x y k O Mt T P A
Народна библиотека Србије, Београд 37.016:51(075.3)
МИЋИЋ, Владимир, 1936Математика са збирком задатака : за 2. разред гимназије општег типа, природно-математичког и друштвено-језичког смера / Владимир Мићић, Срђан Огњановић, Живорад Ивановић ; [цртежи Бошко Крстановић]. - Београд : Завод за уџбенике, 2023 (Београд : Планета принт). - 292 стр. : илустр. ; 24 cm
Тираж 2.000.
ISBN 978-86-17-20695-4
1. Огњановић, Срђан, 1954- [autor] 2. Ивановић, Живорад, 1938-2020 [autor]
COBISS.SR-ID 120733449
1. m
2.
3. m је
4. m је природан број, n = 0;
5. m = 0, n = 0;
6. m је негативан цео број, m = – k, k ∈ N, n = 0;
7. m је природан број, n је негативан цео број,
8. m = 0, n је негативан цео број, n = – l, l ∈ N;
9. m и n су негативни цели бројеви, m = – k, k ∈ N, n = – l, l ∈ N. Нека су a, b ∈ R\{0}.
1. Случај 1 је познат; тада својства
2. m = 0, n ∈ N a m ⋅ a n = a 0 ⋅ a n = 1
задаци 7–9).
7. а) a x 2a 2x 3a 3x ; б) 2 3 3 4 3422ab
;
6a
:
; г) (8a 2b4) : (4a –1b–2); д) 1 2 5 8 1324
–1 + b–1) ab(b2 – a 2)–1, b ≠±a;
г) (x –2 – a–2) (a –1 – x–1)–1, x ≠ a
a = 273 049; b = 3,815; c = 0,00037.
2
15.
a
16.
17.
c = 299792500 m/s,
c
2,997925
1
2
f
) > 0 ( f (x) < 0).
3
° Функција f је парна (непарна) ако за све x ∈
4° Функција f је ограничена
5
6
Решења
а) x ≥ 0; б) само за x = 0; в) x ≤ 0; г) x ≥ 0
ab ab nn n n n n n = ab (на
ab n n = ab (на
ab ab nn n n n ,
ab ab nn n .
Дакле:
3. ако је a, b ≥ 0 и n ∈ N, онда
ab
7.
x 2
19. Упростити изразе: а) 24 x ; б) 1 2 8 x .
20. За које вредности променљиве x из скупа {5, –2, 0, 6,
је тачна једнакост xx 2 = ?
21. За које вредности променљиве x из скупа {3, 8, –4, 1, –6} је тачна једнакост xx 2 ?
22. Упростити изразе: а) x 6 , x ≥ 0; б) a 10 , a < 0; в) 34 a , a < 0; г) 1 2 12 x , x ≥ 0.
23. Упростити изразе: а) x 32 , x < 3; б) x 22 , x < 2; в) 42 x , x ≥ 4.
24. За које вредности променљиве су тачне једнакости: а) aa 2 ; б) xx 63 = ; в) xx 147 ; г) xx 42 ?
25. Упростити изразе: а) 31 2 ; б) 75 2
26. За које x је тачна једнакост xxx ?
(задаци 27–31):
27. а) 3681; б) 2500,9 ; в) 164964 ; г) 12100025400,, .
28. а) 32764 ; б) 300080027 ,, ; в) 400081256 , ; г) 4006251296 , .
29. а) 144 49 ; б) 1 9 16 ; в) 2 7 81 ; г) 64 125 3 ; д)
30. а) 17822 ; б) 131222 ; в) 252422 ; г) 11710822
31.
32. Упростити изразе:
33.
34.
40.
50.
ax
by + i(ay + bx) = 1 + i 0.
ax – by = 1,
bx + ay = 0.
axb b a x 1, y b a x,
x(a 2 + b2) = a, y b a x.
је
x a ab22 , y b ab22
z a ab ' 22 + i b ab22
Пример 18 Наћи
Re(z) = 22 25 , Im(z) = 29 25 .
Пример 19
Пример 20
својства:
а) zzzz 1212 ; б) zzzz 1212 ; в) zz = .
Доказаћемо својство
56.
57.
x 2 + β 2 = x + (iβ)(–iβ) = x 2 – (iβ)2 = (x – iβ)(x + iβ). Због тога је x 2 + β
zi zi 1717.
3. Израчунати:
4.
5.
9.
10.
11.
12*.
22.
24.
28. Средити изразе:
2 22 1 3 , x > 0, a ≠ 0;
10 42 222442 axy y axy x axy , a > 0, x > 0, y > 0; в) ax ybxy xaybyy axbx 22222222 34 , x < 0, y > 0, a + b > 0.
29. Средити изразе: а) ab ab ⋅ 32 , a > 0, b > 0; б) xxx ⋅⋅ 323 4 , x > 0; в) ax ax ax 532374 15 ⋅⋅ , a > 0, x > 0; г) xy xy 3422 :3 , x ≠ 0, y ≠ 0; д) 567 321 3 aa : , a ≠ 0; ђ) ab xa bx 4233324 6 : , a > 0, b > 0, x > 0.
30. Упростити изразе: а) xxx 41224 , x ≥ 0; б) xx yxyxy23322 4 , x ≥ 0, y ≥ 0; в) aa x x x x ++ 11 2 : , a > 0, x ∈ N; г) xy xy xy 32397 6 , x ≥ 0, y ≥ 0;
35.
36.
44. Упростити изразе: а) 3221 22 ; б) 5215 22 ; в) 3772 22 ; г) 113112 22
45. Решити једначине: а) x 2 = 9; б) 012 2 ,; x = в) x 12 2 ; г) x 52 2 ; д) xx55 2 ; ђ) xx 66 2
46. Упростити изразе: а) xxxx 224421, за x ≥ 2; б) xxxx 226969 , за x ≤ –3; в) xxxx 22102521, за 1 ≤ x ≤ 5; г) aaaaaa 222694421, за –3 ≤ a ≤ 1.
47*. Доказати да вредност израза E abc a bc a abc 44 2 , a > 0, b > 0, c > 0, abc < 4 не зависи од b и c.
48*. Доказати да је 1221 1 22 ab ab ab ab ab ab ab ab (a > b > 0).
49*. Израчунати abc acbc abc acbc 22 (a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0).
50*. Доказати Лагранжов идентитет AB AA BA AB22 22 . A ≥ 0, B ≥ 0, A2 – B ≥ 0, а затим упрости изразе: а) 322 + ; б) 322 ; в) 423423 ; г) 526526 ; д) 14731473 ; ђ) 13302942 +++ ; е) 2351348 ; ж) 23 223 23 223 .
52.
58.
59.
60.
69.
70.
72. Доказати идентитете:
73*. Скратити разломке:
80. Израчунати:
81. Израчунати:
82. Израчунати:
83. Израчунати
84. Израчунати:
85. Израчунати (2 – 3i)(3 + 4i) + (2 + i)2 + (1 + i)4 – i
86. Израчунати: а) (3 + 2i)3 ; б) (1 + i)3 ;
87. Количник комплексних бројева z1 и z
а) z1 = 5 + 6i, z2 = 2 + i;
б) z1 = 1 – i, z2 = 1 +
i, z2 = (2 – 3i)(1 + i).
88.
у облику x + yi (x, y ∈ R):
93.
94.
Решити
Пример 2
Решити једначину 00 x , x ∈ R.
Решења
Пример 3
Пример 4
Решити једначину x 2 + 1 = 0, x ∈ R.
5
једначину x 2 + 1 = 0, x ∈ C.
Пример 7 Једначине
Пример 8 Једначине
9
(x) = –g (x).
Пример 15
Решити једначину (x + 2)(3x – 2) = (x + 2)(2x + 1).
Пример 17
Решити једначину (a – 1)(a + 2)x = (a – 1)(a – 3),
је a реални параметар.
a = 1
Задаци
Решити једначине (задаци 1‒3):
1. а) (x – 1)(x + 2) = 0; б) (x + 1)(3x – 2) = 0; в) 3(2x + 1)(x – 2) = 0; г) (x – 1)(x + 2)(x – 3) = 0.
2. а) (x + 3)(2x – 5) = (x + 3)(x – 1); б) (x + 5)(x – 3) = (x – 4)(x – 3); в) (2x + 1)(x – 5) = (1 – x)(2x + 1); г) (x – 2)(3x + 1) – (2 – x)(x + 5) = 0.
3. а) (y – 2)2 = 16; б) (3 – a)2 = 1; в) (2p + 1)2 = 25; г) (x + 1)2 = 4.
4. Доказати да је једначина fx rx gx rx
еквивалентна са f (x) = g (x), r (x) – постоји и r (x) ≠ 0.
5. Да ли су еквивалентне једначине: а) x 2 = 1 и x xx 21 1 1 1 1 ; б) x 2 – 1 = 2(x + 1) и x – 1 = 2; в) x xx 21144 и x 2 = 4?
6. Доказати да следеће једначине
а) 11 fx gx и f (x) = g (x); б) f (x) = g (x) и | f (x)| = | g (x)|.
N n = 32 или n = –31, n ∈ N Пошто –31
602 = 3
(x + 50) = 3600, x
R
2 + 50x = 3600, x ∈ R+
x 2 + 50x + 252 = 4 225, x ∈ R+ , односно са (x + 25)2 = 652 , x ∈ R+ .
x23
Пример 20
Решити једначину (x + 1)2 = (2x – 1)(x – 2) + 7x
(a = 1, b = 0, c = 1) типа 2
(2ax + b)2 = b2 – 4ac.
x bb ac a 24 2
x bb ac a 24 2,
8. Решити једначине: а) 25x 2 – 9 = 0; б) x
29 = 0; ђ) (x – 3)(x + 3) = 7 – x 2 ; е) (2x – 3)2 + (x – 1)(x + 2) = 2 – 11x.
9. За које
а) (k – 3) x 2 + 5 = 0; б) 3x 2 – k + 1 = 0; в) (k – 3) x 2 + k + 1 = 0; г) 3x 2 – 2 = k x 2 + 5.
10. Одредити
а) (m – 1) x 2 + 2 = 0; б) (m – 2) x 2 + m = 0.
11. Ако
12. Одредити ширину прозора
13. Решити једначине:
14.
15. За коју вредност реалног параметра k једначина 2k x 2 – (k – 4) x = 0
једно решење једнако 4?
16. Решити једначине: а) 2x 2 + 7x – 4 = 0; б) 4x 2 – 8x + 1 = 0; в) x 2 – 2x + 2 = 0; г) x 2 – 1,6x – 1,05 = 0.
17. Решити једначине: а) (8x – 1)(5x – 2) = (4x – 1)(3x + 1) + 9; б) (x + 9)2 – (x + 8)2 = (2x + 11)2
18. Решити једначине (a, b, k – реални параметри):
а) x 2 + 2kx – 3k 2 = 0; б) x 2 – 2ax + a 2 – b2 = 0.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
2
Пример
27. x 2 + 3x + m = 0.
28. ax 2 – 5x + 6 = 0.
29. mx 2 + (2m + 5)x + m = 0.
30. 4x 2 + 8x + 4 + m 2 = 0.
31. 2k x 2 + 3x – 1 = 0.
32.
33. За које вредности реалног параметра m (m ≠ –2)
a(x – x1)(x – x2) = 0. Једначина
ax 2 + bx + c = 0, што
Пример 31
35.
36.
40.
једнакост: а) x1 = –x2; б) x1x2 = 1; в) x1 = 1 – x2
41. У једначини
42. Користећи Вијетове
2 + 2x + 2 = [x – (–1 + i)][x – (–1 – i)] = (x + 1
3
4
f [ g (x)] = 0.
Важи следеће тврђење: нека су
f (t) = 0.
Онда је једначина:
f [ g (x)] = 0
еквивалентна са:
g (x) = t1 ∨ g (x) = t2 ∨∨ g (x) = tk
Пример 42
Решити једначину
(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) = 15. Ако међусобно помножимо
(x 2 – 5x + 4)(x 2 – 5x + 6) = 15,
можемо писати у
(x 2 – 5x + 4)[(x 2 – 5x + 4) + 2] = 15,
(x 2 – 5x + 4)2 + 2(x 2 – 5x + 4) – 15 = 0.
уведемо смену x 2 – 5x + 4 = z,
z 2 + 2z – 15 = 0,
z1 = 3, z2 = –5. Решења
Пример 45
Заменом
Пример 46
x2,3 = 1, x4523 ,
48‒51):
48. xxxx xxxx 1234 1234 1.
49. xx x x xx 2 2 53 5 40.
50. (x + 1)(x 2 + 2) + (x + 2)(x 2 + 1) = 2.
51. x 2 + x + x –1 + x –2 = 4.
52. 2x 4 – 5x 2 + 3 = 0.
53.
54.
1
2
5
6
система xOy тако да координатни почетак дође у тачку O′, дакле добијен транслацијом координатног система за вектор OO ' У новом координатном систему тачка M има своје нове координате, M(XM, YM). Претпоставимо да тачка O′ у ко-
ординатном систему xOy има координате m и n , дакле O′(m, n). Интересује нас каква је веза између координата
тачке M у координатном систему xOy и њених координата у транслираном координатном систему XO′Y (сл. 7).
Уочавамо да мора бити:
xM = XM + m, yM = YM + n
Међутим, ако се изврши транслација
Oy, тако да нови координатни почетак буде тачка O′(0, n), нађене везе се своде на:
Пример
функције y = ax 2 за m дуж осе Ox. Ако је m позитиван број, транслација се врши у позитивном смеру, график се помера „удесно”
Пример 52
Скицирати график функције y = –2(x + 1)2
Пошто је y = (–2)[x – (–1)]2, овде је a = –2, m = –1. Скицираћемо прво график функције y = –2x 2, па га транслирати за –1
дуж осе-Ox, што значи да га треба померити за 1 улево (сл. 13). Теме одговарајуће параболе је тачка T (–1, 0). График функције y = ax 2 + bc + c. Нека је
1
2
3
2.
59. Скицирати график функције y = f (x) = –2x 2 –3x + 5, па
Пример
61. а) 2x 2 + 5x > 0; б)
62.
а) (k – 2) x 2 + (3k – 1) x + k – 2 = 0; б) 5k x 2 – 3k x + 1 = 0.
64.
Пример 62
систем једначина:
2 – xy – y 2 + 2x + y – 8 = 0, 2x – y – 5 = 0.
Описаним поступком налазимо: y = 2x – 5, x 2 – x (2x – 5) – (2x – 5)2 + 2x + 2x – 5 – 8 = 0, што је еквивалентно –5x 2 + 29x – 38 = 0, y = 2x – 5, односно еквиваленто је: x y 2 1, или x y 19 5 13 5 , .
(2, –1) и ( 19 5 , 13 5 ).
Пример 65
Решити систем једначина:
5x 2 – 6y 2 = 111,
7x 2 + 3y 2 = 714.
Описаним
x 2 = p, y 2 = q, 56111 73714 pq pq , , p = 81, q = 49,
x1,2 = ± 9, y1,2 = ± 7.
Дакле, систем има четири решења; то
(9, 7), (–9, –7), (9, –7) и (–9, 7).
Хомогене једначине.
чланове.
Општи облик хомогене
Ax 2 + Bxy + Cy 2 = 0.
Ово је једначина с
x = z1 y,
2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0, (II) x = z2 y,
2 + bxy + cy 2 + dx + ey +
66
Решити систем једначина:
x 2 – 3xy + 2y 2 = 0,
x 2 – 3x – y + 3 = 0.
Сменом
x = yz
z 2 – 3z + 2 = 0, одакле је z1 = 1, z2 = 2.
Линеарне једначине x = y и x = 2y, заједно
(I) x = y, x 2 – 3x – y + 3 = 0, (II) x = 2y, x 2 – 3x – y + 3 = 0. Решења система
(x + y)2 – xy = 7,
се систем:
x + y – xy = 1,
(x + y)2 – xy = 7.
Решавањем
2 + 2x
3 = 0, x
+ 3 = 0; б) 2x 2 + 8x – y – 5 = 0, 12x – y – 7 = 0; в) x 2 + 2x – y + 4 = 0, x + y + 3 = 0.
71. Решити системе квадратних једначина:
x 2 – y = 23, x 2 y = 50; б) 11 3 1 2 xy xy ,;
72. Решити системе једначина од којих је бар једна хомогена. а) 3x 2 – 7xy + 4y 2 = 0, 3x + y = 10;
б) x 2 + xy – 6y 2 = 0, x 2 – 2xy + 3y 2 = 18; в) x 2 – 3xy + 2y 2 = 0, x 2 + 2xy + y – y 2 = 8.
73. Решити системе једначина које се своде на хомогене једначине:
а) 2x 2 – 3xy + y 2 = 12, x 2 + 3xy – 2y 2 = –13;
б) x 2 – xy + y 2 = 300, 2x 2 – xy – y 2 = 500; в) x 2 – 3xy + 4y 2 = 2, –3x 2 + xy + 5y 2 = –5.
74. Решити следеће системе једначина: а) 2x 2 – 3xy + 5y = 5, (x – 2)(y – 1) = 0; б) y 2 – 1 = 4x 2 + 4x, 4x 2 + y 2 – 3xy = 1.
Пример
x1 = 4, x2 = 84,
Пример 72
Решити једначину
2415 xx , x ∈ Df ,
xxx1311333
Према томе, једино решење је x1 = –1.
Пример 74
Решити једначину 62977844 xx .
Област
Добићемо систем једначина:
u 4 + v 4 = 706,
u + v = 8.
Ако означимо uv
77. а) 12 xx; б) 71 xx .
78. а) xx 5207; б) 412122 xxx .
79. а) yyyyyy 2222521223; б) 3 2 3 2 3 4 x x x x .
80. а) xxxx 2221212; б) xxxx3418611.
81. а) xxx33323121; б) xxx 333168
82. а) 97544 xx ; б) 4723 44524 xx .
83. а) 417182522222 xxxxxx ; б) 297243 222 xxxxxx .
Дакле:
85. xx331.
86. xx 15
87. x xx x 5 21 1 2 2.
88. 1311 x x x x
89. 2354 xx .
90. 35243 xxx
3.
4. Решити једначине: а) (x + 1)2 + (x + 2)2 – 2 (x – 3)2 = 5x 2 ; б) (x – 1) (x + 4) – 5 (x + 2) (x – 3) = (x + 1)2 – (x – 3)2 ; в) (x – 3)2 + 2 (x – 1)2 = 4x + 3; г) (x + 5) (x – 4) + 3(x + 2) (x – 3) = (x + 3)2 + 13; д) 5 (x + 0,2)2 – 7,2 = 0.
5. Решити једначине (a и b ∈ R):
а) ax 2 = 0; б) ax 2 + bx = 0;
2x 2 – 3ax – 2a 2 = 0;
ax 2 – (a – b) x – b = 0; д) x 2 + 2ax + a 2 + 4b 2 = 0;
ђ) abx 2 – (a 2 – b 2) x – ab = 0.
6. Решити једначине:
а) x x x x 1 11 20; б) x x x x 2 23 23 2 2; в) 21 1 1 2 x x x x ; г) x x x x 1 1 1 1 25 12 ; д) 1 2 1 5 3 425 0 2 xx x xx ; ђ) 6 1 2 1 2 4 21xx x x .
7. Решити једначине (a, b ∈ R):
а) 11 11 ab xa bx (a ≠ 0, b ≠ 0);
б) xa xb xb xa 20 (a ≠ b);
в) x ab abx ab ab 2 22420 (a + b ≠ 0);
г) x 2 – (a – b) x – ab = 0; д) x x a 1 2cos;
ђ) xa xa xa xa ax a xa 32 22;
е) a 2 x 2 + bx = b 2 x 2 + ax (a ≠ –b, a ≠ b);
ж) x ax a ax x a 2 2 1 2 1 2 (a ≠ 0).
x 2 – 8x + 15 = 0 –3x 2 + 2x – 5 = 0 –x 2 – x + 2 = 0 xx 21 4 0 2x 2 + 1 = 0
2 – x = 0
x 2 + 10x + 1 = 0
9*. Решити једначине: а) 2(1 + i) z 2 – 4 (2 – i) z – 5 – 3i = 0;
б) (2 + i) z 2 – (5 – i) z + 2 – 2i = 0; в) z 2 + (2 – i) z – i = 0.
10. Решити једначине:
а) x 2 + |x – 1| = 1; б) (|x| + 1)2 = 4|x| + 9; в) x 2 + x – 3|x + 1| + 3 = 0; г) 2x 2 – |5x – 2| = 0; д) x 2 + |x| – 2 = 0.
11. Решити једначине: а) |x 2 + 4x + 2| = 1 3 516 x ; б) |x 2 – 2x – 1| = 1 2 51 x .
12.
17.
18*.
19*.
20*.
су a, b, c, дужине страница троугла,
21*. Одредити a тако да једначине: а) x 2 – ax + 1 = 0 и x 2 – x + a = 0; б) x 2 + x + a = 0 и x 2 + ax + 1 = 0; в) 2x 2 – (3a + 2) x + 12 = 0
бар једно заједничко решење.
22. Ако су a, b, c, различити реални бројеви,
23.
24.
25.
26.
27.
33.
35.
5x 2 – 2(5k + 3) x + 5k 2 + 6k + 1 = 0
36. Нека су x1, x2 решења једначине
3x 2 + 2x – 7 = 0.
42*.
43.
47.
48*.
x 2 – p 2 x + pq = 0.
50. Решити једначине: а) x 4 – 50x 2 + 49 = 0; б) x x 2 2 16 17; в) x 4 – 7x 2 – 8 = 0; г) x x 2 1 2 80 9 2 2; д) x 4 + 13x 2 + 36 = 0; ђ) a 2b 2 x 4 – (a 4 + b 4) x 2 + a 2 b 2 = 0 (a, b ∈ (R\{0})); е) x 4 – 2(a 2 + b 2) x 2 + 4a 2 b 2 = 0 (a, b ∈ R).
51. Решити једначине: а) x 6 – 26x 3 – 27 = 0; б) x 6 – 9x 3 + 8 = 0; в) x x x x 3 3 3 3 3 7 7 3 5 6 ; г) x 8 – 17x 4 + 16 = 0; д) xx x x 42 4 82 929 8
52.
x 4 – 15,3x 3 + 54,52x2
54.
60.
62.
63.
64.
65.
67.
68.
69.
70. Од жице
да график функције y = x 2 + kx + 4 додирује Ox-осу.
71. Број 22 раставити на два
72. а) Наћи реалан број који сабран са својим
73*.
74*. Уверити се да темена парабола: а) y = x 2 – 2(m + 1) x + 2m (m + 2), m ∈ R ‒
75*.
80*.
83*.
85*.
86*.
x 2 – (a + 1) x + a + 4 = 0; б) 3x 2 + 5x + a = 0 негативна?
97. Одредити
x + a 2 = 0; б) 4x 2 + 4(a – 2) x + a = 0
98. Решити систем једначина: а) x – y = 1, x 2 – xy + y 2 – 2x + 3y – 2 = 0; б) 2x 2 – 3y 2 + x – y + 42 = 0, 2y – 3x = 2; в) x 2 + y 2 = 2(xy + 2), x + y = 6; г) x 2 + xy + y 2 = 13, x + y = 4; д) x 2 – xy + y 2 = 7, x – y = 1.
99. Решити систем једначина: а) x 2 – 3xy + 2y 2 = 0, x 2 – 3x – y + 3 = 0; б) 4x 2 – 7xy + 3y 2 = 0, 5x 2 + 2xy – 6y 2 = 1.
100. Решити систем једначина:
а) x 2 + 3xy – y 2 = 3, 2x 2 – xy + y 2 = 4; б) x 2 + 2xy + 5y 2 = 113, y (x + y) = 28;
в) 3x 2 – 2xy + 5y 2 – 35 = 0, 5x 2 – 10y 2 – 5 = 0; г) x 2 – xy + y 2 = 21, y 2 – 2xy + 15 = 0; д) xy + 3y 2 – x + 4y – 7 = 0, 2xy + y 2 – 2x – 2y + 1 = 0.
101. Решити систем једначина:
а) x 2 + y 2 = 25, x 2 + 2y 2 = 41;
б) x – xy + y = –2, x 2 y + y 2 x = 48;
в) (x 2 – y 2) xy = 180, x 2 – xy – y 2 = –11.
102. Решити системе једначина и дати графичку
y + x 2 = 3, x + y = 3; б) y = x 2 – 5x + 4, 2x = y + 6; в) x 2 = y + 4x – 3, y + x 2 = 5x – 7;
y 2 = 2(x – 1), x + 1 = 2y; ђ) ya x a 2 , x + y = a, a > 0.
103.
108*. Решити једначине: а) 495211 222 xxxxx ; б) 452311 222 xxxxx ; в) 3583511 22 xxxx ; г) yyyyyy 2224844246;
2325622 222 xxxxxx ; ж) 286122 22 xxxx
109*. Решити једначине: а) xxx1223 333; б) xxx12230 333; в) x x x x 3 52 52 3 13 6 33; г) 1415132232 3 xxx ; д) ax ax ax 322322 3 2, a ∈ R.
110*. Решити једначине:
111. Решити неједначине: а) 32121 2 xxx ; б) xxxx 222 11; в) xx786; г) 6152 xx ; д) xxx 23321.
112. Решити неједначине: а) 191 2 xx; б) 42362 xxx ; в) xxx 2610.
113*. Решити неједначине: а) 111 3 2 x x ; б) 2573 22 xxx ; в) x x x 4 11 2 2; г) 183 4 1 x x ; д) xxxxx 7273252; ђ)
1.
Пример 10
Пример 11 Израчунати
Задаци
log5 x = 0; б) log 3 1 2 x = ; в) log; 4 1 4 =
loglog aa x y xy 1 = logax + loga y –1 = logax – logay
Дакле:
gloglog. aa a x y xy
loglog. a n a x n x = 1
Пример 14
1° loga 3x = loga 3 + logax; x > 0, a > 0, a ≠ 1;
2° logbn + logb 2 = logb 2n, n > 0, b > 0, b ≠ 1.
Пример 15
1° log a x 5 = loga 5 – logax; x > 0, a > 0, a ≠ 1;
2° logx 10 – logx 2 = log x 10 2 = logx 5; x > 0, x ≠ 1.
Пример 16
1° log3 x 2 = 2 log3 x, x > 0;
2° 1 255 1 2 lo5 gloglog xxx == , x > 0.
Пример 17
Израчунати log6 3 ако је log6 4 = x. Имамо да је
Задаци
9. Логаритмовати следеће изразе (за основу 10):
а) 2xy; б) 3x 2 y 3 ; в) xy z 25 ;
г) 62 3 xy ; д) xx y ; ђ) 23 xx y . (Свуда се претпоставља да су x, y, z позитивни бројеви.)
10. Одредити x ако је:
а) log2 x = log2 4 + log2 3 – log2 2; б) log10 x = log10 5 + 1 2 (log10 8 – log10 2);
в) log10 x = 1 2 (log10 x + 1 3 (log10 y – log10 z)), за y > 0, z > 0.
11. Изразити (a > 0, a ≠ 1):
а) loga 21 преко loga 3 и loga7; б) loga 3 преко loga 21 и loga 7; в) loga 36 преко loga 2 и loga 3.
12. Израчунати
а) logloglog;101010 1 4 6 5 30 б) 332 log ;
в) aa log3, за a > 0, a ≠ 1.
1
2
3
4
Пример 19 Ако је x > 0, x
Пример 20
Наћи x ако је log4 x + log16 x + log2 x = 7.
применимо особину 6°, налазимо:
x + log16 x + log2 x =
Пример 21
Ако је log10 2 = a, log10 3 = b, одредити log9 20.
Применом особине 5°, налазимо:
Задаци
13. Израчунати log6 log2 log5 25.
14. Израчунати вредност израза 4 – 2log10 2 – log10 25.
15. Ако је log30 3 = x, log30 5 = y, наћи log30 8.
16. Наћи x ако је log3 x + log3 x + log1 3 x = 6.
17. Ако је a > 0, b > 0, b ≠ 1, доказати logba = log. 1 b a
18. Ако је a > 0, b > 0, a ≠ 1, ab ≠ 1, x > 0, x ≠ 1,
log log log. a ab a x x b 1
Пример 23
Скицирати
y = log2 (x – 1).
(сл. 25).
Задаци Скицирати
19. y = log2 (x + 1).
20. yx log. 1 2 1
21. y = 1 + log2 (x + 1).
22. yx 11 2 log.
23. y = log2 |x|
(Henry Briggs, 1561–1631).
Пример 26
Израчунати приближну вредност производа:
x = 43,5 ⋅ 7,645 ⋅ 0,0638.
Имамо да је log x = log 43,5 + log 7,645 + log 0,0638, log x ≈ 1,63849 + 0,88338 + 0,80482 – 2, log x ≈ 1,32669, одакле је x ≈ 21,22.
Пример 27
Израчунати приближну вредност количника:
x = 56925 68304 , , .
Како је log x = log 569,25 – log 68,304, log x ≈ 2,75530 – 1,83444, log x ≈ 0,92086, добијамо да је x ≈ 8,334.
Пример 28
Израчунати
x 9604864 5349 2 , , .
Добијамо log x = 2 log 96 + log 0,4864 – 1 2 log 5,349. log x ≈ 2 ⋅ 1,98227 + 0,68699 – 1 –1 2 ⋅ 0,72827. log x ≈ 3,28739, одакле је x ≈ 1938,204.
Пример 29
Коцка има запремину V = 110,29 m3. Израчунати
V = a 3,
да је a 3 = 110,29, односно:
loglog,, a = 1 3 11029
log,,, a 1 3 204254068085
одакле је a ≈ 4,796 m.
Задаци 24.
а) x 338648249 12536 ,, , ;
б) x 435026 638128 2 3 ,, ,, ;
в) x 325542 31 5 ,,;
г) x = 84729 324 3 , ,
Логаритамске
Пример 31 Решити једначину
log2 (3 – x) + log2 (1 – x) = 3.
(2 + x)(x + 1) = 20, x > –1, тј.
x 2 + 3x – 18 = 0, x > –1.
25. а) log4 (x 2 – 5) = 1; б) log1 3 (x 2 – 5x + 7) = 0; в) log3 (5 + 4 log3 (x – 1)) = 2.
26. а) log5 (x – 3) = log5 (x 2 – 5x – 10); б) log10 5 + log10 (x + 10) – 1 = log10 (21x – 20) – log10 (2x – 1); в) logloglogl 10og
27. а) log3 (x + 1) + logl3og; 1 3 116xx б) log7 2 + log49 x = log; 1 7 3 в) loglog.31 3 6 xx
28. а) xx x log1010002 = ; б) x x 1 1 3 3 10 21 100 log ;
A a 121 = , A a 222 = , A a 323 = , ...; B b 121 = , B b 222 = , B b 323 = , ... . Због a1 ≤ a2 ≤ a3
k < log10 (log2 ( ε 3 +
k < log2 ( ε 2 + 1),
1.
1.
2.
3. Нацртати графике функција: а) y
4.
5. Скицирати графике функција:
6. Одредити услов за
12.
13. Решити једначине:
14. Решити једначине:
16*. Решити једначине:
17*.
23.
26. Израчунати log b 73 ако је b 381 1 9 1 ,,27,.
27. Логаритмовати следеће изразе (a, b, c > 0): а) x = 3
ђ) x a bc22 (b > c > 0); е) x aab ba b = 4 52 ; ж) xa b = 32 ; з) xa c b = 3
28. Одредити број x ако је
а) log x = log 5 – log 2 + log 4; б) log x = log 7 + log 9 – log 3; в) log x = 2 log 3 + 3 log 5; г) log x = 3 log 2 – 2 log 3; д) loglogloglog; x 1 2 3 2 3 5 1 3 2 ђ) loglogloglog x 1 3 125322
29. Који од следећих
су тачни? а) log(–2)(–3) = log (–2) + log (–3); б) log (–3)2 = 2 log (–3); в) log (–2)4 = 2 log (–2)2 ; г) logloglog. 2 3 23
30. Ако су a, b, M, N
logaN ⋅ logbM = logbN ⋅ logaM.
31.
да је:
32.
33. Ако је logaba = 3, доказати да је log ab a b 3 3 = (a > 0, b > 0, ab ≠ 1).
34. а) Ако је log12 2 = a, наћи log6 16. б) Ако је log6 2 = a, log6 5 = b,
35*. Израчунати:
а) log24 54 ако је log2 3 = a;
б) log5 6 ако је log10 2 = a, log10 3 = b; в) log10 122,5 ако је log10 5 = a, log10 7 = b.
36*. Израчунати:
а) log5 9,8 ако је log 2 = a, log 7 = b; б) log9 40 ако је log 15 = a, log20 50 = b
37*. а) Ако је log12 18 = a и log24 54 = b, доказати да
б) Ако је log12 24 = a и log18 54 = b,
38. Нека је fx x x log 1 1 . За које вредности реалних бројева
39*. Испитати знак израза: а) log3 4 – log4 3; б) log,lo1g,; 3 2 1 4 0404 в) log3 108 – log5 375.
40. Упростити изразе: а) logloglo 1g 4 2334 ; б) 5 5 25 log log; в) log2 log 100; г) loglog 32 64 1 27 ⋅ ; д) (log3 4 + log2 9)2 – (log3 4 – log2 9)2 ; ђ) 081936585 , log log ; е) 8 2 31241 3 log +
41. Израчунати збир: а) log tg 1° + log tg 2° + ... + log tg 89°; б) loglog...log aa a n n 2 1 3 2 1 +++ + , a > 0, a ≠ 1, n ∈ N
42. Израчунати: а) loglog 22 42 ; б) loglog 33 333 ; в) loglog... 222 n-корена
а) log1 2 1 x ; б) log 32 1 2 x ; в)
51. Решити једначине: а) log (3x – 1) + log (12 – x) = 2; б) log2 (x – 1) + log2 x = 1;
3 (
= 1; г) log2 (x + 1) + log2 x = 1; д) log x + log (x – 3) = 1.
52. Решити једначине: а) log2 x – log16 x = 3; б) 7 log25 x – log5 x = 5.
53. Решити једначине: а) log3 [1 + log3 (2x – 7)] = 1; б) log4 [2 log3 (1 + log2 (1 + 3 log3 x))] = 0,5; в) logx–1 3 = 2; г) log4 log3 log2 x = 0.
54. Решити једначине: а) log5 x + log25
55. Решити једначине: а) xx x 133 log;
56*. Решити једначине:
57. Решити једначине: а) log2 (9 – 2x) = 10103 log x ; б)
39 lo33 glog;xxx
xx x 22 lo22 g =
58*. Решити једначине: а) log2 (9 x – 1 + 7) = 2 + log2 (3 x – 1 + 1);
433216161616 1 2 1 lo221 g logloglog . x xx x
59*. Решити систем једначина:
xy yx xx yy logloglog, logloglog; 222 222 3 722
xy yx xx y logloglog, logloglog. 222 333 3 124
60. Решити неједначине:
61. Решити неједначине:
62.
63*. Решити неједначине:
64*.
65*. Решити неједначине:
Решење
а) 75 : 180 = 5 : 12, 75° = 5 12 π rad; б) 5 4 π rad;
Пример 2
Наћи
1.
Пример 3
8.
Решење
Пошто је
cos, 7 4 2 2 0sin, 7 4 2 2 0
је: tg 7 4 7 4 7 4 2 2 2 2 1 sin cos , ctg 7 4 7 4 7 4 2 2 2 2 1 cos sin
Пример 13
Наћи tg 1 200° и ctg 1 200°
Решење
је 1 200° = 1 080° + 120° = 6 2 3 rad, то је
cosc 1200os, 2 3 1 2 0sins1200in, 2 3 3 2 0
одакле налазимо: tg 1 200° = 3, ctg 1 200° = 3 3 .
линије реалних бројева дата с E(t) = P. Онда је тачка Q = E(t + π) симетрична
тачки P у односу на координатни почетак. Апсцисе тачака P и Q су супротног
знака и једнаке по апсолутној
су координате тих тачака P(cos t, sin t), Q(cos (t + π), sin (t + π)), закључујемо
sincos coscos cossin coscos coscos coscos sinsin ts ts ts ts ts ts t ss ts coscos
tgtg tgtg ts ts 1 . Доказали
(10)
(11) ctgctgctg ctgctg ts ts ts 1
Теорема
tg (t – s) = tgtg tgtg ts ts 1, ctg (t – s) = ctgctg ctgctg ts st 1
Решење
tg (t – s) = sin cos sincoscossin coscossinsin ts ts ts ts ts ts sincos coscos cossin coscos coscos coscos sinsin ts ts ts ts ts ts t ss ts coscos = tgtg tgtg ts ts 1 , cos t ≠ 0, cos s ≠ 0, cos (t – s) ≠ 0.
Задаци
Упростити изразе (18–19):
18. sinsin coscos ts ts ts ts
19. tgtg tgtg ts ts ts ts
20. Доказати tgtg tgtgt st s ts ts sin sin (cos s ≠ 0, cos t ≠ 0, tg s – tg t ≠ 0).
21. Доказати sinsinsin.ttt 66 1 4 2
22. Доказати cos (t + s)cos(t – s) = cos 2 t – sin2 s
23. Ако су α и β оштри
24. Доказати да
имамо да је у случају p > 0 испуњено: MM
OM PA OA ,
односно:
sin
cos t t p = 1 (ако тачка M припада првом квадранту),
sin
cos t t p 1 (ако тачка M припада трећем квадрату),
а у случају p < 0
sin cos t t p 1 (ако тачка M припада
sin
3. за –1 < a < 1, реални бројеви облика: arccos a + 2mπ, m ∈ Z, или – arccos
;
Решење
Пример 25
Решити једначину ctg x = –1.
Решење
Задаци
25. Решити једначину sin x = 0.
26. Решити једначину tg x = 0.
27. Решити једначину ctg x = 0.
28.
једначину cos x = 2 2 .
29. Решити једначину sin x = 1.
30. Решити једначину cos x = –1.
31. Решити једначину sin x 1 2 .
32. Решити једначину tg x = 3 3 .
33. Решити једначину ctg x = 3.
1° arcsin (sin 3 2 π ) = arcsin (sin ( 2 3 2 )) = arcsin (sin ( 2 )) = 2
2° arcsin (sin ( 11 4 )) = arcsin (sin ( 4 )) = 4
3° arcsin ( sin38 3 π ) = arcsin ( sin π 3 ) = π 3 .
cos 2t = 2cos2 t – 1,
cos 2t = 1 – 2sin2 t,
(18) 1 + cos 2t = 2cos2 t, (19) 1 – cos 2t = 2sin2 t
= 2sin t cos 2 t + (cos2 t – sin2 t)sin t
= 3sin t cos 2 t – sin3 t
= 3sin t – 4sin3 t.
добијамо cos 3t = 4cos3 t
30
34.
35.
Ако релације: cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y, cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y саберемо, добијамо (26) cos x cos y = 1 2 (cos (x + y) + cos (x – y)). Ако другу одузмемо од прве, биће (27) sin x sin y = 1 2 (cos (x – y) – cos (x + y)).
На исти начин, из релација: sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y, sin (x – y) = sin x cos y – cos x sin y,
добијамо (28) sin x cos y = 1 2 (sin (x + y) + sin (x – y)).
Пример
Пример
Пример
(29) coscoscoscos xy xy xy 2 22 , (30) coscossinsin xy xy xy 2 22 ,
(31) sinsinsincos xy xy xy 2 22 . (32) sinsinsincos xy xy xy 2 22 . 2
tg x ± tg y и
(34) ctg x ± ctg y = sin sinsin yx xy , x ≠ πk, y ≠ πn, за k, n ∈ Z.
Пример 36
Представити у
производа: а) sin x + cos x; б) cossin 6 2 5 .
Решење Имамо:
sin x + cos x = sin x + sin ( π 2 – x) = 22 2 2 2 sincos
2 44 2 2 24 sincoscos xx 2 4 2 4 cossin xx ; б) cossincoscoscoscos 6 2 562 2 5610 2 2 1530 sinsin
Пример 37
Доказати да је:
sin A + sin B + sin C = 4 222 coscoscos AB C ако је A + B + C = π
Доказ. Из A + B + C = π следи
и coscossin
AB CC 2222
Даље је:
sin A + sin B + sin C = 2 22 sincossin
AB AB C
CA BC C
2 22 2 22 coscossincos
2 222 coscossin
CA BC 2 222 coscoscos CA BA B 2 2 222 2 22 2 coscoscos C
AB ABAB AB = 4 222 coscoscos
AB C
x
(35) a sin x + b cos x = A sin (
ax bx ab a ab x b ab x sinsinsincos 22 2222 .
је: a ab b ab 22 2 22 2 1,
a ab b ab 2222
Даље је: a sin x + b cos x = ab22 + (sin x
Тражени
неких
неке друге, које ћемо тек извести.
Пример
Једначине sin f (x) = a, f (sin x) = 0 и сличне Размотрићемо решавање једначина типа: sin (2x + 3) = 1, cos (x 2 + x – 1) = 0,
sin2 x + 3sin x – 5 = 0, генерално sin f (x) = a, односно f (sin
60. а) 230 sin; x б) 2 2 si20 n. x
61. а) cos x 2 2 ; б) cos. x 3 3 2 0
62. а) sin x 3 1 2 ; б) cos x 6 3 2 .
63. а)
64. а) sin2 x + 2sin x = 0; б) 2sin xcos x – sin x = 0.
65. а) sin31 1 2 x ; б) cos2 1 2 x
66. а) 2sin2 x + 3sin x – 2 = 0; б) cos 2x – 5sin x – 3 = 0.
67. а) sin4
68. а) tg x + ctg x = 5 2 ; б) tg x + 2ctg x =
Пример 52
Решити једначину sin2 x – 4sin xcos x + 3cos2 x =
Решење
a sin2 x + b sin xcos x + c cos 2 x = 0, која је
a ≠ 0
једначини a tg2 x + b tg x + c = 0 и сменом tg x = t своди се на
Једначина облика a sin2 x + b sin xcos x + c cos 2 x = d,
at 2 + bt + c =
једнакости d = d(sin2 x + cos2 x), своди
(a – d)sin2 x + b sin xcos x + (c – d)cos2 x = 0.
53
једначину 5sin2 x + 2sin xcos x + cos2 x = 2.
3sin2 x + 2sin xcos x – cos 2 x = 0,
3tg2 x + 2tg x – 1 = 0.
Задаци Решити
(задаци 69 ‒73):
69. 2sin2 x – 5sin xcos x + 3cos2 x = 0.
70. cos 2 x + 3sin2 x + 23 sin xcos x = 1.
71. 6sin2 x + 3sin xcos x – 5cos2 x = 2.
72. 3sin2 x – 4sin xcos x + 5cos2 x = 2.
73. 4sin2 x – 6cos2 x = –3,5.
Једначине
Пример 54
Решити
sin 6x – sin 4x = 0.
Решење sin 6x – sin 4x = 0 2 64 2 64 2
cos x 24 0 је
2 = { 3 2 2 m | m ∈ Z}.
Решење
једначину tg 3x – tg 2x = 0.
sin cos sin cos 3 3 2 2 0 x x x x , sincossincos coscos 3223 32 0 xxxx xx , sin coscos x xx32 0 = , sin x = 0, cos 3xcos 2x ≠ 0.
Скуп решења полазне једначине је ℜ = {kπ| k ∈ Z}.
Задаци
Решити једначине (задаци 74 ‒79):
74. sin 8x – sin 14x = 0.
75. sin 12x + cos 6x = 0.
76. cos x = cos 2x.
77. sinc22os. xx =
78. sin 2x = sin 4x.
79. sin x – sin 2x + sin 3x – sin 4x = 0.
односно: (t – 1)(2t 2 – t + 1) = 0.
дисјункцији једначина cossin xx31 и cossin xx31. Задаци
једначине (задаци 80‒87):
80. sincos.22 2 2 xx
81. sincos.xx31
82. 32 sincos xx .
83. 221 sincos xx .
84. 12cos x + 5sin x = 13.
85. cos 3x – cos 7x = 32 sin x .
86. 4sin x + 3cos x = 5.
87. 2 4 2 si22 nsin xxx tg .
a(sin x + cos x) + b sin x cos x + c = 0, (a, b, c
Смена sin x + cos x = t. Дата једначина
sin x + cos x. Наиме, из (sin x + cos x)2 = 1 + 2sin xcos x
се: 2sin xcos x = (sin x + cos x)2 – 1.
Пример 61
Решити једначину 2(sin x + cos x) + sin 2x + 1 = 0.
Решење
(sin x + cos x)2 + 2(sin x + cos x) = 0.
Сменом sin x + cos x = t
еквивалентна sin x
Решење
t 3 + 2t 2 + 4t = 0,
односно:
t(t 2 + 2t + 4) = 0. Ова једначина
cos 2x = 0, чији је скуп
ℜ = { 4 k | k ∈ Z}.
Задаци
једначине (задаци 88‒93):
88. tg2 x + cos 4x = 0.
89. sinsincos xxx 4 1 2 1 .
90. 1 2 si44 ncos xx sin2 xcos 2 x + sin xcos x
91. 2 + cos 4x = 5cos 2x + 8sin6 x
92. 35 + 3cos 4x – 12sin2 2x – 32cos2 x = 32sin2 x.
93. sin6 x + cos6 x = sin 2x
Пример 64
Решити једначину sin cos sin x x x 12 .
Решење
и
Пример 67
sinsin xxx 3 7 2 tg3
интервалу (–π, 4 3 π ).
Решење
sinsin xxx 3 7 2 tg3
sincos xxx33 tg
⇔ tg x(cos x + 1) – 3 (cos x + 1) = 0
⇔ (cos x + 1)(tg x – 3 ) = 0
⇔ cos x = –1 ∨ tg x = 3
Решења
3. tg x < a.
Пример 72
Решити неједначину tg x ≤ 1.
Решење
У
Задаци Решити
94. а) 220 sin; x б) 220 cos. x
95. а) tg x 30; б) ctg x +2 ≥ 0.
96. а) cos 2x + sin 2x ≥ 0; б) ctg2 x – 4ctg x +3<0.
97. |cos x|> 1 2
(36) ab sinsin .
(37)
(38) ab
1.
Пример
a sin sin sin sin, 16036 76 969247c
16068
ABB DxADxc
R abc
P = 4 .
Теорема
(сл. 61)
P(∆ABC) = P(∆ABO) + P(∆BCO) + P(∆CAO),
односно:
P cr ar br r abc rs 2222 Докажите
Решење
Нека
RBBP
sinsin , PC CQ
sinsin , AQAR
sinsin .
Множењем
RBPCAQ = PBCQAR
Пример
Нека
ARBP CQ
RBPCQA 1 (Чевијева теорема).
Решење
Праве AP, BQ и CR деле троугао ABC на шест
AOR, BOR, BOP, COP, AOQ и COQ (сл. 64).
Применом синусне теореме на
ARAO
sinsin , AOAQ sinsin , BOBR sinsin , BPBO sinsin , CQCO sinsin , COCP sinsin .
Множењем
ARCQBP = BRAQCP
Може се
OF r sin sin3
в) b = 18, c = 13, α = 44°30′;
г) a = 13,48, c = 7,02, β = 138°27′.
99.
а) a = 10, b = 18, α = 28°35′;
б) a = 9, c = 16, γ = 81°20′;
в) a = 10, b = 18, c = 9;
г) a = 2, b = 3, c = 4.
100.
102.
3.
4.
5.
6.
9.
24. Какав је троугао за чије оштре углове
25. Упростити изразе:
једнакост: sin2 α + sin2 β = 1?
а) 2 1 1 21cose2 c tg coseccosec sin; б) cos 1sin; tg
в) sincos sincos sincos sincos sincos sin 333344 2 xx xx xx xx xx x cos 2 x
Доказати идентитете (задаци 26–27):
26. а) sin cos cos 1sin 1 ;
б) 122 cos sincos tg; ctg
в) 3(sin4 α + cos4 α) – 2(sin6 α + cos6 α) = 1;
г) sin3 α(1 + ctg α) + cos3 α(1 + tg α) = sin α + cos α;
д) 2 si22 ncos sincos . ctg tg
27. а) sin sincos cossincos sincos sincos; 22 22 x xx xxx xx xx
б) (tg α – sin α)2 + (1 – cos α)2 = 1 1 2 cos ;
в) tg tg 111 3 2 3 cossec sin cos sec cos ; г) 1 + sin α + cos α + tg α = (1 + cos α)(1 + tg α).
28. Упростити изразе: а) sincoscos cossinsin 224 224 ; б) tgctg ctgtg tgctg; в) sincos sincos ctg 12 ; г) 1 21 ct2 g sin ; д) tg α + ctg α –1 sincos aa ; ђ) tg α(cos α – cos 3 α).
29. Доказати идентитет: cos(– α) cos α – sin α sin(– α) = 1.
30. а) ctg 5 3 π ; б) cos 315°; в) sin 300°; г) tg 7 4 π
31. а) sin9 4 π ; б) cos (6π + 1); в) sin (8π – 1); г) cos 8,5π.
32.
34.
35.
39.
41.
42.
50. Упростити
51.
52.
53.
54*.
55. Доказати идентитете:
cos cos ; xy xy yx yx ctgtg ctgtg
56. Доказати:
60. Упростити изразе: а) 215 1125 tg tg ; б) 1 – 2sin2 α + cos 2α.
61. Проверити: (cos 5 + sin 5)2 = 1 + sin 10.
62. Доказати:
63. Ако је tg x 23 , израчунати: а) sin 2x; б) cos 2x; в) tg 2x; г) ctg 2x.
64. Знајући да је tg33 , израчунати:
65. Доказати: а) sin 4x = 4sin x cos x (1 – 2sin2 x);
Доказати идентитете (задаци 66–67):
66. а) 2sin2 α + cos 2α = 1; б) 12 12 co2 s cos ct; g в) sinsin coscos ; 2 12tg г) cos4 α + sin4 α = 1 – 0,5sin2 2α
67. а) tg (α + 45°) + tg (α – 45°) = 2tg 2α; б) cos 2α – sin 2αtg 2α = cos cos 4 2 a a ; в) 122 3 cos sin sin
68. Ако је sin, xx 1 4 0 2 израчунати: а) sin 3x; б) cos 3x: в) tg 3x.
69*. Доказати идентитете: а) coscos cos sinsin sin; 3333 3 xx x xx x б) tg 3x – tg 2x – tg x = tg 3x tg 2x tg x.
70*. Доказати да је tgt3gtgtg33 xxxx
71.
72.
74.
84. Производ трансформисати у збир: а) sin 5x sin 3x; б) coscoscos xxx 234 ; в) 345 7 sincos xx ; г) cos 9x cos 3x; д) sin (α – β) cos (α + β); ђ) cos (α + β) cos (2α + β).
85. Доказати идентитете: а) sincoscoscos 21 4 3 ; б) sincossins 3in 1 8 224 .
86*. Доказати да је tg 20° tg 40° tg 80° = 3
87*.
sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° .
88. Доказати идентитете: а) 12 2 2 coscos x x ; б) 1222 cossin.xx
89. Трансформисати у производ: а) sin 20° + cos 50°; б) sin 56° – cos 56°; в) cossin 5 2 5 ; г) sin α – cos α; д) 32 + cos; x ђ) 2cos α + 1.
90. Доказати да је: а) coscoscos; 44 2 б) sinsincos. 66
91. Упростити изразе: а) 12 sin sincos ; б) sinsin sinsin
92. Израчунати tgtg 44 ако је tg 2α = 3.
93. Трансформисати у производ: а) sin x + sin 2x + sin 3x; б) sin 20° + sin 34° + sin 24° + sin 30° .
94*. Доказати идентитете: а) (cos α + cos β)2 + (sin α + sin β)2 = 4 2 2 cos ; б) sinsinsin coscoscos 223 223 tg2
а) fx xx sinc43os; 4 б) f (x) = sin x + cos x; в) f (x) = sin x – cos x;
г) y = sin x + 2; д) y = 5 – cos x. Испитати ток и нацртати
101. а) y = –sin x; б) fx x 3 2 sin; в) f (x) = –cos 2x; г) y = sin 2x; д) y x = sin 2 .
102*. fx x 1 sin
103*. fx x 1 cos .
104. а) fx x 2 4 33 sin ; б) fx x 3 2 2 3 sin ; в) fx x 4 3 2 4 sin .
105*. fx x 2 26 sin
106. fx x 2 23 cos .
Решити једначине (задаци 107‒117):4
107. а) 230 sin; x б) sin 2x – 1 = 0; в) 2cos 2x – 1 = 0; г) cos x 3 2 .
108. а) sin2 x + 2sin x = 0; б) 2sin xcos x – sin x = 0.
109. а) cos 3x + cos 5x = 0; б) sinsin xx 2 3 2 2 .
110. а) sin x + cos x = 1 + sin x cos x; б) cossinco 22s. 20xxx
111. tg 3x cos x = 0.
112. 3tg3 x + tg x = 0.
113. tg (2x + 1) ctg(x + 1) = 1.
114. sin2 1 2 x .
115. cossin x 3 2 .
116. cos 21 2 x = .
117. а) sin23 4 x = ; б) tg 21 3 x = ; в) cos x 21 2 =
Решити једначине (задаци 118‒123):5
118. 4sin 2x cos 2x + 1 = 0. Од свих решења
119. а) 2sin x + 3sin 2x = 0; б) 2cos 2x – 3cos x + 2 = 0; в) 3cos x + 2sin 2x = 0; г) 2sin x + 3cos 2x – 3 = 0.
120. а) coscos; x x 2 1 б) 2 42 co1 scos; xx в) 12 63 sincos xx
121. 1 1 tg12 tg x x x sin.
122. cos 3x + 2cos x = 0.
123. sin sin cos cos cos. 335 2 4 x x x x x
Решити једначине (задаци 124‒127):6
124. а) 2cos2 x + 3cos x – 2 = 0; б) 2sin2 x + sin x – 1 = 0.
125. sin 3x + cos 2x = 1.
126. sincossincos. 447 2 xxxx
4
(0, π).
127. а) 2 3 2 si222 ncossin;xxx б) 8630 2 cossin xx
Решити једначине (задаци 128–131):7
128. а) cossinsin;xxx 5 1 2 4 = б) cos 2x cos 3x = cos 5x.
129. а) sin 3x sin 2x = sin 11x sin 10x; б) cos x cos 3x = cos 5x cos 7x.
130. а) sin 6x + sin 4x = 0; б) sin 5x cos 3x = sin 8x sin 6x.
131. а) sin x + sin 2x + sin 3x = 0; б) cos x = cos 3x + 2sin 2x
Решити једначине (задаци 132–135):8
132. а) 31 sincos;xx б) sincos;xx32 в) sincos xx32 ; г) 221 sincos.xx
133*. sincossi 1313n. 217 xxx
134*. 12cos x – 5sin x = –13.
135*. sin x + cos x = 1.
Решити неједначине (задаци 136–145):
136. а) 230 sin; x б) 2cos x + 1 < 0; в) tg x 30; г) ctg x 30; д) 2sin x + 1 > 0; ђ) 230 sin. x
137. а) sin x + cos x ≤ –1; б) sin x – cos x < 0.
138. sin x + sin2 x + sin3 x > 0.
139. cos 2x – sin 2x ≥ 0.
140. sin x + cos 2x > 1.
141*. sin x > 1 2
142*. sin 2x > cos
152.
153.
154.
155.
1.1. а) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16; б) (–3) ⋅ (–3) ⋅ (–3) = –27; в) 16 81; г) 0,04; д) –1.
1.2. а) 15; б) 1; в) 27 8
1.3. а) 33n ; б) a 3x ; в) a 2 ; г) 0,00243x 5 ; д) 9a 2 ; ђ) 1 3 ; е) 22n–3 .
1.4. а) 7 2 ; б) 106 ; в) 2; г) 100.
1.5. а) 3; б) 1 25 ; в) 1011
1.6. а) 223; б) 1; в) –54
1.7. а) 6a 6x; б) 1 2 12ab ; в) 2a; г) 2a 3b6; д) 4 5 xy
1.8. а) (p + 2q)n; б) (a – b)m+2; в) 2(2x – y)2n; г) 1.
1.9. а) (x 4 – y4)2n; б) a b x 1 1 ; в) (x + 3)3n; г) (a + b)n .
1.10. а) 4x; б) 3b; в) 4 5 2 abc ; г) 8 3 52 yz .
1.11. а) xy xy 33 22 ; б) x xx 2 21 ++ ; в) n mn 2 2 ; г) yx xy 22 22 ; д) 8 41 2 a a .
1.12. а) 10 9 x aby n ; б) 3 4 2 2 a bxy ; в) b a n 1 3 ; г) (a – b)n; д) ay bx 512 913 ; ђ) 1 1 2 x x .
1.13. а) x 2 y 2; б) –(a + b); в) 1 ba ; г) ax ax
1.14. а) 5 ⋅ 107; б) 3,4 ⋅ 109 ≈ 3 ⋅ 109; в) 3 ⋅ 10–2; г) 6,9 ⋅ 10–5 ≈ 7 ⋅ 10–5; д) 2,3 ⋅ 10–5 ≈ 2 ⋅10–5; ђ) 2 ⋅ 10–6.
1.15. а) 5 108 km2; б) 6 1024t
1.16. а) 8,8 ⋅ 104 ≈ 9 ⋅ 104 g; б) 5,2 ⋅ 108 ≈ 5 ⋅ 108 g.
1.17. 59,8 108 ≈ 6 109 km.
1.18. а) 3; б) Како jе xx 2 = , то је 0303031260312637 28 ,,,,,,, xx
1.19. а) 2224222 xxx . Како је |x 2| = x 2, то је и 2242 xx = ; б) 1 2 4 x
1.20. x ∈ {0, 5, 6}.
1.21. x ∈ {– 4, – 6}.
1.22. а) x 3; б) –a 5; в) 3a 2; г) 1 2 6 x .
1.23. а) Како је xx 2 = , то је xx33 2 . За x < 3 је x – 3 < 0, па је |x – 3| = –(x – 3) = 3 – x. Према томе, xx 33 2 x < 3; б) 2 – x; в) x – 4.
1.24. а) a ≤ 0; б) x ≥ 0; в) x ≤ 0; г) x = 0.
1.25. а) 31 + ; б) 75 .
1.26. x ≤ 0.
1.27. а) 36816954; б) 1,5; в) 224; г) 1,1.
1.28. а) 12; б) 0,06; в) 1,2; г) 3.
1.29. а) 12 7 ; б) 5 4 ; в) 13 9 ; г) 4 5 ; д) 1 30 ; ђ) 2 3
1.30. а) 1781781782 225915; б) 5; в) 7; г) 45.
1.31. а) 18 2 18 2 93=== ; б) 1 5 ; в) 3.
1.32. а) 6a; б) –0,7b; в) –5x 3; г) 9 x .
1.33. а) 52 ; б) 32 ; в) 53 ; г) 73 ; д) 55
1.34. а) 45 ; б) 3 ; в) 5 ; г) 2 ; д) 5 x ; ђ) 3a ; е) 18 x ; ж) 4 3 b .
1.35. а) x 10 ; б) 5aa ; в) 013 , xx ; г) 33 4 b
1.36. а) Како је 228 636 == и 3339 626 == , следи да је 332 > ; б) 34 3 > ; в) 7878 > .
1.37. а) 4282333 ; б) 34342716432 3362666 ; в) 2; г) p 524 ; д) ab71 121 ; ђ) a 43
1.38. а) 1621 36282 333::=== ; б) 39393812781273 623 ::66666::;==== в) 1 6 b
1.39. а) 242464648843 2 43643444 4 ; б) ab ab ab 5139234 5 = .
1.40. а) 442236263 === ; б) xxxxxx 3446464 ::624241 : === ; в) 242432 3336 .
1.41. а) 2 2 , 25 , 27 ; б) 25 15 , 22 3 , 6 4 ; в) a , x y y ; г) 6 3 , 15 5 , 30 15 ; д) 33 , xy42 , 1 y ; ђ) 102 2 + , 23 5 , 21; е) ab + , xa a
1.42. а) 76 + , 323 , 223 7 , a a 1 1 ; б) 523 , 2515 , 2 , 5 , 526 + .
1.43. а) 4; б) 10.
1.44. а) 964 5 333 ; б) 25159 4 333 ; в) 1
1.45. а) 2; б) 3; в) 4; г) 3 2 ; д) 1 4 ; ђ) 10; е) –5; ж) 1 3
1.46. а) 3; б) 105 1 10 ; в) 811 90 ; г) 5.
1.47. а) 16; б) 10; в) 42 ; г) 5 32 ; д) aaa 676 = ; ђ) xxx
1.48. а) 4; б) 3; в) 8; г) x 4
1.49. а) 32321; б) x(x + 1)2 .
1.50. а) Јесте; б) јесте.
1.51. а) Јесте; б) није.
1.52. а) z = 8 – 6i, Rez = 8,
1.53. а) z = 0, Rez = 0, Imz = 0; б) z = –11 – 2i, Rez = –11, Imz = –2; в) Rez = 31 2 , Imz = 31 2 +
1.54. а) – i; б) 1; в) – 4.
1.55. Ако је z реалан број, онда је z = a +
одакле следи да је
.
2.1. а) x1 = 1, x2 = –2; б) x1 = –1, x2 2 3 = ; в) x1 1 2 , x2 = 2; г) x1 = 1, x2 = –2, x3 = 3.
2.2. а) x1 = –3, x2 = 4; б) x1 = 3; в) x1 1 2 , x2 = 3; г) x1 = 2, x2 3 2 .
2.3. а) y1 = 6, y2 = –2; б) a1 = 2, a2 = 4; в) p1 = 2, p2 = –3; г) x1 = 1, x2 = –3.
2.8. а) x1 3 5 = , x2 3 5 ; б) x1 = 3i, x2 = –3i; в) x1 5 2 = , x2 5 2 ; г) x1 = –2, x2 = 2; д) xi 1 5 3 , xi 2 5 3 = ; ђ) x122 , x222 = ; е) x1 = i, x2 = –i.
2.9. а) k < 3; б) k ≥ –1; в) –1 ≤ k < 3; г) k < 3.
2.10. а) m > 1; б) 0 < m < 2.
2.11. x = 10 или x = –10.
2.12. h = 2m, a = 3m.
2.13. а) x1 = 0, x2 2 3 ; б) x1 = 0, x2 = 5; в) x1 = 0, x b a 2 2 ; г) x1 = 0, x2 = a – b; д) x1 = 0, x k k 2 1; ђ) x1 = 0, x2 3 2 .
2.14. x1 = 0, x2 = m + 1, m = 2.
2.15. k 4 7 .
2.16. а) x1 1 2 = , x2 = – 4; б) x12 23 /2 ; в) x1/2 = 1 ± i; г) x1 = – 0,5; x2 = 2,1.
2.17. а) x1 = 1, x2 3 14 ; б) x1 = – 4, x2 13 2 .
2.18. а) x1 = k, x2 = –3k; б) x1 = a – b, x2 = a + b
2.19. а) Једначина има једно решење x = –1; б) x1 = –5, x2 = 6; в) x1 = –11, x2 = 1; г) једначина има једно решење x = –3; д) једначина нема решења; ђ) x12323 /
2.20. а) Једначина има једно решење x = – b; б) x a 12 = , x a b 2
2.21. Тражени бројеви су 12 и 13. 2.22. Тражени бројеви су 9 и 10.
2.23. a = 5 cm.
2.24. Дечак има 6 година.
2.25. 20 дечака.
2.26. AC aa5.
2.27. За m < 9 4 решења су реална и различита.
2.28. a < 25 24 .
2.29. m 5 4
2.30. Такво m не постоји.
2.31. За k 9 8 и k ≠ 0 решења су реална и различита.
2.32. Решења су реална и једнака за m1 = 2, m2 2 9 = . 1° x2 = x1 = –1 за m = 2, 2° x1 = x2 = 3 за m = 2 9
2.33. 1° D > 0 за m > – 6; D = 0 за m = – 6; D < 0 за m < – 6.
2.34. а) x 2 – 5x + 4 = 0; б) x 2 + 4x – 5 = 0; в) 2x 2 + 11x – 6 = 0; г) x 2 + 7x + 12 = 0; д) x 2 – 4x + 1 = 0; ђ) x 2 – 6x + 10 = 0; е) x 2 – 2kx + k2 – 1 = 0.
2.35. а) x1 = 3, x2 = 2; б) x1 = 1, x2 = –2; в) x1 = –3, x2 = – 4; г) x1 = 2, x2 = – 6; д) x1 = x2 = 3; ђ) x1 = 3, x2 = –1.
2.36. k = 2.
2.37. а) k = 2; б) k = 2 3 .
2.38. m = 1 2 .
2.39. k = 1.
2.40. а) k = 3 4 ; б) k = 2; в) k 1 5 .
2.41. a1 3 2 = , a2 5 2
2.42. xx BAC A 1 2 2 2 2 2 2
2.43. а) (x – 3)(x + 2); б) (2x + 1)(3x – 1); в) (x + 2k)(x – 3k).
2.44. а) x x 2 за x ≠ –1 и x ≠ 0; б) x x 2 43 за x ≠ 3 4 и x 4 3 ; в) 23 21 x xx за x ≠ 1; г) xx x 21 3 за x ≠ –1 и x ≠ 3.
2.45. а) 0 < k ≤ 49 8 ; б) k ≥ 2.
2.46. а) и б) решења су различитог знака.
2.47. 3 4 1 k .
2.48. x1 = 0, xi235 ,
2.49. Смена z xx x 25 ; x1 = 1, x2 = –5, x3416 ,
2.50. x1 = –1, xi 23 1 4 15 ,4 .
2.51. Смена zx x 1 , x1/2 = 1, x34 35 ,2
2.52. x1,2 = ±1, x34 3 ,2
2.53. x1/2 = ±1, x b a 34 , ако је ab < 0,
односно xi b a 34 , ако је ab > 0.
2.54. x132, x231, x331, x432.
2.55. x1 = 1, x2 = 2.
2.56.
3 1 y О x
2.57. Видети слику.
x 1 2 1 2 2 =− x 2 2 1 2 2 =+
2
x1 x2 8 –1
2.58. Видети слику.
2
y = 2( x –2) 2 –1
а) x1 = 0, x2 = 2, T (1, –1) – min;
б) x1 = 0, x2 = 2, T (1, 1) – max;
в) x1 = 1, x2 = 3, T (2, –1) – min;
г) x1 = 1, x2 = 3, T (2, +1) – max;
д) x1 = 1, x2 = 5, T (3, –1) – min; ђ) x1 = 4, x2 = –3, T ( 1 2 , 49 8 ) – max;
е) x1 = x2 = 1, T (1, 0) – max; ж) Нема реалних нула, T (2, 4) – min.
2.59. f (x) = – 2x 2 – 3x + 5; – f (x) = 2x 2 + 3x – 5; f (–x) = –2x 2 + 3x + 5.
Графици су приказани на слици. y
2.60. Видети слику. –113
2.61. а) x < 5 2 ∨ x > 0; б) –1 < x < 4; в) –2 < x < 5 2 ; г) –1 < x < 5 2 ;
ђ) неједначина нема решења.
2.62. а) –5 < x < 2; б) 1 4 < x < 3 2 ; в) x ≤ 1 2 ∨ x > 1.
2.63. a) k < 1, k ≥ 3; b) k < 0, k > 20 9 .
2.64. –22 < m < –10.
2.65. а) (–3, 0), (2, 5); б) (1, 5); в) ( 3 2 19 2 i , 3 2 19 2 i ), ( 3 2 19 2 i ,
2.66. P = 23 12
2 i ).
2.67. а) (1, 2) и (2, 1); б) (2, 1) и (–2, –1); в) (0, –1) и ( 4 5 , 3 5 ); г) ( 2 7 , 15 7 ) и (2, 1).
2.68. 27.
2.69. P = 30 m2 .
2.70. а) Сменом x 2 = u, y 2 = v систем се своди на систем линеарних једначина u + v = 25,
u + 2v = 41,
чије је решење u = 9, v = 16.
Решења система су: (3, 4), (–3, – 4), (3, – 4), (–3, 4).
б) (7, 1), (7, –1), (–7, 1), (–7, –1);
в) ( 2 , i 2 ), ( 2 , i 2 ), ( 2 , i 2 ), ( 2 , i 2 ).
2.71. а) Сменом x 2 = u, –y = v добија се систем:
u + v = 23,
uv = – 50.
Решење датог система су: (5, 2), (–5, 2), (i 2 , –25), ( i 2 , –25);
б) (1, 1 2 ), ( 1 2 , 1);
в) увођењем смене x + y = u, xy = v систем
u + v = 11,
uv = 30,
чија су решења u1 = 5, v1 = 6, u2 = 6, v2 = 5, па у односу на x и y имамо два система
x + y = 6, xy = 5
и
x + y = 5, xy = 6.
Решења првог система су (5, 1) и (1, 5), а другог (2, 3) и (3, 2). Решења се најједноставније
ном Вијетових формула. г) (x + y)2 – xy = 4,
x + y + xy = 2.
Решења су: (2, 0), (0, 2), ( 3 2 11 2 i , 3 2 11 2 i ), ( 3 2 11 2 i , 3 2 11 2 i );
д) (5, 4), (4, 5), (– 4, –5), (–5, – 4);
ђ) (1, –2), ( 10 7 , –5);
е) (a + b, a – b);
ж) ( 34625 25 43625 25 22 mmmm , );
з) (2, 3), (3, 2), (6, –1), (–1, 6), (–2, –3), (–3, –2), (–6, 1), (1, –6).
2.72. a) ( 5 2 , 5 2 ), ( 8 3 , 2);
б) (–3, 1), (3, –1), 266,,266,;
в) (2, 1), ( 16 7 , 8 7 ), ( 165 4 , 165 4 ), ( 165 4 , 165 4 ).
2.73. а) (1, –2), (–1, 2), (112 2 192 2 ii , ), ( 112 2 192 2 ii , );
б) (20, 10), (–20, –10), ( 407 7 , 107 7 ), ( 407 7 , 107 7 );
в) (2, 1), (–2, –1), (15137 137 , 137 137 ), ( 15137 137 , 137 137 ).
2.74. а) Из друге једначине система добијамо x = 2, y = 1, па имамо два система једначина: (I) 2x 2 – 3xy + 5x = 5, x = 2, (II) 2x 2 – 3xy + 5y = 5, y = 1.
Решења задатог система су: (2, 3), (0, 1), ( 3 2 , 1).
б) Из прве једначине система је y 2 = (2x + 1)2, тј.
y = 2x + 1 или y = –2x – 1, па имамо два система: (I) 4x 2 + y 2 – 3xy = 1, y – 2x = 1, (II) 4x 2 + y 2 – 3xy = 1, 2x + y = –1.
Решења задатог система су: (0, 1), ( 1 2 , 0), (0, –1).
2.75. а) x1 1 2 , x2 = 1; б) x1 = –1, x2 = 2.
2.76. а) x1 = 6; б) x1 15 4 =
2.77. а) x1 = 3; б) x1 = 3.
2.78. а) x1 = 4, x2 = 11; б) x1 1 2 =
2.79. а) y1 = –1; б) xx 12 3 2 1 2 ,.
2.80. а) –1 ≤ x ≤ 1; б) 5 ≤ x ≤ 10.
2.81. а) x1 = 1, x2 = 3; б) x1 = 8, x238 12 7 21 , .
2.82. а) x1 = 16, x2 = 81; б) x1 = –17, x2 = 23.
2.83. а) x1 = – 4, x2 = 2; б) x1 = 1, x2 = –1.
2.85. x ≥ 1.
2.86. x ≥ 3.
2.87. x ∈ [0, 9).
2.88. xx 1 13 1 3
2.89. 5 < x < 86.
2.90. Нема решења.
2.91. x ≤ 1 3 ∨ 1 ≤ x ≤ 5.
2.92. 1 3 3 4 x .
3.1. yy 0210 (0,1)
3.2. 1 01 –2
3.3. а) y > x; б) y > x.
3.4. а) x1 = –1; б) x1 = 2; в) x1 = –3; г) x1 1 2
3.5. а) x1 = 1; б) x1 1 5 = ; в) x1 = 1, x2 = 2; г) x1 5 3 = .
3.6. а) x1 = 1; б) x1 = 2; в) x1 = 2; г) x1 = 2; д) x1 = 1; ђ) x1 = 0, x2 1 2 = .
3.7. а) 4; б) 1 2 ; в) – 4; г) 3; д) 4; ђ) 3 2
3.8. а) x = 1; б) x = 3 ; в) x = –1; г) x = 4; д) x = 5125 ; ђ) x = 6.
3.9. а) log10 2 + log10 x + log10 y; б) log10 3 + 2log10 x + 3log10 y;
в) 2log10 x + 5log10 y + 1 2 log10 z;
г) log10 6 + log10 x + 2 3 log10 y;
д) 1 2 [log10 x + 1 2 (log10 x + 1 2 log10 y)];
ђ) 1 2 [log10 2 + log10 x + 1 2 (3log10 x + 1 2 log10 y)].
3.10. а) x = 6; б) x = 10; в) x y z = 3 .
3.11. а) loga 21 = loga 3 + loga 7; б) loga 3 = loga 21 – loga 7; в) loga 36 = 2loga 2 + 2loga 3.
3.12. а) –2; б) 2; в) 3.
3.13. 0.
3.14. 2.
3.15. 3(1 – x – y).
3.16. x = 27.
3.19. 3.20. 0–1 y x y = log2(x +1) 012 y x 1 2 y = log(x – 1)
3.21. 3.22. 1 0–1 y x 1 2 y = 1+log2(x +1) 120 y x 1 2 y = 1+log x
3.23. 1–1 y x y = log2|x|
3.24. а) x = 6,73; б) x = 0,00884; в) x = 76,296; г) x = 23 1 3 .
3.25. а) x1 = –3, x2 = 3; б) x1 = 2, x2 = 3; в) x1 = 4.
3.26. а) x1 = 7; б) x1 3 2 = , x2 = 10; в) x1 = 1.
3.27. а) x1 = 26; б) x1 1 12 = ; в) x1 = 27.
3.28. а) Након логаритмовања за основу 10 добија се x1 = 10–1, x2 = 103 ; б) након логаритмовања за основу 10 добија се x1 1 102 , x2 = 102 ; в) након логаритмовања за основу 10 добија се x1 = – 0,9, x2 = 99.
3.29. x > 0.
3.30. x > 25.
3.31. 0 ≤ x ≤ 2.
3.32. x ∈ (3, 3 1 2 ) ∪ (4, + ∞).
3.33. x < –3 ∨ x > 1.
3.34. x ∈ [–1, 1) ∪ (3, 5].
3.35. x ∈ (–3, 6 ) ∪ ( 6 , 3).
3.36. 1 < x < 4.
3.37. x > 0,01.
3.38. 3 < x < 53 ∨ x > 7.
3.39. 4 3 11 1 2 xx .
4.1. а) P( 2 2 , 2 2 ), Q( 2 2 , 2 2 ); б) R( 2 2 , 2 2 ), S( 2 2 , 2 2 ).
4.2. а) P(0, 1), Q(0, –1); б) R( 3 2 , 1 2 ), S( 3 2 , 1 2 ); в) T(0, 1); г) U( 3 2 , 1 2 ), V( 3 2 , 1 2 ).
4.3. а) 3 4 π ; б) π 12 ; в) 5 6 π ; г) 75° = 45° + 30°, 75° : 4 = 18°45′ , 45 4 , 30 6 , 1845 5 48 rad .
4.4. а) 38°11′50′′; б) 300°
4.5. а) 4 3 ⋅ 3 cm = 4 cm; б) 300° = 5 3 π rad, 5 3 π ⋅ 3 cm = 5π cm.
4.6. а) 1 7 ; б) π 2 ; в) 210 7 6 rad ; 7
4.7. а) T1( 2 2 , 2 2 ); б) T2(0, –1); в) T3( 3 2 , 1 2 ); г) T4( 1 2 , 3 2 ).
4.8. На пример: а) t1 3 4 , t 2 11 4 , t3 5 4 ; б) t16 , t 2 11 6 , t3 23 6 ; в) t1 3 2 , t 22 , t3 5 2
4.9.
4.10. а) –3 ⋅ 360° = –1080°; б) –11 ⋅ 360° = –3960° .
4.11. а) 1 2 ; б) 3 2
4.12. а) 1 2 ; б) 3 2
4.13. а) 3 3 ; б) 3
4.14. а) co
4.15. sin (π – t) = sin (π + (– t)) = – sin (– t) = – (– sin t) = sint; cos (π – t) = cos (π + (– t)) = – cos (– t) = – cos t
4.16. Поступити
синус.
4.17. ctg (– t) = cos sin cos sin cos sin t t t t t t – ctg t.
4.18. ctg t.
4.19. sincos sincos ss tt .
4.23. tg (α + β) = –1, 0 < α + β < π; 3 4
4.25. arcsin 0 = 0, ℜ = {mπ| m ∈ Z}.
4.26. arctg 0 = 0, ℜ = {mπ| m ∈ Z}.
4.27. arcctg 0 = π 2 , ℜ = { 2 m | m ∈ Z}.
4.28. arccos 2 24 , ℜ = { 4 2 m | m ∈ Z} ∪ { 4 2 m | m ∈ Z}.
4.29. arcsin 1 = π 2 , ℜ = { 2 2 m | m ∈ Z}.
4.30. arccos (–1) = π, ℜ = {(2m + 1)π| m ∈ Z}.
4.31. arcsin 1 26 , ℜ = { 6 2 m | m ∈ Z} ∪ { 6 21 m | m ∈ Z}.
4.32. arcctg 3 36 , ℜ = { 6 m | m ∈ Z}.
4.33. arcctg36 , ℜ = { 6 m | m ∈ Z}.
4.34. а) 240 289 161 289 240 ,,161; б) 0,96, 0,28, 3 3 7
4.35. sin a = 1 3 , cos a = 2 3 2
4.37. 1 2 1224 aa .
4.38. 5 34 3 34 5 ,,3.
4.39. а) sin 5x; б) sin x 4.40. 12 1 2 m m .
4.44. 1 2 2 1 2 co12 scos. xx +
4.45. а) 1 2 1 2 2 + cos; x б) 3 4 1 4 si3 nsin xx
4.48. а) sinsin 44 244 2 44 2 sincos 2 4 si2 ncoscos.
4.51. 4 222 sinsincos. xy z
4.52. а) a
4.53.
4.54. x k 63 ;
4.55.
4.56.
4.59.
4.61. а)
ℜ
4.62. а)
4.63. а)
4.64.
4.67.
4.68.
4.69.
4.70. ℜ = {mπ | m ∈ Z} ∪ { 3 m | m ∈ Z}.
4.71. ℜ = { 4 m | m ∈ Z} ∪ { arctg 7 4 m | m ∈ Z}.
4.72. ℜ = { 4 m | m ∈ Z} ∪ {arctg 3 + mπ | m ∈ Z}.
4.73. ℜ = { 6 m | m ∈ Z}.
4.74. ℜ = { mπ 3 | m ∈ Z} ∪ { 2211 m | m ∈ Z}.
4.75. ℜ = { 123 m | m ∈ Z} ∪ { 3 369 m | m ∈ Z}.
4.76. ℜ = {2mπ | m ∈ Z} ∪ { 2 3 2 m | m ∈ Z}.
4.77. ℜ = { 2 m | m ∈ Z} ∪ { 1 4 m m | m ∈ Z}.
4.78. ℜ = {mπ | m ∈ Z} ∪ { 63 m | m ∈ Z}.
4.79. ℜ = { 2 m | m ∈ Z} ∪ {2mπ | m ∈ Z} ∪ { 2 21 m | m ∈ Z}.
4.80. ℜ = { 5 24 m | m ∈ Z} ∪ { 13 24 m | m ∈ Z}.
4.81. ℜ =
4.82. ℜ = { 5 12 2 m | m ∈ Z} ∪ { 11 12 2 m | m ∈ Z}.
4.83. ℜ = { 12 2 m | m ∈ Z} ∪ { 7 12 2 m | m ∈ Z}.
4.84. ℜ = { arccos 12 13 2 m | m ∈ Z}.
4.85.
4.86. ℜ = { 2 1 2 arct2 g m | m ∈ Z}.
4.87. ℜ = { 4 m | m ∈ Z} ∪ { 4 m | m ∈ Z}.
4.88. Једначина је еквивалентна једначини 12 12 2210co2 s cos cos. x x x
4.89. Једначина је еквивалентна једначини (sin x – 1)(1 – cos x) = 0.
4.90. Једначина је еквивалентна једначини cos 2 2x = sin 2x
4.91. Једначина је еквивалентна једначини cos 2x(cos2 2x – cos 2x – 2) = 0.
4.92. Користити идентичности: sinco 2s12 2 x x , cos 4x = 2cos2 2x – 1.
4.93. Користити идентичности: sinco 2s12 2 x x , cos co 2s12 2 x x
4.94. а) 4 2 3 4 2 kx k , за k ∈ Z; б) 4 2 7 4 2
4.95. а) 2 2 3 kx k , за k ∈ Z; б) kπ < x ≤ arcctg (–2) + kπ, k ∈ Z.
4.96. а) 8 3 8 nx n , за n ∈ Z; б) 1 < ctg x < 3; arcctg 3 + kπ < x ≤ 4 k , за k ∈ Z.
4.97. x ∈ ( 33 kk , ), за k ∈ Z.
4.98. а) γ ≈ 49°25′, а из синусне теореме је b ≈ 37,12 и c ≈ 29,01; б) β ≈ 39°50′ , a ≈ 5,691, c ≈ 9,136; в) a ≈ 12,62, β ≈ 89°16′ , γ ≈ 46°14′; г) b ≈ 19,30, α ≈ 27°36′ , γ ≈ 13°47′
4.99. а) β1 ≈ 59°27′ , β2 ≈ 120°33′ , γ1 ≈ 91°58′ , γ2 ≈ 30°52′ , c1 ≈ 20,89, c2 ≈ 10,72; б) α ≈ 33°47′ , β ≈ 64°53′ , b ≈ 14,65; в) α ≈ 19°43′ , β ≈ 142°36′ , γ ≈ 17°41′; г) α ≈ 28°57′ , β ≈ 46°34′ , γ ≈ 104°29′
4.100. а) AB ≈ 2002 m; (б) AB ≈ 162,5 m.
4.102. ab nm nbman 22 , ab nm mbman 22
1. а) 1; б) 1 2 ; в) 3; г) 1; д) 2; ђ) 1.
2. а) 4; б) 4; в) 8; г) –8; д) 1; ђ) 64; е) 1 4 ; ж) 1 2 ; з) 0; и) –34.
3. а) (–2)55–51 = (–2)4 = 16; б) 23 : 4 = 2; в) (–3)168 : 3168 = 1, г) 2; д) 0.
4. а) 2 5 3 7 12
5. 1.
, ; б)
;
.
6. а) a–7; б) a 3; в) a 7; г) 1; д) 3 4 a , ђ) 2; е) 1 6 3 a ; ж) (ab)2; з) a –3 ⋅ b3; и) a –3 ⋅ b5; ј) 3 25 5 ab .
8. а) a 2x; б) 2; в) a (a – b)10; г) 10a n .
9. а) acx b 63 4 ; б) 4 1064 2410 ⋅ ⋅⋅ ab x cz y ; в) a cxz by 45515 1410 .
10. а) a n; б) a m+n; в) a 4n–m; г) (a 2 – b2)m; д) a m – 1; ђ) (–1)2n–1 = –1; е) 0,5(a + b)2m; ж) a n + bm
11. а) 0,5a –3b3 ⋅ 5a 4b–2 = 2,5ab За a = – 0,125, b = 16, вредност израза је –5. б) 1 2 3 xy ; за x = 1 4 , y = –8, вредност израза је – 4.
12. N nnnnnn nn nn nn n 335355635 223334223232 2 244 353256
број није дељив са 17.
13. cd ab 3 .
14. а) 1; б) a m+1 – a n–1; в) p–20; г) 5a nb; д) a 3b2; ђ) a 9b–11; е) x17; ж) y 50; з) a12;
18. а) 1 ⋅ 105; б) 1,1223147 ⋅ 105; в) 2,9111985 ⋅ 103 ; г) 5 ⋅ 10–5; д) 7 ⋅ 10–4; ђ) 1,1 ⋅ 10–2; е) 2 ⋅ 10–1; ж) 0,0075 + 0,00025 = 0,00775 = 7,75 10–3.
19. а) Не постоје 16 , 49100 и 53 ; б) a ≥ 0; a ≤ 0; a = 0; свако a; a ≤ 0; a ≤ 5; a ≥ –27.
20. а) 6|x|; б) a 2; в) |a 3|; г) |1 – a|; д) (x – 3)2; ђ) |2 + y|5
21. а) 9163412; б) 45; в) 747721224; г) 12; д) 15; ђ) 30; е) 12; ж) 675; и) 100.
22. а) 3 4 ; б) 5 9 ; в) 5 4 ; г) 13 12 ; д) 5 2 ; ђ) 5 13 ; е) 5 2 .
23. а) 3; б) –3; в) –2; г) 1; д) 1 5 ; ђ) 10 3 ; е) 0,6; ж) –0,9.
24. а) 0; б) –2.
25. а) 157 ; б) 16,8; в) 152 ; г) 4ab2 ; д) 43 26ab cac ; ђ) 37 10 bc ab n ; е) 22 32 ac a n .
26. а) 5757175 2 ; б) 25 , ; в) 3 ; г) 35 2 ; д) a ;
и) xy ab
27. а) 32 x ; б) 23 x ; в) xx 2 ; г) 51 xx .
28. а) x a a x x x a x a 2 22 1 3 a a xx a a x 23 a a a a x x 32 0 4 , , за a < 0, за a > 0; б) (10|xy| – 4y + 2x| y| a = 8 xy a ; в) (|xy| + 3x| y| – 4|x| y) ab 6 xy ab + .
29. а) ab aab 6755 6 = ; б) xxxxx 12231212111211 12 ; в) axax xaxx 3030313030303030 ; г) x; д) 2a; ђ) bx125 .
30. а) xx 23 ; б) xy xxyy x ++23653 4 ; в) a x x + 21 ; г) xy xyxy 616162222 3 = ; д) a 2; ђ) x 125 ; е) x ; ж) a 12 ; з) x yz x z x yz 17 519 12 5 57 = ; и) yx 6 ; ј) xy 3132 .
31. а) aaaaaaaaa 4334128129243 8 ; б) x 2417 ; в) a b ; г) 1 15 x ; д) 1 619 x ; ђ) xx 65 ; е) a xx x 321 ++ ; ж) x 8 ; з) a 2413
32. а) 45245452452 2 ; б) 05724320252 1 3 621022 ,,252 ,
33. а) 2333 4 2 33 ; б) 2 ; в) 23 ; г) 20121018219610 ; д) 135605
34. а) 5x 5 y 3; б) 8a 2b12; в) 0,2x 4 y 2; г) 1,2a 7 x 7 ; д) 1 23
35. а) 323 3 + ; б) 2 ; в) 123 ; г) 411; д) 913 .
36. а) 5555551 2 ; б) 332 ; в) xx y ; г) xx55; д) axx 1 ; ђ) 222 22 xy xyxy xy .
37.
38. xy 2 7; xy 23231.
39. N 322332 222 3223325.
40. а) 3232 3232 23 ; б) 36; в) 4.
41.
42.
43.
47.
55.
61.
62.
64. а) 2p; б) E.
65. а) aa 21; б) bb 21
67. а) x123 ; б) x1251 ; в) x1532 ; г) xa b 1 ; д) x1 = – a; ђ) x1 1 5 726 .
68. а) x12 = , y121; б) x12 = , y13 = .
69. а) ab b = 10 2 ; б) 112 y x .
71. а) x = –10; б) – 6; в) –10; г) – 8.
72. а) Применом идентитета (a + b)(a – b) =
73. а)
74. а) –1; б) –1; в) 1; г) 1 + x .
76. а) 2 aa ; б) –2y; в) 4 xy + ; г) 1 a a .
77. а) bx bx + ; б) x – 1; в) 1; г) ba33 .
78. а) x = 2, y = 3; б) x = 4, y = –2; в) Из x – y = 0, x + y = 5 налазимо xy== 5 2 ; г) 3x + 5
=
2x – y = –1, па је x 4 13 , y = 5 13 . д) x = 1, y 7 2 .
79. а) a = 2, b = –1; б) a = 2, b = –3; в) a = 1, b = –3.
80. а) –i; б) 1; в) –i; г) –i; д) –1.
81. а) (1 + i)2 = 1 + 2i + i 2 = 2i; б) –2i; в) (1 + i)4 = ((1 + i)2)2 = (2i)2 = – 4; г) 1 4 .
82. а) 0; б) 2i + 1.
83. а) z1 + z2 = 7 + 2i; z1 – z2 = –1 – 2i; б) z1 + z2 = 4, z1 + z2 = 4, z1 – z2 = – 6i; в) z1 + z2 = 14 – i, z1 – z2 = – 4 + 9i; г) zz i 12 2 3 5 , zz i 12 2 3 5 .
84. а) 26 – 2i; б) 52 + 35i – 35i + 72 = 74; в) 3 + 2i; г) 3 – 2i; д) 9 + 13i.
85. 17 + 2i.
86. а) 33 + 3 32 2i + 33 + 4i2 + 8i3 = 27 + 54i – 36 – 8i = –9 + 46i; б) –2 + 2i; в) –2 – 2i; г) (3 + 4i)2 = –7 + 24i.
87. а) 56 2 562 22 105126 41 16 5 7 5 i i ii ii ii i ; б) –i; в) 5 2 3 2 + i ; г) 6 25 17 25 i ; д) 12 13 5 13 + i .
88. а) –1 – i; б) 1; в) –1; г) 1 2 41 26 + i ; д) 1 2 3 2 i .
89. a = –20, b = –50.
91. f (2 + i ) = 0.
93. z i ii i 2 22 4 3 50 4849 .
94. а) 1112 22 i ; б) 2 ; в) 5; г) 1; д) 1.
95. а) 5 ; б) 2 2 ; в) 5.
96. а) 5 34 ; б) 13 3 ; в) 55 .
97. 2 3 i .
98. p(z0) = 11 –2i; pz i0112
99. а) |z|2 = a 2 + b2; б) aa bib+++ 22 ; в) a 2 – b2 – 2abi; г) aiba ib z ; д) aiba bz22 ; ђ) ab ab i ab ab 22 2222 2 .
100. Нека је z1 = a + ib, z2 = c + id. Тада је zzzz 1212 + = (a + ib)(c – id) + (
≤ 22 22acbdadbc abic di .
101. |(1 + i)z 3
Нека је z = x + iy, x1y ∈ R.
103. а) 0, i, –i; б) 0, i, –i; в) 0, –1; г) 3 2 2i.
104. а) z = 1 + i; б) zi 1 2 1 2 ; в) zi 5 2 5 2 .
105.
1. а) (x – 3)(x + 3) = 0, x1 = 3, x2 = –3; б) 4550 ()(), xxx125 , ; в) ()(), 22220xxx1222 , ; г) (5 – 2x)(5 + 2x) = 0, x12 5 ,2 ; д) x(x + 4) = 0, x1 = 0, x2 = – 4; ђ) (x – 1)2 = 0, x1,2 = 1; е) (x – 2)(x – 3) = 0, x1 = 2, x2 = 3; ж) (x + 1)(x – 4) = 0, x1 = –1, x2 = 4; з) 21 1 2 0 xx , x1 1 2 = , x2 = 1.
2. а) x1 = x2 = 0; б) x1 = 0, x2 = 6; в) x1 = 0, x2 = 3; г) x1 5 2 , x2 5 2 = ; д) xi 1 2 3 = , xi 2 2 3 ; ђ) x1 = iπ, x2 = –iπ.
3. а) x1 = 3, x2 = 5; б) x1 = –2, x2 = –5; в) x1 = 1, x2 = –96; г) x1 2 3 = , x2 4 5 = ; д) x1 = x2 = 3; ђ) xx12 1 2 == ; е) x1 = 1, x2 33 73 ; ж) x1 537 6 , x2 537 6 ; з) x i 1 13 2 , x i 2 13 2 ; и) xi136 , xi236 .
6. а) x12 333 ,4 ; б)
16.
18. D1 =
19.
21. а) Нека је x0 то заједничко решење.
28.
29. 1 cm.
30. 16 km/h.
31. а) (a 2 – b2) x 2 – 2ax + 1 =
32. 5y 2 – 72y + 256 = 0. 33. Како је xx b a 12 и xx c a
тражена једначина x b c x a c 20 .
34. (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 16 25 .
35. k = 4.
36. а) 13; б) 92 27 ; в) 71 46 .
37. а) a = 4; б) a
x1 + x2 = –k, x1x2 = 1. Дакле, мора бити k2 – 4 > 0,
39. а) (2a + 1)2; б) (a – 3)(a + 2); в) (a + 1)(a + 3); г) 2 1 2 2
ђ) x (x 2 – 2x – 8) = x (x – 4)(x + 2).
40. а) aa aa a a 32
42.
44.
x
xa122 , , xb342 , .
51. а) Уводимо смену x 3 = y. Решења
,2 б) x1 = 1, x2 = 2, xi 3413 , , x i 56 13 ,6 ;
,
x1,2 = ±2, x3,4 = ±2i, x5,6 = ± 1, x
52. а) x1 = – 1, x2 = 4, x i 34 3 22 15 ,13 ; б) Сменом x – 5 = t добијамо једначину 16 t 4 +
,2
Дакле x1 = 5,5, x2 = 4,5, x i 345 7 ,2 ; в) Смена: 12x 2 + 11x = y. Добијамо y1 = 2, y2 = –3, одакле је x i 12 1123 ,24 , x34 11217 ,24 ; г) x1226 , , x3 = 0, x4 = 4; д) x1 = 2, x2 = 3, x i 34 53 ,2 . 53. а) x1 = 2, x2 1 2 = , xx34 3 1 3 == , ; б) x1,2 = 1, x34 35 ,2 ; в) x1,2,3 = 1, x4523 , ; г) x1 = –1, x2,3 = ±i, x i 45 13 ,2 , x67 35 ,2 ; д) x1 = 10, x2 1 10 = , x3 = 5, x4 1 5 = .
54. x1 + x2 + x3 + x4 = 0, xx xx c a 1234 = .
57.
66. Из
67. yx x 1 2 3 7 2 2
68. p ∈ {– 4, –3, 3, 4}.
69. k = ± 4.
70. Ако су
за x = 6.
71. 11 ⋅ 11 = 121. 72. а)
94.
(2, 1)
(–2, –3); б) (2, 4), (– 4, –5); в) (4, 2), (2, 4); г) (3, 1), (1, 3); д) (3, 2), (–2, –3).
99. а) (2, 1), ( 3 2 , 3 4 ), (1, 1) и (3, 3);
б) (1, 1), (–1, –1), ( i 3 3 , 43 9 i ), ( i 3 3 , 43 9 i ).
100. а) ( 7 23 , 23 23 ), ( 7 23 , 23 23 ), (1, 2) и (–1, –2);
б) ( 9 2 , 7 2 ), (–3, – 4), (3, 4) и ( 9 2 , 7 2 );
в) (3, 2), ( 25 113 , 16 113 ), (–3, –2), ( 25 113 , 16 113 );
г) (– 4, –5), ( 33 , 3 ), (33 , 3 ), (4, 5);
д) (2, –3) и (c, 1), c ∈ R.
101. а) Сменом x 2 = u, y 2 = v добијамо систем једначина u + v = 25, u + 2v = 41, чије је решење (9, 16), одакле је x = ± 3, y = ± 4, тј. дати систем има четири решења: (3, 4), (3, – 4), (–3, – 4) и (–3, 4).
б) Увести смене: xy = u, x + y = v. Решења: (4, 2), (2, 4), ( 422422, ).
в) Увести смене: –xy = u, x 2 – y 2 = v. Добија се u1 = 9, v1 = –20 и u2 = –20, v2 = 9. Систем
решења x1210181 , , y12 9 10181 , , x3410181 , , y34 9 10181 , , x5,6 = ±5, y5,6 = ±4, x7,8 = ±4i, yi 785 , . = 102. а) Решења су (0, 3) и (1, 2) (сл. 13). б) Решења су A(5, 4) и B(2, –2) (сл. 14).
x y=x2–5x +4 y= 2x –6
13.
Решења су (2, –1) и ( 5 2 , 3 4 ) (сл. 15). г)
су (сл. 16) (1, 2) и (117 2 , 317 2 ).
103. 6 cm и 8 cm.
104. а) 24 cm и 18 cm; б) 8 cm, 15 cm, 17 cm; в) 30 cm, 40 cm, 50 cm. 105. а) (x 2 + 6x + 9 = x + 9
је x1 = 0.
x1 = 2, x2 = 3; в) x1 15 4 = ; г) нема решења; д) y1 = 3;
6.
7.
19. а) (2, 3 2 ); б) (1, 2), (2, 1); в) (2, 2); г) (–2, 1 784 ).
20.
је x = –2. Решење датог система је (–2, 0); б) (–2, 3); в) (–1, 2); г) (–1, 2).
21. а) Неједначина је еквивалентна неједначини
23 – 6x > 20, тј. 3 – 6x > 0, тј. x < 1 2 . б) x 3 4 . в) Неједначина је еквивалентна неједначини 1 3 1 3 2 x , тј. x < 2. г) x ∈ R; д) x > 2.
22. а) x ∈ (– ∞, –1) ∪ (0, 2); б) x < 1 2 , x > 1; в) –1 < x < 0, 0 < x < 1; г) Посматрати два случаја: 0 < x – 3 < 1 и x – 3 > 1. Решењa су: 3 < x < 3,5, x > 4. д) x < 3, 5 < x < 6.
23. а) x > 0; б) x > 0; в) x ∈ (0, 1); г) x < 0, x ≥ 1 2 ; д) 0 < x < 1.
24. а) log2 8 + log2 16 + log2 32 = 3 + 4 + 5 = 12; б) log3 9 – log3 27 = 2 – 3 = –1; в) 2 3 ; г) 3 2 .
25. а) 4; б) 81; в) 1 10 ; г) 343; д) 1 2 ; ђ) 273; е) 5100 ; ж) 1 6561; з) 1 25 .
26. log 3 731 7 = , log 81 731 28 = , log1 9 731 14 , log1 27 731 21 .
27. а) log x = log 3 + log a + log b; б) log x = log 1 2 + log a + log b – log c; в) log x = 2log a + log b + 3log c; г) log x = 2log a + 1 3 log b – 2log c; д) log x = log 2 + log (a – b); ђ) log x = log a – log (b + c) – log (b – c); е) log x = log 4 – 1 2 log 5 + log a –1 4 log b; ж) log x = 1 2 log a + 1 3 log b; з) log x = b log a + 3log c.
28.
29.
40.
41. а) 0; б) loga (n + 1).
42.
43. aaa a a a aa loglog loglog logloglogloglog
5log 20 = 20log 5 . 45. 46.
дначину (3x – 1)(12
једначине.
x1 = 2; в) x1 =
52. а) x1 = 16; б) x1 = 25.
53. а) x1 = 4; б) x1 = 3; в) x113 ; г) x
58. а)
59. а) После сабирања
60. а) Дата једначина еквивалентна је једначини 26 – 3x > 25, тј. 3x < 1, чија су решења – ∞ < x < 0.
62. а) – ∞ < x ≤ 0 или 63
63. а) –1 ≤ x < 1 или 3 < x ≤ 5; б) 4 < x < 6; в) 2 < x < 3; г) – 4 < x < –3 или x > 8; д) x > 2.
64. а) 0 < x < 1 2 или x > 2; б) x > 0,01; в) x > 2; г) 1 ≤ x ≤ 4.
65. а) Посматрајте случајеве 0 < x < 1 и x > 1. Решења су x > 2. б) 3 ≤ x < 4, 4 < x < 5, x > 5; в) 1 3 < x < 1, 1 < x < 2; г) 0 < x < 1 2 , 1 < x < 2, 3 < x < 6.
1. Из 180° = π rad следи: а) 2 ; б) 3 ; в) 6 ; г) 4 ; д) 3 20 ; ђ) 25 18 .
2. а) α = 120°; б) α = 150°; в) α = 360°; г) α = 60°; д) α = 90°; ђ) α = 15° .
3. Из 180° = π rad следи: 1 180 0017453 , 1 18060 0000291 , 1 1806060 0000005 ,
4. На основу претходног задатка је: а) 95 0,017453 rad = 1,65804 rad
46 ⋅ 0,000291 rad = 0,01339 rad
54 ⋅ 0,000005 rad = 0,00027 rad 95°46′54′′≈ 1,67170 rad; б) 1,08621 rad; в) 1,37564 rad.
5. 1 rad = 180 ≈ 57,29578°≈ 57°17′44,806′′ .
1rad180603438 . 1rad1806060206265
6. На основу претходног задатка је: а) 0,2755 rad ≈ 0,2755 ⋅ 57,29578° = 15,78499° 0,2755 rad ≈ 0,2755 ⋅ 3438′ = 947,169′ 0,2755 rad ≈ 0,2755 ⋅ 206265′′ = 56826′′ . Добија се да је 0,2755 rad ≈ 15°47′6′′; б) 62°14′9′′; в) 39°0′31′′ .
7. 1,27991 rad.
8. π 360 rad/min, π 30 rad/min, 2π rad/min.
9. а) l = r φ = 3 3 = π ≈ 3,14 cm; б) l = 9 2 π ≈ 14,13 cm; в) l r 180 330 1802 157 ,; cm г) 7 2 11cm
39.
40. coscos 7 1052 0
41.
42. 33 65
43. 0 и 24 25
44. 0.
45.
46.
48.
60.
68. а) 11 16 ; б) 31
76.
77.
79.
83.
90. а) coscos
91. а) Како је
93.
96.
98.
3
107.
110. а) sin x + cos x = 1 + sin x cos x
⇔ sin x – sin x cos x + cos x – 1 = 0
⇔ sin x (1 – cos x) – (1 – cos x) = 0
⇔ (1 – cos x)(sin x – 1) = 0
⇔ 1 – cos x = 0 ∨ sin x – 1 = 0
⇔ x = 2πk ∨ xn 2 2 за k, n ∈ Z; б) cossinco 22s20 xxx ⇔ coss21in20xx
⇔ cos 2x = 0 ∨ 120 sin x ⇔ xk xl 4 2 3 4 2 за k, l ∈ Z.
8πl, m, l ∈ Z;
x = 6πn ∨ x = 3π + 12πk, за n, k ∈ Z.
121. x = πk, k ∈ Z. 122. Користећи
123.
124.
130. а) x k xn 52 за k, n ∈ Z; б) x k x l 22 2 113 за k, l ∈ Z
131. а) x k xn 2 2 3 2 за k, n ∈ Z; б) x k xn 22 2 ⇔ x k 2 , k ∈ Z.
132. а) xk xn 1 3 212 за k, n ∈ Z;
xk 5 6 2 , k ∈ Z;
xk xl 7 12 2 11 12 2 за k, l ∈ Z;
xm xn 5 12 2 12 21 за m, n ∈ Z
133. Када се у формули a sin α + b cos α = ab22sin
sin b ab22 , cos a ab22 , тада је
21si3217 nsin, xx
136. а) x ∈ ( 3 2 k , 2 3 2 k ), k ∈ Z (сл. 55a) б) x ∈ ( 2 3 2 k , 4 3 2 k ) k ∈ Z. Видети слику 55б.
в) x ∈ ( 2 k , 3 k ], k ∈ Z; г) x ∈ (πk, 6 k ), k ∈ Z (сл. 56); д) x ∈ ( 6 2 k , 7 6 2 k ), k ∈ Z; ђ) x ∈ [ 2 3 2 k , 7 3 2 k ], k ∈ Z
137. а) sincossinxx xk xk 1 4 1 2 2 5 44 2 7 4 за k ∈ Z,
xk k 21 2 ,21 за k ∈ Z;
x ∈ ( 21 4 k , 2 4 k ) за k ∈ Z
138. sin x + sin2 x + sin3 x > 0 ⇔ sin x (1 + sin x + sin2 x) > 0.
је 1 + sin x + sin2 x увек
sin x), x ∈ (2πk, 6 2 k ) ∪ ( 5 6 2 k , π + 2πk), k ∈ Z.
141. sin x > 1 2 ⇔ sin x 1 2 ∨ sin x > 1 2 ⇔ 5 6 22 6 kx k ∨ 6 2 5 6 2 nx n .
x ∈ ( 5 6 2 k , 2 6 k ) ∪ ( 6 2 n, 5 6 2 n), за k, n ∈ Z
142. x ∈ ( 6 2 k , 2 2 k ) ∪ ( 5 6 2 k , 3 2 2 k ), k ∈ Z.
143. x ∈ ( 5 6 2 k , 7 6 2 k ), k ∈ Z.
144. x ∈ [ 8 k , 3 8 k ], k ∈ Z
145. x ∈ ( 1 3 5 18 2 3 k , 1 318 2 3 k ), k ∈ Z.
146. а) γ = 80° , b ≈ 14,76, c ≈ 17,33; б) γ ≈ 23°52′34′′ , α ≈ 6°7′27′′ , a ≈ 4,478; в) γ ≈ 50°57′20′′ , β ≈ 95°32′40′′ , b ≈ 32,0646; г) Два решења: α1 = 45° , β1 = 45° , b1 ≈ 15,4548; α2 = 135° , β2 = 15° , b2 ≈ 1,15541.
147. а) c = 7, α ≈ 21°47′23′′ , β ≈ 98°12′37′′; б) b = 10, c = 6, β ≈ 38°12′48′′ , γ ≈ 21°47′12′′
MA
MB
58.
150. а) Користити a s 2sin sinsinsin , a ≈ 14,81945, b ≈ 24,084, c ≈ 10,143, β = 149°85′ . б) a ≈ 5,4528, β ≈ 115°6′ , γ ≈ 13°44′ , b ≈ 6,3387, c ≈ 1,6613; в) α ≈ 38°40′ , b ≈ 19,183, c = 14,353, β ≈ 93° , γ ≈ 48°20′;
53
′ ,
968 и α2 ≈ 126°8′ , γ2 ≈ 47°34′ , c2 ≈ 38,381, β2 ≈ 6°18′ , b2 ≈ 5,706.
151. а) b = 23 , c 223 ; б) Упутство: sin 75° = sin (45° + 30°), β = 60° , γ = 45° , c = 23 ; в) α = 30° , β = 135° , γ = 15°; г) a = 23 , β = 30° , γ = 105°
152. Имамо: 200tg α = (200 – d ) tg 2α, па је d = 100(1 + tg2 α) = 100 2 cos a (сл. 59).
153.
154.
155. α = 26°58′ .
157.
158.
Београд, Обилићев венац 5
Графички уредник Александар Радовановић
Дизајн и корице
мрТијана Павлов
Цртежи
Бошко Крстановић
Прелом
Мирко Јековић
Лектор
Јелка Јовановић
Корект
Ружица Живановић Ружица Јовановић
Тираж: 2 000 примерака
Обим: 36,5 штампарских табака
Формат: 205 × 265 mm
Рукопис предат у штампу јула 2023. године.
Штампање завршено августа 2023. године.
Штампа: Планета принт, Београд