Pi enter
Philippe De Crock Christophe Gryson Dirk Taecke Tom Van der Auwera Stephan Wellecomme MET MEDEWERKING VAN Etienne Goemaere
LEERJAAR 3
Eddy Magits
LEERJAAR 3
Pi enter
3 D deel 1
Leer zoals je bent Ontdek het onlineleerplatform: diddit. Vooraan in dit boek vind je de toegangscode, zodat je volop kunt oefenen op je tablet of computer. Activeer snel je account op www.diddit.be en maak er een geweldig schooljaar van! Ontdek beeld- en geluidsfragmenten en andere leuke extra’s bij de les. Oefen in jouw tempo en op jouw niveau, zoveel je maar wilt. Heb je de leerstof nog niet volledig onder de knie? Dan krijg je handige tips om het volgende keer wél goed te doen. Opdrachten op maat, speciaal voor jou klaargezet door je leraar. Want die weet precies in welke lesonderdelen jij nog beter wilt worden. Genoeg geoefend. Tijd voor het echte werk! Hoe scoor je op een toets? En ook belangrijk: hoe schat je jezelf in? 1 2
Benieuwd hoe ver je al staat? Een helder overzicht toont je meteen welke inspanningen je tot nu toe geleverd hebt en wat je resultaten zijn. Om trots op te zijn … of om nog nét iets te verbeteren!
3 4 5
ISBN 978-90-306-9986-6 597591
6
9 789030
699866
vanin.be
Pienter 3 D deel 1
jk e
ki
In
r©
aa
xe m pl
VA N
IN
IN
Leerjaar 3
In
ki jk
ex
em pl
aa
r©
VA
N
Pienter 3 D deel 1
Philippe De Crock Christophe Gryson Dirk Taecke Tom Van der Auwera Stephan Wellecomme MET MEDEWERKING VAN Etienne Goemaere Eddy Magits
Via www.diddit.be heb je toegang tot het onlineleerplatform bij Pienter 3. Activeer je account aan de hand van de onderstaande code en accepteer de gebruiksvoorwaarden.
IN
Let op: activeer deze licentie pas vanaf 1 september; de licentieperiode start vanaf activatie en is slechts 365 dagen geldig.
VA
N
Pienter 3 D deel 1
ki jk
ex
em pl
aa
r©
Fotokopieerapparaten zijn algemeen verspreid en vele mensen maken er haast onnadenkend gebruik van voor allerlei doeleinden. Jammer genoeg ontstaan boeken niet met hetzelfde gemak als kopieën. Boeken samenstellen kost veel inzet, tijd en geld. De vergoeding van de auteurs en van iedereen die bij het maken en verhandelen van boeken betrokken is, komt voort uit de verkoop van die boeken. In België beschermt de auteurswet de rechten van deze mensen. Wanneer u van boeken of van gedeelten eruit zonder toestemming kopieën maakt, buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen, ontneemt u hen dus een stuk van die vergoeding. Daarom vragen auteurs en uitgevers u beschermde teksten niet zonder schriftelijke toestemming te kopiëren buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen. Verdere informatie over kopieerrechten en de wetgeving met betrekking tot reproductie vindt u op www.reprobel.be. Ook voor het onlinelesmateriaal gelden deze voorwaarden. De licentie die toegang verleent tot dat materiaal is persoonlijk. Bij vermoeden van misbruik kan die gedeactiveerd worden. Meer informatie over de gebruiksvoorwaarden leest u op www.diddit.be.
In
© Uitgeverij VAN IN, Wommelgem, 2021 De uitgever heeft ernaar gestreefd de relevante auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Wie desondanks meent zekere rechten te kunnen doen gelden, wordt verzocht zich tot de uitgever te wenden.
Fotocredits p. 84 luidspreker: © Panther Media GmbH / Alamy
Eerste druk 2021 ISBN 978-90-306-9986-6 D/2021/0078/93 Art. 597591/01 NUR 120
Cover en ontwerp binnenwerk: fikfak Tekeningen: Dirk Vandamme Zetwerk: Alinea Graphics
Inhoudsopgave Hoe werk je met Pienter?
4
Hoofdstuk 1
7
De stelling van Pythagoras
Hoofdstuk 2 De reële getallen
51
Hoofdstuk 3 Driehoeksmeting van een rechthoekige driehoek
91 137
Hoofdstuk 5 Inleiding tot reële functies
189
IN
Hoofdstuk 4 Rekenen met reële getallen
219
In
ki jk
ex
em pl
aa
r©
VA
N
Hoofdstuk 6 Beschrijvende statistiek
Hoe werk je met Pienter?
Elk hoofdstuk start met een inhoudsopgave en een cartoon. Dat geeft je een eerste indruk van het hoofdstuk.
VA
N
IN
Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van een realistische inleiding of een kort onderzoek kennis met het onderwerp dat aan bod zal komen.
Je leert formuleren in definities, eigenschappen, rekenregels of besluiten. Je leert ook eigenschappen bewijzen.
em pl
aa
r©
Stap voor stap kom je meer te weten over wiskunde in het dagelijks leven.
ex
Na elk stuk theorie kun je meteen oefenen. Niet alle oefeningen zijn even moeilijk. Ze zijn opgedeeld in drie reeksen:
REEKS A
eenvoudige toepassingen
ki jk
REEKS B basisniveau
REEKS C verdiepingsniveau
In
Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en aangeduid met een verticale streep. Op diddit vind je extra oefeningen. In de marge worden soms pictogrammen gebruikt. Hieronder vind je hun betekenis. Wijst op uitleg over werken met de grafische rekenmachine.
ICT
Duidt aan wanneer je andere ICT-hulpmiddelen inzet, bv. Excel, GeoGebra of Python. Interessante weetjes of achtergrondinformatie herken je aan een kader met vraagteken.
R
Duidt aan dat je bij het onlinelesmateriaal een remediëringsoefening kunt vinden.
XL
Geeft aan dat je bij het onlinelesmateriaal extra uitdagende leerstof vindt.
Je leraar zal telkens aangeven wat precies voor jou van toepassing is. Verder kun je in een hoofdstuk twee soorten QR-codes tegenkomen. Scan de code om een instructiefilmpje van de leerstof te bekijken of om een toepassing in GeoGebra te zien. GeoGebra
IN
instructiefilmpje
VA
N
Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een studiewijzer. Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken.
aa
r©
Elk hoofdstuk sluit af met de rubriek ‘Pienter problemen oplossen’ of ‘Problemen uit JWO’ (Junior Wiskunde Olympiade). Het is aan jou om aan de hand van heuristieken en probleemoplossend denken de problemen op te lossen.
VERDIEPING
em pl
Sommige onderdelen zijn aangeduid met een gekleurde band. Afhankelijk van je studierichting moet je die wel of niet kennen. Je leerkracht zal aangeven wat voor jou geldt.
In
ki jk
ex
Achteraan in het boek zitten twee bladen met een cartoon. Die kun je gebruiken als voorblad voor je eigen notities of voor afgedrukte oefeningen van Pienter remediëren en voor extra leerstof.
het onlineleerplatform bij Pienter Leerstof kun je inoefenen op jouw niveau.
IN
Je kunt vrij oefenen en de leerkracht kan ook voor jou oefeningen klaarzetten.
N
Hier vind je de opdrachten terug die de leerkracht voor jou heeft klaargezet.
VA
Hier kan de leerkracht toetsen en taken voor jou klaarzetten.
r©
Benieuwd hoe ver je al staat met oefenen en opdrachten? Hier vind je een helder overzicht van je resultaten.
In
ki jk
ex
em pl
aa
Hier vind je het lesmateriaal per hoofdstuk (o.a. een digitale versie van je boek en instructiefilmpjes).
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
1.1 De stelling van Pythagoras formuleren
8 14
1.3 De stelling van Pythagoras bewijzen
16
1.4 Rekenen met Pythagoras
20
1.5 Constructies
31
IN
1.2 Meetkundige voorstellingen
34
1.7
44
N
1.6 Afstand tussen twee punten Studiewijzer
VA
Pythagoras in de ruimte
50
In
ki jk
ex
em pl
aa
r©
Pienter problemen oplossen
49
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
7
1.1
De stelling van Pythagoras formuleren
1.1.1 Op onderzoek Vul de tabel verder in. b
a
1
b
c a 4
c
c
a
a
VA b
driehoek
a (mm)
b (mm)
1
48
39
2
16
2 3
a 2
b 2
a 2 + b 2
c 2
12
20
32
24
40
40
96
104
40
32
61
ex
em pl
aa
84
Wat stel je vast als je de laatste twee kolommen vergelijkt?
In
1
c (mm)
GeoGebra
ki jk
5
r©
b
4
a
5
3
3
IN
c
b
N
2
c
4 5 6 7 8 9 10
1.1.2 Benamingen in een rechthoekige driehoek Een rechthoekige driehoek bestaat uit • twee rechthoekszijden (vormen een rechte hoek)
: en
c a
• een schuine zijde of hypothenusa :
11
8 HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
GeoGebra
b
1.1.3 De stelling van Pythagoras Stelling
In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde. In symbolen: a 2 + b 2 = c 2 waarbij a en b de rechthoekszijden zijn en c de schuine zijde is
c a
Drie natuurlijke getallen a, b en c, elk verschillend van 0, die aan de voorwaarde a 2 + b 2 = c 2 voldoen, noem je Pythagorische drietallen. Het eenvoudigste Pythagorisch drietal is 3, 4 en 5.
IN
b
De stelling van Pythagoras geldt ook omgekeerd.
N
Als in een driehoek de som van de kwadraten van de twee kortste zijden gelijk is aan het kwadraat van de langste zijde, dan is de driehoek rechthoekig.
VA
Stelling
De 3-4-5-regel
GeoGebra
r©
Pythagorische drietallen worden gebruikt om een rechte hoek te bepalen.
ex
em pl
aa
• B ind op gelijke afstand knopen in een touw. Zo verkrijg je gelijke knoopafstanden. • V orm met het touw een driehoek waarvan een zijde drie knoopafstanden heeft; een zijde vier knoopafstanden heeft; een zijde vijf knoopafstanden heeft. • Zo verkrijg je een rechthoekige driehoek en kun je een rechte hoek uitzetten.
Pythagoras is geboren op het Griekse eiland Samos, vermoedelijk in 569 v.Chr.
In
ki jk
In 518 vestigde hij in Zuid-Italië een filosofische school. De leerlingen van die school werden ‘mathematikoi’ of ‘Pythagoreeërs’ genoemd en moesten strenge leefregels volgen. Zo moesten ze vegetarisch leven en zweren dat ze geloofden dat alles met getallen te vatten is. De Pythagoreeërs hebben veel verdiensten: ze konden vergelijkingen meetkundig oplossen, ontdekten de irrationale getallen (zie het volgende hoofdstuk) en bestudeerden met succes regelmatige veelvlakken. De ‘stelling van Pythagoras’ is in elk geval niet door hemzelf of door een van zijn volgelingen bedacht.
De Babyloniërs gebruikten de eigenschap al meer dan 1 000 jaar eerder om de hoogte van muren te bepalen. De Plimpton-kleitablet, uit 1800 voor Christus, bevat kwadraten die te schrijven zijn als de som van twee andere kwadraten. Die kleitablet is de eerste wiskundige tekst uit de geschiedenis van de mensheid. Ook in het oude Egypte kende men de 3-4-5-regel al.
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
9
Oefeningen REEKS A
b
c
a)
3 cm
4 cm
5 cm
6 cm
7 cm
b)
5 dm
12 dm
15 dm
14 dm
13 dm
c)
60 mm
80 mm
90 mm
100 mm
110 mm
d)
20 m
21 m
27 m
29 m
31 m
e)
9 cm
12 cm
15 cm
N
IN
a
18 cm
21 cm
VA
2
Kleur het vak met de passende lengte van de schuine zijde c, zodat de driehoek met zijden a, b en c rechthoekig is.
Formuleer bij de driehoeken, indien mogelijk, de stelling van Pythagoras.
r©
1
a)
d)
aa
c
j
em pl
b
k
l
a
ex
b)
2
In
1
ki jk
d
5
e)
c)
m
e o n
f
3 4
f)
g
6
r
h
q
7
i
8 9 10
11
10
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
p
Onderzoek of de driehoek met zijden a, b en c rechthoekig is. Zet een vinkje. a
b
c
rechthoekig
niet rechthoekig
a)
6 cm
8 cm
10 cm
r
r
b)
5 cm
12 cm
13 cm
r
r
c)
9 mm
13 mm
15 mm
r
r
d)
20 cm
48 cm
54 cm
r
r
e)
18 m
24 m
30 m
r
r
N
IN
3
r©
Bereken de zijden van de rechthoekige driehoeken. Gebruik een touw met een aantal knopen op gelijke knoopafstand.
lengte van de zijden
2 cm
rechthoekszijde:
4 stukken van
2 cm
stukken van
2 cm
3 stukken van
5 cm
stukken van
5 cm
5 stukken van
5 cm
c) rechthoekszijde:
3 stukken van
15 mm
rechthoekszijde:
4 stukken van
15 mm
aa
3 stukken van
schuine zijde:
ex
b) rechthoekszijde:
ki jk
rechthoekszijde:
In
schuine zijde:
knoopafstand
a) rechthoekszijde:
em pl
4
VA
REEKS B
schuine zijde:
stukken van
15 mm
d) rechthoekszijde:
stukken van
7 cm
rechthoekszijde:
4 stukken van
7 cm
schuine zijde:
5 stukken van
7 cm
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
11
5
Toon aan zonder te meten. a) Parallellogram PLAK is een rechthoek.
P
b) Parallellogram KLAP is een ruit. D = 16 cm d = 12 cm
L
K 10 cm
17 m
8m
P 15 m
K
L
A
N
Toon zonder geodriehoek aan dat a ^ b. Gebruik de 3-4-5-regel.
aa
6
r©
VA
IN
A
em pl
a
2 3 4 5 6 7 8 9 10
7
Bereken de schuine zijde met de 3-4-5-regel.
In
1
ki jk
ex
b
a) rechthoekszijde: 60 cm = 3 ? 20 cm
c) rechthoekszijde: 12 dm =
rechthoekszijde: 80 cm = 4 ? 20 cm
rechthoekszijde: 16 dm =
schuine zijde:
schuine zijde:
b) rechthoekszijde: 15 m =
d) rechthoekszijde: 90 mm =
rechthoekszijde: 20 m =
rechthoekszijde: 120 mm =
schuine zijde:
schuine zijde:
11
12
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
b
c
rechthoekig
niet rechthoekig
a)
2 mm
2,1 mm
2,9 mm
r
r
b)
4 cm
7,5 cm
8,5 cm
r
r
c)
0,12 m
0,35 m
0,37 m
r
r
d)
2,1 cm
2,8 cm
3,4 cm
r
r
e)
1,4 cm
4,8 cm
5 cm
r
r
Onderzoek of ABC rechthoekig is. Zet een vinkje. zijden
rechthoekig
a)
16 m
34 m
30 m
b)
4,5 cm
7,5 cm
6 cm
c)
2,7 dm
3,6 dm
4,8 dm
d)
18 cm
32 cm
e)
78 m
30 m
IN
a
N
9
Onderzoek of de driehoek met zijden a, b en c rechthoekig is. Zet een vinkje.
r
VA
8
niet rechthoekig
r r
r
r
24 cm
r
r
72 m
r
r
10
em pl
aa
r©
r
Los op.
ki jk
ex
a) Om in het park een voetbalpleintje af te bakenen, stapt Stijn twintig passen af in de breedte en zestig in de lengte. Pedro vertrouwt het niet helemaal en vraagt Stijn eens diagonaal over het veld te stappen. Stijn telt 67 passen. Is hun voetbalplein rechthoekig?
In
Antwoord:
b) Pa wil een tuinhuis achter in de tuin. Hij graaft een rechthoekige kuil van 3,6 m bij 4,8 m voor de grondplaat. Om te controleren of zijn put wel rechthoekig is, meet hij de diagonaal. Die is zes meter. Is de kuil rechthoekig?
Antwoord:
Pythagorische drietallen
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
13
1.2
Meetkundige voorstellingen
1.2.1 De stelling van Pythagoras Neem een driehoek ABC, rechthoekig in C.
A
B
a
VA
N
C
IN
c
b
em pl
aa
r©
Je plaatst op elke zijde een vierkant, waarvan de zijde gelijk is aan die zijde van de driehoek. Je verdeelt de vierkanten in gelijke vierkantjes van 1 cm2.
c2
2
In
1
ki jk
ex
A
b2
b
c a
C
B
instructiefilmpje
a2
3 4 5
GeoGebra
6 7 8
De vierkanten hebben een oppervlakte van a 2 = cm2, b 2 = cm2 en c 2 = cm2.
9
De oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde is
10 11
14
In symbolen: HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
.
1.2.2 De Pythagorasboom 1) Teken een willekeurig vierkant. 2) Construeer op dat vierkant een gelijkbenige rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde gelijk is aan de zijde van het vierkant. 3) Construeer daarna een vierkant op elke rechthoekszijde van de driehoek. 4) Op de zijden van die vierkanten kun je opnieuw een gelijkbenige rechthoekige driehoek tekenen met een schuine zijde gelijk aan de zijde van het vierkant. 5) Elke rechthoekszijde van die nieuwe driehoeken is de zijde van een nieuw vierkant.
5
5
4
4 3
N
3
aa
r©
VA
2
1
5
IN
5
In
ki jk
ex
em pl
Als je dezelfde bewerkingen telkens opnieuw uitvoert, verkrijg je de boom van Pythagoras.
De boom van Pythagoras noem je een fractaal. Het woord ‘fractaal’ is afgeleid van het Latijnse woord fractus, dat ‘gebroken’ betekent. Een fractaal is een meetkundige figuur met bijzondere eigenschappen: • zelfgelijkvormigheid: Binnen een fractaal herhalen bepaalde structuren of patronen zichzelf. Als je een klein detail van een fractaal sterk uitvergroot, zie je steeds dezelfde vorm terug; • oneindige herhaling van eenzelfde systeem of bewerking.
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
15
1.3 Stelling
De stelling van Pythagoras bewijzen In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde. tekening
gegeven
• Op de schuine zijde van de driehoek teken je een vierkant met zijde c.
a b
b
te bewijzen
a
VA
c
c b
a
instructiefilmpje
aa
b
a 2 + b 2 = c 2
r©
c
N
c
a
een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden a en b en schuine zijde c
IN
• Daaromheen teken je een vierkant met zijde a + b, zodat de hoekpunten van het vierkant met zijde c op de zijden van het grote vierkant liggen.
bewijs
em pl
De oppervlakte van de volledige figuur kun je op twee manieren berekenen: oppervlakte groot vierkant
=
oppervlakte klein vierkant + oppervlakte vier driehoeken
fl
2
ki jk
ex
(a + b)
1 2 3 4 5
In
a 2 + 2ab + b 2
=
c 2 + 4 ?
fl =
=
a b 2
merkwaardig product en breuken vereenvoudigen
c 2 + 2ab
fl a 2 + b 2
definitie oppervlakte vierkant en driehoek
eigenschappen gelijkheden
c 2
besluit a 2 + b 2 = c 2
6 7 8 9
De stelling van Pythagoras is een van de meest bewezen stellingen uit de vlakke meetkunde. Momenteel zijn er meer dan 350 verschillende bewijzen voor die stelling bekend.
10 11
16
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
GeoGebra
Oefeningen REEKS B 11
Bewijs de stelling van Pythagoras. tekening
gegeven
r
VA
p
N
te bewijzen
IN
q
r©
bewijs
aa
em pl
ex
ki jk
In
besluit
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
17
12
Vul het bewijs voor de stelling van Pythagoras aan. tekening
gegeven
een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden a en b en schuine zijde c c
a
b
a 2 + b 2 = c 2
N
a
IN
te bewijzen
c
b
VA
bewijs
=
oppervlakte drie driehoeken
aa
oppervlakte trapezium
r©
De oppervlakte van de volledige figuur kun je op twee manieren berekenen.
fl =
+ 2 ?
em pl
(a + b) ? (a + b) 2
definitie oppervlakte trapezium en driehoek
2
In
1
ki jk
=
beide leden vermenigvuldigen met 2
fl =
merkwaardige producten
en
besluit
3 4
ex
fl
5 6 7 8
GeoGebra
9 10 11
18
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
13
Bewijs de stelling van Pythagoras. tekening
gegeven c a
a
b
c
a
te bewijzen a
b
c
VA
IN
c
N
b
b
bewijs
r©
aa
em pl
ex
ki jk
In
besluit
GeoGebra
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
19
1.4 Rekenen met Pythagoras 1.4.1 Inleiding Vader bouwt zelf een tuinhuisje achter in de tuin. Hij wil balken bestellen om het dakgebinte te maken. Daarvoor moet hij weten hoe lang die balken minstens moeten zijn. Om die lengte te berekenen, moet je de stelling van Pythagoras omvormen.
x cm
Om in een rechthoekige driehoek een zijde te berekenen, gebruik je de stelling van Pythagoras.
80 cm 150 cm
IN
N
200 cm
VA
300 cm
r©
Zo kun je ook een rechthoekszijde berekenen als de schuine zijde en de andere rechthoekszijde gegeven zijn.
ex
em pl
aa
1.4.2 Algemeen
GeoGebra
c
a b
ki jk
De schuine zijde berekenen als de rechthoekszijden gegeven zijn. c = a + b fi c = a + b
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
20
2
2
2
In
2
Een rechthoekszijde berekenen als de schuine zijde en een rechthoekszijde gegeven zijn. a 2 = c 2 – b 2 fi a = c 2 – b 2
2
b 2 =
fi b =
1.4.3 Voorbeelden In een rechthoekige driehoek zijn de rechthoekszijden 4 cm en 5 cm lang. Hoe lang is de schuine zijde? (op 0,1 nauwkeurig)
In een rechthoekige driehoek is de schuine zijde 8 cm lang. Een van de rechthoekszijden is 6 cm. Hoe lang is de andere rechthoekszijde? (op 0,1 nauwkeurig)
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
1.4.4 De stelling van Pythagoras met ICT De werkwijze om de derde zijde van een rechthoekige driehoek te berekenen als er twee zijden gegeven zijn, kun je als volgt samenvatten: • Je voert de lengtes van de gegeven zijden in. • Je kijkt of twee rechthoekszijden of één rechthoekszijde en de schuine zijde gegeven zijn. • Je kiest de passende formule om de derde zijde te berekenen. Dat kun je grafisch voorstellen in een organogram.
VA
em pl
aa
r©
a2 – b 2 = c
c
nee
N
Is de schuine zijde gegeven?
ja
IN
a, b
a2 + b 2 = c
c
Waarom wordt links in de formule gebruikgemaakt van de absolute waarde en rechts niet?
ex
ki jk
In
REKENMACHINE actie Open de programma-editor. Kies voor een nieuw programma en geef een programmanaam in.
knoppen draw
C
prgm
scherm
entry solve 2
enter
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
21
Ruwweg kun je een programma onderverdelen in drie onderdelen: • invoer van de gegevens, • verwerking van de gegevens (formules), • uitvoer van de resultaten. Daarvoor beschik je in de programma-editor over twee menu’s met commando’s: • programmabesturingscommando’s (CTL), • in- en uitvoercommando’s (I/O). actie
knoppen draw
C
IN
prgm
C
r©
draw
prgm
em pl
aa
Kies het menu met commando’s voor in- of uitvoer.
VA
N
Kies het menu met commando’s voor programmabesturing.
scherm
Om gegevens in te voeren, gebruik je hoofdzakelijk 1:Input en 2:Prompt. Resultaten tonen doe je hoofdzakelijk met 3:Disp en 6:Output.
ex
Hieronder vind je een programma om de lengte van de derde zijde van een rechthoekige driehoek te berekenen als de lengtes van de andere twee zijden gegeven zijn. Zo start je altijd met een leeg scherm.
: Prompt A,B
Geef de gegeven lengtes in.
: Input “SZ GEGEVEN ( J OF N )?”,H
Is de schuine zijde gegeven, ja of nee?
: If H=J
Als het antwoord J(a) is,
3
: Then
dan
4
:
bereken je de lengte van de rechthoekszijde
5
: Disp R
en toon je die.
6
: Else
Anders
7
:
bereken je de lengte van de schuine zijde
8
: Disp S
2
In
1
ki jk
: WisHome
(abs(A2 – B2)) Æ R
(A2 + B2) Æ S
9 10 11
22
GEOGEBRA EN PYTHON HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
en toon je die.
Oefeningen REEKS A 14
Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de zijde x in de rechthoekige driehoeken. c)
a) x
2
x 25,5
5
b)
d)
40
25
aa em pl
x
ki jk
rechthoekszijde
bewerkingen
schuine zijde
b = 7 cm
c=
c=
b) a = 1,2 dm
b = 0,8 dm
c=
c=
In
a) a = 4 cm
Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de rechthoekszijde in de rechthoekige driehoeken. rechthoekszijde
9
Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de schuine zijde in de rechthoekige driehoeken. rechthoekszijde
16
15
ex
15
r©
x
N
VA
IN
5
schuine zijde
bewerkingen
rechthoekszijde
a) b = 3 cm
c = 4 cm
a=
a=
b) b = 1,5 dm
c = 2,7 dm
a=
a=
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
23
17
Bereken, op 0,01 nauwkeurig, x in de rechthoeken. a)
b)
35
x
40
x
VA
N
IN
55
Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de ontbrekende zijde in een rechthoekige driehoek met schuine zijde c.
5
b)
15
3
In
7
e) f)
19,30
d)
2
9
ki jk
c)
1
c
ex
a)
b
em pl
a
aa
18
r©
REEKS B
23,41
8
27
41,60
26
78,22
128
4 5 6 7 8
g)
6,50
h)
315,10
i)
4
89,23
426,90
130,08
9 10
j)
4,32
7,18
11
24
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
berekeningen
28
19
Een ladder van 5 meter lang staat tegen een muur. De ladder steunt tegen de muur op een hoogte van 4,80 meter. Hoe ver staat de onderkant van de ladder van de muur? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.
IN
Een rechthoek heeft een lengte van 10 cm en een breedte van 4 cm. Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de lengte van de diagonalen van die rechthoek.
VA
20
N
Antwoord:
r©
aa
ki jk
ex
Antwoord:
em pl
Een boom is op een hoogte van 2,30 m afgeknakt door de bliksem. De top van de kruin bevindt zich op 4,85 m afstand van wat er van de stam overgebleven is. Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de oorspronkelijke hoogte van de boom.
In
21
Antwoord:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
25
22
Aan de ene kant is een 50 m lang zwembad 1 m diep. Die diepte neemt geleidelijk aan toe tot 3,5 m aan de andere kant van het zwembad. Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de lengte van de bodem van dat zwembad.
Op een terrein staan, op 10 m van elkaar, twee palen met een respectievelijke lengte van 8 m en van 6 m. Je wilt een kabel spannen tussen de toppen van beide palen. Hoe lang moet die kabel minimaal zijn? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.
VA
N
23
IN
Antwoord:
r©
aa
ex
Antwoord:
em pl
2 3 4 5
In
1
ki jk
De Babyloniërs hadden een origineel idee om de hoogte van een muur te meten. Ze namen een stok, waarvan de lengte gekend was en die zeker langer was dan de hoogte van de muur, en plaatsten die schuin tot tegen de bovenrand van de muur. Het volstond dan de afstand van de muur tot het onderste punt van de stok te meten.
24
Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de hoogte van de muur, als het onderste punt van een stok van 25 m zich op 10,15 m afstand van de voet van de muur bevindt.
6 7 8 9
10 11
26
Antwoord: HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
25
De schuine zijde van een gelijkbenige rechthoekige driehoek is 5 cm. Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de lengte van de rechthoekszijden.
26
IN
Antwoord:
Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de hoogte van een gelijkzijdige driehoek met zijden van 6 cm.
N
VA
r©
Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de zijden van een ruit waarvan de diagonalen 9 cm en 5 cm lang zijn.
em pl
27
aa
Antwoord:
ki jk
ex
In
Antwoord:
28
Bereken, op 0,01 cm2 nauwkeurig, de oppervlakte van een vierkant met diagonalen van 3 cm. Antwoord:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
27
29
Bereken, op 0,01 cm2 nauwkeurig, de oppervlakte van een ruit met zijde 10 cm en een diagonaal van 15 cm.
IN
Antwoord:
N
Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde 15 cm is en de ene rechthoekszijde driemaal zo lang is als de andere rechthoekszijde.
VA
30
r©
2 3 4 5 6
In
1
Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de omtrek van de cirkel omgeschreven aan een vierkant met een zijde van 4 m.
ki jk
31
ex
Antwoord:
em pl
aa
7 8 9 10 11
28
Antwoord:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
4m
32
Bereken de oppervlakte van de gelijkbenige driehoeken (zonder de hoogte te meten). Bepaal je antwoord op 0,01 cm2 nauwkeurig. • In een gelijkbenige driehoek is de hoogtelijn uit de top ook de middelloodlijn op de basis. b ?h • De formule voor de oppervlakte van een driehoek: A = . 2 a)
c)
4 cm
5 cm h cm
N
IN
7 cm
VA
4 cm
r©
aa
em pl
Antwoord:
d)
6 cm
In
ki jk
ex
b)
Antwoord:
5 cm 5 cm
Antwoord:
Antwoord:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
29
REEKS C 33
De lengte van een rechthoek is driemaal zo lang als de breedte. De diagonalen van de rechthoek zijn 10 cm. Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de omtrek van die rechthoek.
IN
N
VA
r©
Een ladder is 0,5 m langer dan een gebouw hoog is. Als je de voet van de ladder 2,5 m van de muur plaatst, komt de top van de ladder tegen de bovenkant van het gebouw. Hoe hoog is dat gebouw? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.
em pl
34
aa
Antwoord:
ki jk
ex
2 3
In
1
4 5
6
7
8 9
Antwoord:
10 11
30
Rekenen met Pythagoras (vraagstukken) HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
1.5
Constructies
1.5.1 Constructie van een schuine zijde Modeloefening 1: Construeer een lijnstuk c met lengte van 13 cm. 2
2
Stel 13 = 4 + 9 = 2 + 3 , dan is c = a 2 + b 2 met c = 13 cm, a = 2 cm en b = 3 cm. Stap 1: Teken een lijnstuk a van 2 cm. Stap 2: Construeer het lijnstuk b van 3 cm loodrecht op a in een grenspunt.
IN
Stap 3: V erbind de vrije grenspunten.
VA
1.5.2 Constructie van een rechthoekszijde
N
Het gevonden lijnstuk is 13 cm.
a
Modeloefening 2: Construeer een lijnstuk a met een lengte van 12 cm. 2
2
r©
Stel 12 = 16 – 4 = 4 – 2 , dan is a = c 2 – b 2 met a = 12 cm, b = 2 cm en c = 4 cm.
aa
Stap 1: Teken een lijnstuk b van 2 cm en een loodrechte op b in een van de grenspunten.
em pl
Stap 2: Construeer een boog met een straal van 4 cm vanuit het andere grenspunt.
ex
Stap 3: V erbind het vrije grenspunt van b met het snijpunt van de boog met de loodrechte.
b
ki jk
Het gevonden lijnstuk is 12 cm.
Je kunt niet alle lijnstukken met een opgegeven lengte op die manier construeren.
In
GeoGebra
1.5.3 Toepassing • Construeer een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden gelijk aan 1. 2
1 1
2
• De schuine zijde is dan 1 + 1 = 2 . • Gebruik de gevonden schuine zijde als rechthoekszijde voor een volgende rechthoekige driehoek. • De schuine zijde van die driehoek is
(
2
2
1
1
3
1
1 1
2 ) + 1 = 3. 2
1
• Gebruik de gevonden schuine zijde als rechthoekszijde voor een volgende rechthoekige driehoek. • ...
1
1 1
1
1
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
31
Oefeningen REEKS A 35
Construeer via de schuine zijde van een rechthoekige driehoek. a) een lijnstuk van 20 cm
b) een lijnstuk van 10 cm
Construeer via een rechthoekszijde van een rechthoekige driehoek. a) een lijnstuk van 7 cm
b) een lijnstuk van 5 cm
r©
36
VA
N
IN
2 3 4
REEKS B
In
1
ki jk
ex
em pl
aa
37
Construeer. a) een lijnstuk van 11 cm
b) een lijnstuk van 17 cm
5 6 7 8 9 10 11
32
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
38
Construeer op twee verschillende manieren een lijnstuk van 8 cm. a) via de schuine zijde
b) via een rechthoekszijde
N
IN
em pl
n+1 2
r©
Bereken de andere rechthoekszijde.
aa
39
VA
REEKS C
ki jk
ex
n–1 2
In
Die eigenschap kun je ook gebruiken om een lijnstuk met een gegeven lengte te construeren. Construeer. a) een lijnstuk van 5 cm
b) een lijnstuk van 8 cm
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
33
1.6
Afstand tussen twee punten
1.6.1 Afstand van een punt tot de oorsprong Het punt A is aangeduid op de tekening.
co(B) = (−5, 4)
co(A) = ( , )
Stel B voor in het assenstelsel.
Meet de afstand van A tot de oorsprong O.
Meet de afstand van B tot de oorsprong O.
| OA | =
| OB | =
GeoGebra
IN
y 4
A
–7
–6
–5
–4
–3
–2
r©
1
VA
2
N
3
–1
O
1
2
3
S 4
x 5
6
em pl
Je kunt | OA | ook berekenen.
aa
–1
Zo verkrijg je een rechthoekige driehoek.
ex
Je construeert het punt S, het snijpunt van een verticale rechte door A en de x-as.
| AS | = | de y-coördinaat van A | =
ki jk
| OS | = | de x-coördinaat van A | =
2
2
2
2
In
| OA | = | OS | + | AS |
1
4 5
2
| OA | =
2
| OA | =
| OA | = +
3
Bereken | OB |.
6 7 8 9
Werkwijze
De afstand van een punt tot de oorsprong verkrijg je door • de som te berekenen van de kwadraten van de coördinaatgetallen van dat punt en • de vierkantswortel van die som te bepalen. co(A) = (xA , yA) fi | OA | = x A2 + y A2
10 11
34
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
7
1.6.2 Afstand tussen twee punten Voorbeeld In een assenstelsel zijn twee punten gegeven: A met co(A) = ( , ) en B met co(B) = ( , ) Je kunt de afstand tussen die twee punten meten: | AB | = cm.
y B
VA
N
IN
8
r©
8–2
aa
2
S
A
em pl
1
1
2
3
7
8
7–3
ki jk
ex
O
x
Je kunt de afstand tussen de twee punten ook berekenen.
In
Je construeert het punt S, dat je verkrijgt als het snijpunt van een horizontale rechte door A en een verticale rechte door B. | AS | = want (verschil van de x-coördinaten) | BS | = want (verschil van de y-coördinaten)
Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de lengte van de schuine zijde van de rechthoekige driehoek ABS. 2
2
2
| AB | = | AS | + | BS | | AB | =
2
2
| AS | + | BS |
| AB | = 42 + 62 | AB | = =
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
35
Algemeen y
In een assenstelsel zijn twee punten gegeven:
yB
A met co(A) = (xA , yA) en
B
B met co(B) = (xB , yB). yB – yA
| CB | = | yB − yA | en | AC | = | xB − xA |
yA
2
IN
Je neemt van beide verschillen de absolute waarde omdat afstanden altijd positief zijn. 2
2
| AB | = | AC | + | CB |
2
2
xA
2
1
O
r©
| AB | = (x B – x A ) +(y B –y A )
N
1
| AB | = |AC | + |CB |
VA
2
Formule
C
A
xB
xB – xA
Voor A en B met co(A) = (xA , yA) en co(B) = (xB , yB) geldt: 2
2
aa
| AB | = (x B – x A ) + (y B – y A )
em pl
Voorbeeld 1
Bereken | AB | op 0,01 nauwkeurig, als co(A) = (–2, 4) en co(B) = (3, –5). | AB | =
ex
=
ki jk
Voorbeeld 2
1 2 3 4
In
y
3
Bereken | CD | op 0,01 nauwkeurig.
C
co(C) = co(D) =
2
| CD | =
1
=
5
x
6
O
7
–1
8
1
2
3
4
5
–2
9 10
–3
11
36
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
D
x
Bijzondere gevallen Afstand van een punt tot de oorsprong y
co(O) = (0, 0) co(A) = (5, −2)
1
| OA | = (5 – 0) + (–2 – 0)
2
2
= 5 + (–2)
x
O
1
2
3
4
5
2
= 25 + 4
–1
= 29
–2
= 5,39
IN
A
N
Als co(A)= (xA , yA), dan is |OA| = x A2 + y A2 .
VA
Algemeen
2
Afstand tussen twee punten met dezelfde x-coördinaat
co(A)= (2, 1) co(B)= (2, −2)
A
1
2
2
4
5
em pl
–1
3
aa
1
–2
2
| AB | = (2 – 2) + (–2 – 1)
x
O
= 0 + (–2 – 1) = (–2 – 1)
2
2
2
= |–2 – 1| = |–3| = 3
ex
B
Als de rechte AB verticaal is (xA = xB), dan is | AB | = | yB − yA |.
ki jk
Algemeen
r©
y
In
Afstand tussen twee punten met dezelfde y-coördinaat
A
y
co(A) = (−2, 1) co(B) = (3, 1)
2
| AB | =
(3 – (–2))
2
+ (1 – 1)
=
(3 – (–2))
2
+0
=
(3 – (–2))
2
B
1
x –2
Algemeen
–1
O
1
2
3
2
2
= |3 – (–2)| = |3 + 2| = 5
Als de rechte AB horizontaal is (yA = yB), dan is | AB | = | xB − xA |.
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
37
Oefeningen REEKS A 40
Bereken de afstand tussen de gegeven punten op 0,1 nauwkeurig. a) A en B met co(A) = (2, 5) en co(B) = (5, 7) I AB I = b) C en D met co(C) = (4, 12) en co(D) = (3, 5)
IN
I CD I = c) E en F met co(E) = (4, 7) en co(F) = (6, 3)
VA
N
I EF I =
Bereken de lengte van de lijnstukken op 0,01 nauwkeurig.
r©
41
aa
a) lijnstuk [AB] met co(A) = (−4, −2) en co(B) = (9, −2)
em pl
I AB I =
b) lijnstuk [OC] met co(O) = (0, 0) en co(C) = (2, 7) I OC I =
ex
c) lijnstuk [DE] met co(D) = (12, −4) en co(E) = (7, 1)
ki jk
I DE I =
d) lijnstuk [FO] met co(F) = (−8, 4) en co(O) = (0, 0)
2 3 4 5 6
I FO I =
In
1
e) lijnstuk [GH] met co(G) = (−2, −6) en co(H) = (−4, 0) I GH I = f) lijnstuk [IJ] met co(I) = (7, −3) en co(J) = (−7, 3) I IJ I =
7 8 9
g) lijnstuk [OK] met co(O) = (0, 0) en co(K) = (0, −6) I OK I =
10 11
38
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
42
Bereken de afstand tussen de gegeven punten op 0,01 nauwkeurig. Controleer op de figuur. a)
c)
y
y
F B A 1 x
E 1
O
IN
1 x 1
VA
r©
| EF | =
aa
| AB | = b)
N
O
em pl
y 1 O
d)
y
x H
D
ex
–1
G
1
ki jk
x O
1
In
C
| CD | =
| GH | =
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
39
REEKS B 43
Bereken de lengte van de lijnstukken op 0,01 nauwkeurig. Schat eerst het resultaat. Controleer op de figuur. y 5 B
4 A
3
IN
2 1
–4
–3
–2
–1
O –1 –2
1
2
3
4
r©
–3
C
aa
–4
em pl
–5
schatten
ex
a) | AB | =
c) | OA | =
2
d) | BD | =
e) | CO | =
f) | AD | =
g) | CB | =
h) | DO | =
In
1
ki jk
b) | AC | =
3 4 5 6 7 8 9 10 11
40
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
5
N
–5
VA
–6
berekenen
6
x 7
D
44
Teken de driehoeken en bereken de omtrek op 0,01 nauwkeurig. y 6 5 4 3 2 1 x –8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
O
1
2
3
–1
7
8
9
aa
r©
–6
6
VA
–3
–5
5
N
–2
–4
4
IN
–9
ki jk
ex
em pl
a) LAT met co(L) = (4, −2), co(A) = (2, 5) en co(T) = (6, 5)
In
b) PEN met co(P) = (−6, 5), co(E) = (−6, −4) en co(N) = (1, −4)
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
41
45
De steden Agem, Begem en Cegem worden verbonden door een spoorlijn. Alle trajecten zijn recht. De steden hebben in een assenstelsel met ijk 1 km de volgende coördinaatgetallen: co(A) = (1, 2) co(B) = (6, 3) co(C) = (4, 11) Hoeveel km spoorlijn, op 0,001 km nauwkeurig, is er nodig?
IN
Vanuit de oorsprong bekijk je de punten X, Y en Z met de volgende coördinaatgetallen: co(X) = (5, 4) co(Y) = (−6, 2) co(Z) = (−4, −3) Welk punt ligt het dichtst bij de oorsprong?
r©
46
VA
N
Antwoord:
aa
em pl
ex
2
47
Een computerscherm heeft een resolutie van 1 280 bij 1 024 pixels. Een pixel beweegt van positie (50, 50) naar positie (650, 800). Bereken de afgelegde weg op een gehele pixel nauwkeurig.
In
1
ki jk
Antwoord:
3 4 5 6 7
8 9 10 11
42
Antwoord: HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
REEKS C 48
Een driehoek wordt gevormd door de punten D, E en F met de volgende coördinaatgetallen: co(D) = (1, 3) co(E) = (2, −1) co(F) = (−2, 1) Onderzoek of de driehoek DEF gelijkbenig en/of rechthoekig is.
IN
De vierkantjes op de figuur hebben een zijde van 12,5 km. Niels logeert aan de kust. Hoe ver bevindt hij zich van Gent? Hoe ver van Brussel? y
Niels bevindt zich hier
1
O
Gent
x
Mechelen
Aalst
em pl
Roeselare
Turnhout
Antwerpen
aa
Brugge
1
r©
49
VA
N
Antwoord:
Hasselt
Brussel
Charleroi
Namur Marche-en-Famenne
In
ki jk
ex
Mons
Liège
Arlon
Antwoord:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
43
1.7
Pythagoras in de ruimte
1.7.1 Modeloefening 1: diagonaal van een kubus B
C
gegeven een kubus met ribbe 4 cm gevraagd
A
D
Bereken de ruimtediagonaal op 0,01 nauwkeurig. oplossing G
IN
F
N
H
E
VA
r©
antwoord
De diagonaal is
aa
instructiefilmpje
2 3
5 6
E
C
A
H D
8
9
antwoord
10
44
gevraagd
7
11
een piramide met vierkant grondvlak Elke ribbe is 4 cm.
oplossing
B
4
gegeven
Bereken de hoogte EH op 0,01 nauwkeurig.
In
1
ki jk
ex
em pl
1.7.2 Modeloefening 2: hoogte van een piramide
GeoGebra HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
De hoogte is
Oefeningen REEKS A 50
Bereken op 0,1 cm nauwkeurig. gegeven een balk met l = 3 cm, b = 2 cm en h = 6 cm B
C
A
gevraagd | DF |
D
IN
oplossing
h
N
VA
G b E
H
l
r©
F
aa
antwoord
Bereken op 0,1 cm nauwkeurig.
gegeven een piramide met vierkant grondvlak met z = 3 cm en h = 5 cm gevraagd
E
| AE | oplossing
In
ki jk
ex
51
em pl
| DF | =
B
C
F
A
D
antwoord | AE | =
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
45
REEKS B 52
Bereken op 0,1 cm nauwkeurig. gegeven een balk met l = 3 cm, b = 3 cm en h = 5 cm M is het midden van [AE ]. N is het midden van [FG ].
B
C
gevraagd | MN |
A
D
oplossing
IN
M
G
N
VA
F
N
H
r©
E
antwoord
Bereken op 0,1 cm nauwkeurig.
ex
53
em pl
aa
| MN | =
een kubus met ribbe 3 cm
ki jk
gevraagd
2
In
B
1
A
gegeven
C
de omtrek van CEG oplossing
D
3
4
F
5
G
6 7
E
8
H
9
antwoord
10
De omtrek van CEG is
11
46
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
54
Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de hoogte van een piramide met een vierkant grondvlak met zijde 7 cm en opstaande ribbe 11 cm.
IN
Een vrachtwagen heeft een laadruimte met lengte 5,5 m, breedte 3 m en hoogte 2,5 m. Kan een vlaggenmast van 7 m in die laadruimte?
VA
55
N
Antwoord:
r©
aa
em pl
ex
ki jk
Antwoord:
Van een piramidevormige tent hebben alle ribben een lengte van 2,5 m. Milan is 1,82 m groot. Kan Milan rechtop staan in die tent?
In
56
Antwoord:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
47
REEKS C 57
Bereken op 0,01 cm2 nauwkeurig. gegeven een kubus met ribbe 3 cm gevraagd de oppervlakte van BGE B
C
A
oplossing
D
F
IN
G H
VA
E
N
r©
antwoord
58
em pl
aa
De oppervlakte van BGE is
Bewijs.
ex
B
2 3
2
2
2
2
h
F
6
G b
7
E
l
9
H
besluit 2
| DF | = l + b + h
10
48
2
bewijs
5
11
te bewijzen | DF | = l + b + h
D
4
8
een balk met ribben l, b en h
C
In
1
ki jk
A
gegeven
2
2
2
In een balk is het kwadraat van de lengte van een ruimtediagonaal gelijk aan l + b + h . HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
STUDIEWIJZER De stelling van Pythagoras voor de leerling
1.1 De stelling van Pythagoras formuleren KENNEN
voor de leerkracht
– + – +
In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde. Als in een driehoek de som van de kwadraten van de twee kortste zijden gelijk is aan het kwadraat van de langste zijde, dan is de driehoek rechthoekig.
KUNNEN
– + – +
KUNNEN
– + – +
De stelling van Pythagoras formuleren.
IN
1.2 Meetkundige voorstellingen Het verband tussen de stelling van Pythagoras en de oppervlakte van de vierkanten op de zijden van een rechthoekige driehoek verduidelijken.
1.3 De stelling van Pythagoras bewijzen KUNNEN
– + – +
r©
De stelling van Pythagoras bewijzen.
VA
N
De Pythagorasboom, als meetkundige voorstelling van de stelling van Pythagoras, tekenen en toelichten.
Een bewijs van de stelling van Pythagoras aanvullen.
1.4 Rekenen met Pythagoras
aa
De stelling van Pythagoras bewijzen in een gewijzigde situatie.
– + – +
em pl
KUNNEN
Een onbekende zijde in een rechthoekige driehoek berekenen. Een algoritme ontwerpen om een zijde in een rechthoekige driehoek te berekenen. De stelling van Pythagoras toepassen om vlakke problemen op te lossen.
ex
1.5 Constructies
KUNNEN
– + – +
ki jk
Via de stelling van Pythagoras lijnstukken met een bepaalde lengte construeren.
In
1.6 Afstand tussen twee punten KENNEN
– + – + 2
2
Voor A en B met co(A) = (xA , yA) en co(B) = (xB , yB) geldt: |AB| = (x B – x A ) + (y B – y A ) .
Afstand van een punt tot de oorsprong. Als co(A) = (xA , yA), dan is |OA| = x A2 + y A2 . Als de rechte AB verticaal is (xA = xB), dan is |AB| = |yB – yA|. Als de rechte AB horizontaal is (yA = yB), dan is |AB| = |xB – xA|.
KUNNEN
– + – +
De afstand tussen twee punten, gegeven met hun coördinaten, berekenen in het vlak.
1.7 Pythagoras in de ruimte KUNNEN
– + – +
De stelling van Pythagoras toepassen om ruimtelijke problemen op te lossen.
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
49
Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
❑ filter
❑ schets
❑ patroon
❑ schema/tabel
❑ kennis
❑ vereenvoudig
❑ logisch nadenken
❑ gok verstandig
❑ ...
IN
❑ concreet materiaal
VA
N
tallen in de piramide, 1. Plaats natuurlijke ge r staande vakjes in elke twee naast elkaa len tal ge de n va m so zodat de vakje erboven. het gemeenschappelijke gelijk is aan het getal in 145
3
aa
5
2
In
1
ki jk
ex
12
em pl
25
42
r©
2. Plaats natuurlijke ge tallen in de piramide, zodat het product van de getallen in elke twee na ast elkaar staande vakje gelijk is aan het getal in s het gemeenschappelijke vakje erboven.
3
36 000
4
5
24
6 7
8 9 10 11
50
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
15
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
2.1 Decimale voorstelling van rationale getallen
2.2 Vierkantswortels 2.3 De reële getallen
52
IN
60 65 71
2.5 Reële getallen ordenen
76
2.6 Derdemachtswortel van een reëel getal
84
Studiewijzer
88
VA
N
2.4 Irrationale getallen benaderen
90
In
ki jk
ex
em pl
aa
r©
Pienter problemen oplossen
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
51
2.1
Decimale voorstelling van rationale getallen
2.1.1 Inleiding b)
= =
euro
c)
=
euro
=
euro
euro
d)
= =
euro
euro
= =
euro euro
IN
a)
De waarde is een rationaal getal. Elk rationaal getal kan op twee manieren worden geschreven: Voorbeelden:
•
Voorbeelden:
VA
N
•
r©
2.1.2 Een breuk omvormen naar de decimale schrijfwijze
aa
Om een breuk om te vormen naar de decimale schrijfwijze, deel je de teller van de breuk door de noemer. 31 = 250
em pl
24 = 25
17 = 8
2.1.3 Soorten decimale voorstellingen van rationale getallen
2
Een decimaal getal is een begrensd kommagetal.
In
1
ki jk
29 = 20
ex
decimaal getal
3
decimale vorm
zuiver repeterend
5 = 11
17 = 6
Een zuiver repeterende decimale vorm is een onbegrensd kommagetal waarbij de periode onmiddellijk na de komma begint.
Een gemengd repeterende decimale vorm is een onbegrensd kommagetal waarbij tussen de komma en de periode een niet-repeterend deel voorkomt.
4
• De periode van een decimale vorm is de cijfergroep na de komma die telkens herhaald wordt. Voorbeeld: 12,767 6... periode = 76
5 6
• Het niet-repeterend deel van een gemengd repeterende decimale vorm is de cijfergroep tussen de komma en de periode. Voorbeeld: 13,845 210 210... periode = 210 niet-repeterend deel = 845
7 8 9 10 11
gemengd repeterend
Afspraken
• Noteer de periode twee keer, gevolgd door drie puntjes. • Begin de periode zo vroeg mogelijk. • Houd de periode zo kort mogelijk. GeoGebra
52
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
2.1.4 Een decimale schrijfwijze omvormen naar een breuk Decimale getallen voorbeeld
werkwijze • Stap 1: Noteer het getal als een breuk: ■ de teller is het getal zonder komma; ■ de noemer is een macht van 10 met zoveel nullen als er cijfers na de komma zijn. • Stap 2: Vereenvoudig, indien mogelijk.
1,65 165 = 100 33 = 20
instructiefilmpje
Zuiver repeterende decimale vormen met 0 voor de komma voorbeeld
werkwijze • Stap 1: Noteer het kommagetal als een breuk: ■ de teller is de periode; ■ de noemer is een getal met zoveel negens als er cijfers in de periode zijn. • Stap 2: Vereenvoudig, indien mogelijk.
N
5 11
REKENMACHINE
r©
Breuken invoeren en vereenvoudigen actie 1 785 in. 825
knoppen
a-lock
stat plot f1
Y u
O v
7
em pl
1
P L2
8
ex
actie
ki jk In
Y i
Y
U
5
5
entry solve
enter
knoppen
.
L1
P L5
U
: L6
1
Y
8
Z L5
2
L1
scherm
1
y=
alpha
L1
v
Zet het decimaal getal 1,65 om naar een breuk.
L1
aa
Voer de breuk
instructiefilmpje
VA
=
IN
0,454 5... 45 = 99
scherm
V L5
6
U
5
test
A
math
entry solve
1
enter Y i
L1
: L6
.
1 a-lock
stat plot f1
L4
U
5 Τ
4
y=
alpha
V L5
6
entry solve
enter
Om met de rekenmachine de omzetting naar een breuk te verkrijgen, moet je de periode soms tot zes keer herhalen. actie catalog
[
Zet de decimale vorm 0,454 5... om naar een breuk.
knoppen i
: L4
0 L5
. U L4
5 L4
L1
U L4
5 U L4
5 U L4
5 Y
1
Τ L5
Τ L5
4
Τ L5
4
4
scherm
Τ L5
4 Τ L5
4
Τ
4
U
5
U
5 test
A
math
entry solve
enter
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
53
Zuiver repeterende decimale vormen met een ander getal dan 0 voor de komma voorbeeld
werkwijze
2,33... • Stap 1: Noteer het getal als de som van een aantal gehelen en een getal tussen 0 en 1.
= 2 + 0,33...
=2+
3 9
=2+
1 3
• Stap 2: Noteer het getal tussen 0 en 1 als een breuk: ■ de teller is de periode; ■ de noemer is een getal met zoveel negens als er cijfers in de periode zijn.
6 1 + 3 3
=
7 3
• Stap 4: Maak de breuk en het geheel getal gelijknamig.
N
=
IN
• Stap 3: Vereenvoudig, indien mogelijk.
aa
Gemengd repeterende decimale vormen
2,161 212...
1 100
ex
= 216,121 2... ?
ki jk
= (216 + 0,121 2...) ?
1 2
In
= 216 + = 216 +
3 4
6
1 7 132 ? 33 100 7 132 3 300
=
1 783 825
9 10 11
54
• Stap 2: Noteer het zuiver repeterend kommagetal dat je daardoor vindt als een onvereenvoudigbare breuk.
1 4 ? 33 100
= =
• Stap 1: Schuif de komma op naar rechts, zodat die juist voor de periode komt te staan, en deel door de passende macht van 10 om de gelijkheid te bewaren.
1 12 ? 99 100
1 7 128 4 + ? 33 33 100
7 8
1 100
=
5
werkwijze
em pl
voorbeeld
instructiefilmpje
r©
VA
• Stap 5: Bepaal de som van de breuken.
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
instructiefilmpje
• Stap 3: Vereenvoudig, indien mogelijk. GeoGebra
Oefeningen REEKS A
zuiver repeterende decimale vorm
gemengd repeterende decimale vorm
a) 0,845
❒
❒
❒
b) 0,88...
❒
❒
❒
c) 1,141 4
❒
❒
❒
d) 3,243 624 36...
❒
❒
e) 8,254 4...
❒
❒
f) 16,232 322...
❒
g) 8,07
❒
h) 781,787 8...
❒
i) 0,478 925 925... j) 18,145 656
N
❒ ❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
aa
r©
VA
❒
3 5
=
b)
1 8
=
c)
2 3
d)
80 33
em pl
a)
f)
19 12
=
k)
210 111
=
g)
14 37
=
l)
17 15
=
=
h)
892 45
=
m)
45 33
=
=
i)
508 125
=
n)
309 125
=
In 14 15
=
j)
25 12
=
o)
85 72
=
Vorm de breuken om naar de decimale schrijfwijze en bepaal telkens de periode. decimale schrijfwijze
❒
Vorm de breuken om naar de decimale schrijfwijze.
e)
3
IN
decimaal getal
ki jk
2
Duid het soort decimale schrijfwijze van de rationale getallen aan.
ex
1
periode
a)
8 21
b)
7 13
c)
625 7
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
55
a) 0,29
=
e) 0,325
=
b) 0,4
=
f) 1,18
=
c) 2,7
=
g) 0,036
=
d) 1,25
=
h) 4,064
=
=
c) 0,090 9...
=
d) 0,117 117...
=
e) 0,030 030...
=
f) 1,55... g) 2,181 8...
= = =
2 3 4 5
6
Schrijf de gemengd repeterende decimale vormen als een onvereenvoudigbare breuk.
In
1
ki jk
ex
h) 4,531 531...
N
b) 0,151 5...
VA
=
r©
a) 0,77...
IN
Schrijf de zuiver repeterende decimale vormen als een onvereenvoudigbare breuk.
aa
5
Schrijf de decimale getallen als een onvereenvoudigbare breuk.
em pl
4
a) 0,144...
b) 1,257 878...
c) 18,733...
6 7 8 9 10 11
56
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
REEKS B Noteer de rationale getallen in decimale schrijfwijze als een onvereenvoudigbare breuk. a) 2,131 3...
d) 72,727 2...
N VA
aa
em pl
ki jk
ex
c) 17,400...
In
e) −0,212 312 3...
IN
b) −1,02
g) −0,123 44...
r©
7
h) 50,505 5...
f) 2,757 5...
i) −2,969 6...
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
57
8
Bepaal de periode van de zuiver repeterende decimale vormen. a)
211 121
= 1,743 801 652 892 561 983 471 074 380 165 289 256 198 347 107 438 016 528 925 619 834 710 743 801 652 892 561 983 471 074 380 165 289 256 198 347 107 4...
b)
24 11
= 1,411 764 705 882 352 941 176 470 588 235 294 117 647 058 823 529 411 764 705 882 352 941 176 470 588 235 294 117 647 058 823 529 411 764 705 882 352 9...
Toon aan dat 0,99... = 1.
N
9
IN
VA
Bepaal de som 2,366... + 5,633... zonder rekenmachine.
aa
10
r©
em pl
ex
ki jk
REEKS C 11
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
58
a) het 100e cijfer na de komma in 5,123 123...
In
1
Bepaal het gevraagde cijfer.
b) het 500e cijfer na de komma in de decimale vorm van
10 41
c) het 2 000e cijfer na de komma in de decimale vorm van
d) het 850e cijfer na de komma in 178,347 979 879 8... HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
4 15
Je kunt het aantal cijfers in de periode van een decimale vorm bepalen aan de hand van de noemer van de breuk. De tabel geeft een overzicht van het aantal cijfers (n) in de periode van een decimale vorm waarvan het gegeven priemgetal de noemer is van de breuk die hoort bij die decimale vorm. n
noemer breuk
n
noemer breuk
n
3
1
23
22
73
8
7
6
29
28
79
13
11
2
31
15
101
4
13
6
37
3
137
8
17
16
41
5
239
7
19
18
53
13
271
5
IN
noemer breuk
N
Voor een breuk waarvan de noemer een veelvoud is van een van die priemgetallen, is het aantal cijfers in de periode gelijk aan het aantal cijfers in de periode van de breuk met dat grootste priemgetal als noemer. 1 1 1 = 21 3 7
19 136
19 19 1 = 136 8 17
aa
Bepaal het aantal cijfers (n) in de periode van de gegeven decimale vormen. breuk 1 6
ex
a)
berekening
n
2 31
1 155
d)
15 26
e)
207 145
f)
32 159
g)
7 274
h)
2 005 1 626
ki jk
b)
In
c)
6 16
r©
1 21
em pl
12
aantal cijfers in de periode
VA
breuk
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
59
2.2
Vierkantswortels
2.2.1 Inleiding Een vierkante tegel heeft een oppervlakte van 1 600 cm2. Bereken de lengte van een zijde van een tegel.
IN
2.2.2 Definitie Vierkantswortel van een positief getal
N
Definitie
VA
Een vierkantswortel van een positief getal is een getal waarvan het kwadraat gelijk is aan dat positief getal. In symbolen
r©
b is een vierkantswortel van a ¤ b 2 = a
aa
Opmerking
Waarom kun je de vierkantswortel van een negatief getal niet bepalen?
em pl
2.2.3 Positieve en negatieve vierkantswortel van een getal
ex
positieve vierkantswortel
ki jk
• Bepaal een positief getal waarvan het kwadraat gelijk is aan 81. 2
negatieve vierkantswortel • Bepaal een negatief getal waarvan het kwadraat gelijk is aan 81. 2
( ) = 81
• Besluit:
• Besluit:
3
noem je de positieve vierkantswortel van 81.
noem je de negatieve vierkantswortel van 81.
4
• Notatie:
• Notatie:
5
1 2
In
( ) = 81
81 =
81 = –
6 7
Besluit
• Elk positief getal a, verschillend van 0, heeft twee vierkantswortels die tegengesteld zijn:
8 ■
de positieve vierkantswortel of kortweg de vierkantswortel van a is a
■
de negatieve vierkantswortel van a is − a
9 10 11
60
• 0 heeft juist één vierkantswortel, namelijk 0 zelf. • Elk negatief getal a, verschillend van 0, heeft geen vierkantswortels. HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
Oefeningen REEKS A Bereken zonder rekenmachine. f)
144
=
b) – – 100
=
g)
0,25
=
c)
=
h) – – 6 400
=
d) – – 1
=
i)
0,81
=
e) – – 625
=
j)
0,04
=
169
IN
=
25
VA
a)
N
13
=
5
b) – – 3 c)
490
= =
=
h) – – 965
=
=
i)
147,2
=
j) – – 954,26
=
ex =
In
ki jk
1 258
98 741
g) – – 158
=
d) – – 2 e)
f)
aa
a)
r©
Bereken met de rekenmachine op 0,001 nauwkeurig.
em pl
14
15
Bepaal zonder rekenmachine de twee gehele getallen waartussen het resultaat van de vierkantswortels ligt. Controleer achteraf het resultaat met de rekenmachine. ligt tussen de gehele getallen ...
verklaring
a)
32
en
b)
250
en
c) – – 12
en
d) – – 184
en
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
61
REEKS B Bepaal de gevraagde lengten op 0,001 cm nauwkeurig. a) de zijde van een vierkant waarvan de oppervlakte 278 cm2 bedraagt
c) de straal van een cirkel met een oppervlakte van 120 cm2
b) de rechthoekszijde van een gelijkbenige rechthoekige driehoek met een oppervlakte van 414 cm2
r©
a) x 2 – 25 = 0 x 2 = 25
em pl
Los de vergelijkingen op.
aa
17
d) de diameter van een cirkel met een oppervlakte van 845 cm2
VA
IN
d) 5x 2 = 180
x = 5
ex
x = 25 of x = – 25
ki jk
of x = –5
b) x2 + 7 = 71
2
e) 3x 2 – 63 = 300
In
1
3 4
N
16
5 6 7 8 9 10
c)
x2 = 28 7
x2 + 14 = 62 3
11
62
f)
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
IN
De Body Mass Index wordt ook wel eens de queteletindex genoemd, naar de Belgische wiskundige en astronoom Adolphe Quetelet (1796-1874). Quetelet wordt beschouwd als een van de grondleggers van de moderne sociale statistiek, die zich bezighoudt met het organiseren van volkstellingen en het schetsen van de ‘modale’ mens. Hij was ook heel bedrijvig als sterrenkundige en is de stichter van de Sterrenwacht van Brussel, de voorloper van het Koninklijk Meteorologisch Instituut. m De Body Mass Index (BMI) van een persoon is het getal BMI = 2 . l Daarbij is m de massa in kilogram en l de lengte in meter. De ‘ideale’ BMI ligt tussen 18,5 en 25. Wie minder dan 18,5 scoort, is te mager. Wie een BMI hoger dan 25 heeft, is te zwaar. Een BMI hoger dan 30 levert het etiket ‘zwaarlijvig’ op.
N
Bepaal de lengte van een persoon aan de hand van de BMI en de massa van de persoon. Bepaal je antwoord op 0,01 m.
VA
18
a) BMI = 24
m = 78 kg
m = 60 kg
r©
b) BMI = 20
aa
d) BMI = 18
m = 94 kg
m = 50 kg
ki jk
ex
em pl
c) BMI = 28
In
Een klassiek probleem van de oude Grieken: ‘Construeer een vierkant met dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel.’ Dat probleem is gekend als de kwadratuur van een cirkel. Stel: r is de straal van de cirkel. x is de zijde van het vierkant. Dan: x 2 = ? r 2
19
Bereken de zijde van een vierkant dat dezelfde oppervlakte heeft als een cirkel met een straal van 5 cm. Bepaal je antwoord op 0,001 cm nauwkeurig.
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
63
REEKS C 20
Inthe en Ruben zijn op zoek naar een geschikt stuk bouwgrond. Tijdens een wandeling vinden ze op een stuk grond een bordje met de onderstaande gegevens. Bij navraag in de buurt komen ze enkel te weten dat de aanpalende stukken vierkant zijn. Bereken de oppervlakte van het stuk bouwgrond dat te koop is, op 0,01 m2 nauwkeurig.
657 m 2
Lot 1
985 m 2
Lot 2
Lot 3
IN
TE KOOP
VA
N
r©
Een ‘wiskundige slinger’ bestaat uit een massa m die aan een staaf of kabel hangt met lengte l en waarvan de massa verwaarloosbaar is. Als de massa uit haar evenwichtstoestand wordt gebracht en daarna losgelaten, zal die heen en weer bewegen onder invloed van de zwaartekracht. De periode van de slinger is de tijd die de massa nodig heeft om één keer heen en weer te bewegen.
aa
l
m
T is de periode in seconden, l is de lengte van de slinger in meter en g is de valversnelling in m/s 2 (de toename van de snelheid van een vallend voorwerp, per seconde, onder invloed van de zwaartekracht).
ex
Van een wiskundige slinger met lengte 4 m wordt de periode gemeten. Die bedraagt 4,014 s. Bepaal daaruit een benaderde waarde, op 0,01 nauwkeurig, voor de valversnelling.
ki jk
21
l . g
em pl
Er geldt: T = 2
2
In
1
3 4 5 6 7 8 9 10
22
De valversnelling op de maan is zes keer kleiner dan de valversnelling op de aarde. Wat zal de invloed daarvan zijn op de periode van een slinger op de maan ten opzichte van eenzelfde slinger (massa en lengte zijn gelijk) op aarde?
11
64
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
2.3
De reële getallen
2.3.1 Getallen die je al kent Natuurlijk getal
Geheel getal
Rationaal getal
Een natuurlijk getal is een getal dat je verkrijgt bij het tellen van aantallen.
Een geheel getal is een getal dat je verkrijgt bij het aftrekken van twee natuurlijke getallen.
Een rationaal getal is een getal dat je verkrijgt bij de deling van twee gehele getallen waarbij het tweede getal niet 0 is.
5 is een natuurlijk getal.
−3 is een geheel getal.
Notatie: 5 ΠN
Notatie: −3 Œ Z
Lees: 5 is element van N.
Lees: −3 is element van Z.
IN
3 is een rationaal getal. 4 3 Notatie: ΠT 4 3 Lees: is element van T. 4
N
Definitie
VA
2.3.2 Uitbreiding getallen Irrationale lengten
aa
r©
Om een tuinhek te verstevigen, plaats je vier diagonale balken. Bereken de lengte van een diagonale balk aan de hand van de afmetingen op de tekening.
em pl
Duid aan welk soort getal het resultaat voor de lengte van de diagonale balk zeker niet is.
❒ natuurlijk getal
❒ geheel getal
❒ rationaal getal
ki jk
ex
De rekenmachine is ontoereikend om na te gaan of het verkregen resultaat een rationaal getal voorstelt. Ook met de computer, die heel wat meer decimalen kan berekenen, kun je het einde van het getal niet ontdekken (decimaal getal?) en ook geen periode (decimale vorm?). Irrationale getallen
In
Er bestaan getallen met oneindig veel cijfers na de komma en zonder periode. Die getallen kun je niet als breuk schrijven en het zijn bijgevolg geen rationale getallen. Je noemt ze irrationale getallen. Voorbeelden: • 2 = 1,414 213 562 3... • 0,123 456 789... • p = 3,141 592 653 589 793 238 46...
2 met de computer berekend tot op 200 decimalen: 2 = 1, 414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 732 478 462 107 038 850 387 534 327 641 572 735 013 846 230 912 297 024 924 836 055 850 737 212 644 121 497 099 935 831 413 222 665 927 505 592 755 799 950 501 152 782 060 571 47...
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
65
2.3.3 Rationale en irrationale vierkantswortels rationale vierkantswortels
irrationale vierkantswortels
•
121
=
•
32
=
•
1 4
=
•
5 4
=
•
6,25
=
•
10,02
=
Besluit Een vierkantswortel van een rationaal getal heeft ofwel
IN
• een rationaal getal als uitkomst. Voorbeelden:
N
• een irrationaal getal als uitkomst.
VA
Voorbeelden:
2.3.4 Reële getallen
r©
GEOGEBRA EN PYTHON
Definitie
aa
De rationale en de irrationale getallen samen noem je de reële getallen. Reëel getal
em pl
Een reëel getal is een getal dat rationaal of irrationaal is. De verzameling van de reële getallen noteer je als R.
2
In
1
ki jk
ex
2 is een reëel getal. Notatie: 2 Œ R Lees: 2 is element van R
R N
Z
T
3 4
Plaats de getallen in het venndiagram. 7,25
37
–2,4
2,345…
– 7
0,22…
–6
3
12 3
1 3
5
–
6 7 8 9 10 11
66
Enkele bijzondere deelverzamelingen van R: R0 : de reële getallen zonder 0 +
R : de positieve reële getallen –
R : de negatieve reële getallen De irrationale getallen bevinden zich in R, maar niet in T: HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
GeoGebra
2.3.5 Absolute waarde van een reëel getal Definitie
Absolute waarde De absolute waarde van een reëel getal is gelijk aan het getal zonder toestandsteken (plus of min). Voorbeelden: – 3 = 0,123 45... = – =
2.3.6 Tegengestelde van een reëel getal Definitie
Tegengestelde
IN
Het tegengestelde van een reëel getal is het reëel getal met dezelfde absolute waarde, maar met een verschillend toestandsteken.
Definitie
r©
2.3.7 Omgekeerde van een reëel getal
VA
N
Voorbeelden: –(– 2 ) = –(+p) = –(–1,246...) =
Omgekeerde –1
–1
= (p) = (– 17 ) = –1
em pl
Voorbeelden:
1 2
aa
Het omgekeerde van een reëel getal is gelijk aan 1 gedeeld door dat getal (verschillend van nul).
In
ki jk
ex
• Er bestaat een ‘wetenschap’ die zich bezighoudt met technieken om de cijfers van p te onthouden: de Piphilologie. Het bekendste geheugensteuntje komt van de schrijver en biochemicus Isaac Asimov (1920-1992): 'How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!' In die zin staat het aantal letters van elk woord voor de opeenvolgende cijfers van het getal p : 3,141 592 653 589 79. Wie liever een Nederlandstalig zinnetje onthoudt, kan volgens hetzelfde systeem de eerste dertien cijfers van het getal p onthouden: 'Ook u kunt u zeker vergissen, uw zwakke brein kan immer verkeerd beslissen.'
• In 1897 werd in het parlement van de Amerikaanse staat Indiana een wet aangenomen waarin stond dat het getal p gelijkgesteld moest worden aan 3,2. Edwin J. Goodwin, een amateurwiskundige, was de opsteller van die wet. Naast een ‘praktische’ reden had Goodwin er ook financieel belang bij. Door de ‘uitvinding’ van p = 3,2 kon hij een patent verkrijgen en zo royalty’s ontvangen. De wet werd nadien door de Senaat verworpen dankzij de toevallige aanwezigheid van een wiskundige die de fouten kon aanwijzen die Goodwin gemaakt had om tot p = 3,2 te komen.
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
67
Oefeningen REEKS A Plaats de getallen in het venndiagram. a) –12
c) 1,5
b) 0
d)
3 4
1 3
e) 0,33...
g) –
f) – 5
h) –1,232 3...
k)
j) 5,024 6...
l) –5
12
R
T
Z
Noteer de meest passende getallenverzameling. Kies uit N, Z, T of R. Œ
b) 0,23
Œ
c) 4 585
2 3
25
Œ
g) −1,5
Œ
l) 0,047 47...
Œ
3 7
Œ
m) −8,113
Œ
Œ
i)
6
Œ
n) – 2
Œ
Œ
j) 99
Œ
o)
1 3
Œ
Zijn de gegeven getallen rationaal of irrationaal?
In
1
1 6
k) p
h) –
ki jk
e)
Œ
Œ
ex
d) 0,135 79...
f) 1,232 3...
aa
a) −5
em pl
24
r©
VA
N
N
i) 154
IN
23
rationaal
irrationaal
rationaal
irrationaal
a) 1,233...
❒
❒
g) – 7
❒
❒
b) 1,234 5...
❒
❒
h)
1 5
❒
❒
c) p
❒
❒
i)
❒
❒
d)
❒
❒
j) –473
❒
❒
e) 7 890
❒
❒
k)
625
❒
❒
f) –8,5
❒
❒
l) –
2 3
❒
❒
4 5 6 7 8 9 10 11
68
100
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
2
REEKS B Duid met een vinkje aan tot welke verzameling(en) het gegeven getal behoort. 3
– 0,25
– 5
0,166...
p+1
1 2
4 25
Œ
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
N
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
Z
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
T
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
R
0,44
0,44...
❒
❒
❒
25
IN
26
N
a)
81
❒
❒
b)
348
❒
c)
8 792
❒
d)
3 136
❒
e)
484
VA
zijde irrationaal
zijde rationaal
zijde irrationaal
f)
3 487
❒
❒
❒
g)
144
❒
❒
❒
h)
99
❒
❒
❒
i)
11 025
❒
❒
❒
j)
14 972
❒
❒
3 7
em pl
r©
zijde rationaal
❒
Schrijf zonder absolutewaardeteken. a) –7
=
d) – –
b) 0,85
=
e) – 1,233...
=
c) – 3
=
f) – –
=
=
In 29
A (m2)
aa
A (m2)
ki jk
28
Is de zijde van het vierkant, waarvan de oppervlakte A gegeven is, een rationale of een irrationale lengte? Zet een vinkje.
ex
27
=
Schrijf zo eenvoudig mogelijk. a) –(–8)
=
d) –(– 11 )
b) –( 2 )
=
e) –(+1,455...) =
c) –(p)
=
f) – –
5 2
=
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
69
30
Bepaal het omgekeerde van de reële getallen. Bepaal indien nodig je antwoord op 0,001 nauwkeurig. –1
4 7
a)
–1
b) (–2) c)
(
–1
2)
–1
1 4
=
d) –
=
e) 1,33...
=
f) 12
=
=
= –1
=
–1
Vul de getallenverzameling in. =
d) Z \ N
b) N » Z
=
e) R « T
+
=
–
+
P
em pl
A
B
ki jk
S
3
R
In
D
2
ex
1
4 5 6 7
8 9
10 11
70
=
Verbind je de middens van de zijden van een vierkant, dan verkrijg je een vierkant zoals het groene vierkant op de tekening. De oppervlakte van het grote vierkant bedraagt 4 m2. Bereken de zijde van het kleine vierkant. Bepaal je antwoord op 0,001 m nauwkeurig.
aa
32
=
f) R \ R
r©
c) Z « Z
+
N
a) R « T
VA
31
IN
REEKS C
Bewijs: 2 is irrationaal HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
Q
C
2.4 Irrationale getallen benaderen 2.4.1 Inleiding Bereken 5 . Rond af op het gegeven aantal decimalen.
Controleer de afgeronde waarde aan de hand van de definitie van een vierkantswortel. 2
• 0,01
:
fi (
) =
• 0,001
:
fi (
) =
• 0,000 1 :
fi (
) =
• 0,000 01 :
fi (
) =
2 2 2
N
IN
Een irrationaal getal kan nooit exact worden geschreven als decimale vorm. De decimale vorm is enkel een benaderde waarde van dat irrationaal getal.
VA
2.4.2 Afronden
Het afronden van een irrationaal getal gebeurt in functie van de toepassing.
r©
Voorbeeld:
60 cm
em pl
x cm
aa
Koenraad berekent de lengte van het diagonale tussenschot van de afgebeelde tuinomheining. Hij zal de berekende waarde controleren door de meting uit te voeren met een vouwmeter.
60 cm
2.4.3 Wortelvormen
Definitie
ki jk
ex
Omdat je een irrationale vierkantswortel toch niet exact kunt weergeven door een decimale vorm, kun je als eindresultaat van een opgave de vierkantswortel of een veelvoud ervan noteren. Wortelvorm
In
Een wortelvorm is een product van een irrationale vierkantswortel en een rationaal getal.
Opmerking • Bij een wortelvorm noteer je het rationaal gedeelte altijd vooraan. • Bij een wortelvorm mag je het vermenigvuldigingsteken weglaten. Voorbeelden 3 2 , –7 145 ,
1 3
15 ,
Benaderingen van p
op 2 decimalen nauwkeurig
op 6 decimalen nauwkeurig
op 20 decimalen nauwkeurig
22 7
355 113
428 224 593 349 304 136 308 121 570 117 HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
71
2.4.4 Irrationale getallen benaderen met intervallen Interval Tijdens een stralende zomerdag rust Fatima tussen 14u en 14u30 uit op een bank in het park. De tijd tussen 14u en 14u30 noem je een tijdsinterval.
Interval in R Definitie
Interval in R
IN
Een interval in R is een ononderbroken verzameling van reële getallen.
notatie
gesloten interval
−1 £ x £ 6
alle getallen tussen −1 en 6, −1 en 6 inbegrepen
[−1, 6]
open interval
−1 < x < 6
alle getallen tussen −1 en 6, −1 en 6 niet inbegrepen
]−1, 6[
halfopen interval
−1 < x £ 6
alle getallen tussen −1 en 6, −1 niet inbegrepen, 6 inbegrepen
]−1, 6]
halfgesloten interval
−1 £ x < 6
alle getallen tussen −1 en 6, −1 inbegrepen, 6 niet inbegrepen
[−1, 6[
VA
in woorden
r©
omschrijving
em pl
aa
interval
N
Soorten intervallen
Irrationale getallen benaderen
ex
Je kunt een irrationaal getal benaderen door aan te duiden tot welk interval, begrensd door twee rationale getallen, dat irrationaal getal behoort.
ki jk
Opmerkingen
1 2 3
In
• Het aantal decimalen van de grenzen van het interval bepaalt de breedte van het interval. • Om irrationale getallen te benaderen, gebruik je open intervallen. Voorbeeld 35 = 5,916 079 783
4
intervalbreedte
omschrijving
intervalnotatie
5
1
5 < 35 < 6
]5, 6[
0,1
5,9 < 35 < 6,0
]5,9; 6,0[
6 7 8 9
0,01
5,91 < 35 <
]5,91; [
0,001
< 35 <
] ; [
0,000 1
< 35 <
] ; [
10 11
72
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
Oefeningen REEKS B Schrijf de gegeven uitdrukkingen als een wortelvorm. 3 2
=
f) – 33 (–14)
=
b)
17 0,5
=
g) (–4)3 2,7
=
=
h) –0,12 (– 12,8 ) =
=
i)
=
12 j) – 15
d)
1 (–4) 7
5 7 3 – 8
=
–1
=
Bereken de schuine zijde van de rechthoekige driehoek bij het huisnummer 4. Rond af naargelang het gebruikte meettoestel voor de controlemeting.
em pl
3,2 cm
afronding voor de controlemeting: meettoestel
afronding
meetlat op 1 mm
schuifmaat op 0,02 mm
ki jk
ex
2,6 cm
r©
34
–
VA
3 e) – 7 4
1 8
N
c) – 2 8
IN
a)
aa
33
Een ring heeft een omtrek van 20 cm. Bereken de diameter van de ring. Rond af naargelang het gebruikte meettoestel voor de controlemeting.
In
35
afronding voor de controlemeting: meettoestel
afronding
meetlat op 1 mm
schuifmaat op 0,02 mm
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
73
Vul de tabel in. omschrijving
soort interval
a)
3 £ x £ 11
b)
–4 < x < 8
c)
–1,5 £ x < –0,75
d)
]4, 16[
e)
[1,7; 8,5]
f)
– 3,
N
VA
In welk open interval met gegeven breedte liggen de volgende irrationale getallen? intervalbreedte
a)
7,123 456...
0,1
b)
8
0,01
1
10
d)
148
aa
– 21
em pl
c)
r©
irrationaal getal
e)
−4,010 020 003...
0,000 1
f)
– 1 214
0,001
interval
ki jk
ex
37
intervalnotatie
IN
36
1 2
Verbind een wortelvorm uit de eerste kolom met een wortelvorm uit de tweede kolom die een voorstelling is van hetzelfde irrationaal getal.
In
38
8 2
•
•
9 21
7 175
•
•
35 7
3 189
•
•
4 8
48 5
•
•
3 216
18 6
•
•
6 320
3 4 5 6 7 8 9 10 11
74
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
REEKS C 39
Bereken de opening van de steeksleutel die je moet gebruiken om de moer los te draaien. 7,5 mm
IN
r©
Juist of fout?
fout
❒
❒
b) 3 32 = 3a 2 als a = 4
❒
❒
c)
❒
❒
❒
❒
311 is een benadering van p op 3 decimalen nauwkeurig. 99
2 < x < 3 is een omschrijving van een gesloten interval.
ex
a)
aa
juist
em pl
40
VA
N
ki jk
d) p Π[3,141 6; 3,141 7[
Vul de wortelvormen aan met een geheel getal, zodat het irrationaal getal dat daardoor ontstaat, tot het gegeven interval behoort.
In
41
a)
Π]2,4; 2,5[
f) ? 19
Π]34, 35[
b)
Π]10,77; 10,78[
g) –14 ?
Œ ]–72, –71[
c) ? 2
Π]7, 8[
h) ? 110
Π]110, 120[
d) 3 ?
Π]7,93; 7,94[
i) –8 ?
Œ ]–58, –57[
e) –
Œ ]–3,47; –3,46[
j) ? 120
Œ ]–150, –140[
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
75
2.5 Reële getallen ordenen 2.5.1 Inleiding Symbolen <
£
>
≥
Voorbeelden
7 8
–114
0,850
19
3 2
–p
– 10
IN
–141
N
2.5.2 Irrationale getallen voorstellen op een getallenas
VA
Door een natuurlijk getal n te schrijven als een som van kwadraten, kun je n met een aantal rechthoekige driehoeken exact construeren.
r©
Voorbeelden b) c = 63
a) b = 27
63 = 49 + 14 = 49 + 9 + 5 = 49 + 9 + 4 + 1 2 2 2 2 = 7 +3 +2 +1
2
b
2
a
b
2
27
ex
1
a
ki jk
1
em pl
a
aa
27 = 25 + 2 = 25 + 1 + 1 2 2 2 = 5 +1 +1
5
In
2
2
c
Stap 1: Schrijf het getal n als een som van een kwadraat van een natuurlijk getal en een tweede natuurlijk getal. Neem het kwadraat dat het dichtst bij het getal n ligt en kleiner is dan het getal n.
2
Stap 2: Splits dat tweede getal als een som van een kwadraat van een natuurlijk getal en een derde natuurlijk getal. Stap 3: Doe dat verder tot alle termen kwadraten van een natuurlijk getal zijn.
1
1
b
GeoGebra
2
c
3
63
b
Stap 4: Teken de nodige rechthoekige driehoeken.
4
a
5 6
3
Stap 5: P as de verkregen lengte n af en plaats het irrationaal getal op de getallenas.
7 8
7
9 10 11
76
0 HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
1
R
2.5.3 Abscis van een punt op de getallenas Plaats de gegeven reële getallen bij de correcte stip op de getallenas. 2
0 Definitie
–
4
p
1 3
0,75
–1
1
R
Abscis van een punt
A
Notatie: ab(A) = 0,5
0,5
1
R
N
0
IN
De abscis van een punt van de getallenas is het reëel getal dat overeenkomt met dat punt van de getallenas.
Elk punt van de getallenas komt overeen met één reëel getal. Elk reëel getal komt overeen met één punt van de getallenas.
r©
Besluit
VA
Met de rationale getallen kun je nog niet aan elk punt van de getallenas een abscis toekennen. Met de irrationale getallen erbij is dat wel mogelijk.
aa
2.5.4 Intervallen voorstellen op een getallenas
em pl
Voor het voorstellen van intervallen op een getallenas gelden de volgende richtlijnen: • De breedte van het interval wordt voorgesteld met een groene of een vetgedrukte lijn.
[1, 3]
ex
0
ki jk
• De grenzen van het interval worden voorgesteld met een stip:
In
gesloten open
●
of
●
of
●
]–1, 2[ 0
1
R
0
1
R
[–2, 0[
[–1, + •[
• Bijzondere intervallen: [–1, +∞[
+∞: plus oneindig
]–∞, 2[
−∞: min oneindig
R
1
0
1
R
1
R
]– •, 2[ 0
Opmerking Het interval is altijd open bij –∞ en +∞.
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
77
Oefeningen REEKS A
43
Vul in met <, > of =. a)
1 024
1 042
k)
−79,14
b)
−98
−89
l)
3,002 345...
c)
3,24
3,240
m)
– 459
−21,424 2...
d)
−0,001
0,000 1
n)
2,99...
3
e)
1,22...
1,234 5...
o)
35,185
f)
−4 897 324
−4 987 243
p)
3 7
g)
23
24
h)
p
10
i)
1 2
0,25
j)
−7
79,13
IN
3,002 343 4...
1 238
VA
N
3 8
– 48 –
r©
r)
aa
49
q)
em pl
42
s) t)
–4 3
15 19 10 12
3 2
−0,789 5 6 2 3
n werd met een aantal rechthoekige driehoeken geconstrueerd. Bepaal n. c)
1
ex
a)
ki jk
1
2
1
2 3
3
5
n=
In
1
n=
b)
d)
4
1 1
5
1
6 7 8 9
1
3
1 5
10
n=
11
78
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
7
n=
REEKS B 44
Stel de irrationale getallen voor op de getallenas. Maak daarvoor de nodige constructies met rechthoekige driehoeken. a)
c) – 15
8 =
15 =
=
=
=
=
b) – 22 22 =
d)
33 33 = =
ex
=
em pl
aa
r©
VA
N
IN
8
=
In
ki jk
=
R 0
1
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
79
Construeer een lijnstuk van 38 cm op twee verschillende manieren met twee rechthoekige driehoeken. 38 =
38 =
=
=
=
=
Rangschik de irrationale getallen van klein naar groot. Met de bijbehorende letters op de ballonnen verkrijg je een woord.
ex
46
em pl
aa
r©
VA
N
IN
45
3 5
ki jk
Z
32
I
2
3 3
In
1
F
L
L
M
5 2
A
41
5 3
3
2p
74
A
4
5
6 7 8 9 10
Je vindt het woord:
11
80
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
47
Benoem de punten van de getallenas aan de hand van de gegeven abscis. ab(A) = 2
ab(C) = – 3
ab(B) = −1,5
ab(D) =
ab(E) = 2,8
3 4
ab(F) = –
ab(G) = 7
7 3
ab(H) = –
9 5
ab(I) = 9 ab(J) = 2 5
R 0
48
1
Bepaal de abscis van de benoemde punten van de getallenas.
ab(A) =
1
A
D
ab(B) =
ab(C) =
b)
I
ab(I) =
ab(E) =
R H
ab(J) =
Stel de intervallen voor op de getallenas.
ex
a) [1, 4]
In
ki jk
b) ]−2, 2[
c) ]0, 5]
d) [3, +∞[
e) [−3, −1[
f) ]−∞, 4[
1
ab(H) =
em pl
49
ab(G) =
F
ab(D) =
aa
ab(F) =
0
r©
J
G
R
B
N
0
VA
E C
IN
a)
R 0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
R
R
R
R
R
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
81
Geef de intervalnotatie. R
a)
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
R
b)
R
c)
R
d)
R
51
r©
VA
f)
IN
R
e)
N
50
Vul de tabel in.
]−2, 3]
2
In
d)
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
ki jk
c)
0
ex
b)
em pl
a)
voorstelling
aa
interval
e)
]−∞, 0[
omschrijving R
R
R
R
R
0£x<2
3 4
R
f)
–1 < x < 3
5 6
g)
[−1, 4]
R
7 8
0
1
i)
0
1
9 10 11
82
R
h)
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
R
–1 £ x £ 2
REEKS C 52
Noteer als een interval. =
d) R
–
=
+
=
e) R0
=
–
=
f) R \ R =
a) R b) R
c) R0
–
knoppen {
K
2nd L5
Opmerking Als je na het sorteren wilt weten welke decimale benadering bij wat hoort, noteer dan de waarden.
U L5
5 rcl
EE
Y
1
2nd
}
L
2nd
L1
list
)
Y
1
stat
aa
2nd
L1
J
, L1
X
Y
1
r©
Sorteer L1 in oplopende volgorde en vraag L1 op.
U
L1
x2
5
sto
I
√
2nd
(
VA
Voer de lijst getallen in en sla ze op in de werklijst L1.
scherm
N
actie
IN
REKENMACHINE
Y
2nd L1
L entry solve
}
1
enter
2nd
Y
1
em pl
)
entry solve
Rangschik de reële getallen van klein naar groot.
ki jk
53
ex
enter
a)
In
b)
d)
3,14
<
<
–7 <
22 7
p
– 5 <
42 5 <
–2,5 <
<
79 <
– 7 <
<
10
102
8,5 <
13 5
<
8,88... <
–
c)
<
71
42 4
10,25
105
7 3
10 <
<
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
83
2.6 Derdemachtswortel van een reëel getal 2.6.1 Inleiding
Om de nodige componenten in de kubusvormige bluetooth speaker te kunnen stoppen, is een volume van 216 cm3 nodig. Bepaal de ribbe r van de bluetooth speaker. V = r 3 = 216 cm3
V = = 216 cm3
Om de zijde van de kubus te bepalen aan de hand van het volume, bereken je de derdemachtswortel van het volume.
IN
2.6.2 Definitie
N
Derdemachtswortel van een reëel getal
Definitie
VA
De derdemachtswortel van een reëel getal is een getal waarvan de derde macht gelijk is aan dat reëel getal.
r©
In symbolen b is de derdemachtswortel van a ¤ b3 = a 3
REKENMACHINE
em pl
actie
aa
Notatie: a
2
A
math
L4
Τ
4
Voer het getal in. entry solve
enter
2.6.3 Voorbeelden
In
1
test
ki jk
ex
Bereken de derdemachtswortel van een getal.
knoppen
3
3
8
=
want 3 = 8
•
3
3,375
=
want
•
3
8 27
=
want
3
–64
=
want
3
0
=
want
•
4 5 6 7
•
8 9
•
10 11
Vaststelling
84
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
Elk reëel getal heeft juist één derdemachtswortel.
scherm
Oefeningen REEKS A
27
=
d)
3
0
=
b)
3
64
=
e)
3
–8
=
c)
3
–1
=
f)
3
125
=
d)
3
–
e)
3
91 125
IN
3
=
b)
3
15,625
=
c)
3
–1 331
=
27 4 096
=
VA
216
r©
3
f)
=
3
–0,001
=
aa
a)
N
Bereken met de rekenmachine.
Bereken met de rekenmachine op 0,001 nauwkeurig. =
e)
3
0,036
=
=
f)
3
–81
=
–845
=
g)
3
=
5 4
=
h)
3
a)
3
7
b)
3
2,458
c)
3
d)
3
–
8 15
=
In
ki jk
56
a)
em pl
55
Bereken zonder rekenmachine.
ex
54
REEKS B 57
Bepaal de ribbe van de kubus waarvan het volume gegeven is. a) V = 21,952 m3
b) V = 4 913 cm3
c) V = 39,304 dm3
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
85
58
Een kubus uit plexiglas heeft een volume van 2 750 cm3. Bereken de ribbe van de kubus op 0,01 cm nauwkeurig.
Een kubusvormige koelkast heeft een inhoud van 100 l. De wanden hebben een dikte van 3 cm. Bereken de zijde van de koelkast op 0,01 cm nauwkeurig.
IN
59
N
VA
Bereken de zijde van een dobbelsteen met een volume van 2,4 cm3. Rond af naargelang het gebruikte meettoestel voor de controlemeting.
aa
60
r©
em pl
ex
2
ki jk
meettoestel
In
1
afronding voor de controlemeting: afronding
meetlat op 1 mm
schuifmaat op 0,02 mm
3 4 5 6
61
Kun je met 343 gelijke kubusjes een volledig gevulde grote kubus bouwen? Verklaar je antwoord.
7
8 9
10
11
86
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
62
De kubus van Rubik, met vlakken van 3 bij 3, heeft een volume van 166 cm3. Bereken, op 1 mm nauwkeurig, de ribbe van een klein kubusje waaruit de vlakken zijn opgebouwd.
Los de vergelijkingen op. c) 5x3 − 7 = 196 513
VA
d) 2x3 + 63 = 9
r©
b) 3x3 = 648
REEKS C
em pl
aa
ex
Een kubusvormig zitkussen heeft een massadichtheid van 80 kg/m3 en een massa van 17 kg. m Bepaal de zijde van het zitkussen op 1 mm nauwkeurig. Gebruik de formule V = . r
In
ki jk
64
IN
a) x3 + 5 = 2 749
N
63
65
Een voetbal heeft een inhoud van 5,5 liter. Bereken de straal van de voetbal op 1 mm nauwkeurig.
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
87
STUDIEWIJZER De reële getallen voor de leerling
2.1 Decimale voorstelling van rationale getallen KUNNEN
voor de leerkracht
– + – +
Decimale getallen, zuiver repeterende en gemengd repeterende decimale vormen van elkaar onderscheiden. De periode en het niet-repeterend deel van een decimale vorm aanduiden. Decimale schrijfwijze omvormen naar breuk. Breuk omvormen naar decimale schrijfwijze.
2.2 Vierkantswortels – + – +
N
Een vierkantswortel van een positief getal is een getal waarvan het kwadraat gelijk is aan dat positief getal.
2.3 De reële getallen
– + – +
VA
KUNNEN De vierkantswortels van een positief getal berekenen.
IN
KENNEN
r©
KENNEN
– + – +
Een reëel getal is een getal dat rationaal of irrationaal is.
aa
De absolute waarde van een reëel getal is dat getal zonder toestandsteken. Het tegengestelde van een reëel getal is het reëel getal met dezelfde absolute waarde, maar met een verschillend toestandsteken.
em pl
Het omgekeerde van een reëel getal is 1 gedeeld door dat reëel getal.
KUNNEN
– + – +
Getallen voorstellen in een venndiagram.
De absolute waarde van een reëel getal bepalen.
ex
Het tegengestelde van een reëel getal bepalen.
ki jk
Het omgekeerde van een reëel getal bepalen.
1 2 3
In
2.4 Irrationale getallen benaderen
6
Een interval in R is een verzameling van opeenvolgende reële getallen.
KUNNEN Werken met intervallen. Irrationale getallen afronden in betekenisvolle situaties. Irrationale getallen benaderen met intervallen.
7 8 9 10 11
88
– + – +
Een wortelvorm is een product van een irrationale vierkantswortel en een rationaal getal.
4 5
KENNEN
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
– + – +
voor de leerling
2.5 Reële getallen ordenen KENNEN
voor de leerkracht
– + – +
Een abscis van een punt op de getallenas is het reëel getal dat overeenkomt met dat punt van de getallenas.
KUNNEN
– + – +
Reële getallen ordenen. Irrationale lengten tekenen met behulp van de stelling van Pythagoras. Reële getallen voorstellen op een getallenas. De abscis van een punt op de getallenas bepalen. Intervallen voorstellen op een getallenas.
IN
2.6 Derdemachtswortel van een reëel getal KENNEN
– + – +
KUNNEN De derdemachtswortel van een reëel getal berekenen.
VA
N
Een derdemachtswortel van een reëel getal is een getal waarvan de derde macht gelijk is aan dat reëel getal.
– + – +
In
ki jk
ex
em pl
aa
r©
Vraagstukken waarbij gebruikgemaakt wordt van derdemachtswortels, oplossen.
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
89
Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
❑ filter
❑ schets
❑ patroon
❑ schema/tabel
❑ kennis
❑ vereenvoudig
❑ logisch nadenken
❑ gok verstandig
❑ ...
IN
❑ concreet materiaal
VA
N
n het vierkant. 1. Bereken de zijde x va gegevens op Gebruik daarvoor de de tekening.
3 x
em pl
aa
12
ex
x
1
3 4 5
3x 2x
x
6 7 8 9 10 11
90
60°
In
2
ki jk
3. Bepaal x.
1
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
2. Bereken de oppervla kte van de gekleurd e driehoek, die bepaald wordt door de vier vierk anten. De zijde van het kleinste vierkant is 1.
r©
9
60°
1
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
3.1 Goniometrische getallen
van een scherpe hoek
92 117
Studiewijzer
135 136
In
ki jk
ex
em pl
aa
r©
VA
N
Problemen uit JWO
IN
3.2 Rechthoekige driehoeken oplossen
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
91
3.1
Goniometrische getallen van een scherpe hoek
3.1.1 Hellingen Tijdens een fietstocht ziet Wouter een verkeersbord dat een helling van 20 % aangeeft. F D
B
α
A
C
G
E
N
IN
Meet de aangegeven horizontale verplaatsingen en het bijbehorende hoogteverschil. Deel daarna telkens het hoogteverschil door de horizontale verplaatsing. ADE
horizontale verplaatsing
| AC | =
mm
hoogteverschil
| BC | =
mm
hoogteverschil horizontale verplaatsing
BC = AC
r©
VA
ABC | AE | =
mm
| AG | =
mm
| DE | =
mm
| FG | =
mm
FG = AG
aa
DE = AE
em pl
Wat stel je vast?
AFG
De verhouding van het hoogteverschil en de horizontale verplaatsing noem je het hellingsgetal.
ex
In het voorbeeld is het hellingsgetal . Het hellingsgetal is de decimale schrijfwijze van het hellingspercentage.
2
Hellingsgetal en hellingspercentage zijn typisch voor een hellingshoek. Als de hellingshoek verandert, veranderen het hellingsgetal en het hellingspercentage.
In
1
ki jk
In het voorbeeld is het hellingspercentage .
3 4 5 6 7 8
In de praktijk is het niet zo gemakkelijk om de horizontale verplaatsing en het hoogteverschil te meten. In de landmeetkunde heeft men een speciaal meetinstrument om hellingshoeken te meten: een theodoliet.
9 10 11
92
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
GeoGebra
Oefeningen REEKS A
horizontale verplaatsing
hellingsgetal
a)
2m
100 m
b)
6m
50 m
c)
10 m
80 m
IN
hoogteverschil
N
Bereken het hellingspercentage. horizontale verplaatsing
hellingspercentage
a)
3m
100 m
b)
1m
20 m
c)
5m
VA
hoogteverschil
40 m
REEKS B
Tijdens een beklimming overwint een fietser een hoogteverschil van 200 m bij een horizontale verplaatsing van 2,5 km. Bereken het hellingsgetal van de helling die de fietser beklommen heeft.
ki jk
ex
3
em pl
aa
2
Bereken het hellingsgetal.
r©
1
In
Antwoord:
4
Jan overwint een hoogteverschil van 30 m bij een horizontale verplaatsing van 400 m. Bereken het hellingspercentage op 0,1 % nauwkeurig.
Antwoord:
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
93
3.1.2 Benamingen in een rechthoekige driehoek Algemeen Een rechthoekige driehoek heeft twee rechthoekszijden en een schuine zijde. Afhankelijk van de scherpe hoek kun je de rechthoekszijden een meer specifieke naam geven. • De aanliggende rechthoekszijde van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de rechthoekszijde die aan de gegeven scherpe hoek ligt.
instructiefilmpje
• De overstaande rechthoekszijde van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de rechthoekszijde die tegenover de gegeven scherpe hoek ligt. GeoGebra
C
F
VA
β
N
B
IN
Voorbeelden
α
r©
β
aa
A
em pl
aanliggende rechthoekszijde van a : [AC ]
E
aanliggende rechthoekszijde van a : overstaande rechthoekszijde van a :
aanliggende rechthoekszijde van b :
aanliggende rechthoekszijde van b :
ex
overstaande rechthoekszijde van a : [BC ]
overstaande rechthoekszijde van b :
ki jk
overstaande rechthoekszijde van b :
Opmerking
2
A
In
1
In driehoek ABC noem je | AB | = c de lengte van de schuine zijde of hypothenusa, kortweg: de schuine zijde (sz);
3
α
4
| BC | = a de lengte van de aanliggende rechthoekszijde van b, kortweg: de aanliggende rechthoekszijde van b (arz);
5 6 7
| CA | = b de lengte van de overstaande rechthoekszijde van b, kortweg: de overstaande rechthoekszijde van b (orz);
c
b
8
| AC | = b de lengte van de aanliggende rechthoekszijde van a, kortweg: de aanliggende rechthoekszijde van a (arz);
9 10 11
94
β C
a
B
| CB | = a de lengte van de overstaande rechthoekszijde van a, kortweg: de overstaande rechthoekszijde van a (orz).
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
α
D
Oefeningen REEKS A 5
Vul in. O
T
β
β
IN
α
A
N
K
α M
L
aa
r©
β
VA
V
S
R
em pl
α
ex
I
U
ki jk In
E
α
β
KAT
MOL
VIS
REU
schuine zijde
aanliggende rechthoekszijde van a
overstaande rechthoekszijde van a
aanliggende rechthoekszijde van b
overstaande rechthoekszijde van b
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
95
REEKS B 6
Juist of fout?
IN
C
α
β
D
A
uitspraak
VA
N
B
juist
fout
r
r
r
r
c) [BC] is de schuine zijde in BCD.
r
r
d) [CD] is de overstaande rechthoekszijde van a in ABC.
r
r
r
r
r
r
g) [AC] is de schuine zijde in ABC.
r
r
h) [AD] is de aanliggende rechthoekszijde van a in ACD.
r
r
i) [AC] is de overstaande rechthoekszijde van b in ABC.
r
r
j) [AB] is de schuine zijde in ABC.
r
r
r©
a) [AB] is de aanliggende rechthoekszijde van a in ABC.
ex
em pl
aa
b) [CD] is de overstaande rechthoekszijde van b in BCD.
ki jk
e) [BD] is de aanliggende rechthoekszijde van b in BCD.
1 2
In
f) [AC] is de aanliggende rechthoekszijde van a in ABC.
3 4 5 6 7 8 9 10 11
96
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
7
In welke driehoek geldt de uitspraak? A
L
C
3 2
1
2
1
3 H
E
IN
N
aa
c) [CL] is de schuine zijde.
r©
b) [AL] is de overstaande rechthoekszijde van ^ H2.
e) [LH] is de overstaande rechthoekszijde van ^ C.
ex
em pl
d) [LE] is de aanliggende rechthoekszijde van ^ L2.
g) [NL] is de schuine zijde.
In
ki jk
f) [CH] is de overstaande rechthoekszijde van ^ L3.
VA
a) [HE] is de aanliggende rechthoekszijde van ^ H3.
geldt in driehoek
N
uitspraak
h) [AH] is de aanliggende rechthoekszijde van ^ H2.
i) [NL] is de aanliggende rechthoekszijde van ^ N.
j) [HL] is de overstaande rechthoekszijde van ^ N.
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
97
3.1.3 Verhoudingen in rechthoekige driehoeken Bij een constante hellingshoek is de verhouding van het hoogteverschil en de horizontale verplaatsing constant. Onderzoek de andere verhoudingen. Teken een rechthoekige driehoek JKL met een scherpe hoek a van 60º.
A
E 60°
IN
B
C
60°
D
N
F
H
VA
G
aa
r©
60°
ex
em pl
I
GeoGebra
2 3 4
orz van a sz
orz van a orz van a
arz van a sz
sz (mm)
arz van a (mm)
orz van a (mm)
ABC
51
26
44
DEF
38
19
33
GHI
83
42
72
In
1
ki jk
Vul de tabel verder in.
5 6 7
JKL
8
9 10 11
98
Wat stel je vast? HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
3.1.4 Definities De verhoudingen van de zijden in een rechthoekige driehoek zijn afhankelijk van de scherpe hoek. Je noemt die verhoudingen goniometrische getallen van de scherpe hoek. Sinus
Cosinus
Tangens
De sinus (sin) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding
De cosinus (cos) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding
De tangens (tan) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding
overstaande rechthoekszijde . schuine zijde
aanliggende rechthoekszijde . schuine zijde
overstaande rechthoekszijde . aanliggende rechthoekszijde
IN
Definitie
B
N
β
a
r©
α
b
a BC = AB c
sin b =
b AC = AB c
GeoGebra
cos a =
b AC = c AB
tan a =
a BC = b AC
cos b =
a BC = c AB
tan b =
AC b = BC a
sin a =
4 BC = = 0,8 5 AB
sin b =
cos a =
AC = AB
cos b =
ex
em pl
sin a =
C
aa
A
instructiefilmpje
VA
c
ki jk
Voorbeelden A
In
α
5 cm
3 cm
β C
4 cm
B
tan a =
tan b =
sos cas toa is een ezelsbruggetje om de definities van sinus, cosinus en tangens van een hoek te onthouden. sin =
overstaande schuine
cos =
aanliggende schuine
tan =
overstaande aanliggende
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
99
Zestigdelige graad: onderverdelingen Voor meer nauwkeurige bepalingen van de hoekgrootte kun je de graad onderverdelen in minuten () en seconden (). Die onderverdeling is gebaseerd op het zestigdelige talstelsel: 1º =
1 =
dus 1º =
REKENMACHINE Met de grafische rekenmachine kun je de verhoudingsgetallen sinus, cosinus en tangens van een gegeven scherpe hoek berekenen. actie
knoppen quit
entry solve
mode
enter
IN
2
E L3
θ L6
3
V
6
L entry solve
}
enter
)
r©
sin
cos-1
F L2
L5
Z L5
U
5
2
cos
U L2
Z
em pl
Bereken de cosinus van 25º 52 14.
sin-1
aa
Bereken de sinus van 36º.
VA
N
Selecteer de zestigdelige graad als hoekeenheid.
scherm
5
L1
2
Y L4
Τ a-lock
4
alpha
2nd
angle
apps B
L2
apps memo
+
B
L1
Y
1
Z
2 L entry solve
“ }
)
enter
ki jk
ex
1
2nd
angle
1 2
In
GEOGEBRA EN PYTHON
Voorbeelden
3
Bereken de gevraagde goniometrische getallen. Rond af op 0,001.
4
• sin 82º
5
• cos 38º 47 29 =
6
• tan 29º 46 =
=
7 8 9 10 11
100
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
Opmerkingen • In een rechthoekige driehoek is zowel de sinus als de cosinus van een scherpe hoek altijd kleiner dan 1, omdat de schuine zijde de langste zijde is.
α
α
α
Hoe groter de scherpe hoek, hoe de sinus.
α
α
N
α
IN
Hoe groter de scherpe hoek, hoe de cosinus.
VA
Hoe groter de scherpe hoek, hoe de tangens.
sin b =
AC = cos a AB
B
β
aa
BC = cos b AB
α A
C
ex
em pl
sin a =
r©
• In een rechthoekige driehoek is de sinus van de ene scherpe hoek gelijk aan de cosinus van de andere scherpe hoek (zijn complement).
In
ki jk
Het woord sinus is een Latijns woord en betekent ‘gebogen, kromme lijn’. De oudste bekende bron waarin men het heeft over de sinus van een hoek, is een Indisch boek uit de 5e eeuw. Oorspronkelijk werd de sinus gebruikt als de lengte van een koorde in een cirkel. Het is pas sinds Leonard Euler (18e eeuw) dat de sinus als verhouding gebruikt wordt. De cosinus kwam er om de sinus van de complementaire hoek te berekenen. Het was Edmund Gunter die het woord ‘co-sinus’ bedacht, dat al vlug vereenvoudigd werd tot ‘cosinus’ door John Newton rond 1660. Tegen 1675 had Jonas Moore het al afgekort tot ‘cos’. ‘Tangens’ komt van het Latijnse tangere, dat ‘raken’ betekent. Het woord is een idee van de Deense wiskundige Thomas Fincke en werd door hem voor het eerst gebruikt rond 1583.
Leonard Euler (1707-1783)
Andere goniometrische getallen zijn: sec a =
1 cos a
csc a =
1 sin a
cot a =
1 tan a
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
101
Oefeningen REEKS A 8
Vul in. a)
b)
D
B
α
IN
β
N
α C
A
β E
BC AB
cos b =
tan a =
tan b =
cos b =
tan a =
tan b =
ki jk
b)
Z
X
β
M
α
3
β
α
K
L
4
Y
5 6
cos a =
In
2
sin b =
em pl
Vul in. a)
1
aa
cos a =
sin a =
ex
9
sin b =
r©
sin a =
VA
F
a =
MK ML
b =
MK KL
a =
XZ YZ
b =
YZ XZ
a =
MK KL
b =
ML MK
b =
XZ XY
a =
YZ XY
a =
ML KL
b =
ML KL
a =
XZ XY
b =
YZ XY
7 8 9 10 11
102
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
11
Bereken op 0,001 nauwkeurig. a) sin 20º =
d) cos 15º =
g) tan 10º =
b) sin 45º =
e) cos 38º=
h) tan 26º =
c) sin 89º =
f) cos 88º=
i) tan 48º =
Welk goniometrisch getal gebruik je om de onbekende zijde x te berekenen? a)
c)
B
M
59
K
37°
IN
10
x
x
A
N
21° C
L
VA
13
8
x
R
V
x W
24 68° U
ex
d)
em pl
52°
T
r©
S
aa
b)
ki jk
REEKS B
Bereken op 0,001 nauwkeurig.
In
12
a) sin 6º 8 51
=
h) cos 14º 58 36
=
b) cos 28º 54 22
=
i) tan 59º 47
=
c) tan 29º 52 38
=
j) sin 4
=
d) sin 27º 29
=
k) sin 89º 57 12
=
e) tan 46º 48
=
l) tan 58º 38
=
f) cos 75º 9
=
m) cos 84º 58 29
=
g) tan 5º 32 55
=
n) sin 79º 52 37
=
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
103
13
Meet op 1 mm nauwkeurig, vul in en bereken op 0,01 nauwkeurig.
T
β
L O
E
β
IN
β
A
N
α
VA
α G
4
PEN
sin b
cos b
tan b
ex
3
GOM
ki jk
cos a
tan a
In
2
N
P
TL = LA
sin a
1
α
em pl
LAT
aa
r©
M
5 6 7 8 9 10 11
104
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
14
Bereken de zijde x op 0,01 nauwkeurig. a)
d)
I
A 72°
34°
5
x 72
x
J
N
IN
E
b)
VA
N
N
e)
aa
x
42°
10
em pl
12
O
x
L
r©
T
T
56°
O
ex
M
ki jk
In
c)
f)
W
U
31
4 18° T
x
x
28°
I
B
S
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
105
REEKS C Teken de hoek a. a) sin a =
3 4
b) tan a =
5 15
c) cos a =
2 5
N
IN
15
VA
3 2
2
a) tan a > 1
In
1
Aan welke voorwaarden moeten de zijden van de rechthoekige driehoeken voldoen? Wat stel je vast over de hoeken?
ki jk
16
ex
em pl
aa
r©
d) tan a =
3 4
b) cos a = cos b
5 6 7
c) sin a < cos a
8 9 10 11
106
d) tan b = 1
zijden: hoeken: zijden: hoeken: zijden: hoeken: zijden: hoeken:
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
17
Juist of fout? B
C
L
α
β
r
r
b)
BU LU = CU CL
r
r
r
r
CU LU
r
r
BU BU = CB BL
r
r
BC BU
r
r
r
r
r
r
BC BU = CU LU
In
h) cos a =
i) tan a > tan b
j)
r
f) tan b =
g)
r
r
ki jk
e)
LU CU
ex
d) tan a =
r
em pl
c) cos a > sin a
N
BU LU
a) sin b =
verklaring
BU UL = BC CU
VA
fout
r©
juist
aa
uitspraak
IN
U
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
107
3.1.5 Basiseigenschappen Bereken op 0,001 nauwkeurig. sin 43º =
sin 43º = en tan 43º = cos 43º
cos 43º = Wat stel je vast?
sin a cos a
N
tan a =
IN
Eigenschap
gegeven
VA
tekening
B
rechthoekige driehoek ABC met ^ C = 90º
r©
β
A
em pl
α
aa
c
b
bewijs
C
te bewijzen tan a =
sin a cos a
a b a cos a = tan a = c c b
ex
sin a =
a
2 3 4 5 6 7 8 9 10
ki jk In
1
a sin a c = cos a b c
sin a a c = cos a c b sin a a = cos a b sin a = tan a cos a besluit
tan a =
sin a cos a
11
108
GeoGebra HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
Bereken zonder tussendoor af te ronden. 2
2
(sin 43º) + (cos 43º) = Opmerking 2
2
2
(sin a) noteer je ook als sin2 a. Analoog voor (cos a) en (tan a) . sin2 25º 47 38 + cos2 25º 47 38 =
Eigenschap
IN
Wat stel je vast?
VA
Die eigenschap noem je de grondformule van de goniometrie.
N
sin2 a + cos2 a = 1
tekening
gegeven
α c
aa
b
rechthoekige driehoek ABC met ^ C = 90º
r©
A
em pl
C
te bewijzen
In
ki jk
ex
bewijs
sin a =
a c
sin2 a + cos2 a = 1
B
a
en
cos a =
b c
fl sin2 a + cos2 a =
a c
fl sin2 a + cos2 a =
+
b c
2
rekenen met reële getallen
a + b2 c2 2
fl sin2 a + cos2 a =
2
stelling van Pythagoras 2
c =1 c2
besluit sin2 a + cos2 a = 1
instructiefilmpje
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
109
Oefeningen REEKS B Vul in zonder a te berekenen. Bepaal je antwoord op 0,001 nauwkeurig. cos a
a)
0,643
0,766
b)
0,951
0,309
c)
0,996
11,430
VA
r©
aa
Vul in zonder a te berekenen. Bepaal je antwoord op 0,01 nauwkeurig.
em pl
19
sin a
2 3
0,64
In
c)
4 5 6 7 8
9 10
11
110
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
cos a
tan a
0,27
ki jk
b)
0,36
ex
a)
1
tan a
IN
sin a
N
18
REEKS C 20
Vul in zonder rekenmachine. sin a
cos a
1 2
a) a = 30º
b) a = 45º
2 2
3 2
IN
c) a = 60º
tan a
VA
N
aa
r©
em pl
ki jk
ex
Waarom zijn de beweringen fout?
In
21
a) sin a =
tan a cos a
b) sin a =
3 1 fi cos a = 4 4
c) 1 + sin2 a = cos2 a
Goniometrische getallen van een aantal bijzondere hoeken
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
111
3.1.6 Een hoek berekenen uit een goniometrisch getal Inleiding A
Meet |AC | = Meet |AB | = Bereken sin b = Druk [sin−1] op de rekenmachine en voer de berekende waarde voor de sinus in.
β
B
Meet b =
IN
C
VA
N
Bij sin a, cos a en tan a start je vanuit een hoek en verkrijg je een onbenoemd getal. Bij de omgekeerde (inverse) bewerkingen start je vanuit een onbenoemd getal en verkrijg je een hoekgrootte.
REKENMACHINE
instructiefilmpje
r©
Een hoek berekenen uit een goniometrisch getal.
knoppen
E
catalog
sin
[
sin-1
2nd
0
2
P }
8
L
)
enter
angle
2nd
B
apps
entry solve 3
enter
2
In
1
: v
.
ki jk
ex
Zet de decimale vorm van de hoekgrootte om naar graden, minuten en seconden.
i
scherm
entry solve
em pl
Bereken de hoek waarvan de sinuswaarde 0,8 is. Het resultaat is de decimale vorm van de hoekgrootte.
aa
actie
3 4 5 6 7
Op dezelfde manier kun je een hoek berekenen uit een cosinus of uit een tangens.
8
Voorbeelden
9
• sin a = 0,75 a =
10
• cos a = 0,3
11
• tan a = 2,64 a =
112
a=
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
GeoGebra
Oefeningen REEKS A
23
Bereken op een graad nauwkeurig. 1 a) sin a = c) cos a = 0,3 a= 2 7 d) cos a = b) sin a = 0,4 a = 11
5 9
a=
e) tan a =
a=
f) tan a = 0,2
a= a=
Welk goniometrisch getal gebruik je om de hoek a te berekenen? a)
L
c)
J
α
IN
22
F
32
N
α 10
VA
26
E
b)
aa
12 A
d)
I α
em pl
B
59
31
G
α
C
H
In
ki jk
ex
24
14
r©
K
D
REEKS B
24
Bereken, indien mogelijk, op een seconde nauwkeurig. a) sin a = 0,2
a=
e) cos a =
15 26
a=
b) tan a = 5
a=
f) sin a =
5 14
a=
c) sin a = 1,37
a=
g) tan a = 999
a=
h) cos a =
d) tan a =
3 4
29 34
a= a=
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
113
25
Bereken de hoek a op een seconde nauwkeurig. a)
B
d)
14
T
R
7
16
α S
α
Antwoord:
Antwoord:
b)
VA
N
IN
C
12
A
e)
O
171
r©
α
205
aa
5
α L
P
5
ex
M
em pl
Q
ki jk
Antwoord:
Antwoord:
c)
2
E
f)
Y
α
In
1
α
8,9
3
K
√23
3,9
4 5 6
D
7
6,3
X
F
8 9 10 11
114
Antwoord:
Antwoord:
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
Z
REEKS C 26
Teken de hoek a zonder de hoek te meten. Tip: Gebruik de formules voor sinus, cosinus en tangens in een rechthoekige driehoek.
VA
N
IN
a) a = 30º
ki jk
ex
em pl
aa
r©
b) a = 60º
In
c) a = 45º
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
115
Het licht plant zich rechtlijnig voort, zolang het in eenzelfde stof blijft. Bij overgang van de ene naar de andere stof buigt de lichtstraal af. Er treedt breking op aan het grensoppervlak van de twee stoffen. De stralen gaan in een andere richting verder. De mate waarin een lichtstraal gebroken (afgebogen) wordt, is afhankelijk van de aard van de stof. Een dichte stof heeft een grote brekingsindex, een ijle stof een kleine.
Bij de overgang van een lichtstraal van stof A naar stof B geldt i sin ^
nB = nA r sin ^ waarbij:
IN
i
^
i = de invalshoek
^
N
r = de brekingshoek
nB = de brekingsindex van stof B
lucht
water
glas
diamant
1
1,000 03
1,33
1,5
2,42
ki jk In
i
2
vacuüm
Vul de tabel aan. Stel de brekingsindex van lucht gelijk aan 1. ^
1
r
ex
brekingsindex n
27
aa
stof
em pl
Enkele voorbeelden
stof B
r©
Die wet staat bekend als de wet van Snellius, naar de Nederlandse wiskundige Willebrord Snell.
VA
nA = de brekingsindex van stof A
a)
10º
overgang van ...
^
berekeningen
r
lucht naar water
3
4
5 6
b)
15º
lucht naar glas
7 8 9 10 11
116
stof A
c)
20º
glas naar diamant
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
3.2 Rechthoekige driehoeken oplossen 3.2.1 Inleiding In een rechthoekige driehoek zijn er zes kenmerkende gegevens: • de grootte van de drie hoeken (waarvan één hoek 90º is), • de lengte van de drie zijden. Omdat je hier alleen met rechthoekige driehoeken werkt, is de rechte hoek altijd gegeven. Onderzoek welke gegevens nodig zijn om een rechthoekige driehoek volledig te bepalen. In welke gevallen is het mogelijk om één welbepaalde driehoek te tekenen? Vink aan. mogelijk
niet mogelijk
IN
gegeven
r
r
r
r
r
r
r
r
e) de rechte hoek en de beide rechthoekszijden
r
r
f) de rechte hoek, een scherpe hoek en de schuine zijde
r
r
g) de rechte hoek, een scherpe hoek en een rechthoekszijde
r
r
em pl
a) de rechte hoek en een scherpe hoek
r
r
c) de rechte hoek en een rechthoekszijde
aa
r©
d) de rechte hoek en de twee scherpe hoeken
VA
N
b) de rechte hoek en de schuine zijde
h) de rechte hoek, een rechthoekszijde en de schuine zijde
Een rechthoekige driehoek is volledig bepaald door:
A
ki jk
Eigenschap
ex
Hoeveel van de zes kenmerkende gegevens zijn minimaal nodig?
α
•
c
In
b
•
C
a
β
B
In die gevallen kun je de overige elementen van de rechthoekige driehoek berekenen. Dat heet een rechthoekige driehoek oplossen. Daarvoor gebruik je: de som van de scherpe hoeken in een rechthoekige driehoek
de stelling van Pythagoras
de definities van goniometrische getallen
sin a =
cos a =
tan a =
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
117
3.2.2 Rechthoekige driehoeken oplossen
instructiefilmpje
Bij het oplossen van rechthoekige driehoeken gebruik je de volgende formules. A c
β
a
sin a =
a c
sin b =
b c
stelling van Pythagoras
a + b = 90º
a 2 + b 2 = c 2
B
cos a =
b c
tan a =
a b
tan b =
b a
r©
VA
C
som van de scherpe hoeken
IN
b
N
α
a c
em pl
aa
cos b =
Opmerking
ex
Gebruik bij het oplossen van rechthoekige driehoeken bij voorkeur de gegevens, het liefst geen berekende waarde en nooit een afgeronde waarde.
ki jk
Geval 1: de rechte hoek, een scherpe hoek en de schuine zijde zijn gegeven
2
gegeven
In
figuur
1
3
5
a + b = 90º
5
b
gevraagd
7
β
8
sin a =
C
a
B
b a b
b a c
cos a =
b c
b = 90º – a
a = c ? sin a
b = c ? cos a
b = 90º – 35º
a = 5 ? sin 35º
b = 5 ? cos 35º
b = 55º
a = 2,9
b = 4,1
10 11
118
a
35°
6
9
b
g = 90º a = 35º c=5
A
4
oplossing
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
Geval 2: de rechte hoek, een scherpe hoek en een rechthoekszijde zijn gegeven figuur
gegeven
oplossing
b
g = 90º
A
a = 35º
a tan a =
a + b = 90º
b=4 35°
gevraagd
b
β a
B
b = 90º – a
a = b ? tan a
b = 90º – 35º
a = 4 ? tan 35º
b = 55º
a = 2,8
c
cos a =
b c
b cos a 4 c= cos 35° c=
c = 4,9
N
C
a
a b
IN
c
4
c
gegeven
g = 90º
A
a=3 α 5
gevraagd
a
β
C
B
sin a =
b
a c
3 5
cos b =
cos b =
a = 36º 52 12
b a c
3 5
a 2 + b 2 = c 2
b 2 = c 2 – a 2
b = 53º 7 48
b
b = c 2 – a2 b = 52 – 32 b = 4,0
b
ki jk
ex
3
sin a =
em pl
b
a
aa
c=5
oplossing
r©
figuur
VA
Geval 3: de rechte hoek, de schuine zijde en een rechthoekszijde zijn gegeven
In
Geval 4: de rechte hoek en twee rechthoekszijden zijn gegeven figuur
gegeven
oplossing
a
g = 90º
A
a = 2,5 b=4
tan a =
b a b
tan b =
c b a
c 2 = a 2 + b 2
α c
4
gevraagd
a
β C
2,5
B
b
tan a =
2,5 4
a = 32º 0 19
tan b =
4 2,5
b = 57 º 59 41
c = a2 + b 2 c = 2,52 + 42 c = 4,7
c
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
119
Oefeningen REEKS A 28
Bereken het gevraagde in de rechthoekige driehoek ABC. Rond de hoeken af op 1 º en de zijden op 0,1. a)
B
C
d)
A
α 4 32°
IN
55° C
VA
a=
5
e)
β
41°
ex
ki jk In
2
c)
C
A
b=
1
B
4
em pl
4
A
aa
C
B
r©
|BC | =
b)
N
A
B
|AC | =
f)
A
C
4
3 4 5
B
6
40°
7
C
5
B
8 9 10
|AB | =
|BC | =
11
120
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
6
A
29
Bereken de ontbrekende elementen van de rechthoekige driehoek ABC. Rond de hoeken af op 1 º en de zijden op 0,1. a)
15
C
A
α
c)
A
B
α
50° 20
12
β
C
r©
25
em pl
B
aa
b)
N
VA
IN
B
C
d)
A
β
α
ex
8
In
ki jk
35
33° C
B
α A
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
121
REEKS B 30
Bereken de ontbrekende elementen van de rechthoekige driehoek ABC. Rond de hoeken af op 1 en de zijden op 0,01. c) a = | AB | =
b = 34º 8 13 A
| BC | = 20,08 | AC |=
α
C
B
VA
d) a = | AB | = 265,92
a) a = | AB | =
b = | BC | = 159,40 | AC |=
3
aa
b) a = 54º 23 | AB | = 8,90
e) a = | AB | =
b = | BC | = | AC |=
b = 21º 35 40 | BC | =
In
2
ki jk
em pl
ex
r©
b = | BC | = 3,40 | AC |= 6,50
1
4 5 6 7 8 9 10 11
122
N
β
IN
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
| AC |= 41,23
Bereken de ontbrekende elementen van de rechthoekige driehoek. Rond de hoeken af op 1 en de zijden op 0,01 cm. a) ^ O = 90º
c) ^ Q = 90º
^ Q = 23º 45 29
| OP | = 8,45
| PQ | = 46,00
| PQ | = 5,10
^
P = | OQ | = | OP | =
^
IN
P = | OQ | = ^ O =
VA
N
31
r©
b) ^ P = 90º
em pl
aa
d) ^ O = 90º | OQ | = 6,50
| OQ | = 4,00
| OP | = 7,25
ki jk
ex
^ O = 61º 52 14
^
In
Q = |PQ | = |OP | =
^
P = ^ Q = |PQ | =
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
123
32
Bereken de afstanden op 1 cm nauwkeurig en de hoeken op 1 nauwkeurig. a) Een boom heeft een schaduw van 12 m. De zon schijnt onder een hoek van 43º. Hoe hoog is de boom?
c) Vanaf de top van een torentje wordt een kabel tot op de grond gespannen. Welke hoek maakt de kabel met de grond?
25 m
12,6 m
IN
43°
VA
N
12 m
r©
Antwoord:
aa
Antwoord:
2
In
1
ki jk
ex
em pl
b) Van een skateramp zijn de lengte van de ramp en de lengte van de constructie gegeven. Bereken de hellingshoek van die ramp.
d) Een ladder steunt tegen een muur op een hoogte van 4,3 m. Op de grond maakt de ladder een hoek van 70º. Bereken de lengte van de ladder.
6,1 m 4,3 m
70°
4,6 m
3 4 5
Antwoord:
Antwoord:
6 7 8 9 10 11
124
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
33
Bereken de afstanden op 1 cm nauwkeurig en de hoeken op 1 nauwkeurig. Maak telkens eerst een schets. c) Tijdens een beklimming moet je 2 400 m fietsen om een hoogteverschil van 700 m te overbruggen. Wat is de hellingshoek?
VA
N
IN
a) De zon schijnt onder een hoek van 35º op een man van 1,80 m groot. Hoe lang is de schaduw van die man?
r©
Antwoord:
aa
Antwoord:
d) Een vliegertouw is 50 m lang. Hoe hoog bevindt de vlieger zich, als het touw volledig ontrold is en een hoek van 30º met de grond maakt?
In
ki jk
ex
em pl
b) Een kabelbaan maakt een helling van 35º en overbrugt een hoogteverschil van 1 300 m. Hoe lang is die kabelbaan?
Antwoord:
Antwoord:
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
125
34
Om de afstand tussen de oevers van een kanaal te berekenen, werden de volgende metingen uitgevoerd. Bereken de afstand op 0,01 m nauwkeurig. xm
L
10 m 63° 14’
IN
O
VA
N
aa
Studies wijzen uit dat een ladder die een hoek van 75º maakt met de grond, het veiligst staat. Een bedrijf dat ramen van hoge gebouwen wast, heeft een nieuw stel schuifladders van 8 m lang aangekocht. Hoe ver moet de onderkant van de ladder van het gebouw verwijderd zijn opdat de ladder het veiligst zou staan? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.
2
In
1
ki jk
ex
em pl
35
r©
Antwoord:
3 4 5
6 7
8 9 10
Antwoord:
11
126
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
R
36
Bereken op 0,01 cm2 nauwkeurig. Maak telkens eerst een schets. c) Bereken de oppervlakte van een parallellogram met zijden 6 cm en 4 cm en een scherpe hoek van 25º.
VA
N
IN
a) Bereken de oppervlakte van een vierkant waarvan de diagonalen 12 cm lang zijn.
r©
aa
Antwoord:
d) Bereken de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek met zijden van 13 cm.
In
ki jk
ex
em pl
b) Bereken de oppervlakte van een ruit met zijden van 24 cm en een stompe hoek van 115º.
Antwoord:
Antwoord:
Antwoord:
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
127
37
Bereken de ontbrekende elementen van de dakconstructie op 1 cm nauwkeurig.
xm
xm hm
40° 8,30 m
IN
N
VA
Antwoord:
Een zwembad van 50 m lang begint met een diepte van 50 cm. a) Bereken de grootste diepte, op 0,1 m nauwkeurig, als de hellingshoek van de bodem 4º is. b) Bereken de hellingshoek, op 1 nauwkeurig, van de bodem opdat de grootste diepte 5 m zou zijn.
2 3
In
1
ki jk
ex
em pl
aa
38
r©
a)
4 5 6
b)
7 8 9 10 11
128
Antwoord:
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
REEKS C 39
Boven op een gebouw staat een vlaggenmast. Als je op 100 m afstand staat, zie je de top van het gebouw onder een hoek van 21 º en de top van de vlaggenmast onder een hoek van 23 º. Hoe lang is die vlaggenmast op 1 cm nauwkeurig?
IN
r©
em pl
aa
Antwoord:
Bereken de oppervlakte, op 0,01 cm2 nauwkeurig, van een rechthoek met diagonalen van 17 cm die elkaar onder een hoek van 35º snijden.
In
ki jk
ex
40
VA
N
Antwoord:
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
129
3.2.3 Toepassingen in de ruimte Modeloefening 1 gegeven een kubus met ribbe 4 cm gevraagd B
Bereken a op 1 nauwkeurig.
C
oplossing A
D
IN
G
N
α
F
H
E
VA
r©
antwoord
aa
De hoek a is
2
4
6
oplossing
E
α
5
C H D
A
een piramide met vierkant grondvlak en ribben van 4 cm Bereken de hellingshoek a op 1 nauwkeurig.
B
3
gegeven
gevraagd
In
1
ki jk
ex
em pl
Modeloefening 2
7
8
9
antwoord
10 11
130
GeoGebra HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
De hellingshoek a is
Oefeningen REEKS A 41
Bereken de omtrek van n BGE op 0,01 cm nauwkeurig. gegeven een balk met l = 5 cm, b = 2 cm en h = 7 cm B
gevraagd
C
de omtrek van BGE D
oplossing
IN
A
N
VA
F
G H
r©
E
aa
antwoord
Bereken de hoek b op 1 º nauwkeurig.
ex
42
em pl
De omtrek van BGE is
ki jk
een balk met l = 3 cm, b = 2 cm en h = 6 cm gevraagd C
B
In
gegeven
A
de hoek b
D
oplossing
β
F E
G H
antwoord De hoek b is
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
131
REEKS B 43
Bereken de hellingshoek a op 1 nauwkeurig. gegeven een piramide met vierkant grondvlak met z = 3 cm en h = 5 cm gevraagd de hellingshoek a oplossing
E
IN
N
α F
A
D
C
r©
B
VA
aa
2 3 4
In
1
5 6 7 8
9 10
Antwoord:
11
132
antwoord
De hellingshoek a is
Een piramide heeft een gelijkzijdige driehoek met zijde 3 m als grondvlak, opstaande ribben van 4 m en een hellingshoek van 65º. Bereken, op 1 cm nauwkeurig, de hoogte van de piramide.
ki jk
44
ex
em pl
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
45
Een kegel heeft een cirkel met diameter 3 m als grondvlak en een hoogte van 5 m. Bereken, op 1 nauwkeurig, de hellingshoek van de kegel.
IN
VA
N
Pientere Bizon, een indiaan van 1,76 m groot, wil een nieuwe tipi opzetten. Hij vond enkele mooie rechte boomstammen van 2,50 m en sjort ze op 50 cm van de top samen. Wat is de minimale hoek met de grond waaronder hij de stammen moet zetten opdat hij rechtop zou kunnen staan in zijn tent? Bepaal je antwoord op 1 nauwkeurig.
em pl
aa
46
r©
Antwoord:
ki jk
ex
In
Antwoord:
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
133
REEKS C 47
Je plaatst een potlood van 20 cm diagonaal in een cilindervormige houder met een hoogte van 12 cm en een straal van 4 cm. Hoe ver steekt het boven de rand uit? Onder welke hoek staat het? Bepaal de hoek op 1 nauwkeurig en de lengte op 0,01 cm nauwkeurig.
IN
N
VA
Antwoord:
Bereken de hoek a op 1 nauwkeurig.
em pl
48
aa
r©
ex
B
2
gevraagd de hoek a oplossing
α
3
4 5
F
G
6 7
een balk met l = 3 cm, b = 3 cm en h = 6 cm
D
In
1
ki jk
A
C
gegeven
E
H
8
9 10
antwoord
11
De hoek a is
134
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
STUDIEWIJZER Driehoeksmeting van een rechthoekige driehoek voor de leerling
3.1 Goniometrische getallen van een scherpe hoek KENNEN
voor de leerkracht
– + – +
De sinus (sin) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde . schuine zijde De cosinus (cos) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding aanliggende rechthoekszijde . schuine zijde
tan a =
IN
De tangens (tan) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde . aanliggende rechthoekszijde
sin a cos a
KUNNEN
VA
N
sin2 a + cos2 a = 1
– + – +
De sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek berekenen met de rekenmachine. De formules gebruiken om goniometrische getallen te berekenen.
r©
De formules gebruiken om goniometrische identiteiten te vereenvoudigen.
aa
Met de rekenmachine een hoek berekenen waarvan een goniometrisch getal gegeven is.
em pl
3.2 Rechthoekige driehoeken oplossen
– + – +
KUNNEN
– + – +
KENNEN
ex
Een rechthoekige driehoek is volledig bepaald door: • twee zijden en de rechte hoek, • één zijde, één scherpe hoek en de rechte hoek.
ki jk
Ontbrekende elementen in een rechthoekige driehoek berekenen met behulp van de sinus, de cosinus, de tangens, de stelling van Pythagoras en de hoekensom. In vlakke situaties vraagstukken oplossen waarbij ontbrekende elementen van een rechthoekige driehoek berekend moeten worden.
In
In ruimtelijke situaties vraagstukken oplossen waarbij ontbrekende elementen van een rechthoekige driehoek berekend moeten worden.
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
135
Problemen uit JWO 1.
Een parallellogram heeft als langste zijde a en als kortste b. Verder is het parallellogram samengesteld uit twee gelijkzijdige driehoeken en een parallellogram, die alle drie dezelfde oppervlakte hebben (zie figuur). a De verhouding is gelijk aan … b b
B) r 1,5
D) ❒ 2
C) r 1,8
E) ❒ 2,4
N
A) ❒ 1,2
IN
a
VA
JWO, editie 2010, eerste ronde
2 3
A) ❒ Van S naar A over 27 km.
D) ❒ Van C naar D over 27 km.
B) ❒ Van A naar B over 23 km.
E) ❒ Van D naar S over 28 km.
In
1
ki jk
ex
em pl
aa
r©
2. Onze leerkracht L.O. daagde onze klas 25 A uit om een fietstocht van 125 km af te leggen. We gingen akkoord, 21 B op voorwaarde dat er, naast het 23 startpunt, dat ook het eindpunt is, 27 nog vier stopplaatsen zouden zijn 26 23 S onderweg. De leerkracht maakte 28 25 daarop een plan met verschillende C routes die we zouden kunnen volgen. 22 Hiernaast zie je een vereenvoudigde D 27 voorstelling van het plan (startpunt S; stopplaatsen A, B, C, D; afstanden in km). We mochten met onze klas zelf bepalen welke trajecten we tussen de verschillende stopplaatsen zouden nemen, zolang de totale afstand maar precies 125 km was. Van welk van de volgende trajecten weet je zeker dat het in onze tocht vervat zat?
C) r Van B naar C over 26 km. JWO, editie 2011, eerste ronde
4 5 6
3. Als p + q = 12, dan is p 2 + q 2 + 2p + 2q + 2pq gelijk aan …
7 8 9
A) ❒ 144
B) r 168
C) ❒ 192
10 11
136
JWO, editie 2012, eerste ronde
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
D) ❒ 240
E) ❒ 288
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
4.1 Bewerkingen met reële getallen
138
reële getallen
IN
4.2 Rekenen met machten van 148
4.3 Rekenen met vierkantswortels van reële getallen
Studiewijzer
164 186 188
In
ki jk
ex
em pl
aa
r©
VA
Problemen uit JWO
N
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
137
4.1
Bewerkingen met reële getallen
4.1.1 Bewerkingen met breuken
3 4
–
1 5
2 3 : 5 2
+
=
Om breuken op te tellen, maak je de breuken gelijknamig.
Daarna tel je de tellers op en behoud je de noemer.
10 9 + 15 15
19 – 15
3 4
–
3 4
1 5
+
1 5
+
2 3 : 5 2
2 3 : 5 2
=
=
2 3 : 5 2
=
Om een breuk te delen door een andere breuk,
ex
9 3 7 – – = 10 8 4
36 – 15 – 70 = 40
ki jk
1 2
7 8 9
2 3
76 9 16 – + = 60 60 60
76 – 9 + 16 = 60
83 60
5 6
2 5
19 3 4 – + = 15 20 15
3 4
19 3 – + 15 20
In
de tweede breuk.
10 11
138
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
=
– (−) Æ +
het omgekeerde van
–3 –7 + = –8 4
9 3 –7 – + = 10 8 4
vermenigvuldig je
de eerste breuk met
–
9 –3 –7 – + = 10 –8 4
r©
aa
19 3 – + 15 20
em pl
de noemers met elkaar.
–9 10
–
elkaar en vermenigvuldig je
+ ? (−) Æ −
vermenigvuldig je de tellers met
–3 –7 + = –8 4
–
Om breuken te vermenigvuldigen,
–9 2
VA
1 5
–
IN
2 3 + 3 5
• Modeloefening 2
N
• Modeloefening 1
–
49 40
– : (−) Æ +
+ (−) Æ –
instructiefilmpje
Oefeningen REEKS A Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. 2 1 + = 3 4
i)
3 2 = 4 9
c)
7 2 – = 8 7
k) –
5 18 = 12 11
In
3 –2 = 8 5
h)
1 2 – = 6 7
–2 5
=
3 –3 : = 5 5
em pl
ki jk
ex
g) –
2 7
s) –
m) 2 :
3 = 4
n) –
5 21 = 7 –20
o) –
11 54 = 9 11
u)
9 –2= 10
v) 1 –
12 = 9
6 :3= 9
p) –
12 5 + = 48 –20
t) –
3 1 – = 5 2
11 6 – = 5 9
aa
l)
f)
r)
1 1 : = 4 6
e) –
2 = 7
d)
j) 3 –
7 = 4
N
b)
q) –2
IN
5 –10 : = 2 7
VA
a)
r©
1
w) –3 :
–3 = 15
12 6 + = 18 14
x) –
12 16
–
14 9
=
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
139
REEKS B Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.
b)
24 –15 – = 42 35
g) –
–12 –30 – = 16 20
–3 = 4
h)
f)
–8 11
2 39 – 5 15
=
i)
6 7 8 9 10 11
140
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
–28 60 + 77 44
–5 18
–3 5
–75 50 : = 35 28
2+
4 5
(–6) =
(–9) =
em pl ex
ki jk In
–36 –24 : = 75 15
5 12
N :
aa
–25 + 7
–48 8 + 56 14
e)
42 5
IN
3
–2 = 3
2
–
c)
12 11
1
12 18
d)
VA
a)
r©
2
Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. –5 6 b) = –15 12
3 4 a) = –6 12
Werk uit. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. c)
b) 2 +
1 = x
f)
p2 p = : 2 2
REEKS C
ex
Werk uit. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. p –q = q 3p
ki jk
a)
c)
x 2 xy = : y 2
e) 5m (–6n)
In b)
8 = 2y
em pl
1 = a
aa
e) a +
d) 1 +
5
a a : = 2 6
IN
1 a = a
N
a)
r©
4
VA
3
2a + 4b = 2a
d)
a p + = b q
f)
2 = 3mn
a–b 1 : = a 2
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
141
4.1.2 Bewerkingen met decimale vormen Inleiding Bereken met de rekenmachine: 10 + 17 = Het resultaat van die bewerking is een niet-repeterend reëel getal.
Afronden Het heeft meestal geen zin om het resultaat van een bewerking te geven met tien cijfers na de komma. Daarom rond je af.
• Bereken op 0,01 nauwkeurig:
5 − 0,2
=
r©
• Bereken op 0,001 nauwkeurig: 5 3 =
N
10 + 17 =
VA
• Bereken op 0,1 nauwkeurig:
IN
Voorbeelden
Opmerking
26 10 = 26 ? 3,162 = 82,212
em pl
Dus niet:
aa
Rond enkel het eindresultaat af. Elke afronding is immers een afwijking van het exacte resultaat. Door te rekenen met afgeronde waarden, kan de afwijking vergroten.
Maar wel: 26 10 = 82,219
ex
Schatten
ki jk
Schat de resultaten van de bewerkingen.
1 2
In
a) 3 + 5
3 4
c)
34 – 5
4 < 5 < 9
25 < 34 < 36 34 ª 36
4ª 5
ª3+2=
ª
5 6
b) –2 15
7
d)
78 : (–2)
9 < 15 < 16
15 ª 16
8 9 10
ª
11
142
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
ª
Oefeningen REEKS A Bereken met de rekenmachine op 0,001 nauwkeurig.
a)
2 + 22
=
f) –14,3 – 101 =
b)
5 : (–0,3)
=
g) – 51 : 29
c) –6 14
=
h) – 85 + 0,6 =
d)
=
VA
IN
=
N
6
j)
– 11 8
=
REEKS B
Schat het resultaat.
65 – 8
ª
ki jk
a)
ex
7
em pl
aa
e) –5 (– 23 ) =
– (– 10 ) =
i)
r©
31 – 6,8
f) 3,25 – 101
ª
17 2
ª
ª
g) –
ª
h)
5 + 10
d) –10 (– 26 ) ª
i)
82 : (– 8 ) ª
e) –5 48
j) –
In
b) – 5 + 6,3
c)
50 : (–7)
ª
ª
(– 15 ) ª
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
143
4.1.3 Eigenschappen van bewerkingen met reële getallen De eigenschappen van bewerkingen met rationale getallen blijven gelden bij de reële getallen. optellen
vermenigvuldigen
Het optellen en het vermenigvuldigen zijn commutatief. 5,3 + 3,2 = 3,2 + 5,3
2,5 ? 3 = 3 ? 2,5 3 5 = 5 3
2 + 7 = 7 + 2
IN
Het optellen en het vermenigvuldigen zijn associatief. (2 ? 3) ? 4 = 2 ? (3 ? 4)
( 2 + 3) + 5 = 2 + ( 3 + 5)
( 3 5) 6 = 3 ( 5 6)
VA
N
(4 + 3) + 7 = 4 + (3 + 7)
Het optellen en het vermenigvuldigen hebben een neutraal element. 5+0=5=0+5 0 + 6,8 = 6,8 = 6,8 + 0
r©
6?1=6=1?6
1 5 = 5 = 5 1
aa
Als je bij een reëel getal 0 optelt, verkrijg je opnieuw dat reëel getal.
Als je een reëel getal met 1 vermenigvuldigt, verkrijg je opnieuw dat reëel getal. 1 heeft geen invloed op het vermenigvuldigen.
0 is het neutraal element voor het optellen.
1 is het neutraal element voor het vermenigvuldigen.
em pl
0 heeft geen invloed op het optellen.
ex
Elk reëel getal heeft een symmetrisch element voor het optellen en het vermenigvuldigen. 7
ki jk
–5 + 5 = 0 = 5 + (–5)
1 2 3 4 5 6 7 8
=0= –
2 3
+
2 3
In
2 2 + – 3 3
0,5 ? 2 = 1 = 2 ? 0,5
Als je een getal en zijn tegengestelde bij elkaar optelt, is het resultaat altijd 0 (neutraal element voor het optellen).
Als je een getal en zijn omgekeerde met elkaar vermenigvuldigt, is het resultaat altijd 1 (neutraal element voor het vermenigvuldigen).
Elk reëel getal heeft een symmetrisch element voor het optellen, namelijk zijn tegengestelde.
Elk reëel getal heeft een symmetrisch element voor het vermenigvuldigen, namelijk zijn omgekeerde.
Het vermenigvuldigen is distributief ten opzichte van het optellen.
9
3 ? (2 + 9) = 3 ? 2 + 3 ? 9
10
( 2 + 8) 7 = 2 7 + 8 7
11
144
1 1 =1= 7 7 7
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
Oefeningen REEKS A 8
Vul het ontbrekende getal in. a) 3 +
=0
d)
5 +
=0
b) –5,73 +
=0
e)
7 + 2
=0
1 + 3
=0
f) 2 – 3 +
=0
IN
c)
b) –6 ?
=1
10
3 ? 4
=1
d)
10 ?
=1
e) – 3 ?
=1
f) –
2 ? 2
em pl
c)
VA
=1
r©
a) 4 ?
N
Vul het ontbrekende getal in.
aa
9
Vul het gevraagde symmetrisch element in.
ex
symmetrisch element voor de optelling
a) 8
ki jk
symmetrisch element voor de vermenigvuldiging
b) −2
10 3
d) 2,5
e) −0,65
f)
7
g)
5 3
In
c)
h) –
=1
11 3
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
145
REEKS B 11
Vul de gebruikte eigenschappen in. a) 5 + 2 + 7
= 5 + ( 2 + 7)
= 5 + (7 + 2 )
= (5 + 7) + 2
IN
= 12 + 2 b) 2 5 (–0,5)
N
= (2 5 ) (–0,5)
VA
= ( 5 2) (–0,5)
= 5 (–1)
em pl
=– 5
aa
= 5 (2 (–0,5))
r©
c) 2 14 + 5 14
ex
= (2 + 5) 14
2 3 4
d)
5 + 7 – 5
In
1
ki jk
= 7 14
=( 5 + 7) – 5
= ( 7 + 5) – 5
5 6
= 7 + ( 5 – 5)
7 8 9 10
= 7 +0
= 7
11
146
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
Werk uit door gebruik te maken van de eigenschappen. e)
b) 5
7 1 6 5
f) –8 23
3 4
VA
r©
g) 3 ( 3 + 6)
c) –3 + 7 + 8
aa
em pl
ex
ki jk
d) –0,25 11 4
h)
3 – 5,63 – 3
In 13
7 3 7
IN
a) 9,32 − 2,17 − 9,32
N
12
Los op door gebruik te maken van de distributieve eigenschap. a) 17 ? 99 = b) 23 ? 102 = c) 40 ? 8,5 =
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
147
4.2
Rekenen met machten van reële getallen
4.2.1 Machten met gehele exponenten Machten met positieve exponenten Een macht is een kortere schrijfwijze voor een product van gelijke factoren. 3
4
5 = =
3 = =
Macht met een natuurlijke exponent
Definitie
"a ΠR, "n ΠN \ {0, 1} : a n = a a a ... a
IN
n factoren
"a ΠR0: a = 1 "a ΠR : a 1 = a
Benamingen 5
2 = 32 5 noem je
32 noem je
aa
r©
2 noem je
VA
N
0
Algemeen a =
(a ≠ 0)
–n
ex
Voorbeelden –3
em pl
Machten met negatieve exponenten
2 3 4
(a ≠ 0)
3 4
–1
2 =
grondtal
exponent
teken van de macht 2
positief
even
3 =
positief
oneven
4 =
negatief
even
(–5) =
negatief
oneven
(–2) =
3
7 8 9 10 11
148
–n
=
(a ≠ 0 en b ≠ 0)
–2
= =
voorbeelden
5 6
a b
Tekentabel voor de machtsverheffing
In
1
ki jk
4 = =
a = –1
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
–4
1 2
= 3
0,2 = –4
2
(– 3 ) =
3
(–0,5) =
–5
Oefeningen REEKS A Bereken uit het hoofd. a) 2
= 0
b) 14
c) (–3) 1
=
d) –6
2
4
6
c) –(– 2 ) = d) (– 5 )
=
4
=
g) 3
=
8 h) – 5
–1
= –2
=
e) (– 2 )
4
= 4
f) –(– 7 ) =
–5
c) ( 6 )
=
4
d) –( 11 ) =
e) (– 37 )
4
=
–4
f) (– 101 ) =
ex
=
aa
=
em pl
3
b) p2
ki jk
Bereken uit het hoofd. 4
In
a) –2
4
b) (–2)
–4
=
c) –2
=
d) (–2)
–4
–3
=
e) –2
=
f) (–2)
=
–3
=
Bereken uit het hoofd. 2
a) ( 53 )
2
2
e) –(– 16 ) =
2
f) –( 28 )
=
c) –( 34 ) =
b) (– 19 ) =
d) –(– 7 ) =
2
-3
=
Bereken met de rekenmachine. Rond af op 0,001. a) ( 2 )
18
f)
3
r©
b) (– 3 )
17
=
2 – 5
Bereken met de rekenmachine. a) ( 127 ) =
16
=
2 e) – 3
N
15
3
IN
4
VA
14
2
=
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
149
REEKS B Bereken uit het hoofd. Schrijf het resultaat als een onvereenvoudigbare breuk. a)
2
49 56 3
b) 0,5
c)
=
=
d) 0,01
2
=
IN
Schrijf als een macht. Het grondtal is 2 of 10.
=
b) 0,1
=
c) 0,125
=
N
d)
VA
1 256
a) 100 000 000 =
e) 0,000 000 1
f) 1 024
=
=
Vul de ontbrekende getallen in. a)
2 3
= 1,5
ex
21
em pl
aa
20
–3
24 32
=
r©
19
2
=–
ki jk
b)
9 16
d)
e)
3
–4
=
=
2
h) (–5)
5 3
f) –0,125
=
= 0,625
i)
5 6
=1
= 1,2
In
1
= –8
8 5
2
4
3
c)
g)
27
3 4 5 6
22
Schrijf zonder haakjes en met een positieve exponent. 4
a) (–a)
–5
=
d) –(–b)
b) –(–b)
=
e)
c) (–a)–2
=
f) – –a b
7 8
7
–a b
9 10 11
150
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
–3
4
2
=
g) –(–b)
=
h) – a b
=
i) –(–a3)
–3
=
=
=
4.2.2 Rekenregels voor machten met gehele exponenten Product van machten met hetzelfde grondtal Rekenregel
"a ΠR0, "m, n ΠZ : a m ? a n = a m+n Bij het product van machten met hetzelfde grondtal moet je het grondtal behouden en de exponenten optellen. Voorbeelden:
instructiefilmpje 3
5
( 3) ( 3) =
a 4 ? a 3 ? a –2 =
"a ΠR0, "m, n ΠZ :
am = a m –n an
N
Rekenregel
IN
Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal
a 14 = a9
7
4
Macht van een macht n
"a ΠR0, "m, n ΠZ : (a m) = a m ? n
aa
Rekenregel
=
r©
Voorbeelden:
instructiefilmpje
VA
Bij het quotiënt van machten met hetzelfde grondtal moet je het grondtal behouden en de exponenten aftrekken.
Voorbeelden:
em pl
Bij de macht van een macht moet je het grondtal behouden en de exponenten vermenigvuldigen. 3
(a 4) =
instructiefilmpje
( 5)
3 5
=
m
"a, b ΠR0, "m ΠZ : (a ? b) = a m ? b m
ki jk
Rekenregel
ex
Macht van een product
In
Bij een macht van een product moet je de machten van de factoren vermenigvuldigen. Voorbeelden:
instructiefilmpje 3
(5 2 ) =
3
(2ab) =
Macht van een quotiënt Rekenregel
"a, b ΠR0, "m ΠZ :
a b
m
=
am bm
Bij een macht van een quotiënt moet je de macht van de teller delen door de macht van de noemer. Voorbeelden:
2a 3b
2
=
instructiefilmpje
7 2
3
=
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
151
Oefeningen REEKS A Schrijf de producten als één macht en zonder negatieve exponent. De letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor.
–4
7
2
?2
–1
–8
b) (−3) ? (−3) ? (−3)
8
–6
=
f) a ? a ? a ? a
7
–2
( 2)
133
=
129
3
e)
=
f)
6–4
5 8
d)
=
6–5
–7
8
–6
a 54 a 27
=
8
(–a)
=
6
(–a)
a8 a–2
=
In
Schrijf met één positieve exponent. De letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor.
3 4
a) [(–2)
4 –3
]
7
=
d) (a 2)
=
=
e) [(–a)–4 ]
=
f) (a –6)
5 6 7
–6
b) (p 2)
–5
=
8 9 10
3
c) ( 17 )
5
11
152
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
=
–10
r©
( 2)
ki jk
c)
25
e) (−a) ? (−a) ? (−a)
em pl
b)
2
2
Schrijf de quotiënten als één macht en zonder negatieve exponent. De letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor.
a)
1
−4
=
ex
24
7
d) a ? a ? a ? a
VA
c) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 )
5
=
=
IN
5
N
3
a) 2 ? 2 ? 2
aa
23
3
=
=
REEKS B Bereken zonder rekenmachine.
5 7
–2
b) – –
c)
d)
=
e)
=
f)
–3
(–6)
(–2)
=
4
5
=
–2
–3
=
4
=
VA
a) –( 3 )
c) (
–1
5)
–2
–3 –2
d) –2( 5 )
=
=
em pl
b) (–2p 2)
ex
Werk de haakjes weg. De letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor.
3
=
ki jk
a) (3a)
–2
n
f) (10x)
5
c) (2b 2)
d)
=
h) (6g 4)
e)
2 3 y 7
=
=
x
=
r
i)
2p 3
j)
1 –3 t 9
2
=
=
–n
g)
–4
k 3
d 2
=
In
b) (5x)
4
Werk uit. Noteer je resultaat zonder negatieve exponent.
6 –2
28
–12
=
r©
27
–10 25
=
–4
–51 17
IN
–2
N
a)
225 –15
aa
26
=
–m
=
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
153
29
Geef telkens drie mogelijkheden. 16
a) Schrijf 24 op drie manieren als een product van twee machten met hetzelfde grondtal 24.
16
b) Schrijf 24 op drie manieren als een macht van een macht met grondtal 24.
IN
16
VA
Schrijf als één macht met een positieve exponent. De letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor.
aa
30
r©
N
c) Schrijf 24 op drie manieren als een product van machten met een verschillend grondtal, maar met dezelfde exponent.
–6
–3
a) 1,5 ? 1,5
2
c)
5
5
f)
=
–4
g) 2b ? (2b)
8
=
–3
–6
(12 5 )
5
ex
2 5
In
1
5
1 9
ki jk
b)
=
(3 2 )
em pl
6
h)
3
1 – 2
–7
=
k)
(5t) 5t
=
l)
((
=
m) 7
=
–3 –4
7)
)
–2 –5
=
–5
( 7)
=
3 4 5
7
d) 7 :
6
1 9
7
=
i)
(7ab)
7
=
9
(7ab)
n)
a 2
o)
2 3
2
a 2
5
=
7 8 9
4 3
e) (p )
=
10 11
154
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
a
j) (– 2 )
a
=
–3
:5
–3
=
Werk uit door rekenregels van machten toe te passen. De letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor. Schrijf het resultaat zonder negatieve exponenten en zonder haakjes. –2
a) (3abc)
b)
–2
=
d) (–3a3c5)
–2
y –1 x2
=
5a 2 e) – –2 b
=
–2
=
IN
31
VA
3a 3b 2 6a 2b–6
–2
=
(–a)3 –a0
2
(–a)5 –a 7
–1
=
REEKS C
Werk uit door rekenregels van machten toe te passen. De letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor.
ex
32
em pl
aa
f)
r©
c)
N
=
d)
ak +3 a –6k + 5
=
ki jk
a) b m–1 ? b n–3
In
m
b) (a k+3)
=
2
e) (2a m+1 b 5)
=
c)
b 5m b 5m + 1
=
3
f) (a m+2 ? a m–4) =
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
155
4.2.3 Wetenschappelijke schrijfwijze Inleiding −27
a) Als je 11
berekent met de rekenmachine,
verkrijg je
.
b) Hoeveel seconden gaan er in 1 000 jaar, als je geen rekening houdt met schrikkeljaren?
Definitie
IN
Zeer grote en zeer kleine getallen worden zelden voluit geschreven. Wetenschappelijke schrijfwijze van een getal
VA
N
De wetenschappelijke schrijfwijze van een getal is het product van een decimaal getal met één van nul verschillend cijfer voor de komma en de bijbehorende macht van 10.
Van decimale schrijfwijze naar wetenschappelijke schrijfwijze
Het aantal rangen dat je de komma naar links moet verschuiven zodat die na het eerste cijfer staat, is de exponent van 10.
= 7,32 ? 10 000 000 7 = 7,32 ? 10
= 5,2 ? 0,000 001 –6 = 5,2 ? 10
5 600 000 000 =
0,000 087
=
=
=
2 3 4 5
ki jk
Van wetenschappelijke schrijfwijze naar decimale schrijfwijze
In
1
Het aantal rangen dat je de komma naar rechts moet verschuiven zodat die na het eerste cijfer staat, voorzien van een minteken, is de exponent van 10.
0,000 005 2
ex
73 200 000
em pl
aa
instructiefilmpje
zeer kleine getallen
r©
zeer grote getallen
instructiefilmpje
positieve exponenten
Je verkrijgt de decimale schrijfwijze door de komma zoveel rangen naar rechts te verschuiven als de exponent van 10 aangeeft.
negatieve exponenten Je verkrijgt de decimale schrijfwijze door de komma zoveel rangen naar links te verschuiven als de exponent van 10 aangeeft.
6 7
6
–5
8
2,56 ? 10
9
3,874 ? 10 =
8
5,78 ? 10 =
=
=
10 11
156
= 2,56 ? 1 000 000 = 2 560 000
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
7,2 ? 10
= 7,2 ? 0,000 01 = 0,000 072
–9
Bewerkingen met getallen in de wetenschappelijke schrijfwijze Je kunt rekenen met de getallen in de wetenschappelijke schrijfwijze, zonder ze om te zetten in de decimale vorm. Daarbij maak je gebruik van de rekenregels voor machten. Voorbeelden: −6
11
−6
3,5 ? 10 ? 2 ? 10
= (3,5 ? 2) ? (10
5
11
? 10 )
−6+11
= 7 ? 10
5
= 7 ? 10
5
3 10 1 1 5–(–4) 9 –4 = 10 = = 10 –4 12 4 4 10 12 10 3 10
3
(2 ? 105)
5 3
= 2 ? (10 ) 3
15
= 8 ? 10
−17
4 ? 10 ? 3 ? 10 = –9
8 10
VA
N
=
–7
2 10
8
= 2,5 ? 10
IN
8
5?3
= 8 ? 10
9
= 0,25 ? 10
7
r©
(2 ? 10−4) =
aa
Bij zeer grote en zeer kleine getallen kun je in de war raken wat het aantal nullen betreft. Daarom schrijf je die getallen in de wetenschappelijke schrijfwijze.
factor 10
symbool
factor
naam
symbool
yocto
y
10
1
deca
da
zepto
z
10
2
hecto
h
atto
a
10
3
kilo
k
femto
f
10
6
mega
M
−12
pico
p
10
9
giga
G
−9
nano
n
10
12
tera
T
−6
micro
μ
10
15
peta
P
−3
milli
m
10
18
exa
E
−2
centi
c
10
21
zetta
Z
−1
deci
d
10
24
yotta
Y
−21
10
ex
−18 −15
ki jk
10
10
10
In
grote getallen
naam
−24
10
em pl
kleine getallen
10
10
10
10
Enkel voor de kleine onderverdelingen en veelvouden van de eenheid worden alle gehele getallen als exponent gebruikt. Vanaf de exponenten 3 en −3 zijn de exponenten telkens drievouden. Op die manier kan het aantal namen beperkt blijven. Om het verschil te laten zien tussen een onvoorstelbaar groot getal en oneindig, 100 voerde Edward Kasner in 1938 de term ‘1 googol’ in. Dat is een getal met waarde 10 . Van die term is ook het woord ‘Google’ afgeleid.
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
157
Oefeningen REEKS A Omcirkel de getallen die in de wetenschappelijke schrijfwijze staan. −2
0,17 ? 10
5
−0,3 ? 10 −7
0,068 ? 10 5
−4,89 ? 10
−3
−41,2 ? 10
5 6
3,02 ? 10
d) −0,380
−38 ? 10
−3
−2
Geef de wetenschappelijke schrijfwijze.
−4,002 ? 10
2
0,25 ? 10
4
−4,080 2 ? 10 −5
302 ? 10
0
−0,38 ? 10
aa
em pl =
c) 0,002 374
=
ki jk
=
Schrijf als decimale getallen.
In
36
wetenschappelijke schrijfwijze 8
a) 1,48 ? 10
decimaal getal =
−7
b) 3 ? 10
= −9
c) 8,12 ? 10
= 12
d) 5,034 ? 10
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
=
2
93 ? 10
=
b) 0,000 000 7
11
158
7
3
−1
−4,080 2 ? 10 2
3,02 ? 10
−1
−3,8 ? 10
wetenschappelijke schrijfwijze
9 10
4,62 ? 10
N
c) 0,003 02
7 8
−6
−2
−6,3 ? 10
2
1
ex
4
−2,001 ? 10
9,3 ? 10
−4 080,2 ? 10
d) 25 147 500 000 000
3
3
b) −40 802
a) 237 580 000
2
−8
VA
9,3 ? 10
decimaal getal
1
−3
Omcirkel de wetenschappelijke schrijfwijze van het gegeven getal. a) 9 300
35
2,5 ? 10
85,2 ? 10 2
1 ? 10
34
9
7,7 ? 10
6
21,8 ? 10
IN
4
2,6 ? 10
r©
33
REEKS B 37
Tijdens haar vakantiejob stelt Sofie haar baas de volgende deal voor. Ze is bereid om de eerste werkdag van de maand te werken voor één cent per dag, de tweede werkdag voor drie cent, de derde dag voor negen cent ... Haar loon wordt dus elke werkdag verdrievoudigd. a) Hoeveel zou Sofie verdienen gedurende de eerste werkweek (5 werkdagen)?
IN
b) Hoeveel zou Sofie verdienen op de twintigste werkdag?
VA
Geef de wetenschappelijke schrijfwijze van de producten. product 8
a) 57 ? 10
r©
38
N
wetenschappelijke schrijfwijze
aa
=
−5
=
−4
c) 8 955 ? 10
em pl
b) 93 ? 10
=
6
=
ki jk
ex
d) 344,124 ? 10
Bereken zonder rekenmachine. Geef je resultaat in de wetenschappelijke schrijfwijze.
In
39
a) 8 : 2 000 000
=
b) 2 500 ? 8 000 000
=
c) 39 000 : 3 000 000 000
=
2
d) 5 000
= 3
e) 3 000 000
=
f) 123 000 ? 20 000
= HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
159
Werk uit zonder rekenmachine. Geef je resultaat in de wetenschappelijke schrijfwijze. 4
4
a) 1,64 ? 10 + 2,3 ? 10 8
2 10
=
–5
9 10
5 3
)
−8
2
=
−8
e) 4,5 ? 10 + 8 ? 10
f)
g)
2 3
=
–7
6,4 10
=
4
1,6 10
[(1,8 ? 10 ) ? (2 ? 10 )] 7
−8
–4
=
ex
Geef de wetenschappelijke schrijfwijze.
wetenschappelijke schrijfwijze
a) De gemiddelde straal van de aarde bedraagt 6 370 000 m.
b) De snelheid van het licht bedraagt 300 000 km per seconde.
c) De diameter van een uraniumatoom bedraagt 0,000 000 000 25 m.
d) De massa van Jupiter bedraagt 1 898 000 000 000 000 000 000 000 000 kg.
e) De dikte van een rode bloedcel bedraagt 0,000 002 m.
In
1
−3
ki jk
41
=
em pl
h)
(1,2 ? 108)
IN
) ? (3 ? 103)
−8
N
d) (2,3 ? 10
=
VA
c) (2,5 ? 10
r©
b)
=
aa
40
4 5 6 7 8 9 10 11
160
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
42
In een composthoop van 4 000 liter zitten bacteriën die zich om de zes uur verdubbelen. Bij een onderzoek op vrijdag vindt men in één liter compost 100 000 bacteriën. Hoeveel bacteriën zitten er in de composthoop die vrijdag? Geef je antwoord in de wetenschappelijke schrijfwijze.
Antwoord:
8
De afstand van de aarde tot de zon bedraagt 1,5 ? 10 km. 9 De afstand van Neptunus tot de zon bedraagt 4,5 ? 10 km. Hoeveel keer staat Neptunus verder van de zon dan de aarde?
N
VA
r©
Antwoord:
De lichtsnelheid is 300 000 km/s. Bereken hoeveel km er in een lichtjaar gaan. Geef je resultaat in de wetenschappelijke schrijfwijze.
aa
44
ex
Antwoord:
em pl
24
De massa van de aarde is ongeveer 5,98 ? 10 kg. De massa van de zon is 330 000 keer groter. Bereken de massa van de zon. Geef je resultaat in de wetenschappelijke schrijfwijze.
ki jk
45
IN
43
In
Antwoord:
46
−25
De massa van een elektron bedraagt 9,11 ? 10 g. Hoeveel elektronen gaan er in 1 ton? Geef je resultaat in de wetenschappelijke schrijfwijze.
Antwoord:
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
161
c) 52 327 fm
=
d) 0,455 pm
=
e) 375 489 nm
=
f) 89 540 Gm
=
g) 7,623 μm
=
h) 5 600 Tm
=
IN
=
N
b) 0,000 002 58 Pm
VA
=
r©
a) 958 100 km
Uit de chemische samenstelling van de aarde blijkt dat die voor 34,5 % uit ijzer bestaat. 24 De totale massa bedraagt 5,976 ? 10 kg. Hoeveel ton ijzer is dat? Geef je resultaat in de wetenschappelijke schrijfwijze.
aa
48
Schrijf de meetresultaten in de wetenschappelijke schrijfwijze. Gebruik de tabel van pagina 157. Druk je resultaat uit in m.
em pl
47
ki jk
ex
2
In
Antwoord:
1
3 4 5
49
Het licht heeft een snelheid van 300 000 km/s. De afstand van de zon tot de aarde bedraagt 8 1,496 ? 10 km. Hoelang heeft het zonlicht nodig om de aarde te bereiken? Geef je resultaat in minuten en seconden, op 1 seconde nauwkeurig.
6 7 8 9
10 11
162
Antwoord: HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
REEKS C 50
Rode bloedcellen nemen meer dan 50 % van het bloedvolume in beslag. Per milliliter zijn het er ongeveer 5,4 miljard. Rode bloedcellen zijn schijfvormige cellen met een doorsnede van ongeveer 7 micrometer en een dikte van 2 micrometer. Hoeveel rode bloedcellen heeft een gemiddelde persoon (5,5 liter bloed)? Geef je resultaat in de wetenschappelijke schrijfwijze.
IN
N
VA
r©
5
De straal van de aarde is 6 378 km. De straal van de zon is 6,96 ? 10 km. Bereken hoeveel keer het volume van de aarde in het volume van de zon kan. 4 r 3. Het volume van een bol met straal r bereken je met de formule 3 Geef je resultaat, op 0,01 nauwkeurig, in de wetenschappelijke schrijfwijze.
ki jk
ex
51
em pl
aa
Antwoord:
In
Antwoord:
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
163
4.3
Rekenen met vierkantswortels van reële getallen
4.3.1 Som en verschil van vierkantswortels Gelijksoortige vierkantswortels 5 25 + 7 25 = 7 9 –2 9
en 12 25 =
=
en 5 9
=
+
29 + 8 29
=
25 17 – 84 17 =
=
VA
7 13 + 9 13
x
2,8 7 – 9,14 7 =
Niet-gelijksoortige vierkantswortels =
en
9 + 16
=
en
169 – 144
=
aa
9 + 16
x en a x – b x = (a – b)
N
"a, b ΠR, "x ΠR : a x + b x = (a + b)
r©
Rekenregel
IN
Je past de distributiviteit toe van het vermenigvuldigen ten opzichte van het optellen en het aftrekken in R.
instructiefilmpje
em pl
169 – 144 = Besluit:
a + b ≠ a + b (a > 0, b > 0) en
2 3 4 5 6 7 8 9 10
C
In
1
ki jk
ex
a – b ≠ a – b (a > b > 0)
B
D
De driehoeksongelijkheid zegt dat de ‘kortste afstand’ tussen twee punten een rechte lijn is. Er geldt: • | AD | + | DB | = | AB | omdat A, D en B collineaire punten zijn. • | AC | + | CB | > | AB | A want A, C en B zijn niet collineair en vormen dus een driehoek. Die eigenschap is gekend als de ongelijkheid van Minkowski.
In een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden a en b is de lengte van de schuine zijde a 2 + b 2 (stelling van Pythagoras). Volgens de driehoeksongelijkheid is in elke driehoek één zijde altijd korter dan de som van de twee andere zijden. De schuine zijde is dus korter dan de som van de twee rechthoekszijden. In symbolen: a 2 + b 2 < a + b of a 2 + b 2 < a 2 + b 2
11
164
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
a2 + b2
b a
Oefeningen REEKS A Werk uit indien mogelijk. a) 2 6 + 6
=
e)
b) 17 21 – 5 21
=
f) 5 3 + 5
=
c)
=
g) –7 3 – 8 3
=
=
h) 26 11 + (–3 11 )
Werk uit indien mogelijk. a) 7,3 7 + 8 7
=
1 5 –2 5 2
=
e)
em pl
b)
IN
r©
53
=
N
d) 5 13 – 2 13
=
35 – 8 35
VA
97 + 8 97
aa
52
–5 +2 3
f) 5,3 5,1 –
=
1 5,1 2
=
=
=
g)
–2 –5 5 – 5 5 2
d) 2,2 2 – 5 2
=
h)
1 –8 2,4 + 2,4 = 3 9
ki jk
ex
c) 8,5 2 – 7 3
In
REEKS B
54
Werk uit indien mogelijk. a) 2 a + 3 a
=
e) a 2 – b 2
=
b) 8 x – 11 x
=
f) a b + a b
=
8 u 5
=
g) a b + b a
=
–4 3 b + b 5 2
=
h) b a – b a
=
c) 7,2 u –
d)
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
165
4.3.2 Product van vierkantswortels Inleiding =
=
en
( 11 10 ) =
=
en ( 11 10 )
4 9 2
Rekenregel
4 9 2
=
=
=
=
Het product van de vierkantswortels van twee positieve reële getallen is de vierkantswortel van het product van die twee getallen. +
In symbolen: "a, b ΠR : a b =
a b
IN
Bewijs gegeven +
N
a, b ΠR
VA
te bewijzen
bewijs
r©
a b = a b
instructiefilmpje
Beide leden van de formule zijn positieve getallen. Het volstaat dus aan te tonen dat hun kwadraten aan elkaar gelijk zijn. 2
• ( a b)
2
2
( a) ( b)
aa
=
macht van een product 2
em pl
• ( a b)
=
a?b
definitie vierkantswortel
=
a?b
definitie vierkantswortel
besluit
ex
a b = a b
ki jk
Voorbeelden 2 8 =
2 3
In
1
6 7 =
3 12 =
Vereenvoudigen Deze rekenregel wordt gebruikt om wortelvormen te vereenvoudigen. In de volgende voorbeelden stellen de letters positieve getallen voor.
4 5
a 2b
=a b
6
18
= 9 2
= 9 2
=3 2
7
80
=
=
=
3a 2
=
=
=
8 9 10 11
166
instructiefilmpje
Door wortelvormen te vereenvoudigen, kun je niet-gelijksoortige vormen soms gelijksoortig maken. 2 + 8
=
2 + 4 2
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
=
2 + 4 2
=
2 +2 2
=
3 2
Oefeningen REEKS A
2 2
=
g)
32 2
=
b)
3 12
=
h)
3 48
=
c)
3 27
=
i)
45 5
=
d)
8 2
=
j)
5 20
=
e)
2 18
=
k)
6 24
=
f)
3 75
=
l)
7 28
=
g)
72
=
Vereenvoudig. 32
=
b)
N
VA r© aa
104
=
h)
45
=
In
ki jk
a)
IN
a)
em pl
56
Bereken.
ex
55
c)
98
=
i)
175
=
d)
18
=
j)
63
=
e)
90
=
k)
153
=
f)
80
=
l)
363
=
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
167
REEKS B Werk de vermenigvuldigingen uit. Vereenvoudig je resultaat. a) 2 2 3 2
d) 5 6 6 12
=2 3 2 2
e) 3 8 2 54
VA
IN
b) 2 2 3 3
N
57
c) 3 2 18
f) 2 8 4 18
r©
Tel de wortelvormen op. a)
6 + 24
d) 2 2 + 3 18 – 9 8
ex
58
em pl
aa
ki jk
2 3
b)
5 + 3 20
In
1
e) 4 12 – 2 3 + 48
4 5 6 7 8 9 10
c) 2 3 + 5 12
5 + 3 180 – 4 45
11
168
f)
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
a) 2 2a – 8a – 9 2a
=
b) 3 3a + 2 27a – 6 48a
=
c)
=
5a + 2 45a – 3 180a
Werk de vermenigvuldigingen uit.
IN
60
Tel de vierkantswortels op (a > 0).
c) (2 3 + 5 5 ) 15
5 (3 – 2 5 )
a)
VA
r©
em pl
aa
3 ( 6 + 2 3)
b)
ex
ki jk
d) –6 7 (3 14 + 21 – 27 )
In 61
N
59
Werk de vermenigvuldigingen uit. De letters stellen positieve reële getallen voor. a)
a (2 – a )
=
b)
b (3 ab + b )
=
c)
x (–2 x – 5 )
=
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
169
4.3.3 Quotiënt van vierkantswortels Inleiding 1 4 16 100 Rekenregel
=
=
en
1 4
=
=
=
=
en
16 = 100
=
Het quotiënt van de vierkantswortels van twee positieve reële getallen waarbij de noemer niet nul is, is de vierkantswortel van het quotiënt van die getallen. +
a b
a b
=
IN
+
In symbolen: "a ΠR , "b ΠR 0 :
N
Bewijs
+
VA
gegeven +
a ΠR en b ΠR 0
b
a b
=
aa
a
instructiefilmpje
r©
te bewijzen
bewijs
2
a
•
=
b
macht van een quotiënt
2
ex
a b
2
( a) ( b)
a b
=
2
definitie vierkantswortel
a b
= definitie vierkantswortel
ki jk
•
em pl
Beide leden van de formule zijn positieve getallen. Het volstaat dus aan te tonen dat hun kwadraten aan elkaar gelijk zijn.
besluit
2
a
=
In
1
b
a b
3 4 5
Opmerking Vereenvoudig, indien mogelijk, de breuk onder het wortelteken.
6
3
7
12
8 9
3 = 12
1 1 = 4 2
3 15
=
3 = 15
16 24
=
Voorbeelden
10
50
11
2
170
=
=
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
3 27
=
2 98
=
De noemer wortelvrij maken Een wortelvorm kun je soms vereenvoudigen door de noemer wortelvrij (rationaal) te maken. Werkwijze
Om de noemer wortelvrij te maken, vermenigvuldig je de teller en de noemer met de vierkantswortel uit de noemer. Vereenvoudig eerst de wortelvormen in de noemer, indien mogelijk. Voorbeelden instructiefilmpje
=
3 5
5 7
=
definitie macht
2
( 5) 3 5 5
definitie vierkantswortel
=
5
rekenregel quotiënt van vierkantswortels
7
IN
5 5
teller en noemer vermenigvuldigen met de vierkantswortel uit de noemer
=
5 7 7 7
=
35
2
( 7) 35 7
teller en noemer vermenigvuldigen met de vierkantswortel uit de noemer
rekenregel product van vierkantswortels definitie macht
definitie vierkantswortel
5 2 3
=
5 3
2 3 3 5 3
2
teller en noemer vermenigvuldigen met de vierkantswortel uit de noemer
ex
=
em pl
aa
r©
=
3 5
N
5
=
VA
3
ki jk
2( 3 )
In
=
=
5 3 2 3 5 3 6
5 18
=
definitie macht
=
definitie vierkantswortel
=
=
5
eerst de wortelvorm in de noemer vereenvoudigen
9 2 5
rekenregel product van vierkantswortels
3 2 5 2 3 2 2 5 2 2
3 ( 2)
teller en noemer vermenigvuldigen met de vierkantswortel uit de noemer
definitie macht
=
5 2 3 2
definitie vierkantswortel
=
5 2 6
rekenen met reële getallen
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
171
Oefeningen REEKS A Bereken zonder rekenmachine.
e)
3
8 2
18 2
7
11
In
2
3
4 144
=
IN
h)
75
=
N
27
=
32
=
=
i)
6
=
j)
54
112 7
=
=
Maak de noemer wortelvrij.
a)
1
3
g)
ki jk
63
12
=
2
VA
d)
3
f)
r©
c)
2
=
aa
b)
2
em pl
a)
ex
62
b)
11 6
=
e)
=
f)
=
g)
=
h)
17 7
8 7
=
=
4 5 6
c)
7
3 19
6 13
=
8 9 10
d)
2 5
11
172
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
2 3
=
REEKS B 64
Vereenvoudig, schat het resultaat en bereken met de rekenmachine op 0,001. vereenvoudigen 75
a)
15 120
b)
8 90
c)
berekenen
=
=
=
=
=
=
=
=
=
IN
5
schatten
c)
d)
VA
–2
=
2 2 2 7
=
11 5 3
=
32 –2 2 27
=
ex
e)
=
3 6
r©
b)
5
aa
a)
N
Maak de noemer wortelvrij.
em pl
65
ki jk
REEKS C
66
Maak de noemer wortelvrij. 27 72
In
a) 1 3 b)
c)
d)
e)
3–2 3 3 3 4 –5 8 2 5 2 5 +5 2 15 6 21 – 3 + 5 2 7
=
=
=
=
=
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
173
4.3.4 Macht van een vierkantswortel Inleiding 2
( 9)
3
( 4)
–1
( 36 ) Rekenregel
2
=
3
=
=
en
9
=
en
4
=
en
36
–1
=
De macht van een vierkantswortel van een positief reëel getal is de vierkantswortel van de macht van dat getal. +
z
IN
In symbolen: "a ΠR 0, "z ΠZ : ( a ) = a z
N
Bewijs
VA
gegeven +
a ΠR 0 en z ΠZ te bewijzen a ) = az
r©
(
instructiefilmpje
z
bewijs
a)
z
2
=
(
a)
z 2
em pl
(
•
aa
Beide leden van de formule zijn positieve getallen. Het volstaat dus aan te tonen dat hun kwadraten aan elkaar gelijk zijn. macht van een macht
2
• ( az )
(
=
2
a)
z
=
macht van een macht
z
a
definitie vierkantswortel z
=
a
ex
definitie vierkantswortel
besluit
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
174
Voorbeelden
In
1
z
a ) = az
ki jk
(
6
–4
( 2) =
( 3) =
Opmerking Deze rekenregel wordt gebruikt om wortelvormen te vereenvoudigen. In de volgende voorbeelden stellen de letters telkens positieve getallen voor. 4
2
2
3 = 3
2
3
b = b
2 2 = (2 ) = 2 = 4 3 6 a = (a ) = a
Om de vierkantswortel van een macht met een even exponent te nemen, laat je het wortelteken weg en deel je de exponent door twee. HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
5
4
11
10
1
2 3 =3 3 =9 3 1
b =b
5
b
Om de vierkantswortel van een macht met een oneven exponent te nemen, ontbind je de macht in het grondtal en een even macht ervan en pas je de rekenregels toe.
Oefeningen REEKS A Bereken zonder rekenmachine. =
c) ( 11 )
6
=
d) ( 2 )
b) ( 5 )
=
10
=
=
3
=
5
=
11
=
7
c)
8
d)
6
e)
2
9
=
g)
10
=
h)
4
5
=
i)
3
6
=
j)
11
5
=
VA
3
b)
3
f)
8
r©
=
5
aa
4
a)
N
Vereenvoudig.
ki jk
ex
68
4
IN
4
a) ( 2 )
em pl
67
In
REEKS B
69
Bereken zonder rekenmachine. –2
a) ( 3 )
e)
=
f) ( 6 )
–6
=
g)
1 2
6
=
h) (– 7 )
–4
b) (– 5 )
c) ( 10 )
d) (– 3 )
–4
1 3
=
=
–2
= –8
=
–4
=
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
175
Vereenvoudig. De letters stellen positieve reële getallen voor. a)
100
=
d)
b
53
=
b
88
=
b) – a
43
=
e)
c) – a
78
=
f) – a
81
=
IN
71
a
Vereenvoudig en bereken daarna met de rekenmachine.
N
70
4
3
1 13
b)
= –2
=
–3 –4
=
=
=
ki jk
ex
d)
3
3
1 4
=
2 3 4 5
In
REEKS C
1
72
Vereenvoudig. De letters stellen positieve reële getallen voor. Noteer je resultaat met een positieve exponent. a)
(
a
3
)
4
=
d)
=
e)
6
1 a
=
6 7
b) –(– b 5 )
8
(
a
10
)
–3
=
8 9 10
c)
a b
5
8
=
11
176
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
=
=
em pl
c) –(– 7 )
r©
3
aa
a) (– 3 )
VA
vereenvoudigen
f)
a – b
4
–3
=
berekenen
4.3.5 Bewerkingen met wortelvormen Meestal zullen er meerdere bewerkingen in een oefening voorkomen. Hier heb je ze nog eens op een rijtje.
Optellen en aftrekken Rekenregel
+
"a, b ΠR, "x ΠR : a x + b x = en a x Рb x =
3 7 +7 7 =
16 a –5 a =
IN
Voorbeelden:
+
N
Opmerking
VA
a + b ≠ a + b en a – b ≠ a – b (a, b Œ R 0, a > b)
Voorbeelden:
Rekenregel
+
a
+
ki jk
"a ΠR , "b ΠR0 :
2
In
Voorbeelden:
18
b
=
96
=
5 15 =
ex
Delen
2 18 =
aa
+
"a, b ΠR : a b =
em pl
Rekenregel
r©
Vermenigvuldigen
=
6
Machtsverheffing Rekenregel
+
Voorbeelden:
z
"a ΠR0, "z ΠZ : ( a ) =
4
( 3) =
6
( 7) =
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
177
Oefeningen REEKS B
72 a
b)
98 a b
3
4
63 ab
=
5
12
=
75 a b
=
d)
32 a b
3
3
IN
7
96 a b
4
=
c) 3
=
2
54 a b
3 7
9
–5
80 a b 3
98a b
6
–3
=
r©
d)
=
N
5
28a b
Vereenvoudig en werk uit. De letters stellen positieve reële getallen verschillend van 0 voor. a)
18a + 98a – 50 a
ex
2
b)
2
90 ab – 3 40 ab + b 160 a
c) –4 b 2 147 a 3 b + 7a 243 ab 5 d) –b 5 a + 3 ab 500 a 5 b 4
ki jk
In
2
7
c)
VA
4
32 a b 72 a
b)
1
5
=
Vereenvoudig. De letters stellen positieve reële getallen verschillend van 0 voor. a)
75
2
a)
aa
74
Vereenvoudig. De letters stellen positieve reële getallen verschillend van 0 voor.
em pl
73
3 4 5 6 7
76
Werk uit. De letters stellen positieve reële getallen verschillend van 0 voor. =
a)
a ab
b)
a b 9 ab
c)
ab 2 b 54 a
d)
45 a 5 b 9 a b
3
2
2
3
=
8 9 10 11
178
3
9
3
3
3
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
= 4
=
b) 2 7 ( 14 + 3 7 )
=
c) (5 11 – 2 3 ) 33
=
d) (2 3 + 5 5 ) 15
=
e) 3 a (3 a + 7)
=
f) – a
3
ab – 6 a
)
ab ( a b – 5 ab 3
2
=
)
=
Werk uit. De letter a stelt een positief reëel getal verschillend van 0 voor. Maak de noemer wortelvrij. 3 a a
3
=
ki jk
a)
ex
78
em pl
aa
g)
(
N
=
VA
3 (2 3 + 4)
a)
IN
Werk uit. De letters stellen positieve reële getallen verschillend van 0 voor.
r©
77
8 8a 2a
=
In
b)
c)
d)
e)
16 50 a 2a
5
2
22 6 a 11 48a
=
3
–9 32 a 4 27 a
7
=
3
=
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
179
Werk uit. De letter a stelt een positief reëel getal verschillend van 0 voor. 2
a) (5 3 )
2
=
f) (a a )
2
=
g) (3a a 3 )
c) (2 32 )
2
=
h) (–a 2 8a 5 ) =
4
=
i) (3a 3a )
=
j)
b) (–3 7 )
d) (– 6 )
4
2
= 2
(a2
8a
3
4
)
= 4
=
9(a + c ) b
c)
a +a
d)
5a – a
3
=
9
3
=
em pl
7
3
2
=
Maak de noemer wortelvrij. De letters stellen positieve reële getallen verschillend van 0 voor. 162 – 147 5
In
2
4
b)
18 – 2 12 7
=
=
4 5
c)
2 a – 2b b
6 7 8
d)
3
a + 8b 27 a
=
=
9 10 11
180
r©
b)
=
aa
4c (a + b)
a)
1
2
a)
ki jk
81
Vereenvoudig. De letters stellen positieve reële getallen verschillend van 0 voor.
ex
80
VA
N
e) (–2 15 )
=
IN
79
e)
2
ab – b a 54 b
=
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
Werk uit en bereken op 0,01 nauwkeurig a) de inhoud van een kubus met ribben
c) de inhoud van een cilinder met een straal van 2 3 cm en een hoogte van 48 cm.
VA
IN
van 5 cm.
N
82
r©
Antwoord:
aa
Antwoord:
em pl
b) de oppervlakte van een ruit met
een grote diagonaal van 2 63 cm en
2 7 cm en 3 3 cm lang.
In
ki jk
ex
een kleine diagonaal van 28 cm.
d) de oppervlakte van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van
Antwoord:
Antwoord: HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
181
REEKS C Werk uit en bereken op 0,01 nauwkeurig a) de omtrek van een vierkant waarvan de diagonalen 3 cm meten.
c) de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek
met zijden van 5 cm.
VA
r©
aa
Antwoord:
em pl
b) de oppervlakte van een rechthoek met
diagonalen van 7 cm die elkaar snijden onder een hoek van 70º.
Antwoord:
d) de oppervlakte van een ruit waarvan
de zijden 11 cm meten en waarvan de grote diagonaal dubbel zo lang is als de kleine diagonaal.
2
In
1
ki jk
ex
N
IN
83
3 4 5 6 7 8 9 10 11
182
Antwoord:
Antwoord:
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
84
Bepaal de omtrek en de oppervlakte a) van de cirkel. omtrek: a
oppervlakte:
VA
N
IN
r©
In
ki jk
ex
em pl
b) van de gekleurde figuur.
aa
omtrek:
a
oppervlakte:
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
183
4.3.6 Volgorde van de bewerkingen Wanneer je meerdere bewerkingen uitvoert in een oefening, moet je rekening houden met de volgorde van de bewerkingen. 1) Bewerkingen tussen haakjes
(),[]
2) Machten en vierkantswortels
a n , a
3) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts
?,:
4) Optellen en aftrekken van links naar rechts
+,−
IN
Bij het vierkantswortelteken moet alles wat onder het wortelteken staat, eerst uitgewerkt worden alsof het tussen haakjes staat.
a)
d) - 6
r©
2 3
In
1
5 3
c)
3
–
1 2 + 2 3
2
2 5 7
f)
3 5 + 11 – 3 2 –7 8 – 2 : 2 – 2
4 5 6
7 8 9 10 11
184
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
6 7 32 : – 8 12 56
ki jk
4 1 + 4 9
e)
ex
1 1 9 + : 2 16 4
em pl
4 1 + 4 9
aa
b) -
96 : 4
VA
18 + 24 : 6 + 3
N
Voorbeelden
Oefeningen REEKS B 85
Bereken zonder rekenmachine. Houd rekening met de volgorde van de bewerkingen. 3
48
4
ki jk
25 2 + 154 – 2 5 36 3
In
- 6 2
10
4
ex
2 3 –5 3
em pl
c)
e)
aa
3
3
r©
18 + 32
b)
+ 10 2 3
VA
50
IN
d)
N
a) (8 17 + 3 17 ) 68
( 2 – 2 2 3)
8 + 17 2 – 2
f)
2
3
9 2 + 7 – 3 – 4 (-5)
18
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
185
STUDIEWIJZER Rekenen met reële getallen voor de leerling
4.1 Bewerkingen met reële getallen KUNNEN
voor de leerkracht
– + – +
Berekeningen uitvoeren met getallen • in breukvorm • in decimale vorm en indien nodig de rekenmachine gebruiken. De eigenschappen van bewerkingen met reële getallen gebruiken om bewerkingen uit te voeren en te vereenvoudigen.
4.2 Rekenen met machten van reële getallen – + – +
IN
KENNEN "a ΠR, "n ΠN \ {0, 1} : a =a a a ... a n
n factoren
"a ΠR0 : a = 1 "a ΠR : a 1 = a
–n
=
a–1 = b a
1 a
a≠0
n
VA
a b
1 an
a ≠ 0 en b ≠ 0
r©
a–n =
N
0
"a ΠR0, "m, n ΠZ : a m ? a n = am+n
am =am –n an
em pl
"a ΠR0, "m, n ΠZ :
aa
Bij het product van machten met hetzelfde grondtal moet je het grondtal behouden en de exponenten optellen.
Bij het quotiënt van machten met hetzelfde grondtal moet je het grondtal behouden en de exponenten aftrekken. n
"a ΠR0, "m, n ΠZ : (am) = am ? n
ex
Bij de macht van een macht moet je het grondtal behouden en de exponenten vermenigvuldigen. m
"a, b ΠR0, "m ΠZ : (a ? b) = am ? bm
2 3 4
a "a, b ΠR0, "m ΠZ : b
m
=
In
1
ki jk
Bij een macht van een product moet je de machten van de factoren vermenigvuldigen.
Bij een macht van een quotiënt moet je de macht van de teller delen door de macht van de noemer. De wetenschappelijke schrijfwijze van een getal is het product van een decimaal getal met één van nul verschillend cijfer voor de komma en de bijbehorende macht van 10.
5 6 7 8
KUNNEN De rekenregels voor het rekenen met machten toepassen bij het rekenen met getallen en letters. Omzetten van decimale maar wetenschappelijke schrijfwijze en omgekeerd. Berekeningen uitvoeren met getallen in wetenschappelijke schrijfwijze.
9 10 11
186
am bm
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
– + – +
voor de leerling
4.3 Rekenen met vierkantswortels van reële getallen KENNEN
voor de leerkracht
– + – +
"a, b Œ R, "x Œ R+ : a x + b x =(a + b) x en a x – b x =(a – b) x Het product van de vierkantswortels van twee positieve reële getallen is de vierkantswortel van het product van die getallen. "a, b Œ R+ : a
b= a b
Het quotiënt van de vierkantswortels van twee positieve reële getallen waarbij de noemer niet nul is, is de vierkantswortel van het quotiënt van de grondtallen. "a Œ R+, "b Œ R+0 :
a
=
b
a b
"a ΠR+0, "z ΠZ : ( a ) = a z
KUNNEN
VA
z
N
De macht van een vierkantswortel van een positief reëel getal is de vierkantswortel van de macht van dat getal.
IN
Om de noemer wortelvrij te maken, vermenigvuldig je de teller en de noemer met de vierkantswortel uit de noemer.
– + – +
r©
De rekenregels voor het rekenen met vierkantswortels uitdrukken in woorden en symbolen. Die rekenregels toepassen bij het uitvoeren van bewerkingen.
aa
Bewerkingen met wortelvormen benaderend uitvoeren met behulp van een rekenmachine. De rekenregels voor het rekenen met vierkantswortels bewijzen.
In
ki jk
ex
em pl
Oefeningen oplossen, rekening houdend met de volgorde van de bewerkingen.
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
187
Problemen uit JWO 1.
Uit hoeveel cijfers bestaat het getal 45 ? 513?
A) ❒ 12
B) r 13
C) r 14
D) ❒ 15
E) ❒ 16
IN
JWO, editie 2020, tweede ronde
B) ❒ 326
D) ❒ 337
E) ❒ 339
em pl
JWO, editie 2019, tweede ronde
C) r 335
aa
A) ❒ 322
r©
VA
N
2. Kleine zus speelt in een ballenbad met 110 rode, 120 gele en 140 blauwe ballen. Zonder te kijken, neemt ze een aantal ballen uit het bad. Hoeveel ballen moet ze minstens nemen om zeker te zijn dat er 113 van dezelfde kleur bij zijn?
ex
3. De volgende staafdiagrammen geven de resultatenvan vijf toetsen weer. Welk van de diagrammen stelt gegevens voor waarvan de mediaan groter is dan het gemiddelde?
B)
ki jk
A)
❒
2 3 4 5 6
E)
D)
r
❒
❒
JWO, editie 2018, tweede ronde
In
1
❒
C)
4. De cijfers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9 worden in die volgorde vervangen door opeenvolgende letters van het alfabet. Als je weet dat uspmru het kwadraat van een natuurlijk getal is, wat is dan dat natuurlijk getal?
7 8 9
A) ❒ pmr
B) r uts
10 11
188
JWO, editie 2017, tweede ronde
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
C) ❒ qop
D) ❒ upm
E) r rrn
HOOFDSTUK 5 I INLEIDING TOT REËLE FUNCTIES
190
5.2 Reële functies
197
Studiewijzer
217 218
In
ki jk
ex
em pl
aa
r©
VA
N
Pienter problemen oplossen
IN
5.1 Verbanden tussen grootheden
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
189
5.1
Verbanden tussen grootheden
5.1.1 Afhankelijke en onafhankelijke veranderlijke De oppervlakte A van een cirkel met straal r bereken je met de formule A = p ? r 2. GeoGebra De straal van een cirkel is 9 cm. Bereken de oppervlakte van die cirkel op 0,01 cm2 nauwkeurig.
r
2
3
4
5
6
7
VA
A (cm2)
1
N
r (cm)
IN
Vul de tabel aan. Rond de oppervlakte af op 0,01 cm2.
r©
De formule A = p ? r 2 beschrijft het verband tussen de grootheden r (de straal) en A (de oppervlakte). De waarde van A hangt af van de gekozen waarde van r. In de formule is r de onafhankelijke veranderlijke en A de afhankelijke veranderlijke. REKENMACHINE
em pl
aa
Eerst voer je de formule in die het verband geeft tussen de afhankelijke veranderlijke en de onafhankelijke veranderlijke. De afhankelijke veranderlijke moet je op de grafische rekenmachine als Y noteren en 2 de onafhankelijke veranderlijke als X. De formule A = p ? r 2 voer je dus in als Y = p ? X . actie
Activeer de vergelijkingeneditor. 2
2 3 4 5 6
Bepaal een aantal instellingen voor de tabel. Je opent het dialoogvenster voor tabelinstellingen. Je kiest de tabelinstellingen zoals op de figuur hiernaast.
In
1
Bekijk de tabel.
7 8 9 10 11
190
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
π
stat plot f1
y= x2
tbl set f2
2nd
window
table
2nd
scherm
H [
R link
×
2nd
I
√
ki jk
ex
Voer het verband Y = p ? X in.
knoppen
f5
graph
X,T,θ,n
GEOGEBRA EN PYTHON Algemeen
In een formule die het verband tussen verschillende veranderlijken weergeeft, noem je • de veranderlijken waarvan je de waarde kiest, de onafhankelijke veranderlijken; • de veranderlijke waarvan de waarde berekend wordt, de afhankelijke veranderlijke. In een formule kunnen er meerdere onafhankelijke veranderlijken zijn, maar slechts één afhankelijke veranderlijke.
5.1.2 Grafische voorstelling van een verband
IN
Om de grootte van een volwassen mens te schatten, gebruiken antropologen de formule y = 2,881 1x + 70,923. Daarbij is x de lengte van het bovenarmbeen en y de totale lengte, beide in cm.
N
In werkelijkheid zijn er fysische beperkingen aan die gegevens.
5
y (cm)
20
30
40
50
60
70
aa
10
r©
x (cm)
VA
a) Teken een grafische voorstelling van dat verband, zonder rekening te houden met de fysische beperkingen voor x en y. In de tabel zijn waarden voor x gekozen. Bereken y op 1 cm nauwkeurig.
y 280
em pl
260 240 220 200 180
ex
160 140
ki jk
120 100 80 60
In
40 20 0
0
x 5
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
b) Bij opgravingen vinden wetenschappers een bovenarmbeen van een volwassen man uit de prehistorie. Het been heeft een lengte van 29,2 cm. Bereken de grootte van die man.
c) De grootste mens ooit is Robert Wadlow (1918-1940). Hij stierf op 22-jarige leeftijd en was toen 272 cm groot. Bepaal op 1 cm nauwkeurig hoe lang zijn bovenarmbeen was.
Vanuit de grafiek:
Uit de vergelijking: HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
191
5.1.3 Grafische voorstellingen maken met ICT REKENMACHINE actie
knoppen stat plot f1
Z i
L2
.
Y L1
Y
1
1
catalog
: w
8 “ u
O
7
+
Q L2
9
Z L3
θ
3
2
Y
IN
L1
list
P
8
link
.
P v
memo
X,T,θ,n
i
0
1
stat
entry solve a-lock
enter a-lock
calc
Y }
1
ex
ki jk In
2 3 4 5
ICT
GEOGEBRA
6 7 8 9 10 11
192
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
Y
L a-lock
memo
alpha
stat plot f1 entry solve
2nd
format f3
zoom
y=
w
enter
2
Q
9
{
+
“
+
K
2nd
(
aa
in een geschikt grafisch venster.
1
L1
1
)
em pl
Maak een puntenwolk van de gegevens uit L1 en L2
f4
trace
alpha L1
memo
alpha
r©
In L2 laat je de waarden volgens de formule van de getallen uit L1 berekenen.
VA
N
Open de lijsteditor. Voer in L1 de waarden van de onafhankelijke veranderlijke in.
: v
2
y= L1
[
Breng in de vergelijkingeneditor het verband tussen de afhankelijke en de onafhankelijke veranderlijke in.
scherm
“
entry solve
enter
entry solve
enter
Oefeningen REEKS A 1
De oppervlakte van een vierkant is gelijk aan het kwadraat van de zijde. Een kubus is een zesvlak, waarbij elk vlak een vierkant is. a) Stel een formule op voor de oppervlakte van een kubus met ribbe r.
b) Wat is in die formule de onafhankelijke veranderlijke? Wat is in die formule de afhankelijke veranderlijke?
IN
c) Bereken het verschil in oppervlakte van een kubus met ribbe 10 cm en een kubus met ribbe 11 cm.
N
Een restaurant koopt een aantal wijnglazen. De eenheidsprijs is 3,20 euro. a) Vul de tabel aan.
b) Teken de grafische voorstelling.
1 400
1 200
1 000
800 600
c) Hoeveel moeten ze betalen als ze 350 wijnglazen bestellen?
200
In
ki jk
500
prijs (euro)
1 600
ex
200
em pl
100
totale prijs (euro)
aa
aantal wijnglazen 50
r©
2
VA
400
aantal wijnglazen
0
0
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550
d) Als de totale prijs 1 600 euro is, hoeveel wijnglazen hebben ze dan besteld?
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
193
REEKS B 3
Een vallend voorwerp legt in een tijd t (in seconden) een afstand s (in meter) af. Die afstand bereken je met de formule s = 4,9 ? t 2. a) Vul de tabel aan. Bepaal s op 0,01 nauwkeurig. tijd (seconde) afstand (meter)
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
r©
50
aa
40
em pl
30
ex
20
ki jk
10
3 4 5 6 7 8 9
0,5
194
1,5
2
2,5
3
3,5
c) Een steen valt vanop een hoogte van 60 m naar beneden. Hoelang zal het duren vooraleer de steen de grond raakt? Rond af op 0,1 s. • grafische bepaling:
• algebraïsche bepaling (via de formule):
10 11
t 1
In
0
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
3,5
VA
60
2
N
s
1
3,0
IN
b) Stel het verband grafisch voor.
0
2,5
4
Onderzoek bij zoogdieren heeft uitgewezen dat er een verband bestaat tussen het lichaamsgewicht en de hersenmassa. Met uitzondering van de apen (zij hebben meer hersenen dan de andere dieren) wordt het verband gegeven door de formule y = 1,021x + 77,41. Daarbij is x het lichaamsgewicht (in kg) en y de hersenmassa (in g). a) Vul de tabel aan. Bepaal op 1 g nauwkeurig. zoogdier
x (kg)
465
wolf
y (g)
giraf
539
36,33
kangoeroe
35
geit
27,66
schaap
55,5
ezel
187,1
panter
100
paard
521
varken
IN
koe
y (g)
N
x (kg)
192
VA
zoogdier
y (g)
50
100
150
250
300
350
400
450
500
em pl
y
200
aa
x (kg)
r©
b) Teken een grafische voorstelling van dat verband. Gebruik de tabel, waarin de waarden voor x gekozen zijn.
650
600 550 500
ex
450
In
ki jk
400 350 300 250 200 150 100 50 0
x 0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
c) Hoe groot is de hersenmassa van een zoogdier met een lichaamsgewicht van 225 kg? • grafische bepaling: • algebraïsche bepaling:
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
195
5
Als een afstand s in een tijd t wordt afgelegd, dan is de gemiddelde snelheid gelijk aan v =
s . t
a) Bepaal de formule, waarbij t de onafhankelijke veranderlijke is en v de afhankelijke veranderlijke, voor het geval dat je een afstand van 20 km aflegt.
De formule wordt:
b) Teken een grafische voorstelling van dat verband. Bereken in stappen van 20 minuten. v (km/h)
1 3
v 75 70
IN
t (h)
65
1
60 55 50
N
45
VA
2 3
r©
40 35
aa
30 25
20
em pl
15
2 3 4
5
c) Bepaal grafisch en algebraïsch wat de gemiddelde snelheid is van iemand die de afstand in 20 minuten aflegt.
In
1
10
ki jk
ex
• grafisch: • algebraïsch:
5 6
d) Bepaal grafisch en algebraïsch hoelang je maximaal over 20 km mag doen om een gemiddelde snelheid van meer dan 40 km/h te halen.
7 8 9
• grafisch: • algebraïsch:
10 11
196
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
t
5.2 Reële functies 5.2.1 Definitie Je leert in de natuurkunde dat water kookt bij 100 ºC bij een normale luchtdruk. Hoe hoger je komt, hoe lager de luchtdruk. Daardoor zal het kookpunt van water lager zijn dan 100 ºC. Per kilometer hoogte vermindert het kookpunt ongeveer met 3 ºC. Geef het verband tussen het kookpunt y, in ºC, en de hoogte x, in km.
IN
100
y
VA
y (ºC)
90
0
2
70
6
50
10
15
20
80 60 40
aa
30
r©
x (km)
N
Vul de tabel aan en teken de grafiek van het verband.
20
em pl
10
2
x
4
6
8
10
12
14
Wat is in dit voorbeeld de afhankelijke veranderlijke?
ki jk
ex
Wat is in dit voorbeeld de onafhankelijke veranderlijke?
In
Een waarde van de onafhankelijke veranderlijke noem je een argument.
16
18
20
Een waarde van de afhankelijke veranderlijke noem je een beeld.
Voorbeelden:
Voorbeelden:
Voor een bepaalde hoogte kan er maar één temperatuur zijn. Een dergelijk verband waarbij elk argument hoogstens één beeld heeft, noem je een functie. instructiefilmpje
Definitie
GeoGebra
Functie Een functie is een verband waarbij elk argument hoogstens één beeld heeft.
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
197
5.2.2 Benamingen en notaties Een functie waarbij het argument en het beeld reële getallen zijn, is een reële functie. Een reële functie benoem je met een kleine letter: f, g, h ... Je kunt een functie op twee manieren noteren. functievoorschrift
functievergelijking f: y = 2x − 1
f (x) = x 2
f: y =
f (x) =
f: y = x 3 + x 2 + x − 1
IN
f (x) = 2x − 1
N
Bij een functie noem je het beeld ook de functiewaarde. Vervang je in het functievoorschrift x door −2, dan bereken je de functiewaarde in −2.
VA
Notatie f (−2) Voorbeeld
f (−1) = 2 ? (−1) + 1 = −1
f (2) =
g (x) = x 3 − 2x
g (−2) =
g (0) =
em pl
aa
r©
f (x) = 2x + 1
5.2.3 Grafiek van een functie
Je kunt een functie voorstellen door een grafiek.
ki jk
f (x) = x2
ex
Voorbeeld
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
In
Je bepaalt een aantal functiewaarden, die je in een tabel noteert. x
f (x)
−2
−1
0
1
Om de grafiek van de functie te tekenen, ga je als volgt te werk: • Je berekent de functiewaarden van een aantal argumenten. • Je tekent de roosterpunten (x, f (x)). • Je verbindt de roosterpunten met een vloeiende lijn. y 4 3 2 1 x
2
11
198
instructiefilmpje
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
–4
–3
–2
–1
1 –1
2
3
4
5.2.4 Functie of geen functie grafiek
functievergelijking
Met de verticale lijntest kun je controleren of de grafiek een functie voorstelt:
Uit de tabel kun je afleiden of een verband tussen y en x een functie is:
Elke verticale rechte die je tekent, heeft maar één snijpunt met de grafiek. Elk argument heeft namelijk maar één functiewaarde.
Elk argument x mag hoogstens één beeld y hebben.
Voorbeeld
IN
y 9 7 6
1
2
4
1
0
1
4
1
x
−2
−1
–1
0
0
y
0
3
– 3
2
–2
r©
2 x
1
2
3
4
5
6
aa
–6 –5 –4 –3 –2 –1
Tegenvoorbeeld
em pl
y
1
x
–2
0
y
3
2
−1
VA
4
instructiefilmpje
−2
x
5
N
8
–1
1
ex
–1
2
ki jk
–2
In
Voor bepaalde argumenten vind je twee verschillende beelden.
Voor bepaalde argumenten vind je twee verschillende beelden.
Voorbeeld:
Voorbeeld:
René Descartes (1596-1650) was een Franse wiskundige die voor het eerst gebruikmaakte van het rechthoekige assenstelsel. Daardoor kon hij meetkundige elementen beschrijven met getallen en vergelijkingen. Descartes was ook de eerste die de term ‘functie’ gebruikte. Het was Leonard Euler (1707-1783), een Zwitserse wiskundige, die voor het eerst een functie noteerde onder de vorm f (x).
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
199
Oefeningen REEKS A Bereken de functiewaarden. f (x)
f (0)
b) f (x) = x 2 + 1
1 x
r©
tabel
em pl
ex 7
10
–1
1 2
0
5
1
3
5
ki jk x
f (x)
-2
–1
0
1
5
y
4 3 2 1 x –5
–4
–3
–2
–1
1 –1 –2
2
11
200
3 2
5 2
1
f (x) = −2x + 1 Vervolledig de tabel van de functiewaarden. Teken de puntenkoppels en verbind ze met een vloeiende lijn.
8 9
–
1 2
0
In
8
6
–2
x
f (x)
5
–1
f (x)
b) f (x) = x 2 + 1
–
–2
x
3 2
aa
a) f (x) = −2x + 5
4
Vervolledig de tabel van de functiewaarden. functie
3
N
1 x−4 2
1 2
IN
e) f (x) = −2
2
f
d) f (x) =
1
f (–1)
a) f (x) = 3x − 1
c) f (x) =
7
f (1)
VA
6
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
–3
2
3
4
5
Stellen de grafieken functies voor? a)
e)
i)
y 4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
x
–4 –3 –2 –1 –1
1
2
3
4
x
–4 –3 –2 –1 –1
5
1
2
3
4
–2
–2
–3
–3
–3
–4
–4
–4
r ja
b)
r nee
r ja
f) 4
4
3
3
2
2
1
1
x 2
3
4
5
–2
1
r nee
3
4
5
4 3 2
ex
1 –4 –3 –2 –1 –1
1
2
3
4
x
r nee
r ja
4
3
3
2
2
1 2
3
4
5
–4
ki jk
–3
In
r ja
r nee
4
5
y
y 4
3
3
3
2
2
2
1
1
x
–4 –3 –2 –1 –1
1
x 1
2
3
4
5
–4 –3 –2 –1 –1
–2
–2
–2
–3
–3
–3
–4
–4
–4
r nee
3
l) 4
5
2
r nee
4
4
1
r ja
h)
3
x
–4 –3 –2 –1 –1
–4
y
r ja
1
–4
2
5
1
x
–2
1
4
y
4
–3
–4 –3 –2 –1 –1
3
k)
y
–2
d)
2
r nee
–3
r nee
1
–2
–2
r ja
x
–4 –3 –2 –1 –1
–4
–4 –3 –2 –1 –1
5
2
–3
g)
y
4 3
–4
r ja
em pl
c)
5
r nee
–3
aa
r ja
2
r©
–2
–4
4
1
x
–4 –3 –2 –1 –1
–3
3
y
N
y
1
2
j)
y
–4 –3 –2 –1 –1
1
IN
r nee
x
–4 –3 –2 –1 –1
5
–2
r ja
y
y
VA
9
r ja
r nee
r ja
x 1
2
3
4
5
r nee
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
201
Stellen de tabellen functies voor? a)
b)
c)
–3
–2
–1
0
1
2
3
r ja
y
–3
–2
–1
0
1
2
3
r nee
x
–2
–1
–1
0
1
2
3
r ja
y
0
2
–2
4
5
2
–2
x
–3
–2
–1
0
1
2
3
y
0,75
0,75
0,75
0,75
0,75
0,75
0,75
x
–2
–2
–1
0
1
2
2
y
1
–1
–2
4
5
3
–3
11
VA
Bereken de functiewaarden.
=
f (0)
=
2
=
In
f (20)
1
=
ki jk
f (5)
ex
f (–5)
em pl
f (–10) =
aa
a) f (x) = x + 5
r©
REEKS B
b) f (x) = 2x – 1
c) f (x) = f (–2)
=
f (–1)
=
f (0)
=
f (1)
=
f (2)
=
d) f (x) =
3 4
7 8 9
x2 1–x
f (–1)
=
f (–1)
=
f (0)
=
f (0)
=
1 2
=
f
1 2
=
f (1)
=
f (1)
=
f (2)
=
f (2)
=
5 6
1 x –2
f
10 11
202
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
r nee r ja
N
d)
x
r nee
IN
10
r ja
r nee
12
f (x) = x 2 − 1 Vervolledig de tabel van de functiewaarden. Teken de puntenkoppels en verbind ze met een vloeiende lijn. −2
x
−1,5
f (x)
−1
−0,5
0
0,5
1
1,5
2
y
3
IN
2
–2
–1
1
–1
2
VA
–3
N
1
x
3
r©
–2
Het lidgeld in een bibliotheek is 8 euro per jaar. Bovendien wordt er voor boeken, cd’s en dvd’s per reservatie 0,50 euro aangerekend. x is het aantal reservaties per jaar, f (x) is de totale kost per jaar.
ki jk
ex
13
em pl
aa
–3
totale kost (€)
functievoorschrift:
In
30
x
f (x)
0
10
20
30
40
50
20
10
5
10
15
20
25
30
35
40
45
aantal reservaties
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
203
14
In een warenhuis kost een flesje douchegel 3 euro per stuk. a) Vul de tabel in voor een aankoop tussen 0 en 6 flesjes en teken de punten. x is
y is y
x
y
x
21
y
18 15 12 9 6
1
c) Mag je hier de punten verbinden?
aa
Zijn de verbanden functies?
5
x 6
7
r©
Waarom (niet)?
em pl
15
4
VA
Verklaring:
3
N
b) Is dit een functie?
2
IN
3
afhankelijke veranderlijke (y)
de zijde
de oppervlakte
functie
r ja r nee
ex
a) het verband tussen de zijde van een vierkant en de oppervlakte
onafhankelijke veranderlijke (x)
ki jk
Verklaring:
2 3 4 5
b) het verband tussen een getal en zijn vierkantswortels
In
1
8 9 10 11
204
r nee
Verklaring:
6 7
r ja
c) het verband tussen de ribbe van een kubus en het volume Verklaring:
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
r ja r nee
16
Zijn de verbanden met onafhankelijke veranderlijke x en afhankelijke veranderlijke y functies? Verklaar.
a) y = x 2
b) y 2 = x
r ja
r nee
r ja
r nee
r ja
r nee
N
c) x 2 + y 2 = 16
verklaring
IN
functie
a)
b)
y
y
y
1
x
1
em pl
1
r nee
r ja
1
x 1
x 1
r nee
r ja
r nee
ki jk
ex
r ja
c)
r©
Stellen de grafieken functies voor?
aa
17
VA
REEKS C
18
Bereken k zodat het punt P tot de grafiek van de functie behoort. co (P) = (2, k)
In
2 a) f (x) = – x + 1 3
b) f (x) = x 2 + 2x – 1
c) f (x) =
co (P) = (1, k)
3 (x – 1) (x + 1)
d) f (x) = 0,3x – 0,25
co (P) = (–2, k)
co (P) = (k, 0)
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
205
5.2.5 Verzamelingen van getallen • Getallenverzamelingen die je kunt noteren met één letter
GeoGebra
omschrijving
notatie
de verzameling van alle reële getallen
R
de verzameling van alle reële getallen behalve 0
R0
de verzameling van alle positieve reële getallen
R
+
de verzameling van alle positieve reële getallen behalve 0
IN
de verzameling van alle negatieve reële getallen
de verzameling van alle negatieve reële getallen behalve 0
N
omschrijving
notatie ]1, 3[
r©
alle getallen die groter zijn dan 1 en kleiner dan 3
VA
• Getallenverzamelingen die je kunt noteren met een interval
alle getallen die groter zijn dan of gelijk aan 1 en kleiner dan 3
[1, 3]
aa
em pl
• Getallenverzamelingen die je kunt noteren met {...} omschrijving
notatie {1, 2, 3, 4, 6, 12}
ex
de verzameling van de natuurlijke delers van 12 de verzameling van alle reële getallen die zowel positief als negatief zijn
ki jk
{0}
de cijfers in het getal 173
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
206
• Getallenverzamelingen samenvoegen: de unie nemen
In
1
{1, 7, 3}
{−2, −1, 0} U {0, 1, 2} lees: de verzameling −2, −1, 0 unie de verzameling 0, 1, 2 betekent: voeg de elementen uit beide verzamelingen samen oplossing: {−2, −1, 0, 1, 2}
[−2, 3] U ]1, 5] = • Getallenverzamelingen uitsluiten: het verschil nemen notatie
lees
betekent
R \ {5}
R min 5
alle reële getallen behalve 5
R \ ]2, 3[
R min interval ]2, 3[
alle reële getallen behalve de getallen die strikt liggen tussen 2 en 3
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
5.2.6 Domein van een functie Voorbeeld Het omgekeerde van een getal: f (x) = Bereken enkele functiewaarden. −2
x
f (x)
1 x
GeoGebra
−1
0
1
2
3
Heeft elk reëel getal een omgekeerde?
IN
Je zegt dat alle reële getallen behalve tot het domein van f behoren.
N
Notatie: dom f = Domein
Definitie
VA
Het domein van een functie is de verzameling van alle reële getallen waarvoor je een functiewaarde kunt bepalen.
r©
Het domein herkennen op de grafiek Je projecteert de grafiek op de x-as.
6 5 4 3 2 1
y
6 5 4 3 2 1
aa x
1 2 3 4 5 6 7
ex
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5
y
em pl
6 5 4 3 2 1
x 1 2 3 4 5 6 7
dom f =
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5
x 1 2 3 4 5 6 7
dom f =
ki jk
dom f =
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5
y
Praktisch domein
In
De batterij van de elektrische auto van Elon heeft een maximumcapaciteit van 75 kWh. Je kunt 500 km rijden met de auto tot de batterij volledig leeg is. Hoeveel kWh verbruikt de auto gemiddeld per km?
Het verband tussen de capaciteit f (x) en het aantal kilometer x druk je uit met een functie. f (x) = Die functie heeft als wiskundig domein R. Als je rekening houdt met de context, kun je onmogelijk argumenten kiezen die kleiner zijn dan of groter dan . Het praktisch domein van f is .
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
207
5.2.7 Bereik van een functie Voorbeeld Het omgekeerde van een getal: f (x) = x
GeoGebra
Bereken enkele functiewaarden. −2
x
f (x)
−1
0
1
2
3
dom f =
IN
Merk op dat f (x) altijd een positief reëel getal is. + Je zegt dat het bereik van f gelijk is aan R .
Bereik
VA
Definitie
instructiefilmpje
N
Notatie: ber f =
Het bereik herkennen op de grafiek Je projecteert de grafiek op de y-as.
aa 6 5 4 3 2 1
y
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5
ber f =
6 5 4 3 2 1
x 1 2 3 4 5 6 7
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5
y
x 1 2 3 4 5 6 7
ber f =
ki jk
ber f =
x
1 2 3 4 5 6 7
ex
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5
y
em pl
6 5 4 3 2 1
r©
Het bereik van een functie is de verzameling van alle functiewaarden.
2 3
In
Praktisch bereik
1
Het verband tussen de capaciteit f (x) van Elons auto en het aantal kilometer x
druk je uit met de functie f (x) =
4
Die functie heeft als wiskundig bereik R.
5
Als je rekening houdt met de context, kun je onmogelijk functiewaarden bereiken
6
die kleiner zijn dan of groter dan .
7 8
Het praktisch bereik van f is .
9 10 11
208
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
.
Oefeningen REEKS A Bepaal het domein en het bereik van de functies. a)
d)
g) y
y 4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
x
–5 –4 –3 –2 –1 –1
1
2
3
4
–2
–2
–3
–3
–4
–4
ber f =
e) 4
1 2
3
4
ki jk
ber f =
In
c)
3
3
1
2
3
4
5
4
5
–2
–2
–3
–3
–4
–4
dom f =
ber f =
ber f =
f)
i)
1
2
3
4
5
y
3
3
2
2
2
1
1 –5 –4 –3 –2 –1 –1
x
–5 –4 –3 –2 –1 –1
3
5
3
1
x
4
4
2
2
y
3
1
y 4
4
2
5
h)
4
y
1
4
ber f =
4
–5 –4 –3 –2 –1 –1
3
dom f =
dom f =
x
2
–4
–5 –4 –3 –2 –1 –1
5
1
–3
1
em pl
1
ex
dom f =
x
x
–5 –4 –3 –2 –1 –1
2
2
–4
5
–2
aa
3
–3
4
y
y
–2
3
N
ber f =
2
VA
dom f =
1
r©
dom f =
–5 –4 –3 –2 –1 –1
x
–5 –4 –3 –2 –1 –1
5
b)
y
4
IN
19
1
x 1
2
3
4
5
–5 –4 –3 –2 –1 –1
–2
–2
–2
–3
–3
–3
–4
–4
–4
dom f =
dom f =
dom f =
ber f =
ber f =
ber f =
x
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
209
REEKS B Bepaal het domein en het bereik van de functies. a)
d)
g)
y
4 3 2 1
x
–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4
y
y 4 3 2 1
1
2
x
–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4
3
dom f =
ber f =
ber f =
b)
e)
1
2
3
x
–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
dom f = ber f =
dom f =
3 4
In
2
4 3 2 1
–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4
r©
4 3 2 1
x 1
2
3
–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4
4
1 2
3
dom f =
ber f =
ber f =
y
4 3 2 1
x 3
4
–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4
4 3 2 1
x 1
2
3
4
–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4
5 6 7
dom f =
dom f =
dom f =
ber f =
ber f =
ber f =
8 9 10 11
210
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
x
i) y
2
y
–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4
dom f =
y
1
4 3 2 1
x 4
f)
ki jk
c)
1
y
ex
ber f =
y
aa
–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4
h)
em pl
4 3 2 1
VA
N
dom f =
4 3 2 1
IN
20
x
Bepaal het domein en het bereik van de functies. dom f
dom f
ber f
a) f (x) = 2x
f) f (x) = 3x – 1
b) f (x) = x 2
g) f (x) = x 2 – 1
2 x
h) f (x) = x + 2
d) f (x) = x + 2
i) f (x) =
e) f (x) = 2x
c) f (x) =
1 x +2 x –1 j) f (x) = 2
Bepaal het praktisch domein en het praktisch bereik van de functies.
N
22
ber f
IN
21
VA
a) Clarissa staat op de rommelmarkt en verkoopt haar oude strips tegen 1,50 euro per stuk. Ze heeft een voorraad van 150 strips. f (x) is
praktisch domein:
em pl
praktisch bereik:
aa
f (x) =
r©
x is
x is
ex
b) Een wagen verbruikt gemiddeld 6 liter diesel per 100 km. De inhoud van de tank is 60 liter. f (x) is
ki jk
f (x) =
praktisch domein:
In
praktisch bereik:
REEKS C 23
Bepaal het domein en het bereik van de functies. a) f (x) =
2 x +2 3
b) f (x) =
3 x
c) f (x) =
1+x 2x
dom f =
dom f =
dom f =
ber f =
ber f =
ber f =
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
211
5.2.8 Nulwaarden van een functie f (x) = x − 2
f (x) = x 2 − 1
f (x) = x 2
Uit de tabel Vul de tabel in. x
−1
f (x)
0
1
2
3
−2
x
−1
f (x)
0
1
2
x
−2
f (x)
−1
0
1
2
IN
Voor welk(e) argument(en) is het beeld 0?
y 4
3
3
2
2
1
1
x 2
3
4
–5 –4 –3 –2 –1 –1
5
1
2
3
–2
3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 –1
5
–2
–2
–3
–3
x 1
2
3
4
5
aa
–3
4
y 4
x
r©
1
VA
y
4
–5 –4 –3 –2 –1 –1
N
Uit de grafiek
em pl
Voor welk(e) argument(en) is het beeld 0?
Uit de vergelijking
ex
Uit de tabel of de grafiek lees je af waar het beeld of de functiewaarde f (x) gelijk is aan 0. Je lost dus de vergelijking f (x) = 0 op. f (x) = 0
ki jk
f (x) = 0
x 2 − 1 = 0
2 3
In
1
x 2 = 1 x = –1 of x = 1
f (x) = 0
Nulwaarde
Definitie
4
Een nulwaarde van een functie is een getal waarvoor de functiewaarde 0 is.
5 6 7
Wat is het verband tussen de nulwaarde van een functie en het gemeenschappelijk punt van de grafiek van de functie met de x-as?
8
( , 0) is het
9
10 11
212
( , 0) en ( , 0) zijn de
met de x-as.
met de x-as.
instructiefilmpje
( , 0) is het
met de x-as.
Een nulwaarde is het eerste coördinaatgetal van een gemeenschappelijk punt van de grafiek met de x-as. HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
5.2.9 Tekenschema van een functie In een tekenschema noteer je voor welke argumenten het beeld positief, negatief of nul wordt. Bekijk de tabel met de volgende functiewaarden. –4
x
f (x) 150
7 2
–3
–
5 2
–2
–
3 2
–1
–
1 2
0
1 2
1
3 2
2
5 2
3
76
32
9,2
0
−1,6
0
1,7
2
0,9
0
2,2
12
35
80
–
7 2
4
155 270
• Wat zijn de nulwaarden? • Voor argumenten kleiner dan −2 zijn de functiewaarden positief. • Voor argumenten tussen −2 en −1 zijn de functiewaarden negatief. .
IN
• Voor argumenten tussen −1 en 1 zijn de functiewaarden
Dat kun je schematisch voorstellen in een tekenschema. –
3 2
–1
9,2
0
–1,6
0
−∞
–2 +
0
–
1,7
–
1
3 2
2
0,9
0
2,2
+
0
...
+∞ +
y 3 2
ex ki jk
1 2
1
0
1 x –2
–1
1
2
–1
In
–3
instructiefilmpje
0
–1
em pl
f (x)
1 2
VA
–2
r©
f (x)
x
5 2
–
...
aa
x
.
N
• Voor argumenten groter dan 1 zijn de functiewaarden
–2
• Als de grafiek onder de x-as ligt, is f (x)
.
• Als de grafiek boven de x-as ligt, is f (x)
.
• Als de grafiek de x-as snijdt of raakt, is f (x)
.
• Als er bij een nulwaarde een tekenverandering in het beeld voorkomt, dan snijdt de grafiek de x-as in het punt met als eerste coördinaat de nulwaarde. • Als er bij een nulwaarde geen tekenverandering in het beeld voorkomt, dan raakt de grafiek de x-as in het punt met als eerste coördinaat de nulwaarde. GeoGebra
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
213
Oefeningen REEKS A 24
Lees de nulwaarde(n) van de functies af in de tabel. a)
x
−3
−2
−1
0
1
f (x)
4
6
2
0
−2
c)
nulwaarde(n):
−3
−1
1
3
f (x)
0
1
0
−4
0
nulwaarde(n):
x
6
7
8
9
10
f (x)
20
0
10
5
0
d)
nulwaarde(n):
x
−7
−5
−3
−1
2
f (x)
−4
−2
0
2
0
nulwaarde(n):
y
a)
N
Lees de nulwaarde(n) af op de grafiek. y
c) 4
4
2
2 x –2
2
4
6
–4
2
aa
nulwaarde(n):
4
2 x –4
em pl
d)
–2
2
6
–4
ex
–2
4
ki jk
–4
1 2 3
26
2 –2
2
4
x
6
–4
–4
–4
nulwaarde(n):
nulwaarde(n):
c) f (x) = 2x + 1
e) f (x) = x
6
11
214
2 –2
5
10
–2
–2
9
d) f (x) = −5x − 10
f) f (x) = −2x
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
6
2 x
b) f (x) = x − 1
4
4
4
8
6
y
f)
Bereken de nulwaarde(n) van de functies. a) f (x) = x + 3
4
nulwaarde(n):
y
4
7
2
In
nulwaarde(n):
–2 –2
x
–4
4
6
nulwaarde(n):
y
2
–2
–4
–4
4
6
–2
–2
b)
8
x
r©
–4
y
e)
VA
25
−5
IN
b)
x
27
Bepaal het tekenschema van de functies. a)
y
d)
y
5
5
4
4 3
3
2
2 1
1
x
x
–5 –4 –3 –2 –1 –1
1
2
3
4
5
6
–5 –4 –3 –2 –1 –1
–2
1
2
3
4
5
6
4
5
6
–2
–3
–3
–4
–4
–5
x
f (x)
f (x)
VA
N
x
IN
–5
y
b)
e)
5 3 2 1 2
–2
4
5
6
2 1
–4
–5
–5
ex
ki jk
f)
In
y
y 4 3
2
2
1
1
x –2
1
–1
2
3
4
–5 –4 –3 –2 –1 –1
–1
x 1 2
3
4
5
–2
–2
–3
–3
3
f (x)
3
–3
2
x
f (x)
–4
1
–3
–4
c)
x
–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2
em pl
–3
3
aa
1
4 3
x
–5 –4 –3 –2 –1 –1
x
r©
4
y 5
–4
x
x
f (x)
f (x) HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
215
REEKS B Bereken de nulwaarde(n) van de functies. a) y = 2x 2
b) y = x 2 – 2
c) y = 5x 2 + 5
IN
28
29
VA
N
Bepaal de waarde van het reëel getal k.
r©
a) y = kx − 3
0,5 is een nulwaarde.
2 is een nulwaarde.
aa
1 is een nulwaarde.
1 is een nulwaarde.
0 is een nulwaarde.
2 is een nulwaarde.
em pl
ki jk
ex
1 2 3 4 5
In
b) y = 3x − k
6 7 8 9 10 11
216
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
STUDIEWIJZER Inleiding tot reële functies voor de leerling
5.1 Verbanden tussen grootheden KENNEN
voor de leerkracht
– + – +
In een formule die het verband tussen verschillende grootheden weergeeft, noem je • de veranderlijken waarvan je de waarde kiest, de onafhankelijke veranderlijken; • de veranderlijke waarvan de waarde berekend wordt, de afhankelijke veranderlijke.
KUNNEN
– + – +
In een gegeven formule de onafhankelijke en de afhankelijke veranderlijke onderscheiden. In een formule de waarde van de afhankelijke veranderlijke berekenen bij een gegeven waarde van de onafhankelijke veranderlijke.
IN
Het verband tussen twee grootheden weergeven door middel van een formule, een tabel en een grafiek.
VA
KENNEN
N
5.2 Reële functies
– + – +
Een functie is een verband waarbij elk argument hoogstens één beeld heeft. Het domein van een functie is de verzameling van alle reële getallen waarvoor je een functiewaarde kunt bepalen.
r©
Het bereik van een functie is de verzameling van alle functiewaarden. Een nulwaarde van een functie is een getal waarvoor de functiewaarde 0 is.
aa
Een nulwaarde is het eerste coördinaatgetal van een gemeenschappelijk punt van de grafiek met de x-as.
– + – +
em pl
KUNNEN
In een tabel, een grafiek of een formule een functie herkennen. De grafische voorstelling maken van eenvoudige functies. Een functiewaarde aflezen op een grafiek of berekenen uit een voorschrift. Het domein van een functie bepalen uit de grafiek of het voorschrift.
ex
Het praktisch domein afleiden uit de context.
Het bereik van een functie bepalen uit de grafiek of het voorschrift.
ki jk
Het praktisch bereik afleiden uit de context. De nulwaarde van een functie bepalen uit het voorschrift en de grafiek.
In
Het tekenschema van een functie bepalen uit de grafiek.
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
217
Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
❑ filter
❑ schets
❑ patroon
❑ schema/tabel
❑ kennis
❑ vereenvoudig
❑ logisch nadenken
❑ gok verstandig
❑ ...
IN
❑ concreet materiaal
r©
VA
2. Lasse fie tst met een gemiddelde snelheid van 8 km/h een helling op. Met welke g emiddelde sn e lheid moet hij diezelfde helling afda len om een tota le gemiddeld e snelheid van 12 km/h te halen?
em pl
aa
dan Dirk. /h rijdt en Als Bart gemiddeld 72 km , Dirk gemiddeld 90 km/h beginpunt op hoeveel km van het r rijden? zullen ze dan naast elkaa
N
ken elk met 1. Bart en Dirk vertrek e plaats hun auto vanop dezelfd e traject af. en leggen exact hetzelfd vroeger Bart vertrekt 10 minuten
2
In
1
ki jk
ex
elheid van jdt met een sn ri n ei tr en E 3. el van adert een tunn 90 km/h en n 2,5 km lang. meter lang. De trein is 250 (in minuten en Bereken de tijd t dat af het momen seconden) van nnel tu n de trein de de voorkant va moment dat in gaat, tot het van de trein de achterkant aat. de tunnel verl
3 4 5 6 7 8 9 10 11
218
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
4. Nele en Annemie sta rten gelijktijdig vanop dezelfde plaats en fietsen hetzelfde traject. Nele rijdt met een gemi ddelde snelheid van 25 km/h en Annemie fietst aan 20 km/h. Als Nele na 45 km stopt, hoelang zal het dan duren vooralee r Annemie weer bij Nele is?
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
220
6.2 Soorten gegevens
231
6.3 Statistisch onderzoek
234
IN
6.1 Inleiding
6.4 Categorische gegevens verwerken
238
6.5 Niet-gegroepeerde numerieke gegevens verwerken
Studiewijzer
VA
6.6 Centrummaten
N
255 264 266
In
ki jk
ex
em pl
aa
r©
Problemen uit JWO
248
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
219
6.1 Inleiding 6.1.1 Statistieken
r©
VA
N
IN
Meestal denk je bij het woord ‘statistiek’ aan tabellen en grafieken. Tabellen en grafieken noem je ook ‘statistieken’. Je kunt geen krant of weekblad openslaan zonder daarmee geconfronteerd te worden. Ook de televisie en het internet geven informatie die met statistieken visueel gemaakt wordt.
ki jk
ex
em pl
aa
Bron: De Tijd
1 2
In
Bron: De Tijd
3 4 5 6 7
Bron: www.tussendelinies.nl
6 9 10 Bron: Het Belang van Limburg
11
220
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
6.1.2 Doel van statistiek De waaier aan activiteiten die elk statistisch onderzoek met zich meebrengt, kun je in twee grote categorieën verdelen. beschrijvende statistiek
verklarende statistiek • verdere analyse • betrouwbaarheid van de informatie nagaan • conclusies formuleren
• informatie verzamelen • informatie verwerken en voorstellen • informatie analyseren
Statistiek is voor de huidige samenleving van groot belang.
IN
Voorbeelden
• Hoe weten confectiebedrijven welke maten ze het meest moeten produceren?
N
• Hoe plannen fabrikanten van desktops hun productie op lange termijn?
VA
• Hoe weet een land welke accenten het moet leggen in het verkeersbeleid? • H oe kun je verschillende prestaties op het gebied van school, sport, arbeid ... met elkaar vergelijken?
aa
r©
Zowel economie, politiek, psychologie, pedagogie, geneeskunde als exacte wetenschappen maken gebruik van de statistiek als werkinstrument.
em pl
Al in de oudheid was er sprake van statistische activiteit. Onze voorouders beseften dat de landbouwopbrengst afhankelijk was van de grootte van het stuk land.
ex
Toch heeft het geduurd tot de 16e à 17e eeuw vooraleer regeringen echt nood hadden aan de verwerking van grote hoeveelheden gegevens (sterfte, geboorte, dopen, huwelijken, handel, landbouw ...). Graunt, Fermat en Pascal gelden daar als de voornaamste figuren.
In
ki jk
In de 18e eeuw werden de wiskundige fundamenten van de statistiek gelegd door gebruik te maken van de kansrekening. Bernoulli, Huygens, de Moivre, de Witt, Legendre en Gauss zijn stuk voor stuk wetenschappers die op dat vlak baanbrekend werk geleverd hebben. In de 19e eeuw vind je naast klinkende namen als Laplace en Galton ook die van een Belg terug. Adolphe Quetelet leverde belangrijk werk in de ‘sociale statistiek’. Quetelet is vooral bekend omdat hij het begrip Body Mass Index (BMI) introduceerde. Hij verzamelde ook bevolkingsgegevens en analyseerde die. In 1841 richtte hij het eerste openbare statistische bureau ter wereld op: de Centrale Commissie voor de Statistiek. Quetelet is ook de eerste die de grafische weergave van statistische gegevens wetenschappelijk verantwoordde.
In de 20e eeuw was er een verdere ontwikkeling van de mathematische statistiek. Karl Pearson, Ronald Fisher, Jerzy Neyman en Egon Pearson ontwikkelden de methode van de statistische toetsing. Abraham Wald ontwikkelde de statistische beslissingstheorie. Met de komst van de computer werd het mogelijk zeer grote hoeveelheden gegevens op korte tijd te verwerken. Statistiek wordt meer en meer als een aparte wetenschappelijke discipline beschouwd.
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
221
6.1.3 Misleidende diagrammen Soms misbruikt men grafische voorstellingen om een bepaalde conclusie op te dringen of te versterken. •
aantal geboortes in België en Nederland in 2018
Er zijn steeds meer oudere mensen in Europa en steeds minder jonge mensen. Men zegt dat de vergrijzing een probleem is. De grafische voorstelling toont het aantal geboortes in België en Nederland in 2018.
168 525 117 800
Het lijkt alsof de vergrijzing in Nederland minder erg is dan in België. Maar is dat zo? België
Nederland
IN
180 000 160 000 140 000 120 000 100 000 80 000 60 000 40 000 20 000 0
N
VA
• De evolutie van het aantal dodelijke fietsongevallen is op twee manieren voorgesteld.
r©
aantal dodelijke ongevallen met f ietsers in het Vlaamse Gewest
600
320 315
aa
500
aantal dodelijke ongevallen met f ietsers in het Vlaamse Gewest
400 300
em pl
200 100
0 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019
310 305 300 295 290 2017
2018
ex
Op de linkse grafiek zie je een duidelijk dalende tendens. Op de rechtse grafiek lijkt het aantal dodelijke ongevallen sterk te stijgen. Welke ingrepen deed men om dat idee te versterken?
2
•
LEEFTIJD VAN BLOEDGEVERS
In
1
ki jk
Je ziet een voorstelling van de leeftijdsverdeling bij de Vlaamse bloedgevers.
3
% 50
4
45
5
7
25
15 10
10
5
222
20
9
11
35 30
6
40
6
Deze grafische voorstelling wil ons doen geloven dat de meeste bloedgevers tussen de 20 en 40 jaar zijn. Wat heeft men gedaan om dat te tonen?
18-20
20-40
40-50 50-60 leeftijd
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
60-65
2019
Oefeningen REEKS B 1
Waarom zijn deze statistieken misleidend? Ik weet wanneer ik genoeg gestudeerd heb.
a)
c)
vermageren met CALORIEVRETER 110
ja 89 %
100 90
nee 11 %
70 60 50 40 30
IN
massa in kg
80
N
20 10
2 4 8 weeknummer
16
r©
aa
em pl
geoogste hoeveelheid fruit
Bij 'De Lustige Shotters' zijn er de minste blessures bij de 40-plussers.
d)
ex
b)
14
banaan
ki jk
12 10 8
appel
In
6 4 2
kers
0 [0, 10[
1
VA
0
[10, 20[
[20, 30[
[30, 40[
[40, 50[
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
223
2
Om aan te tonen hoezeer een stadsbestuur heeft gefaald in zijn beleid om de uitgaven drastisch terug te schroeven, publiceert een oppositiepartij in haar maandblad het onderstaande diagram. a) Welke indruk wil dit diagram wekken?
480
470 460
450 440
430 2016
2017
2018
2019
2020
jaartal
Hoe heeft het stadsbestuur zijn voorstelling verkregen?
2017
2018 jaartal
2019
2020
r©
2016
aa
begrotingstekort (× 10 000 euro)
Aan een aantal leerlingen werd gevraagd naar hun favoriete schoolvak. Hoewel alle vakken even populair bleken te zijn, wekt het diagram toch de indruk dat Nederlands de meeste stemmen kreeg. Hoe komt dat?
ex
em pl
3
IN
b) Het stadsbestuur nuanceert de kritiek met de nevenstaande voorstelling.
begrotingstekort 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0
10
ki jk 30
25 20
15 11,1 %
7,9 %
6,2 %
1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
jaartal
11
224
4,7 %
0
5,4 %
5
6,9 %
10 8,8 %
9
35
11,6 %
6
40
13,2 %
7
45 aantal in miljoen
6
allochtonen in de VS in aantal en percentage
4 5
Omschrijf kort hoe het diagram erin slaagt de indruk te wekken dat het procentuele aantal allochtonen in de VS historisch hoog is in de twintigste eeuw.
14,7 %
3
4
13,6 %
2
In
1
N
420
VA
begrotingstekort (× 10 000 euro)
begrotingstekort 490
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
REEKS C 5
Op verschillende sociale media doet een grafiek de ronde met als titel ‘Interraciale gewelddadige incidenten 2018 in de Verenigde Staten’. In absolute cijfers tonen de opstaande balken het aantal incidenten gepleegd door mensen van een bepaalde bevolkingsgroep. In het linkse diagram toont de grootste balk 547 948 gevallen van geweld waarbij zwarten de dader zijn en blanken het slachtoffer. 600 000
2 500 000
547 948
2 224 025
2 000 000 400 000
1 500 000
365 299
1 000 000 200 000
500 000
Black on Hispanic
44 551
White on White on Hispanic Black Hispanic on White
Hispanic on Black
0
59 778
207 104
333 422 365 299 44 551
ck ck ite ite nic nic nic White Black Bla Bla pa pa Wh Wh pa n on on on His n His His e on on k e n n k t c ic o anic i t c o o i Bla ic o ispan ck Bla Wh ite sp Wh n i h a Bla H H W p His
N
59 778 Black on White
547 948 112 365
112 365
0
396 450
IN
207 104
VA
Bron: Knack met Agentschap voor Justitiële Statistiek
Beide diagrammen geven de resultaten van hetzelfde onderzoek.
r©
Wat is er misleidend aan het linkse diagram?
aa
ki jk
ex
em pl
Volgens de website van ANWB is de pechkans voor jongeren die de laatste vijf jaar op wintersport zijn geweest, 46 %. Waarom is dat percentage misleidend?
In
6
Bron: onderzoek door ANWB Reisverzekering & Multiscope
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
225
7
Ter gelegenheid van de International Beer Day publiceerde Eurostat, het statistisch bureau van de Europese Unie, een statistiek over de bierproductie in Europa. a) Waarom is dit een misleidend diagram?
IN
Bron: ec.europa.eu/eurostat
N
VA
r©
aa
em pl
b) Welk soort diagram zou een beter beeld weergeven van de bierproductie?
2 3 4 5 6 7 6 9 10 11
226
In
1
Het aantal Nederlanders dat verslaafd is aan zware pijnstillers en daardoor in een afkickkliniek terechtkomt, is in de periode van 2012 tot 2018 verdrievoudigd. Die trend leek zich ook in 2019 verder door te zetten: in de eerste helft van 2019 meldden zich 252 verslaafden aan. Wat is er misleidend aan dit diagram?
ki jk
8
ex
c) Teken dat diagram met ICT.
Verslaafden in afkickklinieken
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
1e helft
2012 93 Bron: peilingpraktijken.nl
2018 292
2019 252
6.1.4 Procent en procentpunt Voorbeeld 1 Stel: je betaalt 20 % belasting. Daarna stijgt de belasting naar 21 %. Hoeveel procent is de belasting gestegen? • De stijging van 20 % naar 21 % is 1 procentpunt, want 21 % – 20 % = 1 %. • De stijging van 20 % naar 21 % is 5 procent, 21 want = 1,05 = 105 % = 100 % + 5 %. 20 Definitie
instructiefilmpje
Procentpunt
IN
Een procentpunt is een punt op een procentenschaal en is het absolute verschil tussen twee procentuele waarden.
N
Voorbeeld 2
• Bereken het werkloosheidspercentage.
r©
VA
Stel: op de totale beroepsbevolking van 6 000 000 mensen zijn er 300 000 werklozen.
• De werkloosheid neemt toe met 2 %. Hoeveel werklozen zijn er nu?
aa
• Hoeveel bedraagt het nieuwe werkloosheidspercentage?
em pl
• Met hoeveel procentpunt is het werkloosheidspercentage toegenomen?
ki jk
ex
• Als het werkloosheidspercentage met 2 procentpunt stijgt, hoeveel werklozen zijn er dan?
In
In de praktijk wordt in plaats van het woord ‘procentpunt’ vaak verkeerdelijk het woord ‘procent’ gebruikt.
Voorbeeldartikel uit een Vlaamse krant In de regio Mechelen is er een werkloosheidsgraad van 6,26 procent. Dat ligt onder het gemiddelde. Voor Vlaanderen bedraagt de werkloosheidsgraad 6,59 procent en voor de provincie Antwerpen zelfs 7,91 procent. In Mechelen is de werkloosheidsgraad in een jaar tijd gestegen met bijna een procent. In de provincie Antwerpen noteerden we een stijging met 1,17 procent en
in Vlaanderen ging het om 1 procent. ‘Mechelen scoort dus niet zo slecht’, klinkt het bij VDAB. Wat betreft de werkloosheidsgraad, springen vooral Mechelen en Willebroek eruit. In Mechelen bedraagt de werkloosheidsgraad 9,05 procent, in Willebroek 7,76 procent. Voor Mechelen betekent dat in een jaar een stijging met 1,36 procent, voor Willebroek zelfs een stijging met 1,78 procent.
In plaats van ‘procent’ moest hier systematisch ‘procentpunt’ staan, een wereld van verschil.
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
227
Oefeningen REEKS A 9
Vul de tabel aan. procentpunt
b) Van 100 % naar 95 % is een daling van
c) Van 50 % naar 70 % is een stijging van
d) Van 80 % naar 60 % is een daling van
e) Van 60 % naar 63 % is een stijging van
IN
a) Van 80 % naar 88 % is een stijging van
N
VA
REEKS B De btw is gestegen van 19 % naar 21 %. a) Hoeveel procent is de btw gestegen?
aa
r©
10
procent
em pl
b) Hoeveel procentpunt is de btw gestegen?
ki jk
11
2 3 4 5 6 7 6
Je hebt een woonkrediet bij de bank met een jaarlijks veranderlijke rentevoet. De huidige rentevoet bedraagt 3,6 %. a) Na een jaar daalt de rentevoet met 0,4 procentpunt. Hoeveel bedraagt de nieuwe jaarlijkse rentevoet?
In
1
b) Met hoeveel procent is de jaarlijkse rentevoet gedaald? c) Als de oorspronkelijke rentevoet met 0,7 procentpunt stijgt, hoeveel bedraagt dan de procentuele toename?
9
10
11
228
ex
c) Als de btw met 2 % steeg, hoeveel zou ze dan bedragen?
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
12
2019 was een gunstig jaar voor de arbeidsmarkt: de werkgelegenheidsgraad van 20- tot 64-jarigen steeg met 0,8 procentpunt naar 70,5 % en de werkloosheidsgraad van 15- tot 64-jarigen daalde van 6 % in 2018 naar 5,4 % in 2019. a) Hoeveel bedroeg de werkgelegenheidsgraad van 20- tot 64-jarigen in 2018? b) Met hoeveel procent steeg de werkgelegenheidsgraad van 20- tot 64-jarigen?
IN
c) Met hoeveel procent is de werkloosheidsgraad van 15- tot 64-jarigen gedaald in 2019 ten opzichte van 2018?
N
VA
14
em pl
aa
De consumentenbond stelt regelmatig een tabel op die laat zien hoe het ervoor staat met de prijzen bij verschillende supermarkten. Supermarkt A zit, voor de huismerken, op 90 % van de gemiddelde supermarktprijs en supermarkt B op 108 %. A maakt reclame dat ze 18 % goedkoper is dan B. Toon aan dat dat niet klopt.
ex
13
r©
‘Wij betalen uw btw: 21 procent korting op alles!’ Klopt die reclame?
ki jk
In
15
Fatima verdient 5 % meer dan Kevin. Verdient Kevin dan 5 % minder dan Fatima?
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
229
REEKS C 16
Het diagram toont de resultaten van de verkiezingen voor het Vlaams Parlement in 2019. De grijze balkjes eronder geven het resultaat van 2014 weer. Lijst
% van de stemmen 13,13 %
Open Vld
14,15 %
24,83 %
N-VA VLAAMS BELANG
18,5 %
5,92 %
15,4 %
CD&V PVDA PVDA+
20,48 %
5,32 %
IN
2,53 %
0,68 % 0,83 %
10,11 %
GROEN
8,70 %
10,14 %
sp.a
N
UF
31,88 %
VA
13,99 %
Bron: www.hln.be
a) Met hoeveel procent is het resultaat van Open Vld gedaald ten opzichte van 2014?
r©
aa
b) Zijn de volgende uitspraken juist of fout?
fout
Het verkiezingsresultaat van N-VA lag in 2019 7,05 procent lager dan in 2014.
r
r
Het verkiezingsresultaat van Groen lag in 2014 1,41 procentpunt lager dan in 2019.
r
r
ex
em pl
juist
2 3 4 5 6 7 6 9
In
1
ki jk
c) Met hoeveel procent is het resultaat van Vlaams Belang gestegen ten opzichte van 2014?
d) Sp.a en CD&V boekten in 2019 allebei verlies. Voor welke partij was dat verlies het grootst ten opzichte van 2014?
10 11
230
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
6.2 Soorten gegevens 6.2.1 Elementen, kenmerken en gegevens In de statistiek verzamel je gegevens door kenmerken van elementen te onderzoeken. De elementen zijn de objecten (personen, dieren, goederen ...) waarover je informatie wenst te verkrijgen.
➔
De kenmerken zijn de eigenschappen van een element. Kenmerken noem je ook variabelen of veranderlijken.
➔
De gegevens of data zijn de hoedanigheden of getallen die je verkrijgt na een statistisch onderzoek.
IN
Het geheel van de verkregen gegevens noem je de gegevensverzameling.
N
Voorbeeld
VA
instructiefilmpje
aantal puppy's
kleur
lengte (cm)
gehoorzaamheid
Bobby
3
zwart
56
goed
Rex
8
wit
Lexy
5
bruin
r©
naam
aa
83
zwak
em pl
34
zeer goed
ex
6.2.2 Soorten gegevens
ki jk
categorische gegevens
In
Dat zijn gegevens die een hoedanigheid weergeven. Die gegevens noem je ook kwalitatieve gegevens.
numerieke gegevens Dat zijn gegevens die het resultaat zijn van tellingen en metingen. Die gegevens noem je ook kwantitatieve gegevens.
Niet-geordende categorische gegevens hebben geen natuurlijke ordening.
Geordende categorische gegevens hebben een natuurlijke ordening.
Discrete numerieke gegevens beperken zich tot een aantal waarden.
Continue numerieke gegevens zijn reële waarden tussen bepaalde grenzen.
Voorbeeld: • veranderlijke: kleur • gegevens: zwart, wit ...
Voorbeeld: • veranderlijke: gehoorzaamheid • gegevens: goed, zwak ...
Voorbeeld: • veranderlijke: aantal puppy's • gegevens: 3, 8 ...
Voorbeeld: • veranderlijke: lengte in cm • gegevens: 56, 83 ...
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
231
Oefeningen REEKS A 17
Welk soort gegevens verkrijg je bij de volgende onderzoeksonderwerpen? categorisch nietgeordend geordend
onderzoeksonderwerp + gegevens a) de tevredenheid van de leerlingen van onze school over hun leerkracht wiskunde
r
b) het aantal verkeersboetes in onze stad per jaar tussen 2010 en 2020
r
N
r
VA
gegevens: 215, 190, 307 ... c) de gemiddelde levensduur van een nieuw soort lampen
discreet
continu
r
r
IN
gegevens: tevreden, ontevreden ...
r
numeriek
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r©
gegevens: 2 428 h, 2 369 h, 2 526 h ...
aa
d) de frisdrank die jongeren meestal drinken bij hun middagmaal
em pl
gegevens: cola, limonade, fruitsap ...
e) de massa van de boekentas van de leerlingen van het eerste jaar
ex
gegevens: 8,1 kg; 7,6 kg; 6,8 kg ...
f) het onveiligheidsgevoel bij bejaarden in onze stad
2 3
g) de maximale dagtemperatuur in Brussel in de maand mei
In
1
ki jk
gegevens: klein, matig, groot ...
gegevens: 18º, 22º, 19º ...
4
h) het merk van smartphone bij de 18-jarigen van onze school
5
gegevens: Samsung, iPhone, Huawei ...
6 7 6 9 10 11
232
i) het aantal huisdieren in een gezin gegevens: 0, 1, 2, 3 ... j) het geboorteland van de allochtonen die nu in onze stad wonen gegevens: Albanië, Italië, Rusland ... HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
REEKS B 18
Geef drie gegevens die je kunt verkrijgen bij de volgende onderzoeksonderwerpen. Benoem het soort gegevens zo nauwkeurig mogelijk. a) de favoriete sport van de 15-jarigen van onze gemeente
mogelijke gegevens:
soort gegevens:
mogelijke gegevens:
soort gegevens:
IN
b) de bakwijze van een steak
mogelijke gegevens:
soort gegevens:
VA
N
c) de snelheid van de wagens op de E313 tussen 22u00 en 23u00
r©
mogelijke gegevens:
soort gegevens:
em pl
aa
d) het aantal valpartijen per dag in de vorige Ronde van Frankrijk
e) de schoenmaat van de leerlingen van de klas mogelijke gegevens:
soort gegevens:
ex
ki jk
f) de hobby’s bij 16-jarigen mogelijke gegevens:
In
soort gegevens:
g) de massa van de pasgeboren baby’s in Vlaanderen
mogelijke gegevens:
soort gegevens:
h) de mate waarin een sporter bijgelovig is
mogelijke gegevens:
soort gegevens:
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
233
6.3 Statistisch onderzoek 6.3.1 Context Als je een onderzoek wilt starten, moet je eerst goed nadenken over de context. Zo zul je bij een onderzoek naar ‘de tevredenheid over het openbaar vervoer’ moeten weten welke vragen je zult stellen, aan wie, hoe en wanneer.
IN
Wat zijn de elementen van het onderzoek? (Wie of wat wordt onderzocht?) Wat zijn de kenmerken? (Wat wordt er onderzocht bij de elementen?) Met welk soort gegevens heb je te maken? Hoe, waar en met welke middelen ga je het onderzoek voeren?
VA
N
Wat wil je weten? Waarom voer je het onderzoek?
r©
de tevredenheid over het openbaar vervoer
aa
6.3.2 Enquête
em pl
Om gegevens te verzamelen, neem je een enquête af. Dat kan op heel wat manieren: schriftelijk, telefonisch, via het internet, een persoonlijk interview ... De ondervraagde mensen noem je de respondenten. Het aantal mensen dat antwoordt, vormt de respons van de enquête.
ex
6.3.3 Vraagstelling
ki jk
Je moet goed nadenken over de vragen die je stelt in een enquête. Ze moeten kort, eenvoudig, duidelijk en begrijpbaar zijn. Open vragen
2 3 4 5 6
Geef je mening over de dienstverlening bij De Lijn.
In
1
De respondent mag het antwoord zelf formuleren. De antwoorden kunnen soms heel verschillend zijn. Ze zijn soms moeilijk samen te vatten en moeilijk te beoordelen. Het is wel mogelijk dat je veel informatie krijgt. Gesloten vragen Met welk openbaar vervoer kun je het best vanuit je woonplaats de school bereiken?
7 6 9 10
r bus r trein r tram r geen De antwoordmogelijkheden zijn beperkt en gemakkelijk samen te vatten en te beoordelen. Je moet goed nakijken of alle mogelijke antwoorden opgenomen zijn.
11
234
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
6.3.4 Steekproef en populatie Om de kijkcijfers in Vlaanderen te bepalen, worden uiteraard niet alle tv-kijkers ondervraagd. Dat is onmogelijk. Er worden een aantal gezinnen uitgekozen die een schaalmodel vormen voor tv-kijkend Vlaanderen.
r©
VA
N
IN
Het Centrum voor Informatie over de Media of CIM is een Belgische instelling die gegevens verzamelt en levert voor de reclamemarkt. De CIM tv-studie meet op een continue en gestandaardiseerde manier het televisiekijken in Vlaanderen. Daarvoor doet ze een beroep op een panel van 1 500 gezinnen. Bij elk van die gezinnen is een kijkmeter geïnstalleerd. Dat toestel registreert het kijkgedrag van de verschillende leden van het gezin eneventuele gasten in Vlaanderen en Brussel. In totaal staat het panel voor 3 700 personen. Op die manier hoopt men zicht te krijgen op alle kijkers van vier jaar en ouder. Sinds januari 2016 bepaalt men het Bron: www.cim.be totaal van het rechtstreekse tv-kijken en het uitgestelde tv-kijken op de dag van uitzending tot zeven dagen na uitzending.
aa
De totale verzameling ‘alle tv-kijkers in Vlaanderen’ noem je de populatie. De kijkers zijn de elementen.
em pl
In veel gevallen heeft men niet de middelen, de tijd en/of het geld om een volledige populatie te onderzoeken. Daarom bekijkt men een deel van de populatie. Een deel van de populatie noem je een steekproef.
ex
De steekproef moet een voldoende omvang hebben en representatief zijn voor de populatie, zodat je de vaststellingen kunt veralgemenen.
ki jk
Soorten steekproeven
In
100 willekeurig gekozen scholieren van 16 jaar vullen een enquête in over hun studeergewoontes.
In iedere Vlaamse provincie wordt aan 60 stedelingen en 40 plattelandbewoners gevraagd naar hun afkomst.
de aselecte steekproef
de gerichte steekproef
Elk element van de steekproef is bij toeval gekozen en elk element heeft evenveel kans om gekozen te worden.
De populatie wordt onderverdeeld in deelgroepen. Binnen elke deelgroep doe je een aselecte steekproef.
Elke tiende persoon van een lijst wordt ondervraagd over de vrijetijdsbesteding.
de systematische steekproef De steekproefelementen worden uit de populatie gekozen volgens een bepaald systeem.
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
235
6.3.5 Wat er kan mislopen bij een onderzoek Problemen met de vraagstelling Bij een onderzoek is de vraagstelling heel belangrijk. Een vraag moet duidelijk zijn en niet voor interpretatie vatbaar. Wat is er verkeerd aan de volgende vraag? Ben je voor of tegen de besparingspolitiek van de regering?
IN
Problemen met de respons
VA
N
De respons moet groot genoeg zijn. Anders zijn de conclusies niet betrouwbaar. Een krant doet een onderzoek over ‘voor of tegen het gebruik van kernenergie’. Uit de onlineantwoorden blijkt dat 70 % voor is. Is dat cijfer betrouwbaar, als de respons maar 10 % bedraagt?
em pl
Problemen met de steekproef
aa
r©
ki jk
ex
De steekproef moet evenwichtig samengesteld zijn. Anders krijg je vertekende resultaten. Om het cultuurprogramma van een stad te bepalen, worden honderd inwoners tussen 30 en 40 jaar bevraagd. Wat is er fout aan die steekproef?
1 2
In
3 4 5 6 7 6 9 10 11
236
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
Oefeningen REEKS A 19
Bepaal de populatie en het soort steekproef. Geef in het geval van een gerichte steekproef vier deelgroepen. a) de bloedgroep van pasgeborenen in Vlaanderen populatie: steekproef:
IN
VA
populatie:
N
b) de schoenmaat van de Vlaamse scholier
steekproef:
r©
aa
populatie: steekproef:
ex
em pl
c) de favoriete voetbalploeg uit de Jupiler Pro League
ki jk
d) de inhoud in ml van melkflessen populatie:
In
steekproef:
e) het aantal uren per week dat de Brusselse scholier studeert populatie: steekproef:
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
237
6.4
Categorische gegevens verwerken
6.4.1 Frequentietabel Tim vroeg aan een aantal 16-jarigen naar het merk van hun droomauto:
instructiefilmpje
VA
N
IN
De resultaten van zijn onderzoek heeft hij in een tabel gezet.
n i
f i
aa
x i
7 = 0,116 7 = 11,67 % 60
ex
em pl
7
ki jk
2
In
1
5
Definitie
6 9
• Je telt het aantal keer dat elk gegeven voorkomt, en noteert dat in de tweede kolom. Dat is de absolute frequentie. notatie: n i
De som van alle absolute frequenties is gelijk aan de omvang n van de steekproef.
• Als je de absolute frequentie deelt door de omvang van de steekproef, verkrijg je de relatieve frequentie.
Absolute frequentie
Definitie
Relatieve frequentie De relatieve frequentie f i van het gegeven x i is het quotiënt van de absolute frequentie n i en de omvang n van de steekproef.
10 11
238
notatie: x i
De absolute frequentie n i van het gegeven x i is het aantal keer dat het gegeven voorkomt.
6 7
• Je plaatst de verschillende gegevens in de eerste kolom.
notatie: f i
3 4
r©
Het is niet altijd eenvoudig om uit zo’n tabel ruwe gegevens af te lezen. Daarom verwerk je de gegevens in een frequentietabel.
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
f i =
ni n
6.4.2 Een frequentietabel opstellen met ICT REKENMACHINE actie
knoppen angle
…
entry solve entry solve
enter
enter
N X test
sto
A
L1
Y
e
M
1
–:
a-lock
angle
i
a-lock
L [
R
em pl L2
Z
stat plot f1
calc
a-lock
alpha
rcl
X
L5
Y catalog
0
U
5
sto
2nd
1
Y
1
catalog
0
EE
J
,
L entry solve
}
2
• Ga terug naar C1 en druk op F3.
L1
L1
X
B
apps
U
5
sto
angle
B
apps
L5
rcl
×
)
angle
alpha
stat
2nd
alpha
}
ex
a-lock
list
B
aa
:
.
enter
)
a-lock
format f3 stat plot f1
alpha
zoom
y=
4
f4
trace
f4
ki jk
calc
Z
2nd
apps
alpha
• Druk op y= en druk zo veel keer op de neerwaartse pijltoets als nodig.
L2
2
math
[
rcl
r©
Om in de derde kolom de relatieve frequentie te verkrijgen: • in C1 noteer je =rondaf(B1/som(B$1:B$5)*100,2)
IN
In de eerste kolom voer je de merken in. Let op: tekst begint met een aanhalingsteken. In de tweede kolom voer je de absolute frequenties in.
VA
Na de eerste enter enter zie je het scherm hiernaast afgebeeld. Daarop zie je belangrijke werkinstructies om in CelSheet te werken.
B
apps
entry solve
[
Open de TI84-toepassing CelSheet.
scherm
Druk op trace om de formule te plakken.
In
Je slaat het gemaakte bestand op onder de naam DROOM (invullen naast Nieuw). Je verlaat de applicatie CelSheet.
table
f5
L1
table
f5
graph
Y L2
1
graph
L6
Z
2 V
6
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
239
ICT
EXCEL
IN
Open het bestand ‘DROOM.xlsx’ en ga als volgt te werk.
N
GEOGEBRA
VA
ICT
r©
6.4.3 Grafische voorstellingen Dotplot
ex
em pl
aantal 16-jarigen
aa
voorkeur droomauto
BMW
ki jk
AUDI
LAMBO
Het aantal ‘dots’ van een stapel is de absolute frequentie van het gegeven.
FERRARI
PORSCHE
merk
Staafdiagram
3 4 5
In
2
22
20
16
16 12
12 8
6
4
7
0
3 AUDI
BMW
LAMBO merk
9 10 11
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
• Op de horizontale as zie je de verschillende antwoordmogelijkheden. • De hoogte van de verticale staafjes komt overeen met de (relatieve) frequentie.
7
6
240
voorkeur droomauto
24
aantal 16-jarigen
1
FERRARI
PORSCHE
Het staafdiagram met de rekenmachine actie
knoppen
Open in CelSheet het bestand DROOM.
angle
B
entry solve
apps table
f5
scherm
… L1
enter
1
graph
2
Y L1
Y
1
entry solve …
Kies om een staafdiagram te tekenen.
table
f5
graph
enter
L4
Τ L5
4
U
5
N
IN
Vul het dialoogvenster in zoals hiernaast afgebeeld.
entry solve
enter
.
calc
f4
Het staafdiagram met Excel
em pl
ICT
aa
Frequenties lees je af door op trace te drukken en de zijwaartse pijltoetsen te gebruiken.
r©
en druk op
VA
Ga met de neerwaartse pijltoets naar TekPassend (geef eventueel een titel)
Open het bestand ‘DROOM.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk. • Selecteer de cellen met de absolute frequentieverdeling.
ex
• Invoegen – Kolom – Gegroepeerde kolom.
ki jk
• Rechtermuisklik op de horizontale as: Gegevens selecteren – Horizontale aslabels – Bewerken – Aslabelbereik: selecteer de cellen met de waarden van x i . • Grafiek verplaatsen naar een Nieuw Blad: ‘staafdiagram’. • Grafiekelementen – Grafiektitel en Astitels: typ passende titels in.
In
• Grafiekelementen – Gegevenslabels – Einde, buitenkant. De verdere opmaak doe je naar eigen voorkeur.
ICT
De dotplot en het staafdiagram met GeoGebra
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
241
Cirkeldiagram voorkeur droomauto
11,67 %
• De hoekgrootte van de cirkelsectoren wordt bepaald door de relatieve frequenties. Daarvoor worden die met 360º vermenigvuldigd.
AUDI
26,67 %
• Een legende toont de verschillende antwoordmogelijkheden.
BMW 20,00 % LAMBO FERRARI
5,00 % 36,67 %
PORSCHE
Het cirkeldiagram met de rekenmachine knoppen
Open in CelSheet het bestand DROOM. Kies om een cirkeldiagram te tekenen.
table
f5
Τ L5
L4
4
U
5
r©
graph
VA
actie
N
IN
instructiefilmpje
aa
Vul het dialoogvenster in zoals hiernaast afgebeeld. Ga met de neerwaartse pijltoets naar Tekenen (geef eventueel een titel) entry solve
.
em pl
en druk op
enter
Frequenties lees je af in de legende calc
f4
1 2
ICT
In
ki jk
ex
of door op trace te drukken en de zijwaartse pijltoetsen te gebruiken.
Het cirkeldiagram met Excel
3
Open het bestand ‘DROOM.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk.
4
• Selecteer de cellen met de relatieve frequentieverdeling. • Invoegen – Cirkel – Eerste subtype (cirkel). • Gegevens selecteren – Horizontale aslabels – Bewerken – Aslabelbereik: selecteer de cellen met de waarden van x i . • Grafiek verplaatsen naar een Nieuw Blad: ‘cirkeldiagram’. • Grafiekelementen – Grafiektitel: typ een passende titel in. • Gegevenslabels toevoegen.
5 6 7 6 9
De verdere opmaak doe je naar eigen voorkeur.
10 11
242
ICT
Het cirkeldiagram met GeoGebra
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
scherm
Oefeningen REEKS A Via een steekproef peilde de directie naar de kwaliteit van de middagmalen op school. De leerlingen konden voor hun oordeel kiezen uit: zeer slecht − slecht − neutraal − lekker − zeer lekker.
zeer slecht
5
slecht
11
neutraal
19
lekker
26
zeer lekker
9
70
IN
f i
N
n i
VA
x i
r©
20
aa
a) Vervolledig de frequentietabel met de relatieve frequentie. b) Teken met ICT:
Van 400 mensen werd de kleur van hun ogen genoteerd.
ex
21
em pl
• een dotplot voor de absolute frequentie, • een cirkeldiagram.
n i
ki jk
x i
f i
35,00 %
blauw
42,00 %
groen
23,00 %
100,00%
In
bruin
a) Vervolledig de frequentietabel met de absolute frequentie. b) Teken met ICT: • een staafdiagram voor de absolute frequentie, • een cirkeldiagram. c) Hoeveel mensen hebben groene of bruine ogen?
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
243
22
Steeds meer mensen schakelen over naar een elektrische wagen. Het staafdiagram toont het aantal ingeschreven volledig elektrische auto’s in 2019. aantal elektrische wagens
x i
16 000 14 000
n i
f i
13 754
12 000
Vlaanderen
Brussel
Wallonië
totaal
8 000 6 000 4 000 2 000 0
Vlaanderen
2 598
2 839
Brussel
Wallonië
N
a) Hoeveel elektrische wagens zijn er in Brussel ingeschreven?
IN
10 000
VA
b) Hoeveel procent van de elektrische wagens vind je in Wallonië?
aa
In een Vlaamse stad zijn er 26 748 mensen die een sport beoefenen. Na onderzoek bleken de sportactiviteiten verdeeld zoals in het cirkeldiagram is weergegeven.
em pl
23
r©
c) Teken met ICT een cirkeldiagram.
x i
sportactiviteit 8%
ex
4%
ki jk
21 %
37 %
2
In
16 %
1
14 %
3 4 5
zwemmen voetbal turnen
6
tennis basketbal andere
9 10 11
244
totaal
a) Vul de frequentietabel in. b) Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie. c) Hoeveel procent van de mensen speelt voetbal of tennis?
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
f i
7 6
n i
REEKS B
ICT
24
Je voert een onderzoek uit naar het merk van smartphone dat de leerlingen van jouw klas bezitten. a) Stel een frequentietabel op. merk
turven
n i
f i
N
IN
VA
andere
r©
em pl
aa
geen
b) Teken met ICT: • een dotplot voor de absolute frequentie, • een cirkeldiagram voor de relatieve frequentie.
ki jk
ex
c) Welk merk komt het meest voor?
d) Hoeveel leerlingen van jouw klas hebben dat merk niet?
In
e) Hoeveel procent van de leerlingen heeft de twee meest voorkomende merken?
f) Denk je dat dit een goede steekproef is die je kunt veralgemenen naar alle leerlingen van een tweede graad in Vlaanderen?
Waarom (niet)?
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
245
25
Van 50 mensen werd de bloedgroep in een tabel genoteerd. A
AB
A
O
B
O
A
O
A
O
B
A
B
A
A
A
O
A
O
O
A
O
A
O
A
O
A
O
A
O
A
A
O
B
O
O
AB
A
O
A
A
O
O
O
A
O
O
A
O
O
a) Maak een frequentietabel. bloedgroep
f i
n i
A
B
AB
O
N
b) Teken met ICT een cirkeldiagram.
IN
ICT
d) Welke bloedgroep komt het meest voor?
r©
e) Hoeveel mensen hebben bloedgroep A of B?
VA
c) Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie.
2 3 4
Van 70 mensen werd de maat van hun T-shirts in een tabel genoteerd. M XL L XXL M XL M XL M S S S M XL
L L M XL M S S L L L XL XXL M M
XL M L L M L L M XL XXL M M L S
em pl
S XL M XXL S L M S XL XL XXL M M XL
ki jk
L M L L L M L XL M XXL M M L L
In
1
26
ex
ICT
aa
f) Hoeveel procent van de mensen heeft een andere bloedgroep dan A of O?
a) Maak een frequentietabel. maat S
M
L
XL
XXL
5 6
b) Teken met ICT een cirkeldiagram.
7
c) Teken met ICT een staafdiagram voor de relatieve frequentie.
6
d) Welke maat komt het meest voor?
9 10 11
246
e) Hoeveel procent van de mensen heeft een T-shirtmaat groter dan M? f) Hoeveel mensen hebben een T-shirtmaat die kleiner is dan of gelijk aan L?
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
f i
n i
27
Aan 80 leerlingen wordt bij het invullen van het formulier voor de schooladministratie gevraagd hoe ze naar school komen: te voet (VO), per fiets (FI), met de bus (BU), met de trein (TR), met de wagen (WA), met de bromfiets (BF) of met een ander vervoermiddel (AN). De resultaten staan in de tabel. BU
BF
FI
BF
FI
BU
FI
VO
BU
BF
FI
BU
FI
VO
BU
FI
FI
VO
WA
BF
BU
BF
BU
BU
TR
BF
FI
BF
FI
BF
BU
WA
BU
FI
TR
VO
BU
WA
FI
FI
BF
FI
BF
BU
BF
TR
VO
BU
BF
TR
FI
BF
FI
BF
AN
WA
TR
FI
BF
TR
a) Maak een frequentietabel. vervoermiddel
f i
n i
VO
TR
FI
WA
FI
BU
VO
BU
BU
AN
FI
FI
BU
TR
WA
FI
BF
BU
TR
WA
BF
BU
VO
FI
BU
BF
b) Teken met ICT een cirkeldiagram.
IN
ICT
VA
c) Teken met ICT een staafdiagram voor de relatieve frequentie.
N
AN
d) Welk vervoermiddel wordt het meest gekozen om naar school te komen?
r©
e) Hoeveel procent van de leerlingen komt te voet of met de bus naar school?
Aan 60 mensen wordt gevraagd bij welke smartphoneoperator ze aangesloten zijn: Base (B), Orange (O), Proximus (P), Telenet (T) of andere (A). De resultaten staan in de tabel. P
O
O
P
T
O
em pl
28
B
P
O
T
T
P
A
P
O
P
P
O
P
O
A
P
O
A
B
B
P
P
ex
ICT
aa
f) Hoeveel leerlingen komen met de trein of met de fiets naar school?
a) Maak een frequentietabel. operator
f i
n i
P
T
O
O
P
P
P
A
T
O
P
A
P
A
B
O
P
P
P
O
P
P
T
A
B
P
T
P
P
O
P
In
ki jk
A
andere
b) Teken met ICT een cirkeldiagram. c) Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie. d) Hoeveel procent kiest voor Orange? e) Hoeveel mensen kiezen niet voor Proximus? f) Hoeveel procent marktaandeel halen Base en Orange samen?
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
247
6.5
Niet-gegroepeerde numerieke gegevens verwerken
6.5.1 Frequentietabel Op een toets wiskunde op 10 behaalden de leerlingen de onderstaande punten: 1
5
5
0
5
8
3
1
6
7
6
5
2
4
3
4
6
6
4
8
7
9
2
3
5
7
0
5
6
6
1
7
8
3
5
5
Naar analogie met de categorische gegevens kun je voor elk gegeven de absolute en relatieve frequentie bepalen. n i
f i
cn i
cf i
0
2
5,56 %
2
5,56 %
1
3
8,33 %
5
13,89 %
2
2
5,56 %
7
19,44 %
3
4
11,11 %
11
30,56 %
4
3
8,33 %
14
38,89 %
6
7
8
9
Definitie
N VA
em pl
instructiefilmpje
Om te weten hoeveel leerlingen de helft niet behaalden, moet je de frequenties optellen van de eerste vijf gegevens. Dat aantal is gelijk aan 2 + 3 + 2 + 4 + 3 = 14 Je zegt dat 14 de cumulatieve absolute frequentie is van het vijfde gegeven. Je noteert die frequentie als cn 5.
ex
r©
aa
5
IN
x i
Cumulatieve absolute frequentie
2
Weten dat er 14 leerlingen zijn die 4 op 10 of minder halen, zegt niet zoveel als je niet weet dat er 36 leerlingen de toets hebben gemaakt. 14 van de 36 leerlingen of 38,89 % noem je de cumulatieve relatieve frequentie van het vijfde gegeven. Je noteert die frequentie als cf 5.
In
1
ki jk
De cumulatieve absolute frequentie cn i van het gegeven x i is de som van alle absolute frequenties van het eerste tot en met het i-de gegeven: cn i = n 1 + n 2 + . . . + n i .
3 4 5 6 7 6
Definitie
Cumulatieve relatieve frequentie De cumulatieve relatieve frequentie cf i van het gegeven x i is het quotiënt van de cumulatieve absolute frequentie cn i en de omvang n van de steekproef.
9
Hoeveel procent van de leerlingen behaalt minder dan 6 op 10?
10
Hoeveel leerlingen behalen meer dan 7 op 10?
11
Hoeveel procent van de leerlingen scoort 6 of 7 op 10?
248
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
cfi =
cni n
6.5.2 Een frequentietabel opstellen met ICT REKENMACHINE actie
knoppen
Open Celsheet en maak er een nieuw bestand WISK aan.
angle
B entry solve table
apps ]
W
enter
2
–
x2
L1
Y L3
1
graph
I ex
√
f5
scherm
S {
ln
K entry solve
(
enter
2
N
IN
Breng de resultaten over in CelSheet en maak ook de kolom met de relatieve frequentie aan, zoals aangeleerd in 6.4.2.
θ
3
r©
VA
De cumulatieve absolute frequentie laat je in kolom D berekenen: • in D1: =som(B$1:B1); • kopieer de formule naar beneden.
EXCEL
ex
ICT
em pl
aa
De cumulatieve relatieve frequentie laat je in kolom E berekenen: • in E1: =afronden(D1/som(B$1:B$10)×100,2); • kopieer de formule naar beneden.
In
ki jk
Open het bestand ‘WISK.xlsx’ en ga als volgt te werk.
ICT
GEOGEBRA
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
249
6.5.3 Grafische voorstellingen Dotplot en staafdiagram toets wiskunde
toets wiskunde 25,00 %
0
1
2
3
4
5
6
7
8
20,00 % 16,67 % 15,00 % 11,11 % 10,00 %
5,56 %
8,33 %
5,56 % 2,78 %
0,00 %
9
8,33 %
8,33 %
5,00 %
11,11 %
0
1
punten op 10
IN
aantal leerlingen
aantal leerlingen in procent
22,22 %
2
3
4
5
6
7
8
N
punten op 10
VA
Het staafdiagram met de rekenmachine actie
knoppen angle
B
entry solve table
f5
r©
Open in CelSheet het bestand WISK.
apps
…
enter
2
graph
L1
Y L1
1
scherm
Y
1
entry solve
table
f5
L4
graph
Τ L5
4
U
5
ex
em pl
Teken een staafdiagram voor bijvoorbeeld de relatieve frequentie. Het venster 'STAAFDIAGRAM' vul je in zoals hiernaast afgebeeld.
enter
aa
…
ki jk
Bemerk dat je het staafdiagram niet volledig in één venster te zien krijgt. Met de pijltoetsen kun je wel alles te zien krijgen. Met TRACE en de pijltoetsen kun je ook de waarden aflezen.
In
1 2 3
4 5
ICT
Open het bestand ‘WISK.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk.
6
• Selecteer de cellen met de relatieve frequenties en ga analoog te werk als in paragraaf 6.4.3. • Om de staven te versmallen: ■ Rechtermuisklik op een van de staven. ■ Gegevensreeks opmaken: breedte tussenruimte: kies voor 500 %.
7 6 9 10 11
250
Het staafdiagram met Excel
ICT
De dotplot en het staafdiagram met GeoGebra
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
9
Lijndiagram
toets wiskunde 9 8
aantal leerlingen
7 6 5 4 3 2 1 0 0
1
2
3
4
5
6
7
9
IN
punten op 10
8
N
• Op de horizontale as zie je de verschillende waarden van x i , in stijgende volgorde. • De verticale as bevat de frequenties. • Een gebroken lijn verbindt de punten (x i , n i ) of (x i , f i ).
VA
Het lijndiagram met de rekenmachine actie
knoppen angle
B
entry solve table
f5
r©
Open in CelSheet het bestand WISK.
apps
…
enter
2
graph
L1
Y L1
1
scherm
Y
1
entry solve
enter
aa
…
table
f5
L4
graph
Τ L3
4
θ
3
ICT
In
ki jk
ex
em pl
Teken een lijndiagram voor bijvoorbeeld de absolute frequentie. Het venster 'LIJNDIAGRAM' vul je in zoals hiernaast afgebeeld.
Het lijndiagram met Excel
Open het bestand ‘WISK.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk. • Selecteer de cellen met de absolute frequentieverdeling. • Invoegen – 2D-lijn – Lijn met markeringen. • Gegevens selecteren – Horizontale aslabels – Bewerken – Aslabelbereik: selecteer de cellen met de waarden van x i . • Grafiek verplaatsen naar een Nieuw Blad: ‘lijndiagram’. • Grafiekelementen – Grafiektitel en Astitels: typ passende titels in. • De primaire maatstrepen van de horizontale as zet je op de juiste plaats: As opmaken – Aspositie: op maatstreepjes. De verdere opmaak doe je naar eigen voorkeur.
ICT
Het lijndiagram met GeoGebra HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
251
Cumulatief staafdiagram en cumulatief lijndiagram cumulatief aantal leerlingen
toets wiskunde 40 28
30
32
35
36
8
9
22
20 10 2
0
0
5 1
7
11
2
3
14
4
5
6
7
punten op 10
IN N 0
1
2
3
4
VA
cumulatieve relatieve frequentie
toets wiskunde 100,00 % 90,00 % 80,00 % 70,00 % 60,00 % 50,00 % 40,00 % 30,00 % 20,00 % 10,00 % 0,00 % 5
6
r©
punten op 10
7
8
9
instructiefilmpje
Het cumulatief staafdiagram met de rekenmachine
table
f5
L4
graph
Τ L5
4
scherm
U
5
2 3 4 5 6 7
Het cumulatief lijndiagram met de rekenmachine actie Teken een lijndiagram voor bijvoorbeeld de cumulatieve relatieve frequentie. Het venster 'LIJNDIAGRAM' vul je in zoals hiernaast afgebeeld.
6 9 10 11
252
In
1
ki jk
ex
em pl
Teken een staafdiagram voor bijvoorbeeld de cumulatieve absolute frequentie. Het venster 'STAAFDIAGRAM' vul je in zoals hiernaast afgebeeld.
knoppen
aa
actie
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
knoppen table
f5
graph
L4
Τ L3
4
θ
3
scherm
Oefeningen REEKS A 29
Tijdens het kamp van de jeugdbeweging wordt naar de leeftijd van de deelnemers gevraagd. a) Maak een frequentietabel. aantal deelnemers kamp
x i
16
cn i
12
10
IN
14
6
0
6
7
8
9
r©
2
10 11 12 13 14 15 16
aa
leeftijd deelnemers
4
N
8
VA
aantal deelnemers
n i
Aan de leerlingen van een klas van het derde jaar werd gevraagd hoeveel stukken fruit ze per dag eten.
ki jk
ex
30
em pl
b) Hoeveel deelnemers van het kamp zijn 10 jaar of jonger?
a) Maak een frequentietabel.
fruit
x i
n i
f i
cn i
cf i
15
10
20
In
cumulatief aantal leerlingen
25
5 0
0
1
3 5 2 4 aantal stukken fruit per dag
6
b) Hoeveel leerlingen telt de klas van het derde jaar? c) Hoeveel leerlingen eten minder dan vier stukken fruit per dag? d) Hoeveel procent van de leerlingen eet meer dan drie stukken fruit per dag?
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
253
REEKS B 31
Op een dag in de soldenperiode wordt op straat aan een aantal mensen gevraagd naar het aantal gekochte kledingstukken. 0 1 0 0 0 1 2
0 2 1 1 3 1 1
1 2 3 3 0 1 0
2 3 4 4 2 0 0
2 3 4 5 0 2 1
0 0 1 0 3 3 5
2 4 3 1 2 1 0
5 5 3 2 0 0 3
2 1 3 3 5 7 6
cn i
aa
r©
em pl
ex
ki jk
In
3 4
b) Teken met ICT:
5
• een staafdiagram voor de absolute frequentie,
6
• een lijndiagram voor de relatieve frequentie,
7
• een cumulatief lijndiagram voor de cumulatieve relatieve frequentie.
6 9 10
c) Hoeveel mensen hebben hoogstens vier kledingstukken gekocht? d) Hoeveel procent van de mensen kocht drie of vier kledingstukken?
11
254
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
3 3 1 0 4 3 1
cf i
2
f i
VA
n i
1
1 0 4 2 1 3 2
N
a) Maak een frequentietabel.
x i
4 3 0 0 1 2 4
IN
ICT
0 4 6 2 7 1 0
6.6 Centrummaten 6.6.1 Gemiddelde (Rekenkundig) gemiddelde
Definitie
Het gemiddelde van een rij getallen is de som van die getallen gedeeld door het aantal getallen. Notatie x=
x 1 + x 1 + ... + x n n
Formule
n
x=
i =1
i=n ↓ xn
+ ... +
N
x i staat voor
i=2 ↓ + x2
xi . i = 1
VA
i =1
i=1 ↓ x1
n
xi
n
r©
n
IN
De som van termen van de vorm x i , waarbij de index i varieert van 1 tot n, noteer je kort
Voorbeeld
2 + 4 + 2 + 4 + 7 + 4 + 4 + 9 36 = = 4,5 8 8
aa
Het gemiddelde van de rij 2, 4, 2, 4, 7, 4, 4, 9: x = Afspraak
Opmerkingen
em pl
Je rondt het gemiddelde af op één cijfer meer na de komma dan de gegevens. 2 · (–2,5)
+
4 · (–0,5)
3
4
+
1 · 2,5
+
7
8
1 · 4,5 = 0
• Het aantal leerlingen dat slechter scoort dan het gemiddelde is .
Verdeelt het gemiddelde de resultaten
in twee even grote groepen?
Het gemiddelde heeft de fysische
betekenis van een evenwichtspunt.
ki jk
ex
2
5
6
9
In
x = 4,5
• Vervang je het resultaat 9 door 50, dan wordt het gemiddelde . Dat illustreert dat één resultaat het rekenkundig gemiddelde sterk kan beïnvloeden. Het rekenkundig gemiddelde met de rekenmachine actie Bereken het gemiddelde van de rij 2, 4, 2, 4, 7, 4, 4, 9.
knoppen list
2nd
stat
L3
scherm
θ
3
Wie met Excel werkt, gebruikt de functie ‘gemiddelde’. Je selecteert de cellen waarin de gegevens staan waarvan je het gemiddelde wilt laten berekenen.
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
255
6.6.2 Het gemiddelde berekenen uit een frequentietabel De rij 2, 4, 2, 4, 7, 4, 4, 9 kun je ook met een frequentietabel weergeven:
x i
2
4
7
9
n i
2
4
1
1
4
2 2+4 4+1 7+1 9 Het gemiddelde kun je dan als volgt berekenen: x = = 8
4
7
9
n i
2
4
1
1
4
n=
i =1
n i ? x i
4
ni x i =
ni x i n
Daarbij is k het aantal verschillende gegevens en n =
Voorbeeld
k i =1
aa
x=
i =1
em pl
k
r©
x =
Formule
= 4,5
VA
i =1
ni =
n
IN
2
ni x i
N
x i
i =1
ni .
De punten voor een toets wiskunde in het vierde jaar vind je in de tabel. 0
n i
2
2
3
4
5
6
7
8
9
3
2
4
3
8
6
4
3
1
ki jk
n i ? x i
1
ex
x i
1 2 3 4 5 6 7 6 9
In
x =
Het rekenkundig gemiddelde met de rekenmachine actie
Open de lijsteneditor. Breng de waarden x i onder in L1 en de frequenties n i in L2. Bereken het gemiddelde van de lijsten L1 en L2.
L1
list
11
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
1
L3
list
L2
J
2nd
θ
3
stat
2nd EE
scherm
Y
stat
,
10
256
knoppen
Z
2
L1
2nd L entry solve
}
)
enter
Y
1
6.6.3 De mediaan In de gerangschikte rij van 9 getallen 0, 2, 3, 3,
6,
6, 6, 6, 7
is het middelste getal het getal uit die rij. Dat getal noem je de mediaan. In de gerangschikte rij van 10 getallen 0, 2, 3, 3,
3, 5,
6, 6, 6, 7
zijn er twee middelste getallen, het en het getal uit die rij.
instructiefilmpje
Het gemiddelde van die twee getallen, dus , is de mediaan. Definitie
Mediaan n+1 . 2
IN
De mediaan Me van een gerangschikte rij van n getallen is het getal met rangorde Een nadeel van de mediaan is dat ze alleen rekening houdt met de rangorde.
Me = en x =
• 5, 5, 6, 6, 6, 10, 10, 10, 10
Me = en x =
VA
N
• 1, 1, 1, 1, 6, 7, 7, 8, 8
6.6.4 De mediaan bepalen uit een frequentietabel
r©
Om de mediaan te bepalen van gegevens die in een frequentietabel gegeven worden, gebruik je de cumulatieve absolute frequentie.
0
1
2
3
4
n i
2
1
7
2
3
cn i
5
6
7
8
7
7
4
2
em pl
x i
aa
Voorbeeld
instructiefilmpje
De mediaan van getallen is het getal met rangorde .
Dus Me =
De mediaan met de rekenmachine
ex
actie
Bereken de mediaan van de lijsten L1 en L2.
knoppen L4
list
ki jk
EE
L2
J
2nd
L1
Z
2
Y
1
2nd L entry solve
}
enter
)
In
,
Τ
4
stat
2nd
scherm
Wie met Excel werkt, gebruikt de functie ‘mediaan’. Je selecteert de cellen waarin de oorspronkelijke gegevens staan (dus niet de frequentietabel) waarvan je de mediaan wilt laten berekenen.
6.6.5 De modus Definitie
Modus De modus Mo is het gegeven met de grootste frequentie. Voorbeeld
x i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n i
2
3
2
4
3
8
6
4
3
1
De modus is .
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
257
Oefeningen REEKS A Alle leerlingen van het derde jaar van een school kregen dezelfde oriënterende toets wiskunde. De tabel toont de punten op 20. x i
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
n i
1
3
1
6
11
17
21
25
14
11
6
8
4
0
2
cn i
a) Bepaal de mediaan.
VA
r©
N
b) Geef de betekenis van de mediaan.
aa
c) Bereken het gemiddelde.
em pl
d) Hoeveel procent van de leerlingen haalde meer dan het gemiddelde?
Aan een aantal Vlaamse gezinnen werd gevraagd naar het aantal kinderen. x i
2
1
2
3
4
5
6
7
8
8
44
58
13
9
5
2
0
1
cn i
In
1
0
ki jk
n i
ex
33
a) Bepaal de mediaan.
3 4 5 6 7
b) Geef de betekenis van de mediaan.
c) Bereken het gemiddelde.
6 9 10 11
258
d) Geef de betekenis van het gemiddelde.
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
IN
32
REEKS B Aan 45 jongeren werd gevraagd hoeveel dagen van de week ze sporten. x i
n i
0
4
1
2
3
f i
11,11 %
5
6
7
18
36
8,89 %
2
cf i
12
4
cn i
45
IN
34
N
ICT
VA
a) Vul de frequentietabel verder aan.
b) Hoeveel procent van de jongeren sport vier dagen in een week? c) Hoeveel jongeren sporten hoogstens drie dagen in een week?
r©
d) De helft van de jongeren sport minstens dagen in een week.
ICT
35
em pl
f) Bereken het gemiddelde.
aa
e) Bepaal de modus.
De resultaten op 10 voor een toets worden cumulatief voorgesteld. 100
80
ex
70 60
In
ki jk
cumulatief relatief aantal leerlingen
90
50 40 30 20 10 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
punten op 10
a) Bepaal de mediaan. b) Geef de betekenis van de mediaan.
c) Bepaal de modus. d) Als alle leerlingen evenveel punten hadden, hoeveel zou dat dan zijn?
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
259
ICT
36
In een jeugdbeweging werd de hemdsmaat van een aantal jongens genoteerd. 36
38
39
41
38
42
41
43
41
41
38
40
38
40
41
36
37
39
38
40
38
36
39
40
37
42
37
38
40
39
42
38
38
39
37
39
39
37
39
37
39
39
38
37
41
39
38
40
38
43
39
36
39
40
38
40
40
38
37
41
38
42
36
43
37
a) Maak een frequentietabel. x i
n i
f i
cn i
N
IN
aa
r©
VA
ex
b) Teken met ICT:
• een dotplot voor de absolute frequentie,
ki jk
• een lijndiagram voor de relatieve frequentie, • een cumulatief lijndiagram voor de cumulatieve relatieve frequentie.
c) Hoeveel jongeren hebben hoogstens 39 als hemdsmaat?
In
2
d) Hoeveel jongeren hebben een hemdsmaat kleiner dan 38?
3 4 5 6 7 6 9
e) Hoeveel procent van de jongeren heeft een hemdsmaat 38 of 39? f) Bepaal de mediaan en geef de betekenis.
g) Schat de som van de hemdsmaten als je 150 jongeren had ondervraagd.
10 11
260
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
em pl
1
cf i
Van een aantal worpen met twee dobbelstenen werd de som van het aantal ogen genoteerd. 6
2
10
7
9
5
4
5
7
8
6
8
10
3
9
11
5
6
6
8
8
9
7
5
11
8
10
7
11
12
4
10
7
5
6
5
9
9
2
5
7
5
7
a) Maak een frequentietabel. x i
n i
f i
cn i
cf i
3
4
5
6
8
7
5
4
8
7
6
6
9
10
8
7
7
10
4
8
6
9
6
11
4
9
11
7
7
7
10
9
7
11
12
IN
r©
2
N
2
VA
9
aa
37
em pl
ICT
b) Teken met ICT een staafdiagram voor de relatieve frequentie.
Was dat te verwachten? Waarom (niet)?
ki jk
ex
c) Wat is de meest voorkomende som?
In
d) Teken met ICT een cumulatief lijndiagram voor de cumulatieve relatieve frequentie. e) Bij hoeveel procent van de worpen is de som van het aantal ogen 8 of minder? f) Bij hoeveel procent van de worpen is de som van het aantal ogen meer dan 9? g) De helft van de worpen leverde minstens ogen op. h) Bereken het gemiddelde en geef de betekenis.
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
261
ICT
38
In het derde jaar van een school wordt een dictee Nederlands afgenomen. De tabel toont hoeveel fouten elk van de leerlingen heeft gemaakt. 3
3
3
1
5
0
0
4
7
2
4
6
5
5
2
7
5
5
4
5
3
0
6
0
3
7
2
1
3
4
3
3
1
2
1
3
7
5
0
6
1
6
1
5
1
3
4
7
5
5
1
2
5
7
a) Maak een frequentietabel. f i
cn i
1
2
3
4
5
6
7
aa
r©
em pl
VA
0
IN
n i
N
x i
ex
b) Hoeveel leerlingen deden mee aan het dictee?
ki jk
c) Teken met ICT een lijndiagram voor de absolute frequentie. d) Teken met ICT een cumulatief staafdiagram voor de cumulatieve relatieve frequentie.
2 3 4 5 6
e) Hoeveel leerlingen maakten hoogstens 4 fouten?
In
1
f) Welk deel van de leerlingen maakte meer dan 6 fouten? g) Bepaal de mediaan en geef de betekenis.
h) Bereken het gemiddelde aantal fouten.
7 6
9 10 11
262
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
cf i
Gedurende drie maanden werd een verscherpte controle op zwartrijden (rijden zonder geldig vervoerbewijs) uitgevoerd op de trein Oostende – Brussel. Het aantal betrapte zwartrijders per dag vind je in de onderstaande tabel. a) Maak een frequentietabel.
2
3
0
5
1
0
1
0
0
4
6
3
1
2
1
7
4
6
8
1
0
3
2
7
8
9
1
1
3
2
3
2
2
6
2
4
3
1
3
4
6
0
1
6
9
1
4
2
3
2
3
5
7
8
1
7
0
3
1
4
3
2
0
4
2
1
1
3
6
3
2
0
5
2
6
1
8
1
0
2
2
5
2
2
9
7
2
4
0
2
x i
IN
cn i
cf i
N
f i
VA
n i
r©
39
aa
ICT
em pl
b) Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie. c) Teken met ICT een lijndiagram voor de relatieve frequentie. d) Teken met ICT een cumulatief staafdiagram voor de cumulatieve absolute frequentie. e) Hoeveel dagen waren er minder dan drie zwartrijders?
ex
f) Hoeveel procent van de dagen was er geen enkele zwartrijder?
ki jk
g) Hoeveel dagen hadden er vijf of meer mensen geen geldig vervoerbewijs? h) Als een boete voor zwartrijden 75 euro bedraagt, wat is dan de ‘opbrengst’ bij die verscherpte controle?
In
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
263
STUDIEWIJZER Beschrijvende statistiek voor de leerling
6.1 Inleiding KENNEN
voor de leerkracht
– + – +
Een procentpunt is een punt op een procentenschaal en is het absolute verschil tussen twee waarden uitgedrukt in procenten.
KUNNEN
– + – +
Uitleggen waarom bepaalde statistieken misleidend zijn. Het verschil tussen de begrippen ‘procent’ en ‘procentpunt’ uitleggen.
6.2 Soorten gegevens – + – +
IN
KENNEN Geordende categorische gegevens hebben een natuurlijke ordening.
N
Categorische gegevens zijn gegevens die een hoedanigheid van een kenmerk weergeven. Niet-geordende categorische gegevens hebben geen natuurlijke ordening.
VA
Numerieke gegevens zijn gegevens die het resultaat zijn van tellingen en metingen. Discrete numerieke gegevens hebben slechts een beperkt aantal waarden.
r©
Continue numerieke gegevens zijn reële waarden tussen bepaalde grenzen.
KUNNEN
– + – +
Een onderscheid maken tussen elementen, kenmerken en gegevens.
aa
Een onderscheid maken tussen categorische en numerieke gegevens. Een onderscheid maken tussen geordende en niet-geordende categorische gegevens.
em pl
Een onderscheid maken tussen discrete en continue numerieke gegevens.
6.3 Statistisch onderzoek
KENNEN
– + – +
De populatie is de verzameling van alle elementen van een statistisch onderzoek.
ki jk
ex
Een deel van de populatie noem je een steekproef.
KUNNEN
– + – +
Een omschrijving geven van de onderzoeksvraag, de populatie en de steekproef. Een onderscheid maken tussen een aselecte, een gerichte en een systematische steekproef.
2 3 4 5 6
Problemen in verband met de steekproef en de vraagstelling omschrijven.
In
1
6.4 Categorische gegevens verwerken KENNEN De absolute frequentie n i van het gegeven x i is het aantal keer dat dat gegeven voorkomt. De relatieve frequentie f i van het gegeven x i is het quotiënt van de absolute frequentie n i en de omvang n van de steekproef: fi =
7
10
n
.
De frequenties van categorische gegevens grafisch voorstellen en die voorstelling lezen en interpreteren. ICT gebruiken om een frequentietabel op te stellen en die grafisch voor te stellen.
11
264
ni
KUNNEN
6 9
– + – +
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
– + – +
voor de leerling
6.5 Niet-gegroepeerde numerieke gegevens verwerken KENNEN
voor de leerkracht
– + – +
De cumulatieve absolute frequentie cn i van het gegeven x i is de som van alle frequenties van het eerste tot en met het i-de gegeven: cn i = n1 + n2 + ... + ni . De cumulatieve relatieve frequentie cf i van het gegeven x i is het quotiënt van de cumulatieve absolute frequentie cn i en de omvang n van de steekproef: cfi =
cni n
.
KUNNEN
– + – +
Een frequentietabel opstellen die de absolute frequentie, de relatieve frequentie, de cumulatieve absolute frequentie en de cumulatieve relatieve frequentie bevat.
IN
De enkelvoudige en cumulatieve frequenties van niet-gegroepeerde numerieke gegevens grafisch voorstellen en die voorstelling lezen en interpreteren. ICT gebruiken om een frequentietabel op te stellen en die grafisch voor te stellen.
N
6.6 Centrummaten
VA
KENNEN
– + – +
n
x=
i =1
xi
n
ni x i
aa
k
r©
Het gemiddelde van een rij getallen is de som van die getallen gedeeld door het aantal getallen:
Het gemiddelde uit een frequentietabel: x =
i =1
n
em pl
Daarbij is k het aantal verschillende gegevens en n =
.
k
i =1
ni.
De mediaan Me van een gerangschikte rij van n getallen is n+1 het getal met rangorde . 2
ki jk
ex
De modus Mo is het gegeven met de grootste frequentie.
KUNNEN
– + – +
In
De centrummaten gemiddelde, mediaan en modus bepalen en de informatie die ze bieden, interpreteren.
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
265
Problemen uit JWO 1.
Mijn zwembad is rechthoekig en is 6,25 m lang en 4 m breed. Na de winter is het waterpeil verlaagd en voeg ik 4 m3 water toe. Hoeveel stijgt het waterpeil dan?
A) ❒ 4 cm
B) ❒ 10 cm
C) r 16 cm
D) ❒ 20 cm
E) ❒ 25 cm
IN
JWO, editie 2011, tweede ronde
2. De getekende cirkel met middelpunt M heeft omtrek 36. Wat is de lengte van de aangeduide boog?
VA
N
70°
M
D) ❒ 15
E) ❒ 18
C) r 14
?
r©
B) ❒ 13
em pl
JWO, editie 2012, tweede ronde
aa
A) ❒ 12
ki jk
ex
3. In de figuur is de oppervlakte van het 2 gearceerde deel gelijk aan van de oppervlakte 3 3 van de kleinste cirkel en gelijk aan 8 van de oppervlakte van de grootste cirkel. De verhouding van de straal van de kleinste cirkel tot die van de grootste cirkel is dan gelijk aan …
1 2
5 11
B) ❒
In
A) ❒
9 16
C) ❒
2 3
D) ❒
3 4
E) ❒
4 5
JWO, editie 2013, tweede ronde
3 4 5
4. Als x en y natuurlijke getallen zijn kleiner dan 100 en 2x2 – 2y2 = 2 014, dan is x – y gelijk aan …
6 7 6 9 10 11
266
A) ❒ 2
B) ❒ 11
JWO, editie 2014, tweede ronde HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
C) ❒ 19
D) ❒ 34
E) r 53
em pl
ex
ki jk
In
r©
aa N
VA
IN
PIENTER REMEDIËREN
Overzicht van alle remediëringsoefeningen (ROEF) per hoofdstuk (deel 1) 2
3
4
5
6
18
5
14
2
28
39
43
6
25
4
7
29
12
17
30
30
36
40
37
N
49
VA
50
ki jk
ex
em pl
aa
r©
51
In
IN
1
em pl
ex
ki jk
In
r©
aa N
VA
IN
EXTRA LEERSTOF
Overzicht Extra Leerstof (deel 1) bestandsnaam
hoofdstuk
pagina
Pythagorische drietallen
1
13
❑
Rekenen met Pythagoras (vraagstukken)
1
30
❑
Bewijs: 2 is irrationaal
2
70
❑
Goniometrische getallen van een aantal bijzondere hoeken
3
111
In
ki jk
ex
em pl
aa
r©
VA
N
IN
❑
em pl
ex
ki jk
In
r©
aa N
VA
IN
em pl
ex
ki jk
In
r©
aa N
VA
IN
Pi enter
Philippe De Crock Christophe Gryson Dirk Taecke Tom Van der Auwera Stephan Wellecomme MET MEDEWERKING VAN Etienne Goemaere
LEERJAAR 3
Eddy Magits
LEERJAAR 3
Pi enter
3 D deel 1
Leer zoals je bent Ontdek het onlineleerplatform: diddit. Vooraan in dit boek vind je de toegangscode, zodat je volop kunt oefenen op je tablet of computer. Activeer snel je account op www.diddit.be en maak er een geweldig schooljaar van! Ontdek beeld- en geluidsfragmenten en andere leuke extra’s bij de les. Oefen in jouw tempo en op jouw niveau, zoveel je maar wilt. Heb je de leerstof nog niet volledig onder de knie? Dan krijg je handige tips om het volgende keer wél goed te doen. Opdrachten op maat, speciaal voor jou klaargezet door je leraar. Want die weet precies in welke lesonderdelen jij nog beter wilt worden. Genoeg geoefend. Tijd voor het echte werk! Hoe scoor je op een toets? En ook belangrijk: hoe schat je jezelf in? 1 2
Benieuwd hoe ver je al staat? Een helder overzicht toont je meteen welke inspanningen je tot nu toe geleverd hebt en wat je resultaten zijn. Om trots op te zijn … of om nog nét iets te verbeteren!
3 4 5
ISBN 978-90-306-9986-6 597591
6
9 789030
699866
vanin.be
Pienter 3 D deel 1