純滾動中環型幾何的靜摩擦力方向之探討 ∣ 相對靜止的兩個物體間有相對滑 動的趨勢時，則在兩個物體的接觸面上會 存在著阻礙相對滑動趨勢的靜摩擦力，其 方向與滑動的方向相反。 在剛體滾動中，物體間相對滑動的趨勢不 如平移般來的直觀，因此不容易得到靜摩 擦力的方向。在下圖中，質量為 半徑 為 的圓形環體，受一水平外力 作用， 在 軸方向作純滾動。作用在環體 點處 的靜摩擦力的方向因為與滑動的方向不明 顯，所以難以直接去做判定。為了能較直 觀地確定滾動中靜摩擦力的方向，可應用 下述方法：先隔離被研究的滾動體，再以 假設 點不受靜摩擦力作用的前提下去找 出，在外力 作用下，環體 點位置的切 線加速度方向，如此就能知道 點所受之 靜摩擦力的方向與該切線加速度方向成反 方向。
判斷𝛴𝑎的方向，吾人可由圖獲得下述聯 立方程 {
𝐹 = (𝑛 + 1)𝑚𝑎 𝑇 — (1) 𝜏𝑝 = 𝐹 ⋅ 𝑟 = 𝐼𝑝 𝛼— (2)
其中 𝛼 =
𝑎𝑅
及 𝑟=
𝑅
𝛴𝑚𝑛 𝑦𝑛 𝛴𝑚𝑛
（此為質心與
原點間之距離），應用力矩的方程式 𝜏 = 𝛴 [(𝑚𝑖 )(𝑅𝑖 )2 ]𝛼 可將式（2）寫成 𝛴𝑚𝑛 𝑦𝑛 ) 𝜏𝑝 = (𝑛 + 1)𝑚𝑎 𝑇 ( 𝛴𝑚𝑛 𝑎𝑅 = [(𝑛 + 1)𝑚𝑅2 + 𝑚(2𝑅)2 ] ( ) 𝑅 式中 為圓環體上質點之個數（該情況為 ）且 (𝑛 + 1)𝑚𝑎 𝑇 為圓環上的小質量 與圓環本身質量 之和，故有 (𝑛 + 1)𝑚𝑎 𝑇 𝑟 = 𝑚[(𝑛 + 1)𝑅2 + (2𝑅)2 ] (
⟹ 𝑎𝑅 =
𝑅 (𝑛 + 1)𝑚𝑎 𝑇 𝑟 (𝑛 + 1)𝑚𝑅2 + 𝑚(2𝑅)2
=( 𝒂𝑹
𝜮𝒂
𝒇
𝒂𝑻
在圖中，先設 點不受靜摩擦力，考慮有 圓環質量 與其上方所施加的一小質量 的物體，且圓環質量為小質量的 倍。 整體圓環在 的作用下可看成質心的平動 與圍繞質心的轉動，則 點的切線加速度 是平移加速度𝑎 𝑇 與轉動的切線加速度𝑎𝑅 的向量和，也就是 𝛴𝑎 = 𝑎 𝑇 + 𝑎𝑅 。為了
𝑎𝑅 ) 𝑅
𝑛+1 𝑟 ) ( ) 𝑎 — (3) 𝑛+5 𝑅 𝑇
從（3）式中可獲得以下四種情況下的 點之切線加速度𝛴𝑎，進而獲得靜摩擦力 的方向: 𝑟∈(
(𝑛+5)𝑅
, +∞) ∶
(𝑛+1) (𝑛+5)𝑅
當𝑟>
(𝑛+1)
，𝑎𝑅 > 𝑎 𝑇 ，則𝛴𝑎沿
𝑎𝑅 方向，因此靜摩擦力方向沿 軸正方向。