Pappus–Pascal:vanPerspectieftotProjectief
ProefstuderenWiskunde,UniversiteitLeiden,10april2026
EmmaBrakkee
Alsjeietsinperspectieftekent,danblijvenhoekenenafstandennietbehouden:
Rechtelijnenblijvenwelrecht.Wezijndaaromge¨ınteresseerdinde“rechtheid”vanvormenin deruimte.Hetformelewoordvoor“recht”is lineair.
Wezullendevolgendenotatieenvoorkennisgebruiken:
• R isdeverzamelingvandegehelegetallen.
• R2 ishet xy-vlak:
Eenpuntin R2 zullenwenoterenals(x,y),ofookwel( x y ),alsweerovernadenkenalseen vector.Deoorsprong O ishetpunt(0, 0)waardeassenelkaarsnijden.Waarschijnlijkhebje geziendatjevectorenkuntoptellen: x y + x′ y ′ = x + x′ y + y ′ of(x,y)+(x ′ ,y ′ )=(x + x ′ ,y + y ′ )
Of,metbehulpvaneenparallellogram:
• R3 ishetdriedimensionaleco¨ordinatenstelsel:
Hierishet xy-vlak“platneergelegd”,ende z-asstaaterloodrechtop.Puntenin R3 zullen wenoterenmet(x,y,z)of x y z .Hetpunt(0, 0, 0)waardeassenelkaarsnijdennoterenwe weermet O
Opgave0.1 :Tekeninbovenstaandplaatjedevectoren(1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1)en(1, 1, 1).
Vectorenin R3 kunnenweookweeroptellen:
(Ditkanookmeteendriedimensionaleversievanhetparallellogram,maardatiswatlastig omtetekenen,enwezullenditnietnodighebben).
Opgave0.2 :Berekendevolgendesommenvanvectorenentekenzeinhetplaatjehierboven. (i)(1,0,0)+(0,-1,0); (ii)(1,1,1)+(-1,-1,1); (iii)(0,0,1)+(-1,-1,1).
1Lineairedeelruimten
Eenlineairedeelruimtevan R2 of R3 is,informeelgezegd,eenverzamelingvanvectorenwaarbinnen jevectorenkuntoptellenenmetre¨elegetallenkuntvermenigvuldigen.Metditlaatstebedoelen wedatwedelengtevandevectormethetgetalvermenigvuldigen:zij v =(v1 ,v2 )eenvectorin R2 en λ eenre¨eelgetal.Danishetproduct λv gedefinieerdals
λv =(λv1 ,λv2 )
Netzo:als v =(v1 ,v2 ,v3 )eenvectorin R3 is,danhebbenwe λv =(λv1 ,λv2 ,λv3 ).
Definitie. Een lineairedeelruimte van R2 (respectievelijk R3 )iseenniet-legeverzamelingAvan vectorenin R2 (respectievelijkin R3 )waarvoordevolgendetweeeisengelden:
(i)Als v in A ziten λ eenre¨eelgetalis,danzit λv ookin A (inhetbijzonderzit v in A); (ii)Als v en w beidein A zitten,danzit v + w ookin A
Devolgendedeelverzamelingenvan R2 zijn niet lineair:
Opgave1. Leguitwaaromdebovenstaandeverzamelingennietlineairzijn–geldteis(i)ofeis (ii)niet,ofallebei?Kanjeookvoorbeeldentekenenvanniet-lineairedeelverzamelingenvan R3 ?
Alswevoor A deheleverzameling R2 nemen,danisditduidelijkeenlineairedeelverzameling van R2 (gamaarna).Netzogeldtdat R3 eenlineairedeelruimteisvanzichzelf.Hieronder bekijkenwewelkeanderelineairedeelruimtenernogbestaan.
1.1Deoorsprong
Het“kleinste”voorbeeldvaneenlineairedeelruimte,van R2 of R3 ,isdeverzameling {O} die alleendeoorsprongbevat.
Opgave2.
(a)Ganadat {O} inderdaadeenlineairedeelruimteis.
(b)(Bonus)Laatziendatelkelineairedeelruimtedeoorsprong O bevat.
1.2Lijnenin R2 door O
Zij P =(p1 ,p2 )eenpuntin R2 ongelijkaan O,dusergeldt p1 =0of p2 =0(ofallebei).Delijn door O en P zullenwenoterenmet ℓP of[p1 : p2 ].
Opgave3.
(a)Steleenvergelijkingopvoordelijn ℓP
(b)Laatzien:als λ eenwillekeurigre¨eelgetalis,danligt λP ookopdelijn ℓP
(c)Omgekeerd:steldat Q =(q1 ,q2 )opdelijn ℓP ligt.Laatziendat Q gelijkisaan λP ,waar λ = q1 /p1 als p1 =0; q2 /p2 als p2 =0
Debovenstaandeopgavelaatziendatdelijn ℓP gelijkisaandeverzamelingvanalleveelvouden van P ,vaakgeschrevenals {λP | λ in R} (“allepuntenvandevorm λP ,waarbij λ in R ligt”).
Ditiseenlineairedeelverzamelingvan R2
Merkop:als λ eenre¨eelgetalongelijkaan0is,danisdelijn ℓλP door O en λP gelijkaan ℓP .Omgekeerdgeldt:als P en Q opdezelfdelijndoor O liggen,dus ℓP = ℓQ,danbestaater eenre¨eelgetal λ =0zodat Q = λP .Oftewel:
Propositie. Delijnen [p1 : p2 ] en [q1 : q2 ] in R2 zijngelijkprecieswanneerereenre¨eelgetal λ =0 bestaatzodat q1 = λp1 en q2 = λp2
Opgave4. Welkevandevolgendelijnenzijngelijkenongelijkaanelkaar?
[0:1], [0: π], [2:3], [ 2:3], [ 4: 6]
1.3Lijnenin R3 door O
Neemnu P =(p1 ,p2 ,p3 )in R3 ,ongelijkaan0.Hetbeschrijvenvandelijn ℓP =[p1 : p2 : p3 ] in R3 door O en P kanmettweevergelijkingen(kanjedievinden?).Maarnetalsin R2 kan jedelijnookbeschrijvenalsdeverzamelingvanalleveelvoudenvan P .Enwehebbenookeen vergelijkbarepropositie:
Propositie. Tweelijnen [p1 : p2 : p3 ] en [q1 : q2 : q3 ] in R3 zijngelijkprecieswanneerereen re¨eelgetal λ =0 bestaatzodat q1 = λp1 , q2 = λp2 en q3 = λp3 .
Opgave5. Hoeveelverschillendelijnenzijndit?
[0:0:1], [1:2:3], [ 1 2 :1:2], [1:2:4]
1.4Vlakkenin R3 door0
In R3 hebbenweooknoglineairedeelverzamelingenvandimensie2,namelijkdeplattevlakken door O:
Zo’nvlakwordtbepaalddoortweepunten P =(p1 ,p2 ,p3 )en Q =(q1 ,q2 ,q3 )in R3 ongelijk aan O,dienietop´e´enlijndoor O liggen.Jekunteenvergelijkingopstellenvoorhetvlak VPQ
door O, P en Q,maardieisinhetalgemeennietheelmooiofverhelderend.Wekunnen VPQ ookbeschrijvenalsdeverzamelingvanallesommenvanveelvoudenvan P en Q:
VPQ = {λP + µQ | λ,µ in R}.
Hiermeeziejevrijsneldat VPQ eenlineairedeelruimteisvan R3 .
Weclaimennudatde doorsnede vantweevlakken V en W alshierboven–datzijnalle vectorendiezowelin V alsin W zitten–weereenlineairedeelruimteis.Als V en W hetzelfde vlakzijn,danisditduidelijk,wanthundoorsnedeis V = W .Als V en W verschillendevlakken door O zijn,danishundoorsnedeeenlijndoor O Opgave6.
(a)Overtuigjezelfhiervan(metplaatjes).
(b)Beschrijfoftekenhetvlak V door O,(1, 0, 0)en(0, 1, 0),enhetvlak W door O,(0, 0, 1) en(1, 1, 1).Hoezietdedoorsnedevan V en W eruit?Kanjeeenpunt P vindenzodatde doorsnedegelijkisaandelijn ℓP ?