MODELOS MATEMÁTICOS MEZCLAS
MODELOS MATEMÁTICOS MEZCLAS Consideremos un tanque mezclador en el cual se ha disuelto cierta cantidad de Sal 𝐶0 en un fluido de volumen 𝑉0 . Se introduce en el tanque otra solución salina con una densidad 𝛿𝑒 a una velocidad 𝑄𝑒 , al mismo tiempo sale del tanque la solución con una densidad 𝛿𝑠 a una velocidad 𝑄𝑠 𝛿𝑒
𝑄𝑒
𝑪𝟎 𝑽𝟎
𝛿𝑠 𝑄𝑠
MODELOS MATEMÁTICOS MEZCLAS Al ingresar solución al tanque la concentración de sal que había inicialmente en el tanque va ha variar con el tiempo al igual que el volumen en el tanque Como la cantidad de sal cambia en el tanque podemos plantear una ecuación diferencial que represente esa razón de cambio 𝛿𝑒
𝑄𝑒
𝑪𝟎 𝑽𝟎
𝛿𝑠 𝑄𝑠
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La razĂłn de cambio de la cantidad de sal en el tanque en el tiempo t es Igual a a diferencia entre la razĂłn de entrada y la razĂłn de salida de la soluciĂłn salina đ?‘‘đ??ś = đ?‘…đ?‘’ − đ?‘…đ?‘ đ?‘‘đ?‘Ą La razĂłn de entrada de la soluciĂłn salina đ?‘…đ?‘’ es igual al producto entre La densidad de entrada de la soluciĂłn đ?›żđ?‘’ y la velocidad de entrada đ?‘„đ?‘’ đ?‘…đ?‘’ =đ?›żđ?‘’ ∗ đ?‘„đ?‘’
MODELOS MATEMÁTICOS MEZCLAS La razón de salida de la solución salina 𝑅𝑠 es igual al producto entre La densidad de salida de la solución 𝛿𝑠 y la velocidad de salida 𝑄𝑠 La densidad de salida de la solución es igual a la relación entre la cantidad de sal 𝐶 𝑡 que se encuentra en el tanque en cualquier instante 𝑡 y el volumen 𝑉 𝑡 de solución en el tanque en cualquier instante 𝑡 𝐶 𝑡 𝑉 𝑡
𝛿𝑒 =
El volumen de solución en el tanque puede cambiar o permanecer constante eso dependerá de las velocidades 𝑄𝑒 , 𝑄𝑠 , de entrada y salida de la solución
MODELOS MATEMĂ TICOS MEZCLAS Si la velocidad de entrada de la soluciĂłn đ?‘„đ?‘’ es mayor que la velocidad de salida đ?‘„đ?‘ de la soluciĂłn el volumen aumenta, pues la diferencia de velocidades es positiva. đ?‘„đ?‘’ − đ?‘„đ?‘ > 0
Si la velocidad de entrada de la soluciĂłn đ?‘„đ?‘’ es menor que la velocidad de salida đ?‘„đ?‘ de la soluciĂłn el volumen disminuye, pues la diferencia de velocidades es negativa đ?‘„đ?‘’ − đ?‘„đ?‘ < 0 Si la velocidad de entrada de la soluciĂłn đ?‘„đ?‘’ es igual a la velocidad de salida đ?‘„đ?‘ de la soluciĂłn el volumen permanecerĂĄ constante, pues la diferencia de velocidades es cero đ?‘„đ?‘’ − đ?‘„đ?‘ = 0
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Como nos interesa conocer en cuanto varia el volumen đ?‘‰ đ?‘Ą del tanque podemos calcular esa variaciĂłn de volumen como el producto entre la diferencia de las velocidades đ?‘„đ?‘’ , đ?‘„đ?‘ , de entrada y salida de la soluciĂłn y el tiempo t VariaciĂłn de đ?‘‰ đ?‘Ą = đ?‘„đ?‘’ − đ?‘„đ?‘ đ?‘Ą Por lo tanto el volumen de soluciĂłn đ?‘‰ đ?‘Ą que se encuentra en el tanque en cualquier instante đ?‘Ą serĂĄ igual al volumen inicial đ?‘‰0 de la soluciĂłn mas la variaciĂłn de volumen en cualquier instante đ?‘Ą đ?‘‰ đ?‘Ą = đ?‘‰0 + đ?‘„đ?‘’ − đ?‘„đ?‘ đ?‘Ą
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Como la velocidad con la que cambia la cantidad de sal en el tanque es Igual a đ?‘‘đ??ś = đ?‘…đ?‘’ − đ?‘…đ?‘ đ?‘‘đ?‘Ą Y tomando en cuenta cada uno de los datos analizados tenemos que la ecuaciĂłn diferencial que representa la velocidad con la que cambia la cantidad de sal en el tanque al tiempo đ?‘Ą es đ?‘‘đ??ś đ?‘Ą đ??ś đ?‘Ą = đ?‘„đ?‘’ ∗ đ?›żđ?‘’ − đ?‘„ đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‰0 − đ?‘„đ?‘’ − đ?‘„đ?‘ ∗ đ?‘Ą đ?‘ Al resolver la ecuaciĂłn diferencial podemos conocer la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante t
Corina Villarroel Robalino DOCENTE