Oda Heidi Bolstad Ingeborg Lid Berget
Modellering anvendingarog
Matematisk modellering i skulen
Oda Heidi Bolstad og
Ingeborg Katrin Lid Berget
Modellering og anvendingar
Matematisk modellering i skulen
universitetsforlaget
© Aschehoug AS ved Universitetsforlaget 2026
ISBN 9788215065793 Papirbok
ISBN 9788215066097 EPUB
Materialet er verna etter åndsverklova. Kopiering og tilgjengeleggjering er ikkje tillate utan samtykke frå rettshavarane, avtale med Kopinor (www.kopinor.no) eller anna kollektiv forvaltarorganisasjon, eller etter heimel i lov. Forbodet gjeld også trening av og anna bruk av materialet i kunstig intelligens, og inneber eit uttrykkeleg atterhald mot tekst- og datautvinning etter digitalmarkedsdirektivet artikkel 4.
Førespurnader om denne utgivinga kan rettast til:
Universitetsforlaget
Postboks 508 Sentrum 0105 Oslo
www.universitetsforlaget.no
Omslag: Ellen Lorenzen
Sats: ottaBOK
Trykk og innbinding: Mediehuset Andvord AS Boka er sett med: Plantin MT Pro Light 10,5/13,5
Papir: 100 g Amber Graphic
Elektronisk tilretteleggjing i EPUB-format: PHi Business Solutions Ltd.
Tusen takk til lærarar og lærarstudentar som har delt erfaringar og kome med innspel til ulike delar av boka
Innhald
Kvifor lære matematisk modellering?
Det å kunne bruke matematikk for å løyse problem i kvardagslivet, og å forstå matematikken som ligg til grunn for avgjersler i samfunnslivet, er ein viktig del av den einskilde sin livsmeistringskompetanse (Niss & Blum, 2020). Gjennom å arbeide med matematisk modellering i undervisinga legg ein til rette for at elevane utviklar matematisk kompetanse til å forstå og handle basert på den skjulte og synlege matematiske informasjonen dei blir presenterte for i samfunnet. Då er dei betre rusta for det moderne datadrivne samfunnet ved å kunne ta funderte val i det personlege liv, i arbeidslivet og samfunnslivet.
Matematisk modellering er ein arbeidsmåte som er sentral når ein skal ta avgjersler i samfunnet. Matematiske modellar ligg til grunn for vurderingar på mange samfunnsområde. Difor er det avgjerande for samfunnsborgarar å ha kompetanse for å forstå matematiske modellar. Dette er grunnen til at matematisk modellering er inkludert i læreplanane i fleire og fleire land (Geiger et al., 2025). Døme på dette er framstillingar av folketalsutvikling i ein kommune som argument for vidare skuledrift, eller at modellar som viser utviklinga av utslepp av klimagassar, blir brukte som argument for miljøtiltak.
Det kan vere utfordrande for ein lærar å legge til rette for undervising av matematisk modellering. Målet med denne boka er å vere til støtte for deg som ønsker å utvikle forskingsbasert
modellering?
undervisingskompetanse. I boka vil du finne konkrete forslag og tips til arbeid med matematisk modellering i klasserommet.
Bakgrunn
Matematikk har vore undervist i skulen i fleire hundre år. I alle desse åra har faget hatt ein dobbelfunksjon, der ein på den eine sida skal legge vekt på matematikk som ein reiskap for å kunne tenke abstrakt (danning), og på den andre sida sjå matematikk som ein reiskap for å gjere nødvendige berekningar slik at ein kan klare seg i kvardagen og utvikle samfunnet (nytte). Ein kan også ha ulike mål i arbeid med matematisk modellering. Det kan vere for å lære matematikk og matematisk tankegang eller for å lære korleis ein kan bruke matematikk i livet. Desse kan også vere overlappande (Niss & Blum, 2020). Den individuelle og samfunnsmessige funksjonen til matematikkfaget kjem tydeleg fram hos Niss (1996), som har identifisert tre fundamentale grunnar for matematikkutdanning:
• For å bidra til den teknologiske og sosioøkonomiske utviklinga av samfunnet som heilskap
• For å bidra til å oppretthalde ei politisk, ideologisk og kulturell utvikling av samfunnet
• For å sørge for at individet har nødvendige føresetnader for å handtere ulike aspekt ved livet
Desse tre grunnane tek for gitt at matematikkutdanninga kan bidra til slik samfunnsmessig og individuell utvikling. Likevel kan lærarar erfare at elevane ikkje greier å bruke det dei lærer på skulen, i andre kontekstar (De Lange, 2003). Elevane slit med å sjå samanhengar mellom ulike fagområde og situasjonar. For å bli i stand til å overføre kunnskap frå ein kontekst til ein annan må elevane få brei erfaring med å løyse problem i ulike kon-
tekstar (Steen, 2001), og innanfor forskingsfeltet matematikkdidaktikk har ein lenge argumentert for viktigheita av å involvere elevane sine kvardagsliv i matematikkundervisinga (Blum et al., 2007; De Lange, 2003).
Matematikk gir oss ein universell måte å skildre verda på og er difor eit nyttig verktøy for alle. Ein går ofte ut frå at når elevane er utrusta med dette verktøyet, så vil dei også bruke det.
Likevel viser det seg at det ikkje er fullt så enkelt. Ein kan ikkje berre få verktøyet i hendene, ein må også lære seg korleis ein skal bruke det (Boaler, 2001). Det er til dømes ikkje nok at elevar kan løyse oppstilte likningar om dei ikkje veit kva dei kan bruke likningar til. For at elevane skal klare å bruke matematikken dei lærer, må undervisinga også legge opp til at elevane får øve på å bruke matematikk. Dei må også lære å bruke den matematiske kunnskapen i ulike og varierte situasjonar, til dømes ved å løyse problem frå den verkelege verda. Døme på slike problem er å kunne orientere seg i ulike kampanjar og tilbod når ein skal kjøpe ny mobiltelefon, finne ut kor mykje måling ein treng for å måle veggane på soverommet, rekne om kor mange maskar ein skal legge opp når ein skal strikke ein genser med eit anna garn enn det som er oppgitt i oppskrifta, eller finne lengdene ein skal sage opp når ein skal snekre seg eit sykkelhopp.
Matematiske problem frå det verkelege livet finn ein i vide kontekstar, integrert med anna kunnskap om verda. Frankenstein (2010) foreslår å bruke aktuelle saker som er lagde fram i aviser eller historiske dokument. Då får elevane erfaring med å vere kritiske til påstandar som blir framstilte. Døme på dette kan vere argumentasjon for å sette ned fartsgrensa for elsparkesyklar eller kva som bør vere breidda på ein parkeringsplass. Ein må då innhente informasjon som er relevant, og gjere berekningar for å kunne sjå om påstandane er fornuftige. Ein må då reflektere over kva slags tal som blir brukte, og kvifor, og vurdere «fakta» ved å gjere utrekningar for å avsløre meir nøyaktige beskrivingar av verda. Det handlar også om å forstå kva ulike tal vil få å
seie for resultatet. Er det til dømes slik at snittbreidda på bilar har endra seg? Er det skilnad på kor breie parkeringsplassar ein treng ved ein arbeidsplass og ved eit kjøpesenter? Målet med matematiske problem frå den verkelege verda er altså at elevane skal sjå verdien av talforståing og berekningar for å forstå verda rundt seg.
Matematisk modellering i norske læreplanar
Å jobbe med modellering kan kople matematikkfaget til ulike situasjonar som i utgangspunktet ikkje er matematiske, slik at elevane tydelegare ser den praktiske nytten av å kunne matematikk. Matematisk modellering er i ei vid forståing ein arbeidsmåte der ein arbeider med matematiske problem frå den verkelege verda. Ifølgje Niss (1990) finst det fleire argument for å innføre modellering i matematikkfaget. Han hevdar at matematikk er viktig i kultur og samfunn, men denne matematikken er ofte usynleg eller skjult. Matematisk modellering har dei siste tiåra fått større plass i læreplanen i fleire land (Blum & Pollak, 2018; Geiger et al., 2025), også i Noreg (Berget & Bolstad, 2019; Erfjord, 2005). I dette delkapittelet gir me eit lite innblikk i kva plass matematisk modellering har hatt i læreplanane i grunnskulen og vidaregåande skule i Noreg. Målet om at elevane skal lære å bruke matematikk i praktiske situasjonar, finn ein i alle læreplanar. Til dømes står det i Mønsterplanen av 1974 (M74) at: «Matematikkundervisninga har som mål å gje elevane øving i å bruke matematikk på problem frå dagleglivet og frå andre fag» (Kirke- og undervisningsdepartementet, 1974, s. 132). Sjølv om ikkje modellering blir eksplisitt nemnt, blir det argumentert med at «for dei fleste som ynskjer å halde seg orienterte i dagens samfunn, er også kunnskap i alge-
bra og i læra om funksjonar og likningar, kort sagt kjennskap til bokstavtal og omgrepet variabel, både ynskjeleg og turvande. Aviser og publikasjonar elles inneheld stendig artiklar som krev slike kunnskapar for å bli fullt ut forstått. I stor utstrekning blir grafisk framstilling brukt som illustrasjonsmiddel og utrekningsforskrift, reglar for utrekninga av skattar og pensjonar t.d. blir uttrykte ved algebraiske formlar (funksjonsuttrykk)» (s. 138).
Det blir såleis framheva at ein treng matematisk kompetanse for å forstå kva som ligg til grunn for argument og avgjersler i samfunnet.
I Mønsterplanen av 1987 (M87) finn me ein eksplisitt referanse til modellering under emneområdet personleg økonomi og samfunnsøkonomi: «Innenfor samfunnsøkonomien blir det brukt matematiske modeller, og en viss innsikt i slike modeller kan gi bedre forståelse av sentrale deler av samfunnsøkonomien. Elevene må derfor ha kjennskap til hvordan matematikken brukes på det samfunnsøkonomiske området» (Kirke- og undervisningsdepartementet, 1987, s. 201). Dette sitatet uttrykker samfunnsrelevansen av matematikk og nytten ein kan ha av å ha innsikt i modellar. Det blir likevel ikkje presisert nærare kva for modellar ein skal arbeide med, og korleis.
L97 har eit eige emne som heiter matematikk i dagleglivet, der det blir nemnt at elevane skal bruke matematikk til å skildre og arbeide med situasjonar, t.d. knytte til økonomi og miljøspørsmål (Det kongelige kirke-, utdannings- og forskningsdepartement, 1996). Dette kan ein relatere til modellering, men sjølve ordet modell eller modellering er ikkje brukt eksplisitt. I LK06 er ordet tilbake i føremål for faget: «Matematisk kompetanse inneber å bruke problemløysing og modellering til å analysere og omforme eit problem til matematisk form, løyse det og vurdere kor gyldig løysinga er» (Kunnskapsdepartementet, 2006).
Modellering blir også nemnt i samband med beskrivinga av den grunnleggande ferdigheita å kunne rekne, men det er ikkje utdjupa kva modellering er. Det er heller ikkje presisert eksplisitt at modellering er noko elevane skal drive med. Med innføringa
modellering i norske læreplanar
av LK20 fekk modellering ein sentral plass i matematikkfaget.
Under «Om faget» står det at «matematikk er eit sentralt fag for å kunne forstå mønster og samanhengar i samfunnet og naturen gjennom modellering og anvendingar» (Kunnskapsdepartementet, 2019, s. 2). I tillegg er modellering og anvendingar eitt av seks kjerneelement i matematikkfaget (s. 2–3):
Ein modell i matematikk er ei beskriving av verkelegheita i matematisk språk. Elevane skal ha innsikt i korleis modellar i matematikk blir brukte for å beskrive dagleglivet, arbeidslivet og samfunnet elles. Modellering i matematikk handlar om å lage slike modellar. Det handlar òg om å kritisk vurdere om modellane er gyldige, og kva avgrensingar dei har, vurdere modellane i lys av dei opphavlege situasjonane og vurdere om dei kan brukast i andre situasjonar. Anvendingar i matematikk handlar om at elevane skal få innsikt i korleis dei skal bruke matematikk i ulike situasjonar, både i og utanfor faget.
Kjerneelementa består av sentrale omgrep, metodar, tenkemåtar, kunnskapsområde og uttrykksformer og er det elevane må lære for å kunne meistre og anvende faget (Utdanningsdirektoratet, 2019). I tillegg er modellering også eksplisitt nemnt i samband med kjerneelementet matematiske kunnskapsområde, dei to tverrfaglege temaa folkehelse og livsmeistring og demokrati og medborgarskap samt i nokre av kompetansemåla i læreplanen for matematikk.
Når det gjeld læreplanar for vidaregåande skule, har modellering hatt ein tydlegare plass enn i læreplanar for grunnskulen. I Læreplan for videregående opplæring Reform ’94 står det mellom anna under punkt 1.2 Matematikk i skolen at:
Oppgaver fra virkeligheten må veksle med oppgaver der elevene får trent opp sin matematiske intuisjon og økt sin innsikt i matematiske metoder. Når vi studerer problemer fra virkeligheten, bør elevene i størst mulig grad få være med på hele
modelleringsprosessen – de skal få øvelse i å formulere det opprinnelige problemet matematisk, velge hensiktsmessige metoder, løse problemet, og til slutt tolke og vurdere svaret i den opprinnelige situasjonen. Men elevene må også få utfordrende oppgaver fra matematikkens egen verden – oppgaver der de må gjette på sammenhenger, lete etter mønstre, lage eksempler, gjøre eksperimenter og gjennomføre simuleringer. Både når de arbeider med problemer fra virkeligheten, og når de utforsker rent matematiske spørsmål, må elevene få oppleve at matematikk ikke bare er en samling formler og algoritmer for å løse rutinemessige oppgaver, men også en verktøykasse med redskap til å løse problemer som krever fantasi og innsikt. (s. 3)
I tillegg er modellering, eksperimentering og utforsking eit eige mål i matematikk felles allment fag i alle studieretningar. Der står det mellom anna at elevane skal kunne nytte teknologiske verktøy på ein hensiktsmessig måte i modellering, utforsking og problemløysing.
Med LK06 blei læreplanane for grunnskulen og vidaregåande skule samla. I LK06 har fellesfaget matematikk for vidaregåande skule det same føremålet for faget som for grunnskulen. Her er, som presentert tidlegare, modellering nemnt. Elles er det hovudsakleg i faget 2P at arbeid med modellering er eksplisitt i kompetansemåla, der matematisk modellering var eit eige hovudområde. I LK20 for vidaregåande skule er modellering og anvendingar eit kjerneelement som gjeld for fellesfaget matematikk i alle utdanningsprogram, på same måten som for grunnskulen. Sjølv om kompetansemåla i dei ulike utdanningsprogramma i varierande grad inneheld eksplisitte referansar til modellering, er dette likevel noko alle elevane skal arbeide med.
Denne raske gjennomgangen av læreplanar i matematikk er ikkje ein formell og systematisk analyse som viser alle referan-
sar til modellering i læreplanane. Han er meint å gi eit raskt overblikk for å syne at modellering har fått ei vesentleg sterkare rolle i LK20 enn det har hatt tidlegare, særleg gjennom kjerneelementet modellering og anvendingar. I forkant av innføringa av LK20 gjorde me ein innhaldsstudie av matematikk fellesfag i LK06 og høyringsutkastet for LK20 (Berget & Bolstad, 2019). Denne studien viser at sjølve ordet modellering er brukt fleire gonger i høyringsutkastet for LK20 enn i LK06, men at høyringsutkastet ikkje er tydeleg på korleis ein skal forstå og arbeide med matematisk modellering. I den gjeldande versjonen av LK20 er modellering noko meir utdjupa og forklart, men det er likevel ikkje tydeleg nok forklart til at lærarar utan kjennskap til modellering frå tidlegare utan vidare vil forstå kva det dreier seg om. Dette er ikkje typisk for den norske konteksten. Generelt er matematisk modellering som læreplanomgrep vagt definert og omfattar mange ulike praksisar (Jablonka & Gellert, 2010; Kaiser & Sriraman, 2006). Dette er noko av grunnen til at me ville skrive denne boka, det trengs ei utgreiing om kva det vil seie å inkludere matematisk modellering i undervisinga.
Om denne boka
Det kan vere utfordrande å kome i gang med å undervise i matematisk modellering, særleg dersom ein ikkje er vand med denne arbeidsmåten frå eigen skulegang og utdanning. Målet med denne boka er å gi ei innføring i kva matematisk modellering er, og korleis ein kan arbeide med matematiske modellering i skulen. Utfordringane ein opplever kan vere ulike, og dei kan vere relaterte til elevar, lærarar, skule- eller klasseorganisering eller tilgang på materiell. Forståinga lærarar har av kva matematisk modellering i matematikkundervisinga skal vere, er ulik (Frejd, 2014), og det kan ofte vere eit gap mellom utdanningsdebatten om matematisk modellering i skulen og kva som faktisk skjer i klasseromma (Blum & Pollak, 2018).
I ein studie gjennomført i Sverige (Frejd, 2012) viste det seg at få av lærarane hadde ei klar meining om kva matematisk modellering faktisk er. Dette trass i at modellering har vore ein del av den svenske læreplanen i fleire tiår (Ärlebäck, 2009). Lærarar i den vidaregåande skulen i Noreg uttrykte at dei hadde si forståing av modellering frå læreboka og læreplanen (Berget, 2022a). Dette betyr at det kan finnast ulike forståingar av kva modellering er (Galbraith, 2012), noko som kan gjere at undervising av modellering kan vere svært ulik frå klasserom til klasserom. Tenk gjennom følgjande oppgåve: «Det kostar 22 kr per kg eple. a) Lag eit funksjonsuttrykk P(x) for prisen ein må betale, der x er talet på kg eple ein kjøper. b) Teikn grafen og avgjer kor mange kg eple ein får for 50 kr.» Er dette ei modelleringsoppgåve? Kan denne oppgåva hjelpe elevane å utvikle modelleringskompetanse? Dette vil me gjere greie for i denne boka. Undervisingskompetane i matematisk modellering er samansett og krev at læraren har kunnskap på fleire nivå. Ferri og Blum (2010) deler undervisingskompetansen til læraren i modellering inn i fire dimensjonar: teoretisk dimensjon, oppgåvedimensjon, undervisingsdimensjon og diagnostisk dimensjon. Kvar av desse dimensjonane omfattar tre element. Den teoretiske dimensjonen omfattar kunnskap om modelleringsprosessar, måla med modellering og ulike modelleringsperspektiv, og ulike typar modelleringsoppgåver. Oppgåvedimensjonen inneber evna til å løyse, analysere og utvikle modelleringsoppgåver. Undervisingsdimensjonen handlar om å kunne planlegge og gjennomføre modellering i undervisinga og kunnskap om korleis ein kan gripe inn i elevane sine modelleringsprosessar. Den diagnostiske dimensjonen inneber evna til å identifisere fasar i elevane sine modelleringsprosessar og diagnostisere eventuelle vanskar elevane måtte ha undervegs i prosessen. Denne undervisingskompetansen i matematisk modellering kan ein summere opp med desse punkta (frå Ferri & Blum, 2010):
Teoretisk dimensjon
a) Modelleringssyklusar
b) Mål og perspektiv på modellering
c) Ulike oppgåvetypar
Oppgåvedimensjon
a) Multiple løysingar av modelleringsoppgåver
b) Kognitive analysar av modelleringsoppgåver
c) Å utvikle modelleringsoppgåver
Undervisingsdimensjon
a) Planlegge undervising med modelleringsoppgåver
b) Gjennomføre undervising med modelleringsoppgåver
c) Intervensjon, støtte og tilbakemelding
Diagnostisk dimensjon
a) Kjenne igjen fasar i modelleringsprosessen
b) Kjenne igjen vanskar og manglar
c) Vurdere modelleringsarbeid
I denne boka vil me kome inn på alle dimensjonane Ferri og Blum (2010) trekker fram:
I kapittel 2 ser me på teoretiske aspekt ved matematisk modellering og gir ei teoretisk innføring i kva matematisk modellering er. Me ser på ulike typar matematikkoppgåver og drøftar kva som er ei modelleringsoppgåve, og kva som ikkje er det. Me tek også føre oss kva som er målet med å arbeide med matematisk modellering i matematikkfaget. Vidare tek me føre oss sjølve modelleringsprosessen, der arbeid med modellering blir delt inn i ulike fasar eller steg. Til slutt drøftar me kva modelleringskompetanse inneber.
I kapittel 3 tek me føre oss oppgåvedimensjonen og går nærare inn på ulike typar modelleringsoppgåver. Modelleringsoppgåver kan ha ulike mål, og aspekt og karakteristikkar ved modelleringsoppgåver vil variere ut frå kva desse måla er. Me tek her føre oss ulike måtar å karakterisere modelleringsoppgåver på. I tillegg drøftar me korleis ein kan gå fram når ein skal evaluere modelleringsoppgåver for bruk med elevar, og korleis ein kan utvikle eigne eller tilpasse eksisterande oppgåver slik at dei samsvarer med det ein ønsker å oppnå med oppgåva.
Kapittel 4 handlar om undervising i modellering. Her tek me føre oss prinsipp for planlegging av modelleringsundervising, pedagogiske praksisar for matematisk modellering og korleis ein kan støtte elevar i deira arbeid med modellering. Me drøftar også utfordringar elevar kan ha i arbeid med modellering og korleis ein kan organisere arbeid med modellering på ulike klassetrinn, og gir fleire døme frå dei lågaste klassetrinna.
I kapittel 5 drøftar me korleis ein kan gå fram når ein skal vurdere elevar sin modelleringskompetanse, altså den diagnostiske dimensjonen. Her tek me føre oss både den formative undervegsvurderinga som skjer i klasserommet frå dag til dag, og den summative sluttvurderinga. Me tek føre oss ulike vurderingsformer, som skriftlege prøver og mappevurdering, i tillegg til at me drøftar kva ein bør ta omsyn til når ein vurderer modelleringskompetanse.
I kapittel 6 samlar me trådane og kjem med nokre avsluttande kommentarar. Til slutt finst det eit oppgåveregister som gjer at ein enkelt kan finne fram att til oppgåvedøma me har drøfta i boka. Me har også samla eit lite utval norske og engelske nettsider og lærebøker der ein kan lese meir om modellering og hente tips og bli inspirert til å utvikle og tilpasse fleire modelleringsoppgåver.
Matematisk modellering i skulen er eit stort forskingsfelt innanfor matematikkdidaktikken. I denne boka presenterer me ulike teoretiske perspektiv knytte til matematisk modellering. Me har òg tolka og tilpassa internasjonal forskingslitteratur til ein norsk
skulekontekst. I tillegg gir me illustrerande døme på korleis ein kan arbeide med matematisk modellering med eigne elevar. Boka er altså praksisnær. Sjølv om modellering har fått ein sentral plass i matematikkfaget, inneheld læreplanen i liten grad rettleiing om korleis matematisk modellering i skulen kan sjå ut. Motivet vårt for å skrive denne boka er difor nettopp å gi ei innføring i kva modellering er, og korleis ein kan arbeide med det, slik at lærarar og lærarstudentar blir betre rusta til å ta i bruk modellering i undervisinga si ved å gjere bevisste og reflekterte val.
Teoretisk utgangspunkt for matematisk modellering
Ordet modell blir brukt på ulike måtar i dagleglivet. Det kan til dømes bety eit mønster eller ein mal, ein bestemt variant av eit produkt som bil eller båt, eller ein person som viser fram klede og sko og liknande. Ein modell kan også vere ein konstruksjon for å vise fram ei forstørring eller forminsking av noko som finst, til dømes ein modell av solsystemet, det indre øyret eller eit modellfly. Også i skulen kan modell og modellering ha ulik tyding. Eitt døme er situasjonar der læraren modellerer i undervisinga. I dette tilfellet er modellen gjerne eit slags ideal eller noko rettleiande, eit døme til etterfølging. Til dømes kan læraren vise på tavla korleis ei oppgåve skal løysast, og så skal elevane deretter løyse ei liknande oppgåve på same måten. Dette er noko anna enn matematisk modellering. I arbeid med matematisk modellering er det eit mål at elevane skal finne sine eigne måtar å løyse problemet på, og sjølve ta avgjersler og bestemme føresetnader i løysingsprosessen. Det er difor ikkje hensiktsmessig at læraren fortel kva framgangsmåte dei skal velje. I dette kapittelet ser me nærare på teoretiske aspekt ved matematisk modellering. Hensikta med det er å skape god forståing for kva matematisk modellering er, og såleis legge eit solid grunnlag for arbeidet med matematisk modellering i matematikkundervisinga.
på modelleringsoppgåver og andre oppgåver
Matematisk modellering er ein prosess som startar med eit problem eller ein situasjon frå den verkelege verda. Denne situasjonen forenklast slik at han kan skildrast med matematisk språk. Dette blir kalla matematisering. Ein har då ein matematisk modell av situasjonen frå verkelegheita. Vidare gjer ein nødvendige berekningar og kjem fram til ei matematisk løysing på problemet. Denne løysinga må så tolkast i lys av den opphavlege situasjonen frå verkelegheita og vurderast opp imot til denne. Kanskje finn ein svakheiter ved løysinga, eller det dukkar opp nye moment ein ikkje har tenkt på, som gjer at ein må gå gjennom prosessen ein gong til før ein finn svar på det opphavelege problemet. Utover i kapittelet vil me i større grad teoretisere modelleringsprosessen, men fyrst tek me føre oss målet med å drive med matematiske modellering i undervisinga. Vidare ser me på ulike typar matematikkoppgåver og ulike framstillingar av modelleringsprosessen før me diskuterer kva det inneber å ha modelleringskompetanse.
Skilnaden på modelleringsoppgåver og andre oppgåver
Kva kjenneteiknar ei modelleringsoppgåve, og korleis skil ho seg frå andre oppgåvetypar i matematikk? I dette delkapittelet vil me gi døme på oppgåver som ikkje kan karakteriserast som ei modelleringsoppgåve, og med utgangspunkt i dette beskrive ei modelleringsoppgåve. Føremålet med dette er å tydeleggjere kva ei modelleringsoppgåve er, og å få fram korleis modelleringsoppgåver skil seg frå andre typar matematikkoppgåver.
I modelleringsoppgåver tek ein utgangspunkt i situasjonar frå kvardagslivet. Men oppgåver av typen «Hedda og Henrik har til saman 38 klinkekuler. Hedda har 4 fleire enn Henrik. Kor mange har kvar av dei?» er ikkje ei modelleringsoppgåve. Her er all nødvendig informasjon gitt, og her er eit gitt fasitsvar. Ein treng ikkje å ha kunnskap om klinkekuler for å løyse oppgåva. Ein
utgangspunkt for matematisk modellering
treng altså ikkje for alvor å involvere seg i den praktiske situasjonen. Spørsmålet som er stilt, er heller ikkje særleg realistisk. Oftast veit barn kor mange klinkekuler dei har, så spørsmålet som er stilt i oppgåva, er ikkje eit realistisk spørsmål som kunne blitt stilt i dagleglivet. Då er det ikkje ei modelleringsoppgåve, men det Ferri (2018) kallar ei pseudo-realistisk oppgåve, ei oppgåve som kan sjå ut som ho er realistisk, men ikkje er det.
Oppgåver der all informasjon er gitt for å kunne løyse oppgåva, eller der elevane berre må utføre gitte algoritmar for å finne løysingane, er ikkje modelleringsoppgåver. Dette gjeld oppgåva frå kapittel 1 om å uttrykke prisen for eple som ein funksjon av kor mykje ein kjøper. Det er altså ikkje slik at alle oppgåver som tek utgangspunkt i kvardagslivet, er modelleringsoppgåver.
Lesh og Zawojewski (2007) lyftar fram skilnaden på å gjere praksis matematisk og å gjere matematikk praktisk. Matematisk modellering inneber å gjere praktiske situasjonar matematisk, at ein startar med eit problem som i utgangspunktet ikkje er matematisk, og matematiserer dette for å kunne gi eit svar på spørsmålet. Det vil seie at ein sjølv må «trekke ut» det matematiske i situasjonen, og formulere det ved hjelp av matematisk språk.
Medan klinkekuleoppgåva er utforma ved at matematikken er gjort praktisk. Utgangspunktet er likningssettet x + y = 38 og x = y + 4 som er ikledd ein «praktisk» situasjon om Hedda, Henrik og klinkekuler. Dette blir gjerne kalla tekstoppgåver eller pseudo-realistiske problem. Eit anna omgrep er ikledde oppgåver (dressed-up tasks), som mellom anna Vos (2020) brukar, at matematikkoppgåver blir ikledd ein praktisk kontekst. I ei modelleringsoppgåve går ein heller ut ifrå eit faktisk problem frå kvardagslivet. Oppgåva med prisen på epla kan ein formulere som eit problem frå kvardagslivet, men ein møter sjeldan problem med ordlyden «lag eit funksjonsuttrykk». Det er også vanskeleg å kjøpe eple for nøyaktig 50 kr når ein får oppgitt at pris per kg er 22 kr.
Ein kan sjå matematisk modellering i samanheng med matematisk problemløysing , og her er det ulike syn. Fulton (2021)
Skilnaden på modelleringsoppgåver og andre oppgåver
ser på problemløysing som noko overordna som inkluderer både tekstoppgåver, anvendingar av matematikk og modellering (sjå figur 2.1).
Problemløysing
Autentiske problem
Tekstoppgåver
• Konteksten har ikkje noko å seie for problemet
• Klar løysingsstrategi
Anvendingar
• Omsette frå kvardagsliv til matematikk
• Kan vere open løysingsstrategi
• Eitt svar, ikkje syklisk prosess
Modellering
• Omsette frå kvardagsliv til matematikk
• Er open løysingsstrategi
• Ikkje eitt rett svar, syklisk prosess
STEMaktivitetar
Figur 2.1: Samanheng mellom ulike matematikkoppgåver (Fulton, 2021, s. 170, omsett av forfattarane).
Tekstoppgåver og anvendingsoppgåver er ofte stiliserte, og matematikken er tydeleg til stades. Det er lite tolking mellom den verkelege verda og matematikk. Løysingsstrategien er ofte bestemt på førehand og ganske klar, og det er gjerne berre ei løysing. Modelleringsoppgåver tek utgangspunkt i den verkelege verda, og ein må formulere eit matematisk problem. Løysingsstrategien er ikkje beint fram, og det finst ikkje eitt rett svar.
Ein måte å omtale tverrfagleg arbeid innanfor teknologi og realfag på er STEM. Det er eit akronym brukt i undervisingssamanhengar og står for Science, Technology, Engineering og Mathematics. STEM-aktivitetar eller problembaserte oppgåver er ofte frå komplekse og autentiske kontekstar, men det faglege målet er ikkje nødvendigvis innan matematikk. Det er måten matematikk blir brukt på, som skil modellering frå andre matematiske og utforskande aktivitetar formulerte i ein kontekst
utgangspunkt for matematisk modellering
frå den verkelege verda. Ein STEM-aktivitet kan altså også vere ein modelleringsaktivitet, men ikkje alle er det. Til dømes kan arbeid med programmerbare robotar i klasserommet vere ein STEM-aktivitet. Men dersom matematikken ikkje blir avdekka og arbeidd eksplisitt med, er aktiviteten i liten grad aktuell for matematikkfaget.
Brown og Stillman (2001) skil mellom modellering og anvendingar ut ifrå kva prosess som er mest vektlagt i arbeidet med oppgåva. I modellering legg ein vekt på korleis ein forenklar, og kva ein tek omsyn til når ein skal matematisere ein kvardagssituasjon, medan ein innanfor anvendingar av matematikk konsentrerer seg mest om å tolke matematiske svar inn i ein gitt kontekst, der det oftast er eitt rett svar. Dette er i tråd med slik Fulton (2021) presenterer det, at innanfor anvendingar av matematikk er oppgåvene meir lukka, og det handlar om å bruke matematikken framfor å gjere tolkingar og val når ein skal matematisere. Oppgåva om pris på eple i butikken kan ein plassere innanfor å anvende matematikk. For ein må bruke matematikk for å finne ut kor mange kg eple ein kan kjøpe for 50 kr. Ut ifrå informasjonen som er oppgitt i oppgåva, at det kostar 22 kr per kg, er det eitt riktig svar, at ein kan kjøpe 50 kr 22 kr/kg = 2,3 kg eple. Dersom ein heller skulle formulert ei open oppgåve, kunne det vore «kva kostar eitt eple?». For å svare på dette spørsmålet må ein gjere tolkingar og val. Skal ein finne ei snittvekt på eple? Eller sette opp ytterpunkt for små og store eple og gi svaret som eit intervall? Skal ein gå ut ifrå ein bestemt pris per kg frå ein gitt butikk no? Eller skal ein rekne ut kva det kostar per eple i ein pakke med seks eple? Skal ein gi svaret som ein graf der ein ser utviklinga over det siste året, med svingingar som følgje av eplesesongen, og legge til forventa prisvekst for det neste året? Lesh og Doerr (2003) skriv at skilnaden på modellframkallande aktivitetar og «tradisjonelle læreboktekstoppgåver» er at i tekstoppgåver er målet å få rett svar, medan i modellframkallande aktivitetar er det sjølve prosessen som er målet. Så prosessane blir ikkje sette på som ein måte å kome fram til målet
og andre oppgåver
på, å finne svaret, men dei er målet i seg sjølv. Prosessen er produktet. Dei framstiller det skjematisk som vist i figur 2.2. Her blir modellframkallande aktivitetar sette på som overordna, medan problemløysing er ei undermengd av dette, og oppgåver som involverer anvendt problemløysing, er ei undermengd av problemløysing.
Tradisjonelle syn
Anvendt problemløysing er sett på som eit spesialtilfelle av tradisjonell problemløysing
Problemløysing
Anvendt problemløysing
Å lære å løyse «verkelegheitsnære» problem involverer tre steg:
1. Fyrst lære dei nødvendige ideane og ferdigheitene i dekontekstualiserte situasjonar.
2. Lære generelt innhald uavhengig av problemløysingsprosessar og heuristikkar.
3. Til slutt (viss tida strekk til) lære å bruke dei føregåande ideane, ferdigheitene og heuristikkane i kaotiske «verkelegheitsnære» situasjonar der ein også treng tilleggsinformasjon.
Modelleringsperspektiv
Tradisjonell problemløysing er sett på som eit spesialtilfelle av modellframkallande aktivitetar.
Modellframkallande aktivitetar
Problemløysing
Å løyse meiningsfulle problem er vurdert som enklare enn å løyse problem der meiningsfull tolking (ved parafrasering, teikning av diagram, osb.) må skje før ein kan vurdere fornuftige løysingssteg. Forståing er ikkje noko som blir sett på som «alt eller ingenting». Idear utviklar seg, og dei fleste omgrepa, prosessane og ferdigheitene som trengs for å løyse «verkelegheitsnære» problem, er på eit mellomstadium i utviklinga.
Figur 2.2: Lesh og Doerr (2003, s. 4) si inndeling av tradisjonelle tekstoppgåver og modellering, omsett av forfattarane.
Samanlikna med framstillinga av Fulton (2021) ser Lesh og Doerr (2003) ut til å ha eit anna syn på kva som er det overordna omgrepet av problemløysing og modellering. Men ein må vere merksam på at det Lesh og Doerr omtalar som modellframkallande aktivitetar, ikkje er heilt det same som matematisk modellering slik det er omtala av Fulton (2021). Modellframkallande aktivitetar er ikkje nødvendigvis matematisering av ein kvardagssituasjon, men heller å lage modellar for å forstå matema-
utgangspunkt for matematisk modellering
tikk ved å konkretisere abstrakte, matematiske omgrep gjennom ein konkret modell. Eit døme på ein modellframkallande aktivitet kan vere å lage ein generell modell som ein bakar kan bruke kvar dag for å avgjere kor mange bollar og brød han bør bake. For å utvikle modellen kan elevane få tilgang til salstal, og eventuelt innhente informasjon om vêr, og sjekke om det var spesielle arrangement eller merkedagar som påverka salet. Løysinga av oppgåva er då modellen i seg sjølv og forklaringane til kva som ligg til grunn for modellen. I ei modelleringsoppgåve er det ikkje modellen i seg sjølv, men det svaret modellen gir, som er løysinga. Eit døme på ei modelleringsoppgåve kan vere at elevane i 7. klasse skal overnatte på skulen. Kor mange brød bør dei kjøpe inn til frukosten? Her skal ein kome fram til eit konkret svar på spørsmålet ein har, og elevane må bruke matematikk for å finne ut av det. Også i slike oppgåver er det nødvendig å forklare kva ein har lagt til grunn, for å argumentere for at svaret er gyldig.
I det danske rammeverket av Niss og Jensen (2002) og Niss og Højgaard (2019) er matematisk kompetanse delt inn i åtte overlappande kompetansar, der problemløysingskompetanse og modelleringskompetanse er to av dei. Skiljet mellom modelleringskompetanse og problemløysingskompetanse er presentert ved at modelleringskompetanse handlar om å involvere seg i kvardagssituasjonen og sette seg inn i problemet der, medan ein i problemløysingsoppgåver for alvor ikkje treng å engasjere seg i kvardagssituasjonen. Modelleringskompetanse og problemløysingskompetanse blir sett på som sidestilte og overlappande kompetansar med ulik kjerne (Jensen, 2009).
Kjernen i matematisk problemløysingskompetanse handlar om korleis ein handterer frustrasjon over å vere kognitivt fastlåst, at ein ikkje veit korleis ein skal gå fram. Til samanlikning er matematisk modellering ein arbeidsprosess der ein vesentleg karakteristikk er behovet for avgrensing og presisering. Hovudutfordringa innanfor modelleringsprosessen kan vere «handlingslammelse grundet de mange forskellige veje man kan gå og fraværet af et udleveret kompas at navigere med» (Jensen,
Kva er eigentleg matematisk modellering? Korleis ser matematisk modellering ut i klasserommet? Og korleis kan lærarar støtte elevar i å utvikle modelleringskompetanse?
Modellering og anvendingar – matematisk modellering i skulen gir lærarstudentar og lærarar ei grundig innføring i matematisk modellering. Boka er praksisnær og inneheld oppgåveidear og døme frå skulekvardagen. Du får tips til arbeid med matematisk modellering i klasserommet og korleis du kan gjere undervisninga meir praktisk og relevant.
Forfattarane av boka underviser matematikk i lærarutdanninga og har bakgrunn som lærarar i grunnskule og vidaregåande skule. Dei forskar på matematisk modellering og bruken av matematikk i dagleglivet og samfunnet. Boka er utforma med bakgrunn i forfattarane sine erfaringar frå undervising og forsking, og dei har lagt vekt på å knyte saman teori og praksis. Boka tek føre seg pedagogiske og didaktiske prinsipp for undervisning av modellering og vurdering av elevane sin modelleringskompetanse.
Modelleringoganvendingar–matematiskmodelleringiskulen gir deg verktøya du treng for å undervise matematisk modellering. Boka er aktuell for lærarar og studentar som tek lærarutdanning.
Oda Heidi Bolstad er førsteamanuensis i matematikkdidaktikk ved Høgskulen i Volda og forskar på matematisk literacy, matematisk modellering og inkluderande matematikkundervisning.
Ingeborg Katrin Lid Berget er førsteamanuensis i matematikkdidaktikk ved Høgskulen i Volda der ho mellom anna underviser og forskar på matematisk modellering i undervisinga.
ISBN 9788215065793
