Huiswerkopgaven ter voorbereiding op de Proefstudeerdag Wiskunde: Waar komen die 9’s toch vandaan? De Stelling van Midy Vrijdag 22 november 2024
1
Decimale ontwikkelingen
We schijven getallen normaal gesproken in hun decimale ontwikkeling. Dat betekent dat we 2024, 1122 moeten lezen als 1 2 2 1 2 · 103 + 0 · 102 + 2 · 101 + 4 · 100 + 1 + 2 + 3 + 4 . 10 10 10 10 Als een getal tussen 0 en 1 ligt, dan heeft het de vorm a1 a3 a2 0, a1 a2 a3 · · · = + 3 + ··· + 10 102 10 voor een of ander rijtje decimalen a1 , a2 , a3 , . . . dat bestaat uit allemaal cijfers tussen 0 en 9. Als dit rijtje cijfers zich op een gegeven moment gaat herhalen, dan heet de decimale ontwikkeling periodiek en de lengte van het kleinste blok cijfers dat zich steeds herhaalt heet de periode van de ontwikkeling. Opgave 1 3 1 4 4 13 13 3 2 (a) Bereken de decimale ontwikkeling van de getallen 27 , 11 , 13 , 17 , 21 , 29 , 31 , 77 , 99 . (b) Schrijf voor ieder van deze getallen het kleinste blok cijfers op dat zich steeds herhaalt. (c) Bekijk de blokken uit (b) voor getallen met een decimale ontwikkeling met een even periode en waarvoor de noemer een priemgetal is. (Een priemgetal is een geheel getal groter dan 1 dat alleen door zichzelf en door 1 deelbaar is.) Valt je iets op als je de eerste helft van de cijfers vergelijkt met de tweede helft?
Voor de volgende opgave kun je de meetkundige reeks gebruiken. Voor een getal r tussen 0 en 1 heet de reeks 1 + r + r2 + r3 + r4 + r5 + · · · de meetkundige reeks en er geldt dat 1 1 + r + r2 + r3 + r4 + r5 + · · · = . 1−r Opgave 2 Een getal heeft een periodieke decimale ontwikkeling als het te schrijven is als 0, a1 a2 · · · an a1 a2 · · · an a1 a2 · · · , voor zeker cijfers a1 , a2 , . . . , an en een zeker n ≥ 1. Gebruik de meetkundige reeks om te laten zien dat a a2 an 10n 1 . 0, a1 a2 · · · an a1 a2 · · · an a1 a2 · · · = + 2 + ··· + n 10 10 10 10n − 1 Uit Opgave 2 volgt dat een getal met een periodieke decimale ontwikkeling altijd een rationaal getal is.
2
Modulo
Voor ieder geheel getal q ≥ 2 kunnen we congruentie modulo q definiëren door te zeggen dat twee gehele getallen k, ` congruent zijn modulo q als k−` q weer een geheel getal is. We schrijven dan k ≡ ` (mod q). Voorbeeld: 16 ≡ 1 (mod 5), want 16−1 = 3. 5 Een andere manier om hierover na te denken is dat k ≡ ` (mod q) als er een geheel getal m is zodat k = mq + `. In het voorbeeld, 16 = 3 · 5 + 1. 1