Inhoud
Dankwoord
Hoofdstuk 1 · Instapwiskunde 1.1
1.2
1.3
Letterrekenen Reële getallen Reële veeltermen Vergelijkingen met één onbekende Lineaire vergelijkingen Kwadratische vergelijkingen Reflectie
Hoofdstuk 2 · Logaritmen 2.1
2.2
2.3
2.4
Begripsvorming Definitie Eigenschap Bestaansvoorwaarden Soorten logaritmen Rekenregels Hoofdbewerkingen Veranderen van grondtal Een notatiekwestie Logaritmische vergelijkingen Via de definitie Eenzelfde grondtal Gemengde grondtallen Reflectie
Hoofdstuk 3 · Functies 3.1 3.2
3.3
Begrippen uit de reële analyse Veeltermfuncties Lineaire functies Kwadratische functies Krommen Hogere graadsfuncties Snijpunten tussen functies
15
17 18 18 23 25 25 26 32
35 36 36 37 37 38 40 40 42 43 43 43 43 44 46
49 50 51 51 53 54 54 56
8
WISKUNDE VOOR IT
3.4 3.5 3.6 3.7
3.8
Logaritmische functies Exponentiële functies De absolute waarde-functie Discrete functies De functie ‘floor’ De functie ‘ceiling’ Reflectie
Hoofdstuk 4 · Getalformaten 4.1
4.2
4.3
Soorten getallen Begrippen uit de rekenkunde Tiendelige getallen Tweedelige getallen Achtdelige getallen Zestiendelige getallen Converteren tussen getalformaten Converteren naar decimaal formaat Modulorekenen Converteren van tiendelige naar vreemde getalbases Hoekformaten Converteren tussen getalbases die een macht van 2 zijn Reflectie
Hoofdstuk 5 · Getallen in computers 5.1 5.2
5.3
5.4
5.5
De moderne computer Getalopslag van natuurlijke getallen Opslagformaten Natuurlijke overflow Getalopslag van gehele getallen Keuze voor het 2-komplement Converteren tussen decimale en 2-komplementweergave 2-komplementformaten Gehele overflow Getalopslag van reële getallen Reële opslagfouten De reële getalopslag als idee Visualisering van de reële getalopslag IEEE opslagstandaarden voor R Foutvoortplanting Reflectie
57 58 60 60 61 61 62
65 66 66 69 70 74 76 78 78 79 80 82 83 85
87 88 90 91 91 92 93 95 96 96 98 99 104 106 113 118 125
INHOUD
9
Hoofdstuk 6 · Booleaanse wiskunde 6.1
127
Uitsprakenlogica Uitspraken Verbindingen Samengestelde uitspraken en redeneerwetten Bewijsvoering Structuur Paradoxen Schakelalgebra Schakelaarcircuits Combinatorische circuits Booleaanse algebra Structuur Axioma’s van Huntington Booleaanse rekenregels Booleaanse functies Karnaughkaarten Begrippen Normaliseren van functies Vereenvoudigen van functies IT-toepassingen Programmeren RAID4/5 Subnetting Nand-technologie Reflectie
128 129 129 131 137 138 138 140 140 142 147 147 148 149 151 156 157 159 161 167 167 168 170 171 172
Hoofdstuk 7 · Inleiding tot de cryptografie
175
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
7.1 7.2 7.3
7.4
7.5
Begrippen omtrent cryptografie Het schema van de cryptografie Soorten cryptografie Indeling naar invoer Indeling naar symmetrie Indeling naar algoritme Kraakpogingen De kracht van de sleutel De kwaliteit van het algoritme Kraaktechnieken Cryptografische rekenomgevingen Associatietabellen
176 176 177 177 178 179 179 179 180 180 181 181
10
WISKUNDE VOOR IT
7.6
Restsystemen Oplossen van lineaire vergelijkingen Structuren met één bewerking Structuren met twee bewerkingen Reflectie
Hoofdstuk 8 · Lineaire cijfers 8.1
8.2
8.3
8.4
Rekenomgeving De ringstructuur met twee bewerkingen Tweede vuistregel voor modulorekenen Lineaire cijfers De publieke rekenomgeving De vercijfering De ontcijfering Het algoritme De kraakpoging Soorten lineaire cijfers Het caesarcijfer Het multiplicatiecijfer Een bijzondere kraakpoging Reflectie
Hoofdstuk 9 · Klutsfuncties 9.1 9.2
9.3
9.4
9.5
Eenrichtingsfuncties Klutsfuncties Toepassingen Kwaliteiten van een klutsfunctie Parallellisatie Restvectoren Chinese reststelling Parallelliseren van hoofdbewerkingen Uitgebreide grootste gemene deler Het algoritme ‘uggd’ Invers element in een restsysteem Bewijs van de chinese reststelling Lineaire vergelijkingen in een restsysteem Reflectie
183 190 192 198 199
201 202 202 205 205 205 206 207 208 209 210 210 210 211 213
215 216 216 218 218 219 220 220 224 225 225 226 227 228 234
INHOUD
H o o f d s t u k 10 · R S A 10.1 Rekenomgeving 10.2 Getaltheorie De totiëntfunctie De stelling van Euler Het gemengd modulorekenen 10.3 Rivest Shamir Adleman De publieke rekenomgeving De versleuteling De ontsleuteling Het algoritme Voorbeeld De kraakpoging 10.4 Handtekenen met RSA De handtekening De authenticatie Het algoritme Een gelaagde toepassing 10.5 Parallelliseren van RSA 10.6 Reflectie
H o o f d s t u k 11 · D S A 11.1 Rekenomgeving De veldstructuur met twee bewerkingen Generatoren 11.2 Discrete functies Discrete logaritmen Discrete logaritmische functie Discrete exponentiële functie 11.3 Diffie-Hellman-sleuteluitwisseling De publieke rekenomgeving De uitwisseling Het algoritme De kraakpoging 11.4 Digital Signature Algorithm De publieke rekenomgeving De handtekening De authenticatie Het algoritme De kraakpoging 11.5 Reflectie
11
237 238 238 238 240 240 241 241 241 242 242 243 245 246 246 246 247 247 249 253
255 256 256 258 260 260 260 261 262 262 262 263 264 266 266 267 268 269 270 272
12
WISKUNDE VOOR IT
H o o f d s t u k 12 · E l l i p t i s c h e k r o m m e n v e r s l e u t e l i n g 12.1 Rekenomgeving 12.2 Reële elliptische krommen De reële elliptische krommengroep Analytische aspecten 12.3 Discrete elliptische krommen Kwadratische residu’s Priemkrommen E p (b, c) De priemkrommengroep Generatorpunten 12.4 Priemkrommencryptografie De publieke rekenomgeving De versleuteling De ontsleuteling Het priemkrommenalgoritme De kraakpoging 12.5 Priemkrommensleuteluitwisseling De uitwisseling Het uitwisselingsalgoritme De kraakpoging 12.6 Priemkrommenhandtekening De handtekening De authenticatie 12.7 Reflectie
H o o f d s t u k 13 · A E S 13.1 Rekenomgeving Het binair priemveld Z2 De binaire quotiëntringen De binaire galoisvelden 13.2 Advanced Encryption Standard De publieke rekenomgeving Het AES-versleutelingsalgoritme De versleuteling als functie Het ontsleutelingsalgoritme De ontsleuteling als omgekeerde functie Herbruikbaarheid van het algoritme Implementeren van het algoritme 13.3 De kraakpoging De brute kracht aanval De AES-eenrichtingsfunctie 13.4 Reflectie
275 276 276 277 280 281 281 282 285 285 289 289 290 292 293 294 294 295 295 296 297 297 298 299
301 302 302 303 309 311 311 313 319 321 326 326 328 328 328 329 333
INHOUD
13
H o o f d s t u k 14 · I n l e i d i n g t o t c o d e s
335
14.1 Begrippen omtrent codes 14.2 Het schema van de codeertheorie 14.3 Soorten codes Indeling naar doelstelling Indeling naar afstand Indeling naar algoritme 14.4 Rekenomgevingen van codes 14.5 Constructie van codes De ‘codering’ zonder extra bits Coderingen met één extra bit Een codering met twee overtallige bits Een 3-bit overtallige codering Een 4-bit overtallige codering 14.6 Parameters van codes 14.7 Foutafhandeling bij algemene codes De ‘codering’ zonder extra bits Coderingen met één extra bit Een codering met twee overtallige bits Een 3-bit overtallige codering Een 4-bit overtallige codering De muisknoppen-codering C(5, 4, 3) Een spoorwegsein-codering Dichtste buur-corrigering 14.8 Reflectie
336 337 338 338 339 339 340 341 341 342 342 342 343 343 346 346 346 347 347 348 348 349 351 353
H o o f d s t u k 15 · L i n e a i r e c o d e s
355
15.1 Rekenomgeving Vectorruimten Interne allocatie 15.2 Constructie van lineaire codes Het nulcodewoord Hamming gewicht Basiscodewoorden Notatie 15.3 Matrixweergave van lineaire codes Generatormatrix G Pariteittester H 15.4 Foutafhandeling bij lineaire codes Syndromen
356 356 358 358 359 360 360 361 362 362 364 366 366
14
WISKUNDE VOOR IT
Schema van lineaire codes 15.5 Hamming codes Het ontstaan De constructie van hamming codes De foutafhandeling bij hamming codes 15.6 Reflectie
H o o f d s t u k 16 路 C y c l i s c h e t e s t s 16.1 Rekenomgeving 16.2 Constructie van cyclische tests Cyclisch testen in Z Het CRC-algoritme met binaire veeltermen 16.3 Cyclische tests versus klutsfuncties Geen integriteitsgarantie Geen eenrichtingsfunctie 16.4 Foutafhandeling bij cyclische tests Samenstelling van de CRC-veelterm Illustraties en uitzonderingen De troeven van cyclische tests 16.5 Reflectie
Hoofdstuk A 路 Notatie-afspraken A.1 Sleutels A.2 Alfabetten Latijns alfabet Grieks alfabet A.3 Wiskundige symboliek Verzamelingen Wiskundige symbolen Wiskundige sleutelwoorden Getallen
374 375 375 375 376 377
379 380 381 381 382 388 388 389 389 390 391 393 395
397 397 398 398 398 399 399 400 401 401
Hoofdstuk B 路 (Windows)ANSI ASCII
403
H o o f d s t u k C 路 We g w i j z e r s
407
C.1 Didactische wegwijzer C.2 Antwoorden wegwijzer
407 407
Bronvermelding
408
Index
411