Pienter 5/6 tso Integralen - inkijkexemplaar leerwerkboek

Pi enter INTEGRAALREKENING

Derde graad TSO

Etienne Goemaere Dirk Taecke Stephan Wellecomme MET MEDEWERKING VAN Guy Gijbels

1

2

3

4

5

6

Integraalrekening

©

VA N

IN

Derde graad TSO

Etienne Goemaere Dirk Taecke Stephan Wellecomme MET MEDEWERKING VAN Guy Gijbels

Inhoudsopgave Hoe werk je met Pienter?

4

Hoofdstuk 1

5

Onbepaalde integralen

15

Hoofdstuk 3 De hoofdstelling

27

Hoofdstuk 4 Oppervlakteberekening

43

Hoofdstuk 5 Integratie door substitutie

57

Š

VA N

IN

Hoofdstuk 2 Bepaalde integralen

Hoe werk je met Pienter? Elk hoofdstuk start met een leuke cartoon en een realistische inleiding of kort onderzoek.

2.1

Oppervlakte van een vlakdeel

2.1.1 Voorbeeld 1 Je wandelt aan een constante snelheid van 5 km/h. Welke afstand heb je afgelegd na 2 uren?

Stap voor stap kom je meer te weten over wiskunde in het dagelijks leven. Je leert formuleren in definities, eigenschappen, rekenregels of besluiten. Je leert ook eigenschappen bewijzen.

y (snelheid in km/h)

De afgelegde weg kun je ook berekenen als de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door

6 y=5

5

⎧ – de grafiek van de functie f (x) = 5

4

⎪

⎨ – de x-as

3

⎪

⎩ – de verticale rechten x = 0 en x = 2

1.1

Primitieve functies

1.1.1

Afgeleide van een functie

1 x (tijd in h)

Deze oppervlakte is

1

2

2.1.2 Voorbeeld 2

Stel: f is een functie en a behoort tot dom f.

Een auto rijdt aan een snelheid van 15 m/s de autostrade op. De chauffeur duwt het gaspedaal stevig in, zodat zijn snelheid elke seconde met 3 m/s toeneemt. Na 6 s bereikt hij zijn gewenste snelheid. Welke afstand heeft hij afgelegd tijdens de laatste 2 seconden van zijn acceleratie?

Afgeleide van een functie

Definitie

2

f (a + h ) – f (a ) De afgeleide van f in a is Df (a) = lim _____________. h h→0 De afgeleide functie van f is de functie Df: x ↦ Df (x).

Df (a) is een maat voor de helling van de grafiek van f in het punt P (a,f (a)). Rekenregels

Dc = 0 Dx = 1 n n–1 Dx = n ? x

D (r ? f) = r ? Df D (f + g) = Df + Dg

De afgelegde weg is de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door

(r is een reëel getal)

⎧ – de grafiek van de functie f (x) = 15 + 3x

Definitie

Een functie F is een primitieve functie van f als DF = f.

REEKS A   eenvoudige toepassingen Voorbeeld

REEKS B   basisniveau

6

VA N

3

1

2

D [F1 (x) – F2 (x)] = 0

16

2

Interessante weetjes of achtergrond herken je aan Als F een primitieve functie is van f, dan zijn de functies met voorschrift F (x) + c (c is een reëel getal) ook primitieve functies f. een van kader met vraagteken.

3

Voorbeeld

Eigenschap

5

7

linkersommen

middensommen

x xx

Bereken a aa de grondoppervlakte b bb x x van de keuken. a aa aa

bb

a)

aa

3.2 De hoofdstelling van de integraalrekening



a

f (x)dx = F (b) – F (a).

KUNNEN

bovensommen van Darboux 6m y yy

trapeziumregel

KENNEN f (x)dx = 0



b



b

c

f (x)dx =



c

a

f (x)dx = –



b

f (x)dx

a

f (x)dx

a

[r ? f (x) + s ? g (x)]dx = r ?



a

b

f (x)dx + s ?



b

g (x)dx

a

.

3.4 Gemiddelde waarde van een functie

KENNEN De gemiddelde waarde van een continue veranderlijke f (x) in een interval [a, b] is gelijk aan

x xx b bb x x bb

x xx b bb x x bb

a aa aa

c cc d dd c c dd

x xx xx

In elk deelinterval wordt de grafiek benaderd door een parabool,

1

2

a

b

f (x) dx = lim

14:36

[ ∑ f(z i) ⋅ x i] n

n → +∞ i = 1

Hierbij wordt een interval [a, b] in n deelintervallen verdeeld met een willekeurige breedte xi (de intervallen hoeven dus niet allemaal dezelfde breedte te hebben). Het getal zi is een willekeurig getal in het i-de deelinterval.

Je kunt er digitaal oefenen op jouw maat zodat je de leerstof helemaal onder de knie krijgt. Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) behoort tot de allergrootste wiskundigen ooit. b

1 f (x) = ______ ?  f (x)dx b–a a

3

KUNNEN

yy

reeds in de oudheid gebruikt, onder andere voor het berekenen van de oppervlakte van een cirkel of de oppervlakte ingesloten door 2 parabolen. Newton en Leibniz werkten op het einde van de 17de eeuw een systematische aanpak uit om bepaalde integralen te berekenen. Een streng wiskundig gefundeerde aanpak ontbrak echter. HOOFDSTUK 4 I OPPERVLAKTEBEREKENING 53 Pas in de 19de eeuw slaagde de Duitse wiskundige Bernhard Riemann erin om, als eerste, het begrip bepaalde integraal een correcte wiskundige definitie te geven, hierbij gebruik makend van het limietbegrip. Pienter graad_562836_01_PIE_LWS_chap4.indd 53 28/02/2020 In de theorie van Riemann wordt een bepaalde integraal als volgt gedefinieerd:

Wil je nog meer? Verken dan ons onlineleerplatform

regel van Simpson y yy

y yy yy

de maximale functiewaarde vind de functiewaarden van de wat gevormd door de intervalgrenzen Op het einde van elk hoofdstuk je alles je moet van elk deelinterval. intervalgrenzen. en het midden. In het deelinterval [c, d] geldt: kennen en kunnen bijeengebracht in een handige studiewijzer. f (x) dx d – maken. c ⋅ f (c) + 4 ⋅ f _____ c+d _____ Dat is een ideale leidraad om je samenvatting ≈te ( 2 ) + f (d)] [ 6 Ook het contractwerk helpt je door bijdehet studeren. Een oppervlakte benaderen som te berekenen van oppervlakten van gekende figuren werd

3.3 Eigenschappen van integralen

b

x xx b bb x x bb

a aa aa

d

b

Bepaalde integralen berekenen door gebruik te maken van het verband tussen een bepaalde integraal en een primitieve functie (dus een onbepaalde integraal).

∫a

x xx b bb x x bb

∫c

KENNEN Als F een primitieve functie is van f, dan geldt:

f (x)dx +

y yy yy

Dit icoon en de groene achtergrond geven aan waar uitbreidingsleerstof of -oefeningen aangeboden worden.

STUDIEWIJZER De hoofdstelling

∫a

x (tijd in s) 7

27/04/2020 23:27

De georiënteerde hoogte De georiënteerde kleine elke rechthoek is oppervlakte: en grote basissen zijn c) van Berekening van de

b

6

Breng een gepast assenstelsel aan op de figuur. De georiënteerde hoogte De georiënteerde hoogte De georiënteerde hoogte van elke rechthoek is elke rechthoek rechthoek is de minimale b) vanOpstellen van deisvergelijkingvan vanelke de rechtermuur: 2van het de functiewaarde van de yfunctiewaarde functiewaarde van elk deelinterval. = a ? (x – α) + β het begin van elk deelinterval. midden van elk deelinterval.

a aa aa

a

5

ondersommen van Darboux

y yy yy

y yy yy

yy

∫a

4

De methode die je tot nu toe hebt gebruikt om (georiënteerde) oppervlakten te benaderen, noemt men de methode van de rechtersommen. De georiënteerde hoogte van elke rechthoek is de functiewaarde van het einde van elk deelinterval. Er bestaan nog andere benaderingsmethodes voor bepaalde integralen.

HOOFDSTUK 1 I ONBEPAALDE INTEGRALEN

594575_PIE3_Integralen_LWS_chap1.indd 6

3

Berekening van de oppervlakte:

Twee primitieve functies van een functie f verschillen slechts in een constante.

6

6

b)

(c is een constante)

Bepaal alle primitieve functies van f (x) = 2x.

4

2

HOOFDSTUK 2 I BEPAALDE INTEGRALEN

©

1

F1 (x) – F2 (x) = c

1

2

y = a ? (x – α) + β

5

Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en Stel: F en F zijn primitieve functies van f. (x) = DFeen (x) = f (x) Dan: DF aangeduid met verticale streep. DF1 (x) – DF2 (x) = 0

Opstellen van de vergelijking:

4

Geef het voorschrift van alle primitieve functies van f: F (x) =

2

(4, ___)

25

=

2

REEKS C   verdiepingsniveau 1

⎩ – de verticale rechten x = 4 en x = 6

20 = oppervlakte trapezium De Berliner Bogen is een modern kantoorgebouw in Hamburg. 15 2 Bereken hoeveel m glas er nodig was voor de parabolische voorgevel, kleine basis + grote basis 10 = ⋅ hoogte als______________________ je weet dat die 72 m breed en 36 m hoog is. 2 5

a) =

1

, want

De functie F2 (x) = 3x + 4 is ook een primitieve functie van f, want

1.1.3 Eigenschap

30

IN

Na elk stukje theorie kun je meteen oefenen. Primitieve functie Er zijn drie reeksen oefeningen:

In sommige toepassingen is het nodig uit de afgeleide functie de originele functie terug te zoeken.

De functie F1 (x) = 3x is een primitieve functie van f (x) =

35

⎪

⎨ – de x-as

1.1.2 Primitieve functies

y = 15 + 3x (6, ___)

y (snelheid in m/s)

⎪

Bepaalde integralen gebruiken in vraagstukken uit de fysica, de economie ...

4

Bij het lesmateriaal ontdek je onder meer: • extra uitbreidingsleerstof en -oefeningen, • instructiefilmpjes als je iets uitgelegd wilt zien.

CONTRACTWERK

5

22

Hij gaf niet alleen een nauwkeurige definitie van het begrip bepaalde integraal, maar was ook een van de grondleggers van de moderne meetkunde. Zijn 'elliptische' meetkunde van de gekromde ruimten werd later gebruikt als basis voor de relativiteitstheorie van Einstein.

HOOFDSTUK 2 I BEPAALDE INTEGRALEN

Pienter graad_562836_01_PIE_LWS_chap2.indd 22

28/02/2020 14:47

HOOFDSTUK 1  I  ONBEPAALDE INTEGRALEN

1.1

6

Primitieve functies

1.2 Onbepaalde integraal

7 14

©

VA N

IN

Studiewijzer

HOOFDSTUK 1  I  ONBEPAALDE INTEGRALEN

5

1.1

Primitieve functies

1.1.1 Afgeleide van een functie Stel: f is een functie en a behoort tot dom f. Afgeleide van een functie

Definitie

f (a + h ) – f (a )     ​   ​. De afgeleide van f in a is Df (a) = ​​  lim​ ​​ ​ _____________ h h→0 De afgeleide functie van f is de functie Df: x​  ↦ Df (x)​​. Df (a) is een maat voor de helling van de grafiek van f in het punt P ​​(a,f (a))​​. Rekenregels

Dc = 0 Dx = 1 n n – 1 Dx = n ? x

D (r ? f) = r ? Df D (f + g) = Df + Dg

IN

1.1.2 Primitieve functies

(r is een reëel getal)

In sommige toepassingen is het nodig uit de afgeleide functie de originele functie terug te zoeken.

VA N

Primitieve functie

Definitie

Een functie F is een primitieve functie van f als DF = f.

Voorbeeld

De functie F1 (x) = 3x is een primitieve functie van f (x) =

, want

De functie F2 (x) = 3x + 4 is ook een primitieve functie van f, want

©

Geef het voorschrift van alle primitieve functies van f: F (x) =

1.1.3 Eigenschap

Stel: F1 en F2 zijn primitieve functies van f. Dan:

DF1 (x) = DF2 (x) = f (x)

DF1 (x) – DF2 (x) = 0

D [F1 (x) – F2 (x)] = 0 Eigenschap

1 2 3 4 5

F1 (x) – F2 (x) = c

(c is een constante)

Twee primitieve functies van een functie f verschillen slechts in een constante.

Als F een primitieve functie is van f, dan zijn de functies met voorschrift F (x) + c (c is een reëel getal) ook primitieve functies van f. Voorbeeld Bepaal alle primitieve functies van f (x) = 2x.

6 HOOFDSTUK 1  I  ONBEPAALDE INTEGRALEN

1.2

Onbepaalde integraal

1.2.1 Definitie Definitie

Onbepaalde integraal De onbepaalde integraal van f is de verzameling van alle primitieve functies van f. Notatie ​​​ ​f (x) dx = F (x) + c​​

als f (x) = DF (x) (c is een reëel getal: de integratieconstante).

Een functie f ‘integreren’ betekent dat je alle primitieve functies van f bepaalt.

De integraalnotatie is afkomstig van Leibniz, die samen met Newton de grondlegger is van de wiskundige analyse. f(x)dx Hij beschouwde de oppervlakte van een willekeurige figuur als de som van oneindig veel oneindig smalle rechthoekjes met hoogte f (x) > 0 en breedte dx. integrand van x De langgerekte S als integraalsymbool staat voor ‘calculus summatorius’ (het rekenen met oneindige sommen). De benaming ‘integraal’ werd voor het eerst gebruikt door Jacob Bernoulli. Het samenvoegen van oneindig veel zeer smalle rechthoekjes, noemde hij ‘calculus integralis’.

VA N

IN

integraalteken

1.2.2 Integreren van veeltermfuncties Integraal van een constante

·· D (5x) =    ​​⇒ ​​ ​ ​   dx = 5x + c​​ Formule ​​

©

·· ​​​ ​(–2)dx = ​​      , want

​ ​r dx = r ? x + c​​

(r en c zijn reële getallen)

Integraal van een macht 2

​⇒ D ​ ______ ​  ​x​​  ​   ​ = x ⇒ ​​ ​x dx =​​ ( )

·· D​​x​​  2​​ =

·· ​​​ ​​x​​  2​dx =​​

Formule ​​

, want

n+1

​  ​x​​  ​  ​  + c​ ​ ​​x​​  ​ dx =​ _____ n + 1 n

(n en c zijn reële getallen, n ≠ –1)

​x​​  n+1​  ​ ​  = Inderdaad: D ​(​ _____ n + 1 )

Integraal van een veelvoud en van een som De volgende eigenschappen volgen uit gelijkaardige eigenschappen voor afgeleiden.

Eigenschap ​​

​ ​r ? f  (x) dx = r ? ​​ ​f (x) dx​​​

(r is een reëel getal) ​​​ ​[f (x) + g (x)] dx = ​​ ​f (x) dx + ​​ ​g (x)​dx​​​ HOOFDSTUK 1  I  ONBEPAALDE INTEGRALEN

7

1.2.3 Voorbeelden ·· ​​​ ​4​x​​  3​dx = 4 ? ​​ ​​x​​  3​dx =​​​ ·· ​​​ ​(3​x​​  2​  –  5x + 1)dx = ​​ ​3​x​​  2​dx – ​​ ​5x dx + ​​ ​1 dx =​​​​​ 3 3  ​  x + 10 ​dx =​​ ·· ​​ ​ ​​(– __ ​  1  ​  ​x​​  ​  + 7 ​x​​  2​  – ​ __ ) 2 4

1.2.4 Toepassingen Voorbeeld 1 De snelheid v, in km/h, van een fietser wordt gegeven door de functie 2 v (t)= –10​​t​​  ​​ + 30t + 20.

IN

Hierbij is t de tijd, in h, nadat je hem hebt gezien (0 < t < 3). Bereken zijn afgelegde weg na 2 h, als je weet dat hij al 25 km had afgelegd toen je hem zag. v (t) = Ds (t) ⇒ s (t) = ​​​ ​v (t) dt​​

s (t) =​​​ ​(–10​t​​  ​  + 30t + 20)dt​ =​

VA N

2

Om de integratieconstante te bepalen, gebruik je de beginvoorwaarde: s (0) = 25 ⇒

©

Dus: c = s (t) =

⇒ s (2) =

Voorbeeld 2 Een bedrijf produceert inbouwovens. De marginale kostprijs MK, in euro, om de x-ste oven te fabriceren wordt gegeven door de functie MK (x) = –0,015​​x​​  2​​ + 6x + 50. De dagelijkse vaste kosten van de firma bedragen 5 000 euro. Bereken de totale kostprijs om 400 ovens per dag te produceren. 1 2 3

4 5

8 HOOFDSTUK 1  I  ONBEPAALDE INTEGRALEN

Oefeningen REEKS A 1

Bereken de onbepaalde integralen. a)

b)

​​​ ​(5 – 4x)dx​​

d)

​​​ ​(3​x​​  2​  –  2x + 4)dx​​

e)

3

IN VA N

​​​ ​(–2​x​​  ​  + x – 1)dx​​ 2

​​​ ​(​x​​  ​  + 2​x​​  2​  –  5x + 7)dx​​

f)

​​​ ​(–5​x​​  ​ – ​x​​  ​  + 3x – 5)dx​​ 3

2

©

2

3

c)

​​​ ​(8​x​​  ​  –  6​x​​  2​  + 2x)dx​​

Een bedrijf maakt externe harde schijven. De vaste kosten bedragen 10 000 euro per maand. De marginale kostprijs MK, in euro, om de x-ste schijf te produceren, wordt gegeven door de functie MK (x) = 95 – 0,01x (0 < x < 6 000). Bereken de totale kosten om 3 000 harde schijven per maand te produceren.

HOOFDSTUK 1  I  ONBEPAALDE INTEGRALEN

9

3

Een eenmansbedrijf produceert goedkope skateboards. De marginale opbrengst MO, in euro, bij de verkoop van het x-ste skateboard wordt gegeven door de functie MO (x) = 0,000 6​​x ​​ 2​​ – 0,16x + 25. Bereken de totale opbrengst als het bedrijf 60 skateboards verkoopt.

4

Sven laat een steen vallen vanop een hoogte van 70 m. De snelheid v, in m/s, van de steen wordt gegeven door de functie v (t) = –9,8t. Hierbij is t de tijd in seconden. Bereken de hoogte van de steen na 3 seconden.

IN

VA N

5

©

De snelheid v, in m/s, van een remmende auto wordt gegeven door de functie v (t) = 30 – 6t. Hierbij is t de tijd in seconden. a)  Hoelang duurt het voor de wagen stilstaat?

b)  Bereken de remafstand.    1 2

3 4 5

10

HOOFDSTUK 1  I  ONBEPAALDE INTEGRALEN

REEKS B Bereken de onbepaalde integralen. a)

b)

x  ​  ​dx​​ ​​​ ​​(6 – ​ __ 4)

d)

3 3  ​  ​dx​​ ​​  ​  + ​ __ x  ​  – ​ __ ​​​ ​​(–  ____ ​  4​x ​  5 2 4)

x ? (1 – 5x) ​​​ ​ ​ __________  ​      dx​​ 2

2

VA N

2 ​x​​  ​  –  5x + 1 ​​​ ​ ​ ___________  ​      dx​​ 3

©

7

e)

c)

​​​ ​(2x – 3) ? (x + 1)dx​​

IN

6

f)

2

​​​ ​​(3x + 2)​​  ​dx​​

Een motorrijder heeft een snelheid van 80 km/h, wanneer hij op 70 m voor zich een stilstaande 2 vrachtwagen ziet. Hij begint te remmen, waardoor er een vertraging optreedt van 4 m/​​s​​  ​​. Zal de motor tegen de vrachtwagen botsen?

HOOFDSTUK 1  I  ONBEPAALDE INTEGRALEN

11

8

Een luchtballon stijgt met een snelheid van 10 m/s. 2 Vanop een hoogte van 500 m valt een bal naar beneden. De valversnelling is 9,8 m/​​s​​  ​​. a)  Bepaal de snelheidsfunctie v (t) van de bal.

b)  Bepaal de functie h (t) die de hoogte van de bal weergeeft.

IN

c)  Na hoeveel tijd zal de bal de grond raken? Los op met ICT.

VA N

d)  Tegen welke snelheid raakt de bal de grond?

9

©

Een school wil 100 nieuwe tafels aankopen. De leverancier doet het volgende aanbod: de eerste tafel kost 100 euro, de tweede 99,50 euro, de derde 99 euro ... a)  Bepaal de marginale kostprijs voor de x-ste tafel.          b)  Bereken de totale kostprijs voor de 100 tafels.

1 2

3 4 5

12

HOOFDSTUK 1  I  ONBEPAALDE INTEGRALEN

10

In een biologisch tuinbedrijf kweekt men sluipwespen om parasieten te bestrijden. 2 Het aantal uitgekomen sluipwespen per dag wordt gegeven door de functie g (t) = 30 + 0,15​​t ​​ ​​. 2 Dagelijks sterven er ook sluipwespen. Dat aantal wordt gegeven door s (t) = 6 + 0,10​​t ​​ ​​. Hierbij is t het aantal dagen na de start van het kweekprogramma. Bereken, met integralen, het totaal aantal sluipwespen na 30 dagen.

Het aantal faillissementen f in België wordt benaderd door de functie 3 f (x) = -1,052​​x ​​ 4​​ + 28,833​​x ​​ ​​ – 171,14​​x ​​ 2​​ + 447,46x + 7 289. Daarbij is x het aantal jaren na 2002. Bereken, met integralen, het totaal aantal faillissementen tussen 2002 en 2010.

IN

11

VA N

12

©

De tabel toont hoeveel T-shirts van een bepaald merk een kledingzaak per week verkocht heeft. week

q

1 2 3 4 5

40 39 37 34 29

a)  Bepaal, via kwadratische regressie, de functie q (t), waarbij t de tijd is in weken.

b)  Bereken, met integralen, de totale verkoop na 8 weken.

HOOFDSTUK 1  I  ONBEPAALDE INTEGRALEN

13

STUDIEWIJZER Onbepaalde integralen 1.1 Primitieve functies KENNEN Een functie F is een primitieve functie van f als DF = f.

Als F een primitieve functie is van f, dan zijn de functies met voorschrift F (x) + c (c is een reëel getal) ook primitieve functies van f.

1.2 Onbepaalde integraal KENNEN De onbepaalde integraal ​​ f (x) dx​​ van f is de verzameling van alle primitieve functies van f.

​​​ ​r dx = r ? x + c​​

(r en c zijn reële getallen) ​​ ​ ​​x​​  n​ dx = _____ ​  ​x​​  ​  ​   + c​​ n + 1



​​​ ​r ? f (x) dx = r ? ​​ ​f (x) dx​​​ (r is een reëel getal)

n+1

(n ≠ –1)

​​ [f (x) + g (x)]dx = ​​ f (x) dx + ​​ g (x) dx​​​

KUNNEN

IN

De onbepaalde integraal berekenen van een veeltermfunctie met een graad die hoogstens 3 is. Onbepaalde integralen gebruiken bij toepassingen uit de reële wereld.

©

VA N

CONTRACTWERK

1

2 3

4 5

14

HOOFDSTUK 1  I  ONBEPAALDE INTEGRALEN

HOOFDSTUK 2  I  BEPAALDE INTEGRALEN

2.1 Oppervlakte van een vlakdeel

16

2.2 Georiënteerde oppervlakte van 19

2.3 Bepaalde integraal

21

Studiewijzer

26

©

VA N

IN

een vlakdeel

HOOFDSTUK 2  I  BEPAALDE INTEGRALEN

15

2.1

Oppervlakte van een vlakdeel

2.1.1 Voorbeeld 1 Je wandelt aan een constante snelheid van 5 km/h. Welke afstand heb je afgelegd na 2 uren?

y (snelheid in km/h)

De afgelegde weg kun je ook berekenen als de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door

6 y=5

⎧ –  de grafiek van de functie f (x) = 5 ⎪ ​​    ​   –  de x-as     ​  ​ ​​​ ⎨

4 3

⎪

Deze oppervlakte is

2 1 x (tijd in h)

IN

⎩ –  de verticale rechten x = 0 en x = 2

5

1

2

VA N

2.1.2 Voorbeeld 2

©

Een auto rijdt aan een snelheid van 15 m/s de autostrade op. De chauffeur duwt het gaspedaal stevig in, zodat zijn snelheid elke seconde met 3 m/s toeneemt. Na 6 s bereikt hij zijn gewenste snelheid. Welke afstand heeft hij afgelegd tijdens de laatste 2 seconden van zijn acceleratie?

De afgelegde weg is de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door ⎧ –  de grafiek van de functie f (x) = 15 + 3x ⎪ ​​    ​   –  de x-as      ​   ​​​ ​ ⎨ ⎪

⎩ –  de verticale rechten x = 4 en x = 6 = oppervlakte trapezium

kleine basis + grote basis = ______________________ ​​        ​  ⋅ hoogte​ 2 1

=

3

=

4

2

5

16

HOOFDSTUK 2  I  BEPAALDE INTEGRALEN

y = 15 + 3x (6, ___)

y (snelheid in m/s) 35 30

(4, ___)

25 20 15 10 5 1

2

3

4

5

6

x (tijd in s) 7

2.1.3 Voorbeeld 3 y

y=x

18

Bereken de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door

2

⎧ –  de grafiek van de functie f (x) = ​x​​  2​ ⎪ ​​     –  de x-as     ​ ​  ​ ​​​ ⎨ ⎪ ⎩ –  de verticale rechten x = 0 en x = 4

16 14 12 10 8 6 4 2

x 1

2

3

4

Je beschikt niet over een pasklare formule om de gevraagde oppervlakte te berekenen. Daarom wordt een benaderingsmethode gebruikt.

• Verdeel het interval [0, 4] (breedte = 4) in een aantal deelintervallen met gelijke breedte. Neem bijvoorbeeld 4 deelintervallen. y=x

16 12

4 2

VA N

10 6

• breedte = de intervalbreedte = __ ​​  4 ​​  = 1 4 • hoogte = de functiewaarde van het intervaleinde.

14

8

Je verkrijgt 4 rechthoeken met

2

IN

y 18

x

1

2

3

4

De som van de oppervlakten van deze rechthoeken is een benadering voor de te berekenen oppervlakte.

©

Oppervlaktebenadering

4 ​   ⋅ f ​ 1 ⋅ ​ __ 4 ​   ​ + ​ __ 4 ​   ⋅ f ​ 2 ⋅ ​ __ 4 ​   ​ + ​ __ 4 ​   ⋅ f ​ 3 ⋅ ​ __ 4 ​   ​ + ​ __ 4 ​   ⋅ f ​ 4 ⋅ ​ __ 4 ​   ​ ​= ​ __ 4 ( 4) 4 ( 4) 4 ( 4) 4 ( 4) 4 ​   ⋅ ​ f ​ 1 ⋅ ​ __ 4 ​   ​ + f ​ 2 ⋅ ​ __ 4 ​   ​ + f ​ 3 ⋅ ​ __ 4 ​   ​ + f ​ 4 ⋅ ​ __ 4 ​   ​ ​ = ​ __ 4 [ ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 )] 4 4 4 __ __ = ​  ∑   ​ ​ ​   ​   ⋅ f ​(i ⋅ ​   ​  )​ 4 i  =  1 4

Om deze som uit te rekenen met de TI84:

• voer je het functievoorschrift in onder Y1, • druk je

a-lock

alpha

tbl set f2

window

L2

Z

2

• vul je de sommatie aan en druk je

entry solve

enter

Om het aantal deelintervallen (bijvoorbeeld n = 8) te veranderen, kun je de regel aanpassen zoals hiernaast.

HOOFDSTUK 2  I  BEPAALDE INTEGRALEN

17

Een meer visuele benadering van de oppervlaktebenadering kun je verkrijgen met het programma OPPBENA waarbij je bijvoorbeeld kiest voor de methode van rechtersommen. n = 16

benadering =

n = 32

benadering =

n = 128

benadering =

• De benadering wordt beter naarmate het aantal deelintervallen groter wordt. Dus: de oppervlakte van het vlakdeel = ​ ​  lim​ ​​​ (oppervlaktebenadering) n  →  +∞

n = 10 000

IN

n = 1 000

VA N

oppervlakte van het vlakdeel = ​​  lim​ ​​​ (oppervlaktebenadering) =

©

n  →  +∞

1

2 3 4 5

18

HOOFDSTUK 2  I  BEPAALDE INTEGRALEN

2.2

Georiënteerde oppervlakte van een vlakdeel

2.2.1 Voorbeeld 1 Saïda opent een nieuwe spaarrekening. Op het diagram zie je haar totale maandelijkse verrichtingen gedurende de eerste 12 maanden. Bereken het jaarsaldo.

450 350

bedrag in euro

250

150 50

–50 –150 –250 1

2

3

4

5

6 7 8 maand

9

10 11 12

IN

–350

Elke rechthoek van het diagram heeft als breedte 1. Het jaarsaldo kan dan beschouwd worden als het verschil van de totale oppervlakte van de rechthoeken boven de x-as en de totale oppervlakte van de rechthoeken onder de x-as.

Anders gezegd: om het jaarsaldo te berekenen worden rechthoeken boven de x-as van een positieve oppervlakte voorzien, rechthoeken onder de x-as van een negatieve oppervlakte.

VA N

2.2.2 Voorbeeld 2

Een projectiel wordt, vanop de grond, verticaal omhooggeschoten met een beginsnelheid van 98 m/s. De snelheid v, in m/s, na t seconden wordt gegeven door de functie v (t) = 98 – 9,8 ? t.

• Bepaal de functie die de hoogte h, in m, van het projectiel geeft na t seconden.

©

• Bereken de hoogte na 16 s: • Bereken de oppervlakte van het vlakdeel 

boven de t-as

v 100

60

20



onder de t-as

–20

t 2

6

10

14

18

22

v = 98 – 9,8t

–60 –100

• Wat is het verband tussen het gearceerde vlakdeel en de hoogte na 16 s?

HOOFDSTUK 2  I  BEPAALDE INTEGRALEN

19

2.2.3 Definitie Definitie

Georiënteerde oppervlakte van een vlakdeel De georiënteerde oppervlakte van een vlakdeel · dat boven de x-as ligt, is gelijk aan de oppervlakte van dat vlakdeel; · dat onder de x-as ligt, is gelijk aan het tegengestelde van de oppervlakte van dat vlakdeel; · dat zowel boven als onder de x-as ligt, is het verschil van de oppervlakten van de vlakdelen boven de x-as en de oppervlakten van de vlakdelen onder de x-as. y

a

III c

II

d

x e

b IV

De georiënteerde oppervlakte van het gearceerde vlakdeel is gelijk aan oppervlakte I – oppervlakte II + oppervlakte III – oppervlakte IV.

2.2.4 Voorbeeld 3

IN

I

y

Bereken de georiënteerde oppervlakte van het vlakdeel begrensd door

VA N

⎧ –  de grafiek van de functie f (x) = x​ ​​  3​ ⎪ ​​⎨   ​   –  de x-as     ​  ​ ​​​ ⎪

⎩ –  de verticale rechten x = –1 en x = 2

y=x

8 7 6 5 4 3 2 1 –1

©

• Verdeel het interval [–1, 2] in een aantal deelintervallen met gelijke breedte.

–1

3

x

1

2

n = 30

• Voor elk deelinterval vermenigvuldig je de breedte van het interval met de functiewaarde van het intervaleinde. Op die manier krijgen de rechthoeken

1

2



boven de x-as een positieve georiënteerde oppervlakte;



onder de x-as een negatieve georiënteerde oppervlakte.

De som van deze georiënteerde oppervlakten is een benadering voor de georiënteerde oppervlakte van het gearceerde vlakdeel.

• Laat het aantal deelintervallen onbeperkt toenemen om de benadering te verbeteren.

3 4 5

20

De georiënteerde oppervlakte ≈ HOOFDSTUK 2  I  BEPAALDE INTEGRALEN

2.3

Bepaalde integraal

2.3.1 Definitie Definitie

Bepaalde integraal De bepaalde integraal van de functie f in het interval [a, b] is de georiënteerde oppervlakte van het vlakdeel begrensd door ⎧ –  de grafiek van de functie  f ⎪ ​​⎨   ​   –  de  x-as     ​  ​ ⎪

⎩ –  de verticale rechten  x = a  en  x = b

​​​

b

Notatie  ​​  ​   ​  f (x) dx​​ a

2.3.2 Voorbeeld 1

12 y 10 8

3

​​   ​ (2x + 5)dx =​ ​  ​

6 4 2

IN

–2

x 1 2 3 4

VA N

–3 –2 –1 –2

y = 2x + 5

2.3.3 Voorbeeld 2 2

Bereken  ​​    ​ (​  –3x + 2)dx​​ –2

Je tekent met ICT de grafiek van de functie f (x) = –3x + 2.

©

De grafiek ligt boven de x-as in het interval          en onder de x-as in          2

​​   ​ (​  –3x + 2)dx =​​ –2

2.3.4 Voorbeeld 3 6

Bereken  ​​    ​ (​ ​  x​​  2​ – 2x – 8)dx​​ –3

In het grafisch venster kun je een bepaalde integraal berekenen door:

calc

f4

u

O

7

• te drukken, • de ondergrens in te voeren, • enter te drukken, • de bovengrens in te voeren, • enter te drukken. 2nd

trace

Je kunt de bepaalde integraal ook in het basisscherm berekenen.

y

tbl set f2

a-lock

Je drukt test

(of

A

math

window

alpha w

L4

4

Q

9

)

en vult het sjabloon aan.

y

De gevraagde integraal is

HOOFDSTUK 2  I  BEPAALDE INTEGRALEN

21

De methode die je tot nu toe hebt gebruikt om (georiënteerde) oppervlakten te benaderen, noemt men de methode van de rechtersommen. De georiënteerde hoogte van elke rechthoek is de functiewaarde van het einde van elk deelinterval. Er bestaan nog andere benaderingsmethodes voor bepaalde integralen. linkersommen

middensommen

ondersommen van Darboux

y yy y y

y yy y y

x xx b bb x x bb

a aa aa

y yy y y

x xx b bb x x bb

a aa aa

x xx b bb x x bb

a aa aa

De georiënteerde hoogte van elke rechthoek is de functiewaarde van het begin van elk deelinterval.

De georiënteerde hoogte van elke rechthoek is de functiewaarde van het midden van elk deelinterval.

De georiënteerde hoogte van elke rechthoek is de minimale functiewaarde van elk deelinterval.

bovensommen van Darboux y yy

trapeziumregel

regel van Simpson y yy

y yy y y

x xx b bb x x bb

a aa aa

x xx b bb x x bb

VA N

a aa aa

y y

IN

y y

De georiënteerde kleine en grote basissen zijn de functiewaarden van de intervalgrenzen.

©

De georiënteerde hoogte van elke rechthoek is de maximale functiewaarde van elk deelinterval.

c cc d dd c c dd

x xx x x

In elk deelinterval wordt de grafiek benaderd door een parabool, gevormd door de intervalgrenzen en het midden. In het deelinterval [c, d] geldt: d

​∫c ​  ​ f (x) dx​

​≈ _____ ​  d – c  ​    ⋅ ​[f (c) + 4 ⋅ f ​(_____ ​  c + d  ​    ​ + f (d)]​ 2 ) 6

Een oppervlakte benaderen door de som te berekenen van oppervlakten van gekende figuren werd reeds in de oudheid gebruikt, onder andere voor het berekenen van de oppervlakte van een cirkel of de oppervlakte ingesloten door 2 parabolen. Newton en Leibniz werkten op het einde van de 17de eeuw een systematische aanpak uit om bepaalde integralen te berekenen. Een streng wiskundig gefundeerde aanpak ontbrak echter. Pas in de 19de eeuw slaagde de Duitse wiskundige Bernhard Riemann erin om, als eerste, het begrip bepaalde integraal een correcte wiskundige definitie te geven, hierbij gebruikmakend van het limietbegrip. In de theorie van Riemann wordt een bepaalde integraal als volgt gedefinieerd: ​​ ​   ​  f (x) dx = ​  lim​ ​​​[​  ∑     ​​  f (​z​  i​​) ⋅ ​x​  i​​​]​​​ n  →  + ∞ i  =  1 b

n

a

1

2 3 4 5

22

Hierbij wordt een interval [a, b] in n deelintervallen verdeeld met een willekeurige breedte nxi (de intervallen hoeven dus niet allemaal dezelfde breedte te hebben). Het getal zi is een willekeurig getal in het i-de deelinterval. Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) behoort tot de allergrootste wiskundigen ooit. Hij gaf niet alleen een nauwkeurige definitie van het begrip bepaalde integraal, maar was ook een van de grondleggers van de moderne meetkunde. Zijn ‘elliptische’ meetkunde van de gekromde ruimten werd later gebruikt als basis voor de relativiteitstheorie van Einstein. HOOFDSTUK 2  I  BEPAALDE INTEGRALEN

Oefeningen REEKS A 1

Bereken de bepaalde integralen door gebruik te maken van oppervlakteformules. a)

4

​  ​   ​ (–2)dx​​

y

–1

1 x

–1

1

2

3

4

–1

–2

y = –2

–3

b)

6

​ ​   ​ (x + 1)dx​​ 1

IN

–1

c)

VA N

5

​   ​ (​  –2x + 6)dx​​ –2

©

d)

7 6 5 4 3 2 1 –1

y

y = x +1

x 1

2

3

4

5

6

7

5

6

y = –2x + 6 y 12 10 8 6 4 2 –3 –2 –1 –2 –4

x 1

2

3

4

4

​​   ​ (3x + 3)dx​ ​  ​

16

–4

y

y = 3x + 3

12

8 4

–5 –4 –3 –2 –1 –4

–12

x 1

2

3

4

5

–8

e)

8

1  ​  x + 2)dx​​ ​   ​ ( ​  – ​ __ –3

2

y y = – –1x + 2 2 4 3 2 1

–4 –3 –2 –1 –1

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

–2

HOOFDSTUK 2  I  BEPAALDE INTEGRALEN

23

REEKS B 2

Bereken de bepaalde integralen door gebruik te maken van oppervlakteformules. a)

– __ ​  1  ​  2

​​  ​   ​ ​(___ ​  3x ​   –  3)​dx​​ 2 – __ ​  7  ​

y

y = 3x –– –3 2 x 1 2

1

2

–4

–3

–2

–1

–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

b)

4

​​   ​ (​  –3x + 5)dx​​

y = –3x + 5

18

–4

y

14 10

IN

6 2

x

– 4 –3 –2 –1 –2

c)

3

y

4

y = 1+3x ––––– 4

3 2

©

3

–10

1 + 3x ​​   ​ ​ ​  ______  ​     dx​​ 4 –4

2

–6

VA N

1

1 x –4

–3

–2

–1

1

2

3

–1 –2

–3

3 ​   ​ __

d)

2 ​​   ​ ​​ (–  __ ​  2 ​   x – 2)​dx​​ 7 19 ___ – ​   ​    2

y

2 y = – –x – 2 7

1

x –10

1

2 3 4 5

24

HOOFDSTUK 2  I  BEPAALDE INTEGRALEN

–8

–6

–4

–2

2 –1 –2

3

Benader de bepaalde integralen met behulp van ICT. Geef telkens de grafische interpretatie van het resultaat. a)

2

​​   ​ (4 – ​ ​  x​​  2​)dx​​

d)

0

–2

b)

5

​​ ​   ​ (3 – 2​x​​  2​)dx​​

e)

VA N

3 ​​  ​   ​ ​(__ ​  1  ​  ​x​​  ​ – 4)​dx​​ 2 –1 5

f)

©

3

IN

4

3

​​   ​ (​  –2​x​​  ​ + 3​x​​  2​ + 9x – 10)dx​​ –3

2

c)

2

3 ​​ ​   ​  (​x​​  ​ – 3​x​​  2​ + 2x)dx​​

2

​​   ​ (3​ ​  x​​  ​ + 17​x​​  2​ + 21x – 9)dx​​ 3

–5

De marginale kostprijs MK, in euro, om de x-ste externe harde schijf te produceren wordt gegeven door de functie MK (x) = 95 – 0,01x (0 < x < 6 000). Bereken, met een bepaalde integraal, de stijging van de kosten als de maandelijkse productie wordt opgevoerd van 2 000 naar 3 000 stuks.

HOOFDSTUK 2  I  BEPAALDE INTEGRALEN

25

STUDIEWIJZER Bepaalde integralen 2.1 Oppervlakte van een vlakdeel KUNNEN De oppervlakte berekenen van een vlakdeel begrensd door de grafiek van een veeltermfunctie, de x-as en twee verticalen, hetzij met oppervlakteformules, hetzij met een benaderingsmethode.

2.2 Georiënteerde oppervlakte van een vlakdeel KENNEN De georiënteerde oppervlakte van een vlakdeel • dat boven de x-as ligt, is gelijk aan de oppervlakte van dat vlakdeel; • dat onder de x-as ligt, is gelijk aan het tegengestelde van de oppervlakte van dat vlakdeel; • dat zowel boven als onder de x-as ligt, is het verschil van de oppervlakten van de vlakdelen boven de x-as en de oppervlakten van de vlakdelen onder de x-as.

KUNNEN

2.3 Bepaalde integraal

IN

De georiënteerde oppervlakte berekenen van een vlakdeel begrensd door de grafiek van een veeltermfunctie, de x-as en twee verticalen, hetzij met oppervlakteformules, hetzij met een benaderingsmethode.

VA N

KENNEN

De bepaalde integraal van de functie f in het interval [a, b] is de georiënteerde oppervlakte van het vlakdeel begrensd door

⎧–  de grafiek van de functie f ​⎨–  de x-as    ​  ​  ​ ​​​ ⎩–  de verticale rechten x = a en x = b ⎪

⎪

b



Notatie ​ ​   ​  f (x) dx​​

©

a

KUNNEN

Bepaalde integralen berekenen hetzij met oppervlakteformules, hetzij met een benaderingsmethode. De uitkomst van een bepaalde integraal interpreteren als georiënteerde oppervlakte en de betekenis ervan inzien bij het oplossen van praktische problemen.

CONTRACTWERK

1

2 3

4 5

26

HOOFDSTUK 2  I  BEPAALDE INTEGRALEN

HOOFDSTUK 3  I  DE HOOFDSTELLING

28

3.2 De hoofdstelling van de integraalrekening

29

3.3 Eigenschappen van integralen

30

3.4 Gemiddelde waarde van een functie

32

Studiewijzer

42

©

VA N

IN

3.1 Inleidende voorbeelden

HOOFDSTUK 3  I  DE HOOFDSTELLING

27

3.1

Inleidende voorbeelden

3.1.1 Voorbeeld 1 • Bereken ​​  ​   ​ 2x​ dx​ 3

y

y = 2x

6

1

5

4

3 2

1 x 1

2

3

• ​​ 2x dx​​=

• F (3) – F (1) =

VA N

Besluit:

IN

Stel: c = 0, dan F (x) =      is een primitieve functie van f (x) = 2x.

3.1.2 Voorbeeld 2 4

• ​​ ​   ​ ​x​​  2​ dx =​​      (zie paragraaf 2.1.3) 0

©

• ​​​ ​​x​​  2​ dx =​​

Stel: c = 0, dan F (x) =      is een primitieve functie van f (x) = x​​ ​​  2​​.

• F (4) – F (0) = Besluit:

3.1.3 Voorbeeld 3 • De functie F (x) =      is een primitieve functie van f (x) = ​​x​​  3​​.

• Maak gebruik van deze primitieve functie om de volgende bepaalde integraal te berekenen: 2

1 2

3

​​  ​   ​ ​x​​  ​dx =​​ 3

–1

• Controleer je antwoord met behulp van paragraaf 2.2.4.

4 5

28

HOOFDSTUK 3  I  DE HOOFDSTELLING

3.2

De hoofdstelling van de integraalrekening

3.2.1 De stelling van Newton-Leibniz Stelling

b

Als F een primitieve functie is van f, dan geldt:  ​​  ​   ​ f (x)dx = F (b) – F  (a)​​​​ a

Notatie b

b

​​ ​   ​  f (x)dx = [​​ F (x)]​​  a​​  = F (b) – F  (a)​​​​ a

3.2.2 Voorbeelden

​   ​​  ​ ​ =​​ • ​ ​   ​ ​x​​  d​ x = ​​[___ ​  ​x​​   ​ 3 ]2 2 4

2

3

4

Grafische betekenis:

IN

1

3 • ​​   ​ (2x – 4​ ​  x​​  ​)dx =​​

3

VA N

–2

3 • ​​   ​ (2​ ​  x​​  ​ – ​x​​  2​ + 3x – 4)dx =​​ –2

©

De hoofdstelling is genoemd naar Newton en Leibniz, omdat Newton de eerste was die er een wiskundig bewijs voor vond en Leibniz de notaties invoerde die we nu nog gebruiken. De methode was echter niet volledig nieuw. De eersten die een verband vermoedden tussen integralen en afgeleiden (ook al werden deze begrippen toen nog niet zo genoemd) waren Barrow, de leermeester van Newton, en Torricelli, in het begin van de 17de eeuw.

Isaac Barrow

Evangelista Torricelli

Isaac Newton

Gottfried W. Leibniz

HOOFDSTUK 3  I  DE HOOFDSTELLING

29

3.3

Eigenschappen van integralen

3.3.1 Eigenschap 1 voorbeeld 2

algemeen a

​​   ​ ​​  x​​  ​dx =​​

​​ ​   ​  f (x)dx​​ =

3

a

–2

a

Eigenschap ​​

 ​   ​ f (x)dx = 0​​ a

Een integraal waarvan de bovengrens gelijk is aan de ondergrens, is gelijk aan 0. Grafische interpretatie:

IN

3.3.2 Eigenschap 2 voorbeeld 3

1

1

​​ ​   ​ ​x​​  2​dx =​​ 3

Dus:

Eigenschap ​​

a

b

​​ ​   ​ f (x) dx =​​

VA N

​​ ​   ​ ​x​​  2​dx =​​

algemeen

a

a

​​ ​   ​  f (x) dx =​​ b

Dus:

b

©

 ​   ​ f (x) dx =​ –​ ​   ​ f (x) dx​​ b

a

Als je de integratiegrenzen van plaats verwisselt, dan verandert het teken van de integraal. 1

Geef de grafische interpretatie van  ​​  ​   ​ ​x​​  2​dx​:​ 3

Besluit 1

Om de georiënteerde oppervlakte van een vlakdeel te berekenen met integralen, zorg je er altijd voor dat de ondergrens kleiner is dan de bovengrens.

2

3

b

Als a > b, dan is  ​​  ​   ​ f (x)dx​​ a

4 5

30

HOOFDSTUK 3  I  DE HOOFDSTELLING

3.3.3 Eigenschap 3 voorbeeld

algemeen

3

1

c

b

​​   ​ (3​ ​  x​​  2​ + 2x)dx​ + ​ ​   ​ (3​x​​  2​ + 2x)dx =​​

​​ ​   ​ f (x)dx + ​ ​   ​  f (x)dx =​​​

–1

a

1

b

c

3

​​  ​   ​  (3​x​​  2​ + 2x)dx =​​

​​ ​   ​ f (x) dx =​​

a

IN

–1

c

Eigenschap ​​

c

b

a

a

y

VA N

 ​   ​ f (x) dx =​  ​ ​   ​ f (x) dx +​  ​ ​   ​ f (x) dx​​ b

©

y = f(x)

x a

b

c

3.3.4 Eigenschap 4 Uit een gelijkaardige eigenschap van onbepaalde integralen volgt onmiddellijk de volgende eigenschap. Eigenschap ​​

b

b

b

 ​   ​ [r ? f (x) + s ? g (x)]dx =​r ? ​ ​   ​ f (x)dx +​ s ? ​ ​   ​ g (x)dx​​ a

a

a

HOOFDSTUK 3  I  DE HOOFDSTELLING

31

3.4

Gemiddelde waarde van een functie

3.4.1 Definitie Definitie

Gemiddelde waarde van een functie De gemiddelde waarde van een continue veranderlijke f (x) in een interval [a, b] is gelijk aan ‾ ​ ​ = ______ f (x)  ​  1   ​  ? ​ ​   ​ f (x)dx​​ b – a a b

Grafische betekenis

y y = f (x)

y = f (x)

a

b

IN x

VA N

3.4.2 Voorbeelden

• Van alle reële getallen in het interval [0, 2] wordt de derde macht berekend. Bepaal de gemiddelde waarde van de resultaten.

©

2

• De snelheid v, in km/h, van een fietser wordt gegeven door de functie v (t) = –10​​t​​  ​​ + 30t + 20. Hierbij is t de tijd in uren (0 < t < 3). Bereken de gemiddelde snelheid gedurende de volledige rit.

1 2

3 4

5

32

HOOFDSTUK 3  I  DE HOOFDSTELLING

Oefeningen REEKS A 1

Bereken de bepaalde integralen. 1

a)

​​   ​ (3​ ​  x​​  2​  –  4x + 5)dx​​ –2

​​ ​   ​ (–​x​​  2​ + 3x – 2)dx​​ 0

3

c)

VA N

IN

4

b)

​​   ​ (4​ ​  x​​  2​ + 3x)dx​​

©

–3

4

d)

​​  ​   ​ (–5​x​​  2​  –  7x + 1)dx​​ –1

HOOFDSTUK 3  I  DE HOOFDSTELLING

33

2

Bereken de bepaalde integralen. 2

a)

​​  ​   ​ (4​x​​  ​  –  6​x​​  2​ + 3)dx​​ 3

–1

0

b)

​​   ​ (–2​ ​  x​​  ​ + ​x​​  2​  –  2x + 1)dx​​ 3

–3

IN

VA N

3

c)

​​   ​ (​ ​  x​​  ​ + 3​x​​  2​  –  5x + 3)dx​​ 3

–2

©

5

d)

​​ ​   ​ (–3​x​​  ​ + 2​x​​  2​  –  7x + 4)dx​​ 3

1

1 2

3 4

5

34

HOOFDSTUK 3  I  DE HOOFDSTELLING

3

Bereken de bepaalde integralen. 7

a)

​​ ​   ​ (​x​​  ​ – ​x​​  2​  –  5)dx​​ 3

7

–1

b)

​– ​ ​   ​ (–3​x​​  ​ + 4x + 2)dx​​ 3

2

0

2

IN

c)

​​   ​ (4​ ​  x​​  2​  –  x + 2)dx​ + ​ ​   ​ (4​x​​  2​  –  x + 2)dx​​ –3

0

VA N

©

2

d)

2

​​ ​   ​ (–4​x​​  ​ + 5​x​​  2​  –  x)dx​ – ​ ​   ​ (–4​x​​  ​ + 5​x​​  2​  –  x)dx​​ 1

3

3

4

HOOFDSTUK 3  I  DE HOOFDSTELLING

35

4

Bereken de bepaalde integralen. 4

a)

​​   ​  (–5​ ​  x​​  2​ + x – 3)dx​​ 1  ​  – ​ __ 2

b)

__ ​  9 ​   4

​​   ​  (​ ​  x​​  2​  –  4x + 5)dx​​  7 ​   – ​ __ 4

IN

3,1

c)

VA N

​​  ​   ​  (–2​x​​  ​ + 5x – 4)dx​​ 3

0,8

©

1

d)

7  ​  – ​ __ 2

1 2

3 4

5

36

__ ​  9 ​   2

​​   ​ (​ ​  x​​  ​ + 7​x​​  ​  –  3x + 1)dx + ​ ​   ​ (​x​​  ​ + 7​x​​  2​  –  3x + 1)dx​​​ 3

HOOFDSTUK 3  I  DE HOOFDSTELLING

2

1

3

5

Bereken de gemiddelde waarde van f (x) in het gegeven interval. a)

f (x) = 3x + 1

in [–1, 3]

b)

2

f (x) = 1 – x

in [2, 5]

IN

c)

3

VA N

2

f (x) = ​​x​​  ​​ + x​​ ​​  ​​

©

in [2, 3]

d)

3

f (x) = –2​​x​​  ​​ + x – 2

in [–3, 2]

HOOFDSTUK 3  I  DE HOOFDSTELLING

37

REEKS B 6

Een firma vervaardigt schoolrugzakken voor kinderen. De marginale opbrengst MO, in euro, van de x-ste rugzak die ze verkopen wordt gegeven door de functie MO (x) = 24 – 0,04x. Bereken de meeropbrengst als hun verkoop stijgt van 200 naar 300 stuks.

De snelheid v, in m/s, van een remmende auto wordt gegeven door v (t) = 25 – 5,5t. Hierbij is t de tijd in seconden. Welke afstand legt de auto af tijdens de derde seconde van de rembeweging?

VA N

IN

7

©

8

Raf rijdt 2 uur met zijn auto. Zijn snelheid v, in km/h, wordt gegeven door de functie 2 v (t) = 300t – 150​​t​​  ​​ (0 ⩽ t ⩽ 2). Hierbij is t de tijd in uren. Bereken zijn gemiddelde snelheid over de hele rit.

1 2

3

4 5

38

HOOFDSTUK 3  I  DE HOOFDSTELLING

9

Diego en Isabella runnen een schoonheidssalon. De marginale opbrengst MO, in euro, 2 voor de x-ste klant is gelijk aan MO (x) = –0,015x + 0,3x + 30. Bereken de gemiddelde opbrengst per klant als ze 30 klanten hebben ontvangen.

De snelheid v, in m/s, van een benjispringer na t seconden, wordt gegeven door de functie 2 v (t) = 1,14​​t ​​ ​​ – 7,38t – 6. a)

Bereken welke afstand hij heeft afgelegd tijdens de vierde seconde van zijn sprong.

©

VA N

10

IN

b)

Bereken zijn gemiddelde snelheid in het tijdsinterval [3, 6].

HOOFDSTUK 3  I  DE HOOFDSTELLING

39

11

Het aantal geboortes n, per 1 000 vrouwen, in West-Europa wordt benaderd door de functie 2 n (x) = –0,5x  + 25x – 229. Hierbij is x de leeftijd van de vrouw. Bereken het totaal aantal geboortes per 1 000 vrouwen in de leeftijdsklasse [​​ 20, 25 ]​​.

De groeisnelheid v, in cm per week, van een zonnebloem wordt benaderd door de functie 2 v (t) = –0,685t  + 13,715t – 27,041. Hierbij is t de tijd in weken (3 < t < 17). Bereken de gemiddelde toename van de lengte tussen week 7 en week 10.

IN

12

VA N

©

13

Het aantal schadegevallen bij auto-ongevallen die bij de verzekeringsmaatschappijen zijn 3 geregistreerd, kan benaderd worden met de functie n (x) = 503,5​​x​​  ​​ -7 123​​x​​  2​​+ 26 243x + 341 583. Hierbij is n het aantal schadegevallen en x het aantal jaren na 2007 (0 ⩽ x ⩽ 10). Bereken het totaal aantal schadegevallen in de periode van 2010 tot en met 2015.

1

2

3

4

5

40

HOOFDSTUK 3  I  DE HOOFDSTELLING

REEKS C In de natuurkunde drukt het begrip arbeid uit welke inspanning wordt geleverd om een voorwerp te verplaatsen. Arbeid wordt uitgedrukt in Joule (1 J = 1 Nm).

• Als een constante kracht met grootte F, in N, wordt gebruikt om een voorwerp over een afstand nx, in m, in de richting van de kracht te verplaatsen, dan is de geleverde arbeid W = F ? nx.

F X

• Als een voorwerp zich op een rechtlijnige baan

beweegt, waarbij de niet-constante kracht en de verplaatsing dezelfde richting hebben, dan verdeel je de verplaatsing [a, b] in kleine verplaatsingen nx waarbinnen de grootte van de kracht als constant kan worden beschouwd.

Fx

• De elementaire arbeid is nW = Fx ? nx

(Fx is de componente van de kracht F langs de x-as). b

X

b

• De totale arbeid is W = ∑ ​​  ​ ​  ​F  ​  x​​ ? x.​​ a

• Als nx → 0, dan W = ​​  lim​ ​​​(​∑ ​  ​F  ​  x​​ ? x​)​​, en dus  ​ a

IN

a

x

b

b

x  →  0

​ W= ​  ​   ​ ​F​  x​​ dx.​​ 14

VA N

a

Een veer is 30 cm lang. Een uitwendige kracht van 100 N maakt de veer 5 cm langer. Hoeveel arbeid wordt er verricht als de lengte van 30 cm naar 60 cm wordt gebracht?

©

F

Volgens de wet van Hooke wordt de grootte van de kracht die nodig is om een veer vanuit een rusttoestand met een afstand x uit te rekken, gegeven door F = k ? x. Hierbij is k de veerconstante. 15

Een treinstel remt iets te laat af, waardoor het stootblok 20 cm wordt ingedrukt. 6 De buffers van het stootblok hebben een veerconstante 4 · 10 N/m. Bepaal bij hoeveel cm het stootblok 2 keer zo veel energie kan opnemen als bij 20 cm.

HOOFDSTUK 3  I  DE HOOFDSTELLING

41

STUDIEWIJZER De hoofdstelling 3.2 De hoofdstelling van de integraalrekening KENNEN



b

Als F een primitieve functie is van f, dan geldt: ​  ​   ​  f (x)dx = F (b) – F (a).​ a

KUNNEN Bepaalde integralen berekenen door gebruik te maken van het verband tussen een bepaalde integraal en een primitieve functie (dus een onbepaalde integraal).

3.3 Eigenschappen van integralen KENNEN a

​∫ ​ ​ f (x)dx = 0 a

c

b

c

​∫ ​ ​ f (x)dx​ + ​ ​   ​  f (x)dx =​ ​ ​   ​  f (x)dx​ a

a

b

​ ​ ​   ​  f (x)dx =​ –​ ​   ​  f (x)dx​ a

b

a

b

​∫ ​  ​ ​[r ? f (x) + s ? g (x) ]​dx = r​ ? ​ ​   ​  f (x)dx + s​ ? ​ ​   ​  g (x)dx​ a

a

b

IN

b

b

a

3.4 Gemiddelde waarde van een functie

KENNEN

VA N

De gemiddelde waarde van een continue veranderlijke f (x) in een interval [a, b] is gelijk aan

​‾ f (x) ​​ = ______ ​​  1   ​​  ? ​  ​   ​  f (x)dx​ b – a a



b

KUNNEN

Bepaalde integralen gebruiken in vraagstukken uit de fysica, de economie ...

©

CONTRACTWERK

1

2

3

4 5

42

HOOFDSTUK 3  I  DE HOOFDSTELLING

HOOFDSTUK 4  I  OPPERVLAKTEBEREKENING

4.1 Oppervlakte tussen een grafiek en de x–as 44 46

4.3 Zwaartepunt van een vlakke figuur

47

Studiewijzer

56

©

VA N

IN

4.2 Oppervlakteberekening met ICT

HOOFDSTUK 4  I  OPPERVLAKTEBEREKENING

43

4.1

Oppervlakte tussen een grafiek en de x–as

4.1.1 Voorbeeld 1 y

2

y=x +x–2

5 4 3 2 1

I –3

–2

–1

Bereken de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door ⎧–  de grafiek van de functie f (x) = ​x​​  2​ + x – 2 ⎪ ​​ –  de x–as      ​  ​   ​​​​ ⎨

x 1

–1 II –2 –3

⎪

⎩–  de verticale rechten x = –3 en x = 1

2

• Omdat een bepaalde integraal de georiënteerde oppervlakte van een vlakdeel berekent, bepaal je de ligging van de grafiek ten opzichte van de x–as in het integratie–interval: x

–3

–2 +

0

–

–3

1

​  ​   ​  f (x) dx​​  > 0

0

IN

f (x)

1

–2

​   ​ f (x) dx​  ​  < 0 –2

VA N

• De oppervlakte van het vlakdeel = oppervlakte I + oppervlakte II –2

​​  ​  ​ f (x) dx​

–3

–2

1

1

–​   ​ f (x) dx​ –2

–2

–2

• Oppervlakte = ​​   ​   ​ f (x) dx​ – ​   ​ f (x) dx​  ​  = ​  ​   ​ f (x) dx​ + ​ ​   ​  f (x) dx​​ –3

©

• ​​​ ​(​x​​  2​ + x – 2)dx​ =​

–3

–2

–2

1

–2

• Oppervlakte = ​[F (x)]​ –3​  + ​[F (x)]​ 1​  ​

4.1.2 Algemeen 1 2 3

Algemeen

⎧–  de grafiek van de functie  f ⎪ De oppervlakte van het vlakdeel begrensd door ​​⎨–  de  x–as     ​  ​  ​ ⎪

4 5

b

is gelijk aan  ​​  ​   ​  |f (x)|dx.​​ a

44

HOOFDSTUK 4  I  OPPERVLAKTEBEREKENING

⎩–  de verticale rechten  x = a  en  x = b

​​​

4.1.3 Voorbeeld 2 Bereken de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door ⎧–  de grafiek van de functie  f (x) = ​x​​  3​ + 2​x​​  2​  –  3x ⎪

​​⎨–  de  x–as      ​  ​   ​​​​ ⎪

⎩–  de verticale rechten  x = –3  en  x = 2

• Teken de grafiek van de functie in een gepast venster.

• Bepaal de nulwaarden in het interval [–3, 2]. Nulwaarden kun je in een grafisch venster vinden door calc

2nd

f4

trace

L2

Z

2

te drukken, een linkergrens in te voeren,

entry solve

entry solve

te drukken, een rechtergrens in te voeren en

enter

te drukken.

IN

enter

• Ligging van de grafiek ten opzichte van de x–as in het integratie–interval:

f (x)

–3

VA N

x

2

• Oppervlakte =

©

• Bepaling van een primitieve functie van f:

• Berekening van de oppervlakte:

HOOFDSTUK 4  I  OPPERVLAKTEBEREKENING

45

4.2

Oppervlakteberekening met ICT Bereken de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door ⎧–  de grafiek van de functie  f (x) = –3​x​​  3​ + 7​x​​  2​ + 13x – 5 ⎪

​​⎨–  de  x–as       ​  ​   ​​​​ ⎪

⎩–  de verticale rechten  x = –2  en  x = 4

• Teken de grafiek van de functie in een gepast venster.

Je doet dit met de applicatie PolySmlt2.

VA N

IN

• Bepaal de nulwaarden in het interval [–2, 4].

©

• Ligging van de grafiek ten opzichte van de x–as in het integratie–interval: x

–2

f (x)

• Oppervlakte =

1 2 3

4 5

46

HOOFDSTUK 4  I  OPPERVLAKTEBEREKENING

4

4.3

Zwaartepunt van een vlakke figuur

4.3.1 Zwaartepunt van een vlakdeel onder een grafiek Neem de vlakke figuur die begrensd wordt door ⎧–  de grafiek van f  ⎪

​​⎨–  de  x–as    ​  ​  ​

y

​​​

⎪

⎩–  de verticale rechten  x = a  en  x = b De coördinaat van het zwaartepunt Z van deze figuur bepaal je met de volgende formules. Formules

a

b

​ ​   ​  f (x)dx​ b ____________ y = ​​        ​​

​ ​   ​  x · f (x) dx​ ____________ xz= ​​  a  ​​

z

b

​ ​   ​  f (x) dx​ a

b

b

2 · ​ ​   ​  f (x) dx​

VA N

Bepaal de coördinaat van het zwaartepunt van de driehoek. Controleer je antwoord door het zwaartepunt te construeren.

x

2

3

4

©

a

IN

y

1

x

2

a

4.3.2 Voorbeeld 8 7 6 5 4 3 2 1

Z

HOOFDSTUK 4  I  OPPERVLAKTEBEREKENING

47

Oefeningen REEKS A 1

Bereken de oppervlakte van het gearceerde vlakdeel. a)

9 8 7 6 5 4 3 2 1 –1

y 2

y = 3x – 6x

x 1

–1 –2 –3

2

IN

VA N

b)

y

2

y = –x + 4x + 5

©

10 8

6 4

2 x –2

–1

–2 –4 –6 –8

1 2 3

4 5

48

HOOFDSTUK 4  I  OPPERVLAKTEBEREKENING

1

2

3

4

5

2

Bereken de oppervlakte van het gearceerde vlakdeel. a)

y 3

2

y = x + x – 5x – 6 –3

–2

–1

2 1

x 1

–1 –2 –3 –4

2

–5 –6 –7 –8 –9

IN

VA N

b)

©

8 6 4 2

y

–1

–2 –4 –6 –8 –10 –12 –14 –16 –18

1

x 2

3

3

4

2

y = –2x + 10x – 4x – 16

HOOFDSTUK 4  I  OPPERVLAKTEBEREKENING

49

REEKS B 3

Teken, met ICT, de grafiek van de functie f en bepaal de nulwaarden. Bereken daarna, zonder ICT, de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafiek van f, de x–as en de gegeven verticalen. a)

2

f (x) = –x + 2x + 3

x = –2

x=1

IN

b)

3

VA N

2

f (x) = 2x – 9x – 2x + 24

©

1 2 3

4 5

50

HOOFDSTUK 4  I  OPPERVLAKTEBEREKENING

x = –1

x=3

4

Teken, met ICT, de grafiek van de functie f en bepaal de nulwaarden. Bereken daarna, zonder ICT, de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafiek van f, de x–as en de gegeven verticalen. a)

3

2

f (x) = 2x + x – 3x

x = –1

x=2

IN

b)

VA N

3

2

f (x) = –3x + 7x + 22x – 8

x=4

©

x = –3

HOOFDSTUK 4  I  OPPERVLAKTEBEREKENING

51

5

Bereken, met ICT, de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafiek van f, de x–as en de gegeven verticalen. a)

3

2

f (x) = –x – 3x + 11x – 2

x = –6

x=3

x = –5

x = 15

b)

3

2

f (x) = 4x – 31x – 70x + 45

IN

c)

VA N

3

2

f (x) = –10x – 48,5x + 102,35x + 69,3

x=5

x = –4

x=2

©

x = –9

d)

3 23 ​ 128 ​ 28 ​ ​   ​f (x )  = 3​x​​  ​ + ​ ___    ​x​​  2​  – ​ ____    x + ​ ____ 5 25 25

1 2 3

4 5

52

HOOFDSTUK 4  I  OPPERVLAKTEBEREKENING

6

De Berliner Bogen is een modern kantoorgebouw in Hamburg. 2 Bereken hoeveel m glas er nodig was voor de parabolische voorgevel, als je weet dat die 72 m breed en 36 m hoog is. Opstellen van de vergelijking:

a)

2

y = a ? (x – α) + β

b)

Berekening van de oppervlakte:

IN

Bereken de grondoppervlakte van de keuken.

©

7

VA N

6m

a)

Breng een gepast assenstelsel aan op de figuur.

b)

Opstellen van de vergelijking van de rechtermuur: 2

y = a ? (x – α) + β

c)

Berekening van de oppervlakte:

HOOFDSTUK 4  I  OPPERVLAKTEBEREKENING

53

8

Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de coördinaatgetallen van het zwaartepunt van de vlakke figuren. a)

y y = x+ 2

6

5 4

3

2 1

x

–2

–1

1

2

3

4

y

y = 2x

18

IN

b)

2

16

14 12

VA N

10 8

6 4

2

x

1

–1

2

3

©

c)

y

x 1

2

3

–2 –4

–6 –8

–10

–12 1

–14

2 3

4 5

54

HOOFDSTUK 4  I  OPPERVLAKTEBEREKENING

y = –0,5x

3

REEKS C 9

Xandra heeft een gouden juweel ontworpen zoals op de figuur is weergegeven. De dikte van het juweel is 3 mm.

6,25 cm 6 cm 5,75 cm

4 cm

a)

Hoeveel goud heeft Xandra nodig?

1 cm

VA N

• Keuze assenstelsel (op figuur).

1 cm

IN

1 cm

• Verwerking van de meetgegevens als 4 punten van een kromme:

• Vergelijking van de regressielijn van de derde graad:

©

• Berekening van de oppervlakte met integralen (ICT):

• Berekening van het volume goud:

b)

Bereken, met ICT, het zwaartepunt van de vlakke figuur, op 0,01 nauwkeurig.

HOOFDSTUK 4  I  OPPERVLAKTEBEREKENING

55

STUDIEWIJZER Oppervlakteberekening 4.1 Oppervlakte tussen een grafiek en de x–as KENNEN ⎧–  de grafiek van  f ⎪ De oppervlakte van het vlakdeel begrensd door  ⎨ ​ –  de  x–as    ​  ​  ​



b

is gelijk aan ​  ​   ​  |f (x)|dx​. a

KUNNEN De oppervlakte berekenen van een vlakdeel begrensd door een grafiek, de x–as en twee verticalen.

4.3 Zwaartepunt van een vlakke figuur KENNEN Het zwaartepunt van een vlakdeel begrensd door de grafiek van een functie f, de x-as en de verticalen x = a en x = b, heeft als coördinaatgetallen b

b

2

b

a

IN

​ ​   ​  x ⋅ f (x) dx​ ​ ​   ​ ​f ​​  ​ (x)dx​ a a ____________ ____________ ​​x​  Z​​​  = ​   ​        ​​y​  z​​​  = ​        ​ ​ ​   ​  f (x) dx​

b

2 ⋅ ​ ​   ​  f (x) dx​ a

VA N

KUNNEN

Het zwaartepunt bepalen van een vlakdeel begrensd door een grafiek, de x–as en twee verticalen.

©

CONTRACTWERK

1

2 3

4 5

56

HOOFDSTUK 4  I  OPPERVLAKTEBEREKENING

​​

⎩–  de verticale rechten  x = a  en  x = b ⎪

HOOFDSTUK 5  I  INTEGRATIE DOOR SUBSTITUTIE

5.1 Integratie van de functie n

f  (x) = (ax + b)

58 65

5.3 Integratie van goniometrische functies

71

Studiewijzer

76

©

VA N

IN

5.2 Integratie van exponentiële functies

HOOFDSTUK 5  I  INTEGRATIE DOOR SUBSTITUTIE

57

5.1

Integratie van de functie f (x) = (ax + b)

n

5.1.1 Inhoud van een omwentelingslichaam Definitie

Omwentelingslichaam y

Een omwentelingslichaam is een ruimtelichaam dat ontstaat door wenteling om de x–as van het vlakdeel begrensd door de grafiek van een functie f, de x–as en twee verticalen.

y = f (x)

x a

b

Formule y = f (x)

x nx

a

b

Verdeel het interval [a, b] in n gelijke deelintervallen met breedte nx. Stel dat xi het intervaleinde is van het i–de deelinterval. Als je een rechthoek met breedte nx en georiënteerde hoogte f (xi) wentelt om de x–as, dan ontstaat een cilinder met inhoud 2 ​p ? ​f ​​  ​ ( ​x​  i​​ )  ? x.​ De inhoud van het omwentelingslichaam is dan gelijk aan

IN

y

​​   lim​  ​​​(​  ∑    ​ ​   ? ​f​​  ​ ( ​x​  i​​ )  ? x​)​ = ​ ​   ​   ? ​f ​​  ​ (x) dx​​ n  →  +∞ i  =  1

Formule

b

2

VA N

n

2

a

De inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door wenteling om de x–as van het vlakdeel b

2

begrensd door de grafiek van f, de x–as en de verticalen x = a en x = b, is gelijk aan ​ ? ​ ​   ​ ​f​​    ​ (x) dx.​​

©

Voorbeeld

Bereken de inhoud van de djembé die de vorm heeft van een afgeknotte kegel.

• Vergelijking van de rechte door A (0, 20) en B (60, 40): 40 − 20 ​   1  ​  x + 20​ ​y − 20 = ​ ________   ? (x − 0 )  ⇔ y = ​ __ 3 60 − 0 • Inhoud van de afgeknotte kegel: 2

​V =  ? ​ ​   ​ ​​(__ ​  1  ​  x + 20)​​​  ​ dx​​ 3 0 60

(werk de haakjes uit)

1

2 3

4

5 58

HOOFDSTUK 5  I  INTEGRATIE DOOR SUBSTITUTIE

a

5.1.2 Differentiaal van een functie Grafische betekenis van het begrip differentiaal

tx

y

Neem een functie f, afleidbaar in x ∈ dom f. Als je x verandert met een bedrag nx,

dan veranderen de functiewaarden met een bedrag nf (x) = f (x +nx) – f (x).

Stel: tx is de raaklijn aan de grafiek van f in (x, f (x)). Dan is tx de grafiek van een eerstegraadsfunctie t.

f(x +nx) nf(x)

df(x)

f(x)

nx

Er geldt: nf (x) ≈ t (x + nx) – t (x).

Deze benadering noem je de differentiaal van f in x

x

en je noteert die als df (x).

x

x + nx

Dus: nf (x) ≈ df (x)

Formule voor df (x)

• Je berekent de richtingscoëfficiënt van tx op 2 manieren:   rc tx = Df (x) (definitie afgeleiden)

df (x) ​⇒  Df (x )  = ​ ______  ​     ⇔ df (x )  = Df (x )  ? x​ x

IN

y​ ​  2​​  − ​y​  1​​ t (x + x )  − t (x) ______ df (x)  ​ rc  ​t​  x​​  = ​ ______  ​     = ​  _______________        ​  = ​   ​  ​  ​x​  2​​  − ​x​  1​​ x + x − x x

• Berekening van de differentiaal van x: df (x) = Df (x) ? dx

VA N

Formule

dx = Dx ? nx ⇒ dx = 1 ? nx ⇔ dx = nx

n

5.1.3 Onbepaalde integraal van f (x) = (ax + b) : substitutie voorbeeld 3

n

Bereken I =  ​​ ​ ​​(ax + b)​​  ​ dx​​

• Dan: (2x – 1)3 = u3

• Dan: (ax + b)n = un

©

​  ​​ ​​(2x − 1)​​  ​ dx​​ Bereken I =

• Stel: u = 2x – 1 (substitutie)

• Stel: u = ax + b (substitutie)

du = d (2x – 1) = D (2x – 1) ? dx = 2 ? dx 1  ​  ? du​ ​⇒  dx = ​ __ 2

4

​u​​   ​ ​  + c​​ 1  ​  du = ​ __ 1  ​   .  ​ ​ ​ ​​u​​  3​  = ​ __ 1  ​  ? ​ ___ • I ​= ​​ ​​u​​  3​  ? ​ __  2

4

​(2x − 1)​​  ​ 4

2

2

4

4

1  ​  ? ​ ________ 1  ​  ? ​(2x − 1)​​  ​  + c​ • I ​= ​ __  ​    + c = ​ __ 2

Formule

algemeen

8

du = d (ax + b) = D (ax + b) ? dx = a ? dx 1  ​ ? du​ ​⇒ dx = ​ __ a

n+1

​u​​  ​  ​  + c​ 1  ​  du = ​ __ 1  ​   ? ​ ​ ​ ​​u​​  n​ du = ​ __ 1  ​ ?​ ​ _____ • I ​= ​​ ​​u​​  n​ ? ​ __ a a  a n+1

n + 1

​(ax + b)​​  ​ n + 1

1  ​ ? ​ _________ • I ​= ​ __  ​     + c​ a

n+1

1 ​(ax + b)​​  ​ ​  ​​​ ​​(ax + b)​​  ​ dx = ​ __  ​ ? ​ _________   + c​​ a n + 1 n

Voorbeeld 2

​​ ​​(5 − 3x)​​  ​ dx  =​​

HOOFDSTUK 5  I  INTEGRATIE DOOR SUBSTITUTIE

59

n

5.1.4 Bepaalde integraal van f (x) = (ax + b) Voorbeeld 1

y x

Bereken de oppervlakte van het vlakdeel begrensd

–1

3

door de grafiek van de functie f (x) = ​​(1 – x)​​  ​​,

1

2

3

4

–5

de x–as en de verticalen x = 2 en x = 4.

–10 –15 –20 3

y = (1 – x)

–25

4

3

2

3

​A = − ​ ​   ​ ​(1 − x)​​  ​ dx =​  ​ ​   ​ ​(1 − x)​​  ​ dx​​ 2

4

Stel: u = Dan: du = Grenzen: x = 4 ⇒ u =

dx =

VA N

x=2⇒u=

A =

©

Formule

⇒

IN

f

​u​​  n  +  1​   ​  ​​   ​ ​  .​Hierbij is u = ax + b, e = ac + b en f = ad + b. ​​ ​   ​ ​(ax + b)​​  ​ dx =​  ​​ __ ​  1  ​ ? ​ _____ [ a n + 1 ] c e d

n

Voorbeeld 2

2

De inhoud van de djembé van § 5.1.1 is gelijk aan V ​  =  ? ​ ​   ​ ​​(__ ​  1  ​  x + 20)​​​  ​ dx​ .​ 3 0 Bereken deze integraal door substitutie. 60

1 2 3

4

5 60

HOOFDSTUK 5  I  INTEGRATIE DOOR SUBSTITUTIE

5

Oefeningen REEKS A 1

Bereken de onbepaalde integralen. a)

2

​​​ ​​(4x + 5)​​  ​ dx​​

c)

4

3

b)

​​​ ​​​(__ ​  1  ​  x − 3)​​​  ​ dx​​ 2

d)

VA N

Bereken de bepaalde integralen. a)

1

2

​​   ​ ​​  (x + 3)​​  ​ dx​​ −2

c)

2

0

5

3

​​ ​   ​ ​(4 − x)​​  ​ dx​​ 3

d)

2

​​ ​   ​ ​(3 − 2x)​​  ​ dx​​

© b)

2 − 5x ​​​ ​​​(​ ______  ​     ​​​  ​ dx​​ 3 )

IN

2

5

​​​ ​​​(1 − 3x)​​​  ​ dx​​

2

3

​​  ​   ​ ​(5x − 1)​​  ​ dx​​ −1

HOOFDSTUK 5  I  INTEGRATIE DOOR SUBSTITUTIE

61

3

Bereken de bepaalde integralen. a)

b)

3

​​   ​ ​​​  (__ ​  1  ​  x + 2)​​​  ​ dx​​ 4 −4 8

c)

3

​​   ​ ​​  (2 − 1,5x)​​  ​​​​ dx​

d)

IN

©

REEKS B

VA N

4

​  1 − 2x  ​     ​​​  ​ dx​​ ​​   ​  ​ ​​(______ 5 ) 8

−2

De snelheid v, in m/s, van een 100 meterloper, t seconden na de start, wordt benaderd door 2 de functie v (t) = –0,2 ? (t – 8) + 12,8 (0 ⩽ t ⩽ 10). Hoeveel meter legt de loper af tijdens de vierde seconde van zijn sprint?

1 2

3 4

5 62

__ ​  1  ​  3

2

4

​​  ​   ​ ​(6x − 7)​​  ​ dx​​

−2

4

2 ​   ​ __ 3

HOOFDSTUK 5  I  INTEGRATIE DOOR SUBSTITUTIE

5

De marginale kostprijs MK, in euro, voor het x–ste glas dat een glasblazerij per dag vervaardigt, 2 wordt gegeven door de functie MK (x) = 0,001 5 ? (2x – 49) + 20. Bereken de meerkost om de dagelijkse productie te laten toenemen van 40 naar 60 stuks.

Bereken de inhoud van de omwentelingslichamen. a)

y 8 6 4 2 –2 –4

1 2 y=–x 2

VA N

6

IN

x

1

2

3

4

©

–6 –8

b)

y 2

y = 1–x 8

3

1 x 1 –1

2

3

–2

HOOFDSTUK 5  I  INTEGRATIE DOOR SUBSTITUTIE

63

REEKS C 7

Bereken het zwaartepunt van het trapezium. y

10 8

6

4 2 x –1

1

2

IN

Bereken de inhoud van deze emmer. Kies eerst een gepast assenstelsel.

©

8

VA N

30 cm

26 cm

22 cm

1

2 3

4

5 64

HOOFDSTUK 5  I  INTEGRATIE DOOR SUBSTITUTIE

5.2

Integratie van exponentiële functies

5.2.1 Basisformules • Voor de afgeleide van een exponentiële functie geldt: Dax = ax ? ln a. e

Hierbij is ln a = log a, de natuurlijke logaritme (logaritme met grondtal e = 2,718 281 83...) van a.

x x D ​a​​  ​  ​  = ​a​​  x​ ⇔ D ​ ​ _____ ​a​​  ​ ​a​​  ​ _____ Hieruit volgt dat ​​ _____ ( In  a  ​ )​  = ​a​​  ​ ⇒    ​​ ​​a​​  ​ dx = ​  In  a  ​  + c​​ In  a • In het bijzonder geldt voor de afgeleide van de exponentiële functie met grondtal e: Dex = ex. x

x

x

Hieruit volgt:  ​​ ​ ​​e​​  ​ dx = ​e​​  ​ +  c​​ x

Formules

x

x

​a​​  ​  ​  + c​​ ​​ ​ e​​  ​ dx = ​e​​  ​ +  c​​ ​ ​​a​​  ​ dx = ​ _____  In  a

​​

x

x

x

5.2.2 Voorbeelden • ​​​ ​​4​​  ​ dx =​​

IN

x

• Bereken de oppervlakte van het vlakdeel begrensd x

door de grafiek van f (x) = e , de x–as en de verticalen x = 1 en x = 3.

VA N

©

y

y=e

21

x

18 15 12 9 6 3 x –1

• De massa m, in g, van een hoeveelheid radioactief Jodium–123

1

2

3

t

in een laboratorium wordt gegeven door de functie m (t) = 50 ? 0,95 . Hierbij is t de tijd in uren. Bereken de gemiddelde hoeveelheid Jodium–123 gedurende de eerste 24 uren.

24 _ _______ m  ​  ​  = ​  1   ​   ? ​ ​   ​ m (t ) dt​​ 24 − 0 0

HOOFDSTUK 5  I  INTEGRATIE DOOR SUBSTITUTIE

65

5.2.3 Integratie door substitutie voorbeeld 1 Bereken I ​= ​​ ​​2​​

voorbeeld 2 4

Bereken I ​= ​   ​ ​​  e​​

3x−4

​ dx​​

____ ​  2−x  ​    2

​​ dx​

−2

• Stel: u = 3x – 4

• Stel: u =

• Dan: du = d (3x – 4) = 3 ? dx ⇒ dx = __ ​​  1  ​  ? du​ • Dan: du =        ⇒ dx = 3 u

1  ​  du = ​ __ 1  ​  ? ​ ​ ​​2​​  ​ du = ​ __ 1  ​  ? ​ _____ ​2​​  ​  ​  + c​​​ • Grenzen: x = –2 ⇒ u = • I ​= ​​ ​​2​​  ​ ? ​ __  u

u

3

3

3

In  2

x = 4 ⇒ u =

3x−4

3x−4

1  ​  ? ​ _____ ​2​​   ​ ​  + c = ​ _______ ​2​​  ​  ​   • I ​= ​ __ + c​ 3

In  2

• I =

3 ? In  2

Formules mx+q

​a​​  ​  ​   ​​  dx = ​ ________ + c​ m ? In  a

​​​ ​​a​​

mx+q

​​​ ​​e​​

mx+q

​ + c​

5.2.4 Voorbeelden

©

• ​​​ ​​e​​  10x​ dx = ​​ • ​​​ ​3, ​5​​  6

0,3x+4

​ dx = ​​

___ ​  3x ​  −  7

• ​​  ​  ​ ​e​​  2 ​​ dx =​​ ​ −2

4 ​   ​ __ 5

• ​​  ​   ​ ​​(__ ​  3 ​  )​​​  __ ​  1  ​  5

1

5

2−5x

​​ dx =​

2 3

4

5 66

​​ ​   ​ ​a​​  c

d

​​ ​   ​ ​e​​

HOOFDSTUK 5  I  INTEGRATIE DOOR SUBSTITUTIE

c

g

​a​​  ​   ​  ​​  ​  ​​​ ​  dx = ​​ ​ ________ [ m ? In  a ] u

mx+q

g

​  dx = ​​[___ ​  ​e​​   ​ ​  ]​​  ​  ​​​ m f

mx+q

u

VA N

1  ​ ? ​e​​  ​​  dx = ​ ___ m

mx+q

d

IN

f

Hierbij is u = mx + q, f = mc + q, g = md + q.

• Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat

y

ontstaat door wenteling om de x–as van het vlakdeel x begrensd door de grafiek van de functie f (x) = ​​2​​  ​​, de x–as en de verticalen x = –1 en x = 2.

y=2

4

x

3 2 1 –1

x 1

–1

2

–2 –3 –4

• Bereken de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door

y

x−2

3

x–2

–2

2

IN

​  1  ​ )​​​  ​  − 2,​ de x–as en de de grafiek van de functie f (x) =​ ​​(__ 4 verticalen x = 1 en x = 4.

y = 1– 4

1 x

1

2

3

4

–1

©

VA N

–2

• De snelheid v, in m/s, van een vallende plastic bal, rekening houdend –0,05t

met de luchtweerstand, is gelijk aan v (t) = 80 ? (1 – e ). Hierbij is t de tijd in seconden. Bereken de afgelegde weg na 10 seconden. Voor de eenvoud wordt de vallende snelheid hier positief gerekend.

HOOFDSTUK 5  I  INTEGRATIE DOOR SUBSTITUTIE

67

Oefeningen REEKS A 9

Bereken de onbepaalde integralen. a)

b)

​​​ ​300 ? 1, ​06​​  ​ dx​​ x

c)

4−x

​​​ ​​e​​

2x−3

d)

​ dx​​

​​​ ​6 ? ​​(__ ​  2 ​  )​​​  3

IN VA N

Bereken de bepaalde integralen. a)

1

​​   ​ ​​  e​​  ​ dx​​ 3x

−1

c)

©

b)

2

​​ ​   ​ 0, ​65​​

4

8−2x ​ ______  ​     5

​ dx​​

d)

6

​​   ​ 1 000 ? 1, ​ ​  1​​  −6

1

4

5 68

HOOFDSTUK 5  I  INTEGRATIE DOOR SUBSTITUTIE

​ dx​​

​​   ​ ​​  e​​

10x−5

0

−6

3

​ dx​​

2

9x+3

10

​​​ ​​5​​  ​ dx​​

12−x

​ dx​​

11

De hoeveelheid afval die een stad per jaar verwerkt, wordt benaderd door de functie x h (x) = 48 580 ? 1,05 . Hierbij is h de hoeveelheid afval, in ton, en x het aantal jaren na 2012. Benader, met integralen, de totale hoeveelheid afval die verwerkt is in de periode 2012–2018.

Het aantal geregistreerde gevallen van geluidshinder door buren, kan benaderd worden door x de functie n ​  (x )  = 624 ? 0, ​937 7​​  ​​. Hierbij is n het aantal gevallen en x het aantal jaren na 2012. Benader, met integralen, het totaal aantal geregistreerde gevallen van geluidshinder door buren in de periode 2014–2018.

VA N

IN

12

©

13

Adela zet een potje yoghurt in de koelkast. De temperatuursafname nT, in °C, van het potje –0,08x gedurende de x–ste minuut, is gelijk aan nT (x) = –1,36 ? e . Bereken de totale afname van de temperatuur de eerste 10 minuten.

HOOFDSTUK 5  I  INTEGRATIE DOOR SUBSTITUTIE

69

REEKS B 14

Bereken de oppervlakte van het gearceerde vlakdeel.

y y=3

2

0,5x–2

–1

1 x –2

–1

1

2

3

4

5

6

–1

Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam.

3

y

2

VA N

15

IN

y=e

1

–x+2

x

1 –1 –2

2

©

–3

16

x  ​  ​ ___ 10

Het aantal inwoners in België wordt benaderd door de functie n (x) ​= 11, 376 ? 1, ​045​​  ​ .​ Hierbij is n het aantal miljoen inwoners en x het aantal jaren na 1 januari 2018. Schat het gemiddeld aantal inwoners in de periode tussen 1 januari 2018 en 1 januari 2024.

1

2 3

4

5 70

4

3

HOOFDSTUK 5  I  INTEGRATIE DOOR SUBSTITUTIE

5.3

Integratie van goniometrische functies

5.3.1 Basisformules

Formules

D sin x = cos x ⇒ ​​​ ​cos x  dx = sin x + c​​

D cos x = –sin x ⇒ ​​​ ​sin x  dx = − cos x + c​​

​ sin x  dx = − cos x + c​​ ​​​ cos x  dx = sin x + c​​

​​

5.3.2 Voorbeeld y

Bereken de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafiek van f (x) = sin x, de x–as en de verticalen x = 0 en x = ​p.​

y = sinx

IN

1

x π – 2

π

3π —– 2

2π

VA N

–1

5.3.3 Integratie door substitutie

©

voorbeeld 1

Bereken I ​= ​  ​   ​ cos  ​(__ ​  1  ​  ? (x + 3))​dx​​ 2 −1

Bereken I = ​​​ ​sin  (4x − 2)  dx​​

• Stel: u = 4x – 2

• Stel: u =

• Dan: du = d (4x – 2) = 4 ? dx = __ ​​  1  ​  ? du​

• Dan: du =         ⇒ dx =

4

1  ​  du = ​ __ 1  ​  ? ​ ​ ​sin  u  du   • I = ​​​ ​sin  u ? ​ __  4

voorbeeld 2 3

• Grenzen: x = –1 ⇒ u =

4

1  ​  ? (−cos u) + c​​​    = ​ __ 4

• I ​= −  __ ​  1  ​  ? cos  (4x − 2 )  + c​

• I =

4

x = 3 ⇒ u =

Formules

d

f

​​​ ​sin  (ax + b)  dx = −  __ ​  1  ​ ? cos  (ax + b )  + c​​ a

1  ​ ? [cos  u ​]​   ​​​​  ​​ ​   ​  sin  (ax + b)  dx = − ​ __ e a c

1  ​ ? sin  (ax + b )  + c​​ ​​​ ​cos  (ax + b)  dx = ​ __ a

1  ​ ? [sin u ​]​   ​​​​  ​​ ​   ​  cos  (ax + b)  dx = ​ __ e a c

d

f

Hierbij is u = ax + b, e = ac + b, f = ad + b.

HOOFDSTUK 5  I  INTEGRATIE DOOR SUBSTITUTIE

71

5.3.4 Voorbeelden • De toename van de astronomische daglengte in Ukkel, tussen 1 januari en 21 juni, kan beschreven worden door de functie t (x) = 0,069 7 ? cos (0,017x – 1,389). Hierbij is t de toename in h en x het dagnummer. Met hoeveel uur neemt de daglengte toe in de maand februari?

IN

VA N

• In een gebied is het aantal konijnen k gegeven door de functie

©

k (t) = 100 ? sin (0,4t) + 250. Hierbij is t de tijd, in jaren, na 1 januari 2015. Bereken het gemiddeld aantal konijnen in de periode 2015–2018.

1 2 3 4

5 72

HOOFDSTUK 5  I  INTEGRATIE DOOR SUBSTITUTIE

Oefeningen REEKS A Bereken de onbepaalde integralen. a)

b)

​​​ ​sin (4x) dx​​

x  ​  ) dx​​ ​​​ ​cos (3 − ​ __ 2

d)

3  ___ ​10 ?  ​ ​ ​cos ​ __ (​  4  ​  ? ​(x + ​  6 ​  )​)​ dx​​

VA N

Bereken de bepaalde integralen. a)

3

​​  ​   ​ sin  (2x − 4)  dx​​ −1

c)

©

b)

​2 ? ​​ ​sin ​(3 ? (x − 4))​ dx​​

18

c)

IN

17

____ ​  9 ​    4

 1 ___ ​− 2  ?  ​  ​   ​ sin  ​ __ (​  4  ​  ? ​(x − ​  4 ​  )​)​  dx​​ ___ ​   ​   4

__ ​  7  ​  6

​​  ​   ​ cos  (12x + 5)  dx​​ 3  ​  ​ __ 4

d)

365

__ ​​  5 ​    ?  ​ ​   ​  cos  ​ _____ ​     ​    ?  (x − 50) ​  dx​​ ( 365 ) 3 0

HOOFDSTUK 5  I  INTEGRATIE DOOR SUBSTITUTIE

73

REEKS B 19

 ​   ? (t − 3) ​.​ De ademhaling van een persoon wordt beschreven door de functie v (t) = 0,7 ? sin ​​ ​  ___ (3 ) Hierbij is v de luchtstroomsnelheid, in l/s, t seconden na het aanbrengen van de apparatuur. De luchtstroomsnelheid is positief bij het inademen en negatief bij het uitademen. 6

Bereken  ​​  ​   ​ v (t)​​​​dt en geef de fysische betekenis. 3

y 0,8

0,6 0,4

0,2

x –0,2

1

2

3

5

6

–0,4 –0,6

4

v

π – 3

IN

–0,8

De netspanning in België wordt bepaald door de functie U (t) = 310 ? sin (100  ? t). Hierbij is U de spanning, in V, en t de tijd in seconden. Bereken de gemiddelde netspanning in het interval [0; 0,01].

©

20

VA N

1

2 3

4

5 74

HOOFDSTUK 5  I  INTEGRATIE DOOR SUBSTITUTIE

REEKS C 21

De dagtemperatuur T, in °C, in Sint–Petersburg (Rusland) wordt gegeven door de functie 2  ​  ? (x − 100) ​  + 5​. Hierbij is x het dagnummer. T (x) = 20 ? sin  ​(​  _____ ) 365 Bereken de gemiddelde dagtemperatuur in de maand juli.

IN

22

VA N

Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door wenteling om de x–as van  ​   .​ het vlakdeel begrensd door de functie f (x) = cos x, de x–as en de verticalen x = 0 en x = ​​ ___ 2 (Tip: gebruik de formules van Carnot) y

1

©

y = cosx

– 2

x

–1

HOOFDSTUK 5  I  INTEGRATIE DOOR SUBSTITUTIE

75

STUDIEWIJZER Integratie door substitutie n

5.1 Integratie van de functie f (x) = ​​(ax + b)​​  ​​

KENNEN

De inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door wenteling om de x–as van het vlakdeel begrensd door de grafiek van f, de x–as en de verticalen x = a en x = b,



b

2

is gelijk aan ​  ?  ​  ​   ​ ​f​​  ​ (x) dx.​ a

Differentiaal van een functie: df (x) = Df (x) ? dx n + 1

n ​(ax + b)​​  ​ ​ ​ ​​(ax + b)​​  ​​ dx = __ ​  1  ​ ? _________ ​   ​      + c​ a n + 1



f

​u​​  ​  ​   ​​   ​​ ​  .​Hierbij is u = ax + b, e = ac + b en f = ad + b. ​ ​   ​ ​(ax + b)​​  ​ dx = ​​ __ ​  1  ​ ? ​ _____ [ ] d

n + 1

n

a

c

n + 1

e

KUNNEN

Onbepaalde en bepaalde integralen berekenen van veeltermfuncties die als een macht van een eerstegraadsfunctie geschreven zijn en toepassen in vraagstukken uit de reële wereld.

IN

5.2 Integratie van exponentiële functies

KENNEN

x

x ​a​​  ​  ​  + c ​ ​ ​​a​​  ​ dx = ​ ____ In  a





d

​  ​   ​ ​a​​  c

mx + q

​ dx = ________ ​  ​a​​  ​  ​   + c m  ?  In  a

mx + q



​ ​ ​​e​​

g

​ ​​  u​   ​  ​​  ​   ​​ a ​ dx = ​​ ​ _______ [ m ? In  a ] f

mx + q

x

x

mx + q ​ dx = ___ ​  1  ​ ? ​e​​  ​ + c​​​

mx + q

VA N



​ ​ ​​a​​



​ ​ ​​e​​  ​ dx = ​e​​  ​ + c​​​



d

​  ​   ​ ​a​​

m

g

u ​ dx = ​​[___ ​  e​ ​​   ​ ​  ]​​  ​  ​​​

mx + q

c

m

f

Hierbij is u = mx + q, f = mc + q en g = md + q.

KUNNEN

mx + q

©

Onbepaalde en bepaalde integralen berekenen van functies van de vorm f (x) = a en toepassen in vraagstukken uit de reële wereld.

5.3 Integratie van goniometrische functies KENNEN



​ ​ ​sin  x  dx = − cos  x + c

​ ​ ​sin  (ax + b)  dx = −  __ ​  1  ​ ? cos  (ax + b)  + c a



d

f

​  ​   ​  sin  (ax + b)  dx = −  __ ​  1  ​ ? ​[ cos  u]​  e ​ ​  a



c



​ ​ ​cos  x  dx  = sin  x + c​​​  ​ ​ ​cos  (ax + b)  dx  = __ ​  1  ​ ? sin  (ax + b )  + c​​​ a



d

f

​ ​ ​   ​  cos  (ax + b)  dx = __ ​  1  ​ ? ​[ sin  u]​  e ​​​​  c

a

Hierbij is u = ax + b, e = ac + b en f = ad + b.

KUNNEN

Onbepaalde en bepaalde integralen berekenen van functies van de vorm f (x) = sin (ax + b) of f (x) = cos (ax + b) en toepassen in vraagstukken uit de reële wereld.

1 2

CONTRACTWERK

3 4

5 76

HOOFDSTUK 5  I  INTEGRATIE DOOR SUBSTITUTIE