Reële functies Leerjaar 5 TSO
Etienne Goemaere Dirk Taecke Stephan Wellecomme MET MEDEWERKING VAN Guy Gijbels
Inhoudsopgave Hoe werk je met Pienter? Hoofdstuk 1 Grafisch onderzoek van functies Hoofdstuk 2 Transformaties van functies Hoofdstuk 3 Verbanden opstellen met ICT Hoofdstuk 4 Veeltermfuncties Hoofdstuk 5 Afgeleiden van veeltermfuncties Hoofdstuk 6 Verloop van veeltermfuncties
₄ ₅ ₅₇ ₅₉ ₇₅ ₁₀₉ ₁₆₇
Hoe werk je met Pienter? Elk hoofdstuk start met een leuke cartoon en een realistische inleiding of kort onderzoek.
Stap voor stap kom je meer te weten over wiskunde in het dagelijks leven. Je leert formuleren in definities, eigenschappen, rekenregels of besluiten. Je leert ook eigenschappen bewijzen.
Na elk stukje theorie kun je meteen oefenen. Er zijn drie reeksen oefeningen:
REEKS A
eenvoudige toepassingen
REEKS B
basisniveau
REEKS C
verdiepingsniveau
Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en aangeduid met een verticale streep.
Interessante weetjes of achtergrond herken je aan een kader met vraagteken.
Dit icoon en de groene achtergrond geven aan waar uitbreidingsleerstof of -oefeningen aangeboden worden. Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een handige studiewijzer. Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken. Ook het contractwerk helpt je bij het studeren.
Wil je nog meer? Verken dan ons onlineleerplatform
.
Je kunt er digitaal oefenen op jouw maat zodat je de leerstof helemaal onder de knie krijgt. Bij het lesmateriaal ontdek je onder meer: • extra uitbreidingsleerstof en -oefeningen, • instructiefilmpjes als je iets uitgelegd wilt zien.
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
1.1
Grafieken en tabellen
1.2
Verbanden tussen grootheden
1.3
Functies
1.4
Verbanden beschrijven met machtsfuncties
1.5
Periodieke verschijnselen
Studiewijzer
₆ ₁₅ ₂₃ ₃₃ ₄₉ ₅₅
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
5
1.1
Grafieken en tabellen Voorbeeld 1 De grafiek toont een overzicht van het aantal verkeersongevallen in België in een bepaald jaar.
4 469
4 129
3 975
4 515
4 182
3 966 3 789
3 786 3 559
aantal/dag
4 000
4 547
4 444
verschil
4 433
4 500
maand
5 000
aantal
verkeersongevallen
3 500 3 000
jan
2 500
feb
2 000
mrt
1 500
apr
1 000 500
mei
0 jan
feb
mrt
apr
mei
jun
jul
aug
sep
okt
nov
dec
• In welke maand zijn er de meeste ongevallen?
jun jul aug
• In welke maand is de stijging tegenover de vorige maand het grootst?
sep okt
• Met hoeveel procent is het aantal ongevallen in die maand gestegen?
nov dec
• Februari lijkt de veiligste maand. Á Waarom is dat voor een stuk voorspelbaar? Á Hoeveel ongevallen zijn er gemiddeld per dag in februari? Á Als je het gemiddelde aantal ongevallen per dag als maatstaf neemt, wat is dan de veiligste maand? In deze grafiek zie je het aantal dodelijke slachtoffers in hetzelfde jaar. • Hoe zie je aan de grafiek dat het aantal doden in januari en in februari gelijk is?
aantal dodelijke slachtoffers 98 96 94 92 90 88
• In welke maanden is het verschil met de vorige maand het grootst?
86 84 82
1
80 78
2
Hoe zie je dat aan de grafiek?
76 74
3
72 70
4 5 6
6
jan
feb
mrt
apr
mei
jun
jul
aug
sep
okt
nov
dec
• In welke maand is de kans dat een ongeval een dodelijke afloop heeft het grootst? (Tip: combineer de gegevens van de twee grafieken.) HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
Voorbeeld 2 Op de Olympische Spelen van Peking won de Tsjechische Barbora Spotakova goud op het speerwerpen voor vrouwen. De tabel geeft het verband tussen de hoogte van de top van de speer en de afstand vanaf de afwerplijn.
afstand (m) hoogte (m)
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
13,6 22,3 29,4 35,0 38,9 41,2 42,0 41,2 38,9 35,0
hoogte
• Zet de gegevens uit op het assenstelsel en verbind de punten met een vloeiende kromme tussen de punten (5; 13,6) en (50; 35,0). 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
afstand
• Op welke afstand van de afwerplijn bereikt de top van de speer zijn hoogste punt? Op welke hoogte bevindt de top van de speer zich dan? • De grafiek is symmetrisch ten opzichte van de verticale rechte met vergelijking Die rechte is de symmetrieas van de grafiek. • Maak gebruik van de symmetrie en vul de tabel aan. afstand (m)
55
60
65
hoogte (m) • Plaats ook die punten op het assenstelsel en vervolledig de grafiek. Hou rekening met de fysische beperkingen (de hoogte is een positieve veranderlijke). • Beantwoord de vragen met behulp van de grafiek. Á Welke hoogte heeft de top van de speer op het ogenblik dat hij de afwerplijn overschrijdt?
Á Hoe ver heeft Spotakova de speer geworpen? Á Tussen welke afstanden vanaf de afwerplijn vliegt de top van de speer hoger dan 25 m?
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
7
Voorbeeld 3 Mensen worden steeds ouder. Deze tabel toont de gemiddelde levensverwachting van de Belgische vrouw. jaar
1885
1930
1948
1970
1981
1989
1995 2000 2006
2012
2016
levensverwachting 46,63 59,79 67,26 74,21 76,79 79,13 80,40 80,93 82,16 83,10 83,68 in jaren • Stel deze tabel grafisch voor met behulp van ICT. Oplossing: Á Een tabel maken: Met het programma WISLIJST maak je de standaardlijsten list L1 Y L 1, . . . , L 6 leeg. Druk
1
stat
en voer de gegevens in de lijsten L 1, L 2 in. Á De gegevens grafisch voorstellen: Je kiest eerst een geschikt grafisch venster.
Á Stel de gegevens voor met een passende statistische plot. Daarvoor druk je stat plot f1 entry solve entry solve
y=
2nd
enter
entry solve
enter
enter
. Naast Xlijst en Ylijst plaats je L 1 en L 2 table
en je drukt vervolgens
f5
graph
.
• Schat met behulp van de grafiek de levensverwachting in 1958. Oplossing: Teken de verticale rechte x = 1958. Voer daarvoor in het basisscherm in: C
draw
L4
Τ L1
4
prgm
2nd
Y w
1
Q L5
9
U v
5
P
EE
8
J
L1
,
Y L6
1
V
6
entry solve
enter
.
Rekening houdend met de vensterinstellingen kun je de levensverwachting in 1958 schatten. • Schat met behulp van de grafiek vanaf welk jaar de levensverwachting boven de 75 jaar stijgt. 1 2 3 4 5
Oplossing: Teken de horizontale rechte y = 75: stat plot f1
u
calc
Met
O L5
7
y=
U
5
entry solve
enter
.
f4
trace
kun je schatten wanneer
de levensverwachting boven de 75 jaar stijgt. Inzoomen doe je met behulp van een Zbox.
6
8
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
• Bereken de gemiddelde stijging van de levensverwachting per jaar in elke periode. 1885
1930
1948
1970
1981
1989
1995
2000
2006
2012
2016
46,63
59,79
67,26
74,21
76,79
79,13
80,40
80,93
82,16
83,10
83,68
Oplossing: L1
list
Met
Y
1
stat
kom je in de lijstentoepassing. entry solve
Ga naar de titel van de derde lijst en druk
enter
.
Voer de formule 䉭Lijst(L 2) / 䉭Lijst(L 1) in tussen aanhalingstekens. Daarvoor druk je a-lock
memo
alpha e
“
2nd
M
–:
u
list
+
list
stat
2nd
O
7
stat u
O
7
L2
L1
2nd
Y
1
Z
2
2nd
L
}
)
.
L entry solve
}
)
enter
.
In welke periode was de toename van de levensverwachting het grootst? Definitie
Extrapolatie Extrapoleren is het schatten van een waarde die buiten een rij waargenomen waarden ligt. • Maak gebruik van de gegevens voor de jaren 2012 en 2016 om een voorspelling te doen over de levensverwachting van vrouwen in 2030. Oplossing:
Definitie
Interpolatie Interpoleren is het schatten van een tussenliggende waarde bij een rij waargenomen waarden. • Benader, met behulp van lineaire interpolatie, de levensverwachting voor vrouwen in 1977. Oplossing: 1970 △x =
+7
74,21 △y =
1977 1981
76,79
De Franse Jeanne Calment zag het levenslicht op 21 februari 1875 en stierf 122 jaar later, op 4 augustus 1997. Calment reed met de fiets tot haar 100e, woonde alleen tot haar 110e en stopte met roken op haar 117e (niet omdat ze op haar gezondheid wilde letten, maar omdat ze, blind geworden, haar aansteker niet meer zelf kon terugvinden).
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
9
Oefeningen REEKS A 1
In de grafiek wordt de windsnelheid (in km/h) in Ukkel op 1 november tussen 8 uur en 20 uur weergegeven.
windsnelheid (km/h)
windsnelheid Ukkel op 1 november 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
tijdstip (h)
a) Hoeveel bedroeg de windsnelheid op het middaguur? b) Om hoe laat was de wind het zwakst? c) Vat het verloop van de windsnelheid samen in de tabel. tijdstip
8
20
windsnelheid MAX
d) Tussen welke tijdstippen daalde de windsnelheid het snelst? e) Met hoeveel procent nam de windsnelheid af in die periode?
f) Hoelang, op een kwartier nauwkeurig, bedroeg de windsnelheid minder dan 13 km/h?
g) De grafiek is nagenoeg symmetrisch tussen 8 en 14 uur. 1 2 3
• Bepaal de symmetrieas: • Welk punt zorgt ervoor dat de symmetrie niet perfect is?
4
h) Bepaal, met behulp van de grafiek, de windsnelheid om 13.20 uur. 5 6
10
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
Een bedrijf produceert fietssloten. De tabel toont de dagelijkse gemiddelde kostprijs per stuk, afhankelijk van het aantal geproduceerde eenheden. productie
gemiddelde kostprijs per stuk (euro)
100
65,00
500
25,00
1 000
20,00
1 500
18,33
2 000
17,50
2 500
17,00
3 000
16,67
4 000
16,25
5 000
16,00
a) Zet de gegevens uit op het assenstelsel en verbind de punten met een vloeiende kromme. gemiddelde kostprijs
2
75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 500
1 000
1 500
2 000
2 500
3 000
3 500
4 000
4 500
5 000
5 500
6 000
6 500
productie
b) Beantwoord de vragen met behulp van de grafiek. • Bepaal de gemiddelde kostprijs als het bedrijf 700 sloten per dag vervaardigt.
• De firma verkoopt de fietssloten tegen 19 euro per stuk. Hoeveel sloten moet ze per dag verkopen om winst te maken?
• Bepaal de gemiddelde kostprijs bij massaproductie.
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
11
REEKS B 3
De tabel geeft een overzicht van het percentage van de bevolking in Vlaanderen die in armoede leeft, voor de periode 2004-2016. jaartal
percentage bevolking
2004
16,6
2005
17,0
2009
14,5
2012
16,0
2016
14,5
a) Stel deze tabel grafisch voor met behulp van ICT. b) Stel het verloop schematisch voor. jaartal
2004
2016
percentage
c) Schat, vanuit de grafiek, hoeveel procent van de Vlaamse bevolking in armoede leefde in 2007.
d) Gedurende hoeveel jaren lag het armoedepercentage hoger dan 15 %?
e) Bereken de gemiddelde afname per jaar van het percentage van de Vlaamse bevolking die in armoede leefde tussen 2004 en 2016.
f) Benader, door interpolatie, het percentage van de bevolking die in armoede leefde in 2014.
g) Schat, door extrapolatie, het percentage van de bevolking die in armoede zal leven in 2025. 1 2 3
h) Toon aan dat extrapolatie naar een verre toekomst geen zin heeft.
4 5 6
12
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
4
De tabel toont een vooruitzicht op het aantal geboorten en sterfgevallen in het Vlaams Gewest voor de periode 2000-2060. (bron: Federaal Planbureau)
2000
2010
2020
2030
2040
2050
2060
geboorten
61 877
68 335
68 460
65 260
66 700
66 940
66 225
sterfgevallen
57 502
59 718
64 480
67 576
74 301
79 660
78 270
verschil (vraag f)
a) Geef het verloop van het aantal geboorten en sterfgevallen weer in een schema. jaartal
2000
geboorten
jaartal
2020
2030
2050
68 460 MAX
65 260 MIN
66 940 MAX
2000
2050
2060
2060
79 660 MAX
sterfgevallen
b) Schat door interpolatie het aantal geboorten in 2027.
c) Voorspel door extrapolatie het aantal sterfgevallen in 2100.
d) Maak met ICT ĂŠĂŠn grafische voorstelling van beide tabellen. e) Benader, met behulp van de grafieken, in welk jaar er voor het eerst meer sterfgevallen dan geboorten zullen zijn. f) Bereken in de tabel het verschil tussen het aantal geboorten en het aantal sterfgevallen. g) Maak met ICT een grafische voorstelling van de verschillen. h) Hoe zie je aan die grafiek in welk jaar het aantal sterfgevallen groter wordt dan het aantal geboorten?
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
13
01.07.2017
01.10.2017
01.01.2018
01.04.2018
01.07.2018
01.10.2018
aantal rokers
01.04.2017
Op 1 januari 2017 waren er in een bedrijf 130 mensen die rookten. Er wordt een grote antirookcampagne opgezet. Om de 3 maanden wordt aan de rokers gevraagd of ze ondertussen al gestopt zijn. De tabel toont het aantal rokers in het bedrijf.
01.01.2017
5
130
127
124
120
112
99
77
38
aantal rokers
a) Stel de gegevens voor op het assenstelsel en verbind de verkregen punten met een vloeiende kromme (hou rekening met de fysische werkelijkheid).
140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 3
6
9
12
15
18
21
24
27
aantal maanden na 01.01.2017
b) Hoeveel rokers waren er nog op 1 juni 2018? • Met de grafiek: • Met lineaire interpolatie:
c) In welke maand van welk jaar daalde het aantal rokers onder de 50? 1 2 3
d) In welke maand van welk jaar rookte niemand meer?
4 5 6
14
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
1.2
Verbanden tussen grootheden
1.2.1 Onafhankelijke en afhankelijke veranderlijken Voorbeeld 1 De tabel geeft weer hoeveel procent van de Vlaamse bevolking de bioscoop bezoekt. leeftijdsklasse
regelmatig
af en toe
nooit
−25
22,2 %
74,6 %
3,2 %
[25, 35[
4,7 %
77,3 %
18,0 %
[35, 45[
1,7 %
70,7 %
27,6 %
[45, 55[
1,6 %
54,5 %
43,9 %
[55, 65[
2,5 %
33,5 %
64,0 %
[65, 75[
0,5 %
17,9 %
81,6 %
75+
0,0 %
9,7 %
90,3 %
Het aantal keren dat iemand naar de bioscoop gaat, is afhankelijk van de leeftijd. Daarom is de leeftijd de onafhankelijke veranderlijke. De percentages van mensen die regelmatig, af en toe of nooit naar de bioscoop gaan, zijn de afhankelijke veranderlijken. Voorbeeld 2 minimumlonen in de landen van de EU, Turkije en de VS, juli 2008, in EUR 1800 Groep 3 1600
EUR per maand
1400 1200 1000 Groep 2
800 600 400
Groep 1
200 0 BG RO LV LT SK EE HU CZ PL PT SI MT EL ES UK FR BE NL IE LU TR US Jul 2008 112 137 228 232 267 278 285 329 334 497 567 612 681 700 1148 1321 13361357 1462 1610 333 652
De onafhankelijke veranderlijke is De afhankelijke veranderlijke is Definitie
Onafhankelijke veranderlijke Een onafhankelijke veranderlijke is een gegeven of vrij te kiezen grootheid.
Definitie
Afhankelijke veranderlijke Een afhankelijke veranderlijke is een gemeten of voorspelde grootheid. Bij een grafische voorstelling plaats je de onafhankelijke veranderlijke op de horizontale as en de afhankelijke veranderlijke op de verticale as. Bij een verband tussen 2 veranderlijken gebruiken wiskundigen meestal de letter x om de onafhankelijke veranderlijke te noteren en de letter y voor de afhankelijke veranderlijke. HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
15
1.2.2 Verbanden beschrijven met formules Voorbeeld 1 De oppervlakte A van een vierkant bereken je met de formule A = z 2, waarbij z de zijde is. • De onafhankelijke veranderlijke is De afhankelijke veranderlijke is • Als je de formule vanuit puur algebraïsch standpunt bekijkt, Á welke waarden kan z dan aannemen? Á welke waarden kan A dan aannemen? • Beantwoord dezelfde vragen als je rekening houdt met de fysische werkelijkheid: Á mogelijke waarden voor z: Á mogelijke waarden voor A: • Bereken, op 1 cm nauwkeurig, de zijde van een vierkant met een oppervlakte van 87 m 2.
• Teken met ICT de grafiek van het verband, rekening houdend met de fysische werkelijkheid. Oplossing: Voer het functievoorschrift x 2 ÷ (x ⭓ 0) in. Druk daarvoor y=
I e
√
test
2nd
A
M {
–:
x2
X,T,θ,n L4
math
Τ catalog
X,T,θ,n L
}
0
4
K link
( [
stat plot f1 link
)
. table
Om de functie te tekenen, druk je
f5
graph
.
• Bepaal grafisch, op 1 dm nauwkeurig, welke zijde een vierkant moet hebben opdat de oppervlakte tussen 15 m 2 en 55 m 2 zou bedragen. Oplossing: stat plot f1
Je stelt in de vergelijkingseditor (druk
y=
)
Y 2 gelijk aan 15, Y 3 gelijk aan 55 en zoekt via [CALC] calc
1 2
(druk
2nd
f4
trace
L5
U
5
) de snijpunten van
de functies Y1 met Y2 en Y1 met Y3.
3 4 5 6
16
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
Voorbeeld 2 Hoe bepaal je, bij een ongeval, hoe snel een auto gereden heeft? Om de snelheid te bepalen, meet de politie de remsporen. De formule v 2 = 16 ⴢ r staat hen toe de minimumsnelheid te bepalen die de auto op een droog wegdek had op het ogenblik dat de chauffeur begon te remmen. Daarbij is r de remweg, in m, en v de snelheid in m/s. • Waarom wordt op die manier de minimumsnelheid bepaald?
• De onafhankelijke veranderlijke is De afhankelijke veranderlijke is • Maak met ICT een grafische voorstelling van het verband tussen v en r, zonder rekening te houden met de fysische werkelijkheid. Oplossing: De grafische rekenmachine kan alleen functies tekenen en kan verbanden zoals y 2 = 16 ⴢ x dus niet rechtstreeks voorstellen. Je kunt de grafiek van het verband y 2 = 16 ⴢ x wel laten x2 tekenen als de inverse van het verband x 2 = 16 ⴢ y of y = . 16 Je vervangt dus x door y en omgekeerd. Daarvoor druk je draw
2nd
C
prgm
v
P
8
link
X,T,θ,n
I e
√
x2
M
L1
–:
Y L6
1
V
6
entry solve
enter
.
Á Waarom is de x-as een symmetrieas voor de grafiek? Á Welke beperkingen moet je aan r opleggen opdat v zou bestaan? Hoe zie je dat aan de grafiek? Welk deel van de grafiek toont de fysische werkelijkheid? • Vul de tabel aan. remweg (m)
4
12
25
40
70
snelheid (m/s) snelheid (km/h) • Vorm de formule om zodat v de onafhankelijke en r de afhankelijke veranderlijke wordt.
• Verkeersdeskundigen gaan ervan uit dat de reactiesnelheid 1 seconde bedraagt. De stopafstand is dan de som van de remweg en de afgelegde weg gedurende 1 seconde. Vul de tabel aan. snelheid (km/h)
30
60
90
110
120
130
150
snelheid (m/s) remafstand (m) stopafstand (m)
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
17
1.2.3 Meerdere onafhankelijke veranderlijken Voorbeeld b
De oppervlakte A van een trapezium met kleine basis b, b+B ⴢ h. 2 In die formule zijn b, B en h de onafhankelijke veranderlijken en is A de afhankelijke veranderlijke.
grote basis B en hoogte h is gelijk aan A =
h
B
• Vorm de formule om zodat h de afhankelijke veranderlijke wordt.
• Neem een trapezium met kleine basis 5 cm en oppervlakte 20 cm 2. Á h= Á Teken met ICT de grafiek van dat verband. Hou rekening met de fysische werkelijkheid. Á Tot welke waarde nadert h als B onbeperkt toeneemt? Á Hoe zie je dat aan de grafiek? De rechte met vergelijking
is een horizontale asymptoot voor de grafiek.
• Stel nu dat de oppervlakte 40 cm 2 is en de kleine basis 5 cm blijft. Á h= Á Teken met ICT de grafiek van dat verband. Hou rekening met de fysische werkelijkheid. Á Vergelijk de grafieken voor A = 20 en voor A = 40.
• Neem een trapezium met grote basis 5 cm en oppervlakte 40 cm 2. Á Vorm de formule om zodat b de afhankelijke veranderlijke wordt.
1 2
Á Teken met ICT de grafiek van dat verband. Hou rekening met de werkelijkheid (let op: b ⬍ B).
3
Á De rechte met vergelijking
4
Á Wat betekent dat fysisch?
5 6
18
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
is een verticale asymptoot voor de grafiek.
Oefeningen REEKS A 6
Het verband tussen de gemiddelde snelheid v, in m/s, de afstand s, in m, en de tijd t, in s, s wordt gegeven door de formule v = . t a) In de grafiek wordt het verband tussen v en s weergegeven als t = 10. Teken de grafieken voor het verband als t = 20 en t = 60, zonder punten te berekenen. v 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2
10 20
30 40
50
60 70
80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 s
b) Hoeveel meter heb je afgelegd na 20 s met een snelheid van 8 m/s?
c) Vorm de gegeven formule om zodat t de afhankelijke veranderlijke wordt. d) Teken met ICT de grafische voorstelling van het verband tussen t en v, als s = 1 km. e) Hoeveel tijd heb je nodig om 1 km af te leggen met een snelheid van 35 m/s?
f) Welke snelheid moet je aanhouden om 1 km af te leggen in een tijd tussen 10 en 20 s?
g) De grafiek van vraag d vertoont 2 asymptoten. Geef telkens de fysische betekenis. • horizontale asymptoot: betekenis:
• verticale asymptoot: betekenis:
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
19
7
De familie Richman laat in de tuin van hun buitenverblijf in de Provence een ellipsvormig zwembad aanleggen. Om de constructie perfect te laten verlopen, x2 y2 + = 1. gebruikt de firma die het zwembad installeert de vergelijking 64 9 a) Teken met ICT de grafische voorstelling. b) Geef de afmetingen van het zwembad.
c) Verklaar, vanuit de vergelijking, de symmetrie in de grafiek.
d) Hoe breed is het zwembad op 2 m van de aangeduide rechterrand?
e) Hoe ver moet je van de rechterrand blijven om een breedte van minstens 5 m te hebben?
x2 y2 + = 1 om naar een expliciete vergelijking 64 9 met y als afhankelijke veranderlijke.
f) Vorm de impliciete vergelijking
P
F1 1 2 3 4 5
F2
Neem 2 verschillende punten F1 en F2 . De figuur die ontstaat door alle punten P te verbinden, waarvan de som van de afstanden tot F1 en F2 constant is, is een ellips. De punten F1 en F2 zijn de brandpunten van de ellips. Een cirkel is een ellips waarvan de brandpunten samenvallen.
Dikwijls gebruiken mensen de woorden ‘ovaal’ en ‘ellips’ door elkaar. Ellipsen zijn ovalen, maar niet omgekeerd. Een goede omschrijving is dat een ovaal een uitgerekte cirkel is. Het woord ‘ovaal’ komt van het Latijnse ‘ovum’, wat ‘ei’ betekent. Een ovaal heeft minstens 1 symmetrieas, een ellips heeft er 2.
6
20
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
REEKS B 8
De oppervlakte A van een cilinder is gelijk aan A = 2 ⴢ r ⴢ h + 2 ⴢ r 2. Daarbij is r de straal van het grondvlak en h de hoogte.
a) Teken met ICT de grafische voorstelling van het verband tussen A en r, als h = 10 (r ⬎ 0!).
b) Een cilinder met een hoogte van 10 cm heeft een oppervlakte van 500 cm 2. Bepaal de straal van het grondvlak op 0,1 cm nauwkeurig.
h
r
c) Bepaal de oppervlakte van de cilinders met een hoogte van 10 cm, waarvan de straal van het grondvlak tussen 8 en 10 cm bedraagt.
d) Bepaal de straal van het grondvlak van een cilinder met een hoogte van 5 cm, waarvan de oppervlakte even groot is als die van een cilinder met een hoogte van 10 cm en waarvan de straal van het grondvlak 9 cm is.
e) Neem een cilinder met een oppervlakte van 100 cm 2. Bepaal een formule die het verband geeft tussen h en de onafhankelijke veranderlijke r.
f) Teken met ICT de grafiek van dat verband, rekening houdend met de werkelijkheid. g) Geef de betekenis van de asymptoot voor de grafiek.
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
21
9
Het symbool ∞ is gebaseerd op het lemniscaat van Bernoulli. 2
Die kromme heeft als vergelijking (x 2 + y 2) = a 2 ⴢ (x 2 − y 2). Daarbij is a een parameter. a) Teken met de computer de grafische voorstelling van het verband voor a = 2 en a = 5. b) Wat is de betekenis van a voor de grafiek?
c) Vervolledig het lemniscaat door gebruik te maken van de symmetrie. y 1,5
1
0,5 x –3
–2
–1
1
2
3
–0,5
–1
–1,5
d) Bepaal grafisch alle oplossingen voor x als y = 0,5. Bepaal x op 0,1 nauwkeurig.
1
Jacob Bernoulli (1654-1705) was de oudste van een roemrijk wiskundig geslacht. Ook zijn broer Johan en zijn neef Daniel zijn de geschiedenis ingegaan als straffe wiskundigen. Velen van hun nazaten bekleedden later leerstoelen in de wiskunde aan de universiteiten van Bazel, Berlijn of Sint-Petersburg. Jacob studeerde eerst theologie, maar raakte na een 6 jaar durende rondreis door Europa geboeid door de wis- en natuurkunde. In 1687 werd hij tot hoogleraar wiskunde benoemd aan de universiteit van Bazel.
2 3 4 5
Jacob Bernoulli is het meest bekend om zijn werk Ars Conjectandi, een basiswerk in de kansrekening. Daarnaast was hij ook actief in de opbouw van de, in die tijd pas ontdekte, wiskundige analyse (de studie van veranderende grootheden).
6
22
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
1.3
Functies
1.3.1 Definitie Voorbeeld Je ziet de grafische voorstellingen van het impliciet verband x 2 + y 2 = 4 en van het expliciet verband y = 冪x − 2. y = 冪x − 2
x2 + y2 = 4 y
y 4
2
3 1
2 x
–3
–2
–1
1
2
1
3
x –1
–1 –1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
–1 –2
• Welke x-waarden hebben geen y-waarden?
• Welke x-waarden hebben geen y-waarden?
• Welke x-waarden hebben één y-waarde?
• Hoe kun je dat bepalen zonder grafiek?
• Hoeveel y-waarden hebben de andere
• Zijn er x-waarden die meer dan
x-waarden?
één y-waarde hebben?
• Vorm de formule om naar y.
Definitie
–2
• Hoe zie je dat aan de grafiek?
Functie Een verband tussen 2 grootheden bepaalt een functie als er voor elke waarde van de onafhankelijke veranderlijke hoogstens één waarde voor de afhankelijke veranderlijke bestaat. Notaties en benamingen Het verband y = 冪x − 2 bepaalt een functie f. De vergelijking y = 冪x − 2 is de functievergelijking. Je kunt ook schrijven: f : x 哫 冪x − 2, of korter f 共x兲 = 冪x − 2. Dat is het functievoorschrift. f (6) =
is het beeld of de functiewaarde van het argument 6 door de functie f.
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
23
1.3.2 Domein en bereik Definitie
Domein Het domein van een functie f , dom f, is de verzameling van de argumenten waarvan het beeld door f bestaat.
Definitie
Bereik Het bereik van een functie f , ber f, is de verzameling van de mogelijke functiewaarden. Voorbeelden f(x) = x 2 − 4
Voor welke x-waarden bestaat f (x)?
Het domein van f is gelijk aan: Wat is de grafische betekenis van het domein?
Welke waarden kan f 共x兲 hebben?
Het bereik van f is gelijk aan: Wat is de grafische betekenis van het bereik?
1 2 3 4 5 6
24
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
f(x) =
1 x−2
Praktisch domein en bereik De inhoud van de tank van een auto wordt gegeven door de functie met vergelijking y = 60 − 0,06x . Daarbij is x het aantal gereden kilometers en y het aantal liter brandstof in de tank. • Als je geen rekening houdt met de fysische werkelijkheid, wat zijn dan het domein en het bereik van de functie? • Wat is de inhoud van de tank? • Na hoeveel kilometer is de tank leeg? Definitie
Praktisch domein Het praktisch domein van een functie f, pdom f, is het deel van het domein dat de fysisch aanvaardbare argumenten bevat. Praktisch bereik Het praktisch bereik van een functie f, pber f, is het deel van het bereik dat de fysisch aanvaardbare beelden bevat. • Bepaal het praktisch domein en bereik voor het voorbeeld van de tank. pdom f =
pber f =
• Teken met ICT de grafiek van de functie f(x) = 60 − 0,06x, rekening houdend met de werkelijkheid. Oplossing
L2
Z
2
]
W
0
link
X,T,θ,n
test
X,T,θ,n test
2nd
2nd A
math
EE
0
K link
(
catalog
–
A
L3
U L1
5
catalog
θ catalog
0
V
6
link
X,T,θ,n test
0
Y catalog
1
L6
0
3
math
L5
J
,
2nd catalog
catalog
0
. In een gepast assenstelsel verkrijg je de grafiek hiernaast.
A
math
0
[
M {
–:
)
V catalog
6
[
L e
}
L6
[
K
(
[
y=
[
stat plot f1 {
[
Voer het functievoorschrift (60 − 0,06x) ÷ (x ⬎ 0 and x ⬍ 1 000) in. Daarvoor druk je [
Definitie
L
}
)
.
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
25
1.3.3 Nulwaarden en tekenschema Voorbeeld Mia heeft een bedrijf waarbij je bloemenruikers kunt bestellen die thuis geleverd worden. De grafiek geeft de dagelijkse winst W(x) van het bedrijf in functie van het aantal verkochte bloemenruikers x. • Bij welke verkoop maakt Mia verlies?
w 150 100
• Bij welke verkoop maakt Mia winst?
50 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 x –50
• Bij welke verkoop is de winst gelijk aan 0?
–100 –150 –200 –250
Deze waarden van x zijn de nulwaarden van de functie W.
Je kunt de winst en het verlies schematisch voorstellen in een tekenschema. x
0
W(x)
Definitie
−
0
+
0
−
0
+
Nulwaarde Een nulwaarde van een functie f is een getal a waarvan het beeld f(a) gelijk is aan 0. Voorbeelden de functie f(x) = 2x + 3 f (x) = 0 als 2x + 3 = 0
de functie g met de volgende grafiek Lees de nulwaarden van de functie g af op de grafiek. 6
y
4 2
De enige nulwaarde van f is
x –4 –3 –2
–1
1
2
3
4
–2 –4 –6
Teken met ICT de grafiek van f en geef de grafische betekenis van de nulwaarde.
Geef de grafische betekenis van de nulwaarden.
1 2 3 4 5 6
26
Eigenschap
Een nulwaarde van een functie f is de x-coördinaat van een gemeenschappelijk punt (snijpunt of raakpunt) van de grafiek van f met de x-as.
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
1.3.4 Verloop Voorbeeld De grafiek toont de snelheid v, km/h, van de Thalys op zijn traject tussen Brussel en Parijs, in functie van de tijd t in minuten. v 300 250 200 150 100 50 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 t
foto Jarret Campbell
• In welke tijdsintervallen neemt de snelheid toe? • In welke tijdsintervallen neemt de snelheid af? Definitie
Relatief minimum Een functie f bereikt een relatief minimum in a als f in a de overgang maakt van dalen naar stijgen.
Definitie
Relatief maximum Een functie f bereikt een relatief maximum in b als f in b de overgang maakt van stijgen naar dalen. • Na hoeveel minuten bereikt de trein een (relatief) maximale snelheid? Wat is die maximale snelheid? • Na hoeveel minuten bereikt de trein een (relatief) minimale snelheid? Wat is die minimale snelheid? Het verloop van de snelheid kun je samenvatten in een tabel. t
0
v
0
85
#
& MAX
# MIN
&
0
MAX
Voorbeeld Bepaal het tekenschema en het verloop van de functie f . tekenschema:
y 8
x
6 4
f 共x兲
2 x –4 –3 –2
–1
1 –2 –4 –6 –8
2
3
4
verloop: x f
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
27
Oefeningen REEKS A 10
Bepaal het domein en het bereik van de functies. a)
d)
y
y
7 2
6 5
1
4 3
x –4
2
–3
–2
–1
1 –4 –3 –2
–1
1
2
3
4
5
6
2
1
2
3
1
2
3
–1
x –5
1
7
–1
–2
–2
dom f =
dom f =
ber f =
ber f =
b)
e)
y
y
6 3
5 4
2
3 2
1 1 x –3 –2
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
9
–3
–1
–2
–1
–2
–1
–3
dom f =
dom f =
ber f =
ber f =
c)
f)
y
y
1
3 x
–3
–2
–1
1
2
2
3
1
–1
–2
1
x –3
–3
2
5
dom f =
dom f =
ber f =
ber f =
6
28
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
–1 –1
3 4
–2
REEKS B 11
Bereken de nulwaarden. a) f (x) = −3x + 7
g) f(x) = 0,02x 3 − 12
b) f (x) = 1 x − 5 4
h) f(x) = 冪2x − 1
c) f (x) = x 2 − 9
i)
f(x) = 冪x 2 − 5
d) f (x) = − 1 x 2 + 4 2
j)
f(x) =
e) f (x) = − 4x 2 − 3
k) f(x) = x − 2 x
f) f (x) = x 3 + 8
l)
f(x) =
2 x
2x + 5 3x
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
29
12
Teken met ICT de grafiek van de functies. Bepaal het tekenschema en het verloop. e) f(x) = x ⴢ (x − 3) ⴢ (x + 2)
a) f(x) = −x + 2
tekenschema:
tekenschema: x
x
f (x)
f(x)
verloop:
verloop:
x
x
f
f f) f(x) = −(x + 1) ⴢ (x − 2)
b) f(x) = 0,25x 3 − 2
tekenschema:
tekenschema: x
x
f (x)
f(x)
verloop:
verloop:
x
x
f
f
c) f(x) = (x − 1)
g) f(x) = − 冪x + 3
2
tekenschema:
tekenschema: x
x
f (x)
f(x)
verloop:
verloop:
x
x
f
f 2
d) f(x) = −0,5 ⴢ (x + 1) + 2 tekenschema:
1
h) f(x) = 冪5 − x − 4 tekenschema:
x
x
f (x)
f(x)
verloop:
verloop:
x
x
f
f
2 3 4 5 6
30
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
2
13
Teken met ICT de grafiek van de functies, zonder rekening te houden met de fysische beperkingen. Bepaal het praktisch domein en bereik van elke functie. Teken met ICT de grafiek in het praktisch domein. a) De afgelegde weg, in functie van de tijd, van een fietser die maximaal 1 uur fietst: s(t) = 300 ⴢ t (t in min, s in m)
f) De diameter van een champagneglas van 10 cm hoog, in functie van de afstand tot de bodem van het glas: D (x) = 冪3,6 x
pdom s =
pdom D =
pber s =
pber D =
b) De vraag naar een bepaald product, in functie van de prijs: q(p) = 400 − 20 ⴢ p (p in euro, q in aantal eenheden)
g) De slingertijd in functie van de lengte van een pendel die tussen 1 m en 3 m lang is: T(l) = 2 ⴢ
pdom q =
pdom T =
pber q =
pber T =
c) De hoogte van een vallend voorwerp in functie van de tijd: h(t) = 120 − 4,9 ⴢ t 2 (t in s, h in m)
v(t) =
100 t
pdom v =
pber h =
pber v =
i)
l 9,8
(l in m, T in s)
pdom d =
pber d =
pber d =
j)
(t in h, v in km/h)
De kleine diameter van een ruit, met een oppervlakte van 100 cm 2, in functie van de grote diameter: 200 (d ⭐ D) d(D) = D
pdom d =
e) Het volume van een smeltend blok ijs in functie van de tijd: 4 3 V(t) = ⴢ (46 − t) (t in h, V in cm 3) 3
冑
h) De gemiddelde snelheid van een voertuig dat 100 km moet afleggen in hoogstens 2 uur:
pdom h =
d) De diepte van een rivier in functie van de afstand tot de linkeroever: d(x) = 0,25x ⴢ (x − 8) (x en d in m)
(x en D in cm)
De geluidsintensiteit in functie van de afstand tot een geluidsbron met 50 W vermogen, als een persoon zich tussen 1 m en 10 m van de bron bevindt: 50 I (r) = (r in m, I in W/m 2) 2 4 ⴢ r
pdom V =
pdom I =
pber V =
pber I =
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
31
14
Teken met ICT de grafiek van de functies. Bepaal het domein, het bereik, het tekenschema en het verloop. a) f(x) = 2x 2 − 5
d) f(x) =
1 x−2
dom f =
dom f =
ber f
ber f
=
tekenschema:
=
tekenschema:
x
x
f (x)
f(x)
verloop:
verloop:
x
x
f
f
b) f(x) = (2x + 7) ⴢ (3 − 8x)
e) f(x) =
兩
−∞
1 −2 x
dom f =
dom f =
ber f
ber f
=
tekenschema:
=
tekenschema:
x
x
f (x)
f(x)
verloop:
verloop:
x
x
f
f
c) f(x) = 冪5 − x 2
f) f 共x兲 =
−∞
dom f =
ber f
ber f
tekenschema:
=
tekenschema:
x
x
f (x)
f(x)
verloop:
verloop:
4
x
x
5
f
f
1
+∞
–2 +4 2 (x + 3)
dom f = =
+∞
2 3
6
32
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
−∞
+∞
1.4
Verbanden beschrijven met machtsfuncties
1.4.1 Het recht evenredig verband Definitie
Recht evenredig Twee grootheden y en x zijn recht evenredig als de verhouding
y constant is. x
y = a ⇒ y = a ⴢ x (a noem je de evenredigheidsfactor; a ≠ 0) x Formule
Als 2 grootheden y en x recht evenredig zijn met evenredigheidsfactor a, dan is y = a ⴢ x.
Grafische betekenis van a grafiek van de basisfunctie f(x) = x • De grafiek is symmetrisch t.o.v.
y
y=x 3
Verklaring:
2
f is een oneven functie.
1 x –4
–3
–2
–1
1
2
3
• tekenschema:
4
–1 –2
x
–3
f(x)
De grafiek van de functie met vergelijking y = x is de eerste bissectrice van het assenstelsel. • dom f =
• verloop: x
ber f =
f
• nulwaarden: grafiek van de functie g(x) = a ⴢ x
Teken met ICT de grafieken van de functies met vergelijking y=x
y = 4x
y = −4x
y=
1 x 4
y=−
1 x 4
• Als a ⬎ 0, dan is de rechte stijgend / dalend. • Als a ⬍ 0, dan is de rechte stijgend / dalend. • Hoe groter 兩 a 兩, hoe Besluit
De grafische voorstelling van het recht evenredig verband y = a ⴢ x is een (deel van een) rechte • door de oorsprong, • met richtingscoëfficiënt a.
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
33
Voorbeeld 1 Van een stof wordt proefondervindelijk het verband nagegaan tussen de massa m en het volume V. V (cm 3)
m (g)
2,1
5,67
3,8
10,26
5,9
15,93
8,3
22,41
10,8
29,16
• Toon aan dat het verband tussen m en V recht evenredig is.
• Geef het verband tussen m en V: m= • Wat is de fysische betekenis van de evenredigheidsfactor?
• Zoek op het internet over welke stof het gaat.
• In welke mate verandert de massa als het volume verdubbelt? • Wat is de toename van de massa als het volume met 5 cm 3 toeneemt?
Eigenschap
Als de onafhankelijke veranderlijke met een getal wordt vermenigvuldigd, dan wordt de recht evenredige veranderlijke met hetzelfde getal vermenigvuldigd. Voorbeeld 2 Bij bouwwerken worden vaak ijzeren balken (‘poutrellen’) gebruikt om muren van een bovenverdieping te ondersteunen als beneden een gedeelte van een muur wordt weggehaald. Zo’n balk moet stevig genoeg zijn. Dat wil zeggen dat hij niet te ver mag doorbuigen bij een grote belasting. In de tabel zie je een serie metingen voor een ijzeren balk van 6 m lang: d is de doorbuiging in cm, b de belasting in kg. • Toon aan dat het verband tussen d en b recht evenredig is.
b (kg)
10 000 20 000 30 000 50 000 80 000
d (cm)
0,5
1,0
1,5
2,5
4,0
• Geef het verband tussen d en b: d= 1
• Bepaal de doorbuiging bij een belasting van 40 000 kg.
2 3
• Als de norm een maximale doorbuiging van 3 mm is, bepaal dan de maximale belasting op de balk.
4 5 6
34
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
1.4.2 Het lineair verband Definitie
Lineair verband Een verband is lineair als bij gelijke verandering van de onafhankelijke veranderlijke x een gelijke verandering van de afhankelijke veranderlijke y hoort.
y
Stel: b is de beginwaarde (de waarde van y als x = 0); a is de verandering van de y-waarden als x met een eenheid toeneemt.
+a +1 +a
Formule
y=aⴢx+b
+1 b
1
Voorbeeld 1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
Het verband tussen de temperatuur T, in ºC, en de hoogte h, in m, wordt gegeven door: T = 18 − 0,005 ⴢ h. • Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt.
• Bepaal het tekenschema van T(h) en geef de fysische betekenis. h
0
T(h)
0
Voorbeeld 2 Voor een taxirit gelden de volgende tarieven: vertrekgeld: 3,50 euro prijs per kilometer: 2,30 euro (tussen 6u en 22u) 2,50 euro (tussen 22u en 6u) • Bepaal het lineair verband dat de prijs y, in euro, uitdrukt in functie van het aantal kilometers x. Tussen 6u en 22u: Tussen 22u en 6u: • Bereken hoeveel een taxirit die overdag 18,45 euro kost, ’s nachts zou kosten.
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
35
1.4.3 Het omgekeerd evenredig verband Definitie
Omgekeerd evenredig Twee grootheden y en x zijn omgekeerd evenredig als hun product y ⴢ x constant is. yⴢx=a⇒y=
a x
(a ≠ 0)
Formule
Als 2 grootheden y en x omgekeerd evenredig zijn, dan is y =
Grafiek van de functie f (x) = x
a . x
1 (orthogonale hyperbool) x
y y
−4
4
−2
3
−1
2
−0,5
1
y = 1/x
−0,25 –5
–4
–3
–2
–1
1
0
–1
0,25
–2
0,5
–3
1
–4
2
3
4
5
2 4 • dom f =
ber f =
• nulwaarden: • De grafiek is symmetrisch t.o.v.
Verklaring:
• Hoe groter x wordt, hoe meer y nadert naar
. Symbolisch: als x → + ∞, dan y →
Hoe kleiner x wordt, hoe meer y nadert naar
. Symbolisch: als x → − ∞, dan y →
De rechte met vergelijking
is een horizontale asymptoot voor de grafiek van f.
• Als x ⬎ 0, dan wordt y
, naarmate x dichter bij 0 ligt. Symbolisch: als x → 0, dan y →
1
Als x ⬍ 0, dan wordt y
, naarmate x dichter bij 0 ligt. Symbolisch: als x → 0, dan y →
2
De rechte met vergelijking
3 4
⬍
is een verticale asymptoot voor de grafiek van f. • verloop:
• tekenschema: x
5
f (x) 6
36
⬎
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
x 兩
f
+∞
−∞ 兩
x
Voorbeeld 1 Hoe hoger een verkeersdrempel, hoe trager de auto’s erover rijden. In een stad zijn er verkeersdrempels met 4 verschillende hoogten. De politie heeft de resultaten opgemeten voor het verband tussen de gemiddelde snelheid v van de voorbijrijdende auto’s, in km/h, en de hoogte h, in cm, van de drempel. h (cm)
4
5
6
8
v (km/h)
60
48
40
30
• Toon aan dat het verband tussen v en h omgekeerd evenredig is.
• Geef het verband tussen v en h: • Volgens de wet mogen verkeersdrempels niet hoger zijn dan 12 cm. Bepaal daaruit het praktisch domein en bereik van de functie v. pdom v =
pber v =
• Hoe hoog, op 1 mm, moet een drempel zijn om de gemiddelde snelheid tot 50 km/h te beperken?
Voorbeeld 2 v
b
f
f
Met de lenzenformule
Er is slechts 1 plaats achter een lens waar je een scherp beeld krijgt van je voorwerp. De plaats waar dat beeld ontstaat, hangt af van de sterkte van de lens (de brandpuntsafstand f) en de afstand van het voorwerp tot de lens (de voorwerpsafstand v).
1 1 1 = + kun je de plaats van het beeld (de beeldafstand b) berekenen. f v b
Bij een bolle lens is de brandpuntsafstand positief. Neem een bolle lens met f = 10 cm. • Vorm de formule om zodat b de afhankelijke veranderlijke wordt.
• Teken met ICT de grafiek van de functie b. Hou er rekening mee dat v ⬎ 0. • Geef de fysische betekenis van de horizontale asymptoot van de grafiek.
• Hoe zie je aan de grafiek dat er geen beeldvorming is als het voorwerp 10 cm vóór de lens staat?
• Voor welke waarden van v ontstaat een ‘virtueel’ beeld?
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
37
1.4.4 Het kwadratisch evenredig verband Kwadratisch evenredig
Definitie
Twee grootheden y en x zijn kwadratisch evenredig als de verhouding
y x Formule
2
y x2
constant is.
= a ⇒ y = a ⴢ x 2 (a ≠ 0)
Als 2 grootheden y en x kwadratisch evenredig zijn, dan is y = a ⴢ x 2. Grafiek van de functie f(x) = x 2 x
y
y
y = x2
9 8
−3
7
−2
6
−1
5
−0,5
4 3
0
2
0,5
1 x
1
–6
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
6
–1
2 3 • dom f =
ber f =
• nulwaarden: • De grafiek is symmetrisch ten opzichte van Verklaring: f is een even functie. • verloop:
• tekenschema: x
x
f(x)
f
Alternatieve manier om een kwadratisch evenredig verband te herkennen. 1 2
x
3
f(x) = x 2
4
䉭y
5
−3
−2
䉭(䉭y)
6
38
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
−1
0
1
2
3
Bij een kwadratisch evenredig verband is het verschil in de verandering van de y-waarden constant als de x-waarden met een constante waarde toenemen. y = a ⴢ x 2 ⇒ 䉭(䉭y) = 2 ⴢ a
Voorbeeld 1 Toen de Apollo 15 in 1971 op de maan landde, deed de astronaut David Scott een valproef. Hij liet een hamer en een ganzenveer tegelijkertijd vanaf dezelfde hoogte vallen. De voorwerpen bereikten de grond op hetzelfde moment. Die proef bevestigde dat de maan geen dampkring heeft, dat er met andere woorden geen luchtwrijving is. Op de aarde is er natuurlijk wel wrijving, zodat voorwerpen trager vallen dan de traditionele wetten van de fysica voorspellen.
De tabel toont het verband tussen de afgelegde weg s, in m, en de tijd t, in s, van een vallend voorwerp op de maan. t (s)
2
3
4
5
6
s (m)
3,26
7,34
13,04
20,38
29,34
• Toon aan dat het verband tussen s en t kwadratisch evenredig is: • Geef het verband tussen s en t: • De valversnelling op de maan is het dubbele van de coëfficiënt van t 2, dus • Op de aarde is de valversnelling ongeveer 9,8 m/s 2. Geef het verband tussen de afgelegde weg van een vallend voorwerp op de aarde en de tijd: • Teken met ICT de grafieken van beide functies. Hou rekening met de fysische werkelijkheid. • Hoe zie je grafisch dat de valversnelling groter is op de aarde dan op de maan?
• Van welke hoogte valt een voorwerp dat na 2,5 s de grond bereikt: Á op aarde? Á op de maan? • Welke afstand zou een vallend voorwerp op aarde afleggen in de tijd die het nodig heeft om op de maan 40 m te vallen? Voorbeeld 2 In het midden van een vierkant plein met een oppervlakte van 200 m 2 wil je een cirkelvormig grasperk aanleggen. • Bepaal het verband dat de oppervlakte S geeft van het resterende (grijs gekleurde) deel van het plein in functie van de straal r van de cirkel.
• Teken met ICT de grafiek van de functie. • Hoe groot kan de straal van de cirkel maximaal zijn?
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
39
1.4.5 Andere machtsfuncties Voorbeeld 1 Als je een massa aan een veer hangt, ontstaat er een trilling. De trillingstijd van een massaveersysteem is de tijd die nodig is om 1 volledige beweging op en neer te maken. Het verband tussen de trillingstijd T, in s, en de massa m, in kg, wordt gegeven door de formule T = 2 ⴢ
冑
m . k
Daarbij is k de veerconstante in N/m. In de formule wordt de massa van de veer verwaarloosd.
• Vul de tabel aan voor de trillingstijd. k (N/m)
20
30
T (s)
T = 1,4 ⴢ 冪m
40
50
60
T = 冪m
• Teken met ICT de grafieken van de vierkantswortelfuncties. • Wat is de invloed van de parameter a in de formule T = a ⴢ 冪m op de grafiek?
Wat betekent dat fysisch?
• Bepaal het verschil in trillingstijd voor een massa van 5 kg als k = 30 en k = 60.
• Hoeveel maal groter moet de massa worden opdat de trillingstijd zou verdubbelen bij een massaveersysteem met k = 40? • Je hangt een massa van 8 kg aan een veer met k = 20. Welke massa zou je aan een veer met k = 50 moeten hangen om dezelfde trillingstijd te verkrijgen?
Grafiek van de functies f (x) = x 2 (x> 0) en g(x) = 冪x y
y = x2(x ≥ 0)
6
y=x
Wat is de ligging van beide grafieken t.o.v. elkaar?
5 4
1
3
2
2
Verklaring:
1
3 4
y = √x
x –1
1
2
3
4
5
–1
5 6
40
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
6
7
8
9
Voorbeeld 2 Fossiele brandstoffen (olie, steenkool, aardgas ...) kunnen uitgeput raken en van kernenergie is niet iedereen even wild. Daarom is men al geruime tijd op zoek naar alternatieve energiebronnen, zoals zonne- en windenergie. De laatste jaren worden steeds meer windmolens geplaatst om elektriciteit op te wekken. Het vermogen P van een windmolen is vooral afhankelijk van het type windmolen en van de windsnelheid v. Er geldt: P = a ⴢ v 3 (P in kW, v in m/s). • De tabel toont het gemiddelde vermogen van 3 types van windmolens bij een windsnelheid van 12 m/s. Bereken de parameter a, op 0,01 nauwkeurig, voor elk type windmolen. type
I
II
III
P (kW)
600
1 200
2 500
a • Teken met ICT de grafiek van de 3 verbanden (P en v zijn positieve veranderlijken!). • Omschrijf hoe je de grafiek van type II en van type III zou vinden vanuit de grafiek van type I.
• Met welke factor wordt het vermogen vermenigvuldigd als het tweemaal harder waait? type I:
type II:
type III:
• Op een bepaald moment levert een windmolen van type III een vermogen van 500 kilowatt. Welk vermogen zou een molen van type II opleveren bij dezelfde windsnelheid?
• Vorm de formule voor de windmolen van type II om zodat v de afhankelijke veranderlijke wordt.
Grafiek van de functies f (x) = x 3 en g(x) = 3冪x y 4
y=x
y = x3
Wat is de ligging van beide grafieken t.o.v. elkaar?
3 2
y = √x 3
1
x –5
–4
–3
–2 –1
1
2
3
4
5
Verklaring:
–1 –2 –3
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
41
1.4.6 Verbanden vergelijken Voorbeeld 1 De wekelijkse vraag naar een product A wordt gegeven door de functie q A (p) = 400 − 20 ⴢ p. 400 . Het wekelijks aantal verkochte eenheden van een gelijkaardig product B is q B (p) = p Daarbij is p de prijs per eenheid in euro. Bij welke prijs worden er van beide producten evenveel eenheden verkocht? Hoeveel eenheden zijn dat? Oplossing: • Breng de functievoorschriften in onder Y 1 en Y 2 . • Stel ze voor in een gepast venster.
• Bepaal de doorsnede door: calc
Á
2nd
f4
trace
L5
U
te drukken;
5
Á dicht bij een snijpunt te gaan staan; entry solve
Á tweemaal
enter
te drukken.
Voorbeeld 2 Toon grafisch aan dat een cirkel altijd een grotere oppervlakte heeft dan een vierkant met dezelfde omtrek. Oplossing: Stel: de omtrek is x, de zijde van het vierkant is z en de straal van de cirkel is r. Dan: 4z = x 2 ⴢ r = x
⇒z = ⇒r =
De oppervlakte van het vierkant is f(x) = z 2 = 1
De oppervlakte van de cirkel is g(x) = ⴢ r 2 =
2 3
Teken met ICT de grafieken van beide functies.
4 5 6
42
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
Oefeningen REEKS B 15
Tijdens een onweer kun je bepalen hoe ver de bliksem verwijderd is van de plaats waar je je bevindt. De tabel toont het verband tussen de afstand s, in m, van de bliksem en de tijd t, in s, tussen de bliksemschicht en de donderslag. t (s)
2
4
6
8
s (m)
662
1 324
1 986
2 648
a) Toon aan dat het verband tussen s en t recht evenredig is.
b) Geef de formule voor dat verband. c) Wat is de snelheid van het geluid? d) Tussen de bliksem en de donder verstrijken 2,5 s. Hoe ver weg is het onweer?
e) Hoelang zal het duren vooraleer je de donder hoort, als het onweer zich op 5 km bevindt?
Onweer ontstaat meestal bij warm en vochtig weer. De opstijgende warme lucht koelt af en vormt een wolk. In die wolk bevriezen sommige waterdruppels, die daardoor dalen en botsen met stijgende warme waterdruppels. Daardoor ontstaat elektrische lading. De lichtflits die je ziet bij onweer, is dus het resultaat van een elektrische ontlading. Donder is het geluid dat ontstaat door de grote hitte van de bliksem. 16
Tijdens de Ronde van Frankrijk wordt een tijdrit over 65 km gereden. Renner A haalt een gemiddelde snelheid van 45 km/h. Renner B, die 3 minuten later is gestart, haalt een gemiddelde van 47 km/h. a) Bepaal grafisch na hoeveel kilometer renner B renner A heeft ingehaald.
b) Hoelang hadden ze toen elk al gereden? A:
B:
c) Bepaal de eindtijd van beide renners. A:
B:
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
43
17
In de Verenigde Staten heeft men bij basketspelers van de NBA een onderzoek gedaan naar het verband tussen de maximale hoogte h van de vingertoppen (in vergelijking met de hoogte bij stilstand), in cm, en de sprongtijd t in seconden. De tabel geeft de gemiddelde resultaten. t (s)
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
h (cm)
19,5
30,5
43,9
59,8
78,1
a) Welk soort verband bestaat er tussen h en t?
b) Bepaal de formule voor het verband tussen h en t. c) Bereken de maximale hoogte voor een speler met een sprongtijd van 0,95 s.
d) Darrel Griffith sprong 120 cm hoog. Bereken zijn sprongtijd.
De Pont de Normandie is een van de meest indrukwekkende bruggen ter wereld. Ze overspant de Seine en heeft een lengte van 2 143 m. De brug wordt volledig ondersteund door 2 pilaren met een hoogte van 215 m en een gewicht van 20 000 ton. Het bouwwerk is zo geconstrueerd dat het windstoten tot 400 km/h kan weerstaan. 18
Bij herstellingswerken aan de Pont de Normandie laat een werknemer zijn hamer vallen van het hoogste punt van een van de pilaren. De hoogte, in m, na t seconden wordt gegeven door de functie h(t) = 215 − 4,9t 2. De snelheid van het vallende voorwerp voldoet aan het voorschrift v(t) = −9,8t. a) Teken met ICT de grafieken van beide functies. b) Bepaal het praktisch domein en bereik van beide functies. pdom h =
pber h =
pdom v =
pber v =
c) Waarom is de hoogte positief en de snelheid negatief?
1 2
d) Bepaal de snelheid van de hamer op een hoogte van 50 m.
3 4
e) Met welke snelheid bereikt de hamer de grond?
5 6
44
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
19
In een vat bevindt zich een hoeveelheid lucht die afgesloten is door een zuiger die zonder wrijving kan bewegen. De temperatuur blijft constant. Een onderzoeker meet het volume V, in dm 3, en de druk p, in bar. De tabel toont de resultaten. V (dm 3)
2,5
1,8
1,3
0,8
0,4
p (bar)
0,70
0,97
1,34
2,18
4,35
ZUIGER
a) Welk soort verband is er tussen p en V?
b) Bepaal de formule voor het verband.
c) Teken de grafiek van die functie. Hou rekening met de fysische werkelijkheid. d) Geef de fysische betekenis van de asymptoten.
e) In welke mate verandert de druk als het volume verdubbelt?
De vorige oefening toont een bijzonder geval van de algemene gaswet. Die wet beschrijft het verband tussen de druk, het volume en de temperatuur van een ideaal gas. Daarbij wordt verondersteld dat de gasmoleculen geen volume hebben en geen invloed op elkaar uitoefenen. Er geldt: p ⴢ V = n ⴢ R ⴢ T. Daarbij is p de druk in Pa (N/m 2), V het volume in m 3, n de hoeveelheid gas in mol en T de temperatuur in Kelvin (0 K is het absolute nulpunt = –273,15 ºC). J R is de gasconstante en is gelijk aan 8,314 472 (J is het aantal joule of Nm). K ⴢ mol Uit de algemene gaswet kun je 2 bijzondere wetten afleiden: • De wet van Boyle-Mariotte: p ⴢ V is constant als de temperatuur constant is. p • De wet van Gay-Lussac: is constant als het volume constant is. T
20
Hoe hoger je staat, hoe verder je kunt kijken. Bij helder weer wordt de afstand s, in km, tot de horizon gegeven door de formule s = 冪13h. Daarbij is h de hoogte in meter. a) Teken de grafiek van de functie s met behulp van ICT. b) Hoe hoog moet je staan om 20 km ver te kunnen kijken?
c) “Als je 2 keer zo hoog staat, kun je 2 keer zo ver kijken.” Klopt die bewering?
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
45
21
De geluidsintensiteit I, in W/m 2, op een afstand r van een geluidsbron met een vermogen P, P is gelijk aan I = (P in W, r in m). 4r 2 Op Rock Werchter heeft de geluidsinstallatie een vermogen van 80 000 W. Hoe ver moet je minstens van de boxen verwijderd staan opdat de geluidsintensiteit minder dan 1 W/m 2 (de pijngrens) zou bedragen?
22
De firma Bol & Bal krijgt de opdracht plastic ballen te maken als promotiemateriaal. De ballen moeten een volume hebben tussen 1 500 dm 3 en 2 000 dm 3. Bepaal grafisch, op 1 cm 2, hoeveel materiaal nodig is om 1 bal te vervaardigen 4 (V = r 3 en A = 4 r 2). 3
WISKUNDIG DESKUNDIG
REEKS C 23
Twee weerstanden R 1 en R 2 die parallel geschakeld zijn, hebben een vervangingsweerstand R, 1 1 1 die gegeven wordt door de formule = + . R R1 R2 Neem: R 1 = 100 ⍀ (Ohm). a) Vorm de formule om zodat je een expliciet verband verkrijgt met R als afhankelijke veranderlijke.
R1 R2
b) Stel de functie grafisch voor met ICT. Hou rekening met de fysische werkelijkheid. c) Bepaal de waarde voor R 2 zodat R = 60 ⍀. 1 2
d) Geef de fysische betekenis van de asymptoten van de getekende grafiek.
3 4 5 6
46
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
Kinetische energie is de energie die een voorwerp heeft omdat het beweegt. 1 ⴢ m ⴢ v 2. 2 Daarbij is m de massa in kg, v de snelheid in m/s en E k de energie in joule (J).
Er geldt: E k =
Potentiële energie is de mogelijkheid die een voorwerp heeft om energie op te wekken omdat het zich in een bepaalde toestand bevindt die onderworpen is aan een krachtveld. Een voorwerp dat zich op een bepaalde hoogte bevindt heeft potentiële zwaartekrachtenergie. Die energie is gelijk aan E p = m ⴢ g ⴢ h (m is de massa in kg, h de hoogte in m en g = 9,81 m/s 2). De som van de kinetische en de potentiële energie van een voorwerp blijft constant: E = E k + E p is constant (wet van behoud van energie).
24
Je laat een loden bal met een massa van 10 kg vanaf een hoogte van 100 m vallen. 1 De hoogte van de bal na t seconden is gelijk aan h = h 0 − g ⴢ t 2. 2 De snelheid na t seconden is gelijk aan v = − g ⴢ t. a) Druk de kinetische en de potentiële energie uit in functie van de tijd.
b) Teken met ICT de grafieken van beide functies. c) Toon aan dat E = E k + E p constant is.
d) Na hoeveel seconden is de kinetische energie gelijk aan de potentiële energie?
e) Op welke hoogte bevindt de bal zich dan?
f) Na hoeveel seconden is de potentiële energie gelijk aan 0 J?
g) Stel: f(t) = E p − E k . Maak een tekenschema van die functie. Hou rekening met de werkelijkheid. t f(t) h) Geef de fysische interpretatie van het tekenschema.
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
47
Wie kent Albert Einstein (1879-1955) niet? Toch dreigde Einstein in de vergetelheid te geraken toen hij, na zijn studies in de wis- en natuurkunde, de kost verdiende bij een patentbureau in Bern. Als student was hij niet echt onder de indruk van de schoonheid van de wiskunde. Zijn docent Minkowski vond hem zelfs een “luie hond”. Maar daar zou verandering in komen ... In 1905 schreef hij in een brief aan een vriend dat hij aan 4 artikels werkte, die zijn visie op de natuurkunde weergaven. Hij zette er de wetenschappen en de hele wereld mee op hun kop. Einstein ontving in 1921 de Nobelprijs voor Natuurkunde voor zijn ontdekking van het foto-elektrisch effect, maar is vooral bekend om zijn relativiteitsheorie. Die theorie omvat 2 delen: de speciale relativiteitstheorie (1905) en de algemene relativiteitstheorie (1916). In de speciale relativiteitstheorie gaat hij uit van de volgende principes: • Tijd is relatief (afhankelijk van de waarnemer). • Elke waarnemer ondergaat dezelfde natuurwetten. • Afstanden zijn relatief: voorwerpen in beweging worden korter gezien. • De lichtsnelheid c in het luchtledige is een constante. • Massa en energie zijn equivalent (E = m ⴢ c 2). In de algemene relativiteitstheorie gaat Einstein uit van een vierdimensionaal ruimte-tijdmodel om de kosmos te beschrijven. In dat model wordt de zwaartekracht gezien als een gevolg van de kromming van de ruimte-tijd onder invloed van massa en energie. Tot aan zijn dood in 1955 probeerde Einstein vruchteloos een universele theorie te vinden die alle natuurwetten verklaart. Daar is trouwens tot op heden nog niemand in geslaagd! Misschien een idee om mee in de geschiedenisboeken te komen?
25
De massa m van een voorwerp dat beweegt met een snelheid v, in m/s, wordt gegeven door m0 m= (m 0 is de massa in rust, c is de lichtsnelheid: 3 ⴢ 10 8 m/s). 2 v 1− 2 c
冑
a) Stel dat verband met ICT grafisch voor als m 0 = 100 kg (v ⬎ 0). b) Hoe zie je aan de grafiek dat de lichtsnelheid niet overschreden kan worden?
c) Hoe zie je aan de grafiek dat ‘lage’ snelheden geen invloed hebben op de massa?
1 2
d) In de deeltjesversneller van CERN, in Geneve, kan men de massa van een elektron verzwaren tot 200 miljoen keer de rustmassa. Welke snelheid heeft het elektron dan?
3 4 5 6
48
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
Periodieke verschijnselen Voorbeeld 1 Je bekijkt de hoogte, ten opzichte van de grond, van een van de wieken van een windmolen.
hoogte (m)
1.5
21
18
15
y=d 12 9
6
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
tijd (s)
• Hoe hoog bevindt het uiteinde van de wiek zich op zijn laagste punt? • Wat is de hoogte op het hoogste punt? • Hoe hoog boven de grond is het bevestigingspunt van de wieken? • Hoe lang is elke wiek? • Hoelang doet een wiek over 1 volledige omwenteling? • Op welke hoogte zal het uiteinde van de wiek zich bevinden na 20 s?
De grafiek van de hoogtefunctie vertoont een patroon dat zich om de
herhaalt.
Je noemt de functie periodiek met periode T = De frequentie f is het aantal perioden dat wordt doorlopen in 1 s. Hier is f = De grafiek varieert tussen het maximum
en het minimum
Het gemiddelde van deze waarden is d = De rechte met vergelijking y = d is de evenwichtslijn van de grafiek. De maximale uitwijking ten opzichte van de evenwichtslijn is Dat (positieve) getal is de amplitude a van de periodieke functie.
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
49
Definitie
Periodieke functie Een functie waarvan de grafiek een patroon vertoont dat zich regelmatig herhaalt, is een periodieke functie. Benamingen en notaties • De lengte van het interval waarin het patroon zich 1 keer voordoet, is de periode T. 1 • De frequentie f is het aantal doorlopen periodes per seconde. Er geldt: f = . T De eenheid van frequentie is Hertz (Hz). • Als m de minimale functiewaarde is en M de maximale functiewaarde, dan is de horizontale m+M de evenwichtslijn voor de grafiek. rechte met vergelijking y = d = 2 • Het positieve getal a = M – d is de amplitude van de periodieke functie. Voorbeeld 2 De grafiek toont het verloop van een wisselspanning. • T=
U (V) 320
• f=
280
• Na hoeveel seconden wordt de maximale waarde bereikt?
240 200 160 120 80 40
• In de elektriciteitsleer geldt:
t (s) 0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
effectieve waarde =
–40
maximale waarde
–80
冪2
Bepaal de effectieve waarde:
–120 –160 –200
• Geef alle nulwaarden van de functie U.
–240 –280 –320
Opmerkingen
hoogte van de waterstand (m MSL) 20 6:0 0
Bij natuurverschijnselen heb je soms te maken Soms worden periodieke verschijnselen met afwijkingen van een zuiver periodieke functie. beschreven door een samenstelling van periodieke functies. y
4 3 2
0 20 6:0
.12 26
4
27 .1
:00 06
:00 25
.12
06
06 :00 .12
3
–4
24
2
1 0 –1 –2 –3
23 .1
1
5 4 3 2 1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7
x 0,2 0,4 0,6 0,8
5 6
50
De periode is ongeveer
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
uur.
De periode is
1
1,2 1,4 1,6 1,8
2 2,2 2,4 2,6 2,8
Oefeningen REEKS B 26
De ademhaling van een sporter tijdens een inspanning wordt bestudeerd. Daarbij wordt de luchtstroomsnelheid v, in l/s, positief gerekend bij het inademen en negatief bij het uitademen. v 2 1,5 1 0,5 2
4
6
8
t
10
–0,5 –1 –1,5 –2
a) Bepaal de periode: T = b) Wat betekent T fysisch? c) Hoeveel keer ademt de sporter in en uit per minuut? d) Wat is de maximale luchtstroomsnelheid? e) Na hoeveel seconden wordt die bereikt? f) Bepaal alle nulwaarden. g) Wat is de fysische betekenis van die nulwaarden?
27
Je maakt een slinger door een massa van 5 kg aan een staaf met een lengte van 3 m te hangen en die een uitwijkhoek van 10º te geven. Deze grafiek toont de uitwijking u, in m, van de slinger tegenover de evenwichtstoestand. Hierbij is t de tijd in seconden. u 0,6
a) T =
0,5
b) f =
0,4
c) a =
0,3 0,2 0,1 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
t
d) Bepaal alle nulwaarden op 0,001 nauwkeurig:
–0,1 –0,2 –0,3 –0,4 –0,5
e) Wanneer heeft de slinger een maximale snelheid?
–0,6
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
51
28
De grafiek beschrijft de hoogte, in m, boven de grond van iemand die in een reuzenrad zit. Daarbij is t de tijd in minuten. h 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 10
20
30
40
50
60
70
80
90
t
a) Op hoeveel meter boven de grond stapt hij in? b) Na hoeveel minuten bereikt hij een maximale hoogte? c) Wat is die maximale hoogte? d) Bepaal de vergelijking van de evenwichtslijn: e) Wat is de diameter van het reuzenrad? f) Hoelang duurt 1 volledige omwenteling? g) Hoeveel omwentelingen doet hij in 4 uren? h) Bepaal zijn hoogte na 2 h 50 min:
De tijd die verloopt tussen zonsopgang en zonsondergang noem je de astronomische daglengte. Deze grafiek toont die daglengte in uren voor Ukkel. daglengte
29
a) Bepaal de periode. 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
b) Op welke dag is de daglengte minimaal? c) Hoelang duurt een dag op die datum?
d) Bepaal de vergelijking van de evenwichtslijn. 50
1
100
150
200
250
300
350
dagnummer
e) Wat is de betekenis van de evenwichtslijn?
2 3 4
f) De grafiek vertoont 2 buigpunten (een overgang van een holle naar een bolle kromme of omgekeerd). Wat is de fysische betekenis van die buigpunten?
5 6
52
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
REEKS C 30
De grafieken tonen een vereenvoudigd model voor de hoogte van het zeewater op 1 januari in Oostende en in La Trinité-sur-Mer (Bretagne). h (m)
La-Trinité-sur-Mer
5
4
3
2
1
Oostende 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
t (h)
a) Bepaal de periode voor beide badplaatsen. • Oostende: • La Trinité: b) Geef de vergelijking van de evenwichtslijn voor: • Oostende: • La Trinité: c) Wanneer (op een kwartier nauwkeurig) zal het in Oostende hoogwater zijn?
d) Wanneer (op een kwartier nauwkeurig) zal het in La Trinité laagwater zijn?
e) Bepaal de waterstand op 2 januari om 12 uur voor: • Oostende:
• La Trinité:
f) Hoelang staat het zeewater op 1 januari hoger in Oostende dan in La Trinité?
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
53
31
Geluiden bestaan uit kleine veranderingen in de luchtdruk die je trommelvlies bereiken en die je dankzij zenuwimpulsen kunt registreren. Hoe groter de amplitude van de trilling, hoe sterker het geluid. Hieronder zijn 3 geluidsgolven voorgesteld. △p (µPa) geluid 2
3
2 geluid 1 geluid 3
1
t (s) 0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
–1
–2
–3
a) Vul de tabel in. periode
frequentie
amplitude
geluid 1 geluid 2 geluid 3
b) Bepaal de drukverandering 䉭p van geluid 1 na 0,3 s.
c) Je hoort het tweede geluid in totaal gedurende 5 s. Hoeveel honderdsten van een seconde is de drukverandering (verhoging of verlaging) meer dan 2 μPa (micropascal)?
1
d) De geluiden 1 en 3 hoor je gedurende 6 s. Hoeveel honderdsten van een seconde levert het derde geluid meer drukverandering dan het eerste geluid?
2 3 4 5 6
54
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
STUDIEWIJZER Grafisch onderzoek van functies 1.1 Grafieken en tabellen KUNNEN Door extrapolatie een waarde schatten die buiten een rij waargenomen waarden ligt. Door interpolatie een tussenliggende waarde schatten bij een rij waargenomen waarden.
1.2 Verbanden tussen grootheden KENNEN Een onafhankelijke veranderlijke is een gegeven of vrij te kiezen grootheid. Een afhankelijke veranderlijke is een gemeten of voorspelde grootheid.
KUNNEN Een gegeven verband omvormen naar de gevraagde afhankelijke veranderlijke.
1.3 Functies KENNEN Een verband tussen 2 grootheden bepaalt een functie als er voor elke waarde van de onafhankelijke veranderlijke hoogstens één waarde voor de afhankelijke veranderlijke bestaat. Het domein van een functie f, dom f , is de verzameling van de argumenten waarvan het beeld door f bestaat. Het bereik van een functie f, ber f, is de verzameling van de mogelijke functiewaarden. Het praktisch domein van een functie f , pdom f, is het deel van het domein dat de fysisch aanvaardbare argumenten bevat. Het praktisch bereik van een functie f , pber f, is het deel van het bereik dat de fysisch aanvaardbare beelden bevat. Een nulwaarde van een functie f is een getal a waarvan het beeld f (a) gelijk is aan 0. Een nulwaarde van een functie f is de x-coördinaat van een gemeenschappelijk punt (snijpunt of raakpunt) van de grafiek van f met de x-as. Een functie f bereikt een relatief minimum in a als f in a de overgang maakt van dalen naar stijgen. Een functie f bereikt een relatief maximum in b als f in b de overgang maakt van stijgen naar dalen.
KUNNEN Het (praktisch) domein en bereik bepalen van een functie uit het voorschrift en de grafiek. De nulwaarden van een functie bepalen uit het voorschrift en de grafiek. De betekenis ervan geven bij praktische problemen. Het tekenschema en het verloop van een functie bepalen, met behulp van de grafiek. De betekenis ervan geven bij praktische problemen.
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES
55
1.4 Verbanden beschrijven met machtsfuncties KENNEN Twee grootheden y en x zijn recht evenredig als de verhouding
y constant is. x
Als 2 grootheden y en x recht evenredig zijn met evenredigheidsfactor a, dan is y = a ⴢ x. De grafische voorstelling van het recht evenredig verband y = a ⴢ x is een (deel van een) rechte door de oorsprong met richtingscoëfficiënt a. Een verband is lineair als bij gelijke verandering van de onafhankelijke veranderlijke x een gelijke verandering van de afhankelijke veranderlijke y hoort. De vergelijking van een lineair verband is y = a ⴢ x + b. Twee grootheden y en x zijn omgekeerd evenredig als hun product y ⴢ x constant is. Als 2 grootheden y en x omgekeerd evenredig zijn, dan is y = a . x Twee grootheden y en x zijn kwadratisch evenredig als de verhouding
y constant is. x2
Als 2 grootheden y en x kwadratisch evenredig zijn, dan is y = a ⴢ x 2.
KUNNEN De verschillende soorten machtsfuncties herkennen en er fysische problemen mee oplossen. Van die machtsfuncties het domein, het bereik, de nulwaarden, de eventuele asymptoten, het tekenschema en het verloop kunnen interpreteren. Van periodieke functies, met een gegeven grafiek, de periode, de frequentie, de evenwichtslijn en de extreme waarden bepalen en er een fysische interpretatie aan geven.
1.5 Periodieke verschijnselen KENNEN Een functie waarvan de grafiek een patroon vertoont dat zich regelmatig herhaalt, is een periodieke functie. De lengte van het interval waarin het patroon zich 1 keer voordoet, is de periode T.
CONTRACTWERK
1 2 3 4 5 6
56
HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES