Pi enter
Philippe De Crock Christophe Gryson Dirk Taecke
IN
Tom Van der Auwera Stephan Wellecomme MET MEDEWERKING VAN Etienne Goemaere
N
LEERJAAR 3
Eddy Magits
Ontdek het onlineleerplatform: diddit. Vooraan in dit boek vind je de toegangscode, zodat je volop kunt oefenen op je tablet of computer. Activeer snel je account op www.diddit.be en maak er een geweldig schooljaar van! Ontdek beeld- en geluidsfragmenten en andere leuke extra’s bij de les.
in
Genoeg geoefend. Tijd voor het echte werk! Hoe scoor je op een toets? En ook belangrijk: hoe schat je jezelf in? Benieuwd hoe ver je al staat? Een helder overzicht toont je meteen welke inspanningen je tot nu toe geleverd hebt en wat je resultaten zijn. Om trots op te zijn … of om nog nét iets te verbeteren!
3 4 5
aa r© ki
Opdrachten op maat, speciaal voor jou klaargezet door je leraar. Want die weet precies in welke lesonderdelen jij nog beter wilt worden.
2
pl jk
Oefen in jouw tempo en op jouw niveau, zoveel je maar wilt. Heb je de leerstof nog niet volledig onder de knie? Dan krijg je handige tips om het volgende keer wél goed te doen.
ex em
XL 3 D deel 1
Leer zoals je bent
VA
LEERJAAR 3
Pi enter
1
Pienter XL 3 D deel 1
ISBN 978-90-306-9989-7 597596
6
9 789030
699897
vanin.be
N
VA
aa r©
pl
ex em
jk
ki
in
IN
IN N
VA
Leerjaar 3
in
ki
jk
ex em
pl
aa r©
Pienter XL 3 D deel 1
Philippe De Crock Christophe Gryson Dirk Taecke Tom Van der Auwera Stephan Wellecomme MET MEDEWERKING VAN Etienne Goemaere Eddy Magits
N
VA
aa r©
pl
ex em
jk
ki
in
IN
Inhoudsopgave Hoe werk je met Pienter?
4
Hoofdstuk 1
7
De stelling van Pythagoras
59 101
Hoofdstuk 4 Rekenen met reële getallen
149
Hoofdstuk 5 Inleiding tot reële functies
205
N
Hoofdstuk 3 Driehoeksmeting van een rechthoekige driehoek
ki
jk
ex em
pl
235
VA
aa r©
Hoofdstuk 6 Beschrijvende statistiek
in
IN
Hoofdstuk 2 De reële getallen
Hoe werk je met Pienter? Elk hoofdstuk start met een inhoudsopgave en een cartoon. Dat geeft je een eerste indruk van het hoofdstuk.
VA
N
IN
Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van een realistische inleiding of een kort onderzoek kennis met het onderwerp dat aan bod zal komen.
aa r©
Stap voor stap kom je meer te weten over wiskunde in het dagelijks leven.
pl
Je leert formuleren in definities, eigenschappen, rekenregels of besluiten. Je leert ook eigenschappen bewijzen.
ex em
Na elk stuk theorie kun je meteen oefenen. Niet alle oefeningen zijn even moeilijk. Ze zijn opgedeeld in drie reeksen:
REEKS A
eenvoudige toepassingen
REEKS B basisniveau
REEKS C verdiepingsniveau
jk
Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en aangeduid met een verticale streep.
in
ki
Op diddit vind je extra oefeningen. In de marge worden soms pictogrammen gebruikt. Hieronder vind je hun betekenis. Wijst op uitleg over werken met de grafische rekenmachine.
ICT
Duidt aan wanneer je andere ICT-hulpmiddelen inzet, bv. Excel, GeoGebra of Python. Interessante weetjes of achtergrondinformatie herken je aan een kader met vraagteken.
R
Duidt aan dat je bij het onlinelesmateriaal een remediëringsoefening kunt vinden.
XL
Geeft aan dat je bij het onlinelesmateriaal extra uitdagende leerstof vindt.
Verder kun je in een hoofdstuk twee soorten QR-codes tegenkomen. Scan de code om een instructiefilmpje van de leerstof te bekijken of om een toepassing in GeoGebra te zien.
GeoGebra
N
instructiefilmpje
IN
Je leraar zal telkens aangeven wat precies voor jou van toepassing is.
aa r©
VA
Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een studiewijzer. Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken.
Elk hoofdstuk sluit af met de rubriek ‘Pienter problemen oplossen’ of ‘Problemen uit JWO’ (Junior Wiskunde Olympiade). Het is aan jou om aan de hand van heuristieken en probleemoplossend denken de problemen op te lossen.
ex em
VERDIEPING
pl
Sommige onderdelen zijn aangeduid met een groene band. Je leerkracht zal aangeven wat je wel en niet moet kennen.
in
ki
jk
Achteraan in het boek zitten twee bladen met een cartoon. Die kun je gebruiken als voorblad voor je eigen notities of voor afgedrukte oefeningen van Pienter remediëren en voor extra leerstof.
het onlineleerplatform bij Pienter Leerstof kun je inoefenen op jouw niveau.
N VA
Hier vind je de opdrachten terug die de leerkracht voor jou heeft klaargezet.
IN
Je kunt vrij oefenen en de leerkracht kan ook voor jou oefeningen klaarzetten.
aa r©
Hier kan de leerkracht toetsen en taken voor jou klaarzetten. Benieuwd hoe ver je al staat met oefenen en opdrachten? Hier vind je een helder overzicht van je resultaten.
in
ki
jk
ex em
pl
Hier vind je het lesmateriaal per hoofdstuk (o.a. een digitale versie van je boek en instructiefilmpjes).
IN
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
1.1 De stelling van Pythagoras formuleren 1.2 Meetkundige voorstellingen
8
17 21
1.4 Rekenen met Pythagoras
26
1.5 Constructies
40
VA
N
1.3 De stelling van Pythagoras bewijzen
1.6 Afstand tussen twee punten
43
1.7
50
Pythagoras in de ruimte
aa r©
Studiewijzer
58
in
ki
jk
ex em
pl
Pienter problemen oplossen
57
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
7
1.1
De stelling van Pythagoras formuleren
1.1.1 Op onderzoek Vul de tabel verder in.
1
IN
b
a
b
c
4
c
b
c
c
a
a
5
3
3
a (mm)
b (mm)
c (mm)
1
48
39
84
2
16
12
20
3
32
24
40
4
40
96
104
5
40
32
61
ex em
pl
driehoek
a 2
b 2
a 2 + b 2
c 2
Wat stel je vast als je de laatste twee kolommen vergelijkt?
ki
4
GeoGebra
jk
2
aa r©
b
b
1
a
VA
2
c
N
a
5
1.1.2 Benamingen in een rechthoekige driehoek
in
6 7
8 9 10 11
Een rechthoekige driehoek bestaat uit • twee rechthoekszijden (vormen een rechte hoek)
: en
c a
• een schuine zijde of hypothenusa :
12
8 HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
GeoGebra
b
1.1.3 De stelling van Pythagoras Stelling
In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde. In symbolen: a 2 + b 2 = c 2 waarbij a en b de rechthoekszijden zijn en c de schuine zijde is
a
IN
Drie natuurlijke getallen a, b en c, elk verschillend van 0, die aan de voorwaarde a 2 + b 2 = c 2 voldoen, noem je Pythagorische drietallen. Het eenvoudigste Pythagorisch drietal is 3, 4 en 5.
N
b
VA
De stelling van Pythagoras geldt ook omgekeerd.
Als in een driehoek de som van de kwadraten van de twee kortste zijden gelijk is aan het kwadraat van de langste zijde, dan is de driehoek rechthoekig. De 3-4-5-regel
GeoGebra
aa r©
Stelling
c
Pythagorische drietallen worden gebruikt om een rechte hoek te bepalen.
ex em
pl
• B ind op gelijke afstand knopen in een touw. Zo verkrijg je gelijke knoopafstanden. • V orm met het touw een driehoek waarvan een zijde drie knoopafstanden heeft; een zijde vier knoopafstanden heeft; een zijde vijf knoopafstanden heeft. • Zo verkrijg je een rechthoekige driehoek en kun je een rechte hoek uitzetten.
Pythagoras is geboren op het Griekse eiland Samos, vermoedelijk in 569 v.Chr.
jk
In 518 vestigde hij in Zuid-Italië een filosofische school. De leerlingen van die school werden ‘mathematikoi’ of ‘Pythagoreeërs’ genoemd en moesten strenge leefregels volgen. Zo moesten ze vegetarisch leven en zweren dat ze geloofden dat alles met getallen te vatten is.
in
ki
De Pythagoreeërs hebben veel verdiensten: ze konden vergelijkingen meetkundig oplossen, ontdekten de irrationale getallen (zie het volgende hoofdstuk) en bestudeerden met succes regelmatige veelvlakken. De ‘stelling van Pythagoras’ is in elk geval niet door hemzelf of door een van zijn volgelingen bedacht.
De Babyloniërs gebruikten de eigenschap al meer dan 1 000 jaar eerder om de hoogte van muren te bepalen. De Plimpton-kleitablet, uit 1800 voor Christus, bevat kwadraten die te schrijven zijn als de som van twee andere kwadraten. Die kleitablet is de eerste wiskundige tekst uit de geschiedenis van de mensheid. Ook in het oude Egypte kende men de 3-4-5-regel al.
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
9
Oefeningen REEKS A
2
Kleur het vak met de passende lengte van de schuine zijde c, zodat de driehoek met zijden a, b en c rechthoekig is. b
c
a)
3 cm
4 cm
5 cm
6 cm
b)
5 dm
12 dm
15 dm
14 dm
c)
60 mm
80 mm
90 mm
100 mm
110 mm
d)
20 m
21 m
27 m
29 m
31 m
e)
9 cm
12 cm
15 cm
18 cm
21 cm
IN
a
7 cm
N
13 dm
VA
aa r©
1
Formuleer bij de driehoeken, indien mogelijk, de stelling van Pythagoras. a)
d)
c
b
k
pl
j
l
a
ex em
b)
3
5
in
6
c)
m o n
f
ki
4
jk
2
e)
e
d
1
f)
g
7
r
h
q
8
i
9 10 11
12
10
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
p
REEKS B 3
Onderzoek of de driehoek met gegeven zijden rechthoekig is. niet rechthoekig
2 mm
2,1 mm
2,9 mm
r
r
b)
4 cm
7,5 cm
8,5 cm
r
r
c)
3,4 cm
2,1 cm
2,8 cm
r
r
d)
4,5 cm
7,5 cm
6 cm
r
e)
0,12 m
0,35 m
0,37 m
r
f)
18 cm
32 cm
24 cm
r
r
g)
1,4 cm
4,8 cm
5 cm
r
r
h)
16 m
34 m
30 m
r
r
i)
40 cm
41 cm
90 mm
r
r
j)
7 dm
24 cm
25 cm
r
r
VA
N
a)
r r
aa r©
4
rechthoekig
IN
zijden
Toon zonder geodriehoek aan dat a ^ b.
ex em
pl
a
b
Bereken de schuine zijde met de 3-4-5-regel.
jk
5
c) rechthoekszijde: 12 dm =
rechthoekszijde: 80 cm = 4 ? 20 cm
rechthoekszijde: 16 dm =
schuine zijde:
schuine zijde:
in
ki
a) rechthoekszijde: 60 cm = 3 ? 20 cm
b) rechthoekszijde: 15 m =
d) rechthoekszijde: 90 mm =
rechthoekszijde: 20 m =
rechthoekszijde: 120 mm =
schuine zijde:
schuine zijde:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
11
Toon aan zonder te meten. a) Parallellogram PLAK is een rechthoek.
P
L
D = 16 cm d = 12 cm
K 10 cm
17 m
8m K
b) Parallellogram KLAP is een ruit.
P
L
A
15 m
VA
aa r©
Los op.
pl
7
ex em
a) Om in het park een voetbalpleintje af te bakenen, stapt Stijn twintig passen af in de breedte en zestig in de lengte. Pedro vertrouwt het niet helemaal en vraagt Stijn eens diagonaal over het veld te stappen. Stijn telt 67 passen. Is hun voetbalplein rechthoekig?
1
3
b) Pa wil een tuinhuis achter in de tuin. Hij graaft een rechthoekige kuil van 3,6 m bij 4,8 m voor de grondplaat. Om te controleren of zijn put wel rechthoekig is, meet hij de diagonaal. Die is zes meter. Is de kuil rechthoekig?
ki
4
Antwoord:
jk
2
5
in
6 7
8
9
Antwoord:
10 11 12
12
N
A
IN
6
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
REEKS C 8
Primitieve Pythagorische drietallen zijn Pythagorische drietallen die geen natuurlijke veelvouden zijn van andere Pythagorische drietallen. Voorbeeld: 9, 12 en 15 zijn een Pythagorisch drietal, maar niet primitief. Enkele van de kleinste primitieve Pythagorische drietallen zijn: 4
5
5
12 13
8
15
17
7
24 25
9 40 41
Om zelf primitieve Pythagorische drietallen op te stellen, ga je als volgt te werk. Kies twee natuurlijke getallen m en n, waarbij m > n, m ≠ 0 en n ≠ 0. b = m 2 − n 2
VA
Voorbeeld Stel m = 5 en n = 3
Controle: Bewijs. gegeven
pl
c =
aa r©
a = b =
c = m 2 + n 2
N
a = 2mn
12 35 37
IN
3
ex em
m en n zijn natuurlijk getallen, waarbij m > n, m ≠ 0 en n ≠ 0 a = 2mn b = m 2 − n 2 c = m 2 + n 2
te bewijzen
a 2 + b 2 = c 2
jk
bewijs
ki
in
besluit
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
13
Stel Pythagorische drietallen samen.
a)
b)
9
34
Voor de grondplaat van een tuinhuis maakt Brent een houten bekisting. Daarbij is het erg belangrijk dat de hoeken recht zijn. Brent maakt daarvoor gebruik van een vouwmeter (maximale lengte 2 m) en een timmermanspotlood. Hoe gaat Brent te werk om een rechte hoek uit te zetten? Maak een stappenplan en maak daarbij een schets.
ex em
pl
aa r©
10
berekeningen
c
VA
c)
42
b
IN
a
N
9
1
3
ki
4
jk
2
5
in
6 7
8 9 10
11 12
14
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
11
Bewijs. tekening
gegeven
A
B
rechthoek ABCD te bewijzen
2
2
2
IN
Voor elk punt P binnen de rechthoek geldt: 2
|AP | + |PC | = |BP | + |DP | . D
C
VA
N
bewijs
aa r©
pl
ex em
jk
ki
in
besluit
GeoGebra
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
15
12
In een parallellogram is de som van de kwadraten van de diagonalen gelijk aan de som van de kwadraten van de zijden. Bewijs. tekening
gegeven
N
IN
te bewijzen
VA
bewijs
aa r©
pl
ex em
1
3
ki
4
jk
2
5
in
6 7
8
9
besluit
10 11
12
16
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
GeoGebra
1.2
Meetkundige voorstellingen
1.2.1 De stelling van Pythagoras
IN
Neem een driehoek ABC, rechthoekig in C.
A
B
VA
a
aa r©
C
N
c
b
ex em
pl
Je plaatst op elke zijde een vierkant, waarvan de zijde gelijk is aan die zijde van de driehoek. Je verdeelt de vierkanten in gelijke vierkantjes van 1 cm2.
b2
b
c a
C
B
instructiefilmpje
a2
in
ki
jk
c2
A
GeoGebra
De vierkanten hebben een oppervlakte van a 2 = cm2, b 2 = cm2 en c 2 = cm2. De oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde is .
In symbolen:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
17
1.2.2 De Pythagorasboom
5
4
4 3
3
aa r©
2
5
VA
5
N
5
IN
1) Teken een willekeurig vierkant. 2) Construeer op dat vierkant een gelijkbenige rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde gelijk is aan de zijde van het vierkant. 3) Construeer daarna een vierkant op elke rechthoekszijde van de driehoek. 4) Op de zijden van die vierkanten kun je opnieuw een gelijkbenige rechthoekige driehoek tekenen met een schuine zijde gelijk aan de zijde van het vierkant. 5) Elke rechthoekszijde van die nieuwe driehoeken is de zijde van een nieuw vierkant.
1
ex em
pl
Als je dezelfde bewerkingen telkens opnieuw uitvoert, verkrijg je de boom van Pythagoras.
2 3
De boom van Pythagoras noem je een fractaal.
ki
4
jk
1
5
in
6 7
8 9 10
Het woord ‘fractaal’ is afgeleid van het Latijnse woord fractus, dat ‘gebroken’ betekent. Een fractaal is een meetkundige figuur met bijzondere eigenschappen: • zelfgelijkvormigheid: Binnen een fractaal herhalen bepaalde structuren of patronen zichzelf. Als je een klein detail van een fractaal sterk uitvergroot, zie je steeds dezelfde vorm terug; • oneindige herhaling van eenzelfde systeem of bewerking.
11 12
18
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
Oefeningen REEKS A 13
Vul de ontbrekende maatgetallen van de oppervlakten van de vierkanten in. 26
IN
24 10 20
VA
N
78
12
ex em
pl
62
aa r©
36
Bepaal de lengte van de zijde.
jk
14
in
ki
11 236 m
2
3 136 m
2
xm
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
19
REEKS B 15
De oppervlakte van de halve cirkel op de schuine zijde is gelijk aan de som van de oppervlakten van de halve cirkels op de rechthoekszijden. Verklaar.
IN
b
a
aa r©
VA
c
N
ex em
pl
REEKS C
16
2 3
ki
4
jk
1
De ‘maantjes van Hippocrates’ worden gevormd door een rechthoekige driehoek en drie halve cirkels met diameter a, b en c. Toon aan dat de som van de oppervlakten van de maantjes gelijk is aan de oppervlakte van de rechthoekige driehoek.
5
c
in
b
6 7
a
8
9 10
11
12
20
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
1.3 Stelling
De stelling van Pythagoras bewijzen In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde. tekening
gegeven
b
b
te bewijzen
c a
aa r©
c
a
VA
a
een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden a en b en schuine zijde c
N
• Daaromheen teken je een vierkant met zijde a + b, zodat de hoekpunten van het vierkant met zijde c op de zijden van het grote vierkant liggen.
IN
• Op de schuine zijde van de driehoek teken je een vierkant met zijde c.
c
a 2 + b 2 = c 2
c
b
b
a
bewijs
instructiefilmpje
pl
De oppervlakte van de volledige figuur kun je op twee manieren berekenen:
ex em
oppervlakte groot vierkant
2
(a + b)
a 2 + b 2
oppervlakte klein vierkant + oppervlakte vier driehoeken
fl =
definitie oppervlakte vierkant en driehoek
c 2 + 4 ?
fl =
merkwaardig product en breuken vereenvoudigen
c 2 + 2ab
fl =
a b 2
eigenschappen gelijkheden
c 2
GeoGebra
ki
jk
a 2 + 2ab + b 2
=
in
besluit
a 2 + b 2 = c 2
De stelling van Pythagoras is een van de meest bewezen stellingen uit de vlakke meetkunde. Momenteel zijn er meer dan 350 verschillende bewijzen voor die stelling bekend.
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
21
Oefeningen REEKS A 17
Bewijs de stelling van Pythagoras. tekening
gegeven
IN
N
r
VA
p
te bewijzen
q
aa r©
bewijs
pl
ex em
1
3
ki
4
jk
2
5
in
6 7
8
besluit
9 10
11 12
22
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
REEKS B Bewijs de stelling van Pythagoras. tekening
gegeven c a
a
a
te bewijzen
b
c
bewijs
aa r©
VA
b
c
a
IN
b
c
b
N
18
pl
ex em
jk
in
ki
besluit
GeoGebra
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
23
19
Vul het bewijs voor de stelling van Pythagoras aan. tekening
gegeven
b
a
c
te bewijzen b
VA
a
N
c
IN
bewijs
aa r©
pl
ex em
1
3
ki
4
besluit
jk
2
5
in
6 7
8 9 10
GeoGebra
11 12
24
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
REEKS C Bewijs de stelling van Pythagoras. tekening
gegeven B
C
vierkant ABCD punt E op een zijde van het vierkant driehoek ABE: |AB | = a, |AE | = b en |BE | = c
c
a
te bewijzen
IN
20
b
E
D
N
A
bewijs
VA
1) Constructie: r(B, 90º) (ABE) = CBE
vierhoek EBED
B
C
c
A
b E
B
D
E
D
E’
B
E
D
pl
a
E’
aa r©
E’
diagonaal EE
2) Bewijs met oppervlakte:
ex em
jk
ki
in
besluit
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
25
1.4 Rekenen met Pythagoras
Vader bouwt zelf een tuinhuisje achter in de tuin. Hij wil balken bestellen om het dakgebinte te maken. Daarvoor moet hij weten hoe lang die balken minstens moeten zijn. Om die lengte te berekenen, moet je de stelling van Pythagoras omvormen. Om in een rechthoekige driehoek een zijde te berekenen, gebruik je de stelling van Pythagoras.
80 cm 150 cm
N
x cm
VA
200 cm
aa r©
300 cm
IN
1.4.1 Inleiding
Zo kun je ook een rechthoekszijde berekenen als de schuine zijde en de andere rechthoekszijde gegeven zijn.
ex em
pl
1.4.2 Algemeen
c
a b
De schuine zijde berekenen als de rechthoekszijden gegeven zijn.
1
3
2
5
in
6 7
8 9 10 11 12
26
2
Een rechthoekszijde berekenen als de schuine zijde en een rechthoekszijde gegeven zijn. a 2 = c 2 – b 2 fi a = c 2 – b 2
2
b 2 =
fi b =
1.4.3 Voorbeelden
ki
4
c = a + b fi c = a + b 2
jk
2
2
GeoGebra
In een rechthoekige driehoek zijn de rechthoekszijden 4 cm en 5 cm lang. Hoe lang is de schuine zijde? (op 0,1 nauwkeurig)
In een rechthoekige driehoek is de schuine zijde 8 cm lang. Een van de rechthoekszijden is 6 cm. Hoe lang is de andere rechthoekszijde? (op 0,1 nauwkeurig)
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
1.4.4 De stelling van Pythagoras met ICT
IN
De werkwijze om de derde zijde van een rechthoekige driehoek te berekenen als er twee zijden gegeven zijn, kun je als volgt samenvatten: • Je voert de lengtes van de gegeven zijden in. • Je kijkt of twee rechthoekszijden of één rechthoekszijde en de schuine zijde gegeven zijn. • Je kiest de passende formule om de derde zijde te berekenen. Dat kun je grafisch voorstellen in een organogram.
VA
N
a, b
Is de schuine zijde gegeven?
a2 – b 2 = c
pl
c
nee
aa r©
ja
a2 + b 2 = c
c
ex em
Waarom wordt links in de formule gebruikgemaakt van de absolute waarde en rechts niet?
jk
in
ki
REKENMACHINE
actie
Open de programma-editor. Kies voor een nieuw programma en geef een programmanaam in.
knoppen draw
C
prgm
scherm
entry solve 2
enter
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
27
Ruwweg kun je een programma onderverdelen in drie onderdelen: • invoer van de gegevens, • verwerking van de gegevens (formules), • uitvoer van de resultaten. Daarvoor beschik je in de programma-editor over twee menu’s met commando’s:
IN
• programmabesturingscommando’s (CTL), • in- en uitvoercommando’s (I/O). actie
knoppen C
N
draw
prgm
aa r©
VA
Kies het menu met commando’s voor programmabesturing.
scherm
draw
C
prgm
pl
Kies het menu met commando’s voor in- of uitvoer.
ex em
Om gegevens in te voeren, gebruik je hoofdzakelijk 1:Input en 2:Prompt. Resultaten tonen doe je hoofdzakelijk met 3:Disp en 6:Output. Hieronder vind je een programma om de lengte van de derde zijde van een rechthoekige driehoek te berekenen als de lengtes van de andere twee zijden gegeven zijn.
2
Zo start je altijd met een leeg scherm.
: Prompt A,B
Geef de gegeven lengtes in.
: Input “SZ GEGEVEN ( J OF N )?”,H
Is de schuine zijde gegeven, ja of nee?
jk
1
: WisHome
: If H=J
Als het antwoord J(a) is,
: Then
dan
5
:
bereken je de lengte van de rechthoekszijde
6
: Disp R
en toon je die.
7
: Else
Anders
8
:
bereken je de lengte van de schuine zijde
9
: Disp S
3
in
ki
4
(abs(A2 – B2)) Æ R
(A2 + B2) Æ S
10 11 12
28
GEOGEBRA EN PYTHON HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
en toon je die.
Oefeningen REEKS A Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de zijde x in de rechthoekige driehoeken. c)
a) x
2
x
IN
21
25,5
5
VA
b)
d)
15
aa r©
40
x
25
9
x
pl
ex em
22
N
5
Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de schuine zijde in de rechthoekige driehoeken. rechthoekszijde
rechthoekszijde
bewerkingen
schuine zijde
b = 7 cm
c=
c=
b) a = 1,2 dm
b = 0,8 dm
c=
c=
in
ki
jk
a) a = 4 cm
23
Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de rechthoekszijde in de rechthoekige driehoeken. rechthoekszijde
schuine zijde
bewerkingen
rechthoekszijde
a) b = 3 cm
c = 4 cm
a=
a=
b) b = 1,5 dm
c = 2,7 dm
a=
a=
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
29
Bereken, op 0,01 nauwkeurig, x in de rechthoeken. a)
b)
35
x
40
x
VA
Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de ontbrekende zijde in een rechthoekige driehoek met schuine zijde c.
a)
b 9
15
c) d)
7
e)
23,41
f)
8
27
41,60
26
ki
4
19,30
jk
1
3
ex em
5
b)
berekeningen
c
pl
a
2
aa r©
25
78,22
128
5
in
6 7
8 9
g)
6,50
h)
315,10
i)
4
89,23
426,90
130,08
10 11
j)
4,32
7,18
12
30
N
55
28
IN
24
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
REEKS B 26
Een ladder van 5 meter lang staat tegen een muur. De ladder steunt tegen de muur op een hoogte van 4,80 meter. Hoe ver staat de onderkant van de ladder van de muur? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.
IN
N
VA
Antwoord:
ex em
aa r©
Een rechthoek heeft een lengte van 10 cm en een breedte van 4 cm. Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de lengte van de diagonalen van die rechthoek.
pl
27
Antwoord:
Een boom is op een hoogte van 2,30 m afgeknakt door de bliksem. De top van de kruin bevindt zich op 4,85 m afstand van wat er van de stam overgebleven is. Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de oorspronkelijke hoogte van de boom.
jk
28
ki
in
Antwoord:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
31
29
Aan de ene kant is een 50 m lang zwembad 1 m diep. Die diepte neemt geleidelijk aan toe tot 3,5 m aan de andere kant van het zwembad. Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de lengte van de bodem van dat zwembad.
IN
Op een terrein staan, op 10 m van elkaar, twee palen met een respectievelijke lengte van 8 m en van 6 m. Je wilt een kabel spannen tussen de toppen van beide palen. Hoe lang moet die kabel minimaal zijn? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.
VA
30
N
Antwoord:
aa r©
ex em
Antwoord:
De Babyloniërs hadden een origineel idee om de hoogte van een muur te meten. Ze namen een stok, waarvan de lengte gekend was en die zeker langer was dan de hoogte van de muur, en plaatsten die schuin tot tegen de bovenrand van de muur. Het volstond dan de afstand van de muur tot het onderste punt van de stok te meten.
3
31
Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de hoogte van de muur, als het onderste punt van een stok van 25 m zich op 10,15 m afstand van de voet van de muur bevindt.
ki
4
jk
1 2
pl
5
in
6
7
8 9 10
11 12
32
Antwoord: HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
32
De schuine zijde van een gelijkbenige rechthoekige driehoek is 5 cm. Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de lengte van de rechthoekszijden.
IN
Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de hoogte van een gelijkzijdige driehoek met zijden van 6 cm.
VA
33
N
Antwoord:
Antwoord:
Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de zijden van een ruit waarvan de diagonalen 9 cm en 5 cm lang zijn.
ex em
pl
34
aa r©
ki
jk
Antwoord:
in
35
Bereken, op 0,01 cm2 nauwkeurig, de oppervlakte van een vierkant met diagonalen van 3 cm.
Antwoord:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
33
36
Bereken, op 0,01 cm2 nauwkeurig, de oppervlakte van een ruit met zijde 10 cm en een diagonaal van 15 cm.
IN
VA
37
N
Antwoord:
Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde 15 cm is en de ene rechthoekszijde driemaal zo lang is als de andere rechthoekszijde.
aa r©
ex em
pl
Antwoord:
38
1
3
ki
4
jk
2
Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de omtrek van de cirkel omgeschreven aan een vierkant met een zijde van 4 m.
5
in
6 7
8 9 10 11 12
34
Antwoord:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
4m
39
Bereken de oppervlakte van de gelijkbenige driehoeken (zonder de hoogte te meten). Bepaal je antwoord op 0,01 cm2 nauwkeurig. • In een gelijkbenige driehoek is de hoogtelijn uit de top ook de middelloodlijn op de basis. b h • De formule voor de oppervlakte van een driehoek: A = . 2 c)
IN
a)
4 cm
5 cm h cm
VA
N
7 cm
4 cm
aa r©
Antwoord:
pl
Antwoord:
in
ki
jk
ex em
b)
d)
6 cm
5 cm 5 cm
Antwoord:
Antwoord:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
35
40
De lengte van een rechthoek is driemaal zo lang als de breedte. De diagonalen van de rechthoek zijn 10 cm. Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de omtrek van die rechthoek.
IN
N
VA
aa r©
Antwoord:
pl
Een ladder is 0,5 m langer dan een gebouw hoog is. Als je de voet van de ladder 2,5 m van de muur plaatst, komt de top van de ladder tegen de bovenkant van het gebouw. Hoe hoog is dat gebouw? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.
ex em
41
1
3
ki
4
jk
2
5
7
in
6
8 9 10
Antwoord:
11 12
36
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
REEKS C 42
De grootte van een tv-scherm wordt meestal uitgedrukt in inches. De opgegeven maat is de lengte van de diagonaal. Een 16 : 9-scherm (de lengte en de breedte verhouden zich als 16 en 9) heeft een diagonaal van 42 inches (105 cm). Bereken de lengte en de breedte. Bepaal je antwoord op 0,1 cm nauwkeurig.
IN
N
VA
aa r©
Bij kitesurfing word je voortgetrokken door een kleine parachute. De parachute bevindt zich op een horizontale afstand van 10 m van de surfer. Door een veranderende wind daalt de parachute 7 m en wordt de horizontale afstand tot de surfer 9 m groter. Op welke hoogte bevond de parachute zich oorspronkelijk? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.
ex em
43
pl
Antwoord:
in
ki
jk
Antwoord:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
37
44
Bereken de oppervlakte van de willekeurige D ABC zonder te meten. Bepaal je antwoord op 0,01 cm² nauwkeurig. De drie zijden zijn gegeven. Tip: stel |CD | = x, dan is |BD | =
h cm
x cm C
14 cm
VA
D
aa r©
ex em
pl
1
3
ki
4
jk
2
5
in
6 7
8 9 10 11
Antwoord:
12
38
N
10 cm
6 cm
IN
A
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
B
45
De oppervlakte van de gelijkzijdige driehoek op de schuine zijde is gelijk aan de som van de oppervlakten van de gelijkzijdige driehoeken op de rechthoekszijden. Verklaar.
c
IN
b
N
a
ex em
pl
aa r©
VA
ki
jk
in
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
39
1.5
Constructies
1.5.1 Constructie van een schuine zijde Modeloefening 1: Construeer een lijnstuk c met lengte van 13 cm. 2
2
Stel 13 = 4 + 9 = 2 + 3 , dan is c = a 2 + b 2 met c = 13 cm, a = 2 cm en b = 3 cm.
IN
Stap 1: Teken een lijnstuk a van 2 cm.
N
Stap 2: Construeer het lijnstuk b van 3 cm loodrecht op a in een grenspunt. Stap 3: V erbind de vrije grenspunten.
instructiefilmpje
Het gevonden lijnstuk is 13 cm.
VA
a
1.5.2 Constructie van een rechthoekszijde 2
aa r©
Modeloefening 2: Construeer een lijnstuk a met een lengte van 12 cm. 2
Stel 12 = 16 – 4 = 4 – 2 , dan is a = c 2 – b 2 met a = 12 cm, b = 2 cm en c = 4 cm. Stap 1: Teken een lijnstuk b van 2 cm en een loodrechte op b in een van de grenspunten.
ex em
pl
Stap 2: Construeer een boog met een straal van 4 cm vanuit het andere grenspunt.
b
• Construeer een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden gelijk aan 1.
ki
4
1.5.3 Toepassing
jk
3
5
in
6 7
8 9
2
• Gebruik de gevonden schuine zijde als rechthoekszijde voor een volgende rechthoekige driehoek. • De schuine zijde van die driehoek is
(
2
1
3
1
1 1
2 ) + 1 = 3.
12
• ... HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
2
1
1
2
11
40
1 1
2
• De schuine zijde is dan 1 + 1 = 2 .
• Gebruik de gevonden schuine zijde als rechthoekszijde voor een volgende rechthoekige driehoek.
10
GeoGebra
Het gevonden lijnstuk is 12 cm.
Je kunt niet alle lijnstukken met een opgegeven lengte op die manier construeren.
1 2
Stap 3: V erbind het vrije grenspunt van b met het snijpunt van de boog met de loodrechte.
1 1 1
1
1
Oefeningen REEKS A Construeer via de schuine zijde van een rechthoekige driehoek. a) een lijnstuk van 20 cm
b) een lijnstuk van 10 cm
Construeer via een rechthoekszijde van een rechthoekige driehoek. a) een lijnstuk van 7 cm
aa r©
47
VA
N
IN
46
b) een lijnstuk van 5 cm
ex em
pl
jk
REEKS B
48
Construeer.
in
ki
a) een lijnstuk van 11 cm
b) een lijnstuk van 17 cm
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
41
49
Construeer op twee verschillende manieren een lijnstuk van 8 cm. a) via de schuine zijde
b) via een rechthoekszijde
50
Bereken de andere rechthoekszijde.
aa r©
VA
N
IN
n+1 2
ex em
n–1 2
pl
Die eigenschap kun je ook gebruiken om een lijnstuk met een gegeven lengte te construeren.
1
3
a) een lijnstuk van 5 cm
ki
4
Construeer.
jk
2
5
in
6 7
8 9 10 11 12
42
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
b) een lijnstuk van 8 cm
Afstand tussen twee punten Bereken de afstand tussen A (2, 4) en B (6, 2).
Bereken de afstand tussen A (x A , y A ) en B (x B , y B ). y
y A
4 3
A (xA , yA) yB – yA
2–4
B(xB , yB)
B
2
C
C
1 6–2 –1
1
2
3
4
xB – xA
x 5
6
x
Construeer het punt C als snijpunt van een horizontale door B en een verticale door A.
VA
N
–1
In driehoek ABC geldt: 2 2 2 | AB | = | CB | + | AC | (stelling van Pythagoras)
| AB | = | CB | + | AC | (stelling van Pythagoras)
afstand tussen C en B: | CB | = | 6 – 2 |
| CB | = | x B – x A |
2
ex em
=
2
2
| AC | =
pl
| AB | =
2
aa r©
afstand tussen A en C: | AC | = | 2 – 4 |
| AB | =
Formule
IN
1.6
2
| AB | = =
| AB | =
Voor A en B met co(A) = (xA , yA) en co(B) = (xB , yB) geldt: 2
2
jk
| AB | = (x B – x A ) + (y B – y A )
ki
Voorbeeld
in
Bereken | AB | op 0,01 nauwkeurig, als co(A) = (–2, 4) en co(B) = (3, –5). | AB | = =
GeoGebra
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
43
Bijzondere gevallen Afstand van een punt tot de oorsprong y
| OA | = (x A – 0)2 + (y A – 0)2 = x A2 + y A2
Algemeen
N
A (xA , yA )
IN
co(O) = (0, 0) co(A) = (x A , y A )
x
O
VA
Als co(A)= (xA , yA), dan is |OA| = x A2 + y A2 .
Afstand tussen twee punten met dezelfde x-coördinaat
aa r©
y
co(A) = (x A , y A ) co(B) = (x B , y B )
A (xA , yA )
x
O
= (x A , y B ) (x B = x A )
| AB | = (x A – x A )2 + (y B – y A )2
ex em
B (xB , yB )
pl
= 0 + (y B – y A )2
Algemeen
= (y B – y A )2 = yB – y A
Als de rechte AB verticaal is (xA = xB), dan is | AB | = | yB − yA |.
Afstand tussen twee punten met dezelfde y-coördinaat co(A) = (x A , y A ) co(B) = (x B , y B )
y
2 3
A (xA , yA )
ki
4
jk
1
= (x B , y A ) (y B = y A )
x
5
O
in 8 9 10 11 12
44
Algemeen
= (x B – x A )2 + 0 = (x B – x A )2 = xB – x A
6 7
| AB | = (x B – x A )2 + (y A – y A )2
B (xB , yB )
Als de rechte AB horizontaal is (yA = yB), dan is | AB | = | xB − xA |. Voorbeelden co(O) = (0, 0) en co(A) = (5, –2)
co(A) = (2, 1) en co(B) = (2, –2)
co(A) = (–2, 1) en co(B) = (3, 1)
| OA | =
| AB | =
| AB | =
=
=
=
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
Oefeningen REEKS A Bereken de afstand tussen de gegeven punten op 0,01 nauwkeurig. Controleer op de figuur. a)
c)
y
y
IN
51
F
A 1
O
1 x 1
pl
ex em
| AB | = b)
| EF | = d)
y
y
x
1
O
in
ki
jk
–1
x
1
aa r©
O
VA
E
N
B
H D
G
1
x O
1
C
| CD | =
| GH | = HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
45
52
Bereken de lengte van de lijnstukken op 0,01 nauwkeurig. a) [AB] met co(A) = (−4, −2) en co(B) = (9, −2) I AB I = b) [OC] met co(O) = (0, 0) en co(C) = (2, 7)
IN
I OC I = c) [DE] met co(D) = (12, −4) en co(E) = (7, 1)
N
I DE I = d) [FO] met co(F) = (−8, 4) en co(O) = (0, 0)
VA
I FO I = e) [GH] met co(G) = (7, −3) en co(H) = (−7, 3)
aa r©
I GH I =
f) [OI] met co(O) = (0, 0) en co(I) = (0, −6) I OI I =
3
5
in
6 7
8 9 10
11 12
46
y 6 5 4 3 2 1
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O –1
ki
4
jk
1 2
Teken de driehoek LAT en bereken de omtrek op 0,01 nauwkeurig. co(L) = (4, –2), co(A) = (2, 5) en co(T) = (6, 5)
ex em
53
pl
REEKS B
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
–2 –3 –4 –5
x 1
2
3
4
5
6
7
8
9
54
De steden Agem, Begem en Cegem worden verbonden door een spoorlijn. Alle trajecten zijn recht. De steden hebben in een assenstelsel met ijk 1 km de volgende coördinaatgetallen: co(A) = (1, 2) co(B) = (6, 3) co(C) = (4, 11) Hoeveel km spoorlijn, op 0,001 km nauwkeurig, is er nodig?
IN
N
ex em
aa r©
Vanuit de oorsprong bekijk je de punten X, Y en Z met de volgende coördinaatgetallen: co(X) = (5, 4) co(Y) = (−6, 2) co(Z) = (−4, −3) Welk punt ligt het dichtst bij de oorsprong?
pl
55
VA
Antwoord:
Antwoord:
Een computerscherm heeft een resolutie van 1 280 bij 1 024 pixels. Een pixel beweegt van positie (50, 50) naar positie (650, 800). Bereken de afgelegde weg op een gehele pixel nauwkeurig.
ki
jk
56
in
Antwoord:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
47
57
Een driehoek wordt gevormd door de punten D, E en F met de volgende coördinaatgetallen: co(D) = (1, 3) co(E) = (2, −1) co(F) = (−2, 1) Onderzoek of de driehoek DEF gelijkbenig en/of rechthoekig is.
IN
N
De vierkantjes op de figuur hebben een zijde van 12,5 km. Niels logeert aan de kust. Hoe ver bevindt hij zich van Gent? Hoe ver van Brussel? y
aa r©
58
VA
Antwoord:
Niels bevindt zich hier Brugge
1 O
Turnhout
Antwerpen
Gent
1
Mechelen
Aalst
Hasselt
pl
Roeselare
x
ex em
Brussel
2 3
ki
4
jk
1
5
in
6 7
8
9 10
11 12
48
Antwoord: HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
Mons
Charleroi
Liège Namur Marche-en-Famenne
Arlon
REEKS C 59
2
2
Het punt P met co(P) = (x P , y P ) voldoet aan de volgende voorwaarde: (x P – 5) + (y P + 1) = 3. a) Omschrijf de ligging van het punt P in het assenstelsel.
IN
b) Geef twee verschillende punten P die aan die voorwaarde voldoen. co(P1 ) = ( , ) en co(P2) = ( , )
N
VA
aa r©
c) Hoeveel verschillende punten P voldoen aan die voorwaarde?
Wat stel je vast?
in
ki
jk
ex em
pl
d) Bepaal met ICT alle punten die aan de gegeven voorwaarde voldoen. Stel die punten voor in het assenstelsel.
y 6 5 4 3 2 1
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –1 –1 O –1
x 1
2
3
4
5
6
7
8
9
–2 –3 –4 –5 –6
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
49
1.7
Pythagoras in de ruimte
1.7.1 Modeloefening 1: diagonaal van een kubus C
gegeven een kubus met ribbe 4 cm gevraagd
A
D
Bereken de ruimtediagonaal op 0,01 nauwkeurig. oplossing
H
E
aa r©
VA
G
N
F
IN
B
antwoord
De diagonaal is
instructiefilmpje
pl
1.7.2 Modeloefening 2: hoogte van een piramide
3
ex em
ki
4
jk
2
in 7
oplossing
A
H D
9
10
antwoord
11
50
Bereken de hoogte EH op 0,01 nauwkeurig.
C
8
12
gevraagd
B
5
6
een piramide met vierkant grondvlak Elke ribbe is 4 cm.
E
1
gegeven
GeoGebra HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
De hoogte is
Oefeningen REEKS A 60
Bereken op 0,1 cm nauwkeurig. gegeven B
C
A
IN
een balk met l = 3 cm, b = 2 cm en h = 6 cm gevraagd | DF |
D
N
oplossing
h
VA
aa r©
F
G
b
E
H
l
antwoord
Bereken op 0,1 cm nauwkeurig.
ex em
61
pl
| DF | =
gegeven een piramide met vierkant grondvlak met z = 3 cm en h = 5 cm gevraagd
E
| AE |
jk
oplossing
ki
in
B
C
F
A
D
antwoord | AE | =
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
51
REEKS B 62
Bereken op 0,1 cm nauwkeurig. gegeven een balk met l = 3 cm, b = 3 cm en h = 5 cm M is het midden van [AE ]. N is het midden van [FG ]. C
gevraagd
IN
B
| MN |
A
D
oplossing
N
F
G
N
aa r©
VA
M
H
E
antwoord
1
3
A
ki
4
B
jk
2
Bereken op 0,1 cm nauwkeurig.
ex em
63
pl
| MN | =
gegeven een kubus met ribbe 3 cm gevraagd C
F
in
6
G
7
E
9
H
10
antwoord
11
De omtrek van CEG is
12
52
oplossing
D
5
8
de omtrek van CEG
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
64
Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de hoogte van een piramide met een vierkant grondvlak met zijde 7 cm en opstaande ribbe 11 cm.
IN
N
ex em
aa r©
Een vrachtwagen heeft een laadruimte met lengte 5,5 m, breedte 3 m en hoogte 2,5 m. Kan een vlaggenmast van 7 m in die laadruimte?
pl
65
VA
Antwoord:
Antwoord:
Van een piramidevormige tent hebben alle ribben een lengte van 2,5 m. Milan is 1,82 m groot. Kan Milan rechtop staan in die tent?
jk
66
ki
in
Antwoord:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
53
67
Bereken op 0,01 cm2 nauwkeurig. gegeven een kubus met ribbe 3 cm gevraagd de oppervlakte van BGE C
A
oplossing
IN
B
D
G
N
F E
H
VA
aa r©
antwoord
De oppervlakte van BGE is
Bewijs.
ex em
68
pl
REEKS C
een balk met ribben l, b en h
B
A
2 3
ki
4
C
te bewijzen 2
2
2
2
2
| DF | = l + b + h
D
bewijs
jk
1
gegeven
h
5
in
6
F
7
8 9
G b
E
l
10 11 12
54
H
besluit 2
| DF | = l + b + h
2
2
2
In een balk is het kwadraat van de lengte van een ruimtediagonaal gelijk aan l + b + h . HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
69
Een piramide heeft een vierkant grondvlak met zijde a en opstaande ribbe b. a) Stel een formule op om de hoogte h van de piramide te berekenen. b
IN
VA
ex em
pl
aa r©
N
a
b) Bereken het volume van een piramide met een vierkant grondvlak met zijde 4 cm en een opstaande ribbe van 7 cm. Bepaal je antwoord op 0,01 cm3 nauwkeurig.
jk
ki
in
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
55
70
Snijd je van een kubus een hoek af, dan verkrijg je een viervlak. Dat viervlak bestaat uit een willekeurige driehoek en drie rechthoekige driehoeken. Er bestaat een merkwaardig verband tussen de oppervlakten van die driehoeken. Bewijs dat verband. tekening
gegeven C B
kubus viervlak ABCD te bewijzen
D 2
aa r©
pl
ex em
3
ki
4
jk
2
5
in
6
7
8 9 10 11
besluit
12
56
2
VA
bewijs
1
2
2
= (AABC) + (AADB) + (AACD)
N
(ABCD)
IN
A
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
STUDIEWIJZER De stelling van Pythagoras voor de leerling
1.1 De stelling van Pythagoras formuleren KENNEN
voor de leerkracht
– + – +
In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde.
IN
Als in een driehoek de som van de kwadraten van de twee kortste zijden gelijk is aan het kwadraat van de langste zijde, dan is de driehoek rechthoekig.
KUNNEN
– + – +
De stelling van Pythagoras formuleren en toepassen.
N
1.2 Meetkundige voorstellingen KUNNEN
– + – +
VA
Het verband tussen de stelling van Pythagoras en de oppervlakte van de vierkanten op de zijden van een rechthoekige driehoek verduidelijken.
Toepassingen op meetkundige voorstellingen van de stelling van Pythagoras verklaren.
1.3 De stelling van Pythagoras bewijzen
aa r©
KUNNEN
– + – +
De stelling van Pythagoras bewijzen.
De stelling van Pythagoras bewijzen in een gewijzigde situatie.
1.4 Rekenen met Pythagoras
KUNNEN
– + – +
Een onbekende zijde in een rechthoekige driehoek berekenen.
pl
Een algoritme ontwerpen om een zijde in een rechthoekige driehoek te berekenen. De stelling van Pythagoras toepassen om vlakke problemen op te lossen.
ex em
1.5 Constructies
KUNNEN
– + – +
Via de stelling van Pythagoras lijnstukken met een bepaalde lengte construeren.
1.6 Afstand tussen twee punten
KENNEN
– + – + 2
2
jk
Voor A en B met co(A) = (xA , yA) en co(B) = (xB , yB) geldt: |AB| = (x B – x A ) + (y B – y A ) .
Afstand van een punt tot de oorsprong.
ki
Als co(A) = (xA , yA), dan is |OA| = x A2 + y A2 .
in
Als de rechte AB verticaal is (xA = xB), dan is |AB| = |yB – yA|.
Als de rechte AB horizontaal is (yA = yB), dan is |AB| = |xB – xA|.
KUNNEN
– + – +
De afstand tussen twee punten, gegeven met hun coördinaten, berekenen in het vlak.
1.7 Pythagoras in de ruimte KUNNEN
– + – +
De stelling van Pythagoras toepassen om ruimtelijke problemen op te lossen.
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
57
Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
❑ filter
❑ schets
❑ patroon
❑ schema/tabel
❑ kennis
❑ vereenvoudig
❑ logisch nadenken
❑ gok verstandig
❑ ...
N
IN
❑ concreet materiaal
VA
tallen in de piramide, 1. Plaats natuurlijke ge r staande vakjes in elke twee naast elkaa len tal ge de n va m so zodat de vakje erboven. het gemeenschappelijke gelijk is aan het getal in
3
in
6
24
7
9 10 11 12
58
3
36 000
5
8
5
2. Plaats natuurlijke ge tallen in de piramide, zodat het product van de getallen in elke twee na ast elkaar staande vakje gelijk is aan het getal in s het gemeenschappelijke vakje erboven.
ki
4
jk
1 2
ex em
pl
12
25
42
aa r©
145
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
15
2.1 Decimale voorstelling van rationale getallen
2.2 Vierkantswortels 2.3 De reële getallen
60
N
IN
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
68 73 81
2.5 Reële getallen ordenen
86
2.6 Derdemachtswortel van een reëel getal
94
Studiewijzer
98
aa r©
VA
2.4 Irrationale getallen benaderen
100
in
ki
jk
ex em
pl
Pienter problemen oplossen
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
59
2.1
Decimale voorstelling van rationale getallen
2.1.1 Inleiding
= =
euro euro
c)
= =
euro euro
d)
= =
euro euro
IN
b)
=
=
N
a)
euro
euro
VA
De waarde is een rationaal getal. Elk rationaal getal kan op twee manieren worden geschreven: Voorbeelden:
•
Voorbeelden:
aa r©
•
2.1.2 Een breuk omvormen naar de decimale schrijfwijze Om een breuk om te vormen naar de decimale schrijfwijze, deel je de teller van de breuk door de noemer. 31 = 250
17 = 8
pl
24 = 25
ex em
2.1.3 Soorten decimale voorstellingen van rationale getallen decimaal getal
1
3
17 = 6
Een decimaal getal is een begrensd kommagetal.
Een zuiver repeterende decimale vorm is een onbegrensd kommagetal waarbij de periode onmiddellijk na de komma begint.
Een gemengd repeterende decimale vorm is een onbegrensd kommagetal waarbij tussen de komma en de periode een niet-repeterend deel voorkomt.
5
in
6 7
8 9 10 11 12
Afspraken
gemengd repeterend
5 = 11
ki
4
zuiver repeterend
29 = 20
jk
2
decimale vorm
• De periode van een decimale vorm is de cijfergroep na de komma die telkens herhaald wordt. Voorbeeld: 12,767 6... periode = 76
• Het niet-repeterend deel van een gemengd repeterende decimale vorm is de cijfergroep tussen de komma en de periode. Voorbeeld: 13,845 210 210... periode = 210 niet-repeterend deel = 845 • Noteer de periode twee keer, gevolgd door drie puntjes. • Begin de periode zo vroeg mogelijk. • Houd de periode zo kort mogelijk. GeoGebra
60
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
2.1.4 Een decimale schrijfwijze omvormen naar een breuk Decimale getallen voorbeeld
werkwijze
IN
• Stap 1: Noteer het getal als een breuk: ■ de teller is het getal zonder komma; ■ de noemer is een macht van 10 met zoveel nullen als er cijfers na de komma zijn. • Stap 2: Vereenvoudig, indien mogelijk.
1,65 165 = 100 33 = 20
Zuiver repeterende decimale vormen met 0 voor de komma werkwijze
N
voorbeeld
REKENMACHINE
aa r©
5 11
VA
• Stap 1: Noteer het kommagetal als een breuk: ■ de teller is de periode; ■ de noemer is een getal met zoveel negens als er cijfers in de periode zijn. • Stap 2: Vereenvoudig, indien mogelijk.
0,454 5... 45 = 99 =
instructiefilmpje
instructiefilmpje
Breuken invoeren en vereenvoudigen actie Voer de breuk
knoppen
1 785 in. 825
a-lock
stat plot f1
Y u
O v
7
pl
1
v
P L2
ex em
8
jk
P L5
8
Z L5
2
actie
Zet het decimaal getal 1,65 om naar een breuk.
Y
1
y=
alpha
L1
L1
scherm
U
5
U
5
entry solve
enter
knoppen Y i
L1
: L6
.
1 L1
Y
scherm
V L5
6
U
5
test
A
math
entry solve
1
enter Y i
L1
: L6
.
1 a-lock
stat plot f1
L4
U
5 Τ
4
y=
entry solve
enter
ki
alpha
V L5
6
actie Zet de decimale vorm 0,454 5... om naar een breuk.
knoppen catalog
[
in
Om met de rekenmachine de omzetting naar een breuk te verkrijgen, moet je de periode soms tot zes keer herhalen.
i
: L4
0 L5
. U L4
5 L4
L1
U L4
5 U L4
5 U L4
5 Y
1
Τ L5
Τ L5
4
Τ L5
4
4
scherm
Τ L5
4 Τ L5
4
Τ
4
U
5
U
5 test
A
math
entry solve
enter
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
61
Zuiver repeterende decimale vormen met een ander getal dan 0 voor de komma voorbeeld
werkwijze
2,33... • Stap 1: Noteer het getal als de som van een aantal gehelen en een getal tussen 0 en 1.
= 2 + 0,33... 3 9
=2+
1 3
• Stap 2: Noteer het getal tussen 0 en 1 als een breuk: ■ de teller is de periode; ■ de noemer is een getal met zoveel negens als er cijfers in de periode zijn.
IN
=2+
6 1 + 3 3
=
7 3
• Stap 4: Maak het geheel getal en de breuk gelijknamig.
VA
=
N
• Stap 3: Vereenvoudig, indien mogelijk.
• Stap 5: Bepaal de som van de breuken.
aa r©
instructiefilmpje
Gemengd repeterende decimale vormen voorbeeld
werkwijze
1 100
= (216 + 0,121 2...) ?
1
1 12 ? 99 100
= 216 +
1 4 ? 33 100
=
ki
4
= 216 +
jk
2 3
• Stap 1: Schuif de komma op naar rechts, zodat die juist voor de periode komt te staan, en deel door de passende macht van 10 om de gelijkheid te bewaren.
ex em
= 216,121 2... ?
pl
2,161 212...
5
in
6
=
7
8
10
• Stap 2: Noteer het zuiver repeterend kommagetal dat je daardoor vindt als een onvereenvoudigbare breuk.
1 7 128 4 + ? 33 33 100
instructiefilmpje
1 7 132 ? 33 100
=
7 132 3 300
=
1 783 825
9
1 100
• Stap 3: Vereenvoudig, indien mogelijk.
11 12
62
XL
Een repeterende decimale vorm omvormen naar een breuk: alternatieve methode
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
GeoGebra
Oefeningen REEKS A Duid het soort decimale schrijfwijze van de rationale getallen aan. zuiver repeterende decimale vorm
a) 0,845
❒
❒
b) 0,88...
❒
❒
c) 1,141 4
❒
❒
d) 3,243 624 36...
❒
❒
e) 8,254 4...
❒
f) 16,232 322...
❒
g) 8,07
❒
h) 781,787 8... i) 0,478 925 925...
❒
N
❒
VA
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
Vorm de breuken om naar de decimale schrijfwijze. a)
3 5
=
b)
1 8
c)
d)
f)
19 12
=
k)
210 111
=
=
g)
14 37
=
l)
17 15
=
2 3
=
h)
892 45
=
m)
45 33
=
80 33
=
i)
508 125
=
n)
309 125
=
14 15
=
j)
25 12
=
o)
85 72
=
jk
ex em
2
❒
❒
pl
j) 18,145 656
gemengd repeterende decimale vorm
IN
decimaal getal
aa r©
1
in
ki
e)
3
Vorm de breuken om naar de decimale schrijfwijze en bepaal telkens de periode. decimale schrijfwijze
periode
a)
8 21
b)
7 13
c)
625 7
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
63
1
6
b) 0,4
=
f) 1,18
=
c) 2,7
=
g) 0,036
=
d) 1,25
=
h) 4,064
=
IN
=
N
e) 0,325
=
b) 0,151 5...
=
c) 0,090 9...
=
d) 0,117 117...
=
e) 0,030 030...
=
f) 1,55...
=
g) 2,181 8...
=
h) 4,531 531...
=
aa r©
a) 0,77...
VA
Schrijf de zuiver repeterende decimale vormen als een onvereenvoudigbare breuk.
Schrijf de gemengd repeterende decimale vormen als een onvereenvoudigbare breuk. a) 0,144...
b) 1,257 878...
c) 18,733...
ki
4
=
jk
2 3
a) 0,29
ex em
5
Schrijf de decimale getallen als een onvereenvoudigbare breuk.
pl
4
5
in
6 7
8 9 10 11 12
64
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
REEKS B Noteer de rationale getallen in decimale schrijfwijze als een onvereenvoudigbare breuk. d) 72,727 2...
h) 50,505 5...
jk
c) 17,400...
f) 2,757 5...
i) −2,969 6...
ki
in
ex em
aa r©
e) −0,212 312 3...
pl
N
b) −1,02
g) −0,123 44...
IN
a) 2,131 3...
VA
7
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
65
8
Bepaal de periode van de zuiver repeterende decimale vormen. a)
211 121
= 1,743 801 652 892 561 983 471 074 380 165 289 256 198 347 107 438 016 528 925 619 834 710 743 801 652 892 561 983 471 074 380 165 289 256 198 347 107 4...
24 11
= 1,411 764 705 882 352 941 176 470 588 235 294 117 647 058 823 529 411 764 705 882 352 941 176 470 588 235 294 117 647 058 823 529 411 764 705 882 352 9...
IN
b)
Toon aan dat 0,99... = 1.
VA
9
N
10
aa r©
Bepaal de som 2,366... + 5,633... zonder rekenmachine.
pl
ex em
REEKS C
11
a) het 100e cijfer na de komma in 5,123 123...
1 2
b) het 500e cijfer na de komma in de decimale vorm van
ki
4
jk
3
Bepaal het gevraagde cijfer.
5
10 41
in
6 7
8
c) het 2 000e cijfer na de komma in de decimale vorm van
9 10 11
d) het 850e cijfer na de komma in 178,347 979 879 8...
12
66
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
4 15
Je kunt het aantal cijfers in de periode van een decimale vorm bepalen aan de hand van de noemer van de breuk. De tabel geeft een overzicht van het aantal cijfers (n) in de periode van een decimale vorm waarvan het gegeven priemgetal de noemer is van de breuk die hoort bij die decimale vorm. n
noemer breuk
n
noemer breuk
n
3
1
23
22
73
8
7
6
29
28
79
13
11
2
31
15
101
4
13
6
37
3
137
8
17
16
41
5
239
7
19
18
53
13
271
5
N
IN
noemer breuk
VA
Voor een breuk waarvan de noemer een veelvoud is van een van die priemgetallen, is het aantal cijfers in de periode gelijk aan het aantal cijfers in de periode van de breuk met dat grootste priemgetal als noemer. breuk
aantal cijfers in de periode
1 1 1 = 21 3 7
aa r©
1 21 19 136
19 19 1 = 136 8 17
Bepaal het aantal cijfers (n) in de periode van de gegeven decimale vormen. berekening
ex em
breuk
b)
2 31
c)
1 155
15 26
e)
207 145
f)
32 159
g)
7 274
h)
2 005 1 626
jk
1 6
ki
in
n
a)
d)
16
pl
12
6
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
67
2.2
Vierkantswortels
2.2.1 Inleiding Een vierkante tegel heeft een oppervlakte van 1 600 cm2. Bereken de lengte van een zijde van een tegel.
IN
Vierkantswortel van een positief getal
Definitie
VA
N
2.2.2 Definitie
aa r©
Een vierkantswortel van een positief getal is een getal waarvan het kwadraat gelijk is aan dat positief getal. In symbolen
b is een vierkantswortel van a ¤ b 2 = a Opmerking
Waarom kun je de vierkantswortel van een negatief getal niet bepalen?
pl
ex em
2.2.3 Positieve en negatieve vierkantswortel van een getal positieve vierkantswortel
• Bepaal een positief getal waarvan het kwadraat gelijk is aan 81. 2
negatieve vierkantswortel • Bepaal een negatief getal waarvan het kwadraat gelijk is aan 81. 2
( ) = 81
( ) = 81
• Besluit:
• Besluit:
noem je de positieve vierkantswortel van 81.
noem je de negatieve vierkantswortel van 81.
5
• Notatie:
• Notatie:
6
1
3
in
ki
4
jk
2
81 =
81 = –
7
8
Besluit
• Elk positief getal a, verschillend van 0, heeft twee vierkantswortels die tegengesteld zijn:
9 ■
de positieve vierkantswortel of kortweg de vierkantswortel van a is a
■
de negatieve vierkantswortel van a is − a
10 11 12
68
• 0 heeft juist één vierkantswortel, namelijk 0 zelf. • Elk negatief getal a, verschillend van 0, heeft geen vierkantswortels. HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
Oefeningen REEKS A
14
f)
144
=
b) – – 100
=
g)
0,25
=
c)
=
h) – – 6 400
=
d) – – 1
=
i)
=
e) – – 625
=
j)
0,04
=
Bereken met de rekenmachine op 0,001 nauwkeurig. a)
5
=
b) – – 3
=
c)
=
ex em
490
f)
98 741
=
g) – – 158
=
h) – – 965
=
d) – – 2
=
i)
147,2
=
e)
=
j) – – 954,26
=
1 258
Bepaal zonder rekenmachine de twee gehele getallen waartussen het resultaat van de vierkantswortels ligt. Controleer achteraf het resultaat met de rekenmachine.
in
ki
jk
15
0,81
VA
169
N
=
25
aa r©
a)
IN
Bereken zonder rekenmachine.
pl
13
ligt tussen de gehele getallen ...
verklaring
a)
32
en
b)
250
en
c) – – 12
en
d) – – 184
en
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
69
REEKS B Bepaal de gevraagde lengten op 0,001 cm nauwkeurig.
d) de diameter van een cirkel met een oppervlakte van 845 cm2
aa r©
N
b) de rechthoekszijde van een gelijkbenige rechthoekige driehoek met een oppervlakte van 414 cm2
Los de vergelijkingen op. a) x 2 – 25 = 0
ex em
x 2 = 25
pl
17
c) de straal van een cirkel met een oppervlakte van 120 cm2
d) 5x 2 = 180
x = 25 of x = – 25 x = 5
of x = –5
De oplossingen 5 en –5 noteer je in de oplossingsverzameling V = {–5, 5}.
b) x 2 + 7 = 71
1
3
e) 3x 2 – 63 = 300
ki
4
jk
2
5
in
6 7
8 9 10 11 12
70
c)
IN
a) de zijde van een vierkant waarvan de oppervlakte 278 cm2 bedraagt
VA
16
x2 = 28 7
f)
x2 + 14 = 62 3
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
18
VA
N
IN
De Body Mass Index wordt ook wel eens de queteletindex genoemd, naar de Belgische wiskundige en astronoom Adolphe Quetelet (1796-1874). Quetelet wordt beschouwd als een van de grondleggers van de moderne sociale statistiek, die zich bezighoudt met het organiseren van volkstellingen en het schetsen van de ‘modale’ mens. Hij was ook heel bedrijvig als sterrenkundige en is de stichter van de Sterrenwacht van Brussel, de voorloper van het Koninklijk Meteorologisch Instituut. m De Body Mass Index (BMI) van een persoon is het getal BMI = 2 . l Daarbij is m de massa in kilogram en l de lengte in meter. De ‘ideale’ BMI ligt tussen 18,5 en 25. Wie minder dan 18,5 scoort, is te mager. Wie een BMI hoger dan 25 heeft, is te zwaar. Een BMI hoger dan 30 levert het etiket ‘zwaarlijvig’ op.
Bepaal de lengte van een persoon aan de hand van de BMI en de massa van de persoon. Bepaal je antwoord op 0,01 m.
b) BMI = 20 c) BMI = 28
m = 94 kg
m = 50 kg
ex em
d) BMI = 18
m = 60 kg
pl
m = 78 kg
aa r©
a) BMI = 24
Een klassiek probleem van de oude Grieken: ‘Construeer een vierkant met dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel.’ Dat probleem is gekend als de kwadratuur van een cirkel.
jk
Stel: r is de straal van de cirkel. x is de zijde van het vierkant.
in
ki
Dan: x 2 = ? r 2
19
Bereken de zijde van een vierkant dat dezelfde oppervlakte heeft als een cirkel met een straal van 5 cm. Bepaal je antwoord op 0,001 cm nauwkeurig.
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
71
REEKS C Inthe en Ruben zijn op zoek naar een geschikt stuk bouwgrond. Tijdens een wandeling vinden ze op een stuk grond een bordje met de onderstaande gegevens. Bij navraag in de buurt komen ze enkel te weten dat de aanpalende stukken vierkant zijn. Bereken de oppervlakte van het stuk bouwgrond dat te koop is, op 0,01 m2 nauwkeurig.
657 m 2
Lot 1
IN
20
985 m 2
Lot 2
Lot 3
N
TE KOOP
Een ‘wiskundige slinger’ bestaat uit een massa m die aan een staaf of kabel hangt met lengte l en waarvan de massa verwaarloosbaar is. Als de massa uit haar evenwichtstoestand wordt gebracht en daarna losgelaten, zal die heen en weer bewegen onder invloed van de zwaartekracht. De periode van de slinger is de tijd die de massa nodig heeft om één keer heen en weer te bewegen.
aa r©
l
Van een wiskundige slinger met lengte 4 m wordt de periode gemeten. Die bedraagt 4,014 s. Bepaal daaruit een benaderde waarde, op 0,01 nauwkeurig, voor de valversnelling.
1
jk
2
ki
4
T is de periode in seconden, l is de lengte van de slinger in meter en g is de valversnelling in m/s 2 (de toename van de snelheid van een vallend voorwerp, per seconde, onder invloed van de zwaartekracht).
ex em 21
3
l . g
pl
Er geldt: T = 2 m
VA
5
in
6 7
8 9 10 11
22
De valversnelling op de maan is zes keer kleiner dan de valversnelling op de aarde. Wat zal de invloed daarvan zijn op de periode van een slinger op de maan ten opzichte van eenzelfde slinger (massa en lengte zijn gelijk) op aarde?
12
72
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
2.3
De reële getallen
2.3.1 Getallen die je al kent Geheel getal
Rationaal getal
Een natuurlijk getal is een getal dat je verkrijgt bij het tellen van aantallen.
Een geheel getal is een getal dat je verkrijgt bij het aftrekken van twee natuurlijke getallen.
Een rationaal getal is een getal dat je verkrijgt bij de deling van twee gehele getallen waarbij het tweede getal niet 0 is.
5 is een natuurlijk getal.
−3 is een geheel getal.
Notatie: 5 ΠN
Notatie: −3 Œ Z
Lees: 5 is element van N.
Lees: −3 is element van Z.
N
3 is een rationaal getal. 4 3 Notatie: ΠT 4 3 Lees: is element van T. 4
aa r©
2.3.2 Uitbreiding getallen Irrationale lengten
IN
Natuurlijk getal
VA
Definitie
Om een tuinhek te verstevigen, plaats je vier diagonale balken. Bereken de lengte van een diagonale balk aan de hand van de afmetingen op de tekening.
pl
ex em
Duid aan welk soort getal het resultaat voor de lengte van de diagonale balk zeker niet is.
❒ natuurlijk getal
❒ geheel getal
❒ rationaal getal
De rekenmachine is ontoereikend om na te gaan of het verkregen resultaat een rationaal getal voorstelt. Ook met de computer, die heel wat meer decimalen kan berekenen, kun je het einde van het getal niet ontdekken (decimaal getal?) en ook geen periode (decimale vorm?). Irrationale getallen
ki
jk
Er bestaan getallen met oneindig veel cijfers na de komma en zonder periode. Die getallen kun je niet als breuk schrijven en het zijn bijgevolg geen rationale getallen. Je noemt ze irrationale getallen.
in
Voorbeelden: • 2 = 1,414 213 562 3... • 0,123 456 789... • p = 3,141 592 653 589 793 238 46...
2 met de computer berekend tot op 200 decimalen: 2 = 1, 414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 732 478 462 107 038 850 387 534 327 641 572 735 013 846 230 912 297 024 924 836 055 850 737 212 644 121 497 099 935 831 413 222 665 927 505 592 755 799 950 501 152 782 060 571 47...
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
73
2.3.3 Bewijs: 2 is irrationaal Vermoeden Bij het berekenen van 2 ontdek je geen periode. Dat laat vermoeden dat 2 een irrationaal getal is. Je stelt een bewijs op, waarbij je aantoont dat 2 een irrationaal getal is.
Ofwel is 2 rationaal, ofwel is 2 irrationaal. Andere mogelijkheden zijn er niet. Veronderstel dat 2 rationaal is. Als je kunt aantonen dat dat onmogelijk is, dan is 2 irrationaal. Zo’n bewijsvorm noem je een bewijs uit het ongerijmde.
N
bewijs 2 is een rationaal getal. definitie rationaal getal
fl a b
2=
VA
Stel:
onvereenvoudigbare breuk (a, b Œ N, b ≠ 0) rekenen in T
fl a b
2
aa r©
2=
IN
Bewijs uit het ongerijmde
rekenen in T
fl 2=
a
2
b
2
rekenen in T
fl 2
2
pl
2b = a (1) 2
2
fl
ex em
definitie even
2
a is even
fl
a is even (2)
3
2
4n 2
2
rekenen in T
fl 2
2
b = 2n
a = 2n (n ΠN) (3)
fl
in 8
9
fl
2 is een irrationaal getal.
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
a is een onvereenvoudigbare breuk b
De veronderstelling is foutief.
bewijs
12
is vereenvoudigbaar fl
definitie even
2
b is even
a Æ even (uit (2)) b Æ even (uit (4))
7
74
rekenen in T
fl
b is even (4)
6
11
2
2b = 4n
5
10
rekenen in T
fl
b =
ki
4
jk
2
2
grondtal van een even kwadraat is even
fl Aangezien a even is, kun je a schrijven als 2n. fl
1
2
2
2b = (2n) (uit (1) en (3))
Uit (1): 2b = a
grondtal van een even kwadraat is even
2.3.4 Rationale en irrationale vierkantswortels irrationale vierkantswortels
•
121
=
•
32
=
•
1 4
=
•
5 4
=
•
6,25
=
•
10,02
=
IN
rationale vierkantswortels
Besluit
N
Een vierkantswortel van een rationaal getal heeft ofwel • een rationaal getal als uitkomst.
VA
Voorbeelden: • een irrationaal getal als uitkomst.
GEOGEBRA EN PYTHON
2.3.5 Reële getallen
aa r©
Voorbeelden:
De rationale en de irrationale getallen samen noem je de reële getallen. Definitie
Reëel getal
pl
Een reëel getal is een getal dat rationaal of irrationaal is.
ex em
De verzameling van de reële getallen noteer je als R.
R N
Z
T
in
ki
jk
2 is een reëel getal. Notatie: 2 Œ R Lees: 2 is element van R Plaats de getallen in het venndiagram. 7,25
37
–2,4
2,345…
– 7
0,22…
–6
3
12 3
1 3
– Enkele bijzondere deelverzamelingen van R: R0 : de reële getallen zonder 0 +
R : de positieve reële getallen –
R : de negatieve reële getallen De irrationale getallen bevinden zich in R, maar niet in T:
GeoGebra HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
75
2.3.6 Absolute waarde van een reëel getal Definitie
Absolute waarde De absolute waarde van een reëel getal is gelijk aan het getal zonder toestandsteken (plus of min).
IN
Voorbeelden: – 3 = 0,123 45... = – =
2.3.7 Tegengestelde van een reëel getal Tegengestelde
N
Definitie
VA
Het tegengestelde van een reëel getal is het reëel getal met dezelfde absolute waarde, maar met een verschillend toestandsteken.
Voorbeelden: –(– 2 ) = –(+p) = –(–1,246...) =
Definitie
Omgekeerde
aa r©
2.3.8 Omgekeerde van een reëel getal
Het omgekeerde van een reëel getal is gelijk aan 1 gedeeld door dat getal (verschillend van nul).
pl
–1
ki
jk
2
4
–1
= (p) = (– 17 ) =
• Er bestaat een ‘wetenschap’ die zich bezighoudt met technieken om de cijfers van p te onthouden: de Piphilologie. Het bekendste geheugensteuntje komt van de schrijver en biochemicus Isaac Asimov (1920-1992): 'How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!' In die zin staat het aantal letters van elk woord voor de opeenvolgende cijfers van het getal p : 3,141 592 653 589 79. Wie liever een Nederlandstalig zinnetje onthoudt, kan volgens hetzelfde systeem de eerste dertien cijfers van het getal p onthouden: 'Ook u kunt u zeker vergissen, uw zwakke brein kan immer verkeerd beslissen.'
1
3
–1
ex em
Voorbeelden:
1 2
5
in
6 7
8 9 10 11
• In 1897 werd in het parlement van de Amerikaanse staat Indiana een wet aangenomen waarin stond dat het getal p gelijkgesteld moest worden aan 3,2. Edwin J. Goodwin, een amateurwiskundige, was de opsteller van die wet. Naast een ‘praktische’ reden had Goodwin er ook financieel belang bij. Door de ‘uitvinding’ van p = 3,2 kon hij een patent verkrijgen en zo royalty’s ontvangen. De wet werd nadien door de Senaat verworpen dankzij de toevallige aanwezigheid van een wiskundige die de fouten kon aanwijzen die Goodwin gemaakt had om tot p = 3,2 te komen.
12
76
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
Oefeningen REEKS A Plaats de getallen in het venndiagram. c) 1,5
b) 0
d)
3 4
1 3
e) 0,33...
g) –
f) – 5
h) –1,232 3...
k)
j) 5,024 6...
12
l) –5
R
T
Z
Noteer de meest passende getallenverzameling. Kies uit N, Z, T of R. Œ
b) 0,23
Œ
c) 4 585
Œ
d) 0,135 79...
Œ
i)
Œ
e)
Œ
k) p
Œ
g) −1,5
Œ
l) 0,047 47...
Œ
3 7
Œ
m) −8,113
Œ
6
Œ
n) – 2
Œ
j) 99
Œ
o)
1 3
Œ
h) –
Zijn de gegeven getallen rationaal of irrationaal? irrationaal
a) 1,233...
❒
❒
b) 1,234 5...
❒
❒
h)
c) p
❒
❒
i)
d)
❒
❒
e) 7 890
❒
f) –8,5
❒
in
rationaal
ki
jk
25
1 6
f) 1,232 3...
pl
a) −5
ex em
24
aa r©
VA
N
i) 154
IN
a) –12
N
23
100
rationaal
irrationaal
g) – 7
❒
❒
1 5
❒
❒
❒
❒
j) –473
❒
❒
❒
k)
625
❒
❒
❒
l) –
2 3
❒
❒
2
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
77
REEKS B Duid met een vinkje aan tot welke verzameling(en) het gegeven getal behoort. – 0,25
– 5
0,166...
p+1
1 2
4 25
Œ
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
N
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
Z
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
T
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
R
0,44...
❒
❒
❒
25
IN
3
0,44
28
1
zijde irrationaal
A (m2)
zijde rationaal
zijde irrationaal
a)
81
❒
❒
f)
3 487
❒
❒
b)
348
❒
❒
g)
144
❒
❒
c)
8 792
❒
❒
h)
99
❒
❒
d)
3 136
❒
❒
i)
11 025
❒
❒
e)
484
j)
14 972
❒
❒
pl
aa r©
zijde rationaal
❒
❒
Schrijf zonder absolutewaardeteken. a) –7
=
d) – –
b) 0,85
=
=
c) – 3
3 7
=
g) 1 – 2
e) – 1,233...
=
h)
f) – –
=
i) –
ki
4
A (m2)
jk
2 3
Is de zijde van het vierkant, waarvan de oppervlakte A gegeven is, een rationale of een irrationale lengte? Zet een vinkje.
ex em
27
VA
N
26
5
in
6 7
8 9 10 11 12
78
29
Schrijf zo eenvoudig mogelijk. a) –(–8)
=
d) –(– 11 )
b) –( 2 )
=
e) –(+1,455...) =
c) –(p)
=
f) – –
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
5 2
=
=
=
– 5 +1 2
=
3– 7 4
=
Bepaal het omgekeerde van de reële getallen. Schrijf je antwoord als een decimaal getal. Rond, indien nodig, af op 0,001 nauwkeurig. –1
4 7
a)
–1
b) (–2) c)
(
–1
2)
–1
1 4
=
d) –
=
e) 1,33...
–1
–1
=
f) 12
g) (5
=
h) (–0,35)
=
i)
–1
6
=
d) Z \ N
=
b) N » Z
=
e) R « T
+
=
+
=
+
f) R \ R
=
Verbind je de middens van de zijden van een vierkant, dan verkrijg je een vierkant zoals het groene vierkant op de tekening. De oppervlakte van het grote vierkant bedraagt 4 m2. Bereken de zijde van het kleine vierkant. Bepaal je antwoord op 0,001 m nauwkeurig. P
B
ex em
A
pl
32
7
N
=
aa r©
a) R « T
–
=
VA
Vul de getallenverzameling in.
c) Z « Z
3) = –1
REEKS C 31
–1
=
IN
30
S
jk
D
Q
R
C
ki
in
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
79
33
Een vierkantswortel uit een natuurlijk getal (n ≠ 0) is altijd een natuurlijk getal of een irrationaal getal. Vul het bewijs uit het ongerijmde verder in. bewijs Stel: n is een rationaal getal fl a n = (onvereenvoudigbare breuk) (a Œ N, b Œ N0) b kwadrateren
IN
fl
n = (onvereenvoudigbare breuk) fl 2
N
n ΠN en onvereenvoudigbaar dus b = fl fl
VA
b =
a is een getal. b
aa r©
fl
n is een getal. fl
Als n een rationaal getal is, dan is het een getal. besluit
pl
ex em
34
1
a)
xŒR
xŒT
c) –x Œ R
xŒR
b)
xŒR
ki
4
x= 5
jk
2 3
Vul het best passende symbool in: fi of ‹ of ¤. Maak zo de uitspraak waar. Geef een verklaring.
5
in
6 7
8
+
d) x 2 ΠR
9 10
+
e)
+ 1 ΠR0 x
–
–
xŒR
+
x ΠR0
11 12
80
Manuele berekening van een vierkantswortel HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
verklaring
2.4 Irrationale getallen benaderen 2.4.1 Inleiding Controleer de afgeronde waarde aan de hand van de definitie van een vierkantswortel. 2
• 0,01
:
fi (
) =
• 0,001
:
fi (
) =
• 0,000 1 :
fi (
) =
• 0,000 01 :
fi (
) =
2 2
IN
Bereken 5 . Rond af op het gegeven aantal decimalen.
N
2
VA
Een irrationaal getal kan nooit exact worden geschreven als decimale vorm. De decimale vorm is enkel een benaderde waarde van dat irrationaal getal.
2.4.2 Afronden Voorbeeld:
aa r©
Het afronden van een irrationaal getal gebeurt in functie van de toepassing.
Koenraad berekent de lengte van het diagonale tussenschot van de afgebeelde tuinomheining. Hij zal de berekende waarde controleren door de meting uit te voeren met een vouwmeter.
60 cm
60 cm
pl
x cm
ex em
2.4.3 Wortelvormen
Omdat je een irrationale vierkantswortel toch niet exact kunt weergeven door een decimale vorm, kun je als eindresultaat van een opgave de vierkantswortel of een veelvoud ervan noteren.
Definitie
Wortelvorm
Een wortelvorm is een product van een irrationale vierkantswortel en een rationaal getal.
jk
Opmerking
in
ki
• Bij een wortelvorm noteer je het rationaal gedeelte altijd vooraan. • Bij een wortelvorm mag je het vermenigvuldigingsteken weglaten. Voorbeelden 3 2 , –7 145 ,
1 3
15 ,
Benaderingen van p
op 2 decimalen nauwkeurig
op 6 decimalen nauwkeurig
op 20 decimalen nauwkeurig
22 7
355 113
428 224 593 349 304 136 308 121 570 117 HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
81
2.4.4 Irrationale getallen benaderen met intervallen Interval
IN
Tijdens een stralende zomerdag rust Fatima tussen 14u en 14u30 uit op een bank in het park. De tijd tussen 14u en 14u30 noem je een tijdsinterval.
Interval in R Interval in R
N
Definitie
VA
Een interval in R is een ononderbroken verzameling van reële getallen.
Soorten intervallen
gesloten interval open interval halfopen interval
interval
{x Œ R | −1 £ x £ 6}
[−1, 6]
{x Œ R | −1 < x < 6}
]−1, 6[
{x Œ R | −1 < x £ 6}
]−1, 6]
{x Œ R | −1 £ x < 6}
[−1, 6[
pl
halfgesloten interval
omschrijving
aa r©
soort interval
ex em
Irrationale getallen benaderen
Je kunt een irrationaal getal benaderen door aan te duiden tot welk interval, begrensd door twee rationale getallen, dat irrationaal getal behoort. GeoGebra
Opmerkingen
• Het aantal decimalen van de grenzen van het interval bepaalt de breedte van het interval. • Om irrationale getallen te benaderen, gebruik je open intervallen.
1 2
35 = 5,916 079 783
ki
4
Voorbeeld
jk
3
5
intervalbreedte
begrenzing
interval
1
5 < 35 < 6
]5, 6[
0,1
5,9 < 35 < 6,0
]5,9; 6,0[
in
6 7
8 9 10
0,01
5,91 < 35 <
]5,91; [
0,001
< 35 <
] ; [
0,000 1
< 35 <
] ; [
11 12
82
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
Oefeningen REEKS B
3 2
=
f) – 33 (–14)
=
b)
17 0,5
=
g) (–4) 2,7
3
=
=
h) –0,12 (– 12,8 ) =
=
i)
=
12 j) – 15
d)
1 (–4) 7
3 e) – 7 4
36
5 7
3 – 8
–1
=
pl
meettoestel
afronding
meetlat op 1 mm
schuifmaat op 0,02 mm
ki
jk
Een ring heeft een omtrek van 20 cm. Bereken de diameter van de ring. Rond af naargelang het gebruikte meettoestel voor de controlemeting. afronding voor de controlemeting: meettoestel
=
afronding voor de controlemeting:
ex em
3,2 cm
2,6 cm
in
–
Bereken de schuine zijde van de rechthoekige driehoek bij het huisnummer 4. Rond af naargelang het gebruikte meettoestel voor de controlemeting.
37
1 8
VA
c) – 2 8
N
a)
IN
Schrijf de gegeven uitdrukkingen als een wortelvorm.
aa r©
35
afronding
meetlat op 1 mm
schuifmaat op 0,02 mm
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
83
Vul de tabel in.
a)
{x Œ R | 3 £ x £ 11}
b)
{x Œ R | –4 < x < 8}
c)
{x Œ R | –1,5 £ x < –0,75}
d)
]4, 16[
e)
[1,7; 8,5]
f)
– 3,
8
aa r©
b)
0,1
0,01
1
10
d)
148
e)
−4,010 020 003...
0,000 1
f)
– 1 214
0,001
pl
– 21
Verbind een wortelvorm uit de eerste kolom met een wortelvorm uit de tweede kolom die een voorstelling is van hetzelfde irrationaal getal.
5
8 2
•
•
9 21
7 175
•
•
35 7
3 189
•
•
4 8
48 5
•
•
3 216
18 6
•
•
6 320
in
6 7
8 9 10 11 12
84
interval
c)
ki
4
7,123 456...
jk
2 3
a)
intervalbreedte
ex em 40
In welk open interval met gegeven breedte liggen de volgende irrationale getallen? irrationaal getal
1
soort interval
VA
39
interval
IN
omschrijving
N
38
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
REEKS C 41
Bereken de opening van de steeksleutel die je moet gebruiken om de moer los te draaien.
IN
7,5 mm
Juist of fout?
juist
fout
❒
❒
b) 3 32 = 3a 2 als a = 4
❒
❒
ex em
42
aa r©
VA
N
❒
❒
❒
❒
311 is een benadering van p op 3 decimalen nauwkeurig. 99
pl
a)
c)
2 < x < 3 is een omschrijving van een gesloten interval.
d) p Π[3,141 6; 3,141 7[
Vul de wortelvormen aan met een geheel getal, zodat het irrationaal getal dat daardoor ontstaat, tot het gegeven interval behoort.
in
ki
jk
43
a)
Π]2,4; 2,5[
f) ? 19
Π]34, 35[
b)
Π]10,77; 10,78[
g) –14 ?
Œ ]–72, –71[
c) ? 2
Π]7, 8[
h) ? 110
Π]110, 120[
d) 3 ?
Π]7,93; 7,94[
i) –8 ?
Œ ]–58, –57[
e) –
Œ ]–3,47; –3,46[
j) ? 120
Œ ]–150, –140[
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
85
2.5 Reële getallen ordenen 2.5.1 Inleiding £
>
≥
Voorbeelden –141
7 8
–114
0,850
19
3 2
–p
N
<
IN
Symbolen
– 10
VA
2.5.2 Irrationale getallen voorstellen op een getallenas
aa r©
Door een natuurlijk getal n te schrijven als een som van kwadraten, kun je n met een aantal rechthoekige driehoeken exact construeren. Voorbeelden
b) c = 63
a) b = 27
63 = 49 + 14 = 49 + 9 + 5 = 49 + 9 + 4 + 1 2 2 2 2 = 7 +3 +2 +1
27 = 25 + 2 = 25 + 1 + 1 2 2 2 = 5 +1 +1 2
b
pl
a
2
a
2
b
c
ex em b
1
1
5
1
2
c 63
b
ki
4
jk
3
2
Stap 3: Doe dat verder tot alle termen kwadraten van een natuurlijk getal zijn.
1
2
Stap 1: Schrijf het getal n als een som van een kwadraat van een natuurlijk getal en een tweede natuurlijk getal. Neem het kwadraat dat het dichtst bij het getal n ligt en kleiner is dan het getal n. Stap 2: Splits dat tweede getal als een som van een kwadraat van een natuurlijk getal en een derde natuurlijk getal.
27
a
2
GeoGebra
Stap 4: Teken de nodige rechthoekige driehoeken.
5
a
in
6 7
3
Stap 5: Pas de verkregen lengte n af en plaats het irrationaal getal op de getallenas.
8 9
7
10 11 12
86
0 HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
1
R
2.5.3 Abscis van een punt op de getallenas Plaats de gegeven reële getallen bij de correcte stip op de getallenas.
0
1 3
0,75
–1
1
R
Abscis van een punt De abscis van een punt van de getallenas is het reëel getal dat overeenkomt met dat punt van de getallenas. A
VA
Notatie: ab(A) = 0,5
N
Definitie
–
4
p
IN
2
0
0,5
1
R
Besluit
aa r©
Met de rationale getallen kun je nog niet aan elk punt van de getallenas een abscis toekennen. Met de irrationale getallen erbij is dat wel mogelijk. Elk punt van de getallenas komt overeen met één reëel getal. Elk reëel getal komt overeen met één punt van de getallenas.
2.5.4 Intervallen voorstellen op een getallenas
pl
Voor het voorstellen van intervallen op een getallenas gelden de volgende richtlijnen:
ex em
• De breedte van het interval wordt voorgesteld met een groene of een vetgedrukte lijn.
[1, 3] 0
• De grenzen van het interval worden voorgesteld met een stip:
jk
gesloten
ki
open
●
of
●
of
●
]–1, 2[ 0
1
R
0
1
R
[–2, 0[
[–1, + •[
in
• Bijzondere intervallen: [–1, +∞[
+∞: plus oneindig
]–∞, 2[
−∞: min oneindig
R
1
0
1
R
1
R
]– •, 2[ 0
Opmerking Het interval is altijd open bij –∞ en +∞.
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
87
Oefeningen REEKS A
1 042
k)
−79,14
b)
−98
−89
l)
3,002 345...
c)
3,24
3,240
m)
– 459
d)
−0,001
0,000 1
n)
2,99...
e)
1,22...
1,234 5...
o)
35,185
f)
−4 897 324
−4 987 243
p)
3 7
g)
23
q)
– 48
h)
p
i)
1 2
j)
−7
3,002 343 4... −21,424 2... 3
VA
aa r©
24
79,13
IN
1 024
N
a)
10
r)
0,25
s)
49
t)
–
15 19 10 12
3 2
a)
c)
1
2
3
b)
1 1
5
6
in
n= d)
ki
4
jk
3
5
n=
1
7
8 9
1
3
1
10
5
11
n=
12
88
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
7
n=
–4 3
2 3
1
2
3 8
5 6
1
1
1 238
−0,789
n werd met een aantal rechthoekige driehoeken geconstrueerd. Bepaal n.
ex em
45
Vul in met <, > of =.
pl
44
REEKS B Stel de irrationale getallen voor op de getallenas. Maak daarvoor de nodige constructies met rechthoekige driehoeken. a)
c) – 15
8 =
15 =
=
=
=
=
b) – 22
d)
33 33 =
ex em
22 =
pl
aa r©
VA
N
8
IN
46
=
=
=
in
ki
jk
=
R 0
1
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
89
Construeer een lijnstuk van 38 cm op twee verschillende manieren met twee rechthoekige driehoeken. 38 =
38 =
=
=
=
=
ex em
pl
aa r©
VA
N
IN
47
48
Wat is de abscis van de punten A en B? a)
1
3
ki
4
jk
2
5
4
3
A
0
B
1
in
6 7
b)
8 9
2
10 11
0
12
90
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
1
2
3
4 B
A
49
Benoem de punten van de getallenas aan de hand van de gegeven abscis. ab(A) = 2
ab(C) = – 3
ab(B) = −1,5
ab(D) =
ab(E) = 2,8
3 4
ab(F) = –
ab(G) = 7
7 3
ab(H) = –
9 5
ab(I) = 9 ab(J) = 2 5
R
Bepaal de abscis van de benoemde punten van de getallenas.
N
50
1
a) 1
ab(B) =
b) G
ab(F) =
A
J
ab(C) =
F
0
ab(G) =
ab(D) =
1
ab(H) =
ab(E) =
R H
I
ab(I) =
pl
ex em b) ]−2, 2[
ki
jk
c) ]0, 5]
in
B
ab(J) =
Stel de intervallen voor op de getallenas. a) [1, 4]
d) [3, +∞[
e) [−3, −1[
f) ]−∞, 4[
D
R
VA
ab(A) =
0
aa r©
E C
51
IN
0
R 0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
R
R
R
R
R
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
91
Noteer als een interval. R
a)
1
0
1
0
1
voorstelling
0
1
0
1
c)
0
1
d)
0
1
0
1
0
1
0
1
ex em jk
]−∞, 0[
ki
e)
IN
N
aa r©
]−2, 3]
b)
omschrijving R
R
R
R
R
{x Œ R | 0 £ x < 2}
R
f)
5
0
pl
Vul de tabel in. interval
4
1
R
f)
3
0
R
e)
2
1
R
d)
1
0
R
c)
a)
1
R
b)
53
0
VA
52
{x Œ R | –1 < x < 3}
in
6 7
g)
[−1, 4]
R
8 9
0
1
i)
0
1
10 11 12
92
R
h)
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
R
{x Œ R | –1 £ x £ 2}
REEKS C 54
Noteer als een interval. =
d) R
–
=
+
=
e) R0
=
–
=
f) R \ R =
a) R b) R
–
IN
c) R0
knoppen
Voer de lijst getallen in en sla ze op in de werklijst L1.
Sorteer L1 in oplopende volgorde en vraag L1 op.
K
L5
U L5
5
I
√
U
EE
5
Y
1
J
L
}
2nd
, L1
L1
x2
2nd
(
Y
)
aa r©
Opmerking Als je na het sorteren wilt weten welke decimale benadering bij wat hoort, noteer dan de waarden.
{
2nd
scherm
VA
actie
N
REKENMACHINE
rcl
X
sto
1
2nd
L1
list
L1
Y
1
stat
2nd
Y
2nd L1
L entry solve
}
1
enter
2nd
Y
1
pl
)
entry solve
ex em
enter
55
Rangschik de reële getallen van klein naar groot. a)
jk
b)
ki
<
in
<
42 5 <
–7
– 5 <
<
22 7
p <
<
79
–2,5 <
<
8,5
10
102 <
– 7
3,14
<
<
13 5
d)
8,88... <
–
c)
<
71
42 4
10,25
105
7 3
10 <
<
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
93
2.6 Derdemachtswortel van een reëel getal 2.6.1 Inleiding
Om de nodige componenten in de kubusvormige bluetooth speaker te kunnen stoppen, is een volume van 216 cm3 nodig. Bepaal de ribbe r van de bluetooth speaker. V = r 3 = 216 cm3
V = = 216 cm3
Om de zijde van de kubus te bepalen aan de hand van het volume, bereken je de derdemachtswortel van het volume.
N VA
2.6.2 Definitie Derdemachtswortel van een reëel getal
Definitie
IN
In symbolen
aa r©
De derdemachtswortel van een reëel getal is een getal waarvan de derde macht gelijk is aan dat reëel getal.
3
b is de derdemachtswortel van a ¤ b = a 3
Notatie: a REKENMACHINE
knoppen
pl
actie
ex em
Bereken de derdemachtswortel van een getal.
1
3
math
L4
Τ
4
Voer het getal in. entry solve
enter
3
8
=
want = 8
•
3
3,375
=
want
•
3
8 27
=
want
3
–64
=
want
3
0
=
want
•
ki
4
A
2.6.3 Voorbeelden
jk
2
test
3
5
in
6 7
8
•
9 10
•
11 12
94
Vaststelling
Elk reëel getal heeft juist één derdemachtswortel.
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
scherm
Oefeningen REEKS A
a)
3
27
=
d)
3
0
=
b)
3
64
=
e)
3
–8
=
c)
3
–1
=
f)
3
125
=
IN
Bereken zonder rekenmachine.
3
216
=
b)
3
15,625
=
c)
3
–1 331
=
d)
3
–
27 4 096
aa r©
a)
=
e)
3
91 125
=
f)
3
–0,001
=
e)
3
0,036
=
–81
=
=
Bereken met de rekenmachine op 0,001 nauwkeurig. a)
3
b)
7
=
3
2,458
=
f)
3
c)
3
–845
=
g)
3
d)
3
5 4
=
h)
3
–
8 15
=
ki
jk
ex em
58
Bereken met de rekenmachine.
pl
57
VA
N
56
in
REEKS B
59
Bepaal de ribbe van de kubus waarvan het volume gegeven is. a) V = 21,952 m3
b) V = 4 913 cm3
c) V = 39,304 dm3
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
95
60
Een kubus uit plexiglas heeft een volume van 2 750 cm3. Bereken de ribbe van de kubus op 0,01 cm nauwkeurig.
Een kubusvormige koelkast heeft een inhoud van 100 l. De wanden hebben een dikte van 3 cm. Bereken de zijde van de koelkast op 0,01 cm nauwkeurig.
N
61
IN
VA
aa r©
Bereken de zijde van een dobbelsteen met een volume van 2,4 cm3. Rond af naargelang het gebruikte meettoestel voor de controlemeting.
pl
62
ex em
1
3
afronding voor de controlemeting: meettoestel
afronding
meetlat op 1 mm
schuifmaat op 0,02 mm
ki
4
jk
2
5
in
6 7
63
Kun je met 343 gelijke kubusjes een volledig gevulde grote kubus bouwen? Verklaar je antwoord.
8
9 10
11
12
96
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
64
De kubus van Rubik, met vlakken van 3 bij 3, heeft een volume van 166 cm3. Bereken, op 1 mm nauwkeurig, de ribbe van een klein kubusje waaruit de vlakken zijn opgebouwd.
Los de vergelijkingen op. a) x3 + 5 = 2 749
c) 5x3 − 7 = 196 513
VA
aa r©
b) 3x3 = 648
d) 2x3 + 63 = 9
ex em
REEKS C
pl
N
65
IN
66
Een kubusvormig zitkussen heeft een massadichtheid van 80 kg/m3 en een massa van 17 kg. m Bepaal de zijde van het zitkussen op 1 mm nauwkeurig. Gebruik de formule V = . r
in
ki
jk
67
Een voetbal heeft een inhoud van 5,5 liter. Bereken de straal van de voetbal op 1 mm nauwkeurig.
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
97
STUDIEWIJZER De reële getallen voor de leerling
2.1 Decimale voorstelling van rationale getallen KUNNEN
voor de leerkracht
– + – +
Decimale getallen, zuiver repeterende en gemengd repeterende decimale vormen van elkaar onderscheiden. De periode en het niet-repeterend deel van een decimale vorm aanduiden.
IN
Decimale schrijfwijze omvormen naar breuk. Breuk omvormen naar decimale schrijfwijze.
2.2 Vierkantswortels
– + – +
KUNNEN
2.3 De reële getallen
aa r©
De vierkantswortels van een positief getal berekenen.
VA
Een vierkantswortel van een positief getal is een getal waarvan het kwadraat gelijk is aan dat positief getal.
N
KENNEN
KENNEN
– + – +
– + – +
Een reëel getal is een getal dat rationaal of irrationaal is.
De absolute waarde van een reëel getal is dat getal zonder toestandsteken.
Het tegengestelde van een reëel getal is het reëel getal met dezelfde absolute waarde, maar met een verschillend toestandsteken.
ex em
pl
Het omgekeerde van een reëel getal is 1 gedeeld door dat reëel getal.
KUNNEN
– + – +
Getallen voorstellen in een venndiagram. De absolute waarde van een reëel getal bepalen. Het tegengestelde van een reëel getal bepalen. Het omgekeerde van een reëel getal bepalen.
2.4 Irrationale getallen benaderen
1
3
in 7
KUNNEN
Werken met intervallen. Irrationale getallen afronden in betekenisvolle situaties. Irrationale getallen benaderen met intervallen.
8 9 10 11 12
98
– + – +
Een interval in R is een verzameling van opeenvolgende reële getallen.
5
6
KENNEN
Een wortelvorm is een product van een irrationale vierkantswortel en een rationaal getal.
ki
4
jk
2
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
– + – +
voor de leerling
2.5 Reële getallen ordenen KENNEN
voor de leerkracht
– + – +
Een abscis van een punt op de getallenas is het reëel getal dat overeenkomt met dat punt van de getallenas.
KUNNEN
– + – +
Reële getallen ordenen.
IN
Irrationale lengten tekenen met behulp van de stelling van Pythagoras. Reële getallen voorstellen op een getallenas. De abscis van een punt op de getallenas bepalen.
N
Intervallen voorstellen op een getallenas.
KENNEN
VA
2.6 Derdemachtswortel van een reëel getal
– + – +
Een derdemachtswortel van een reëel getal is een getal waarvan de derde macht gelijk is aan dat reëel getal.
– + – +
aa r©
KUNNEN De derdemachtswortel van een reëel getal berekenen.
in
ki
jk
ex em
pl
Vraagstukken waarbij gebruikgemaakt wordt van derdemachtswortels, oplossen.
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
99
Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
❑ filter
❑ schets
❑ patroon
❑ schema/tabel
❑ kennis
❑ vereenvoudig
❑ logisch nadenken
❑ gok verstandig
❑ ...
N
aa r©
3
VA
n het vierkant. 1. Bereken de zijde x va gegevens op Gebruik daarvoor de de tekening. 9
2. Bereken de oppervla kte van de gekleurd e driehoek, die bepaald wordt door de vier vierk anten. De zijde van het kleinste vierkant is 1.
x
pl
12
ex em
x
3. Bepaal x.
1
60°
3
1
ki
4
jk
2
5
in
6 7
8 9 10 11 12
100
3x 2x
x
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
IN
❑ concreet materiaal
60°
1
3.1 Goniometrische getallen
van een scherpe hoek
IN
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
102 127
Studiewijzer
147 148
in
ki
jk
ex em
pl
aa r©
VA
Problemen uit JWO
N
3.2 Rechthoekige driehoeken oplossen
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
101
3.1
Goniometrische getallen van een scherpe hoek
3.1.1 Hellingen Tijdens een fietstocht ziet Wouter een verkeersbord dat een helling van 20 % aangeeft. F
IN
D
B
α
A
C
G
N
E
ABC
hoogteverschil hoogteverschil horizontale verplaatsing
| AC | =
mm
| BC | =
mm
BC = AC
AFG
| AE | =
mm
| AG | =
mm
| DE | =
mm
| FG | =
mm
DE = AE
FG = AG
pl
Wat stel je vast?
ADE
aa r©
horizontale verplaatsing
VA
Meet de aangegeven horizontale verplaatsingen en het bijbehorende hoogteverschil. Deel daarna telkens het hoogteverschil door de horizontale verplaatsing.
ex em
De verhouding van het hoogteverschil en de horizontale verplaatsing noem je het hellingsgetal. In het voorbeeld is het hellingsgetal .
Het hellingsgetal is de decimale schrijfwijze van het hellingspercentage. In het voorbeeld is het hellingspercentage .
1
3
ki
4
jk
2
Hellingsgetal en hellingspercentage zijn typisch voor een hellingshoek. Als de hellingshoek verandert, veranderen het hellingsgetal en het hellingspercentage.
5
in
6 7
8 9
In de praktijk is het niet zo gemakkelijk om de horizontale verplaatsing en het hoogteverschil te meten. In de landmeetkunde heeft men een speciaal meetinstrument om hellingshoeken te meten: een theodoliet.
10 11 12
102
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
GeoGebra
Oefeningen REEKS A Vul de tabel in.
a)
2m
100 m
b)
10 m
80 m
c)
150 m
1 km
d)
270 m
4,5 km
REEKS B
hellingspercentage
ex em
Antwoord:
aa r©
Tijdens een beklimming overwint een fietser een hoogteverschil van 200 m bij een horizontale verplaatsing van 2,5 km. Bereken het hellingsgetal van de helling die de fietser beklommen heeft.
pl
2
hellingsgetal
IN
horizontale verplaatsing
N
hoogteverschil
VA
1
3
Jan overwint een hoogteverschil van 30 m bij een horizontale verplaatsing van 400 m. Bereken het hellingspercentage op 0,1 % nauwkeurig.
jk
in
ki
Antwoord:
4
Tijdens een fietstocht merkt Jana het volgende verkeersbord op. Hoeveel hoogteverschil zal Jana via die helling overwonnen hebben na een horizontale verplaatsing van 650 m?
Antwoord:
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
103
3.1.2 Benamingen in een rechthoekige driehoek Algemeen Een rechthoekige driehoek heeft twee rechthoekszijden en een schuine zijde. Afhankelijk van de scherpe hoek kun je de rechthoekszijden een meer specifieke naam geven.
N
• De overstaande rechthoekszijde van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de rechthoekszijde die tegenover de gegeven scherpe hoek ligt.
C
F
aa r©
β
α
β
A
pl
aanliggende rechthoekszijde van a : [AC ]
ex em
overstaande rechthoekszijde van a : [BC ]
3
overstaande rechthoekszijde van b :
overstaande rechthoekszijde van b :
A
In driehoek ABC noem je | AB | = c de lengte van de schuine zijde of hypothenusa, kortweg: de schuine zijde (sz);
α
5
| BC | = a de lengte van de aanliggende rechthoekszijde van b, kortweg: de aanliggende rechthoekszijde van b (arz);
in
6 7
8
| CA | = b de lengte van de overstaande rechthoekszijde van b, kortweg: de overstaande rechthoekszijde van b (orz);
c
b
9
| AC | = b de lengte van de aanliggende rechthoekszijde van a, kortweg: de aanliggende rechthoekszijde van a (arz);
10 11 12
104
overstaande rechthoekszijde van a : aanliggende rechthoekszijde van b :
ki
4
aanliggende rechthoekszijde van a :
aanliggende rechthoekszijde van b :
jk
2
E
Opmerking
1
β C
a
B
| CB | = a de lengte van de overstaande rechthoekszijde van a, kortweg: de overstaande rechthoekszijde van a (orz).
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
GeoGebra
VA
Voorbeelden
B
instructiefilmpje
IN
• De aanliggende rechthoekszijde van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de rechthoekszijde die aan de gegeven scherpe hoek ligt.
α
D
Oefeningen REEKS A 5
Juist of fout?
VA
N
IN
C
β
D
aa r©
B
fout
a) [AB] is de aanliggende rechthoekszijde van a in ABC.
r
r
b) [CD] is de overstaande rechthoekszijde van b in BCD.
r
r
c) [BC] is de schuine zijde in BCD.
r
r
d) [CD] is de overstaande rechthoekszijde van a in ABC.
r
r
e) [BD] is de aanliggende rechthoekszijde van b in BCD.
r
r
f) [AC] is de aanliggende rechthoekszijde van a in ABC.
r
r
g) [AC] is de schuine zijde in ABC.
r
r
h) [AD] is de aanliggende rechthoekszijde van a in ACD.
r
r
i) [AC] is de overstaande rechthoekszijde van b in ABC.
r
r
j) [AB] is de schuine zijde in ABC.
r
r
ex em jk ki
in
A
juist
pl
uitspraak
α
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
105
REEKS B 6
In welke driehoek geldt de uitspraak? A
L
C
3 2
IN
1
3
H
E
aa r©
uitspraak
b) [AL] is de overstaande rechthoekszijde van ^ H2.
c) [CL] is de schuine zijde.
pl
3
e) [LH] is de overstaande rechthoekszijde van ^ C.
f) [CH] is de overstaande rechthoekszijde van ^ L3.
g) [NL] is de schuine zijde.
ki
4
d) [LE] is de aanliggende rechthoekszijde van ^ L2.
ex em
2
5
in
6 7
geldt in driehoek
a) [HE] is de aanliggende rechthoekszijde van ^ H3.
jk
1
VA
N
1
N
2
h) [AH] is de aanliggende rechthoekszijde van ^ H2.
i) [NL] is de aanliggende rechthoekszijde van ^ N.
j) [HL] is de overstaande rechthoekszijde van ^ N.
8 9 10 11 12
106
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
3.1.3 Verhoudingen in rechthoekige driehoeken Bij een constante hellingshoek is de verhouding van het hoogteverschil en de horizontale verplaatsing constant. Onderzoek de andere verhoudingen. Teken een rechthoekige driehoek JKL met een scherpe hoek a van 60º.
A
IN
E
N
60°
B
C
60°
VA
F
D
H
G
ex em
pl
I
aa r©
60°
GeoGebra
Vul de tabel verder in.
orz van a arz van a
arz van a sz
orz van a (mm)
51
26
44
DEF
38
19
33
GHI
83
42
72
jk
arz van a (mm)
ki
ABC
in
orz van a sz
sz (mm)
JKL
Wat stel je vast?
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
107
3.1.4 Definities De verhoudingen van de zijden in een rechthoekige driehoek zijn afhankelijk van de scherpe hoek. Je noemt die verhoudingen goniometrische getallen van de scherpe hoek. Cosinus
Tangens
De sinus (sin) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding
De cosinus (cos) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding
De tangens (tan) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding
overstaande rechthoekszijde . schuine zijde
aanliggende rechthoekszijde . schuine zijde
overstaande rechthoekszijde . aanliggende rechthoekszijde
IN
Sinus
N
Definitie
VA
B
β
aa r©
c
α A
b
ex em b AC = AB c
sin b =
a
C
GeoGebra
cos a =
b AC = c AB
tan a =
a BC = b AC
cos b =
a BC = c AB
tan b =
AC b = BC a
sin a =
4 BC = = 0,8 5 AB
sin b =
cos a =
AC = AB
cos b =
pl
a BC = AB c
sin a =
instructiefilmpje
Voorbeelden A
1
3
5 cm
3 cm
ki
4
α
jk
2
5
C
β 4 cm
B
tan a =
tan b =
in
6 7
8 9 10 11 12
108
sos cas toa is een ezelsbruggetje om de definities van sinus, cosinus en tangens van een hoek te onthouden. sin =
overstaande schuine
cos =
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
aanliggende schuine
tan =
overstaande aanliggende
Zestigdelige graad: onderverdelingen Voor meer nauwkeurige bepalingen van de hoekgrootte kun je de graad onderverdelen in minuten () en seconden (). Die onderverdeling is gebaseerd op het zestigdelige talstelsel: 1º =
1 =
dus 1º =
REKENMACHINE
actie
IN
Met de grafische rekenmachine kun je de verhoudingsgetallen sinus, cosinus en tangens van een gegeven scherpe hoek berekenen. knoppen entry solve
mode
N
quit
enter
2
Bereken de sinus van 36º.
sin-1
E L3
cos-1
θ L6
3
sin
F L2
Z L5
L5
U L2
5
ex em
L1
Y L4
1
2nd
Τ a-lock
4
enter
U
Z
2
L entry solve
}
)
5
2
cos
V
6
pl
Bereken de cosinus van 25º 52 14.
aa r©
VA
Selecteer de zestigdelige graad als hoekeenheid.
scherm
alpha
angle
2nd
angle
apps
B
L2
apps memo
+
B
L1
Y
1
Z
2 L entry solve
“ }
)
enter
jk
GEOGEBRA EN PYTHON
Voorbeelden
ki
Bereken de gevraagde goniometrische getallen. Rond af op 0,001.
in
• sin 82º
=
• cos 38º 47 29 = • tan 29º 46 =
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
109
Opmerkingen • In een rechthoekige driehoek is zowel de sinus als de cosinus van een scherpe hoek altijd kleiner dan 1, omdat de schuine zijde de langste zijde is.
α
α
IN
α
Hoe groter de scherpe hoek, hoe de sinus.
α
VA
α
α
N
Hoe groter de scherpe hoek, hoe de cosinus.
Hoe groter de scherpe hoek, hoe de tangens.
ex em
pl
AC = cos a AB
α A
C
De cosinus kwam er om de sinus van de complementaire hoek te berekenen. Het was Edmund Gunter die het woord ‘co-sinus’ bedacht, dat al vlug vereenvoudigd werd tot ‘cosinus’ door John Newton rond 1660. Tegen 1675 had Jonas Moore het al afgekort tot ‘cos’.
ki
4
sin b =
β
jk
3
BC = cos b AB
B
Het woord sinus is een Latijns woord en betekent ‘gebogen, kromme lijn’. De oudste bekende bron waarin men het heeft over de sinus van een hoek, is een Indisch boek uit de 5e eeuw. Oorspronkelijk werd de sinus gebruikt als de lengte van een koorde in een cirkel. Het is pas sinds Leonard Euler (18e eeuw) dat de sinus als verhouding gebruikt wordt.
1 2
sin a =
aa r©
• In een rechthoekige driehoek is de sinus van de ene scherpe hoek gelijk aan de cosinus van de andere scherpe hoek (zijn complement).
5
in
6 7
8 9 10 11
‘Tangens’ komt van het Latijnse tangere, dat ‘raken’ betekent. Het woord is een idee van de Deense wiskundige Thomas Fincke en werd door hem voor het eerst gebruikt rond 1583. Andere goniometrische getallen zijn: sec a =
1 cos a
csc a =
1 sin a
12
110
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
cot a =
1 tan a
Leonard Euler (1707-1783)
Oefeningen REEKS A Welk goniometrisch getal gebruik je om de onbekende zijde x te berekenen? a)
c)
B
M
59
x
x 21° C
13
N
A
L
S
VA
b)
K
37°
IN
7
d)
T
8
V
x 52° R
Vul in.
B
jk
D
1
ki
in
U
2
A
a) sin ^ A
=
b) cos
=
c)
68°
ex em
8
W
24
pl
aa r©
x
^
B=
| AB | | BD | | BC | | AC | | BC |
C
d) sin
=
C 1 e) tan ^
=
f) cos
=
| AD | | AC |
| DC | | BC |
B g) tan ^
=
h) cos ^ A
=
i)
^
C 2 =
| DC |
| AC |
| DC |
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
111
Bereken op 0,001 nauwkeurig. =
h) cos 14º 58 36
=
b) cos 38º
=
i) tan 59º 47
=
c) tan 29º 52 38
=
j) sin 4
=
d) sin 6º 8 51
=
k) sin 89º 57 12
=
e) cos 28º 54 22
=
l) tan 58º 38
=
f) cos 75º 9
=
m) cos 84º 58 29
=
g) tan 5º 32 55
=
n) sin 79º 52 37
=
Bereken de zijde x op 0,01 nauwkeurig. a)
VA
REEKS B 10
IN
a) sin 20º
N
9
c)
aa r©
I
A 72°
34°
x
72
x
J
N
ex em
pl
E
5
3
d)
T
ki
4
5
12
42°
10
x
in
6
T
7
56°
8
M
9 10 11 12
112
O
x
L
jk
2
b)
1
N
O
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
11
Bereken de zijde x op 0,01 nauwkeurig.
B
5,12
20°
40°
N
A
IN
C
x
D
VA
12
Teken de hoek a . 3 4
c) cos a =
2 5
d) tan a =
3 2
jk
ex em
pl
a) sin a =
aa r©
5 15
in
ki
b) tan a =
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
113
REEKS C Aan welke voorwaarden moeten de zijden van de rechthoekige driehoeken voldoen? Wat stel je vast over de hoeken? zijden:
a) tan a > 1
hoeken:
hoeken:
N
zijden:
c) sin a < cos a
hoeken: zijden:
d) tan b = 1
hoeken:
aa r©
14
IN
zijden:
b) cos a = cos b
VA
13
Bewijs. tekening
gegeven
pl
c
ex em
a
b
bewijs
1
3
ki
4
jk
2
5
in
6 7
8 9
10
besluit
11 12
114
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
rechthoekige driehoek met rechthoekszijden a en b en schuine zijde c te bewijzen sin a ? tan a =
c b – b c
15
Juist of fout? B
C
L
α
N
IN
β
juist
fout
BU LU
r
r
BU LU = CU CL
r
r
r
r
r
BC BU = CU LU
r
r
CU LU
r
r
BU BU = CB BL
r
r
BC BU
r
r
r
r
r
r
LU CU
ex em
d) tan a =
r
pl
c) cos a > sin a
e)
jk
f) tan b =
in
ki
g)
h) cos a =
i) tan a > tan b
j)
BU UL = BC CU
verklaring
aa r©
uitspraak a) sin b =
b)
VA
U
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
115
3.1.5 Basiseigenschappen Bereken op 0,001 nauwkeurig. sin 43º =
sin 43º = en tan 43º = cos 43º
IN
cos 43º =
Eigenschap
sin a cos a
VA
tan a =
N
Wat stel je vast?
tekening
gegeven
aa r©
B
β
c
A
b
sin a =
sin a cos a
a b a cos a = tan a = c c b
jk
sin a a c = cos a c b
ki
4
tan a =
a sin a c = cos a b c
1
3
C
te bewijzen
ex em
bewijs
2
pl
α
a
rechthoekige driehoek ABC met ^ C = 90º
sin a a = cos a b
5
in
6 7
8 9 10 11
sin a = tan a cos a besluit tan a =
sin a cos a
12
116
GeoGebra HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
Bereken zonder tussendoor af te ronden. 2
2
(sin 43º) + (cos 43º) = Opmerking 2
2
2
(sin a) noteer je ook als sin2 a. Analoog voor (cos a) en (tan a) .
IN
sin2 25º 47 38 + cos2 25º 47 38 =
Eigenschap
N
Wat stel je vast?
VA
sin2 a + cos2 a = 1 Die eigenschap noem je de grondformule van de goniometrie.
α
b
te bewijzen sin2 a + cos2 a = 1
B
a
ex em
C
rechthoekige driehoek ABC met ^ C = 90º
c
pl
A
gegeven
aa r©
tekening
bewijs
in
ki
jk
sin a =
a c
en
cos a =
b c
fl sin2 a + cos2 a =
a c
fl sin2 a + cos2 a =
+
b c
2
rekenen met reële getallen
a + b2 c2 2
fl sin2 a + cos2 a =
2
stelling van Pythagoras 2
c =1 c2
besluit sin2 a + cos2 a = 1
instructiefilmpje
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
117
Oefeningen REEKS A Vul in zonder a te berekenen. Bepaal je antwoord op 0,001 nauwkeurig.
a)
0,643
0,766
b)
0,951
0,309
c)
0,996
aa r©
pl
Vul in zonder a te berekenen. Bepaal je antwoord op 0,01 nauwkeurig.
ex em
sin a a)
b) c)
2 3
0,64
5
in
6 7
8 9
10 11
12
118
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
cos a
tan a
0,27
ki
4
0,36
jk
1
11,430
17
tan a
IN
cos a
N
sin a
VA
16
REEKS B Waarom zijn de beweringen fout? a) sin a =
tan a cos a
b) sin a =
3 1 fi cos a = 4 4
c) 1 + sin2 a = cos2 a
IN
19
Schrijf zo eenvoudig mogelijk. a) cos2 a (1 + tan2 a)
Bewijs de gelijkheden. 1 cos2
ex em
pl
a) 1 + tan2 a =
aa r©
20
sin2 cos2 tan2
VA
b)
N
18
b) (sin + cos ) (sin – cos ) = 1 – 2 cos2
ki
jk
in
REEKS C
21
Bewijs dat
1 1 2 . + = 1 – sin 1 + sin cos 2
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
119
VERDIEPING
3.1.6 Goniometrische getallen van een aantal bijzondere hoeken Hoek van 45º Als een rechthoekige driehoek een scherpe hoek van 45º bevat, dan is de andere scherpe hoek ook 45º. Een rechthoekige driehoek met een hoek van 45º is dus een gelijkbenige rechthoekige driehoek. Beide rechthoekszijden zijn even lang. Je stelt die lengte gelijk aan x.
IN c
sin2 45º =
sin2 45º + sin2 45º = 1
sin 45º =
2 sin2 45º = 1
sin 45º =
Besluit
sin 45º =
1 2
2
=
1 2
45°
x
1 2 1 2
=
2 2
aa r©
sin2 45º + cos2 45º = 1
N
x x en cos 45º = dus sin 45º = cos 45º c c
2
pl
Hoeken van 30º en 60º
ex em
ABC is gelijkzijdig. De hoogtelijn AD verdeelt [BC ] in twee even lange lijnstukken en verdeelt de hoek ^ A in twee gelijke hoeken.
A 30°
Dus: in rechthoekige BAD geldt • ^ A = 30º en ^ B = 60º
• Stel: |AB | = x fi |BD | = x 2 sin 30º = cos 60º = x
2 3
ki
4
jk
1
=
1 x 2 x
=
1 2
5
in
6
x
x 2
60° B
x 2
7
8 9
Besluit
sin 30º = cos 60º =
1 2
10 11 12
120
x
VA
sin 45º =
45°
Aan de hand van de basiseigenschappen kun je de andere goniometrische getallen van 30º, 45º en 60º berekenen. Dat komt in de oefeningen aan bod. HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
D
C
VERDIEPING
Oefeningen REEKS A Bepaal cos 45º en tan 45º aan de hand van sin 45º. b) tan 45º
VA
aa r©
REEKS B 23
IN
a) cos 45º
N
22
Bepaal de goniometrische getallen van 30º en 60º.
a = 30º
tan a
ex em
a = 60º
cos a
pl
sin a
jk
in
ki
REEKS C 24
Bereken sin 30º ? sin 60º + tan 60º.
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
121
3.1.7 Een hoek berekenen uit een goniometrisch getal Inleiding Bij sin a, cos a en tan a start je vanuit een hoek en verkrijg je een onbenoemd getal. Bij de omgekeerde (inverse) bewerkingen start je vanuit een onbenoemd getal en verkrijg je een hoekgrootte.
5
3
sin =
4 5
cos =
fi = ?
tan =
4 3
fi = ?
VA
fi = ?
3 5
N
IN
instructiefilmpje
REKENMACHINE
aa r©
4
Een hoek berekenen uit een goniometrisch getal.
knoppen
sin-1
2nd
E
sin
catalog
0
i
: v
.
P }
8
scherm
L
)
entry solve
enter
ex em
pl
Bereken de hoek waarvan de sinuswaarde 0,8 is. Het resultaat is de decimale vorm van de hoekgrootte.
[
actie
Zet de decimale vorm van de hoekgrootte om naar graden, minuten en seconden.
2 3
B
apps
entry solve 3
enter
2
ki
4
angle
jk
1
2nd
5
in
6 7
Op dezelfde manier kun je een hoek berekenen uit een cosinus of uit een tangens.
8 9
Voorbeelden
10
• sin a = 0,75 fi a =
11
• cos a = 0,3 fi a =
12
• tan a = 2,64 fi a =
122
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
GeoGebra
Oefeningen REEKS A 25
Welk goniometrisch getal gebruik je om de hoek a te berekenen? a)
L
c)
J
α
D
F
10
26
E
K
VA
b)
d)
12 A 24
aa r©
B
pl
ex em
31
G
15 26 5 f) sin a = 14 e) cos a =
a=
b) tan a = 5
a=
c) sin a = 1,37
a=
g) tan a = 999
a=
h) cos a =
ki
in
α
H
a) sin a = 0,2
d) tan a =
27
I
Bereken, indien mogelijk, op 1 nauwkeurig.
jk
26
59
α
C
14
N
32
IN
α
3 4
29 34
a= a= a= a=
Bij een moleculaire structuur is een bindingshoek een hoek die gevormd wordt tussen twee bindingen op eenzelfde atoom. Bij een pentagonale planaire structuur is de sinus van de bindingshoek gelijk aan 0,951 056 5. Bepaal de grootte van de bindingshoek op 1 nauwkeurig. Bindingshoek =
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
123
REEKS B Bereken de hoek a op 1 nauwkeurig. a)
B
c)
14
T
7
16
α S C
12
VA
Antwoord: b)
Antwoord:
d)
aa r©
O
α
pl
5
Q
3
Antwoord:
Antwoord:
Bereken de hoek op 1 nauwkeurig.
ki
4
29
jk
2
5
in
7
8 9 10
35
6
20°
18
11 12
124
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
K
171 205 M
α L
P
5
ex em
1
N
α A
R
IN
28
REEKS C 30
Teken de hoek a zonder de hoek te meten. Tip: Gebruik de formules voor sinus, cosinus en tangens in een rechthoekige driehoek.
ex em
pl
b) a = 60º
aa r©
VA
N
IN
a) a = 30º
in
ki
jk
c) a = 45º
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
125
Het licht plant zich rechtlijnig voort, zolang het in eenzelfde stof blijft. Bij overgang van de ene naar de andere stof buigt de lichtstraal af. Er treedt breking op aan het grensoppervlak van de twee stoffen. De stralen gaan in een andere richting verder. De mate waarin een lichtstraal gebroken (afgebogen) wordt, is afhankelijk van de aard van de stof. Een dichte stof heeft een grote brekingsindex, een ijle stof een kleine.
IN
Bij de overgang van een lichtstraal van stof A naar stof B geldt i sin ^
nB = nA r sin ^
N
waarbij:
i
^
VA
i = de invalshoek
^
r = de brekingshoek
nA = de brekingsindex van stof A nB = de brekingsindex van stof B
stof A
stof B
aa r©
r
Die wet staat bekend als de wet van Snellius, naar de Nederlandse wiskundige Willebrord Snell.
stof
31
glas
diamant
1
1,000 03
1,33
1,5
2,42
i
jk a)
10º
overgang van ...
^
berekeningen
r
lucht naar water
ki
4
water
Vul de tabel aan. Stel de brekingsindex van lucht gelijk aan 1. ^
1
3
lucht
ex em
brekingsindex n
2
vacuüm
pl
Enkele voorbeelden
5
in
6 7
b)
15º
lucht naar glas
8 9 10 11 12
126
c)
20º
glas naar diamant
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
3.2 Rechthoekige driehoeken oplossen 3.2.1 Inleiding In een rechthoekige driehoek zijn er zes kenmerkende gegevens: • de grootte van de drie hoeken (waarvan één hoek 90º is), • de lengte van de drie zijden.
IN
Omdat je hier alleen met rechthoekige driehoeken werkt, is de rechte hoek altijd gegeven. Onderzoek welke gegevens nodig zijn om een rechthoekige driehoek volledig te bepalen. In welke gevallen is het mogelijk om één welbepaalde driehoek te tekenen? Vink aan. mogelijk
niet mogelijk
r
r
N
gegeven
VA
a) de rechte hoek en een scherpe hoek b) de rechte hoek en de schuine zijde
r
r
r
r
d) de rechte hoek en de twee scherpe hoeken
r
r
e) de rechte hoek en de beide rechthoekszijden
r
r
f) de rechte hoek, een scherpe hoek en de schuine zijde
r
r
g) de rechte hoek, een scherpe hoek en een rechthoekszijde
r
r
r
r
pl
aa r©
c) de rechte hoek en een rechthoekszijde
ex em
h) de rechte hoek, een rechthoekszijde en de schuine zijde Hoeveel van de zes kenmerkende gegevens zijn minimaal nodig?
Eigenschap
Een rechthoekige driehoek is volledig bepaald door:
A
α
•
c
b
jk
•
β
B
in
ki
C
a
In die gevallen kun je de overige elementen van de rechthoekige driehoek berekenen. Dat heet een rechthoekige driehoek oplossen. Daarvoor gebruik je: de som van de scherpe hoeken in een rechthoekige driehoek
de stelling van Pythagoras
de definities van goniometrische getallen
sin a =
cos a =
tan a =
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
127
3.2.2 Rechthoekige driehoeken oplossen
instructiefilmpje
Bij het oplossen van rechthoekige driehoeken gebruik je de volgende formules. A c
b
β
a
stelling van Pythagoras
a + b = 90º
a 2 + b 2 = c 2
B
sin b =
b c
cos a =
b c
aa r©
a c
cos b =
a c
tan a =
a b
tan b =
b a
pl
sin a =
VA
N
C
som van de scherpe hoeken
IN
α
ex em
Opmerking
Gebruik bij het oplossen van rechthoekige driehoeken bij voorkeur de gegevens, het liefst geen berekende waarde en nooit een afgeronde waarde.
Geval 1: de rechte hoek, een scherpe hoek en de schuine zijde zijn gegeven
1
3
5
in
6
gegeven
b a + b = 90º
5
b
gevraagd
8
β
9
sin a =
C
a
B
b a b
b a c
cos a =
b c
b = 90º – a
a = c ? sin a
b = c ? cos a
b = 90º – 35º
a = 5 ? sin 35º
b = 5 ? cos 35º
b = 55º
a = 2,9
b = 4,1
11 12
128
a
35°
7
10
oplossing
g = 90º a = 35º c=5
A
ki
4
figuur
jk
2
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
Geval 2: de rechte hoek, een scherpe hoek en een rechthoekszijde zijn gegeven gegeven
oplossing
b
g = 90º
A
a = 35º b=4
a tan a =
a + b = 90º
35°
gevraagd
b
β a
B
b = 90º – a
a = b ? tan a
b = 90º – 35º
a = 4 ? tan 35º
b = 55º
a = 2,8
cos a =
b c
b cos a 4 c= cos 35° c=
c
c = 4,9
VA
C
a
a b
N
c
4
c
IN
figuur
aa r©
Geval 3: de rechte hoek, de schuine zijde en een rechthoekszijde zijn gegeven figuur
gegeven
oplossing
a
g = 90º
A
a=3 c=5
α
ex em
gevraagd
β
C
sin a =
pl
5
b
sin a =
B
3
a
a c
3 5
cos b =
cos b =
a = 36º 52 12
b
b a c
3 5
a 2 + b 2 = c 2
b 2 = c 2 – a 2
b = 53º 7 48
b
b = c 2 – a2 b = 52 – 32 b = 4,0
b
in
ki
jk
Geval 4: de rechte hoek en twee rechthoekszijden zijn gegeven figuur
gegeven
a
g = 90º
A
a = 2,5 b=4
tan a =
b a b
tan b =
c b a
c 2 = a 2 + b 2
α c
4
gevraagd
a
β C
oplossing
2,5
B
b
tan a =
2,5 4
a = 32º 0 19
tan b =
4 2,5
b = 57 º 59 41
c = a2 + b 2 c = 2,52 + 42 c = 4,7
c
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
129
Oefeningen REEKS A Bereken het gevraagde in de rechthoekige driehoek ABC. Rond, indien nodig, de hoeken af op 1 en de zijden op 0,1. a)
B
C
d)
A
IN
32
α
N
4
32°
55° A
5
C
ex em
β
A
e)
pl
4
aa r©
a=
|BC | =
b)
3
b=
|AC | =
f)
A
C
4
ki
4
C
A
c)
4
jk
2
B
41°
B
1
B
VA
C
5
in
6
B
7
40°
8
C
5
B
9 10 11
|AB | =
|BC | =
12
130
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
6
A
33
Bereken de ontbrekende elementen van de rechthoekige driehoek ABC. Rond, indien nodig, de hoeken af op 1 en de zijden op 0,1. a)
15
C
A
α
c)
A
B
α
50° 20
IN
12
β
C
VA
aa r©
B
pl
b)
N
B
25
ex em
β
C
d)
A
α 8
33° C
A
in
B
α
ki
jk
35
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
131
REEKS B 34
Bereken de ontbrekende elementen van de rechthoekige driehoek ABC. Rond de hoeken af op 1 en de zijden op 0,01. c) a = | AB | =
α C
B
VA
β
N
A
| BC | = 20,08 | AC |=
IN
b = 34º 8 13
a) a = | AB | =
ex em
b) a = 54º 23 | AB | = 8,90
e) a = | AB | =
b = | BC | = | AC |=
b = 21º 35 40 | BC | =
ki
4
jk
3
pl
b = | BC | = 159,40 | AC |=
1
d) a = | AB | = 265,92
b = | BC | = 3,40 | AC |= 6,50
2
aa r©
5
in
6 7
8 9 10 11 12
132
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
| AC |= 41,23
Bereken de ontbrekende elementen van de rechthoekige driehoek. Rond de hoeken af op 1 en de zijden op 0,01 cm. c) ^ Q = 90º
^ Q = 23º 45 29
| OP | = 8,45
| PQ | = 46,00
| PQ | = 5,10
^
P = | OQ | = | OP | =
^
b) ^ P = 90º
VA
ex em
^ O = 61º 52 14
pl
P = | OQ | = ^ O =
aa r©
d) ^ O = 90º | OQ | = 6,50
| OQ | = 4,00
| OP | = 7,25
^
^
P = ^ Q = |PQ | =
in
ki
jk
Q = |PQ | = |OP | =
IN
a) ^ O = 90º
N
35
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
133
Bereken de afstanden op 1 cm nauwkeurig en de hoeken op 1 nauwkeurig. a) Een boom heeft een schaduw van 12 m. De zon schijnt onder een hoek van 43º. Hoe hoog is de boom?
c) Vanaf de top van een torentje wordt een kabel tot op de grond gespannen. Welke hoek maakt de kabel met de grond?
25 m
N
12,6 m
IN
36
43°
VA
12 m
aa r©
Antwoord:
Antwoord:
ex em
pl
b) Van een skateramp zijn de lengte van de ramp en de lengte van de constructie gegeven. Bereken de hellingshoek van die ramp.
d) Een ladder steunt tegen een muur op een hoogte van 4,3 m. Op de grond maakt de ladder een hoek van 70º. Bereken de lengte van de ladder.
6,1 m
2 3
4,3 m
70°
4,6 m
ki
4
jk
1
5
in
6
Antwoord:
Antwoord:
7
8 9 10 11 12
134
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
37
Bereken de afstanden op 1 cm nauwkeurig en de hoeken op 1 nauwkeurig. Maak telkens eerst een schets. c) Tijdens een beklimming moet je 2 400 m fietsen om een hoogteverschil van 700 m te overbruggen. Wat is de hellingshoek?
Antwoord:
aa r©
VA
N
IN
a) De zon schijnt onder een hoek van 35º op een man van 1,80 m groot. Hoe lang is de schaduw van die man?
Antwoord:
d) Een vliegertouw is 50 m lang. Hoe hoog bevindt de vlieger zich, als het touw volledig ontrold is en een hoek van 30º met de grond maakt?
in
ki
jk
ex em
pl
b) Een kabelbaan maakt een helling van 35º en overbrugt een hoogteverschil van 1 300 m. Hoe lang is die kabelbaan?
Antwoord:
Antwoord:
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
135
38
Om de afstand tussen de oevers van een kanaal te berekenen, werden de volgende metingen uitgevoerd. Bereken de afstand op 0,01 m nauwkeurig. xm
L
R
63° 14’
N
O
VA
Studies wijzen uit dat een ladder die een hoek van 75º maakt met de grond, het veiligst staat. Een bedrijf dat ramen van hoge gebouwen wast, heeft een nieuw stel schuifladders van 8 m lang aangekocht. Hoe ver moet de onderkant van de ladder van het gebouw verwijderd zijn opdat de ladder het veiligst zou staan? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.
ex em
pl
39
aa r©
Antwoord:
2 3
ki
4
jk
1
5
in
6
7
8
9 10 11
Antwoord:
12
136
IN
10 m
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
40
Bereken op 0,01 cm2 nauwkeurig. Maak telkens eerst een schets. c) Bereken de oppervlakte van een parallellogram met zijden 6 cm en 4 cm en een scherpe hoek van 25º.
VA
N
IN
a) Bereken de oppervlakte van een vierkant waarvan de diagonalen 12 cm lang zijn.
Antwoord:
aa r©
Antwoord:
d) Bereken de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek met zijden van 13 cm.
in
ki
jk
ex em
pl
b) Bereken de oppervlakte van een ruit met zijden van 24 cm en een stompe hoek van 115º.
Antwoord:
Antwoord:
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
137
41
Bereken de ontbrekende elementen van de dakconstructie op 1 cm nauwkeurig.
xm
xm hm
8,30 m
N
VA
aa r©
Antwoord:
Een zwembad van 50 m lang begint met een diepte van 50 cm. a) Bereken de grootste diepte, op 0,1 m nauwkeurig, als de hellingshoek van de bodem 4º is. b) Bereken de hellingshoek, op 1 nauwkeurig, van de bodem opdat de grootste diepte 5 m zou zijn.
ex em
pl
42
2 3
a)
ki
4
jk
1
5
in
6 7
b)
8 9 10 11 12
138
IN
40°
Antwoord:
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
REEKS C 43
Boven op een gebouw staat een vlaggenmast. Als je op 100 m afstand staat, zie je de top van het gebouw onder een hoek van 21 º en de top van de vlaggenmast onder een hoek van 23 º. Hoe lang is die vlaggenmast op 1 cm nauwkeurig?
IN
Bereken de oppervlakte, op 0,01 cm2 nauwkeurig, van een rechthoek met diagonalen van 17 cm die elkaar onder een hoek van 35º snijden.
in
ki
jk
ex em
44
pl
Antwoord:
aa r©
VA
N
Antwoord:
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
139
45
Om de hoogte van een toren te bepalen, heeft een landmeter de volgende metingen gedaan. Bereken de hoogte van de toren op 1 cm nauwkeurig.
42° 30’
37° 15’
x
aa r©
Antwoord:
Op een mast van 16 m staat een antenne. Om de hoogte van de antenne te bepalen, werden de volgende metingen gedaan. Bereken de hoogte van de antenne op 1 cm nauwkeurig.
ex em
pl
46
VA
5m
h
9°
2 3
ki
4
16 m
jk
1
26 m
in
6
8
9 10 11
Antwoord:
12
140
5
7
N
h
IN
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
3.2.3 Toepassingen in de ruimte Modeloefening 1 gegeven een kubus met ribbe 4 cm B
Bereken a op 1 nauwkeurig.
C
oplossing A
D
N
α
G
H
aa r©
E
VA
F
IN
gevraagd
antwoord
ex em
Modeloefening 2
pl
De hoek a is
een piramide met vierkant grondvlak en ribben van 4 cm gevraagd Bereken de hellingshoek a op 1 nauwkeurig. oplossing
in
ki
jk
E
B
α
C H D
A
gegeven
antwoord GeoGebra
De hellingshoek a is HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
141
Oefeningen REEKS A 47
Bereken de omtrek van n BGE op 0,01 cm nauwkeurig. gegeven B
gevraagd
C D
oplossing
aa r©
VA
N
de omtrek van BGE
A
IN
een balk met l = 5 cm, b = 2 cm en h = 7 cm
F
G
E
H
antwoord
B
1
3
gegeven een balk met l = 3 cm, b = 2 cm en h = 6 cm gevraagd C
oplossing
β
5
in
6
7
F
8 9
de hoek b
D
ki
4
A
jk
2
Bereken de hoek b op 1 nauwkeurig.
ex em
48
pl
De omtrek van BGE is
E
G H
10
11
antwoord
12
De hoek b is
142
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
REEKS B 49
Bereken de hellingshoek a op 1 nauwkeurig. gegeven een piramide met vierkant grondvlak met z = 3 cm en h = 5 cm
IN
gevraagd de hellingshoek a oplossing
E
N
A
F
C
aa r©
α
B
VA
D
pl
antwoord
ex em
De hellingshoek a is
50
Een piramide heeft een gelijkzijdige driehoek met zijde 3 m als grondvlak, opstaande ribben van 4 m en een hellingshoek van 65º. Bereken, op 1 cm nauwkeurig, de hoogte van de piramide.
jk
ki
in
Antwoord:
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
143
51
Een kegel heeft een cirkel met diameter 3 m als grondvlak en een hoogte van 5 m. Bereken, op 1 nauwkeurig, de hellingshoek van de kegel.
IN
N
VA
Pientere Bizon, een indiaan van 1,76 m groot, wil een nieuwe tipi opzetten. Hij vond enkele mooie rechte boomstammen van 2,50 m en sjort ze op 50 cm van de top samen. Wat is de minimale hoek met de grond waaronder hij de stammen moet zetten opdat hij rechtop zou kunnen staan in zijn tent? Bepaal je antwoord op 1 nauwkeurig.
ex em
pl
52
aa r©
Antwoord:
1
3
ki
4
jk
2
5
in
6 7
8 9
Antwoord:
10 11 12
144
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
REEKS C 53
Je plaatst een potlood van 20 cm diagonaal in een cilindervormige houder met een hoogte van 12 cm en een straal van 4 cm. Hoe ver steekt het boven de rand uit? Onder welke hoek staat het? Bepaal de hoek op 1 nauwkeurig en de lengte op 0,01 cm nauwkeurig.
IN
N
VA
aa r©
Antwoord:
Bereken de hoek a op 1 nauwkeurig.
pl
54
gegeven
ex em
een balk met l = 3 cm, b = 3 cm en h = 6 cm
B
A
C
gevraagd
de hoek a oplossing
D
α
jk
ki
in
F
E
G H
antwoord De hoek a is
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
145
55
Bepaal de hoeken van ABC. Bepaal je antwoord op 1 nauwkeurig. 2
B
6
7 A
C
IN
3
N
VA
Een balkvormige vaas met een lengte van 15 cm, een breedte van 15 cm en een hoogte van 40 cm is volledig gevuld met water. De vaas wordt gekanteld over een hoek van 30º, waardoor een deel van het water uit de vaas stroomt. Hoeveel liter water, op 0,01 l nauwkeurig, zit er na de kanteling nog in de vaas?
ex em
pl
56
aa r©
2 3
ki
4
jk
1
5
in
6
7
8 9
10 11
12
146
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
STUDIEWIJZER Driehoeksmeting van een rechthoekige driehoek voor de leerling
3.1 Goniometrische getallen van een scherpe hoek KENNEN
voor de leerkracht
– + – +
De cosinus (cos) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding aanliggende rechthoekszijde . schuine zijde
sin a cos a
sin2 a + cos2 a = 1
= 45º
2
1
3
2
2
tan
1
=
2
1
2
2
=
3
1
2
2
3
2
2
=
3
3
1 3
pl
= 60º
1
cos
aa r©
= 30º
sin
VA
tan a =
N
De tangens (tan) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde . aanliggende rechthoekszijde
IN
De sinus (sin) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde . schuine zijde
KUNNEN
– + – +
De sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek berekenen met de rekenmachine.
ex em
De formules gebruiken om goniometrische getallen te berekenen. De formules gebruiken om goniometrische identiteiten te bewijzen. De goniometrische getallen van een aantal bijzondere hoeken (30º, 45º, 60º) afleiden. Met de rekenmachine een hoek berekenen waarvan een goniometrisch getal gegeven is.
jk
3.2 Rechthoekige driehoeken oplossen KENNEN
– + – +
in
ki
Een rechthoekige driehoek is volledig bepaald door: • twee zijden en de rechte hoek, • één zijde, één scherpe hoek en de rechte hoek.
KUNNEN
– + – +
Ontbrekende elementen in een rechthoekige driehoek berekenen met behulp van de sinus, de cosinus, de tangens, de stelling van Pythagoras en de hoekensom. In vlakke situaties vraagstukken oplossen waarbij ontbrekende elementen van een rechthoekige driehoek berekend moeten worden. In ruimtelijke situaties vraagstukken oplossen waarbij ontbrekende elementen van een rechthoekige driehoek berekend moeten worden.
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
147
Problemen uit JWO Een parallellogram heeft als langste zijde a en als kortste b. Verder is het parallellogram samengesteld uit twee gelijkzijdige driehoeken en een parallellogram, die alle drie dezelfde oppervlakte hebben (zie figuur). a De verhouding is gelijk aan … b
IN
1.
a
B) r 1,5
C) r 1,8
JWO, editie 2010, eerste ronde
D) ❒ 2
E) ❒ 2,4
VA
A) ❒ 1,2
N
b
ex em
pl
aa r©
2. Onze leerkracht L.O. daagde onze klas 25 A uit om een fietstocht van 125 km af te leggen. We gingen akkoord, 21 B op voorwaarde dat er, naast het 23 startpunt, dat ook het eindpunt is, 27 nog vier stopplaatsen zouden zijn 26 23 S onderweg. De leerkracht maakte 28 25 daarop een plan met verschillende C routes die we zouden kunnen volgen. 22 Hiernaast zie je een vereenvoudigde D 27 voorstelling van het plan (startpunt S; stopplaatsen A, B, C, D; afstanden in km). We mochten met onze klas zelf bepalen welke trajecten we tussen de verschillende stopplaatsen zouden nemen, zolang de totale afstand maar precies 125 km was. Van welk van de volgende trajecten weet je zeker dat het in onze tocht vervat zat?
2 3
D) ❒ Van C naar D over 27 km.
B) ❒ Van A naar B over 23 km.
E) ❒ Van D naar S over 28 km.
C) r Van B naar C over 26 km. JWO, editie 2011, eerste ronde
ki
4
A) ❒ Van S naar A over 27 km.
jk
1
5
in
6 7
3. Als p + q = 12, dan is p 2 + q 2 + 2p + 2q + 2pq gelijk aan …
8 9 10
A) ❒ 144
B) r 168
C) ❒ 192
11 12
148
JWO, editie 2012, eerste ronde
HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
D) ❒ 240
E) ❒ 288
4.1 Bewerkingen met reële getallen 4.2 Rekenen met machten van reële getallen
150 161
N
IN
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
4.3 Rekenen met vierkantswortels van reële getallen
Studiewijzer
VA
202 204
in
ki
jk
ex em
pl
aa r©
Problemen uit JWO
178
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
149
4.1
Bewerkingen met reële getallen
4.1.1 Bewerkingen met breuken
1 5
2 3 : 5 2
+
=
Om breuken op te tellen, maak je de breuken gelijknamig.
Daarna tel je de tellers op en behoud je de noemer.
10 9 + 15 15
19 – 15
3 4
–
3 4
1 5
+
1 5
+
2 3 : 5 2
2 3 : 5 2
=
=
Om breuken te vermenigvuldigen,
19 3 – + 15 20
2 3 : 5 2
=
pl
de noemers met elkaar.
Om een breuk te delen
ex em
door een andere breuk,
1
3
2 3
19 3 4 – + = 15 20 15
ki
4
2 5
jk
2
19 3 – + 15 20
5
76 9 16 – + = 60 60 60
76 – 9 + 16 = 60
83 60
in
6 7
8 9 10 11 12
150
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
=
–
–3 –7 + = –8 4
– (−) Æ +
9 –3 –7 – + = 10 –8 4
– : (−) Æ +
9 3 –7 – + = 10 8 4
9 3 7 – – = 10 8 4
36 – 15 – 70 = 40
de tweede breuk.
–9 10
–
het omgekeerde van
+ ? (−) Æ −
vermenigvuldig je de eerste breuk met
–3 –7 + = –8 4
elkaar en vermenigvuldig je
–
vermenigvuldig je de tellers met
–9 2
aa r©
1 5
–
IN
3 4
–
N
2 3 + 3 5
• Modeloefening 2
VA
• Modeloefening 1
–
49 40
+ (−) Æ –
instructiefilmpje
Oefeningen REEKS A Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.
b)
–36 –24 : 75 15
–56 39 : 64 91
24 –15 – 42 35
f)
–12 –30 – 16 20
ex em
17 –19 38 51
pl
d)
e)
IN
c)
N
–24 26 + 72 65
VA
a)
aa r©
1
REEKS B
Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. 3 4 = –6 12
jk
2
in
ki
a)
36 b) 45 = –24 32
c)
–5 6 = –15 12
–13 d) 68 = 52 17
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
151
Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. 2 39 – 5 15
g) –
:
28 50
:
–3 = 4
2 3 – 3 5 5 2 8 3
18 15 + 16 12 7 30 5 21
28 56 32 63 35 39 – 52 28
i)
ki
jk
f)
5
in
6 7
8 9 10 11 12
152
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
–25 + 7
–28 60 + 77 44
h)
pl
ex em
c)
–48 8 + 56 14
e)
42 5
5 12
(–6) =
aa r©
–3 5
4
–2 = 3
3
–
2
12 11
b) 2 +
1
12 18
d)
=
IN
–8 11
N
a)
VA
3
–5 18
(–9) =
Werk uit. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. Alle letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor. 7c 7c – 4 14
g)
2 a – a 2
a a : = 2 6
h)
3c – 2c 12
m)
pl i)
2
b 18
n)
42b
5b 2b – 2 7
8 = 2y
2d 3d : 3 2
ex em d) 1 +
l)
N
1 = x
3
c 5
ki
jk
e) a +
in
k)
2
p p = : 2 2
b) 2 +
c)
f)
1 = a
j)
IN
1 a = a
VA
a)
aa r©
4
5x 13
2x 15x
3
o)
3 4c
2m –4 : 3 5m
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
153
REEKS C Werk uit. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. Alle letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor.
b)
f)
2a + 4b = 2a
g)
p +q p
q
m)
ex em
i)
x –y : 3y y
pl
h)
a p + = b q
ki
4
aa r©
2
x xy = : 2 y
jk
3
l) 2a (–3b) +
2
a b + b a
1
c 7d : d c +2
d)
k)
c)
a–b 1 : = a 2
IN
p –q = q 3p
N
a)
VA
5
2
ab a : 3 b
n)
–2a
3b
2
6b
8a
2
5
in
6
e) 5m (–6n)
7
8
2 = 3mn
j)
a +b b – a 2
o)
a 3 c – + b 2 4
9 10 11 12
154
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
4 ab
4.1.2 Bewerkingen met decimale vormen Inleiding Bereken met de rekenmachine: 10 + 17 =
IN
Het resultaat van die bewerking is een niet-repeterend reëel getal.
Afronden
N
Het heeft meestal geen zin om het resultaat van een bewerking te geven met tien cijfers na de komma. Daarom rond je af.
• Bereken op 0,1 nauwkeurig:
10 + 17 =
• Bereken op 0,01 nauwkeurig:
5 − 0,2
=
aa r©
• Bereken op 0,001 nauwkeurig: 5 3 =
VA
Voorbeelden
Opmerking
Rond enkel het eindresultaat af. Elke afronding is immers een afwijking van het exacte resultaat. Door te rekenen met afgeronde waarden, kan de afwijking vergroten. 26 10 = 26 ? 3,162 = 82,212
pl
Dus niet:
ex em
Maar wel: 26 10 = 82,219
Schatten
Schat de resultaten van de bewerkingen. c)
25 < 34 < 36 34 ª 36
4ª 5
in
ª3+2=
ª
b) –2 15
ª
34 – 5
4 < 5 < 9
ki
jk
a) 3 + 5
d)
78 : (–2)
9 < 15 < 16
15 ª 16
ª
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
155
Oefeningen REEKS A
a)
2 + 22
=
f) –14,3 – 101 =
b)
5 : (–0,3)
=
g) – 51 : 29
c) –6 14
=
h) – 85 + 0,6 =
d)
=
i)
=
IN
Bereken met de rekenmachine op 0,001 nauwkeurig.
e) –5 (– 23 ) =
Schat het resultaat.
ex em
7
a)
1
3
– 11 8
=
ª
f) 3,25 – 101
ª
g) –
ª
ª
17 2
ª
h)
5 + 10
ª
d) –10 (– 26 ) ª
i)
82 : (– 8 ) ª
e) –5 48
j) –
b) – 5 + 6,3
c)
ki
4
65 – 8
jk
2
j)
pl
REEKS B
– (– 10 ) =
aa r©
31 – 6,8
VA
N
6
50 : (–7)
5
in
6 7
8 9 10
ª
11 12
156
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
(– 15 ) ª
4.1.3 Eigenschappen van bewerkingen met reële getallen De eigenschappen van bewerkingen met rationale getallen blijven gelden bij de reële getallen. optellen
vermenigvuldigen
"a, b ΠR : a + b = b + a
"a, b ΠR : a b = b a
5,3 + 3,2 = 3,2 + 5,3
3 5 = 5 3
N
Het optellen en het vermenigvuldigen zijn associatief.
IN
Het optellen en het vermenigvuldigen zijn commutatief.
"a, b, c ΠR : (a b) c = a (b c)
( 2 + 3) + 5 = 2 + ( 3 + 5)
(2 ? 3) ? 4 = 2 ? (3 ? 4)
VA
"a, b, c ΠR : (a + b) + c = a + (b + c)
aa r©
Het optellen en het vermenigvuldigen hebben een neutraal element. Als je bij een reëel getal 0 optelt, verkrijg je opnieuw dat reëel getal.
Als je een reëel getal met 1 vermenigvuldigt, verkrijg je opnieuw dat reëel getal.
0 heeft geen invloed op het optellen.
1 heeft geen invloed op het vermenigvuldigen.
0 is het neutraal element voor het optellen.
1 is het neutraal element voor het vermenigvuldigen.
pl
"a ΠR : a + 0 = a = 0 + a
ex em
0 + 6,8 = 6,8 = 6,8 + 0
"a ΠR : a ? 1 = a = 1 ? a
1 5 = 5 = 5 1
Elk reëel getal heeft een symmetrisch element voor het optellen en het vermenigvuldigen. Als je een getal en zijn omgekeerde met elkaar vermenigvuldigt, is het resultaat altijd 1 (neutraal element voor het vermenigvuldigen).
Elk reëel getal heeft een symmetrisch element voor het optellen, namelijk zijn tegengestelde.
Elk reëel getal heeft een symmetrisch element voor het vermenigvuldigen, namelijk zijn omgekeerde. 1 1 1 "a Œ R0 : Œ R0 en a ? = 1 = ? a a a a
jk
Als je een getal en zijn tegengestelde bij elkaar optelt, is het resultaat altijd 0 (neutraal element voor het optellen).
in
ki
"a Œ R : –a Œ R en a + (–a) = 0 = (–a) + a 2 2 + – 3 3
=0= –
2 3
+
2 3
0,5 ? 2 = 1 = 2 ? 0,5
Het vermenigvuldigen is distributief ten opzichte van het optellen. "a, b, c ΠR : a ? (b + c) = a ? b + a ? c 3 ? (2 + 9) = 3 ? 2 + 3 ? 9
( 2 + 8) 7 = 2 7 + 8 7
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
157
Oefeningen REEKS A Vul het ontbrekende getal in. =0
d)
5 +
=0
b) –5,73 +
=0
e)
7 + 2
=0
1 + 3
=0
f) 2 – 3 +
9
a) 4 ?
=1
b) –6 ?
=1
e) – 3 ?
=1
f) –
d)
2 ? 2
3
a) 8
b) −2
10 3
d) 2,5
e) −0,65
f)
7
g)
5 3
c)
ki
4 5
in
6 7
8 9 10 11 12
158
=1
symmetrisch element voor de vermenigvuldiging
jk
2
=1
Vul het symmetrisch element in.
symmetrisch element voor de optelling
1
=1
10 ?
pl
3 ? 4
ex em
10
N
Vul het ontbrekende getal in.
c)
=0
VA
c)
IN
a) 3 +
aa r©
8
h) –
11 3
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
REEKS B 11
Vul de gebruikte eigenschappen in. a) 5 + 2 + 7
= 5 + ( 2 + 7)
= 5 + (7 + 2 )
IN
= (5 + 7) + 2
= ( 5 2) (–0,5) = 5 (2 (–0,5))
= 5 (–1)
=– 5 c) 2 14 + 5 14
ex em
pl
= (2 + 5) 14 = 7 14
VA
= (2 5 ) (–0,5)
aa r©
b) 2 5 (–0,5)
N
= 12 + 2
d)
5 + 7 – 5
=( 5 + 7) – 5 = ( 7 + 5) – 5
= 7 + ( 5 – 5)
jk
= 7 +0
in
ki
= 7
12
Los op door gebruik te maken van de distributieve eigenschap. a) 17 ? 99 = b) 23 ? 102 = c) 40 ? 8,5 =
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
159
Werk uit door gebruik te maken van de eigenschappen. f)
b) 5
7 1 6 5
g) –8 23
aa r©
c) –3 + 7 + 8
h) 3
pl
ex em
d) –0,25 11 4
i) 5 3 5 2 3
ki
4
jk
3
5
in
6 7
8
e)
3 – 5,63 – 3
6 (2 – 6 )
j)
11
12
9 10
160
19 + 7 – 2
2
3 4
VA
1
7 3 7
IN
a) 9,32 − 2,17 − 9,32
N
13
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
19
4.2
Rekenen met machten van reële getallen
4.2.1 Machten met gehele exponenten Machten met positieve exponenten Een macht is een kortere schrijfwijze voor een product van gelijke factoren. 3
4
3 = =
IN
5 = = Macht met een natuurlijke exponent
Definitie
N
"a ΠR, "n ΠN \ {0, 1} : a n = a a a ... a n factoren
"a ΠR0 : a = 1 "a ΠR : a 1 = a
VA
0
Benamingen 5
2 noem je
5 noem je
aa r©
2 = 32 32 noem je
Machten met negatieve exponenten
pl
Algemeen
1
a
n
"a Œ R0 : a–1 =
ex em
"a Œ R0, "n Œ N : a–n =
1 a
"a, b ΠR0, "n ΠN :
a b
–n
=
n
b n a
Voorbeelden –3
4 = =
3 4
–1
2 =
–2
= =
jk
Tekentabel voor de machtsverheffing
in
ki
grondtal
exponent
teken van de macht
voorbeelden –4
1 2
2
positief
even
3 =
positief
oneven
4 =
negatief
even
(–5) =
negatief
oneven
(–2) =
3
= 3
0,2 = –4
2
(– 3 ) =
3
(–0,5) =
–5
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
161
Oefeningen REEKS A Bereken uit het hoofd. = 0
b) 14
15
c) (–3) 1
=
d) –6
2
4
6
=
g) 3
=
8 h) – 5
–1
4
=
e) (– 2 )
4
=
4
f) –(– 7 ) =
–5
c) ( 6 )
=
ex em
4
d) –( 11 ) =
e) (– 37 )
4
=
–4
f) (– 101 ) =
Bereken uit het hoofd. 4
a) –2
4
b) (–2)
–4
=
c) –2
=
d) (–2)
–4
–3
=
e) –2
=
f) (–2)
=
–3
=
ki
4
=
jk
3
d) (– 5 )
pl
3
b) p 2
2
c) –(– 2 ) =
=
-3
=
Bereken met de rekenmachine. Rond af op 0,001. a) ( 2 )
1
f)
3
aa r©
b) (– 3 )
17
=
2 – 5
Bereken met de rekenmachine. a) ( 127 ) =
16
=
2 e) – 3
5
in
6 7
8 9 10 11
18
Bereken uit het hoofd. 2
a) ( 53 )
162
e) –(– 16 ) =
2
f) –( 28 )
c) –( 34 ) =
b) (– 19 ) =
d) –(– 7 ) =
12
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
2
2
= 2
=
IN
a) 2
3
–2
=
N
4
VA
14
2
=
REEKS B Bereken uit het hoofd. Schrijf het resultaat als een onvereenvoudigbare breuk.
3
b) 0,5
=
d) 0,01
=
2
=
Schrijf als een macht. Het grondtal is 2 of 10.
VA
1 256
a) 100 000 000 =
d)
b) 0,1
=
e) 0,000 000 1
=
c) 0,125
=
f) 1 024
=
=
Vul de ontbrekende getallen in.
ex em
21
c)
pl
20
–3
24 32
=
IN
2
49 56
N
a)
aa r©
19
a)
2 3
= 1,5
2
=–
b)
9 16
d)
e)
3
–4
=
=
h) (–5)
5 3
f) –0,125
=
= 0,625
i)
5 6
=1
= 1,2
ki
jk
= –8
8 5
2
4
3
c)
g)
27
in
22
Schrijf zonder haakjes en met een positieve exponent. 4
a) (–a)
7
b) –(–b)
–2
c) (–a)
–5
=
d) –(–b)
=
e)
=
f) – –a b
–a b
–3
4
2
=
g) –(–b)
=
h) – a b
=
i) –(–a )
–3
3
=
=
=
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
163
4.2.2 Rekenregels voor machten met gehele exponenten Product van machten met hetzelfde grondtal Rekenregel
"a ΠR0, "m, n ΠZ : a m ? a n = a m+n Bij het product van machten met hetzelfde grondtal moet je het grondtal behouden en de exponenten optellen. 3
5
( 3) ( 3) =
a 4 ? a 3 ? a –2 =
"a ΠR0, "m, n ΠZ :
am = a m –n an
VA
Rekenregel
N
Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal
Bij het quotiënt van machten met hetzelfde grondtal moet je het grondtal behouden en de exponenten aftrekken. a 14 = a9
7
4
Macht van een macht Rekenregel
n
instructiefilmpje
aa r©
Voorbeelden:
IN
Voorbeelden:
instructiefilmpje
=
"a ΠR0, "m, n ΠZ : (a m) = a m ? n
3
(a 4) =
ex em
Voorbeelden:
pl
Bij de macht van een macht moet je het grondtal behouden en de exponenten vermenigvuldigen.
instructiefilmpje
( 5)
3 5
=
Macht van een product
Rekenregel
1
3
Voorbeelden:
instructiefilmpje 3
(5 2 ) =
3
(2ab) =
ki
4
Bij een macht van een product moet je de machten van de factoren vermenigvuldigen.
jk
2
m
"a, b ΠR0, "m ΠZ : (a ? b) = a m ? b m
5
in
6
Macht van een quotiënt
7
8 9 10 11 12
164
Rekenregel
a "a, b ΠR0, "m ΠZ : b
m
=
am bm
Bij een macht van een quotiënt moet je de macht van de teller delen door de macht van de noemer. Voorbeelden:
2a 3b
2
=
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
instructiefilmpje
7 2
3
=
Oefeningen REEKS A
5
–4
7
2
?2
–1
–8
b) (−3) ? (−3) ? (−3)
8
–6
2
e) (−a) ? (−a) ? (−a)
=
f) a ? a ? a ? a
7
–2
=
–10
=
3
–7
8
–6
=
Schrijf de quotiënten als één macht en zonder negatieve exponent. De letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor.
a)
( 2) ( 2)
133
=
129
6–5
=
6–4
d)
ex em
b)
c)
5 8
=
e)
f)
a 54 a 27
8
(–a)
=
=
6
(–a)
a8 a–2
=
Schrijf met één positieve exponent. De letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor.
ki
jk
25
−4
=
pl
24
7
d) a ? a ? a ? a
aa r©
c) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 )
5
=
N
3
a) 2 ? 2 ? 2
IN
Schrijf de producten als één macht en zonder negatieve exponent. De letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor.
VA
23
in
a) [(–2)
4 –3
]
–6
b) (p 2)
3
c) ( 17 )
5
7
=
d) (a 2)
=
=
e) [(–a)–4 ]
=
f) (a –6)
3
–5
=
=
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
165
REEKS B Bereken zonder rekenmachine.
5 7
–2
b) – –
27
–10 25
d)
=
e)
=
f)
–3
6 –2
4
–1
5)
–2
–3 –2
pl
ex em =
f) (10x)
–2
=
g)
=
h) (6g 4)
5
c) (2b 2)
5
=
–2
–3
3
b) (5x)
ki
4
5
d) –2( 5 )
=
n
jk
3
(–2)
=
4
Werk de haakjes weg. De letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor.
a) (3a)
2
(–6)
c) (
=
b) (–2p 2)
1
4
Werk uit. Noteer je resultaat zonder negatieve exponent.
a) –( 3 )
28
–12
=
VA
c)
=
–4
–51 17
d 2
=
–n
=
x
=
in
6 7
8
–4
d)
k 3
e)
2 3 y 7
=
r
i)
2p 3
j)
1 –3 t 9
=
9 10 11
2
=
12
166
IN
–2
N
a)
225 –15
aa r©
26
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
–m
=
=
=
29
Geef telkens drie mogelijkheden. 16
a) Schrijf 24 op drie manieren als een product van twee machten met hetzelfde grondtal 24.
N
IN
16
b) Schrijf 24 op drie manieren als een macht van een macht met grondtal 24.
16
30
aa r©
VA
c) Schrijf 24 op drie manieren als een product van machten met een verschillend grondtal, maar met dezelfde exponent.
Schrijf als één macht met een positieve exponent. De letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor.
–6
–3
=
b)
5
2 5
k)
(5t) 5t
–4
=
l)
((
=
m) 7
ki
in
5
–3
7
d) 7 :
4 3
e) (p )
f)
1 9
–6
(12 5 )
5
=
g) 2b ? (2b)
=
h)
8
jk
c)
5
1 9
7
=
=
–7
=
ex em
a) 1,5 ? 1,5
(3 2 )
pl
6
i)
3
1 – 2
(7ab)
=
9
(7ab)
j) (– 2 )
–3 –4
7)
)
–2
7
a
=
a
=
–5
n)
a 2
o)
2 3
=
–5
( 7)
2
a 2
–3
:5
–3
=
5
=
=
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
167
Werk uit door rekenregels van machten toe te passen. De letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor. Schrijf het resultaat zonder negatieve exponenten en zonder haakjes.
y
b)
=
=
2
)
–2
–1
x
3 5 –2
d) (–3a c
=
e) –
5a b
2
–2
=
–2
VA
c)
–2
=
2 –6
6a b
REEKS C
ex em m
jk
b) (a k+3)
ki
4
2
(–a)
0
–a
7
=
d)
=
in 7
8
c)
b 5m b 5m + 1
ak +3 a –6k + 5
=
2
e) (2a m+1 b 5)
=
=
3
f) (a m+2 ? a m–4) =
9 10 11 12
168
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
–1
=
5
6
5
1
3
–a
3
Werk uit door rekenregels van machten toe te passen. De letters stellen reële getallen verschillend van 0 voor. a) b m–1 ? b n–3
2
f)
(–a)
pl
32
aa r©
3 2
3a b
IN
–2
a) (3abc)
N
31
33
Uit de Vlaamse Wiskunde Olympiade. Los op zonder rekenmachine en zet een vinkje boven de juiste oplossing. 5
13
a) Uit hoeveel cijfers bestaat het getal 4 ? 5 ?
IN
r
r
12
13
14
r
r
15
16
VA
r
N
VWO, editie 2020, tweede ronde
2 017
2 018
+ 32
?
aa r©
b) Welk van de volgende getallen is geen deler van 32
r
ex em
r
pl
22
33
r
r
r
44
55
66 VWO, editie 2017, tweede ronde
12
c)
6
12
6
is gelijk aan …
jk
ki
in
r
r
r
r
1
1 2
1
3
6
2
2
r 6
3
VWO, editie 2003, eerste ronde
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
169
4.2.3 Wetenschappelijke schrijfwijze Inleiding −27
a) Als je 11
berekent met de rekenmachine,
verkrijg je
.
IN
b) Hoeveel seconden gaan er in 1 000 jaar, als je geen rekening houdt met schrikkeljaren?
Definitie
N
Zeer grote en zeer kleine getallen worden zelden voluit geschreven. Wetenschappelijke schrijfwijze van een getal
VA
De wetenschappelijke schrijfwijze van een getal is het product van een decimaal getal met één van nul verschillend cijfer voor de komma en de bijbehorende macht van 10.
aa r©
Van decimale schrijfwijze naar wetenschappelijke schrijfwijze zeer grote getallen
Het aantal rangen dat je de komma naar links moet verschuiven zodat die na het eerste cijfer staat, is de exponent van 10.
1
3
= 5,2 ? 0,000 001 –6 = 5,2 ? 10
5 600 000 000 =
0,000 087
=
=
=
Van wetenschappelijke schrijfwijze naar decimale schrijfwijze positieve exponenten
ki
4 5
instructiefilmpje
in
6
Het aantal rangen dat je de komma naar rechts moet verschuiven zodat die na het eerste cijfer staat, voorzien van een minteken, is de exponent van 10.
0,000 005 2
jk
2
= 7,32 ? 10 000 000 7 = 7,32 ? 10
ex em
73 200 000
pl
instructiefilmpje
zeer kleine getallen
Je verkrijgt de decimale schrijfwijze door de komma zoveel rangen naar rechts te verschuiven als de exponent van 10 aangeeft.
negatieve exponenten Je verkrijgt de decimale schrijfwijze door de komma zoveel rangen naar links te verschuiven als de exponent van 10 aangeeft.
7
8
6
–5
9
2,56 ? 10
10
3,874 ? 10 =
8
5,78 ? 10 =
=
=
11 12
170
= 2,56 ? 1 000 000 = 2 560 000
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
7,2 ? 10
= 7,2 ? 0,000 01 = 0,000 072
–9
Bewerkingen met getallen in de wetenschappelijke schrijfwijze Je kunt rekenen met de getallen in de wetenschappelijke schrijfwijze, zonder ze om te zetten in de decimale vorm. Daarbij maak je gebruik van de rekenregels voor machten. Voorbeelden: 11
−6
= (3,5 ? 2) ? (10
5
11
? 10 )
−6+11
= 7 ? 10
5
= 7 ? 10
5
1 3 10 1 9 –4 = 105–(–4) = 10 = –4 4 12 4 10 12 10 3 10
3
5 3
= 2 ? (10 ) 3
8
5?3
= 8 ? 10
15
= 8 ? 10
−17
–9 –7
2 10
8
= 2,5 ? 10
VA
4 ? 10 ? 3 ? 10 = 8 10
9
= 0,25 ? 10
N
(2 ? 105)
IN
−6
3,5 ? 10 ? 2 ? 10
= 7
aa r©
(2 ? 10−4) =
Bij zeer grote en zeer kleine getallen kun je in de war raken wat het aantal nullen betreft. Daarom schrijf je die getallen in de wetenschappelijke schrijfwijze.
naam
symbool
factor
yocto
y
10
−21
zepto
z
10
−18
atto
a
10
−15
femto
f
10
−12
pico
p
10
10
−9
nano
n
jk
factor
pl
kleine getallen
−6
micro
−3
naam
symbool
1
deca
da
2
hecto
h
3
kilo
k
6
mega
M
9
giga
G
10
12
tera
T
μ
10
15
peta
P
milli
m
10
18
exa
E
−2
centi
c
10
21
zetta
Z
−1
deci
d
10
24
yotta
Y
−24
ex em
10
10
10
10
10
ki
10
in
grote getallen
10
10
10
Enkel voor de kleine onderverdelingen en veelvouden van de eenheid worden alle gehele getallen als exponent gebruikt. Vanaf de exponenten 3 en −3 zijn de exponenten telkens drievouden. Op die manier kan het aantal namen beperkt blijven. Om het verschil te laten zien tussen een onvoorstelbaar groot getal en oneindig, 100 voerde Edward Kasner in 1938 de term ‘1 googol’ in. Dat is een getal met waarde 10 . Van die term is ook het woord ‘Google’ afgeleid.
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
171
Oefeningen REEKS A Omcirkel de getallen die in de wetenschappelijke schrijfwijze staan. 5
9
−0,3 ? 10
7,7 ? 10
−7
0,068 ? 10 5
−3
−4,89 ? 10
−41,2 ? 10
9,3 ? 10
c) 0,003 02
3,02 ? 10
d) −0,380
−38 ? 10
−3
−2
in
6 7
d) 25 147 500 000 000
=
−5
302 ? 10
0
−0,38 ? 10
Schrijf als decimale getallen.
wetenschappelijke schrijfwijze 8
a) 1,48 ? 10
decimaal getal =
−7
b) 3 ? 10
= −9
c) 8,12 ? 10
= 12
d) 5,034 ? 10
12
172
4
−4,080 2 ? 10
pl =
10 11
−4,002 ? 10
=
8 9
2
0,25 ? 10
=
ex em
5
3
4,62 ? 10
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
=
2
93 ? 10
−1
−4,080 2 ? 10 2
3,02 ? 10
−1
−3,8 ? 10
wetenschappelijke schrijfwijze
c) 0,002 374
ki
4
7
−2
Geef de wetenschappelijke schrijfwijze.
jk
3
−6
−6,3 ? 10
2
1
b) 0,000 000 7
37
−2,001 ? 10
9,3 ? 10
−4 080,2 ? 10
a) 237 580 000
2
3
b) −40 802
decimaal getal
1
−8
Omcirkel de wetenschappelijke schrijfwijze van het gegeven getal. a) 9 300
36
−3
aa r©
35
2,5 ? 10
85,2 ? 10 2
1 ? 10
6
21,8 ? 10
IN
−2
0,17 ? 10
N
4
2,6 ? 10
VA
34
REEKS B 38
Tijdens haar vakantiejob stelt Sofie haar baas de volgende deal voor. Ze is bereid om de eerste werkdag van de maand te werken voor één cent per dag, de tweede werkdag voor drie cent, de derde dag voor negen cent ... Haar loon wordt dus elke werkdag verdrievoudigd.
IN
a) Hoeveel zou Sofie verdienen gedurende de eerste werkweek (5 werkdagen)?
N
b) Hoeveel zou Sofie verdienen op de twintigste werkdag?
VA
39
aa r©
Geef de wetenschappelijke schrijfwijze van de producten. product 8
a) 57 ? 10
wetenschappelijke schrijfwijze
=
−5
=
pl
b) 93 ? 10
−4
ex em
c) 8 955 ? 10
6
d) 344,124 ? 10
in
ki
a) 8 : 2 000 000
=
b) 2 500 ? 8 000 000
=
c) 39 000 : 3 000 000 000
=
2
d) 5 000
= 3
=
Bereken zonder rekenmachine. Geef je resultaat in de wetenschappelijke schrijfwijze.
jk
40
=
e) 3 000 000
=
f) 123 000 ? 20 000
= HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
173
Werk uit zonder rekenmachine. Geef je resultaat in de wetenschappelijke schrijfwijze. 4
4
a) 1,64 ? 10 + 2,3 ? 10 8
2 10
5 3
)
d) (2,3 ? 10
=
) ? (3 ? 103)
−8
−8
2
=
−8
e) 4,5 ? 10 + 8 ? 10
f)
g)
−3
=
–7
6,4 10
=
4
1,6 10
[(1,8 ? 10 ) ? (2 ? 10 )] 7
−8
–4
=
ex em
pl
h)
(1,2 ? 108)
=
N
c) (2,5 ? 10
IN
=
–5
9 10
VA
b)
=
aa r©
41
42
2 3
b) De snelheid van het licht bedraagt 300 000 km per seconde.
c) De diameter van een uraniumatoom bedraagt 0,000 000 000 25 m.
d) De massa van Jupiter bedraagt 1 898 000 000 000 000 000 000 000 000 kg.
e) De dikte van een rode bloedcel bedraagt 0,000 002 m.
ki
4
wetenschappelijke schrijfwijze
a) De gemiddelde straal van de aarde bedraagt 6 370 000 m.
jk
1
Geef de wetenschappelijke schrijfwijze.
5
in
6 7
8 9 10 11 12
174
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
43
In een composthoop van 4 000 liter zitten bacteriën die zich om de zes uur verdubbelen. Bij een onderzoek op vrijdag vindt men in één liter compost 100 000 bacteriën. Hoeveel bacteriën zitten er in de composthoop die vrijdag? Geef je antwoord in de wetenschappelijke schrijfwijze.
aa r©
Antwoord:
De lichtsnelheid is 300 000 km/s. Bereken hoeveel km er in een lichtjaar gaan. Geef je resultaat in de wetenschappelijke schrijfwijze.
ex em
Antwoord:
pl
45
46
N
8
De afstand van de aarde tot de zon bedraagt 1,5 ? 10 km. 9 De afstand van Neptunus tot de zon bedraagt 4,5 ? 10 km. Hoeveel keer staat Neptunus verder van de zon dan de aarde?
VA
44
IN
Antwoord:
24
De massa van de aarde is ongeveer 5,98 ? 10 kg. De massa van de zon is 330 000 keer groter. Bereken de massa van de zon. Geef je resultaat in de wetenschappelijke schrijfwijze.
jk
in
ki
Antwoord:
47
−25
De massa van een elektron bedraagt 9,11 ? 10 g. Hoeveel elektronen gaan er in 1 ton? Geef je resultaat in de wetenschappelijke schrijfwijze.
Antwoord:
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
175
b) 0,000 002 58 Pm
=
c) 52 327 fm
=
d) 0,455 pm
=
e) 375 489 nm
=
f) 89 540 Gm
=
g) 7,623 μm
=
h) 5 600 Tm
=
Uit de chemische samenstelling van de aarde blijkt dat die voor 34,5 % uit ijzer bestaat. 24 De totale massa bedraagt 5,976 ? 10 kg. Hoeveel ton ijzer is dat? Geef je resultaat in de wetenschappelijke schrijfwijze.
ex em
pl
49
N
=
VA
a) 958 100 km
IN
Schrijf de meetresultaten in de wetenschappelijke schrijfwijze. Gebruik de tabel van pagina 171. Druk je resultaat uit in m.
aa r©
48
1
3
ki
4
Antwoord:
jk
2
50
5
in
6 7
8 9 10
Het licht heeft een snelheid van 300 000 km/s. De afstand van de zon tot de aarde bedraagt 8 1,496 ? 10 km. Hoelang heeft het zonlicht nodig om de aarde te bereiken? Geef je resultaat in minuten en seconden, op 1 seconde nauwkeurig.
11 12
176
Antwoord: HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
REEKS C 51
Rode bloedcellen nemen meer dan 50 % van het bloedvolume in beslag. Per milliliter zijn het er ongeveer 5,4 miljard. Rode bloedcellen zijn schijfvormige cellen met een doorsnede van ongeveer 7 micrometer en een dikte van 2 micrometer. Hoeveel rode bloedcellen heeft een gemiddelde persoon (5,5 liter bloed)? Geef je resultaat in de wetenschappelijke schrijfwijze.
IN
N
VA
52
pl
Antwoord:
aa r©
5
De straal van de aarde is 6 378 km. De straal van de zon is 6,96 ? 10 km.
ex em
Bereken hoeveel keer het volume van de aarde in het volume van de zon kan. 4 r 3. Het volume van een bol met straal r bereken je met de formule 3 Geef je resultaat, op 0,01 nauwkeurig, in de wetenschappelijke schrijfwijze.
jk
ki
in
Antwoord:
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
177
4.3
Rekenen met vierkantswortels van reële getallen
4.3.1 Som en verschil van vierkantswortels Gelijksoortige vierkantswortels
7 9 –2 9
en 12 25 =
=
en 5 9
IN
5 25 + 7 25 =
=
+
7 13 + 9 13 29 + 8 29
x en a x – b x = (a – b)
x
VA
"a, b ΠR, "x ΠR : a x + b x = (a + b) =
25 17 – 84 17 =
=
2,8 7 – 9,14 7 =
aa r©
Rekenregel
N
Je past de distributiviteit toe van het vermenigvuldigen ten opzichte van het optellen en het aftrekken in R.
Niet-gelijksoortige vierkantswortels 9 + 16
=
9 + 16
=
en
169 – 144
=
instructiefilmpje
pl
169 – 144 =
en
Besluit:
ex em
a + b ≠ a + b (a > 0, b > 0) en a – b ≠ a – b (a > b > 0)
1
3
B
ki
4
C
jk
2
5
in
6 7
8 9 10 11
D
De driehoeksongelijkheid zegt dat de ‘kortste afstand’ tussen twee punten een rechte lijn is. Er geldt: • | AD | + | DB | = | AB | omdat A, D en B collineaire punten zijn. • | AC | + | CB | > | AB | A want A, C en B zijn niet collineair en vormen dus een driehoek. Die eigenschap is gekend als de ongelijkheid van Minkowski.
In een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden a en b is de lengte van de schuine zijde a 2 + b 2 (stelling van Pythagoras). Volgens de driehoeksongelijkheid is in elke driehoek één zijde altijd korter dan de som van de twee andere zijden. De schuine zijde is dus korter dan de som van de twee rechthoekszijden. In symbolen: a 2 + b 2 < a + b of a 2 + b 2 < a 2 + b 2
12
178
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
a2 + b2
b a
Oefeningen REEKS A Werk uit indien mogelijk. =
e)
b) 17 21 – 5 21
=
f) 5 3 + 5
c)
=
g) –7 3 – 8 3
=
h) 26 11 + (–3 11 )
54
Werk uit indien mogelijk. a) 7,3 7 + 8 7
=
1 5 –2 5 2
=
b)
=
ex em
c) 8,5 2 – 7 3
d) 2,2 2 – 5 2
=
N =
VA
d) 5 13 – 2 13
=
aa r©
97 + 8 97
=
35 – 8 35
IN
a) 2 6 + 6
pl
53
e)
–5 +2 3
=
=
1 5,1 2
=
g)
–2 –5 5 – 5 5 2
=
h)
1 –8 2,4 + 2,4 = 3 9
f) 5,3 5,1 –
jk
REEKS B
Werk uit indien mogelijk.
in
ki
55
a) 2 a + 3 a
=
e) a 2 – b 2
=
b) 8 x – 11 x
=
f) a b + a b
=
8 u 5
=
g) a b + b a
=
–4 3 b + b 5 2
=
h) b a – b a
=
c) 7,2 u –
d)
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
179
4.3.2 Product van vierkantswortels Inleiding =
en
( 11 10 ) =
=
en ( 11 10 )
2
Rekenregel
4 9 2
=
=
=
=
IN
=
4 9
Het product van de vierkantswortels van twee positieve reële getallen is de vierkantswortel van het product van die twee getallen. +
In symbolen: "a, b ΠR : a b =
N
a b
Bewijs
a, b ΠR
VA
gegeven +
te bewijzen
aa r©
a b = a b bewijs
instructiefilmpje
Beide leden van de formule zijn positieve getallen. Het volstaat dus aan te tonen dat hun kwadraten aan elkaar gelijk zijn. 2
• ( a b)
2
2
( a) ( b)
=
macht van een product 2
a?b
definitie vierkantswortel
pl
• ( a b)
=
=
a?b
definitie vierkantswortel
ex em
besluit
a b = a b
Voorbeelden 2 8 =
1
3
Deze rekenregel wordt gebruikt om wortelvormen te vereenvoudigen. In de volgende voorbeelden stellen de letters positieve getallen voor.
ki
4
Vereenvoudigen
jk
2
6 7 =
3 12 =
5
a 2b
=a b
7
18
= 9 2
= 9 2
=3 2
8
80
=
=
=
3a 2
=
=
=
in
6
9 10 11 12
180
instructiefilmpje
Door wortelvormen te vereenvoudigen, kun je niet-gelijksoortige vormen soms gelijksoortig maken. 2 + 8
=
2 + 4 2
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
=
2 + 4 2
=
2 +2 2
=
3 2
Oefeningen REEKS A
2 2
=
g)
32 2
=
b)
3 12
=
h)
3 48
=
c)
3 27
=
i)
45 5
N
d)
8 2
=
j)
e)
2 18
=
f)
3 75
=
Vereenvoudig.
VA
aa r©
=
6 24
=
l)
7 28
=
=
g)
72
=
b)
104
=
h)
45
=
98
=
i)
175
=
d)
18
=
j)
63
=
e)
90
=
k)
153
=
f)
80
=
l)
363
=
jk
=
k)
32
ki
in
5 20
a)
c)
IN
a)
ex em
57
Bereken.
pl
56
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
181
REEKS B Werk de vermenigvuldigingen uit. Vereenvoudig je resultaat. d) 5 6 6 12
=2 3 2 2
b) 2 2 3 3
e) 3 8 2 54
VA
f) 2 8 4 18
aa r©
c) 3 2 18
ex em
Tel de wortelvormen op. a)
1
3
d) 2 2 + 3 18 – 9 8
b)
5 + 3 20
e) 4 12 – 2 3 + 48
ki
4
6 + 24
jk
2
pl
59
IN
a) 2 2 3 2
N
58
5
in
6 7
8 9 10 11
c) 2 3 + 5 12
5 + 3 180 – 4 45
12
182
f)
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
=
b) 3 3a + 2 27a – 6 48a
=
c)
=
5a + 2 45a – 3 180a
IN
a) 2 2a – 8a – 9 2a
Werk de vermenigvuldigingen uit.
N
61
Tel de vierkantswortels op (a > 0).
c) (2 3 + 5 5 ) 15
5 (3 – 2 5 )
a)
VA
60
aa r©
3 ( 6 + 2 3)
ex em
b)
pl
d) –6 7 (3 14 + 21 – 27 )
in
ki
jk
62
Werk de vermenigvuldigingen uit. De letters stellen positieve reële getallen voor. a)
a (2 – a )
=
b)
b (3 ab + b )
=
c)
x (–2 x – 5 )
=
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
183
4.3.3 Quotiënt van vierkantswortels Inleiding
4 16 100 Rekenregel
=
=
en
1 4
=
=
=
=
en
16 = 100
=
IN
1
+
a b
a b
=
VA
+
In symbolen: "a ΠR , "b ΠR 0 :
N
Het quotiënt van de vierkantswortels van twee positieve reële getallen waarbij de noemer niet nul is, is de vierkantswortel van het quotiënt van die getallen.
Bewijs gegeven +
+
aa r©
a ΠR en b ΠR 0 te bewijzen
a b
=
a b
bewijs
instructiefilmpje
b
2
( a) ( b)
a b
=
2
definitie vierkantswortel
2
a b
= definitie vierkantswortel
besluit
1
=
a b
jk
a
b
ki
4
macht van een quotiënt
a b
•
3
=
ex em
•
2
2
a
pl
Beide leden van de formule zijn positieve getallen. Het volstaat dus aan te tonen dat hun kwadraten aan elkaar gelijk zijn.
Opmerking
5
in
6
Vereenvoudig, indien mogelijk, de breuk onder het wortelteken.
7
3
8
12
9 10
3 = 12
1 1 = 4 2
3 15
=
3 = 15
16 24
=
Voorbeelden
11
50
12
2
184
=
=
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
3 27
=
2 98
=
De noemer wortelvrij maken Een wortelvorm kun je soms vereenvoudigen door de noemer wortelvrij (rationaal) te maken. Om de noemer wortelvrij te maken, vermenigvuldig je de teller en de noemer met de vierkantswortel uit de noemer. a b a a b a b + In symbolen: "a ΠR, "b ΠR0 : = = = 2 b ( b) b b b
IN
Werkwijze
Vereenvoudig eerst de wortelvormen in de noemer, indien mogelijk.
=
=
=
3 5 5 5 3 5
definitie macht
2
( 5)
5 7
=
=
3 5 5
=
definitie vierkantswortel
ex em
5 3
pl
=
5
2 3
=
=
5 3
2
2( 3 ) 5 3 2 3
=
5 3 6
jk ki
in
2 3 3
=
5
rekenregel quotiënt van vierkantswortels
VA
5
instructiefilmpje
teller en noemer vermenigvuldigen met de vierkantswortel uit de noemer
7
5 7
teller en noemer vermenigvuldigen met de vierkantswortel uit de noemer
7 7
aa r©
3
N
Voorbeelden
teller en noemer vermenigvuldigen met de vierkantswortel uit de noemer
5 18
=
definitie macht
=
definitie vierkantswortel
=
=
35
rekenregel product van vierkantswortels definitie macht
2
( 7) 35 7
definitie vierkantswortel
5
eerst de wortelvorm in de noemer vereenvoudigen
9 2 5
rekenregel product van vierkantswortels
3 2 5 2 3 2 2 5 2 2
3 ( 2)
teller en noemer vermenigvuldigen met de vierkantswortel uit de noemer
definitie macht
=
5 2 3 2
definitie vierkantswortel
=
5 2 6
rekenen met reële getallen
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
185
Oefeningen REEKS A Bereken zonder rekenmachine.
c)
64
c)
1
18 2
f)
7 11
11 6
2
5
=
d)
=
=
in
a)
b)
10
12
186
=
112 7
=
e)
f)
17 7
8 7
6 13
=
=
=
Vereenvoudig, schat het resultaat en bereken met de rekenmachine op 0,001.
8
11
54
jk 65
6
9
6
=
REEKS B
vereenvoudigen
5
7
144
IN
=
4
N
e)
ki
4
27
=
ex em
b)
3
3
d)
Maak de noemer wortelvrij.
a)
2
2
=
VA
b)
2
aa r©
a)
pl
63
c)
75
schatten
berekenen
15 120 8 90 5
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
Maak de noemer wortelvrij.
c)
d)
e)
=
3 6 –2
=
2 2 2 7
=
11 5 3
IN
b)
5
=
32 –2 2 27
N
a)
=
VA
66
67
aa r©
REEKS C
Vul de tabel met goniometrische getallen aan. Maak de noemers wortelvrij. sin a 1 2 1
a = 45o
1
ex em
2
=
3 2
a= 60o
68
jk
27 72
3–2 3
ki b)
in
2
=
tan a
1 2
Maak de noemer wortelvrij. a) 1 3
c)
d)
e)
3 2
pl
a = 30o
cos a
3
3 4 –5 8 2 5 2 5 +5 2 15 6 21 – 3 + 5 2 7
=
=
=
=
=
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
187
VERDIEPING
Toegevoegde tweetermen 2
2
(a + b) ? (a − b) = a − b
(
a + b) ( a – b)=a –b
Voorbeeld:
1 ( 3 + 2)
(
3 – 2) ( 3 + 2)
=
3 + 2 = 3 + 2 3–2
=
1+ 3 2 3– 5
c)
7 –2 24 5 + 3
=
=
=
pl
d)
–3
VA
b)
3
N
Maak de noemer wortelvrij. a)
Uit de Junior Wiskunde Olympiade. Los op zonder rekenmachine en zet een vinkje boven de juiste oplossing.
ex em
70
3 – 2
=
aa r©
69
1
IN
kun je gebruiken om noemers wortelvrij te maken.
2
5
2
Beschouw de evenredigheid
2
=
5 . Waaraan is x gelijk? x
3
1
3
ki
4
jk
2
5
in
6 7
8 9
r
r
r
r
r
3
5 3
5
3 2
2 2
2
2
3 2
5 3
5 3
10
JWO, editie 2004, eerste ronde
11 12
188
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
4.3.4 Macht van een vierkantswortel Inleiding
3
( 4)
–1
( 36 ) Rekenregel
2
=
3
=
=
en
9
=
en
4
=
en
36
–1
=
IN
2
( 9)
De macht van een vierkantswortel van een positief reëel getal is de vierkantswortel van de macht van dat getal. +
z
VA
N
In symbolen: "a ΠR 0, "z ΠZ : ( a ) = a z Bewijs gegeven +
te bewijzen
(
z
a ) = az bewijs
aa r©
a ΠR 0 en z ΠZ
instructiefilmpje
Beide leden van de formule zijn positieve getallen. Het volstaat dus aan te tonen dat hun kwadraten aan elkaar gelijk zijn. a)
z
2
=
(
a)
z 2
pl
(
•
macht van een macht
ex em
2
• ( az )
(
=
2
a)
macht van een macht
z
=
z
a
definitie vierkantswortel z
=
a
definitie vierkantswortel
besluit
(
z
a ) = az
jk
Voorbeelden 6
–4
( 2) =
ki
( 3) =
in
Opmerking Deze rekenregel wordt gebruikt om wortelvormen te vereenvoudigen. In de volgende voorbeelden stellen de letters telkens positieve getallen voor. 4
2
2
3 = 3
2
3
b = b
2 2 = (2 ) = 2 = 4 3 6 a = (a ) = a
Om de vierkantswortel van een macht met een even exponent te nemen, laat je het wortelteken weg en deel je de exponent door twee.
5
4
11
10
1
2 3 =3 3 =9 3 1
b = b5 b
Om de vierkantswortel van een macht met een oneven exponent te nemen, ontbind je de macht in het grondtal en een even macht ervan en pas je de rekenregels toe. HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
189
Oefeningen REEKS A Bereken zonder rekenmachine. 4
=
c) ( 11 )
6
=
d) ( 2 )
a) ( 2 )
=
10
=
Vereenvoudig.
=
5
=
8
d)
6
2
11
=
=
h)
4
5
=
i)
3
6
=
j)
11
5
=
–2
a) ( 3 )
–4
1 3
=
e)
=
f) ( 6 )
–6
=
g)
1 2
6
=
h) (– 7 )
–4
b) (– 5 )
c) ( 10 )
=
–2
8 9
8
10
Bereken zonder rekenmachine.
jk
73
in 7
=
g)
5
6
3
9
aa r©
3
c)
pl
=
7
ki
4
3
b)
f)
REEKS B
1
3
=
5
e)
2
4
a)
ex em
72
VA
N
b) ( 5 )
4
IN
71
= –8
=
10 11
d) (– 3 )
12
190
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
–4
=
a)
100
=
d)
b
53
=
b
88
=
b) – a
43
=
e)
c) – a
78
=
f) – a
81
=
N
75
a
IN
Vereenvoudig. De letters stellen positieve reële getallen voor.
Vereenvoudig en bereken daarna met de rekenmachine.
VA
74
vereenvoudigen 3
4
3
1 13
b)
= –2
=
–3 –4
c) –(– 7 )
=
=
pl
3
3
ex em
1 4
=
=
aa r©
a) (– 3 )
berekenen
d)
=
=
jk
REEKS C
Vereenvoudig. De letters stellen positieve reële getallen voor. Noteer je resultaat met een positieve exponent.
in
ki
76
a)
a
3
)
4
b) –(– b 5 )
8
c)
(
a b
5
=
d)
=
e)
6
1 a
(
a
=
10
)
–3
8
=
f)
a – b
=
4
–3
=
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
191
4.3.5 Bewerkingen met wortelvormen Meestal zullen er meerdere bewerkingen in een oefening voorkomen. Hier heb je ze nog eens op een rijtje.
+
"a, b ΠR, "x ΠR : a x + b x = en a x Рb x =
Voorbeelden:
3 7 +7 7 =
16 a –5 a =
N
Rekenregel
IN
Optellen en aftrekken
VA
Opmerking
+
Vermenigvuldigen Rekenregel
+
"a, b ΠR : a b =
2 18 =
ex em
pl
Voorbeelden:
aa r©
a + b ≠ a + b en a – b ≠ a – b (a, b Œ R 0, a > b)
5 15 =
Delen
Rekenregel
+
a
+
"a ΠR , "b ΠR0 :
1
3
18
=
=
96
=
6
ki
4
2
Voorbeelden:
jk
2
b
5
Machtsverheffing
in
6 7
Rekenregel
+
z
"a ΠR0, "z ΠZ : ( a ) =
8 9 10
Voorbeelden:
4
( 3) =
11 12
192
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
6
( 7) =
Oefeningen REEKS B
b)
98 a b
4
7
=
5
12
=
c)
75 a b
=
d)
32 a b
N
3
5
=
IN
72 a
4
32 a b 72 a 63 ab
b)
5
3
3
28a b
VA
Vereenvoudig. De letters stellen positieve reële getallen verschillend van 0 voor. a)
79
2
a)
=
c) 3
=
d)
3 7
7
4
2
9
96 a b
54 a b
=
–5
80 a b
aa r©
78
Vereenvoudig. De letters stellen positieve reële getallen verschillend van 0 voor.
3
98a b
6
–3
=
Vereenvoudig en werk uit. De letters stellen positieve reële getallen verschillend van 0 voor. a)
c) –4 b 2 147 a 3 b + 7a 243 ab 5
18a + 98a – 50 a
pl
77
ex em
2
b)
2
90 ab – 3 40 ab + b 160 a
d) –b 5 a + 3 ab 500 a 5 b 4
ki
jk
in
80
Werk uit. De letters stellen positieve reële getallen verschillend van 0 voor. =
a)
a ab
b)
a b 9 ab
c)
ab 2 b 54 a
d)
45 a 5 b 9 a b
3
2
2
3
9
3
3
= 3
3
= 4
= HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
193
b) 2 7 ( 14 + 3 7 )
=
c) (5 11 – 2 3 ) 33
=
d) (2 3 + 5 5 ) 15
=
e) 3 a (3 a + 7)
=
f) – a
3
c)
5
=
a
8 8a
=
2a
16 50 a 2a
5
2
=
in
6 7
8
d)
22 6 a 11 48a
=
3
9 10 11
e)
–9 32 a 4 27 a
7
3
=
12
194
)
=
pl
3
jk
b)
3 a
ki
4
2
=
ex em
1
3
)
Werk uit. De letter a stelt een positief reëel getal verschillend van 0 voor. Maak de noemer wortelvrij.
a)
2
3
ab – 6 a
ab ( a b – 5 ab
g)
82
(
N
=
VA
3 (2 3 + 4)
a)
IN
Werk uit. De letters stellen positieve reële getallen verschillend van 0 voor.
aa r©
81
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
Werk uit. De letter a stelt een positief reëel getal verschillend van 0 voor. f) (a a )
2
=
g) (3a a 3 )
c) (2 32 )
2
=
h) (–a 2 8a 5 ) =
4
=
i) (3a 3a )
=
j)
d) (– 6 )
4
2
= 2
(a2
8a
3
4
)
= 4
=
VA
e) (–2 15 )
=
N
b) (–3 7 )
Vereenvoudig. De letters stellen positieve reële getallen verschillend van 0 voor. 2
a)
4c (a + b)
b)
9(a + c ) b
c)
a +a
d)
5a – a
4
3
9
3
= =
pl
7
=
2
=
ex em
84
2
=
IN
2
a) (5 3 )
aa r©
83
85
Maak de noemer wortelvrij. De letters stellen positieve reële getallen verschillend van 0 voor. 162 – 147
a)
jk
5
18 – 2 12
in
ki
b)
c)
d)
e)
7
2 a – 2b b 3
a + 8b 27 a 2
ab – b a 54 b
=
=
=
=
=
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
195
86
Werk uit en bereken op 0,01 nauwkeurig a) de inhoud van een kubus met ribben
c) de inhoud van een cilinder met een straal van 2 3 cm en een hoogte van 48 cm.
aa r©
Antwoord:
Antwoord:
pl
b) de oppervlakte van een ruit met
een grote diagonaal van 2 63 cm en
ex em
een kleine diagonaal van 28 cm.
2 3
ki
4
d) de oppervlakte van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van
2 7 cm en 3 3 cm lang.
jk
1
VA
N
IN
van 5 cm.
5
in
6 7
8 9 10 11 12
196
Antwoord:
Antwoord:
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
REEKS C Werk uit en bereken op 0,01 nauwkeurig a) de omtrek van een vierkant waarvan de diagonalen 3 cm meten.
c) de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek
met zijden van 5 cm.
aa r©
Antwoord:
Antwoord:
pl
b) de oppervlakte van een rechthoek met
diagonalen van 7 cm die elkaar snijden onder een hoek van 70º.
d) de oppervlakte van een ruit waarvan
de zijden 11 cm meten en waarvan de grote diagonaal dubbel zo lang is als de kleine diagonaal.
in
ki
jk
ex em
VA
N
IN
87
Antwoord:
Antwoord:
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
197
88
Bepaal de omtrek en de oppervlakte a) van de cirkel. omtrek:
VA
oppervlakte:
N
a
IN
aa r©
ex em
pl
b) van de gekleurde figuur.
2 3
a
ki
4
jk
1
omtrek: oppervlakte:
5
in
6 7
8
9
10 11
12
198
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
89
Uit de Vlaamse Wiskunde Olympiade. Los op zonder rekenmachine en zet een vinkje boven de juiste oplossing. A
a) Het hart op de figuur bestaat uit twee rakende halve cirkels met straal 1 en twee cirkelbogen met middelpunten A en B. Hoe groot is de zijde [BC ] van de rechthoek ABCD?
B
IN
C
D
N
VA
r
r
r
r
r
15
4
17
21 JWO, editie 2015, eerste ronde
pl
13
aa r©
b) De totale oppervlakte van een regelmatige vierzijdige piramide, waarvan alle ribben even lang zijn, is gelijk aan 16 (1 + 3 ).
De inhoud van die piramide is dan gelijk aan …
ex em
ki
jk
in
r
r
r
r
r
32 3
16 2 3
32 2 3
16 3
8 2 3 VWO, editie 2005, eerste ronde
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
199
4.3.6 Volgorde van de bewerkingen
1) Bewerkingen tussen haakjes
(),[]
2) Machten en vierkantswortels
a n , a
3) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts
?,:
4) Optellen en aftrekken van links naar rechts
+,−
N
Bij het vierkantswortelteken moet alles wat onder het wortelteken staat, eerst uitgewerkt worden alsof het tussen haakjes staat.
VA
Voorbeelden a)
d)
18 + 24 : 6 + 3
ex em
c)
ki
4
2a 3 + 3a 3 a
e)
jk
3
1 9 1 + : 2 16 4
pl
4 1 + 4 9
2
5 3
3
–
1 2 + 2 3
2
2 5 7
f)
3 a + 10a – 3 2a –2 8a + 17a
5
in
6 7
8 9 10 11 12
200
ab b
1
a
aa r©
b) –
IN
Wanneer je meerdere bewerkingen uitvoert in een oefening, moet je rekening houden met de volgorde van de bewerkingen.
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
Oefeningen REEKS B Bereken zonder rekenmachine. Houd rekening met de volgorde van de bewerkingen. d)
48 3
3
4
aa r©
e)
(
ex em
+ 10 x
25 2 + 154 – 2 5 36 3
jk ki
3
4x + 7 3x
x – 2 x 3)
pl
c)
4
18 + 32
b)
a
VA
in
– 2a 2
2 a –5 a
IN
a) (8 17 + 3 17 ) 68
N
90
f)
a (3 9a + 17 2a + 2a ) –3 4a
3
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
201
STUDIEWIJZER Rekenen met reële getallen voor de leerling
4.1 Bewerkingen met reële getallen KUNNEN
voor de leerkracht
– + – +
De eigenschappen van bewerkingen met reële getallen gebruiken om bewerkingen uit te voeren en te vereenvoudigen.
N
4.2 Rekenen met machten van reële getallen KENNEN "a Œ R, "n Œ N \ {0, 1} : a =a a a ... a
– + – +
n factoren
"a ΠR0 : a = 1 "a ΠR : a 1 = a
"a, b ΠR0, "n ΠN :
1 1 "a Œ R0 : a–1 = n a a –n
a b
=
n
b n a
aa r©
"a Œ R0, "n Œ N : a–n =
VA
n
0
IN
Berekeningen uitvoeren met getallen • in breukvorm • in decimale vorm en indien nodig de rekenmachine gebruiken.
"a ΠR0, "m, n ΠZ : a m ? a n = am+n
Bij het product van machten met hetzelfde grondtal moet je het grondtal behouden en de exponenten optellen. am =am –n an
pl
"a ΠR0, "m, n ΠZ :
Bij het quotiënt van machten met hetzelfde grondtal moet je het grondtal behouden en de exponenten aftrekken. n
ex em
"a ΠR0, "m, n ΠZ : (am) = am ? n
Bij de macht van een macht moet je het grondtal behouden en de exponenten vermenigvuldigen. m
"a, b ΠR0, "m ΠZ : (a ? b) = am ? bm Bij een macht van een product moet je de machten van de factoren vermenigvuldigen.
1
3
=
am bm
Bij een macht van een quotiënt moet je de macht van de teller delen door de macht van de noemer.
ki
4
m
jk
2
a "a, b ΠR0, "m ΠZ : b
De wetenschappelijke schrijfwijze van een getal is het product van een decimaal getal met één van nul verschillend cijfer voor de komma en de bijbehorende macht van 10.
5
in
6 7
8 9
KUNNEN De rekenregels voor het rekenen met machten toepassen bij het rekenen met getallen en letters. Omzetten van decimale maar wetenschappelijke schrijfwijze en omgekeerd. Berekeningen uitvoeren met getallen in wetenschappelijke schrijfwijze.
10 11 12
202
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
– + – +
voor de leerling
4.3 Rekenen met vierkantswortels van reële getallen KENNEN
voor de leerkracht
– + – +
"a, b Œ R, "x Œ R+ : a x + b x =(a + b) x en a x – b x =(a – b) x Het product van de vierkantswortels van twee positieve reële getallen is de vierkantswortel van het product van die getallen. "a, b Œ R+ : a
b= a b
b
=
a b
N
a
"a ΠR+, "b ΠR+0 :
IN
Het quotiënt van de vierkantswortels van twee positieve reële getallen waarbij de noemer niet nul is, is de vierkantswortel van het quotiënt van de grondtallen.
"a ΠR, "b ΠR+0 :
a b
=
a b b b
=
a b
(
b)
2
=
a b b
VA
Om de noemer wortelvrij te maken, vermenigvuldig je de teller en de noemer met de vierkantswortel uit de noemer.
"a ΠR+0, "z ΠZ : ( a ) = a z z
aa r©
De macht van een vierkantswortel van een positief reëel getal is de vierkantswortel van de macht van dat getal.
KUNNEN
– + – +
De rekenregels voor het rekenen met vierkantswortels uitdrukken in woorden en symbolen. Die rekenregels toepassen bij het uitvoeren van bewerkingen.
pl
Bewerkingen met wortelvormen benaderend uitvoeren met behulp van een rekenmachine. De rekenregels voor het rekenen met vierkantswortels bewijzen.
in
ki
jk
ex em
Oefeningen oplossen, rekening houdend met de volgorde van de bewerkingen.
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
203
Problemen uit JWO Hoeveel drietallen van opeenvolgende natuurlijke getallen bestaan er zodat een van de getallen een volkomen kwadraat is en de andere twee priemgetallen zijn?
A) ❒ 1
B) r 2
C) r 3
IN
1.
D) ❒ 4
N
JWO, editie 2020, tweede ronde
E) ❒ oneindig veel
A) ❒ 322
aa r©
VA
2. Kleine zus speelt in een ballenbad met 110 rode, 120 gele en 140 blauwe ballen. Zonder te kijken, neemt ze een aantal ballen uit het bad. Hoeveel ballen moet ze minstens nemen om zeker te zijn dat er 113 van dezelfde kleur bij zijn?
B) ❒ 326
D) ❒ 337
E) ❒ 339
pl
JWO, editie 2019, tweede ronde
C) r 335
ex em
3. De volgende staafdiagrammen geven de resultatenvan vijf toetsen weer. Welk van de diagrammen stelt gegevens voor waarvan de mediaan groter is dan het gemiddelde?
A)
❒
1
3
E)
D)
r
❒
❒
JWO, editie 2018, tweede ronde
ki
4
❒
C)
jk
2
B)
5
in
6 7
4. De cijfers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9 worden in die volgorde vervangen door opeenvolgende letters van het alfabet. Als je weet dat uspmru het kwadraat van een natuurlijk getal is, wat is dan dat natuurlijk getal?
8 9 10
A) ❒ pmr
B) r uts
11 12
204
JWO, editie 2017, tweede ronde
HOOFDSTUK 4 I REKENEN MET REËLE GETALLEN
C) ❒ qop
D) ❒ upm
E) r rrn
5.1 Verbanden tussen grootheden 5.2 Reële functies
IN
HOOFDSTUK 5 I INLEIDING TOT REËLE FUNCTIES
206 214
Studiewijzer
234
in
ki
jk
ex em
pl
aa r©
VA
Pienter problemen oplossen
N
233
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
205
5.1
Verbanden tussen grootheden
5.1.1 Afhankelijke en onafhankelijke veranderlijke
IN
De oppervlakte A van een cirkel met straal r bereken je met de formule A = p ? r 2. GeoGebra De straal van een cirkel is 9 cm. Bereken de oppervlakte van die cirkel op 0,01 cm2 nauwkeurig.
r
A (cm2)
1
2
3
4
5
6
VA
r (cm)
N
Vul de tabel aan. Rond de oppervlakte af op 0,01 cm2.
7
aa r©
De formule A = p ? r 2 beschrijft het verband tussen de grootheden r (de straal) en A (de oppervlakte). De waarde van A hangt af van de gekozen waarde van r. In de formule is r de onafhankelijke veranderlijke en A de afhankelijke veranderlijke. REKENMACHINE
knoppen
ex em
actie
pl
Eerst voer je de formule in die het verband geeft tussen de afhankelijke veranderlijke en de onafhankelijke veranderlijke. De afhankelijke veranderlijke moet je op de grafische rekenmachine als Y noteren en 2 de onafhankelijke veranderlijke als X. De formule A = p ? r 2 voer je dus in als Y = p ? X .
Activeer de vergelijkingeneditor. 2
Voer het verband Y = p ? X in.
2 3
y= I
√
x2
tbl set f2
2nd
5
in
6 7
Bekijk de tabel.
window
8 9 10 11 12
206
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
table
2nd
H [
R link
×
2nd
ki
4
Bepaal een aantal instellingen voor de tabel. Je opent het dialoogvenster voor tabelinstellingen. Je kiest de tabelinstellingen zoals op de figuur hiernaast.
jk
1
π
stat plot f1
scherm
f5
graph
X,T,θ,n
GEOGEBRA EN PYTHON Algemeen
In een formule die het verband tussen verschillende veranderlijken weergeeft, noem je • de veranderlijken waarvan je de waarde kiest, de onafhankelijke veranderlijken; • de veranderlijke waarvan de waarde berekend wordt, de afhankelijke veranderlijke.
IN
In een formule kunnen er meerdere onafhankelijke veranderlijken zijn, maar slechts één afhankelijke veranderlijke.
5.1.2 Grafische voorstelling van een verband
VA
In werkelijkheid zijn er fysische beperkingen aan die gegevens.
N
Om de grootte van een volwassen mens te schatten, gebruiken antropologen de formule y = 2,881 1x + 70,923. Daarbij is x de lengte van het bovenarmbeen en y de totale lengte, beide in cm.
x (cm)
5
y (cm)
10
y 280
20
30
40
50
60
70
pl
260
aa r©
a) Teken een grafische voorstelling van dat verband, zonder rekening te houden met de fysische beperkingen voor x en y. In de tabel zijn waarden voor x gekozen. Bereken y op 1 cm nauwkeurig.
240
ex em
220 200 180 160 140 120 100 80 60
jk
40 20
in
ki
0
0
5
x 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
b) Bij opgravingen vinden wetenschappers een bovenarmbeen van een volwassen man uit de prehistorie. Het been heeft een lengte van 29,2 cm. Bereken de grootte van die man.
c) De grootste mens ooit is Robert Wadlow (1918-1940). Hij stierf op 22-jarige leeftijd en was toen 272 cm groot. Bepaal op 1 cm nauwkeurig hoe lang zijn bovenarmbeen was.
Vanuit de grafiek:
Uit de vergelijking: HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
207
5.1.3 Grafische voorstellingen maken met ICT REKENMACHINE knoppen stat plot f1
Z i
L2
Y
1
1
catalog
: w
jk
ki
4 5
ICT
in
6
GEOGEBRA
7
8 9 10 11 12
208
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
Q L2
Z L3
θ
3
N
2
Y
VA entry solve a-lock
enter
a-lock
calc
f4
Y }
L1
Y
y=
format f3
zoom
w
Q
9
K
memo
alpha
stat plot f1 entry solve
2nd
{
enter
2
“
+
2nd
(
L a-lock
)
memo
alpha
1
trace
alpha
pl
ex em
in een geschikt grafisch venster.
3
O
7
1
stat
1
2
8 “ u
+
9
L1
list
L1
1
link
.
P
8 memo
X,T,θ,n
i
P v
aa r©
In L2 laat je de waarden volgens de formule van de getallen uit L1 berekenen.
Maak een puntenwolk van de gegevens uit L1 en L2
.
Y L1
0
Open de lijsteditor. Voer in L1 de waarden van de onafhankelijke veranderlijke in.
: v
2
y= L1
[
Breng in de vergelijkingeneditor het verband tussen de afhankelijke en de onafhankelijke veranderlijke in.
scherm
IN
actie
+
“
entry solve
enter
entry solve
enter
Oefeningen
1
Onderzoek bij zoogdieren heeft uitgewezen dat er een verband bestaat tussen het lichaamsgewicht en de hersenmassa. Met uitzondering van de apen (zij hebben meer hersenen dan de andere dieren) wordt het verband gegeven door de formule y = 1,021x + 77,41. Daarbij is x het lichaamsgewicht (in kg) en y de hersenmassa (in g). a) Vul de tabel aan. Bepaal op 1 g nauwkeurig.
koe
465
wolf
36,33
geit
27,66
ezel
187,1
paard
521
zoogdier
x (kg)
y (g)
N
y (g)
giraf
539
VA
x (kg)
kangoeroe
35
schaap
55,5
panter
100
varken
192
aa r©
zoogdier
IN
REEKS A
b) Teken een grafische voorstelling van dat verband. Gebruik de tabel, waarin de waarden voor x gegeven zijn.
y (g)
50
100
150
200
250
pl
x (kg)
300
350
400
450
500
ex em
y
650
600 550 500 450 400
in
ki
jk
350 300 250 200 150 100 50 0
x 0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
c) Hoe groot is de hersenmassa van een zoogdier met een lichaamsgewicht van 225 kg? • grafische bepaling: • algebraïsche bepaling:
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
209
De celsiusschaal: Die schaal is ontworpen door de Zweed Anders Celsius (1701-1774). In zijn schaal is 0 graden gelijk aan de temperatuur waarop water bevriest, en 100 graden gelijk aan de temperatuur waarop water kookt. De fahrenheitschaal: De Duitser Gabriel Fahrenheit (1686-1736) legde het nulpunt van zijn schaal bij de, in die tijd, laagst meetbare temperatuur (het smeltpunt van een mengsel van ammoniak en water) en 100 graden bij de gemiddelde menselijke lichaamstemperatuur.
Je kunt de volgende formule gebruiken om graden Fahrenheit om te zetten naar graden Celsius: 5 c = ? (f − 32). Daarbij is f het aantal graden Fahrenheit (ºF) en c het aantal graden Celsius (ºC). 9 a) Vul de tabel aan. 50
c (ºC)
70,5
aa r©
f (ºF)
VA
2
N
IN
De kelvinschaal: De Engelse natuurkundige William Thomson Kelvin (1824-1907) ontwikkelde een schaal waarbij de waarde 0 wordt toegekend aan het absolute nulpunt op aarde (−273,15 °C). De onderverdeling gebeurt zoals bij de graden Celsius, zodat bijvoorbeeld 0 ºC gelijk is aan 273,15 K. Die schaal wordt in de natuurkunde als basiseenheid (SI-eenheid) gebruikt om temperaturen te meten.
−13,6
b) Vorm de formule om zodat je ºC kunt omzetten naar ºF.
pl
ex em
c) In Brugge is het op een gegeven moment 24 ºC. Een Amerikaan vraagt zich af hoeveel ºF dat is. Help hem even.
3
2 3
ki
4
jk
1
Een fabrikant van conservenblikjes krijgt de opdracht een cilindervormig blik te ontwerpen met een diameter van 10 cm en een volume van 1 l. Bereken de hoogte op 0,01 cm nauwkeurig.
5
in
6 7
8
9
10 11 12
210
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
REEKS B 4
De oppervlakte van een vierkant is gelijk aan het kwadraat van de zijde. Een kubus is een zesvlak, waarbij elk vlak een vierkant is. a) Stel een formule op voor de oppervlakte van een kubus met ribbe r.
IN
b) Wat is de onafhankelijke veranderlijke? Wat is de afhankelijke veranderlijke?
c) Bereken het verschil in oppervlakte van een kubus met ribbe 10 cm en een kubus met ribbe 11 cm.
N
VA
d) Bereken de ribbe van een kubus met een oppervlakte van 150 cm2.
In de aerodynamica is het belangrijk te weten welke massa een stel vleugels kan dragen en welke snelheid er nodig is om te kunnen vliegen. Als W de massa is in kg, A de vleugeloppervlakte in m2, v de kruissnelheid in m/s en d de luchtdichtheid in kg/m3, dan geldt de formule: W = 0,03 ? d ? v 2 ? A.
ex em
5
pl
aa r©
e) Met welke factor moet je de ribbe van een kubus vermenigvuldigen opdat de oppervlakte zou verdubbelen?
a) Een merel van 90 gram heeft een vleugeloppervlak van 200 cm2. De vogel vliegt dicht bij de grond, waarbij d = 1,25 kg/m3. Bereken zijn kruissnelheid (in km/h).
jk
in
ki
b) In de vliegtuigbouw wordt gewerkt met het begrip ‘vleugelbelasting’; dat is de massa per vierkante W meter vleugeloppervlak, dus (in kg/m2). Bereken de vleugelbelasting van een Boeing 747, A met een vleugeloppervlak van 511 m2 en een kruissnelheid van 900 km/h, als hij op een hoogte vliegt waar de luchtdichtheid 0,312 5 kg/m3 is.
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
211
6
Als een afstand s in een tijd t wordt afgelegd, dan is de gemiddelde snelheid gelijk aan v =
s . t
a) Je legt een afstand van 20 km af. Bepaal de formule waarbij t de onafhankelijke veranderlijke en v de afhankelijke veranderlijke is.
De formule wordt:
b) Teken een grafische voorstelling van dat verband. Bereken in stappen van 20 minuten.
v 75 70
1
60 55 50
45
aa r©
N
65
2 3
VA
1 3
v (km/h)
IN
t (h)
40
35 30 25
20
pl
ex em
15
10 5
c) Bepaal grafisch en algebraïsch wat de gemiddelde snelheid is van iemand die de afstand in 20 minuten aflegt.
1
3
• algebraïsch:
ki
4
• grafisch:
jk
2
d) Bepaal grafisch en algebraïsch hoelang je maximaal over 20 km mag doen om een gemiddelde snelheid van meer dan 40 km/h te halen.
5
in
6
• grafisch:
7
8
• algebraïsch:
9 10 11 12
212
e) Vul aan.
Hoe groter de tijd, hoe de snelheid. Hoe hoger de snelheid, hoe de tijd.
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
t
REEKS C 7
Neem het verband gegeven door de formule
x2 y2 + =1 . 4 9
a) Vorm de formule om naar y.
IN
N
VA
b) Teken de grafische voorstelling van het verband.
y
aa r©
x
ex em
pl
y
1 x –2
–1
1
2
3
–1
–2
ki
jk
–3
2
in
c) Hoe noem je de getekende figuur? d) Verklaar de symmetrie in de grafiek.
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
213
5.2 Reële functies 5.2.1 Definitie
IN
Je leert in de natuurkunde dat water kookt bij 100 ºC bij een normale luchtdruk. Hoe hoger je komt, hoe lager de luchtdruk. Daardoor zal het kookpunt van water lager zijn dan 100 ºC. Per kilometer hoogte vermindert het kookpunt ongeveer met 3 ºC.
N
Geef het verband tussen het kookpunt y, in ºC, en de hoogte x, in km.
Vul de tabel aan en teken de grafiek van het verband.
3
6
10
15
20
80
aa r©
2
y
90 70 60 50 40 30 20 10
ex em
100
2
4
6
8
10
x 12
14
16
18
Wat is in dit voorbeeld de onafhankelijke veranderlijke?
Wat is in dit voorbeeld de afhankelijke veranderlijke?
Een waarde van de onafhankelijke veranderlijke noem je een argument.
Een waarde van de afhankelijke veranderlijke noem je een beeld.
Voorbeelden:
Voorbeelden:
ki
4
0
jk
1 2
y (ºC)
pl
x (km)
VA
5
in
6 7
Voor een bepaalde hoogte kan er maar één temperatuur zijn. Een dergelijk verband waarbij elk argument hoogstens één beeld heeft, noem je een functie. instructiefilmpje
8 9 10 11
Definitie
Functie Een functie is een verband waarbij elk argument hoogstens één beeld heeft.
12
214
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
GeoGebra
20
5.2.2 Benamingen en notaties Een functie waarbij het argument en het beeld reële getallen zijn, is een reële functie. Een reële functie benoem je met een kleine letter: f, g, h ... Je kunt een functie op twee manieren noteren. functievergelijking f: y = 2x − 1
f (x) = x 2
f: y =
f (x) =
f: y = x 3 + x 2 + x − 1
N
f (x) = 2x − 1
IN
functievoorschrift
VA
Bij een functie noem je het beeld ook de functiewaarde. Vervang je in het functievoorschrift x door −2, dan bereken je de functiewaarde in −2. Notatie
aa r©
f (−2) Voorbeeld f (x) = 2x + 1
f (2) =
g (−2) =
g (0) =
pl
g (x) = x 3 − 2x
f (−1) = 2 ? (−1) + 1 = −1
5.2.3 Grafiek van een functie
ex em
Je kunt een functie voorstellen door een grafiek. Voorbeeld f (x) = x2
jk
Je bepaalt een aantal functiewaarden, die je in een tabel noteert.
in
ki
x
f (x)
−2
−1
0
1
instructiefilmpje
Om de grafiek van de functie te tekenen, ga je als volgt te werk: • Je berekent de functiewaarden van een aantal argumenten. • Je tekent de roosterpunten (x, f (x)). • Je verbindt de roosterpunten met een vloeiende lijn. y 4 3 2 1 x
2
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
–1
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
215
5.2.4 Functie of geen functie grafiek
functievergelijking Uit de vergelijking en de tabel kun je afleiden of een verband tussen y en x een functie is.
Elke verticale rechte die je tekent, heeft hoogstens één snijpunt met de grafiek. Elk argument heeft namelijk hoogstens één functiewaarde.
Elk argument x mag hoogstens één beeld y hebben.
IN
Met de verticale lijntest kun je controleren of de grafiek een functie voorstelt.
N
Voorbeeld
VA
het verband met vergelijking y = x + 2 y 4 3 1 –3 –2 –1 –1
x
1
2
3
4
Tegenvoorbeeld
x
–3
–2
–1
2
7
y
bestaat niet
0
1
2
3
aa r©
2
5
6
7
8
9
instructiefilmpje
het verband met vergelijking x 2 + y 2 = 4
y
pl 2
ex em
1
–2
–1
1
–1
x 2
x 2 + y 2 = 4 y 2 = 4 – x 2 y = 4 – x 2 of y = – 4 – x 2
–2
2 3
Voor bepaalde argumenten vind je twee verschillende beelden.
Voorbeeld:
Voorbeeld:
ki
4
Voor bepaalde argumenten vind je twee verschillende beelden.
jk
1
5
in
6 7
8 9 10
René Descartes (1596-1650) was een Franse wiskundige die voor het eerst gebruikmaakte van het rechthoekige assenstelsel. Daardoor kon hij meetkundige elementen beschrijven met getallen en vergelijkingen. Descartes was ook de eerste die de term ‘functie’ gebruikte. Het was Leonard Euler (1707-1783), een Zwitserse wiskundige, die voor het eerst een functie noteerde onder de vorm f (x).
11 12
216
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
Oefeningen REEKS A Stellen de grafieken functies voor? a)
e)
i)
y 3
3
2
2
1
1
x 2
3
4
–2
–3
–3
–4
–4
r nee
3
4
r nee
aa r©
x
–4 –3 –2 –1 –1
1
2
3
4
5
1
–3
1
2
r nee
c)
3
4
1
–3
–4
–4
r nee
g) 3
3
2
2
1
1
x
1
2
3
4
5
–2
–2
–3
–3
–3
–4
–4
–4
ki
r nee
r ja
d)
r nee
4
3
3
3
2
2
2
1
1
x 4
5
5
–4 –3 –2 –1 –1
1
x 1
2
3
4
5
–4 –3 –2 –1 –1
–2
–2
–2
–3
–3
–3
–4
–4
–4
r nee
4
y
4
3
3
l)
4
2
2
r nee
y
1
1
r ja
h) y
–4 –3 –2 –1 –1
x
–4 –3 –2 –1 –1
–2
r ja
5
1
x
–4 –3 –2 –1 –1
5
4
y
2
4
3
k) y
3
3
2
r nee
4
2
1
r ja
4
1
x
–4 –3 –2 –1 –1
5
4
–4 –3 –2 –1 –1
in
2
–2
y
r ja
y
–3
r ja
ex em
r ja
5
r nee
–2
pl
–4
4
4 3
x
–4 –3 –2 –1 –1
–2
3
j)
2
1
2
r ja
3
2
1
–4
4
3
x
–4 –3 –2 –1 –1
5
–3
y
4
jk
2
–2
f) y
1
x 1
r ja
b)
2
–4 –3 –2 –1 –1
5
–2
r ja
3
N
1
4
IN
4
–4 –3 –2 –1 –1
y
y
4
VA
8
r ja
r nee
r ja
x 1
2
3
4
5
r nee
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
217
9
Zijn de verbanden functies? onafhankelijke veranderlijke (x)
afhankelijke veranderlijke (y)
de zijde
de oppervlakte
a) het verband tussen de zijde van een vierkant en de oppervlakte
b) het verband tussen een getal en zijn vierkantswortels
Verklaring:
aa r©
c) het verband tussen de ribbe van een kubus en het volume Verklaring:
f (x)
3
r ja
−2
−1,5
−1
−0,5
0
r nee
0,5
1
1,5
y
3
ki
4
jk
2
5
2
in
6 7
1
8
x
9
–3
10
–2
–1
1 –1
11 12
218
r nee
f (x) = x 2 − 1 Vervolledig de tabel van de functiewaarden. Teken de puntenkoppels en verbind ze met een vloeiende lijn. x
1
r ja
pl
ex em
10
r nee
VA
N
r ja
IN
Verklaring:
functie
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
2
3
2
11
In een warenhuis kost een flesje douchegel 3 euro per stuk. a) Vul de tabel in voor een aankoop tussen 0 en 6 flesjes. Teken de punten in het assenstelsel. x is
y is y
x
21
y
18 15
IN
y
12 9 6 3
1
b) Mag je hier de punten verbinden? Waarom (niet)?
REEKS B 12
3
4
5
6
x 7
aa r©
2
VA
N
x
Zijn de verbanden met onafhankelijke veranderlijke x en afhankelijke veranderlijke y functies? Verklaar. functie a) y = x 2
pl
r ja
verklaring
ex em
r nee b) y 2 = x
r nee
r ja
r nee
jk
c) x 2 + y 2 = 16
r ja
Stellen de grafieken functies voor?
ki
13
a)
b)
c)
in
1
1
x 1
r ja
y
y
y
1
x 1
r nee
r ja
x 1
r nee
r ja
r nee
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
219
14
Om de remweg van een auto te berekenen, kun je de formule r = Daarbij is r de remweg in m, en v de snelheid van de auto in m/s.
v2 gebruiken. 16
a) Vul de tabel aan. Benader r op 0,1 m. Teken de grafiek. r
r (m)
10
15
20
25
30
35
40
110 100 90
IN
v (m/s)
80 70
N
60 50
30 20 10
10
15
20
aa r©
5
VA
40
25
30
v 35
40
b) Bereken de remweg op 0,1 m nauwkeurig, als je 70 km/h rijdt.
pl
c) De politie meet een remweg van 45 m. Hoe snel, in km/h, reed de auto minimaal?
ex em
15
1
3
co (P) = (1, k)
c) f (x) = 0,3x – 0,25
ki
4
a) f (x) = x 2 + 2x – 1
jk
2
Bereken k zodat het punt P tot de grafiek van de functie behoort. co (P) = (k, 0)
5
in
6 7
8 9 10 11 12
220
b) f (x) =
3 (x – 1) (x + 1)
co (P) = (–2, k)
d) f (x) = x 2 – 3
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
co (P) = (k, 3)
45
5.2.5 Verzamelingen van getallen • Getallenverzamelingen die je kunt noteren met één letter
GeoGebra
omschrijving
notatie
de verzameling van alle reële getallen
IN
R
de verzameling van alle reële getallen behalve 0
R0
+
de verzameling van alle positieve reële getallen
R
de verzameling van alle negatieve reële getallen
VA
de verzameling van alle positieve reële getallen behalve 0
N
de verzameling van alle negatieve reële getallen behalve 0
• Getallenverzamelingen die je kunt noteren met een interval
aa r©
omschrijving
alle getallen die groter zijn dan 1 en kleiner dan 3
]1, 3[
alle getallen die groter zijn dan of gelijk aan 1 en kleiner dan 3
[1, 3]
pl
notatie
ex em
• Getallenverzamelingen die je kunt noteren met {...} omschrijving
notatie
de verzameling van de natuurlijke delers van 12
{1, 2, 3, 4, 6, 12}
de verzameling van alle reële getallen die zowel positief als negatief zijn
{0} {1, 7, 3}
jk
de cijfers in het getal 173
• Getallenverzamelingen samenvoegen: de unie nemen {−2, −1, 0} » {0, 1, 2} lees: de verzameling −2, −1, 0 unie de verzameling 0, 1, 2 betekent: voeg de elementen uit beide verzamelingen samen oplossing: {−2, −1, 0, 1, 2}
in
ki
[−2, 3] » ]1, 5] = • Getallenverzamelingen uitsluiten: het verschil nemen notatie
lees
betekent
R \ {5}
R min 5
alle reële getallen behalve 5
R \ ]2, 3[
R min interval ]2, 3[
alle reële getallen behalve de getallen die strikt liggen tussen 2 en 3 HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
221
5.2.6 Domein van een functie Voorbeeld Bereken enkele functiewaarden. −2
x
GeoGebra
−1
f (x)
1 x
0
1
2
Heeft elk reëel getal een omgekeerde?
VA
Notatie: dom f = Domein
Definitie
N
Je zegt dat alle reële getallen behalve tot het domein van f behoren.
3
IN
Het omgekeerde van een getal: f (x) =
In symbolen dom f = {x Œ R Ω f(x) Œ R}
aa r©
Het domein van een functie is de verzameling van alle reële getallen waarvoor je een functiewaarde kunt bepalen.
Het domein herkennen op de grafiek Je projecteert de grafiek op de x-as.
x
1 2 3 4 5 6 7
ex em
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5
y
pl
6 5 4 3 2 1
dom f =
1
3
6 5 4 3 2 1
x 1 2 3 4 5 6 7
dom f =
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5
y
x 1 2 3 4 5 6 7
dom f =
Praktisch domein
De batterij van de elektrische auto van Elon heeft een maximumcapaciteit van 75 kWh. Je kunt 500 km rijden met de auto tot de batterij volledig leeg is. Hoeveel kWh verbruikt de auto gemiddeld per km?
ki
4
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5
y
jk
2
6 5 4 3 2 1
5
in
6 7
Het verband tussen de capaciteit f (x) en het aantal kilometer x druk je uit met een functie.
8
f (x) =
9
Die functie heeft als wiskundig domein R.
10
Als je rekening houdt met de context, kun je onmogelijk argumenten kiezen die kleiner zijn
11
dan of groter dan .
12
Het praktisch domein van f is .
222
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
5.2.7 Bereik van een functie Voorbeeld De positieve vierkantswortel van een getal: f (x) = x
GeoGebra
Bereken enkele functiewaarden. −1
f (x)
0
1
2
dom f =
VA
Notatie: ber f = Definitie
N
Merk op dat f (x) altijd een positief reëel getal is. + Je zegt dat het bereik van f gelijk is aan R .
3
IN
−2
x
Bereik
instructiefilmpje
In symbolen ber f = {f(x) Ω x Œ dom f }
aa r©
Het bereik van een functie is de verzameling van alle functiewaarden.
Het bereik herkennen op de grafiek
y
ex em
6 5 4 3 2 1
pl
Je projecteert de grafiek op de y-as.
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5
x
1 2 3 4 5 6 7
y
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5
ber f =
6 5 4 3 2 1
x 1 2 3 4 5 6 7
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5
y
x 1 2 3 4 5 6 7
ber f =
jk
ber f =
6 5 4 3 2 1
ki
Praktisch bereik
in
Het verband tussen de capaciteit f (x) van Elons auto en het aantal kilometer x
druk je uit met de functie f (x) =
.
Die functie heeft als wiskundig bereik R. Als je rekening houdt met de context, kun je onmogelijk functiewaarden bereiken die kleiner zijn dan of groter dan . Het praktisch bereik van f is .
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
223
Oefeningen REEKS A Bepaal het domein en het bereik van de functies. a)
d)
g) y
4
4
3
3
2
2
1
1
x
–5 –4 –3 –2 –1 –1
1
2
3
4
–2
–3
–3
–4
–4
dom f =
ber f =
ber f =
2 1
–3
10
4
3
3
2
2
1
2
3
4
5
–2
–2
–3
–3
–4
–4
jk
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1 –5 –4 –3 –2 –1 –1
1
2
3
4
5
1
x 1
2
3
4
5
–5 –4 –3 –2 –1 –1
–2
–2
–2
–3
–3
–3
–4
–4
–4
dom f =
dom f =
dom f =
ber f =
ber f =
ber f =
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
5
y
y
y
12
4
x
–5 –4 –3 –2 –1 –1
4
5
3
1
x
i)
4
2
y
4
f)
3
1
h)
c)
2
5
ber f =
ber f =
1
4
dom f =
ber f =
–5 –4 –3 –2 –1 –1
3
–4
–5 –4 –3 –2 –1 –1
x
2
–3
ber f =
11
224
5
1
–2
dom f =
ki 9
4
x
–5 –4 –3 –2 –1 –1
dom f =
7
8
5
dom f =
in
6
3
ex em
–4
2
pl
1
–2
5
4
1
x
–5 –4 –3 –2 –1 –1
4
3
y
3
3
2
e)
4
2
x 1
aa r©
dom f =
y
1
2
1
VA
–2
b)
3
–5 –4 –3 –2 –1 –1
5
y 4
IN
y
N
16
x
Bepaal het domein en het bereik van de functies. dom f
dom f
ber f
f) f (x) = 3x – 1
b) f (x) = x 2
g) f (x) = x 2 – 1
2 x
h) f (x) = x + 2
d) f (x) = x + 2
i) f (x) =
e) f (x) = 2x
VA
1 x +2 x –1 j) f (x) = 2
IN
a) f (x) = 2x
c) f (x) =
18
ber f
N
17
Bepaal het praktisch domein en het praktisch bereik van de functies.
x is
f (x) is
f (x) =
ex em
pl
praktisch domein: praktisch bereik:
aa r©
a) Clarissa staat op de rommelmarkt en verkoopt haar oude strips tegen 1,50 euro per stuk. Ze heeft een voorraad van 150 strips.
b) Een wagen verbruikt gemiddeld 6 liter diesel per 100 km. De inhoud van de tank is 60 liter. x is
f (x) is
f (x) =
jk
praktisch domein:
in
ki
praktisch bereik:
c) Onze buurman weegt 120 kg. De diëtist zet hem op een dieet dat 3 kg gewichtsverlies per maand moet opleveren. Hij stopt met het dieet wanneer hij 75 kg weegt. x is
f (x) is
f (x) = praktisch domein: praktisch bereik:
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
225
REEKS B Bepaal het domein en het bereik van de functies. a)
d) y
1
2
dom f =
dom f =
ber f =
ber f =
b)
e) y
2
3
4
ex em jk
5
4 3 2 1
2
3
4
4 3 2 1
x
1 2
3
dom f =
ber f =
ber f =
f)
in 8
–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4
x 1
2
3
4
–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4
dom f =
ber f =
ber f =
ber f =
11 12
226
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
2
3
4
1
2
3
4
x
4 3 2 1
dom f =
10
1
y
4 3 2 1
dom f =
9
4
i) y
6 7
3
y
–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4
4
dom f =
x 1
2
ber f =
y
ki
4
–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4
1
dom f =
–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4
c)
3
–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4
4
pl
1
ber f =
2
3
y
dom f =
4 3 2 1
2
x
h)
x
–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4
1
aa r©
4 3 2 1
x
–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4
3
4 3 2 1
IN
x
–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4
y
y 4 3 2 1
N
4 3 2 1
1
g)
VA
19
x
Bepaal het domein en het bereik van de functies. Verklaar je antwoord. 1 x2
b) f (x) =
2 x –1
e) f (x) =
aa r©
f) f (x) = –3 x + 5
c) f (x) = x + 5
ex em
pl
4 –1 x +3
IN
d) f (x) = –2x 2 + 3
N
a) f (x) =
VA
20
REEKS C
21
Bepaal het praktisch domein en bereik van de functies. a) Je verdeelt een liter water onder maximaal 6 personen.
jk
x is f (x) is
ki
f (x) =
in
praktisch domein:
praktisch bereik:
b) De hoogte h (in m) van een vallende bal x seconden nadat je hem van een toren hebt laten vallen, is h (x ) = 40 – 5x 2.
praktisch domein:
praktisch bereik: HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
227
5.2.8 Nulwaarden van een functie f (x) = x − 2
f (x) = x2 − 1
f (x) = x2
Uit de tabel Vul de tabel in. −1
f (x)
0
1
2
3
x
−2
f (x)
−1
0
1
2
x
−2
f (x)
y
y 4
3
3
2
2
1
1
aa r©
4
x
1
2
3
–2 –3
4
5
1
2
Uit de grafiek
–5 –4 –3 –2 –1 –1
VA
0
N
Voor welk(e) argument(en) is het beeld 0?
−1
IN
x
–5 –4 –3 –2 –1 –1
x
1
2
3
4
y 4 3 2 1
–5 –4 –3 –2 –1 –1
5
–2
–2
–3
–3
x 1
2
3
4
5
Voor welk(e) argument(en) is het beeld 0?
pl
ex em
Uit de vergelijking
Uit de tabel of de grafiek lees je af waar het beeld of de functiewaarde f (x) gelijk is aan 0. Je lost dus de vergelijking f (x) = 0 op. f (x) = 0
x 2 − 1 = 0
1
3
x = –1 of x = 1
Nulwaarde
Definitie
Een nulwaarde van een functie is een getal waarvoor de functiewaarde 0 is.
ki
4
x 2 = 1
jk
2
f (x) = 0
f (x) = 0
5
in
6 7
8 9 10 11 12
228
In symbolen a is een nulwaarde van f ¤ f (a) = 0
instructiefilmpje
Wat is het verband tussen de nulwaarde van een functie en het gemeenschappelijk punt van de grafiek van de functie met de x-as? ( , 0) is het
( , 0) en ( , 0) zijn de
met de x-as.
met de x-as.
( , 0) is het
met de x-as.
Een nulwaarde is het eerste coördinaatgetal van een gemeenschappelijk punt van de grafiek met de x-as. HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
5.2.9 Tekenschema van een functie In een tekenschema noteer je voor welke argumenten het beeld positief, negatief of nul wordt. Bekijk de tabel met de volgende functiewaarden.
f (x) 150
7 2
–3
–
5 2
–2
–
3 2
–1
–
1 2
0
1 2
1
3 2
2
5 2
3
76
32
9,2
0
−1,6
0
1,7
2
0,9
0
2,2
12
35
80
–
7 2
4
155 270
IN
–4
x
• Wat zijn de nulwaarden? • Voor argumenten kleiner dan −2 zijn de functiewaarden positief.
N
• Voor argumenten tussen −2 en −1 zijn de functiewaarden negatief. • Voor argumenten tussen −1 en 1 zijn de functiewaarden
.
VA
• Voor argumenten groter dan 1 zijn de functiewaarden
.
instructiefilmpje
Dat kun je schematisch voorstellen in een tekenschema. ...
f (x)
x
5 2
–2
9,2
0
–
−∞
3 2
–1,6
–2 +
–
–1
0
0
–
ex em –2
ki
in
0 2
–1 0
+
1 2
1
3 2
0,9
0
2,2
1 0
...
+∞ +
y
3 2 1 x
–1
1
2
–1
jk
–3
1 2
1,7
pl
f (x)
–
aa r©
x
–2
• Als de grafiek onder de x-as ligt, is f (x)
.
• Als de grafiek boven de x-as ligt, is f (x)
.
• Als de grafiek de x-as snijdt of raakt, is f (x)
.
• Als er bij een nulwaarde een tekenverandering in het beeld voorkomt, dan snijdt de grafiek de x-as in het punt met als eerste coördinaat de nulwaarde. • Als er bij een nulwaarde geen tekenverandering in het beeld voorkomt, dan raakt de grafiek de x-as in het punt met als eerste coördinaat de nulwaarde. GeoGebra
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
229
Oefeningen REEKS A Lees de nulwaarde(n) af op de grafiek. y
a)
y
c)
8
4
4
6
2
2 x –4
y
e)
–2
2
4
IN
22
x
6
–4
–2
2
–2
–2
–4
–4
4
4
6
2
x
–4
–2
2
4
6
4
6
nulwaarde(n):
y
b)
y
d)
2
2
–2
2
4
pl
ex em
b) f (x) = –5x – 10
5
in
6 7
8 9 10 11 12
230
6
–4
nulwaarde(n):
f) f (x) = (x + 2) ? (3x – 1)
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
–2
–4
e) f (x) = 1 – 4x 2
c) f (x) = 2x 2
2
–2
d) f (x) = –x 2 – 5
ki
4
4
nulwaarde(n):
jk
3
2
Bereken de nulwaarden van de functies. a) f (x) = 2x + 1
1
–2
–4
nulwaarde(n):
2
–4
aa r©
–4
23
6
–2
–2
4
x
x –4
y
f)
4
4
nulwaarde(n):
VA
nulwaarde(n):
N
–2
x 2
Bepaal het tekenschema van de functies. a)
y
d)
y
5
5
4
4 3
3
2
2 1
1 –5 –4 –3 –2 –1 –1
1
2
3
4
5
6
–5 –4 –3 –2 –1 –1
–2
–3
–4
–4
–5
f (x)
f (x)
y
3 2 1
aa r©
4
x
1
–2
2
3
4
5
6
1
ex em jk
2
3
4
5
6
–3
f)
y
y 4
3
3
2
2
1
1
x 1
–1
x 1
–2
–5
f (x)
ki
2
–5
f (x)
2
3
4
–5 –4 –3 –2 –1 –1
–1
in
3
–4
x
–2
6
4
–4
x
–3
5
5
–5 –4 –3 –2 –1 –1
pl
–3
c)
4
y
e)
5
–5 –4 –3 –2 –1 –1
3
VA
x
2
N
–5
x
–4
1
–2
–3
b)
x
x
IN
24
x 1 2
3
4
5
–2
–2
–3
–3
–4
x
x
f (x)
f (x)
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
231
REEKS B Bereken de nulwaarden van de functies. 1 2 5 x + 3 6
c) f (x) = 4x + 3
2 d) f (x) = (x + 1) – 9
b) f (x) = 0,1x 3 + 2,7
VA
aa r©
26
Bepaal de waarde van het reëel getal k.
pl
a) 0,5 is een nulwaarde van f (x) = kx – 3
ex em
b) –2 is een nulwaarde van f (x) = kx 2 – 16
2 3
d) k is een nulwaarde van f (x) = kx – 3
REEKS C
ki
4
c) 3 is een nulwaarde van f (x) = –5x 2 + 3k
jk
1
IN
a) f (x) = –
N
25
5
27
in
6 7
8
Bereken de nulwaarden van de functies. a) f (x) =
x +8 x –1
b) f (x) =
9 10 11 12
232
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
x2 – 1 2x + 2
STUDIEWIJZER Inleiding tot reële functies voor de leerling
5.1 Verbanden tussen grootheden
– + – +
In een formule die het verband tussen verschillende grootheden weergeeft, noem je • de veranderlijken waarvan je de waarde kiest, de onafhankelijke veranderlijken of inputveranderlijken; • de veranderlijke waarvan de waarde berekend wordt, de afhankelijke veranderlijke of outputveranderlijke.
KUNNEN
IN
KENNEN
voor de leerkracht
– + – +
In een formule de waarde van de afhankelijke veranderlijke berekenen bij een gegeven waarde van de onafhankelijke veranderlijke.
N
In een gegeven formule de onafhankelijke en de afhankelijke veranderlijke onderscheiden.
5.2 Reële functies
aa r©
KENNEN
VA
Het verband tussen twee grootheden weergeven door middel van een formule, een tabel en een grafiek.
– + – +
Een functie is een verband waarbij elk argument hoogstens één beeld heeft. Het domein van een functie is de verzameling van alle reële getallen waarvoor je een functiewaarde kunt bepalen. dom f = {x Œ R Ω f(x) Œ R}
Het bereik van een functie is de verzameling van alle functiewaarden. ber f = {f(x) Ω x Œ dom f }
pl
Een nulwaarde van een functie is een getal waarvoor de functiewaarde 0 is. a is een nulwaarde van f ¤ f (a) = 0
ex em
Een nulwaarde is het eerste coördinaatgetal van een gemeenschappelijk punt van de grafiek met de x-as.
KUNNEN
– + – +
In een tabel, een grafiek of een formule een functie herkennen. De grafische voorstelling maken van eenvoudige functies. Een functiewaarde aflezen op een grafiek of berekenen uit een voorschrift. Het domein van een functie bepalen uit de grafiek of het voorschrift.
jk
Het praktisch domein afleiden uit de context. Het bereik van een functie bepalen uit de grafiek of het voorschrift. Het praktisch bereik afleiden uit de context.
ki
De nulwaarde van een functie bepalen uit het voorschrift en de grafiek.
in
Het tekenschema van een functie bepalen uit de grafiek.
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
233
Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
❑ filter
❑ schets
❑ patroon
❑ schema/tabel
❑ kennis
❑ vereenvoudig
❑ logisch nadenken
❑ gok verstandig
❑ ...
N 2. Lasse fie tst met een gemiddelde snelheid van 8 km/h een helling op. Met welke g emiddelde sn e lheid moet hij diezelfde helling afda len om een tota le gemiddeld e snelheid van 12 km/h te halen?
pl
aa r©
dan Dirk. /h rijdt en Als Bart gemiddeld 72 km , Dirk gemiddeld 90 km/h beginpunt op hoeveel km van het r rijden? zullen ze dan naast elkaa
VA
ken elk met 1. Bart en Dirk vertrek e plaats hun auto vanop dezelfd e traject af. en leggen exact hetzelfd vroeger Bart vertrekt 10 minuten
IN
❑ concreet materiaal
ex em
elheid van jdt met een sn ri n ei tr en E 3. el van adert een tunn 90 km/h en n 2,5 km lang. meter lang. De trein is 250 (in minuten en Bereken de tijd t dat af het momen seconden) van nnel tu n de trein de de voorkant va moment dat in gaat, tot het van de trein de achterkant aat. de tunnel verl
2 3
ki
4
jk
1
5
in
6 7
8 9 10 11 12
234
HOOFDSTUK 5 I Inleiding tot reële functies
4. Nele en Annemie sta rten gelijktijdig vanop dezelfde plaats en fietsen hetzelfde traject. Nele rijdt met een gemi ddelde snelheid van 25 km/h en Annemie fietst aan 20 km/h. Als Nele na 45 km stopt, hoelang zal het dan duren vooralee r Annemie weer bij Nele is?
IN
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
6.1 Inleiding
236
6.2 Soorten gegevens
251
N
6.3 Statistisch onderzoek
248
6.4 Categorische gegevens verwerken
255
VA
6.5 Niet-gegroepeerde numerieke gegevens verwerken
265 272
Studiewijzer
282
aa r©
6.6 Centrummaten
284
in
ki
jk
ex em
pl
Pienter problemen oplossen
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
235
6.1 Inleiding 6.1.1 Statistieken
aa r©
VA
N
IN
Meestal denk je bij het woord ‘statistiek’ aan tabellen en grafieken. Tabellen en grafieken noem je ook ‘statistieken’. Je kunt geen krant of weekblad openslaan zonder daarmee geconfronteerd te worden. Ook de televisie en het internet geven informatie die met statistieken visueel gemaakt wordt.
ex em
pl
Bron: De Tijd
Bron: De Tijd
2 3
ki
4
jk
1
5
in
6 7
6
Bron: www.tussendelinies.nl
9 10 11 Bron: Het Belang van Limburg
12
236
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
6.1.2 Doel van statistiek De waaier aan activiteiten die elk statistisch onderzoek met zich meebrengt, kun je in twee grote categorieën verdelen. beschrijvende statistiek
• verdere analyse • betrouwbaarheid van de informatie nagaan • conclusies formuleren
IN
• informatie verzamelen • informatie verwerken en voorstellen • informatie analyseren
verklarende statistiek
N
Statistiek is voor de huidige samenleving van groot belang. Voorbeelden
VA
• Hoe weten confectiebedrijven welke maten ze het meest moeten produceren? • Hoe plannen fabrikanten van desktops hun productie op lange termijn?
• Hoe weet een land welke accenten het moet leggen in het verkeersbeleid?
aa r©
• H oe kun je verschillende prestaties op het gebied van school, sport, arbeid ... met elkaar vergelijken? Zowel economie, politiek, psychologie, pedagogie, geneeskunde als exacte wetenschappen maken gebruik van de statistiek als werkinstrument.
pl
Al in de oudheid was er sprake van statistische activiteit. Onze voorouders beseften dat de landbouwopbrengst afhankelijk was van de grootte van het stuk land.
ex em
Toch heeft het geduurd tot de 16e à 17e eeuw vooraleer regeringen echt nood hadden aan de verwerking van grote hoeveelheden gegevens (sterfte, geboorte, dopen, huwelijken, handel, landbouw ...). Graunt, Fermat en Pascal gelden daar als de voornaamste figuren.
in
ki
jk
In de 18e eeuw werden de wiskundige fundamenten van de statistiek gelegd door gebruik te maken van de kansrekening. Bernoulli, Huygens, de Moivre, de Witt, Legendre en Gauss zijn stuk voor stuk wetenschappers die op dat vlak baanbrekend werk geleverd hebben. In de 19e eeuw vind je naast klinkende namen als Laplace en Galton ook die van een Belg terug. Adolphe Quetelet leverde belangrijk werk in de ‘sociale statistiek’. Quetelet is vooral bekend omdat hij het begrip Body Mass Index (BMI) introduceerde. Hij verzamelde ook bevolkingsgegevens en analyseerde die. In 1841 richtte hij het eerste openbare statistische bureau ter wereld op: de Centrale Commissie voor de Statistiek. Quetelet is ook de eerste die de grafische weergave van statistische gegevens wetenschappelijk verantwoordde.
In de 20e eeuw was er een verdere ontwikkeling van de mathematische statistiek. Karl Pearson, Ronald Fisher, Jerzy Neyman en Egon Pearson ontwikkelden de methode van de statistische toetsing. Abraham Wald ontwikkelde de statistische beslissingstheorie. Met de komst van de computer werd het mogelijk zeer grote hoeveelheden gegevens op korte tijd te verwerken. Statistiek wordt meer en meer als een aparte wetenschappelijke discipline beschouwd.
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
237
6.1.3 Misleidende diagrammen Soms misbruikt men grafische voorstellingen om een bepaalde conclusie op te dringen of te versterken. •
aantal geboortes in België en Nederland in 2018
Er zijn steeds meer oudere mensen in Europa en steeds minder jonge mensen. Men zegt dat de vergrijzing een probleem is. De grafische voorstelling toont het aantal geboortes in België en Nederland in 2018.
168 525
IN
117 800
Het lijkt alsof de vergrijzing in Nederland minder erg is dan in België. Maar is dat zo? België
N
180 000 160 000 140 000 120 000 100 000 80 000 60 000 40 000 20 000 0
Nederland
VA
aa r©
• De evolutie van het aantal dodelijke fietsongevallen is op twee manieren voorgesteld. aantal dodelijke ongevallen met f ietsers in het Vlaamse Gewest
600 500
320
aantal dodelijke ongevallen met f ietsers in het Vlaamse Gewest
315
400
310
300
305
pl
200 100
ex em
0 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019
300 295
290 2017
2018
Op de linkse grafiek zie je een duidelijk dalende tendens. Op de rechtse grafiek lijkt het aantal dodelijke ongevallen sterk te stijgen. Welke ingrepen deed men om dat idee te versterken?
1
3
5
in
6
LEEFTIJD VAN BLOEDGEVERS
Je ziet een voorstelling van de leeftijdsverdeling bij de Vlaamse bloedgevers.
ki
4
•
jk
2
% 50
35
6
25
15 10
11
5
238
20
10
12
40
30
9
45
7
Deze grafische voorstelling wil ons doen geloven dat de meeste bloedgevers tussen de 20 en 40 jaar zijn. Wat heeft men gedaan om dat te tonen?
18-20
20-40
40-50 50-60 leeftijd
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
60-65
2019
Oefeningen REEKS A Waarom zijn deze statistieken misleidend? Ik weet wanneer ik genoeg gestudeerd heb.
a)
c)
vermageren met CALORIEVRETER
IN
1
110
ja 89 %
100 90
60 50 40 30
N
70
VA
nee 11 %
massa in kg
80
20 10
b)
geoogste hoeveelheid fruit
Bij 'De Lustige Shotters' zijn er de minste blessures bij de 40-plussers.
d) 14
banaan
12 10 8
appel
jk
6 4 2
kers
0
ki
in
16
ex em
2 4 8 weeknummer
pl
1
aa r©
0
[0, 10[
[10, 20[
[20, 30[
[30, 40[
[40, 50[
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
239
REEKS B 2
Om aan te tonen hoezeer een stadsbestuur heeft gefaald in zijn beleid om de uitgaven drastisch terug te schroeven, publiceert een oppositiepartij in haar maandblad het onderstaande diagram. a) Welke indruk wil dit diagram wekken?
480
470
450 440
430 2016
2017
2018
2019
2020
b) Het stadsbestuur nuanceert de kritiek met de nevenstaande voorstelling.
2016
pl
allochtonen in de VS in aantal en percentage
30
25 20
11,1 %
7,9 %
6,2 %
4,7 %
5,4 %
6,9 %
8,8 %
0
5
11,6 %
11
13,2 %
15 13,6 %
aantal in miljoen
35
10
240
40
10
12
2020
45
in 9
2019
Omschrijf kort hoe het diagram erin slaagt de indruk te wekken dat het procentuele aantal allochtonen in de VS historisch hoog is in de twintigste eeuw.
6
6
2018 jaartal
ex em 4
5
7
2017
Aan een aantal leerlingen werd gevraagd naar hun favoriete schoolvak. Hoewel alle vakken even populair bleken te zijn, wekt het diagram toch de indruk dat Nederlands de meeste stemmen kreeg. Hoe komt dat?
ki
4
14,7 %
3
Hoe heeft het stadsbestuur zijn voorstelling verkregen?
jk
1 2
aa r©
begrotingstekort (× 10 000 euro)
begrotingstekort 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0
N
420
jaartal
3
IN
460
VA
begrotingstekort (× 10 000 euro)
begrotingstekort 490
1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
jaartal HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
5
Op verschillende sociale media doet een grafiek de ronde met als titel ‘Interraciale gewelddadige incidenten 2018 in de Verenigde Staten’. In absolute cijfers tonen de opstaande balken het aantal incidenten gepleegd door mensen van een bepaalde bevolkingsgroep. In het linkse diagram toont de grootste balk 547 948 gevallen van geweld waarbij zwarten de dader zijn en blanken het slachtoffer. 600 000
2 500 000
547 948
2 224 025
400 000
IN
2 000 000 1 500 000
365 299
1 000 000 207 104
200 000
White on White on Hispanic Black Hispanic on White
Hispanic on Black
Bron: Knack met Agentschap voor Justitiële Statistiek
ck Bla
on
k lac
B B
k lac
e hit
ic an
e hit
k lac
207 104
ic an
333 422 365 299
44 551 nic
e hit
ck
la a W W isp isp nB nB isp nW on on nH nH ic o e o hite o nH nic an hit ko e o nic o a t p c W i p s W a Bl Hi His Wh pa His
VA
Black on Hispanic
0
44 551
59 778
N
59 778 Black on White
547 948 112 365
112 365
0
396 450
500 000
Beide diagrammen geven de resultaten van hetzelfde onderzoek.
ex em
pl
aa r©
Wat is er misleidend aan het linkse diagram?
Volgens de website van ANWB is de pechkans voor jongeren die de laatste vijf jaar op wintersport zijn geweest, 46 %. Waarom is dat percentage misleidend?
in
ki
jk
6
Bron: onderzoek door ANWB Reisverzekering & Multiscope
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
241
REEKS C 7
Ter gelegenheid van de International Beer Day publiceerde Eurostat, het statistisch bureau van de Europese Unie, een statistiek over de bierproductie in Europa. a) Waarom is dit een misleidend diagram?
IN
N
VA
Bron: ec.europa.eu/eurostat
aa r©
pl
b) Welk soort diagram zou een beter beeld weergeven van de bierproductie?
ex em
c) Teken dat diagram met ICT.
8
1
3
Verslaafden in afkickklinieken
ki
4
jk
2
Het aantal Nederlanders dat verslaafd is aan zware pijnstillers en daardoor in een afkickkliniek terechtkomt, is in de periode van 2012 tot 2018 verdrievoudigd. Die trend leek zich ook in 2019 verder door te zetten: in de eerste helft van 2019 meldden zich 252 verslaafden aan. Wat is er misleidend aan dit diagram?
5
7
6
9
10
11
12
in
6
242
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
1e helft
2012 93 Bron: peilingpraktijken.nl
2018 292
2019 252
Bestaat er in België een verband tussen het aantal coronabesmettingen in een gemeente (per 100 000 inwoners) en de rijkdom van een gemeente? Anders gezegd: zijn er in rijke gemeenten minder besmettingen dan in arme gemeenten? De krant De Morgen trok op 25 september 2020 de conclusie dat dat inderdaad het geval was. De krant gebruikte daarvoor de onderstaande diagrammen. Armste 10 gemeenten Besmettingen per 100 000 inwoners Sint-Joost-ten-Node 556 Molenbeek 338 Farciennes 44 Anderlecht 314 Dison 321 Schaarbeek 303 Koekelberg 369 287 Brussel-stad Colfontaine 67 Sint-Gillis 284
600
Sint-Joost-ten-Node
Arme gemeenten Rijke gemeenten
500 Molenbeek
Besmettingen per 100 000 inwoners Sint-Martens-Latem 132 54 Keerbergen Oud-Heverlee 63 260 Lasne Hove (Antwerpen) 217 De Pinte 129 161 Schilde 60 Knokke-Heist Bierbeek 39 Koksijde 69
Koekelberg
300
N
Aantal besmettingen
400
Rijkste 10 gemeenten
200
Sint-Martens-Latem
VA
100
Colfontaine
Farciennes
0
0
10 000
20 000
30 000
40 000
Gemiddeld jaarinkomen in de gemeente
aa r©
Bron: peilingpraktijken.nl
Aantal besmetting in de 10 armste en de 10 rijkste Belgische gemeenten
IN
9
ex em
pl
a) Waarom zijn beide diagrammen links misleidend?
b) Waarom is de puntenwolk rechts een betere voorstelling?
jk
in
ki
c) Kun je uit het linkse diagram afleiden hoe de volgorde van de gemeenten tot stand is gekomen? Verklaar dat aan de hand van het rechtse diagram.
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
243
6.1.4 Procent en procentpunt Voorbeeld 1 Stel: je betaalt 20 % belasting. Daarna stijgt de belasting naar 21 %. Hoeveel procent is de belasting gestegen? • De stijging van 20 % naar 21 % is 1 procentpunt, want 21 % – 20 % = 1 %. • De stijging van 20 % naar 21 % is 5 procent, 21 want = 1,05 = 105 % = 100 % + 5 %. 20
IN
Procentpunt
N
Definitie
instructiefilmpje
Voorbeeld 2
VA
Een procentpunt is een punt op een procentenschaal en is het absolute verschil tussen twee procentuele waarden.
Stel: op de totale beroepsbevolking van 6 000 000 mensen zijn er 300 000 werklozen.
aa r©
• Bereken het werkloosheidspercentage.
• De werkloosheid neemt toe met 2 %. Hoeveel werklozen zijn er nu?
pl
• Hoeveel bedraagt het nieuwe werkloosheidspercentage?
• Met hoeveel procentpunt is het werkloosheidspercentage toegenomen?
ex em
• Als het werkloosheidspercentage met 2 procentpunt stijgt, hoeveel werklozen zijn er dan?
1
3
In de praktijk wordt in plaats van het woord ‘procentpunt’ vaak verkeerdelijk het woord ‘procent’ gebruikt.
ki
4
jk
2
Voorbeeldartikel uit een Vlaamse krant
5
in
6 7
6 9 10
In de regio Mechelen is er een werkloosheidsgraad van 6,26 procent. Dat ligt onder het gemiddelde. Voor Vlaanderen bedraagt de werkloosheidsgraad 6,59 procent en voor de provincie Antwerpen zelfs 7,91 procent. In Mechelen is de werkloosheidsgraad in een jaar tijd gestegen met bijna een procent. In de provincie Antwerpen noteerden we een stijging met 1,17 procent en
in Vlaanderen ging het om 1 procent. ‘Mechelen scoort dus niet zo slecht’, klinkt het bij VDAB. Wat betreft de werkloosheidsgraad, springen vooral Mechelen en Willebroek eruit. In Mechelen bedraagt de werkloosheidsgraad 9,05 procent, in Willebroek 7,76 procent. Voor Mechelen betekent dat in een jaar een stijging met 1,36 procent, voor Willebroek zelfs een stijging met 1,78 procent.
11 12
244
In plaats van ‘procent’ moest hier systematisch ‘procentpunt’ staan, een wereld van verschil. HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
Oefeningen REEKS A 10
Vul de tabel aan.
b) Van 100 % naar 95 % is een daling van
c) Van 50 % naar 70 % is een stijging van
d) Van 80 % naar 60 % is een daling van
e) Van 60 % naar 63 % is een stijging van
VA
aa r©
De btw is gestegen van 19 % naar 21 %.
N
a) Van 80 % naar 88 % is een stijging van
REEKS B 11
procent
IN
procentpunt
a) Hoeveel procent is de btw gestegen?
pl
b) Hoeveel procentpunt is de btw gestegen?
ex em
c) Als de btw met 2 % steeg, hoeveel zou ze dan bedragen?
12
Je hebt een woonkrediet bij de bank met een jaarlijks veranderlijke rentevoet. De huidige rentevoet bedraagt 3,6 %.
jk
a) Na een jaar daalt de rentevoet met 0,4 procentpunt. Hoeveel bedraagt de nieuwe jaarlijkse rentevoet?
ki
in
b) Met hoeveel procent is de jaarlijkse rentevoet gedaald? c) Als de oorspronkelijke rentevoet met 0,7 procentpunt stijgt, hoeveel bedraagt dan de procentuele toename?
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
245
13
2019 was een gunstig jaar voor de arbeidsmarkt: de werkgelegenheidsgraad van 20- tot 64-jarigen steeg met 0,8 procentpunt naar 70,5 % en de werkloosheidsgraad van 15- tot 64-jarigen daalde van 6 % in 2018 naar 5,4 % in 2019. a) Hoeveel bedroeg de werkgelegenheidsgraad van 20- tot 64-jarigen in 2018?
IN
b) Met hoeveel procent steeg de werkgelegenheidsgraad van 20- tot 64-jarigen?
N
VA
c) Met hoeveel procent is de werkloosheidsgraad van 15- tot 64-jarigen gedaald in 2019 ten opzichte van 2018?
De consumentenbond stelt regelmatig een tabel op die laat zien hoe het ervoor staat met de prijzen bij verschillende supermarkten. Supermarkt A zit, voor de huismerken, op 90 % van de gemiddelde supermarktprijs en supermarkt B op 108 %. A maakt reclame dat ze 18 % goedkoper is dan B. Toon aan dat dat niet klopt.
ex em
pl
14
aa r©
15
‘Wij betalen uw btw: 21 procent korting op alles!’ Klopt die reclame?
1
3
ki
4
jk
2
5
in
6 7
6 9 10 11 12
246
16
Fatima verdient 5 % meer dan Kevin. Verdient Kevin dan 5 % minder dan Fatima?
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
REEKS C Het diagram toont de resultaten van de verkiezingen voor het Vlaams Parlement in 2019. De grijze balkjes eronder geven het resultaat van 2014 weer. Lijst
% van de stemmen 13,13 %
Open Vld
14,15 %
24,83 %
N-VA VLAAMS BELANG
18,5 %
5,92 %
15,4 %
CD&V PVDA PVDA+
N
5,32 %
2,53 %
0,68 %
UF
20,48 %
31,88 %
IN
17
VA
0,83 %
10,11 %
GROEN
8,70 %
10,14 %
sp.a
13,99 %
Bron: www.hln.be
aa r©
a) Met hoeveel procent is het resultaat van Open Vld gedaald ten opzichte van 2014?
b) Zijn de volgende uitspraken juist of fout?
fout
Het verkiezingsresultaat van N-VA lag in 2019 7,05 procent lager dan in 2014.
r
r
Het verkiezingsresultaat van Groen lag in 2014 1,41 procentpunt lager dan in 2019.
r
r
ex em
pl
juist
c) Met hoeveel procent is het resultaat van Vlaams Belang gestegen ten opzichte van 2014?
jk
ki
in
d) Sp.a en CD&V boekten in 2019 allebei verlies. Voor welke partij was dat verlies het grootst ten opzichte van 2014?
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
247
6.2 Soorten gegevens 6.2.1 Elementen, kenmerken en gegevens In de statistiek verzamel je gegevens door kenmerken van elementen te onderzoeken.
➔
De kenmerken zijn de eigenschappen van een element. Kenmerken noem je ook variabelen of veranderlijken.
➔
De gegevens of data zijn de hoedanigheden of getallen die je verkrijgt na een statistisch onderzoek.
IN
De elementen zijn de objecten (personen, dieren, goederen ...) waarover je informatie wenst te verkrijgen.
Voorbeeld
VA
N
Het geheel van de verkregen gegevens noem je de gegevensverzameling.
lengte (cm)
gehoorzaamheid
zwart
56
goed
8
wit
83
zeer goed
5
bruin
34
zwak
aantal puppy's
kleur
Bobby
3
Rex Lexy
ex em
pl
aa r©
naam
instructiefilmpje
6.2.2 Soorten gegevens
categorische gegevens
Dat zijn gegevens die een hoedanigheid weergeven. Die gegevens noem je ook kwalitatieve gegevens.
2 3
5
in
6
Dat zijn gegevens die het resultaat zijn van tellingen en metingen. Die gegevens noem je ook kwantitatieve gegevens.
Niet-geordende categorische gegevens hebben geen natuurlijke ordening.
Geordende categorische gegevens hebben een natuurlijke ordening.
Discrete numerieke gegevens beperken zich tot een aantal waarden.
Continue numerieke gegevens zijn reële waarden tussen bepaalde grenzen.
Voorbeeld: • veranderlijke: kleur • gegevens: zwart, wit ...
Voorbeeld: • veranderlijke: gehoorzaamheid • gegevens: goed, zwak ...
Voorbeeld: • veranderlijke: aantal puppy's • gegevens: 3, 8 ...
Voorbeeld: • veranderlijke: lengte in cm • gegevens: 56, 83 ...
ki
4
jk
1
numerieke gegevens
7
6 9 10 11 12
248
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
Oefeningen REEKS A 18
Welk soort gegevens verkrijg je bij de volgende onderzoeksonderwerpen?
nietgeordend geordend
onderzoeksonderwerp + gegevens a) de tevredenheid van de leerlingen van onze school over hun leerkracht wiskunde
r
r
gegevens: 215, 190, 307 ...
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
aa r©
c) de gemiddelde levensduur van een nieuw soort lampen
continu
VA
b) het aantal verkeersboetes in onze stad per jaar tussen 2010 en 2020
discreet
N
gegevens: tevreden, ontevreden ...
numeriek
IN
categorisch
gegevens: 2 428 h, 2 369 h, 2 526 h ...
d) de frisdrank die jongeren meestal drinken bij hun middagmaal
pl
gegevens: cola, limonade, fruitsap ...
ex em
e) de massa van de boekentas van de leerlingen van het eerste jaar gegevens: 8,1 kg; 7,6 kg; 6,8 kg ...
f) het onveiligheidsgevoel bij bejaarden in onze stad gegevens: klein, matig, groot ...
jk
g) de maximale dagtemperatuur in Brussel in de maand mei gegevens: 18º, 22º, 19º ...
in
ki
h) het merk van smartphone bij de 18-jarigen van onze school gegevens: Samsung, iPhone, Huawei ...
i) het aantal huisdieren in een gezin gegevens: 0, 1, 2, 3 ... j) het geboorteland van de allochtonen die nu in onze stad wonen gegevens: Albanië, Italië, Rusland ...
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
249
REEKS B 19
Geef drie gegevens die je kunt verkrijgen bij de volgende onderzoeksonderwerpen. Benoem het soort gegevens zo nauwkeurig mogelijk. a) de favoriete sport van de 15-jarigen van onze gemeente
mogelijke gegevens:
soort gegevens:
IN
mogelijke gegevens:
soort gegevens:
N
b) de bakwijze van een steak
VA
mogelijke gegevens:
soort gegevens:
aa r©
c) de snelheid van de wagens op de E313 tussen 22u00 en 23u00
d) het aantal valpartijen per dag in de vorige Ronde van Frankrijk
mogelijke gegevens:
soort gegevens:
pl
ex em
e) de schoenmaat van de leerlingen van de klas
mogelijke gegevens:
soort gegevens:
f) de hobby’s bij 16-jarigen
1
3
mogelijke gegevens:
soort gegevens:
ki
4
jk
2
g) de massa van de pasgeboren baby’s in Vlaanderen
5
in
6 7
mogelijke gegevens:
soort gegevens:
6 9 10
h) de mate waarin een sporter bijgelovig is
mogelijke gegevens:
soort gegevens:
11 12
250
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
6.3 Statistisch onderzoek 6.3.1 Context
N
Wat zijn de elementen van het onderzoek? (Wie of wat wordt onderzocht?) Wat zijn de kenmerken? (Wat wordt er onderzocht bij de elementen?) Met welk soort gegevens heb je te maken?
IN
Als je een onderzoek wilt starten, moet je eerst goed nadenken over de context. Zo zul je bij een onderzoek naar ‘de tevredenheid over het openbaar vervoer’ moeten weten welke vragen je zult stellen, aan wie, hoe en wanneer.
Hoe, waar en met welke middelen ga je het onderzoek voeren?
VA
Wat wil je weten? Waarom voer je het onderzoek?
6.3.2 Enquête
aa r©
de tevredenheid over het openbaar vervoer
ex em
pl
Om gegevens te verzamelen, neem je een enquête af. Dat kan op heel wat manieren: schriftelijk, telefonisch, via het internet, een persoonlijk interview ... De ondervraagde mensen noem je de respondenten. Het aantal mensen dat antwoordt, vormt de respons van de enquête.
6.3.3 Vraagstelling
Je moet goed nadenken over de vragen die je stelt in een enquête. Ze moeten kort, eenvoudig, duidelijk en begrijpbaar zijn. Open vragen
jk
Geef je mening over de dienstverlening bij De Lijn.
in
ki
De respondent mag het antwoord zelf formuleren. De antwoorden kunnen soms heel verschillend zijn. Ze zijn soms moeilijk samen te vatten en moeilijk te beoordelen. Het is wel mogelijk dat je veel informatie krijgt. Gesloten vragen Met welk openbaar vervoer kun je het best vanuit je woonplaats de school bereiken?
r bus r trein r tram r geen De antwoordmogelijkheden zijn beperkt en gemakkelijk samen te vatten en te beoordelen. Je moet goed nakijken of alle mogelijke antwoorden opgenomen zijn.
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
251
6.3.4 Steekproef en populatie Om de kijkcijfers in Vlaanderen te bepalen, worden uiteraard niet alle tv-kijkers ondervraagd. Dat is onmogelijk. Er worden een aantal gezinnen uitgekozen die een schaalmodel vormen voor tv-kijkend Vlaanderen.
aa r©
VA
N
IN
Het Centrum voor Informatie over de Media of CIM is een Belgische instelling die gegevens verzamelt en levert voor de reclamemarkt. De CIM tv-studie meet op een continue en gestandaardiseerde manier het televisiekijken in Vlaanderen. Daarvoor doet ze een beroep op een panel van 1 500 gezinnen. Bij elk van die gezinnen is een kijkmeter geïnstalleerd. Dat toestel registreert het kijkgedrag van de verschillende leden van het gezin eneventuele gasten in Vlaanderen en Brussel. In totaal staat het panel voor 3 700 personen. Op die manier hoopt men zicht te krijgen op alle kijkers van vier jaar en ouder. Sinds januari 2016 bepaalt men het Bron: www.cim.be totaal van het rechtstreekse tv-kijken en het uitgestelde tv-kijken op de dag van uitzending tot zeven dagen na uitzending.
pl
De totale verzameling ‘alle tv-kijkers in Vlaanderen’ noem je de populatie. De kijkers zijn de elementen.
ex em
In veel gevallen heeft men niet de middelen, de tijd en/of het geld om een volledige populatie te onderzoeken. Daarom bekijkt men een deel van de populatie. Een deel van de populatie noem je een steekproef. De steekproef moet een voldoende omvang hebben en representatief zijn voor de populatie, zodat je de vaststellingen kunt veralgemenen. Soorten steekproeven
100 willekeurig gekozen scholieren van 16 jaar vullen een enquête in over hun studeergewoontes.
2 3
In iedere Vlaamse provincie wordt aan 60 stedelingen en 40 plattelandbewoners gevraagd naar hun afkomst.
Elke tiende persoon van een lijst wordt ondervraagd over de vrijetijdsbesteding.
ki
4
jk
1
5
in
6 7
6 9 10 11 12
252
de aselecte steekproef
de gerichte steekproef
Elk element van de steekproef is bij toeval gekozen en elk element heeft evenveel kans om gekozen te worden.
De populatie wordt onderverdeeld in deelgroepen. Binnen elke deelgroep doe je een aselecte steekproef.
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
de systematische steekproef De steekproefelementen worden uit de populatie gekozen volgens een bepaald systeem.
6.3.5 Wat er kan mislopen bij een onderzoek Problemen met de vraagstelling Bij een onderzoek is de vraagstelling heel belangrijk. Een vraag moet duidelijk zijn en niet voor interpretatie vatbaar. Wat is er verkeerd aan de volgende vraag?
IN
Ben je voor of tegen de besparingspolitiek van de regering?
N
VA
Problemen met de respons
aa r©
De respons moet groot genoeg zijn. Anders zijn de conclusies niet betrouwbaar. Een krant doet een onderzoek over ‘voor of tegen het gebruik van kernenergie’. Uit de onlineantwoorden blijkt dat 70 % voor is. Is dat cijfer betrouwbaar, als de respons maar 10 % bedraagt?
pl
Problemen met de steekproef
ex em
De steekproef moet evenwichtig samengesteld zijn. Anders krijg je vertekende resultaten. Om het cultuurprogramma van een stad te bepalen, worden honderd inwoners tussen 30 en 40 jaar bevraagd. Wat is er fout aan die steekproef?
in
ki
jk
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
253
Oefeningen REEKS A 20
Bepaal de populatie en het soort steekproef. Geef in het geval van een gerichte steekproef vier deelgroepen.
IN
a) de bloedgroep van pasgeborenen in Vlaanderen populatie: steekproef:
N
b) de schoenmaat van de Vlaamse scholier populatie:
aa r©
steekproef:
VA
populatie:
ex em
steekproef:
pl
c) de favoriete voetbalploeg uit de Jupiler Pro League
d) de inhoud in ml van melkflessen populatie:
1
3
ki
4
steekproef:
jk
2
5
in
6 7
6 9
e) het aantal uren per week dat de Brusselse scholier studeert populatie: steekproef:
10
11
12
254
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
6.4
Categorische gegevens verwerken
6.4.1 Frequentietabel Tim vroeg aan een aantal 16-jarigen naar het merk van hun droomauto:
IN
instructiefilmpje
aa r©
VA
N
De resultaten van zijn onderzoek heeft hij in een tabel gezet.
Het is niet altijd eenvoudig om uit zo’n tabel ruwe gegevens af te lezen. Daarom verwerk je de gegevens in een frequentietabel. n i 7
7 = 0,116 7 = 11,67 % 60
ki
jk
ex em
f i
pl
x i
in
Definitie
Definitie
• Je plaatst de verschillende gegevens in de eerste kolom. notatie: x i • Je telt het aantal keer dat elk gegeven voorkomt, en noteert dat in de tweede kolom. Dat is de absolute frequentie. notatie: n i
De som van alle absolute frequenties is gelijk aan de omvang n van de steekproef.
• Als je de absolute frequentie deelt door de omvang van de steekproef, verkrijg je de relatieve frequentie. notatie: f i
Absolute frequentie De absolute frequentie n i van het gegeven x i is het aantal keer dat het gegeven voorkomt. Relatieve frequentie De relatieve frequentie f i van het gegeven x i is het quotiënt van de absolute frequentie n i en de omvang n van de steekproef.
f i =
ni n
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
255
6.4.2 Een frequentietabel opstellen met ICT REKENMACHINE actie
knoppen …
entry solve entry solve
enter
enter
N
Na de eerste enter enter zie je het scherm hiernaast afgebeeld. Daarop zie je belangrijke werkinstructies om in CelSheet te werken.
B
apps
IN
angle
entry solve
rcl
X test
L2
A
Z
a-lock
angle
aa r©
Om in de derde kolom de relatieve frequentie te verkrijgen: • in C1 noteer je =rondaf(B1/som(B$1:B$5)*100,2)
VA
In de eerste kolom voer je de merken in. Let op: tekst begint met een aanhalingsteken. In de tweede kolom voer je de absolute frequenties in.
sto
Y
e
M
1
–:
a-lock
angle
:
a-lock
.
L [
R
pl L2
Z
}
ex em
2
calc
Je slaat het gemaakte bestand op onder de naam DROOM (invullen naast Nieuw). Je verlaat de applicatie CelSheet.
ki
4 5
in
6 7
6 9 10 11 12
256
zoom
f4
trace
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
table
f5
L1
table
f5
graph
Y L2
1
graph
L6
V
6
Z
2
y=
U
5
catalog
0
EE
J
,
format f3 stat plot f1
alpha
L5
sto
enter
f4
jk
3
0
Druk op trace om de formule te plakken.
1 2
Y catalog
a-lock
alpha X
L entry solve
a-lock
stat plot f1
Y
rcl
2nd
1
)
• Ga terug naar C1 en druk op F3. calc
L1
L1
1
B
apps
×
)
X
sto
angle
alpha
}
rcl
2nd
U
5
stat
B
apps
i
L5
list
2nd
B
apps
alpha
[
L1
alpha
• Druk op y= en druk zo veel keer op de neerwaartse pijltoets als nodig.
2
math
[
Open de TI84-toepassing CelSheet.
scherm
4
ICT
EXCEL
ICT
VA
N
IN
Open het bestand ‘DROOM.xlsx’ en ga als volgt te werk.
GEOGEBRA
aa r©
6.4.3 Grafische voorstellingen Dotplot
ex em
aantal 16-jarigen
pl
voorkeur droomauto
AUDI
BMW
LAMBO
FERRARI
Het aantal ‘dots’ van een stapel is de absolute frequentie van het gegeven.
PORSCHE
merk
Staafdiagram
jk
voorkeur droomauto
24
22
• Op de horizontale as zie je de verschillende antwoordmogelijkheden.
16
in
ki
aantal 16-jarigen
20 16
12
12 8
3
4 0
• De hoogte van de verticale staafjes komt overeen met de (relatieve) frequentie.
7
AUDI
BMW
LAMBO
FERRARI
PORSCHE
merk
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
257
Het staafdiagram met de rekenmachine actie
knoppen
Open in CelSheet het bestand DROOM.
angle
B
entry solve
apps table
f5
scherm
… L1
enter
2
Y L1
1
graph
Y
1
entry solve
Kies om een staafdiagram te tekenen.
table
f5
L4
graph
Τ L5
4
U
5
Ga met de neerwaartse pijltoets naar TekPassend (geef eventueel een titel) enter
.
aa r©
entry solve
VA
N
Vul het dialoogvenster in zoals hiernaast afgebeeld.
en druk op
IN
enter
…
calc
f4
Frequenties lees je af door op trace te drukken en de zijwaartse pijltoetsen te gebruiken.
Het staafdiagram met Excel
pl
ICT
Open het bestand ‘DROOM.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk.
ex em
• Selecteer de cellen met de absolute frequentieverdeling. • Invoegen – Kolom – Gegroepeerde kolom. • Rechtermuisklik op de horizontale as: Gegevens selecteren – Horizontale aslabels – Bewerken – Aslabelbereik: selecteer de cellen met de waarden van x i .
• Grafiek verplaatsen naar een Nieuw Blad: ‘staafdiagram’.
1
3
• Grafiekelementen – Gegevenslabels – Einde, buitenkant. De verdere opmaak doe je naar eigen voorkeur.
ki
4
• Grafiekelementen – Grafiektitel en Astitels: typ passende titels in.
jk
2
5
in
6 7
6 9 10 11
ICT
De dotplot en het staafdiagram met GeoGebra
12
258
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
Cirkeldiagram voorkeur droomauto
11,67 %
• De hoekgrootte van de cirkelsectoren wordt bepaald door de relatieve frequenties. Daarvoor worden die met 360º vermenigvuldigd.
AUDI
26,67 %
• Een legende toont de verschillende antwoordmogelijkheden.
BMW 20,00 %
IN
LAMBO FERRARI
5,00 % 36,67 %
PORSCHE
N
instructiefilmpje
VA
Het cirkeldiagram met de rekenmachine actie
knoppen
Kies om een cirkeldiagram te tekenen.
aa r©
Open in CelSheet het bestand DROOM.
scherm
table
f5
Τ L5
L4
graph
4
U
5
Vul het dialoogvenster in zoals hiernaast afgebeeld.
en druk op
entry solve
enter
.
pl
Ga met de neerwaartse pijltoets naar Tekenen (geef eventueel een titel)
ex em
Frequenties lees je af in de legende calc
f4
jk
of door op trace te drukken en de zijwaartse pijltoetsen te gebruiken.
ICT
Het cirkeldiagram met Excel
in
ki
Open het bestand ‘DROOM.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk. • Selecteer de cellen met de relatieve frequentieverdeling. • Invoegen – Cirkel – Eerste subtype (cirkel). • Gegevens selecteren – Horizontale aslabels – Bewerken – Aslabelbereik: selecteer de cellen met de waarden van x i . • Grafiek verplaatsen naar een Nieuw Blad: ‘cirkeldiagram’. • Grafiekelementen – Grafiektitel: typ een passende titel in. • Gegevenslabels toevoegen. De verdere opmaak doe je naar eigen voorkeur.
ICT
Het cirkeldiagram met GeoGebra HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
259
Oefeningen REEKS A
zeer slecht
5
slecht
11
neutraal
19
lekker
26
zeer lekker
9
70
f i
N
n i
VA
x i
IN
Via een steekproef peilde de directie naar de kwaliteit van de middagmalen op school. De leerlingen konden voor hun oordeel kiezen uit: zeer slecht − slecht − neutraal − lekker − zeer lekker.
aa r©
21
a) Vervolledig de frequentietabel met de relatieve frequentie. b) Teken met ICT:
pl
• een dotplot voor de absolute frequentie, • een cirkeldiagram.
c) Hoeveel leerlingen vinden de kwaliteit van het middagmaal slecht of zeer slecht?
ex em
d) Hoeveel procent van de leerlingen vindt het eten niet zeer lekker?
22
x i
3
ki
4 5
n i
f i
bruin
35,00 %
blauw
42,00 %
groen
23,00 %
100,00%
jk
1 2
Van 400 mensen werd de kleur van hun ogen genoteerd.
in
6 7
6
a) Vervolledig de frequentietabel met de absolute frequentie.
9
b) Teken met ICT:
10 11 12
260
• een staafdiagram voor de absolute frequentie, • een cirkeldiagram. c) Hoeveel mensen hebben groene of bruine ogen? HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
23
Steeds meer mensen schakelen over naar een elektrische wagen. Het staafdiagram toont het aantal ingeschreven volledig elektrische auto’s in 2019. aantal elektrische wagens
12 000 10 000 8 000 6 000 4 000 0
Vlaanderen
Brussel
f i
Vlaanderen
Brussel
Wallonië
totaal
2 839
2 598
2 000
n i
Wallonië
N
14 000
x i
13 754
IN
16 000
VA
a) Hoeveel elektrische wagens zijn er in Brussel en Wallonië ingeschreven?
b) ‘Er rijden 56,88 % meer elektrische wagens in Vlaanderen dan in Wallonië.’
Klopt die bewering?
aa r©
In een Vlaamse stad zijn er 26 748 mensen die een sport beoefenen. Na onderzoek bleken de sportactiviteiten verdeeld zoals in het cirkeldiagram is weergegeven.
ex em
24
pl
c) Teken met ICT een cirkeldiagram.
sportactiviteit 4%
x i
8%
in
ki
jk
21 %
37 %
16 %
14 %
zwemmen voetbal turnen
tennis basketbal andere
n i
f i
totaal
a) Vul de frequentietabel in. b) Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie. c) Hoeveel ondervraagde mensen beoefenen geen voetbal en geen tennis?
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
261
REEKS B
ICT
25
Je voert een onderzoek uit naar het merk van smartphone dat de leerlingen van jouw klas bezitten. a) Stel een frequentietabel op. turven
n i
VA
aa r©
N
f i
IN
merk
geen
pl
andere
ex em
b) Teken met ICT: • een dotplot voor de absolute frequentie, • een cirkeldiagram voor de relatieve frequentie. c) Welk merk komt het meest voor?
d) Hoeveel leerlingen van jouw klas hebben dat merk niet?
1
3
e) Hoeveel procent van de leerlingen heeft de twee meest voorkomende merken?
ki
4
jk
2
5
in
6 7
f) Denk je dat dit een goede steekproef is die je kunt veralgemenen naar alle leerlingen van een tweede graad in Vlaanderen?
6
Waarom (niet)?
9 10 11 12
262
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
Van 50 mensen werd de bloedgroep in een tabel genoteerd. AB
A
O
B
O
A
O
A
O
B
A
B
A
A
A
O
A
O
O
A
O
A
O
A
O
A
O
A
O
A
A
O
B
O
O
AB
A
O
A
A
O
O
O
A
O
O
A
O
O
a) Maak een frequentietabel. bloedgroep
f i
n i
A
B
AB
O
IN
A
N
26
b) Teken met ICT een cirkeldiagram.
VA
ICT
c) Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie. d) Hoeveel mensen hebben bloedgroep A of B?
aa r©
e) Hoeveel procent van de mensen heeft een andere bloedgroep dan A of O?
f) Hoeveel keer meer kans heb je om bloedgroep B te hebben dan bloedgroep AB?
27
Van 70 mensen werd de maat van hun T-shirts in een tabel genoteerd. S XL M XXL S L M S XL XL XXL M M XL
M XL L XXL M XL M XL M S S S M XL
L L M XL M S S L L L XL XXL M M
in
ki
jk
ex em
L M L L L M L XL M XXL M M L L
a) Maak een frequentietabel.
pl
ICT
XL M L L M L L M XL XXL M M L S
maat
f i
n i
S
M
L
XL
XXL
b) Teken met ICT een cirkeldiagram. c) Teken met ICT een staafdiagram voor de relatieve frequentie. d) Hoeveel procent van de mensen heeft een T-shirtmaat groter dan M? e) Hoeveel mensen hebben een T-shirtmaat die kleiner is dan of gelijk aan L? f) Hoeveel procent meer mensen hebben maat M dan L?
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
263
Aan 80 leerlingen wordt bij het invullen van het formulier voor de schooladministratie gevraagd hoe ze naar school komen: te voet (VO), per fiets (FI), met de bus (BU), met de trein (TR), met de wagen (WA), met de bromfiets (BF) of met een ander vervoermiddel (AN). BU
BF
FI
BF
FI
BU
FI
VO
BU
BF
FI
BU
FI
VO
BU
FI
FI
VO
WA
BF
BU
BF
BU
BU
TR
BF
FI
BF
FI
BF
BU
WA
BU
FI
TR
VO
BU
WA
FI
FI
BF
FI
BF
BU
BF
TR
VO
BU
BF
TR
FI
BF
FI
BF
AN
WA
TR
FI
BF
TR
a) Maak een frequentietabel. vervoermiddel
f i
n i
TR
FI
WA
FI
BU
VO
BU
BU
AN
FI
FI
BU
TR
WA
FI
BF
BU
TR
WA
BF
BU
VO
FI
BU
BF
b) Teken met ICT een cirkeldiagram.
AN
c) Teken met ICT een staafdiagram voor de relatieve frequentie.
IN
VO
N
28
VA
ICT
aa r©
d) Welk vervoermiddel wordt het meest gekozen om naar school te komen?
e) Hoeveel procent van de leerlingen komt te voet of met de bus naar school? f) Hoeveel leerlingen komen met de trein of met de fiets naar school? g) Twee vervoermiddelen maken samen de helft van de steekproef uit. Welke?
3
5
in
6 7
6 9
pl
P
O
B
P
O
O
P
T
T
P
T
O
A
P
O
P
P
P
O
P
A
O
A
P
O
A
B
B
P
P
a) Maak een frequentietabel. operator
f i
n i
P
T
O
O
P
P
P
A
T
O
P
A
P
A
B
O
P
P
P
O
P
P
T
A
B
P
T
P
P
O
ki
4
Aan 60 mensen wordt gevraagd bij welke smartphoneoperator ze aangesloten zijn: Base (B), Orange (O), Proximus (P), Telenet (T) of andere (A).
jk
1 2
29
ex em
ICT
andere
b) Teken met ICT een cirkeldiagram. c) Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie. d) Hoeveel mensen kiezen niet voor Proximus?
10
e) Hoeveel procent marktaandeel halen Base en Orange samen?
11
f) Hoeveel procent is het marktaandeel van Proximus groter dan dat van Telenet?
12
264
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
6.5
Niet-gegroepeerde numerieke gegevens verwerken
6.5.1 Frequentietabel Op een toets wiskunde op 10 behaalden de leerlingen de onderstaande punten: 5
5
0
5
8
3
1
6
7
6
5
2
4
3
4
6
6
4
8
7
9
2
3
5
7
0
5
6
6
1
7
8
3
5
5
f i
cn i
cf i
0
2
5,56 %
2
5,56 %
1
3
8,33 %
5
13,89 %
2
2
5,56 %
7
19,44 %
3
4
11,11 %
11
30,56 %
4
3
8,33 %
6
7
8
9
14
38,89 %
pl
instructiefilmpje
Om te weten hoeveel leerlingen de helft niet behaalden, moet je de frequenties optellen van de eerste vijf gegevens. Dat aantal is gelijk aan 2 + 3 + 2 + 4 + 3 = 14 Je zegt dat 14 de cumulatieve absolute frequentie is van het vijfde gegeven. Je noteert die frequentie als cn 5.
ex em
5
VA
n i
aa r©
x i
N
Naar analogie met de categorische gegevens kun je voor elk gegeven de absolute en relatieve frequentie bepalen.
IN
1
Definitie
Cumulatieve absolute frequentie
De cumulatieve absolute frequentie cn i van het gegeven x i is de som van alle absolute frequenties van het eerste tot en met het i-de gegeven: cn i = n 1 + n 2 + . . . + n i .
ki
jk
Weten dat er 14 leerlingen zijn die 4 op 10 of minder halen, zegt niet zoveel als je niet weet dat er 36 leerlingen de toets hebben gemaakt. 14 van de 36 leerlingen of 38,89 % noem je de cumulatieve relatieve frequentie van het vijfde gegeven. Je noteert die frequentie als cf 5.
in
Definitie
Cumulatieve relatieve frequentie De cumulatieve relatieve frequentie cf i van het gegeven x i is het quotiënt van de cumulatieve absolute frequentie cn i en de omvang n van de steekproef.
cfi =
cni n
Hoeveel procent van de leerlingen behaalt minder dan 6 op 10? Hoeveel leerlingen behalen meer dan 7 op 10? Hoeveel procent van de leerlingen scoort 6 of 7 op 10?
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
265
6.5.2 Een frequentietabel opstellen met ICT REKENMACHINE knoppen
Open Celsheet en maak er een nieuw bestand WISK aan.
angle
B entry solve table
apps ]
W
–
enter
2
x2
L1
graph
I ex
√
f5
scherm Y L3
1
S {
ln
K entry solve
(
EXCEL
Open het bestand ‘WISK.xlsx’ en ga als volgt te werk.
2 3
ki
4
jk
1
5
in
6 7
6 9 10 11
ICT
GEOGEBRA
12
266
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
2
VA
aa r©
ICT
ex em
pl
De cumulatieve relatieve frequentie laat je in kolom E berekenen: • in E1: =afronden(D1/som(B$1:B$10)×100,2); • kopieer de formule naar beneden.
enter
N
Breng de resultaten over in CelSheet en maak ook de kolom met de relatieve frequentie aan, zoals aangeleerd in 6.4.2.
De cumulatieve absolute frequentie laat je in kolom D berekenen: • in D1: =som(B$1:B1); • kopieer de formule naar beneden.
θ
3
IN
actie
6.5.3 Grafische voorstellingen Dotplot en staafdiagram toets wiskunde
toets wiskunde 25,00 %
0
1
2
3
4
5
6
7
8
20,00 %
11,11 % 10,00 %
5,56 %
0,00 %
9
punten op 10
0
8,33 %
2
3
4
5
6
2,78 % 7
8
9
VA
punten op 10
aa r©
Het staafdiagram met de rekenmachine actie
5,56 %
1
11,11 %
8,33 %
8,33 %
5,00 %
IN
16,67 % 15,00 %
N
aantal leerlingen
aantal leerlingen in procent
22,22 %
knoppen
Open in CelSheet het bestand WISK.
angle
B
entry solve table
apps
…
enter
2
f5
graph
L1
scherm
Y L1
1
Y
1
entry solve
…
table
f5
graph
L4
Τ L5
4
U
5
ex em
pl
Teken een staafdiagram voor bijvoorbeeld de relatieve frequentie. Het venster 'STAAFDIAGRAM' vul je in zoals hiernaast afgebeeld.
enter
jk
Bemerk dat je het staafdiagram niet volledig in één venster te zien krijgt. Met de pijltoetsen kun je wel alles te zien krijgen. Met TRACE en de pijltoetsen kun je ook de waarden aflezen.
ki
in
ICT
ICT
Het staafdiagram met Excel
Open het bestand ‘WISK.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk. • Selecteer de cellen met de relatieve frequenties en ga analoog te werk als in paragraaf 6.4.3. • Om de staven te versmallen: ■ Rechtermuisklik op een van de staven. ■ Gegevensreeks opmaken: breedte tussenruimte: kies voor 500 %. De dotplot en het staafdiagram met GeoGebra
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
267
Lijndiagram
toets wiskunde 9 8
6 5 4 3
IN
aantal leerlingen
7
2 1 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
N
0
punten op 10
VA
• Op de horizontale as zie je de verschillende waarden van x i , in stijgende volgorde. • De verticale as bevat de frequenties. • Een gebroken lijn verbindt de punten (x i , n i ) of (x i , f i ).
aa r©
Het lijndiagram met de rekenmachine actie
knoppen
Open in CelSheet het bestand WISK.
angle
B
entry solve table
apps
…
enter
2
f5
graph
L1
scherm
Y L1
1
Y
1
entry solve
…
table
f5
graph
L4
Τ L3
4
3
ICT
Het lijndiagram met Excel
ki
4
jk
1 2
θ
3
ex em
pl
Teken een lijndiagram voor bijvoorbeeld de absolute frequentie. Het venster 'LIJNDIAGRAM' vul je in zoals hiernaast afgebeeld.
enter
Open het bestand ‘WISK.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk.
5
10
• Selecteer de cellen met de absolute frequentieverdeling. • Invoegen – 2D-lijn – Lijn met markeringen. • Gegevens selecteren – Horizontale aslabels – Bewerken – Aslabelbereik: selecteer de cellen met de waarden van x i . • Grafiek verplaatsen naar een Nieuw Blad: ‘lijndiagram’. • Grafiekelementen – Grafiektitel en Astitels: typ passende titels in. • De primaire maatstrepen van de horizontale as zet je op de juiste plaats: As opmaken – Aspositie: op maatstreepjes.
11
De verdere opmaak doe je naar eigen voorkeur.
in
6 7
6 9
12
268
ICT
Het lijndiagram met GeoGebra
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
Cumulatief staafdiagram en cumulatief lijndiagram
28
30
35
36
8
9
22
20 10 0
32
2 0
5 1
11
7 2
3
14
4
5
6
7
punten op 10
N 1
2
3
4
VA
0
5
6
7
aa r©
cumulatieve relatieve frequentie
toets wiskunde 100,00 % 90,00 % 80,00 % 70,00 % 60,00 % 50,00 % 40,00 % 30,00 % 20,00 % 10,00 % 0,00 %
IN
cumulatief aantal leerlingen
toets wiskunde 40
punten op 10
8
9
instructiefilmpje
Het cumulatief staafdiagram met de rekenmachine actie
knoppen
table
f5
L4
Τ L5
U
4
graph
5
ex em
pl
Teken een staafdiagram voor bijvoorbeeld de cumulatieve absolute frequentie. Het venster 'STAAFDIAGRAM' vul je in zoals hiernaast afgebeeld.
scherm
in
ki
jk
Het cumulatief lijndiagram met de rekenmachine
ICT
actie
Teken een lijndiagram voor bijvoorbeeld de cumulatieve relatieve frequentie. Het venster 'LIJNDIAGRAM' vul je in zoals hiernaast afgebeeld.
knoppen table
f5
graph
L4
Τ L3
4
scherm
θ
3
Het cumulatief staaf- en lijndiagram met GeoGebra HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
269
Oefeningen REEKS A 30
Tijdens het kamp van de jeugdbeweging wordt naar de leeftijd van de deelnemers gevraagd. a) Maak een frequentietabel. x i
16
cn i
10
N
12
VA
aantal deelnemers
14
n i
IN
aantal deelnemers kamp
8 6
aa r©
4 2 0
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 leeftijd deelnemers
pl
b) Hoeveel deelnemers van het kamp zijn 10 jaar of jonger?
ex em
c) Van welke leeftijden zijn er meer dan 10 deelnemers? 31
Aan de leerlingen van een klas van het derde jaar werd gevraagd hoeveel stukken fruit ze per dag eten. a) Maak een frequentietabel.
fruit
15
ki
4
20
jk
3
cumulatief aantal leerlingen
2
x i
25
1
5
in
6 7
6
10 5 0
0
1
3 5 2 4 aantal stukken fruit per dag
6
n i
f i
10
b) Hoeveel leerlingen telt de klas van het derde jaar?
11
c) Hoeveel leerlingen eten minder dan vier stukken fruit per dag?
12
d) Hoeveel procent van de leerlingen eet meer dan drie stukken fruit per dag? HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
cf i
9
270
cn i
REEKS B 32
Op een dag in de soldenperiode wordt op straat aan een aantal mensen gevraagd naar het aantal gekochte kledingstukken. 0 1 0 0 0 1 2
0 2 1 1 3 1 1
1 2 3 3 0 1 0
2 3 4 4 2 0 0
2 3 4 5 0 2 1
0 0 1 0 3 3 5
2 4 3 1 2 1 0
5 5 3 2 0 0 3
2 1 3 3 5 7 6
n i
f i
pl
aa r©
cn i
VA
x i
1 0 4 2 1 3 2
ex em
3 3 1 0 4 3 1
N
a) Maak een frequentietabel.
4 3 0 0 1 2 4
0 4 6 2 7 1 0
IN
ICT
cf i
jk
b) Teken met ICT:
• een staafdiagram voor de absolute frequentie,
ki
• een lijndiagram voor de relatieve frequentie,
in
• een cumulatief lijndiagram voor de cumulatieve relatieve frequentie.
c) Hoeveel mensen hebben hoogstens vier kledingstukken gekocht? d) Hoeveel procent van de mensen kocht drie of vier kledingstukken? e) Hoeveel mensen kochten minstens één kledingstuk? f) Er zijn meer mensen die drie kledingstukken kopen dan vier. Hoeveel procent meer?
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
271
6.6 Centrummaten 6.6.1 Gemiddelde (Rekenkundig) gemiddelde
Definitie
Het gemiddelde van een rij getallen is de som van die getallen gedeeld door het aantal getallen.
x=
IN
Notatie x 1 + x 2 + ... + x n n
x i staat voor
Formule
n
x=
i =1
xi
i=2 ↓ + x2
i=n ↓ xn
+ ... +
VA
i =1
i=1 ↓ x1
xi . i = 1
aa r©
n
n
N
De som van termen van de vorm x i , waarbij de index i varieert van 1 tot n, noteer je kort
n
Voorbeeld
Het gemiddelde van de rij 2, 4, 2, 4, 7, 4, 4, 9: x = Afspraak
2 + 4 + 2 + 4 + 7 + 4 + 4 + 9 36 = = 4,5 8 8
2 · (–2,5)
ex em
Opmerkingen
pl
Je rondt het gemiddelde af op één cijfer meer na de komma dan de gegevens. +
4 · (–0,5)
3
4
+
1 · 2,5
+
7
8
1 · 4,5 = 0
• Het aantal leerlingen dat slechter scoort
2 3
Verdeelt het gemiddelde de resultaten
in twee even grote groepen?
Het gemiddelde heeft de fysische
betekenis van een evenwichtspunt.
2
5
6
9
x = 4,5
• Vervang je het resultaat 9 door 50, dan wordt het gemiddelde . Dat illustreert dat één resultaat het rekenkundig gemiddelde sterk kan beïnvloeden.
ki
4
dan het gemiddelde is .
jk
1
5
in
6 7
6 9
Het rekenkundig gemiddelde met de rekenmachine actie
Bereken het gemiddelde van de rij 2, 4, 2, 4, 7, 4, 4, 9.
knoppen list
2nd
stat
L3
scherm
θ
3
10 11 12
272
Wie met Excel werkt, gebruikt de functie ‘gemiddelde’. Je selecteert de cellen waarin de gegevens staan waarvan je het gemiddelde wilt laten berekenen. HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
6.6.2 Het gemiddelde berekenen uit een frequentietabel De rij 2, 4, 2, 4, 7, 4, 4, 9 kun je ook met een frequentietabel weergeven:
x i
2
4
7
9
n i
2
4
1
1
4
2
4
7
9
n i
2
4
1
1
i =1
ICT
ni x i n
ni x i =
Daarbij is k het aantal verschillende gegevens en n =
= 4,5
k i =1
ni .
pl
x=
i =1
ni =
aa r©
x =
k
4
n
VA
i =1
n i ? x i
Formule
4
n=
ni x i
IN
x i
i =1
N
2 2+4 4+1 7+1 9 Het gemiddelde kun je dan als volgt berekenen: x = = 8
Voorbeeld
ex em
De punten voor een toets wiskunde in het vierde jaar vind je in de tabel. x i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n i
2
3
2
4
3
8
6
4
3
1
n i ? x i
jk
x =
in
ki
Het rekenkundig gemiddelde met de rekenmachine actie
Open de lijsteneditor. Breng de waarden x i onder in L1 en de frequenties n i in L2. Bereken het gemiddelde van de lijsten L1 en L2.
knoppen L1
list
L3
list
L2
J
2nd
θ
3
stat
2nd
,
Y
1
stat
EE
scherm
Z
2
L1
Y
1
2nd L entry solve
}
)
enter
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
273
6.6.3 De mediaan In de gerangschikte rij van 9 getallen 0, 2, 3, 3,
6,
6, 6, 6, 7
is het middelste getal het getal uit die rij. Dat getal noem je de mediaan. In de gerangschikte rij van 10 getallen 0, 2, 3, 3,
3, 5,
6, 6, 6, 7
zijn er twee middelste getallen, het en het getal uit die rij.
Definitie
IN
Het gemiddelde van die twee getallen, dus , is de mediaan.
instructiefilmpje
Mediaan
n+1 . 2
N
De mediaan Me van een gerangschikte rij van n getallen is het getal met rangorde
VA
6.6.4 De mediaan bepalen uit een frequentietabel
ICT
Voorbeeld
aa r©
Om de mediaan te bepalen van gegevens die in een frequentietabel gegeven worden, gebruik je de cumulatieve absolute frequentie.
x i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
n i
2
1
7
2
3
7
7
4
2
cn i
De mediaan van getallen is het getal met rangorde .
Dus Me =
pl
instructiefilmpje
ex em
De mediaan met de rekenmachine actie
knoppen
Bereken de mediaan van de lijsten L1 en L2.
1
3
L2
J
2nd
,
L1
Z
2
2nd
Y
1
L entry solve
}
enter
)
Wie met Excel werkt, gebruikt de functie ‘mediaan’. Je selecteert de cellen waarin de oorspronkelijke gegevens staan (dus niet de frequentietabel) waarvan je de mediaan wilt laten berekenen.
6.6.5 De modus
ki
4
EE
Τ
4
stat
jk
2
L4
list
2nd
scherm
5
Definitie
in
6 7
6
ICT
Modus De modus Mo is het gegeven met de grootste frequentie.
Voorbeeld
9 10
x i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11
n i
2
3
2
4
3
8
6
4
3
1
12
274
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
De modus is .
6.6.6 Voor- en nadelen van gemiddelde en mediaan • Het gemiddelde houdt rekening met alle gegevens. Die centrummaat is heel geschikt bij wetenschappelijk onderzoek.
IN
De tabel toont de punten van een klas van 12 leerlingen voor een eenvoudige toets Frans op 10 punten. 10
9
8
9
10
9
10
9
0
10
9
N
9
x =
Verwijder de ‘uitschieter’ en bereken opnieuw het gemiddelde.
aa r©
VA
Hoeveel leerlingen scoren beter dan het gemiddelde?
• Bepaal de mediaan voor de punten Frans in de bovenstaande tabel.
Me =
De mediaan is gedefinieerd als het middelste gegeven en is dus niet vatbaar voor uitschieters.
6
6
9
6
6
6
6
6
Me =
9
9
9
10
10
x =
ex em
6
pl
• Dezelfde klas van 12 leerlingen maakte ook een toets wiskunde op 10 punten. Je ziet de resultaten in de onderstaande tabel.
Welke centrummaat geeft het best weer dat in die klas bijna de helft van de leerlingen heel goed
heeft gescoord?
Het gemiddelde houdt rekening met alle gegevens, maar is vatbaar voor uitschieters. De mediaan ligt altijd in het midden, maar houdt enkel rekening met de volgorde van de gegevens.
in
ki
jk
Besluit
Rond 1980 verwierpen bepaalde natuurvorsers het ontstaan van een gat in de ozonlaag van de atmosfeer boven de Zuidpool op basis van satellietgegevens. Later onderzoek bracht aan het licht dat de ozonmetingen boven de Zuidpool zo laag waren dat de gebruikte computersoftware ze systematisch als fout verwierp. Het systematisch verwijderen van uitschieters is geen goede wetenschappelijke onderzoekshouding.
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
275
Oefeningen REEKS A Alle leerlingen van het derde jaar van een school kregen dezelfde oriënterende toets wiskunde. De tabel toont de punten op 20. 6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
n i
1
3
1
6
11
17
21
25
14
11
6
8
cn i
c) Bereken het gemiddelde.
aa r©
b) Geef de betekenis van de mediaan.
ex em
pl
d) Hoeveel procent van de leerlingen haalde meer dan het gemiddelde?
34
1
3
x i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
n i
8
44
58
13
9
5
2
0
1
cn i
a) Bepaal de mediaan.
ki
4
Aan een aantal Vlaamse gezinnen werd gevraagd naar het aantal kinderen.
jk
2
b) Geef de betekenis van de mediaan.
5
in
6 7
6
c) Bereken het gemiddelde.
9 10 11 12
276
d) Geef de betekenis van het gemiddelde.
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
19
20
4
0
2
VA
a) Bepaal de mediaan.
18
IN
x i
N
33
REEKS B Aan 45 jongeren werd gevraagd hoeveel dagen van de week ze sporten. n i
0
4
1
2
3
f i
11,11 %
5
6
7
18
36
8,89 %
2
cf i
12
4
cn i
45
IN
x i
a) Vul de frequentietabel verder aan.
N
35
VA
ICT
b) Hoeveel procent van de jongeren sport vier dagen in een week?
aa r©
c) Hoeveel jongeren sporten hoogstens drie dagen in een week?
d) De helft van de jongeren sport minstens dagen in een week. e) Bepaal de modus.
ICT
36
pl
f) Bereken het gemiddelde.
De resultaten op 10 voor een toets worden cumulatief voorgesteld. 100
80 70 60 50 40 30
jk
cumulatief relatief aantal leerlingen
ex em
90
20
in
ki
10 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
punten op 10
a) Bepaal de mediaan. b) Geef de betekenis van de mediaan.
c) Bepaal de modus. d) Als alle leerlingen evenveel punten hadden, hoeveel zou dat dan zijn?
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
277
ICT
37
In een jeugdbeweging werd de hemdsmaat van een aantal jongens genoteerd. 36
38
39
41
38
42
41
43
41
41
38
40
38
40
41
36
37
39
38
40
38
36
39
40
37
42
37
38
40
39
42
38
38
39
37
39
39
37
39
37
39
39
38
37
41
39
38
40
38
43
39
36
39
40
38
40
40
38
37
41
38
42
36
43
37
n i
f i
cn i
VA
aa r©
pl
b) Teken met ICT:
• een dotplot voor de absolute frequentie, • een lijndiagram voor de relatieve frequentie, • een cumulatief lijndiagram voor de cumulatieve relatieve frequentie.
1
3
d) Hoeveel procent van de jongeren heeft minstens 40 als hemdsmaat?
ki
4
c) Hoeveel jongeren hebben hoogstens 39 als hemdsmaat?
jk
2
e) Hoeveel procent van de jongeren heeft een hemdsmaat 38 of 39?
5
in
6 7
6 9 10
f) Bepaal de mediaan en geef de betekenis.
g) Schat de som van de hemdsmaten als je 150 jongeren had ondervraagd.
11 12
278
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
ex em
cf i
N
x i
IN
a) Maak een frequentietabel.
Van een aantal worpen met twee dobbelstenen werd de som van het aantal ogen genoteerd. 6
2
10
7
9
5
4
5
7
8
6
8
10
3
9
11
5
6
6
8
8
9
7
5
11
8
10
7
11
12
4
10
7
5
6
5
9
8
9
2
5
5
4
7
5
7
6
6
7
10
8
7
7
4
8
6
9
6
4
9
11
7
7
7
10
9
7
11
a) Maak een frequentietabel. x i
n i
f i
cn i
kans
cf i
2
3
4
5
6
7
8
9
10
IN
2
N
9
VA
38
11
12
aa r©
ICT
pl
b) Stel dat je een weddenschap hebt afgesloten, waarbij je voor elke keer dat je 9 of meer ogen gooit, 0,50 euro ontvangt. In andere gevallen betaal je 0,20 euro. Zul je winst of verlies maken?
ex em
c) Vul de frequentietabel aan met de theoretische kansen op basis van de onderstaande tabel. 2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
ki
jk
1
in
d) Vergelijk de resultaten. Wat kun je daaruit besluiten?
e) Bij hoeveel procent van de worpen is de som van het aantal ogen meer dan 9? f) De helft van de worpen leverde minstens ogen op. g) Bereken het gemiddelde en geef de betekenis.
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
279
Gedurende drie maanden werd een verscherpte controle op zwartrijden (rijden zonder geldig vervoerbewijs) uitgevoerd op de trein Oostende – Brussel. Het aantal betrapte zwartrijders per dag vind je in de onderstaande tabel. a) Maak een frequentietabel.
2
3
0
5
1
0
1
0
0
4
6
3
1
2
1
7
4
6
8
1
0
3
2
7
8
9
1
1
3
2
3
2
2
6
2
4
3
1
3
4
6
0
1
6
9
1
4
2
3
2
3
5
7
8
1
7
0
3
1
4
3
2
0
4
2
1
1
3
6
3
2
0
5
2
1
8
1
0
2
5
2
2
7
2
4
0
f i
cn i
6
2
9 2
pl
b) Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie. c) Teken met ICT een lijndiagram voor de relatieve frequentie.
ex em
d) Teken met ICT een cumulatief staafdiagram voor de cumulatieve absolute frequentie. e) Hoeveel dagen waren er minder dan drie zwartrijders?
f) Hoeveel procent van de dagen was er geen enkele zwartrijder? g) Hoeveel dagen hadden er vijf of meer mensen geen geldig vervoerbewijs? h) Als een boete voor zwartrijden 75 euro bedraagt, wat is dan de ‘opbrengst’
2 3
ki
4
bij die verscherpte controle?
jk
1
5
in
6 7
6 9 10 11 12
280
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
cf i
N
n i
IN
x i
VA
39
aa r©
ICT
REEKS C 40
In een klas zitten 20 leerlingen. Tijdens een toets wiskunde was één leerling ziek. Het gemiddelde van de toets was 6,5 op 10. De zieke leerling haalde de toets later in. Wat zijn de minimale en de maximale waarde voor het nieuwe gemiddelde?
In de tabel lees je de resultaten van een toets Nederlands op 20 punten. n i
7
6
8
x
9
10
10
3x
11
19
12
22
13
26
14
y
15
9
16
9
17
6
VA
a) Bereken x en y, als het gemiddelde 12 is.
x i
aa r©
pl
b) Bepaal de mediaan.
ex em
41
N
IN
150
Van een steekproef met 5 waarden is het rekenkundig gemiddelde 10 en de mediaan 12. Wat is de kleinst mogelijke waarde van het verschil tussen de grootste en de kleinste steekproefwaarde?
jk
42
ki
Bron: VWO, editie 1994, tweede ronde
in
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
281
STUDIEWIJZER Beschrijvende statistiek voor de leerling
6.1 Inleiding KENNEN
voor de leerkracht
– + – +
Een procentpunt is een punt op een procentenschaal en is het absolute verschil tussen twee waarden uitgedrukt in procenten.
– + – +
IN
KUNNEN Uitleggen waarom bepaalde statistieken misleidend zijn. Het verschil tussen de begrippen ‘procent’ en ‘procentpunt’ uitleggen.
N
6.2 Soorten gegevens KENNEN
– + – +
VA
Categorische gegevens zijn gegevens die een hoedanigheid van een kenmerk weergeven. Geordende categorische gegevens hebben een natuurlijke ordening.
Niet-geordende categorische gegevens hebben geen natuurlijke ordening.
Numerieke gegevens zijn gegevens die het resultaat zijn van tellingen en metingen.
aa r©
Discrete numerieke gegevens hebben slechts een beperkt aantal waarden.
Continue numerieke gegevens zijn reële waarden tussen bepaalde grenzen.
KUNNEN
– + – +
Een onderscheid maken tussen elementen, kenmerken en gegevens.
Een onderscheid maken tussen categorische en numerieke gegevens.
Een onderscheid maken tussen geordende en niet-geordende categorische gegevens.
pl
Een onderscheid maken tussen discrete en continue numerieke gegevens.
ex em
6.3 Statistisch onderzoek
KENNEN
– + – +
De populatie is de verzameling van alle elementen van een statistisch onderzoek. Een deel van de populatie noem je een steekproef.
Problemen in verband met de steekproef en de vraagstelling omschrijven.
6.4 Categorische gegevens verwerken
ki
4
Een onderscheid maken tussen een aselecte, een gerichte en een systematische steekproef.
jk
3
5
in
6 7
KENNEN
De relatieve frequentie f i van het gegeven x i is het quotiënt van de absolute frequentie n i en de omvang n van de steekproef: fi =
n
.
De frequenties van categorische gegevens grafisch voorstellen en die voorstelling lezen en interpreteren. ICT gebruiken om een frequentietabel op te stellen en die grafisch voor te stellen.
12
282
ni
KUNNEN
9
11
– + – +
De absolute frequentie n i van het gegeven x i is het aantal keer dat dat gegeven voorkomt.
6
10
– + – +
Een omschrijving geven van de onderzoeksvraag, de populatie en de steekproef.
1 2
KUNNEN
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
– + – +
voor de leerling
6.5 Niet-gegroepeerde numerieke gegevens verwerken KENNEN
voor de leerkracht
– + – +
De cumulatieve absolute frequentie cn i van het gegeven x i is de som van alle frequenties van het eerste tot en met het i-de gegeven: cn i = n1 + n2 + ... + ni . de cumulatieve absolute frequentie cn i en de omvang n van de steekproef: cfi =
cni n
.
KUNNEN
IN
De cumulatieve relatieve frequentie cf i van het gegeven x i is het quotiënt van
– + – +
Een frequentietabel opstellen die de absolute frequentie, de relatieve frequentie, de cumulatieve absolute frequentie en de cumulatieve relatieve frequentie bevat.
N
De enkelvoudige en cumulatieve frequenties van niet-gegroepeerde numerieke gegevens grafisch voorstellen en die voorstelling lezen en interpreteren.
VA
ICT gebruiken om een frequentietabel op te stellen en die grafisch voor te stellen.
6.6 Centrummaten KENNEN
– + – +
n
x=
i =1
xi
n
aa r©
Het gemiddelde van een rij getallen is de som van die getallen gedeeld door het aantal getallen:
k
Het gemiddelde uit een frequentietabel: x =
i =1
ni x i n
k
pl
Daarbij is k het aantal verschillende gegevens en n =
.
i =1
ni.
ex em
De mediaan Me van een gerangschikte rij van n getallen is n+1 het getal met rangorde . 2
De modus Mo is het gegeven met de grootste frequentie.
KUNNEN
– + – +
in
ki
jk
De centrummaten gemiddelde, mediaan en modus bepalen en de informatie die ze bieden, interpreteren.
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
283
Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
❑ filter
❑ schets
❑ patroon
❑ schema/tabel
❑ kennis
❑ vereenvoudig
❑ logisch nadenken
❑ gok verstandig
❑ ...
ex em
N
pl
aa r©
VA
op één dag gen van de week, maar da s ze op gt lie tje Jan 1. eid. spreekt hij altijd de waarh nvolgende dagen: en deed hij op drie opee De volgende uitsprak andag en dinsdag.’ • dag 1: ‘Ik lieg op ma zondag.’ t donderdag, zaterdag of he is g aa nd ‘Va 2: g da • ensdag en vrijdag.’ • dag 3: ‘Ik lieg op wo waarheid? week spreekt Jantje de Op welke dag van de
IN
❑ concreet materiaal
kele vrienden iets 3. Louise gaat met en een portie drinken en bestelt ook n enkel in bitterballen. Die worde geserveerd. porties van 6, 9 of 20 ntal Wat is het grootste aa kunt bestellen bitterballen dat je niet met die porties?
2 3
ki
4
jk
1
5
in
6 7
6 9 10 11 12
284
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
2. Bereken de natuurlij ke getallen x en y, als 3x 2 – 3y 2 = 2 397.
N
VA
aa r©
pl
ex em
jk
ki
in
IN
PIENTER REMEDIËREN
Overzicht van alle remediëringsoefeningen (ROEF) per hoofdstuk (deel 1) 2
3
4
5
6
25
5
10
1
25
39
52
6
28
3
7
33
4
17
34
13
39
41
51
in
ki
jk
ex em
pl
aa r©
52 53
N
30
VA
38
IN
1
N
VA
aa r©
pl
ex em
jk
ki
in
IN
EXTRA LEERSTOF
Overzicht Extra Leerstof (deel 1) bestandsnaam
hoofdstuk
pagina
Een repeterende decimale vorm omvormen naar een breuk: alternatieve methode
2
62
❑
Manuele berekening van een vierkantswortel
2
80
in
ki
jk
ex em
pl
aa r©
VA
N
IN
❑