DIFFERENTIATING THE PROPER INTEGRAL WITH RESPECT TO A PARAMETER 含參變數常義積分中的微分公式（費曼最愛的方法） P. TSUYEN WU
在理論物理學家理查費曼的"Surely You're Joking, Mr. Feynman!"自傳中，文內有 那麼一段話是關於費曼在高中時初次接觸高等微積分的趣味經歷，主要關於如 何對常義積分符號內的參數求微分，利用該方法去解決一些較為困難的積分問 題。該方法又稱為萊布尼茨積分法則。若非數學系本科生，一般理工科系生在 大學裏不太會學到這方法。在費曼的自傳裏，他敘述自己在自修高等微積分時 始終沒有掌握到圍道積分的技巧。該技巧屬於複變函數論裏的內容，主要是運 用柯西－古薩定理處理復平面上全純函數的路徑積分的一個重要定理，通常用 來處理許多一般傳統技巧上無法處理的複雜積分問題，而複變函數論（又稱複 分析）的預備知識是高等微積分（初階實分析），固不在此詳述相關內容。現 在覺得可以對萊布尼茨積分法做出一個整合，用不精湛的中文寫一篇短述給非 數學系的學生，在學習電磁學的過程中為個人喜好或在必要時刻免去使用三角 代換法的一些難處，為進行微積分的計算過程中添加一點趣味性。 萊布尼茨給出了含參變數常義積分在積分符號下的求導法則，可應用到解決某些較為複 雜的積分，也就是說無法使用傳統技巧解決的一些積分問題。我們考慮一個積分（程量子 老師編著的普通物理 14-7 頁安培定律的範例 2-10） +𝑦
⃗ · ⅆ𝑠 = ∫ ∫𝐵 ℒ
𝜇0 ⅈ𝑎2 3
2 √𝑎2 + 𝑦 2
ⅆ𝑦
−𝑦
要解決右手邊的積分通常使用三角函數代換法即可。然而我們在此避開三角函數，給定一 個參變數在積分的符號下取偏微分，進行對整體積分計算的簡化去推導出最終結果。 定理：倘若函數 f: → ℝ 在矩形 P={(x,y)∈ℝ²|a≤x≤b∧c≤y≤d} 上連續且對 y 有連續偏 b
導數，則積分 F(y) = ∫a f(x, y)dx 屬於 C (1) ([a, b], ℝ)，且 𝑏
𝐹 ′ (𝑦 ) = ∫ 𝑎
𝜕𝑓 (𝑥, 𝑦) ⅆ𝑥 𝜕𝑦
[Зорич В. А. Математический анализ. Часть 2. — 4-е изд. 蘇聯時期數學家卓里奇名著“分析學”]
在基礎分析學裏，該定理的首要條件必須是被積函數 f 為定義於[a,b]上的有界實函數。這 是一項具有一定局限性的重要定理，不適合直接用於處理不定積分（即使是在某種依然成