Distribuciones Discretas
Distribución binomial Una variable aleatoria X tiene distribución binomial si cumple con las siguientes características: • El experimento consiste en una secuencia de n ensayos idénticos • Los intentos son idénticos, y cada uno de ellos puede resultar en dos posibles resultados, que se denotan por éxito (E) o fracaso (F) (p(E)+p(F)=1).
• Los intentos son independientes, por lo que el resultado de cualquier intento en particular no influye sobre el resultado de otro intento. • La probabilidad de éxito es constante de un intento a otro, y se representa por p. 2
Distribución de probabilidad binomial Si X es una variable aleatoria con distribución binomial, entonces la función de probabilidad está dada por la siguiente expresión: X # de éxitos en n intentos n n x p x p x 1 p ; x E X np
x 0,1,..., n
Var X np 1 p
Ejemplo: el lanzamiento de una moneda 3
Ejemplos Ejemplo 1: Expresar en una tabla de valores la función de probabilidad y la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X: Número de preguntas bien contestadas por un estudiante que responde al azar un examen tipo selección múltiple que consiste de 6 preguntas, cada una con 3 alternativas de las cuales sólo una es correcta. Ejemplo 2: En una degustación realizada en Quito mostró que el 60 % de los consumidores prefirieron cierto producto. Si se eligen aleatoriamente 8 personas, cuál es la probabilidad de que más de 5 elijan el producto testeado. Construya la tabla de distribución de probabilidad para la variable aleatoria X: Número de personas que prefieren el producto. 4
Distribución Hipergeométrica Muestreo sin remplazo (Hipergeométrica): Si en un grupo de N objetos, r de ellos tienen cierta característica estudiada que los hace distintos del resto (es decir r objetos de un tipo y N-r objetos de otro tipo), y de estos N objetos se seleccionan al azar (sin reposición) n objetos (este es por ejemplo el caso de muestreo). Entonces la variable aleatoria X: número de objetos seleccionados que tienen la característica estudiada, sigue una distribución hipergeométrica con parámetros N, r, n. r N r x n x p x ; N n
x r,
n x N r;
EX
nr N
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Ejemplo 4 Selección de objetos sin remplazo y distribución hipergeométrica:
En un lote de 50 computadoras el 10% tiene fallas, si se inspecciona al azar una muestra de 4 computadoras: a. b. c.
Cuál es la probabilidad que exactamente 2 tengan fallas Cuál es la probabilidad que al menos una tenga falla Cuál es la probabilidad que a lo mucho 2 tengan fallas
En EXCEL la sintaxis es: DISTR.HIPERGEOM(x, n, r, N) 6
DISTRIBUCIONES CONTINUAS MAS IMPORTANTES
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DistribuciĂłn normal Es la distribuciĂłn mĂĄs importante ya que se aplican en muchos problemas prĂĄcticos. Su funciĂłn de densidad de probabilidad tiene la forma de la curva como una campana. đ?‘“(đ?‘Ľ)
đ?‘Ľ 8
FunciĂłn de densidad Si X tiene una distribuciĂłn de probabilidad normal con media đ?œ‡ y varianza đ?œŽ 2 , entonces la funciĂłn de densidad estĂĄ dada por la siguiente expresiĂłn: f
Donde:
 x 
1 e 2ď ° ď ł
E  X   ď ;
ď€
 x ď€ ď 2 2ď ł 2
;
x ďƒŽ IR
Var  X   ď ł 2
Se representa con X ď ž N[ď , ď ł2] 9
DistribuciĂłn normal estĂĄndar Se dice que Z tiene una distribuciĂłn de probabilidad normal estĂĄndar cuando la media đ?œ‡ = 0 y la varianza đ?œŽ 2 = 1, entonces la funciĂłn de densidad estĂĄ dada por la siguiente expresiĂłn:
đ?‘“ đ?‘Ľ =
1 2đ?œ‹đ?œŽ
đ?‘Ľ2 −2 đ?‘’
Se representa con X ď ž N[0, 1] 10
Distribución normal N(μ,σ2) Esta función tiene un gran número de aplicaciones. En Excel la sintaxis es: DISTR.NORM(x, , , acum) Para la inversa: DISTR.NORM.INV(1- , , )
1- Z
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Ejemplos Ejemplo 1: El diámetro de las naranjas de exportación sigue una distribución normal. Un inspector conoce por su experiencia que el 30% de las naranjas que examina tienen un diámetro inferior a 60 mm y el 20% tienen el diámetro superior a 100 mm. a) El país A exige que el diámetro esté comprendido entre 75 y 90 mm. Calcular la probabilidad de que esto ocurra en un lote. b) Calcular el intervalo de extremos simétricos respecto a la media que cubra el 90% de las naranjas. c) El país B exige que el diámetro no baje de los 50 mm. La inspección se realiza midiendo el diámetro de 10 naranjas y rechazando un determinado lote si se encuentran más de dos naranjas con un diámetro inferior a 50 mm. Calcular la probabilidad de que un lote sea aceptado.
Ejemplo 2: La demanda mensual de cierto producto se distribuye aproximadamente normal con media de 200 y desviación estándar de 40. ¿Qué tan grande debe ser el inventario disponible a principio de un mes para que la probabilidad de que la existencia se agote no sea mayor de 0.05? 12