HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
5.1
De positieve rationale getallen
5.2
Bewerkingen met positieve rationale getallen
5.3
Rekentechnieken
Studiewijzer Pienter probemen oplossen
₁₄₈ ₁₆₄ ₂₀₅ ₂₁₁ ₂₁₂
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
147
5.1
De positieve rationale getallen
5.1.1 Definitie
De Eieltoren in Parijs is zonder tv-antenne 317,5 m hoog.
De Finse dames hadden een balbezit van 60 %.
Een vijfde van de wereldbevolking is Chinees.
2 % intrest op deze spaarrekening!
Twee zesden van een pizza dement Stuur uw ren de hoogte in!
De eerste drie rolstoelatleten bereikten de ďŹ nish na goed twee en een half uur wedstrijd.
1 2 3 4 5
Definitie
Positief rationaal getal Een positief rationaal getal is het resultaat van een deling van twee natuurlijke getallen, waarbij het tweede getal niet 0 is.
6 7 8 9
Opmerking Een positief rationaal getal kan verschillende gedaanten aannemen. 7 100
a) Een rationaal getal kun je als breuk noteren.
bv.
b) Een rationaal getal kun je als procent noteren.
bv. 7 %
c) Een rationaal getal kun je decimaal noteren.
bv. 0,07
10 11 12 13
148
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
5.1.2 De positieve rationale getallen in breukvorm Benamingen
7
T
→ →
100
N
→
Echte en onechte breuken echte breuken
onechte breuken
Een bakker verdeelt zijn taarten altijd in acht gelijke stukken. Vandaag verkocht hij vijf stukken.
Deze week verkocht de bakker in totaal 21 stukken taart.
breuk
breuk T
N
T
N
Gemengde getallen Onechte breuken kunnen ook als som van een natuurlijk getal en een echte breuk geschreven 4 25 = 3 + . Zo’n vorm noem je een gemengd getal. worden: 7 7 Schrijf de volgende onechte breuken als gemengde getallen: 19 = 6
27 = 4
12 = 7
48 = 5
Je gebruikt bij voorkeur onechte breuken. REKENMACHINE Voer de breuk
Zet
7 in. 9
18 om naar een gemengd getal. 7
Voer het gemengd getal 3 +
Zet 2 +
4 in. 7
4 om naar een onechte breuk. 5
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
149
Gelijke breuken
totaal aantal delen aantal gekleurde delen breuk Welk verband bestaat er tussen deze drie breuken?
Eigenschap van de breuken · 10
:5
· 10
:5
–1 5
Eigenschap
Gelijke breuk Als je de teller en de noemer van een breuk vermenigvuldigt met (of deelt door) eenzelfde van nul verschillend getal, dan verkrijg je een gelijke breuk.
Breuken vereenvoudigen 1 2 3 4 5 6
Een breuk vervangen door een gelijke breuk met een kleinere teller en noemer, is een breuk vereenvoudigen. De gelijke breuk met de kleinste noemer is de onvereenvoudigbare breuk. Deel daarvoor de teller en de noemer door hun ggd. Vereenvoudig de volgende breuken tot onvereenvoudigbare breuken. 8 = 12
3 = 9
27 = 54
7 8 9
REKENMACHINE Vereenvoudig de breuk
10 11 12 13
150
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
48 . 56
40 = 8
42 = 72
Gelijknamige breuken Definitie
Gelijknamige breuken Gelijknamige breuken zijn
Voorbeelden: Breuken met verschillende noemers noem je ongelijknamige breuken. Ongelijknamige breuken kun je gelijknamig maken. Als gelijke noemer gebruik je het kgv van de (vereenvoudigde) noemers.
ongelijknamige breuken
vereenvoudigen
3 2 en 5 7
5 7 en 6 8
8 6 en 40 20
gelijke noemer
gelijknamige breuken 2 = 5 3 = 7 5 = 6 7 = 8 8 = 40 6 = 20
De verschillende notaties van breuken: • de horizontale breukstreep (——) In de 7e eeuw werden breuken al voorgesteld door de teller boven de noemer te plaatsen. De breukstreep zelf kwam er maar bij rond 1200. • de dubbele punt (:) De dubbele punt werd voor het eerst gebruikt in 1633 als notatie voor breuken. • de obelus (÷) De obelus werd voor het eerst gebruikt in 1659 en bestaat enkel nog als toets op rekenmachines. • de diagonale breukstreep (/) Dit teken werd pas veel later ingevoerd om typografische redenen.
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
151
Oefeningen REEKS A 1
Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. a)
d)
Welk deel van de afgebeelde kinderen is een jongen?
Welk deel van de afgebeelde appels is rood?
b)
e)
Welk deel van de snookerballen is rood?
Welk deel van de afgebeelde honden is licht van kleur?
c)
f)
Welk deel van de afgebeelde wagens is niet geel?
Welk deel van de taart is al verdwenen?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
152
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
2
3
a)
c)
e)
b)
d)
f)
Bij welke figuren werd er
1 gekleurd? 3
Bij welke figuren werd er
3 gekleurd? 4
Schrijf de volgende onechte breuken als gemengde getallen. a)
4
5
6
8 = 5
b)
19 = 2
c)
7 = 6
Schrijf de volgende gemengde getallen als onechte breuken. a) 1 +
2 3
=
c) 5 +
3 7
=
e) 5 +
3 4
b) 3 +
5 6
=
d) 7 +
3 8
=
f) 4 +
9 = 10
=
Vul de ontbrekende teller of noemer aan, zodat er twee gelijke breuken ontstaan.
a)
4 5
=
b)
6 15
=
8
2
c)
15 9
=
d)
8 3
=
3
9
e)
28 56
=
f)
49 21
=
4
3
g)
24 = 45
h)
6 7
d)
65 = 125
=
8
56
Vereenvoudig met je rekenmachine tot een onvereenvoudigbare breuk.
a)
121 = 165
b)
35 = 280
c)
126 = 315
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
153
7
8
Vereenvoudig, indien mogelijk, deze breuken tot een onvereenvoudigbare breuk. a)
8 = 12
c)
21 = 60
e)
12 = 36
b)
18 = 30
d)
14 = 63
f)
19 = 30
2 5
=
Maak de breuken gelijknamig. Kies de kleinst mogelijke noemer.
a)
b)
3 2 en 7 8
3 1 en 6 7
2 = 7
c)
3 = 8 1 6
=
3 7
=
d)
8 2 en 5 15
3 7 en 4 16
8 = 15 7 4
=
3 = 16
REEKS B 9
Schrijf de volgende onechte breuken als gemengde getallen. a)
10
77 = 54
1 2
65 = 14
c)
37 = 13
2 = 13
b) 37 +
5 6
=
c) 7 +
2 = 35
Bereken het aantal honden of katten. In een statistisch rapport over huisdieren in Vlaanderen lezen we: ‘Een gezin op vijf bezit minstens één hond, een op vier minstens één kat.’
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a) In klas 1Aa zitten 24 leerlingen. Hoeveel daarvan hebben dan, statistisch gezien, minstens één kat thuis? b) In klas 1Ab zitten 20 leerlingen. Hoeveel daarvan hebben dan, statistisch gezien, minstens één hond thuis? c) In klas 1Ac zitten 16 leerlingen. Hoeveel daarvan hebben dan, statistisch gezien, minstens één kat thuis? d) Hoeveel leerlingen van de drie klassen samen hebben, statistisch gezien, minstens één hond thuis? e) Hoeveel leerlingen van de drie klassen samen hebben, statistisch gezien, minstens één kat thuis? f) Hoeveel leerlingen van 1Ab en 1Ac samen hebben, statistisch gezien, minstens één kat in huis?
13
154
d)
83 = 15
Schrijf de volgende gemengde getallen als onechte breuken. a) 17 +
11
b)
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
d) 18 +
22 = 23
12
Vul de ontbrekende teller of noemer aan, zodat er twee gelijke breuken ontstaan.
a)
b)
R
R
13
14
36 = 40
7
9
=
c)
28 60
d)
17
16 = 32
=
0 25
7
e)
f)
16
24 = 20
=
55 80
g)
h)
15
56 = 72
9
21
=
15 25
Vereenvoudig, indien mogelijk, tot een onvereenvoudigbare breuk. a)
64 = 56
c)
81 = 60
e)
54 = 30
g)
54 = 90
b)
98 = 72
d)
28 = 84
f)
84 = 36
h)
84 = 64
Maak de breuken gelijknamig. Kies de kleinst mogelijke noemer.
a)
b)
16 10 en 16 32
17 32 en 72 63
10 = 16
c)
16 = 32
32 = 72
d)
17 = 63
121 32 en 128 88
21 54 en 45 35
32 = 128 121 = 88
54 45
=
21 35
=
REEKS C 15
Bepaal de gevraagde breuk. 3 , 4 waarbij de som van teller en noemer 28 is.
a) Een breuk gelijk aan
9 , 7 waarbij het verschil tussen teller en noemer 22 is.
b) Een breuk gelijk aan
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
155
5.1.3 De positieve rationale getallen als procent Procenten worden in het dagelijkse leven vaak gebruikt. Geef enkele voorbeelden.
Procent of percent (%) komt van de Latijnse woorden ‘per’ (door) en ‘centum’ (honderd). Procenten zijn breuken met 100 als noemer. Voorbeeld: 1 % =
1 100
13 % =
13 100
Procenten kun je omzetten tot onvereenvoudigbare breuken. 2%=
1 2 = 100 50
10 % =
25 % =
100 % =
7 = 10
11 = 25
Breuken kun je omzetten tot procenten. 2 = = 100 5
%
3 = 4
REKENMACHINE Zet 74 % om naar een onvereenvoudigbare breuk.
1
Zet
18 om naar procent. 40
2 3 4 5
7
Promille (‰) komt van de Latijnse woorden ‘per’ (door) en ‘mille’ (duizend). Promilles zijn breuken met 1 000 als noemer.
8
Voorbeeld: 5 ‰ =
6
9
In België is het maximaal toegelaten alcoholgehalte voor bestuurders van voertuigen 0,5 ‰, wat overeenkomt met 0,5 gram per 1 000 ml bloed. Met een ademanalysetoestel (zie afbeelding) of een bloedproef wordt dat gehalte gemeten.
10 11 12 13
156
5 1 000
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
Oefeningen REEKS A 16
Schrijf de procenten als een onvereenvoudigbare breuk. a)
17
1%=
c) 40 % =
e) 60 % =
b) 10 % =
d) 50 % =
f) 80 % =
Duid de gevraagde procenten in kleur aan. b)
a)
c)
15 %
18
50 %
30 %
Schrijf de breuken als procent. a)
1 = 2
b)
1 = 10
100
=
%
c)
1 = 4
e)
1 = 20
d)
1 = 5
f)
7 = 10
REEKS B
R
19
20
Schrijf de procenten als een onvereenvoudigbare breuk. a) 36 % =
c) 24 % =
e) 16 % =
b) 45 % =
d) 48 % =
f) 200 % =
Schrijf de procenten als een onvereenvoudigbare breuk. a) 76 % =
b) 65 % =
c) 124 % =
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
157
R
21
22
Schrijf de breuken als procent. a)
3 5
=
c)
7 4
=
e)
12 = 5
b)
2 = 25
d)
7 = 50
f)
13 = 20
b)
222 = 300
c)
27 = 60
Schrijf de breuken als procent. a)
23
12 = 40
Een hardloper heeft in het eerste deel van de wedstrijd drie vijfden van de totale afstand afgelegd. Hoeveel procent van de totale afstand heeft hij dan al afgelegd?
Antwoordzin:
24
Hoeveel procent is gekleurd? b)
a)
c)
1 2 3
%
4
%
5 6 7 8
R
25
Schrijf de breuken als procent.
5 = 125
e)
33 = 44
18 = 150
f)
12 = 40
b) c)
11 12
24 = 30
6 40
9 10
d)
a)
=
13
158
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
%
5.1.4 De positieve rationale getallen decimaal Van breuk naar decimale schrijfwijze Als je een rationaal getal niet in zijn breukvorm laat staan, maar de deling uitvoert, dan vind je de decimale schrijfwijze van dat rationaal getal. Er zijn drie mogelijkheden: 15 = 3
25 = 10
8 = 33
Wat is het verschil tussen een decimaal getal en een decimale vorm?
Het deel dat herhaald wordt bij een decimale vorm, noem je de Noteer de periode tweemaal, gevolgd door drie puntjes. Voorbeeld:
2 11 2 99
7 = 15 16 = 333
= =
Opmerking: • begin de periode altijd zo vroeg mogelijk; • houd de periode altijd zo kort mogelijk; • houd er rekening mee dat je rekenmachine maar een beperkt aantal cijfers op het scherm kan tonen. Zo is het laatste cijfer veelal het resultaat van een afronding. Verklaring voor het bestaan van een periode
5,00000000 7 0,714285 714285 – 050 – 49 10 7 – 30 –28 20 –1460 –5640 –3550 –4910
5 = 5 : 7 = 0,714 285 714 285 ... 7 Alle mogelijke resten bij deling door 7 zijn voorgekomen in de staartdeling! Rest 5 herhaalt zich, zodat in het quotiënt ook de periode zich herhaalt. De periode (714 285) heeft in dit voorbeeld een lengte van 6 cijfers. Begrenzen Bepaal met je rekenmachine de decimale schrijfwijze van 5 ligt tussen de grenzen 0 7 tussen de grenzen 0,7
5 . 7
en 1
en dichter bij 1.
en 0,8
en dichter bij 0,7.
tussen de grenzen 0,71
en 0,72
en dichter bij
tussen de grenzen
en
en dichter bij HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
159
Afronden Vader laat zijn wagen voltanken. Er kan 32,24 liter benzine bij in de tank. Eén liter benzine kost 1,234 euro. Hoeveel moet vader volgens je rekenmachine betalen?
Hoeveel zal vader aan de pomphouder betalen?
Werkwijze
Een decimale vorm of een decimaal getal afronden Om een decimale vorm af te ronden, kijk je naar het cijfer rechts van de plaats waar je wilt afronden: • als het volgende cijfer kleiner is dan 5, behoud het vorige cijfer; • als het volgende cijfer groter is dan of gelijk aan 5, verhoog het vorige cijfer met 1.
Voorbeeld:
705,369
afgerond op een honderdste
:
afgerond op de eenheid
:
afgerond op een tiental
:
afgerond op een honderdtal
:
Van decimale schrijfwijze naar breuk Als je een decimaal getal wilt omzetten naar een breuk, dan ga je als volgt te werk: • in de teller noteer je het getal zonder komma; • in de noemer noteer je 1, 10, 100, 1 000 ... met zoveel nullen als er cijfers na de komma zijn; • vereenvoudig als het kan. 15,2 =
76 152 = 10 5
0,4 =
0,29 =
4,508 =
1 2 3
REKENMACHINE Zet het getal 3,52 om naar een onechte breuk.
4 5 6 7 8 9 10 11 12
Decimale vormen kleiner dan 1 waarvan de periode onmiddellijk na de komma begint, kun je met de volgende werkwijze omzetten naar een onvereenvoudigbare breuk: • in de teller zet je de periode; • in de noemer zet je 9, 99, 999 ... met zoveel negens als er cijfers in de periode zijn; • vereenvoudig als het kan. Voorbeeld: 0,212 1... =
13
160
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
7 21 = 99 33
Oefeningen REEKS A 26
27
28
Zet om naar de decimale schrijfwijze. a)
5 8
=
c)
7 5
=
e)
13 = 9
b)
12 = 20
d)
8 11
=
f)
19 = 4
Begrens op twee cijfers na de komma. a)
1 8
ligt tussen
en
en dichter bij
b)
2 3
ligt tussen
en
en dichter bij
c)
13 ligt tussen 1 000
en
en dichter bij
Zet de volgende getallen om naar een onvereenvoudigbare breuk. a) 8,7 =
d) 0,03 =
g) 0,05 =
b) 1,5
e) 5,9
=
h) 6,6
=
f) 6,8 =
i) 2,3
=
=
c) 1,07 =
29
Rond de volgende getallen af.
opgave
afronden op de eenheid
afronden op een tiende
opgave
a) 25,14
d) 33,687
b) 358,217
e) 1,259
c) 0,02
f) 90,909
afronden op de eenheid
afronden op een honderdste
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
161
REEKS B 30
31
Zet een vinkje als de uitspraak waar is. Als je deze breuken omzet naar de decimale schrijfwijze, dan verkrijg je een ... 1 5
6 7
7 1
5 3
11 5
0 23
25 11
... natuurlijk getal.
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
... decimaal getal.
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
... decimale vorm.
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
Noteer de volgende breuken decimaal. Vink daarna de juiste uitspraak aan.
18 108 7 b) 4 0 c) 4 8 d) 9
a)
R
32
natuurlijk getal
decimaal getal
decimale vorm
=
❒
❒
❒
=
❒
❒
❒
=
❒
❒
❒
=
❒
❒
❒
Zet de volgende getallen om naar een onvereenvoudigbare breuk. a) 8,88 =
d) 0,28 =
g) 2,36 =
b) 3,45 =
e) 6,40 =
h) 0,56 =
c) 57,8 =
f) 12,6 =
i) 16,4 =
1 2 3
33
4
Zet om naar de decimale schrijfwijze. a)
9 11
=
c)
49 = 15
e)
37 = 66
b)
38 = 111
d)
58 = 14
f)
58 = 22
5 6 7 8 9 10
34
Zet de volgende getallen om naar onvereenvoudigbare breuken. a) 3,456 =
c) 65,65
=
e) 7,856 =
b) 0,055 =
d) 12,054 =
f) 2,002 =
11 12 13
162
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
35
€
36
Bepaal de periode met behulp van je rekenmachine. a)
2 3
heeft als periode
e)
8 15
heeft als periode
b)
5 11
heeft als periode
f)
7 9
heeft als periode
c)
8 99
heeft als periode
g)
15 111
heeft als periode
d)
5 6
heeft als periode
h)
4 33
heeft als periode
Bereken de ontbrekende bedragen op het kasticket.
€
R
37
€
Rond de volgende getallen af. afronden op de eenheid
opgave
afronden op een honderdste
opgave
a) 10,258
c) 456,159
b) 25,369
d) 183,640
afronden op een honderdtal
afronden op een tiental
REEKS C 38
Zet de volgende getallen om naar onvereenvoudigbare breuken. a) 0,66...
=
c) 0,646 4... =
e) 0,702 702... =
b) 0,565 6... =
d) 0,213 213... =
f) 0,818 1...
=
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
163
5.2
Bewerkingen met positieve rationale getallen
5.2.1 De optelling Natuurlijke getallen
Decimale getalen
Breuken
Op het festival genoten zaterdag 8 037 toeschouwers van de opzwepende muziek. Zondag kwamen er 12 487 muziekliefhebbers opdagen. Hoeveel muziekfans mocht het festival verwelkomen?
Aya heeft een houten plint van 1,75 m en een van 2,32 m. Wat is de totale lengte van de plinten waarover Aya beschikt?
Mona en Karel bestellen één pizza. Mona eet één vierde van de pizza op. Haar vriend Karel verorbert twee vijfden. Welk deel van de pizza hebben ze samen opgegeten?
schatten
schatten
werkwijze • vereenvoudig als het kan; • maak gelijknamig; • tel de tellers op, behoud de noemer; • vereenvoudig als het kan.
berekenen
berekenen
berekenen
1 2
Benamingen
3
• De getallen die je optelt:
4
• Het resultaat van de optelling:
5 6
REKENMACHINE
7
Bereken 8
7 5 + = 12 8
9 10 11 12 13
164
Opmerking 0 heeft geen invloed op het resultaat.
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
Voorbeeld: 18,32 + 0 = 18,32 = 0 + 18,32
5.2.2 De aftrekking Natuurlijke getallen
Decimale getallen
Breuken
Op de parkeerterreinen van de Heizel staan vandaag 8 007 wagens geparkeerd. Gisteren maakten 4 849 chauffeurs gebruik van de parking. Hoeveel wagens staan er vandaag meer geparkeerd dan gisteren?
Laïa geeft een pyjamafuif en koopt voor 36,35 euro aan verrassingspakjes. Febe organiseert ook een fuif. Ze heeft daarvoor 12,40 euro uitgegeven. Hoeveel minder heeft Febe uitgegeven?
Een koperen buis is
schatten
schatten
werkwijze • vereenvoudig als het kan; • maak gelijknamig; • trek de tellers af, behoud de noemer; • vereenvoudig als het kan.
berekenen
berekenen
berekenen
19 van 24 een meter lang. Een andere 2 buis is van een meter lang. 3 Bereken het verschil in lengte tussen de twee buizen.
Benamingen • De getallen die je aftrekt: • Het resultaat van de aftrekking:
REKENMACHINE Bereken
17 5 − = 22 13
Opmerking Er is een verband tussen het optellen en het aftrekken. 8 − 2 = 6 omdat 8 = 2 + 6
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
165
Oefeningen REEKS A 39
Schat eerst het resultaat. Maak daarna de berekening. opgave
497 + 177
805 − 317
2 693 + 1 297
1 795 − 887
schatten
berekenen
40
Omcirkel de waarde die het best het resultaat van de gegeven oefening benadert. a) 218,8 + 71,6
280
290
300
b) 583,23 – 309,68
250
270
290
c) 1 255,49 – 350,56
800
900
1 000
8 000
9 000
10 000
400
410
420
d) 4 548,369 + 4 450,587 e) 788,88 – 390
€
41
Simon heeft twee spaarrekeningen bij de bank: een van € 3 156,80 en een van € 764,50. Hij besluit het geld af te halen en alles op een nieuwe rekening te plaatsen die meer intrest oplevert. Hoeveel stort Simon op die nieuwe rekening?
Antwoordzin: 1 2
42 3 4
Een vrachtwagen is geladen met 6,5 ton stenen. Bij een klant wordt 3,7 ton afgeladen. Hoeveel ton blijft nog op de vrachtwagen liggen?
5 6 7
Antwoordzin:
8 9 10
43
Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.
11 12
a)
7 8 + = 5 5
13
166
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
b)
8 7 + = 15 15
c)
14 8 − = 12 12
d)
13 5 − = 14 14
44
45
Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. a)
7 2 − 8 5
=
e)
1 1 + 7 3
=
b)
7 5 + 12 8
=
f)
8 3 − 7 4
=
c)
7 1 − 10 5
=
g)
2 1 − 3 4
=
d)
5 6 + 8 7
=
h)
4 3 − 5 4
=
Bereken. a)
23 56 − = 3 36
b)
17 38 + = 38 76
c)
21 7 − = 29 15
REEKS B 46
Vul aan. a) De som van 23 en 68 is 23 en 68 noem je
€
47
b) Het verschil van 82 en 25 is 82 en 25 noem je
Amin wil een iPod van 238 euro kopen. Hij heeft al 157 euro gespaard. Zijn oma geeft hem 40 euro extra. Hoeveel moet Amin nog sparen?
Antwoordzin:
48
Rangschik de cijfers 6, 8, 7 en 3 van groot naar klein en vorm zo een getal met vier cijfers. Rangschik daarna dezelfde vier cijfers van klein naar groot. Zo verkrijg je een nieuw getal. Wat is het verschil tussen beide getallen?
Antwoordzin:
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
167
49
De familie Decorte vertrekt op zomervakantie. Hun mobilhome heeft 51 064,2 km op de teller staan. De reisweg heen en terug bedraagt 3 256,3 km. Ter plaatse maken ze uitstappen voor een totaal van 897,5 km. Hoeveel km staat er op de teller als ze weer thuiskomen?
Antwoordzin:
50
Lars verzamelt postzegels. Hij heeft er 1 258. Joliska heeft 379 postzegels minder. Hoeveel postzegels hebben ze samen?
Antwoordzin:
51
1 2
R
52
Zet in de uitkomsten de komma op de juiste plaats. a) 79,227 + 190,653 = 2 6 9 8 8
c) 6 598,56 – 956,236 = 5 6 4 2 3 2 4
b) 2 125,4 – 956,54 = 1 1 6 8 8 6
d) 11 111,111 – 2 222,222 = 8 8 8 8 8 8 9
Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.
a)
2 1 + 14 3
=
e)
1 21 + 7 28
=
b)
2 21 − 3 42
=
f)
8 7 − 6 18
=
c)
12 2 + 16 5
=
g)
8 4 − 5 6
=
d)
7 8 − = 12 56
h)
12 1 − 36 4
=
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
168
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
53
Het leerlingenaantal van de vrije technische school van Wavergem zit in de lift. Dat kun je aflezen van dit lijndiagram. leerlingenaantal eerste graad 220
aantal leerlingen
215 210 205 200 195 190 185 180 2009
2011
2013
2015
2017
2019
jaar
a) Hoeveel leerlingen waren er in 2011 ingeschreven? b) Hoeveel leerlingen telde de eerste graad in 2014? c) Wat was het leerlingenaantal in 2019? d) Hoeveel leerlingen waren er in 2015 meer of minder dan in 2011? e) Hoeveel leerlingen telde de eerste graad in 2018 meer of minder dan in 2012? f) Hoeveel leerlingen kreeg de eerste graad er in 10 jaar bij?
54
1 3 van een taart. Nabil eet van de taart. 8 4 Hoeveel blijft er over voor Tine? Jan eet
Antwoordzin:
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
169
55
Lisa en haar ouders gaan met de fiets op vakantie. Van de totale afstand tot hun bestemming leggen 1 1 1 af, de tweede dag en de derde dag nog . ze de eerste dag 5 2 5 Welk deel van de weg moeten ze de vierde dag nog afleggen?
Antwoordzin:
€
56
Een buschauffeur is vier dagen van dienst op lijn 43. Ze houdt nauwkeurig haar dagopbrengst in cash bij. Op maandag ontving ze € 168,50. Op dinsdag was dat € 19,25 minder. Op woensdag kreeg ze € 54,50 minder dan op dinsdag. Op donderdag was de opbrengst gelijk aan de som van de opbrengst van maandag en dinsdag. Hoeveel ontving de buschauffeur in totaal?
Antwoordzin:
57
Vul aan. berekening
1
berekening
2 3
= 84
f)
2 − 5
=
1 10
b)
+ 27 = 213
g)
2 + 3
=
27 24
c)
− 98 = 1 206
h)
+
2 1 = 7 2
−
2 1 = 7 2
a) 116 −
4 5 6 7 8 9 10
d) 179 +
= 324
i)
e) 144 −
= 144
j)
11 12 13
170
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
1 + 2
=
3 6
R
€
58
59
Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.
a)
63 52 + = 72 64
e)
143 64 − = 121 96
b)
52 18 − 20 45
=
f)
34 33 − = 51 99
c)
18 52 + 54 20
=
g)
78 28 − 52 77
d)
48 8 − 56 14
=
h)
14 15 + = 84 36
=
In de onderstaande tabel vind je de inkomsten van kruidenierszaak ‘Het Witte Loof’ tijdens een week in oktober. cash in euro
bancontact in euro
maandag
1 507,95
893,14
dinsdag
0
0
woensdag
1 298,30
517,12
donderdag
1 419,50
753,78
vrijdag
1 739,20
1 007,24
zaterdag
2 109,45
1 377,85
zondag
729,50
203,37
a) Hoe verklaar je de mindere opbrengst op zondag?
b) Waarom denk je dat dinsdag € 0 oplevert? c) Wat is de totale opbrengst in cash per week? d) Welke dag is een gouden dag voor ‘Het Witte Loof’? Hoeveel geld komt er dan binnen? e) Wat is het totaal aan inkomsten voor deze week?
f) Wat is het verschil tussen de cashinkomsten en de inkomsten met bancontact?
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
171
REEKS C 60
Vervolledig de tabel. 124
_
178
251
748
684
178
113
936
737
299
61
Vul bij de onderstaande cijferoefeningen de ontbrekende cijfers in. a)
4 +
1 9
62
b) 9
7
7 −
5
7 7
2
7
3
4
Vervang de letter zodat je een ware uitspraak verkrijgt. 37 7 = 24 8
a) a + 27 = 63
a =
f) f −
b) 16,4 + b = 25,75
b =
g) 375,12 + 653,278 = g
c) c – 65,56 = 157,639
c =
h)
d) 256,23 – d = 199,86
d =
i) 78,879 – i = 29,983
e =
j)
f
=
1 2
g =
3 4 5
33 5 +h= 6 36
h =
6 7
i
=
j
=
8 9 10
e)
3 5 –e= 7 8
11 12 13
172
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
2 2 –j= 3 17
1
5.2.3 De volgorde van de bewerkingen Bereken 15 − (3 + 2) =
=
(15 − 3) + 2 =
=
15 − 3 + 2
=
=
In de bovenstaande oefeningen komen dezelfde getallen en dezelfde bewerkingstekens voor. Toch verkrijg je door het gebruik van haakjes een ander resultaat. De volgorde waarin we de bewerkingen uitvoeren, is dus van belang.
Afspraak
Volgorde van de bewerkingen 1) Haakjes uitwerken 2) Optellen en aftrekken van links naar rechts
( ) ⫹, ⫺
Voorbeelden a)
冉 冊
3 1 4 − − 5 4 2
= = = =
b) (12,5 + 56,4) − (24,6 − 13,3) = =
REKENMACHINE Bereken 823,5 – (525,6 + 27,87) =
Bereken
冉 冊
2 6 1 + − = 3 7 4
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
173
Oefeningen REEKS A 63
64
€
65
Bereken. a) 5 + 18 − 3
c) (19 – 9) − 8
e) 12 – (8 – 3)
b) 18 + 7 – (23 – 5)
d) (17 – 9) – (8 – 2)
f) 12 – (6 + 3) + 9
Bereken.
冉 冊 冉 冊
a) 13,6 – (12,65 – 7,263) =
c)
3 7 5 + − 17 2 13
=
b) (67,4 + 138,2) – 96,73 =
d)
2 1 3 4 + + − 11 7 5 3
=
Kathleen krijgt van haar ma een briefje van 50 euro om boodschappen te doen. In de supermarkt betaalt ze 27,35 euro. Bij de bakker bedraagt de rekening 14,75 euro. Hoeveel moet Kathleen aan haar moeder teruggeven? Bereken op twee manieren. methode 1
methode 2
1
Antwoordzin:
2 3 4 5 6 7
REEKS B
R
66
Bereken. a)
冉 冊
1 3 1 + − 2 5 4
8 9 10 11 12 13
174
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
b)
冉 冊
4 2 1 − − 3 3 4
c)
2 5 1 + − 7 28 4
67
De vader van Martine hield gedurende de laatste jaren de kilometerstand van zijn wagen nauwlettend in het oog. aantal kilometer per jaar 30 000
kilometer
25 000 20 000 15 000 10 000 5 000 0
2015
2016
2017 jaartal
2018
2019
a) Bereken het totale aantal kilometer dat deze auto in vijf jaar tijd heeft afgelegd.
b) Wat is het verschil in kilometer tussen het totaal van de laatste twee jaar en het totaal van de eerste twee jaar? Schrijf in één uitdrukking en bereken.
68
Zet, indien nodig, haakjes zodat een juiste uitspraak ontstaat. a) 100 – 5 + 55 = 40
d) 56 – 13 + 35 = 8
b) 45 – 7 + 12 = 50
e) 200 – 47 + 84 – 27 = 210
c) 640 – 480 + 60 = 100
f) 200 – 47 + 84 – 27 = 42
REEKS C
€
69
Op het spaarboekje van Jorne staat € 549,85. Zijn oma stort € 60 voor zijn verjaardag. Daarna koopt Jorne twee computerspelletjes: het ene kost € 36,75 en het andere kost € 47,95. Hij koopt ook nog een nieuwe USB-stick van € 29,50. Hoeveel heeft Jorne uiteindelijk nog op zijn spaarrekening staan? Schrijf in één uitdrukking en bereken.
Antwoordzin:
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
175
5.2.4 De vermenigvuldiging Natuurlijke getallen
Decimale getallen
Dit jaar gaan de leerlingen voor enkele dagen op studiereis naar Londen. De school rekent 198 euro per leerling aan. 53 leerlingen zullen zich laten overdonderen door de prachtige cultuurstad. Wat is de totale kostprijs van de schoolreis?
Nour wil haar kamer in een flashy nieuw kleurtje schilderen. Na heel wat meet- en rekenwerk weet Nour dat ze 7,5 liter verf nodig zal hebben. Eén liter verf kost 18,65 euro. Hoeveel zal Nour voor de verf moeten betalen?
schatten
schatten
berekenen
berekenen
1 2 3
Benamingen
4
• De getallen die je vermenigvuldigt:
5
• Het resultaat van de vermenigvuldiging:
6 7 8
REKENMACHINE Bereken 12,23 ⴢ 36,059 =
9 10 11 12 13
176
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
Breuken Het product van een natuurlijk getal met een breuk Een pizza wordt in zeven gelijke stukken verdeeld. Jan, Klaas en Korneel eten elk twee stukken. Welk deel van de pizza is er opgegeten? 3ⴢ
Werkwijze
2 2 2 2 = + + 7 7 7 7 6 = 7 3ⴢ2 = 7
Het product van een natuurlijk getal met een breuk Om een natuurlijk getal met een breuk te vermenigvuldigen, vermenigvuldig je dat getal met de teller en behoud je de noemer.
Voorbeelden a) 6 ⴢ
2 6 ⴢ 2 12 = = 5 5 5
b) 5 ⴢ
3 = 7
Het product van twee breuken Een rijke Engelse graaf laat bij zijn dood een groot stuk grond na aan zijn trouwe personeel. Eén vijfde schenkt hij aan de butler, één vijfde aan de chauffeur en de overige drie vijfden aan de twee keukenmeiden.
Werkwijze
chauffeur
1 3 3 1ⴢ3 ⴢ = = 2 5 10 2 ⴢ 5
butler
Welk deel ontvangt elke meid?
eerste meid
tweede meid
Het product van twee breuken Om het product van twee breuken te nemen, vermenigvuldig je de tellers met elkaar en vermenigvuldig je de noemers met elkaar.
Voorbeelden a)
4 7 4 ⴢ 7 28 ⴢ = = 5 3 5 ⴢ 3 15
b)
5 3 ⴢ = 6 10
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
177
Opmerking: kruiselings vereenvoudigen 1
1
2
2
5\ ⴢ 3/ 5 3 1 ⴢ = = 6 10 4 6/ ⴢ 10 \
Voorbeelden a)
12 3 ⴢ = 7 20
b)
12 25 ⴢ = 35 24
c)
2 21 ⴢ 7 6
=
d)
7 ⴢ6 9
=
Een breuk nemen van een getal Werkwijze
Een breuk nemen van een getal Om een breuk te nemen van een getal, vermenigvuldig je de breuk met dat getal.
2 van 24 wil zeggen: verdeel 24 in 3 gelijke delen en neem er 2 delen van. 3 Voorbeelden 1
a)
2 2 24 2 van 24 = ⴢ 24 = ⴢ = 3 3 3 1
b)
6 van 42 = 7
c)
5 2 van = 3 8
2 3 4 5 6 7 8
Opmerking
9 10 11
Vermenigvuldigen met 1 heeft geen invloed op het resultaat. Voorbeeld: 18,32 ⴢ 1 = 18,32 = 1 ⴢ 18,32
12 13
178
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
Oefeningen REEKS A 70
Schat eerst het resultaat. Maak daarna de berekening. 49 ⴢ 6
opgave
38 ⴢ 41
3,1 ⴢ 49
4,2 ⴢ 5,9
schatten berekenen
71
72
€
73
Omcirkel de waarde die het best het resultaat van de gegeven oefening benadert. a) 41 ⴢ 19
600
700
800
b) 78 ⴢ 4
200
250
300
c) 52 ⴢ 19
800
900
1 000
d) 30 ⴢ 2,9
80
90
100
e) 98 ⴢ 103
9 500
10 000
10 500
Bereken. Rond af op 0,01. a) 35,009 ⴢ 12,5 =
c) 607,946 ⴢ 0,07 =
b) 18,86 ⴢ 9,6
d) 803,15 ⴢ 57,62 =
=
Thuis wordt de stookolietank gevuld met 2 567 liter huisbrandolie voor de centrale verwarming. Eén liter huisbrandolie kost 0,697 euro. Hoeveel zal vader aan de stookolieleverancier moeten betalen?
Antwoordzin:
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
179
74
Noteer telkens het correcte aantal. a)
2 van de kleurpotloden 5
c)
3 van de pralines 4
pralines
kleurpotloden
b)
7 van de sleutels 8
d)
1 van het aantal schoenen 6
schoenen
sleutels
75
Bereken. a)
1 van 66 is 2
c)
4 van 65 is 5
e)
7 van 64 is 8
b)
1 van 48 is 3
d)
5 van 56 is 7
f)
3 van 75 is 5
1 2 3 4 5 6
76
Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. a)
2 5 ⴢ 3 7
=
e)
3 ⴢ5 8
=
b)
8 7 ⴢ 9 5
=
f)
3 1 ⴢ 4 5
=
c)
6 5 ⴢ 7 7
=
g)
5 7 ⴢ 9 8
=
5 7
=
h) 6 ⴢ
4 5
=
7 8 9 10 11 12
d) 12 ⴢ
13
180
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
REEKS B 77
€
78
Schat. a) de hoogte van het middelste gebouw
b) het aantal mensen
Tip: schat eerst de hoogte van de auto.
Tip: verdeel de foto in zes gelijke stukken.
Antwoord:
Antwoord:
De sponsor van onze voetbalploeg heeft ons een nieuwe uitrusting beloofd. Bereken wat hij moet betalen voor 15 spelers. shirt
broek
kousen
sporttas
€ 21
€ 16
€9
€ 18
Antwoordzin:
€
79
Vissersclub ‘De Lustige Lijnvissers’ organiseert een tombola. Er worden 800 loten van 3 euro verkocht. De hoofdprijs is een volledige vissersuitrusting van 1 000 euro. Iedereen die een lot kocht, krijgt een sticker ter waarde van 1 euro. Hoeveel winst maakt de vissersclub?
Antwoordzin:
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
181
€
80
Voor een rockconcert worden er in voorverkoop 350 kaarten van 9 euro verkocht. Aan de kassa betalen 530 mensen de avond zelf 12 euro. Hoeveel is het totaal aan ontvangsten voor het concert?
Antwoordzin:
€
81
Om een nieuwe werkplaats te bouwen, gebruikt men 42 buizen van 5,4 m, 62 buizen van 3,75 m en 17 buizen van 7,9 m. De buizen kosten € 1,53 per meter. Bereken de totale kostprijs van de buizen.
Antwoordzin:
82
Bereken. a) 20 % van 80
is
b) 15 % van 160
is
c) 40 % van 180
is
d) 80 % van 90
is
20 ⴢ 80 = 100
1 2 3
R
83
Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.
4 5
a)
8 7 ⴢ 3 4
=
e)
24 27 ⴢ = 9 8
b)
6 14 ⴢ 7 8
=
f)
22 3 ⴢ = 39 44
5 6
=
g)
36 57 ⴢ = 19 42
15 16 ⴢ = 25 24
h)
77 36 ⴢ = 81 42
6 7 8 9
c) 18 ⴢ
10 11 12
d)
13
182
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
84
85
Bereken. a)
2 van 108 9
is
c)
5 van 56 14
is
b)
7 van 96 8
is
d)
5 van 84 7
is
Hoeveel minuten is
2 van de helft van een uur? 3
Antwoordzin:
REEKS C 86
Boer Jansens heeft kippen, varkens en koeien. Eén zesde van de dieren zijn kippen en twee vijfden zijn varkens. Hoeveel dieren heeft hij in totaal, als je weet dat hij 39 koeien bezit?
Antwoordzin:
87
Ilse kocht een taart. Op de verpakking staat dat die taart 1 567 kilocalorieën bevat. 1 1 1 van de taart en daarna nog . Ilse houdt het bij van de taart. Moeder eet eerst 7 5 4 Bereken het verschil in calorieën voor hen beiden. Rond het resultaat af op de eenheid.
Antwoordzin:
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
183
5.2.5 De deling Natuurlijke getallen
Decimale getallen
Om extra geld in het laatje te krijgen, houdt de dansschool een pannenkoekenverkoop. De actie brengt in totaal 3 572 euro op. Hoeveel pakjes pannenkoeken werden er verkocht, als je weet dat één pakje 4 euro kost?
Liesbet koopt 3,5 m stof voor een nieuw kleedje. Ze betaalt 20,65 euro. Hoeveel kost de stof per meter?
schatten
schatten
berekenen
berekenen
Benamingen • Het getal dat je deelt: • Het getal waardoor je deelt: • Het resultaat van een deling: 1 2
Opmerking
3
Er is een verband tussen vermenigvuldigen en delen.
4
28 : 4 = 7
5 6
omdat
28 = 4 ⴢ 7
Delen door nul 28 : 0 = ?
omdat
? ⴢ 0 = 28
7 8
Delen door 0 is onmogelijk!
9 10 11
REKENMACHINE Bereken 687,015 : 18,9 =
12 13
184
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
Breuken Het omgekeerde van een breuk Definitie
Omgekeerde van een breuk Het omgekeerde van een breuk is de breuk die je verkrijgt door teller en noemer te verwisselen. Voorbeelden a) het omgekeerde van
5 is 9
c) het omgekeerde van
b) het omgekeerde van
3 is 4
d) het omgekeerde van 7
1 is 5 is
Opmerking Het product van een getal met zijn omgekeerde is gelijk aan 1. Voorbeelden 1
a)
1
3 11 3\ ⴢ 11/ 1 ⴢ = = =1 11 3 1 11/ ⴢ 3\ 1 1
b) 7 ⴢ
=1
Breuken delen Delen door een breuk betekent hetzelfde als vermenigvuldigen met de omgekeerde breuk. 7 7 : =1 8 8
7 8 ⴢ =1 8 7
Als je een breuk deelt door zichzelf, is het quotiënt 1.
Als je een breuk vermenigvuldigt met zijn omgekeerde, is het product 1. dus 7 7 7 8 : = ⴢ 8 8 8 7
Werkwijze
Een breuk delen door een breuk Om een breuk te delen door een breuk, vermenigvuldig je de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk. Voorbeelden a)
5 7 : 9 8
b)
12 6 : = 7 49
=
c) 5 : d)
15 = 8
14 :7 = 5
Onthoud: kruiselings vereenvoudigen kan enkel bij de vermenigvuldiging.
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
185
Oefeningen REEKS A 88
Schat eerst het resultaat. Maak daarna de berekening. opgave
531 : 9
2 232 : 31
355,8 : 6
440,34 : 3
schatten berekenen
89
90
1
Omcirkel de waarde die het best het resultaat van de gegeven oefening benadert. a) 418 : 20
15
21
27
b) 3 549 : 40
80
90
100
c) 731,28 : 8
90
100
110
d) 2 506,9 : 40
40
50
60
Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. a)
2 5 : 3 7
b)
8 7 : 9 5 5 7
2 3 4
c) 8 :
5
d)
3 :5 4
=
=
e)
5 7 : 9 8
=
=
f)
2 7 : 3 5
=
=
6 7
REEKS B
8 9 10 11
91
Vul aan. a) 23 â´¢ 6 = 138 23 en 6 noem je 138 is
12
34 noem je 68 is
13
186
b) 68 : 2 = 34 2 noem je
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
€
92
Bereken telkens de prijs voor één artikel. s esje 12 fl 9,60 € r o o v
vier kopjes voor € 10,40
Eén kopje kost
€
93
euro.
Eén flesje kost
euro.
Lien wil een muziekinstallatie van 338 euro kopen. Ze heeft al 294 euro gespaard. Elke maand kan ze 4 euro opzijleggen. Hoeveel maanden moet Lien nog wachten om de muziekinstallatie van haar dromen te kunnen kopen?
Antwoordzin:
94
95
Bereken. Rond af op 0,01. a) 5 567 : 4,6
=
c) 4,259 : 5,678
=
b) 78,89 : 43,72
=
d) 0,035 : 0,005 7 =
Een fruitboer wil 987 fruitbomen planten. Ze moeten in rijen van 36 staan. a) Hoeveel volledige rijen van 36 bomen kan de boer planten? b) Hoeveel bomen komt de boer te kort om een rij meer te kunnen planten?
Antwoordzin: a) b)
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
187
96
Bereken deze vermenigvuldigingen en delingen. a) 2 510 ⴢ 10
=
g) 2 510 ⴢ 0,1
=
b) 23,7 ⴢ 100
=
h) 23,7 ⴢ 0,01
=
c) 0,52 ⴢ 1 000 =
i) 0,52 ⴢ 0,001 =
d) 2 510 : 10
=
j) 2 510 : 0,1
=
e) 23,7 : 100
=
k) 23,7 : 0,01
=
f) 0,52 : 1 000 =
€
97
l) 0,52 : 0,001 =
Stefanie en Ellen vergelijken het verbruik van hun auto. Stefanie kan met een tankbeurt van 36 liter 264 km rijden. Ellen kan 282 km rijden met een tank van 40 liter. Wie rijdt het voordeligst?
Antwoordzin:
1 2 3
R
98
Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. a)
7 14 : 8 24
=
e)
75 50 : = 35 28
b)
90 30 : = 60 45
f)
12 45 : = 15 30
c)
4 16 : = 13 39
g)
48 :4 3
12 16
h)
36 24 : = 85 17
4 5 6 7 8 9
=
10 11
d) 12 :
=
12 13
188
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
€
99
500 euro wordt verdeeld onder vier personen. Niels krijgt een vierde. Eva ontvangt een derde van wat er nog rest. Sarah en Youssef verdelen wat overblijft in twee gelijke delen. Hoeveel krijgen ze elk?
Antwoordzin:
€
100
Toen oom Tom vorig jaar won met de lotto, kregen zijn broer en zus elk een vijfde van zijn winst. Hij hield 4 500 euro voor zichzelf. Hoeveel won oom Tom?
Antwoordzin:
REEKS C 101
Een boom groeit elk jaar één meter. Jaarlijks wordt de boom voor een vijfde gesnoeid. Na de eerste snoeibeurt is de boom 1,5 m hoog. Hoe hoog zal de boom zijn na de vijfde snoeibeurt?
Antwoordzin:
102
Met welke breuk moet je
3 9 7 vermenigvuldigen om het quotiënt van en te verkrijgen? 8 14 28
Antwoordzin:
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
189
5.2.6 Volgorde van de bewerkingen Bereken (20 – 8) ⴢ 2 =
=
20 – (8 ⴢ 2) =
=
20 – 8 ⴢ 2
=
=
Het is duidelijk dat er weer enkele afspraken nodig zijn.
Afspraak
Volgorde van de bewerkingen 1) Bewerkingen tussen haakjes
( ), [ ]
2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts
ⴢ, :
3) Optellen en aftrekken van links naar rechts
⫹, ⫺
Voorbeelden a) 2 ⴢ 6 + 3 ⴢ 5
= =
b) 2 ⴢ (6 + 3) ⴢ 5
= =
c) 18 : [(17 + 4) : 7] = = = Opmerking 1 2
Als er in de teller (of in de noemer) van een breuk meerdere bewerkingen voorkomen, dan moet je ze beschouwen als bewerkingen die tussen haakjes staan.
3 4 5
(2 ⴢ 3 + 8) 2ⴢ3+8 = = 2 ⴢ (4 + 3) 关2 ⴢ (4 + 3)兴
6 7
REKENMACHINE
8 9
Bereken 251,3 ⴢ (562,3 − 69,8) =
10 11 12 13
190
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
Oefeningen REEKS A 103
Bereken. a) 12 – 6 : 3
h) 2 ⴢ 3 + 5
o) 100 : (20 ⴢ 5)
b) 24 : 4 + 4
i) 2 ⴢ (3 + 5)
p) 2 ⴢ 3 ⴢ (18 : 9)
c) 40 – 3 ⴢ 8
j) (12 – 3) ⴢ 3
q) 10 ⴢ (2,5 + 3,7)
d) 7 ⴢ 2 − 4
k) 4 ⴢ (5 + 3 + 8)
r) (0,2 + 0,8) ⴢ (0,5 + 1)
e) 18 : 6 − 3
l) 40 : (24 – 14)
s) 36 : 2 – 18 : 3
f) 8 + 5 ⴢ 4
m) 100 : 20 ⴢ 5
t) 18,9 – 37 : 10
g) 6 −
1 3 ⴢ 2 4
n)
冉5 − 31 冊 ⴢ 27
=
u) 6 ⴢ
冉 冊 1 1 − 2 6
14 ⴢ 2 3 ⴢ 7
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
191
REEKS B
€
R
104
105
1
Voor haar verjaardag mag Karen met drie vriendinnen naar de bioscoop gaan. De tickets kosten € 7 per stuk. Ze koopt voor elk nog een cola (€ 2) en wat popcorn (€ 1,50). Hoeveel moet Karen betalen? Vink de goede antwoorden aan. ❐ 4 ⴢ 7 + 2 + 1,50
❐ 7 + 2 + 1,50 ⴢ 4
❐ 4 ⴢ 7 + 4 ⴢ 2 + 4 ⴢ 1,50
❐ (7 + 2 + 1,50) ⴢ 4
❐ 4 ⴢ (7 + 2 + 1,50)
❐ 7 + (2 + 1,50) ⴢ 4
Bereken. a) 9 ⴢ (12 – 9) : 3
e) 20 – 5 ⴢ 3 + 6
b) 2 + 3 ⴢ 12 : 4
f) 4 ⴢ 6 : 3 + 2 − 10
c) 5 ⴢ 2 + 27 : 3
g) 20 ⴢ 5 ⴢ (8 : 2) + 200 ⴢ 3
d) [3 + (4 − 2)] ⴢ (6 + 2)
h) 6 ⴢ (8 : 2 + 4)
2 3 4 5 6 7 8 9
106
Bereken. Rond af tot op drie cijfers na de komma. a) (32,93 – 18,9) ⴢ (207,38 + 15,36)
=
b) 32,93 + 18,9 ⴢ (207,38 + 15,36)
=
c) (32,93 − 18,9) ⴢ 207,38 + 15,36
=
10 11 12 13
192
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
R
107
Bereken. a) 4 ⴢ 12,5 + 2 ⴢ (6 : 0,2)
b)
冉 冊
2 1 2 3 − ⴢ ⴢ 3 4 3 16
=
108
c) (2,3 + 6,4 – 5,6) ⴢ 2
d)
5 ⴢ 2 ⴢ 3 12 ⴢ 3 ⴢ 16
冉 冊冉 冊 4 1 9 7 + − : 3 2 2 3
=
11 ⴢ 6 6 ⴢ 13
Bereken. a)
25 : 5 ⴢ 7 1 + 35 ⴢ 10 : 2 2
b)
38 + 2 ⴢ 8 2 ⴢ (5 + 4)
c)
48 − 3 ⴢ 8 1 − (18 − 9) ⴢ 6 6
REEKS C 109
Plaats voor, achter of tussen de getallen + , − , ⴢ of : om de berekening te laten kloppen. Plaats enkel haakjes waar nodig. a)
2
3
6
4
=
10
b)
5
7
2
6
=
1
c)
6
6
6
6
6
d)
5
5
5
5
5
6 =
=
31
31
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
193
5.2.7 Machten Tijdens de vakantie poetst Tim quads om een centje bij te verdienen. Maandag poetst hij twee quads. Het gaat steeds beter en sneller: elke dag verdubbelt het aantal quads dat hij kan poetsen. Hoeveel quads poetst hij op vrijdag?
Boer Teun moet zijn vierkante weide opmeten. Hij bepaalt nauwkeurig de zijde en meet 48,5 m. De oppervlakte van de weide bereken je door de zijde te vermenigvuldigen met zichzelf. Hoeveel vierkante meter bedraagt de oppervlakte van de weide?
2 ⴢ 2 ⴢ 2 ⴢ 2 ⴢ 2 = 32
48,5 ⴢ 48,5 = 2 352,25
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
Decimale getallen
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
Natuurlijke getallen
5 factoren
2 factoren 2
kun je kort schrijven als 48,5 = 2 352,25
5
kun je kort schrijven als 2 = 32 5
2
2 lees je als twee tot de vijfde (macht)
48,5 lees je als 48,5 tot de tweede (macht) of 48,5 kwadraat Nog enkele voorbeelden:
Nog enkele voorbeelden:
3
3
=
1,5
=
=
2
=
0,2 =
=
4 =4ⴢ4ⴢ4 3 =
4
Benamingen 6 3 = 216
6 noem je het grondtal 3 noem je de exponent 216 noem je de macht
Bijzondere machten
→
3
→
2
3
→
→
2
2
→
→
2
1
→
→
→
4 5
Voorbeeld:
17
De nulde macht van een getal is
Voorbeeld:
28 =
7 8
Opmerking
9
0 0 is niet te berekenen, want: 0 3 = 0
30 = 1
10
02 = 0
20 = 1
01 = 0
10 = 1
11
? 0
12 13
194
1
De eerste macht van een getal is
6
0 =0 0
?
≠
0
0 =1
Je verkrijgt een tegenspraak, dus 0 is niet te berekenen. HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
2
0
=
4
=
2
=
→
=
2
5
=
2
=
1
= 0
REKENMACHINE 3
1) Bereken 67 =
2
2) Bereken 34,25 =
Breuken
Werkwijze
a)
冉冊
b)
冉冊
2
3 4
2 5
=
3 3 ⴢ 4 4
=
9 16
=
32 42
3
=
=
=
Een breuk tot een macht verheffen Om een breuk tot een macht te verheffen,
Opmerking Als je een breuk tot een macht wilt verheffen, moet je de volledige breuk tussen haakjes zetten en de exponent erbuiten plaatsen. Als je geen haakjes gebruikt, slaat de exponent enkel op de teller van de breuk. Voorbeelden a)
冉冊 7 8
2
=
7 2 49 = 8 2 64
b)
7 2 49 = 8 8
Volgens een oud verhaal wilde de Indiase koning Shirham de uitvinder van het schaakbord, Sissa ben Dahir, rijkelijk belonen voor zijn uitzonderlijke prestatie. Toen de koning hem vroeg welke beloning hij voor zijn uitvinding zou wensen, antwoordde de slimme Sissa: “Majesteit, geef me één graankorrel om op het eerste vakje te leggen, twee om op het tweede vakje te leggen, vier om op het derde vakje te leggen, acht om op het vierde vakje te leggen, en laat mij zo, o koning, elk van de vierenzestig vakjes van het schaakbord bedekken.” De koning was verbaasd over zo’n bescheiden verzoek, niet meer dan een handvol graan voor zo’n geweldige uitvinding! Stomverbaasd was hij toen de hofgeleerden hun berekeningen voorlegden ... 0 Op het eerste vakje ligt 1 korrel of 2 , 1 op het tweede vakje liggen 2 korrels of 2 , 2 op het derde vakje liggen 4 korrels of 2 , 3 op het vierde vakje liggen 8 korrels of 2 enzovoort. 63 Op het 64e en laatste vakje zouden dus 2 of 9 223 372 036 854 775 808 graankorrels moeten liggen. Voor alle 64 vakjes samen komt dat op een totaal van 18 446 744 073 709 551 615 graankorrels. Koning Shirham liet de dolgelukkige Sissa ben Dahir dan maar trouwen met zijn dochter, de prinses. En ze leefden nog lang en gelukkig ...
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
195
Oefeningen REEKS A 110
Bereken telkens het kwadraat. a) 0 b) 1
111
2
2
=
f) 5
2
=
k) 10
2
=
g) 6
2
=
l) 11
2
=
m) 12
2
=
=
2
=
c) 2
2
=
h) 7
d) 3
2
=
i) 8
2
=
n) 13
2
=
e) 4
2
=
j) 9
2
=
o) 14
2
=
3
=
e) 5,2
4
=
f) 0,1
=
k) 10
=
l) 456
=
m) 4
Bereken. a) 0,6
2
=
c) 2,5
b) 0,2
2
=
d) 1,3
3
=
5
=
REEKS B 112
1
Bereken. a) 48
0
=
f) 0
b) 26
1
=
g) 1
5
8
c) 5
2
=
h) 10
3
d) 2
3
=
i) 3
3
=
n) 1
e) 3
4
=
j) 2
4
=
o) 5
3
5
= 1
= =
4
=
3
=
2 3 4 5 6 7
113
Twee judoploegen van telkens zeven judoka’s moeten elkaar bekampen tijdens een toernooi. Hoeveel kampen moeten er plaatsvinden als elke judoka van de ene ploeg tegen elke judoka van de andere ploeg moet uitkomen? Noteer je berekening.
8 9 10 11 12
Antwoordzin:
13
196
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
114
Bereken. a) b)
115
116
2 3
冉冊 冉冊
2
=
c)
=
d)
1 5
3
7 9
冉冊 冉冊
3
=
e)
=
f)
1 2
2
2 5
5
= 2
=
Bereken links, bereken rechts. Vul in met <, > of =. a)
2
3
3
2
b)
8
0
0
6
c)
0,01
2
冉冊 1 10
d)
27
1
3
3
e)
4
2
2
4
f)
冉冊
3
1 5
2
0,5
2
Bereken. a)
b)
117
冉冊 冉冊 3 4
冉冊 冉冊 2 8
8 14
=
c)
冉冊
=
d)
82 4
3
2
4 6
4
=
e)
62 18
=
f)
冉冊 6 18
= 2
=
Bereken. Antwoord telkens met een getal en in woorden. a) 10 0
=
=
b) 10 1
= 10
= tien
c) 10 3
=
=
d) 10 6
=
=
e) 10 9
=
=
f) 10 12
=
=
REEKS C 118
Zoek een natuurlijk getal dat tussen 0 en 10 ligt en waarvan het dubbel de helft is van zijn kwadraat.
Antwoordzin:
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
197
5.2.8 Vierkantswortels Natuurlijke getallen
Decimale getallen
Axel houdt van kampen bouwen. Samen met enkele vrienden wil hij een vierkant kamp maken. 2 Het moet een oppervlakte hebben van 16 m . Hoe groot moet de zijde van het kamp zijn om die oppervlakte te verkrijgen?
Vader wil een nieuwe douchecabine installeren. De vierkante douchebak heeft een oppervlakte 2 van 0,64 m . Hoeveel meter bedraagt de zijde van de douchebak?
冪16 = 4
冪0,64 = 0,8 2
omdat 0,64 = 0,8
冪16 lees je als
冪0,64 lees je als
de vierkantswortel van 16
de vierkantswortel van 0,64
omdat 16 = 4
Nog enkele voorbeelden:
Nog enkele voorbeelden:
冪81 =
omdat 81 =
冪0,25 =
omdat 0,25 =
冪36 =
omdat 36 =
冪1,21
omdat 1,21 =
=
Benamingen 冪16 = 4
16 noem je het grondtal 冪 noem je het wortelteken 4 noem je de vierkantswortel
1 2
Bijzondere vierkantswortels
3
冪1 =
omdat 1 =
4 5
REKENMACHINE 6 7
Bereken 冪3 136 =
8 9 10
Bereken 冪349,69 =
11 12 13
198
2
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
en
冪0 =
omdat 0 =
Breuken
冑
9 3 = omdat 16 4
Werkwijze
冉冊 3 4
2
=
9 . 16
Dat is hetzelfde als
冑
9 冪9 3 = . = 16 冪16 4
Vierkantswortel van een breuk Om de vierkantswortel van een breuk te nemen,
Voorbeelden a)
冑
b)
冑
c)
冑
49 = 64 36 = 100 27 = 12
Opmerking Als je de vierkantswortel van een breuk wilt nemen, moet je de volledige breuk onder het wortelteken zetten. Als je dat niet doet, slaat het wortelteken enkel op de teller van de breuk. Voorbeelden a)
冑
16 冪16 4 = = 25 冪25 5
b)
冪16
25
=
4 25
REKENMACHINE Bereken
Bereken
冑
169 = 64
冪169
64
=
Het symbool 冪 komt voor het eerst voor in 1525 in het wiskundeboek ‘Die Coss’ van Christoff Rudolff. Volgens sommige geschiedkundigen heeft Rudolff het symbool 冪 aangenomen als wortelteken omdat het op de letter r gelijkt, de eerste letter van het Latijnse woord ‘radix’, dat wortel betekent.
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
199
Oefeningen REEKS A 119
120
Bereken. a) 冪81
=
d) 冪0
=
g) 冪100 =
b) 冪64
=
e) 冪144 =
h) 冪49 =
c) 冪9
=
f) 冪36 =
i) 冪4
Bereken. a) 冪134 689
=
c)
b) 冪2 992,09 =
d)
冑
=
1 296 = 5 184
冪1 024
16
=
REEKS B 121
Bereken.
a)
冑
=
c)
冑
=
e)
冑
b)
冑
=
d)
冑
=
f)
冑
144 = 169
d)
=
g)
=
h)
=
i)
4 25 81 64
16 49 16 81
49 = 100 36 = 121
1 2
122
Bereken.
3 4
a)
5 6 7
b)
8 9 10
c)
冑 冑
63 7
冑
=
e)
147 = 3
f)
11 12 13
200
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
冪81
36 冪225
225 18 冪64
冪25
49
冑
0 8
冪121
11
=
=
=
5.2.9 Volgorde van de bewerkingen Ook machten en vierkantswortels krijgen hun plaats in de volgorde van de bewerkingen.
Afspraak
Volgorde van de bewerkingen 1) Bewerkingen tussen haakjes
( ), []
2) Machten en vierkantswortels
a , 冪a
3) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts
ⴢ, :
4) Optellen en aftrekken van links naar rechts
+, −
n
Voorbeelden a) 2 + 3
c) 2 3 : 冪16
3
=
=
=
=
b) 2 ⴢ (3 2 + 4 ⴢ 2 0)
d)
3 2 + 5 ⴢ (2 + 3) 22 − 4 : 2
=
=
=
=
=
=
=
= =
Opmerking Bij het vierkantswortelteken moet alles wat onder het wortelteken staat, eerst uitgewerkt worden alsof het tussen haakjes staat. 冪7 ⴢ 4 + 8
= = =
REKENMACHINE Bereken 2 3 + ( 冪36 − 4) =
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
201
Oefeningen REEKS A 123
Bereken. a) 2 2 ⴢ 5 2
2
b) 6 : 4
3
c) 2 − 2
d)
2
2
+
i) 冪36 + 3
f) (2 + 5) 2
j) 冪26 − 1
g) 25 : 5
冉冊 冉冊 1 2
e) 4 0 ⴢ 5 1
2 3
2
h) 7 − 3
2
k) (27 : 9) 3
冑
81 16
l) 3 ⴢ
REEKS B 124
1 2
Deze oefeningen zijn foutief opgelost. Duid de fouten aan. Bereken daarna op de correcte manier. fout
correct
a) 6 + 3 ⴢ 8 =9ⴢ8 = 72
6+3ⴢ8 = =
3 4 5 6
b) 2 + 共3 + 4兲 2 = 2 + (3 + 16) = 2 + 19 = 21
9 10 11
c) 12 + 7 2 ⴢ 3 − 6 = 12 + 14 ⴢ 3 − 6 = 26 ⴢ 3 − 6 = 78 – 6 = 72
12
=
2
12 + 7 ⴢ 3 − 6 = = = =
13
202
=
=
7 8
2 + 共3 + 4 兲 2
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
冑
16 9
R
125
Bereken. a) 4 : 8 + 8
f) 6 2 + 7 ⴢ 冪4
b) 6 ⴢ (20 − 2 3)
g) (3 2 + 2 2) 2
2
c) 4 : 2 ⴢ 4
h) 冪5 2 + 3 ⴢ 8
d) (2 + 3 ⴢ 1) 3
i) 冪2 ⴢ 3 + 5 ⴢ 6
e) (7 2 − 5) : 2
j) 2 4 : (2 3 : 4)
2
126
Bereken. Rond af tot op drie cijfers na de komma. a) (0,5) 2 + 0,23 ⴢ (0,97 + 1,6) =
d) 1,6 2 + 1,3 2 ⴢ (0,3 + 2 3)
=
b) (12,72 ⴢ 0,4) 2 − 0,22
=
e) (2,5 − 1,03) 2 + 16,337
=
=
f) 16 3 − (2,4 ⴢ 3 2)
=
3
c) 3,6 : 0,38 – 5,4
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
203
127
Bereken. a)
冑
b)
冉 冊 冉 冊
16 1 − 25 3
12 36
3
+
5 1 − 9 3
c)
冉
冊
d)
冉 冑冊
10 17 冪 11 − ⴢ 64 + 3 6 4
4 − 3
1 4
2
REEKS C 128
1
Zoek tien verschillende bewerkingen met vier cijfers. Gebruik in elke bewerking enkel het cijfer 4. Zorg ervoor dat de uitkomst telkens een ander getal van 0 tot en met 9 is. Het gebruik van haakjes is natuurlijk toegelaten. 0 =
2
1
3
2 =
(4 ⴢ 4) – (4 ⴢ 4)
=
4
3 = 5 6
4 =
7
5 =
8
6 =
9
7
=
10 11
8 =
12
9 =
13
204
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
5.3
Rekentechnieken
5.3.1 Wisselen De optelling en de aftrekking Vul in met = of ≠.
Besluit
+
+
4−3
3−4
2,5 + 0,7
0,7 + 2,5
2,5 − 0,7
0,7 − 2,5
1 1 + 2 3
1 1 + 3 2
1 1 − 2 3
1 1 − 3 2
a+b
b+a
a−b
b−a
Wisselen bij de optelling Bij de optelling mag je de termen van plaats wisselen zonder dat het resultaat verandert. In symbolen:
De vermenigvuldiging en de deling Vul in met = of ≠.
Besluit
8:2
2:8
4 ⴢ 0,5
0,5 ⴢ 4
0,1 : 10
10 : 0,1
3 1 ⴢ 4 2
1 3 ⴢ 2 4
3 1 : 4 2
1 3 : 2 4
aⴢb
bⴢa
a:b
b:a
Wisselen bij de vermenigvuldiging Bij de vermenigvuldiging mag je de factoren van plaats wisselen zonder dat het resultaat verandert. In symbolen:
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
205
5.3.2 Schakelen Je leerkracht verdeelt de klas in drie groepen. Elke groep berekent de voor hen bestemde opgaven. groep 1
Besluit
groep 2
groep 3
4+8+3=
(4 + 8) + 3 =
4 + (8 + 3) =
8–4–2=
(8 – 4) – 2 =
8 – (4 – 2) =
6,2 ⴢ 5 ⴢ 2 =
(6,2 ⴢ 5) ⴢ 2 =
6,2 ⴢ (5 ⴢ 2) =
24 : 6 : 2 =
(24 : 6) : 2 =
24 : (6 : 2) =
Schakelen Bij de optelling en de vermenigvuldiging mag je de haakjes van plaats veranderen zonder dat het resultaat verandert. Die eigenschap heet schakelen. In symbolen:
Opmerking De eigenschappen ‘wisselen’ en ‘schakelen’ kun je handig gebruiken bij het hoofdrekenen.
1
• 428 + 143 = 400 + 20 + 8 + 100 + 40 + 3 = (400 + 100) + (20 + 40) + (8 + 3) = 500 + 60 + 11 = 571
2 3 4 5 6
• 25 ⴢ 24 = 25 ⴢ (4 ⴢ 6) = (25 ⴢ 4) ⴢ 6 = 100 ⴢ 6 = 600
7 8 9 10 11 12
• 16 + 35 + 14 = 16 + 14 + 35 = (16 + 14) + 35 = 30 + 35 = 65
13
206
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
5.3.3 Verdelen
campingweg
Op deze camping zijn de plaatsen netjes in twee groepen verdeeld, links en rechts van de campingweg.
3
+
4
2
Het aantal beschikbare plaatsen kun je op twee manieren berekenen. manier 1
manier 2
4 ⴢ (3 + 2) plaatsen = 4 ⴢ 5 plaatsen = 20 plaatsen
4 ⴢ 3 plaatsen + 4 ⴢ 2 plaatsen = 12 plaatsen + 8 plaatsen = 20 plaatsen
Je kunt dus besluiten dat 4 ⴢ (3 + 2) = 4 ⴢ 3 + 4 ⴢ 2. Die eigenschap heet verdelen.
Op dezelfde manier kun je afleiden dat 4 ⴢ (3 − 2) = 4 ⴢ 3 − 4 ⴢ 2
Besluit
Verdelen De vermenigvuldiging mag je verdelen over de optelling (en de aftrekking). In symbolen: a ⴢ (b + c) = a ⴢ (b – c) =
Opmerking Die eigenschap kun je handig gebruiken bij splitsen en verdelen bij hoofdrekenen. 17 ⴢ 12 = 17 ⴢ (10 + 2) = 17 ⴢ 10 + 17 ⴢ 2 = 170 + 34 = 204 25 ⴢ 19 =
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
207
Oefeningen REEKS A 129
130
Vink de toegepaste eigenschap aan. wisselen
schakelen
verdelen
a) 3 ⴢ 7 = 7 ⴢ 3
❒
❒
❒
b) 8 + (9 + 10) = (8 + 9) + 10
❒
❒
❒
c) 2 ⴢ (3 + 5) = 2 ⴢ 3 + 2 ⴢ 5
❒
❒
❒
d) (16 – 2) ⴢ 5 = 16 ⴢ 5 – 2 ⴢ 5
❒
❒
❒
e) 8 + 7 = 7 + 8
❒
❒
❒
f) 26 ⴢ 1 = 1 ⴢ 26
❒
❒
❒
g) (18 ⴢ 7) ⴢ 3 = 18 ⴢ (7 ⴢ 3)
❒
❒
❒
h) (6 + 5) ⴢ 7 = 6 ⴢ 7 + 5 ⴢ 7
❒
❒
❒
Gebruik de eigenschappen om de volgende oefeningen eenvoudig te berekenen. a) 2 ⴢ 7 ⴢ 5
=
b) 12 + 6 + 8 + 14
=
c) 13 ⴢ 7
=
d) 19 ⴢ 8
=
REEKS B 131
Toon met de getallen 15 en 7 aan dat je bij een aftrekking niet mag wisselen.
132
Toon met de getallen 16, 8 en 4 aan dat je bij een aftrekking niet mag schakelen.
133
Bereken 16 ⴢ (5 + 3) op twee verschillende manieren.
1 2 3 4 5 6 7
manier 1
8
manier 2
9 10 11
134
Toon met de getallen 8, 7 en 5 aan dat je de vermenigvuldiging mag verdelen over de aftrekking.
12 13
208
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
R
135
136
137
R
138
Bereken door handig gebruik te maken van de eigenschappen. a) 50 + 37 + 23
= 50 + (37 + 23) = 50 + 60 = 110
b) 27 + 38 + 23
=
c) 18 + 67 + 12 + 33
=
d) 37 + 25 + 43 + 15
=
e) 5 ⴢ 21 ⴢ 2
= 21 ⴢ 5 ⴢ 2 = 21 ⴢ (5 ⴢ 2) = 21 ⴢ 10 = 210
f) 25 ⴢ 6 ⴢ 4 ⴢ 2
=
g) 8 ⴢ 56 ⴢ 125
=
h) 4 ⴢ 2 ⴢ 6 ⴢ 125
=
Bereken door handig gebruik te maken van de eigenschappen. a) 5 ⴢ 12 ⴢ 9
= 5 ⴢ 2 ⴢ 6 ⴢ 9 = 10 ⴢ 54 = 540
b) 16 ⴢ 75
=
c) 32 ⴢ 125 ⴢ 2
=
d) 24 ⴢ 8 ⴢ 25
=
Vink de toegepaste eigenschap aan. wisselen
schakelen
verdelen
a) x + y = y + x
❒
❒
❒
b) m ⴢ (q ⴢ p) = (m ⴢ q) ⴢ p
❒
❒
❒
c) a ⴢ c + b ⴢ c = (a + b) ⴢ c
❒
❒
❒
d) r ⴢ (s – t) = r ⴢ s – r ⴢ t
❒
❒
❒
e) a ⴢ 7 = 7 ⴢ a
❒
❒
❒
Bereken met de verdeeleigenschap. a) 5 ⴢ (10 + 7)
=
b) (80 – 3) ⴢ 6
=
c) 3 ⴢ (70 + 5)
=
d) (20 − 3) ⴢ 4
=
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
209
R
139
Los op door splitsen en verdelen. a) 42 ⴢ 9
= 42 ⴢ (10 – 1) = 420 – 42 = 378
b) 45 ⴢ 11
=
c) 8 ⴢ 98
=
d) 199 ⴢ 7
=
e) 127 ⴢ 8
=
REEKS C 140
141
Los op door splitsen en verdelen. a) 17 ⴢ 2,99
=
b) 23 ⴢ 1,02
=
c) 32 ⴢ 3,98
=
d) 41 ⴢ 5,01
=
e) 27 ⴢ 3,03
=
Bereken met de verdeeleigenschap.
冉21 + 43 冊 = 2 3 b) 冉 + 冊 ⴢ 20 = 5 2 5 5 c) 12 ⴢ 冉 − 冊 = 4 6 7 d) 冉7 − 冊 ⴢ 9 = 3 a) 8 ⴢ
1 2 3 4 5
冉87 − 65 冊 ⴢ 48 = 2 5 f) 18 ⴢ 冉 + 冊 = 3 6 9 3 g) 冉 + 冊 ⴢ 56 = 14 4 6 2 h) 35 ⴢ 冉 − 冊 = 7 5 e)
6 7
142
Bereken met de verdeeleigenschap. De letters stellen positieve getallen voor.
8 9 10
a) 3 ⴢ (a + b)
=
d) (2f – 3) ⴢ 4
b) 6 ⴢ (k – 7)
=
e) 8 ⴢ (7a + 2b) =
c) (g + 13) ⴢ 5
=
f) (2x – 5y) ⴢ 9 =
=
11 12 13
210
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
STUDIEWIJZER Rekenen met positieve getallen voor de leerling
5.1 De positieve rationale getallen KENNEN
voor de leerkracht
−
+ −
+
−
+ −
+
−
+ −
+
−
+ −
+
−
+ −
+
−
+ −
+
Een positief rationaal getal is het resultaat van een deling van twee natuurlijke getallen, waarbij het tweede getal niet 0 is. Gelijknamige breuken zijn breuken met eenzelfde noemer.
KUNNEN Breuken vereenvoudigen. Breuken gelijknamig maken. Procenten omzetten in onvereenvoudigbare breuken. Een breuk omzetten naar de decimale schrijfwijze. Een decimale schrijfwijze omzetten naar de breukvorm. Getallen passend afronden. De rekenmachine passend gebruiken.
5.2 Bewerkingen met positieve rationale getallen KENNEN De volgorde van de bewerkingen: 1) Bewerkingen tussen haakjes 2) Machten en vierkantswortels 3) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 4) Optellen en aftrekken van links naar rechts
( ), [ ] a n, 冪a ⴢ, : +, −
KUNNEN De gepaste benamingen (som, termen, factoren ...) hanteren. Resultaten van bewerkingen schatten. Bewerkingen met natuurlijke, decimale getallen en breuken uitvoeren. Een rekenmachine passend gebruiken. De volgorde van de bewerkingen toepassen. Vraagstukken oplossen met behulp van de bewerkingen.
5.3 Rekentechnieken KENNEN Bij de optelling mag je de termen van plaats wisselen zonder dat het resultaat verandert. a+b=b+a Bij de vermenigvuldiging mag je de factoren van plaats wisselen zonder dat het resultaat verandert. aⴢb=bⴢa Bij de optelling en de vermenigvuldiging mag je de haakjes van plaats veranderen zonder dat het resultaat verandert. Die eigenschap heet schakelen. (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c (a ⴢ b) ⴢ c = a ⴢ (b ⴢ c) = a ⴢ b ⴢ c De vermenigvuldiging mag je verdelen over de optelling (en de aftrekking). a ⴢ (b + c) = a ⴢ b + a ⴢ c a ⴢ (b − c) = a ⴢ b − a ⴢ c
KUNNEN De eigenschappen wisselen, schakelen en verdelen gebruiken bij hoofdrekenen.
Pienter Rekenen HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
211
Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? concreet materiaal
filter
schets
patroon
schema/tabel
kennis
vereenvoudig
logisch nadenken
gok verstandig g
eide wer wil zijn w palen 1. Een landbou rvoor moet hij omheinen. Daa zelfde ij overal op de plaatsen die h kaar wil. afstand van el die hij ootste afstand a) Wat is de gr ssen de palen? kan nemen tu len b) Hoeveel pa
2. Een tuin is rechthoekig en meet 30 m op Als ik met een 12 m. grasmaaier va n 30 cm maaibreedte w erk, hoeveel m eter moet ik da meer aeggen n dan wanneer ik met een grasmaaier va n 40 cm zou w erken?
odig?
heeft hij dan n
42 m 24 m
18 m 66 m
1 2 3 4 5 6
kluisjessysteem ert een nieuw le al st in l o oo h voor 4. De sc merde kluisjes m u n ge rd de jn dicht. met hon Alle kluisjes zi . n ge lin er le spreken honderd gebruikname in n va g da te Op de eers lgende af: erlingen het vo le rd de on h de jes openen. g zal alle kluis lin er le te rs ee De n veelvoud zijn kluisjes die ee de l za de ee uiten of wat De tw (wat open is sl n le se is w om van 2, ). 3. In een ondo voud zijn dicht is openen orzichtige doos jes die een veel is u kl le al l za zi e tten vijf zwarte balle De derd n en vijf witte len. Enzovoort. balleen eest zijn, a) Hoeveel ba n . van 3, omwisse gen langs gew llen moet ik er lin er le rd de blindelings uit zijn? Als alle hon halen om min zullen dan open s je is u kl el st ve en n s twee ballen va hoe n dezelfde kleu r te hebben?
7 8 9 10
b) Hoeveel ba llen moet ik er blindelings uit halen om min stens twee ballen va n een verschillende kleur te hebbe n?
11 12 13
212
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
6.1
Camerastandpunten en aanzichten
6.2 Vlakke voorstelling van ruimtefiguren 6.3 Europese projectie Studiewijzer Pienter problemen oplossen
₂₁₄ ₂₂₂ ₂₃₂ ₂₃₇ ₂₃₈
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
213
6.1
Camerastandpunt en aanzichten Je fotografeert een beer vanuit verschillende camerastandpunten. Zo krijg je verschillende aanzichten van de beer.
1
Hiernaast zie je het bovenaanzicht van de beer.
2
6
3
5 4
Noteer bij elke foto hieronder het nummer van de camera waarmee de foto genomen is.
camera
camera
camera
camera
camera
camera
De meest gebruikte aanzichten zijn het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht. vooraanzicht
bovenaanzicht
linkerzijaanzicht
1 2 3 4 5 6
Teken het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht van de blokkenstapeling. Houd rekening met de kleur van de blokken. De pijl duidt het vooraanzicht aan.
7 8 9 10 11 12 13
214
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
Oefeningen REEKS A 1
Noteer bij elk beeld het nummer van de camera waarmee het beeld is gemaakt.
a) 6
1
5
2
4
3
camera
b) c)
camera
2
camera
Vul in. Kies uit vooraanzicht, bovenaanzicht en linkerzijaanzicht. a)
b)
c)
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
215
3
Duid van de blokkenstapeling het passende vooraanzicht, bovenaanzicht en linkerzijaanzicht aan. vooraanzicht
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
bovenaanzicht
❒ linkerzijaanzicht
❒
4
1
Teken van elke blokkenstapeling het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht. Houd rekening met de kleur van de blokken. a)
vooraanzicht
bovenaanzicht
linkerzijaanzicht
b)
vooraanzicht
bovenaanzicht
linkerzijaanzicht
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
216
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
REEKS B 5
6
Kobe neemt een foto van zijn vrienden. Duid de foto aan die door Kobe is genomen.
a) ❒
c) ❒
b) ❒
d) ❒
Vink het juiste grondplan van het huis aan.
a) ❒
b) ❒
c) ❒
d) ❒
e) ❒
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
217
7
Je rijdt de wijk binnen via ingang A. Met welke ingang, 1 tot en met 9, op het grondplan komt ingang A overeen? 3
→
2
→
→
1
9→
→
4
→
5
7
A
→
→
→
8→
6
Ingang A komt overeen met ingang
8
op het grondplan.
Teken van elke blokkenstapeling het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht. Houd rekening met de kleur van de blokken. a)
vooraanzicht
bovenaanzicht
linkerzijaanzicht
b)
vooraanzicht
bovenaanzicht
linkerzijaanzicht
vooraanzicht
bovenaanzicht
linkerzijaanzicht
1 2 3 4
c) 5 6 7 8 9 10 11 12 13
218
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
9
Welk huis hoort bij het gegeven vooraanzicht?
a) ❒
b) ❒
10
c) ❒
d) ❒
Op het bovenaanzicht van de auto zijn een aantal onderdelen genummerd. Plaats die nummers bij het overeenkomstige onderdeel op de andere aanzichten van de auto.
1 2
8 7
3
6
4 5
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
219
11
Van een klein appartementsgebouw met vijf flats vind je hieronder de plattegronden. De gelijkvloerse en de eerste verdieping zijn identiek.
gelijkvloerse en eerste verdieping
L
tweede verdieping
M N
P
O
A
C
B
D Q
leefruimte J I
E
R
F
leefruimte
K leefruimte S
H schaal 1 : 200 schaal 1 : 200
a) Van welk appartementsgebouw zijn hierboven de grondplannen getekend?
1 2 3
❒
❒
❒
❒
4 5
b) Er moeten nog een aantal metingen gebeuren op het plan. op plan
6
in werkelijkheid
7 8 9
• De lengte van de keukenmuur [AB]:
=
mm
• De lengte van de slaapkamermuur [LM]:
=
mm
• De hoek C— D E van het dakgebinte:
=
º
10 11 12 13
220
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
12
Met welke toren op het grondplan komt de rode toren overeen?
2 1
3
6 7
5
4
10 8
9
11
De rode toren komt overeen met toren
op het grondplan.
REEKS C 13
Schets het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht van het nestkastje. bovenaanzicht
14
linkerzijaanzicht
vooraanzicht
Duid het juiste vooraanzicht aan van de blokkenstapeling waarvan het bovenaanzicht gegeven is.
bovenaanzicht
a) ❒
c) ❒
b) ❒
d) ❒
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
221
6.2
Vlakke voorstelling van ruimtefiguren
6.2.1 Inleiding Het is mogelijk om voorwerpen en figuren zodanig weer te geven in een plat vlak dat ze driedimensionaal lijken. Bij deze weergave worden ruimte en diepte gesuggereerd. Deze vlakke voorstelling van ruimtefiguren noem je perspectief.
6.2.2 Soorten perspectief P
Eénvluchtpuntperspectief Bij éénvluchtpuntperspectief lopen alle vluchtlijnen naar een denkbeeldig punt (P). Het voorvlak is naar de kijker gericht.
Isometrisch perspectief Bij isometrisch perspectief worden alle vluchtlijnen getekend onder een hoek van 30º ten opzichte van de horizon. De vluchtlijnen zijn evenwijdig. De vluchtlijnen teken je op ware grootte.
1
Een opstaande ribbe is naar de kijker gericht.
2 3
30°
30°
4 5
Cavalièreperspectief Bij een cavalièreperspectief worden alle vluchtlijnen getekend onder een hoek van 45º ten opzichte van de horizon. De vluchtlijnen zijn evenwijdig. De vluchtlijnen worden getekend met een verkortingsfactor 0,5.
6 7 8 9 10
45°
11
Het voorvlak is naar de kijker gericht.
12 13
222
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
6.2.3 Het cavalièreperspectief wijkhoek (45°)
Bij een cavalièreperspectief bekijk je het lichaam recht op een zijvlak.
onzichtbare ribben in streepjeslijnen
Om diepte te suggereren, teken je de andere zichtbare vlakken onder een wijkhoek van 45º. De ribben van die vlakken teken je met verkortingsfactor 0,5. Gevolgen:
vluchtlijn met verkortingsfactor 0,5 ten opzichte van de werkelijke lengte
• Evenwijdige lijnen stel je evenwijdig voor. • Evenwijdige lijnstukken die even lang zijn, stel je als even lange lijnstukken voor. Afspraak: Onzichtbare ribben stel je met streepjeslijnen voor.
Voorbeeld Vul de voorstelling in cavalièreperspectief van een kubus met een ribbe van 4 cm aan. Het voorvlak van de kubus is al getekend.
Perspectief De eerste sporen van perspectief treffen we aan in de Griekse oudheid, rond 500 voor Christus. De Oude Grieken brengen dan al perspectieftekeningen op hun vazen aan. Ook de Romeinen beheersen de techniek van het perspectieftekenen. Maar met de ondergang van het Romeinse Rijk gaat de techniek een tijd verloren. Perspectief wordt als bedrieglijk omschreven. Pas in de renaissance (vijftiende eeuw) grijpen een aantal architecten terug naar het perspectieftekenen. De Italianen Filippo Brunelleschi (1377−1446) en Leon Battista Alberti (1407−1472) leggen de basis. Zij stellen een aantal regels voor perspectieftekenen op. De term ‘cavalièreperspectief⬘ komt van het Franse ‘cavalier⬘. Bij militaire versterkingen is ‘cavalier⬘ een kunstmatige heuvel achter bouwwerken. De heuvel is hoger dan de bouwwerken, zodat men de vijand in aantocht kan zien. Het cavalièreperspectief is een voorstelling van hoe men de dingen ziet van op die heuvel.
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
223
Oefeningen REEKS B 15
16
In welk perspectief is de ruimtefiguur getekend? a)
c)
e)
b)
d)
f)
Welke gele lijn is het langst op de foto? Bepaal je antwoord eerst zonder te meten. Controleer daarna het antwoord door meting. a) Welke lijn lijkt het langst?
❒ lijn 1
2
❒ lijn 2
b) Meten van de lijnen:
1 1
• lijn 1:
mm
• lijn 2:
mm
2 3 4 5
17
Door even grote kubussen te stapelen, kun je de constructies verkrijgen. Hoeveel kubusjes worden gebruikt? a)
b)
c)
aantal kubussen:
aantal kubussen:
aantal kubussen:
6 7 8 9 10 11 12 13
224
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
18
Bepaal de werkelijke lengte, breedte en hoogte van de balken, die in cavalièreperspectief getekend zijn. a)
19
b)
• lengte:
mm
• lengte:
mm
• breedte:
mm
• breedte:
mm
• hoogte:
mm
• hoogte:
mm
Het kastje is getekend in cavalièreperspectief op schaal 1 : 25. Bepaal de gevraagde afmetingen in werkelijkheid. a) hoogte van een poot van het kastje
b) lengte van een poot van het kastje
c) hoogte van het kastje (met poten)
d) lengte van de lade
20
Vervolledig de ruimtefiguren in cavalièreperspectief. a)
b)
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
225
21
Maak een schets in cavalièreperspectief van de afgebeelde voorwerpen. afbeelding
voorbeeld
schets
a)
b)
c)
1
REEKS C
2 3 4
22
Schets het cavalièreperspectief van de gegeven figuren. a) een kubus
5 6 7 8 9 10 11 12 13
226
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
b) een balk
c) een balk die twee keer zo hoog als breed is
R
23
Schets het kastje in cavalièreperspectief.
24
Teken de ruimtefiguur in cavalièreperspectief. a) kubus met ribbe 3 cm
25
b) balk met lengte 4 cm, breedte 3 cm en hoogte 2 cm
Bepaal het minimale en maximale aantal blokken dat mogelijk is in de stapeling. a)
b)
• minimaal aantal blokken:
• minimaal aantal blokken:
• maximaal aantal blokken:
• maximaal aantal blokken:
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
227
26
Een balkvormig appartementsgebouw heeft een hoogte van 40 m, een lengte van 24 m en een breedte van 20 m. Maak een voorstelling van de wolkenkrabber in cavalièreperspectief op schaal 1 : 1 000.
27
Schets een blokkenstapeling, waarvan de aanzichten gegeven zijn, in cavalièreperspectief. vooraanzicht
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
228
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
bovenaanzicht
linkerzijaanzicht
6.2.4 Ruimtecoördinaten Ook in de ruimte kun je een oorsprong bepalen om een assenstelsel op te bouwen.
h (cm)
48 b (cm)
30
Bij het serverkastje hiernaast kies je de oorsprong zodat je drie assen kunt bepalen die de lengte (l), de breedte (b) en de hoogte (h) van het kastje aanduiden. Bepaal de afmetingen van het serverkastje aan de hand van de gegevens op de figuur.
60 l (cm) 0
• lengte
=
cm
• breedte
=
cm
• hoogte
=
cm
Met een 3D-assenstelsel kun je de coördinaat van een punt in de ruimte bepalen. Daarvoor gebruik je naast een x-as en een y-as ook een z-as.
z
A
1 1
x
y O
1
Een coördinaat van een punt bestaat uit drie getallen: • Het eerste coördinaatgetal of de x-coördinaat wordt afgelezen op de x-as. • Het tweede coördinaatgetal of de y-coördinaat wordt afgelezen op de y-as. • Het derde coördinaatgetal of de z-coördinaat wordt afgelezen op de z-as. Notatie: co (A) = (x, y, z) Bepaal de coördinaat van het punt A, dat getekend is in het assenstelsel hiernaast. co (A) = (
,
,
)
De techniek van coördinaten in de ruimte, ook wel 3D-coördinaten genoemd, wordt gebruikt bij neurochirurgie. Dat zijn operaties die op de hersenen worden uitgevoerd. Om moeilijk bereikbare plaatsen in de hersenen heel precies te kunnen aanduiden, maakt de chirurg een scan van de hersenen. Bij die scan wordt de positie aangegeven met coördinaten.
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
229
Oefeningen REEKS B 28
Bepaal de coördinaat van de punten die in het assenstelsel getekend zijn. a)
b)
z
z
B
D
A
F
1 1
1 y
C
O 1
1
x
29
O
y
E
1
x
• co (A) = (
,
,
)
• co (D) = (
,
,
)
• co (B) = (
,
,
)
• co (E) = (
,
,
)
• co (C) = (
,
,
)
• co (F) = (
,
,
)
Bepaal de coördinaten van de hoekpunten van de ruimtefiguren. z
a)
z
b) E
E
H
F
H
F
G
G 1 1
1
O
A
1 1
B
2 3
x
1
y
D
O
x
D
C
4
A 1
B
y
C
5
• co (A) = (
,
,
)
• co (A) = (
,
,
)
6
• co (B) = (
,
,
)
• co (B) = (
,
,
)
7
• co (C) = (
,
,
)
• co (C) = (
,
,
)
8
• co (D) = (
,
,
)
• co (D) = (
,
,
)
9
• co (E) = (
,
,
)
• co (E) = (
,
,
)
10
• co (F) = (
,
,
)
• co (F) = (
,
,
)
11
• co (G) = (
,
,
)
• co (G) = (
,
,
)
12
• co (H) = (
,
,
)
• co (H) = (
,
,
)
13
230
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
30
Op de speelplaats staat een speleobox: een grote balk verdeeld in hokjes met gangen waar je in het donker de weg naar de uitgang moet zoeken. Je legt een weg af door de hokjes van de speleobox. Het punt vooraan, bovenaan rechts van elk hokje heeft een coördinaat. Bepaal de coördinaat van het punt vooraan, bovenaan rechts van elk van de omschreven hokjes. z
y
x
a) Via de ingang kom je in het eerste hokje. b) Je kruipt 1 hokje naar de achterzijde toe. c) Nu ga je 2 hokjes naar boven. d) Je vervolgt je weg door 3 blokjes naar links te kruipen. e) Ten slotte kruip je nog 1 blokje naar voren toe.
REEKS C 31
Plaats de punten met de gegeven coördinaat in het assenstelsel. a) • A (2, 5, 3) • B (6, 1, 7) • C (0, 6, 1)
b) • D (1, 6, 3) • E (0, 0, 5) • F (5, 4, 7)
z
z
1 1
x
1 y
O
1
1
y O
1
x
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
231
6.3
Europese projectie Inleiding Een projectietekening is een tekening waarin je een driedimensionaal voorwerp weergeeft door verschillende aanzichten van dat voorwerp te tekenen. Bij de Europese projectie teken je het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht
ICT
vooraanzicht
linkerzijaanzicht
Een projectietekening Om een projectietekening te maken, ga je als volgt te werk.
vooraanzicht
bovenaanzicht
linkerzijaanzicht
bovenaanzicht
1
Kleurafspraken
2
• vooraanzicht: geel • bovenaanzicht: rood • linkerzijaanzicht: blauw
3 4 5
Werkwijze
6
Stap 1
7 8
Stap 2 Je tekent de dragers van de zijden van het vooraanzicht als hulplijnen voor het boven- en linkerzijaanzicht.
9
Stap 3 Onder het vooraanzicht teken je het bovenaanzicht.
10 11 12
Je tekent het vooraanzicht.
Stap 4 Je tekent de dragers van de horizontale zijden van het bovenaanzicht als hulplijnen voor het linkerzijaanzicht. Vanaf het punt waar die dragers de schuine lijn van het sjabloon snijden, teken je een verticale hulplijn naar boven. Stap 5 Je tekent het linkerzijaanzicht naast het vooraanzicht.
13
232
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
Probeer nu zelf Maak de projectietekening van de ruimtefiguur.
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
233
REEKS A 32
Slechts één projectietekening van de ruimtefiguur is juist. Duid de juiste projectietekening aan. a)
❑ b)
c)
❑
❑
33
Duid de juiste Europese projectie van de ruimtefiguur aan. b)
d)
1 2 3
❑
4
❑
5 6
a)
c)
e)
7 8 9 10 11 12
❑
13
234
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
❑
❑
REEKS B 34
Van welke ruimtefiguur is de Europese projectie getekend? b)
d)
❑
a)
c)
❑
35
❑ e)
❑
❑
Teken het ontbrekende aanzicht. Vul de namen van de aanzichten in.
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
235
REEKS C 36
Maak een projectietekening van de ruimtefiguren. Gebruik de Europese projectie. a)
b)
1
c)
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
236
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
STUDIEWIJZER Aanzichten en perspectieven voor de leerling
6.1 Camerastandpunten en aanzichten KUNNEN
voor de leerkracht
−
+ −
+
−
+ −
+
−
+ −
+
−
+ −
+
−
+ −
+
Het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht van een 3D-object herkennen. Vlakke voorstellingen van ruimtelijke situaties interpreteren. Het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht van een blokkenstapeling tekenen.
6.2 Vlakke voorstelling van ruimtefiguren KENNEN Perspectief is een vlakke voorstelling van ruimtefiguren waarbij je ruimte en diepte suggereert. Soorten perspectief: éénvluchtpuntperspectief, isometrisch perspectief, cavalièreperspectief.
KUNNEN Ruimtefiguren vanuit perspectieven onderscheiden. Soorten perspectieven onderscheiden. Perspectieven van ruimtefiguren interpreteren. Een kubus en een balk in cavalièreperspectief voorstellen. Punten in de ruimte door middel van ruimtecoördinaten bepalen.
6.3 Europese projectie KENNEN Een projectietekening is een tekening waarin je een driedimensionaal voorwerp weergeeft door verschillende aanzichten van dat voorwerp te tekenen. Kleurafspraken bij de Europese projectie: • vooraanzicht: geel, • bovenaanzicht: rood, • linkerzijaanzicht: blauw.
KUNNEN De Europese projectie van een ruimtefiguur herkennen. De Europese projectie van een ruimtefiguur tekenen.
Pienter Rekenen
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
237
Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? concreet materiaal
filter
schets
patroon
schema/tabel
kennis
vereenvoudig
logisch nadenken
gok verstandig
oene, blauwe, drie gr ie dr , le ge ee en tw sloten zak zitt 1. In een afge ballen. te it acht w en te en. ar zw er vi n uit de zak nem lle zijn dat je ba gs lin de en om zeker te em n Je moet blin s en st in moet je m Hoeveel ballen r hebt? n dezelfde kleu twee ballen va 2. Ontdek met de on
derstaande ‘sle
A
B
D G
E H
utel’ het gehei
C F
J
K N
M
I
me woord.
L O
T
U
W X
V
P
Q
de 6 liter water in 4. Davina giet . bovenste buis enveel rong gaat er ev Bij elke tweesp ide kanten. water naar be tten? zal vat B beva Hoeveel water
1
A
B
C
D
E
F
Z Y
R
3. Kraak de co de.
2
S
3 4 5 6 7 8 9 10 11
B·D=5 F+E=6
C+B=4 B+A=5
12 13
238
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
F–C+B=4
A A+E–B=3
B