Dewiskundevanhetjongleren
ProefstuderenWiskunde,Leiden,10april2026
RonaldvanLuijk
Jongleurszijnaleeuwenopzoeknaarnieuwejongleerpatronen.Inditcollegebesprekenweeen beschrijvingvan alle mogelijkerepeterendepatronen.Enkelevandezepatronenzullenookdaadwerkelijkgegooidworden,waarondereennieuwpatroondatdoorwiskundigenindejongleerwereld isge¨ıntroduceerd.
Hethuiswerkvoorditcollegebestaatuithetlerenvanenkelebasisbegrippenuitdewiskunde dietijdenshetcollegegebruiktzullenworden.Dezebegrippenkomeninheteerstesemestervan debachelorookuitvoerigaanbod.Alsvoorbereidingophetcollegezijnopgaven1,2en4het belangrijkst.
1. Verzamelingen
Webeginnenmetdenotatievoorenkeleverzamelingen.
• Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} isdeverzamelingvanalle gehele getallen.
• R isdeverzamelingvanalle re¨ele getallen.
• R>0 isdeverzamelingvanalle positieve re¨elegetallen.
• R≥0 isdeverzamelingvanalle niet-negatieve re¨elegetallen.
Denotatie‘x ∈ X’betekentdat x eenelementisvandeverzameling X. Zobetekentdenotatie‘r ∈ R>0 ’bijvoorbeelddat r eenpositiefre¨eelgetalis.
Denotatie‘x1 ,x2 ,...,xn ∈ X’betekentdat x1 ,x2 ,...,xn allemaalelementenzijnvan X Wenoemeneenverzameling X eindig als X maareindigveelelementenbevat.
2. Functies
Als f eenfunctieisvaneenverzameling A naareenverzameling B,dannoemenwedeverzameling A het domein van f endeverzameling B het codomein van f .Defunctie f stuurtelk element a van A naarzijnbeeld f (a)in B.Alswehetdomeinenhetcodomeinvan f willen aangeven,danschrijvenwe
f : A → B
voordezefunctie.Enkelevoorbeeldenzijn:
• defunctie F : R → R gegevendoor F (x)= x2 vooralle x ∈ R;
• defunctie G : R>0 → R gegevendoor G(x)= x2 vooralle x ∈ R>0 ;
• defunctie H : R≥0 → R≥0 gegevendoor H(x)= x2 vooralle x ∈ R≥0 ;
• defunctie K : R → R gegevendoor K(x)=sin(x)vooralle x ∈ R;
• defunctie L : R → R gegevendoor L(x)= ex vooralle x ∈ R;
• defunctie M : R → R>0 gegevendoor M (x)= ex vooralle x ∈ R
Merkopdatbijvoorbeeld F en G verschillendefunctieszijn,wantzehebbenverschillendedomeinen. Ook L en M zijnverschillendefuncties,wantdiehebbenverschillendecodomeinen.Hetdomein enhetcodomeinzijnonderdeelvandefunctie!
3. Eigenschappenvanfuncties
Stel A en B zijnverzamelingenen f : A → B iseenfunctie.
Wenoemen f injectief alsvoorelketweeelementen a,a′ ∈ A met a = a′ geldt f (a) = f (a′).
Wenoemen f surjectief alservoorelkelement b ∈ B eenelement a ∈ A ismet f (a)= b.
Wenoemen f bijectief als f zowelinjectiefalssurjectiefis.
Metanderewoorden,eenfunctie f : A → B issurjectiefalselkelement b ∈ B hetbeeldisvan minstens ´e´enelement a ∈ A,terwijl f injectiefisalselkelement b ∈ B hetbeeldisvan hooguit ´e´enelement a ∈ A.Defunctie f isbijectiefalselkelement b ∈ B hetbeeldisvan precies ´e´en element a ∈ A
Opgave1.Bepaalvandefuncties F,G,H,K,L,M ofzeinjectiefzijn,ofzesurjectiefzijnenof zebijectiefzijn.
Opgave2.Geefeenfunctiediewelsurjectief,maarnietinjectiefis.
Opgave3.Stel A en B zijnverzamelingenen f : A → B iseenbijectievefunctie.Laatziendat erdaneenfunctie g : B → A iszodanigdatvoorelke a ∈ A geldt g(f (a))= a envoorelke b ∈ B geldt f (g(b))= b.[Wenoemendezefunctie g de inversefunctie van f enschrijvenvaak g = f 1 .]
Opgave4.Welkevandefuncties F,G,H,K,L,M hierbovenzijnbijectief(zieopgave1)?Wat zijndebijbehorendeinversefuncties?
4. Functiestusseneindigeverzamelingen
Opgave5.Stel A en B zijneindigeverzamelingenen f : A → B iseenfunctie.
(1)Laatziendatals f injectiefis,dat B danminstenszoveelelementenbevatals A.
(2)Laatziendatals f surjectiefis,dat A danminstenszoveelelementenbevatals B.
(3)Concludeerdatals f bijectiefis,dat A en B danevenveelelementenbevatten.
Opgave6.Stel A en B zijneindigeverzamelingenmetevenveelelementenen f : A → B iseen functie.
(1)Laatziendatals f injectiefis,dat f danooksurjectief(endusbijectief)is.
(2)Laatziendatals f surjectiefis,dat f danookinjectief(endusbijectief)is.
5. Jongleerfuncties
Een permutatie vaneenverzameling X iseenbijectievefunctievan X naar X zelf.
Tijdenshetcollegezullenwedefini¨erenwateen jongleerfunctie is.Eenvoorbeeldisdefunctie P : Z → Z gegevendoor
P (a)= a +1als a evenis, a +3als a onevenis.
Wezullenbesprekenof P eenpermutatievan Z is.
Omnogmeervoorbeeldentekunnengeven,introducerenweeersteennieuwenotatie.Als n eenpositiefgeheelgetalisen a iseenwillekeuriggeheelgetal,dannoterenwederestvan a bij delingdoor n als[a]n.Dezerestiseengetaltussen0en n 1(inclusief0en n 1).Ergeldt bijvoorbeeld
[7]3 =1, want7=2 3+1, [35]8 =3, want35=4 · 8+3,en [ 11]8 =5, want 11= 2 8+5.
Tijdenshetcollegezullenweuitzoekenhoewesnelkunneninzienoffunctieszoals
Q(a)=
a +4als[a]3 =0, a +4als[a]3 =1, a +1als[a]3 =2 en R(a)=
a +10als[a]3 =0, a +4als[a]3 =1, a +2026als[a]3 =2 permutatieszijnvan Z.Wezullenziendatditonsinstaatsteltomallerepeterendejongleerpatronentebeschrijven.
Opgave7*.Kunjealvoorhetcollegezienofdefuncties P , Q en R permutatiesvan Z zijn?