OBJETIVOS • Comprenderá el concepto de anualidad y su aplicación. • Identificará los diferentes tipos de anualidades como son las simples, vencidas u ordinarias, anticipadas, diferidas, generales y a perpetuidad.
5.1. Introducción En la actualidad, el término anualidad se encuentra muy arraigado en la matemática financiera, siendo esta una sucesión de pagos iguales que se realizan al final de cada año. El concepto de anualidad también se emplea en periodos de pago cuya frecuencia puede ser: semestral, trimestral, bimestral, mensual, quincenal, semanal, diaria o cualquier otra. En los siguientes casos se efectúan una serie de pagos iguales, a intervalos iguales, en un plazo determinado por el deudor y acreedor. En lugar de realizar pagos anuales durante un plazo determinado. El pago mensual por compra a crédito de un automóvil, el pago mensual a tarjeta de crédito por la compra de un servicio o artículo a meses sin intereses, el pago mensual por la renta (anticipada) de una casa habitación, el abono mensual por dividendo de acciones, los abonos a un fondo de amortización, el descuento se le realiza al trabajador vía nómina para el pago quincenal de un seguro de vida para el trabajador, el pago mensual de aportes al IEES por parte del patrón. Definición La anualidad es una serie de pagos, depósitos o retiros iguales que se efectúan a intervalos iguales con interés compuesto. Cuando los periodos de pago son menores a un año se acostumbra utilizar el término renta para realizar el pago de una anualidad. Definición La renta en una anualidad es el pago, depósito o retiro que se realiza en forma periódica y se simboliza con la letra R.
Intervalo o periodo de pago Figura 5.1 Plazo de la anualidad, renta e intervalo. Es importante aprender el significado de los siguientes conceptos: Periodo o intervalo de pago es el tiempo que transcurre entre un pago y otro. Plazo de la anualidad es el tiempo transcurrido desde la fecha inicial del primer pago hasta la fecha final del último pago.
Clasificación de las anualidades
Cuadro 5.1 Clasificación de las anualidades Criterio
Tipo de anualidad
Cierta Las fechas son fijas y se determinan con anterioridad. Tiempo
Interés
Pagos
Iniciación
Contingentes o EVentual La fecha del primer pago, segundo o ambos no se determinan con anterioridad, esto va a depender de que el suceso ocurra, pero se desconoce la fecha. Simple Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses. General El periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización de los intereses. Vencido u ordinario Los pagos se efecTÚAN al vencimiento del periodo o intervalo. Anticipados Los pagos se efecTÚAN al principio de cada periodo o intervalo. Inmediatos El pago o cobro tiene lugar en el primer periodo, inmediatamente después de la formalización del trato. Anticipada Es aquella en la que los pagos se realizan al principio de cada periodo. Diferida Se pospone la realización de los pagos. No se realizan a partir del primer periodo.
5.2. Anualidades a perpetuidad o anualidad perpetua Es otro tipo de anualidad, con la característica de que no se conoce cuándo se realizará el último pago de la renta (o por tiempo ilimitado).
5.3. Anualidades vencidas Existen varios tipos de anualidades vencidas, entre las más comunes encontramos:
Anualidad simple Se conoce así porque el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses. Anualidad cierta Donde las fechas de pago se determinan con anterioridad y son fijas.
Anualidad vencida Consiste en efectuar los pagos al vencimiento del periodo.
Anualidad inmediata Se presenta cuando se realiza el pago en el primer periodo después de la formalización del trato. En el cuadro 5.2 se explica cómo identificar los diferentes tipos de anualidades vencidas cuando son planteadas para resolver un ejemplo o problema:
Cuadro 5.2 Forma de identificar la anualidad vencida Criterio
Anualidad vencida
Tiempo (Cierta)
Las fechas son fijas y se determinan con anterioridad.
Al final del mes
Tiempo que transcurre desde la fecha de su emisión hasta la fecha de su vencimiento.
El plazo puede ser de dos años.
Plazo
El pago o cobro tiene lugar en el primer periodo, inmediatamente después de la emisión de un empréstito (formalización del trato).
Al final del mes de mayo
Iniciación (Inmediata)
Los pagos se efectúan al vencimiento del periodo o intervalo.
•Al finaldel mes el día último del mes. • El día 31 del mes (elperiodoquecomprendedeldía 1 al día 31 de mayo).
Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses.
Periodo de pago de un mes y la tasa de interés es de 10% anual convertible mensualmente.
Pagos
Interés (Simple)
5.3.1.
Ejemplo
(el día 28 o 30 o 31).
(el día 31).
Monto en anualidades vencidas
El ejemplo que se presenta a continuación permitirá comprender cómo calcular el monto de una anualidad mediante varios depósitos de renta fija. Primero se encontrará la solución utilizando los conocimientos de progresiones, interés compuesto y de ecuaciones equivalentes y después se obtendrá la expresión para calcular el monto de la anualidad vencida.
Problema resuelto 1.
Para incrementar el saldo promedio mensual se depositará una cantidad mínima de $150.00 mes con mes y por medio de ellos poder escalar en los niveles de ahorro que le permitan participar en sorteos bimestrales
para poder ganar un premio, el alumno Alejandro Ortiz se pregunta, ¿qué cantidad de dinero necesitaría acumular en un año si depositara $150.00 al final de cada mes en una cuenta de inversión que rinde 4.8% anual convertible mensualmente? Datos: T = 4.8% anual R = $150.00 n = 12 meses Incógnita M
Figura 5.2 Plazo de la anualidad, renta e intervalo (de tiempo). 1.- Utilizando los conocimientos previos de progresiones, interés compuesto y ecuaciones equivalentes: Poner los datos en el orden de la serie: 𝑀 = $150.00 + $150.00(1.004)!! + $150.00(1.004)!" + $150.00(1.004)# + $150.00(1.004)$ + $150.00(1.004)% + $150.00(1.004)& + $150.00(1.004)' + $150.00(1.004)( + $150.00(1.004)) + $150.00(1.004)* + $150.00(1.004)! + $150.00(1.004)" Cambiando el orden de la serie se tiene: 𝑀 = $150.00 + $150.00(1.004)! + $150.00(1.004)* + $150.00(1.004)) + $150.00(1.004)( + $150.00(1.004)' + $150.00(1.004)& + $150.00(1.004)% + $150.00(1.004)$ + $150.00(1.004)# + $150.00(1.004)!" + $150.00(1.004)!! 𝑀 = $1 840.13 Al estar el orden invertido se puede ver que el monto es una serie geométrica. La serie geométrica se define como:
Donde: Cuadro 5.3 Serie geométrica S
Suma
𝒕𝟏
Primer término
r
Razón
n
Número de término
Al sustituir la simbología de anualidades en la serie geométrica se tiene: Cuadro 5.4 Serie geométrica de una anualidad Serie geométrica
Anualidad
S
Suma
M
Monto
𝒕𝟏
Primer término
R
Renta
r
Razón
(1+t)
Razón
n
Número de términos
n
Periodo
Utilizando la siguiente forma algebraica:
Simplificando en forma algebraica se obtiene:
R = pago periódico de la anualidad n = número de periodos de conversión de interés durante el tiempo de la anualidad i = tasa de interés por periodo de conversión M = Valor acumulado o suma de una anualidad Valor acumulado de una anualidad simple ordinaria de n pagos de $1 cada uno valor acumulado de $1 por periodo. Factor de acumulación de n pagos 0
(!-.)! 0! .
1
La ecuación 5.2 permite obtener el cálculo del monto de una anualidad simple, cierta, vencida e inmediata. 2.- Cálculo del monto de la anualidad vencida con las fórmulas 5.1 y 5.2: a) Se utiliza la fórmula 5.1: $150.0 − $150.00(1.004)!* $150.00 − $150.00(1.04907) 𝑆= = 1 − 1.004 −0.004 $150.00 − $157.3605 −7.3605 𝑆= = = $1840.125 −0.004 −0.004 b) Ahora se emplea la fórmula 5.2: (1.004)!* − 1 1.04907 − 1 𝑀 = $150.00 8 9 = $150.00 : ; 0.004 0.004 0.04907 = $150.00 : ; 0.004 𝑀 = 150.00(12.268) = 1840.13
5.3.2.
Renta
La renta es el pago periódico de la misma cantidad que se realiza en tiempos iguales. Para calcular el valor de una renta se analizan primero los datos del problema para identificar si se conoce el valor del monto o del valor actual. Si se conoce el valor del valor futuro (M), se deberá despejar la renta de la ecuación 5.2: (!-.)! 0!
𝑀 = 𝑅0
.
1
5.2
Obteniendo la ecuación: 𝑅=
1(.)
5.4
(!-.)! 0!
Cuando el capital o el valor actual (A) se conocen, se despeja la renta de la ecuación 5.3: 𝐴 = 𝑅0
!0(!-.)"! .
1
5.3
Se obtiene 5.4: !(#)
𝑅 = %&(%'#)!"
5.5
Problema resuelto 12
¿Cuánto debe aportar la señora Andrea Méndez al final de cada mes en la caja de ahorros de su trabajo, si desea hacerle arreglos a su baño y cocina dentro de tres años? Ella estima que en el último depósito debe contar con una cantidad acumulada de $95 000.00. La tasa de interés que aplica la caja de ahorros es de 4% mensual.
Solución: Datos M= $95000.00 n= 3 años = 36 meses i= 0.04 mensual 𝑅=
5.3.3.
Incógnita R
𝑀(𝑖) 95000(0.04) 3800 3800 = = = = $1224.25 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 2 )& (1 + 𝑖 ) (1.04) − 1 4.103933 − 1 3.103933
Plazo
El número de periodos (plazo o tiempo) de pago en una anualidad vencida se calcula de la siguiente manera: Analizar los datos del problema para identificar si se proporciona el monto o el valor actual. Cuando se conoce el valor actual (A) se despeja el periodo de la expresión de anualidad vencida de valor actual de la ecuación 5.3. !#
𝑅 = $%($'#)34
5.5
Para obtener n se pueden utilizar las ecuaciones 5.6 o 5.6a: )*+ ,
𝑛=
5 6 853 9
5.6
)*+ ($'#) :;< =!0
𝑛= − 8
#(%) > '
:;< (!-.)
9
5.6ª
Si se conoce el monto (M) se despeja el periodo (n) de la ecuación 5.2 de anualidad vencida de monto.
𝑀 = 𝑅%
($'#)4 %$ & #
5.2
Para obtener n se utiliza la ecuación 5.7:
𝑛=
?8 '$/ 9
)*+ .
)*+ ($'#)
5.7
Problema resuelto 18 Se tiene que saldar una deuda al día de hoy de $18 000. Realizando pagos de $3 000 al final de cada bimestre con una tasa de interés de
11% bimestral. ¿Cuántos pagos bimestrales vencidos de $3 000 tendrá que hacer para saldar su deuda? Solución. Datos: T = 11% bimestral i = 0.11 bimestral R = $3 000 A = $18 000
Incógnita R
1 1 1 𝑙𝑜𝑔 H I 𝑙𝑜𝑔 H 1 18000(0.11) 1980I 𝐴 𝑖I 𝑙𝑜𝑔 00.341 1− 1 − 1− 𝑅 3000 3000 𝑛= = = = 𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑖 ) 𝑙𝑜𝑔(1.11) 𝑙𝑜𝑔(1.11) 𝑙𝑜𝑔(1.11) 𝑙𝑜𝑔(2.941176) 0.4685211 𝑛= = = 10.33 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑙𝑜𝑔(1.11) 0.0453229 𝑙𝑜𝑔 H
1.- . Hacer 10 pagos de $3 000 + otro pago menor Con n pagos bimestrales que se obtuvieron se encuentra el valor futuro del adeudo (al final de los 10 bimestres): Si el adeudo es de $18 000, se debe calcular el valor futuro del adeudo al final de los 10 bimestres. 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)2 = 18000(1.11)!" = 18000(2.839421) = 51109.58 Posteriormente, debemos encontrar el valor futuro de los 10 pagos realizados al final de cada bimestre. (𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 (𝟏. 𝟏𝟏)𝟏𝟎 − 𝟏 𝟐. 𝟖𝟑𝟗𝟒𝟐𝟏 − 𝟏 𝑴 = 𝑹8 9 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 8 9 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 : ; 𝒊 𝟎. 𝟏𝟏 𝟎. 𝟏𝟏 𝟏. 𝟖𝟑𝟗𝟒𝟐𝟏 𝑴 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 : ; = 𝟑𝟎𝟎𝟎(𝟏𝟔. 𝟕𝟐𝟐) 𝟎. 𝟏𝟏 𝑴 = $𝟓𝟎𝟏𝟔𝟔. 𝟎𝟏 Después de realizar el pago 10 todavía se tiene un adeudo, pero se desconoce de cuánto es: 𝑀:B − 𝑀C2DE:.FEF = 51109.58 − 50166.01 = $943.55 El adeudo anterior se tiene que pagar a final del bimestre 11, para lo cual es necesario calcular su valor futuro. 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)2 = 943.55(1.11)! 𝑀 = $1047.34 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑛 𝑝𝑎𝑔𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 11
2.- Hacer 9 pagos de $3 000 + otro pago mayor Se debe conocer el valor futuro del adeudo al final de los 9 bimestres. 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)2 = 18000(1.11)# = 18000(2.55804) = 46044.72 Como segundo paso encontraremos el valor futuro de los 9 pagos realizados al final de cada bimestre. (𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 (𝟏. 𝟏𝟏)𝟗 − 𝟏 𝟏. 𝟓𝟓𝟖 𝑴 = 𝑹3 8 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 3 8 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 < ? = 𝟑𝟎𝟎𝟎(𝟏𝟒. 𝟏𝟔𝟑𝟗) 𝒊 𝟎. 𝟏𝟏 𝟎. 𝟏𝟏 = 𝟒𝟐𝟒𝟗𝟎. 𝟗𝟎
Después de realizar el noveno pago todavía tiene un adeudo y desconoce de cuánto es. El pago correspondiente se encuentra de la manera siguiente: 𝑀:B − 𝑀C2DE:.FEF = 46044.72 − 42491.70 = $3553.02 El adeudo anterior se tiene que pagar al final del décimo bimestre, por lo que es necesario calcular su valor futuro correspondiente: 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)2 = 3553.02(1.11)! = $3943.85 El décimo pago es mayor al pago bimestral normal.
5.4. Anualidades anticipadas La anualidad anticipada puede ser:
Simple Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses. Cierta Porque las fechas se determinan con anterioridad y estas son fijas. Anticipada Porque los pagos se efectúan al principio del periodo. Inmediata Porque se realiza el pago en el mismo periodo después de la formalización del trato.
En el cuadro 5.6 se indica la forma de identificar una anualidad anticipada cuando es planteada como un problema. Cuadro 5.6 Forma de identificar la anualidad anticipada
Criterio
Anualidad anticipada
Ejemplo El primer día del mes.
Tiempo (Cierta)
Las fechas son fijas y se determinan con anterioridad.
Al principio de la quincena (día 16). El día cuatro de cada mes.
Plazo
Tiempo que transcurre desde la fecha de su emisión hasta la fecha de su
Un bimestre o un semestre o un año o tres años.
vencimiento El pago o cobro tiene lugar en el primer periodo, inmediatamente
Iniciación (Inmediata)
después de la emisión de un empréstito (formalización del trato o firma
Primer día en que se inicia el periodo de pago. El día 16 de cada mes. El primer día de cada bimestre.
del crédito).
Pagos
Los pagos se efectúan al inicio del periodo o intervalo
Interés
Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de
(Simple)
los intereses.
El primer día de semana. El día 25 de mayo de cada año Periodo de pago de un mes y la tasa de interés 12% anual convertible mensualmente o 24% convertible semestralmente.
Las figuras 5.8 y 5.9 muestran la diferencia de la anualidad anticipada y vencida.
Figura 5.8 Anualidad anticipada.
Figura 5.9 Anualidad anticipada
5.4.1.
Monto en anualidades anticipadas
El monto se calcula con la ecuación 5.8: (%'#)"%& &%
𝑀 = 𝑅%
#
(%'()&'
𝑀 = 𝑅%
(
− 1(
5.8
− 1(
5.8 a
En la ecuación 5.8a se plantea con 13 periodos vencidos (siendo n = 12). El pago de más está representado por -1, el cual se descuenta al utilizar la fórmula de anualidad vencida con plazo de un año.
Figura 5.10 Anualidad anticipada valor futuro con 13 pagos (R). El plazo es de 12 meses y la manera de utilizar la fórmula de anualidad vencida donde solo se recorre el punto de origen de la gráfica al lado izquierdo (en -1) y el número de pagos considerados son en total de 13.
Problema resuelto 22
Un artesano deposita en una cuenta de ahorros $100 al principio de cada mes. Si la cuenta paga 1% de interés mensual. ¿Cuánto habrá ahorrado durante el primer año? Solución Datos: R = $100 n = 12 meses i = 1% mensual
Incógnita M
1. 1.1. En este primer caso se encuentra el monto utilizando la anualidad vencida durante el periodo 11, realizando para ello 12 pagos. (1 + 𝑡)) − 1 (1 + 0.01)(* − 1 0.126825 𝑀(( = 𝑅 3 8 = 100 3 8 = 100 < ? = $1268.25 𝑡 0.01 0.01
1.2. Para cubrir el plazo de un año, hace falta calcular el periodo número 12, ya que, en el cálculo anterior, el periodo inicio en el punto -1 y el cálculo del monto se realizó hasta el periodo 11.
𝑆𝑖, 𝑀!! = 𝐶! 𝑀!* = 𝐶! (1 + 𝑖) = 1268.25(1.01) = 1280.93 2. 2.1. En este segundo caso utilizaremos la ecuación 5.9 que se deduce de los pasos planteados en los incisos 1.1 y 1.2: (1 + 𝑖)) − 1 (1.01)(* − 1 𝑀 = 𝑅3 8 (1 + 𝑖)( = 100 3 8 (1.01)( = 1280.93 𝑖 0.01
3. 3.1. En el tercer caso, los cálculos se hacen con base en 12 periodos, por lo que se tendrán que realizar 13 pagos. Para calcular el monto se utiliza la ecuación de la anualidad vencida en la que se deberá restar del pago 13: (1 + 𝑡)) − 1 (1.01)(+ − 1 𝑀 = 𝑅3 8 = 100 3 8 = $1380.93 𝑡 0.01
3.2. El monto de 13 pagos calculado con la anualidad vencida en 12 periodos es superior al calculado en los incisos 1.1 y 2.1 porque se realizó un pago de más. Para corregir dicho pago, debemos corregir la ecuación de la siguiente forma: (1 + 𝑡)) − 1 (1.01)(+ − 1 𝑀 = 𝑅3 8 − 𝑅 = 100 3 8 − 100 = 1380.93 − 100 𝑡 0.01 = $1280.93
3.3. De los pasos anteriores se deduce que la ecuación para calcular el monto de la anualidad anticipada es: (1 + 𝑖)20! − 1 − 19 𝑖 Si sustituimos los valores del problema, encontraremos el mismo resultado de los incisos 1.2, 2.1 y 3.2: (1.01)!) − 1 𝑀 = 100 8 − 19 = $1280.93 0.01 𝑀 = 𝑅8
5.4.2. Valor actual anticipadas
en
anualidades
Figura 5.11 Anualidad anticipada valor actual para 12 pagos.
Figura 5.12 Anualidad anticipada valor actual para 13 pagos.
Utilizando la ecuación de anualidad vencida para el cálculo del valor actual se debe considerar que se realiza con base en 13 pagos vencidos. Si realizamos un ajuste al exponente, obtenemos la siguiente relación:
1 − (1 + 𝑖)02 𝐴 = 𝑅8 9 𝑖
Así que es necesario efectuar un ajuste al exponente, con lo cual se obtiene la relación siguiente:
$%($'#)34G5 & #
𝐴 = 𝑅%
5.9
Ahora bien, a la ecuación debemos sumarle una renta para completar los 13 pagos para obtener el valor actual de una anualidad anticipada (5.10):
𝐴 = 𝑅8
1 − (1 + 𝑖)02-! 9+𝑅 𝑖
Factorizando a R
𝐴 = 𝑅 %1 +
$%($'#)34G5 & #
5.10
Problema resuelto
25
¿Cuál es el valor de contado de una casa que compró Esmeralda en la colonia Lomas Verdes, hace 20 años, si realizaba pagos anticipados de $60 000 mensuales, con una tasa de interés de 18% anual convertible mensualmente? Solución. Datos: R = $60 000 n = 240 meses T = 18% A.C.M. i = 0.015 mensual
Incógnita A
1 − (1 + 𝑖),)-( 1 − (1.015),*./-( 8 = 60000 31 + 8 𝑖 0.015 1 − 0.028484978 = 60000 <1 + ? 0.015
𝐴 = 𝑅 31 +
𝐴 = 60000 :1 +
5.4.4
0.971515 ; = 60000(1 + 64.76766807 = 60000(65.76766807 0.015 𝐴 = $3946060.08
Plazo en anualidad anticipada
Para conocer el número de periodos de pago en una anualidad anticipada, Srimero se analizan los datos del problema para identificar si se proporciona el monto o el valor actual. Si se conoce el valor actual se despeja el plazo de la ecuación de anualidad anticipada de valor actual.
Cuando se conoce el monto se despeja el plazo de la ecuación de anualidad anticipada de monto:
Problema resuelto 33
El bufete de abogados Mariles, S.A., desea comprar una mesa y 18 sillas para su sala de juntas con valor de $68 000 al contado. La casa de muebles para oficina ofrece venderlos en abonos anticipados mensuales de $3 699, siendo el interés de 26% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos tendría que hacer el bufete de abogados si se decide hacer la compra? Solución. Datos:
(𝟔𝟖𝟎𝟎𝟎)(𝟎. 𝟎𝟐𝟏𝟔𝟔𝟔) 𝑨𝒊 𝒍𝒐𝒈 :(𝟏. 𝟎𝟐𝟏𝟔𝟔𝟔) − ; 𝒍𝒐𝒈 0(𝟏 + 𝒊) − 𝑹 1 𝟑𝟔𝟗𝟗 𝒏=𝟏−H I=𝟏−c d 𝒍𝒐𝒈(𝟏 + 𝒊) 𝒍𝒐𝒈(𝟏. 𝟎𝟐𝟏𝟔𝟔𝟔) 𝟏𝟒𝟕𝟑. 𝟑𝟑 𝒍𝒐𝒈 0(𝟏. 𝟎𝟐𝟏𝟔𝟔𝟔) − 𝟑𝟔𝟗𝟗 1 𝒏=𝟏−H I 𝒍𝒐𝒈 𝟏. 𝟎𝟐𝟔𝟔𝟔 𝒍𝒐𝒈 [𝟏. 𝟎𝟐𝟏𝟔𝟔𝟔 − 𝟎. 𝟑𝟗𝟖𝟑𝟎𝟓𝟖𝟓] =𝟏−8 9 𝒍𝒐𝒈(𝟏. 𝟎𝟐𝟏𝟔𝟔𝟔) 𝒍𝒐𝒈(𝟎. 𝟔𝟐𝟑𝟑𝟔) −𝟎. 𝟐𝟎𝟓𝟐𝟔𝟏 𝒏=𝟏−8 9=𝟏−: ; = 𝟏 − (−𝟐𝟐. 𝟎𝟓) 𝒍𝒐𝒈(𝟏. 𝟎𝟐𝟏𝟔𝟔𝟔) 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟑𝟎𝟗𝟐𝟐𝟒 𝒏 = 𝟐𝟑. 𝟎𝟓 𝒑𝒂𝒈𝒐𝒔
5.5. Anualidades diferidas Una anualidad diferida es aquella en la que el inicio de los cobros o depósitos se realizan después de que transcurrió algún tiempo desde el momento en que se formalizó la operación. Al tiempo comprendido desde el momento inicial o de convenio hasta el inicio del plazo se le conoce como periodo de gracia o periodo de diferimiento. En el cuadro 5.7 se describe la manera de identificar una anualidad vencida cuando es planteada en un ejemplo o problema a solucionar:
Cuadro 5.7 Identificación de una anualidad vencida Criterio
Anualidad vencida
Ejemplo
Tiempo (Cierta)
Las fechas son fijas y se determinan con anterioridad.
•
Plazo
Tiempo que transcurre desde la fecha de emisión hasta la fecha de vencimiento.
Iniciación (Diferida)
El pago o cobro se realiza después del periodo de gracia.
• • • • • •
Pagos
Los pagos se efectúan al vencimiento del periodo.
Simple
Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses.
Tres mesesdegraciayplazode18 meses Un año Seis meses Un trimestre Tres meses Un bimestre Dos años
•
A finales de mes, el día30o31decada mes.
•
Periodo de pago es de un mes y la tasa de interés de 10% anual capitalizable mensualmente.
En la figura 5.13 se muestra que el primer pago de la anualidad es diferido en cuatro meses y el plazo de la anualidad es de seis meses, la renta es de $350 y se paga al final del periodo, por esta razón el comienzo del plazo de la anualidad vencida se ubica en el tercer mes.
Figura 5.13. Anualidad diferida cuatro meses, plazo seis meses y renta de $350 cada mes.
Para resolver los problemas de anualidades diferidas no se necesitan nuevas fórmulas, se utilizan las de anualidades vencidas o anticipadas.
5.5.1.
Monto en anualidades diferidas
El monto se calcula utilizando las mismas ecuaciones de anualidades vencidas o anticipadas según sea el caso, ya que durante el periodo de gracia no se cobran intereses.
Problema resulto 36
El señor Fernando Valdez compró a crédito un molino de nixtamal el día de hoy para su negocio y su acreedor le concede un periodo de gracia de un año; sin embargo, realizará seis pagos semestrales anticipados de $54 800 por la compra del molino de nixtamal, si el interés es de 8% anual convertible semestralmente, encontrar el monto. Solución. Datos: R = $54 800 Incógnita M n = 6 semestres Periodo de gracia un año = dos semestres T = 28% A.C.S. i = 0.02 semestral
Figura 5.14 Anualidad diferida dos semestres, plazo seis semestres y renta de $54 800 cada mes. Se emplea la fórmula de monto de una anualidad anticipada, porque el pago se realiza al principio del periodo (pagos semestrales anticipados). (1 + 𝑖)2-! − 1 (1.02)&-! − 1 𝑀 = 𝑅8 − 19 = 54800 8 − 19 𝑖 0.02 (1.02)% − 1 = 54800 8 − 19 0.02 1.148685668 − 1 0.148685668 𝑀 = 54800 : − 1; = 54800 : − 1; 0.02 0.02 = 54800(7.434283 − 1) 𝑀 = 54800(6.4342834) = $352598.73 Problema resuelto 37
Encontrar el pago total que debe realizar el señor Héctor Serrano por la compra de una computadora el día de hoy, si después de tres meses realiza 12 pagos al inicio de cada mes de $999 con un interés de 28% anual convertible mensualmente. Solución. Datos: R = $999 T = 28% A.C.M.
Incógnita M
i = 0.023333 mensual n = 12 meses
Figura 5.15 Anualidad diferida dos meses, plazo 12 meses y renta de $999 cada mes. Se emplea la fórmula de monto de una anualidad anticipada, porque el pago se realiza al principio del periodo (al inicio de cada mes).
(1 + 𝑖)2-! − 1 (1.023333)!*-! − 1 − 19 = 999 8 − 19 𝑖 0.0233333 (1.023333)!) − 1 = 999 8 − 19 0.023333 1.34965438 − 1 0.34965438 𝑀 = 999 : − 1; = 999 : − 1; = 999(14.9851877 − 1) 0.023333 0.023333 𝑀 = 999(13.9851877) = $13971.20 𝑀 = 𝑅8
5.5.3
Renta en anualidades diferidas
Para calcular el valor de la renta se deben analizar primero los datos del problema, lo que permitirá identificar si se proporciona el monto o el valor actual. Cuando se conoce el capital o el valor actual, pero se desea conocer la renta, esta se despeja de la ecuación del valor actual de la anualidad diferida (5.15).
Despejando la renta de la ecuación 5.15 se obtiene:
Problema resuelto 44
El papá de la alumna Andrea Martínez deposita el 5 de julio la cantidad de $900 000 en un fondo de inversión, ese mismo día inscribe a su hija en la preparatoria. El papá tiene la idea de realizar nueve retiros semestrales a partir de cuándo inscriba a su hija en el mes de julio en la universidad. Encontrar el valor de cada retiro semestral que realizará si la tasa es de 8% anual capitalizable semestralmente.
Solución. Datos: A = $900 000 m = periodo de gracia = 5 semestres n = 9 semestres T = 8% A.C.S. i = 0.04 semestral
Incógnita R
Figura 5.23. Anualidad diferida valor actual para nueve pagos semestrales
𝐴(1 + 𝑖)H 900000(1 + 0.04)' 900000(1.2166529) = = 02 0# 1 − 0.7025867 1 − (1 + 𝑖 ) 1 − (1 + 0.04) 0.04 𝑖 0.04 1094987.61 1094987.61 109487.61 𝑅= = = 1 − 0.70258674 0.29741326 7.43533161 0.04 0.04 𝑅 = $147268.16 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑅=
5.5.4 Plazo en anualidades diferidas El número de periodos de pago en una anualidad diferida se calcula analizando los datos del problema para identificar cuándo se proporciona el valor actual o el valor del monto. •
Se calcula en valor del depósito inicial al final del periodo de gracia.
•
Cuando se conoce el valor actual se despeja la renta de la expresión de anualidad vencida de valor actual.
Problema resuelto 47
La comunicóloga Carmen Loera contrae una deuda de $125 000 por la compra de equipo para una cabina de radio para transmitir por internet. Ella acordó comenzar a pagar dentro de tres meses, realizando cuantos pagos sean necesarios de $9 000 hasta saldar la deuda. La tasa de interés es de 24% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos se deben realizar para saldar su deuda?
Solución Datos: A = $125 000 R = $9 000 m = periodo de gracia = 2 meses T = 24% A.C.M. i = 0.02 mensual
Incógnita n
Figura 5.26 Anualidad diferida valor actual para conocer el número de pagos mensuales de $9 000. 9000 R ; ; log : R − [A(1 + i)I ](i) 9000 − [125000(1.02)* ](0.02) n= = log(1 + i) log(1.02) 9000 9000 log : ; log : ; 9000 − [125000(1.0404)](0.02) 9000 − (130050)(0.02) n= = log(1.02) log(1.02) 9000 9000 log 09000 − 26011 log 063991 log [1.40646976] 0.148130399 n= = = = log(1.02) log(1.02) log(1.02) 0.0086 n = 17.22 pagos log :
Como n = 17.22 pagos, deberá pagar 17 pagos de $9 000 más otro pago menor y para saber de cuánto sería utilizamos la siguiente ecuación: (1.02)(1 − 1 X = 3125000(1.02)(0 − 9000 U V8 (1.02) 0.02 1.400241 − 1 X = <125000(1.456811) − 9000 W X? (1.02) 0.02
1.40024142 − 1 x; (1.02) 0.02 X = [182101.38 − 9000(20.012071)](1.02) X = (182101.38 − 180.64)(1.02) = (1992.714)(1.02) = 2032.57 También se pueden realizar 16 pagos de $9 000, más otro de mayor cantidad: X = :125000(1.456811) − 9000 w
(1.02)(3 − 1 X = 3125000(1.02)(2 − 9000 U V8 (1.02) 0.02 1.372786 − 1 X = <125000(1.428246) − 9000 W X? (1.02) 0.02 0.372786 X = <178530.75 − 9000 W X? (1.02) 0.02
X = [178530.75 − 9000(18.6393)](1.02)
X = (178530.75 − 167753.7)(1.02) = (10777.05)(1.02) = 10992.73
5.5.5
Tasa de interés en anualidades diferidas
Como ya se ha estudiado, al realizar el pago de la renta al final de cada periodo se tiene que emplear la fórmula de valor presente para anualidad vencida.
La incógnita en este caso es la tasa de interés i y es necesario despejarla de la fórmula de valor presente para anualidad vencida.
Como se observa en la expresión 5.18 tenemos tanto en numerador como en el denominador a la i, por lo que no se puede despejar a i. Entonces qué se puede hacer para conocer el valor de la tasa. Para darle solución a este problema se utiliza el procedimiento de aproximación o tanteo, el cual consta de varios pasos: 1. Sustituir los valores en la expresión 5.18 de renta y valor actual, posteriormente realizar el cociente.
2. Conociendo el valor de k, ensayar dando valores de tasa de interés i uno mayor y otro menor. El objetivo es que al sustituir el valor de la tasa y
realizar las operaciones, el resultado del lado derecho de la expresión 5.18 sea lo más cercano al valor de k. 3. Interpolar los valores encontrados en la expresión 5.18 para determinar el valor de i. Para entender con mayor facilidad los pasos anteriores, se utilizará un ejemplo: Problema resuelto 49
Gilberto debería pagar el día de hoy $22 648.28 por la compra de mercancía para su mercería. Él había reestructurado su deuda con anticipación y acordó con el banco realizar siete pagos trimestrales de $4 500.00. ¿Qué tasa de interés le están cobrando? Solución. Datos: C = $22 648.28 R = $4 500.00 n = 7 trimestres 1. 𝐴 1 − (1 + 𝐼)02 = 𝑅 𝑖 $22648.28 1 − (1 + 𝑖)02 = $4500.00 𝑖 1 − (1 + 𝑖)02 5.03295 = 𝑖 2. Si i = 0.085 entonces: 1 − (1 + 0.085)0% 5.03295 = 0.085 1 − (1.085)0% 5.03295 = 0.085 1 − 0.564926 5.03295 = 0.085 0.4350736 5.03295 = 0.085 5.03295 = 5.118513 Si i = 0.087 entonces: 1 − (1 + 0.087)0% 5.03295 = 0.087 1 − (1.087)0% 5.03295 = 0.087 1 − 0.55769 5.03295 = 0.087 0.4423096 5.03295 = 0.087
Incógnita i
5.03295 = 5.084 Si i = 0.098 entonces: 1 − (1 + 0.098)0% 5.03295 = 0.098 1 − (1.098)0% 5.03295 = 0.098 1 − 0.519737 5.03295 = 0.098 0.480263 5.03295 = 0.098 5.03295 = 4.90064 3. El paso siguiente es interpolar los dos valores más cercanos a 5.03295, calculados en el paso anterior, la interpolación nos sirve para encontrar el valor más exacto de la tasa de interés i. En todo procedimiento de interpolación se debe realizar un diagrama el cual mostrará las condiciones de la interpolación permitiendo analizar y comprender de una forma más clara los cálculos a realizar.
Figura 5.28 De Interpolación para el cálculo de la tasa de interés. Con base en la figura 5.28 se realizan los siguientes cálculos: La distancia total entre las cantidades 4.90064 y 5.084. Distancia total (𝑑J ) = 5.084 - 4.90064 = 0.18336 La distancia (𝑑! ) entre las cantidades 4.90064 y 5.03295 𝑑! = 5.03295 − 4.90064 = 0.13231 Se plantea la relación:
𝑑! 0.13231 = = 0.72159 𝑑J 0.18336
La distancia (𝑑) ) entre las cantidades 0.098 e i. 𝑑) = 𝑖 − 0.098 La distancia (𝑑 K ) entre las cantidades 0.087 y 0.098. 𝑑 K = 0.087 − 0.098 = −0.011 La proporción queda de la siguiente forma:
𝑑! 𝑑* = 𝑑 𝑑K 5.03295 − 4.90064 𝑖 − 0.098 = 5.084 − 4.90064 0.087 − 0.098 0.13231 𝑖 − 0.098 = 0.18336 −0.011 𝑖 − 0.098 0.72159 = −0.011 𝑖 − 0.098 = 0.72159(−0.011) 𝑖 − 0.098 = −0.007937 𝑖 = −0.007937 + 0.098 𝑖 = 0.090062 𝑖 = 9.0062% 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
Comprobación de la mejor aproximación de la tasa de interés, utilizando la ecuación 5.18. 1 − (1.090062)0% 1 − 0.5468165 0.04531835 = = = 5.0319 0.090062 0.090062 0.090062 El resultado obtenido de la comprobación casi es igual al calculado en el cociente de A/R de la ecuación 5.18. 5.0319 = 5.3295 La diferencia en el cálculo de la tasa es de 0.00085 debido a las fracciones decimales en los cálculos.
5.5.6 Tasa de interés en anualidad diferida La incógnita en este caso es la tasa de interés i y es necesario despejarla de la fórmula de valor presente para anualidad vencida.
Como se observa en la expresión 5.21 tenemos tanto en numerador como en el denominador a la i, por lo que no se puede despejar a i. Para darle solución a este problema se utiliza el procedimiento de aproximación o tanteo, el cual consta de varios pasos:
1.
Sustituir los valores en la expresión 5.21 de renta y valor actual, posteriormente realizar el cociente.
2. Conociendo el valor de k, ensayar dando valores de tasa de interés i uno mayor y otro menor. El objetivo es que al sustituir el valor de la tasa y realizar las operaciones, el resultado del lado derecho de la expresión 5.21 sea lo más cercano al valor de k. 3. Interpolar los valores encontrados en la expresión 5.21 para determinar el valor de i. Problema resuelto 52
¿A qué tasa de interés anual de nueve pagos bimestrales anticipados de $800.00 equivalen a un valor actual de $6 788.74? Solución. La solución de la tasa de anualidad anticipada en esta ocasión se realiza en la hoja electrónica utilizando la fórmula de valor presente para anualidad anticipada 5.10, los cálculos se realizaron con base en los tres pasos que utilizaron para el cálculo de la tasa en anualidades vencidas. Cuadro 5.8 Cálculo de la tasa de interés en anualidad diferida (Valor actual)
𝒅𝟏 𝒅𝟑 = 𝒅𝒕 𝒅𝑻 𝒊 − 𝟎. 𝟎𝟏𝟒𝟓 𝟕. 𝟓𝟎𝟐𝟐𝟓𝟕 − 𝟕. 𝟒𝟖𝟓𝟗𝟑 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟓𝟎𝟓𝟎 − 𝟎. 𝟎𝟏𝟒𝟓 𝟕. 𝟓𝟎𝟐𝟐𝟓𝟕 − 𝟕. 𝟒𝟖𝟒𝟐𝟗 𝒊 − 𝟎. 𝟎𝟏𝟒𝟓 𝟎. 𝟎𝟑𝟔𝟔𝟒 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟓𝟓 𝟎. 𝟎𝟑𝟖𝟐𝟖 𝒊 − 𝟎. 𝟎𝟏𝟒𝟓 = 𝟎. 𝟗𝟓𝟕𝟏𝟔(𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟓𝟓) 𝒊 − 𝟎. 𝟎𝟏𝟒𝟓 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟓 𝒊 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟓 𝒊 = 𝟏. 𝟓% 𝒃𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍 𝒊 = 𝟗% 𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍
5.6 Anualidades generales Una anualidad general tiene la característica de que el periodo de pago nunca coincide con el periodo de capitalización. Existen dos casos de anualidades generales: • •
Cuando el periodo de pago es más largo que el de capitalización. El periodo de capitalización es más largo que el periodo de pago
Cuadro 5.10 Cómo identificar una anualidad general, cuando es planteada en ejemplo o problema a resolver
Criterio
Anualidad general
Ejemplo
Tiempo (Cierta)
Las fechas son fijas y se determinan con anterioridad
Antes de realizar la firma del documento.
Periodo
Tiempo que transcurre desde la fecha de su emisión hasta la fecha de su vencimiento.
Un año
El pago o cobro tiene lugar en el
Iniciación primer periodo, inmediatamente (Inmediata) después de la emisión de un
empréstito (formalización del trato).
Pagos
Los pagos se efectúan al vencimiento del periodo o intervalo.
General
Cuando el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización de los intereses.
Al final de cada mes. El día 30 o 31 El periodo de pago es de un mes y la tasa de interés de 10% anual convertible bimestralmente.
Es necesario convertir la anualidad general en una anualidad simple, para posteriormente utilizar la ecuación de anualidad vencida y calcular la anualidad general.
Para convertir la anualidad general a simple se cuenta con los dos procedimientos: 1. Calcular la tasa de interés equivalente i′. 2. Encontrando el valor de la renta o pago periódico equivalente R ′. I. Cuando el periodo de pago es más largo que el de capitalización
Problema resuelto 54 Calcular el monto de cuatro pagos de $150 al final de cada bimestre si el interés es de 24% anual capitalizable mensualmente. Solución. Datos: R = $150 T = 24% A.C. Mensual i = 0.02 mensual n = 4 bimestres
Incógnita M
Figura 5.31 Anualidad general. En los datos del problema, el periodo de pago es de dos meses y el de capitalización de los intereses de un mes, entonces, el periodo de pago es mayor que el de capitalización. Para encontrar la anualidad general primero se calcula la tasa de interés equivalente. 𝑖´ 𝑖´ 𝑖´ 𝑖´ 𝑖´
= 6(1.0404 − 1) = 6(0.0404) = 0.2424 = 24.24% 𝐴. 𝐶. 𝐵𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0.0404 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
Una vez encontrada la tasa anual capitalizable bimestralmente se transforma la anualidad general a una anualidad simple. 2
(1 + 0.0404)( − 1 ƒ1 + 𝑖 ´ „ − 1 𝑀P = 𝑅 ‚ … = 150 8 9 𝑖´ 0.0404 1.17165938 − 1 𝑀P = 150 : ; = 150(4.249) = 637.35 0.0404 Encontrar la renta equivalente mensual (R ′) durante dos meses que sea equivalente a una renta bimestral (R) de $150; es decir, debemos
calcular a partir del monto la renta mensual utilizando la fórmula de anualidad simple.
Despejar R ′ de la ecuación anterior y se obtiene: 150 150 150 𝑅´ = = = = $74.26 1.0404 − 1 (1 + 0.02)* − 1 0 0.02 1 2.02 : ; 0.02 El monto 𝑀P = 𝑀1 2
(1 + 0.02)$ − 1 ƒ1 + 𝑖 ´ „ 𝑀1 = 𝑅 ‚ … = 74.26 8 9 = $637.37 𝑖´ 0.02 55 Si el periodo de pago es más corto que el de capitalización
5.6.1 Valor actual en anualidades generales Problema resuelto 58
Encontrar el valor actual de un conjunto de cuatro pagos trimestrales de $200, si el interés es de 26% anual convertible mensualmente. Solución. Datos: R = $200 n = 4 trimestres T = 26% A.C. Mensual i = 0.021666 mensual
Incógnita A
a) Se resuelve utilizando la tasa equivalente. Para su cálculo se considera un solo trimestre. 1 + 𝑖 ´ = (1 + 𝑖)Q 𝑖 ´ = (1 + 0.021666)) − 1 𝑖 ´ = 0.0664165 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
b) Para calcular el valor presente: 1 − (1 + 𝑖)02 1 − (1.0664165)0( 1 − 0.7732013 𝐴 = 𝑅8 9 = 200 8 9 = 200 : ; 𝑖 0.0664165 0.0664165 0.2267987 𝐴 = 200 : ; = 200(3.4147945) = 682.96 0.0664165 c) Para calcular el monto: (1 + 𝑖)2 − 1 (1.0664165)( − 1 1.293324 − 1 9 = 200 8 9 = 200 : ; 𝑖 0.0664165 0.0664165 0.2933243 𝐴 = 200 : ; = 200(4.4164372) = 883.29 0.0664165 O bien, si A = M entonces: 𝑀 = 682.96(1.0664165)( = 682.96(1.2933243) = 883.29 𝑀 = 𝑅8
d) Para la renta equivalente, la solución es: (1 + 𝑡)Q − 1 𝑀 = 𝑅´ 8 9 𝑡 (1.021666)) − 1 200 = 𝑅´ 8 9 0.021666 0.066416 200 = 𝑅´ : ; 0.021666 200 𝑅´ = = $65.24 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 3.0654482 e) El cálculo del valor presente sería: 1 − (1 + 𝑖)02 1 − (1.021666)0!* 1 − 0.7732013 𝐴 = 𝑅8 9 = 65.24 8 9 = 65.24 : ; 𝑖 0.021666 0.021666 0.226798 𝐴 = 65.24 : ; = 65.24(10.46791) 0.021666 𝐴 = $682.93 f) Para calcular el monto: (1 + 𝑡)Q − 1 (1 + 0.021666)!* − 1 0.293324 9 = 65.24 8 9 = 65.24 : ; 𝑡 0.021666 0.021666 𝑀 = 65.24(13.53845) = 883.25𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑀 = 𝑅´ 8
5.6.2 Plazo en anualidades generales
Problema resuelto 60 Una persona desea acumular $20 395 mediante depósitos semestrales de $911.90 en una cuenta que rinde 1.25% bimestral. Solución. La tasa semestral equivalente a 1.25% bimestral: *
𝑖´ †1 + ‡ = (1 + 0.0125)! 2 *
𝑖´ ( †1 + ‡ = √1.0125 2 𝑖´ 1 + = 1.00623059 2 𝑖 ´ = 2(1.00623059 − 1) 𝑖 ´ = 2(0.00623059) 𝑖 ´ = 0.0124612 𝐴. 𝐶. 𝑆𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑖 ´ = 0.0124612/2 = 0.00623059 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 De la expresión de monto de la anualidad vencida se despeja n: 𝑀𝑖 ´ 2 𝑙𝑜𝑔 w 𝑟 + 1x ƒ1 + 𝑖 ´ „ 𝑀 = 𝑅‚ … ∴ 𝑛= 𝑖´ 𝑙𝑜𝑔 (1 + 𝑖 ´ ) 20395(0.00623059) 𝑙𝑜𝑔 w + 1x 𝑙𝑜𝑔 ‹127.07288 + 1Œ 𝑙𝑜𝑔(1.13935) 911.90 911.20 𝑛= = = 𝑙𝑜𝑔 (1 + 0.00623059 0.002697516 0.002697516 0.056657 𝑛= = 21 0.002697516
5.6.2 Renta en anualidades generales Problema resuelto 60 El 10 de febrero de 2014, el comerciante Miguel Mancera compró un local en una nueva plaza comercial en el centro de la ciudad con valor de $4 000 000, dio de enganche 50% y el resto fue en un pago único el 10 de mayo 2015. El 20 abril de 2015, el señor Mancera acuerda con Banorte cambiar la forma de liquidar el local por seis pagos mensuales, realizando el primero el 10 de septiembre de 2015. La tasa de interés efectivo anual acordada es de 10.5%. ¿Cuánto tiene que pagar mensualmente el señor Mancera?
Solución.
Figura 5.35 Anualidad diferida, cálculo de la renta. Valor del local - enganche = 4 000 000 - 0.5 (2 000 000) = $1 000 000 Periodo de gracia tres meses Seis pagos mensuales de = ? Tasa equivalente (1 + 𝑖)!* = 1 + 0.105 )( 1 + 𝑖 = √1.105 𝑖 = 1.0083552 − 1 𝑖 = 0.0083552 El valor del adeudo al 10 de agosto de 2015 2000000(1.0083552)) = $2050551.22 La anualidad equivalente: 1 − (1.0083552)0& 9 0.0083552 1 − 0.95130274 2050551.22 = 𝑅 : ; 0.0083552 0.0486973 2050551.22 = 𝑅 : ; 0.0083552 2050551.22 𝑅= = $351821.68 5.8283822 2050551.22 = 𝑅 8
5.6.3 Anualidades generales anticipadas Problema resuelto 61
La historiadora Nitza Aragón realiza por anticipado depósitos quincenales durante seis bimestres para acumular $23 000, a una tasa de interés capitalizable 24% cada mes. Solución. Encontrar la tasa efectiva quincenal: *(
†1 +
𝑖´ ‡ 24
= w1 +
0.24 !* x 12
*(
𝑖´ †1 + ‡ = (1 + 0.02)!* 24 𝑖´ (* 1+ = •(1.2682418) 24 𝑖 ´ = 24(1.00995 − 1) 𝑖 ´ = 24(0.00995) 𝑖 ´ = 0.2388 𝐴. 𝐶. 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎𝑙 𝑖 ´ = 0.00995 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎𝑙 Un bimestre tiene cuatro quincenas. 𝑛 = 6(4) = 24 ´ 2-!
𝑀 = 𝑅‚
ƒ1 + 𝑖 „ 𝑖´
− 1…
∴
𝑅=
𝑀
(1 + 𝑖 ´ )2-! − 1 − 1; : 𝑖´ 𝑀 23000 𝑅= = (1 + 0.00995)*(-! − 1 (1 + 𝑖 ´ )2-! − 1 : − 1; − 1; : 0.00995 𝑖´ 23000 23000 𝑅= = 1.2808458 − 1 0.2808458 0 0.00995 − 11 0 0.00995 − 11 23000 23000 𝑅= = = $844.80 0.2808458 0 0.00995 − 11 28.2257 − 1
5.7 Anualidad general diferida Problema resuelto 67
La mueblería RC ofrece una pantalla plana con 36 abonos semanales de $230 e intereses de 30% capitalizable mensualmente, el primer pago se realiza dentro de tres meses después de la compra. ¿Cuál es el precio de contado de la pantalla plana?
Solución. La tasa de capitalización por semana equivalente a la tasa de 30% anual capitalizable mensualmente. 𝑖´ †1 + ‡ 52
'*
0.30 !* = w1 + x 12
'*
𝑖´ †1 + ‡ = (1 + 0.025)!* 52 𝑖´ +( 1+ = •(1.344889) 52 𝑖 ´ = 52(1.005715 − 1) 𝑖 ´ = 52(0.005715) 𝑖 ´ = 29.716% 𝐴. 𝐶. 𝑆𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑙 𝑖 ´ = 0.005715 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑛𝑎𝑙 El valor presente de la pantalla plana una semana antes de hacer el primero de los 36 pagos de $230 a la semana. 02-!
1 − ƒ1 + 𝑖 ´ „ 𝐴 = 𝑅‚ 𝑖´
1 − (1 + 0.29716/52)0)& … = 230 8 9 0.29716/52
1 − (1 + 0.005715)0)& 0.185467 𝐴 = 230 8 9 = 230 : ; 0.005715 0.005715 𝐴 = 230(32.452668) = $7464.11
Para conocer el precio de contado de la pantalla se tiene que encontrar el valor actual 12 semanas antes del primer pago. 𝐶 = 7464.11(1.005715)0!* = 7464.116(0.9339) = 6970.74
5.8 Anualidad general variable Las anualidades estudiadas con anterioridad se caracterizaban porque la serie de pagos se realizaban a intervalos de tiempo iguales o uniformes a un importe constante o valor constante.
En la vida cotidiana se presentan casos en donde el importe es variable y la serie de pagos se realizan en intervalos uniformes, a estos casos se les conoce como anualidades variables. En las anualidades variables como el importe es variables, este se puede incrementar o decrementar en forma de series aritméticas o geométricas y el conjunto de pagos que se realizan a intervalos iguales. En el caso de las anualidades variables aritméticas, cada término es el resultado de sumar o restar un mismo número al número anterior. En las anualidades geométricas, cada término es el resultado de multiplicar el anterior por un mismo número, el cual recibe el nombre de razón de la progresión geométrica r y el primer término se representa con 𝑡! .
La suma de los términos en una serie geométrica creciente o decreciente se encuentra utilizando las siguientes ecuaciones: Progresión decreciente, la razón es menor a uno (r < 1).
Progresión creciente, la razón es mayor a uno (r > 1).
Para calcular cualquier término basta con conocer el valor del primer pago (t) y la razón de la progresión (r).
Suma de términos: a) Progresión creciente en este caso la razón es mayor a 1 (r > 1)
b) Progresión creciente en este caso la razón es menor a 1 (r < 1).
5.9.1 Valor presente de una anualidad variable En el cálculo del valor presente de una anualidad variable es necesario trasladar todos los términos a la fecha focal que está ubicada en punto cero como se muestra en la figura 5.38.
Figura 5.38 Valor presente de una anualidad variable.
En donde los n pagos al final de los periodos de interés son: R, 2R, 3R, . . . , n𝑅2
Multiplicando la ecuación (1) por (1 + i) se tiene:
Restando las ecuaciones 5.23 y 5.24:
Sea 𝑆2 la suma de los n términos de la progresión geométrica siendo el primer término es 𝑡! = 1 y la razón común (1 + 𝑖)0! . 𝑆2 = 𝑡.
1 − 𝑟2 1−𝑟
1 − 𝑟2 1−𝑟 1 + 𝑖 1 − (1 + 𝑖)02 =w x 1 + 𝑖 1 − (1 + 𝑖)0! 1 − (1 + 𝑖)02 = (1 + 𝑖) 8 9 𝑖
1 + (1 + 𝑖)0! + (1 + 𝑖)0* ⋯ (1 + 𝑖)0(20!) = 𝑡. 1 + (1 + 𝑖)0! + (1 + 𝑖)0* ⋯ (1 + 𝑖)0(20!) 1 + (1 + 𝑖)0! + (1 + 𝑖)0* ⋯ (1 + 𝑖)0(20!) La ecuación 5.23 queda:
El valor acumulado S de la anualidad simple creciente se calcula con la siguiente ecuación:
Problema resuelto 69 Ángel Rivera invierte $9 000 al final de cada año, durante siete años, en un fondo de inversión (FI) que paga 10%, el fondo paga los intereses al final de cada año. La persona deposita su pago anual de intereses en una cuenta de inversión inmediata (CII) en EXE Banco, paga de intereses 4% anual. ¿Cuánto dinero tendrá dentro de siete años? Solución. •
Como los intereses se pagan al final de cada año, el señor Rivera tendrá al final de los siete años $63 000 en el fondo de inversión.
•
Los depósitos realizados en EXE Banco también se pagan al final de cada año, pero su primer pago de intereses será a partir del segundo año.
Figura 5.39 Anualidad variable. 𝑀 = 9000(1 + 𝑖) = 9000(1.10) = 9900 𝑙 = 9000 − 9000 = $900 Si 𝑙 = 𝑅! 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5.25 900 1 − (1 + 0.04)0& 𝑆= ‚8 9 (1 + 0.04)&-! − 6… 0.04 0.04 900 1 − 0.790314525 ‚: ; (1.04)% − 6… 0.04 0.04 900 [(5.242136857)(1.315931779) − 6] 𝑆= 0.04 𝑆 = (22500)(6.898294481 − 6) 𝑆 = (22500)(0.898294481) 𝑆 = $20211.62 𝑆=
5.10 Anualidades perpetuas Esta anualidad se caracteriza porque el capital se mantiene constante y el valor de la renta es igual a los intereses generados durante el periodo (la tasa de interés nunca puede cambiar), por lo que los retiros se mantienen constantes de manera perpetua, siempre y cuando el capital original se mantenga invertido, lo cual hace que el plazo no tenga fin. A las anualidades perpetuas también se les conoce como rentas perpetuas o a perpetuidad, por ejemplo: Los dividendos de acciones preferentes de una empresa que son los intereses que se retiran al final de cada periodo para ser utilizados en beneficio de asociaciones civiles, centros de investigación o universidades, entre otras, son rentas perpetuas. Algunos puntos importantes de las anualidades a perpetuidad son: •
Desde un punto de vista idealizado los pagos de la renta nunca terminan, entonces: No es posible conocer el valor a futuro; sin embargo, el valor presente de la renta perpetua siempre será conocido.
•
Ahora si analizamos la tasa de interés por periodo, esta puede ser simple o compuesta. Cuando la tasa se considera compuesta, no da oportunidad a que se capitalice al final del periodo, porque los intereses son retirados al final del mismo, originando que la tasa de interés compuesto actúe en la práctica como una tasa de interés simple.
•
También se puede presentar el caso en el que la renta sea menor a los intereses generados durante el periodo: Lo que origina que el capital se incremente con el tiempo, obteniéndose un capital relativamente pequeño. Este caso no se tratará en este libro.
Valor de la renta a) Se obtiene a partir de la ecuación 5.30
Problema resuelto 72
Se tiene una renta perpetua de $800 000 pagadera al final de cada año. El interés que paga la institución financiera por la inversión es de 10.15% anual. Calcular el valor actual del legado.
Solución Datos: R = $800 000 T = 10.15% anual R = Ci
Incógnita C
∴ 𝑪=
𝑹 𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = = $𝟕𝟖𝟖𝟏𝟕𝟕𝟑. 𝟒𝟎 𝒊 𝟎. 𝟏𝟎𝟏𝟓
Fórmulas empleadas Terminología de anualidades
Anualidades vencidas
•
Monto
•
Valor actual o presente
•
Renta
•
Plazo
Anualidad anticipada •
Monto
•
Valor actual o presente
•
Renta
•
Plazo
Anualidades diferidas •
Valor presente
•
Renta
•
Plazo
•
Tasa en anualidad vencida
•
Tasa efectiva
•
Tasa en anualidad anticipada
Anualidad general variable •
Valor presente
•
Suma
•
Suma infinita
Anualidades perpetuas •
Renta
Tasa de interés •
Tasa
•
Tasa nomina
•
Tasa efectiva
BIBLIOGRAFÍA Rodriguez, J., Rodríguez, E., & Pierdant, A. (2014). Matemáticas financieras. México: Patria. Gitman, L. (2007). Principios de Administración Financiera. México: Pearson. Ross S., Westerfield E., & Jordan B. (2018). Fundamentos de Finanzas Corporativas (11ª ed.). México: Mc Graw Hill Van Horne, J. C., & Wachowicz, J. M. (2010). Fundamentos de Administración Financiera (13 ª ed). México: Pearson.