Complejos, cuaternios, octonios y muchos más, en matemáticas se encuentran sistemas numéricos para todo y para todos. Los mortales no necesitan ir tan lejos y se quedan en los reales, para los más mortales con los racionales es suficiente, y para los mortales acérrimos (la gran mayorı́a), con los naturales se tiene para toda la vida. Suena a que estos números, tan usados por los mortales están muy bien estudiados y muy bien comprendidos. Nada más lejos de la realidad, tan sólo en los apetecidos naturales las preguntas sin respuesta están a la orden del dı́a. Y si vamos más alla, a un mundo no tan conocido, los irracionales, Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, esto quiere decir que no se puede expresar en forma de una fracción, osea, no se puede representar cop mo para p, q dos números enteros. Por razones históricas, q aplicaciones, apariciones públicas y no tan públicas, chismes y otros devenires, el número irracional más famoso es π, que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro [BBB04]. El famoso 3,14159265359..., que podemos encontrar en presentaciones mucho más elegantes: ∞ (−1)n , n=0 2n + 1 fn (x) = 1 2n i ∑ ci x , n! i=n con coeficientes ci enteros, se verifica (ánimo, usted puede (k) (k) hacerlo) que fn (0) y fn (1) son enteros, esto es, G(0) y G(1) son enteros. Si derivamos G(x) dos veces se obtiene que 00 00 G (x) = bn [π 2n fn (x)−π 2n−2 fn (x)+· · ·+(−1)n fn (4) (2n+2) (x)]. donde el último término es cero (¿por qué?). De esta manera, 00 sumando G(x) y G (x) se obtiene que 00 G (x) + π 2 G(x) = bn π 2n+2 fn (x) = π 2 an fn (x). (2) Definamos ahora una nueva serie 0 H(x) = G sin − πG(x) cos πx, derivandola y usando la ecuación (2) se obtiene 0 H (x) = π 2 an fn (x) sin πx. que aplicando el teorema fundamental del cálculo nos permite obtener π =4∑ p , (p−1)/2 p odd p + (−1) v v u s u u r u q u √ t t n = lı́m 2 2 − 2 + 2 + 2 + 2 + · · · 2. =2 Si además, definimos ∏ (1) π2 Z 1 0 an fn (x) sin πx dx = H(1) − H(0) = π[G(1) + G(0)]. Ası́, podemos asegurar que n→∞ Z 1 ¿Pero como estar seguros de que es irracional? Con una π an fn (x) sin πx dx, 0 demostración. A continuación desarrollaremos lo que en diversos textos 1 y artı́culos aparece como una prueba elemental de la irracio- es un entero. Pero por otra parte, 0 < fn (x) < n! para 0 < x < 1, de modo que nalidad de π. Supongamos que π 2 es racional, esto es, puede escribirse πan como 0 < πan fn (x) sin πx < , p n! π 2 = , p, q ∈ Z p y en consecuencia se obtiene que y tomemos la siguiente serie Z 1 πan n a f (x) sin πx dx < 0 < π . n 00 (4) n! 0 G(x) = bn [π 2n fn (x) − π 2n−2 fn (x) + π 2n−4 fn (x) − · · · (2n) Hasta este punto nuestro razonamiento no toma en cuenta + (−1)n fn (x)]. el valor que tome n, ası́ que si n es lo suficientemente grande (¿que tan grande será necesario?), entonces cuyos términos satisfacen que bn π (2n−2k) = bn (π 2 )n−k = bn a n−k b 0<π = an−k bk . 30 Z 1 0 an fn (x) sin πx dx < πan < 1, n!