.Иза свеосталемогућераспоредетачака A, B, X, Y доказујесеједнакост XY = X′Y ′ , тј. XY = f (X)f (Y ),штозначидаје f изометрија. Доказалисмо,дакле,дапостојиизометрија f : a → a таквадаје f (A)= A′ , f (B)= B′.Сададоказујемоњенујединственост.Некаје g : a → a билокоја другаизометријасаособином g(A)= A′ , g(B)= B′ инекаје g(X)= X′′.Тадаје A′′ = A′ , B′′ = B′.Собзиромдаје g изометрија,имамо AX = A′′X′′ = A′X′′ ,

2. Подударност 93

и слично BX = B′X′′.Међутим,знамодаје AX = A′X′ и BX = B′X′,паје A′X′′ = A′X′ и B′X′′ = B′X′.Изовепоследњедвеједнакостиизлази X′′ = X′ , тј. g = f .

Двагеометријскалика F1 и F2 суподударна,уознаци F1 ∼ = F2 акоисамоако постојиизометријскопресликавање f такводаје

Доказујеседајеподударностгеометријскихфигурарелацијаеквиваленције; наиме,запроизвољнефигуре F

Удаљемтекстуразматрамоподударностнекихпосебнихгеометријскихфигура.

Питања

1. Дефиницијаизометријскогпресликавања.

2. Кадкажемодасудвагеометријскаликаподударна?

3. Далијеподударностгеометријскихликоварелацијаеквиваленције?

Задаци

1. Некасу a и b паралелнеправеинекаје f изометријаравниодређенетимправама.Доказатидасеизометријом f праве a и b пресликавајуудвепаралелнеправе.

2. Некасу α и β двепаралелнеравниинекаје f изометријапростора.Акоје α ′ = f (α) и β′ = f (β),доказатидаје α ′ ∥ β′ .

3. Некаје f изометријакојапресликаваправу a насамусебеинека A ∈ a, B ∈ a.Некаје A′ = f (A), B′ = f (B).Акоје S средиштедужи AB иакоје S′ = f (S),доказатидаје S′ средиштедужи A′B′

4. Некасу O и O1 дветачкеуравниинекаје k кругчијијецентартачка O,аполупречник круга k једнакједатојдужи AB.Доказатидапостојитачноједнаизометријакојомсе круг k пресликаваукруг k1 чијијецентартачка O1,аполупречниккруга k1 једнакје датојдужи AB

5. Некаје k кругчијијецентартачка O инекаје AB произвољанпречниктогкруга.Нека je f изометријакојапресликавараванкруганасамусебетакодаје f (A)= O, f (O)= B, штаје f (k)?

2.3.Подударностуглова

Следећетврђењедајепотребнеидовољнеусловезаподударностугловауравни.

Сл. 33 (T1)Дваугла < ) pOq и < ) p ′O′ q ′ уравни суподударнаакоисамоакопостојетачке P , Q, P ′ , Q′ којеприпадајуредомкрацима Op, Oq, O′ p ′ , O′ q ′ такведаje OP = O′P ′ , OQ = O′Q′ , PQ = P ′Q′ Доказ. Доказизводимозаслучајда углови < ) pOq и < ) p ′O′ q ′,нисуопружени.Некаје P произвољнатачкакрака Op,a Q произвољнатачкакрака Oq.Какосууглови

Елементарнагеометрија

< ) pOq и < ) p ′O′ q ′,попретпоставциподударни,постојиизометрија f којапреслика-

ва < ) pOq уугао < ) p ′O′ q ′ такодаје f (O)= O′ , f (P )= P ′ ∈ O′ p ′ , f (Q)= Q′ ∈ O′ q ′ ,

причемује OP = O′P ′ , OQ = O′Q′ , PQ = P ′Q′;сл.33.

Обратно,аконакрацима Op, Oq, O′ p ′ , O′ q ′ постојетачке P , Q, P ′ , Q′ такве

даје OP = O′P ′ , OQ = O′Q′ , PQ = P ′Q′,таданаосновутврђења(T3),стр.92

постојитачноједнаизометрија f таквадаје f (O)= O′ , f (P )= P ′ , f (Q)= Q′

Стогаје f (< ) pOq)= < ) p ′O′ q ′,тј. < ) pOq

Напомена1. Заподударнеуглове,каоизаподударнедужи,кажемодасуједнакииуместо ∼

. Сл. 34

Очигледноједазасвакиугао < ) pOq исвакуполуправу O′ p ′ некеравнипостоји,саодређенестранеправекојасадржиполуправу O′ p ′ тачноједнаполуправа O′ q ′ таквадаје < ) pOq = < ) p ′O′ q ′;сл.34.

Доказујемојошдватврђења,иакосумање-вишеочигледна.

(T2)Акосудвауглаједнакаињиховинапоредниугловисуједнаки.

Доказ.Некасу < ) pOq и < ) p ′O′ q ′ дваједнакауглаинекасу < ) qOr и < ) q ′O′ r ′ њиховинапоредниуглови;сл.35.Собзиромдаје < ) pOq = < ) p ′O′ q ′,постојиизометрија којапресликава < ) pOq на < ) p ′O′ q ′.Таизометрија,међутим,пресликаваправукоја садржиполуправу Op направукојасадржиполуправу O′ p ′,даклеиполуправу Or наполуправу O′ r ′.Тозначидатаизометријапресликаваугао < ) qOr на < ) q ′O′ r ′ ,а тозначидасутадвауглаподударна,тј.једнака.

Сл. 36 Сл. 37

(T3)Унакрсниугловисуједнаки.

Доказ. Некасу < ) pOq и < ) p ′Oq′ дваунакрснаугла;сл.36.Угао < ) qOp′ истовременојенапореданиуглу < ) pOq иуглу < ) p ′Oq′,пакакојеочигледно < ) qOp′ = < ) qOp′ , наоснову(T2)закључујемо: < ) pOq = < ) p ′Oq′ Некасу < ) pOq и < ) p ′O′ q ′ дваугла,причемууобластиугла < ) pOq постојиполуправа Or таквадаје < ) pOr = < ) p ′O′ q ′;сл.37.Тадакажемодајеугао < ) p ′O′ q ′ мањи

2. Подударност 95

одугла < ) pOq,илидајеугао < ) pOq већи одугла < ) p ′O′ q ′ ,ипишемо < ) p ′O′ q ′ << ) pOq, односно < ) pOq>< ) p ′O′ q ′

Угаокојијеједнаксвомнапоредномуглуназивасеправугао.Угаокојијемањи одсвогнапоредногугланазивасе оштар угао,аугаокојијевећиодсвогнапоредногугланазивасе туп угао.

Јасноједасусвиправиугловимеђусобноједнаки.

Задвеправе a и b којимаприпадајукраци Op и Oq правогугла < ) pOq кажемо дасумеђусобно нормалне ипишемо a ⊥ b;сл.38.Сматрамодасуследећатврђења очигледна.

(T4)Некаје a праваи A тачкаизванње.Тадапостојитачноједнаправа b која садржитачку A инормалнајена a;сл.39.

(T5)Некаје a праваравни α инека A ∈ a.Тадауравни α постојитачноједна права b којасадржитачку A инормалнајена a;сл.40.

Кажемодаје b нормалана a,доксепресечнатачкаправих a и b,тачка B,назива подножјенормале из A на a;сл.39.

Некасу a и b двеправекојесесекуикојенисунормалне.Онеодређујудва параунакрснихуглова;пароштрихипартупихуглова.Билокојиодтихоштрих углованазивасе угаоизмеђуправих a и b иозначавасе < ) (a,b).Кажемоидаправе a и b захватајуугао < ) (a,b)

Задвепаралелнеправесепонекадкажеда захватајунула-угаоилиопруженугао.

Некаје S средиштедужи AB.Нормалана

праву AB којасадржитачку S називасе симетраладужи AB.

Некасу < ) sO′t и < ) uO′′ v датиуглови.Акоје < ) pOq угаоукомепостојиполуправа Or таквада је < ) pOr = < ) sO′t и < ) rOq = < ) uO′′ v,тадакажемодајеугао < ) pOq збир углова < ) sO′t и < ) uO′′ v и пишемо: < ) pOq = < ) sO′t + < ) uO′′ v;сл.41.Такође кажемодајеугао < ) sO′t разлика углова < ) pOq и < ) uO′′ v,илидајеугао < ) uO′′ v разликауглова < ) pOq и < ) sO′t ипишемо: < ) sO′t = < ) pOq < ) uO′′ v, < ) uO′′ v = < ) pOq < ) sO′t.

Сл. 41

Елементарнагеометрија

Угао < ) pOq je производ природногброја n

.Утомслучајукажемоидајеугао < ) sO′t n-тидеоугла < ) pOq ипишемо: < ) sO′t = 1 n < ) pOq

Симетралауглајеправакојапролазикрозтемеуглаиделиугаонадваједнака дела.

Уводимосадастепенумеруугла.Заугаокојијеједнак 90.делуправогугла кажемодаима једанстепен,уознаци 1◦,илидајеједнакједномстепену.Дакле, правугаоима 90◦,опружен 180◦,апунугаоима 360◦.Конвексанугаонеможе имативишеод 180◦ Акосу α и β угловизакојеважи α + β =90◦,кажемодасуто комплементни углови.Акоје α + β =180◦,ондакажемодасууглови α и β суплементни. Напомена2. Уводимоијединицезамерењеугловакојесумањеодстепена.Шездесети деостепенаназивасе минут,ашездесетидеоминута секунд.Дакле,једанминут,уознаци 1′ , једнакје 5400.делуправогугла,аједансекунд,уознаци 1′′,једнакје 324000.делуправогугла. Пример1. Некаје α угаочијајемера 32 степена, 15 минутаи 27 секунди,штопишемо: 32◦15′27′′.Какоје

32 90 + 15 5400 + 27 324000 = 4301 12000 , закључујемодаугао α износичетирихиљадетристотинеиједан 12000.деоправогугла.

Сл. 42

Напомена3. Акоје < ) pOq произвољанугаоиако образујеморедомуглове 2< ) pOq, 3< ) pOq, ,јасноједа ћемокад-тадпремашитипунугао.Насл.42приказанису углови < ) pOq, 2< ) pOq, 3< ) pOq, 4< ) pOq.Међутим,акоуглу < ) pOt додамојошједанугао < ) pOq добијамонештоштоу стваринијеугао(премаусвојенојдефиницији);сл.43.Због тогаширимодефиницијуугланаследећиначин.Сматрамо даугаоналинија pOq недефинишесамодваугла(упрвобитноуведеномсмислуречи),већи новеугловекојисусастављениод n пунихугловаионихобичних,старихуглова < ) pOq.Тако, например,насл.43угаономлинијом pOu одређенјеиугао 5< ) pOq којијесастављенодједног пуногуглаи,,обичног“угла < ) pOu. Овопроширењепојмауглаускладујесастепеноммеромугла.Рецимо,акоугао < ) pOq на сл.42има

угао(од 360◦)и,,обичан“угаоод 15◦

Сл. 43

2. Подударност 97

Питања

1. Кадкажемодајеједанугаомањиоддругог?

2. Штајеугаоизмеђуправихкојесесеку,аштајеугаоизмеђупаралелнихправих?

3. Какоседефинишузбириразликадваугла?

4. Штасустепен,минутисекунд?

5. Штасукомплементни,аштасуплементниуглови?

6. Какосепроширујепојамугла?Штајеугаоод 750◦?

Задаци

1. Угаојепетпутавећиодсвогнапоредногугла.Коликијетајугао?

2. Једанодчетириуглакојеобразујудвеправекојесесекујечетвртинаправогугла.Колики суосталиуглови?

3. Углови α и β сукомплементни.Наћиугао

плементни.

4. Одредитидвасуплементнауглатакодајеједанодњихједнак 2 3 другог.

5. Акосу α и β двакомплементнаугла,коликијезбирњиховихсуплементнихуглова?

6. Угао α већијеодсвогкомплементногуглазаоноликоколикојемањиодсвогсуплементногугла.Коликијетајугао?

7. Доказатидасусиметраледванапореднаугламеђусобнонормалне.

8. Доказатидасусиметралеунакрснихугловамеђусобнонормалне.

2.4.Подударносттроуглова

Уводимоследећескраћенице.Уместотроугао ABC пишемо △

.Угао < ) BAC сатеменомутачки A означавамокраће < ) A,итд. Подефиницији,дватроугла △ABC и △A′B′C′ суподударнаакопостојиизометријакојапресликаватемена A, B, C првогредомутемена A′ , B′ , C′ другог.Јасноједаје △ABC подударанса △A′B′C′ акоисамоакосуодговарајућестранице иодговарајућиугловиједнаки,тј. AB = A′B′ , BC = B′C′ , CA = C′A′ , < ) A = < ) A′ , < ) B = < ) B′ , < ) C = < ) C′.Међутим,каоштоћемовидети,задоказивањеподударности △ABC и △A′B′C′ довољноједоказатисамопотриоднаведенихшестједнакости,причемуједнаморадабудеједнакостдвестранице.Ознакетврђењакоја следесу,верујемо,јасне.

(ССС)Дватроугласуподударнаакосустраницеједногједнакестраницама другогтроугла.

Доказ.Акосу ABC и A′B′C′ дватроуглауравнитаквадаје AB = A′B′ , BC = B′C′ , CA = C′A′,таданаоснову(T3),стр.92постојитачноједнаизометријакоја тачке A, B, C пресликаваредомутачке A′ , B′ , C′,паје △ABC ∼ = △A′B′C′ (СУС)Дватроугласуподударнаакосудвестраницеињимазахваћениугао једногтроуглаједнакадвемастраницамаињимазахваћенимугломдругогтроугла.

(УСУ)Дватроугласуподударнаакосуједнастраницаинањојналеглиуглови једногтроуглаједнакиједнојстранициинањојналеглимугловимадругогтроугла.

Доказ. Некасу ABC и A′B′C′ дватроуглауравнитаквадаје AB = A′B′ , < ) A = < ) A′ , < ) B = < ) B′;сл.45.Доказаћемодаје AC = A′C′.Заиста,акопретпоставимодајерецимо AC<A′C′,тадапостојитачка C′′ таквадаје A′ C′′ C′ и AC = AC′′.Какојетачка C′′ ууглу < ) B′,закључујемодаје < ) A′B′C′′ << ) B′.С другестране,какоје AB = A′B′ , AC = A′C′′ и < ) A = < ) A′,наоснову(СУС)закључујемодаје △ABC ∼ = △A′B′C′′ ,одаклеизлази < ) B = < ) A′B′C′′ << ) B′,супротно претпоставци < ) B = < ) B′.Сличноседоказуједаније AC>A′C′,паје AC = A′C′ , инаоснову(СУС)имамо △ABC ∼ = △A′B′C′ .

(ССУ)Дватроугласуподударнаакосудвестраницеиугаонаспрамједнеод њихуједномтроуглуједнакидвемаодговарајућимстраницамаиугломудругом троуглу,аугловинаспрамдругестраницеуобатроугласуобаоштри,правиили тупи.

Доказ. Некасу ABC и A′B′C′ дватроуглауравнитаквадаје AB = A′B′ , BC = B′C′ ,и < ) A = < ) A′ ,ауглови < ) C и < ) C′ суобаоштри,правиилитупи;сл.

46.Доказујемодаје AC = A′C′.Некаје AC<A′C′.Тадапостојитачка C′′ таква

даје A′ C′′ C′ и AC = A′C′′,пајенаоснову(СУС), △ABC ∼ = △A′B′C′′ , одаклеизлази BC = B′C′′.Наоснову(ССС)закључујемо: △B′C′C′′ ∼ = △B′C′′C′ , паје < ) C′ = < ) B′C′′C′.Из △ABC ∼ = △A′B′C′′ такођеизлази < ) C = < ) B′C′′A′ ,па сууглови < ) B′C′′C′ и < ) B′C′′A′ обаоштри,правиилитупи.Какосутонапоредни углови,ониморајубитиправи.Међутим,тозначидапостоједвеправе B′C′ и B′C′′ којесадржетачку B′ икојесунормалненаправој A′C′,штојенемогућно. Сличноседоказуједанеможебитини AC>A′C′.Дакле, AC = A′C′ ,пасу троуглови △ABC и △A′B′C′ наоснову(ССС)подударни.

Помоћудоказанихставоваоподударноститроугловадоказујусемногезначајнеособинеразнихгеометријскихфигура,очемућебитиречикасније.Овде радимосамодвапримера.

Пример1. Тачка P припадасиметралидужи AB акоисамоакоје PA = PB Заиста,некаје S средиште,а s симетраладужи AB;сл.47.Ако P ∈ s,тадаимамо: PS = PS, SA = SB, < ) PSA = < ) PSB,панаоснову(СУС)закључујемо △PSA ∼ = △PSB,одакле излази PA = PB

2. Подударност 99

Обратно,акоје PA = PB,собзиромдаје PS = PS и SA = SB наоснову(ССС)имамо △PSA ∼ = △PSB,одаклеизлази PS ⊥ AB,штозначида P ∈ s

Сл. 47 Сл. 48

Пример2. Спољашњиугаонекогтроуглавећијеодсвакогнесуседногуглатогтроугла.

Заиста,акоје ABC произвољантроугао,доказаћемодајеспољашњиугаокодтемена B

већиод < ) C;сл.48.Некаје D произвољнатачкаправе AB таквадаје A B D инекаје S средиштедужи BC.Некаје T тачкаправе AS таквадаје AS = ST .Какоје CS = SB, AS = ST и < ) CSA = < ) TSB (унакрсниуглови),наоснову(СУС)закључујемодаје △CSA ∼ = △TSB,одаклеизлази < ) C = < ) CBT . Сададоказујемодајеполуправа BT уобластиугла < ) CBD.Тачке S и T сусаистестране

праве AB,јер A S T .Права BC сечедвестранице △ADT ,панаосновуПашовеаксиоме несечетрећу,штозначидасутачкe D и T саистестранеправе BC.Прематоме,тачка T јеса

онестранеправе BC сакојеје D,штозначидасе T налазиуобластиугла < ) CBD,тј.дајекрак

BT угла < ) CBT ууглу < ) CBD.Какоје < ) C = < ) CBT ,наосновудефиницијезакључујемода је < ) C<< ) CBD.Сличноседоказујеидаје < ) A<< ) CBD

Питање

1. Какогласеставови(ССС),(СУС),(УСУ),(ССУ)?

Задаци

1. Доказатидасудваправоуглатроуглаподударнаакосуимједнакекатете.

2. Доказатидасудваправоуглатроуглаподударнаакоимајуједнакехипотенузеиједан паркатета.

3. Доказатидасудваправоуглатроуглаподударнаакосуимједнакехипотенузеиједан пароштрихуглова.

4. Утроуглу ABC важи: AB = AC.Доказатидаје < ) B = < ) C

5. Утроуглу ABC важи: AB = AC.Акоje B1 средиштедужи AC,a C1 средиштедужи AB,доказатидаје BB1 = CC1

6. Утроуглу ABC некаје A1 средиштедужи BC инекасу P , Q подножјанормалаиз B

односно C направој AA1.Доказатидаје BP = CQ Унареднимзадацима ABC и A′B′C′ судватроугла, A1, B1, C1 сусредиштадужи BC, AC, AB,a D, E, F суредомподножјанормалаиз A на BC,из B

100

Доказатидасутроуглови ABC и A′B′C′ подударниакоје:

7. AB = AC, A′B′ = A′C′ , AD = A′D′ ;

8. AB = AC, A′B′ = A′C′ , < ) A = < ) A′ , BE = B′E′ , CF = C′F ′ ;

9. AB = BC = AC, A′B′ = B′C′ = A′C′ , AD = A′D′ ;

10. AB = A′B′ , < ) A = < ) A′ , CF = C′F ′ ;

Елементарнагеометрија

11. AB = A′B′ , AC = A′C′ , CF = C′F ′ ; 12. BC = B′C′ , AC = A′C′ , CF = C′F ′ ;

13. AB = A′B′ , BE = B′E′ , AD = A′D′ ; 14. < ) C = < ) C′ , BE = B′E′ , AD = A′D′ ;

15. < ) A =

17. BC = B′C′ , AB = A′B′ , CC1 = C′C′ 1; 18. AB = A′B′ , CF = C′F ′ , CC1 = C′C′ 1;

< ) A =

21. Датјетроугао ABC.Конструисанесусиметраледваспољашњаугла,кодтемена B и C,аизтрећегтемена A нормаленатесиметрале.Некасупресечнетачкетихнормалаи правекојојприпадастраница BC означене P и Q.Доказатидаје PQ = AB +BC +AC.

22. Датјеконвексанугао < ) pOq инакраку Op тачке P и P1,анакраку Oq тачке Q и Q1 тако даје O P P1 и O Q Q1 и OP = OQ, OP1 = OQ1.Доказатидајепресекдужи PQ1 и QP1 тачка S којаприпадасиметралиугла < ) pOq

23. Датесутачке A, B, C, D, E којеприпадајуједнојправој,причемује C средиштедужи AE идужи BD.Некаје n нормалана AE утачки C.Некатачке F , G ∈ n такодаје C F G.Некаседужи AF и BG секуутачки M,адужи EF и DG утачки N.Доказати датроуглови MNF и MNG имајуподвеједнакестранице.

24. Некасу k1 и k2 круговичијисуцентри O1 и O2 икојисесекуутачкама A и B.Доказати даје O1O2 симетраладужи AB

25. Некасу n1 и n2 нормаленастранице AC и BC троугла ABC.Натимнормаламаодређенесутачке D и E такодаје CD = AC и CE = BC,атачке D и B сусаразнихстрана праве AC,доксу A и E саразнихстранаправе BC.Доказатидаје AE = BD

26. Уједнојравнидатесуједнакедужи AB и CD.Далиутојравнипостојитачка S такода је △ABS ∼ = △CDS?Коликорешењаимаовајзадатак?

2.5.Диедарирогаљ

Диедарјепросторнагеометријскафигуракојаумногочему,,личи“наравнуфигуруугао.Унијадвеполуравни α и β са заједничкомграничномправом s назива се диедарскаповрш иозначавасе αsβ или βsα.Права s je ивица,аполуравни α и β су стране тедиедарскеповрши;сл.49. Очигледноједадиедарскаповршделипросторнадвадисјунктнадела(сама површнеприпаданиједном).Тискуповитачакасу диедарскеобласти одређене диедарскомповрши αsβ.

Сл. 49

Унијадиедерскеповрши αsβ иједнеоддведиедарскеобластиодређенеовом површиназивасе

јеивица диедра < ) αsβ.

2. Подударност 101

Акополуравни α и β неприпадајуистојравни,једаноддиедара < ) αsβ јеконвексан,адругиконкаван.Удаљемтекступоддиедромподразумевамоконвексан диедар,осимакониједрукчијеречено.

Каоиуслучајуугла,дефинишемосуседне(сл.50),опружене,напоредне(сл.51) и унакрсне диедре(сл.52).Дефиницијесуаналогнедефиницијамазауглове,паих изостављамо.

Сагласноопштојдефиницијиподударнихфигура,двадиедрасуподударна акопостојиизометријакојомсеједанодњихпресликаванадруги.Следећимтврђењемдајусепотребниидовољниусловизаподударностдиедара. (T1)Диедри < ) αsβ и < ) α ′ s ′β′ суподударниакоисамоаконањиховимивицама s i s ′ постојетачке A, B ∈ s, A′ , B′ ∈ s ′,анастранама sα, sβ, s ′ α ′ , s ′β′ редом тачке C, D, C′ , D′ такведаје AB = A′B′ , AC = A′C′ , AD = A′D′ , BC = B′C′ , BD = B′D′ , CD = C′D′;сл.53.

Сл. 53

Доказовогтврђењааналоганједоказуодговарајућегтврђењазауглове,видети(T1),стр.93,стимштосеовдекористи(T4),стр.95.

Сличнокаоикодуглова,доказујусетврђењаоподударностидиедаранапореднихподударнимдиедримаиоподударностиунакрснихдиедара. Прелазимосаданадефиницијурогља.Заразликуоддиедра(који,,личи“на угао),зарогаљнепостојинекираванликкоји,натајначин,,,личи“нањега. Некаје A1A2 ...An многоугаоналинијаинекаје S тачкакојанијеуњеној равни.Скупсвихполуправихсазаједничкомпочетномтачком S

)

102

Елементарнагеометрија

рогља,полуправе SA1, SA2, , SAn ивице рогља,ауглови < ) A1SA2, < ) A2SA3, , < ) AnSA1 стране или ивичниуглови рогља.

Акоје A1A2 ...An конвексанмногоугао,иодговарајућирогаљјеконвексан.

Удаљемтекстућебитиречисамооконвекснимрогљима.

Рогаљ који има n страна (или ивица) назива се n-

тострани рогаљ. Специјално, тространи рогаљ назива се триедар. На сл. 54 приказан је триедар чији је врх тачка S, чије су ивице SA1, SA2, SA3, а чије су стране (ивични углови) < ) A1SA2, < ) A2SA3, < ) A3SA1

Диедар чија ивица садржи ивицу SAi (i = 1, 2, , n)

рогља, а чије су стране полуравни које садрже стране рогља са заједничком ивицом SAi назива се диедар рогља. Важе следећа тврђења.

(T2) Сваки ивични угао триедра

Сл.54

(T3)Наспрамједнакихдиедаранекогтриедраналазесеједнакиивичниуглови,иобратно,наспрамједнакихивичнихугловатриедра,налазесеједнакидиедри.

(T4)Збирсвихивичнихугловаконвексногрогљамањијеодпуногугла(тј. мањијеод 360◦).

Пример1. Затриедарсасл.54имамо: <

< ) A3SA1

Напомена1. Акојезбиругловарогљаједнак 360◦,тадасерогаљдеформишеураван.

2.6.Нормалностправихиравни

Акоправа n продирераван α утачки P иакојенормалнанасвеправеравни α којесадржетачку P ,кажемодајеправа n нормална нараван α (n ⊥ α)илидаје раван α нормалнанаправу n (уознаци α ⊥ n).

Следећетврђење,тзв. Кошијевстав,дајекритеријумнормалностиправеи равни.

(T1)Акоправа n продирераван α утачки P иакојенормалнанадвеправе теравникојесадржетачку P ,тадаје n ⊥ α

Доказ.Некасу a и b двеправеравни α којесадржетачку P инекаје n ⊥ a, n ⊥ b.Требадоказатидаје n ⊥ c,гдеје c произвољнаправаравни α којасадржитачку P (сл.55).Некаје s произвољнаправауравни α којасечеправе a, b, c утачкама A, B, C инекасу M и N дветачкенаправој n такведаје M P N и PM = PN Какоје AP = AP , PM = PN , < ) MPA = < ) NPA (јерсуправи)закључујемодаје △APM ∼ = △APN ,паје AM = AN .Слично, △BPM ∼ = △BPN ,паје BM = BN . Такође,какоје AB = AB, AM = AN , BM = BN ,имамо △ABM ∼ = △ABN ,па је < ) MAB = < ) NAB,тј. < ) MAC = < ) NAC.Даље,имамо AC = AC, MA = NA, < ) MAC = < ) NAC,паје △MAC ∼ = △NAC,одаклеизлази MC = NC.Најзад, какоје PC = PC, MP = NP , MC = NC,имамодаје △MPC ∼ = △NPC,паје < ) MPC = < ) NPC.Дакле,углови < ) MPC и < ) NPC суједнаки,икакосунапоредни,

2. Подударност 103

Сл. 55

онисуправи,штозначи n ⊥ c.Собзиромдаје c произвољнаправаравни α која садржитачку P ,закључујемодаје n ⊥ α

Следећетврђењеобичносезове ставотринормале. (T2)Акојеправа n нормалнанараван α утачки P иакоје Q подножјенормале из P набилокојуправу a равни α,тадајеиправакојасадржимакојутачкуправе n итачку Q такођенормалнанаправу a.

Доказ. Некаје A билокојатачкаправе n,различитаодтачке P инекаје C тачкаправе a таквадаје AP = QC;сл.56.Какоје QP = QP , AP = QC, < ) APQ = < ) PQC (правиуглови),имамо △APQ ∼ = △PQC,паје AQ = PC.Међутим,садаје

AQ = PC, QC = AP , AC = AC,паје △APC ∼ = △AQC,одаклеизлази < ) APC = < ) AQC.Какоје < ) APC правугао,ињемуподударанугаојеправ,штозначи AQ ⊥ a Сл. 56 Сл. 57

Некаје α равани A тачкакојајојнеприпада.Подножјенормалеиз A на α називасе нормалнапројекција4 тачке A нараван α.Уколико A ∈ α,кажемодасе тачка A пројектујеусамусебе. 4Сличноседефинишенормалнапројекцијатачкенаправу.

104

Некаје F

Елементарнагеометрија

фигуре F нараван α

Пример1. Акоправа a

јеправа.

Пример2. Акосу a и b двемимоилазнеправе,тадапостојитачноједнаправа

Заиста,постојитачноједнараван

тачноједнараван β којасадржиправу

s,ималибисмо

праве a и b мимоилазнеправе.Дакле, α ∥ β

Некаје C произвољнатачкаправе a инекаје D њенанормалнапројекцијанараван β

Некаје c праваравни β којасадржитачку D и c ∥ a инекаје B пресечнатачкаправих b и c.

Некаје n правакојасадржитачку B и n ⊥ β.Права n сечеправу a утачки A и n ⊥ α.Стогаје n ⊥ a и n ⊥ b.Видетисл.57.

Докажимојошдаје n јединаправасанаведенимособинама.Кадабипостојалајошједна такваправа n ′,ондабиобеправе n и n ′ биленормалненаравнима α и β,пабиприпадале једнојравни.Нотадабииправе a и b припадалеједнојравни,супротнопретпоставцидасу мимоилазне.

Јединственаправа n којасечемимоилазнеправе a и b икојајенормалнанањиманазива се заједничканормала мимоилазнихправих a и b

Акоправа a нијенормалнанараван α,тадасе угаоизмеђуправе a иравни α,у

пројекцијом a ′ нараван α.Акоje a ⊥ α,тадаје < ) (

Пресекравникојајенормалнанаивицудиедрасатимдиедромјеугао.Очигледноје(аможеидаседокаже)дасусвиугловипокојимаравнинормалнена ивицудиедрасекутајдиедармеђусобноједнаки.Угаодиедрајеугаопокомема којараваннормалнанаивицудиедрасечетајдиедар.Насл.58приказанједиедар αsβ

2. Подударност 105

диедра D2 акојеугаодиедра D1

већиодугладиедра D2.Слично,диедарјеоштар, правилитуп,акојењеговугаооштар,прав,односнотуп. Дверавни α и β

којесесекуодређујудвапараунакрснихдиедара.Угаомањег одњихјеугаоизмеђуравни α и β

којиобележавамо < ) (α,β).Специјално,акосе равни α и β секутакодасусвачетиридиедракојеонеодређујуједнака(дакле, права),тадаје < ) (α,β) прав.Утомслучајукажемодасуравни α и β нормалне и

пишемо α ⊥ β

Критеријумнормалностидверавнисадржанјеуследећемтврђењу. (T3)Дверавнисунормалнеакоисамоакоједнаодтихравнисадржиправу којајенормалнанадругураван.

Доказ. Некасу α и β нормалнеравни.Докажимодапостојиправакојаприпадаравни α икојајенормалнана β.Некаје c пресечнаправаравни α и β.Некаје A произвољнатачкаправе c инекаје b праваравни β којасадржитачку A инормалнајена c.Некаједаље a праваравни α којасадржитачку A инормалнајена c.Раван γ одређенаправама a и b нормалнајенаправу c пајеугаоизмеђуправих a и b угаодиедра,аонјеправ,јерјепопретпоставци α ⊥ β.Какоје a ⊥ b и a ⊥ c, наосновуКошиевогстава(T1)закључујемодаје a ⊥ β Обратно,некасу α и β дверавникојесесекупоправој c инекаје a права равни α таквадаје a ⊥ β.Докажимодаје α ⊥ β.Некаје A тачкапродораправе a крозраван β.Некаје b праваравни β којасадржитачку A инормалнајенаправу c. Угаоизмеђуправих a и b јеугаодиедраодређеногравнима α и β.Из a ⊥ β следује a ⊥ b,тј.угаодиедрајеправ,паје α ⊥ β.

Питања

1. Кадкажемодајеправанормалнанараван?

2. КакогласиКошијевстав?

3. Какогласиставотринормале?

4. Штајенормалнапројекцијафигуре F нараван α?

5. Какоседефинишеугаоизмеђуправеиравни?

6. Штајеугаодиедра?

Задаци

1. Акосу A, B, C, D четиринекомпланарнетачкедоказатидасуправе AB и CD мимоилазне.Набројатииосталепаровемимоилазнихправих,одређениховимтачкама.

2. Некасу A, B, C, D четиринекомпланарнетачке.Акоје AB = CD и BC = AD,доказати дајеправакојасадржисредишта P и Q дужи AC и BD заједничканормаламимоилазнихправих AC и BD

3. Доказатиданепостојиправапаралелнадвемамимоилазнимправама.

4. Доказатиследећетврђење:Акосу a и b двемимоилазнеправе,тадапостоједвепаралелне равниодкојихсвакасадржипоједнуодправих a и b.

5. Некаје αsβ диедар,некаправа a припадаравникојасадржиполураван α инекаправа b припадаравникојасадржиполураван β.Некаправе a и b секуправу s редомутачкама A, B.Акоје A = B,доказатидасуправе a и b

6. Некасудиедар αsβ,праве a и b,тачке A и B

A = B,доказатидаје < ) (a,b) мањиилиједнакодугладиедра αsβ

2.7.Двакоментара

1. Наосновунаведенихаксиома(A1) (A19)немогуселогичкиизвестисве особинегеометријскихликова,тј.оненисудовољнезазаснивањегеометрије.Потребнојетомспискуаксиомадодатиитзв. аксиоменепрекидности (имаихдве) помоћукојихседоказујенпр.тврђењедаакотачка A припадаунутрашњости,а

тачка B

спољашњостикруга k,ондакруг k иправа AB имајутачнодвезаједничке тачке;сл.60.Аксиоменепрекидностинећемоуводити,јерњиховепоследице(каквајенпр.оваопресечнимтачкамаправеикруга)можемосматратиочигледним. Узгредречено,текје1882.годинеПаш(одкогапотичеиаксиома(A12))експлицитноизјавиодасегеометријанеможепрецизнозасноватибезаксиоманепрекидности.

2. Наосновусл.60заистаможемодакажемодајеочигледнодаправа AB и

круг k имајутачнодвепресечнетачке.Сдругестране,кадасенаосновусликенеко тврђењепроглашаваочигледним,ондатребабитивеомаопрезан,јерпозивањена сликуможедадоведедопогрешнихзакључака.

Пример1. Примераради,,доказујемо“дасвакитроугаоимадвеједнакестранице(тј.да јесвакитроугаоједнакокрак).

Некаје ABC произвољантроугао,некаје O пресечнатачкасиметраледужи AB исиметралеугла < ) C,инекасу P , Q, R тачкеукојиманормалеизтачке O секуправе AB, BC и AC; сл.61.

Напрвомместуимамо: OP = OP , AP = PB, < ) OPA = < ) OPB (јерсутиуглови прави),пајенаоснову(СУС), △OPA ∼ = △OPB,одаклеизлази OA = OB.Затимимамо: OC = OC, < ) ORC = < ) OQC (јерсутиугловиправи)и < ) OCR = < ) OCQ (jerje OC симетралаугла < ) RCQ).Међутим,тадаје5 < ) COR = < ) COQ,панаоснову(УСУ)закључујемода је △ORC ∼ = △OQC,одаклеизлази RC = QC и OR = OQ.Најзад,имамо OA = OB (већ доказано), OR = OQ (већдоказано)и < ) ORA = < ) OQB (обаугласуправа).Прематоме,на основу(ССУ)закључујемодаје △ORA ∼ = △OQB,одаклеизлази AR = BQ Стогаје AC = AR + RC = BQ + QC = BC,и,,доказ“језавршен. Напомена1. Логичкозакључивањеуовом,,доказу“јесасвимкоректноакосеприхвати заблудакојунамећесл.61даунутар △ABC постојитачка O којаприпадаисиметралиугла < ) C исиметралидужи AB.ВидетиЗадатак29,стр.119.

5Овдекористимочињеницукојаћекаснијебитидоказана,мадајепознатаизосновнешколе.

3.Важније особиненекихравнихфигура

3.ВАЖНИЈЕ ОСОБИНЕНЕКИХРАВНИХФИГУРА

3.1.Трансверзалниуглови

Некасу a и b двеправеуистојравниинекаје t трећаправакојасечеправе a и b.Права t сеобичноназива трансверзала правих a и b;сл.62.Свакиодосам

углова α, β, γ, δ, α ′ , β′ , γ ′ , δ′ којисуозначенинасл.62.имаследећуособину:један кракуглаприпадатрансверзали t.Затеугловекажемодасутрансверзалниуглови Ониимајуипосебнаимена. (i)Углови

(T1)Сагласниугловисуједнакиакоисамоакосунаизменичниугловиједнаки.

наизменичниуглови;сл.63.Собзиром дасууглови β и γ једнаки(јерсуунакрсни)имамо: α = β ⇔ α = γ (T2) Сагласни углови су једнаки ако и само ако су супротни углови суплементни.

Доказ. Некасу α и β сагласни,а α и δ супротниуглови;сл.63.Углови β и δ су напоредни,пасусуплементни,тј. β+δ =180◦.Стогаимамо: α = β ⇔ α+δ =180◦ , штозначидасууглови α и δ суплементни.

Следећетврђењејеосновнозатрансверзалнеуглове. (T3)Некасу a и b двеправеједнеравниинекаје t њиховатрансверзала.Тада важи:

(i) a ∥ b акоисамоакосусагласниугловиједнаки; (ii) a ∥ b акоисамоакосунаизменичниугловиједнаки; (iii) a ∥ b акоисамоакосусупротниугловисуплементни. Доказ. (i)Некасу A и B пресечнетачкеправих a и t,односно b и t,инекасу α и β двасагласнаугла.Акоправе a и b нисупаралелне,онесесекуунекојтачки C; сл.64.Међутим,тадајеугао α спољашњиугаотроугла ABC ионјевећи(видети Пример2,стр.99)одунутрашњегнесуседногугла β;значи α>β,тј. α = β.Дакле, доказалисмо:Акоправе a и b нисупаралелне,ондаје α = β.Применомзакона контрапозиције,добијамо:Ако α = β,онда a ∥ b. Требајошдадокажемоиобратнотврђење:Ако a ∥ b,онда α = β.Претпоставимодаје α = β.Утомслучајупостојиправа c којасадржитачку B икојаса

strana108

108

Елементарнагеометрија

трансверзалом t одређујеугао γ којијесагласанса α и γ = α;сл.65.Тада,наоснову

малопредоказаногтврђењаимамо: c ∥ a.Тозначидаправа b нијепаралелнаса

правом a (јернаосновуаксиомепаралелностинепостоједвеправепаралелнеса правом a којесадржетачку B изван a).Дакле,доказалисмо:Ако α = β,ондаправе a и b нисупаралелне.Применомзаконаконтрапозиције,добијамо:Ако a ∥ b,онда α =

Тврђења(ii)и(iii)непосреднесупоследицевећдоказаногтврђења(i)и(T1) односно(T2).

Пример1. Некаје < ) pOq

датиугао,некајеправа a паралелнакраку Op,аправа b краку Oq.Тадаправе a и b одређујудвапараунакрснихуглова,дакледваразличитаугла,одкојихје једанједнак,адругисуплементануглу < ) pOq;сл.66.

Овотврђењесеједноставнодоказујенаосновуособинатрансверзалнихуглова.Рецимо, насл.66правакојојприпадакрак Op јетрансверзалаправе b ињојпаралелнеправекојојприпадакрак Oq

Питање

1. Штасутрансверзални,сагласни,наизменичниисупротниуглови?

Задаци

1. Некајеједанодосамтрансверзалнихугловакојеобразујудвепаралелнеправепресечене трећомједнак 37◦43′.Израчунатиосталетрансверзалнеуглове.

2. Некаје a ∥ b инекаправа t сечеправе a и b.Акојезбирдванаизменичнаугла 271◦26′ , израчунатисветрансверзалнеуглове.

3. Симетралаједногодтрансверзалнихугловакојеобразујудвепаралелнеправепресечене трећомсечедругупаралелуподугломод 32◦55′.Израчунатитрансверзалнеуглове.

4. Нормаланапаралелнеправе a и b сечењиховутрансверзалуподугломод 17◦33′.Колики сутрансверзалниуглови?

5. У △ABC важи AC = BC, AC =2AB.Тачка M јесредиштедужи BC,a N јепресек праве AC иправекојасадржитачку M ипаралелнајестраници AB.Доказатидаје полуправа MA симетрала < ) BMN

6. У △ABC важи AC = BC.Симетрала < ) A сече BC утачки M,асиметрала < ) B сече AC утачки N,причемусетедвесиметралесекуутачки P .Доказатидаје PM = PN

7. Некаје M произвољнатачкастранице BC троугла ABC укомеје AC = BC.Некаје N тачкаправе AC таквадаје N A C и NA = BM .Акоје S пресечнатачкадужи AB и MN,доказатидаје MS = SN

strana109

3. Важнијеособиненекихравнихфигура 109

8. У △ABC некаје < ) A правинекаје S средиштедужи BC.Доказатидаје AS = BS

9. У △ABC некаје < ) A прав.Некаје D подножјенормалеиз A на BC инекаје S средиште дужи BC.Доказатидајесиметрала < ) A уједноисиметрала < ) DAS.

10. У △ABC некаје < ) A прав,некаје D подножјенормалеиз A на BC инекаје E пресечна тачкасиметрале < ) A истранице BC.Акоје < ) DAE =13◦ ,израчунати < ) B и < ) C

11. Утроуглуважи AC = BC.Праванормалнанаправу AB сечестраницу BC утачки D, аправу AC утачки E.Доказатидаје CD = CE

3.2.Паралелограм

Страницечетвороуглакојенемајузаједничкетачкеназивајусенаспрамнестранице,аугловикојинемајузаједничкикракназивајусе наспрамниуглови.Четвороугаочијесунаспрамнестраницепаралелненазивасе паралелограм

(Т1)Наспрамнестраницепаралелограмасуједнаке.

Сл. 67 Доказ. Некаје ABCD паралелограмукомеје AB ∥ CD, BC ∥ AD;сл.67.Права BD јетрансверзалапаралелнихправих AB и CD, паје < ) ABD = < ) BDC.Права BD јетрансверзалаипаралелнихправих AD и BC,паје < ) ADB = < ) DBC.Стогасу,наоснову(УСУ)троуглови ABD и CDB подударни,одаклеизлази AB = CD, AD = BC.

(Т2)Четвороугаоукомесунаспрамнестраницеједнакејепаралелограм. Доказ. Некаучетвороуглу ABCD важи AB = CD, BC = AD;нацртатислику.Тадасу,наоснову(ССС)троуглови ABD и CDB подударни,паје < ) ABD = < ) CDB.Какосутонаизменичниугловитрансверзале BD правих AB и CD,закључујемодаје AB ∥ CD.Сличноседоказуједаје BC ∥ AD,штозначидаје ABCD паралелограм.

(Т3)Четвороугаоукомесудвенаспрамнестраницепаралелнеиједнакеје паралелограм.

Доказ.Некаучетвороуглу ABCD важи AB ∥ CD и AB = CD;нацртатислику.Тадаје < ) ABD = < ) CDB,пасунаоснову(СУС)троуглови ABD и CDB подударни,одаклеизлази < ) ADB = < ) CBD.Тиугловисунаизменичнизатрансверзалу BD правих BC и AD,паје BC ∥ AD,штозначидаје ABCD паралелограм. Пример1. Дијагоналепаралелограмасеузајамнополове.Дајемосамоскицудоказа;видетисл.68.Имамо AB = CD, < ) BAE = < ) DCE, < ) ABE = < ) CDE,панаоснову(УСУ), имамо △ABE ∼ = △CDE,одаклеизлази AE = CE, BE = DE

110

Елементарнагеометрија

Напомена1. Наосновудефиницијепаралелограманепосредносеизводидасунаспрамниугловиједнаки.

Понављамонекепознатеназиве.Акосусвиугловипаралелограмаправи,тај паралелограмје правоугаоник.Акосусвестраницепаралелограмаједнаке,паралелограмје ромб.Акосусвиугловипаралелограмаправи,асвестраницеједнаке, паралелограмје квадрат

Напомена2. Подсећамосеименанекихчетвороугловакојинисупаралелограми.Четвороугаочијесудвенаспрамнестраницепаралелне,адругедвенису,називасе трапез;сл.69. Паралелнестранице AB и CD су основице,анепаралелнестранице AD и BC су краци трапеза.

Четвороугаоукомесудвесуседнестраницеједнакеињиманаспрамнестраницетакође једнаке,алисвечетиристраниценисуједнаке,називаседелтоид.Насл.70приказанједелтоид ABCD гдеје AB = BC, CD = AD и BC = CD

Сл. 70 Сл. 71

Пример2. Некаје ABCD трапез,причемује AB ∥ CD.Акосу P и Q средиштастраница BC и AD,тадаје PQ ∥ AB и PQ = 1 2 (AB + CD)

Заиста,некаје EF ∥ AD,нека Q ∈ EF ,причемутачке E и F припадајуправама AB, односно CD;сл.71.Имамо: BQ = CQ, < ) EBQ = < ) FCQ (јерсунаизменичнитрансверзални углови), < ) EQB = < ) FQC (јерсуунакрсни),панаоснову(УСУ)закључујемодаје △EBQ ∼ = △FCQ,одаклеизлази CF = EB и EQ = QF

Даље,собзиромдаје AEFD паралелограм,важи AE = DF и AD = EF ,пакакосу P и Q средиштатихдужи,имамо AP = EQ.Стогаје AEQP паралелограм,паје PQ = AE

и PQ ∥ AE,тј. PQ ∥ AB.Најзад,имамо 2PQ = AE + DF = AE +(DC + CF )= AE + CD + EB =(AE + EB)+ CD = AB + CD

Напомена3. Дуж PQ изпретходногпримераназивасе средњадуж трапеза ABCD

Питања

1. Штасунаспрамнестранице,аштанаспрамниугловичетвороугла?

2. Акосуунекомчетвороуглунаспрамнестраницепаралелне,далионеморајубитиједнаке?Обратно,акосунаспрамнестраницечетвроуглаједнаке,далиморајубитипаралелне?

3. Акосудвенаспрамнестраницечетвороуглапаралелнеиједнаке,далиистоважииза другедвенаспрамнестраницетогчетвороугла?

4. Штајесредњадужтрапеза?

3. Важнијеособиненекихравнихфигура 111

Задаци

1. Доказатидаседијагоналепаралелограмаполове.

2. Доказатидасудијагоналеромбамеђусобнонормалне.

3. Доказатидасуугловинаједнојосновициједнакокракогтрапезаједнаки.

4. Доказатидасудијагоналеједнакокракогтрапезаједнаке.

5. Доказатидасудијагоналеделтоидамеђусобнонормалне.

6. Некасу P и Q тачкенадијагонали AC паралелограма ABCD такведаје AP = QC Доказатидајечетвороугао PBQD паралелограм.

7. Настраницама AB, BC, CD и DA паралелограма ABCD одређенесуредомтачке N, K, L, M такведаје BN = BK = DL = DM.Доказатидајечетвороугао NKLM паралелограм.

8. Акосудијагоналетрапезаједнаке,доказатидајетрапезједнакокрак.

9. Доказатидасесиметраледваунутрашњаугланакракутрапезасекуподправимуглом идањиховапресечнатачкаприпадасредњојдужитрапеза.

10. Акоседијагоналетрапезасекуподправимуглом,ондајевисинатрапезаједнакањеговој средњојдужи.Доказатиовотврђење.

11. Некаје ABCD паралелограм.Некаје K тачкаправе BC таквадаје AB = AK инекаје L тачкаправе AB таквадаје BC = CL.Доказатидаје DK = DL

12. Доказатидасудватрапезаподударнаакосуимодговарајућестраницеједнаке.

3.3.Троугаоикруг

Утроуглу ABC углове < ) A, < ) B, < ) C честоозначавамо α, β, γ,астранице BC, AC, AB честоозначавамо a, b, c;сл.72.

Сл. 72

Сл. 73

(T1)Спољашњиугаотроуглаједнакјезбирунесуседнихунутрашњихуглова тогтроугла.

Доказ. Некаје ABC произвољантроугаоинекајетачка D таквадаје A B D;сл.73.Доказаћемодаје < ) CBD = α + γ Каоштознамо, < ) CBD>α,паууглу < ) CBD постојиполуправа Bp инањој тачка E таквадаје < ) EBD = α.Наоснову(T3),(i),стр.107тозначидасуправе AC и BE паралелне,паје < ) CBE = γ (наизменичниуглови).Дакле, < ) CBD = < ) EBD + < ) CBE = α + γ

(T2)Збирунутрашњихугловапроизвољногтроуглаизноси 180◦ .

112

Елементарнагеометрија

Доказ. Користимосеознакамауведенимудоказупретходногтврђењаисликом73.Имамо < ) CBD = α + γ.Сдругестране,углови < ) CBD и β сунапоредни, паје < ) CBD + β =180◦.Одатлеизлази α + β + γ =180◦

Наосновупретходногтврђењавидимодасудвауглабилокогтроугласигурно оштри.Акојеитрећиугаооштар,троугаоје оштроугли,акојетрећиугаоправ,он је правоугли,аакојетуп,онје тупоугли троугао.

Пример1. (СУУ)Дватроугласуподударнаакосуједнастраницаибилокојадваугла једногтроуглаједнакиједнојстранициидвамаугловимадругог.

Заиста,акосудвауглаједногтроуглаједнакидвамаугловиманекогдругогтроугла,онда јенаоснову(T2)трећиугаопрвогтроуглаједнактрећемуглудругогтроугла.Акоони,узто, имајуипоједнуједнакустраницу,онданаоснову(УСУ)закључујемодасуподударни.

Пример2. Тачка M припадасиметралиугла < ) pOq акоисамоакосунормалнедужииз

тачке M накраке Op, Oq једнаке.

Заиста,некаје s симетралаугла < ) pOq;сл.74,нека M ∈ s инекасу P , Q подножјанормала

из M редомнакраке OP , OQ.Тадаје < ) MOP = < ) MOQ, < ) MPO = < ) MQO (јерсуправи)и

какоје OM = OM,наоснову(СУУ)закључујемодаје △MPO ∼ = △MQO,паје MP = MQ Обратно,некаје MP = MQ.Собзиромдасууглови < ) MPO и < ) MQO правиионису једнаки,ауглови < ) POM и < ) QOM суоштри.Наравно,имамои OM = OM,панаоснову (ССУ)закључујемодаје △MPO ∼ = △MQO,одаклеизлази < ) POM = < ) QOM ,штозначида M ∈ s

Пример3. Некаје < ) pOq угаоинекаје O′ тачкакојаприпадањеговојобласти.Акоје O′ p ′ полуправанормалнанакрак Op,a O′ q ′ полуправанормалнанакрак Oq,ондаје < ) p ′O′ q ′ суплементануглу < ) pOq.Заиста,некасу α, β, γ, δ угловиозначенинасл.75.Тада,собзиромда је Op ⊥ O′ p ′ , Oq ⊥ O′ q ′ ,имамо:

Међутим, < ) pOq

=180◦ Уопште,акосу < ) pOq и < ) p ′O′ q ′ угловисанормалнимкрацима,онисуилиједнаки(сл. 76)илисуплементни.

Пример4. Утроуглу ABC важи: a = b ⇔ α = β.

Заиста,некаје a = b инекаје D средиштестранице AB;сл.77.Тада,наоснову(ССС) имамо: △CDA ∼ = △CDB,одаклеизлази α = β.Обратно,некаје α = β инекаје D подножје нормалеиз C на AB;сл.77.Тадаје < ) ADC = < ) BDC (јерсуправи),панаоснову(

CDA ∼ = △CDB,одаклеизлази a = b Напомена1. Троугаокојиимадвеједнакестраниценазивасе

)имамо

3. Важнијеособиненекихравнихфигура 113

Пример5. Акоугловеједнакокракогтроуглаозначимо α, α, β,ондаје 2α + β =180◦ , тј. 2α =180◦ β< 180◦ ,одаклеизлази α< 90◦,штозначидасуједнакиугловиутроуглу оштри.

Пример6. Некаје p правакојасечекругсацентром O утачкама A и B.Оддванапоредна углакојаобразујуправе p и OA једанјеоштар,адругитуп.Заиста,собзиромдаје △OAB

једнакокрак,овојенепосреднапоследицаПримера5.Одавдеизлазидаакотангента t имаса кругом k додирнутачку A,тадаје OA ⊥ p

Пример7. Некаје T тачкаизванкруга k чијијецентар O.Тадапостоједветангентена круг k којепролазекрозтачку T .Некасу P и Q њиховедодирнетачкесакругом k;нацртати слику.Дужи TP и TQ,којесеназивају тангентнедужи из T на k,суједнаке.Заиста,како је OP = OQ, OT = OT , < ) OPT = < ) OQT (јерсуправиуглови),наоснову(ССУ)имамо △OPT ∼ = △OQT ,одаклеизлази TP = TQ

(T3)Утроуглу ABC важи: a>b ⇔ α>β Доказ.Акоје a>b,тадапостојитачка D таквадаје B D C идаје CD = b; сл.78.Тадаје △ACD једнакокрак,паје < ) CAD = < ) CDA = φ.Из B D C излази даје D уобластиугла α,паје α>φ.Сдругестране, φ јеспољашњиугаотроугла ABD,паје φ>β.Стогаје α>β.

Обратно,некаје α>β.Тада,наосновуПримера1,неможебити a<b.Када бибило a = b,ондаби,наосновувећдоказаногтврђењабило α = β,супротно претпоставци.Остаједаклесамотрећамогућност: a>b. (T4)Упроизвољномтроуглузбирдвестраницејевећи,аразликадвестраницејемањаодтрећестранице.

Доказ. Некаје ABC троугаоукомејe a b c.Тадајеочигледно a + b>c и a + c>b,паостајејошдаседокаже: b + c>a.

Некаје D тачкатаквадаје C A D и AD = AB = c;сл.79.Троугао ADB јеједнакокрак,паје < ) ADB = < ) ABD.Стогау △CBD важи: < ) CDB<< ) CBD,па јенаоснову(T3), BC<CD,тј. a<b + c Изовепоследњенеједнакостиодмахизлази: a b<c и a c<b,докје неједнакост b c<a очигледна(збогпретпоставке a b c). Напомена2. Наосновупретходногтврђењазакључујемодазапроизвољнетритачке A, B, C важи: AB+BC AC,стимштоједнакостнаступасамоакоје A B C.Ованеједнакост сеназива неједнакосттроугла

strana114

114

Елементарнагеометрија

(T5) Симетралестраницатроугласекусеуједнојтачки. Доказ. Некасу s1, s2, s3 симетралестраница AB, BC и AC троугла ABC и некасеправе s1 и s2 секуутачки O;сл.80.Какотачка O припадасиметралидужи AB,имамо OA = OB (видетиПример1,стр.98),акако O припадаисиметрали дужи BC имамо OB = OC.Стогаје OA = OC,паопетнаосновуПримера1, стр.98закључујемодатачка O припадаисиметрали s3 дужи AC.Дакле,светри симетралесесекуутачки O

Сл. 80 Сл. 81

Какосутачке A, B, C једнакоудаљенеодтачке O,онеприпадајуједномкругу; тојекруг описан око △ABC.Тачка O је центарописаногкруга (T6)Симетралеугловатроугласекусеуједнојтачки. Доказ. Некасу s1, s2, s3 симетралеуглова < ) A, < ) B, < ) C троугла ABC инекасе симетрале s1 и s2 секуутачки S;сл.81.Некасу D, E, F подножјанормалаизтачке S направе AB, BC и CA.Какотачка S припадасиметралиугла < ) A,наоснову Примера2,стр.112имамо SF = SD,асобзиромдаприпадасиметралиугла < ) B имамо SD = SE.Стогаје SE = SF ,паопетнаосновуПримера2,стр.112, закључујемодатачка S припадаисиметрали s3 угла < ) C.Дакле,светрисиметрале секусеутачки S.

круг уписан у △ABC.Тачка S je центаруписаногкруга. Напомена3. Приметимодасу странице △ABC тангентеуписаног круга.

82 Какосутачке D, E, F једнакоудаљенеодтачке S,оне припадајуједномкругу;тоје

Некаје A′ подножјенормалеизтемена A троугла ABC направу BC.Дуж AA′ назива се висина троуглакојаодговарауглу < ) A,илистраници a,и означавасе ha.Сличноседефинишувисинетроугла hb, hc (T7)Правекојимаприпадајувисинетроугласекусеуједнојтачки.

Сл.

3. Важнијеособиненекихравнихфигура 115

Доказ.Некасу A′ , B′ , C′ подножјанормалаизтемена A, B, C троугла ABC на странице BC, AC и AB.Некаје A1B1C1 троугаотакавда C ∈ A1B1 и AB ∥ A1B1, A ∈ B1C1 и BC ∥ B1C1, B ∈ A1C1 и AC ∥ A1C1;сл.82.

Какоје AA′ ⊥ BC и BC ∥ B1C1,закључујемодаје AA′ ⊥ B1C1.Даље, < ) CBA = < ) C1AB,јерсунаизменичниуодносунатрансверзалу AB паралелних

правих BC и B1C1.Слично, < ) CAB = < ) ABC1,панаоснову(УСУ)закључује-

модаје △ABC ∼ = △BAC1.Насличанначиндобијамо △ABC ∼ = △CB1A,паје

△CB1A ∼ = △BAC1,одаклеизлази B1A = AC1.Дакле A јесредиштедужи B1C1.

Какоје AA′ ⊥ B1C1,закључујемодаje AA′ симетраластранице B1C1.Истоважи

изаправе BB′ , CC′;наиме,правекојимаприпадајувисине △ABC сусиметрале страница △A1B1C1,пасе,наоснову(Т5)секууједнојтачки H.

Татачка H називасе ортоцентар троугла ABC.Троугао A′B′C′ називасе педалнитроугао троугла ABC (T8)Некасу M , N средиштастраница AC, BC троугла ABC.Тада MN ∥ AB и MN = 1 2 AB

Доказ. Насл.83приказанје △ABC идуж MN гдеје AM = MC, BN = NC.Некаправа крозтачку N паралелнастраници AC сечестраницу AB утачки D,инекаправакрозтачку C паралелнастраници AB сечеправу DN утачки E Собзиромдаје < ) DBN = < ) ECN (наизменичниугловитрансверзале BC паралелнихправих AB и CE), < ) CNE = < ) BND (унакрсниуглови)

и BN = NC (претпоставка),наоснову(УСУ) видимодаје △NCE ∼ = △NBD,паје CE = DB

и DN = NE

Сл. 83

Собзиромдаје AD ∥ CE, AC ∥ DE,четвороугао ADEC јепаралелограм,па је AC = DE.Међутим, AM = MC и DN = NE,паје AM = DN (јерсуполовине једнакихдужимеђусобноједнаке).

Какоје AM = DN и AM ∥ DN ,четвороугао ADNM јепаралелограм,па

је MN = AD, MN ∥ AD,тј. MN ∥ AB.Такођеје AD = CE,пакакосмовећ доказалидаје CE = DB,имамо AD = DB,дакле AD = 1 2 AB Међутим, MN = AD,паје MN = 1 2 AB Напомена4. Дужкојаспајасредиштадвестраницетроугланазивасесредњадужтроугла.

Акосу A1, B1, C1 средиштастраница BC, AC, AB троугла ABC,ондаседужи AA1, BB1, CC1 називају тежишнедужи △ABC ичестосеозначавају ta, tb, tc (T9)Акоје T пресечнатачкатежишнихлинија AA1, BB1 троугла ABC,тада је AT =2TA1, BT =2TB1. Доказ. Некасу P и Q редомсредиштадужи AT и BT ;сл.84.Дуж PQ спаја средиштастраница AT , BT троугла ABT ,паје,наосновупретходногтврђења PQ ∥ AB и PQ = 1 2 AB. Истотако,дуж A1B1 спајасредиштастраница AC, BC троугла ABC,паје B1A1 ∥ AB и B1A1 = 1 2 AB Одатледобијамо: PQ ∥ B1A1 и

116

Сл. 84

Елементарнагеометрија

Сл. 85

PQ = B1A1,пајечетвороугао PQA1B1 паралелограмињеговедијагонале PA1

и B1Q сеполове,паје PT = TA1 и B1T = TQ.Kakoje AP = PT ,добијамо AT = AP + PT =2PT =2TA1 ислично, BT =2TB1 (T10)Тежишнедужитроугласекусеуједнојтачки. Доказ. Некасетежишнедужи AA1 и BB1 троугла ABC секуутачки T инека је C1 средиштестранице AB;сл.85.Собзиромдаје AT =2TA1,имамо AT + TA1 =3TA1,тј. AA1 =3TA1 Некасетежишнедужи AA1 и CC1 секуутачки S (= T ).Тадаје,истокаои

раније, AA1 =3SA1,паје TA1 = SA1,штојенемогуће.Дакле, S = T . Пресечнатачка T тежишнихдужитроугланазивасе тежиште троугла. Напомена5. Центриописаногиуписаногкруга,затимортоцентаритежиштеназивају се значајнетачке троугла.

Доказујемосаданекеособиневезанезакруг. Конвексанугаочијејетеменакругу k,акрацисекукруг,називасе периферијскиугао круга.Акокрацисекукругутачкама A и B иаколук ABприпадатом углу,кажемодајеугао надлуком AB.

(T11)Периферијскиугаокругаједнакјеполовиницентралногугланадистим луком.

Доказ. Акоје < ) ABC периферијскиугаокруга k чијијецентартачка O,тада је < ) AOC централниугаонадистимлуком AC.Требаразликоватитрислучаја:(i)

тачка O јеууглу < ) ABC;(ii)тачка O припадаједномкракуугла < ) ABC;(iii)тачка O јеизван < ) ABC.

Случај(i);сл.86.Некаправа BO сечекругутачки D.Какоје OA = OB,троугао OAB јеједнакокрак,паје < ) ABO = < ) BAO.Сдругестране, < ) AOD јеспољашњиугао △ABO,паје < ) AOD = < ) ABO + < ) BAO =2< ) ABO.Истотакоје < ) DOC =2< ) OBC.Стогаје < ) AOC = < ) AOD + < ) DOC =2< ) ABO +2< ) OBC = 2< ) ABC,тј. < ) ABC = 1 2 < ) AOC. Случај(ii)јесасвимједноставан,јерје < ) AOC спољашњиугао △OBC;сл.87. Услучају(iii),сл.88,имамо: < ) DBA = 1 2 < ) DOA, < ) DBC = 1 2 < ) DOC,паје < ) ABC = < ) DBC < ) DBA = 1 2 < ) DOC 1 2 < ) DOA = 1 2 < ) AOC

3. Важнијеособиненекихравнихфигура 117

Сл. 86

Пример8. Периферијскиугаонадполукругомјеправ;сл.89. Пример9. Свипериферијскиугловинадистимлукомсуједнаки,јерјесвакиодњихједнакполовинизаједничкогцентралногугланадтимлуком;сл.90.Важииопштијетврђење: периферијскиугловинадједнакимлуковимасуједнаки. Сл. 89 Сл. 90

Пример10. Некаје AB тетива,а t тангентакруга k утачки A инекаје α угаоизмеђу тетиве AB итангенте t којисадржилук AB.Тадајепериферијскиугаонадлуком AB једнак углу α.Заиста,некаје AC пречниккруга k;сл.91.Тадасууглови α и < ) BAC комплементни, тј. α + < ) BAC =90◦.Међутим, △ABC јеправоуглисаправимугломкодтемена B,паје < ) ACB + < ) BAC =90◦.Изоведвеједнакостиизлази < ) ACB = α

Питања

1. Какогласистав(СУУ)?

2. Акосудвестраницетроуглаједнаке,штасеможерећиоугловиманаспрамњих?Акоје једнастраницатроуглавећаоддруге,штасеможерећиоугловиманаспрамњих?

3. Штајенеједнакосттроугла?

4. Далисеокосвакогтроугламожеописатиидалисеусвакитроугаоможеуписатикруг? Какосеодређујуцентритихкругова?

5. Штајеортоцентар,аштатежиштетроугла,икакосеодређују?

6. Којијеодноспериферијскогицентралногуглакруганадистимлуком?

Елементарнагеометрија

Задаци

Поредвећуведенихстандарднихознаказаелементетроугла ABC,наводимојошнекекојеће секористити.Висинетроугла ABC изтемена A, B, C

означаваморедом: ha, hb, hc.Тежишне дужитроугла ABC којепролазекрозтемена A, B, C означаваморедом: ta, tb, tc

1. Датје △ABC укомеје α =73◦ и β =44◦.Израчунати:(i)угао γ;(ii)угаокојиобразују симетралаугла α исиметралаугла γ;(iii)угаоизмеђусиметралеугла β ивисине ha;(iv) угаокојиобразујусиметралаугла γ ивисина hc

2. У △ABC датјеугао γ иоштаругао φ подкојимсиметралаугла α сеченаспрамнустраницу.Одредитиуглове

3. Симетраледваунутрашњауглатроугласекусетакодајеједанодунакрснихугловаједнактрећемуглутроугла.Коликијетајугао?

4. Угаонаосновициједнакокракогтроугладвапутајевећиодуглаприврху.Доказатида симетралаугланаосновициразлажедатитроугаонадваједнакокракатроугла.

5. Некаје D подножјенормалеизтемена A једнакостраничног △ABC настраницу BC Некаје E тачкаправе AD таквадаје E A D и EA = BC.Доказатидасу < ) BEC и < ) BAC комплементниуглови.

6. Доказатидајеугаокојиобразујувисинаисиметралауглакојеполазеизистогтемена троуглаједнакполуразлицидругадвауглатроугла.Доказатизатимдајеонједнакиуглу којиобразујунаспрамнастраницаисиметраласпољашњегуглаизпоменутогтемена.

7. У △ABC имамо: β =30◦ , γ =15◦.Некаје D тачкадужи BC таквадаје AD ⊥ AC Доказатидаје 2AB = CD

8. Датјеправоугаоник ABCD.Нормалаизтемена A надијагоналу BD сечетудијагоналу утачки M такодаје < ) BAM =3< ) MAD.Израчунатиугаоизмеђутенормалеидруге дијагонале AC

9. У △ABC свиугловисуоштри,а AD и CE сувисинекојесесекуутачки H.Акоје AB = CH,израчунати < ) ACB

10. У △ABC симетралаугла α сечестраницу BC утачки D.Некаје E тачканастраници AC таквадаје < ) EDC = α.Доказатидаје BD = DE

11. Некасу AD и BE висине △ABC.Доказатидаје < ) DAC = < ) EBC

12. Акосу AD и BE висине △ABC,доказатидаје < ) C = < ) ABE + < ) BAD

13. Некаје H ортоцентароштроуглог △ABC инекасу M, N, P , Q редомсредиштадужи BH, CH, AC и AB.Доказатидајечетвороугао MNPQ правоугаоник.

14. Доказатидасусредиштастраницаправоугаоникатеменаромба.

15. Доказатидасусредиштастраницаромбатеменаправоугаоника.

16. Доказатидасусредиштастраницаједнакокракогтрапезатеменапаралелограма.Може лиовајпаралелограмдабудеквадрат?

17. Доказатидасудужикојеспајајусредиштанаспрамнихстраницаделтоидаједнаке.

18. Некаје ABCD паралелограминекасу P , Q, R средиштастраница AB, BC, CD.Доказатидадужи AR и CP ,атакођеидужи AQ и AR деледуж BD натриједнакадела.

19. Доказатидасусредиштастраницаиподножјебилокојевисиненекогтроуглатемена једнакокракогтрапеза.

20. Некасредњадужтрапезасечедијагоналетрапезаутачкама P и Q.Доказатидаједуж PQ једнакаполуразлициосновицатрапеза.Укаквомодносуморајубитиосновицетрапезаакотачке P , Q делесредњудужтрапезанатриделатакодајеједанједнакзбиру другадва?

strana119

3. Важнијеособиненекихравнихфигура 119

21. Спољашњиугаоједнакокракогтроуглаје 72◦.Израчунатиугаоизмеђувисинеисиметралеуглакојеполазеизнекогтеменаосновице.

22. Акосеспољашњиугаокодтемена A повећаза 35◦ ,аспољашњиугаокодтемена B смањи за 20◦ ,тадасеунутрашњиугаокодтемена C троугла ABC повећазасвојучетвртину. Израчунати < ) C.

23. Уоштроугломтроуглу ABC некаје CD његовависина,а CE симетралаугла < ) C која сече AB утачки E.Некаје EF висина △AEC.Акоје < ) ECD =20◦ и < ) CEF =50◦ , израчунатиуглове △ABC.

24. Уједнакокракомтроуглу △ABC чијијеугаонаспрамоснове AB једнак 80◦,датајетачка S,таквадаје < ) BAS =10◦ и < ) ABS =30◦.Израчунати < ) ACS

25. Уравниправоуглогтроугла ABC конструисанајеправа p којајенормалнанатежишну дуж AD такодасечекатету AC утачки E,аправукојојприпадакатета AB утачки F Акоје M средиштедужи EF ,доказатидаје AM ⊥ BC

26. Учетвороуглу ABCD тачка M јесредиштедужи AB,атачка N средиштедужи CD Акоје AD + BC =2MN,доказатидајечетвороугао ABCD трапез.

27. Уједнакокраком △ABC симетралакрака BC сечеосновицу AB утачки D такодаје A D B.Акоје E тачкадужи CD таквадаје CE = AD,доказатидајетроугао DBE једнакокрак.

28. Уједнакокраком △ABC имамо: γ =108◦.Некаје AE симетралаугла α инекаје E тачка дужи BC.Доказатидаједуж AE двапутавећаодвисине hc

29. Доказатидасесиметралауглаисиметраланаспрамнестраницетроугласекунакругу описаномокотогтроугла.

30. Доказатидаортоцентар H,тежиште T ицентарописаногкруга O некогтроуглаприпадајуједнојправој,причемује HT =2TO.(Оваправасеназива Ојлероваправа;видети одељак7.1,стр.162).

31. Управоугломтроуглуједаноштаругаоје 30◦.Некаје MN нормаланакатетуутачки N,a M средиштехипотенузе.Доказатидаједуж MN четвртинахипотенузе.

32. Управоугломтроуглуједаноштаругаоје 30◦.Некаје MN нормаланахипотенузуу њеномсредишту M,a N припадакатети.Доказатидаје MN трећинавећекатетедатог троугла.

33. Некаје M произвољнатачканаосновици AB једнакокраког △ABC инекасу MK и MP нормалеизтачке M накраке AC и BC.Доказатидаје MK + MP једнаковисини којаодговаракракудатогтроугла.

34. Доказатидајесвакастраница △ABC мањаод 1 2 (AB + BC + AC)

35. Доказатидајесвакатежишнадуж △ABC мањаод 1 2 (AB + BC + AC).

36. Доказатидајетежишнадуж △ABC изтемена A мањаод 1 2 (AB + AC).

37. Доказатидајезбирвисина △ABC мањиод AB + BC + AC.

38. Акозастранице △ABC важи: BC<AB<AC,доказатидаје BC< 1 3 (AB + BC + AC) <AC.

39. Доказатидајезбиртежишнихдужи △ABC већиод 1 2 (AB + BC + AC)

40. Некаје M произвољнатачкаунутар △ABC.Доказатидаје:(i) < ) AMB>< ) ACB;(ii) AC + CB>AM + MB

strana120

120

Елементарнагеометрија

41. Некаје M произвољнатачкаунутар △ABC.Доказатидаје 1 2 (AB +BC +AC) <AM + BM + CM<AB + BC + AC.

42. Датјетупоугли △ABC инањеговојнајвећојстраници BC датесутачке D и E такведа је < ) BAD = < ) BCA и < ) CAE = < ) CBA.Доказатидаје △ADE једнакокрак.

43. Угао α троугла ABC je 75◦.Полуправа Ap дели △ABC надваједнакокракатроугла. Одредитидругадваугла △ABC.(Задатакимадварешења).

44. Наједнојправојдатесутачке A, B, C, D,такодаје AB = BC = CD.Наддужима AC и CD конструисанисуједнакостраничнитроуглови ACM и CDK саистестране теправе.Доказатидаје △BKM једнакостраничан.

45. Одредитиугловетроугла ABCаковисина BD исиметрала BM угла β градеугаоод 15◦ ,аутроуглу BCM симетралаугла < ) M сечестраницу BC утачки K подугломод 75◦,причемује △BKM једнакокрак.

46. Некасу k1 и k2 двакругакојисесекуутачкама A и B.Доказатидаје AB ⊥ O1O2,где су O1 и O2 центрикругова k1,односно k2.

47. Акоседвеједнакететивеједногкругасеку,доказатидасуделовиједнететивеподударни деловимадругететиве.

48. Некасудатадваконцентричнакруга,тј.двакругасаистимцентром.Доказатидасусве тетивевећегкругакоједодирујумањикругмеђусобноједнаке.

49. Доказатидасутангентнедужиконструисанеизтачкеванкруганакругједнаке.

50. Некасу a и b паралелнеправекоједодирујукруг k инекаје c такођетангентакруга k којасечеправе a и b утачкама A и B.Доказатидакругчијијепречник AB пролазикроз центардатогкруга.

51. Датје △ABC.Кругови k1 и k2 имајупречнике AB,односно BC.Доказатидапресечна тачкакругова k1 и k2,различитаодтачке B,припадастраници AC

52. Окооштроуглог △ABC описанјекруг.Некасу M, N, P редомтачкеукојимависине којеполазеизтемена A, B, C секукругописаноко △ABC.Доказатидајеортоцентар троугла ABC центаруписаногкругатроугла MNP

53. Датасудвакругакојиседодирујуспољаутачки S.Неказаједничкатангентаовихкруговадодирујепрвиутачки A,адругиутачки B.Доказатидаје < ) ASB правугао.

3.4.Многоугаоикруг

Доказујемонеканајосновнијатврђењаувезисамногоуглом(посебночетвороуглом)икругом.

(T1)Збирунутрашњихуглова n-тоуглаједнак

је (n 2) · 180◦

Доказ.Дијагоналама A1A3, A1A4, , A1An 1 разложенје n-тоугао A1A2 ...An на n 2 троугла A1A2A3, A1A3A4, , A1An 1An;сл.92.Збирунутрашњихугловасвакогодтихтроугловаје 180◦,па језбирунутрашњихуглова n-тоуглаједнак (n 2) 180◦

Заразликуодтроугла,упроизвољанмногоугаонеможесеуписатикруг,нитисеокопроизвољногмногоугламожеописатикруг.Стогауводимо

Сл. 92

strana121

3. Важнијеособиненекихравнихфигура 121

следећеназиве.Многоугаоококогасеможеописатикругназивасететивнимногоугао(јерсумустраницететивеописаногкруга),амногоугаоукојисеможеуписатикругназивасе тангентни многоугао(јерсумустраницетангентеуписаног круга).

Замногоугаокажемодајеправиланакосумусвестраницеједнакеисвиугловиједнаки.Наоснову(Т1)закључујемодајесвакиунутрашњиугаоправилног nтоуглаједнак n 2 n 180◦

Пример1. Правилантроугаојеједнакостраничнитроугао.Правиланчетвороугаојеквадрат.

(T2)Правиланмногоугаојеитетиванитангентан,ацентриописаногиуписаногкругасепоклапају.

Доказ. Некасу S1, S2, , Sn средиштастраница A1A2, A2A3, , AnA1 правилногмногоугла A1A2 ...An инекаје O пресечнатачкасиметрала

OS2 страница A1A2 и A2A3;сл.93.Тадаје OA

α.Какоје < ) A2 = < ) A3 и α = 1 2 < ) A2, закључујемодаје α = 1 2 < ) A3, тј. < ) OA3A4 = α Стоганаоснову(СУС)имамо △OA2A3 ∼ =

OA3A4,паје OA3 = OA4.Слично доказујемодаје OA4 = OA5,итд.тј.даје OA1 = OA2 = = OAn,штозначида

сутачке A1, A2, , An једнакоудаљенеодтачке O,паје O центаркругаописаног окомногоугла A1A2 ...An.Тотакођезначидаје OS3 симетраластранице A3A4, даje OS4 симетраластранице A4A5, ... ,даje OSn симетраластранице AnA1. Сл. 93 Сл. 94

Сдругестране,собзиромдаје OA2 = OA2,

, < ) OS1A2 = < ) OS2A2 (правиуглови),имамо △OS1A2 ∼ = △

122

Елементарнагеометрија

Постојепосебникритеријуминаосновукојихсеутврђуједалијечетвороугао тетиван,односнотангентан.

(T3)Четвороугаојететиванакоисамоакојезбирдвањегованаспрамнаугла једнакзбирудругадванаспрамнаугла.

Доказ.Некаје ABCD тетиванчетвороугао.Докажимодаје <

+ < ) D.Некаје α централниугаонадлуком BCD,a β централниугаонадлуком BAD; сл.94.Тадаје α + β =360◦ , < ) A = 1 2 α, <

је < ) A + < ) C = < ) B + < ) D.

Обратно,претпоставимодаје < ) A + < ) C = < ) B + < ) D идокажимодајечетвороугао ABCD тетиван.

Некаје k кругописаноко △ABC идокажимода D ∈ k.Нека D / ∈ k инекаправа AD сечекруг k у

тачки D′ (= D);сл.95.Тадајечетвороугао ABCD′ тетиван,панаосновувећдоказаногтврђењаимамо < ) B+< ) D′ =180◦.Изједнакости < ) A+< ) C = < ) B+< ) D

излази < ) B + < ) D =180◦,штозаједноса < ) B + < ) D′ = 180◦ даје < ) D = < ) D′.Међутим,тојенемогуће,безобзирадалије D унутарилиизванкруга k,јерјеједан одуглова < ) D, < ) D′ спољашњи,адругиунутрашњиза < ) CDD′.Дакле,претпоставка D / ∈ k доводидоконтрадикције,штозначида D ∈ k.

Сл. 95

(T4)Четвороугаојетангентанакоисамоакојезбирдвенаспрамнестранице једнакзбирудругедвенаспрамнестранице.

Доказ. Некаје ABCD тангентанчетвороугао.Докажимодаје AB + CD = AD + BC.Некасу P , Q, R, S додирнетачкеуписаногкругаистраница AB, BC, CD, AD;сл.96.ТаданаосновуПримера7стр.113имамо AP = AS, BP = BQ, CR = CQ, DR = DS,одаклеизлази: (AP + BP )+(CR + DR)=(AS + BQ)+ (CQ + DS)=(AS + DS)+(BQ + CQ),тј. AB + CD = AD + BC.

Сл. 96 Сл. 97

Доказобратногтврђења,тј.даиз AB + CD = AD + BC излазидајечетвороугао ABCD тангентан,сложенијије,пагаизостављамо. Пример2. Утетивномчетвороуглу ABCD важи < ) ACB = < ) ADB,јерсутиугловипериферијскинадистимлуком.Важииобратнотврђење:акоучетвороуглу ABCD важи < ) ACB = < ) ADB,тадајетајчетвороугаотетиван;сл.97.

strana123

3. Важнијеособиненекихравнихфигура 123

Пример3. Трапезјететиванакоисамоакојеједнакокрак.Заиста,једноставноседоказује дајетрапез ABCD једнакокрактј. AD = BC акоисамоакоје < ) A = < ) B;сл.98.Међутим, какосууглови < ) A и < ) D,затим < ) B и < ) C суплементни,имамо < ) C = < ) D.Стогаје < ) A+< ) C = < ) B + < ) D

Пример4. Свакиделтоидјетангентничетвороугао.Заиста,уделтоиду ABCD насл.99

имамо AB = AD, BC = CD,паје AB + CD = AD + BC.

Питања

1. Штајететивни,аштатангентнимногоугао?

2. Навестипримере n-тоугловакојисутетивниитангентни,за n =3, n =4, n =5

3. Далипостојимногоугаокојинијеправилан,алијестеитетиванитангентан?

Задаци

1. Израчунатиугловепаралелограмаакојепознатједанњеговугао: 61◦17′ .

2. Израчунатиугловепаралелограмаакојеједанугао 1, 5 путавећиоддругог.

3. Израчунатиугловепаралелограмаакојеразликадвањеговасуседнаугла 13◦54′

4. Акосудвауглатрапезаједнака 76◦43′ и 84◦37′ ,израчунатиосталеугловетрапеза.

5. Угаоизмеђудијагоналеромбаињеговестраницеје 57◦26′.Израчунатиугловеромба.

6. Висинаромбасечењеговудијагоналуподугломод 113◦12′.Коликисуугловиромба?

7. Висинаромбаполовињеговустраницу.Доказатидајетроугаокојичинедвевисинекоје полазеизистогтеменатупогуглаидужчијисукрајевињиховаподножјаједнакостраничан.

8. Можелисеокочетвороуглачијасутриугла 103◦34′ , 75◦16′ , 104◦44′ описатикруг?

9. Какавсетрапезможеуписатиукруг?

10. Дијагоналетангентногчетвороугласекусеуцентрууписаногкруга.Доказатидајеовај четвороугаоромб.

11. Коликодијагоналаимапетоугао?Акојепетоугаоправилан,доказатидасусвењегове дијагоналеистедужине.

12. Доказатидајецентралниугаокругаописаногокоправилногмногоуглакојиодговара једнојстраници,једнакспољашњемуглутогмногоугла.

13. Доказатидајететиванмногоугаосаједнакимстраницамаправилан.

14. Доказатидајетангентнимногоугаосаједнакимугловимаправилан.

15. Коликијезбирунутрашњихугловаушестоуглу,седмоуглуиосмоуглу?

16. Коликостраницаимамногоугаоакојезбирњеговихунутрашњихуглова:(i) 1260◦;(ii) 1440◦?

17. Коликостраницаимамногоугаокојиима 20,односно 65 дијагонала?

18. Коликостраницаимаправиланмногоугаоакоњеговцентралниугаоима 40◦?

19. Одредитиприближнувредностцентралногуглаправилног 17-тоугла?

20. Акосебројстраницаправилногмногоуглаповећаза 2,ондасењеговунутрашњиугао повећаза 9◦.Коликостраницаиматајмногоугао?

21. Акојецентралниугаоправилногмногоуглаједнак 24◦,коликоонимадијагонала?

22. Некајеугаоизмеђуполупречникаописаногкругаињемунајближегполупречникауписаногкругаправилногмногоуглаједнак 15◦.Коликодијагоналаиматајмногоугао?

23. Некаје k кругописаноко △ABC инекаје t тангентакруга k утемену C.Права p,паралелнатангенти t,сечестранице AC и BC утачкама E и D.Доказатидајечетвороугао ABDE тетиван.

24. Некаје ABCD конвексанчетвороугаоинекасекруговиуписаниу △ABC и △ACD додирују.Доказатидајечетвороугао ABCD тангентан.

25. Датисууглови α и β.Доказатидапостојичетвороугаокојијеистовременоитангентан итетиваничијасудвасуседнауглаједнакадатимугловима α и β.

3.5.Геометријскеконструкцијеуравни

Акосудатедветачке A и B,њимајеодређенатачно једнаправа AB.Сматрамодатуправуможемо конструисати.Конструкцијувршимопомоћулењира;сл.100. Акоједататачка O идуж AB,тадапостојитачноједанкруг k чијијецентартачка O аполупречникмујеједнакдужи AB.Сматрамодакруг k можемо конструисати.Конструкцијувршимопомоћушестара;сл.101. Некатачке A и B одређујуправу p,атачке C и D праву q,причемусеправе p и q секу.Њиховпресекодређујетачноједнутачку S исматрамодатутачкуможемо конструисати.Конструкцијуопетвршимопомоћулењира;сл.102.

Сл. 100

strana125

3. Важнијеособиненекихравнихфигура 125

Такођесматрамодасемогу конструисати пресечнетачке(акопостоје)правеикруга(сл.103)илидвакруга(сл.104).Идотихпресечнихтачакадолазимо помоћулењираишестара.

Наведенеконструкцијесутзв. основнегеометријскеконструкције.Онесе,да поновимо,састојеизконструкцијаправих,круговаињиховихпресечнихтачака6 , аостварујусесамопомоћулењираишестара.Притомелењирсматрамоинструментомкојимсеконструишеправакроздведатетачке иништавише,ашестар инструментомкојимсеконструишекругсадатимцентромиполупречником и ништавише.

Уопште,геометријскаконструкцијасесастојиизконачногнизаосновнихгеометријскихконструкција.Њомсеодређује(конструише)некагеометријскафигуранаосновудатихуслова.

Дабиконструкцијабилаваљана,после описа конструкцијепотребноје доказати

даконструисанафигура испуњавасвепостављенеуслове,апотребнојеразмотритиипитањедалијетафигурајединакојаиспуњавадате услове.

Напомена1.

Реч,,конструкција“асоциранастварну,прецизну,графичкуконструкцију.Међутим,геометријскаконструкција нијеконструкцијаутомграфичкомсмислу,јернеморадасепрецизнонацрта.Довољноједатипрецизанописикоректандоказ,а сликаможедабудесамогрубаскица(изведенаслободномруком), аустваринијенинеопходна.

Пример1. Датесудветачке A и B

.Конструисатисредиште дужи AB.

Сл. 105

Задветачке A и B конструишемоправу AB (основнаконструкција).Конструишемокруг

k сацентромутачки A иполупречником AB икруг k′ сацентромутачки B иполупречником AB (основнаконструкција).Некасу C и D пресечнетачкетихкругова(основнаконструкција). Конструишемопресек S правих AB и CD (основнаконструкција);сл.105.Тачка S јесредиште дужи AB Заиста,какотачке B и C припадајукругу k,имамо AB = AC.Сдругестране,тачке A и C припадајукругу k′,паје BA = BC.Стогаје AC = BC.Сличнодоказујемодаје AD = BD, панаоснову(ССС)закључујемо: △ADC ∼ = △BCD,одаклеизлазидаје < ) ACS = < ) BCS Даље,утроугловима ASC и BSC имамо: AC = BC, CS = CS, < ) ACS = < ) BCS,паје,на основу(СУС), △ASC ∼ = △BSC,одаклеизлази AS = BS.Дакле,тачка S јестесредиштедужи AB.Татачкајејединствена. Напомена2. Приметимодајеправа CD симетраладужи AB

Конструкцијаизпретходногпримерабилајевеомаједноставна.Наводимо јошнекеједноставнеконструкцијекоје,приликомизвођењасложенијихконструкција,сматрамопознатимикојенећемониописиватинидоказивати.

1. Садатестранедатеполуправеконструисатиугаоједнакдатомконвексном углу.

2. Садатестранедатеполуправеконструисатитроугаоподударандатомтроуглу.

6Конструкциједеловаправихикругова(тј.дужи,полуправих,лукова)такођесматрамоосновнимконструкцијама.

Елементарнагеометрија

3. Кроздатутачкукојанеприпададатојправој a,конструисатиправупаралелнуправој a.

4. Конструисатисиметралудатедужи.

5. Задатуправу a идатутачку A,конструисатинормалунаправу a којасадржитачку A.

6. Конструисатисиметралудатогугла. Пример2. Конструисатикругкојисадржитачку A идодируједатуправу p утачки B

Претпоставимодаправа AB нијенормалнанаправој p.Некаје s симетраладужи AB и

некаје n правакојасадржитачку B и n ⊥ p.Праве s и n секусеутачки O.Кругсацентрому тачки O иполупречником OA испуњавадатеуслове,штоселакодоказује;сл.106.

Сл. 106 Сл. 107 Сл. 108

Акоје AB ⊥ p,тадајецентар O траженогкругасредиштедужи AB;сл.107. Пример3. Конструисатитроугаоакоједатаједнањеговастраницаивисинаитежишна дужкојеодговарајутојстраници7 .

Некасу c, hc, tc датедужикојепредстављајустраницу,висинуитежишнудужтроугла. Некаје B тачкаполуправе Ap таквадаједуж AB једнакадатојдужи c.Некаје q билокоја праванормалнана Ap и M тачкатеправетаквадаје MM ′ = hc,гдеје M ′ подножјенормале

из M на Ap.Некаје s правакојасадржитачку M ипаралелнајеса AB.Некаје k кругчијије центарсредиште C′ дужи AB,аполупречникмујеједнакдатојдужи tc.Претпоставимодаје

C пресечнатачкакруга k иправе s.Тадаје △ABC траженитроугао.

Заиста,акоје D подножјенормалеиз C на AB,u △ABC имамо: AB = c (поконструкцији), CD = hc (јер CD = MM ′), CC′ = tc (поконструкцији).

Акоје tc >hc круг k сечеправу s удвематачкама,ако tc = hc круг k иправа s имају једнузаједничкутачку,аако tc <hc круг k иправа s немајузаједничкихтачака.Собзиромда сетачка M моглаодабратисадругестранеправе AB,закључујемо:

(i)акоје tc >hc,задатакимачетирирешења;насл.108приказанисутроуглови ABC, ABC1, ABC2 и ABC3 којисутарешења;

(ii)акоје tc = hc,задатакимадварешења; (iii)акоје tc <hc,задатакнемарешења. Пример4. Конструисатиправоугаоникакоједатаразликањеговихсуседнихстраницаи угаоизмеђудијагонала.

strana127

3. Важнијеособиненекихравнихфигура 127

Некаје ABCD правоугаониккодкогаје AB>BC итакавдајеразлика AB BC једнака датојдужи d идаје < ) BSC једнакдатомуглу α,гдеје S пресекњеговихдијагонала.Некаје E

тачкадужи AB таквадаје BC = BE;сл.109.Троугао EBC јеправоуглииједнакокрак,паје < ) CEB =45◦.Троугао ABS јеједнакокрак,паје < ) CAE = 1 2 α Прематоме,утроуглу AEC познатису:страница AE инањојналеглиуглови,ионсеможеконструисати.

Дакле,дабисмоконструисалитражениправоугаоник,првоконструишемодужкојаје једнакадатојдужи d,азатимполуправе Ap и Eq,саистестранеправе AE,такведаје < ) pAE = 1 2 α, < ) qEA =135◦.Тедвеполуправесесекуутачки C,инекаје B подножјенормалеиз C на праву AE.Најзад,некаје D пресечнатачкаправекојасадржитачку C ипаралелнајеправој AB иправекојасадржитачку A ипаралелнајеправој BC;сл.110.Тадаје ABCD правоугаоник којизадовољавадатеуслове.

Заиста,какоје < ) CEB =45◦ ,троугао EBC јеједнакокрак,паје EB = BC.Стогаје AB BC = AB EB = d.Даље,акоје S пресекдијагонала AC и BD,троугао ABS је једнакокрак,паје < ) SAB = < ) SBA.Стогаје < ) BSC = < ) SAB + < ) SBA =2< ) SAB = 2 1 2 α = α

Овајзадатакнемарешењеакоједатиугао α већиилиједнакодправогугла.Акоје α< 90◦ , задатакимарешење,јертадапостојитачка C.Утомслучајузадатакимадварешења,јерсу полуправе Ap и Eq моглебитиконструисанесадругестранеправе AE

Пример5. Конструисати △ABC акоједатањеговастраница BC,угао < ) A избирстраница AB и AC

Претпоставимодапостоји △ABC чијајестраница BC једнакадатојдужи a,угао < ) A једнакдатомуглу α,азбир AB + AC једнакдатојдужи p.Некаје D тачкаправе AC таквадаје C A D и AD = AB.Тадаје CD = CA+AD = AB +AC.Троугао ADB јеједнакокрак,па је < ) ADB = 1 2 α Прематоме,у △CDB познатоје:страница CD,страница BC иугао < ) CDB; сл.111.

Стогатраженуконструкцијуобављамонаследећиначин.Првоконструишемодуж CD којајеједнакадатојдужи p,азатимполуправу DX таквудаје < ) XDC једнакполовинидатог

угла α.Некаје k кругчијијецентартачка C аполупречникједнакдатојдужи a инекакруг k сечеполуправу DX утачки B.Некасиметраладужи BD сечедуж CD утачки A;сл.112.Тада △ABC задовољавадатеуслове. Заиста,какосетеме A налазинасиметралидужи BD,имамо AB = AD,паје AB+AC = AD + AC = p.Даље, < ) A јеспољашњиугао △ADB иједнакјезбируунутрашњихнесуседних углова,тј. < ) A = < ) ADB +< ) DBA = 1 2 α+ 1 2 α = α.Најзад,страница BC је,поконструкцији, једнакадатојдужи a

Елементарнагеометрија Сл. 112

113

Акокруг k сечеполуправу DX удвематачкама B и B′,постојечетирирешењаовогзадатка:тосу △ABC и △A′B′C приказанинасл.112иодговарајућитроугловиконструисани садругестранеправе CD.Акоје DX тангентакруга k,ондапостоједварешења,аакокруг k иправа DX немајузаједничкихтачака,ондазадатакнемарешења. Напомена3. Једанодчувенихпроблемастарогрчкематематикегласи:конструисатиугао којијеједнактрећинидатогугла.Тојетзв. проблемтрисекцијеугла.Можедаседокаже(алгебарскимметодима)датаквагеометријскаконструкцијанепостоји.Притомесенаравнодржимоусвојеногдоговорадасегеометријскеконструкцијеизводесамопомоћулењираишестара, алењирјесредствозаконструкцијуискључивоправекроздветачке.Међутим,уздрукчију употребулењираможесеконструисатитрећинадатогугла.Наводимоконструкцијукојуједао Архимед(јошу3.векупреХриста).

Некаје < ) pOq датиугаосатеменом O,некаје < ) rOp њемунапореданугаоинекаје k полукругсацентромутачки O

произвољногполупречникакојисечекрак Op утачки P ,акрак Oq утачки Q.Означимонаивицилењирадветачке A и B такведаје AB = OP .Поставимо лењирутакавположајдањеговаивицапролазикрозтачку P ,датачка B лежинаполукругу k идатачка A лежинаполуправој Or иконструишемоправу AP ;сл.113.Тадаје < ) PAQ = 1 3 < ) P OQ

Заиста,некаје < ) POQ = α, < ) PAO = β, < ) BOP = γ.Какоје AB = OP = OB, троугао AOB јеједнакокрак,паје < ) BAO = < ) BOA = β.Даље, < ) PBO јеспољашњиугао △AOB,паје < ) PBO = < ) BAO+< ) BOA =2β.Најзад, △OPB јеједнакокрак,паје < ) PBO = < ) BPO =2β.У △OPB имамо: γ +2β +2β =180◦,тј. γ =180◦ 4β.Сдругестране,имамо: α + β + γ =180◦,паје α + β +180◦ 4β =180◦ ,одаклеизлази: α 3β =0,тј. α =3β Дакле, < ) POQ =3< ) PAQ,штозначидаје < ) PAQ трећинадатогугла < ) POQ Наравно,оваАрхимедоваконструкцијаније геометријска,јерлењирнијекоришћенискључивокаосредствозаконструисањеправекроздветачке,већје,,добиошираовлашћења“.

Питања

1. Штасуосновнегеометријскеконструкције?

2. Штазначиконструисатигеометријскуфигуру?

3. Архимедјеконструисаотрећинудатогугла.Заштотаконструкцијанијегеометријска?

Задаци

Конструисатитроугао ABC

4. Дужинеиповршиненекихфигура 129

5. b, c, tb;

13. Конструисатиквадратакоједато:збирњеговестраницеидијагонале.

14. Конструисатиромбакоједато:његовастраницаизбирњеговихдијагонала.

15. Конструисатиправоугаоникакоједато:збирњеговихсуседнихстраницаињеговадијагонала.

16. Конструисатиправоугаоникакоједато:разликањеговихсуседнихстраницаидијагонала.

17. Конструисатиправоугаоникакоједато:једнањеговастраницаизбирдругестраницеи дијагонале.

18. Конструисатитрапезакосудатесвењеговестранице.

19. Конструисатитрапезакосудатењеговеосновицеињеговедијагонале.

20. Конструисатиједнакокракитрапезакоједато:његовкрак,дијагоналаизбирњегових основица.

21. Конструисатиједнакокракитрапезакоједато:његовкрак,дијагоналаиразликањегових основица.

22. Конструисатикругдатогполупречникакојидодируједатикругидатуправу.

23. Конструисатикругкојисадржидатутачкуидодируједатикругудатојтачки.

24. Конструисатикругкојидодируједатуправуидатикругудатојтачки.

25. Конструисатикругкојидодируједатикругидатуправуудатојтачки.

26. Конструисатиправукојасечедвакругаједнакихполупречникакојиседодирујуспоља, такодапресечнетачкеодређујунаправојтриједнакедужи.

27. Датјекругитачка A

ванкруга.Конструисатикругсацентромутачки A такодаодсечак назаједничкојспољашњојтангентиовадвакругабудеједнакдатојдужи.

28. Накругу k датесутачке A, B, C.Конструисатинакругу k тачку D такодачетвороугао ABCD будетангентан.

4.ДУЖИНЕИПОВРШИНЕНЕКИХФИГУРА

4.1.Обиммногоугла

Увођењереалнихбројева,можесерећи,правдалисмотимедасвакадужтребадаимасвојудужину,тј.дасесвакојдужиможепридружититачноједанпозитиванреаланбројкојипредстављањенудужину.Начиннакојимеримодужи објашњенјеупретходнојглави,паганепонављамо.Истичемосамоследеће.Нека d(AB) означавадужинудужи AB.Напрвомместу,заједнуодређенудуж MN , тзв. јединичнудуж,узимамо d(MN )=1.Затимзахтевамоследеће: (i) d(AB) > 0; (ii) AB = CD ⇒ d(AB)= d(CD); (iii) A B C ⇒ d(AC)= d(AB)+ d(BC) Напомена1. Услов(ii)значидаподударнедужиимајуједнакедужине,истриктноговорећитребалобигаписатиуоблику AB ∼ = CD ⇒ d(AB)= d(CD).Међутим,усвојилисмо договордауместо,,подударнедужи“кажемо,,једнакедужи“идауместо AB ∼ = CD пишемо AB = CD

strana130

130

Елементарнагеометрија

Пример1. Доказујемоимпликацију: AB<CD ⇒ d(AB) <d(CD)

Акоје AB<CD,тадапостојитачка E таквадаје C E D и AB = CE.Стогаје,на основу(iii), d(CD)= d(CE)+ d(ED).Сдругестране,наоснову(ii),из AB = CE излази d(AB)= d(CE),паје d(CD)= d(AB)+ d(ED),одаклеизлази d(CD) >d(AB),јерје,на основу(i), d(ED) > 0

Акоје A1A2 ...An многоугаоналинија,њена дужина s језбирдужинасвих страница,тј. s = d(A1A2)+ d(A2A3)+ + d(An 1An)+ d(AnA1).

Уместодужинамногоугаонелиније A1A2 ...An кажемои обим многоугла A1A2 ...An.

Пример2. Акоје ABCD паралелограм,тадазањеговобим s важи: s =2d(AB)+ 2d(BC).Заиста,подефиницијије s = d(AB)+ d(BC)+ d(CD)+ d(AD).Међутим,какоје

CD = AB, AD = BC,имамо d(CD)= d(AB), d(AD)= d(BC),паје s =2d(AB)+2d(BC)

Специјално,акоје ABCD квадрат,његовобимје 4d(AB)

Напомена2. Собзиромдасудужиињиховедужинеглавнатемаовогодељка,изузетно смоправилиразликуизмеђуознакезадужизањенудужину,тј.између AB и d(AB).Иначе нисмотакостриктни(видетиВажнунапомену;стр.37).

Питања

1. Какосемередужи?

2. Основнеособинедужинедужи.

Задаци

1. Коликијеобимједнакостраничногтроуглаакополупречниккругаописаногокоњега

износи R?

2. Коликијеобимједнакостраничногтроуглаакополупречниккругауписаногуњегаизноси r?

3. Уједнакокракомтроуглувисинакојаодговараосновициједнакајеосновици.Израчунатиобимтогтроугла.

4. Израчунатиобимквадратаакоједато:(i)његовадијагонала d;(ii)полупречникуписаногкруга r;(iii)полупречникописаногкруга R

5. Израчунатиобимромбачијесудијагонале 24 и 10

6. Висинаромбаје √3. Коликијеобимромбааковисинекојеполазеизистогтеменазахватајуугаоод 60◦?

7. Дијагоналаправоугаоникаје 12.Коликијеобимправоугаоникаакојеугаоизмеђудијагонала 120◦?

8. Средњадужједнакокракогтроуглакојаодговаракракуимадужину 5 исаосновицом градиугаоод 135◦.Наћиобимтроугла.

9. Уједнакокракомтроуглутежишнедужикојеодговарајукрацимаимајудужину 9 исеку сеподправимуглом.Наћиобимтогтроугла.

10. Крацитрапезасу 17 и 39,мањаосновица 4,ависина 15.Израчунатиобимтрапеза.

11. Крацитрапезасу 9 и 13,средњадужје 10,аразликаосновицаје 8.Израчунатиобим трапеза.

4. Дужинеиповршиненекихфигура 131

12. Висинатрапезаимањаосновицасуједнакеиимајудужину 5.Коликијеобимтрапеза акосуугловинавећојосновици 30◦ и 60◦?

13. Акојеобимправилногшестоугла 30,израчунатиукупнудужинуњеговихдијагонала.

14. Наћиобимправилногшестоуглаакојеукупнадужинасвихњеговихмањихдијагонала 18√3

15. Израчунатиобимправилногмногоуглаакојезбирњеговихунутрашњихуглова 1440◦ , полупречникописаногкруга 13,аполупречникуписаногкруга 12

4.2.Обимкругаидужинакружноглука

Интуитивнојејасно8 даикругимасвојудужину.Ослањајућисенаинтуицију,описујемошта је дужина или обим круга.Наиме,јасноједаакоје укруг k уписан9 многоугао m,аокоњегаописан многоугао p,ондазањиховедужиневажи: d(m) < d(k) <d(p);сл.114.Такођејејаснодазадатикруг k постојибесконачномного n-тоугловауписаних уњегаидаштојеброј n већи,обим n-тоуглајесве ближиобимукруга.

Напомена1. Стриктнадефиницијаобимакругаможеседатиузпомоћаксиомесупремума.Наиме,некаје M скупсвихмногоугловауписанихукруг k инекаје S скуппозитивних реалнихбројевакојипредстављајуњиховеобиме.Скуп S јеограниченодозго,јерјеобимсвакогмногоуглауписаногукруг k мањиодобиманекогмногоугла p описаногококруга k.На основуаксиомесупремума,постојиsup S,итајпозитиванреаланбројје,подефиницији,обим круга k

Наосновуоведефиницијеможедаседокаже10 следећетврђење.Акосу k1 и k2 двакругачијисуобими s1 и s2,адужинењиховихпречника l1 и l2,тадаje s1 : s2 = l1 : l2.

Изовепоследњеједнакостиизлази s1 : l1 = s2 : l2,штозначидајезасве круговеколичникњиховихобимаидужинапречникаједанистиброј.Означимо тајбројсловом π

Напомена2. Број π јеирационаланбројиприближнојеједнак 3, 14159265359.Јошје уБиблији(ЦаревиI;VII, 23)констатованодајеонприближноједнакприродномброју 3.У праксисенајчешћеузимадаје π ≈ 3, 14 или π ≈ 22 7

Некаје s обим,a r дужинаполупречникакруга k.Наосновупретходногизлагањазакључујемодаје s =2πr.Тадаједужинаполукругаједнака

Сл. 114

132 Елементарнагеометрија

кругаје 2πr 360

Тозначидаакојецентралниугаонадлуком AB једнак 1◦,ондаједужиналука AB једнака πr 180 Одатлезакључујемодаакојецентралниугаонадлуком AB једнак α ◦,ондаједужиналука AB једнака πrα 180 ; сл.115.

Пример1. Иакосмодефинисалиобимсамозамногоугаоикруг,можемодаговоримоо обимуинекихсложенијихфигура.Например,некасу

сеиконцентричникругови)зачијеполупречнике

надлуком AD круга k1,односнолуком BC

,тадаможемодакажемодаје обимфигуре ABCD означененасл.116једнак 2(r2 r1)+

180 (r1 + r2) Проверити.

Питање

1. Дужина(обим)кругаикружноглука.

Задаци

1. Наћиоднособимакруговаописаногококвадратаиуписаногуквадратчијаједијагонала 6√2

2. Разликаобимаописаногиуписаногкругаједнкостраничногтроуглаје π√3.Израчунати обимтроугла.

3. Обимједнакокракогтрапезаје 100,аразликањеговихосновицаје 14.Израчунатиобим кругауписаногутајтрапез.

4. Укруг k полупречника r уписанјекруг k′ којипролазикрозцентаркруга k идодирује гаизнутра.Ирачунатиобимфигуре k \ k′ .

5. Кругови k и k′ истихполупречникасутаквидаједанкругпролазикрозцентардругог. Израчунатиоднособималикова k ∪ k′ и k ∩ k′ .

6. Датједелтоидчијисуугловикојеградеједнакестранице 90◦ и 60◦.Некајеобимкруга уписаногуделтоид 8π.Израчунатиобимеликовакојичинетеменаовихуглова,додирне тачкекругаикраковатихугловакаоинајмањилуковикругаизмеђудодирнихтачака.

4.3.Површинамногоугла Приликомдефинисањаповршине S

4. Дужинеиповршиненекихфигура 133

јединичнаповрш иподефиницијије S(K)=1.Даље,акосу F , F1, F2 многоугаоне површи,требадабудузадовољениследећиуслови:

(i) S(F ) > 0;

(ii) F1 ∼ = F2 ⇒ S(F1)= S(F2);

(iii)акоповрши F1 и F2 немајузаједничкихунутрашњихтачака,тадаје S(F1 ∪ F2)= S(F1)+ S(F2)

Описноречено,површинапроизвољнемногоугаонеповрши F јебројкоји показујеколикосепутајединичнаповршсадржиу F .Поступакјесличанпоступкумерењадужи.Првосемногоугаонаповрш F којутребамерити,,покрије“јединичнимповршима,сведокнепреостануделовитеповршиукојесенеможе сместитијединичнаповрш.Тадасејединичнадужделина 10 једнакихделова,чимејејединичнаповршподељенана 100 једнакихповрши.Преосталидеоповрши F покривамоовиммањимквадратнимповршима,сведокјетомогућно,азатим понављамопоступак.

Пример1. Некаје P правоугаоникчијестраницеимајудужине 3 и 4.Јасноједасејединичнаповрш K садржиуправоугаонику P тачно 12 пута,истогаје S(P )=12;сл.117.

Сл. 117 Сл. 118

Уопште,акостраницеправоугаоника P имајудужине a и b,причемусу a и b природни бројеви,нијетешкоустановитидаје S(P )= ab

Доказаћемосададаистирезултатважизапроизвољанправоугаоник(дакле, безобзирадалисупозитивнибројеви a и b природниилинису).

Разложимојединичнуповрш K на n 2 међусобноподударнихквадрата.То постижемотакоштодвестраницесазаједничкимтеменомподелимона n једнакихделова.Правамакојепролазекрозподеонетачке,акојесунормалненатим страницамаповрш K разлажесена n 2 мањихквадратнихповрши.Некаје E било којаодњихинекаје e дужинањенестранице.Тадаје

јерје S(K)=1.Одредимосадаколикојемањихквадрата(онихсастраницамадужине e)садржаноуправоугаонику P .Насвакојодполуправих AB, AD нанесимо, полазећиодтачке A,одсечкедужине e;сл.118.Претпоставимодастраница AB садржи p,астраница ADq таквиходсечака,доксенаношењем (p +1)-вог,односно (q +1)-вогодсечкапремашујетачка B,односнотачка D.Тадаје (1) pe a< (p +1)e,qe b< (q +1)e.

134

Правоугаонаповрш P садржи pq

Елементарнагеометрија

малихквадратнихповрши(чијесустраницедужине e),докјебројквадратнихповршикојеса P имајузаједничкихунутрашњих тачакамањиод (p +1)(q +1).Стогаје (2) pqe 2 S(P ) < (p +1)(q +1)e 2

Сдругестране,акопомножимонеједнакости(1)добијамо pqe 2 ab< (p +1)(q +1)e 2 , штојееквивалентноса (3) (p +1)(q +1)e 2 < ab pqe 2

Сабирајућинеједнакости(2)и(3)налазимо pqe 2 (p +1)(q +1)e 2 <S(P ) ab< (p +1)(q +1)e 2 pqe 2 ,

тј. (p + q +1)e 2 <S(P ) ab< (p + q +1)e 2,штојееквивалентноса: |S(P ) ab| < (p + q +1)e 2,одаклеизлази

(4) |S(P ) ab| < (a + b)e + e 2 ,

јерje pe a, qe b.

Узмимосададаброј n постајесвевећиивећи.Тозначидасејединичнаповрш K разлаженасвевећибројквадратачијесустраницесвемање.Какоје e =1/n, кадсеброј n неограниченоувећава,позитиванброј e неограниченосеприближава броју 0.Истоважиизаброј e 2,паседеснастрананеједнакости(4)можеучинити мањомодбилокогпозитивногброја.Одатлеизлазидаје S(P )= ab Напомена1. Интуитивнипојмови,,неограниченоувећавање“или,,неограниченоприближавањеброју 0“могусепрецизиратипомоћупојмаграничневредностикојићесерадити уIIIразреду.

Сл. 119

Некаје ABCD паралелограмсаоштримугломкодтемена A.Некасу DM и CN нормалеиз D и C на AB,причемусу M и N подножјатихнормала(кажемо идасу DM ,односно CN висинепаралелограма ABCD којеодговарајустраници AB).Тачка N јеизвандужи AB,докзатачку M постојетримогућности: A B M , M = B, A M B;сл.119.Усвакомодтихслучајевачетвороугаонаповрш ANCD једнакајеунијипаралелограмскеповрши ABCD итроугаонеповрши BNC које немајузаједничкихунутрашњихтачака,паје (5) S(ANCD)= S(ABCD)+ S(BNC) Такођејечетвороугаонаповрш ANCD једнакаунијиправоугаонеповрши MNCD итроугаонеповрши AMD,паје (6) S(ANCD)= S(MNCD)+ S(AMD).

4. Дужинеиповршиненекихфигура 135

Из (5)и(6)излази: S(ABCD)+ S(BNC)= S(MNCD)+ S(AMD),тј. (7) S(ABCD)= S(MNCD),

јерје △BNC ∼ = △AMD,паје S(BNC)= S(AMD).Какоје AB = CD = MN ,

из(7)добијамодаје S(ABCD)= ah,гдеје a дужинастранице AB,a h једужина нормале DM .Кажесе:површинапаралелограмскеповршиједнакајепроизводу дужинаједнестраницеиодговарајућевисине.

Даље,свакапаралелограмскаповрш ABCD разложенаједијагоналом BD надвеподударне троугаонеповрши ABD и CBD којестогаимајуједнакеповршине,паје:

S(ABD)= 1 2 S(ABCD)

Дакле,површинатроугаонеповршиједнакаје половинипроизводадужинаједнестраницеи одговарајућевисине;сл.120.

Сл. 120

Пример2. Површинаправилног n-тоуглачијајестраницадужине a износи 1 2 nar, гдеје r дужинаполупречникауписаногкруга.

Заиста,некаје A1A2 ...An правиланмногоугаоинекаје O центарњеговогописаноги уписаногкруга.Дужима OA1, OA2, , OAn тај n-тоугаојеразложенна n подударнихтроуглова OA1A2, OA2A3, ... , OAnA1,паје S(A1A2 ...An)= nS(OA1A2).Међутим,полупречникуписаногкруга OT јевисинаједнакокраког △OA1A2,паје S(OA1A2)= 1 2 ar Стога је S(A1A2 ...An)= 1 2 nar.

Сл. 121 Сл. 122

Пример3. Акосу a и b дужинеосновицатрапезаиакоје h дужинањеговевисине,онда површинатрапезаизноси: 1 2 (a + b)h.

Заиста,некаје ABCD трапезсаосновицама AB и CD дужине a,односно b.Некаје E тачкаправе AB таквадаје A B E и BE = CD,инекаје F пресечнатачкадужи BC и DE;сл.122.Једноставноседоказуједасутроуглови BEF и CDF подударни,паје S(BEF )= S(CDF ).Висинакојаодговарастраници AE троугла AED ичијаједужина h,истовремено јевисинатрапеза ABCD.Међутим,какоје AE = AB + BE,дужинастранице AE je a + b, паје S(AED)= 1 2 (a + b)h Какоје S(ABCD)= S(ABFD)+ S(FCD),S(AED)= S(ABFD)+ S(BEF ),

strana136

136

с обзиромдаје S(BEF )= S(FCD),закључујемодаје S(ABCD)= S(AED)= 1 2 (a + b)h.

Елементарнагеометрија

Пример4. Некасу a, b, c дужинестраница BC, AC, AB троугла ABC инекаје 2s = a + b + c.Тадазаповршину S(ABC) троугла ABC важи

(8) S(ABC)= √s(s a)(s b)(s c)

Некаје ABC троугаосаоштримугловимакодтемена A и B,некаје D подножјенормале изтемена C настраницу AB инекаје h дужинависине CD.Тадаје,каоштознамо, (9) S(ABC)= 1 2 ch.

Претпоставкадасуугловикодтемена A и B оштриобезбеђуједаје A D B.Акоса x означимодужинудужи AD,ондадуж DB имадужину c x;сл.123.

123

ПрименомПитагоринетеоременаправоуглетроуглове

(10)

4. Дужинеиповршиненекихфигура 137

Прематоме,наоснову(9)и(11)добијамо S(ABC)= 1 2 ch = √s(s a)(s b)(s c), тј.једнакост(8). Формула(8)називасе Хероноваформула (илиХероновобразац)заповршинутроугла.

Питања

1. Какосемериповршинагеометријскоглика?

2. Основнеособинеповршинеликова.

3. Површинапаралелограма,троуглаитрапеза.

4. Хероноваформулазаповршинутроугла.

Задаци

Некаје ABCD паралелограм,некаје F подножјенормалеиз C на AB и G подножјенормале из B

1. Акоje AB =18, CF =10, BG =15,израчунати AD;

2. Акоје AB =32, AD =28, BG =24,израчунати CF

Некаје ABCD паралелограм,некаје E средиштедужи CD,инекаје F тачканаправој CD таквадаје E C F и EC = CF .Израчунати:

3. S(BCE) S(BCF ) ; 4. S(ABF ) S(ABCD) ; 5. S(ABF ) S(BFE) ; 6. S(BFC) S(ABED)

7. Некаје E средиштестранице AB паралелограма ABCD.Доказатидаје S(AED)= S(EBC)

8. Акоје M средиштестранице AD,a K средиштестранице AB паралелограма ABCD, доказатидаје 2S(AKCM )= S(ABCD)

9. Некаје ABCD паралелограминекаје E тачканадијагонали BD.Правакроз E паралелнастраници AB сечестранице AD и BC редомутачкама K и L,аправакроз E паралелнастраници BC сечестранице DC и AB редому M и N.Доказатидаје S(ANEK)= S(ELCM ).

10. Надстраницамаједнакокракогправоуглогтроуглачијакатетаимадужину a конструисанисуспољаквадрати.Наћиповршинутроуглачијасутеменаупресечнимтачкама дијагоналатихквадрата.

11. Некасу Sk и Sr површинеквадрата,односноромбаистестранице a.Акоје Sk : Sr = √2 доказатидајеоштаругаоромбаједнак 45◦

12. Уједнакокракомтрапезумањаосноваје 3,акрак 13.Акоједијагоналатрапезасиметрала његовогтупогугла,израчунатиповршинутрапеза.

13. Некаје S површинаделтоидачијијеполупречникуписаногкруга r.Акоје S : r =5:2 иакојеједнастраницаделтоида 1,израчунатидругустраницу.

14. Површинаромбаје 8√3, аобимкругауписаногуромбје 2√3π Израчунатистраницу, оштаругаоидијагоналуромба.

15. Обимпаралелограмаје 20,оштаругао 30◦ ,ависинепаралелограмаодносесекао 2:3 Израчунатиповршинупаралелограма.

16. Израчунатиповршинутроуглаакосуњеговестранице 9, 14 и 13.Такођеизрачунати полупречникеуписаногиописаногкругатогтроугла.

138

4.4.Површинакружногдискаиисечка

Нека је k кругчијиполупречникимадужину r ичијијецентартачка O.Некаје A1A2 ...An правилан n-тоугаоуписан,а B1B2 ...Bn правилан nтоугаоописанококруга k,итотакодастранице nтоугла B1B2 ...Bn додирујукругутеменимамногоугла A1A2 ...An;сл.124.

Акоје δ кружнидисккогасачињавајукруг k и његоваунутрашњост,тада,иаконисмодефинисалињеговуповршину S(δ),наосновуинтуицијеи сл.124можемодаузмемодаје:

S(A1A2 ...An) <S(δ) <S(B1B2 ...Bn)

Елементарнагеометрија

Сл.124

Некаједужинастранице n-тоугла A1A2 ...An једнака a,адужинастранице nтоугла B1B2 ...Bn некајеједнака b.Даље,некаје h дужинависине △OA1A2 која одговарауглу < ) A1OA2.Тадаје S(OA1A2)= 1 2 ah, S(OB1B2)= 1 2 br,па је

S(A1A2 ...An)= 1 2 nah = 1 2 ph,S(B1B2 ..Bn)= 1 2 nbr = 1 2 qr,

гдесмоса p,односно q,означилиобиммногоугла A1A2 ...An,односно B1B2 ...Bn.Стогаје

(1) 1 2 ph<S(δ) < 1 2 qr.

Кружни исечакчијијецентралниугао 1◦ je 360.деокружног диска,пајењеговаповршина πr2 360 .Прематоме,кружниисечакчији јецентралниугаоједнак α ◦ имаповршину πr2α 360

Акопочнемодаповећавамоброј n,многоуглови A1A2 ...An и B1B2 ...Bn имаћесвевишетемена,ањиховестраницебићесвемање.Стогаседужине h и r свемањеразликују(сл.125),аобими p и q многоугловасвесуближиобиму 2πr круга.Дакле,кадсе n повећава:број h сеприближаваброју r,број p сеприближаваброју 2πr,иброј q сеприближаваброју 2πr.Збогтогајеброј 1 2 ph свеближи броју 1 2 (2πr)r тј. броју πr 2.Такођејеброј 1 2 qr све ближиброју 1 2 (2πr)r тј.броју πr 2.Прематоме,наосновунеједнакости(1)сматрамодаје S(δ)= πr 2 Сл.125

Пример 1. Некаје s дужинакружноглука AB круга k чијијецентар O идужинаполупречника r.Тадаповршинакружногисечка OAB износи 1 2 rs Заиста,некајецентралниугаонадлуком AB једнак α ◦.Тадајеповршинакружногисечка OAB једнака πr 2 α 360 .Међутим,дужиналука AB је πrα 180 , паје πr 2 α 360 = 1 2 r πrα 180 = 1 2 rs.

5. Некеспецијалнеизометријскетрансформације 139

Сл. 126

Сл. 127

Пример2. Надкатетама AB и AC правоуглог △ABC каопречницимаконструисанису полукруговикојисеналазеизвантроугла.Акосу ω1 и ω2 површиодређенетимполукруговима

иполукругом BAC,тадаје S(ω1)+ S(ω2)= S(△ABC)

Заиста,акосу δ1, δ2 и δ3 полукружнеповршинадстраницама AB, AC и BC троугла ABC,тадаје (2) S(δ1)+ S(δ2)+ S(△ABC)= S(ω1)+ S(ω2)+ S(δ3)

Некасу a, b, c редомдужинестраница BC, AC, AB.Тадаје S(δ1)= 1 8 πc 2 , S(δ2)= 1 8 πb2 , S(δ3)= 1 8 πa 2 = 1 8 π(b2 + c 2), наосновуПитагоринетеореме,паје S(δ1)+ S(δ2)= S(δ3)

Стогаиз(2)добијамотраженуједнакост.

Питање

1. Површинакружногдискаиисечка.

Задаци

1. Израчунатиповршинукружногпрстенакојиобразујукруговиописанииуписаниуједнакостраничантроугаостранице a

2. Израчунатиповршину,,листа“којиобразујудвалукаполупречника a једнакогстраници квадрата,чијисуцентринакрајевимаистедијагоналетогквадрата.

3. Датјеквадратстранице a.Сацентромнаједномкрајуједнедијагоналеописанјекруг полупречникаједнакогдијагонали,азатимјеучињеноистонадругомкрајудијагонале. Израчунатиповршинутакодобијеног,,листа“.

5.НЕКЕСПЕЦИЈАЛНЕИЗОМЕТРИЈСКЕТРАНСФОРМАЦИЈЕ 5.1.Оснаицентралнасиметрија

Акојеправа a симетраладужи AA′ ,ондакажемодасутачке A и A′ симетричнеуодносунаправу a;сл.128.Специјално,ако A ∈ a,ондајетачка A симетрична самасебиуодносунаправу a Прематоме,акоје a датаправауравни α,засвакутачку A ∈ α постојиједнаи самоједнатачка A′,симетричнатачки A уодносунаправу a.Тимеједефинисано

strana140

140 Елементарнагеометрија

пресликавање σ : α → α,којесеназива оснасиметрија (рефлексија)уодносуна праву a.Права a je осасиметрије σ

Оснасиметријајеизометријскопресликавање.Заиста,некаје a датаправа равни α,инекасутачке A, A′ ,затим B, B′ симетричнеуодносуна a.Доказаћемо даје AB = A′B′.Разликујемоследећеслучајеве:

(i) A, B ∈ a.Тадаје A′ = A, B′ = B,паје AB = A′B′

(ii) A ∈ a, B / ∈ a.Тадаје A′ = A инекаје M пресекправе a идужи BB′ Једноставноседоказуједаје △AMB ∼ = △AMB′ ,одаклеизлази AB = AB′,тј. AB = A′B′

(iii) A, B / ∈ a, AB ∥ a.Тадаје AA′ = BB′ и AA′ ∥ BB′,паје AA′B′B паралелограм,одаклеизлази AB = A′B′

(iv) A, B / ∈ a, AB ⊥ a.Акоје M пресекправе AB иправе a,тадапостоједве могућности.Акосу A и B саистестранеправе a,тадаје,рецимо, AB = AM BM = A′M B′M = A′B′.Акосу A и B саразнихстранаправе a,ондаје AB = AM + BM = A′M + B′M = A′B′ .

(v)Уосталимслучајевима,некаје C пресекправекојасадржитачку A паралелнеправој a иправе BB′ инекаје C′ њојсиметричнатачкауодносунаправу a;сл.129.Тадаје AC = A′C′ (наоснову(iii)), BC = B′C′ (наоснову(iv))и < ) ACB = < ) A′C′B′ (правиуглови).Стогаимамо: △ABC ∼ = △A′B′C′ ,одаклеизлази AB = A′B′

Зафигуру F равни α кажемодајеосносиметрична акопостојиправа a равни α таквадазасвакутачку M ∈F постојитачка M ′ ∈F којајојјесиметричнау односунаправу a

Акоје S средиштедужи AA′ ,ондакажемодасутачке A и A′ симетричне у односунатачку S.Специјално,тачка S симетричнајесамасебиуодносунатачку S.Прематоме,акоје S дататачкауравни α,засвакутачку A ∈ α постојиједна исамоједнатачка A′,симетричнатачки A уодносунатачку S.Тимеједефинисанопресликавање σ : α → α којесеназива централнасиметрија (рефлексија)у односунатачку S.Тачка S je центарсиметрије σ Централнасиметријајеизометријскопресликавање.Заиста,некаје S дата тачкауравни α инекасутачке A, A′ ,затим B, B′ симетричнеуодносунатачку S.Доказаћемодаје AB = A′B′.Разликујемоследећеслучајеве: (i) S ∈ AB и A S B.Тадаје AB = AS + SB = A′S + SB′ = A′B′ .

5. Некеспецијалнеизометријскетрансформације 141

(ii) S / ∈ AB и није A S B.Акоје SB>SA,тадаје AB = SB SA = SB′ SA′ = A′B′,аакоје SB<SA ондаје AB = SA SB = SA′ SB′ = A′B′

(iii) S / ∈ AB;сл.130.Тадасу,наоснову(СУС)троуглови SAB и SA′B′ подударни,паје AB = A′B′ Зафигуру F равни α кажемодаје централносиметрична акопостојитачка

S ∈ α таквадазасвакутачку M ∈F постојитачка M ′ ∈F којајојјесиметрична уодносунатачку S.

Питања

1. Оснаицентралнасиметрија.

2. Штасуосноицентралносиметричнефигуре?

Задаци

1. Одредитискупправихкојечинеосесиметријеприпресликавањудатеправе a насаму себе.

2. Одредитискупсвихосасиметријекојимаседатикругпресликаванасамогсебе.

3. Далисуједнакостраничантроугао,квадрат,правиланпетоугаоиправиланшестоугао осносиметричнефигуреиколикоосасиметријеимају?

4. Штајеосасиметријезадвепаралелнеправе,аштазадвеправекојесесеку?

5. Конструисатиосносиметричнуфигурудатомпаралелограмуакоосасиметријесечедве његовесуседнестранице.

6. Права p сечедуж AB.Конструисатитачку C направој p такодаправа p будесиметрала угла < ) ACB

7. Конструисатиједнакокракитрапез ABCD акосудататемена A, B,затимтачка M која припададијагонали AC иакоје 2CD = AB.

8. Некасутачке A и B саистестранеправе p унекојравни α.Одредитинаправој p тачку M такодазбирдужи AM и BM будеминималан.

9. Датесудужи a и ha.Конструисатитроугао ABC минималногобиматакодаје BC = a идајевисинаизтемена A једнака ha

10. Датјеоштаругао < ) aOb итачка C уњему.Конструисатитачке A и B накрацима Oa и Ob такода ABC иманајмањимогућниобим.

11. Датисуправаидвакругауравни.Конструисатиједнакостраничнитроугаотакодасвакикругсадржипоједноњеговотеме,адаправасадрживисинуизтрећегтемена.

12. Конструисатиједнакокракитроугаоуписанудатикругакоједатаједнатачкаосновице троугла,ависинакојаодговараосновицијенормалнанадатуправу.

13. Датајеправа p икругови k1, k2.Конструисатиромбчијадвасупротнатеменаприпадају датимкруговима,адругадвадатојправој p,причемуједатаидужинатедијагонале.

14. Одредитискупсвихтачакакојесуцентарсиметријекојадатуправу a пресликавана самусебе.

15. Одредитискупсвихтачакакојесуцентарсиметријекојадатуправу a пресликаваудату праву b

16. Доказатидајепаралелограмцентралносиметричнафигура,тј.дапостојитачка C таква дазасвакутачку M паралелограмапостојитачка M ′ паралелограмакојајојјесиметричнауодносуна C

17. Некаје M тачкауравнинекогчетвороугла.Доказатидасутачкесиметричнетачки M уодносунасредиштастраницадатогчетвороуглатеменапаралелограма.

18. Конструисатиквадратакоједатњеговцентаридветачкекојеприпадајуњеговимнаспрамнимстраницама.

19. Некаје A једнаодпресечнихтачакакругова k1 и k2.Конструисатиправу p којасадржи тачку A,сечекруг k1 утачки P1 акруг k2 утачки P2 такодаје AP1 = AP2.

20. Датјекруг k,права p итачка S.Конструисатитачке A и B такодатачка A лежинакругу k,тачка B направој p ида S будесредиштедужи AB

21. Датесуправе a и b итачке P и Q.Конструисати △ABC такодатачка A лежинаправој a,теме B направој b итакода P и Q будусредиштастраница AC,односно BC

5.2.Векториитранслација Свакадуж AB одређуједвемеђусобноразличите усмеренедужи илидва вектора.Тосу:вектор # « AB гдетачку A сматрамопочетном,атачку B завршном,и вектор # « BA гдетачку B сматрамопочетном,атачку A завршном(крајњом).Такођесматрамодаједнатачка A одређујевектор # « AA којисезове нула-вектор Напомена1. Разликаизмеђудужи AB ивектора # « AB сличнајеразлициизмеђускупа {A,B},гдередоследелеменатанијебитаниуређеногпара (A,B) гдесезнадаје A први,а B другиелемент.

Дужинавектора # « AB је,подефиницији,дужинадужи AB.Специјално,нулавекторимадужину 0 Акодвавектора # « AB и # « CD припадајупаралелнимправама,кажемодаимају једнакеправце.Задвавектораједнакихправацакажемодасу једнакоусмерени aко суњиховекрајњетачке B и D саистестранеправе AC;сл.131.Упротивном,тј.ако вектори # « AB и # « CD имајуједнакеправце,атачке B и D сусаразнихстранаправе AC,ондакажемодасутивектори супротноусмерени;сл.132.Специјално,ако векториприпадајуједнојправој,онисуједнакоусмерениакојепресекполуправих AB и CD (сапочетнимтачкама A,односно C)једнаодњих;иначесусупротно усмерени.Насл.133пресекполуправих AB и CD јеполуправа CD,ивектори # « AB и # « CD суједнакоусмерени.

5. Некеспецијалнеизометријскетрансформације 143

међусобноједнаки.Једноставносепроверавадајеједнакоствекторарелацијаеквиваленције,тј.даважи: # « AB = # « AB, # « AB = # « CD ⇒ # « CD = # « AB, #

Пример2. Задатутачку A идативектор # « CD постојитачноједнатачка B таквадаје # « AB = # « CD.Заиста,акотачка A неприпадаправој CD,некаје a праватаквада A ∈ a и a ∥ CD.Саонестранеправе AC сакојејетачка D постојитачноједнатачка B таквадаје AB = CD;сл.134.Тадаје # « AB = # « CD.Случајкад A ∈ CD препуштамочитаоцу.

Пример3. Акоје # « AB = # « CD,тадаје # « AC = # « BD.Заиста,аковектори # « AB и # « CD припадају једнојправој,ондасувектори # « AC и # « BD једнакоусмерениазањиховедужиневажи: AC = AB ± BC, BD = CD ± BC,зависноодраспоредатачака A, B, C, D,паје AC = BD.Ако вектори # « AB и # « CD припадајупаралелнимправама,тадаје ABCD паралелограм(сл.135)па је AC = BD и AC ∥ BD.Какосутачке C и D саистестранеправе AB закључујемодасу

вектори # « AC и # « BD једнакихдужинаидасуједнакоусмерени;дакле, # « AC = # « BD

Пример4. Задативектор # « AB,билокојивекторједнаквектору # « BA је супротан вектору # « AB иозначавасе # « AB

Дефинисаћемосадасабирањевектора.Некајевектор # « BC надовезаннавектор

# « AB,тј.почетнатачкавектора # « BC јекрајњатачкавектора # « AB.Тадаје,подефиницији, # « AB + # « BC = # « AC;сл.136.

Акосу # « AB и # « CD двапроизвољнавектора,некајевектор # « BE надовезанна

вектор # « AB,причемује # « BE = # « CD.Тадаје,подефиницији, # « AB + # « CD = # « AE;сл. 137.

Разликавектора # « AB и # « CD је,подефиницији,збирвектора # « AB и # « CD,тј.збир

вектора # « AB и # « DC;дакле, # « AB # « CD = # « AB +( # « CD).Насл.137имамо # « BF = # « CD, паје # « AB # « CD = # « AF

Пример5. Некасу # « AB и # « AD векторисаистомпочетномтачком A инекаје C тачка,таква даје ABCD паралелограм;сл.138.Тадаје # « AB + # « AD = # « AC и # « AB # « AD = # « DB.Проверити. Вектореозначавамоималимсловималатинскеазбукесастрелицама.Завектор #« a његовудужинуозначавамо | #« a | илисамо a.Специјално,свакинула-вектор означавамо ⃗o.

Засабирањевектораважесличнизаконикаозасабирањебројева.Наиме,за произвољневекторе

сабирајућиовеједнакостидобијамо(

реаланброји #« a (= #« o ) вектор,тадаје,подефиницији α #« a ,векторчијаједужина |

|a,икојије једнакоусмеренсавектором #« a акоје α> 0,асупротноусмеренакоје α< 0.Ако je α =0 или #« a = #« o тадаје,подефиницији,

#« b вектори,тадасемогудоказатиследеће једнакости: (α + β) #« a = α

#« a и #« b постојиброј α =0 такавдаје #« a = α #« b ,ондакажемо

5. Некеспецијалнеизометријскетрансформације 145

Специјално,акоје D средиштедужи BC,ондаје α = β = 1 2 , паиз(2)добијамо # « AB + # « AC =2 # « AD Сл. 140 Сл. 141

Некаје #« a дативекторинекаје A

произвољнатачкаравни α.Тада,каошто знамо(видетиПример2,стр.143)постојиједнаисамоједнатачка A′ таквадаје # « AA′ = #« a .Прематоме,акоје #« a дативекторравни α,можемодадефинишемоједно пресликавање τ : α → α којетачки A ∈ α додељујетачку A′ ∈ α таквудаје # « AA′ = #« a ;другимречима, τ (A)= A′ ⇔ # « AA′ = #« a .Овакодефинисанопресликавање τ називасе транслација завектор #« a Транслацијомзадативектор #« a произвољанвектор # « AB пресликавасеувектор # « A′B′ којимујеједнак.Заиста,транслацијомзавектор #« a тачка A пресликавасеу

тачку A′ ,атачка B утачку B′ причемује # « AA′ = # « BB′ = #« a ;сл.141.Стогаје(Пример

3,стр.143) # « AB = # « A′B′

Напомена2. Изједнакости # « AB = # « A′B′ излази AB = A′B′,штозначидајетранслација

изометријскопресликавање. Питања

1. Којајеразликаизмеђудужи AB ивектора # « AB?

2. Штазначидасувектори # « AB и # « CD једнако,односносупротноусмерени?

3. Кадсудвавектораједнака?Далијеједнакоствекторарелацијаеквиваленције?

4. Какоседефинишу:сабирањевектора,одузимањевектора,множењевекторабројем?

5. Штајетранслацијазадативектор?

Задаци

1. Задатевекторе #« a и #« b конструисативекторе

2. Задатевекторе

5. Некасу #« a , #« b , #« c , #« d векториинекаје

= 2 #« d +4 #« c 2 #« b .Аковектори #« m, #« n и #« p чинестраницетроугла,доказатидавектори #« a , #« b , #« c и #« d чинестраницечетвороугла.

6. Користећисевекторима,доказатидаједужкојаспајасредиштадвејустраницатроугла паралелнатрећојстраницииједнакањенојполовини.

7. Некасу A1, B1, C1 средиштастраница BC, AC, AB троугла ABC инекаје M произвољнатачкауравнитогтроугла.Доказатидаје # « MA + # « MB + # « MC = # « MA1 + # « MB1 + # « MC1.

8. Акоје T тежиштетроугла ABC,доказатидаје # « TA + # « TB + # « TC = #« o .Далисеможе конструисатитроугаочијесустраницеједнакетежишнимдужиматроугла ABC?

9. Некасу T и T1 тежиштатроугла ABC,односно PQR.Доказатидаје # « AP + # « BQ + # « CR = 3 # « TT1

10. Некаје T тежиштетроугла ABC инекаје M некатачкауњеговојравни.Доказатидаје 3 # « MT = # « MA + # « MB + # « MC

11. Некасу P , Q, R, S средиштастраница AB, BC, CD, DA четвороугла ABCD.Доказати даје 2 # « PR = # « BC + # « AD и 2 # « SQ = # « AB + # « DC.

12. Некасу M и N средиштастраница AB и DC четвороугла ABCD,инекасу E и F тачке такведасучетвороуглови NDAE и NCBF паралелограми.Доказатидаје M средиште дужи EF

13. Уравничетвороугла ABCD одредититачку M таквудаје # « MA+ # « MB + # « MC + # « MD = #« o

14. Некасу p и q двеправекојесесекуинекаје #« a дативектор.Одредититачке P , Q такве да P ∈ p, Q ∈ q и # « PQ = #« a

15. Акосувектори #« p , #« q , #« r дативектори,доказатидасувектори #« a , #« b гдеје #« a =3 #« p 15 #« q 6 #« r , #« b =10 #« q 2 #« p +4 #« r колинеарни.

16. Акоје #« a = #« b λ #« c , #« b = #« c + λ #« a и λ =1,доказатидасувектори #« a , #« b и #« c колинеарни.

17. Датасудвакруга k1 и k2 сацентрима C1 и C2 идуж AB.Одредититачке M, N такода важи: M ∈ k1, N ∈ k2, MN = AB, MN ∥ C1C2

18. Некаје k′ кругкојиседобијатранслацијомдатогкруга k задативектор #« a .Акоправа p, паралелнавектору #« a ,сечекруг k утачкама A и B,акруг k′ утачкама A′ и B′ ,доказати даје AB = A′B′

19. Конструисатидужједнакуипаралелнудатојдужи,такодаједанњенкрајприпададатој правој,адругидатомкругу.

20. Датјекруг k итачка C.Конструисатикругсацентромутачки C којисечедатикруг k такодајезаједничкатетиватадвакругаједнакадатојдужи.

21. Датасудвакруга k1 и k2 иправа p.Конструисатиправу a паралелнуправој p којаје сечицакругова k1 и k2 таквадасуодговарајућететивекругова k1 и k2 једнаке.

22. Конструисатипаралелограм ABCD акосудатадвањеговатемена A и B,адругадва припадајудатомкругу.

5.3.Усмерениугаоиротација Свакиугао < ) pOq одређуједвамеђусобноразличитаусмеренаугла;тосу < ) # « pOq гдекрак Op сматрамопочетним,акрак Oq завршнимиугао < ) # « qOp гдекрак Oq сматрамопочетним,акрак Op завршним.Акојеугао < ) pOq представљеннасл.

5. Некеспецијалнеизометријскетрансформације 147

142

143

144

142,тадајеусмерениугао < ) # « pOq представљеннасл.143,аусмерениугао < ) # « qOp на сл.144.Каоштовидимо,стрелица,,удара“узавршникракусмереногугла. Притоме,акострелицакојомнаслиципредстављамоусмерениугаоприказујекретањеказаљкенасату,ондакажемодајеугао негативноусмерен (илиоријентисан).Усупротномслучајукажемодајеугао позитивноусмерен (оријентисан).

Пример1. Усмерениугао < ) # « pOq приказаннасл.143јенегативноусмерен,докје < ) # « qOp, приказаннасл.144,позитивноусмерен.

Природно,акосудвауглапозитивно(илинегативно)усмерена,ондакажемо дасу једнакоусмерена.Акојеједанпозитивно,адругинегативноусмерен,онда кажемодасууглови супротноусмерени Задваусмеренаугла < ) # « pOq и < ) # « rO1s кажемодасуједнакиипишемо < ) # « pOq = < ) # « rO1s,akoje < ) pOq = < ) rO1s иакосуједнакоусмерени. Пример2. Некасууравни α датиусмерениугао < ) #« φ идветачке O, A.Тадапостојитачно једнатачка A′ ∈ α таквадаје < ) AOA′ = < ) φ и OA = OA′ . Заиста,акоје Op полуправаодређенапочетномтачком O идатомтачком A,ондапостоји тачноједнаполуправа Oq таквадаје < ) # « pOq = < ) #« φ.Наполуправој Oq постојитачноједнатачка A′ таквадаје OA = OA′;сл.145.

Сл. 145 Сл. 146

Аналогнокаоуслучајувектора(усмеренихдужи)изаусмеренеугловеможемодадефинишемосабирање,одузимањеимножењебројем. Наиме,некасу < ) # « pOq и < ) # « rO1s дваусмеренауглауравни α.Некаје < ) # « qOt усмерениугаоједнакусмереномуглу < ) # « rO1s;сл.146.Тадаје,подефиницији, < ) # « pOq + < ) rO1s = < ) pOt. Задатиусмерениугао < ) # « pOq свакиугаоједнакусмереномуглу < ) # « qOp је супротан углу < ) # « pOq иозначавасе < ) # « pOq.

Разликаусмеренихуглова

,акоје λ< 0.

Пример3. Насл.147приказанису

Некасу O и

свакутачку A ∈

дататачкаидатиусмерениугаоуравни

постојитачноједнатачка

OA = OA′,тимеједефинисанопресликавање ρ

којетачку A пресликава утачку A′ наследећиначин:

Такођеје,подефиницији, ρ(O)= O.Такодефинисанопресликавање ρ назива се ротацијаокотачке O заусмерениугао < ) #« φ.

Ротацијаокотачкејеизометријскопресликавање.Заиста,акосетачка A′ добијаротацијомтачке A,атачка B′ ротацијомтачке B окотачке O заугао < ) #« φ, доказаћемодаје AB = A′B′ .

Разликујемодваслучаја.Акотачка O припадаправој AB,тадаје AB = AO ± OB,зависноодраспоредатачака A, B, O.Какоје,подефиницијиротацијеоко тачке O, AO = A′O, OB = OB′,закључујемодаје AB = A′B′.Акотачка O не припадаправој AB,тадаимамо: < ) AOB = < ) AOA′±< ) BOA′ и < ) A′OB′ = < ) BOB′± < ) BOA′,пакакоје,подефиницијиротације, < ) AOA′ = < ) BOB′,закључујемодаје < ) AOB = < ) A′OB′.Опетподефиницијиротације,имамо OA = OA′ и OB = OB′ , панаоснову(СУС)важи △AOB ∼ = △A′OB′ ,одаклеизлази AB = A′B′ . Пример4. Централнасиметријауодносунатачку O јеротацијаокотачке O заопружен угао(билопозитивно,билонегативнооријентисан).

Питања

1. Штајепозитивно,аштанегативноусмерен(оријентисан)угао?

2. Кадкажемодасудвауглаједнако,односносупротноусмерена?

3. Штајеротацијаокотачке O заусмеренугао < ) #« φ?

6. Сличност 149

Задаци

1. Датјеједнакостраничантроугао ABC.Извршитиротацијудатогтроуглаокотачке B за 120◦

2. Датјеквадрат ABCD.Извршититранслацијудатогквадратазавектор # « AB + 1 2 « AC.Тако добијениликротиратиокотемена A за 60◦

3. Датиромбоштрогугла 60◦ пресликатицентралномсиметријомуодносунатеме C,a затимтакодобијениликротиратиокотемена C за 90◦

4. Датесудветачке O и A.Ротиратитачку A окотачке O за 120◦,азатимтакодобијену тачкуротиратиокотачке O за 120◦.Доказатидасутачка A итакодобијенедветачке теменаједнакостраничногтроугла.

5. Датајетачка A наједнојстранициквадрата.Конструисатитачке B и C којеприпадају страницаматогквадрататакодатроугао ABC будеједнакостраничан.

6. Конструисатиквадрат ABCD акосудатињеговцентар O,затимтачка P којаприпада страници AB итачка Q којаприпадастраници BC.

7. Датесудвеједнакедужи AB и A1B1 уравни α.Конструисатитачку O ∈ α таквудасе дуж AB ротацијомокотачке O пресликаваудуж A1B1.

8. Надстраницама AB и AC троугла ABC конструисанисуједнакостраничнитроуглови ABE и ACF .Тачке C и E неналазесесаистестранеправе AB,доксетачке B и F налазесаистестранеправе AC.Доказатидаје EF = BC

9. Направој p датесутачке A, B, C такодаје A B C.Наддужима AB и BC конструисанисуједнакостраничнитроуглови ABD и BCE саистестранеправе p.Некаје M средиштедужи AE,a N средиштедужи CD.Доказатидајетроугао BNM једнакостраничан.

10. Датесуправе a и b итачка S којаимнеприпада.Конструисатикругсацентромутачки S којисечедатеправеутачкама A и B такодаје < ) ASB =60◦

11. Конструисатиједнакостраничнитроугаодатестранице a,чијадватеменаприпадајудвемадатимпаралелнимправама,атрећетеметрећојправојкојаихсече.

12. Датјеугао < ) pOq итачка A уобластитогугла.Конструисатиједнакокракитроугаоса врхом A иоштримуглом < ) BAC једнакимдатомуглу α такодатемена B и C будуна крацима Op и Oq

13. Окоправоугаоникачијесустранице a и b (a>b)описанјекруг.Ротиратиправоугаоник окопресекањеговихдијагоналаза 90◦.Израчунатиповршинуоногделадискакојиније ,,покривен“правоугаоницима.

14. Једнакостраничантроугаостранице a ротираокосвогцентраза 60◦.Израчунатиповршинутакодобијене,,звезде“.

15. Кругполупречника 1 ротиразаугао 60◦ окотачке S којајеодцентракругаудаљеназа 6.Израчунатиповршинукојукругприликомротације,,покрива“.

6.СЛИЧНОСТ

6.1.Размерадужиивектора

strana150

150 Елементарнагеометрија

Одавдедобијамо AB = aMN = a b (bM N )= a b CD,или AB = kCD,гдејеставље-

но k = a b

Дакле,засвакедведужи AB и CD постојитачноједанпозитиванброј k

такавдаје AB = kCD.Такођепишемо AB CD = k,причемусеброј k назива размера

дужи AB и CD.

Акозачетиридужи AB, CD, A′B′ , C′D′ важи AB CD = k и A

пишемо AB CD = A′B′ C′D

и кажемодасудужи AB и CD пропорционалне дужима A

B′ и C′D′ . Пример1. Акоје AB CD = A′B′ C′D′ , ондаје AB A′B′ = CD C′D′ Заиста,акоје AB CD = A′B′ C′D

CD = rC′D′,паје AB A′B′ = CD C′D′ = r Некаје AB = kCD,гдеје k> 0.Акосувектори # « AB и # «

једнакоусмерени, тадаизједнакости AB = kCD излази #

AB = k

.Акосувектори # « AB и # « CD супротноусмерени,тадаиз AB = kCD излази # « AB = k # « CD.Аковекторинису истогправца,ондаизједнакости AB = kCD неслединикакавзакључакзањих.

Прематоме,засвакадваненулавектора # « AB и # « CD којиприпадајупаралелним правама,тј.којисуколинеарни,постојиреаланброј k такавдаје # « AB = k # « CD Такођепишемо « AB « CD = k и кажемодајеброј k размеравектора # « AB и # « CD

Напомена1. Наглашавамодвебитнеразликеизмеђуразмередужиивектора.Засваке дведужипостојињиховаразмераионајепозитиванброј.Сдругестране,говоримооразмери искључивоколинеарнихненулавектораитадајењиховаразмерапозитиванилинегативан број.

6. Сличност

Доказујемонаведенотврђење.Вектори

# « SA k # « SB = # « SA′ k # « SB′ = #« o ,одаклеизлази SA = |k|SB,

Важииобратнотврђење.Наиме,акосеправе p и q секуутачки S иакоих

праве a и b секуутачкама A, A′ , B, B′ таквимдаје SA SB = SA′ SB′ , ондасуправе a и b паралелне. Заиста,акоправа a нијепаралелнаса b,ондапостојиправа a ′ којасадржи тачку A ипаралелнајеса b;сл.150.Ако a ′ сечеправу q утачки A′′,причемује A′′ = A′,тада,наосновувећдоказаногтврђењаимамо SA SB = SA′′ SB′ , штозаједно

са SA SB = SA′ SB′ даје SA′ SB′ = SA′′ SB′ , тј. SA′′ = SA′.Томеђутимзначидаје A′′ = A′ , супротнопретпоставци.Прематоме, a ∥ b

Доказанатврђењазаједноисказујемоуследећемоблику. (T1)Некасеправе p и q секуутачки S,некаправа a сечеправе p и q редому тачкама A, A′,инекаправа b сечеправе p и q редомутачкама B, B′.Тада: a ∥ b ⇔ SA SB = SA′ SB′

Овотврђењесеназива

152

Некасу a и b паралелнеправекојесекуправу

пресечнатачкаправих

основуТалесоветеоремеимамо

Елементарнагеометрија

.Једнаодњихприпададужи AB иостварујењену унутрашњу поделу,адругајеизвандужи AB

спољашњу поделу. Напомена2. Горњаконструкцијаизведенајеподпретпоставкомдаје m = n.Акоје m = n,праве MN2 и AB супаралелнеинемајузаједничкихтачака,аправа MN1 сечедуж AB у њеномсредишту.

Питања

1. Акосу AB и CD дужи,штаје AB CD ?

2. Акосу # « AB и # « CD вектори,штаје # « AB « CD ?

3. Штазначидасудужи AB и CD пропорционалнедужима EF и GH?

4. Далијееквиваленција # « AB = k # « CD ⇔ AB = kCD тачна?

5. Талесоватеорема.

6. Штајеунутрашња,аштаспољашњаподеладужи?

Задаци

1. Извршитиунутрашњуподелудужи AB уодносу 5:4

2. Извршитиунутрашњеподеледужи AB тачкама C и D такодаважи AC : DB =7:2, а AB : CD =4:1

3. Дужинадужи AB je 78.Израчунатидужинедужи AC, CD и DB акоје AC : CD =3:2 и CD : DB =5:7

4. Утроуглу ABC дуж DE јепаралелнастраници AC,причемутачка D припадастраници AB,атачка E страници BC.Акоје AB =15, AD =3 и BC =25,наћи DB, CE и EB

5. Утроуглу ABC дуж DE јепаралелнастраници AC,причемутачка D припадастраници AB,атачка E страници BC.Акоје AD : DB =3:5 и BC : AB =3:2,израчунати BE и CE.

6. Задатедужи a, b, c конструисатидуж x такодаважи a : x = b : c.

7. Задатедужи a и b ијединичнудуж 1,конструисатидужи a : b, ab, a 2 , a 2b, a 2 : b, ab + b2

8. Теме A троугла ABC јеванлистасвеске.Конструисатисредиштедужи AB

9. Темена A и B троугла ABC суванлистасвеске.Конструисатитежиштетроугла ABC

10. Уоштромуглу < ) pOq датајетачка S.Конструисатиправу s којасадржитачку S,акраке Op, Oq датогугласечередомутачкама P , Q такодаје PS : SQ =1:3.

11. Уједнакокракомтроуглу ABC основица AB једнакајеполовиникрака.Акоје D подножјенормалеизтемена A на BC,доказатидаје BD : DC =1:7.

12. Некасу C1 и C2 центридвакругаполупречника 3 и 12,таквидаје C1C2 =18.Две заједничкетангентетихкруговасекусеутачки A,адвеутачки B,причему A и B припадајуправој C1C2.Израчунатиразмере AC1 : AC2 и BC1 : BC2

6. Сличност 153

13. Наћиодноскатетаправоуглогтроуглаакосевисинаитежишнадужкојеодговарају хипотенузиодносекао 40:41

14. Датјетрапезосновица a и b (a>b

).Израчунатидужинуодсечкакојинасредњојдужи трапезаобразујуњеговедијагонале.

15. Утрапезучијесуосновице a и b (a>b)конструисанаједужпаралелнаосновицама крозпресекдијагоналатрапеза,причемукрајњетачкетедужилеженакрациматрапеза. Израчунатињенудужину.

16. У △ABC симетрала < ) C сечестраницу AB утачки E.Правакојапролазикрозсредиште

D странице AB икојајепаралелнаса CE сечестраницу BC утачки F ,аправу AC у тачки G.Доказатидаје BF = AG

17. Доказатидасиметралаунутрашњегугла < ) C троугла ABC делинаспрамнустраницу AB уодносу AC : BC

18. Доказатидасиметраласпољашњегугла < ) C

делинаспрамнустраницу AB троугла ABC спољашњомподеломуодносу AC : BC

19. Доказатидаправаодређенапресечномтачкомдијагоналаипресечномтачкомправих којесадржекракетрапезаполовиобеосновицетрапеза.

6.2.Сличностихомотетија Некаје α извеснаравани k позитиванреаланброј.Пресликавање f : α → α

којеје 1 1 итакводазабилокоједветачке A, B ∈ α важи A′B′ = kAB,

гдеје A′ = f (A), B′ = f (B) називасе трансформацијасличности,аброј k се

назива коефицијентсличности Некасу A, B, C тритачкетакведаје A B C инекасу A′ , B′ , C′ њихове сликепритрансформацијисличностисакоефицијентом k.Тадаје A′ B′ C′ Заиста,подефиницијије A′C′ = kAC.Какоје A B C,имамо AC = AB + BC,паје A′C′ = k(AB + BC)= kAB + kBC.Међутим,опетподефиницији, имамо A′B′ = kAB, B′C′ = kBC,паје A′C′ = A′B′ + B′C′,штозначидаје A′ B′ C′ (јербииначебило A′B′ + B′C′ >A′C′).

Наосновудоказаногтврђењазакључујемодасетрансформацијомсличности дужпресликаваудуж,полуправауполуправу,правауправу,угаоуугао,итд. Напомена1. Акоје k =1,трансформацијасличностипостајеизометрија,атоје,као штознамо,пресликавањекојенемењадужинудужи.Акоје k =1,трансформацијасличности скраћује,односноповећавадужинудужи,зависноодтогадалије k< 1 или k> 1

Трансформацијомсличностиугао < ) pOq пресликавасеуугао < ) p ′O′ q ′ којиму јеједнак.Заиста,акоје < ) pOq датиугаоуравни α иакоје f : α → α трансформација сличности,тајугаосепресликавауугао < ) p ′O′ q ′.Доказаћемодаје < ) pOq = < ) p ′O′ q ′ .

Некасу P и Q произвољнетачкеполуправих Op и Oq.Онесепресликавајутрансформацијомсличности f сакоефицијентом k(=1) утачке P ′ и Q′ полуправих O′ p ′ и O′ q ′ такведаје O′P ′ = kOP и O′Q′ = kOQ.Некасу P1 и Q1 тачкеполуправих O′ p ′ и O′ q ′ такведаје OP = O′P1 и OQ = O′Q1;сл.153.Тадаје O′P ′ = kOP = kO′P1 и O′Q′ = kOQ = kO′Q1,паје O′P ′ O′P1 = O′Q′ O′Q1 = k,

strana154

154

Елементарнагеометрија

одакле,наосновуТалесоветеоремезакључујемодаје P ′Q′ ∥ P1Q1.Стогаје,опет наосновуТалесоветеореме, P ′Q′ P1Q1 = k, тј. P ′Q′ = kP1Q1.Какоје,подефиницији, P ′Q′ = kPQ,закључујемодаје kP1Q1 = kPQ,тј. P1Q1 = PQ.Прематоме, имамо: OP = O′P1, OQ = O′Q1, PQ = P1Q1,панаоснову(ССС)видимодаје △OPQ ∼ = △O′P1Q1,одаклеизлази < ) POQ = < ) P1O′Q1,тј. < ) pOq = < ) p ′O′ q ′ Сл. 153 Сл. 154

Пример1. Некајеуравни α дат △ABC инекаје f : α → α трансформацијасличности сакоефицијентом k,прикојојје f (A)= A′ , f (B)= B′ , f (C)= C′.Тадасе △ABC пресликава на △A′B′C′,причемује A′B′ = kAB, B′C′ = kBC, A′C′ = kAC, < ) A′ = < ) A, < ) B′ = < ) B, < ) C′ = < ) C;сл.154.

Задвефигуре F1 и F2 равни α кажемодасу сличне,уознаци F1 ∼F2,ако

постојитрансформацијасличностикојафигуру F1 пресликаванафигуру F2 Једноставносепроверавадајесличностфигурарелацијаеквиваленције. Пример2. ТроугловиизПримера1суслични. Пример3. Многоуглови

дасудвамногоугласличнаакосуимодговарајућиугловиједнаки,аодговарајућестранице пропорционалне.

Некаје S тачкаравни α инекаје k(=0) реаланброј.Тадазабилокојутачку A ∈ α постојитачноједнатачка A′ таквадаје # « SA′

.Стогаможемодадефинишемопресликавање h : α → α којетачки

таквуда је # « SA′ = k # « SA;другимречима, h(

Овакодефинисанопресликавањеназивасе хомотетија

Тачка S je центар,аброј k je коефицијент хомотетије h

Хомотетијајетрансформацијасличности.Заиста,некаје h хомотетијасацентром S икоефицијентом k инекаје AB произвољнадуж.Акоје h(A)= A′ , h(B)= B′,тадаје # « A′B′ = # « SB′ # « SA′ = k # « SB k # « SA = k( # « SB

6. Сличност 155

« SA)= k # « AB одаклеизлази A′B′ = |k|AB.Дакле,хомотетијасакоефицијентом k је једнатрансформацијасличностисакоефицијентом |k| Напомена2. Двамогућнаслучајаприказанасунасл.155.Посебнотребаиспитатислучај кадацентархомотетијеприпадаправој AB

Напомена3. Упретходномдоказудошлисмодоједнакости # « A′B′ = k # « AB,штозначидасе хомотетијомправапресликавауправукојајојјепаралелна.Специјално,акоцентархомотетије припадаправој,ондасетаправапресликаванасамусебе.

Задвефигурекажемодасухомотетичнеакопостојихомотетијакојаједну пресликаванадругу.

Пример4. Двамногоугласухомотетичнаакоисамоакосуимодговарајућестранице пропорционалнеипаралелне.

Питања

1. Штајетрансформацијасличности,аштакоефицијентсличности?

2. Далитрансформацијасличностиможебитиизометрија?

3. Кадкажемодасудвефигуресличне?Далијесличнострелацијаеквиваленције?

4. Штајехомотетија,аштакоефицијентхомотетије?

5. Далијехомотетијатрансформацијасличности?Каквавезапостојиизмеђуњиховихкоефицијената?

6. Кадасудвамногоугласлична,акадхомотетична?

6.3.Сличностихомотетичностнекихфигура

Каоштознамо,троуглови

AC Међутим(каоикодподударности) дабисеустановиласличностдватроугланијепотребнодоказиватисвеовеједнакости;довољноједоказатидвеодњих.Наиме,билокојиодследећихпарова једнакости:

(ссс) A′B′ AB = B′C′ BC = A′C′ AC ; (ууу) < ) A = < ) A′ , < ) B = < ) B′ ; (сус) A′B′ AB = A′C′ AC , < ) A = < ) A′;(ссу) A′B′ AB = B′C′ BC , < ) A = < ) A′ , узуслов: < ) C и < ) C′ суобаоштри, обаправиилиобатупи имазапоследицу: △ABC ∼△A′B′C′.Еводоказа. (ссс)Некаје A′B′ AB = B′C′ BC = A′C′ AC = k.Некасу B1 и C1 тачкеполуправих A′B′ , односно A′C′ такведаје A′B1 = AB, A′C1 = AC.Собзиромдаје A′B′ = kAB = kA′B1 и A′C′ = kAC = kA′C1,имамо A′B′ A′B1 = A′C′ A′C1 , пајенаосновуТалесове теореме B1C1 ∥ B′C′,паје B′C′ = kB1C1.Собзиромдаје B′C′ = kBC,добијамо

(сус)Некасутачке B1 и

конструисанекаораније.Наоснову(СУС)имамо △ABC ∼ = △A′B1C1,паје B1C1 = BC, < ) B = < ) B1.Каоиранијеналазимо B1C1 ∥

B′C′,паје < ) B1 = < ) B′,тј. < ) B = < ) B′,икакојепопретпоставци < ) A = < ) A′,овај случајјесведеннапретходни.

(ссу)Некаје A′B′ = kAB, B′C′ = kBC, < ) A = < ) A′ ,доксууглови < ) C и < ) C1 обаоштри,обаправи,илиобатупи.Каоираније,некаје B1 тачкаполуправе A′B′ таквадаје A′B1 = AB.Даље,некаје C1 пресечнатачкаправекроз B1 паралелне са B′C′ иправе A′C′;сл.157.Тадаје < ) A′C1B1 = < ) A′C′B′ (сагласниуглови).С

обзиромдаје B1C1 ∥ B′C′ и A′B′ = kAB = kA′B1,наосновуТалесоветеореме

добијамо B′C′ = kB1C1,пакакојепопретпоставци, B′C′ = kBC,закључујемо

даје BC = B1C1.Стоганаоснову(ССУ)добијамо △ABC ∼ = A′B1C1 идоказсе

завршаваистокаораније.

Уследећимпримеримадоказујемонекатврђењаиизводимонекеконструкцијекористећисличнеихомотетичнефигуре.

Пример1. Некаје △ABC правоугли,саправимугломкодтемена C инекаје D подножје нормалеиз C на AB;сл.158.Тадаје: △ABC ∼△ACD, △ABC ∼△CBD, △ACD ∼△CBD. Заиста,утроугловима ABC и ACD имамо: < ) ACB = < ) ADC (правиуглови)и < ) CAB = < ) DAC(= < ) A),панаоснову(ууу)добијамо △ABC ∼△ACD.Слично,утроугловима ABC и CBD имамо: < ) ACB = < ) CDB (правиуглови)и < ) ABC = < ) CBD(= < ) B),панаоснову (ууу)добијамо △ABC ∼△CBD.Најзад, △ACD ∼△CBD последицајетранзитивности релације ∼,аможеидиректнодасеизведе. Собзиромдаје △ABC ∼△ACD,одговарајућестраницеовихтроугловасупропорционалне,паje AC AB = AD AC , тј. AC2 = AD AB.

6. Сличност 157

Сл. 158

Сл. 159

Слично,из △ABC ∼△CBD добијамо BC AB = DB BC ,тј. BC2 = DB AB.Стогаје

AC2 + BC2 = AD AB + DB AB =(AD + DB)AB = AB AB = AB2,чимејеизведена Питагоринатеорема.

Изсличнихтроуглова ACD и CBD добијамо AD CD = CD DB ,тј. CD2 = AD DB.

Напомена1. Некасу PQ и RS датедужи.Дуж MN таквадаје MN 2 = PQ · RS назива

се геометријскасредина дужи PQ и RS.Наосновугорњегтврђењајаснојекакозадведужи можедасеконструишењиховагеометријскасредина.Наиме,нанекојправој p конструишимо тачке A, D, B такведаје AD = PQ, DB = RS.Некаје k полукругчијијепречник AB

Нормалана AB утачки D сече k утачки C.Дуж CD јегеометријскасрединадужи PQ и RS; сл.159.

Пример2. Датје △ABC.Конструисатиквадрат PQRS чијастраница PQ припадастраници AB, R ∈ BC, S ∈ AC

Некаје ABC датитроугао.Конструишимоквадрат ABQ′P ′ надстраницом AB такода будеизван △ABC.Праве CP ′ и CQ′ секустраницу AB утачкама P и Q.Нормалена AB у тачкама P и Q секустраницу AC,односно BC утачкама S и R;сл.160.Тадаје PQRS тражени

квадрат.

Заиста,фигуре P ′Q′BA и PQRS сухомотетичне;центархомотетијејетачка C.Какоје P ′Q′BA поконструкцијиквадрат,и PQRS јеквадраткојизадовољавадатеуслове.Задатак имасамоједнорешење.

strana158

158

Елементарнагеометрија

Пример3. Некаје k круги P тачкауравникругакојанијенакругу.Некасуправе a и b сечицекруга k којесадржетачку P .Акоправа a сечекругутачкама A и A′ ,аправа b утачкама B и B′,тадаје PA PA′ = PB PB′ .

Разликујемодваслучаја.Некајетачка P укругу k;сл.161.Тадаје < ) APB = < ) B′PA′ (унакрсниуглови)и < ) ABP = < ) B′A′P (угловинадистимлуком AB′),паје △APB ∼ = △B′PA′

Стогасуодговарајућестраницепропорционалне,дакле PA P B = PB′ P A′ одаклеизлази PA PA′ = PB PB′ .

Некајетачка P изванкруга k;сл.162.Тадаје < ) PA′B = < ) PB′A (угловинадистим

луком AB)икакојеугао < ) APB заједничкизатроуглове AB′P и BA′P ,онисуслични,и одговарајућестраницесуимпропорционалне: PA P B′ = PB P A′ ,одаклеизлази PA PA′ = PB

PB′

Напомена2. Наосновудоказаногтврђењазакључујемодабезобзиранаположајсечице којасадржитачку P икојасечекруг k утачкама M и M ′ ,производ PM PM ′ јеконстантан. Онсеназива потенцијатачке P уодносунакруг k

Пример4. Акоје P тачкаизванкруга k иакоправакојасадржитачку P додирујекруг k утачки Q,тадајепотенцијатачке P уодносунакруг k једнака PQ2

Некаје p произвољнаправакојасадржитачку P исечекруг k утачкама A и B;сл.163. Каоштознамо,потенцијатачке P уодносунакруг k једнакаје PA PB итајизразнезависи одизбораправе p којасечекруг k.Какоје < ) PQA = < ) QBA и < ) APQ = < ) QPB,закључујемо дасутроуглови PAQ и PQB слични,пасуњиховеодговарајућестраницепропорционалне, тј.имамо PQ P B = PA P Q , одаклеизлази PQ2 = PA PB.

Сл. 163 Сл. 164

Пример5. Надатојдужи AB конструисатитачку M таквудаје AB : AM = AM : MB Некаје AB датадужинекаје C тачкаванправе AB таквадаје CB ⊥ AB и CB = 1 2 AB Некакруг k сацентромутачки C иполупречником CB сечеправу AC утачкама D и E.Круг k1 сацентромутачки A иполупречником AD сечедуж AB утраженојтачки M;сл.164. Заиста,акоје AB = a и AM = x,тадаје AD = x, MB = a x, DE = a,паје AE = x+a. Потенцијатачке A уодносунакруг k једнакаје AD AE.Какоје < ) ABC прав,права AB је тангентакруга k,панаосновупретходногпримераимамо: AB2 = AD · AE, тј. a 2 = x(x + a)

6. Сличност 159

Из последњеједнакостидобијамо: a 2 = x 2 + xa,тј. x 2 = a 2 ax = a(a x),штојееквивалентноса a x = x a x , тј. AB AM = AM MB

Напомена3. Приметимодајетачка M конструисанатакодаједуж AM геометријска

срединадужи AB и MB

Напомена4. Размера AB : AM изпретходногпримераназивасезлатнаразмера.Такође секажедајетачком M извршен златнипресек дужи AB.Имепотичеотудаштосустарогрчкиматематичарииархитектисматралидаправоугаоникчијесустраницеутојразмериима најлепшиизглед.Иданашњиархитектиуглавномимајуистомишљење. Иначе,однос AB : AM износи 1 2 (√5 +1) иприближнојеједнак 1, 62. Пример6. Датесудвеправе a и b којесесекуитачка P којанеприпаданиједнојодњих. Конструисатикругкојидодируједатеправеипролазикрозтачку P Некасеправе a и b секуутачки S инекаје s симетралаоногугла < ) aSb укомесеналази тачка P .Центарбилокогкругакојидодирујеправе a и b бићенаправој s.Некаје k произвољан кругкојидодирујеправе a и b чијијецентар C.Права SP сечекруг k утачкама P1 и P2.Нека правекроз P паралелнеправама P1C и P2C секуправу s утачкама C1 и C2:сл.165.Тадасу C1 и C2 центрикругова k1 и k2 којипролазекрозтачку P идодирујуправе a и b.Очигледно постоједварешењаовогзадатка.

Сл. 165

Доказпочиваначињеницидасукругови k и k1 хомотетични,причемујецентархомотетије S,акоефицијентје SP SP1 .Истотако,кругови k и k2 сухомотетични,причемујецентар хомотетијеопет S,акоефицијентје SP SP2

Пример7. 11 Акосу k1 и k2 двакругачијисуобими s1 и s2,адужинењиховихпречника d1 и d2,тадаје s1 : s2 = d1 : d2.

Заиста,акопретпоставимодаје s1 : s2 >d

: d

,имамо s1 >λs2.Некаје m1 многоугаоуписанукруг k1 такавдазањеговобим p1 важи:

икакоје s1

160

Питања

1. Навестиставове(ссс),(ууу),(сус)и(ссу).

2. Штајегеометријскасрединадведужи?

3. Штајезлатнипресекдужи?

Задаци

1. Доказатидасувисинекојеодговарајупропорционалнимстраницамасличнихтроугловатакођепропорционалнеуистомодносу.

2. Обимисличнихтроугловапропорционалнисуодговарајућимстраницама.Доказати.

3. Доказатидасуповршинесличнихтроугловапропорционалнеквадратимаодговарајућихстраница.

4. Некасу A′ , B′ , C′ подножјанормалаизтемена A, B, C троугла ABC настранице BC, AC, AB инекаје H ортоцентартроугла ABC.Доказатидаје AH A′H = BH B′H = CH C′H.

5. Датјетроугао ABC.Конструисатитачку D настраници AB такодаје AD : DB =4:7. Некаје E тачкастранице BC таквадаје DE ∥ AC.Акоје BC =22,израчунати CE.

6. Страницеједногтроугласу 18, 26, 14,анајмањастраницањемусличногтроуглаје 21 Наћиосталестраницедругогтроугла.

7. Страницеједногтроугласу 21 и 28,ањеговобим 63.Наћистраницеиобимњемусличногтроугла,акојекоефицијентсличности 3 7

8. Страницеједногтроуглаодносесекао 3:6:5,анајвећастраницањемусличногтроугла је 4, 2.Израчунатиобимдругогтроугла.

9. Доказатидасувисинетроуглаобрнутопропорционалнеодговарајућимстраницама.

10. Површинаједнакокракогтроуглаје 48,једнањеговастраницаје 10,ависинакојане одговаратојстраници 8.Израчунатиобимтогтроугла.

11. Далипостојитроугаочијесувисине 7, 5 и 3?Укомсуодносуодговарајућестранице?

12. Утроуглу ABC датоје: AB =17, CD =24,гдеје D подножјенормалеиз C на AB.На комрастојањуодтемена C требаконструисатиправупаралелнустраници AB такода површинатакодобијеногтроуглабудеуполамањаодповршинедатогтроугла?

13. Управоугломтроуглу ABC,угао < ) C јеправ,акатетесу 12 и 16.Израчунатидужину висинеизтемена C

6. Сличност 161

14. a = 5, c =13; 15. a =25, p =20; 16. b = 4 5 , h = 12 25 ;

17. c = 20, h =8; 18. h =60, q =144; 19. p =0, 09, q =0, 16

20. Страницетроугла ABC су 13, 15 и 14.Наћивисинукојаодговарастраници 14.

21. Користећисегеометријскомсрединомдужи,конструисатидужидужине √7 и √15

22. Надваразличитаначинаконструисатидуждужине √12, користећиистујединичну дуж,иупоредитиих.

23. Акосу a, b, c, d датедужи,конструисатидуж √ac + bd

24. Акосу a, b, c, d датедужи,конструисатидуж √ac bd

25. Акосу a, b, c датедужи,конструисатидуж √ac b2

26. У једнакокракомтроуглуосновице 12 икрака 18 уписанјекруг,азатимјеконструисана тангентанатајкругкојајепаралелнаосновицитроугла.Израчунатидужинуодсечка тангентеизмеђукраковаиобимтакодобијеногједнакокракогтрапеза.

27. Утроуглу ABC датесудвестранице 26 и 30 ивисинакојаодговаратрећој 24.Наћи обим,површину,полупречникуписаногиполупречникописаногкругатогтроугла.

28. Страниценекогчетвороуглаодносесекао 20:15:9:8.Збирдвенајвећестранице њемусличногчетвороуглаје 52, 5.Наћиобимеовихчетвороуглова.

29. Двеодговарајућестраницесличнихмногоугловаизносе 35 и 14,аразликањиховихобимаје 60.Израчунатињиховеобиме.

30. Нормалеиздвасупротнатеменаправоугаониканадијагоналуделејенатриједнакадела. Акојеједнастраницаправоугаоника √2 коликаједруга?

31. Акоутроуглу ABC важи β =2α,доказатидаје b2 = a 2 + ac.

32. Некасу P , Q, R средиштастраница AB, BC, AC троугла ABC.Доказатидапостоји хомотетијакојомсетроугао ABC пресликаваутроугао PQR.Одредитицентарикоефицијенттехомотетије.

33. Удатиоштроуглитроугао ABC уписатиједнакостраничантроугао.

34. Удатиполукругуписатиправоугаоникчијадужастраницаприпадапречнику,аоднос дијагоналеиједнестраницеје m : n

35. Удатитроугао ABC уписатиједнакостраничантроугао PQR такодањеговатемена припадајустраницаматроугла ABC,адаједнањеговастраницаобразујесастраницом AB угаоод 45◦ .

36. Некаје ABC датитроугао.Конструисатиромбчијијеједанугаоједнакуглу < ) A,чија дватеменаприпадајустраници AB,адругадвастраницама BC и AC

37. Конструисатиквадратакоједатоједноњеговотемеисредиштеједнењеговестранице.

38. Некаје k круги P тачкаванњега.Конструисатисечицукруга k којасадржитачку P и сечекруг k утачкама A и B такодаје 2AP = AB

39. Конструисатитроугаоакоједатаједнањеговастраница,угаонањој,иразмерадруге двестранице.

40. Конструисатитроугао ABC акосудатињеговиуглови α и β итежишнадуж tc

41. Конструисатитроугаоакоједатједанњеговугаоитачкакојапредстављањеговотежиште.

42. Некаје P тачкаизванкруга k

тачку P .Акоje PT тангентнадуж,доказатидаје PT 2 = PA · PB

43. Конструисатиправоугаоникакосудатедужи m и n,такодадуж m представљаразлику a b страницаправоугаоника,аповршинаправоугаоникајеједнакаповршиниквадрата странице n

44. Доказатидајезбиркатетаправоуглогтроуглаједнакзбирупречникаописаногиуписаногкругатогтроугла.

45. Доказатидајезбирквадратадијагоналапаралелограмаједнакзбируквадратасвихњеговихстраница.

46. Акосукрацитрапезамеђусобнонормални,доказатидајезбирквадратањеговихдијагоналаједнакзбируквадратаосновица.

47. Доказатидазатежишнедужиправоуглогтроуглаважи t 2 a + t 2 b =5t 2 c ,причемује < ) C прав.

48. Обимромбаје 104,аједнањеговадијагоналаје 48.Израчунатидругудијагоналуиполупречникуписаногкруга.

49. Доказатидасесвакедведијагоналеправилногпетоугласекутакодаихпресечнатачка делипозлатномпресеку.

50. Конструисатиправиланпетоугаоакомуједатадијагонала.

51. Датјеконвексанугао < ) pOq итачка A уњему.Конструисатикругкојипролазикроз тачку A идодирујекракеугла.

52. Доказатидајепроизвододсечакакојепроизвољнатангентакругаодсецанадвемапаралелнимтангентаматогкругаконстантан.

53. Акосутроуглови ABC и A′B′C′ слични,сакоефицијентомсличности k,иакосу S(ABC), S(A′B′C′) њиховеповршине,доказатидаје S(ABC)= k2S(A′B′C′)

54. Акосумногоуглови A1A2 ...An и A′ 1A′ 2 ...A′ n сличнисакоефицијентомсличности k, иакосу S(A1A2 ...An), S(A′ 1A′ 2 ...A′ n) њиховеповршине,доказатидаје

S(A1A2 ...An)= k2S(A′ 1A′ 2 ...A′ n).

55. Некасу ABC и A′B′C′ сличнитроуглови,причемује AB = kA′B′.Акосу R и R′ полупречницикруговаописанихоко ABC,односно A′B′C′,доказатидаје R = kR′

7.ДОДАТАК

7.1.Јошнекезанимљивеособинетроугла Уовомодељкудоказујемонекезанимљивеособинетроугла.Дабисмоизбегли честапонављања,удаљемтекстузатроугао ABC усвајамоследећесталнеознаке:

A′ , B′ , C′ суподножјанормалаизтемена A, B, C настранице BC, AC, AB;

A1, B1, C1 сусредиштадужи BC, AC, AB;

O јецентарописаногкругатроугла ABC;

S јецентаруписаногкругатроугла ABC;

H јеортоцентартроугла ABC;

T јетежиштетроугла ABC

Потпуностиради,овомспискудодајемоисталнеознакенекихпојмовакоји ћетекбитидефинисани:

7. Додатак 163

S1 је центарспољауписаногкругатроугла ABC

наспрамтемена A; S2 јецентарспољауписаногкругатроугла ABC

наспрамтемена B; S3 јецентарспољауписаногкругатроугла ABC

наспрамтемена C; N јецентаркругадеветтачакатроугла ABC

Каоштознамо(видетистр.85),спољашњиугловикојиодговарајуједномте-

мену A троугла ABC суунакрсни,пастогаиподударни(једнаки).Једноставносе доказуједатадвауглаимајузаједничкусиметралукојајенормалнанасиметрали угла < ) A.Симетралаугла < ) A изаједничкасиметраласпољашњихугловакодтемена A означенесуиспрекиданимлинијаманасл.167.

Сл. 167 Сл. 168

(T1)Некаје < ) A једанспољашњиугаокодтемена A,некаје < ) B једанспољашњиугаокодтемена B инекаје < ) C

једанспољашњиугаокодтемена C троугла ABC.Тада:

(i)симетралеуглова < ) A,

< ) B, < ) C секусеуједнојтачки; (ii)симетралеуглова < ) B,

< ) A, < ) C секусеуједнојтачки; (iii)симетралеуглова < ) C,

< ) A, < ) B секусеуједнојтачки; Доказ.Доказујемосамотврђење(i);осталадватврђењадоказујусеаналогно.Некасу s1, s2, s3 симетралередомуглова

< ) A, < ) B и < ) C и некасе s1 и s2 секуутачки S1;сл.168.Некасу D1, E1, F1 подножјанормалаизтачке S1 направе BC, AC и AB.Собзиромдатачка S1 припадасиметрали s1 угла < ) A,наосновуПримера2,стр. 112имамо S1E1 = S1F1,асобзиромда S1 припадасиметрали s2 угла < ) B имамо S1D1 =

Сл. 169

strana164

164

Елементарнагеометрија

S1E1 Стогаје S1D1 = S1E1,штонаосновуПримера2,стр.112значидатачка

S1 припадаисиметрали s3 угла < ) C.

Дакле,светрисиметралесекусеутачки S1.

Какосутачке D1, E1, F1 једнакоудаљенеодтачке S1,онеприпадајуједном кругу;тојекруг спољауписан у △ABC,наспрамтемена A,чијијецентартачка S1 Наосновутврђења(ii)и(iii)закључујемодапостојејошдваспољауписана

кругатроугла ABC;кругнаспрамтемена B,чијијецентартачка S2 (пресексиметралауглова < ) B, < ) A, < ) C)икругнаспрамтемена C,чијијецентартачка S3 (пресек симетралауглова < ) C, < ) A, < ) B).

Насл.169приказанјетроугао ABC сасвојимуписанимкругом(чијијецентартачка S)исасвојатриспољауписанакруга.

Фигуреприказаненасл.169,илиодређенетачкамасасл.169,имајучитавниз занимљивихособина.Наводимонекеодњих(којесемогудоказиватикаозадаци), алипретходнообјашњавамонекеознаке.

Тачке D, E, F сутачкеукојимауписаникруг △ABC додирујестранице BC, AC, AB.Тачке D1, E1, F1 сутачкеукојимаспољауписаникруг △ABC наспрам темена A додирујеправе BC, AC, AB.Словом s означенјетзв. полуобим △ABC; дакле, s = 1 2 (a + b + c)

1. Свакаодтачака S, S1, S2, S3 јеортоцентартроуглачијасутеменаостале тритачке.

2. Троугао ABC јепедалнитроугаотроугла S1S2S3

3.Ортоцентар H троугла ABC јецентаруписаногкругатроугла A′B′C′ акоје △ABC оштроугли.Акоје < ) A туп,тадаје H центарспољауписаногкруганаспрам темена A′ троугла A′B′C′

4. S јеортоцентартроуглачијасутеменацентриописанихкруговатроуглова SBC, SCA, SAB

5. Акоје < ) A прав,тадаје < ) BSC =135◦

6. Тачке A, E, S, F сутеменатетивногчетвороугла.Истоважиизатачке A, E1, S1, F1.

7. AE = AF = s BC; BF = BD = s AC; CD = CE = s AB.

8. AE1 = AF1 = s; BF1 = BD1 = s AB; CD1 = CE1 = s AC

9. EE1 = FF1 = BC

10. BD1 = CD

(T2)Утроуглу ABC некасу P , Q, R средиштадужи AH, BH,односно CH Тададеветтачака A1, B1, C1, A′ , B′ , C′ , P , Q, R припадајуједномкругучијије полупречникједнакполовиниполупречникакругаописаногокотроугла ABC

Доказ. Какоје AP = PH и AC1 = C1B,наоснову(T1),стр.151закључујемо даје C1P ∥ BH.Даље,знамодаје A1C1 ∥ AC (видети(T8)стр.115).Међутим, BH ⊥ AC,паје C1P ⊥ A1C1;даклеугао < ) PC1A1 јеправ.Сличноседоказуједа јеиугао < ) A1B1P прав.Такођејеиугао < ) A1A′P прав.Тозначидатачке B1, C1, A′ припадају(лежена)кругучијијепречникдуж PA1.Добијенизакључакможемои овакодаформулишемо:Акоје k кругописаноко △A1B1C1,ондатачке A′ i P леже натомкругу.Сличноседоказуједаитачке B′ , Q и C′ , R такођележенакругу k.

7. Додатак 165

Прематоме,тачке A1, B1, C1, A′ , B′ , C′ , P , Q, R припадајукругу k.Најзад, △ABC ∼△A1B1C1,причемује 2A1B1 = AB.Стогаје(видетиЗадатак55,стр. 162)полупречниккруга k (атојекругописаноко △A1B1C1)једнакполовиниполупречникакругаописаногоко △ABC.

Круг k комеприпадајунаведенетачкеназивасе кругдеветтачака троугла ABC.Његовцентар(средиштедужи PA1)означавамословом N (одлатинског novem = девет).Видетисл.170.

Сл. 170 Сл. 171

(T3)Утроуглу ABC четиритачке O, T , H, N суколинеарне.

Доказ. Некасу O и T центарописаногкругаитежиштетроугла ABC.Нека је H тачкатаквадаје H T O и 2OT = TH;видетисл.171.Доказаћемодаје H ортоцентартроугла ABC Некаправа CH сечестраницу AB утачки C′.Знамодаје 2C1T = TC (видети (Т9),стр.114).Међутим,изједнакости

2OT = TH и 2C1T = TC излази C1T T C = OT T H , штозначи(видети(T1),стр.151)даје CH ∥ OC1,пакакоје OC1 ⊥ AB,закључујемодаје CH ⊥ AB.Сличнодобијамодаје BH ⊥ AC,штозначидаје H ортоцентар троугла ABC.

Даље,какоје OC1 ⊥ AB и HC′ ⊥ AB,симетраладужи C′C1 сечедуж OH

утачки N причемује HN = NO.Слично,симетраладужи B′B1 сечедуж OH у тачки N .Међутим,дужи C′C1 и B′B1 сутетивекругадеветтачака △ABC,што значидаје N центартогкруга.

Дакле,тачке O, T , H, N припадајуједнојправојлинијикојасеназиваОјлерова права троугла ABC

Напомена1. Иакоунекимпосебнимслучајевиматачке A1, B1, C1, A′ , B′ , C′ , P , Q, R не морајубитидеветразличитихтачака,ипакитадаговоримоокругудеветтачака. Тако,например,акоје AC = BC,тадаје C′ = C1 икругдеветтачака(тачнијеречено, кругосамтачака)додирујестраницу AB.Слично,акојеугао < ) C прав,тада A′ = B′ = C и кругдевет(односноосам)тачакапролазикрозтеме C Даље,акоје △ABC једнакостраничан,тадаје A

= C

,аликруг којисадржишесттачака A1, B1, C1, P , Q, R oпетзовемокругдеветтачакаједнакостраничног троугла.

166

Елементарнагеометрија

Напомена2. Услучајуједнакостраничногтроуглатачке O, H, T и N сепоклапају,што значидазаједнакостраничнитроугаонепостојиОјлероваправа.

НаводимосаданекеособинетроуглавезанезакругдеветтачакаиОјлерову праву.Каоираније,теособинемогуседоказиватикаозадаци.

1. OT : TN : NH =2:1:3.

2. OT : TN = OH : HN .

3. OA1 : AH = A1T : TA =1:2

4. AH =2OA1

5. Четиритроугла ABC, HBC, HCA, HAB имајуистикругдеветтачака.

6. Описаникругтроугла ABC јестекругдеветтачакатроугла S1S2S3.

7. Акосу P , Q, R средиштадужи AH, BH, CH,тадасеправе A1P , B1Q, C1R секууједнојтачки.

8. Акоје P средиштедужи AH,tадаје A1P ⊥ B′C′ .

9. Акоје < ) A =60◦,тадаОјлероваправаиправе AB, AC образујуједнакостраничантроугао.

10. Акоје < ) A =45◦,тададуж B′C′ половидуж OH. (T4)Некаје M произвољнатачкакругаописаногокотроугла ABC.Акосу P , Q, R подножјанормалаизтачке M направе BC, AC,односно AB,тадасутачке P , Q, R колинеарне.

Доказ.Удоказукористимоособинететивнихчетвороуглова.Напрвомместу, какосууглови < ) MRB и < ) MPB прави,четвороугао MPRB јететиван.Такођесу углови < ) MPC и < ) MQC прави,пајечетвороугао MPCQ тетиван.

Даље,имамо:

< ) MPQ = < ) MCQ (угловинадлуком MQ тетивногчетвороугла MPCQ)

< ) MCQ + < ) MCA =180◦ (A, C, Q суколинеарнетачке)

< ) MBA + < ) MPR = < ) MBR + < ) MPR =180◦ (супротниугловитетивногчетвороугла MPRB)

Стогаје

< ) MPQ = < ) MCQ =180◦ < ) MCA =180◦ (180◦ < ) MBA)

< ) MCA + < ) MBA =180◦ (супротниугловитетивногчетвороугла ABMC) Сл. 172

= < ) MBA =180◦ < ) MPR, одаклеизлази: < ) MPQ + < ) MPR =180◦,атозначида сутачке P , Q, R колинеарне. Правакојојприпадајутачке P , Q, R називасе Симсонова праватачке M уодносуна △ABC. Напомена3. Доказјеизведензаположајтачака A, B, C, M какавјеприказаннасл.172. Узмалеизменедоказважиизаосталеположајетачке M. Наводимопрвотврђењеобратнотврђењу(T4),азатимјошнекатврђењакоја суувезисаСимсоновомправом.

7. Додатак 167

1. Акоје M тачкауравнитроугла ABC таквадасуподножјанормалаиз M направе BC, AC и AB колинеарна,ондатачка M лежинакругуописаномоко троугла ABC

2. Некаје M некатачканакругу k описаномокотроугла ABC инекаправа којасадржитачку M икојајенормалнана BC сечекруг k утачки D.Тадајеправа

AD паралелнаСимсоновојправојтачке M уодносуна ABC.

3. Некависина AA′ троугла ABC сечењеговописаникругутачки D инека је M некатачкатогкруга.Акоправа MD сечеправу BC утачки E,тадајеправа

HE паралелнаСимсоновојправојтачке M уодносуна △ABC.

4. Некависинетроугла ABC изтемена A, B, C секуњеговописаникругу

тачкама D, E, F инекаје M некатачкатогкруга.Акоправа MD сечеправу BC утачки X,права ME праву AC утачки Y иправа MF праву AB утачки Z,тада тачке X, Y , Z припадајуправојлинијикојајепаралелнаСимсоновојправојтачке M уодносуна △ABC.

5. Симсоноваправатачке M уодносуна △ABC половидуж MH.

6. Некависина AA′ троугла ABC сечењеговописаникруг k утачки D.Симсоноваправатачке D уодносуна △ABC паралелнајетангентикруга k утачки A.

7.Некависине AA′ , BB′ , CC′ троугла ABC секуњеговописаникругутачкама D, E, F .Симсоноваправатачке A уодносуна △DEF паралелнајеправој BC

8. Акојететива PQ кругаописаногокотроугла △ABC паралелнастраници BC,тадајеСимсоноваправатачке P уодносуна △ABC нормалнана AQ.

9. Некаје DE пречниккругаописаногокотроугла ABC инекаје DE ⊥ BC. Симсоновеправетачака D и E уодносуна △ABC секусеутачки A1

10. Акоје PQ пречниккругаописаногоко △ABC,тадасеСимсоновеправе тачака P и Q уодносуна △ABC секуутачкикојаприпадакругудеветтачакатог троугла.

7.2.Оконструкцијаманекихправилнихмногоуглова

Уовомодељкуразматрамомогућностконструкцијеправилног n-тоуглагде је n 20.Наравно,речјеогеометријскимконструкцијамаусмислуописанимна стр.125.

Каоштознамо,правилан n-тоугаоима n једнакихстраницаи n једнаких(унутрашњих)углова.Свакиодтихугловаизноси n 2 n 180◦ . Даље,окоправилног nтоугламожесеописатикруг,атакођесеуправилан n-тоугаоможеуписатикруг, причемусецентритихкруговапоклапају.Тајзаједничкицентарописаногиуписаногкруганазивамоцентарправилног

168

Елементарнагеометрија

173

174

Пренегоштопређемонаконструкцијеправилнихмногоугловадоказујемо некаједноставнатврђења.

(T1)Правилан n-тоугаочијастраницаимадатудужину a можесеконструисатиакоисамоакосеможеконструисатиугаоод 1 n 360◦ .

Доказ.Акојеконструисанправилан n-тоугао,једноставносеконструишењеговцентралниугао,тј.угаоод 1 n 360◦ Обратно,некаје PQ дужчијаједужина a и

некаје α угаоод 1 n 360◦ сатеменом O

икрацима Op и Oq.Некаје s симетралаугла α инекаје S произвољнатачкаполуправе Os.Некаје T тачкатаквадаје TS ⊥ Os

и TS = 1 2 P Q.Правакроз T којајепаралелнаправој s сечерецимокрак Op утачки A1,анормалаиз A1 на s сечедругикрак Oq утачки A2.Круг k сацентромутачки O иполупречником OA1 јеописаникругправилног n-тоугла A1A2 ...An чијастраницаимадатудужину a.Означавањемнакругу k тачака A3,A4,...,An таквихда је A2A3 = A3A4 = = An 1An = a добијајусеосталатеменатогмногоугла.

(T2)Правилан n-тоугаоможесеконструисатиакоисамоакосеможеконструисатиправилан 2n-тоугао.

Доказ.Акоје A1A2 ...An правилан n-тоугаосацентром O иописанимкругом k,таданормалеиз O настранице A1A2, A2A3, , AnA1 секутестраницеутачкама B1, B2, ... , Bn имногоугао A1B1A2B2 ...AnBn јеправилан 2n-тоугао;сл.175.

Обратно,акојеконструисанправилан 2n-тоугао A1A2A3A4A5 ...A2n 1A2n, тадајенапример A1A3A5 ...A2n 1 правилан n-тоугао. (T3)Правилан n-тоугаоможесеконструисатиакоисамоакосеможеконструисатиправилан 2mn-тоугао,где m ∈ N0

Послеовихуводнихнапоменапрелазимонаконструкцијеправилних n-тоуглова,гдеје n 20.

Најједноставнијаконструкцијајеконструкцијаправилногшестоугла,јерје полупречникњеговогописаногкругаједнакњеговојстраници.Стогааконанеком кругу k полупречника r пођемоодпроизвољнетачке A1,изатимозначимонакру-

7. Додатак 169

Сл. 175

гу k тачке A2, A3, A4, A5, A6 такведаје A1A2 = A2A3 = A3A

Сл. 176

, добијамотеменаправилногшестоугла;сл.176.

Такође,тачке A1, A3, A5 (илитачке A2, A4, A6)сутеменаправилног(тј.једнакостраничног)троугла;сл.177.Помоћуправилногшестоуглаједноставноконструишемоиправилан 12-угао A1B1A2 ...A6B6;сл.178. Сл. 177

Лакосеконструишеиправиланчетвороугао(тј.квадрат)пастогаиправилан осмоугаоиправилан 16-угао.Наиме,акоје k некикругчијијецентарпресекдве нормалнеправе,ондакруг k сечетедвеправеутачкама A1, A2, A3, A4 којесу теменаправилногчетвороугла,тј.квадрата.Науобичајениначиндобијамотачке B1, B2, B3, B4 такведаје A1B1A2 ...A4B4 правиланосмоугао;сл.179.Слично добијамоитеменаправилног 16-угла. Прелазимосаданаконструкцијуправилногдесетоугла.Поделимополупречник OA1 круга k тачком M узлатномодносу,тј.такодаје (1)

strana170

170

Елементарнагеометрија

троуглови OMA2 и A2MA1 једнакокраки.Прематоме,акоје α = < ) A2OM ,тада је < ) OA2M = α, < ) MA2A1 = α.Даље, < ) A2MA1 јеспољашњиугао △OMA2,паје < ) A2MA1 = < ) A2OM + < ) OA2M =2α,итакође < ) MA1A2 =2α.Збиругловау

Какоје 36◦ = 1 10 360◦ , тајугаојецентрални

угаоправилногдесетоугла,штозначидаје A1A2 страницаправилногдесетоугла.Стоганакругу k можемодаодредимотачке A3, A4, , A10 такведаје A1A2 = A2A3 = ··· = A10A1;сл.180.

Наравно,тимесмоконструисалииправиланпетоугао A1A3A5A7A9,ајаснојекако семожеконструисатииправилан 20-угао.

△MA1A2 јестога: α +2α +2α,одакледобијамо 5α =180◦,тј. α =36◦ Сл. 180 Дакле,конструисалисмоугаоод 36◦

Важнапоследицаконструкцијеуглаод 36◦ гласи: (T4)Угаоод 3k◦,где k ∈ N,можедасеконструише.

Доказ. Собзиромдасеугловиод 36◦ и 30◦

могуконструисати,можесеконструисатиињиховаразлика,тј.угаоод 6◦,пасеможеконструисатииполовина тогугла,тј.угаоод 3◦.Јасноједаондаможедасеконструишеиугаоод 3k◦ засвако k ∈ N.

Досадасмоописаликонструкцијеправилног n-тоуглаза n =3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20;прескочилисмо,рецимо,случајеве n =7 и n =9.Међутим,можедасе докаже(алгебарскимметодима)даправиланседмоугаоиправиландеветоугаоне могудасеконструишу.

Уствари,кадасерадиоправилном n-тоуглу,гдеје n простброј,Гаусједоказао следећиопштирезултат:

(T5)Акоје n простброј,правилан n-тоугаоможедасеконструишеакоисамо

акоје n =22k +1,где k ∈ N0.

Наосновуовогтврђењазакључујемо:

Правилан 3-угао, 5-угаои 17-угаомогудасеконструишу,јерје 3=220 +1, 5=221 +1, 17=222 +1

Правилан n-тоугаоса 7, 11, 13 или 19 страницанеможедасеконструише,јер простибројеви 7, 11, 13, 19 нисуоблика 22k +1,где k ∈ N0 Наоснову(Т2)закључујемоданиправилан 14-угаонеможедасеконструише. Напомена1. Одсвихправилних n-тоуглова,гдеје n простброј,преГаусовоготкрића билесупознатеконструкцијесамоза n =3 и n =5.Каоштосмовидели,Гаусједоказаодаје следећипростбројзакојијеконструкцијамогућна n =17.Онједосвоготкрићадошаокад јеимао 17 година.ЗбогтогајепостољеГаусовебронзанестатуекојајеуГетингенупостављена послењеговесмрти,изливеноуобликуправилног 17-угла.

Навелисмораније(видетиНапомену3,стр.128)дасенеможеувекконструисатитрећинадатогугла.Доказсенајчешћеизводитакоштоседокажедајенемогућноконструисатитрећинууглаод 60◦.Дакле,важи:

7. Додатак 171

(T6) Угаоод 20◦ неможедасеконструише.

Наосновуовогтврђењаизлазидаправиландеветоугаонеможедасеконструише.Заиста,централниугаоправилногдеветоуглаизноси 1 9 360◦ , тј. 40◦,пакада битајугаомогаодасеконструише,могаобииугаоод 20◦,штојеусупротности са(T6).

Наоснову(Т2)закључујемоданиправилан 18-угаонеможедасеконструише. Остајенамјошдаразмотримослучајправилног 15-угла.Какојењеговцентралниугаоједнак 1 15 360◦ , тј. 24◦,наоснову(Т4)закључујемодасеправилан 15-угаоможеконструисати,јерје 24=3 8 Дакле,узприхватање(Т5)и(Т6)долазимодаследећегзакључка:Правилан n-тоугаоможедасеконструишеакоје n =3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17 или 20,ане можеакоје n =7, 9, 11, 13, 14, 18 или 19. Напомена2. Потпуносморасправилипитањемогућнихконструкцијаправилних n-тоугловакадје n 20.Међутим,наосновупретходногизлагањаможемодаизведеморазнезакључкеикадје n> 20.Наводимонеколикопримера.

Пример1. Многоугловиса 2m+1 , 3 2m , 5 2m , 17 2m страницамогудасеконструишу

засвако m ∈ N0.Тако,например,можедасеконструишеправилан 48-угао,јерје 48=3 24

Пример2. Правиланмногоугаоса 7 2m , 9 2m , 11 2m , 13 2m , 19 2m страница,где m ∈ N0,неможедасеконструише.Тако,например,неможедасеконструишеправилан 144угао,јерје 144=9 24

Пример3. Далиможедасеконструишеправилан 86-угао?Неможе,јербитада,наоснову (Т2)могаодасеконструишеиправилан 43-угао,а 43 јепростбројкојинијеоблика 22k +1

Пример4. Правилан 257-угаоможедасеконструише,јерје 257 простброји 257=256+ 1=28 +1=223 +1.

7.3.Детаљнијеоизометријамаравни

Каоштознамо(видетистр.91)изометријскатрансформација,иликраћеизометријапростора E je 1 1 пресликавањескупа E наскуп E таквадазасвакедве

тачке X, Y ∈ E важи XY = f (X)f (Y ). Пример1. Идентичнопресликавање i скупа E којесвакутачку X ∈ E пресликаваусаму себе,тј.засвако X ∈ E важи i(X)= X,јестеизометријајерје XY = i(X)i(Y )

Собзиромдајеизометрија f : E → E пресликавањекојејеи 1 1 и на, закључујемо(видетистр.27)дапостојињеноинверзнопресликавање f 1 : E → E

Нијетешкодоказатидаакоје f изометрија,ондајеи f 1 такођеизометрија. Заиста,некасу X, Y двепроизвољнетачкепростора E.Тадапостојетачке A ∈ E и B ∈ E такведаје X = f (A) и Y = f (B),јерје f пресликавањена.Какоје f изометрија,имамо (1) AB = f (A)f (B).

172

Елементарнагеометрија

Међутим, X = f (A) ⇔ A = f 1(X) и Y = f (B) ⇔ B = f 1(Y ),паједнакост(1) можемоданапишемоуоблику f 1(X)f 1(Y )= XY, атозначидаје f 1 изометрија.

Некасу f i g двеизометријепростора E.Доказаћемодајењиховпроизвод fg такођеизометријапростора E.Заиста,некасу X i Y дветачкепростора E и ставимо g(X)= X′ , g(Y )= Y ′.Какоје g изометријапростора E имамо: X′ ∈ E, Y ′ ∈ E и XY = X′Y ′.Ставимо f (X′)= X′′ , f (Y ′)= Y ′′.Какоје f изометрија

простора E,имамо: X′′ ∈ E, Y ′′ ∈ E

Y ′′ = fg(Y )

Прематоме,пресликавањем fg дуж XY пресликавасеуподударнудуж X′′Y ′′ ,а тозначидаје fg изометрија.

Удаљемтекстубавићемосеизометријамаравни.Напрвомместу,приметимо даакоје f изометријаравни α којаиматринеколинеарненепокретне12 тачке,онда је f идентичнопресликавањеравни α Заиста,некасу A, B, C тринеколинеарнетачкеравни α инекаје f изометрија теравнитаквадаje f (A)= A, f (B)= B, f (C)= C.Знамодаје i(A)= A, i(B)= B, i(C)= C,гдеје i идентичнопресликавањеравни α.Међутим,наоснову(T3), стр.92,постојитачноједнаизометријакојапресликавараван α насамусебе,и којатачку A пресликаваутачку A,тачку B утачку B итачку C утачку C.Одатле излази: f = i

Уводимосада(вишеописнонегостриктно)појамистосмернихисупротносмерних подударнихтроуглова.

Утроуглу ABC сматрамодаје A његовопрво, B друго,а C трећетеме.Одпрвогтемена A прекодругогтемена B може сестићидотрећегтемена C надваначина, удва,,смера“,какојеприказанонасл.181.

Сл. 181

Сл. 182 Сл. 183

Некасу A, B, C тринеколинеарнетачкеравни α инекаје f изометријатеравнитаквадаје f (A)= A′ , f (B)= B′ , f (C)= C′.Тадасу,каоштознамо,троуглови ABC и A′B′C′ подударни,алимогуданаступедваслучаја;једанјеприказаннасл. 182,адругинасл.183.

12Дасеподсетимо:тачка X јенепокретнатачкапресликавања f

f (X)= X;видетистр.27.

7. Додатак 173

У случајуприказаномнасл.182кажемодасутроуглови ABC и A′B′C′ истосмерни,ауслучајуприказаномнасл.183кажемодасу супротносмерни. Можедаседокажеследећеважнотврђењекојенаводимобездоказа.

(T1)Некасу A, B, C тринеколинеарнетачкеравни α инекаје f изометрија теравнитаквадаје f (A)= A′ , f (B)= B′ , f (C)= C′.Даље,некасу P , Q, R такође тринеколинеарнетачкеравни α,причемује f (P )= P ′ , f (Q)= Q′ , f (R)= R′

(i)Акосутроуглови ABC и A′B′C′ истосмерни,тадасуитроуглови PQR и P ′Q′R′ истосмерни.

(ii)Акосутроуглови ABC и A′B′C′ супротносмерни,тадасуитроуглови

Наосновуоветеоремезакључујемодаакоизометрија f равни α пресликава један троугаотеравниу њемуистосмерантроугао,ондаонапресликава сваки троугаотеравниуњемуистосмерантроугао.Тадакажемодајеизометрија f директна.

Такође,акоизометрија f равни α пресликава једантроугаотеравниуњемусупротносмерантроугао, ондаонапресликавасвакитроугаотеравниуњемусупротносмерантроугао.Тадакажемодајеизометрија f индиректна.

PQR и P ′Q′R′ супротносмерни. Сл. 184

Пример2. Оснасиметријаравнијеиндиректнаизометрија.

Заиста,некасу A и B дветачкеосе a оснесиметрије σ равниинекаје C билокојатачка равни α ваносe a;сл.184.Акоје C′ = σ(C),ондасутачке C и C′ саразнихстранаправе a,пасуподударнитроуглови ABC и ABC′ супротносмерни,штозначидаје σ индиректна изометрија.

Пример3. Транслацијаравниједиректнаизометрија.

Некасу A и B двепроизвољнетачкеравни α.Транслацијатеравнизавектор # « AB пресликаватачку A утачку A′(= B),тачку B утачку B′ таквудаје # « BB′ = # « AB.Акоје C произвољна тачкаравни α којанијеколинеарнаса A и B иакоје C′ тачказакојуважи # « CC′ = # « AB,јасноје дасуподударнитроуглови ABC и A′B′C′ истосмерни;сл.185.

Сл. 185 Сл. 186 Пример4. Ротацијаравниједиректнаизометрија.

174

Елементарнагеометрија

Некаје < ) #« φ датиусмеренугаочијејетеметачка A,атачке B и C припадајуњеговимкрацима;сл.186.Ротацијомокотачке A заугао < ) #« φ тачка A остајенепокретна,тачка B пресликава сеутачку B′ (којаприпадакраку AC угла < ) #« φ),атачка C утачку C′.Подударнитроуглови ABC и AB′C′ суистосмерни.

Једноставноседоказујеследећетврђење.

(T2)(i)Акосу f и g дведиректнеилидвеиндиректнеизометрије,њиховпроизвод fg једиректнаизометрија.

(ii)Акојеједнаодизометрија f и g директна,адругаиндиректна,њиховпроизвод fg јеиндиректнаизометрија.

Досадасмо,поредидентичногпресликавања,упозналиследећеизометрије: оснусиметрију,централнусиметрију,транслацијуиротацију.Следећомтеоремом успостављамовезуизмеђутихизометрија.

(T3)Некасу σ1 и σ2 двеоснесиметријеравни α чијесуосе a и b.Њиховпро-

извод σ2σ1 је:

(i)идентичнопресликавање,акоје a = b (тј. σ1 = σ2); (ii)транслација,акоје a ∥ b и a = b; (iii)ротацијаокотачке S,акосеправе a и b секуутачки S;

(iv)централнасиметријауодносунатачку S,акосеправe a и b секуутачки S,причемуje a ⊥ b.

Доказ.(i)Некаје X произвољнатачкаравни α инекаje σ1(X)= X′ , σ1(X′)= X′′.Ако X ∈ a,тадаје X′ = X и X′′ = X′,паје X′′ = X.Ако X / ∈ a,тадаје X′ = X и X′′ = X′,пајеправа a симетраласвакеоддужи XX′ и X′X′′,пајеопет X′′ = X Дакле,уобаслучајаје σ1σ1(X)= σ1(σ1(X))= σ1(X′)= X′′ = X,штозначидаје σ1σ1 = i. (ii)Некасу σ1 и σ2 двеоснесиметријеравни α чијесуосе a и b паралелнеи различитеинека X ∈ α.Ставимо σ1(X)= X′ , σ2(X′)= X′′,такодаје σ2σ1(X)= σ2(σ1(X))= σ2(X′)= X′′.Насл.187приказанјеслучајкадатачка X нијенина једнојодправих a и b,идоказизводимозатајслучај.Доказјесличанизаостале положајетачке X уодносунаправе a и b.

187

7. Додатак 175 Некасу A и B пресечнетачкеправих

штозначидајетачка

σ1(X)= X′ , σ2(X′)= X′′,такодаје σ2σ1(X)= σ2(σ1(X))= σ2(X′)= X′′.Доказизводимозаположајтачке X приказаннасл.188,адоказисе

изводенасличанначинизадругеположајететачкеуодносунаосе a и b Некаје A пресечнатачкаправих a и XX′ ,a B пресечнатачкаправих X′X′′ и b.Тадаје AX = AX′,пасутроуглови SAX и SAX′ подударни,одаклеизлази SX = SX′.Сличнодобијамодаје SX′ = SX′′,паје SX = SX′′.Даље,имамо < ) # « XSX′ =2< ) # « ASX′ , < ) # « X′SX′′

Прематоме,наосновуједнакости < ) # « XSX′′ =2< ) # « ASB и SX = SX′′ закључујемо дасетачка X′′ добијаротацијом ρ тачке X окотачке S заусмерениугао 2< ) # « ASB, тј. ρ(X)= X′′,паје σ2σ1 = ρ

(iv)Овојеспецијаланслучајпретходног.Наиме,акоје a ⊥ b,тадајеугао < ) ASB прав,пајеугао 2< ) ASB опружен.ВидетиПример4,стр.148. Доказјезавршен.

Накрајудоказујемоследећеопштетврђењеорепрезентацијиизометријау равни.

(T4)Свакаизометријаравниможесепредставитикаопроизводнајвишетри оснесиметрије13

Доказ. Некаје f некаизометријаравни α.Удоказуразликујемочетирислучаја,зависноодбројанепокретнихтачакаизометрије f (i)Акоизометрија f иматринеколинеарненепокретнетачке,ондаје f идентичнопресликавањеравни α,пасе f можепредставитикаопроизвод: f = σσ,где је σ произвољнаоснасиметријаравни α Акоизометрија f нематринеколинеарненепокретнетачке,могуданаступе следећислучајеви. (ii)Изометрија f имадвенепокретнетачке A и B којимајеодређенаправа a. Тадасусветачкеправе a непокретне,асветачкеванправе a нису.Дакле,ако X / ∈ a 13

176

Елементарнагеометрија

ондаје f (X)= X′ = X.Какоје f изометрија,имамо: AX = f (A)f (X)= AX′ и

BX = f (B)f (X)= BX′.Стогајеправа a симетраладужи XX′,штозначидаје

тачка X′ симетричнатачки X уодносунаправу a.Дакле,уовомслучајује f = σ, гдеје σ оснасиметријауодносунаправу a;сл.189.

Сл. 189 Сл. 190

(iii)Некаизометрија f имасамоједнунепокретнутачку A.Тада,ако X ∈ α и X = A,онда f (X)= X′ = X и AX = f (A)f (X)= AX′.Тозначидатачка

A припадасиметрали a дужи XX′.Некаје σ оснасиметријаравни α саосом a и размотримопресликавање σf .Имамо:

σf (A)= σ(f (A))= σ(A)= A, σf (X)= σ(f (X))= σ(X′)= X,

паизометрија f имадвенепокретнетачке: A и X.Кадабипостојалатачка Y која нијеколинеарнасатачкама A и X изакојуважи σf (Y )= Y ,ондабипресликавање σf билоидентично,пабизапроизвољнутачку P важило σf (P )= i(P ),тј. σ(f (P ))= P ,одаклеизлази σ(σ(f (P )))= σ(P ),тј. f (P )= σ(P ),јерје σ(σ(Q))= Q,каоштоједоказаноуделу(i)теореме(T3).Међутим,тојенемогућно,јеризометрија f има,попретпоставци,самоједнунепокретнутачку,аоснасиметрија σ имабесконачномногонепокретнихтачака(светачкеосе a). Прематоме,непостојетринеколинеарненепокретнетачкеизометрије σf , алитаизометријаимадвенепокретнетачке A и X.Наосновувећдоказаногслучаја(ii)закључујемодаје σf = σ ′,гдеје σ ′ оснасиметријачијајеосаправа AX (правакојасадржинепокретнетачке).Нека P ∈ α.Изједнакости σf (P )= σ ′(P ), тј. σ(f (P ))= σ ′(P ),добијамо σ(σ(f (P )))= σ(σ ′(P )),тј. f (P )= σ(σ ′(P )),јерје σ(σ(Q))= Q засвако Q.Дакле, f = σσ ′,тј.изометрија f јепроизводдвеосне симетрије. (iv)Некаизометрија f неманепокретнихтачака,нека X ∈ α инекаје f (X)= X′.Тадаје X = X′.Некаје σ оснасиметријаравни α чијајеоса a симетраладужи XX′.Заизометрију σf важи: σf (X)= σ(f (X))= σ(X′)= X,штозначидаје X њенанепокретнатачка. Акоизометрија σf иматринеколинеарненепокретнетачке,тадаје σf = i, одакле,каоираније,добијамо f = σ,штојенемогућно,јер f попретпоставци неманепокретнихтачака,а σ има.

Акоизометрија σf поредтачке X имајошједнунепокретнутачку Y инема непокретнихтачакаванправе XY ,ондаје,премавећдоказаномслучају(ii), σf = σ ′,гдеје σ ′ оснасиметријасаосом XY .Изједнакости σf = σ ′ добијамо,каои раније f = σσ ′,паје f производдвеоснесиметрије.

7. Додатак 177

Најзад,акоизометрија σf

иматачноједнунепокретнутачку X,наосновувећ доказаногслучаја(iii), σf јепроизводдвеоснесиметрије,рецимо σ

кости σf = σ

′′ излази f

Доказјезавршен.

.Изједна-

,штозначидаје f производтриоснесиметрије.

Пример5. Свакадиректнаизометријаравниможедасепредставикаопроизводдвеосне

симетрије.

Заиста,акоје f директнаизометријаравни,наоснову(Т4)онајеилиоснасиметрија,или семожепредставитикаопроизводдвеоснесиметријеиликаопроизводтриоснесиметрије. Међутим,оснасиметријаипроизводтриоснесиметријесуиндиректнеизометрије,панемогу битиједнакиизометрији f.Прематоме, f семожепредставитикаопроизводдвеоснесиметрије.

Специјално,транслација,ротација(ицентралнасиметрија)могудасепредставекаопроизводидвеоснесиметрије.Оватврђењасуунекуруку,обратнатврђењу(T3).

Пример6. Индиректнаизометријаравнијеилиоснасиметријаилисеможепредставити каопроизводтриоснесиметрије.

Напомена

НаводимдвадобрасаветарецензентаЕ.Ведралаувезисаконструктивнимзадацима која,нажалост,нисаммогао,изтехничкихразлога,даостварим.Међутим,препоручујем професоримакојисебудукористилиовимуџбеникомдаихузмууобзир.

1. ОслањајућисенаПример10,стр.117,требалојеурадитиконструкцијускупатачакаизкојихседатадужвидиподдатимуглом.Тасеконструкцијакаснијекористиприликомконструисањатроуглакадједатањеговастраницаиугаонаспрамње(ијошједан податак).Помоћутеконструкцијеможесе,надрукчијиначин,урадитиПример3,стр. 126(првосеконструишеправоуглитроугао C′DC).

2.Крозрешенепримеретребалојеизвршитималукласификацијуконструкцијатроуглова,тј.објаснитикојесеидејекористекадјеједаноддатихподатаканапример a + b, или a b,или α β,итд.

ПОЛИНОМИ

1.ПОЛИНОМИИРАЦИОНАЛНИИЗРАЗИ 1.1.Основнипојмови

Нека n ∈ N инекасу a0, a1, , an одређениреалнибројеви.Израз P (x) састављенодбројева a0, a1, , an ипроменљиве x којиможедасенапишеуоблику (1) anxn + an 1xn 1 + + a1x + a0

називасе полиномпо x.Изрази anxn , an 1xn 1 , , a1x, a0 су чланови,абројеви an, an 1, ... , a1, a0 коефицијенти полинома(1).

Акоје an =0,ондаје n степен полинома(1).Утомслучају,акополином(1)

означимо P (x),пишемо n = st P (x),итакођекажемодаје P (x) степена n.

Акоје an =0,ондаје anxn најстаријичлан,акоефицијент an најстарији коефицијентполинома(1).Члан(иликоефицијент) a0 јеслободанчлан1 полинома (1).

Заполином(1)укомеје an = an 1 = = a1 =0 и a0 =0 кажемодаима

степен 0.Такавполиномсеназива константанполином.

Полином(1)укомеје an = an 1 = = a1 = a0 =0 називасе нулаполином

ињеговстепеннедефинишемо.

Пример1. Полином 3x +5 јеполиномстепена 1,илиполиномпрвогстепена.Кажесеи дајето линеаранполином.

Пример2. Полином 2x 2 3x+5 јеполиномстепена 2,илиполиномдругогстепена.Каже сеидајето квадратанполином

Пример3. Полином 8 имастенен 0

Заполином P (x) којијенаписануоблику(1)кажемодајепредстављену сређеномоблику

Пример4. Одредимосређенеобликезазбир,разликуипроизводполинома P (x) и Q(x), гдеје: P (x)=5x 3 8x 2 3x +2, Q(x)= x 2 +3x +1.

Имамо P (x)+ Q(x)=(5x 3 8x 2 3x +2)+(x 2 +3x +1) =5x 3 8x 2 3x +2+ x 2 +3x +1

1Називпотичеотудаштојетајчланслободанодпроменљиве x

1. Полиномиирационалниизрази 179

= 5x 3 +( 8+1)x 2 +( 3+3)x +(2+1)

=5x 3 7x 2 +3;

P (x) Q(x)=(5x 3 8x 2 3x +2) (x 2 +3x +1)

=5x 3 8x 2 3x +2 x 2 3x 1

=5x 3 +( 8 1)x 2 +( 3 3)x +(2 1)

=5x 3 9x 2 6x +1; P (x)Q(x)=(5x 3 8x 2 3x +2)(x 2 +3x +1)

=5x 3(x 2 +3x +1) 8x 2(x 2 +3x +1) 3x(x 2 +3x +1)+2(x 2 +3x +1)

=5x 5 +(15 8)x 4 +(5 24 3)x 3 +( 8 9+2)x 2 +( 3+6)x +2

=5x 5 +7x 4 22x 3 15x 2 +3x +2.

Јасноједасузбир,разликаипроизводдваполиномаопетполиноми.Узто, приметимодазаненулаполиноме P (x) и Q(x) важи: st(P (x)+ Q(x)) max{st P (x), st Q(x)}, st(P (x) Q(x)) max{st P (x), st Q(x)}, st(P (x)Q(x))= st P (x)+ st Q(x)

Дваполиномасуједнакаакоимајуистесређенеоблике. Пример5. Полиноми P (x) и Q(x),дефинисаниса P (x)=(

суједнаки.Заиста,кадизмножимодатеизразедобијамо: P (x)= x 4 + x 3 x 3 x 2 + x 2 + x x 1= x 4 1, Q

ивидимодатиполиномиимајуистисређениоблик.

Некајеполином(1)означенса P (x).Променљива x можедабудебилокоји реаланброј,иликакосечестокаже,можедаузмебилокојувредностизскупаR.За сваку вредностпроменљиве x иполином P (x) има(добија) тачноједну вредност. Акоје P (x)= Q(x),ондајејаснодаполиноми P (x) и Q(x) имајуистувредностзасвакуодређенувредностпроменљиве x

Пример6. Некаје P (x)=8x 3 5x 2 + x +3.Ако x имавредност 1,тада P (x) има вредност 7.Заиста, P (1)=8 · 13 5 · 12 +1+3=8 5+1+3=7.Такођеје P ( 1)= 8( 1)3 5( 1)2 1+3= 8 5 1+3= 11, P (0)=3 итд. Пример7. Вредностполиномапо x за x =0 јестењеговслободанчлан.

Акополином P (x) завредност α променљиве x имавредност 0,тј.акоје P (α)=0,ондакажемодасеполином P (x) анулира за x = α.Утомслучајуброј α називасе нула полинома P (x)

Пример8. Некаје P (x)= x 3 3x +2.Какоје P (1)=13 3 1+2=0, P ( 2)= ( 2)3 3( 2)+2= 8+6+2=0,полином P (x) сеанулираза x =1 иза x = 2

strana180

180 Полиноми

Пример9. Полином(1)сеанулираза x =0

акоисамоакоје a0 =0

Пример10. Квадратниполином ax 2 + bx + c,гдесу a, b, c одређениреалнибројевии a =0 неможедасеанулиразавишеоддвевредностипроменљиве x Некаје P (x)= ax 2 + bx + c ипретпоставимодапостојетриразличитареалнаброја α, β, γ таквадаje P (α)= P (

Одузимајућидругуједнакостодпрве,добијамо (aα 2 + bα + c) (aβ2 + bβ + c)=0

штосеможепредставитиуоблику

Какоје,попретпоставци, α = β,добијамо

Насличанначиндолазимодоједнакости

Акосадаодузмемопоследњедвеједнакости,налазимо (a(α + β)+ b) (a(β + γ)+ b)=0,

(

)=0, штојенетачно,јерје,попретпоставци, a =0, α γ =0.

Питања

1. Далије 5y 2 3y +4 квадратанполиномпо y?

2. Далису 3, 2, 0 константниполиноми?

3. Акоје a некиодређенреаланброј,којијестепенполинома (a+1)x 3 +ax 2 +(a 1)x+4?

Задаци

1. Акоје P (x)=3x 3 4x 2 +5x 8,израчунати: P (0), P (1), P ( 1), P ( 3 2 )

2. Акоје P (x)= x 3 +3x 2 x+4,написатиследећеполиномеусређеномоблику: P (x+1), P (2 x), P (2x), P (3x +1).

Написатиследећеполиномеусређеномобликуиодредитињиховестепене: 3. 2x +1 3x 3 +2x 4 +8x + x 3 ; 4. (x 3 3x)(x 1) x 4 +5;

5. (x 1)(x 2)(x 3)(x +2); 6. (3x 2 2x)(4x 3 +7x) (4x +3)(3x 4 +68)

7. Написатидваполинома P (x), Q(x) степена 5,таквадаје st(P (x)+ Q(x))= m,гдеје: (i) m =5;(ii) m =4;(iii) m =3;(iv) m =2;(v) m =1;(vi) m =0

8. Закојеће a, b, c, d ∈ R полином (1+ ax + bx2)(3x 2 + cx d) битистепена n,гдеје: (i) n =4;(ii) n =3;(iii) n =2;(iv) n =1

9. Акосу P (x) и Q(x) полиномистепена n иакоје st(P (x)+ Q(x)) <n,доказатидаје st(P (x) Q(x))= n

10. Акоје a најстаријикоефицијентполинома P (x) и b најстаријикоефицијентполинома Q(x),доказатидаје ab најстаријикоефицијентполинома P (x)Q(x)

11. Некаје P (x) полиномстепена 1 инекаје Q(x)= P (x+1) P (x).Доказатидајеst Q(x)=0

1. Полиномиирационалниизрази 181

12. Некаје P (x) полиномстепена 2 инекаје Q(x)= P (x+1) P (x), S(x)= Q(x+1) Q(x) Доказатидаје: (i) st Q(x)=1;(ii) S(x)= P (x +2) 2P (x +1)+ P (x);(iii) st S(x)=0

13. Акоје P (x)= ax 3 + b,где a, b ∈ R, a =0,доказатидаје P (x +2) P (x)=2Q(x),где је Q(x) полиномстепена 2 санајстаријимкоефицијентом 3a

14. Некаје P (x)= px 4 + qx 3 + rx 2 + sx + t полиномчетвртогстепенапо x инекаје a =0. Доказатидаје P (x)= P (a)+(x a)Q(x),гдеје Q(x) полиномтрећегстепенапо x чији јенајстаријикоефицијент p,аслободанчланје 1 a (P (a) t).

15. Некаје P (x)= ax 3 + bx2 + cx + d.Одредитикоефицијенте a, b, c, d такодаје: (i) P (x)= P ( x); (ii) P (x)= P ( x) Којисезакључцимогуизвестиизједнакости(i),односно(ii),закоефицијентеполинома P (x) степена n?

1.2.Дељењеполинома.Рационалниизрази Полином P (x) дељивјеполиномом Q(x) (којинијенулаполином)акопостоји

полином S(x) такавдаје P (x)= S(x)Q(x). Акоје P (x)= S(x)Q(x),тадакажемодасу S(x) и Q(x) фактори полинома P (x),илидајеполином P (x) растављеннафакторе S(x), Q(x)

Пример1. Полином 2x 4 дељивјеполиномом x 2,јерje 2x 4=2(x 2).Полином x 2 +5x +6 дељивјеполиномом x +3,јерје x 2 +5x +6=(x +2)(x +3).Полином x 3 1

дељивјеполиномом x 2 + x +1,јерје x 3 1=(x 1)(x 2 + x +1)

Сдругестране,датиполином P (x)

неморадабудедељивдатимполиномом Q(x)

Пример2. Кадабиполином 2x 2 +x+1

биодељивполиномом x 1,постојаобиполином S(x) такавда (1) 2x 2 + x +1= S(x)(x 1)

Ставимо x =1 у(1).Добијамо 4=0,штојенетачно.Дакле,непостојиполином S(x) такавда важи(1),тј.полином 2x 2 + x +1 ниједељивполиномом x 1

Ноипак,полином 2x 2 + x +1 можемодаподелимополиномом x 1,стим штоћесепојавитиитзв.остатак.Ситуацијаличинаонукадделиморецимоброј 981 бројем 12 појавићесеостатак.Исампоступакдељењајесличан. Пример3. Дабисмоизвршилидеобу (2x 2 + x +1):(x 1)

првоподелимонајстаријечлановетихполиномаидобијамо 2x 2 : x =2x.Затимполином x 1

помножимодобијенимрезултатом 2x;добијамо (x 1)2x =2x 2 2x.Полином 2x 2 2x

потпишемоиодузмемоодполинома 2x 2 + x +1: (2x 2+ x +1):(x 1)=2x 2x 2 2x 3x + 1

182 Полиноми

Садапонављамопоступак,стимштоноводобијениполином

Овдесепоступакпрекида,јерновиполином 4 неможемодаделимополиномом x 1.Закључујемо:кадасеполином 2x 2 + x +1 поделиполиномом x 1,добијасеколичник 2x +3 и остатак 4,тј.важи 2x 2 + x +1=(2x +3)(x 1)+4.

ЈасноједасепоступакприказануПримеру3можеприменитинадељењеполинома P (x) полиномом Q(x) акоје st P (x) st Q(x).Уопште,можедаседокаже следећеважнотврђење: Засвакадваполинома P (x) и Q(x),где Q(x) нијенулаполином,постојиједан исамоједанпарполинома S(x) и R(x) такавдаважи (2) P (x)= S(x)Q(x)+ R(x), причемује R(x) нулаполиномакоје P (x) дељивса Q(x),и st R(x) < st Q(x) ако P (x) ниједељивса Q(x).Полином S(x) називасе количник,аполином R(x) остатак придеобиполинома P (x) полиномом Q(x) Дакле,можемодакажемодајеполином P (x) дељивполиномом Q(x) акои самоакојеостатакприњиховојдеобинулаполином 0 Напомена1. Једнакост(2)важиикадјеst P (x) < st Q(x),тј.кадсеполином P (x) неможеделитиполиномом Q(x).Наиме,тадаје S(x)=0, R(x)= P (x).Тајслучајнијеодинтереса.

Пример4. АкопоступакописануПримеру3применимонаполиноме 4x 5 8x 4 +3x 3 x +2 и x 3 +2x 2 + x 1 добијамо (4x 5 8x 4 +3x 3 x +2):(x 3 +2x 2 + x 1)=4x 2 16x +31 4x 5 +8x 4 +4x 3 4x

Закључујемо

1. Полиномиирационалниизрази 183

Пример5. Изрази x 3 +5x 2 + x 8 x2 + 6x +3 , x 4 +5x 3 x x4 + 1 , x 2 +2x +2 2x3 + x2 x + 3

сурационалниизрази,одкојихјесамопоследњиправирационаланизраз.

Пример6. Собзиромдаје P (x)= P (x) 1 , иполином P (x) јерационаланизраз.

Заразликуодполинома,рационаланизразнеморадаимаодређенувредност засвакувредностпроменљиве x,тј.неморадабудедефинисанзасвако x ∈ R Наиме,акосеполином Q(x) анулираза x = α ондаизраз P (x) Q(x) немасвојувредност (ниједефинисан)за x = α

Пример7. Рационаланизраз x 2 +5x +6 x + 1

немавредностза x = 1

Заполином P (x) иненулаполином Q(x) постоји,каоштознамо,тачноједан парполинома S(x) и R(x) такодаважи(2),причемује R(x) илинулаполином, илије st R(x) < st Q(x).Одатле,заонереалнебројеве x закојеје Q(x)=0 излази (3) P (x) Q(x) = S(x) + R(x) Q(x) , Å R(x) је нулаполиномили st R(x) < st Q(x) ã

Увезисаједнакошћу(3)постављамодвапитања.

Првопитање.Акојеполином P (x)

дељивполиномом2 Q(x),тј.акојеостатак

R(x) нулаполином,далијеколичник P (x) Q(x) полином?

Одговоргласи:некадјесте,анекадније.

Пример8. Једноставносепроверавадаје: (4) x 3 +2x 2 + x +2=(x 2 +1)(x +2)

Тозначидајеполином x 3 +2x 2 + x +2 дељивполиномом x 2 +1.Какоје x 2 +1 > 0,дакле x 2 +1 =0,засвако x ∈ R,из(4)добијамо x 3 +2x 2 + x +2 x2 + 1 =

штозначидаколичникполинома x 3

јестеполиномпрвогстепена: x +2 Сдругестране,једнакост(4)значиидајеполином x 3 +2x 2 + x +2 дељивполиномом x +2.Међутим,количниктадваполинома,тј.израз x 3 +2x 2 + x +2 x + 2

нијеполином,јернемасвојувредностза x = 2.Наиме,из(4)излази (5) x 3 +2x 2 + x +2 x + 2 = x 2 +1

алисамоподусловом x +2 =0.Акоје x = 2,левастранаједнакости(5)ниједефинисана,а деснаимавредност 5

2Увекпретпостављамода Q(x) нијенулаполином.

184 Полиноми

Другопитање.Акополином P (x)

ниједељивполиномом Q(x),тј.акоостатак

R(x) нијенулаполином,далијеколичник P (x) Q(x) једнакзбируједногполиномаи једногправограционалногизраза?

Одговоргласи:јесте.

Наиме,тачноједајеједнакост(3)добијенаизједнакости(2)самоподпретпоставкомдаје Q(x) =0,алитаједнакостније,,опасна“низаоневредностипроменљиве x закојеје Q(x)=0,јертаданилеванидеснастранаједнакости(3)немају вредност(нисудефинисане).

Пример9. Некаје P (

.Напишимоколичник P (x) Q(x)

у обликузбираједногполиномаиједногправограционалногизраза.Имамо

паје

одаклеизлази (6)

и можемосматратидајеоваједнакостувектачна.Наиме,онајесигурнотачнаакоје x 1 =0, тј.акоје x =1.Сдругестране,ниакоје x =1 недобијамоникаквупротивречност,јерутом случајунилеванидеснастранаједнакости(6)нисудефинисане.

Сарационалнимизразимаоперишемопремауобичајенимправилима(видетистр.39):

(7) P Q + R S = P S + QR QS

гдесу P , Q, R, S полиномипо x 3,игдеје,наравно, Q(x) =0, S(x) =0,аупоследњојједнакостии R(x) =0

Уопште,кадгодсенапишерационаланизраз P (x) Q(x) , тоодмахзначидаморада

буде Q(x) =0 истогатајусловнећемоувекпосебноистицати,јерсеподразумева. Пример10. Имамо 2x 1 x 1 + 5x

(8)

(9)

(10)

1. Полиномиирационалниизрази 185

(11)

Једнакости(8),(9)и(10)важеподусловима x =1,

кадсетиусловиексплицитноненаведујерза x =1 или x = 1,ниједанодизразаутим једнакостиманиједефинисан.

Друкчијестојистварсаједнакостима(11).Наиме,једнакост

важиподусловима: x

x +1=0 левастранагорњеједнакостиниједефинисанаадеснајесте.

Такође,кадасевршискраћивањетипа P (x)R(x) Q(x)R(x) тадаобавезноморадасенаведеуслов R(x) =0.Например,једнакости (12) x 2 1 x3 1 = (x 1)(x + 1) (x 1)(x2 + x + 1) = x +1 x2 + x + 1

важеподусловом x 1 =0,тј. x =1.Безтогуслова,једнакости(12)супротивречне(дефинисаностза x =1).

Свеусвему,свакаконећемопогрешитиакоузрационаланизраз P (x) Q(x) , где су P (x) и Q(x) полиномипо x,увекнапишемои Q(x) =0,мадајетопонекади сувишно.

Подсетимосенекихчињеницаувезисарационалнимбројевима.Кадарационалнебројеве p q и r s (p, r ∈ Z; q, s ∈ N) сабирамопоправилу p q + r s = ps + qr qs

точинимозатодабисмобројеве p q и r s написалиутаквомобликудаимајуисти

именилац,јерзарационалнебројеве

саистимимениоцем b важи: a b + c b = a + c b Изаиста,какоје p q = ps qs , r s = qr qs

имамо p q + r s = ps qs + qr qs = ps + qr qs

Тојеопштеправило.Претпоставимо,међутим,дапостојиприроданброј t којије мањиодброја qs итакавдасеуњемусадржеобаброја q и s.Тозначидапостоје природнибројеви m и n таквидаје t = mq и t = ns.Тадаје p q + r s = mp mq + nr ns = mp

рачунаћемосамањимбројевиманегокадрадимопоопштемправилу.Најмањи природанбројсаособиномдасеуњемусадржеобаброја

најмањи заједничкисадржалац(такозваниНЗС)ирачунјенајједноставнијиакокористимо

186

Пример11. Премаопштемправилуимамо 5 12 + 7 18 = 5 18 12 18 +

Међутим,акоуочимодасебројеви

радићемосамањимбројевима:

Број 36 јеНЗСбројева 12 и 18,причемује

,иузпомоћњегарачунамо санајмањимбројевима:

Наравно,собзиромдаје 174 216 = 58 72 = 29 36 овденијеречотачностирезултата,већотомедасе дорезултатадођесаштомањерачунања.

Сличноважиизарационалнеизразе.Акоје T (x) полиномнајнижегстепена такавдасеполиноми Q(x) и S(x) садржеуњему,ондакажемодаје T (x) најмањи заједничкисадржалац полинома Q(x) и S(x) ипишемо T (x)= НЗС(Q(x),S(x)). Напомена2.

Најмањизаједничкисадржалацдваполинома Q(x) и S(x) увекпостоји.У најгоремслучајутојеполином Q(x)S(x).Притоме,НЗСнијејединственоодређен,јеракоје T (x)= НЗС(Q(x),S(x)),ондајеи aT (x),засвако a =0,такођењиховнајмањизаједнички садржалац.

Акоје T (x)= НЗС(Q(x),S(x)),ондапостојеполиноми M (x) и N (x) таквида је T (x)= Q(x)M (x) и T (x)= S(x)N (x),паје P (x) Q(x) + R(x) S(x) = P (x)M (x) Q(x)M (x) + R(x)N (x) S(x)N (x) = P (x)M (x) + R(x)N (x) T (x)

и какоје st T (x) st Q(x)S(x),употребаНЗС-аможезнатнодаупростирадса рационалнимизразима,јошвишенегоштојетобиослучајсарационалнимбројевима.

Пример12. Акоразлику 2x 2 + x +5 (x 1)(x + 1)(x 2) x +8 (x + 3)(x +1)(x 2) израчунавамо

премаопштемправилу: P Q R S = P S RQ QS , добијамо 2x 2 + x +5 (x 1)(x + 1)(x 2) x +8 (x + 3)(x +1)(x 2) = (2x 2 + x +5)(x +3)(x +1)(x 2) (x +8)(x 1)(x +1)(x 2) (x 1)(x + 1)(x 2)(x +3)(x +1)(x 2) (13)

исада,дабисерецимобројилациименилацизразанадеснојстрани(13)написалиусређеном облику,имадасемножиимножи. Међутим,нијетешкоуочитидаје (x 1)(x +3)(x +1)(x 2) најмањизаједничкисадржалацполинома (x 1)(x +1)(x 2) и (x +3)(x +1)(x 2).Стогаје 2x 2 + x +5 (x 1)(x + 1)(x 2) x +8 (x + 3)(x +1)(x 2) = (2x 2 + x +5)(x +3) (x 1)(x + 1)(x 2)(x +3) (x +8)(x 1) (x + 3)(x +1)(x 2)(x 1)

1. Полиномиирационалниизрази 187

исазнатномањемножењанаписаћемобројилациименилацовогпоследњегизразаусређеном облику.

Пример13. Имамо

Напоменимодајеуглавномбољеоставитиполиномуфакторизованомоблику,јерсеса факторизованогобликалакопрелазинасређениоблик,докпрелазсасређеногобликанафакторизованиможедабудесложен.Дакле,

Питања

1. Кадакажемодајеполином P (x) дељивполиномом Q(x)?

2. Штасуколичник S(x) иостатак R(x) придеобиполинома P (x) полиномом Q(x)?Ако је st P (x)= n st Q(x),коликису st S(x) и st R(x)?

3. Далирационаланизразпо x имасвојувредностзабилокојувредностпроменљиве x?

4. Штајенајмањизаједничкисадржалацдваполинома?

Задаци

Задатеполиноме P (x) и Q(x) одредитињиховколичник S(x) иостатак R(x),гдеје:

1. P (x)=2x 3 + x +12, Q(x)= x 3;

2. P (x)=2x 3 + x +12, Q(x)= x 2 +1;

3. P (x)=2x 4 2x 3 +6x 2 5x +1, Q(x)=2x 2 + x +1;

4. P (x)= x 3 + x +1, Q(x)= x 3 +1;

5. P (x)= x 3 +1, Q(x)= x 3 + x +1;

6. P (x)= x 2 +2, Q(x)= x 3 + x +1

7. Акоје f (x)= 3x 2 +7x +2 3x 7 , израчунати f (2), f ( 3), f ( 1 2 )

8. Некаје R(x) остатакпридеобиполинома P (x) степена m полиномом Q(x) степена n, гдеje m>n.Доказатидазасвакиприроданброј k n постојиполином S(x) степена k,такавдајеполином P (x)+ S(x) дељивполиномом Q(x).

9. Нека a, b, c, α, β ∈ R.Акоје f (x)= ax 2 + bx + c,доказатидапододређенимусловима важи: f (x) f (α) x α f (α) f (β) α β = a(x β) Којисутиуслови?

10. Израчунативреднострационалногизраза a x b x + b x a x a 2 b2 x2 (a + b)x + ab , кадје x = ab a + b

11. Акоје f (x)= 1 x 1 + x ,одредити f (f (x)) и f (f (f (x)))

12. Акоје f (x)= 1 x 1 + x , g(x)= 1+ x 1 x , израчунати f (g(x)) и g(f (x)).

Написатиследећеизразеуобликуколичникадвасређенаполинома:

13. 2 5(x 1) + 4x + 5 3(x2 + x + 1) ;

14. 8 x 2 31 (x 3)2 + x 2x2 5 ;

15. 7(2x + 1) 8(4x2 + 9) 1 7(2x 1) + 1 x ;

16. 1 x 1 + 2 (x 2)2 + 1 (x 1)3 2 x2 + x + 3 .

Израчунативредностиследећихизраза:

17. x 2 x (1 x 1 1 x ) + x 2 1 x ;

18. a 1 1 a + 1 1 a 1 1 a + 1 1 a a ;

19. x 2 Å 1 (x + 2)2 ( 1 x2 + 1 4 ) + 2 (x + 2)3 ( 1 x + 1 2 )ã;

20. 1 x 4 1 x + (1 x 4)(x x 4) x x3 + (1 x 4)(x x 4)(x 2 x 4) x3 x6 + (1 x 4)(x x 4)(x 2 x 4)(x 3 x 4) x6 x10

Доказатидаследећеједнакостиважезасвако x ∈ R,односно a ∈ R,закојенаведени изразиимајусмисла:

21. 1 x3 3x2 + 3x 1 1 x3 x2 x + 1 1 x4 2x3 + 2x 1 1 x

2x3 + 2x2 2x +1 = 2 (x4 1)(x 1)2 ;

22. 1 1 + a +2a2 + a3 + a4 + 1 1 a + 2a2 a3 + a4 = 2 1 + a2 + a4 ;

23. 1 (1 a)(1 a2) + a (1 a2)(1 a3) + a 2 (1 a3)(1 a4) = a 2 + a + 1 (1 a)(1 a4) ;

24. (x 1)(x 2 1) (x + 1)(x2 +1) 1 + ( x 1 x + 1 )2 =2 Ö x 1 x + 1 + x 2 1 x2 + 1 3 + ( x 1 x + 1 )2 è 2 ;

25. Ñ x 1 x + 1 + a 1 a + 1 x + 1 x 1 + a + 1 a 1 é 3 = ( x 1 x + 1 )3 + ( a 1 a + 1 )3 ( x + 1 x 1 )3 + ( a + 1 a 1 )3

1. Полиномиирационалниизрази 189

1.3.Безуовстав.Факторизацијаполинома Акоје a одређенреаланброј,тадаје x a полиномпрвогстепенапо x.Стога задатиполином P (x) итајполином x a постојитачноједанпарполинома S(x)

и R(x) такодаје

(1) P (x)=(x a)S(x)+ R(x),

причемује R(x) нулаполиномили st R(x) < st(x a)=1,дакле st R(x)=0.

Тозначидаје R(x) илинулаполиномиликонстантанполином,паједнакост(1) можемоданапишемоуоблику

(2) P (x)=(x a)S(x)+ r,

где r ∈ R;акоје R(x) нулаполиномондаје r =0,аакоје R(x) константанполином

ондаје r =0

За x = a једнакост(2)постаје: P (a)= r,изакључујемо: Остатакпридеобиполинома P (x) полиномом x a износи P (a). ДоказанотврђењеназивасеБезуовстав.Непосреднапоследицатогставагласи:Полином P (x) дељивјеполиномом x a акоисамоакоје P (a)=0.Тоуједно значидаполином P (x) ималинеаранфактор x a акоисамоакоје P (a)=0. Напомена1. Некасу a и b одређениреалнибројевии a =0.Акозадатиполином P (x) постојиполином S(x) такавдаје P (x)=(ax + b)S(x),ондаје P (x)=(ax + b)S(x)= a (x + b a ) S(x) = (x + b a ) T (x),

гдејестављено: T (x)= aS(x),штозначидаје T (x) такођеполином. НаосновуовечињеницеиБезуовогставазакључујемо: (i)Остатакпридеобиполинома P (x) полиномом ax + b,гдеје a =0,износи P ( b a );

(ii)Полином P (x) једељивполиномом ax+b,гдеје a =0,акоисамоакоје P ( b a ) = 0;

(iii)Полином P (x) ималинеаранфактор ax+b,гдеје a =0,акоисамоакоје P ( b a ) = 0

Пример1. Одредимокоефицијенте a и b такодаполином 6x 3 + ax 2 + bx 2 будедељив са x +1 иса 2x 1

Некаје P (x)=6x 3 +ax 2 +bx 2.Акојеполином P (x) дељивса x+1,ондаје P ( 1)=0, тј. 6+ a b 2=0,аакоједељивса 2x 1,ондаје P ( 1 2 ) = 0,тј. 6 8 + a 4 + b 2 2 =0.Ове двеједначинепо a и b,послесређивања,постају a b =8 и a +2b =5

Акопрвуједначинупомножимоса 2 иондаједодамодругојдобијамо 3a =21,тј. a =7.Тада изпрвеједначиненалазимо 7 b =8,тј. b = 1

Пример2. Далије 2a + b факторизраза 10a 3 +17a 2b +20ab2 +7b3? Израз 10a 3 +17a 2b +20ab2 +7b3 сматрамодајеполиномпо a чијисукоефицијенти редом 10, 17b, 20b2 , 7b3.Означимога P (a).Имамо P ( b 2 ) = 10 ( b 2 )3 + 17 ( b 2 )2 b + 20 ( b 2 ) b2 + 7b3 = 10 8 b3 + 17 4 b3 10b3 + 7b3 =

190

пазакључујемодаје 2a + b факторполинома P (a).Заиста,акоизвршимодеобу:

добијамо

Некасеполином P (x) степена n

значидапостојиполином S(x) такавдаје (3) P (x)=(x α)S(x)

.То

Даље,какоје st P (x)= st(x α)+ st S(x),имамо: n =1+ st S(x),штозначидаје st S(x)= n 1.

Некаје β реаланбројразличитод α такавдаје P (β)=0.Једнакост(3)за x = β

постаје: P (β)=(β α)S(β),тј. 0=(β α)S(β),одаклеизлази S(β)=0,јерјепо

претпоставци β = α,тј. β α =0.Какоје S(β)=0,полином S(x) ималинеаран фактор x β,тј.постојиполином T (x) такавдаје

(4) S(x)=(x β)T (x)

и st T (x)= st S(x) st(x β)= n 1 1= n 2

Изједнакости(3)и(4)добијамо P (x)=(x α)(x β)T (x),

гдеје st T (x)= n 2

Настављајућиовајпоступак,закључујемодаакосу α1, α2, , αn међусобно различитибројевитаквидазаполином P (x) степена n,чијијенајстаријикоефицијент an,важи P (α1)=0, P (α2)=0, , P (αn)=0,ондаје (5) P (x)=(x α1)(x α2) (x αn)U (x),

гдеје st U (x)=0.Тозначидаје U (x) константанполином,паједнакост(5)постаје P (x)= c(x α1)(x α2) (x αn),

где c ∈ R.НаосновуЗадатка10,стр.180видимодаје c = an,гдеје an најстарији коефицијентполинома P (x);дакле, (6) P (x)= an(x α1)(x α2) (x αn).

Одавдеизводимозакључакдасеполином P (x) степена n неможеанулирати завишеод n различитихвредности.Наиме,акоје P (x) полиномстепена n,његов најстаријикоефицијент an јеразличитоднуле.Претпоставимодасе P (x) анулира за n +1 различитихвредности α1, α2, ... , αn, αn+1.Собзиромдасеполином P (x) анулиразаразличитебројеве α1, α2, , αn,важиједнакост(6).Акосе P (x) анулираизавредност αn+1,из(6)добијамо P (αn+1)=0= an(αn+1 α1)(αn+1 α2) (αn+1 αn), штојенетачно,јерје an =0, αn+1 α1 =0,

1. Полиномиирационалниизрази 191

Напомена2. ВидетиПример10,стр.180.

Напомена3. Непосреднапоследицадоказаногтврђењагласи:Полиноми P (x) и Q(x) су једнакиакоисамоакоје P (x)= Q(x) засвако x ∈ R.

Заиста,акосуполиноми P (x) и Q(x) једнаки,топодефиницијизначидаимајуистесређенеобликеијасноједајетада P (x)= Q(x) засвако x ∈ R

Доказујемообратнотврђење,тј.акоје P (x)= Q(x) засвако x ∈ R,ондаполиноми P (x) и Q(x) имајуистесређенеоблике.Наиме,акоје P (x)= Q(x) засвако x ∈ R,ондаје P (x) Q(x)=0 засвако x ∈ R,тј.полином P (x) Q(x) сеанулиразасвакувредност променљиве x.Тозначидаје P (x) Q(x) нулаполином,јеркадаби P (x) Q(x) биополином некогстепена k,онсенебимогаоанулиратизавишеод k вредностипроменљиве x. Некасуполиноми P (x) и Q(x) написаниусређеномоблику: P (x)= amx m + am 1x m 1 + + a1x + a

гдеје,рецимо, m n.Тадаје P (x) Q(

атајполиномјенулаполиномакоисамоакоје

Дакле,полиноми P (x) и Q(x) имајуистисређениоблик: a

Доказалисмодасеполином P (x) степена n неможеанулиратизавишеод n различитихвредностипроменљиве.Међутим,можедаседесидасеполином P (x) степена n анулирасамоза k различитихвредностипроменљиве,гдеје k<n,при чему k можедабудеи 0,штозначидасеполиномнеанулиранизаједнувредност променљиве x Пример3. Некаје P (x)= x 3 3x +2.Тајполиномсеанулираза x =1 иза x = 2 (видетиПример8,стр.179)пасу x 1 и x +2

његовифактори.Тозначидаје (7) x 3 3x +2=(x 1)(x +2)(ax + b).

Коефицијенте a и b уједнакости(7)можемодаодредимодеобомполинома P (x) полиномом

(x 1)(x 2),тј.полиномом x 2 + x 2,аможемодапоступимоитакоштоћемополиномна деснојстрани(7)написатиустандардномоблику.Добијамо x 3 3x +2= ax 3 +(a + b)x 2 +(b 2a)x 2b, одаклеизлази a =1,a + b =0,b 2a = 3, 2b =2, тј. a =1, b = 1.Дакле, P (x)= x 3 3x +2=(x 1)(x +2)(x 1)=(x 1)2(x +2)

ивидимодасеовајполиномтрећегстепенаанулирасамоза x =1 и x = 2,дакле,самоза двевредностипроменљиве.

Напомена4. Заброј 1 кажемодаје двострука нулаполинома x 3 3x +2.Уопште,акоје P (x)=(x a)kQ(x) и Q(a) =0,ондакажемодаје a вишеструка нулаполинома P (x) реда k

Пример4. Засвако x ∈ R важи: x 4 +1 > 0.Дакле,непостојивредностпроменљиве x таквадасеполином x 4 +1 анулира.

Акојеполином P (x) представљенуоблику P (x)= an(x α1)(x α2) (x αn),

192

причемунеки(илисви)бројеви α1, α2, , αn

могубитиједнаки,ондакажемо дајеполином P (x) растављенилифакторизованналинеарнефакторе.Пример4 показуједатаквафакторизацијанијеувекмогућна.

Међутим,можедаседокажедасесвакиполином P (x) можепредставитикао производлинеарнихфактораиквадратнихфакторакојисенемогудаљераставитиналинеарне4.ВидетиПримере5,6и7којиследе.

Пример5. Одредимолинеарнефактореполинома x 2 6x +8.Какоје (x 3)2 = x 2 6x +9,закључујемодаје

Пример6. Заполином P (x),гдеје P (x)= x 3 1 очигледноважи P (1)=0,патај

полиномималинеаранфактор x 1.Важиједнакост x 3 1=(x 1)(x 2 + x +1)

Међутим,полином x 2 + x +1 неможесераставитиналинеарнефакторе.Заиста,кадабитај полиномимаолинеаранфактор x α,онбисеанулираоза x = α.Међутим, x 2 + x +1= (x + 1 2 )2 + 3 4 > 0

штозначиданепостојивредностпроменљиве x таквадаје x 2 + x +1=0

Пример7. Полином x 4 + x 2 +1

немалинеарнихфактора,јер: x 4 0, x 2 0, 1 > 0,па је x 4 + x 2 +1 > 0 засвако x ∈ R.Међутим,онсеможепредставитикаопроизводквадратних фактора(којисенемогудаљераставитиналинеарне).Заиста, x 4 + x 2 +1=

Слично,полином x 4 +1 немалинеарнихфактора;видетиПример4,стр.191.Међутим, x 4 +1= x 4 +2x 2 +1

Непостојенекаопштаправилазарастављањеполиноманафакторе.Углавномсе,каоуПримеру5или7,служиморазнимдосеткама.Евојошнеколикопримера.

Пример8. Имамо: 14x 3 +21x 2 +2x +3=(14x 3 +2x)+(21x 2 +3)=2x(7x 2 +1)+3(7x 2 +1)

1. Полиномиирационалниизрази 193

гдесмоприменилиједнакост a 3 b3 =(a b)(a 2 + ab + b2);видетистр.44.Дакле, x 3 6x 2 +12x 9=(x 3)(x 2 4x +4+ x 2+1) =(x 3)(x 2 3x +3),

причемуквадратнифактор x 2 3x +3 неможедасераставиналинеарне,јерје x 2 3x +3= (x 3 2 )2 9 4 + 3= (x 3 2 )2 + 3 4 > 0

Пример10. Приликомрастављањаполинома P (x) сацелимкоефицијентиманафакторе кориснојеиспитатидалиполином P (x) имацелобројненуле.Илустроваћемотоследећим примером.

Некаје P (x)= x 4 6x 2 7x 6.Тражимоцелобројненулетогполинома.Претпоставимо даје a цеобројидајенулаполинома P (x).Тадаје P (a)=0,тј. a 4 6a 2 7a 6,одаклеизлази (8) a(a 3 6a 7)=6

Изједнакости(8)излазидасецеоброј a садржиуброју 6.Тозначидаакополином P (x) има целобројнунулу,томорадабудебројкојисесадржиуброју 6;кандидатису,дакле,једино бројеви: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 6, 6.Директномпроверомутврђујемо: P (1) =0,P ( 1) =0,P (2) =0,P ( 2)=0,P (3)=0, P ( 3) =0,P (6) =0,P ( 6) =0 Прематоме,полином P (x) иматачнодвецелобројненуле: 2 и 3,паје x 4 6x 2 7x 6=(x +2)(x 3)Q(x),

гдеје Q(x) полиномдругогстепенасанајстаријимкоефицијентом 1.Можемодагаодредимо деобомполинома P (x) полиномом (x +2)(x 3).Добијамо Q(x)= x 2 + x +1,причемутај полиномнеможедасераставиналинеарнефакторе(видетиПример6,стр.192).Дакле, x 4 6x 2 7x 6=(x +2)(x 3)(x 2 + x +1).

Напомена5. Јасноједаважиследећеопштетврђење.Акосукоефицијентиполинома anx n + an 1x n 1 + + a1x + a0 целибројеви,иакотајполиномимацелобројненуле, ондасутенуледелиоцислободногчлана.

Пример11. Далиразломак x 5 4x 4 2x 3 +3x 2 + x +1 (x 1)(x 2) можедасе,,скрати“?

Некаје P (x)= x 5 4x 4 2x 3 +3x 2 + x +1.Тадаје P (1)=1 4 2+3+1+1=0, P (2)=32 64 16+12+2+1= 33 =0,штозначидаполином P (x) ималинеаран фактор x 1,анемалинеаранфактор x 2.Прематоме,датиразломакможедасескратиса x 1.Акополином P (x) поделимоса x 1 добијамо: (x 5 4x 4 2x 3 +3x 2 + x +1):(x 1)= x 4 3x 3 5x 2 2x 1 x 5 x 4 3x 4 2x 3 + 3x 2 + x +1 3x 4 +3x 3 5x 3 + 3x 2 + x +1 5x 3 +5x 2 2x 2 + x + 1 2x 2 +2x x + 1 x +1

194

Дакле, x 5 4x 4 2x 3 +3x 2 + x +1 (x 1)(x 2) = (x 1)(x 4 3x 3 5x 2 2x 1) (x 1)(x 2) = x 4 3x 3 5x 2 2x 1 x 2

Овеједнакостиважеподусловом x =1 и x =2

Питања

1. Коликијеостатакпридеобиполинома P (x) са:(i) x a;(ii) ax + b?

2. Акојеполином P (x) дељивполиномом 2x +5,далипостојиполином Q(x) такавдаје P (x)=3(2x +5)Q(x)?

3. Далипостојиполиномчетвртогстепенапо x којисеанулиразапетразличитихвредностипроменљиве x?

4. Далипостојиполиномшестогстепенапо x којисенеанулиранизаједнувредност променљиве x?

Задаци

Одредитиостатакпридеобиполинома P (x)

1. P (x)=3x 3 +7x +6, Q(x)= x +1;

2. P (x)=5x 4 +14x 3 + x 5, Q(x)= x 2;

3. P (x)= x 3 + x 2 + x +1, Q(x)=2x +1;

4. P (x)= x 3 + x 2 x +1, Q(x)=2x 1

Q(x),гдеје:

Одредитиреалнебројеве a, b такодаполином P (x) будедељивполиномом Q(x),гдеје:

5. P (x)=3x 3 + ax 2 7x +6, Q(x)= x 1;

6. P (x)=5x 4 + ax 3 +6x 4, Q(x)= x +2;

7. P (x)=3x 3 4x 2 + ax + b, Q(x)= x 2 +1;

8. P (x)=6x 3 + ax 2 + bx 2, Q(x)=(2x 1)(x +1)

9. Одредитиреланброј m такодаостаципридеобиполинома x 2 + mx +2,са x +1 и x 1 будуједнаки.

10. Ако n ∈ N,доказатидајеполином x n a n дељивса x a.Такођедоказатидајеполином P (x) P (a) дељивса x a,гдеје P (x) произвољанполином.

11. Акоје x 3 +1 факторполинома x 5 + ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e,доказатидаје a = d, b = e, c =1.

12. Акоје (x 1)2 факторполинома ax 3 +bx2 +cx+d,доказатидаје b = d 2a и c = a 2d

13. Остатакпридеобиполинома P (x) са x 1 je 5,апридеобиса x +1 је 1.Одредити остатакпридеобиполинома P (x) са x 2 1

14. Акозаполином P (x) важи P (x)+ P ( x)=0 иакојеполином P (x) дељивса x a, доказатидајеондељивиса x 2 a 2

15. Акојенекиполиномдељивса x 2 1,доказатидасузбирњеговихкоефицијенатаса парниминдексимаизбирњеговихкоефицијенатасанепарниминдексимаједнаки 0

1. Полиномиирационалниизрази 195

Проверитидалису 1, 1, 2, 2, 3, 3 нулеследећихполинома,азатимихраставитиналинеарнеи/иликвадратнефакторе: 16.

1.4.Полиномиирационалниизразиповишепроменљивих

Досадасморазматралиполиномеирационалнеизразепоједнојпроменљивој.Безмногодетаљаилистриктности,служећисепримерима,указаћемоуовом одељкунанекечињеницеувезисаполиномимаирационалнимизразимаповише променљивих.

Изразикаквису,рецимо, 5x 2 y 3 2x 3 y 2 +4xy 5x 6,затим 2x 2 3xy + y 3 + 4x +2y 3 или xy +5x y +2,примерисуполиномаподвепроменљиве x, y

Даље,изрази x 3 + y 3 + z 3 3xyz,затим x 2 y 2 + y 2 z 2 x y z +2 примери суполиномапо x, y и z

Наосновуовихпримераотприликејејасноштасуполиномиповишепроменљивих.Описноречено,полиномпо x, y, z, јеизразкојисачињавајузнаци реалнихбројева,затимпроменљиве x, y, z, ... каоисвиизразиграђенипомоћу њихиоперацијскихзнакова +, и ·

Сабирцикојисачињавајуполиномсуњегови чланови,абројевикојисепојављујуутимсабирцимасуњегови

коефицијенти

Пример1. Некајеполином P (x,y) попроменљивама x и y дефинисанса: P (x,y)= 5x 2 y 3 2x 3 y 2 +4xy 5x 6.Његовичлановису: 5x 2 y 3 , 2x 3 y 2 , 4xy, 5x, 6,aкоефицијенти су: 5, 2, 4, 5 и 6.

Свакичланполиномаимасвој степен.Тојезбиризложилацапроменљивих x, y, z, .Специјално,чланполиномаукоменемапроменљивихима,подефиницији,степен 0.Највећиодтихстепенауједнојеи степенполинома

Пример2. Уполиному 5x 2 y 3 2x 3 y 2 +4xy 5x 6 првичланимастепен 5 (јер 2+3=5), идругиимастепен 5 (јер 3+2=5),трећиимастепен 2 (јер xy = x 1 y 1 и 1+1=2),четврти имастепен 1 (јер x = x 1),апетиимастепен 0.Стогатајполиномимастепен 5. Пример3. Написатисвеполиномепо x, y чијисучлановистепена 3 Какосвакичланполиномапо x и y требадаимастепен 3,тозначидасусвињеговимогући члановиоблика: ax 3 , by3 , cx 2 y, dxy2.Прематоме,тражениполиномисуоблика ax 3 + by3 + cx 2 y + dxy2 ,гдесу a, b, c, d коефицијенти,тј.одређениреалнибројеви. Напомена1. Некасу a, b, c, ознакезанекеодређенереалнебројеве.Полиномпо x, y, z, прецизниједефинишемонаследећиначин: (i) a, b, c, , x, y, z, суполиноми; (ii)акосу P и Q полиноми,тадасу P + Q, P Q, PQ такођеполиноми. Наосновуоведефиницијеизлазидаје,например,израз (x +1)(y +1) полиномпо x и y Заиста,наоснову(i)имамодасу 1, x и y полиноми,панаоснову(ii)закључујемодасу x +1,

196

y + 1

полиноми.Одатлеизлази,опетнаоснову(ii),даје (x +1)(y +1)

да x +1 и y +1

Полиноми

полином.Приметимо

нисучлановитогполинома.Међутим,какоје (x +1)(y +1)= xy + x + y +1, члановитогполиномасу: xy, x, y и 1.

Полиномподвепроменљиве x, y увекможедасепредставикаополиномпо једнојпроменљивој(рецимо x)чијисукоефицијентиполиномиподругојпроменљивој(рецимо y).

Пример4. Некаје P (x,y)=2x 2 y 2 3x 2 y +2xy x + y +3.Тадаје P

)=(2

, атојеполиномпо x чијисукоефицијентиполиномипо y:

Истотако, P (x,y)=(2x 2)y 2 +( 3x 2 +2x +1)y +( x +3), атојеполиномпо y чијисукоефицијентиполиномипо x: 2

Такође,полиномпотрипроменљиве x, y, z можедасепредставикаополином поједнојпроменљивојчијисукоефицијентиполиномиподругедвепроменљиве.

Пример5. Некаје

Једанодпроблемаувезисаполиномимаповишепроменљивихјестерастављањеполиноманафакторе,уколикојетомогуће.Некатакварастављања,каона пример x 2 y 2 =(x y)(x + y),x 3 + y 3 =(x + y)(x 2 xy + y 2),

итд.упозналисмораније(видетистр.44).

Пример6. Написатиполином P (x,y,z),гдеје P (x,y,z)= x 2 y + y 2 z + z 2 x + xy 2 + yz 2 + zx 2 +2xyz уобликупроизводалинеарнихфактора(тј.уобликупроизводаполиномапрвихстепенапо x, y, z).

Узећемодаје P (x,y,z) полиномпо x,чијисукоефицијентиполиномипо y и z.Акополином P (x,y,z) напишемоутаквомоблику,добијамо P (x,y,z)=(y +

Међутим,

Стогаје

Безуовставможемокориститиикодполиномаповишепроменљивих,као штосмотовећучинилиуПримеру2,стр.189.

1. Полиномиирационалниизрази 197

Пример7. Написатиполином

каопроизводлинеарнихфактора. Сматрамодаје

штозначи,наосновуБезуовогстава,даје

полиномдругогстепена,закључујемодаје

тј.

одаклеизједначујућиодговарајућекоефицијентедобијамо:

.Какоје

Пример8. Доказатиједнакост (1) x(y z)2 + y(z x)2 + z(x y)2 +8xyz =(x + y)(y + z)(z + x), немножећиизразеналевојидеснојстрани(1).

(x,y)

Некаје P (x,y,z)= x(y z)2 + y(z x)2 + z(x y)2 +8xyz.Собзиромдаседесна

странау(1)анулиракадје,например, x = y,проверавамодалиистоважиизалевустрану. Имамо P ( y,y,z)= y(y z)2 + y(z + y)2 + z( 2y)2 +8( y)yz = y(y 2 2yz + z 2)+ y(z 2 +2zy + y 2)+4zy 2 8y 2 z = y 3 +2y 2 z yz 2 + yz 2 +2zy 2 + y 3

2 z =0

НаосновуБезуовогстава,тозначидаје x + y факторполинома P (x,y,z). Насличанначиндоказујемодасу y + z и z + x факториполинома P (x,y,z).Собзиром даје P (x,y,z) полиномтрећегстепена,исобзиромдазнамодаималинеарнефакторе x + y, y + z и z + x,онморабитиоблика P (x,y,z)= a(x + y)(y + z)(z + x)(a ∈ R)

Дакле,имамо (2) x(y z)2 + y(z x)2 + z(x y)2 +8xyz = a(x + y)(y + z)(z + x), иједнакост(2)важизасвако x, y, z ∈ R.Ставимо x = y = z у(2).Добијамо: 8x 3 = a(2x)(2x)(2x)=8ax 3 , одаклеизлази a =1 Стогајеједнакост(1)тачна.

Акосу P (x,y,z,... ) и Q(x,y,z,... ) полиномипо x, y, z, ,тадасеизраз

P (x,y,z,... ) Q(x, y,z,... ) назива рационаланизраз по x, y, z, ... .Онједефинисансамозаоне вредностипроменљивихзакојеје Q(x,y,z,... ) =0. Пример9. Израз x 3 3x 2 y + xy 2 y 3 јеполиномпо

x, y,

198

Полиноми

Сарационалнимизразимаоперишемопремауобичајенимправилима.

Пример10. Акоје

Пример11. Пододређенимусловима,којетребанавести,скратитиизраз

с тимштосескраћивањеса x 2 z

можеизвршитисамоподусловом x 2 z 2 =0,тј. (x z)(x + z) =0,тј. x = z и x = z

Питања

1. Далиполиномповишепроменљивихимасвојувредностзасвакувредностпроменљивих?

2. Далирационаланизразповишепроменљивихимасвојувредностзасвакувредност променљивих?

3. Акоје P (x,y) полиномpo x и y,далисуизрази P (y,x), P Å x y , 2xã, P ( x + y 2 , x y 2 ), P Å x x2 + y2 , y x2 + y2 ã, P (x, y) P (x, y) полиномипо x, y?

Задаци

1. Некаје P (x,y)= x 2 + y 2 x y.Израчунати: P (2, 3), P (0, 1), P (1, 1).Доказатидаје P (1 x, 1 y)= P (x,y)

2. Некаје P (x)= ax 2 + bx + c, Q(x,y)= x y.Доказатидаје P (x) P (y) Q(x, y) P (y) P (z) Q(y,z) = aQ(x,z).

3. Акоје f (x,y)= ax 2 + bxy + cy 2 Ax2 + Bxy + Cy2 ,где a, b, c, A, B, C ∈ R,подкојимусловомје: (i) f Å x y , 1ã = f (x, y);(ii) f Ä1, y x ä = f (x, y)?

4. Акоје f (x,y)= 2+ x 3 y , одредити:(i) f (2+ x, 3 y);(ii) f (3 y, 2+ x)

1. Полиномиирационалниизрази 199

5. Акоје f (x,y,z)= 5x 2 3yz z + 4y ,одредити:(i) f (1, 2, 3);(ii) f (5, 1, 4);(iii) f (z,z,z);

(iv) f (x,y, 0);(v) f (f (x,y, 0), 2,f (y,y,y))

Доказатиследећеидентитете:

6. (x + y + z)2 = x 2 + y 2 + z 2 +2xy +2xz +2yz;

7. x(y + z)(y + z x)+ y(x + z)(x + z y)+ z(x + y)(x + y z)=6xyz;

8. (x + y + z)3 ( x + y + z)3 (x y + z)3 (x + y z)3 =24xyz;

9. ((x y)

y z)

10. (xs + yz)(ys + zx)(zs + xy)=(x + y)2(y + z)2(z + x)2,гдеје s = x + y + z

Израчунатиследећеизразе(тј.написатиихуобликуколичникадвасређенаполинома): 11. x x y 2y 2x + y ; 12. x y + z 3y x z + 1 yz ; 13. Å x + y 1 xy x y 1 + xy ã : Å1+ x 2 y 2 1 x2y2 ã

14. Акоје x = a b 1 + ab , y = b c 1 + bc , z = c a 1 + ac ,доказатидаје: (1+ x 2)(1+ y 2)(1+ z 2)=(1 xy yz zx)2 .

15. Акоје x = a b a + b , y = b c b + c , z = c a c + a , доказатидаје: (1+ x)(1+ y)(1+ z)=(1 x)(1 y)(1 z).

16. Некаје k природанбројинекаје Sk = x k (x y)(x z) + y k (y x)(y z) + z k (z x)(z y)

Доказатиједнакости:

S1 =0, S2 =1, S3 = x + y + z, S4 = x 2 + y 2 + z 2 + xy + yz + zx,

S5 = x 3 + y 3 + z 3 + x 2(y + z)+ y 2(z + x)+ z 2(x + y)+ xyz

Написатиследећеизразеуобликупроизводалинеарнихиликвадратнихфактора:

17. (2a 2 3ax)(5c + d) (6a 2 4ax)(5c + d);

18. (ay + bx)3 +(ax + by)3 (a 3 + b3)(x 3 + y 3);

19. yz(y + z)+ zx(z x) xy(x + y); 20. x 4 + x 2 y 2 + y 4 ;

21. (x + y)4 + x 4 + y 4 ; 22. x(y z)3 + y(z x)3 + z(x y)3

Упроститиследећерационалнеизразе(тј.наћисвезаједничкефакторебројиоцаиимениоцаи скратитидатеизразетимфакторима):

23. (x y)2 x2 y2 ; 24. x 2 y 2 x3 y3 ;

25. (y 1)2 x (x 1)2 y x2y2 1 ; 26. x 3 y 3 x 5 y 3 x3y3(1 xy)2 x3y3(x y)2 ;

27. 2x 2 (y + z)(y + z x) 2y2 (z + x)(z + x y) ; 28. x 4 + xy(x 2 + y 2) + y 4 x4 + x2y2 + y4 ;

29. x 3 + y 3 + x 2(y + z) + y 2(x + z) x3 y3 + x2(y + z) y2(x + z) ; 30. x 3 + y 3 + x(y 2 + z 2) + y(x 2 + z 2) x3 y3 + x(y2 + z2) y(x2 + z2) .

200 Полиноми

2.ПОЛИНОМНЕИРАЦИОНАЛНЕФУНКЦИЈЕ

2.1.Основнипојмови

Нека n ∈ N инекасу a0, a1, ... , an

одређениреалнибројеви.Функција P која

оригинал x ∈ R пресликавауреаланброј P (x),гдеје

(1) P (x)= anxn + an 1xn 1 + + a1x + a0

називасе полиномнафункција

Собзиромдајеизразнадеснојстрани(1)дефинисанзасвако x ∈ R,домен

функције(1)јескуп R.

Напомена1. Обратимопажњунаразликуизмеђуполиномаиполиномнефункције.На пример,израз x 2+1 јеполиномпо x.Сдругестране,функција P којаоригиналу x ∈ Rдодељује слику x 2 +1 јеполиномнафункција.Ускладусадефиницијомфункције(видетистр.13),она јескупуређенихпарова: {(x,x 2 +1) | x ∈ R}

Уопште,акоје P (x) полином,иакоје P

полиномнафункцијакојареаланброј x пресликавау реаланброј P (x),ондаје P = {(x,P (x)) | x ∈ R}

Напомена2.

Каоштознамо(видетистр.16)двефункције f и g садоменом A икодоменом B суједнакеакоје f (x)= g(x) засвако x ∈ A.Наосновуовеопштедефиниције закључујемодасуполиномнефункције P и Q једнакеакоје P (x)= Q(x) засвако x ∈ R

Доказалисмораније(видетиНапомену3,стр.191)дасуполиноми P (x) и Q(x) једнаки акоисамоакоје P (x)= Q(x) засвако x ∈ R.Тозначидасуполиноми P (x) и Q(x) једнаки

акоисамоакосуједнакеодговарајућеполиномнефункције.Стогасечестонеправиразлика измеђуполинома P (x) иполиномнефункције P

Кодоменполиномнефункцијејенаравноскуп R,ањендометможедабуде билоскуп R,билонекиправиподскупскупа R

Пример1. Дометполиномнефункције P (x)= x +1 јескуп R,јерзабилокојиреалан број y постојиоригинал x чијајеслика y,тј.задатиреланброј y постојиреаланброј x такав

даје x +1= y.Очигледно: x = y 1.

Међутим,дометполиномнефункције P (x)= x 2 јескуп R+ 0 .Наиме,ако y ∈ R+ 0 ,тј.ако је y 0,тадапостојиоригинал(за y> 0 постојечакдваоригинала)чијајеслика y,јерзадати реаланброј y 0 постојиреаланброј x такавдаје x 2 = y.Например, x = √y Сдругестране, ако y ∈ R\R+ 0 ,тј.акоје y< 0,непостојиоригинал x чијајеслика y,јертаданепостојиреалан

број x такавдаје x 2 = y.

Напомена3. Можедаседокажеследећетврђење.Акоје n непаранброј,тадаједомет функције(1)скуп R,аакоје n паранброј,њендометјенекиправиподскупскупа R

P (x) и Q(x) полиноми.Функција f

x пресликавауброј P (x) Q(x)

рационалнафункција.Доментаквефункцијејескупсвихреалнихбројева x закојеје Q(x) =0;дакле,доменјескуп R \{x | Q(x)=0}

2. Полиномнеирационалнефункције 201

Пример2. Акоје P (x) полином,доменфункције

0 засвако x ∈ R.Сдругестране,доменфункције g

P (x) x2 1 није дефинисанза x = 1 иза x =1

Дометрационалнефункцијеможемодаодредимоунекимједноставнимслучајевима.

Пример3. Доменрационалнефункције f (x)= 1 x јескупR \{0}.Тајскупјеињендомет, јерзасвако y ∈ R \{0},тј.засвако y =0 постојиоригинал x такавдаје 1 x = y. Очигледноје x = 1 y Јединозареаланброј 0 непостојиоригинал x којисефункцијом f (x)= 1 x пресликава утајброј.

Пример4. Доменфункције f (x)= 1 x2 + 1 јескуп R.Одредимоњендомет.Требадаиспитамозакоједатереалнебројеве y постоји x ∈ R такодаје 1 1 + x2 = y.Изовепоследње једнакостивидимодаје y> 0,идобијамо 1 y = x 2 + 1,тј. (2) x 2 = 1 y 1

Дабипостојао x ∈ R такодаважи(2)потребнојеидовољнодабуде 1 y 1 0 Какоје y> 0,кадовупоследњунеједнакостпомножимоса y добијамо 1 y.Дакле,самозаоне реалнебројеве y закојеважи 0 <y 1 постојиреаланброј x такавдаје 1 x2 + 1 = y.Тозначи

даједометфункције f (x)= 1 x2 + 1 интервал (0, 1]

Питања

1. Учемујеразликаизмеђуполинома P (x) по x ∈ R иполиномнефункцијекојапресликавареаланброј x уреаланброј P (x)?

2. Штаједоменполиномнефункцијепо x ∈ R?

3. Штаједоменрационалнефункцијепо x ∈ R?

4. Далијенекаодфункција f (x)= (x 2 1)(x +1) x2 1 , g(x) = (x 2 1)(x +1) x2 + 1 , h(x)= (x 2 +1)(x +1) x2 + 1 полиномнафункција?

Задаци

Одредитидоменидометфункције f (x),гдеје:

1. f (x)=5; 2. f (x)=2x +3; 3. f (x)=(x 3)2 +2;

4. f (x)= 1 x2 ; 5. f (x) = 1 x 1 ; 6. f (x) = 1 2x + 3 .

2.2.Графиклинеарнефункције

Каоштознамо, график функције f чијиједоменнекиподскуп A скупа R је скупсвихонихтачака (x,y)

уДекартовомкоординатномсистему Oxy,таквихда

x ∈ A и y = f (x).Веомачестотајскуптачакајестенекалинијауравни Oxy. Тадакажемодалинијачијајеједначина y = f (x),иликраћелинија y = f (x), представља графикфункције f . Акосу a и b реалнибројевии a =0,функција (1) f (x)= ax + b

којареаланброј x пресликавауреаланброј ax + b,називасе линеарнафункција (надеснојстраниједнакости(1)јелинеаранполином).Њендоменјескуп R Графиктефункцијејескупсвихтачака (x,y) уравни Oxy,таквихда x ∈ A и y = ax + b.Другимречима,линија (2) y = ax + b јеграфикфункције(1).Доказаћемодајелинија(2)правалинија. Размотримопрвослучајкадје b =0.Функција(1)постаје f (x)= ax,ањен график,тј.линија(2)постаје (3) y = ax.

Тачка O сакоординатама (0, 0),тј.координатнипочетак,очигледноприпада линији(3).Такођеитачка A сакоординатама (1,a),штокраћепишемо A =(1,a), припадалинији(3).Некаје B подножјенормалеизтачке A на x-осу,тј. B =(1, 0). Некаје a> 0.Некаје M произвољнатачакалиније(3),тј.некаје M =(α,aα), где α ∈ R.Доказаћемодатачка M припадаправој OA.Некаје N подножјенормале

изтачке M на x-осу;тј. N =(x, 0).Разликујемотрислучаја. (i) α> 1;видетисл.1.Тадаje OB =1, AB = a, ON = α, MN = aα,па је AB MN = a aα , OB ON = 1 α , одаклеизлази: AB MN = OB ON Собзиромдасу < ) ABO и < ) MNO правиуглови,наоснову(сус)закључујемо: △ABO ∼△MNO,одакле излази < ) AOB = < ) MON ,штозначидатачке O, A и M припадајуједнојправој.

Сл. 1 Сл. 2 Сл. 3

(ii) 0 <α< 1;сл.2.Доказјеистикаоуслучају(i).

strana203

2. Полиномнеирационалнефункције 203

(iii) α < 0;сл.3.Тадаје OB =1, AB = a, ON = α, MN = aα,пасу троуглови ABO и MNO опетслични,одаклеизлази: < ) AOB = < ) MON ,штозначи датачке O, A и M припадајуједнојправојлинији. Дакле,акоје a> 0 доказалисмодабилокојатачкасакоординатама (α,aα) припадаправој OA.Услучају a< 0 доказсеизводианалогно,стимштонаступају случајевиприказанинасл.4,5и6.

Сл. 4 Сл. 5 Сл. 6

Прематоме,акоје a =0,билокојатачкалиније y = ax,тј.билокојатачкаса

координатама (x,ax) припадаправој OA.

Важииобратнотврђење.Наиме,ако тачка M =(x,y) припадаправој OA,тадаје y = ax.Удоказубиопеттребалоразликоватислучајеве a> 0, a< 0,азатимираспоред

тачака O, A и M .Усвимтимслучајевимадоказисувеомаслични,паћемодоказизвести самоуједномодмогућихслучајева.

Некаје O =(0, 0), A =(1,a),гдеје a< 0

инекаје M O A.Претпоставимодаје

M =(x,y).Тадаје(видетисл.7) NO = x, MN = y, OB =1, AB = a.

Троуглови MNO и ABO суслични, јерсу < ) MNO и < ) ABO правиугловии < ) MON = < ) AOB.Стогаје

MN AB = N O BO , тј. y a = x 1 ,

Сл. 7

одаклеизлази y = ax.

Напомена1. Некаје P произвољнатачкаправе y = ax којасеналазиизнад x-осеинека је Q произвољнатачканапозитивномделу x-осе.Тадаје < ) POQ оштаракоје a> 0 (сл.8),а тупакоје a< 0 (сл.9).

Прелазимосаданаопштислучај,тј.налинију(2),гдеје b =0 Некаје b> 0.Јасноједатачка (α,aα) припадаправој y = ax акоисамоако тачка (α,aα + b) припадалинији y = ax + b.Тозначидаселинија y = ax + b

Сл. 8

Сл. 9

добијатакоштосеординатасвакетачкеправе y = ax увећаза b.Другимречима, и y = ax + b јетакођеправалинијакојаседобијатакоштосеправа y = ax помери нагорезадужину b.Онаје,дакле,паралелнасаправом y = ax Пример1. Насл.10приказанесуправе y = 2x и y = 2x +1

Сл. 10 Сл. 11

Слично,акоје b< 0,ондаселинија y = ax + b добијатакоштосеордината

свакетачкеправе y = ax умањиза |b|.Дакле, y = ax + b јеправалинијапаралелна саправом y = ax којаседобијапомерањемправе y = ax надолеза |b|. Пример2. Насл.11приказанесуправе y =2x и y =2x 3 Напомена2. Правулинију y = ax + b,гдесу a и b различитиод 0,најлакшецртамо наследећиначин.Накоординатнимосамаозначимотачке (0,b) и ( b a , 0) којеочигледно

припадајутојлинијиикојеодређујутраженуправу. Пример3. Нацртатиправулинију 3y =2x 1.Овуправуможемоданапишемоуоблику y = 2 3 x 1 3 , идаприменимопоступакизНапомене2.Међутим,можемопресечнетачкете правесакоординатнимосамададобијемоидиректно.Наиме,акоје x =0,ондаје 3y = 1,тј. y = 1 3 и правапролазикрозтачку A = (0, 1 3 ).

y =0,тадаје 2x 1=0,тј. x = 1 2 и правапролазикрозтачку B = ( 1 2 , 0) Траженаправајеодређенатимтачкама.Видетисл.12.

2. Полиномнеирационалнефункције 205

Сл. 12 Сл. 13

Досадасморазматралифункцију(1)подпретпоставком a =0.Акоје a = 0,функција(1)постајеконстантнафункцијакојасвакиреаланбројпресликавау једанистиброј b.Њенграфикјеправалинија y = b којајепаралелна x-оси.Насл. 13приказанесуправе y =2 и y = 1.Сама x-осаимаједначину y =0

Пример4. Правалинијасече x-осуутачки (m, 0),a y-осуутачки (0,n) гдесу m и n реалнибројевиразличитиод 0.Написатињенуједначину. Претпоставимодатраженаједначинагласи y = ax + b.Какотачке (m, 0) и (0,n) припадајутојправој,имамо 0= am + b и n = a 0+ b,тј.

(4) am + b =0,n = b.

Стогапрваједнакост(4)постаје am + n =0,тј. am = n,одаклеизлази a = n m . Према томе,траженаједначинагласи (5) y = n m x + n.

Какоје,попретпоставци, m =0, n =0,једначину(5)можемоданапишемоуоблику my = nx + nm, тј. x m + y n = 1

Пример5. Праве y = ax + b и y = ax + c супаралелне.Заиста,акоје b = c,онесе поклапају.Акоје b = c,обеправесупаралелнеправој y = ax,пасумеђусобнопаралелне. Важииобратнотврђење:акосуправе y = ax + b и y = Ax + B паралелне,ондаје a = A

Каоштосмовидели,свакаправакојасечеобекоординатнеосеимаједначину облика (6) y = ax + b,

причемује b =0 акоправапролазикрозкоординатнипочетак.Обликом(6)обухваћенесуи правепаралелне x-оси;онеседобијајуза a =0. Остајејошслучајправекојајепаралелна y-оси. Таквеправеимајуједначинуоблика x = a,где је a реаланбројинемогуседобитииз(6).На сл.14приказанесуправе x =2 и x = 1.Једначина x =0 јеједначина y-осе.

Наосновупретходног,закључујемодабилокојаправауравни Oxy имаједначинуоблика (7) Ax + By = C,

206 Полиноми

гдесу A, B, C

одређениреалнибројевитаквида A и B

нисуистовременоједнаки 0 (штоможедасенапишеуобликууслова A2 + B2 > 0).

Заиста,акоје A =0, B =0,једначина(7)еквивалентнајесаједначином A B x + y = C B , тј. y = A B + C B ,

а тојеједначинаоблика(6)којапредстављаправукојасечеобекоординатнеосе.

Акоје A =0 и B =0,једначина(7)еквивалентнајесаједначином y = C B и

представљаправукојајепаралелнаса x-осом.

Акоје A =0 и B =0,једначина(7)еквивалентнајесаједначином x = C A и

представљаправукојајепаралелнаса y-осом.

Пример6. Одредимоусловеподкојимасуправе (8) ax + by = c и Ax + By = C, гдеје a 2 + b2 > 0 и A2 + B2 > 0,паралелне.

Акоје b =0 и B =0,праве(8)могудасенапишууоблику y = a b x + c b и y = A B x + C B

и онесупаралелне 5 акоје a b = A B , тј. (9) aB = bA.

Акојеједанодкоефицијената b, B једнак 0,адругиније,ондаправе(8)немогубити паралелне,јерјеједнаодњихпаралелнаса x-осом,адруганије.

Акоје b = B =0,праве(8)супаралелне(обесупаралелне y-оси).Овајусловјеобухваћен једнакошћу(9).

Прематоме,праве(8)супаралелнеакоисамоаковажи aB = bA

Питања

1. Далијеграфиклинеарнефункцијеувекправалинија?

2. Далијесвакаправалинијауравни Oxy графикнекелинеарнефункције?

3. Далисесвакаправалинијауравни Oxy можепредставитиједначином ax + by + c =0, где a, b, c ∈ R?

4. Далије ax + by + c =0,засвако a, b, c ∈ R једначинаправелинијеуравни Oxy?

Задаци

Скициратиграфикеследећихлинеарнихфункција: 1. f (x)=2x +3; 2. f (x)=2 3x; 3. f (x)=2x 3; 4. f (x)= 3x 2

5. Акоје f (x)=3x 5,доказатиимпликацију: (10) x1 <x2 ⇒ f (x1) <f (x2)

6. Акоје f (x)=3 4x,доказатиимпликацију: (11) x1 <x2 ⇒ f (x1) >f (x2) 5

2. Полиномнеирационалнефункције 207

7. Акозасвако x1, x2 ∈ (a,b) важиимпликација(10),кажемодајефункција f растућа на интервалу (a,b),ааковажиимпликација(11),ондакажемодајефункција f опадајућа наинтервалу (a,b).Доказатиследећатврђења: (i)Функција f (x)= kx + n јерастућана R акоисамоако k> 0; (ii)Функција f (x)= kx + n јеопадајућана R акоисамоако k< 0

8. Одредити a такодафункција f (x)=(a 1)x +3 будерастућана R

9. Одредити a такодаправе 2x +3y +5=0 и 3x +(a 1)y + a =0 будупаралелне.

10. Одредитибројеве k и n такодајеједначинама 2x 5y =3 и y = kx + n представљена једнаистаправа.

11. Одредити a такодаправе y =2a a 2 x и y =(1 2a 2)x + a 2 +1 будупаралелнеи различите,односнодасепоклапају.

12. Написатиједнуједначину(садвапараметра)којомсуобухваћенесвеправелинијеу равни Oxy којепролазекрозтачку (1, 2)

13. Нацртатисветачке (x,y) уравни Oxy закојеважи x 2 1=0

14. Нацртатисветачке (x,y) уравни Oxy закојеважи y 2 x 2 =0.

2.3.Некефункцијечијисуграфицисастављениизделоваправихлинија Уовомодељкунавешћемонеколикопримерафункцијачијисуграфицисастављениизделоваправихлинија,тј.полуправихи/илидужи.Дветаквефункцијепомињалисмораније.Тосуфункције f (x)= |x| и f (x)= sgn x.Настр.52

приказанисуињиховиграфици,алибезобразложењакоједајемосада. Подефиницијије |x| = ® x,x 0 x,x< 0

Тозначидаакоје x 0,ондасефункција f (x)= |x| поклапасалинеарномфункцијом g(x)= x ињенграфиксе,за x 0,поклапасаонимделомправе y = x за

којије x 0.Такође,акоје x< 0,ондасефункција f (x)= |x| поклапасафункцијом h(x)= x ињенграфиксе,за x< 0,поклапасаодговарајућимделомправе y = x.Праве y = x и y = x приказанесунасл.15.

Сл. 15

Сл. 16

208

Полиноми

Прематоме,дабисмодобилиграфикфункције f (x)= |x|,за x 0 узимамо

одговарајућидеоправе y = x,aза x< 0

одговарајућидеоправе y = x.Стога

графикфункције f (x)= |x| сачињавајудвеполуправе,дебљеизвучененасл.15. Прелазимосаданафункцију f (x)= sgn x.Подефиницијије sgn

Тозначидаакоје x> 0,ондасефункција f (x)= sgn x поклапасафункцијом g(x)=1 ињенграфикједеоправе y =1.Акоје x< 0,ондасефункција f (x)= sgn x поклапасафункцијом h(x)= 1,ињенграфикједеоправе y = 1.Праве y =1 и y = 1 приказанесунасл.16.

Прематоме,дабисмодобилиграфикфункције f (x)= sgn x,за x> 0 узимамо одговарајућидеоправе y =1,аза x< 0

одговарајућидеоправе y = 1.Стогаграфикфункције f (x)= sgn x сачињавајудвеполуправе(безпочетнихтачака),дебље извучененасл.16.Њиматребадодатииизолованутачку 0,којатакођеприпада графикуфункције f (x)= sgn x,јерје sgn 0=0

Размотримосадафункцију (1) f (x)=[x]

гдеје [x] цеодеореалногброја x,тј.највећицеоброј m такавдаје m x<m +1; видетистр.50.

Сл.17

Сл.18

Сл.19

Очигледноје [0]=0.Акоје 0 <x< 1,ондајеопет [x]=0.Међутим, [1]=1 = 0.Дакле,свибројеви x изинтервала [0, 1),исамоони,пресликавајусефункцијом (1)уброј 0,атозначидасеграфикфункције(1)идеоправе y =0,тј.део x-осе, поклапајуза x ∈ [0, 1).Прематоме,кад x ∈ [0, 1),графикфункције(1)je,,дуж“ приказананасл.17,којојприпадањенлевикрај,адеснине. Даље,акоје 1 x< 2,тј.ако x ∈ [1, 2),ондаје [x]=1,играфикфункције(1) сезатевредности x поклапасаделомправе y =1;слика18.

Акоје 1 x< 0,ондаје [x]= 1 играфикфункције(1)сеза x ∈ [ 1, 0) поклапасаделомправе y = 1;сл.19.

Наосновутогазакључујемодасеграфикфункције(1)састојиизбесконачно много,,дужи“којимаприпадалевианеприпададесникрај;сл.20.

2. Полиномнеирационалнефункције 209

Сл. 20

Сл. 21

Удаљемтекстунаводимопримерејошнекихфункцијачијисуграфицисастављениизделоваправих. Пример1. Скицирајмографикфункције

(2) f (x)= ß x +1,x> 1 x +2,x 1

Јасноједаћеграфикфункције(2)битисастављенодделоваправих y = x+1 и y = x+2 којесуприказаненасл.21.Кадје x> 1,узимамоодговарајућидеоправе y = x +1,акадје x 1 одговарајућидеоправе y = x +2.Дакле,графикфункције(2)сачињавајуполуправе дебљеизвучененасл.21;једнаодњихима,адруганемапочетнутачку. Пример2. Одредитиреаланброј a такодајеједнакошћу

(3) f (x)= ß2x +1,x 1 a,x 1

одређенафункција f : R → R,азатимскициратињенграфик.

Наоснову(3)видимодакадје x 1,ондавредностфункције f израчунавамопоформули f (x)=2x +1,акадје x 1,ондавредностфункције f рачунамопоформули f (x)= a Подефиницијифункције,једаноригиналиматачноједнуслику.Међутим,наоснову(3) видимодавредностизраза f (x) за x =1

можемодарачунамонадваначина:поформули f (x)=2x +1 (којаважиза x 1,даклеиза x =1)ипоформули f (x)= a (којаважиза x 1,даклеиза x =1).Попрвојформулидобијамо: f (1)=2 1+1=3,аподругој f (1)= a Какооригинал 1 неможедаимадверазличитеслике,закључујемодаморабити a =3 Дакле,формулом (4) f (x)= ß2x +1,x 1 3,x 1

дефинисанајефункција f садоменом R.Засвакодруго a =3,формулом(3)ниједефинисана функција. Графикфункције(4)сачињавајуделовиправих y =2x +1 и y =3 којесуприказане насл.22.За x 1 тоједеоправе y =2x +1,аза x 1 тоједеоправе y =3.Прематоме, графикфункције(4)сачињавајудвеполуправе(сазаједничкомпочетномтачком)којесудебље извучененасл.22.

210

Полиноми

Сл.22

Сл.23

Напомена1. Графикфункције f (x)= ß2x +1,x 1 α,x 1 приказанјенасл.23.

Напомена2. Формулама f (x)= ß2x +1,x 1 α,x> 1 ,g(x)= ß2x +1,x< 1 α,x 1 , h(x)= ß2x +1,x 1 α,x< 1 ,k(x)= ß2x +1,x> 1 α,x 1

дефинисанесуфункције f, g, h, k : R → R,безобзиранавредностреалногброја a.Скицирати графикетихфункцијаза a =4, a =0, a = 1.

Пример3. Функција

(5) f (x)= |x 1| + |x|

(i) Некаје x 1.Тадаје x 1 0, x> 0,паје |x 1| = x 1 и |x| = x,и(5)постаје: f (x)= x 1+ x,

тј. f (x)=2x 1

(ii)Некаје 0 x< 1.Тадаје x 1 < 0, x 0,па

је |x 1| = (x 1)= x +1, |x| = x,и(5)постаје f (x)= x +1+ x,тј. f (x)=1

(iii)Некаје x< 0.Тадаје x 1 < 0, x< 0,па

је |x 1| = (x 1) и |x| = x,и(5)постаје f (x)= x +1 x,тј. f (x)= 2x +1

имадомен R,јерјеизраз |x 1| + |x| дефинисанзасвако x ∈ R.Дабисмодошлидоњеног графикатребадасеослободимоапсолутнихвредности. Сл.24

Дакле,функција(5)можедасепредставиуоблику f (x)=    2x 1,x 1 1, 0 x< 1 2x +1,x< 0 Њенграфиксачињавајуделовиправих y =2x 1, y =1 и y = 2x +1;наиме,полуправе y =2x 1 (x 1)и y = 2x +1 (x< 0)идуж y =1 (0 x< 1).Видетисл.24. Штаједометфункције(5)?

3. Линеарнеједначинеинеједначине 211

Задаци

1. Нацртатиграфикфункције f (x)= |x 1| идоказатидајетафункцијарастућанаинтервалу (1, +∞),аопадајућанаинтервалу (−∞, 1)

2. Нацртатиграфикфункције f (x)= |3 2x| ииспитатинакомјеинтервалутафункција растућа,анакомопадајућа.

3. Одредитисвефункцијеоблика f (x)= |ax + b| такведаје f (0)=1, f (1)=2 инацртати њиховеграфике.

Нацртатиграфикеследећихфункција

4. 1 2 (x + |x|); 5. 1 2 (x |x|);

6. f (x)= |x +1| + |x 1|; 7. f (x)=2|x|− 3|x 1|;

8. f (x)= ®2x +1,x 0 1 3x,x< 0 ; 9. f (x)= { 1 2 x + 1,x> 0 4,x 0 .

Одредити a и b такодаграфициследећихфункцијабудулинијебезпрекида:

10. f (x)= ®x 1,x 2 α,x< 2 ; 11. f (x)=    x +5,x> 1 ax + b, 0 x 1 x,x< 0

12. Одредитисветачке (x,y) уравни Oxy закојеважи: |x| + |y| =1

3.ЛИНЕАРНЕЈЕДНАЧИНЕИНЕЈЕДНАЧИНЕ

3.1.Некиопштипојмови

Некасу a0, a1, , an датиреалнибројеви.Решитиједначинупо x: (1) a

значиодредитисвереалнебројеве x закојеје(1)тачнаједнакост.Свакитакавброј x називасе решење једначине(1).

Пример1. Датајеједначина (2) x 2 3x +2=0

Број 1 јестерешењетеједначине,јеркад x заменимоса 1,онда(2)постаје 12 3 1+2= 0,штојетачно.Број 3 нијерешењедатеједначине,јеркад x заменимоса 3,онда(2)постаје 32 3 3+2=0,штонијетачно.

Акоје an =0 једначина(1)сеназива алгебарскаједначинастепена n или nтогстепенапо непознатој x.Специјално,акоје n =1,једначина(1)јеједначина првогстепенаили линеарна једначинапо x,акоје n =2 једначина(1)јеједначина другогстепенаили квадратна једначинапо x Пример2. Једначина 2x +3=0 јелинеарнаједначинапо x;једначина(2)јеквадратна једначинапо x.Једначина x 5 +3x +1=0 јеједначинапетогстепена. Пример3. Акојеполином P (x) дељивса x a,ондаје a решењеједначине P (x)=0

212 Полиноми

Заиста,наосновуБезуовогстава,акоје P (x) дељивса x a,ондаје P (a)=0,атозначи даје a решењеједначине P (x)=0,јеркад x заменимоса a добијамотачнуједнакост.

Напомена1. Очигледно,решитиједначину(1)понепознатој x истојештоиодредити свевредностипроменљиве x закојесеполином an

анулира.

Некасу P (x,y) и Q(x,y) полиномипо x и y.Решитисистемједначинапо x и y:

(3) P (x,y)=0 ∧ Q(x,y)=0

значиодредитисвеуређенепаровебројева (x,y) такведаје(3)тачнаформула; другимречима,дасуобеједнакости P (x,y)=0 и Q(x,y)=0 тачне.Свакитакав парназивасе решење система(3).

Пример4. Уређенпар (1, 2) јерешењесистема 2

,јер кадставимо x =1, y =2 таконјункцијапостаје 2

итојетачно.Уређенпар (2, 1) нијерешењетогсистемајеркадставимо x =2, y =1 добијамо 2 22 +2 12 5 2 1=0 ∧ 2 22 1=0,штонијетачно(прваједнакостјетачна,алидруга није).

Уопште,некасу P1(x1,x2,...,xn), P2(x1,x2,...,xn), , Pm(x1,x2,...,xn) полиномипо x1, x2, , xn.Кажемодајеуређена n-торка (a1,a2,...,an) решењесистемаједначинапо x1, x2, , xn:

(4) P1(x1,x2,...,xn)=0 ∧ P2(x1,x2,...,xn)=0 ∧···∧ Pm(x1,x2,...,xn)=0

акокадставимо x1 = a1, x2 = a2, , xn = an конјункција(4)постајетачна формула.

Напомена2. Кадасеговориосистему(4),променљиве x1, x2, ... , xn честосеназивају

непознате.Приметимодабројједначинанеморадабудеједнакбројунепознатих;усистему(4) имамо m једначинапо n непознатих.

Акосуполиноми P1, P2, ... , Pm

линеарни,кажемодаје(4)системлинеарних једначинапо x1, x2, , xn

Пример5. Системједначина 2x + y z 2u =0 ∧ x +3y + z 2u =3

+2z +2u =4 јесистемтрилинеарнеједначинепочетиринепознате x, y, z, u.Једноњеговорешењејечетворка (1, 1, 1, 1).Проверити.

Напомена3. Кодсистема(4)честоуместознакаконјункције ∧ пишемозапету,илиједначинепишемоједнуисподдруге.

Сличноважиизанеједначине.Например,акосу a1, a2, ... , an датиреални бројеви,решитинеједначинупо x: (5) anxn + an

значиодредитисвереалнебројеве x закојеје(5)тачно.Свакитакавбројјесте решењенеједначине(5). Напомена4. Акосеу(5)знак > замениједнимодзнакова , <

неједначини,чијасерешењадефинишуаналогно.

3. Линеарнеједначинеинеједначине 213

Пример6. Неједначина

(6) x 2 3x +2 0

имарецимоследећарешења: 1, 3 2 , 5 4 , 2

Сдругестране,бројеви 0, 1, 5 нисурешењанеједначине(6).

Такођеможемодаразматрамосистемеалгебарскихнеједначинаилисистеме алгебарскихједначинаинеједначинапоједнојиливишенепознатих. Пример7. Конјункција (7) x 2 3y 0 ∧ x + y =5 јесистемнеједначинеиједначинепо x, y.Једноњенорешењејеуређенпар (4, 1),јеркадставимо x =4, y =1,конјункција(7)постаје 16 3 0 ∧ 4+1=5, атојетачнаформула.Сдругестране,уређенпар (4, 2)

нијерешењесистема(7),јерза x =4, y =2 конјункција(7)постаје 16 6 0 ∧ 4+2=5,

атонијетачнаформула.

Питања

1. Штајеалгебарскаједначинастепена n понепознатој x?

2. Штајерешењеалгебарскеједначинепо x?

3. Акосу P (x,y) и Q(x,y) полиномипопроменљивама x, y,штајерешењесистема P (x,y)=0 ∧ Q(x,y) < 0?

4. Акоје P (x) полиномстепена 4,коликонајвишерешењаможедаимаједначина P (x)=0?

Задаци

Доказатидасуследећатврђењатачна:

1. Број 5 јесте,аброј 2 нијерешењеједначинепо x: x 2 10x +25=0;

2. Бројеви 5 и 2 сурешењанеједначинепо x: x 2 20x +25 0;

3. Број 2 јесте,аброј 5 нијерешењенеједначинепо x: x 2 2x 15 < 0;

4. Бројеви 2 и 5 нисурешењанеједначинепо x: x 2 20x +25 > 0;

5. Уређенпар (1, 2) јесте,ауређенпар (0, 3) нијерешењесистемаједначинапо x, y: 2x +3y =8 ∧ 4x 2y =0;

6. Број 8 јесте,аброј 2 нијерешењесистеманеједначинапо x: 3x +5 > 0 ∧ 8 x 0;

7. Уређенатројка (1, 2, 3) јерешењесистемапо x, y, z: 3x z =0, x + y + z =6, x +2y 2z< 0, 3y 2z 0;

8. Акосу P (x) и Q(x) полиноми,причемује Q(x) дељивса x+1,тадаје 1 решењеједначине по x: (x 2 1)P (x)+ Q( x)=0;

9. Свакиуређенпароблика (a,a 1),где a ∈ R,јестерешењесистемаједначинапо x, y: P (x,y)= P (x,x 1), (x y 1)P (x,y)=0,P (x,y +1)= P (x,x), гдеје P (x,y) полиномпо x, y

3.2.Линеарнаједначинапоједнојнепознатој

Акоје c датиреаланброј,јасноједалинеарнаједначинапо x (1)

иматачноједнорешење,ито: c.Наиме,самоуслучајукадсе x замениса c,(1)

постајетачнаједнакост.

Собзиромдаизједначине(1)директно,,читамо“њенорешење,кажемодаје једначина(1)датаu решеномоблику.

Општалинеарнаједначинапо x гласи: (2)

гдесу a и b датиреалнибројевии a =0.Решавамојесвођењемнарешениоблик. Наиме,собзиромдаје(уздатиуслов a =0)

видимодајеједначина(2)еквивалентнасаједначином x = b a којајеурешеном

обликуиимаједнорешење: b a . Стогаје b a јединорешењеиполазнеједначине (2).

Напомена1. Акоје a =0,онданаосновууведенихдефиниција,(2)нијелинеарнаједначинапо x.Наиме,тада(2)постаје b =0

итојеједнакостдваброја;онајетачнаакоје b управо 0 анијетачнаако b није 0

Напомена2. Каоштознамо,полиномстепена n неможесеанулиратизавишеод n различитихвредности.Одатле,за n =1,излазидаједначина(2)неможедаимавишеодједног решења.Собзиромдаје,за a =0, a ( b a ) + b = ab a + b = b + b = 0,

закључујемо,ибезсвођењанарешениоблик,даје b a јединорешењеједначине(2). Прематоме,целапричаолинеарнимједначинамапоједнојнепознатојјевеомаједноставнаизавршенаје.Међутим,многеједначинекојеподефиницијинису линеарнеједначинемогудасерешесвођењемнаједнуиливишелинеарнихједначина.

Пример1. Линеарнаједначина 2x +3=0 имаједноисамоједнорешење: 3 2

Пример2. Једначинапетогстепена x 5 +x 4 =0 еквивалентнајесаједначином x 4(x+1)= 0.Међутим, (3) x 4(x +1)=0 ⇔ x 4 =0 ∨ x +1=0. Собзиромдаједначина x 4 =0 имасамоједнорешење: 0,аједначина x +1=0 имасамоједно решење: 1,закључујемодаједеснастранаеквиваленције(3)тачнакадје x =0 или x = 1, тј.кад x ∈{0, 1},паистоважиизањенулевустрану.Прематоме,једначина x 5 + x 4 =0 иматачнодварешења: 0 и 1.

Пример3. Имамо (x +1)(2x +7)(x 2)(3x +5)=0 ⇔ x +1=0 ∨ 2x +7=0 ∨ x 2=0 ∨ 3x +5=0

3. Линеарнеједначинеинеједначине 215

Дакле,једначина (x +1)(2x +7)(x 2)(3x +5)=0 имачетирирешења: 1, 7 2 , 2 и 5 3 Директниммножењемдобијамо: (x +1)(2x +7)(x 2)(3x +5)=6x 4 +25x 3 8x 2

97x 70,штозначидаједначиначетвртогстепена 6x 4 +25x 3 8x 2 97x 70=0 има

четирирешења: 1, 7 2 , 2 и 5 3 Изовогпримеравидимоважнучињеницу:Акосеполином P (x) можераставитиналинеарнефакторе,ондасерешавањеједначине P (x)=0 степена n

сводинарешавање n линеарнихједначинапо x. Пример4. Решавамоједначину

(4) 2 x 2 1 x + 5 = 1 x 1

ДатуједначинурешавамонаскупуR\{1, 2, 5} јерако x ∈{1, 2, 5} ондаједаноднаписаних чланованемасмисла.Дакле,натомскупује 2 x 2 1 x + 5 = 1 x 1 ⇔ 2(x + 5) (x 2) (x 2)(x + 5) = 1 x

⇔ 8x =2 ⇔ x = 1 4

С обзиромда 1 4 / ∈ {1, 2, 5},закључујемодаје 1 4 јединорешењеједначине(4).

Пример5. Решитиједначинупо x: (5) |2x 3| =4

Ослобађајућисеапсолутневредности,овуједначинузаменићемодвемалинеарнимједначинама.

(i)Некаје 2x 3 0.Тадаједначина(5)постаје: 2x 3=4,тј. 2x =7 иимарешење 7 2

Торешењезадовољавапостављениуслов 2x 3 0,јерје 2 7 2 3 =4 > 0 истогајерешење једначине(5). (ii)Некаје 2x 3 < 0.Тадаједначина(5)постаје: (2x 3)=4,тј. 2x +3=4,тј. 2x =1 иимарешење 1 2 Торешењезадовољавауслов 2x 3 < 0,јерје 2 ( 1 2 ) 3 = 4 < 0,истогајерешењеједначине(5).

Дакле,једначина(5)имадварешења: 7 2 и 1 2

Пример6. Решитиједначинупо x: (6) |x 1|−|x| =0

Акоје x 1,тадаје |x 1| = x 1, |x| = x и(6)постаје: x 1 x =0,тј. 1=0 штоје нетачно.

Акоје 0 x< 1,тадаје |x 1| = x +1, |x| = x и(6)постаје: x +1 x =0,тј. 2x = 1.Оваједначинаимарешење x = 1 2 и тојерешењеиполазнеједначине(6)јерјеза x = 1 2 испуњенуслов 0 x< 1

Акоје x< 0,тадаје |x 1| = x +1, |x| = x и(6)постаје: x +1+ x =0,тј. 1=0, штојенетачно.

Дакле,једначина(6)имаједнорешење: 1 2

Давидимосадаштајетотзв. једначинасапараметром.Тоје,уствари,скуп сроднихједначина.Например,уместоскупапојединачнихједначина (7)2x =3, 3x =4, 1 3 x = 2 3 , 4x = 3, 1 5 x = 6 5 , итд.

можемодапосматрамоједнуједначинусапараметром k: (8) kx = k +1, јерсезаразневредностипараметра k (тј.реалногброја k)из(8)добијајусвеједначине(7).Акојe k =0,једначина(8)јееквивалентнаса x = k +1 k , паје k +1 k јединорешењетеједначине.Акоје k =0,једначина(8)постаје 0=1,штојеувек нетачно,паутомслучајуједначина(8)немарешења.

Пример7. Акоје a датиреаланброј,решитиједначинупо x: (9) a 2 x +1= ax + a.

Једначина(9)јееквивалентнасаједначином a 2 x ax = a 1,тј.са a(a 1)x = a 1.Стога

закључујемо:Акоје a =0 и a =1,једначина(9)имаједнореалнорешење: 1 a ; акоје a =0

једначина(9)немарешења,аакоје a =1

свиреалнибројевисурешењаједначине(9).

Пример8. Акоједначину ax + b =0 посматрамокаоједначинусадвапараметра a и b, закључујемо:

(i)Акоје a =0,једначина ax + b =0

иматачноједнорешење: b a ;

(ii) Акоје a =0, b =0,једначина ax + b =0

немарешења; (iii)Акоје a = b =0,свиреалнибројевисурешењаједначине ax + b =0

Пример9. Решавамоједначинупо x,сапараметрима a и b: (10) 1 ab bx 1 a2 ax = 2 b2 bx 2 ab ax

Једначина(10)можедасенапишеуоблику (11) 1 b(a x) 1 a(a x) = 2 b(b x) 2 a(b x) , и видимодасусвиизразикојисепојављујуу(11)дефинисаниподусловом (12) ab(a x)(b x) =0.

Подтимусловом,послемножењаса ab(a x)(b x),једначина(11)постаје a(b x) b(b x)=2a(a x) 2b(a x), тј. ab ax b2 + bx =2a 2 2ax 2ab +2bx, односно ab b2 2a 2 +2ab = bx ax, ili b(a b) 2a(a b)=(b a)x, тј. (13) (b a)x =(2a b)(b a) Дакле,акоје a = b,једначина(13)имарешење 2a b,аакоје a = b,тадајесвакиреаланброј решењеједначине(13).

Вратимосесаданаполазнуједначину(10). Акоје a = b и ab =0,једначина(10)имарешење: 2a b.Услов(12)јеиспуњен,јер a = b ⇒ 2a b = a, 2a b = b

Акоје a = b =0,решењеједначине(10)јесвакиреаланброј x,осимброја a

3. Линеарнеједначинеинеједначине 217

Напомена3. Кадаћесистемдвелинеарнеједначинепо x иматирешење?

Некасу (14) ax + b =0 и Ax + B =0,

гдеје a =0, A =0,двелинеарнеједначинепо x.Прваједначинаимарешење b a , адруга B A

Дабитедвеједначинеималезаједничкорешењеморадабуде b a = B A , тј. B = Ab a .

Међутим,тададругаодједначина(14)гласи: Ax + Ab a = 0, тј. A a ax + A a b

идобијасеизпрветакоштојетапрваједначинапомноженабројем A a (= 0).Дакле,самосистем једначинаоблика ax + b =0,α(ax + b)=0(a =0,α =0)

имарешење.

Питања

1. Акосу a и b датиреалнибројеви,далиувекпостојиреаланброј x такавдаје ax = b?

2. Подкојимусловимазадатереалнебројеве a, b

постојитачноједанреаланброј x такав даје ax = b?

3. Можелилинеарнаједначинапоједнојнепознатојдаимавишеодједногрешења?

4. Коликорешењаможедаимасистемдвелинеарнеједначинепоједнојнепознатој?

Задаци

Решитиследећеједначинепо x:

1. x 2 2(x 1) 3 + 3(x 2) 4 4(

30. P (P (x))=1,гдеје P (x)= a + bx b + ax

3.3.Линеарненеједначинеисистемилинеарнихнеједначинапоједнојнепознатој Некаје c одређен(дати)реаланброј.Решитинеједначинупо x (1) x<c

значиодредитисвереалнебројеве x закојеје(1)тачно.Јасноједасутосвибројевикојисумањиод c (чименисмоништановорекли;самосморечимаисказали формулу(1)).Дакле,свибројевиизинтервала (−∞,c),исамоони,сурешењанеједначине(1).Другимречима, x<c ⇔ x ∈ (−∞,c)

Слично,имамо x c ⇔ x ∈ (−∞,c],x>c ⇔ x ∈ (c, +∞),x c ⇔ x ∈ [c, +∞)

Дакле,изнеједначинаоблика x<c, x c, x>c, x c,гдеје c датиреаланброј, одмах,,читамо“њиховарешења.Збогтогакажемодасутонеједначинеу решеном облику.

3. Линеарнеједначинеинеједначине 219

Линеарнанеједначинапо x јебилокојаоднеједначинаоблика (2) ax + b> 0,ax + b 0,ax + b< 0,ax + b 0,

гдесу a и b датиреалнибројевии a =0.Неједначине(2)решавамосводећиихна решенеоблике.Нијетешкоизвестиформулезарешењанеједначина(2),зависно одтогадалије a> 0 или a< 0,алитонијенарочитокорисно.Бољеједетаљно

проучитиследећипример,укомејетакорећисверечено. Пример1. Решавамонеједначинепо x: (3)

Водећирачунаоеквиваленцијама

Дакле,решењапрвеодједначина(3)сусвибројевиизинтервала ( 3 2 , +∞),другесвибројеви

изинтервала (−∞, 3 2 ], трећесвибројевиизинтервала (−∞, 3 2 ), ачетвртесвибројевииз

интервала [ 3 2 , +∞)

Добројеиматиивизуелнупредставуорешењималинеарнихнеједначина.Тако,например,решењанеједначина(3)можемодаозначимонанумеричкојправој редомнаследећиначин:

Сл. 25

Наводимопримернеједначинесапараметром. Пример2. Решимонеједначинупо x,сапараметром a: (a 2 a)x+1 a.Датанеједначина семоженаписатиуоблику (4) a(a 1)x a 1

Акоје a 1 > 0,тј. a> 1,ондаје(4)еквивалентноса ax 1.Какоје a> 1,дакле a> 0, имамо ax 1 ⇔ x 1 a .

220 Полиноми

Акоје a =1,неједначина(4)постаје 0 0,штојетачно.

Акоје a 1 < 0,тј. a< 1,ондаје(4)еквивалентноса ax 1.Садаимамодвемогућности.

Акоје a> 0,онда ax 1 ⇔ a 1 a Акоје a< 0,онда ax 1 ⇔ x 1 a

Најзад,акоје a =0,неједначина(4)постаје 0 1 штојетачно.Прематоме,закључујемо:

(i)Акоје a> 1 или a< 0 ондајескупсвихрешењанеједначине(4)интервал [ 1 a , +∞);

(ii) Акоје 0 <a< 1 ондајескупсвихрешењанеједначине(4)интервал (−∞, 1 a ];

(iii) Акоје a =1,ондаје R скупсвихрешењанеједначине(4);

(iv)Акоје a =0 ондаје R скупсвихрешењанеједначине(4).

Заразликуодсистемалинеарнихједначинапоједнојнепознатој(којиилинемајурешење,илиимајусамоједнорешење)системидвеиливишенеједначинапо једнојнепознатојмогуимативишерешења.

Пример3. Решавамосистемлинеарнихнеједначинапо x: (5) 2x 1 0, 5x +8 > 0

Запрвунеједначину(5)важи: (6) 2x 1 0 ⇔ 2

Прематоме,решењасистема(5)сусвионибројеви x

( 8 5 , +∞) тј. x ∈ ( 8 5 , 1 2 ] Графичкиприказдатјенасл.26. Сл. 26

Напомена1. Решењасистема(5),илинекогдругогсистема,неморамодаизражавамо помоћуинтервала.Наиме,наоснову(6)и(7)имамо

, паје

Стогаможеморећидасурешењасистема(5)свионибројеви x таквидаје 8

x 1 2 Наравно,тојеистоштоирећи: x ∈ ( 8 5 , 1 2 ]

(8)

Пример4. КористећисеПримером5,стр.192решавамонеједначинепо

3. Линеарнеједначинеинеједначине 221 x 2 6x + 8 0

(9)

Наосновупоменутогпримераимамо (10) x 2 6x +8=(x 4)(x 2)

Дакле,неједначина(8)еквивалентнајеса (x 4)(x 2) > 0, аованеједнакостћебититачнаакосуфактори x 4 и x 2 истогзнака,тј.акоje (11) x 4 > 0 ∧

(12)

Систем(11)еквивалентанјеса: x> 4 ∧ x> 2,тј.са x> 4 (јеракоје x> 4,ондаје x> 2).

Дакле,решењасистема(11)сусвибројевиизинтервала (4, +∞).

Систем(12)еквивалентанјеса: x< 4 ∧ x< 2,тј.са x< 2 (јеракоје x< 2,ондаје x< 4).

Дакле,решењасистема(12)сусвибројевиизинтервала (−∞, 2)

Тозначиданеједначину(8)задовољавајусвибројеви x закојеје x> 4 или x< 2;другим речиманеједнакост(8)јетачнакад x ∈ (−∞, 2) ∪ (4, +∞)

Прелазимосадананеједначину(9).Наоснову(10)закључујемодајеонаеквивалентнаса (x 4)(x 2) 0,

атаћенеједнакостбититачнаакоје x =4 или x =2,илиакосуфактори x 4 и x 2 различитогзнака,тј.акоје (13) x 4 > 0 ∧ x 2 < 0, или

(14) x 4 < 0 ∧ x 2 > 0

Систем(13)еквивалентанјеса: x> 4 ∧ x< 2

еквивалентанјеса: x< 4 ∧ x> 2,тј.са 2 <x< 4

иочигледнонемарешења.Систем(14)

Прематоме,неједначину(9)задовољавајусвибројеви x закојеје 2 x 4,односносви бројевиизинтервала [2, 4].

Пример5. Решавамонеједначинупо x: (15) x 1 (x 2)(x + 1)

Изразналевојстрани(15)јепозитиванакосусвифактори x 1, x 2 и x +1 позитивни,или акојеједанодњихпозитиван,адругадванегативна.Дакле,(15)ћебититачноакоје (16)

222

Систем(19)еквивалентанјеса: x< 1 ∧

већиод 1,амањиод 1,даклесвибројевиизинтервала ( 1, 1)

Прематоме,решењанеједначине(15)сусвибројевикојисувећиод 2 иликојисувећиод 1,амањиод 1.Дакле,неједнакост(15)јетачнакад x

Пример6. Решавамонеједначинепо x: (20) |2x +3| 7, (21) |2x +3| > 7.

Каоштознамо(видетиЗадатак12,стр.54), |a|

еквивалентнаса

одаклелакочитамоњенарешења.Тосусвибројевиизинтервала [ 5, 2] Неједначину(21)решавамопомоћуеквиваленције(видетиЗадатак13,стр.54) |a| >b ⇔ a>b ∨ a< b.Добијамо

Прематоме,решењанеједначине(21)сусвибројевикојисувећиод 2 илимањиод 5,тј. свибројеви x таквида x ∈ (−∞, 5) ∪ (2, +∞)

Питања

1. Далисунеједначине ax + b> 0 и ax> b (a, b ∈ R)еквивалентне?

2. Ако a, b ∈ R и a =0,далисунеједначине ax>b и x> b a еквивалентне?

3. Далисвакалинеарнанеједначинапо x имарешење?Далијеторешењејединствено?

4. Далисвакисистемдвелинеарненеједначинепо x имарешење?

5. Навестипримересистемадвелинеарненеједначинепо x који:(i)иматачноједнорешење;(ii)имабесконачномногорешења;(iii)немарешења.

Задаци

Решитинеједначинепо x:

1. 1 4 ( 3x 2 5) + 1 5 (9 2x 3 ) > 1 3 (2x x + 3 3 ) 1;

2. (2x + 3)(x 1) < (x +5)(2x +1);

3. x 6 1 3 (x 1 2 ) 5 3 ( 2 5 x 3 ) 2 3 ;

4. 2 3 (4 x) 3 10 (2x 1);

5. 3 (x 3x 1 4 (1 2 (x 3 + x 5 ))) < 5x 2;

6. 3 ( 2x 5 1 2 ) 4 3 (x 3x 1 6 ) 5(x + 3) 18 ;

7. x x 2 > 2 x 2 ; 8. x x 2 < 2 x 2 ;

3. Линеарнеједначинеинеједначине 223

9. 1 < |x + 1| 2;

Решитисистеменеједначинапо x:

Решитинеједначинепо x:

Решитинеједначинепо x,сапараметрима a, b:

3.4.Системдвелинеарнеједначинеподвенепознате Разматрамосистемлинеарнихједначинапонепознатима

гдесу a1, b1, c1, a2, b2, c2 датиреалнибројеви,причемује a 2 1 + b 2 1 > 0, a 2 2 + b 2 2 > 0, тј. a1 и b1 немогуистовременобити 0,нити

могуистовременобити 0

ТаквисистемирешаванисууVIIIразредуосновнешколе,анекиједноставни примерипојављивалисусеранијеуовојкњизи(видети,рецимоПример1,стр. 189).Подсетимосе,узпомоћпримера,основнихметодарешавањаоваквихсистема.

Пример1. Решавамосистем (2) 7x 2y =

Првуједначинусистема(2)можемоданапишемоуоблику

,одаклеизлази

+ 3 2 . Акоудругојједначинисистема(2)уместо y ставимодобијениизраз 7 2 x + 3 2 , таједначина постаје

одакледобијамо,послесређивања,

Прематоме,систем једначина(2)имарешење ( 13 53 , 34 53 )

Пример2. Дабисморешилисистем

224

помножимопрвуједначинуса 2,адругуса 3.Добијамосистем (4) 6x +4y =8, 6x 9y =3

Полиноми

којијееквивалентансa(3).Акоодпрвеједначинесистема(4)одузмемодругу,добијамо 13y = 5,одаклеизлази y = 5 13 Садаовувредностза y заменимоубилокојојодједначина(3)дабисмо

добили x.Рецимо,акоудругојједначини(3)ставимо y = 5 13 налазимо 2x 15 13 = 1,одаклеје x = 14 13 Прематоме ( 14 13 , 5 13 ), јерешењесистема(3).

МетодомизПримера2решавамоиопштисистем(1),причемупретпостављамодаје b1 =0, b2 =0.Акојеједанодбројева b1, b2 једнак 0,ондасесистем(1)

једноставнорешава,јеруједнојједначиниимасамоједнанепозната.Например, акоје b2 =0,другаједначинау(1)гласи a2x = c2 ињулакорешавамо.

Дакле,акоје b1 =0, b2 =0,помножимопрвуједначинуу(1)са b2,адругуса b1.Добијамосистем

(5) a1b2x + b1b2y = c1b2,a2b1x + b2b

којијееквивалентанса(1).Акоодпрвеједначине(5)одузмемодругу,добијамо линеарнуједначинупо x: (6) (

којузнамодарешимо.Наиме,акоје

,једначина(6)јееквивалентна саједначином

Каддобијенувредностза x замениморецимоупрвојједначини(1)налазимо

одаклеје

Дакле,утомслучајусистем(1)иматачноједнорешење: (7)

Акоје a1b2 a2b1 =0 тадамогуданаступедваслучаја.Напрвомместу,ако је c1b2 c2b1 =0,ондаједначина(6)немарешења,панисистем(1)немарешења. Акоје a1b2 a2b1 =0 и c1

2 c2b1 =0,ондаизпрвеодовихједнакостидобијамо a2 = a1b2 b1 , аиздруге c2 = c1b2 b1 , падругаједначинау(

3. Линеарнеједначинеинеједначине 225

Напомена1. Нетребапамтитиовеформулекојесмоизвелирешавајућисистем(1);посебнонетребапамтитикакогласирешење(7).Требасамознати поступакрешавања Пример3. Решавамосистемједначинапо x, y сапараметром a: (8) ax + y =1,x + ay =1

Акоје a =0,систем(8)постаје: y =1, x =1

иочигледноимарешење (1, 1).Некаје a =0

Помножимопрвуједначинуу(8)са a.Добијамосистем (9) a 2 x + ay = a,x + ay =1, којијееквивалентанса(8).Кадодпрвеједначинесистема(9)одузмемодругу,добијамолинеарнуједначинупо x:

(10) (a 2 1)x = a 1, тј. (a 1)(a +1)x = a 1, изакључујемо:

(i)Акоје a =1 и a = 1,једначина(10)имарешење 1 a + 1 .Кадставимо x = 1 a + 1 у првуједначину(8),добијамо a a + 1 + y =1,тј. y =1 a a + 1 = a +1 a a + 1 = 1 a + 1 .Дакле,у овомслучајусистем(8)имарешење ( 1 a + 1 , 1 a + 1 ).Овдејеукљученислучај a =0

(ii)Акоје a = 1,једначина(10)постаје 0= 2 инемарешења.Стоганисистем(8) немарешења.

(iii)Акоје a =1,једначина(10)постаје 0=0 ињузадовољавасвакиреаланброј x.Кад је a =1 систем(8)постаје x + y =1,x + y =1; практичноимамоједнуједначину, x + y =1,садвенепознате x, y.Изтеједначинедобијамо y =1 x.Дакле,кадје a =1,свакиуређенпар (α, 1 α) јестерешењесистема(8),гдеје α произвољанреаланброј.

Системидвелинеарнеједначинеподвенепознатеимајузгоднугеометријску интерпретацију.Наиме,уодељку2.2,стр.206виделисмодасвакаједначина Ax + By = C,гдесу A, B, C датиреалнибројевии

,одређујеуДекартовом координатномсистему Oxy једнуправулинију.Прематоме,системједначинапо x, y:

(1) a

одређуједвеправелинијеуравни Oxy.Затедвеправепостојеследећемогућности:

(i)Правесесеку,тј.имајуједнузаједничкутачку (α,β).Тадаје (α,β) једино решењесистема(1).

(ii)Правесуразличитеипаралелне,тј.немајуниједнузаједничкутачку.Тада систем(1)немарешења.

(iii)Правесепоклапају.Утомслучајусистем(1)имабесконачномногорешења.

Пример4. Правечијесуједначине

секусеутачки (1, 2);сл.27.Јединорешењесистема

Пример5. Правечијесуједначине

Пример6. Правечијесуједначине 3x y =1 и 6x 2y =2 сепоклапају;сл.29.Систем 3x y =1 ∧ 6x 2y =2 имабесконачномногорешења;тосусвипаровиоблика (α, 3α 1)

гдеје α ∈ R произвољно.

Уследећимпримеримаутврђујемонекеопштечињеницеувезисасистемом једначина(1).

Пример7. Акосистемједначина

(1) a1x + b1y = c1,a2x + b2y = c2

имадваразличитарешења (α,β) и (γ,δ),ондатајсистемимабесконачномногорешења. Заиста,акосу (α,β) и (γ,δ) различитарешењасистемаједначина(1),ондаје a1

Некаје k произвољанреаланброј.Тадаје a1(α + k(α γ))+

исличнодоказујемодаје

Тозначидајезасвако k ∈ R,уређенпар (11) (α + k(α γ),β +

)) решењесистема(1).Какоје,попретпоставци, (α,β) =(γ,δ),тозначидајебарједанодбројева α γ, β δ различитод 0,пасерешење(11)непоклапасарешењем (α,β),осимза k =0 Дакле,систем(1)имабесконачномногорешења. Пример8. Акоје (12) aB = Ab, системједначина (13) ax + by =0,Ax + By =0(a 2 + b2 > 0,A2 + B2 > 0) имабесконачномногорешења. Акојеиспуњенуслов(12)иакоје a =0,тадаје b =0,паиз(12)излази A =0.Систем (13)постаје: by =0, By =0,гдеје b =0, B =0 иимабесконачномногорешења.Тосусви паровиоблика (α, 0) гдеје α произвољанреаланброј.

3. Линеарнеједначинеинеједначине 227

Сличнодоказујемодауслучају b =0 систем(13)имабесконачномногорешењаоблика (0,β),гдеје β произвољанреаланброј.Некасусадасвибројеви a, b, A, B,различитиод 0.Из (12)добијамо B = Ab a , исистем(13)постаје ax + by =0,Ax + Ab a y = 0, тј. ax + by =0, A a (ax + by) =0,

односно ax + by =0,ax + by =0

ињеговарешењасусвипаровирецимооблика Äα, aα b ä, гдеје α произвољанреаланброј.

Питања

1. Штајерешењесистемадвелинеарнеједначинепо x, y?

2. Далиможесистемдвелинеарнеједначинепо x, y даиматачнотри(различита)решења?

3. Коликорешењаможедаимасистемдвелинеарнеједначинепо x, y?

4. Геометријскаинтерпретацијасистемадвелинеарнеједначинепо x, y.

Задаци

Решитиследећесистемеједначинапо x, y:

1. 2x +3y =8, 3x 2y +1=0; 2. 2x +5y =8, x +3y =2;

3. 3(2+ x) 2(5 y)=5, 5(3 x) 4(2+ y)=7; 4. 5x 2 3 y = 4(x 1)+2y 3, x 1 3 + y + 5 4 = 2;

5. 2 y 3 + 7 x + 2 =13, 3 x + 2 5 y 3 = 12; 6. 4 1 x y + 14 x y + 2 =4, 7 x y + 2 + 6 1 x y = 4;

7. 3 x + 1 + 2 y 1 = 8, 2 x + 1 3 y 1 = 1; 8. 2 x 1 + 5 y 2 = 1, 1 x 1 + 3 y 2 = 2;

9. x y =1, |x| +2y =4;

10. |x + y| =2, |x|−|y| =1

Решитиследећесистемепо x, y,сапараметрима a, b, c:

11. ax + y =3, x + y =3a;

12. 2x +(a 1)y =3, (a +1)x +4y = 3;

13. (a +4)x +(a 5)y =7, 4x 5y = a +7; 14. x + y x y = a + b a b , ax + by = a c;

15. a 2 + 1 x + (a 2 1)y = a 2 +1, a 2 1 x (a 2 + 1)y = a 2 1;

16. (a 2 + a 1) 1 x (a 2 a 1) 1 y = a, (a 2 a + 1) 1 x + (a 2 + a 1) 1 y = a 2

228 Полиноми

Решавањеследећихзадатакадоводидосистемадвелинеарнеједначинеподвенепознате.

17. Одредити a и b такодаполином x 4 x 3 + ax 2 +2x + b будедељивса:(i) x 1 и x 2; (ii) x 1 и x +1

18. Одредити k и n такодаправа y = kx+n пролазикрозтачке:(i) (1, 1) и (2, 3);(ii) ( 1, 1) и ( 1, 2).

19. Одредити A и B такодазасвако x ∈ R \{1, 2} важи: (i) x (x 1)(x 2) = A x 1 + B x 2 ; (ii) x (x 1)(x 2)2 = A x 1 + B (x 2)2

20. Правоугаоникчијесустранице a и b,причемује a>b,имаобим s,aразликањегових страницаје d.Израчунати a и b.Проверитиуслучају s =12, d =4

21. Збирдвареалнабројаједнакје p,ањиховколичникје q.Одредититебројеве.Закоје p и q овајзадатак:(i)иматачноједнорешење;(ii)имабесконачномногорешења;(iii)нема решења?

22. Базенможедасепуниводомиздвецеви.Аководатечеизобецеви,базенсенапуниза 4 часа.Аководатечесамоизпрвецеви,базенсенапуниза 10 часова.Закојевремеби себазеннапуниодаводатечесамоиздругецеви?

23. Веслајућиузводно,веслачпређе 6 km за 1 час,атајистипутпређевеслајућинизводно за 45 минута.Којомбрзиномвеслачвеслаумирнојводи?

24. Отацимадвасинаодкојихјеједандвегодинестаријиоддругог.Запетгодинаотац ћебитидвапутастаријиодмлађегсина,апре 17 годинабиојечетирипутастаријиод старијегсина.Коликогодинаимајуотацисинови?

25. Двазидара(одкојихјеједанбиобољимајстор)могудаизмалтеришуједнупросторијуза 10 дана.Радилису 6 даназаједно,аондасеједанодњихповредио,паједруги,радећисам, завршиопосаозајош 7 дана.Коликобивременатребалосвакомодзидарадасамостално измалтеришутупросторију?

Наћипараметре a, b, c такодаследећисистемилинеарнихједначинапо x, y имајурешење,а затимрешититесистеме:

26. x +3y =1, 2x ay =10, 3x

3.5.Системтрилинеарнеједначинепотринепознате Системтрилинеарнеједначинепонепознатима x, y, z: (1)

системдвеједначинеподвенепознате.Рецимо,акоје c

=0 изпрвеједначине система(1)добијамо

3. Линеарнеједначинеинеједначине 229

пакадудругојитрећојједначиниуместо z ставимодобијениизраздобићемосистемдвеједначинепо x, y.

Пример1. Решавамосистемпо x, y, z:

(2) 2x y + z =7, 3x y 5z =11,x + y + z =5

Изпоследњеједначинесистема(2)добијамо z =5 x y,пакадупрвимдвемаједначинама

уместо z ставимо 5 x y добијамо 2x y +(5 x y)=7, 3x y 5(5 x y)=11, тј.

(3) x 2y =2, 8x +4y =36

Дабисморешилисистем(3)по x, y,помножимопрвуједначинуса 2 изатимјесаберимоса другом.Добијамо 10x =40,тј. x =4.Изједначине x 2y =2,стављајући x =4 добијамо 4 2y =2,тј. 2y = 2,односно y =1.Најзадкакоје z =5 x y,добијамо z =5 4 1=0 Дакле,полазећиод(2)добијамо x =4, y =1, z =0.Обрнуто,акоу(2)ставимо x =4, y =1, z =0,једначине(2)постајутачнеједнакости: 2·4 1+0=7, 3·4 1 5·0=11, 4+1+0=5. Тозначидајеуређенатројка (4, 1, 0) јединорешењесистема(2).

Другиначинрешавањасистема(1)састојисеутомедагапрерадимо,тј.да газаменимоеквивалентнимсистемом,алитаквогобликадањеговарешењалако можемодапрочитамо.Уствари,циљнамједасистем(1)заменимоеквивалентним системомоблика

(4)

Каоштовидимо,прваједначинасистема(4)поклапасесапрвомједначином полазногсистема(1).Међутим,уместодругеитрећеједначинесистема(1)сада имамодрукчије,једноставнијеједначине.Наиме,изпоследњеједначинесистема (4)одмахчитамоколикоје z,затимкадзнамо z,издругеједначиненалазимо y,и најзад,знајући y и z,изпрвеједначинеодређујемо x Пример2. Поноворешавамосистем(2),укомећемоизпрактичнихразлогaтрећуједначинуставитинапрвоместо;дакле,решавамосистем x + y + z =5, 2x y + z =7, 3x y 5z =11. (5)

Упрвомкоракуодсистема(5)правимоновсистем,еквивалентансањим,наследећиначин. Првуједначинусистема(5)остављамотаквомкаквајесте.Уместодругеједначинесистема(5) узимамоједначинукојаседобијаелиминацијом(тј.избацивањем)непознате x изпрведвеједначине.Наиме,акопрвуједначинуу(5)помножимоса 2,паондаодњеодузмемодругу,добијамоједначину 2x +2y +2z (2x y + z)=10 7, тј. 3y + z =3 Истотако,трећуједначинусистема(5)замењујемоједначиномкојаседобијатакоштосенепозната x елинимишеизпрвеитрећеједначинесистема(5).Акопрвуједначинусистема(5) помножимоса 3,паондаодузмемотрећу,добијамоједначину 3x +3y +3z (3x y 5z)=15 11, тј. 4y +8z =4, тј. y +2z =1

230

Дакле,упрвомкоракусистем(5)замењујемоследећимсистемом x + y + z =5 3y + z =3 y +2z =1 (6)

којијееквивалентансањим.

Удругомкоракуправимоновсистем,еквивалентанса(6),пастогаиса(5),такоштопрве двеједначинесистема(6)остављамотаквимкаквејесу,атрећуједначинузамењујемоједначиномкојаседобијаелиминацијомнепознате y издругеитрећеједначинесистема(6).Акотрећу једначинусистема(6)помножимоса 3,пајеодузмемооддруге,добијамоједначину 3y + z 3(y +2z)=3 3, тј. 5z =0

Дакле,систем(6)замењујемосистемом x + y + z =5 3y + z =3 5z =0 (7)

којијееквивалентанса(6),паиса(5).Изтрећеједначинесистема(7)одмах,,читамо“: z =0. Кадје z =0,другаједначинау(7)постаје 3y =3,одакледобијамо y =1.За y =1, z =0 прва једначинасистема(7)постаје x +1+0=5,одаклеизлази x =4.Прематоме, (4, 1, 0) јеједино решењесистема(7),пастогаиполазногсистема(5). Напомена1. ПоступакпримењенуПримеру2називасе Гаусовпоступак решавањасистемалинеарнихједначина.АкосегледапросторкојисузаузелиПример1иПример2може даизгледадајеГаусовпоступак,,дужи“,алитонијетачно.Пример2јестедужиодПримера1, алисамозатоштосморадиливеомадетаљно,дабисмопоступакизложили.Упраксимноге детаљепрескачемо.

НапоменимојошдасеГаусовпоступакможеприменитиинасистемсавишеједначинаи вишенепознатих,причемубројједначинанеморадабудеједнакбројунепознатих.

Пример3. Решавамосистем

(8) x 3y + z =1, 2x 5y +2z =3, 5x 9y +5z =10. Помножимопрвуједначинуовогсистемаса 2 иондаодњеодузмимодругуједначину.Добијамо: y = 1,тј. y =1.Помножимосадапрвуједначинуса 5 иодњеодузмимотрећу.Добијамо

6y = 5 тј. y = 5 6 Како y неможеистовременобитии 1 и 5 6 ,закључујемодасистем(8)нема решења.

Пример4. Решавамосистем (9) 2x + y z =7, 5x 4y +7z =1, 7x 3y +6z =8 Првуједначинупомножимоса 5,адругуса 2.Добијамоједначине 10x +5y 5z =35, 10x 8y +14z =2, пакадиходузмемоимамо: 13y 19z =33.Помножимосадапрвуједначинуса 7,атрећуса 2 Налазимо 14x +7y 7z =49, 14x 6y +12z =16 ипослеодузимања: 13y 19z =33.Даклесистем(9)очигледнојееквивалентансасистемом (10) 2x + y z =7, 13y 19z =33, 13y 19z =33 укомесупоследњедвеједначинеисте.Систем(10)очигледнојееквивалентансасистемомдве једначине (11) 2x + y z =7, 13y 19z =33

strana231

3. Линеарнеједначинеинеједначине 231

Некаје z = α.Издругеједначине(11)добијамо 13y 19α =33,тј. y = 1 13 (33 +19α)

Тадапрваједначинау(11)постаје 2x + 1 13 (33 +19α) α =7, одаклеје x = 1 13 (29 3α)

Прематоме,полазећиод(9)добилисмо: x = 1 13 (29 3α), y = 1 13 (33 +19α),z = α (α ∈ R)

Тозначидасистем(9)имабесконачномногорешења;тосусвеуређенетројке Å 29 3α 13 , 33 +19α 13 , αã,гдеје α ∈ R произвољно.

Пример5. Решавамосистемлинеарнихједначинапо x, y, z,сапараметром a: ax + y + z =1, x + ay + z =2, x + y + az = 3 (12)

Акоје a =0,систем(12)постаје (13) y + z =1,x + z =2,x + y = 3

Издругеједначине(13)излази z =2 x,аизтреће y = 3 x,пакадтозаменимоупрву једначину(13)добијамо: 3 x+2 x =1,тј. 2x =2,тј. x = 1.Стогаје y = 3+1= 2, z =2+1=3,исистем(12)за a =0 иматачноједнорешење: ( 1, 2, 3)

Некаје a =0.Помножимодругуитрећуједначинусистема(12)са a,паихредомодузмимоодпрве.Добијамо (14)(1 a 2)y +(1 a)z =1 2a, (1 a)y +(1 a 2)z =1+3a. Акојe a =1,овеједначинепостају: 0=1, 0=4,штозначидаза a =1 систем(14),пастога нисистем(12),немарешења.

Некаје a =1.Акоје a = 1,систем(14)постаје 2z =3, 2y = 2, одаклеизлази: y = 1, z = 3 2 , паза a = 1,изпрвеједначинесистема(12)излази x = y + z 1= 1+ 3 2 1 = 1 2 Дакле,акоје a = 1,систем(12)иматачноједнорешење: ( 1 2 , 1, 3 2 ).

Некаје a = 1.Помножимодругуједначину(14)са 1+a иодузмимојеодпрвеједначине (14).Добијамо,послесређивањаискраћивањаса a (јерје a =0) (15) (1 a)(2+ a)z =3(2+ a)

Акоје a = 2,ондасе(15)сводина 0=0 итојетачнозабилокојиреаланброј z.За a = 2, систем(14)постаје 3y +3z =5, 3y 3z = 5

одакледобијамо: y = z 5 3 Најзад,за a = 2 изпрвеједначинесистема(12)добијамо: 2x =1 y z =1 (z 5 3 ) z = 1 2z + 5 3 = 2z + 8 3 , тј. x = z 4 3 Дакле,за a = 2

систем(12)имабесконачномногорешења.Тосусвеуређенетројке (16) (α 4 3 , α 5 3 , α) , где α ∈ R.

232 Полиноми

Акоје a = 2,из(15)добијамо: z = 3 1 a , азатимиздругеједначине(14): (1 a)y =1+3a 3(1 a 2) 1 a = 1+3a 3(1+ a)= 2, тј. y = 2 a 1 .

Најзад,изрецимодругеједначинесистема(12)налазимо: x =2 ay z =2 2a a 1 3 1 a = 2(a 1) 2a + 3 a 1 = 1 a 1

Дакле,акоје a =0, a =1, a = 1 и a = 2,систем(12)иматачноједнорешење: (17) ( 1 a 1 , 2 a 1 , 3 1 a ) .

Међутим,за a =0 решење(17)постаје ( 1, 2, 3) ипоклапасесараниједобијенимрешењем затајслучај.Истотако,за a = 1,решење(17)постаје ( 1 2 , 1, 3 2 ) и поклапасесараније

добијенимрешењемзатајслучај.

Прематоме,закључујемо: (i)акоје a =1 и a = 2,систем(12)имаједнорешење(17); (ii)акоје a =1,систем(12)немарешења; (iii)акоје a = 2,систем(12)имабесконачномногорешења.Тосусветројке(16)гдеје

α произвољанреаланброј.

Питања

1. Штајерешењесистематрилинеарнеједначинепо x, y, z?

2. Коликоразличитихрешењаможедаимасистемтрилинеарнеједначинепотринепознате?

3. Далисвакисистемтрилинеарнеједначинепотринепознатеимарешење?

Задаци

Решитиследећесистемепо x, y, z, u:

1. 2x 3y +2z =2, 3x 2y + z =5, x y z =3;

3. 5x 3y + z =2, 4x + y 3z =5, 2x y + z =1;

5. x + y +2z +3u =1, 3x y z 2u = 4, 2x +3y z u = 6, x +2y +3z u = 4;

7. x + y 3z = 1, 2x + y 2z =1, x + y + z =3, x +2y 3z =1;

2. 2x 5y 4z =0, 3x 2y + z =0, x +3y 2z =15;

4. 2x y +3z =5, x 4y + z = 3, 3x 5y +4z =2;

6. x 2y + z + u =1, x 2y + z u = 1, x 2y + z +5u =5;

8. 2x + y + z =2, x +3y + z =5, x + y +5z = 7, 2x +3y 3z =14

Решитиследећесистемепо x, y, z,сапараметрима a, b, c:

4. Додатак 233

9. ay + bx = c, cx + az = b, bz + cy = a;

Одредити a, b, c, d такодазасвако x ∈ R важи:

11. x 2 = a(x +2)2 + b(x +2)+ c;

10. ax + 2y z = 3, x + ay +2z =1, x +2y + z = a.

12. x 3 = a(x +1)3 + b(x +1)2 + c(x +1)+ d;

13. 3x 3 +2x 2 + x 1= a(x 1)3 + b(x 1)2 + c(x 1)+ d;

14. x 3 = a(x 1)x(x +1)+ bx(x +1)(x +2)+ c(x +1)(x +2)(x +3);

15. x 3 = a(x 1)x(x +1)+ bx(x +1)(x +2)+ c(x +1)(x +2)(x +3)+ d

Одредити A, B, C, D такодазасвако x ∈ R \{2, 3}

16. 1 (x 2)2(x 3) = A x 2 + B (x 2)2 + C x 3 ;

17. 1 (x 2)3(x 3) = A x 2 + B (x 2)3 + C x 3 ;

18. 1 (x 2)3(x 3) = A x 2 + B (x 2)2 + C (x 2)3 + D x 3

19. Одредитикоефицијенте a, b, c полинома P (x),гдеје P (x)= ax 2 + bx + c,такодаје P (1)=1, P (2)=10, P ( 1)= 5.

20. Некасу a, b, c триразличитареалнаброја.Доказатидаполином P (x) дефинисанса P (x)= A (x b)(x c) (a b)(a c) + B (x a)(x c) (b a)(b c) + C (x a)(x b) (c a)(c b) имаособину: P (a)= A, P (b)= B, P (c)= C.Упоредитисарешењемпретходногзадатка.

4.ДОДАТАК

4.1.Оквадратнојједначини

Усуштини,досадасмовишепутарешаваликвадратнеједначине,алитонисмоексплицитноистицали.

Пример1. УПримеру5,стр.192ималисмо x 2 6x +8=(x 2 6x +9) 1=(x 3)2

x 4)(x 2), paje x 2 6x +8=0 ⇔ (x 4)(x 2)=0 ⇔ x 4=0 ∨ x 2=0 ⇔ x =4 ∨ x =2, штозначидасу 4 и 2 сварешењаједначине x 2 6x +8=0 ТакођеуПримеру6,стр.192ималисмо x 2 + x +1= x 2

, пакакоје (x + 1 2 )2 + 3 4 > 0 засвако x ∈ R,јасноједаједначина x 2 + x +1=0 немарешења.

Садаћемовидетидасебилокојиполином

,гдесу p и q датиреални бројеви,моженаписатиуоблику

и саданијетешкорешитиједначину (1)

Наиме,акоје 4q p2 4 < 0,тј. p 2 > 4q,применомформулезаразликуквадрата: a 2 b2 =(a b)(a + b),полиномможемодапредставимокаопроизводлинеарних фактора,чимедобијамотачнодварешењаједначине(1).

Пример2. Имамо x 2 +7x 44= x

= (x + 7

Стогаје x 2 +7x 44=0 ⇔ (x 4)(x +11)=0 ⇔ x 4=0 ∨ x +11=0 ⇔ x =4 ∨ x = 11, штозначидаједначина x 2 +7x 44=0 иматачнодварешења: 4 и 11

Акоје 4q p2 4 = 0,тј. p 2 =4q,тадаје x 2 + px + q потпунквадрат: x 2 + px + q = (x + p 2 )2 и једначина(1)иматачноједнорешење: x = p 2

Пример3. Какоје x 2 +6x +9=(x +3)2,једначина x 2 +6x +9=0 иматачноједно решење: 3.

Најзад,акоје 4q p2 4 > 0, тј. p 2 < 4q,увекје x 2 + px + q> 0,штозначида

једначина(1)немарешења.

Имамо

2 +3

засвако x ∈ R,паједначина x 2 +3x +3=0 немарешења.

4. Додатак 235

Напомена1. Заквадратнуједначину (2) ax 2 + bx + c =0,

гдесу a, b, c датиреалнибројевии a =0 имамо ax 2 + bx + c =0 ⇔

ионајесведенанаоблик(1),гдеје p = b a , q = c a

Лакоседоказујуследећатврђења:

(i)Акоje b2 4ac =0,једначина(2)иматачноједнорешење: x = b 2a .

(ii) Акоje b2 4ac< 0,једначина(2)немарешења.

(iii)Акоje b2 4ac> 0,једначина(2)иматачнодварешења.Онагласе: b +

Пример5. ПрименомБезуовогставаједноставносепроверавадасуполиноми x 3 5x 2 + 8x 4, x 3 2x 2 5x +6 и x 3 + x 2 + x 3 дељивиса x 1.Користећисетомчињеницом

одредићемосварешењаједначинапо x: x 3 5x 2 +8x 4=0, (3) x 3

, (4)

. (5) Акополином x 3 5x 2 +8x 4 поделимоса x 1,добијамоколичник x 2 4x +4,тј.

имамо x 3 5x 2 +8x 4=(x 1)(x 2 4x +4).Дакле, x 3 5x 2 +8x 4=0 ⇔ (x 1)(x 2 4x +4)=0 ⇔ x 1=0 ∨ x 2 4x +4=0 ⇔ x =1 ∨ x 2 4x +4=0,

итребајошдарешимоквадратнуједначину x 2 4x +4=0.Таједначинаиматачноједно решење: 2.Дакле,једначина(3)иматачнодварешења: 1 и 2 Акополином x 3 2x 2 5x +6 поделимоса x 1,добијамоколичник x 2 x 6.Дакле, x 3 2x 2 5x +6=0 ⇔ (x 1)(x 2 x 6)=0 ⇔ x =1 ∨ x 2 x 6=0,

иостајенамдарешимоквадратнуједначину x 2 x 6=0.Таједначинаиматачнодварешења: 2 и 3.Прематоме,једначина(4)иматачнотрирешења: 1, 2 и 3 Имамо x 3 + x 2 + x 3=0 ⇔ (x 1)(x 2 +2x +3)=0 ⇔ x =1 ∨ x 2 +2x +3=0

Међутим,квадратнаједначина x 2 +2x +3=0 немарешења,паједначина(5)иматачноједно решење: 1

4.2.Једнанапоменаоједнакостиполинома Решавамоследећизадатак(видетиЗадатак19(i),стр.228).Одредити A и B такодазасвако x ∈ R \{1, 2} важи (1) x (x 1)(x 2) = A x 1 + B x 2 .

236

Акопомножимо(1)са (x 1)(x 2),налазимо (2) x = A(x 2)+ B(x 1)

иоваједнакостважиподусловом (x 1)(x 2) =0,тј. x =1 и x =2.

Бројеве A и B најлакшеодређујемонаследећиначин.Ставимопрво x =1,а

затим x =2 у(2).Добијамо

за x =1: 1= A(1 2),тј. A = 1,

за x =2: 2= B(2 1),тј. B =2

Добијенирезултатјетачан,алисепостављапитањедалиједобијеннакоректанначин.Наиме,бројеве A и B одредилисмотакоштосмоуједнакост(2),коју смоизвелиподусловом x =1 и x =2,ставилиуправооноштонетреба:прво x =1,азатим x =2

Одговорнаовопитањејемождамалозачуђујући:примењенипоступакјекоректан!

Уствари,важиследећиопштирезултат.

Накасу P (x) и Q(x) полиномистепена n инекаје S(x) полиномстепена m Акоједнакост (3) P (x)= Q(x)

важизасвако x закојеје S(x) =0,ондатаједнакостважизасвако x ∈ R;другим речима,услов S(x) =0 можедасеизостави.

Доказјевеомаједноставан.Наиме,собзиромдаје S(x) полиномстепена m, постојинајвише m вредностипроменљиве x таквихдаје S(x)=0.Прематоме, акоједнакост(3)важизасвако x ∈ Rзакојеје S(x) =0,тозначидајетаједнакост тачназасвереалнебројеве,осимзанајвише m реалнихбројева.Даклеједнакост (3)свакаковажиза n +1 различитихреалнихбројева,атозначидаједнакост(3) важизасвако x ∈ R.

Успецијалномслучају,акоставимо P (x)= x, Q(x)= A(x 2)+ B(x 1), S(x)=(x 1)(x 2),видимодасмоједнакост P (x)= Q(x),тј.једнакост (2),доказалиподусловом S(x) =0.Међутим,наосновудоказаногтврђења,та једнакостважизасвако x ∈ R,паможемодаставимо x =1,односно x =2 у(2). Напомена1. Стриктноговорећи,једнакост

(4) x (x 1)(x 2) = 1 x 1 + 2 x 2

тачнајезасвако x ∈ R\{1, 2}.Међутим,слободнијеговорећи,можемосматратидатаједнакост важизасвако x ∈ R,јеракоје x =1 или x =2,онданилеванидеснастранаједнакости(4) нисудефинисане.

Пример1. Одредимо p и q такодаважи (5) x 20 + x 19 + + x +1 x2 x = Q(x) + px + q x2 x ,

гдеје Q(x) полиномстепена 18

Изједнакости(5),послемножењаса x 2 x,добијамо

(6) x 20 + x 19 + x 18 + ··· + x +1=(x 2 x)Q(x)+ px + q,

4. Додатак 237

и једнакост(6)важиподусловом x 2 x =0,тј. x =0 и x =1,пастогаважиибезтогуслова. Акоставимопрво x =0,азатим x =1 у(6)добијамо 1= q, 21= p + q, јерналевојстраниједнакости(6)има 21 сабирак.Дакле, p =20, q =1 Уопште,акоје a = b,иакоје P (x) (x a)(x b) = Q(x) + px + q (x a)(x b) ,

гдесу P (x) и Q(x) полиномитаквидајеst P (x)=2+ st Q(x) 2,насличанначинседоказује

даје p

Сличноважиизаполиномеповишепроменљивих.Наиме,акосу P (x1,x2, ...,xn), Q(x1,x2,...,xn), S(x1,x2,...,xn

2,...,xn)

важизасвевредности x1, x2, , xn закојеје S(x1,x2,...,xn) =0,ондатаједнакостважизасве x1, x2, ... , xn;даклеибезуслова S(x1,x2,...,xn) =0.

Пример2. Доказаћемодазасвако x, y, z, u ∈ R

важиједнакост (7)(z u)(x z)(x u)+(u y)(x u)(x y)+(y z)(x y)(x z)+(z u)(u y)(y z)=0

Наравно,једнакост(7)можедаседокаженепосредниммножењем.Следећиначиндоказивања можданијелакши,алијесигурномањедосаданодмножења.

Акоје y = z, y = u, z = u,израз

(8) (x z)(x u) (y z)(y u) + (x u)(x y) (z u)(z y) + (x y)(x z) (u y)(u z) 1 сматрамодајеполиномпо x ионје другог степена.Међутим,тајполиномсеанулиразатри вредностипроменљиве x,наиме,за x = y, x = z и x = u,пајеполином(8)нулаполином. Прематоме,акоје (9) y = z,y = u,z = u, тј. (y z)(y u)(z u)=0, тадазасвако x ∈ R важи (x z)(x u) (y z)(y u) + (x u)(x y) (z u)(z y) + (x y)(x z) (u y)(u z) 1 =0, одакле,послемножењаса (y z)(y u)(z u) излази(7).Дакле,једнакост(7)јеизведенапод условом(9).Собзиромдасетајусловможеизоставити,једнакост(7)јетачназасвако x, y, z, u ∈ R.

УВОДУТРИГОНОМЕТРИЈУ

Какосууглови < ) OQ1P1 и < ) OQ2P2 прави,на основу(ууу)троуглови P1Q1O и P2Q2O суслични, пасуњиховестраницепропорционалне,тј.имамо P1Q1 P2Q2 = OP1 OP2 = OQ1 OQ2 , одаклеизлази P1Q1 OP1 = P2Q2

1.ТРИГОНОМЕТРИЈСКЕФУНКЦИЈЕОШТРОГУГЛА 1.1.Дефиницијеиосновневезе Некаје < ) pOq оштаругао.Означимога α;сл.1.Некасу P1 и P2 дветачкекоје припадајукраку Op инекасу Q1 и Q2 подножјанормалаизтихтачаканакрак Oq Сл. 1

инекаје P произвољнатачкакрака Op угла α,a Q подножјенормалеиз P накрак Oq;сл.1.Тадаје < ) PQO ∼ < ) P1Q1O,пајеопет (1) PQ OP = s, OQ OP = c, PQ OQ = t.

Дакле,безобзиракакоизаберемотачку P накраку Op,размереналевимстранамарелација(1)увекимајуистувредност;другимречима,теразмересупотпуно одређенеуглом α инезависеодизборатачке P .Наосновутогзакључкаможемо дауведемоследећудефиницију.

Некасу Op и Oq крациоштрогугла α.Некаје P произвољнатачкакрака Op инекаје Q подножје нормалеиз P накрак Oq;сл.2.Размера P Q OP назива се синус угла α,размера OQ OP називасe

P Q OQ називасе тангенс

strana239

1. Тригонометријскефункцијеоштрогугла

Некаје ABC правоуглитроугао,саправим угломкодтемена C,инекаје α = < ) BAC;сл.3. Тадатачка B припадакраку AB угла α,атачка C јењенапројекцијанакрак AC угла α.Дакле,ако ставимо a = BC, b = AC, c = AB,имамо

(3) sin α = a c , cos α = b c , tg α = a b

Стогасечестокаже:Акоје α оштаругаонекогправоуглогтроугла,тадаје sin α = наспрамнакатета хипотенуза , cos α =

налеглакатета хипотенуза , tg α =

239

Сл. 3

наспрамнакатета налеглакатета , причемукадкажемокатетаилихипотенуза,мислимонањиховедужине. Некаје α оштаругао.Уводимопојмове косеканс, секанс, котангенс угла α,у ознаци cosec α, sec α, ctg α,помоћуследећихједнакости (4) cosec α = 1 sin α , sec α = 1 cos α , ctg α = 1 tg α

Напомена1. Вероватноизнекихтрадиционалнихразлогакоднассепојмовикосеканси секанстакорећинекористе,докјекотангенсунекуруку,,равноправан“сасинусом,косинусом итангенсом.

Наосновууведенихдефиниција,јасноједазасвакиоштаругаопостојењегов синус,косинуситангенс.Дакле,сваком оштромуглу α можемодапридружимо позитивнереалнебројеве sin α, cos α, tg α

,дефинисанепомоћуједнакости(2).Ако са U означимоскупсвихоштрихуглова,тозначидасусинус,косинуситангенс функцијекојепресликавајускуп U ускуп R+;тј. sin : U → R+ , cos : U → R+ , tg : U → R+ , иистотако

cosec : U → R+ , sec : U → R+ , ctg : U → R+ , Штавише,какосукатетеправоуглогтроугламањеодхипотенузе,изједнакости (3)излази:sin α< 1,cos α< 1,штозначидафункцијеsinиcosпресликавајуоштре угловеубројевеизинтервала (0, 1)

Функцијесинус,косинус,тангенс,косеканс,секансикотангенсназивајусе тригонометријскефункције.Оненисумеђусобнонезависне.Заиста,изједнакости(4)јаснојекакосекосеканс,секансикотангенсизрачунавајупомоћусинуса, косинусаитангенса.Даље,изједнакости(3)добијамо

тј.

(5)

Такође,изједнакости(3)излази

(6) (sin α)2 +(cos

јерје,наосновуПитагоринетеореме,

240

Уместо (sin α)2 пишесе sin2

функције.Стогасеједнакост(6)пишеуоблику (7)

Из(7)добијамо

(8)

Дакле,имамо (9)

Наосновуједнакости(4),(5),(8)и(9)видимодакадзнамовредностједне тригонометријскефункцијезанекиугао α,ондаможемодаизрачунамовредности осталихпеттригонометријскихфункција.

Пример1. Некајеsin α = a.Тада,наоснову(8),добијамоcos α =

1. Тригонометријскефункцијеоштрогугла

Пример3. Доказатиидентитет

Имамо

Пример4. Доказатиидентитет

Некаје

Тадаимамо

Дакле, L = D,итимесмодоказали(10).

Питањa

Ако U означаваскупсвихоштрихуглова,којесуодследећихнеједнакоститачнезасвако α ∈ U,којезанеко α ∈ U,акојесуувекнетачне:

1. sin α> 1; 2. cosec α> 1; 3. tg α> 1;

4. ctg α< 1; 5. sec α< 1; 6. cos α< 1?

7. Изразити tg α помоћу cos α. 8. Изразити sin α помоћу tg α.

Задаци

1. Акоје sin α = 1 2 , наћи sec α и tg α

2. Акоje tg α = 4 3 , наћи sin α и cos α

3. Акоje sin α = m n , доказатидаје √n2 m2 tg α = m

4. Акоје ctg α = p q , израчунати p cos α q sin α p cos α + q sin α

Доказатиследећеидентитете:

5. (1+ tg2 α) cos 2 α =1; 6. cos α cosec α√sec2 α 1 =1;

7. cosec 2 α tg2 α 1= tg2 α; 8. tg α ctg β tg β ctg α = tg α ctg β;

9. sin2 α(1 + ctg2 α)+ cos 2 α(1+ tg2 α)=2; 10. 1 1 sin α + 1 1 + sin α =2 sec 2 α;

11. tg α sec α 1 + tg α sec α + 1 =2 cosec α;

13. ctg α tg β(tg α + ctg β) = ctg α + tg β;

14. sin2 α cos 2 α cos 2 α sin2 β = sin2 α sin2 β;

15. (sin α cos β + cos α sin β)2 +(cos α cos β sin α sin β)2 =1

1.2.Некеособинетригонометријскихфункција

Некаје pOq оштаругаоинекаје Or полуправакојасеналазиунутартогугла; сл.4.Акоставимо: < ) rOq = α, < ) pOq = β,тадаје α<β

Некаје P произвољнатачкакрака Op инекаправакојасадржитачку P инормалнајенакраку Oq сече Or утачки R,a Oq утачки Q.Очигледноје OR<OP Стогаје

1 OR > 1 OP , паје OQ OR > OQ OP , тј. cos α> cos β. Доказалисмо,дакле,следећуимпликацију

(1) α<β ⇒ cos α> cos β.

Из(1)даљедобијамо

α<β ⇒

тј.

(2) α<β ⇒

Најзад,акоје α<β,таданаоснову(1)имамо

Сл. 4

, пакористећи(2)добијамо tg α = sin α cos α

тј.имамо

(3)

α<β ⇒ tg α< tg β.

Наосновуимпликација(1),(2),(3)закључујемо: (i)штоје α већиоштаругао,sin α јесвевећипозитиванброј(стимштоостаје увекмањиод 1); (ii)штоје α већиоштаругао, cos α јесвемањипозитиванброј; (iii)штоје α већиоштаругао, tg α јесвевећипозитиванброј.

Збогтогакажемодасуфункцијеsinиtgрастуће,адајефункцијаcosопадајућа. Функцијусинусдефинисалисмокаофункцијукојасвакомоштромуглудо-

1. Тригонометријскефункцијеоштрогугла

1). Договоримоседа,например sin 30◦

243

означавасинусбилокогуглакојииматридесетстепени.Такође,сматрамода,например, sin(α +30◦) означавасинусзбира

угла α ибилокогуглачијајестепенамера 30◦.Наравно,сличнедоговореусвајамо изаосталетригонометријскефункције.

Некаје ABC правоуглитроугаосаправим угломкодтемена C инекаје α = < ) BAC, β = < ) ABC, a = BC, b = AC, c = AB;сл.5.Имамо

Сл. 5

(90

Извелисмоформулезаизрачунавањетригонометријскихфункцијакомплементарнихуглова.

Пример1. Имамо: (5) sin 30◦ = cos 60◦ , sin 60◦ = cos 30

, sin 45◦ = cos 45◦

Какојеsin2 45◦ + cos 2 45◦ =1,наосновупоследњеодједнакости(5)добијамо:sin2 45◦ + sin2 45◦ =1,тј. 2 sin2 45◦ =1,тј.sin2 45◦ = 1 2 , одаклеизлазиsin

70◦.Какојеctg 70◦ = ctg(90◦ 20◦)= tg 20◦ ,иcos 20◦ = √1 sin2 20◦ = √1 a2 добијамо ctg 70◦ = tg 20◦ = sin 20◦ cos 20◦ = 1 √1 a2

Питања

1. Којесутригонометријскефункцијерастуће,акојеопадајуће?

2. Далипостојиоштаругао α такавдаје sin α = cos α?Далипостојивишетаквихоштрих углова?

Задаци

Доказатиследећеидентитете:

1. sin(90◦ α) ctg(90◦ α)= sin α; 2. sin α tg(90◦ α) sec(90◦ α)= ctg α;

3. cos α tg α tg(90◦ α) cosec(90◦ α)=1; 4. cos(90◦ α) cosec(90◦ α)= tg α;

5. sin α ctg α ctg(90◦ α) sec(90◦ α)=1;

6. sec(90◦ α) ctg α cos(90◦ α) tg(90◦ α)= sin α;

7. sin(90◦ α) cos(90◦ α) tg(90◦ α)= cos 2 α;

8. ctg(90◦ α) cosec2 α sec α ctg3 α sin2(90◦ α) = √tg2 α + 1;

9. cos 2(90◦ α) 1 cos α = 1+ sin(90◦ α); 10. ctg2 α sin2(90◦ α) ctg α + cos α = tg(90◦ α) cos α

Решитиследећеједначинепо x:

11. x sin(90◦ α) ctg(90◦ α)= cos(90◦ α);

12. sec α cosec(90◦ α) x ctg(90◦ α)=1

Израчунаћемосадавредноститригонометријских функцијазајошнекеуглове.Некаје ABC једнакостраничантроугао;сл.6.Свињеговиугловиимају

по 60◦,асвењеговестраницесуистедужине,рецимо a.Акоје D подножјенормалеизтемена B на

страницу AC,ондаје AD = a 2 , паје

1.3.Вредноститригонометријскихфункција Сл. 6 Виделисмо,уПримеру1изпретходногодељкадаје sin 45◦ = cos 45◦ = 1 2 √2

60◦ = AD AB = a

Стогаје

Имамо

1. Тригонометријскефункцијеоштрогугла

За садазнамовредноститригонометријскихфункцијазаугловеод 30◦ , 45◦ и 60◦.Такођезнамо(видетизакључке(i)и(ii),стр.242)даштоје α већиоштар

угао, sin α јесвевећипозитиванброј(алиувекмањиод 1),адаје cos α свемањи позитиванброј.Наосновутогауводимоследећедефиниције: (1) sin 90◦ =1, cos 90◦ =0

Закључке(i)и(ii)састр.242можемоиовакодасхватимо:штоје α мањи оштаругао, sin α јесвемањипозитиванброј,а cos α јесвевећипозитиванброј (алиувекмањиод 1).Стогауводимоиследећедефиниције: (2) sin 0◦ =0, cos 0◦ =1.

Напомена1. Приметимодасудефиниције(1)и(2)ускладусаразнимформуламакоје смовећдоказализаоштреуглове(дакле,неизаугловеод 0◦ и 90◦).Например, sin2 0◦ + cos 2

1)и(

Досададобијеневредноститригонометријскихфункцијапрегледнозаписујемопомоћутаблице:

246

Напомена2. Добројезнативредноститригонометријскихфункцијазаугловеод 0◦ , 30◦ , 45◦ , 60◦ и 90◦ напамет,јерсевеомачестокористе.Уствари,довољнојезнативредностисинусаикосинуса,јерсеосталевредностилакоизрачунавају.Евоједногпрактичногначинакако ученикможебрзодарепродукујеонајдеогорњетаблицекојисеодносинасинусикосинус.То сечиниутрикорака 1 Првикорак Утаблицисвудаупишемо 1 2 √

Другикорак Подкореномупишемо редомбројеве

Овдесмоформиралитритаблицедабисмоилустровалинаведенатрикорака.Упраксије довољнонаписатисамодругутаблицу,азатим,,углави“срачунати,например,даје 1 2 √4 =1

Доскоросусевредноститригонометријскихфункцијазаосталеоштреуглове читалеизпосебнихнумеричкихтаблица.Данассетаблицетакорећинекористе, јерчакискроманџепнирачунардајевредноститригонометријскихфункција sin, cosиtg(односноtan,каконарачунаримаобичнопише)итосавеликомтачношћу, рецимодо 8 децимала.

Поставимосадаоваквопитање.Акоје s реаланбројзакојиважи 0 <s< 1,далипостојитачно један2 оштаругао α такавдајеsin α = s?Одговорје потврдан.Наиме,некаје AB дуждужине 1,инека је k полукругнадпречником AB;сл.7.Собзиром

даје 0 <s< 1,круг k′ чијијецентартачка B,а полупречникдатиброј s,сечекруг k утачки C.Та-

дајетроугао ABC правоугли,саправимугломкод темена C иимамо sin < ) BAC = BC AB = s 1 = s.

Тимесмодоказалидазасвакиброј s ∈ (0, 1) постојиоштаругао α такавдаје sin α = s.Јединственосттогуглапоследицајечињеницедајесинусрастућафункција.Наиме,претпоставимодазадатиброј s ∈ (0, 1) постоједваоштраугла α и β, 1

Сл. 7

1. Тригонометријскефункцијеоштрогугла

α = β, таквадаје (3) sin α = sin β = s.

247

Какоје α = β,ондајеили α<β или α>β.Међутим,упрвомслучајује sin α< sin β,аудругом sin α> sin β,штојеукотрадикцијиса(3).

Сличносепоказуједаакоје c реаланбројзакојиважи 0 <c< 1,ондапостоји тачноједаноштаругао α такавдаважи cos α = c

Некајесада t произвољанпозитиванброј.Некаје pCq правугао.Накраку Cp тогуглаодредимотачку A таквудаје AC =1,анакраку Cq тачку B таквудаје BC = t;сл.8.Тадаје tg < ) BAC = BC AC = t 1 = t.

Прематоме,засвакипозитиванброј t постојиоштаругао α такавдајеtg α = t.Јединственосттогугласледујеизчињенице дајетангенсрастућафункција.

Напомена3. Акоса U опетозначимоскупсвихоштрихуглова,ондасмоупретходном излагањудоказалидасусинусикосинус 1 1 пресликавањаскупа U наскуп (0, 1),докје тангенс 1 1 пресликавањескупа U наскуп R+

Акознамоколикоје,например, sin α тадаупотребомџепнограчунараможемодаодредимоодговарајућиоштаругао α,асличноважиза cos α, tg α.

Пример2. Акојеsin α =0, 269813,тадаје α =15◦39′11′′.Такође,акојеtg β =32, 6327, тадаје β =88◦14′41′′

Пример3. Одредимооштаругао α такавдајеcos 2α = sin 3α Какојеcos 2α = sin(90◦ 2α),датаједнакостпостаје (4) sin(90◦ 2α)= sin 3α. Међутим,функцијаsinје 1 1 пресликавање,паиз(4)излази

Питања

1. Доказатиједнакости: sin 30◦ = 1 2 , sin 60◦ = √3 2

2. Далисеједнакости sin 0◦ =0, sin 90◦ =1 доказују?

3. Којиједометфункцијасинусикосинус?

4. Којиједометфункцијатангенсикотангенс?

5. Акосу α и β оштриуглови,далисуеквиваленције

тачне?

Задаци

Помоћуџепнограчунараодредитиоштаругао α (заокруглитинаминуте)акоје: 17. sin α =0, 8839; 18. sin α =0, 4434; 19.

=0, 3221; 20. cos α =0, 8006; 21. tg α =1, 2450; 22. tg α =0, 5711

2.НЕКЕПРИМЕНЕТРИГОНОМЕТРИЈСКИХФУНКЦИЈА

2.1.Решавањеправоуглогтроугла

Страницеиугловетроуглазовемо основниелементи троугла.Наосновуставоваоподударноститроугловазакључујемодајетроугао одређен акосупозната трињеговаосновнаелемента,одкојихјебарједанстраница.Тозначидаакосу нампозната(дата)триосновнаелементатроугла,одкојихјебарједанстраница, ондаможемодаизрачунамоосталењеговеосновнеелементе. Одређивањенепознатихосновнихелеменататроуглапомоћупознатихназивасе решавањетроугла.Уовомодељкурешавамоправоуглетроуглове. Акојетроугаоправоугли,тозначидајеједанњеговугао(наимеправугао) већпознат.Дабисмомоглидагарешимопотребноједазнамојошдваосновна елемента,одкојихјеједанстраница.Прематоме,урешавањуправоуглогтроугла постојесамодваслучајакојетребаразматрати: (i)датесубилокоједвестранице; (ii)датајеједнастраницаиједаноштаругао. Каоираније,утроуглу ABC:угловекодтемена A, B, C означаваморедом α, β, γ,астраниценаспрамтихуглова a, b, c Случај(i).Акосудатедвестраницеправоуглогтроугла,трећуодређујемопомоћуПитагоринетеореме.Кадзнамосвестраницеправоуглогтроуглазнамо,на пример,исинусеобаоштраугла,чимесуодређенииуглови.

2. Некеприменетригонометријскихфункција 249

Пример1. Решитиправоуглитроугаочијахипотенузаизноси 4,аједнакатета 2

Некаје ABC правоуглитроугаоукомеје γ =90◦ , c =4, a =2;сл.9.Тада,наоснову Питагоринетеоремеимамо

одаклеизлази:

Даље,имамо

Напомена1. Решавањетроугласкороувекможедасеобавинавишеначина.Рецимо претходнипримермоглисмодарешимоиовако.Првоимамо

одаклеизлази

Пример2. Решитиправоуглитроугаочијесукатете

теоремедобијамо

Решититроугао

sin 25◦47′ =0, 43497; cos 25◦47′ =0, 90045, паје b =43, 497; a =90, 045

Питања

1. Штазначирешититроугао?

2. Акоје ABC правоуглитроугао,којиосновниелементитребадабудупознатидабисмо моглидагарешимо?

Задаци

Решититроугао ABC акоједато:3

1. α =90◦ , a =4, b =2√3; 2. c =

2. Некеприменетригонометријскихфункција 251

2.2.Јошнекипримерипримене

Уовомодељкунаводимонеколикопримераукојимасеразнипроблемирешавајупомоћутригонометријскихфунцкија.

Пример1. Утроуглу ABC датоје: α =30◦ , β =135◦ , c =10.Акоје D подножјенормале

изтачке C направу AB,одредитидужинудужи CD.

Некаје CD = x;сл.13.Тадаје < ) CBD =180◦ 135◦ =45◦,пајеправоуглитроугао BDC једнакокракиимамо BD = CD = x Управоугломтроуглу ADC важи:

Пример2. Некаје ABC оштроуглитроугаочијајеповршина P .Тадаје (1) P = 1 2 bc sin α.

Заиста,собзиромдаје △ABC оштроугли,подножјенормалеизтемена A настраницу BC налазисеизмеђутачака A и C;сл.14.Каоштознамо(видетистр.135)

(2) P = 1 2 AC BD.

Међутим, AC = b,sin α = BD AB = BD c , тј. BD = c sin α,иједнакост(2)постаје(1).

Пример3. Некаје ABC оштроуглитроугаочијајеповршина P .Aналогнокаоупретходномпримерудоказујусеједнакости (3) P = 1 2 ac sin β,P = 1 2 ab sin γ

Наоснову(1)и(3)налазимо

Акоједнакости(4)помножимоса 2 abc добијамо (5) sin α a = sin β b = sin γ c и теједнакостиобичносезову синуснатеорема

252

Пример4. Решитиоштроуглитроугао ABC акоједато:

Наосновусинуснетеореме,тј.другеједнакости(5),имамо

одакледобијамо

паје

Опетнаосновусинуснетеореме,тј.првеједнакости(5)имамо

Некаје ABC oштроуглитроугао.Тадаје (6)

Заиста,некаје D подножјенормалеизтемена C настраницу AB;сл.15.Тадаје cos α = AD AC = AD b , тј.

AD = b cos α, паје DB = c AD = c b cos α.

ПрименомПитагоринетеоременаправоуглетроуглове ADC и DBC добијамо:

CD2 = b2 AD2 = b2 b2 cos 2 α, CD2 = a 2 DB2 = a 2 (c b cos α)2 = a 2 c 2 +2bc cos α b2 cos 2 α. Прематоме,имамо b2 b2 cos 2 α = a 2 c 2 +2bc cos α b2 cos 2 α, одакле,послесређивања,излази(6). Аналогносе,уоштроугломтроуглу ABC,доказујуследећеједнакости: (7) b2 = a 2 + c 2 2ac cos β,c2 = a 2 + b2 2ab cos γ. Наведенатврђењаназивајусе косинуснатеорема. Пример6. Решититроугао ABC акоједато: a =7, b =5, c =8. Наосновукосинуснетеореме,тј.једнакости(6)добијамо 72 =52 +82 2 5 8 cos α, тј. 49=89 80 cos α, одаклеизлази: 40= 80 cos α,тј.cos α = 1 2 , штозначидаје α =60◦ . Опетнаосновукосинуснетеореме,тј.првеједнакости(7)имамо 52 =72 +82 2 7 8 cos β, тј. 25=113 112 cos β, одаклеизлази: 88= 112 cos β,тј.cos β = 88 112 = 11 14 .

2. Некеприменетригонометријскихфункција 253

Задаци

1. Утроуглу ABC датоје: α =30◦ , γ =120◦ , b =20.Акоје D подножјенормалеизтачке

B направу AC,израчунати BD

2. Некаје ABC троугаоукомеје α =30◦ , γ =45◦.Некаје D подножјенормалеизтачке

B направу AC,причемује BD =10.Израчунати a и c

3. Утроуглу ABC датоје: β =30◦ , γ =60◦.Некаје D подножјенормалеизтачке A на

праву BC,причемује BD =15.Одредити b, c и AD

4.∗ Некаје Q R S инекаје P тачкаванправе QS таквадаје PQ ⊥ QS и PQ =36.Ако је < ) RPQ =35◦ , < ) SPQ =53◦ ,израчунати RS

Решититроугао ABC акоједато:

5. a =1+ √3, b = 2, c = √6; 6. a = 2√6, c = 6 2√3, β = 75◦ , cos 75◦ = √3 1 2√2 ;

7. α = 75◦ , β =30◦ , b = √8; 8. α = 72◦ , b =2, c

БЕЛЕШКАОТЕРМИНОЛОГИЈИ

Некаје p затвореналинијауравникојаделитураванна двадисјунктнаскупа:скуптачакаунутаркриве p (означимо га α)искуптачакаизванкриве p;сл.1.Линија p иповрш p ∪ α двасуразличитагеометријскаликаитребадаимају различитаимена.Ноипак,тиликовису,,сродни“пајеподеснодаињиховаименабуду,,сродна“.Некадасеоовоменије водилорачуна,пасуилинија p иповрш p ималиистоиме;на пример,говорилоседаправаможеиматинајвишедвезаједничкетачкесакругом(дакле,кругјелинија),алисетакође израчунавалаповршинакруга(дакле,кругјеповрш).

Иако непрецизан, такав начин изражавања углавном није

Ипак, сасвим оправдано, пришло се стварању терминологије којом

се појмови потпуно прецизирали, при чему је требало употребити

речи као што су квадрат, троугао, круг, итд. које се користе и у свакодневном животу. Постоје два решења.

Решење 1. У универзитетској настави

усвојена је идеја професора Милоша Радојчића: троугао, четвороугао, многоугао, круг, елипса су линије, а површи ограничене тим линијама су троугаона површ, четвороугаона површ, многоугаона површ, кружна површ и елипсаста површ. Решење 2. Просветне власти прописале су следећу терминологију за основне школе: троугао, четвороугао, многоугао, круг су површи, а линије које их ограничавају су троугаона линија, четвороугаона линија, многоугаона линија, кружница! Затим је у програмима за средње школе издата следећа заповест: ,,У погледу математичке терминологије мора постојати континуитет у односу на коришћену (прописану) терминологију у основној школи “ Очигледно творци Решења 2 нису предвидели шта ће се касније дешавати. Већ у III разреду средње школе

хипербола. Међутим, сада реч елипса означава линију1

јасно да је Решење 1 знатно боље од Решења 2. Према

Белешкаотерминологији 255

ПремаРешењу2линијеприказаненасл.2 5зовусередом:троугаоналинија, кружница,елипса,парабола,аповршиограниченепрвимтримазовусетроугао, круг,површелипсе.Недоследностјеочевидна.Акоселинијанасл.2зоветроугаоналинија,заштоселинијенасл.3,4и5незовукружна,елипсаста,односно параболичналинија?Акоселинијанасл.3зовекружница,заштоселинијенасл. 2,4и5незовутроуглица,елипсицаипараболица?

Наравно,ниједоброштосууупотребидвепаралелнетерминологије.Просветничиновницисуизузетноупорни2 унаметањусвогпрописа,тј.лошијегРешења2,алисетајпрописникаднијеупотпуностиспроводио,нарочитоусредњимшколама,јермногипрофесоридефинишупојмовеонакокакосуучилина факултету(Решење1).Поредтога,оникојиводерачунаосрпскомјезикунећеда употребљавајуречикаквесу,например,кружницаилизарез.

КрајњејевремедасеозваничионатерминологијакојасекористинаУниверзитету,јерпосаопросветнихчиновниканиједаизмишљају,већдаспроводеона решењакојасудалиилиприхватилистручњацикаквису,уобластигеометрије, коднасбилипрофесориМилошРадојчићиДрагомирЛопандић. Иманадедаћетакоибити.Драгомијештомогуданаведемдапрофесор МилосавМарјановићусвомновомуџбеникузастудентеУчитељскогфакултета Методикаматематике (другидео),Београд1996,кругсматралинијом.Између осталог,настр. 100 наведенекњигеналазисеиследећареченица: Кругкаолинија имасвојстводасумусветачкеподједнакоудаљенеодњеговогцентра. Овачињеницаохрабрује:веомајеважнодабудућиучитељитокомстудијанаучедаговоре онакокакотреба.Акоучитељибудуговорилинормалнимсрпскимјезиком,верујемдаћесенајзад,каоружансан,заборавитиречкружница,речкојусусклепали инаметнулипросветничиновници.

Напомена1. Уновијевремеусветскојматематичкојлитературизакружнуповршсесве чешћекориститерминдиск.Мислимдабибилодобродасеикоднасуведетајмеђународни терминкојипотичеодгрчког δισκoς икојисекористииусвакодневномживоту(рецимоу спорту).

Напомена2. Излагањематематикесвакакоморадабудепрецизно,алипретеранастрогостможедаучинитекстсувопарним,досаднимитешкочитљивим.Стогајеуовомуџбенику

2ИпакдосаданисутражилидасеРешење2примениинаследећустрофуТинаУјевића: Дугосмоишли,

понегдесвесноодступљеноодсасвимстриктногизлагања,штојејасноистакнуто(видети,на пример,Важнунапоменунастр.37,Напомену7настр.84,илифуснотунастр.126).Извесне слободеуизражавањунисуштетне,подусловомдачиталацувекзнаочемусеговори.Међутим,акосеинсистиранапотпунопрецизнојтерминологији,ондасвакакотребаприхватити доследноРешење1,анеконфузноРешење2,којебииначе(уззаменуречикружницасинтагмом кружналинија)билоприхватљивокадбисеобразовањезавршавалосаосновномшколом.

Једнајезичканедоумица

Какотребарећи:

(i)тачкаприпадаправојили(ii)тачкаприпадаправи; (iii)угаоизмеђуправихили(iv)угаоизмеђуправа; (v)тачкаприпадаправимили(vi)тачкаприпадаправама?

Овајграматичкипроблемнастаојезатоштоје,сасвимоправдано,термин правалинија замењенкраћимтермином права,чимејеречправаодпридевапосталаименица.Да јеуупотребисинтагма правалинија,свебибилојасно:тачкаприпадаправојлинији,угао измеђуправихлинија,тачкаприпадаправимлинијама. Овакосејављадилема:далиреч права требадасемењакаопридев(штојенекад била)иликаоименица(штојепостала)?Акоседоследнодржимопридевскепромене, ондатребакориститиизразе(i),(iii)и(v),аакоседоследнодржимоименичке,онда требакориститиизразе(ii),(iv)и(vi).

Међутим,помоммишљењуизрази(ii),(iv)и(v)незвучелепо,пајеуовомуџбенику заступљенаследећаваријанта:уједнинидоследнопримењујемопридевскупромену,ау множининедоследнопримењујемоипридевскуиименичкупромену;наиме,користимо изразе(i),(iii)и(vi).

Напомена. Иначе,придевскапроменаименицанијенеуобичајенаусрпскомјезику.Рецимоименицу Француска мењамокаопридев,пакажемо БиосамуФранцуској,а не БиосамуФранцуски.Међутим,овдесенејављапроблемкакомењатитуименицуу множини,јерпостојисамоједнаФранцуска.

РЕЗУЛТАТИ

ЛОГИКАИСКУПОВИ

Одељак1.1;стр.1

1. ⊥, ⊥, ⊤, ⊥, ⊥

5. p једовољан, q јепотребан, r јепотребанидовољан. 6. p jeдовољан, q јепотребан, r јепотребанидовољан.

Одељак1.3;стр.6

1. A(a)∧A(b)∧A(c) 2. ¬A(a)∨¬A(b)∨¬A(c) 3. ¬A(a)∧¬A(b)∧¬A(c) 4. A(a)∨A(b)∨A(c)

5. ¬A(a) ∧¬A(b) ∧¬A(c) 6. ¬A(a) ∨¬A(b) ∨¬A(c)

Одељак2.1;стр.7

1. Није. 2. Није. 3. (i) ⊥;(ii) ⊥;(iii) ⊤;(iv) ⊤;(v) ⊥. 4. (i)Јесте;(ii)јесте;(iii)није. 6. (i) X = C;(ii) X = E;(iii) X = B;(iv)непостоји. 14. {∅, {a}, {{b,c}}, {a, {b,c}}}.

15. A× (B ∪C)= {(a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 2), (b, 3), (b, 4)}; (A×B) ∪ (A×C)= {(a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 2), (b, 3), (b, 4)}; A × (B ∩ C)= {(a, 3), (b, 3)}; (A × B) ∩ (A × C)= {(a, 3), (b, 3)}

16. A × (B × C)= {(1, (3,a)), (1, (4,a)), (2, (3,a)), (2, (4,a))}; (A × B) × C = {((1, 3),a), ((1, 4), a), ((2, 3),a), ((2, 4),a)}. 17. A2 = {(3, 3)}; A3 = {(3, 3, 3)}; A4 = {(3, 3, 3, 3)}. 20. (x,y,z)=(x, (y,z))=((x,y),z)

Одељак2.2;стр.10 1. = 12345

15. ρ abc a ⊤ ⊤⊥ b ⊤⊤⊥ c ⊥⊥⊤

Одељак2.3;стр.13

1. Имаих 9 2. Имаих 8 3. 1 1 пресликавањасу: {

,b2), (a2,b1)}, {(

вањана. 4. Сурјективнапресликавањасу:

, {(b1,a2), (b2,a2), (b3,a1)}.Немаинјективнихпресликавања.5.Непостоји.7. f јесте, g није.8. (i)Нису;(ii)јесу;(iii) f1 није, f2 јесте. 9. n =2m,акоје m> 0, n =1 2m акоје m 0. f јестебијекција. 10. m = 1 2 n акоје n паранброј, m = 1 2 (n 1) акоје m непаранброј. g јесте бијекција. 12. (i) b, a, b;(ii)да;(iii)да. 13. Имаих 16; 15. (i)јесте;(ii)није.

Одељак2.4;стр.19

1. (i) 256;(ii) 24;(iii) 24;(iv) 24. 2. 2mn . 3. 90. 4. 24. 5. 360. 6. (i) 24;(ii) 5040. 7. 792. 8. (i) 54; (ii) 1260 10. 3n 11. (i) 27;(ii) 27;(iii) 18 12. (i) 24;(ii) 18 13. 13440 14.

Одељак3.1;стр.25

1. fg = ( 1234 1412 ); fh = ( 1234 1414 ); g 2h = ( 1234 4141 ); fgh = ( 1234 4141 )

2. f (g(1))=2, f (g(x))= x,засвако x ∈ N \{1}; g(f (x))= x,засвако x ∈ N,тј. gf = i; g 2(1)= g 2(2)=1, g 2(x)= x 2

( 1234 4123 ) 6. (gf ) 1 =

f 1 6 = f6

РЕАЛНИБРОЈЕВИ Одељак2.1;стр.39

4. 73 137 5. 365 168 6. 4,

налан. 11. Рационаланакоје bc =

, b = √2). 15. Насвапитањаодговорје:да.

Одељак2.2;стр.42

1. (i)Тачно;(ii)тачно. 2. 54 7 , √

(iv) x 0 5. b< 1/2

Одељак2.3;стр.44

Елементарнагеометрија 259

Одељак2.4;стр.48

1. (i) ( 7, 23);(ii) ( 5 4 , √2); (iii) [ 13 2 ,

, 2] 9. (i)Ограниченодоздобројем 9;(ii)ограниченодоздобројем 2;(iii)ограниченодозгобројем 2;(iv)ограниченодоздобројем 100,аодозгобројем 100;(v)нијеограничен;(vi)ограниченодоздобројем 2,аодозгобројем 7 10. 2, 3; 8, 2; 4, 5; 1,максимумнепостоји; 0,максимумнепостоји;минимумнепостоји, 1 11. 11, 99 12. (i) 7, 14;(ii) 1, 14 13. 1 15. 0, 8, 6, 1, 6 16. 1, 0, 2, 3, 3, 1 20. 0 23. (x +[x])2 +(x [x])2 4x 2

Одељак2.5;стр.52 1. 31 12 , 5 22 , 1 3 , 1 2 , 313 160 . 3. x 0. 4. x 0. 5. 0, ±1. 6. 0, 1. 7. x > 3. 8. ±5. 9. (i) 8;(ii) 8, 2; (iii)8, 2 10. (i)Немарешења;(ii)немарешења;(iii) 7 12 , 13 12 11. (i) 1; (ii) 1;(iii) 1, 1 3

Одељак3.1;стр.54

1. 0, 6666 ; 7, 5; 24, 818181 2. (i) a =5, b =6;(ii) a =5, 4, b =5, 5;(iii) a =5, 42, b =5, 44;(iv) a =5, 429, b =5, 431 3. (i) a =1, 4, b =1, 5;(ii) a =1, 41, b =1, 42; (iii) a =1, 414, b =1, 415 4. (i) m =12, n =13;(ii) m =22, n =23 5. m =17, n =18

Одељак3.2;стр.57

1. 0, 02. 2. Рецимо 0, 53; 0, 528. 3. [2, 487, 2, 547]. 4. (i) 3, 5 , 3, 50 , 3, 504 , 3, 5043 , 3, 50428; (ii) 21, 1 , 21, 08 , 21, 085 , 21, 0848 , 21, 08476;(iii) 8, 0, 7, 98, 7, 981, 7, 9806, 7, 98051;(iv) 0, 3,

0, 27, 0, 274, 0, 2735, 0, 27354 5. 0, 005; 4, 80 (обедецималесигурне).6. 2, 449, 0, 00049; 6, 083, 0, 000238; 10, 050, 0, 000125 7. 75; 17, 36 8. Самојепрвадецималасигурна.

Одељак3.3;стр.60

1. 0, 9; 0, 6; 0, 1; 0, 2. 2. 0, 102; 0, 099; 0, 0001; 80. 3. 93, 2; 51, 1; 1520; 3, 43. 4. 0, 002; 0, 000; 0, 000001; 1. 5. 0, 00. 6. 38. 7. 4, 625284.

Одељак4.1;стр.64

2. 11 3. 5:13 5. 4:2:3 6. 1:3:2

Одељак4.2;стр.66

1.Не.2.Први 3150,други 3900,трећи 2025 динара.3. 280000 динара.4. 3 литраиз A и 8 литара из B. 5. 17:3. 6. 45 литара. 7. 4:1. 8. Платаје 1800 динара,векнахлебакошта 3 динара.

ЕЛЕМЕНТАРНАГЕОМЕТРИЈА Одељак1.2;стр.77

1. 21 2. 19 3. 10 4. 8 5. 13 6. 13 7. 8 8. 15 11. (i)може,анемора;(ii)припада. 12. Раван одређенутачком S иправом c

Одељак1.3;стр.80 1. 6; 8 2. 6;троугаонаповрш. 5. 2 6. 2; 4;једанпарунакрснихуглова. 8. 65 9. 17 10. 9 11. 14

260

Одељак1.4;стр.86

1. 19. 2. 12.

Одељак2.2;стр.91

5. Кругчијијецентартачка B,ичијијеполупречникједнакполупречникукруга k

Одељак2.3;стр.93

Одељак3.1;стр.107 1.

Одељак3.3;стр.111

Одељак4.2;стр.131

1. √2. 2. 9. 3. 24π. 4. 3πr. 5. 2:1. 6. 2(4+ π), 8 3 (3√3

Одељак4.3;стр.132

91 40 √10

Одељак4.4;стр.138

1. 1 4 πa 2 2. 1 2 a 2(π 2) 3. a 2 ( 4 3 π √3)

Одељак5.1;стр.139

1.Права a исвакаправанормалнана a 2.Свакаправакојасадржицентаркруга.3.Да; 3, 4, 5, 6 4.Правапаралелнадатимправаманасрединиизмеђуњих;симетралауглакојиправеобразују. Одељак5.2;стр.142

3. # « BC =2

Полиноми 261

Одељак5.3;стр.146

13. 1 4 π(a 2 + b2) 2ab + b2 14. 1 3 a 2√3 15. 5π

Одељак6.1;стр.149

3. 30, 20,

Одељак6.3;стр.155

5. 8 6. 27,

ПОЛИНОМИ Одељак1.1;стр.178 1. 8, 4, 20, 5 8 .2. x 3 +6x 2 +8x+7, x 3 +9

x 3 +12x

2x+4,

x 3 +54x 2 + 24x +7. 3. 2x 4 2x 3 +10x +1; 4. 4. x 3 3x 2 +3x +5; 3. 5. x 4 4x 3 x 2 +16x 12; 4. 6. 17x 4 +21x 3 14x 2 272x 204; 4. 7. Једнамогућност:(i) P (x)= x 5 , Q(x)= x 5 ; (ii) P (x)= x 5 + x 4 , Q(x)= x 5;(iii) P (x)= x 5 + x 4 + x 3 , Q(x)= x 5 x 4;(iv) P (x)= x 5 + x 4 + x 3 + x 2 , Q(x)= x 5 x 4 x 3;(v) P (x)= x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x, Q(x)= x 5 x 4 x 3 x 2;(vi) P (x)= x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x +1, Q(x)= x 5 x 4 x 3 x 2 x 8. (i) b =0;(ii) b =0, a =0;(iii) a = b =0;(iv)непостоје. 15. (i) a = c =0;(ii) b = d =0

Одељак1.2;стр.181

1. 2x 2 +6x+19, 69 2. 2x, x+12 3. x 2 3 2 x+

4 x 9 4 4. 1, x 5. 1, x 6. 0, x 2 +2 7. 28, 1 2 , 25 22 9. x = α, α = β 10. 2b3 2a 3 + 2ab2 a2b 11.

14. 17x 4 166x 3 + 249x 2 +377x

2x5 16x4 + 37x3 +4x2 105x +90 .

Одељак1.3;стр.189

1. 4. 2. 189. 3. 5 8 . 4. 7 8 . 5. 2. 6. 8. 7. a = 3, b = 4.

x +31 15

)за

=0: 2z

Одељак2.1;стр.200

Одељак2.2;стр.202

8. a> 1. 9. 11 2

Одељак2.3;стр.207

Одељак3.2;стр.214

1. 6 2. 15 3. 2 4. 5 5. Немарешења. 6. 13 7. Немарешења. 8.

14. 3 4 15. 5, 5 16. 4 17. 17 19 , 3 18. [6,

; за a + b = 0: R \{2a + b, a 2b} 23. За a = b

решења;за a = b: R \{±a} 24. ab a + b 25. a 26. a + b + c 27. за a = c: a 2 c 2 ;за a = c нема

решења. 28. 2 a + b 29. 0 30. 1

Одељак3.3;стр.218

1. (−∞, 6). 2. ( 4 5 , +∞). 3. [3, +∞). 4. (−∞, 89 38 ). 5. (−∞, 7). 6. (−∞, 10]. 7. Свако x =2. 8.Немарешења.9. ( 3, 2)∪(0, 1).10. (−∞, 1).11.Немарешења.12. ( 3/2, 2/3].13.( 3 2 , 1). 14. [ 7 3 , 1).15. (1, 3)∪(7, +∞).16. (−∞, 1)∪(4, +∞).17. ( 3, 2].18. (−∞, 5 3 ]∪(3, +∞).

За a> 1 или a< 1: x> 1 a +1 ;

1 <a< 1:

1 a +1 ; за a = ±1:немарешења.

Za a =

Уводутригонометрију 263

Одељак3.4;стр.223

1. (1, 2) 2. (14, 4) 3. (18, 45 2 ) 4. (1, 3) 5. ( 1, 10 3 ) 6. (2, 3) 7. ( 1/2, 2) 8. ( 6 7 , 7 3 )

9. (2, 1) 10. ( 3 2 , 1 2 ), ( 3 2 , 1 2 ) 11.

произвољно. 12. За a 2 =9: ( 3 3 a , 3 3 a ); за a =3 немарешења;за a = 3: (t, 2t 3 4 ), гдеје t ∈ R произвољно. 13. За a =0: ( a +2 9 , a + 11 9 ); за a =0: (t, 4t 7 5 ), гдеје t ∈

R произвољно. 14. Å a(a c) a2 + b2 , b(a c) a2 + b2 ã 15. (1, 0) 16. (2, 2) 17.(i) a = 10 3 , b = 4 3 ; (ii)

непостоје. 18. (i) k =2, n = 1;(ii)непостоје. 19. (i) A = 1, B =2;(ii)непостоје. 20. a = s +2d 4 , b = s 2d 4 21. a = pq 1 + q , b = p 1 + q ;(i) q = 1;(ii) p =0, q = 1;(iii) p =0, q = 1 22. 6 часоваи 40 минута. 23. 7 km/h 24. 53, 26, 24 25. 70 4 , 70 3 26. a = 6: (3, 2 3 ) 27. a = 6: (1, 1) 28. b =3a 1: (3, 1) 29. Ако a = b =0,ондаморадабуде c =0

ирешењасу (0,t),гдеје t ∈ R произвољно.Сличноза b = c =0 или a = c =0.Ако a =0, b =0, c =0,системимарешењасамоакоје b2 = c 2 ирешењеје: (b2 , 1) или (b2 , 1).Слично за a =0, b =0, c =0 или a =0, b =0, c =0.Ако abc =0 и a = b = c = a,системима решењасамоакоје a + b + c =0.Акоје a = b или a = c или b = c,системсесводинадве једначине,аакоје a = b = c,системсесводинаједнуједначину.

Одељак3.5;стр.228

1. (2, 0, 1). 2. ( 195 77 , 30 11 , 15 7 ). 3. ( 1 7 , 12 7 , 17 7 ). 4. (11t 14, t, 11 7t),гдеје t ∈ R

произвољно. 5. ( 1, 1, 0, 1) 6. (2p q,p,q, 1),гдесу p, q ∈ R произвољни. 7. Немарешења. 8. (1, 2, 2) 9. За abc =0: Å b2 + c 2 a 2 2bc , b2 + c 2 a 2 2ac , a 2 + b2 c 2 2ab ã; за a = b =0, c =0:

немарешења(иистоза a = c =0, b =0 или b = c =0, a =0);за a =0, b =0, c =0: имарешењасамоакоје b2 = c 2.За b = c: (1,t, t),aза b = c: ( 1,t,t),гдеје t ∈ R произвољно.Сличноза a =0, b =0, c =0 или a =0, b =0, c =0 10. За a(a 3) =0: Å a 2 + a +8 a(a 3) , 2a 2 2 a(

c =4 12. a =1, b = 3, c =3, d = 1 13. a =3, b =11, c =14, d =5 14. Непостоје. 15. a = 7 6 , b = 1 3 , c = 1 6 , d = 1 16. A = B = 1, C = 1 17. Непостоје. 18. A = B = C = 1, D =1 19. a =2, b =3, c = 4

УВОДУТРИГОНОМЕТРИЈУ

Одељак1.1;стр.238

1. 2 3 √3, 1 3 √3. 2. 4 5 , 3 5 . 4. p 2 q 2 p2 + q2 .

Одељак1.2;стр.242

11. 1 12. tg α

Одељак1.3;стр.244

Одељак2.1;стр.248

Одељак2.2;стр.251

ПРОГРАМИ

M1,M2,M3,M12,M13,M14

4 часанедељно; 140 часовагодишње

Логикаискупови (14 часова)

Основнелогичкеискуповнеоперације.Важнијизаконизакључивања.Основниматематичкипојмови, дефиниција,аксиома,теорема,доказ. Декартовпроизвод;релацијеифункције. Елементикомбинаторике пребројавањеконачнихскупова(правилозбираиправилопроизвода).

Реалнибројеви (9 часова)

Прегледбројева,операције,пољереалнихбројева. Приближневредностиреалнихбројева(грешке, границегрешке,заокругљивањебројева;основне операцијесаприближнимвредностима).

Пропорционалноствеличина (10 часова)

Размераипропорција,пропорционалноствеличина(директна,обрнута,уопштење);примене(сразмернирачун,рачунподелеимешања).

Процентнирачун,каматнирачун.

Табличноиграфичкоприказивањестања,појаваи процеса.

Уводугеометрију (12 часова)

Тачка,праваираван;односиприпадањаираспореда.Међусобниположајитачака,правихиравни. Дуж,угао,диедар.Многоугао.

Нормалностправихиравни.Угаоизмеђуправеи равни,угаоизмеђудверавни.

Изометријскетрансформације (28 часова)

Подударностфигура,подударносттроуглова;изометријскатрансформација.

Вектор,једнакоствектораиоперацијесавекторима; примене.

Транслација.

Ротација.

Симетрија(осна,централна,раванска).

Применеизометријскихтрансформацијаудоказнимиконструктивнимзадацима(троугао,четвороугао,многоугао,кружница).

Рационалниалгебарскиизрази (16 часова)

Полиномииоперацијесањима;дељивостполинома.Растављањеполиноманачиниоце.Важнијенеједнакости(доказивање).

Операцијесарационалнималгебарскимизразима (алгебарскиразломци).

Линеарнеједначинеинеједначине.

Линеарнафункција (16 часова)

Линеарнеједначинесаједномивишенепознатих.

Еквивалентностирешавањелинеарнихједначина саједномнепознатом.

Линеарнафункцијаињенграфик.

Системлинеарнихједначинасадвеитринепознате (разнеметодерешавања).

Применалинеарнихједначинанарешавањеразличитихпроблема.

Линеарненеједначинесаједномнепознатомињиховорешавање.Неједначинеоблика (ax + b)(cx + d) ≶ 0

Хомотетијаисличност(14 часова)

Размераипропорционалностдужи;Талесоватеоремаињенепримене.

Хомотетија;хомотетијаисличност.

Сличносттроуглова;применакодправоуглогтроугла,Питагоринатеорема.Применасличностиурешавањуконструктивнихидругихзадатака. Тригонометријаправоуглогтроугла (9 часова) Тригонометријскефункцијеоштрогугла;основне тригонометријскеидентичности.Таблицевредноститригонометријскихфункција. Решавањеправоуглогтроугла.

Аксиома,33

–,паралелности,86 –,супремума,76

аксиоме –,везе,78

–,непрекидности,106 –,поља,39 –,распореда,81

алгебарскаједначина,211

антисиметричнарелација,11

анулирањеполинома,179

апсолутнавредност,52

апсолутнагрешка,57

аритметичкасредина,47

Архимедоватеорема,43,69

Архимедовопоље,44

асоцијативност5,39

Безуовстав,189

бијективнопресликавање,14

бијекција,14

бинарна –,операција,16 –,релација,10,12

бројеви –,ирационални,31,38 –,рационални,38 –,реални,38 бројевнаправа,36

Вектор,142

вектори –,једнаки,142 –,једнакоусмерени,142 –,колинеарни,144 –,супротноусмерени,142 висинатроугла,114

Гаусовпоступак,230 геометријскаконструкција –,основна,125

геометријскасредина,47 –,дужи,157

геометријскилик,78 –,конвексан,81

граница –,апсолутнегрешке,58 –,релативнегрешке,58 графикфункције,202 грешка –,апсолутна,57 –,релативна,58 Двојнанегација,4

АЗБУЧНИКПОЈМОВА

деМоргановизакони,5 Декартовпроизвод,9 делтоид,110 дељивостполинома,181 дефиниција,33 –,коректна,33 децималнидео,70 диедар,100 –,рогља,102

диедри –,напоредни,101 –,опружени,101 –,суседни,101 –,унакрсни,101

дијагонала,85

директнопропорционалнибројеви,66

дисјунктнискупови,7

дисјункција,1

диск,90

дистрибутивност5,39

довољануслов,2

додирнатачка,90

доказ,33

домен,13

домет,14

дуж,81 –,тангентна,113 –,тежишна,115

дужина –,вектора,142 –,круга,131 –,кружноглука,132 –,многоугла,130

Егзистенцијалниквантификатор,6 еквиваленција,1

Заједничканормаламимоилазнихправих,104 заокругљивање,58 затворенинтервал,48 збир

–,вектора,143 –,дужи,89 –,углова,95 –,усмеренихуглова,147 златнаразмера,159 златнипресек,159 значајнетачкетроугла,116 Ивицадиедра,100 идентичнопресликавање,27 изломљеналинија,84 између,77,80 266

Азбучникпојмова 267

изометрија,91

изометријскатрансформација,91

изометријскопресликавање,91

импликација,1

инверзнафункција,27

инјективнопресликавање,14

инјекција,14

интервал,48 –,затворен,48 –,отворен,48

ирационалнибројеви,31,38

исказ,1

исказнаслова,3

исказнаформула,3

искључењетрећег,4

истинитоснавредност,1

истосмернитроуглови,173

Јединична –,дуж,129 –,површ,133

једнакоусмерени –,вектори,142 –,углови,147

једнакокракитроугао,112 једнакостраничнитроугао,112 једначина –,алгебарска,211 –,квадратна,211 –,линеарна,211 –,сапараметром,216 –,урешеномоблику,214

Квадрат,110

квадратанполином,178 квадратнаједначина,211 квантификатор,6 –,егзистенцијални,6 –,универзални,6 кодомен,13

коефициент –,сличности,153 –,полинома,178 –,хомотетије,154

колинеарнетачке,78 колинеарнивектори,144 количникполинома,182 компланарнетачке,78 комплементскупа,7

комплементниуглови,96

композицијафункција,25

компонента,8

комутативност,39 конвекснафигура,81

конјункција,1

константанполином,178

конструкција –,геометријска,125 –,основнагеометријска,125 контрапозиција,4

коректнадефиниција,33 косеканс,239 косинус,238

косинуснатеорема,252 котангенс,239 Кошијевстав,102 крајдужи,81

крак

–,једнакокракогтроугла,112 –,трапеза,110 –,угла,82

круг,90 –,деветтачака,165 –,описанокотроугла,114 –,спољауписанутроугао,164 –,уписанутроугао,114

кружна –,линија,90 –,површ,90

кружни –,диск,90 –,исечак,90 –,лук,90

Линеаранполином,178 линеарнаједначина,211 линеарнафункција,202

линија –,изломљена,84 –,многоугаона,84 логичкаеквивалентност,5 логичкапоследица,5 Мајоранта,49 максимум,49,50 мимоилазнеправе,79 минимум,49,50 миноранта,49 минут,96 многоугао,84 –,правилан,121 –,тангентан,121 –,тетиван,121 многоугаона –,линија,84 –,површ,84 модуо,52 модуспоненс,4 Наизменичниуглови,107 најмањизаједничкисадржалац –,полинома,186 најмањизаједничкисадржалац,185 најстарији –,коефицијент,178 –,члан,178 напоредни –,диедри,101 –,углови,83 наспрамнестранице,109 наспрамниуглови,109

268

негативноусмеренугао,147

негација,1

неједнакосттроугла,113

неједначина –,урешеномоблику,218

неједначина,218

непозната,211

непокретнатачка,27

непротивречност,4

нормала,95

нормалнапројекција,103

нормалне –,праве,95 –,равни,105

нулаполинома,179

нумеричкаправа,36

Обим –,круга,131 –,многоугла,130

обрнутопропорционалнибројеви,66

ограниченскуп,49 –,одозго,49 –,одоздо,49

Ојлероваправа,165

операција,бинарна,16

опружени –,диедар,101 –,угао,83

оригинал,13

ортоцентар,115

осносиметричнафигура,140

основица

–,једнакокракогтроугла,112 –,трапеза,110

основнагеометријскаконструкција,125 основниелементитроугла,248

остатакпридеобиполинома,182 отворенинтервал,48 оштроуглитроугао,112

Паралелност –,правеиравни,87 –,правих,86 –,равни,87

паралелограм,109 параметар,216

партитивнискуп,8 Паскаловтроугао,46

Пашовааксиома,81

педалнитроугао,115

периодичнидецималнизапис,73

периферијскиугао,116

површ

–,кружна,90 –,многоугаона,84

површина –,кружногдиска,138 –,кружногисечка,138 –,многоугла,133

Азбучникпојмова

–,паралелограма,135 –,правоугаоника,133 –,трапеза,135 –,троугла,135

подножјенормале,95 подскуп,7 подударност,77,88 позитивноусмеренугао,147 полазнипојам,33 полином,178 –,квадратан,178 –,константан,178 –,линеаран,178 –,повишепроменљивих,195 –,усређеномоблику,178

полиномнафункција,200 полуобимтроугла,164

полуправа,81

полупречниккруга,90

полураван,81

поље,39

–,Архимедово,44 –,рационалнихбројева,39 –,реалнихбројева,41 –,уређено,43 потенцијатачке,158

потребануслов,2 правугао,95 права,77 –,бројевна,36 –,нумеричка,36 –,Ојлерова,165 –,Симсонова,166

праве –,мимоилазне,79 –,нормалне,95 –,паралелне,86 правирационаланизраз,182 правиланмногоугао,121 правоугаоник,110 правоуглитроугао,112 празанскуп,7

пресек –,златни,159 –,скупова,7 пресликавање,13 –,бијективно,14 –,идентично,27 –,инјективно,14 –,на,14 –,сурјективно,14 пречниккруга,90 приближнавредност,57

принцип –,збира,21 –,производа,21

производ –,бројаивектора,144 –,бројаидужи,90

Азбучникпојмова 269

–,бројаиугла,96

–,бројаиусмереногугла,148 –,функција,25

пропорција,64

–,проста,64

пропорционалнедужи,150 простапропорција,64

проценат,67

Раван,77

разлика –,вектора,143 –,дужи,89 –,углова,95 –,усмеренихуглова,148 размера,64 –,вектора,150 –,дужи,150 рационаланизраз –,прави,182 рационаланизраз,182,197 рационалнафункција,200 рационалнибројеви,35 реалнафункција,15 реалнибројеви,38 релативнагрешка,58 релација –,антисиметрична,11 –,бинарна,10 –,дужине n,11 –,еквиваленције,11 –,поретка,11 –,рефлексивна,11 –,симетрична,11 –,транзитивна,11 рефлексивнарелација,11 решавањетроугла,248 решење –,једначине,211 –,система,212

Сагласниуглови,107 свођењенаапсурд,4 свудагустскуп,55 сегмент,48 секанс,239 секунд,96

сечицакруга,90 сигнум,52,207

сигурнедецимале,59 симетрала –,дужи,95 –,угла,96 симетрија –,осна,140 –,централна,140 симетричнарелација,11 Симсоноваправа,166 синус,238 синуснатеорема,251

скуп

–,ограниченодозго,49 –,ограниченодоздо,49 –,ограничен,49 –,празан,7 –,свудагуст,55 слагањефункција,25 слика,13 сличнефигуре,154 сличност,153 слободанчлан,178 спољауписанкруг,164 спољашња –,област,84 –,поделадужи,152 спољашњиугао,85 средиштедужи,89 средњадуж –,трапеза,110 –,троугла,115 став,33

–,отринормале,103 степен,96 –,полинома,178,195

страна –,диедра,100 –,диедра,100 –,рогља,102 страницамногоугла,84 странице,наспрамне,109 суплементниуглови,96 супремум,75 супротниуглови,107 супротноусмерени –,вектори,142 супротноусмерени –,углови,147

супротносмернитроуглови,173 сурјективнопресликавање,14 сурјекција,14

Талесоватеорема,151 тангенс,238 тангентнакруга,90 тангентнадуж,113 тангентнимногоугао,121 тачка,77

–,колинеарне,78 –,компланарне,78 таутологија,4 тежишнадуж,115 тежиште,116 теме

–,многоугла,84 –,угла,82 теорема –,Архимедова,43,69 –,Талесова,161 тетивакруга,90 тетиванмногоугао,121

270

транзитивнарелација,11

транзитивност,5

трансверзалниуглови,107 транслација,145

трансформацијасличности,153 трапез,110

тригонометријскефункције,239

тригонометријскиидентитети,240 трисекцијаугла,128

троугао –,једнакокраки,112 –,једнакостранични,122 –,оштроугли,112 –,правоугли,112 –,тупоугли,112

Угао –,диедра,104 –,измеђудвеправе,9 –,измеђуправеиравни,104 –,опружен,83 –,оштар,95 –,периферијски,116 –,прав,95 –,туп,95 –,усмерен,146 –,централни,90

угаона –,линија,82 –,област,82

углови

–,комплементни,96 –,наизменични,107 –,напоредни,83 –,сагласни,107 –,суплементни,96 –,супротни,107 –,супротноусмерени,147 –,суседни,83 –,трансверзални,107 –,унакрсни,83

универзалниквантификатор,6

Азбучникпојмова

унијаскупова,7 унутрашња –,област,84 –,поделадужи,7,152 уређенпар,8 уређена n-торка,8 уређенопоље,43 усмеренадуж,142 усмерениугао,146 Факторполинома,181 фигура –,конкавна,81 –,конвексна,81 фигуре –,подударне,93 –,сличне,154 –,хомотетичне,155 функција,13 –,инверзна,28 –,линеарна,202 –,полиномна,200 –,рационална,200 –,реална,15 –,дригонометријска,239 Хероноваформула,137 хипотенуза,viii хомотетија,154 хомотетичнефигуре,155

Центар –,круга,90 –,описаногкруга,114 –,уписаногкруга,114 –,хомотетије,154 централнасиметрија,140 централниугаокруга,90 централносиметричнафигура,141 цеодео,50,208 цифре,56 Чланполинома,178,195

Дизајн и прелом Жељко Хрчек

Корице Александар Радовановић

Коректор

Добрило Тошић Ружица Живановић

Обим: 17,5 штампарских табака

Формат: 16,5×23,5 cm

Тираж: 1 200 примерака

Рукопис предат у штампу јуна 2022. године. Штампање завршено јуна 2022. године.

Штампа Штампарија, Београд Дунав, Београд