Ejercicio resuelto edo Bernoulli

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI

ECUACIĂ“N DIFERENCIAL DE BERNOULLI Ejemplo: Sea la ecuaciĂłn diferencial ordinaria

đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ś − 2đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 4 đ?‘‘đ?‘Ľ + 2đ?‘Ľđ?‘Ś 4 đ?‘‘đ?‘Ľ − 4đ?‘Ľđ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ − đ?‘‘đ?‘Ś = 0 Al leer la ecuaciĂłn vemos que el termino caracterĂ­stico đ?‘Ś đ?‘› esta presente , ademĂĄs las funciones dependen solo de la variables đ?‘Ľ, lo que nos sugiere que puede tratarse de una ecuaciĂłn de Bernoulli

Escribiremos la ecuaciĂłn en la forma estĂĄndar de Bernoulli đ?’…đ?’š + đ?’‘ đ?’™ đ?’š = đ?’’(đ?’™)đ?’šđ?’? đ?’…đ?’™ de ser posible

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI Sea la ecuación diferencial : 𝑥 2 𝑑𝑦 − 2𝑥 2 𝑦 4 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 4 𝑑𝑥 − 4𝑥𝑦 𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 = 0 Operamos la expresión para expresarla en forma estándar −2𝑥 2 𝑦 4 + 2𝑥𝑦 4 − 4𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 2 − 1 𝑑𝑦 = 0

𝑑𝑦 2𝑥 2 𝑦 4 − 2𝑥𝑦 4 + 4𝑥𝑦 = 𝑑𝑥 𝑥2 − 1 𝒅𝒚 𝒙−𝟏 𝟒 𝟒𝒙𝒚 = 𝟐𝒙 𝟐 𝒚 + 𝟐 𝒅𝒙 𝒙 −𝟏 𝒙 −𝟏

ECUACIĂ“N DIFERENCIAL DE BERNOULLI La EDO del ejemplo ahora esta expresada en la forma estĂĄndar de la ecuaciĂłn diferencial de Bernoulli đ?‘‘đ?‘Ś 4đ?‘Ľ 2đ?‘Ľ đ?&#x;’ − 2 đ?‘Ś= đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ľ − 1 đ?‘Ľ+1 Para resolver la EDO de Bernoulli , realizamos la sustituciĂłn : đ?‘§ = đ?‘Ś 1−đ?&#x;’ = đ?‘Ś −3 Porque đ?’? = đ?&#x;’

con

�� ��

đ?‘‘đ?‘Ś

= −3đ?‘Ś −4 đ?‘‘đ?‘Ľ

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI Para facilitar la sustitución, es conveniente multiplicar la EDO por 𝑦 −4 𝑑𝑦 4𝑥 2𝑥 4 −4 − 2 𝑦= 𝑦 𝑦 𝑑𝑥 𝑥 − 1 𝑥+1 𝑑𝑦 −4 4𝑥 2𝑥 𝑦 − 2 𝒚−𝟑 = 𝑑𝑥 𝑥 −1 𝑥+1 Como 𝒛 = 𝒚−𝟑 ,

𝒅𝒛 𝒅𝒙

𝒅𝒚

= −𝟑𝒚−𝟒 𝒅𝒙 la ecuación nos queda −

𝟏 𝒅𝒛 4𝑥 2𝑥 − 2 𝒛= 𝟑 𝒅𝒙 𝑥 − 1 𝑥+1

ECUACIĂ“N DIFERENCIAL DE BERNOULLI Multiplicamos por -3 y obtenemos una EDO lineal đ?’…đ?’› đ?&#x;’đ?’™ đ?&#x;?đ?’™ +đ?&#x;‘ đ?&#x;? đ?’› = −đ?&#x;‘ đ?’…đ?’™ đ?’™ −đ?&#x;? đ?’™+đ?&#x;? Para resolver estĂĄ EDO recordemos que se debe calcular el factor de integraciĂłn đ?‘“đ?‘– = đ?‘’

12đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ľ 2 −1

�� = � 6�� �

2 −1

đ?‘“đ?‘– = đ?‘Ľ 2 − 1

6

ECUACIĂ“N DIFERENCIAL DE BERNOULLI Multiplicamos la EDO por el factor integraciĂłn y la expresamos como đ?‘‘ đ?‘§ đ?‘Ľ2 − 1 đ?‘‘đ?‘Ľ

6

= đ?‘Ľ2 − 1

6

−6đ?‘Ľ đ?‘Ľ+1

Separamos las variables đ?‘‘ đ?‘§ đ?‘Ľ2 − 1 Integramos

6

= đ?‘Ľ2 − 1

6 −6đ?‘Ľ đ?‘Ľ+1

đ?‘‘đ?‘Ľ

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI Tenemos el siguiente resultado :

2

𝑧 𝑥 −1

6

=

1+𝑥 13 13

+ 11

1+𝑥 12 1+𝑥 11 1+𝑥 10 1+𝑥 9 1+𝑥 8 1+𝑥 7 +20 11 +120 10 +160 9 +112 8 +32 7 12

Sustituimos 𝑧 = 𝑦 −4 en la expresión y obtenemos la solución de la EDO 𝑥 2 𝑑𝑦 − 2𝑥 2 𝑦 4 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 4 𝑑𝑥 − 4𝑥𝑦 𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 = 0

Igual a: 𝒚−𝟑

𝒙𝟐

−𝟏

𝟔

=

𝟏+𝒙 𝟏𝟑 𝟏𝟑

+ 𝟏𝟏

𝟏+𝒙 𝟏𝟐 𝟏+𝒙 𝟏𝟏 𝟏+𝒙 𝟏𝟎 𝟏+𝒙 𝟗 𝟏+𝒙 𝟖 𝟏+𝒙 𝟕 +20 𝟏𝟏 +120 𝟏𝟎 +160 𝟗 +112 𝟖 +𝟑𝟐 𝟕 𝟏𝟐

Corina Villarroel Robalino DOCENTE