ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA
ECUACIĂ“N DIFERENCIAL HOMOGÉNEA Ejercicio resuelto Resolver la EDO đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľđ?‘Ś đ?‘Ś + − đ?‘Ľđ?‘’ đ?‘Ľ/đ?‘Ś = 0 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ś
Desarrollo Primero verifiquemos si se trata de una EDO homogĂŠnea đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľđ?‘Ś đ?‘Ľđ?‘’ đ?‘Ľ/đ?‘Ś =− + đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ś2 đ?‘Ś
ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA
Para esto se debe verificar que la funciĂłn
đ?’™đ?&#x;? +đ?&#x;‘đ?’™đ?’š − đ?’šđ?&#x;?
+
���/� �
es una funciĂłn homogĂŠnea de orden cero
Por demostrar que: đ?‘“ đ?‘Ľ, đ?‘Ś = đ?‘“ đ?œ†đ?‘Ľ, đ?œ†đ?‘Ś Sea: đ?‘“ đ?œ†đ?‘Ľ, đ?œ†đ?‘Ś = đ?‘“ đ?œ†đ?‘Ľ, đ?œ†đ?‘Ś đ?‘“ đ?œ†đ?‘Ľ, đ?œ†đ?‘Ś = −
đ?œ†đ?‘Ľ
2
+ 3 đ?œ†đ?‘Ľ đ?œ†đ?‘Ś đ?œ†đ?‘Ľ đ?‘’ đ?œ†đ?‘Ľ + đ?œ†đ?‘Ś 2 đ?œ†đ?‘Ś
/ đ?œ†đ?‘Ś
ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA
𝜆2 𝑥 2 + 3𝜆2 𝑥𝑦 𝜆𝑥𝑒 𝑥/𝑦 𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = − + 𝜆2 𝑦 2 𝜆𝑦 𝜆2 𝑥 2 + 3𝑥𝑦 𝑥𝑒 𝑥/𝑦 𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = − + 𝜆2 𝑦 2 𝑦 𝑥 2 + 3𝑥𝑦 𝑥𝑒 𝑥/𝑦 𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = − + 𝑦2 𝑦 𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) es una función homogénea de orden cero
ECUACIĂ“N DIFERENCIAL HOMOGÉNEA Por lo tanto la EDO đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľđ?‘Ś đ?‘Ś + − đ?‘Ľđ?‘’ đ?‘Ľ/đ?‘Ś = 0 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ś Es una EDO de primer orden homogĂŠnea
Reescribimos la EDO como: đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘Ś = đ??š ,1 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ľ De la siguiente manera
ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA
𝑑𝑦 𝑥 + 𝑑𝑥 𝑦 𝒙
Si 𝒖 = 𝒚 tenemos:
𝑑𝑦 𝑑𝑥
1
2
𝑥 𝑥 𝑥/𝑦 +3 − 𝑒 =0 𝑦 𝑦
𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥
= 𝑢 − 𝑢2
La EDO se expresa como una EDO en variables separables: 1 𝑥 𝑑𝑢 − 2 + 𝑢2 + 3𝑢 − 𝑢𝑒 𝑢 = 0 𝑢 𝑢 𝑑𝑥
𝑥 𝑑𝑢 1 2 𝑢 = 𝑢 + 3𝑢 − 𝑢𝑒 + 𝑢2 𝑑𝑥 𝑢
ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA
𝑑𝑢 1 𝑑𝑥 2 𝑢 = 𝑢 + 3𝑢 − 𝑢𝑒 + 𝑢2 𝑢 𝑥
𝑑𝑢 1 𝑢2 𝑢2 + 3𝑢 − 𝑢𝑒 𝑢 + 𝑢
𝑙𝑛 𝑥 =
=
𝑑𝑢 1 𝑢2 𝑢2 + 3𝑢 − 𝑢𝑒 𝑢 + 𝑢
𝑑𝑥 𝑥
Corina Villarroel Robalino DOCENTE