ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA Ejercicio resuelto
ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA Ejercicio resuelto
Resolver la EDO đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘Ľ + đ?‘Ś đ?‘Ś = − đ?‘Ąđ?‘” đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ
ECUACIĂ“N DIFERENCIAL HOMOGÉNEA Desarrollo: Se verifica que la funciĂłn đ?‘Ľ+đ?‘Ś đ?‘Ś − đ?‘Ąđ?‘” đ?‘Ľ đ?‘Ľ Es un funciĂłn homogĂŠnea de orden cero đ?‘“ đ?‘Ľ, đ?‘Ś =
đ?œ†đ?‘Ľ + đ?œ†đ?‘Ś đ?œ†đ?‘Ś đ?‘“ đ?œ†đ?‘Ľ, đ?œ†đ?‘Ś = − đ?‘Ąđ?‘” đ?œ†đ?‘Ľ đ?œ†đ?‘Ľ
ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA Desarrollo: Se verifica que la función 𝑥+𝑦 𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 = − 𝑡𝑔 𝑥 𝑥 Es un función homogénea de orden cero 𝜆𝑥 + 𝜆𝑦 𝜆𝑦 𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = − 𝑡𝑔 𝜆𝑥 𝜆𝑥 𝑥+𝑦 𝑦 𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = − 𝑡𝑔 𝑥 𝑥
ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA
Se cumple que: đ?‘“ đ?œ†đ?‘Ľ, đ?œ†đ?‘Ś = đ?‘“ đ?‘Ľ, đ?‘Ś Por lo tanto la EDO đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘Ľ + đ?‘Ś đ?‘Ś = − đ?‘Ąđ?‘” đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ Es una EDO homogĂŠnea la cual se puede reescribir como: đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘Ś đ?‘Ś = 1 + − đ?‘Ąđ?‘” đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ
ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA Aplicaremos la sustitución � = �/� con
đ?’…đ?’š đ?’…đ?’™
đ?’…đ?’–
= đ?’– + đ?’™ đ?’…đ?’™
Al sustituir en la EDO
đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘Ś đ?‘Ś = 1 + − đ?‘Ąđ?‘” đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ Tenemos que
đ?‘‘đ?‘˘ đ?‘˘+đ?‘Ľ = 1 + đ?‘˘ − đ?‘Ąđ?‘” đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘Ľ
DĂĄndonos una EDO en variables separables đ?‘Ľ
đ?‘‘đ?‘˘ = 1 − đ?‘Ąđ?‘” đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘Ľ
Como la sustituciĂł
ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA
Separamos las variables 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 1 − 𝑡𝑔 𝑢 𝑥 Integramos 1 𝑢 − 𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑢 − 𝑠𝑒𝑛𝑢 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 2 La solución de la EDO es igual a: 1 𝑦 𝑦 𝑦 − 𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠 − 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 𝑥 𝑥
= 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶
Corina Villarroel Robalino DOCENTE