Modelos de variable dependiente binaria Introducción ¿Qué ocurre cuando se desea usar la regresión lineal múltiple para explicar eventos cualitativos? El caso más sencillo es un evento del tipo binario, por lo cual, la variable dependiente 𝑦 toma valores de cero y uno (Wooldridge 2009). Por ejemplo, 𝑦 puede indicar si una persona trabaja o no trabaja, si una empresa exporta o no o, si una empresa es grande o pequeña, si un trabajador está capacitado en algún ámbito de conocimiento o no, entre otros aspectos. En cualquier caso, se puede especificar que 𝑦 = 1 representa uno de los resultados, en tanto, que 𝑦 = 0 denota el otro resultado. Esta diferencia entre 0 y 1 también podría pensarse como éxito y fracaso. En cada estudio se debe especificar qué representa el éxito y qué el fracaso.
Desarrollo Una variable dependiente binaria: El modelo de probabilidad lineal (MPL) Se parte de la función de regresión poblacional. 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋1 + 𝛽2 𝑋2 +. . . +𝛽𝑘 𝑋𝑘 + 𝑢[1] Como 𝑦 solo puede toma dos valores, los 𝛽𝑗 no pueden interpretarse como un cambio en 𝑦 dado un aumento de 𝑥𝑗 , ceteris paribus. En este caso, 𝑦 cambia de cero a uno o no cambia. Partiendo del supuesto de media condicional cero 𝐸(𝑢|𝑋1 , 𝑋2 , . . . , 𝑋𝑘 ) = 0, tenemos: 𝐸(𝑦|𝐗) = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋1 + 𝛽2 𝑋2 +. . . +𝛽𝑘 𝑋𝑘 + 𝑢[2] El punto clave es que 𝑦 es una variable binaria que toma valores de cero y uno, entonces tenemos que 𝑃(𝑦 = 1|𝐗) = 𝐸(𝑦|𝐗): la probabilidad de “éxito”. Por lo tanto: 𝑃(𝑦 = 1|𝐗) = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋1 + 𝛽2 𝑋2 +. . . +𝛽𝑘 𝑋𝑘 + 𝑢[3] La ecuación [3] muestra que la probabilidad de éxito, 𝑝(𝑥) = 𝑃(𝑦 = 1|𝐗), es una función lineal de las variables 𝑥𝑗 . A esta ecuación también se le conoce como la probabilidad de respuesta. Dado que, las probabilidades deben sumar uno, 𝑃(𝑦 = 0|𝐗) = 1 − 𝑃 (𝑦 = 1|𝐗), es también una función lineal de las 𝑥𝑗 . Por lo tanto, un modelo de regresión lineal múltiple en el que la variable dependiente es una variable binaria se le conoce como: modelo de probabilidad lineal (MPL) debido a que la probabilidad de respuesta es lineal a los parámetros 𝛽𝑗 . En el MPL, los 𝛽𝑗 miden la variación de la probabilidad de éxito al variar 𝑥𝑗 , ceteris paribus: 𝛥𝑃(𝑦 = 1|𝑋) = 𝛽𝑗 𝛥𝑥𝑗 [4]