De wiskunde van het jongleren Proefstuderen Wiskunde, Leiden, 10 april 2026 Ronald van Luijk Jongleurs zijn al eeuwen op zoek naar nieuwe jongleerpatronen. In dit college bespreken we een beschrijving van alle mogelijke repeterende patronen. Enkele van deze patronen zullen ook daadwerkelijk gegooid worden, waaronder een nieuw patroon dat door wiskundigen in de jongleerwereld is geı̈ntroduceerd. Het huiswerk voor dit college bestaat uit het leren van enkele basisbegrippen uit de wiskunde die tijdens het college gebruikt zullen worden. Deze begrippen komen in het eerste semester van de bachelor ook uitvoerig aan bod. Als voorbereiding op het college zijn opgaven 1,2 en 4 het belangrijkst. 1. Verzamelingen We beginnen met de notatie voor enkele verzamelingen. • Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} is de verzameling van alle gehele getallen. • R is de verzameling van alle reële getallen. • R>0 is de verzameling van alle positieve reële getallen. • R≥0 is de verzameling van alle niet-negatieve reële getallen. De notatie ‘x ∈ X’ betekent dat x een element is van de verzameling X. Zo betekent de notatie ‘r ∈ R>0 ’ bijvoorbeeld dat r een positief reëel getal is. De notatie ‘x1 , x2 , . . . , xn ∈ X’ betekent dat x1 , x2 , . . . , xn allemaal elementen zijn van X. We noemen een verzameling X eindig als X maar eindig veel elementen bevat. 2. Functies Als f een functie is van een verzameling A naar een verzameling B, dan noemen we de verzameling A het domein van f en de verzameling B het codomein van f . De functie f stuurt elk element a van A naar zijn beeld f (a) in B. Als we het domein en het codomein van f willen aangeven, dan schrijven we f: A→B voor deze functie. Enkele voorbeelden zijn: • de functie F : R → R gegeven door F (x) = x2 voor alle x ∈ R; • de functie G : R>0 → R gegeven door G(x) = x2 voor alle x ∈ R>0 ; • de functie H : R≥0 → R≥0 gegeven door H(x) = x2 voor alle x ∈ R≥0 ; • de functie K : R → R gegeven door K(x) = sin(x) voor alle x ∈ R; • de functie L : R → R gegeven door L(x) = ex voor alle x ∈ R; • de functie M : R → R>0 gegeven door M (x) = ex voor alle x ∈ R. Merk op dat bijvoorbeeld F en G verschillende functies zijn, want ze hebben verschillende domeinen. Ook L en M zijn verschillende functies, want die hebben verschillende codomeinen. Het domein en het codomein zijn onderdeel van de functie!
3. Eigenschappen van functies Stel A en B zijn verzamelingen en f : A → B is een functie. We noemen f injectief als voor elke twee elementen a, a′ ∈ A met a ̸= a′ geldt f (a) ̸= f (a′ ). We noemen f surjectief als er voor elk element b ∈ B een element a ∈ A is met f (a) = b. We noemen f bijectief als f zowel injectief als surjectief is. Met andere woorden, een functie f : A → B is surjectief als elk element b ∈ B het beeld is van minstens één element a ∈ A, terwijl f injectief is als elk element b ∈ B het beeld is van hooguit één element a ∈ A. De functie f is bijectief als elk element b ∈ B het beeld is van precies één element a ∈ A. Opgave 1. Bepaal van de functies F, G, H, K, L, M of ze injectief zijn, of ze surjectief zijn en of ze bijectief zijn. 1