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MANUEL RACINE MATH

6 périodes / semaine

MANUEL

RACINE MATH

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RACINE MATH 6 6 périodes/semaine – m anuel

Composition de Racine Math 6 6 périodes/semaine

Pour l’élève – 1 manuel – un accès au manuel numérique et à des exercices numériques via Pour l’enseignant(e) – un guide de l’enseignant(e) – un accès professeur via au manuel numérique, aux compléments et aux exercices numériques

Auteures : Anne-Laure Andrieu, Justine Bellistrì et Pauline Pirenne

Couverture : Nord Compo

Mise en page : Nord Compo

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1re édition : 2026

ISBN 978-94-651-4303-3

D/2026/0078/271

Art. 611308/01

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Introduction

Bienvenue dans Racine Math 6

Pour utiliser au mieux le potentiel de ce manuel, voici quelques informations sur sa structure et sur les compléments numériques qui l’accompagnent.

Ce manuel rassemble les sept UAA (Unités d’Acquis d’Apprentissage) du programme de mathématiques 6 périodes/semaine de 6e année.

Prérequis

Certaines UAA sont introduites par une partie « Prérequis » afin de rappeler les notions nécessaires à la découverte de la matière.

Introduction historique

Afin de donner du sens à l’apprentissage, chaque UAA commence par une mise en contexte historique de la matière et par des exemples de son application dans le quotidien.

Toujours dans l’idée d’ancrer les concepts mathématiques dans la réalité, un défi t’est proposé à la fin de cette introduction. Tu seras en mesure de le résoudre au terme du chapitre grâce aux connaissances que tu auras acquises.

Découverte

La matière de chaque UAA est divisée en plusieurs parties cohérentes et structurées afin de garantir un apprentissage progressif et clair. Tu es ainsi invité(e) à découvrir la nouvelle matière de chaque partie via des activités, à la fin desquelles la rubrique πG conclut ce qui a été découvert.

Théorie

La partie « Théorie » reprend les notions essentielles à la compréhension de la matière. Celles-ci sont classées dans différentes rubriques :

Définition Propriété Vocabulaire Démonstration

Exercices

Les exercices permettent d’appliquer la théorie vue.

Tous les schémas nécessaires à la réalisation d’un exercice sont disponibles en ligne sur en PDF imprimable. Les schémas concernés sont signalés par ce logo : .

Des exercices dits de « dépassement » sont parfois proposés et sont reconnaissable à ce logo :

Pour chaque chapitre, tu trouveras également une série d’exercices complémentaires sur la plateforme iDiddit afin de t’exercer.

Synthèse et Exercices récapitulatifs

Chaque chapitre se conclut avec une synthèse claire et précise. Celle-ci est suivie d’exercices récapitulatifs qui te permettent de retravailler de façon transversale toutes les notions vues durant le chapitre.

GeoGebra

La visualisation de certaines notions et concepts mathématiques est rendue possible grâce à l’utilisation de l’application GeoGebra. Soit via des manipulations, soit via des vidéos, tu es invité(e) à découvrir une notion, comprendre la construction d’un schéma ou faire un exercice. Les GeoGebra sont proposés via des codes QR, mais sont également disponibles sur la plateforme numérique

Table des matières

5 UAA COPYRIGHTVANIN

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

Objectifs

Connaître

• Interpréter une fonction réciproque comme processus inversant une suite d’opérations.

• Tracer le graphique des fonctions cyclométriques.

• Établir les dérivées des fonctions cyclométriques.

Appliquer

• Vérifier si une fonction f : E → F est injective, surjective, bijective.

• Calculer le domaine et la dérivée de fonctions cyclométriques.

Transférer

• Choisir si nécessaire une restriction d’une fonction donnée, en déterminer la réciproque et représenter ces deux fonctions sur un même graphique.

• Apparier des graphiques et des expressions analytiques de fonctions cyclométriques.

Introduction historique

Dès l’Antiquité, les mathématiciens s’intéressent aux relations entre les angles et les longueurs dans les triangles. Les Grecs, notamment Hipparque et Ptolémée, établissent des tables trigonométriques afin de résoudre des problèmes d’astronomie et de géométrie. Ces travaux conduisent à l’apparition des premières fonctions trigonométriques, comme le sinus et le cosinus, bien avant qu’elles soient formalisées comme des fonctions au sens moderne.

À partir de la Renaissance, avec le développement de l’algèbre et de la géométrie analytique, les mathématiciens cherchent à comprendre comment inverser ces fonctions : comment retrouver un angle connaissant la valeur de son sinus, de son cosinus ou de sa tangente ? Cette question apparaît naturellement dans des problèmes concrets de navigation, d’arpentage ou de cartographie.

Au XVIIe siècle, des mathématiciens tels que Descartes et Newton contribuent à préciser la notion de fonction. Ils introduisent l’idée de fonction réciproque : une fonction qui permet d’inverser un calcul et de retrouver la valeur initiale à partir du résultat, à condition que cette inversion soit possible.

Les fonctions cyclométriques apparaissent alors comme les fonctions réciproques des fonctions

trigonométriques sur des intervalles bien choisis. Elles permettent d’associer à un nombre réel un angle, exprimé en radians, et jouent un rôle fondamental dans la résolution d’équations trigonométriques.

Au fil du temps, ces fonctions deviennent des outils incontournables en mathématiques et en sciences. Elles sont utilisées pour déterminer des angles à partir de mesures, analyser des signaux périodiques, décrire des phénomènes oscillatoires ou encore résoudre des problèmes de physique et d’ingénierie.

Aujourd’hui, les fonctions réciproques et cyclométriques interviennent dans de nombreux domaines :

• en mathématiques : résolution d’équations, étude des fonctions et des variations ;

• en physique : optique, mécanique, ondes et mouvements périodiques ;

• en ingénierie : traitement du signal, électronique, télécommunications ;

• en informatique et graphisme : calcul d’angles, rotations et modélisation 3D ;

• dans la vie quotidienne : navigation GPS, mesures d’angles, imagerie médicale.

Lors d’une séance de cinéma en plein air, un écran LED vertical est installé. L’écran a une hauteur de 4 m et son bord inférieur se trouve à 2 m au-dessus du sol. Les yeux d’un spectateur sont situés à 1,2 m au-dessus du sol. Le spectateur se place face à l’écran, à une certaine distance horizontale de celui-ci.

À quelle distance doit-il se placer pour que l’angle de vue, formé par les deux droites reliant son œil au bord inférieur et au bord supérieur de l’écran, soit maximal ?

Tu seras capable d’y répondre à la fin de ce chapitre !

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET

Prérequis

TEST DIAGNOSTIQUE

Connaître

1. Représente graphiquement la fonction sinus.

2. Complète les caractéristiques des fonctions suivantes.

(a) Soit la fonction f définie par f ( x ) = tan( x ).

• dom f = …

• Zéros

• im f = …

• Périodicité

• Le graphe de f admet une infinité d’asymptotes … d’équations …

(b) Soit la fonction g définie par g( x ) = 4sin( x ) + 1.

• dom g = …

• Minima en x = …

• Périodicité

• dom h = …

• Minima en x = …

• Périodicité

Appliquer

1. Résous les équations et inéquations suivantes.

• im g = …

• Maxima en x = …

• im h = …

• Maxima en x = …

(a) sin( x ) = 3 2 (b) 2cos 2 6 2 x +=-

2. En utilisant la formule fondamentale, détermine cos(α ) sachant que sin(α ) = 3 4 et que α∈ QII.

3. Calcule les dérivées suivantes.

(a) (sin(4x + 9))′ (b) tan3( x ) ′

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

THÉORIE

Définition

Fonction sinus

La fonction sinus, notée sin, est définie par : sin : ° → ° : x ↦ sin( x )

Propriété

Caractéristiques de la fonction sinus

dom sin ° im sin [–1; 1]

Zéro(s) k π où k ∈ ¢

Ordonnée à l’origine 0

Parité impaire

Minima en x = …

Maxima en x

Périodicité périodique de période 2π

Définition

Fonction cosinus

La fonction cosinus, notée cos, est définie par : cos : ° → ° : x ↦ cos( x )

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

Propriété

Caractéristiques de la fonction cosinus dom cos ° im cos [–1; 1]

Zéro(s) π 2 + k ⋅π où k ∈ ¢

Ordonnée à l’origine 1

Parité paire

Minima en x = … π + k 2π où k ∈ ¢

Maxima en x = … k 2π où k ∈ ¢

Périodicité périodique de période 2π

Définition

Fonction tangente

La fonction tangente, notée tan, est définie par :

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

Propriété

Caractéristiques de la fonction tangente

dom tan °\ 2 + kk | ¢ im tan °

Zéro(s) k ⋅π où k ∈ ¢

Ordonnée à l’origine 0

Parité impaire

Extrema en x = … pas d’extrema

Périodicité périodique de période π

Équations des asymptotes verticales x = π 2 + k ⋅π où k ∈ ¢

Propriétés

Relations fondamentales de la trigonométrie

Pour tout réel x :

• Formule fondamentale : sin2( x ) + cos2( x ) = 1

• Relation entre les nombres trigonométriques : tan( x ) = sin() cos() x x si x ≠ π 2 + k π où k ∈ ¢

Propriétés

Formules de dérivation des fonctions trigonométriques

• (sin( x ))′ = cos( x ) • (sin( f ( x )))′ = cos( f ( x )) ⋅ f ′( x )

• (cos( x ))′ = –sin( x ) • (cos( f ( x )))′ = –sin( f ( x )) f ′( x )

• (tan( x ))′ = 1 co2s() x = 1 + tan2( x ) • (tan( f ( x )))′ = 1 co2s()() fx f ′( x ) = 1 + tan2( f ( x )) f ′( x )

1. Réciproque d’une fonction

DÉCOUVERTE

Activité 1 Notion de fonction réciproque

Aux États-Unis, la température est exprimée en degrés Fahrenheit (°F), tandis qu’en Europe, on utilise les degrés Celsius (°C). La relation entre ces deux unités est donnée par :

• 0°C = 32°F ;

• Une augmentation de la température de 1°C correspond à une augmentation de 1,8°F.

1. Donne l’expression analytique de la fonction f qui donne la température en degrés Fahrenheit en fonction de la température en degrés Celsius.

2. Si la température extérieure est de 68°F, quelle est sa valeur en degrés Celsius ?

3. Déduis de la question précédente l’expression de la fonction g qui donne la température en degrés Celsius en fonction de la température en degrés Fahrenheit.

4. À partir du tableau de valeurs de f donné ci-dessous, déduis-en un tableau de valeurs de g .

5. Dans un même repère, représente les fonctions f et g

6. Quelle symétrie unit les graphes des fonctions f et g ?

7. Détermine l’expression analytique de fg o et gf o . Que constates-tu ?

La fonction g est appelée la fonction réciproque de la fonction f . On note gf = 1 . Leurs graphes sont symétriques par rapport à l’axe d’équation yx = .

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

Activité 2 La réciproque d’une fonction est-elle toujours une fonction ?

Soient la fonction f définie par f ( x ) = x2 et sa relation réciproque, toutes deux représentées dans le repère ci-dessous.

1. Nous remarquons que la réciproque de f n’est pas une fonction. Pourquoi ?

2. Sans tracer la réciproque, aurions-nous pu prévoir qu’elle ne serait pas une fonction ? Explique.

3. Détermine l’expression analytique de la relation réciproque de f

4. Si on restreint le domaine de f à °–, alors sa réciproque est une fonction.

(a) Détermine l’expression analytique de cette fonction réciproque.

(b) Donne le domaine et l’ensemble-image de f et de sa réciproque f –1. Que constates-tu ?

Lorsque nous avons restreint le domaine de f, nous nous sommes assurés que tout élément de son ensemble-image ait un unique antécédent par f . Une telle fonction est appelée une fonction injective. Lorsqu’une fonction est injective, sa réciproque est une fonction.

Activité 3 Dérivée de la réciproque d’une fonction

Considérons les fonctions f : ° → ° : x ↦ x3 et g : ° → ° : x ↦ x5 .

1. Détermine l’expression analytique des fonctions f –1 et g –1, les fonctions réciproques respectivement de f et de g.

2. Calcule :

(a) f ′( x ) et f –1 ′ ( x ) ;

(b) g ′( x ) et g –1 ′( x ).

πG

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

3. Sur la base de la question 2, conjecture la formule qui permet de calculer f –1 ′ ( x ) à partir de f ′( x ) et f –1( x ), et vérifie ensuite que cette formule s’applique à g –1 ′ ( x ).

La dérivée de la réciproque d’une fonction f est donnée par la formule f –1 ′ ( x ) = sous certaines hypothèses. 1 1 ff x () -

4. Sur la base de ce résultat, calcule la dérivée de la réciproque de la fonction h : ° → ° : x ↦ x19 en ne calculant que h′( x ) et h–1( x ).

THÉORIE

Notation et vocabulaire

Si f : E → F est une fonction, alors dom f ⊆ E et im f ⊆ F.

• E est appelé l’ensemble de départ de f et F est appelé l’ensemble d’arrivée de f.

• Si E = dom f, on dit que f est une application

Injectivité, surjectivité et bijectivité

Définition

Fonction injective

Une fonction f : E → F est injective si ∀x1, x2 ∈ dom f, x1

Remarques

• La définition d’une fonction injective est équivalente à la définition suivante : ∀x1, x2 ∈ dom f, f ( x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2

• Graphiquement, une fonction f est injective si toute droite horizontale a au plus un point d’intersection avec le graphe de f.

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

Exemples et contre-exemples

f : ° → ° : x ↦ 2 3 x + 1 est injective g : ° → ° : x ↦ 2x2 – 4 n’est pas injective –4–3–2–11234

h :22 ; → [–1; 1] : x ↦ sin( x ) est injective i : ° → [–1; 1] : x ↦ sin( x ) n’est pas injective 1 h x y

Tu peux visualiser les exemples de manière animée en suivant le code QR ci-contre.

Propriété

Monotonie et injectivité

Si une fonction est strictement monotone, alors elle est injective.

Remarque

La réciproque de la propriété précédente est fausse.

GeoGebra

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

Exemple

Soit f définie par f ( x ) = xx xx si< -+si 01 412 et représentée ci-dessous.

La fonction f est bien injective, mais n’est pas strictement monotone.

Définition

Fonction surjective

Une fonction f : E → F est surjective si

Autrement dit, f : E → F est surjective si im f = F.

Exemples et contre-exemples

Définition

Fonction bijective

Une fonction f : E → F est bijective si f est injective et surjective.

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

Exemple

f : [1; +∞[ → °+ : x ↦ x -1 est bijective 10 23 4 56789

Propriété

Bijectivité de la transformée d’une fonction bijective

La transformée, au sens de ce qui a été vu en 4e année, d’une fonction bijective est bijective.

Réciproque

Définition

Relation réciproque

La relation réciproque d’une fonction f : E → F est la relation qui fait correspondre à chaque valeur y appartenant à im f, la ou les valeur(s) de x dont y est l’image par f

Autrement dit, R est la relation réciproque de f si R = {(b; a) ∈ F × E | f (a) = b}.

Propriété

Condition pour que la relation réciproque d’une fonction soit une fonction

Soit f une fonction.

La relation réciproque de f est une fonction si et seulement si f est injective.

Définition

Fonctions réciproques l’une de l’autre

Soient f : E → F et g : F → E deux fonctions injectives telles que dom f = im g et dom g = im f

Les fonctions f et g sont réciproques l’une de l’autre si :

1. ∀x ∈ dom f, ( g ∘ f )( x ) = x ;

2. ∀x ∈ dom g, ( f ∘ g)( x ) = x

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

Notation

f –1 est la notation de la fonction réciproque d’une fonction f, éventuellement restreinte pour qu’elle soit injective.

Remarques

• Il ne faut pas confondre la réciproque et l’inverse d’une fonction : f –1( x ) ≠ 1 fx() = ( f ( x ))–1.

• Le domaine d’une fonction f doit parfois être restreint à un ensemble A ⊂ dom f afin de rendre cette fonction injective sur A et de trouver la réciproque de cette fonction restreinte, appelée « restriction de f à A » et notée f|A

Propriété

Réciprocité de deux fonctions

Soient les applications bijectives f : E → F et g : F → E f et g sont réciproques l’une de l’autre si

Propriété

Symétrie des graphes de fonctions réciproques

Soient f une fonction injective et f –1 sa réciproque.

• Les graphes des fonctions f et f –1 sont symétriques par rapport à l’axe d’équation y = x.

• (a; b)

Illustration

Tu peux le visualiser en scannant le code QR ci-contre et en déplaçant le point du graphe de f.

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

Corollaire

Soient f et f –1 deux fonctions réciproques l’une de l’autre.

• dom f = im f –1 et im f = dom f –1 .

• Le graphe de f –1 a pour équation x = f ( y ).

Propriété

Monotonie et continuité de fonctions réciproques

Soit f : E → F une application.

Si f est continue et strictement monotone, alors la relation réciproque de f est une fonction définie et continue sur f (E ), et est de même sens de variation que f.

Méthodo

Déterminer l’expression analytique d’une fonction réciproque

Soit f : E → F une fonction bijective.

Pour déterminer l’expression analytique de sa fonction réciproque, il faut :

1. écrire l’équation du graphe de f –1 : x = f ( y ) ;

2. isoler y dans l’équation ;

3. donner l’expression analytique de f –1 : F → E.

Exemple

Considérons l’application f : [1; +∞[ → °+ : x ↦ 2( x – 1)2

• f est bien bijective, car f est injective vu que f est strictement croissante sur [1; +∞[ et f est surjective vu que im f = °+ .

• Une équation du graphe de f –1 est x = 2( y – 1)2

On a que

conclusion,

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

• Vérification graphique : f et f –1 sont représentées dans le repère ci-dessous.

Remarques

• Il est également possible d’établir l’expression analytique d’une fonction réciproque en inversant la suite des opérations calculatoires.

Exemple

Reprenons l’application injective f : [1; +∞[ → °+ : x ↦ 2( x – 1)2

Comme im f –1 = dom f = [1; +∞[, f –1( x ) = x 2 + 1.

• Il est nécessaire de préciser les ensembles E et F pour lesquels l’application f : E → F est bijective afin de déduire directement le domaine et l’ensemble-image de f –1 : F → E

Propriété

Dérivée de la réciproque d’une fonction

Soient f : ° → ° une fonction injective et x ∈ dom f –1 . Si f est dérivable en f –1( x ) et si f ′ f –1( x ) ≠ 0, alors : f –1 ′ ( x ) = 1 1 ff x -()

Démonstration

Par définition de fonctions réciproques l’une de l’autre, on sait que f f –1( x ) = x Dès lors, f f –1( x ) ′ = ( x )′⇔ f ′ f –1( x ) f –1 ′ ( x ) = 1 ⇔ f –1 ′ ( x ) = 1 1 f fx-()

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

Interprétation géométrique et illustration

Si la pente de la tangente au graphe de f au point (a; f (a)) vaut un réel m, alors la pente de la tangente au graphe de f –1 au point ( f (a); a) vaut 1 m

Cela vient du fait que les graphes de f et de f –1 sont symétriques par rapport à l’axe y = x et donc, si y = mx + p est l’équation de la tangente au graphe de f au point (a; f (a)), alors une équation de la tangente au graphe de f –1 au point ( f (a); a) est donnée par :

EXERCICES

1. Représente graphiquement une fonction f et une fonction g telles que : (a) f : ° → 0 + est bijective ; (b) g : ° → ° est surjective, mais pas injective.

2. Les fonctions suivantes sont-elles injectives, surjectives et/ou bijectives ? Justifie.

(a) f : ° → [–1; 3] : x ↦ 2 2 si1 n x + (b) g : ° → ° : x ↦ x 3+1

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

3. Détermine des ensembles E et F, les plus grands possible, afin que la fonction f : E → F soit bijective si :

(a) f : E → F : x ↦ x2 + 4 (b) g : E → F : x ↦ –|x + 3| – 5

4. Considérons la fonction f : [a; +∞[ → F : x ↦ –2x3 – 9x2 + 60x + 13. Détermine le plus petit réel a et l’ensemble F pour lesquels la fonction f est bijective.

5. Considérons les fonctions injectives f et g définies par f ( x ) = 2 31 x + et g( x ) = 1 2 x + 9 où dom f = °∖{–1} et dom g = ] –∞; 0[.

(a) Décompose ces fonctions à l’aide de fonctions de référence.

(b) Déduis-en leur fonction réciproque, tout en exprimant les conditions d’existence.

6. Après avoir restreint, si nécessaire, le domaine de chaque fonction f définie ci-dessous,

• détermine l’expression analytique de sa fonction réciproque ;

• précise le domaine et l’ensemble-image de f –1 .

Vérifie ensuite la symétrie de leur graphe en les représentant dans un même repère.

2. Fonctions cyclométriques

DÉCOUVERTE

Activité Les fonctions cyclométriques, réciproques des fonctions trigonométriques

1. Dans le repère ci-dessous est représenté le graphe de la fonction sinus.

(a) Représente la relation réciproque de la fonction sinus dans le repère ci-dessus.

(b) Cette réciproque est-elle une fonction ? Justifie.

(c) Sur ta calculatrice, tu as déjà utilisé plusieurs fois la touche arcsin (ou asin ou sin–1). Cette fonction, appelée arcsinus, permet de calculer un angle à partir de la valeur de son sinus.

I. En observant le graphique de la relation réciproque, quel est le domaine de la fonction arcsinus ?

II. À l’aide de la calculatrice, calcule en radians :

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

(d) En observant les valeurs obtenues au point (c) II., sur quel intervalle a-t-on restreint le domaine de la fonction sinus pour définir la fonction arcsinus ?

(e) En utilisant une autre couleur que celle utilisée au point (a), mets en évidence le graphe de la fonction arcsinus sur le graphique.

Tu viens de tracer la fonction réciproque de la fonction sinus restreinte à l’intervalle

Cette fonction est appelée la fonction arcsinus, notée arcsin, et est définie par :

[–1; 1]

x ).

2. Dans le repère ci-dessous sont représentés le graphe de la fonction cosinus, en mauve, et sa relation réciproque, en vert.

(a) La relation réciproque est-elle une fonction ? Justifie.

(b) Sur ta calculatrice, tu as déjà utilisé plusieurs fois la touche arccos (ou acos ou cos–1). Cette fonction, appelée arccosinus, permet de calculer un angle à partir de la valeur de son cosinus.

I. En observant le graphique de la relation réciproque, quel est le domaine de la fonction arccosinus ?

II. À l’aide de la calculatrice, calcule en radians :

arccos(–1)

arccos1 2

arccos2 2

arccos(0)

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

(c) En observant les valeurs obtenues au point (b) II., sur quel intervalle a-t-on restreint le domaine de la fonction cosinus pour définir la fonction arccosinus ?

(d) Mets en évidence le graphe de la fonction arccosinus sur le graphique.

Tu viens de tracer la fonction réciproque de la fonction cosinus restreinte à l’intervalle [0; π]. Cette fonction est appelée la fonction arccosinus, notée arccos, et est définie par : arccos : [–1; 1] → [0; π] : x ↦ arccos( x ).

3. Dans le repère ci-dessous sont représentés le graphe de la fonction tangente, en mauve, et sa relation réciproque, en vert.

(a) La relation réciproque est-elle une fonction ? Justifie.

(b) Sur ta calculatrice, tu as déjà utilisé plusieurs fois la touche arctan (ou atan ou tan–1). Cette fonction, appelée arctangente, permet de calculer un angle à partir de la valeur de sa tangente.

I. En observant le graphique de la relation réciproque, quel est le domaine de la fonction arctangente ?

II. À l’aide de la calculatrice, calcule en radians :

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

(c) En observant les valeurs obtenues au point (b) II., sur quel intervalle a-t-on restreint le domaine de la fonction tangente pour définir la fonction arctangente ?

(d) Mets en évidence le graphe de la fonction arctangente sur le graphique.

πG

Tu viens de tracer la fonction réciproque de la fonction tangente restreinte à l’intervalleππ 22 ;

. Cette fonction est appelée la fonction arctangente, notée arctan, et est

définie par :

THÉORIE

Remarque

: x ↦ arctan( x ).

Lorsque l’on recherche l’image d’un réel par une fonction cyclométrique, il est important de choisir le mode « Radian » de la calculatrice.

Fonction arcsinus

Définition

Fonction arcsinus

La fonction arcsinus, définie par arcsin : [–1; 1] →22 ; : x ↦ arcsin( x ) est telle que : arcsin( x ) = y ⇔ x = sin( y ) où22 y

Exemples

• arcsin2

• Tableau des valeurs remarquables,

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

Remarque

Le nom « arcsinus » a été donné à cette fonction, car arcsin( x ) est associée à la longueur de l’arc du cercle trigonométrique, comprise entreπ 2 et π 2 , dont le sinus est x.

Propriété

Représentation graphique et caractéristiques de la fonction arcsinus

La représentation graphique de la fonction arcsinus est :

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

Propriété

Réciprocité des fonctions sinus et arcsinus

• La fonction sinus restreinte à22 ; et la fonction arcsinus sont réciproques l’une de l’autre.

• ∀x ∈ [–1; 1], sin(arcsin( x )) = x

• ∀x ∈22 ; , arcsin(sin( x )) = x

Exemples

• sinarcsin 1 2 1 2 =

• arcsinsin 1616 =

Attention

Il faut être attentif au domaine de validité de ces propriétés !

Exemples

• arcsinsinarcsin

• sinarcsin 11 10 n’existe pas, car la fonction arcsinus est définie sur [–1; 1].

Propriété

Dérivée de la fonction arcsinus

∀x ∈ ] –1; 1[, (arcsin( x ))′ = 1 12

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

Démonstration

Soit x ∈ ] –1; 1[.

Par la formule de la dérivée de la réciproque d’une fonction, (arcsin( x ))′ = 111 si12 n( = ( =′ arcsin())cosarcsin()) xx x

En effet, par la formule fondamentale de la trigonométrie, cos2(arcsin( x )) + sin2(arcsin( x )) = 1

⇔ cos2(arcsin( x )) = 1 – sin2(arcsin( x ))

⇔ cos2(arcsin( x )) = 1 – x2 (car sin(arcsin( x )) = x si –1 ≤ x ≤ 1)

⇔ cos(arcsin( x )) = ±-12 x

⇔ cos(arcsin( x )) = 12 - x (car arcsin( x ) ∈22 ; et le cosinus

d’un angle compris entreπ 2 et π 2 est positif )

Remarques

• Si f est une fonction dérivable en x telle que im f ⊆ ] –1; 1[, alors (arcsin( f ( x )))′ = 1 12 -(()) () fx fx

• La dérivée de la fonction arcsinus n’est pas définie en –1 et en 1, car les tangentes au graphe de la fonction arcsinus aux points d’abscisses –1 et 1 sont verticales.

En effet, limar

Par le théorème de l’Hospital,

Le calcul est analogue pour limar

• Cette démonstration montre également que pour tout réel x compris entre –1 et 1, cos(arcsin( x )) = 12 - x

Fonction arccosinus

Définition

Fonction arccosinus

La fonction arccosinus, définie par arccos : [–1; 1] → [0; π] : x ↦ arccos( x ) est telle que : arccos( x ) = y ⇔ x = cos( y ) où 0 ≤ y ≤π

Exemples

• arccos

• arccos() 0 2

• Tableau des valeurs remarquables,

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

Remarque

Le nom « arccosinus » a été donné à cette fonction, car arccos( x ) est égale à la longueur de l’arc du cercle trigonométrique, comprise entre 0 et π, dont le cosinus est x

Propriété

Représentation graphique et caractéristiques de la fonction arccosinus

La représentation graphique de la fonction arccosinus est :

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

dom arccos [–1; 1] im arccos [0; π]

Zéro 1

Parité ni paire ni impaire

Variation strictement décroissante

Minimum en x = … 1

Maximum en x = … –1

Point d’inflexion 0;2

Propriété

Réciprocité des fonctions cosinus et arccosinus

• La fonction cosinus restreinte à [0; π] et la fonction arccosinus sont réciproques l’une de l’autre.

= arccos(

• ∀x ∈ [–1; 1], cos(arccos( x )) = x

• ∀x ∈ [0; π], arccos(cos( x )) = x

Exemples

• cosarccos 1 2 1 2 =

• arccoscos 7 8 7 8 =

Attention

Il faut être attentif au domaine de validité de ces propriétés !

Exemples

• arccoscosarccos 5 4

∈ [0; π].

• cos(arccos(–2)) n’existe pas, car la fonction arccosinus est définie sur [–1; 1].

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET

Propriété

Dérivée de la fonction arccosinus

∀x ∈ ] –1; 1[, (arccos( x ))′ =1 12 x

Démonstration

Soit x ∈ ] –1; 1[.

Par la formule de la dérivée de la réciproque d’une fonction, (arccos( x ))′ = 111 co12 s( = -( =-′ arccos())sinarccos())xx x

En effet, par la formule fondamentale de la trigonométrie, sin2(arccos( x )) + cos2(arccos( x )) = 1

⇔ sin2(arccos( x )) = 1 – cos2(arccos( x ))

⇔ sin2(arccos( x )) = 1 – x2 (car cos(arccos( x )) = x si –1 ≤ x ≤ 1)

⇔ sin(arccos( x )) = ±-12 x

⇔ sin(arccos( x )) = 12 - x (car arccos( x ) ∈ [0; π] et le sinus d’un angle compris entre 0 et π est positif)

Remarques

• Si f est une fonction dérivable en x telle que im f ⊆ ] –1; 1[, alors (arccos( f ( x )))′ =1 12 (()) () fx fx

• La dérivée de la fonction arccosinus n’est pas définie en –1 et en 1, car les tangentes au graphe de la fonction arccosinus aux points d’abscisses –1 et 1 sont verticales. Le calcul qui le démontre est analogue à celui fait pour la fonction arcsinus.

• Cette démonstration montre également que pour tout réel x compris entre –1 et 1, sin(arccos( x )) = 12 - x .

Fonction arctangente

Définition

Fonction arctangente

La fonction arctangente, définie par arctan : ° →22 ; : x ↦ arctan( x ) est telle que :

arctan( x ) = y ⇔ x = tan( y ) où -<< ππ 22 y

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

Exemples

• arctan() 1 4 = π car tan 4 =1 et 422 -;

• arctan-= -3 3 car tan-=3 3 et 322 ; .

• Tableau des valeurs remarquables,

Remarque

Le nom « arctangente » a été donné à cette fonction, car arctan( x ) est associée à la longueur de l’arc du cercle trigonométrique, strictement comprise entreπ 2 et π 2 , dont la tangente est x

Propriété

Représentation graphique et caractéristiques de la fonction arctangente

La représentation graphique de la fonction arctangente est :

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

dom arctan ° im arctan22 ;

Zéro 0

Parité impaire

Variation strictement croissante

Extrema en x = … pas d’extrema

Point d’inflexion (0; 0)

Asymptotes

Propriété

Réciprocité des fonctions tangente et arctangente

• La fonction tangente restreinte à22 ; et la fonction arctangente sont réciproques l’une de l’autre.

y = tan( x ) y

• ∀x ∈ °, tan(arctan( x )) = x

• ∀x ∈22 ; , arctan(tan( x )) = x

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

Exemples

• tan(arctan(100)) = 100

• arctantan-=5 12 5 12

Attention

Il faut être attentif au domaine de validité de ces propriétés !

Exemple

arctantanarctan 2 3 3 3 =-=- car tan-=3 3 et 322 ; .

f7( x ) = arccos(1 – 2x ) COPYRIGHTVANIN

Propriété

Dérivée de la fonction arctangente

∀x ∈ °, (arctan( x ))′ = 1 12 + x

Démonstration

Soit x ∈ °.

Par la formule de la dérivée de la réciproque d’une fonction,

(arctan( x ))′ = 11 1 1 1 ta22 n( = + = + ′ arctan())tanarctan )(() xx x car, pour tout réel x, tan(arctan( x )) = x

Remarque

Si f est une fonction dérivable en x, alors

(arctan( f ( x )))′ = 1 12 +(()) fx f ′( x )

EXERCICES

1. Apparie chaque graphique à l’expression analytique de la fonction qui lui correspond.

f1( x ) = arccos( x )

f2( x ) = π 2 – arcsin( x )

f3( x ) = 2arccos( x ) – π 2

f4( x ) = –arccos x 2

f5( x ) = arcsin x 22 +

f6( x ) = arcsin(1 – 2x )

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

2. Laquelle des fonctions suivantes est représentée ci-dessous ? Justifie.

−10−8−6−4−2246810

f ( x ) = arctan( x – 2) + π g( x ) = arctan( x – π) + 2 h( x ) = 2arctan( x – 2) + π i( x ) = 2arctan( x – π) + 2

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

3. Considérons les fonctions f et g définies par f ( x ) = arcsin(sin( x )) et g ( x ) = sin(arcsin( x )).

Associe chaque fonction à sa représentation graphique et justifie. x

4. Considérons les fonctions f : °

(a) Restreins les fonctions f et g afin de les rendre injectives.

(b) Détermine la réciproque des fonctions restreintes f et g au point (a) et précise leur domaine et leur ensemble-image.

5. Sans calculatrice, donne, si elle existe, la valeur de :

(a) arctan3 3

(e) sinarcsin 4 3

(g) cos(arccos(–0,3))

(i) arctantan 2

(k) arcsincos 3

(b) arcsin(1)

(d) arcsinsin 4 3

(f) arccoscos8

(h) sin(arcsin(2))

(j) tan(arctan(14))

(l) sinarccos1 3

6. Résous les équations et inéquations suivantes dans °

(a) arcsin( x ) =π 3

(f) sin(arccos( x )) = 1 2

(h) 2arccos(1 – x ) < 4 3 π

(b) arccos(2x ) + arccos 1 24 =

(e) arctan(2x – 1) = arctan x2

(g) arcsin( x ) ≤ π 4

(i) arctan( x ) >5 4 π

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

7. Détermine le domaine de définition et la dérivée des fonctions suivantes.

(a) f ( x ) = arccos(4x – 1)

(e) fx x ()arcc =os 1

(g) f ( x ) = arcsin sin x2

(i) fx x x ()=+ arctan 2 3

(k) f ( x ) = arcsin() arctan 2 x x ()

(m) f ( x ) = arcsin() x

(o) f ( x ) = arcsin() 34 x -+ π

(b) f ( x ) = arcsin x2 – 3

(d) f ( x ) = 1 arccos() x

(f) f ( x ) = (arctan( x ))2

(h) f ( x ) = sin(arccos(3x ))

(j) fx x x ()arccos() = 2

(l) f ( x ) = arcsin x

(n) f ( x ) = arctan+ () x π 4

(p) f ( x ) = arccos()4 6 x π

8. Dresse le tableau de variations de la fonction f définie par f ( x ) = arctan x2 – 3

9. On veut placer une caméra de surveillance sur un mur d’une longueur de 5 mètres. Les murs perpendiculaires au mur de 5 mètres mesurent 2 mètres et 3 mètres comme illustré sur le schéma ci-dessous

C 3 m 2 m x m 5 m

(x)

(a) Donne l’expression analytique de θ ( x ), l’angle qui donne le champ de vision de la caméra en fonction de x

(b) Démontre que () () x xx 3 9 2 5422 +-+

(c) À quelle distance x du mur de 3 mètres la caméra doit-elle se trouver afin que l’angle θ ( x ) soit le plus grand possible ? Arrondis ta réponse au centimètre près.

10. Démontre que pour tout réel x compris entre –1 et 1, arcsin( x ) + arccos( x ) = π 2 . Illustre ensuite cette identité graphiquement.

11. (a) Démontre que, pour tout réel x strictement positif, arctan( x ) + arctan 1 2 x = .

(b) Le résultat est-il le même si x est strictement négatif ?

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

12. Étudie les limites aux bornes du domaine des fonctions suivantes :

(a) fx x ()arct =an 1

13. Montre les identités suivantes :

(a) arctanarctan 1 2 1 34 +=

(e) arctanarcs 4in 3 3 52 +=

(b) fx x () arctan() = 1

(d) fx x x () arcsin() 1 2

(b) arctanarctan ()() 233 4 += π

(d) arccosarccos 5 13 12 132 +=

Synthèse

Injectivité, surjectivité et bijectivité

• Une fonction f : E → F est injective si ∀x1, x2 ∈ dom f, x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1) ≠ f ( x2).

Cela signifie que toute droite horizontale a au plus un point d’intersection avec le graphe de f

Propriété :

Si une fonction est strictement monotone, alors elle est injective.

• Une fonction f : E → F est surjective si ∀y ∈ F, ∃x ∈ E, f ( x ) = y

Autrement dit, f : E → F est surjective si im f = F.

• Une fonction f : E → F est bijective si f est injective et surjective.

Réciproque

• La relation réciproque d’une fonction f est la relation qui fait correspondre à chaque valeur y appartenant à im f, la ou les valeur(s) de x dont y est l’image.

• Condition d’existence d’une fonction réciproque : la relation réciproque de f est une fonction si et seulement si f est injective.

• Soient f et g deux fonctions injectives telles que dom f = im g et dom g = im f

Les fonctions f et g sont réciproques l’une de l’autre si ∀x ∈ dom f, ( g ∘ f )( x ) = x et ∀x ∈ dom g,

( f ∘ g)( x ) = x.

• Notation : la fonction réciproque d’une fonction f injective est notée f –1

• Propriétés des fonctions réciproques :

• Les applications bijectives f : E → F et g : F → E sont des fonctions réciproques l’une de l’autre si

∀x ∈ E, ∀y ∈ F, f ( x ) = y ⇔ x = g ( y ).

• Les graphes des fonctions f et f –1 sont symétriques par rapport à l’axe d’équation y = x

• (a; b) ∈ Gr f ⇔ (b; a) ∈ Gr f –1 .

• dom f = im f –1 et im f = dom f –1

• Le graphe de f –1 a pour équation x = f ( y ).

• Monotonie et continuité de fonctions réciproques :

Si f : E → F est une fonction continue et strictement monotone, alors sa relation réciproque est une fonction définie et continue sur f (E ) et de même sens de variation que f

• Dérivée de la réciproque d’une fonction :

Soit f une fonction injective et dérivable en f –1( x ) telle que f ′ f –1( x ) ≠ 0. ()()fx ff x1= 1 1

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

Fonction arcsinus

• La fonction arcsinus, définie par arcsin : [–1; 1] →22 ; : x ↦ arcsin( x ) est telle que :

arcsin( x ) = y ⇔ x = sin( y ) où22 y

• Représentation graphique et caractéristiques de la fonction arcsinus :

dom arcsin [–1; 1] im arcsin22 ; Zéro 0

Parité impaire

Variation strictement croissante

Minimum en x = … –1

Maximum en x = … 1

Point d’inflexion (0; 0)

• Propriétés :

• La fonction sinus restreinte à22 ; et la fonction arcsinus sont réciproques l’une de l’autre.

• x ∈ [–1; 1] ⇔ sin(arcsin( x )) = x

• x ∈22 ; ⇔ arcsin(sin( x )) = x

• Dérivée de la fonction arcsinus :

∀x ∈ ] –1; 1[, (arcsin( x ))′ =1 12 x

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

Fonction arccosinus

• La fonction arccosinus, définie par arccos : [–1; 1] → [0; π] : x ↦ arccos( x ) est telle que : arccos( x ) = y ⇔ x = cos( y ) où 0 ≤ y ≤π.

• Représentation graphique et caractéristiques de la fonction arccosinus :

y = arccos( x )

x dom arccos [–1; 1] im arccos [0; π]

Zéro 1

Parité ni paire ni impaire

Variation strictement décroissante

Minimum en x = … 1

Maximum en x = … –1 Point d’inflexion 0;2

• Propriétés :

• La fonction cosinus restreinte à [0; π] et la fonction arccosinus sont réciproques l’une de l’autre.

• x ∈ [–1; 1] ⇔ cos(arccos( x )) = x

• x ∈ [0; π] ⇔ arccos(cos( x )) = x

• Dérivée de la fonction arccosinus :

∀x ∈ ] –1; 1[, (arccos( x ))′ =1 12 x

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

Fonction arctangente

• La fonction arctangente, définie par arctan : ° →22 ; : x ↦ arctan( x ) est telle que :

arctan( x ) = y ⇔ x = tan( y ) où -<< ππ 22 y

• Représentation graphique et caractéristiques de la fonction arctangente : −7−6−5−4−3−2−11234567 y = arctan( x ) 0 x

dom arctan ° im arctan22 ; Zéro 0

Parité impaire

Variation strictement croissante

Extrema en x = … pas d’extrema

Point d’inflexion (0; 0)

Asymptotes

• Propriétés :

• La fonction tangente restreinte à22 ; et la fonction arctangente sont réciproques l’une de l’autre.

• x ∈ ° ⇔ tan(arctan( x )) = x

• x22 ; ⇔ arctan(tan( x )) = x

• Dérivée de la fonction arctangente : ∀x ∈ °, (arctan( x ))′ = + 1 12 x

EXERCICES RÉCAPITULATIFS

1. Sur la base des représentations graphiques des fonctions f : ° → ° et g : ° → °, indique si elles sont injectives ou non.

−9−8−7−6−5−4−3−2−11 0 23456789

2. Vérifie si les fonctions suivantes sont injectives, surjectives et/ou bijectives.

(a) f : °+ → °+ : x ↦ x2 + 1 (b) g : ° → ° : x ↦ (2x – 4)3 + 8

3. Choisis si nécessaire une restriction de la fonction f, détermines-en la réciproque et représente la fonction f et sa réciproque dans un même repère.

(a) f : ° → ° : x ↦ 42 - x

(b) f : ° → ° : x ↦ –2x2 + 3

f : ° → ° : x ↦ 1 3 353 + x

(e) f : ° → ° : x ↦ cos(2x + π) (f) f : ° → ° : x ↦ 2arccos( x ) + π

(g) f : ° → ° : x ↦ 1 24 tanx

(i) f : ° → ° : x ↦ 103 21 x x + +

4. Considérons la fonction f définie par f ( x ) = x 21.

(h) f : ° → ° : x ↦ 1 24 arctan() x π

(j) f : ° → ° : x ↦ 2x2 – 12x + 14

(a) Détermine le plus grand réel a possible afin que la restriction de la fonction f à l’intervalle ] –∞; a] soit injective.

(b) Après avoir décomposé f à l’aide de fonctions de référence, déduis-en la fonction réciproque de f restreinte à l’intervalle déterminé en (a).

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

5. Apparie chaque expression analytique à la représentation graphique qui lui correspond.

f1( x ) = 2arsin( x + 1)

f2( x ) = arcsin(2x + 1)

f3( x ) = arccos(1 – x )

f4( x ) = –arccos( x ) + π 4

f5( x ) = 1 24 arcsin() xπ

f6( x ) = π 2 +-1 arcsin() x

f7( x ) = arccos(–1 – 2x )

FONCTIONS RÉCIPROQUES ET CYCLOMÉTRIQUES

6. Considérons la fonction f représentée ci-dessous.

(a) Dans le repère ci-dessus, représente la fonction arctangente.

(b) Donne l’expression analytique de f sachant qu’il s’agit d’une transformée de la fonction arctangente.

7. Détermine le domaine de définition et la dérivée des fonctions suivantes.

(a) f ( x ) = arctan 3x2 + 4x – 7

(e) f ( x ) = 12 - x ⋅ arccos( x )

(g) f ( x ) = arccos+)( x x 1

(i) f ( x ) = arccos()2 3 x π

DÉFI

8. Te rappelles-tu au début de ce chapitre ?

(b) f ( x ) = arcsin(5 – 10x )

(d) f ( x ) = arccos 4x2

(f) f ( x ) = x x arcsin()

(h) f ( x ) = arctan 31 43 x x+

(j) f ( x ) = π 3 -a2rcsin() x

À quelle distance x doit-il se placer pour que l’angle de vue θ ( x ), formé par les deux droites reliant son œil au bord inférieur et au bord supérieur de l’écran, soit maximal ?

Arrondis la distance recherchée au centimètre près.

Tu es maintenant capable de répondre !

Connecte-toi sur et entraîne-toi avec des exercices complémentaires.

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES

Objectifs

Connaître

• Démontrer les propriétés des fonctions logarithmes.

• Comparer les modes de croissance des fonctions exponentielles, logarithmes et puissances sur ° 0 +

• Justifier les étapes de résolution d’une équation exponentielle ou logarithmique.

• Justifier les étapes de résolution d’une inéquation exponentielle ou logarithmique.

Appliquer

• Résoudre une équation exponentielle ou logarithmique.

• Résoudre une inéquation exponentielle ou logarithmique.

• Calculer des limites et des dérivées de fonctions exponentielles et logarithmes.

• Utiliser un repère en coordonnées (semi-)logarithmiques.

Transférer

• Résoudre un problème nécessitant le recours à des fonctions exponentielles, logarithmes.

• Résoudre un problème nécessitant le recours à des équations et inéquations exponentielles, logarithmes, puissances.

• Ajuster un nuage de points par une fonction exponentielle ou logarithme.

Introduction historique

Depuis l’Antiquité, les mathématiciens cherchent à comprendre comment évoluent des quantités qui augmentent ou diminuent rapidement. Ils s’intéressent, par exemple, au doublement d’une population, à l’accumulation de richesses ou à la transmission d’un phénomène dans le temps.

Au XVIIe siècle, avec l’essor du commerce, de la navigation et des sciences expérimentales, ces questions deviennent centrales : Comment décrire précisément un capital placé à intérêts composés ? Comment modéliser la croissance d’une population ?

Ces problèmes conduisent naturellement à l’introduction des fonctions exponentielles, qui modélisent des évolutions où une grandeur est multipliée par un même facteur à intervalles réguliers. Contrairement aux fonctions linéaires, la croissance n’est plus constante : elle s’accélère ou ralentit avec le temps.

Parallèlement, un autre besoin apparaît : simplifier les calculs. Avant l’invention des calculatrices, multiplier de grands nombres ou manipuler des puissances élevées était extrêmement coûteux en temps et en efforts. C’est dans ce contexte que Napier, au début du XVIIe siècle, introduit les logarithmes, permettant de transformer des multiplications en additions. Les logarithmes ne sont d’abord qu’un outil pratique, mais leur portée mathématique va rapidement s’imposer.

Au XVIIIe siècle, les travaux d’Euler marquent un tournant décisif. Il introduit le nombre e, aujourd’hui appelé nombre d’Euler, et montre

que la fonction exponentielle de base e possède une propriété exceptionnelle : sa dérivée est égale à elle-même. Cette propriété fait de l’exponentielle un outil fondamental pour décrire des phénomènes continus d’évolution.

À partir du XIXe siècle, les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmes deviennent des piliers de la modélisation scientifique. Elles permettent non seulement de décrire des phénomènes complexes, mais aussi de changer de point de vue, grâce aux échelles logarithmiques qui rendent lisibles des variations extrêmement grandes.

Aujourd’hui, les fonctions exponentielles et logarithmes sont présentes dans de nombreux domaines :

• en biologie et en médecine : croissance bactérienne, évolution de tumeurs, propagation de virus ;

• en physique : désintégration radioactive, atténuation des ondes ;

• en chimie : cinétique des réactions, échelle du pH ;

• en économie et en finance : intérêts composés, inflation, modèles de croissance ;

• en sciences de la Terre : intensité des séismes, niveaux sonores (décibels) ;

• en informatique et en intelligence artificielle : apprentissage automatique, complexité algorithmique.

Le carbone 14 est un isotope radioactif utilisé pour la datation de fossiles vieux d’au plus 50 000 ans. Sa période radioactive, aussi appelée demi-vie, est de 5 730 ans.

À la fin de ce chapitre, tu seras capable de dater un organisme à l’aide du carbone 14 et d’expliquer pourquoi cette méthode ne peut pas être utilisée pour les dinosaures !

Prérequis

TEST DIAGNOSTIQUE

Connaître

1. Parmi les définitions suivantes, donne celle qui décrit que la fonction f est strictement croissante sur [;] 03 .

 ∃c ∈ [;], 03 ∀ xf xf c [;],()() 03  ∀ab ab fa fb ,[;]03,()() <<

 ∃c ∈ [;], 03 ∀ xf xf c [;],()() 03  ∀ab ab fa fb ,[;]03,()() <>

Appliquer

2. Écris sous la forme a n où n §.

(a) aa46 (b) a a 21 3 (c) a a 4 12

(d) a 43 (e) aa 3 2 (f ) a a 2 8

3. Calcule les quatre premiers termes des suites définies ci-dessous et précise laquelle est une suite géométrique.

(a) u n n • 0 () est telle que un n =+45

(b) v n n 0• () est telle que v n n =+45

4. Les suites géométriques suivantes sont-elles croissantes ou décroissantes ?

(a) () u nn 0• définie par u n n=2

(b) () v n n 0• définie par v n n = 1 4

5. Calcule les dérivées suivantes.

(a) (()) xx +sin ′

(b) xx 2cos()

(d) cos x 2

(e) (41)3 x + (f ) 1- x

THÉORIE

Caractéristiques d’une fonction

Définitions

• Fonction croissante sur un intervalle

Soient f : ° → ° une fonction et I un intervalle inclus dans le domaine de f . f est croissante sur I si ∀ xx Ix xf xf x 121212 ,()() ,<

• Fonction décroissante sur un intervalle

Soient f : ° → ° une fonction et I un intervalle inclus dans le domaine de f . f est décroissante sur I si ∀ xx Ix xf xf x 121212 ,()() ,< .

• Fonction strictement croissante sur un intervalle

Soient f : ° → ° une fonction et I un intervalle inclus dans le domaine de f f est strictement croissante sur I si ∀ xx Ix xf xf x 121212 ,()() ,<<

• Fonction strictement décroissante sur un intervalle

Soient f : ° → ° une fonction et I un intervalle inclus dans le domaine de f . f est strictement décroissante sur I si ∀ xx Ix xf xf x 121212 ,()() ,<>

Illustrations

• f est croissante • g est décroissante y

• h est strictement croissante

i est strictement décroissante y

Suites

Définition

Suite numérique

Une suite numérique, notée u ( ) n n • 0 , est une fonction 0• → ° : n ↦ u n

Autrement dit, une suite numérique est une liste ordonnée et infinie de nombres réels.

Définition

Suite géométrique

La suite u () n n • 0 est une suite géométrique si tout terme, à partir du deuxième, est obtenu en multipliant le terme précédent par une même constante q, appelée raison. En langage mathématique, la suite u () n n • 0 est une suite géométrique si

Propriété

Terme général d’une suite géométrique

Le terme général d’une suite géométrique u n n 0 de raison q est donné par la formule :

Propriété

Variation d’une suite géométrique

La variation d’une suite géométrique u n n 0 de raison q est donnée dans le tableau suivant :

n 0 est strictement croissante et croît de façon exponentielle

décroissante et décroît de façon exponentielle

FONCTIONS

q =1

u n n 0 est constante

u n n

10234567891011121314

u n n 0 est strictement décroissante et décroît de façon exponentielle

01 << q

01234567891011121314

q =0 u n n 0 est décroissante

1234567891011121314

Dérivée

Propriétés

Dérivée des fonctions de référence

Fonctions puissances

• () k ′ =0 où k est une constante

• x x 22 =

• () x ′ =1

• xnxnn=-1 où n 0§

• x x = 1 2 • 11 2 xx =-

Fonctions trigonométriques

• (sin())cos()xx ′ =

• (tan()) cos tan ()() x x x ′ ==+ 11 2 2

• (cos())sin()xx ′ =-

Propriétés

Formules de dérivation

Soient k un réel et f et g deux fonctions dérivables en un réel x

• ()()()() fg xf xg x +=+′′′

• ()()()() fg xf xg x -=-′′′

• ()()()()()() fg xf xg xf xg x =+

• ()()() kf xk fx =

• 1 2 f x fx fx ()() (()) =- si fx() ≠ 0

• f g x fx gx fx gx gx ()()()()() (()) =2 si gx() ≠ 0

• ()()(())()()()() fg x ffgxgx gx o ==

Propriété

Lien entre le signe de la dérivée première d’une fonction et sa croissance

Soient a et b deux réels et f une fonction continue sur [;] ab et dérivable sur ];[ ab

• f est croissante sur [;] ab si et seulement si ′ f est positive sur ];[ ab .

• f est décroissante sur [;] ab si et seulement si ′ f est négative sur ];[ ab

• Si ′ f est strictement positive sur ];[ ab , alors f est strictement croissante sur [;] ab

• Si ′ f est strictement négative sur ];[ ab , alors f est strictement décroissante sur [;] ab .

Propriété

Lien entre la dérivée première d’une fonction et ses extrema

Soient c un réel appartenant à ];[ ab et f une fonction continue sur [;] ab et dérivable sur ];[{} ab ∖ c

• Si le signe de ′ f passe de positif à négatif en c , alors fc() est un maximum de f sur [;] ab

• Si le signe de ′ f passe de négatif à positif en c , alors fc() est un minimum de f sur [;] ab .

Exemple

Considérons la fonction f définie par fx xx x ()=-+32695

On a que ′ fx xx ()=-+ 31229

Zéros de ′ fx x :31292-+=0

⇔ xx2430-+==--=> ()441340 2

Tableau de signes de ′ f et tableau de variations de f : x 1 3

′ fx() +0−0+ fx

1. Fonctions exponentielles

DÉCOUVERTE

Activité 1 Des suites géométriques aux fonctions exponentielles

Dans un laboratoire de biologie, une culture bactérienne est placée dans un milieu nutritif optimal (température, pH et nutriments contrôlés).

Au début de l’observation, la culture contient 1 000 bactéries.

Tant que les conditions restent idéales et que les ressources ne sont pas limitées, la population double chaque jour par division cellulaire.

On note u n le nombre de bactéries, exprimé en milliers, n jours après le début de l’observation.

1. Calcule u0, u1, u2… jusqu’à u5

2. Justifie que ces termes sont ceux d’une suite géométrique.

3. Donne le terme général de cette suite. Simplifie l’expression au maximum.

4. Représente les premiers termes de cette suite dans un repère du plan.

5. Il n’est pas obligatoire de considérer des jours complets pour donner le nombre de bactéries présentes dans la culture.

Calcule le nombre de bactéries dans les situations suivantes :

(a) 24 h avant le début de l’observation.

(b) 48 h avant le début de l’observation.

(d) Un jour et demi après le début de l’observation.

On est amenés à prolonger la suite u n n =2 définie sur • à une fonction définie sur °, donnée par ux x () =2 .

On dit que la fonction u est la fonction exponentielle de base 2.

6. Représente la fonction u définie sur ° dans un repère du plan.

Tu viens de tracer le graphe de la fonction exponentielle de base 2. De manière générale, on peut effectuer ce travail pour n’importe quelle base a où a ° + { ; } 0 \ 1 .

Activité 2 Étude graphique des fonctions exponentielles

Scanne le code QR ci-contre qui donne la représentation graphique de la fonction f définie par fx a x ()= où a ° +{;} 0 \ 1 sur GeoGebra. Fais varier les valeurs de a afin de répondre aux questions suivantes. Discute les différentes valeurs possibles de a lorsque c’est nécessaire.

1. Quel est le domaine de définition de f ?

2. Quel est l’ensemble-image de f ?

3. La fonction f possède-t-elle des zéros ?

4. Quel est le signe de f ?

5. Quelle est la variation de f ?

6. Le graphe de f possède-t-il des asymptotes ? Si oui, donne leurs équations.

πG

Tu viens de découvrir qu’il existe deux catégories de fonctions exponentielles :

• les fonctions exponentielles strictement décroissantes, dont la base est strictement comprise entre 0 et 1 ;

• les fonctions exponentielles strictement croissantes, dont la base est strictement plus grande que 1.

THÉORIE

Définition

Croissance ou décroissance exponentielle

Une croissance est exponentielle si le taux de croissance est constant sur des intervalles de longueur constante donnée.

Exemples x 1234 + 1+ 1+ 1 y 24816

Remarque

Si, pour un accroissement constant et positif de la variable indépendante,

• le rapport des valeurs de la variable dépendante est constant et strictement supérieur à 1, alors il s’agit d’une croissance exponentielle ;

• le rapport des valeurs de la variable dépendante est constant et strictement compris entre 0 et 1, alors il s’agit d’une décroissance exponentielle

Définition

Fonction exponentielle de base a

Soit a ° +{;} 0 \ 1 f : °° est une fonction exponentielle de base a, notée expa , si pour tout réel x , fx a x ()= .

Remarque

Le domaine d’une fonction exponentielle doit être ° et cette fonction doit modéliser une croissance ou une décroissance exponentielle.

Cela explique que la base a ne peut donc pas valoir :

• 1, car 11 x = pour toute valeur de x . On obtient alors une fonction constante et non une fonction qui modélise un phénomène exponentiel ;

• 0, car 0 x vaut 0 si x >0 et n’est pas défini pour tout x . On obtient alors une fonction constante définie sur ° 0 + et non une fonction qui modélise un phénomène exponentiel ;

• un nombre strictement négatif, car a x n’est pas définie pour tous les réels x lorsque a <0 . Par exemple, -2 1 2 n’est pas défini dans les réels.

Propriété

Fonctions à croissance exponentielle

Les fonctions à croissance exponentielle sont de la forme fx ka x ()= où k >0 et a ∈ °+\{;} 01 .

Propriété

Règles de calculs sur les exponentielles

Soient a ° +{;} 0 \ 1 et xy , °

aa a xy xy=+

1 a a x x =-

a a a x y xy=-

a b b a

aa x y xy =

() ab xxab x =

Propriété

Représentation graphique et caractéristiques des fonctions exponentielles

Soit a ° +{;} 0 \ 1

Voici quelques-unes des caractéristiques de la fonction f définie par fx a x ()= 01 << a a >1

Représentation graphique

dom aexp ° im aexp ° 0 +

Zéro �

Croissance Strictement décroissante

Limites aux bornes du domaine et asymptote

Propriété

lim x x a

& = 00

Strictement croissante

lim x x aAHy== & & = 00

lim x x a →+ =+ & &

Points particuliers du graphe d’une fonction exponentielle

Soient a ° +{;} 0 \ 1 et f la fonction définie par fx a x ()= .

Les points (;) 01 , (;) 1 a et -11 ; a appartiennent au graphe de f

Démonstration

Soient a ° +{;} 0 \ 1 et f la fonction définie par fx a x ()= .

Par définition du graphe d’une fonction, les points du graphe de f sont de la forme ; xa x pour tout xdom f ∈ .

• Comme fa ()01 0 == , le point (;) 01 appartient au graphe de f .

• Comme fa a ()11== , le point (;) 1 a appartient au graphe de f .

• Comme fa a ()-==1-1 1 , le point -11 ; a appartient au graphe de f

Propriété

Symétrie des graphes des fonctions expa et exp 1 a

Soit a ° +{;} 0 \ 1 .

Les graphes des fonctions f et g définies par fx a x ()= et gx a x ()=1 sont symétriques par rapport à l’axe Oy

Exemple

−4−3−2−11234

Remarque

Cette propriété découle des propriétés sur les puissances et des transformations de fonctions vues en 4e année.

En effet, gx a aa fx x x x ()() ====11 . Pour obtenir le graphe de g , le graphe de f a donc bien

subi une symétrie orthogonale d’axe Oy .

Propriétés

Propriétés utiles à la résolution d’équations et d’inéquations exponentielles

Soit a ∈ °+\{;} 01

• Injectivité

La fonction exponentielle de base a est injective.

Autrement dit, pour tous réels x et y :

• Croissance

aa xy xy== ⇔

• Si 01 << a , la fonction exponentielle de base a est strictement décroissante.

Autrement dit, pour tous réels x et y :

aa xy xy<> ⇔

• Si a >1, la fonction exponentielle de base a est strictement croissante.

Autrement dit, pour tous réels x et y :

aa xy xy<< ⇔

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES

Exemples

• 39332 2 xx x === ⇔⇔ car la fonction exp3 est injective.

Donc S ={

• 101010101 2 1 2 xx x >>> ⇔⇔ car la fonction exp10 est strictement croissante.

Donc S = 1 2; & .

• 1 2 81

xx x- car la fonction exp 1 2 est strictement décroissante.

Donc S =--];] & 3

EXERCICES

1. Sachant que les fonctions représentées ci-dessous sont des fonctions exponentielles, détermine leur expression analytique.

2. Sur le graphique ci-dessous sont représentées les fonctions fg h ,, et i définies par fx x (),=21 , gx x (),=18 , hx x (),=012 et ix x (),=021

FONCTIONS

Associe chaque fonction à sa représentation graphique. Justifie.

3. Résous les équations suivantes dans °

(a) 232 x = (b) 81 x =

(e) 10000001 x =, (f) 21 16 x =-

(g) 255 2 x = (h) 090821,, x = (i) 2644 5 x -= ( j) 2318 61 x += (k) 101620 2 x = (l) 1 6 3651 x x =+

(m) 224234 xx += (n) 48 x =

(o) 448 += x (p) 444 += x (q) 55150 1 xx+= + (r) 23xx =

(s) 425210 2 xx-+= (t) 963270 xx = (u) 78710 21xx +-+= (v) 3570 21xx++= +

4. Résous les inéquations suivantes dans °.

(a) 7 10 049 x , (b) 422 1 x +< (c) 1 8 16 x > (d) 3013000 25 , -< x (e) 3221742xx -+ ≤ (f) 450 xx - ≥ (g) 101033 xx>-+ (h) 4 16 64 1 x x + > (i) 88 9 9 5 x + (j) x 1-

(k) 1 5 12525 72 2 x x + (l) 7491 21 ⋅ x +>

(m) 444162 xx (n) 38330 21xx ++-

(o) 1 4 5240 x x -+ - (p) 51 5 26 5 x x +<

(q) 231 2 x - (r) 1111xx <

5. Sachant que 5510 x += , calcule 25 x

6. Une ville compte 5 personnes infectées par un virus le 1er mars. Le nombre d’infectés triple tous les jours. Ce modèle n’est valable que pendant les premiers jours de l’épidémie.

(a) Donne l’expression de la fonction in() qui donne le nombre d’infectés n jours après le 1er mars.

(b) Combien d’infectés y aura-t-il le 11 mars ?

7. À 8 h du matin, un yaourt est laissé à température ambiante dans un laboratoire. On s’intéresse uniquement aux bactéries indésirables qui s’y développent et qui sont initialement très rares : on estime qu’il y en a 200 dans 1 g de ce yaourt à 8 h.

Dans ces conditions particulières, on observe que le nombre de bactéries indésirables double toutes les demi-heures.

On considère qu’au-delà de 12 800 bactéries indésirables par gramme, il y a un risque non négligeable pour la santé de consommer ce yaourt.

(a) Donne l’expression de la fonction Bt() qui modélise le nombre de bactéries indésirables t heures après 8 h.

(b) Jusqu’à quelle heure peut-on consommer ce yaourt sans risque pour la santé ?

8. Une entreprise spécialisée dans la location de trottinettes électriques vise une augmentation annuelle de son chiffre d’affaires de 10 %. Son chiffre d’affaires à la fin de l’année 2025 était de 35 millions d’euros.

(a) Donne l’expression analytique de la fonction ct() qui donne le chiffre d’affaires espéré, exprimé en millions d’euros, à la fin de l’année t .

(b) Si son objectif est atteint, justifie que c’est au cours de l’année 2033 que son chiffre d’affaires serait doublé par rapport à celui de 2025.

9. Afin de valoriser l’ancienneté de ses employés, une entreprise accorde une augmentation salariale tous les deux ans.

Le tableau suivant donne le montant du salaire de Milo ces dernières années :

Année2020202220242026

Salaire2 854,52 €2 911,61 €2 969,84 €3 029,24 €

(a) Justifie que l’augmentation salariale de Milo suit une croissance exponentielle.

(b) Modélise l’évolution du salaire de Milo par une fonction exponentielle en fonction de l’année paire n.

2. Fonctions logarithmes

DÉCOUVERTE

Activité 1 Résolution d’équations exponentielles

1. Considérons l’équation x += 312.

(a) Résous l’équation suivante dans °

(b) Quelle fonction faut-il appliquer à chaque membre de l’équation pour passer de x 3+1 à x +1 ? Que représente cette fonction par rapport à la fonction racine cubique ?

Si f est une fonction injective et qu’on résout une équation du type fx b () = où bimf ∈ , on applique la fonction réciproque de f pour trouver x : f xb xf –1 b () () == .

2. Considérons l’équation 26 x = dans °

(a) Représente graphiquement la fonction fx x ()=2 et déduis-en la solution de l’équation donnée à 101 - près.

(b) 6 ne pouvant pas être exprimé comme 2m où m §, quel outil te manque-t-il pour résoudre cette équation ?

Activité 2 Réciproque des fonctions exponentielles

1. Soit la fonction exponentielle f définie par fx x ()=2 et représentée ci-dessous.

(a) La réciproque de f est-elle une fonction ? Justifie.

(b) Représente cette réciproque sur le graphique ci-dessus.

Tu viens de construire le graphe de la fonction réciproque de la fonction exponentielle de base 2.

Cette fonction réciproque est appelée fonction logarithme de base 2.

De manière générale, la fonction réciproque d’une fonction exponentielle de base a où a ° + { ; } 0 \ 1 est une fonction, et son expression analytique est notée f xx a () log( )=

2. Scanne le code QR ci-contre qui donne la représentation graphique de la fonction f définie par fx x a ()lo=g() où a ° +{;} 0 \ 1 sur GeoGebra.

Fais varier les valeurs de a afin de répondre aux questions suivantes. Discute des différentes valeurs possibles de a lorsque c’est nécessaire.

(a) Quel est le domaine de définition de f ?

(b) Quel est l’ensemble-image de f ?

(d) Quelle est la variation de f ?

(e) Le graphe de f possède-t-il des asymptotes ? Si oui, donne leurs équations.

THÉORIE

Définition

Fonction logarithme de base a

Soit a ° +{;} 0 \ 1

La fonction logarithme de base a, notée log a , est la fonction réciproque de la fonction exponentielle de base a.

Dès lors, la fonction logarithme de base a est la fonction qui, à chaque réel x strictement positif, associe l’exposant auquel il faut élever a pour obtenir x

Cela signifie que : log() a y xy xa== ⇔

GeoGebra

Illustrations

Vocabulaire et notation

Le logarithme de base 10 est appelé le logarithme décimal et se note log

Propriétés

Réciprocité des fonctions exponentielle de base a et logarithme de base a où a \ + { ; 01}

• ∀ x °, log a x a x =

• ∀ x 0 + ° , ax a x log()=

Remarque

Cette propriété découle de la définition de fonctions réciproques l’une de l’autre.

Exemples

• logl()og 2216424==

• log()l10og 00000106 6 ==

• loglog 55 11 5 51==-

• logloglo ()g 999 1 39291 2 ===

• 37 lo37g()= car 703 ° += dom log

Propriété

Représentation graphique et caractéristiques des fonctions logarithmes

Soit a ° +{;} 0 \ 1 . Voici quelques-unes des caractéristiques de la fonction f définie par fx x a ()lo )=g(

Représentation

Zéro

décroissante

croissante Limites aux bornes du domaine et asymptote

Remarque

Comme le domaine de définition d’une fonction logarithme est ° 0 + , il faut tenir compte de conditions d’existence lorsqu’on travaille avec une telle fonction.

Exemple

Considérons la fonction f définie par fx x ()log()=+541

CE : 410411 4 xx x +>>->⇔⇔

Donc domf =-+ 1 4; &

Propriété

Points particuliers du graphe d’une fonction exponentielle

Soient a ° +{;} 0 \ 1 et f la fonction définie par fx x a ()lo )=g(

Les points (;) 10 , (;) a 1 et 11 a ;- appartiennent au graphe de f .

Démonstration

Soient a ° +{;} 0 \ 1 et f la fonction définie par fx x a ()lo )=g( .

Par définition du graphe d’une fonction, les points du graphe de f sont de la forme xx a ;log() pour tout xdom f ∈

• Comme fa aa ()logl()og 10 10 === , le point (;) 10 appartient au graphe de f

• Comme f aa a aa ()logl()og ===11, le point (;) a 1 appartient au graphe de f .

• Comme f aa a aa 111 ==1=loglog , le point 11 a ;- appartient au graphe de f

Propriétés f x y 1 1,5 2 0,5 1 1,5 2 0,5 100,50,511,522,53

Propriétés utiles à la résolution d’équations et d’inéquations logarithmes

Soit a ° + \{} 1 .

• Injectivité

La fonction logarithme de base a est injective.

Autrement dit, pour tous réels x et y strictement positifs : logl()og() aaxy xy== ⇔

• Croissance

• Si 01 << a , la fonction logarithme de base a est strictement décroissante.

Autrement dit, pour tous réels x et y strictement positifs : logl()og() aaxy xy<> ⇔

• Si a >1, la fonction logarithme de base a est strictement croissante.

Autrement dit, pour tous réels x et y strictement positifs : logl()og() aaxy xy<< ⇔

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES

Exemples

• 3838 33 x x == loglog() ⇔ x =log() 38 car la fonction log 3 est injective.

Donc S ={log} 3() 8

• log>32 () x

CE : x >0

log>log> 3 33 223()()log xx ⇔ x >9 car la fonction log 3 est strictement croissante.

En tenant compte de la condition d’existence, S =+ ];[9 &

• log+2 3 41() x ≥

CE : xx+>>404 ⇔ log+-log+

2 3

2 3 1 4142 ()()3 log xx x +43 2 car la fonction log 2 3 est strictement décroissante. x5 2

En tenant compte de la condition d’existence, S =--45 ;2 .

Logarithme d’un produit

Démonstration

Soient a ° +{;} 0 \ 1 et xy , ° 0 +

Comme xy , ° 0 + , ax a x log()= et ay a y log()= par réciprocité des fonctions expa et log a

Dès lors,

logl()oglog()log() aa xy xy aaaa =

=loglog()log() a x + y a aa (règles de calcul sur les exponentielles)

=+ log()log()aaxy (par réciprocité des fonctions expa et log a )

Propriété

Logarithme d’un quotient

∀ a ° +{;} 0 \ 1 , ∀ xy , ° 0 + , loglog()log() aa a x y xy=-

Démonstration

Soient a ° +{;} 0 \ 1 et xy , ° 0 +

Comme xy,0 + ° , ax a x log()= et ay a y log()= par réciprocité des fonctions expa et log a

Dès lors,

loglog log() log() aa x y x y a a a a =

= loglog()log() a xy a aa (règles de calcul sur les exponentielles)

=logl()og() aaxy (par réciprocité des fonctions expa et log a )

Propriété

Logarithme d’une puissance

∀a ° +{;} 0 \ 1 , ∀ x ° 0 + , ∀n °, loglog() a n a xn x =

Démonstration

Soient a ° +{;} 0 \ 1 , x 0 + ° et n °.

Comme x ° 0 + , ax a x log()= par réciprocité des fonctions expa et log a .

Dès lors,

logl()oglog() a n a x n xa a =

=loglog() a nx a a (règles de calcul sur les exponentielles)

= nx a log() (par réciprocité des fonctions expa et log a )

Propriété

Changement de base d’un logarithme

∀ab,{;} \ ° +01 , ∀ x ° 0 + , log() log() log() a b b x x a =

Démonstration

Soient ab,{;} \ ° +01 et x ° 0 + .

Comme x ° 0 + , on a que :

ax a x log()= (par réciprocité des fonctions expa et log a )

loglolog() g() b x b ax a = (par injectivité de la fonction log b )

log()loglo()g() ab b xx a = (par le logarithme d’une puissance)

⇔ log() log() log() a b b x x a = (car log() b a ≠ 0 vu que a ≠ 1)

Remarques

• Les calculatrices étant limitées à quelques fonctions logarithmes, la propriété du changement de base permet d’approximer n’importe quel logarithme en utilisant le logarithme décimal, disponible sur les calculatrices scientifiques.

Exemple

loglog()()log(), 599 5 =136521 ≈

• On exploite les propriétés précédentes pour résoudre des équations exponentielles ou logarithmes.

Exemple

log()loglo()g()222212xx x ++=+

CE : x >0 et 210 x +> et x +>20

⇔ x >0 et 21 x >- et x >-2

⇔ x >0 et x >1 2 et x >-2

⇔ x >0

On a que :

log()loglo()g()222212xx x ++=+

log()l()og() 22212xx x +=+ (par le logarithme d’un produit)

logl 2og() 2 2 22 xx x +=+

⇔ 22 2 xx x +=+ (car la fonction log 2 est injective)

⇔ 22 2 x =

⇔ x 21 =

⇔ x =±1

Comme 1 vérifie la CE mais pas -1, S =1{}

Propriété

Symétrie des graphes des fonctions log a et log 1 a

Soit a ° +{;} 0 \ 1 .

Les graphes des fonctions f et g définies par fx x a ()lo=g() et gx x a ()lo )=g( 1 sont symétriques par rapport à l’axe Ox .

Illustration

Remarque

Cette propriété découle de la propriété du changement de base d’un logarithme et des transformations de fonctions vues en 4e année.

En effet, g xx x a x a x

a ()log() log() log log() log lo ==g() ==11 1 =-=1 log()() a xf x . Pour obtenir le graphe de g , le graphe de f a donc bien subi une symétrie orthogonale d’axe Ox

EXERCICES

1. Calcule sans utiliser la calculatrice.

(a) log() 525

(d) log() 100000

(g) log 3 3 3

(b) log 8 1 8

(e) log() 66

(h) log() 82

(f ) log,()2025

(i) log() 5 25

2. Encadre les logarithmes suivants à l’aide de deux nombres entiers consécutifs, puis calcule-les, au centième près, à l’aide de la calculatrice.

(a) log516()

(b) log 4 1 3

3. Les fonctions f et g sont représentées dans le repère ci-dessous.

(a) Sachant que les fonctions f et g sont des fonctions logarithmes, détermine leur expression analytique.

(b) Calcule f () 16 et g () 16

4. Écris les expressions suivantes à l’aide d’un seul logarithme. On suppose que la condition d’existence de chaque logarithme est vérifiée.

(a) loglog 33 4 ()() xx ++

5. Résous les équations suivantes dans °.

Série 1

(a) 550 x =

(e) 2552 xx =

Série 2

(a) log()32 x =

(e ) logl1og 2 1 2 342()() xx+--=-

(g) 23323 log()log ()log() xx x +--=-

(b) logl20og()201 ()xx

(d) logl100og5()() xx

(b) 40021 x =

(d) 41221xx=-

(b) log() x +=-11

(d) logl 100og51100380 ()() xx +--=

(f) logloglo ()g()()2223610xx x -++=

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES

Série 3

(a) log x ()32 =

(e) logl 9og 2 9 21 xx x -=+()

(g) log=1616 ()() log x x

(i) logloglo ()g 24()() 1616 4 xx x +=

(k ) 2940 2 2 lo2 glog ()() xx-+=

(m) loglog() x x 213 +=

6. Résous les inéquations suivantes dans °

Série 1

(a) 2 3 2 x >

Série 2

(a) log+>5370 () x

(e) 225 lo555 g+-log->lo ()g+()()xx x

(g) log--l 6og> 2 6 9320 xx

(i) 40 1 3 2 -log() x

(k) loglog 3273()() xx

(b) loglog xx 32 =

(d) log 3 7 240 x -=

(f) log--log=l 14og-++2322 xx x ()

(h) 15113 1 4 4 lo=gl()og() xx

(j) log-=l3og 2 9 925 x ()

(l) log()l5og() 4 2 5 4 2 xx =-

(b) 42510 xx >

(d) 111132211xx xx +-

(b) log->01532 () x

(d) log+lo1g+ 2 1 2 2521 ()() xx ≤

(f) log xx251+-41

(h) log<log+ 421 ()() xx

(j) (log)()() 3 2 3 11120xx ++log+->

(l) log log () () 09 19 12 8 0+ x x ≤

7. Un capital de 10 000 € est placé à intérêts composés au taux annuel de 1,2 %.

(a) De quelle somme disposera-t-on dans 10 ans ?

(b) Combien d’années faudra-t-il pour que ce capital atteigne au moins 15 000 € ? Arrondis ta réponse au mois près.

8. Deux vidéos sont publiées sur un réseau social le même jour.

• La vidéo A est publiée par un compte peu connu, mais crée un buzz : elle démarre lentement, mais devient rapidement virale.

• La vidéo B est publiée par un compte très populaire : elle est beaucoup vue dès le départ, mais sa diffusion progresse ensuite plus lentement que la vidéo A.

Les premiers jours de diffusion de ces vidéos, on estime que At t (),=2000125 donne le nombre de vues de la vidéo A après t heures et que Bt t (), =50000104 donne le nombre de vues de la vidéo B après t heures. A et B sont définies sur [;[ 1+& .

Après combien de temps ces deux vidéos auront-elles le même nombre de vues selon ces estimations ?

9. Lorsqu’un séisme se produit, il provoque des vibrations du sol qui se propagent sous forme d’ondes. Ces vibrations sont enregistrées par un appareil appelé sismographe, qui produit un sismogramme. Sur ce document, on peut mesurer l’amplitude maximale A des vibrations du sol.

La magnitude d’un séisme est un nombre qui permet de mesurer sa force.

La magnitude locale, notée ML, a été introduite par Charles Richter. Elle est définie par la formule

où :

• A est l’amplitude maximale mesurée sur le sismogramme ;

• A0 est une amplitude de référence, mesurée à 100 km de l’épicentre.

(a) Calcule la magnitude d’un séisme pour lequel :

I. AA =100 ; II. AA =1000 ; III. AA =1 0000 .

(b) En utilisant tes réponses à la question (a), complète cette phrase : « La magnitude augmente de 1 unité lorsque l’amplitude est multipliée par … ».

(d) Deux séismes ont des amplitudes respectives A1 et A2 telles que AA 210=10 . Calcule la différence de magnitude entre ces deux séismes.

Lorsqu’on étudie un élément radioactif, l’une de ses principales caractéristiques est sa période radioactive, aussi appelée demi-vie. Celle-ci correspond au temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs d’un échantillon se désintègrent.

L’iode-131 est un isotope radioactif dont la période radioactive est d’environ 8,02 jours. Il est couramment utilisé en médecine nucléaire, notamment comme traceur pour le diagnostic des maladies de la thyroïde. En effet, une très faible quantité d’atomes radioactifs suffit pour suivre le comportement de l’iode dans l’organisme. Ces atomes s’intègrent à des molécules participant à la production des hormones thyroïdiennes. Des examens de scintigraphie permettent alors d’analyser l’activité de la thyroïde et de détecter d’éventuelles anomalies. Un médecin vient d’administrer une faible dose d’iode-131 à l’un de ses patients.

(a) Quelle proportion de la quantité reçue lors de l’injection restera-t-il au bout de 10 jours ? Arrondis à 102 - % près.

(b) Au bout de combien de temps restera-t-il moins de 5 % de la dose administrée ? Arrondis à l’heure près.

3. Calcul de limites et de dérivées

DÉCOUVERTE

Activité Dérivée des fonctions exponentielles

Scanne le code QR ci-contre pour découvrir la formule de la dérivée de la fonction exponentielle f définie par fx a x ()= où a +{} 01 ; .

(a) Quel lien y a-t-il entre le graphe de f et celui de sa dérivée ?

(b) En affichant la fonction dérivée sur l’animation GeoGebra, donne la forme générale de la dérivée de fx a x ()= .

(c) Intéressons-nous maintenant à une fonction exponentielle particulière : fx e x ()= où e est le nombre d’Euler qui vaut approximativement 2,71828.

I. À l’aide de l’animation GeoGebra, observe le graphe de f et celui de sa dérivée. Que peux-tu en déduire sur la dérivée de f ?

II. Sachant que ln est une fonction logarithme, appelée logarithme népérien, déduis-en sa base en exploitant tes réponses aux questions (b) et (c) I.

πG

La dérivée de la fonction exponentielle f () = xa x où a + {0;1} est égale à fx aa x () =ln( ) où ln désigne le logarithme népérien.

Le logarithme népérien est le logarithme de base e où e est le nombre d’Euler qui vaut approxivativement 2 71828 , .

Dès lors, la dérivée de fx e x () = est égale à fx e x ′() =

THÉORIE

Fonction exponentielle et logarithme de base e

Définition

Nombre d’Euler

Le nombre d’Euler, noté e, est défini par la limite e n n n =+ + lim & 11

GeoGebra

Remarques

• Le nombre e est un nombre irrationnel, au même titre que π et 2

• e ≈ 271828 , Fonction exponentielle népérienne

Définition

La fonction exponentielle de base e est appelée fonction exponentielle népérienne. exp:: + e x xe a 0 °° –1–2–3–410234

Remarque

Comme e > 1, les caractéristiques de la fonction exponentielle népérienne sont les mêmes que celles des fonctions exponentielles de base strictement plus grande que 1.

Définition

Fonction logarithme népérien

La fonction logarithme de base e, notée ln, est appelée fonction logarithme népérien lnln::() + 0 x x

Remarque

Comme e > 1, les caractéristiques de la fonction logarithme népérien sont les mêmes que celles des fonctions logarithmes de base strictement plus grande que 1.

Propriété

Réciprocité des fonctions exponentielle népérienne et logarithme népérien

Les fonctions exponentielle népérienne et logarithme népérien sont réciproques l’une de l’autre.

On a donc que :

• ∀ x , ∀ y ey xy x 0 +== ,ln()

• ∀ xe x x ,ln=

• ∀ xe x x 0 + =,ln()

Propriété

Dérivée de la fonction exponentielle népérienne

Pour tout réel x, eexx =

Remarque

Si f est une fonction dérivable en x, alors ee fx fx fx ()()() =

Exemples

• ee xe x xx x 22222==

• ee xe x xx x sin()sin()si(sinn() () )cos ==()

Propriété

Dérivée de la fonction logarithme népérien

Pour tout réel x strictement positif, (ln()) x x ′ = 1

Démonstration

Soit x > 0

Puisque expe et ln sont réciproques l’une de l’autre, on a que ex x ln()= pour tout x > 0.

Dès lors,

ex x ln()() =

ex x ln()(ln())=1

(ln())ln() x e x = 1 (ln()) x x = 1

Remarque

Si f est une fonction dérivable en x telle que im f ⊆ 0 + , alors (ln(() )) () () fx fx fx = 1

Exemples

Dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes

Propriété

Dérivées des fonctions logarithmes de base a + {0;1}

Soit a +{} 01 ; .

Pour tout réel x strictement positif, (log() )ln() a x ax = 1

Démonstration

Soit x > 0.

Par la propriété du changement de base d’un logarithme, (log() ) ln() ln()ln() (ln())ln()ln a x x aa x ax ==== 1111 ( ()ax

Remarque

Si a +{} 01 ; et si f est une fonction dérivable en x telle que im f ⊆ 0 + , alors (log(()))ln()() () a fx af x fx = 1

Exemples

• (log() )ln() x x = 1 10

• (log() )(log())(log() )(log())ln 7() 3 7 2 77 3321 7 xx xx x === 33 7 7 (log2 () ) ln() x x

• logln 3() 2 2 432 51 3435 435 xx xx xx +-= ++= + +83 3435 2 x xx ln() ln()2 1 34 x = + ++ 35 83 x x ()

Propriété

Dérivées des fonctions exponentielles de base a + {0;1}

Soit a +{} 01 ; . Pour tout réel x, aa a x x =ln()

Démonstration

Soit x Puisque expa et log a sont réciproques l’une de l’autre, on a que log a x a x = pour tout réel x. Dès lors, log() a x ax = 11

ln()aa a x x = aa a xx =ln()

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES

Remarque

Si a +{} 01 ; et si f est une fonction dérivable en x, alors aa af x fx fx ()() ln =()()

Exemples

• 444 x x =ln()

• 99925992 252525 x xx x + ++ =+= ln()()ln()

Calculs de limites

Propriétés

Limites des fonctions exponentielles et logarithmes

Soit a +{} 01 ;

• Si 01 << a :

• lim x x a →=+ & &

• lim x x a → + = & 0

• limlog() x a x → 0 =+&

• limlog() x a x → + =& &

• Si a > 1 :

• lim x x a →= & 0

• lim x x a → + =+ & &

• limlog() x a x → 0 =-& • limlog() x a x → + =+ & &

Théorème

Règle de l’Hospital

Soient a ∪ {} -+&& ; et f et g deux fonctions dérivables au voisinage de a tels que gx()0 pour tout réel x au voisinage de a

Supposons que lim() () xa fx gx → mène au cas d’indétermination 0 0 ou & & .

Si lim() () xa fx gx existe, alors

lim() () lim() () . xaxa fx gx fx gx =

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET

Exemples

• lim x x x → ++ = + + & & & 2 2 CI

Comme fx x ()=2 et gx x ()=+2 sont dérivables sur , comme fx() et gx() tendent vers +& lorsque x tend vers +& et comme gx x ()()=+=210, on peut appliquer la règle de l’Hospital :

• limln() x x x →121 0 0= CI

Comme fx x ()ln=() et gx x ()=-21 sont dérivables sur 0 + , comme fx() et gx() tendent vers 0 lorsque x tend vers 1 et comme gx xx()=-=2120 sur 0 + , on peut appliquer la règle de l’Hospital :

Propriété

Comparaison de la croissance de deux fonctions

Soient f et g deux fonctions définies sur 0 +

• Si lim() () x fx gx → + =+ & &, alors il existe un nombre réel à partir duquel f croît plus vite que g.

• Si lim() () x fx gx → + = & 0, alors il existe un nombre réel à partir duquel g croît plus vite que f

EXERCICES

1. Sans utiliser la calculatrice, calcule :

(a) ln e 2 =2

(d) ln e e 4 5

(b) eln() 3 =3

(e) eln()ln()57 +

2. Résous dans les équations et inéquations suivantes.

(a) ee x 213 +4 = (b) e x 32 =

(e) ln()ln()ln 41() 2110xx x ++-=+

(d) ln() 314 x +=

(f ) lnln() e e

(f ) 2354 ln()ln()=x

(g) e x 35 ≥ (h) e e e x 4 5 <32

(i) ln()92 x ≥

(j) ln-+ln(+)l ()n() xx x 332 ≤

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES

3. Calcule les dérivées suivantes.

(a) 5 2 x

(e) e x tan()

(g) log 4 21 x -

(i) ln()122 - x

(k) 3e x

(m) ()xe x -32

(o) arcsinln ((())) x

(q) ln + + 23 21 x x

(b) (log()8) x ′

(d) 241 x +

(f ) (ln()) 42 x ′

(h) ln() 122 - x

( j) cos() x x 3

(l) x x ln()

(n) e e x x+ 1 1

(p) lnln ((())) x

(r) log x 2

4. Calcule les limites suivantes et vérifie ta réponse à l’aide de GeoGebra.

(a) lim x x → - & 7

(e) lim x x e x → - &

(g) lim x x e x → + &

(i) limln() x x x → + & 2

(k) lim x x x xe e 01 -

(b) lim x x → + & 7

(d) limlog() , x x → + & 065

(f ) lim x x e x → 0

(h) lim ln() x x x → 02

(j) lim x x x → + + & 21 4

(l) lim log() log() x x x →1 9 3

(m) lim x x xe& (n) lim x x xe +&

(o) lim x x xe 0 2 1

(q) lim() x x x →+ lo+ g & 21

(p) lim() x x x →1 lo21 g+

(r) lim x x x →+& 5 32

5. Soient les fonctions f, g et h définies par fx x ()=2 , gx x ()=2 et hx x ()lo=g() 2

(a) À l’aide du calcul de limites, compare la croissance sur ° 0 + de ces trois fonctions.

(b) Compare leur comportement lorsque x → 0+ .

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET

6. Considérons les fonctions exponentielles f et g définies par fx x ()=5 et gx x ()=3 .

(a) Calcule ′ f et ′ g .

(b) Compare ′ f et ′ g sur ° 0 + afin de comparer la croissance de f et de g sur ° 0 +

7. Considérons les fonctions logarithmes f et g définies par fx x ()lo=g() 5 et gx x ()lo=g() 3

(a) Montre que pour tout réel x > 0, fx gx ()().

(b) Compare leur croissance sur ° 0 + .

8. Recherche les limites aux bornes du domaine de la fonction f définie par fx x x () () = ln et déduis-en le graphique sur lequel cette fonction est représentée.

9. Considérons les fonctions f , g et h définies par fx e x ()=-2, gx xe x ()=⋅ 2 et hx xx()ln=-() 2 . Pour chaque fonction, effectue son étude complète.

• Détermine son domaine de définition.

• Détermine sa parité.

• Recherche ses zéros et son ordonnée à l’origine.

• Calcule les limites aux bornes de son domaine et déduis-en les équations de ses asymptotes.

• Calcule ses dérivées première et seconde, et recherche leurs zéros et leurs éventuelles conditions d’existence.

• Établis le tableau récapitulatif.

• Esquisse son graphe.

Soit la fonction f définie par fx x ()() =log+71 .

Détermine une équation cartésienne de la tangente au graphe de f au point d’abscisse 0

On verse du thé dans une tasse dans une pièce dont la température ambiante est de 20 °C. Juste après avoir été servi, le thé est à 90 °C. On admet que le refroidissement de ce thé peut être modélisé par la loi de refroidissement de Newton : Tt e kt ()=+2070 ⋅

où Tt() donne la température du thé en °C, t minutes après avoir été servi, et où k est une constante.

(a) Après 10 minutes, le thé est à 60 °C. Déduis-en la valeur de k.

(b) Calcule la température du thé au bout de 20 minutes.

(d) Calcule lim() t Tt →+ & et interprète cette limite dans ce cas concret.

On modélise la pression atmosphérique (en Pa) en fonction de l’altitude x (en m) par px e x ()=-101325000012

Une équipe de secours utilise un drone pour repérer une personne disparue en montagne. Plus le drone monte, plus la zone visible augmente, mais plus l’air est rare et plus le drone doit dépenser de l’énergie pour rester stable. De plus, monter très haut augmente le risque de perdre des détails (la personne devient trop petite à l’image) : au-delà d’une certaine altitude, l’efficacité des recherches diminue.

On modélise l’efficacité des recherches par Ex xe px x ()() =1000 101325

(a) Simplifie Ex() sous la forme Ex xe kx ()=⋅ où k est une constante.

(b) Calcule Ex ′()

(d) Détermine une équation de la tangente au graphe de E au point d’abscisse 0 et interprète la pente obtenue.

4. Repères logarithmique et semi-logarithmique

DÉCOUVERTE

Activité Échelle des décibels

Les sons qui nous entourent peuvent être extrêmement différents les uns des autres. Le bruissement d’une feuille, une conversation normale, un aspirateur ou encore une fusée au décollage ne produisent évidemment pas la même intensité sonore.

En physique, cette intensité se mesure en watts par mètre carré ( Wm/2).

Le tableau suivant donne plusieurs bruits, ainsi que leur intensité sonore.

1. Est-il pertinent de représenter l’intensité de ces différents bruits sur une échelle linéaire ?

Lorsqu’on compare les intensités acoustiques de différents sons, on constate que leurs valeurs peuvent varier énormément : certaines sont très proches de zéro, tandis que d’autres sont des millions, voire des milliards de fois plus grandes. Il devient alors peu pertinent de représenter toutes ces valeurs sur une même droite graduée de façon linéaire.

Pour résoudre ce problème, on utilise une échelle logarithmique qui permet de comparer des mesures où l’ordre de grandeur varie sur une échelle très étendue.

C’est sur ce principe qu’est construite l’échelle des décibels, utilisée pour mesurer les niveaux sonores. Cette échelle permet de représenter, sur un même axe, aussi bien les sons très faibles que les sons extrêmement intenses, tout en restant lisible et exploitable.

2. Le niveau sonore L, exprimé en décibels et associé à une intensité sonore I, est défini par la formule :

L I =10 1012 log

où I est exprimée en watts par mètre carré (W/m2).

Complète le tableau donné dans l’énoncé en calculant le niveau sonore de chaque bruit.

3. Complète l’axe suivant en faisant correspondre la valeur du niveau sonore à sa bonne intensité.

Intensité I (W/m2)

10–1210–910–610–3100103106

Niveau sonore L (dB)

4. Sachant que l’intensité acoustique d’un concert de rock est de 10 3 2W/m2, place le point C sur l’axe précédent pour représenter cette intensité.

THÉORIE

Définition

Repère semi-logarithmique

Un repère semi-logarithmique est un repère dans lequel un axe est gradué de façon logarithmique, tandis que l’autre axe est gradué de façon linéaire.

Définition

Repère logarithmique

Un repère logarithmique est un repère dans lequel les deux axes sont gradués de façon logarithmique.

Remarques

• Un repère semi-logarithmique est utilisé pour représenter des phénomènes exponentiels ou des mesures qui varient énormément, parfois sur plusieurs ordres de grandeur.

• Un repère logarithmique (log-log) est adapté lorsqu’on étudie des phénomènes pour lesquels les variables dépendante et indépendante varient dans de grands intervalles.

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET

Exemple

On utilise un repère log-log pour représenter la force gravitationnelle F en fonction de la distance r entre deux masses m1 et m2 où FG mm r = ⋅ 12 2 avec G, la constante universelle de gravitation.

En effet, cette distance peut varier sur des échelles extrêmement différentes : elle est très petite à l’échelle atomique et immense à l’échelle astronomique (planètes, étoiles).

Un repère log-log permet alors de visualiser ces variations sur un même graphique.

Propriété

Représentation d’une fonction exponentielle dans un repère semi‑logarithmique

Dans un repère semi-logarithmique, une droite non verticale est la représentation graphique d’une fonction à croissance exponentielle et réciproquement.

Démonstration

Soit f la fonction représentée dans un repère semi-logarithmique de base a où a +{;} 01 . f est représentée par une droite non verticale si et seulement s’il existe des réels m et p tels que log()() a fx mx p =+

On a que :

log()() () a mx p fx mx pf xa =+=+ ⇔

(par définition de loga)

fx aa mx p ()= (règles de calcul sur les exponentielles)

fx aapm x ()=

(règles de calcul sur les exponentielles)

Dès lors, f est représentée par une droite non verticale si et seulement si f est une transformée d’une fonction exponentielle par affinité et donc, si et seulement si f est à croissance exponentielle.

Exemple

Soit la fonction f définie par fx x ()=10

Cette fonction est représentée dans un repère linéaire et dans un repère semi-logarithmique. –2–3–4–10123

Graphiquement, il est très compliqué d’estimer l’image de f en x =-15 , dans le repère linéaire, car pour les valeurs négatives de x, les images sont proches de zéro et la courbe est donc très écrasée. Cette estimation est bien plus aisée dans le repère semi-logarithmique, car la fonction exponentielle est représentée par une droite.

EXERCICES

1. Place sur l’échelle logarithmique la taille des éléments suivants :

(a) Un atome d’hydrogène, sachant qu’il mesure 1010 - m.

(b) Une bactérie qui mesure 106 - m.

(d) Le joueur de tennis Carlos Alcaraz, qui mesure 1,83 m.

(e) L’Empire State Building, haut de 381 m.

(f) Le sommet de l’Himalaya, à 8 848 m d’altitude.

(g) La distance Terre-Lune, qui est de 384 400 km.

FONCTIONS EXPONENTIELLES

2. Le tableau suivant reprend, pour plusieurs villes et pays, leur superficie et leur nombre d’habitants recensés sur le site Wikipédia en janvier 2026.

Lieu

1 425 671 352

(a) Pourquoi un repère logarithmique est-il adapté pour représenter l’ensemble de ces données ?

(b) Pour chaque ville et chaque pays repris dans le tableau, représente dans un repère logarithmique sa superficie en fonction de son nombre d’habitants.

3. En laboratoire, on suit la croissance d’une population de cellules tumorales placées dans un milieu de culture et on observe que, durant les premières heures de l’expérience, la croissance est exponentielle. On note Nt() le nombre de cellules présentes t heures après le début de l’expérience. Comme Nt() devient vite très grand, on ne représente pas directement Nt() : le graphique ci-dessous donne log(()) Nt en fonction de t.

(0;1,699) (1;1,841) (2;1,983) (3;2,125) (4;2,267)

t log(N(t))

(a) Combien y avait-il de cellules au début de l’observation ?

(b) Combien y a-t-il eu de cellules en plus entre la 3e et la 4e heure d’observation ?

4. Le tableau suivant donne le nombre d’habitants au Mali de 2015 à 20241.

(a) Représente ces données dans un repère semi-logarithmique.

(b) Vérifie que le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique t t N ;log est supérieur à 0,9 et interprète-le dans ce contexte.

(c) La droite de régression linéaire obtenue par la méthode des moindres carrés de la série statistique t t N ;log a pour équation yt=-001432754 ,, Sur la base de cette droite, estime le nombre d’habitants au Mali en 2025 et en 2030.

1. Source : https://www.donneesmondiales.com/afrique/mali/croissance-population.php

Synthèse

Fonctions exponentielles

Soit a +{;} 01 ° .

• f : °° est une fonction exponentielle de base a, notée expa , si fx a x ()=

• La représentation graphique et les caractéristiques d’une fonction exponentielle sont :

Représentation

aexp

im aexp

Croissance Strictement décroissante Strictement croissante

Limites aux bornes du domaine

• Les points du graphe d’une fonction exponentielle de base a sont de la forme xa x ; pour tout x ° et donc, en particulier, les points (;) 01 , (;) 1 a et -11 ; a appartiennent au graphe de cette fonction.

• Propriétés utiles à la résolution d’équations et d’inéquations

• La fonction exponentielle de base a où a ∈ ° +\{;} 01 est injective : ∀ xy , ∈ °, aa xy xy== ⇔

• Si 01 << a , la fonction exponentielle de base a est strictement décroissante : ∀ xy , ∈ °, aa xy xy<> ⇔

• Si a >1, la fonction exponentielle de base a est strictement croissante :

∀ xy , ∈ °, aa xy xy<< ⇔

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES

Fonctions logarithmes

Soit a +{} 01 ; .

• La fonction logarithme de base a, notée log a , est la fonction réciproque de la fonction exponentielle de base a.

Dès lors, la fonction logarithme de base a est la fonction qui, à chaque réel x strictement positif, associe l’exposant auquel il faut élever a pour obtenir x

Cela signifie que : log() a y xy xa== ⇔

• Propriétés de réciprocité des fonctions exponentielle et logarithme de même base :

• ∀ xa x a x ,log=

• ∀ xa x a x 0 + =,log() °

• La représentation graphique et les caractéristiques d’une fonction logarithme sont :

dom a log ° 0 + im a log °

Croissance

Strictement décroissante

Strictement croissante Limites aux bornes du domaine

Asymptote

x = =0

• Les points du graphe d’une fonction logarithme de base a sont de la forme (;log) ()xx a pour tout x ° 0 + et donc, en particulier, les points (;) 10 , (;) a 1 et 11 a ;- appartiennent au graphe de cette fonction.

• Propriétés :

• Logarithme d’un produit :

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES

∀a +{;} 01 , ∀ xy xy xy aa a ,,logloglo ()g()()=+ ° 0 +

• Logarithme d’un quotient :

∀a +{;} 01 , ∀ xy x y xy aa a ,,logloglo()g()=- ° 0 +

• Logarithme d’une puissance : ∀a +{;} 01 , ∀ x ° 0 + , ∀nx nx a n a ,loglo=g()

• Changement de base d’un logarithme :

∀a, b +{;} 01 , ∀ xx x a a b b ,l= og log log ()() () ° 0 +

• Propriétés utiles à la résolution d’équations et d’inéquations

• La fonction logarithme de base a où a {;} +01 est injective :

∀ xy xy xy aa ,,log()log() == ° 0 +

• Si 01 << a , la fonction logarithme de base a est strictement décroissante :

∀ xy , R 0 + xy xy aa ,log()log() <>

• Si a >1, la fonction logarithme de base a est strictement croissante :

∀ xy xy xy aa ,,logl()og()<< ° 0 +

Nombre d’Euler, fonction exponentielle népérienne et fonction logarithme népérien

• Le nombre d’Euler, noté e, est défini par e n n n =+ + lim, & 11271828

• La fonction exponentielle de base e est appelée fonction exponentielle népérienne. exp+ e x xe :: 0 a °°

• La fonction logarithme de base e, notée ln, est appelée fonction logarithme népérien. ln+::ln0() xx a °°

• Les fonctions exponentielle népérienne et logarithme népérien sont réciproques l’une de l’autre.

• Propriétés :

• ∀ x °, ∀ y ey xy x 0 +== ,ln() °

• ∀ xe x x ,ln= °

• ∀ xe x x 0 += , ln() °

2 3 4

8 x y y =ln(x) y = x y = e x

Dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes

Soient a +{;} 01 , x ° 0 + et f une fonction dérivable,

• ee x x =

• aa a x x =ln()

• ee fx fxfx ()()() =

• aa af x fx fx ()() ln =()()

Soient a +{;} 01 , x ° 0 + et f une fonction dérivable strictement positive,

• x x = 1

• logln() () a = x ax 1

Règle de l’Hospital

• (( () () fx fx fx = 1

• log()ln()() ()() a = fx af x fx 1

Soient a ∈  ∪ {;} -+&& et f et g deux fonctions dérivables au voisinage de a tels que lim() () xa fx gx existe et gx()0 pour tout réel x au voisinage de a

Si lim() () xa fx gx → mène au cas d’indétermination 0 0 ou & & , alors lim() () lim() () xa xa fx gx fx gx = .

Repères semi-logarithmique et logarithmique

• Un repère semi-logarithmique est un repère dans lequel un axe est gradué de façon logarithmique, tandis que l’autre axe est gradué de façon linéaire.

• Un repère logarithmique est un repère dans lequel les deux axes sont gradués de façon logarithmique.

• Dans un repère semi-logarithmique, une droite non verticale est la représentation graphique d’une fonction à croissance exponentielle et réciproquement.

EXERCICES RÉCAPITULATIFS

1. Soit f la fonction exponentielle telle que le point 13 2 ; appartient au graphe de f.

(a) Précise si f est croissante ou décroissante.

(b) Calcule f () 4

(d) Donne l’expression analytique de la fonction réciproque de f.

2. Sans utiliser la calculatrice, calcule.

(a) log 216() (b) log 1 1000 (c) ln e 6

(d) eln() 7 (e) log 3 9533 (f) ln e e 4

3. Résous les équations suivantes dans .

Série 1

(a) 216 x = (b) 100001 x =, (c) 77 x =-

(d) 021 , x = (e) 5 2 016 3 x=, (f) e e x 4 5 1 = (g) 4253 x = (h) 4 9 3 2 21 xx = (i) 21 2 4 31 += - x

(j) 10820 ⋅ x = (k) 39275231 ⋅ xx ++ = (l) 130 x =

(m) 133 x = (n) 52 1 x += (o) 432xx =

(p) 104 2 e x= (q) 6637 2 xx+= + (r) ee xx 2340 +-=

(s) 4115240xx += ⋅ (t) 111021 x x += (u) 55 x x =

Série 2

(a) log() 1 3 2 x =- (b) 421410 lo16g() x +-=

(e) 22395 lo2525 gl()og() xx += (f) logl()og() 4463323xx+--=

(g) ln ()ln ()ln () xx x +-=122102 (h) 3243 02502502 lo5 gloglog ,,, ()()() xx x =++-

(i) logloglo 3g 2 33 18()()=+xx x (j) lnln()() 33102 -=2xx x

(k) log()log()9318251xx += (l) log x xx 2762 2-+=

(m) (log ()) x 21 = (n) log()log xx 2 =2

(o) 5410 ((2))()lnlnxx+-= (p) logl4og 2 124640()() xx =

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES

4. Résous les inéquations suivantes.

(a) 61 36 7 x + ≥

(b) e e e x 3 23 5 1 ≤

(e) 78 x < (f) log> 1 3 42() x

(g) ln++ln(-)l ()n() 713123 xx x ≥ (h) log-+l 01og710110 ,, ()() xx ≤

(i) log--< 5 2471xx (j) log--loglo 41g6 2 1 4 2849 ()() xx x

(m) limln() x xx 0 2 (n) limlog() x x x →1 221COPYRIGHTVANIN

5. Donne l’expression analytique de la dérivée de chacune des fonctions suivantes.

(a) fx x ()=10 (b) fx x ()lo=g() 4

(e) fx e x()=2 (f) fx xe x ()=2

(g) fx x e x ()=2 (h) fx x ()log()=+621

(i) fx x ()ln=-53 2 (j) fx x ()(ln()) =-532

(k) fx x ()(()) =sinln (l) fx x ()(()) =lncos

(m) fx xx ()=-531 ⋅ (n) fx x ()()=+ log 251

(o) fx x x ()ln() = 2

6. Calcule les limites suivantes.

(a) lim() x x →+& log 1 5 (b) lim x x → - & 7

(e) lim x x x →+ & 4 9 2 (f) lim x x e x →++ & 25

(g) lim x x e x → 0 1(h) lim() x x x e →+ & ln

(i) lim () x x e x →0ln (j) lim x x x →& 73 3

(k) lim() x x x → 04 5 ln (l) lim() () x x x →+ & log log 3 4

FONCTIONS

7. Considérons la fonction f définie par fx x e x ()= +3 .

(a) Recherche les équations des asymptotes horizontale(s) et verticale(s) au graphe de f et précise les limites associées.

(b) Dresse le tableau de variations de f , qui reprend sa croissance et sa concavité.

8. Soient les fonctions f, g et h définies par fx e x ()= , gx x ()=2 et hx x ()() =ln .

(a) À l’aide du calcul de limites, compare la croissance sur ° 0 + de ces trois fonctions.

(b) Compare leur comportement lorsque x → 0+ .

9. L’échelle de pH est une échelle logarithmique qui indique la concentration en ions hydronium +HO 3 , exprimée en mol/L. Le pH est calculé de la manière suivante :

pH=-log+ HO 3

L’échelle de pH va de 0 à 14, où 0 est le plus acide et 14 est le plus basique. L’eau, dont le pH est 7, est considérée comme neutre.

(a) Représente sur une échelle adéquate les substances données ci-dessous :

Substance Jus de citron CaféLaitPomme Eau de mer DentifriceLessive +HO 3 (en

(b) Le blanc d’œuf a un pH compris entre 8 et 8,5. Complète : sa concentration en ions hydronium est donc comprise entre … et … mol/L.

Giacomo place un capital de 5 000 € à intérêts composés au taux annuel de 1,23 %.

(a) Combien de temps au minimum faut-il pour que le capital triple ?

(b) Si son meilleur ami place un capital de 2 000 € à intérêts composés au taux annuel de 2,41 % au même moment, quand les deux capitaux seront-ils égaux ?

Certaines algues nuisibles peuvent se développer selon une croissance exponentielle lorsque les conditions environnementales sont favorables. Au Canada, des scientifiques mesurent régulièrement la concentration de chlorophylle-a dans un lac afin de suivre l’évolution de la biomasse algale. Le mois dernier, cette concentration était normale et s’élevait à 5 μg/L. Au cours des derniers jours, elle a fortement augmenté et a triplé en l’espace de 10 jours. La prolifération observée correspond à une phase de croissance exponentielle des algues.

(a) Donne l’expression analytique de la fonction cn() qui donne la concentration de chlorophylle-a dans ce lac, exprimée en μg/L, n jours après le début de la prolifération en phase de croissance exponentielle.

(b) Si la phase de croissance exponentielle dure 21 jours, quelle sera la concentration en chlorophylle-a à la fin de cette phase ?

FONCTIONS

Lors de la charge rapide d’un smartphone, la puissance de charge dépend du temps de charge (le système réduisant la puissance pour protéger la batterie) et des limites physiques du courant. Un constructeur modélise la puissance instantanée de charge, exprimée en watts, en fonction du temps de charge, exprimé en heures, par la fonction

Pt te t ()=-4004

(a) Cette fonction est-elle bien positive pour tout réel t strictement positif ?

(b) Calcule lim() t Pt →+ & et interprète-le dans ce contexte.

La masse Mt() d’un solide, exprimée en grammes, restant à dissoudre dans un solvant a été mesurée au fil du temps t, exprimé en minutes.

(a) Sur la base du tableau donné, estime la masse du solide restant à dissoudre au bout de 20 minutes et au bout de 75 , minutes. Arrondis ta réponse au milligramme près.

(b) Choisis le repère le plus adéquat entre un repère linéaire, un repère semi-logarithmique et un repère logarithmique pour représenter ces données.

(d) Au bout de combien de temps le solide sera-t-il dissous de moitié ? Arrondis ta réponse à la seconde près.

(e) Calcule lim() t Mt →+ & et interprète ce résultat.

On s’intéresse à la relation entre la masse corporelle M d’un animal (en kilogrammes) et sa puissance métabolique P (en watts), qui est la quantité d’énergie que l’animal consomme chaque seconde pour assurer ses fonctions vitales.

Le tableau ci-dessous donne des valeurs typiques pour différents animaux.

Animal Masse M (kg)Puissance métabolique P (W)

FONCTIONS

(a) Représente, dans un repère log–log, la puissance métabolique P en fonction de la masse M.

(b) Quelle est l’allure du nuage de points dans ce repère log–log ?

Pk M = 3 4 où k est une constante.

Cette relation se traduit graphiquement dans un repère log-log : 3 4 est-il la pente ou l’ordonnée de la droite qui ajuste ce nuage de points ?

DÉFI

Te rappelles-tu au début de ce chapitre ?

Le carbone 14 est un isotope radioactif utilisé pour la datation de fossiles vieux d’au plus 50 000 ans.

Sa période radioactive est de 5 730 ans.

Concrètement, on estime que le rapport entre le carbone 14 et le carbone 12, contenus dans le corps d’un organisme vivant, est stable à un niveau de 1121 ,012.

Lorsqu’un organisme meurt, il n’échange plus de carbone avec l’environnement :

• la quantité de carbone 14 commence à décroître de manière exponentielle à la suite de la désintégration radioactive ;

• la quantité de carbone 12 reste constante.

Rappel : la période radioactive d’un isotope est le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs d’un échantillon se désintègrent.

(a) Donne l’expression analytique de la fonction rt() où rt() est le rapport entre le carbone 14 et le carbone 12, t années après qu’un organisme meurt.

(b) En Chine, la momie de Xin Zhui, également connue sous le nom de marquise de Dai, est l’une des mieux conservées au monde. Elle est datée de 2 200 ans. Quel est le rapport entre le carbone 14 et le carbone 12 qui a été trouvé par les scientifiques ?

(c) Ötzi est un homme préhistorique retrouvé dans un glacier des Alpes en 1991. Il s’agit de la plus vieille momie conservée naturellement à ce jour. Au moment de cette découverte, le rapport entre le carbone 14 et le carbone 12 était d’environ 591013 , - . Estime depuis combien de temps cet homme était décédé.

(d) Explique pourquoi la datation au carbone 14 ne peut pas être utilisée pour les dinosaures, disparus il y a environ 66 millions d’années.

Tu es désormais capable d’y répondre !

Connecte-toi sur et entraîne-toi avec des exercices complémentaires.

INTÉGRALE Objectifs COPYRIGHTVANIN

Connaître

• Justifier les étapes de la démonstration reliant l’intégrale indéfinie (primitive) et la dérivée.

• Justifier les étapes de la démonstration reliant l’intégrale définie et une primitive.

• Écrire les intégrales correspondant à une situation graphique donnée.

Appliquer

• Approximer une aire par une somme d’aires élémentaires à l’aide d’un outil informatique.

• Déterminer une primitive.

• Calculer une intégrale définie.

• Calculer la mesure d’une longueur, d’une aire, d’un volume.

Transférer

• Résoudre un problème en utilisant le calcul intégral.

L’histoire des intégrales remonte à l’Antiquité, lorsque des mathématiciens grecs, comme Eudoxe ou Archimède, cherchent à calculer l’aire de figures ou le volume de solides en procédant par approximations successives. Ces méthodes, appelées « méthodes d’exhaustion », préfigurent déjà la notion d’intégrale.

Parallèlement à ces méthodes géométriques, d’autres procédés plus expérimentaux étaient également utilisés pour estimer des aires. Avant la formalisation du calcul intégral, il était par exemple possible de mesurer approximativement l’aire d’une figure en la découpant dans un matériau homogène, comme le carton, puis en comparant sa masse à celle d’une figure de référence de même nature et d’aire connue.

Comme la masse est proportionnelle à l’aire lorsque l’épaisseur et la densité sont constantes, cette méthode de « pesée » permettait d’obtenir une estimation de l’aire recherchée. Bien que rudimentaire, cette approche illustre déjà l’idée fondamentale de l’intégrale : mesurer une grandeur globale à partir d’une accumulation de petites contributions.

La naissance du calcul intégral moderne au XVIIe siècle est étroitement liée aux travaux de Newton et Leibniz. Newton l’utilise pour résoudre des problèmes liés au mouvement et à la gravitation, tandis que Leibniz développe un système de notation et de règles de calcul qui se rapproche de celui que nous utilisons encore aujourd’hui.

Introduction historique COPYRIGHTVANIN

Au XVIIIe siècle, Euler et d’autres mathématiciens généralisent l’intégration à de nombreuses fonctions et introduisent des techniques de calcul qui permettent d’aller bien au-delà des simples aires ou volumes.

C’est au XIXe siècle que Riemann propose une définition rigoureuse de l’intégrale à l’aide de sommes qui portent aujourd’hui son nom. Ses travaux, prolongés par Lebesgue et d’autres, posent les fondations de l’analyse moderne et élargissent encore le champ des fonctions intégrables.

Les intégrales sont aujourd’hui un outil fondamental dans de nombreux domaines scientifiques et techniques :

• en physique : pour calculer des distances parcourues à partir d’une vitesse qui varie dans le temps, pour calculer le travail d’une force ou encore pour déterminer l’intensité moyenne d’un courant alternatif ;

• en économie : pour déterminer une recette ou une dépense totale lorsque les coûts varient ;

• en médecine : pour évaluer le volume d’un organe ou pour traiter des signaux continus, comme les IRM ou les électroencéphalogrammes ;

• en géographie : pour estimer une surface de terrain ou la quantité d’eau dans un réservoir ;

• en informatique et design : pour tracer et lisser des courbes ou créer des animations réalistes.

Un artisan conçoit une toupie en bois, appelée toupie pirouette. Elle est constituée de deux parties : un corps arrondi et creusé, et un manche permettant de la faire tourner.

Pour connaître la masse de la toupie, il doit calculer son volume !

À la fin de chapitre, tu seras capable de calculer le volume de cette toupie !

Prérequis

TEST DIAGNOSTIQUE

Appliquer

1. Écris les monômes suivants sous la forme axn où a ∈ ° et n ∈ §.

(a) 1 2 x (b) 3 5 x (c) 1 210 x (d) x

(e) x 53 (f) 1 32 x (g) 7 89 x (h) x x 43

2. Factorise les polynômes du deuxième degré ci-dessous.

(a) 252 - x (b) xx22075 -+

3. Effectue les divisions suivantes à l’aide d’une division euclidienne.

(a) 4811 25 2 xx x -+(b) -+++ xx xx 32 2 621 23

4. Calcule les dérivées suivantes.

(a) x 4 ′ (b) x ′

(e) (sin( x))′ (f) ( x cos( x))′

(g) 43 75 x x(h) 3x ⋅ (2x + 4)8 ′

(i) (tan(2x))′ ( j) 47 x + ′

(k) ex2 ′ (l) ln 9x3 + 2 ′

INTÉGRALE

Connaître

5. Choisis toutes les bonnes réponses.

(a) sin( )2 x =  2sin() x  2sin()cos()xx  sincos 22 ()() xx -

(b) cos 2 () x =  12 -sin() x  12 2 +cos() x  12 2 -cos() x

(d) sin()sin()52xx  1 2 (cos73 ()cos())xx +  -(cos()cos() 1)2 73xx -  1 2 (sin73 ()sin())xx +

(e) sin()cos()52xx ⋅ =  1 2 (cos73 ()cos())xx +  1 2 (cos73 ()cos())xx  1 2 (sin73 ()sin())xx +

THÉORIE

Outils algébriques

Propriétés

Puissances à exposants rationnels

Soient n, p ∈ •0.

• 1 x x n n =- • xx n p n p = • 1 x x n p n p = -

Propriété

Factorisation d’un polynôme du deuxième degré

Soient a ∈ ℝ0, b, c ∈ ℝ et Δ = b2 – 4ac.

Le trinôme du deuxième degré ax2 + bx + c peut être factorisé de la façon suivante :

• si Δ > 0, ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2) où x1 et x2 sont les zéros du trinôme ax2 + bx + c ;

• si Δ = 0, ax2 + bx + c = a (x – x1)2 où x1 est le zéro (double) du trinôme ax2 + bx + c ;

• si Δ < 0, le trinôme n’est pas factorisable.

Propriété

Factorisation d’un polynôme qui s’annule en a

Si P est un polynôme qui s’annule en un réel a, alors P peut être factorisé par la relation

P ( x ) = ( x – a ) · Q ( x ) où Q est un polynôme dont le degré est égal au degré de P soustrait de 1.

Remarque

Le polynôme Q présent dans la propriété précédente peut facilement être trouvé par la méthode de Horner ou à l’aide d’une division euclidienne.

Méthodo

Division euclidienne de polynômes

Considérons les polynômes N et D tels que le degré de N est supérieur ou égal au degré de D.

La division euclidienne de N par D s’effectue en appliquant les étapes suivantes :

1. diviser le terme de plus haut degré de N par le terme de plus haut degré de D ;

N( x ) D( x )

Q( x ) –(…) R( x )

2. multiplier D par le résultat de la division obtenue au point 1 ; 3. soustraire à N le résultat de la multiplication obtenue au point 2 ; 4. tant que le degré du polynôme obtenu au point 3 est supérieur ou égal au degré de D, effectuer la division euclidienne du polynôme obtenu au point 3 par D ;

5. la division de N par D donne le polynôme Q, somme des polynômes obtenus à l’étape 1 et le polynôme R, polynôme obtenu à l’étape 3 dont le degré est strictement inférieur à celui de D

Les quatre polynômes sont liés par la relation : N( x ) = D( x ) · Q( x ) + R( x ).

On peut en déduire que Nx Dx Qx Rx Dx () () ()() () =+ .

Exemple

Dès lors,

Tu peux retrouver la division euclidienne effectuée étape par étape via le code QR ci-contre.

Remarque

Documents

Lorsqu’on veut factoriser un polynôme P par la méthode de Horner ou qu’on veut effectuer une division euclidienne de P par un autre polynôme, il faut avant tout réduire, compléter et ordonner le polynôme P.

Dérivée

Propriétés

Dérivée des fonctions de référence

Fonctions puissances

• (k)′ = 0 où k est une constante

• x 2 ′ = 2x

• x x = 1 2

• ( x )′ = 1

• x n ′ = nxn–1 où n ∈ §0

• 11 2 xx =-

Fonctions trigonométriques et cyclométriques

• (sin())cos()xx ′ =

• (cos())sin()xx ′ =-

• (()() tan()) cos tan x x x ′ ==+ 11 2 2

Fonctions exponentielles et logarithmes

• ex ′ = ex

• (ln() x x ′ )=1

Propriétés

Formules de dérivation

• (arcsin()) x x ′ =1 12

• (arccos()) x x =1 12

• (arctan()) x x ′ = + 1 12

• =( aa a xx ln) où a ∈ °+\{0; 1}

• log()ln) a x ax = ( 1 où a ∈ °+\{0; 1}

Soient k un réel et f et g deux fonctions dérivables en un réel x

• ( f + g)′( x ) = f ′( x ) + g′( x )

• ( f – g)′( x ) = f ′( x ) – g′( x )

• ( f g)′( x ) = f ′( x ) g( x ) + f ( x ) g′( x )

• (k f )′( x ) = k f ′( x )

• 1 2 f x fx fx ()() (()) =- si f ( x ) ≠ 0

• f g x fx gx fx gx gx ()()()()() (()) =2 si g( x ) ≠ 0

• ( f ° g)′( x ) = ( f ( g( x )))′ = f ′( g( x )) ⋅ g′( x )

Propriétés

Lien entre distance parcourue, vitesse et accélération d’un mobile

• La distance parcourue d d’un objet en fonction du temps écoulé t permet de déterminer sa vitesse v : d′(t) = v(t).

• La vitesse v d’un objet en fonction du temps écoulé t permet de déterminer son accélération a : v ′(t) = a(t).

Trigonométrie

Propriétés

Formules usuelles de la trigonométrie

Soient xy , .

• Relations fondamentales

• sinc()os() 221 xx+=

• tan()sin() cos() x x x = si xk 2 + où k ∈ ¢

• 11 2 2 += tan() cos() x x si xk 2 + où k ∈ ¢

• Formules de duplication

• sin()sin() co 22s() xx x =

• cos()cos()si 2n() 22xx x =-

• tan()tan() tan() 22 12 x x x =si xk 2 + et xk 42 + où k ∈ ¢

• Formules de Carnot

• cos co ()s() 212 2 x x = +

• sin() co 2s() 12 2 x x = -

• Formules de produit en somme

• sin()cos()(sin()sin()) xy xy xy=++1 2

• cos()cos()(cos()cos()) xy xy xy=++1 2

• sin()sin()(cos()cos()) xy xy xy=-+-1 2

1. Primitives et intégrale indéfinie

DÉCOUVERTE

Activité 1 Notion de primitive

1. Quelle fonction usuelle de référence, que l’on notera F, a-t-on dérivée pour obtenir la fonction f définie par f ( x ) = 2x ?

πG

On dit que la fonction F est une primitive de f si F ′ = f.

2. Donne si possible une fonction G, différente de F, qui est aussi une primitive de f.

3. La fonction G est-elle unique ?

4. Exprime toutes les fonctions G dont la dérivée est f.

πG

On dit que la famille de primitives de f est de la forme G( x ) = x2 + c où c ∈ ° Lorsque l’on veut donner l’ensemble des primitives de f, on calcule l’intégrale indéfinie de f, notée ò fx x () d . Dans cet exemple, on a donc ò fx xG xc Fx c () ( )( ) d= += + où c ∈ °.

Activité 2 Intégrale indéfinie des fonctions usuelles

1. En te basant sur le premier exemple résolu, calcule l’intégrale indéfinie de chaque fonction de référence ci-dessous.

• ò 1d=+ xx c où c ∈ ° car ( x + c)′ = 1.

• ò 2 xxd= car

• ò xx d = … car …

• ò 32xxd= car

• ò xx2d= … car …

• Si n ∈ °\{–1}, ò xx n d= … car …

• ò ex x d= … car …

• ò 2 x x d= car

• ò cosd= ()xx … car …

• ò sind= ()xx car

• ∫∫11 2 2 cos tan () (() x xx x d=+d= … car …

2. Montre que ò 1 x xx c d+ = ln() || où c ∈ °.

3. Sachant que cot cos sin ()() () x x x = , montre que ò 1 si2n()() x xx c d=-+ cot où c

4. Considérons les fonctions F et G définies par F ( x ) = x3 et G( x ) = sin( x ).

(a) Détermine l’expression analytique des fonctions f et g, qui sont les dérivées respectives de F et G

(b) Déduis-en les intégrales indéfinies ò fx x () d et ò gx x () d

(d) Déduis-en l’intégrale indéfinie ò sx x () d . Quel lien peux-tu faire avec ò fx x () d et ò gx x () d ?

(e) Détermine l’expression analytique de la fonction t, qui est la dérivée de la fonction 2 F.

(f) Déduis-en l’intégrale indéfinie ò tx x () d . Quel lien peux-tu faire avec ò fx x () d ?

(g) Détermine l’expression analytique de la fonction p, qui est la dérivée de la fonction F ⋅ G

(h) Peux-tu conclure que ∫∫ ∫ px xf xx gx x ()()() d=dd ?

πG

Si f et g sont deux fonctions intégrables, alors :

• ò òò (( )( )( )( ) fx gx xf xx gx x +) d=d+ d ;

• ∫∫ ⋅⋅kf xx kf xx()() d= d

Mais ∫ (( )( ) fx gx x)d ≠ ∫∫ fx xg xx()()dd

THÉORIE

Définition

Primitive d’une fonction

Soient I un intervalle, f : I → ° une fonction et F : I → ° une fonction dérivable. F est une primitive de f si F ′ = f.

Exemples

• sin( x ) est une primitive de cos( x ) car (sin( x ))′ = cos( x ).

• x 2 2 +2 est une primitive de x car

Théorème

Théorème de non-unicité

Soient I un intervalle, f : I → ° une fonction et F : I → ° une fonction dérivable.

Si F est une primitive de f, alors la famille de primitives de f est de la forme

G( x ) = F ( x ) + c où c ∈ ° pour tout réel x ∈ I.

Exemples

• 3x3 + 4x est une primitive de 9x2 + 4 car 3x3 + 4x ′ = 9x2 + 4.

• 3x3 + 4x – 2 est une primitive de 9x2 + 4 car 3x3 + 4x – 2 ′ = 9x2 + 4.

Vocabulaire et notation

Soient I un intervalle et f : I → ° une fonction.

• L’ensemble des primitives de f est appelé l’intégrale indéfinie de f et est noté ò fx x () d

• Si F : I → ° est une fonction primitive de f sur I, on note ò fx xF xc()()d=+ où c ∈ ° et on dit que f est intégrable.

• Dans l’expression ò fx x () d , f ( x ) est appelée l’intégrande

Propriétés

Intégrales indéfinies des fonctions usuelles

• ò 0d=xc où c ∈ °

• ò ax ax c d=+ où c ∈ ° si a ∈ °

• ò xx x n c n n d= + + +1 1 où c ∈ ° si n ∈ °\{–1}

• ò 1 x xx c d=+ ln(||) où c ∈ °

• ò exxxec d=+ où c ∈ °

• ò ax a a c x x d= () + ln où c ∈ ° si a ∈ °+\{0; 1}

• ò cos()sin() xx xcd=+ où c ∈ °

• ò sin()cos() xx xcd=-+ où c ∈ °

• ò 1 si2n() cot() x xx c d=-+ où c et cot()cos() sin() x x x =

• ò 1 12d=+=-+ x xx cx c arcsin()arccos() où c

• ò 1 12 + d=+ x xx c arctan() où c

Remarque

• Pour tout réel c , COPYRIGHTVANIN

Les formules précédentes sont valables pour tout x ∈ I, où I est un intervalle inclus dans le domaine de l’intégrande.

Par exemple :

• ò cos()sin() xx xcd=+ où c ∈ ° est valable pour tout réel x ∈ ° ;

• ò 1 x xx c d=+ ln() || où c ∈ ° est valable pour tout réel x ∈  0 + ou pour tout réel x ∈  0 -

Démonstration

Dans chaque démonstration, on travaille sur un intervalle I inclus dans le domaine de l’intégrande.

• Pour tout réel c, (c)′ = 0 donc ò 0d=xc où c ∈ °.

• Pour tout réel c, (ax + c)′ = a donc ò ax ax c d=+ où c ∈ °

• Pour tout réel c, x n c n nx x n nn + + += + (+)= 1 1 1 1 1 donc ò xx x n c n n d= + + +1 1 où c ∈ °

• Pour tout réel c,

• si x > 0, (+)=+)= ln(||)(ln() xc xc x ′′ 1 ;

• si x < 0, (l+)=((-)+)=n((-)== ||)ln() xc xc x x xx 1111

Dès lors, (+= ln(||)) xc x ′ 1 , ce qui implique que ò 1 x xx c d=+ ln(||) où c ∈ °.

• Pour tout réel c, (ex + c)′ = ex donc ò exxxec d=+ où c ∈ °.

• Pour tout réel c, a a c a aa a x xx lnln ln () += () 1()= donc ò ax a a c x x d= () + ln où c ∈ °.

• Pour tout réel c, (sin( x ) + c)′ = cos( x ) donc ò cos()sin() xx xcd=+ où c ∈ °

• Pour tout réel c, (– cos( x ) + c)′ = –(–sin( x )) = sin( x ) donc ò sin()cos() xx xcd=-+ où c ∈ °

• Pour tout réel c, (+)= tan() cos() xc x ′ 1 2 donc ò 1 co2s() tan() x xx c d=+ où c ∈ °

• Pour tout réel c , (cot())sin() xc x +=′ 1 2 donc ò 1 si2n() cot() x xx c d=-+ où c

• (arcsin()) xc x +=′ 1 12 donc ò 1 12d=+ x xx c arcsin() où c .

• (arccos()) -+=--=xc xx 1 1 1 1 22 donc ò 1 12d=-+ x xx c arccos() où c

• Pour tout réel c , (arctan()) xc x += + ′ 1 12 donc ò 1 12 + d=+ x xx c arctan() où c .

Remarque

Le « dx » ne peut pas être oublié lorsqu’on écrit une intégrale indéfinie, car il permet d’identifier la variable selon laquelle on intègre.

Exemples

• ò xx x c d=+ 2 2 où c , car nous intégrons suivant la variable x

• ∫ xt xt c d=+ où c , car nous intégrons suivant la variable t , donc x représente une constante.

Propriétés

Linéarité des intégrales indéfinies

Soient f et g deux fonctions intégrables sur un intervalle du domaine de f et de g et k un réel.

• òò ò (()()()() fx gx xf xx gx x +) d=d+d • ∫∫ kf xx kf xx()()d=d

Remarques

• La linéarité des intégrales indéfinies découle des propriétés des dérivées.

• La linéarité implique que òò ò (()()()() fx gx xf xx gx x -) d=d-d car

∫∫ (()())(())()) fx gx xf xg xx -d=+(d1

• Attention, ∫ ⋅ (()() fx gx x)d ≠ ∫∫ ⋅ fx xg xx()()dd .

Propriété

Lien entre continuité et intégrabilité

Soient ab , Toute fonction continue sur [;] ab est intégrable sur [;] ab .

EXERCICES

1. Calcule.

Série 1

(a) ò xx 6d

(e) ò 2 cos d 2() x x

(g) ò 1 2 x xd

(i) ò 13d u u 14

(k) ò 2 3 xx d

(m) ò 7 8 d t t

(o) ò 5 12d x x

Série 2

(a) ò () 32xx -d

(e) ò ()xx +d 52

(g) ∫

3 5 52 x x xx2 +d

(i) ò 1264 3 +d xx x x

(b) ò 10 dx

(d) ò 8 5 3 x xd

(f) ò 5cosd ()xx

(h) ò 1 34 x xd

(j) ò xx d

(l) ò 1d 53 x x

(n) ò 5 2 d x x x 4

(p) ò 8 33 2 x x + d

(b) ∫ 15302 2 xx x+-d

(d) ò ()()tt t-+d 34

(f) ∫ 3222 yy -d

-++d x x x x 8 23 4 2 7 3

(j) ò 103 52tt t t t +d

Série 3

(a) ò 4 x xd (b) ò 2 x xd

(e) ò 1d u u u (f) ò 2 3 x x xd

(g) ò 1 9 x xd (h) ò ()412 x x+d

2. Détermine l’expression analytique de la fonction F, la primitive de la fonction f, si :

(a) f est définie par f ( x ) = x2 + 4x – 1 et F (3) = 2 ;

(b) f est définie par f ( x ) = 2cos( x ) + 5 et F (–π) = 0 ;

3. Considérons la fonction f définie par f ( x ) = 3x2 + 5x et la fonction F, une primitive de f, représentée ci-dessous.

(a) Détermine l’expression analytique de F.

(b) Parmi les graphiques suivants, lequel est la représentation d’une autre primitive de f ? Justifie. y y y x x x

1 2 3 4

4. Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des primitives de la fonction f ( x ) = sin( x ) – x ? F1( x ) = cos( x ) – 1 F2( x ) = cos( x ) – x2 – 1

5. Vérifie qu’une primitive de 1 si2n() x est1 tan() x .

6. Dans un parc d’attractions, Helena prend place dans une nacelle de la plus haute tour du parc. La nacelle monte alors jusqu’à 50 mètres de hauteur, s’arrête durant quelques secondes, puis est lâchée. La chute peut s’apparenter à une chute libre sur 15 mètres. Si Helena crie pendant ces 15 premiers mètres, pendant combien de temps a-t-elle crié ?

Pour rappel : en physique, une chute libre s’apparente à un mouvement rectiligne uniformément accéléré où l’accélération vaut g = 9,81 m/s2. De plus,

• la distance parcourue d d’un objet en fonction du temps écoulé t permet de déterminer sa vitesse v : d′(t) = v(t) ;

• la vitesse v d’un objet en fonction du temps écoulé t permet de déterminer son accélération a : v ′(t) = a(t).

7. Au volant de sa voiture, sur une route plane et se rapprochant d’un feu rouge, Timéo retire son pied de la pédale d’accélération. Il ralentit alors de façon constante, en raison des forces de frottement, avec une décélération de 1 m/s2. Sa vitesse initiale était de 20 km/h.

(a) Détermine l’expression analytique des fonctions a(t), v(t) et d(t) qui représentent respectivement l’accélération, la vitesse et la distance parcourue par la voiture t secondes après qu’il a lâché la pédale.

(b) Quelle distance parcourt-il avant de s’arrêter ? Arrondis ta réponse au centimètre près.

2. Méthodes d’intégration

DÉCOUVERTE

Activité 1 Primitives quasi immédiates

Dérive les fonctions suivantes et déduis-en l’intégrale indéfinie de chacune de ces fonctions dérivées.

(a) F1( x ) = sin(2x)

(b) F2( x ) = x2 + 3 8

Tu viens d’écrire les intégrales indéfinies de fonctions dérivées composées : on parle alors de primitives quasi immédiates, car on peut les retrouver très rapidement par reconnaissance de forme.

Autrement dit, si f et g sont deux fonctions dérivables, alors ò

c ∈ °.

Activité 2 Intégration par substitution

Considérons l’intégrale indéfinie () 237xx x-d ⋅ ∫ .

(a) Peut-on utiliser la méthode des « primitives quasi immédiates » pour calculer cette intégrale ?

(b) On introduit une variable intermédiaire, notée t, afin de réécrire toute l’intégrale en fonction de t, et non plus de x. Complète les pointillés.

Posons et x = … t = 2x – 3

On dérive selon t

On dérive selon x

dt = … dx

dt = dx

G

Tu viens de résoudre une intégrale par la méthode de substitution.

Activité 3 Intégration par partie

Lorsque l’on souhaite calculer l’intégrale d’un produit de deux fonctions, les méthodes d’intégration quasi immédiates ou par substitution ne suffisent pas toujours. On peut alors utiliser une technique inspirée de la dérivée d’un produit, appelée intégration par partie.

(a) Soient f et g deux fonctions dérivables. Trouve la formule de l’intégration par partie en suivant les indications données.

( f ( x ) g( x ))′ =…

(formule de la dérivée du produit de deux fonctions)

⇔ (intégration des deux membres de l’égalité)

⇔ (linéarité de l’intégrale sur la somme)

⇔ (définition de primitive)

⇔ … (isoler ò f ( x ) g′( x ) dx)

(b) Appliquons la formule de l’intégration par partie pour calculer ()() 43xx x +sind ∫ .

Choisissons f ( x ) = … f ′( x ) = … g′( x ) = … g( x ) = …

dériver intégrer

On a alors que ()() 43xx x +sind= ⋅ ∫

πG

Tu viens de résoudre une intégrale par la méthode d’intégration par partie.

THÉORIE

Primitives quasi immédiates

Propriétés

Primitives quasi immédiates

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I où I est inclus dans le domaine de l’intégrande.

• ò fx fx x fx n c n n ()(())(() d=) + + +1 1 où c ∈ ° si n ∈ °\{–1}

• ò ′ fx fx xf x c () () ln(|() d=|)+ où c ∈ °

• ò f x ex fx ()()d = e f ( x ) + c où c ∈ °

• ò f x ax a a c fx fx ()ln() () () d=+ où c ∈ ° si a ∈ °+\{0; 1}

• ò fx fx x ()cos(())d = sin( f ( x )) + c où c ∈ °

• ò fx fx x ()sin(())d = –cos( f ( x )) + c où c ∈ °

• ò ′ fx fx x () cos()() 2 d = tan( f ( x )) + c où c ∈ °

• ò fx fx xf xc ′() sin() cot(()) 2() d=-+ où c

• ò fx fx xf xc fx c ′() (()) arcsin(())arccos (()) 12d=+=-+ où c

• ò fx fx xf xc ′() (()) arctan(() 1) +2 d=+ où c

Remarque

Toutes les formules précédentes sont valables pour tout réel xI ∈ à l’exception de la formule « fx fx xf xc () () d=ln|()|+ ∫ où c » qui est valable pour tout réel xI ∈ où fx() ≠ 0.

Exemples

1. ∫ 222 xx x xc cossd=in+ où c ∈ ° 2.

′( x )

( x ) f ( x )

3. ∫∫45445145 4 1 46 5 x x x

Méthodo f ( x )

f ( x ) f ′( x ) f( x ) f ( x ) f ( x ) f ′( x )

Intégration par substitution

Méthode d’intégration par substitution

Pour intégrer une fonction, qui dépend de x, par la méthode de substitution, il faut :

1. identifier une substitution pertinente et poser t = f ( x ) ;

2. exprimer dx en fonction de dt en dérivant membre à membre l’égalité t = f ( x ) ;

3. réécrire l’intégrale en remplaçant tous les termes qui dépendent de x par des termes en t ;

4. résoudre la nouvelle intégrale obtenue en t ;

5. revenir à la variable initiale en remplaçant t par f ( x ) dans la solution finale.

Exemples

1. ò () x x x+d 14

Posons t = x + 1

On a alors que

• x = t – 1 ;

• dx = dt

Dès lors, òò()() x t x t x t+dd 1=-1 44 ⋅ =-d ∫ tt t 54 =-+ tt c 65 65 où c ∈ ° =-+ ++ ()() xx c 11 65 65 où c ∈ °

2. ò ln() () ln() x x x xd 4

Posons t = ln( x ) – 4

On a alors que

• ln( x ) = t + 4 ;

• 1 x xtd=d .

Dès lors, òò ln() () ln() x t x xt xtdd = + 4 4 =+d ò t tt t 4 =+d ò 141 t t = t + 4ln(| t |) + c où c ∈ ° = ln( x ) – 4 + 4ln(|ln( x ) – 4|) + c où c ∈ °

Remarque

Toutes les intégrales quasi immédiates ò gf xf xx (())()d peuvent être résolues par la méthode de substitution en posant t = f ( x ) et donc dt = f ′( x ) dx.

Dès lors, ò g f x fx x ()()() d==+==+ d ò ′ gg tc gg c tt f x t ()()()() () où c ∈ °.

Exemple

∫ xx x 23 cosd

Posons t = x3

On a alors que dt = 3x2 dx ⇔ 1 3 d=2d tx x .

Dès lors,

∫∫ xx t xt 231 3 coscos() dd==d=+ 1 3 1 3 ò cos()sin() tt tc =+ 1 3 si3 n x c où c ∈ °

Intégration par changement de variable

Méthodo

Méthode d’intégration par changement de variable

Pour intégrer une fonction, qui dépend de x , par la méthode de changement de variable, il faut :

1. identifier un changement de variable pertinent et poser xf t =() où f est injective ;

2. exprimer dx en fonction de dt en dérivant membre à membre l’égalité xf t =() ;

3. réécrire l’intégrale en remplaçant tous les termes qui dépendent de x par des termes en t ;

4. résoudre la nouvelle intégrale obtenue en t ;

5. revenir à la variable initiale en remplaçant t par fx -1() dans la solution finale.

Exemple

ò 12-d x x

Posons xt =sin() où t22 ; afin que sin() t soit injective tout en prenant toutes les valeurs admissibles de x .

On a alors que

• dd xt t = cos() ;

• tx =arcsin()

Dès lors,

1122-=-dd xtxt t () sin()cos()

=-d ∫ cos()sin()tt t 12

=d ∫ cos()cos()tt t 2 (formule fondamentale de la trigonométrie)

=d ∫ ⋅ cos()|cos()|tt t xx x ,= 2

=d ∫ cos()cos()tt t car cos() t ≥ 0 si t22 ;

=d ò cos() 2 tt = + d ò 12 2 cos() t t (formule de Carnot)

=d+d ∫∫ 1 2 1 2 2 t t t cos()

=d+d ∫∫ 1 2 1 2 2 2 2 tt t cos()

=++ 1 2 1 4 2 tt c sin() où c

=++ 1 2 1 4 ar2 csin()arcsin si() n()xx c où c

=++ 1 2 1 4 ar2 csin()sin(arcsin())cos(arcsin()) xx xc ⋅⋅⋅ où c (formule de duplication)

=+-+ 1 2 1 2 ar12 csin()xx xc où c

Intégration par partie

Propriété

Méthode d’intégration par partie

Soient f et g deux fonctions dérivables.

òò fx gx xf xg xf xg xx()()()()()() d=-d

Exemples

• ò ()si 21n() xx x+d

En choisissant

f ( x ) = 2x + 1 f ′( x ) = 2

g′( x ) = sin( x ) g( x ) = –cos( x )

on a que

∫ sin()sin()cos()sin()co 44s( 4444 xe xx ex ex xe xx xx d=-d=-44 xe x x )d COPYRIGHTVANIN

ò ()si 21n() xx x+d = (2x + 1) ⋅ (–cos( x )) – ò 2(cos()) -dxx

= –(2x + 1) cos( x ) + 2 ò cos()xx d

= –(2x + 1) cos( x ) + 2sin( x ) + c où c ∈ °

• ò xx x 8ln() d

En choisissant

f ( x ) = ln( x ) ′ fx x ()=1

g′( x ) = x8 gx x ()= 9 9

On a que

• ∫ ex x x cos()4d

En choisissant

òò xx x x x x x x 8 99 9 1 9 ⋅⋅ ln()lnd=()-d

=-d x x xx 9 8 9 1 9 ln() ò

=-+ x x x c 99 9 1 99 ⋅⋅ ln() où c ∈ °

=-+ x x x c 99 981 ln() où c ∈ °

fx x ()cos()=4 ′ fx x ()si=-n() 44

′ gx e x ()= gx e x ()=

on a que

∫∫

∫ ex xx ex ex xe xx xx cos()cos()sin()cos()si 44n d=4444d=+(() 4 xe x x d

De plus, en choisissant

fx x ()sin()=4 ′ fx x ()co=4s() 4

′ gx e x ()= gx e x ()=

on a que

∫∫

Dès lors,

ex xx ex ex ex x x x x cos()cos()sin()cos 44() d=4444+-d∫∫

⇔ ∫∫ ex xx ex xexe x x xx cos()cos co() s()sin() 44 44416 dd =+-

⇔ 174444 ∫ ex xx ex ec xx x cos()cos()si d=n()++ où c

⇔ ∫ ex xx ex e c xx x cos()cos()si 4n() 1 17 44 17 4 17 d=++ où c

Intégration de fonctions rationnelles

Propriété

Décomposition en fractions simples

Soit Nx Dx () () où Nx() et Dx() sont des polynômes à coefficients réels tels que deg() D ≥ 1

Si deg()ND <deg(), alors il existe une unique décomposition de Nx Dx () () sous la forme d’une somme de fractions rationnelles élémentaires dont la forme dépend de la factorisation de Dx() .

• Si Dx xa xaxa n ()()()() =-…12 où aa a n 12,, sont distincts deux à deux, alors il existe des réels A1, A2 , …, A n tels que : Nx

• Si Dx xa n ()() =- , alors il existe des réels A1, A2 , , A n tels que : Nx Dx A xa A xa A xa n n () ()()() =++…+12 2

• Si Dx xbxc()=++ 2 avec 0, alors il existe des réels A et B tels que : Nx Dx Ax B xbxc () () = + 2++ .

Remarques

• En application, il faut commencer par factoriser le dénominateur au maximum afin d’identifier chacun de ses facteurs comme une des situations citées ci-dessus.

• Dans ce chapitre, on se limitera à des décompositions de polynômes de degré inférieur ou égal à 3. Exemples

• Décomposons 35 12 x xx + -+()() en une somme de fractions simples.

On cherche les réels A et B tels que 35 1212 x xx A x B x + -+ =+ ()+ () . On a que : A x B x x xx Ax xx Bx xx+ + = + -+ + -+ +12-+ 35 12 2 12 1 ()12 () () ()() () ()() ⇔ == + -+ 35 12 x xx()()

⇒ Ax ABxB x ++-=+ 235

⇔ ()() AB xx AB ++-+ = 25 3

AB AB += -= 3 25

AB BB == 3 235 ()

Donc, 35 12 8 3 1 1 3 2 x xx xx + -+ =+ ()+ ()

• Décomposons 21 12 x x +() en une somme de fractions simples.

On cherche les réels A et B tels que 21 111 22 x x

x +=+ ()-() . On a que :

Donc, 21 1 2 1 3 1 22 x xx x +=+ ()-() • Décomposons 72 21 x xx+ en une somme de fractions simples.

On cherche les réels AB , et C tels que 72 211

Intégration de fonctions rationnelles

Pour résoudre ò Nx Dx x () () d où Nx() et Dx() sont des polynômes à coefficients réels, il faut :

1. vérifier les formes (quasi) immédiates de type puissance, ln ou arctan ;

2. si ce n’est pas une forme (quasi) immédiate, comparer les degrés de N et de D :

• si deg()ND ≥ deg() : effectuer la division euclidienne de Nx() par Dx() afin de réécrire Nx Dx Qx Rx Dx () () ()() () =+ où deg()deg()RD < , puis intégrer Qx() et Rx Dx () () ;

• si deg()deg()ND < :

• si D est factorisable : décomposer Nx Dx () () en une somme de fractions simples ;

• si D est un polynôme du deuxième degré non factorisable : réécrire Nx Dx () () sous la forme fx fx () 1() 2 + k où k afin d’utiliser une primitive de type arctan.

Exemples

• ∫ 23 31 31 2 2 x xx xx xc + ++ d=+++ ln où c

Dès lors,

6139 35 214 35 2141 35 2 xx x xx x xx x x ++ + d=++ + d=+d+ + ()dxx

• ò 1

254xx x -+ d

1. Factorisons xx254 -+ :

Comme =--=> ()541490 2 , les zéros de xx254 -+ sont x1 53 2 4= + = et x 2 53 2 =1=

Donc xx xx 25441 -+=-()()

Dès lors, 1 54 1 241xx xx -+ = ()()

2. Réécrivons 1 254xx-+ sous la forme

+ -

avec A et B deux réels à déterminer. A x B xx x

)() ⇒ Ax ABxB -+-=41 ⇔ ()() AB xx AB ++--+ = 41 0

AB += = 0 41

3. Calculons l’intégrale.

• ò 1 225xx x ++ d xx225 ++ n’est pas factorisable dans car =-=-<

Dès lors,

Intégration de fonctions trigonométriques

Méthodo

Résoudre une intégrale trigonométrique

Pour résoudre une intégrale trigonométrique, il est essentiel d’analyser préalablement sa forme. Selon les cas, il peut s’agir :

• d’une intégrale quasi immédiate ;

• de l’application d’une méthode d’intégration particulière (substitution, par partie…) ;

• de l’utilisation de formules usuelles de trigonométrie (rappelées à la page 113) afin de réécrire l’intégrale sous une forme plus facilement intégrable.

Exemple

∫∫ cos()cos()(cos()co 5s()) 1 2 55 xx xx xx xxd=++-d (formule de produit en somme)

=+d 1 2 64 ∫ (cos()cos())xx x

=d+d 1 2 61 2 4 ∫∫ cos()cos() xx xx

=d+d 1 2 61 2 14 6 61 4 4 ∫∫ cos()cos() xx xx =++ 1 12 61 8 si4 n()sin()xx c où c

EXERCICES

1. Calcule les intégrales quasi immédiates suivantes. Vérifie que l’expression finale est correcte en la dérivant ou en utilisant l’outil informatique.

Série 1

(a) ò () 2455 xx +d

(e) ò 63 27 x xx x + ++ d

(g) cos()sin() cos()sin() xx xx x+ d ò

(i) ex x x 65 ∫ d

(k) ln() x x xd ò

(b) ò 51232xx x ⋅ ()-d

(d) ∫ 1 si254n()d x x

(f) ò 63 27 x xx x + + d ()

(h) ò 2 2 e e x x x + d

(j) ex x 4d ò

(l) tan()xx d ò

Série 2

(a) ò 1 116d x x

Série 3

(a) ò 1 9+ d x x

(e) ò x x x 94 + d

(b) ò 1 11-62 d x x

(d) ò x x x 11-64 d

(b) ò 1 92 + d x x

(d) ò x x x 92 + d

(f) ò x x x 3 9+4 d

2. Calcule en utilisant la méthode d’intégration par substitution ou par changement de variable.

(a) ()xx x-d 76 ⋅ ∫

(e) cos()(sin()) sin() xx x x ∫ 4+d

(g) ò 162-dxx

(b) x x x + + d 1 23() ò

(d) 5035 57 x x x + + d ò

(f) 1 31 +d x x ò

(h) ò 192-dxx

3. Calcule en utilisant la méthode d’intégration par partie.

(a) 9 xx x ∫ cos()d

(e) ln()xx d ò

4. Calcule par la méthode d’intégration adéquate.

(a) () 6325 xx xx++d ∫

(b) ()si 53n()-d xx x ∫

(d) xx x ∫ ln() d

(f) ex x x 3 ∫ sin()d

(b) 224 xx x ∫ ()+d

(d) xx x 4 ∫ ln() d

(e) 2 2 ln() x x xd ò

(g) sin() () x x x cos d 3 ò

(i) ò 42-dxx

(k) ò arcsin()xx d

(m) 25 42 x x x + + d () ò

(o) (ln()) x x x 2 d ò

(q) x x x 1+ d ò

(s) ò ()() 21212100xx x+-d

(u) ò ex x x cos()d

(w) eexx x +- ∫ d

(y) ò ex x -1d

(f) 1 co22 s d () x x ò

(h) sin() xx x x2-d ∫

(j) ò 1 142d x x

(l) 33 xe x x ∫ d

(n) x x x 3 41d ò

(p) ln() x x x 2 d ò

(r) x e x x d ò

(t) ò x x x 2 7+ d

(v) ò sin(ln()) xx d

(x) ò 1 ee x xx + d -

(z) ∫ sin()32 xe x x d

5. Calcule les intégrales de fonctions rationnelles suivantes.

(a) ò 9 24 x x xd

(e) ò 7 253 2 xx x +d

(g) ò d ++ 7222910 34 32 2 xxx xx x

(i) ò 840 1001 2 x x x + + d

(k) ò 203 51 x x x + + d

(m) ò 910 9610 2 x xx x + ++ d

(b) ò 92 24 x x x +d

(d) ò 830257 45 32xx x x x+ d

(f) ò 11 245xx x ++ d

(h) ò x x x 2 2 2 5 + + d

(j) ò 94 5202 20xx x ++ d

(l) ò x xx x + + 1d 25

(n) ò 41 221 x xx x + ++ d

(o) ò 23310 43 32 2 xxx xx x-+ d

(q) ò 1 3 xx x + d

(p) ò 1 3 xx xd

6. Calcule les intégrales suivantes qui peuvent nécessiter l’utilisation de formules usuelles de trigonométrie.

(a) ∫ ⋅ 62 sin()sin()xx xd

(e) ò tand 2 ()xx

(g) ∫ cos()() xx x sind 3

(i) ∫ sin()cos()55xx xd

(k) ò 1 2 +cos sin ()d () x x x

(m) ò sind 3 ()xx

(o) ò 5 222 cos+ d () x x

(q) ò 1 12 + d x x en posant xt =tan()

(b) ò 2 33 4 si2n+ d x x

(d) ò cos()cos 43 3 xx x+d

(f) ∫ cossind22()() xx x

(h) ∫

sincos tt t 2 4 5 d

(j) ò sin()sin() sin() xx x x + 2d

(l) ò 1 1+sin() d x x

(n) ∫ cossind45()() xx x

(p) ∫ ln(cos)tan ()() xx xd

7. Vérifie que la fonction g définie par gx x x ()sin() =1 est une primitive de la fonction f définie par fx x x x x ()sin()cos() =2 .

8. Zoé part de Binche à vélo pour rejoindre Mons. Ces deux villes sont distantes de 17 km. Elle se déplace sur une route supposée rectiligne et sa vitesse, exprimée en km/h, est donnée par vt t Z ()= + 40 2 où t est le temps, exprimé en heures. On considère que Zoé démarre de Binche en t = 0.

Au même moment, Maya part de Mons en direction de Binche, également à vélo en empruntant le même chemin dans le sens opposé. Sa vitesse, quant à elle, est donnée par vt t M ()() = + 35 12 .

(a) Soit dZ(t) la distance (en km) parcourue par Zoé après t heures. Détermine l’expression de dZ(t).

(b) Soit dM(t) la distance (en km) parcourue par Maya après t heures. Détermine l’expression de dM(t).

3. Intégrale définie

DÉCOUVERTE

Activité 1 Lien entre aire d’une surface et primitive

1. Considérons la fonction constante f ( x ) = 3 représentée ci-dessous.

(a) Calcule l’aire des surfaces colorées dans les situations suivantes.

(b) En te basant sur le point (a), donne la formule générale, qui dépend de x, qui permet de calculer l’aire de la surface colorée ci-dessous.

2. Considérons la fonction identité f ( x ) = x représentée ci-dessous.

(a) Calcule l’aire des surfaces colorées dans les situations suivantes.

(b) En te basant sur le point (a), donne la formule générale, qui dépend de x, qui permet de calculer l’aire de la surface colorée ci-dessous.

3. Sur la base des points 1 et 2, quel lien observes-tu entre la formule générale de l’aire trouvée et la fonction initiale f ?

Il existe un lien entre l’aire de la surface comprise entre la courbe représentative d’une fonction f positive, l’axe Ox et les droites verticales d’équations x = 0 et x = a (où a > 0) et une primitive de la fonction f

Activité 2 Aire d’une surface par la méthode des rectangles

L’objectif de cette activité est de déterminer l’aire de la surface comprise entre la courbe d’équation y = x2 + 1, l’axe Ox et les droites d’équations x = 1 et x = 2.

1. Approxime l’aire recherchée en comptant le nombre de carrés de 1 unité de côté.

2. Pour obtenir une estimation plus précise, découpons la surface en plusieurs rectangles, dont nous pouvons facilement calculer l’aire. Voici trois méthodes différentes pour approcher cette aire à l’aide de 5 rectangles.

(a) Pour chacune des trois méthodes, les cinq rectangles ont tous la même base. Comment avons-nous procédé ?

(b) La hauteur de ces rectangles n’est cependant pas la même. Comment avons-nous procédé pour chacune des trois méthodes proposées ?

(c) Calcule l’aire approximative pour chacune des trois méthodes en effectuant la somme de l’aire des cinq rectangles représentés.

(d) Comment améliorer ces approximations ? Visualise-le en scannant le code QR ci-contre.

(e) Le tableau suivant donne l’approximation de la somme des aires des rectangles en augmentant le nombre de rectangles pour chacune des trois méthodes. Conjectures-en l’aire de la surface recherchée.

GeoGebra

πG

Plus le nombre n de rectangles augmente, plus les trois méthodes d’approximation donnent des valeurs proches les unes des autres. Elles convergent vers la valeur exacte de l’aire de la surface comprise entre la courbe d’équation y = x2 + 1, l’axe Ox et les droites d’équations x = 1 et x = 2. Cette valeur est égale à 10 3 .

De façon générale, cette aire correspond à la limite d’une somme de rectangles très fins.

On additionne les aires des rectangles : f xx fx xf xx fx x n i n i 12 1 ++ += =

où n est le nombre de rectangles, Δx la largeur de chaque rectangle et xi une valeur prise dans chaque sous-intervalle.

3. Cherchons maintenant à calculer précisément cette aire.

(a) Détermine l’expression analytique de F, une primitive de la fonction f ( x ) = x2 + 1.

(b) Calcule F (1) et F (2). Quel lien peux-tu faire avec l’aire recherchée ?

(d) Calcule G(1) et G(2). Peux-tu tirer la même conclusion qu’à la question (b) ?

Si on considère la surface comprise entre la courbe représentative de la fonction f, l’axe Ox et les droites verticales d’équations x = a et x = b (où a < b), l’aire de cette surface est donnée par la différence entre les valeurs d’une primitive de f entre a et b

Cette différence est appelée intégrale définie de f entre a et b, se note a b fx x ò () d et est définie par a b fx x ò () d = F (b) – F (a) où F est une primitive de f.

THÉORIE

Définition

Intégrale définie

Soient a et b deux réels tels que a ≤ b et f une fonction intégrable sur l’intervalle [a; b].

Pour tout naturel n ∈ •0, considérons i n i fx x =1 où n donne le nombre de subdivisions de l’intervalle [a; b], Δx la longueur de chaque sous-intervalle égale à ba net xi une valeur choisie dans chaque sous-intervalle (où 1 ≤ i ≤ n).

L’intégrale définie de f sur [a; b], notée a b fx x ò () d , est la limite : a b n i n i fx xf xx ∫ ()lid=m + = & 1

Remarques

• Les xi peuvent être choisis tout à fait arbitrairement, comme le montraient les trois méthodes utilisées dans l’activité 2 de la découverte.

• On aurait également pu définir l’intégrale définie en choisissant des sous-intervalles de longueurs différentes.

• Le symbole ò , choisi pour la notion d’intégrale, rappelle la lettre « S » allongée, qui est la première lettre du mot « somme », tandis que « f ( x ) dx » rappelle « f ( xi ) Δx ».

Interprétation géométrique de la définition

Soit f une fonction positive et intégrable sur un intervalle [a; b] où a < b L’intégrale définie a b fx x ò () d donne l’aire de la surface comprise entre la courbe représentative de la fonction f, l’axe Ox et les droites verticales d’équations x = a et x = b.

Pour approximer cette aire, on subdivise l’intervalle [ a ; b ] en n sous-intervalles de longueur Δx ba n =et on choisit une valeur xi (où 1 ≤ i ≤ n) dans chaque sous-intervalle afin de construire n rectangles de base Δx et de hauteur f ( xi ). L’aire est donc approximée par la somme de l’aire de ces différents rectangles.

Plus on augmente le nombre de rectangles, plus l’approximation est précise. Lorsque l’on passe à la limite, l’erreur est nulle et donne l’aire.

Propriétés

Linéarité de l’intégrale définie

Soient k un réel, I un intervalle, a et b des réels appartenant à I et f et g deux fonctions intégrables sur I . • a b a b a b fx gx xf xx gx x òò ò (()())()() +d=d+d

Démonstration

Soient n le nombre de subdivisions de l’intervalle [;] ab , Δ x ba n =la longueur de chaque sousintervalle et x i une valeur choisie dans chaque sous-intervalle (où 1 ≤≤in ).

• a b n i ii fx gx xf xg x x ∫ (()()()() )l +dim=+ +& 1 n =+ + == lim n i n i i n i fx xg xx & 11 ()()

limlim n i n i n i n i fx xg x x + = + = + & & 11 ()() (car les deux limites existent vu que f et g sont intégrales sur [] ; ab ⊆ I )

=d+d a b a b fx xg xx òò()()

• a b n i i kf xx kf x x ∫ ()lid=m + = & 1 () n = + = kf xx n i i lim & 1 () n =d kf xx a b ⋅ò ()

Propriétés

Propriétés de l’intégrale définie

Soient I un intervalle, ab c ,, des réels appartenant à I et f et g deux fonctions intégrables sur I .

• Intégrale nulle : a a fx x ò () d=0

• Loi de Chasles : a b b c a c fx xf xx fx x òò ò ()()() d+d=d y 0 x 1 1 f a b c

• Changement de sens des bornes : b a a b fx xf xx òò()()d=-d

• Monotonie : si pour tout xa b ∈ [;] où ab < , fx gx ()() ≤ , alors a b a b fx xg xx òò()()dd ≤

Remarque

Soient a 0 + et f intégrable sur [];- aa

• Si f est paire, alorsd=d a aa fx xf xx òò()() 2 0

• Si f est impaire, alorsd= a a fx x ò ()0.

Théorème

Théorème de la moyenne

Soit f une fonction continue sur [] ; ab où ab <

Alors, il existe un réel ra b ; tel que a b fx xf rb a ò ()()() d=-

Démonstration

Puisque f est continue sur [] ; ab , il existe deux réels m et M tels que m est le minimum absolu et M est le maximum absolu de la fonction f sur l’intervalle [] ; ab

On a donc que : ∀ xa bm fx M [;],()

Par la propriété de monotonie de l’intégrale définie, on a que :

Or, a b mx mb a ò d=-() et a b Mx Mb a ∫ d=-() .

Ainsi, mb af xx Mb a a b ()()() -d≤≤ ò

En divisant par ba - (strictement positif, car ab < ), on obtient que : m ba fx xM a b ≤≤ 1d ò ()

La fonction f étant continue sur [] ; ab , elle prend toutes les valeurs comprises entre m et M D’après le théorème des valeurs intermédiaires (vu en 5e année), il existe donc un réel ra b ∈ [;] tel que : fr ba fx x a b ()() =1d ò

En conclusion, il existe bien un réel ra b ∈ [;] tel que : a b fx xf rb a ò ()()() d=-

Vocabulaire

On dit que fr() est la valeur moyenne de f sur [] ; ab

Exemple

Considérons la fonction f définie par fx x ()=+21 sur [] ; 12 .

Grâce à l’activité 2 de la découverte de cette section, on sait que 1 2 2110 3 ∫ xx+d=

Comme 1 2 2110 3 ∫ xx+d= , le théorème de la moyenne nous dit qu’il

existe un réel r ∈ [;] 12 tel que 10 3 21=fr()().

En effet,

Or, comme rr ∈ [;]1221 ,=3

Dès lors, l’aire de la surface comprise entre la courbe yx 21, l’axe Ox et les droites x =1 et x =2 est égale à l’aide du rectangle dont la base vaut 211 -= et la hauteur vaut fr()=10 3 .

Théorème

Théorème d’existence

Soient f une fonction continue sur [;] ab et Fa b :[;] définie par Fx ft t a x ()()=d ò Alors, pour tout réel xa b ∈ [;] , Fx fx ′()() = .

Démonstration

Soit xa b ∈ [,]

Fx Fx hF x h h ()lim(() = +)0 (définition du nombre dérivé) = ()d-() d + lim h a xh a x ft tf tt h →0 òò = ()d+() d + lim h a xh x a ft tf tt h →0 òò (changement de sens des bornes) = () d + lim h x xh ft t h →0 ò (loi de Chasles)

= +)lim )) h h xh xf r h 0

=lim h h hf r h 0 )

=lim h frh 0 )

=lim rx h h fr )

théorème de la moyenne avec rx xh h ∈ [;] +

comme rx xh h ∈ [;] + , si h → 0 , alors rx h →

= fx() (continuité de f )

Illustration

L’animation GeoGebra disponible en scannant le code QR ci-contre permet d’illustrer ce théorème.

Théorème

Lien entre primitives et intégrales définies

Soient f une fonction continue sur [;] ab et F une primitive de f sur [;] ab . Alors, a b fx xF bF a ò ()()d=-()

Démonstration

Considérons la fonction G définie sur [;] ab telle que Gx ft t a x ()=()d ò

D’après le théorème d’existence appliqué à la fonction G , on a que pour tout réel xa b ∈ [;] , Gx fx ′()() =

Or, par hypothèse, F est également une primitive de f sur [;] ab . Par le théorème de non-unicité, il existe donc une constante c telle que Fx Gx c ()()=+

En particulier,

Fb Fa Gb cG ac ()-()=()+-(()+)

=()-() Gb Ga

=()d-()d a b a a ft tf tt òò

=()da b ft t ò 0

=()d a b ft t ò

=d a b fx x ò ()

GeoGebra

Notation

En application, on notera

afin de faire apparaître l’expression analytique de F

Exemple

Méthodo

Résolution d’une intégrale définie par substitution

Pour calculer une intégrale définie par la méthode d’intégration par substitution, on peut :

• Méthode 1 : traduire les bornes d’intégration suivant la nouvelle variable et effectuer le calcul intégral suivant cette nouvelle variable.

• Méthode 2 : garder les bornes suivant la variable initiale, calculer une primitive en fonction de la nouvelle variable, réexprimer le résultat en fonction de la variable initiale pour enfin calculer l’intégrale définie.

Exemple

0 2 23() ∫ xx x+d

• Méthode 1 :

0 2 23 ∫ x x x+d()

Posons t = x + 2

On a alors que

• x = t – 2 ;

• dx = dt

Calcul de bornes : si x

Dès lors,

• Méthode 2 :

0 2 23 ∫ x x x+d()

Posons t = x + 2

On a alors que

• x = t – 2 ;

• dx = dt.

Dès lors,

Méthodo

Résolution d’une intégrale définie par partie

Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle [a; b].

Une intégrale définie par la méthode d’intégration par partie se calcule de la manière suivante :

gx xf xg xf xg xx òò()()()()()() d=-d

Exemple

1 5 e xx ò ln() d

En choisissant

f ( x ) = ln( x ) ′ fx x ()=1

g′( x ) = 5 g( x ) = 5x

on a que

555 11 d=ln() =-=--+= (ln()ln())() ee ee e 515551505555

EXERCICES

1. Calcule les intégrales définies suivantes.

Série 1

(a)-+d 2 1 2 641 ∫ xx x

-d 1 1 2 3 10 ò uu (c)cos π 0 6 ∫

x xd

0 2 2 2 10 2 òò exxxex d+d ln() (e) 4 53 2 -100 d ò x x x (f) 2 42 3 -100 d ò x x x

Série 2

(a) 0 3 5-63)d ∫ ⋅ xx x ( (b) π π 2 sincos sin+1 d ∫ ()() () xx x x

(e) -8 -24 2-5 d ò x x x (f)cos+d π π π ∫ ()() xx x

(g) 0 2 2 π ò sin()xx d

2. Considérons l’intégrale+ d 1 1 21 ò fx x x () où f est une fonction intégrable sur

(a) Calcule+ d 1 1 21 ò fx x x () lorsque fx() est une fonction constante.

(b) Donne un exemple de fonction f non nulle pour laquelle+ d= 1 1 21 0 ò fx x x () .

3. Détermine le réel a supérieur à 1 tel que 1 (4+3) d=15 a xx ò .

4. Soient f, g et h les fonctions représentées ci-dessous où f et h sont paires et g est impaire, �� l’aire de la surface colorée en vert, ℬ l’aire de la surface colorée en orange et �� l’aire de la surface colorée en bleu.

Exprime, en fonction de ��, de ℬ ou de ��, les intégrales suivantes.

5. Considérons les fonctions f et g représentées ci-après. Donne le signe des intégrales définies suivantes et justifie.

6. Si une force constante F agit sur un objet qui se déplace de la position initiale xi mètres à la position finale xf mètres, alors le travail de cette force, exprimé en joules, est défini par W = F cos(θ) ( xf – xi)

où θ est l’angle compris entre la force et le vecteur déplacement. Lorsque l’angle θ est constant, mais que l’intensité de la force varie en fonction de la position x, on note F = F ( x ). Le travail de la force est alors donné par l’intégrale x x f Fx x ∫ ()cos() θ d . x 1 1 xi xf F (x) cos() θ 0

Dans le cas d’un ressort, la loi de Hooke nous dit que le ressort exerce une force de rappel opposée au déplacement, dont l’intensité est donnée par F ( x ) = –k x où k est la constante de raideur du ressort et x le déplacement du ressort par rapport à la position d’équilibre.

Par exemple, le travail de la force pour comprimer un ressort sur 5 cm à partir de sa position d’équilibre, sachant que sa constante de raideur est k = 250 N/m, vaut Wx xx =d===J 0 005 2 0 005 25012512522 005125003125 , , ,-, ∫

⋅⋅ .

Un archer, en bandant son arc, applique une force opposée à la force de rappel de la corde, dont la constante de raideur vaut k = 204 N/m. Détermine le travail de la force qu’exerce l’archer lorsqu’il bande son arc sur 70 cm.

4. Calcul d’aires

DÉCOUVERTE

Activité 1 Calcul d’aires et intégrale définie

Soient les fonctions f, g et h définies par f ( x ) = –

ci-dessous.

À l’aide du calcul intégral, calcule l’aire des surfaces colorées ��1, ��2 et ��3 représentées ci-dessus.

πG

L’aire �� de la surface comprise entre la courbe représentative d’une fonction intégrable f, l’axe Ox et les droites d’équations x = a et x = b vaut :

• =d a b fx x ò () si f est positive sur [a; b] ;

• =a b fx x ò () d si f est négative sur [a; b].

Activité 2 Calcul de l’aire de la surface comprise entre deux courbes

1. Soient les fonctions f et g définies par f ( x ) = –x2 + 4x + 3 et g ( x ) = x2 – 2x + 3 représentées ci-contre.

(a) Considérons ��, l’aire de la surface comprise entre les courbes représentatives de f et de g.

I. Calcule ��1, l’aire de la surface comprise entre la courbe représentative de f, l’axe Ox et les droites d’équations x = 0 et x = 3.

II. Calcule ��2, l’aire de la surface comprise entre la courbe représentative de g, l’axe Ox et les droites d’équations x = 0 et x = 3.

III. En utilisant ��1 et ��2, calcule ��

IV. Exprime �� à l’aide d’une unique intégrale définie qui dépend de f et g

(b) Nous avons effectué plusieurs fois la même translation verticale aux graphes des fonctions f et g comme le montrent les graphiques ci-dessous.

I. Comment sont les aires de ces surfaces par rapport à l’aire �� calculée au point (a) ?

II. Le fait que les fonctions soient positives, négatives ou qu’elles coupent l’axe des abscisses sur l’intervalle [0; 3] a-t-il une influence sur la formule que tu as trouvée pour calculer l’aire comprise entre les courbes représentatives de ces fonctions ?

G

Soient a et b deux réels tels que a < b. L’aire de la surface comprise entre les courbes représentatives de deux fonctions intégrables f et g et les droites d’équations x = a et x = b

vaut d a b fx – gx x ∫ (( )( )) si le graphe de f est situé au-dessus du graphe de g sur [a; b].

2. Soient les fonctions f et g définies par f ( x ) = x3 – 3x + 1 et g( x ) = x2 – x + 1 représentées ci-dessous.

Calcule précisément l’aire de la surface comprise entre les courbes représentatives de f et g grâce à la propriété découverte au point 1.

THÉORIE

Propriété

Aire de la surface comprise entre deux courbes

Soient a et b deux réels tels que a < b, et f et g deux fonctions telles que ∀x ∈ [a; b], f ( x ) ≥ g( x ).

L’aire de la surface comprise entre les courbes représentatives des fonctions f et g et les droites d’équations x = a et x = b est alors donnée par =-d a b fx gx x ò (()()) y x 0 1 1 g f a b

Remarque

En application, lorsque l’on cherchera l’aire de la surface comprise entre deux courbes, on supposera que les bornes de l’intégrale sont données par les abscisses des points d′ intersection des courbes.

Méthodo

Calcul de l’aire de la surface comprise entre deux courbes

Soient f et g deux fonctions.

Pour calculer l’aire de la surface comprise entre les courbes représentatives de ces deux fonctions, il faut :

1. trouver les bornes de l’ (des) intégrale(s) en résolvant l’équation f ( x ) = g ( x ) qui donne les abscisses des points d’intersection entre le graphe de f et le graphe de g ;

2. comparer f et g sur les intervalles formés par les abscisses calculées au point 1 et en déduire si le graphe de f est au-dessus ou en dessous du graphe de g sur les intervalles considérés ;

3. calculer l’ (les) intégrale(s) qui permet(tent) de trouver l’aire recherchée.

Exemple

Calculons l’aire de la surface comprise entre les courbes représentatives des fonctions f et g définies par f ( x ) = 2x2 – 5x + 3 et g ( x ) = x2 – 2x + 3.

1. Recherche des bornes :

2. Comparaison de f et de g sur l’intervalle [0; 3] :

Algébriquement

Choisissons une valeur strictement comprise entre 0 et 3, par exemple 2. f g () ()

car les fonctions f et g sont continues.

3. Calcul de l’aire :

Graphiquement

Corollaire

Aire de la surface comprise entre une courbe et l’axe Ox

Soit f une fonction intégrable sur [a; b].

L’aire de la surface comprise entre la courbe représentative de f, l’axe Ox et les droites d’équations x = a et x = b dépend du signe de f sur [a; b].

• Si f est positive sur [a; b], alors =d a b fx x ò ()

• Si f est négative sur [a; b], alors =-d a b fx x ò ()

Illustrations y y y x x x 0 0 0 1 1 1 1 1 1 f a b f a b f a b c =d a b fx x ò ()=-d a b fx x ò ()=d-d a c c b fx xf xx òò()()

Exemple

Soit la fonction f définie par f ( x ) = sin( x ). y x 0 f 1 –1 π –π ℬ 𝒜

• L’aire de la surface bleue vaut =d=-=-=-(-)+=u 00 sin(0112 )cos()cos()(cos()) xx x .a ∫

• L’aire de la surface orange vaut =-d===-000 sin(0 )cos()cos()cos()c xx xx o os()() -==u.a 11. 2 ∫

Remarques

• La propriété de l’aire de la surface comprise entre une courbe et l’axe Ox découle de la définition d’intégrale définie en termes de limites : ==d + = lim() n i n i a b fx xf x x & 1 ∫

• L’aire de la surface comprise entre la courbe représentative de f, l’axe Ox et les droites d’équations x = a et x = b peut être approximée en décomposant cette surface à l’aide de figures géométriques élémentaires, telles que des rectangles ou des trapèzes, et en additionnant leurs aires.

Exemple

Soit la fonction f définie par f ( x ) = x2 – 3.

Approximons l’aire de la surface comprise entre la courbe représentative de f, l’axe Ox et les droites d’équations x = 1 et x = 3. Pour cela, décomposons la surface en cinq rectangles de même base Δx = 0,4 et de hauteur égale à la valeur absolue de l’image par f de la valeur centrale de chaque sous-intervalle ainsi créé.

��

≈ 0,4 |f (1,2)| + 0,4 |f (1,6)| + 0,4 |f (2)| + 0,4 |f (2,4)| + 0,4 |f (2,8)|

≈ 0,4 |1,22 – 3|+ 0,4 ⋅|1,62 – 3| + 0,4 ⋅|22 – 3| + 0,4 ⋅|2,42 – 3| + 0,4 ⋅|2,82 – 3|

≈ 2,64 u. a.

• Ces approximations peuvent être réalisées à l’aide d’outils numériques.

Par exemple, dans le logiciel GeoGebra, la commande SommeRectangles (Fonction, x initial, x final, Nombre Rectangles, Position pour Hauteur) permet d’estimer une intégrale définie en sommant les aires de plusieurs rectangles.

Le paramètre Position pour Hauteur indique à quel endroit du sous-intervalle la fonction est évaluée pour déterminer la hauteur de chaque rectangle. On doit entrer un nombre entre 0 et 1 :

• 0 pour une évaluation à la borne gauche ;

• 1 pour une évaluation à la borne droite ;

• 0.5 pour une évaluation au centre du sous-intervalle.

Comme cette commande donne une approximation de l’intégrale définie, il faut travailler avec la valeur absolue de la fonction si on veut une approximation de l’aire de la surface comprise entre le graphe de la fonction et l’axe Ox sur l’intervalle étudié.

EXERCICES

1. Les fonctions f, g et h sont représentées ci-dessous.

Note, sans en déterminer la valeur, le calcul intégral qui permet de calculer l’aire des surfaces colorées.

2. Sachant que les fonctions représentées sont des (transformées de) fonctions de référence, calcule l’aire de la surface colorée sur chaque graphique.

3. Approxime l’aire de la surface colorée sur chaque graphique par une somme d’aires élémentaires, avant de la déterminer algébriquement avec précision.

COPYRIGHTVANIN

4. Considérons la surface délimitée par la courbe d’équation y = ln(3x), l’axe Ox et les droites d’équations x = 1 et x = 7.

(a) À l’aide de la commande SommeRectangles(Fonction, x initial, x final, Nombre Rectangles, Position pour Hauteur) dans GeoGebra, calcule une approximation de l’aire de cette surface en prenant successivement 10, 25 et 50 rectangles.

(b) Calcule précisément l’aire de cette surface.

5. Calcule l’aire de la surface délimitée par les courbes décrites ci-dessous. Vérifie la plausibilité de ta réponse à l’aide de GeoGebra.

(a) la courbe d’équation y = 16 – x2, l’axe Ox et les droites d’équations x = –4 et x = 1 ;

(b) la courbe d’équation y = e x – 1, l’axe Ox et les droites d’équations x = –2 et x = 2 ;

(d) la courbe d’équation y = 2x2 – 12x + 16, l’axe Ox et les droites d’équations x = 0 et x = 10 ;

(e) la courbe d’équation y = sin(2x), l’axe Ox et les droites d’équations x = –π et x = 2π ;

(f) la courbe d’équation y = ln( x ), l’axe Ox et les droites d’équations x = e et x = e2

6. Calcule l’aire de la surface délimitée par les courbes représentatives des fonctions f et g définies ci-dessous. Vérifie ensuite tes solutions à l’aide de GeoGebra.

(a) f ( x ) = x2 – 4x et g( x ) = –2x + 3

(b) f ( x ) = x2 + 2x + 7 et g( x ) = 4x2 + 8x + 7

(d) fx x ()=8 et g( x ) = –4x + 12

(e) f ( x ) = 1 – cos( x ) et g( x ) = cos( x ) où x ∈ -; 33

(f) fx x ()=1 2 et gx xx ()=--+ 3 2 9 2 21 sachant que f ( x ) = g( x ) si et seulement si x = –2 ou x = 0.

7. Considérons les points A(–4; 2), B(5; 5) et C(2; –1) placés ci-dessous dans un repère orthonormé. Sachant que 1 unité ↔ 1 cm, détermine l’aire du triangle ABC à l’aide du calcul intégral.

y = 2x – 5 y = –1 x 2 y = 1 x + 10 33

8. À l’aide du calcul intégral, détermine l’aire de la surface colorée ci-dessous.

9. Considérons la droite d d’équation y = 3x.

(a) Calcule l’aire de la surface comprise entre la droite d, l’axe Ox et les droites d’équations x = 0 et x = 4.

(b) Modélise dans un repère la surface dont l’aire est recherchée au point (a). Quelle figure est ainsi construite ?

(c) En t’aidant des points (a) et (b), démontre à l’aide du calcul intégral la formule de l’aire d’un triangle de base b et de hauteur h

Camille a acheté un bien immobilier composé d’une maison et d’un jardin. Son jardin est bordé par un ruisseau dont les limites peuvent être approximées à l’aide de la fonction f définie par f ( x ) = x3 – x2 – x + 3. Quelle est la superficie de son terrain, sachant qu’un carré de 1 unité de côté représente 1 are ? y

Une boutique de vêtements de sport féminins vient d’ouvrir sa première boutique physique et le propriétaire souhaite reproduire son logo sur une enseigne lumineuse. Le logo est constitué de trois courbes représentatives de fonctions :

• la fonction f définie par f ( x ) = 3x2 sur [–1; 1] ;

• la fonction g définie par g( x ) = 4x2 + 5x + 4 sur [–1; 0] ;

• la fonction h définie par h( x ) = 4x2 – 5x + 4 sur [0; 1].

Les courbes sont inscrites dans un cercle de rayon 2 comme illustré ci-contre dans un repère orthonormé.

La partie illuminée correspond à la partie blanche du logo à l’intérieur du cercle, et l’unité de longueur choisie est le mètre. Quelle est l’aire de la surface illuminée ? On néglige l’épaisseur des contours.

Un léopard s’élance à la poursuite d’une proie. Un scientifique présent relève la vitesse de l’animal au cours de ses 12 premières secondes de foulée, ce qui lui permet de construire le graphique suivant où t est exprimé en secondes et v(t) en mètres par seconde.

Donne la bonne réponse : à l’aide de ce graphique, on estime la distance parcourue par le léopard pendant ces 12 secondes à…

 50 mètres

250 mètres

335 mètres

5. Calcul de volumes

DÉCOUVERTE

Activité Volume d’un solide de révolution par la méthode des cylindres

Soit la fonction f définie par f xx()= sur l’intervalle [0; 4] et représentée ci-dessous.

On effectue la rotation autour de l’axe Ox de la surface comprise entre la courbe d’équation y = f ( x ) et les droites d’équations x = 0, x = 4 et y = 0 afin d’obtenir un solide de révolution.

Cherchons à déterminer le volume de ce solide.

Souviens-toi : pour découvrir la définition d’une intégrale définie, nous avions utilisé la méthode des rectangles pour approximer l’aire de la surface comprise entre une courbe et l’axe Ox sur un certain intervalle.

Pour ce faire, nous avions subdivisé l’intervalle de départ en n sous-intervalles de même longueur Δx et, dans chaque sous-intervalle, nous avions choisi un certain xi (1 ≤ i ≤ n) afin de construire des rectangles de base Δx et de hauteur f ( xi ).

Dans notre exemple, plaçons-nous dans le cas où n = 5 et où xi (1 ≤ i ≤ 5) est le centre du i ème sousintervalle. Effectuons ensuite la rotation autour de l’axe Ox de chacun des cinq rectangles.

1. Quels solides générons-nous ?

2. Comment calculer le volume de chacun de ces solides ?

3. Comment approximer le volume du solide de révolution représenté au début de l’activité à l’aide du volume de ces cylindres ?

4. Que se passe-t-il si on augmente de plus en plus le nombre de cylindres ?

Visualise-le en scannant le code QR ci-contre.

5. Sur la base de la définition d’intégrale définie, déduis-en la formule qui permet de calculer le volume de ce solide de révolution.

6. En utilisant ta réponse à la question précédente, calcule précisément son volume.

πG

Soient a et b deux réels tels que a < b et f une fonction intégrable sur [a; b].

Pour calculer le volume du solide de révolution obtenu par rotation autour de l’axe Ox de la courbe représentative de f sur l’intervalle [a; b], il suffit de calculer l’intégrale définie

V =( )d a b fx x ∫ () 2

THÉORIE

Propriété

Volume d’un solide de révolution

Soient a et b deux réels tels que a < b et f une fonction intégrable sur [a; b].

Le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe Ox de la surface comprise entre la courbe d’équation y = f ( x ) et les droites d’équations x = a, x = b et y = 0 vaut  =()d a b fx x ò ()2

Illustrations et interprétation

Approchons le solide de révolution par une série de cylindres très fins : on subdivise l’intervalle [a; b] en n sous-intervalles de longueur Δx ba n =. Pour chaque sous-intervalle, on choisit une valeur xi et on construit un cylindre de rayon |f ( xi )| et de hauteur Δx.

Le volume de chaque cylindre est donné par : Vii i fx xf xx == . 22

En additionnant les volumes de tous ces cylindres, on obtient une approximation du volume du solide de révolution. Plus on augmente le nombre de cylindres, plus l’approximation devient précise. En passant à la limite quand le nombre de cylindres tend vers l’infini, on obtient la formule exacte : V ==d + = lim(()) n i n i a b fx xf x x & 1 22 ∫

par définition d’intégrale définie.

GeoGebra

Exemple

Considérons le solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe Ox de la surface comprise entre la courbe d’équation y = x 2 + 3 et les droites d’équations x = –1, x = 1 et y = 0. Le volume de ce solide vaut

EXERCICES

1. Calcule le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe Ox de la surface comprise entre les courbes décrites ci-dessous.

(a) La courbe d’équation y = 2 x + 4 et les droites d’équations x = –4, x = 0 et y = 0.

(b) La courbe d’équation yx=+() 243 et les droites d’équations x =-4 , x =0 et y =0.

(d) La courbe d’équation y = 2x et les droites d’équations x = –3, x = 1 et y = 0.

(e) La courbe d’équation yx=+ sin()1 et les droites d’équations x =-π, x =2π et y =0

(f) la courbe d’équation yx x =-+241 et les droites d’équations x =-1, x =1 et y = 0

2. Considérons les surfaces colorées représentées ci-dessous.

(a) Précise la surface dont le solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe Ox de cette surface est une sphère de rayon r

(b) Retrouve la formule du volume d’une sphère à l’aide du calcul intégral.

Remarque : tu peux commencer par donner une valeur à r avant de généraliser.

3. Considérons la droite d d’équation y = 3x

(a) Calcule le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe Ox de la surface comprise entre la droite d et les droites d’équations x = 0, x = 4 et y = 0.

(b) Modélise dans un repère le solide dont le volume est recherché au point (a). Quel solide est ainsi construit ?

(c) En t’aidant des sous-questions précédentes, démontre à l’aide du calcul intégral la formule du volume d’un cône circulaire droit de hauteur h et dont la base a un rayon r.

4. Détermine le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe Ox de chacune des surfaces colorées ci-dessous.

5. La gérante d’un bar à choux souhaite étendre sa carte et proposer des espressos. L’idée serait alors de déposer une fine coque de chou caramélisé sur le dessus de la tasse. Pour cela, elle a conceptualisé des tasses spécifiques d’une hauteur de 4 cm et qui sont modélisées ci-dessous (1 unité correspond à 1 cm).

Les tasses seront remplies à 50 % de leur contenance maximale. Quelle quantité d’espresso sera servie dans chaque tasse ?

Rappel : 1 cm3 correspond à 0,1 cl.

6. Pour un projet de science-fiction, une classe imprime en 3D un vaisseau spatial dont la coque est générée par la rotation autour de Ox de la surface plane délimitée par le graphe de la fonction f xx ()=2 2 1 et les droites d’équation x =-15 , , x =1 5 , et y =0 où 1 unité correspond à 2 cm.

Quel volume de plastique est nécessaire pour imprimer la coque pleine ?

7. Une créatrice de bijoux souhaite fabriquer un pendentif en forme de perle ronde en céramique. Pour cela, elle imagine une forme obtenue par un solide de révolution creusé :

• la forme extérieure de la perle est définie par la rotation autour de l’axe Ox de la surface comprise entre la courbe yx =-12 et l’axe Ox ;

• le trou pour faire passer le fil est défini par la rotation autour de l’axe Ox de la surface comprise entre la courbe y = 0,6 et l’axe Ox

Les deux surfaces sont considérées sur l’intervalle4 5 4 5 ; et les unités sont exprimées en centimètres.

Sachant que la masse volumique de la céramique utilisée est de 2 g/cm3, calcule la masse d’une perle.

8. Un biberon magique est un jouet pour enfant qui donne l’illusion d’être rempli de lait. Quand on le penche, le liquide « disparaît » dans la tétine et quand on le remet droit, le biberon semble à nouveau plein.

On modélise, dans un repère du plan, le profil du réservoir intérieur du biberon (vu en coupe) par les deux fonctions suivantes, définies pour x ∈ [;] 010 :

Rx x (),s=-in 206 et rx x (),,si=-n 1806

où Rx() représente le rayon extérieur du réservoir et rx() représente le rayon intérieur.

Toutes les longueurs sont exprimées en centimètres.

On suppose que le réservoir est obtenu en faisant tourner la région comprise entre les deux courbes autour de l’axe Ox .

Calcule le volume de liquide, en ml, qu’il faut mettre dans le réservoir.

Rappel : 1 cm3 = 1 ml

x) = 1,8 – 0,6 ⋅ sin

9. On considère l’ellipse centrée en (;) 00 , d’équation xy22 94 +=1

On fait tourner la région intérieure de cette ellipse autour de l’axe Oy . Calcule le volume du solide de révolution ainsi obtenu.

6. Calcul de longueurs d’arcs

DÉCOUVERTE

Activité Calcul de la longueur d’un arc

Soit la fonction f définie par fx x ()= 2 4 .

On cherche à calculer la longueur de la courbe représentative de f sur l’intervalle [;] 04 .

Approchons la courbe par une ligne brisée.

1. On découpe l’intervalle [;] 04 en deux parties égales.

Calcule la distance entre les points (;()) 00 f et (;() 22) f , puis entre (;() 22) f et (;() 44) f .

Additionne ensuite ces deux longueurs afin d’obtenir une première approximation de la longueur recherchée.

2. Fais de même en découpant cette fois l’intervalle de départ en quatre parties égales.

Calcule la somme des longueurs des segments obtenus.

3. Que faut-il faire pour encore améliorer la précision de l’approximation ?

πG

En découpant l’intervalle [; ] 04 en un nombre n de plus en plus grand de sous-intervalles de longueur Δx n = 4 , la ligne brisée obtenue se rapproche de plus en plus de la courbe représentative de f

La longueur de la courbe peut alors être approchée par la somme des longueurs des segments reliant deux points successifs.

Or, la longueur de chacun de ces segments est donnée par le théorème de Pythagore :

Lorsque le découpage devient de plus en plus fin ( ) x 0 , le quotient fx xf x x () () + Δ Δ tend vers la dérivée fx ′ ().

La somme des longueurs des segments tend alors vers une valeur limite qui correspond à la longueur exacte de la courbe.

Cette limite s’exprime à l’aide du calcul intégral : Lf xx =+ d 0 4 ò 1 2 (( )) ′

4. Approxime Lf xx=+d 0 4 12 ò (()) ′ à l’aide d’un outil informatique afin de calculer la longueur de la courbe représentative de f sur l’intervalle [0; 4].

THÉORIE

Propriété

Calcul de la longueur d’un arc

Soit f une fonction dérivable sur [;] ab où ab < .

La longueur de l’arc de la courbe représentative de f entre les abscisses a et b est donnée par :

xx a b =+d ò 12 (()) ′

Démonstration

+ ∆ xf = fxi+1 xi f

Découpons l’intervalle [;] ab en n intervalles de même longueur Δx ba n =.

Pour tout in ∈ {;;;;} 012... , on note xa ix i =+ .

La courbe est alors approchée par les segments joignants les points A

pour coordonnées xf x ii ; .

Plus n augmente, plus chaque segment se rapproche de la courbe.

Pour tout in ∈ {;;;;} 0121 ...- , la longueur de la ligne brisée est la somme des longueurs des segments

AA ii +1 .

Par la formule de la distance entre deux points, pour tout nn ∈ {;;;;} 0121 ...- , on a que : AA xf xx fx ii ii + =++1 22()(()() ) = ()++() () xf xx fx x x ii 22 2 (2()() ) car x 0 =+()+()() () x x fx xf x x x ii 22 22 (2()() ) car () ()() x x fx xf x x ii 2 2 2 2 +0 +()() et Δx >0 =+ +1 2 fx xf x x x ii ()() car Δx >0

Lorsque le nombre d’intervalles n tend vers +& , on a que x 0 et que le quotient fx xf x x fx ii i +()() ()

Dès lors, la longueur de l’arc de la courbe représentative de f entre les abscisses a et b est donnée par :

EXERCICES

1. Considérons la droite d’équation yx=+31.

(a) Détermine la longueur d’arc de la droite entre les points d’abscisses 1 et 5 à l’aide du calcul intégral.

(b) Vérifie ton résultat à l’aide de la géométrie analytique.

2. Calcule la longueur d’arc de la courbe représentative de f entre les abscisses a et b si :

(a) fx x ()=3 , a =4 et b =8

(b) fx x x ()=+ 3 6 1 2 , a =1 et b =2

3. En utilisant le calcul intégral et en choisissant un repère orthonormé judicieux, démontre la formule du périmètre d’un cercle de rayon r

Synthèse

Primitives

Soit I un intervalle, f : I → ° une fonction continue et F : I → ° une fonction dérivable.

• F est une primitive de f si F ′ = f

• L’ensemble des primitives de f est appelé l’intégrale indéfinie de f, noté ò fx x () d , et est égal à :

ò fx x () d = F ( x ) + c où c ∈ °

ò fx fx xf xc ′() sin(()) cot(() 2)d=-+ COPYRIGHTVANIN

On dit que f est intégrable

• Propriétés :

Soient f et g deux fonctions intégrables sur un intervalle I du domaine de f et de g et k un réel.

• (+)d=d+d fxgx xf xx gx x ()()()()òò ò

• kf xx kf xx ∫∫()()d=d

Méthodes de calculs des intégrales indéfinies

• Primitives immédiates et quasi immédiates

Fonctions usuelles

0d=xc ò

ax d ò = ax + c xx x n c n n d= + + + ò 1 1 si n ∈ °\{–1}

Composées de fonctions usuelles

ò fx fx x fx n c n n ()()() ()d=() + + +1 1 si n ∈ °\{–1}

1 x xd ò = ln |x| + c ò ′ fx fx x () () d = ln |f ( x )| + c

ex x d ò = e x + c

ax a a c x x d= () + ò ln si a ∈ °+\{0; 1}

cos()xx d ò = sin( x ) + c

ò fx exce fx fx ()()()d=+

ò f x ax a a c fx fx ()ln () () d= () + si a ∈ °+\{0; 1}

ò fx fx x ()cos()() d = sin( f ( x )) + c sin()xx d ò = –cos( x ) + c

ò f x f x x ()sin()() d = –cos( f ( x )) + c 11

2 2 cos tan ()() x x xx d=+d∫∫ = tan( x ) + c

ò 1 si2n() cot() x xx c d=-+

′ fx fx x () cos() 2 () d = tan( f ( x )) + c

Fonctions usuelles

1 12d=+=-+ x xx cx c arcsin()arccos()

1 12 + d=+ x xx c arctan()

Composées de fonctions usuelles

fx fx xf xc fx c ′() (()) arcsin(()) arccos(()) 12d=+ =-+

fx fx xf xc ′() (())(() 1) +2 d=arctan+

• Méthode d’intégration par substitution et changement de variable

Pour intégrer une fonction qui dépend de x par substitution ou par changement de variable, on pose tf x =() ou xf t =() et on réécrit l’intégrale en fonction de t , afin d’obtenir une nouvelle intégrale plus simple à calculer. Après avoir calculé cette intégrale, on revient à la variable initiale x .

• Méthode d’intégration par partie

Soient f et g deux fonctions dérivables sur leur domaine de définition.

fx gx xf xg xf xg xx()()()()()() d=-d

Intégrale définie

• Définition

Soient a et b deux réels tels que a ≤ b et f une fonction intégrable sur l’intervalle [a; b].

Soient n ∈ •0 le nombre de subdivisions de l’intervalle [a; b], Δx la longueur de chaque sous-intervalle égale à ba net xi une valeur choisie dans chaque sous-intervalle (où 1 ≤ i ≤ n).

L’intégrale définie de f sur [a; b], notée a b fx x ò () d , est la limite :

• Théorème de la moyenne

Si f est une fonction continue sur [] ; ab où ab < , alors il existe un réel ra b ∈ [;] tel que a b fx xf rb a ∫ ()()() d=-

INTÉGRALE

• Théorème fondamental du calcul intégral

• Théorème d’existence :

Si f est une fonction continue sur [a; b] et F : [a; b] → ° est définie par F ( x ) = a x ft t ò () d , alors F est une primitive de f sur [a; b].

• Lien entre primitives et intégrales définies :

Si f est une fonction continue sur [a; b] et F est une primitive de f sur [a; b], alors a b fx x ò () d = F (b) – F (a)

• Méthodes particulières de résolution d’intégrales définies

• Résolution d’une intégrale définie par substitution :

– Méthode 1 : traduire les bornes d’intégration suivant la nouvelle variable et effectuer le calcul intégral suivant cette nouvelle variable.

– Méthode 2 : garder les bornes suivant la variable initiale, calculer une primitive en fonction de la nouvelle variable, réexprimer le résultat en fonction de la variable initiale pour enfin calculer l’intégrale définie.

• Résolution d’une intégrale définie par partie : a b a b a b fx gx xf xg xf xg xx òò()()()()()() d=-d

• Propriétés :

Soient I un intervalle, a, b, c des réels appartenant à I et f une fonction intégrable sur I

• a a fx x ò () d=0

• a b b c a c fx xf xx fx x òò ò ()()() d+d=d

• a b b a fx xf xx òò()()d=-d

Aires

• Aire de la surface comprise entre deux courbes

Soient a et b deux réels tels que a < b et f et g deux fonctions telles que ∀x ∈ [a; b], f ( x ) ≥ g ( x ).

L’aire de la surface comprise entre les courbes représentatives des fonctions f et g et les droites d’équations x = a et x = b est alors donnée par =(-) d a b fx gx x ò ()() y x 01 1 g f a b

• Aire de la surface comprise entre une courbe et l’axe Ox

Soient a et b deux réels tels que a < b et f une fonction intégrable sur [a; b].

L’aire de la surface comprise entre la courbe représentative de f, l’axe Ox et les droites d’équations x = a et x = b dépend du signe de f sur [a; b].

• Si f est positive sur [a; b], alors =d a b fx x ò ()

• Si f est négative sur [a; b], alors =-d a b fx x ò ()

Volume d’un solide de révolution

Soient a et b deux réels tels que a < b et f une fonction intégrable sur [a; b].

Calcul de la longueur d’un arc

Soit f une fonction dérivable sur [] ; ab où ab <

La longueur de l’arc de la courbe représentative de f entre les abscisses a et b est donnée par : Lf x x a b =+d ∫ 12 ( ())

EXERCICES RÉCAPITULATIFS

1. Calcule les intégrales indéfinies suivantes dans un intervalle inclus dans le domaine de l’intégrande considérée dans chaque sous-question.

(a) Les intégrales sont immédiates.

I. xx x 32654-+ ∫ x x+d

III. 48 8 x x xd ò

V. 1 4 2 2 +cos cos ()d () x x x ò

(b) Les intégrales sont quasi immédiates.

I. 8 21 x x x + d ò

III. 1 892 (-) d x x ò

V. sincosd()() xx x ∫ 3

I. xx x +(-)34d 3 ∫

III. xx x 2260 ∫ (-)d

(d) Applique la méthode par partie.

I. ln ()d xx x ∫ 8

III. xx x 2 ∫ sin()d

V. ò arctan()xx d

2. Calcule les intégrales suivantes.

I. ∫ 32yy y-d

III. ò cos6 xx -d 4

V. ∫ cossin ()() xx xd

VII. ò xx x () 21+d

IX. ∫ xx x 12 6 -d

XI. ò 61 35 2 x xx x-+ d

XIII. ∫ xx x 3ln() d

II. tt t t t 32 2 921+-+ d ò

IV. +d2522 uu ∫

VI. sin++d35 ()5 xx x x ∫

II. ex x 5d ò

IV. (+)s 42in+d 2 xx xx ∫

VI. ex xe x ∫ 4d

II. (+)(+) 10d 12 4 xx x ∫

IV. ∫ ⋅ ln ln () () x xx x xd 4

II. ex x x ∫ (-)d 43

IV. ∫ ex x x 3cos()d

II. ò (cos) () 64xx -d

IV. ∫ ()co 64s() xx x-d

VI. ò cos sin () () x x xd

VIII. ò xx x () 216+d

X. ò 21 16 x x x + + d ()

XII. ò 1 122d x x

XIV. ò ln() x x x 3 d

XV. ∫ 1232 x xx x+-d

XVII. ∫ ee x xx +d 711

XIX. ò 52 4 x x xd

XXI. ò 10171922 23 32xx x x x -+-d

XXIII. ò 1 4121 20xx x ++ d

XXV. ò 24 248 x xx x + -+ d

XXVII. ò 5 ex x d

XXIX. ∫ ln xx 21+d

XXXI. ∫ 1 3 4 si2nd x x

XXXIII. ò cos() () x x x 1+cos d

XXXV. ∫ 242 sin()cosdxx x ()

XXXVII. ò 1002-dxx

XVI. ò 2 3 x x x + d

XVIII. ò 82 2 1 xx x x ++ d

XX. ò 1 642 + d x x

XXII. ò 16 31203xx x -+ d

XXIV. ò 234089 215 32 2 xx x xx x +-d

COPYRIGHTVANIN

XXVI. ∫ x x x x + ++ 6d 14()2

XXVIII. ò e e x x x 12 + d

XXX. ò sin() x e x x d

XXXII. ò sin () () cos 2d 4 x x x

XXXIV. ∫ sin()sin() 85d xx x

XXXVI. ∫ sinc7osd ()() xx x 3

XXXVIII. ∫ ⋅ xx x arccosd ()

3. Montre qu’une primitive de 22 2 2 e e x x x - est e x x 2 -5

4. Détermine l’expression analytique de la primitive F de la fonction f définie par fx x ()sin =-+4 6 1 telle que F () =05 8 .

5. Louis lance un caillou verticalement vers le bas du haut d’un pont avec une vitesse initiale de 5 m/s. Il se trouve à 12 mètres au-dessus de la surface de l’eau. On néglige les frottements de l’air et on approxime l’accélération due à la pesanteur à 9,81 m/s2.

(a) À quel instant le caillou atteint-il l’eau ?

(b) Quelle est sa vitesse au moment de l’impact ?

6. Calcule les intégrales définies ci-dessous.

(a) π π 4 3 2 3 ò cos d () x x (b) 1 2432 3 3 ò xx x x x +d

(e) 0 1 3 ∫ ex x x (+)d (f) 1 10 e xx ò ln() d

(g)(-)d 2 4 45 ò xx x (h) 8 1524 1 ò x x x+ d

7. Dans chaque repère, identifie quelle est la représentation d’une fonction f et quelle est celle d’une de ses primitives F. –1

8. Considérons les fonctions f , g et h définies par fx xx ()=-+362 , gx x ()=-+22 et hx xx ()=-+ 4254

L’ellipse tracée a pour équation x y 2 2 9 +=1.

Détermine l’aire de la surface colorée en orange, de celle colorée en rose et de celle colorée en vert sur les graphiques suivants.

y y x x

9. Calcule l’aire de la surface délimitée par :

(a) la courbe d’équation y = x3 – 8, l’axe Ox et les droites d’équations x = 0 et x = 2 ;

(b) la courbe d’équation y = –x2 + 4x + 5, l’axe Ox et les droites d’équations x = 1 et x = 10 ;

(d) les courbes d’équations y = 5x et y = 4x + 1 sachant que ces courbes s’intersectent aux points (0; 1) et (1; 5).

Calcule le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe Ox de la surface plane délimitée par :

(a) la courbe d’équation y = 16 – x4, l’axe Ox et les droites d’équations x = –2 et x = 2 ;

(b) la courbe d’équation yx x =--+356 2 , l’axe Ox et les droites d’équations x =-6 et x =1 ;

(d) la courbe d’équation yx =2 cos() , l’axe Ox et les droites d’équations x =π 2 et x = π 2

Considérons la surface comprise entre la courbe représentative de la fonction f, l’axe Ox et les droites d’équations x = –1 et x = 1 où f ( x ) = x 4 – x. Cette surface est représentée ci-contre.

(a) Approxime l’aire de cette surface par une somme d’aires élémentaires à l’aide de l’outil informatique.

(b) Vérifie cette approximation à l’aide du calcul intégral.

Considérons les courbes d’équations y = x et yx =

(a) Représente ces courbes dans un même repère.

y x

(b) Calcule l’aire de la surface comprise entre ces deux courbes et vérifie la cohérence de ta réponse avec la représentation faite au point (a).

(c) Détermine le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe Ox de la surface comprise entre les courbes d’équations y = x et yx = 10.

Un verrier souhaite réaliser un vitrail en forme de croissant de lune. La partie vitrée est délimitée par les courbes d’équations y = 4 – x2 et y = –0,6x2 + 2,4 définies sur [–2; 2]. Une unité correspond à 10 cm. Le prix de chaque vitrail est fixé par la surface vitrée : chaque cm2 coûte 0,20 €. Quel est le prix de ce vitrail ?

Maria a commandé une piñata pour l’anniversaire de son fils Rafael. La piñata est en forme de bonbon et peut être modélisée par le solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe Ox de la surface plane délimitée par le graphe de la fonction f ( x ) = x2 – 1 et les droites d’équations x = –1,4, x = 1,4 et y = 0 avec l’échelle suivante : 1 unité correspond à 25 cm. Quel est le volume maximal de bonbons que cette piñata peut contenir, sachant que seule la partie centrale est remplie ?

Considérons la surface délimitée par l’axe Ox, la droite d ≡ y = x + 2 et les droites d’équations x = 0 et x = 8.

(a) Quelle figure géométrique est ainsi formée ?

(b) Calcule son aire.

I. Donne la bonne réponse. Le solide ainsi construit est… • un cylindre • un tore • un cône • un cône tronqué

II. Calcule le volume de ce solide.

Utilise le calcul intégral pour vérifier que la formule du volume d’un cylindre de hauteur h et de base de rayon r est πr 2h

Calcule la longueur d’arc de la courbe représentative de f entre les abscisses a et b. Vérifie tes réponses à l’aide de la géométrie.

(a) fx x ()=-79 , a =2 et b =7.

(b) fx x ()=-92 , a =-3 et b =3

DÉFI

Te rappelles-tu au début de ce chapitre ?

Un artisan conçoit une toupie en bois constituée de deux parties :

• Le corps est obtenu par rotation autour de l’axe Ox de la surface comprise entre la courbe d’équation yx =4 5 42 définie sur [–0,5; 2] et l’axe Ox. Ce corps est creusé par la rotation autour de l’axe Ox de la surface comprise entre la courbe d’équation y = 1 définie sur [–0,5; 1] et l’axe Ox.

• Le manche est obtenu par rotation autour de l’axe Ox de la surface comprise entre la courbe d’équation y = 0,3 définie sur [–2,5; 1] et l’axe Ox

Ces courbes sont toutes tracées dans un repère orthonormé où 1 unité correspond à 1 cm.

y = 0,3

La masse volumique du bois utilisé pour fabriquer cette toupie est de 0,8 g/cm3. Quelle est alors la masse, exprimée en grammes, de cette toupie ?

Tu es maintenant capable de répondre à cette question !

Connecte-toi sur et entraîne-toi avec des exercices complémentaires.

PROBABILITÉS Objectifs

Connaître

• Établir les formules permettant de calculer le nombre d’arrangements, de combinaisons, de permutations.

• Écrire les premières lignes du triangle de Pascal et faire le lien avec les coefficients binomiaux.

• Démontrer la formule de symétrie, la formule de Pascal.

• Extraire d’un arbre, d’un tableau ou d’un diagramme donné la probabilité d’un événement.

• Identifier l’événement associé à une probabilité donnée à partir d’un arbre, d’un diagramme, d’un tableau.

• Identifier « expérience aléatoire, catégorie d’épreuve, événements » dans un énoncé.

Appliquer

• Utiliser les résultats de simulations faites avec un outil informatique ou des données statistiques pour calculer des probabilités a posteriori.

• Utiliser des tableaux, des diagrammes, des arbres ou des formules d’analyse combinatoire pour calculer une probabilité a priori, y compris conditionnelle.

• Vérifier si deux événements donnés sont dépendants ou indépendants.

• Appliquer le binôme de Newton.

Transférer

• Résoudre un problème de probabilité en utilisant une simulation informatique.

• Résoudre un problème de probabilité en utilisant une méthode de dénombrement.

• Utiliser le calcul des probabilités pour comprendre la portée d’informations chiffrées, les analyser et les critiquer, y compris dans le cadre de jeux de hasard.

Les probabilités permettent de mieux comprendre le hasard et les situations incertaines. Elles aident à évaluer les chances qu’un événement se produise, qu’il s’agisse de tirer une carte, de gagner à un jeu ou d’avoir un test médical positif. Elles sont devenues un outil fondamental pour modéliser, anticiper et prendre des décisions éclairées dans des situations aléatoires ou incertaines.

Les premières réflexions liées au hasard remontent à l’Antiquité, mais c’est à partir du XVIIe siècle que les probabilités prennent forme en tant que discipline mathématique. En 1654, la correspondance entre Pascal et Fermat à propos du problème du partage est devenue célèbre : comment répartir équitablement les gains d’un jeu de dés arrêté avant son terme ? Ce dialogue marque le point de départ des probabilités modernes.

Au XVIIIe siècle, Bernoulli démontre la loi des grands nombres, un résultat fondamental montrant que la fréquence d’un événement tend à se stabiliser autour de sa probabilité à mesure que l’expérience est répétée. De son côté, Bayes permet d’actualiser une probabilité en fonction d’une nouvelle information.

Au XIXe siècle, Laplace formalise ces idées, en parlant notamment d’équiprobabilité, et applique les probabilités à des domaines variés : astronomie, sciences sociales, physique…

Au XXe siècle, les travaux de Kolmogorov posent les fondements axiomatiques rigoureux de la théorie des probabilités, qui devient alors une branche des mathématiques à part entière.

Au fil du temps, les probabilités deviennent un outil essentiel dans de nombreux domaines :

• en jeux de hasard : pour calculer les chances de gagner, évaluer les stratégies ou comprendre le fonctionnement d’un tirage ;

• en assurances : pour estimer les risques, fixer les tarifs ou prévoir les événements rares ;

• en sciences : pour analyser des expériences, modéliser des phénomènes ou estimer les erreurs de mesure ;

• en médecine : pour évaluer la fiabilité des tests ou estimer les risques ;

• dans la vie quotidienne : la météo, les autotests médicaux, les paris sportifs, les prédictions d’heure d’arrivée des GPS…

Introduction historique COPYRIGHTVANIN

L’émission télévisée américaine « Let’s Make a Deal », animée par Monty Hall entre 1963 et 1977, a posé de nombreuses questions de mathématiques et a mis en lumière un célèbre paradoxe, celui de Monty Hall.

Voici les règles du jeu : un candidat participe à un jeu télévisé. Il se trouve face à trois portes : derrière une porte se cache une voiture, derrière chacune des deux autres portes se trouve une chèvre.

Durant le jeu, le candidat choisit une porte. L’animateur, qui sait ce qu’il y a derrière chaque porte, ouvre une des deux autres portes, derrière laquelle se trouve toujours une chèvre. Il propose alors au candidat de changer de porte ou de conserver son choix initial.

Est-il plus avantageux pour le candidat de garder son choix de porte initial ou de changer de porte ?

Tu seras capable d’y répondre à la fin de ce chapitre !

1. Vocabulaire probabilistique

DÉCOUVERTE

Activité Opérations ensemblistes

Au mois de mai l’année dernière, un centre scolaire a proposé deux ateliers facultatifs pour aider les 107 élèves de rhéto à préparer leurs examens de fin d’année : un atelier de gestion du stress et un atelier de méthodologie du travail.

Après les ateliers, un sondage a été réalisé pour connaître la participation des élèves. Voici les résultats : 15 élèves ont uniquement participé à l’atelier de gestion du stress, 40 élèves ont uniquement participé à l’atelier de méthodologie du travail et 16 élèves ont participé aux deux ateliers.

On note S l’ensemble des élèves ayant participé à l’atelier de gestion du stress, M l’ensemble des élèves ayant participé à l’atelier de méthodologie du travail et R l’ensemble des 107 rhétos.

1. Illustre la situation dans le diagramme suivant, appelé diagramme de Venn, en complétant les pointillés par le nombre d’élèves appartenant à l’ensemble indiqué.

2. Complète le tableau suivant.

Condition

Notation mathématique

Ensemble des élèves ayant participé aux deux ateliers. S ∩ M

Ensemble des élèves ayant participé à l’atelier de gestion du stress ou à l’atelier de méthodologie du travail. S ∪ M

Ensemble des élèves n’ayant pas participé à l’atelier de gestion du stress. S

Ensemble des élèves n’ayant pas participé à l’atelier de méthodologie du travail.

Ensemble des élèves ayant uniquement participé à l’atelier de gestion du stress. S ∖ M ou S ∩ M

Nombre d’élèves répondant à la condition

Condition

Ensemble des élèves ayant uniquement participé à l’atelier de méthodologie du travail.

Notation mathématique

Nombre d’élèves répondant à la condition

S ∩ M

Tu viens de découvrir les différentes notations ensemblistes qui expriment des opérations sur les événements.

THÉORIE

Définition

Expérience aléatoire

Une expérience aléatoire est une expérience que l’on peut répéter et dont le résultat ne peut pas être prévu, mais dont on connaît au préalable l’ensemble des résultats possibles.

Exemples

• Lancer un dé à 6 faces non truqué et observer le nombre affiché sur la face supérieure.

• Lancer deux pièces de monnaie équilibrées et compter le nombre de « piles » visibles.

Définition

Catégorie d’épreuve (ou univers)

La catégorie d’épreuve (ou univers), notée Ω, d’une expérience aléatoire est l’ensemble des résultats possibles de cette expérience aléatoire.

Définition

Cardinal d’un ensemble

Le cardinal d’un ensemble A, noté #A, désigne le nombre d’éléments que l’ensemble contient.

Exemples

• Pour le lancer d’un dé non truqué à 6 faces : Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} et #Ω = 6.

• Pour le lancer d’une pièce parfaitement équilibrée : Ω = {pile; face} et #Ω = 2.

Définition

Événement

Un événement d’une expérience aléatoire est un sous-ensemble de la catégorie d’épreuve.

Notation

Un événement est désigné par une lettre capitale : A, B, C

Remarque

Un ensemble, et donc un événement, peut être défini :

• en extension, c’est-à-dire en donnant la liste de ses éléments (entre accolades lorsque Ω est un ensemble fini) ;

• en compréhension, c’est-à-dire par une propriété caractérisant ses éléments.

Exemples

Pour le lancer d’un dé à 6 faces non truqué, les exemples suivants sont des événements :

• A : « obtenir un nombre pair » est écrit en compréhension et A = {2; 4; 6} est écrit en extension.

On a que #A = 3.

• B : « obtenir un nombre strictement inférieur à trois » est écrit en compréhension et B = {1; 2} est écrit en extension.

On a que #B = 2.

Notations et vocabulaire

Opérations sur les événements

Soient A et B deux événements d’une même expérience aléatoire.

• A ∩ B est l’événement appelé « A et B », qui se réalise si les événements A et B se produisent tous les deux.

On dit que A ∩ B est l’intersection de A et de B

• A ∪ B est l’événement appelé « A ou B », qui se réalise si l’événement A se produit ou si l’événement B se produit.

On dit que A ∪ B est l’union de A et de B

• A ∖ B est l’événement appelé « A sauf B », qui se réalise si l’événement A se produit, mais pas l’événement B

On dit que A ∖ B est la différence de A et de B

• A est l’événement contraire de A, qui se réalise si l’événement A ne se produit pas. On dit que A est le complémentaire de A, et on a que A = Ω ∖ A.

Remarque

En mathématiques, le « ou » n’est pas exclusif : lorsqu’on dit que l’événement A ou l’événement B se réalise, cela signifie que A seul peut se produire, que B seul peut se produire ou que les deux événements peuvent se produire en même temps

Définition

Événement élémentaire

Un événement d’une expérience aléatoire est élémentaire s’il ne contient qu’un unique élément de la catégorie d’épreuve.

Exemple

Pour le lancer d’un dé à 6 faces non truqué, l’événement A : « obtenir un 3 » est un événement élémentaire.

En effet, A = {3} et #A = 1.

Définitions

Événement impossible et événement certain

• Un événement d’une expérience aléatoire est impossible s’il est défini par une condition qui ne se réalise jamais.

• Un événement d’une expérience aléatoire est certain s’il est défini par une condition qui se réalise toujours.

Exemples

Pour le lancer d’un dé à 6 faces non truqué,

• l’événement A : « obtenir un nombre strictement supérieur à 7 » est un événement impossible. Dans ce cas, A = ∅ et #A = 0.

• l’événement B : « obtenir un nombre inférieur à 7 » est un événement certain.

Dans ce cas, B = {1; 2; 3; 4; 5; 6} = Ω et #B = #Ω = 6.

Définition

Événements incompatibles (ou disjoints)

Soient A et B deux événements d’une même expérience aléatoire.

Les événements A et B sont incompatibles (ou disjoints) s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.

Autrement dit, leur intersection est vide : A ∩ B = ∅.

Exemple

Pour le lancer d’un dé à 6 faces non truqué, l’événement A : « obtenir un nombre pair » et l’événement B : « obtenir un 3 » sont incompatibles.

En effet, comme A = {2; 4; 6} et B = {3}, on a bien A ∩ B = ∅.

Propriété

Événements contraires (ou complémentaires)

Soient A et B deux événements d’une même expérience aléatoire.

Les événements A et B sont contraires (ou complémentaires) s’ils sont incompatibles et si leur union forme la catégorie d’épreuve.

Autrement dit, A ∩ B = ∅ et A ∪ B = Ω

Exemple

Pour le lancer d’un dé à 6 faces non truqué, l’événement A : « obtenir un nombre pair » et l’événement B : « obtenir un nombre impair » sont contraires.

En effet, comme A = {2; 4; 6} et B = {1; 3; 5}, on a bien A ∩ B = ∅ et A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6} = Ω

On peut donc écrire B = A ou A = B .

Remarque

Les jeux de cartes étant des jeux de hasard, nous en parlerons plusieurs fois dans ce chapitre. Le document disponible en scannant le code QR ci-contre permet de savoir de quoi est constitué un jeu de cartes.

EXERCICES

Documents

1. Une enquête est menée auprès de 100 personnes pour savoir si elles sont abonnées à Netflix ou à Disney+ : 49 sont uniquement abonnées à Netflix, 11 uniquement à Disney+ et 12 aux deux.

On note N : « être abonné à Netflix » et D : « être abonné à Disney+ ».

(a) Écris en compréhension les événements suivants :

• N ∩ D

• N ∖ D

• N ∩ D

(b) Exprime les événements suivants à l’aide d’opérations sur les événements N et D

• « ne pas être abonné à Netflix »

• « être abonné à Netflix ou à Disney+ »

• « être abonné soit à Netflix, soit à Disney+, mais pas aux deux »

• sont abonnées à Disney+ ?

• ne sont abonnées ni à Netflix ni à Disney+ ?

2. On lance un dé non truqué à huit faces numérotées de 1 à 8 et on note le nombre obtenu sur la face supérieure. Considérons les événements A : « obtenir un nombre pair » et B : « obtenir un nombre inférieur à 3 ».

(a) Donne la catégorie d’épreuve de cette expérience aléatoire.

(b) Écris les événements A et B en extension et donne leur cardinal.

• A ∪ B

• A ∩ B

• B

• B ∖ A

3. On tire une carte d’un jeu de 52 cartes et on regarde sa valeur et sa couleur (cœur, carreau, trèfle ou pique).

(a) Donne la catégorie d’épreuve de cette expérience aléatoire.

(b) Donne en compréhension et en extension un exemple d’événement élémentaire.

(d) Donne en compréhension et en extension un exemple d’événement certain.

(e) Donne en compréhension et en extension un exemple de deux événements incompatibles.

(f) Donne en compréhension un exemple de deux événements contraires.

4. Une vétérinaire spécialisée en chiens et chats ne prend en charge que ces animaux. Elle tient des statistiques sur les animaux qui viennent en consultation. Pour chaque animal, elle note s’il s’agit d’un chien ou d’un chat, s’il est vacciné et s’il est castré/stérilisé.

On note C : « l’animal est un chien », V : « l’animal est vacciné » et S : « l’animal est castré/stérilisé ».

(a) Exprime en compréhension les événements suivants :

• C ∩ V • V ∩ S

• C ∩ V ∩ S • CS ∪

• C ∖ V

(b) Exprime les événements suivants à l’aide d’opérations entre les événements C, V et S :

• « l’animal est un chien vacciné et castré/stérilisé »

• « l’animal est non vacciné ou non castré/stérilisé »

• « l’animal est un chat non castré/stérilisé »

• « l’animal est vacciné ou castré/stérilisé, mais pas les deux à la fois »

2. Probabilité d’un événement et propriétés

DÉCOUVERTE

Activité Probabilités expérimentales

Une usine fabrique une très grande quantité de bonbons au citron, à la fraise et à l’orange. Martha préfère les bonbons à la fraise et se demande en quelle proportion ils sont fabriqués. Pour cela, elle commande des paquets de 100 bonbons qui contiennent les trois goûts de manière aléatoire, qu’elle verse dans une bonbonnière. Ensuite, elle tire au hasard un bonbon, écrit son goût et le remet dans la bonbonnière. Elle répète l’expérience 10 fois, 50 fois, 100 fois et 200 fois.

Voici les résultats qu’elle a obtenus :

10 tirages

Citron2

Fraise5

Orange3

50 tirages

Citron17

Fraise14

Orange19

100 tirages

Citron32

Fraise34

Orange34

200 tirages

Citron66

Fraise66

Orange68

1. Calcule la fréquence d’apparition des bonbons à la fraise dans chacun des quatre cas.

2. En scannant le code QR suivant, simule cette expérience aléatoire en augmentant le nombre de tirages. Que constates-tu lorsque le nombre de tirages augmente ?

Documents

En calculant ces fréquences successives, tu viens de calculer des probabilités expérimentales. Ces probabilités te permettent d’estimer la chance qu’un événement se produise. Plus on fait d’essais, plus ces résultats deviennent fiables : on dit que la fréquence se stabilise autour d’une valeur qui se rapproche de la probabilité théorique. On parle de l’approche fréquentiste des probabilités.

3. Considérons l’événement F : « tirer un bonbon à la fraise ». Conjecture la probabilité que l’événement F se produise.

4. Quelle saveur semble la plus présente dans la bonbonnière ?

Si les événements « tirer un bonbon au citron », « tirer un bonbon à la fraise » et « tirer un bonbon à l’orange » ont la même probabilité de se réaliser, alors on dit qu’ils sont équiprobables.

5. Les probabilités expérimentales sont basées sur la notion de fréquence. Les propriétés des fréquences s’appliquent donc aussi aux probabilités. Réponds par vrai ou faux aux affirmations suivantes pour en découvrir quelques-unes.

(a) La probabilité d’un événement est toujours un nombre compris entre 0 et 1.

(b) Si un événement ne se produit jamais, sa probabilité est 0.

(d) La somme des probabilités de tous les événements élémentaires est égale à 1.

(e) Une probabilité peut être négative si l’événement est peu probable.

THÉORIE

Définition

Probabilité

Soit Ω une catégorie d’épreuve d’une expérience aléatoire. Une probabilité est une fonction P qui, à chaque événement A de Ω, associe un nombre réel vérifiant les propriétés suivantes.

1. La probabilité d’un événement est un nombre positif inférieur à 1.

En langage mathématique : ∀A ⊆ Ω, 0 ≤ P( A ) ≤ 1.

2. La probabilité d’un événement certain est 1.

3. La probabilité de l’union de deux événements disjoints est la somme des probabilités de ces événements.

En langage mathématique : ∀A, B ⊆ Ω, A ∩ B = ∅⇒ P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ).

Remarques

• Les trois propriétés qui apparaissent dans la définition de probabilité sont appelées les axiomes de Kolmogorov

• Le deuxième axiome de Kolmogorov implique que P(Ω) = 1.

• La probabilité d’un événement peut être approchée par la fréquence observée lorsqu’on répète un grand nombre de fois l’expérience aléatoire associée à cet événement. Dès lors, cela signifie que si A est un événement d’une expérience aléatoire, PA fA n n ()lim() = + → & où fn( A ) est la fréquence de l’événement A après n répétitions de l’expérience aléatoire.

Propriété

Probabilité d’un événement impossible

La probabilité d’un événement impossible est 0.

Corollaire

Probabilité de l’ensemble vide

La probabilité de l’ensemble vide est 0.

En langage mathématique : P(∅) = 0.

Démonstration

On a que ∅ ⊆ Ω, que Ω ⊆ Ω et que ∅ ∩ Ω = ∅.

Dès lors, par le 3e axiome de Kolmogorov, P(Ω) = P(∅ ∪ Ω) = P(∅) + P(Ω)

On en conclut que P(∅) = P(Ω) – P(Ω) = 0

Propriété

Probabilité de l’événement contraire

Si A est un événement d’une expérience aléatoire de catégorie d’épreuve Ω, alors PA = 1 – P( A ).

Démonstration

On a que A ⊆ Ω, que A ⊆ Ω et que A ∩ A = ∅

Dès lors, par les 2e et 3e axiomes de Kolmogorov, 1 = P(Ω) = P A ∪ A = P A + P( A )

On en conclut que P A = 1 – P( A )

Propriété

Somme des probabilités des événements élémentaires

La somme des probabilités de tous les événements élémentaires de Ω vaut 1. En langage mathématique : Ω = {e1; e2; e3; …; e n } ⇒ P({e1}) + P({e2}) + P

Propriété

Monotonie d’une probabilité

Soient A et B deux événements d’une expérience aléatoire de catégorie d’épreuve Ω.

Si A ⊆ B, alors P( A ) ≤ P( B ).

Propriété

Loi de Boole

Si A et B sont deux événements d’une expérience aléatoire de catégorie d’épreuve Ω, alors

P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B ).

Démonstration

• On a que A ∖ B ⊆ Ω, que B ⊆ Ω, que ( A ∖ B ) ∩ B = ∅ et que ( A ∖ B ) ∪ B = A ∪ B

Dès lors, par le 3e axiome de Kolmogorov,

P(( A ∖ B ) ∪ B ) = P( A ∖ B ) + P( B )

⇔ P( A ∪ B ) = P( A ∖ B ) + P( B ) (1)

• On a que A ∖ B ⊆ Ω, que A ∩ B ⊆ Ω, que ( A ∖ B ) ∩ ( A ∩ B ) = ∅ et que ( A ∖ B ) ∪ ( A ∩ B ) = A

Dès lors, par le 3e axiome de Kolmogorov,

P(( A ∖ B ) ∪ ( A ∩ B )) = P( A ∖ B ) + P( A ∩ B )

⇔ P( A ) = P( A ∖ B ) + P( A ∩ B )

⇔ P( A ∖ B ) = P( A ) – P( A ∩ B ) (2)

• En remplaçant P( A ∖ B ) dans l’égalité (1) par l’égalité (2), on a :

P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B )

Définition

Équiprobabilité

Des événements d’une même expérience aléatoire sont équiprobables lorsqu’ils ont la même probabilité de se produire

Exemple

Pour le lancer d’un dé à 6 faces non truqué, les événements élémentaires sont équiprobables.

En effet, P({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) = P({5}) = P({6}) = 1 6

Propriété

Formule de Laplace

Si les événements élémentaires d’une expérience aléatoire sont tous équiprobables, alors la probabilité que l’événement se produise est donnée par la formule : PA A ()=nombred’issuesfavorables nombred’issuespossibl à e es = # # A

Exemple

Pour le lancer d’un dé à 6 faces non truqué, la probabilité de l’événement A : « obtenir un nombre pair » est donnée par PA A ()# # === Ω 3 6 1 2 vu que A = {2; 4; 6} et #A = 3

EXERCICES

1. Démontre la propriété de monotonie d’une probabilité.

2. Le tableau ci-dessous nous donne le nombre de naissances en Belgique de 2009 à 2015 en fonction du genre1

Année Nombre total de naissances

Nombre de naissances de sexe féminin

2009127 29762 100

2010129 17363 099

2011127 65562 289

2012126 99362 213

2013124 86260 877

2014124 41560 533

2015121 71359 428

Nombre de naissances de sexe masculin

Fréquence de naissances féminines

Fréquence de naissances masculines

65 19748,78 %51,22 %

66 07448,85 %51,15 %

65 36648,79 %51,21 %

64 78048,99 %51,01 %

63 98548,76 %51,24 %

63 88248,65 %51,35 %

62 28548,83 %51,17 %

(a) Estime la probabilité qu’une femme enceinte en Belgique le soit d’un garçon.

(b) En 2024, on a compté 108 150 naissances en Belgique. Estime le nombre de filles qu’il y a eu parmi ces naissances.

(c) Ces données permettent-elles de répondre à la question : « Si une femme en Belgique a déjà 3 filles, a-t-elle plus de probabilité d’avoir un garçon lors de sa 4e grossesse ? » ? Justifie.

1 Source : https://statbel.fgov.be/fr/themes/population/mouvement-de-la-population/naissances#figures

3. Au casino, le jeu de la roulette est un jeu de hasard qui consiste à miser sur le numéro qui sera tiré par le croupier. On suppose que chacun des 37 nombres possibles a la même probabilité de sortir.

(a) Sur une mise, quelle est la probabilité qu’un nombre compris entre 1 et 12 inclus sorte ?

(b) Tu as misé sur le 3, le 22 et le 25 et sur les cases rouges. Quelle est la probabilité que le numéro gagnant annoncé fasse partie d’au moins l’une de tes mises ?

(c) Dans ce jeu, les numéros pairs sont 2, 4, 6, …, 36, les numéros impairs sont 1, 3, 5, …, 35, et 0 est une case qui n’est ni paire ni impaire, c’est la case de la banque. Si tu mises sur « pair » ou sur « impair », tu gagnes une fois ta mise. Si un joueur mise sur « pair » ou sur « impair », qui a la plus grande probabilité de gagner : le joueur ou la table ? Justifie.

4. Dans une fête foraine, on te propose de faire tourner une roue divisée en 50 secteurs de même taille, répartis en 5 couleurs différentes. Chaque couleur correspond à un gain : « peluche », « bonbons », « porte-clés », « console de jeux » ou « rien ».

Le forain annonce que :

• tu as autant de chances de gagner une peluche que des bonbons ;

• tu as cinq fois plus de chances de gagner une peluche qu’un porte-clés ;

• tu ne gagnes rien qu’à un lancer sur dix ;

• tu as une chance sur cinquante de remporter une console d’une valeur de 500 €. Nommons les événements :

• A : « gagner une peluche »

• B : « gagner des bonbons »

• C : « gagner un porte-clés »

• D : « gagner une console »

• E : « ne rien gagner »

(a) Quelle est la probabilité de chacun de ces événements ?

(b) Quelle est la probabilité de gagner une peluche ou des bonbons ?

5. On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes.

On considère les événements :

• T : « tirer un trèfle »

• V : « tirer un valet »

Calcule les probabilités suivantes :

(a) P(T )

(e) PT

(g) PV ∩ T

(b) P(V )

(d) P(T ∪ V )

(f ) PV

(h) P ∩ T V

6. Soient a un nombre choisi au hasard dans l’ensemble {1; 2; 3; 4; 5} et b un nombre choisi au hasard dans l’ensemble {3; 4; 5; 6}.

(a) Quelle est la probabilité que les nombres a et b soient égaux ?

(b) Quelle est la probabilité que la somme a + b soit strictement supérieure à 8 ?

7. Considérons deux événements A et B d’une même expérience aléatoire tels que P( A ) = 0,2, P( B ) = 0,6 et P( A ∩ B ) = 0,1.

Calcule :

(a) P( A ∪ B )

(b) PA

(d) PA ∩ B

8. On lance deux dés non truqués et on fait la somme des chiffres obtenus sur la face supérieure des deux dés. On souhaite estimer la probabilité que cette somme soit égale à 4. Pour cela, on va simuler 200 lancers de dés à l’aide du tableur Excel en suivant la démarche suivante :

1. Dans la colonne A, génère les 200 lancers du premier dé avec la fonction =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6).

2. Dans la colonne B, génère les 200 lancers du deuxième dé avec la fonction =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6).

3. Dans la colonne C, additionne ligne par ligne les résultats obtenus dans les colonnes A et B.

4. Compte le nombre de 4 dans la colonne C en utilisant la fonction =NB.SI(C1:C200;4)

(a) À la fin de ta simulation, quelle proportion de lancers a donné comme résultat une somme égale à 4 ?

(b) Réalise une autre simulation de 200 lancers. Obtient-on le même résultat qu’au point (a) ?

(c) Réalise maintenant une simulation avec les autres élèves de ta classe : chacun lance deux dés et note la somme des points dix fois de suite. Quelle proportion de lancers a donné comme résultat une somme égale à 4 ?

(d) Compare et critique tes résultats obtenus aux points (a), (b) et (c) avec la probabilité théorique d’obtenir 4 en faisant la somme des points obtenus en lançant deux dés.

(e) Augmenter le nombre de lancers à l’aide du tableur Excel peut vite devenir fastidieux. Utilise une intelligence artificielle en ligne et demande-lui de simuler 4 000, 100 000 puis 5 000 000 de lancers de deux dés. Demande-lui ensuite de te donner la proportion du nombre de fois où la somme vaut 4. Donne les résultats et compare-les à la réponse trouvée au point (d).

3. Outils d’appropriation et de calcul de probabilités

DÉCOUVERTE

Activité 1 Calculs de probabilités à l’aide d’un diagramme en arbre

Mélanie envoie un message à des clients dans le cadre de son travail. Elle envoie 80 % de ses messages via WhatsApp et 20 % par e-mail. Lorsqu’elle envoie son message via WhatsApp, elle reçoit une réponse dans 75 % des cas, et lorsqu’elle envoie son message par mail, elle reçoit une réponse dans 60 % des cas.

On note W : « le message est envoyé par WhatsApp » et R : « le message a obtenu une réponse ».

1. Afin de mieux visualiser la situation, schématisons-la à l’aide d’un diagramme en arbre.

Complète ce diagramme en indiquant, sur chaque branche, la probabilité de l’événement associé.

2. Utilise cet arbre pour répondre aux questions suivantes.

(a) Quelle est la probabilité que Mélanie envoie son message par WhatsApp et qu’elle reçoive une réponse ?

(b) Quelle est la probabilité que Mélanie envoie un mail et n’obtienne pas de réponse ?

Dans un arbre de probabilités,

• lorsqu’un événement peut être atteint par un seul chemin à partir de la racine, sa probabilité est donnée en multipliant toutes les probabilités qui apparaissent sur ce chemin ;

• lorsqu’un événement est atteint par plusieurs chemins à partir de la racine, sa probabilité est donnée en additionnant les probabilités calculées pour chaque chemin qui définissent cet événement en partant de la racine.

πG

Activité 2 Calculs de probabilités à l’aide d’un tableau

Une étude est menée auprès de 150 élèves pour connaître leurs habitudes du matin. On leur a demandé :

• s’ils déjeunent le matin ou non ;

• s’ils se réveillent avant 7 h ou après 7 h.

Voici les résultats partiels :

• 96 élèves prennent un petit-déjeuner ;

• 42 élèves se lèvent après 7 h ;

• 28 élèves se lèvent après 7 h et ne prennent pas de petit-déjeuner

Nommons D : « prendre un petit-déjeuner » et S : « se lever avant 7 h ».

1. Pourquoi ne peut-on pas facilement utiliser un diagramme en arbre dans cette situation ?

2. Afin de schématiser la situation, complète le tableau ci-dessous :

3. Utilise ce tableau pour calculer les probabilités suivantes :

• P ∩ D S

• P( S ) • P ∪ S D

Un tableau permet de résumer clairement les résultats d’une expérience aléatoire. Il est particulièrement utile quand on a deux critères à analyser en même temps et qui n’arrivent pas forcément consécutivement, comme dans cet exemple : prendre ou non un petitdéjeuner et se lever ou non avant 7 h.

Activité 3 Calculs de probabilités à l’aide d’un diagramme de Venn

Un professeur de mathématiques interroge 25 élèves sur le matériel qu’ils ont dans leur cartable :

• 20 élèves ont une équerre ;

• 15 élèves ont une calculatrice ;

• 5 élèves ont un compas ;

• 13 élèves ont une équerre et une calculatrice ;

• 4 élèves ont une équerre et un compas ;

• 3 élèves ont une calculatrice et un compas ;

• 2 élèves ont une équerre, une calculatrice et un compas.

1. Si tu additionnes le nombre d’élèves repris dans les catégories ci-dessus, obtiens-tu les 25 élèves de la classe ? Commente ta réponse.

2. Nommons E : « avoir une équerre », C : « avoir une calculatrice » et O : « avoir un compas ». Complète le diagramme de Venn en tenant bien compte du fait que certains élèves sont comptés dans plusieurs catégories.

3. Utilise ce diagramme pour calculer les probabilités suivantes :

C PE ∩∩ O

E C P ∩∩ O

P(E ∖ O)

P(O ∪ C )

Les diagrammes de Venn sont des outils visuels pour représenter des ensembles. Ils permettent de mieux comprendre les situations dans lesquelles des personnes ou des objets appartiennent à plusieurs ensembles en même temps et évitent de compter deux fois les mêmes éléments.

THÉORIE

Méthodo

Quel outil pour calculer des probabilités ?

Situation Outil

On connaît l’ordre chronologique des événements.

On a deux critères croisés.

On étudie l’appartenance à plusieurs groupes.

Diagramme en arbre

Tableau

Diagramme de Venn

Pourquoi ?

L’arbre permet de visualiser les chemins successifs.

Le tableau permet de trier et compléter les données facilement. Il est particulièrement pratique si on connaît les effectifs ou les fréquences partiels

Le diagramme de Venn est utile pour visualiser les intersections, surtout quand il y a 3 ensembles.

Remarque

Plusieurs représentations sont parfois possibles pour un même énoncé.

Méthodo

Construire et exploiter un diagramme en arbre pour calculer des probabilités

• Pour construire un diagramme en arbre, on suit les étapes suivantes :

1. À partir d’un même point de départ, construis autant de branches qu’il y a d’issues possibles à la première étape.

Note le nom de l’issue au bout de chaque branche et écris la probabilité de chaque issue sur la branche correspondante.

2. À partir de chaque issue de l’étape 1, trace autant de branches que d’issues possibles pour l’étape 2.

Note le nom des issues et les probabilités associées.

3. Fais de même pour les étapes supplémentaires, s’il y en a.

• Pour calculer une probabilité à l’aide d’un diagramme en arbre, on suit les démarches suivantes :

• Pour calculer la probabilité d’une branche complète, on multiplie toutes les probabilités qui apparaissent sur cette branche.

• Si plusieurs branches mènent au même résultat, on additionne les probabilités de ces branches.

Exemple

Dans une urne, il y a 3 boules jaunes, 4 boules roses et 2 boules orange. On tire successivement, mais sans remise, 2 boules dans cette urne.

On nomme Ji : « tirer une boule jaune au ie tirage », Ri : « tirer une boule rose au ie tirage » et Oi : « tirer une boule orange au ie tirage » où i ∈ {;} 12

Le diagramme en arbre associé à cette situation est le suivant :

La probabilité de tirer deux boules jaunes vaut PJ J 12 ∩

La probabilité de tirer une boule jaune au 2e tirage vaut

PJ P JJ P RJ P OJ 2121212 =++ ∩ ∩∩ ()()()() = =++==

EXERCICES

1. Dans une école, les résultats à l’examen de mathématiques de fin d’année des élèves de rhéto ayant 6 périodes de mathématiques par semaine ont été mis en lien avec leurs résultats moyens aux périodes.

EP et EE désignent respectivement un échec à la moyenne des périodes ou à l’examen, RP- ou RE- désignent respectivement un résultat compris entre 50 % et 60 % inclus à la moyenne des périodes ou à l’examen et RP+ ou RE+ désignent respectivement un résultat strictement supérieur à 60 % à la moyenne des périodes ou à l’examen.

(a) Donne en extension et en compréhension un événement dont la probabilité vaut 6,527 %. Sois précis(e) et cohérent(e) avec le contexte donné.

(b) Estime la probabilité qu’un rhéto math 6 pér./sem. de cette école réussisse ses périodes et son examen de fin d’année avec strictement plus de 60 %.

(d) Estime la probabilité qu’un élève améliore sa catégorie à l’examen par rapport à celle du cumul de ses périodes.

(e) Les résultats aux périodes permettent-ils de prédire ceux à l’examen ? Justifie.

2. Dans un hôtel qui compte 235 chambres, certaines disposent d’un balcon et certaines ont une baignoire plutôt qu’une douche à l’italienne.

La répartition des chambres est la suivante :

• 50 chambres ont à la fois une baignoire et un balcon ;

• 75 chambres ont une baignoire, mais pas de balcon ;

• 15 chambres ont une douche à l’italienne et un balcon

(a) Représente la situation de manière adéquate.

(b) Quelle est la probabilité qu’une chambre de cet hôtel possède un balcon ?

(d) Quelle est la probabilité qu’une chambre de cet hôtel possède une douche à l’italienne, mais pas de balcon ?

3. Des gamers belges ont été interrogés sur les jeux auxquels ils jouaient. Le diagramme de Venn illustre les résultats de cette étude où :

• C est l’événement « le joueur joue à Call of Duty » ;

• F est l’événement « le joueur joue à FIFA » ;

• M est l’événement « le joueur joue à Minecraft ».

(a) Indique combien de personnes ont été interrogées pour cette étude.

(b) Donne les événements dont les probabilités valent respectivement 93 500 et 9 80 . Sois précis(e) et cohérent(e) avec le contexte donné.

(c) Exprime les événements suivants à l’aide d’opérations entre les événements C, F et M et calcule leur probabilité sur la base de cette étude.

I. « Un joueur belge joue à FIFA ».

II. « Un joueur belge joue à Call of Duty ou à Minecraft ».

III. « Un joueur belge ne joue ni à Call of Duty ni à FIFA ».

IV. « Un joueur belge joue à Minecraft, mais pas à FIFA ».

V. « Un joueur belge joue à Call of Duty et à FIFA, mais pas à Minecraft ».

VI. « Un joueur belge joue au moins à l’un des trois jeux étudiés ».

4. Une urne opaque contient 1 bille rouge, 6 billes mauves et 9 billes turquoise indiscernables au toucher.

(a) On tire successivement deux billes de l’urne sans remettre la première bille après son tirage.

I. Représente la situation de manière adéquate.

II. Calcule la probabilité de tirer deux billes rouges.

III. Calcule la probabilité de tirer deux billes mauves.

IV. Calcule la probabilité de tirer une bille mauve, puis une bille turquoise.

V. Calcule la probabilité de tirer une bille mauve et une bille turquoise.

VI. Calcule la probabilité de tirer au moins une bille turquoise.

VII. Calcule la probabilité de tirer deux billes de couleurs différentes.

(b) Réponds aux mêmes sous-questions qu’en (a), mais cette fois en supposant que la première bille tirée est remise dans l’urne avant le 2e tirage.

5. Deux boutiques indépendantes ont récemment ouvert dans le centre de Mons : une boutique d’articles de mode fabriqués en Italie et une boutique d’accessoires faits main par des artisans autour de la Méditerranée. Le samedi, les deux boutiques partagent régulièrement leur clientèle : 45 % des passants se rendent dans la boutique d’articles de mode, 40 % dans celle d’accessoires et 30 % dans les deux boutiques.

(a) Représente cette situation de manière adéquate.

(b) Quelle est la probabilité qu’un passant n’ait visité aucune de ces deux boutiques samedi dernier ?

(d) Quelle est la probabilité qu’un passant n’ait visité qu’une de ces deux boutiques samedi dernier ?

6. Une école dispose de deux imprimantes : une imprimante couleur et une imprimante noir et blanc. La probabilité que l’imprimante couleur tombe en panne est de 0,3, indépendamment de l’état de l’imprimante noir et blanc. Si l’imprimante couleur fonctionne, la probabilité que l’imprimante noir et blanc soit en panne est de 0,04, mais si l’imprimante couleur est en panne, l’affluence reportée sur la seconde imprimante augmente sa probabilité d’être en panne, qui passe à 0,15.

(a) Représente cette situation de manière adéquate.

(b) Calcule la probabilité que les deux imprimantes soient en panne.

(d) Calcule la probabilité qu’au moins une imprimante fonctionne.

(e) En te rendant un jour au hasard dans cette école durant l’année scolaire, quelle imprimante a la plus grande probabilité d’être fonctionnelle ?

7. 500 étudiants belges ont été interrogés sur les différents festivals qu’ils ont fréquentés. Voici les résultats obtenus à la suite du sondage :

• 153 étudiants ont participé à Tomorrowland ;

• 137 étudiants ont participé à Rock Werchter ;

• 82 étudiants ont participé à Dour Festival ;

• 27 étudiants ont participé à Tomorrowland et à Rock Werchter ;

• 14 étudiants ont participé à Tomorrowland et à Dour Festival ;

• 11 étudiants ont participé à Rock Werchter et à Dour Festival ;

• 8 étudiants ont participé aux trois festivals.

On interroge au hasard un étudiant belge de cet échantillon.

(a) Représente cette situation de la manière la plus adéquate.

(b) Calcule la probabilité que l’étudiant interrogé ne soit allé à aucun de ces trois festivals.

(d) Calcule la probabilité que l’étudiant interrogé soit allé à Dour Festival et à Tomorrowland.

(e) Calcule la probabilité que l’étudiant interrogé soit allé à Tomorrowland ou à Rock Werchter.

(f) Calcule la probabilité que l’étudiant interrogé ne soit pas allé à Tomorrowland.

(g) Calcule la probabilité que l’étudiant interrogé soit allé à au moins deux de ces trois festivals.

8. Une enquête réalisée auprès des adolescents belges montre que :

• 19,75 % d’entre eux consomment au moins un soda par jour ;

• 14,6 % d’entre eux consomment au moins une boisson énergisante par jour ;

• 4,3 % d’entre eux consomment ces deux types de boissons quotidiennement.

Nommons S : « consommer au moins un soda par jour » et E : « consommer au moins une boisson énergisante par jour ».

(a) Représente cette situation de manière adéquate.

(b) Quelle est la probabilité qu’un adolescent belge consomme au moins un soda ou au moins une boisson énergisante par jour ?

(d) Quelle est la probabilité qu’un adolescent belge consomme au moins un soda mais aucune boisson énergisante quotidiennement ?

(e) Sur 10 000 adolescents belges, estime combien d’entre eux consomment soit des sodas, soit des boissons énergisantes au moins une fois par jour, mais pas les deux.

9. Lorsque Carla se rend au restaurant, elle hésite toujours à prendre une entrée ou un dessert.

Nommons E : « Carla prend une entrée » et D : « Carla prend un dessert ». Le diagramme en arbre suivant montre les probabilités liées à ces événements.

(a) Détermine x si la probabilité que Carla prenne un dessert est de 1 6

(b) Quelle est la probabilité que Carla ne prenne ni entrée ni dessert ?

On tire au hasard deux cartes d’un jeu de 52 cartes, sans remise. Quelles sont les probabilités :

(a) d’obtenir deux rois ?

(b) d’obtenir un roi, puis une figure ?

(d) d’obtenir deux cartes de même couleur ?

Une professeure de français fait énormément participer ses élèves en classe. Si un élève interagit pendant un cours, il est motivé à interagir pendant le cours suivant avec une probabilité de 0,7. S’il n’interagit pas pendant un cours, la probabilité d’interagir pendant le prochain cours n’est plus que de 0,4

Lucas a interagi pendant le 1er cours de la semaine. Quelle est la probabilité qu’il interagisse aussi pendant le 4e cours de la semaine ?

Kim a créé un logiciel qui permet à une souris virtuelle de se déplacer de point en point dans le carré ci-contre.

Lorsque la souris se trouve sur l’un des sommets du carré, elle peut se déplacer de deux manières différentes :

• vers un autre sommet relié par une arête du sommet sur lequel elle se trouve, chacun avec une probabilité de 0,25 ;

• vers le centre du carré.

Lorsque la souris se trouve au centre du carré, elle se dirige :

• vers le sommet A avec une probabilité de 0,4 ;

• vers les sommets B, C ou D de façon équiprobable.

La souris démarre du point A et effectue deux déplacements successifs.

(a) Représente cette situation de manière adéquate.

(b) Quelle est la probabilité qu’elle se retrouve au point B ?

(d) Quelle est la probabilité qu’elle passe ou qu’elle arrive au point E ?

On lance un dé parfaitement équilibré plusieurs fois de suite. Combien de lancers faut-il effectuer au minimum pour que la probabilité d’obtenir au moins un 6 soit supérieure à 97,5 % ?

4. Probabilité conditionnelle

DÉCOUVERTE

Activité 1 Calcul dʼune probabilité conditionnelle

Le tableau ci-dessous présente les résultats partiels d’une enquête menée ce matin auprès de 120 élèves de ton école. Chaque élève a indiqué son moyen de transport pour venir à l’école, ainsi que s’il est arrivé à l’heure ou en retard

Nommons V : « venir en voiture », B : « venir en bus », L : « venir à vélo » et H : « arriver à l’heure ».

(a) Complète le tableau sachant qu’aucun élève interrogé ne se rend à l’école avec un autre moyen de transport que ceux mentionnés.

(b) Un élève est choisi au hasard parmi les 120 interrogés. Quelle est la probabilité que cet élève :

I. soit venu en voiture ?

II. soit arrivé en retard ?

III. soit venu en voiture et arrivé en retard ?

(c) Si on choisit maintenant un élève au hasard parmi ceux qui sont arrivés en retard, quelle est la probabilité que cet élève soit venu en voiture ?

πG

Tu viens de calculer une probabilité conditionnelle, c’est-à-dire la probabilité qu’un événement se produise en sachant qu’un autre événement a déjà eu lieu.

Dans ce cas-ci, on sait déjà que l’événement H s’est produit. On cherche alors la probabilité que l’événement V se réalise dans ce contexte. On écrit P V

qui se lit « la probabilité de V sachant H ».

(d) Exprime H| 

(e) Calcule HV |

πG

à l’aide de H

et H

. Obtient-on le même résultat que H|

Tu viens de découvrir que si A et B sont deux événements d’une même expérience aléatoire et que B n’est pas un événement impossible, alors

Activité 2 Événements indépendants

On lance une pièce équilibrée et, ensuite, on tire au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. On considère les événements F : « obtenir face sur la face supérieure de la pièce » et C : « tirer une carte cœur ».

1. Schématise la situation à l’aide d’un diagramme en arbre.

2. Calcule P(F ), P(C ) et P(F ∩ C ).

3. Calcule P F|C et P C|F . Que constates-tu ?

4. Quel lien y a-t-il alors entre P(F ∩ C ), P(F ) et P(C ) ?

πG

On dit que les événements F et C sont indépendants, c’est-à-dire que la réalisation ou la nonréalisation de l’un n’influence pas la réalisation de l’autre.

De plus, comme les événements F et C sont indépendants, on a que P(F ∩ C ) = P(F ) P(C ).

THÉORIE

Définition

Probabilité conditionnelle

Soient A et B deux événements d’une même expérience aléatoire où B n’est pas un événement impossible.

La probabilité conditionnelle P A|B , qui se lit « la probabilité de A sachant B », est la probabilité de la réalisation de l’événement A, sachant que l’événement B s’est déjà réalisé, et se calcule par P A|B = PA B PB () () ∩

Remarque

Une probabilité conditionnelle est bien une probabilité, car elle vérifie les axiomes de Kolmogorov.

Exemple

Soient les événements A et B d’une même expérience aléatoire dont les probabilités sont données par le diagramme en arbre suivant :

• P A|B = PA B PB () () ∩ = + = 0203 02030806 1 13 ,, ,,,,

• P B|A = PB A PA () () ∩ == 0203 02 3 10 ,, , ⋅

Remarque

P A|B ≠ P B|A , comme le montre l’exemple précédent.

Théorème

Théorème de la multiplication

Soient A et B deux événements d’une même expérience aléatoire qui ne sont pas impossibles.

Illustration

Ce théorème explique pourquoi, dans un diagramme en arbre, on multiplie les probabilités situées sur une même branche pour obtenir la probabilité d’un enchaînement d’événements.

Définition

Événements indépendants

Deux événements d’une même expérience aléatoire sont indépendants si la réalisation ou la non-réalisation de l’un n’influence pas la réalisation de l’autre.

Autrement dit, les événements A et B sont indépendants si P A|B = P( A ) et P B|A = P( B ).

Exemple

On lance un premier dé, puis un deuxième dé

On nomme A : « le premier dé affiche un 3 » et B : « le deuxième dé affiche un 2 ou un 4 ».

On a :

• A = {(3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (3; 6)} donc PA()== 6

;

• B = {(1; 2); (2; 2); (3; 2); (4; 2); (5; 2); (6; 2); (1; 4); (2; 4); (3; 4); (4; 4); (5; 4); (6; 4)} donc PB()== 12 36 1 3 ;

• A ∩ B = {(3; 2); (3; 4)} donc P( A ∩ B ) == 2

Dès lors, P A|

Les événements A et B sont donc indépendants : le résultat du premier dé n’a aucun effet sur le résultat du deuxième

Propriété

Condition pour que deux événements soient indépendants

Soient A et B deux événements d’une même expérience aléatoire qui ne sont pas impossibles. A et B sont indépendants si et seulement si P( A ∩ B ) = P( A ) P( B ).

Démonstration

On a que :

P( A ∩ B ) = P( A ) P( B )

⇔ P A|B P( B ) = P( A ) P( B ) (par le théorème de la multiplication)

⇔ P A|B = P( A ) (simplification par P( B ), qui est non nul vu que B n’est pas un événement impossible) et

P( A ∩ B ) = P( A ) P( B )

⇔ P B|A P( A ) = P( A ) P( B ) (par le théorème de la multiplication)

⇔ P B|A = P( B ) (simplification par P( A ), qui est non nul vu que A n’est pas un événement impossible)

EXERCICES

1. Un parc aquatique compte 18 toboggans dont certains se font obligatoirement avec une bouée. De plus, ils sont classés selon trois catégories : « enfants », « familial » et « sensations fortes ».

On a que :

• 7 toboggans se font avec une bouée ;

• 5 toboggans sont pour les enfants et 7 toboggans sont familiaux ;

• parmi les toboggans à sensations fortes, 4 nécessitent une bouée ;

• aucun toboggan pour enfants ne nécessite de bouée.

(a) Représente cette situation de manière adéquate.

(b) Quelle est la probabilité qu’un toboggan se fasse sans bouée sachant qu’il s’agit d’un toboggan à sensations fortes ?

2. Lors d’un festival de jeux de société, un sondage est mené auprès de 155 personnes sur les jeux classiques auxquels ils ont déjà joué.

On considère les événements suivants :

• A : « la personne a déjà joué aux Aventuriers du Rail » ;

• C : « la personne a déjà joué à Catan » ;

• S : « la personne a déjà joué à Skyjo ».

Voici les résultats du sondage concernant les trois jeux cités :

• 18 personnes ont déjà joué aux trois jeux ;

• 23 personnes n’ont joué à aucun de ces trois jeux ;

• 10 personnes n’ont joué qu’à Catan ;

• 8 personnes n’ont joué qu’à Skyjo ;

• 50 personnes ont joué à Catan et aux Aventuriers du Rail ;

• 59 personnes ont joué à Catan et à Skyjo ;

• 34 personnes ont joué aux Aventuriers du Rail et à Skyjo

(a) Schématise la situation de la manière la plus adéquate.

(b) Quelle est la probabilité qu’un joueur ait joué aux Aventuriers du Rail ?

(d) Quelle est la probabilité qu’un joueur n’ayant jamais joué aux Aventuriers du Rail ait déjà joué à Skyjo ?

(e) Sachant qu’un joueur a déjà joué à Catan ou aux Aventuriers du Rail, quelle est la probabilité qu’il ait également déjà joué à Skyjo ?

(f) Donne en compréhension un événement dont la probabilité vaut 59 83 . Justifie par calculs.

3. Dans une urne se trouvent 6 boules jaunes et 4 boules brunes. On tire deux boules de cette urne sans remettre la première.

(a) Les événements A : « la première boule tirée est jaune » et B : « la deuxième boule tirée est brune » sont-ils indépendants ? Justifie par calculs.

(b) Obtient-on la même réponse si, lors du tirage, on remet la première boule tirée dans l’urne ?

4. Une légende urbaine affirme que croiser un chat noir porte malheur. Un statisticien un peu sceptique mène une enquête auprès de 1 000 personnes pour la vérifier.

Voici les résultats qu’il recueille un jour donné :

• 120 personnes ont croisé un chat noir ce jour-là et parmi celles-ci, 45 déclarent avoir eu un petit malheur dans la semaine qui suit (perte de clés, oubli de portefeuille…) ;

• 280 personnes déclarent avoir eu un malheur cette même semaine.

On note :

• C : « la personne a croisé un chat noir » ;

• M : « la personne a eu un malheur ».

(a) Représente cette situation de manière adéquate.

(b) Quelle est la probabilité qu’une personne ait croisé un chat noir si elle a eu un malheur ?

(d) La légende est-elle fondée ? Justifie par des calculs de probabilités.

5. On lance deux fois une pièce de monnaie qui est truquée. Nommons F : « obtenir face sur la face supérieure ». On a que PF PF ()=2

et que chaque lancer est indépendant du lancer précédent.

(a) Calcule la probabilité d’obtenir pile aux deux lancers.

(b) Calcule la probabilité d’obtenir pile sur la face supérieure au deuxième lancer, sachant qu’on a déjà obtenu pile sur la face supérieure au premier lancer.

6. En 2023, la Région de Bruxelles-Capitale comptait 49,78 % d’hommes et 50,22 % de femmes de 25 à 54 ans. Le graphique suivant donne leur niveau d’enseignement2.

Niveau d’enseignement de la population de la Région de Bruxelles-Capitale de 25 à 54 ans

MoyenBas

En 2023, on a interrogé un Bruxellois ou une Bruxelloise de cette tranche d’âge au hasard.

(a) Quelle est la probabilité qu’il ou elle ait un haut niveau d’enseignement ?

(b) Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’une femme ayant un bas niveau d’enseignement ?

(d) La personne interrogée n’a pas un haut niveau d’enseignement. Est-il plus probable qu’il s’agisse d’un homme ou d’une femme ? Justifie par calculs.

2 Source : https://statbel.fgov.be/fr/themes/emploi-formation/formation-et-enseignement/niveau-dinstruction#figures

7. Le fabricant d’un test de grossesse indique que la sensibilité est de 96 %, c’est-à-dire que parmi les femmes enceintes, 96 % auront un résultat positif, et que la spécificité est de 99 %, c’est-à-dire que parmi les femmes non enceintes, 99 % auront un résultat négatif. On considère un groupe de 1 000 femmes, parmi lesquelles 50 sont enceintes.

(a) Quelle est la probabilité qu’une femme choisie au hasard dans cet échantillon ait un test positif ?

(b) Quelle est la probabilité qu’une femme soit enceinte, sachant que le test est positif ?

(d) Une femme obtient un premier test positif, puis décide de faire un deuxième test, du même fabricant. Quelle est la probabilité qu’elle soit enceinte si ce deuxième test est également positif ? On suppose que les résultats affichés par les deux tests sont indépendants.

8. Une épicerie propose des pommes provenant de deux producteurs : un producteur local bio et un producteur industriel. Le producteur bio livre des pommes plus chères, mais seulement 2 % sont abîmées. Le producteur industriel propose des prix très bas, mais 12 % des pommes sont abîmées.

(a) L’épicerie s’approvisionne à 40 % chez le producteur bio et à 60 % chez le producteur industriel. I. Représente cette situation par un diagramme en arbre II. On tire une pomme au hasard et on constate qu’elle est abîmée. Quelle est la probabilité qu’elle provienne du producteur industriel ?

(b) L’épicier souhaite que moins de 5 % des pommes vendues soient abîmées. Quelle proportion minimale de pommes doit-il commander auprès du producteur bio pour atteindre cet objectif ?

9. Deux parents ont tous les deux les yeux bruns. Cependant, chacun d’eux a un parent qui a les yeux bleus.

On rappelle que l’allèle « brun » est dominant (noté B) et que l’allèle « bleu » est récessif (noté b). La couleur des yeux dépend de deux allèles : un hérité de la mère, l’autre du père. Une personne a les yeux bruns si elle possède au moins un allèle B (génotype BB ou Bb), et les yeux bleus uniquement si elle a deux allèles b (génotype bb).

En supposant que les deux parents ont pour génotype Bb et que chaque parent transmet l’un de ses deux allèles avec la même probabilité, détermine :

(a) la probabilité qu’ils aient un enfant aux yeux bleus ;

(b) la probabilité qu’un enfant possède l’allèle b sans le savoir s’il a les yeux bruns ;

Sally Clark, une avocate britannique, a été accusée en 1999 du meurtre de ses deux enfants morts subitement à quelques mois d’intervalle. On estimait que la probabilité qu’un enfant meure de mort subite du nourrisson dans une famille sans facteur de risque particulier est de 1 sur 8 543. L’expert présent lors du procès a alors affirmé que la probabilité d’avoir deux morts naturelles

successives était de 1 8543 1 72982849 1 73000000 2 =

À partir de cette estimation, l’accusation a prétendu qu’un tel événement était quasiment impossible, ce qui suggérait que les décès ne pouvaient être qu’intentionnels.

(a) Explique pourquoi l’argument de l’expert calcul de 1 8543 2 repose sur une hypothèse fausse.

(b) Supposons maintenant que, si un premier enfant meurt de mort subite du nourrisson, la probabilité qu’un second enfant en meure aussi passe à 1 sur 100

Calcule alors la probabilité d’un double décès naturel dans ces conditions.

(c) Dans les affaires de double décès infantile, environ 1 cas sur 9 est un double homicide, les autres décès étant naturels.

Calcule la probabilité qu’un double décès soit naturel, sachant qu’un tel événement s’est produit, et explique l’importance du calcul de cette probabilité dans cette affaire.

(d) Les calculs des probabilités aux points (b) et (c) permettent-ils de dire que Sally Clark était innocente ?

5. Probabilité et analyse combinatoire

Il n’est pas toujours facile de compter le nombre d’issues possibles ou favorables dans certaines expériences aléatoires lorsque le nombre de résultats possibles est grand. L’analyse combinatoire est un outil qui permet de dénombrer efficacement toutes les issues possibles, sans devoir les énumérer une à une. Cet outil est donc essentiel dans le calcul de probabilités.

THÉORIE

Définition

Factorielle

La factorielle de n, notée n!, est le produit de tous les nombres naturels non nuls inférieurs ou égaux à n

Exemples

• 3! = 3 2 1 = 6

• 6! = 6 5 4 3 2 1 = 720

Remarque

Par convention, 0! = 1.

EXERCICES

1. Simplifie sans utiliser ta calculatrice.

(a) 12 11 ! ! (b) 12 10 ! ! (c) 12 9 ! !

(d) n n ! ()-1!

(e) () ! ! k k +1

2. Écris les expressions suivantes à l’aide d’une unique factorielle.

(a) 14 13!

(b) n (n − 1)!

3. Les propriétés suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifie.

(a) ∀a, b ∈ •, a! b! = (a + b)!

(f) () ! () ! 21 21 n n + -

(b) ∀a, b ∈ •, a! + b! = (a + b)!

(d) ∀a ∈ • \ {0; 1}, a! ∈ 2•

DÉCOUVERTE

Activité 1 Permutations et arrangements

L’ouverture de la porte d’entrée d’un immeuble à appartements est sécurisée par un code composé de lettres. À côté de la porte se trouve un clavier avec quatre lettres possibles : A, B, C et D.

1. Si le code est constitué de quatre lettres différentes,

(a) combien y a-t-il de codes possibles ?

Pour répondre à cette question, suis les étapes suivantes :

• représente le code par quatre tirets ;

• pour chaque tiret, indique combien de choix de lettres sont possibles, en tenant compte du fait qu’on ne peut pas répéter une même lettre ;

• multiplie les possibilités pour obtenir le nombre total de codes.

(b) exprime la multiplication obtenue au point (a) à l’aide d’une factorielle ;

Tu viens de calculer les permutations possibles entre ces quatre lettres. Si l’on dispose de n éléments différents, alors il existe n! façons de les permuter. On parle de permutations sans répétition.

2. Si le code ne contient plus que deux lettres différentes, combien y a-t-il de codes possibles ? Exprime ton résultat à l’aide d’une ou plusieurs factorielle(s).

Tu viens de calculer les arrangements sans répétition de 2 lettres parmi 4.

Quand l’ordre compte et qu’on ne répète pas les éléments, il y a n np ! () !façons de former un code de p éléments parmi n choix.

3. Si le code est formé de trois lettres qui peuvent se répéter, combien y a-t-il de codes possibles ?

Tu viens de calculer les arrangements possibles avec répétition entre ces quatre lettres. Quand les éléments peuvent être répétés et que l’ordre compte, il y a np façons de former un code de p éléments parmi n choix.

4. On sait maintenant que le code contient trois lettres : deux fois la lettre A et une fois la lettre B. Combien y a-t-il alors de codes possibles ?

Pour répondre à cette question, utilise deux couleurs différentes pour écrire les lettres A et élimine ensuite les codes qui se répètent.

5. On sait maintenant que le code contient quatre lettres : trois fois la lettre A et une fois la lettre B. Combien y a-t-il alors de codes possibles ?

Choisis la bonne réponse parmi les propositions suivantes :

• 4! = 24 codes • 4 2 ! ! = 12 codes • 4 3 ! ! = 4 codes

Aux questions 4 et 5, tu as calculé des permutations avec répétition. Si l’on dispose de p éléments dont l’un est répété n1 fois, un autre n2 fois, … , un autre n p fois, alors il existe n nn n p ! !! ! 12 ... façons de les permuter où n

Activité 2 Combinaisons

1. Adrien, Nils, Zoé, Emeric et Chloé se présentent pour l’élection du comité des élèves de rhéto.

(a) Combien de façons y a-t-il d’élire un président, un sous-président et un trésorier parmi ces élèves ?

(b) Combien de façons y a-t-il d’élire un comité de trois élèves sans leur attribuer un rôle spécifique ? Comment peux-tu adapter ta réponse à la question précédente ?

G

Lorsque l’ordre n’est plus important, on calcule les combinaisons sans répétition de p éléments parmi n. Pour cela, on divise les arrangements sans répétition par le nombre de permutations possibles des p éléments : n n – pp ! () !! .

2. Dans un buffet de desserts, tu as le choix entre quatre mini-desserts : tartelette au citron, mousse au chocolat, tiramisu et brownie.

(a) Si tu veux composer une assiette de 3 desserts différents, combien de combinaisons possibles peux-tu faire ?

(b) Si tu n’aimes que la mousse au chocolat et le brownie, combien de compositions différentes de 3 desserts peux-tu créer, en pouvant choisir plusieurs fois un même dessert ? Énumère toutes les possibilités.

πG

Quand l’ordre ne compte pas et que l’on peut répéter les éléments, on parle de combinaisons avec répétition.

Le nombre de combinaisons possibles de k éléments choisis parmi n types différents avec répétition est donné par la formule : C nk k +-1

Dans notre exemple : CC 23 1 3 4 3 4 +== .

(c) En utilisant la formule des combinaisons avec répétition, détermine combien de combinaisons de 3 desserts il est possible de composer parmi les quatre choix disponibles, en pouvant prendre plusieurs fois un même dessert.

THÉORIE

Définition

Permutation sans répétition

Une permutation sans répétition de n éléments distincts est une suite ordonnée de ces n éléments.

Propriété

Calcul du nombre de permutations sans répétition

Le nombre de permutations sans répétition de n éléments différents, noté P n, se calcule par : P n = n!

Illustration

Exemple

Il y a P6 = 6! = 720 façons de placer 6 personnes en file indienne.

Définition

Permutations avec répétition

Une permutation avec répétition de n éléments dont l’un est répété n1 fois, un autre n2 fois, …, un autre n p fois, où n1 + n2 + … + n p = n, est une suite ordonnée de ces n éléments.

Propriété

Calcul du nombre de permutations avec répétition

Le nombre de permutations avec répétition de p éléments dont l’un est répété n1 fois, un autre n2 fois, …, un autre n p fois, où n1 + n2 + … + n p = n, noté P n nn n p 12;;; , se calcule par :

Exemple

Il y a P6 3216 321 ;;60 ! !!! == possibilités de permuter les lettres du mot « ananas ».

Définition

Arrangement sans répétition

Un arrangement sans répétition de p éléments parmi n éléments distincts où p ≤ n est une suite ordonnée de p éléments différents choisis parmi les n disponibles.

Propriété

Calcul du nombre d’arrangements sans répétition

Le nombre d’arrangements sans répétition de p éléments différents parmi n éléments distincts (p ≤ n), noté A n p, se calcule par : A n np n p =! () !

Illustration

Exemple

Il y a A20 320 17 ==2019186840 = ! ! ⋅⋅ podiums possibles pour les 20 pilotes en lice d’une course de Formule 1.

Remarque

Si p = n, on a A n nn nn nP n n n ===== ! () ! ! ! !! 01 . On retrouve alors le cas des permutations sans répétition.

Définition

Arrangement avec répétition

Un arrangement avec répétition de p éléments parmi n éléments distincts est une suite ordonnée de p éléments, pas forcément différents, choisis parmi les n disponibles.

Propriété

Calcul du nombre d’arrangements avec répétition

Le nombre d’arrangements avec répétition de p éléments, pas forcément différents, parmi n éléments distincts noté α n p, se calcule par :

Illustration n n n n = np p tirets

Exemple

Il y a α10 4 = 104 = 10 000 codes à 4 chiffres possibles pour déverrouiller son téléphone mobile.

Définition

Combinaison sans répétition

Une combinaison sans répétition de p éléments parmi n éléments distincts où p ≤ n est un ensemble de p éléments différents choisis parmi les n disponibles.

Remarque

La définition parle d’ensemble, ce qui implique que l’ordre n’est pas important.

Propriété

Calcul du nombre de combinaisons sans répétition

Le nombre de combinaisons sans répétition de p éléments différents parmi n éléments distincts (p ≤ n), noté C n p, se calcule par : C n pn p n p =! !()!

Exemple

Il y a C 52 552 5525 52 547 =2598960== ! !()! ! !!⋅⋅

façons de tirer simultanément 5 cartes dans un jeu de 52 cartes.

Définition

Combinaison avec répétition

Une combinaison avec répétition de p éléments parmi n éléments distincts est une sélection de p éléments, pas forcément différents, choisis parmi les n disponibles.

Propriété

Calcul du nombre de combinaisons avec répétition

Le nombre de combinaisons avec répétition de p éléments, pas forcément différents, parmi n éléments distincts noté C np p +-1, se calcule par : C np pn np p += +-1 1 1 () ! !()!

Exemple

Il y a CC 1031 3 12 312 39 +-220 === ! !! combinaisons de 3 boules parmi 10 boules numérotées de 0 à 9 dans une urne, en remettant chaque boule dans l’urne après chaque tirage.

Remarque

Lorsqu’on travaille dans une catégorie d’épreuve où le nombre d’issues est obtenu par le calcul du nombre d’arrangements, le nombre de permutations ou le nombre de combinaisons sans répétition, les issues sont alors équiprobables, ce qui rend possible l’utilisation de la formule de Laplace dans les exercices de probabilité.

Ce n’est pas le cas lorsqu’on dénombre les issues par le calcul du nombre de combinaisons avec répétition. Calculer le nombre d’issues à l’aide des combinaisons avec répétition ne permet pas de calculer aisément des probabilités.

Propriété

Nombre de combinaisons simples : cas particuliers

Soit n ∈ •

• CC nn n 01 ==

• CC n nn n 11 == -

Démonstrations

Remarque

C n p est parfois noté n p dans d’autres ouvrages ou applications mobiles dédiées aux mathématiques.

Méthodo

Quelle formule d’analyse combinatoire utiliser ?

Y a-t-il des répétitions ?

Utilise-t-on tous les éléments ?

Y a-t-il des répétitions ?

Permutations avec répétition = n! n1!·n2!·…·n p ! P n n1;n2;…;np

Permutations sans répétition P n = n!

Arrangements avec répétition = n p α n p

L’ordre est-il important ?

Y a-t-il des répétitions ?

Combinaisons avec répétition = (n + p – 1)! p!·(n 1)! C n+p–1 p

Combinaisons sans répétiton

Arrangements sans répétition n! (n p)! = A n p n! p!·(n p)! = C n p

EXERCICES

Dénombrement

1. Pour chaque situation, indique le type de groupement dont il s’agit. Sois précis(e).

(a) Le choix des 6 danseurs pour accompagner les élèves de la Star Academy lors de leur tournée.

(b) Le classement des équipes à la fin du championnat de Belgique de hockey sur gazon.

(c) Le tirage au sort de deux gagnants différents pour la tombola d’une fête scolaire. Le premier lot est une console de jeux et le deuxième lot est des places de cinéma.

(d) Une image sur laquelle on choisit la couleur de chaque pixel.

(e) La disposition de 4 cupcakes au chocolat, 6 cupcakes à la vanille et 5 cupcakes à la fraise dans le comptoir d’un salon de thé.

(f) Une main de 7 cartes lors d’une partie de Uno

2. Six amis, Lilou, Matthias, Lana, Bilal, Guy et Thomas, vont au cinéma. Ils s’assoient à la dernière rangée, aux sièges numérotés de 1 à 6.

(a) De combien de façons peuvent-ils s’asseoir sur ces sièges ?

(b) De combien de façons peuvent-ils s’asseoir si Bilal veut s’asseoir sur le siège no 2 ?

(d) De combien de façons peuvent-ils s’asseoir si les deux filles, Lilou et Lana, veulent chacune être à l’une des deux extrémités ?

(e) De combien de façons peuvent-ils s’asseoir si Lana et Thomas veulent s’asseoir l’un à côté de l’autre ?

(f) De combien de façons peuvent-ils s’asseoir si tous les garçons veulent être les uns à côté des autres ?

(g) Si les sièges numérotés de 7 à 10 sont finalement libres et qu’ils peuvent aussi s’y installer, de combien de façons différentes peuvent-ils s’asseoir sur ces 10 sièges ?

3. Lors d’un séjour sportif à Durbuy, chaque élève doit choisir 4 activités différentes à réaliser parmi 9. L’espace propose :

• 4 activités aériennes : accrobranche, via ferrata, escalade et saut sur airbag ;

• 5 activités terrestres : VTT, laser game, parcours spéléo, labyrinthe et escape game.

(a) Combien de choix différents de 4 activités un élève peut-il faire parmi les 9 proposées ?

(b) Un élève qui a le vertige refuse de faire les activités aériennes. Combien de sélections d’activités peut-il alors constituer ?

(d) Si Valentina souhaite faire au moins deux activités aériennes, combien de sélections sont possibles pour elle ?

(e) Si le VTT est obligatoire, combien de combinaisons différentes restent possibles ?

(f) Si le laser game et l’escape game ne peuvent pas faire partie de la même sélection d’activités, combien de choix différents un élève a-t-il ?

4. On forme un nombre de cinq chiffres distincts dont le premier ne peut pas être 0.

(a) Combien de nombres peut-on former ?

(b) Combien de nombres ne contenant pas de 0 peut-on former ?

(d) Combien de nombres strictement inférieurs à 40 000 peut-on former ?

(e) Combien de nombres supérieurs à 35 000 peut-on former ?

(f) Combien de nombres impairs peut-on former ?

(g) Combien de nombres divisibles par 20 peut-on former ?

(h) Combien de nombres aurait-on pu former si les chiffres qui les composent peuvent être identiques ?

5. Donne le nombre d’anagrammes, ayant du sens ou non, qui peuvent être formés à l’aide des mots suivants.

(a) Fourmi

(b) Chameau

(d) Colocolo3

6. De combien de manières différentes peut-on attribuer tes deux premières heures du lundi à tes dix professeurs, sachant qu’un même professeur peut assurer les deux heures consécutives ?

7. À l’occasion de la Journée du nombre π (Pi Day), l’UNamur propose une matinée d’activités liées aux mathématiques et destinées aux élèves du secondaire. 40 élèves de rhéto d’une école se rendent aux activités avec les 4 professeurs de mathématiques de l’école. Deux activités leurs sont proposées de 8 h 30 à 10 h, chacune pouvant accueillir un maximum de 22 personnes. De combien de manières ces élèves peuvent-ils être répartis dans ces activités si deux professeurs doivent être présents par activité ?

8. Un pâtissier propose dix pâtisseries « trompe-l’œil » différentes : la cacahuète, la pistache, la noix de pécan, le coing, la mangue, la pomme verte, la poire, la fraise, la framboise et le citron jaune. Il vend des coffrets découverte dans lesquels tu peux placer 3 pâtisseries « trompe-l’œil ».

(a) Combien de coffrets découverte composés de 3 fruits différents peut-on former ?

(b) Combien de coffrets découverte peut-on former ?

(d) Si on veut au moins une mangue, combien de coffrets découverte peut-on former ?

3 Aussi appelé Chat des pampas, le colocolo est un chat sauvage du Chili.

Calcul de probabilités exploitant l’analyse combinatoire

1. Francesco se rend au restaurant. Joueur, il demande au serveur de lui choisir au hasard son menu en prenant un élément dans chaque catégorie. Les plats qu’il apprécie ont été mis en gras. Quelle est la probabilité que Francesco aime tout dans son menu ?

ANTIPASTI

Assortiment de 4 bruschette

Foccacia

Burrata et tomates cerises jaunes

Assiette de charcuterie italienne

PASTA

Troﬁe au pesto

Mafaldine sauce à la truﬀe

Penne carbonara

Spaghetti cacio e pepe

Linguine au citron

Macaroni alla norma

DESSERTS

Tiramisu

Cannolo

Panna cotta

Glace aux noisettes

Sabayon

BOISSONS

Chinotto

Eau plate

Eau pétillante

Limonade

Orangeade

Gioia

Bruxelles

Rue des Cannelloni

2. Lors de la rentrée scolaire, la classe de rhéto de Lauranne, Oscar et Aiko est composée de 24 élèves : 13 filles et 11 garçons. Leur professeur de mathématiques désigne au hasard 3 élèves pour aller chercher à l’économat les manuels Racine Math 6 commandés pour la classe.

(a) Calcule la probabilité que 3 filles soient désignées.

(b) Quelle est la probabilité qu’au moins 2 garçons soient désignés ?

(d) Quelle est la probabilité que Lauranne et Oscar soient tous les deux désignés ?

(e) Quelle est la probabilité que Lauranne soit désignée, mais pas Oscar ?

(f) Si Lauranne et Aiko sont les deux seules élèves de la classe qui ne s’entendent pas, quelle est la probabilité qu’elles ne soient pas désignées toutes les deux ?

(g) Quelle est la probabilité qu’Oscar soit désigné si le professeur a annoncé que Lauranne était désignée ?

3. On demande à une intelligence artificielle d’écrire au hasard 7 lettres successivement.

(a) Quelle est la probabilité que le mot formé commence et se termine par la lettre A ?

(b) Quelle est la probabilité que le mot formé ne contienne que des lettres différentes les unes des autres ?

(d) Quelle est la probabilité que le mot formé contienne au moins un X ?

(e) Quelle est la probabilité que le mot formé contienne exactement un X ?

(f) Quelle est la probabilité que le mot formé soit une anagramme, ayant du sens ou non, du mot « sagesse » ?

4. Eden a réservé une chambre d’hôtel pour lui et son compagnon Nolan. Celui-ci sait que leur chambre est située au 3 e étage, mais ne connaît pas le numéro de la chambre. Il teste successivement les chambres de l’étage à l’aide de son badge pour retrouver la leur. L’étage est composé de 14 chambres.

(a) Calcule la probabilité que Nolan trouve leur chambre lors du 6e essai.

(b) Calcule la probabilité que leur chambre soit la dernière qu’il teste.

5. L’ordre de passage des 8 filles d’une classe pour la visite médicale est choisi de manière aléatoire. Gina, Mathilde et Marta sont des filles de cette classe.

(a) Quelle est la probabilité que toutes les filles de la classe soient appelées dans l’ordre alphabétique ?

(b) Quelle est la probabilité que la dernière fille à passer soit Marta ou Mathilde ?

(d) Quelle est la probabilité que Gina et Marta passent dans les 3 premières ?

(e) Quelle est la probabilité que Marta ne soit pas appelée dans les 3 premières ?

(f) Quelle est la probabilité que Mathilde passe juste avant Marta ?

(g) Quelle est la probabilité que Mathilde et Marta passent l’une après l’autre ?

(h) Quelle est la probabilité que Gina soit appelée avant Marta ?

(i) Le médecin vient d’appeler Marta pour être la première à passer, quelle est alors la probabilité que Mathilde soit l’avant-dernière à passer ?

6. Une boîte opaque contient 12 billes noires, 6 billes jaunes et 2 billes rouges indiscernables au toucher.

(a) On tire successivement 4 billes, sans remettre la bille tirée après chaque tirage.

I. Calcule la probabilité que 2 billes soient jaunes et 2 billes soient noires.

II. Calcule la probabilité que les 4 billes tirées soient de la même couleur.

III. Calcule la probabilité de tirer 1 bille noire suivie de 2 billes jaunes suivies de 1 bille rouge.

(b) On tire successivement 4 billes, en remettant la bille tirée après chaque tirage.

I. Calcule la probabilité de tirer 1 bille rouge suivie de 3 billes jaunes.

II. Calcule la probabilité qu’aucune bille tirée ne soit noire.

III. Calcule la probabilité que 2 billes soient jaunes et 2 billes soient noires.

7. On tire successivement, sans remise, 6 cartes au hasard d’un jeu de 52 cartes.

(a) Quelle est la probabilité de tirer la dame de cœur ?

(b) Quelle est la probabilité de ne tirer aucun trèfle ?

(d) Quelle est la probabilité de tirer au moins une carte de chaque couleur ?

8. Lors de chaque tirage du Lotto, 6 numéros et 1 numéro bonus sont tirés au sort dans un tambour contenant 45 boules numérotées de 1 à 45. Les joueurs doivent essayer de prédire quels numéros sortiront du tambour et choisissent 6 numéros sur une grille.

Voici le tableau de répartition des gains du Lotto que l’on trouve sur le site loterie-nationale.be4.

mise de 1,50 €, 1 chance de gain sur 1 6 / Variable Jackpot de minimum 1 000 000,00 € 8 145 060 2

€1 357 510

(a) Pour gagner le gros lot (1er rang), il faut avoir les 6 bons numéros. Montre que la probabilité de gagner le gros lot est bien de 1 8145060 comme indiqué sur le site de la Loterie Nationale.

(b) Pour gagner le deuxième lot (2e rang), il faut avoir choisi 5 bons numéros parmi les 6 tirés, et avoir également choisi le numéro bonus. Montre que la probabilité de gagner le deuxième lot est bien de 1 1357510 comme indiqué sur le site de la Loterie nationale.

(d) Quelle est la vraie probabilité de gagner un gain quelconque, c’est-à-dire d’avoir un des 9 rangs ?

(e) Quelle est la probabilité de ne rien gagner en jouant 1,50 € ?

4 https://www.loterie-nationale.be/info/questions-frequemment-posees/nos-jeux/lotto/jackpot-gains-et-resultats/lotto-gains

9. Adrianne a acheté 5 œufs Kinder Surprise qui contiennent une collection exclusive : 16 super-héros en Playmobil. Chaque personnage a la même probabilité d’être dans un œuf Kinder Surprise.

(a) Quelle est la probabilité qu’elle ait 5 super-héros différents ?

(b) Sachant qu’il ne manque que Wonder Woman à sa collection, quelle est la probabilité que ce personnage apparaisse au moins une fois parmi les 5 œufs achetés ?

(c) Combien d’œufs aurait-elle dû acheter au minimum pour que la probabilité d’avoir au moins une fois le personnage de Wonder Woman soit supérieure à 50 % ?

Une personne daltonienne place des flacons de parfum aléatoirement sur une étagère. Les flacons ne diffèrent que par leur couleur : trois flacons sont roses, quatre sont verts et sept sont jaunes.

(a) Quelle est la probabilité que les trois flacons roses soient les plus à gauche sur l’étagère ?

(b) Quelle est la probabilité que les trois flacons roses soient côte à côte sur l’étagère ?

(d) Quelle est la probabilité qu’aucun flacon rose ne soit à une extrémité de l’étagère ?

(e) Quelle est la probabilité que les flacons soient tous regroupés par couleur ?

Une boutique d’ours en peluche conçoit des blind boxes (boîtes surprises) contenant l’ourson phare de la boutique sous forme de porte-clés. L’extérieur de la boîte montre les 5 couleurs possibles, mais la couleur exacte de l’ourson reste une surprise lors de l’achat.

La boutique a commandé 1 500 boîtes réparties comme suit :

• 600 contiennent l’ourson en brun ;

• 350 en rose poudré ;

• 250 en vert sauge ;

• 200 en lavande ;

• 100 en jaune citron.

Chacun des 1 500 oursons a une particularité qui le rend unique. Lucie achète les 4 premières blind boxes de cette boutique.

(a) Calcule la probabilité que tous ses oursons soient de couleur lavande.

(b) Calcule la probabilité que Lucie n’ait acheté aucun ourson vert sauge.

(d) Calcule la probabilité qu’une seule boîte contienne un ourson brun.

(e) Calcule la probabilité qu’au plus deux de ses oursons soient rose poudré.

(f) Calcule la probabilité qu’au moins deux de ses oursons soient de couleurs différentes.

(g) Calcule la probabilité qu’elle ait un seul ourson brun et un seul ourson rose poudré, sachant que son meilleur ami Jules, qui a acheté 2 blind boxes juste après elle, a eu un ourson brun et un ourson lavande

6. Triangle de Pascal et binôme de Newton

DÉCOUVERTE

Activité Triangle de Pascal et binôme de Newton

1. Complète les cases vides en respectant les règles suivantes :

• Écris « 1 » dans chaque case de la colonne 0.

• Écris « 1 » dans chaque case de la diagonale p = n

• Pour chaque case encore libre à la ligne n et à la colonne p, additionne la valeur de la case à la ligne n − 1 et à la colonne p à la valeur de la case à la ligne n − 1 et à la colonne p − 1.

Tu viens de construire les premières lignes du triangle de Pascal

2. Découvrons quelques propriétés du triangle de Pascal.

(a) Calcule C 4 0 , C 4 1 , C 4 2 , C 4 3 et C 4 4 . Que constates-tu en lien avec le triangle de Pascal ?

(b) Déduis du point (a) comment exprimer une case du triangle de Pascal à l’aide d’une combinaison.

(c) Vérifie cette affirmation en calculant C 7 2 . La valeur obtenue correspond-elle bien à la case de la ligne 7 et de la colonne 2 ?

(d) Comment expliquer, avec les combinaisons, que les cases de la colonne 0 ne soient composées que de 1 ainsi que les cases où p = n ?

(e) Complète les égalités suivantes afin de découvrir la formule de symétrie.

• CC 6 2 6 ==

• CC 9 3 9 ==

• CC 10 4 10 ==

• Formule de symétrie : si n et p sont deux naturels tels que n ≥ p, alors CC n p n = .

(f) Complète les égalités suivantes en te basant sur la construction du triangle de Pascal afin de découvrir la formule de Pascal.

• CC C 5 2 5 3 +=

• CC C 7 3 7 4 +=

• CC C 9 4 9 5 +=

• Formule de Pascal : si n et p sont deux naturels tels que n > p, alors CC C n p n p += +1

Tu viens de découvrir plusieurs propriétés sur le triangle de Pascal : la formule de symétrie et la formule de Pascal.

3. (a) Développe les différentes puissances du binôme suivant et recopie uniquement les coefficients dans le tableau situé à droite après avoir ordonné le polynôme obtenu par ordre décroissant de la puissance de a.

• (a + b)0

• (a + b)1

• (a + b)2

• (a + b)3

(b) Que constates-tu à propos des coefficients écrits dans le tableau ? Quel lien peux-tu faire avec le triangle de Pascal ?

(d) En utilisant tes réponses aux points (b) et (c), développe (a + b)4. Vérifie à l’aide de l’outil informatique.

πG

Tu viens de découvrir comment développer une puissance entière d’un binôme. On parle de la formule du binôme de Newton.

THÉORIE

Propriété

Formule de symétrie

Si n, p ∈ • tels que p ≤ n, alors

Démonstration

Par la formule du nombre de combinaisons,

Propriété

Formule de Pascal

Si n, p ∈ • tels que p < n, alors

Démonstration

Par la formule du nombre de combinaisons,

n p n np = -

Définition

Triangle de Pascal

Le triangle de Pascal est un tableau triangulaire d’entiers qui présente les coefficients binomiaux.

Voici les 11 premières lignes du triangle de Pascal :

Remarques

• La formule de symétrie est illustrée par les cases vertes.

• La formule de Pascal est illustrée par les cases orange.

Propriété

Formule du binôme de Newton

Si a, b ∈ ° et n ∈ •, alors () ab Ca b n i n n i ni i +=0

Exemple

( x − 2)4 = ( x + (−2))4 =-+-+-+-+ Cx Cx CxCx Cx 4 040 4 131 4 222 4 313 4 24 222 ()()()()004 2 ()= 1 x4 1 + 4 x3 (−2) + 6 x2 4 + 4 x1 (−8) + 1 1 16 = x4 − 8x3 + 24x2 − 32x + 16

Remarque

Les coefficients des termes de (a + b)n sont donnés par la ligne n du triangle de Pascal.

EXERCICES

1. Voici partiellement la 13e ligne du triangle de Pascal. Complète les nombres manquants de sa 13e ligne et donne sa 14e ligne sans utiliser la calculatrice. 11266220495792924

(a) C n 2300 = (b) 1213 CC nn = (c) CC nn 35 = COPYRIGHTVANIN

2. Soit x ∈ °0. Développe ces binômes.

(a) ( x + 4)3 (b) (2x + 3)5

(e) (2x2 – x)7

3. Détermine le terme de degré 12 dans le développement de (4 − 3x3)8

4. Calcule le coefficient du terme de degré 27 dans le développement de ( x3 + 2x)15

5. Écris 25 4 + sous la forme ab+10 où a, b ∈ •

6. Calcule 1,015 sans utiliser la calculatrice.

7. Démontre que i i C = = 0 10 101 024 ∑ .

8. Résous dans •

Synthèse

Expérience aléatoire, catégorie d’épreuve, événements

• Une expérience aléatoire est une expérience que l’on peut répéter et dont le résultat ne peut pas être prévu, mais dont on connaît au préalable l’ensemble des résultats possibles.

• La catégorie d’épreuve (ou univers), notée Ω, d’une expérience aléatoire est l’ensemble des résultats possibles de cette expérience aléatoire.

• Le cardinal d’un ensemble A, noté #A, désigne le nombre d’éléments qu’il contient.

• Un événement d’une expérience aléatoire est un sous-ensemble de la catégorie d’épreuve.

• Opérations sur les événements :

Soient A et B deux événements d’une même expérience aléatoire.

• L’événement « A et B », noté A ∩ B, est l’événement qui se réalise si les événements A et B se produisent tous les deux.

On dit que A ∩ B est l’intersection de A et de B.

• L’événement « A ou B », noté A ∪ B, est l’événement qui se réalise si l’événement A se produit ou si l’événement B se produit.

On dit que A ∪ B est l’union de A et de B

• L’événement « A sauf B », noté A ∖ B, est l’événement qui se réalise si l’événement A se produit, mais pas l’événement B

On dit que A ∖ B est la différence de A et de B.

• L’événement contraire de A, noté A , est l’événement qui se réalise si l’événement A ne se produit pas.

On dit que A est le complémentaire de A.

• Événements particuliers :

• Un événement d’une expérience aléatoire est élémentaire s’il ne contient qu’un unique élément de la catégorie d’épreuve.

• Un événement d’une expérience aléatoire est impossible s’il est défini par une condition qui ne se réalise jamais.

• Un événement d’une expérience aléatoire est certain s’il est défini par une condition qui se réalise toujours.

• Les événements A et B sont incompatibles (ou disjoints) s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Autrement dit, leur intersection est vide : A ∩ B = ∅.

Définition et propriétés sur les probabilités

• Soit Ω une catégorie d’épreuve d’une expérience aléatoire.

Une probabilité est une fonction P qui, à chaque événement A de Ω, associe un nombre réel, noté P(A), vérifiant les axiomes de Kolmogorov.

• Axiomes de Kolmogorov :

1. La probabilité d’un événement est un nombre positif inférieur à 1.

En langage mathématique : ∀A ⊆ Ω, 0 ≤ P( A ) ≤ 1.

2. La probabilité d’un événement certain est 1.

3. La probabilité de l’union de deux événements disjoints est la somme des probabilités de ces événements.

En langage mathématique : ∀A, B ⊆ Ω, A ∩ B = ∅⇒ P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ).

• Propriétés :

• P(Ω) = 1 (par le deuxième axiome de Kolmogorov).

• La probabilité d’un événement impossible est 0.

Cela implique que P(∅) = 0.

• Probabilité de l’événement contraire :

Si A est un événement d’une expérience aléatoire de catégorie d’épreuve Ω, alors

• La somme des probabilités de tous les événements élémentaires de Ω vaut 1.

En langage mathématique : Ω = {e1; e2; e3; …; e n} ⇒ P({e1}) + P({e2}) + P({e3}) + … + P({e n}) = 1.

• Soient A et B deux événements d’une expérience aléatoire de catégorie d’épreuve Ω

Si A ⊆ B, alors P( A ) ≤ P( B ).

• Loi de Boole

Si A et B sont deux événements d’une expérience aléatoire de catégorie d’épreuve Ω, alors

P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B ).

Équiprobabilité

• Des événements d’une même expérience aléatoire sont équiprobables lorsqu’ils ont la même probabilité de se produire.

• Formule de Laplace

Si les événements élémentaires d’une expérience aléatoire sont équiprobables, alors la probabilité que l’événement se produise est donnée par la formule :

PA AA () # # = nombredi’ssuesfavorables nombredissuespossibles = à ’

Outils d’appropriation pour calculer des probabilités

Situation

On connaît l’ordre chronologique des événements.

On a deux critères croisés.

On étudie l’appartenance à plusieurs groupes.

Outil

Pourquoi ?

Diagramme en arbre L’arbre permet de visualiser les chemins successifs.

Tableau

Diagramme de Venn

Le tableau permet de trier et compléter les données facilement. Il est particulièrement pratique si on connaît les effectifs ou les fréquences partiels.

Le diagramme de Venn est utile pour visualiser les intersections, surtout quand il y a 3 ensembles

Probabilité conditionnelle et événements indépendants

Soient A et B deux événements d’une même expérience aléatoire qui ne sont pas impossibles.

• La probabilité conditionnelle P A|B , qui se lit « A sachant B », est la probabilité de la réalisation de l’événement A, sachant que l’événement B s’est déjà réalisé et se calcule par B B =

• Théorème de la multiplication : P(A ∩ B) = P A|B P( B ) = P

• Les événements A et B sont indépendants si P A|B = P( A ) et P B|A = P( B )

• Condition d’indépendance de deux événements :

A et B sont indépendants si et seulement si P( A ∩ B ) = P( A ) P( B ).

Analyse combinatoire

Oui

Y a-t-il des répétitions ?

Oui

Utilise-t-on tous les éléments ?

Oui

L’ordre est-il important ?

Non

Non Oui

Y a-t-il des répétitions ?

Permutations avec répétition = n! n1!·n2!·…·n p ! P n n1;n2;…;np

Permutations sans répétition P n = n!

Arrangements avec répétition = n p α n p

Non Oui

Y a-t-il des répétitions ?

Non

Combinaisons avec répétition = (n + p – 1)! p!·(n 1)! C n+p–1 p

Combinaisons sans répétiton

Arrangements sans répétition n! (n p)! = A n p n! p!·(n p)! = C n p

Propriétés sur les combinaisons, triangle de Pascal et binôme de Newton

• CC nn n 01 ==

• CC n nn n 11 == -

• Formule de symétrie : CC n p n np = - (n, p ∈ • tels que p ≤ n)

• Formule de Pascal :

• Triangle de Pascal : p

Formule du binôme de Newton

EXERCICES RÉCAPITULATIFS

1. The Crew est un jeu de société composé de 40 cartes :

• 9 cartes roses numérotées de 1 à 9 ;

• 9 cartes bleues numérotées de 1 à 9 ;

• 9 cartes jaunes numérotées de 1 à 9 ;

• 9 cartes vertes numérotées de 1 à 9 ;

• 4 cartes noires numérotées de 1 à 4.

(a) On tire une carte au hasard dans ce jeu de cartes.

I. Donne un événement élémentaire.

II. Donne le cardinal de l’événement NP : « tirer une carte noire de numéro pair ».

III. Donne deux événements incompatibles qui ne sont pas contraires.

IV. Donne l’événement complémentaire de l’événement S5 : « tirer une carte dont le numéro est supérieur à 5 ».

V. Donne un événement équiprobable à l’événement « tirer un 5 ».

VI. Calcule la probabilité de l’événement B ∪ V : « tirer une carte bleue ou une carte verte ».

(b) Bertrand, ses parents et sa sœur jouent ensemble à ce jeu. Ils reçoivent chacun 10 cartes.

I. Quelle est la probabilité que Bertrand ait toutes les cartes noires ?

II. Quelle est la probabilité que Bertrand ait exactement trois cartes roses ?

III. Quelle est la probabilité que Bertrand ait au moins un 9 ?

IV. Quelle est la probabilité que chaque joueur ait un 9 ?

2. On lance un dé à six faces parfaitement équilibré et on regarde le nombre de points sur la face supérieure.

On considère les événements :

• A : « avoir un nombre impair » ;

• B : « avoir un nombre supérieur à 4 ».

(a) Calcule les probabilités suivantes :

I. P( A )

IV. P( A ∪ B )

VII. P A|B

II. P( B )

V. P( A ∖ B )

(b) Les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifie par calculs.

III. P( A ∩ B )

VI. PA

3. Marius consulte régulièrement les réseaux sociaux. Soient I : « Marius se connecte à Instagram aujourd’hui » et T : « Marius se connecte à TikTok aujourd’hui ». Voici le diagramme en arbre lié à ces événements.

(a) Complète les valeurs manquantes sur le diagramme.

(b) Donne en extension et en compréhension un événement dont la probabilité vaut 3 5 . Justifie ton choix par calculs.

(d) Quelle est la probabilité que Marius se connecte à TikTok aujourd’hui ?

(e) Quelle est la probabilité que Marius se rende sur TikTok ou sur Instagram aujourd’hui ?

(f) Quelle est la probabilité que Marius se connecte à TikTok aujourd’hui sachant qu’il s’est déjà connecté à Instagram dans la journée ?

(g) Quelle est la probabilité que Marius ne se rende pas sur Instagram aujourd’hui s’il s’est déjà rendu sur TikTok ce matin ?

4. Un sondage a été mené auprès de jeunes filles belges sur les bijoux qu’elles portaient quotidiennement. Nommons B r l’événement « la jeune fille porte un bracelet » et B o l’événement « la jeune fille porte des boucles d’oreilles ». Les résultats sont repris dans le diagramme de Venn suivant.

(a) Traduis le diagramme de Venn à l’aide d’un tableau.

(b) Sur la base de ce sondage, calcule :

I. la probabilité qu’une jeune fille belge ne porte pas de bracelet ;

II. la probabilité qu’une jeune fille belge porte un bracelet et des boucles d’oreilles ;

III. la probabilité qu’une jeune fille belge porte un bracelet ou des boucles d’oreilles ;

IV. la probabilité qu’une jeune fille belge porte soit un bracelet, soit des boucles d’oreilles, mais pas ces deux types de bijoux en même temps ;

V. la probabilité qu’une jeune fille belge ne porte pas de bracelet si elle ne porte pas de boucles d’oreilles ;

VI. la probabilité qu’une jeune fille belge qui porte des boucles d’oreilles porte aussi un bracelet.

5. Solène a acheté il y a quelques mois une maison à rénover et partage chaque semaine une vidéo courte sur Instagram afin de montrer l’évolution des travaux.

La plateforme lui communique les statistiques suivantes :

• 30 % des personnes qui regardent ses vidéos sont abonnées à son compte.

• Si la personne est abonnée à son compte, elle like la vidéo dans 35 % des cas.

• Cependant, si elle n’est pas abonnée, la personne like la vidéo uniquement dans 17 % des cas.

(a) Quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard, parmi celles qui regardent ses vidéos, soit abonnée à son compte et ait liké sa vidéo ?

(b) Estime la probabilité qu’une personne choisie au hasard, parmi celles qui ont regardé sa dernière vidéo, lui ait mis un like.

6. L’an dernier, la lecture d’un livre spécifique était imposée pour un examen lié au cours de neuroscience. Sur les 95 étudiants :

• 60 ont lu le livre et 54 d’entre eux ont réussi l’examen ;

• 27 ont lu uniquement un résumé sur Internet et 15 d’entre eux ont réussi l’examen ;

• 8 n’ont rien lu en lien avec le livre ;

• 80 % des étudiants ont réussi l’examen.

(a) Sur la base de ces résultats, estime :

I. la probabilité qu’un étudiant ayant ce cours n’ait pas lu le livre et réussisse l’examen ;

II. la probabilité qu’un étudiant ayant ce cours qui n’a pas lu le livre réussisse l’examen.

(b) La réussite des étudiants dépend-elle de la lecture du livre ? Justifie.

7. Deux plateformes de streaming proposent des podcasts. Les podcasts de la première plateforme sont écoutés jusqu’à la fin par 62 % des utilisateurs, tandis que ceux de la seconde le sont par 54 % des utilisateurs. Un utilisateur se rend 2 fois sur 3 sur la première plateforme et le reste du temps sur la seconde.

(a) S’il écoute ce soir un podcast,

I. quelle est la probabilité qu’il se rende sur la première plateforme et qu’il écoute le podcast jusqu’à la fin ?

II. quelle est la probabilité qu’il écoute le podcast proposé jusqu’à la fin ?

III. quelle est la probabilité qu’il se soit rendu sur la première plateforme sachant qu’il a écouté le podcast jusqu’à la fin ?

(b) S’il se rend chaque jour de la semaine sur l’une des deux plateformes indépendamment du choix de la veille, quelle est la probabilité qu’il se rende tous les jours sur la même plateforme ?

8. Une enquête a été menée auprès de 120 jeunes âgés de 18 ans abonnés à Netflix à propos de leur visionnage des séries suivantes : Emily in Paris, Mercredi et Squid Game. En voici les résultats :

• 42 jeunes ont regardé Emily in Paris ;

• 65 jeunes ont regardé Mercredi ;

• 51 jeunes ont regardé Squid Game ;

• 32 jeunes ont regardé Emily in Paris et Mercredi ;

• 42 jeunes ont regardé Mercredi et Squid Game ;

• 29 jeunes ont regardé Emily in Paris et Squid Game ;

• 27 jeunes ont regardé les trois séries.

Interrogeons un jeune de l’échantillon pris au hasard.

(a) Quelle est la probabilité qu’il n’ait regardé aucune de ces trois séries ?

(b) Quelle est la probabilité qu’il ait regardé Squid Game ?

(d) Quelle est la probabilité qu’il ait regardé uniquement Emily in Paris ?

(e) Quelle est la probabilité qu’il ait regardé soit Mercredi, soit Squid Game, mais pas les deux ?

(f) Quelle est la probabilité qu’il ait regardé Mercredi ou Emily in Paris, mais pas Squid Game ?

(g) Quelle est la probabilité qu’il ait regardé Mercredi ou Emily in Paris s’il n’a pas regardé Squid Game ?

(h) Donne un événement dont la probabilité vaut 5 8 et un événement dont la probabilité vaut 27 32 Justifie.

9. Lorsqu’un produit pharmaceutique est mis sur le marché, il est précédé d’un test de performance clinique, parfois disponible dans la notice.

Voici les résultats d’une étude clinique menée pour comparer les résultats obtenus à l’aide du test rapide de l’antigène COVID-19 avec le résultat du test PCR55

(a) Que représente le taux 90,1 % ? Sois précis(e).

(b) Quelle est la probabilité que l’échantillon soit retourné négatif si la personne est infectée du COVID-19 ?

Les personnes nées entre le 23 octobre et le 21 novembre sont Scorpion, et celles nées entre le 22 novembre et le 21 décembre sont Sagittaire. On suppose que, dans la population belge, chaque jour de l’année a la même probabilité d’être un jour d’anniversaire, si on exclut le 29 février. Les questions suivantes portent sur des Belges qui ne sont pas nés un 29 février.

(a) Quelle est la probabilité qu’un Belge né en novembre soit Sagittaire ?

(b) Quelle est la probabilité que William soit Scorpion si Chiara, son amie d’enfance, est également Scorpion ?

(c) Dans un groupe de quatre Belges choisis au hasard, quelle est la probabilité qu’au moins l’un d’eux soit Sagittaire ?

(d) Combien de Belges faut-il au minimum dans un groupe pour que la probabilité qu’au moins une personne soit Sagittaire soit d’au moins 95 % ?

(e) Dans un groupe de six Belges, quelle est la probabilité qu’au moins deux personnes aient le même jour d’anniversaire ?

(f) Est-ce que l’hypothèse « chaque jour de l’année a la même probabilité d’être un jour d’anniversaire » reflète la réalité ? Recherche sur le site Statbel afin de trouver l’information.

Deux emplois sont à pourvoir dans une nouvelle compagnie aérienne en tant que membre d’équipage de cabine. Les profils recherchés s’adressent autant à un homme qu’à une femme. Après une première sélection, 65 candidates et 39 candidats sont retenus, chacun(e) ayant la même chance d’être embauché(e).

(a) Calcule la probabilité que deux femmes soient embauchées.

(b) Calcule la probabilité que deux personnes de même sexe soient embauchées.

(d) La compagnie annonce le premier candidat retenu et il s’agit d’une femme. Quelle est la probabilité que le second candidat retenu soit un homme ?

5 Source : https://www.vpharma-connect.be/files/doc/449115.pdf

On dispose des chiffres 1, 2, …, 9, représentés sur neuf jetons distincts.

(a) On tire au hasard successivement les 9 jetons en les rangeant selon l’ordre du tirage, et on regarde le nombre ainsi formé.

I. Quelle est la probabilité que le nombre formé soit 123 456 789 ?

II. Quelle est la probabilité que le nombre formé soit un nombre pair ?

III. Quelle est la probabilité que le nombre soit pair sachant qu’il commence par 5 ?

IV. Quelle est la probabilité que le nombre formé commence par 1 − 2 − 3 dans cet ordre ?

V. Quelle est la probabilité que 1 − 2 − 3 soient parmi les 3 premiers chiffres tirés, mais pas forcément dans cet ordre ?

VI. Quelle est la probabilité que le 8 soit le nombre des dizaines ou des centaines et que le 9 ne soit pas le nombre des unités ?

(b) On tire au hasard successivement 6 des 9 jetons en les rangeant selon l’ordre du tirage, et on regarde le nombre ainsi formé.

I. Quelle est la probabilité que le nombre formé commence par 9 ?

II. Quelle est la probabilité que le nombre formé commence par 9 sachant qu’il ne se termine pas par 2 ?

III. Quelle est la probabilité qu’il n’y ait pas de 3 dans le nombre formé ?

Une banque décide que le mot de passe qui permet à chaque client d’accéder à son compte bancaire en ligne doit être formé de 3 lettres suivies de 3 chiffres. Ce code secret est aléatoire et reçu par courrier postal.

(a) Quelle est la probabilité que le code d’un client de cette banque ne contienne pas de V ni de S ?

(b) Quelle est la probabilité que le code d’un client de cette banque soit formé exactement de deux voyelles et d’un nombre divisible par 25 ?

(c) Quelle est la probabilité que le code d’un client de cette banque soit formé de 3 lettres consécutives de l’alphabet, notées dans l’ordre alphabétique ?

(d) Quelle est la probabilité que le code d’un client de cette banque soit formé de 3 lettres différentes et de 3 chiffres différents ?

(e) Un client a pour code « TTB312 ». Quelle est la probabilité qu’un autre client ait un code formé avec les mêmes lettres et les mêmes chiffres, pas nécessairement dans cet ordre ?

Une boîte opaque contient neuf sucettes. Trois d’entre elles sont au goût pastèque, trois autres sont au goût cola et les autres sont au goût cerise.

(a) On prend trois sucettes au hasard.

I. Quelle est la probabilité d’avoir une seule sucette au goût cola ?

II. Quelle est la probabilité que les trois sucettes aient le même goût ?

III. Quelle est la probabilité qu’au moins une sucette soit au goût pastèque ?

(b) Si Farah, Côme et Florent prennent chacun trois sucettes en se les répartissant aléatoirement, quelle est la probabilité qu’ils aient tous les trois les trois goûts de sucettes ?

Les règles de l’EuroMillions sont les suivantes :

• Le joueur choisit 5 numéros parmi une grille allant de 1 à 50.

• Il choisit également 2 étoiles parmi 12 étoiles numérotées de 1 à 12.

Lors de chaque tirage, 5 numéros et 2 étoiles sont tirés au sort.

(a) Quelle est la probabilité de gagner au rang 1, c’est-à-dire d’avoir choisi les 5 bons numéros et les 2 bonnes étoiles ?

(b) Quelle est la probabilité de gagner au rang 6, c’est-à-dire d’avoir 3 des 5 bons numéros et les 2 bonnes étoiles ?

(c) Sur le site de la Loterie Nationale, la probabilité de gagner au rang 12 est donnée comme étant de 1 sur 49. Sachant que pour ce rang, il faut 2 bons numéros et 1 seule bonne étoile, explique comment cette valeur a été calculée.

(d) Si un joueur découvre qu’il a 4 bons numéros, quelle est la probabilité qu’il ait aussi 1 ou 2 bonne(s) étoile(s) ?

On s’intéresse au résultat de trois lancers successifs d’une pièce de monnaie parfaitement équilibrée.

(a) Simule 2 000 fois cette expérience à l’aide d’un outil informatique. Ensuite, utilise cette simulation pour estimer la probabilité d’obtenir exactement une seule fois pile.

(b) Calcule la probabilité a priori d’obtenir exactement une seule fois pile et compare-la avec celle obtenue lors de la simulation.

Développe les expressions suivantes.

(a) () 435 x -

(b) x x 2 4 5 +

Détermine le coefficient du terme de degré 7 des polynômes suivants.

(a) 1 2 30 - x

DÉFI

Te rappelles-tu au début de ce chapitre ?

(b) 42 3 13 x x +

Tu es maintenant capable de répondre !

Connecte-toi sur et entraîne-toi avec des exercices complémentaires.

Connaître

LOIS DE PROBABILITÉS COPYRIGHTVANIN

Objectifs

• Associer une loi de probabilité à un contexte donné et identifier ses paramètres.

• Interpréter graphiquement une probabilité dans le cas de la loi normale.

• Associer les concepts de statistique à ceux de probabilité.

Appliquer

• Calculer une probabilité dans un contexte qui requiert l’utilisation d’une loi de probabilité binomiale ou normale.

• Déterminer l’ensemble des valeurs de la variable correspondant à une probabilité donnée.

Transférer

• Modéliser une situation concrète par une loi de probabilité.

• Résoudre un problème qui requiert l’utilisation d’une loi de probabilité binomiale ou normale.

Introduction historique

Ce chapitre de mathématiques se consacre à l’étude des lois de probabilités, un outil indispensable pour comprendre et modéliser les phénomènes aléatoires.

Au XVIIe siècle, Pascal et Fermat s’interrogent sur un problème lié aux jeux : comment répartir équitablement les gains d’une partie si celle-ci est interrompue avant la fin ?

De ce dialogue jaillit l’idée que l’on peut modéliser le hasard à l’aide de lois mathématiques : c’est la naissance du calcul des probabilités. Dans les probabilités, la première loi à être définie est la loi uniforme discrète, où toutes les issues sont aussi probables les unes que les autres.

Ensuite, la loi binomiale est introduite pour décrire des expériences répétées, comme tirer à pile ou face plusieurs fois de suite.

Les premières lois de probabilités étaient définies comme « discrètes », ce qui signifie qu’elles modélisaient des cas où le nombre d’issues possibles est fini ou dénombrable.

À partir du XVIIIe siècle, les questions que se posent les scientifiques évoluent et deviennent plus complexes : comment modéliser la taille des adultes, la durée de vie d’un composant électronique, le temps d’attente à un arrêt de bus ?

Grâce aux travaux de plusieurs mathématiciens comme De Moivre et Gauss, une nouvelle loi est découverte, appelée la loi normale. Cette loi prend la forme d’une cloche symétrique autour de la moyenne et permet de modéliser une multitude de phénomènes naturels et sociaux : poids, taille, résultats d’évaluations, erreurs de mesure…

Aujourd’hui, les lois de probabilités sont partout :

• en sciences : pour analyser les erreurs de mesure ;

• en santé : pour évaluer la fiabilité d’un test ou estimer le risque d’un traitement ;

• en économie et en finance : pour prévoir les variations des marchés et construire des modèles de risque ;

• en intelligence artificielle : pour entraîner des algorithmes qui apprennent à partir de données incertaines ;

• en industrie : pour anticiper les pannes ou optimiser la production ;

• en sport : pour analyser les performances et prévoir les résultats ;

• et même dans la vie quotidienne : météo, jeux, sondages, files d’attente…

Une étude statistique a mesuré le temps d’écran quotidien des Belges de plus de 15 ans pendant leur temps libre, pour les deux années 2023 et 2024. Il ressort de cette étude que la moyenne pour les jeunes âgés de 15 à 24 ans est de 462 minutes, soit 7 heures et 42 minutes, et que l’écart-type est de 327,76 minutes.

Après avoir estimé ton propre temps d’écran quotidien, peux-tu déterminer quelle est la proportion de jeunes Belges qui passent moins de temps que toi devant un écran ?

Tu seras capable d’y répondre à la fin de ce chapitre !

Prérequis

TEST DIAGNOSTIQUE

Appliquer

Soit la série statistique donnée dans le tableau recensé ci-dessous.

1. Complète les colonnes « fréquences » et « fréquences cumulées ».

2. Parmi les graphiques suivants, quel est le diagramme en bâtons et quel est le diagramme cumulatif de cette série statistique ? 0,5

3. Calcule la moyenne et l’écart-type de cette étude statistique.

THÉORIE

Propriétés

Représentation des modalités d’une série statistique

Si le caractère de la série est discret, alors le diagramme en bâtons permet de visualiser les fréquences en fonction des modalités

Fréquences cumulées

0,1 0,2

0123456

Modalités

Si le caractère de la série est continu, alors l’histogramme permet de visualiser les fréquences en fonction des modalités

Fréquences cumulées

0,8 0,9 1

0,7

0,6

0,2 0,3 0,4 0,5

0,1 5101520253035

Modalités

le diagramme cumulatif permet de visualiser les fréquences cumulées en fonction des modalités

Fréquences cumulées

Modalités 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0123456

le diagramme cumulatif permet de visualiser les fréquences cumulées en fonction des modalités

Fréquences cumulées

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0,1 5101520253035

Modalités

Définitions

• Moyenne

La moyenne arithmétique d’une série statistique, notée x , est le quotient de la somme des produits des modalités xi et de leur effectif ni par l’effectif total N :

où k correspond au nombre de modalités différentes de la série statistique.

• Variance

La variance d’une série statistique, notée V, est obtenue par la formule :

où k correspond au nombre de modalités différentes, xi aux modalités, ni à leur effectif, N à l’effectif total et x à la moyenne arithmétique de la série statistique.

• Écart-type

L’écart-type d’une série statistique, noté σ, est obtenu par la formule :

où V correspond à la variance de la série statistique.

Propriété

Interprétation de l’écart-type

Plus l’écart-type est proche de 0, plus les valeurs sont regroupées autour de la moyenne. Réciproquement, plus l’écart-type est grand, plus les valeurs sont dispersées.

1. Notion de variable aléatoire et éléments associés

DÉCOUVERTE

Activité 1 Variable aléatoire, loi de probabilité et fonction de répartition

Dans une urne opaque se trouvent 3 boules jaunes, 6 boules roses et 1 boule orange indiscernables au toucher.

Si on tire une boule jaune, on gagne 5 €, si on tire une boule rose, on gagne 1 € et si on tire la boule orange, on perd 20 €.

1. Donne le gain (positif ou négatif) associé à chaque couleur de boule.

Nous définissons une fonction qui, à chaque couleur de boule possible, associe un nombre réel. Cette fonction est appelée une variable aléatoire.

2. Notons X la variable aléatoire qui donne le gain exprimé en euros. Dans le tableau suivant, associe à chaque gain sa probabilité. xi –201 5 PX xi =

Si, à chacune des valeurs possibles de la variable aléatoire X, on associe sa probabilité, on donne la loi de probabilité de la variable aléatoire X

3. Traduis en langage mathématique, puis calcule la probabilité de :

• perdre au moins 40 €

• perdre au moins 30 €

• perdre au moins 20 €

• perdre au moins 10 €

• perdre au moins 5 €

• gagner 0,5 € ou moins

• gagner 1 € ou moins

• gagner 2 € ou moins

• gagner 5 € ou moins

• gagner 10 € ou moins

• gagner 20 € ou moins

4. À l’aide de tes réponses à la question 3, complète :

5. Dans un repère, représente la fonction donnée à la question 4.

Tu viens de définir et construire le graphe de la fonction de répartition de la variable aléatoire X. On la note F et elle est définie telle que pour tout réel x, F ( x ) = P( X ≤ x ).

THÉORIE

Définition

Variable aléatoire

X est une variable aléatoire si X est une fonction qui, à chaque résultat possible d’une expérience aléatoire, associe un nombre réel.

Autrement dit : si Ω est la catégorie d’épreuve de l’expérience aléatoire, alors X : Ω → °

Notation

L’ensemble-image de la variable aléatoire X : Ω → ° est noté X(Ω).

Définitions

Variable aléatoire discrète et variable aléatoire continue

• Une variable aléatoire est discrète si l’ensemble de ses valeurs possibles est fini ou dénombrable.

• Une variable aléatoire est continue si l’ensemble de ses valeurs possibles est un intervalle (ou une union d’intervalles) de ° de longueur non nulle.

LOIS DE PROBABILITÉS

Exemples

• Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre d’examens réussis en juin par un élève de rhéto qui a 12 cours différents dans sa grille horaire.

X est une variable aléatoire discrète finie, car X(Ω) = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}.

• Soit Y la variable aléatoire qui donne le nombre de lancers d’une pièce équilibrée avant d’obtenir pile pour la première fois.

Y est une variable aléatoire discrète dénombrable, car Y(Ω) = {1; 2; 3; 4; 5; 6; …} = •0.

• Soit Z la variable aléatoire correspondant au temps (en secondes) qu’un sprinteur professionnel met pour parcourir 100 mètres lors de différentes compétitions.

Z est une variable aléatoire continue, car Z(Ω) = [9,58; 12].

Dans la suite de cette section, nous étudierons uniquement les variables aléatoires discrètes.

Définition

Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète

La loi de probabilité (aussi appelée distribution de probabilité) d’une variable aléatoire discrète X est la fonction qui, à chaque valeur de X, associe sa probabilité.

Notation

La probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur xi est notée PX x i = .

Propriété

Représentation de la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète

La loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète peut être représentée à l’aide d’un tableau ou d’un diagramme en bâtons.

Exemple

On interroge un groupe de collègues de bureau sur le nombre de cafés qu’ils boivent en une journée de travail.

On définit la variable aléatoire X comme le nombre de tasses de café bues par jour.

La loi de probabilité de la variable aléatoire discrète X est donnée par le tableau suivant : xi 0 1 2 3 4 5 PX xi = 0,250,30,150,150,10,05

Le diagramme en bâtons suivant représente cette loi de probabilité.

Remarque

La somme des probabilités associées à toutes les valeurs possibles d’une variable aléatoire discrète est égale à 1.

Autrement dit :

• si X est une variable aléatoire discrète finie telle que X(Ω) = x1; x2; x3; …; x n , alors PX x i i n = =1 = 1 ;

• si X est une variable aléatoire discrète dénombrable telle que X(Ω) = x1; x2; x3; … , alors PX x i i == = + 1 1 &

Définition

Fonction de répartition

La fonction de répartition d’une variable aléatoire X, notée F, est la fonction telle que, pour tout réel x, F ( x ) = P( X ≤ x ).

Propriété

Représentation graphique de la fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète

La représentation graphique de la fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète est une fonction en escalier.

Exemple

Un attaquant de football joue plusieurs matchs de championnat. La variable aléatoire discrète X représente le nombre de buts qu’il marque dans un match.

D’après les statistiques de la saison, la loi de probabilité de X est donnée par le tableau :

La fonction de répartition de X est donnée par :

La représentation graphique de F est :

Remarque

Pour une variable aléatoire discrète, la représentation graphique de la loi de probabilité correspond au diagramme en bâtons, et la fonction de répartition correspond aux diagrammes cumulatifs. Ces deux notions ont été rencontrées dans le chapitre « Statistique descriptive » vu en 4e année (UAA 1) pour représenter les modalités d’un caractère quantitatif discret.

Activité 2 Caractéristiques d’une variable aléatoire discrète

Considérons deux jeux d’argent dont les gains par partie, exprimés en euros, sont donnés par des variables aléatoires discrètes X et Y. Les lois de probabilités associées sont données ci-dessous : xi –20 520 PX xi = 0,30,250,350,1 yi –55210205 PY y i = 0,350,450,10,1

1. Calcule le gain moyen par partie pour les deux variables aléatoires X et Y

Tu viens de calculer l’espérance mathématique des variables aléatoires discrètes X et Y, c’est-à-dire, dans ce contexte précis, le gain moyen théorique d’un jeu si on le répétait un très grand nombre de fois.

2. L’espérance mathématique est la même pour les deux jeux. Cependant, l’un des deux jeux semble plus risqué que l’autre. Lequel ?

3. Pour mesurer cette prise de risque, on calcule l’écart-type des deux variables aléatoires. L’écarttype correspond à la racine carrée de la variance, qui elle-même correspond à la différence entre l’espérance du carré des gains et le carré de l’espérance. Calcule cet écart-type pour chacun des jeux et interprète le résultat.

Tu viens de calculer l’écart-type, une mesure qui, dans ce contexte, évalue le niveau de risque associé à chaque jeu. Il indique à quel point les gains sont dispersés autour de l’espérance mathématique.

THÉORIE

Définition

Espérance mathématique d’une variable aléatoire discrète finie

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire discrète finie X est définie par EX xP Xx i n ii()== =1

où X(Ω) = x1; x2; …; x n .

Remarque

Si X est une variable aléatoire discrète dénombrable telle que X(Ω) = x1; x2; x3; … , alors

EX xP Xx i ii()== =1 + &

Exemple

Soit un jeu d’argent dont la variable aléatoire discrète finie X représente le gain par partie, exprimé en euros, et dont la loi de probabilité est : xi –50 510 PX xi = 0,20,10,450,25

Son espérance mathématique vaut E( X ) = –5 ⋅ 0,2 + 0 ⋅ 0,1 + 5

0,45 + 10 ⋅ 0,25 = 3,75. Cela signifie qu’en répétant cette expérience un très grand nombre de fois, le gain moyen théorique par partie est de 3,75 € pour ce jeu.

Remarque

Dans un jeu de hasard dont la variable aléatoire X représente le gain, on dit que :

• le jeu est favorable au joueur si E( X ) > 0 ;

• le jeu est équilibré (ou équitable) si E( X ) = 0 ;

• le jeu est défavorable au joueur si E( X ) < 0.

Définition

Variance d’une variable aléatoire discrète

La variance d’une variable aléatoire discrète X est définie par V ( X ) = E X 2 – (E( X ))2

où E( X ) est l’espérance mathématique de X

Définition

Écart-type d’une variable aléatoire discrète

L’écart-type d’une variable aléatoire discrète X est défini par σ ( X ) = VX()

où V ( X ) est la variance de X.

Interprétation

Quand on étudie une variable aléatoire discrète X, l’espérance permet de connaître la valeur moyenne attendue si l’on répète l’expérience un très grand nombre de fois. Mais cette information ne suffit pas : deux variables aléatoires peuvent avoir la même espérance, mais des comportements très différents. Pour mesurer à quel point les valeurs de la variable aléatoire X s’éloignent de la moyenne, on utilise la variance. Celle-ci correspond à la différence entre l’espérance de X 2 et le carré de l’espérance de X . Comme les deux valeurs soustraites sont élevées au carré, la variance n’est pas exprimée dans la même unité que X . C’est pourquoi on calcule ensuite l’écart-type, en prenant la racine carrée de la variance. Cela permet d’obtenir une mesure dans la même unité que X, plus facile à interpréter.

Plus l’écart-type est grand, plus les valeurs sont dispersées. Un petit écart-type signifie au contraire que les valeurs de X sont concentrées autour de la moyenne.

Exemple

Considérons à nouveau le jeu d’argent dont la variable aléatoire discrète X représente le gain par partie, exprimé en euros, et dont la loi de probabilité est :

PX xi = 0,20,10,450,25

On sait déjà que son espérance mathématique vaut E( X ) = 3,75 €.

Sa variance vaut V ( X ) = (–5)2 ⋅ 0,2 + 02 ⋅ 0,1 + 52 ⋅ 0,45 + 102 ⋅ 0,25 – 3,752 = 435 16

Son écart-type vaut donc σ ( X ) = VX()== 435 16 435 4 ≈ 5,21 €.

Cela signifie que les gains varient autour de la moyenne de 3,75 € avec une dispersion de 5,21 €.

Remarque

La notion d’espérance étudiée dans ce chapitre correspond à celle de moyenne arithmétique, tandis que la variance et l’écart-type ont pour équivalents les mesures de dispersion étudiées en 4e année dans le chapitre « Statistique descriptive » (UAA 1).

EXERCICES

1. Une enquête est menée auprès d’un groupe de 200 étudiants pour connaître leurs habitudes de lecture pendant un mois.

On note X la variable aléatoire qui représente le nombre de livres lus par un étudiant en un mois.

Les résultats obtenus sont les suivants :

(a) Est-il possible qu’un étudiant interrogé ait lu 5 livres ? Justifie.

(b) Donne l’expression analytique de la fonction de répartition de X et représente-la graphiquement.

(d) Calcule l’écart-type de la variable aléatoire X

(e) Quelle est la probabilité qu’un étudiant ait lu au moins deux livres en un mois ?

2. Tu tires trois boules successivement d’une boîte opaque, sans remettre de boule dans l’urne après chaque tirage. Seule la couleur différencie les boules : 5 sont argentées et 8 sont dorées.

Chaque boule argentée tirée fait perdre 3 points et chaque boule dorée tirée rapporte 2 points.

Soit X la loi de probabilité qui donne le nombre de points d’un joueur après les trois tirages.

(a) Donne la loi de probabilité de X

(b) Calcule P( X > –3).

3. Une association organise une tombola pour financer un voyage scolaire. Elle met en vente 100 billets, numérotés de 1 à 100, et chaque billet coûte 2 €.

Après que tous les billets ont été vendus, on procède au tirage et les prix suivants sont distribués :

• 1 prix de 50 € ;

• 2 prix de 20 € ;

• 5 prix de 5 € ;

• Tous les autres billets sont perdants.

Soit X la variable aléatoire qui associe à un billet le gain net en euros (c’est-à-dire le gain moins le prix du billet).

(a) Quelles sont les valeurs possibles de X ?

(b) Donne la loi de probabilité de X.

(d) Calcule l’espérance mathématique.

(e) Conseilles-tu d’acheter des billets ? Justifie ta réponse.

4. Une entreprise de livraison a analysé la performance de ses coursiers. Elle a constaté que sur une tournée de 20 colis, un livreur pris au hasard :

• livre les 20 colis dans les temps avec une probabilité de 0,1 ;

• livre 19 des 20 colis dans les temps avec une probabilité de 0,6 ;

• livre 18 des 20 colis dans les temps avec une probabilité de 0,3.

Chaque livreur effectue deux tournées indépendantes par jour.

On note X la variable aléatoire représentant le nombre total de colis livrés à temps par un livreur dans une journée.

(a) Quelles sont les valeurs possibles de la variable X ?

(b) Donne la loi de probabilité de X.

(c) Pour qu’un livreur obtienne une prime, il doit livrer au moins 38 colis à temps dans la journée. Calcule la probabilité qu’un livreur reçoive une prime.

(d) Calcule l’espérance mathématique de X. Interprète-la dans ce contexte.

(e) Calcule la variance et l’écart-type de X.

5. Dans un casino, une machine à sous se compose de 3 rouleaux indépendants. Chaque rouleau peut afficher les 5 mêmes symboles, dont le symbole « 7 ».

La machine affiche sur chaque rouleau un symbole de manière aléatoire.

• Si 3 symboles « 7 » s’alignent, on gagne 100 €.

• Si exactement 2 symboles « 7 » s’alignent, on gagne 10 €.

• Si au moins 2 symboles identiques autres que « 7 » s’alignent, on gagne 2 €.

• Sinon, on ne gagne rien.

Soit X la variable aléatoire qui donne le gain d’un joueur à chaque partie, sans tenir compte de sa mise.

(a) Donne la loi de probabilité de la variable aléatoire X

(b) Donne l’expression analytique de la fonction de répartition de X et interprète l’image de 3 par cette fonction dans ce contexte.

(d) Quel devrait être le coût minimal d’une partie pour que le jeu soit favorable au casino ?

2. Loi binomiale

DÉCOUVERTE

Activité Loi binomiale

Une urne opaque contient 5 boules mauves et 7 boules brunes. On effectue quatre tirages successifs au hasard, en remettant la boule tirée dans l’urne après chaque tirage.

1. À chaque tirage, détermine la probabilité p de tirer une boule mauve et déduis-en la probabilité de tirer une boule brune.

À chaque tirage, il n’y a que deux issues possibles : soit on tire une boule mauve, soit on tire une boule brune. C’est ce qu’on appelle une épreuve de Bernoulli. Puisqu’on répète cette épreuve quatre fois de suite dans les mêmes conditions et indépendamment les unes des autres, on dit qu’on réalise un schéma de Bernoulli.

2. Représente le diagramme en arbre associé à cette expérience aléatoire.

3. On s’intéresse à la variable aléatoire discrète X qui donne le nombre de boules mauves tirées.

(a) Combien de boules mauves peut-on tirer ?

(b) En utilisant le diagramme en arbre construit à la question 2, on peut exprimer la probabilité de tirer 3 boules mauves comme : P( X = 3) = 4 5 12 7 12 31

Exprime les probabilités suivantes de la même manière :

• P( X = 0)

• P( X = 2)

• P( X = 1)

• P( X = 4)

On dit que la variable aléatoire discrète X suit une loi binomiale de paramètres n = 4 et p = 5 12 . On note X~ℬ 4 5 12 ;

De plus, pour calculer le nombre de fois où la variable aléatoire X prend la valeur k, on utilise la formule P( X = k) = C

Le coefficient binomial C k 4 correspond au nombre de chemins dans le diagramme en arbre où on tire exactement

k boule(s) mauve(s) parmi les 4 tirages. πG

LOIS DE PROBABILITÉS

4. Si l’urne contient maintenant 15 boules mauves et 17 boules brunes et si on effectue douze tirages successifs, en remettant la boule tirée dans l’urne après chaque tirage, quelle est la probabilité de tirer exactement 8 boules mauves ?

THÉORIE

Définition

Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n’a que deux issues possibles.

Vocabulaire

Lors d’une épreuve de Bernoulli, on nomme succès l’issue qui nous intéresse et échec l’autre issue possible.

La probabilité p d’un succès d’une épreuve de Bernoulli est un paramètre de l’épreuve.

Exemple

Lancer un dé non truqué est une épreuve de Bernoulli si l’on s’intéresse à l’événement « obtenir un 4 ». En effet, il n’existe alors que deux issues possibles : obtenir un 4 (succès) ou ne pas obtenir de 4 (échec). La probabilité de succès vaut p = 1 6 .

Définition

Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p est l’expérience aléatoire qui consiste à répéter un nombre fini n de fois des épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes les unes des autres dont la probabilité de succès vaut p

Exemple

Lancer un dé non truqué trois fois de suite, en s’intéressant à l’événement « obtenir un 4 », constitue un schéma de Bernoulli de paramètres n = 3 et p = 1 6 , car :

• chaque lancer est une épreuve de Bernoulli ;

• les lancers sont indépendants les uns des autres ;

• on répète la même épreuve 3 fois et la probabilité de succès vaut 1 6 .

Remarque

Pour parler de schéma de Bernoulli, il est impératif que la probabilité de succès reste identique à chaque épreuve de Bernoulli qui compose le schéma, et que le résultat d’une épreuve n’influence pas le résultat d’autres épreuves.

Définition

Loi binomiale

La loi binomiale de paramètres n et p est la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui donne le nombre k de succès d’un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.

Notation

Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, on note X ℬ(n; p).

Propriété

Calcul de probabilité d’une variable suivant une loi binomiale

Soit X ℬ(n; p).

La probabilité que X prenne la valeur k est égale à P( X = k) = C n k pk (1 – p)n–k pour tout naturel k ∈ {0; 1; 2; …; n}.

Exemple

On lance un dé non truqué trois fois de suite. On note X la variable aléatoire donnant le nombre de 4 obtenus.

On a que X ℬ 31 ;6 .

La loi de probabilité de X est donnée par :

Propriété

Espérance, variance et écart-type d’une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale ℬ(n; p)

Soit X ℬ(n; p).

• E( X ) = n p

• V ( X ) = n p (1 – p)

• σ ( X ) = VX np p ()() =1

Méthodo

Calcul de probabilités avec l’outil informatique Excel si X suit une loi binomiale

Soit X ℬ(n; p).

Pour calculer

• P( X = k), il faut entrer dans une cellule du tableur Excel la formule :

=LOI.BINOMIALE(k;n;p;FAUX)

• P( X ≤ k), il faut entrer dans une cellule du tableur Excel la formule :

=LOI.BINOMIALE(k;n;p;VRAI)

EXERCICES

1. Parmi les contextes suivants, lesquels peuvent être modélisés par une loi binomiale ?

(a) Ton smartphone utilise la reconnaissance faciale pour se déverrouiller. Cette technologie te reconnaît correctement dans 99 % des cas. On s’intéresse au nombre de fois où ton smartphone te reconnaîtra correctement sur les 50 prochaines tentatives.

(b) On tire 4 cartes successivement et sans remise dans un jeu de 52 cartes et on compte le nombre d’as obtenus.

(c) Cinq feux de signalisation, supposés indépendants, se trouvent sur le trajet entre ta maison et ton école. Chaque feu est rouge durant 30 secondes, orange durant 5 secondes et vert durant 25 secondes. On compte combien de fois le feu est vert.

(d) Un joueur achète une carte à gratter. Chaque carte a 1 chance sur 2 d’être gagnante. S’il gagne, le commerçant lui remet gratuitement une nouvelle carte, qu’il peut alors gratter immédiatement. Cette chaîne peut continuer jusqu’à 8 cartes maximum.

2. Dans le championnat de football anglais, 78 % des penaltys sont marqués3. Supposons que lors d’un match entre deux équipes anglaises, cinq penaltys sont tirés par des joueurs différents.

Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre de penaltys réussis lors de ce match.

(a) Justifie que la variable aléatoire X peut être modélisée par une loi binomiale.

(b) Calcule P( X = 2) et traduis dans ce contexte le résultat obtenu.

(d) Quelle est la probabilité que les cinq joueurs réussissent au moins trois penaltys au total ?

(e) Détermine le nombre moyen de penaltys réussis.

3. Une céramiste constate que 3 % des colis qu’elle envoie arrivent endommagés chez ses clients. Le mois prochain, il est prévu qu’elle envoie 60 colis différents. Les envois sont indépendants les uns des autres.

Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre de colis endommagés sur les 60 envoyés.

3 Source : https://cnam.hal.science/hal-03095074v1.

(a) Justifie pourquoi la loi de probabilité de X peut être approchée par une loi binomiale dont tu préciseras les paramètres.

(b) Quelle est la probabilité que tous ses colis arrivent intacts ?

(d) L’entreprise de livraison lui rembourse 25 € par colis endommagé à condition qu’elle souscrive à l’assurance complémentaire, proposée au prix de 45 €/mois. Si elle envoie en moyenne 70 colis par mois, lui conseilles-tu de prendre l’assurance complémentaire ?

4. Un examen d’entrée comporte 15 questions à choix multiple : pour chacune des 15 questions proposées, une seule réponse sur les quatre proposées est correcte. Un candidat répond au hasard à toutes les questions.

(a) Quelle est la probabilité que ce candidat échoue à toutes les questions ?

(b) Quelle est la probabilité que ce candidat ait entre 8 et 10 bonnes réponses ?

(c) Pour réussir le test, il faut obtenir au minimum 12 bonnes réponses. Quelle est la probabilité que ce candidat réussisse ?

(d) En moyenne, combien de bonnes réponses peut espérer un candidat qui répond au hasard ?

(e) Le professeur en charge du cours souhaite qu’une mauvaise réponse soit sanctionnée par des points négatifs, afin qu’un élève qui réponde à toutes les questions complètement au hasard ait 0 au test.

I. Quelle doit être la pondération pour chaque mauvaise réponse, si chaque bonne réponse rapporte 1 point ?

II. Généralise ce raisonnement si le questionnaire comporte n questions et si chaque question est composée de m propositions dont une seule est correcte.

5. Mendel a étudié les résultats de croisements de plantes, ce qui lui a permis de découvrir et de formuler l’un des principes fondamentaux de l’hérédité : la loi de ségrégation. L’une de ses expériences a consisté à croiser des pois verts et des pois jaunes. Parmi les plants obtenus, 6 022 produisaient des pois jaunes et 2 001 des pois verts4.

Un professeur de biologie souhaite reproduire cette démarche avec ses élèves. Lors d’un laboratoire, ils réalisent des croisements entre des pois verts et des pois jaunes. À l’issue de l’expérience, ils sélectionnent un échantillon de 50 pois issus de ces croisements et analysent leur couleur. On suppose que les résultats de ces croisements sont indépendants les uns des autres. Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre de pois verts obtenus.

(a) Justifie que la situation peut être modélisée par une loi binomiale et précise ses paramètres.

(b) Calcule P( X = 4) et interprète ce résultat dans ce contexte.

(d) En moyenne, combien de pois seront verts parmi les 50 pois si l’on répète l’expérience un grand nombre de fois ?

(e) Détermine le nombre de pois qu’il faut prendre pour que la probabilité d’avoir au moins 1 pois vert soit supérieure à 99,9 %.

4 Source : https://facmed.univ-constantine3.dz/wp-content/uploads/2024/01/Mendel.pdf

3. Loi normale

DÉCOUVERTE

Activité

1 Vers la loi normale

Dans une maternité bruxelloise, 1 891 bébés nés à terme (c’est-à-dire après 37 semaines de grossesse) ont vu le jour l’année dernière.

Un statisticien a calculé la moyenne du poids à la naissance, qui est de 3 321 g, et l’écart-type, qui est de 423 g.

1. Voici la répartition des poids de naissance de ces bébés, regroupés par tranches de 250 grammes :

Poids à la naissance (en g) Nombre de bébés

[2 000; 2 250[

[2 250; 2 500[

[2 500; 2 750[

[2 750; 3 000[

[4 000; 4 250[

[4 250; 4 500[

L’histogramme des fréquences est représenté ci-dessous : Poids (g)

Fréquences

(a) Sur la base de cette étude, estime la probabilité qu’un bébé pèse moins de 3 000 g à la naissance.

(b) On souhaite maintenant estimer la probabilité qu’un bébé pèse moins de 3 125 g à la naissance. Le calcul de cette estimation est-il aussi évident qu’au point (a) ?

(c) Comment le statisticien, qui a accès à toutes les données, pourrait-il gagner en précision pour répondre à la question précédente ?

2. Voici la répartition des poids de naissance de ces bébés, regroupés par tranches de 125 grammes :

à la naissance (en g)

[2 000; 2 125[

[2 125; 2 250[

[2 250; 2 375[

[2 375; 2 500[

[2 500; 2 625[

[2 625; 2 750[

[2 750; 2 875[

[2 875; 3 000[

[3 000; 3 125[

[3 125; 3 250[

[3 250; 3 375[

[3 375; 3 500[

[3 500; 3 625[

[3 625; 3 750[

[3 750; 3 875[

[3 875; 4 000[

[4 000; 4 125[

[4 125; 4 250[

[4 250; 4 375[

[4 375; 4 500[

L’histogramme des fréquences est représenté ci-dessous :

Fréquences

Poids (g)

(a) Estime la probabilité qu’un bébé pèse moins de 3 125 g à la naissance. Obtiens-tu la même réponse qu’à la question 1. (b) ?

(b) On souhaite maintenant estimer la probabilité qu’un bébé pèse moins de 3 400 g à la naissance. Le calcul de cette estimation est-il aussi évident qu’au point (a) ? Si la réponse est non, que faudrait-il faire pour gagner en précision ?

3. Plus on divise l’intervalle des poids en classes fines, plus l’histogramme représente précisément la répartition des données. Si on considère un plus grand nombre de bébés (par exemple, tous ceux nés en Belgique sur une période de 1 an), les résultats seront plus stables et plus représentatifs de la population.

Fréquences

0,04

0,02

Quelle forme semble créer cet histogramme ?

Lorsqu’on étudie une grandeur, comme le poids de naissance, les valeurs possibles sont très nombreuses. On ne peut donc plus se contenter de compter des fréquences comme dans un tableau. On introduit alors la notion de densité de probabilité. La densité décrit la façon dont les valeurs sont réparties le long de l’axe horizontal : plus la densité est élevée autour d’une valeur, plus cette valeur est fréquente.

Contrairement à une fréquence, la densité n’est pas une probabilité en elle-même. Ce sont les aires comprises sous la courbe de densité qui représentent des probabilités. Ainsi, la probabilité qu’un bébé ait un poids compris entre deux valeurs correspond à l’aire située sous la courbe entre ces deux valeurs. L’aire totale sous la courbe vaut 1, car elle représente la totalité des naissances.

Dans le cas de la loi normale, la densité prend la forme d’une courbe en cloche, appelée courbe de Gauss, qui modélise de nombreuses grandeurs naturelles. Pour calculer la probabilité qu’un bébé pèse moins qu’une valeur donnée, il suffit donc de calculer l’aire sous la courbe de densité à gauche de cette valeur.

4. Voici la courbe de Gauss pour notre exemple :

Densité

Poids (g)

(a) On connaît la moyenne, qui est de 3 321 g. À quoi correspond-elle sur la courbe de Gauss ?

(b) Grâce à la symétrie de la courbe de Gauss, que peux-tu dire de la répartition des poids par rapport au poids moyen ?

(c) Pour calculer la probabilité qu’un bébé pèse moins de 3 400 g à la naissance, on va donc calculer l’aire colorée sur le graphique suivant.

Scanne le code QR ci-contre pour obtenir l’animation GeoGebra qui permet de donner cette probabilité.

Densité

0,001

0,0008

0,0006

0,0004

0,0002

Poids (g) 2

Tu viens de découvrir comment les données statistiques, comme le poids de naissance, peuvent être modélisées par une loi appelée la loi normale. En construisant un histogramme des fréquences, on observe que les barres dessinent une forme en cloche, que l’on appelle la courbe de Gauss. Plus les classes sont fines et plus l’échantillon est grand, plus cette représentation devient précise et lisse.

La courbe de Gauss est une courbe de densité de probabilité : cela signifie que l’aire sous la courbe entre deux valeurs correspond à la probabilité qu’une mesure appartienne à cet intervalle. Par exemple, l’aire sous la courbe pour les poids inférieurs à 3 400 g représente la proportion de bébés dont le poids de naissance est inférieur à 3 400 g. L’aire totale sous toute la courbe vaut 1, car elle correspond à l’ensemble des cas possibles, soit 100 % des naissances.

THÉORIE

Variable aléatoire continue

Une variable aléatoire continue est une variable qui peut prendre toutes les valeurs réelles d’un intervalle donné de longueur non nulle. Contrairement à une variable aléatoire discrète finie, on ne peut pas lister toutes ses valeurs, car elles sont en infinité dans n’importe quel intervalle. On ne peut donc pas représenter la loi de probabilité par un tableau ou un diagramme en bâtons. Parmi les variables aléatoires continues, certaines ont la propriété d’avoir une loi de probabilité calculable à l’aide d’une intégrale. Ces variables portent le nom de variable aléatoire continue avec densité.

GeoGebra

LOIS DE PROBABILITÉS

Remarque : dans la suite de cette UAA, nous n’étudierons que des variables aléatoires continues avec densité.

Définition

Variable aléatoire continue avec densité

Soit X une variable aléatoire continue.

X est une variable aléatoire continue avec densité s’il existe une fonction f, appelée densité (de probabilité) de X, qui satisfait aux propriétés suivantes :

• la densité est une fonction positive : f ( x ) ≥ 0 pour tout réel x ;

• l’aire comprise entre la courbe représentative de f et l’axe Ox vaut 1 :+ d= & & ò fx x ()1 ;

• la probabilité que X prenne une valeur dans un intervalle [a; b] où a et b sont des réels tels que a ≤ b est donnée par l’intégrale de la densité sur l’intervalle considéré : P(a ≤ X

Propriété

Probabilité d’une valeur exacte pour une variable aléatoire continue avec densité

Soit X une variable aléatoire continue avec densité. Pour tout réel a,

Démonstration

Soient X une variable aléatoire continue de densité f et a un réel.

Remarque

De cette propriété découle le fait que

Définition

Fonction de répartition

La fonction de répartition d’une variable aléatoire continue X de densité f, notée F, est la fonction telle que, pour tout réel x, F ( x ) = P( X

Propriété

Lien entre la densité et la fonction de réparation

Soit X une variable aléatoire continue de densité f continue et de fonction de répartition F.

La densité est la dérivée de la fonction de répartition : f ( x ) = F ′( x ).

Définition

Espérance mathématique d’une variable aléatoire continue avec densité

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire continue X de densité f est définie par EX xf xx()()=d+ & & ò si cette intégrale existe.

Définitions

Variance et écart-type d’une variable aléatoire continue avec densité

• La variance d’une variable aléatoire continue X de densité f est définie par VX EXEX xf xx EX ()()(())()(() =-) =d-+ 2222 & & ò

où E( X ) est l’espérance mathématique de X.

• L’écart-type d’une variable aléatoire continue X est défini par σ ( X ) = VX()

où V( X ) est la variance de X

Loi normale

Définition

Loi normale

La variable aléatoire continue X suit une loi normale de moyenne μ et d’écart-type σ où σ > 0 si elle a une densité de probabilité f définie par : fx e x ()=1 2 1 2 2

Notation

Si X suit une loi normale de moyenne μ et d’écart-type σ, on note X ��(μ; σ).

Remarques

• La loi normale est une loi de probabilité continue qui modélise des phénomènes aléatoires dont les valeurs se répartissent de manière symétrique autour d’une moyenne, comme la taille des individus d’une population, les scores aux tests de QI, la température corporelle, le poids des baguettes d’une boulangerie… La planche de Galton en est un exemple.

• La loi normale permet d’approcher une loi binomiale pour laquelle le nombre d’épreuves n est grand : ℬ(n; p) est approximée par �� npnpp ;() 1- .

Propriété

Représentation graphique et caractéristiques de la densité d’une loi normale

Soit X~��(μ; σ).

La représentation graphique de la densité est une courbe en forme de cloche, appelée courbe de Gauss, dont les caractéristiques sont les suivantes :

• Elle est symétrique par rapport à la droite d’équation x = μ.

• Elle admet un maximum en x = μ.

• Elle admet l’axe Ox comme asymptote horizontale.

• L’aire comprise entre l’axe Ox et la courbe est toujours égale à 1.

• P(μ – σ≤ X ≤μ + σ) ≈ 68,27 %.

Vidéos

• P(μ − 2σ≤ X ≤μ + 2σ) ≈ 95,45 %. 1 ≈95,45% 0 1 x y –2 σµ + σµ 2

• P(μ − 3σ≤ X ≤μ + 3σ) ≈ 99,73 %.

Remarques

• Comme X est une variable aléatoire normale, X est une variable aléatoire avec densité. Donc, par définition, la probabilité que X prenne une valeur comprise entre a et b où a ≤ b est donnée par : P(a ≤ X ≤ b) = a b fx x ò () d où f est la fonction de densité associée à la loi normale.

P(a ≤ X ≤ b)

• Si X~��(μ; σ), alors P( X = a) = 0 pour tout réel a car X est une variable aléatoire continue.

• Il n’est pas possible de calculer l’intégrale a b fx x ò () d (théorème de Liouville).

C’est pourquoi on utilise des tables qui donnent directement les valeurs des aires comprises entre la courbe et l’axe Ox.

Mais comme il existe une infinité de lois normales (une pour chaque valeur de μ et de σ), il faudrait une infinité de tables !

Pour simplifier, on utilise donc une seule table, celle de la loi normale centrée réduite, qui correspond à la loi normale avec μ = 0 et σ = 1.

Outil

Table de la loi normale centrée réduite

Si Z ��(0; 1), les valeurs de P(Z ≤ z) pour tout réel z positif sont données dans la table suivante :

P(Z ≤ z) x y

0,2 0,50 z

LOIS DE PROBABILITÉS

z 0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09

0,0 0,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,5359

0,1 0,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,5753

0,2 0,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,6141

0,3 0,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,6517

0,4 0,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,6879

0,5 0,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,7224

0,6 0,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,7549

0,7 0,75800,76110,76420,76730,77040,77340,77640,77940,78230,7852

0,8 0,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,8133

0,9 0,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,8389

1,0 0,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,8621

1,1 0,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,8830

1,2 0,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,9015

1,3 0,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,9177

1,4 0,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,9319

1,5 0,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,9441

1,6 0,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,9545

1,7 0,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,9633

1,8 0,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,9706

1,9 0,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,9767

2,0 0,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,9817

2,1 0,98210,98260,98300,98340,98380,98420,98460,98500,98540,9857

2,2 0,98610,98640,98680,98710,98750,98780,98810,98840,98870,9890

2,3 0,98930,98960,98980,99010,99040,99060,99090,99110,99130,9916

2,4 0,99180,99200,99220,99250,99270,99290,99310,99320,99340,9936

2,5 0,99380,99400,99410,99430,99450,99460,99480,99490,99510,9952

2,6 0,99530,99550,99560,99570,99590,99600,99610,99620,99630,9964

2,7 0,99650,99660,99670,99680,99690,99700,99710,99720,99730,9974

2,8 0,99740,99750,99760,99770,99770,99780,99790,99790,99800,9981

2,9 0,99810,99820,99820,99830,99840,99840,99850,99850,99860,9986

3,0 0,99870,99870,99870,99880,99880,99890,99890,99890,99900,9990

3,1 0,99900,99910,99910,99910,99920,99920,99920,99920,99930,9993

3,2 0,99930,99930,99940,99940,99940,99940,99940,99950,99950,9995

3,3 0,99950,99950,99950,99960,99960,99960,99960,99960,99960,9997

3,4 0,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,9998

3,5 0,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,9998

3,6 0,99980,99980,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999

3,7 0,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999

3,8 0,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999 3,9 1111111111

4,0 1111111111

Exemples

Soit Z~��(0; 1).

• P(Z ≤ 2,71) = 0,9966

Cette valeur se lit dans la table de la loi normale centrée réduite en repérant la valeur située à l’intersection de la ligne 2,7 et de la colonne 0,01.

• P(Z ≤ 1,08) = 0,8599

Cette valeur se lit dans la table de la loi normale centrée réduite en repérant la valeur située à l’intersection de la ligne 1,0 et de la colonne 0,08.

Propriétés

Propriétés liées à la symétrie et à la complémentarité pour une loi normale centrée réduite

Soient Z ��(0; 1) et a et b deux réels tels que a ≤ b.

• P(Z ≤ –a) = P(Z ≥ a) par symétrie de la fonction de densité

• P(Z ≥ a) = 1 – P(Z < a) car P(A) = 1 – P A pour tout événement A

P(Z ≥ a) P(Z < a)

• P(a ≤ Z ≤ b) = P(Z ≤ b) – P(Z < a)

Exemples

Soit Z ��(0; 1).

• P(Z ≤ −0,73) = P(Z ≥ 0,73) = 1 – P(Z < 0,73) = 1 − 0,7673 = 0,2327 = 23,27 %

LOIS DE PROBABILITÉS

• P(0,22 ≤ Z ≤ 1,46) = P(Z ≤ 1,46) – P(Z < 0,22) = 0,9279 − 0,5871 = 0,3408 = 34,08 %

≤ Z ≤ 1,46)

Propriété

Équivalence d’une loi normale et de la loi normale centrée réduite

Soient μ∈ ° et σ∈ 0 + . X ��(μ; σ) ⇔ X~��(0; 1)

Remarque

En application, tout calcul pour une variable aléatoire X~��(μ; σ) peut se ramener à un calcul de probabilité pour une variable aléatoire Z~��(0; 1) où Z X = -

Méthodo

Calcul de probabilité d’une variable suivant une loi normale

Soient X~��(μ; σ) et a un réel supérieur à μ

Pour calculer la probabilité P( X ≤ a), il faut :

1. transformer la variable X en une variable Z qui suit la loi normale centrée réduite grâce à la formule Z X =et exprimer la probabilité à calculer selon la variable Z : PZ a ;

2. lire la valeur de PZ adans la table de la loi normale centrée réduite.

Remarque

Soient a , b < μ et c, d ∈ ° tels que c ≤ d

Pour calculer d’autres probabilités du type P( X ≥ a ), P( X ≤ b ), P( X ≥ b) ou P(c ≤ X ≤ d ), il est nécessaire d’utiliser les propriétés de la loi normale centrée réduite telles que la symétrie et la complémentarité afin de pouvoir lire les valeurs dans la table.

Exemple

Soient X~��(10,36; 3) et Z~��(0; 1).

• P( X ≥ 12,1) = PZ 1211036 3 ,, = P(Z ≥ 0,58) = 1 – P(Z < 0,58) = 1 − 0,7190 = 0,281 = 28,1 %

x y P(Z ≥ 0,58) P(Z < 0,58)

• P( X ≥ 7) = PZ 71036 3 -, = P(Z ≥ −1,12) = P(Z ≤ 1,12) = 0,8686 = 86,86 %

x y

Méthodo

Calcul avec l’outil informatique Excel de P( X ≤ a) si X suit une loi normale

Soit X ��(μ; σ).

Pour calculer P( X ≤ a) où a ∈ °, il faut entrer dans une cellule du tableur Excel la formule : =LOI.NORMALE(a;μ;σ;VRAI)

EXERCICES

1. Soit Z une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite. Sa fonction de densité est représentée sur chaque graphique. Pour les 7 premiers graphiques, exprime chaque aire colorée à l’aide d’une probabilité, puis calcule sa valeur. Pour le 8e graphique, détermine la valeur de a sachant que l’aire de la surface colorée est donnée.

x y 1

−2,16 0 x 3 y

x y 2

0,51,78 x 4 y

0 x y 5

x 7 y

2,03 x y 6

a x y 8 = 0,9599

2. La loi de probabilité qui régit la vitesse d’un service smashé au volley-ball, exprimée en km/h, dans les équipes professionnelles masculines peut être approximée par la loi normale de moyenne

μ = 87,92 et d’écart-type σ = 11,893.

(a) Estime la probabilité qu’un volleyeur professionnel fasse un service smashé ne dépassant pas 94 km/h.

(b) Estime la probabilité qu’un volleyeur professionnel fasse un service smashé d’une vitesse d’au moins 105 km/h.

(c) Estime la proportion de services smashés ayant une vitesse comprise entre 80 km/h et 100 km/h dans les équipes professionnelles masculines.

(d) Lors de son dernier match, un des joueurs d’une équipe professionnelle effectue tous ses services smashés à une vitesse supérieure à celle de 75 % des autres joueurs. Quelle était la vitesse minimale de ses services smashés lors de ce match ?

(e) Un coach estime que la vitesse moyenne des services smashés effectués par ses joueurs de Nationale 2 Hommes doit être au moins égale à la vitesse atteinte par 40 % des services smashés réalisés par des joueurs professionnels. Quelle doit être la vitesse moyenne minimale des services smashés de ses joueurs ?

3. Le temps de réaction moyen d’un conducteur sur de courts trajets est de 0,96 seconde, avec un écart-type de 0,21 seconde. On admet que la variable X qui donne le temps de réaction d’un conducteur suit une loi normale4.

(a) Quelle est la probabilité qu’un conducteur ait un temps de réaction inférieur à 0,85 seconde sur un court trajet ?

(b) Détermine la probabilité qu’un conducteur ait, sur un court trajet, un temps de réaction inférieur au temps de réaction moyen d’un conducteur après 2 heures de conduite, qui est de 1,5 seconde.

(c) En voiture, les distances de sécurité recommandées correspondent à un temps de réaction de 2 secondes. Pour quelle proportion de conducteurs ces distances ne sont-elles pas suffisantes ?

(d) Sur un court trajet, est-il plus probable qu’un conducteur ait un temps de réaction inférieur à 0,9 seconde ou un temps de réaction supérieur à 1 seconde ?

(e) 99,6 % des conducteurs, sur un court trajet, ont un temps de réaction supérieur à celui des pilotes de Formule 1. Déduis-en le temps de réaction maximal d’un pilote de F1.

3 Source : https://thesportjournal.org/article/normative-profiles-for-serve-speed-for-the-training-of-the-serve-and-receptionin-volleyball/

4 Source : https://scispace.com/pdf/driver-reaction-time-in-crash-avoidance-research-validation-4vlaq4gqu4.pdf

4. Le National Health and Nutrition Examination Survey collecte des mesures biomédicales sur la santé et la nutrition des adultes et des enfants aux États-Unis. Le taux d’HbA1c est un indicateur de la glycémie moyenne des trois derniers mois. Chez les adultes non diabétiques, la distribution des valeurs d’HbA1c suit approximativement une loi normale, autour de 5,2 %, avec un écart-type de 0,13 % 5. Ces mesures sont issues d’un échantillon représentatif de la population américaine.

(a) Estime la probabilité qu’un adulte non diabétique ait un taux d’HbA1c inférieur à 4,9 %.

(b) Estime la probabilité que le taux d’HbA1c d’une personne non diabétique soit compris entre 5,15 % et 5,18 %.

(c) Ilias s’inquiète, car son médecin lui a signalé qu’il n’y a que 6,2 % de la population qui a un taux d’HbA1c supérieur au sien, bien qu’il ne soit pas diabétique. Quel est son taux ?

5. Soient X et Y les variables aléatoires qui donnent respectivement la taille des femmes et celle des hommes de plus de 20 ans, exprimées en cm. X et Y suivent des lois normales6

Les fonctions de densité de X et de Y sont représentées ci-dessous, respectivement en rose et en bleu, ainsi que leur axe de symétrie.

0,05

0,01

≈68,27%desfemmes ontunetaillecomprise entre157,6cm et171,8cm≈68,27%deshommes ontunetaillecomprise entre170,8cmet186cm y x

157,6164,7170,8171,8178,4186

(a) Donne les paramètres des lois normales que suivent X et Y

(b) Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifie.

I. Plus de 50 % des femmes mesurent 163 cm.

II. Au moins 25 % des hommes mesurent entre 178,4 cm et 186 cm.

III. Il y a plus d’hommes qui mesurent moins de 162 cm que de femmes qui mesurent plus de 179 cm.

(d) Quelle est la probabilité qu’un homme mesure entre 160 cm et 182 cm ?

(e) Détermine la taille à partir de laquelle les hommes font partie des 20 % les plus grands de la population masculine.

(f) Quelles sont les tailles entre lesquelles se situent les 70 % centraux de la population féminine ?

5 Source : https://www.pacehospital.com/hba1c-test

6 Source : https://ourworldindata.org/human-height

4. Loi uniforme

DÉCOUVERTE

Activité 1 Loi uniforme discrète sur {1; 2; 3; …; n} où n ∈ •0

Une grand-mère propose un petit jeu à ses petits-enfants : « Lancez un dé à 6 faces. Le nombre indiqué sur le dé correspondra au nombre de bonbons que vous pourrez prendre dans le bocal ! »

On note X la variable aléatoire qui représente le nombre de bonbons obtenus.

1. Donne la loi de probabilité de la variable aléatoire X

2. Que constates-tu sur les valeurs des probabilités qui apparaissent dans cette loi ?

Lorsque chaque valeur possible d’une variable aléatoire discrète finie a la même probabilité de se produire, on dit que la variable aléatoire suit une loi uniforme discrète. Ici, X suit une loi unifome discrète sur {1; 2; 3; …; n} où n est le nombre de valeurs possibles.

3. Calcule l’espérance mathématique de X et montre que EX n ()= +1 2 où n = 6.

4. Calcule la variance de X et montre que VX n ()=21 12 où n = 6.

Lorsque la variable aléatoire X suit une loi uniforme discrète sur {1; 2; 3; …; n} où n est le nombre de valeurs possibles, on a que EX n () = +1 2 et VX n () = 2 1 12 -

Activité 2 Loi uniforme continue

L’intervalle [0; 2] est représenté sur le segment de droite gradué ci-dessous.

1. On choisit un nombre réel au hasard dans cet intervalle. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre choisi.

(a) Colorie en vert la portion correspondant aux nombres inférieurs à 0,2 dans cet intervalle et déduis-en la probabilité P(0 ≤ X ≤ 0,2).

(b) En procédant de la même façon, donne les probabilités P(0,7 ≤ X ≤ 1,5) et P(1,9 ≤ X ≤ 2).

(d) Que vaut la probabilité P( X = 1,2) ? Justifie le résultat obtenu à l’aide du point (c).

πG

Une variable aléatoire X suit une loi uniforme continue sur [a; b] où a < b si elle peut prendre n’importe quelle valeur réelle de cet intervalle avec la même probabilité. On a que P(c ≤ X ≤ d ) = dc ba si c, d  [a; b] avec c ≤ d.

2. On a augmenté le nombre de tirages de nombres réels choisis au hasard dans l’intervalle [0; 2]. Les résultats sont affichés dans les graphiques ci-dessous.

Déduis-en l’expression analytique de la fonction de densité de cette loi de probabilité.

THÉORIE

Loi uniforme discrète

Définition

Loi uniforme discrète

Une variable aléatoire suit une loi uniforme discrète lorsqu’elle peut prendre un nombre fini de valeurs et que chacune de ces valeurs a la même probabilité.

LOIS DE PROBABILITÉS

Exemple

Lorsqu’on lance un dé équilibré à 6 faces et qu’on observe le nombre noté sur la face supérieure, chaque valeur de 1 à 6 a une probabilité de 1 6 .

La variable aléatoire X qui donne le résultat du lancer du dé suit une loi uniforme discrète.

Propriété

Distribution et espérance d’une variable aléatoire X qui suit une loi uniforme discrète

Si une variable aléatoire X suit une loi uniforme discrète où X(Ω) = x1; x2; x3; …; x n et n ∈ •0, alors

• PX x i = = 1 n pour tout i ∈ {1; 2; 3; …; n} ;

• EX n x i n i ()= = 1 1 ;

• V( X ) = E X 2 – (E( X ))2 === 11 1 2 1 2 n x n x i n i i n i ;

• σ( X ) = VX() .

Notation

Si X suit une loi uniforme discrète sur x1; x2; x3; …; x n , on note X �� x1;x2;x3;…;x n .

Cas particuliers

Espérance, variance et écart-type d’une variable aléatoire X qui suit une loi uniforme discrète sur {1; 2; 3; …; n} où n ∈ •0

Si une variable aléatoire X suit une loi uniforme discrète sur l’ensemble {1; 2; 3; …; n} où n ∈ •0, alors :

• EX n ()= +1 2 ;

• VX n ()=21 12 ;

• σ ()() XV X n ==21 12 .

Exemple

On choisit un jour de la semaine aléatoirement en associant 1 pour lundi, 2 pour mardi…, et 7 pour dimanche.

La variable aléatoire X qui donne le numéro du jour choisi suit une loi uniforme discrète sur les valeurs {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.

• Sa loi de probabilité est donnée par :

• EX()= + == 71 2 8 2 4

• VX()=== 71 12 48 12 4 2

• σ ()() XV X ===42

Loi uniforme continue

Définition

Loi uniforme continue

Soient a et b deux réels tels que a < b

Une variable aléatoire X suit une loi uniforme continue sur l’intervalle [a; b] si elle a une densité de probabilité f définie par :

Remarque

En français, cette définition dit qu’une variable aléatoire suit une loi uniforme continue lorsqu’elle peut prendre n’importe quelle valeur réelle dans un intervalle [a; b], avec la même probabilité pour chaque sous-intervalle de même longueur.

Notation

Si X suit une loi uniforme continue sur l’intervalle [a; b], on note X~��[a;b]

Exemple

On considère une ampoule neuve dont la durée de vie est supposée uniformément répartie entre 0 et 1 000 heures d’usage.

On note X le temps de fonctionnement (en heures) avant que l’ampoule grille. Alors, X suit une loi uniforme continue sur l’intervalle [0; 1 000], notée X~��[0;1000]

Propriété

Calcul de probabilité d’une variable suivant une loi uniforme continue

Soient X~��[a;b] où a < b et c et d des réels de l’intervalle [a; b] tels que c ≤ d

La probabilité que X prenne une valeur comprise entre c et d est donnée par :

P(c ≤ X ≤ d) = dc ba-

Démonstration

Soient X~��[a;b] et c et d des réels de l’intervalle [a; b] tels que c ≤ d

P(c ≤ X ≤ d) = c d ba x ò 1d =1d 1 ba x c d ò =1 ba x c d =1 ba dc () =dc ba

Exemple

Si X~��[0;1000] où X est le temps de fonctionnement (en heures) avant que l’ampoule grille, alors la probabilité que l’ampoule ait une durée de vie entre 50 et 100 heures d’usage vaut :

P(50 ≤ X ≤ 100) = 10050 10000 50 1000 5 100== .

Remarque

Si X~��[a;b], alors P( X = k ) = 0 pour tout réel k, car X est une variable aléatoire continue avec densité.

Propriété car 1 baest une constante

Espérance, variance et écart-type d’une variable aléatoire X qui suit une loi uniforme continue

Si X U[a;b], alors :

• EX ab ()= + 2

• VX ba ()() =2 12

• σ ()()() XV x ba ba ===2 1223

Exemple

Si X~��[0;1000] où X est le temps de fonctionnement (en heures) avant que l’ampoule grille, alors :

• EX()= + = 01000 2 500 ;

• VX()() == 10000 12 250000 3 2 ;

• (), X == 10000 23 5003 3 28868

EXERCICES

1. Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme telle que X(Ω) = {–4; –2; 1; 2; 3}.

(a) Calcule P( X ≤ 1).

(b) Détermine l’espérance mathématique et l’écart-type de X.

2. Claudio joue à « The Mind » avec sa fille et son beau-fils. Le jeu est constitué de 100 cartes numérotées de 1 à 100. Lors de la première manche, chaque participant reçoit une carte distribuée au hasard. L’objectif est de former une suite croissante avec les cartes sans que les joueurs communiquent entre eux.

Sa fille a déjà joué sa carte, qui était le 9, et personne n’a signalé d’erreur. Quelques secondes plus tard, son beau-fils décide de jouer sa carte, le 32. Quelle est la probabilité qu’ils gagnent la manche ?

3. Sur un parking d’aéroport, une navette passe toutes les 15 minutes pour amener les voyageurs à l’entrée du terminal. Lina et Pablo viennent de se garer sur le parking et attendent la navette, sans connaître les horaires de celle-ci.

On suppose que leur temps d’attente X, exprimé en minutes, suit une loi uniforme sur l’intervalle [0; 15].

(a) Calcule la probabilité que Lina et Pablo attendent la navette :

I. moins de 5 minutes ;

II. plus de 12 minutes ;

III. entre 3 et 7 minutes.

(b) Calcule et interprète l’espérance mathématique dans ce contexte.

4. L’heure d’arrivée de Victoria chez elle après une journée de travail se situe entre 17 h 15 et 17 h 42, de façon uniforme.

(a) À quelle heure arrive-t-elle chez elle en moyenne ?

(b) Sachant que sa série télévisée préférée commence à 17 h 30, quelle est la probabilité qu’elle arrive à temps et puisse la regarder dès le début ?

(c) Son compagnon revient de sa promenade avec leur chien à 17 h 23 et part travailler à 17 h 35. Quelle est la probabilité qu’ils se croisent ?

Synthèse

Variable aléatoire

• X est une variable aléatoire si X est une fonction qui, à chaque résultat possible d’une expérience aléatoire, associe un nombre réel.

• Variable aléatoire discrète

• Une variable aléatoire est discrète si l’ensemble de ses valeurs possibles est fini ou dénombrable.

• La loi de probabilité (ou distribution de probabilité) d’une variable aléatoire discrète X est la fonction qui, à chaque valeur de X, associe sa probabilité.

Dans le cas fini, on la représente à l’aide d’un tableau ou d’un diagramme en bâtons.

• La fonction de répartition d’une variable aléatoire X, notée F, est la fonction telle que, pour tout réel x, F ( x ) = P( X ≤ x ).

La représentation graphique de la fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète finie est une fonction en escalier.

• L’espérance mathématique d’une variable aléatoire discrète finie X est définie par PX x i = EX x i n i ()= =1

où X(Ω) = x1; x2; …; x n .

• La variance d’une variable aléatoire discrète X est définie par V( X ) = E X 2 – (E( X ))2

où E( X ) est l’espérance mathématique de X.

• L’écart-type d’une variable aléatoire discrète X est défini par σ ( X ) = VX()

où V( X ) est la variance de X.

• Lien avec les notions de statistique descriptive :

Probabilités : étude d’une variable aléatoire discrète finie

Diagramme en bâtons pour représenter la loi de probabilité

Représentation graphique de la fonction de répartition

Calcul de l’espérance mathématique

Calcul de la variance et de l’écart-type théoriques

• Variable aléatoire continue

Statistique descriptive : étude d’un caractère quantitatif discret

Diagramme en bâtons pour représenter les fréquences des modalités

Diagramme cumulatif des fréquences cumulées

Calcul de la moyenne arithmétique

Calcul de la variance et de l’écart-type empiriques

• Une variable aléatoire est continue si l’ensemble de ses valeurs possibles est un intervalle (ou une union d’intervalles) de ° de longueur non nulle, c’est-à-dire un ensemble non dénombrable.

• X est une variable aléatoire continue avec densité s’il existe une fonction f, appelée densité (de probabilité) de X, qui satisfait les propriétés suivantes :

• la densité est une fonction positive : f ( x ) ≥ 0 pour tout réel x ;

• l’aire comprise entre la courbe représentative de f et l’axe Ox vaut 1 :+ d= & & ò fx x ()1 ;

• la probabilité que X prenne une valeur dans un intervalle [a; b] où a et b sont des réels tels que a ≤ b est donnée par l’intégrale de la densité sur l’intervalle considéré : P(a ≤ X ≤ b) = a b fx x ò () d

• σ ( X ) = VX np p ()() =⋅⋅ 1 COPYRIGHTVANIN

• Si la variable aléatoire X est continue avec densité, alors P( X = a) = 0 pour tout réel a

• La fonction de répartition d’une variable aléatoire X de densité f, notée F, est la fonction telle que, pour tout réel x, F ( x ) = P( X ≤ x ) = d & x ft t ò () .

• L’espérance mathématique d’une variable aléatoire continue X de densité f est définie par EX xf xx()()=d+ & & ò si cette intégrale existe.

• La variance d’une variable aléatoire continue X de densité f est définie par VX EXEX xf xx EX ()(())()(()) =-=d-+ 222 2 & & ∫

où E( X ) est l’espérance mathématique de X.

• L’écart-type d’une variable aléatoire continue X est définie par σ ( X ) = VX()

où V( X ) est la variance de X.

Loi binomiale

• Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n’a que deux issues possibles.

• Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p est l’expérience aléatoire qui consiste à répéter un nombre fini n de fois des épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes les unes des autres dont la probabilité de succès est p

• La loi binomiale de paramètres n et p, notée ℬ(n; p), est la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui donne le nombre k de succès d’un schéma de Bernoulli de paramètres n et p

• Notation : X~ℬ(n; p)

• La probabilité que X prenne la valeur k est égale à : PX kC pp n k kn k ()() ==-⋅⋅ 1 pour tout naturel k ∈ {0; 1; 2; …; n}.

• E( X ) = n p

• V( X ) = n p (1 – p)

Loi normale

• La variable aléatoire continue X suit une loi normale de moyenne μ et d’écart-type σ où σ > 0 si elle a une densité de probabilité f définie par :

• Notation : X ��(μ; σ)

• La représentation graphique de la densité est une courbe en forme de cloche, appelée courbe de Gauss, dont les caractéristiques sont les suivantes :

• Elle est symétrique par rapport à la droite d’équation x = μ.

• Elle admet un maximum en x = μ

• Elle admet l’axe Ox comme asymptote horizontale.

• L’aire comprise entre l’axe Ox et la courbe est toujours égale à 1.

• Soient a et b des réels tels que a < b. La probabilité que X prenne une valeur comprise entre a et b est donnée par :

P(a ≤ X ≤ b) = a b fx x ò () d

où f est la fonction de densité associée à la loi normale.

• Loi normale centrée réduite (Z~��(0; 1))

• Il s’agit de la loi normale de moyenne μ = 0 et d’écart-type σ = 1.

• Tout calcul de probabilité peut être ramené à cette loi par un changement de variable :

Z X = -

• Les probabilités sont calculées à l’aide de la table de la loi normale centrée réduite et des propriétés suivantes :

• Complémentaire : P(Z ≥ a) = 1 – P(Z < a)

• Symétrie : P(Z ≤ –a) = P(Z ≥ a)

LOIS DE PROBABILITÉS

Loi uniforme discrète

• Une variable aléatoire suit une loi uniforme discrète lorsqu’elle peut prendre un nombre fini de valeurs et que chacune de ces valeurs a la même probabilité.

• Notation : X xx {{ xxn ~ ;;;...; U 123

• Si une variable aléatoire X suit une loi uniforme discrète où X(Ω) = x1; x2; x3; …; x n où n ∈ •0, alors :

• n = 1 PX x i = pour tout i ∈ {1; 2; 3; …; n} ;

• EX n x i n i ()= = 1 1 ;

• V( X ) = E X 2 – (E( X ))2 = 11

• σ ()() XV X =

• Cas particuliers

Si X qui suit une loi uniforme discrète sur l’ensemble {1; 2; 3; …; n} où n ∈ •0, alors :

• EX n ()= +1 2 ;

• VX n ()=21 12 ;

• σ ()() XV x n ==21 12

Loi uniforme continue

• Soient a et b deux réels tels que a < b.

Une variable aléatoire X suit une loi uniforme continue sur l’intervalle [a; b] si elle a une densité de probabilité f définie par :

• Notation : X ��[a;b]

• Soient c et d des réels de l’intervalle [a; b] où a < b tels que c ≤ d

La probabilité que X prenne une valeur comprise entre c et d est donnée par : P( c ≤ X ≤ d ) = dc ba-

• EX ab ()= + 2

• VX ba ()() =2 12

• σ ()()() XV X ba ba ===2 1223

EXERCICES RÉCAPITULATIFS

1. Précise si les variables aléatoires données ci-dessous suivent une loi binomiale, une loi normale, une loi uniforme discrète, une loi uniforme continue ou une autre loi de probabilité. Justifie et donne, si possible, les éventuels paramètres.

(a) T donne la somme des nombres obtenus sur les faces supérieures lorsqu’on lance deux dés à 6 faces équilibrés.

(b) U donne le numéro d’un casier attribué au hasard parmi des casiers numérotés de 1 à 50.

(d) W donne le nombre d’as obtenus lors de 4 tirages successifs avec remise dans un jeu de 52 cartes.

(e) X donne le moment, supposé uniforme, où une chauve-souris sort de sa grotte entre 18 h et 20 h.

(f) Y donne le nombre de doubles fautes commises lors de 30 services effectués par un joueur de tennis pendant un match, en supposant que la probabilité de faire une double faute reste constante à chaque service et que les services sont indépendants les uns des autres.

(g) Z donne le poids (en mg) d’un papillon blanc prélevé au hasard dans une population sauvage.

2. Dans un jeu de cartes éducatif de 20 cartes, chaque carte est numérotée de 1 à 5 dans chacune des quatre couleurs suivantes : bleu, rouge, jaune et vert. Un enfant tire une carte au hasard après avoir bien mélangé le paquet.

Soit X la variable aléatoire qui représente le numéro de la carte tirée.

(a) Donne la loi de probabilité de X.

(b) S’agit-il d’une loi particulière étudiée dans le chapitre ? Si oui, justifie.

(d) Calcule P(0,5 ≤ X ≤ 3,5).

(e) Calcule l’espérance de cette variable aléatoire et interprète-la dans ce contexte.

(f) Calcule l’écart-type de cette variable aléatoire et donnes-en une interprétation dans ce contexte.

3. On joue à pile ou face trois fois de suite avec une pièce équilibrée. On gagne 3 points lorsque le résultat est pile, et on perd 2 points lorsque le résultat est face.

Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre de points après ces trois lancers.

(a) Donne l’ensemble X(Ω).

(b) Donne la loi de probabilité de X

(d) Calcule P( 3 ≤ X ≤ 7).

(e) Quel est le gain moyen par partie ?

(f) Calcule l’écart-type de X et interprète-le dans ce contexte.

4. Un stand sur une fête foraine propose le jeu suivant : on lance deux dés simultanément et on observe les nombres affichés sur les faces supérieures.

• Si la somme des nombres vaut 12, on gagne 50 €.

• Si la somme des nombres vaut 7, on gagne 7 €.

• Si les deux nombres affichés sont impairs, on gagne 2 €.

• Sinon, on ne gagne rien.

Soit X la variable aléatoire qui donne le gain d’un joueur après une partie.

(a) Donne la loi de probabilité de X.

(b) Calcule E( X ) et interprète-la dans ce contexte.

5. Choisissons un nombre au hasard compris entre −3 et 6. Quelle est la probabilité qu’il soit solution de l’inéquation f ( x ) ≤ 1 sachant que f est la fonction du deuxième degré représentée ci-contre ?

6. En 2016, le Royaume-Uni a organisé un référendum. 51,9 % de la population a voté pour la sortie du Royaume-Uni de l’Union européenne, appelée le Brexit7 !

Juste après le vote, des journalistes interrogent 12 Britanniques, dispersés dans tout le pays, qui ont voté lors du référendum.

(a) Justifie que la variable aléatoire X qui donne le nombre de personnes pour le Brexit parmi les 12 Britanniques interrogés suit une loi binomiale, dont tu donneras les paramètres.

(b) Calcule P( X = 7) et interprète ce résultat dans ce contexte.

(d) Quelle est la probabilité qu’au plus 2 des 12 Britanniques interrogés aient voté contre le Brexit ?

(e) Peut-on reprendre les données de l’énoncé si un journal interroge aujourd’hui 50 Britanniques en âge de voter, dispersés dans tout le Royaume-Uni, et qu’on s’intéresse au nombre de personnes qui voteraient pour le Brexit ? Justifie.

7. Les chats à pieds noirs sont les plus petits félins du continent africain. Ces chats sont des chasseurs hors pair, avec un taux de réussite d’environ 60 %.

Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de proies attrapées par un chat à pieds noirs lors d’une nuit de chasse.

(a) Explique pourquoi on peut approcher la loi de probabilité de X par une loi binomiale.

(b) Si un chat à pieds noirs a chassé 28 proies la nuit dernière, I. estime la probabilité qu’il ait attrapé entre 15 et 16 proies ; II. estime la probabilité qu’il ait attrapé au moins 3 proies ; III. calcule E( X ) et interprète-la dans ce contexte.

7 Source : https://www.lemonde.fr/referendum-sur-le-brexit/article/2016/06/24/brexit-les-premieres-tendances-penchenten-faveur-du-in_4956967_4872498.html

8. La température corporelle normale d’un adulte vaut en moyenne 36,59 °C, avec un écart-type de 0,43 °C8. On admet que la variable aléatoire X qui donne la température corporelle normale d’un adulte suit une loi normale.

Réponds aux questions suivantes et interprète graphiquement les probabilités calculées.

(a) Quelle est la probabilité que la température corporelle normale d’un adulte soit comprise entre 37,5 et 38 °C ?

(b) Quelle est la probabilité que la température corporelle normale d’un adulte soit supérieure à 36 °C ?

(d) Quelle est la proportion d’adultes dont la température corporelle normale est supérieure à 37 °C ?

(e) Est-il plus probable qu’un adulte ait une température corporelle normale supérieure à 36,5 °C ou inférieure à 36,7 °C ? Justifie.

(f) Quelle est la température corporelle normale minimale de 92,5 % des adultes ? Justifie par calculs.

DÉFI

9. Approchons le temps d’écran quotidien des Belges de plus de 15 ans pendant leur temps libre par une loi normale. Pendant son temps libre, il ressort d’une étude publiée en 2025 qu’un Belge de plus de 15 ans passe en moyenne 339 minutes sur les écrans, soit 5 heures et 39 minutes, avec un écart-type de 146,8 minutes9.

(a) Quelle est la probabilité qu’un Belge de plus de 15 ans passe moins de 500 minutes devant un écran pendant son temps libre ?

(b) Quelle est la probabilité qu’un Belge de plus de 15 ans passe plus de 6 heures 30 devant un écran pendant son temps libre ?

(c) Quelle est la probabilité qu’un Belge de plus de 15 ans passe entre 300 et 480 minutes devant un écran pendant son temps libre ?

(d) Quel est le seuil de temps d’écran quotidien au-delà duquel un Belge de plus de 15 ans se classe parmi les 10 % les plus consommateurs ?

(e) Un jeune Belge en rhéto affirme passer en moyenne 10 heures par jour devant un écran pendant son temps libre. Peut-on considérer ce comportement comme exceptionnel ?

(f) Te rappelles-tu au début de ce chapitre ?

Combien de temps estimes-tu passer devant un écran chaque jour durant ton temps libre ?

Quelle est la proportion de Belges âgés de plus de 15 ans qui passent moins de temps que toi devant un écran ?

Tu es maintenant capable de le déterminer !

Connecte-toi sur et entraîne-toi avec des exercices complémentaires.

8 Source : https://academic.oup.com/ofid/article/6/4/ofz032/5435701

9 Source : https://www.rtbf.be/article/et-chez-vous-comment-se-porte-votre-temps-d-ecran-ou-en-etes-vous-par-rapport-a-lamoyenne-belge-11574362

LIEUX GÉOMÉTRIQUES

Objectifs

Connaître

• Identifier une conique d’après son équation.

• Identifier les éléments caractéristiques d’une conique.

• Illustrer et décrire les propriétés optiques des coniques.

Appliquer

• Déterminer l’équation d’une conique.

• Déterminer les éléments caractéristiques d’une conique.

• Rechercher l’équation de la tangente à une conique.

• Tracer une conique (aux instruments et à l’aide d’un logiciel).

Transférer

• Déterminer l’équation d’un lieu, l’interpréter et le représenter.

• Résoudre un problème lié aux coniques.

Introduction historique

L’étude des coniques remonte à l’Antiquité grecque. Les mathématiciens s’intéressent alors aux courbes obtenues en coupant un cône par un plan. Dès le IVe siècle avant notre ère, Ménechme découvre que ces courbes permettent de résoudre certains problèmes géométriques, comme la duplication du cube.

Au IIIe siècle avant J.-C., Apollonius de Perge rédige un traité monumental intitulé Coniques.

Dans cet ouvrage, il étudie en détail les propriétés de l’ellipse, de la parabole et de l’hyperbole, à qui il donne leur nom, et développe de nombreuses propriétés géométriques encore utilisées aujourd’hui.

Pendant longtemps, les coniques restent essentiellement un objet de géométrie pure. Au XVIIe siècle, avec le développement de la géométrie analytique par Descartes et Fermat, elles commencent à être décrites à l’aide d’équations. Cette nouvelle approche permet de relier l’algèbre et la géométrie et facilite grandement leur étude.

À la même époque, Kepler découvre que les planètes décrivent des ellipses autour du Soleil. Plus tard, Newton montre que ces trajectoires résultent des lois de la gravitation. Les coniques

deviennent alors un outil essentiel pour comprendre les mouvements dans l’Univers.

Aujourd’hui, les coniques interviennent dans de nombreux domaines scientifiques et techniques :

• en physique : pour décrire les trajectoires des planètes, des satellites ou des projectiles ;

• en optique : les miroirs paraboliques permettent de concentrer la lumière dans les télescopes ou les antennes paraboliques ;

• en astronomie et en spatial : les orbites des comètes et des sondes spatiales peuvent être elliptiques, paraboliques ou hyperboliques ;

• en architecture et en ingénierie : certaines structures utilisent les propriétés géométriques des coniques pour optimiser la résistance ou la réflexion des ondes ;

• en informatique et en design : les coniques sont utilisées pour modéliser des courbes et des surfaces dans les logiciels de dessin et de conception assistée par ordinateur ;

• au cinéma : des miroirs elliptiques sont utilisés dans les lanternes de projecteurs.

Au XIXe siècle, le président américain John Quincy Adams aurait utilisé une propriété acoustique étonnante dans une salle du Capitole des États-Unis dont la forme est elliptique.

Il se plaçait à un endroit précis de la salle pour entendre très distinctement quelqu’un placé à un autre endroit bien précis de la pièce, alors que cette personne lui parlait à voix très basse, presque en chuchotant.

Comment expliquer un tel phénomène ?

Tu seras capable d’y répondre à la fin de ce chapitre !

Dans ce chapitre, les objets considérés seront placés dans le plan, c’est-à-dire qu’ils appartiennent ou sont inclus dans °2

Si les coordonnées de points sont données sans spécifier le repère, nous supposerons que le repère considéré est orthonormé.

Prérequis

TEST DIAGNOSTIQUE

Géométrie analytique plane

Appliquer

1. Calcule la distance entre les points A(;) 41 - et B (;) -32 placés dans un repère orthonormé.

2. Donne une équation du cercle :

(a) 1 de centre (;) 56 et de rayon 3 ;

(b) 2 de centre (; et de diamètre 9.

3. Choisis la bonne réponse.

(a) Le lieu géométrique des points situés à une même distance d’un point fixe est :  un cercle.  une médiatrice.  une parabole.

(b) Le lieu géométrique des points situés à égale distance de deux points fixes est :  un cercle.  une médiatrice.  une parabole.

(c) Le lieu géométrique des points situés à égale distance d’un point fixe et d’une droite fixe est :  un cercle.  une médiatrice.  une parabole.

4. Détermine les éventuels points d’intersection des droites et cercles ci-dessous et précise leur position relative.

(a) dy x = =-+539 et = (+22 1)+(+2)=100 xy

(b) dx y = 5214 += et 22 +(-1)=4 xy =

Dérivée

Appliquer

5. Soit la fonction f définie par fx x ()=-42 . Détermine une équation cartésienne de la tangente au graphe de f au point d’abscisse 1.

THÉORIE

Géométrie analytique plane

Propriété

Distance entre deux points

Soient A() y AA ; x et y BB ; xB () deux points du plan.

La distance entre les points A et B est donnée par :

Définition

Lieu géométrique

Un lieu géométrique est un ensemble de points d’un espace géométrique qui jouissent d’une propriété commune.

Définition

Médiatrice

La médiatrice d’un segment est le lieu géométrique des points équidistants des deux extrémités du segment.

Définition

Cercle

Un cercle est le lieu géométrique des points situés à égale distance d’un point fixe.

Cette distance est appelée rayon du cercle et le point fixe est nommé centre du cercle.

Propriété

Équation cartésienne d’un cercle

Dans un repère orthonormé, considérons le cercle de centre C )( xyCC ; et de rayon r ≥ 0.

Une équation cartésienne de est :

cc x (())xy yr =

Méthodo

Déterminer l’intersection entre deux courbes

Trouver l’intersection entre deux courbes d’équations cartésiennes données revient à résoudre un système constitué de leur(s) équation(s).

Dérivée

Propriété

Tangente au graphe d’une fonction

Soient f une fonction et a un réel appartenant au domaine de f tel que f est dérivable en a Une équation cartésienne de la tangente au graphe de f au point d’abscisse a s’écrit : yf ax af a =-+()()()

1. Méthodes pour définir un lieu géométrique

DÉCOUVERTE

Activité 1 Lieu défini par la méthode de traduction d’une propriété métrique

Dans un repère orthonormé du plan, on considère le point P (;) 45 On cherche l’ensemble des points Mx y (;) tels que || PM =2.

1. Traduis cette propriété à l’aide de la formule de la distance entre deux points.

2. Donne une équation cartésienne du lieu géométrique recherché et précise sa nature ainsi que ses éléments caractéristiques.

Tu viens de découvrir qu’une propriété géométrique faisant intervenir une distance peut se traduire algébriquement dans un repère orthonormé.

En utilisant la formule de la distance entre deux points, tu as transformé une condition comme || PM =2 en une équation cartésienne.

Autrement dit, en traduisant une propriété métrique, on obtient une équation cartésienne qui permet d’identifier la nature du lieu géométrique (cercle, droite…).

Activité 2 Lieu défini par la méthode des génératrices

Soient un carré ABCD de côté 4, un point variable M situé sur le côté [] BC et un point N de [] AB tels que || || BM AN = .

Détermine le lieu géométrique des points P d’intersection de la droite AM avec la perpendiculaire à AB passant par N lorsque le point M parcourt le côté [] BC

πG

1. Place un repère orthonormé judicieux afin que le point A soit l’origine de ce repère.

(a) Nommons tBM = ||. Quelles sont les valeurs possibles pour ce paramètre t ?

(b) Donne les coordonnées des points AB M ,, et N dans ce repère.

2. Donne des équations cartésiennes de la droite AM et de la perpendiculaire à AB passant par N

3. Si Px y (;) est un point quelconque du lieu géométrique recherché,

(a) traduis la propriété définissant ce lieu à l’aide des équations des droites données au point 2 ;

(b) élimine le paramètre t afin d’obtenir une équation cartésienne du lieu géométrique recherché ;

(d) vérifie ta réponse en scannant le code QR ci-contre.

πG

Tu viens de découvrir qu’un lieu géométrique peut être défini à l’aide de génératrices, c’està-dire des courbes dont les équations cartésiennes s’expriment en fonction d’un paramètre.

En exprimant qu’un point quelconque du lieu est à l’intersection de ces génératrices et en éliminant le paramètre, tu obtiens alors une équation cartésienne qui décrit ce lieu.

THÉORIE

Définition

Lieu géométrique

Un lieu géométrique est un ensemble de points d’un espace géométrique qui jouissent d’une propriété commune.

Méthode de traduction d’un lieu défini à partir d’une propriété métrique

Pour identifier et déterminer une équation cartésienne d’un lieu défini à partir d’une propriété métrique (c’est-à-dire une propriété qui fait appel à la notion de distance), il faut :

1. traduire la propriété métrique à l’aide d’une formule de calcul d’une distance (entre deux points, entre un point et une droite…) en choisissant au préalable un repère orthonormé judicieux si nécessaire ;

2. réduire l’expression obtenue ;

3. identifier la nature géométrique du lieu.

Méthodo

GeoGebra

LIEUX GÉOMÉTRIQUES

Exemple

Considérons deux points A et B tels que|| AB =6

Recherchons le lieu géométrique des points équidistants de A et de B

Plaçons-nous dans un repère orthonormé tel que A(;) 00 et B (;) 60

Déterminons une équation cartésienne du lieu en développant la propriété métrique || || AP BP = où Px y (;) est un point quelconque du lieu.

On a que :

Une équation cartésienne du lieu recherché dans le repère choisi est x =3. Ce lieu est la médiatrice du segment [] AB .

Vocabulaire

Lorsqu’un lieu géométrique est défini comme l’ensemble des points d’intersection de deux familles de courbes dépendant d’un même paramètre, on appelle ces courbes des génératrices.

Méthodo

Méthode de recherche d’un lieu défini par des génératrices

Pour identifier et déterminer une équation cartésienne d’un lieu défini à partir de génératrices, il faut :

1. écrire des équations des génératrices dépendant du paramètre (droites, points…) en choisissant au préalable un repère orthonormé judicieux si nécessaire ;

2. traduire l’intersection de ces génératrices et éliminer le paramètre pour obtenir une relation ne dépendant que de x et/ou de y ;

3. identifier la nature géométrique du lieu.

Exemple

Considérons deux points A et B tels que || AB =6

Recherchons le lieu géométrique des points situés à l’intersection des cercles de même rayon variable de centre A et de centre B.

Plaçons-nous dans un repère orthonormé tel que A(;) 00 et B (;) 60 .

Nommons A le cercle de centre A et de rayon r , et B le cercle de centre B et de rayon r où r >0

Les génératrices sont donc 222 += A xy r = et (-222 6)+= B xy r = .

Éliminons le paramètre r . On a que :

(;) A Px y ∩ 222222 2222222 +=+=(1 (6)+=(2 -6+ ) ( )) += B xy rx yr xy rx yx y

(2) devient :

Une équation cartésienne du lieu recherché dans le repère choisi est x =3. Ce lieu est la médiatrice du segment [] AB .

Remarque

Quelle que soit la méthode choisie pour déterminer une équation cartésienne d’un lieu géométrique, le choix du repère orthonormé peut changer l’équation cartésienne de ce lieu, mais ne change pas sa nature.

EXERCICES

1. Considérons les points A et B tels que || AB =3

(a) Donne les coordonnées des points A et B dans un repère orthonormé bien choisi.

(b) Détermine le lieu des points M tels que || || BM AM =2 .

(c) Détermine le lieu des points P tels que la somme du carré de la distance de P à A et du carré de la distance de P à B est égale à 17.

2. Dans un repère orthonormé, on considère les points A(; et B (;) 52. Détermine le lieu des points Px y (;) tels que la différence entre le carré de la distance de P à A et le carré de la distance de P à B soit égale à 12.

3. On donne un carré ABCD de côté 2.

(a) Donne les coordonnées des points A, B , C et D dans un repère orthonormé bien choisi.

(b) Détermine le lieu des points P tels que || || || || AP CP BP DP +=+

4. Soient A(;) -10 et B (;) 01 deux points d’un repère orthonormé.

Considérons une droite de pente variable non nulle passant par A et sa perpendiculaire passant par B .

(a) Détermine une équation cartésienne du lieu géométrique des points situés à l’intersection de ces deux droites. Donne la nature de ce lieu.

(b) Vérifie ta solution en scannant le code QR ci-contre.

5. Octavia est perchée sur une échelle de 4 m appuyée sur un mur. Si les pieds d’Octavia se trouvent à mi-hauteur de l’échelle, quelle est la trajectoire décrite par ceuxci lorsque l’échelle glisse sur le sol ?

6. Soient d une droite et F un point n’appartenant pas à d .

Par un point S de d , on trace la droite p perpendiculaire à d

Détermine une équation cartésienne du lieu des points d’intersection de la droite p et de la médiatrice du segment [] FS lorsque S parcourt la droite d .

GeoGebra

2. Parabole

DÉCOUVERTE

Activité 1 Définition, construction et équation d’une première conique

Considérons le point F et la droite d représentés ci-dessous.

d 1. Donne la distance entre F et d .

2. Sur le schéma, construis le(s) point(s) situé(s) à k cm du point F et de la droite d si

(a) k =2 (b) k =3 (c) k =4 (d) k =6 (e) k =8

3. Pourquoi n’existe-t-il aucun point situé à k cm du point F et de la droite d si k <2 ?

4. Scanne le code QR ci-contre afin d’obtenir plus de points équidistants à F et à d . Quel lieu géométrique semble ainsi être formé ? Trace-le sur le schéma.

5. Traduis en langage mathématique le fait qu’un point P appartienne à ce lieu géométrique.

GeoGebra

6. Sur le schéma, place un repère afin que le sommet de la courbe soit le point (;) 00 et dont l’un des axes est parallèle à d .

(a) Donne les coordonnées de F et une équation cartésienne de d dans le repère choisi.

(b) Développe la propriété métrique donnée à la question 5 afin de rechercher l’équation de ce lieu géométrique.

πG

Tu viens de construire et de donner une équation de la parabole de foyer F et de directrice d .

THÉORIE

Définition

Parabole

Une parabole est le lieu géométrique des points équidistants d’une droite et d’un point n’appartenant pas à la droite.

Vocabulaire et notation

Soient F un point et d une droite tels que Fd ∉

• On parle de la parabole de foyer F et de directrice d s’il s’agit du lieu géométrique des points équidistants de F et de d

• On note p la distance entre le foyer et la directrice.

• On appelle axe de symétrie ou axe focal la droite passant par le foyer et perpendiculaire à la directrice.

Méthodo

Construction d’une parabole

Soient F le foyer et d la directrice d’une parabole tels que d(F; d) = p > 0.

Les points de la parabole situés à égale distance de F et d se trouvent à la fois sur le cercle de centre F et de rayon k et sur une parallèle à d située à la distance k de d où k ≥ p 2

Pour construire point par point la parabole, il faut :

1. choisir un réel k ≥ p 2 ;

2. tracer le cercle de centre F et de rayon k et la droite parallèle à d et située à la distance k de celle-ci du même côté que F ;

3. marquer le(s) point(s) d’intersection de la droite et du cercle ainsi construits ;

4. recommencer les étapes pour d’autres valeurs de k.

Propriété

Équation cartésienne d’une parabole

Dans un repère orthonormé, une équation cartésienne de la parabole de foyer F p 0;2 et de directrice dy p = =2 où p >0 est xpy 22=

Démonstration

Nommons P la parabole de foyer F p 0;2 et de directrice dy p = =2 où p >0. Px y (;) ∈ P ⇔ || FP dP d =(;)

Remarque

Dans l’équation yax=2 d’une parabole où a >0, on en déduit que a p = 1 2 où p est la distance entre le foyer et la directrice.

Propriété

Éléments caractéristiques d’une parabole

Soit pd Fd =(;) où F est le foyer de la parabole et d la directrice de la parabole.

• Paraboles de directrice horizontale et de sommet (;) 00

Équation

Foyer

Directrice

Sommet

• Paraboles de directrice verticale et de sommet (;) 00

Équation ypx 22= ypx 22 =-

Foyer F p 20; F p20;

Directrice dx p = =2

p = = 2

Sommet S (;) 00 S (;) 00

Axe de symétrie

Graphique

Remarque

Dans ce chapitre, on se limite à l’étude des paraboles dont l’axe de symétrie est parallèle à l’un des axes du repère orthonormé choisi.

Propriété

Effet d’une translation sur une parabole

• Soit une parabole P′ = xky 2= où ||kp =2 .

Si P est obtenue par la translation de P′ de vecteur r t x y t t = , alors P = x ()2()xk yy tt -=y x

xt yt x 2 = ky x F t ; p 2 + yt F ′ 0; p 2 d′≡ y =− p 2 + yt d ≡ y =− p 2 t x ()2()xkyy t t -=-

• Soit une parabole P′ = ykx 2= avec ||kp =2 .

Si P est obtenue par la translation de P′ de vecteur r t x y t t = , alors P = y ()2()yk xx tt -=y x 1 1 0 xt

F p 2 + xt ; + xt d ≡ x =− p 2 d ′≡ x =− p 2

; 0 p 2 t y ()2()ykxx t t -=-

y 2 = kx

Remarque

Lorsque l’équation d’une parabole est développée, il est conseillé de retrouver sa forme réduite du type y ()2()yk xx tt -=- ou x ()2()xk yy tt -=- où k ∈ °0 et xytt , ∈ ° afin d’en déduire ses éléments caractéristiques.

Exemple

Soit la parabole P = yy x 246100 += . Déterminons ses éléments caractéristiques. On a que : PP P P == = = yy xy yx yy x y 22 2 2 461004610 4610 26 44 +=-=-=-= ++ ⇔ ⇔ ⇔ () xx yx-=6 261 2 ⇔ P = ()()

P est obtenue par translation de vecteur r t 1 2 de la parabole P′ = yx 26= , qui est de la forme P′ = ypx 22= où p =3. Donc :

Caractéristiques

P′ = yx 26= P = ()() yx-=-261 2

Sommet ′ S (;) 00 S (;)(;) 0012 12 ++=

Foyer F p 2 03 2 ;;0 = F 3 2 05 2 12++2=;;

Équation de l’axe de symétrie y =0 y =+02 donc y =2

Équation de la directrice x p =2 donc x =3 2 x =-+ 3 2 1 donc x =1 2

EXERCICES

1. Construis aux instruments la parabole de foyer F et de directrice d .

2. Pour chaque parabole donnée,

• donne la distance p entre son foyer et sa directrice ;

• précise les coordonnées de son foyer et une équation cartésienne de sa directrice ;

• représente-la graphiquement.

(a) P1 22 = xy =

(b) P2 240 = xy+=

(d) P4 2 = yx =

3. Détermine les coordonnées du sommet et du foyer ainsi qu’une équation cartésienne de l’axe de symétrie et de la directrice des paraboles suivantes. Vérifie tes réponses à l’aide de GeoGebra.

(a) P1 2 482 = ()() yx-=-

(b) P2 26230 = xx y ++-=

(d) P4 232290 = yx y +--=

4. Sur chaque graphique sont représentés des éléments caractéristiques d’une parabole : son foyer F, son sommet S et/ou sa directrice d . Complète les informations demandées si AS est l’axe de symétrie de la parabole. 3 2

(a) S (…;…) et AS = … (b) F (…;…) et AS = … (c) d = … et AS = …

5. Détermine une équation cartésienne de la parabole qui a comme foyer le point F et comme directrice la droite d .

(a) F (;) 40 et dx = =-4 (b) F (;) 81 - et dy = =2 (c) F

6. Détermine une équation cartésienne des paraboles P1 et P2 si

(a) le sommet de P1 est l’origine du repère et la directrice de P1 a pour équation y =-5 ;

(b) le sommet de P2 est le point S (;) 41 - , l’axe de symétrie de P2 est parallèle à l’axe Ox et P2 passe par le point A(;) 71 3-

7. On représente une antenne de télécommunication par un point F et une grande route rectiligne par une droite d . Elles sont à une distance de 20 mètres.

On cherche à placer des bornes d’alerte de façon à ce que chaque borne soit à la même distance de l’antenne et de la route.

(a) En choisissant un repère orthonormé judicieux, détermine une équation de la parabole correspondant à l’ensemble des positions possibles des bornes.

(b) Selon le repère choisi en (a), où faut-il placer la borne pour qu’elle soit aussi proche que possible de la route ?

(c) Selon le repère choisi en (a), quelle est la position des bornes situées à 50 mètres de l’antenne et à 50 mètres de la route ?

3. Ellipse

DÉCOUVERTE

Activité Définition et construction d’une deuxième conique

Considérons les points fixes F1 et F2 représentés ci-dessous.

1. Donne la distance entre F1 et F2

2. On cherche à construire l’ensemble des points P du plan tels que 1+8FP ||2FP || cm.

(a) Un point est à distance r =5 cm du point F1

I. À quelle distance s doit-il être du point F2 pour respecter 1+8FP ||2FP || cm ?

II. Construis l’ensemble des points situés à distance r du point F1 et l’ensemble des points situés à distance s du point F2. Qu’as-tu construit ?

III. Grâce à ta construction au point II., comment peux-tu trouver les points P tels que 1+8FP ||2FP || cm ?

(b) Procède de la même manière en donnant à r les valeurs suivantes : r =2 cm, r =3 cm, r =4 cm et r =6 cm.

3. Scanne le code QR ci-contre afin d’obtenir plus de points dont la somme des distances à F1 et F2 est constante et vaut 8 cm, puis trace le lieu géométrique obtenu sur le schéma.

πG

Tu viens de construire une ellipse.

THÉORIE

Définition

Ellipse

Une ellipse est le lieu géométrique des points dont la somme des distances à deux points fixes est une constante non nulle.

Vocabulaire et notations

• On appelle foyers les deux points fixes intervenant dans la définition de l’ellipse.

• On note 2a la somme des distances de tout point de l’ellipse aux foyers.

• On note 2c = 12FF || où F1 et F2 sont les foyers et on l’appelle la distance focale.

• On note b le réel strictement positif tel que ab c 222 =+

• On appelle sommets les points d’intersection de l’ellipse et de ses axes de symétrie.

• On appelle axe focal ou grand axe l’axe de symétrie de l’ellipse passant par les deux foyers.

• On appelle axe non focal ou petit axe l’axe de symétrie de l’ellipse correspondant à la médiatrice de FF12 .

Méthodo

Construction d’une ellipse

Soient F1 et F2 les foyers d’une ellipse telle que la somme des distances de tout point à F1 et à F2 vaut 2a.

Les points de l’ellipse sont situés à la fois sur le cercle de centre F1 et de rayon r et sur le cercle de centre F2 et de rayon 2ar - où ra 0 ][ 2;

Pour construire point par point l’ellipse, il faut :

1. choisir un réel strictement positif ra <2 ;

2. tracer le cercle de centre F1 et de rayon r et le cercle de centre F2 et de rayon 2ar - ;

3. marquer l’ (les) éventuel(s) point(s) d’intersection des cercles ainsi construits ;

4. recommencer les étapes pour d’autres valeurs de r

Remarque

Il existe une autre méthode pour construire une ellipse, appelée la méthode du jardinier. Avec cette méthode, il faut :

1. prendre une ficelle de longueur 2a ;

2. punaiser les extrémités de la ficelle en F1 et en F2 ;

3. prendre un crayon et tracer la courbe en maintenant la ficelle tendue grâce à la pointe du crayon.

Propriété

Distances minimale et maximale d’un point d’une ellipse à l’un des foyers

• La distance minimale d’un point d’une ellipse à un foyer est ac -

• La distance maximale d’un point d’une ellipse à un foyer est ac +

GeoGebra

Propriété

Équation cartésienne d’une ellipse

Dans un repère orthonormé, une équation cartésienne de l’ellipse de foyers Fc10();- et Fc20() ; dont la somme des distances de tout point de cette ellipse aux foyers vaut 2a où ac > et c >0 est x a y b 2 2 2 2 +=1

où b est le réel strictement positif tel que ab c 222 =+ .

Démonstration

Nommons l’ellipse de foyers Fc10();- et Fc20() ; dont la somme des distances de tout point de cette ellipse aux foyers vaut 2a où ac > et c >0

Comme ac > , posons ba c 222 =- avec b >0.

On a que :

Px y (;) a 1+2=FP ||2FP ||

⇔ ()() xc yx cy a +++-+= 22222

⇔ ()() xc ya xc y ++=--+2222 2 ()() xc ya xc y ++=--+2222 2 2 car 2a > 2 FP ||

xc x yc y cx aa xc ycx222222242222 +=4++-++++ ()

⇔ 444222 cx aa xc y -=+ ()

⇔ acxa xc y 222 -=-+ ()

acxa xc y 2 2 222 2 -=-+ () car -ax a ≤≤ et ac >

aa cx cx ax cx cy 42222222 22 -+=-++

⇔ ac xa xa ca y acxa cx 422222222 22 22+=++

⇔ aa ca xc xa y 422222222 -=-+

ax ay ac ac 2 222 2222=+

⇔ ax ay bb 2222 22=+

⇔ 1 22 22 22 22 =+ bx ab ay ab car a ≠ 0 et b ≠ 0 vu que a >0 et b >0

⇔ 1 2 2 2 2 =+ x a y b y x

Remarques

• Une ellipse n’est pas le graphe d’une fonction, mais l’union des graphes de deux fonctions. En effet, x a

car a >0 et b >0

Si on considère les fonctions f1 et f2 telles que fx b a ax 1()22 =- et fx b a ax 2 ()22 =-- , l’union

de leurs graphes est bien l’ellipse d’équation x a y b 2 2 2 2 +=1.

• Si ab = , l’équation de l’ellipse peut se réécrire comme : x a y a xy a

2 2 2 +=1222 += ⇔

On obtient alors l’équation du cercle de centre (;) 00 et de rayon a

Un cercle est donc une ellipse où les foyers sont confondus vu que ab c 222 =+ , donc

ca b 2220 =-= lorsque ab = .

Propriété

Éléments caractéristiques d’une ellipse de centre (0;0)

Équation

Foyers

Sommets

• Fc10();- • Fc20() ;

• Fc 10() ;- • Fc 20() ;

• Sa10();- • Sa20() ; • Sb 30() ;- • Sb 40() ; • Sb10();- • Sb20() ; • Sa 30() ;- • Sa 40() ;

Centre de symétrie C (;) 00 C (;) 00

Axes de symétrie

• Axe focal : FF y 120 = =

• Axe non focal : x 0 = = m FF12

(0; b)

Graphique

• Axe focal : FF x 120 = = • Axe non focal : my FF12 0 = =

S4(0; a)

2(0; c)

1( b; 0) S2(b; 0) 1 1 0

1(0; c)

3(0; a)

Remarques

• Comme ab c 222 =+ , on a toujours que ab > et ac > pour une ellipse.

• En pratique, pour déterminer l’axe focal d’une ellipse centrée en (;) 00 , il suffit de comparer les dénominateurs dans son équation écrite sous forme réduite.

En effet, si une ellipse a pour équation x k y l 22 +=1 où k >0 et l >0, alors :

• si kl > , l’axe focal est Ox ;

• si lk > , l’axe focal est Oy .

Propriété

Effet d’une translation sur une ellipse

Soit une ellipse = x k y l 22 +=1 avec kl ab22;;()= ou ba ;=22kl ; () .

Si est obtenue par la translation de de vecteur r t x y t t = , alors = x ()2()2 x k yy l tt+=1. y x 1 1 0 t xt yt S4 x () t ; b + yt S ′ 4(0; b)

S ′ 1( a ; 0) F ′ 1( c ; 0)

S3 xt ; b + yt () F 1 y t ; c + xt () + S1 y t ; a xt ()

S ′ 3(0; b) ′ 2F (c; 0) ′ 2S (a; 0)

F 2 y t ; c + xt () S2 y t ; a + xt ( )

Remarque

Lorsque l’équation d’une ellipse est développée, il est conseillé de retrouver sa forme réduite du type x ()2()2 x k yy l tt+= 22 1 où kl , ∈ °0 et xytt , ∈ ° afin d’en déduire ses éléments caractéristiques.

Exemple

Soit l’ellipse = 42499022 2250xx yy ++-+= . Déterminons ses éléments caractéristiques.

On a que : = = = 4249902250424990225 46 2222 2 xx yy xx yy xx ++-+=++-=++9910225 469102254 9925925 2 22 yy xx yy -=++-=-++++ = = 4 439536 43 36 95 36 1 3 9 22 22 2 ()() ()() ()( xy xy xy ++-= + += + + = = =+=5 4 1 94 1 35 2 22 ) (())() = xy

Par son équation, on a que a ==93 et b ==42.

Dès lors, comme ab c 222 =+ et c ≥ 0, ca b =-=-=22945 . est obtenue par translation de vecteur r t = -3 5 de l’ellipse = xy22 94 +=1, donc :

Caractéristiques = xy22 94 +=1 = ()() xy + += 3 9 5 4 1 22

Centre de symétrie

′ C (;) 00 C (;)(;) 0035 -35+=-

Foyers F150 -; et F250 ; F150535 35 -+=---;; et F250535 -35+=;;

Sommets S130 ′ (;), S230 ′ (;), S302 ′ (;)et S402 ′ (;) S13065 35 ();(;)-+=-,

S23005 35 (;)(;) -+= , S30233 35 (;)(;) --+=et S40237 35 (;)(;) -+=-

Équations des axes de symétrie x =0 et y =0 x =-03 et y =+05 donc x =-3 et y =5 y

Propriété

Lien graphique entre une ellipse et un cercle

Soient a et b deux réels strictement positifs.

L’ellipse d’équation x a y b 2 2 2 2 +=1 est l’image du cercle d’équation xy a 222 += par la transformation qui multiplie les ordonnées par b a

Démonstration

Soit l’ellipse = x a y b 2 2 2 2 +=1 et le cercle 222 +=xy a = .

En isolant y dans ces deux équations, on a : = y b a ax=-22 et 22=-ya x =

Cette réécriture permet de conclure qu’on a bien multiplié les ordonnées du cercle par b a pour obtenir les ordonnées des points de l’ellipse.

EXERCICES

( x ; y ) ; b a

1. Sur une feuille quadrillée, construis à l’aide d’un compas et d’une équerre une ellipse de foyers F et ′ F qui vérifie || FF ′ =6 et 28 a = .

2. Donne une équation cartésienne de chaque ellipse représentée ci-dessous, sachant que les points marqués sur les graphiques ont des coordonnées entières.

3. Pour chaque ellipse définie ci-dessous,

• détermine les coordonnées du centre de symétrie, des sommets et des foyers ;

• donne les équations de ses axes de symétrie ;

• donne les coordonnées de quatre points, autres que les sommets appartenant à l’ellipse ;

• esquisse-la.

(a) 22 254 1 = xy+= 1 (b) 22 41 = xy+= 2

(e) 22 4848 = xy xy +-+= 5 (f) 22 942436360 = xy yx ++++= 6

(g) 22 1648991890 = xx yy +--+= 7 (h) 22250 = xx y -+= 8

4. Détermine une équation cartésienne de l’ellipse répondant aux conditions suivantes. Vérifie à l’aide de GeoGebra.

(a) Le centre de 1 est (;) 00 , son axe focal est Oy , sa distance focale vaut 12 et un de ses sommets a pour coordonnées (;) 40 .

(b) Les sommets de 2 sont (;) 100 , (; )-100 , (;) 07 et (;) 07 -

(d) F et S sont respectivement un foyer et un sommet de l’ellipse 4 représentée ci-dessous.

6x + 5y −15=0

(e) 5 passe par les points (;) 23 et (;) 61 et a pour centre (;) 00 .

(f) 6 a pour foyers les points F141 (;) - et F221 (;) et passe par le point A(;) -65 .

5. Un ancien pont possède une arche dont la forme peut être modélisée par une demi-ellipse. L’arche a une largeur totale de 24 m et sa hauteur maximale est de 6 m.

Pour des raisons de sécurité, seuls les bateaux dont la hauteur ne dépasse pas 4 m peuvent passer sous ce pont.

Détermine la largeur maximale d’un bateau qui transporte des conteneurs et qui atteint la hauteur de 4 m pouvant passer sous l’arche si on considère que le bateau est centré par rapport à l’axe de symétrie du pont.

6. La première loi de Kepler énonce que les planètes décrivent des trajectoires elliptiques autour du Soleil, qui est l’un des foyers de l’ellipse. Sachant que la distance de la Terre au Soleil varie de 147 à 152 millions de km1, détermine une équation de l’ellipse qui décrit la trajectoire de la Terre autour du Soleil. Les distances sont exprimées en millions de km.

1 Source : https://cnes.fr/dossiers/orbite

4. Hyperbole

DÉCOUVERTE

Activité Définition et construction d’une troisième conique

Considérons les points fixes F1 et F2 représentés ci-dessous.

1. Donne la distance entre F1 et F2

2. On cherche à construire l’ensemble des points P du plan tels que FP FP 122 |-=cm || ||| .

(a) Un point est à distance r =c m5 du point F1

I. À quelle distance s doit-il être du point F2 pour respecter FP FP 122|-= || ||| cm ?

II. Construis l’ensemble des points situés à distance r du point F1 et l’ensemble des points situés à distance s du point F2. Qu’as-tu construit ?

III. Grâce à ta construction au point II., comment peux-tu trouver les points P tels que FP FP 122|-= || ||| cm ?

(b) Procède de la même manière en donnant à r les valeurs suivantes : r =c m1 et r =c m3

3. Scanne le code QR ci-contre afin d’obtenir plus de points dont la valeur absolue de la différence des distances à F1 et F2 est constante et vaut 2cm.

Trace le lieu géométrique obtenu sur le schéma.

πG

Tu viens de construire une hyperbole.

THÉORIE

Définition

Hyperbole

Une hyperbole est le lieu géométrique des points dont la valeur absolue de la différence des distances à deux points fixes est une constante non nulle.

Vocabulaire et notations

• On appelle foyers les deux points fixes intervenant dans la définition de l’hyperbole.

• On note 2a la valeur absolue de la différence des distances de tout point de l’hyperbole aux foyers.

• On note 2c = 12FF || où F1 et F2 sont les foyers et on l’appelle la distance focale.

• On note b le réel strictement positif tel que ca b 222 =+

• On appelle sommets les points d’intersection de l’hyperbole et de la droite FF12 .

• On appelle axe focal l’axe de symétrie de l’hyperbole passant par les deux foyers.

• On appelle axe non focal l’axe de symétrie de l’hyperbole correspondant à la médiatrice de FF12

Méthodo

Construction d’une hyperbole

Soient F1 et F2 les foyers d’une hyperbole telle que la valeur absolue de la différence des distances de tout point à F1 et à F2 vaut 2a .

Les points de l’hyperbole sont situés à la fois sur le cercle de centre F1 et de rayon r et le cercle de centre F2 et de rayon 2ar + où r >0

Pour construire point par point l’hyperbole, il faut :

1. choisir un réel r >0 ;

2. tracer le cercle de centre F1 et de rayon r et le cercle de centre F2 et de rayon 2ar + ;

3. marquer l’ (les) éventuel(s) point(s) d’intersection des cercles ainsi construits ;

4. recommencer les étapes pour d’autres valeurs de r

Propriété

Équation cartésienne d’une hyperbole

Dans un repère orthonormé, une équation cartésienne de l’hyperbole de foyers Fc10(;) - et Fc20(;) dont la valeur absolue de la différence des distances de tout point de cette hyperbole aux foyers vaut 2a où a < c est

où b est le réel strictement positif tel que ca b 222 =+ .

GeoGebra

LIEUX GÉOMÉTRIQUES

Démonstration

Nommons H l’hyperbole de foyers Fc10(;) - et Fc20(;) dont la valeur absolue de la différence des distances de tout point de cette hyperbole aux foyers vaut 2a où ac <

Comme ac < , posons bc a 222 =- avec b >0.

On a que : Px y (;) ∈ H FP FP a122|-= || |||

()() xc yx cy a +++= |22222 |

⇔ ()() xc yx cy a +++=± 22222

⇔ ()() xc ya xc y ++=+-+22±22 2 ()() xc ya xc y ++=+-+22±22 2 2 car 22 aF P >|| xc x yc y cx aa xc ycx222222242222 +=4++-++++ ±()

⇔ 444222 cx aa xc y -=-+ ±()

⇔ cx aa xc y -=-+ ± 222 ()

cx acxa ax cx cy 22242222 22 -+=-++

⇔ cx aa xa ca y acxa cx 224222222 2222+=++

⇔ cx ax ay ac a 222222224 =-

ca ca xa ya 2222 2222 -=

⇔ bb xa ya 22 2222 -=

⇔ bx ab ay ab 22 22 22 22 -=1 car a ≠ 0 et b ≠ 0 vu que a >0 et b >0

⇔ x a y b 2 2 2 2 -=1

Remarque

Une hyperbole n’est pas le graphe d’une fonction, mais l’union des graphes de deux fonctions.

En effet, x a y b y b x a yb xa a yb xa a 2 2

car a >0 et b >0 .

Si on considère les fonctions f1 et f2 telles que fx b a xa 1()22 =- et fx b a xa 2 ()22 =-- , l’union de leurs graphes est bien l’hyperbole d’équation x a y b 2 2 2 2 -=1.

Propriété

Éléments caractéristiques d’une hyperbole de centre (;00)

FF Ox 12 , ∈

Équation

Foyers • Fc10();- • Fc20(;)

Sommets • Sa10 (;)- • Sa20(;)

FF Oy 12 , ∈

F10(;)- c • Fc 20(;)

Sa 10(;)- • Sa 20(;)

Centre de symétrie C (;) 00 C (;) 00

Axes de symétrie • Axe focal : FF y 120 = =

Axe non focal : x 0 = = m FF12

Asymptotes

Axe focal : FF x 120 = =

Axe non focal : y 0 = = m FF12

y x 1 0 1 ( b; 0) (b; 0)

2(0; c) F1(0; c) S1(0; a) S2(0; a)

Propriété

Effet d’une translation sur une hyperbole

Soit une hyperbole H ′ = x k y l 22 -=1 avec (;); kl ab =22 ou (;); kl ba=--22

Si H est obtenue par la translation de H ′ de vecteur r t x y t t = , alors H = ()() xx k yy l tt-= 22 1.

Remarque

Lorsque l’équation d’une hyperbole est développée, il est conseillé de retrouver sa forme réduite du type kl =1 xxt-2() yy t -2() - où kl >0 et xy , tt ° afin d’en déduire ses éléments caractéristiques.

Exemple

Soit l’hyperbole H = 251004243 226yy xx+= . Déterminons ses éléments caractéristiques.

On a que :

HH H == = 25100424362544636 2544 2222 2 yy xx yy xx yy +=-= -+= -=+-46+ 36 25243100 25 9492254 22 xx yx y H H = = ()() (22 100 43 100 1 425 1 23 22 22 )() ()()=-= x yx H =

Par son équation, on a que a ==42 et b ==255.

Dès lors, comme ca b 222 =+ et c ≥ 0, ca b =+=-= 2242529 .

H est obtenue par translation de vecteur r t = 3 2 de l’hyperbole H ′ = yx22 425 -=1, donc :

Caractéristiques H ′ = yx22 425 -=1 H = ()() yx-= 2 4 3 25 1 22

Centre de symétrie ′ C (;) 00 C (;)(;) 0032 32 ++=

Foyers

Sommets

F102;-9 et F202;9

F102393292+-2+=-+;; et F202393292 ++2=+ ;;

S102 ′ (;)- et S202 ′ (;) S10230 32 (;)(;) +-+= et S20234 32 (;)(;) ++=

Équations des axes de symétrie x =0 et y =0 x =+03 et y =+02 donc x =3 et y =2

Équations des asymptotes yx =2 5 et yx = 2 5 yx=--+ 2 5 32() et yx=-+ 2 5 32()

EXERCICES

1. Sur une feuille quadrillée, construis l’hyperbole dont la valeur absolue de la différence des distances aux points F1 et F2 vaut 4 sachant que 12=6FF || .

2. Associe chaque hyperbole à sa représentation graphique. Justifie.

3. Pour chaque hyperbole,

• détermine ses éléments caractéristiques ;

• calcule les coordonnées de ses éventuels points dont l’ordonnée vaut 2 ;

• esquisse-la.

Vérifie tes réponses à l’aide de GeoGebra.

(a) H1 22 916 1 = yx-=

(e) H5 2242050251 = xx yy-=

(b) H2 422144 = yx-=-

(d) H4 22161096550 = xy xy+-=

4. Détermine une équation cartésienne de l’hyperbole qui vérifie les conditions données.

(a) H1 de sommets S1 et S2 est représentée ci-dessous. 10 8 6 4

; 4)

1(−2; 2)

(b) H2 a pour foyers F140() -; et F240() ; et pour sommets S1 et S2 où SS126 = || .

(d) H4 a pour centre () 00 ; , a ses foyers sur l’axe Oy et passe par les points () -;74 et 72 ; .

(e) H5 a pour foyers les points F138() -; et F2320 () -; et passe par le point A() 12 0;

(f) H6 a pour asymptotes les droites dy x 1 4 3 26 3 = =- et dy x 2 4 3 10 3 = =-- et a pour foyers les points F1 et F2 tels que 12=10FF || et FF Ox 12|| .

5. Par le calcul de limites, démontre que les asymptotes de l’hyperbole H = x a y b 2 2 2 2 -=1 ont pour équations y b a x =± .

6. Pendant la Seconde Guerre mondiale, les Alliés utilisaient un système de navigation radio appelé LORAN (Long Range Navigation). Deux stations radio fixes émettaient des signaux simultanément. Un navire recevait ces signaux avec un léger décalage dans le temps. Comme les ondes radio se propagent à vitesse constante, cette différence de temps correspond à une différence de distance entre le navire et les deux stations.

On modélise la situation dans un repère orthonormé où les distances sont exprimées en kilomètres. Les stations radio ont pour coordonnées : A() -;110 et B () 11 0; Un navire reçoit le signal de la station A 20 microsecondes avant celui de la station B. La vitesse des ondes radio est d’environ 03 , kilomètre par microseconde.

(a) Calcule la différence des distances entre le navire et les stations A et B

(b) Explique pourquoi les positions possibles du navire appartiennent à une hyperbole.

5. Tangente à une conique

DÉCOUVERTE

Activité Déterminer des équations de tangentes à une conique

Soit = xy22 1216 +=1 l’ellipse représentée dans le repère orthonormé ci-dessous.

1. Considérons P1, le point de l’ellipse d’abscisse 3 et d’ordonnée négative.

(a) Si tu devais tracer des tangentes à issues de P1, combien en tracerais-tu ?

(b) Déterminons une équation cartésienne de la tangente à issue de P1.

I. Détermine algébriquement l’ordonnée du point P1.

II. Exprime à l’aide de l’union des graphes de deux fonctions f1 et f2 dont tu détermineras les expressions analytiques.

III. Au graphe de quelle fonction, entre f1 et f2, appartient le point P1 ?

IV. En utilisant la dérivée de la fonction choisie au point III., détermine une équation de la tangente à issue de P1

2. Considérons le point P244() -; qui est extérieur à

(a) Si tu devais tracer des tangentes à passant par P2, combien en tracerais-tu ?

(b) Déterminons une équation cartésienne des tangentes à passant par P2.

Les tangentes recherchées sont de la forme ty mx m = =++ ⋅ ()44 avec m à déterminer.

Considérons le système formé des équations de et de t m.

I. Combien de solutions doit admettre ce système ?

II. Résous ce système en respectant la condition imposée au point I.

3. Considérons le point P311 () ; qui est intérieur à .

(a) Si tu devais tracer des tangentes à passant par P3 , combien en tracerais-tu ?

πG

Tu viens de découvrir comment trouver les équations des éventuelles tangentes à une conique et :

• qu’il y a une unique tangente à une ellipse issue d’un point de celle-ci ;

• qu’il y a deux tangentes distinctes passant par un point extérieur à une ellipse ;

• qu’il n’y a aucune tangente passant par un point intérieur à une ellipse.

THÉORIE

Définition

Point intérieur, point extérieur et point d’une conique

Soient ab p ,, + ∈ ° 0 et y PP ; un point.

Le point P appartient à la conique si…

Le point P est intérieur à la conique si…

Le point P est extérieur à la conique si…

Ellipse d’équation

x k y l 22 1 +=

avec kl ab22 ;= ; ()

ou ba =;22 kl ; ()

Hyperbole d’équation

Parabole d’équation

ykx 2 0 += ou xky 2 0 += avec ||kp =2 yk x PP 20 += ou xk y PP 20 += ⋅ yk x PP 20 +< ou xk y PP 20 +< ⋅ yk x PP 20 +> ou xk y PP 20 +> ⋅

Propriété

Nombre de tangentes à une conique en un point donné

Soit P un point et une conique.

• Si P est un point intérieur à , alors il n’existe aucune tangente à passant par P .

• Si P appartient à , alors il existe une unique tangente à passant par P

• Si P est un point extérieur à sans être son centre de symétrie, alors il existe deux tangentes à passant par P .

Illustrations

Propriété

Tangente à une conique et intersection

Soit une conique.

Si la droite t est tangente à la conique , alors t et s’intersectent en un unique point.

Attention

Toute tangente à une conique a un unique point d’intersection avec la conique. Cependant, le fait qu’une droite n’ait qu’un seul point d’intersection avec une conique ne suffit pas à conclure que la droite est tangente à la conique.

Contre-exemples

La droite est sécante et a un unique point d’intersection avec la parabole. Cela arrive lorsque la droite est parallèle à l’axe de symétrie de la parabole.

Méthodo

Tangente en un point d’une conique

La droite est sécante et a un unique point d’intersection avec l’hyperbole. Cela arrive lorsque la droite est parallèle à une des asymptotes de l’hyperbole.

Pour déterminer une équation cartésienne de la tangente à une conique en un point y PP ; de cette conique, il faut :

1. isoler y dans l’équation de la conique et en déduire une fonction yf x =() dont le graphe contient le point P ;

2. déterminer une équation cartésienne de la tangente par la formule :

Exemple

Déterminons une équation cartésienne de la tangente à l’ellipse d’équation = x y 2 2 4 +=1 en son point P 13 ;2

équation

Méthodo

Tangentes à une conique passant par un point extérieur à cette conique

Pour déterminer une équation cartésienne des éventuelles tangentes à une conique passant par un point y PP ; extérieur à la conique, il faut :

1. vérifier si la conique admet une tangente verticale en ce point ou non ;

2. écrire que les (autres) tangentes recherchées ont pour équation y mx xyPP =+() avec m à déterminer ;

3. trouver les valeurs possibles de m en résolvant le système formé par l’équation de la conique et l’équation des tangentes pour qu’il ne possède qu’une unique solution ;

4. conclure en donnant les équations cartésiennes des tangentes recherchées.

Remarques

• Une ellipse admet une tangente verticale en un point A si l’abscisse de A est égale à l’abscisse de l’un des sommets de l’ellipse.

• Une hyperbole admet une tangente verticale en un point A si ses foyers définissent une droite parallèle à Ox et si l’abscisse de A est égale à l’abscisse de l’un des sommets de l’hyperbole.

• Une parabole admet une tangente verticale en un point A si sa directrice est parallèle à l’axe Oy et si l’abscisse de A est égale à l’abscisse du sommet de la parabole.

Illustrations

Exemple

Déterminons une équation cartésienne des tangentes à l’ellipse d’équation = x y 2 2 4 +=1 passant par le point P () 45 ; .

• Comme 4 4 516 4 25291 2 5 +=+=> , le point P () 45 ; est bien extérieur à .

• Comme les sommets sont S120() -; , S220() ; , S301 () ;- et S401 () ; et comme xxPS ≠ 1 et xxPS ≠ 2 , les tangentes recherchées ne sont pas verticales. Dès lors, une équation cartésienne des tangentes recherchées est ym x =-+ ()45 avec m à déterminer.

• Le système composé de l’équation de et des tangentes doit posséder une unique solution :

(1) devient :

Pour que le système ci-dessus possède une unique solution, il faut que l’équation () 1 qui est une équation du second degré en x possède une unique solution, c’est-à-dire que son discriminant soit nul.

64160100(14(164024 43))0 222 mm mm mm -+-+-+=

64() 160100164024641609 4360 22432 mm mm mm mm -+++-+= ⇔ 6416010016402464160960 4322432mm mm mm mm -+-++-=

⇔ -+-= 1240240 2 mm

⇔ -+-= 312060mm =--=>0 104362 28 ()() ⇔ m =

Il y a donc deux tangentes à qui passent par P : les droites d’équations yx =-+ 57 3 45() et

Remarque

La méthode précédente fonctionne aussi lorsque le point donné appartient à la conique, mais est plus fastidieuse.

Définition Illustration

Normale à une conique en un point

Soit une conique et P appartenant à .

La normale à la conique en P est la droite perpendiculaire à la tangente à cette conique en P

EXERCICES

1. Considérons la parabole P = xy 22 =- placée dans un repère orthonormé.

(a) Détermine les coordonnées du point A appartenant à P d’abscisse négative et d’ordonnée -8

(b) Détermine une équation cartésienne de la tangente à P au point A

(d) Détermine une équation cartésienne des tangentes à P passant par le point () 14 ; .

(e) Montre qu’il n’y a aucune tangente à P qui passe par le point () 28 ;- .

2. Considérons la parabole P = yx2480 -+= .

(a) Détermine les coordonnées du foyer de P et une équation cartésienne de son axe de symétrie.

(b) Détermine les coordonnées des points A et B appartenant à P et ayant la même abscisse que le foyer de P

(d) Montre que les tangentes à P aux points A et B s’intersectent sur l’axe de symétrie de P.

(e) Détermine une équation cartésienne d’une droite ayant un unique point d’intersection avec P sans lui être tangente.

(f) Détermine l’intersection entre les droites suivantes et P et précise leur position relative.

I. dy x 121 = =+

II. dy x 22 = =-

3. Considérons l’ellipse = xy2252 +=1.

(a) Détermine une équation cartésienne de la tangente à au point P d’abscisse -1 et d’ordonnée négative.

(b) Détermine une équation de la normale à au point P .

(d) Justifie que admet une unique tangente au point (;) -41 dont tu détermineras une équation.

(e) Détermine des équations cartésiennes des éventuelles tangentes à au point (;) -93

(f) Détermine des équations cartésiennes des tangentes à dont la pente vaut 2 Précise ensuite les coordonnées des points de tangence.

4. Soit l’hyperbole H et ses asymptotes représentées ci-dessous.

(a) Détermine une équation cartésienne de H

(b) Détermine une équation cartésienne de la tangente à H en son point d’ordonnée -8 et d’abscisse négative.

I. dx11 = = II. dx23 = =

V. dy x 525 = =--

(d) Soit p ∈ °. À quelle(s) condition(s) la droite dy xp = =+ 3 est-elle tangente à H ? Détermine ensuite les coordonnées des points de tangence.

(e) Montre qu’il n’existe aucune droite de pente m ∈ [; qui est tangente à H

6. Autres façons de définir une conique

DÉCOUVERTE

Activité 1 Intersections d’un cône et d’un plan

Dans l’animation GeoGebra suivante, on visualise l’intersection d’un plan et d’un cône à double nappe (c’est-à-dire un cône prolongé dans les deux directions).

Déplace le point P afin de faire apparaître les différentes coniques étudiées précédemment.

Tu viens de visualiser que les coniques étudiées précédemment peuvent être obtenues comme intersection d’un plan avec un cône à double nappe. Selon l’inclinaison du plan, on obtient une ellipse, une parabole ou une hyperbole.

Activité 2 Définition unifocale d’une conique

Considérons une droite fixe d appelée directrice et un point fixe F appelé foyer. On choisit également une constante strictement positive e, appelée excentricité.

Un point P appartient à la conique si ses distances au foyer et à la directrice vérifient la relation : dP Fe dP d (;)(;) =

Cette relation permet d’obtenir toutes les coniques à partir d’une seule définition.

Pour construire dynamiquement les points de cette conique dans GeoGebra, on procède comme suit :

1. on choisit une valeur dist pour la distance entre le point P et la directrice d ;

2. les points situés à distance dist de la droite d appartiennent à deux droites parallèles à d ;

3. comme la relation impose || PF edist = , les points P doivent aussi appartenir au cercle de centre F et de rayon edist ;

4. les points d’intersection entre ce cercle et les deux parallèles donnent les positions possibles du point P ;

5. en faisant varier la valeur dist, ces points se déplacent et tracent progressivement la conique.

Tu peux visualiser cette construction en scannant le code QR ci-contre.

(a) Si tu donnes à e la valeur 1, quelle conique obtiens-tu lorsque tu fais varier dist ?

(b) Si tu donnes à e les valeurs 03 , et 07 , , quelle conique obtiens-tu lorsque tu fais varier dist ?

GeoGebra

(d) Conjecture la classification des coniques en fonction de la valeur donnée à e.

πG

Une seule définition permet de décrire toutes les coniques : ce sont les points dont la distance à un foyer est proportionnelle à leur distance à une droite appelée directrice. La constante de proportionnalité est appelée excentricité.

Cette définition porte le nom de définition unifocale d’une conique.

THÉORIE

Intersections d’un cône

Les coniques doivent leur nom à leur origine géométrique.

En effet, elles peuvent être définies comme l’intersection d’un cône de révolution et d’un plan.

Considérons un cône à deux nappes.

Si l’on coupe ce cône par un plan, la courbe d’intersection dépend de l’orientation du plan.

Selon l’inclinaison du plan, on obtient différentes courbes :

Un cercle

Une ellipse Une hyperbole Une parabole

Ces courbes (cercle, ellipse, parabole et hyperbole) sont appelées coniques, car elles proviennent toutes d’une section d’un cône par un plan.

Remarque

Dans certaines positions particulières du plan, l’intersection avec le cône ne forme plus une courbe classique, mais une figure plus simple. On parle alors de coniques dégénérées.

Exemples

Si le plan passe par le sommet du cône, l’intersection peut être :

Un point unique (le sommet)

Propriété

Une droite

Équation générale d’une conique

Deux droites sécantes (les génératrices du cône)

Dans un repère orthonormé, une conique (dégénérée ou non) est décrite par une équation de la forme : ax bxycydxeyf 220 +++++=

où ab cd ef,,,,, ∈ ° et (;;)(;;) ab c ≠ 000

Théorème

Théorème de Dandelin et Quetelet

Soient un cône et un plan qui coupe ce cône en formant une ellipse, une parabole ou une hyperbole.

Alors, il existe une ou deux sphères à l’intérieur du cône qui sont tangentes :

1. au cône,

2. et au plan de coupe.

De plus, les points de contact entre ces sphères et le plan sont les foyers de la conique.

Illustration

L’illustration du théorème de Dandelin et Quetelet permet de faire le lien entre deux manières de définir les coniques. D’un côté, on peut définir une conique comme un lieu de points vérifiant une propriété sur les distances et, d’un autre côté, on peut obtenir ces mêmes courbes comme sections d’un cône par un plan.

Ce théorème permet de comprendre que les coniques ne sont pas seulement des courbes définies par des équations ou des propriétés métriques, mais qu’elles possèdent une origine géométrique commune qui relie la géométrie dans l’espace et la géométrie plane.

Définition unifocale d’une conique

Définition

Définition unifocale d’une conique

Dans un repère orthonormé, considérons F un point fixe et d une droite fixe ne contenant pas F

Une conique de foyer F et de directrice d est l’ensemble des points P du plan vérifiant dP Fe dP d (;)(;) = ⋅

où e est une constante strictement positive.

Cette relation est appelée définition unifocale de la conique.

Vocabulaire et notation

• La constante strictement positive e est appelée l’excentricité de la conique.

• La distance entre F et d est notée p.

Remarque

Cette définition permet de décrire toutes les coniques non dégénérées à l’aide d’un foyer et d’une directrice, à l’exception des cercles.

En effet, le foyer d’un cercle est son centre et un cercle ne possède pas de directrice située à une distance finie d’un point quelconque du cercle. Dès lors, son excentricité est nulle.

Propriété

Condition d’excentricité

Soit une conique d’excentricité e

• Si e =1, alors la conique est une parabole.

• Si 01 << e , alors la conique est une ellipse non circulaire.

• Si e >1, alors la conique est une hyperbole.

Ellipse

Hyperbole

Parabole

LIEUX GÉOMÉTRIQUES

Démonstration

• Si e =1 : la propriété découle directement de la définition de la parabole.

• Si e ≠ 1 :

Soient F un point fixe et d une droite fixe ne contenant pas F tels que dF dp(;)= . Choisissons un repère orthonormé afin que F ait pour coordonnées (;) 00 et que d ait pour équation

xp = .

Nommons la conique de foyer F , de directrice d et d’excentricité e ≠ 1

On a que :

Px y dP Fe dP d (;)(;)(; )=

On a que

12 0< si e

Dès lors,

• si 01 << e , l’équation (1) est celle d’une ellipse non circulaire ;

• si e >1, l’équation (1) est celle d’une hyperbole.

Propriété

Excentricité d’une ellipse non circulaire ou d’une hyperbole

L’excentricité e d’une ellipse non circulaire ou d’une hyperbole est le rapport entre la distance du centre à un foyer et la longueur du demi-grand axe : e c

où a est la longueur du demi-grand axe et c est la distance du centre à un foyer.

Démonstration

D’après la démonstration précédente, la définition unifocale mène à l’équation

qui est celle d’une ellipse non circulaire à condition que 01 << e

Dans ce cas, on peut donc identifier

Dès lors, on a que :

Or,

• comme c >0 et 01 << e , on a que

• comme a >0 et 01 << e , on a que

Par conséquent,

La démonstration est analogue dans le cas d’une hyperbole.

Remarque

Plus e est proche de 1, plus l’ellipse ou l’hyperbole est « aplatie ».

Illustration

Propriété

Directrices d’une ellipse non circulaire (ou d’une hyperbole)

L’ellipse non circulaire

du foyer Fc10(;) - et de la directrice

Démonstration

Soit Px y (;) un point de l’ellipse.

• On a que :

• Par ailleurs, on a que :

être définie à l’aide

• Supposons que dx a c 2 2 = = . Dès lors,

dP d a c xd a c x ;2 22 =-=Pd;2

ed Pd e a c x ;2 2 =-

ed Pd c a a c x ;2 2 =-

ed Pd acx a ;2 2 = -

ed Pd FP;22 =||

(car -ax a ≤≤ et ac > )

(car e ≠ 0)

ss car e c a = pour une ellipse non circulaire

(par (2))

On trouve donc bien la définition de l’équation unifocale d’une ellipse non circulaire.

• Par symétrie, on trouve aussi que ed Pd FP;11 =||

La démonstration est analogue dans le cas d’une hyperbole.

Remarque

Si les foyers sont situés sur l’axe Oy , il suffit de remplacer x par y et y par x dans la propriété précédente pour trouver les directrices.

EXERCICES

1. Détermine la nature (cercle, ellipse, hyperbole, parabole, conique dégénérée) des coniques suivantes.

(a) xy2241 +=6 (b) xy4240+= (c) xy2241 -=6 (d) 4416 22xy+=

(e) xy220 -= (f) xx2440 -+= (g) xy280 -=

2. Après avoir donné la nature de chacune des coniques suivantes, détermine leur(s) foyer(s), leur(s) directrice(s) et leur excentricité.

(a) xy22 259 +=1 (b) xy22 925 +=1 (c) xy22 925 -=1 (d) yx 225 =

3. Détermine une équation cartésienne de la conique d’axe focal Ox centrée en (;) 00 , d’excentricité e = 2 3 et de distance focale 8

4. Détermine une équation cartésienne de la conique d’axe focal Ox centrée en (;) 00 , d’excentricité e =2 et de directrices d’équations x =±3.

5. La comète 12P/Pons-Brooks a une orbite elliptique d’excentricité e =0955 , et dont le Soleil est l’un de ses foyers. Le point de sa trajectoire le plus éloigné du Soleil se trouve à une distance de 5 milliards de kilomètres de celui-ci1 Quelle est la distance minimale entre le Soleil et cette comète ?

1 Sources : https://cnes.fr/dossiers/orbite et https://promenade.imcce.fr/fr/pages5/522.html

7. Propriétés optiques des coniques

THÉORIE

Propriété

Angle aigu formé par deux droites

Soient la droite d de pente m et la droite d ′ de pente m′ qui n’est pas perpendiculaire à d Alors, la tangente de l’angle aigu γ formé par ces deux droites est égale à

tan()=+ mm mm 1 ||.

Démonstration

Soient la droite d de pente m et formant un angle α avec l’axe Ox et la droite d ′ de pente m′ et formant un angle β avec l’axe Ox tels que ,[;[ 0

Nommons γ l’angle aigu formé par les droites d et d ′ .

On a que m =tan() α et m =tan() .

• Supposons que >

• Si tan()-0, alors =- est un angle aigu et tan()tan()=-

• Si tan()-<0, alors =--() est un angle aigu et tan()tan =-() -

Dès lors, tan()|tan()|=-

• Lorsque > , tan()|tan()||tan()||tan()||tan() =-| =-(-)==- . Donc,

tan()tan()tan()tan()

tan()tan() =-=+ =11+ mm mm

Propriété

Propriété géométrique de la parabole

Soit M un point quelconque d’une parabole. La tangente en M forme des angles égaux avec :

1. la droite FM où F est le foyer de la parabole ;

2. la droite passant par M et parallèle à l’axe de symétrie de la parabole.

Démonstration

Dans un repère orthonormé, considérons la parabole P = ypx 22= de foyer F p 2 0; .

Soit Ma b (;) où b >0 un point quelconque de P par lequel on mène la tangente t à P

Nommons α l’angle aigu formé par t et la droite MF

Nommons β l’angle aigu formé par t et la droite passant par M et parallèle à l’axe de symétrie de la parabole, l’axe Ox

Pour montrer que les angles aigus α et β ont même amplitude, montrons qu’ils ont la même tangente. Premièrement, calculons les pentes de la tangente t , de la droite FM et de la droite passant par M et parallèle à l’axe de symétrie de la parabole.

• Pente de la tangente t :

Soit fx px ()=2 la fonction positive associée à la parabole P, car comme b >0, Mf ∈ .

On a que fx px px p px p px ()()=== 1 22 22 222

La pente de t vaut donc mf a p pa t == ′() 2

Or, comme Ma b (;) ∈ P, on a que bpa 22=

Dès lors, m p b p b p b t === 2|| car b >0

• Pente de la droite FM :

• Pente de la droite passant par M parallèle à l’axe de symétrie de la parabole :

Comme l’axe de symétrie de la parabole P est l’axe Ox , toute droite parallèle à cet axe est donc de pente nulle.

Calculons maintenant les tangentes de α et β :

• Par la formule relative à l’angle aigu de deux droites : tan()=+ mm mm FM t FM t 1||

22 2 22 2 2 bp ap ap b ap bbp ap b () () () ()

-+ 22 22 2 bp ap ap bbp () () ||

-+ -+ 22 22 22 bapp ab pbbp || or comme Ma b (;) ∈ P, on a que bpa 22= .

-+ -+ 42 22 2 ap ap p ab pbbp || = + + 2 2 2 ap p ab bp || = + + pa p ba p () () 2 |2| = p b || = p b car pb >et> 00

• Comme l’angle β est formé par t et une droite horizontale, on a que la tangente de β est égale à la pente de la droite t : tan() β == m p b t

Les angles α et β sont deux angles aigus ayant la même tangente, ils ont donc la même amplitude. Si on considère une parabole d’une autre équation ou si on considère l’ordonnée du point M négative, le raisonnement est analogue.

Propriété

Propriété optique de la parabole

Tout rayon parallèle à l’axe de symétrie d’une parabole est réfléchi vers le foyer.

Inversement, tout rayon issu du foyer d’une parabole est réfléchi parallèlement à l’axe de symétrie.

Applications

• Antennes paraboliques

Les ondes venant d’un satellite arrivent presque parallèles, car le satellite est très loin.

L’antenne parabolique les réfléchit vers un point unique : le foyer, où se trouve le récepteur.

• Fours solaires

Les rayons du Soleil arrivent presque parallèles, car le Soleil est très éloigné.

Le miroir parabolique les concentre vers le foyer où la température devient très élevée (ce qui permet des cuissons, fusions de métaux, etc.).

• Phares automobiles

On place l’ampoule au foyer afin que les rayons lumineux soient réfléchis parallèlement à l’axe de symétrie. On obtient ainsi un faisceau lumineux dirigé vers l’avant.

Propriété

Propriété géométrique de l’ellipse

Les droites joignant un point de l’ellipse aux foyers de celle-ci forment avec la tangente à l’ellipse en ce point des angles aigus de même amplitude.

LIEUX GÉOMÉTRIQUES

Démonstration

Dans un repère orthonormé, considérons l’ellipse = x a y b 2 2 2 2 +=1 de foyers Fc10();- et Fc20() ; .

Soit Mr s (;) où s >0 un point quelconque de par lequel on mène la tangente t à . Nommons α l’angle aigu formé par t et la droite MF1. Nommons β l’angle aigu formé par t et la droite MF2

Pour montrer que les angles aigus α et β ont la même amplitude, montrons qu’ils ont la même tangente. Premièrement, calculons les pentes de la tangente t , de la droite MF1 et de la droite MF2 .

• Pente de la tangente t :

Soit f définie par fx b a ax (), =-22 la fonction positive associée à l’ellipse car comme s >0, MGrf ∈

On a que fx

()=

La pente de t vaut donc mf r

′()

Or, comme Mr s (;) , on a que

Dès lors, m

• Pente de la droite MF1 :

• Pente de la droite MF2 :

• Par la formule relative à l’angle aigu de deux droites :

• tan()=+ mm mm MF t MF t 1 1 1 ||

= + + +s cr br as s cr br as 2 2 2 2 1 ||

= ++ + ++ as br cr cr as cr as brs cr as 222 2 22 2 () () () () ||

= ++ +as bcrb r acsa rs brs 22222 222 ||

= ++ +as bcrb r acsrsa b 22222 |222| or ab c 222 =+

= ++ + as bcrb r acsc rs 22222 22 || or, comme Mr s (;) , on a que r a s b br as ab 2 2 2 2 +=1222222 += ⇔ .

= + + ab bcr acsc rs 222 22 ||

= + + ba cr cs acr 22 2 ||

= b cs |2 |

• tan()=+ mm mm MF t MF t 2 2 1||

=+s rc br as s rc br as 2 2 2 2 1||

= +-as br rc rc as

rc as brs rc as 222 2 22 2 () () () |()|

= +- as br bcr arsa cs brs 22222 |222|

= +- as br bcr rs ab acs 22222 222 || or ab c 222 =+

= +-as br bcr crsa cs 22222 |22| or, comme Mr s (;) , on a que r a s b br as ab 2 2 2 2 +=1222222 += ⇔

=ab bcr crsa cs 222 |22|=-ba cr cscr a 22 |2|=- b cs ||2= b cs ||2

Les angles α et β sont deux angles aigus ayant la même tangente, ils ont donc la même amplitude.

Si on considère une ellipse d’une autre équation ou si on considère l’ordonnée du point M négative, le raisonnement est analogue.

Propriété

Propriété optique de l’ellipse

Tout rayon issu d’un foyer d’une ellipse est réfléchi vers l’autre foyer.

Inversement, tout rayon arrivant vers un point de l’ellipse et passant par un foyer est réfléchi vers l’autre foyer.

Applications

• Salles à écho (galeries elliptiques)

Si une personne parle à l’un des foyers, les ondes sonores se réfléchissent sur la paroi elliptique et convergent vers l’autre foyer.

Ainsi, une personne située à l’autre foyer entend très clairement, même à grande distance.

• Miroirs elliptiques

Si une source lumineuse est placée en un foyer, les rayons réfléchis convergent vers l’autre foyer.

On concentre donc la lumière (ou la chaleur) d’un point vers un autre point précis.

Propriété

Propriété géométrique de l’hyperbole

Les droites joignant un point de l’hyperbole aux foyers de celle-ci forment avec la tangente à l’hyperbole en ce point des angles aigus de même amplitude.

Remarque

La démonstration est analogue à la propriété optique de l’ellipse.

Propriété

Propriété optique de l’hyperbole

Tout rayon dirigé vers l’un des foyers d’une hyperbole est réfléchi comme s’il provenait de l’autre foyer.

Autrement dit, après réflexion, le rayon semble issu du second foyer.

Remarque

Contrairement à l’ellipse, l’hyperbole ne concentre pas l’énergie en un point. Elle modifie la direction apparente des rayons réfléchis. Elle agit comme un système de redirection optique.

Application

Télescopes de type Cassegrain

Dans certains télescopes, un miroir principal parabolique concentre la lumière et un miroir secondaire hyperbolique redirige les rayons vers l’oculaire ou le capteur. L’hyperbole permet ainsi de modifier le trajet lumineux tout en conservant la qualité de convergence.

EXERCICES

1. Démontre la propriété géométrique de l’hyperbole.

2. Imaginons une table de billard ayant une forme particulière : son bord est modélisé par une ellipse.

Deux points fixes A et B sont marqués sur la table.

Une bille est lancée depuis le point A en direction du bord de la table et on observe que, quelle que soit la direction initiale de la bille, celle-ci passe toujours par le point B après le rebond.

Explique ce phénomène ainsi que la nature des points A et B

3. Pour éclairer un terrain de rugby, on installe un projecteur dont le réflecteur a une forme parabolique. On modélise la coupe du réflecteur par la parabole d’équation yx 28= dans un repère orthonormé où les distances sont exprimées en mètres.

(a) Détermine les coordonnées du sommet et du foyer de cette parabole.

(b) Où doit être placée la source lumineuse pour que les rayons lumineux réfléchis soient parallèles à l’axe de symétrie de la parabole ?

Synthèse

Lieu géométrique

• Un lieu géométrique est un ensemble de points d’un espace géométrique qui jouissent d’une propriété commune.

Parabole

• Une parabole est le lieu géométrique des points équidistants d’une droite et d’un point n’appartenant pas à la droite.

• On parle de la parabole de foyer F et de directrice d s’il s’agit du lieu géométrique des points équidistants de F et de d .

• On note dF dp(;)= .

• Équation et éléments caractéristiques d’une parabole de directrice horizontale et de sommet () ; 00

• Équation et éléments caractéristiques d’une parabole de directrice verticale et de sommet () ; 00

Équation ypx 2 2= ypx 2 2 -

Sommet

de symétrie

Graphique

(;) 00

• Effet d’une translation sur une parabole

• Soit une parabole P′ = xky 2= avec ||kp =2 .

Si P est obtenue par la translation de P′ de vecteur r t x y t t = , alors P = xx ky y tt -=2 .

• Soit une parabole P′ = ykx 2= avec ||kp =2

Si P est obtenue par la translation de P′ de vecteur r t x y t t = , alors = yy kx x tt -=2 P .

Ellipse

• Une ellipse est le lieu géométrique des points dont la somme des distances à deux points fixes est une constante non nulle.

• On appelle :

• foyers les deux points fixes intervenant dans la définition de l’ellipse ;

• distance focale la distance entre les foyers ;

• sommets les points d’intersection de l’ellipse et de ses axes de symétrie ;

• axe focal, ou grand axe, l’axe de symétrie de l’ellipse passant par les deux foyers ;

• axe non focal ou petit axe, l’axe de symétrie de l’ellipse correspondant à la médiatrice de FF12 où F1 et F2 sont les foyers.

• On note :

• 2a la somme des distances d’un point d’une ellipse aux foyers : 1 FP || 2|| 2 a FP =+

• 2c la distance focale : 2c 12FF ||

• b le réel strictement positif tel que ab c 222 =+

• Équation et éléments caractéristiques d’une ellipse

Sommets

Sa10();• Sb 30() ;-

Sa20() ;

Sb 40() ;

Fc 10() ;-

Sb10();-

Sa 30() ;-

Centre C (;) 00 C (;) 00

focal : FF y 120 = =

Axes de symétrie

Graphique

• Effet d’une translation sur une ellipse

Soit une ellipse = x k y l 22 +=1 avec kl ab22;; = ou ba ;=22kl ;

Si est obtenue par la translation de de vecteur r t x y t t = , alors =

Fc 20() ;

Sb20() ;

Sa 40() ;

focal : FF x 120 = =

non focal : my 0 = = FF12

Hyperbole

• Une hyperbole est le lieu géométrique des points dont la valeur absolue de la différence des distances à deux points fixes est une constante non nulle.

• On appelle :

• foyers les deux points fixes intervenant dans la définition de l’hyperbole ;

• distance focale la distance entre les foyers ;

• sommets les points d’intersection de l’hyperbole et de la droite passant par les foyers ;

• axe focal l’axe de symétrie de l’hyperbole passant par les deux foyers ;

• axe non focal l’axe de symétrie de l’hyperbole correspondant à la médiatrice de FF12 où F1 et F2 sont les foyers.

• On note :

• 2a la valeur absolue de la différence des distances d’un point d’une hyperbole aux foyers : 212 aF PF P =-| |||||

• 2c la distance focale : 212 cF F = ||

• b le réel strictement positif tel que ca b 222 =+

• Équation et éléments caractéristiques d’une hyperbole Si FF Ox 12 , ∈ Si FF Oy 12 , ∈

Équation x a y b 2 2 2 2 -=1 où ca b 222 =+ y

Axes de symétrie

Asymptotes

(;) 00

• Axe focal : FF y 120 = =

(;) 00

• Axe non focal : mx 0 = = FF12 • Axe focal : FF x 120 = = • Axe non focal : my 0 = = FF12

• Effet d’une translation sur une hyperbole

Soit une hyperbole H ′ = x k y l 22 -=1 avec (;); kl ab =22 ou ; ba=-(;22 ) kl .

Si H est obtenue par la translation de H ′ de vecteur r t x y t t = , alors H = xx k

Tangente à une conique

• Point intérieur, point extérieur et point appartenant à une conique

Soit un point Px y PP ; .

Le point P appartient à la conique si…

Le point P est intérieur à la conique si… Le point P est extérieur à la conique si…

Ellipse d’équation

x k y l 22 1 +=

avec kl ab22 ;= ; () ou ba =;22 kl ; ()

Hyperbole d’équation x a y b 2 2 2 2 1 –ou y a x b 2 2 2 2 1 –

Parabole d’équation ykx 2 0 += ou xky 2 0 += avec ||kp =2

• Nombre de tangentes à une conique

• Une droite peut avoir un seul point d’intersection avec une parabole dans deux cas :

• lorsqu’elle est tangente à la parabole ;

• lorsqu’elle est parallèle à l’axe de symétrie de la parabole, auquel cas elle est sécante à la parabole.

• Une droite peut avoir un seul point d’intersection avec une ellipse lorsqu’elle est tangente à l’ellipse.

• Une droite peut avoir un seul point d’intersection avec une hyperbole dans deux cas :

• lorsqu’elle est tangente à l’hyperbole ;

• lorsqu’elle est parallèle à une asymptote, auquel cas elle coupe une seule branche de l’hyperbole.

Intersection d’un cône et d’un plan

• Une conique est l’intersection d’un plan et d’un cône à double nappe :

Un cercle Une ellipse Une hyperboleUne parabole

• Dans certaines positions particulières du plan, l’intersection avec le cône ne forme plus une courbe classique, mais une figure plus simple (point, droites…). On parle alors de coniques dégénérées.

• Équation générale d’une conique

Dans un repère orthonormé, une conique (dégénérée ou non) est décrite par une équation de la forme : ax bxycydxeyf 220 +++++=

où ab cd ef,,,,, ∈ ° et (;;)(;;) ab c ≠ 000 .

Définition unifocale d’une conique

• Dans un repère orthonormé, considérons F un point fixe et d une droite fixe ne contenant pas F . Une conique de foyer F et de directrice d est l’ensemble des points P du plan vérifiant dP Fe dP d (;)(;) =

où e est une constante strictement positive appelée excentricité

Cette relation est appelée définition unifocale de la conique.

• Condition d’excentricité

Soit une conique d’excentricité e .

• Si e =1, alors la conique est une parabole.

• Si 01 << e , alors la conique est une ellipse non circulaire.

• Si e >1, alors la conique est une hyperbole.

• Excentricité et directrices d’une ellipse et d’une hyperbole

• e c a = où a est la longueur du demi-grand axe et c est la distance du centre à un foyer.

• L’ellipse = x a y b

+=1 ou l’hyperbole H

-=1 peut être définie à l’aide du foyer Fc10();et de la directrice dx a c 1 2 = =- ou du foyer Fc20() ; et de la directrice dx a c 2 2 = = .

Propriétés optiques des coniques

Conique

Propriété optique

Tout rayon parallèle à l’axe de symétrie d’une parabole est réfléchi vers le foyer.

Parabole

Ellipse

Hyperbole

Inversement, tout rayon issu du foyer d’une parabole est réfléchi parallèlement à l’axe de symétrie.

Tout rayon issu d’un foyer d’une ellipse est réfléchi vers l’autre foyer.

Inversement, tout rayon arrivant vers un point de l’ellipse et passant par un foyer est réfléchi vers l’autre foyer.

Tout rayon dirigé vers l’un des foyers d’une hyperbole est réfléchi comme s’il provenait de l’autre foyer.

Autrement dit, après réflexion, le rayon semble issu du second foyer.

Idée principale Exemples d’application

Concentration ou faisceau

Antennes paraboliques, fours solaires, phares de voiture

Transmission d’énergie entre deux points

Salles à écho, miroirs elliptiques

Redirection optique

Télescopes de type Cassegrain

EXERCICES RÉCAPITULATIFS

1. Considérons les points A et B tels que || AB =3

(a) À l’aide de GeoGebra, représente le lieu des points d’intersection du cercle de centre A et de rayon r et du cercle de centre B et de rayon 2r où r >0 et détermines-en une équation cartésienne analytiquement.

(b) Détermine le lieu géométrique des points qui sont 5 fois plus proches de A que de B .

2. Dans un repère orthonormé du plan, considérons le point A(;) 24 et un cercle de centre O(;) 00 et de rayon 5.

Du point A , on trace une droite d et on nomme I et J les points d’intersection de d avec le cercle .

Détermine le lieu géométrique des points K , milieu de [] IJ

Rappel : si O est le centre d’un cercle et si [] IJ est une corde de ce cercle, alors la droite passant par O et le milieu de la corde [] IJ est perpendiculaire à cette corde.

3. Dans un triangle ABC isocèle et rectangle en A où || AB =1,

• on trace une droite d mobile perpendiculaire à BC ;

• on nomme ′ B le point d’intersection de d et de AB et ′ C celui de d et de AC

Recherche le lieu des points d’intersection des droites CB ′ et BC ′ .

4. Octavia est à nouveau perchée sur une échelle de 4 m appuyée sur un mur. Si Octavia est située au tiers inférieur de l’échelle, quelle est la nouvelle trajectoire décrite par ses pieds lorsque l’échelle glisse sur le sol ?

5. Construis aux instruments les coniques suivantes.

(a) La parabole de foyer F et de directrice d telle que dF d (;)=5 .

(b) L’ellipse de foyers F1 et F2 telle que = 12FF || 6 et la constante 210 a =

6. Donne la nature de chaque lieu géométrique défini par les équations suivantes. S’il s’agit d’une conique, précise ses éléments caractéristiques, dont l’excentricité. Vérifie tes réponses à l’aide de GeoGebra.

(a) yx 22=

(e) yx22 369 -=1

(g) 9362 225xy+=

(i) 936022xy-=

(k) ()() yx -=41201

(m) ()() xy+ + = 3 169 2 144 1 22

(b) xy 2 936 +=0

(d) xy22 936 -=1

(f) xy22250 +-=

(h) 9362 2250xy-+=

(j) 92250 x -=

(l) ()() xy+ + = 3 169 2 144 0 22

(n) ()() xy+ = 3 4 2 9 1 22

(o) 449169 2281310xy xy +++-= (p) 9908290022xx yy ++-+=

(q) 9165 224128319xy xy+= (r) 4144 220xy y +=-

(s) yx y 2516740+= (t) xx y 241+-090 +=

7. Donne une équation cartésienne de chaque conique décrite ci-dessous.

(a) La parabole de sommet () ; 00 et de directrice dy = =9 .

(b) La parabole de foyer F (;) 48 et de directrice dx = =-2

(d) La parabole représentée ci-dessous après avoir choisi un repère judicieux.

(e) L’ellipse dont les sommets placés sur l’axe focal sont (;) 06 et () ; 06 - et passant par le point () ;-42

(f) L’hyperbole de sommets (;) 06 et (;) 06 - et passant par le point (;) 87

(g) L’ellipse représentée ci-dessous où F1 et F2 sont ses foyers et S1 et S2 deux de ses sommets.

(h) L’hyperbole de foyers F131 (;) - et F231 (;) et dont un sommet est (;) -21

(i) La conique de centre (;) 5030 , d’excentricité e = 3 8 et de foyer F15020 (;)

(j) La conique de centre (;) 5030 , d’excentricité e = 9 8 et de foyer F15020 (;)

8. L’hyperbole H et ses asymptotes sont représentées ci-dessous. Les points marqués ont des coordonnées entières.

(a) Détermine l’équation de cette hyperbole.

(b) Détermine les coordonnées des foyers de cette hyperbole.

(d) Recherche une équation de la tangente à H en son point P d’ordonnée 8

9. Dans chaque cas, donne une équation cartésienne des éventuelles tangentes à la conique donnée vérifiant les conditions indiquées. Détermine ensuite les coordonnées des points de tangence.

(a) Tangente(s) à la parabole P = yx 21 8 = au point (;) 81 -

(b) Tangente(s) à la parabole P = yx x =-+341 2 et passant par point (;) 34

(d) Tangente(s) à l’ellipse = xy22 12100 +=1 dont la pente vaut -5

(e) Tangente(s) à l’ellipse = 94 au point () ; 12

(f) Tangente(s) à l’hyperbole H = yx22 106 -=1 au point de H d’abscisse 3 et d’ordonnée négative.

(g) Tangente(s) à l’hyperbole H = x y 2 2 2 -=1 au point () ; 31 .

(h) Tangente(s) à l’hyperbole H = x y 2 2 2 -=1 au point () ; 32

Un robot autonome se déplace dans un plan. On fixe :

• une balise de communication en un point F ;

• une frontière virtuelle à ne pas dépasser, modélisée par une droite d .

On suppose que la distance du point F à la droite d est de 50 cm.

(a) Le robot est programmé pour se déplacer afin que, pour toute position P qu’il occupe, la distance entre le robot et la balise soit égale à la distance entre le robot et la droite.

I. Décris l’ensemble des positions possibles du robot. Précise la nature de la courbe obtenue.

II. En plaçant un repère orthonormé judicieux, donne une équation de la courbe décrite au point I.

III. Si le robot est placé dans un carré de 1 mètre de côté où F est le centre du carré et où d est l’un des côtés, le robot touchera-t-il le côté opposé au côté défini par la droite d ?

(b) On modifie le programme du robot : il doit maintenant vérifier à chacune de ses positions que sa distance jusqu’à la balise est 2 fois plus grande que sa distance jusqu’à la frontière. Donne le lieu géométrique des points qui donnent ses positions possibles.

Lorsqu’une sonde spatiale passe à proximité d’une planète, elle peut utiliser une assistance gravitationnelle. Cette manœuvre consiste à profiter de l’attraction de la planète pour modifier la vitesse et la direction de la sonde sans utiliser de carburant.

Dans un repère centré sur la planète, la trajectoire de la sonde lors de cette manœuvre peut être modélisée par une hyperbole.

On modélise la trajectoire d’une sonde par l’équation xy22 10036 -=1.

Les distances sont exprimées en milliers de kilomètres.

Un point P de la trajectoire a pour abscisse 12 et a son ordonnée positive.

(a) Quelle est la plus petite distance entre la planète et la sonde spatiale suivant cette trajectoire ?

(b) Détermine l’ordonnée du point P

(d) Détermine une équation de la normale à l’hyperbole en P .

DÉFI

Te rappelles-tu au début de ce chapitre ?

Au XIXe siècle, le président américain John Quincy Adams aurait utilisé une propriété acoustique étonnante dans une salle du Capitole des États-Unis dont la forme est elliptique.

Tu es maintenant capable d’y répondre !

7 UAA COPYRIGHTVANIN

NOMBRES COMPLEXES

Objectifs

Connaître

• Illustrer graphiquement les parties réelle et imaginaire, le module, l’argument, le conjugué d’un nombre complexe.

• Mettre en relation les deux représentations d’un nombre complexe.

• Interpréter géométriquement les opérations dans £.

Appliquer

• Calculer dans £.

• Convertir la représentation trigonométrique d’un nombre complexe en sa représentation algébrique et réciproquement.

• Résoudre une équation dans £

• Rechercher les racines nièmes d’un nombre complexe et les représenter dans le plan de Gauss.

Transférer

• Démontrer une propriété géométrique à l’aide des nombres complexes.

Introduction historique

Depuis que l’être humain est sur Terre, il compte. Compter des objets, des animaux, des armes ou des enfants a très tôt été une nécessité : un homme possède cinq moutons, une lance et trois enfants. C’est donc en raison de ce besoin de compter et de dénombrer que sont apparus les nombres naturels.

Plus tard, en Inde (vers 620 av. J.-C.), puis en Chine (vers 200 av. J.-C.), les nombres entiers font leur apparition, probablement pour le commerce. L’argent reçu est alors considéré comme une quantité positive, tandis que l’argent dépensé ou dû est considéré comme une quantité négative.

À la fin de la journée, la somme de ces quantités permettait au marchand de savoir s’il avait réalisé un gain ou subi une perte. Les nombres entiers seront ensuite exploités en Europe et progressivement dans le reste du monde.

Tout comme les entiers, les nombres rationnels apparaissent indépendamment dans différentes civilisations. Ils sont utilisés pour mesurer des distances, des poids ou des partages. C’est Pythagore (vers 600 av. J.-C.) qui formalise ce système, englobant les nombres naturels et entiers.

Bien que les nombres irrationnels aient sans doute été découverts dès l’époque de Pythagore, c’est le développement de l’algèbre au sein des mathématiques arabes qui leur confère un véritable statut algébrique, au même titre que les entiers et les rationnels. Durant cette période, de nombreux mathématiciens, tels qu’Archimède ou Al-Kashi,

marquent l’histoire en calculant avec une grande précision des décimales du nombre π , très utilisé en géométrie.

Cependant, malgré cet élargissement progressif des ensembles de nombres, certaines équations restent sans solution. Ce n’est que bien plus tard que les nombres complexes seront introduits.

En 1545, Cardan étudie le nombre de racines des polynômes du troisième degré à coefficients réels, ainsi que l’expression exacte de ces racines. Il montre qu’une équation de la forme ax bx cx d 320 +++= pouvait être ramenée, par un changement de variable, à une équation de la forme xcxd30 = . Il établit alors qu’une solution de cette équation peut s’écrire :

Par exemple, l’équation xx31540 = admet pour solution x =+-+21212121 33

Cardan fait alors appel à la racine carrée d’un nombre négatif, une quantité impossible, mais manipulable.

En 1572, Bombelli montre que cette expression, bien que faisant intervenir la racine carrée d’un nombre négatif, permet d’obtenir une solution réelle :

212121 332121214 +-+--=+-+--=

La racine carrée d’un nombre négatif est alors utilisée comme un outil de calcul, sans véritable statut mathématique. Pour manipuler ces expressions, Bombelli pose plusieurs règles, notamment :

• -=-11 2

• Si a >0 , alors -=aa 1

Plus tard, en 1777, Euler s’intéresse à ces travaux et montre que la notation -1 est source de contradictions. En effet, selon les règles de Bombelli, on a que -=-11 2 , mais si l’on tente d’étendre les règles usuelles de calcul sur les racines carrées définies dans °, on pourrait écrire : -==--== 1111111 2 ()() , ce qui est contradictoire.

Cela montre que la notation n’est pas adaptée dans ce contexte. Euler introduit alors

la notation i, définie uniquement par la relation i 21 =- . Cette notation permet de travailler de façon cohérente avec ces nouveaux nombres, appelés nombres complexes.

Au début, ces nombres complexes restaient difficiles à interpréter. Ils étaient utiles pour le calcul, mais leur signification demeurait abstraite.

Au début du XIXe siècle, Argand et Gauss apportent une avancée majeure en proposant une interprétation géométrique des nombres complexes. Ils montrent que tout nombre complexe peut être représenté comme un point du plan.

Cette vision géométrique donne un véritable sens aux nombres complexes et permet de mieux comprendre leurs propriétés, ouvrant la voie à de nombreux développements en mathématiques, en physique et en ingénierie.

COPYRIGHTVANIN

En 5e année, tu as démontré les formules du sinus et du cosinus d’un angle double en fonction du sinus et/ou du cosinus de l’angle.

Comment pourrait-on, de manière analogue, démontrer les formules du sinus et du cosinus d’un angle triple, quadruple, ou plus généralement d’un multiple d’un angle ?

Tu seras capable d’y répondre à la fin de ce chapitre !

Leonhard Euler

Carl Friedrich Gauss

Prérequis

TEST DIAGNOSTIQUE

Connaître

1. À quel quadrant appartient α si :

(a) cos() α >0 et sin() α <0 ?

Appliquer

2. Détermine tous les angles ];] - tels que :

(a) tan() α =1 ;

(b) cos() α <0 et sin(α)<0 ?

(d) cos() α >0 et sin() α >0 ?

(b) cos() α = 1 2 et sin() α =3 2 ;

THÉORIE

Définitions

Sinus, cosinus et tangente d’un angle

Soit α un angle dont le point correspondant sur le cercle trigonométrique est A .

• cos() α est l’abscisse du point A ;

• sin() α est l’ordonnée du point A ;

• tan() α est l’ordonnée du point d’intersection de la droite OA et de la tangente au cercle au point (;) 10

Propriétés

Soit α un angle.

• Encadrement du sinus et du cosinus : -11 cos() et -11 sin()

• Formule fondamentale : sin()cos() 221 αα+=

• Relation entre les nombres trigonométriques : tan()sin() cos() α α α = si 2 + k où k ∈ ¢

Propriété

Valeurs remarquables des nombres trigonométriques

Propriété

Lien entre les nombres trigonométriques des angles associés

Soit α un angle exprimé en radians.

Angles supplémentaires

cos(-)=- cos() sin(-)=sin() tan(-)=-tan()

NOMBRES COMPLEXES

Angles anti-supplémentaires

cos(+)=- cos()

sin(+)=-sin()

tan(+)=tan()

Angles opposés

cos(-)=cos()αα

sin(-)=-sin()αα

tan(-)=-tan()αα

1. Formes algébrique et trigonométrique d’un nombre complexe

DÉCOUVERTE 1

Activité À la découverte des nombres complexes

1. Pour chaque équation, choisis les ensembles de nombres dans lesquels l’équation donnée a ses solutions.

(a) x -1 =0

(b) x +=10

(d) x 220 -=

(e) x 210 +=

πG

Aucun de ces ensembles

Jusqu’à présent, nous avons résolu des équations dans les ensembles de nombres :

Cependant, il y a des équations qui n’ont pas de solution dans °. Pour répondre à cette difficulté, les mathématiciens ont introduit un nouveau nombre, noté i , défini par i 2 = –1.

Ce nombre i n’est pas un nombre réel, c’est un nombre complexe

2. Sachant que i 21 =- , donne les deux solutions de l’équation x 210 += dans l’ensemble des nombres complexes.

THÉORIE

Définition

Nombre complexe

Un nombre complexe z est un nombre qui peut s’écrire sous la forme za bi =+ où ab , ∈ ° et i 21 =-

Vocabulaire et notations

• L’ensemble des nombres complexes est noté £

• Si za bi =+ où ab , ∈ °, alors :

• z est écrit sous forme algébrique ;

• a est appelé la partie réelle de z , que l’on note Re() z ;

• b est appelé la partie imaginaire de z , que l’on note Im() z .

Exemples

• Si zi =-32 , alors Re= () z 3 et Im=() z 2

• Si z i =2 , alors Re= () z 0 et Im=-

Remarque

Soit za bi =+ où ab , ∈ °.

• Si a =0, alors zbi = est appelé imaginaire pur.

• Si b =0, alors za = est un réel.

Dès lors, tout réel est un complexe. Autrement dit, ° ⊂ £

Propriété

Représentation d’un nombre complexe

Soit za bi =+ où ab , ∈ °

z est représenté dans le plan de Gauss à l’aide du point Z de la façon suivante :

Z(a; b)

Vocabulaire

Soient ab , ∈ °.

• Le complexe za bi =+ est l’affixe du point Za b (;) placé dans le plan de Gauss, ainsi que l’affixe du vecteur OZ ur où O est l’origine du repère.

• Za b (;) est le point-image de za bi =+ dans le plan de Gauss.

Définition

Conjugué d’un nombre complexe

Considérons le nombre complexe za bi =+ où ab , ∈ °

Le conjugué de z , noté z , est le complexe za bi =.

Exemple

Le conjugué de zi =--530 est zi =-+530 .

Propriété

Lien entre les représentations d’un complexe et de son conjugué

Soient z un complexe et z son conjugué.

Les points-images de z et z dans le plan de Gauss sont symétriques par rapport à l’axe réel.

Illustration

Soient zi =+32 l’affixe de Z et zi =-32 l’affixe de Z représentés dans le plan de Gauss ci-dessous.

DÉCOUVERTE 2

Activité Forme trigonométrique d’un nombre complexe

Considérons le nombre complexe zi =+34

1. Place le point Z , point-image de z dans le plan de Gauss.

2. Calcule la distance entre l’origine du repère, notée O , et le point Z . Tu viens de calculer le module du complexe z , qui est noté || z .

3. En utilisant les relations dans un triangle rectangle, détermine θ, un angle orienté formé par l’axe réel et le segment [] OZ

πG

Tu viens de donner un argument du complexe z .

4. En utilisant les relations dans un triangle rectangle, écris sin() θ et cos() θ .

Comment peux-tu réécrire zi =+34 à l’aide de sin() θ , cos() θ et du module de z ?

πG

Tu viens de découvrir la forme trigonométrique du complexe z De façon générale, tout nombre complexe za bi =+ (,ab ∈ °) peut être écrit sous la forme : zz i =+ sin || (cos() ()) où || z est le module de z et θ est un argument de z .

THÉORIE

Définition

Module d’un nombre complexe

Considérons le nombre complexe za bi =+ où ab , ∈ °.

Le module de z , noté || z , est le réel ||za b =+22 .

Propriété

Illustration graphique du module d’un nombre complexe

Graphiquement, si z est l’affixe du point Z , alors son module|| z est la distance entre Z et O(;) 00 .

Autrement dit, || z est le rayon du cercle de centre O(;) 00 passant par le point Z .

NOMBRES COMPLEXES

Exemple et illustration graphique

Soit zi =-43

On a que ||() z =+-=+= 431695 22 .

Graphiquement, le point-image de z dans le plan de Gauss est sur le cercle de centre (;) 00 et de rayon || z =5. axe réel

–5–4–3–2–1012345

(4; –3)

Définition

Argument d’un nombre complexe

Considérons un nombre complexe non nul z d’affixe Z dans le plan de Gauss d’origine O

Un argument du nombre complexe z , noté arg() z , est la mesure en radians d’un angle orienté formé par l’axe réel et le segment [] OZ dans le plan de Gauss.

Illustration

Remarques

• On écrit souvent arg() z = θ.

• Un nombre complexe non nul admet une infinité d’arguments. Ils sont de la forme arg()zk=+2 où k ∈ ¢

Exemple

Le complexe 1+ i admet comme arguments π 4 , 9 4 π , 17 4 π ,7 4

Vocabulaire

Argument principal

Soient z un nombre complexe non nul et θ un de ses arguments. Si ];], θ est appelé l’argument principal de z.

Exemple

L’argument principal du complexe 1+ i est π 4 .

Propriété

Lien entre la forme algébrique, le module et l’argument d’un nombre complexe

Soient za bi =+ où ab , ∈ ° un nombre complexe non nul et θ un de ses arguments. Alors, cos()|| θ = a z et sin()|| θ = b z

Illustration

Cette propriété découle directement des relations trigonométriques dans le triangle rectangle OAZ rectangle en A et des propriétés sur les angles associés.

Définition

Nombre complexe écrit sous forme trigonométrique

• La forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul z est zz i =+ ||(cos()sin()) où || z est le module de z et θ est un argument de z.

• La forme trigonométrique du complexe 0 est 0(cos()si+n()) i où °

Notation

zz i =+ ||(os()i cn()) s est abrégé par zz=ci ||s()

NOMBRES COMPLEXES

Remarque

Il existe une autre écriture très utilisée des nombres complexes, appelée forme exponentielle (ou forme polaire).

En utilisant la formule d’Euler, ei iθθθ =+ cos()sin(), tout nombre complexe non nul z peut s’écrire sous la forme : zz e i =||

où || z est le module de z et θ est un argument de z. La forme exponentielle est équivalente à la forme trigonométrique.

Méthodo

Écrire un nombre complexe sous forme trigonométrique

Soit za bi =+ où ab , ∈ ° un nombre complexe non nul.

Pour écrire z sous forme trigonométrique, il faut :

1. calculer son module : ||za b =+22 ;

2. déterminer un de ses arguments θ tel que cos()|| θ = a z et sin()|| θ = b z ;

3. écrire zz=c||is() .

Exemple

Soit le complexe zi =-13

1. Calcul du module : || z =+-== 1342 2 2

2. Recherche d’un argument θ : cos() sin()

Choisissons par exemple l’argument principal =3

3. Dès lors, z =c -2is 3 est la forme trigonométrique du complexe z .

Remarque

–1 1 cos( θ) sin(θ) axe réel axeimaginaire ; 1 2

3 2

À l’étape 2 de cette méthodologie, plutôt que vérifier simultanément cos()|| θ = a z et sin()|| θ = b z , on peut utiliser la relation tan() θ = b a . Il faut toutefois être très attentif au quadrant auquel appartient θ, déterminé par les signes de a et de b.

EXERCICES

1. Écris les nombres complexes suivants sous leur forme trigonométrique.

(a) 3+ i (b) 88 i - (c) 1 2 3 2 i

(d) 4 i (e) -7 (f) 51 2- i

2. Transforme la forme trigonométrique des nombres complexes suivants en forme algébrique.

(a) 632 3 cis (b) 2 2 cis- (c) cis6 (d) 2 2 5 4 cis

3. Soient les nombres complexes z1, z2 et z3 représentés dans le plan de Gauss ci-dessous.

–4–3–2–101234

(a) Illustre graphiquement la partie réelle et la partie imaginaire de z1.

(b) Illustre graphiquement le module et un argument de z2.

(d) Donne z3 sous formes algébrique et trigonométrique.

(e) Représente zi 442 =- dans le plan de Gauss ci-dessus.

4. Donne le conjugué des nombres complexes suivants.

(a) zi =-45 (b) zi=+27 (c) z =21 (d) z =c4is 10

2. Opérations dans £

DÉCOUVERTE

Activité 1 Opérations dans £ si les complexes sont donnés sous forme algébrique

L’addition et la multiplication dans £ respectent plusieurs mêmes propriétés algébriques que dans ° : la commutativité, l’associativité et la distributivité.

Ainsi, pour calculer dans £, on fait du calcul littéral avec la lettre i et on simplifie les expressions grâce à l’égalité i 21 =.

Soient zi =+43 et ′ zi =-210 .

1. Calcule zz + ′ en regroupant les parties réelles et les parties imaginaires.

2. Calcule zz′ en regroupant les parties réelles et les parties imaginaires.

3. Calcule zz en effectuant une double distributivité et en regroupant ensuite les parties réelles et les parties imaginaires.

4. Calcule 1 z en multipliant le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué de z

5. Déduis de ton calcul précédent le lien qu’il y a entre zz ⋅ et le module de z

6. Calcule z z ′ en multipliant le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué de ′ z .

Activité 2 Opérations dans £ si les complexes sont donnés sous forme trigonométrique

Soient les complexes z =c2is 6 et z =c4is 3 représentés respectivement par les points Z et ′ Z dans le plan complexe ci-dessous. 0 –8–7–6–5–4–3–2–112345678

1. La forme algébrique du produit de z et ′ z est donnée par zz i=8

(a) Représente le point P affixe de zz dans le plan de Gauss.

(b) Donne la forme trigonométrique de zz .

(d) Quel lien peux-tu faire entre les arguments de z , ′ z et zz ?

(e) Déduis-en la formule qui permet de multiplier deux nombres complexes sous forme trigonométrique.

2. La forme algébrique du quotient de z et ′ z est donnée par z z i ′ =3 4 1 4 .

(a) Représente le point Q affixe de z z ′ dans le plan de Gauss.

(b) Donne la forme trigonométrique de z z ′

(d) Quel lien peux-tu faire entre les arguments de z , ′ z et z z ′ ?

(e) Déduis-en la formule qui permet de diviser deux nombres complexes sous forme trigonométrique.

Soient zz=cis || () et zz=cis || () où , ° tels que z 0

• zz zz =cis(+ ) ||||

• z z z z =cis( || || – )

THÉORIE

Opérations sur les complexes sous forme algébrique

Définition

Égalité de deux nombres complexes sous forme algébrique

Soient za bi =+ et za bi =+′′ où ab ab,,, °

Définition

Somme et produit de deux complexes sous forme algébrique

Soient za bi =+ et za bi =+′′ où ab ab,,, °

• La somme de z et ′ z est définie par zz aa bb i +=+++′′′ ()()

• Le produit de z et ′ z est défini par zz aa bb ab ab i =-++ ()() .

Remarque

En pratique, on fait du calcul littéral avec la lettre i et on simplifie grâce à l’égalité i 21 =- pour effectuer une somme ou un produit de nombres complexes.

Propriété

Opposé d’un nombre complexe et différence de deux nombres complexes sous forme algébrique

Si za bi =+ et ′′′za bi =+ où ab ab,,, °, alors

• l’opposé de z est le complexe -=za bi ;

• la différence de z et ′ z est le complexe zz aa bb i -=-+-′′′ ()() .

Exemples

Soient zi =+24 et ′ zi =-35 .

• -=zi 24

• zz ii i +=++-=′ 24355

• zz ii ii i -=+--=+-+=-+ ′ 2435243519 ()

• zz ii ii ii=+-=-+-=+ ()() 243561012202262

Propriété

Lien entre un complexe, son conjugué et son module

Si z est un nombre complexe, alors zz z =||2

Démonstration

Soit za bi =+ un nombre complexe où ab , ∈ °.

zz abia bi =++ ()

=+-()() abia bi par définition du conjugué

=-+aabi abib i 222 par distributivité

=-ab221 () car i 21 =-

=+ab22

=+ab22 2

=|| z 2 par définition du module

Propriété

Opérations de deux nombres complexes sous forme algébrique

Si za bi =+ et ′′′za bi =+ où ab ab,,, °, alors

• l’inverse de z est : 11 2 zz z

• le quotient de z par ′ z est : z

Exemples

Soient zi =+24 et ′ zi =-35

Propriété

Puissances de i

Exemples

Opérations sur les complexes sous forme trigonométrique

Définition

Égalité de deux nombres complexes sous forme trigonométrique

Soient zz=c||is() et zz=c||is() où , ° tels que z ≠ 0 et z 0 zz = k ¢, |||| zz

Propriété

Produit de deux nombres complexes sous forme trigonométrique

Si zz=c||is() et zz=c||is() où , °, alors zz zz =cis ||(+) ||

Démonstration

Soient zz=c||is() et zz=cis ||() où , °.

On a que :

zz zz=cisci ||s()||()

=++ ||||cos()sin()cos()sin() zz ii

=++

||||cos()cos()sin()sin()cos()sin()co zz s s()sin() i par le produit de deux complexes sous forme algébrique

=+++ ||||cos()sin() zz i par les formules d’addition du sinus et du cosinus

=cis ||(+) ||zz

Exemple

Si z =c2is 3 et z =c3is 4 , alors zz =ciscis=cis+=c 2is 3 3 4 23 34 67 12 .

Corollaire

Formule de De Moivre

Si zz=c||is() où °, alors

n ∈ •0, zz n nn=cis ||()

Démonstration

Démontrons cette propriété par récurrence :

• Initialisation : démontrons la propriété pour n =1

On a que ||||() zz zz 11 ci1s()=cis== . La propriété est donc vraie au rang 1.

• Hypothèse de récurrence : supposons que la propriété est vraie pour un certain n ≥ 1, c’est-à-dire zz n nn=cis ||().

Montrons que la propriété est également vraie pour le rang n +1 zz z nn += 1 propriété sur les puissances

=cis()ci ||||s() zn z n hypothèse de récurrence

=cis ||+(+) zn n 1 produit de deux complexes sous forme trigonométrique

=cis ||+(+) ()zn n 11

• Conclusion : comme l’énoncé est vrai pour le rang 1 et est vrai lorsqu’on passe du rang n au rang n +1, la propriété est donc vraie pour tout naturel non nul.

Exemple

Si z =c2is 3 , alors z 3 3 23 3 23 3 =c8 is=cis=cis()

Propriété

Inverse d’un nombre complexe sous forme trigonométrique

Si zz=c||is() où ° et z ≠ 0 , alors 11 zz =cis||()

Démonstration

Soit zz=c||is() où °.

On a que : 11 zz = ci ||s()

= + 11 ||cos()sin() zi

=+ 1 ||22 cos()sin() cos()sin() z i par l’inverse d’un complexe sous forme algébrique

= 1||1 cos()sin() z i par la formule fondamentale de la trigonométrie

=-+1 ||(cos()sin()) z i car deux angles opposés ont mêmes cosinus et ont des sinus opposés

=c1is||() z

Exemple

Si z =c2is 3 , alors 11 23 z =cis-

Remarque

Cette propriété permet de généraliser la formule de De Moivre en autorisant les puissances négatives de la manière suivante : si z est un complexe non nul tel que zz=c||is() , alors n ¢,|| zz n nn=cis()

Propriété

Quotient de deux nombres complexes sous forme trigonométrique

Si zz=c||is() et zz=c||is() où , ° et z 0 , alors z z z z =cis ||(-) ||

Démonstration

Soient zz=c||is() et zz=c||is() où , °.

On a que : z z z z = 1

=ciscis( ||-) ()|| z z 1 par l’inverse d’un complexe sous forme trigonométrique

=cis ||(+-) ||() z z 1 par le produit de deux complexes sous forme trigonométrique

=cis ||(-) || z z

Exemple

Si z =c2is 3 et z =c3is 4 , alors z z =

Remarque

=cis-=cis

Si les complexes z et ′ z sont donnés sous forme exponentielle, c’est-à-dire si zz e i =|| et zz e i =|| où , °, alors les opérations deviennent :

• pour le produit : zz zz e i =+||||()

• pour l’inverse : 11 zz e i =|| si z ≠ 0

• pour le quotient : z z z z e i =|| || () si z ≠ 0

• pour la formule de De Moivre : si n ∈ •0, zz e nn in =||

On retrouve donc les mêmes règles sur les puissances que celles étudiées pour des exponentielles réelles, d’où l’intérêt de cette forme.

Propriétés

Propriétés sur le module d’un nombre complexe

Si z et ′ z sont deux nombres complexes et n ∈ •0, alors :

• |||||| zz zz =

• 11 zz = || si z ≠ 0

• z z z z =|| || si z 0

• |||| zznn =

Remarque

Ces propriétés découlent des opérations sur les nombres complexes écrits sous forme trigonométrique.

Interprétation géométrique des opérations sur les complexes

Propriété

Interprétation géométrique de l’addition de deux complexes

Soient les complexes z et ′ z , respectivement les affixes des points Z et ′ Z placés dans le plan de Gauss d’origine O

Le complexe zz + ′ est l’affixe du point A si OA OZOZ ur

Propriété

Interprétation géométrique du produit d’un complexe par un réel

Soient un réel k et un complexe z , l’affixe du point Z placé dans le plan de Gauss d’origine O

Le complexe kz est l’affixe du point P si OP kOZ ur

Propriété

Interprétation géométrique du produit de deux complexes

Soient les complexes zz=c||is() et zz=c||is()

Le complexe zz est l’affixe du point P appartenant au cercle de rayon |||| zz et formant un angle avec l’axe réel de +

imaginaire

Propriété

Interprétation géométrique du quotient de deux complexes

Soient le complexe zz=c||is() et le complexe non nul zz=c||is()

Le complexe z z ′ est l’affixe du point Q appartenant au cercle de rayon || || z z ′ et formant un angle avec l’axe réel de.

Propriété

Transformation du plan et nombres complexes

Soient les réels φ, k et le complexe zz=c||is()

• La transformation du plan qui à z associe son opposé - z est la symétrie de centre O .

• La transformation du plan qui à z associe son conjugué z est la symétrie d’axe réel.

• La transformation du plan qui à z associe ′ zz t =+ est une translation de vecteur OT ur d’affixe t

• La transformation du plan qui à z associe zz=cis ||(+) est la rotation de centre O et d’angle φ.

• La transformation qui à z associe zk z = est une homothétie de rapport k et de centre O.

• La transformation qui à z associe zk z =cis ||(+) est la similitude directe de centre O, de rapport k et d’angle φ.

EXERCICES

1. Exprime sous la forme abi + où ab,{;;} ∈ -101 :

(a) i 14 (b) i 59

2. Calcule dans £.

(a) ()() 8475 +--ii (b) ()() 2543 ii -+ ⋅ (c) 333 ii (d) ()462 - i (e) 105 4 4 10 ciscis (f) 7 6

3 cis cis (g) 1 i

1 34 + i

177 15 2i i (k) |()| 212 i - (l) |()| 2112 i(m) 22 7 5 cis- (n) 311 2 98 ++i i i (o) 5 10 5 8 6 cis cis (())

7 7 +i i

3. Donne la partie réelle et la partie imaginaire du complexe zi i =-32 18 () .

4. Donne la forme trigonométrique du nombre complexe zi =--443 5 .

5. Résous les équations suivantes dans £.

(a) iz i +=+7510

(e) 5346 zz i +

(b) zi i +=2129

(d) ()() 5837244 +=++ iz ii zi

(f) () 121 = iz iz

6. Considérons les nombres complexes z1 et z2 , affixes des points Z1et Z 2 . Représente graphiquement les nombres complexes suivants.

(a) az=21

(d) d z z =1 2

(b) bz z = 12 ⋅

(e) ei z = 2

(f) fz z =+ 12 –6–5–4–3–2–10123456

7. Les complexes z A et zB sont les affixes respectivement des points A(;) 49 et B (;) 22

(a) Donne le complexe z1 qui est l’affixe du point obtenu par la translation du vecteur OA ur du point B

(b) Donne le complexe z2 qui est l’affixe du point obtenu par la symétrie de centre (;) 00 du point A.

(d) Donne le complexe z4 qui est l’affixe du point obtenu par la rotation de centre (;) 00 et d’angle π 2 du point A

(e) Donne le complexe z5 qui est l’affixe du point obtenu par la similitude directe de centre (;) 00 , de rapport 4 et d’angleπ 6 du point B .

8. Soit z un nombre complexe. Montre que |||| zz zz==-=-

9. Soit °. Montre que l’inverse de cis() θ est son conjugué.

Considérons les nombres complexes z14 =cis et z26 =cis .

(a) Calcule z z z =1 2

(b) Donne z1 et z2 sous forme algébrique.

En utilisant la forme trigonométrique d’un nombre complexe, démontre les formules de duplication du sinus et du cosinus.

Considérons °. À l’aide des nombres complexes, exprime sin() 3θ en fonction de sin() θ

Soient les complexes z A et zB représentés dans le plan de Gauss par les points A et B

(a) Donne une relation entre z A et zB permettant de calculer la distance entre les points A et B

(b) Donne une relation entre z A et zB permettant de calculer la mesure de l’angle AOB µ où O est l’origine du plan de Gauss.

I. montre que le triangle AOB est isocèle sans passer par les coordonnées des points A et B ; II. calcule la mesure des angles internes du triangle AOB à l’aide des nombres complexes.

Soient les points Aa b (;) et ′′′Aa b () ; placés dans le plan de Gauss d’origine O où A et ′A sont distincts de l’origine.

À l’aide des nombres complexes, montre que les droites OA et OA′ sont perpendiculaires si et seulement si aa bb +=0.

Détermine le lieu géométrique des points Z d’affixes z tels que zi z= 2 1 1.

Résous le système suivant dans £ et interprète géométriquement ton résultat.

3. Racines nièmes d’un nombre complexe

DÉCOUVERTE

Activité 1 Résoudre une équation du deuxième degré dans £

1. Considérons l’équation du deuxième degré zz2450 = .

(a) Cette équation possède-t-elle des solutions dans ° ? Justifie.

(b) Cherchons à résoudre cette équation dans £

I. Réécris ∆ en utilisant la relation i 21 =-

II. Sachant que les racines carrées d’un nombre complexe z sont les complexes w tels que wz 2= , trouve les racines carrées complexes de ∆

III. Calcule maintenant les solutions de l’équation.

2. Considérons l’équation du deuxième degré zz i 22670 ++-=

(a) Calcule ∆, de la même manière qu’en 4e année.

(b) Recherchons les racines carrées complexes de ∆ , c’est-à-dire recherchons ab , ∈ ° tels que () abi+= 2 ∆.

I. Transforme l’équation () abi+= 2 ∆ en développant () abi+2 , puis utilise la définition de l’égalité entre deux nombres complexes afin d’exprimer cette équation à l’aide d’un système.

II. Développe l’égalité des modules |()||| abi+= 2 ∆ et ajoute cette troisième égalité à ton système.

III. Résous ce système et déduis-en les racines carrées complexes de ∆.

Même si le discriminant ∆ est un réel négatif ou un nombre complexe, tu viens de découvrir qu’une équation du second degré à coefficients complexes admet des solutions dans £.

Activité 2 Rechercher les racines cubiques d’un complexe

Recherchons les racines cubiques du complexe z = 8i.

1. Écris z sous forme trigonométrique.

2. Recherchons les complexes ww=c||is() tels que wz 3= .

(a) Transforme l’équation wz 3= en développant w 3 grâce à la formule de De Moivre, puis utilise la définition de l’égalité entre deux nombres complexes afin d’exprimer cette équation à l’aide d’un système.

(b) Isole || w et θ dans ce système.

3. Représente ces racines cubiques dans le plan de Gauss. Quelle figure géométrique obtient-on si on relie les points placés ?

πG

Les racines cubiques d’un complexe non nul forment les sommets d’un triangle équilatéral. De façon générale, les racines nièmes d’un complexe z non nul sont réparties régulièrement sur un cercle centré en O, de rayon égal à la racine nième du module de z. Elles forment les sommets d’un polygone régulier à n côtés.

THÉORIE

Racines carrées complexes et résolution d’équations du deuxième degré dans £

Définition

Racine carrée d’un nombre complexe

Soit z ∈ £

Le complexe w est une racine carrée de z si w 2 = z

Propriété

Racines carrées d’un nombre complexe

• Tout nombre complexe non nul possède deux racines carrées complexes, opposées l’une à l’autre.

• Le complexe 0 possède une unique racine carrée complexe, qui est 0.

Méthodo

Rechercher les racines carrées d’un nombre complexe sous forme algébrique

Soit z ∈ £0

Pour déterminer wa bi =+ où a, b ∈ ° tels que wz 2= , il faut :

1. développer () abi+2 dans l’égalité () abiz += 2 ;

2. écrire cette égalité sous forme d’un système en utilisant la définition de l’égalité de nombres complexes ;

3. ajouter l’égalité des modules |||| ww22 = à ce système ;

4. résoudre ce système ;

5. écrire les deux racines carrées complexes de z qui sont les complexes w trouvés.

Exemple

Recherchons les racines carrées complexes de 34 + i , c’est-à-dire recherchons wa bi =+ où a, b ∈ ° tels que wi 234 =+

On a que :

On sait également que :

w 2

Dès lors, on a que :

Il reste à trouver les valeurs possibles de b en fonction des valeurs possibles de a :

• si a = 2, alors b == 2 2 1 ;

• si a = –2, alors b ==2 2 1

On en conclut que les racines carrées complexes de 34 + i sont 2+ i et 2 i .

Vérification : (())() ±+=+=++=+-=+ 222444134 2222ii ii ii .

Remarque

L’étape 3 de cette méthodologie est facultative : il est possible de résoudre le système obtenu à l’étape 1 sans ajouter d’égalité supplémentaire. Toutefois, l’ajout de l’égalité des modules permet de simplifier les calculs. En scannant le code QR ci-contre, tu trouveras la résolution de l’exemple précédent sans ajouter l’étape 3 de la méthodologie. Documents

Définition

Discriminant d’un polynôme du deuxième degré à coefficients complexes

Soit az bz c 2++ un polynôme du deuxième degré où a ∈ £0 et b, c ∈ £

Le discriminant de az bz c 2++ est le nombre complexe ∆ défini par ∆ =-bac 24

Propriété

Lien entre discriminant et solution(s) d’une équation du deuxième degré dans £

Considérons l’équation az bz c 20 ++= où a ∈ £0 et b, c ∈ £ dont le discriminant du polynôme az bz c 2++ est ∆

• Si ∆ =0, l’équation possède une unique solution : z b a =2 .

• Si 0, l’équation possède deux solutions distinctes : z bw a12 = -+ et z bw a22 = où w est une racine carrée complexe de ∆

Racines nièmes d’un complexe

Définition

Racine nième d’un nombre complexe

Soit z ∈ £

Le complexe w est une racine nième de z si wz n =

Propriété

Nombre de racines nièmes d’un nombre complexe

• Tout nombre complexe non nul possède n racines nièmes complexes, et les points-images des racines nièmes sont les sommets d’un polygone régulier à n côtés.

• Le complexe 0 possède une unique racine nième complexe, qui est 0.

Remarque

Cette propriété implique que toute équation de la forme za n = où a ∈ £0 possède n solutions distinctes.

Méthodo

Rechercher les racines nièmes d’un nombre complexe

Soient z ∈ £0 et n ∈ •0

Pour déterminer ww=c||is() tels que wz n = , il faut :

1. développer w n à l’aide de la formule de De Moivre dans l’égalité wz n = ;

2. écrire cette égalité sous forme d’un système en utilisant la définition de l’égalité de nombres complexes ;

3. isoler || w et θ dans ce système ;

4. déterminer tous les complexes w qui ont des points-images distincts dans le plan de Gauss.

Exemple

Recherchons les racines quatrièmes de 256 2 cis , c’est-à-dire les complexes ww=c||is() tels que w 4256 2 =cis .

On a que :

• Si k = 0, alors w 048 =cis .

• Si k = 1, alors w1482458 =cis+=cis .

• Si k = 2, alors w 24822498 49 8 =c247 is+=cis=cis-=cis8

• Si k = 3, alors w 34832413 8 413 8 =c24 is+=cis=cis-=cis3 8

Les racines quatrièmes de 256 2 cis sont 4 8 cis , 45 8 cis , 47 8 cis- et 43 8 cis-

Leurs points-images forment un carré inscrit dans le cercle de rayon 4 centré en (0; 0) dans le plan de Gauss. axe réel –4–2 0 24 –4 –2 2 4 axe imaginaire

NOMBRES COMPLEXES

Remarque

Pour déterminer les racines nièmes d’un nombre complexe non nul écrit sous forme algébrique, il faut d’abord écrire ce complexe sous forme trigonométrique.

EXERCICES

1. Détermine les racines carrées des nombres complexes suivants.

(a) 13

(e) 68 + i

(g) 43 8 cis

(b) –25

(d) 2099 i -

(f) –i

(h) 814 5 cis-

2. Résous dans £ les équations du deuxième degré ci-dessous.

(a) zz262-+50 =

(e) zz iz i212111060 -+=-

(b) ()() 63622 2 -+-=iziz

(d) zz i 2790 ++-=

(f) iziz zi 251++02 =--

3. Pour chaque nombre complexe, recherche les racines nièmes demandées et représente leurs pointsimages dans le plan de Gauss.

(a) Les racines quatrièmes de 164 3 cis

(b) Les racines cinquièmes de 1 2 3 2 + i .

4. Recherche, sous forme algébrique, les racines cubiques de –64i.

5. Soient zi 145 =- et z259 =cis

(a) Donne le complexe z dont z1 est une racine carrée et déduis-en sa deuxième racine carrée.

(b) z2 est une racine cubique de ′ z

I. Que vaut ′ z ?

II. Sans les calculer, représente toutes les racines cubiques de ′ z dans le plan de Gauss.

6. Résous dans £ les équations suivantes.

(a) z 61000000 = (b) zi 3=- (c) zi431 =--

7. Considérons l’équation zi 42896 =-

(a) Montre que 3 – i est une solution de cette équation.

(b) Exploite le point (a) afin de donner toutes les solutions complexes, sous la forme a + bi où a, b ∈ °, de cette équation.

Synthèse

Définition

• Un nombre complexe z est un nombre qui peut s’écrire sous la forme za bi =+ où a, b ∈ ° et i 21 =.

• L’ensemble des nombres complexes est noté £

Formes algébrique et trigonométrique d’un nombre complexe

Forme algébrique

za bi =+ où a, b ∈ °

Écriture et vocabulaire associé

• a est appelé la partie réelle de z, que l’on note Re() z ;

Forme trigonométrique

• b est appelé la partie imaginaire de z, que l’on note Im() z . zz=c||is() où θ∈ °

• || z est appelé le module de z ; • θ est appelé un argument de z.

Représentation dans le plan de Gauss –4–2 0 24

4 axe réel axe imaginaire a b Z(a; b) –4–2 0 24 –4 –2 2 4 θ axe réel axe imaginaire θ |z|cos( ); Z θ |z|sin( ) || z || z || z

Conjugué za bi =- zz=c||is-()

Opérations dans £

• Puissances de i : Si n ∈ •, alors

• i n 41 = • ii n 41+= • i n 421 +=- • ii n 43+=-

• Opérations de base dans £ :

Forme algébrique

Soient z =a +bi et ′′′z= a+ bi où a, b, a, b ′′ ∈ °

Forme trigonométrique

Soient z= z || cis( )θ et z= z || cis( ) où , ∈ °

Égalité zz aa bb = = = • si z ≠ 0, zz k z k z = = =+ ¢ , |||| 2 • si z =0, zz zz ===||||0

COMPLEXES

Forme algébrique

Soient z =a +bi et ′′′z= a+ bi où a, b, a, b ′′ ∈ °.

Forme trigonométrique

Soient z= z || cis( )θ et z= z || cis( ) où , ∈ °.

Somme zz aa bb i +=+++′′′ ()() Pas de formule simple

Produit zz aa bb ab ab i =-++ ()() zz zz =c||is+||()

Inverse (si z  0 ) 11 2 zz z z z z == || 11 zz =cis||()

Quotient (si ′ z  0 ) z z z z z z zz z == ||2 z z z z =c||is||()

Puissance Pas de formule simple

Transformations du plan

Soient les réels φ, k et le complexe zz=c||is().

Formule de De Moivre : ∀n ∈ •0, zz n n n =c||is()

• La transformation du plan qui à z associe son opposé –z est la symétrie de centre O

• La transformation du plan qui à z associe son conjugué z est la symétrie d’axe réel.

• La transformation du plan qui à z associe ′ zz t =+ est une translation de vecteur OT ur d’affixe t.

• La transformation du plan qui à z associe zz=c||is+() est la rotation de centre O et d’angle φ

• La transformation qui à z associe zk z = est une homothétie de rapport k et de centre O.

• La transformation qui à z associe zk z =c||is+() est la similitude directe de centre O, de rapport k et d’angle φ.

Racine carrée et racine nième d’un nombre complexe

Soit z ∈ £

• Le complexe w est une racine carrée de z si wz 2= .

• Tout nombre complexe non nul possède deux racines carrées complexes, opposées l’une à l’autre.

• Le complexe 0 possède une unique racine carrée complexe, qui est 0.

• Le complexe w est une racine nième de z si wz n = .

• Tout nombre complexe non nul possède n racines nièmes complexes et les points-images des racines nièmes sont les sommets d’un polygone régulier à n côtés.

• Le complexe 0 possède une unique racine nième complexe, qui est 0.

EXERCICES RÉCAPITULATIFS

1. Coche la bonne réponse.

(a) La partie imaginaire du complexe zi=-42 est :

(b) Le conjugué du complexe zi =--54 est :

(d) Le module du complexe zi =-65 est :

(e) La partie réelle de z =c -2is 3 est :

(f) L’opposé du complexe z =c15is5 est :

(g) La forme trigonométrique du complexe zi =-8 est :

(h) Si z =c4is11 6 et z =c -2is 4 , alors l’argument principal de z z ′ est :

(i) Si z =c4is11 6 et z =c -2is 4 , alors le module de zz est :

(j) Diviser un complexe z par i correspond géométriquement à réaliser :

une rotation de centre O et d’angle π 2 du point-image de z

une rotation de centre O et d’angleπ 2 du point-image de z.

une symétrie par rapport à l’axe réel du point-image de z.

une symétrie par rapport à l’axe imaginaire du point-image de z

2. Considérons les nombres complexes zi 145 =-+ , z23718 =cis- et z3234 =cis .

(a) Représente z1 , z2 et z3 dans le plan de Gauss.

(b) Représente le conjugué de z1 dans le plan de Gauss.

(d) Illustre graphiquement le module et l’argument de z3.

(e) Place le point P dans le plan de Gauss sachant que pz z = 23 est l’affixe de P.

3. Calcule dans £.

(a) ()() 4314-++ii

(e) ()() 58435 +-+ii i

(g) 1 122 () - i

(i) + 17 43 8 i i

(k) 134 5 cis-

(m) 83 8 4 2 cis cis

(b) ()() 153127-+ ii i

(d) 98 i +

(f) 614 25 + + i i

(h) i i i i 1010 +-

(j) 23 4 4 6 ciscis-

(l) 52 3 4 cis

(n) 62 3 23 10 2 3 cis cis

4. Recherche les racines carrées des nombres complexes suivants.

(a) -8

(e) i

(b) 125 i -

(d) 145+ i

(f) 254 9 cis-

5. Recherche les racines sixièmes de –27, exprime-les sous forme algébrique et sous forme trigonométrique et représente-les dans le plan de Gauss.

6. 2i est une racine cinquième d’un nombre complexe z

(a) Détermine la valeur de z

(b) Représente toutes les racines cinquièmes de z dans le plan de Gauss.

7. Résous dans £ les équations suivantes.

(a) 43227 zi iz +-=-

(e) 210121 255 zizi z +-+=-

(g) ()() 3320 2 ++= iziz i

(i) z 31 =

(b) 35214 zi zi z +=-+ ()

(d) iz iz i 28281 +-50 ()=

(f) zz ii zi2682344 +-+=+()

(h) z 52435 6 =cis-

(j) zi 4838 =-

8. Considérons les réels θ et . En utilisant les nombres complexes, retrouve les formules de cos() - et de sin() - en fonction des nombres trigonométriques de θ et de .

9. Considérons l’ensemble des points P d’affixe z tels que |()| zi = 23.

(a) Quel lieu géométrique est représenté dans le plan de Gauss par cette relation ? Sois précis(e).

(b) Détermine les réels b possibles afin que le point Ab (;)4 appartienne à cet ensemble de points.

(c) Donne les coordonnées de 2 points distincts, différents de ceux trouvés en (b), qui appartiennent à cet ensemble de points.

Considérons les complexes z A , zB , zC et zD , affixes respectives des points A (;) 11 , B (;) 2449 , C (;) 061 et D (; )-282 .

(a) Donne l’affixe de l’image de A par translation de vecteur OD ur .

(b) Donne l’affixe de l’image de A par rotation de centre O et d’angle π 4

I. Quel est l’argument principal de ce quotient ?

II. Déduis-en la nature du triangle ABC

DÉFI

Te rappelles-tu au début de ce chapitre ?

En 5e année, tu as démontré les formules du sinus et du cosinus d’un angle double en fonction du sinus et/ou du cosinus de l’angle.

Tu es maintenant capable de :

(a) démontrer de manière analogue les formules du sinus et du cosinus d’un angle triple et d’un angle quadruple ;

(b) généraliser les formules du sinus et du cosinus d’un multiple d’un angle.

Connecte-toi sur et entraîne-toi avec des exercices complémentaires.

ISBN : 978-94-651-4303-3 611308 vanin.be