HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
1.1
De stelling van Pythagoras formuleren
1.2
Meetkundige voorstellingen
12
1.3
Rekenen met Pythagoras
17
1.4
Constructies
28
1.5
Afstand tussen twee punten
31
1.6
Pythagoras in de ruimte
42
Studiewijzer
6
47
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
5
1.1
De stelling van Pythagoras formuleren
1.1.1
Op onderzoek
ICT
Vul de tabel in.
b
a
1 b c
a c
2
4
c
b
c c
a
a
a
5
3 b
b
driehoek
a (mm)
b (mm)
c (mm)
䉭1
48
39
84
䉭2
16
12
20
䉭3
32
24
40
䉭4
40
96
104
䉭5
40
32
61
a2
b2
c2
a2 + b2
Wat stel je vast als je de laatste twee kolommen vergelijkt?
1 2 3 4 5 6
1.1.2 Benamingen in een rechthoekige driehoek Een rechthoekige driehoek bestaat uit • twee rechthoekszijden (vormen een rechte hoek)
en
c a
• een schuine zijde of hypothenusa : b
7
6
:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
1.1.3 De stelling van Pythagoras Stelling
In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan
c a
b
In symbolen: a 2 + b 2 = c 2 (waarbij a en b de rechthoekszijden zijn en c de schuine zijde is) Drie natuurlijke getallen a, b en c (elk verschillend van 0) die aan de voorwaarde a 2 + b 2 = c 2 voldoen, noem je Pythagorische drietallen. Het eenvoudigste Pythagorische drietal is 3, 4 en 5. De stelling van Pythagoras geldt ook omgekeerd. Stelling
Als in een driehoek de som van de kwadraten van de twee kortste zijden gelijk is aan het kwadraat van de langste zijde, dan is de driehoek De 3-4-5-regel Pythagorische drietallen worden gebruikt om een rechte hoek te bepalen. • Bind op gelijke afstand knopen in een touw. Zo verkrijg je gelijke knoopafstanden. • Vorm met het touw een driehoek waarvan een zijde drie knoopafstanden heeft; een zijde vier knoopafstanden heeft; een zijde vijf knoopafstanden heeft. • Zo verkrijg je een rechthoekige driehoek en kun je een rechte hoek uitzetten.
Pythagoras is geboren op het Griekse eiland Samos, vermoedelijk in 569 v.Chr. In 518 vestigde hij in Zuid-Italië een filosofische school. De leerlingen aan deze school werden ‘mathematikoi’ of ‘Pythagoreeërs’ genoemd en moesten strenge leefregels volgen. Zo moesten ze vegetarisch leven en zweren dat ze geloofden dat alles met getallen te vatten is. De Pythagoreeërs hebben veel verdiensten: ze konden vergelijkingen meetkundig oplossen, ontdekten de irrationale getallen (zie volgend hoofdstuk) en bestudeerden met succes regelmatige veelvlakken. De ‘stelling van Pythagoras’ is in elk geval niet door hemzelf of door een van zijn volgelingen bedacht. De Babyloniërs gebruikten de eigenschap al meer dan 1 000 jaar eerder om de hoogte van muren te bepalen. De Plimpton-kleitablet, uit 1800 voor Christus, bevat kwadraten die te schrijven zijn als de som van twee andere kwadraten. Deze kleitablet is de eerste wiskundige tekst uit de geschiedenis van de mensheid. Ook in het oude Egypte kende men de 3-4-5-regel al. Ze gebruikten die om rechte hoeken uit te zetten.
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
7
Oefeningen REEKS A 1
Formuleer bij de driehoeken, indien mogelijk, de stelling van Pythagoras. a)
d)
k
c b j l a
b)
e) m e
d
o n
f
c)
f)
g
r h q
i
2
p
Kleur het vak met de passende lengte van de schuine zijde c zodat de driehoek met zijden a, b en c rechthoekig is. a
b
c
a)
3 cm
4 cm
5 cm
6 cm
7 cm
b)
5 dm
12 dm
15 dm
14 dm
13 dm
c)
60 mm
80 mm
90 mm
100 mm
110 mm
d)
20 m
21 m
27 m
29 m
31 m
e)
9 cm
12 cm
15 cm
18 cm
21 cm
1 2 3 4 5 6 7
8
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
REEKS B 3
4
Onderzoek of de driehoek met zijden a, b en c rechthoekig is. Zet een vinkje. a
b
c
rechthoekig
niet rechthoekig
a)
6 cm
8 cm
10 cm
❒
❒
b)
5 cm
12 cm
13 cm
❒
❒
c)
9 mm
13 mm
15 mm
❒
❒
d)
20 cm
48 cm
54 cm
❒
❒
e)
18 m
24 m
30 m
❒
❒
Bereken de zijden van de rechthoekige driehoeken. Gebruik een touw met een aantal knopen op gelijke knoopafstand. knoopafstand a)
rechthoekszijde:
3
stukken van
2 cm
rechthoekszijde:
4
stukken van
2 cm
stukken van
2 cm
stukken van
5 cm
stukken van
5 cm
schuine zijde:
b)
rechthoekszijde:
3
rechthoekszijde:
c)
d)
schuine zijde:
5
stukken van
5 cm
rechthoekszijde:
3
stukken van
15 mm
rechthoekszijde:
4
stukken van
15 mm
schuine zijde:
stukken van
15 mm
rechthoekszijde:
stukken van
7 cm
rechthoekszijde:
4
stukken van
7 cm
schuine zijde:
5
stukken van
7 cm
lengte van de zijden
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
9
5
6
Onderzoek of de driehoek met zijden a, b en c rechthoekig is. Zet een vinkje. a
b
c
rechthoekig
niet rechthoekig
a)
2 mm
2,1 mm
2,9 mm
❒
❒
b)
4 cm
7,5 cm
8,5 cm
❒
❒
c)
0,12 m
0,35 m
0,37 m
❒
❒
d)
2,1 cm
2,8 cm
3,4 cm
❒
❒
e)
1,4 cm
4,8 cm
5 cm
❒
❒
rechthoekig
niet rechthoekig
Onderzoek of nABC rechthoekig is. Zet een vinkje. zijden
7
a)
16 m
34 m
30 m
❒
❒
b)
4,5 cm
7,5 cm
6 cm
❒
❒
c)
2,7 dm
3,6 dm
4,8 dm
❒
❒
d)
18 cm
32 cm
24 cm
❒
❒
e)
78 m
30 m
72 m
❒
❒
Los op. a)
Om in het park een voetbalpleintje af te bakenen, stapt Stijn twintig passen af in de breedte en zestig in de lengte. Pedro vertrouwt het niet helemaal en vraagt Stijn eens diagonaal over het veld te stappen. Stijn telt 67 passen. Is hun voetbalplein rechthoekig?
Antwoord:
b) 1 2
Pa wil een tuinhuis achter in de tuin. Hij graaft een rechthoekige kuil van 3,6 m bij 4,8 m voor de grondplaat. Om te controleren of zijn put wel rechthoekig is, meet hij de diagonaal. Die is 6 m. Is de kuil rechthoekig?
3 4 5 6
Antwoord:
7
10
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
REEKS C 8
Bewijs zonder te meten. a) Parallellogram PLAK is een rechthoek.
P
L
b) Parallellogram KLAP is een ruit. D = 16 cm d = 12 cm K 10 cm
17 m
8m
P K
15 m
L
A A
9
Toon aan zonder geodriehoek dat a ⊥ b. Gebruik de 3-4-5-regel.
a
b
10
Bereken de schuine zijde met de 3-4-5-regel. a) rechthoekszijde: 60 cm = 3 ⴢ 20 cm
c) rechthoekszijde: 12 dm =
rechthoekszijde: 80 cm = 4 ⴢ 20 cm
rechthoekszijde: 16 dm =
schuine zijde:
schuine zijde:
b) rechthoekszijde: 15 m =
d) rechthoekszijde: 90 mm =
rechthoekszijde: 20 m =
rechthoekszijde: 120 mm =
schuine zijde:
schuine zijde:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
11
1.2
Meetkundige voorstellingen
1.2.1 De stelling van Pythagoras ICT
Neem een driehoek ABC, rechthoekig in C. A
c
b
C
a
B
Je plaatst op elke zijde een vierkant, waarvan de zijde gelijk is aan die zijde van de driehoek. Je verdeelt de vierkanten in gelijke vierkantjes van 1 cm 2.
c2
A
b2
b
c a B
C
a2
1 2
De vierkanten hebben een oppervlakte van a 2 =
3 4
De oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde is
5 6
In symbolen:
7
12
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
cm 2, b 2 =
cm 2 en c 2 =
cm 2.
1.2.2 De Pythagorasboom ICT
1) Teken een willekeurig vierkant. 2) Construeer op dat vierkant een gelijkbenige rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde gelijk is aan de zijde van het vierkant. 3) Construeer daarna een vierkant op elke rechthoekszijde van de driehoek. 4) Op de zijden van die vierkanten kun je opnieuw een gelijkbenige rechthoekige driehoek tekenen met een schuine zijde gelijk aan de zijde van het vierkant. 5) Elke rechthoekszijde van die nieuwe driehoeken is de zijde van een nieuw vierkant.
5
5
5
4
4 3
5
3 2
1
Als je dezelfde bewerkingen telkens opnieuw uitvoert, verkrijg je de boom van Pythagoras.
De boom van Pythagoras noem je een fractaal.
Het woord ‘fractaal’ is afgeleid van het Latijnse woord ‘fractus’, wat gebroken betekent. Een fractaal is een meetkundige figuur met bijzondere eigenschappen: • zelfgelijkvormigheid: binnen een fractaal herhalen bepaalde structuren of patronen zichzelf. Als je een klein detail van een fractaal sterk uitvergroot, zie je steeds dezelfde vorm terug; • oneindige herhaling van eenzelfde systeem of bewerking.
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
13
Oefeningen REEKS A 11
Bepaal de ontbrekende oppervlakte. a)
c)
____ m2
21 m2
9 m2
____ m2
14 m2
16 m2
b)
d)
____ m2
98 m2 25 m2
37 m2
____ m2 1 2 3 4 5 6 7
14
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
36 m2
REEKS B 12
Bepaal de lengte van de zijde. a)
c)
2 809 m2
144 m2
xm
xm
2 025 m2
256 m2
b)
d)
11 236 m2 324 m2
xm
3 136 m2 xm
576 m2
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
15
REEKS C 13
Teken een Pythagorasboom tot je op de tekening 16 gelijke vierkanten verkrijgt.
1 2 3 4 5 6 7
16
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
1.3
Rekenen met Pythagoras
1.3.1 Vierkantswortels Bereken de vierkantswortels. 冪25 =
冪169 =
冪15 =
冪99 =
Een vierkantswortel van een natuurlijk getal heeft ofwel • een natuurlijk getal als uitkomst. In dat geval spreek je van een volkomen kwadraat. Voorbeelden: • een irrationaal getal als uitkomst. Voorbeelden: Elk getal dat je niet als een breuk kunt schrijven, noem je een irrationaal getal. Als het resultaat een irrationaal getal is, rond je af. Werkwijze
Om af te ronden op een bepaalde rang, kijk je naar het cijfer van de volgende rang. • Is dat cijfer 0, 1, 2, 3 of 4, dan rond je af naar beneden. Dat wil zeggen: je behoudt het cijfer. • Is dat cijfer 5, 6, 7, 8 of 9, dan rond je af naar boven. Dat wil zeggen: je vermeerdert het cijfer met één. Praktisch: zet een streepje na de gevraagde rang en kijk naar het volgende cijfer. REKENMACHINE actie
knoppen
Rond 冪99 af op 0,01 nauwkeurig.
I
√
Bereken 冪99.
test
A
Q
9
entry solve
enter
Q
9
EE
J
,
I
√
enter
Q w
9
Q w
entry solve
math w
w
9
x2
2nd
scherm
x2
2nd L2
Z
2
L entry solve
}
)
enter
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
17
1.3.2 Toepassing Vader bouwt zelf een tuinhuisje achter in de tuin. Hij wil balken bestellen om het dakgebinte te maken. Daarvoor moet hij weten hoe lang die balken minstens moeten zijn. Om die lengte te berekenen, moet je de stelling van Pythagoras omvormen. x cm 80 cm
Om in een rechthoekige driehoek een zijde te berekenen, gebruik je de stelling van Pythagoras.
150 cm
200 cm
300 cm
Zo kun je ook een rechthoekszijde berekenen als de schuine zijde en de andere rechthoekszijde gegeven zijn.
1.3.3 Algemeen c a
b
De schuine zijde berekenen als de rechthoekszijden gegeven zijn.
c2 = a2 + b2
⇒
c = 冪a 2 + b 2
Een rechthoekszijde berekenen als de schuine zijde en een rechthoekszijde gegeven zijn. a2 = c2 − b2
⇒
a = 冪c 2 − b 2
b2 =
⇒
b=
1.3.4 Voorbeelden
1
In een rechthoekige driehoek zijn de rechthoekszijden 4 cm en 5 cm lang. Hoe lang is de schuine zijde (op 0,1 nauwkeurig)?
2 3 4 5 6 7
18
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
In een rechthoekige driehoek is de schuine zijde 8 cm lang. Een van de rechthoekszijden is 6 cm. Hoe lang is de andere rechthoekszijde (op 0,1 nauwkeurig)?
REKENMACHINE actie Activeer de vergelijkingenoplosser.
knoppen test
A a-lock
math
angle
scherm
B
apps
alpha
Als een veld van de oplosser al inhoud bevat, kun je die wissen met
clear
. .
Bewegen tussen de velden doe je met de opwaartse en neerwaartse pijltoets actie Voer de vergelijking in.
knoppen a-lock
alpha a-lock
alpha a-lock
alpha
Voer de gekende waarden in. Maak daarbij gebruik van de opwaartse en neerwaartse pijltoets. Ga op de te berekenen waarde staan en druk op [SOLVE].
a-lock
alpha
C
draw
test
A
x2
x2 B
apps
enter I memo
√
math angle
I entry solve
√
prgm
scherm
“
+ I entry solve
√
x2
enter
entry solve
enter
Voorbeelden • Bereken de schuine zijde van een rechthoekige driehoek waarvan de rechthoekszijden 8 cm en 11 cm zijn. De schuine zijde is • Bereken een rechthoekszijde van een rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde 9 cm is en de andere rechthoekszijde 6 cm is. De rechthoekszijde is
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
19
Oefeningen REEKS A 14
Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de schuine zijde in een rechthoekige driehoek. rechthoekszijde
15
rechthoekszijde
bewerkingen
schuine zijde
a) a = 4 cm
b = 7 cm
c=
c=
b) a = 2 dm
b = 5 dm
c=
c=
c) a = 16 m
b = 11 m
c=
c=
d) a = 1,2 dm
b = 0,8 dm
c=
c=
e) a = 2,3 mm
b = 3,7 mm
c=
c=
f) a = 12 cm
b = 8,7 cm
c=
c=
Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de rechthoekszijde in een rechthoekige driehoek. rechthoekszijde
schuine zijde
bewerkingen
rechthoekszijde
a) b = 3 cm
c = 4 cm
a=
a=
b) b = 5 dm
c = 7 dm
a=
a=
c) b = 12 mm
c = 21 mm
a=
a=
d) b = 4,2 m
c=8m
a=
a=
e) b = 1,5 dm
c = 2,7 dm
a=
a=
f) b = 4,7 cm
c = 4,9 cm
a=
a=
g) b = 6,3 m
c = 9,4 m
a=
a=
1 2 3 4 5 6 7
20
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
16
Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de zijde x in de rechthoekige driehoeken. a)
d)
x
x 2
25,5 5
5
b)
e)
15
40
25
x
c)
9
x
f)
12 x x
25
15 55
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
21
REEKS B 17
Bereken, op 0,01 nauwkeurig, x in de rechthoeken. a)
b)
35
x
40
55
R
18
Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de ontbrekende zijde, in een rechthoekige driehoek met schuine zijde c. a
b
a)
5
9
b)
15
c) d)
7
e)
23,41
2
6,50
h)
315,10
41,60
8 78,22 26
g)
c
27 19,30
f)
1
x
128
4 426,90
3 4
i)
89,23
5 6
j)
4,32
7,18
7
22
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
130,08
berekeningen
28
19
Een ladder van 5 meter lang staat tegen een muur. De ladder steunt tegen de muur op een hoogte van 4,80 meter. Hoe ver staat de onderkant van de ladder van de muur? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.
Antwoord:
20
Een rechthoek heeft een lengte van 10 cm en een breedte van 4 cm. Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de lengte van de diagonalen van die rechthoek.
Antwoord:
21
Een boom is op een hoogte van 2,30 m afgeknakt door de bliksem. De top van de kruin bevindt zich op 4,85 m afstand van wat er van de stam overgebleven is. Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de oorspronkelijke hoogte van de boom.
Antwoord:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
23
22
Aan de ene kant is een 50 m lang zwembad 1 m diep. Die diepte neemt geleidelijk aan toe tot 3,5 m aan de andere kant van het zwembad. Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de lengte van de bodem van dat zwembad.
Antwoord:
23
Op een terrein staan, op 10 m van elkaar, twee palen met een respectievelijke lengte van 8 m en van 6 m. Je wilt een kabel spannen tussen de toppen van beide palen. Hoe lang moet die kabel minimaal zijn? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.
Antwoord:
De BabyloniĂŤrs hadden een origineel idee om de hoogte van een muur te meten. Ze namen een stok, waarvan de lengte gekend was en die zeker langer was dan de hoogte van de muur, en plaatsten die schuin tot tegen de bovenrand van de muur. Het volstond dan de afstand van de muur tot de onderste punt van de stok te meten.
24
Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de hoogte van de muur als de onderste punt van een stok van 25 m zich op 10,15 m afstand van de voet van de muur bevindt.
1 2 3 4 5 6
Antwoord:
7
24
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
25
De schuine zijde van een gelijkbenige rechthoekige driehoek is 5 cm. Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de lengte van de rechthoekszijden.
Antwoord:
26
Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de hoogte van een gelijkzijdige driehoek met zijden van 6 cm.
Antwoord:
27
Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de zijden van een ruit waarvan de diagonalen 9 cm en 5 cm lang zijn.
Antwoord:
28
Bereken, op 0,01 cm 2 nauwkeurig, de oppervlakte van een vierkant met diagonalen van 3 cm.
Antwoord:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
25
REEKS C 29
Bereken, op 0,01 cm 2 nauwkeurig, de oppervlakte van een ruit met zijde 10 cm en een diagonaal van 15 cm.
Antwoord:
30
Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde 15 cm is en de ene rechthoekszijde driemaal zo lang is als de andere rechthoekszijde.
Antwoord:
31
Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de omtrek van de cirkel omgeschreven aan een vierkant met een zijde van 4 m.
4m
1 2 3 4 5 6
Antwoord:
7
26
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
32
De lengte van een rechthoek is driemaal zo lang als de breedte. De diagonalen van de rechthoek zijn 10 cm. Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de omtrek van deze rechthoek.
Antwoord:
33
De grootte van een tv-scherm wordt meestal uitgedrukt in inches. De opgegeven maat is de lengte van de diagonaal. Een 16:9 scherm (de lengte en de breedte verhouden zich als 16 en 9) heeft een diagonaal van 42 inches (dit is 105 cm). Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de lengte en de breedte.
Antwoord:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
27
1.4
Constructies
1.4.1 Irrationale getallen voorstellen op een getallenas Door een natuurlijk getal n te schrijven als een som van kwadraten kun je 冪n met een aantal rechthoekige driehoeken exact construeren. Voorbeelden a) b = 冪27
b) c = 冪63
27 = 25 + 2
63 = 49 + 14 = 49 + 9 + 5
= 52 + 12 + 12
= 49 + 9 + 4 + 1
⎧ ⎨ ⎩
= 25 + 1 + 1
= 72 + 32 + 22 + 12 ⎧ ⎨ ⎩
2
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
a
a
2
2
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
b
2
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
b c
5
b
2
3
27
7 b
1
a
2
a c
1
63
1
Stap 1: Schrijf het natuurlijk getal n als een som van een volkomen kwadraat en een tweede natuurlijk getal. Neem het volkomen kwadraat dat het dichtst bij het gegeven natuurlijk getal gelegen is en kleiner is dan dat gegeven natuurlijk getal. Stap 2: Splits dan dat tweede natuurlijk getal als een som van een volkomen kwadraat en een derde natuurlijk getal. Stap 3: Doe dit verder tot alle termen volkomen kwadraten zijn. Stap 4: Teken de nodige rechthoekige driehoeken.
1.4.2 Toepassing • Construeer een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden gelijk aan 1. • De schuine zijde is dan 冪1 + 1 = 冪2. 2
1 2
1
1
1
2
• Gebruik de gevonden schuine zijde als rechthoekszijde voor een volgende rechthoekige driehoek.
冉 冊
• De schuine zijde van die driehoek is 冪 冪2
2
1
1
3
1
1 2
1
+ 12 = 冪3.
3 4 5
1
• ...
6
1
7
28
1
• Gebruik de gevonden schuine zijde als rechthoekszijde voor een volgende rechthoekige driehoek.
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
1
1
Oefeningen REEKS A 34
Teken een lijnstuk met de gegeven lengte. Maak hiervoor de nodige constructies met rechthoekige driehoeken. a) een lijnstuk van 冪8 cm
c) een lijnstuk van 冪15 cm
8 =
15 =
=
=
=
=
b) een lijnstuk van 冪22 cm
d) een lijnstuk van 冪33 cm
22 =
33 =
=
=
=
=
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
29
REEKS B 35
Construeer op twee verschillende manieren een lijnstuk van 冪38 cm. 38 =
38 =
=
=
=
=
REEKS C 36
Construeer. a) Stel het getal 冪2 voor op de getallenlijn.
0
1
b) Stel het getal 冪5 voor op de getallenlijn. 1 2 3 4 5
0
6 7
30
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
1
1.5
Afstand tussen twee punten
1.5.1 Afstand van een punt tot de oorsprong Het punt A is aangeduid op de tekening. co(A) = (
,
co(B) = (−5, 4)
)
Stel B voor in het assenstelsel.
Meet de afstand van A tot de oorsprong O.
Meet de afstand van B tot de oorsprong O.
兩OA兩 =
兩OB兩 = y 4 A
3
2
1 S –7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
O
1
2
3
4
x 5
6
7
–1
Je kunt 兩OA兩 ook berekenen.
Bereken 兩OB兩.
Je construeert het punt S, het snijpunt van een verticale rechte door A en de x-as. Zo verkrijg je een rechthoekige driehoek. 兩OS兩 = de x-coördinaat van A = 兩AS兩 = de y-coördinaat van A = 兩OA兩 2 = 兩OS兩 2 + 兩AS兩 2 兩OA兩 2 =
+
兩OA兩 2 = 兩OA兩 =
Werkwijze
De afstand van een punt tot de oorsprong verkrijg je door • de som te berekenen van de kwadraten van de coördinaatgetallen van dat punt en • de vierkantswortel van die som te bepalen. co(A) = (x A , y A ) ⇒ 兩OA兩 = 冪x 2A + y 2A
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
31
1.5.2 Afstand tussen twee punten ICT
Voorbeeld In een assenstelsel zijn twee punten gegeven: ,
A met co(A) = (
) en B met co(B) = (
,
)
Je kunt de afstand tussen deze twee punten meten: 兩AB兩 =
cm.
y B
8
8–2
2
S
A
1 x
O
1
2
3
7
8
7–3
Je kunt de afstand tussen de twee punten ook berekenen. Je construeert het punt S dat je verkrijgt als het snijpunt van een horizontale rechte door A en een verticale rechte door B. 兩AS兩 =
want
(verschil van de x-coördinaten)
兩BS兩
want
(verschil van de y-coördinaten)
=
Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de lengte van de schuine zijde van de rechthoekige driehoek ABS. 1
兩AB兩 2 = 兩AS兩 2 + 兩BS兩 2
2 3 4
兩AB兩 = 冪兩AS兩 2 + 兩BS兩 2 兩AB兩 = 冪4 2 + 6 2
5 6
兩AB兩 =
7
32
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
=
Algemeen In een assenstelsel zijn twee punten gegeven:
y
A met co(A) = (x A , y A) en
yB
B
B met co(B) = (x B , y B). 兩CB兩 = 兩y B − y A 兩 en
yB – yA
兩AC兩 = 兩x B − x A 兩
yA
C
Je neemt van beide verschillen de absolute waarde omdat afstanden altijd positief zijn.
A
兩AB兩 2 = 兩AC兩 2 + 兩CB兩 2 兩AB兩 = 冪兩AC兩 2 + 兩CB兩 2
1 xB
xA
兩AB兩 = 冪(x B − x A) 2 + (y B − y A) 2
x
1
O
xB – xA
Formule
Voor A en B met co(A) = (x A , y A) en co(B) = (x B , y B) geldt: 兩AB兩 = 冪(x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 Voorbeeld 1 Bereken 兩AB兩 op 0,01 nauwkeurig, als co(A) = (−2, 4) en co(B) = (3, −5) 兩AB兩 = =
Voorbeeld 2 y C
3
Bereken 兩CD兩 op 0,01 nauwkeurig.
2
co(C) =
1
兩CD兩 = x
O
1
2
3
4
5
co(D) =
=
-1
-2
-3
D
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
33
Bijzondere gevallen Afstand van een punt tot de oorsprong y
co(O) = (0, 0)
co(A) = (5, −2)
1
兩OA兩 = 冪(5 − 0) 2 + (−2 − 0) 2
x
O
1
2
3
4
5
= 冪5 2 + (−2) 2
-1
= 冪25 + 4
-2
= 冪29
A
≈ 5,39
Algemeen
Als co(A) = (x A, y A), dan is 兩OA兩 = 冪x 2A ⫹ y 2A
Afstand tussen twee punten met dezelfde x-coördinaat co(A) = (2, 1)
y A
1
兩AB兩 = 冪(2 − 2) 2 + (−2 − 1) 2 x
O
1
co(B) = (2, −2)
2
3
4
= 冪0 2 + (−2 − 1) 2
5
= 冪(−2 − 1) 2
-1
= 兩−2 − 1兩 = 兩−3兩 = 3 -2
Algemeen
B
Als de rechte AB verticaal is (x A = x B), dan is 兩AB兩 = 兩y B − y A 兩
Afstand tussen twee punten met dezelfde y-coördinaat
A
y
co(A) = (−2, 1)
2
兩AB兩 = 冪(3 − (−2)) 2 + (1 − 1) 2 B
1
= 冪(3 − (−2)) 2 + 0 2
1
x
2
-2
-1
O
1
2
3
= 冪(3 − (−2)) 2 = 兩3 − (−2)兩 = 兩3 + 2兩 = 5
3 4 5
Algemeen 6
Als de rechte AB horizontaal is (y A = y B), dan is 兩AB兩 = 兩x B − x A 兩
7
34
co(B) = (3, 1)
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
Oefeningen REEKS A 37
Bereken de afstand tussen de gegeven punten op 0,1 nauwkeurig. a) A en B met co(A) = (2, 5) en co(B) = (5, 7) 兩AB兩 = b) C en D met co(C) = (4, 12) en co(D) = (3, 5) 兩CD兩 = c) E en F met co(E) = (4, 7) en co(F) = (6, 3) 兩EF兩 =
38
Bereken de lengte van de lijnstukken op 0,01 nauwkeurig. a) lijnstuk [AB] met co(A) = (−4, −2) en co(B) = (9, −2) 兩AB兩 = b) lijnstuk [OC] met co(O) = (0, 0) en co(C) = (2, 7) 兩OC兩 = c) lijnstuk [DE] met co(D) = (12, −4) en co(E) = (7, 1) 兩DE兩 = d) lijnstuk [FO] met co(F) = (−8, 4) en co(O) = (0, 0) 兩FO兩 = e) lijnstuk [GH] met co(G) = (−2, −6) en co(H) = (−4, 0) 兩GH兩 = f) lijnstuk [IJ] met co(I) = (7, −3) en co(J) = (−7, 3) 兩IJ兩 = g) lijnstuk [OK] met co(O) = (0, 0) en co(K) = (−4, −12) 兩OK兩 =
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
35
39
Bereken de afstand tussen de gegeven punten op 0,01 nauwkeurig. Controleer op de figuur. a)
c) y
y
B A
E F
1
1 x O
x
1
–1
兩AB兩 =
兩EF兩 =
b)
d) y
y x O
–1 C
–1
H
–1
G
1 2 3 4 5
兩CD兩 =
7
36
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
x
1 O
D
6
O
兩GH 兩 =
40
Bereken de afstand tussen de gegeven punten op 0,01 nauwkeurig. Controleer op de figuur. a)
c) y
y
1
1
O
x
x
A
O
1
兩AB兩 =
兩EF兩 =
b)
d) y
1
y x
C O
F
E
B
H
1
–1
G
1
D
x O
兩CD兩 =
1
兩GH兩 =
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
37
REEKS B
R
41
Bereken de lengte van de lijnstukken op 0,01 nauwkeurig. Schat eerst het resultaat. Controleer op de figuur. y 5 B
4 A
3
2
1 x –6
–5
–4
–3
–2
–1
O
1
2
3
4
5
6
7
–1 D
–2
–3 C
–4
–5
schatten a) 兩AB兩 = b) 兩AC兩 = c) 兩OA兩 = d) 兩BD兩 = e) 兩CO兩 = 1 2
f) 兩AD兩 =
3 4
g) 兩CB兩 =
5 6
h) 兩DO兩 =
7
38
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
berekenen
42
Teken de driehoeken en bereken de omtrek op 0,01 nauwkeurig.
y 6 5 4 3 2 1 x –9
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
–1 –2 –3 –4 –5 –6
a) 䉭LAT met co(L) = (4, −2), co(A) = (2, 5) en co(T) = (6, 5)
b) 䉭PEN met co(P) = (−6, 5), co(E) = (−6, −4) en co(N) = (1, −4)
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
39
43
De steden Agem, Begem en Cegem worden verbonden door een spoorlijn. Alle trajecten zijn recht. De steden hebben in een assenstelsel met ijk 1 km de volgende coördinaatgetallen: co(A) = (1, 2) co(B) = (6, 3) co(C) = (4, 11) Hoeveel km spoorlijn, op 0,001 km nauwkeurig, is er nodig?
Antwoord:
44
Vanuit de oorsprong bekijk je de punten X, Y en Z met de volgende coördinaatgetallen: co(X) = (5, 4) co(Y) = (−6, 2) co(Z) = (−4, −3) Welk punt ligt het dichtst bij de oorsprong?
Antwoord:
45
Een computerscherm heeft een resolutie van 1 280 bij 1 024 pixels. Een pixel beweegt van positie (50 , 50) naar positie (650 , 800). Bereken de afgelegde weg op een gehele pixel nauwkeurig.
1 2 3 4
Antwoord:
5 6 7
40
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
REEKS C 46
Een driehoek wordt gevormd door de punten D, E en F met de volgende coördinaatgetallen: co(D) = (1, 3) co(E) = (2, −1) co(F) = (−2, 1) Onderzoek of de driehoek DEF gelijkbenig en/of rechthoekig is.
Antwoord:
47
De vierkantjes op de figuur hebben een zijde van 12,5 km. Niels logeert aan de kust. Hoe ver bevindt hij zich van Gent? Hoe ver van Brussel? y
Niels bevindt zich hier
Antwerpen
Brugge
1 O
Turnhout
1
Roeselare
Gent
x
Mechelen Aalst
Hasselt Brussel Liège
Mons
Charleroi
Namur Marche-en-famenne
Arlon
Antwoord:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
41
1.6
Pythagoras in de ruimte
1.6.1 Modeloefening 1: diagonaal van een kubus gegeven een kubus met ribbe 4 cm gevraagd B
C
Bereken de ruimtediagonaal op 0,01 nauwkeurig. oplossing
A
• Bereken eerst 兩AC兩 2.
D
F
G
• Bereken daarna 兩AG兩.
H
E
antwoord De diagonaal is
1.6.2 Modeloefening 2: hoogte van een piramide gegeven een piramide met vierkant grondvlak Elke ribbe is 4 cm. gevraagd Bereken de hoogte 兩EH兩 op 0,01 nauwkeurig. oplossing
E
• Bereken eerst 兩DH兩.
C
B H A
D
• Bereken daarna 兩EH兩.
1 2 3 4 5
antwoord
6
De hoogte is
7
42
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
Oefeningen REEKS A 48
Bereken op 0,1 cm nauwkeurig. gegeven een balk met l = 3 cm, b = 2 cm en h = 6 cm B
C
A
gevraagd 兩DF兩
D
oplossing
h
F b E
G
H
l
antwoord 兩DF兩 =
49
Bereken op 0,1 cm nauwkeurig. gegeven een piramide met vierkant grondvlak met z = 3 cm en h = 5 cm gevraagd
E
兩AE兩 oplossing
B
A
C
F D
antwoord 兩AE兩 =
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
43
REEKS B 50
Bereken op 0,1 cm nauwkeurig. gegeven een balk met l = 3 cm, b = 3 cm en h = 5 cm M is het midden van [AE]. N is het midden van [FG]. B
C
gevraagd 兩MN兩
A
oplossing
D
M
F
E
G
N H
antwoord 兩MN 兩 =
51
Bereken op 0,1 cm nauwkeurig. gegeven een kubus met ribbe 3 cm gevraagd de omtrek van 䉭CEG B
A
C
oplossing
D
F
G
1 2
E
H
3 4
antwoord
5
De omtrek van 䉭CEG is
6 7
44
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
52
Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de hoogte van een piramide met een vierkant grondvlak met zijde 7 cm en opstaande ribbe 11 cm.
Antwoord:
53
Een vrachtwagen heeft een laadruimte met lengte 5,5 m, breedte 3 m en hoogte 2,5 m. Kan een vlaggenmast van 7 m in die laadruimte?
Antwoord:
54
Van een piramidevormige tent hebben alle ribben een lengte van 2,5 m. Milan is 1,82 m groot. Kan Milan rechtop staan in die tent?
Antwoord:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
45
REEKS C 55
Bereken op 0,01 cm 2 nauwkeurig. gegeven een kubus met ribbe 3 cm gevraagd de oppervlakte van 䉭BGE B
C
A
oplossing
D
F
G
E
H
antwoord De oppervlakte van 䉭BGE is
56
Bewijs. gegeven een balk met ribben l, b en h B
C
A
te bewijzen 兩DF兩 = 冪l 2 + b 2 + h 2 bewijs
D
h
F
1
G b
2 3
E
l
besluit
4
兩DF兩 = 冪l 2 + b 2 + h 2
5 6
In een balk is het kwadraat van de lengte van een ruimtediagonaal gelijk aan l 2 + b 2 + h 2.
7
46
H
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
STUDIEWIJZER De stelling van Pythagoras 1.1 De stelling van Pythagoras formuleren KENNEN In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde. Als in een driehoek de som van de kwadraten van de twee kortste zijden gelijk is aan het kwadraat van de langste zijde, dan is de driehoek rechthoekig.
KUNNEN De stelling van Pythagoras formuleren. Onderzoeken of een gegeven driehoek rechthoekig is. De 3-4-5-regel gebruiken om constructies en berekeningen uit te voeren.
1.2 Meetkundige voorstellingen KUNNEN De stelling van Pythagoras gebruiken bij berekeningen van lengten in meetkundige situaties (zijden van een rechthoekige driehoek, zijden en diagonalen van een vierhoek, ...).
1.3 Rekenen met Pythagoras KUNNEN De schuine zijde van een rechthoekige driehoek berekenen als de rechthoekszijden gegeven zijn. Een rechthoekszijde berekenen als de schuine zijde en een rechthoekszijde gegeven zijn.
1.4 Constructies KUNNEN De stelling van Pythagoras gebruiken in constructies van lijnstukken met een gegeven irrationale lengte.
1.5 Afstand tussen twee punten KENNEN Voor A en B met co(A) = (x A, y A) en co(B) = (x B, y B) geldt: 兩AB兩 = 冪(x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 Afstand van een punt tot de oorsprong. Als co(A) = (x A , y A ), dan is 兩OA兩 = 冪x 2A + y 2A Als de rechte AB verticaal is (x A = x B), dan is 兩AB兩 = 兩y B − y A 兩 Als de rechte AB horizontaal is (y A = y B), dan is 兩AB兩 = 兩x B − x A 兩
KUNNEN De afstand tussen twee punten, gegeven met hun coördinaten, berekenen in het vlak.
1.6 Pythagoras in de ruimte KUNNEN De stelling van Pythagoras gebruiken in ruimtelijke situaties (diagonalen kubus en balk, hoogte piramide, ...).
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
47
CONTRACTWERK
1 2 3 4 5 6 7
48
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS