Welkom in de wondere wereld van de wiskunde! Ben je klaar voor een avontuurlijke reis doorheen de wiskunde? Fijn zo! Met dit leerwerkboek begeleiden we je graag op je trip langs allerlei soorten getallen, leuke oefeningen, plezante weetjes en nog zoveel meer!
Thema 1
Een thema start met een instaptoets: zo kan je controleren of je de nodige voorkennis onder de knie hebt om het thema te starten. De instaptoets kan je klassikaal maken of individueel. Met de online verbetersleutel kan je snel inschatten waar je staat.
Reële functies Instaptoets 1. Teken je wiskunde-evolutie op basis van een functievoorschrift. Op de x-waarde lees je de tijd af (in maanden), op de y-waarde je wiskundeniveau. Het functievoorschrift is: f(x) = 2x + 3. 2. Een leerling van je klas zit momenteel op niveau A(1, 1), maar wil dat in de toekomst optrekken naar B(5, 6). Teken de functie en bepaal het functievoorschrift. g(x) =
y
3. Bepaal het domein, het bereik en de nulwaarde(n) van f(x).
10 9
a. y = 5x + 10 8
domein bereik
7
nulwaarde(n)
6
b. y = 0,5x – 5
Lesgeheel 1: Definitie van een kwadratische functie
5
domein
a Instap
4
bereik
Bij een valbeweging vinden we de afgelegde weg s, uitgedrukt in meter, na t seconden:
3
nulwaarde(n)
s = __21 . g . t²
2
met g ≈ 9,81 m/s²
1
Welke afstand heeft de parachutist afgelegd na een vrije val van 5 seconden?
2
Hoeveel tijd, afgerond op 1 seconde, heeft je leerkracht nodig om van de top van de Eiffeltoren in vrije val op de grond te belanden? De hoogte bedraagt 320 meter.
3
Teken de grafiek van de functie die t afbeeldt op s in een orthonormaal assenstelsel.
1 0 –4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
x
–1 –2
Wat ken en kan ik al? Verbeter je instaptoets met de online verbetersleutel en duid je score aan! 1.
Een eerstegraadsfunctie tekenen op basis van een functievoorschrift
2.
Een eerstegraadsfunctie tekenen op basis van twee gegeven punten
3.
Het domein, het bereik en de nulwaarden van een eerstegraadsfunctie bepalen
In de verschillende lesgehelen beginnen we met een instap uit het dagelijks leven: wiskunde is immers overal en je kent al heel wat toepassingen of voorbeelden, misschien zelfs zonder dat je dat echt beseft. 25
20
15
10
T : T ℝ
Oefenen
Na een lesgeheel volgen heel wat oefeningen om de theorie van de lesgehelen toe te passen.
5
1. Op de bladzijde hiernaast zie je enkele tekeningen van bergparabolen. Geef enkele voorbeelden van dalparabolen uit het dagelijkse leven. y
E
–10
y
y
y
E
a. b. c. d.
y
x
y
b
c
d
y P3
x
x
4. Mauro plaatste tijdens de les fysica een beker warm water bij het open raam en noteerde na elke 30 seconden de temperatuur. Dit zijn de meetresultaten:
B
x
x
y
tijd in s
0
30
60
90
120
150
temperatuur in °C
72
48
37
35
26
22
a. Kies een cartesisch assenstelsel en teken de grafiek van de functie die de verstreken tijd afbeeldt op de temperatuur van het water in de beker.
P1: P2 :
P3 P3
P3: x x 3. Geef aan of de grafiek van de functie een dalparabool () of een bergparabool () is. Bepaal ook de top T.
y = –(x + 3)² – 5
y = –2,5 (x – 1,5)²
y = __25 (x – 4)² – 7
y = 0,4(x – 2)² + 2
y = –3,5(x – 1)² + 5
4. De figuur hiernaast is samengesteld uit delen van vier parabolen. Geef de vergelijking van elke parabool.
B
60
40
20 –20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
b. Welke meting van Mauro was fout? Welke betere waarde kan je in de plaats stellen?
y 4
Checklist 0
x
1
Het beeld van een functie bepalen De functiewaarden van een vergelijking in een functiewaardetabel plaatsen Bepalen of een grafiek een functie voorstelt Bepalen of een functie empirisch of wiskundig is De grafiek van een empirische functie tekenen
4
L : T
Na de oefeningen krijg je een checklist voorgeschoteld. Hier kan je aanduiden welke leerstof je beheerst.
y = 4 (x – 2)² + 1
T : R
E
15
Voor een onderneming noteren we elke maand de winst. Voor een cilinder met straal 7 cm noteren we voor elke mogelijke hoogte h de inhoud in cm3. Op een P 2 autoweg noteren we elk kwartier hoeveel auto’s er voorbijgereden zijn. Een loodgieter rekent voor herstellingen aan huis een vast bedrag aan verplaatsingskosten en 6 EUR per kwartier werk: de functie die het aantal kwartier nodig voor de herstelling afbeeldt op de totale kostprijs. ax
P2 P2
P1 P1
10
5
–5
x b. Lees voor elk van deze parabolen het teken van a en het teken van c op de figuur af. y
0
3. Welke van deze functies zijn empirische functies (E), welke zijn wiskundige functies (W)?
2. a. Geef de coördinaat van het snijpunt van de parabool met vergelijking y = Pax1 2 + bx + c en de y-as.
E
–5
Op het einde van een thema kan je jezelf testen: heb ik de leerstof uit het thema begrepen?
Test jezelf 1. Een duikster springt van een rotsblok volgens een parabolische baan. − 10 2 __ 24 We beschrijven die met de functie f(x) = ___ 5 x + 2 x − 16. Wanneer gaat ze het water in? a. Wat zijn je eerste bedenkingen?
Antwoord: Je kan dat op verschillende manieren berekenen. snijpunt invullen door aanpassing symmetrieas (0; 4,5)
visuele aanpassing symmetrieas (ICT)
L : P
b. We transformeren de functie zo dat ze realistischer wordt. We doen dat echter door zo weinig mogelijk aanpassingen te doen. Dit zijn de voorwaarden: • de duikster mag maximaal 3,5 meter diep gaan; • het rotsblok waar ze af springt, is 4,5 meter hoog. Herschrijf de eerste functie naar de topformule (y = a(x – α)² + β).
We wensen je veel succes én plezier met Kruispunt!
Bij dit leerwerkboek hoort ook een digitale oefenmodule Kruispunt Online.
In de oefenmodule kan je alle oefeningen uit het boek ook digitaal maken, mét alle voordelen van het platform: • Je kan werken met tussenstappen. • Kruispunt Online geeft je feedback op elke tussenstap. • Voor elke oefening uit het leerwerkboek biedt Kruispunt Online je nog een veelvoud aan gelijkaardige oefeningen: je kan dus bijna eindeloos blijven oefenen! • In de uitgebreide rapportering kan je zien welke onderdelen je al volledig beheerst, waar je fouten zitten en welke soort fouten vaak voorkomen. • Met de handige selectietool kan je zelf je eigen oefeningen samenstellen en dus heel gericht oefenen!
5
Thema 1
Reële functies Instaptoets 1. Teken je wiskunde-evolutie op basis van een functievoorschrift. Op de x-waarde lees je de tijd af (in maanden), op de y-waarde je wiskundeniveau. Het functievoorschrift is: f(x) = 2x + 3. 2. Een leerling van je klas zit momenteel op niveau A(1, 1), maar wil dat in de toekomst optrekken naar B(5, 6). Teken de functie en bepaal het functievoorschrift. g(x) =
y
3. Bepaal het domein, het bereik en de nulwaarde(n) van f(x).
10 9
a. y = 5x + 10 8
domein bereik
7
nulwaarde(n)
6
b. y = 0,5x – 5
5
domein
4
bereik
3
nulwaarde(n)
2 1 0 –4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
x
–1 –2
Wat ken en kan ik al? Verbeter je instaptoets met de online verbetersleutel en duid je score aan! 1.
Een eerstegraadsfunctie tekenen op basis van een functievoorschrift
2.
Een eerstegraadsfunctie tekenen op basis van twee gegeven punten
3.
Het domein, het bereik en de nulwaarden van een eerstegraadsfunctie bepalen
Kruispunt4_Algebra.indb 7
15/03/16 10:57
Lesgeheel 1: Telproblemen a Instap Bram (B) en Marie (M) wonen enkele straten van elkaar. Als Bram naar Marie wil wandelen, kan hij kiezen langs welke huizen hij gaat. Hoe lang is de kortste weg van Bram naar Marie als je weet dat elk lijnstukje 1 km voorstelt?
C
H
M
B
G
L
Bram kan kiezen langs welke vrienden hij passeert. Al die mogelijke oplossingen kan je grafisch voorstellen. Dat doe je het best met een boomdiagram. BC
B
BCH
BCHM
BGH
BGHM
BGL
BGLM
BG
Hoeveel mogelijke wegen gaan via Henri (H)? Een boomschema of boomdiagram is een grafische voorstelling aan de hand van vertakkingen.
T : T ℝ
Marie staat vol ongeduld voor haar kleerkast te wachten op Bram. Ze kan kiezen voor haar groene of haar rode broek. Nadat ze haar broek gekozen heeft, kan ze kiezen uit een groen, rood of blauw topje. Stel alle mogelijkheden voor in dit boomdiagram.
Lesgeheel 11: Gemeenschappelijke punten van twee parabolen We nemen een orthonormaal assenstelsel. Onderzoek of de parabool P1 met vergelijking y = x² – x + 3 punten gemeenschappelijk heeft met de parabool P2 met vergelijking y = –x² – 2x + 4. Zo ja, geef de coördinaten van die punten. Oplossingsmethode y = x² – x + 3 y = –x² – 2x + 4 Stel de abscis van een eventueel gemeenschappelijk punt voor door x. Dan geldt: x² – x + 3 = –x² – 2x + 4 ⇔ 2x² + x – 1 = 0
D=
x1 =
x2 =
De parabolen hebben twee gemeenschappelijke punten: één met abscis Voor x1 = –1 geldt:
y1 =
Voor x2 = 0,5 geldt:
y2 =
De coördinaten van die snijpunten zijn dus:
en
en één met abscis
.
.
y 6
4
2
0 T : T ℝ
–4
–2
0
2
4
x
–2
Kruispunt4_Algebra.indb 152
15/03/16 11:08
Oefenen 1. Onderzoek of de parabolen met de gegeven vergelijkingen t.o.v. een rechthoekig assenstelsel gemeenschappelijke punten hebben. Zo ja, geef ook de coördinaat van die punten.
B
a. P1: y = x2 – 3x + 2
en
P2 :
y = –x2 – x + 2
b. P3: y = x2 – 2x
en
P4:
y = x2 – x + 4
c. P5: y = x2 – 2x + 3
en
P6:
y = –x2 + x – 1
d. P7: y = 2x2 – x + 1
en
P8:
y = 3x2 + 2x – 3
e. P9: y = 0,5x2 – 3x + 4,5
en
P10: y = – 0,5x2 + 3x – 4,5
a. b. c. d. e. 2. Stel een vergelijking op van de rechte die door de snijpunten gaat van de parabool met vergelijking 1 x2 + 2x + 1 en de parabool met vergelijking y = – ___ 1 x2 + __ 2 x + 1. y = __ 12 3 4
B
3. Een basketspeler oefent vrijworpen naar de basket op een horizontale afstand van 4,6 m. Hij werpt twee ballen tegelijk. (x = horizontale afstand, y = verticale afstand) Bal 1: y = –0,5x² + 2x + 1,9 Bal 2: y = –0,7x² + 3x + 1,9 Zullen die ballen tegen elkaar botsen of niet?
Checklist De gemeenschappelijke punten van twee parabolen bepalen Een vergelijking geven van een rechte die een parabool snijdt op basis van een gegeven vergelijking
L : G
B
Kruispunt4_Algebra.indb 153
15/03/16 11:08
__
16. Gegeven de grafiek van de functie f in ℝ met voorschrift y = √x . Geef het voorschrift van de functie in ℝ die correspondeert met het beeld van de grafiek van f door:
V
a. de verschuiving bepaald door het koppel (0, –2):
b. de uitrekking evenwijdig met de y-as en met factor 3: c. de verschuiving bepaald door het koppel (–2, 0): d. de inkrimping evenwijdig met de y-as en met factor –0,5: e. de spiegeling t.o.v. de x-as: __
17. Voor welke x ∈ ℝ geldt: x > √x ? Los dat grafisch op.
V
y
1,5
1
0,5
–0,5
0
0,5
1
1,5
2
x
Checklist Het voorschrift van een functie noteren De grafiek van een functie tekenen Het voorschrift van een parabool noteren De functiewaardetabel van een functie opstellen Het verband tussen twee functies aangeven Het verband geven tussen de verschillende voorstellingswijzen van een functie (tabel, grafiek, verwoording, voorschrift) Aangeven welke transformatie er gebeurt t.o.v. een gegeven functie
L : H
–0,5
Kruispunt4_Algebra.indb 37
15/03/16 10:59
Test jezelf 1. Een duikster springt van een rotsblok volgens een parabolische baan. − 10 2 __ 24 We beschrijven die met de functie f(x) = ___ 5 x + 2 x − 16. Wanneer gaat ze het water in? a. Wat zijn je eerste bedenkingen?
Antwoord: Je kan dat op verschillende manieren berekenen. snijpunt invullen door aanpassing symmetrieas (0; 4,5)
visuele aanpassing symmetrieas (ICT)
L : P
b. We transformeren de functie zo dat ze realistischer wordt. We doen dat echter door zo weinig mogelijk aanpassingen te doen. Dit zijn de voorwaarden: • de duikster mag maximaal 3,5 meter diep gaan; • het rotsblok waar ze af springt, is 4,5 meter hoog. Herschrijf de eerste functie naar de topformule (y = a(x – α)² + β).
Kruispunt4_Algebra.indb 159
15/03/16 11:08
Lesgeheel 12: Problemen die leiden tot tweedegraadsfuncties Voorbeeld Brecht trapt een bal omhoog met een snelheid van 19,6 m/s. De hoogte h in meter boven de grond wordt gegeven door de formule h = 0,5 + 19,6t – 4,9t² Daarin stelt t de verstreken tijd, uitgedrukt in s, voor. Na hoeveel seconden heeft de bal zijn maximale hoogte bereikt? Bepaal die hoogte. Oplossing De kwadratische functie die de verstreken tijd t afbeeldt op de hoogte h waarop de bal zich bevindt, bereikt haar maximale functiewaarde voor 19,6 t = − _______ = 2 2 . (− 4, 9) De functiewaarde is dan:
T : T ℝ
Antwoord De bal bereikt zijn maximale hoogte, namelijk 20,1 meter, na twee seconden.
Kruispunt4_Algebra.indb 154
15/03/16 11:08
Oefenen 1. Zoek in de vraagstukken naar sleutelwoorden die je precies vertellen wat er gevraagd wordt en combineer ze met het correcte wiskundige begrip.
E
sleutelwoord a maximale hoogte b op de grond c maximale oppervlakte d hoe hoog? e hoe ver? f midden van de brug a
b
c
wiskundig begrip 1 α 2 β 3 top (α, β) 4 symmetrieas x = α 5 nulwaarden x1 en x2 d
e
f
2. Een vliegtuig vliegt in een vlak gebied horizontaal op 1 km hoogte en met een snelheid van 252 km/h over een dorp. Op dat ogenblik dropt het een pakket hulpgoederen. De baan van het vallende pakket is een deel van de parabool met vergelijking x2 y = h – 4, 9 __ v2 De oorsprong van het rechthoekig assenstelsel ligt in het centrum van het dorp. Neem de x-as horizontaal, h stelt de hoogte van het vliegtuig in m voor en v de snelheid van het vliegtuig in m/s. Hoe ver van het centrum van het dorp komt het pakket op de grond terecht?
Antwoord:
L : P
E
Kruispunt4_Algebra.indb 155
15/03/16 11:08
3. De dwarsdoorsnede van een tunnel heeft de vorm van een parabool. De maximale hoogte is 4 m. Op de grond is de tunnel 8 m breed.
E
a. Kunnen twee vrachtwagens met een breedte van 2 m en een hoogte van 2,5 m elkaar in die tunnel passeren, wetend dat ze 1 m van elkaar verwijderd moeten blijven?
4m
8m
Antwoord: b. Men verhoogt de tunnel. De parabolische vorm en de breedte op de grond blijven behouden, maar de hoogte bedraagt nu 5 m. Beantwoord opnieuw de vraag van deel a.
Antwoord: 4. De boog van een brug over een rivier heeft de vorm van een parabool. De doorgang is maximaal 15 m hoog en aan de basis 40 m breed. Hoe breed is de boog op een hoogte van 10 m?
T : T ℝ
E
Antwoord: 5. Van een reëel getal trekken we het kwadraat af. Voor welk reëel getal is dat verschil het grootst?
B
Kruispunt4_Algebra.indb 156
15/03/16 11:08
6. We trekken van een getal 5 af om een tweede getal te krijgen. Bepaal het eerste getal zó dat de som van de kwadraten van de twee getallen zo klein mogelijk is.
B
7. a. Zoek twee getallen met verschil 15 waarvan het product zo klein mogelijk is.
B Antwoord: b. Zoek twee getallen met som 15 waarvan het product zo groot mogelijk is.
Antwoord: 8. Volgens Amerikaanse onderzoekers hangt het aantal overlijdens y per 100 000 mannen af van hun gemiddeld aantal uren slaap x per nacht.
B
Het verband wordt gedeeltelijk gegeven door y = 104,5x2 – 1501,5x + 6016 Bij hoeveel uren slaap is het aantal overlijdens het kleinst?
Antwoord:
B
a. Voor welke hoogte x, uitgedrukt in cm, kan de goot het meeste water afvoeren? x 30 cm
Antwoord: b. Hoeveel liter water kan de goot dan afvoeren? Antwoord:
L : P
9. Van een plaat van 30 cm bij 2 m maakt men een regengoot met een rechthoekige dwarsdoorsnede.
Kruispunt4_Algebra.indb 157
15/03/16 11:08
10. Een school organiseert een studiereis voor 50 deelnemers en rekent 480 EUR per persoon aan. Per bijkomende deelnemer kan de prijs per persoon met 4 EUR verminderd worden. Voor welk aantal deelnemers is de opbrengst het grootst?
V
Antwoord: 11. De grafiek hiernaast stelt een sprong van een kikker voor. De vergelijking van de parabool is: 5 x2 + x y = – __ 6 Hoe hoog en hoe ver springt de kikker?
V
hoogte in m 0,1 0 0,1
afstand in m
Antwoord: 12. Deze grafiek stelt een volleybalspeler voor die de bal terugkaatst. De vergelijking van de parabool is:
V
y = – 0,15x2 + 0,6x + 5,15 a. Hoe hoog boven de grond heeft hij de bal geraakt?
b. De bovenrand van het net ligt 2,43 m boven de grond. Geraakt de bal over het net?
T : T ℝ
y in m net 1 0
x 1 in m
c. De zaal is 6 m hoog. Raakt de bal het plafond?
Checklist Een sleutelwoord combineren met het passende wiskundig begrip Vraagstukken i.v.m. parabolen oplossen
Kruispunt4_Algebra.indb 158
15/03/16 11:08