Issuu

www.lannoo.com Registreer u op onze website en we sturen u regelmatig een nieuwsbrief met informatie over nieuwe boeken en met interessante, exclusieve aanbiedingen. Omslagontwerp: Studio Lannoo Vormgeving binnenwerk: Studio Lannoo Illustraties: Annelieke Hooymans ÂŠ Uitgeverij Lannoo nv, Tielt, 2020 en Jan Guichelaar, Paul Levrie en Roosmarij Vanhommerig D/2020/45/582â€“ NUR 493/918 ISBN 978 94 014 7183 1 Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand en/of openbaar gemaakt in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch of op enige andere manier zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

Jan Guichelaar, Paul Levrie en Roosmarij Vanhommerig

De dikke Meer dan 600 wiskundige puzzels, spellen en doordenkers voor jong en oud

VOORWOORD – 60 IS MOOIER DAN 50 Naar aanleiding van de zestigste verjaardag van het wiskundetijdschrift voor jongeren Pythagoras ligt voor u een verzameling van puzzels, raadsels, doordenkers en breinbre kers uit onze voorbije jaargangen. Pythagoras werd in 1961 opgericht op initiatief van de Nederlandse Onderwijscommissie voor Wis kunde, met de leden Johan Wansink en Hans Freudenthal in de hoofdrollen. De eerste twee redacteuren waren Gerrit Krooshof en Hans de Rijk (alias Bruno Ernst, onder meer bekend van zijn boeken over M.C. Escher). Bruno Ernst is gedurende vier decennia een vaste steun geweest voor Pythagoras, als re dacteur, hoofdredacteur en als auteur van zeer vele artikelen. Het doel van het tijd schrift was om jongeren kennis te laten ma ken met de veelzijdigheid en schoonheid van de wiskunde, en dat is ons streven tot op de dag van vandaag. Pythagoras is officieel een tijdschrift voor scholieren, maar wordt ook door vele andere wiskundeliefhebbers trouw gelezen. Ter ere van onze 50ste verjaardag verscheen het boek De Pythagoras Code, een bundeling van artikelen uit een halve eeuw Pythagoras. Inmiddels zijn we 10 jaar verder. Waar de

meeste mensen trots zijn als ze de mijlpaal 50 bereiken, worden wiskundigen gelukki ger van het getal 60. Niet omdat we dan 10 jaar ouder zijn, maar omdat voor ons 60 een mooier getal is dan 50. Het oude Babylonië (rond 3000 v.Chr.) wordt beschouwd als de geboorteplaats van de wiskunde en de Baby loniërs gebruikten een talstelsel op basis van 60. Tot op de dag van vandaag zien we deze geschiedenis terug in het dagelijks leven: 60 seconden in een minuut, 60 × 60 = 3600 seconden in een uur en 6 × 60 = 360 graden in een volle cirkel. Overigens waren de Baby loniërs al op de hoogte van de stelling van Pythagoras (die rond 600 v. Chr. leefde), zo als blijkt uit het gevonden kleitablet Plimp ton 322 uit ongeveer 1700 v.Chr. Bij het samenstellen van deze uitgave is het uitgangspunt geweest om vooral vraagstuk ken te selecteren op wiskundig inzicht, hoe wel soms ook wat wiskundige kennis van de middelbare school nodig is. We hopen daar mee leerlingen en overige lezers te tonen dat wiskunde vooral een scherpe geest en creati viteit vereist. Aan de samenstelling van dit boek hebben in het bijzonder ook de overige leden van de huidige redactie met adviezen, aanmoedi ging, correcties en bijzondere weetjes bijge dragen. De samenstellers van dit boek zijn

(1 + 1 ) / 2 × 2 + 3

= 5

daarom dank verschuldigd aan: Joery Allart, Matthijs Coster, Mike Daas, Jeanine Daems, Klaas Pieter Hart, Emiel Kaper, Niels Kolen brander, Sjoerd Marbus en Lex Slort. Ook danken de samenstellers Cato Schuitemaker, leerlinge van het 4e Gymnasium in Amster dam, voor haar zorgvuldige commentaar op de puzzels voorzien van één niveaubolletje. Tot slot wil ik allen die zich vrijwillig ingezet hebben voor Pythagoras in de zestig voorbije jaren hartelijk danken. De inspanningen van velen van hen waren voor het voortbestaan van het tijdschrift niet zelden van levensbe lang. Ook voor de lezers van dit boek en het tijdschrift Pythagoras: u bent onmisbaar in ons bestaan! We hopen nog vele jaren onze liefde voor de wiskunde met u te kunnen de len. Roosmarij Vanhommerig hoofdredactrice Pythagoras

–1+(–1+22)/3

WIST JE DIT? Er zijn oneindig veel

zogeheten pythagorische drietallen: positieve gehele getallen a, b en c waarvoor geldt: a2 + b2 = c2. Met het getal 60 als een van de drie getallen erin zijn er vier die niet vereenvoudigd kunnen worden (de drie getallen zijn onderling ondeelbaar): 112 + 602 = 612 602 + 912 = 1092 602 + 2212 = 2292 602 + 8992 = 9012 WIST JE DIT OF WIST JE DAT

Naast de puzzels en problemen in het boek staan er veel wiskundige wetenswaardig heden onder de namen ‘Wist Je Dit’ of ‘Wist Je Dat’. Daarin staan leuke weetjes uit de wiskunde. Vaak ook wordt een probleem uit de doeken gedaan, waarvan al of niet de oplossing gegeven wordt. Zeker kan het de lezer vaak aan het denken en puzzelen zetten.

BIJ DE PUZZELS

Bij elke puzzel in dit boek ziet u twee symbo len staan. De bolletjes geven de moeilijk heidsgraad aan. Puzzels met één bolletje zijn met gezond verstand en eenvoudig reken werk op te lossen. Zij zijn geschikt voor leer lingen in de hoogste groepen van het basis onderwijs en de eerste klassen van het middelbaar onderwijs. Voor puzzels met twee bolletjes kan het bijvoorbeeld voorko men dat er wat wiskunde uit de onderbouw van het middelbaar onderwijs nodig is, zoals het oplossen van enkele vergelijkingen. De puzzels met drie bolletjes vergen vooral een goed inzicht en flink wat denken/of puzzel werk. Ook is dan soms de wiskunde van ho gere klassen van het middelbaar onderwijs nodig. Verder geven de symbolen een indi catie van het onderwerp: Meetkundige puzzels en allerlei bewegings-, tijd-, kloken meetproblemen. Bord- roosterpuzzels. Getal- en rekenpuzzels. Verdeelproblemen (o.a. weeg-, knip-, schenken geldproblemen). Kans- en telproblemen. Puzzels, spellen, logische en overige problemen.

r g v

d p

Bij een aantal van de puzzels is de tekst en/of het bewijs aangepast om de eenheid en dui delijkheid te bevorderen of om de puzzel uit dagender te maken. In het tweede deel van het boek staan de uitwerkingen, bewijzen en antwoorden van de puzzels. Bij elke oplos sing staat ook de jaargang en het nummer van Pythagoras gegeven waaruit de betref fende puzzel afkomstig is. In het archief op de site van Pythagoras is dan in het betref fende nummer veelal de auteur van de puz zel te vinden. Dat wil zeggen, indien de au teur expliciet genoemd is bij de puzzel. De puzzels zijn in de afgelopen zestig jaar ver schenen onder diverse namen: o.a. Denker tjes, Kleine Nootjes, Pythagoras Olympia deopgaven, Problemen. Een beperkt aantal puzzels is verschenen op de (sociale media-) sites van Pythagoras onder de naam Nootje Kraken. Bij de oplossingen zijn deze geco deerd met een . Vooral in de beginjaren van het tijdschrift werden alle puzzels be dacht door de redacteuren, zonder dat hun namen bij de puzzels vermeld werden. Een groot gedeelte van de puzzels is origineel. Ook zijn er zeker puzzels die deels berusten op puzzels uit de folklore van de wiskunde voor liefhebbers en amateurs. Achterin het boek staat een lijst met redacteuren en vaste medewerkers aan Pythagoras met achter hun namen het jaar van eerste vermelding.

(1 + 1 ) / 2 + 2 x 3

= 7

PAGINANUMMERS

Op elke pagina staat naast het paginanummer dit nummer geschreven als een korte som: een korte rij cijfers (1 1 2 2 3 3 4 4 5, telkens twee van ieder cijfer) met tekens en bewer kingen. De cijfers staan in een vaste volgor de. Toegestaan zijn de tekens/bewerkingen +, –, ×, /, haakjes en catenatie (dus 1, 2 en 2 kunnen gebruikt worden als het getal 122). Voorbeelden: (1 + 1 + 223)/3 – (44 – 5) voor pagina 36 of – 1 × 1 + ((–2/2 + 3) × 3 + 4) × 4 + 55 voor pagina 94. Op elke pagina staat een oplossing voor het betreffende paginanummer. De puzzel voor de lezer is om een betere oplossing te vinden, door het laatste cijfer of de laatste twee cij fers weg te laten en opnieuw het paginanum mer te maken.

(1 + 1 + 22 ) / 3

OVER DE SAMENSTELLERS VAN HET BOEK

Jan Guichelaar (1945) is theoretisch fysicus en heeft, naast zijn publicaties in de fysica, gepubliceerd over wetenschapshistorie, on der andere over de geschiedenis van de Ne derlandse sterrenkunde in het begin van de twintigste eeuw. Hij is sinds 2001 redacteur van Pythagoras. De selectie van de puzzels en opgaven in dit boek is van zijn hand. E-mailadres: jan@pyth.eu. Paul Levrie (1959) geeft les aan de Faculteit Toegepaste Ingenieurswetenschappen van de Universiteit van Antwerpen. Hij is wis kundige en probeert al jaren de wiskunde meer populair te maken in Vlaanderen. Hiervoor schreef hij o.a. in 2014 samen met collega Rudi Penne een boek voor de geïnte resseerde wiskundeleek met als titel De Pracht van Priemgetallen. Hij is sinds 2011 redacteur van Pythagoras. E-mailadres: paul@pyth.eu. Roosmarij Vanhommerig (1981) is wiskundi ge en werkt als freelancer in het wiskunde onderwijs. In een divers scala aan projecten deed ze ervaring op als o.a. docent, vakdi dacticus, auteur en projectleider variërend van basisschool tot en met hogeschool. Zij is sinds 2017 hoofdredactrice van Pythagoras. E-mailadres: roosmarij@pyth.eu.

REDACTEUREN EN VASTE MEDEWERKERS

Sinds 1961 met jaar van eerste vermelding. Gerrit Krooshof (1961), Hans de Rijk (alias Bruno Ernst) (1961), A.F. van Tooren (1963), A.B. Oosten (1966), H.J. Engels (1968), G.A. Vonk (1968), A.J. Elsenaar (1969), C. van der Linden (1969), R.H. Plugge (1969), W. Kleijne (1973), Henk Mulder (1974), Jan van de Craats (1979), Hessel Pot (1982), Luc Kuijk (1983), Klaas Lakeman (1983), Leo Wiegerink (1983), Popke Bak ker (1988), Gerard Baüerle (1988), F. van der Blij (1988), Niels Buizert (1988), Hans Lauwerier (1988), H. Duparc (1991), Bob de Jongste (1991), Henk Huysmans (1991), Thijs Notenboom (1991), Hans Oomis (1991), Frank Roos (1991), Paul van de Veen (1992), Jan Mahieu (1993), Marcel Snel (1993), Wim Oudshoorn (1995), Sander van Rijnswou (1995), Ronald van Luijk (1996), Dion Gijswijt (1996), Klaas Pieter Hart (1996), Harald Haverkorn (1996), Erjen Lefeber (1996), Pier Sinia (1996), Chris Zaal (1996), René Swarttouw (1997), André de Boer (1999), Allard Veldman (2000), René Pannekoek (2000), Jan Tuitman (2000), Alex van den Brandhof (2001), Matthijs Coster (2001), Jan Guichelaar (2001), Marco Swaen (2001), Dick Beekman (2003), Arno Kret (2006), Anne de Haan (2006), Iris Smit (2006), Arnout Jaspers (2006), Jeanine Daems (2007), Alexander van Hoorn (2009), Eddy Nijholt (2009), Tijmen Veltman (2009), Paul Levrie (2011), Marc Seijlhouwer (2012), Derk Pik (2012), Harry Smit (2013), Mi chelle Sweering (2016), Bas Verseveldt (2016), Christian Eggermont (2017), Emiel Kaper (2017), Roosmarij Vanhommerig (2017), Mike Daas (2020), Niels Kolenbrander (2020), Sjoerd Marbus (2020), Joery Allart (2020), Lex Slort (2020).

–1+12–2

= 9

PUZZELS 1

●●❍

●❍❍

ALLEEN MET EEN LINIAAL

HEEN EN WEER

Gegeven is een cirkel met een middellijn (maar niet met het middelpunt) en een punt P binnen de cirkel. Hoe construeer je, alleen met een liniaal, een loodlijn vanuit P op deze middellijn?

Zwart en Rood hebben in de beginstand ie der twee stukken op het bord (zie de figuur) en moeten om beurten een zet doen, naar keuze net zoveel velden (minstens een) naar rechts of links, maar niet over of op het veld van een stuk van de tegenstander. Wie geen zet meer kan doen, heeft verloren. Rood moet de eerste zet doen. Wie van de twee kan met steeds de goede zetten altijd win nen: Rood of Zwart?

●❍❍

OPTELLING MET ABC Welke cijfers stellen de letters a, b en c in de volgende optelling voor: aaa + bbb + ccc = baac? Hierin zijn (on)gelij ke letters (on)gelijke cijfers.

10 =

1+1+2+2×3

WIST JE DAT een van de oudste getalstelsels op de wereld zestigtallig was?

De Babyloniërs, een verzamelnaam voor verschillende volkeren die in Mesopotamië leefden (de regio waar nu Irak ligt), ontwikkelden vanaf ongeveer 3000 v.Chr. wiskunde. Aan het eind van het derde millennium v. Chr. hadden ze een zestigtallig, goed werkend getalstelsel. Het was een positiestelsel, net zoals ons eigen getalsysteem: de plek van een cijfer in een getal bepaalt de waarde ervan. In ons getal 1231 betekenen de twee enen niet hetzelfde: de ene 1 staat voor 1 duizendtal, de andere voor 1 eenheid. Bij de Babyloniërs ging dat net zo, behalve dat een plek naar links bij hen een vermenigvuldiging met 60 betekende (waar dat bij ons met 10 gaat). Wij hebben in ons tientallige positiestelsel tien cijfers nodig om alle getallen te kunnen opschrijven. De Babyloniërs hadden er dus zestig nodig. Of eigenlijk 59, want ze hadden nog geen 0, daarvoor gebruikten ze alleen een lege plek (wat dus soms wat onhandig was). De Babylonische cijfers werden geschreven op kleitabletten in spijkerschrift. Om de cijfers 1 t/m 59 op te schrijven werden twee symbolen gebruikt, een ‘spijker’ voor 1 en een ‘winkelhaak’ voor 10.

●●❍

●❍❍

VIJFTIEN TIJDSCHRIFTEN

26 MUNTEN

Vijftien tijdschriften liggen op een tafel en bedekken deze volledig. Bewijs dat het mo gelijk is zeven van die tijdschriften weg te nemen, zodat de overblijvende acht min stens 8/15 van de oppervlakte van de tafel be dekken.

In een zak zitten 26 munten. Als je 20 wille keurige munten uit die zak pakt, dan heb je minstens 1 munt van 1 eurocent, 2 munten van 2 eurocent en 5 munten van 5 eurocent. Hoeveel zijn de 26 munten samen waard?

–1+12

= 11

●❍❍

●●❍

DIENSTREGELING

HONINGBIJ

Tussen de plaatsen A en B is een druk bus verkeer. In beide richtingen vertrekken de bussen om de tien minuten (onder andere op de hele uren). De reis van A naar B duurt, evenals die van B naar A, precies 35 minuten. Elke chauffeur krijgt zowel in A als in B een kwartier rust. Hoeveel bussen en chauffeurs zijn er nodig om deze dienstregeling uit te voeren?

Een bij vliegt van cel naar cel. Daarbij gaat ze telkens van een cel naar een willekeurige aangrenzende cel, elk met gelijke kans. Zo kan ze in twee keer vliegen van cel A naar cel B komen, maar meestal doet ze daar langer over. Hoeveel vluchten heeft ze gemiddeld nodig om van A naar B te komen?

●●●

WIT EN ZWART Op een massieve bol is een willekeurig aan tal cirkels getekend. Daardoor is de opper vlakte van de bol in een aantal gebieden ver deeld. Is het nu, ongeacht de ligging en de grootte van die cirkels, altijd mogelijk een beschildering van die bol te maken met de volgende twee eigenschappen: a. elk gebied is in zijn geheel wit of in zijn geheel zwart, b. twee gebieden waarvan de grenzen een cirkelboog gemeen hebben, hebben ver schillende kleuren?

12 =

1 1 + 2/ 2

●●❍

DRIE GELIJKE AFSTANDEN Punt P ligt zo binnen een vierkant met zijden 1 dat het gelijke afstanden heeft tot twee op eenvolgende hoekpunten en tot de zijde te genover deze hoekpunten. Bereken deze af stand. 1

●❍❍

KLOK LOOPT ACHTER

Piet vertrekt op de fiets naar school en ziet dat de klok thuis op half negen staat. Hij weet dat die klok iets achterloopt. Als hij op school aankomt, is het 8:55 uur op de goed werken de schoolklok. Piet fietst, even snel als op de heenweg, om 12:03 uur op de schoolklok weg van school en ziet bij thuiskomst de klok thuis op 12:16 uur staan. Hoeveel loopt de klok thuis achter? WIST JE DAT de drie afstanden in de figuur in de opgave een steinerboom wordt genoemd, naar de wiskundige Jakob Steiner? Zo’n steinerboom heeft ook praktische toepassingen, bijv. bij de aanleg van een elektriciteitsnetwerk. Stel je voor dat de drie eindpunten van de boom steden zijn die je met elkaar wilt verbinden. Als je de bekabeling doet via het centrale punt van de steinerboom, is de hoeveelheid kabel die je nodig hebt het kleinste.

–1+12+2

= 13

●●❍

DRIEHOEKEN VAN ÉÉN KLEUR Je hebt 66 punten in de ruimte. Geen enkel drietal ligt op een rechte lijn. Je tekent in ge dachten de lijnstukken tussen elk tweetal punten. Dan vormt elk drietal punten dus een driehoek. Je hebt vier kleuren en geeft aan elk lijnstuk een van die kleuren. Berede neer dat je, hoe je de kleurverdeling ook maakt, altijd een driehoek hebt met drie ge lijkgekleurde zijden.

14 =

1+12–2+3

WIST JE DIT? Het probleem in puzzel

11 komt uit een gebied van de wiskunde dat de ramseytheorie heet, naar Frank Ramsey (1903– 1930), een Engels filosoof, wiskundige en econoom. In de Pythagoras van april 2005 staat een stuk over de stelling van Ramsey. Als je de oplossing goed leest, zul je zien dat als je de lijnen tussen zes punten met twee kleuren kleurt, er altijd een driehoek van één kleur zal zijn. Ook zul je zien dat er altijd een driehoek van één kleur is bij zeventien punten en drie kleuren. In die twee gevallen geldt dat zes en zeventien niet beter kunnen: bij vijf punten is er een kleuring met twee kleuren zonder driehoek van één kleur, en bij zestien punten is er een dergelijke kleuring met drie kleuren. Bij hoeveel punten heb je zeker een driehoek van één kleur bij vijf kleuren? En bij zes kleuren? Bij vier kleuren is overigens nog onbekend wat het beste aantal punten is: bij kleuringen van de lijnen tussen 62 punten is er altijd een driehoek van één kleur, en bij 51 punten is er een kleuring zonder zo’n driehoek; wat daartussen gebeurt weten we niet.

●●❍

MAGISCHE SOM

PROBLEEM MET 2X + 1

Verdeel de getallen 1 tot en met 12 over de twaalf cirkels, zodat de getallen op elk van de zes lijnen dezelfde som hebben als de zes buitenste getallen.

Kies een positief geheel getal. Herhaal nu de volgende stap: als het getal deelbaar is door 3, 5 of 7, deel het dan daardoor. Zo niet, ver menigvuldig het getal met 2 en tel er 1 bij op. Bijvoorbeeld: 23479519391327 931. Kom je op deze manier met elk begingetal bij 1 uit?

●●●

KORTSTE ROUTES Hoeveel kortste routes zijn er van punt A naar punt B, waarbij je alleen over de roos terlijnen mag lopen?

A 13

●●❍

TRAPLOPEN Anne loopt iedere dag de trap op. De trap heeft dertien treden en ze neemt stappen van één of twee treden tegelijk. Ze wil het zo doen dat ze geen twee dagen dezelfde treden overslaat. Kan ze dat een jaar lang volhouden?

B (1 × 1 + 2 + 2 ) × 3

= 15

●●●

NOOIT EEN PRIEMGETAL Het getal 37 is een priemgetal (dus alleen deelbaar door 1 en zichzelf ). Als je achter 37 een willekeurig aantal enen plaatst (371, 3711, 37.111 enzovoort), is dat getal nooit priem. Toon dit aan.

●●❍

VOUWEN Een uit papier geknipte rechthoek, waarvan de lengte 16 cm en de breedte 12 cm is, wordt zo gevouwen dat twee overstaande hoek punten op elkaar komen te liggen. Bereken de lengte van de vouw.

16 =

(1 + 1 + 2 x 23 ) / 3