C´alculointegralenunavariablepara
ingenier´ıa: t´ecnicasyejemplosresueltos
C´alculointegralenunavariablepara
ingenier´ıa: t´ecnicasyejemplosresueltos
JuanPaz
FernandoRam´ırez
EdgarLema
Edita
EditorialUniversidadT´ecnicadelNorte Av.17deJulio,5-21 CampusLosOlivos
Ibarra-Imbabura-Rep´ublicadelEcuador www.utn.edu.ec editorial@utn.edu.ec
Autores
JuanCarlosPaz,MgS UniversidadT´ecnicadelNorte,Ecuador https://orcid.org/0000-0002-2982-4527 jcpaz@utn.edu.ec
FernandoRam´ırezParedes,PhD UniversidadT´ecnicadelNorte,Ecuador https://orcid.org/0000-0002-2156-7263 frramirez@utn.edu.ec
EdgarVinicioLema,MgS UniversidadT´ecnicadelNorte,Ecuador https://orcid.org/0000-0002-1387-8555 evlema@utn.edu.ec
Paresrevisoresacad´emicosexternos
RosalioReyesGuillermo,PhD. rreyes@ifuap.buap.mx /Benem´erita UniversidadAut´onomadePuebla LuisE.Garza,PhD. luis garza1@ucol.mx /Universidadde Colima
Revisi´ondeestilo SilviaArciniegaHidrobo,M.Sc. srarciniega@utn.edu.ec /Universidad T´ecnicadelNorte
Direcci´ondearteydiagramaci´on JuanCarlosPaz,MgS. jcpaz@utn.edu.ec UniversidadT´ecnicadelNorte,Ecuador
Cr´editos
ISBN::978-9942-572-60-8 URL:https://issuu.com/utnuniversity DOI:10.53358/libfica/HZKO8009 ROR:https://ror.org/03f0t8b71
Prohibidalareproducci´ontotaloparcial deestaobrasinlapreviaautorizaci´on escritadelaEditorialUniversidadT´ecnica delNorte.
´ Indicegeneral
1.1.Definici´on,notaci´onypropiedaddelinealidaddelaintegralindefinida
1.1.1.Propiedaddelinealidaddelaintegralindefinida
1.2.M´etodosb´asicosdeintegraci´onindefinida
1.2.1.Integraci´ondirecta
2.M´etodosavanzadosparalaintegralindefinida
2.1.Integraci´onporpartes
2.1.1.Derivaci´ondelaf´ormuladeintegraci´onporpartes
2.1.2.ReglaILATE
2.1.3.Observacionesdelm´etododeintegraci´onporpartes
2.3.Integralesporsustituci´ontrigonom´etrica
2.4.Integralesporfraccionesparciales
2.4.1.Factoreslinealessimples
2.4.2.Factoreslinealesrepetidos
2.4.3.Factorescuadr´aticosirreduciblesyfactorescuadr´aticosirreducibles
2.5.Integralesporsustituci´ondeEuler
2.5.1.Caso1:
2.5.2.Caso2: c>
2.5.3.Caso3: ax2 + bx + c =0 condossolucionesrealesdistintas(
2.6.Integralesporelm´etodoAlem´an
2.6.1.Metodolog´ıa
2.7.Integralesporelm´etododeHermiteOstrogradsky
2.7.1.Metodolog´ıa ...............................
2.8.Integralesporelm´etododeChebyshev
2.8.1.Metodolog´ıa 77
3.Laintegraldefinida
3.1.Introducci´onalaintegraldefinida
3.1.1. ´ Areabajounacurva ...........................
3.1.2.Laintegraldefinidacomol´ımitedeunasumadeRiemann .......
3.1.3.PropiedadesfundamentalesdelassumasdeRiemann
3.1.4.Interpretaci´ongeom´etricayf´ısicadelaintegraldefinida
3.2.Definici´onformaldelaintegraldefinida
3.2.1.Particionesdeunintervaloynormativaderefinamiento
3.2.2.Sumasinferioresysuperiores ......................
3.2.3.Definici´ondelaintegraldeRiemann
3.3.Propiedadesdelaintegraldefinida
3.3.1.Aditividadenintervalos
3.3.2.Linealidad
3.3.3.Monoton´ıa
3.3.4.Desigualdaddelvalorabsoluto
3.3.5.Integraldeunafunci´onenunintervalosinlongitud
3.3.6.Sentidoderecorridoenlaintegraci´on
3.3.7.Acotaci´ondelaintegral
3.3.8.Dependenciacontinuadelafunci´on
3.4.TeoremaFundamentaldelC´alculo
3.4.1.PrimerTeoremaFundamentaldelC´alculo
3.4.2.SegundoTeoremaFundamentaldelC´alculo
3.5.1.Integralesimpropiasconl´ımitesinfinitos
3.5.2.Integralesimpropiasconl´ımitesfinitos
4.Aplicacionesdelaintegraldefinidaeningenier´ıa
4.1. ´ Areaentrecurvas
4.2.C´alculodevol´umenes
4.3.Centrogeom´etricodeun ´ areaplana
4.4.CentrodeMasa
4.5.Longituddearco
4.6.Momentosest´aticosymomentosdeinercia
EL c ´ alculointegralesconsideradounadelasramasm´asrelevantesdelasmatem´aticas yescapazdeunificar,deunamaneramuyelegante,lateor´ıaconlarealidadtangible decadaunadelasingenier´ıas.Desdelospuentesqueconectanalasdiferentes ciudadesalrededordelmundohastaloscircuitosdentrodelosmicrochipsencada unodelosdispositivosm´ovilesqueconectanalaspersonaseneld´ıaad´ıa,lasintegralesson lasencargadasdecuantificar,optimizarydarsentidoalosinnumerablesfen´omenosf´ısicosque rigenelfuncionamientodelcomplejomundomoderno.
Elpresentelibro, C´alculointegralenunavariableparaingenier´ıa:t´ecnicasyejemplos resueltos,naceapartirdelconocimientoadquiridoalolargodeinnumerableshorasdedocencia universitaria,discusionesacad´emicascondiferentescolegasdocentesyconversacionescon estudiantesquenecesitabanenlazar,dealgunamanera,lateor´ıaylapr´actica.Concadap´agina dellibrobuscamosacompanaralosestudiantesdeingenier´ıa,yallectorengeneral,aadquirir conocimientosquevandesdeladefinici´onm´asb´asicadeintegralindefinidahastalasdiferentes aplicacionesdelasintegralesdefinidascomo; ´ areaentrecurvas,elc´alculodemomentosde inerciayotrosdesaf´ıosquetodoingenieroenfrentatardeotemprano.
Enel Cap´ıtulo1 sepresentalaintegralindefinidaylaimportanciadelaconstantede integraci´on,tambi´enseanalizanlosm´etodosb´asicosdeintegraci´on,losmismosqueser´an losencargadosdecimentartodalateor´ıapresenteenlosdem´ascap´ıtulos.Enel Cap´ıtulo2 sedesarrollaadetallelos m ´ etodosavanzados m ´ asrelevantescomo;integraci´onporpartes, integralestrigonom´etricas,fraccionesparciales,sustitucionestrigonom´etricas,sustitucionesde Euler,m´etodoAlem´an,m´etodoOstrogradskyym´etodoChebyshev,pararesolverintegrales indefinidas.As´ı,ellectordispondr´adeunarsenalrobustoalahoraderesolverintegrales desafiantes.Los Cap´ıtulos3y4,est´andedicadosala IntegralDefinida ysus Aplicacionesen Ingenier´ıa,reflejanparteimportantedeesteproyecto:mostrarc´omolasintegralescobranvida aplic´andolasalc´alculode ´ areasentrecurvas,vol´umenesdes´olidosderevoluci´on,longitudes dearcoy,enespecial,aproblemasdeingenier´ıa.
Seesperaqueellibroseadegranayudaparalosestudiantesdelasdiferentesingenier´ıas. Queinspireahacerpreguntasyaprobarnuevasmetodolog´ıas.Sialg´unejemploogr´afico despiertalacuriosidaddellectoryleinvitaaseguirinvestigandoporsucuenta,sabremosque cumplimosnuestrameta.
Listades´ımbolos
S´ımboloNombre
f (x) dx
b a f (x) dx
dx,du
f ′(x), d dx
[a,b], (a,b), [a,b), (a,b]
P = {x0,...,xn}
∆xi = xi xi 1
Integralindefinida
Integraldefinida
Diferenciales
Derivada(prima/operador)
Intervalos
Partici´onde [a,b]
Anchodesubintervalo
ci Puntodemuestra
S(P )= n i=1
f (ci)∆xi
∥P ∥ =m´ax(xi xi 1)
l´ım
∥P ∥→0 S(P )
n
i=1
L(P,f )= mi ∆xi
U (P,f )= Mi ∆xi
m´ın, m´ax
|·|
≤, ≥
→, ⇒
R, Q, Z
∈, ∀, ∃
gcd(P,Q)
sin x, cos x,ex
deg P
C,α,β
SumadeRiemann
Normade P
L´ımitealrefinar
Sumatoria
Sumainferior
Sumasuperior
m ´ ınimo,m´aximo
Valorabsoluto
Desigualdades
Flechadel´ımite,implica
Reales,racionales,enteros
Pertenece,paratodo,existe
M´aximocom´undivisor
Funcioneselementales
Gradodeunpolinomio
Constantesreales
Conocimientosprevios
Estetextoasumequeellectorest´afamiliarizadoconlossiguientesconceptosb´asicosde C´alculoy ´ Algebra.Nosedesarrollanendetalle,peroseempleandemanerasistem´aticaa lolargodellibro.
Funcionesynotaci´on
Conjuntosnum´ericos: N, Z, Q, R y C.
Funcionesreales f : R → R;dominio,rangoeimagen.
L´ımites,continuidadycrecimiento
L´ımite l´ımx→a f (x),l´ımiteslaterales,indeterminacionescomunes.
Continuidadenunpuntoeintervalos;teoremasb´asicosdel´ımites.
Crecimiento/decrecimientoeinterpretaci´ongr´aficaelemental.
Derivadas
Definici´ondederivada f ′(x) comol´ımite.
Reglasoperativas:linealidad,producto,cocienteycadena.
Derivadasdefuncioneselementales:polinomios,exponenciales ex,logar´ıtmica ln x, trigonom´etricas sin x, cos x, tan x ehiperb´olicas.
´ Algebra,identidadesytransformaciones
Factorizaci´onymanipulaci´ondefraccionesalgebraicas.
Identidadestrigonom´etricasytransformacionessuma–producto/producto–suma.
Propiedadesde ex y ln x;cambiodebaseylogaritmos.
Cap´ıtulo1
Laintegralindefinida
1.1. Definici´on,notaci´onypropiedaddelinealidaddela integralindefinida
Laintegralindefinidadecualquierfunci´onest´adadaporelconjuntocompletodetodassus antiderivadasoprimitivas.Paraqueestaafirmaci´onseaentendida,esnecesarioestableceren qu ´ econsisteelconceptodeantiderivadaoprimitivadeunafunci´on.
Definici´on1.1.1 (Antiderivada). Sea I ⊆ R unintervaloy f : I → R unafunci ´ on.Sediceque F : I → R esantiderivadade f en I si F esderivableen I y F ′(x)= f (x) paratodo x ∈ I.
Laintegralindefinidade f eslafamilia: f (x) dx = { F (x)+ C : C ∈ R }, donde C eslaconstantedeintegraci´on.
Notaci´on. Laexpresi´on f (x) dx indicarespectodequ´evariableseintegra;eldiferencial dx debetransformarsecoherentementeantefuturoscambiosdevariable(porejemplo,si u = g(x), entonces du = g′(x) dx).
Constantedeintegraci´on. Dadoque C puedetomarinfinitosvalores,lafamilia F (x)+ C describetodaslasantiderivadasde f ,diferenci´andoseentres´ıporundesplazamientovertical. Estoocurreporqueladerivadadeunaconstantees 0;enparticular,si F y G sonantiderivadas de f enunintervalo I,entonces G(x)= F (x)+ C paraalgunaconstante C
1.1.1. Propiedaddelinealidaddelaintegralindefinida
Sean f,g integrablesenunintervalo I y k1,k2 ∈ R.Secumplelapropiedaddelinealidad:
Casosb´asicos
1. Suma/resta:
2. M´ultiploconstante:
Considerelafunci´onaintegrar k(x)=4x3 2x +7.Aplicandolapropiedaddelinealidad delaintegralindefinida,seobtiene: (4x 3 2x +7) dx =4 x 3 dx 2 xdx +7 dx.
Cadat´erminosepuedeintegrarporseparado,loquefacilitaelc´alculodelaintegralcompleta.
1.2. M´etodosb´asicosdeintegraci´onindefinida
Laintegraci´onindefinidaeselprocesodehallarlaprimitiva(antiderivada) F (x) deuna funci´on f (x).Pararesolverintegralesindefinidasseutilizanm´etodossencillosquefacilitan elc´alculo.Enestasecci´on,seconsiderar´anlosm´etodosm´asb´asicos,comenzandoporla integraci´ondirecta,cuyointegrandotieneunaformaenlaqueelc´alculopuedebasarseen reglasespec´ıficas.
1.2.1.
Integraci´ondirecta
Cuandoelintegrandotieneformaelemental,suantiderivadaseidentificamediantereglas b´asicas.
TipoIntegralResultadoycondiciones
Potencias xn dx xn+1 n +1 + C,n = 1
Cambiolineal (ax + b)n dx (ax + b)n+1 a(n +1) + C,a =0,n = 1
Constantes cdxcx + C
Exponenciales
kx+m dx
Logar´ıtmica
+b + C,a =0
kx+m
ln a + C,a> 0,a =1,k =0
ln |ax + b| + C,a =0
Trigonom´etricas sin(ax + b) dx 1 a cos(ax + b)+ C,a =0 cos(ax + b) dx 1 a sin(ax + b)+ C,a =0 sec 2(ax + b) dx 1 a tan(ax + b)+ C,a =0 csc 2(ax + b) dx 1 a cot(ax + b)+ C,a =0 sec(ax + b)tan(ax + b) dx
sec(ax + b)+ C,a =0 csc(ax + b)cot(ax + b) dx
Hiperb´olicas sinh(ax + b) dx
a csc(ax + b)+ C,a =0
a cosh(ax + b)+ C,a =0 cosh(ax + b) dx 1 a sinh(ax + b)+ C,a =0
Tabla1.1:Reglasb´asicasdeintegraci´on
Ejemplopr´actico1:Resolverlaintegral
Paso1:Usarlareglalogar´ıtmica.
Ejemploadicional1:Resolverlaintegral
Paso1:Aplicarlapropiedaddelinealidad.
Paso2:Integrarcadat´erminoporseparado.
Paso3:Combinarlosresultados.
Resultadofinal:
1.2.2. Sustituci´onsimple
Lasustituci´onsimple,tambi´enllamadam´etododecambiodevariable,permiteresolver integralescomplejassimplificandoelintegrando.Engeneral,estem´etododebeaplicarseen casodequeelintegrandocontengaunafunci´oncompuestaoseaunproductodefuncionescon suderivada,parallevaracaboelcambiodevariablesedebentomarencuentalossiguientes pasos:
1. Identificarlasustituci´on:Sea u = g(x),debemosverificarqueladerivada g′(x),est´e presenteenelintegrandooquelasustituci´onelegidasimplifiqueelc´alculo.
2. Derivar u:Calcular du = g′(x) dx.
3. Reescribirelintegrando:Sustituir g(x) por u y dx por du
4. Integrarent´erminosde u:Resolverlaintegraltransformada.
5. Volveralavariableoriginal:Reemplazar u por g(x)
Ejemplopr´actico1:Resolverlaintegral
Paso1:Elegirlasustituci´on. Seleccionar u = x2 yhallarsudiferencial: du =2xdx o du 2 = xdx.
Paso2:Reescribirelintegrando. Sustituir x2 por u y xdx por du 2 :
Paso3:Resolverlaintegralent´erminosde u.
Paso4:Volveralavariableoriginal. Reemplazar u por x2:
Resultadofinal:
Ejemploadicional1:Resolverlaintegral sin(x)cos(x) dx.
Paso1:Elegirlasustituci´on. Seleccionar u =sin(x),demodoque du =cos(x) dx.
Paso2:Reescribirelintegrando. Sustituir sin(x) por u y cos(x) dx por du: sin(x)cos(x) dx = udu.
Paso3:Resolverlaintegralent´erminosde u. Integrar:
Paso4:Volveralavariableoriginal. Reemplazar u por sin(x):
Resultadofinal: sin(x)cos(x) dx = sin2(x) 2 + C.
Ejemploadicional2:Resolverlaintegral sin3(x)cos2(x) dx.
Paso1:Reescribirlaintegral. Utilizarlaidentidad sin2(x)=1 cos2(x) parareescribir sin3(x) como sin(x) sin2(x):
3(x)=sin(x)(1 cos 2(x))
Sustituyendoestoenlaintegraloriginal,obtenemos: sin3(x)cos2(x) dx = sin(x)(1 cos 2(x))cos2(x) dx.
Paso2:Cambiodevariable. Elegir u =cos(x),loqueimplicaque du = sin(x) dx.Esto permitesustituir:
x) dx = du.
Reescribirlaintegralent´erminosde u:
Paso3:Expandiryresolver. Expandirelintegrando:
Laintegralseconvierteen:
Calcularcadat´erminoporseparado:
Porlotanto:
Paso4:Volveralavariableoriginal. Recordarque u =cos(x):
Resultadofinal:
Ejemploadicional3:Resolverlaintegral xe x2 dx.
Paso1:Identificarlasustituci´on. Seleccionar u = x2,derivandoseobtiene du = 2xdx, o du 2 = xdx.
Paso2:Reescribirlaintegral. Sustituirenlaintegral:
Simplificar:
Paso3:Resolverlaintegralent´erminosde u. Laintegralde eu esdirecta:
Paso4:Volveralavariableoriginal. Reemplazar u = x2:
Resultadofinal:
Ejemploadicional4:Resolverlaintegral ln(x) x dx.
Paso1:Identificarlasustituci´on. Seobservaquelara´ızcuadradade ln(x) sugierela sustituci´on u = ln(x).Entonces: u 2 =ln(x) y 2udu = 1 x dx.
Delarelaci´onanterior,sepuedeexpresar 1 x dx =2udu.
Paso2:Reescribirelintegrandoent´erminosde u. Sustituir ln(x)= u y 1 x dx =2udu: ln(x) x dx = u2udu = 2u 2 du.
Paso3:Resolverlaintegralent´erminosde u.
Paso4:Volveralavariableoriginal. Sustituir u = ln(x) paraexpresarlasoluci´onen t´erminosde x: 2
Resultadofinal:
Ejemploadicional5:Resolverlaintegral
Paso1:Realizarelcambiodevariable. Parasimplificarlaintegral,sedebeutilizarun cambiodevariableadecuado.
Definir:
Derivarparaobtenereldiferencial:
Seobservaqueelintegrandooriginal
coincidecon du.Porlotanto,la integralseconvierteen:
Paso2:Integraci´ondirecta. Laintegral eu du esdirecta.
Paso3:Volveralavariableoriginal. Como
,entonces:
Resultadofinal:
Ejerciciospropuestos—Cap´ıtulo1
1. I = cos(2x +1) dx.
2. I = √ 1 4xdx.
3. I = x x2 +9 dx.
4. I = xex2 dx.
5. I = (2x +3) √x2 +3x +1 dx.
6. I = sin(4x)cos3(4x) dx.
7. I = dx x ln x ,x> 1
8. I = 2x 1 x2 dx.
9. I = x2 (x3 +1)5/3 dx.
10. I = ln(1+ x) 1+ x dx.
11. I = e√x √x dx.
12. I = ln(ln x) x ln x dx.
13. I = √ln x x (1+ln x) dx.
14. I = ln(ln x) x ln x dx.
Cap´ıtulo2
M´etodosavanzadosparalaintegral
indefinida
Cap´ıtulo2-M´etodosavanzadosparalaintegralindefinida
Cuandosetratadelaintegralindefinida,usualmentesedeberecurrirat´ecnicasm´as sofisticadaspararesolverproblemasquenosepuedenabordarconm´etodosb´asicoscomo laintegraci´ondirectaoelm´etododecambiodevariable.Estast´ecnicassonesenciales paramanejarintegralesdefuncionesm´ascomplejas,comolasracionales,trigonom´etricas,o aquellasqueincluyenra´ıcesyproductosquenotienenantiderivadasevidentes.Acontinuaci´on, seprofundizaenlosm´etodosavanzadosm´ascomunesparacalcularintegralesindefinidas, resaltandosuutilidadyaplicabilidadenloscasosm´asdesafiantes.
2.1. Integraci´onporpartes
Estem´etodosebasaenlaregladelproductoparaderivadasyes ´ utilcuandoelintegrandoes elproductodedosfuncionesdediferentetipo.Laideaesque,antelaintegraldeunproducto, elegimosunafunci´onparaderivaryotraparaintegrardemodoquesepuedapasardeuna integralcomplicadaaunam´asf´acilderesolver.
Definici´on2.1.1 (Integraci´onporPartes). Considere u(x) y v(x) funcionesdiferenciables; entonces,laf´ormuladeintegraci´onporpartesseexpresacomo:
Aqu´ı:
u(x):eslafunci ´ onqueseeligeparaderivar(u′(x)).
v′(x):eslafunci ´ onqueseeligeparaintegrar(v(x)).
2.1.1. Derivaci´ondelaf´ormuladeintegraci´onporpartes
Partimosdelaregladelproductodederivadas:
Paso1:Integrarambosladosrespectoa x.
Elladoizquierdosesimplificaporquelaintegralyladerivadasecancelanentres´ı:
Paso2:Reorganizarlost´erminos.
Paso3:Presentaci´ondelaF´ormulaFinal. Laf´ormuladeintegraci´onporpartesqueda:
2.1.2. ReglaILATE
LareglaILATEnospermiteseleccionarqu´efunci´onelegircomo u(x) ycu ´ alcomo v′(x)
1. (I)Inversastrigonom´etricas:Ejemplo: arctan(x), arcsin(x).
2. (L)Logar´ıtmicas:Ejemplo: ln(x).
3. (A)Algebraicas:Ejemplo: xn , 3x2
4. (T)Trigonom´etricas:Ejemplo: sin(x), cos(x)
5. (E)Exponenciales:Ejemplo: ex , 2x .
LasrazonesparaaplicarILATEsonlassiguientes:
1. Funcionesinversastrigonom´etricasylogar´ıtmicas: Estasfuncionessonidealespara derivarporquesesimplificanconsiderablementealhacerlo.Porejemplo:
Laderivadade arctan(x) es 1 1+x2 ,unaexpresi´onm´asmanejablequelafunci´on original.
Laderivadade ln(x) es 1 x ,loqueconviertelafunci´onenalgomuchom´asf´acilde trabajar.
2. Funcionesalgebraicas: Lasfuncionesalgebraicas,comolospolinomios,alderivarlas disminuyensugrado,loquefacilitasuintegraci´on.Porejemplo:
Laderivadade x3 es 3x2,unt´erminomuchom´assimplequeelinicial.
3. Funcionestrigonom´etricasyexponenciales: Aunqueestasfuncionesnosesimplifican considerablementealderivarlas,tienenantiderivadasdirectasyreconocibles,loquelas convierteenexcelentescandidatasparaintegrar.Porejemplo:
Laintegralde cos(x) es sin(x),ysuderivadatambi´enessencillademanejar.
Para ex,tantoladerivadacomolaintegralsonid´enticas,loquelashaceidealespara v′(x)
Ejemplopr´actico1:Resolverlaintegral xex dx.
Paso1:AplicarlareglaILATE. Seg´unlareglaILATE,seleccionar u = x (porquees algebraica)y v′ = ex (porqueesexponencial).Estoimplica: u = x,u ′ =1,v ′ = ex,v = ex
Paso2:Aplicarlaf´ormuladeintegraci´onporpartes. xex dx = uv vu ′ dx.
xex dx = xex ex dx.
Paso3:Resolverla ´ ultimaintegral.
Entonces:
Paso4:Factorizar.
Resultadofinal:
Ejemploadicional1:Resolverlaintegral
Paso1:AplicarlareglaILATE. Enestecaso,lafunci´onlogar´ıtmicanoadmiteuna integraci´ondirecta;sinembargo,puedeabordarseutilizandoelm´etododeintegraci´onpor partes.
Paso2:Aplicarlaf´ormuladeintegraci´onporpartes.
Paso3:Resolverla ´ ultimaintegral.
Resultadofinal:
Cap´ıtulo2-M´etodosavanzadosparalaintegralindefinida
Ejemploadicional2:ResolverlaIntegral
ex cos xdx.
Laintegral ex cos(x) dx esunejemplocl´asicoquerequierelaaplicaci´onrepetidade integraci´onporpartes.Acontinuaci´on,sedetallaelprocedimientopasoapaso.Paraeste ejemplo,sevaautilizarunanuevanotaci´ondelm´etododeintegraci´onporpartes,lacuales:
udv = uv vdu.
Paso1:Aplicarlaf´ormuladeintegraci´onporpartes.
udv = uv vdu.
Elegirlasfuncionesdelasiguientemanera:
u = ex,dv =cos(x) dx.
Calcularlasderivadaseintegralescorrespondientes:
du = ex dx,v = cos(x) dx =sin(x)
Sustituirenlaf´ormula:
ex cos(x) dx = ex sin(x) ex sin(x) dx.
Seobtieneunanuevaintegraldelaforma: ex sin(x) dx.
Paso2:Repetirlaintegraci´onporpartes.
u = ex,dv =sin(x) dx.
Calcularlasderivadaseintegralescorrespondientes:
du = ex dx,v = sin(x) dx = cos(x)
Sustituirenlaf´ormula:
ex sin(x) dx = ex cos(x)+ ex cos(x) dx. ex cos(x) dx = ex sin(x) ex cos(x)+ ex cos(x) dx .
Paso3:Simplificarlaecuaci´on.
Reorganizarlost´erminosparadejar
Dividirentre2paraobtenerelvalordelaintegral:
Resultadofinal:
2.1.3. Observacionesdelm´etododeintegraci´onporpartes
Estem´etodoseaplicafrecuentementea:
Productodefuncionesalgebraicasyexponenciales.
Productodefuncionesalgebraicasytrigonom´etricas.
Integralesdelogaritmosofuncionesinversastrigonom´etricas.
2.2. Integralestrigonom´etricas
Lasfuncionestrigonom´etricascomoseno,coseno,tangente,ysusfuncionesrec´ıprocas: cotangente,secanteycosecante,est´anrelacionadascon ´ angulos,tri´angulosoinclusoconondas. Sinembargo,surelevanciavamuchom´asall´adelageometr´ıaelemental.Estasfunciones describennumerososprocesosperi´odicosqueserepitenc´ıclicamenteennuestravidadiariayen lanaturaleza.Unrasgo ´ unicodelasfuncionestrigonom´etricasessuampliareddeidentidades ytransformacionesqueresultanesencialesparasimplificarproblemasyresolverintegrales. Entrelasm´asdestacadasencontramos:
Identidadestrigonom´etricas
Identidad
IdentidadesPitag´oricas
sin2(α)+cos2(α)=1
tan2(α)+1=sec2(α)
1+cot2(α)=csc2(α)
Sumayrestade ´ angulos
sin(α ± β)=sin α cos β ± cos α sin β
cos(α ± β)=cos α cos β ∓ sin α sin β
tan(α ± β)= tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β
´ Angulodoble
sin(2α)=2sin α cos α
cos(2α)=cos2 α sin2 α =1 2sin2 α =2cos2 α 1
tan(2α)= 2tan α 1 tan2 α ´ Angulomitad
sin
Identidadesdepotencias
sin2 α = 1 cos(2α) 2
cos2 α = 1+cos(2α) 2
tan2 α = 1 cos(2α) 1+cos(2α)
´ Angulosopuestos
sin( α)= sin α
cos( α)=cos α
tan( α)= tan α
Tabla2.1:Identidadestrigonom´etricas.
Transformacionestrigonom´etricas
Transformaci´on Desumasaproductos
Deproductosasumas
sin α sin β = cos(α β) cos(α + β) 2
cos α · cos β = cos(α + β)+cos(α β) 2
sin α cos β = sin(α + β)+sin(α β) 2
Tabla2.2:Transformacionestrigonom´etricas.
Laintegraci´ondefuncionestrigonom´etricasserealizaenfunci´ondevariosfactores:
1. Eltipodefunci´oninvolucrada: sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x)
2. Lapotenciaalaqueseencuentraelevadalafunci´on: sinn(x) o cosm(x).
3. Elproductodevariasfuncionestrigonom´etricas: sinm(x)cosn(x) o tanm(x)secn(x)
4. Lacombinaci´ondefuncionescondiferentesargumentos: sin(ax)cos(bx).
2.2.1. Integralesdelaforma sinn(x) dx y cosn(x) dx
Potenciasimparesde sin(x) o cos(x)
Caso sinn(x) dx con n impar: Cuando n esimpar,sea´ıslaunfactor sinn 1(x)sin(x) paraaprovecharlarelaci´on sin(x) dx ↔− d[cos(x)].T´ıpicamente,elprocedimientoes:
1. Separar: sinn(x)=sinn 1(x)sin(x).
2. Usarlaidentidadpitag´orica: sin2(x)=1 cos2(x) parareescribir sinn 1(x) ent´erminos de cos(x)
3. Sustituir: t =cos(x),con dt = sin(x) dx.
Deestaforma,laintegralsetransformaenunaintegralpolin´omicaen t.Unavezresuelta,se regresaalavariableoriginal x.
Cap´ıtulo2-M´etodosavanzadosparalaintegralindefinida
Caso cosn(x) dx con n impar: Elrazonamientoessimilar.Sea´ısla cosn 1(x)cos(x) yse aprovechalaidentidad cos2(x)=1 sin2(x).Posteriormente,sehacelasustituci´on t =sin(x), demodoque dt =cos(x) dx.Seobtienenuevamenteunaintegralmanejableent´erminosde t.
Potenciasparesde sin(x) o cos(x)
Si n espar,sueleserm´aseficazutilizarlasf´ormulasdereducci´ondepotencias,porejemplo:
sin2(x)= 1 cos(2x) 2 , cos 2(x)= 1+cos(2x) 2
Paraexponentesmayores,seaplicandichasidentidadesrepetidamente.Porejemplo,
sin4(x)= sin2(x) 2 = 1 cos(2x) 2 2 = 1 4 1 2cos(2x)+cos2(2x) .
F´ormulasdereducci´onparapotenciasde sin(x) y cos(x)
Sepuedegeneralizarendosf´ormulasdereducci´onlasintegralesdelaspotencias sin(x) y cos(x).Acontinuaci´onsemuestracadaunadelasf´ormulasysumaneradeaplicaci´on.
F´ormuladereducci´onpara sinm(x) dx: Cuando m> 1,secumple:
Aplicaci´on:
sinm(x) dx = sin m 1(x)cos(x) m + m 1 m sin m 2(x) dx + C.
1. Separarunfactor sinm 1(x) de sinm(x)
2. Reconocerque sinm 1(x)cos(x) serelacionaconladerivadade sinm(x)
3. Usarlaidentidad sin2(x)+cos2(x)=1 paratransformarlaparterestante,demodoque quede sinm 2(x)
F´ormuladereducci´onpara cosm(x) dx: Cuando m> 1,severifica: cosm(x) dx = cos m 1(x)sin(x) m + m 1 m cos m 2(x) dx + C.
Aplicaci´on:
1. Separarunfactor cosm 1(x) de cosm(x).
2. Reconocerque cosm 1(x)sin(x) serelacionaconladerivadade cosm(x)
3. Emplearlamismaidentidadpitag´oricaparaescribir cosm 2(x) enlugarde cosm(x)
Ejemplopr´actico1:Resolverlaintegral sin3(x) dx.
Laestrategiaconsisteensepararunfactor sin(x),quesevinculaconladerivadade cos(x), yemplearlaidentidad sin2(x)=1 cos2(x)
Paso1:Reescribir sin3(x).
Paso2:Utilizarlasustituci´onadecuada. Sea t =cos(x)
Entonces
Paso3:Transformarlaintegral.
Paso4:Integraren t.
Paso5:Regresara x. Dadoque t =cos(x),elresultadoenlavariableoriginales
Resultadofinal:
Ejemploadicional1:Resolverlaintegral
Paso1:Aplicarlaf´ormuladereducci´on.
Paso2:Aplicarcon m =6.
Paso3:Aplicarcon m =4. Nuevamente,porlamismaf´ormula:
)
Ahorarestaresolver sin2(x) dx
Paso4:Calcular sin2(x) dx. Tomarencuentaque:
Entonces:
Paso5:Presentarelresultadodelaintegralde
Paso6:Presentarelresultadodelaintegralde
Sustituirelresultadohallado:
Resultadofinal: sin6(x) dx = cos(x)sin
2.2.2. Integralesdelaforma tann(x) dx y cotn(x) dx
Potenciasimparesde tan(x) o cot(x)
Caso tann(x) dx con n impar: Lat´acticaprincipalconsisteenseparar tann 1(x)tan(x) yusarlaidentidad tan2(x)=sec2(x) 1.Deestemodo,sea´ıslaunfactor sec2(x) quese asociaalasustituci´on t =tan(x),con dt =sec2(x) dx.Laintegralresultanteseresuelve comounpolinomioen t
Caso cotn(x) dx con n impar:Laideaesan´aloga,ahoracon cot2(x)=csc2(x) 1 y d dx [cot(x)]= csc2(x).Sea´ısla csc2(x) paraintroducirlasustituci´on t =cot(x)
Cap´ıtulo2-M´etodosavanzadosparalaintegralindefinida
Potenciasparesde tan(x) o cot(x)
Caso tann(x) dx con n par: Enestecaso,seacostumbraseparar tann 2(x)tan2(x),y
luegosustituir tan2(x)=sec2(x) 1.Dependiendodesiapareceono secm(x) enelintegrando, laestrategiadeseparaci´onpuedevariar.Noobstante,elobjetivosueleserreescribirlaintegral enunpolinomiode tan(x) y sec2(x) parausarlasustituci´on t =tan(x).
Caso cotn(x) dx con n par: Seaplicaelrazonamientoparaleloalcasodelatangente, perousando cot2(x)=csc2(x) 1 yladerivada d dx [cot(x)]= csc2(x).Deestamanera,se obtienenintegralesmanejablesent´erminosde cot(x)
F´ormulasdereducci´onparapotenciasde tan(x) y cot(x)
Sepuedegeneralizarendosf´ormulasdereducci´onlasintegralesdelaspotencias tan(x) y cot(x).Acontinuaci´onsemuestracadaunadelasf´ormulasysumaneradeaplicaci´on.
F´ormuladereducci´onpara tanm(x) dx
Cuando m =1,secumple: tanm(x) dx = tanm 1(x) m 1
Aplicaci´on:
m 2(x) dx + C.
1. Iniciarcon tanm(x) dx y separar tanm 2(x)tan2(x).
2. Usarlaidentidad tan2(x)=sec2(x) 1 parareescribirelintegrandoendospartes:
3. Aislarlapartecon sec2(x) yrealizarlasustituci´on u =tanm 1(x),du =(m 1)tanm 2(x)sec2(x) dx.
Estopermite reducir lapotenciade tan de m a m 2.
F´ormuladereducci´onpara cotm(x) dx An´alogamente,cuando m =1,severifica: cotm(x) dx = cotm 1(x) m 1 cotm 2(x) dx + C.
Aplicaci´on:
1. Iniciarcon cotm(x) dx y separar cotm 2(x)cot2(x)
2. Emplearlaidentidad cot2(x)=csc2(x) 1 paradescomponer
3. Aislarlapartecon csc2(x) yusarlasustituci´on
u =cotm 1(x),du = (m 1)cotm 2(x)csc2(x) dx.
Deestaforma,se reduce laintegraloriginalde cotm(x) aunaintegralcon cotm 2(x)
Ejemplopr´actico1:Resolverlaintegral ctg4(5x) dx.
Paso1:Sustituirelargumento 5x. u =5x =⇒ du =5 dx =⇒ dx = du 5
Paso2:Reescribir cot4(u).
4(u)=cot2(u)cot2(u)
Usarlaidentidad cot2(u)=csc2(u) 1.Deestemodoseobtiene: cot4(u)=cot2(u) csc 2(u) 1 =cot2(u)csc2(u) cot2(u).
As´ı,laintegralsedescomponeendospartes:
4(u) du = cot2(u)csc2(u) du cot2(u) du.
Paso3:Integrar cot2(u)csc2(u) du. Realizarlasustituci´onsecundaria: v =cot(u),dv = csc 2(u) du =⇒ csc 2(u) du = dv.
Entonces: cot2(u)csc2(u) du = v 2 dv = v3 3 + C = cot3(u) 3 + C.
Paso4:Integrar cot2(u) du. Utilizardenuevo cot2(u)=csc2(u) 1: cot2(u) du = csc 2(u) 1 du = csc 2(u) du 1 du.
Sesabeque csc2(u) du = cot(u) y 1 du = u.Portanto: cot2(u) du = cot(u) u.
Paso5:Reunirlosresultados. cot4(u) du = cot2(u)csc2(u) du cot2(u) du = cot3(u) 3 cot(u) u = cot3(u) 3 +cot(u)+ u.
Porlotanto: cot4(5x) dx = 1 5 cot4(u) du = 1 5
3(u) 3 +cot(u)+ u + C.
Paso6:Regresaralavariable x. Recordarque u =5x,sustituirenlaexpresi´onanterior:
4(5x) dx =
loquesepuedesimplificarunpoco:
Resultadofinal:
Ejemploadicional1:Resolverutilizandolaf´ormuladereducci´on. cot4(5x) dx.
Enesteejemplo,seresuelvelamismaintegral cot4(5x),peroahoraaplicandodirectamente laf´ormuladereducci´onparapotenciasde cot(x): cotm(x) dx = cotm 1(x) m 1 cotm 2(x) dx + C,m =1
Paso1:Sustituirpor u =5x. Dadoqueelintegrandoes cot4(5x),primerosedefine: u =5x =⇒ du =5 dx =⇒ dx = du 5
Entonces: cot4(5x) dx = cot4(u) du 5 = 1 5 cot4(u) du.
Paso2:Aplicarlaf´ormuladereducci´ona cot4(u) du. Sea m =4.Delaf´ormulade reducci´on: cotm(u) du = cotm 1(u) m 1 cotm 2(u) du.
Primer“salto”de m =4 a m =2: cot4(u) du = cot3(u) 3 cot2(u) du.
Reducir cot2(u) du.Volveralamismaf´ormulacon m =2: cot2(u) du = cot1(u) 1 cot0(u) du.
Pero cot1(u)=cot(u) y cot0(u)=1.Portanto: cot2(u) du = cot(u) 1 du = cot(u) u.
Paso3:Reunirlaspiezas.
4(u) du =
Paso4:Volveralavariable x. Porlotanto:
u =5x.Sustituir u:
Resultadofinal:
2.2.3. Integralesdelaforma
sinm(x)cosn(x) dx y tanm(x)secn(x) dx
Paraintegrar sinm(x)cosn(x) dx,sedebenconsiderarlossiguientescasos:
1. Sielexponentede sin(x) esimparsereescribe sinm(x) como sinm 1(x)sin(x) yse emplealaidentidadpitag´orica (sin2(x)=1 cos2(x)),paradespu´esrealizarlasustituci´on u =cos(x)
2. Sielexponentede cos(x) esimparsedescompone cosn(x) en cosn 1(x)cos(x) yseusa laidentidad cos2(x)=1 sin2(x),paradespu´esrealizarlasustituci´on u =sin(x).
3. Siambosexponentessonpareslaestrategiam´asefectivaconsisteenemplearlas identidadesdereducci´ondepotencias: sin2(x)= 1 cos(2x) 2 , cos 2(x)= 1+cos(2x) 2 .
Paraintegrar tanm(x)secn(x) dx,sedebenconsiderarlossiguientescasos:
1. Sielexponentede sec(x) espary n ≥ 2 sereescribe secn(x) ent´erminosde tan(x) utilizandolaidentidadpitag´orica: sec 2(x)=tan2(x)+1.
Luego,serealizalasustituci´on u =tan(x)
2. Sielexponentede tan(x) esimpary n ≥ 1 sereescribelaintegralseparandounfactor sec(x)tan(x),paraluegoaplicarrelaci´on:
[sec(x)]=sec(x)tan(x).
Posteriormente,seusalaidentidad tan2(x)=sec2(x) 1 yseaplicalasustituci´on u =sec(x)
3. Sielexponentede tan(x) esimparcon m ≥ 3 y n =0 sedescompone tanm(x) utilizando laidentidadpitag´orica:
(
)=tan
) 1)
4. Siambosexponentes m y n sonimparesseusalaidentidad tan2(x)=sec2(x) 1 para expresarlafunci´ontangenteent´erminosdesecante,permitiendoaplicarintegraci´onpor partesosustitucionesadecuadas.
Ejemplopr´actico1:Resolverlaintegral
Paso1:Aplicarintegraci´onporsustituci´on.
Reescribirlaintegralent´erminosde u:
Paso2:Aplicaridentidadestrigonom´etricas. Usarlasf´ormulasdereducci´ondepotencias:
Reescribir sin4(u) como:
Sustituirenlaintegral:
Paso3:Realizaroperacionesenelnumeradoryseparart´erminos.
Seobtienelasiguienteintegral:
Paso4:Separarenintegralesb´asicas. Reescribirlaintegralcomolasumadeintegrales m ´ assimples:
Paso5:Resolvercadaintegral.
Lasprimerasdosintegralessoninmediatas:
Para cos 2(2u) du,utilizarlaidentidad:
Para cos3(2u) du,utilizarladescomposici´on:
Sustituyendo cos2(2u)=1 sin2(2u): cos(2u)(1 sin2(2u))du.
Sea t =sin(2u),entonces dt =2cos(2u)du,loquellevaa:
Paso6:Sustituirlosresultadosdetodaslasintegralesrealizadas.
Resultadofinal:
2.3. Integralesporsustituci´ontrigonom´etrica
Laintegraci´onporsustituci´ontrigonom´etricaconstituyeunadelast´ecnicascl´asicasm´as relevantesenelc´alculointegral,especialmenteparaabordarintegralesqueinvolucranra´ıces cuadradasdeexpresionespolin´omicasdesegundogrado.Surelevanciahist´oricaysuutilidadse fundamentanenlacapacidaddelasfuncionestrigonom´etricasparasimplificarlaestructurade ciertasexpresionesalgebraicas.Ent´erminosestrictamentegeom´etricos,laideasebasaenusar lacircunferenciaunitariaolaconstrucci´ondetri´angulosrect´angulosparaexplotarlarelaci´on pitag´orica.Estamismamotivaci´onsereflejaenlassiguientestressustitucionescl´asicas:
Para a2 x2:Seusalasustituci´on x = a sin(θ) ⇒ dx = a cos(θ) dθ
Para a2 + x2:Seusalasustituci´on x = a tan(θ) ⇒ dx = a sec2(θ) dθ.
Para x2 a2:Seusalasustituci´on x = a sec(θ) ⇒ dx = a sec(θ)tan(θ) dθ
Cadaunodeestosesquemasrespondeadistintasconfiguracionesgeom´etricasdeltri´angulo yalanecesidaddehaceraparecerelfactordiferencialdemaneracoherenteconladerivadade lafunci´onelegida.
2.3.1. Integralesqueinvolucran a2 x2
Figura2.1:Integralesqueinvolucranlaexpresi´on a2 x2
Nota.Elaboraci´onpropia.
DeacuerdoconlaFigura 2.1,eltri´angulorect´anguloparaintegralesqueinvolucranla expresi´on a2 x2 tienehipotenusa a,catetovertical x ycatetohorizontal √a2 x2.Si θ esel ´ anguloenlabase,entonces:
Portanto,lasustituci´on x = a sin θ implica
,loque facilitaelc´alculodeintegralesdeltipo
Ejemplopr´actico1:Resolverlaintegral
Parailustrarpasoapasoelprocesodeintegraci´on,considerelaexpresi´on √a2 x2 dx. Laestrategiaconsisteenemplearlasustituci´ontrigonom´etricaadecuada.
Paso1:RealizarSustituci´ontrigonom´etrica. x = a sin(θ)
= a cos(θ) dθ.
Paso2:Transformarlaexpresi´onbajolara´ız.
Tomarlara´ızcuadradaaambosladosdelaecuaci´on:
Paso3:Transformarlaintegral.
Paso4:Aplicarlaidentidadtrigonom´etrica. Utilizarlaidentidad:
Sustituirenlaintegral:
Integrart´erminoat´ermino:
Paso5:Regresaralavariableoriginal. Dadoque θ =arcsin( x a ),sustituir:
Deacuerdoconidentidad sin(2θ)=2sin(θ)cos(θ),con sin(θ)= x a y cos(θ)=
obtiene:
Entonces:
Finalmentemultiplicarpor a2 yreordenar:
Resultadofinal:
Cap´ıtulo2-M´etodosavanzadosparalaintegralindefinida
Ejemploadicional1:Resolverlaintegral x3 (25 x2)3/2 dx.
Parailustrarpasoapasoelprocesodeintegraci´ontomarencuentaelsiguientegr´afico:
Figura2.2:Integralesqueinvolucranlaexpresi´on 52 x2
Nota.Elaboraci´onpropia.
Paso1:RealizarlaSustituci´ontrigonom´etrica. DeacuerdoconlaFigura 2.2 ydadoque lara´ıztienelaforma a2 x2,con a =5,utilizarlasustituci´on: x =5sin(θ) ⇒ dx =5cos(θ) dθ.
Transformarlara´ız: √25 x2 = 25 25sin2(θ)=5cos(θ). Eldenominadorelevadoalapotencia 3/2 es: (25 x 2)3/2 =(√25 x2)3 =(5cos(θ))3 =125cos3(θ)
Reescribirelnumerador: x 3 =(5sin(θ))3 =125sin3(θ)
Sustituirenlaintegral: I = 125sin3(θ) 125cos3(θ) · 5cos(θ) dθ. I =5 sin3(θ) cos3(θ) cos(θ) dθ.
Simplificar: I =5 sin3(θ) cos2(θ) dθ.
Paso2:Expandirent´erminosde u =cos(θ). Usarlaidentidad sin2(θ)=1 cos2(θ),de modoque: sin3(θ)=sin(θ)(1 cos 2(θ))
Reescribirlaintegral: I =5 sin(θ)(1 cos2(θ)) cos2(θ) dθ.
Utilizarelcambiodevariable: u =cos(θ),du = sin(θ)dθ.
Sustituir: I =5 (1 u2) u2 ( du) I = 5 (1 u2) u2 (du).
Descomponerlaintegral: I = 5 1 u2 du +5 du.
Calcularcadaintegral: 1 u2 du = 1 u , du = u.
Porlotanto: I = 5 1 u +5u.
Sustituir u =cos(θ): I =5 1 cos(θ) +5cos(θ)
Seg´uneltriangulorect´angulodelaFigura 2.2, cos(θ)= √25 x2 5 ,entonces: I =5 5 √25 x2 +5 √25 x2 5
Resultadofinal: I = 25 √25 x2 + √25 x2 + C.
2.3.2. Integralesqueinvolucran a2 + x2
Figura2.3:Integralesqueinvolucranlaexpresi´on a2 + x2 .
Nota.Elaboraci´onpropia.
DeacuerdoconlaFigura 2.3,eltri´angulorect´anguloparaintegralesqueinvolucranla expresi´on a2 + x2 tienebase a,elcatetoverticales x ylahipotenusaes √a2 + x2.Si θ esel ´ anguloenlabase,entonces:
Deestemodo,lasustituci´on
,loque facilitaelc´alculodeintegralesdeltipo f (a 2 + x 2) dx
Ejemplopr´actico1:Resolverlaintegral
Paso1:Realizarlasustituci´ontrigonom´etrica.
Transformarlara´ızdelaintegral:
Sustituirlosresultadosenlaintegral:
Cap´ıtulo2-M´etodosavanzadosparalaintegralindefinida
Paso2:Resolverlaintegral. Laintegralde sec(θ) esconocida: sec(θ)dθ =ln | sec(θ)+tan(θ)| + C.
Paso3:Volveralavariableoriginal. Utilizarlasidentidades:
Sustituir:
Resultadofinal: dx
2.3.3. Integralesqueinvolucran x2 a2
Figura2.4:Integralesqueinvolucran x2 a2 .
Nota.Elaboraci´onpropia.
DeacuerdoconlaFigura 2.4,lostriangulosrect´angulosparaintegralesqueinvolucranla expresi´on x2 a2 tienencatetovertical √x2 a2,labasees a (o a)ylahipotenusaes x (o x).AltomarencuentaeltrianguloizquierdoenlaFigura 2.4,ysi θ esel ´ anguloenlabase, setiene sec θ = x a , tan θ = √x2 a2 a
Porlotanto,lasustituci´on x = a sec θ (con dx = a sec θ tan θdθ)implica √x2 a2 = a tan θ y x2 a2 = a2 tan2 θ.Estaconstrucci´onsimplificalaevaluaci´ondeintegralesdeltipo f (x 2 a 2) dx
Asignaci´ondesignosenlatransformaci´on
Paragarantizarlacorrectaasignaci´ondelsigno,seobservaque:
Ejemplopr´actico1:Resolverlaintegral
Paso1:Realizarlasustituci´ontrigonom´etrica.
Transformarlara´ızdelaintegral:
Sustituirenlaintegral:
Paso2:Resolverlaintegral.
Paso3:Volveralavariableoriginal. Utilizarlasidentidades:
Sustituir:
Resultadofinal:
Cap´ıtulo2-M´etodosavanzadosparalaintegralindefinida
Ejemploadicional1:Resolverlaintegral
x2√16x2 9 dx.
Figura2.5:Tri´angulorect´anguloparalaintegralqueinvolucra (4x)2 32
Nota.Elaboraci´onpropia.
Paso1:Realizarlasustituci´ontrigonom´etrica. Deacuerdoconelejercicioplanteadoyla Figura 2.5,considerarque: √16x2 9= (4x)2 32
Entonces: sec(θ)= 4x 3 ⇒ 4x =3sec(θ) ⇒ x = 3 4 sec(θ)
Derivaramboslados: dx = 3 4 sec(θ)tan(θ)dθ.
Sustituirenlara´ızcuadrada: √16x2 9= 9sec2(θ) 9= 9(sec2(θ) 1)=3tan(θ)
Paso2:ResolverlaIntegral. Sustituir x2 y dx: x 2 = 3 4 sec(θ) 2 = 9 16 sec 2(θ)
Eldiferenciales: dx = 3 4 sec(θ)tan(θ)dθ.
Reescribirlaintegralent´erminosde θ:
Simplificarlost´erminos:
Multiplicarporelinversodeldenominador:
Paso3:VolveralaVariableOriginal
Sustituir:
Simplificar:
Resultadofinal:
2.4. Integralesporfraccionesparciales
Laintegraci´onporfraccionesparcialessebasaenelsiguienteprincipio:todafracci´on racional
con deg P (x) < deg Q(x) (esdecir,elgradodelnumeradoresmenorqueeldeldenominador), puedereescribirsecomounasumadefraccionesm´aselementales,cuyasantiderivadasson
Cap´ıtulo2-M´etodosavanzadosparalaintegralindefinida
bienconocidas.Dichodeotromodo,sieldenominadorsefactoriza(enfactoreslinealesy/o cuadr´aticosirreducibles),esposibleexpresarelintegrandocomounacombinaci´onlinealde t´erminosdondelosdenominadoressonesosfactores(opotenciasdeellos),ylosnumeradores sonconstantesopolinomiosdemenorgradoquedichosfactores.
Enmuchassituacionesdeingenier´ıaycienciasexactas,altoparseconintegralesracionales (cocientesdepolinomios),seprocedeprimeroaladivisi´onpolin´omicasielgradodel numeradoresmayoroigualqueeldeldenominador.As´ı,seobtieneunpolinomiom´asunresto cuyapartefraccionarias´ıcumple deg P< deg Q.Apartirdeall´ı,seaplicaladescomposici´on enfraccionesparcialessobrelaporci´onpropia.
Principiodeladescomposici´on
Estem´etodosesustentaenlaideadereescribirunafracci´onracionalenunconjunto decomponentesm´assimples,cadaunadelascualesresultaintegrablemediantet´ecnicas elementales.Paralograrlo,seaprovechalafactorizaci´ondeldenominadorenfactoreslineales y,cuandocorresponda,enfactorescuadr´aticosirreducibles.
Parailustrarelprincipiofundamental,considerarunafracci´onracional:
P (x) Q(x) ,
donde deg P (x) < deg Q(x).Lahip´otesis deg P (x) < deg Q(x) garantizaquesetieneuna fracci´onpropia.Acontinuaci´on,elprimerpasoconsisteenfactorizar Q(x) en R (ohastadonde seaposibleenestaextensi´on).Elpolinomio Q(x) puededescomponerseenfactoreslineales, como (x a),oenfactorescuadr´aticosirreduciblessobrelosreales,como (x2 + bx + c) con discriminantenegativo.Siunfactorlinealocuadr´aticoaparececonmultiplicidadmayorque uno,seincluyentantaspotenciasdedichofactorcomoindiquesuordenderepetici´on.
Laclaveradicaenrepresentarlafracci´onoriginalcomounasumadet´erminoscuyo denominadorseaunodelosfactores(ounadelaspotenciasdelosfactores)queaparecenenla factorizaci´onde Q(x).Encadaunodeesost´erminos,elnumeradoradoptaunaformasencilla: unaconstanteenelcasodefactoreslinealesounpolinomiodeprimergradoparafactores cuadr´aticos.Ahora,podemospresentarlossiguientescasos:
Factoreslinealessimples
Factoreslinealesrepetidos
Factorescuadr´aticosirreduciblesyfactorescuadr´aticosirreduciblesrepetidos
2.4.1. Factoreslinealessimples
Cuandoeldenominador Q(x) deunafracci´onracionalcontienefactoreslinealessimples, esdecir,t´erminosdelaforma (x a),estospuedensermanejadosdemaneradirectaenla descomposici´onenfraccionesparciales.
Unfactorlinealsimplesignificaqueelpolinomio Q(x) puedefactorizarsecomoun productodeexpresionesdeltipo (x a),donde a esunara ´ ızreal ´ unicadeldenominador.En estecaso,sepuededescomponerlafracci´ondelaforma:
P (x)
(x a)(x b)
enunasumadefraccionesm´assimples:
Aqu´ı, A y B sonconstantesquedebendeterminarsemediantelacomparaci´ondet´erminosen ambosladosdelaecuaci´ondespu´esdellevaraundenominadorcom´un.
Elmotivoporelcualestadescomposici´onesv´alidaradicaenlapropiedadfundamental delospolinomios:cualquierfunci´onracionalconundenominadorfactorizadoent´erminos linealessepuedeexpresarcomolasumadefraccionescuyosdenominadorescorrespondena esosfactores.Estaestrategiapermitetransformarunaintegraldif´ıcilenunaseriedeintegrales elementales,cuyasoluci´onesinmediataapartirdelaintegralde 1 x a ,queesdelaforma:
Ejemplopr´actico1:Resolverlaintegral
Pararesolverelejercicioprimerosedebenanalizarlosgradosdelpolinomiodelnumerador ydenominador,enesteejercicioseverificaque deg(3x +5) < deg(x2 + x 6).
Paso1:Factorizareldenominador. x 2 + x 6=(x 2)(x +3)
Paso2:Descomponerenfraccionesparciales. 3x +5 (x 2)(x +3) = A x 2 + B x +3 .
Multiplicarambosladospor (x 2)(x +3) paraeliminarlosdenominadores: 3x +5= A(x +3)+ B(x 2). 3x +5= Ax +3A + Bx 2B. 3x +5=(A + B)x +(3A 2B)
Paso3:Compararloscoeficientes.
1. A + B =3 (coeficientede x).
2. 3A 2B =5 (t´erminoconstante).
Paso4:Resolverelsistemadeecuaciones. Sustituir B =3 A enlasegundaecuaci´on:
Porlotanto:
Paso5:Integrar.
Resultadofinal:
Ejemploadicional1:Resolverlaintegral
Paradesarrollarelejercicioprimerosedebeanalizarlosgradosdelpolinomiodel numeradorydenominador;enestecasoseverificaque deg (Numerador) =deg (Denominador). Seprocedearesolverelejerciciodeacuerdoconlossiguientespasos:
Paso1:Realizardivisi´ondepolinomios.
Porlotanto,ladivisi´onqueda:
2 8x +15 x2 6x +5 =1+
Paso2:Descomponerenfraccionesparciales.
x +10 (x 5)(x 1)
Multiplicarambosladospor (x 5)(x 1):
Agrupart´erminos: 2x +10=(A + B)x +( A 5B)
Paso3.Compararcoeficientes.
1. A + B = 2 (coeficientede x).
2. A 5B =10 (t´erminoconstante).
Paso4.Resolverelsistemadeecuaciones.
Sustituirenlasegundaecuaci´on: ( 2 B) 5B =10. 2+ B 5B =10 4B =8 ⇒ B = 2. A = 2 ( 2)=0.
Porlotanto: 2x +10 (x 5)(x 1) = 0 x 5 + 2 x 1 = 2 x 1
Paso5:Integrar. Integrandocadat´ermino: I = 1dx + 2 x
I = x 2ln |x 1| + C.
Resultadofinal:
I = x 2ln |x 1| + C.
2.4.2. Factoreslinealesrepetidos
Cuandoeldenominador Q(x) deunafracci´onracionalcontienefactoreslinealesrepetidos, esdecir,t´erminosdelaforma (x a)m donde m> 1,ladescomposici´onenfraccionesparciales requiereunaestrategiadiferentealadelosfactoreslinealessimples.
Unfactorlinealrepetidosignificaqueelpolinomio Q(x) contieneunapotenciadeun binomiolineal,loqueimplicaquelafracci´onoriginalnopuededescomponerse ´ unicamente ent´erminosdelaforma A x a ,sinoquedebeincluirfraccionesadicionalesparacadapotencia delfactor.Enestecaso,ladescomposici´ongenerales:
Ejemplopr´actico1:Resolverlaintegral
Paradesarrollarelejercicioprimerosedebenanalizarlosgradosdelpolinomio delnumeradorydenominador,enesteejercicioseverificaque deg (Numerador) = deg (Denominador).
Paso1:Descomponerenfraccionesparciales.
Multiplicarambosladospor (x 2)2 paraeliminarlosdenominadores: 5x +3= A(x 2)+ B. 5x +3= Ax 2A + B.
Agrupart´erminos: 5x +3= Ax +( 2A + B)
Paso2:Compararloscoeficientes.
1. A =5 (coeficientede x).
2. 2A + B =3 (t´erminoconstante).
Cap´ıtulo2-M´etodosavanzadosparalaintegralindefinida
Paso3:Resolverelsistema. Sustituir A =5 enlasegundaecuaci´on:
Porlotanto:
Paso4:Integrar.
Laprimeraintegrales:
Paralasegundaintegral,utilizarlasustituci´onyreemplazar:
Resultadofinal:
2.4.3. Factorescuadr´aticosirreduciblesyfactorescuadr´aticosirreducibles repetidos
Cuandoeldenominador Q(x) deunafracci´onracionalcontienefactorescuadr´aticos irreducibles,esdecir,t´erminosdelaforma (x2 + bx + c) dondeeldiscriminante b2 4c< 0, ladescomposici´onenfraccionesparcialesrequiereunaestrategiadiferentealadelosfactores lineales.
Unfactorcuadr´aticoirreduciblenopuededescomponerseenproductosdet´erminoslineales concoeficientesreales.Enestecaso,ladescomposici´ongeneralseexpresacomo: P (x) (x2 + bx + c) = Ax + B x2 + bx + c ,
Cap´ıtulo2-M´etodosavanzadosparalaintegralindefinida
donde A y B sonconstantesquedebendeterminarsemediantelacomparaci´ondet´erminosen ambosladosdelaecuaci´ontrasllevarlosaundenominadorcom´un.
Sielfactorcuadr´aticoapareceelevadoaunapotencia,seincluyent´erminosadicionalesde laforma:
Ejemplopr´actico1:Resolverlaintegral
Paradesarrollarelejercicioprimerosedebeanalizarlosgradosdelpolinomio delnumeradorydenominador,enesteejercicioseverificaque deg (Numerador) < deg (Denominador).
Paso1:Descomponerenfraccionesparciales. Dadoqueeldenominadorcontieneunfactor lineal (x 1) yunfactorcuadr´aticorepetido (x2 +2x +2)2,ladescomposici´onenfracciones parcialestomalaforma:
Multiplicarambosladospor
2 paraeliminarlosdenominadores:
Agrupart´erminossemejantes:
Compararcoeficientesyresolverelsistemadeecuaciones:
Alresolverelsistemadeecuacionessetiene:
Laintegraloriginalsedescomponeenfraccionesparcialescomo:
Paso2:ResolverlaprimeraIntegral.
Paso3:Resolverlasegundaintegral.
Descomponerelnumeradoreintegrar:
Paralaprimeraparteseutilizalasustituci´on
demodoque:
Multiplicarpor
Paralasegundapartecompletarelcuadradoeneldenominador:
porloque:
laintegralanteriorseresuelveporsustituci´ontrigonom´etrica.Multiplicarpor 2
Sumarambaspartesparaobtenerlasoluci´on:
Paso4:Resolverlaterceraintegral.
Resolverlaintegral:
entonces:
Resolverlaintegral:
Porlotanto,laintegralsereescribecomo:
Tomarlasustituci´on:
Reemplazarenlaintegral:
Utilizarlaidentidadtrigonom´etrica:
Laintegralsetransformaen:
Utilizarlaidentidad:
Laintegralseconvierteen:
Separarlafracci´onyresolverlasintegrales:
Delasustituci´on x +1=tan θ,despejar:
yutilizarlaidentidad:
Utilizarlaequivalencias:
Sustituirenlaexpresi´ondelaintegral:
Entonces,setiene:
Sumarlassolucionesdelasintegralesymultiplicarporelfactor 1 5 .
Elresultadoes:
Resultadofinal:
2.5. Integralesporsustituci´ondeEuler
Elm´etododesustituci´ondeEulerconstituyeunaestrategiapoderosaparaintegrar funcionesquecontienenunaexpresi´onsubradicaldelaforma ax2 + bx + c.Esteenfoque permitetransformarlara´ızcuadradaenunafunci´onalgebraicamentem´assencilla,demanera quelaintegralpuedaresolversecont´ecnicaselementales(porejemplo,integrandofunciones polin´omicas,trigonom´etricasoracionales).Setienetresformascan´onicasdelasustituci´onde Euler:
a> 0.
c> 0
ax2 + bx + c =0 tienedossolucionesrealesdistintas.
2.5.1. Caso1: a> 0
Elm´etododesustituci´ondeEuleresunat´ecnicaefectivapararesolverintegralesque involucranunara´ızcuadradadelaforma √ax2 + bx + c.Enestecasoseutilizalasustituci´on:
Desarrollodelm´etodo
Elevarambosladosdelasustituci´onalcuadrado:
Expandirelladoderecho:
Reordenart´erminos:
Cancelar ax2 enamboslados:
Despejar
Aplicarlaregladelcociente:
Agrupart´erminossimilares:
Ejemplopr´actico1:Resolverlaintegral
Paso1:Utilizarlasustituci´ondelm´etododeEuler.
Aplicarlasecuaciones
Poner x +1 y √x2 + x +1 enfunci´onde u:
Reemplazarlosresultadosanterioresenlaintegraloriginalyoperar:
Paso2:FactorizarelDenominador.
Porloquelaintegraltomalaforma:
Cap´ıtulo2-M´etodosavanzadosparalaintegralindefinida
Paso3:DescomponerenFraccionesParciales. 2 u(u 2) = A u + B u 2 .
Multiplicarambosladospor u(u 2) paraeliminarlosdenominadores: 2= A(u 2)+ Bu.
2= Au 2A + Bu.
2=(A + B)u 2A.
Compararcoeficientes:
1. A + B =0 (coeficientede u).
2. 2A =2 (t´erminoconstante).
Resolverelsistema: A = 1,B =1
Porloque:
Paso4:Integrar.
Utilizarlaf´ormulab´asica
Paso5:Volveralavariableoriginal x. Tomarencuentaque
tenemos:
Resultadofinal:
2.5.2. Caso2: c> 0
Elm´etododeSustituci´ondeEulertambi´enresultaefectivocuandoeltrinomio ax2 + bx + c poseeunt´erminoconstanteestrictamentepositivo(c> 0).Enestasituaci´onseutilizala sustituci´on:
Demaneraan´alogaal Caso1 (donde a> 0),estaelecci´onfacilitalaeliminaci´ondelara´ız ylare-formulaci´ondelaintegralent´erminosdelanuevavariable u.
Desarrollodelm´etodo
Comenzarconlaigualdad:
Elevaralcuadrado:
Expandirelladoderecho:
Reordenarlaexpresi´on:
Simplificar:
Factorizar x2 y x:
Si x =0,sellegaa:
Resolverlaecuaci´onpara x:
Hallareldiferencialde x:
Aplicarlaregladelcociente:
Expandirelnumerador:
Agrupart´erminossimilares:
Ejemplopr´actico1:Resolverlaintegral
Paso1:Realizarlasustituci´ondeEuler.
Despejar
Obtenereldiferencialde
Entonceslaintegral
Sustituyendo
Multiplicar:
Laintegralseconvierteen:
Simplificar:
Paso2:Integrar. Sepuedeobservarquelaintegraltienelaformaest´andar:
Estaesunaintegraldirectaquecorrespondealafunci´onarcotangente.Paraelejercicio:
Paso3:Volveralavariableoriginal x.
Resultadofinal:
2.5.3. Caso3: ax2 + bx + c =0 condossolucionesrealesdistintas(r1 = r2)
Enestecaso,elpolinomio ax2 + bx + c sefactorizacomo:
, teniendoas´ıdosra´ıcesreales r1,r2.ParalaSustituci´ondeEulerenestecasosetomalara´ız cuadradadelpolinomiodelaforma
siempreque x = r1
Desarrollodelm´etodo
Comenzarconlaigualdad:
Elevaralcuadrado:
Si x = r1,dividirambosladospor (x r1):
Reordenarydespejar x:
Aplicarlaregladelcocienteyoperar:
Ejemplopr´actico1:Resolverlaintegral
Paso1:Realizarlasustituci´ondeEuler. Tomamos
Usandolaf´ormulaest´andardelCaso3sedespeja x:
Eldiferencialresulta
Adem´as,
Sustituyendoenlaintegral:
Cap´ıtulo2-M´etodosavanzadosparalaintegralindefinida
Paso2:Integrar. du 1 u2 =tan 1(u).
Portanto, I = 2tan 1(u)+ C.
Paso3:Volveralavariableoriginal. Delasustituci´on, u = (x 1)(x 4) x 1 ,setiene:
2.6. Integralesporelm´etodoAlem´an
Elm´etodoAlem´anesunat´ecnicabasadaensimetr´ıaquefacilitalaresoluci´ondeintegrales delaforma: Pn(x)
√ax2 + bx + c dx.
Enestem´etodoesreescribirlaintegraldetalmaneraquelapartepolin´omicapueda extraersedeformaconveniente.Estopermitereducirelproblemaalacombinaci´ondeun t´erminopolin´omicomultiplicadopor √ax2 + bx + c yunaintegralm´assencilla.Laexpresi´on clavequeseobtienees:
Enestaecuaci´on:
Pn(x) esunpolinomiodegrado n,con n ≥ 1.
Qn 1(x) esunpolinomiodegrado n 1.
α esunaconstantequesedeterminademanerasistem´atica.
C eslaconstantedeintegraci´on.
Paraqueel m ´ etodoAlem´an quedeperfectamentedefinido,ypoderresolverlaintegral, debemosdeterminarloscoeficientesdelpolinomio Qn 1(x) yelvalordelaconstante α
2.6.1. Metodolog´ıa
Paraabordarlaintegral
Cap´ıtulo2-M´etodosavanzadosparalaintegralindefinida
ypoderdefinirperfectamentealoscoeficientedelpolinomio Qn 1(x) yelvalordelaconstante α,derivamosambosmiembrosdelaigualdadrespectodelavariable x.Laderivadadeuna integralnosdevuelvedirectamenteelintegrando.As´ıseobtienelasiguienteexpresi´on:
Enelladoderechodelaecuaci´onsedesarrollalaexpresi´onobtenidapreviamente:
Pararesolverestaderivadaseaplicadosreglasfundamentales:
Regladelproductoen
Regladederivaci´ondeunaintegralenlapartequeinvolucra α
Utilizandolaregladelproducto:
Seconoceque:
porloquelaecuaci´onanteriorsetransformaen:
Dadoque d
essimplemente:
sesigueque:
Alsumartodaslaspartesobtenidassellegaalaecuaci´onfundamental:
Multiplicarambosladosdelaigualdadpor
Enlaecuaci´onanterior Pn(x) esunpolinomiodegrado n,porloquesedebeanalizarc´omo sedistribuyenlaspotenciasde x enlaexpresi´onobtenida.Lapartederechadelaecuaci´onse componedelossiguientest´erminos:
Cap´ıtulo2-M´etodosavanzadosparalaintegralindefinida
(ax2 + bx + c) Q′ n 1(x),donde Q′ n 1(x) esunpolinomiodegrado n 2
(2ax+b) 2 Qn 1(x),donde Qn 1(x) esdegrado n 1. α,queesunaconstante.
Laecuaci´onesv´alida,puestoqueloscoeficientesdetodaslaspotenciasde x enambos ladoscoinciden.Estonosllevaaunsistemadeecuacioneslineales,dondelasinc´ognitasson loscoeficientesdelpolinomio Qn 1(x) ylaconstante α.Elsistemadeecuacioneslineales resultantesepuederesolverutilizandom´etodoscl´asicosdel ´ algebralineal,comolasustituci´on, laeliminaci´ondeGaussolamatrizinversa.Atrav´esdeesteproceso,seobtienendemanera ´ unicalosvaloresdeloscoeficientesdelpolinomio Pn(x) ydelaconstante α,loquepermite resolverdemaneramuyeficazlasintegralesdeltipo:
n(x)
a2x + bx + c
Ejemplopr´actico1:Resolverlaintegral
Paso1:Aplicarelm´etodoAlem´an.
Q2(x)= Ax2 + Bx + C puestoqueelpolinomio P3(x)=2x3 x esdegrado3.Sea Q2(x)= Ax2 + Bx + C,entonces:
x3 x √x2 +4
=(Ax2 + Bx + C)
x2 +4 + C, derivandoaambosladosdelaigualdadtenemos:
Derivadadelladoizquierdo:Dadoqueladerivadadeunaintegralnosdevuelveel integrandoseobtienedirectamente:
Derivadadelladoderecho:Aplicarladerivadaalladoderechodelaecuaci´on:
Descomponerestaderivadaendospartes:
Cap´ıtulo2-M´etodosavanzadosparalaintegralindefinida
• Laderivada d dx (Ax2 + Bx + C)√x2 +4 es:
Calcularladerivadade √x2 +4 utilizandolaregladelacadena:
Sustituirenlaexpresi´onoriginal:
Laderivadadelaintegral
Porlotanto:
Aligualarladerivadadelladoderechoconladelladoizquierdosetiene:
Multiplicartodopor √x2 +4 paraobtenerlaidentidadpolin´omica:
Paso2:Obtenerloscoeficientesdelaecuaci´onanterior.
Igualarloscoeficientesenambosladosdelaecuaci´on:
Cap´ıtulo2-M´etodosavanzadosparalaintegralindefinida
Lasoluci´ondelsistemadeecuacioneses: A =2/3, B =0, C = 19/3 y α =0.Volviendoa laecuaci´on
yreemplazandoloscoeficientesyconstantes A =2/3, B =0, C = 19/3 y α =0 setiene:
Resultadofinal:
2.7. Integralesporelm´etododeHermiteOstrogradsky
Elm´etododeHermite-Ostrogradskiesunat´ecnicaalgebraicaquepermitedescomponer fraccionesracionalesdelaforma P (x) Q(x) conelprop´ositodefacilitarsuintegraci´on.Aunque tradicionalmentesehabladeladescomposici´onenfraccionesparciales,estem´etodoaporta unaformam´asestructuradaysistem´aticadellevaracaboesteproceso.
Enm´etodoreescribelaintegraldemaneraquesepuedantratarporseparadolosfactores repetidosylosfactoressimplesdeldenominador.Laexpresi´onclavequesebuscaobteneres:
P (x) Q(x) dx = f (x) Q1(x) + g(x) Q2(x) dx,
donde Q1(x) y Q2(x) hansidodefinidosconprecisi´onylospolinomios f (x) y g(x) se determinandeformasistem´atica.
2.7.1.
Metodolog´ıa
Definir Q1(x) y Q2(x).Paraanalizarunafunci´onracionalseconsideralasiguiente expresi´on:
R(x)= P (x) Q(x) ,
donde P (x) y Q(x) sonpolinomiosy,adem´as,sum´aximocom´undivisores1,esdecir, gcd(P,Q)=1 Paradescomponer Q(x) endospartesseaplicalosiguiente:
Calculardeladerivadade Q(x)
Paracomenzarseobtieneladerivadadeldenominador:
Q′(x)= d dx Q(x)
Determinarm´aximocom´undivisor
Seidentificaelm´aximocom´undivisorentre Q(x) ysuderivada Q′(x):
Cap´ıtulo2-M´etodosavanzadosparalaintegralindefinida
Q1(x)=gcd(Q(x),Q′(x))
Estepolinomio, Q1(x),re ´ unelosfactoresrepetidosdentrode Q(x),esdecir,aquellosque aparecenconexponentesmayoresa1yquetambi´endividen Q′(x).
Definirde Q2(x)
Sedefineunnuevopolinomioeliminandoestosfactoresrepetidos: Q2(x)= Q(x) Q1(x)
Deestemodo, Q2(x) representalaparte “simplificada” de Q(x),conteniendo ´ unicamente losfactoressinpotenciassuperioresa1,loquefacilitasumanejoenladescomposici´on enfraccionesparciales.
Definirdelospolinomios f (x) y g(x)
Derivar P (x) Q(x) dx = f (x) Q1(x) + g(x) Q2(x) dx d dx
(x) ,
Expresar f (x) y g(x) comopolinomios
Paragarantizarquelaecuaci´onanteriorseav´alidaent´erminosalgebraicos,esnecesario que f (x) y g(x) seanpolinomiosadecuadosenrelaci´onconlosgradosde Q1(x) y Q2(x).
• Elecci´onde f (x):Elpolinomio f (x) debetenerungradoinferioralde Q1(x)
◦ Si Q1(x) esdegrado2,entonces f (x) ser ´ aunpolinomiolinealdelaforma:
f (x)= Ax + B.
• Elecci´onde g(x):Demanerasimilar, g(x) debetenerungradoinferioralde Q2(x).
◦ Si Q2(x) esdegrado2,entonces g(x) tambi´enser´aunpolinomiolineal:
g(x)= Cx + D.
Unavezestablecidaslasformasgeneralesde f (x) y g(x) sesustituyeenlaecuaci´on obtenidapreviamente:
P (x) Q(x) = d dx f (x) Q1(x) + g(x) Q2(x) .
Loscoeficientes A,B,C,D ...,seobtienenaplicandoladerivada,simplificandolos denominadoreseigualandoloscoeficientesdelost´erminosconlamismavariableen ambosladosdelaecuaci´on;conestoseobtienesistemadeecuacionesque,unavez resuelto,proporcionalosvaloresespec´ıficosdeloscoeficientes.
Cap´ıtulo2-M´etodosavanzadosparalaintegralindefinida
Notaimportante. Elm´etododeHermite-Ostrogradskyfuncionaperfectamentesi deg(P (x)) < deg(Q(x)).Cuando deg(P (x)) ≥ deg(Q(x)),primerosehaceladivisi ´ on largade P (x) entre Q(x) parasepararlapartepolin´omicadelaparteestrictamenteracional propia,cumpliendo
R(x)= P (x) Q(x) = S(x)+ P1(x) Q(x) ,
con deg(P1) < deg(Q).Deestemodo,
R(x) dx = S(x) dx + P1(x) Q(x) dx.
Laprimeraintegralseobtienesincomplicaciones,ylasegundaeslaquerequiereaplicarel m ´ etododeHermite-Ostrogradsky.
Ejemplopr´actico1:Resolverlaintegral dx (x +1)3(x +2) .
Paraelejemplopr´actico, P (x)=1 y Q(x)=(x +1)3(x +2)
Paso1:Definir Q1(x) y Q2(x). Derivar Q(x) utilizandolaregladelproducto: Q′(x)= d dx (x +1)3(x +2)
Aplicarlaregladelproducto: Q′(x)=3(x +1)2(x +2)+(x +1)3 .
Factorizar (x +1)2: Q′(x)=(x +1)2 (3(x +2)+(x +1)) Q′(x)=(x +1)2(3x +6+ x +1)=(x +1)2(4x +7)
Pordefinici´on, Q1(x) eselm´aximocom´undivisorentre Q(x) y Q′(x): Q1(x)=gcd(Q(x),Q′(x))
Seobservaqueelfactor (x +1)2 escom ´ unenambos: Q1(x)=(x +1)2
Paradefinir Q2(x) sedivide Q(x) entre Q1(x): Q2(x)= Q(x) Q1(x) = (x +1)3(x +2) (x +1)2 Q2(x)=(x +1)(x +2)
Cap´ıtulo2-M´etodosavanzadosparalaintegralindefinida
Laintegralinicial I sepuedemostrarcomo: I = dx (x +1)3(x +2) = f (x) (x +1)2 + g(x) (x +1)(x +2) dx.
Paso2:Definirlospolinomios f (x) y g(x). Establecerlosgradosde f (x) y g(x)
Como deg(Q1)=2,elpolinomio f (x) debetener deg(f ) < 2.Portantoseasumeuna formalineal: f (x)= Ax + B.
Como deg(Q2)=2,elpolinomio g(x) tambi´endebetener deg(g) < 2.Portantose asumeunaformalineal: g(x)= Cx + D.
Obteniendo: dx (x +1)3(x +2) = Ax + B (x +1)2 + Cx + D (x +1)(x +2) dx
Derivandolaexpresi´onanteriorsetiene: 1 (x +1)3(x +2) = d dx Ax + B (x +1)2 + Cx + D (x +1)(x +2) .
Paso3:DeterminarlosCoeficientes A,B,C,D. Paradeterminarloscoeficientes A,B,C,D correspondientesalospolinomios f (x) y g(x),enprimerlugarseobtienela d dx Ax+B (x+1)2 aplicandolaregladelcociente: d dx Ax + B (x +1)2 = (x +1)2 · A (Ax + B) · 2(x +1) (x +1)4 (x +1)2A 2(x +1)(Ax + B)=(x +1)[(x +1)A 2(Ax + B)] (x +1)[xA + A 2Ax 2B]=(x +1)[ Ax + A 2B] d dx Ax + B (x +1)2 = (x +1)( Ax + A 2B) (x +1)4 = ( Ax + A 2B) (x +1)3 .
Deestaformaseobtienelasiguienteexpresi´on: 1 (x +1)3(x +2) = ( Ax + A 2B) (x +1)3 + Cx + D (x +1)(x +2)
Multiplicarambosladosporeldenominadorcom´un (x +1)3(x +2) paraeliminarfracciones: 1=( Ax + A 2B)(x +2)+(Cx + D)(x +1)2 1= Ax2 +( 2A + A 2B)x +(2A 4B)+ Cx3 +(2C + D)x 2 +(C +2D)x + D.
Cap´ıtulo2-M´etodosavanzadosparalaintegralindefinida
Agrupart´erminos: 1= Cx3 +( A +2C + D)x 2 +( 2A + A 2B + C +2D)x +(2A 4B + D).
Igualarloscoeficientesdelaecuaci´on:
1. C =0.
2. A +2C + D =0.Como C =0,setiene A + D =0 ⇒ D = A
3. 2A + A 2B + C +2D =0.Sustituyendo C =0 y D = A: A 2B =0 ⇒ A =2B.
4. 2A 4B + D =1.Sustituyendo D = A: 2A 4B + A =1 3A 4B =1 Como A =2B: 3(2B) 4B =1 ⇒ 6B 4B =1 ⇒ 2B =1 B = 1 2 ,A =2B =1,D = A =1,C =0
Porlotanto,loscoeficientesson: A =1,B = 1 2 ,C =0,D =1
Finalmentesesustituyeloscoeficientes A,B,C,D en dx (x +1)3(x +2) = Ax + B (x +1)2 + Cx + D (x +1)(x +2) , dx (x +1)3(x +2) = x + 1 2 (x +1)2 + 1 (x +1)(x +2) dx.
Pasoextra:Resolverlaintegral 1 (x +1)(x +2) dx. Pararesolverlaintegralpropuestase utilizaelm´etododefraccionesparciales.Calcularcoeficientes A y B: 1 (x +1)(x +2) = A x +1 + B x +2 . 1= A(x +2)+ B(x +1) 1= Ax +2A + Bx + B =(A + B)x +(2A + B)
Cap´ıtulo2-M´etodosavanzadosparalaintegralindefinida
+ B =0, 2A + B =1
=1,B = 1
Reemplazarloscoeficientesenlaintegral:
Resultadofinal:
2.8. Integralesporelm´etododeChebyshev
Elm´etododeChebyshevesunat´ecnicamatem´aticaquepermiteresolverintegralesdela forma: xm(a + bxn)pdx, dondelosvaloresde a,b,m,n y p debencumplirciertascondiciones: a,b ∈ R m,n,p ∈ Q.
Estem´etodosebasaenlaideaderealizarunasustituci´onadecuadao,enalgunoscasos, emplearlaexpansi´onbinomial(cuando p esunn ´ umeroentero)paratransformarlaintegralen unaexpresi´onm´asmanejable,sinembargo,nosiemprepuedeusarse,yaquesuefectividad dependedelcumplimientodeciertascondiciones,denominadas condicionesdeChebyshev.
2.8.1. Metodolog´ıa
Condicionesdelm´etododeChebyshev
Elm´etododeChebyshevsebasaenidentificarciertoscriterios(condicionesdeChebyshev) quepermitentransformarlaintegralenunaexpresi´onm´assencilladeresolver.Paraque estem´etodoseaaplicable,esnecesarioquesecumplaalmenosunadelassiguientestres condiciones:
p esunn ´ umeroentero.
m+1 n esunn ´ umeroentero.
m+1 n + p esunn ´ umeroentero.
Siningunadelastrescondicionesanterioresseverifica,elm´etododeChebyshevnopuede aplicarseyser´anecesariorecurriraotrast´ecnicasdeintegraci´on.
Sustitucionesdelm´etododeChebyshev
Pararesolverlaintegralutilizandoelm´etododeChebyshevseempleaunasustituci´on adecuada,dependiendodecadaunadelascondicionesmencionadasanteriormente,que transformalaexpresi´onenunaformam´assencilla.As´ı,sepuedenpresentarlassiguientes sustituciones:
Sustituci´on 1:Si p esentero:
• Si p esenteropositivoseexpande (a + bxn)p medianteelbinomio: (a + bxn)p = p k=0 p k ap k(bxn)k .
• Si p esenteronegativosereescribe (a + bxn)p =1/(a + bxn)|p|.Dependiendode lamagnitudde |p|,puedehacerseunaexpansi´onparcial,factorizaci´onounanueva sustituci´on.
Sustituci´on 2:Si m+1 n esunn ´ umeroentero.Sisecumpleestacondici´onseutilizala sustituci´on:
u =(a + bxn)1/s , donde s eseldenominadorde p.Estecambiodevariablepermiteexpresarelintegrando ent´erminosde u,facilitandosuresoluci´on.
Sustituci´on 3:Si m+1 n + p esunn ´ umeroentero.Enesteescenario,lasustituci´on recomendadaes:
u = a + bxn xn 1/s .
donde s eseldenominadorde p.Conestem´etodolaestructuradelaintegralsereorganiza permitiendoquelost´erminosde x yelbinomio (a + bxn) secombinendemanera conveniente.
Cap´ıtulo2-M´etodosavanzadosparalaintegralindefinida
Ejemplopr´actico1:Resolverlaintegral x3 (1+2x2)3 dx.
Pararesolvercompletamentelaintegralsereescribeenlaforma“Chebyshev”: I = x3 (1+2x2)3 dx = x 3(1+2x 2) 3 2 dx,
seidentifica:
a =1 y b =2 ∈ R
m =3, n =2 y p = 3 2 ∈ Q.
Paso1:Condicionesdel“M´etododeChebyshev”. Dadoquelosvaloreshalladosson m = 3, n =2 y p = 3 2 ,severificasilaintegralcumplealgunadelastrescondicionesdelm´etodo deChebyshev.
p esunn ´ umeroentero:Como p = 3 2 noesunn ´ umeroentero,estacondici´onnose cumple.
m+1 n esunn ´ umeroentero:Alcalcular m +1=3+1=4,n =2, m +1 n = 4 2 =2,
seobtieneunn´umeroentero,porloqueestacondici´ons´ısecumple.
m+1 n + p esunn ´ umeroentero:Evaluamos m +1 n + p =2+ 3 2 =2 3 2 = 1 2 , locualnoesunn´umeroentero,porloqueestacondici´onnosecumple.
Porlotanto,laintegral ´ unicamentecumplelasegundacondici´ondeChebyshev,esdecir: m +1 n ∈ Z
Paso2:Sustituci´oncorrespondientealasegundacondici´on. Eldenominadorde p = 3 2 es 2,entonces:
= 1+2x 2 1 2
Derivarrespectoa x
1+2x
As´ı:
Tomar:
Elevarambosladosa 3
Seconoceque
Realizarlasiguientesustituci´onyagruparfactores:
Paradejartodoent´erminosde u seobservaque:
Demodoque:
PasoExtra: Pararesolverlaintegral
Resultadofinal: Recordandoque
Ejerciciospropuestos—Cap´ıtulo2
1. I = x 2 ex dx.
2. I = e 3x cos(2x) dx.
3. I = sin5 x cos 2 xdx.
4. I = tan3 x sec5 xdx.
5. I = sin2(3x)cos4(3x) dx.
6. I = √9 x2 dx.
7. I = dx (x2 +4)3/2
8. I = x2 √x2 16 dx.
9. I = 3x +5 (x 1)(x +2) dx.
10. I = x2 +1 x (x 1)2 dx.
11. I = 3x2 +5x +2 (x +1)(x2 +4) dx.
12. I = dx 1+ √4x2 +9 ,x ∈ R
13. I = √3x2 +6x +10 x +1 dx.
14. I = dx (x 1) √x2 3x +2
15. I = 3x3 2x +5 √x2 +4x +13 dx.
16. I = 5x2 2x +7 √2x2 +8x +29 dx.
17. I = x3 +2x2 x 3 (x 1)2(x +2) dx.
18. I = 2x3 + x2 5x +7 (x2 +4)2(x 1) dx.
19. I = x 5 1+2x 3 1 2 dx.
Cap´ıtulo3
Laintegraldefinida
3.1. Introducci´onalaintegraldefinida
3.1.1. ´ Areabajounacurva
Ennumerososcontextosmatem´aticosycient´ıficos,escom´unencontrarseconlanecesidad dedeterminarel ´ areaencerradaentreunacurvarepresentadaporunafunci´oncontinua f (x) y elejehorizontal(eje x)sobreunintervalocerrado [a,b] (v´easelaFigura 3.1).
Figura3.1: ´ Areabajolacurva f (x) enelintervalo [a,b]
Nota.Elaboraci´onpropia.
3.1.2. Laintegraldefinidacomol´ımitedeunasumadeRiemann
Laintegraldefinidapermitecalcular ´ areasconprecisi´on;paraformalizaresteconcepto considereunafunci´onacotada f (x) definidaenunintervalocerrado [a,b].Dividaelintervalo enpeque ˜ nassecciones,formandounapartici´on P conpuntos:
Cadasubintervalotieneunancho ∆xi = xi xi 1,ydentrodecadaunosepuedeelegir unpuntoarbitrario ci.Alevaluarlafunci´onenesospuntosysumarlosproductos f (ci)∆xi,se obtieneunaaproximaci´ondel ´ areabajolacurva,conocidacomosumadeRiemann(v´easela Figura 3.2).
Figura3.2:Aproximaci´ondel ´ areabajolacurvautilizandoSumasdeRiemann
Nota.Elaboraci´onpropia.
Laintegraldefinidaseobtienetomandoell´ımitedeestassumascuandosehacelapartici´on cadavezm´as,esdecir,cuandolossubintervalossehaceninfinitamentepeque˜nos:
Estel´ımiteexistesiemprequelafunci´onseaintegrableenelsentidodeRiemann.
3.1.3. PropiedadesfundamentalesdelassumasdeRiemann
Entrelaspropiedadesm´asimportantessetiene:
Linealidad
LassumasdeRiemannsecaracterizanporposeerlapropiedaddelinealidad.Estapropiedad establecequelasumadeRiemanndeunacombinaci´onlinealdefuncionesesigualalasuma delassumasdeRiemannparacadaunadelasfunciones.Matem´aticamente,seconsideraque f (x) y g(x) sonfuncionesintegrablesdefinidasenelintervalo [a,b] y α,β ∈ R talquese cumplelosiguiente:
Laimportanciadelapropiedadanteriorradicaendescomponerfuncionescomplicadasen combinacionesdefuncionesm´assimplescuyasintegralessepuedencalculardeunamanera m ´ assencilla.
Monoton´ıa
Estapropiedadindicaquesiunafunci´ondadaessiempremenoroigualaotrafunci´oncon respectoaunintervalo,entoncessuintegraltambi´enser´amenoroigualalaintegraldelaotra funci´on.Estapropiedadsepuedeexplicardemanerabastanteintuitiva:siunafunci´onest´apor debajodeotraentodounintervalo,el ´ areaquedelimitatambi´enser´amenor.
Ent´erminosformales,consideremoslaafirmaci´on f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a,b],entoncespara cualquierpartici´on P delintervaloexistelasiguienterelaci´on:
Importanciadeestaspropiedades
Laspropiedadesdelinealidadymonoton´ıasonm´asquet´ecnicasmatem´aticas.Porsu ordendemagnitud,son ´ utilesenmuchas ´ areas.Particularmenteenf´ısica,ayudanasimplificar elc´alculodetrabajoyenerg´ıarealizado.Eneconom´ıa,colaboranamodelarlastasasde crecimiento.Eningenier´ıa,son ´ utilesparaelan´alisisdese˜nalesysistemas.Conesto,se entiendeporqu´elaintegraldefinidaesunrecursopotenteypr´acticoqueselepuedeaplicara unn ´ umeroincalculabledesituacionesreales.
3.1.4. Interpretaci´ongeom´etricayf´ısicadelaintegraldefinida
Lainterpretaci´ongeom´etricacomoel ´ areabajounacurvapermitemodelarycomprender fen´omenosf´ısicosimportantescomo:
Desplazamiento
Enelestudiodelmovimiento,lavelocidaddeunobjetoalolargodeltiemposedescribe como v(t).Paraencontrareldesplazamiento,denotadocomo x(t),totaldelobjetoentrelos momentos t1 y t2,esnecesarioevaluarlasiguienteintegral:
Estec´alculoproporcionaladistanciarecorridaduranteunciertoper´ıododetiempo.
Trabajomec´anico
El ´ ambitodelaf´ısicaasociaeltrabajoalmovimiento.Si,porejemplo,unafuerzavariable F (x) seaplicaaunobjetoquepuededesplazarse,eltrabajorealizadoaldesplazarelobjeto desdelaposici´on x1 hastalaposici´on x2 puedeexpresarsemediante:
Acumulaci´ondemasa
Eningenier´ıa,as´ıcomoenlasdisciplinasconectadasalacienciademateriales,la distribuci´ondemasadentrodeuncuerpos´olidoescrucialdesdeelpuntodevistadelan´alisis estructural.Parauncuerpof´ısicocuyadensidaddemasalinealest´adescritaporunafunci´on
ρ(x) enunintervalo [a,b],lamasatotal M contenidaendichointervaloesobtenidamediante lasiguienteintegral:
Estemodeloseaplicaenproblemasdedisenoestructural,enc´alculosdecargaparavigasy cables,yenalgunoscasosavanzadosenlamec´anicadematerialesyfluidos.
Importanciadelaintegraldefinida
Losejemplosanterioresmuestranc´omolaintegraldefinidanoespuramentematem´atica, sinoquerepresentaunacaracter´ısticaesencialenlacomprensi´ondefen´omenosf´ısicosyenla resoluci´ondeproblemaspr´acticos.Sucapacidadparamodelarcambios,acumularcantidades yanalizarsistemasdin´amicoslahaceindispensableenunamultituddecampos,desdela ingenier´ıahastalabiolog´ıaylaeconom´ıa.
3.2. Definici´onformaldelaintegraldefinida
3.2.1. Particionesdeunintervaloynormativaderefinamiento
Alabordarelconceptodeintegraldefinida,resultaesencialentenderqu´eesunapartici´ony c ´ omoinfluyeenelc´alculode ´ areasyotrascantidades.Imagineunintervalocerradoenlarecta real,alquellamaremos [a,b].Paraanalizarlodemaneram´asprecisa,senecesitadividireste intervaloenpartesm´aspeque˜nasymanejables.Estadivisi´onrecibeelnombredepartici´on. Formalmente,unapartici´on P deunintervalo [a,b] sedefinecomounconjuntoordenado depuntos:
Aqu´ı,eln´umero n indicaencu´antossegmentossedivideelintervalooriginal.Cadasegmento, llamadosubintervalo,tieneunalongitudespec´ıfica,definidacomo:
∆xi = xi xi 1, paracada i =1, 2,...,n.
Dentrodelasparticiones,unamedidaespecialmenterelevanteeslanormaomalla,que indicaeltamanodelsubintervalom´asgrandeenlapartici´on.Estanormaseexpresacomo:
Estamedidaesclaveparacontrolarlaprecisi´onenlaaproximaci´ondel ´ areabajounacurva mediantesumasdeRiemann.Cuandolanormadelapartici´ondisminuye,esdecir,cuando sedivideelintervaloensubintervaloscadavezm´aspeque˜nos,sedicequelapartici´onse est´a refinando (v´easelaFigura 3.3).Esterefinamientopermitecaptarconmayordetalleel comportamientodelafunci´onenelintervaloestudiado.
Figura3.3:Partici´onyPartici´onRefinada
Nota.Elaboraci´onpropia.
Elconceptofundamentaldetr´asdelrefinamientoesque,amedidaquesehacecada subintervalom´aspeque˜no,seacercaalvalorexactodelaintegral.Esteprocesoesesencial, tantodesdeunpuntodevistate´oricocomoparalapr´acticaenmuchoscamposdelaciencia, comolaf´ısica,laingenier´ıaylaeconom´ıa,dondelaprecisi´ondelosc´alculosescr´ıtica.
3.2.2. Sumasinferioresysuperiores
Paracomprenderelprocesodeacumulaci´ondevaloresdeunafunci´onoelc´alculode un ´ areabajosucurva,convieneintroducirlossiguientesconceptosdesumainferiorysuma superior.
Sumainferior L(P,f ):
Paracadaunodelossubintervalos [xi 1,xi],setomaelvalorm´ınimoqueasumelafunci´on f enesesubintervalo,quesedesignacomo mi.Lasumainferiorsedefinematem´aticamente delasiguientemanera:
donde:
Sumasuperior U (P,f ):
Porotraparte,lasumasuperiorseconstruyetomando,encadasubintervalo [xi 1,xi],el valorm´aximoquealcanzalafunci´on f .Dichovalorm´aximosedenotacomo Mi.Deesta manera,lasumasuperiorquedadefinidacomo:
(P,f )= n
donde:
Figura3.4:SumasdeRiemannInferiorySuperior
Nota.Elaboraci´onpropia.
Amedidaquelasparticionessehacenm´aspequenas,esdecir,cuando ∥P ∥ seacercaacero, estassumasproporcionanunaaproximaci´oncadavezm´asprecisadelvalorquerepresentala integral.
3.2.3. Definici´ondelaintegraldeRiemann
Sedicequeunafunci´on f esintegrableenelsentidodeRiemannenunintervalocerrado [a,b] cuando,alhacerquelasparticionesseancadavezm´aspeque˜nas(esdecir,cuando ∥P ∥→ 0),tantolasumainferiorcomolasumasuperiorseaproximanalmismovalor. Matem´aticamente,estoseexpresacomo:
paraalg´unn´umeroreal I.Cuandoestoocurre,sedicequelaintegraldeRiemannde f enel intervalo [a,b] esiguala I,loqueserepresentadelasiguientemanera:
Demaneraintuitiva,esteprocesoconsisteen“encajonar”el ´ areacomprendidaentre lafunci´onyelejehorizontal,utilizandorect´angulosquesesit´uantantoporencimacomo pordebajodelacurva.Amedidaqueestosrect´angulossevuelvenm´asprecisos,ambos “encajonamientos”tiendenacoincidir,loquepermitedeterminarel ´ areaconmayorexactitud.
3.3. Propiedadesdelaintegraldefinida
Laspropiedadesdelintegraldefinidademuestrantantosuprofundidadte´oricacomosus aplicacionespr´acticas.Conocerlaspropiedadesenmayordetallepermiteabordarproblemas matem´aticosyampl´ıaelalcancedelast´ecnicasdeintegraci´onenescenariosm´ascomplejos.A continuaci´onsepresentanalgunasdelaspropiedadesfundamentalesjuntoconsusrespectivas descripciones.
3.3.1. Aditividadenintervalos
UnadelaspropiedadesesencialesdelaintegraldeRiemannessuaditividad,queserefiere alauni´ondeintervalosadyacentes.Ent´erminosconcretos,siunafunci´on f esintegrableenlos intervalos [a,c] y [c,b],entoncestambi´enloser´aen [a,b],cumpli´endoselasiguienteigualdad:
Figura3.5:PropiedaddeAditividaddelasIntegralesDefinidad Nota.Elaboraci´onpropia.
Estapropiedadsebasaenladefinici´ondelaintegralcomoell´ımitedelassumasde Riemann.Ent´erminossimples,unapartici´ondelintervalo [a,b] puededividirsenaturalmente endossubintervalos, [a,c] y [c,b].Amedidaquelapartici´onserefinaencadaunodeellos, lasumadeRiemannresultanteseaproximaalasumadelas ´ areascorrespondientesendichos subintervalos.
3.3.2.
Linealidad
Lalinealidadparalaintegraldefinidaest´afundamentadaenlassiguientespropiedades:
Propiedadaditiva:Si f y g sonfuncionesintegrablesenelintervalo [a,b],entoncessu suma f + g tambi´enesintegrable,matem´aticamentetenemos:
Homogeneidad:Paracualquierconstantereal α yunafunci´on f integrableen [a,b], matem´aticamentetenemos:
Juntas,estasdospropiedadesformanlalinealidaddelaintegraldefinida(v´easelaFigura 3.6).As´ı,yenbaseaestaspropiedades,severificaquelasfuncionespuedenserseparadas yreorganizadas,loquesimplificalosproblemasdeintegraci´onaldescomponerintegrales complejasenintegralesm´asmanejables.
Figura3.6:PropiedaddeLinealidaddelasIntegralesDefinidas
Nota.Elaboraci´onpropia.
3.3.3. Monoton´ıa
LaIntegraldeRiemanntambi´encumpleconlamonoton´ıa.Enotraspalabras,para cualquieradelasdosfunciones f (x) y g(x) definidasenelintervalo [a,b] talesque f (x) ≤ g(x),yambasintegrables,secumplelasiguientedesigualdad:
Estapropiedadsepuedeentenderaunnivelintuitivoalimaginar f (x) y g(x) comolasdos funcionesl´ımitesparasussumasinferioresysuperiores.Dadoque f (x) essiempremenoro igualque g(x),entonceslarelaci´onsemantieneconlas ´ areaspordebajodelascurvas.
3.3.4. Desigualdaddelvalorabsoluto
Otrapropiedadimportanteesladesigualdaddelvalorabsoluto.Seestablecequesiuna funci´on f (x) esintegrableenelintervalo [a,b],entoncessuvalorabsoluto |f (x)| tambi´enes integrable,cumpliendolasiguientedesigualdad:
3.3.5. Integraldeunafunci´onenunintervalosinlongitud
Cuandoelintervalodeintegraci´onsereduceaunsolopunto,esdecir,cuando a = b,la integraldefinidaseconsideraigualacero:
Esteresultadoesintuitivo,yaquelaintegralrepresentael ´ areabajolacurvayunintervalosin anchuranopuedeencerrarningunacantidadde ´ area.
3.3.6. Sentidoderecorridoenlaintegraci´on
Enelcasodequelosl´ımitesdeintegraci´onest´eninvertidos,esdecir,cuando a>b,se establecelasiguientepropiedad:
Esteresultadointroducelaideadel sentidoderecorrido enlaintegraci´on,indicandoque intercambiarlosl´ımitesdeintegraci´oncambiaelsignodelresultado.
3.3.7. Acotaci´ondelaintegral
Siunafunci´on f (x) est´aacotadaenelintervalo [a,b],esdecir,hayunvalorm´ınimo m y unvalorm´aximo M talesque:
Entonces,laintegralde f en [a,b] tambi´ensatisfacelasiguientedesigualdad:
3.3.8. Dependenciacontinuadelafunci´on
Siunasecuenciadefuncionesintegrables, fn(x),convergeuniformementeaunafunci´on integrable f (x) enlaregi´on[a,b],entoncessecumplelosiguiente:
Esteresultadoindicaquelaintegraci´onesunprocesoestable.Estoes,laintegraldeunafunci´on dadanosevaamodificardeformaimportantecuandoestafunci´onsufrepequenoscambios. Dichacualidadresultaserfundamentalparaelan´alisisdeconvergenciadeintegralesquese presentar´anenotrassecciones.
3.4. TeoremaFundamentaldelC´alculo
ElTeoremaFundamentaldelC´alculo(TFC)presentaunarelaci´onfundamentalentrela derivadaylaintegraldefinidadeunafunci´on,ilustrandoquealmenosdesdeunaperspectiva, sonopuestos(inversos).ElTFCtienedospartestambi´enllamadaslosPrimerySegundo TeoremasFundamentalesdelC´alculo,quevinculanfuncionesdiferenciablesylaintegral definida.
LaintegraldefinidadeRiemannesigualal ´ areatotalacumuladabajolacurvadeuna funci´onenundeterminadointervalocerrado [a,b]
Laderivada,porotrolado,expresalatasadecambioinstant´aneadeunafunci´on,esdecir, lapendientedelarectatangenteenunpuntodesugr´afica.
ElTFCafirmaquelasdefinicionesanterioresest´anrelacionadassiseintegralatasade cambiodelafunci´on,salvounaconstante.Delmismomodo,sisederivalaintegralacumulada deunafunci´on,seobtendr´alafunci´on.As´ı,sepuedeinterpretarqueladerivadaylaintegralson procesos“inversos”quesecomplementanypermitenunan´alisisexhaustivodelasfunciones matem´aticas.
3.4.1. PrimerTeoremaFundamentaldelC´alculo
Enunciado
Sea f unafunci´oncontinuaenelintervalocerrado [a,b].Sedefineunanuevafunci´on F basadaen f delasiguientemanera:
F (x)= x a f (t) dt, para x ∈ [a,b] (3.22)
Bajoestascondiciones,lafunci´on F esderivableenelintervalo (a,b) ycumpleconlasiguiente propiedad:
′(x)= f (x) (3.23)
Enotraspalabras,lafunci´on F act´uacomounaprimitivaoantiderivadade f ,loquesignifica quederivar F nosdevuelvelafunci´onoriginal f .
Interpretaci´on
1. Funci´onAcumulativa:Lafunci´on F (x) representalaacumulaci´ondelosvaloresde f desde a hasta x.Sisepiensaen f comounatasadecambio(deunfen´omenocomola velocidadporejemplo),entonces F (x) eslacantidadtotalquesehaacumulado(distancia recorridaenelintervalo).
2. DerivadadelaAcumulaci´on:Lapropiedad F ′(x)= f (x) nosdicequelavariaci´on instant´aneadelacantidadacumuladaen x coincideexactamenteconelvalordelafunci´on original f enesemismopunto.Estomuestrac´omolaintegraci´onyladerivaci´onson procesosinversos.
3.4.2. SegundoTeoremaFundamentaldelC´alculo
Enunciado
ElSegundoTeoremaFundamentaldelC´alculoproporcionaunaformadevincularel ´ area bajounacurvaconlasantiderivadasdeunafunci´on.
Si F esunaantiderivadade f enelintervalo [a,b],loquesignificaque F ′(x)= f (x) para todo x en (a,b),entoncestenemos: x a f (t),dt = F (x) F (a) (3.24)
Estomuestraqueelvalordelaintegraldefinidade f desde a hasta x sepuedecalcular evaluandosimplementelafunci´on F enlosextremosdelintervaloytomandoladiferencia.
Interpretaci´on
ElSegundoTeoremaFundamentaldelC´alculoproporcionaunamanerapr´acticayefectiva decalcularintegralesdefinidassintenerquerecurrirasumasdeRiemann.Enlugarde aproximarel ´ areadebajodelacurvadividiendounintervaloparticularenparticionescadavez m ´ asfinas,bastacondeterminarunaantiderivadadelafunci´on f ,calcularsusvaloresenlos extremosdelintervaloyobtenerladiferenciaentrelosvalores.Enotraspalabras,elproceso derealizarunaintegraldefinidasetransformaenunsimplec´alculodediferenciasdevalores deunafunci´on F (x) talque F ′(x)= f (x).
Porejemplo,paracalcularlaintegraldefinidadeunafunci´on f (x) enelintervalo [a,b],se debeencontrarunafunci´on F (x) cuyaderivada F ′(x)= f (x) yluegoaplicar:
Esteresultadosimplificaenormementeelc´alculode ´ areasbajocurvasyeslabasedemuchos m ´ etodosenelan´alisismatem´aticoylaf´ısica.
Ejemplopr´actico1:Resolverlaintegral 3 1 3x +4 (x +1)(x +2)
Paso1:Factorizar. Seobservaqueeldenominadoryaest´afactorizado: (x +1)(x +2)
Elnumeradorpuededescomponerseenfraccionesparcialesdelaforma: 3x +4 (x +1)(x +2) = A x +1 + B x +2
Paso2:Determinarloscoeficientes A y B. Semultiplicaambosladospor (x +1)(x +2) paraeliminardenominadores: 3x +4= A(x +2)+ B(x +1). A(x +2)+ B(x +1)= Ax +2A + Bx + B =(A + B)x +(2A + B) Igualarcoeficientescon 3x +4:
Para x: A + B =3
T´erminoconstante: 2A + B =4
Resolvemoselsistema:
A + B =3 2A + B =4
Restandolaprimeraecuaci´ondelasegunda: (2A + B) (A + B)=4 3 ⇒ A =1
Luego,de A + B =3,seobtiene B =2
Paso3:Reescribirlaintegral. Ahora,laintegralqueda: I = 3 1 3x +4 (x +1)(x +2) dx = 3 1 1 x +1 + 2 x +2 dx.
Paso4:CalcularlaAntiderivada. Separamosendosintegrales:
Hallamosantiderivadas:
Para 1 x+1 ,laantiderivadaes ln |x +1|
Para 2 x+2 ,laantiderivadaes 2ln |x +2|
Porlotanto,unaantiderivadade 3x+4 (x+1)(x+2) es: F (x)=ln |x +1| +2ln |x +2|
Paso5:Aplicarelsegundoteoremafundamentaldelc´alculo.
Paraelejercicio, a =1, b =3 y F (x)=ln |x +1| +2ln |x +2|.As´ı:
1. Evaluaren x =3: F (3)=ln(3+1)+2ln(3+2)=ln(4)+2ln(5)
2. Evaluaren x =1: F (1)=ln(1+1)+2ln(1+2)=ln(2)+2ln(3).
3. Calcularladiferencia:
I =[ln(4)+2ln(5)] [ln(2)+2ln(3)] ≈ 1,7148
Resultadofinal: I =ln(2)+2ln 5 3 .
Figura3.7: ´ Areabajolacurvade f (x) enelintervalo [1, 3]
Nota.Elaboraci´onpropia.
3.5. IntegralesImpropias
Lasintegralesimpropiassonunaclaseespecialdeintegralesdefinidas(integralesde Riemann)queseutilizaparacalcularel ´ areabajounacurvacuandoelintegrandonoest´a definidoentodoelintervalodeintegraci´onocuandoelintervalodeintegraci´onesinfinito.
Lasintegralesimpropiastambi´ensedefinencomoaquellasenlasquealmenosunodelos l´ımitesdeintegraci´onesinfinitooelintegrandotieneunadiscontinuidaddentrodelintervalode integraci´on.Estasintegralessonimportantesenan´alisismatem´aticoyendiversasaplicaciones delaf´ısicaylaingenier´ıa.
3.5.1. Integralesimpropiasconl´ımitesinfinitos
Definici´on3.5.1 (Integralesimpropiasconl´ımitesinfinitos). Si f (x) escontinuaparatoda x ≥ a,entoncesalaintegralimpropiaseladefinepor:
Figura3.8:Integralimpropiaconl´ımitesuperiorinfinito
Nota.Elaboraci´onpropia.
Siell´ımiteexiste,sedicequelaintegralimpropiaesconvergente,casocontrarioes divergente.
Definici´on3.5.2 (Integralimpropiaconl´ımiteinferiorinfinito). Si f (x) escontinuaparatoda x ≤ b,entoncesalaintegralimpropiaseladefinepor:
Figura3.9:Integralimpropiaconl´ımiteinferiorinfinito
Nota.Elaboraci´onpropia.
Cap´ıtulo3-Laintegraldefinida
Definici´on3.5.3 (Integralimpropiaconl´ımitesuperioreinferiorinfinitos). Si f (x) escontinua paratodoslosvaloresde x y c escualquiern´umeroreal,entoncesalaintegralimpropiasela definepor:
Figura3.10:Integralimpropiaconl´ımitessuperioreinferiorinfinitos
Nota.Elaboraci´onpropia.
Porlogeneralseconsidera c =0.Silasintegralesimpropiasexistensedicequelaintegral impropia
esconvergente,casocontrariosedicequeesdivergente.
3.5.2. Integralesimpropiasconl´ımitesfinitos
Definici´on3.5.4 (Integralimpropiaconl´ımitesuperiordiscontinuo). Sif(x)escontinuaenel intervalo a ≤ x ≤ b peroesdiscontinuaen x = b,alaintegralimpropiaseladefinepor:
Siexisteell´ımite,laintegralimpropiaesconvergente,casocontrarioesdivergente.
Definici´on3.5.5 (Integralimpropiaconl´ımiteinferiordiscontinuo). Sif(x)escontinuaenel intervalo a ≤ x ≤ b peroesdiscontinuaen x = a,alaintegralimpropiaseladefinepor:
Siexisteell´ımite,laintegralimpropiaesconvergente,casocontrarioesdivergente.
Definici´on3.5.6 (Integralimpropiaconl´ımiteintermediodiscontinuo). Sif(x)escontinuaen elintervalo a ≤ x ≤ b peroesdiscontinuaen x = c,alaintegralimpropiaseladefinepor:
Silasintegralesimpropiassonconvergentes,entonceslaintegral b a f (x) dx es convergente,casocontrarioesdivergente.
Ejemplopr´actico1:Resolverlaintegral
Paso1:Definirlaintegralimpropiacomoell´ımitedeunaintegraldefinida.
Paso2:Calcularlaintegraldefinida.
Paso3:Evaluarell´ımite.
Resultadofinal:
Ejemploadicional1:Resolverlaintegral
Paso1:Dividirlaintegralendospartes.
Paso2:Calcularlaintegral.
Paso3:Evaluarenlosl´ımites.
Sesabeque
Resultadofinal:
Ejemploadicional2:Resolverlaintegral
Paso1:Identificarladiscontinuidadyutilizarell´ımite. Lafunci´ontieneuna discontinuidaden x =0.Pararesolver,seutilizaell´ımite:
Paso2:Calcularlaintegral.
Paso3:Evaluarell´ımite.
Resultadofinal:
Ejemploadicional3:Resolverlaintegral
Paso1:Identificarladiscontinuidadyutilizarlosl´ımites. Lafunci´ontieneuna discontinuidaden x =1.Pararesolver,seutilizalosl´ımites:
Paso2:Calcularlaintegral.
Paso3:Evaluarlosl´ımites.
Resultadofinal:
Ejerciciospropuestos—Cap´ıtulo3
1. Sea f :[a,b] → R continuaynonegativa.
a) Explicarporqu´eel ´ areabajolagr´aficade f en [a,b] seinterpretacomounasuma deRiemannyescribirunaexpresi´ondesumaqueloaproxime.
b) ¿Qu´eocurreconlasumacuandolanormadelapartici´on ∥P ∥ tiendea 0.?
2. Paraunafunci´onacotada f en [a,b],redactarcuidadosamenteladefinici´on
)
f (ci)∆xi, explicandoelpapeldelospuntos ci ydelanorma ∥P ∥.Indicarbajoqu´econdici´ondicho l´ımiteexiste.
3. DemostraraniveldesumasdeRiemannque S(P,αf + βg)= αS(P,f )+ βS(P,g), yexplicarporqu´eestalinealidadesclaveparadescomponerintegralesent´erminosm´as simples.
4. Escribirlasdefinicionesdesumainferior L(P,f ) ysumasuperior U (P,f )
5. Probarque,para α,β ∈ R,
utilizandolaspropiedadesdeaditividadyhomogeneidad.
6. I = 3 2 0 x2 √9 x2 dx.
7. I = 1 0 √1 x2 dx.
8. I = 3 2 x2 +1 x (x 1)2 dx.
9. I = 1 0 3x2 +5x +2 (x +1)(x2 +4) dx.
10. I = 1 0 x 5 1+2x 3 1 2 dx.
11. Analizarelcomportamientodelaintegral I = +∞ 1 1 xr dx.
12. Analizarelcomportamientodelaintegral I = +∞ 0 erx dx.
13. I = ∞ 1 ln x x2 dx.
14. I = +∞ 0 xe x2 dx.
15. I = +∞ 2 xdx √x2 1 .
Cap´ıtulo4
Aplicacionesdelaintegraldefinidaen
ingenier´ıa
Cap´ıtulo4-Aplicacionesdelaintegraldefinidaeningenier´ıa
Introducci´on
Laintegraldefinidaesunaherramientamatem´aticafundamentalcondiversasaplicaciones eningenier´ıaycienciasaplicadas.Suutilidadradicaensucapacidadparamodelaryresolver problemaspr´acticosqueinvolucranc´alculosde ´ areas,vol´umenes,ypar´ametrosasociadosa formasydistribucionesf´ısicas.Entrelasaplicacionesm´asdestacadasseencuentranelc´alculo delcentrogeom´etrico,losmomentosest´aticoseinercialesdeunaregi´onbidimensional,as´ ı comolasfuerzasejercidasporfluidossobresuperficiessumergidas.
4.1. ´ Areaentrecurvas
Paraentenderyconceptualizarel ´ areaentrecurvas,seconsideraquelasfunciones f,g : [a,b] → R sonfuncionescontinuastalesque f (x) ≥ g(x) paratoda x ∈ [a,b]
Ahora,sepuededefiniral ´ areadeldominioplanodelimitadoporlasgr´aficasde f (curva superior), g (curvainferior)ylasrectasverticales x = a, x = b como:
Gr´aficamentetenemos:
Figura4.1: ´ Areaentrecurvas
Nota.Elaboraci´onpropia.
Laexpresi´on 4.1 provienedelaconstrucci´ondesumasdeRiemannenlasque,sobrecada subintervalo [xi,xi+1],seaproximaelespesorhorizontalpor ∆x ylaalturaporladiferencia f (x∗ i ) g(x∗ i ).Enell´ımite ∥∆x∥→ 0,dichassumasconvergenalvalordelaintegral.
Figura4.2: ´ AreaentrecurvasysubintervalosRiemann
Nota.Elaboraci´onpropia.
Observacionesimportantessobreel ´ Areaentrecurvas
Si f y g secortandentrodelintervalo [a,b],sedebepartirdichointervaloensubintervalos dondesemantengaelorden f (x) ≥ g(x).Otraopci´on,m´asdirecta,consisteenintegrar elvalorabsoluto |f g| paragarantizarqueel ´ areaseasiemprepositiva.
Cuandolaregi´ondeinter´esest´aorientadahorizontalmente,sedescribenlascurvascomo x = h(y) y x = k(y) en y ∈ [c,d],con h(y) ≥ k(y).El ´ areasecalculamediante
Figura4.3:Regi´onapiladahorizontalmenteysubintervalodeRiemann(horizontal)
Nota.Elaboraci´onpropia.
Cap´ıtulo4-Aplicacionesdelaintegraldefinidaeningenier´ıa
Ejemplopr´actico1:Calcularel ´ arealimitadaporlascurvas y =sin x y y =cos x enel intervalo [0, π 2 ].
Figura4.4: ´ Areaentre y = sin(x) y y = cos(x).
Nota.Elaboraci´onpropia.
Paso1:Localizarlospuntosdeintersecci´on. Lascurvasseigualancuando sin x =cos x =⇒ tan x =1=⇒ x = π 4 .
Portanto,laregi´onsesubdivideendossubintervalos: [0, π 4 ] y [ π 4 , π 2 ].
Paso2:Determinarcu´alcurvaessuperiorencadasubintervalo.
Paso3:Plantearlasintegralescorrespondientes.
Paso4:Evaluarlasintegrales.
Paso5:Sumarlas ´ areasparciales.
Resultadofinal:
Ejemploadicional1:Calcularel ´ arealimitadaporlascurvas
Figura4.5: ´ Areaentre
Nota.Elaboraci´onpropia.
Paso1:Localizarlospuntosdeintersecci´on.
Elintervalorelevantees
Paso2:Determinarcu´alcurvaessuperior. En
Paso3:Plantearlaintegraldel ´ area.
Cap´ıtulo4-Aplicacionesdelaintegraldefinidaeningenier´ıa
Paso4:Evaluarlaintegral. Comolaintegralespar,porsimetr´ıasetiene:
Resultadofinal:
Ejemploadicional2:Calcularel ´ arealimitadaporlasemicircunferencia x = √9 y2 y larecta x = y +3.
Figura4.6: ´ Areaentre x = √9 y2 y x = y +3
Nota.Elaboraci´onpropia.
Paso1:Localizarlospuntosdeintersecci´on.
Elintervaloverticalrelevantees 3, 0
Paso2:Determinarcu´alcurvaes“derecha”ycu´alcurvaes“izquierda”. Enestecaso sevaadeterminardemaneragr´aficacu´aleslacurvam´asala“derecha”paraas´ı,procedera plantearlaintegralyposteriormentearesolverla.Gr´aficamentesetiene:
Cap´ıtulo4-Aplicacionesdelaintegraldefinidaeningenier´ıa
Paso3:Plantearlaintegraldel ´ area.
Paso4:Evaluarlaintegral. Dividirelintegrando:
Porsustituci´ontrigonom´etrica(vistaenelcap´ıtulo2)setiene:
NOTA:Losl´ımitesdeintegraci´oncambiaronbajoelsiguienteprocedimiento:
Porlotanto, y ∈ [ 3, 0]=⇒ θ ∈ π 2 , 0
Resultadofinal:
4.2. C´alculodevol
´
umenes V
Paraentenderyconceptualizarelvolumendeuns´olido,seconsideradeunafunci´on continua: f :[a,b] −→ R, talque: f (x) ≥ 0 en [a,b].
Ahora,sisegiralaregi´oncomprendidaentrelagr´afica y = f (x),eleje x ylasrectas verticales x = a, x = b,alrededordeleje x segenerauns ´ olido.Paralafunci´on y = √x enel intervalo [0, 1] tenemos:
(a)Regi´ongeneratrizenelplano xy
(b)S´olidoderevoluci´onde y = √x
Figura4.7:Relaci´onentrelaregi´onbajolacurvayels´olidoobtenidoalgirarlaalrededordel eje x.
Nota. Elaboraci´onpropia.
Si A(x) representael ´ areadelasecci´ontransversalperpendicularaleje x enelpunto x, entoncessepuedecalcularelvolumendels´olidocomo:
V = b a A(x) dx. (4.3)
Paracalcularelvolumendeuns´olidodescritoporlaecuaci´on(4.3)sevanautilizar diferentesm´etodoscomo:
M´etododelosanillos.
M´etododeloscascaronescil´ındricos.
4.2.1. M´etododelosanillos
Elm´etododelosanillos(washers),poranalog´ıaconelt´erminoeningl´es,sefundamenta geom ´ etricamenteapartirdeunaregi´onacotadaquesiguelaleydecorrespondencia y = f (x) ≥ g(x) ≥ 0,x ∈ [a,b], yquesegiraentornoaleje x.
Figura4.8:M´etododelosanillos
Nota.ImagenadaptadadeStewart(2018).
ComoseobservaenlaFigura 4.8,elm´etododelosanillospermitecalcularelvolumen des´olidosderevoluci´oncuandoexistenradiosinterioryexterior.Paraunpunto x cualquiera, tenemos:
Par´ametro Expresi´on Significado
Radioexterior R(x)= f (x) Distanciadelacurvasuperioralejede giro.
Radiointerior r(x)= g(x) Distanciadelacurvainferioralejede giro.
´ Areadelasecci´on A(x)= π [R(x)2 r(x)2] ´ Areadelanillo.
Tabla4.1:Par´ametrosutilizadosenelm´etododearandelas.
Ejemplopr´actico1:Calcularelvolumengeneradoalgiraralrededordeleje x laregi´on limitadaporlascurvas y = √x y y = x2 .
Paso1:Localizarlospuntosdeintersecci´on. Igualarlascurvas:
Porlotanto,elintervalodeintegraci´ones [0, 1].
Paso2:Determinarcu´alcurvaessuperioreinferior. Para x ∈ [0, 1],severifica: √x ≥ x 2
Portanto: f (x)= √x (radioexterior),g(x)= x 2 (radiointerior).
Figura4.9:M´etododelosanillos:Regi´onentre f (x)= √x y g(x)= x2 en [0, 1]
Nota.Elaboraci´onpropia.
Figura4.10:S´olidogeneradoporrevoluci´onalrededordeleje x
Nota.Elaboraci´onpropia.
Paso3:Plantearlaintegraldelvolumen. Cadacorteperpendicularaleje x produceun anillode: R(x)= √x,r(x)= x 2,A(x)= π R(x)2 r(x)2 = π x x 4 Deacuerdoconlaecuaci´on(4.3):
Paso4:Evaluarlaintegral.
Resultadofinal:
Ejemploadicional1:Calcularelvolumengeneradoalgiraralrededordeleje y laregi´on limitadaporlascurvas x = y +2, x = y2 .
Paso1.Localizarlospuntosdeintersecci´on. y +2= y 2 =⇒ y 2 y 2=0=⇒ (y
Elintervaloverticalrelevantees [ 1, 2]
Paso2.Determinarcu´alcurvaes“derecha”ycu´al“izquierda”. En [ 1, 2] severifica:
Portanto, R(y)= y +2 (radioexterior)y r(y)= y2 (radiointerior).Gr´aficamentesetiene:
Figura4.11:M´etododelosanillos:Regi´onentre x = y +2 y x = y2 en y ∈ [ 1, 2]
Nota.Elaboraci´onpropia.
Paso3.Plantearlaintegraldelvolumen. Cadacortehorizontalgeneraunanillocuyo ´ area es:
Elvolumenvienedadoporlaf´ormuladeanillosentornoaleje y:
Paso4.Evaluarlaintegral.
Porconsiguiente:
Cap´ıtulo4-Aplicacionesdelaintegraldefinidaeningenier´ıa
Resultadofinal: V = 72π 5 u.c.3
Ejemploadicional2:Calcularelvolumengeneradoalgiraralrededordelarecta x = 1 laregi´onlimitadaporlascurvas x = y2 +2y +2, x = 1.
Paso1:Localizarlospuntosdeintersecci´on. Igualarlascurvas:
=⇒ (y 3)(y +1)=0=⇒ y = 1, 3.
Porlotanto,elintervaloverticaldeintegraci´ones [ 1, 3].
Paso2:Determinarcu´alcurvaes“derecha”ycu´al“izquierda”. Larecta x = 1 coincide conelejedegiro,demodoquenohayradiointerior.Elradioexteriorequivalealadistancia horizontaldesdeelejedegirohastalacurva. R(y)= y 2 +2y +2 ( 1)= y 2 +2y +3.
Figura4.12:M´etododelosanillos:Regi´onentrelacurva x = y2 +2y +2 ylarecta x = 1 en y ∈ [ 1, 3]
Nota.Elaboraci´onpropia.
Paso3:Plantearlaintegraldelvolumen. El ´ areadecadaanilloes
)=
Conformealaecuaci´on 4.3:
Paso4:Evaluarlaintegral.
4.2.2. M´etododeloscascaronescil´ındricos
Elm´etododeloscascaronescil´ındricosestafundamentadoenlogrardescomponeruna regi´onacotadadelplanoenfranjasparalelasalejedegiro.Imaginelasiguientefiguraplanay sus ´ olidoderevoluci´ongeneradoalrealizarunarotaci´onalrededordeleje y
Figura4.13:M´etododeloscascaronescil´ındricos:franjageneratrizys´olidoresultante.
Nota.ImagenadaptadadeStewart(2018).
Consid´ereseunapartici´ondelintervalo [a,b] en n subintervalosdeiguallongitud ∆x,como semuestraenlasiguientefigura.
Cap´ıtulo4-Aplicacionesdelaintegraldefinidaeningenier´ıa
Figura4.14:M´etododeloscascaronescil´ındricos
Nota.ImagenadaptadadeStewart(2012).
Porconsiguiente,elvolumendels´olidoderevoluci´onpuedecalcularsemediantela ecuaci´on 4.4.
V = b a 2πxf (x) dx donde 0 ≤ a<b. (4.4)
Unaformasencilladeentenderyrecordarlaf´ormuladelvolumenconcascarones cil´ındricosesimaginarc´omoseformacadacascar´on.Altomarunafranjaverticalauna distancia x delejedegiro,conaltura f (x),ygiraralrededordeleje y.Estegirogeneraun cilindrohueco,llamadocascar´oncil´ındrico.Cadacascar´ontiene:
Radio: x (radiopromedioentreelradiointerioryexteriordelcilindrohueco)
Circunferencia: 2πx
Altura: f (x)
Espesor: ∆x o dx
Sepuedenotarquesiseaplastaelcascar´onsepareceaunrect´angulodebase 2πx,altura f (x) ygrosor ∆x
Figura4.15:Visualizaci´ongeom´etricadeuncascar´oncil´ındricoysudesarrolloplano.
Nota.ImagenadaptadadeStewart(2018).
Poreso,elvolumendelaecuaci´on 4.4 seobtienemultiplicandolastrescantidadesy sumandotodosloscascaronesalolargodelintervalo.
Ejemplopr´actico1:Calcularelvolumendeuns´olidoderevoluci´onobtenidoalgirar alrededordelarecta x =2 laregi´onlimitadaporlapar´abola y = x2,larecta y =4 yel eje y .
Paso1:Localizardelospuntosdeintersecci´on. Igualamos x2 =4: x 2 =4=⇒ x = ±2
Comolaregi´onest´aentrelacurvayeleje y (x ≥ 0),setoma: 0 ≤ x ≤ 2
Cap´ıtulo4-Aplicacionesdelaintegraldefinidaeningenier´ıa
Paso2:Determinarelradioyalturadelafranja. Paraunvalorfijode x ∈ [0, 2]: radio r(x)= | 2 x |, altura h(x)=4 rectasuperior x 2 curvainferior =4 x 2 .
Figura4.16:Regi´ongeneratrizycascar´ont´ıpicoalaaltura x
Nota.Elaboraci´onpropia.
Paso3:Planteardelaintegral. Deacuerdoconlaecuaci´on 4.4,ysustituyendo a =0, b =2, r(x)=2 x y h(x)=4 x2,setiene:
Paso4:Evaluarlaintegral.
Cap´ıtulo4-Aplicacionesdelaintegraldefinidaeningenier´ıa
Resultadofinal: V = 40π 3 u.c.3
Ejemploadicional1:Calcularelvolumendeuns´olidoderevoluci´onobtenidoalgirar alrededordelarecta x = π/8 laregi´onlimitadaporeleje y,lacurva y =sin(x),la curva y =cos(x) ytodoelloenelprimercuadrante.
Paso1:Localizarlospuntosdeintersecci´on. Enelprimercuadrantelascurvasseigualan cuando: sin x =cos x =⇒ x = π 4 ,y = √2 2
Elintervaloen x es:
Paso2:Identificarelradioyalturadelcascar´on. Paraunvalorfijode x ∈ 0, π 4 : radio r(x)= x + π 8 , altura h(x)=cos x curvasuperior sin x curvainferior =cos x sin x.
Paso3:Plantearlaintegraldelvolumen. Deacuerdoconlaecuaci´on 4.4,setiene:
Figura4.17:Regi´ongeneratrizycascar´ont´ıpicoalaaltura x.
Nota.Elaboraci´onpropia.
Paso4:Evaluarlaintegral.
Integrarporpartes.
Entonces:
Cap´ıtulo4-Aplicacionesdelaintegraldefinidaeningenier´ıa
Evaluarenlosl´ımitesdeintegraci´on
Resultado
Resultadofinal:
4.3. Centrogeom´etricodeun ´ areaplana
Sedenominacentrogeom´etricoocentroidealcentrodegravedaddeunaregi´onsinmasa enunplano.Elcentrogeom´etricodeuncuerpomaterialcoincideconelcentrodegravedadsi elobjetoeshomog´eneo(densidaduniforme)ocuandoladistribuci´ondemateriaenelsistema tieneciertaspropiedades,talescomosimetr´ıa.
Paracalcularelcentroidedeunafiguraempleandolat´ecnicadeintegraci´on,esnecesario quesuformapuedarepresentarsemedianteunafunci´onmatem´atica.Esprecisamentelamayor
Cap´ıtulo4-Aplicacionesdelaintegraldefinidaeningenier´ıa
desventajadeestat´ecnica,debidoaquenosiempreesposibledeterminarunafunci´onpara definirlaformadeunafiguradeuncuerporeal.
Matem´aticamente,lasfuncionesrepresentanarreglosdecoordenadasrelacionadas medianteunaexpresi´onalgebraica.Lasfuncionesm´asempleadassonaquellasquedefinen l´ıneasrectasdependientecero,pendientepositiva,pendientenegativa,par´abolascuadr´aticas, c ´ ubicas,etc.Generalmente,estasfuncionessondetipogeom´etrico,loquefacilitalosc´alculos debidoaquelasintegralesqueresultandesuan´alisissonsencillasydirectas.
Sisetieneunaregi´onlimitadaporlasgr´aficas y = g(x), y = f (x) ylasrectas x = a, x = b,entonceselcentroide (¯x, y) secalculaconlassiguientesf´ormulas:
Momentosest´aticosy ´ area
Elmomentoconrespectoaleje x es:
Elmomentoconrespectoaleje y es:
El ´ areadelaregi´ones:
Figura4.18:Centroidede ´ AreaPlana.
Nota.Elaboraci´onpropia.
Cap´ıtulo4-Aplicacionesdelaintegraldefinidaeningenier´ıa
Ejemplopr´actico1:Calcularlaubicaci´ondelcentrogeom´etricodelaregi´onacotadapor lagr´aficadelafunci´on y = x2 ylagr´aficadelafunci´on y = x enelprimercuadrante.
Paso1:Localizarlospuntosdeintersecci´on. Lospuntosdeintersecci´ondelasdoscurvas, quesonlosl´ımitesdelaintegral,seobtienenresolviendoelsiguientesistemadeecuaciones:
= x
= x2 .
Pararesolverestesistemadeecuaciones,seigualalosdosvaloresde y decadaecuaci´ony seobtieneunaecuaci´oncuadr´aticacomo: x 2 = x.
Pararesolverestaecuaci´on,seigualaaceroysefactoriza:
2 x =0,x(x 1)=0
Lasra´ıcesdelaecuaci´onson: x =0,x =1
Losvaloresde y seobtienenutilizandocualquieradelasdosecuacionesdelsistemade ecuaciones.Si x = y,entonceslosdosvaloresde y son: y =0,y =1
Porlotanto,losl´ımitesdeintegraci´onson x =0 y x =1.
Paso2:Calcularel ´ areaentrelascurvas. El ´ areadelaregi´onest´adadapor:
Paso3:CalcularlosMomentosEst´aticos. Momentoconrespectoaleje x:
Momentoconrespectoaleje y:
Resolviendolaintegral:
Paso4:Calcularlascoordenadasdelcentroide. Lascoordenadasdelcentroide (¯x, y) se calculancomo:
Resultadofinal: Porlotanto,elcentroidedelaregi´onest´aen: (¯x, y)= 1 2 , 2 5
Figura4.19:Centroidede ´ AreaPlanaEjemplo.
Nota.Elaboraci´onpropia.
4.4. CentrodeMasa
Lasaplicacionesdelaintegraldefinidaenproblemasdemomentosycentrosdemasason fundamentalesencienciaeingenier´ıa,puespermitendeterminarc´omosedistribuyelamasaen unobjetoyc´omoserelacionaconsucomportamientomec´anico.Laintegraldefinidaposibilita elc´alculoprecisodelcentrodemasaylosmomentosdemasaensistemascontinuos,facilitando elan´alisisdeequilibrio,estabilidad,movimientoydise˜noenm´ultiplesdisciplinasdeingenier´ıa yf´ısica.
Elcentrodemasadeunsistemadepart´ıculasodeuncuerpocontinuoeselpuntoenelque sepuedeconsiderarqueest´aconcentradatodasumasa.Paraunadistribuci´ondemasacontinua m alolargodeunadimensi´on,lacoordenadadelcentrodemasa xcm secalculacomo xcm = My M ,My = xdm,M = dm.
Siladensidadlineal ρ(x) (masaporunidaddelongitud)noesconstante,seexpresa xcm = My M ,M
donde L eslalongitudtotaldelcuerpo.
Aplicacioneseningenier´ıayf´ısica
Disenodeestructurasym´aquinas:asegurarequilibrioyestabilidad.
An´alisisdeoscilaciones,vibracionesydin´amicadecuerposr´ıgidosodeformables.
Optimizaci´ondepesoyresistenciamedianteladistribuci´ondemasaenobjetos complejos.
Ejemplopr´actico1:Unavarilladelgadadelongitud L =4 mest´acolocadasobreeleje x desde x =0 hasta x =4.Sudensidadlinealvar´ıalinealmenteseg ´ un ρ(x)=2x [kg/m]. Hallarelcentrodemasa xcm delabarra.
Paso1:L´ımitesdeintegraci´on. Lavarillaocupa 0 ≤ x ≤ 4.
Paso2:Masatotal M .
Paso3:Momentodemasa My .
Paso4:Centrodemasa xcm.
Cap´ıtulo4-Aplicacionesdelaintegraldefinidaeningenier´ıa
Resultadofinal: xcm = 8 3 m (≈ 2,67 m)
Interpretaci´onf´ısica. Dadoqueladensidaddelabarraaumentahacialaderecha (ρ(x)=2x),elcentrodemasasedesplazahaciaelextremoderechodelabarra.Silabarra fuerauniforme,elcentrodemasaestar´ıaenelcentrogeom´etrico(x =2 m).
EjemploAdicional1:Unavarilladelgadadelongitudtotal L =4 mest´acompuestapor dostramosdediferentedensidadlineal:
Calcularlaposici´ondelcentrodemasa xcm delavarilla.
Paso1:Divisi´onentramos. Seconsideranporseparadolosdostramosconsusrespectivas densidades:
Tramo1: x ∈ [0, 2],ρ1(x)=2
Paso2:Masatotal
Paso3:Momentodemasa
Paso4:Centrodemasa
Resultadofinal:
Cap´ıtulo4-Aplicacionesdelaintegraldefinidaeningenier´ıa
Interpretaci´onf´ısica. Elprimertramo [0, 2] tienedensidad ρ1(x)=2x,quecrece linealmentede 0 a 4 kg/myaporta M1 =4 kg;elsegundotramo (2, 4] poseedensidad ρ2(x)=8 x,quedesciendede 6 a 4 kg/myaporta M2 =10 kg.Ladensidadmediade lamitadderecha ρ2 =5 kg/m esaproximadamente 2,5 vecesladelamitadizquierda ρ1 =2 kg/m ,porloquelamayorpartedelamasaseconcentraentre x =2 y x ≈ 3.No obstante,como ρ2(x) disminuyehaciaelextremo x =4,elcentrodemasas´olosedesplaza moderadamentealaderechadelpuntomedio,ubic´andoseen xcm = 52 21 m ≈ 2,48 m
Figura4.20:Centrodemasa.
Nota.Elaboraci´onpropia.
4.5. Longituddearco
Existenunsinn´umerodeaplicacionesqueinvolucranelc´alculodelongitudesdearco,entre lasm´asimportantesenelcampodelaingenier´ıasetiene:estimarlacantidaddematerial necesarioenlamanufacturadetuber´ıasflexibles,trazado ´ optimodecarreterasyv´ıasf´erreas, an ´ alisisprecisodetrayectoriasenrob´otica,animaci´ondigital,entreotros.
Longituddearcoenelplano
Paraentender,ydesarrollarunaexpresi´onquenospermitacalcularlalongituddearcose debetomarencuentaunacurvasuavecomo:
Figura4.21:Curvasuavepartidaensubintervalos
Nota.Elaboraci´onpropia.
Enlafigura 4.21 sepuedeveraunafunci´onsuave(continuaydiferenciable), y = f (x), enelintervalocerrado [a,b],sisedivide [a,b] en n subintervalos [xi 1,xi] yseunelospuntos Pi 1 = xi 1,f (xi 1) y Pi = xi,f (xi) consegmentosrectosdelongitud dsi,lasumade esaslongitudesdaunresultadoaproximadodelalongitudtotaldelacurva:
Si n →∞,seobtieneunresultadoexactodelalongituddelacurvaenelintervalocerrado [a,b] deacuerdoconlasiguienteexpresi´on
Obtenci´ondelaexpresi´on ds
Figura4.22:ds
Nota.Elaboraci´onpropia.
Cap´ıtulo4-Aplicacionesdelaintegraldefinidaeningenier´ıa
Apartirdelafiguraanteriorsepuedeobtenerlaexpresi´on ds utilizandoelteoremade pit´agoras.
Dividiendoymultiplicandopor ∆xi yhaciendo ∆xi → 0:
Longituddearcoexpresadaent´erminosdelaintegraldefinida
Tomandolaecuaci´on 4.10 yreemplazandoeldiferencial ds deacuerdoconlaecuaci´on 4.12 setiene:
Eldiferencialdelongitud ds tambi´enadmiteunarepresentaci´onalternativasilacurvase expresacomounafunci´onent´erminosdelavariable y,esdecir, x = g(y).Enestecaso,la peque ˜ nadistanciainfinitesimalpuedeescribirseenfunci´onde y as ´ ı:
Integrandorespectoaleje y,tenemos:
Estasegundaformapuedeserm´asnaturaloconvenientecuandolacurvaest´adescrita expl´ıcitamentecomo x enfunci´onde y.
Ejemplopr´actico1:Determinarlalongitudcompletadelacurvadefinidaporlaecuaci´on: x 2 3 + y 2 3 =4..
Paso1:Determinareldominiodeintegraci´on. Lafiguraquerepresentalaecuaci´on x 2 3 + y 2 3 =4 esunastroidesim´etricorespectodelosejes x y y.Porellobastacalcularlalongitud delarcoenelprimercuadrante (x ≥ 0,y ≥ 0) ymultiplicarelresultadopor 4
Figura4.23:Astroide
Nota.Elaboraci´onpropia.
Paso2:Despejar y. x
Endichocuadrante x recorrede
Paso3:Derivarlafunci´on y respectoa x
Paso4:Calcularlalongitudenelprimercuadrante.
Portanto
Lalongitudenelprimercuadranteresulta
Resultadofinal:
4.6. Momentosest´aticosymomentosdeinercia
Elprimermomentode ´ areatambi´enllamadomomentoest´aticoodeprimerorden,esuna magnitudgeom´etricaquesedefineparaun ´ areaplana.Normalmenteapareceenelcontextodel c ´ alculodevigaseningenier´ıaestructural,enparticularlatensi´oncortantemediadadaporla f´ormuladeCollignon,queesproporcionalalprimermomentode ´ areadeunasub-secci´onde lasecci´ontransversaldelaviga.
Elmomentodeinercia,tambi´endenominadosegundomomentode ´ area,esunapropiedad geom ´ etricadelasecci´ontransversaldeloselementosestructuralesyreflejaladistribuci´on demasadeuncuerpoosistemarespectoaunejedegiro.Elmomentodeinerciadepende ´ unicamentedelageometr´ıadelcuerpoydelaposici´ondelejedegiro;noest´arelacionadocon lasfuerzasqueact´uansobreelcuerpo.
Losmomentosest´aticosydeinerciasonconceptosfundamentalesenlamec´anicaaplicada yenlaingenier´ıaestructural.Estaspropiedadesgeom´etricaspermitenanalizarc´omolamasao el ´ areasedistribuyenrespectoaunejedeterminado,locualesesencialeneldise˜noyan´alisisde estructuras,m´aquinasyotrossistemasf´ısicos.Enestedocumento,sepresentanlosprincipios b´asicosparacalcularmomentosest´aticosydeinerciaendiferentessituacionesgeom´etricasy contextospr´acticos.
Acontinuaci´on,seabordancincocasosprincipalesdondeestosconceptossonaplicables: Sistemasdepuntosmateriales.
Curvasplanas.
Figurasplanas.
Superficiesderevoluci´on
S´olidos
Cap´ıtulo4-Aplicacionesdelaintegraldefinidaeningenier´ıa
Caso1:Sistemadepuntosmateriales
Considereunsistemade n puntosmaterialesconmasas m1,m2,...,mn,ubicadosenun planorespectoaunarecta L.
Figura4.24:Caso1(SistemasdePuntosMateriales).
Nota.Elaboraci´onpropia.
Elmomentoest´aticorespectoaleje L sedefinecomo:
Elmomentodeinerciarespectoaleje L est´adadopor:
Tantoparaelmomentoest´aticocomoparaelmomentodeinercia di representaladistancia delpunto i aleje L
2doCaso:Curvasplanas
Supongaquelacurva C representaunalambre(ohilo)contenidoenunplanoconrespecto aunarectafija L.
Figura4.25:Caso2(CurvasPlanas).
Nota.Elaboraci´onpropia.
Encadapuntodelacurva,asumimosqueexisteunadensidadlinealdemasa σ,lacual representalamasaporunidaddelongitud.Lamasadeunarcoelemental ds seexpresacomo: dM = σds
Observaciones:
x ± representaladistancia dM aleje L.
Elsignode x ser ´ apositivo(+)sielelemento dM seencuentraenunladoespecificado deleje.
Elsignoser´anegativo( )si dM seencuentraenelladoopuestodeleje.
Elmomentoest´aticorespectoaaleje L secalculamediante:
Elmomentodeinerciarespectoaaleje L secalculacomo:
3erCaso:Figurasplanas
Supongaqueuna“l´aminafina”tienelaformadeunaregi´on S contenidaenunplano,yque lamasadelal´aminaeshomog´enea,esdecir,queladensidadsuperficial θ (masaporunidadde ´ area)esconstante.
Figura4.26:Caso3(FigurasPlanas).
Nota.Elaboraci´onpropia.
Sea L unarectafijaendichoplano,lamasadeunrect´anguloelementalcondoslados paralelosaleje L es:
donde h eslaalturay dx labasedelrect´angulo.
Sea x ladistanciaperpendicularde R aleje L,elsignode x sedeterminadeacuerdocon lasreglasdescritasenelcasoanterior,sedefinenlosmomentosparalal´aminacomo:
Elmomentoest´aticorespectoaleje L:
Elmomentodeinerciarespectoaleje L:
4toCaso:Superficiederevoluci´on
Supongaque D eslasuperficieobtenidaporrotaci´onalrededordeleje x delacurva y = f (x),donde f (x) ≥ 0 para a ≤ x ≤ b.Losmomentosest´andefinidoscomo:
Elmomentoest´aticode D respectoaleje x:
Elmomentodeinerciade D respectoaleje x:
Donde ds eseldiferencialdelongituddearcoyestaest´adadopor:
Cap´ıtulo4-Aplicacionesdelaintegraldefinidaeningenier´ıa
5toCaso:S´olidos
Supongaque S esuns ´ olidodedensidadconstante θ,querepresentalamasaporunidadde volumen,contenidoenelespacio XYZ.Els´olidoest´alimitadoporlosplanos x = a y x = b.
Sea A(x) el ´ areadelasecci´ontransversalde S,paralelaalplano YZ,enelpunto x dentrodel intervalo a ≤ x ≤ b.Lamasadeuncilindroelementalconbase A(x) yaltura dx seexpresa como:
= θA(x) dx.
Elmomentoest´aticode S respectoalplano YZ est´adadopor:
Z = b a xdM.
Reemplazando dM enlaexpresi´ondelmomentoest´atico,obtenemos:
Laf´ormulaanterioresfundamentalparacalcularladistribuci´ondemasaens´olidos tridimensionalescondensidadhomog´enea.
Ejemplopr´actico1:Calcularelmomentoest´atico Mx yelmomentodeinercia Ix dela superficiegeneradaalgirarlacurva y =2x, 0 ≤ x ≤ 3,alrededordeleje x.
Paso1.Establecereldominiodeintegraci´on. Lageneratrizest´aenelprimercuadrante;al girar x en [0, 3] seobtienedirectamentetodalasuperficie,sinfactoresadicionalesdesimetr´ıa.
Figura4.27:MomentosEst´aticosydeInercia.
Nota.Elaboraci´onpropia.
Paso2.Plantearlaecuaci´onexpl´ıcita. y =2x.
Paso3.Calcularladerivadayelementodiferencial.
Paso4.Calcularlasintegralesdelosmomentos.
Resultadofinal:
Ejerciciospropuestos—Cap´ıtulo4
1. Hallarel ´ areadelaregi´onlimitadaporlascurvas
y = x 2 ,y =2x +3
2. Hallarel ´ areadelaregi´oncomprendidaentre
y = √xy = x 2 .
3. Hallarel ´ areadelaregi´onlimitadaporlascurvas y =cos x y y =sin x, enelintervalo [0,π].
4. Hallarel ´ areageom ´ etricatotallimitadaporlarecta y = 3x 6 2 , elejedeabscisasylasrectasverticales x =0 y x =4.
5. Hallarel ´ arealimitadaporlacurva y =6x2 3x3 yelejedeabscisas.
6. Hallarel ´ areadelaregi´ondelplanolimitadaporlacurva y =ln x, lasrectas y =0, y =2 yeleje y
7. Hallarelvolumendels´olidogeneradoalgiraralrededordeleje x laregi´onlimitadapor lascurvas
y = √x,y =0,x =4
8. Hallarelvolumendels´olidogeneradoalgiraralrededordeleje y laregi´oncomprendida entrelascurvas y = x,y = x 2 .
9. Hallarelvolumendels´olidogeneradoalgiraralrededordelarecta y =2 laregi´on comprendidaentrelascurvas
y =ln(x),y =0,x = e.
10. Hallarelvolumendels´olidogeneradoalgiraralrededordeleje x laregi´onlimitadapor y =(3x +1) 1 4 ,x =0,x =8,y =0
11. Hallarelvolumendels´olidoobtenidoalgiraralrededordeleje x laregi´oncomprendida entre
y = √49 x2,y =0
12. Hallarelvolumendels´olidogeneradoalgiraralrededordeleje x laregi´onlimitadapor y = x +1,y =0,x =0,x =2
13. Ladensidad ρ(x) deuncableenelpuntoa x cent´ımetrosdeunodelosextremosest´a dadapor
ρ(x)=3x 2 g/cm
Hallarelcentrodemasadelaporci´oncomprendidaentre x =0 y x =10
14. Hallarlalongituddearcodelagr´aficadelafunci´on
y =4√x3
desde x =1 hasta x =4.
15. Hallarlalongituddelarcodelafunci´on
y = x 2 3
desde x =1 hasta x =27.
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