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PERSPECTIVE MATH 1 – Livre-cahier
Composition de Perspective Math 1
Pour l’élève
1 livre-cahier – des exercices numériques via Pour l’enseignant(e) – un guide de l’enseignant(e) – un accès professeur via au manuel numérique, aux compléments et aux exercices numériques
Auteurs : Maryse Bams, Virginie Caro, Marlène Colin et Emmanuel Wiard
Couverture : Nor production
Mise en page : Nord Compo
Illustrations : Julien Gallot
Certaines images ont été générées par un système d’intelligence artificielle (IA) et ont été approuvées par l’examen du contenu par Shutterstock. L’orthographe telle que rectifiée le 6 décembre 1990 par le Conseil Supérieur de la langue française est d’application dans la collection. Toutefois, afin de respecter les écrits des auteurs des citations, l’orthographe d’origine y est respectée.
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1re édition : 2026
ISBN 978-94-651-4178-7 D/2026/0078/52
Art. 609315/01
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V I T P T C 6 C 4 9 F 5 H 6
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La méthode Perspective Math te propose une manière concrète et active d’apprendre les mathématiques en les reliant à des situations réelles et à des défis proches de ta vie quotidienne.
En observant ces situations, tu apprendras à réfléchir, à résoudre des problèmes et à assimiler différents concepts mathématiques. Les apprentissages sont organisés de façon graduelle afin de t’aider à structurer tes idées et à construire tes connaissances pas à pas.
Les mathématiques sont présentes partout autour de toi. Grâce à Perspective Math , tu découvriras leur utilité au quotidien et tu apprendras à expliquer tes démarches ainsi qu’à mieux comprendre ta façon de raisonner. Tu gagneras dès lors en autonomie et en confiance.
Comment utiliser ton livre-cahier ?
Chaque chapitre commence par un travail sur les prérequis puis te propose une situation réelle ou un défi à relever.
Tu découvriras ensuite les notions à travers une multitude d’activités et d’exercices. Ton apprentissage sera ponctué de moments dédiés à la réflexion qui te permettront de t’approprier, avec tes propres mots, ce que tu as compris.
À la fin du chapitre, tu pourras résoudre le défi initial et consolider tes acquis grâce à des exercices complémentaires. Tu auras à ta disposition les notions et savoir-faire découverts, te créant ainsi pas à pas un véritable référentiel que tu étofferas en 2 e et en 3 e années.
Prêt(e) à adopter une nouvelle perspective sur les mathématiques ?
Quelques balises
S ouviens-toi
Je rédige mon procédé
CÔTÉ PRATIQUE
CÔTÉ THÉORIQUE
Cette rubrique propose des exercices de révision.
Cette rubrique t’invite à rédiger ta propre démarche.
Cette rubrique rassemble, sous la forme d’étiquettes visuelles, les différents concepts et savoir-faire à retenir.
Cette rubrique reprend les définitions des notions et les notations mathématiques rencontrées au sein du chapitre.
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E.
F.
Table des matières
C. Somme et différence de deux nombres
D.
E.
F.
H.
CHAPITRE 4. REPÉRAGE DANS LE PLAN
CHAPITRE 5.
CHAPITRE 6. FIGURES
ET POURCENTAGES
CHAPITRE 7. TRAITEMENT DE DONNÉES
CHAPITRE 8. PÉRIMÈTRE ET AIRE DE FIGURES PLANES
de réflexion
A. Périmètre de polygones
B. Périmètre du cercle
C. Aire de figures simples
D. Aire du disque
E. Aire et périmètre de figures complexes
Côté
CHAPITRE 9. EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES
A. Suites arithmétiques illustrées et expressions algébriques
B. Suites numériques et écritures algébriques d’un nombre
C. Longueurs et expressions algébriques
D. Aires, volumes et expressions algébriques
E. Sommes et produits algébriques
F. Équations et graphes fléchés
G. Langage courant et expressions algébriques
A. Grandeurs directement proportionnelles et liens multiplicatifs internes
B. Grandeurs directement proportionnelles et lien multiplicatif externe
C. Grandeurs directement proportionnelles et représentation graphique
D. Grandeurs directement proportionnelles ou non
mouvements
C. Symétrie orthogonale
G. Centre de symétrie
H. Exercices
s ouviens-toi
CHAPITRE 1
D ifférents types D e
1. Place les nombres 3, 5, 8 et 10 sur les lignes graduées. 14
nombres
4 4
2. Recopie le nombre en groupant correctement les chiffres. Ensuite, écris-le en toutes lettres.
360000 = 12300000 =
360 000 Trois-cent-soixante-mille
3. Écris le chiffre correspondant à chaque rang indiqué dans le nombre 521,437 8.
5. Entoure dans une couleur identique les différentes écritures d’un même nombre.
L’expression « pour cent » provient du latin per centum qui signifie « par cent ».
transformation de l’écriture d’un nombre
1. Dans chaque cas, entoure l’(les) écriture(s) équivalente(s) au nombre proposé.
2. Transforme chaque nombre décimal en fraction. 0,9 = 0,07 =
= 1,11 = 1,9 =
3. Donne l’écriture décimale de chaque fraction.
=
4. (1) Comme dans l’exemple proposé, transforme, si possible, chaque fraction en une fraction décimale équivalente puis convertis-la en nombre décimal.
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est égal à 10 , 100 , 1 000 , 10 000 9 10 , 47 100 et 951 1 000 sont des fractions décimales.
(2) Recopie les fractions qui ne possèdent pas de fractions décimales équivalentes. Donne leur écriture décimale et décris les nombres obtenus.
Ce sont des nombres décimaux illimités périodiques.
5. Au football, lors d’une séance d’entrainement, Ambre a réussi 7 pénaltys sur 10 tentatives alors que Mathéo en a réussi 17 sur 25.
Détermine le taux de réussite de chacun en pourcentage.
fractions équivalentes
1. (1) À l’aide de la valeur figurant sur les dix premières cartes d’un jeu de cartes, crée cinq fractions équivalentes, toutes égales à 0,5. 0,5 = = = = =
(2) Donne à présent une valeur à la dame et au roi pour pouvoir utiliser les deux cartes qui n’ont pas été sélectionnées dans l’exercice précédent.
3. Retrouve les paires de fractions équivalentes et note-les sous la forme d’une égalité. Justifie ton choix en indiquant les opérations permettant de passer de l’une à l’autre.
4. Complète les fractions.
5. Écris les fractions sous la forme d’une fraction équivalente dont le numérateur vaut 10.
=
6. Écris les fractions sous la forme d’une fraction équivalente dont le dénominateur vaut 12.
7. Écris la fraction 15
sous la forme d’une fraction dont le…
8. Écris chaque fraction sous la forme d’une fraction équivalente dont le dénominateur est le plus petit possible. Complète ensuite la phrase.
Les fractions équivalentes trouvées sont dites
Je rédige mon procédé pour rendre une fraction irréductible
9. Rends les fractions irréductibles.
10. Écris la fraction irréductible correspondant à chaque nombre décimal.
Droite graduée
1. (1) Sur la droite graduée, détermine le nombre correspondant aux différents points bleus.
A 0 B 1 C D E F
Sur une droite graduée, chaque point peut être associé à un nombre qu’on appelle abscisse du point.
L’abscisse du point B est 1.
On note : abs B = 1.
Abscisse vient du mot latin abscissa qui signifie « ligne coupée ».
(2) Complète.
abs A = abs C = abs D = abs E = abs F =
2. Détermine l’abscisse de chaque point nommé. (1) N 3 M 4 P abs M = abs N = abs P = (2) 2 X Y V
3. Place, sur la droite graduée, les points W, X, Y et Z si tu sais que…
Z = 4,7 A 0 B 1
4. Place, sur la droite graduée, les points A, B et C si tu sais que… abs C = 1,2 abs B = 0,8 abs A = 0,3 0 1
A B C 0,3 0,8 1,2 3,1
5. Place, sur la droite graduée, les nombres 3,1 ; 3,35 ; 3,7 ; 4,1.
6. Place, sur chaque droite graduée, les fractions données. (1) 1 2 3 4 1 8 3 2 ,, et 0 1 (2) 2 3 1 6 7 3 9 3 ,, et 0 1 (3) 1 3 1 2 7 6 1 4 ;; et 0 1
7. Complète chaque égalité par une fraction et par le nombre décimal qui lui correspond.
Je rédige mon procédé pour placer une fraction ou un nombre décimal sur une droite graduée
Comparaison
1. À l’entrée d’un parc d’attractions, on peut trouver une affiche reprenant les différents tarifs pratiqués.
Claude est père de famille, il mesure 1,80 m. Il souhaite passer une journée dans le parc d’attractions accompagné de ses deux enfants, Pierre et Julie, mesurant respectivement 95 cm et 1,38 m.
Détermine la somme totale que Claude devra débourser pour passer la journée dans ce parc d’attractions accompagné de ses deux enfants. Justifie.
Le tarif pour Claude est de 49 €, car 1,80 m > 1,40 m.
Le tarif pour Pierre est de 0 €, car 0,95 m < 1 m.
Le tarif pour Julie est de 44 €, car 1,38 m > 1 m et 1,38 m < 1,40 m.
La somme totale déboursée par Claude est de 93 € (49 + 44 + 0).
2. (1) Place, sur la droite graduée, les nombres 1
;
(2) Complète par <, > ou =.
3. Complète par <, > ou =.
4. Classe dans l’ordre décroissant 2
;
;
;
;
;
e ncadrement et valeurs approchées
1. Lis attentivement la bande dessinée.
SAMEDI, CHEZ LISE. Dis, Lise, Sais-tu encadrer la fraction ?
Mais bien entendu… Regarde !
Mais pas du tout… Tu l’as encadrée alors que je te demandais de l’encadrer, au sens mathématique…
Ah ? Non, je ne sais pas…
(1) Comment appelle-t-on la notation rencontrée dans la BD ? Quel est son degré de précision ?
Cette notation est l’encadrement de 11 4 à l’unité près.
Et bien, voici comment on encadre !
Merci Alba ! Comme notre langue est subtile !
(2) Que signifie cette notation ?
(3) Donne l’écriture décimale de 11 4
(4) Complète les phrases et les inégalités.
La valeur exacte de 11 4 est
La valeur approchée par défaut à l’unité près de 11 4 est , car <
La valeur approchée par excès à l’unité près de 11 4 est , car <
2. (1) Donne l ’ écriture décimale de 7 6
Cela signifie que 11 4 est supérieur à 2 et inférieur à 3. 11 4 est compris entre 2 et 3. 11 4 = 2,75 7 6 = 1,166…
(2) Encadre 7 6 à l’unité près :
au dixième près : au centième près : au millième près :
Je rédige mon procédé pour encadrer une fraction positive, avec la calculatrice
3. Réponds aux questions en indiquant ton calcul, la valeur approchée que tu as choisie ainsi que son degré de précision.
(1) Un barman doit remplir des verres de 15 cl. Combien de verres pourra-t-il remplir avec une bouteille de 1 l ?
1 l = 100 cl 100 : 15 = 6,66…
Le barman pourra remplir 6 verres mais pas 7.
Je choisis la valeur approchée par défaut à l’unité près.
(2) Un jardinier doit clôturer un potager de 80 m de périmètre. Combien de rouleaux de 25 m de fil doit-il acheter ?
80 : 25 = 3,2
Il doit acheter 4 rouleaux de fil, car 3 rouleaux ne suffisent pas.
Je choisis la valeur approchée par excès à l’unité près. 0,43
4. Détermine la valeur approchée par défaut (V.A.D.) ou la valeur approchée par excès (V.A.E.) au degré de précision demandé.
Je rédige mon procédé pour encadrer une fraction positive à l’unité près, sans calculatrice
Arrondis
1. Voici les écrans de trois pompes à essence d’une station-service.
Note tes observations. H
Écris le calcul qui te permet de déterminer le prix à payer par client et effectue-le. Compare tes réponses avec les prix affichés à la pompe.
Pompe 1 : 51,26 1,743 = 89,346 18 €
Pompe 2 : 36,47 1,617 = 58,971 99 €
Pompe 3 : 33 . 1,725 = 56,925 €
Le prix affiché à la pompe correspond au résultat arrondi au centième près.
Pour arrondir au centième près, on prend la V.A.D. si le chiffre des millièmes est inférieur à 5 et la V.A.E. s’il est égal ou supérieur à 5. 5 6 6
Pompe 1
Pompe 2
Pompe 3
Je rédige mon procédé pour arrondir un nombre, la précision étant donnée
2. Calcule le prix à indiquer sur l’écran de chacune des pompes.
1,743 . 25 = 43,575
Prix à payer : 43,58 €
1,564 . 42,14 = 65,906 96
Prix à payer : 65,91 €
1,617 38,14 = 61,672 38
Prix à payer : 61,67 €
3. Tom prépare le thé et fait chauffer de l’eau. Il dit qu’elle atteint 95 °C, mais il arrondit cette température au degré près. Quelle pourrait être la température exacte de l’eau ?
Entoure les bonnes réponses.
4. Dans un concours de lancer de frisbee, un concurrent atteint la distance de 143,47 m. Arrondis cette distance au mètre près.
143 m 13/20
5. Mila a obtenu 12,87 sur 20 de moyenne aux évaluations de la période.
(1) Calcule sa moyenne… sur 20, arrondie à l’unité près. en pour cent, arrondie au pour cent près.
12,87 . 5 = 64,35 ≅ 64 %
(2) Les deux valeurs trouvées sont-elles équivalentes ? Explique.
Les valeurs ne sont pas équivalentes. 13 20 65 100 = 65 100 64
6. La vitesse de la lumière est de 299 792 458 m/s.
Entoure l’arrondi correct de cette vitesse.
3 000 m/s 3 000 000 m/s 30 000 m/s 300 000 000 m/s
7. En Grande-Bretagne, la monnaie est la livre sterling. Tom se rend à Londres et souhaite échanger 100 €.
Quel montant, en livre sterling et au cent près, recevra-t-il si le taux de change du jour est 1 € = 0,852 15 GBP ( Great Britain Pound ) ?
100 . 0,852 15 = 85,215 ≅ 85,22 GBP
PARTIE 2
nombres né GAtifs
n ombres entiers
1. (1) Sur les différentes coupures de presse proposées, repère les villes pour lesquelles les températures ont été relevées.
Écris, sur le thermomètre, le nom de chacune d’elles en face de la température qui lui correspond.
Au même moment, un jour du mois de janvier dans le monde…
Londres
Washington
Berlin
Fribourg
Prague
Stockholm
(2) Reporte les températures sur la droite graduée. Nomme chaque point par la première lettre de la ville correspondante. 0 1
- 2 - 3 - 4 - 5 - 6
3
(3) Washington et Tokyo enregistrent des températures opposées. Décris la position des points W et T sur la droite graduée.
Les points W et T sont situés à la même distance du point d’abscisse 0.
La valeur absolue d ’ un nombre est sa distance par rapport à 0. Elle se note entre deux barres verticales.
Complète : ||-= 2 ||2=
Je rédige ma définition de deux nombres opposés
(4) À l ’aide du thermomètre que tu as complété, réponds aux questions.
Fait-il plus chaud à Tokyo ou à Washington ?
Fait-il plus froid à Berlin ou à Stockholm ?
(5) Complète par < ou >.
Je rédige mon procédé pour comparer deux nombres entiers
Les nombres naturels et leurs opposés forment l’ensemble des nombres entiers, noté ℤ.
Ce symbole a été choisi en référence au mot d’origine allemande zählen , qui signifie « compter ».
Autres nombres négatifs
1. Dans certains pays, comme la Grande-Bretagne, on utilise d’autres unités de mesure.
Par exemple, le mile terrestre correspond à 1 609,344 m et le pied à 0,304 8 m.
(1) Transforme, en mètres, les altitudes indiquées en pieds.
12,192 - 6,096 - 12,192 - 18,592 8
(2) Complète chaque phrase par le mot « inférieure » ou « supérieure ».
Traduis-le en langage mathématique en comparant les altitudes exprimées en mètres.
Le plongeur se trouve à une altitude à celle du pingouin.
12,192 > - 6,096 - 18,592 8 < 1 2,1 92
Le pingouin se trouve à une altitude à celle du poisson.
inférieure
- 18,592 8 < - 6,096 inférieure supérieure
Le plongeur se trouve à une altitude à celle du poisson.
(3) Le pingouin est un animal capable de plonger. Sur la droite graduée en mètres de l’exercice (1), indique la profondeur du pingouin si tu sais qu’elle est opposée à son altitude de vol.
2. Lors d’une marche Adeps, Maud est partie un quart d’heure après 12 h tandis qu’Axel est parti trois quarts d’heure après 12 h. Julien quant à lui avait démarré trois quarts d’heure avant 12 h et Karim un quart d’heure avant 12 h.
(1) Sur la droite graduée en heures, où le zéro correspond à midi, place l’initiale de chaque marcheur au moment de son départ. Indique l’abscisse de chacun de ces points.
(2) Que peux-tu dire des abscisses des points J et A ?
3. Dans ce chapitre, tu as rencontré différents types de nombres. Tu sais maintenant que chacun d’entre eux possède un opposé, situé avant le zéro sur la droite graduée.
(1) Cite, si possible, deux nombres opposés…
naturels : décimaux limités :
entiers : décimaux illimités périodiques :
(2) Transforme les nombres décimaux limités que tu as cités en fractions irréductibles.
7,4 = 74 10
5 / 7,4 et - 7,4 3 et - 3 0,333… et - 0,333… Ces abscisses sont opposées.
5 = et - 7,4 = -
4. Relie chaque nombre à une fraction équivalente.
5. (1) Coche, si possible, la (les) fraction(s) opposée(s) au nombre décimal proposé. 1
- 0,01
0,2 - 0,1 - 0,2 0,02
(2) Un des nombres n’a pas d’opposé dans ce tableau. Lequel ?
(3) Écris son opposé sous forme décimale ainsi que sous la forme d ’ une fraction décimale et d ’ une fraction irréductible
Comparaison
1. (1) Place, sur la droite graduée, les points A, B, C, D et E si tu sais que… abs A = 3,4 abs B = - 6 abs C = - 7,3
3. Selon une croyance populaire, l’attrape-rêves empêche les cauchemars d’envahir le sommeil de son détenteur. Il est composé de plusieurs capteurs de rêves, parfois attachés les uns en dessous des autres.
(1) Sur l’attrape-rêves gradué, superpose les nombres égaux proposés, à la manière des capteurs de rêve.
(2) En t’aidant de l’attrape-rêves, complète par <, > ou =.
(3) Classe les nombres décimaux de cet exercice par ordre croissant.
Je rédige mon procédé pour comparer tous les types de nombres - 1,25 < - 0,5 < 0,25 < 1,375
Précision À l’unité près Au dixième près Au centième près13 883 198837 1 000
3. Entoure la ou les bonne(s) réponse(s).
(1) –87,2 est l’arrondi au dixième près de…
–87,19 –87,14 –87,173
(2) –928 est l’arrondi à l’unité près de… – 927,49 –927,09 –928,09
(3) –8,937 est l’arrondi au millième près de… – 8,937 5 –8,936 5 –8,936 2
(4) –37,73 est l’arrondi au centième près de…
–37,729 –37,736 –37,731
ensemb L es D e nombres
1. (1) Observe les nombres présents sur ces images et classe-les dans le tableau.
Entiers positifs = naturels
Un nombre entier est un nombre naturel. PARTIE 3
Bulletin du 1er trimestre Cours
Mathématique 62 % Français
Moyenne
Entiers négatifs
0 ; 1 ; 2 ; 6 ; 12 3 −1 ; −2 ; −3
Autres nombres
;
;
(2) Vrai ou faux ? Justifie à l’aide d’un nombre figurant dans le tableau.
Un nombre entier négatif possède une partie décimale nulle.
Vrai, car −1 = −1,0
Une fraction se transforme toujours en un nombre dont la partie décimale est non nulle.
Faux, car 12 3 = 4 = 4,0
Un pourcentage se transforme en une fraction.
Vrai, car 62 % = 62 100
7 6 est un nombre décimal limité.
Faux, car 7 6 = 1,166 … Il s’agit d’un nombre décimal illimité périodique.
Faux, car −3 est un entier négatif mais pas un naturel (entier positif).
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction dont le numérateur est un entier et le dénominateur est un entier non nul. Le symbole choisi pour noter l’ensemble des nombres rationnels est Q. Il vient de l’italien quoziente qui signifie « quotient ».
(3) Dans le tableau, quels sont les nombres rationnels ? Justifie.
Tous les nombres du tableau sont rationnels, car ils peuvent tous s’écrire sous la forme d’une fraction dont le numérateur est un entier et le dénominateur est un entier non nul.
2. (1) Souligne les nombres naturels ( ℕ ) en bleu, les nombres entiers ( ℤ ) en vert et les nombres rationnels ( ℚ ) en rouge. Tire ensuite une conclusion. −1517 225 5 −1 −0,3 0
Tous les nombres naturels ( N ) sont des nombres entiers ( Z) et tous les nombres entiers sont des nombres rationnels ( Q ).
(2) Sur le diagramme, complète l’étiquette ( ℕ, ℤ ou ℚ ) des trois ensembles représentés. Places-y les dix nombres. ℚ
- 0,3 - 1 - 15 6 0
17 2 1 325 5 210 10
3. Trace des croix dans le tableau pour préciser à quel(s) ensemble(s) appartiennent les nombres proposés.
(naturels)
(entiers)
(rationnels)
4. Barre, dans chaque liste, les nombres qui n’appartiennent pas à l’ensemble donné.
5. Complète par ∈ ou ∉ Le symbole ∈ signifie « appartient à ».
6. Donne l’écriture décimale de chaque nombre et indique le plus petit ensemble auquel il appartient.
e X er C i C es C omp L émentA ires
p artie 1. n ombres positifs
1. Retrouve parmi les fractions…
(1) celles qui correspondent à des nombres naturels. (2) celles qui correspondent à des nombres décimaux limités. (3) celles qui correspondent à des nombres décimaux illimités périodiques.
2. Donne l’écriture décimale de chacune des fractions.
3. Écris la fraction correspondant à chaque nombre décimal.
4. Transforme chaque fraction en une fraction décimale équivalente. Convertis-la ensuite en nombre décimal.
5. Complète.
6. Écris la fraction 15 60 sous la forme…
(1) d’une fraction dont le numérateur vaut 30.
(2) d’une fraction dont le numérateur vaut 5.
(3) d’une fraction dont le dénominateur vaut 12.
(4) d’une fraction dont le dénominateur vaut 180
7. Un intrus s’est glissé dans chaque série. Retrouve-le.
8. Rends les fractions irréductibles.
9. Complète le tableau afin de faire correspondre différentes écritures d’un même nombre.
10. Écris la fraction irréductible correspondant à chaque nombre décimal.
11. Place, sur chaque droite graduée, les points dont les abscisses sont données.
14. Classe dans l’ordre croissant 3 5 ; 1,2 ; 0,5 ; 7 5 ; 0,59 et 2 5 .
15. Classe dans l’ordre décroissant 1 2 ; 47 100 ; 0,4 ; 41 10 ; 9 20 et 21 50
16. Encadre à l’unité près et au centième près : 27 7 ; 378 47 et 55 13 .
17. Détermine, si possible…
(1) la V.A.D. de 77 32 à l’unité près.
(2) la V.A.E. de 78 31 au dixième près.
(3) la V.A.D. de 33 14 au centième près.
(4) la V.A.E. de 54 9 à l’unité près.
18. Arrondis à l’unité, au dixième près et au centième près : 236,269 ; 0,236 9 et 369,845.
19. La largeur de la porte d’une maison , arrondie au dixième de mètre près , est de 0,9 m. Entoure les largeurs possibles de cette porte.
0,84 m 0,92 m 0,87 m 0,94 m 0,96 m
20. La durée d’un film, arrondie à la dizaine de minutes près, est de 140 minutes.
Entoure les durées possibles de ce film. 141,1 min 134,9 min 145 min 137,2 min 147 min abs A = … abs B = … abs C = …
p artie 2. n ombres négatifs
21. Cite
(1) l’opposé de 13, de –1,3 et de 1 3 .
(2) l’opposé de l’opposé de 5 et de –3.
22. (1) Colorie, dans une même couleur, les paires de nombres opposés en sachant que l’un est écrit sous la forme d’une fraction et l’autre sous la forme d’un nombre décimal.
(2) Parmi les nombres que tu n’as pas coloriés, détermine les paires de nombres égaux.
23. (1) Écris chaque nombre sous la forme d’une fraction irréductible.
0,25 ; –1,2 ; –0,04 ; 3,5 ; –2,4
(2) Écris chaque fraction sous la forme d’un nombre décimal. –3 100 ; 3 2 ; –2 5 ; 4 25 ; –7 4
24. Place, sur la droite graduée, les points et leur abscisse. Complète ensuite les pointillés par < ou >
25. Place, sur la droite graduée, les points et leur abscisse. Classe ensuite les nombres dans l’ordre décroissant.
Abs K = –1 3 Abs L = –3 Abs M = –5 6 Abs N = –1,5 Abs P = –26 12
Des nombres opposés ont la même valeur absolue et des signes contraires.
ℕ est l’ensemble des nombres naturels. ℤ est l’ensemble des nombres entiers. ℚ est l’ensemble des nombres rationnels.
CHAPITRE 1 Différents types D e nombres
Encadrement
Valeurs inférieure et supérieure à une valeur exacte et à un degré de précision donné.
Au dixième près
2, 1 < 2,1 23 < 2, 2
−2, 2 < −2,1 23 < −2, 1
V.A.D.
Valeur Approchée par Défaut
Valeur exacte
Arrondi
V.A.E.
Valeur Approchée par Excès
L’ arrondi au dixième près de…
2,1 2 3 est 2,1 car le chiffre qui suit le chiffre des dixièmes est 0, 1, 2, 3 ou 4.
2,1 5 3 est 2,2 car le chiffre qui suit le chiffre des dixièmes est 5, 6, 7, 8 ou 9.
Différents types de nombres
Comparaison
–3,2 < –1,3 et
Le plus petit a la plus grande valeur absolue (= le plus éloigné de zéro).
–1,3 < 3,2 et + Le plus petit est le négatif. 1,3 < 3,2 + et +
Le plus petit a la plus petite valeur absolue (= le plus proche de zéro). –3,2 –1,3 0 1,3 3,2
n otion
Fraction
CÔ té t H éori QU e
Définition
Quotient d’un nombre entier par un nombre entier non nul.
Quotient Résultat d’une division.
Fraction décimale
Fraction dont le dénominateur vaut 10, 100, 1 000…
Pourcentage Écriture particulière d’une fraction dont le dénominateur est égal à 100.
Fractions équivalentes
Fraction irréductible
Droite graduée
Abscisse d’un point
Valeur approchée d’un nombre
Valeur approchée par défaut (V.A.D.)
Valeur approchée par excès (V.A.E.)
Encadrement d’un nombre
Inégalité
Arrondi d’un nombre
Valeur absolue d’un nombre
Nombres opposés
Nombre naturel
Nombre entier
Nombre rationnel
Non nul
Fractions qui représentent le même nombre.
Fraction dont le numérateur et le dénominateur ne peuvent pas être divisés par un autre nombre que 1.
Droite sur laquelle on a placé un point d’abscisse « 0 » nommé origine, choisi un sens et une unité de graduation qu’on reporte régulièrement à partir de l’origine.
Nombre permettant de situer un point sur une droite graduée.
Valeur proche de la valeur exacte du nombre.
Valeur proche de la valeur exacte, plus petite que celle-ci.
Valeur proche de la valeur exacte, plus grande que celle-ci.
Écriture du nombre sous la forme d’une double inégalité reprenant sa valeur approchée par défaut et celle par excès, au degré de précision demandé.
Expressions reliées par un symbole de comparaison.
Valeur la plus proche de la valeur exacte, au degré de précision demandé.
Distance entre ce nombre et 0.
Nombres de même valeur absolue et de signes contraires.
Nombre positif dont la partie décimale est nulle (= nombre entier positif).
Nombre positif ou négatif dont la partie décimale est nulle.
Nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction.
Différent de zéro.
n otation mathématique
% pour cent(s)
< Est plus petit que…
> Est plus grand que…
∈ Appartient à…
|…| Valeur absolue de…
ℕ Ensemble des nombres naturels
ℤ Ensemble des nombres entiers
ℚ Ensemble des nombres rationnels
CHAPITRE 2
O bjets de base en gé O métrie
s ouviens-toi
1. Associe l’objet géométrique à son nom et à sa notation mathématique.
Objet Nom
Notation
Un point [ AB ]
Une droite A Un segment a
2. Associe la représentation géométrique de chaque objet à sa description et à sa notation mathématique.
Représentation
Deux droites perpendiculaires
Deux droites parallèles
Un point sur une droite a ⊥ b
3. Indique le numéro des angles qui sont…
aigus : droits : obtus :
3 et 6 1 et 5 2 et 4
4. Convertis les cm en mm et inversement. 13 cm = mm 47 mm = cm 5 mm = cm 3,5 cm = mm
5. Mesure chaque segment et indique sa longueur.
6. Observe le dessin et coche, dans chaque cas, la proposition correcte.
(1) La droite perpendiculaire à la droite d et passant par le point C est…
(2) Le point d’intersection des droites h et f est…
(3) Les droites g et f sont… parallèles perpendiculaires
7. Trace une droite… (1) perpendiculaire à la droite d. (2) parallèle à la droite f.
d éfi
Tu as peut-être déjà vu une lumière s’allumer sur le rétroviseur d’une voiture. Il s’agit d’un détecteur d’angle mort.
Dans cette situation, les détecteurs d’angle mort de la voiture rouge se sont allumés.
Quel(s) usager(s) de la route l’a (les ont) déclenché(s) ?
À la fin de ce chapitre, tu seras capable de répondre à cette question.
n otations, codages et mesures
1. Un jeu consiste à assembler des lattes en bois au moyen de vis. De cette manière, il est possible de former des angles d’amplitudes variables. Observe les différentes photos, qualifie chaque angle marqué et indique toutes les amplitudes possibles de ce type d’angle. N° Type d’angle Amplitude(s) possible(s)
2. Observe l’image et réponds aux questions.
(1) Catégorise les trois angles distincts formés par les deux lattes.
On peut observer un angle plat, un angle aigu et un angle obtus.
(2) Que représente la vis de fixation par rapport à ces angles ?
La vis représente le sommet des trois angles.
(3) À quel objet géométrique te fait penser la latte horizontale ?
À une droite
(4) Quelle différence y a-t-il entre la latte horizontale et la latte oblique ?
La latte horizontale n’a aucune extrémité (droite) tandis que la latte oblique a une origine correspondant à son point de fixation (demi-droite).
3. Observe le dessin simplifié des lattes en bois sur lequel plusieurs points ont été ajoutés.
(1) Décris chaque objet géométrique.
[AX :
La demi-droite dont l’origine est le point A et passant par le point X.
MY :
La droite passant par les points M et Y.
(2) Indique toutes les notations mathématiques possibles de l’objet géométrique MY.
MY, YM, AM, MA, AY, YA
(3) Marque les trois angles sur le dessin et, en t’aidant de l’indice, donne une notation mathématique pour chacun d’eux.
Pour différencier les angles, on nomme chacun d’eux en utilisant trois points : un provenant de chaque côté de l’angle et un pour le sommet, toujours noté au milieu.
Pour un angle de sommet B et dont les côtés passent par les points A et C, on note ABC ou CBA A C B
MAX XAM) ( , et
(4) Il aurait également été possible de numéroter tous les angles sur le dessin. De cette manière, modifie les notations de la question précédente en t’inspirant de l’exemple.
A3
4. Complète le tableau avec le descriptif ou la notation mathématique.
Descriptif
Le segment dont les extrémités sont les points M et N.
La droite passant par les points X et Y.
L’angle de sommet A dont les côtés sont les demi - droites [ AB et [ AC.
La demi-droite dont l’origine est le point D et passant par le point C.
L’angle dont le sommet est le point E.
Notation mathématique
[ MN ] (ou [ NM ] )
XY (ou YX)
(ou CAB )
A2
5. (1) Construis les objets géométriques
[ AC ] , [ XV, MF et XOM
(2) Complète par ∈ ou ∉ .
P MF P OX
6. Entoure les objets qui peuvent être mesurés.
Point Segment Demi-droite Angle Droite
Pour noter la mesure d’un objet, on indique son nom entre deux barres verticales
L’ amplitude de l’angle A se note .
La longueur du segment [ AB ] se note | AB | .
7. Dans chaque cas, traduis en langage mathématique l’information indiquée sur le dessin.
3,5 cm B
| TB | = 3,5 cm | CD | = | MF | = 50°
8. Sur la base des notations mathématiques fournies, annote le dessin au moyen de codes, de lettres ou de mesures.
(1) | CA | = 3 cm (4) | AC | = | CD |
(2) DE ⊥ BC (5) (3) ACB = 80° (6) F ∈ [ AB ] et | AF | = | FB |
9. Complète chaque étiquette en qualifiant l’angle marqué. Ensuite, mesure son amplitude en prolongeant, si nécessaire, un de ses côtés.
10. Dans un premier temps, mesure et indique les longueurs des côtés et l’amplitude des angles intérieurs de la figure. Ensuite, sur le dessin, indique le codage qui te permet de repérer les angles de même amplitude et les côtés de même longueur.
11. Construis les angles si tu sais que DAC = 84°, MEL = 130°, TUV = 210° et O = 105°.
Je rédige mon procédé pour utiliser correctement le rapporteur
Positions relatives de droites
1. Pour embellir un mur, on utilise parfois une frise géométrique formée de figures qui se répètent. Dans ce cas, il s’agit d’un assemblage de triangles rectangles isocèles.
(1) Sans mesurer et en ne traçant que des parallèles et des perpendiculaires, poursuis la frise proposée.
(2) Repère deux droites parallèles et nomme-les a et b.
Exprime leur position relative en langage mathématique :
(3) Repère deux autres droites qui sont perpendiculaires et nomme-les c et d.
Code le dessin et exprime leur position relative en langage mathématique :
(4) Repère deux autres droites qui possèdent un point d’intersection et qui ne se coupent pas en formant quatre angles droits. Nomme-les e et f.
Exprime leur position relative en français et en langage mathématique.
Les droites e et f sont sécantes : e // f. /
2. Poursuis la construction en suivant les étapes.
– Trace la droite AB.
– Construis la droite d parallèle à la droite AB passant par C.
– Construis la droite f perpendiculaire à la droite AB passant par C.
– Nomme E le point d’intersection des droites AB et f.
3. Réalise la construction en suivant les étapes.
– Construis un segment [ XY ] de 28 mm.
– Construis un segment [ MX ] de 20 mm perpendiculaire au segment [ XY ] . – Trace la droite MY.
– Construis la droite b parallèle à la droite MY passant par le point X.
4. Poursuis la construction en suivant les étapes.
– Trace AB.
– Construis d ⊥ AB telle que B ∈ d. – Place C ∈ d tel que | BC | = 20 mm. – Construis b // AB telle que C ∈ b.
– Construis AD // BC telle que D ∈ b.
5. Reproduis ces figures en vraie grandeur en tenant compte de toutes les informations présentes. (1)
(2) E, D et C sont alignés.
médiatrice d’un segment et bissectrice d’un angle
1. Le tir à l’arc classique est un sport qui consiste à viser une cible. Les archers fixent l’encoche de la flèche à la corde avant de la mettre sous tension pour viser et tirer.
(1) Décris la position de la flèche par rapport à la corde et code chaque dessin.
Encocher la flèche Viser pour tirer
La flèche est encochée au milieu de la corde.
Elle est perpendiculaire à celle-ci.
La flèche est encochée au milieu de la corde qui, par traction, forme un angle.
Elle coupe l’angle en deux angles aigus de même amplitude.
(2) Dans chaque situation, trace avec précision la droite sur laquelle positionner la flèche. Ensuite, complète les phrases.
La droite tracée est la du segment [ BC ] .
La droite tracée est la de l’angle BAC
Je rédige ma définition de la médiatrice d’un segment et de la bissectrice d’un angle
2. Complète le tableau en indiquant une croix lorsque la droite citée est la médiatrice du segment [ AB ] et/ou la bissectrice de l’angle BCA
de [ AB ]
d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 d 7
3. Construis la médiatrice des segments et la bissectrice des angles.
4. Construis…
(1) le segment [ BF ] dont la droite m est la médiatrice.
(2) l’angle IHG dont la droite b est la bissectrice.
F
5. (1) Réalise la construction en respectant les indications.
| AB | = 40 mm
d ⊥ [ AB ] et B ∈ d
C ∈ d et | BC | = 4 cm
P ∈ [ AB ] et
(2) Caractérise la droite PC.
La droite PC est la bissectrice de l’angle BCA
(3) Complète par = ou ≠.
| AC | | BC | | AB | | BC | | AP | | PB |
Paires d’angles
1. (1) Procède par étape pour identifier les figures à éliminer.
Étape 1 : Barre les figures dont les angles marqués n’ont pas le même sommet.
Étape 2 : Parmi les figures restantes, barre celles dont les angles marqués n’ont pas de côté commun.
Étape 3 : Parmi les figures restantes, barre celles dont les angles marqués ne sont pas situés de part et d’autre de leur côté commun.
Les paires d’angles qui n’ont pas été barrés portent les numéros et Ces angles sont appelés angles adjacents .
(2) Complète.
Deux angles adjacents ont le même , un commun et sont situés de ce côté commun.
2. Observe les angles formés par la grande aiguille, la petite aiguille et la trotteuse de ces deux horloges. Réponds aux questions.
(1) Dans chaque cas, les angles marqués sont-ils adjacents ?
(2) Complète.
Sur la première horloge, les deux angles marqués forment un angle
A 1 2 15 h 00 B 1 2 18 h 00 1 6. sommet côté de part et d’autre Oui droit.
Ces angles sont appelés angles complémentaires .
A 1 + = A 2 | || |
Sur la seconde horloge, les deux angles marqués forment un angle
plat.
Ces angles sont appelés angles supplémentaires
B 1 +B 2 = || ||
3. Pour chaque figure, indique une croix dans la (les) case(s) adéquate(s). Si les angles sont complémentaires ou supplémentaires, écris la relation entre leurs amplitudes.
N° Adjacents Complémentaires Supplémentaires Relation entre les amplitudes
4. On a marqué et nommé deux angles formés par les aiguilles d’une horloge.
(1) Réponds par vrai ou faux.
Les angles ont le même sommet.
Les angles sont adjacents.
Les angles ont la même amplitude.
Ces angles sont appelés angles opposés par le sommet
(2) Complète.
Deux angles opposés par le sommet ont le même et les côtés de l’un sont des côtés de l’autre.
(3) Complète la propriété des amplitudes de cette paire d’angles.
Des angles opposés par le sommet ont
Traduis cette propriété en langage mathématique.
sommet dans le prolongement la même amplitude. A= A | | | | 12
5. Dans chaque cas, indique par oui ou non si les angles marqués sont opposés par le sommet.
Je rédige ma synthèse sur les différentes paires dʹangles
6. Dans chaque cas, détermine l’amplitude de l’angle BAC . Justifie.
D, A et B sont alignés.
32° D, A et B ainsi que E, A et C sont alignés. Non
BAC | | = 180° – 32° = 148°, car les angles BAC et CAD sont supplémentaires.
BAC | | = 90° – 32° = 58°, car les angles BAC et CAD sont complémentaires. BAC | | = 32°, car les angles BAC et DAE sont opposés par le sommet. 148° 58° 32°
32°
E, A et D sont alignés.
C
r etour au défi
(1) Quel(s) usager(s) de la route a (ont) déclenché les détecteurs d’angle mort ?
La voiture bleue dans l’angle mort gauche et le cycliste dans l’angle mort droit.
(2) Sans mesurer, qualifie les angles décrits.
L’ensemble des angles verts forment un angle
L’ensemble des angles bleus couverts par les rétroviseurs forment un angle
(3) Mesure l’amplitude de chaque angle mort.
(4) Quelle portion de la vision à 360° est réellement couverte par le chauffeur dʼune voiture qui ne serait pas équipée de détecteurs dʼangle mort ? Exprime la réponse sous la forme dʼune fraction irréductible.
360° – 2 ∙ 70° = 360° – 140 = 220°
Détermine, au pour cent près, le pourcentage de visibilité du chauffeur. plat. aigu. 70°
220 360 = 11 18 11 18 =0 ,61 ≅ 61 100 =61 %
Vision nette
Mouvement des yeux
Mouvement des yeux
Angle mort droit
Rétro intérieur
Rétro extérieur droit
Rétro extérieur gauche
Angle mort gauche
Mouvement de la tête et des yeux
Mouvement de la tête et des yeux
EXERCICES COMPLÉMENTAIRES
1. Traduis chaque phrase par une notation mathématique.
La droite passant par les points M et N.
L’amplitude de l’angle de sommet O vaut 70°.
Le segment dont les extrémités sont les points A et B.
2. Traduis chaque notation mathématique par une phrase.
[ XY | KL | = 7 cm TAP RS
3. Mesure l’amplitude des angles marqués et qualifie-les.
4. Construis les angles mesurant respectivement…
(1) 45°, 60°, 120° et 270°. (2) 35°, 95°, 162° et 214°.
5. Des caméras munies de capteurs de mouvement (C 1 , C 2 …) ont été placées à certains points stratégiques d’un mur d’enceinte d’une propriété privée.
(1) Mesure l’amplitude des angles de vue de chacune des caméras.
(2) Un capteur détecte un mouvement autour de lui jusqu’à 20 m. En tenant compte que, sur le plan, 1 cm représente 10 m, colorie la zone qui n’est pas couverte par les capteurs de mouvement.
(3) Le propriétaire pourrait-il faire le gain de quelques caméras, car leur action est déjà couverte par une autre ? Si oui, cite leur numéro.
6. Traduis par une phrase.
AB // CD [ AB ] // [ CD ] A ∈ b a ⊥ d [ AB // d B ∉ AC /
C5
C4
C3
C2
C1
C6
7. L is les informations et indique, sur le dessin, le nom de chacune des droites.
8. (1) Construis les droites a et b parallèles à la droite d passant respectivement par les points A et B.
Exprime la position relative des droites a et b à l’aide de la notation mathématique adéquate.
(2) Construis les droites AX et BY perpendiculaires à la droite d sachant que les points X et Y lui appartiennent.
Exprime la position relative des droites AX et BY à l’aide de la notation mathématique adéquate.
9. Complète par //, // ou ⊥ .
10. Trace une droite d perpendiculaire à la droite c.
Décris la position relative des droites d et b.
Quelle conclusion peux-tu tirer de cet exercice ?
11. Dans chaque cas, réalise la construction en respectant les étapes. Réponds ensuite à la question qui t’est posée.
(1) – Construis un segment [ AB ] de 4 cm.
– Construis la droite d perpendiculairement au segment [ AB ] et passant par le point A.
– Place un point C sur la droite d.
– Trace la droite t passant par B et par C.
– Construis la droite p parallèlement à la droite t et passant par le point A.
Quelle est la position relative des droites d et p ?
(2) – Construis un angle ARB de 100° tel que | RA | = 3 cm et | RB | = 4 cm.
– Construis CB // RA avec | BC | = 3 cm.
Envisage toutes les possibilités. Quelle est, dans chaque cas, la position relative des droites AC et RB ?
12. Reproduis les figures, réalisées à main levée, en vraie grandeur et code tes constructions.
(1) A, E et D sont alignés et C ∈ BD.
50 mm A 40° E
(2) F ∈ BC et D ∈ AC. 4 cm 1 cm 2 cm A
13. (1) Code la figure avec toutes les informations.
| CP | = | PB | d ⊥ CB
| PE | = 4 cm
CBA || = 130°
| PB | = | BA |
| DE | = 2 cm
DEP= PEA || ||
(2) De quel segment et de quel angle la droite d est-elle respectivement la médiatrice et la bissectrice ?
Justifie à l’aide des notations mathématiques.
14. En prenant soin de coder tes constructions, construis… (1) la médiatrice du segment. (2) la bissectrice de chaque angle. A
15. Dans la figure, repère les droites AF, CE et DE. Pour chacune d’entre elles, reconnais s’il s’agit d’une médiatrice et/ou d’une bissectrice. Précise de quel segment et/ou de quel angle.
16. Détermine l’amplitude de l’angle A 2 et celle de l’angle A 3 . Justifie.
17. Parmi les angles marqués, trouve une paire d’angles…
(1) complémentaires adjacents.
(2) supplémentaires adjacents.
(3) complémentaires non adjacents.
(4) opposés par le sommet.
(5) supplémentaires non adjacents.
18. Construis…
(1) deux angles supplémentaires non adjacents dont l’un des deux mesure 132°.
(2) deux angles complémentaires adjacents dont l’un des deux mesure 30°.
(3) deux angles opposés par le sommet de 50°.
19. Sur la figure, la droite EY est la médiatrice du segment [AB] et la bissectrice de l’angle XEZ . Détermine l’amplitude des angles XEY , AEY et E AX . Justifie.
CÔTÉ PRATIQUE
Représentation et notation
Le point A A
Segment
Point
Représentation, notations et mesure
Le segment [AB] ou le segment [BA] A B 3,5 cm
La longueur du segment [AB] est de 3,5 cm.
On note : |AB| = 3,5 cm.
Représentation et notation
La demi-droite [AB A B A B d
Demi-droite
Droite
Représentation et notations A 40° B O
La droite d, la droite AB ou la droite BA
Représentation, notations et mesure
Angle
L’angle O, l’angle AOB ou l’angle BOA
L’amplitude de l’angle O est de 40°.
On note : |AOB| = 40°.
Particularités des angles
Types d’angles
Rentrant
Paires d’angles particuliers
Adjacents
Complémentaires
Supplémentaires Opposés par le sommet
= 180° = 90°
Mesure de l’amplitude d’un angle
1. Place le « zéro de l’équerre » sur le sommet de l’angle et aligne sa base avec un des côtés de l’angle.
2. Des deux rapporteurs présents sur l’équerre, choisis celui dont 0° se situe sur ce côté.
3. Repère l’amplitude de l’angle indiquée par le deuxième côté (après l’avoir prolongé si c’est nécessaire).
4. Note cette amplitude sur le dessin ou en notation mathématique.
|A| = 40°
Construction d’un angle dont l’amplitude est donnée
1. Place le « zéro de l’équerre » sur le sommet de l’angle et aligne sa base avec le côté de l’angle déjà construit.
2. Des deux rapporteurs présents sur l’équerre, choisis celui dont 0° se situe sur ce côté.
3. Marque un trait au niveau de l’amplitude demandée.
4. Trace le deuxième côté de l’angle en reliant le trait au sommet de l’angle.
|A| = 120°
Positions relatives de deux droites b a b a ⊥ // /
Parallèles Sécantes Perpendiculaires b b // b b a a a a
Particularités des droites
Construction de la médiatrice d’un segment
1. Mesure le segment.
|YX| = 2,8 cm
2. Marque un point au milieu du segment.
Z ∈ [YX]
|YZ| = |ZX| = 1,4 cm
3. Trace la droite perpendiculaire au segment passant par ce milieu.
Z ∈ m et m ⊥ [YX]
Cette droite est la médiatrice du segment.
La droite m est la média⊥rice du segment [YX]
Construction de la bissectrice d’un angle
1. Mesure l’amplitude de l’angle.
= = 28° = 56°
2. Marque un trait à la moitié de l’amplitude mesurée.
3. Trace la droite passant par ce trait et le sommet de l’angle. BE
Cette droite est la bissectrice de l’angle.
La droite BE est la bissectrice de l’angle CEL.
B m Z
CÔTÉ THÉORIQUE
n otion d éfinition
Angle nul
Angle aigu
Angle droit
Angle obtus
Angle plat
Angle rentrant
Angle plein
Droites parallèles
Droites sécantes
Droites perpendiculaires
Médiatrice d’un segment
Bissectrice d’un angle
Angles adjacents
Angles complémentaires
Angles supplémentaires
Angles opposés par le sommet
Angle dont l’amplitude vaut 0°.
Angle dont l’amplitude est comprise entre 0° et 90°.
Angle dont l’amplitude vaut 90°.
Angle dont l’amplitude est comprise entre 90° et 180°.
Angle dont l’amplitude vaut 180°.
Angle dont l’amplitude est comprise entre 180° et 360°.
Angle dont l’amplitude vaut 360°.
Droites qui n’ont aucun point d’intersection.
Droites qui ont un point d’intersection.
Droites sécantes qui forment des angles droits.
Droite perpendiculaire au segment et passant par son milieu.
Droite coupant l’angle en deux angles de même amplitude.
Deux angles qui ont le même sommet, un côté commun et qui sont situés de part et d’autre de ce côté commun.
Deux angles dont la somme des amplitudes vaut 90°.
Deux angles dont la somme des amplitudes vaut 180°.
Deux angles qui ont le même sommet et dont les côtés de l’un sont dans le prolongement des côtés de l’autre.
n otation mathématique
A Point nommé A
A 1 Point nommé A portant le numéro 1
d Droite nommée d
d 1 Droite nommée d portant le numéro 1
AB Droite passant par les points A et B
[ AB Demi-droite dont l’origine est le point A et passant par le point B
[ AB ] Segment dont les extrémités sont les points A et B
| AB | Longueur du segment [ AB ]
A Angle dont le sommet est le point A
BAC Angle de sommet A dont les côtés sont les demi-droites [ AB et [ AC
A 1 Angle dont le sommet est le point A et portant le numéro 1
A || Amplitude de l’angle A
// Parallèle
// Sécant
/
⊥ Perpendiculaire
CHAPITRE 3
nombres et opérations
Souviens-toi
1. (1) Relie chaque phrase au calcul qui lui correspond.
La somme de 12 et de 3 • • 12 : 3
Le produit de 12 par 3 • • 12 ⋅ 3
La différence entre 12 et 3 • • 12 + 3
Le quotient de 12 par 3 • • 12 - 3
(2) Utilise les mots de la liste pour compléter les phrases. Utilise le pluriel des noms si c’est nécessaire.
facteur – terme – dividende – diviseur
Dans la somme de 12 et de 3, les nombres 12 et 3 sont appelés les
Dans le produit de 12 par 3, les nombres 12 et 3 sont appelés les
Dans la différence entre 12 et 3, le nombre 12 est appelé le premier et le nombre 3 le deuxième
Dans le quotient de 12 par 3, le nombre 12 est appelé le et le nombre 3 le
2. Calcule rapidement.
termes. facteurs. terme terme. dividende diviseur.
3. Calcule en te chronométrant.
SOUVIENS-TOI
Opérations et estimation
Augustin, Jade, Karim et Maud participent au « Grand rallye des mathématiques » organisé au sein de leur école.
Au programme : quiz, défis, jeux de logique et calcul mental !
manCHe 1
Estime ton résultat
1. (1) Augustin a obtenu un score de 7/10. Aurais-tu fait mieux ? À toi de jouer !
Pour chaque opération, estime le résultat et coche la bonne réponse. Attention, ton temps est compté : tu ne disposes que de 3 minutes !
Moins de 500 Plus de 500
675 – 143
49 ⋅ 9
2 020 : 4
786 – 277
101 ⋅ 0,5
48 ⋅ 11
500 0,1
489,9 + 10,01
249 + 261
5 ⋅ 99
(2) Utilise ta calculatrice pour vérifier tes estimations et corriger ta fiche.
(3) Quel est ton score ?
2. Dans chaque cas, simplifie l’opération proposée et entoure l’estimation la plus proche de son résultat.
Estimer le résultat d’une opération, c’est donner une réponse approximative la plus proche possible de ce résultat.
Pour estimer , il faut arrondir un ou plusieurs éléments de cette opération pour simplifier le calcul.
29 · 53 → 30 · 50 = 1 500
3. Sans calculer avec précision, entoure l’opération qui donne le résultat proposé.
Propriétés des opérations
manCHe 2
Sois le plus efficace
1. Pour la deuxième manche, l’important n’est pas de trouver la réponse exacte aux calculs proposés, mais d’écrire une démarche efficace pour calculer.
Maud lit les calculs pendant que Karim, Jade et Augustin s’affrontent au tableau.
Pour chaque calcul, indique le nom du candidat qui a adopté la démarche la plus efficace.
Justifie ton choix et complète la phrase. (37 + 9) + (63 + 21) (37 + 63) + (9 + 21) ((37 + 9) + 63)) + 21 Calcul no 1 37 + 9 + 63 + 21
Jade, car elle a changé l’ordre des termes et les a groupés deux par deux afin de faciliter le calcul mental. commutative associative.
L’addition est une opération et
(2)
Augustin, car il a supprimé le terme 0 et a groupé deux termes afin de faciliter le calcul mental.
L’addition est une opération qui admet comme élément et qui est
associative.
Karim
Jade Augustin
Karim
Jade Augustin
Augustin Calcul no 3 2 ⋅ 7 0,5 ⋅ 6 0
La multiplication est une opération qui admet comme élément
Karim, car il a supprimé le facteur 1, a changé l’ordre des facteurs et en a groupé deux afin de faciliter le calcul mental.
La multiplication est une opération qui admet comme élément , qui est et qui est
Jade, car un des facteurs du produit étant 0, elle a directement noté 0. absorbant. 0 commutative associative.
2. Associe chaque égalité à la propriété correspondante.
8. Lors du « Grand rallye des mathématiques », Jade a gagné la troisième manche en 8 min 20 et n’a commis que deux erreurs. Seras-tu plus performant(e) qu’elle ?
Effectue la série de calculs en te chronométrant.
Une fois tes réponses vérifiées, indique ton score.
1. Augustin, Jade et Maud participent au jeu « Va le plus loin possible ».
Le principe est simple : enchainer jusqu’à dix bonnes réponses pour cumuler des points. La première réponse correcte rapporte deux points, Ensuite, chaque nouvelle bonne réponse double le nombre de points acquis.
La partie s’arrête dès la première erreur ou au bout des dix questions. Le (la) participant(e) conserve le score acquis après sa dernière réponse correcte et laisse sa place au (à la) suivant(e).
(1) Augustin a répondu correctement à cinq questions. Écris le calcul qui te permet de déterminer son score et effectue-le.
2 2 2 2 2 = 32 points
(2) Maud a obtenu 128 points.
Détermine le nombre de bonnes réponses qu’elle a données.
Maud a répondu correctement à sept questions (128 =
(3) Jade a réalisé le 10 à la suite ! Combien de points a-t-elle gagnés ? Écris ton calcul et effectue-le.
Tu viens d’écrire un produit de facteurs à Tu peux écrire ce produit de facteurs égaux d’une manière plus simple, sous la forme d’une 2 exposant base puissance 10
Cette puissance se lit « deux exposant dix ».
(4) Transforme les scores d’Augustin et de Maud en puissances.
Augustin : 32 points = 2 5 points
Maud : 128 points = 2 7 points
(5) Repère la touche de ta calculatrice qui te permet de calculer une puissance et recopie - la.
Réponse personnelle de l’élève
Vérifie à l’aide de ta calculatrice les points obtenus par Augustin et par Maud.
2. Souligne la base et entoure l’exposant de chaque puissance.
3. Transforme les produits en utilisant les puissances.
4. (1) Détermine l’aire d’un carré de 7 cm de côté. Écris ton calcul sous la forme d’un produit de facteurs égaux et sous la forme d’une puissance.
Aire du carré : 7 ⋅ 7 = 7 2 = 49 cm 2
(2) Détermine le volume d’un cube de 5 cm d’arête. Écris ton calcul sous la forme d’un produit de facteurs égaux et sous la forme d’une puissance.
Volume du cube : 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 5 3 = 125 cm 3
(3) En t’inspirant des unités de mesure d’aire et de volume, propose une deuxième lecture pour chaque puissance.
7 exposant 2 ou
5 exposant 3 ou
7 au carré 5 au cube
5. Relie chaque phrase à la puissance qu’elle traduit et chaque puissance à sa lecture.
Traduction Puissance Lecture
quatrième puissance de 3
cinquième puissance de 2
cube de 4
deuxième puissance de 8
carré de 5
huitième puissance de 2
6. Écris la puissance exprimée par chaque phrase.
Le carré de 100
3 exposant 4
2 exposant 8
5 au carré
Le cube de 10
La cinquième puissance de 1 La puissance de base 4 et d’exposant 5
7. Traduis chaque puissance par une phrase.
Le cube de 9
Le carré de 8
La centième puissance de 1
La quatrième puissance de 5
8. Calcule le carré des quinze premiers nombres naturels non nuls.
9. Calcule.
10. (1) Quel est le résultat d’une puissance dont l’exposant est 0 ? Pour le découvrir, complète les tableaux et indique, sous chacune des flèches, l’opération qui te permet de passer d’un résultat au précédent.
Résultat
(2) Utilise ta calculatrice pour vérifier ce que tu viens de découvrir.
Puissances de 10 et préfixes
1. (1) Calcule les puissances.
(2) Établis le lien entre l’exposant d’une puissance de 10 et le nombre de zéros présents dans le résultat.
L’exposant d’une puissance de 10 indique le nombre de zéros qui suivent le chiffre 1.
2. En 1996, Larry Page et Sergey Brin, étudiants à l’Université de Stanford, ont l’idée révolutionnaire de créer un moteur de recherche hyperpuissant. Ils ont choisi de l’appeler Google en référence au « googol », nombre constitué du chiffre 1 suivi de cent zéros ! Ce nombre gigantesque représente très bien la quantité colossale de pages scannées sur Internet par ce moteur de recherche. À quelle puissance de 10 correspond un googol ?
3. Entoure la puissance de 10 la plus proche du résultat.
4. (1) Observe attentivement le nombre de vues indiqué sous les trois vidéos extraites de YouTube. Complète chaque égalité en suivant une progression précise : commence par un mot, poursuis avec un nombre écrit en chiffres, puis une puissance de 10 et termine par un préfixe en t’aidant du tableau en bas de la page.
Bébé Requin │ Chante et danse! │ Animal Song │ PINKFONG Chansons pour les enfants
5. Pour cette manche, les quatre amis testent leur maitrise des préfixes lors d’un quiz sur le thème des énergies renouvelables. Pourras-tu obtenir 100 % tout comme eux ?
Les éoliennes ou les panneaux solaires génèrent une quantité d’énergie en fonction de leur puissance. Le watt (W) est l’unité de mesure de la puissance instantanée.
Pour chaque question, coche la bonne réponse et indique tes calculs dans la zone de travail.
(1) Les éoliennes domestiques datant de 2010 ont une puissance de 2 kW. Combien de watts gagnerait-on en installant un nouveau modèle d’une puissance de 10 kW ?
0,008 W
8 W
8 000 W
10 kW – 2 kW = 8 kW = 8 000 W ⋅ 1 000
(2) Le parc éolien de Perwez, situé dans la province du Brabant wallon, contient des éoliennes d’une puissance individuelle de 1 500 000 W. Quelle est la puissance, en mégawatts (MW), d’une éolienne ?
15 MW
1,5 MW
0,15 MW
1 500 000 W = 1,5 MW : 1 000 000
(3) Le parc éolien Hornsea One, situé dans la mer du Nord au Royaume-Uni, est le plus grand parc offshore (en mer) en activité en Europe (en 2025). Il contient 174 éoliennes d’une puissance individuelle de 7 MW. Quelle est la puissance, en gigawatts (GW), du parc ?
(4) Le parc solaire Hélios, situé à Jemeppe-sur-Sambre, dans la province de Namur, a été inauguré le 4 septembre 2024. La puissance totale de ses 90 000 panneaux solaires identiques atteint 60 MW. Quelle est la puissance moyenne, au watt (W) près, d’un panneau solaire ?
600 W
667 W
700 W
Priorités des opérations
1 000 000
1. Johanna achète deux salades à 1,49 € pièce et paie la maraichère avec un billet de 20 €. La maraichère, peu sure d’elle, prend une calculatrice et est étonnée par la réponse proposée.
(1) D’après la calculatrice, quelle somme d’argent la maraichère
doit-elle rendre à Johanna ?
(2) Est-ce plausible ? Justifie.
60 : 90 000 = 0,000 666 6... MW ≅ 667 W 26,82 €
20 – 2 x 1,49 = 26,82
(3) Quelle opération a été effectuée en premier par cette calculatrice ?
Non, car le montant à rendre est supérieur à la valeur du billet (26,82 > 20). La soustraction
Est-ce correct ? Explique.
Non, la calculatrice a effectué les opérations de gauche à droite :
20 – 2 ⋅ 1,49 = 18 ⋅ 1,49 = 26,82 €
(4) Calcule la somme d’argent que la maraichère doit réellement rendre à Johanna.
20 - 2 ⋅ 1,49 =
20 – 2,98 = 17,02 €
Vérifie ta solution à l’aide d’une calculatrice scientifique.
(5) Complète.
On effectue avant
Or, il faut d’abord calculer le prix à payer pour les deux salades puis retirer ce montant de 20 €. la multiplication la soustraction.
Aspiravi
2. Utilise la calculatrice scientifique pour déterminer le résultat des différentes suites d’opérations.
Souligne, dans chaque calcul, l’opération réalisée en priorité par la calculatrice. Complète ensuite la phrase.
2 + 5 ⋅ 4 = On effectue avant
22 la multiplication l’addition.
10 + 8 : 2 = On effectue avant
14 la division l’addition.
12 5 2 = On effectue avant
300 la puissance la multiplication.
3. (1) Calcule… en commençant par l’opération soulignée.
24 : 6 2 =
24 : 6 ⋅ 2 =
24 6 : 2 = 24 ⋅ 6 : 2 = en utilisant la calculatrice scientifique.
24 : 6 2 = 24 6 : 2 =
(2) Lorsqu’une division et une multiplication se succèdent, comment doit-on procéder pour être certain d’avoir la bonne réponse ?
25 - 5 3 = 60 25 - 5 + 3 = 23
( ) ( ) ( ) 4 2 = 8 24 : 12 = 2
25 - 5 3 = 10 25 - 5 + 3 = 17
144 : 2 = 72 24 3 = 72 8 72 Il faut effectuer les opérations de gauche à droite. se trouvent à l’intérieur de celles-ci. les opérations qui
4. Ajoute des parenthèses aux égalités qui sont fausses pour les rendre vraies et complète la phrase.
30 : 5 2 = 3
30 : 5 2 = 12
Dans un calcul contenant des parenthèses, on effectue en priorité Je rédige mon procédé pour effectuer un calcul contenant plusieurs opérations
5. Calcule en respectant les priorités des opérations. Note un raisonnement complet et souligne l’opération prioritaire à chaque étape. Vérifie ensuite ton résultat à l’aide d’une calculatrice scientifique.
Note, en une seule expression, la suite d’opérations qui te permet de trouver la solution puis calcule-la en respectant les priorités des opérations
(1) Un groupe de 24 enfants âgés de 10 ans se rend au musée du Patrimoine. Le prix des entrées est de 8 € pour les moins de 12 ans et de 10 € pour les 12 ans et plus. Détermine le nombre de personnes adultes qui accompagnent ces enfants si tu sais que le prix payé par l’ensemble du groupe est de 222 €.
Prix des entrées enfants : 24 ⋅ 8 = 192 €
Prix des entrées adultes : 222 – 192 = 30 €
Nombre d’entrées adultes : 30 : 10 = 3
Trois adultes ont accompagné les enfants.
En une seule expression : (222 – 24 8 ) : 10 = ( 222 – 192 ) : 10 = 30 : 10 = 3
(2) Lily a acheté 3 kg de pommes de terre à 2,25 € le kg, deux bottes de carottes à 1,50 € la botte et 5 kiwis à 0,50 € l’unité. Elle paie avec un billet de 50 €. Détermine le montant que le vendeur doit lui rendre.
1. Lors du premier tour de la sixième manche, Maud, Jade, Karim et Augustin doivent reconnaitre huit personnages de BD sur la base d’une photo. Ils reçoivent un jeton positif ( 1 ) en cas de bonne réponse ou un jeton négatif ( –1 ) en cas de mauvaise réponse. Observe la table de jeu.
(1) Comment peux-tu procéder pour calculer le score de chacun en effectuant le moins de calculs possible ? Explique.
(2) Complète le score de chacun.
(3) Pouvait-on prévoir le score négatif de Jade ?
Je barre, simultanément et autant de fois que possible, un jeton positif et un jeton négatif, car leur somme vaut 0. Ensuite, je comptabilise les jetons restants. Oui, Jade n’a récolté que des jetons négatifs.
(4) Pouvait-on prévoir le score négatif de Karim ?
Oui, Karim a plus de jetons négatifs que de jetons positifs.
2. Lors du deuxième tour, les participants doivent reconnaitre huit personnages de film d’animation. De la même manière, ils reçoivent des jetons positifs ou négatifs en fonction de leur réponse. Ils complètent, à la fin de chaque tour, la feuille des scores.
Ils voudraient connaitre leur classement intermédiaire, à la fin de ce deuxième tour.
(1) Qui va obtenir un score intermédiaire négatif ?
Jade et Karim
(2) Maud propose d’utiliser une droite graduée pour additionner les points.
En partant de zéro, on se déplace vers la droite si le score de la manche est positif et vers la gauche s’il est négatif.
Fais de même pour additionner les scores intermédiaires des autres participants.
Score de Karim : + = 0123456789 10
Indique le classement intermédiaire des participants. N o 1 : N o 2 : N o 3 : N o 4 :
Maud Augustin Jade Karim
Je rédige mon procédé pour additionner deux nombres à l’aide de la droite graduée
Convention d’écriture
5 + 7 = 2 3 + – 8 = – 5
Lorsqu’il y a deux signes successifs, on utilise des parenthèses pour les séparer. –6 – 2 – 4
3. (1) Calcule et réponds aux questions. Aide-toi de la droite graduée si nécessaire.
5 + ( - 3) =
2 + ( - 7) =
Quelle est la particularité des deux termes de chacune de ces sommes ?
Les deux termes ont le même signe.
Comment anticiper le signe de ces sommes ?
Si les deux termes sont positifs, alors leur somme est positive.
Comment calculer la valeur absolue d’une somme de deux nombres de même signe ?
On additionne les valeurs absolues des deux termes.
(2) Détermine le signe de chaque somme.
Si les deux termes sont négatifs, alors leur somme est négative. + −
3 + 4 - 10 + ( - 5) - 5 + ( - 6) - 7 + ( - 3)
(3) Calcule.
6 + ( - 3) = - 85 + ( - 46) = - 2,7 + ( - 16) =
5 + ( - 12) = -
- 8 + ( - 2) =
4. (1) Calcule et réponds aux questions. Aide-toi de la droite graduée si nécessaire.
5 + ( - 2) =
2 + ( - 6) =
Quelle est la particularité des deux termes de ces sommes ?
Les deux termes sont de signes différents.
Comment anticiper le signe de ces sommes ?
Si le nombre qui a la plus grande valeur absolue est positif, alors la somme est positive.
Si le nombre qui a la plus grande valeur absolue est négatif, alors la somme est négative.
Comment calculer la valeur absolue d’une somme de deux nombres de signes différents ? (2) Détermine le signe de chaque somme.
On calcule la différence entre la plus grande valeur absolue et la plus petite.
2 + 5 = 7 La différence entre 2 et l’opposé de 5. - 10 La différence entre l’opposé de 3 et 7. - 4 + 3 = - 1 La différence entre les opposés de 4 et de 3. - 18 La différence entre l’opposé de 12 et 6.
Somme et différence de deux nombres
1. Écris chaque calcul plus simplement en supprimant les parenthèses et effectue-le. Ensuite, complète les phrases.
5 + ( - 3) =
5 - 3 = 2
- 5 + ( - 3) =
- 5 - 3 = - 8
5 - ( - 3) =
5 + 3 = 8
- 5 - ( - 3) =
- 5 + 3 = - 2
On remplace deux signes successifs différents par un signe
On remplace deux signes successifs identiques par un signe
2. Remplace les signes successifs par un seul signe et calcule.
5. (1) Traduis chaque phrase par un calcul et effectue-le.
3,6 ( - 0,5) - 0,3 3 ⋅ ( - 7) = - 21
Le triple de l’opposé de 7.
Le produit de 5 par l’opposé de 0,2.
Le quotient de l’opposé de 24 par 2.
Le quotient de l’opposé de 3 par l’opposé de 10.
(2) Effectue le calcul et traduis-le par une phrase.
2 ( - 5) = - 7 : 5 = - 0,5 ( - 9) =
5 ⋅ ( - 0,2) = - 1 ( - 24) : 2 = - 12 ( - 3) : ( - 10) = 0,3 - 10 Le double de l’opposé de 5. - 1,4 Le quotient de l’opposé de 7 par 5.
4,5 Le produit de l’opposé de 0,5 par l’opposé de 9.
6. Complète chaque case en suivant l’opération indiquée sur la flèche.
⋅ (−3) (−3) 2 : 10
7. Pour chaque problème, choisis l’information qui correspond à la situation.
(1) Il y a trois mois, une influenceuse a commencé à perdre des abonnés sur ses réseaux sociaux, à raison de cinquante abonnés par mois.
L’égalité suivante traduit la situation : −50 3 = −150. Quelle information est donnée par le nombre −150 ?
Chaque mois, 150 personnes se désabonnent.
Au cours des trois derniers mois, 150 personnes ont arrêté de la suivre. Il lui reste 150 abonnés.
(2) Aujourd’hui, les prévisions météorologiques sont glaciales en Belgique. La température annoncée à Malmedy est de −12 °C. Elle y sera trois fois plus froide qu’à Namur.
L’égalité suivante traduit la situation : −12 : 3 = −4. Quelle information est donnée par le nombre −4 ?
Il fait 4 degrés de moins à Malmedy par rapport à Namur.
La température annoncée à Malmedy est de −4 °C.
Les prévisions annoncent une température de 4 degrés en dessous de zéro à Namur.
Produit de plusieurs nombres
1. (1) Calcule en utilisant les propriétés de la multiplication. Ensuite, détermine le nombre de facteurs négatifs et le signe du produit.
Nombre de facteurs négatifs Signe du produit
−2 5 6 4 1
−2 (−5) 6 4 1
−2 ⋅
(−5) (−6) (−4) (−1)
(2) Établis le lien entre le nombre de facteurs négatifs et le signe du produit.
Si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit est positif.
Si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit est négatif.
4. Complète les carrés magiques afin que le produit des nombres de chaque colonne, de chaque ligne et de chaque diagonale soit toujours le même.
5. Place les cinq jetons dans les emplacements vides de l’étoile de telle sorte que le produit de chaque alignement de pions corresponde au nombre indiqué dans la case colorée.
Opérations
1. Détermine le signe du résultat de chaque opération.
1. Pour l’ultime épreuve, Augustin, Jade, Karim et Maud sont confrontés à un jeu de logique. + = –8 + + –15 =
(1) Augustin trouve −32 comme résultat et Maud 12. Qui a raison ? Détaille ton raisonnement.
Un ballon de football vaut −5, car −5 + (−5) + (−5) = −15.
Un ballon de basketball vaut −3, car −5 + (−3) = −8.
Un ballon de volleyball vaut 9, car 9 : (−3) = −3.
En remplaçant chaque ballon par sa valeur, on obtient…
−5 + 9 (−3) = −5 + (−27) = −5 − 27 = −32
C’est donc Augustin qui a raison.
En discutant, Augustin et Maud constatent qu’ils avaient obtenu la même valeur pour chaque ballon.
Quelle erreur a été commise par la personne qui s’est trompée ?
Après avoir remplacé chaque ballon par sa valeur, Maud n’a pas respecté les priorités des opérations.
Elle a effectué la somme avant le produit.
−5 + (9) (−3) = 4 (−3) = −12 Faux !!!
(2) Avec la même valeur attribuée à chaque ballon, Augustin et Maud relèvent un nouveau défi. = – ⋅ ?
Augustin Maud
- 5 - 9 ⋅ ( - 3)
= - 5 - ( - 27)
= - 5 + 27 = 22
- 5 - 9 ⋅ ( - 3)
= - 5 + 27 = 22
Cette fois-ci, ils ont obtenu la même réponse, mais ils n’ont pas la même démarche. Qui a raison ? Explique.
2. Souligne l’opération prioritaire et calcule de deux manières différentes.
(1) 4 + 5 ⋅ (−6) =
4 + 5 ( - 6) =
4 + ( - 30) = 4 - 30 = - 26
4 - 30 = - 26
(2) 2,5 − 3 ⋅ (−1,5) =
2,5 - 3 ( - 1,5) =
2,5 - ( - 4,5) = 2,5 + 4,5 = 7
2,5 + 4,5 = 7
3. (1) Complète l’encadré.
Je me souviens des règles de priorités des opérations Ils ont tous les deux raison. Augustin a effectué le produit sans utiliser le signe de l’opération principale, tandis que Maud est allée plus vite et a effectué le produit en analysant son signe global.
4. Calcule mentalement. Écris, éventuellement, les étapes qui te sont nécessaires.
(1) 27 60 = 8 ⋅ 32 =
5. En utilisant des égalités successives, décompose un des facteurs en une somme ou en une différence. Ensuite, calcule en détaillant ton raisonnement.
6. En utilisant des égalités successives, décompose le dividende en une somme ou en une différence. Ensuite, calcule en détaillant ton raisonnement.
(1) 217 : 7 = 7 912 : 8 =
7. Dans une manufacture de jeans, un ouvrier est payé 12,60 €/h. Il lui faut 43 minutes pour confectionner un jean.
Quel montant l’ouvrier gagne-t-il par pièce ?
8. Calcule.
9. Traduis la phrase par une puissance et effectue-la.
Le carré de 14 La septième puissance de 2 La quatrième puissance de 5
10. Calcule la puissance et traduis-la par une phrase.
5 3 11 2 10 6
11. Complète.
(1) 1 k vues = vues
2 M vues = … vues
3 G vues = … vues
(2) 0,7 M vues = k vues
300 G vues = … M vues
31,2 k vues = … vues
(3) 6 000 M vues = G vues
40 000 k vues = … M vues
500 k vues = … M vues
12. Une ancienne éolienne qui produisait 20 kW vient d’être remplacée par une nouvelle produisant 3 MW.
Par combien la production d’énergie a-t-elle été multipliée ?
13. (1) Sur la base de l’affiche, convertis la production de lait en Belgique en 2023 en kl, Ml et Gl.
(2) Combien de camions-citernes, d’une capacité de 21 kl chacun, sont nécessaires au transport de cette production ?
14. Une baleine bleue adulte pèse environ 180 t (tonnes) . Exprime cette masse en kg, en Mg et en Gg.
801 millions de litres
15. Lequel des deux est le plus lourd : un avion « Airbus 380 » atteignant maximum 560 t au décollage ou le bateau de croisière « Queen Mary 2 » de 148 Gg ? Justifie.
16. Calcule.
(1) 4 + 3 10 =
100 − 4³ =
(3 + 9) 11 =
50 (10 − 3) =
(11 + 4) : (2 + 3) =
(3) 17 0,5 + 0,4 : 2 =
4,2 (5 − 3) =
8 − 3 (6 − 5,5) =
6² : 5 + 8 ⋅ 0,1 =
(3,5 − 2,5) 4 3,4 + 5 =
(2) 2 + 3² 5 =
(11 + 5) ⋅ 3 − 3 =
11 + 5 (3 − 3) =
36 : 2² ⋅ 3 =
5² − (4 + 1) =
(4) (2 + 3 4)² 5 = (8 ⋅ 5³) : (6² + 8²) =
62 − (2 + 6 : 4) 10 + 5 =
4 + 6 ⋅ (0,25 ⋅ 8 − 1³) =
4,5 + (9² 2 + 1) 0,01 =
17. Résous chaque problème. Note, en une seule expression, la suite d’opérations qui te permet de trouver la solution puis calcule-la en respectant les priorités des opérations
(1) Pour l’excursion de fin d’année, quatre cars de 52 places ont été réservés. Huit classes de 24 élèves participent à cette sortie. Détermine le nombre de professeurs présents dans chaque car sachant qu’ils se répartissent équitablement et que les cars sont complets.
(2) Lors d’un marché de Noël, une marchande a vendu 37 assiettes de six huitres à 10 € l’assiette et 50 crêpes au caramel beurre salé. La recette de la soirée est de 595 €. Quel est le prix de vente d’une crêpe ?
(3) Pour les travaux de rénovation de sa salle de bain, Sofia doit s’acquitter d’une facture de 2 465 €. Celle-ci comprend 36 m 2 de carrelage, 23 m de plinthe à 12 € le mètre courant et 425 € de main-d’œuvre.
30. Complète chaque bulle si tu sais que le nombre indiqué à l’intérieur de chaque figure est égal au produit des nombres figurant sur ses sommets. (1) (2)
31. Vrai ou faux ? Si la réponse proposée est fausse, corrige-la et énonce la règle utilisée.
−16 + 4 = −20 −15 − 26 = 41 8 (−5) = −40
32. Vrai ou faux ? Si c’est faux, donne un contrexemple. Si c’est vrai, justifie.
(1) La somme de deux termes de signes différents est toujours négative.
(2) Si le produit de deux facteurs est négatif, alors leur quotient est négatif.
(3) La somme de deux termes négatifs est toujours négative.
(4) Le produit de deux facteurs opposés est égal à 0.
(5) La somme de deux termes non nuls est toujours supérieure à chacun de ces deux termes.
33. Complète en utilisant des nombres. Ajoute des parenthèses si c’est nécessaire.
En ne les utilisant qu’une seule fois, trouve deux nombres… dont la somme vaut −7. dont le produit vaut 24. dont la différence vaut 4. dont le quotient vaut −5,5.
En cas de multiplications et/ou de divisions successives, on les e ectue de gauche à droite.
14 : (–2) ⋅ 5 = –7 ⋅ 5 = –35
Notion
CÔTÉ THÉORIQUE
Définition
Estimation Réponse approximative la plus proche possible du résultat.
Commutativité Propriété d’une opération qui permet de changer l’ordre des nombres sans en changer le résultat.
Associativité Propriété d’une opération de plus de deux nombres qui permet d’en grouper certains sans en changer le résultat.
Élément neutre Élément qui ne modifie pas le résultat de l’opération.
0 est l’élément neutre de l’addition.
1 est l’élément neutre de la multiplication.
Élément absorbant Élément qui rend le produit nul.
0 est l’élément absorbant de la multiplication.
Somme
Différence
Produit
Quotient
Terme
Facteur
Résultat d’une addition.
Résultat d’une soustraction.
Résultat d’une multiplication.
Résultat d’une division.
Élément intervenant dans une addition ou une soustraction.
Élément intervenant dans une multiplication.
Dividende Élément qui est divisé.
Diviseur
Élément qui divise.
Puissance d’un nombre Écriture simplifiée d’un produit de facteurs égaux à ce nombre.
Carré d’un nombre Produit de deux facteurs égaux à ce nombre.
Cube d’un nombre Produit de trois facteurs égaux à ce nombre.
Kilo Préfixe qui multiplie une unité de mesure par mille.
Méga Préfixe qui multiplie une unité de mesure par un million.
Giga
Successifs
Préfixe qui multiplie une unité de mesure par un milliard.
Qui se suivent.
k kilo M méga G giga
Notation mathématique
CHAPITRE 4
repérage dans le plan
Souviens-toi
1. Dans le quadrillage codé, certaines cases ont été colorées.
(1) Écris, à l’intérieur de chaque case, le code qui te permet de la repérer.
(2) Colorie en bleu les formes suivantes dont une des cases est codée.
(3) Colorie en bleu les cases E1, E4, E5, E6 et E7.
2. Des autocollants ont été positionnés sur les nœuds d’un quadrillage codé.
(1) Détermine leur position en te basant sur l’exemple.
(2) Place… un triangle en (D ; 5). une croix en (G ; 3). un cercle en (E ; 7).
Défi
Retrouve le nom du point correspondant à chaque renseignement.
Replace ensuite les lettres dans le bon ordre pour former un mot de cinq lettres.
Nom du point dont l’abscisse est négative et dont l’ordonnée est comprise entre 0 et −3.
Nom du point dont l’ordonnée est supérieure à 3.
Nom du point dont l’abscisse est égale à l’opposé de l’ordonnée.
Nom du point dont l’abscisse est égale à l’ordonnée.
Nom du point dont l’ordonnée est nulle.
Le mot formé est
À la fin de ce chapitre, tu seras capable de relever ce défi.
Coordonnées d’un point dans un repère orthonormé
1. Moussaillon, es-tu prêt(e) à retrouver le fabuleux trésor de Jack la Terreur des mers ? Pour cela, suis les consignes qui te permettront de repérer le trésor sur la carte.
(1) Jack la Terreur des mers se trouve au point J.
Ce point peut être repéré grâce à un couple de nombres, appelé coordonnées du point.
Les coordonnées du point J sont (4 ; 6).
William, son fidèle compagnon, se trouve au point W.
Complète les coordonnées du point W.
2 5
W ( ; )
(2) Place, sur la carte, les points dont on te donne les coordonnées.
B (5 ; 1) C (−2 ; 3) D (3 ; −2) E (−1 ; −3)
Qu’est-il préférable de faire avec les axes présents sur le quadrillage afin de pouvoir placer tous les points donnés ?
Il est préférable de prolonger les axes afin de repérer les valeurs négatives.
(3) Trace les segments [ CD ] et [ BE ] et nomme T leur point d’intersection.
(4) Le trésor de Jack la Terreur des mers est enterré au point T.
Complète les coordonnées du point T.
T ( ; )
Complète.
La première coordonnée, lue sur l’axe horizontal ( x ), est appelée l’ abscisse du point.
La deuxième coordonnée, lue sur l’axe vertical ( y ), est appelée l’ ordonnée du point.
L’abscisse du point T est L’ordonnée du point T est
2. (1) Écris les coordonnées des points placés dans le repère orthonormé.
(2) Complète.
Les points O et I sont situés sur l’axe
Un repère orthonormé est composé de deux axes perpendiculaires (ortho) et gradués de la même manière (normé) à partir de leur point d’intersection, appelé origine du repère.
(3 ; 2)
(5 ; −3)
(−4 ; −2)
(−3 ; 4)
(0 ; 3)
(4 ; 0)
(−2 ; 0)
(0 ; −4)
L’ de ces points est égale à 0.
Les points P et N sont situés sur l’axe
L’ de ces points est égale à 0.
−1 des ordonnées. abscisse des abscisses. ordonnée
3. Parmi les points A (0 ; 2), B (−3 ; 5), C (2 ; 1), D (−3 ; 2), E (−3 ; 0) et F (1 ; −3), écris celui ou ceux qui…
a (ont) une abscisse égale à 2 :
a (ont) une ordonnée égale à −3 :
a (ont) la même abscisse :
a (ont) la même ordonnée :
se situe(nt) sur l’axe des abscisses : se situe(nt) sur l’axe des ordonnées :
4. Voici un repère orthonormé.
D et E
et
Cite le(s) point(s) qui a (ont)…
(1) une abscisse nulle :
une abscisse positive ou nulle :
une abscisse strictement positive :
une abscisse strictement négative :
(2) une ordonnée strictement positive :
une ordonnée strictement négative :
une ordonnée nulle :
(3) la même abscisse :
(4) la même ordonnée :
E, F, G et H
E, F et H
A, B, C et D
A, B et E
D, F, G et H
C F et H
A, B et E
5. (1) Dans le repère orthonormé, place les points dont on te donne les coordonnées.
A (1 ; 5)
B (−2 ; 3)
C (−4 ; −1)
D (3 ; −3)
E (0 ; 1)
F (5 ; 0)
(2) Un point K a la même abscisse que le point C et la même ordonnée que le point B. Écris les coordonnées du point K et place-le dans le repère orthonormé.
K (−4 ; 3)
(3) L’abscisse du point H est égale à l’opposé de l’ordonnée du point E et son ordonnée est égale à l’opposé de l’abscisse du point F.
Écris les coordonnées du point H et place-le dans le repère orthonormé.
H (−1 ; −5)
Je rédige mon procédé pour associer un point et ses coordonnées dans un repère orthonormé
6. (1) Complète les coordonnées des points placés dans le repère orthonormé.
(1 ; 3) (3 ; −2) (1 ; −4)
(2) Place ensuite, dans le même repère, les points dont on te donne les coordonnées.
F (3 ; 2) G (5 ; 0) H (4 ; −3)
I (−3 ; 0) J (−1 ; −2)
(3) Relie dans l’ordre les points…
J, I, D, C, H, G et B. D, E, A, F et H.
; −3)
7. Dans chaque repère orthonormé, place les points dont on te donne les coordonnées. Ensuite, relie-les dans l’ordre alphabétique en veillant à revenir au point de départ. Identifie la figure ainsi formée. A (−2 ; −3) B (−2 ; 2) C (3 ; 2)
ABC est un triangle rectangle isocèle. ABCD est un carré.
8. (1) Dans le repère orthonormé, place les points…
A (4 ; −4)
B (5 ; 0)
C (−3 ; 2)
(2) Place ensuite un point D pour que les points A, B, C et D, une fois reliés, forment un rectangle.
Écris les coordonnées de ce point.
(−4 ; −2)
Ensemble de points
1. Moussaillon, es-tu prêt(e) à retrouver la cachette de Jack la Terreur des mers ainsi que les membres de son équipage ?
(1) Pour chaque indice, entoure les coordonnées qui répondent à la condition énoncée.
Indice n o 1 : l’abscisse est plus grande que l’ordonnée.
Place les cinq points sur la carte et décris leur position relative.
Les points sont alignés.
Représente, sur la carte, l’ensemble de tous les points où peuvent se trouver les membres d’équipage.
2. Complète les coordonnées pour qu’elles répondent à la condition énoncée.
(1) L’ordonnée vaut la moitié de l’abscisse.
(20 ; ) ( ; 2) ( ; −1) (−5 ; ) (4,5 ; )
(2) Les coordonnées sont opposées.
(5 ; ) ( ; −17) (−2,5 ; ) ( ; 0)
(3) La somme des coordonnées vaut −6.
(−9 ; ) ( ; 0) (−5 ; ) (2 ; ) (−3,5 ; )
(4) L’abscisse vaut 5 de plus que l’ordonnée.
( ; 10) (4 ; ) (−2 ; ) ( ; −9) ( ; 0)
(5) L’abscisse vaut le triple de l’ordonnée.
(−3 ; ) ( ; 2) ( ; 0) (−2,4 ; )
:
(6) Le produit des coordonnées vaut −4.
(−1 ; ) ( ; 2) (−8 ; ) (40 ; ) ( ; 16)
3. (1) Complète les coordonnées pour que l’ordonnée soit égale au carré de l’abscisse.
(0 ; ) (1 ; ) (0,5 ; ) (2 ; ) (3 ; )
(2) Place les points dans le repère ort honormé.
(3) Ces points sont-ils alignés ?
Si oui, trace la droite.
Si non, relie les points à main levée.
4. (1) Écris les coordonnées des points placés dans le repère orthonormé.
(−2,5 ; 1,5)
(−1 ; −1)
(1 ; −1)
(2,5 ; −1)
(2) Quelle est la caractéristique commune des coordonnées des points B, C et D ?
L’ordonnée des points B, C et D vaut −1.
Quelle est la position relative des points B, C et D ?
Les points B, C et D sont alignés.
Écris les coordonnées d’un autre point qui possède la même caractéristique que celle des points B, C et D. Existe-t-il beaucoup de possibilités ?
Représente, en bleu, tous les points qui ont la même caractéristique que les points B, C et D.
(3) Représente, en vert, tous les points qui ont la même abscisse que le point A.
(4) Le point P a la même abscisse que le point A et la même ordonnée que le point B. Détermine les coordonnées de ce point.
(0,5 ; −1) Il existe une infinité de possibilités. P (−2,5 ; −1)
Place ce point dans le repère et décris sa position.
Le point P se trouve à l’intersection de la droite verte et de la droite bleue.
5. Détermine les coordonnées de cinq points qui répondent à la condition énoncée. Place-les dans le repère orthonormé et représente ensuite tous les autres points qui répondent à la même condition.
(1) L’ordonnée vaut l’opposé du double de l’abscisse.
(1 ; −2) (−1 ; 2) (0,5 ; −1) (2 ; −4) (−2 ; 4)
(2) La différence entre l’abscisse et l’ordonnée vaut −3.
(0 ; 3) (1 ; 4) (−1 ; 2) (−2 ; 1) (−3 ; 0)
Retourne à la page 137 pour retrouver le mot mystère. 1 1 x y 0 1 1 x y 0
(3) L’abscisse vaut la moitié du cube de l’ordonnée. 1 1 y x 0 Retour au défi
A (2 ; −3) B (0 ; 6) C (−2 ; 2) D (0 ; 0) E (−6 ; 0)
(1) Détermine… l’abscisse du point A. l’ordonnée du point B. les coordonnées du point C.
(2) Détermine le(s) point(s)… qui est (sont) situé(s) sur l’axe des ordonnées. qui est (sont) situé(s) sur l’axe des abscisses. qui a (ont) une abscisse négative.
2. (1) Parmi les points A (−2 ; 0), B (−1 ; 4), C (0 ; −2), D (−2 ; −1) et E (−3 ; −1), écris celui… qui a la plus petite abscisse. qui a la plus grande ordonnée. qui est situé sur l’axe des ordonnées. dont l’ordonnée vaut un de plus que l’abscisse.
(2) Quel point ne répond à aucune condition ?
Rédige une condition qui n’est valable que pour ce point.
3. (1) Dans le repère orthonormé, détermine les coordonnées des points K, L, M, N, P et R.
(2) Place les points dont on te donne les coordonnées.
E (−2 ; −2) F (3 ; −2) G (−1 ; 4)
H (0 ; −3) I (2 ; 2) J (−4 ; 0)
4. En sachant que les coordonnées du point A sont (12 ; 16), détermine les coordonnées des points B et L.
5. Un vaisseau de pirates V progresse vers le rocher R (−1 ; 3) et le phare côtier P (1 ; 2).
(1) Construis le repère orthonormé.
(2) Détermine les coordonnées du vaisseau V, de la balise B et de la crypte C.
(3) Place la fosse F, la grotte G, le trésor T et la maison fortifiée M connaissant leurs coordonnées F (0 ; 0), G (4 ; 2), T (5 ; 4) et M (3 ; −1).
6. (1) Construis un repère orthonormé. Place le point A dont les coordonnées sont (3 ; 7).
(2) Détermine les coordonnées du point B si tu sais que son abscisse vaut le double de celle du point A et que son ordonnée vaut 5 de moins que celle du point A.
Place le point B dans le repère.
(3) Détermine les coordonnées du point C si tu sais que son ordonnée vaut l’opposé de 1 et que ses coordonnées sont opposées. Place le point C dans le repère.
(4) Place le point D afin que les points A, B, C et D soient les sommets d’un carré.
Détermine les coordonnées du point D.
7. Dans chaque série, barre les coordonnées qui ne répondent pas à la condition énoncée.
(6) L’ordonnée vaut l’opposé du triple de l’abscisse.
(−5 ; −15) (0 ; 0) (−3 ; 6) (−1,5 ; 4,5) (3 ; −9)
8. Complète les coordonnées pour qu’elles répondent à la condition énoncée. Construis un repère orthonormé et places-y les six points. Représente ensuite tous les points qui répondent à la condition.
(1) L’ordonnée vaut trois de moins que l’abscisse.
(2) L’ordonnée est égale à la valeur absolue de l’abscisse.
(1 ; …) (0 ; …) (−2 ; …) (4 ; …) (3 ; …) (−4 ; …)
9. Associe les phrases équivalentes.
L’abscisse vaut le double de l’ordonnée.
L’ordonnée vaut le tiers de l’abscisse.
L’ordonnée vaut 2 de moins que l’abscisse.
L’abscisse est égale à l’opposé de l’ordonnée.
La somme des coordonnées vaut 10.
L’abscisse est égale à l’ordonnée augmentée de 10.
•
•
•
•
•
•
• L’abscisse vaut le triple de l’ordonnée.
• La somme des coordonnées est nulle.
• L’abscisse vaut 2 de plus que l’ordonnée.
• L’ordonnée vaut la moitié de l’abscisse.
• La différence entre l’abscisse et l’ordonnée vaut 10.
• L’ordonnée est égale à la différence entre 10 et l’abscisse.
10. Retrouve la position du téléphone de Télio en suivant les instructions.
(1) Trace, en bleu, la droite qui représente l’ensemble des points dont l’abscisse vaut la moitié de l’ordonnée.
(2) Trace, en vert, la droite qui représente l’ensemble des points dont la somme des coordonnées vaut 6.
(3) Marque le point T à l’intersection de ces deux droites.
(4) Le téléphone de Télio se trouve au point T. Quelles sont ses coordonnées et dans quelle province se situe-t-il ?
Repère
orthonormé
deux axes perpendiculaires
gradués de la même manière
CÔT é praTIQU e
1 1 x y 0 axe des ordonnées
origine du repère
axe des abscisses
Coordonnées d’un point
Dans un repère orthonormé, chaque point est repéré par un couple de nombres, appelé les coordonnées du point.
Le premier nombre, lu sur l’axe horizontal, est l’abscisse du point.
Le second nombre, lu sur l’axe vertical, est l’ordonnée du point.
Notation : (abscisse ; ordonnée)
1 1 x −4 y 0 A 3
L’abscisse du point A est −4
L’ordonnée du point A est 3
Les coordonnées du point A sont (−4 ; 3)
On indique toujours, dans l’ordre, l’abscisse du point suivie de son ordonnée.
CÔT é TH é O r IQU e
Notion
Axe Droite orientée et graduée.
Définition
Repère orthonormé
Origine d’un repère
Abscisse d’un point dans un repère orthonormé
Repère composé de deux axes perpendiculaires (ortho) et gradués de la même manière (normé) à partir de leur point d’intersection.
Point d’intersection des deux axes. Les coordonnées de ce point sont (0 ; 0).
Nombre qui permet de repérer la position de ce point sur l’axe horizontal. Première coordonnée du point.
Axe des abscisses Axe horizontal (noté x) d’un repère orthonormé.
Ordonnée d’un point dans un repère orthonormé
Nombre qui permet de repérer la position de ce point sur l’axe vertical.
Deuxième coordonnée du point.
Axe des ordonnées Axe vertical (noté y) d’un repère orthonormé.
Coordonnées d’un point
Valeur strictement positive
Valeur strictement négative
Couple de nombres, composé de l’abscisse et de l’ordonnée du point, permettant de déterminer sa position dans un repère.
Valeur positive non nulle.
Valeur négative non nulle.
Points alignés Points qui se trouvent sur une même droite.
Notation mathématique
( ; ) Coordonnées d’un point
S ouviens-toi
1. Relie.
Si, d’une tablette de chocolat, je mange… alors, j’en mange…
50 % • • le quart.
25 % • • la totalité.
100 % • • la moitié.
20 % • • le centième.
5 % • • le cinquième. 1 % • • le vingtième.
2. Calcule le pourcentage demandé. Note, pour chaque cas, le calcul à effectuer et son résultat.
10 % de 500 €
25 % de 500 €
75 % de 500 €
1 % de 500 €
12 % de 500 €
: 10
: 4
€
€ 500 : 4 3
€ 500 : 100 5 €
500 : 100 ⋅ 12
€
3. Relie chaque pourcentage au nombre décimal et à la fraction décimale qui lui correspondent.
4. (1) Un gâteau est partagé en huit parts égales. Si tu en manges trois parts et que ton ami en mange deux, quelle fraction du gâteau a été mangée ?
3 8 + 2 8 = 5 8 5 8 du gâteau ont été mangés.
(2) Un gâteau doit cuire une demi-heure à 180 °C, puis un quart d’heure à 150 °C. Pendant quelle fraction d’heure le gâteau doit-il cuire ?
1 2 + 1 4 2 4 1 4 = 3 4 = Le gâteau doit cuire durant 3 4 d’heure.
(3) Tu as utilisé un tiers d’une tasse de sucre blanc et un quart de la même tasse de sucre brun. Quelle fraction de tasse représentent les deux sucres ?
1 3 + 1 4 = 4 12 + 3 12 = 7 12
Les sucres représentent 7 12 d’une tasse.
5. Arrondis le nombre 13,725 76… à l’unité près. au dixième près. au centième près.
13,7 13,73
Question de réflexion
Regarde, Lise ! Un nouvel article sur Jay Skyler ! Une date de concert de notre chanteur préféré ?
Non… Ils disent que la semaine passée, il avait perdu 10 % de ses followers mais que, cette semaine, il en a récupéré 10 % !
Extra ! Il en a à nouveau 22 millions alors !
Non, je ne pense pas que cela revienne au même…
Et toi, qu’en penses-tu ? Le nombre de followers a-t-il augmenté, a-t-il diminué ou est-il resté identique ?
À la fin de ce chapitre, tu seras capable de répondre à cette question avec précision.
A
Pourcentage d’une quantité
1. Le soir de la sortie de son premier album, Jay Skyler comptait 15 000 followers sur Instagram. Faisons ensemble un retour sur les débuts de sa carrière. Réalise l’exercice proposé dans la première étiquette. Ensuite, recherche celle qui te propose la réponse que tu viens d’obtenir et résous l’exercice en indiquant tes calculs.
25 % de ses followers likaient régulièrement ses posts.
Détermine le nombre de personnes que cela représentait.
25 % de 15 000 = 3 750
Cela représentait 3 750 personnes.
Réponse de l’exercice que tu viens de résoudre : 70 %
42 % de ses followers avaient vu son post présentant son chien. Détermine le nombre de followers qui n’avaient pas vu ce post.
100 % − 42 % = 58 %
8 700 followers n’avaient pas vu ce post. 4
58 % de 15 000 = 8 700
5
3
Réponse de l’exercice que tu viens de résoudre : 2 700
30 % des followers étaient inactifs.
Détermine le pourcentage de followers actifs.
100 % − 30 % = 70 %
70 % des followers étaient actifs.
Réponse de l’exercice que tu viens de résoudre : 8 700
Une publication avait récolté 3 500 réactions : 60 % de likes, moitié moins de commentaires et le reste de partages.
Détermine le nombre de partages que cela représentait.
Réponse de l’exercice que tu viens de résoudre : 3 750
18 % de ses followers commentaient ses publications.
Détermine le nombre de personnes que cela représentait.
2
18 % de 15 000 = 2 700
Cela représentait 2 700 personnes.
2. Transforme chaque pourcentage en fraction décimale, en fraction irréductible et en nombre décimal.
Calcule 20 % de 2 600 en utilisant…
la fraction décimale :
la fraction irréductible :
le nombre décimal :
Calcule 75 % de 2 600 en utilisant…
la fraction décimale :
la fraction irréductible :
le nombre décimal :
Je rédige mon procédé pour calculer le pourcentage d’une quantité
Pourcentage ajouté ou déduit
1. (1) Lors de l’annonce de son premier concert, Jay Skyler, qui comptait 15 000 followers, a vu le nombre de ceux-ci augmenter de 80 %.
Détermine le nombre de followers qu’il comptait après cette augmentation.
Nombre de nouveaux followers : 80 % de 15 000 = 15 000 0,8 = 12 000
Nombre de followers après augmentation : 15 000 + 12 000 = 27 000
Détermine ce que devient le pourcentage de départ s’il augmente de 80 %.
100 % + 80 % = 180 %
Utilise ce pourcentage pour vérifier le nombre de followers après cette augmentation.
180 % de 15 000 = 15 000 1,8 = 27 000
Je rédige mon procédé pour calculer une quantité augmentée d’un certain pourcentage
(2) Après le concert, le nombre de followers de Jay Skyler a subi une nouvelle augmentation. Il est passé à 250 % de ce qu’il comptait après l’annonce de celui-ci. Calcule le nombre de followers après son concert.
Nombre de followers après son concert : 250 % de 27 000 = 27 000 2,5 = 67 500
(3) Ravi de ce nombre de followers, le chanteur s’est octroyé un peu de repos. Cela lui a fait perdre 15 % de followers.
Calcule de deux manières différentes le nombre de followers après cette diminution.
(1) Nombre de followers perdus : 15 % de 67 500 = 67 500 ⋅ 0,15 = 10 125
Nombre de followers après diminution : 67 500 − 10 125 = 57 375
Nombre de followers après diminution : 85 % de 67 500 = 67 500 0,85 = 57 375
Je rédige mon procédé pour calculer une quantité diminuée d’un certain pourcentage
2. Jay Skyler met en vente des teeshirts et des casquettes à son nom
(1) À la sortie de son concert, le stand de vente de souvenirs propose des réductions.
Alba achète une casquette et deux teeshirts.
Calcule le montant total de ses achats.
Prix d’une casquette : 92 % de 15 = 15 0,92 = 13,80 €
Prix d’un teeshirt : 94 % de 30 = 30 0,94 = 28,20 €
Total : 13,80 + 2 28,20 = 13,80 + 56,40 = 70,20 €
30 € –6 %
Justifie que Lise paiera le même montant qu’Alba pour ses achats. 15 € –8 %
(2) De retour chez elle, Lise réalise les mêmes achats qu’Alba sur le site de vente en ligne qui n’affiche qu’une seule réduction de 8 % sur les teeshirts.
Prix d’un teeshirt : 92 % de 30 = 30 0,92 = 27,60 €
Total : 15 + 2 ⋅ 27,60 = 15 + 55,20 = 70,20 €
Lise paie le même montant (70,20 €) qu’Alba.
3. Un fournisseur de musique en ligne propose deux tarifs.
Tarif 1 : 9 euros par mois avec 40 % de réduction les trois premiers mois.
Tarif 2 : 8 euros par mois avec le premier mois offert.
Si Alba veut souscrire un abonnement de six mois, détermine quel fournisseur elle devrait choisir.
Tarif 1 Prix pour un mois avec la réduction : 60 % de 9 = 9 0,6 = 5,40 €
Total pour six mois : 3 ⋅ 5,40 + 3 ⋅ 9 = 16,20 + 27 = 43,20 €
Tarif 2 Total pour six mois : 5 ⋅ 8 = 40 €
Alba devrait choisir le second fournisseur, car le tarif proposé pour un abonnement de six mois est plus avantageux.
4. Une voiture est affichée au prix de 25 495,87 € HTVA (hors TVA).
Si le taux de TVA est de 21 %, détermine le prix TVAC (TVA comprise) à payer.
La TVA est la taxe sur la valeur ajoutée. Il s’agit d’une taxe que l’on paie dès qu’on achète un produit ou un service. Cette taxe est perçue par le vendeur qui la reverse ensuite à l’État. Grâce à cet argent, l’État peut construire et entretenir les routes, les écoles, les hôpitaux, les parcs, assurer la sécurité, rendre la justice…
Prix TVAC : 121 % de 25 495,87 = 25 495,87 1,21 = 30 850,002 7 ≅ 30 850 €
5. Cette publicité figure dans le dépliant promotionnel d’un magasin de matériel informatique.
La promotion « 21 % de TVA offerte » correspond-elle à une remise de 21 % sur le prix affiché ? Justifie.
Prix après remise : 79 % de 1 178,54 = 1 178,54 0,79 = 931,046 6 ≅ 931,05 €
Vu que 974 > 931,05, la remise n’est pas de 21 %.
6. Un concessionnaire automobile propose une offre de prix pour l’achat d’une voiture hybride, dont la valeur est de 18 800 € HTVA. Le client choisit des options supplémentaires qui augmentent le prix HTVA de 3 %. À l’occasion du Salon de l’auto, le concessionnaire accorde une remise de 4,5 % sur le prix HTVA du véhicule.
Complète l’offre de prix et indique tes calculs en dessous de celle-ci.
OFFRE DE PRIX
CARPRO
Prix des options : 3 % de 18 800 = 18 800 ⋅ 0,03 = 564 €
Prix HTVA hors remise : 18 800 + 564 = 19 364 €
Prix HTVA après remise : 95,5 % de 19 364 = 19 364 0,955 = 18 492,62 €
Prix TVAC : 121 % de 18 492,62 = 18 492,62 1,21 = 22 376,070 2 ≅ 22 376,07 €
Pourcentages successifs
1. La capacité d’un théâtre est de 1 200 places. Pour la prochaine représentation, 90 % des places ont été réservées et, parmi celles-ci, 15 % au premier balcon.
(1) Détermine le nombre de places réservées au premier balcon.
Nombre de places réservées : 90 % de 1 200 = 1 200 0,9 = 1 080
Nombre de places réservées au premier balcon : 15 % de 1 080 = 1 080 ⋅ 0,15 = 162
(2) Détermine, en un seul calcul, le nombre de places réservées au premier balcon.
Nombre de places réservées au premier balcon : 15 % de 90 % de 1 200 = 1 200 0,9 0,15 = 162
Je rédige mon procédé pour calculer des pourcentages successifs d’une quantité
2. Lors d’un mariage, 200 personnes ont été invitées. 80 % des invités sont venus avec un cadeau et, parmi eux, 30 % ont également apporté un bouquet de fleurs.
Détermine le nombre de personnes venues à ce mariage avec un cadeau et un bouquet de fleurs.
30 % de 80 % de 200 personnes = 200 ⋅ 0,8 ⋅ 0,3 = 48 48 personnes sont venues avec des fleurs et un cadeau.
3. Sur les 12 400 habitants d’une ville, on compte 50 % de personnes de 40 ans ou plus. Parmi elles, 45 % ont 60 ans ou plus. Parmi ces dernières, 10 % ont 80 ans ou plus.
Détermine le nombre de personnes de 80 ans ou plus.
10 % de 45 % de 50 % de 12 400 = 12 400 0,5 0,45 0,1 = 279
279 personnes ont 80 ans ou plus.
4. Dans un magasin de gaming, un jeu vidéo est affiché à 49,98 €. Durant la braderie, une réduction de 25 % est accordée.
Détermine le montant que paiera un étudiant pour l’achat de ce jeu s’il bénéficie d’une réduction supplémentaire de 5 % applicable après la déduction des promotions en cours.
95 % de 75 % de 49,98 = 49,98 ⋅ 0,75 ⋅ 0,95 = 35,610 75 ≅ 35,61 €
Un étudiant paiera 35,61 €.
Je rédige mon procédé pour appliquer des augmentations et/ou réductions successives
5. Pendant la première quinzaine des soldes, un marchand vend 30 % de son stock de 1 200 vélos. Après cette période, il décide d’augmenter la remise et vend alors 20 % du stock qui lui restait
Détermine s’il reste 50 % du stock à la fin des soldes.
Nombre de vélos restant à la fin des soldes :
80 % de 70 % de 1 200 = 1 200 0,8 0,7 = 672
Moitié du stock : 1 200 : 2 = 600
672 > 600 Non, il reste plus de 50 % du stock.
6. Kelly a un budget de 400 € pour s’inscrire dans une salle de sport. Elle a trouvé deux offres.
FitLife Studio
€
Abonnement 1 an
ZenFit Club
€
Abonnement 1 an
ü Augmentation de 10 % pour le suivi par un coach personnalisé
ü O re temporaire de 5 % sur le tarif total 380
ü Augmentation de 20 % pour le suivi par un coach personnalisé
ü O re temporaire 20 € de réduction pour toute nouvelle inscription
Sachant qu’elle souhaite les conseils d’un coach pendant un an, détermine l’abonnement qui lui coutera le moins cher.
Prix avec l’abonnement FitLife Studio : 380 1,10 0,95 = 397,10 €
Prix avec l’abonnement ZenFit Club : 350 ⋅ 1,20 − 20 = 400 €
L’abonnement qui lui coutera le moins cher est celui de la salle FitLife Studio.
Rapport en pour cent
1. Une école secondaire compte 1 400 élèves.
Détermine, au pour cent près, le pourcentage d’élèves pour chaque catégorie.
Catégorie Nombre d’élèves Pourcentage (au pour cent près)
Ont plus de 18 ans 140
Suivent le cours d’anglais
Sont inscrits dans le degré inférieur
Aiment le cours de math 1
Je rédige mon procédé pour exprimer un rapport en pour cent
2. Observe les étiquettes de prix.
Dans chaque cas, retrouve, au pour cent près, le pourcentage de réduction accordé. (1)
Prix catalogue : 69,00 € –20,70 €
Réduction : Total : 48,30 € (2)
de réduction accordé est de 30 %.
Le pourcentage de réduction accordé, au pour cent près, est de 20 %.
3. Dans chaque cas, suis la démarche proposée afin de comparer les deux offres.
(1) Pour l’offre 1, écris le rapport entre le nombre d’articles gratuits et le nombre d’articles reçus. Transforme ce rapport en pourcentage.
(2) Choisis l’offre la plus avantageuse en tenant compte du nombre d’articles à acheter pour en bénéficier.
(3) Vérifie ta réponse en déterminant le prix à payer pour chaque promotion si le prix d’un seul article est de 10 €.
Pourcentage de réduction
Offre 1
4 + 1 gratuit
Offre 2
Réduction de 20 % à l’achat de 5 articles 20 %
Offre 1
2 + 1 gratuit
Offre 2
Réduction de 30 % à l’achat de 3 articles
Offre 1
3 + 2 gratuits
Offre 2
Réduction de 50 % à l’achat de 5 articles
30 %
Offre la plus avantageuse Prix pour l’ensemble des articles
offre 1
offre 2
aucune des deux
offre 1
offre 2
aucune des deux
offre 1
offre 2
aucune des deux
4. (1) Lors d’une journée d’activités organisée par une académie des arts, un cinquième des étudiants a participé à une animation sur la photographie numérique et un quart sur la photographie argentique.
Sans utiliser la calculatrice, calcule le pourcentage d’étudiants ainsi que la fraction, sous sa forme irréductible, du nombre d’étudiants ayant participé à une de ces deux animations.
Animation photo numérique : 1 5 = 0,2 = 20 %
Animation photo argentique : 1 4 = 0,25 = 25 %
Total en % : 20 % + 25 % = 45 % Total en fraction irréductible : 45 100 = 9 20
(2) Lors de cette même journée, une moitié des étudiants a réalisé une œuvre sur le thème de la nature et un tiers sur le thème de l’autoportrait.
Sans utiliser la calculatrice, calcule le pourcentage d’étudiants ainsi que la fraction, sous sa forme irréductible, du nombre d’étudiants ayant participé à une de ces deux animations.
Thème nature :
Thème autoportrait :
2 = 0,5 = 50 %
Retour à la question de réflexion
Vérifie la réponse que tu avais donnée en début de chapitre en calculant l’évolution du nombre de followers de Jay Skyler.
Nombre de followers au départ : 22 000 000
Nombre de followers après la perte de 10 % suivi du gain de 10 % : 110 % de 90 % de 22 000 000 = 22 000 000 ⋅ 0,9 ⋅ 1,1 = 21 780 000
Le nombre de followers a diminué (21 780 000 < 22 000 000).
1. Calcule.
EXERCICES COMPLÉMENTAIRES
5 % de 1 800 35 % de 80 6 % de 228 4 % de 120,7 25 % de 500 18 % de 2 350 21 % de 797,5 31 % de 90
2. Observe l’étiquette du pot de confiture et calcule la masse de sucre de canne présente dans celui-ci.
3. Les droits d’enregistrement sont des taxes que l’acheteur doit payer lors de l’achat d’un bien immobilier. Ces droits servent à légaliser la transaction et à enregistrer le changement de propriétaire auprès des autorités fiscales.
Au 1 er janvier 2025 en Wallonie, les droits d’enregistrement lors de l’achat d’une maison ou d’un appartement sont passés de 12,5 % à 3 %.
Adrien et Sophie ont acheté un appartement pour la somme de 220 000 € le 3 janvier 2025.
Calcule le montant que ce changement de taux leur a fait économiser.
4. Voici une facture d’eau incomplète.
Calcule le montant de la TVA ainsi que celui de la facture TVAC.
FACTURE D’EAU
N° d’installation : 764195
Montant à payer 132,49 €
Total HTVA TVA 6,00 %
Date facture 03.01.2026
N° compteur M12345678
5. Pierre recherche un hôtel pour ses prochaines vacances. Voici les trois offres qu’il a retenues.
Total TVAC
• Palace Sunset : 100 € la nuit avec petit-déjeuner. Une réduction de 15 % est accordée pour les réservations en ligne.
• Hôtel Blue Lagoon : 95 € la nuit. Un forfait petit-déjeuner est proposé à 10 € par personne et par jour. Une réduction supplémentaire de 5 % est accordée pour un séjour de plus de 7 nuits.
• Aramis Hôtel : 110 € la nuit avec petit-déjeuner. Une offre spéciale propose une nuit gratuite pour toute réservation de 4 nuits payantes.
Pierre souhaite réserver en ligne un séjour de 8 nuitées avec petit-déjeuner.
Détermine le prix de son séjour dans les différents hôtels et détermine celui qui lui propose le prix le plus intéressant.
CONFITURE
BIO, 80 % de fruits !
6. Une grande enseigne d’articles de sport organise des ventes privées.
Pieter achète deux sweatshirts tandis que James achète deux sweatshirts et deux shorts.
(1) Lequel des deux a fait l’achat le plus judicieux ? Justifie en notant tous tes calculs.
(2) Si James avait acheté deux sweatshirts et un seul short, aurait-il payé moins, plus ou le même montant que pour l’achat de deux sweatshirts et de deux shorts ? Justifie.
7. Une entreprise de 850 personnes est composée à 40 % d’employés. Parmi ceux-ci, 15 % ont moins de cinq ans d’ancienneté dans l’entreprise.
Détermine le nombre d’employés ayant moins de cinq ans d’ancienneté dans l’entreprise.
8. Quand tu déposes de l’argent sur un compte épargne, la banque te remercie de le lui confier en te donnant un petit bonus : c’est ce qu’on appelle les intérêts.
Calcule, au cent près, le montant gagné à la fin d’une période de cinq ans si tu places la somme de 1 000 € sur un compte et si les intérêts te rapportent 2,5 % par an.
9. Laure souhaite s’inscrire à une salle de sport.
Le forfait de base s’élève à 360 €. Laure ajoute un accès illimité à la piscine, ce qui augmente le prix initial du forfait de 60 %.
Un code promotionnel lui offre une réduction de 15 % sur le prix total.
Calcule le prix à payer par Laure.
10. Un carreleur établit un devis pour un client.
Le cout initial des matériaux (HTVA) s’élève à 2 500 € et celui de la main-d’œuvre (HTVA) à 1 500 €.
Le taux de TVA applicable pour cette rénovation est de 6 %.
À la suite d’une discussion avec le client, le devis doit être ajusté. Le prix des matériaux augmente de 15 % en raison du choix d’un carrelage haut de gamme et le cout de la main - d’œuvre diminue de 10 %, car le client accepte de payer un acompte de 30 % du montant total (TVAC) avant le début des travaux.
Détermine le montant de l’acompte que le client devra verser.
11. Un pâtissier de renom a confectionné deux gâteaux : un gâteau « maison » de 800 g, dont 240 g de beurre, et un gâteau « signature » de 600 g, dont 150 g de beurre.
Calcule le pourcentage de beurre contenu dans chacun des gâteaux.
Détermine le gâteau qui est le plus riche en beurre.
12. Cyprien hésite entre ces deux offres d’abonnement. Les deux lui conviennent vu qu’il ne dépasse jamais 30 Gb de data.
Recommandé
35 GB
Pendant 12 mois, puis 23 € /mois
Le plus choisi 5G Ultra
50 GB
Appels & SMS illimités Data garantis en continu
20 € /mois
O re temporaire : 10 % les six premiers mois
(1) Détermine l’offre la plus intéressante si Cyprien décide de prendre un abonnement pour une durée de 2 ans. Justifie.
(2) Calcule, au pour cent près, le pourcentage de réduction offert par l’abonnement Ola durant la première année.
13. Voici une offre de prix reçue pour l’achat d’une nouvelle voiture.
Prix catalogue 51 265 €
Bonus Cycling Edition
de reprise conditionnelle
Calcule, au centième de pour cent près, le pourcentage de remises accordé au client.
14. Hermione participe à une œuvre caritative en vendant des pochettes de stylos.
Le lundi, elle vend un dixième de son stock et le mercredi trois cinquièmes.
(1) Sans utiliser la calculatrice, quelle fraction irréductible de pochettes de stylos a-t-elle vendu durant ces deux jours ?
(2) À quel pourcentage cela correspond-il ?
15. Paul achète un bouquet de fleurs pour sa maman. Le cinquième d’entre elles sont des lys, 40 % sont des roses et les autres sont des tulipes.
Sans utiliser la calculatrice, calcule le nombre de fleurs contenues dans le bouquet si tu sais qu’il y a 18 tulipes.
16. Une veste, initialement vendue au prix de 125 €, bénéficie de deux réductions successives : une première réduction de 60 %, suivie d’une seconde réduction de 20 %.
Détermine le prix de la veste après réductions et le pourcentage final de réduction.
CÔTÉ PRATIQUE
Pour calculer le pourcentage d’une quantité, on utilise la transformation du pourcentage en…
fraction décimale
Ú
On divise la quantité par le dénominateur de la fraction et on multiplie le résultat obtenu par son numérateur.
nombre décimal
Ú
On multiplie la quantité par ce nombre décimal.
fraction irréductible
Ú
On divise la quantité par le dénominateur de la fraction et on multiplie le résultat obtenu par son numérateur.
200 = 200 : 100 75 = 150
75 % de 200 200 ⋅ 0,75 = 150
Pourcentage d’une quantité
Pourcentage ajouté ou déduit
Pour calculer une quantité augmentée (ou diminuée) d’un certain pourcentage, on ajoute (ou soustrait) à 100 % le pourcentage d’augmentation (ou de diminution) et on calcule le nouveau pourcentage de la quantité de départ.
Augmenter 200 de 75 % :
100 % + 75 % = 175 %
175 % de 200 = 200 ⋅ 1,75 = 350
Diminuer 200 de 75 % :
100 % − 75 % = 25 %
25 % de 200 = 200 ⋅ 0,25 = 50
Pour calculer des pourcentages successifs d’une quantité, on calcule, en une seule expression, les pourcentages successifs de la quantité de départ.
10 % de 75 % de 200 = 200 0,75 0,1 = 15
Pour calculer des pourcentages successifs ajoutés ou déduits , on détermine les pourcentages résultant de chaque augmentation et/ou de chaque diminution et on applique ces pourcentages à la quantité de départ.
Diminuer 200 de 75 % et augmenter le résultat de 10 %
100 % − 75 % = 25 % = 0,25
100 % + 10 % = 110 % = 1,10
200 0,25 1,10 = 55
Pour exprimer, en pour cent, un rapport entre deux quantités, on écrit, sous la forme d’une fraction, le rapport entre la partie et le tout et on transforme cette fraction en pourcentage.
Une réduction de 14 € est accordée sur un objet qui coute 40 €
Écriture particulière d’une fraction dont le dénominateur est égal à 100.
Comparaison, exprimée par une fraction, entre deux quantités d’une même grandeur.
CHAPITRE 6
F igures planes
s ouviens-toi
1. Identifie, avec la plus grande précision, les figures représentées dans le vitrail. Aide-toi éventuellement de ton équerre.
Un carré
2. Construis les diagonales de ces quadrilatères.
Un triangle isocèle rectangle
Un parallélogramme
Un trapèze rectangle
Un rectangle
Un triangle scalène rectangle
Un trapèze isocèle
Un triangle équilatéral (acutangle)
Un triangle scalène rectangle
Un trapèze (quelconque)
Un losange
Un triangle scalène obtusangle
3. Construis les médianes de ces quadrilatères.
4. Construis, dans chaque figure, la hauteur issue du point A.
5. Colorie les polygones réguliers et complète le tableau.
Nombre de côtés 5 6 8 10
Lettre du polygone
Nom du polygone
6. Observe et relie.
Pentagone régulier
Hexagone Octogone Décagone régulier
Le point O est… • • un rayon du cercle.
Le segment [ OA ] est… • • le centre du cercle.
Le segment [ BC ] est… • • un diamètre du cercle.
7. Construis…
(1) un cercle de centre O et de 1,5 cm de rayon.
(2) un cercle de centre C et de 4 cm de diamètre.
T riangles
Constructions de base
1. Une mosaïque est une œuvre d’art ou de décoration créée en assemblant de petites pièces appelées tesselles. Les tesselles utilisées dans les mosaïques peuvent prendre diverses formes, en fonction du motif souhaité et du style artistique.
(1) Observe la mosaïque et les croquis des différents triangles nécessaires à la création du cheval. Reproduis les triangles en vraie grandeur en utilisant les instruments de géométrie imposés.
Avec la latte et le compas
Avec l’équerre type « Aristo »
(2) Complète le tableau afin de déterminer la nature complète de chaque triangle.
Triangle Nature par rapport à ses côtés Nature par rapport à ses angles
EDF
VTU
ABC
KJL
IGH
XSY
MHI
PNO
(3) Lis l’indice.
équilatéral acutangle
scalène obtusangle en T
isocèle en A acutangle
scalène rectangle en K
scalène obtusangle en G
isocèle en S acutangle
scalène rectangle en H
isocèle en P obtusangle en P
Ensuite, complète, quand cela est nécessaire, la nature des triangles du tableau précédent.
Lorsqu’un triangle est isocèle, on précise le sommet commun aux deux côtés de même longueur.
E F
Lorsqu’un triangle est obtusangle ou rectangle, on précise le sommet de l’angle obtus ou droit.
Le triangle FEU est isocèle en F . C
Le triangle CAT est obtusangle en C . O T N
Le triangle TON est rectangle en T .
a mplitude des angles
1. Une équerre est un instrument de géométrie utilisé principalement pour tracer des angles et des droites parallèles ou perpendiculaires.
(1) Observe l’équerre et détermine à quelle figure elle peut être associée.
L’équerre a la forme d’un triangle isocèle rectangle en B.
(2) Place deux équerres côte à côte comme le montre l’image. Détermine la nature du quadrilatère formé.
Le quadrilatère formé est un carré.
Détermine la somme des amplitudes des angles intérieurs de ce quadrilatère. Justifie.
La somme des amplitudes des angles intérieurs du carré vaut 360°, car le carré possède quatre angles droits (4 90° = 360°).
Déduis-en la somme des amplitudes des angles intérieurs du triangle ABC. Justifie.
La somme des amplitudes des angles intérieurs du triangle vaut 180°, car le carré est composé de deux triangles identiques (360° : 2 = 180°).
(3) Compare l’amplitude des angles BAC et BCA du triangle isocèle ABC.
BAC = BCA
Compare l’amplitude des angles DAC et DCA du triangle isocèle ACD.
DAC = DCA
Énonce une propriété des angles intérieurs d’un triangle isocèle.
Un triangle isocèle possède deux angles de même amplitude.
(4) Code le triangle ABC représentant l’équerre et complète.
180° rectangle et isocèle en B.
90° (180° 90°) : 2 = 45° 45°
Le triangle ABC est A + + C = = A = C =
2. Construis, sur une feuille, un triangle et la hauteur relative au plus grand côté. Marque P le pied de cette hauteur.
Ensuite, découpe le triangle et marque chaque angle dans une couleur différente. Utilise les mêmes couleurs au verso du triangle.
Enfin, ramène chacun des sommets du triangle sur le point P et marque les plis.
(1) Que constates-tu ?
Les trois angles s’assemblent parfaitement le long de la base. Ils forment un angle plat.
(2) Énonce la propriété relative à la somme des amplitudes des angles intérieurs d’un triangle.
Colle ici le triangle une fois que tu en as reçu l’instruction.
La somme des amplitudes des angles intérieurs d’un triangle vaut 180°. P
3. Utilise la propriété que tu viens de découvrir pour calculer l’amplitude de l’angle marqué d’un point d’interrogation.
Précise ensuite si le triangle est scalène, isocèle ou équilatéral.
E = 180° (65° + 50°) = 180° 115° = 65°
Le triangle ERP possède deux angles de même amplitude, il est donc isocèle en R.
O = 180° (110° + 45°) = 180° 155° = 25°
Le triangle AOB n’a aucun angle de même amplitude, il est donc scalène.
I = 180° (60° + 60°) = 180° 120° = 60°
Le triangle LPI a trois angles de même amplitude, il est donc équilatéral.
4. Dans chaque cas, calcule l’amplitude de l’angle manquant du triangle ABC et détermine la nature complète de celui-ci .
A B C
90° 30°
Nature du triangle ABC
60° scalène et rectangle en A
70° isocèle en A et acutangle
125°
60°
scalène et obtusangle en B
équilatéral (et acutangle)
130° isocèle et obtusangle en C
45° isocèle et rectangle en B
25° 25° 90° 45°
5. Détermine l’amplitude de l’angle marqué d’un point d’interrogation. Indique tes calculs et justifie.
?
R = (180° 70°) : 2 = 110° : 2 = 55°, car le triangle RST est isocèle en S.
U = 180° (52° + 52°) = 180° 104° = 76°, car le triangle REU est isocèle en U. 52°
6. Construis un triangle équilatéral de 4,2 cm de côté, en utilisant la latte et l’équerre type « Aristo ».
7. Construis deux triangles isocèles différents dont l’amplitude d’un angle intérieur vaut 38°. Pour chaque triangle, indique l’amplitude de ses angles et précise sa nature.
Le triangle est isocèle et obtusangle. Le triangle est isocèle et acutangle.
Droites remarquables
1. (1) Construis une droite dans chaque triangle en suivant les instructions données par les adolescents. Code tes constructions.
Lise
Dans le triangle LIS, trace la droite d qui passe par le milieu d’un des côtés et qui est perpendiculaire à ce côté.
Dans le triangle KAR, trace la droite k qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé.
Mesure l’amplitude d’un des angles du triangles JUD. Trace la droite j qui coupe cet angle en deux angles de même amplitude.
Repère le milieu d’un des côtés du triangle ALB. Trace la droite p qui passe par ce milieu et par le sommet opposé à ce côté.
Karim
Jude
Alba
C
(2) Relie.
La droite d est une… • • bissectrice du triangle.
La droite k est une… • • médiatrice du triangle.
La droite j est une… • • médiane du triangle.
La droite p est une… • • hauteur du triangle.
(3) Combien existe-t-il de droites remarquables de chaque type ? Explique.
Il y a trois droites de chaque type, car on peut choisir à partir de quel côté ou de quel sommet on la construit.
Je rédige ma définition de chaque type de droite remarquable d’un triangle
2. Construis…
(1) la hauteur h du triangle MEL passant par E.
(2) la médiane m du triangle TIF passant par T.
(3) la médiatrice t du côté [ LO ] du triangle FLO.
(4) la bissectrice b de l’angle I du triangle LIN.
3. Construis…
– le triangle MAD tel que | DA | = 3 cm, | MA | = 4 cm et | DM | = 6 cm ;
– la hauteur h passant par D ;
– la médiatrice m relative au côté [ AM ] .
Quelle est la position relative des droites h et m ?
Elles sont parallèles.
4. Dans chaque cas, construis un triangle en respectant les contraintes et code tes constructions.
(1) Un triangle ABC isocèle en B tel que la droite a est la médiatrice du côté [ AC ] et l’amplitude de l’angle A vaut 50°.
(2) Un triangle ABC tel que la droite m est la médiatrice du côté [ AB ] et la droite d est la médiatrice du côté [ BC ] .
(3) Un triangle ABC équilatéral tel que la droite t est la médiatrice du côté [ AC ]
(4) Un triangle ABC isocèle en A tel que la droite f est la médiatrice du côté [ AC ]
(5) Un triangle ABC isocèle en A tel que la droite b est la bissectrice de l’angle A , l’amplitude de l’angle A vaut 100° et la longueur du segment [AB] vaut 3,2 cm.
(6) Un triangle ABC tel que l’amplitude de l’angle A vaut 70°, la droite s est la bissectrice de l’angle A et la droite t est la bissectrice de l’angle B
Triangle et cercles
1. (1) Reconnais, en utilisant tes instruments de géométrie, les deux droites remarquables tracées dans le triangle et construis la troisième. Que constates-tu ?
Les médiatrices d’un triangle se coupent en un même point.
On dit que les médiatrices d’un triangle sont concourantes.
(2) Construis un cercle passant par le point A et dont le centre est le point d’intersection des droites remarquables. Que constates-tu ?
Le cercle construit passe par les trois sommets du triangle.
(3) Aide-toi de l’indice pour compléter les phrases avec l’adjectif approprié.
Inscrit : qui est cerné, qui est « dedans », placé à l’intérieur. Circonscrit : qui cerne, qui est « autour ».
circonscrit
Le cercle est au triangle ABC.
Le triangle ABC est dans le cercle.
inscrit
2. (1) Reconnais, en utilisant tes instruments de géométrie, les deux droites remarquables tracées dans le triangle et construis la troisième. Que constates-tu ?
(2) Nomme P le point d’intersection de la droite remarquable et du côté [ MN ] Construis un cercle passant par P et dont le centre est le point d’intersection des droites remarquables.
(3) Complète la phrase.
inscrit
Le cercle est dans le triangle MON.
(4) Détermine la position relative du côté [ MN ] et du rayon du cercle issu de P.
Le rayon du cercle est perpendiculaire au côté [ MN ]
(5) Construis, avec précision, les deux autres rayons du cercle dont une extrémité est un point du triangle. Code ta construction.
3. Complète les phrases par le mot ou la lettre qui convient. Ne t’aide pas du compas.
�� 1 est le cercle au triangle AZE.
Son centre est le point
circonscrit R.
�� 2 est le cercle dans le triangle AZE.
Son centre est le point
inscrit T.
TE est une du triangle AZE.
bissectrice
4. Construis le cercle circonscrit au triangle HIJ.
Je rédige mon procédé pour construire le cercle circonscrit à un triangle
5. Construis le cercle inscrit dans le triangle WZV.
Je rédige mon procédé pour construire le cercle inscrit dans un triangle
Q ua D rilaTÈ res
Types de quadrilatères
1. Les drapeaux regorgent de figures géométriques courantes. Dans chaque cas, tu peux utiliser ton équerre pour déterminer la nature des figures.
(1) Observe le drapeau de la Guyane et décris le quadrilatère jaune. Associe-le à une famille de quadrilatères. Explique.
Il s’agit d’un quadrilatère non convexe (concave), car un de ses angles intérieurs est supérieur à 180°.
(2) Dans chaque drapeau, reconnais un quadrilatère convexe différent.
Congo Chili Brésil Ile de Bonaire
République dominicaine
Rectangle
Trapèze rectangle
Quadrilatère quelconque
(3) Un quadrilatère convexe bien connu ne figure sur aucun drapeau du monde.
Observe le drapeau créé et reconnais ce quadrilatère.
Il s’agit du cerf-volant.
Trapèze isocèle
Dans la suite des exercices, nous travaillerons toujours avec des quadrilatères convexes.
Afrique du Sud
Seychelles
Koweït
Parallélogramme
Carré
Losange
Trapèze
2. (1) Deux droites parallèles distantes de 2 cm sont dessinées. Dans chaque cas, trace deux autres droites parallèles, qui, en coupant les premières, forment un quadrilatère. Varie tes constructions afin d’obtenir quatre quadrilatères différents et précise leur nature.
Parallélogramme
Losange
Rectangle Carré
(2) Cite les quadrilatères qu’il est impossible d’obtenir avec cette méthode et explique pourquoi.
Le quadrilatère quelconque, le trapèze et le cerf-volant, car ils n’ont pas les côtés opposés parallèles.
3. Parmi les notations proposées, entoure celles qui sont correctes.
Pour nommer un quadrilatère, on choisit un sommet de départ, on choisit un sens de lecture et on passe d’un sommet à son consécutif.
4. En te basant sur sa définition, identifie le quadrilatère qui possède…
(1) ses côtés opposés parallèles.
(2) quatre côtés isométriques.
(3) deux côtés parallèles.
(4) deux côtés parallèles et deux angles droits.
(5) quatre angles droits.
(6) quatre côtés isométriques et quatre angles droits.
(7) deux paires de côtés consécutifs isométriques.
(8) deux côtés parallèles et deux côtés non parallèles isométriques.
5. Dans chaque cas, construis le quadrilatère demandé.
(1) Un parallélogramme VERT avec | VT | = 3 cm, | VE | = 2 cm et TVE = 140°.
Le parallélogramme
Le losange
Le trapèze
Le trapèze rectangle
Le rectangle
Le carré
Le cerf-volant
Le trapèze isocèle
(2) Un losange FOIN avec | FO | = 3 cm et OFN = 140°.
6. Construis un triangle ORD isocèle en R tel que
| DO | = 4 cm et ODR = 40°.
Construis ensuite le parallélogramme ORDI.
Ce parallélogramme est-il particulier ?
Oui, il s’agit d’un losange.
7. Cette rosace est formée de losanges isométriques.
Construis un de ses losanges si la longueur d’un côté est de 4 cm.
Utilise le compas pour le report des longueurs.
a mplitude des angles d’un quadrilatère
1. Trace une diagonale dans chaque quadrilatère.
Quelles figures voit-on apparaitre à l’intérieur de chaque quadrilatère ?
Deux triangles
Que sais-tu à propos de la somme des amplitudes des angles intérieurs d’une de ces figures ?
Cette somme vaut 180°.
Déduis la propriété de la somme des amplitudes des angles intérieurs d’un quadrilatère.
La somme des amplitudes des angles intérieurs d’un quadrilatère vaut 360°.
2. Sur une feuille, construis un trapèze isocèle que tu pourras coller dans le cadre.
Découpe-le et plie-le en deux parties superposables.
Marque les angles de même amplitude dans une même couleur.
(1) Coche la proposition correcte.
Colle ici le trapèze isocèle une fois que tu en as reçu l’instruction.
Deux angles sont marqués dans une même couleur s’ils sont… opposés. adjacents à un des côtés non parallèles. adjacents à une même base. consécutifs.
Énonce la propriété relative à ces angles.
Les angles adjacents à une même base d’un trapèze isocèle ont la même amplitude.
(2) Coche les propositions correctes.
Deux angles sont marqués dans des couleurs différentes s’ils sont… opposés. adjacents à un des côtés non parallèles. adjacents à une même base. consécutifs.
Calcule la somme des amplitudes de deux angles de couleurs différentes et qualifie-les.
360° : 2 = 180°
Les angles marqués dans des couleurs différentes sont supplémentaires.
Énonce les deux nouvelles propriétés relatives à ces angles.
Les angles adjacents à un des côtés non parallèles d’un trapèze isocèle sont supplémentaires.
Les angles opposés d’un trapèze isocèle sont supplémentaires.
(3) Cette figure est composée de trois trapèzes quelconques isométriques.
Reproduis le code couleur du premier trapèze dans les suivants. Énonce la propriété relative aux angles du trapèze isocèle qui est valable pour tous les trapèzes.
Les angles adjacents à un des côtés non parallèles d’un trapèze sont supplémentaires.
3. Sur une feuille, construis deux triangles identiques dont les côtés mesurent 2 cm, 3 cm et 4 cm.
Découpe-les et assemble-les pour former un parallélogramme que tu colles ici.
Marque les angles des triangles qui sont devenus les angles opposés du parallélogramme.
Énonce la propriété concernant leurs amplitudes.
Les angles opposés d’un parallélogramme ont la même amplitude.
4. Dans le parallélogramme ABCD, colorie les angles de même amplitude dans la même couleur.
Coche la proposition correcte.
Deux angles sont marqués dans des couleurs différentes s’ils sont… opposés. consécutifs.
Calcule la somme des amplitudes de deux angles de couleurs différentes.
360° : 2 = 180°
Énonce la propriété relative à ces angles.
Deux angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires.
5. Détermine l’amplitude des angles marqués d’un « ? ». Indique tes calculs et justifie. ?
120° 50° B L E U
BLEU est un quadrilatère quelconque. ? 58° T V E R
VERT est un trapèze rectangle. ? R O S E 138°
V = 360° (90° + 90° + 58°) = 360° 238° = 122°, car la somme des amplitudes des angles intérieurs d’un quadrilatère vaut 360°.
ROSE est un parallélogramme.
R = S = 138°, car les angles opposés d’un parallélogramme ont la même amplitude.
60° ? N O I R
NOIR est un losange. ? O C R E 72°
N = 180° 60° = 120°, car deux angles consécutifs d’un parallélogramme, donc d’un losange, sont supplémentaires.
OCRE est un trapèze isocèle. ? G R I S 56°
O = 180° − 72° = 108°, car deux angles adjacents à un des côtés non parallèles d’un trapèze isocèle sont supplémentaires.
GRIS est un trapèze isocèle. = 360° (90° + 120° + 50°) = 360° 260° = 100°, car la somme des amplitudes des angles intérieurs d’un quadrilatère vaut 360°.
I = S = 56°, car deux angles adjacents à une même base d’un trapèze isocèle ont la même amplitude.
Droites remarquables d’un quadrilatère
1. En te basant sur les codages, retrouve la (les) droite(s) qui correspond(ent) à chaque description.
Ensuite, précise de quelle droite remarquable il s’agit.
(1) La droite coupe un angle en deux angles de même amplitude.
d 3 Il s’agit d’une bissectrice.
(2) La droite passe par le milieu de deux côtés opposés.
d 1 et d 6 Il s’agit de deux médianes.
(3) La droite passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé ou à son prolongement.
d 2 Il s’agit d’une hauteur.
(4) La droite passe par deux sommets opposés.
d 5 Il s’agit d’une diagonale.
(5) La droite passe par le milieu d’un côté et est perpendiculaire à ce côté.
d 4 et d 6 Il s’agit d’une médiatrice.
2. Écris la notation mathématique correspondant à chaque codage. Construis, dans chaque cas, le quadrilatère ABCD et indique sa nature.
ABCD est un rectangle. | AO | = | BO | = | CO | = | DO | | AC | = | BD | [ AC ] ⊥ [ BD ]
ABCD est un carré.
| AO | = | CO | et | BO | = | DO | [ AC ] ⊥ [ BD ]
ABCD est un losange. | AO | = | BO | = | CO | = | DO | | AC | = | BD |
| AO | = | CO | et | BO | = | DO |
ABCD est un parallélogramme.
Que représentent les diamètres des cercles par rapport aux quadrilatères construits ?
Ce sont leurs diagonales. diagonales…
Indique un V dans la case si ces segments répondent à la propriété.
Les se coupent en leur milieu. sont isométriques. sont perpendiculaires.
Parallélogramme
Losange
Rectangle Carré
3. Indique, dans chaque case, un V (vrai) ou un F (faux) si la propriété est rencontrée ou non. Construis le quadrilatère demandé en sachant qu’une de ses diagonales est déjà tracée. Code tes constructions.
Figure attendue Ses diagonales… Construction
Rectangle
Parallélogramme
se coupent en leur milieu. sont isométriques.
sont perpendiculaires.
se coupent en leur milieu. sont isométriques.
sont perpendiculaires.
Losange
se coupent en leur milieu. sont isométriques. sont perpendiculaires.
Carré se coupent en leur milieu. sont isométriques. sont perpendiculaires.
4. Utilise tes instruments de mesure et code les diagonales de chaque quadrilatère. À l’aide du codage, écris les propriétés des diagonales en notation mathématique.
(1) A B
D X ABCD est un cerf-volant.
Propriétés des diagonales :
(2) A B C D X
ABCD est un trapèze isocèle.
Propriétés des diagonales :
5. (1) Voici une photo de la façade d’un château avec plusieurs fenêtres. À quels segments peut-on associer les croisillons de la première fenêtre ?
Aux médianes du losange
(2) Construis les croisillons des trois autres fenêtres en respectant le même procédé de construction.
(3) Indique un V dans la case si ces segments répondent à la propriété.
médianes…
Les se coupent en leur milieu. sont isométriques. sont perpendiculaires.
Parallélogramme
Losange
Rectangle
Carré
(4) Quelle est la position relative des médianes et des côtés de ces quadrilatères ?
Chaque médiane est parallèle à deux côtés opposés du quadrilatère. Pour le rectangle et le carré, chaque médiane est aussi perpendiculaire à deux côtés opposés.
(5) Que peux-tu observer de particulier entre les longueurs des côtés de ces quadrilatères et celles de leurs médianes ?
Chaque médiane est isométrique aux côtés qui lui sont parallèles.
6. Indique, dans chaque case, un V (vrai) ou un F (faux) si la propriété est rencontrée ou non. Construis le quadrilatère demandé en sachant qu’une de ses médianes est déjà tracée. Code tes constructions.
Figure attendue Ses médianes… Construction
Rectangle se coupent en leur milieu. sont isométriques. sont perpendiculaires.
Parallélogramme se coupent en leur milieu. sont isométriques. sont perpendiculaires.
Losange se coupent en leur milieu. sont isométriques. sont perpendiculaires.
Carré se coupent en leur milieu. sont isométriques. sont perpendiculaires.
7. Utilise tes instruments de mesure et code les médianes de chaque quadrilatère. À l’aide du codage, complète les propriétés relatives à leurs médianes.
Précise si les médianes sont parallèles à deux côtés opposés du quadrilatère.
MARS est un cerf-volant.
Ses médianes
se coupent en leur milieu et sont isométriques.
Aucune médiane n’est parallèle à deux côtés opposés.
A R S
J U I N
JUIN est un trapèze.
Ses médianes A O
se coupent en leur milieu.
Une des médianes est parallèle aux deux bases.
U T
AOUT est un trapèze isocèle.
Ses médianes
se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
Une des médianes est parallèle aux deux bases.
8. Cite les quadrilatères qui répondent à chaque condition.
(1) Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
Losange, carré
(2) Ses médianes se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
Rectangle, carré et trapèze isocèle
(3) Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont isométriques.
Rectangle et carré
(4) Ses médianes sont isométriques.
Losange, carré et cerf-volant
9. Aide-toi du codage pour donner la nature précise de chaque quadrilatère dessiné à main levée. Justifie.
Il s’agit d’un losange, car il a quatre côtés isométriques.
(définition)
Il s’agit d’un rectangle, car ses diagonales se coupent en leur milieu et sont isométriques.
(propriété)
Il s’agit d’un rectangle, car ses médianes se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
(propriété)
Il s’agit d’un parallélogramme, car ses médianes se coupent en leur milieu.
(propriété)
Il s’agit d’un carré, car ses diagonales se coupent en leur milieu, sont isométriques et sont perpendiculaires.
(propriété)
Il s’agit d’un parallélogramme, car ses angles opposés ont la même amplitude.
(propriété)
F igures COM ple X es
p rogramme de construction
1. Chaque figure est composée d’un cercle et d’un carré.
Coche la figure qui correspond au programme de construction donné.
– Construis un carré.
– Construis les médianes de ce carré.
– Construis le cercle inscrit dans ce carré.
2. Lis les quatre programmes de construction et coche celui qui permet de construire cette figure.
–
Construis un triangle ABC rectangle en A.
– Construis la médiatrice du côté [ BC ]
– Construis le cercle dont le diamètre est le segment [ BC ] .
– Construis un triangle ABC rectangle en A.
– Construis la médiane du côté [ BC ]
– Construis le cercle dont le diamètre est le segment [ BC ]
Construis un triangle ABC rectangle en B.
– Construis la médiane du côté [ BC ]
Construis le cercle dont le diamètre est le segment [ BC ] .
– Construis un triangle ABC rectangle en A.
– Construis la médiane du côté [ BC ]
– Construis le cercle dont le rayon est le segment [ BC ]
3. Numérote les cinq étapes du programme de construction, qui permettent de construire cette figure.
( ) Trace la diagonale [ AC ] de ce losange.
( ) Nomme E le point d’intersection des droites m et n.
( ) Construis la droite m telle que m ⊥ AC et C ∈ m.
( ) Construis un losange ABCD.
( ) Construis la droite n telle que n ⊥ m et B ∈ n.
4. Réalise chaque construction en suivant le programme.
(1) – Construis un triangle équilatéral DEF de 4 cm de côté.
– Place un point M au milieu du côté [ DF ]
– Trace, à l’extérieur du triangle, le demi-cercle de centre M et dont le rayon est le segment [ MF ] .
(2) – Construis un carré ABCD de 3 cm de côté.
– Construis un cercle de centre C et dont le rayon est le segment [ CB ]
– Place un point E sur le cercle, afin que le quadrilatère ABED soit un cerf-volant.
5. (1) Reproduis cette figure en vraie grandeur.
4 cm
(2) Rédige un programme de construction de cette figure.
– Construis un rectangle ABCE tel que | EC | = 8 cm et | BC | = 4 cm.
– Place un point D au milieu du segment [ EC ]
– Construis un demi-cercle de centre D, de 4 cm de rayon, à l’intérieur du rectangle ABCE.
6. (1) Reproduis cette figure en vraie grandeur. 4 cm
(2) Rédige un programme de construction de cette figure.
– Construis un carré de 4 cm de côté.
– Trace ses diagonales.
– Trace le cercle circonscrit au carré.
– Place un point au milieu de chacun des côtés du carré et relie-les de manière à obtenir un deuxième carré.
7. Rédige un programme de construction permettant de reproduire chaque figure en vraie grandeur.
(1) (2)
– Construis un carré ABCD de 2 cm de côté.
– Construis, à l’extérieur du carré, le triangle BCE rectangle et isocèle en B.
– Trace un segment [ AE ] tel que | AE | = 6 cm.
– Place, sur ce segment, le point C tel que |AC| = 2,6 cm.
– Place un point au milieu de [ AC ] et un point au milieu de [ CE ]
– Construis les cercles dont les diamètres sont respectivement les segments [ AC ] et [ CE ]
a mplitude des angles
1. (1) Réalise la construction en suivant le programme.
– Construis un rectangle ABCD tel que | AB | = 5 cm et | BC | = 3 cm.
– Place un point M au milieu du côté [ CD ]
– Construis un triangle équilatéral CEM à l’extérieur du rectangle ABCD.
– Construis un triangle équilatéral DFM à l’intérieur du rectangle ABCD.
(2) Détermine l’amplitude des angles ADF , ECB et EMD Indique tes calculs.
ADF = ADC FDM = 90° 60° = 30°
ECB = ECM + MCB = 60° + 90° = 150°
EMD = 180° EMC = 180° 60° = 120°
(3) Détermine la position des points E, M et F. Justifie.
Les points sont alignés, car EMF = EMD + DMF = 120° + 60° = 180°.
2. Si CD // AE, détermine, sans mesurer, l’amplitude de l’angle CDE . Justifie par un raisonnement complet.
CAB = 180° ( ABC + BCA ) = 180° (110° + 40°) = 180° 150° = 30°, car la somme des amplitudes des angles intérieurs d’un triangle vaut 180°.
110° 40° ?
CAE = 90° 30° = 60°, car les angles CAB et CAE sont complémentaires ( BAE = 90° )
CDE = 180° 60° = 120°, car les angles CDE et CAE sont supplémentaires (angles opposés du trapèze isocèle ACDE).
Je rédige mon procédé pour déterminer l’amplitude d’un angle dans des figures complexes
3. Observe cette figure dessinée à main levée et détermine si les points A, B et F sont alignés. Justifie par un raisonnement complet.
ABC = 90°, car le quadrilatère ABCD est un carré.
CBE = 60°, car le triangle CBE est un triangle équilatéral.
EBF = 180° 2 ⋅ BEF = 180° 2 ⋅ 72° = 180° 144° = 36°, car le triangle BEF est un triangle isocèle en B.
ABC + CBE + EBF = 90° + 60° + 36° = 186°.
Donc les points A, B et F ne sont pas alignés. 120° 60° 30°
p olygones réguliers
1. Observe chaque polygone régulier inscrit dans un cercle de centre O. Lis l’indice et complète le tableau.
Carré Hexagone régulier Triangle équilatéral
Un angle au centre d’un polygone régulier est un angle dont le sommet est le centre du cercle circonscrit au polygone et dont les côtés passent par deux sommets consécutifs de ce polygone.
Nombre de côtés
Nombre d’angles au centre
Amplitude d’un angle au centre
Carré Hexagone régulier Triangle équilatéral
Établis le lien entre l’amplitude d’un angle au centre d’un polygone régulier et le nombre de côtés de celui-ci.
L’amplitude d’un angle au centre d’un polygone régulier est égale au quotient de 360° par le nombre de côtés de ce polygone régulier.
Identifie le polygone régulier dont l’amplitude d’un angle au centre vaut 36°. Justifie.
360° : 36° = 10
Ce polygone régulier possède 10 côtés, il s’agit donc d’un décagone régulier.
2. Détermine l’amplitude de l’angle EAB , un des angles intérieurs du pentagone régulier inscrit dans le cercle de centre O. Indique ton raisonnement.
AOB = 360° : 5 = 72°, car l’angle AOB est un angle au centre du pentagone régulier.
OAB = OBA = (180° 72°) : 2 = 108° : 2 = 54°, car le triangle AOB est un triangle isocèle en O.
OAE = 54°, car les triangles AOB et EOA sont identiques.
EAB = OAE + OAB = 54° + 54° = 108°
3. L’amplitude de l’angle ABC , angle intérieur d’un polygone régulier de centre O, vaut 135°. Effectue les calculs nécessaires afin d’identifier ce polygone régulier. Ensuite, achève sa construction.
OBC = 135° : 2 = 67,5°
135°
BOC = 180° 2 ⋅ 67,5° = 180° 135° = 45°
360° : 45° = 8
Ce polygone régulier possède 8 côtés, il s’agit donc d’un octogone régulier.
4. (1) Complète le tableau en t’aidant des exercices qui précèdent.
Polygone régulier Pentagone
Amplitude d’un angle au centre
Amplitude d’un angle intérieur
Somme des deux amplitudes
(2) Établis le lien entre l’amplitude d’un angle au centre et celle d’un angle intérieur d’un polygone régulier. Qualifie ces angles.
La somme des amplitudes vaut 180°. L’angle au centre et l’angle intérieur d’un polygone régulier sont supplémentaires.
5. Identifie le polygone régulier dont l’amplitude d’un angle intérieur vaut…
(1) 120°.
Amplitude d’un angle au centre : 180° 120° = 60°
Nombre de côtés du polygone régulier : 360° : 60° = 6
Ce polygone est un hexagone régulier.
(2) 144°.
Amplitude d’un angle au centre : 180° 144° = 36°
Nombre de côtés du polygone régulier : 360° : 36° = 10
Ce polygone est un décagone régulier.
(3) 150°.
Amplitude d’un angle au centre : 180° 150° = 30°
Nombre de côtés du polygone régulier : 360° : 30° = 12
Ce polygone est un dodécagone régulier.
r etour au défi
1. Construis, à la page 215, la figure correspondant au programme de construction.
(1) Place un point O au centre de la feuille.
(2) Trace horizontalement le segment [OB], avec B à droite de O, tel que |OB| = 6 cm.
(3) Construis le triangle OBC, isocèle et rectangle en O, au-dessus du segment [ OB ]
(4) Construis le carré CBAD dont le point O est l’intersection des diagonales.
(5) Efface le segment [ DO ]
(6) Construis deux demi-cercles à l’extérieur du carré dont les diamètres sont respectivement les segments [ DC ] et [ CB ] .
(7) Trace une droite parallèle à la droite OB passant par le point A.
(8) Sur cette droite, place deux points à 7,5 cm du point A, l’un à sa gauche et l’autre à sa droite. Nomme-les respectivement E et F.
(9) Construis le carré EFGH de telle sorte que toutes les constructions déjà réalisées soient à l’intérieur de celui-ci.
(10) Partage le segment [ EH ] en 6 parts égales.
(11) À partir de chaque point obtenu lors du partage du segment [ EH ] , trace un segment parallèle à [ EF ] et dont la deuxième extrémité se situe soit sur le segment [ DA ], soit sur le demi-cercle dont le diamètre est le segment [ DC ]
2. À la page 179, coche la pièce du puzzle qui correspond parfaitement à ta construction.
Construction de la figure du défi
e X er C i C es COM pl ÉM en Taires
p artie 1. Triangles
1. Construis chaque triangle et code ta construction. Indique sa nature complète.
(1) Triangle ABC tel que | AB | = 3,5 cm, | BC | = 6 cm et | AC | = 4 cm.
(2) Triangle HGI tel que | GI | = 4,8 cm, G = 108° et I = 33°.
(3) Triangle MNO tel que | MN | = 5 cm, | MO | = 3 cm et M = 80°.
(4) Triangle JKL tel que | JK | = | JL | = | KL | = 45 mm.
2. Code chaque triangle (côtés et angles) si tu sais que EQU est équilatéral, ISO est isocèle en S et REC est isocèle rectangle en R.
Ensuite, traduis les codages en notations mathématiques.
(1) (2) (3)
3. Détermine l’amplitude des angles de chaque triangle et indique tes calculs. Précise ensuite sa nature complète.
4. Reproduis chaque triangle en vraie grandeur et indique sa nature complète.
5. Reconnais chacune des droites remarquables construites dans le triangle ABC.
6. Construis…
(1) un triangle YOH tel que | YO | = 4 cm, | OH | = 3 cm et O = 90° ainsi que la médiane d relative au côté [ HY ]
(2) un triangle ABC tel que | AB | = 27 mm, | AC | = 45 mm et CAB = 60° ainsi que la bissectrice b de l’angle A
(3) un triangle ABC tel que | BC | = 44 mm, | AB | = 27 mm et | AC | = 61 mm ainsi que la hauteur h passant par C.
(4) un triangle ABC tel que | AC | = 3,8 cm, CAB = 100° et ACB = 25° ainsi que la médiane d relative au côté [ AC ]
7. Trace une droite f et place un point C n’appartenant pas à cette droite.
Construis un triangle ABC isocèle en B et dont la droite f est la médiatrice du côté [ AC ]
8. Trace une droite d et place un point A appartenant à cette droite. Construis un triangle équilatéral ADC de 32 mm de côté dont la droite d est la bissectrice de l’angle A .
9. Trace une droite t et place un point C n’appartenant pas à cette droite. Construis un triangle ABC isocèle en C, dont la droite t est une médiatrice et tel que | AB | = 4 cm.
10. Construis…
(1) un triangle équilatéral de 5 cm de côté et le cercle circonscrit à ce triangle.
(2) un triangle dont un côté mesure 6 cm et les angles adjacents à ce côté mesurent respectivement 70° et 54°, ainsi que le cercle inscrit à ce triangle.
p artie 2. Quadrilatères
11. Construis…
(1) le parallélogramme RACS dont | RS | = 5 cm, | SC | = 3 cm et S = 35°.
(2) le losange JOLI de 43 mm de côté dont O = 110°.
12. Détermine, sans mesurer, l’amplitude des angles des quadrilatères et justifie.
(1) Quadrilatère quelconque
(2) Parallélogramme
(3) Trapèze quelconque
13. Construis…
(4) Trapèze isocèle
(1) le losange SOLE tel que | SO | = 43 mm et E = 63°.
(2) le parallélogramme VEAU tel que | VE | = 6,2 cm, | VU | = 3,8 cm et A = 37°.
14. Aide-toi du codage pour reconnaitre la nature de chaque quadrilatère dessiné à main levée.
Ensuite, construis-le en vraie grandeur.
15. Construis…
(1) un rectangle dont les diagonales mesurent 4 cm.
(2) un trapèze isocèle dont la médiane relative aux bases mesure 3 cm.
(3) un cerf-volant dont la grande diagonale mesure 4,6 cm.
(4) un parallélogramme dont les médianes mesurent 4 cm et 6 cm.
16. En excluant le quadrilatère quelconque, construis deux quadrilatères de nature différente, dont les diagonales ne se coupent pas en leur milieu. Note la nature de chaque quadrilatère obtenu.
17. Aide-toi du codage présent sur le parallélogramme ABCD pour donner la nature précise du quadrilatère HGFE. Indique chaque étape de ton raisonnement et justifie.
p artie 3. Figures complexes
18. Dans le programme de construction, écris les étapes qui ont été effacées.
(1) Trace un segment [ AB ] de 2 cm.
(2) …
(3) Place un point P sur le cercle tel que les points P, A et B ne soient pas alignés.
(4) Construis le triangle PAB.
(5)
19. Réalise chaque construction en suivant le programme.
(1) – Construis un triangle ABC isocèle en B tel que | AB | = 4 cm et | AC | = 5 cm. – Construis le losange ABCD.
– Trace la diagonale [ BD ]
– Trace le cercle dont le diamètre est le segment [ BD ] .
(2) – Construis un parallélogramme ABCD tel que sa hauteur mesure 3 cm, | AB | = 5 cm et = 103°.
– Place les points E et F respectivement au milieu des côtés [ DC ] et [ AB ]
– Trace le segment [ EF ] .
– Place le point M au milieu du segment [ EF ]
– Construis le triangle AMD.
20. Reproduis chaque figure en vraie grandeur et rédige un programme de construction. (1) A
21. Détermine l’amplitude de l’angle marqué par un point d’interrogation. Justifie par un raisonnement complet (1) ABCD est un parallélogramme.
22. Complète le tableau.
23. Détermine l’amplitude de l’angle marqué. Justifie par un raisonnement complet.
24. Voici une mosaïque que tu peux observer à Pompéi. Reproduis-la si tu sais qu’elle n’est composée que de polygones réguliers de 2 cm de côté.
CÔTÉ praT i Q ue
Triangles et angles
Somme des amplitudes des angles intérieurs d’un triangle
La somme des amplitudes des angles intérieurs d’un triangle vaut 180°.
Angles de même amplitude
44° 65° 65° 60° 60° 60°
ABC triangle équilatéral
Recherche des amplitudes des angles intérieurs d’un triangle DEF triangle isocèle en D
ABC triangle scalène DEF triangle isocèle en D
| A| + | B| + | C| = 180°
| A| = 180° – (65° + 44°) = 180° – 109° = 71°
| D| + | E | + | F | = 180° | E | = | F | = 65°
| D| = 180 – 2 65° = 180° – 130° = 50°
JKL triangle isocèle et rectangle en L | J | + | K | + | L | = 180° | L | = 90°
| J | = | K | = (180° – 90°) : 2 = 90° : 2 = 45°
Médiatrice relative au côté [AB]
Bissectrice de l’angle C
Milieu d’un côté
Perpendiculaire à ce côté
Média ⊥rice
Coupe un angle en deux angles de même amplitude
BIssectrice
Droites remarquables d’un triangle
Médiane
Milieu d’un côté
Sommet opposé à ce côté
Médiane relative au côté [AB]
Hau ⊥eur
Sommet du triangle
Perpendiculaire au côté opposé à ce sommet
Hauteur issue du sommet C
Cercle circonscrit au triangle « Autour »
1. Construis deux médiatrices du triangle.
2. Nomme O le point d’intersection de ces deux médiatrices.
3. Trace le cercle de centre O passant par les trois sommets du triangle.
Triangle et cercles
Cercle inscrit au triangle « Dedans »
1. Construis deux bissectrices du triangle.
2. Nomme O le point d’intersection de ces deux bissectrices.
3. Construis la droite perpendiculaire à un des côtés du triangle passant par le point O.
4. Nomme P le point d’intersection de cette droite et du côté du triangle.
5. Trace le cercle de centre O et dont le rayon est le segment [OP]
La somme des amplitudes des angles intérieurs d’un quadrilatère vaut 360°
Somme des amplitudes des angles intérieurs d’un quadrilatère
| A | + | B | + | C | + | D | = 360° | D | = 360° – (61° + 121° + 73°) = 360° – 255° = 105° ABCD quadrilatère quelconque
Recherche des amplitudes des angles intérieurs d’un quadrilatère
Angles de même amplitude
Quadrilatères et angles
Angles opposés du parallélogramme
Angles adjacents à une base d’un trapèze isocèle
Angles supplémentaires
Angles consécutifs du parallélogramme
Angles consécutifs du losange
Angles opposés du losange
Angles adjacents à un des côtés non parallèles du trapèze
Angles opposés du trapèze isocèle
Elles se coupent en leur milieu
Parallélogramme
Elles sont isométriques
Elles se coupent en leur milieu
Elles sont perpendiculaires.
Elles sont perpendiculaires.
Elles sont isométriques
Elles se coupent en leur milieu
Elles se coupent en leur milieu
Rectangle Losange Carré
Diagonales
Relient deux sommets opposés
Droites remarquables d’un quadrilatère
Médianes
Parallélogramme
Elles se coupent en leur milieu.
Relient les milieux de deux côtés opposés
Rectangle Losange Carré
Elles se coupent en leur milieu.
Elles se coupent en leur milieu.
Elles sont isométriques
Elles sont perpendiculaires.
Elles se coupent en leur milieu.
Elles sont isométriques
Elles sont perpendiculaires.
Polygones réguliers
Angle au centre et angle intérieur
AOB est un angle au centre du pentagone régulier.
BAE est un angle intérieur du pentagone régulier.
Un angle au centre et un angle intérieur d’un polygone régulier sont supplémentaires .
| AOB| + | BAE| = 180°
Nature du polygone régulier et amplitudes
Type de polygone
Hexagone régulier
Nombre de côtés 6
Nombre d’angles au centre 6
Amplitude d’un angle au centre
360° : 6 = 60°
Amplitude d’un angle intérieur
180° – 60° = 120°
Amplitude et nature du polygone régulier
Amplitude d’un angle intérieur d’un polygone régulier 108°
Amplitude d’un angle au centre
180° – 108° = 72°
Nombre d’angles au centre
360° : 72° = 5
Nombre de côtés 5
Type de polygone
Pentagone régulier
n otion
CÔTÉ THÉO ri Q ue
Définition
Polygone Figure plane limitée par des segments consécutifs.
Triangle Polygone qui a trois côtés.
Triangle scalène Triangle qui a trois côtés de longueurs différentes.
Triangle isocèle Triangle qui a deux côtés isométriques.
Triangle équilatéral Triangle qui a trois côtés isométriques.
Triangle acutangle Triangle qui a trois angles aigus.
Triangle rectangle Triangle qui a un angle droit.
Triangle obtusangle Triangle qui a un angle obtus.
Position relative de deux objets
Hauteur d’un triangle
Médiane d’un triangle
Médiatrice d’un triangle
Bissectrice d’un triangle
Droites concourantes
Cercle
Rayon d’un cercle
Diamètre d’un cercle
Cercle inscrit dans un triangle
Cercle circonscrit à un triangle
Position des deux objets l’un par rapport à l’autre.
Droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet (ou à son prolongement).
Droite qui passe par un sommet du triangle et le milieu du côté opposé à ce sommet.
Droite qui passe par le milieu d’un côté du triangle et qui est perpendiculaire à ce côté.
Droite qui coupe un angle du triangle en deux angles de même amplitude.
Droites qui se coupent en un même point.
Ensemble de points qui se situent à la même distance d’un point appelé centre.
Segment dont les extrémités sont le centre du cercle et un point de ce cercle.
Segment qui passe par le centre du cercle et dont les extrémités sont deux points de ce cercle.
Cercle qui se situe à l’intérieur du triangle et qui touche chacun des trois côtés de ce triangle en un seul point.
Cercle qui se situe à l’extérieur du triangle et qui passe par chacun des trois sommets de ce triangle.
n otion
Quadrilatère
Quadrilatère convexe
Quadrilatère non convexe
Cerf-volant
Trapèze
Parallélogramme
Rectangle
Losange
Carré
Diagonale d’un quadrilatère
Médiane d’un quadrilatère
Polygone régulier
Angle au centre d’un cercle
Triangle ABC
Quadrilatère ABCD
��
Définition
Polygone qui a quatre côtés.
Quadrilatère dont les amplitudes de tous les angles intérieurs sont inférieures à 180°.
Quadrilatère dont l’amplitude d’un angle intérieur est supérieure à 180°.
Quadrilatère qui a deux paires de côtés consécutifs isométriques.
Quadrilatère qui a deux côtés parallèles.
Quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles.
Quadrilatère qui a quatre angles droits.
Quadrilatère qui a quatre côtés isométriques.
Quadrilatère qui a quatre côtés isométriques et quatre angles droits.
Segment qui relie deux sommets opposés du quadrilatère.
Segment qui relie le milieu de deux côtés opposés.
Polygone qui a tous ses côtés et tous ses angles isométriques.
Angle dont le sommet est le centre du cercle.
n otation mathématique
Triangle dont les trois sommets sont les points A, B et C
Quadrilatère dont les quatre sommets sont consécutivement les points A, B, C et D
Cercle nommé ��
CHAPITRE 7
T rai T emen T de données
Première analyse de données
1. Lis l’article « Nature en fête » figurant à la page 267 et réponds aux questions.
(1) Combien de personnes ont participé à la balade nature ?
800 personnes
(2) Combien de marcheurs ont choisi le parcours le plus long ?
45 % de 800 = 800 0,45 = 360 personnes
(3) Que représente l’illustration 2 parlant de l’activité proposée aux enfants le samedi après-midi ?
L’illustration représente le nombre d’oiseaux par espèce observés pendant l’après-midi du samedi.
(4) Quelle espèce d’oiseau a été la plus observée par les enfants ?
Le moineau domestique
(5) Combien de personnes ont participé au « Banquet des Herbes folles » ?
68 personnes
(6) Combien de personnes ont voté pour le plat principal ?
24 personnes
(7) Combien de plantations ont été effectuées le dimanche matin ?
25 + 6 + 12 + 65 + 17 = 125 plantations
(8) Quelle est la note la plus basse attribuée par les membres du jury au grand gagnant du concours photo ? Combien de membres lui ont attribué cette note ?
La note la plus basse est 7/10.
Cette note a été attribuée par 1 membre du jury.
Population et variable statistique
1. Dans l’article « Nature en fête », des données ont été collectées, organisées, interprétées et transmises aux lecteurs au travers de cinq paragraphes accompagnés d’illustrations.
La branche des mathématiques qui analyse des données afin d’en tirer des conclusions se nomme la statistique .
(1) Relie chaque illustration de l’article à la manière dont l’auteur a choisi de présenter les données.
Illustration ➀ • • Tableau
Illustration ➁ • • Diagramme circulaire
Illustration ➂ • • Diagramme en bâtonnets
Illustration ➃ • • Image
Illustration ➄ • • Diagramme à bandes
(2) Pour mener à bien une étude statistique, on définit un sujet d’étude et on sélectionne un ensemble d’individus sur lequel portera l’analyse. Les données collectées sont alors classées, analysées et interprétées afin d’en tirer des conclusions. Lis l’indice et complète les tableaux portant sur chaque illustration de l’article.
Quel est le sujet de l’étude statistique ? Quelle est la question posée ? variable statistique
La réponse à la question posée est-elle mesurable ? oui, ce sont des nombres → variable statistique quantitative non, ce sont des mots → variable statistique qualitative À qui ou à quoi la question est-elle posée ? population
1 Variable statistique
Illustration
Type de variable
Population
2 Variable statistique
Illustration
Type de variable
Population
La distance parcourue lors de la marche
Quantitative
Les participants à la marche
L’espèce d’oiseau
Qualitative
Les oiseaux observés sur la place du village
3
Illustration
4
Illustration
Variable statistique
Type de variable
Population
Variable statistique
Type de variable
Population
5 Variable statistique
Illustration
Type de variable
Population
La partie préférée du menu
Qualitative
Les participants au repas
Le type de végétal planté
Qualitative
Les végétaux plantés par les bénévoles
La note attribuée au gagnant du concours photo
Quantitative
Les membres du jury du concours photo
(3) Quelle est la principale différence entre les diagrammes des illustrations 3 et 5 ?
La différence se situe au niveau de l’épaisseur des « bâtons ».
Associe le type de diagramme avec le type de variable statistique.
Illustration 3 :
Diagramme à bandes (rectangles)
Variable statistique qualitative
Illustration 5 :
Diagramme en bâtonnets (segments)
Variable statistique quantitative
2. Deux questions ont été posées aux élèves d’une classe de première année.
Question 1 : Combien d’animaux de compagnie possèdes-tu ?
Question 2 : Quel animal de compagnie as-tu à la maison ?
(1) Identifie la variable statistique qui découle de chaque question et précise son type.
Question 1 :
Le nombre d’animaux de compagnie
Variable quantitative
Question 2 :
L’espèce d’animal de compagnie
Variable qualitative
(2) Détermine la population.
Les élèves d’une classe de première année
3. Un club de tennis de table analyse l’âge de ses jeunes membres et récolte les données dans un tableau.
Âge (en années) 9 10 11 12 13
Nombre de membres 8 5 10 11 9
(1) Identifie la variable statistique étudiée et précise son type.
L’âge du jeune membre − Variable quantitative
Identifie la population.
Les jeunes membres d’un club de tennis de table
(2) Coche le diagramme qui présente correctement le résultat de cette récolte de données et justifie ton choix.
Nombre de jeunes membres Âge (en années)
Nombre de jeunes membres
(en années)
La variable statistique est quantitative. Le diagramme doit être un diagramme en bâtonnets.
4. Indique en dessous de chaque graphique la variable statistique étudiée et précise son type.
de personnes par foyer
Couleur préférée des jeunes enfants
Rouge
Couleur préférée
Nombre de votes
Le nombre de personnes par foyer
Variable quantitative La couleur préférée des jeunes enfants
Variable qualitative
Nombre de lancers francs réussis lors d’un entrainement d’une équipe de basket
Nombre de joueurs/joueuses
Nombre de lancers francs réussis
Le nombre de lancers francs réussis
Variable quantitative
Nombre de voix
Vote des élèves de 1re année pour l’élection de leur délégué(e)
Candidat(e)
Le (La) candidat(e) à l’élection
Variable qualitative
5. Une étude statistique s’intéresse à la manière dont les 1 041 médailles distribuées aux Jeux olympiques 2024 ont été réparties entre les différentes nations participantes.
J’ai été convoitée, disputée…
Finalement, c’est la Belgique qui m’a remportée
(1) Détermine la variable statistique et précise son type.
La nation ayant remporté des médailles aux Jeux olympiques
Variable qualitative
Détermine la population de cette étude statistique.
Les médailles distribuées aux Jeux olympiques
Augustin Alba Karim Lise Jude
(2) Observe le tableau reprenant, dans l’ordre alphabétique, les dix nations ayant remporté le plus de médailles aux Jeux olympiques de Paris en 2024, le nombre de médailles de chaque catégorie et réponds aux questions. Nation
En Europe, on détermine le vainqueur des JO sur la base du nombre de médailles d’or remportées.
Ce critère suffit-il à déterminer le pays vainqueur des JO 2024 ? Justifie.
Non, car il y a une égalité entre la Chine et les États-Unis qui ont remporté le même nombre de médailles d’or (40).
En cas d’égalité du nombre de médailles d’or, le classement européen prend en compte le nombre de médailles d’argent, puis, si nécessaire, celui de médailles de bronze. Détermine, sur la base de cette nouvelle information, le vainqueur des JO 2024. Explique ton choix.
Les États-Unis ont remporté les JO 2024, car ils ont décroché plus de médailles d’argent que la Chine (44 > 27).
Établis le classement européen des dix nations.
1. États-Unis 4. Australie 7. Grande-Bretagne 10. Allemagne
2. Chine 5. France 8. Corée du Sud
3. Japon 6. Pays-Bas 9. Italie
(3) En dehors de l’Europe, le classement est parfois établi en fonction du nombre total de médailles remportées, sans distinction entre or, argent et bronze.
Complète le diagramme à bandes horizontales présentant les cinq nations les plus médaillées (toutes catégories confondues), ensuite réponds aux questions.
Les cinq nations les plus médaillées aux JO de Paris 2024
Nombre de médailles Nation
Détermine, selon ce classement, la nation qui a remporté les JO de Paris en 2024 et le nombre total de médailles gagnées par cette nation.
Les États-Unis ont remporté les JO de Paris en 2024 avec 126 médailles.
Calcule la différence de médailles entre la première et la deuxième nation du podium et explique ce qu’elle nous apprend sur la nation victorieuse.
126 91 = 35
Les États-Unis ont remporté 35 médailles de plus que la Chine.
Parmi les cinq nations les plus médaillées, détermine celles qui sont avantagées lorsqu’on prend en compte toutes les médailles confondues plutôt que les médailles d’or uniquement.
La Grande-Bretagne (passe de la 7 e a la 3 e place).
La France (passe de la 5 e à la 4 e place).
m odalité, effectif, fréquence et étendue
1. Dans l’article « Nature en fête », le quatrième paragraphe propose un tableau qui comptabilise le nombre de plantations réalisées par les bénévoles.
(1) Trouve un titre à chacune des colonnes et note-le sur la première ligne du tableau.
Type de plantation
Modalité
Arbustes
Nombre de plantations
Effectif
Arbres fruitiers 6
Plantes
Plantes mellifères 17
Effectif total = 125
Lis l’indice puis indique les mots « modalité » ou « effectif » sur la deuxième ligne.
Une modalité est une valeur qualitative ou quantitative prise par la variable statistique.
L’effectif d’une modalité est le nombre de fois que cette modalité apparait.
Calcule l’effectif total (somme des effectifs) et indique-le dans la dernière case du tableau.
(2) Construis un diagramme à bandes représentant ces données.
Ton diagramme à bandes doit comprendre…
– un titre ; – un axe vertical (ou horizontal) nommé, orienté et gradué représentant les effectifs ; – une droite horizontale (ou verticale) nommée énumérant les modalités ; – une bande par modalité ; toutes de même largeur et séparées par un même espace.
(3) Coche le diagramme circulaire correspondant à la répartition des plantations selon leur type et justifie ton choix.
Plantes mellifères
Arbustes
Arbustes
Plantes mellifères
Fleurs
Arbustes
Fleurs Fleurs
Arbres fruitiers
Plantes grimpantes
Arbres fruitiers
Plantes grimpantes
Plantes grimpantes
Dans le premier, il manque une modalité : les plantes mellifères.
Arbres fruitiers
Dans le troisième, le secteur le plus grand correspond à la modalité « arbres fruitiers ».
Or, ce n’est pas cette modalité qui possède le plus grand effectif.
2. Consulte le deuxième paragraphe de l’article concernant les oiseaux observés par les enfants et suis les consignes.
(1) Calcule l’effectif total.
12 + 25 + 10 + 8 + 15 + 5 + 7 = 82
(2) Détermine le rapport entre le nombre de corneilles noires et le nombre d’oiseaux observés. Exprime ta réponse sous la forme d’une fraction irréductible, d’un nombre décimal et d’un pourcentage (au pour cent près).
7 82 = 0,085 ≅ 9 %
Ce nombre, exprimé en fraction, en nombre décimal et en pourcentage, correspond à la fréquence d’apparition des corneilles noires.
(3) Complète le tableau en classant les modalités dans l’ordre alphabétique.
Espèce d’oiseau Nombre d’oiseaux
Modalité Effectif
Fréquence d’apparition des oiseaux
Je rédige mon procédé pour calculer la fréquence de chaque modalité
(4) Rédige une phrase complète en replaçant, dans son contexte, la fréquence présente dans le tableau.
6 % 15 82 6 % des oiseaux observés sont des pies bavardes.
15 oiseaux sur les 82 observés sont des mésanges bleues.
3. Consulte le premier paragraphe de l’article et suis les consignes.
(1) Complète le tableau.
Distance parcourue (en km)
Pourcentage de marcheurs
Nombre de marcheurs
Modalité Fréquence Effectif
(2) Construis un diagramme en bâtonnets représentant ces données.
Ton diagramme en bâtonnets doit comprendre…
– un titre ;
– un axe vertical nommé, orienté et gradué représentant les effectifs ;
– un axe horizontal nommé, orienté et gradué représentant les modalités ; – un segment vertical par modalité.
Distance parcourue par les marcheurs
(3) Détermine le nombre de marcheurs ayant parcouru une distance inférieure à 10 km.
160 + 200 = 360 marcheurs
(4) Justifie que plus de 50 % des marcheurs ont parcouru une distance supérieure à 10 km.
10 % + 45 % = 55 % et 55 % > 50 %
(5) Calcule la différence entre la plus grande et la plus petite modalité.
20 − 5 = 15
Ce nombre est l’ étendue des modalités.
Interprète ce résultat en le replaçant dans son contexte.
L’écart entre la plus petite et la plus grande distance parcourue est de 15 km.
4. Voici le relevé des températures maximales journalières (en °C) enregistrées à Uccle durant un mois d’avril.
(1) Complète le tableau.
Température journalière maximale (en °C)
Nombre de jours Effectif
(2) Complète chaque phrase par le nombre approprié. Ensuite, interprète les notions présentées en les replaçant dans leur contexte.
L’effectif de la modalité 14 est
3.
Durant ce mois d’avril à Uccle, une température journalière maximale de 14 °C a été enregistrée lors de trois journées.
L’étendue des modalités est
6.
Durant ce mois d’avril à Uccle, l’écart entre la température journalière maximale la plus élevée et la plus basse était de 6 °C.
30.
À Uccle, la température journalière maximale a été enregistrée durant les 30 jours du mois d’avril.
L’effectif total est La fréquence, exprimée par une fraction irréductible, de la modalité 16 est
Durant ce mois d’avril à Uccle, 1 température journalière maximale sur 5 était de 16 °C.
5. Voici un tableau reprenant l’âge des danseurs hip-hop d’une école de danse.
(1) Calcule les effectifs si tu sais qu’il y a quinze jeunes de 12 ans.
Âge (en années) Pourcentage de jeunes Nombre de jeunes
60 0,2 = 12 15 60 ⋅ 0,35 = 21 60 0,15 = 9
(2) Quel est le plus grand écart d’âge observé chez ces danseurs ?
De quelle notion s’agit-il ?
0,05 = 3 4 ⋅ 15 = 60 4 ans L’étendue
(3) Combien de danseurs ont 13 ans ?
De quelle notion s’agit-il ?
(4) Quel âge est associé à un groupe de 12 danseurs ?
De quelle notion s’agit-il ?
6. Une étude a montré que, parmi un groupe de jeunes utilisateurs des réseaux sociaux, 86 % regardent des photos, de courtes vidéos ou des stories, 68 % en commentent les contenus et seulement 21 % en publient.
(1) Si tu additionnes les pourcentages présents dans cette situation, tu n’obtiens pas 100 %. Explique pourquoi.
L’effectif de la modalité 13 11 ans La modalité d’effectif 12 Chaque jeune peut entrer dans plusieurs catégories. Certains jeunes, par exemple, regardent des photos et en publient aussi.
(2) Détermine, si possible… la variable statistique : le type de cette variable : la fréquence (en %) de commentaires de contenus : l’effectif total : l’étendue : activité sur les réseaux sociaux qualitative
impossible à déterminer (l’énoncé ne donne pas cette information) 68 %
impossible à déterminer (la variable est qualitative)
7. Deux classes de 3 e année comptent le même nombre d’élèves. Les diagrammes représentent le moyen de transport utilisé par les élèves de ces deux classes pour se rendre à l’école.
Classe 3A
Moyen de transport utilisé pour se rendre à l’école en transports en commun en voiture à pied à vélo
Moyen de transport utilisé pour se rendre à l’école
Classe 3B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 en transports en commun en voiture à pied à vélo
Nombre d’élèves Moyen de transport
Détermine quelle classe compte le pourcentage le plus élevé d’élèves venant en voiture. Indique toute ta démarche.
Nombre total d’élèves dans chaque classe : 4 + 6 + 8 + 7 = 25
Fréquence des élèves de 3A se rendant à l’école en voiture : 36 %
Fréquence des élèves de 3B se rendant à l’école en voiture : 8 25 = 0,32 = 32 %
Le pourcentage d’élèves qui se rendent à l’école en voiture est plus élevé dans la classe de 3A (36 % > 32 %).
8. Les deux diagrammes représentent le style musical préféré des vingt élèves d’une même classe de 1 re année.
Préférence musicale des élèves d’une classe de 1re année rap pop électro
Préférence musicale des élèves d’une classe de 1re année
rap pop électro autres Nombre d’élèves Style musical
Calcule les données manquantes et complète les diagrammes. Indique toute ta démarche.
Fréquence (en %) de la modalité « pop » : 6 20 = 30 100 = 30 %
Fréquence (en %) de la modalité « autres » : 100 % − (35 % + 30 % + 25 %) = 100 % − 90 % = 10 %
Effectif de la modalité « rap » : 35 % de 20 = 20 0,35 = 7
Effectif de la modalité « électro » : 25 % de 20 = = 20 ⋅ 0,25 = 20 : 4 = 5
Effectif de la modalité « autres » : 10 % de 20 = = 20 ⋅ 0,1 = 20 : 10 = 2 30 % 10 %
9. Un groupe de jeunes de 14 ans a été interrogé sur l’année scolaire d’acquisition de leur premier téléphone portable. Les résultats de ce sondage ont été présentés dans un diagramme circulaire. En indiquant toute ta démarche, calcule…
(1) le nombre d’élèves interrogés.
(2) le nombre d’élèves ayant acquis leur téléphone portable en 6 e primaire, sachant qu’il est trois fois plus élevé qu’en 1 re secondaire.
Année scolaire d’acquisition du premier téléphone portable par des jeunes de 14 ans 5e primaire 1re secondaire
40 %
48 élèves 6e primaire
(1) Nombre d’élèves interrogés : 40 % ↔ 48 élèves
20 % ↔ 24 élèves
100 % ↔ 120 élèves
Le nombre d’élèves interrogés est 120.
(2) Pourcentage d’élèves de 6 e primaire et de 1 re secondaire : 100 % − 40 % = 60 %
Pourcentage d’élèves de 1 re secondaire : 60 % : 4 = 15 %
Pourcentage d’élèves de 6 e primaire : 15 % ⋅ 3 = 45 %
Nombre d’élèves de 6 e primaire : 45 % de 120 = 120 ⋅ 0,45 = 54
Sur les 120 élèves interrogés, 54 ont acquis leur premier téléphone portable en 6 e primaire.
m oyenne
1. Une école compte sept classes de 1 re année et quatre classes de 4 e année.
(1) Voici le relevé du nombre d’élèves par classe de 1 re année.
24 – 19 – 20 – 21 – 18 – 22 – 23
Détermine le nombre total d’élèves de 1 re année inscrits dans cette école.
24 + 19 + 20 + 21 + 18 + 22 + 23 = 147
Il y a 147 élèves inscrits en 1 re année dans cette école.
Si toutes les classes de 1 re année comptaient le même nombre d’élèves, calcule combien il y en aurait par classe puis complète la phrase.
147 : 7 = 21 Il y aurait 21 élèves par classe. la moyenne
Ce nombre est du nombre d’élèves de 1 re année par classe.
Je rédige mon procédé pour déterminer la moyenne d’une série de valeurs
(2) Voici le relevé du nombre d’élèves de 4 e année par classe.
27 – 24 – 26 – 25
Calcule la moyenne du nombre d’élèves par classe.
(27 + 24 + 26 + 25) : 4 = 102 : 4 = 25,5
La moyenne du nombre d’élèves de 4 e année par classe est de 25,5.
Détermine le nombre de nouveaux élèves que l’école peut accueillir dans une cinquième classe de 4 e année si le directeur souhaite que la moyenne du nombre d’élèves par classe soit de 24.
Nombre total d’élèves à répartir dans les cinq classes : 5 ⋅ 24 = 120
Nombre de nouveaux élèves : 120 − 102 = 18
L’école peut accueillir 18 nouveaux élèves dans une cinquième classe de 4 e année.
Je rédige mon procédé pour déterminer la valeur manquante d’une série, connaissant la moyenne attendue
2. Voici la taille, en centimètres, des joueurs (joueuses) des équipes premières masculine et féminine d’un club de volleyball.
La taille moyenne des joueuses de l’équipe féminine est de 175 cm.
(2) Calcule la taille moyenne des joueurs (joueuses) de l’ensemble des deux équipes.
(1 746 + 1 750) : (10 + 9) = 3 496 : 19 = 184
La taille moyenne des joueurs (joueuses) des deux équipes est de 184 cm.
(3) Une nouvelle joueuse est recrutée dans l’équipe féminine. Que peut-on dire de la taille de cette joueuse si la taille moyenne des onze joueuses est…
inférieure à 175 cm ?
La taille de la onzième joueuse est inférieure à 175 cm.
égale à 175 cm ?
La taille de la onzième joueuse est égale à 175 cm.
égale à 176 cm ?
Total des tailles des dix joueuses actuelles : 1 750
Total des tailles des onze joueuses : 11 ⋅ 176 = 1 936
Taille de la onzième joueuse : 1 936 − 1 750 = 186
La taille de la onzième joueuse est égale à 186 cm.
3. Observe les températures minimales et maximales relevées à Uccle du 7 au 13 janvier 2025.
Date 07/01 08/01 09/01 10/01 11/01 12/01 13/01
(1) Calcule la moyenne, arrondie au dixième près, des températures maximales relevées.
La température maximale moyenne, arrondie au dixième près, durant ces sept jours de janvier est de 2,6 °C.
Cite les dates pour lesquelles la température maximale enregistrée est supérieure à cette moyenne. Précise la température relevée pour chacune de ces dates.
(2) Calcule la moyenne, arrondie au dixième près, des températures minimales relevées.
La température minimale moyenne, arrondie au dixième près, durant ces sept jours de janvier est de −1,2 °C.
Cite les dates pour lesquelles la température minimale enregistrée est supérieure à cette moyenne. Précise la température relevée pour chacune de ces dates.
07/01 → 4,4 °C 08/01 → 3,7 °C 10/01 → 3,0 °C 13/01 → 4,3 °C 07/01 → 1,5 °C 08/01 → 0,4 °C 09/01 → −0,4 °C 12/01 → −0,5 °C
4. Voici les notes sur 20 obtenues par les 24 élèves d’une classe lors de leur dernière évaluation en mathématiques.
* élève absent
(1) Calcule, de deux manières différentes, la note moyenne des élèves ayant présenté l’évaluation.
Explique chaque procédé et arrondis ta réponse au dixième près.
Procédé 1
J’additionne toutes les notes et je divise le total par le nombre d’élèves évalués.
(2) Entoure, dans le relevé, les notes supérieures à la moyenne de la classe. Combien en obtiens-tu ?
La note moyenne, arrondie au dixième près, des élèves ayant présenté l’évaluation est de 13,9. Il y a 15 élèves qui ont une note supérieure à la moyenne de la classe.
(3) Si l’élève absent avait été présent, quelle note aurait-il dû obtenir pour que la moyenne de la classe à cette évaluation soit de 14 ?
Total des notes des 24 élèves : 24 14 = 336
Note obtenue par l’élève absent : 336 − 319 = 17
L’élève absent aurait dû obtenir 17/20 pour que la moyenne de la classe à cette évaluation soit de 14/20.
5. À partir du tableau de distribution, calcule la moyenne, arrondie au dixième près, du nombre de buts marqués par l’Espagne lors de l’Euro 2024 de football. Modalité
La moyenne, arrondie au dixième près, du nombre de buts marqués par l’Espagne lors de l’Euro 2024 est de 2,1.
Je rédige mon procédé pour déterminer la moyenne d’une série de valeurs lorsque certains effectifs sont supérieurs à 1
6. Dans une entreprise qui emploie quinze personnes, deux personnes gagnent 2 090 €, huit personnes gagnent 2 376 €, deux personnes gagnent 2 640 €, une personne gagne 3 162 €, une personne gagne 3 861 € et une dernière personne gagne 5 236 €. Calcule le salaire moyen, arrondi au centime près, des salariés de cette entreprise.
Le nombre moyen de plantations réalisées par chaque bénévole est de 4.
(3) Vérifie, à l’aide d’un calcul, la moyenne, arrondie au centième près, des notes attribuées par les membres du jury au grand gagnant du concours photo nature.
En moyenne, chaque élève de cette classe a 1,24 frère ou sœur.
e X er C i C es C om PL émen Taires
1. Pour chaque document proposé dans le portfolio qui se trouve à la fin des exercices complémentaires, identifie la variable statistique, précise son type et détermine la population.
2. Parmi les documents du portfolio, identifie ceux qui sont ou peuvent être illustrés par…
(1) un diagramme à bandes.
(2) un diagramme en bâtonnets.
Justifie chaque choix.
3. En t’aidant du document ➅ du portfolio, détermine les éléments demandés et interprète chaque réponse donnée en la replaçant dans son contexte.
(1) L’effectif de la modalité 6.
(2) La modalité de l’effectif 9.
(3) L’effectif total.
(4) L’étendue des modalités.
(5) La fréquence, exprimée par une fraction irréductible, de la modalité 1.
(6) La fréquence, exprimée en pourcentage (au pour cent près), de la modalité 2.
4. Dans une classe de 24 élèves, on a posé la question suivante : « Parmi toutes les cuisines du monde, quelle est celle que tu préfères ? ». Un seul élève a répondu « grecque », 62,5 % des élèves ont répondu « italienne » et un huitième des élèves ont choisi « française ». Les autres élèves préfèrent la cuisine asiatique.
(1) Construis un tableau de distribution détaillé, structuré en cinq colonnes : modalité, effectif, fréquence en fraction irréductible, fréquence en nombre décimal (au millième près) et fréquence en pourcentage (au dixième de pour cent près) et complète-le.
(2) Classe les types de cuisine par ordre de préférence des jeunes.
(3) Construis le diagramme à bandes représentant les résultats de ce sondage.
5. Lors d’une évaluation de vocabulaire sur 20, Pierre a obtenu la meilleure note de sa classe avec un 18. L’étendue des notes étant de 13, quelle est la note la plus basse obtenue par au moins un élève ?
6. Aide-toi du document ➄ du portfolio pour répondre aux questions.
(1) La fréquence, en pourcentage, de la modalité deux étoiles (**) est-elle plus importante en France ou en Belgique ?
(2) Prouve que l’écart entre la fréquence de la modalité une étoile (*) des deux pays est inférieur à 1 %.
(3) Les cinq pays possédant le plus grand nombre de restaurants étoilés en 2024 dans le guide Michelin sont la France (639), le Japon (393), l’Italie (392), l’Allemagne (313) et l’Espagne (269).
Choisis le diagramme circulaire représentant ce top 5 et justifie ton choix.
Top 5 des restaurants étoilés michelin
Top 5 des restaurants étoilés michelin
(4) En 2024, le guide Michelin a recommandé 3 000 restaurants en France et 792 en Belgique. Sachant qu’il a récompensé d’une étoile (*) 119 restaurants en Belgique, lequel des deux pays obtient le pourcentage le plus élevé de restaurants récompensés par rapport aux restaurants recommandés ?
7. Les Belgian Cats ont remporté l’EuroBasket féminin en 2025. Elles ont marqué respectivement 81, 87, 72, 83, 66 et 67 points lors des différents matchs.
Détermine la moyenne des points marqués.
8. Voici la liste des âges (en années) des onze candidats aux élections, enregistrée la veille du scrutin. 44, 21, 68, 18, 33, 55, 52, 71, 27, 39 et 47 ans.
(1) Calcule la différence d’âge entre le candidat le plus âgé et le candidat le plus jeune. De quelle notion statistique s’agit-il ?
(2) Le parti affirme avoir davantage de candidats plus jeunes que l’âge moyen que de candidats plus âgés. Montre que cette affirmation est fausse.
(3) Le parti souhaite ajouter un douzième candidat. Pour obtenir une moyenne d’âge de 45 ans, calcule l’âge que devrait avoir ce nouveau candidat.
France
Japon
France
Japon
Italie
Allemagne
Espagne
Italie Allemagne
Espagne
9. Détermine, quand cela est possible, la moyenne (au centième près) et l’étendue des situations présentées dans le portfolio.
10. Une boutique spécialisée dans la vente de smartphones a enregistré le nombre d’appareils vendus chaque jour de la semaine dernière, en distinguant les ventes par type de système d’exploitation (Android ou iOS).
(1) Calcule le nombre total de smartphones vendus par la boutique la semaine dernière.
(2) La direction de la boutique a un objectif : la moyenne journalière totale des ventes doit être d’au moins 25 smartphones. La boutique a-t-elle atteint cet objectif la semaine dernière ? Justifie ta réponse.
18 7
20 15
25 18
8 5
(3) Calcule, à l’unité près, le nombre de smartphones vendus en moyenne par jour pour chaque système d’exploitation.
11. Des élèves ont voté pour leur type de jeu vidéo préféré. En utilisant le diagramme circulaire présentant les résultats du vote et en sachant que 21 élèves ont choisi les jeux de simulation, construis un tableau de distribution comportant trois colonnes (modalité, effectif et fréquence en pourcentage) et complète-le.
Type de jeu vidéo préféré des élèves
12. Une chaine de télévision a organisé une soirée caritative afin de venir en aide à cinq associations choisies par le public. Le montant total récolté s’élève à 100 000 €. Les diagrammes présentent le partage effectué entre les différentes associations. Complète les deux bandes manquantes du second diagramme. Explique toute ta démarche.
Partage des gains entre les cinq associations
Partage des gains entre les cinq associations
L’envol solidaire
Les tisseurs de liens
Impulsion santé
Racines et avenir
Voix créatives
L’envol solidaire
Racines et avenir Voix créatives
Les tisseurs de liens
Association
Impulsion santé
Nombre d’élèves
Loisir
Loisir préféré d’un groupe d’étudiants d’une université
Musique / Concerts
Jeux vidéo
Cinéma / Séries
Lecture
Sport
Autres loisirs
Nombre d’étudiants
Un artisan boulanger contrôle ses biscuits en pesant, un à un, un échantillon de 500 pièces. Il calcule une masse moyenne de 25 g et une étendue de 4 g.
Nombre de jours d’absence des élèves d’une classe de 2e durant le mois d’avril
3
2
Nombre de jours d’absence
En tant que concessionnaire, Tom a relevé la couleur des voitures qu’il a vendues au cours de l’année précédente.
Couleur Bleu Vert Gris Noir Blanc Rouge Autres
5
Le guide Michelin est un célèbre guide gastronomique qui récompense certains restaurants en leur attribuant une étoile (*), deux étoiles (**) ou trois étoiles (***).
Les diagrammes représentent les récompenses décernées en France et en Belgique en 2024.
Récompense Michelin décernée aux restaurants français
Récompense Michelin décernée aux restaurants belges
1,40 %
Le tableau présente les résultats d’un sondage portant sur le nombre de films vus au cinéma par des jeunes de 12 ans au cours de l’année écoulée.
CÔT é P raT i QU e
Sujet de l’étude statistique
Sujet de l’étude statistique
Pointure des paires de chaussures dans une armoire
Pointure des paires de chaussures d’une armoire
Quelle est la question posée ?
La variable est-elle mesurable ?
Type de variable : Quantitative
Série statistique
Série statistique
45 45 38 38 38 24 38
45 45 38 38 38 24 38
38 45 25 25 26 45 38
38 45 25 25 26 45 38
Variable : Pointure des paires de chaussures
Quelles valeurs prend la variable ?
Modalités : 24, 25, 26, 38, 45
Tableau de distribution
À qui ou à quoi la question est-elle posée ?
Population : Les paires de chaussures d’une armoire
Individu : Une paire de chaussures
Combien d’individus compte la population ?
E ectif total : 14
Quel est le nombre de répétitions de la pointure 38 ?
E ectif de la modalité 38 : 6
Quel est le rapport entre le nombre d’apparitions de la pointure 45 et celui de l’ensemble des pointures ?
Fréquence de la modalité 45 :
• en fraction :
• en nombre décimal : 0,285…
• en pourcentage, au pour cent près : 29 4 14
Diagramme circulaire
Pointure des paires de chaussures d’une armoire
Diagramme en bâtonnets
Pointure des paires de chaussures d’une armoire
Pointure
Quel est l’écart entre la plus grande et la plus petite modalité ?
Population : Les paires de chaussures d’une armoire
Individu : Une paire de chaussures
Combien d’individus compte la population ?
E ectif total : 14
Quel est le nombre de répétitions de la couleur « noire » ?
E ectif de la modalité « noire » : 4
Quel est le rapport entre le nombre d’apparitions de la couleur « brune » et celui de l’ensemble des couleurs ?
Fréquence de la modalité « multicolore » :
• en fraction :
• en nombre décimal : 0,214…
• en pourcentage, au pour cent près : 21 % 3 14
Diagramme à bandes
Couleur des paires de chaussures d’une armoire
Rouge
Couleur des paires de chaussures d’une armoire
Diagramme circulaire
Nombre de paires de chaussures
Couleur des paires de chaussures d’une armoire
Blanche
Brune
Multicolore
Noire
Rouge
Quel est l’écart entre la plus grande et la plus petite modalité ? Étendue : impossible à déterminer, car la variable est qualitative.
Moyenne
Impossible à déterminer, car la variable est qualitative.
Blanche
Brune
Multicolore
Noire
Couleur
Couleur
CÔT é TH éori QU e
n otion d éfinition
Statistique
Population
Branche des mathématiques qui permet de collecter, d’organiser, d’analyser, d’interpréter et de présenter des données.
Ensemble des individus (personnes, objets…) sur lequel porte une étude statistique.
Variable statistique Caractéristique étudiée.
Variable statistique qualitative
Variable statistique quantitative
Modalité
Variable statistique dont les différentes modalités ne sont pas mesurables et sont exprimées par des mots.
Variable statistique dont les modalités sont mesurables et sont exprimées par des nombres.
Valeur ou catégorie prise par la variable statistique.
Effectif d’une modalité Nombre d’apparitions de cette modalité.
Effectif total Nombre total d’individus de la population (= somme des effectifs).
Fréquence d’une modalité
Rapport entre l’effectif de cette modalité et l’effectif total. La fréquence peut s’exprimer sous la forme d’une fraction, d’un nombre décimal ou d’un pourcentage.
Étendue des modalités d’une série statistique quantitative Écart (ou différence) entre la plus grande et la plus petite modalité.
Moyenne arithmétique d’une série statistique quantitative
Valeur qu’aurait chaque modalité si la somme de toutes les modalités était répartie de manière équitable.
NATURE EN FÊTE
Un weekend qui a mis tout le village au vert !
Dans un charmant village de Wallonie, la nature était à l’honneur lors d’un weekend mémorable. Grâce à l’initiative d’un groupe de bénévoles dynamiques, des activités variées ont permis de célébrer la beauté et l’importance de l’environnement. Pour la quatrième année consécutive, cet évènement, organisé chaque premier weekend de mai, s’est imposé comme un rendez-vous incontournable pour petits et grands.
➀ Répartition des participants selon la distance parcourue
Une balade nature pour petits et grands
Dès le samedi matin, 800 passionnés de plein air se sont élancés sur les différents itinéraires soigneusement tracés par des bénévoles. Chacun a pu explorer les trésors naturels de la région, profitant de parcours adaptés à tous les niveaux.
➁ Espèces d’oiseaux observés par les enfants
Pigeon ramier
Moineau domestique
Hirondelle rustique
Des ornithologues en herbe
Rouge-gorge
12 8 15 5 7 25 10
Pie bavarde
Mésange bleue
Corneille noire
Samedi après-midi, les enfants ont rivalisé de créativité en fabriquant de jolis nichoirs, avant de jouer aux petits ornithologues en comptant les oiseaux qui venaient se poser sur les branches des arbres de la place du village.
➂ Préférence culinaire des participants au « Banquet des Herbes folles »
Banquet des Herbes folles
Samedi soir, 68 convives se sont réunis pour le « Banquet des Herbes folles » : un repas hors du commun mettant à l’honneur les plantes sauvages. Chacun a choisi les mets qui éveillaient le plus sa curiosité : pesto d’orties, velouté de plantain, tarte aux fleurs de sureau… Une expérience gustative surprenante, où la nature s’invite à table.
Des bénévoles motivés
Dimanche matin, la solidarité était mise à l’avant-plan. Trente bénévoles motivés se sont retroussé les manches pour embellir les espaces verts du village. Plantations, entretien… ils ont offert un véritable coup de jeune à ces lieux de convivialité.
➃ Plantations réalisées par les bénévoles
➄ Répartition des notes attribuées au gagnant par les membres du jury
Concours de photos nature
Le weekend s’est conclu sur une note captivante avec l’annonce du grand gagnant du concours photo nature. Les clichés des participants ont été minutieusement évalués par le jury, qui leur a attribué des notes sur 10. Le vainqueur s’est distingué par son talent exceptionnel, décrochant une
P érimètre et aire D e F i GU re S PL a
Souviens-toi
1. Convertis.
0,5 m = cm
N e S
2 Coche le(s) calcul(s) qui permet(tent) de déterminer le périmètre de chaque figure.
3. Classe, dans l’ordre croissant, les polygones en fonction de leur périmètre.
SOUVIENS-TOI
1 unité de longueur
4. Relie chaque figure à la formule de son aire.
Carré Triangle Rectangle
longueur largeur
5. Calcule l’aire de chaque figure (les unités sont exprimées en cm).
6. Classe, dans l’ordre décroissant, les polygones en fonction de leur aire.
➁ (A = 13) > ➂ (A = 12) > ➀ (A = 11) ➁ (P = 16) < ➀ (P = 18) < ➂ (P = 20)
Question de réflexion
Chaque potager est composé des quatre mêmes parcelles carrées ou rectangulaires conçues pour accueillir des cultures variées.
3 m 2 m
(1) Calcule la longueur totale de fil nécessaire pour clôturer chacun des potagers.
Périmètre du 1 er potager : (3 + 2) 4 = 5 4 = 20 m
Périmètre du 2 e potager : 3 + 3 + 3 + 3 +
Périmètre du 3 e potager :
(2) Compare la superficie cultivable des trois potagers.
Les trois potagers ont la même superficie cultivable, car ils sont composés des quatre même parcelles.
(3) Tire une conclusion au sujet de l’aire et du périmètre des potagers.
Les potagers ont la même aire, mais des périmètres différents.
Périmètre de polygones
1. Certains sports de combat, comme la boxe ou le MMA (Mixed Martial Arts), se pratiquent sur des plateformes appelées rings ou cages.
Complète le tableau pour retrouver la longueur d’un côté de chaque ring, connaissant son périmètre.
Nom du polygone
Périmètre Nombre de côtés Longueur du côté
Octogone régulier 28 m
24 : 4 = 6 m 8 28 : 8 = 3,5 m
Hexagone régulier 21 m
6 21 : 6 = 3,5 m
2. Un triangle équilatéral et un décagone régulier ont le même périmètre, qui est de 60 cm.
Calcule la longueur du côté de chacun de ces polygones.
Côté du triangle équilatéral : 60 : 3 = 20 cm
Côté du décagone régulier : 60 : 10 = 6 cm
3. Calcule la longueur du côté d’un carré dont le périmètre est égal à celui d’un rectangle de 25 m de long sur 12 m de large.
25 m ?
12 m
Périmètre du rectangle :
25 2 + 12 2 = 50 + 24 = 74 m
Périmètre du carré : 74 m
Côté du carré : 74 : 4 = 18,5 m
Carré
4. Le périmètre du pentagone régulier ABCDE vaut 32 cm. Calcule le périmètre du parallélogramme WXYZ si tu sais que | CD | = | XY | et que | WX | = 2.
Côté du pentagone : 32 : 5 = 6,4 cm
| XY | = | WZ | = 6,4 cm
| ZY | = | WX | = 2 ⋅ 6,4 = 12,8 cm
Périmètre du parallélogramme :
5. Un directeur artistique envisage d’installer une allée de 2 m de large pour étendre la scène principale rectangulaire et permettre à l’artiste de circuler au cœur de la foule. Pour renforcer l’impact visuel, il compte placer un filet lumineux tout autour de l’espace de circulation de l’artiste.
Si le directeur artistique souhaite installer le moins de filet lumineux possible, détermine lequel des deux agencement il doit privilégier et calcule la longueur totale du filet lumineux à prévoir.
6 6,4 = 38,4 cm Longueur du filet lumineux ➀ : 18 + 2
Longueur du filet lumineux ➁ : 18 + 2 6 + (18
Le directeur artistique doit privilégier l’agencement ➀ et prévoir 88 m de filet lumineux. 2 m
+
6 + 2 2 = 18 + 12 + 16 + 42 + 4 = 92 m
Périmètre du cercle
1. (1) Réalise l’expérience pour découvrir comment calculer le périmètre d’un cercle à partir de son diamètre.
Matériel
– Trois bandes de papier de 20 cm sur 1,5 cm
– Deux bandes de papier de 11 cm sur 1,5 cm
– Un trombone
– Un crayon
– Une latte
Étapes de l’expérience
• Enroule une bande de papier tout autour d’un cercle et au ras du bord.
• Maintiens la bande bien en place en utilisant le trombone.
• Avec le crayon, trace un repère sur la bande à l’endroit exact où elle termine son tour.
• Déroule la bande et mesure sa longueur jusqu’au trait.
• Complète, à la page suivante, la ligne du tableau correspondant au cercle.
• Répète l’expérience pour les autres cercles.
Cercle de centre…
Diamètre du cercle (en cm)
Périmètre mesuré (en cm à 0,1 près)
(2) Écris le rapport (quotient) entre le périmètre de chaque cercle et son diamètre, et calcule son résultat.
Cercle de centre… A
Rapport
Résultat obtenu
De quel nombre, au dixième près, ces rapports se rapprochent-ils le plus ?
Les rapports se rapprochent le plus de 3,1.
(3) Complète la phrase.
Pour calculer une estimation du périmètre d’un cercle, on peut multiplier son diamètre par
(4) Détermine, au dixième près, le périmètre d’un cercle de 1 cm de diamètre.
P = 3,1 1 = 3,1 cm 3,1.
Le nombre exact par lequel multiplier le diamètre d’un cercle pour obtenir son périmètre est le nombre décimal illimité non périodique nommé π (pi).
La lettre p ( π en grec) est l’initiale du mot grec περ ί μετρος (« périmétros ») et signifie périmètre.
vers 1900 av. J.-C.
Les Babyloniens utilisent une approximation de π ≅ 3,125.
Johann Lambert démontre que π est un nombre décimal illimité non périodique.
Bref historique du nombre π (pi)
Le Britannique William Shanks trouve, par calcul écrit, 707 décimales de π 1937
Inauguration de la salle dédiée au nombre π lors de l’Exposition universelle de Paris.
1946
1989
2006
2025
Correction des 180 dernières décimales établies par William Shanks.
Le record passe à un milliard de décimales grâce aux ordinateurs.
L’ingénieur japonais Akira Haraguchi récite 100 000 décimales de mémoire, en public.
Les chercheurs sont toujours intrigués par π qui ne présente aucune régularité dans ses très nombreuses décimales connues.
2. (1) Complète la formule qui permet de calculer le périmètre d’un cercle à partir de son diamètre (d).
Périmètre du cercle :
(2) Complète la formule qui permet de calculer le périmètre d’un cercle à partir de son rayon (r).
Périmètre du cercle :
(3) Repère la touche π sur ta calculatrice et utilise-la pour noter la valeur du nombre pi avec un maximum de décimales.
d π ⋅ (2 ⋅ r) = π ⋅ 2 ⋅ r = 2 ⋅ π ⋅ r 3,141 592 653…
π = π (pi) étant un nombre illimité non périodique, l’utilisation de la calculatrice est indispensable pour obtenir un résultat précis.
3. Calcule, au centième près…
(1) le périmètre d’un cercle de 19 cm de diamètre.
P = π ⋅ 19 = 59,690 2… ≅ 59,69 cm
(2) le périmètre d’un cercle de 5 cm de rayon.
P = 2 π 5 = 31,415 9… ≅ 31,42 cm
4. Un magasin de meubles propose une table circulaire de 1,20 m de diamètre avec deux modèles d’extension possibles.
Modèle 1 : une allonge rectangulaire de 60 cm de large peut être insérée entre les deux moitiés de la table initiale. 1,20 m
Modèle 2 : le diamètre de la table est augmenté de 60 cm grâce à un système d’extension intégré. 1,20 m
S’il faut prévoir 60 cm de pourtour par personne, détermine le modèle qui permet d’installer le plus de convives.
Périmètre du modèle 1 : π 120 + 2 60 = 496,99… cm
Nombre de convives pour le modèle 1 : 496,99… : 60 = 8,28… → 8 convives
Périmètre du modèle 2 : π ⋅ (120 + 60) = 565,48… cm
Nombre de convives pour le modèle 2 : 565,48… : 60 = 9,42… → 9 convives
Le second modèle permet d’installer un convive de plus à table.
5. Un papa et son fils utilisent deux vélos dont la taille des roues est respectivement de 29 et 26 pouces. Cette mesure désigne le diamètre extérieur des roues, pneu inclus.
Calcule, à l’unité près, le nombre de tours de roue que chaque vélo fait sur une distance de 1 km. Indique tout ton raisonnement et tous tes calculs.
Le pouce est une unité de mesure anglo-saxonne. Un pouce correspond à 2,54 centimètres.
Diamètre, en cm, d’une roue de…
29 pouces : 29 ⋅ 2,54 = 73,66 cm
26 pouces : 26 2,54 = 66,04 cm
Périmètre, en cm, d’une roue de…
29 pouces : π 73,66 = 231,40… cm
26 pouces : π ⋅ 66,04 = 207,47… cm
Nombre de tours réalisés, pour parcourir 1 km (= 100 000 cm), par une roue de…
1. (1) Rends-toi à la page 297 , découpe chaque figure en suivant précisément son contour. Assemble et colle les figures citées afin de recouvrir exactement chaque rectangle de la même couleur. Si le recouvrement n’est pas possible, divise ces figures avec un minimum de coups de ciseaux.
= h = b = b = h = D = d = h = B + b
(2) Compare l’aire du parallélogramme, du triangle, du losange et du trapèze à celle du rectangle.
L’aire du parallélogramme vaut celle du rectangle.
L’aire du triangle, du losange et du trapèze vaut la moitié de celle du rectangle.
(3) En comparant chaque figure au rectangle, indique, sur chaque rectangle, quel élément (base, hauteur, diagonale…) peut être mis en lien respectivement avec sa longueur (L) et sa largeur (l).
(4) De ces observations, établis la formule d’aire de chaque figure.
2. Sans mesurer, construis la figure demandée, de même aire que la figure donnée.
(1) Un triangle
(3) Un rectangle
(2) Un parallélogramme
(4) Un rectangle
3. Calcule l’aire de chaque figure en utilisant les dimensions fournies (exprimées en cm) .
(1) Triangle ABC
(2) Triangle ABC rectangle en B
(3) Parallélogramme ABCD
(4) Trapèze rectangle ABCD
(5) Losange ABCD
(6) Trapèze ABCD
4. (1) Code les diagonales du cerf-volant ABCD et calcule son aire si tu sais que | DB | = 6 cm et | OA | = 1,5 cm.
Aire du triangle ABD : = 4,5 cm 2
Aire du triangle BCD : ⋅ = 4,5 cm 2
Aire du cerf-volant ABCD : 2 4,5 = 9 cm 2 A = (B + b) h 2 = (4 + 2) 2,5 2 = 6 2,5 2 = 7,5 cm 2 A = = 10 cm 2
(2) Calcule l’aire du cerf-volant en utilisant la formule de l’aire du losange. Tires-en une conclusion et écris la formule d’aire du cerf-volant.
A = D ⋅ d 2 = 6 ⋅ 3 2 = 18 2 = 9 cm 2
L’aire obtenue est égale à la somme des aires des deux triangles.
5. Réalise un croquis de la situation en te basant sur les informations données et calcule, si possible, l’aire de chaque figure. Explique pourquoi certaines aires sont impossibles à déterminer.
(1) Un triangle dont la base mesure 4 dm et la hauteur relative à celle-ci 6 dm.
(2) Un triangle isocèle dont les côtés mesurent 6 cm, 6 cm et 4 cm.
Formule de l’aire d’un cerf-volant : A = D ⋅ d 2 1,5 cm 6 cm A = b h 2 = 4 6 2 = 12 dm 2 6 4 6 6 4
Impossible, car il manque la mesure de la hauteur relative à un des côtés.
(3) Un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 7 cm et 4 cm.
(4) Un losange de 3 cm de côté.
Impossible, car il manque les mesures des deux diagonales.
(5) Un carré dont une diagonale mesure 4 cm.
Le carré est un losange.
A = b ⋅ h 2 = 7 ⋅ 4 2 = 14 cm 2 7 4 3 4
A = = 8 cm 2
6. Calcule la mesure…
(1) de la longueur d’un rectangle de 30 cm 2 d’aire et de 5 cm de largeur.
A = L l = 30 cm 2 L 5 = 30 cm 2 6 5 = 30 cm 2
L = 6 cm 5 cm ? A = 30 cm2
(2) de la base d’un parallélogramme de 3 200 mm 2 d’aire et dont la hauteur relative à celle-ci mesure 8 cm.
A = 3 200 mm2 = 32 cm2 8 cm ?
A = b ⋅ h = 32 cm 2 b ⋅ 8 = 32 cm 2 4 ⋅ 8 = 32 cm 2 b = 4 cm
(3) de la hauteur d’un triangle de 6 dm 2 d’aire et dont la base mesure 3 dm.
A = 6 dm2 3 dm ?
A = b ⋅ h 2 = 6 dm 2 = 6 dm 2 3 4 2 = 6 dm 2 h = 4 dm
7. Après avoir déterminé les dimensions utiles, construis une figure dont l’aire est identique à celle de la figure décrite.
(1) Un carré ABCD de même aire qu’un rectangle de 4,5 cm sur 2 cm.
(2) Un losange MNOP de même aire qu’un parallélogramme dont la base vaut 3 cm et la hauteur 2 cm.
(3) Un trapèze DEFG de même aire qu’un triangle dont la base mesure 6 cm et la hauteur 2 cm.
8. Complète l’annonce en calculant la superficie du terrain et son prix. Note ta démarche en dessous de l’image.
À VENDRE
Terrain à bâtir : ares €
5590 Ciney 1 are = 100 m2
Superbe terrain à bâtir dans un cadre naturel d’exception. Ce terrain rectangulaire présente une généreuse façade à rue de 30 m et une profondeur de 80 m. Il est proposé au prix exceptionnel de 62,50 €/m2.
Superficie du terrain : L l = 80 30 = 2 400 m 2 = 24 ares
a ire du disque
1. (1) Rends-toi à la page 297 et découpe le disque en suivant les lignes des secteurs. Assemble et colle les secteurs afin de recouvrir le plus possible le rectangle.
(2) Regarde l’animation puis complète.
Prix : 62,5 ⋅ 2 400 = 150 000 € 24 150 000 ( π ⋅ r) ⋅ r = π ⋅ r 2
Plus le nombre de secteurs est grand, plus l’aire du disque s’approche de celle de l’aire d’un
Sa largeur est égale du disque.
l =
Sa longueur est égale
L =
rectangle. L ≅ ( π ⋅ d) : 2 = (2 ⋅ π ⋅ r) : 2 = π ⋅ r l ≅ r à la moitié du périmètre du disque. au rayon r ( π ⋅ d) : 2 ou (2 ⋅ π ⋅ r) : 2 = π ⋅ r
(3) À partir de la formule d’aire du rectangle, déduis la formule de l’aire d’un disque.
Aire du disque :
2. Calcule, au centième de cm 2 près…
(1) l’aire d’un disque de 3 cm de rayon.
(2) l’aire d’un disque de 8 cm de diamètre.
3. Calcule, au mm 2 près, la surface gravée de ce disque 33 tours.
r = 8 : 2 = 4 cm A = π r 2 = π 4 2 = 50,265… ≅ 50,27 cm 2 Aire de la surface gravée : aire du grand disque aire du petit disque π 15 2 π ⋅ 5 2 = 628,318… cm 2 ≅ 628,32 cm 2
5 cm 30 cm
4. Si tu sais que la cible représentée a un diamètre de 50 cm et que l’intervalle entre chaque cercle est de 5 cm, vérifie si l’aire de la zone à 50 points est la même que celle de la zone à 20 points.
Zone à 50 points (jaune)
A = π 10 2 ≅ 314,159… cm 2
Zone à 20 points (bleue)
L’aire de la zone à 50 points est inférieure à celle de la zone à 20 points.
a ire et périmètre de figures complexes
1. Mon voisin achète un terrain afin de le transformer en un jardin partagé. Pour financer son achat, il emprunte de l’argent à la banque et rembourse 150 € tous les mois. Le schéma représente ce terrain, aménagé et divisé en quatre parcelles bien distinctes qu’il met en location.
(1) En te basant sur le tarif indiqué dans le tableau, calcule le prix à payer pour la location de chacune de ces parcelles.
Superficie Prix annuel au m 2 Moins de 50 m 2 9,50 €
Parcelle ➀ : A = 10 ⋅ 10 = 100 m 2
Loyer : 100 ⋅ 8,25 = 825 €
Parcelle ➁ : A = 10 ⋅ 6 = 60 m 2
Loyer : 60 ⋅ 8,75 = 525 €
Parcelle ➂ : A = (10+ 5) ⋅ 6 2 = 15 ⋅ 6 2 = 45 m 2
Loyer : 45 ⋅ 9,50 = 427,50 €
Parcelle ➃ : A = 6 5 2 = 15 m 2
Loyer : 15 ⋅ 9,50 = 142,50 €
(2) Vérifie si l’argent gagné en louant les quatre parcelles permet de rembourser la somme de 150 € chaque mois à la banque.
L’argent gagné en louant les quatre parcelles permet de rembourser la somme de 150 € chaque mois à la banque, car 160 € > 150 €.
2. On souhaite installer des panneaux photovoltaïques sur un pan de toit rectangulaire de 10 m de long sur 4 m de large. Afin de garantir un accès technique, il est nécessaire de laisser une zone de sécurité de 50 cm de large tout autour de l’installation.
(1) Réalise un croquis de la situation.
10 m 4 m 50 cm
(2) Détermine quel pourcentage de la surface de ce toit ne peut pas être couvert de panneaux en raison des distances de sécurité règlementaires.
Surface totale du toit : 10 ⋅ 4 = 40 m 2
Surface du toit disponible pour la pose des panneaux photovoltaïques :
(10 2 0,5) (4 2 0,5) = 9 3 = 27 m 2
Surface du toit non couverte : 40 − 27 = 13 m 2
Pourcentage de la surface du toit non couverte : 13 40 = 0,325 = 32,5 %
3. Ma voisine souhaite protéger sa terrasse en bois. Elle se rend dans un magasin de bricolage et trouve une lasure pour bois extérieur.
LASURE HAUTE PROTECTION PLAN DE LA TERRASSE
59,40 €
Pot de 3 L Pouvoir couvrant : 9 m2/litre
2 couches recommandées pour une protection totale de votre terrasse.
7 m 4,50 m
8 m 3,50 m
(1) Calcule la superficie totale de la terrasse de ma voisine.
Superficie totale de la terrasse de ma voisine : aire ➀ + aire ➁ + aire ➂
aire du carré + aire du disque (deux demi-disques)
3 3 + π 1,5 2 = 16,068… ≅ 16,07 cm 2
Périmètre de la figure :
Aire de la figure : aire du rectangle aire du demi-disque
Périmètre de la figure : 5 2 + 4 + 3 + π 5 2 = 24,853… ≅ 24,85 cm
Aire de la figure : aire du carré aire du triangle + aire du demi-disque 5 5 3 4 2 + π 2, 5 2 2 = 28,817… ≅ 28,82 cm 2
6. Calcule le périmètre de cette figure, composée de neuf triangles équilatéraux, dont les mesures sont exprimées en centimètres.
Périmètre de la figure :
7. Un rectangle ABCD dont la longueur [ AB ] vaut 10 m a un périmètre de 30 m. Après avoir réalisé un croquis de la situation, calcule, au centième de mètre près, le périmètre du cercle dont le centre est le point C et dont le rayon est le segment [ BC ] .
Périmètre du cercle : 2 π 5 = 31,415… ≅ 31,41 m A B C
8. Calcule, au centième de cm 2 près, l’aire de chaque surface colorée.
Aire de la surface colorée : aire du grand disque aire du petit disque
π 3,25 2 π 2,5 2 = 13,548… ≅ 13,55 cm 2
Aire de la surface colorée : aire du grand losange aire du petit losange 6 ⋅ 4 2 − 3 ⋅ 2 2 = 12 − 3 = 9 cm 2
9. Sachant que les trois quadrilatères sont des carrés, calcule…
(1) l’aire du carré coloré.
Côté du carré coloré : 27 (12 + 6) = 27 18 = 9 cm
(2) le périmètre de toute la figure.
Aire du carré coloré : 9 9 = 81 cm 2 27 ⋅ 2 + 12 ⋅ 2 = 54 + 24 = 78 cm
e X er C i C e S CO m PL éme N taire S
CÔ té P rati QU e
1. Calcule la longueur du côté d’un polygone régulier de 48 cm de périmètre si ce polygone est un triangle, un carré, un hexagone, un octogone ou un décagone.
2. Chaque côté d’un polygone régulier de 2 250 mm de périmètre mesure 15 cm.
Calcule le nombre de côtés que possède ce polygone régulier.
3. Julie possède un tour de parc de 3,5 m de long confectionné par sa grand-mère. Elle souhaite le placer dans le nouveau parc qu’elle doit acheter pour son fils.
Elle hésite entre deux modèles : un modèle hexagonal de 62 cm de côté ou un modèle rectangulaire de 92 cm sur 72 cm.
Quel(s) modèle(s) de parc peut-elle choisir ?
4. Un dodécagone est un polygone à 12 côtés. Si chacun de ses côtés mesure 7 cm, alors son périmètre est égal au triple de celui d’un parallélogramme dont la base vaut 8 cm.
Calcule la longueur d’un côté adjacent à la base de ce parallélogramme.
5. La pièce de 2 € possède un diamètre de 23,43 mm et celle de 2 £ (livres sterling au Royaume-Uni) un rayon de 1,42 cm.
Calcule le périmètre de chaque pièce et indique ensuite lequel est le plus grand.
6. Un tracteur a des roues avant d’un diamètre de 90 cm et des roues arrière d’un diamètre de 150 cm. Lors d’un déplacement, chaque roue avant du tracteur a effectué 2 100 tours.
Calcule le nombre de tours effectués par chaque roue arrière lors de ce déplacement.
7. Un cercle a le même périmètre qu’un carré de 4 cm de côté.
Calcule le rayon de ce cercle au dixième de centimètre près.
8. Calcule l’aire, en cm 2 , d’un…
(1) parallélogramme de 5 cm de base et de 3,5 cm de hauteur.
(2) triangle de 90 mm de base et de 3,2 cm de hauteur.
(3) losange dont les diagonales mesurent respectivement 0,085 m et 150 mm.
(4) trapèze dont la petite base mesure 3 cm, la grande base le triple de la petite et la hauteur 1,5 cm de plus que la petite base.
9. Un rectangle dont la largeur vaut 4 cm a la même aire qu’un carré de 6 cm de côté.
Réalise un croquis de la situation et calcule la longueur de ce rectangle.
10. Les vingt vitraux d’une salle d’exposition sont composés chacun de 240 losanges dont les diagonales mesurent 18 cm et 24 cm.
Calcule l’aire d’un vitrail et exprime-la en m 2
11. Calcule la mesure…
(1) du côté d’un carré de 81 mm 2 d’aire.
(2) de la base d’un triangle de 20 m 2 d’aire dont la hauteur mesure 8 m.
(3) de la largeur d’un rectangle de 80 cm 2 d’aire dont la longueur mesure 16 cm.
(4) de la grande diagonale d’un losange de 30 cm 2 d’aire dont la petite diagonale mesure
12. Construis un losange dont l’aire…
(1) est égale à celle du trapèze WXYZ. (2) vaut la moitié de l’aire du cerf-volant ABCD.
13. Calcule, en cm 2 , l’aire d’un disque de… (1) 7 dm de rayon (2) 23 mm de diamètre.
14. Le yin et le yang sont des concepts fondamentaux de la philosophie chinoise. Ils représentent deux forces opposées et complémentaires. Leur symbole emblématique associe le noir et le blanc pour illustrer cette dualité.
Calcule, au centième de cm 2 près, l’aire de la surface noire de ce symbole.
15. La pizzeria Pizz’Art propose deux offres au même prix. Détermine l’offre la plus avantageuse.
16. Observe le croquis réalisé à main levée dans lequel le triangle CEF est inscrit dans le carré ABCD.
Calcule l’aire de ce triangle.
3 cm
cm
17. Une piscine rectangulaire de 9 m sur 5 m est bordée par une plage carrelée de 1,5 m de large. L’accès à cet espace est sécurisé par des barrières en verre.
(1) Calcule l’aire de cette plage carrelée.
(2) Calcule la longueur de barrières en verre nécessaire, sachant qu’un espace de 1 m doit être laissé pour l’installation d’une porte d’accès.
18. Calcule, au centième près, le périmètre et l’aire de chaque figure.
(1) 2 cm (2) 2 cm
19. Calcule , au centième près, le périmètre et l’aire de la figure. 3 cm 6,71 cm 9 cm
20. Ce rond-point est composé de deux parties circulaires concentriques (de même centre) : un disque central arboré et une couronne extérieure en tarmac.
Sachant que le périmètre du disque central est de 52 m et que son diamètre est 1,5 fois plus petit que le diamètre total du rond-point, détermine, au centième de m2 près, l’aire de la surface recouverte de tarmac.
21. Ce vitrail rectangulaire de 38 cm sur 26 cm est composé de pièces de verre coloré unies par des barres de plomb . En négligeant l’épaisseur des barres de plomb, détermine, pour chaque couleur, la surface de verre utilisée.
22. Calcule, au centième près, le périmètre et l’aire de chaque figure. (1) (2)
CÔ té P rati QU e
Rectangle
Carré
A = L ⋅ l
A = c ⋅ c = c2
Triangle
A = b ⋅ h 2
Losange
Aire de gures planes
Mesure de sa surface
Parallélogramme h
A = b ⋅ h c b b B h h l L b D d
Trapèze
A = (B + b) ⋅ h 2
Cerf-volant
Disque D d r
A = D ⋅ d 2 A = D ⋅ d 2
A = π ⋅ r2
C.1 (1) – Figures à découper
D.1 (1) – Figure à découper
E xpr E ssions algébriqu E s
Souviens-toi
1. Les nombres inscrits sur les teeshirts suivent une séquence logique. Indique le nombre correspondant au teeshirt beige
2. Dimanche, Emma débloque trois skins (vêtements, coiffures et accessoires portés par les personnages d’un jeu vidéo). Si, chaque jour, elle gagne deux skins de plus que le jour précédent, combien en aura-t-elle gagné le mercredi ?
3. Complète les graphes fléchés.
4. Note le calcul qui te permet de trouver la réponse à la question et effectue-le. Réponds ensuite à la question au moyen d’une phrase complète.
(1) À Bruxelles, il fait 10 degrés de moins qu’à Madrid. S’il fait 2 degrés à Bruxelles, quelle température fait-il à Madrid ?
2 + 10 = 12
Il fait 12° C à Madrid.
(2) Un flacon A contient trois fois plus de parfum qu’un flacon B.
Sachant que le flacon A contient 120 ml, quelle est la capacité du flacon B ?
120 : 3 = 40
Le flacon B contient 40 ml de parfum.
Défis
Es-tu prêt(e) à relever les trois défis de Jude ?
Le principe est simple : à chaque défi, Jude répartit des crayons dans trois plumiers différents. Ton objectif : trouver combien de crayons se trouvent dans chaque plumier grâce à l’indice donné.
J’ai réparti 21 crayons de manière équitable dans les trois plumiers.
21 : 3 = 7
Chaque plumier contient 7 crayons.
Cette fois, j’ai réparti 36 crayons dans les trois plumiers, mais le deuxième et le troisième plumiers contiennent chacun trois crayons de plus que le premier.
36 − 6 = 30
30 : 3 = 10
Le premier plumier contient 10 crayons, les deuxième et troisième plumiers en contiennent 13.
Dernier défi… Je répartis 100 crayons dans les trois plumiers. Le deuxième en contient deux fois plus que le premier et le troisième en contient cinq de plus que le deuxième.
À la fin de ce chapitre, tu seras capable de répondre à ce troisième défi.
Suites arithmétiques illustrées et expressions algébriques
1. (1) Complète le tableau en notant le nombre d’antennes et de pattes en fonction du nombre de fourmis.
Nombre de fourmis
Nombre d’antennes
Nombre de pattes
(2) Calcule le nombre d’antennes de 120 fourmis.
120 ⋅ 2 = 240 antennes
Calcule le nombre de pattes de 250 fourmis.
(3) Explique comment calculer…
le nombre d’antennes à partir du nombre de fourmis.
Je multiplie le nombre de fourmis par 2.
le nombre de pattes à partir du nombre de fourmis.
Je multiplie le nombre de fourmis par 6.
(4) Lis l’indice.
Dans le contexte des suites, l’utilisation d’une lettre, appelée variable (dont la valeur peut changer), est indispensable pour exprimer la position d’un terme dans la suite et pour définir la règle de formation de cette suite.
Si n représente le nombre de fourmis, traduis, en utilisant cette variable, la relation entre…
le nombre de fourmis (n) et le nombre d’antennes.
le nombre de fourmis (n) et le nombre de pattes.
250 6 = 1 500 pattes n ⋅ 2 n 6
(5) Lis l’indice puis réduis chacune des expressions algébriques de la question précédente.
Une expression algébrique est une combinaison de nombres, de lettres et d’opérations.
Expression algébrique réduite
3 n
Coefficient Partie littérale
Le symbole de la multiplication ( ) entre le coefficient et la variable ne se note pas.
Nombre d’antennes :
Nombre de pattes :
2. Ce bracelet est constitué d’une cordelette dont chaque extrémité est ornée d’une perle. On peut le personnaliser en ajoutant un certain nombre de nœuds décorés chacun de trois perles.
(1) Dessine un bracelet à deux nœuds et un bracelet à trois nœuds.
(2) Complète le tableau.
Nombre de nœuds
Nombre de perles pour les nœuds
Nombre de perles pour le bracelet
(3) Lis l’indice puis complète.
Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme s’obtient en ajoutant un nombre constant, appelé raison , au nombre précédent.
Dans une suite, la position d’un nombre est appelée rang du nombre.
Le nombre au rang 0 est appelé terme indépendant .
Quelle est la raison de cette suite arithmétique ?
La raison est 3.
Quel est le terme indépendant de cette suite arithmétique et quel est son rang ?
Le terme indépendant est 2 et son rang est 0.
(4) Explique comment calculer le nombre de perles du bracelet à partir du nombre de nœuds.
On multiplie le nombre de nœuds par trois et on ajoute 2.
(5) Si n représente le nombre de nœuds, traduis la relation entre le nombre de nœuds et le nombre de perles du bracelet par une expression algébrique réduite.
n 3 + 2 = 3n + 2
Dans une expression algébrique, il arrive que certains termes ne puissent pas être additionnés, car ils ne sont pas semblables (ils ne possèdent pas la même partie littérale).
Une expression algébrique réduite peut donc contenir plusieurs termes.
(6) Complète le graphe fléché et calcule le nombre de perles d’un collier, conçu sur le même modèle, constitué de 32 nœuds.
Nombre de perles du collier : 32
Complète le graphe fléché à l’aide des opérations réciproques et calcule le nombre de nœuds d’un collier constitué de 65 perles.
65
⋅ 3 : 3 96 98 98 21 + 2 63 21 − 2
Nombre de nœuds du collier :
3. (1) Complète la suite.
Assemblage de cœurs
Nombre de cœurs
(2) Quelle est la raison de cette suite arithmétique ?
(3) Si tu multiplies le rang par la raison de la suite, obtiens-tu le nombre exact de cœurs ? Si la réponse est non, que faut-il faire ?
Non, après avoir multiplié le rang par 2, il faut ajouter 1. n ⋅ 2 + 1 = 2 n + 1
(4) Si n représente le rang, traduis la relation entre le rang et le nombre de cœurs par une expression algébrique réduite. Ensuite, souligne le terme indépendant et entoure le coefficient de la variable n.
À quel élément caractéristique de la suite arithmétique correspond ce coefficient de la variable n ?
À la raison de la suite
Je rédige mon procédé pour déterminer l’expression algébrique qui permet de calculer le nombre de motifs à partir du rang (n), dans le cas d’une suite arithmétique
4. (1) Construis la suite arithmétique illustrée en suivant le procédé décrit. Compte ensuite le nombre total de carrés de chaque assemblage.
Au rang 1, dessine un petit carré. À chaque nouveau rang, reprends le motif précédent et ajoute un petit carré au-dessus de la première colonne ainsi que deux petits carrés à droite de la première ligne.
Rang 1 2 3 4
Assemblage de carrés
Nombre de carrés
(2) Coche le procédé qui permet de calculer le nombre de carrés à partir du rang.
J’ajoute 3 au rang.
Je multiplie le rang par 3 et j’enlève 2.
Je multiplie le rang par 2 et j’enlève 1.
Traduis le procédé correct par une expression algébrique réduite où n représente le rang.
(3) Complète le graphe fléché pour calculer le nombre de carrés du rang 19.
Nombre de carrés : 19
3 57 55 55 − 2 n 3 2 = 3n 2
(4) Complète le graphe fléché pour calculer le rang de la figure composée de 934 carrés.
Rang : 934
312 312 936 : 3 + 2 + 3
(5) Dans cette suite arithmétique, est-il possible d’observer un assemblage de 98 carrés ?
Non, car (98 + 2) = 100 et 100 n’est pas divisible par 3.
5. (1) Construis ta propre suite arithmétique illustrée. Pour cela… – choisis un motif de départ ; – dessine, au rang 1, une composition d’un ou de plusieurs motifs ; – ajoute le même nombre d’éléments pour passer au rang suivant.
Rang 1 2 3 4
Assemblage de motifs
Réponse personnelle
Nombre de motifs
(2) En t’inspirant de celui décrit à l’exercice 4. (1), rédige, sur une feuille, le procédé qui permet de construire ta suite illustrée.
(3) Échange la feuille contenant ton procédé avec celle d’un(e) autre élève. Lis attentivement son procédé puis dessine, sous son texte, la suite qu’il ou elle décrit.
(4) Récupère ta feuille et compare la réalisation de l’élève avec ta suite. Sont-elles similaires ? Repère ce qui manquait ou ce qui était mal exprimé dans ton procédé. Ensuite, ajuste-le en fonction de tes observations et recopie-le ici.
Réponse personnelle
(5) Écris l’expression algébrique réduite de ta suite. Celle-ci doit permettre de déterminer le nombre de motifs de ton assemblage en fonction de son rang (n).
Réponse personnelle
Suites numériques et écriture algébrique d’un nombre
1. Complète chaque suite arithmétique de nombres.
Ensuite, établis l’expression algébrique réduite permettant de calculer le nombre figurant dans la suite à partir de son rang (n).
Enfin, complète la phrase.
Nombre 10 20 30
Chaque nombre de la suite est un nombre naturel multiple de Rang 1 2 3 4 5 6 21 n Nombre 32 40 48
Chaque nombre de la suite est
Rang 1 2 3 4 5 6 20 n
Nombre 6 11 16
Chaque nombre de la suite est un nombre naturel multiple de augmenté de
Chaque
de
- 5 - 10 - 15 - 125
Chaque nombre de la suite est un nombre entier
nombre naturel multiple de 8. 5 1. multiple de 4 diminué de 3. multiple de - 5.
2. Associe la description du nombre à l’expression algébrique réduite qui le représente.
Un nombre naturel multiple de 4 • • n + 1
Un nombre naturel pair • • 4n - 2
Un nombre naturel impair • • 4n
Un nombre naturel multiple de 2 diminué de 4 • • 2n - 4
Un nombre naturel multiple de 4 diminué de 2 • • 2n
Un nombre naturel augmenté de 1 • • 2n + 1
3. Repère dans chaque tableau l’expression algébrique permettant de calculer le nombre de la suite à partir de son rang et utilise-la pour compléter le graphe fléché.
Ensuite, complète la suite arithmétique de nombres. Rang 1 2
4. Certaines suites de nombres ne sont pas arithmétiques. Complète chacune d’elles et établis une expression algébrique réduite permettant de calculer le nombre correspondant à un rang donné (n).
Longueurs et expressions algébriques
1. Dans chaque cas, exprime la longueur du segment [ AB ] en fonction de x et réduis, si possible, l’expression algébrique.
Dans un contexte géométrique, l’utilisation d’une ou de plusieurs lettres, appelées variables (dont la valeur peut changer), est indispensable pour modéliser une situation. (1) A
2. Écris une expression algébrique réduite du périmètre de chaque polygone. a P = x 1
+ a + a + a = 4a b + b + b = 3b
+ 1 + x + 1 + x + x = 4x + 2
3. Relie chaque polygone à l’expression algébrique réduite de son périmètre.
Carré EBFH •
Rectangle HFCG •
Rectangle AEGD •
Rectangle ABCD •
4. Ce polygone est composé uniquement de segments perpendiculaires.
4a + 2
4a
6a + 2
5a + 2
2a + 2
Complète la longueur manquante et exprime ensuite le périmètre de ce polygone en fonction de x.
Écris ta réponse finale sous la forme d’une expression algébrique réduite. x 2
+ y + 2 + 2 + y + 2 = 3y + 6 x + x + 2 = 2x + 2 x + x + 2 + x + x + 2 + 2 + 2x + 2 = 6x + 8
5. Ces figures sont composées uniquement de carrés et de rectangles.
Coche la (les) figure(s) dont le périmètre vaut 6a + 2b.
6. Ces polygones, à l’exception du premier, sont composés uniquement de segments perpendiculaires.
Complète les longueurs manquantes et exprime le périmètre de ces polygones à l’aide d’une expression algébrique réduite.
2a + 2a + 3b = 4a + 3b
+ x = 2x y + y = 2y
c + 2 + c 3 + d 2 + 3 + d = 2c + 2d
c d + a + a + a = d + 3a
x + y + x + y + 2x + 2y = 4x + 4y c + d + a + a + a + a + b c + a + b + d + 3a = 2d + 8a + 2b
Je rédige mon procédé pour réduire des sommes algébriques
7. Réduis, si possible, les sommes algébriques.
a + a = 7c + 4c + 3c = a − a =
x + x + x = 2a + 3b + 3a + b = 13d − 5d =
a + b = x + 2y + x + 2y = x − 3x =
4y + 6y = 3c + 4 + 3c + 1 = x − 2y =
5a + 3 = 3 + 4a − 5 =
−5s + 7s =
8b + 2b = −1 + d + 1 = −3z − 2z =
2x + x = −9 −2t + 2 = −5 + 7t − 2t + 8 =
10 + 4y = 3y − 2 + 2y − 3 = 4x + 2 − 6 − 6x =
8. Chaque polygone est composé uniquement de segments perpendiculaires dont les dimensions sont exprimées en cm.
(1) Écris une expression algébrique réduite du périmètre de chacun. 4 a x y 1
P = 4 + a + a + a + 4 + a + 2a = 6a + 8 P = y + x + x + x + 1 + y + y + x + 1 + y = 4x + 4y + 2 a a 4 + a 2a y y x y + x + 1 x
(2) Calcule la valeur numérique de chaque périmètre si a = 2 cm, x = 1,5 cm et y = 3 cm.
La valeur numérique d’une expression algébrique est le nombre obtenu en remplaçant chaque variable par une valeur donnée et en effectuant les opérations indiquées. 2a 3x / 10y / 10b 3x / 14c 5a + 4b 2x + 4y 6c + 5 4a 2 d 2t 7 5y 5
P = 6 . 2 + 8 = 12 + 8 = 20 cm P = 4 . 1,5 + 4 . 3 + 2 = 6 + 12 + 2 = 20 cm
9. Calcule la valeur numérique des expressions algébriques si tu sais que…
(1) a = 1 et b = 3.
a + b = a − b =
1 + 3 = 4
1 3 = 2
−5a + b = 2a − 3b =
5 1 + 3 = 5 + 3 = 2
2 1 3 3 = 2 9 = 7
(2) a = 4 et b = −5.
a + b = a − b =
4 + ( 5) = 4 5 = 1
4 ( 5) = 4 + 5 = 9
−5a + b = 2a − 3b =
5 4 + ( 5) = 20 5 = 25
Aires, volumes et expressions algébriques
1. Ces figures sont composées uniquement de carrés et de rectangles.
Barre les expressions algébriques qui ne correspondent pas à l’aire de la figure. Entoure l’expression algébrique réduite de l’aire de cette même figure. a x x y x y
y x + y 2x + 2y y ⋅ x xy 2x + 6y x 3y 3xy xy ⋅ 3 x + 3y
2. Ces figures sont composées uniquement de carrés et de rectangles. Écris une expression algébrique réduite de l’aire de chacune d’elles.
2 4 3 ( 5) = 8 ( 15) = 8 + 15 = 23 b ⋅ a = ab
3a 2 + 2ab
3. Exprime l’aire de ce rectangle sous la forme d’une expression algébrique réduite.
Vérifie ta solution en complétant les longueurs et les aires manquantes sur la figure. 3y
2x A =
4. Écris une expression algébrique réduite du volume…
Je rédige mon procédé pour réduire des produits algébriques xy xy xy x x xy y y y xy xy 3y 2x = 6xy a ⋅ a ⋅ a = a³ 4 ⋅ a³ = 4a³ a b c = abc 2e 2t 3c = 12cet
(1) du cube. a V = (2) du solide formé de cubes identiques. a V =
(3) de chaque parallélépipède rectangle. a b c V = 2t 2e 3c V =
5. Réduis les produits algébriques.
5x 2 = d d = a a a = 7 9d = 7x 3x = a a b = 4x 2y = 3x 3x = x 4 x x = 11c b = 5a 2a = 2b 3a 5 =
6. Chaque figure est composée uniquement de segments perpendiculaires dont les dimensions sont exprimées en cm.
Écris une expression algébrique réduite de l ’ aire de chacune d ’ elles.
Ensuite, calcule la valeur numérique de chaque aire si a = 2 cm, x = 3,5 cm et y = 0,5 cm. 2x 3y
A = 2x ⋅ 3y = 6xy A = 6 ⋅ 3,5 ⋅ 0,5 = 10,5 cm 2
Ensuite, calcule la valeur numérique de ce volume si x = 2 cm et y = 5 cm 2x y 3x a
A = 5 ⋅ a + a ⋅ 1 = 5a + a = 6a A = 6 ⋅ 2 = 12 cm 2 V = 2x ⋅ y ⋅ 3x = 6x 2 y
7. Écris une expression algébrique réduite du volume de ce parallélépipède rectangle.
8. Calcule la valeur numérique de chaque expression algébrique si a = 1, b = 3 et c = –5.
5b = ab =
5 3 = 15 2 ⋅ 3 3 = 2 ⋅ 27 = 54 1 ⋅ 3 = 3
2b 3 = 5ac = −10abc = −3c 2 =
5 1 ( − 5) = − 25 10 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ ( 5) = 150
Sommes et produits algébriques
1. Construis un rectangle dont…
(1) le périmètre vaut 6a. a (2) l’aire vaut 6a 2 a
3a 2a 2a a
2. Chaque figure est composée uniquement de segments perpendiculaires. Écris une expression algébrique réduite du périmètre et de l’aire de chacune d’elles.
(1) a 2a P = A = (2) 2x 3x x 6x
3. Indique devant l’énoncé si l’expression algébrique proposée est une somme (S) ou un produit (P).
Réduis ensuite, si possible, chacune de ces expressions.
( ) x + x + x =
( ) x ⋅ x ⋅ x =
( ) 2a + 3b =
( ) 2a 3b =
( ) c 3 c =
( ) c + 3 + c =
( ) 2a 3a =
( ) 2a + 3a =
( ) a + 2 =
( ) a ⋅ 2 =
( ) −a + a =
( ) −a a =
4. Réduis, si possible, chaque expression algébrique.
3 x =
2a + 2a + 2a =
−2a + 3a =
3x 2 + 4x =
−3x + 3x =
b b =
5c + 3c =
−2b + 2 + 2b =
2y ⋅ 3x =
y 3 x = 3 + x = 4y (−2y) = −d + d =
−15x ⋅ (−2) =
b + b =
3 + x + y =
5c − 2 =
( ) −a − a =
( ) −a ⋅ (−a) =
( ) 3x ⋅ (−2x) =
( ) 3x 2 − 2x =
( ) 3ab + 2a =
( ) 3ab ⋅ 2a =
3y + 4x − y = a a a = 5c (−2) = −5x − 5x = 4a 2 + a 2 = a + 1 + a =
(−5c) = 25c 2 g ⋅ = g (−2c) = 4c 2 4b + 3c + + = 6b + 4c + − 3x + 5y = 2x + 8y −a a = −a 3 ⋅ 2x ⋅ (−x) = 4x 3 − 2c = −4c 7x = 56x S S P P P S S S 3x / P S P
⋅ (−5y) = −15y 2 − 3y = y 5x = −5xy
− = a − 5y = 0 (−5d) = −15d 2
Équations et graphes fléchés
Une expression algébrique est une combinaison de nombres, de lettres et d’opérations.
Les lettres symbolisent des variables , c’est-à-dire des quantités pouvant prendre n’importe quelle valeur.
2x + 3 est une expression algébrique dans laquelle x est la variable.
Si x = 1, alors…
2x + 3 = 2 1 + 3 = 2 + 3 = 5
Si x = 2, alors…
2x + 3 = 2 2 + 3 = 4 + 3 = 7
Une équation est une égalité qui contient une lettre.
La lettre symbolise l’ inconnue , c’est-à-dire la quantité dont on cherche la valeur pour que l’égalité soit vraie.
2x + 3 = 13 est une équation dans laquelle x est l’inconnue.
La valeur de l’inconnue qui vérifie cette égalité est 5.
En effet, 2 5 + 3 = 13
La valeur 5 est appelée solution de l’équation.
1. (1) Écris une expression littérale réduite du périmètre de cette figure, dont les dimensions sont exprimées en cm.
1 2 3 4 x P = 3 + 2 + x + 1 + x + 4 + x = 3x + 10
(2) Détermine la valeur de x pour que le périmètre du polygone soit égal à 28 cm.
3x + 10 = 28
Pour que le périmètre de la figure soit égal à 28 cm, la valeur de x doit être égale à 6 cm. 3x 3x + 10 18 28 : 3 − 10 ⋅ 3 + 10 x 6
2. Si les dimensions des figures sont exprimées en cm, détermine la valeur de x pour que le périmètre du rectangle ABCD soit égal au périmètre du carré EFGH. x 4 A
Périmètre du rectangle ABCD : x + 4 + x + 4 + x + x = 4x + 8
Périmètre du carré EFGH : 5 ⋅ 4 = 20
Périmètre du rectangle ABCD = Périmètre du carré EFGH
Pour que le périmètre du rectangle ABCD soit égal au périmètre du carré EFGH, la valeur de x doit être égale à 3 cm. 4x 4x + 8 12 20 : 4 − 8 ⋅ 4 + 8 x 3
3. Chaque figure est composée uniquement de segments perpendiculaires dont les dimensions sont exprimées en cm.
Détermine la valeur de x pour que l’aire de chacune d’elles soit égale à 36 cm 2 (1) 4x 3 (2) 8 1 2x
Pour que l’aire du rectangle soit égale à 36 cm 2 , la valeur de x doit être égale à 3 cm.
Pour que l’aire de la figure soit égale à 36 cm 2 , la valeur de x doit être égale à 2 cm. 4
Langage courant et expressions algébriques
1. Voici deux programmes de calcul et leur résultat.
Programme 1
Choisis un nombre.
Multiplie-le par 3.
Enlève 1.
Enlève le double du nombre de départ.
Le résultat est toujours égal au nombre qui précède le nombre de départ.
Programme 2
Choisis un nombre.
Multiplie-le par 2.
Ajoute 5.
Enlève le nombre de départ.
Enlève 3.
Le résultat est toujours égal au double du nombre de départ.
(1) Vérifie le résultat de chaque programme en choisissant 2 comme nombre de départ.
Programme 1 : 2 ⋅ 3 - 1 - 2 ⋅ 2 = 6 - 1 - 4 = 1
Le résultat est égal au nombre qui précède le nombre de départ (1 = 2 - 1)
Programme 2 : 2 2 + 5 - 2 - 3 = 4 + 5 - 2 - 3 = 4
Le résultat est égal au double du nombre de départ (4 = 2 2)
(2) Est-il possible de trouver un nombre de départ pour lequel le résultat ne correspond pas à celui proposé dans le programme ?
Programme 1
Je ne trouve pas de nombre pour lequel le résultat ne correspond pas à celui proposé dans le programme.
Programme 2
Si je choisis 3 comme nombre de départ, alors 3 . 2 + 5 - 3 - 3 = 5 et 5 n’est pas le double de 3.
(3) Vérifie l’exactitude de chaque programme en choisissant n comme nombre de départ.
L’utilisation d’une expression algébrique permet de généraliser une situation et d’établir qu’une relation est vraie pour l’ensemble des cas, et pas pour quelques exemples seulement.
Programme 1 : n 3 - 1 - 2 n = 3n - 1 - 2n = n - 1
Le résultat de ce programme est toujours le nombre qui précède le nombre de départ.
Programme 2 : n 2 + 5 - n - 3 = 2n + 5 - n - 3 = n + 2
Le résultat de ce programme n’est pas toujours égal au double du nombre de départ.
2. (1) Rédige un programme correspondant à l’ expression algébrique n + 7 2 ⋅ n 7 .
(2) Applique le programme pour n = 8.
(3) Exprime par une phrase la relation entre le résultat et le nombre de départ.
(4) Réduis l’expression algébrique afin de justifier que la relation trouvée est vraie, quel que soit le nombre de départ.
(1) Choisis un nombre n.
Ajoute 7.
Enlève le double du nombre de départ.
Enlève 7.
(2) 8 + 7 - 2 8 - 7 = 8 + 7 - 16 - 7 = - 8
(3) Le résultat est égal à l’opposé du nombre de départ.
(4) n + 7 - 2n - 7 = - n
3. Associe chaque proposition à l’expression algébrique qu’elle traduit, sachant que…
(1) n est un nombre.
Le triple d’un nombre diminué de 2 • • n - 2
Le triple d’un nombre diminué de son double • • 3n - 2
La différence entre 2 et le triple d’un nombre • • 2 - 3n
Le triple de la différence entre un nombre et 2 • • 3 (n - 2)
La différence entre un nombre et 2 • • 3n - 2n
(2) x représente l’âge de Florian et Mélanie a 6 ans de moins que Florian.
L’âge de Florian
L’âge de Mélanie
L’âge de Florian dans 2 ans
L’âge de Mélanie il y a 2 ans
La somme des âges actuels des deux enfants
Le double de l’âge de Florian
2x - 6
x
• x - 6
x + 2
2x
• x - 8
4. Sacha invite Morgane au cinéma. Il achète deux places de cinéma, deux boissons à 3 € et un sachet de popcorn à partager à 5 €.
(1) Si x représente le prix d’une place de cinéma, écris une expression algébrique réduite traduisant le montant total des achats effectués par Sacha.
2 x + 2 3 + 5 = 2x + 6 + 5 = 2x + 11
(2) Calcule la somme dépensée par Sacha si une place de cinéma coute 9 €.
2 9 + 11 = 18 + 11 = 29 €
Équations et problèmes
1. Coche l’équation qui traduit chaque situation.
(1) J’achète quatre jeux vidéos et je bénéficie d’une réduction de 8 €.
Le montant total payé est de 52 €.
x représente le prix d’un jeu vidéo. x - 8 = 52 4x + 8 = 52 4x - 8 = 52 x + 8 = 52
(2) Une agence de voyages propose une formule à 75 € par personne et par nuit.
Le budget total pour trois personnes s’élève à 900 €.
x représente le prix par nuitée. x + 75 = 900 3x + 75 = 900 75x = 900 75 3 x = 900
(3) Pour préparer son spectacle, une troupe de théâtre répète deux fois par semaine. Cependant, face au stress de la représentation imminente, elle décide d’ajouter six répétitions supplémentaires, atteignant un total de 32.
x représente le nombre de semaines.
x + 6 = 32 2x - 6 = 32 2x + 6 = 32 x - 6 = 32
2. Coche l’énoncé qui peut être traduit par chaque équation. Précise ensuite ce que représente x dans la situation cochée.
(1) 2x + 6 = 40
Un élève construit deux piles identiques de cubes. Il ajoute ensuite six cubes à chacune des deux piles. Il utilise 40 cubes en tout.
Je commande, en ligne, 2 livres au même prix. Les frais de livraison s’élèvent à 6 €. Le montant total de mes achats est de 40 €.
x représente
(2) x + 3x + 20 = 70
En octobre, un jeune économise le triple de la somme épargnée en septembre. En novembre, il économise 20 €. À la fin des trois mois, le total de ses économies s’élève à 70 €.
Une famille effectue un voyage de 70 jours à travers le continent américain. Elle passe trois jours au Mexique, 20 jours dans le Grand Canyon et le reste du temps en Floride.
x représente
3. Lors d’un repas entre amis, Estelle paie l’ensemble de l’addition qui s’élève à 34 €. La commande comprend quatre parts de pizza, un dessert à 5 € et trois boissons à 2 € l’unité. Estelle souhaite se faire rembourser par ses amis, mais elle a oublié le prix d’une part de pizza.
(1) À l’aide du raisonnement illustré, aide-la à retrouver ce montant.
34 23 5,75
(2) Désigne par la lettre x l’inconnue de ce problème et précise ce qu’elle représente.
x représente le prix d’une part de pizza.
(3) Écris une expression algébrique réduite traduisant la commande d’Estelle. le montant épargné en septembre.
4x + 5 + 3 ⋅ 2 = 4x + 5 + 6 = 4x + 11 le prix d’un livre.
(4) Traduis chaque étape du raisonnement d’Estelle à l’aide d’une équation. Sur les flèches, indique les opérations qui permettent de résoudre cette équation, en respectant le principe d’équivalence.
Le principe d’équivalence repose sur deux règles fondamentales.
– Si on ajoute (ou retire) le même nombre aux deux membres d’une égalité, on obtient une nouvelle égalité.
– Si on multiplie (ou divise) par le même nombre non nul les deux membres d’une égalité, on obtient une nouvelle égalité.
(5) Rédige une phrase de conclusion pour répondre à la question posée et vérifie ta solution.
Le prix d’une part de pizza est de 5,75 €.
4 5,75 + 5 + 3 2 = 23 + 5 + 6 = 34
Le montant total de la commande est de 34 €. 4x + 11 34 4x 23 x 5,75 - 11 : 4 - 11 : 4
4. Trois élèves ont tenté de résoudre deux équations à l’aide du principe d’équivalence.
Dans chaque cas, coche la résolution correcte, puis complète le graphe fléché pour vérifier ton choix.
(1)
(2) - 2x + 5 = - 4 - 2x = - 9
Je rédige mon procédé pour résoudre une équation
5. Résous les équations en indiquant toutes les étapes de ton raisonnement.
- 5x = - 4 - 3x + 1 = 10 - 2 - x = - 1
x = 0,8 : (-5) : (-5) - 3x = 9
6. Sans résoudre l’équation, détermine si la solution proposée est correcte.
(1) Le nombre 3 est-il solution de l’équation 4x - 10 = 2 ?
4 ⋅ 3 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 2 3 est la solution de l’équation. ? ?
(2) Le nombre -0,5 est‐il solution de l’ é quation 8x + 7 = - 3 ?
8 ⋅ ( - 0,5) + 7 = - 3 - 4 + 7 = - 3
(3) Le nombre -4 est ‐il solution de l’ é quation - 18 - 4x = - 2 ?
3 ≠ - 3 - 0,5 n’est pas la solution de l’équation. ? ? -18 - 4 (-4) = -2 -18 - (-16) = -2
-18 + 16 = -2
-2 = -2 - 4 est la solution de l’équation. ? ? ?
Je rédige mon procédé pour vérifier qu’une valeur donnée est solution d’une équation sans la résoudre
7. Pour chaque situation, complète le tableau afin de trouver la réponse à la question posée en utilisant une méthode de résolution d’équation : principe d’équivalence ou graphe fléché.
(1) Une sportive parcourt une distance totale de 36 km en seulement trois séances. Si elle augmente sa distance de 3 km à chaque nouvel entrainement, combien de kilomètres a-t-elle parcourus lors de la séance initiale ?
La sportive a parcouru 9 km lors de la première séance.
Vérification
9 + 9 + 3 + 9 + 3 + 3 = 36 x 3x 3x + 9 9 27 36 ⋅ 3 ⋅ 3 + 9 - 9 x x + x + 3 + x + 6 = 36 x + 3 x + 3 + 3 = x + 6
(2) Sofiane a deux fois plus de bonbons que Noé. Jean a 4 bonbons de moins que Sofiane. Ensemble, ils ont 56 bonbons. Combien de bonbons a chaque enfant ?
9. Résous les problèmes sur une feuille. Écris toutes les étapes de ton raisonnement.
(1) La somme d’un nombre, de son double et de son triple vaut 54. Quel est ce nombre ?
(2) Si je soustrais le quadruple d’un nombre à - 15, j’obtiens - 6. Quel est ce nombre ?
(3) Lina achète deux cartes de bus et paie 5 € de frais d’activation pour chaque carte. Elle dépense 65 € en tout. Combien coute une carte de bus ?
(4) Une équipe de rugby marque, en seconde mi-temps, le double des points marqués en première mi-temps, et 12 points lors des prolongations. Son score final est de 45 points. Combien de points a-t-elle marqués en première mi-temps ?
(5) Une dame a acheté deux paires de chaussures. La deuxième paire coute 5 € de moins que la première. Le montant total est de 92 €. Quel est le prix de chaque paire de chaussures ?
(6) Les 67 élèves de première secondaire d’une école sont répartis dans trois classes. La classe de 1B compte 3 élèves de moins que la classe de 1A. La classe de 1C compte 1 élève de plus que la classe de 1A. Quel est le nombre d’élèves dans chaque classe ?
(7) Dans un triangle, le premier angle mesure 60° de plus que le deuxième, et le troisième mesure 45° de moins que le premier. Quelle est la nature du triangle ?
Retour au défi
Résous le défi 3 du début du chapitre en utilisant une équation.
x représente le nombre de crayons dans le premier plumier.
2x représente le nombre de crayons dans le deuxième plumier.
2x + 5 représente le nombre de crayons dans le troisième plumier.
x + 2x + 2x + 5 = 100
5x + 5 = 100
5x = 95 x = 19
Le premier plumier contient 19 crayons, le deuxième 38 (2 ⋅ 19) et le troisième 43 (38 + 5).
Vérification : 19 + 38 + 43 = 100 - 5 : 5 - 5 : 5
E x E r C i CE s C o M plé ME n Tair E s
1. (1) Complète la suite arithmétique illustrée.
Rang 1 2 3 4 5
Assemblage de segments
Nombre de segments
(2) Quelle est la raison de cette suite arithmétique ?
(3) Si n représente le rang, traduis la relation entre le rang et le nombre de segments par une expression algébrique réduite. Construis le graphe fléché illustrant les opérations et leurs réciproques.
(4) Calcule le nombre de segments au rang 28.
(5) Calcule le rang de la figure composée de 1 000 segments.
2. Observe la suite arithmétique illustrée.
Figure 1 Figure 2 Figure 3
Figure 4
(1) Construis un tableau reprenant le rang et le nombre de jetons bleus pour chaque figure.
(2) Si n représente le rang, traduis par une expression algébrique réduite la relation entre le rang et le nombre de jetons bleus. Construis le graphe fléché illustrant les opérations et leurs réciproques.
(3) Calcule le nombre de jetons bleus du rang 8 et du rang 25.
(4) Calcule le rang de la figure composée de 106 jetons bleus.
3. Complète chaque suite de nombres et établis l’expression algébrique réduite permettant de calculer le nombre figurant dans la suite à partir de son rang (n).
Rang 1 2 3 4 5 6 41 n
Nombre 7 14 21 714
Rang 1 2 3 4 5 6 19 n
Nombre 5 14 23 896
Rang 1 2 3 4 5 6 30 n
Nombre −2 −5 −8 −101
Rang 1 2 3 4 5 6 20 n
Nombre 0,5 1 1,5
Rang 1 2 3 4 5 6 n
Nombre 3 9 27
4. (1) Complète la suite arithmétique.
(2) Détermine sa raison et son terme indépendant.
(3) En utilisant la raison et le terme indépendant, écris l’expression algébrique réduite permettant de calculer le nombre figurant dans la suite à partir de son rang (n).
Rang 1 2 3 6 10 15 n
Nombre 45 3 ⋅ (n − 5)
5. Si n est un nombre naturel…
(1) décris le nombre qui correspond à chaque expression algébrique.
5n −n 4n + 7
(2) écris l’expression algébrique réduite correspondant à chaque nombre décrit.
Un nombre naturel multiple de 3
Un nombre naturel multiple de 7 diminué de 4
Un nombre naturel impair
6. Dans chaque cas, exprime la longueur du segment [AB] en fonction de x et réduis, si possible, l’expression algébrique.
(1) A
A
7. Écris une expression algébrique réduite du périmètre de chaque figure et calcules-en la valeur numérique si x = 3 cm et y = 5 cm.
Les dimensions sur les figures sont exprimées en cm et les polygones (4), (5) et (6) sont composés uniquement de segments perpendiculaires. (1) y (2) y x (3)
8. Réduis, si possible, les sommes algébriques.
a + 1 = −5x − 2y = 2m + m − m + 12p = a + 2a = 2d − 5d = −15s − 12s + 3s = t + t = −7c + 4c = −4y + 7 − 17 + 6y = 2x + 3y = −3a − 3a = 13a − 2t − 13a + 6t = 5a + 2a = t − 11 = 4a − 5b + 5a − 4b + a =
9. Calcule la valeur numérique des expressions algébriques
(1) si a = 2 et b = 5.
(2) si a = −3 et b = 7.
Expressions algébriques : a + b 8a − 2b b + 5a −2a − 7
10. Ces figures sont composées uniquement de carrés de côté a et de rectangles de largeur a et de longueur b.
Écris une expression algébrique réduite de l’aire de chacune d’elles et calcules-en la valeur numérique si a = 2 cm et b = 4 cm.
(1) (2) (3)
11. Exprime l’aire de ces figures sous la forme d’une expression algébrique réduite.
(1) Un parallélogramme dont la base vaut 3x et la hauteur relative à celle-ci 4y.
(2) Un triangle dont la base vaut 5x et la hauteur relative à celle-ci 6y.
(3) Un losange dont la petite diagonale vaut 4x et dont la grande diagonale en vaut le double.
(4) Un trapèze dont la petite base et la hauteur valent chacune 4x et dont la grande base vaut 5x.
12. Écris une expression algébrique réduite du volume… (1) de chaque solide formé de cubes identiques. a y (2) du parallélépipède rectangle. 2x 6x 3y
14. (1) Exprime, par une expression algébrique réduite, la différence positive du volume de ces deux solides.
Solide 1 Solide 2
(2) Calcule la valeur numérique de cette différence si c = 2 cm et d = 5 cm. 3c 2d 3d c 5c
15. Calcule la valeur numérique de chaque expression algébrique si x = 2, y = −3 et z = 5. 5x = xyz = 2y 2 = 10y = 4xz = −4x 3 = −3y = −5xyz = xy 3 =
16. La première figure est un triangle équilatéral et la seconde est composée uniquement de segments perpendiculaires.
Écris une expression algébrique réduite du périmètre et de l’aire de chaque figure.
17. Réduis, si possible, les expressions algébriques.
4 y = 2x (−3x) = 7y + 2 = b + b + b = −4c − 4c = 7y (−2) = x x x = 3a 2 + 2a = 5x 2 + x 2 = 3a + 5a = −2x + 2x = 5x 3 + 15x 2 = 5 + y = c c = 3x + 2y + x − 5y =
18. Si les dimensions des figures sont exprimées en cm, détermine la valeur de x pour que le périmètre du triangle soit égal au périmètre du parallélogramme.
19. Voici un programme de calcul.
« Choisis un nombre, multiplie-le par 5, ajoute 9, enlève le nombre de départ, enlève 6. »
(1) Applique le programme en choisissant 100 comme nombre de départ.
(2) Traduis ce programme par une expression algébrique réduite en choisissant n comme nombre de départ.
(3) Exprime par une phrase la relation entre le résultat et le nombre de départ.
20. (1) Le président d’une association prévoit d’acheter 40 pains au chocolat et 65 croissants. Si x représente le prix d’un pain au chocolat et y le prix d’un croissant, écris une expression algébrique réduite traduisant le montant total de ses dépenses.
(2) En dernière minute, le président hésite à acheter 14 pains au chocolat supplémentaires, mais 5 croissants de moins que ce qui était prévu.
Écris l’expression algébrique correspondant au montant total de cette nouvelle commande.
(3) Dans la boulangerie du village, un pain au chocolat coute 2 € et un croissant 1,50 €.
Sachant que le président de l’association dispose d’un budget de 182 €, les deux options sont-elles financièrement possibles ?
(4) En utilisant l’intégralité de son budget dans cette boulangerie, le président de l’association pourrait-il acheter un même nombre de pains au chocolat et de croissants ? Si oui, quelle quantité de chaque viennoiserie pourrait-il acheter ?
21. Coche l’équation qui traduit la situation.
(1) Un chauffeur de taxi applique le tarif suivant : une prise en charge fixe de 5 € à laquelle s’ajoutent 2 € par kilomètre parcouru. Un client a payé au total 25 € pour sa course. x représente le nombre de kilomètres parcourus.
5x + 2 = 25 2x − 5 = 25 5 + 2x = 25 2x = 25 + 5
(2) Célien a acheté un sac à 10 € et trois livres. Après avoir reçu une réduction de 5 €, il a payé 50 €.
x représente le prix d’un livre.
3x − 10 + 5 = 50
(3) Le contenu d’une valise pèse 10 kg de plus que la valise. Ensemble, la valise et son contenu pèsent 18 kg.
x représente la masse de la valise.
x = 18 − 10 x + 18 = 10 x + 10 = 18 x + x + 10 = 18
22. Résous les équations en utilisant le principe d’équivalence.
23. Résous chaque équation en utilisant un graphe fléché.
(1) x 4 = 3 x 3 4 = 5 = 1 4 + x 2 = 3
(2) (2 + x) = 10 = 10
3 (x + 5) = 12 (−2x + 1) 5 = 3
24. Sans résoudre l’équation, vérifie si…
(1) le nombre 9 est solution de l’équation 2x − 8 = 10.
(2) le nombre −5 est solution de l’équation −3x = 15.
(3) le nombre 3 est solution de l’équation −12 + 5x = −3.
25. Résous chaque problème en utilisant une équation. Écris toutes les étapes de ton raisonnement.
(1) Choisis un nombre, multiplie-le par 6, ajoute 3 et enlève le double du nombre de départ. Quel est le nombre de départ si le résultat du programme vaut 51 ?
(2) Le triple d’un nombre diminué de 12 vaut −60. Quel est ce nombre ?
(3) Ensemble, les trois enfants d’une même famille ont 57 ans. L’ainé a 3 ans de plus que ses deux frères, qui sont jumeaux. Détermine l’âge des 3 enfants.
(4) Un abonnement dans un club de sport coute 50 € de frais d’inscription et 35 € par mois. Célestin a payé 260 €. Depuis combien de mois est-il abonné ?
(5) Le périmètre d’un rectangle est de 61 cm. On sait que sa longueur vaut le double de sa largeur, augmenté de 5 cm. Quelles sont les dimensions de ce rectangle ?
(6) Les bénévoles d’une association ont vendu le même nombre de cartes de soutien à 10 € et à 20 €. Après avoir reçu un don exceptionnel de 600 €, la somme totale collectée est de 1 500 €. Combien de cartes de chaque type ont été vendues ?
(7) Dans le triangle ABC, l’amplitude de l’angle vaut le double de celle de l’angle augmentée de 15°. L’amplitude de l’angle vaut le triple de celle de l’angle diminuée de 45°. Détermine l’amplitude de chacun des angles.
(8) Un élève lit la moitié d’un livre le matin, puis 8 pages l’après-midi, ce qui représente un total de 50 pages. Combien de pages compte ce livre ?
(9) Aux États-Unis, l’échelle de température utilisée est le degré Fahrenheit (°F). Pour obtenir une température exprimée en °F, on multiplie par 1,8 la température exprimée en °C, puis on ajoute 32. Si la température est de 77 °F, quelle est sa valeur équivalente en °C ?
(10) Le 1 er février, la température a été enregistrée dans quatre grandes villes d’Europe. À Madrid, il faisait 5 degrés de plus qu’à Bruxelles. À Stockholm, il faisait 7 degrés de moins qu’à Bruxelles. À Athènes, la température valait le double de celle de Bruxelles. Sachant que la moyenne des températures ce jour-là dans ces quatre grandes villes était de 7 °C, quelle température faisait-il dans chacune d’elles ?
CÔT é praT iqu E
La raison de cette suite arithmétique est 4 et son terme indépendant est 0
Chaque nombre de la suite est un nombre naturel multiple de 4 .
Suites arithmétiques
La raison de cette suite arithmétique est 4 et son terme indépendant est −3.
Chaque nombre de la suite est un multiple de 4 diminué de 3
Rang Nombre n
Expression algébrique
−3 a 2 b
Cœ cient
Partie littérale
Expressions algébriques semblables
Expressions qui possèdent la même partie littérale.
2a et −5a 4cd et 7cd 2x2 et 3x2 6a2b et −9a2b
Description d’une expression algébrique
Expression algébrique réduite du périmètre (P) du rectangle
3b
2a
Réduction d’une somme algébrique
P = 3b + 2a + 3b + 2a = 4a + 6b
Pour réduire une somme algébrique, il faut…
− repérer les termes semblables ; − additionner leurs cœ cients ; − recopier leur partie littérale.
On ne peut additionner que des termes semblables.
x + x = 2x
3x − 4y = /
3x2 + 2x = /
5x + 3 + 3y − 5 + x − y = 6x − 2 + 2y
Expression algébrique réduite de l’aire (A) de chaque rectangle 3b ab ab ab ab b a ab ab 2a 3a a2 a2 a2 a2 a2 a2 a a 2a
A = 3b 2a = 6ab A = 3a 2a = 6a2
Pour réduire un produit algébrique, il faut… multiplier les cœ cients entre eux ; multiplier les parties littérales entre elles en écrivant le produit des facteurs identiques sous la forme d’une puissance ; écrire le résultat en commençant par le nouveau cœ cient suivi des lettres munies de leur exposant dans l’ordre alphabétique.
Valeur numérique du périmètre et de l’aire du rectangle si a = 3 cm et b = 5 cm.
P = 4a + 6b = 4 ⋅ 3 + 6 ⋅ 5 = 12 + 30 = 42 cm
A = 6ab = 6 ⋅ 3 ⋅ 5 = 90 cm2 3b 2a
Pour calculer la valeur numérique d’une expression algébrique, il faut… − remplacer chaque lettre par la valeur donnée ; − e ectuer le calcul obtenu en respectant les priorités des opérations.
Il faut insérer le symbole « ⋅ » pour rendre toutes les multiplications visibles et placer les valeurs négatives entre parenthèses.
Valeur numérique de 3a − b si a = 2 et b = −3
3 2 − (−3) = 6 + 3 = 9
Utilisation du graphe fléché
1) On indique sur les flèches « aller », les opérations à e ectuer en partant de l’inconnue.
2) On indique sur les flèches « retour », les opérations réciproques à e ectuer en partant du résultat
3) On calcule pour déterminer la valeur de l’inconnue.
Résolution d’une équation
Utilisation du principe d’équivalence
1) On isole le terme qui contient l’inconnue x en supprimant le terme indépendant.
Pour cela, on ajoute (ou on retire) ce terme aux deux membres de l’égalité.
2) On isole l’inconnue x en supprimant son cœfficient.
Pour cela, on divise les deux membres de l’égalité par ce nombre.
On réduit toujours les termes semblables dans chaque membre de l’équation avant d’utiliser une méthode de résolution.
1) On remplace l’inconnue par la valeur proposée et on e ectue les calculs.
2) On compare les valeurs situées de chaque côté de l’égalité.
Si elles sont identiques, alors la solution est correcte.
Si elles ne sont pas identiques, alors la solution est incorrecte.
Le nombre 3 est-il solution de l’équation 4x 10 = 2 ?
4 3 − 10 = 2
12 − 10 = 2
2 = 2
Le nombre 3 est la solution de l’équation.
Le nombre –1 est-il solution de l’équation 2 – 5x = 3 ?
2 − 5 ( 1) = 3
Véri cation de la solution d’une équation ? ? ? ?
2 + 5 = 3
7 ≠ 3
Le nombre –1 n’est pas la solution de l’équation.
Notion
CÔT é TH éoriqu E
Définition
Expression algébrique Combinaison de nombres, de lettres et d’opérations.
Variable d’une expression algébrique
Quantité, symbolisée par une lettre, qui peut prendre n’importe quelle valeur (selon le contexte donné).
Coefficient d’une expression algébrique Nombre qui multiplie la partie littérale.
Partie littérale d’une expression algébrique
Expressions algébriques semblables
Équation
Inconnue d’une équation
Lettre minuscule (a, n, x…)
Ensemble des variables munies de leur exposant.
Expressions algébriques qui possèdent la même partie littérale.
Égalité qui contient une inconnue.
Quantité, symbolisée par une lettre, dont on cherche la valeur pour que l’égalité soit vraie.
Notation mathématique
Dans une expression algébrique, la lettre symbolise la variable ou l’inconnue.
CHAPITRE 10 P ro P ortionnalité directe
d éfi
Si on préparait des crêpes pour le gouter ?
Bonne idée ! J’ai justement une recette dans mon cours de maths pour en préparer 15.
Un peu plus tard…
Et voilà, une pâte à crêpes parfaite !
Dis-moi Karim, la recette disait 600 ml de lait, non ?
Oui, pourquoi ? Parce que la brique d’un litre est vide !
Catastrophe ! il va falloir tout jeter…
En cuisine, rien ne se perd, tout se rééquilibre ! On ne va rien jeter, on va juste préparer plus de pâte à crêpes.
Pour éviter le gaspillage et ne pas tout jeter, comment Lise et Karim vont-il adapter la recette ?
À la fin de ce chapitre, tu seras capable de structurer ta réponse.
Sauvés par les maths !
Grandeurs directement proportionnelles et liens multiplicatifs internes
1. Selon une règle classique en cuisine, le temps de cuisson d’un rôti dans un four préchauffé à 180 °C est calculé en fonction de sa masse.
(1) Calcule la durée de cuisson recommandée pour un rôti de 1,5 kg.
1,5 kg = 1 500 g
500 g ↔ 12 min
1 500 g ↔ 36 min
Rôti de bœuf − cuisson saignante
Temps de cuisson : 12 min/500 g
La durée de cuisson recommandée est de 36 min. ⋅ 3 ⋅ 3
Calcule la masse, en kg, d’un rôti de bœuf qui nécessite 48 min de cuisson.
500 g ↔ 12 min
⋅ 4 ⋅ 4
2 000 g ↔ 48 min
2 000 g = 2 kg
La masse du rôti est de 2 kg.
(2) Calcule la durée de cuisson recommandée pour un gigot d’agneau de 900 g.
500 g ↔ 15 min
100 g ↔ 3 min
900 g ↔ 27 min
Gigot d’agneau − cuisson rosée
Temps de cuisson : 15 min/500 g
La durée de cuisson recommandée est de 27 min. 9 : 5 9 : 5
(3) Complète le tableau afin d’exprimer le temps de cuisson nécessaire en fonction de la masse d’un rôti de dinde.
Rôti de dinde − cuisson à point
Temps de cuisson : 30 min/500 g
Masse du rôti (en g)
Temps de cuisson (en min)
Illustre chaque phrase par un exemple issu des données du tableau.
Si on triple la masse du rôti, alors on triple le temps de cuisson.
Un rôti de dinde de 500 g cuit 30 minutes.
S’il pèse 1 500 g (3 ⋅ 500), alors il devra cuire 90 minutes (3 ⋅ 30).
Si on divise la masse du rôti par 4, alors on divise le temps de cuisson par 4.
Un rôti de dinde de 3 000 g cuit 180 minutes.
S’il pèse 750 g (3 000 : 4), alors il devra cuire 45 min (180 : 4).
Deux grandeurs sont directement proportionnelles si, lorsqu’une valeur de la première grandeur est multipliée/divisée par un nombre, la valeur correspondante de la seconde grandeur est multipliée/divisée par le même nombre.
2. Les grandeurs x et y sont deux grandeurs directement proportionnelles.
Complète chaque tableau et indique les liens multiplicatifs internes utilisés. (1) x 3 90 y 2 (2) x 5 y 7
Grandeurs directement proportionnelles et lien multiplicatif externe
1. Emma travaille comme étudiante pour un salaire de 15 €/h. Lorsque son employeur lui remet le détail de son salaire après quatre jours de travail, elle repère une erreur.
Retrouve-la dans le tableau et explique-la.
Emma doit recevoir 15 € pour chaque heure prestée.
Pour calculer son salaire journalier, elle doit multiplier le nombre d’heures prestées par 15.
Or, 7 ⋅ 15 = 105. Emma devrait recevoir 105 € pour sa journée de travail de 7 heures, et pas 100 €.
Deux grandeurs sont directement proportionnelles si les valeurs d’une grandeur s’obtiennent en multipliant/divisant les valeurs de l’autre grandeur par le même nombre.
Ces deux grandeurs sont multiples l’une de l’autre.
2. Les grandeurs x et y sont deux grandeurs directement proportionnelles. Complète chaque tableau et indique le lien multiplicatif externe utilisé.
Je rédige mon procédé pour compléter un tableau de proportionnalité directe
Grandeurs directement proportionnelles et représentation graphique
1. (1) Une place de cinéma au HashtagCiné coute 12 €. Indique chaque grandeur et son éventuelle unité de mesure dans la première colonne du tableau. Ensuite, complète-le.
Nombre de places 10
Prix (en €) 0 24 60 84
Ces deux grandeurs sont-elles directement proportionnelles ? Justifie.
Oui, car chaque prix s’obtient en multipliant le nombre de places par le même nombre (12).
Place, dans le repère, les points issus du tableau.
de places
Décris le graphique obtenu.
Il s’agit d’un ensemble de points alignés passant par l’origine du repère.
(2) Promotion au HashtagCiné le lundi grâce à la carte de fidélité !
La séance est au prix habituel de 12 €, mais la cinquième place est offerte.
Complète le tableau.
La cinquième est offerte !
Prix (en €)
Les deux grandeurs sont-elles directement proportionnelles ? Justifie.
Non, car chaque prix ne s’obtient pas en multipliant le nombre de places par le même nombre.
Place, dans le repère, les points issus du tableau.
Décris le graphique obtenu.
Il s’agit d’un ensemble de points non alignés.
Nombre de places
(3) Un abonnement nominatif au HashtagCiné ?
C’est possible !
Pour seulement 20 €, tu as accès à un tarif préférentiel : 10 € la séance pendant 6 mois.
Complète le tableau.
Nombre de places
Prix (en €)
Les deux grandeurs sont-elles directement proportionnelles ? Justifie.
Non, car chaque prix ne s’obtient pas en multipliant le nombre de places par le même nombre.
Place, dans le repère, les points issus du tableau.
Nombre de places
Décris le graphique obtenu.
Il s’agit d’un ensemble de points alignés ne passant pas par l’origine du repère.
(4) Comment reconnaitre une situation de proportionnalité directe à partir de sa représentation graphique ?
Une situation de proportionnalité directe est représentée par un ensemble de points alignés passant par l’origine du repère.
000
2. Un tuyau d’arrosage délivrant un débit constant est utilisé pour remplir une piscine. Le graphique illustre l’évolution du volume d’eau (en l) en fonction de la durée de remplissage écoulée. 2 000
Durée de remplissage (en h)
(1) D’après ces relevés, le volume d’eau est-il directement proportionnel à la durée de remplissage ? Justifie.
Oui, car le débit est constant et le graphique est un ensemble de points alignés passant par l’origine du repère.
(2) Utilise le graphique pour compléter chaque phrase par la valeur manquante.
Après 10 heures de remplissage, la piscine contient litres d’eau.
La piscine contient 4 800 litres d’eau après heures de remplissage.
(3) Note chaque grandeur et son unité de mesure dans la première colonne du tableau. Ensuite, complète ce dernier en indiquant les coordonnées de tous les points placés dans le graphique.
Durée de remplissage (en h) 2 4 5 7 9 10 Volume d’eau (en l) 2 400 4 800 6 000 8 400 10 800 12 000 12 000 4
(4) Indique le lien multiplicatif externe à droite du tableau.
(5) Combien de temps faut-il pour remplir une piscine de 60 m³ dans les mêmes conditions ?
60 m³ = 60 000 dm³ = 60 000 l
60 000 : 1 200 = 50 heures
Il faut 50 heures pour remplir une piscine de 60 m³. 1 200
3. Une publicité présente un nouvel abonnement Internet.
(1) Note chaque grandeur et son unité de mesure dans la première colonne du tableau. Ensuite, complète ce dernier en indiquant les prix correspondant à des durées de 2 mois, 6 mois, 9 mois, 1 an et 18 mois.
Durée (en mois) 2 6 9 12 18
(2) Construis le graphique à l’aide de l’indice.
Pour construire un graphique mettant en relation deux grandeurs, il faut…
– identifier chaque grandeur et son éventuelle unité de mesure ; – choisir une échelle adaptée à chaque grandeur en tenant compte des valeurs étudiées et de leur valeur maximale ; – tracer deux axes perpendiculaires et gradués représentant respectivement chaque grandeur ; – placer les points dont les coordonnées sont les valeurs correspondantes des deux grandeurs.
Montant (en €)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Durée (en mois)
Grandeurs directement proportionnelles ou non
1. S’agit-il de situations de proportionnalité directe ? Justifie.
0 2 4 6 8 10 12 Taille (en cm) Âge (en mois)
Modèle réduit d’une voiture de Formule 1 à l’échelle 1/24
Oui, car chaque dimension du modèle réduit s’obtient en divisant la dimension correspondante de la voiture réelle par 24.
Relevés de la taille de Marjorie de sa naissance à son premier anniversaire
Non, car il s’agit d’un ensemble de points non alignés.
Agrandissement d’un dessin
Oui, car lorsque la hauteur est multipliée par un nombre, la largeur correspondante est multipliée par le même nombre.
9 2 = 18 18 2 = 36
7,5 2 = 15 15 2 = 30
Recharge d’un smartphone
(en min) 10 20 30 Charge de la batterie (en %) 15 28 40
Non, car lorsque le temps (en min) est doublé (10 2 = 20), la charge de la batterie (en %) n’est pas doublée (15 ⋅ 2 = 30 ≠ 28).
2. J’ai 20 ans aujourd’hui et ma sœur ainée a 30 ans.
(1) Quel sera l’âge de ma sœur ainée quand je fêterai mon 40 e anniversaire ?
Je fêterai mon 40 e anniversaire dans 20 ans.
Ma sœur ainée aura 50 ans (30 + 20).
(2) Les deux grandeurs (mon âge et l’âge de ma sœur) sont-elles des grandeurs directement proportionnelles ? Justifie.
Mon âge 20 40
L’âge de ma sœur 30 50
3. Le Grand Relais est une course d’endurance de 50 kilomètres, par équipe.
La distance totale doit être répartie équitablement entre tous les coureurs d’une même équipe.
(1) Complète le tableau.
Nombre de coureurs par équipe 4 2 8 10
Distance parcourue par chaque coureur (en km)
Les deux grandeurs ne sont pas proportionnelles, car lorsque mon âge est doublé (20 ⋅ 2 = 40), celui de ma sœur ne l’est pas (30 2 ≠ 50). 50 : 4 = 12,5
: 2 = 25
(2) Comment évolue la distance parcourue par chaque coureur si le nombre de coureurs par équipe augmente ?
Si le nombre de coureurs par équipe augmente, la distance parcourue par chaque coureur diminue.
Comment évolue la distance parcourue par chaque coureur si le nombre de coureurs par équipe est… divisé par 2 ? multiplié par 4 ?
La distance parcourue par chaque coureur est multipliée par 2.
La distance parcourue par chaque coureur est divisée par 4.
Tires-en une conclusion.
Si l’une des grandeurs est multipliée par un nombre, l’autre est divisée par ce même nombre et, inversement, si l’une des grandeurs est divisée par un nombre, l’autre est multipliée par ce même nombre.
On dit que ces grandeurs sont inversement proportionnelles.
e xercices de synthèse
1. Associe chaque situation de proportionnalité directe à son tableau de valeurs et à son graphique.
Situation
À partir de 15 kg d’olives, on produit, en moyenne, 3 litres d’huile.
Une voiture roule à une vitesse constante de 90 km/h.
Une longueur de 10 cm correspond à une longueur de 100 mm.
Sur une photocopieuse, on a sélectionné un taux d’agrandissement de 120 %.
Tableau de valeurs Graphique
2. Une erreur a été commise dans chaque tableau de proportionnalité directe. Entoure-la et corrige-la de deux manières différentes.
(1) x 4 7 11 15 19 y 28 49 77
x 2 4 6
3. Les deux photos de chauvesouris respectent la même échelle. En t’appuyant sur les informations fournies, détermine l’envergure réelle de la sérotine. Pour cela, complète le tableau de proportionnalité directe entre les deux grandeurs.
L’envergure réelle de la chauvesouris sérotine est de 36 cm.
4. Voici la liste des ingrédients nécessaires à la préparation d’un crumble aux pommes.
Ingrédients - 400 g de pommes épluchées - 140 g de sucre - 100 g de beurre - 150 g de farine
(1) Complète le tableau afin de déterminer la quantité de chaque ingrédient nécessaire à la préparation d’un crumble aux pommes en fonction du nombre de personnes.
Masse de pommes épluchées (en g)
Masse de sucre (en g)
Masse de beurre (en g)
Masse de farine (en g)
(2) En fonction de la quantité de beurre utilisée, détermine le nombre de personnes auxquelles chaque crumble est destiné.
(3) Mon amie utilise 700 g de pommes épluchées, 245 g de sucre, 175 g de beurre et 250 g de farine. A-t-elle adapté la recette de manière directement proportionnelle ? Justifie en complétant le tableau.
Masse de chaque ingrédient (en g)
Recette adaptée
Masse de chaque ingrédient (en g)
de base
Mon amie n’a pas adapté la recette de manière proportionnelle, car
400 : 4 ⋅ 7 = 700 et 150 : 4 ⋅ 7 = 262,5 ≠ 250.
5. Un jardinier souhaite planter 150 bulbes de tulipes dans trois parterres dont les superficies respectives sont 5 m 2 , 8 m 2 et 12 m 2
Détermine le nombre de bulbes à planter dans chaque parterre, sachant que ce nombre doit être directement proportionnel à la superficie de chacun d’eux.
Superficie totale des trois parterres : 5 + 8 + 12 = 25 m 2
Superficie du parterre (en m 2 ) 25 5 8 12
Nombre de bulbes de tulipes 150 30 48 72
Le jardinier doit planter 30 bulbes de tulipes dans le parterre de 5 m 2 , 48 dans celui de 8 m 2 et 72 dans le parterre de 12 m 2
r etour au défi
Utilise un tableau de proportionnalité directe pour calculer la quantité de chaque ingrédient que Lise et Karim vont devoir ajouter à leur préparation ainsi que le nombre de crêpes qu’ils auront pour le gouter.
Volume de lait (en ml)
600 1 000 Masse de farine (en g)
Nombre d’œufs 3
Masse de sucre (en g)
Nombre de crêpes 15
Lise et Karim doivent ajouter à leur préparation 200 g de farine (500 − 300),
2 œufs (5 − 3) et 40 g de sucre (100 − 60).
Ils auront 25 crêpes pour le gouter.
e X ercice S co MP lé M entaire S
1. Pour fabriquer 70 puces électroniques identiques, une usine utilise 105 g de silicium. Complète le tableau de proportionnalité directe pour déterminer la masse de silicium nécessaire à la fabrication de 7 puces et de 91 puces, ainsi que le nombre de puces que l’usine pourra fabriquer avec 21 g et 210 g de silicium.
Nombre de puces
Masse de silicium (en g)
2. Les grandeurs x et y sont deux grandeurs directement proportionnelles. Complète chaque tableau et indique les liens multiplicatifs internes.
3. Jusqu’à une certaine limite, l’allongement d’un ressort est directement proportionnel à la masse de l’objet suspendu. Un ressort auquel on a suspendu une masse de 5 kg s’allonge de 20 cm.
Construis un tableau de proportionnalité directe mettant en relation les deux grandeurs et utilise-le pour déterminer l’allongement d’un ressort soumis à une masse de 3,5 kg et à une autre de 6 kg, ainsi que la masse de l’objet suspendu à un ressort qui s’est allongé de 26 cm et de 6 cm.
4. Au marché, le prix des pommes est directement proportionnel à leur masse. Pour 4 kg de pommes achetées, un client paie 7 €.
Construis un tableau de proportionnalité directe mettant en relation les deux grandeurs et utilise-le pour déterminer le prix à payer pour 3 kg et pour 7 kg de pommes, ainsi que la masse de pommes qu’un client pourrait acheter avec 14 € et avec 52,50 €.
5. Les grandeurs x et y sont deux grandeurs directement proportionnelles.
Complète chaque tableau et indique le lien multiplicatif externe.
(1) x 5 12 20 y 60 12,5
(2) x 18 0,9 y 8
x
y 110
6. Les graphiques représentent-ils une situation de proportionnalité directe ? Justifie.
7. Observe les deux offres de prix proposées pour l’achat de paires de chaussettes.
Pour chaque situation…
(1) construis un tableau de valeurs mettant en relation le nombre de paires de chaussettes achetées (de 0 à 6) et le prix à payer (en €).
(2) construis le graphique mettant en relation les deux grandeurs.
(3) justifie, de deux manières différentes, que les grandeurs sont ou ne sont pas directement proportionnelles. (4)
8. Dans chaque cas, détermine si les grandeurs x et y sont directement proportionnelles. Pour cela, vérifie l’existence d’un lien multiplicatif externe entre les grandeurs.
9. Précise, dans chaque cas, si les situations sont des situations de proportionnalité directe.
(1) Le prix à payer et le nombre de croissants achetés hors promotion.
(2) Le nombre de cheveux gris et l’âge d’une personne.
(3) Le prix d’un livre et son nombre de pages.
(4) Le prix TVAC et le prix HTVA.
(5) La température et l’heure de la journée.
10. (1) Propose un titre précis pour ce tableau en utilisant les informations qu’il contient. Vitesse
(2) Cette situation est-elle une situation de proportionnalité directe ? Justifie.
11. Dans chaque tableau, corrige une valeur de la grandeur y pour illustrer une situation de proportionnalité directe. (1) x 1 2 8 (2) x
(3) x 3 5 10 (4)
12. Vrai ou faux ? Si la proposition est fausse, justifie par un exemple concret.
(1) La relation entre la masse du sucre « en vrac » et son prix est une situation de proportionnalité directe.
(2) La relation entre la masse d’un enfant et son âge est une situation de proportionnalité directe.
(3) Pour convertir des degrés Celsius en degrés Fahrenheit, on multiplie par 1,8 puis on ajoute 32. C’est une situation de proportionnalité directe.
(4) À débit constant, le volume d’eau qui s’écoule d’un robinet est directement proportionnel à son temps d’ouverture.
(5) Sur une même distance, si je double ma vitesse, je double mon temps de parcours.
13. En décembre 2025, Maud est partie en vacances à New York. À cette époque, pour 1 €, tu recevais 1,160 9 $ (dollar américain).
Sur place, elle a noté quelques-unes de ses dépenses : un burger à 13 $, un croissant à 5,90 $, une place de cinéma à 25 $, une visite du 102 e étage de l’Empire State Building à 92,50 $ et un survol de la ville en hélicoptère à 246 $.
Aide-la à se rendre compte de ses dépenses en convertissant, au cent près, le prix de chacune d’elles en euros.
14. Dans un article du Vif/L’Express de 2023, on pouvait lire qu’il y avait, en moyenne, un accident de voiture en Belgique toutes les 15 minutes.
Construis un tableau mettant en relation les deux grandeurs et utilise-le pour calculer le nombre moyen d’accidents en un jour, en une semaine, en un mois de 30 jours et en une année de 365 jours.
15. Pendant leur weekend à la mer, trois amis ont loué un vélo électrique pour un montant total de 51 €. Le premier l’a utilisé pendant 4 heures, le deuxième pendant 5 heures et le troisième pendant 8 heures. Ils décident de répartir les frais de manière directement proportionnelle à la durée d’utilisation.
Construis un tableau mettant en relation les deux grandeurs et utilise-le pour calculer le montant à payer par chacun d’eux.
16. Dans une usine, une machine peut étiqueter 1 500 boites de conserve en 30 minutes.
(1) Construis un tableau de proportionnalité directe pour déterminer le nombre de boites étiquetées en 2 h 30 et en 24 heures, ainsi que le temps (en min) nécessaire pour étiqueter 5 000 et 12 500 boites.
(2) Détermine la vitesse d’étiquetage de la machine (en boites par heure).
(3) À la suite d’une panne de courant, la machine est restée totalement à l’arrêt pendant 7 min 30. Calcule la quantité de boites qui n’ont pas pu être étiquetées durant cette interruption.
17. Pierre a acheté un ancien terrain de football, de 50 m de large sur 100 m de long, afin d’y planter des sapins.
Sachant qu’il en a planté 4 000, construis un tableau de proportionnalité directe mettant en relation les deux grandeurs (nombre de sapins et superficie du terrain) et utilise-le pour déterminer…
(1) la superficie (en m 2 ) disponible par sapin.
(2) la densité de sapins (nombre par hectare) (1 are = 100 m 2 ).
(3) la superficie (en ha) que doit avoir un terrain pour planter 36 000 sapins dans les mêmes conditions.
18. À l’approche de Noël, des milliers de sapins issus de plantations spécialisées sont coupés.
Deux bucherons sont capables d’en abattre 2 160 en six jours.
À cette cadence, combien de sapins seront abattus par cinq bucherons en 15 jours ?
Pour répondre à cette question, construis un tableau de proportionnalité directe mettant en relation les trois grandeurs : le nombre de bucherons, le nombre de sapins et le nombre de jours.
c Ô té P rati QU e
Compléter un tableau
À l’aide de liens multiplicatifs internes
Entre deux valeurs d’une même grandeur
Temps de travail (en h)
Si le temps de travail est multiplié/divisé par un nombre, le salaire est multiplié/divisé par le même nombre.
Situation de proportionnalité directe
À l’aide du lien multiplicatif externe
Entre les valeurs correspondantes de deux grandeurs
Le salaire s’obtient en multipliant/divisant le temps de travail par un même nombre et inversement.
Situation
Le salaire d’une personne (en €) est directement proportionnel à son temps de travail (en h).
Représentation graphique
Le graphique représentant une situation de proportionnalité directe est un ensemble de points alignés passant par l’origine du repère
Salaire d’une personne en fonction de son temps de travail
n otion
Grandeurs directement proportionnelles
Lien multiplicatif interne dans une situation de proportionnalité directe
Lien multiplicatif externe dans une situation de proportionnalité directe
c Ô té t H éori QU e
d éfinition
Grandeurs multiples l’une de l’autre.
Lien multiplicatif entre deux valeurs d’une même grandeur.
Lien multiplicatif entre les valeurs correspondantes de deux grandeurs.
CHAPITRE 11
I sométr I es
s ouviens-toi
1. Ces deux images devraient être parfaitement symétriques. Pourtant, dans celle de droite, le dessinateur a commis six erreurs. Repère-les en les entourant.
2. Ajoute une toupie à chaque frise en respectant le mouvement effectué par les trois premières.
3. Construis le symétrique de la figure par rapport à l’axe bleu.
4. Reproduis chaque figure en partant du point donné.
5. Relie chaque image au verbe d’action qui associe les deux oiseaux.
Retourner
Glisser
Pivoter
6. Trace, si possible, le ou les axe(s) de symétrie de chaque drapeau.
Pivoter d’un demi-tour
Des mouvements vers les isométries
1. (1) Écoute la chanson.
Repère, dans le texte, le nom de chaque isométrie et le verbe associé à son action.
Complète ensuite le tableau.
Isométrie Verbe d’action
Translation Faire glisser
Symétrie orthogonale
Rotation
Symétrie centrale
Retourner
Faire pivoter / tourner
Faire pivoter / tourner d’un demi-tour
Les 4 potes de la géo
D’abord il y a Translation, cool comme un skateur
Elle te fait glisser en ligne droite dans le sens du vecteur
Quand t’as bien bougé, t’es toujours toi-même
Même taille, même forme, pas de dilemme
C’est comme ça qu’elles t’aiment
Puis vient Symétrie orthogonale, plutôt originale
Te retourne recto-verso, le long de son axiale
[Refrain]
Ensuite Rotation, danseuse au grand cœur
Elle te fait pivoter, tourner, tout en douceur
[Refrain]
Enfin Symétrie centrale, habile à son tour
Te fait pivoter, tourner d’un demi-tour
[Refrain]
(2) Deux isométries sont associées aux mêmes verbes d’action. Ajoute une précision pour l’un d’entre eux afin de marquer la différence entre les deux isométries.
(3) Le refrain te donne des indices pour expliquer le mot « isométrie ». Lesquels ?
Bien bougé ; toujours toi-même ; même taille ; même forme
Je rédige ma définition d’une isométrie
2. Sur un ordinateur, avec un logiciel de traitement de texte, il est possible de transformer une figure, une forme, une image.
Voici les commandes les plus courantes pour appliquer une isométrie.
Format de l’image
Faire pivoter à droite de 90°
Faire pivoter à gauche de 90°
Retourner verticalement
Retourner horizontalement
Pivoter/Tourner
Copier
Coller
(1) Décris le mouvement qui applique l’image de départ sur la figure numérotée à l’aide de verbes d’action et reconnais l’isométrie associée. et
Faire glisser
Translation
Retourner
Symétrie orthogonale
Faire pivoter/tourner
Rotation
Faire pivoter/tourner
Rotation
Retourner
Symétrie orthogonale
Faire pivoter/tourner d’un demi-tour
Symétrie centrale
(2) Voici d’autres commandes qui permettent de transformer une image.
Explique pourquoi ces transformations ne sont pas des isométries.
Les mesures ne sont pas conservées.
Que peux-tu dire des images générées par ce type de commandes ?
Soit la forme est conservée : il s’agit d’un agrandissement ( ) et d’une réduction ( ).
Soit la forme n’est pas conservée : il s’agit d’un étirement ( ) et d’une compression ( ) .
3. Lis l’indice. Ensuite, nomme et code chaque triangle bleu, isométrique au triangle rose.
Convention de notation
Lorsqu’on applique une isométrie à un point A, appelé point de départ ou antécédent, on obtient un nouveau point, appelé image
Ce point se note, le plus souvent, A ′ et se lit « A prime ».
D’après tes observations, coche, dans la liste, certains invariants des isométries.
Taille Position Forme
Longueur des segments Amplitude des angles
4. Achève l’image de la figure par une isométrie. Indique une croix dans le tableau précisant le ou les invariant(s) utilisé(s), en veillant à ne cocher qu’une seule fois chacun d’entre eux.
′
ABCD est un parallélogramme.
′ M′
Les isométries conservent… la longueur des segments. le milieu d’un segment. l’amplitude des angles. l’alignement des points. le parallélisme des droites. la perpendicularité des droites.
5. Le rectangle X ′ Y ′ Z ′ T ′ est l’image du rectangle XYZT par une isométrie.
(1) Calcule le périmètre et l’aire de ces deux rectangles.
′ T′ 3 cm 2 cm
Dans le rectangle XYZT : P = 3 2 + 2 2 = 10 cm A = 2 3 = 6 cm 2
(2) Complète par les deux nouveaux invariants observés dans cet exercice.
Les isométries conservent
Dans le rectangle X ′ Y ′ Z ′ T ′ : | T ′ X ′ | = | TX | = 3 cm | X ′ Y ′ | = | XY | = 2 cm P = 3 2 + 2 2 = 10 cm A = 2 ⋅ 3 = 6 cm 2 le périmètre et l’aire des figures.
translation
1. Les trois patineuses vertes sont les images, par une translation, de la patineuse bleue.
(1) Le point A est situé à l’extrémité d’un des patins de la patineuse bleue.
Trouve, sur chacune des trois patineuses vertes, l’image de ce point A.
Nomme-les A 1 , A 2 et A 3
(2) Trace les segments [ AA 1 ] , [ AA 2 ] et [ AA 3 ]
Ajoute ensuite une flèche sur ces segments pour indiquer le sens du déplacement.
Chaque segment orienté est un vecteur de translation.
Suis l’exemple proposé et complète.
Le vecteur de la translation qui applique le point A sur le point A 1 est noté
Le vecteur de la translation qui applique le point A sur le point A 2 est noté
Le vecteur de la translation qui applique le point A sur le point A 3 est noté
2. Pour chaque translation, construis un vecteur qui applique la figure bleue sur la figure verte et nomme-le .
Je rédige mon procédé pour construire un vecteur de translation
3. Explique pourquoi les vecteurs proposés ne sont pas égaux au vecteur en complétant les phrases.
Les vecteurs et ne sont pas égaux, car
Les vecteurs et ne sont pas égaux, car
Les vecteurs et ne sont pas égaux, car
ils n’ont pas le même sens. ils n’ont pas la même longueur. ils ne sont pas parallèles.
4. Construis l’image du point A par la translation de vecteur
Je rédige mon procédé pour construire l’image du point A par la translation de vecteur XY
5. Construis l’image du trapèze XTCA par la translation de vecteur
6. Construis l’image de chaque figure par la translation de vecteur donné.
La translation dont le vecteur applique le point A sur le point B se note
7. La figure A ′ B ′ C ′ D ′ E ′ est l’image de la figure ABCDE par la translation de vecteur Achève la construction des deux figures.
8. (1) Achève le triangle équilatéral ABC.
Construis ensuite… le triangle DEF, image du triangle ABC par la translation de vecteur , et le triangle GHI, image du triangle ABC par la translation de vecteur
(2) Cite un vecteur de la translation qui applique le triangle DEF sur le triangle GHI.
(3) Quelle est la nature du polygone ADEHIC ?
Il s’agit d’un hexagone régulier.
Compare son aire à celle du triangle ABC.
L’aire de l’hexagone vaut six fois celle du triangle ABC.
9. Dans chaque cas, le parallélogramme A ′ B ′ C ′ D ′ n’est pas l’image du parallélogramme ABCD par une translation. Justifie en citant trois invariants différents qui ne sont pas respectés.
Complète ta réponse à l’aide de notations mathématiques.
La longueur des segments | A ′ B ′ | ≠ | AB | L’amplitude des angles ′A ≠ A
Le parallélisme des droites
Symétrie orthogonale
1. Cette figure est composée de huit triangles équilatéraux identiques.
Cite l’axe de symétrie qui applique…
le triangle 1 sur le triangle 2. le triangle 2 sur le triangle 5. le triangle 4 sur le triangle 3. le triangle 8 sur le triangle 4. le triangle 7 sur le triangle 8. le triangle 5 sur le triangle 7.
2. Construis l’axe de chaque symétrie orthogonale et nomme-le d.
Je rédige mon procédé pour construire l’axe d’une symétrie orthogonale
3. Les points D, E et F sont-ils les images respectives des points A, B et C par la symétrie orthogonale d’axe d ? Justifie en langage mathématique.
Par la symétrie orthogonale d’axe d…
le point D n’est pas l’image du point A, car | AX | ≠ | XD | .
le point E est l’image du point B, car | BY | = | YE | et [ BE ] ⊥ d.
le point F n’est pas l’image du point C, car [ CF ] ⊥∕ d.
4. Construis le point A ′ , image du point A par la symétrie orthogonale d’axe d.
Je rédige mon procédé pour construire l’image du point A par la symétrie orthogonale d’axe d
5. Construis…
le point X ′ , image du point X, par la symétrie orthogonale d’axe f. le point Y ′ , image du point Y, par la symétrie orthogonale d’axe g.
6. Construis…
le point A ′ , image du point A, par la symétrie orthogonale d’axe BC. le point B ′ , image du point B, par la symétrie orthogonale d’axe AC. le point C ′ , image du point C, par la symétrie orthogonale d’axe AB.
7. Construis le triangle A ′ B ′ C ′ , image du triangle ABC, par la symétrie orthogonale d’axe d.
8. Construis l’image de chaque figure par la symétrie orthogonale d’axe donné.
La symétrie orthogonale d’axe d se note S d
La symétrie orthogonale d’axe AB se note S AB
=
9. (1) Reproduis le cerf-volant ABCD en vraie grandeur.
Construis le cerf-volant A 1 B 1 C 1 D 1 , image du cerf-volant ABCD, par la symétrie orthogonale d’axe AB.
Construis le cerf-volant A 2 B 2 C 2 D 2 , image du cerf-volant ABCD, par la symétrie orthogonale d’axe CD. 3,5 cm 1,9 cm
B D C 42° (2) Détermine le périmètre du polygone formé par les trois cerfs-volants.
10. (1) Construis la figure correspondant au programme de construction.
― Construis un triangle XYZ rectangle en Y tel que | XY | = 2,4 cm et | YZ | = 3,6 cm.
― Place les points M et N respectivement au milieu des côtés [ XY ] et [ YZ ] .
(2) Construis X ′ Y ′ Z ′ , image du triangle XYZ, par la symétrie orthogonale d’axe MN.
(3) Complète les égalités et cite les invariants utilisés.
| Y ′ Z ′ | = | X ′ M | = ′′ ′ XY Z =
3,6 cm 1,2 cm 90°
La symétrie orthogonale conserve la longueur des segments, le milieu d’un segment et l’amplitude des angles.
11. Si tu sais que Z ∈ [ XY et que | YZ | = 2,5 cm, construis le point Z ′ , image du point Z, par la symétrie orthogonale d’axe d.
Aucune construction ne peut être réalisée en-dehors du cadre.
12. (1) Détermine l’heure qui sera lue dans le reflet d’un miroir placé verticalement devant celui-ci.
(2) Détermine une heure, différente de minuit, dont l’affichage reste inchangé lorsqu’on regarde le réveil dans un miroir placé verticalement devant celui-ci.
Axe(s) de symétrie
1. En tenant compte uniquement de l’architecture de chaque façade, indique le numéro de celle qui ne présente pas d’axe de symétrie. Justifie ton choix.
L’image numéro 3 ne possède pas d’axe de symétrie.
En effet, il y a par exemple deux lucarnes sur la partie droite du toit, alors qu’il n’y en a aucune sur la partie gauche.
2. Indique le nombre d’axes de symétrie que possède chacune de ces deux décorations. Construis-les. axe(s)
Château de Cheverny
Château de Fontainebleau
Palais Petrovsky de Moscou
Palais royal de Bruxelles
3. Colorie un seul carré afin que chaque pavage admette un axe de symétrie. Trace cet axe de symétrie.
4. (1) Construis, si possible, le ou les axe(s) de symétrie de chaque quadrilatère et indique leur nombre.
Précise si ces axes contiennent une ou plusieurs médianes et/ou diagonales des quadrilatères.
Parallélogramme
axe(s) axe(s) axe(s)
Les médianes Les diagonales 0 2 2 /
Cerf-volant
axe(s) axe(s)
Les médianes et les diagonales Une diagonale 4 1
(2) À quelle condition un trapèze possède-t-il un axe de symétrie ? Construis un trapèze de cette nature et son axe de symétrie.
Un trapèze possède un axe de symétrie s’il est isocèle.
(3) Qui suis-je ? Je suis un quadrilatère qui possède… un seul axe de symétrie.
Un cerf-volant ou un trapèze isocèle
quatre axes de symétrie.
Un carré
seulement deux axes de symétrie qui contiennent mes diagonales.
Un losange
5. (1) Construis, si possible, le ou les axe(s) de symétrie de chaque triangle et indique leur nombre.
Précise si ces axes correspondent à des droites remarquables des triangles.
Triangle scalène
isocèle
équilatéral
axes(s)
axes(s)
axes(s)
Les médiatrices/ bissectrices/hauteurs/ médianes 0 1 3 /
Une des médiatrices/ bissectrices/hauteurs/ médianes
(2) À quelle condition un triangle rectangle possède-t-il un axe de symétrie ?
Construis un triangle de cette nature et son axe de symétrie.
Un triangle rectangle possède un axe de symétrie s’il est isocèle.
6. Construis, si possible, le ou les axe(s) de symétrie du cercle et indique leur nombre
Le cercle possède une infinité d’axes de symétrie.
7. (1) Construis, si possible, le ou les axe(s) de symétrie des deux polygones réguliers.
(3) Établis le lien entre le nombre d’axes de symétrie d’un polygone régulier et son nombre de côtés.
Un polygone régulier possède autant d’axes de symétrie que de côtés.
8. Construis…
(1) un rectangle VENT dont la droite d est l’un de ses axes de symétrie et dont la largeur [VT] vaut la moitié de la longueur.
(2) un losange CIEL dont la droite d est l’un de ses axes de symétrie et dont la diagonale [ IL ] mesure 4 cm.
(3) un carré NUIT dont la droite d est l’un de ses axes de symétrie.
9. (1) Construis le point B, image du point A par la symétrie orthogonale d’axe d. Trace le cercle de centre A passant par le point B. Nomme X et Y les points d’intersection du cercle et de l’axe.
(2) Cite les segments ayant la même longueur que le segment [AB] et déduis-en la nature des polygones ABX, ABY et AXBY.
ABX et ABY sont deux triangles équilatéraux.
AXBY est un losange.
10. (1) Construis un triangle XYZ dont la droite d est son axe de symétrie et dont le côté [ YZ ] mesure 3,4 cm.
(2) Détermine les différentes natures possibles du triangle XYZ.
Le triangle XYZ peut être isocèle en X et acutangle ou isocèle et rectangle en X ou isocèle et obtusangle en X. Il peut également être équilatéral (acutangle) si | XY | = | XZ | = | YZ | = 3,4 cm.
11. Construis les axes de symétrie de ce carré en n’effectuant aucune construction à l’extérieur du cadre.
d
r otation
1. Le sens de rotation des ouragans ou des cyclones dépend de l’hémisphère dans lequel ils se développent.
Observe les images satellites et détermine si les nuages s’enroulent vers le centre (l’œil de la tempête) dans un sens horloger ou anti-horloger.
Ouragan Katrina (2005) Hémisphère Nord États-Unis
Sens anti-horloger
Cyclone Debbie (2017) Hémisphère Sud Australie
Sens horloger
2. Lis l’indice et indique si les objets pivotent/tournent dans le sens positif ou négatif.
Les savants de l’hémisphère Nord ont défini le sens positif d’une rotation bien avant l’apparition des horloges. Pour cela, ils se sont inspirés du mouvement apparent de la Terre : inverse des aiguilles d’une montre .
(1) Les aiguilles d’une horloge classique.
(2) Un véhicule qui suit le sens giratoire dans un rond-point en Belgique.
(3) Le couvercle d’un bocal qu’on ouvre.
(4) Le fouet d’un batteur électrique.
3. Lors d’un travail manuel avec une vis classique, une planche et un tournevis, un élève tourne le tournevis dans le sens des aiguilles d’une montre.
(1) Quel est le sens de rotation ?
Négatif
(2) Quelle est la conséquence du mouvement ?
La vis entre dans la planche.
4. Observe l’exemple du mouvement d’un engrenage et détermine dans quel sens pivotent les pièces A et B.
Sens de la pièce A :
Sens de la pièce B :
positif (anti-horloger) négatif (horloger)
5. Les radars satellites qui capturent les images météo, comme celle de l’ouragan Katrina, peuvent avoir une orbite pratiquement circulaire autour de la Terre.
Observe le schéma représentant un satellite en orbite autour de la Terre et réponds aux questions.
(1) Décris la trajectoire du satellite.
Le satellite pivote/tourne autour de la Terre dans le sens positif (anti-horloger) en restant toujours à la même distance du centre de celle-ci. 80°
(2) Indique le sens et l’amplitude de la rotation qui applique le point S sur le point S ′ .
(3) Complète le tableau.
Type d’isométrie
Centre
Sens
Amplitude
Rotation
Le point T Positif (anti-horloger)
80°
(4) Calcule l’amplitude de la rotation du satellite s’il avait pivoté dans l’autre sens.
360° − 80° = 280°
6. Détermine les éléments caractéristiques de chaque rotation (centre, sens et amplitude). Envisage les deux sens possibles et écris tes réponses en utilisant la notation proposée dans l’indice.
La rotation de centre C, de sens anti-horloger et de 80° se note : r C ; +80°
Je rédige mon procédé pour déterminer le sens et l’amplitude d’une rotation
7. Une sonde spatiale, en rotation libre, effectue plusieurs mouvements dans l’espace. Dans chaque cas, place le centre A de la rotation qui applique la sonde noire sur la sonde grise et détermine son amplitude dans le sens positif.
8. Repère et colorie le centre de la rotation qui applique la sonde noire sur la sonde grise.
9. Construis l’image du point A par la rotation indiquée.
r C ; +90°
r B ; 90°
Je rédige mon procédé pour construire l’image du point A par une rotation de centre C et de +90°
10. Construis l’image du polygone par la rotation indiquée.
r C ; +90° r E ; 90°
r C ; 90°
B ; +90°
s ymétrie
1. La rosace est composée de six losanges identiques.
(1) Si tu sais que le centre de rotation est situé au centre de la figure, détermine la couleur du losange obtenue après avoir pivoté…
le losange rouge de +60°.
le losange bleu de -300°.
le losange jaune de +120°.
(2) Est-il possible de déterminer la couleur du losange obtenu après avoir pivoté le losange vert de 180°, sans connaitre le sens de la rotation ? Explique ta réponse.
Oui, car pivoter de +180° ou de 180° donne le même résultat.
La couleur du losange obtenu sera rouge.
La rotation particulière d’un demi-tour (+ ou 180°) porte le nom de symétrie centrale .
2. Justifie, à l’aide de notations mathématiques, que le point O n’est pas le centre de la symétrie centrale qui applique le point A sur le point A ′
3. (1) Construis le centre de la symétrie centrale qui applique le point A sur le point A ′ et nomme-le O.
′ (2) Sans mesurer, construis le centre de chaque symétrie centrale et nomme-le C.
Je rédige mon procédé pour construire le centre d’une symétrie centrale
4. Construis le point A ′ , image du point A, par la symétrie centrale de centre C.
Je rédige mon procédé pour construire l’image du point A par la symétrie centrale de centre C
5. Construis l’image de chaque figure par la symétrie centrale de centre donné.
La symétrie centrale de centre A se note S A .
6. Le cerf-volant VOLA possède un angle droit en A.
(1) Construis son image par la symétrie centrale de centre C et code-la.
(2) Détermine la nature du…
quadrilatère OLO ′ V.
triangle VA ′ L.
quadrilatère VA ′ LA.
Un losange
Un triangle isocèle rectangle en A ′
Un carré
7. (1) Construis la figure correspondant au programme de construction.
Construis un triangle ABC tel que | AC | = 3 cm, | AB | = 2,5 cm et BAC = 70°.
Place le point M au milieu du segment [ BC ]
Construis le triangle A ′ B ′ C ′ , image du triangle ABC par la symétrie centrale de centre M.
(2) Donne la nature du triangle ABC.
Un triangle scalène acutangle
Donne la nature du quadrilatère ABA ′ C et justifie par une propriété.
Le quadrilatère ABA ′ C est un parallélogramme, car ses diagonales se coupent en leur milieu.
(3) Sans refaire la construction, donne la nature du quadrilatère ABA ′ C obtenu si le triangle ABC initial avait été…
rectangle en A et scalène.
rectangle et isocèle en A.
obtusangle et isocèle en A.
Un rectangle
Un carré
Un losange
Centre de symétrie
1. Lis les différents mots écrits avec une calligraphie particulière avant et après avoir pivoté ta feuille de 180°.
Que constates-tu ?
On lit exactement les mêmes mots avant et après avoir pivoté la feuille de 180°.
2. (1) Coche la case lorsque le polygone se superpose parfaitement à lui-même après avoir pivoté de 180°.
(2) Sans mesurer, construis le centre de symétrie de chaque polygone coché et nomme-le C.
(3) Si le polygone possède un centre de symétrie, décris précisément sa position.
S’il existe, le centre de symétrie d’un polygone se trouve à l’intersection de ses diagonales.
3. Qui suis-je ?
Je suis un quadrilatère qui possède…
un centre de symétrie mais aucun axe de symétrie.
Un parallélogramme
un seul axe de symétrie, mais aucun centre de symétrie.
Un cerf-volant ou un trapèze isocèle
un centre de symétrie et plus de deux axes de symétrie.
Un carré
4. Construis…
(1) un rectangle LUNE dont le point C est le centre de symétrie et dont un des angles formés par les diagonales mesure 110°.
(2) un quadrilatère NOVA dont le point M est le centre de symétrie et qui ne possède pas d’axe de symétrie.
(3) un losange AUBE dont le point O est le centre de symétrie et dont la droite UO un des axes de symétrie.
exercices de synthèse sur les quatre isométries
1. Complète le procédé et construis l’image de chaque figure par l’isométrie donnée.
Je rédige mon procédé pour construire l’image d’une figure par une isométrie
H ; +90°
2. La figure est composée de seize triangles isocèles isométriques.
(1) Colorie en bleu l’image du triangle ABO par la symétrie d’axe CJ.
(2) Colorie en vert l’image du triangle BCO par la symétrie de centre O.
(3) Colorie en jaune l’image du triangle FXG par la translation qui applique le point X sur le point O.
(4) Colorie en rouge l’image du triangle CXJ par la rotation de centre X et de +90°.
(5) Identifie les isométries qui peuvent appliquer le triangle rouge sur le triangle bleu.
Une symétrie centrale de centre X (S X ).
Une symétrie orthogonale d’axe OX (S OX ).
(6) Détermine l’amplitude de la rotation de centre O et de sens négatif qui applique le triangle vert sur le triangle jaune.
360° : 8 = 45°
5 45° = 225°
L’amplitude de la rotation de centre O et de sens négatif vaut 225°.
e X er CIC es C om PL éme N tAI res
1. Identifie le verbe d’action et l’isométrie qui applique la figure 1 sur chacune des autres figures.
➁ ➂ ➃ ➄
2. ABCD est un losange dont le périmètre vaut 40 cm et dont les diagonales [ BD ] et [ AC ] mesurent respectivement 12 cm et 16 cm et se coupent en un point nommé E. A ′ B ′ C ′ D ′ et le point E ′ sont leur image respective par une isométrie.
(1) Identifie le verbe d’action et l’isométrie.
(2) Justifie que = ′′ ′ ABCA BC
(3) Détermine la longueur des segments [A′B′] et [D′E′] ainsi que l’amplitude de l’angle ′′ ′ CE D .
Justifie chaque étape de ton raisonnement.
3. Construis…
(1) le point D, image du point B par
(2) le point E, image du point A par .
(3) le point F, image du point C par
4. Construis l’image du polygone par la translation demandée.
5. Complète le tableau en notant l’image de chaque point par la symétrie orthogonale dont l’axe est précisé.
Point J Q P J
Axe c a c d
Image
Point H P M K
Axe a b c a
Image
6. Construis…
(1) le point X ′ , image du point X par S YZ
(2) le point Y ′ , image du point Y, par S XZ
(3) le point Z ′ , image du point Z par S XY .
7. Construis l’image du polygone par la symétrie orthogonale demandée.
S DE S b
8. Le segment [ C ′ D ′ ] est l’image du segment [ CD ] par une symétrie orthogonale.
Sans construire l’élément caractéristique de cette isométrie, achève la construction du trapèze
A ′ B ′ C ′ D ′
9. (1) Sur une feuille, construis la figure correspondant au programme de construction.
Construis un losange ABCD de 4,5 cm de côté, tel que | BD | = 4 cm.
Nomme O le point d’intersection de ses diagonales.
Construis la droite b, bissectrice de l’angle AOB
Construis le losange A ′ B ′ C ′ D ′ , image du losange ABCD par la symétrie orthogonale d’axe b.
(2) Détermine la nature du quadrilatère AA ′ CC ′ . Justifie.
10. Construis, si possible, le ou les axe(s) de symétrie de chaque panneau routier et indique leur nombre.
11. Sur une feuille, trace une droite d et place un point A n’appartenant pas à cette droite. Ensuite, construis un triangle ABC possédant trois axes de symétrie dont l’un d’entre eux est la droite d.
12. Une grande roue, dotée de seize nacelles toutes fixées à une même distance l’une de l’autre, peut tourner dans les deux sens. Le point d’attache de chaque nacelle sur la roue est représenté par un point noir.
(1) À partir du point d’attache de la nacelle rouge, détermine, sans mesurer, l’amplitude et le sens des deux rotations permettant d’atteindre chacun des points d’attache des nacelles verte, bleue et jaune.
(2) À partir du point d’attache de la nacelle jaune, détermine, sans mesurer, l’amplitude et le sens des deux rotations permettant d’atteindre respectivement le point d’attache des nacelles verte et grise.
13. Une rotation a été appliquée au triangle bleu pour obtenir le triangle orange. Dans chaque cas, place le centre de la rotation et nomme-le O. Ensuite, mesure l’amplitude de cette rotation dans le sens négatif.
14. Construis l’image du polygone par la rotation demandée.
r C ; +90° r J ; 90°
15. Construis l’image du polygone par la symétrie demandée.
16. Construis, si possible, le centre de symétrie de chaque figure.
17. Sur une feuille, place trois points non alignés A, B et C. Place ensuite un point D afin que le quadrilatère ABCD admette un centre de symétrie et aucun axe.
18. Dans chaque cas, le point A ′ est-il l’image du point A par la transformation donnée ? Justifie.
19. Dans chaque cas, construis le ou les élément(s) caractéristique(s) de l’isométrie qui applique(nt) la fusée sur la fusée .
20. Construis l’image par l’isométrie demandée.
21. Les propositions sont-elles vraies ou fausses ? Corrige celles qui sont fausses.
(1) Un parallélogramme possède un centre de symétrie.
(2) Un cerf-volant possède deux axes de symétrie.
(3) Les diagonales d’un rectangle sont des axes de symétrie.
(4) Le centre de symétrie d’un losange se situe à l’intersection de ses médianes.
22. Les propositions ci-dessous sont fausses. Prouve-le à l’aide d’un contrexemple.
(1) Tout polygone régulier possède un centre de symétrie.
(2) Tout quadrilatère qui possède un centre de symétrie a également au moins un axe de symétrie.
(3) Tout quadrilatère possède, au plus, deux axes de symétrie.
23. Construis un losange ABCD dont | AB | = 4 cm et DAB = 50°.
Construis le losange…
(1) A 1 B 1 C 1 D 1 , image du losange ABCD par tCB
(2) A 2 B 2 C 2 D 2 , image du losange ABCD par S CD
(3) A 3 B 3 C 3 D 3 , image du losange ABCD par S A .
(4) A 4 B 4 C 4 D 4 , image du losange ABCD par r C ; −90°
24. Le pavage représenté est composé de triangles équilatéraux.
Complète les égalités si tu sais que l’élément qui subit l’isométrie est écrit entre parenthèses.
S J (A) = S AS (C) = tMP ([ HI ]) =
S HL (F) = tBK ([ HI ]) = S J (ADE) =
tJF (P) = r O,+60° ([ JK ]) = S IJ (CGF) =
r J,−60° (A) =
Translation Glisser
CÔ té P r At IQU e
Symétrie orthogonale
Retourner
Iso métrie même mesure
Rotation Pivoter/tourner
Invariants
Longueur des segments
Milieu d’un segment
Amplitudes des angles
Alignement des points
Parallélisme des droites
Perpendicularité des droites
Périmètre des gures
Aire des gures
= 16 cm
Symétrie centrale
Pivoter/tourner d’un demi-tour
Triangles possédant un ou des axes de symétrie
Triangle isocèle
1 axe
Triangle équilatéral
Axe(s) de symétrie d’une gure
3 axes
Quadrilatères possédant un ou des axes de symétrie
Trapèze isocèle 1 axe
Rectangle
Losange
Autres gures simples possédant un ou des axes de symétrie
Pentagone régulier
Hexagone régulier
5 axes
6 axes
2 axes
2 axes
Carré
4 axes
Cerf-volant 1 axe
Astuce
Plie la gure en deux selon une droite.
Si les deux moitiés de la gure se superposent, alors la droite contenant le pli est un axe de symétrie de cette gure.
In nité d’axes
Cercle
Recherche des éléments caractéristiques connaissant son centre Amplitude et sens d'une rotation
Relie le centre au point et à son image.
Mesure l’amplitude du plus petit des deux angles formés.
Calcule l’amplitude du deuxième angle en retirant l’amplitude du premier de 360°.
Détermine le sens de la rotation.
– Si le point se déplace dans le sens anti-horloger, le sens de la rotation est positif
– Si le point se déplace dans le sens horloger, le sens de la rotation est négatif
Rotation
Rotation
Construction de l’image d’une gure par une rotation de +90° ou de –90°
Construis l’image de chaque sommet de la gure en répétant ces étapes.
1. Relie le sommet au centre de la rotation et mesure la distance entre les deux points.
2. Construis un angle droit dans le sens de la rotation.
3. Reporte la distance sur le deuxième côté de cet angle droit.
4. Nomme le point trouvé en ajoutant « prime » au nom du point de départ.
Relie les images de chaque sommet dans le même ordre que celui de la gure initiale.
Construction de l’élément caractéristique Centre d’une symétrie centrale
Relie un point et son image. Place le centre au milieu du segment tracé.
Relie deux points à leur image respective.
Place le centre à l’intersection des deux segments tracés.
Symétrie
centrale
centrale
Symétrie
Si un point et son image sont confondus, alors ce point est le centre.
Construction de l’image d’une gure par une symétrie centrale
Construis l’image de chaque sommet de la gure en répétant ces étapes.
1. Trace la droite passant par le sommet et le centre.
2. Mesure la distance entre le sommet et le centre.
3. Reporte, sur la droite, la même distance de l’autre côté du centre.
4. Nomme le point trouvé en ajoutant « prime » au nom du point de départ.
Relie les images de chaque sommet dans le même ordre que celui de la gure initiale.
La symétrie centrale est une rotation particulière de 180°
Figures simples possédant un centre de symétrie
Parallélogramme
Rectangle Losange
Polygones réguliers avec un nombre pair de côtés Cercle
OXO
Centre de symétrie d’une gure
Astuce
Fais pivoter la gure d’un demi-tour.
Si la gure de départ se superpose parfaitement à son image, alors elle possède un centre de symétrie.
Notion
Isométrie
Invariant d’une isométrie
Image d’un point
CÔ té t H éor IQU e
Définition
Transformation géométrique qui conserve les mesures de la figure.
Propriété d’une figure qui est conservée lorsqu’on applique une isométrie.
Point obtenu après avoir appliqué une transformation géométrique à un point initial.
Translation Isométrie qui fait glisser la figure.
Vecteur d’une translation
Segment orienté (fléché) qui représente le glissement de la figure.
Symétrie orthogonale Isométrie qui retourne la figure.
Axe d’une symétrie orthogonale
Axe de symétrie d’une figure
Droite autour de laquelle la figure se retourne.
Axe de la symétrie orthogonale qui applique la figure sur elle-même.
Rotation Isométrie qui fait pivoter/tourner la figure.
Centre d’une rotation Point autour duquel la figure pivote/tourne.
Symétrie centrale
Centre d’une symétrie centrale
Centre de symétrie d’une figure
Isométrie qui fait pivoter/tourner la figure d’un demi-tour (d’une amplitude de 180°).
Point autour duquel la figure pivote/tourne d’un demi-tour (d’une amplitude de 180°).
Centre de la symétrie centrale qui applique la figure sur elle-même.
Notation mathématique
Vecteur d’origine A et d’extrémité B
Translation de vecteur
S a Symétrie orthogonale d’axe a
S AB Symétrie orthogonale d’axe AB
r A ; −30° Rotation de centre A, dans le sens horloger, d’une amplitude de 30°
r A ; +30° Rotation de centre A, dans le sens anti-horloger, d’une amplitude de 30°
S A Symétrie centrale de centre A
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Auteurs
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